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- Vergleiche die Funktionsgleichungen mit der allgemeinen Form \(y = mx + t\). - Achte darauf, welches Vorzeichen vor der Zahl steht. - Wenn kein \(x\) in der Gleichung vorkommt, was bedeutet das für die Steigung? - Wenn keine einzelne Zahl ohne \(x\) da steht, welchen Wert hat dann der Achsenabschnitt? - Manchmal musst du die Summanden erst sortieren, damit sie der Form \(mx + t\) entsprechen.

1. Für \(f(x) = -4x + 7\): Die Steigung ist der Koeffizient von \(x\), also \(m = -4\). Der konstante Term ist \(t = 7\). Der Schnittpunkt ist \(P(0|7)\). 2. Für \(g(x) = \frac{2}{5}x\): Dies entspricht \(\frac{2}{5}x + 0\). Somit ist \(m = \frac{2}{5}\) (oder \(0{,}4\)) und \(t = 0\). Der Schnittpunkt ist \(P(0|0)\). 3. Für \(h(x) = 12 - 3x\): Umgestellt in die Form \(mx + t\) ergibt sich \(-3x + 12\). Damit ist \(m = -3\) und \(t = 12\). Der Schnittpunkt ist \(P(0|12)\). 4. Für \(k(x) = -5\): Dies entspricht \(0x - 5\). Die Steigung ist \(m = 0\) und der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(t = -5\). Der Schnittpunkt ist \(P(0|-5)\).

a) \(m = -4, t = 7, P(0|7)\) b) \(m = \frac{2}{5}, t = 0, P(0|0)\) c) \(m = -3, t = 12, P(0|12)\) d) \(m = 0, t = -5, P(0|-5)\)

- Wann ist ein Zahlenpaar eine Lösung einer Gleichung? - Was passiert, wenn du einen bekannten Wert für eine Variable einsetzt? - Wie kannst du eine Gleichung nach der gesuchten Variable umstellen?

1. Einsetzen von \(x = 2\) und \(y = 2\) in die Gleichung: \(2 \cdot 2 + 4 \cdot 2 = 4 + 8 = 12\). Die Aussage ist wahr, also ist \((2|2)\) eine Lösung. 2. Einsetzen von \(x = -2\): \(2 \cdot (-2) + 4y = 12 \implies -4 + 4y = 12 \implies 4y = 16 \implies y = 4\). Das Paar ist \((-2|4)\). 3. Einsetzen von \(y = 5\): \(2x + 4 \cdot 5 = 12 \implies 2x + 20 = 12 \implies 2x = -8 \implies x = -4\). Das Paar ist \((-4|5)\).

a) Ja, \((2|2)\) ist eine Lösung. b) \(y = 4\) c) \(x = -4\)

- Suche die Stelle, an der der Graph die senkrechte Achse schneidet. - Welche \(x\)-Koordinate hat jeder Punkt auf der \(y\)-Achse?

1. Der Graph schneidet die \(y\)-Achse bei \(y=4\). 2. Daher gilt \(t=4\) und \(S_y(0|4)\).

\(t=4\); \(S_y(0|4)\).

- Betrachte jeden Graphen von links nach rechts. - Entscheide jeweils nur, ob die Höhe zunimmt, abnimmt oder gleich bleibt.

1. Graph \(f\) steigt von links nach rechts, also ist er steigend. 2. Graph \(g\) fällt von links nach rechts, also ist er fallend. 3. Graph \(h\) verläuft waagrecht.

a) steigend b) fallend c) waagrecht

- Schau dir an, wie stark der Wasserstand von einer Stunde zur nächsten zunimmt. Ist dieser Wert immer gleich? - Überlege dir, welcher Wert am Anfang (bei 0 Stunden) schon da war. - Wie oft musst du die stündliche Zunahme dazurechnen, wenn \(t\) Stunden vergangen sind? - Für Teilaufgabe c) kannst du den Wert genau mit deinem Term ausrechnen.

1. Bestimmung der Steigung: Die Differenz des Wasserstands pro Stunde beträgt \(25 - 10 = 15\,\text{cm}\), \(40 - 25 = 15\,\text{cm}\) usw. Der Wasserstand steigt also um \(15\,\text{cm}\) pro Stunde. 2. Aufstellen des Terms: Der Startwert bei \(t = 0\) ist \(10\). Die Zunahme beträgt \(15t\). Der Term lautet: \(h(t) = 10 + 15t\). 3. Berechnung für \(2{,}5\,\text{Stunden}\): Einsetzen von \(t = 2{,}5\) in den Term: \(10 + 15 \cdot 2{,}5 = 10 + 37{,}5 = 47{,}5\). Der Wasserstand nach \(2{,}5\,\text{Stunden}\) beträgt \(47{,}5\,\text{cm}\).

a) Der Wasserstand steigt um \(15\,\text{cm}\) pro Stunde. b) Der Term lautet \(h(t) = 10 + 15t\). c) Nach \(2{,}5\,\text{Stunden}\) beträgt der Wasserstand \(47{,}5\,\text{cm}\).

- Welche Steigung hat eine Gerade, die parallel zur \(x\)-Achse verläuft? - Welche Form hat dann ihre Funktionsgleichung in \(y=mx+t\)? - Wie kannst du die \(y\)-Koordinate eines Punktes mit dem konstanten Funktionswert vergleichen, um seine Lage zu bestimmen?

1. Eine Gerade parallel zur \(x\)-Achse hat die Steigung \(m=0\) und damit die Form \(y=t\). Da \(A(-4 \mid -7)\) auf \(g\) liegt, ist \(t=-7\). Somit lautet die Gleichung \(y=-7\). 2. Für \(B(-4 \mid -5)\) gilt \(-5>-7\). Daher liegt \(B\) oberhalb von \(g\). 3. Für \(C(10 \mid -7)\) gilt \(-7=-7\). Daher liegt \(C\) auf \(g\). 4. Für \(D(0 \mid -10)\) gilt \(-10<-7\). Daher liegt \(D\) unterhalb von \(g\).

1. \(g: y=-7\) 2. \(B\) liegt oberhalb, \(C\) auf und \(D\) unterhalb der Geraden \(g\).

- Überlege, welchen festen Wert eine Koordinate immer hat, wenn ein Punkt direkt auf einer der Achsen liegt. - Wie kannst du die Steigung nutzen, um ausgehend vom Achsenabschnitt weitere Punkte für die Gerade zu finden? - Was bedeutet es für die Zeichnung, wenn zwei Funktionen denselben Schnittpunkt mit einer Achse haben?

1. Zeichnen der Geraden für \(f\): Start beim \(y\)-Achsenabschnitt \(-1{,}5\), Steigung \(0{,}75\) (3 Einheiten nach oben, 4 nach rechts). 2. Ablesen der Achsenschnittpunkte für \(f\): Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \(S_{y1}(0|-1{,}5)\), Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse bei \(S_{x1}(2|0)\). 3. Zeichnen der Geraden für \(g\): Start beim \(y\)-Achsenabschnitt \(4\), Steigung \(-2\) (2 Einheiten nach unten, 1 nach rechts). 4. Ablesen der Achsenschnittpunkte für \(g\): Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \(S_{y2}(0|4)\), Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse bei \(S_{x2}(2|0)\). 5. Vergleich der Ergebnisse: Beide Graphen schneiden die \(x\)-Achse im selben Punkt \((2|0)\).

Die Schnittpunkte für \(f\) sind \(S_{y1}(0|-1{,}5)\) und \(S_{x1}(2|0)\). Die Schnittpunkte für \(g\) sind \(S_{y2}(0|4)\) und \(S_{x2}(2|0)\). Besonderheit: Beide Graphen haben denselben Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse.

- Welche Koordinate ist auf der \(y\)-Achse immer gleich null? - Welche Gleichung musst du für den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse lösen? - Welche geometrische Figur entsteht im ersten Quadranten aus den beiden Achsen und der Geraden?

1. Für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse gilt \(x=0\). Damit ist \(f(0)=4\) und \(S_y(0 \mid 4)\). 2. Für den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse gilt \(f(x)=0\). Aus \(0=-0{,}8x+4\) folgt \(0{,}8x=4\) und damit \(x=5\). Also ist \(S_x(5 \mid 0)\). 3. Die Achsen und die Gerade bilden im ersten Quadranten ein rechtwinkliges Dreieck mit den Kathetenlängen \(5\) und \(4\). 4. Der Flächeninhalt ist \(A=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 4=10\) Flächeneinheiten.

a) \(S_y(0 \mid 4)\), \(S_x(5 \mid 0)\) b) \(A=10\) Flächeneinheiten

- Was gibt der konstante Wert am Ende des Funktionsterms über den Schnittpunkt mit der senkrechten Achse an? - Wie berechnet man die Stelle, an der der Graph die waagerechte Achse berührt oder schneidet? - Vergleiche die Steigungen der Funktionen. Was passiert mit dem Graphen, wenn die Steigung negativ wird?

1. Bestimmung der Schnittpunkte von \(f(x) = 2x - 4\): \(S_y(0 \mid -4)\) und Nullstelle bei \(2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2\), also \(S_x(2 \mid 0)\). 2. Für \(g(x) = 2x + 4\): Der \(y\)-Achsenabschnitt ändert sich von \(-4\) auf \(4\), also \(S_y(0 \mid 4)\). Die Nullstelle liegt bei \(2x + 4 = 0 \Rightarrow x = -2\), also \(S_x(-2 \mid 0)\). Der Graph wird entlang der \(y\)-Achse nach oben verschoben. 3. Für \(h(x) = -2x - 4\): Der \(y\)-Achsenabschnitt bleibt bei \(-4\), also \(S_y(0 \mid -4)\). Die Nullstelle liegt bei \(-2x - 4 = 0 \Rightarrow x = -2\), also \(S_x(-2 \mid 0)\). Da \(h(x)=f(-x)\) gilt, ist der Graph von \(h\) das Spiegelbild des Graphen von \(f\) an der \(y\)-Achse.

a) Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse wandert von \((0 \mid -4)\) zu \((0 \mid 4)\). Die Nullstelle verschiebt sich von \(x = 2\) zu \(x = -2\). b) Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bleibt bei \((0 \mid -4)\). Die Nullstelle verschiebt sich von \(x = 2\) zu \(x = -2\).

- Was bedeutet es für die Steigung zweier Geraden, wenn sie parallel zueinander verlaufen? - Welche Koordinaten hat der Koordinatenursprung? - Wenn ein Punkt auf der \(y\)-Achse „höher“ liegt, verändert das die Steigung oder den \(y\)-Achsenabschnitt?

1. Aus \(g(x) = 1{,}5x - 3\) liest man direkt ab: Steigung \(m = 1{,}5\) und \(y\)-Achsenabschnitt \(t = -3\). Der Schnittpunkt ist \(S(0|-3)\). 2. Da \(h\) parallel zu \(g\) ist, muss sie dieselbe Steigung \(m = 1{,}5\) haben. Da sie durch den Ursprung verläuft, ist ihr \(y\)-Achsenabschnitt \(t = 0\). Die Gleichung lautet \(h(x) = 1{,}5x\). 3. Die Gerade \(k\) hat ebenfalls die Steigung \(m = 1{,}5\). Der \(y\)-Achsenabschnitt von \(g\) ist \(-3\). Liegt der neue Abschnitt \(5\) Einheiten höher, rechnet man \(-3 + 5 = 2\). Somit ist \(t = 2\) und die Gleichung lautet \(k(x) = 1{,}5x + 2\).

a) \(m = 1{,}5, S(0|-3)\) b) \(h(x) = 1{,}5x\) c) \(k(x) = 1{,}5x + 2\)

- Welcher Teil der Funktionsgleichung gibt an, wo die Gerade die vertikale Achse schneidet? - Was bedeutet es für die Steigung, wenn eine Gerade flach wie der Horizont liegt? - Was wissen wir über den \(y\)-Achsenabschnitt einer Ursprungsgeraden?

1. Eine vertikale Verschiebung um \(5\) Einheiten nach oben bedeutet eine Addition von \(5\) zum \(y\)-Achsenabschnitt \(t\). Da \(t = -3\), ist der neue Wert \(t = -3 + 5 = 2\). Die Steigung \(m = 2\) bleibt gleich. Die neue Gleichung lautet \(f(x) = 2x + 2\). 2. Eine Gerade ist parallel zur \(x\)-Achse, wenn ihre Steigung \(m = 0\) ist. Da der \(y\)-Achsenabschnitt \(t = -3\) gleich bleibt, lautet die neue Gleichung \(f(x) = -3\). 3. Damit eine Gerade durch den Ursprung \((0|0)\) verläuft, muss der \(y\)-Achsenabschnitt \(t = 0\) sein. Da die Steigung \(m = 2\) unverändert bleibt, lautet die neue Gleichung \(f(x) = 2x\).

a) \(t\) erhöht sich um \(5\); neue Gleichung: \(f(x) = 2x + 2\). b) \(m\) wird zu \(0\); neue Gleichung: \(f(x) = -3\). c) \(t\) wird zu \(0\); neue Gleichung: \(f(x) = 2x\).

- Welche Parameter musst du vergleichen, um Parallelität zu erkennen? - Wie kannst du Brüche und Dezimalzahlen so darstellen, dass ihre Steigungen leicht vergleichbar sind? - Welcher Parameter in \(y=mx+t\) bestimmt den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse?

1. Die Parameter lauten: \(f_1: m_1=\frac{2}{5}=0{,}4\), \(t_1=3\); \(f_2: m_2=0{,}4\), \(t_2=-1\); \(f_3: m_3=2{,}5\), \(t_3=3\); \(f_4: m_4=\frac{5}{2}=2{,}5\), \(t_4=-4\); \(f_5: m_5=-0{,}4\), \(t_5=3\). 2. Gleiche Steigungen liefern parallele Geraden. Daher gilt \(f_1\parallel f_2\) und \(f_3\parallel f_4\). 3. Für \(f_1\), \(f_3\) und \(f_5\) gilt jeweils \(t=3\). Diese Geraden schneiden die \(y\)-Achse im Punkt \((0 \mid 3)\).

a) Parallel sind \(f_1\) und \(f_2\) sowie \(f_3\) und \(f_4\). b) \(f_1\), \(f_3\) und \(f_5\) schneiden die \(y\)-Achse im Punkt \((0 \mid 3)\).

- Wie setzt man die Koordinaten eines Punktes in eine Funktionsgleichung ein? - Was bedeutet es für die Gleichung, wenn ein Punkt auf der Geraden liegt? - Wenn die y-Koordinate bekannt ist, wie kannst du die Gleichung nach dem unbekannten x-Wert auflösen?

1. Punktprobe für \(A(-2|6)\): Einsetzen von \(x = -2\) in die Gleichung ergibt \(y = -1{,}5 \cdot (-2) + 3 = 3 + 3 = 6\). Da \(6 = 6\), liegt \(A\) auf der Geraden. 2. Punktprobe für \(B(4|-3)\): Einsetzen von \(x = 4\) ergibt \(y = -1{,}5 \cdot 4 + 3 = -6 + 3 = -3\). Da \(-3 = -3\), liegt \(B\) auf der Geraden. 3. Berechnung von \(k\) für \(C(k|0)\): Einsetzen von \(y = 0\) ergibt die Gleichung \(0 = -1{,}5k + 3\). 4. Umstellen nach \(k\): \(1{,}5k = 3 \Rightarrow k = 2\).

a) Ja, beide Punkte \(A\) und \(B\) liegen auf der Geraden. b) Der Wert für \(k\) ist \(2\).

- Was gibt der Wert vor dem \(x\) in der Funktionsgleichung über die Steigung an? - Wie berechnet man die Steigung, wenn man weiß, wie weit man nach rechts und wie weit man nach oben geht? - Spielt es eine Rolle, ob man in Zentimetern, Einheiten oder Kästchen rechnet, solange man auf beiden Achsen denselben Maßstab nutzt? - Was passiert mit dem Vorzeichen der Steigung, wenn man sich nach links oder nach unten bewegt?

Die Steigung der Funktion beträgt \(m = 1{,}2\). Für ein korrektes Steigungsdreieck muss das Verhältnis von vertikaler Änderung (\(\Delta y\)) zu horizontaler Änderung (\(\Delta x\)) gleich der Steigung \(m\) sein: \(m = \frac{\Delta y}{\Delta x}\). 1. \(\Delta x = 5\), \(\Delta y = 6\). Verhältnis: \(\frac{6}{5} = 1{,}2\). Korrekt. 2. \(\Delta x = 10\), \(\Delta y = 12\). Verhältnis: \(\frac{12}{10} = 1{,}2\). Korrekt. (Die Einheit Kästchen kürzt sich im Verhältnis heraus). 3. \(\Delta x = 2\), \(\Delta y = 2{,}4\). Verhältnis: \(\frac{2{,}4}{2} = 1{,}2\). Korrekt. 4. \(\Delta x = 6\), \(\Delta y = 5\). Verhältnis: \(\frac{5}{6} \approx 0{,}83\). Falsch. 5. \(\Delta x = -5\) (links), \(\Delta y = -6\) (unten). Verhältnis: \(\frac{-6}{-5} = 1{,}2\). Korrekt.

1. Korrekt 2. Korrekt 3. Korrekt 4. Falsch 5. Korrekt

- Welche x-Werte führen bei einem Bruch als Steigung zu einem ganzzahligen Ergebnis? - Der y-Achsenabschnitt ist oft ein guter erster Punkt. - Überlege dir, wie du die Dezimalzahl in einen Bruch umwandeln kannst.

1. Für die Funktion \(f(x) = \frac{3}{5}x - 1\): Wähle \(x\)-Werte, die Vielfache des Nenners \(5\) sind. - Für \(x = 0\) ergibt sich \(f(0) = \frac{3}{5} \cdot 0 - 1 = -1\). Punkt: \((0|-1)\). - Für \(x = 5\) ergibt sich \(f(5) = \frac{3}{5} \cdot 5 - 1 = 3 - 1 = 2\). Punkt: \((5|2)\). 2. Für die Funktion \(g(x) = -1{,}2x + 2\): Schreibe die Steigung als Bruch: \(-1{,}2 = -\frac{12}{10} = -\frac{6}{5}\). Wähle \(x\)-Werte, die Vielfache von \(5\) sind. - Für \(x = 0\) ergibt sich \(g(0) = -1{,}2 \cdot 0 + 2 = 2\). Punkt: \((0|2)\). - Für \(x = 5\) ergibt sich \(g(5) = -1{,}2 \cdot 5 + 2 = -6 + 2 = -4\). Punkt: \((5|-4)\).

Mögliche Punkte sind: a) \((0|-1)\) und \((5|2)\) b) \((0|2)\) und \((5|-4)\)

- Vergleiche für jeden vorgeschlagenen Weg die vertikale mit der horizontalen Änderung. - Achte besonders darauf, wie sich die Vorzeichen bei Bewegungen nach links, rechts, oben und unten auswirken. - Prüfe zusätzlich, ob ein mathematisch korrekter Weg auch praktisch gut auf einem Kästchenraster einzuzeichnen ist.

1. Die Steigung der Funktion ist \(m = -\frac{3}{4} = -0{,}75\). 2. Für Weg 1 sind \(\Delta x = 4\) und \(\Delta y = -3\). Es gilt \(\frac{-3}{4} = -0{,}75\). Der Weg ist korrekt. 3. Für Weg 2 sind \(\Delta x = 1\) und \(\Delta y = -0{,}75\). Es gilt \(\frac{-0{,}75}{1} = -0{,}75\). Der Weg ist mathematisch korrekt, jedoch auf kariertem Papier schwer exakt umzusetzen. 4. Für Weg 3 sind \(\Delta x = -8\) und \(\Delta y = 6\). Es gilt \(\frac{6}{-8} = -0{,}75\). Auch dieser Weg ist korrekt.

Alle drei Wege sind mathematisch korrekt, da sie jeweils die Steigung \(m = -0{,}75\) ergeben. Weg 1 und Weg 3 sind auf kariertem Papier am einfachsten einzuzeichnen, da sie nur ganze Kästchen verwenden.

- Was bedeutet es für den Graphen, wenn ein konstanter Wert zu \(f(x)\) addiert wird? - Wie findet man rechnerisch heraus, wo ein Graph die Achsen berührt oder kreuzt? - Überlege dir, was mit einem Punkt \((x \mid y)\) passiert, wenn man das Vorzeichen von \(x\) in der Funktionsgleichung umkehrt.

1. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(f(0) = -2\), also \(S_y(0 \mid -2)\). Nullstelle: \(0 = \frac{2}{5}x - 2 \implies 2 = \frac{2}{5}x \implies x = 5\), also \(S_x(5 \mid 0)\). 2. Durch die Änderung des konstanten Glieds von \(-2\) zu \(2\) wird der Graph um \(4\) Einheiten in Richtung der positiven \(y\)-Achse verschoben. 3. Die Änderung des Vorzeichens der Steigung von \(m\) zu \(-m\) bei gleichbleibendem \(y\)-Achsenabschnitt entspricht einer Spiegelung des Graphen an der \(y\)-Achse.

1. Nullstelle \(S_x(5 \mid 0)\); Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \((0 \mid -2)\). 2. Der Graph wird um \(4\) Einheiten nach oben verschoben. 3. Es handelt sich um eine Spiegelung an der \(y\)-Achse.

- Welche Achsenschnittpunkte und Steigungsrichtungen kannst du aus den Funktionsgleichungen bestimmen? - Welche Vorzeichen haben \(x\) und \(y\) in den vier Quadranten? - Was ist bei einer Ursprungsgeraden oder einer waagerechten Geraden besonders?

1. Für \(f(x)=1{,}5x-3\) gilt \(m=1{,}5>0\) und \(t=-3\). Der Graph schneidet die negative \(y\)-Achse bei \((0 \mid -3)\) und die positive \(x\)-Achse bei \((2 \mid 0)\). Für \(x<0\) liegt er im III. Quadranten, für \(0<x<2\) im IV. und für \(x>2\) im I. Quadranten. Also: I, III, IV. 2. Für \(g(x)=-x\) gilt \(m=-1\) und \(t=0\). Als Ursprungsgerade mit negativer Steigung verläuft sie durch die Quadranten II und IV. 3. Für \(h(x)=4\) gilt \(m=0\) und \(t=4\). Die waagerechte Gerade liegt oberhalb der \(x\)-Achse und verläuft durch die Quadranten I und II.

1) I, III, IV 2) II, IV 3) I, II

- Was müsste für die Steigungen zwischen den Punktpaaren gelten, damit sie auf einer Geraden liegen? - Berechne die Steigung für zwei verschiedene Paare der gegebenen Punkte. - Erinnere dich an das Steigungsdreieck: Differenz der y-Werte geteilt durch Differenz der x-Werte.

1. Berechnung der Steigung \(m_1\) zwischen \(P(-2 | 5)\) und \(Q(2 | 3)\): \(m_1 = \frac{3 - 5}{2 - (-2)} = \frac{-2}{4} = -0{,}5\). 2. Berechnung der Steigung \(m_2\) zwischen \(Q(2 | 3)\) und \(R(5 | 1)\): \(m_2 = \frac{1 - 3}{5 - 2} = -\frac{2}{3} \approx -0{,}67\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Da \(m_1 \neq m_2\), ist die Steigung zwischen den Punkten nicht konstant. Folglich liegen die Punkte nicht auf einer gemeinsamen Geraden.

Nein, die Punkte liegen nicht auf einer Geraden, da die Steigung zwischen \(P\) und \(Q\) (\(m = -0{,}5\)) nicht mit der Steigung zwischen \(Q\) und \(R\) (\(m \approx -0{,}67\)) übereinstimmt.

- Welche Länge zeigt die Tabelle bei einer Masse von \(0\,\text{g}\)? - Wie kannst du aus zwei Tabellenpaaren die konstante Änderung der Länge pro Gramm bestimmen? - Welche Bedeutung haben Anfangswert und Änderungsrate im Experiment?

1. Aus der Tabelle folgt für \(x=0\) die Länge \(12\,\text{cm}\). Daher ist \(t=12\). 2. Mit den Punkten \((0 \mid 12)\) und \((50 \mid 14{,}5)\) ergibt sich \(m=\frac{14{,}5-12}{50-0}=\frac{2{,}5}{50}=0{,}05\). 3. Damit lautet die Funktionsgleichung \(f(x)=0{,}05x+12\). 4. Der Achsenabschnitt \(t=12\) beschreibt die Ausgangslänge der unbelasteten Feder von \(12\,\text{cm}\). Die Steigung \(m=0{,}05\) bedeutet, dass die Feder pro zusätzlichem Gramm Masse um \(0{,}05\,\text{cm}\) länger wird.

a) \(f(x)=0{,}05x+12\) b) \(t=12\) beschreibt die unbelastete Federlänge von \(12\,\text{cm}\); \(m=0{,}05\) beschreibt die Längenzunahme in \(\text{cm}\) pro Gramm.

- Wie verändert sich das Vorzeichen von \(x\) oder \(y\), wenn man an den Achsen spiegelt? - Welche Eigenschaft einer linearen Funktion bestimmt, ob zwei Geraden parallel sind? - Überlege dir, wie sich eine Spiegelung auf das Steigungsdreieck auswirkt.

1. Spiegelung an der \(y\)-Achse: Ersetze \(x\) durch \(-x\). \(h_1(x) = -1{,}5(-x) + 6 = 1{,}5x + 6\). 2. Spiegelung an der \(x\)-Achse: Multipliziere den gesamten Funktionsterm mit \(-1\). \(h_2(x) = -(-1{,}5x + 6) = 1{,}5x - 6\). 3. Vergleich der Steigungen: Die Steigung von \(h_1\) ist \(m_1 = 1{,}5\). Die Steigung von \(h_2\) ist \(m_2 = 1{,}5\). 4. Da \(m_1 = m_2\) gilt, sind die Graphen von \(h_1\) und \(h_2\) parallel zueinander. Sie haben lediglich unterschiedliche \(y\)-Achsenabschnitte (\(6\) und \(-6\)).

a) \(h_1(x) = 1{,}5x + 6\) b) \(h_2(x) = 1{,}5x - 6\) c) Ja, sie sind parallel, da beide die Steigung \(m = 1{,}5\) besitzen.

- Welche Gleichung beschreibt eine Nullstelle einer linearen Funktion? - Welche Bedingung muss eine Darstellung erfüllen, damit sie ein Funktionsgraph ist? - Welchen Funktionswert hat eine waagerechte Gerade überall?

1. Aussage a) ist wahr. Eine Nullstelle erfüllt \(mx+t=0\). Für \(m\ne 0\) lässt sich eindeutig zu \(x=-\frac{t}{m}\) umformen. 2. Aussage b) ist wahr. Eine senkrechte Gerade wie \(x=3\) ordnet demselben \(x\)-Wert mehrere \(y\)-Werte zu und ist deshalb kein Funktionsgraph \(y=f(x)\). Sie kann nicht in der Form \(y=mx+t\) geschrieben werden. 3. Aussage c) ist wahr. Eine waagerechte Gerade hat \(m=0\) und damit die Form \(f(x)=t\). Liegt sie nicht auf der \(x\)-Achse, gilt \(t\ne 0\), sodass der Funktionswert \(0\) nie erreicht wird.

a) Wahr. b) Wahr. c) Wahr.

- Überlege bei einem Achsenschnittpunkt, welche der beiden Koordinaten dort gleich null ist. - Vergleiche bei b) die beschriebene horizontale und vertikale Änderung mit der gegebenen Steigung. - Untersuche bei c), welcher Parameter der Funktionsgleichung verändert wird und welcher unverändert bleibt.

1. Für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse wird \(x = 0\) gesetzt. Daraus folgt \(f(0) = -3\), also \(S_y(0 \mid -3)\). 2. Für den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse wird \(f(x) = 0\) gesetzt: \(1{,}5x - 3 = 0\), also \(1{,}5x = 3\) und \(x = 2\). Damit ist \(S_x(2 \mid 0)\). 3. Bei zwei Einheiten nach rechts gilt \(\Delta x = 2\), bei drei Einheiten nach oben \(\Delta y = 3\). Der Quotient \(\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{3}{2}=1{,}5\) stimmt mit der Steigung der Geraden überein. Die Aussage ist korrekt. 4. Der konstante Term ist der \(y\)-Achsenabschnitt. Die Änderung von \(-3\) auf \(+1\) verschiebt die Gerade bei unveränderter Steigung um \(4\) Einheiten parallel nach oben.

a) Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \((0 \mid -3)\) Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \((2 \mid 0)\) b) Die Aussage ist korrekt, da die Steigung \(m = \frac{3}{2} = 1{,}5\) beträgt. c) Die Gerade wird um \(4\) Einheiten parallel nach oben verschoben.

- Welchen Punkt liefert der \(y\)-Achsenabschnitt \(t\) direkt? - Wie kannst du mit der Steigung von diesem Punkt aus einen zweiten Punkt konstruieren? - Wo schneidet der gezeichnete Graph die Höhe \(y=1\)?

1. Aus der Funktionsgleichung liest man die Steigung \(m=-1{,}5\) und den \(y\)-Achsenabschnitt \(t=4\) ab. 2. Beginne beim Punkt \((0 \mid 4)\). Mit der Steigung erhält man zum Beispiel als weiteren Punkt \((2 \mid 1)\). 3. Zeichne die Gerade durch diese Punkte und betrachte die Höhe \(y=1\). 4. Der Schnittpunkt liegt bei \((2 \mid 1)\). Daher ist die grafische Lösung \(x=2\).

Die grafische Lösung von \(f(x)=1\) ist \(x=2\).

- Zeichne zuerst den Graphen von \(f\) und finde den Punkt mit der Höhe 3. - Was passiert mit allen Punkten eines Graphen, wenn man ihn „nach oben verschiebt“? - Schau dir an, wo der neue Graph die Höhe 3 erreicht, im Vergleich zum alten Graphen.

1. Lösung für \(f(x) = 3\): Zeichnen der Geraden durch \((0|1)\) und \((2|2)\). Bei \(y = 3\) wird der x-Wert \(x = 4\) abgelesen. 2. Neue Funktion \(g\): Durch die Verschiebung um \(2\) nach oben lautet die neue Gleichung \(g(x) = \frac{1}{2}x + 3\). Der y-Achsenabschnitt liegt nun bei \((0|3)\). 3. Lösung für \(g(x) = 3\): Da der Graph von \(g\) die y-Achse bereits bei \(y = 3\) schneidet, ist die Lösung direkt ablesbar: \(x = 0\). 4. Begründung: Durch die Verschiebung nach oben startet der Graph bei einem höheren Wert. Um denselben Zielwert (\(y = 3\)) zu erreichen, muss man bei gleichbleibender Steigung weniger weit nach rechts auf der x-Achse gehen.

a) \(x = 4\). b) \(x = 0\). c) Da der Graph von \(g\) höher startet als \(f\), erreicht er den Zielwert \(y = 3\) „früher“, also bei einem kleineren x-Wert.

- Wie kannst du den passenden y-Wert auf der Geraden für einen gegebenen x-Wert berechnen? - Was bedeutet es für die Position des Punktes, wenn sein y-Wert größer oder kleiner als der berechnete Wert auf der Geraden ist? - Vergleiche den gegebenen y-Wert des Punktes direkt mit dem Ergebnis deiner Rechnung.

1. Berechnung des \(y\)-Wertes auf der Geraden für \(x_P = 2\): \(y_g = 1{,}2 \cdot 2 + 0{,}5 = 2{,}9\). Da \(y_P = 2{,}9\), liegt \(P\) auf der Geraden. 2. Berechnung für \(x_Q = -1\): \(y_g = 1{,}2 \cdot (-1) + 0{,}5 = -0{,}7\). Da \(y_Q = -1\) kleiner als \(-0{,}7\) ist, liegt \(Q\) unterhalb der Geraden. 3. Berechnung für \(x_R = 5\): \(y_g = 1{,}2 \cdot 5 + 0{,}5 = 6{,}5\). Da \(y_R = 6{,}5\), liegt \(R\) auf der Geraden.

\(P(2 \mid 2{,}9)\) liegt auf der Geraden. \(Q(-1 \mid -1)\) liegt unterhalb der Geraden. \(R(5 \mid 6{,}5)\) liegt auf der Geraden.

- Kannst du eine der beiden Variablen frei wählen und anschließend die andere bestimmen? - Was geschieht, wenn du für \(x\) eine negative Zahl einsetzt? - Wie kannst du die Gleichung so umformen, dass sie als Funktionsgleichung gelesen werden kann? - Welche geometrische Bedeutung haben Zahlenpaare, die eine lineare Gleichung erfüllen?

1. Für \(x=0\) ergibt sich \(-2y=6\), also \(y=-3\). Damit ist \((0 \mid -3)\) eine Lösung. 2. Für \(y=0\) ergibt sich \(3x=6\), also \(x=2\). Damit ist \((2 \mid 0)\) eine Lösung. 3. Für \(x=4\) ergibt sich \(12-2y=6\), also \(y=3\). Damit ist \((4 \mid 3)\) eine weitere Lösung. 4. Auch zwei negative Koordinaten sind möglich. Für \(x=-2\) ergibt sich \(y=-6\), also ist \((-2 \mid -6)\) eine Lösung. 5. Nach \(y\) umgeformt lautet die Gleichung \(y=1{,}5x-3\). Alle Lösungspaare sind genau die Punkte auf dem Graphen dieser linearen Funktion.

a) Zum Beispiel \((0 \mid -3)\), \((2 \mid 0)\) und \((4 \mid 3)\) b) Ja, zum Beispiel \((-2 \mid -6)\). c) \(y=1{,}5x-3\); die Lösungspaare sind die Punkte auf dieser Geraden.

- Setze die \(x\)- und \(y\)-Werte der Punkte nacheinander in die Gleichungen ein. - Überprüfe, ob die linke Seite der Gleichung nach dem Einsetzen denselben Wert ergibt wie die rechte Seite. - Achte besonders auf die Vorzeichen beim Einsetzen negativer Zahlen oder beim Subtrahieren. - Ein Punkt ist nur dann eine Lösung, wenn die Gleichung eine wahre Aussage ergibt.

1. Prüfung von Gleichung (1) \(y = 3x - 5\): Einsetzen von \(A(3 \mid 4)\) ergibt \(4 = 3 \cdot 3 - 5 = 4\). Das Paar \(A\) ist die Lösung für (1). 2. Prüfung von Gleichung (2) \(2x + 4y = 12\): Einsetzen von \(B(0 \mid 3)\) ergibt \(2 \cdot 0 + 4 \cdot 3 = 12\). Das Paar \(B\) ist die Lösung für (2). 3. Prüfung von Gleichung (3) \(x - y = 6\): Einsetzen von \(C(7 \mid 1)\) ergibt \(7 - 1 = 6\). Das Paar \(C\) ist die Lösung für (3). 4. Prüfung von Gleichung (4) \(y = -0{,}5x + 2\): Einsetzen von \(D(4 \mid 0)\) ergibt \(0 = -0{,}5 \cdot 4 + 2 = 0\). Das Paar \(D\) ist die Lösung für (4). 5. Das übrig gebliebene Wertepaar ist \(E(2 \mid 3)\). Es erfüllt keine der vier Gleichungen.

Die Zuordnungen lauten: (1) \(\rightarrow A(3 \mid 4)\) (2) \(\rightarrow B(0 \mid 3)\) (3) \(\rightarrow C(7 \mid 1)\) (4) \(\rightarrow D(4 \mid 0)\) Das Paar \(E(2 \mid 3)\) bleibt übrig.

- Welche Koordinate bleibt auf einer senkrechten Gerade immer gleich? - Welche Koordinate bleibt auf einer waagerechten Gerade immer gleich? - Wie viele \(y\)-Werte darf ein einzelner \(x\)-Wert bei einem Funktionsgraphen besitzen?

1. Auf einer senkrechten Geraden ist die \(x\)-Koordinate konstant. Da \(A(3 \mid -2)\) auf \(g\) liegt, lautet die Gleichung \(x=3\). Die Gerade ist parallel zur \(y\)-Achse. 2. \(x=3\) ist kein Graph einer Funktion \(y=f(x)\), weil dem Wert \(x=3\) unendlich viele \(y\)-Werte zugeordnet wären. 3. Auf einer waagerechten Geraden ist die \(y\)-Koordinate konstant. Daher lautet die Gleichung von \(h\): \(y=-2\). 4. Auf \(g\) liegen zum Beispiel \((3 \mid 0)\) und \((3 \mid 5)\). Auf \(h\) liegen zum Beispiel \((0 \mid -2)\) und \((1 \mid -2)\).

a) \(g: x=3\); \(g\) ist kein Funktionsgraph \(y=f(x)\). b) \(h: y=-2\) c) Zum Beispiel auf \(g\): \((3 \mid 0)\), \((3 \mid 5)\); auf \(h\): \((0 \mid -2)\), \((1 \mid -2)\)

- Wie kannst du die Gleichung so umformen, dass \(y\) allein steht? - Welche beliebigen \(x\)-Werte eignen sich, um leicht drei Punkte zu berechnen? - Welche Bedingung muss ein Punkt erfüllen, um zur Lösungsmenge der Gleichung zu gehören?

1. Aus \(\frac{1}{2}y-x=1\) folgt \(\frac{1}{2}y=x+1\). Multiplikation mit \(2\) ergibt die explizite Form \(y=2x+2\). 2. Zum Beispiel erhält man für \(x=0\) den Punkt \((0 \mid 2)\), für \(x=1\) den Punkt \((1 \mid 4)\) und für \(x=-1\) den Punkt \((-1 \mid 0)\). 3. Für \(P(5 \mid 12)\) gilt \(2\cdot 5+2=12\). Der Punkt erfüllt die Gleichung und liegt daher auf der Geraden.

a) \(y=2x+2\) b) Zum Beispiel \((0 \mid 2)\), \((1 \mid 4)\), \((-1 \mid 0)\) c) Ja, \(P(5 \mid 12)\) ist eine Lösung.

- An welcher Stelle schneidet ein Graph die y-Achse? Welchen Wert hat dort die x-Koordinate? - Was muss für den y-Wert gelten, wenn ein Punkt auf der x-Achse liegt? - Kannst du die Gleichung nach der gesuchten Variable umstellen?

1. Bestimmung des Schnittpunkts mit der y-Achse: Durch Einsetzen von \(x = 0\) in die Funktionsgleichung ergibt sich \(y = 4\). Somit liegt der Schnittpunkt bei \(S_y(0 | 4)\). 2. Bestimmung des Schnittpunkts mit der x-Achse: Setze den Funktionswert gleich Null (\(y = 0\)), woraus die Gleichung \(0 = \frac{2}{5}x + 4\) folgt. 3. Lösung der Gleichung: Subtraktion von \(4\) auf beiden Seiten ergibt \(-4 = \frac{2}{5}x\). Multiplikation mit \(\frac{5}{2}\) führt zu \(x = -10\). Der Schnittpunkt liegt bei \(S_x(-10 | 0)\).

Die Schnittpunkte sind \(S_y(0 | 4)\) und \(S_x(-10 | 0)\).

- Wie gehst du vor, um zu testen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt oder eine Gleichung erfüllt? - Wenn du eine Variable frei wählst, wie kannst du dann die andere berechnen? - Stell dir die Gleichung als Gerade in einem Koordinatensystem vor. Wie viele Punkte liegen auf einer Geraden?

1. Prüfung der Zahlenpaare: Einsetzen von \((3|0)\) ergibt \(2 \cdot 3 - 3 \cdot 0 = 6 - 0 = 6\). Die Aussage ist wahr, also ist \((3|0)\) eine Lösung. Einsetzen von \((0|2)\) ergibt \(2 \cdot 0 - 3 \cdot 2 = 0 - 6 = -6\). Da \(-6 \neq 6\), ist \((0|2)\) keine Lösung. 2. Bestimmung weiterer Lösungen: Wähle einen beliebigen Wert für \(x\), zum Beispiel \(x = 6\). Einsetzen ergibt \(2 \cdot 6 - 3y = 6 \Rightarrow 12 - 3y = 6 \Rightarrow -3y = -6 \Rightarrow y = 2\). Ein weiteres Paar ist \((6|2)\). Wähle \(x = 0\). Einsetzen ergibt \(2 \cdot 0 - 3y = 6 \Rightarrow -3y = 6 \Rightarrow y = -2\). Ein weiteres Paar ist \((0|-2)\). 3. Anzahl der Lösungen: Die Gleichung hat unendlich viele Lösungen. Zu jedem beliebigen Wert für \(x\) lässt sich durch Umstellen der Gleichung nach \(y\) (hier \(y = \frac{2}{3}x - 2\)) ein eindeutiger Wert für \(y\) berechnen.

a) \((3|0)\) ist eine Lösung, \((0|2)\) ist keine Lösung. b) Mögliche Lösungen sind z. B. \((6|2)\) und \((0|-2)\). c) Es gibt unendlich viele Lösungen, da man für \(x\) jede beliebige Zahl einsetzen und ein passendes \(y\) berechnen kann.

- Welche zwei Punkte des linearen Modells sind durch die Angaben gegeben? - Wie bestimmst du aus ihnen die konstante Änderung pro Minute? - Welche Bedeutung hat der Funktionswert bei \(x=0\)? - Welche Gleichung beschreibt den Zeitpunkt, an dem \(100\,\%\) erreicht werden?

1. Die Steigung beträgt \(m=\frac{45-15}{20-0}=1{,}5\). Der Ladestand steigt also pro Minute um \(1{,}5\) Prozentpunkte. 2. Der Anfangswert bei \(x=0\) ist \(15\). Damit lautet die Funktionsgleichung \(y=1{,}5x+15\). 3. Für \(y=100\) gilt \(100=1{,}5x+15\). Daraus folgt \(85=1{,}5x\) und \(x=\frac{170}{3}\approx 56{,}7\).

a) \(y=1{,}5x+15\) b) Der Ladestand steigt im Modell um \(1{,}5\) Prozentpunkte pro Minute. c) Nach \(\frac{170}{3}\,\text{min}\approx 56{,}7\,\text{min}\).

- Welcher Wert ändert sich jede Woche und welcher Wert ist von Anfang an da? - Wie kannst du die Wochenanzahl und den Sparbetrag mathematisch verknüpfen? - Was bedeutet es für die Rechnung, wenn ein bestimmtes Zielguthaben vorgegeben ist? - Überlege, welcher Wert auf der \(x\)-Achse und welcher auf der \(y\)-Achse steht.

1. Aufstellen der Funktionsgleichung: Der Startwert beträgt \(45\), die wöchentliche Änderung \(7{,}5\). Die Gleichung lautet \(y = 7{,}5x + 45\). 2. Berechnung der Wertepaare \((x \mid y)\): - Für \(x = 0\): \(y = 7{,}5 \cdot 0 + 45 = 45 \Rightarrow (0 \mid 45)\) - Für \(x = 2\): \(y = 7{,}5 \cdot 2 + 45 = 60 \Rightarrow (2 \mid 60)\) - Für \(x = 4\): \(y = 7{,}5 \cdot 4 + 45 = 75 \Rightarrow (4 \mid 75)\) - Für \(x = 6\): \(y = 7{,}5 \cdot 6 + 45 = 90 \Rightarrow (6 \mid 90)\) - Für \(x = 8\): \(y = 7{,}5 \cdot 8 + 45 = 105 \Rightarrow (8 \mid 105)\) 3. Berechnung der Zeitdauer für \(120{,}00\,\text{€}\): Setze \(y = 120\) in die Gleichung ein: \(120 = 7{,}5x + 45\). Subtraktion von \(45\) ergibt \(75 = 7{,}5x\). Division durch \(7{,}5\) liefert \(x = 10\). Paul hat nach \(10\) Wochen den Betrag erreicht.

1) \(y = 7{,}5x + 45\) 2) Die Punkte sind \((0 \mid 45)\), \((2 \mid 60)\), \((4 \mid 75)\), \((6 \mid 90)\) und \((8 \mid 105)\). 3) Nach \(10\) Wochen.

- Setze die gegebenen Zahlen in die Funktionsgleichungen ein. - Was bemerkst du, wenn du die Ergebnisse von \(g(x)\) mit denen von \(f(x)\) vergleichst? - Überlege, ob die Werte größer oder kleiner werden und was das für den Graphen bedeutet. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Faktor vor dem \(x\) und der Form der Geraden.

1. Berechnung der Funktionswerte: Für \(x = 4\) gilt \(f(4) = 4\) und \(g(4) = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1\). Für \(x = 8\) gilt \(f(8) = 8\) und \(g(8) = \frac{1}{4} \cdot 8 = 2\). 2. Verhältnis der Funktionswerte: Für jedes \(x\) gilt \(g(x) = \frac{1}{4} \cdot x = \frac{1}{4} \cdot f(x)\). Für \(x \neq 0\) ist das Verhältnis \(\frac{g(x)}{f(x)}\) somit konstant \(\frac{1}{4}\). 3. Geometrische Interpretation: Da jeder Funktionswert von \(g\) genau ein Viertel des entsprechenden Funktionswertes von \(f\) beträgt, entsteht der Graph von \(g\) durch eine Stauchung des Graphen von \(f\) in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{4}\).

1. \(f(4) = 4, g(4) = 1\); \(f(8) = 8, g(8) = 2\). 2. Für \(x \neq 0\) gilt \(\frac{g(x)}{f(x)} = \frac{1}{4}\); äquivalent ist \(g(x) = \frac{1}{4} \cdot f(x)\). 3. Der Graph von \(g\) entsteht durch eine Stauchung des Graphen von \(f\) in \(y\)-Richtung um den Faktor \(\frac{1}{4}\).

- Was passiert mit dem Abstand eines Punktes zur x-Achse, wenn er an dieser gespiegelt wird? - Betrachte einen Punkt auf der Geraden, zum Beispiel den Schnittpunkt mit einer der Achsen. Wo landet dieser Punkt nach der Spiegelung? - Wenn du die y-Werte der ursprünglichen Funktion mit -1 multiplizierst, was ändert sich grafisch?

1. Bei einer Spiegelung an der \(x\)-Achse bleibt die \(x\)-Koordinate eines Punktes gleich, während die \(y\)-Koordinate ihr Vorzeichen wechselt. Ein Punkt \(P(x \mid y)\) wird also auf \(P'(x \mid -y)\) abgebildet. 2. Setzt man den Zusammenhang \(-y_{neu} = y_{alt}\) in die ursprüngliche Gleichung \(y = 3x - 6\) ein, erhält man \(-y_{neu} = 3x - 6\). 3. Durch Multiplikation mit \(-1\) ergibt sich die neue Funktionsgleichung \(y = -3x + 6\). 4. Überprüfung mit einem Beispielpunkt: Der Punkt \(P(2 \mid 0)\) liegt auf \(g\) (\(3 \cdot 2 - 6 = 0\)). Sein Spiegelpunkt an der \(x\)-Achse ist ebenfalls \((2 \mid 0)\). Einsetzen in \(h\): \(-3 \cdot 2 + 6 = 0\). Der Punkt \(P(0 \mid -6)\) auf \(g\) wird zu \(P'(0 \mid 6)\) auf \(h\): \(-3 \cdot 0 + 6 = 6\). Dies bestätigt die Herleitung.

a) Die Funktionsgleichung von \(h\) lautet \(y = -3x + 6\). b) Bei der Spiegelung an der \(x\)-Achse wird aus \(y\) der Wert \(-y\). Die Gleichung \(y = 3x - 6\) wird zu \(-y = 3x - 6\), was aufgelöst \(y = -3x + 6\) ergibt.

- Kannst du am Verlauf der Geraden von links nach rechts erkennen, ob die Werte steigen oder fallen? - Überlege, was eine waagerechte Gerade für die Änderung der \(y\)-Werte bedeutet. - Was passiert bei einer senkrechten Geraden? Kann man dort einen Steigungswert berechnen? - Um den genauen Wert der Steigung zu ermitteln, kannst du die Koordinatendifferenzen zweier gut ablesbarer Gitterpunkte verwenden.

1. **Teilaufgabe (a):** Die Gerade steigt von links nach rechts, daher ist die Steigung positiv. Durch Ablesen zweier Punkte, z. B. \(P_1(0 \mid -1)\) und \(P_2(1 \mid 1)\), bestimmen wir die Steigung: \(m = \frac{1 - (-1)}{1 - 0} = 2\). 2. **Teilaufgabe (b):** Die Gerade fällt von links nach rechts, daher ist die Steigung negativ. Durch Ablesen zweier Punkte, z. B. \(P_1(0 \mid 2)\) und \(P_2(2 \mid 1)\), bestimmen wir die Steigung: \(m = \frac{1 - 2}{2 - 0} = -0{,}5\). 3. **Teilaufgabe (c):** Die Gerade verläuft horizontal. Da der \(y\)-Wert für alle \(x\) konstant bleibt, ist die Steigung null: \(m = 0\). 4. **Teilaufgabe (d):** Die Gerade verläuft vertikal. Da sich der \(x\)-Wert nicht ändert, wäre die Differenz im Nenner gleich null. Eine Division durch null ist nicht definiert, daher ist die Steigung nicht definiert.

(a) positiv, \(m = 2\) (b) negativ, \(m = -0{,}5\) (c) null, \(m = 0\) (d) nicht definiert

- Wie liest du den \(y\)-Achsenabschnitt \(t\) einer Geraden direkt an der \(y\)-Achse ab? - Wie hilft dir ein Steigungsdreieck dabei, die Steigung \(m\) zu berechnen? - Was zeichnet den Graphen einer proportionalen Zuordnung im Vergleich zu anderen Geraden aus? - Welche Eigenschaft müssen die Steigungen zweier Geraden haben, damit die Geraden parallel zueinander verlaufen?

1. **Funktionsgleichungen bestimmen:** - Jede lineare Funktion hat die Form \(y = mx + t\). Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liefert \(t\), das Steigungsdreieck liefert \(m\). - Für \(f\): Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist bei \((0 \mid 1)\), also \(t = 1\). Mit dem Steigungsdreieck (z. B. von \((0 \mid 1)\) nach \((2 \mid 4)\)) ergibt sich \(m = \frac{4 - 1}{2 - 0} = 1{,}5\). Die Gleichung ist \(f(x) = 1{,}5x + 1\). - Für \(g\): Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist bei \((0 \mid -2)\), also \(t = -2\). Das Steigungsdreieck (z. B. von \((0 \mid -2)\) nach \((2 \mid 1)\)) liefert \(m = \frac{1 - (-2)}{2 - 0} = 1{,}5\). Die Gleichung ist \(g(x) = 1{,}5x - 2\). - Für \(h\): Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist bei \((0 \mid 0)\), also \(t = 0\). Das Steigungsdreieck (z. B. von \((0 \mid 0)\) nach \((2 \mid 3)\)) liefert \(m = \frac{3 - 0}{2 - 0} = 1{,}5\). Die Gleichung ist \(h(x) = 1{,}5x\). 2. **Proportionale Zuordnung identifizieren:** - Die Funktion \(h\) ist proportional. - Am Graphen: Der Graph ist eine Ursprungsgerade, die durch den Punkt \((0 \mid 0)\) verläuft. - An der Gleichung: Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(t = 0\), d. h. die Gleichung hat die Form \(y = mx\). 3. **Lagebeziehung beschreiben:** - Die drei Geraden verlaufen parallel zueinander. - Dies erkennt man daran, dass alle drei Funktionsgleichungen dieselbe Steigung \(m = 1{,}5\) besitzen.

a) \(f(x) = 1{,}5x + 1\), \(g(x) = 1{,}5x - 2\), \(h(x) = 1{,}5x\) b) Die Funktion \(h\) ist proportional, da ihr Graph eine Ursprungsgerade ist (Verlauf durch \((0 \mid 0)\)) und ihre Gleichung die Form \(y = mx\) hat (kein konstanter Summand, \(t = 0\)). c) Die drei Geraden sind parallel zueinander, da sie alle dieselbe Steigung \(m = 1{,}5\) besitzen.

- Bestimme zuerst für jeden Graphen den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse. Dieser liefert den Parameter \(t\) in \(y=mx+t\). - Bestimme anschließend die Steigung mit einem geeigneten Steigungsdreieck. - Achte darauf, ob der Graph von links nach rechts steigt oder fällt. - Vergleiche die beiden ermittelten Parameter mit den vorgegebenen Termen.

1. Graph \(a\) schneidet die \(y\)-Achse bei \(t=1\) und hat die Steigung \(m=2\). Daher gehört er zu Term 3: \(y=2x+1\). 2. Graph \(b\) schneidet die \(y\)-Achse bei \(t=3\) und hat die Steigung \(m=-\frac{1}{2}\). Daher gehört er zu Term 4: \(y=-\frac{1}{2}x+3\). 3. Graph \(c\) schneidet die \(y\)-Achse bei \(t=-1\) und hat die Steigung \(m=-2\). Daher gehört er zu Term 1: \(y=-2x-1\). 4. Graph \(d\) schneidet die \(y\)-Achse bei \(t=-2\) und hat die Steigung \(m=\frac{1}{2}\). Daher gehört er zu Term 2: \(y=\frac{1}{2}x-2\).

\(a\to 3\), \(b\to 4\), \(c\to 1\), \(d\to 2\). Die Terme 5 und 6 bleiben übrig.

- Eine lineare Funktionsgleichung kann in der Form \(y=mx+t\) geschrieben werden. - Welcher Parameter beschreibt den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse? - Wie kannst du die Steigung aus zwei gut ablesbaren Gitterpunkten bestimmen? - Welcher Parameter muss bei verschiedenen Geraden gleich sein, damit sie parallel verlaufen?

1. Die Gerade \(f\) schneidet die \(y\)-Achse bei \(3\). Bei einer waagerechten Änderung um \(2\) fällt sie um \(1\); daher ist \(m=-\frac{1}{2}\) und \(f: y=-0{,}5x+3\). 2. Für \(g\) gilt dieselbe Steigung und der \(y\)-Achsenabschnitt \(1\). Damit ist \(g: y=-0{,}5x+1\). 3. Für \(h\) gilt dieselbe Steigung und der \(y\)-Achsenabschnitt \(-2\). Damit ist \(h: y=-0{,}5x-2\). 4. Alle drei Geraden haben dieselbe Steigung \(m=-0{,}5\). Deshalb verlaufen sie parallel.

\(f: y=-0{,}5x+3\), \(g: y=-0{,}5x+1\), \(h: y=-0{,}5x-2\). Die Geraden sind parallel, weil sie dieselbe Steigung \(m=-0{,}5\) haben.

- Vergleiche zuerst, wo die drei Graphen die \(y\)-Achse schneiden. - Welche der gegebenen Funktionen ist eine Ursprungsgerade? - Vergleiche bei den fallenden Geraden die Beträge ihrer Steigungen.

1. Die Funktion \(a(x)=-\frac{2}{3}x+1\) hat den \(y\)-Achsenabschnitt \(1\) und eine negative Steigung mit Betrag \(\frac{2}{3}\). Das ist Graph \(p\). 2. Die Funktion \(b(x)=\frac{3}{2}x-2\) hat den \(y\)-Achsenabschnitt \(-2\) und eine positive Steigung. Das ist Graph \(q\). 3. Die Funktion \(c(x)=-2x\) ist eine Ursprungsgerade und fällt steiler als \(a\). Das ist Graph \(r\).

\(p\to a\), \(q\to b\), \(r\to c\)

- Bestimme für jede Gleichung den Wert, der angibt, wo die Gerade die \(y\)-Achse schneidet. - Überprüfe die Steigung: Ist sie positiv oder negativ? - Wie steil verläuft die Gerade? Vergleiche die Schritte im Gitter mit der Zahl vor dem \(x\).

1. Die Gerade \(g_1\) schneidet die \(y\)-Achse bei \(3\) und fällt mit der Steigung \(m = -2\). Daher gehört sie zu Gleichung 1: \(y = -2x + 3\). 2. Die Gerade \(g_2\) schneidet die \(y\)-Achse bei \(1\) und hat die Steigung \(m = 1\). Daher gehört sie zu Gleichung 3: \(y = x + 1\). 3. Die Gerade \(g_3\) schneidet die \(y\)-Achse bei \(-2\) und steigt mit der Steigung \(m = \frac{1}{3}\). Daher gehört sie zu Gleichung 2: \(y = \frac{1}{3}x - 2\).

\(g_1\) gehört zu Gleichung 1, \(g_2\) zu Gleichung 3 und \(g_3\) zu Gleichung 2.

- Wie kannst du die Gleichung so umformen, dass \(y\) allein auf einer Seite steht? - Welche geometrische Form hat die Lösungsmenge einer linearen Gleichung mit zwei Variablen? - Wie erhältst du konkrete Lösungspaare, wenn du eine der beiden Koordinaten frei wählst?

1. Umformen nach \(y\) ergibt \(2y=-x+4\) und damit \(y=-0{,}5x+2\). Die Lösungsmenge wird also durch eine Gerade mit der Steigung \(m=-0{,}5\) und dem \(y\)-Achsenabschnitt \(t=2\) dargestellt. 2. Für \(x=0\) folgt \(y=2\). Damit ist \((0 \mid 2)\) eine Lösung. 3. Für \(y=0\) folgt \(x=4\). Damit ist \((4 \mid 0)\) eine Lösung. 4. Für \(x=2\) folgt \(2+2y=4\), also \(y=1\). Damit ist \((2 \mid 1)\) eine weitere Lösung.

Die Lösungsmenge ist die Gerade \(y=-0{,}5x+2\) mit \(m=-0{,}5\) und \(t=2\). Drei mögliche Lösungspaare sind \((0 \mid 2)\), \((4 \mid 0)\) und \((2 \mid 1)\).

- Bestimme zuerst den gemeinsamen \(y\)-Achsenabschnitt \(t\). - Nutze für jede Steigung zwei Punkte, die genau auf Gitterpunkten liegen. - Achte darauf, ob die jeweilige Gerade steigt oder fällt.

1. Beide Geraden schneiden die \(y\)-Achse bei \(y=1\). Daher gilt jeweils \(t=1\). 2. Bei \(h\) führt ein Schritt nach rechts vom Punkt \((0 \mid 1)\) zu einem Anstieg um \(2\). Damit ist \(m_h=2\) und \(h: y=2x+1\). 3. Bei \(k\) führen vier Schritte nach rechts vom Punkt \((0 \mid 1)\) zu einem Abstieg um \(1\). Damit ist \(m_k=-\frac{1}{4}=-0{,}25\) und \(k: y=-0{,}25x+1\).

\(h: y=2x+1\) \(k: y=-0{,}25x+1\)

- Vergleiche die Steigungsdreiecke der beiden Geraden. - Wo schneiden die Geraden die \(y\)-Achse? - Welche Beziehung besteht zwischen zwei verschiedenen Geraden mit gleicher Steigung?

1. Die Gerade \(s_1\) schneidet die \(y\)-Achse bei \(t=1\). Geht man \(2\) Einheiten nach rechts, steigt sie um \(1\) Einheit. Daher ist \(m=0{,}5\) und \(s_1: y=0{,}5x+1\). 2. Die Gerade \(s_2\) schneidet die \(y\)-Achse bei \(t=-1\). Sie hat dieselbe Steigung \(m=0{,}5\), also \(s_2: y=0{,}5x-1\). 3. Beide Geraden haben dieselbe Steigung und verschiedene \(y\)-Achsenabschnitte. Deshalb sind sie parallel.

\(s_1: y=0{,}5x+1\); \(s_2: y=0{,}5x-1\). Die Geraden sind parallel.

- Welche beiden markierten Punkte kannst du für ein Steigungsdreieck verwenden? - Welche waagerechte und welche senkrechte Änderung liegen zwischen diesen Punkten? - Wie wird aus diesen beiden Änderungen die Steigung bestimmt?

1. Im Diagramm sind die Punkte \(P_1(0 \mid 0)\) und \(P_2(5 \mid 3)\) markiert. 2. Die Steigung ist \(m=\frac{3-0}{5-0}=\frac{3}{5}=0{,}6\).

Die Steigung beträgt \(0{,}6\).

- Welche beiden markierten Punkte liefern gut ablesbare Werte? - Um wie viele Liter ändert sich das Volumen zwischen diesen Punkten? - Teile die Volumenänderung durch die zugehörige Zeitänderung.

1. Im Graphen sind die Punkte \(P_1(2 \mid 10)\) und \(P_2(6 \mid 30)\) markiert. 2. Zwischen den Punkten nimmt das Volumen um \(30-10=20\,\text{l}\) zu, während \(6-2=4\,\text{min}\) vergehen. 3. Damit beträgt die Steigung \(m=\frac{20}{4}=5\). Die Füllrate ist also \(5\,\text{l/min}\).

Die Füllrate beträgt \(5\,\text{l/min}\).

- Überlege zuerst, was die Koordinaten eines Punktes bedeuten, wenn du sie in eine Funktionsgleichung einsetzt. - Wie kannst du im Koordinatensystem erkennen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt? - Führe für jeden Punkt eine Punktprobe durch, um deine Vermutung aus der Abbildung zu bestätigen.

1. Punktprobe für \(A(2 \mid 1)\): Setze \(x = 2\) ein. Es ergibt sich \(y = 1{,}5 \cdot 2 - 2 = 3 - 2 = 1\). Daher liegt \(A\) auf dem Graphen. 2. Punktprobe für \(B(-1 \mid -3{,}5)\): Setze \(x = -1\) ein. Es ergibt sich \(y = 1{,}5 \cdot (-1) - 2 = -1{,}5 - 2 = -3{,}5\). Daher liegt \(B\) auf dem Graphen. 3. Punktprobe für \(C(4 \mid 3{,}5)\): Setze \(x = 4\) ein. Es ergibt sich \(y = 1{,}5 \cdot 4 - 2 = 6 - 2 = 4\). Da \(4 \neq 3{,}5\), liegt \(C\) nicht auf dem Graphen.

Die Punkte \(A(2 \mid 1)\) und \(B(-1 \mid -3{,}5)\) liegen auf dem Graphen der Funktion. Der Punkt \(C(4 \mid 3{,}5)\) liegt nicht auf dem Graphen.

- Welchen \(y\)-Achsenabschnitt \(t\) liest du aus der Funktionsgleichung ab? - Muss der Graph wegen des Vorzeichens der Steigung steigen oder fallen? - Welche waagerechte und senkrechte Änderung entspricht einer Steigung von \(0{,}5\)? - Du kannst zusätzlich einen einfachen \(x\)-Wert einsetzen und den entstehenden Punkt mit den Diagrammen vergleichen.

1. Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(t=1\). Damit scheidet Diagramm c) aus, weil dessen Gerade die \(y\)-Achse bei \(-1\) schneidet. 2. Die Steigung \(m=0{,}5\) ist positiv. Deshalb muss die Gerade steigen; damit scheidet Diagramm d) aus. 3. Bei \(m=0{,}5\) steigt die Gerade bei \(2\) Einheiten nach rechts um \(1\) Einheit. Das trifft auf Diagramm b) zu; in Diagramm a) ist die Steigung \(2\).

Diagramm b)

- Bestimme zuerst den \(y\)-Achsenabschnitt des Graphen. - Bestimme die Steigung mithilfe zweier Punkte, die genau auf Gitterpunkten liegen. - Achte auf das Vorzeichen der Steigung. - Vergleiche anschließend mit den angebotenen Funktionsgleichungen.

1. Lies den \(y\)-Achsenabschnitt ab: Der Graph schneidet die \(y\)-Achse bei \(3\). Damit kommen A, B oder C infrage. 2. Der Graph fällt von links nach rechts, also ist die Steigung negativ. Damit scheidet B aus. 3. Bestimme die Steigung mithilfe zweier Punkte des Graphen, zum Beispiel \((0 \mid 3)\) und \((2 \mid 0)\): \(m = (0 - 3) : (2 - 0) = -1{,}5\). 4. Damit lautet die Funktionsgleichung \(g(x) = -1{,}5x + 3\).

A: \(g(x) = -1{,}5x + 3\)

- Was sagt die Richtung des Graphen von links nach rechts über das Vorzeichen der Steigung aus? - Liegt der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse jeweils oberhalb oder unterhalb des Ursprungs?

1. Der Graph von \(f\) steigt von links nach rechts. Daher gilt \(m_1>0\). Er schneidet die \(y\)-Achse unterhalb des Ursprungs, also gilt \(t_1<0\). 2. Der Graph von \(g\) fällt von links nach rechts. Daher gilt \(m_2<0\). Er schneidet die \(y\)-Achse oberhalb des Ursprungs, also gilt \(t_2>0\).

Für \(f\): \(m_1>0\) und \(t_1<0\). Für \(g\): \(m_2<0\) und \(t_2>0\).

- Wo schneidet die Gerade die \(y\)-Achse, und welchen Parameter \(t\) bestimmt das? - Steigt oder fällt die Gerade von links nach rechts? - Welche zwei gut ablesbaren Punkte kannst du für ein Steigungsdreieck verwenden?

1. Die Gerade schneidet die \(y\)-Achse bei \(y=2\). Daher ist der Achsenabschnitt \(t=2\); diese Bedingung erfüllen alle vier Antwortmöglichkeiten. 2. Die Gerade fällt, also muss die Steigung negativ sein. Damit scheidet A aus. 3. Aus den Punkten \((0 \mid 2)\) und \((4 \mid 0)\) ergibt sich \(m=\frac{0-2}{4-0}=-\frac{1}{2}\). 4. Somit lautet die Gleichung \(y=-\frac{1}{2}x+2\), also Antwort D.

D) \(y=-\frac{1}{2}x+2\)

- Wie berechnet man den y-Wert, wenn der x-Wert einer Funktion bekannt ist? - Was bedeutet es für die Koordinaten, wenn ein Punkt „senkrecht über“ einem anderen liegt? - Wie prüft man mathematisch, ob ein Punkt die Bedingung einer Funktionsgleichung erfüllt?

1. Einsetzen von \(x = 4\) in \(f(x)\): \(f(4) = 1{,}5 \cdot 4 - 2 = 6 - 2 = 4\). Somit ist \(y_P = 4\) und der Punkt ist \(P(4| 4)\). 2. Da \(Q\) die gleiche x-Koordinate hat und \(5\) Einheiten über dem Graphen liegt, addiert man \(5\) zur y-Koordinate von \(P\): \(y_Q = 4 + 5 = 9\). Der Punkt ist \(Q(4| 9)\). 3. Prüfung für \(g(x)\): Setze \(x = 4\) in \(g(x) = 1{,}5x + 3\) ein: \(g(4) = 1{,}5 \cdot 4 + 3 = 6 + 3 = 9\). Da der berechnete Funktionswert mit der y-Koordinate von \(Q\) übereinstimmt (\(9 = 9\)), liegt \(Q\) auf dem Graphen von \(g\).

1. \(y_P = 4\) 2. \(Q(4| 9)\) 3. Ja, \(Q\) liegt auf dem Graphen von \(g\), da \(g(4) = 9\) ist.

- Was bedeutet es für den Verlauf und die Steigung zweier Geraden, wenn sie parallel zueinander sind? - Wie viele Schritte gehst du auf der vertikalen Achse, wenn du einen Schritt auf der horizontalen Achse nach rechts machst? - Kannst du die Steigung der ersten Geraden direkt auf den Startpunkt der zweiten Geraden übertragen?

1. Einzeichnen der Punkte \((0|4)\) und \((-2|0)\) und Verbinden zur Geraden \(h\). 2. Bestimmung der Steigung \(m\) von \(h\): Von \((-2|0)\) zu \((0|4)\) geht man 2 Einheiten nach rechts und 4 Einheiten nach oben. Steigung \(m = \frac{4}{2} = 2\). 3. Einzeichnen des Startpunkts \((0|-2)\) für die Gerade \(k\). 4. Zeichnen der parallelen Geraden \(k\) mit der gleichen Steigung \(m = 2\). 5. Ablesen des Schnittpunkts von \(k\) mit der \(x\)-Achse: Die Gerade kreuzt die Achse bei \(x = 1\), also im Punkt \((1|0)\).

a) Zeichnung der Geraden durch \((0|4)\) und \((-2|0)\). b) Die Steigung beträgt \(m = 2\). c) Der Schnittpunkt von \(k\) mit der \(x\)-Achse liegt bei \((1|0)\).

- Was bedeutet es für die Koordinaten eines Punktes, wenn er auf der \(x\)-Achse oder der \(y\)-Achse liegt? - Wie berechnet man die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks, wenn die Längen der Katheten bekannt sind? - Wie kannst du prüfen, ob ein Punkt eine Funktionsgleichung erfüllt?

1. Berechnung des Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse durch Einsetzen von \(x = 0\): \(f(0) = 0{,}75 \cdot 0 - 3 = -3\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 \mid -3)\). 2. Berechnung der Nullstelle durch Lösen der Gleichung \(f(x) = 0\): \(0{,}75x - 3 = 0 \Rightarrow 0{,}75x = 3 \Rightarrow x = 4\). Der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse ist \(S_x(4 \mid 0)\). 3. Das Dreieck ist rechtwinklig mit den Kathetenlängen \(4\) und \(3\). Berechnung des Flächeninhalts: \(A = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6\). Der Flächeninhalt beträgt \(6\,\text{FE}\). 4. Punktprobe für \(Q(2 \mid -1{,}5)\): \(f(2) = 0{,}75 \cdot 2 - 3 = 1{,}5 - 3 = -1{,}5\). Da der berechnete \(y\)-Wert mit der Koordinate des Punktes übereinstimmt, liegt \(Q\) auf dem Graphen.

a) Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(S_x(4 \mid 0)\); Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(S_y(0 \mid -3)\) b) Der Flächeninhalt beträgt \(6\,\text{FE}\). c) Ja, der Punkt \(Q\) liegt auf dem Graphen, da der berechnete Funktionswert \(f(2) = -1{,}5\) mit der \(y\)-Koordinate von \(Q\) übereinstimmt.

- Setze \(t=0\) ein und deute den erhaltenen Wert. - Vergleiche \(V(t)\) und \(V(t+1)\): Um wie viel ändert sich das Volumen in einer Minute? - Für die Definitionsmenge ist entscheidend, wann das Fass erstmals voll ist. - Überlege, welche Graphstelle sich ändert, wenn nur das Anfangsvolumen geändert wird.

1. Der Wert \(20\) beschreibt das Anfangsvolumen: Zu Beginn sind \(20\,\text{l}\) im Fass. Der Wert \(1{,}5\) bedeutet, dass pro Minute \(1{,}5\,\text{l}\) hinzukommen. 2. \(V(12)=1{,}5\cdot12+20=38\). Nach \(12\,\text{min}\) sind \(38\,\text{l}\) im Fass. 3. Das Fass ist voll, wenn \(V(t)=80\): \(1{,}5t+20=80\), also \(t=40\). Für den Füllvorgang ist daher \(D=[0;40]\). 4. Bei einem anfangs leeren Fass würde der Graph bei \((0\mid0)\) beginnen. Danach würde die Wassermenge weiterhin in jeder Minute um \(1{,}5\,\text{l}\) zunehmen.

a) \(20\): Anfangsvolumen in Litern; \(1{,}5\): Zunahme um \(1{,}5\,\text{l}\) pro Minute. b) \(38\,\text{l}\). c) \(D=[0;40]\) Minuten. d) Bei einem leeren Fass beginnt der Graph bei \((0\mid0)\) und steigt anschließend mit derselben Zunahme pro Minute.

- Erinnere dich an das Distributivgesetz, um Klammern aufzulösen. - Achte beim Zusammenfassen darauf, Terme mit \(x\) und Terme ohne \(x\) getrennt zu betrachten. - Die „Steilheit“ hängt davon ab, wie stark sich der \(y\)-Wert ändert, wenn man einen Schritt nach rechts geht – egal ob nach oben oder unten. - Um einen Funktionswert zu berechnen, ersetzt du den Platzhalter im Term durch die gegebene Zahl.

1. Umformen von \(f\): \(f(x) = 2x - 6 + 4 = 2x - 2\). Hier ist \(m = 2\) und \(t = -2\). 2. Umformen von \(g\): \(g(x) = -\frac{1}{2}x + 5 - 2 = -0{,}5x + 3\). Hier ist \(m = -0{,}5\) und \(t = 3\). 3. Vergleich der Steilheit: Die Steilheit einer Geraden wird durch den Betrag der Steigung \(|m|\) bestimmt. Da \(|2| > |-0{,}5|\) ist, verläuft die Gerade \(f\) steiler als die Gerade \(g\). 4. Berechnung von \(f(10)\): Setze \(x = 10\) in die vereinfachte Gleichung ein: \(f(10) = 2 \cdot 10 - 2 = 20 - 2 = 18\).

a) \(f(x) = 2x - 2\); \(g(x) = -0{,}5x + 3\) b) \(f\): \(m = 2, t = -2\); \(g\): \(m = -0{,}5, t = 3\) c) \(f\) ist steiler, da der Betrag der Steigung (\(2\)) größer ist als der von \(g\) (\(0{,}5\)). d) \(f(10) = 18\)

- Welche Information liefert der gleiche konstante Term in beiden Funktionsgleichungen über den \(y\)-Achsenabschnitt? - Wie hängen \(\Delta y\), die Steigung und eine vorgegebene Breite \(\Delta x\) zusammen? - Was kannst du bei gleicher Breite aus unterschiedlich großen Höhenänderungen über die Steilheit schließen?

1. Beide Funktionen haben den gleichen \(y\)-Achsenabschnitt \(t=1\). Für \(x=0\) ist daher bei beiden \(y=1\). Der gemeinsame Punkt ist \((0 \mid 1)\). 2. Für \(f\) gilt bei \(\Delta x=6\): \(\Delta y=\frac{2}{3}\cdot 6=4\). 3. Für \(g\) gilt bei \(\Delta x=6\): \(\Delta y=1{,}5\cdot 6=9\). 4. Da \(1{,}5>\frac{2}{3}\) ist, verläuft der Graph von \(g\) steiler. Das zeigt sich auch daran, dass bei gleicher Breite der Höhenunterschied \(9\) größer als \(4\) ist.

a) \((0 \mid 1)\) b) Bei \(f\): \(4\) Einheiten nach oben; bei \(g\): \(9\) Einheiten nach oben c) \(g\) verläuft steiler.

- Woran erkennt man in der Funktionsgleichung, ob zwei Geraden die gleiche Richtung haben? - Wo kann man den Startwert auf der \(y\)-Achse direkt ablesen? - Vergleiche die Zahlenwerte, die vor dem \(x\) stehen. Welche Zahl steht für die größte Änderung pro Schritt?

1. Zwei Geraden sind parallel, wenn sie dieselbe Steigung \(m\) haben. Hier gilt \(m_1 = 1{,}5\) und \(m_2 = 1{,}5\). Somit sind die Graphen von \(g_1\) und \(g_2\) parallel. 2. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse wird durch den Parameter \(t\) bestimmt. Für \(g_1\), \(g_3\) und \(g_4\) gilt \(t = 2\). Diese drei Graphen schneiden die \(y\)-Achse im Punkt \((0|2)\). 3. Die Steilheit wird durch den Betrag der Steigung \(|m|\) bestimmt. Es gilt \(m_1 = 1{,}5\), \(m_2 = 1{,}5\), \(m_3 = -1\) und \(m_4 = 3\). Da \(3\) der größte Wert ist, steigt der Graph von \(g_4\) am steilsten an.

a) \(g_1\) und \(g_2\) sind parallel, da beide die Steigung \(m = 1{,}5\) besitzen. b) \(g_1\), \(g_3\) und \(g_4\) schneiden die \(y\)-Achse im Punkt \((0|2)\), da bei allen \(t = 2\) gilt. c) Der Graph von \(g_4\) ist am steilsten, da \(m = 3\) den größten Betrag hat.

- Wie kannst du aus den beiden gegebenen Punkten zuerst die Steigung bestimmen? - Wie findest du anschließend mit einem der Punkte den Achsenabschnitt \(t\)? - Welche Punktprobe entscheidet danach, ob \(R\) beziehungsweise \(S\) auf der Geraden liegt?

1. Die Steigung ist \(m=\frac{-2-7}{2-(-1)}=\frac{-9}{3}=-3\). 2. Setze zum Beispiel \(P(-1 \mid 7)\) in \(y=-3x+t\) ein: \(7=-3\cdot(-1)+t\). Daraus folgt \(t=4\). Damit lautet die Geradengleichung \(y=-3x+4\). 3. Für \(R(0 \mid 5)\) ergibt die rechte Seite \(4\). Da \(4\ne 5\), liegt \(R\) nicht auf der Geraden. 4. Für \(S(1 \mid 1)\) ergibt die rechte Seite \(-3\cdot 1+4=1\). Daher liegt \(S\) auf der Geraden.

\(R(0 \mid 5)\) liegt nicht auf \(g\). \(S(1 \mid 1)\) liegt auf \(g\).

- Welcher Teil der Kosten ist fix und welcher hängt vom Verbrauch ab? - Kannst du eine Gleichung der Form \(y = mx + n\) für diese Situation aufstellen? - Wie gehst du vor, wenn du prüfen willst, ob ein bestimmtes Wertepaar (Verbrauch in \(\text{kWh}\) und Kosten) die Gleichung erfüllt? - Was musst du tun, wenn der Endbetrag gegeben ist und der Verbrauch gesucht wird?

1. Aufstellen des Modells: Sei \(x\) der Verbrauch und \(y\) die Kosten. Die Gleichung lautet \(y = 0{,}80x + 18{,}50\). 2. Überprüfung für Teil a): Einsetzen von \(x = 40\) ergibt \(y = 0{,}80 \cdot 40 + 18{,}50 = 32 + 18{,}50 = 50{,}50\). Die Behauptung ist korrekt. 3. Berechnung für Teil b): Setze \(y = 74{,}50\) in die Gleichung ein: \(74{,}50 = 0{,}80x + 18{,}50\). 4. Subtraktion der Grundgebühr: \(56{,}00 = 0{,}80x\). 5. Division durch den Preis pro Kilowattstunde: \(x = 56 : 0{,}8 = 70\). Es wurden \(70\,\text{kWh}\) verbraucht.

a) Ja, die Angabe ist korrekt, da der Punkt \((40|50{,}50)\) die Funktionsgleichung erfüllt. b) Es wurden \(70\,\text{kWh}\) verbraucht.

- Überlege, was das Vorzeichen und der Betrag der Steigung über die Änderung der Geraden aussagen. - Vergleiche eine Bewegung nach rechts mit einer Bewegung nach links bei derselben Steigung. - Für c) nutze den bekannten Punkt, um nach Festlegung der Steigung den noch unbekannten Achsenabschnitt zu bestimmen.

1. Für \(\Delta x=-8\) gilt \(\Delta y=m\Delta x=-0{,}75\cdot(-8)=6\). Er muss also \(6\) Einheiten nach oben gehen. 2. Für \(\Delta x=1\) gilt \(\Delta y=-0{,}75\cdot 1=-0{,}75\). Er muss also \(0{,}75\) Einheiten nach unten gehen. 3. Setze \(P(4 \mid -1)\) in \(y=mx+t\) ein: \(-1=-0{,}75\cdot 4+t\). Daraus folgt \(t=2\). 4. Damit lautet die Funktionsgleichung \(g(x)=-0{,}75x+2\).

a) \(6\) Einheiten nach oben b) \(\Delta y=-0{,}75\), also \(0{,}75\) Einheiten nach unten c) \(g(x)=-0{,}75x+2\)

- Überlege, wie eine gegebene horizontale Änderung mit der Steigung zusammenhängt. - Für den Steilheitsvergleich müssen die unterschiedlichen Breiten der beiden Steigungsdreiecke berücksichtigt werden. - Bringe die beiden Steigungen bei Bedarf in eine gemeinsame Zahlendarstellung, bevor du sie vergleichst.

1. Höhe des Steigungsdreiecks für \(k\): \(\Delta y_k = m_k \cdot \Delta x_k = \frac{2}{3} \cdot 3 = 2\). Die Höhe beträgt \(2\) Einheiten. 2. Höhe des Steigungsdreiecks für \(l\): \(\Delta y_l = m_l \cdot \Delta x_l = 0{,}6 \cdot 5 = 3\). Die Höhe beträgt \(3\) Einheiten. 3. Vergleich der Steigungen: Die Steigung von \(k\) ist \(m_k = \frac{2}{3} \approx 0{,}667\). Die Steigung von \(l\) ist \(m_l = 0{,}6\). Da \(0{,}667 > 0{,}6\) ist, ist die Gerade \(k\) steiler.

a) Gerade \(k\): \(2\) Einheiten hoch Gerade \(l\): \(3\) Einheiten hoch b) Gerade \(k\) ist steiler, da \(\frac{2}{3} > 0{,}6\) gilt.

- Welchen Einfluss hat der Wert am Ende der Gleichung auf die Höhe des Graphen? - Was bedeutet der Begriff „Nullstelle“ für die Koordinaten eines Punktes? - Wann verlaufen zwei Geraden parallel zueinander? - Was muss für die Steigungen gelten, damit es keinen Schnittpunkt gibt?

1. Analyse der Verschiebung: Der Parameter \(t\) bestimmt den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse. Eine Verkleinerung von \(t\) bewirkt eine Verschiebung des Graphen parallel nach unten entlang der \(y\)-Achse. 2. Berechnung von \(t\) für die Nullstelle: Die Bedingung für eine Nullstelle bei \(x = 6\) ist \(y = 0\). Einsetzen in die Gleichung: \(0 = -1{,}5 \cdot 6 + t\). 3. Ergebnis für \(t\): \(0 = -9 + t \implies t = 9\). 4. Schnittpunkt-Bedingung: Zwei Geraden schneiden sich genau dann in einem Punkt, wenn ihre Steigungen unterschiedlich sind. 5. Vergleich der Steigungen: Die Schar hat die konstante Steigung \(m_1 = -1{,}5\), die Gerade \(h\) hat die Steigung \(m_2 = 2\). Da \(-1{,}5 \neq 2\), sind die Geraden nie parallel und müssen sich schneiden.

a) Der Graph wird parallel nach unten verschoben. b) Der Wert ist \(t = 9\). c) Die Steigungen der Geraden (\(m = -1{,}5\)) und der Geraden \(h\) (\(m = 2\)) sind verschieden. Da sie nicht parallel sind, gibt es immer genau einen Schnittpunkt.

- Schau dir den Teil der Gleichung an, der nicht von \(x\) abhängt. Was sagt dieser über den Graphen aus? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen der Steigung und dem Verlauf der Geraden. - Was bedeutet „steiler“ im Zusammenhang mit den Zahlenwerten der Steigung? - Welche Information in der Gleichung muss identisch sein, damit zwei Geraden überall den gleichen Abstand haben?

1. Gemeinsamer Punkt: Da der \(y\)-Achsenabschnitt für alle Funktionen \(-2\) ist, verlaufen alle Graphen durch \(P(0 \mid -2)\). 2. Bedingung für fallende Geraden: Eine lineare Funktion fällt, wenn die Steigung negativ ist, also \(m < 0\). 3. Vergleich der Steilheit: Da \(|2| > |1|\), ist die Steigung bei \(m = 2\) größer. Ein größerer Betrag der Steigung bedeutet einen steileren Verlauf des Graphen. 4. Aufstellen der parallelen Geraden: Parallelität bedeutet gleiche Steigung, also \(m_g = 0{,}5\). Der neue \(y\)-Achsenabschnitt ist \(t = 3\). Daraus folgt \(g(x) = 0{,}5x + 3\).

a) Der gemeinsame Punkt ist \(P(0 \mid -2)\). b) Die Gerade fällt für alle \(m < 0\). c) Der Graph für \(m = 2\) ist steiler, da der Betrag der Steigung größer ist. d) Die Gleichung lautet \(g(x) = 0{,}5x + 3\).

- Welche Gleichung gilt an einer Stelle, an der beide Geraden denselben Punkt haben? - Welches Vorzeichen der Steigung in \(y=mx+t\) gehört zu einem steigenden beziehungsweise fallenden Graphen? - Welchen Funktionswert hat ein Punkt auf der \(x\)-Achse?

1. Für den Schnittpunkt setzt man \(h(x)=k(x)\): \(0{,}8x+2=-1{,}2x+6\). Daraus folgt \(2x=4\) und \(x=2\). 2. Einsetzen in \(h\) ergibt \(h(2)=0{,}8\cdot 2+2=3{,}6\). Der Schnittpunkt ist \(S(2 \mid 3{,}6)\). 3. \(h\) steigt, weil \(m_h=0{,}8>0\). \(k\) fällt, weil \(m_k=-1{,}2<0\). 4. Für den Schnittpunkt von \(k\) mit der \(x\)-Achse setzt man \(k(x)=0\): \(-1{,}2x+6=0\). Daraus folgt \(x=5\). 5. Somit ist \(S_x(5 \mid 0)\).

a) \(S(2 \mid 3{,}6)\) b) \(h\) steigt, \(k\) fällt. c) \(S_x(5 \mid 0)\)

- Achte genau auf das Vorzeichen der Steigung in der Aufgabenstellung. - Wie verändert sich der \(y\)-Wert, wenn der Graph fällt? - Überlege dir, wie man Dezimalzahlen in Brüchen behandeln kann, um sie leichter zu vergleichen.

1. Überprüfung von Sarahs Aussage: Bei 3 Einheiten nach rechts (\(\Delta x = 3\)) und 2 Einheiten nach oben (\(\Delta y = 2\)) ergibt sich eine Steigung von \(m = \frac{2}{3}\). Da die gesuchte Steigung negativ ist (\(m = -\frac{2}{3}\)), ist Sarahs Aussage falsch. 2. Überprüfung von Toms Aussage: Bei \(1{,}5\) Einheiten nach links (\(\Delta x = -1{,}5\)) und 1 Einheit nach oben (\(\Delta y = 1\)) ergibt sich \(m = \frac{1}{-1{,}5} = -\frac{10}{15} = -\frac{2}{3}\). Toms Aussage ist somit korrekt.

Tom hat recht. Sarah beschreibt eine positive Steigung von \(\frac{2}{3}\), während Tom korrekt die negative Steigung \(m = \frac{1}{-1{,}5} = -\frac{2}{3}\) wiedergibt.

- Berechne zuerst für jede Beschreibung den Wert von \(m\). - Was bedeutet „nach unten“ oder „nach links“ mathematisch für die Werte im Steigungsdreieck? - Wie hängen die Steigung, die Änderung von \(x\) und die Änderung von \(y\) in einer Formel zusammen?

1. Bestimmung der Steigungen: - Beschreibung (1): \(\Delta x = 5\), \(\Delta y = -2 \implies m_1 = \frac{-2}{5} = -0{,}4\). - Beschreibung (2): \(\Delta x = -2{,}5\), \(\Delta y = 1 \implies m_2 = \frac{1}{-2{,}5} = -0{,}4\). - Beschreibung (3): \(m_3 = -2{,}5\). 2. Vergleich: Beschreibungen (1) und (2) repräsentieren dieselbe Steigung (\(m = -0{,}4\)), während (3) einen anderen Wert angibt. 3. Berechnung der \(y\)-Änderung: Mit \(m = -0{,}4\) und \(\Delta x = 10\) ergibt sich \(\Delta y = m \cdot \Delta x = -0{,}4 \cdot 10 = -4\). Der \(y\)-Wert sinkt um 4 Einheiten.

Die Beschreibungen (1) und (2) repräsentieren dieselbe Steigung (\(m = -0{,}4\)). Wenn der \(x\)-Wert um 10 Einheiten vergrößert wird, sinkt der \(y\)-Wert um 4 Einheiten (\(\Delta y = -4\)).

- Wie hängen Steigung, horizontale und vertikale Änderung zusammen? Nutze die Formel \(\Delta y = m \Delta x\). - Was bedeutet „ganzzahlig“ für deine Wahl der Schritte? - Wie muss sich der \(y\)-Wert ändern, wenn man nach links geht, damit die Steigung positiv bleibt?

1. Berechnung für Teil a): Für \(f\): \(\Delta y_f = m_f \Delta x = 1{,}25 \cdot 4 = 5\). Für \(g\): \(\Delta y_g = m_g \Delta x = 0{,}8 \cdot 4 = 3{,}2\). 2. Lösung für Teil b): Die Steigung ist \(m_f = 1{,}25 = \frac{5}{4}\). Um ganzzahlige Werte bei einer Bewegung nach links (\(\Delta x < 0\)) zu erhalten, wählt man z. B. \(\Delta x = -4\). Daraus folgt \(\Delta y = m_f \Delta x = 1{,}25 \cdot (-4) = -5\). Beschreibung: Gehe \(4\) Einheiten nach links und \(5\) Einheiten nach unten. (Alternativ: Vielfache davon, z. B. \(8\) nach links und \(10\) nach unten).

a) Bei \(f\) beträgt die vertikale Änderung \(5\) Einheiten nach oben. Bei \(g\) beträgt sie \(3{,}2\) Einheiten nach oben. b) Ein mögliches Steigungsdreieck: Gehe \(4\) Einheiten nach links (\(\Delta x = -4\)) und \(5\) Einheiten nach unten (\(\Delta y = -5\)).

- Wie lautet die allgemeine Form einer Ursprungsgerade? - Wenn zwei Geraden parallel sind, was weißt du dann über ihre Steigungen? - Um den gemeinsamen Punkt zweier Geraden zu finden, kannst du ihre Funktionsausdrücke gleichsetzen.

1. Ursprungsgerade \(g\): \(y = 3x\). Verschobene Gerade \(h\): \(y = 3x - 4\). 2. Steigung von \(k\): \(m_k = 3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = -1\). \(y\)-Achsenabschnitt \(t_k = -4\). Gleichung \(k(x) = -x - 4\). 3. Gleichsetzen von \(g\) und \(k\): \(3x = -x - 4 \implies 4x = -4 \implies x = -1\). Einsetzen in \(g\): \(y = 3 \cdot (-1) = -3\). Schnittpunkt \(S(-1 | -3)\).

1. \(g(x) = 3x\) und \(h(x) = 3x - 4\). 2. \(k(x) = -x - 4\). 3. Der Schnittpunkt liegt bei \(S(-1 | -3)\).

- Welche Richtung hat eine Gerade bei positiver beziehungsweise negativer Steigung? - Wo liegt der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse, wenn \(t>0\) gilt? - Welche Vorzeichen hat die Nullstelle \(-\frac{t}{m}\), wenn sowohl \(m\) als auch \(t\) positiv sind? - Wie viele Achsenschnittpunkte kann eine nicht waagerechte Funktionsgerade höchstens besitzen?

1. Damit der Graph von links unten nach rechts oben verläuft, muss \(m>0\) gelten. 2. Zusätzlich muss der \(y\)-Achsenabschnitt positiv sein, also \(t>0\). Dann liegt die Nullstelle bei \(x_0=-\frac{t}{m}<0\). 3. Für \(x<x_0\) liegt der Graph im III. Quadranten, für \(x_0<x<0\) im II. und für \(x>0\) im I. Quadranten. Der IV. Quadrant wird nicht erreicht. Also gilt in a) \(m>0\) und \(t>0\). 4. Eine nicht waagerechte Funktionsgerade hat höchstens zwei Achsenschnittpunkte. Diese teilen die Gerade in höchstens drei Abschnitte, die in höchstens drei Quadranten liegen können. Eine waagerechte Gerade liegt ebenfalls nur in zwei Quadranten. Daher kann der Graph einer linearen Funktion nicht durch alle vier Quadranten verlaufen.

a) \(m>0\) und \(t>0\) b) Der Graph einer linearen Funktion kann höchstens drei Quadranten durchlaufen.

- Wenn Punkte nicht auf einer Geraden liegen, was bilden sie dann stattdessen? - Wie kannst du die Steigung berechnen, wenn Dezimalzahlen gegeben sind? - Reicht es aus, nur zwei der Punkte zu betrachten, um die Frage zu beantworten?

1. Berechnung der Steigung zwischen \(A(1{,}5 \mid 4)\) und \(B(4 \mid 9)\): \(m_{AB} = \frac{9 - 4}{4 - 1{,}5} = \frac{5}{2{,}5} = 2\). 2. Berechnung der Steigung zwischen \(B(4 \mid 9)\) und \(C(6 \mid 13{,}5)\): \(m_{BC} = \frac{13{,}5 - 9}{6 - 4} = \frac{4{,}5}{2} = 2{,}25\). 3. Vergleich der Steigungen: Da \(2 \neq 2{,}25\), ändert sich die Steigung im Punkt \(B\). 4. Ergebnis: Die Punkte liegen nicht auf einer Geraden und bilden somit ein Dreieck.

Die Punkte liegen nicht auf einer Geraden, da die Steigungen \(m_{AB} = 2\) und \(m_{BC} = 2{,}25\) unterschiedlich sind. Sie bilden ein Dreieck.

- Worauf deutet es hin, wenn zwei Geraden die gleiche Steigung haben? - Wie verlaufen Geraden, deren Funktionsgleichung nur aus einer Zahl besteht (z. B. \(y = 2\))? - Welche Eigenschaften muss ein Viereck haben, damit man es als Parallelogramm bezeichnet?

1. Bestimmung der Steigungen der ersten beiden Geraden: Aus den Gleichungen \(g_1: y = 0{,}5x + 3\) und \(g_2: y = 0{,}5x - 2\) liest man die Steigungen \(m_1 = 0{,}5\) und \(m_2 = 0{,}5\) ab. Da die Steigungen gleich sind, verlaufen \(g_1\) und \(g_2\) parallel zueinander. 2. Bestimmung der Steigungen der anderen beiden Geraden: Die Gleichungen \(g_3: y = -2\) und \(g_4: y = 2\) beschreiben konstante Funktionen. Ihre Graphen sind waagerechte Geraden mit der Steigung \(m_3 = 0\) und \(m_4 = 0\). Da auch diese Steigungen gleich sind, verlaufen \(g_3\) und \(g_4\) ebenfalls parallel zueinander. 3. Klassifizierung des Vierecks: Da das eingeschlossene Viereck zwei Paare paralleler Seiten besitzt, handelt es sich um ein Parallelogramm.

Es handelt sich um ein Parallelogramm. Begründung: Die Geraden \(g_1\) und \(g_2\) sind parallel (beide haben die Steigung \(0{,}5\)) und die Geraden \(g_3\) und \(g_4\) sind ebenfalls parallel (beide sind waagerecht mit der Steigung \(0\)).

- Was geschieht mit der Steigung einer Geraden bei einer Punktspiegelung? - Wie hängt das Spiegelzentrum mit einem Punkt und seinem Bildpunkt zusammen? - Wie kannst du mit einem Bildpunkt und der bekannten Steigung den Achsenabschnitt \(t\) bestimmen?

1. Eine Punktspiegelung bildet eine Gerade auf eine parallele Gerade ab. Daher behält die Bildgerade die Steigung \(m=1{,}5\) und hat die Form \(f'(x)=1{,}5x+t\). 2. Wähle zum Beispiel den Punkt \(P(0 \mid 2)\) auf \(f\). 3. Bei der Spiegelung an \(Z(2 \mid 1)\) wird \(P\) auf \(P'(4 \mid 0)\) abgebildet, denn \(Z\) ist der Mittelpunkt von \(PP'\). 4. Setze \(P'(4 \mid 0)\) in \(f'(x)=1{,}5x+t\) ein: \(0=1{,}5\cdot 4+t\). Daraus folgt \(t=-6\). 5. Somit lautet die Bildgerade \(f'(x)=1{,}5x-6\).

\(f'(x)=1{,}5x-6\)

- Welche geometrische Beziehung besteht zwischen einem Punkt, seinem Bildpunkt und dem Spiegelzentrum? - Wie kannst du die bekannte \(x\)-Koordinate des Mittelpunkts nutzen, um die \(x\)-Koordinate eines Bildpunkts zu finden? - Wie erhältst du anschließend die fehlende \(y\)-Koordinate des Mittelpunkts?

1. Wähle einen Punkt auf \(g\), zum Beispiel \(P(0 \mid 5)\). 2. Sei \(P'\) sein Bildpunkt auf \(h\). Weil \(Z\) der Mittelpunkt von \(PP'\) ist, gilt für die \(x\)-Koordinaten \(3=\frac{0+x_{P'}}{2}\). Daraus folgt \(x_{P'}=6\). 3. Der zugehörige Punkt auf \(h\) hat die \(y\)-Koordinate \(y_{P'}=h(6)=-2\cdot 6-1=-13\). Also ist \(P'(6 \mid -13)\). 4. Für die \(y\)-Koordinate des Mittelpunkts gilt \(y_Z=\frac{5+(-13)}{2}=-4\).

\(y_Z=-4\)

- Wann sind zwei Funktionsgeraden echt parallel statt identisch? - Welche Achse schneidet eine waagerechte beziehungsweise eine senkrechte Gerade zwangsläufig? - Was bedeutet \(y=0\) geometrisch und für die Nullstellen?

1. Zwei Funktionsgeraden haben keinen gemeinsamen Punkt, wenn sie dieselbe Steigung, aber verschiedene \(y\)-Achsenabschnitte besitzen. Also gilt \(m_g=m_h\) und \(t_g\ne t_h\). 2. Eine Gerade ohne Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse müsste waagerecht ober- oder unterhalb der \(x\)-Achse verlaufen; dann schneidet sie jedoch die \(y\)-Achse. Eine senkrechte Gerade ohne Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse schneidet dagegen die \(x\)-Achse. Daher schneidet jede Gerade mindestens eine Koordinatenachse. 3. \(y=0x+0\) vereinfacht sich zu \(y=0\). Das ist die \(x\)-Achse selbst. Jeder ihrer Punkte hat den \(y\)-Wert \(0\), daher besitzt die Funktion unendlich viele Nullstellen.

a) \(m_g=m_h\) und \(t_g\ne t_h\) b) Nein, jede Gerade schneidet mindestens eine der beiden Koordinatenachsen. c) \(s\) ist die \(x\)-Achse und hat unendlich viele Nullstellen.

- Welche Gleichung gilt am gemeinsamen Punkt zweier Funktionsgraphen? - Was sagt das Vorzeichen der Steigung über Steigen oder Fallen einer Geraden aus? - Welche Steigung muss eine zu \(g\) parallele Gerade besitzen, und wie nutzt du anschließend den Punkt \(P\)?

1. Für den Schnittpunkt setzt man die Funktionsterme gleich: \(-2x+6=0{,}5x-4\). Daraus folgt \(10=2{,}5x\) und \(x=4\). 2. Einsetzen ergibt \(y=-2\cdot 4+6=-2\). Der Schnittpunkt ist \(S(4 \mid -2)\). 3. \(g\) fällt, weil \(m_g=-2<0\). \(h\) steigt, weil \(m_h=0{,}5>0\). 4. Für die zu \(g\) parallele Gerade gilt \(m_k=-2\). Setze \(P(1 \mid 1)\) in \(y=-2x+t\) ein: \(1=-2\cdot 1+t\). Daraus folgt \(t=3\). 5. Somit lautet die Gerade \(k: y=-2x+3\).

a) \(S(4 \mid -2)\) b) \(g\) fällt, \(h\) steigt. c) \(k: y=-2x+3\)

- Was passiert zum Zeitpunkt Null? - Achte auf die Einheiten: Eine halbe Stunde muss in Minuten umgerechnet werden. - Stelle eine Gleichung auf, bei der das Ergebnis \(100\) sein soll. - Zum Zeichnen genügen zwei Punkte, die du berechnest und verbindest.

1. Interpretation der Parameter: Die \(15\) ist der Startwert (\(15\,\%\) Ladung bei \(t=0\)). Der Koeffizient \(0{,}8\) ist die Änderungsrate (\(0{,}8\) Prozentpunkte pro Minute). 2. Berechnung für \(t = 30\): \(L(30) = 0{,}8 \cdot 30 + 15 = 24 + 15 = 39\). Der Ladestand beträgt \(39\,\%\). 3. Berechnung der Zeit für \(L(t) = 100\): \(0{,}8t + 15 = 100\) \(0{,}8t = 85\) \(t = 85 : 0{,}8 = 106{,}25\). Es dauert \(106{,}25\,\text{Minuten}\) (oder \(1\,\text{Stunde}\) \(46\,\text{Minuten}\) und \(15\,\text{Sekunden}\)). 4. Zeichnen des Graphen: Startpunkt bei \((0 \mid 15)\), Endpunkt nach \(60\,\text{Minuten}\) bei \((60 \mid 63)\) (da \(0{,}8 \cdot 60 + 15 = 63\)).

a) \(15\,\%\) ist der Anfangsladestand; die Ladegeschwindigkeit beträgt \(0{,}8\) Prozentpunkte pro Minute. b) Nach \(30\,\text{Minuten}\) beträgt der Ladestand \(39\,\%\). c) Es dauert \(106{,}25\,\text{Minuten}\). d) Der Graph ist im Zeitraum von \(0\) bis \(60\,\text{Minuten}\) die Gerade durch \((0 \mid 15)\) und \((60 \mid 63)\).

- Welche geometrische Bewegung entspricht einer Punktspiegelung am Ursprung? - Was geschieht dabei mit der Richtung beziehungsweise Steigung einer Geraden? - Wie verändern sich die Koordinaten eines Punktes bei der Spiegelung am Ursprung?

1. Eine Punktspiegelung am Ursprung entspricht einer Drehung um \(180^\circ\). Dabei wird eine Gerade auf eine parallele Gerade abgebildet, sodass die Steigung unverändert bleibt. 2. Die ursprüngliche Steigung ist \(m=-0{,}5\). Daher ist auch die Steigung von \(g\) negativ und gleich \(-0{,}5\). 3. Bei der Spiegelung am Ursprung wird \((x \mid y)\) auf \((-x \mid -y)\) abgebildet. Für die Bildfunktion gilt daher \(g(x)=-k(-x)\). 4. Damit ist \(g(x)=-\bigl(-0{,}5(-x)+2\bigr)=-0{,}5x-2\).

a) Die Steigung bleibt negativ und beträgt \(m=-0{,}5\). b) \(g(x)=-0{,}5x-2\)

- Wie kannst du \(\frac{2}{3}\) und \(0{,}6\) in eine vergleichbare Darstellung bringen? - Welcher Parameter bestimmt in \(y=mx+t\) den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse? - Was verändert sich, wenn nur die Steigung verdoppelt wird?

1. Für \(f\) ist \(m_f=\frac{2}{3}\approx 0{,}67\), für \(g\) ist \(m_g=0{,}6\). Daher steigt \(f\) steiler an. 2. Beide Funktionen haben den Achsenabschnitt \(t=4\). Sie schneiden die \(y\)-Achse also im selben Punkt \(S_y(0 \mid 4)\). 3. Für \(h\) ist die neue Steigung \(m_h=2\cdot\frac{2}{3}=\frac{4}{3}\), während \(t=4\) bleibt. Damit gilt \(h(x)=\frac{4}{3}x+4\).

a) \(f\) steigt steiler an. b) Beide schneiden die \(y\)-Achse in \(S_y(0 \mid 4)\). c) \(h(x)=\frac{4}{3}x+4\)

- Wie kannst du die Gleichung nach \(y\) auflösen? - Welche Koordinate ist auf der \(x\)- beziehungsweise \(y\)-Achse jeweils null? - Welche Bedingung müssen die Koordinaten eines Punktes erfüllen, damit er auf der Geraden liegt?

1. Aus \(0{,}4x+0{,}2y=2\) folgt \(0{,}2y=-0{,}4x+2\). Division durch \(0{,}2\) ergibt \(y=-2x+10\). 2. Für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse gilt \(x=0\). Daraus folgt \(S_y(0 \mid 10)\). 3. Für den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse gilt \(y=0\). Aus \(0=-2x+10\) folgt \(x=5\), also \(S_x(5 \mid 0)\). 4. Setze \(P(k \mid 2k)\) in die Ausgangsgleichung ein: \(0{,}4k+0{,}2(2k)=2\). Daraus folgt \(0{,}8k=2\) und damit \(k=2{,}5\).

a) \(y=-2x+10\) b) \(S_x(5 \mid 0)\), \(S_y(0 \mid 10)\) c) \(k=2{,}5\)

- Welchen Wert hat die \(x\)-Koordinate immer, wenn ein Punkt auf der \(y\)-Achse liegt? - Was passiert mit dem \(y\)-Wert in einer linearen Funktion, wenn sich der \(x\)-Wert ändert? Welcher Parameter beschreibt dieses Verhältnis?

1. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse (\(x = 0\)): Einsetzen ergibt \(8y = 16\), also \(y = 2\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 \mid 2)\). 2. Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse (\(y = 0\)): Einsetzen ergibt \(4x = 16\), also \(x = 4\). Der Schnittpunkt ist \(S_x(4 \mid 0)\). 3. Berechnung der Steigung: Umstellen der Gleichung nach \(y\) ergibt \(8y = -4x + 16\), also \(y = -0{,}5x + 2\). Die Steigung beträgt \(m = -0{,}5\). 4. Analyse der Änderung: Die Steigung \(m = -0{,}5\) gibt an, dass sich der \(y\)-Wert pro Einheit in \(x\)-Richtung um \(-0{,}5\) verändert. Bei einer Erhöhung von \(x\) um \(3\) Einheiten verändert sich \(y\) um \(3 \cdot (-0{,}5) = -1{,}5\). Der \(y\)-Wert sinkt also um \(1{,}5\).

a) Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(S_y(0 \mid 2)\); Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(S_x(4 \mid 0)\). b) Die Steigung ist \(m = -0{,}5\). c) Wenn \(x\) um \(3\) Einheiten steigt, sinkt der \(y\)-Wert um \(1{,}5\) Einheiten.

- Welche Bedingung muss ein Punkt erfüllen, damit er Lösung der Gleichung ist? - Wie kannst du bei einem teilweise gegebenen Punkt die fehlende Koordinate durch Einsetzen bestimmen? - Wie isolierst du \(y\), um die Gleichung in die Form \(y=mx+t\) zu bringen?

1. Für \(P_1\) ergibt sich \(12\cdot 0{,}5-4\cdot 1=2\ne 6\). Für \(P_2\) ergibt sich \(12\cdot 1-4\cdot 1{,}5=6\). Für \(P_3\) ergibt sich \(12\cdot 0-4\cdot(-1{,}5)=6\). Somit sind \(P_2\) und \(P_3\) Lösungen, \(P_1\) nicht. 2. Für \(Q(2 \mid y)\) gilt \(24-4y=6\). Daraus folgt \(-4y=-18\) und \(y=4{,}5\). 3. Für \(R(x \mid -3)\) gilt \(12x+12=6\). Daraus folgt \(12x=-6\) und \(x=-0{,}5\). 4. Umstellen nach \(y\) ergibt \(-4y=-12x+6\) und damit \(y=3x-1{,}5\).

a) \(P_2\) und \(P_3\) sind Lösungen; \(P_1\) ist keine Lösung. b) \(y=4{,}5\) c) \(x=-0{,}5\) d) \(y=3x-1{,}5\)

- Wie kannst du den gegebenen Punkt nutzen, um den Parameter \(a\) zu bestimmen? - Welche Koordinate ist auf einer Koordinatenachse jeweils null? - Was bleibt bei den beiden Gleichungen gleich, wenn sich nur die rechte Seite von \(20\) auf \(10\) ändert?

1. Einsetzen von \(S(2 \mid 3)\) ergibt \(2a+12=20\). Daher ist \(a=4\). 2. Damit lautet die Gleichung \(4x+4y=20\). Für die \(x\)-Achse setzt man \(y=0\): \(4x=20\), also \(S_x(5 \mid 0)\). 3. Für die \(y\)-Achse setzt man \(x=0\): \(4y=20\), also \(S_y(0 \mid 5)\). 4. Ersetzt man \(20\) durch \(10\), erhält man \(4x+4y=10\) beziehungsweise \(y=-x+2{,}5\). Die Steigung bleibt gleich, der \(y\)-Achsenabschnitt sinkt von \(5\) auf \(2{,}5\). Der Graph verschiebt sich daher parallel nach unten.

a) \(a=4\) b) \(S_x(5 \mid 0)\), \(S_y(0 \mid 5)\) c) Der Graph verschiebt sich parallel nach unten.

- Wie kannst du zuerst die Klammer auflösen und anschließend \(y\) isolieren? - Wo stehen in der Form \(y=mx+t\) Steigung und Achsenabschnitt? - Welche Punktprobe entscheidet, ob \(P\) auf der Geraden liegt?

1. Löse die Klammer auf: \(4y-4+2x=8\). Daraus folgt \(4y=-2x+12\) und damit \(y=-0{,}5x+3\). 2. Aus der expliziten Form liest man \(m=-0{,}5\) und \(t=3\) ab. 3. Für \(x=6\) ergibt die rechte Seite \(-0{,}5\cdot 6+3=0\). Da der Punkt die \(y\)-Koordinate \(-1\) besitzt, gilt \(-1\ne 0\). Daher liegt \(P\) nicht auf der Geraden.

a) \(y=-0{,}5x+3\) b) \(m=-0{,}5\), \(t=3\) c) Nein, \(P(6 \mid -1)\) liegt nicht auf der Geraden.

- Wie berechnet man die Steigung einer Geraden, wenn zwei Punkte bekannt sind? - Welche Bedingung müssen die Steigungen erfüllen, damit zwei Geraden parallel sind? - Kannst du die Gleichung von Gerade \(h\) so umstellen, dass man die Steigung direkt ablesen kann? - Was bedeutet „Koordinatenursprung“ für die Koordinaten eines Punktes?

1. Berechnung der Steigung \(m_g\): Da \(g\) durch den Ursprung geht, ist es eine Proportionalitätsfunktion der Form \(y = mx\). Einsetzen von \(P(2 \mid 5)\) ergibt \(5 = m \cdot 2\), also \(m_g = \frac{5}{2} = 2{,}5\). 2. Bestimmung der Steigung \(m_h\): Umformung der Gleichung \(3x - y = 4\) nach \(y\): \(-y = -3x + 4\), also \(y = 3x - 4\). Die Steigung ist \(m_h = 3\). 3. Vergleich und Schlussfolgerung: Damit zwei Geraden parallel sind, müssen ihre Steigungen identisch sein (\(m_g = m_h\)). Da \(2{,}5 \neq 3\), verlaufen die Geraden nicht parallel.

Die Geraden sind nicht parallel. Die Steigung von \(g\) beträgt \(2{,}5\), während die Steigung von \(h\) den Wert \(3\) hat. Da die Steigungen unterschiedlich sind, verlaufen die Geraden nicht parallel.

- Welche geometrische Form bilden alle Lösungen einer linearen Gleichung in einem Koordinatensystem? - Wie kannst du prüfen, ob drei Punkte in einer Reihe liegen? - Was müsste für die Steigungen zwischen verschiedenen Paaren dieser Punkte gelten?

1. Die Lösungsmenge einer linearen Gleichung \(ax + by = c\), bei der \(a\) und \(b\) nicht beide \(0\) sind, bildet eine Gerade. Daher wird geprüft, ob die drei Punkte auf einer gemeinsamen Geraden liegen. 2. Steigung \(m_1\) zwischen \((-2 | 7)\) und \((1 | 1)\): \(m_1 = \frac{1 - 7}{1 - (-2)} = \frac{-6}{3} = -2\). 3. Steigung \(m_2\) zwischen \((1 | 1)\) und \((4 | -4)\): \(m_2 = \frac{-4 - 1}{4 - 1} = \frac{-5}{3}\). 4. Da \(m_1 \neq m_2\), liegen die Punkte nicht auf einer gemeinsamen Geraden. Somit können die drei Zahlenpaare nicht Lösungen derselben nicht entarteten linearen Gleichung sein.

Nein. Für eine lineare Gleichung \(ax + by = c\) mit \(a\) und \(b\) nicht beide \(0\) müsste die Lösungsmenge eine Gerade sein. Hier gilt jedoch \(m_1 = -2\) und \(m_2 = -\frac{5}{3}\); die drei Punkte sind daher nicht kollinear.

- Wie verhalten sich die Koordinaten an den Stellen, wo ein Graph eine Achse berührt oder kreuzt? - Welchen Wert muss \(x\) haben, damit du auf der \(y\)-Achse landest? - Versuche für Teil b) einen \(x\)-Wert zu wählen, der nach der Multiplikation mit \(0{,}5\) eine gerade Zahl ergibt.

1. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: Setze \(x = 0\) in \(0{,}5x + 2y = 4\) ein. Man erhält \(2y = 4\), also \(y = 2\). Der Punkt ist \(S_y(0 | 2)\). 2. Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse (Nullstelle): Setze \(y = 0\) ein. Man erhält \(0{,}5x = 4\). Multiplikation mit \(2\) ergibt \(x = 8\). Der Punkt ist \(S_x(8 | 0)\). 3. Weiteres ganzzahliges Paar: Wähle \(x = 4\). Einsetzen ergibt \(0{,}5 \cdot 4 + 2y = 4\), also \(2 + 2y = 4\). Daraus folgt \(2y = 2\) und \(y = 1\). Ein Punkt ist \((4 | 1)\). 4. Prüfung von \((-4 | 3)\): Einsetzen in die linke Seite: \(0{,}5 \cdot (-4) + 2 \cdot 3 = -2 + 6 = 4\). Da die rechte Seite ebenfalls \(4\) ist, ist das Paar eine Lösung.

a) Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \((0 | 2)\); Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \((8 | 0)\). b) Ein weiteres Paar ist zum Beispiel \((4 | 1)\). c) Ja, \((-4 | 3)\) ist eine Lösung, da \(0{,}5 \cdot (-4) + 2 \cdot 3 = 4\) eine wahre Aussage ergibt.

- Welche Koordinate ist auf der \(x\)- beziehungsweise \(y\)-Achse jeweils null? - Wie kannst du die Gleichung nach \(y\) auflösen? - Wo liest du in der Form \(y=mx+t\) die Steigung ab?

1. Für den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse setzt man \(y=0\): \(2x=10\). Daraus folgt \(x=5\) und damit \(S_x(5 \mid 0)\). 2. Für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse setzt man \(x=0\): \(-5y=10\). Daraus folgt \(y=-2\) und damit \(S_y(0 \mid -2)\). 3. Umstellen nach \(y\) ergibt \(-5y=-2x+10\) und damit \(y=0{,}4x-2\). 4. Die Steigung beträgt \(m=0{,}4\).

a) \(S_x(5 \mid 0)\), \(S_y(0 \mid -2)\) b) \(y=0{,}4x-2\), \(m=0{,}4\)

- Wie lautet die allgemeine Form einer linearen Funktion? - Hängt die Steilheit vom Vorzeichen der Zahl vor dem \(x\) ab oder nur von ihrem Wert? - Was bedeutet es mathematisch, wenn sich zwei Geraden in einem Punkt schneiden?

1. Funktionsgleichung von \(g\): Mit \(m = 0{,}5\) und \(t = -1\) folgt \(g(x) = 0{,}5x - 1\). 2. Vergleich der Steilheit: Die Steilheit wird durch den Betrag der Steigung bestimmt. \(|m_f| = |-2| = 2\) und \(|m_g| = |0{,}5| = 0{,}5\). Da \(2 > 0{,}5\), verläuft der Graph von \(f\) steiler. 3. Berechnung des Schnittpunkts: Gleichsetzen \(f(x) = g(x) \Rightarrow -2x + 4 = 0{,}5x - 1\). 4. Nach \(x\) auflösen: \(5 = 2{,}5x \Rightarrow x = 2\). 5. y-Wert berechnen: \(f(2) = -2 \cdot 2 + 4 = 0\). 6. Ergebnis: Der Schnittpunkt liegt bei \(S(2 | 0)\).

a) \(g(x) = 0{,}5x - 1\) b) Der Graph von \(f\) ist steiler, da der Betrag der Steigung (\(2\)) größer ist als bei \(g\) (\(0{,}5\)). c) \(S(2 | 0)\)

- Überlege, welche Freiheit du bei der Wahl einer der beiden Variablen hast und wie dadurch die andere festgelegt wird. - Betrachte die umgestellte Gleichung als Beschreibung einer Punktmenge im Koordinatensystem. - Unterscheide bei der Anzahl der Lösungen sorgfältig zwischen rationalen und natürlichen Zahlen. - Prüfe bei den natürlichen Lösungen außerdem die Nichtnegativität beider Koordinaten.

1. Beispiele sind \((6 \mid 6)\), \((-1 \mid 13)\), \((4{,}5 \mid 7{,}5)\) und \((0 \mid 12)\). 2. Nach \(y\) umgestellt lautet die Gleichung \(y=-x+12\). Damit sind alle Lösungspaare genau die Punkte auf dieser Geraden. Für jeden rationalen Wert von \(x\) gibt es genau einen rationalen Wert \(y=12-x\), also unendlich viele Lösungen. 3. Für natürliche Zahlen einschließlich \(0\) kann \(x\) die Werte \(0,1,\ldots,12\) annehmen. Dazu gehören die Paare \((0 \mid 12)\) bis \((12 \mid 0)\). Das sind genau \(13\) Lösungen. Die Aussage ist wahr.

1. Zum Beispiel \((-1 \mid 13)\), \((4{,}5 \mid 7{,}5)\), \((6 \mid 6)\), \((0 \mid 12)\) 2. \(y=-x+12\); die Lösungen sind die Punkte dieser Geraden. In \(\mathbb Q\) gibt es unendlich viele Lösungen. 3. Wahr; es gibt genau \(13\) natürliche Lösungspaare.

- Wie viele Punkte liegen auf dem Graphen einer einzelnen linearen Gleichung mit zwei Variablen? - Welche Lage müssen zwei Geraden haben, damit sie genau einen gemeinsamen Punkt besitzen? - Kann derselbe Ausdruck \(a-b\) gleichzeitig die Werte \(5\) und \(8\) annehmen?

1. Die Gleichung \(a-b=5\) besitzt unendlich viele Lösungen, zum Beispiel \((10 \mid 5)\), \((7 \mid 2)\) und \((0 \mid -5)\). Ein einzelnes Zahlenpaar beschreibt daher nicht die gesamte Lösungsmenge. 2. Eine mögliche zweite Gleichung ist \(a+b=15\). Die beiden zugehörigen Geraden haben unterschiedliche Steigungen und schneiden sich daher in genau einem Punkt. Einsetzen zeigt, dass dieser Punkt \((10 \mid 5)\) ist. 3. Die beiden Gleichungen \(a-b=5\) und \(a-b=8\) können nicht gleichzeitig erfüllt sein. Subtraktion führt auf den Widerspruch \(0=3\). Daher gibt es keine gemeinsame Lösung.

1. \((10 \mid 5)\) ist nur eine von unendlich vielen Lösungen. 2. Zum Beispiel \(a+b=15\); dann ist die einzige gemeinsame Lösung \((10 \mid 5)\). 3. Keine gemeinsame Lösung.

- Welchen Wert setzt du für \(x\) ein, um den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse zu bestimmen? - Welchen Funktionswert setzt du für eine Nullstelle ein? - Wie kannst du \(g_2\) in die Form \(y=mx+t\) bringen und daraus die Steigung ablesen?

1. Für \(g_1\) ergibt \(x=0\) den Punkt \(S_{y1}(0 \mid -3)\). Die zweite Gleichung lässt sich zu \(y=-2x+4\) umformen; damit ist \(S_{y2}(0 \mid 4)\). 2. Für \(g_1\) und \(y=6\) gilt \(6=1{,}5x-3\). Daraus folgt \(x=6\). 3. Für die Nullstelle von \(g_2\) setzt man \(y=0\): \(0=-2x+4\). Daraus folgt \(x=2\). 4. \(g_1\) hat die Steigung \(1{,}5>0\) und steigt. \(g_2\) hat die Steigung \(-2<0\) und fällt.

a) \(S_{y1}(0 \mid -3)\), \(S_{y2}(0 \mid 4)\) b) \(x=6\) c) \(x=2\) d) \(g_1\) steigt, \(g_2\) fällt.

- Wenn ein Punkt auf einer Geraden liegt, müssen seine Koordinaten die Gleichung erfüllen. - Was bedeutet eine negative Steigung für die Änderung der Werte? - Kannst du die Steigung als Bruch interpretieren, der angibt, wie viele Schritte man nach oben oder unten geht, wenn man Schritte nach rechts geht? - Wie kannst du prüfen, ob eine Aussage über einen Punkt wahr ist, ohne zu zeichnen?

1. Berechnung von \(y_A\): Setze \(x = 6\) in die Gleichung ein: \(y_A = -\frac{2}{3} \cdot 6 + 2 = -4 + 2 = -2\). Der Punkt ist \(A(6 \mid -2)\). 2. Berechnung von \(x_B\): Setze \(y = 0\) ein: \(0 = -\frac{2}{3}x_B + 2\). Subtraktion von \(2\) ergibt \(-2 = -\frac{2}{3}x_B\). Multiplikation mit \(-\frac{3}{2}\) ergibt \(x_B = 3\). Der Punkt ist \(B(3 \mid 0)\). 3. Punktprobe für \(C(-3 \mid 4)\): Setze \(x = -3\) in die Gleichung ein: \(y = -\frac{2}{3} \cdot (-3) + 2 = 2 + 2 = 4\). Da der berechnete \(y\)-Wert mit der Koordinate von \(C\) übereinstimmt (\(4 = 4\)), liegt der Punkt auf der Geraden. 4. Interpretation der Steigung: Die Steigung beträgt \(m = -\frac{2}{3}\). Das bedeutet, dass sich der \(y\)-Wert pro Einheit in \(x\)-Richtung um \(-\frac{2}{3}\) ändert. Bei einer Zunahme von \(x\) um \(3\) Einheiten ändert sich \(y\) um \(3 \cdot (-\frac{2}{3}) = -2\). Der \(y\)-Wert verringert sich also um \(2\).

a) \(y_A = -2\) b) \(x_B = 3\) c) Ja, der Punkt \(C\) liegt auf der Geraden, da \(4 = -\frac{2}{3} \cdot (-3) + 2\) eine wahre Aussage ist. d) Der \(y\)-Wert verringert sich um \(2\) Einheiten.

- Wann liegen zwei Punkte genau gegenüber von der x-Achse? Vergleiche ihre Koordinaten. - Überlege dir, welche Punkte auf einer Geraden festbleiben, wenn man an der y-Achse spiegelt. - Wie ändert sich die Richtung einer Geraden (die Steigung), wenn man sie wie in einem Spiegel links und rechts vertauscht?

1. Zwei Graphen sind symmetrisch zur \(x\)-Achse, wenn für jedes \(x\) gilt: \(g(x) = -f(x)\). 2. Berechnung für a): \(-f(x) = -(\frac{2}{3}x + 2) = -\frac{2}{3}x - 2\). Da dies exakt der Funktionsgleichung von \(g(x)\) entspricht, liegen die Graphen symmetrisch zur \(x\)-Achse. 3. Für eine Symmetrie zur \(y\)-Achse muss ein Punkt \((x \mid y)\) auf den Punkt \((-x \mid y)\) abgebildet werden. Die neue Funktion \(h\) muss also \(h(x) = f(-x)\) erfüllen. 4. Berechnung für b): \(h(x) = \frac{2}{3}(-x) + 2 = -\frac{2}{3}x + 2\). 5. Begründung: Der \(y\)-Achsenabschnitt bleibt bei der Spiegelung an der \(y\)-Achse gleich (da der Punkt auf der Spiegelachse liegt), während die Steigung ihr Vorzeichen umkehrt, da die Gerade nun in die entgegengesetzte Richtung „kippt“.

a) Ja, die Graphen sind symmetrisch zur \(x\)-Achse, da \(g(x) = -f(x)\) für alle \(x\) gilt. b) Die Funktionsgleichung lautet \(h(x) = -\frac{2}{3}x + 2\). Der \(y\)-Achsenabschnitt bleibt gleich, da der Punkt \((0 \mid 2)\) auf der Spiegelachse liegt; die Steigung kehrt ihr Vorzeichen um.

- Wo schneiden die drei Geraden die \(y\)-Achse, und welche Terme passen zu diesen Anfangswerten? - Was bedeutet die Steigung einer Tarifgeraden im Sachzusammenhang? - Wie kannst du die Kosten für \(2\,\text{h}\) aus Graph oder Funktionsterm bestimmen? - Welche Gerade liegt vor beziehungsweise nach dem gemeinsamen Schnittpunkt am niedrigsten?

1. Graph \(a\) verläuft durch den Ursprung und gehört daher zu \(f_1(x)=4x\). Graph \(b\) schneidet die \(y\)-Achse bei \(6\) und gehört zu \(f_2(x)=2x+6\). Graph \(c\) schneidet die \(y\)-Achse bei \(9\) und gehört zu \(f_3(x)=x+9\). 2. Für \(x=2\) gilt \(f_1(2)=8\), \(f_2(2)=10\) und \(f_3(2)=11\). Damit ist Tarif \(a\) mit \(8\,\text{€}\) am günstigsten. Gegenüber Tarif \(c\) mit \(11\,\text{€}\) beträgt die Ersparnis \(3\,\text{€}\). 3. Alle drei Geraden schneiden sich bei \((3 \mid 12)\). Für \(0\le x<3\) liegt Graph \(a\) am niedrigsten. Bei \(x=3\) kosten alle drei Tarife \(12\,\text{€}\). Für \(x>3\) liegt Graph \(c\) am niedrigsten.

a) \(a\to f_1\), \(b\to f_2\), \(c\to f_3\) b) Tarif \(a\) kostet \(8\,\text{€}\) und ist am günstigsten. Die Ersparnis gegenüber Tarif \(c\) beträgt \(3\,\text{€}\). c) Für \(0\le x<3\) ist Tarif \(a\) am günstigsten; bei \(x=3\) kosten alle drei Tarife \(12\,\text{€}\); für \(x>3\) ist Tarif \(c\) am günstigsten.

- Welche zwei gut ablesbaren Gitterpunkte liefern die Steigung? - Wo schneidet der Graph die \(y\)-Achse? - Welche Bedingung gilt an einer Nullstelle? - Welche besondere Lage hat der Graph einer proportionalen Funktion?

1. Der Graph schneidet die \(y\)-Achse bei \((0 \mid -3)\), also ist \(t=-3\). Von \((0 \mid -3)\) nach \((4 \mid 0)\) beträgt die waagerechte Änderung \(4\) und die senkrechte Änderung \(3\). Daher ist \(m=\frac{3}{4}=0{,}75\) und \(f(x)=0{,}75x-3\). 2. Für die Nullstelle gilt \(0=0{,}75x-3\). Daraus folgt \(x=4\). 3. Eine proportionale Funktion mit derselben Steigung verläuft durch den Ursprung. Daher ist \(p(x)=0{,}75x\).

a) \(m=0{,}75\), \(t=-3\) b) \(x=4\) c) \(p(x)=0{,}75x\)

- Was bedeutet Parallelität für die Steigungen der Geraden? - Wähle eine Gerade mit zwei gut ablesbaren Gitterpunkten für ein Steigungsdreieck. - Welcher Parameter in \(y=mx+t\) beschreibt die Höhe des Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse?

1. Auf \(l\) liegen zum Beispiel die Punkte \((0 \mid 1)\) und \((4 \mid -2)\). Daher gilt \(m=\frac{-2-1}{4-0}=-\frac{3}{4}=-0{,}75\). Wegen der Parallelität haben alle drei Geraden diese Steigung. 2. Die \(y\)-Achsenabschnitte sind \(t_k=3\), \(t_l=1\) und \(t_n=-1\). Damit lauten die Gleichungen \(k: y=-0{,}75x+3\), \(l: y=-0{,}75x+1\) und \(n: y=-0{,}75x-1\). 3. Bei einer Parallelverschiebung bleibt \(m\) gleich. Eine Verschiebung nach oben vergrößert den Parameter \(t\), eine Verschiebung nach unten verkleinert ihn.

a) \(m=-0{,}75=-\frac{3}{4}\) b) \(k: y=-0{,}75x+3\); \(l: y=-0{,}75x+1\); \(n: y=-0{,}75x-1\) c) Der \(y\)-Achsenabschnitt \(t\) ändert sich; die Steigung \(m\) bleibt gleich.

- Welche Werte kannst du direkt aus dem Graphen bei \(x=400\) und am Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse ablesen? - Wie hängt die insgesamt verbrauchte Kraftstoffmenge mit der gefahrenen Strecke zusammen? - Welche zwei Punkte des Graphen eignen sich zur Bestimmung der Steigung? - Welche Bedeutung hat der Funktionswert bei \(x=0\)?

1. Bei \(x=400\) lässt sich im Graphen ungefähr \(y=36\) ablesen. Es sind also noch etwa \(36\,\text{l}\) im Tank. 2. Der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=1000\). Nach \(1000\,\text{km}\) ist der Tank leer. 3. Auf \(1000\,\text{km}\) werden \(60\,\text{l}\) verbraucht. Pro \(100\,\text{km}\) sind das \(\frac{60}{1000}\cdot 100=6\,\text{l}\). 4. Der Anfangswert beträgt \(60\,\text{l}\). Die Steigung ist \(m=\frac{0-60}{1000-0}=-0{,}06\). Damit lautet die Funktionsgleichung \(y=-0{,}06x+60\).

1) Nach \(400\,\text{km}\) sind noch etwa \(36\,\text{l}\) im Tank. 2) Der Tank ist nach \(1000\,\text{km}\) leer. 3) Der Durchschnittsverbrauch beträgt \(6\,\text{l}\) pro \(100\,\text{km}\). 4) \(y=-0{,}06x+60\)

- Überlege dir, wie du die Gleichung so umstellen kannst, dass sie wie eine bekannte Funktionsgleichung aussieht. - Wo schneidet die Gerade die waagerechte \(x\)-Achse? Welchen Wert hat \(y\) an dieser Stelle? - Wo schneidet die Gerade die senkrechte \(y\)-Achse? Welchen Wert hat \(x\) dort? - Du kannst auch einfach Probepunkte einsetzen und prüfen, ob sie die Gleichung erfüllen.

1. Umformung der Gleichung \(x - 2y = 4\) in die explizite Form: \(2y = x - 4 \Rightarrow y = 0{,}5x - 2\). 2. Berechnung des \(y\)-Achsenabschnitts (\(x = 0\)): \(y = -2\). Der Punkt ist \((0 \mid -2)\). 3. Berechnung der Nullstelle (\(y = 0\)): \(0 = 0{,}5x - 2 \Rightarrow 2 = 0{,}5x \Rightarrow x = 4\). Der Punkt ist \((4 \mid 0)\). 4. Abgleich mit den Graphen: - Graph a) hat Schnittpunkte bei \((4 \mid 0)\) und \((0 \mid -2)\). Dies ist der gesuchte Graph. - Graph b) hat Schnittpunkte bei \((-4 \mid 0)\) und \((0 \mid -2)\). - Graph c) hat Schnittpunkte bei \((-4 \mid 0)\) und \((0 \mid 2)\). - Graph d) hat Schnittpunkte bei \((4 \mid 0)\) und \((0 \mid 2)\).

Der Graph a) stellt die Gleichung \(x - 2y = 4\) dar.

- Suche bei den nicht senkrechten Geraden zuerst den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse. - Bestimme die Steigung aus den waagerechten und senkrechten Abständen zweier Gitterpunkte. - Welche Gleichungsform besitzt eine senkrechte Gerade?

1. Für die Gerade \(p\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=-2\). Geht man \(3\) Einheiten nach rechts, steigt die Gerade um \(2\) Einheiten. Daher ist \(m=\frac{2}{3}\), also \(p: y=\frac{2}{3}x-2\). 2. Für die Gerade \(q\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=1\). Geht man \(1\) Einheit nach rechts, fällt die Gerade um \(1\) Einheit. Daher ist \(m=-1\), also \(q: y=-x+1\). 3. Die Gerade \(r\) ist senkrecht und verläuft bei \(x=-1\). Daher lautet ihre Gleichung \(r: x=-1\).

\(p: y=\frac{2}{3}x-2\), \(q: y=-x+1\), \(r: x=-1\)

- Bestimme für \(g_1\) und \(g_2\) zuerst den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse. - Nutze jeweils einen zweiten Gitterpunkt, um die Steigung zu ermitteln. - Der Schnittpunkt ist die Stelle, an der sich die beiden Geraden schneiden.

1. Die Gerade \(g_1\) schneidet die \(y\)-Achse bei \(-2\) und verläuft durch \((4 \mid 0)\). Damit ist \(m = (0 - (-2)) : (4 - 0) = 0{,}5\), also \(g_1: y = 0{,}5x - 2\). 2. Die Gerade \(g_2\) schneidet die \(y\)-Achse bei \(4\) und verläuft ebenfalls durch \((4 \mid 0)\). Damit ist \(m = (0 - 4) : (4 - 0) = -1\), also \(g_2: y = -x + 4\). 3. Die Gerade \(g_3\) ist waagerecht und verläuft bei \(y = 1\). Daher gilt \(g_3: y = 1\). 4. Aus der Zeichnung liest man den Schnittpunkt \(S(4 \mid 0)\) von \(g_1\) und \(g_2\) ab.

Gleichungen: \(g_1: y = 0{,}5x - 2\), \(g_2: y = -x + 4\), \(g_3: y = 1\) Schnittpunkt von \(g_1\) und \(g_2\): \(S(4 \mid 0)\)

- Erinnere dich an die Volumenformel eines Zylinders: \(V = G \cdot h\). - Was bedeutet eine konstante Zuflussrate für die Zunahme des Volumens? - Wie wirkt sich eine kleinere Grundfläche auf die Geschwindigkeit aus, mit der die Höhe wächst?

1. Berechnung der Steigrate: Das Volumen \(V\) berechnet sich aus \(G \cdot h\). Da \(500\,\text{ml} = 500\,\text{cm}^3\), gilt \(500 = 200 \cdot h\). Daraus folgt \(h = 2{,}5\,\text{cm}\) pro Minute. 2. Funktionsgleichung: \(h(t) = 2{,}5t\). 3. Vergleich der Gefäße: Bei \(G = 100\,\text{cm}^2\) gilt \(500 = 100 \cdot h\), also \(h = 5\,\text{cm}\) pro Minute. Die Steigung des Graphen verdoppelt sich, der Graph verläuft also steiler. 4. Zusammengesetztes Gefäß: - Unterer Teil (\(0\) bis \(10\,\text{cm}\)): Steigung \(2{,}5\,\text{cm/min}\). Die Höhe von \(10\,\text{cm}\) wird nach \(10 : 2{,}5 = 4\,\text{min}\) erreicht. - Oberer Teil (\(10\) bis \(20\,\text{cm}\)): Ab \(t = 4\) steigt das Wasser schneller mit \(5\,\text{cm/min}\). - Nach \(4\) Minuten erreicht das Wasser den schmaleren Teil, wodurch der Wasserspiegel doppelt so schnell steigt wie zuvor. Der Graph hat an dieser Stelle einen Knick nach oben.

a) Der Wasserspiegel steigt um \(2{,}5\,\text{cm}\) pro Minute. b) \(h(t) = 2{,}5t\). c) Die Steigung verdoppelt sich auf \(5\,\text{cm/min}\). Der Graph ist steiler. d) Nach \(4\) Minuten ist der untere Teil voll. Da der obere Teil schmaler ist, steigt der Wasserspiegel ab diesem Zeitpunkt schneller an (Knick im Graphen).

- In welche einheitliche Form kannst du alle vier Gleichungen bringen, um sie direkt zu vergleichen? - Achte auf den Unterschied zwischen \(\frac{1}{3}\) und \(0{,}3\). - Welche Bedingungen an \(m\) und \(t\) unterscheiden identische von nur parallelen Geraden?

1. Bringe alle Gleichungen in die Form \(y=mx+t\): (1) \(y=\frac{1}{3}x+2\); (2) \(y=0{,}3x+2\); (3) \(y=\frac{1}{3}x+4\); (4) \(y=\frac{1}{3}x+2\). 2. Aussage a) ist falsch. Nur (1), (2) und (4) haben \(t=2\); bei (3) ist \(t=4\). 3. Aussage b) ist wahr. Die Gleichungen (1) und (4) beschreiben dieselbe Gerade. 4. Aussage c) ist wahr. Die Geraden (1), (3) und (4) haben die Steigung \(m=\frac{1}{3}\). Dabei sind (1) und (4) identisch, während (3) echt parallel dazu verläuft.

a) Falsch. b) Wahr; (1) und (4) sind identisch. c) Wahr; (1), (3) und (4) haben \(m=\frac{1}{3}\).

- Was gibt die Zahl am Ende einer Funktionsgleichung \(y = mx + t\) über die Position des Graphen an? - Stell dir vor, du gehst einen Schritt nach rechts. Wie weit musst du nach oben oder unten gehen, wenn \(m\) sehr groß ist? - Setze die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung ein, um den fehlenden Buchstaben zu finden.

1. Beide Funktionsgleichungen haben denselben \(y\)-Achsenabschnitt \(t = 3\). Da dieser den Wert der Funktion an der Stelle \(x = 0\) angibt, haben beide Graphen den Punkt \((0 | 3)\) gemeinsam. 2. Da \(m > 0\), bewirkt ein größeres \(m\), dass die Gerade von \(f\) steiler ansteigt. Entsprechend fällt die Gerade von \(g\) mit der Steigung \(-m\) steiler ab. 3. Einsetzen von \(P(2 | 7)\) in \(f(x)\): \(7 = m \cdot 2 + 3 \implies 4 = 2m \implies m = 2\). Damit ist \(g(x) = -2x + 3\). Ein weiterer Punkt auf \(g\) ist z. B. für \(x = 1\): \(g(1) = -2 \cdot 1 + 3 = 1\), also \(Q(1 | 1)\).

1. Beide Funktionen haben denselben \(y\)-Achsenabschnitt \(t = 3\). 2. Der Graph von \(f\) wird steiler ansteigend, der Graph von \(g\) wird steiler fallend. 3. \(m = 2\); \(g(x) = -2x + 3\); ein möglicher Punkt ist \(Q(1 | 1)\).

- In welchem Quadranten liegt der gegebene Punkt \(P\)? - Welche einfachen Steigungen liefern Geraden durch \(P\), die den I. Quadranten sicher vermeiden? - Was bedeutet es für den Verlauf, dass eine Gerade in beide \(x\)-Richtungen unbegrenzt weiterläuft?

1. Eine mögliche Lösung für a) ist die waagerechte Gerade \(f(x)=-4\). Sie verläuft durch \(P\) und liegt in den Quadranten III und IV, also nicht im I. Quadranten. 2. Auch eine fallende Gerade ist möglich. Wähle zum Beispiel \(m=-1\). Aus \(-4=-1\cdot(-2)+t\) folgt \(t=-6\). Damit ist \(f(x)=-x-6\), deren Graph den I. Quadranten ebenfalls meidet. 3. Für b) ist keine solche Steigung möglich. Eine waagerechte Funktionsgerade durch \(P\) erstreckt sich sowohl für negative als auch für positive \(x\)-Werte und liegt daher in zwei Quadranten. 4. Jede nicht waagerechte Funktionsgerade ist ebenfalls in beide \(x\)-Richtungen unbeschränkt und verlässt deshalb den III. Quadranten. Kein Graph einer linearen Funktion kann ausschließlich im III. Quadranten liegen.

a) Zum Beispiel \(f(x)=-4\) oder \(f(x)=-x-6\) b) Nein. Der Graph einer linearen Funktion kann nicht ausschließlich im III. Quadranten liegen.

- Welche Lage haben Graphen von Funktionen der Form \(f(x) = c\) im Koordinatensystem? - Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei waagerechten Geraden? - Wie findet man die Punkte, an denen sich zwei Funktionsgraphen treffen? - Was bedeutet „gleichschenklig“ für die Symmetrie des Trapezes?

1. Bestimmung der vierten Gerade: Da \(f_3(x) = 0\) die x-Achse beschreibt und das Trapez die Höhe \(h = 3\) haben soll, muss die parallele Gegenseite auf der Geraden \(y = 3\) liegen. Somit ist \(f_4(x) = 3\). 2. Berechnung der Schnittpunkte auf der x-Achse (\(y=0\)): Für \(f_1\): \(0 = 2x + 4 \Rightarrow x = -2\), also \(A(-2|0)\). Für \(f_2\): \(0 = -2x + 4 \Rightarrow x = 2\), also \(B(2|0)\). 3. Berechnung der Schnittpunkte auf der Geraden \(y=3\): Für \(f_1\): \(3 = 2x + 4 \Rightarrow 2x = -1 \Rightarrow x = -0{,}5\), also \(D(-0{,}5|3)\). Für \(f_2\): \(3 = -2x + 4 \Rightarrow -2x = -1 \Rightarrow x = 0{,}5\), also \(C(0{,}5|3)\). 4. Überprüfung der Form: Die Steigungen der Schenkel sind \(2\) und \(-2\), was die Achsensymmetrie zur y-Achse und somit die Eigenschaft „gleichschenklig“ bestätigt.

Die vierte Funktionsgleichung lautet \(f_4(x) = 3\). Die Eckpunkte des Trapezes sind \(A(-2|0)\), \(B(2|0)\), \(C(0{,}5|3)\) und \(D(-0{,}5|3)\).

- Welche Steigung müssen Geraden haben, die senkrecht auf Geraden mit der Steigung \(1\) stehen? - Welche Symmetrie besitzt ein Quadrat bei einer Drehung um seinen Mittelpunkt? - Drehe die Punkte \((0|4)\) und \((0|-4)\) gedanklich um \(90^{\circ}\) um den Ursprung. - Wie kann man die Fläche eines Quadrats berechnen, wenn man die Längen der Diagonalen kennt?

1. Die gegebenen Geraden haben die Steigung \(m = 1\). Die beiden fehlenden Seiten eines Quadrats müssen senkrecht dazu verlaufen und daher die Steigung \(m = -1\) besitzen. 2. Ein Quadrat ist bei einer Drehung um \(90^{\circ}\) um seinen Mittelpunkt wieder deckungsgleich mit sich selbst. Der Punkt \((0|4)\) auf der Geraden \(y = x + 4\) wird bei einer solchen Drehung um den Ursprung auf \((-4|0)\) abgebildet. Die zugehörige Bildgerade hat die Steigung \(-1\) und verläuft durch \((-4|0)\), also lautet sie \(y = -x - 4\). Entsprechend wird \((0|-4)\) auf \((4|0)\) abgebildet; die zweite fehlende Gerade lautet \(y = -x + 4\). 3. Berechnung der Eckpunkte durch Gleichsetzen: Schnitt von \(y = x + 4\) und \(y = -x + 4\): \(x + 4 = -x + 4 \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x = 0\), also \(P_1(0|4)\). Schnitt von \(y = -x + 4\) und \(y = x - 4\): \(-x + 4 = x - 4 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4\), also \(P_2(4|0)\). Schnitt von \(y = x - 4\) und \(y = -x - 4\): \(x - 4 = -x - 4 \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x = 0\), also \(P_3(0|-4)\). Schnitt von \(y = -x - 4\) und \(y = x + 4\): \(-x - 4 = x + 4 \Rightarrow 2x = -8 \Rightarrow x = -4\), also \(P_4(-4|0)\). 4. Die Diagonalen verlaufen von \((0|4)\) bis \((0|-4)\) sowie von \((4|0)\) bis \((-4|0)\). Beide haben die Länge \(8\). Daher ist \(A = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = 32\).

a) Die weiteren Geraden sind \(y = -x + 4\) und \(y = -x - 4\). b) Der Flächeninhalt des Quadrats beträgt \(32\,\text{Flächeneinheiten}\).

- Wie ändern sich die Koordinaten eines Punktes bei einer Spiegelung am Ursprung? - Was geschieht bei einer Punktspiegelung mit der Steigung einer Geraden? - Wann haben zwei Geraden mit gleicher Steigung einen Schnittpunkt?

1. Bei einer Spiegelung am Ursprung wird \((x \mid y)\) auf \((-x \mid -y)\) abgebildet. 2. Auf \(k''\) liegen zum Beispiel \(A''(0 \mid -4)\) und \(B''(3 \mid -3)\). Die zugehörigen Urbildpunkte sind \(A(0 \mid 4)\) und \(B(-3 \mid 3)\). 3. Die ursprüngliche Gerade hat dieselbe Steigung \(m=\frac{1}{3}\). Ihr Achsenabschnitt ist \(t=4\). Daher gilt \(k(x)=\frac{1}{3}x+4\). 4. Eine Punktspiegelung bildet eine Gerade auf eine parallele Gerade ab. \(k\) und \(k''\) haben also dieselbe Steigung. 5. Ihre Achsenabschnitte \(4\) und \(-4\) sind verschieden. Daher sind die Geraden nicht identisch und besitzen keinen Schnittpunkt.

a) \(k(x)=\frac{1}{3}x+4\) b) Nein. Die Geraden sind parallel und haben verschiedene \(y\)-Achsenabschnitte.

- Was passiert mit den Koordinaten \((x|y)\) eines Punktes, wenn er an der Geraden \(y=x\) gespiegelt wird? - Wie löst man eine Gleichung nach einer anderen Variablen auf? - Wann ist eine geometrische Figur (wie eine Gerade) im mathematischen Sinne ein Funktionsgraph? - Überlege, was ein Fixpunkt bei einer Spiegelung ist.

1. Um die Funktionsgleichung der an \(y = x\) gespiegelten Funktion \(g\) zu finden, vertauscht man in der Gleichung \(y = 0{,}4x + 3\) die Variablen \(x\) und \(y\): \(x = 0{,}4y + 3\). 2. Auflösen nach \(y\): \(x - 3 = 0{,}4y \implies y = \frac{1}{0{,}4}x - \frac{3}{0{,}4} = 2{,}5x - 7{,}5\). Somit ist \(g(x) = 2{,}5x - 7{,}5\). 3. Schnittpunkt berechnen: \(0{,}4x + 3 = 2{,}5x - 7{,}5 \implies 10{,}5 = 2{,}1x \implies x = 5\). Einsetzen ergibt \(y = 0{,}4 \cdot 5 + 3 = 5\). Der Schnittpunkt ist \(S(5|5)\). 4. Da der Punkt \(S\) auf der Spiegelachse \(y = x\) liegt, wird er auf sich selbst abgebildet. Jeder Schnittpunkt eines Graphen mit seiner Spiegelachse ist ein Fixpunkt der Spiegelung. 5. Die Spiegelung von \(y = 3\) (waagerechte Gerade) an \(y = x\) ergibt die senkrechte Gerade \(x = 3\). Eine senkrechte Gerade ist kein Funktionsgraph, da einem \(x\)-Wert unendlich viele \(y\)-Werte zugeordnet würden.

a) \(g(x) = 2{,}5x - 7{,}5\) b) Der Schnittpunkt ist \(S(5|5)\). Er liegt auf \(y = x\), weil Punkte auf der Spiegelachse Fixpunkte sind. c) Die Spiegelung ergibt die senkrechte Gerade \(x = 3\). Dies ist keine Funktion, da die Eindeutigkeit der Zuordnung verletzt ist.

- Wie berechnet man die Steigung zwischen zwei Punkten? - Was passiert mit Punkten, die genau auf der Spiegelachse liegen? - Wenn ein Punkt einen bestimmten Abstand zur Spiegelachse hat, wo landet sein Spiegelpunkt? - Stelle dir vor, wie ein Pfeil, der nach rechts oben zeigt, in einem Spiegel aussieht, der waagerecht liegt.

1. Bestimmung von \(k\): Da die Gerade durch den Ursprung geht, ist \(t = 0\). Die Steigung ist \(m = \frac{2 - 0}{4 - 0} = 0{,}5\). Also \(k(x) = 0{,}5x\). 2. Spiegelung an \(y = 2\): Der Punkt \(B(4|2)\) liegt auf der Spiegelachse und ist somit ein Fixpunkt: \(B' = B(4|2)\). 3. Der Punkt \(O(0|0)\) liegt \(2\) Einheiten unterhalb der Spiegelachse. Sein Spiegelpunkt \(O'\) liegt also \(2\) Einheiten oberhalb der Achse bei \(O'(0|4)\). 4. Bestimmung von \(k'\) durch \(O'(0|4)\) und \(B'(4|2)\): Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(t' = 4\). Die Steigung ist \(m' = \frac{2 - 4}{4 - 0} = \frac{-2}{4} = -0{,}5\). Somit ist \(k'(x) = -0{,}5x + 4\). 5. Anschauliche Erklärung: Bei einer Spiegelung an einer waagerechten Achse wird ein „Anstieg“ in ein „Fallen“ (und umgekehrt) verwandelt. Ein Steigungsdreieck, das vorher nach oben gerichtet war, zeigt nach der Spiegelung nach unten.

a) \(k(x) = 0{,}5x\) b) \(k'(x) = -0{,}5x + 4\) c) Durch die Spiegelung an der Waagerechten wird aus einem positiven Höhenunterschied ein negativer, während der horizontale Unterschied gleich bleibt. Dadurch kehrt sich das Vorzeichen des Quotienten \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) um.

- Welches Vorzeichen ändert sich bei einer Spiegelung an der \(y\)-Achse? - Was geschieht mit allen Funktionswerten bei einer Spiegelung an der \(x\)-Achse? - Welche bekannte Abbildung kehrt sowohl die \(x\)- als auch die \(y\)-Koordinate um?

1. Bei der Spiegelung an der \(y\)-Achse ersetzt man \(x\) durch \(-x\). Daher gilt \(p(x)=-\frac{2}{3}x+5\). 2. Bei der anschließenden Spiegelung an der \(x\)-Achse wird der gesamte Funktionsterm mit \(-1\) multipliziert. Damit ist \(u(x)=\frac{2}{3}x-5\). 3. Verglichen mit \(s(x)=\frac{2}{3}x+5\) bleibt die Steigung gleich, während sich das Vorzeichen des \(y\)-Achsenabschnitts ändert. 4. Die beiden aufeinanderfolgenden Achsenspiegelungen entsprechen insgesamt einer Punktspiegelung am Ursprung beziehungsweise einer Drehung um \(180^\circ\).

1. \(p(x)=-\frac{2}{3}x+5\) 2. \(u(x)=\frac{2}{3}x-5\) 3. Eine Punktspiegelung am Ursprung

- Wie hängen die Begriffe „Lösung einer Gleichung“ und „Punkt auf einer Geraden“ zusammen? - Was muss für die Steigung und den Achsenabschnitt gelten, damit zwei Geraden keinen gemeinsamen Punkt haben? - Kannst du die Gleichung so umformen, dass du die Steigung direkt ablesen kannst?

1. Überprüfung der Punkte: Für \(A(2|0)\): \(0{,}5 \cdot 2 - 0{,}25 \cdot 0 = 1 - 0 = 1\) (wahr). Für \(B(0|-4)\): \(0{,}5 \cdot 0 - 0{,}25 \cdot (-4) = 0 + 1 = 1\) (wahr). Für \(C(4|3)\): \(0{,}5 \cdot 4 - 0{,}25 \cdot 3 = 2 - 0{,}75 = 1{,}25 \neq 1\) (falsch). 2. Berechnung von \(x_D\): \(0{,}5x_D - 0{,}25 \cdot 2 = 1 \implies 0{,}5x_D - 0{,}5 = 1 \implies 0{,}5x_D = 1{,}5 \implies x_D = 3\). 3. Zweite Gleichung finden: Damit kein Schnittpunkt existiert, müssen die Geraden parallel sein, aber unterschiedliche Achsenabschnitte haben. Die erste Gleichung entspricht \(y = 2x - 4\). Eine parallele Gerade wäre z. B. \(y = 2x - 8\). In der ursprünglichen Form ist dies \(0{,}5x - 0{,}25y = 2\). Begründung: Gleiches Verhältnis der Koeffizienten von \(x\) und \(y\) (gleiche Steigung), aber anderer konstanter Wert (andere Lage).

a) \(A\) und \(B\) liegen auf der Geraden, \(C\) nicht. b) \(x_D = 3\) c) Beispiel: \(0{,}5x - 0{,}25y = 2\). Begründung: Die Geraden haben die gleiche Steigung, aber unterschiedliche Achsenabschnitte, sie sind also echt parallel.

- Welcher der gegebenen Punkte ist bereits ein Achsenschnittpunkt? - Wie kannst du aus zwei Punkten zuerst die Steigung und anschließend den Achsenabschnitt \(t\) bestimmen? - Welche rechtwinklige Figur entsteht zusammen mit den Koordinatenachsen?

1. Die Steigung ist \(m=\frac{0-3}{4-(-2)}=-\frac{3}{6}=-0{,}5\). 2. Da \(B(4 \mid 0)\) auf der \(x\)-Achse liegt, ist der Schnittpunkt \(S_x(4 \mid 0)\) bereits bekannt. 3. Setze \(B\) in \(y=-0{,}5x+t\) ein: \(0=-0{,}5\cdot 4+t\). Daraus folgt \(t=2\). Somit ist \(S_y(0 \mid 2)\). 4. Das Dreieck hat die Eckpunkte \((0 \mid 0)\), \(S_x(4 \mid 0)\) und \(S_y(0 \mid 2)\). Seine Kathetenlängen sind \(4\) und \(2\). 5. Der Flächeninhalt beträgt \(A=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 2=4\) Flächeneinheiten.

\(S_x(4 \mid 0)\), \(S_y(0 \mid 2)\); Flächeninhalt \(4\) Flächeneinheiten

- Was bedeutet es für jeden Funktionswert, wenn alle \(y\)-Werte mit demselben Faktor verändert werden? - Woran erkennst du bei einer Ursprungsgeraden die Steigung in der Funktionsgleichung? - Welche Form muss die neue Gleichung behalten, damit der Graph weiterhin durch den Ursprung geht? - Wie kannst du den allgemeinen Faktor \(k\) mit der ursprünglichen Steigung \(m\) zusammenfassen?

1. Die Bedingung „\(y\)-Werte verdreifachen“ bedeutet \(h(x)=3f(x)\). Mit \(f(x)=1{,}5x\) ergibt sich \(h(x)=3(1{,}5x)=4{,}5x\). 2. Die Steigung von \(f\) ist \(m_f=1{,}5\), die Steigung von \(h\) ist \(m_h=4{,}5\). Die Steigung wurde also verdreifacht; der Graph von \(h\) ist steiler. 3. Für eine Ursprungsgerade \(y=mx\) werden nach der Streckung oder Stauchung die neuen Funktionswerte durch \(y_{\text{neu}}=ky\) beschrieben. Damit gilt \(y_{\text{neu}}=k(mx)=(km)x\). Die neue Funktion ist wieder von der Form einer Ursprungsgeraden und hat die Steigung \(m'=km\).

a) \(h(x)=4{,}5x\) b) Die Steigung hat sich von \(1{,}5\) auf \(4{,}5\) verdreifacht; der Graph ist steiler geworden. c) Es gilt \(y_{\text{neu}}=(km)x\). Die neue Steigung ist \(m'=km\).