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- Vergleiche zuerst die beiden Nenner. - Wenn die Nenner bereits gleich sind, bleibt der gemeinsame Nenner erhalten.

1. Beide Bruchterme haben bereits denselben Nenner, deshalb werden nur die Zähler addiert. 2. Es ergibt sich \(\frac{2+5}{x+3}=\frac{7}{x+3}\).

\(\frac{7}{x+3}\)

- Prüfe zuerst, ob die beiden Nenner bereits gleich sind. - Erinnere dich an die entsprechende Regel für gleichnamige Zahlenbrüche.

1. Beide Bruchterme haben denselben Nenner \(x\). 2. Daher werden die Zähler addiert, während der Nenner unverändert bleibt: \(\frac{a}{x}+\frac{b}{x}=\frac{a+b}{x}\).

\(\frac{a+b}{x}\). Regel: Bei gleichnamigen Brüchen werden die Zähler addiert; der gemeinsame Nenner bleibt erhalten.

- Welche Faktoren müssen im gemeinsamen Nenner vorkommen? - Erweitere beide Brüche auf denselben Nenner. - Behandle beim Subtrahieren den gesamten zweiten Zähler als eine Einheit.

1. Ein gemeinsamer Nenner ist \(a(a+2)\). 2. Erweitern ergibt \(\frac{2a}{a(a+2)}-\frac{a+2}{a(a+2)}\). 3. Im Zähler gilt \(2a-(a+2)=a-2\). 4. Damit ist der zusammengefasste Term \(\frac{a-2}{a(a+2)}\).

Gemeinsamer Nenner: \(a(a+2)\). \(\frac{2}{a+2}-\frac{1}{a}=\frac{a-2}{a(a+2)}\) für \(a\neq0,-2\).

- Prüfe zuerst, ob die beiden Brüche denselben Nenner haben. - Überlege, auf welchen gemeinsamen Nenner sich \(2\) und \(5\) erweitern lassen. - Erst bei gleichen Nennern dürfen die Zähler addiert werden.

1. Amir hat fälschlicherweise Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner addiert. Dieses Vorgehen ist bei der Addition von Brüchen nicht zulässig. 2. Die Nenner \(2\) und \(5\) werden auf den gemeinsamen Nenner \(10\) gebracht. 3. Es gilt \(\frac{x}{2}=\frac{5x}{10}\) und \(\frac{x}{5}=\frac{2x}{10}\). 4. Nun können die Zähler addiert werden: \(\frac{5x}{10}+\frac{2x}{10}=\frac{7x}{10}\).

Amirs Rechnung ist falsch, weil bei ungleichen Nennern nicht Zähler und Nenner getrennt addiert werden dürfen. Das richtige Ergebnis ist \(\frac{7x}{10}\).

- Bei gleichen Nennern kannst du direkt mit den Zählern arbeiten. - Bei unterschiedlichen Nennern brauchst du zuerst einen gemeinsamen Nenner. - Behalte die im Aufgabentext angegebenen Bedingungen für die Definitionsmenge während aller Umformungen bei.

1. In a) sind die Nenner gleich. Daher werden die Zähler addiert: \(\frac{7+2}{x}=\frac{9}{x}\). 2. In b) wird der zweite Bruch auf den Nenner \(2y\) erweitert: \(\frac{5}{2y}-\frac{2}{2y}=\frac{3}{2y}\). 3. In c) gilt \(3x+6=3(x+2)\). Nach dem Kürzen von \(3\) bleibt \(x+2\).

a) \(\frac{9}{x}\) b) \(\frac{3}{2y}\) c) \(x+2\)

- Kannst du den Bruch auf der linken Seite in zwei einzelne Brüche aufteilen? - Was passiert, wenn du eine Zahl durch sich selbst teilst? - Überlege, wie du den Term auf einer Seite isolieren kannst, ähnlich wie bei einer normalen Gleichung. - Haben die Terme bereits denselben Nenner?

1. Zerlegung des Bruchs in einzelne Brüche durch Division jedes Summanden im Zähler durch den Nenner: \(\frac{5x+2}{x} = \frac{5x}{x} + \frac{2}{x} = 5 + \frac{2}{x}\). Der gesuchte Term ist \(\frac{2}{x}\). 2. Analoges Vorgehen für die zweite Gleichung: \(\frac{a-4}{a} = \frac{a}{a} - \frac{4}{a} = 1 - \frac{4}{a}\). Der gesuchte Term ist \(\frac{4}{a}\). 3. Umformung der dritten Gleichung durch Subtraktion von \(\frac{3}{y}\) auf beiden Seiten: \(\frac{3+y}{y} - \frac{3}{y} = \frac{3+y-3}{y} = \frac{y}{y} = 1\). Der gesuchte Term ist \(1\).

a) \(\frac{2}{x}\) b) \(\frac{4}{a}\) c) \(1\)

- Überlege bei jeder Teilaufgabe, welcher gemeinsame Nenner bereits vorgegeben oder leicht erreichbar ist. - Eine ganze Zahl kannst du als Bruch mit einem passenden Nenner schreiben. - Achte beim Subtrahieren eines ganzen Ausdrucks darauf, die Vorzeichen korrekt zu behandeln.

1. In a) wird \(1\) mit \(a\) erweitert: \(\frac{b}{a}+\frac{a}{a}=\frac{b+a}{a}\). 2. In b) wird der erste Bruch auf den Nenner \(2x\) erweitert: \(\frac{4}{2x}-\frac{1}{2x}=\frac{3}{2x}\). 3. In c) wird \(1\) als \(\frac{x-1}{x-1}\) geschrieben: \(\frac{x}{x-1}-\frac{x-1}{x-1}=\frac{1}{x-1}\).

a) \(b+a\) b) \(\frac{3}{2x}\) c) \(\frac{1}{x-1}\) Für die Definitionsmenge gelten \(a\neq0\), \(x\neq0\) und \(x\neq1\).

- Welche Faktoren müssen im gemeinsamen Nenner vorkommen? - Erweitere jeden Bruch mit dem Nennerfaktor, der ihm noch fehlt. - Achte besonders auf das Minuszeichen vor dem zweiten erweiterten Zähler und behalte die ursprüngliche Definitionsmenge im Blick.

1. Ein geeigneter gemeinsamer Nenner ist \((x+2)(x-1)\). 2. Erweitern ergibt \(\frac{2(x-1)}{(x+2)(x-1)}-\frac{3(x+2)}{(x+2)(x-1)}\). 3. Im Zähler gilt \(2(x-1)-3(x+2)=2x-2-3x-6=-x-8\). 4. Damit erhält man \(\frac{-x-8}{(x+2)(x-1)}\). Für die ursprüngliche Definitionsmenge gilt \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-2;1\}\).

\(\frac{-(x+8)}{(x+2)(x-1)}\) für \(x\neq-2\) und \(x\neq1\).

- Bestimme in jeder Teilaufgabe zuerst einen gemeinsamen Nenner. - Erweitere die Brüche nur mit den jeweils fehlenden Faktoren. - Achte in b) auf das Minuszeichen vor dem gesamten erweiterten zweiten Zähler.

1. In a) ist ein geeigneter gemeinsamer Nenner \(6x\). Damit gilt \(\frac{9}{6x}+\frac{10}{6x}=\frac{19}{6x}\). 2. In b) ist ein geeigneter gemeinsamer Nenner \(x(x-3)\). Es folgt \(\frac{x^2}{x(x-3)}-\frac{2(x-3)}{x(x-3)}=\frac{x^2-2x+6}{x(x-3)}\).

a) \(\frac{19}{6x}\) für \(x\neq0\) b) \(\frac{x^2-2x+6}{x(x-3)}\) für \(x\neq0\) und \(x\neq3\)

- Welche Faktoren müssen im gemeinsamen Nenner enthalten sein? - Erweitere jeden Bruch mit genau dem Nennerfaktor, der ihm noch fehlt. - Prüfe am Ende, ob Zähler und Nenner einen gemeinsamen Faktor besitzen; die ursprüngliche Definitionsmenge bleibt unabhängig davon bestehen.

1. Ein geeigneter gemeinsamer Nenner ist \(2x(x-1)\). 2. Der erste Bruch wird mit \(x-1\), der zweite mit \(2x\) erweitert. 3. Zusammenfassen ergibt \(\frac{5(x-1)+4x}{2x(x-1)}=\frac{9x-5}{2x(x-1)}\).

\(\frac{9x-5}{2x(x-1)}\) für \(x\neq0\) und \(x\neq1\).

- Wie findet man einen gemeinsamen Nenner, wenn Variablen im Spiel sind? - Muss man beide Brüche erweitern oder reicht es, nur einen anzupassen? - Was passiert mit den Zählern, nachdem man die Brüche auf den gleichen Nenner gebracht hat?

1. In a) ist ein gemeinsamer Nenner \(2x\). Erweitern ergibt \(\frac{10}{2x}+\frac3{2x}=\frac{13}{2x}\). 2. In b) ist ein gemeinsamer Nenner \(3a\). Erweitern ergibt \(\frac7{3a}-\frac6{3a}=\frac1{3a}\). 3. In c) ist ein gemeinsamer Nenner \(b^2\). Erweitern ergibt \(\frac1{b^2}+\frac{b}{b^2}=\frac{1+b}{b^2}\).

a) \(\frac{13}{2x}\) b) \(\frac{1}{3a}\) c) \(\frac{1+b}{b^2}\)

- Kannst du im ersten Nenner eine Variable ausklammern? - Untersuche, ob du einen der Brüche bereits vor der Addition kürzen kannst. - Was wäre ein geeigneter gemeinsamer Nenner für beide Brüche?

1. Der erste Nenner lässt sich als \(x(x-4)\) schreiben. 2. Für Werte der ursprünglichen Definitionsmenge kann im ersten Bruch der Faktor \(x\) gekürzt werden: \(\frac{x}{x(x-4)}=\frac1{x-4}\). 3. Damit sind die beiden Brüche gleichnamig und ergeben \(\frac1{x-4}+\frac2{x-4}=\frac3{x-4}\). 4. Alternativ kann man von Beginn an den gemeinsamen Nenner \(x(x-4)\) verwenden: \(\frac{x+2x}{x(x-4)}=\frac3{x-4}\). 5. Die ursprüngliche Definitionsmenge ist \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0;4\}\).

\(\frac{3}{x-4}\) für \(x \notin \{0; 4\}\)

- Welcher der beiden Nenner enthält den anderen bereits als Faktor? - Erweitere nur den Bruch, dessen Nenner noch nicht dem gemeinsamen Nenner entspricht. - Fasse den Zähler zusammen und prüfe anschließend, ob dort noch ein gemeinsamer Zahlenfaktor ausgeklammert werden kann.

1. Ein gemeinsamer Nenner ist \((x-4)^2\), weil dieser bereits den Faktor \(x-4\) enthält. 2. Der erste Bruch wird mit \(x-4\) erweitert: \(\frac{5(x-4)}{(x-4)^2}\). 3. Zusammenfassen ergibt \(\frac{5(x-4)+(x+2)}{(x-4)^2}\). 4. Im Zähler gilt \(5x-20+x+2=6x-18=6(x-3)\). 5. Damit ist das Ergebnis \(\frac{6(x-3)}{(x-4)^2}\) für \(x\neq4\).

\(\frac{6(x-3)}{(x-4)^2}\) für \(x\neq4\).

- Welcher Nenner enthält bereits beide benötigten Faktoren? - Erweitere nur \(B\). - Prüfe nach dem Zusammenfassen auf gemeinsame Faktoren.

1. Ein gemeinsamer Nenner ist \((x-2)(x+2)\). 2. Der Bruch \(B\) wird mit \(x+2\) erweitert. 3. Damit gilt \(B-A=\frac{x+2-2}{(x-2)(x+2)}=\frac{x}{(x-2)(x+2)}\). 4. Weitere gemeinsame Faktoren liegen nicht vor.

\(\frac{x}{(x-2)(x+2)}\) für \(x\neq-2\) und \(x\neq2\)

- Welches kleinste gemeinsame Vielfache haben die Zahlenfaktoren \(2\) und \(3\) in den Nennern? - Erweitere beide Brüche so, dass der Variablenfaktor \(x\) nicht unnötig vervielfacht wird. - Achte beim Subtrahieren darauf, dass das Minuszeichen vor dem gesamten zweiten Zähler steht.

1. Ein gemeinsamer Nenner ist \(6x\). 2. Der erste Bruch wird mit \(3\), der zweite mit \(2\) erweitert: \(\frac{3(x+5)}{6x}-\frac{2(x-1)}{6x}\). 3. Im Zähler gilt \(3(x+5)-2(x-1)=x+17\). 4. Damit erhält man \(\frac{x+17}{6x}\) für \(x\neq0\).

\(\frac{x+17}{6x}\) für \(x\neq0\).

- Prüfe den Rechenweg Zeile für Zeile und suche den ersten Schritt, der sich nicht rückwärts bestätigen lässt. - Konzentriere dich besonders auf die Stelle, an der eine Klammer hinter einem Minuszeichen aufgelöst wird. - Kontrolliere anschließend, ob der korrigierte Zähler mit den zuvor richtig gefundenen Nennern zusammenpasst.

1. Der gemeinsame Nenner und die Erweiterungen sind korrekt. 2. Der Fehler entsteht beim Auflösen von \(-(x^2-2x)\): Richtig ist \(-x^2+2x\), nicht \(-x^2-2x\). 3. Damit wird der Zähler zu \(5x+5-x^2+2x=-x^2+7x+5\). 4. Das korrekte Ergebnis ist \(\frac{-x^2+7x+5}{x(x+1)}\) für \(x\neq0\) und \(x\neq-1\).

Der Fehler liegt beim Auflösen der Minusklammer: \(-(x^2-2x)=-x^2+2x\). Richtig ist daher \(\frac{-x^2+7x+5}{x(x+1)}\) für \(x\neq0\) und \(x\neq-1\).

- Bei gleichen Nennern werden nur die Zähler zusammengefasst. - Achte beim Subtrahieren darauf, dass das Minuszeichen für den ganzen zweiten Zähler gilt. - Prüfe den zusammengefassten Zähler anschließend auf einen gemeinsamen Faktor mit dem Nenner.

1. In a) gilt \(\frac{4z-5+5z+14}{9}=\frac{9z+9}{9}=z+1\). 2. In b) gilt \(\frac{x^2-4x}{x-4}=\frac{x(x-4)}{x-4}=x\) für \(x\neq4\). 3. In c) ist \(\frac{3a+7-(a-1)}{2a}=\frac{2a+8}{2a}=\frac{2(a+4)}{2a}=\frac{a+4}{a}\) für \(a\neq0\).

a) \(z+1\) b) \(x\) für \(x\neq4\) c) \(\frac{a+4}{a}\) für \(a\neq0\)

- Schau dir die Nenner genau an. Wie hängen sie zusammen? - Was passiert mit dem Rechenzeichen vor dem Bruch, wenn du im Nenner ein Minuszeichen ausklammerst? - Kannst du die Nenner so umformen, dass sie identisch sind?

1. In a) gilt \(v-u=-(u-v)\). Damit wird der zweite Bruch zu \(-\frac{5z}{u-v}\). 2. Zusammenfassen ergibt \(\frac{3z}{u-v}\). Die Definitionsmenge verlangt \(u\neq v\). 3. In b) gilt \(1-2x=-(2x-1)\). Daher wird die Subtraktion des zweiten Bruchs zur Addition. 4. Es folgt \(\frac{3k}{2x-1}+\frac{k}{2x-1}=\frac{4k}{2x-1}\). Die Definitionsmenge verlangt \(x\neq\frac12\).

a) \(\frac{3z}{u-v}\) für \(u \neq v\) b) \(\frac{4k}{2x-1}\) für \(x \neq \frac{1}{2}\)

- Was musst du beachten, wenn du Zähler subtrahierst, die aus mehreren Gliedern bestehen? - Denke daran, dass der Nenner bei der Addition oder Subtraktion von Brüchen gleich bleibt. - Kannst du das Ergebnis in Teilaufgabe b noch weiter vereinfachen, indem du einen gemeinsamen Faktor im Zähler suchst?

1. In a) werden die Zähler bei gleichem Nenner subtrahiert: \((8a-5)-(3a-5)=5a\). Damit ergibt sich \(\frac{5a}{x}\) für \(x\neq0\). 2. In b) ergibt die Addition der Zähler \(2y+4=2(y+2)\). 3. Für \(y\neq-2\) kann \(y+2\) gekürzt werden. Es bleibt \(2\). 4. Die ursprüngliche Definitionsmenge in b) ist \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-2\}\).

a) \(\frac{5a}{x}\) für \(x \neq 0\) b) \(2\) für \(y \neq -2\)

- Bei gleichen Nennern werden zunächst die Zähler zusammengefasst. - Klammere danach im Zähler einen gemeinsamen Faktor aus. - Kürze nur für Werte aus der ursprünglichen Definitionsmenge.

1. In a) gilt \(k\neq5\). Zusammenfassen ergibt \(\frac{k^2-5k}{k-5}=\frac{k(k-5)}{k-5}=k\). 2. In b) gilt \(x\neq2\). Zusammenfassen ergibt \(\frac{x^2-2x}{x-2}=\frac{x(x-2)}{x-2}=x\).

a) \(k\) für \(k\neq5\) b) \(x\) für \(x\neq2\)

- Wie hängen die beiden Nenner in den Aufgaben jeweils zusammen? - Kannst du einen Nenner so umformen, dass er dem anderen gleicht? - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn du die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringst. - Denke daran, beim Subtrahieren eines Zählers Klammern zu setzen, damit sich alle Vorzeichen im Zähler ändern.

1. In a) gilt \(4-x=-(x-4)\). Daher wird der zweite Bruch zu \(-\frac{2x+1}{x-4}\). Zusammenfassen ergibt \(\frac{3x-3}{x-4}\). Es gilt \(x\neq4\). 2. In b) gilt \(b-a=-(a-b)\). Daher wird die Subtraktion des zweiten Bruchs zur Addition. Es folgt \(\frac{3a+4b}{a-b}\). Es gilt \(a\neq b\).

a) \( \frac{3x - 3}{x - 4} \) für \(x \neq 4\) b) \( \frac{3a + 4b}{a - b} \) für \(a \neq b\)

- Was passiert mit dem Vorzeichen eines Bruchs, wenn man im Nenner die Reihenfolge der Subtraktion vertauscht? - Kannst du den Nenner des zweiten Bruchs so umformen, dass er identisch mit dem ersten Nenner ist? - Schau dir in Teilaufgabe a) das Ergebnis nach dem Zusammenfassen genau an – lässt sich im Zähler etwas ausklammern? - Achte beim Subtrahieren eines Bruchs mit negativem Nenner besonders auf das Vorzeichen vor dem Bruch.

1. Teilaufgabe a): Umwandlung des zweiten Nenners durch Ausklammern von \(-1\): \(\frac{8}{2-m} = \frac{8}{-(m-2)} = -\frac{8}{m-2}\). 2. Zusammenfassen der Brüche: \(\frac{4m-8}{m-2}\). 3. Faktorisieren des Zählers: \(4(m-2)\). 4. Kürzen des Terms \((m-2)\): Ergebnis \(4\) für \(m \neq 2\). 5. Teilaufgabe b): Umwandlung des zweiten Nenners: \(\frac{2y}{y-x} = -\frac{2y}{x-y}\). 6. Verrechnen der Vorzeichen: \(-\left(-\frac{2y}{x-y}\right) = +\frac{2y}{x-y}\). 7. Addition der Zähler bei gleichem Nenner: \(\frac{x+y+2y}{x-y} = \frac{x+3y}{x-y}\) für \(x \neq y\).

a) \(4\) für \(m \neq 2\) b) \(\frac{x+3y}{x-y}\) für \(x \neq y\)

- Worin unterscheiden sich die Nenner der Brüche? - Welcher gemeinsame Nenner enthält alle benötigten Zahlen- und Variablenfaktoren? - Multipliziere beim Erweitern Zähler und Nenner mit demselben Faktor. - Achte bei Differenzen auf die Vorzeichen im Zähler.

1. Ein gemeinsamer Nenner ist \(6x\). Erweitern ergibt \(\frac8{6x}+\frac3{6x}=\frac{11}{6x}\). Es gilt \(x\neq0\). 2. Ein gemeinsamer Nenner ist \(12z\). Erweitern ergibt \(\frac{10y}{12z}-\frac{3y}{12z}=\frac{7y}{12z}\). Es gilt \(z\neq0\). 3. Ein gemeinsamer Nenner ist \(a^2\). Damit folgt \(\frac2{a^2}+\frac{3a}{a^2}=\frac{3a+2}{a^2}\). Es gilt \(a\neq0\). 4. Ein gemeinsamer Nenner ist \(10x\). Damit folgt \(\frac{2(x-2)}{10x}+\frac{x}{10x}=\frac{3x-4}{10x}\). Es gilt \(x\neq0\).

1. Gemeinsamer Nenner: \(6x\); Ergebnis: \(\frac{11}{6x}\); \(x\neq0\) 2. Gemeinsamer Nenner: \(12z\); Ergebnis: \(\frac{7y}{12z}\); \(z\neq0\) 3. Gemeinsamer Nenner: \(a^2\); Ergebnis: \(\frac{3a+2}{a^2}\); \(a\neq0\) 4. Gemeinsamer Nenner: \(10x\); Ergebnis: \(\frac{3x-4}{10x}\); \(x\neq0\)

- Wie findest du das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner? - Was musst du beim Erweitern eines Bruches mit dem gesamten Zähler machen? - Achte beim Subtrahieren besonders auf das Minuszeichen vor dem zweiten Bruch – es wirkt wie ein Minus vor einer Klammer.

1. In a) ist ein gemeinsamer Nenner von \(10\) und \(15\) die Zahl \(30\). 2. Erweitern ergibt \(\frac{3(3z-5)}{30}+\frac{2(z+4)}{30}=\frac{11z-7}{30}\). 3. In b) ist ein gemeinsamer Nenner von \(6\) und \(9\) die Zahl \(18\). 4. Erweitern und Subtrahieren ergibt \(\frac{3(7k+2)-2(2k-3)}{18}=\frac{17k+12}{18}\).

a) \(\frac{11z - 7}{30}\) b) \(\frac{17k + 12}{18}\)

- Wie findest du das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen im Nenner? - Musst du beide Brüche erweitern oder reicht es, einen der beiden anzupassen? - Kannst du das Endergebnis am Ende noch durch eine Zahl im Zähler und Nenner teilen?

1. In a) ist ein gemeinsamer Nenner \(24ab\). Damit folgt \(\frac9{24ab}+\frac{10}{24ab}=\frac{19}{24ab}\). Es gilt \(a\neq0\) und \(b\neq0\). 2. In b) ist ein gemeinsamer Nenner \(12y\). Damit folgt \(\frac{5x}{12y}+\frac{3x}{12y}=\frac{8x}{12y}=\frac{2x}{3y}\). Es gilt \(y\neq0\).

a) \( \frac{19}{24ab} \) für \(a \neq 0\) und \(b \neq 0\) b) \( \frac{2x}{3y} \) für \(y \neq 0\)

- Zerlege die Nenner in Zahlen- und Variablenfaktoren. - Wähle für jede Teilaufgabe einen gemeinsamen Nenner, der alle benötigten Faktoren enthält. - Multipliziere beim Erweitern Zähler und Nenner mit demselben Faktor.

1. Für 1) ist ein gemeinsamer Nenner \(abc\). Es folgt \(\frac{4c+3a}{abc}\). Die Definitionsmenge verlangt \(a\neq0\), \(b\neq0\), \(c\neq0\). 2. Für 2) ist ein gemeinsamer Nenner \(xy^2\). Es folgt \(\frac{x^2-y}{xy^2}\). Die Definitionsmenge verlangt \(x\neq0\), \(y\neq0\). 3. Für 3) ist ein gemeinsamer Nenner \(18mnp\). Es folgt \(\frac{15p+4n}{18mnp}\). Die Definitionsmenge verlangt \(m\neq0\), \(n\neq0\), \(p\neq0\).

1. \(\frac{4c+3a}{abc}\) für \(a,b,c \neq 0\) 2. \(\frac{x^2-y}{xy^2}\) für \(x \neq 0\) und \(y \neq 0\) 3. \(\frac{15p+4n}{18mnp}\) für \(m,n,p \neq 0\)

- Schau dir die Nenner genau an: Ist einer der Nenner bereits ein Vielfaches des anderen? - Mit welchem Faktor musst du jeweils erweitern, damit beide Brüche denselben Nenner haben? - Behandle beim Erweitern einen mehrgliedrigen Zähler als ganze Klammer. - Bestimme die Definitionsmenge aus den ursprünglichen Nennern, bevor du zusammenfasst.

1. In 1) ist ein gemeinsamer Nenner \(a^2\). Damit ergibt sich \(\frac{a(2a+1)+(a-3)}{a^2}=\frac{2a^2+2a-3}{a^2}\). Es gilt \(a\neq0\). 2. In 2) ist ein gemeinsamer Nenner \(x(x+1)\). Damit ergibt sich \(\frac{(x+2)(x+1)-1}{x(x+1)}=\frac{x^2+3x+1}{x(x+1)}\). Es gilt \(x\neq0\) und \(x\neq-1\).

1. \(\frac{2a^2+2a-3}{a^2}\) für \(a\neq0\) 2. \(\frac{x^2+3x+1}{x(x+1)}\) für \(x\neq0\) und \(x\neq-1\)

- Worauf musst du achten, wenn du Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren oder subtrahieren möchtest? - Wie findest du einen Nenner, in den beide ursprünglichen Nenner „hineinpassen“? - Mit welchem Faktor musst du den Zähler multiplizieren, damit der Wert des Bruchs beim Erweitern gleich bleibt?

1. In 1) ist ein gemeinsamer Nenner \(x^2\). Es folgt \(\frac{3x+2}{x^2}\) für \(x\neq0\). 2. In 2) ist ein gemeinsamer Nenner \(w^2\). Es folgt \(\frac{w-1-2w}{w^2}=\frac{-w-1}{w^2}\) für \(w\neq0\).

1. \(\frac{3x+2}{x^2}\) für \(x\neq0\) 2. \(-\frac{w+1}{w^2}\) für \(w\neq0\)

- Worauf musst du achten, wenn die Nenner verschieden sind? - Wie findest du einen gemeinsamen Nenner für Terme mit Variablen? - Denk daran, dass sich ein Minuszeichen vor einem Bruch auf den gesamten Zähler auswirkt. - Kannst du im Zähler noch etwas zusammenfassen?

1. In a) ist ein gemeinsamer Nenner \(x^2\). Es folgt \(\frac{4x+1-3x}{x^2}=\frac{x+1}{x^2}\) für \(x\neq0\). 2. In b) ist ein gemeinsamer Nenner \(ab^2\). Es folgt \(\frac{b(2a-b)+a(a+2b)}{ab^2}=\frac{a^2+4ab-b^2}{ab^2}\) für \(a\neq0\), \(b\neq0\).

a) \(\frac{x+1}{x^2}\) für \(x \neq 0\) b) \(\frac{a^2+4ab-b^2}{ab^2}\) für \(a \neq 0\) und \(b \neq 0\)

- Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen im Nenner? - Denke daran, dass sich beim Subtrahieren eines gesamten Zählers die Vorzeichen innerhalb der Klammer ändern. - Wie musst du die Zähler anpassen, wenn du die Nenner vergrößerst?

1. Ein gemeinsamer Nenner der Zahlen \(15\) und \(10\) ist \(30\). 2. Erweitern ergibt \(\frac{2(3x+2y)}{30}-\frac{3(x-y)}{30}\). 3. Im Zähler folgt \(6x+4y-(3x-3y)=3x+7y\). 4. Damit ist das Ergebnis \(\frac{3x+7y}{30}\).

\(\frac{3x+7y}{30}\)

- Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen im Nenner? - Achte bei den Variablen im Nenner auf die jeweils höchste vorkommende Potenz. - Vergiss nicht, beim Erweitern sowohl den Zähler als auch den Nenner mit demselben Faktor zu multiplizieren. - Kannst du das Ergebnis am Ende noch weiter kürzen?

1. In a) ist ein gemeinsamer Nenner \(18x^2\). Erweitern ergibt \(\frac{15}{18x^2}+\frac{4x}{18x^2}=\frac{15+4x}{18x^2}\). Es gilt \(x\neq0\). 2. In b) ist ein gemeinsamer Nenner \(20ab\). Erweitern ergibt \(\frac{5a^2}{20ab}-\frac{2b^2}{20ab}=\frac{5a^2-2b^2}{20ab}\). Es gilt \(a\neq0\), \(b\neq0\).

a) \(\frac{15 + 4x}{18x^2}\) für \(x \neq 0\) b) \(\frac{5a^2 - 2b^2}{20ab}\) für \(a \neq 0\) und \(b \neq 0\)

- Wie kannst du eine ganze Zahl oder eine Variable als Bruch mit einem bestimmten Nenner schreiben? - Achte beim Subtrahieren eines Zählers mit mehreren Gliedern besonders auf die Vorzeichen (Klammer setzen!). - Kannst du am Ende im Zähler und Nenner gemeinsame Faktoren kürzen?

1. In a) wird \(3\) als \(\frac{3n}{n}\) geschrieben. Es ergibt sich \(\frac{3n+2}{n}\) für \(n\neq0\). 2. In b) wird \(y\) als \(\frac{y^2}{y}\) geschrieben. Es bleibt \(\frac4y\) für \(y\neq0\). 3. In c) wird \(a\) als \(\frac{a^2}{a}\) geschrieben. Dann ist \(\frac{a^2-(a^2-a)}a=1\) für \(a\neq0\).

a) \(\frac{3n + 2}{n}\) für \(n \neq 0\) b) \(\frac{4}{y}\) für \(y \neq 0\) c) \(1\) für \(a \neq 0\)

- Worauf musst du achten, wenn du Brüche mit unterschiedlichen Nennern voneinander abziehst? - Wie findest du einen gemeinsamen Nenner für Terme wie \(x\) und \(x^2\)? - Denk an die Klammern, wenn du einen ganzen Zähler subtrahierst. - Kannst du das Ergebnis am Ende noch weiter kürzen?

1. In a) ist ein gemeinsamer Nenner \(4x^2\). Damit ergibt sich \(\frac{6x-(x+1)}{4x^2}=\frac{5x-1}{4x^2}\) für \(x\neq0\). 2. In b) ist ein gemeinsamer Nenner \(a^2\). Damit ergibt sich \(\frac{a(a-2)+2}{a^2}=\frac{a^2-2a+2}{a^2}\) für \(a\neq0\).

a) \(\frac{5x-1}{4x^2}\) für \(x \neq 0\) b) \(\frac{a^2-2a+2}{a^2}\) für \(a \neq 0\)

- Bestimme für jede Teilaufgabe einen gemeinsamen Nenner. - Achte bei einem Minuszeichen vor einem Bruch auf den gesamten Zähler. - Schreibe bei Bedarf einen ganzen Term als Bruch mit Nenner \(1\).

1. Ein gemeinsamer Nenner ist \(4\): \(\frac{2x-3}{4}+\frac{2(x+1)}{4}=\frac{4x-1}{4}\). 2. Ein gemeinsamer Nenner ist \(3\): \(\frac{3a}{3}-\frac{2a-b}{3}=\frac{a+b}{3}\). 3. Ein gemeinsamer Nenner ist \(10\): \(\frac{2(s+t)}{10}-\frac{5(s-t)}{10}+\frac{10t}{10}=\frac{-3s+17t}{10}\).

1) \(\frac{4x-1}{4}\) 2) \(\frac{a+b}{3}\) 3) \(\frac{-3s+17t}{10}\)

- Welcher gemeinsame Nenner passt zu \(4\), \(3\) und \(2\)? - Achte beim zweiten Bruch auf das Minuszeichen vor dem gesamten Zähler. - Fasse nach dem Erweitern gleichartige Terme zusammen.

1. Ein gemeinsamer Nenner der drei Brüche ist \(12\). 2. Erweitern ergibt \(\frac{3(3a-1)}{12}-\frac{4(a+2)}{12}+\frac{6a}{12}\). 3. Der Zähler wird zu \(9a-3-4a-8+6a=11a-11\). 4. Damit lautet das Ergebnis \(\frac{11a-11}{12}=\frac{11(a-1)}{12}\).

\(\frac{11a-11}{12}\)

- Welcher gemeinsame Nenner enthält die Faktoren beider ursprünglichen Nenner? - Mit welchem Faktor musst du den ersten Bruch erweitern? - Setze beim Erweitern des zweiten Bruchs den gesamten Zähler in Klammern.

1. Ein gemeinsamer Nenner von \(2a\) und \(a^2\) ist \(2a^2\). 2. Der erste Bruch wird mit \(a\) erweitert: \(\frac{3a}{2a^2}\). 3. Der zweite Bruch wird mit \(2\) erweitert: \(\frac{2(a-2)}{2a^2}=\frac{2a-4}{2a^2}\). 4. Addition der Zähler ergibt \(\frac{3a+2a-4}{2a^2}=\frac{5a-4}{2a^2}\). 5. Aus den ursprünglichen Nennern folgt \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\).

\(\frac{5a-4}{2a^2}\) mit \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\)

- Klammere im zweiten Nenner zunächst den gemeinsamen Faktor \(x\) aus. - Bestimme daraus die ursprüngliche Definitionsmenge und einen gemeinsamen Nenner. - Prüfe nach dem Zusammenfassen, ob sich der neue Zähler durch einfaches Ausklammern faktorisieren lässt.

1. Im zweiten Nenner kann \(x\) ausgeklammert werden: \(x^2-3x=x(x-3)\). Daher sind \(x=0\) und \(x=3\) ausgeschlossen, also \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0;3\}\). 2. Ein gemeinsamer Nenner ist \(x(x-3)\). Der erste Bruch wird mit \(x\) erweitert: \(\frac{x^2}{x(x-3)}\). 3. Die Differenz lautet \(\frac{x^2-3x}{x(x-3)}=\frac{x(x-3)}{x(x-3)}\). 4. Für Werte aus \(D\) können die gemeinsamen Faktoren gekürzt werden. Es bleibt \(1\). Die ursprüngliche Definitionsmenge bleibt dabei unverändert.

\(1\) mit \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0;3\}\)

- Welcher gemeinsame Nenner passt zu allen drei Nennern? - Achte beim dritten Bruch auf das Minuszeichen vor dem gesamten Zähler. - Fasse nach dem Ausmultiplizieren gleichartige Terme zusammen.

1. Ein gemeinsamer Nenner von \(6\), \(4\) und \(8\) ist \(24\). 2. Erweitern ergibt \(\frac{4(2x-5)}{24}+\frac{6(x+1)}{24}-\frac{3(3x-2)}{24}\). 3. Der Zähler wird zu \(8x-20+6x+6-9x+6=5x-8\). 4. Damit lautet das Ergebnis \(\frac{5x-8}{24}\).

\(\frac{5x-8}{24}\)

- Vergleiche zuerst die Nenner der beiden Brüche. - Prüfe, welche der beiden vorgeschlagenen Regeln mit der bekannten Addition und Subtraktion gewöhnlicher Brüche übereinstimmt. - Suche den Faktor, mit dem \(x\) zum Nenner \(2x\) erweitert werden kann.

1. Ansatz A ist falsch: Bei der Subtraktion von Brüchen werden die Nenner nicht voneinander abgezogen; zunächst werden gleichnamige Brüche benötigt. 2. Ansatz B ist korrekt. Der gemeinsame Nenner ist \(2x\), daher wird \(\frac{2}{x}\) mit \(2\) erweitert. 3. Es folgt \(T=\frac{5}{2x}-\frac{4}{2x}=\frac{1}{2x}\).

Ansatz A ist falsch, Ansatz B ist richtig. Es gilt \(T=\frac{1}{2x}\) für \(x\neq0\).

- Welcher Teil des Zählers entsteht schon durch \(2(x+1)\)? - Wie kann ein Bruch mit einer Summe im Zähler in zwei Brüche mit demselben Nenner zerlegt werden? - Wie überprüfst du die Zerlegung durch den umgekehrten Rechenschritt?

1. Es gilt \(2x+5=2(x+1)+3\), also ist \(r=3\). 2. Damit folgt \(T(x)=\frac{2(x+1)+3}{x+1}=2+\frac{3}{x+1}\) für \(x\neq-1\). 3. Zur Probe bringt man die Summe auf den gemeinsamen Nenner: \(2+\frac{3}{x+1}=\frac{2(x+1)}{x+1}+\frac{3}{x+1}=\frac{2x+5}{x+1}\).

a) \(r=3\) b) \(T(x)=2+\frac{3}{x+1}\) c) \(\frac{2(x+1)+3}{x+1}=\frac{2x+5}{x+1}\)

- Welche Werte darf man für die Variable in einem Bruch nicht einsetzen? - Womit musst du den ersten Bruch multiplizieren, damit er denselben Nenner wie der zweite Bruch hat? - Setze die Zahl für jede Stelle ein, an der die Variable im Term steht.

1. Die Nenner dürfen nicht null werden. Sowohl \(x\) als auch \(x^2\) werden für \(x=0\) null. Daher ist \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\). 2. Ein gemeinsamer Nenner ist \(x^2\). Der erste Bruch wird mit \(x\) erweitert: \(\frac{2x}{x^2}\). Damit gilt \(\frac{2x+x+2}{x^2}=\frac{3x+2}{x^2}\). 3. Für \(x=2\) erhält man \(\frac{3\cdot2+2}{2^2}=\frac84=2\).

a) \(D = \mathbb{Q} \setminus \{0\}\) b) \(\frac{3x + 2}{x^2}\) c) \(2\)

- Da die beiden Nenner unterschiedliche lineare Faktoren sind, kannst du ihr Produkt als gemeinsamen Nenner verwenden. - Erweitere jeden Bruch mit dem jeweils fehlenden Nennerfaktor. - Fasse erst nach dem sorgfältigen Ausmultiplizieren die gleichartigen Terme im Zähler zusammen.

1. Ein geeigneter gemeinsamer Nenner ist \((x-3)(x+1)\). 2. Erweitern ergibt \(\frac{(x+2)(x+1)+x(x-3)}{(x-3)(x+1)}\). 3. Im Zähler gilt \((x+2)(x+1)+x(x-3)=x^2+3x+2+x^2-3x=2x^2+2\). 4. Damit lautet das Ergebnis \(\frac{2x^2+2}{(x-3)(x+1)}=\frac{2(x^2+1)}{(x-3)(x+1)}\).

\(\frac{2x^2+2}{(x-3)(x+1)}\) für \(x\neq3\) und \(x\neq-1\).

- Untersuche zuerst, ob man einen der Nenner faktorisieren (ausklammern) kann. - Haben die Nenner vielleicht mehr gemeinsam, als es auf den ersten Blick scheint? - Prüfe nach dem Zusammenfassen im Zähler, ob du den Bruch noch kürzen kannst.

1. Der dritte Nenner lässt sich als \(x^2-2x=x(x-2)\) schreiben. 2. Ein gemeinsamer Nenner für alle drei Brüche ist \(x(x-2)\). 3. Der erste Bruch wird mit \(x-2\), der zweite mit \(x\) erweitert; der dritte bleibt unverändert. 4. Damit erhält man \(\frac{2(x-2)-x+4}{x(x-2)}\). 5. Der Zähler vereinfacht sich zu \(x\), also \(\frac{x}{x(x-2)}\). 6. Für \(x\neq0\) kann \(x\) gekürzt werden. Das Ergebnis ist \(\frac{1}{x-2}\). Für die ursprüngliche Definitionsmenge gilt \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0;2\}\).

\(\frac{1}{x-2}\) für \(x \notin \{0; 2\}\)

- Wie kannst du die Zahl \(1\) so als Bruch schreiben, dass sie denselben Nenner wie der Rest der jeweiligen Gleichung hat? - Wenn die Nenner gleich sind, kannst du dich auf die Zähler konzentrieren. - Prüfe bei jeder Teilaufgabe, welcher Nenner die angegebene Bedingung für die Definitionsmenge verursacht.

1. In a) wird \(1\) als \(\frac{x-1}{x-1}\) geschrieben. Dann ist \(\frac{x+3}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}+\frac{4}{x-1}\), also \(\Box=4\). 2. In b) wird nach \(\Box\) umgestellt: \(\Box=\frac{5}{3a}-\frac{2}{3a}=\frac{3}{3a}=\frac{1}{a}\). 3. In c) gilt \(\frac{k^2+1}{k^2}=\frac{k^2}{k^2}+\frac{1}{k^2}=1+\frac{1}{k^2}\). Daher ist \(\Box=\frac{1}{k^2}\).

a) \(4\) b) \(\frac{1}{a}\) c) \(\frac{1}{k^2}\) Für die Definitionsmenge gelten in den betreffenden Teilaufgaben \(x\neq1\), \(a\neq0\) und \(k\neq0\).

- Vergleiche die Faktoren in \(2x\) und \(x^2\): Welcher Nenner enthält beide vollständig? - Erweitere jeden Bruch nur mit dem Faktor, der zum gemeinsamen Nenner noch fehlt. - Behalte die ursprüngliche Bedingung \(x\neq0\) auch nach dem Zusammenfassen im Blick.

1. Ein geeigneter gemeinsamer Nenner ist \(2x^2\). 2. Der erste Bruch wird mit \(x\), der zweite mit \(2\) erweitert: \(\frac{x(x+1)}{2x^2}+\frac{2(x-2)}{2x^2}\). 3. Im Zähler gilt \(x(x+1)+2(x-2)=x^2+x+2x-4=x^2+3x-4\). 4. Das Ergebnis ist \(\frac{x^2+3x-4}{2x^2}\) für \(x\neq0\).

\(\frac{x^2+3x-4}{2x^2}\) für \(x\neq0\).

- Kannst du den ersten Bruch vereinfachen, bevor du einen gemeinsamen Nenner suchst? - Was passiert, wenn du im Nenner des ersten Bruchs eine Zahl ausklammerst? - Achte besonders auf das Minuszeichen vor dem zweiten Bruchterm.

1. Vereinfachung des ersten Bruchs durch Ausklammern und Kürzen: \(\frac{4x}{2(x-1)} = \frac{2x}{x-1}\). 2. Subtraktion der beiden Brüche, die nun denselben Nenner haben: \(\frac{2x}{x-1} - \frac{x+1}{x-1} = \frac{2x - (x+1)}{x-1}\). 3. Auflösen der Klammer im Zähler: \(2x - x - 1 = x - 1\). 4. Kürzen des Bruchs: \(\frac{x-1}{x-1} = 1\). 5. Die Definitionsmenge ist \(D=\mathbb{Q}\setminus\{1\}\). Da der Term für alle \(x\in D\) den Wert \(1\) annimmt, ist er auf seiner Definitionsmenge konstant.

\(D=\mathbb{Q}\setminus\{1\}\). Ja, der Wert des Terms ist für alle \(x\in D\) konstant \(1\).

- Bestimme die ursprüngliche Definitionsmenge aus den Nennern, bevor du kürzt. - Vereinfache den zweiten Bruch zunächst einzeln und führe danach die Subtraktion aus. - Unterscheide zwischen der maximalen Definitionsmenge der neuen Schreibweise und der Definitionsmenge des ursprünglichen Ausdrucks.

1. Im ursprünglichen Ausdruck werden die Nenner bei \(x=1\) beziehungsweise bei \(x=1\) oder \(x=-1\) null. Daher ist \(D_{\text{alt}}=\mathbb{Q}\setminus\{-1;1\}\). 2. Im zweiten Bruch kann für Werte aus \(D_{\text{alt}}\) der Faktor \(x+1\) gekürzt werden. Dadurch entsteht \(\frac{1}{x-1}\). 3. Somit gilt auf \(D_{\text{alt}}\): \(\frac{2}{x-1}-\frac{1}{x-1}=\frac{1}{x-1}\). 4. Die vereinfachte Schreibweise \(\frac{1}{x-1}\) hat für sich betrachtet die maximale Definitionsmenge \(D_{\text{neu}}=\mathbb{Q}\setminus\{1\}\). 5. Der Wert \(x=-1\) wird dadurch nicht nachträglich für den ursprünglichen Ausdruck zulässig. Dort war der zweite ursprüngliche Nenner null. Die beiden Schreibweisen sind daher nur auf \(D_{\text{alt}}\) gleichwertig.

Vereinfachte Schreibweise: \(\frac{1}{x-1}\). \(D_{\text{alt}}=\mathbb{Q}\setminus\{-1;1\}\), \(D_{\text{neu}}=\mathbb{Q}\setminus\{1\}\). \(x=-1\) gehört zwar zur maximalen Definitionsmenge der vereinfachten Schreibweise, bleibt aber für den ursprünglichen Ausdruck ausgeschlossen.

- Bestimme einen gemeinsamen Nenner direkt aus den sichtbaren Faktoren der Nenner. - Erweitere nur den Bruch, dem noch ein Faktor des gemeinsamen Nenners fehlt. - Prüfe nach dem Zusammenfassen, ob Zähler und Nenner einen gemeinsamen Faktor besitzen.

1. Aus den ursprünglichen Nennern folgt \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-2;2\}\). 2. Ein gemeinsamer Nenner ist \((x-2)(x+2)\). Der erste Bruch wird mit \(x-2\) erweitert. 3. Damit gilt \(\frac{x-2+4}{(x-2)(x+2)}=\frac{x+2}{(x-2)(x+2)}\). Für \(x\in D\) kann \(x+2\) gekürzt werden. Es bleibt \(\frac1{x-2}\). 4. Für den ursprünglichen Ausdruck bleibt die Definitionsmenge \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-2;2\}\).

\(\frac{1}{x-2}\) für \(x\in\mathbb{Q}\setminus\{-2;2\}\)

- Forme für a) nur einen der beiden Terme um, bis seine Gestalt mit dem anderen übereinstimmt. - Schreibe die ganze Zahl mit demselben Nenner wie den Bruchterm. - Für die Definitionsmenge ist entscheidend, wann der Nenner null wird.

1. Für a) wird die Zahl \(1\) als \(\frac{x-1}{x-1}\) geschrieben. Dann gilt \(T_1(x)=\frac{x+1-(x-1)}{x-1}=\frac{2}{x-1}=T_2(x)\). 2. Der Nenner \(x-1\) wird bei \(x=1\) null. Daher ist \(D=\mathbb{Q}\setminus\{1\}\). 3. Für \(x=0\) ergibt sich \(\frac{2}{0-1}=-2\).

a) \(T_1(x)=T_2(x)\) für alle \(x\in D\). b) \(D=\mathbb{Q}\setminus\{1\}\) c) \(-2\)

- Vergleiche die beiden Nenner und bestimme, welcher Faktor dem ersten Bruch noch fehlt. - Erweitere den ersten Bruch und fasse anschließend nur die Zähler zusammen. - Behalte die im Aufgabentext angegebene Definitionsmenge während der Umformung bei.

1. Ein gemeinsamer Nenner ist \((x-5)(x+5)\). 2. Der erste Bruch wird mit \(x+5\) erweitert: \(\frac{2x(x+5)}{(x-5)(x+5)}-\frac{10x}{(x-5)(x+5)}\). 3. Im Zähler gilt \(2x(x+5)-10x=2x^2\). 4. Damit lautet der vollständig gekürzte Bruch \(\frac{2x^2}{(x-5)(x+5)}\).

\(\frac{2x^2}{(x-5)(x+5)}\)

- Bringe in a) die beiden Brüche auf der rechten Seite auf einen gemeinsamen Nenner. - Setze in b) den gegebenen Nenner für \(x\) in beide Summanden der Identität ein. - Prüfe in c) getrennt, ob beide Nenner natürliche Zahlen sind und ob sie gleich sein können.

1. Für a) wird die rechte Seite auf den Nenner \(x(x+1)\) gebracht: \(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x(x+1)}=\frac{x}{x(x+1)}+\frac{1}{x(x+1)}=\frac{x+1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}\). 2. Für \(x=10\) ergibt sich \(\frac{1}{10}=\frac{1}{11}+\frac{1}{110}\). 3. Ist \(x\) eine natürliche Zahl mit \(x>1\), so sind \(x+1\) und \(x(x+1)\) positive natürliche Zahlen. Außerdem ist \(x(x+1)>x+1\), also sind die beiden Nenner und damit die beiden Stammbrüche verschieden.

a) \(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x(x+1)}=\frac{x+1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}\) b) \(\frac{1}{10}=\frac{1}{11}+\frac{1}{110}\) c) Für \(x\in\mathbb{N}\) mit \(x>1\) sind \(x+1\) und \(x(x+1)\) verschiedene positive natürliche Zahlen; daher sind beide Summanden verschiedene Stammbrüche.

- Kannst du den Nenner \(x^2+x\) faktorisieren, um einen gemeinsamen Nenner leichter zu erkennen? - Achte besonders auf das Minuszeichen vor dem zweiten Bruch; es bezieht sich auf den gesamten Zähler \(x-2\). - Schau dir das Ergebnis nach dem Zusammenfassen an: Lässt sich im Zähler noch etwas ausklammern?

1. Der zweite Nenner wird als \(x^2+x=x(x+1)\) geschrieben. 2. Ein gemeinsamer Nenner ist \(x(x+1)\). 3. Der erste Bruch wird mit \(x\) erweitert: \(\frac{3x}{x(x+1)}\). 4. Damit ergibt sich \(\frac{3x-(x-2)}{x(x+1)}=\frac{2x+2}{x(x+1)}\). 5. Ausklammern liefert \(\frac{2(x+1)}{x(x+1)}\). 6. Für Werte aus der ursprünglichen Definitionsmenge kann \(x+1\) gekürzt werden. Es bleibt \(\frac2x\), wobei \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-1;0\}\).

\( \frac{2}{x} \) für \(x \notin \{-1; 0\}\)

- Lies einen gemeinsamen Nenner aus den bereits sichtbaren Nennerfaktoren ab. - Schreibe die Zahl \(1\) ebenfalls mit diesem Nenner, bevor du die Zähler zusammenfasst. - Behalte die ursprüngliche Definitionsmenge auch nach einer möglichen Kürzung bei.

1. Ein gemeinsamer Nenner ist \((x-3)(x+3)\). Für die ursprüngliche Definitionsmenge gilt \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-3;3\}\). 2. Erweitern ergibt \(A(x)=\frac{x(x+3)-18-(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+3)}\). 3. Der Zähler vereinfacht sich zu \(3x-9=3(x-3)\). 4. Für \(x\in D\) kann \(x-3\) gekürzt werden. Es bleibt \(\frac3{x+3}\). 5. Bei \(x=3\) ist im ursprünglichen Ausdruck ein Nenner null. Daher bleibt dieser Wert außerhalb der ursprünglichen Definitionsmenge.

a) \((x-3)(x+3)\) b) \(\frac3{x+3}\) für \(x\in\mathbb{Q}\setminus\{-3;3\}\) c) Bei \(x=3\) tritt im ursprünglichen Term eine Division durch null auf; daher gehört \(3\) nicht zur ursprünglichen Definitionsmenge.

- Bestimme zuerst, wann die ursprünglichen Nenner null werden. - Für einen gemeinsamen Nenner brauchst du das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlenfaktoren und die vorkommenden Variablenfaktoren. - Setze mehrgliedrige Zähler beim Erweitern und Subtrahieren in Klammern.

1. In a) ist \(D_a=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\), in b) ist \(D_b=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\). 2. In a) ist ein gemeinsamer Nenner \(12x\). Damit gilt \(\frac{15}{12x}+\frac8{12x}-\frac2{12x}=\frac{21}{12x}=\frac7{4x}\). 3. In b) ist ein gemeinsamer Nenner \(6a\). Damit gilt \(\frac{2a+3}{6a}-\frac{2(a-1)}{6a}=\frac5{6a}\).

a) \(D_a=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\); \(\frac{7}{4x}\) b) \(D_b=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\); \(\frac{5}{6a}\)

- Welcher Nenner enthält bereits alle nötigen Faktoren? - Mit welchem Faktor musst du den zweiten Bruch erweitern? - Prüfe nach dem Zusammenfassen, ob ein gemeinsamer Faktor gekürzt werden kann.

1. Die Definitionsmenge ist \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-5;5\}\). 2. Ein gemeinsamer Nenner ist \((x-5)(x+5)\). Der zweite Bruch wird mit \(x-5\) erweitert. 3. Damit ergibt sich \(\frac{2x-(x-5)}{(x-5)(x+5)}=\frac{x+5}{(x-5)(x+5)}\). 4. Für \(x\in D\) kann \(x+5\) gekürzt werden. Es bleibt \(\frac1{x-5}\).

\(\frac1{x-5}\), \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-5;5\}\)

- Wie hängen die Faktoren \(1-x\) und \(x-1\) zusammen? - Bestimme danach einen gemeinsamen Nenner. - Suche im zusammengefassten Zähler nach einem einfachen gemeinsamen Faktor.

1. Es gilt \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-1;1\}\) und \(1-x=-(x-1)\). 2. Damit wird der zweite Bruch zu \(-\frac2{x-1}\). Ein gemeinsamer Nenner ist \((x-1)(x+1)\). 3. Zusammenfassen ergibt \(\frac{x+3-2(x+1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{1-x}{(x-1)(x+1)}\). 4. Wegen \(1-x=-(x-1)\) kann \(x-1\) gekürzt werden. Es bleibt \(-\frac1{x+1}\).

\(-\frac1{x+1}\), \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-1;1\}\)

- Welche Faktoren müssen im gemeinsamen Nenner vorkommen? - Achte beim Subtrahieren auf die Klammer um den zweiten Zähler. - Prüfe abschließend, ob gekürzt werden kann.

1. Ein gemeinsamer Nenner ist \(2(x-2)(x+2)\). 2. Erweitern ergibt \(\frac{3(x+2)-2(x+1)}{2(x-2)(x+2)}\). 3. Der Zähler vereinfacht sich zu \(x+4\). 4. Das Ergebnis ist \(\frac{x+4}{2(x-2)(x+2)}\).

\(\frac{x+4}{2(x-2)(x+2)}\) für \(x\neq-2\) und \(x\neq2\)

- Welche Rechenregel (Punkt-vor-Strich-Rechnung) musst du zuerst beachten? - Kannst du beim Produkt der beiden Brüche etwas ausklammern und dann kürzen? - Haben die Brüche nach der Multiplikation bereits denselben Nenner?

1. Im Produkt ergibt sich nach dem Kürzen von \(b\): \(\frac{b\cdot6}{3b(b+2)}=\frac2{b+2}\). 2. Die beiden verbleibenden Brüche haben denselben Nenner: \(\frac4{b+2}-\frac2{b+2}=\frac2{b+2}\). 3. Aus den ursprünglichen Nennern folgt \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-2;0\}\).

\(\frac{2}{b+2}\) für \(b \notin \{-2; 0\}\)

- Siehst du eine Möglichkeit, den ersten Teil des Terms durch Kürzen zu vereinfachen? - Wie kannst du den Nenner \(2x-6\) umschreiben, um einen gemeinsamen Nenner zu finden? - Achte beim Subtrahieren des zweiten Zählers besonders auf die Vorzeichen (setze am besten eine Klammer).

1. Im Produkt kann \(x\) gekürzt werden: \(\frac{x(x-1)}{x(x-3)}=\frac{x-1}{x-3}\). 2. Der zweite Nenner ist \(2x-6=2(x-3)\). Ein gemeinsamer Nenner ist daher \(2(x-3)\). 3. Der erste Bruch wird mit \(2\) erweitert: \(\frac{2(x-1)}{2(x-3)}\). 4. Subtrahieren ergibt \(\frac{2x-2-(x+2)}{2(x-3)}=\frac{x-4}{2(x-3)}\). 5. Aus den ursprünglichen Nennern folgt \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0;3\}\).

\(\frac{x-4}{2(x-3)}\) für \(x \notin \{0; 3\}\)

- Welcher Bruch hat bereits den vollständigen gemeinsamen Nenner? - Erweitere nur den ersten Bruch. - Achte beim Subtrahieren auf die Klammer um den zweiten Zähler.

1. Ein gemeinsamer Nenner ist \((x-2)(x+2)\). 2. Der erste Bruch wird mit \(x+2\) erweitert. 3. Zusammenfassen ergibt \(\frac{3(x+2)-(x+4)}{(x-2)(x+2)}=\frac{2x+2}{(x-2)(x+2)}\). 4. Ausklammern liefert \(\frac{2(x+1)}{(x-2)(x+2)}\).

\(\frac{2(x+1)}{(x-2)(x+2)}\) für \(x\neq-2\) und \(x\neq2\)

- Welche Faktoren müssen im gemeinsamen Nenner vorkommen? - Wie hängen \(1-x\) und \(x-1\) zusammen? - Kürze erst nach dem vollständigen Zusammenfassen.

1. Für die ursprüngliche Definitionsmenge gilt \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-1;0;1\}\). 2. Ein gemeinsamer Nenner ist \(x(x-1)(x+1)\). 3. Erweitern ergibt \(\frac{x+1-2x}{x(x-1)(x+1)}=\frac{1-x}{x(x-1)(x+1)}\). 4. Wegen \(1-x=-(x-1)\) kann \(x-1\) gekürzt werden. Es bleibt \(-\frac1{x(x+1)}\).

\(-\frac1{x(x+1)}\), \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-1;0;1\}\)

- Stelle die Gleichung zuerst nach \(A\) um. - Welche Nenner kommen anschließend in der Differenz vor? - Bestimme daraus einen gemeinsamen Nenner und achte beim Subtrahieren auf die Klammer. - Prüfe am Ende, ob sich ein vollständiger Faktor kürzen lässt.

1. Zuerst wird nach \(A\) umgestellt: \(A=\frac{5x-6}{x(x-2)}-\frac3x\). 2. Ein gemeinsamer Nenner ist \(x(x-2)\). 3. Der zweite Bruch wird mit \(x-2\) erweitert: \(\frac{3(x-2)}{x(x-2)}\). 4. Subtrahieren ergibt \(\frac{5x-6-(3x-6)}{x(x-2)}=\frac{2x}{x(x-2)}\). 5. Für \(x\neq0\) kann \(x\) gekürzt werden. Damit ist \(A=\frac2{x-2}\). 6. Die ursprüngliche Gleichung ist für \(x\neq0\) und \(x\neq2\) definiert.

\(A = \frac{2}{x-2}\) für \(x \notin \{0; 2\}\)

- Beschreibe zuerst, welchen Bruchteil des Teichs jeder Schlauch in einer Stunde füllt. - Bringe die beiden Bruchterme für a) auf einen gemeinsamen Nenner. - Die Zeit für eine ganze Füllung ist der Kehrwert der gemeinsamen Leistung. - Setze für d) \(y=x\) erst nach dem Aufstellen des allgemeinen Terms ein.

1. Schlauch A füllt pro Stunde \(\frac{1}{x}\), Schlauch B \(\frac{1}{y}\) des Teichs. 2. Zusammen ist der Anteil \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}\). 3. Die gemeinsame Füllzeit ist der Kehrwert: \(\frac{xy}{x+y}\). 4. Für \(x=6\) und \(y=3\) ergibt sich \(\frac{18}{9}=2\,\text{h}\). 5. Für \(x=y\) gilt \(\frac{x^2}{2x}=\frac{x}{2}\). Zwei gleich schnelle Schläuche halbieren die Einzelzeit.

a) \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}\) b) \(\frac{xy}{x+y}\) c) \(2\,\text{h}\) d) \(\frac{x}{2}\); die Einzelzeit halbiert sich.

- Bringe Strecke und Schrittlänge zuerst in dieselbe Einheit. - Die Schrittzahl entsteht als Gesamtstrecke geteilt durch Schrittlänge. - Für b) werden zwei Bruchterme mit unterschiedlichen Nennern voneinander abgezogen.

1. Die Strecke \(s\,\text{m}\) entspricht \(100s\,\text{cm}\). 2. Anna benötigt \(\frac{100s}{L}\) Schritte, Lukas \(\frac{100s}{L-5}\) Schritte. 3. Der Unterschied ist \(\frac{100s}{L-5}-\frac{100s}{L}\). 4. Für \(s=600\) und \(L=80\) erhält man für Anna \(750\) Schritte und für Lukas \(800\) Schritte. 5. Lukas benötigt damit \(50\) Schritte mehr.

a) Anna: \(\frac{100s}{L}\); Lukas: \(\frac{100s}{L-5}\) b) \(\frac{100s}{L-5}-\frac{100s}{L}\) c) Anna: \(750\) Schritte; Lukas: \(800\) Schritte; Unterschied: \(50\) Schritte.

- Stelle zuerst für jede Pumpe den Quotienten aus Volumen und Förderrate auf. - Der gesuchte Unterschied entsteht durch Subtraktion dieser beiden Bruchterme. - Ersetze in b) nur \(V\) durch \(2V\) und vergleiche mit dem ursprünglichen Ausdruck.

1. Pumpe A benötigt \(\frac{V}{x}\) Minuten, Pumpe B \(\frac{V}{x+10}\) Minuten. 2. Der Zeitunterschied ist \(\Delta t=\frac{V}{x}-\frac{V}{x+10}\). 3. Bei Volumen \(2V\) gilt \(\Delta t_{\text{neu}}=\frac{2V}{x}-\frac{2V}{x+10}=2\left(\frac{V}{x}-\frac{V}{x+10}\right)\). 4. Der Zeitunterschied verdoppelt sich.

a) \(\Delta t=\frac{V}{x}-\frac{V}{x+10}\) b) Der Zeitunterschied verdoppelt sich.

- Bestimme die Definitionsmenge direkt aus den Faktoren des ursprünglichen Nenners. - Bei gleichen Nennern kannst du die Zähler unmittelbar addieren. - Prüfe den neuen Zähler auf einen gemeinsamen Faktor mit dem Nenner.

1. Der Nenner \((x-4)(x+4)\) wird für \(x=4\) und \(x=-4\) null. Diese Werte sind ausgeschlossen. 2. Wegen der gleichen Nenner gilt \(A=\frac{x+4}{(x-4)(x+4)}\). Für zulässige Werte kann \(x+4\) gekürzt werden. Es bleibt \(\frac{1}{x-4}\). 3. Für \(x=6\) ergibt die vereinfachte Form \(\frac{1}{6-4}=\frac{1}{2}\).

a) Nicht definiert für \(x=-4\) und \(x=4\). b) \(\frac{1}{x-4}\) für \(x\in\mathbb{Q}\setminus\{-4;4\}\) c) \(\frac{1}{2}\)

- Mache in beiden Teilaufgaben zuerst die entgegengesetzten Nenner mithilfe eines Minuszeichens gleichnamig. - Fasse danach die Zähler vollständig zusammen, bevor du nach gemeinsamen Faktoren suchst. - In b) soll die Rechnung erklären, warum der Wert unabhängig von \(y\) ist.

1. Für a) gilt \(4-x=-(x-4)\). Daher ist \(A(x)=\frac{x^2}{x-4}-\frac{4x}{x-4}=\frac{x^2-4x}{x-4}\). 2. Im Zähler kann \(x\) ausgeklammert werden: \(x^2-4x=x(x-4)\). Für \(x\neq4\) folgt \(A(x)=x\). 3. Für b) gilt \(1-y=-(y-1)\). Daher ist \(B(y)=\frac{2y+3}{y-1}-\frac{y+4}{y-1}=\frac{2y+3-(y+4)}{y-1}\). 4. Der Zähler vereinfacht sich zu \(y-1\). Für \(y\neq1\) gilt deshalb \(B(y)=\frac{y-1}{y-1}=1\).

a) \(A(x)=x\) für \(x\neq4\) b) \(B(y)=1\) für \(y\neq1\)

- Wie hängen die Nenner \(y-5\) und \(5-y\) beziehungsweise \(z-3\) und \(3-z\) zusammen? - Fasse erst die Zähler zusammen. - Klammere danach einen gemeinsamen Faktor aus, bevor du kürzt.

1. In a) gilt \(y\neq5\) und \(5-y=-(y-5)\). Daher wird die Summe zu \(\frac{y^2+5y-10y}{y-5}=\frac{y(y-5)}{y-5}=y\). 2. In b) gilt \(z\neq3\) und \(3-z=-(z-3)\). Daher erhält man \(\frac{2z-5+z-4}{z-3}=\frac{3(z-3)}{z-3}=3\).

a) \(y\) für \(y\neq5\) b) \(3\) für \(z\neq3\)

- Vergleiche zuerst die Faktoren \(3-a\) und \(a-3\). - Bestimme danach einen gemeinsamen Nenner. - Prüfe nach dem Zusammenfassen, ob ein Faktor gekürzt werden kann.

1. Die ursprüngliche Definitionsmenge ist \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-3;3\}\). 2. Wegen \(3-a=-(a-3)\) gilt \(\frac6{(3-a)(a+3)}=-\frac6{(a-3)(a+3)}\). 3. Ein gemeinsamer Nenner ist \((a-3)(a+3)\). Erweitern ergibt \(\frac{a+3-6}{(a-3)(a+3)}=\frac{a-3}{(a-3)(a+3)}\). 4. Für \(a\in D\) kann \(a-3\) gekürzt werden. Es bleibt \(\frac1{a+3}\).

\(\frac1{a+3}\), \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-3;3\}\)

- Was passiert, wenn du für die Variablen einfache Zahlen wählst? Probier es mal aus. - Wie addiert man Brüche mit unterschiedlichen Nennern normalerweise? - Kannst du die Gleichung in Teil c) so umformen, dass der gesuchte Term alleine auf einer Seite steht?

1. Für a) genügt ein Gegenbeispiel, etwa \(x=1\), \(y=1\): links ergibt sich \(2\), rechts \(1\). Die behauptete Regel ist also falsch. 2. In b) ist ein gemeinsamer Nenner \(xy\). Daher gilt \(\frac1x+\frac1y=\frac{y+x}{xy}\) für \(x\neq0\) und \(y\neq0\). 3. In c) wird nach \(T\) umgestellt: \(T=\frac3x-\frac5{2x}\). Mit dem gemeinsamen Nenner \(2x\) folgt \(T=\frac1{2x}\). 4. Die Gleichung in c) ist für \(x\neq0\) definiert.

a) Gegenbeispiel z. B. \(x=1, y=1 \Rightarrow 2 \neq 1\). b) \(\frac{x+y}{xy}\) für \(x \neq 0\) und \(y \neq 0\) c) \(T = \frac{1}{2x}\) für \(x \neq 0\)

- Rechne die Aufgabe einmal selbstständig durch, ohne auf Annas Lösung zu schauen. - Was passiert mit den Vorzeichen im Zähler eines Bruches, wenn ein Minuszeichen vor dem gesamten Bruch steht? - Stell dir vor, der Zähler nach dem Minuszeichen stünde in einer Klammer.

1. Der gemeinsame Nenner \(3x\) ist korrekt; der erste Bruch wurde richtig mit \(3\) erweitert. 2. Der Fehler entsteht beim Subtrahieren des zweiten Zählers: Es muss \(15-(x-2)\) heißen. 3. Daher ist \(15-(x-2)=17-x\), also \(T=\frac{17-x}{3x}\). 4. Aus dem ursprünglichen Nenner folgt \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\).

Annas Rechnung ist fehlerhaft. Sie hat beim Subtrahieren das Vorzeichen der \(-2\) im Zähler nicht umgekehrt. Das richtige Ergebnis lautet \(\frac{17 - x}{3x}\) für \(x \neq 0\).

- Achte in a) darauf, dass ein gemeinsamer Nenner die höchste vorkommende Potenz von \(x\) enthalten muss. - Setze in b) die zusammengesetzten Zähler beim Erweitern in Klammern. - Kürze keine einzelnen Summanden gegen einen Nennerfaktor.

1. In a) ist ein gemeinsamer Nenner \(12x^2\). Erweitern ergibt \(\frac8{12x^2}+\frac{9x}{12x^2}=\frac{8+9x}{12x^2}\). Es gilt \(x\neq0\). 2. In b) ist ein gemeinsamer Nenner \(12a\). Erweitern und Subtrahieren ergibt \(\frac{2(a+3)-3(a-2)}{12a}=\frac{12-a}{12a}\). Es gilt \(a\neq0\).

a) \( \frac{8+9x}{12x^2} \) für \(x \neq 0\) b) \( \frac{12-a}{12a} \) für \(a \neq 0\)

- Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Koeffizienten im Nenner? - Schau dir die Potenzen der Variablen in den Nennern an. Welche ist die jeweils höchste vorkommende Potenz? - Vergiss nicht, beim Erweitern eines Zählers, der aus einer Differenz oder Summe besteht, Klammern zu setzen.

1. In 1) ist ein gemeinsamer Nenner \(6bc\). Damit ergibt sich \(\frac{4ac+3ab}{6bc}=\frac{a(4c+3b)}{6bc}\). Es gilt \(b\neq0\), \(c\neq0\). 2. In 2) ist ein gemeinsamer Nenner \(x^2y\). Damit ergibt sich \(\frac{x(x+1)-y(x-1)}{x^2y}\). Es gilt \(x\neq0\), \(y\neq0\).

1. \(\frac{a(4c+3b)}{6bc}\) für \(b\neq0\) und \(c\neq0\) 2. \(\frac{x(x+1)-y(x-1)}{x^2y}\) für \(x\neq0\) und \(y\neq0\)

- Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner? - Welchen Faktor benötigt jeder Bruch, um auf den gemeinsamen Nenner zu kommen? - Was passiert mit den Vorzeichen im Zähler, wenn du eine Klammer auflöst, vor der ein Minus steht? - Überlege dir, wie du den Zähler des zweiten Bruchs schreiben musst, damit das Minuszeichen für den ganzen Ausdruck gilt.

1. Ein gemeinsamer Nenner ist \(x^2y\). 2. Erweitern ergibt \(A=\frac{x(3x+y)}{x^2y}\) und \(B=\frac{y(2x-y)}{x^2y}\). 3. Daher ist \(A-B=\frac{3x^2+xy-(2xy-y^2)}{x^2y}=\frac{3x^2-xy+y^2}{x^2y}\). 4. Die Klammer ist nötig, weil das Minuszeichen auf den gesamten zweiten Zähler wirkt. 5. Die Definitionsmenge verlangt \(x\neq0\) und \(y\neq0\).

\(A - B = \frac{3x^2-xy+y^2}{x^2y}\) für \(x \neq 0\) und \(y \neq 0\). Beim Subtrahieren muss der Zähler des zweiten Bruchs in Klammern gesetzt werden, da sich das Minuszeichen auf alle Glieder des Zählers bezieht und deren Vorzeichen umkehrt.

- Welche Variablen und Potenzen muss ein gemeinsamer Nenner enthalten? - Mit welchem Faktor muss jeder Bruch erweitert werden? - Achte beim Subtrahieren auf die Klammer um den zweiten Zähler.

1. Ein gemeinsamer Nenner ist \(x^2y\). 2. Erweitern ergibt \(\frac{2y}{x^2y}-\frac{x(x-3)}{x^2y}\). 3. Der Zähler wird zu \(2y-(x^2-3x)=2y-x^2+3x\). 4. Damit lautet das Ergebnis \(\frac{2y-x^2+3x}{x^2y}\). 5. Die Definitionsmenge verlangt \(x\neq0\) und \(y\neq0\).

\(\frac{2y-x^2+3x}{x^2y}\) für \(x \neq 0\) und \(y \neq 0\)

- Bestimme in jeder Teilaufgabe einen gemeinsamen Nenner, der alle Zahlen- und Variablenfaktoren enthält. - Setze zusammengesetzte Zähler beim Erweitern in Klammern. - Bestimme die Definitionsmenge jeder Teilaufgabe aus ihren ursprünglichen Nennern.

1. In a) ist ein gemeinsamer Nenner \(12x^2y^2\). Nach dem Erweitern ergibt sich \(\frac{9xy-8x^2+2y^2}{12x^2y^2}\). Es gilt \(x\neq0\), \(y\neq0\). 2. In b) ist ein gemeinsamer Nenner \(2x^2\). Nach dem Erweitern ergibt sich \(\frac{x(x-2)+6-x^2}{2x^2}=\frac{3-x}{x^2}\). Es gilt \(x\neq0\).

a) \(\frac{9xy-8x^2+2y^2}{12x^2y^2}\) für \(x\neq0\) und \(y\neq0\) b) \(\frac{3-x}{x^2}\) für \(x\neq0\)

- Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Nenner? - Womit musst du den ersten und womit den zweiten Bruch multiplizieren, um auf diesen Nenner zu kommen? - Achte besonders auf das Minuszeichen vor dem zweiten Bruch, wenn du die Zähler zusammenführst. - Vergiss nicht, die Klammern beim Subtrahieren des gesamten Zählers zu setzen.

1. Ein gemeinsamer Nenner ist \(a^2b^2\). 2. Erweitern ergibt \(\frac{b(5a-2)-a(3b+4)}{a^2b^2}\). 3. Der Zähler vereinfacht sich zu \(2ab-4a-2b\). 4. Damit ist das Ergebnis \(\frac{2ab-4a-2b}{a^2b^2}\). 5. Die Definitionsmenge verlangt \(a\neq0\) und \(b\neq0\).

\( \frac{2ab - 4a - 2b}{a^2b^2} \) für \(a \neq 0\) und \(b \neq 0\)

- Suche einen gemeinsamen Nenner, der die Faktoren \(x\), \(x^2\) und \(y\) passend enthält. - Bestimme für jeden Bruch den nötigen Erweiterungsfaktor. - Das Minuszeichen vor dem mittleren Bruch wirkt auf den gesamten Zähler \(x-3\).

1. Ein gemeinsamer Nenner ist \(x^2y\). 2. Erweitern ergibt \(\frac{2xy-y(x-3)+x(y+1)}{x^2y}\). 3. Der Zähler vereinfacht sich zu \(2xy+x+3y\). 4. Damit ist das Ergebnis \(\frac{2xy+x+3y}{x^2y}\). 5. Die Definitionsmenge verlangt \(x\neq0\) und \(y\neq0\).

\( \frac{2xy + x + 3y}{x^2y} \) für \(x \neq 0\) und \(y \neq 0\)

- Der zweite Nenner enthält bereits beide benötigten Faktoren. - Setze beim Subtrahieren den gesamten zweiten Zähler in Klammern. - Klammere im zusammengefassten Zähler einen gemeinsamen Faktor aus.

1. Für die ursprüngliche Definitionsmenge gelten \(x\neq y\) und \(x\neq-y\). 2. Ein gemeinsamer Nenner ist \((x-y)(x+y)\). Der erste Bruch wird mit \(x+y\) erweitert. 3. Der Zähler wird zu \(x(x+y)-(x^2+y^2)=xy-y^2=y(x-y)\). 4. Für Werte aus der Definitionsmenge kann \(x-y\) gekürzt werden. Es bleibt \(\frac{y}{x+y}\).

\(\frac{y}{x+y}\) für \(x\neq\pm y\)

- Überlege zuerst, wie du die drei Brüche auf einen gemeinsamen Zahlennenner bringst. - Achte beim Auflösen der quadratischen Klammern auf die Vorzeichen und sammle anschließend gleichartige Terme. - Prüfe am Ende, ob sich ein gemeinsamer Zahlenfaktor noch kürzen lässt.

1. Die drei Brüche werden auf den gemeinsamen Nenner \(6\) gebracht: \(\frac{2(a+1)^2}{6}+\frac{(a-1)^2}{6}-\frac{3(a^2+1)}{6}\). 2. Die binomischen Formeln ergeben im Zähler \(2(a^2+2a+1)+(a^2-2a+1)-3(a^2+1)\). 3. Nach dem Auflösen der Klammern und Zusammenfassen bleibt \(2a\) im Zähler. 4. Damit ist der Term \(\frac{2a}{6}=\frac{a}{3}\).

\(\frac{a}{3}\)

- Stelle dir die Lücke wie eine Variable in einer Gleichung vor. Wie würdest du die Gleichung nach dieser Variablen umstellen? - Um Brüche zu addieren oder zu subtrahieren, müssen sie den gleichen Nenner haben. - Überprüfe dein Ergebnis, indem du den gefundenen Term in die Lücke einsetzt und nachrechnest.

1. In Teil a) muss die Differenz \(\frac{5 + x^2}{x} - \frac{5}{x}\) berechnet werden. Das ergibt \(\frac{5 + x^2 - 5}{x} = \frac{x^2}{x}\). Gekürzt ergibt das \(x\). 2. In Teil b) wird der gesuchte Term durch die Summe \(a + \frac{1}{a}\) berechnet. Erweitern von \(a\) auf den Nenner \(a\) ergibt \(\frac{a^2}{a}\). Die Summe ist \(\frac{a^2 + 1}{a}\). 3. In Teil c) berechnet man den gesuchten Term durch \(\frac{2z + 4}{z} - 2\). Erweitern von \(2\) auf den Nenner \(z\) ergibt \(\frac{2z}{z}\). Die Subtraktion \(\frac{2z + 4 - 2z}{z}\) ergibt \(\frac{4}{z}\). 4. Die Gleichungen gelten unter den ursprünglichen Bedingungen a) \(x \neq 0\), b) \(a \neq 0\) und c) \(z \neq 0\).

a) \(x\) für \(x \neq 0\) b) \(\frac{a^2 + 1}{a}\) für \(a \neq 0\) c) \(\frac{4}{z}\) für \(z \neq 0\)

- Faktorisiere in a) den Nenner durch Ausklammern, um einen gemeinsamen Nenner sichtbar zu machen. - Schreibe in b) auch die Zahl \(1\) mit dem Nenner \(b^2\). - Achte beim Zusammenfassen auf das Minuszeichen vor dem letzten Zähler.

1. In a) ist \(y^2-3y=y(y-3)\). Ein gemeinsamer Nenner ist \(y(y-3)\). Daher ergibt sich \(\frac{2y-12}{y(y-3)}=\frac{2(y-6)}{y(y-3)}\). Es gilt \(y\neq0\), \(y\neq3\). 2. In b) ist ein gemeinsamer Nenner \(b^2\). Es folgt \(\frac{b^2-b-(b-1)}{b^2}=\frac{b^2-2b+1}{b^2}\). Es gilt \(b\neq0\).

a) \(\frac{2(y-6)}{y(y-3)}\) für \(y\neq0\) und \(y\neq3\) b) \(\frac{b^2-2b+1}{b^2}\) für \(b\neq0\)

- Bestimme für jede Teilaufgabe einen gemeinsamen Nenner. - Achte beim Auflösen der Klammern im Zähler auf die Vorzeichen. - Fasse erst nach dem Erweitern gleichartige Terme im Zähler zusammen.

1. Mit dem gemeinsamen Nenner \(4\) ergibt sich \(\frac{3x-3y-4x-2y+4x}{4}=\frac{3x-5y}{4}\). 2. Mit dem gemeinsamen Nenner \(12\) ergibt sich \(\frac{8u+4v-3u+6v-v}{12}=\frac{5u+9v}{12}\). 3. Mit dem gemeinsamen Nenner \(6\) ergibt sich \(\frac{12-(3k-1)-2(k+2)}{6}=\frac{9-5k}{6}\).

1) \(\frac{3x-5y}{4}\) 2) \(\frac{5u+9v}{12}\) 3) \(\frac{9-5k}{6}\)

- Welcher gemeinsame Nenner enthält sowohl \(x\) als auch \(x^2\)? - Mit welchem Faktor musst du den ersten Bruch erweitern? - Setze den zweiten Zähler beim Subtrahieren in Klammern.

1. Ein gemeinsamer Nenner ist \(x^2\). 2. Der erste Bruch wird mit \(x\) erweitert: \(\frac{x(x+2)}{x^2}=\frac{x^2+2x}{x^2}\). 3. Daher gilt \(\frac{x^2+2x-(x^2+2x-1)}{x^2}=\frac{1}{x^2}\).

\(\frac{1}{x^2}\)

- Wie hängen \(2-x\) und \(x-2\) zusammen? - Bestimme danach einen gemeinsamen Nenner. - Achte beim Zusammenfassen auf das Minuszeichen.

1. Es gilt \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-2;2\}\) und \(2-x=-(x-2)\). 2. Daher wird der zweite Bruch zu \(-\frac1{x-2}\). 3. Ein gemeinsamer Nenner ist \((x-2)(x+2)\). Zusammenfassen ergibt \(\frac{x-(x+2)}{(x-2)(x+2)}=-\frac2{(x-2)(x+2)}\).

\(-\frac2{(x-2)(x+2)}\), \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-2;2\}\)

- Verwende beide unterschiedlichen Nennerfaktoren im gemeinsamen Nenner. - Beim Erweitern wird jeweils der vollständige Zähler mit dem fehlenden Faktor multipliziert. - Achte beim Subtrahieren darauf, dass das Minuszeichen vor dem gesamten zweiten erweiterten Zähler steht.

1. Aus den ursprünglichen Nennern folgt \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-2;2\}\). 2. Ein gemeinsamer Nenner ist \((x-2)(x+2)\). Daher gilt \(\frac{(x+2)(x+2)-(x-2)(x-2)}{(x-2)(x+2)}\). 3. Durch Ausmultiplizieren erhält man im Zähler \(x^2+4x+4-(x^2-4x+4)=8x\). 4. Somit lautet der vereinfachte Term \(\frac{8x}{(x-2)(x+2)}\). Es gibt keinen gemeinsamen Faktor, der weiter gekürzt werden kann.

\(\frac{8x}{(x-2)(x+2)}\) mit \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-2;2\}\)

- Welche linearen Faktoren müssen in einem gemeinsamen Nenner vorkommen? - Setze beim Subtrahieren den gesamten zweiten erweiterten Zähler in Klammern. - Prüfe nach dem Zusammenfassen, ob ein gemeinsamer Faktor gekürzt werden kann.

1. Aus den ursprünglichen Nennern folgt \(D=\{(a,b)\in\mathbb{Q}^2\mid a\neq0,\ a\neq b,\ a\neq-b\}\). 2. Ein gemeinsamer Nenner ist \(a(a-b)(a+b)\). 3. Erweitern und Zusammenfassen ergibt den Zähler \((a+2b)(a+b)-(a-2b)(a-b)-4ab\). 4. Ausmultiplizieren liefert \(a^2+3ab+2b^2-(a^2-3ab+2b^2)-4ab=2ab\). 5. Kürzen des Faktors \(a\) ergibt \(\frac{2b}{(a-b)(a+b)}\). 6. Für \(a=3\) und \(b=1\) folgt \(\frac2{2\cdot4}=0{,}25\).

\(\frac{2b}{(a-b)(a+b)}\), \(D=\{(a,b)\in\mathbb{Q}^2\mid a\neq0,\ a\neq b,\ a\neq-b\}\); Wert: \(0{,}25\)

- Prüfe zuerst, ob sich einer der drei Brüche für Werte aus der ursprünglichen Definitionsmenge einzeln vereinfachen lässt. - Fasse anschließend Brüche mit gleichem Nenner zusammen, bevor du einen gemeinsamen Nenner für die verbleibenden Brüche bildest. - Bestimme die Definitionsmenge immer aus den ursprünglichen Nennern und behalte sie nach dem Kürzen bei.

1. Aus den ursprünglichen Nennern folgt \(a\neq b\) und \(a\neq-c\). Damit ist \(D=\{(a,b,c)\in\mathbb{Q}^3\mid a\neq b,\ a\neq-c\}\). 2. Im dritten Bruch kann für Werte aus \(D\) der Faktor \(a+c\) gekürzt werden. Dadurch wird der Ausdruck zu \(\frac{2a}{a-b}+\frac{a}{a+c}-\frac{a}{a-b}\). 3. Die beiden Brüche mit dem Nenner \(a-b\) lassen sich zusammenfassen. Es bleibt \(\frac{a}{a-b}+\frac{a}{a+c}\). 4. Ein gemeinsamer Nenner ist \((a-b)(a+c)\). Damit ergibt sich \(\frac{a(a+c)+a(a-b)}{(a-b)(a+c)}\). 5. Im Zähler kann \(a\) ausgeklammert werden: \(a(a+c)+a(a-b)=a(2a-b+c)\). Der vereinfachte Term lautet daher \(\frac{a(2a-b+c)}{(a-b)(a+c)}\). 6. Für \(a=3\), \(b=5\) und \(c=2\) erhält man \(\frac{3(6-5+2)}{(3-5)(3+2)}=\frac{9}{-10}=-0{,}9\).

\(\frac{a(2a-b+c)}{(a-b)(a+c)}\) mit \(D=\{(a,b,c)\in\mathbb{Q}^3\mid a\neq b,\ a\neq-c\}\); für \(a=3\), \(b=5\), \(c=2\): \(-0{,}9\).

- Welcher gemeinsame Nenner eignet sich für die beiden Bruchterme? - Fasse zuerst nur die Zähler nach dem Erweitern zusammen. - Prüfe beim Einsetzen, ob die ursprünglichen Nenner von null verschieden bleiben.

1. Der gemeinsame Nenner der beiden Bruchterme ist \((x^n-1)(x^n+1)=x^{2n}-1\). 2. Der Zähler wird zu \(x^n(x^n+1)-x^n(x^n-1)=2x^n\). Damit gilt \(T=\frac{2x^n}{x^{2n}-1}\). 3. Für \(x=2\) und \(n=2\) folgt \(T=\frac{2\cdot2^2}{2^4-1}=\frac{8}{15}\).

1. \(T=\frac{2x^n}{x^{2n}-1}\) 2. \(\frac{8}{15}\)

- Bestimme die Definitionsmenge für jede Teilaufgabe getrennt aus den ursprünglichen Nennern. - In a) genügt ein gemeinsamer Zahlenfaktor zusammen mit \(x\); in b) müssen beide linearen Nennerfaktoren vorkommen. - Achte in b) beim Subtrahieren auf das Minuszeichen vor dem gesamten zweiten Zähler.

1. Für a) gilt wegen der Nenner \(3x\), \(x\) und \(2x\): \(x\neq0\). Ein gemeinsamer Nenner ist \(6x\). 2. Erweitern und Zusammenfassen ergibt \(\frac{10}{6x}-\frac{12}{6x}+\frac{3}{6x}=\frac{1}{6x}\). 3. Für b) gelten \(x\neq-3\) und \(x\neq3\). Ein gemeinsamer Nenner ist \((x+3)(x-3)=x^2-9\). 4. Erweitern ergibt \(\frac{2(x-3)}{(x+3)(x-3)}-\frac{x+3}{(x+3)(x-3)}\). 5. Der Zähler vereinfacht sich zu \(2x-6-x-3=x-9\). Damit erhält man \(\frac{x-9}{x^2-9}\).

a) \(\frac{1}{6x}\) mit \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\) b) \(\frac{x-9}{x^2-9}\) mit \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-3;3\}\)

- Bringe zuerst den bekannten zweiten Bruch auf den bereits vorgegebenen Nenner \(6x\). - Danach kannst du die Gleichheit der Brüche auf eine Gleichung zwischen den Zählern zurückführen. - Arbeite rückwärts vom gewünschten Gesamtzähler.

1. Der zweite Bruch wird auf den Nenner \(6x\) erweitert: \(\frac{x-1}{3x}=\frac{2x-2}{6x}\). 2. Bei gleichem Nenner müssen die Zähler die Gleichung \(N(x)+(2x-2)=5x+4\) erfüllen. 3. Daher ist \(N(x)=5x+4-2x+2=3x+6\).

\(N(x)=3x+6\)

- Wann ist ein Bruch nicht definiert? - Wie addiert man Brüche mit unterschiedlichen Nennern? - Setze die Zahlen für die Variable ein und achte auf die Vorzeichenregeln beim Quadrieren. - Schau dir an, welche Rechenoperation im vereinfachten Term mit der Variablen durchgeführt wird.

1. Die Nenner dürfen nicht null sein. Aus \(x+2=0\) folgt \(x=-2\), aus \(2-x=0\) folgt \(x=2\). Somit ist \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-2;2\}\). 2. Ein gemeinsamer Nenner ist \((x+2)(2-x)=4-x^2\). Damit gilt \(A(x)=\frac{3(2-x)+3(x+2)}{4-x^2}=\frac{12}{4-x^2}\). 3. Es folgt \(A(1)=\frac{12}{3}=4\) und \(A(-1)=\frac{12}{3}=4\). 4. Im vereinfachten Term kommt \(x\) nur als \(x^2\) vor. Da \((-k)^2=k^2\), liefern \(k\) und \(-k\) denselben Termwert.

a) \(D = \mathbb{Q} \setminus \{-2; 2\}\); vereinfachter Term: \(A(x) = \frac{12}{4-x^2}\). b) \(A(1) = 4\) und \(A(-1) = 4\). Die Werte sind gleich. c) Da im Term nur \(x^2\) vorkommt und \((-k)^2 = k^2\) gilt, ist der Wert für \(k\) und \(-k\) stets identisch.

- Was musst du beim Erweitern auf einen gemeinsamen Nenner beachten? - Setze die Werte für \(x\) nacheinander in den vereinfachten Term ein. - Ersetze im Term jedes \(x\) durch \(-(x+1)\) und multipliziere die Klammern sorgfältig aus.

1. Die Nenner verlangen \(x\neq0\) und \(x\neq-1\). Also ist \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0;-1\}\). 2. Ein gemeinsamer Nenner ist \(x(x+1)\). Damit gilt \(B(x)=\frac{x+1-x}{x(x+1)}=\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x^2+x}\). 3. Für \(x=2\) ist \(B(2)=\frac16\). Für \(x=-3\) ist \(B(-3)=\frac16\). 4. Allgemein gilt \(B(-(x+1))=\frac{1}{(-(x+1))^2-(x+1)}=\frac{1}{x^2+x}=B(x)\).

a) \(D = \mathbb{Q} \setminus \{0; -1\}\); vereinfacht: \(B(x) = \frac{1}{x^2+x}\). b) Beide Werte sind Lösungen, da \(B(2) = \frac{1}{6}\) und \(B(-3) = \frac{1}{6}\). c) Einsetzen von \(-(x+1)\) ergibt nach Umformung ebenfalls \(\frac{1}{x^2+x}\).

- Wie bildet man den Kehrwert eines Bruchs? - Denke an die Regel „Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit seinem Kehrwert multipliziert“. - Setze für \(x\) erst die 1 und dann die 4 ein und vergleiche die Ergebnisse.

1. Nur \(x=0\) führt zu einer Division durch null. Daher ist \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\). 2. Ein gemeinsamer Nenner ist \(2x\). Damit gilt \(f(x)=\frac{4+x^2}{2x}\). 3. Für \(f\left(\frac4x\right)\) erhält man \(\frac{2}{4/x}+\frac{4/x}{2}=\frac{x}{2}+\frac{2}{x}=f(x)\). 4. Beispielsweise gilt \(f(1)=2{,}5\) und \(f(4)=2{,}5\).

a) \(D = \mathbb{Q} \setminus \{0\}\); \(f(x) = \frac{4+x^2}{2x}\). b) Einsetzen von \(\frac{4}{x}\) ergibt \(f(\frac{4}{x}) = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}\), was gleich \(f(x)\) ist. c) \(f(1) = 2{,}5\) und \(f(4) = 2{,}5\).

- Versuche zuerst, die Doppelbrüche auf der rechten Seite zu vereinfachen, indem du mit dem Kehrwert multiplizierst oder die Zähler und Nenner anpasst. - Was muss für den Nenner eines Stammbruchs gelten? Muss er eine ganze Zahl sein? - Welche Eigenschaft hat \(n+1\), wenn \(n\) ungerade ist? Warum sind die beiden Nenner für \(n>1\) verschieden?

1. Für \(n=7\) ergibt sich \(\frac27=\frac14+\frac1{28}\). 2. Es gilt \(\frac14+\frac1{28}=\frac7{28}+\frac1{28}=\frac8{28}=\frac27\). 3. Allgemein ist die rechte Seite \(\frac{2}{n+1}+\frac{2}{n(n+1)}\). Ein gemeinsamer Nenner ist \(n(n+1)\). 4. Daher gilt \(\frac{2n+2}{n(n+1)}=\frac{2(n+1)}{n(n+1)}=\frac2n\). 5. Für ungerades \(n\) sind \(\frac{n+1}{2}\) und \(\frac{n(n+1)}{2}\) natürliche Zahlen. Für \(n>1\) sind diese Nenner verschieden.

a) \(\frac{2}{7} = \frac{1}{4} + \frac{1}{28}\); Rechnung: \(\frac{7}{28} + \frac{1}{28} = \frac{8}{28} = \frac{2}{7}\). b) \(\frac{2}{n+1} + \frac{2}{n(n+1)} = \frac{2n + 2}{n(n+1)} = \frac{2(n+1)}{n(n+1)} = \frac{2}{n}\). c) Die Ungeradheit von \(n\) sorgt dafür, dass beide Nenner natürliche Zahlen sind. Die Bedingung \(n>1\) sorgt dafür, dass die beiden Nenner und damit die Stammbrüche verschieden sind.

- Bringe die beiden Brüche auf der rechten Seite zunächst auf einen gemeinsamen Nenner. - Nutze in b) die vorgegebene Zerlegung von \(15\) als Produkt zweier positiver natürlicher Zahlen. - Prüfe bei einer „genau dann“-Aussage beide Richtungen getrennt und suche bei Bedarf nach geeigneten Rand- oder Gegenbeispielen.

1. Der gemeinsame Nenner der beiden Brüche auf der rechten Seite ist \(ab(a+b)\). Daher gilt \(\frac{1}{a(a+b)}+\frac{1}{b(a+b)}=\frac{b+a}{ab(a+b)}=\frac{1}{ab}\). 2. Für \(15=3\cdot5\) setzt man \(a=3\) und \(b=5\). Dann folgt \(\frac{1}{15}=\frac{1}{3\cdot8}+\frac{1}{5\cdot8}=\frac{1}{24}+\frac{1}{40}\). 3. Die Behauptung ist falsch. Für \(n=1\), das keine Primzahl ist, ist bei positiven natürlichen Zahlen nur \(a=b=1\) möglich; die beiden Stammbrüche sind dann beide \(\frac12\) und somit nicht verschieden. 4. Umgekehrt funktioniert die Zerlegung auch für jede Primzahl \(n>1\): Mit \(a=1\) und \(b=n\) erhält man \(\frac1n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n(n+1)}\). Diese beiden Stammbrüche sind verschieden.

a) \(\frac{b+a}{ab(a+b)}=\frac{1}{ab}\) b) \(\frac{1}{15}=\frac{1}{24}+\frac{1}{40}\) c) Die Aussage ist falsch. \(n=1\) widerlegt eine Richtung, und für jede Primzahl \(n>1\) liefert \(a=1\), \(b=n\) ebenfalls zwei verschiedene Stammbrüche.

- Welche Faktoren fehlen in den jeweiligen Nennern, um einen gemeinsamen Nenner zu erhalten? - Multipliziere die Zähler nach dem Erweitern sorgfältig aus. - Kannst du die Terme im Zähler so sortieren, dass du \(x\) ausklammern kannst?

1. Ein gemeinsamer Nenner der drei Terme ist \((x-a)(x-b)(x-c)\). 2. Der erste Term wird mit \((x-c)\), der zweite mit \((x-a)\) und der dritte mit \((x-b)\) erweitert. 3. Der gemeinsame Zähler lautet \(a(x-c)+b(x-a)+c(x-b)\). 4. Ausmultiplizieren ergibt \(ax-ac+bx-ab+cx-bc\). 5. Zusammenfassen liefert \(x(a+b+c)-(ab+bc+ca)\). 6. Damit ergibt sich \(\frac{x(a+b+c)-(ab+bc+ca)}{(x-a)(x-b)(x-c)}\). 7. Aus den ursprünglichen Nennern folgt \(D=\mathbb{Q}\setminus\{a;b;c\}\), wobei gleiche Parameterwerte nur einmal ausgeschlossen werden.

\(\frac{x(a+b+c)-(ab+bc+ca)}{(x-a)(x-b)(x-c)}\) mit \(D=\mathbb{Q}\setminus\{a;b;c\}\)

- Welche Faktoren und Potenzen müssen in einem gemeinsamen Nenner enthalten sein? - Achte beim Erweitern auf den zweiten Faktor \(a+b\), der dort quadratisch vorkommt. - Setze beim Subtrahieren den letzten erweiterten Zähler in Klammern.

1. Aus den Nennern folgt \(D=\{(a,b)\in\mathbb{Q}^2\mid a\neq0,\ a\neq b,\ a\neq-b\}\). 2. Ein gemeinsamer Nenner ist \(a(a-b)(a+b)^2\). 3. Erweitern ergibt den Zähler \(a(a+b)+a(a-b)-2(a-b)(a+b)\). 4. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen liefert \(2b^2\). 5. Damit ist das Ergebnis \(\frac{2b^2}{a(a-b)(a+b)^2}\).

\(\frac{2b^2}{a(a-b)(a+b)^2}\) für \(a\neq0\), \(a\neq b\), \(a\neq-b\)