- Suche einen Punkt auf dem blauen Graphen, der genau auf einem Gitterpunkt liegt. - Stelle mithilfe der Punktkoordinaten die Gleichung nach \(a\) um. - Überprüfe dein Ergebnis mit einem zweiten Punkt.

1. Wähle einen Punkt auf dem Graphen, der genau auf einem Gitterpunkt liegt, zum Beispiel \(P(1 \mid -3)\) oder \(Q(3 \mid -1)\). 2. Setze die Koordinaten von \(P(1 \mid -3)\) in \(f(x) = \frac{a}{x}\) ein: \(-3 = \frac{a}{1}\). 3. Daraus folgt \(a = -3\). 4. Die Probe mit \(Q(3 \mid -1)\) bestätigt das Ergebnis, denn \(f(3) = -\frac{3}{3} = -1\). 5. Der Funktionsterm lautet \(f(x) = -\frac{3}{x}\).

Der Funktionsterm lautet \(f(x) = -\frac{3}{x}\).

- Multipliziere in jeder Tabellenspalte den \(x\)-Wert mit dem zugehörigen Funktionswert. - Welche Zahl bleibt bei allen drei Produkten gleich? - Wie hängt dieses konstante Produkt mit dem Zählerparameter \(a\) zusammen?

1. Für die drei Wertepaare gilt \(1\cdot12=12\), \(2\cdot6=12\) und \(4\cdot3=12\). 2. Bei \(f(x)=\frac{a}{x}\) ist dieses konstante Produkt gleich \(a\). Daher ist \(a=12\). 3. Somit lautet der Funktionsterm \(f(x)=\frac{12}{x}\).

Für alle Wertepaare gilt \(x\cdot f(x)=12\). Daher ist \(a=12\) und \(f(x)=\frac{12}{x}\).

- In welchen beiden Quadranten liegen die Äste des Graphen? - Lies den markierten Punkt möglichst genau am Gitter ab. - Welche Beziehung gilt bei einem Punkt \((x\mid y)\) auf \(y=\frac{a}{x}\) zwischen \(x\), \(y\) und \(a\)?

1. Die Äste liegen im II. und IV. Quadranten. Daher ist \(a<0\). 2. Aus dem markierten Punkt liest man \(P(2\mid-3)\) ab. Für \(f(x)=\frac{a}{x}\) gilt \(a=x\cdot y\), also \(a=2\cdot(-3)=-6\). 3. Damit lautet der Funktionsterm \(f(x)=\frac{-6}{x}\).

a) \(a<0\) b) \(P(2\mid-3)\), also \(a=-6\) c) \(f(x)=\frac{-6}{x}\)

- Setze in a) die Argumente direkt in den Nenner des Funktionsterms ein. - In b) ist ein Funktionswert vorgegeben. Welche Gleichung beschreibt diesen Fall? - Vergleiche für c) die Terme \(f(x)\) und \(f(2x)\), ohne konkrete Zahlen einzusetzen.

1. Es ist \(f(2)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}\) und \(f(10)=\frac{4}{50}=\frac{2}{25}\). 2. Für \(f(x)=\frac{1}{20}\) muss \(\frac{4}{5x}=\frac{1}{20}\) gelten. Kreuzmultiplikation ergibt \(80=5x\), also \(x=16\). 3. Bei verdoppeltem Argument ist \(f(2x)=\frac{4}{10x}=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{5x}=\frac12f(x)\). Der Funktionswert halbiert sich.

a) \(f(2)=\frac{2}{5}\), \(f(10)=\frac{2}{25}\) b) \(x=16\) c) Beim Verdoppeln von \(x\) halbiert sich der Funktionswert.

- Welche Beziehung verbindet bei \(f(x)=\frac{a}{x}\) einen \(x\)-Wert mit seinem Funktionswert? - Wie kannst du einen gegebenen Punkt verwenden, um \(a\) zu bestimmen? - Welche Größe ist in Teil c unbekannt, und wie kannst du die Gleichung danach auflösen?

1. Aus \(a=x\cdot f(x)\) folgt \(a=1{,}25\cdot8=10\). Damit gilt \(f(x)=\frac{10}{x}\). 2. Es ist \(f(5)=\frac{10}{5}=2\) und \(f(0{,}1)=\frac{10}{0{,}1}=100\). 3. Aus \(20=\frac{10}{x}\) folgt \(x=\frac{10}{20}=0{,}5\).

a) \(a=10\); \(f(x)=\frac{10}{x}\) b) \(f(5)=2\); \(f(0{,}1)=100\) c) \(x=0{,}5\)

- Was folgt aus der Tatsache, dass \(P\) auf dem Graphen liegt? - Wie kannst du \(a\) aus einem Wertepaar bestimmen? - Welche Größe ist in Teil c unbekannt?

1. Aus \(-3=\frac{a}{4}\) folgt \(a=-12\). Damit ist \(g(x)=-\frac{12}{x}\). 2. Es gilt \(g(-1{,}5)=\frac{-12}{-1{,}5}=8\). 3. Aus \(12=-\frac{12}{x}\) folgt \(x=-1\).

a) \(a=-12\); \(g(x)=-\frac{12}{x}\) b) \(g(-1{,}5)=8\) c) \(x=-1\)

- Suche dir für jeden Graphen einen Punkt, dessen Koordinaten du ganz genau auf dem Gitter ablesen kannst. - Erinnere dich an die allgemeine Form \(y = \frac{a}{x}\). Wie kannst du die abgelesenen Koordinaten nutzen, um \(a\) zu berechnen? - Du kannst die Gleichung nach \(a\) umstellen. Welcher einfache Zusammenhang besteht zwischen \(x\), \(y\) und \(a\)?

1. Punkt \(P(1 \mid 2)\) auf dem blauen Graphen \(f\) ablesen. 2. Einsetzen in \(y = \frac{a}{x}\) ergibt \(2 = \frac{a}{1}\), also \(a = 2\). 3. Punkt \(Q(2 \mid -2)\) auf dem roten Graphen \(g\) ablesen. 4. Einsetzen in \(y = \frac{a}{x}\) ergibt \(-2 = \frac{a}{2}\), also \(a = -4\).

a) \(a = 2\) b) \(a = -4\)

- Lies zuerst ein gut erkennbares Wertepaar direkt aus dem Graphen ab. - Bei \(f(x)=\frac{a}{x}\) ist das Produkt \(x\cdot f(x)\) für alle Punkte des Graphen gleich. - Prüfe den gegebenen Punkt erst, nachdem du \(a\) aus der Abbildung bestimmt hast.

1. Aus dem gut ablesbaren Punkt \((3\mid4)\) folgt bei \(f(x)=\frac{a}{x}\) der Parameter \(a=3\cdot4=12\). 2. Für \(P(2{,}5\mid5)\) gilt \(2{,}5\cdot5=12{,}5\neq12\). Daher liegt der Punkt nicht auf dem Graphen. 3. Mit \(f(x)=\frac{12}{x}\) erhält man \(f(0{,}5)=24\), \(f(1{,}5)=8\), \(f(5)=2{,}4\) und \(f(10)=1{,}2\).

a) \(a=12\) b) Nein. Es gilt \(2{,}5\cdot5=12{,}5\neq12\); daher liegt \(P(2{,}5\mid5)\) nicht auf dem Graphen. c) <table> <tr><td>\(x\)</td><td>\(0{,}5\)</td><td>\(1{,}5\)</td><td>\(5\)</td><td>\(10\)</td></tr> <tr><td>\(f(x)\)</td><td>\(24\)</td><td>\(8\)</td><td>\(2{,}4\)</td><td>\(1{,}2\)</td></tr> </table>

- Wie hängen \(x\), \(y\) und der Parameter \(a\) bei einer Funktion der Form \(y = \frac{a}{x}\) zusammen? - Wähle für jeden Graphen einen Punkt aus, dessen Koordinaten du leicht ablesen kannst. - Multipliziere die Koordinaten eines Punktes, um \(a\) zu finden. - Setze für den zweiten Teil der Aufgabe den gefundenen Wert für \(a\) und den gegebenen \(x\)-Wert in die Funktionsgleichung ein.

1. Aus dem ablesbaren Punkt \((1\mid15)\) auf \(f\) folgt \(a_f=1\cdot15=15\). 2. Aus dem ablesbaren Punkt \((2\mid5)\) auf \(g\) folgt \(a_g=2\cdot5=10\). 3. Aus dem ablesbaren Punkt \((5\mid1)\) auf \(h\) folgt \(a_h=5\cdot1=5\). 4. Damit ist \(f(x)=\frac{15}{x}\) und \(f(6)=\frac{15}{6}=2{,}5\).

a) \(a_f=15\), \(a_g=10\), \(a_h=5\) b) \(f(6)=2{,}5\)

- Suche Punkte auf dem Graphen, die genau auf Gitterpunkten liegen. - Multipliziere den \(x\)-Wert und den \(y\)-Wert eines Punkts. - Achte auf das Vorzeichen des Parameters.

1. Aus dem Koordinatensystem liest man den Punkt \(P(1 \mid -2)\) ab. 2. Einsetzen in \(y = \frac{a}{x}\) ergibt \(-2 = \frac{a}{1}\), also \(a = -2\). 3. Der zweite Punkt \(Q(2 \mid -1)\) bestätigt das Ergebnis, denn \(f(2) = -\frac{2}{2} = -1\).

a) Aus \(P(1 \mid -2)\) folgt \(a = -2\). b) Der Punkt \(Q(2 \mid -1)\) bestätigt das Ergebnis, da \(f(2) = -1\) gilt.

- Alle vier Bilder zeigen Funktionen der Form \(y=\frac{a}{x}\); die Funktionsfamilie allein reicht also nicht. - Berechne einen einfachen Funktionswert, zum Beispiel für \(x=2\). - Nutze zusätzlich das Vorzeichen von \(a\), um die Astlage zu prüfen.

1. Alle vier Kandidaten sind Hyperbeln der Form \(y=\frac{a}{x}\). Deshalb reicht die bloße Hyperbelform nicht zur Entscheidung. 2. Für \(f(x)=\frac{4}{x}\) gilt zum Beispiel \(f(2)=2\). Außerdem ist \(a>0\), also liegen die Äste in den Quadranten I und III. 3. Nur Graph A hat bei \(x=2\) den Wert \(y=2\) und zugleich die passende Astlage. Graph B gehört zu \(\frac{2}{x}\), Graph C zu \(-\frac{4}{x}\) und Graph D zu \(\frac{8}{x}\). 4. Daher ist A der gesuchte Graph.

A

- Gibt es bei einer der Funktionen eine Zahl, die man nicht einsetzen darf? - Stelle für beide Funktionen eine Gleichung auf, bei der das Ergebnis 12 lautet. - Was muss für den Funktionswert gelten, wenn ein Graph die \(x\)-Achse berührt?

1. Vergleich der Definitionsmengen: Bei \(f(x) = 3x\) kann jede rationale Zahl eingesetzt werden (\(D_f = \mathbb{Q}\)). Bei \(g(x) = \frac{3}{x}\) darf \(x\) nicht Null sein (\(D_g = \mathbb{Q} \setminus \{0\}\)). 2. Berechnung der Argumente für den Wert \(12\): Für \(f\): \(3x = 12 \Rightarrow x = 4\). Für \(g\): \(\frac{3}{x} = 12 \Rightarrow 3 = 12x \Rightarrow x = \frac{3}{12} = 0{,}25\). 3. Begründung der Achsenschnittpunkte: Ein Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse (Nullstelle) erfordert \(y = 0\). Für \(f\): \(3x = 0\) liefert \(x = 0\). Der Graph schneidet die Achse im Ursprung \((0 \mid 0)\). Für \(g\): Die Gleichung \(\frac{3}{x} = 0\) hat keine Lösung, da ein Bruch mit Zähler \(3\) niemals Null wird. Zudem ist \(x = 0\) nicht definiert, sodass auch kein Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse existiert.

a) \(D_f = \mathbb{Q}\), während \(D_g = \mathbb{Q} \setminus \{0\}\), da man durch Null nicht dividieren darf. b) Für \(f\) ist \(x = 4\); für \(g\) ist \(x = 0{,}25\). c) \(f\) hat die Nullstelle \(x = 0\). \(g\) hat keine Nullstelle, da der Zähler \(3\) niemals Null wird, und ist an der Stelle \(x = 0\) nicht definiert.

- Welche Beziehung gilt zwischen \(x\), \(y\) und \(a\) bei \(y=\frac{a}{x}\)? - Wie prüfst du rechnerisch, ob ein Punkt auf einem Funktionsgraphen liegt? - Was geschieht mit einem Bruch, wenn sein Nenner mit \(4\) multipliziert wird?

1. Aus \(1{,}5=\frac{a}{4}\) folgt \(a=1{,}5\cdot4=6\). 2. Für \(x=-0{,}5\) gilt \(\frac{6}{-0{,}5}=-12\). Daher liegt \(Q\) auf dem Graphen. 3. Mit \(y_R=\frac{a}{x_R}\) und \(x_S=4x_R\) gilt \(y_S=\frac{a}{4x_R}=\frac{1}{4}y_R\).

a) \(a=6\) b) Ja, denn \(\frac{6}{-0{,}5}=-12\). c) \(y_S=\frac{1}{4}y_R\), weil sich bei vierfachem \(x\)-Wert der Funktionswert bei konstantem Produkt auf ein Viertel verringert.

- Welches Vorzeichen hat \(\frac{4}{x}\) bei positivem bzw. negativem \(x\)? - Vergleiche die berechneten positiven Funktionswerte bei kleinen und großen \(x\)-Werten. - Welche Beziehung gilt zwischen \(x\), \(f(x)\) und dem konstanten Produkt \(4\)?

1. Da der Zähler \(4\) positiv ist, gilt \(f(x)>0\) für \(x>0\) und \(f(x)<0\) für \(x<0\). 2. Es ist \(f(0{,}1)=40\), \(f(100)=0{,}04\) und \(f(-1000)=-0{,}004\). Für immer größere positive \(x\)-Werte werden die positiven Funktionswerte immer kleiner; der Graph nähert sich der \(x\)-Achse an, ohne sie zu schneiden. 3. Aus \(0{,}5=\frac{4}{x}\) folgt \(x=8\). 4. Es gilt \(f(2)=2\), also liegt \(P\) auf dem Graphen. Außerdem ist \(2\cdot2=4\), passend zum konstanten Produkt \(a=4\).

1. Positiv für \(x>0\), negativ für \(x<0\). 2. \(f(0{,}1)=40\), \(f(100)=0{,}04\), \(f(-1000)=-0{,}004\); für große positive \(x\) nähert sich der Graph der \(x\)-Achse an. 3. \(x=8\) 4. Ja; \(2\cdot2=4\).

- Welche positiven Teilerpaare haben das Produkt \(36\)? - Suche für Teil 2 in deiner Liste nach einem Wertepaar mit gleichen Einträgen. - Prüfe für Teil 3 die Bedingung \(x=4y\) direkt an den bereits gefundenen Punkten.

1. Für positive ganzzahlige Koordinaten muss \(x\cdot y=36\) gelten. Die positiven Faktorpaare liefern \((1\mid36)\), \((2\mid18)\), \((3\mid12)\), \((4\mid9)\), \((6\mid6)\), \((9\mid4)\), \((12\mid3)\), \((18\mid2)\) und \((36\mid1)\). 2. Nur \((6\mid6)\) hat gleiche Koordinaten; dabei gilt \(6\cdot6=36\). 3. Unter den aufgelisteten Punkten erfüllt \((12\mid3)\) die Bedingung \(12=4\cdot3\).

1. \((1\mid36)\), \((2\mid18)\), \((3\mid12)\), \((4\mid9)\), \((6\mid6)\), \((9\mid4)\), \((12\mid3)\), \((18\mid2)\), \((36\mid1)\) 2. \((6\mid6)\), denn \(6\cdot6=36\). 3. \((12\mid3)\), denn \(12=4\cdot3\).

- Suche im Graphen einen Punkt mit ganzzahligen Koordinaten und bestimme daraus \(a\). - Vergleiche danach für jedes Tabellenpaar das Produkt \(x\cdot f(x)\) mit dem aus dem Graphen bestimmten Parameter. - Überlege zuletzt, welche Information fehlen würde, wenn du nur die beiden Tabellenpaare und die Aussage „genau ein Wert ist falsch“ hättest.

1. Am Graphen kann man zum Beispiel den Punkt \((3\mid4)\) ablesen. Daher ist \(a=3\cdot4=12\). 2. Für \((-6\mid-2)\) gilt \((-6)\cdot(-2)=12\). Dieser Tabellenwert passt zum Graphen. 3. Für \((4\mid2)\) gilt dagegen \(4\cdot2=8\). Dieser Tabellenwert passt nicht zum aus dem Graphen bestimmten Parameter. 4. Für \(x=4\) muss \(f(4)=\frac{12}{4}=3\) gelten. Der richtige Tabellenwert ist also \(f(4)=3\). 5. Ohne den Graphen liefern die beiden Tabellenpaare nur die verschiedenen möglichen Produkte \(12\) und \(8\). Da lediglich bekannt ist, dass genau ein Wert falsch ist, entscheidet erst der Graph, welches Produkt der tatsächliche Parameter \(a\) ist.

Aus dem Graphen folgt \(a=12\). Der Wert \(f(4)=2\) ist falsch; richtig ist \(f(4)=3\). Ohne den Graphen wäre aus den zwei unterschiedlichen Produkten \(12\) und \(8\) nicht eindeutig erkennbar, welcher Tabellenwert geändert werden muss.