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- Lies für jeden Abschnitt ab, wie sich der Abstand zum Ausgangspunkt im Laufe der Zeit verändert. - Eine waagerechte Stelle bedeutet, dass sich der Abstand nicht ändert. - Wenn der Abstand zum Ausgangspunkt kleiner wird, bewegt sich die Wanderin wieder in dessen Richtung.

a) Im Abschnitt A nimmt die Entfernung zum Ausgangspunkt zu. Im Abschnitt B bleibt sie bei \(8\,\text{km}\) konstant. Im Abschnitt C nimmt sie ab. b) Eine abnehmende Entfernung bedeutet, dass die Wanderin sich wieder dem Ausgangspunkt nähert und sich auf dem Rückweg befindet.

a) A: Entfernung nimmt zu; B: Entfernung bleibt konstant; C: Entfernung nimmt ab. b) Die Wanderin nähert sich wieder dem Ausgangspunkt.

- Nutze die Zusatzinformation, dass die Vorband vor der Pause und der Hauptact danach spielt. - Vergleiche die längeren Abschnitte mit hohem Pegel und den deutlich leiseren Abschnitt dazwischen. - Lies die Übergangszeiten an den feineren Rasterlinien ab.

1. Nach dem anfänglichen Lautstärkeanstieg liegt der Pegel von ungefähr Minute 5 bis Minute 40 bei etwa \(85\,\text{dB}\). Das passt laut Ablaufplan zur Vorband. Nach dem späteren starken Anstieg beginnt der deutlich lautere Hauptact ungefähr bei Minute 65. 2. Zwischen ungefähr Minute 45 und Minute 60 liegt der Pegel bei nur etwa \(60\,\text{dB}\). Dieser Abschnitt passt zur Umbaupause.

1. Vorband: ungefähr Minute 5 bis 40; Hauptact ab ungefähr Minute 65 2. Umbaupause: ungefähr Minute 45 bis 60

- Frage dich, welche Größe ausgewählt wird und welche Messgröße davon abhängt. - In \(f(x)\) steht das Argument in der Klammer; der zugehörige Messwert steht auf der anderen Seite der Gleichung.

1. Die Messung ordnet jedem aufgezeichneten Zeitpunkt genau die dort gemessene Temperatur zu. Daher ist die Eingabe die Uhrzeit in Stunden und die Ausgabe die Wassertemperatur in \(^\circ\text{C}\). 2. Für die Messung um \(10\) Uhr gilt \(f(10)=22{,}0\).

Eingabe: Uhrzeit in Stunden. Ausgabe: Wassertemperatur in \(^\circ\text{C}\). Für \(10\) Uhr gilt \(f(10)=22{,}0\).

- Deute zuerst die erste Koordinate mithilfe der Eingabegröße. - Deute danach die zweite Koordinate mithilfe der Ausgabegröße. - Verbinde beide Bedeutungen zu einer Aussage über denselben Zeitpunkt.

1. Die erste Koordinate \(3\) beschreibt die Zeit seit der Öffnung in Stunden. 2. Die zweite Koordinate \(180\) beschreibt die Zahl der belegten Stellplätze. 3. Der Punkt bedeutet daher: Drei Stunden nach der Öffnung sind \(180\) Stellplätze belegt.

Drei Stunden nach der Öffnung sind \(180\) Stellplätze belegt.

- Überlege dir für jede Höhe, wie viel Platz das Wasser dort hat, um sich auszubreiten. - Was bedeutet eine „steile“ Kurve im Graphen für die Geschwindigkeit des Anstiegs? - Stell dir vor, du füllst das Gefäß schichtweise: Sind die Schichten bei gleicher Wassermenge oben dicker oder dünner als unten?

1. Analyse der Form: Da das Gefäß oben weiter wird, vergrößert sich die Querschnittsfläche mit zunehmender Höhe. 2. Schlussfolgerung für die Geschwindigkeit: Bei konstantem Zufluss muss sich das Wasser auf eine immer größere Fläche verteilen. Die Füllhöhe steigt also anfangs schnell und dann immer langsamer. 3. Graphverlauf: Da die Steiggeschwindigkeit abnimmt, wird die Steigung des Graphen mit der Zeit kleiner. Die Kurve verläuft immer flacher (degressiver Anstieg). 4. Veränderung bei Verengung: Wenn das Gefäß oben schmaler wird, verringert sich die Querschnittsfläche wieder. Das Wasser steigt in diesem Bereich wieder schneller an, der Graph wird also wieder steiler.

a) Die Füllhöhe steigt immer langsamer an, da die Querschnittsfläche nach oben hin zunimmt und sich das Wasser auf mehr Raum verteilen muss. b) Die Kurve im Graphen wird immer flacher. c) Der Graph würde im oberen Bereich wieder steiler werden, da das Wasser bei geringerer Fläche schneller in die Höhe steigt.

- Suche für jede genannte Strecke zuerst die passende Stelle auf der waagerechten Achse. - Vergleiche dort die Höhen der beiden beschrifteten Graphen. - Für die letzte Frage ist entscheidend, ob beide Graphen irgendwo denselben Punkt besitzen.

1. Bei \(s=1\,\text{km}\) liest man für Tim \(25\,\text{km/h}\) und für Lisa \(20\,\text{km/h}\) ab. Tim fährt schneller. 2. Bei \(s=4\,\text{km}\) liest man für Tim \(15\,\text{km/h}\) und für Lisa \(20\,\text{km/h}\) ab. Lisa fährt schneller. 3. Lisas Graph liegt durchgehend bei \(20\,\text{km/h}\). Tims Graph liegt zunächst bei \(25\,\text{km/h}\) und danach bei \(15\,\text{km/h}\). Die beiden Graphen haben daher keinen gemeinsamen Punkt.

1. Tim mit \(25\,\text{km/h}\) 2. Lisa mit \(20\,\text{km/h}\) 3. Nein; die beiden Graphen schneiden sich nicht.

- Prüfe für jede Kugelzahl, wie viele 3er-Angebote sinnvoll genutzt werden können. - Vergleiche die Kosten der möglichen Kombinationen, bevor du den günstigsten Preis einträgst. - Jede Tabellenzeile liefert einen Punkt \((n\mid P(n))\). - Überlege, welche Werte die Kugelanzahl im Sachkontext überhaupt annehmen kann.

1. Für 7 Kugeln sind zwei 3er-Becher und eine einzelne Kugel am günstigsten: \(2\cdot4{,}00\,\text{€}+1{,}50\,\text{€}=9{,}50\,\text{€}\). 2. Für 1 bis 8 Kugeln ergeben sich die günstigsten Preise \(1{,}50\,\text{€}\), \(3{,}00\,\text{€}\), \(4{,}00\,\text{€}\), \(5{,}50\,\text{€}\), \(7{,}00\,\text{€}\), \(8{,}00\,\text{€}\), \(9{,}50\,\text{€}\) und \(11{,}00\,\text{€}\). 3. Die Graphpunkte sind \((1\mid1{,}50)\), \((2\mid3{,}00)\), \((3\mid4{,}00)\), \((4\mid5{,}50)\), \((5\mid7{,}00)\), \((6\mid8{,}00)\), \((7\mid9{,}50)\) und \((8\mid11{,}00)\). 4. Die Kugelanzahl ist diskret. Zwischenwerte wie \(2{,}5\) Kugeln sind in diesem Sachzusammenhang nicht zulässig, daher werden die Punkte nicht verbunden.

a) \(9{,}50\,\text{€}\) b) <table><tr><td>Anzahl Kugeln</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>7</td><td>8</td></tr><tr><td>Preis in \(\text{€}\)</td><td>\(1{,}50\)</td><td>\(3{,}00\)</td><td>\(4{,}00\)</td><td>\(5{,}50\)</td><td>\(7{,}00\)</td><td>\(8{,}00\)</td><td>\(9{,}50\)</td><td>\(11{,}00\)</td></tr></table> c) \((1\mid1{,}50)\), \((2\mid3{,}00)\), \((3\mid4{,}00)\), \((4\mid5{,}50)\), \((5\mid7{,}00)\), \((6\mid8{,}00)\), \((7\mid9{,}50)\), \((8\mid11{,}00)\); nicht verbinden, weil nur ganze Kugelzahlen zulässig sind.

- Überlege zuerst, welche Zusammensetzung der sechs Gegenstände besonders leicht beziehungsweise besonders schwer ist. - Suche nach einer gleichbleibenden Veränderung des Gesamtgewichts, wenn sich die Anzahl der Bücher um eins ändert. - Prüfe für c), welche x-Werte im Sachzusammenhang überhaupt möglich sind.

1. Das minimale Gewicht entsteht bei 6 Heften und 0 Büchern: \(6 \cdot 80\,\text{g} = 480\,\text{g}\). 2. Das maximale Gewicht entsteht bei 0 Heften und 6 Büchern: \(6 \cdot 450\,\text{g} = 2700\,\text{g}\). 3. Beim Ersetzen eines Heftes durch ein Buch steigt das Gesamtgewicht jeweils um \(450\,\text{g} - 80\,\text{g} = 370\,\text{g}\). Für 0 bis 6 Bücher ergeben sich daher der Reihe nach \(480\,\text{g}\), \(850\,\text{g}\), \(1220\,\text{g}\), \(1590\,\text{g}\), \(1960\,\text{g}\), \(2330\,\text{g}\) und \(2700\,\text{g}\). 4. Eine Verbindung der Punkte ist nicht sinnvoll, da die Anzahl der Bücher eine diskrete Variable ist: Man kann in diesem Sachzusammenhang keine nicht-ganzzahlige Anzahl von Büchern einpacken.

a) Das minimale Gewicht beträgt \(480\,\text{g}\), das maximale Gewicht \(2700\,\text{g}\). b) Die Gewichte lauten: \(480\,\text{g}\), \(850\,\text{g}\), \(1220\,\text{g}\), \(1590\,\text{g}\), \(1960\,\text{g}\), \(2330\,\text{g}\), \(2700\,\text{g}\). c) Nein, es ist nicht sinnvoll, da man nur eine ganze Anzahl an Büchern oder Heften einpacken kann. Die Zuordnung ist diskret.

- Prüfe für a) die Zuordnung immer in der angegebenen Richtung von der Uhrzeit zur Temperatur. - Bei b) ist einmal ein Funktionswert zu deuten und anschließend rückwärts nach allen passenden Argumenten zu suchen. - Für c) vertauschst du gedanklich Eingaben und Ausgaben und prüfst erneut die Eindeutigkeit.

1. Jedem aufgezeichneten Messzeitpunkt ist in der Tabelle genau ein Temperaturwert zugeordnet. Daher ist \(t\mapsto T(t)\) auf der angegebenen Definitionsmenge eine Funktion. 2. \(T(15)=7{,}5\) bedeutet: Um \(15{:}00\) Uhr wurden \(7{,}5\,^\circ\text{C}\) gemessen. Der Funktionswert \(1{,}2\,^\circ\text{C}\) tritt bei den Argumenten \(t=9\) und \(t=21\) auf. 3. Die umgekehrte Zuordnung ist keine Funktion, weil der Eingabe \(1{,}2\,^\circ\text{C}\) zwei verschiedene Messzeitpunkte, \(9{:}00\) Uhr und \(21{:}00\) Uhr, zugeordnet würden.

a) Ja. Jedem aufgezeichneten Messzeitpunkt ist genau ein Temperaturwert zugeordnet. b) Um \(15{:}00\) Uhr wurden \(7{,}5\,^\circ\text{C}\) gemessen; \(T(t)=1{,}2\) gilt für \(t=9\) und \(t=21\). c) Nein. \(1{,}2\,^\circ\text{C}\) gehört zu zwei verschiedenen Messzeitpunkten.

- Überlege dir für beide Fälle, was passiert, wenn du den Eingangswert (Kilometer bzw. Seitenlänge) verdoppelst. - Welche Form haben die Funktionsgleichungen, die du aufstellen würdest? - Bei einer linearen Funktion muss die Änderung pro Schritt immer gleich groß sein.

1. Situation (1) ist linear. Es gibt eine feste Grundgebühr (\(y\)-Achsenabschnitt \(b = 3{,}50\)) und eine konstante Änderungsrate pro Kilometer (Steigung \(m = 1{,}80\)). Die Funktionsgleichung hat die Form \(f(x) = 1{,}80x + 3{,}50\). 2. Situation (2) ist nicht linear. Der Flächeninhalt \(A\) berechnet sich durch \(A(a) = a^2\). Da die Variable \(a\) quadriert wird, handelt es sich um eine quadratische Funktion. Eine Verdopplung der Seitenlänge führt beispielsweise zu einer Vervierfachung des Flächeninhalts, was der Definition einer linearen Änderung widerspricht.

(1) Linear, da die Kosten pro Kilometer konstant steigen und es einen festen Startwert gibt. (2) Nicht linear, da der Flächeninhalt quadratisch mit der Seitenlänge wächst (\(A = a^2\)).

- Markiere zuerst die Zeitpunkte, an denen sich die Situation ändert. - Überlege, welche Füllmenge an jedem dieser Zeitpunkte vorliegt. - Für b) vergleichst du die gesamte Volumenänderung mit der zugehörigen Zeitspanne. - Suche für c) getrennt im Füll- und im Entnahmeabschnitt nach \(30\,\text{l}\).

1. Die Eckpunkte sind \((0\mid0)\), \((20\mid40)\), \((30\mid40)\) und \((45\mid25)\). Innerhalb der beschriebenen gleichmäßigen Abschnitte werden benachbarte Punkte geradlinig verbunden. 2. In den ersten \(20\,\text{min}\) kommen \(40\,\text{l}\) hinzu. Das entspricht \(40:20=2\,\text{l/min}\). 3. Beim Füllen werden \(30\,\text{l}\) nach \(30:2=15\,\text{min}\) erreicht. 4. Während der Entnahme sinkt der Inhalt mit \(15\,\text{l}:15\,\text{min}=1\,\text{l/min}\). Von \(40\,\text{l}\) auf \(30\,\text{l}\) dauert es daher \(10\,\text{min}\); der zweite Zeitpunkt ist \(t=40\,\text{min}\).

a) \((0\mid0)\), \((20\mid40)\), \((30\mid40)\), \((45\mid25)\); benachbarte Punkte werden geradlinig verbunden. b) \(2\,\text{l/min}\) c) Nach \(15\,\text{min}\) und nach \(40\,\text{min}\)

- Stelle dir vor, du hast einen Kuchen (die Gesamtkosten) und teilst ihn auf. Was passiert, wenn der Kuchen größer wird? - Was passiert mit dem Anteil jedes Einzelnen, wenn mehr Leute mitessen, der Kuchen aber gleich groß bleibt? - Betrachte den Zähler und den Nenner des Bruchs getrennt. - Überlege dir ein Beispiel mit einfachen Zahlen, um deine Vermutung zu prüfen.

1. Analyse der Abhängigkeit von \(G\): In der Formel \(k = \frac{G}{n - 3}\) steht \(G\) im Zähler. Da der Nenner \(n - 3\) bei gleichbleibendem \(n\) konstant und positiv ist, ist \(k\) direkt proportional zu \(G\). Wenn \(G\) steigt, vergrößert sich der Wert des Bruchs, somit steigt \(k\). 2. Analyse der Abhängigkeit von \(n\): Wenn \(n\) steigt, vergrößert sich der Wert des Nenners \(n - 3\). Da der Zähler \(G\) konstant und positiv ist, führt ein größerer Nenner zu einem kleineren Gesamtwert des Bruchs. Somit sinkt \(k\).

1) Die Kosten pro zahlender Person \(k\) steigen. 2) Die Kosten pro zahlender Person \(k\) sinken.

- Lies für a) tatsächlich aus dem Graphen ab: Geschwindigkeit ist das Argument, Anhalteweg der zugehörige Funktionswert. - Verwende in b) nur die beiden in a) bestimmten Werte. - Ein Verhältnis von genau \(2\) würde einer Verdopplung entsprechen; vergleiche damit dein Ergebnis.

1. Aus dem Graphen liest man bei \(v=50\,\text{km/h}\) den Anhalteweg \(s=40\,\text{m}\) und bei \(v=100\,\text{km/h}\) den Anhalteweg \(s=130\,\text{m}\) ab. 2. Eine bloße Verdopplung des Anhaltewegs würde \(80\,\text{m}\) ergeben. Tatsächlich zeigt das Modell \(130\,\text{m}\). Das Verhältnis beträgt \(130:40=3{,}25\). Der Anhalteweg wächst bei dieser Geschwindigkeitsverdopplung also auf das \(3{,}25\)-Fache.

a) Bei \(50\,\text{km/h}\): \(40\,\text{m}\); bei \(100\,\text{km/h}\): \(130\,\text{m}\). b) Nein. \(130:40=3{,}25\); der Anhalteweg ist nach dem dargestellten Modell \(3{,}25\)-mal so groß.

- Schaue dir zuerst an, was auf den beiden Achsen dargestellt ist: Welche Achse zeigt die Zeit und welche die Temperatur? - Für Aufgabenteil a): Suche die jeweilige Uhrzeit auf der horizontalen Achse, gehe senkrecht nach oben oder unten bis zum Graphen und lies dann den Wert auf der vertikalen Achse ab. - Für Aufgabenteil b): Wo befindet sich der höchste Punkt des Graphen? Welcher Uhrzeit und welcher Temperatur entspricht dieser Punkt? - Für Aufgabenteil c): Bei welchen Uhrzeiten schneidet der Graph die horizontale Linie bei \(0\,\text{°C}\)? - Für Aufgabenteil d): Berechne den Unterschied zwischen der Temperatur um 14:00 Uhr und der Temperatur um 6:00 Uhr. Denke daran, dass Temperaturen unter Null ein negatives Vorzeichen haben.

a) **Ablesen der Temperaturen zu den vollen Stunden (Teilaufgabe a):** Durch Verfolgen der Gitterlinien von der horizontalen Achse (Uhrzeit) nach oben bzw. unten zum Graphen lassen sich folgende Werte auf der vertikalen Achse ablesen: - Um 6:00 Uhr: \(-5\,\text{°C}\) - Um 10:00 Uhr: \(1\,\text{°C}\) - Um 14:00 Uhr: \(7\,\text{°C}\) - Um 18:00 Uhr: \(1\,\text{°C}\) - Um 22:00 Uhr: \(-5\,\text{°C}\) b) **Höchste Temperatur (Teilaufgabe b):** Der höchste Punkt des Graphen liegt bei \(14{:}00\,\text{Uhr}\). Der zugehörige Funktionswert beträgt \(7\,\text{°C}\). Die maximale Temperatur beträgt somit \(7\,\text{°C}\) um 14:00 Uhr. c) **Zeitraum ohne Frost (Teilaufgabe c):** Die Temperatur liegt über \(0\,\text{°C}\), wenn der Graph oberhalb der horizontalen Achse verläuft. Der Graph schneidet die \(x\)-Achse beim Übergang ins Positive zwischen 9:00 Uhr und 10:00 Uhr (bei ca. 9:35 Uhr) und zurück ins Negative zwischen 18:00 Uhr und 19:00 Uhr (bei ca. 18:25 Uhr). Der frostfreie Zeitraum ist somit von ca. 9:35 Uhr bis ca. 18:25 Uhr (Toleranz: ca. 9:30 Uhr bis 18:30 Uhr). d) **Temperaturanstieg (Teilaufgabe d):** Die Temperatur um 6:00 Uhr beträgt \(-5\,\text{°C}\), die Temperatur um 14:00 Uhr beträgt \(7\,\text{°C}\). Der Temperaturunterschied berechnet sich als Differenz: \(7\,\text{°C} - (-5\,\text{°C}) = 12\,\text{°C}\). Die Temperatur ist somit um \(12\,\text{°C}\) gestiegen.

a) 6:00 Uhr: \(-5\,\text{°C}\); 10:00 Uhr: \(1\,\text{°C}\); 14:00 Uhr: \(7\,\text{°C}\); 18:00 Uhr: \(1\,\text{°C}\); 22:00 Uhr: \(-5\,\text{°C}\) b) Um 14:00 Uhr war es mit \(7\,\text{°C}\) am wärmsten. c) Von ca. 9:35 Uhr bis ca. 18:25 Uhr (Toleranz: ca. 9:30 Uhr bis 18:30 Uhr). d) Um \(12\,\text{°C}\).

- Lies die Werte zu den gefragten Uhrzeiten direkt aus dem Graphen ab. - Unterscheide zwischen dem im Graphen sichtbaren Einbruch und einer physikalischen Ursache, deren exakter Beginn nicht direkt dargestellt ist. - Für den prozentualen Rückgang vergleichst du die Abnahme mit dem Ausgangswert um \(11{:}00\) Uhr.

a) Um \(10{:}00\) Uhr beträgt die Leistung \(6\,\text{kW}\). Um \(12{:}00\) Uhr beträgt sie \(2\,\text{kW}\). b) Der markante Einbruch beginnt im dargestellten Verlauf bei \(11{:}00\) Uhr und endet bei \(13{:}00\) Uhr. Innerhalb dieses Einbruchs liegt der kleinste Wert um \(12{:}00\) Uhr bei \(2\,\text{kW}\). Aus dem Graphen allein lässt sich nicht bestimmen, wann der physikalische Einfluss der Sonnenfinsternis exakt begann oder endete. c) Die Leistung sinkt von \(8\,\text{kW}\) auf \(2\,\text{kW}\), also um \(6\,\text{kW}\). Der prozentuale Rückgang beträgt \(\frac{6}{8}=0{,}75=75\,\%\).

a) \(10{:}00\) Uhr: \(6\,\text{kW}\); \(12{:}00\) Uhr: \(2\,\text{kW}\). b) Der auffällige Einbruch ist zwischen \(11{:}00\) Uhr und \(13{:}00\) Uhr zu sehen; sein niedrigster dargestellter Wert liegt um \(12{:}00\) Uhr. c) \(75\,\%\).

- Vergleiche, ob der Wasserstand gleichmäßig, immer schneller oder in mehreren deutlich verschiedenen Abschnitten verändert wird. - Eine waagerechte Stelle bedeutet, dass der Wasserstand unverändert bleibt. - Für b) teile den Höhenunterschied durch die zugehörige Zeitspanne.

a) Diagramm A gehört zu Kärtchen (2): Der Wasserstand steigt in den ersten zwei Stunden gleichmäßig von \(1\,\text{m}\) auf \(3\,\text{m}\), bleibt danach eine Zeit lang konstant und sinkt anschließend rasch auf \(0\,\text{m}\). Diagramm B gehört zu Kärtchen (1): Von \(t=0\) bis \(t=3\) sinkt der Wasserstand nur um \(1\,\text{m}\), in den nächsten drei Stunden dagegen um \(3\,\text{m}\). Diagramm C gehört zu Kärtchen (3): Der Wasserstand steigt zunächst langsam und dann immer schneller; anschließend bleibt er konstant. b) Von \(t=3\,\text{h}\) bis \(t=6\,\text{h}\) sinkt der Wasserstand von \(3\,\text{m}\) auf \(0\,\text{m}\). Die mittlere Sinkgeschwindigkeit beträgt \(3\,\text{m}:3\,\text{h}=1\,\text{m/h}\).

a) A \(\rightarrow\) (2), B \(\rightarrow\) (1), C \(\rightarrow\) (3). b) \(1\,\text{m/h}\).

- Lies zuerst ab, welche Entfernung und welche Zeitintervalle zu den markierten beziehungsweise waagerechten Abschnitten gehören. - Nutze für Geschwindigkeiten, dass sich die Gruppe auf demselben geraden Weg von der Unterkunft weg beziehungsweise zu ihr hin bewegt. - Für eine durchschnittliche Geschwindigkeit brauchst du die auf dem Abschnitt zurückgelegte Strecke und die dafür benötigte Zeit.

1. Punkt A liegt bei \(d=6\,\text{km}\). Der waagerechte Abschnitt dort reicht von \(t=2\,\text{h}\) bis \(t=3\,\text{h}\), also dauert die Rast \(1\,\text{h}\). 2. Auf dem geraden Hinweg wächst die Entfernung in den ersten \(2\,\text{h}\) von \(0\,\text{km}\) auf \(6\,\text{km}\). Die Geschwindigkeit beträgt \(6\,\text{km}:2\,\text{h}=3\,\text{km/h}\). 3. Nach dem am weitesten entfernten Abschnitt beginnt der fallende Graph bei \(t=5\,\text{h}\); dort startet der Rückweg. Bei \(t=6\,\text{h}\) ist die Entfernung wieder \(0\,\text{km}\), also dauert der Ausflug insgesamt \(6\,\text{h}\). 4. Auf dem Rückweg sinkt die Entfernung in \(1\,\text{h}\) von \(9\,\text{km}\) auf \(0\,\text{km}\). Auf demselben geraden Weg entspricht das einer zurückgelegten Strecke von \(9\,\text{km}\). Die durchschnittliche Geschwindigkeit beträgt \(9\,\text{km/h}\).

a) \(6\,\text{km}\) von der Unterkunft; Rastdauer \(1\,\text{h}\) b) \(3\,\text{km/h}\) c) Rückweg ab \(t=5\,\text{h}\); Gesamtdauer \(6\,\text{h}\) d) \(9\,\text{km/h}\)

- Lies Start- und Endhöhe an den Randpunkten ab. - Suche den höchsten Punkt jedes Profils und den zugehörigen Kilometerwert. - Addiere für den gesamten Aufstieg nur ansteigende Höhenunterschiede.

1. Weg A startet bei \(400\,\text{m}\) und endet bei \(600\,\text{m}\), also beträgt der Höhenunterschied \(200\,\text{m}\). Weg B startet bei \(200\,\text{m}\) und endet bei \(900\,\text{m}\), also \(700\,\text{m}\). 2. Weg A erreicht \(800\,\text{m}\) bei Kilometer \(9\). Weg B erreicht \(900\,\text{m}\) bei Kilometer \(15\). 3. Bei Weg A beträgt der gesamte Aufstieg \(500\,\text{m}\). Bei Weg B sind es \(500\,\text{m}+400\,\text{m}=900\,\text{m}\). Damit erfordert Weg B mehr Aufstieg.

a) Weg A: \(400\,\text{m}\) bis \(600\,\text{m}\), Unterschied \(200\,\text{m}\); Weg B: \(200\,\text{m}\) bis \(900\,\text{m}\), Unterschied \(700\,\text{m}\) b) Weg A: \(800\,\text{m}\) bei km \(9\); Weg B: \(900\,\text{m}\) bei km \(15\) c) Weg B mit insgesamt etwa \(900\,\text{m}\) Aufstieg; Weg A etwa \(500\,\text{m}\)

- Prüfe zuerst Achsenbeschriftungen und Skalierung des Diagramms. - Welche zwei gut ablesbaren Punkte eignen sich, um die stündliche Änderung zu bestimmen? - Wie kombinierst du die Änderung mit dem gegebenen Anfangsvolumen zu einem linearen Modell? - Welchen Funktionswert hat das Volumen bei einem leeren Behälter?

1. Bei einem Volumen von \(4{,}5\,\text{m}^3\) liest man am Graphen \(t=5\,\text{h}\) ab. 2. Aus zwei geeigneten Punkten des Graphen ergibt sich die Steigung \(-1{,}5\,\text{m}^3/\text{h}\). Das Volumen nimmt also pro Stunde um \(1{,}5\,\text{m}^3\) ab. 3. Mit dem Anfangswert \(12\,\text{m}^3\) lautet das Modell \(V(t)=12-1{,}5t\). 4. Für den leeren Behälter gilt \(0=12-1{,}5t\). Daraus folgt \(t=8\,\text{h}\).

a) Nach \(5\,\text{h}\) b) Änderung: \(-1{,}5\,\text{m}^3/\text{h}\); \(V(t)=12-1{,}5t\); leer nach \(8\,\text{h}\)

- Schaue dir die Achsenbeschriftungen genau an: Was ist auf der waagerechten Achse und was auf der senkrechten Achse dargestellt? - Für Aufgabenteil a): Welcher Punkt auf dem Graphen entspricht dem Startzeitpunkt \(t = 0\)? - Für Aufgabenteil b): Suche den höchsten Punkt der Kurve und lies die Koordinaten dieses Punktes ab. - Für Aufgabenteil c): Ziehe gedanklich eine waagerechte Linie bei der Temperatur \(40\,\text{°C}\) und bestimme die Schnittpunkte mit dem Graphen.

a) Anfangstemperatur ablesen: Zum Zeitpunkt \(t = 0\,\text{min}\) schneidet der Graph die senkrechte Achse bei \(T = 20\,\text{°C}\). Die Anfangstemperatur beträgt also \(20\,\text{°C}\). b) Höchste Temperatur bestimmen: Der höchste Punkt des Graphen liegt bei den Koordinaten \((20 \mid 45)\). Das bedeutet, dass nach \(20\,\text{min}\) die maximale Temperatur von \(45\,\text{°C}\) erreicht wird. c) Zeitraum für mindestens \(40\,\text{°C}\) ermitteln: Der Graph liegt auf oder oberhalb der waagerechten Linie bei \(y = 40\) im Intervall von \(t = 10\,\text{min}\) bis \(t = 40\,\text{min}\). Die Gesamtdauer beträgt: Die Differenz der beiden Zeiten beträgt \(40\,\text{min} - 10\,\text{min} = 30\,\text{min}\).

a) Die Anfangstemperatur beträgt \(20\,\text{°C}\). b) Die höchste Temperatur von \(45\,\text{°C}\) wird nach \(20\,\text{min}\) erreicht. c) Die Temperatur liegt von Minute \(10\) bis Minute \(40\) bei mindestens \(40\,\text{°C}\). Das sind insgesamt \(30\,\text{min}\).

- Lies Startwert und höchsten Wert direkt an der vertikalen Achse ab. - Bestimme für b) die Zeitspanne des waagerechten Abschnitts auf maximaler Höhe, ohne daraus zusätzliche Bewegungsinformationen abzuleiten. - Für den Höhengewinn vergleichst du Anfangs- und Endhöhe des durchgehend ansteigenden Abschnitts. - Suche für d) \(700\,\text{m}\) auf dem fallenden Teil des Graphen und lies die zugehörige Zeit ab.

1. Bei \(t=0\) liegt die Höhe bei \(200\,\text{m}\). Der größte dargestellte Wert beträgt \(1000\,\text{m}\). 2. Der Graph bleibt von \(t=4\,\text{h}\) bis \(t=6\,\text{h}\) bei \(1000\,\text{m}\). Die Höhe ist also \(2\,\text{h}\) lang konstant maximal. 3. Im ersten ansteigenden Abschnitt wächst die Höhe von \(200\,\text{m}\) auf \(1000\,\text{m}\). Der Höhengewinn beträgt \(1000\,\text{m}-200\,\text{m}=800\,\text{m}\). 4. Im fallenden Abschnitt von \(t=6\,\text{h}\) bis \(t=8\,\text{h}\) wird die Höhe \(700\,\text{m}\) bei \(t=7\,\text{h}\) erreicht.

a) Start bei \(200\,\text{m}\); maximale Höhe \(1000\,\text{m}\) b) \(2\,\text{h}\) c) \(800\,\text{m}\) d) Nach \(7\,\text{h}\)

- Ein Alter von \(0\) Jahren entspricht dem Neupreis. - Beachte, dass die senkrechte Achse den Wert in Tausend Euro zeigt und welche Ablesegenauigkeit die Skala zulässt. - Berechne für b) zunächst die Hälfte des Startwerts und suche diese Höhe im Diagramm.

1. Bei einem Alter von \(0\) Jahren liest man \(24\) in Einheiten von \(1000\,\text{€}\) ab, also \(24\,000\,\text{€}\). Nach \(4\) Jahren liegt der Graph auf die verlangte Genauigkeit gerundet bei etwa \(10\) in Einheiten von \(1000\,\text{€}\), also bei etwa \(10\,000\,\text{€}\). 2. Die Hälfte des Neupreises sind \(12\,000\,\text{€}\). Diesen Wert erreicht der Graph nach \(3\) Jahren. 3. Der Wert \(6000\,\text{€}\) wird nach \(6\) Jahren erreicht.

a) Neupreis: \(24\,000\,\text{€}\); nach \(4\) Jahren etwa \(10\,000\,\text{€}\) b) Nach \(3\) Jahren c) Nach \(6\) Jahren

- Suche für a) nach lokalen Hochpunkten und lies nur deren Uhrzeiten ab. - Nutze bei b) die benachbarten waagerechten Rasterlinien, statt mehr Genauigkeit zu behaupten als der Graph zeigt. - Vergleiche bei c) die geschätzte vertikale Änderung in zwei gleich langen Zeitintervallen. - Für d) ist der tiefste Punkt des gesamten dargestellten Verlaufs entscheidend.

1. Die drei deutlichsten lokalen Spitzen liegen ungefähr um \(08{:}00\) Uhr, \(13{:}00\) Uhr und \(20{:}00\) Uhr. 2. Um \(10{:}00\) Uhr liegt der Graph zwischen \(0{,}5\,\text{GB/min}\) und \(1{,}0\,\text{GB/min}\). 3. Um \(13{:}00\) Uhr liegt der Wert bei etwa \(2{,}5\,\text{GB/min}\), um \(14{:}00\) Uhr bei etwa \(1{,}0\,\text{GB/min}\) und um \(15{:}00\) Uhr bei etwa \(0{,}5\,\text{GB/min}\). Der Rückgang beträgt damit zuerst ungefähr \(1{,}5\,\text{GB/min}\), danach ungefähr \(0{,}5\,\text{GB/min}\). Der stärkere Rückgang liegt im Intervall von \(13{:}00\) bis \(14{:}00\) Uhr. 4. Der niedrigste dargestellte Wert liegt ungefähr bei \(0{,}5\,\text{GB/min}\).

a) Ungefähr um \(08{:}00\), \(13{:}00\) und \(20{:}00\) Uhr. b) Zwischen \(0{,}5\,\text{GB/min}\) und \(1{,}0\,\text{GB/min}\). c) Ungefähr \(2{,}5\to1{,}0\,\text{GB/min}\) und danach \(1{,}0\to0{,}5\,\text{GB/min}\); der stärkere Rückgang liegt von \(13{:}00\) bis \(14{:}00\) Uhr. d) Ungefähr \(0{,}5\,\text{GB/min}\).

- Überlege dir für jede Geschichte, ob der Wert steigt, sinkt oder gleich bleibt. - Achte darauf, ob sich der Wert gleichmäßig (geradlinig) oder ungleichmäßig (kurvig) verändert. - Gibt es in einer Geschichte einen Vorgang, der sich regelmäßig wiederholt? - Überlege, welcher Graph eine „Sättigung“ zeigt, also wo das Wachstum irgendwann aufhört.

a) Graph 1 zeigt einen periodischen, wellenförmigen Verlauf, der die auf- und absteigende Bewegung der Boje im Meer passend darstellt. b) Graph 2 stellt eine lineare Abnahme dar. Da jeden Tag der gleiche Betrag verbraucht wird, sinkt das Guthaben gleichmäßig (konstante Änderungsrate). c) Graph 3 zeigt ein anfänglich schnelles Wachstum, das sich später abflacht. Dies entspricht dem typischen Wachstumsmuster eines Lebewesens bis zum Erreichen des Erwachsenenalters. d) Graph 4 zeigt eine Kurve, die erst steil abfällt und sich dann immer langsamer der x-Achse nähert. Dies ist charakteristisch für einen Zerfallsprozess, bei dem die Intensität nie ganz null wird, aber stetig abnimmt.

a) \(\rightarrow\) (1) b) \(\rightarrow\) (2) c) \(\rightarrow\) (3) d) \(\rightarrow\) (4)

- Gehe auf der waagerechten Achse zur gewünschten Zeit und dann senkrecht nach oben zum Graphen. - Wenn der Graph waagerecht verläuft, ändert sich der Wert auf der \(y\)-Achse nicht. Was bedeutet das für die Bewegung? - Vergleiche die Steilheit der verschiedenen Abschnitte, um die Geschwindigkeit zu beurteilen.

a) Ablesen der Werte: Nach \(2\) Stunden hat der Wanderer \(8\,\text{km}\) zurückgelegt. Nach \(5\) Stunden sind es \(14\,\text{km}\). b) Erstellung der Wertetabelle durch Ablesen der Punkte: <table> <tr><th>Zeit (h)</th><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td></tr> <tr><th>Strecke (km)</th><td>0</td><td>4</td><td>8</td><td>12</td><td>12</td><td>14</td></tr> </table> c) Interpretation des Graphen: In den ersten 3 Stunden läuft der Wanderer mit konstanter Geschwindigkeit (\(4\,\text{km/h}\)). Zwischen Stunde 3 und 4 bleibt die Strecke gleich (\(12\,\text{km}\)), was auf eine Pause hindeutet. In der letzten Stunde läuft er langsamer weiter (\(2\,\text{km/h}\)), evtl. wegen eines steileren Anstiegs.

a) Nach \(2\) Stunden: \(8\,\text{km}\); nach \(5\) Stunden: \(14\,\text{km}\). b) Wertetabelle: <table> <tr><th>Zeit (h)</th><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td></tr> <tr><th>Strecke (km)</th><td>0</td><td>4</td><td>8</td><td>12</td><td>12</td><td>14</td></tr> </table> c) In den ersten drei Stunden wandert er gleichmäßig. Zwischen der 3. und 4. Stunde macht er eine Pause (die Strecke nimmt nicht zu). Danach geht er langsamer weiter als zu Beginn.

- Lies die Kerzenhöhe zum Startzeitpunkt direkt am Graphen ab. - Vergleiche den Höhenverlust mit der dafür vergangenen Zeit. - Vollständig abgebrannt ist die Kerze, wenn ihre Höhe \(0\,\text{cm}\) erreicht.

a) Bei \(t=0\) beträgt die Kerzenhöhe \(18\,\text{cm}\). b) Zwischen \(t=0\,\text{h}\) und \(t=4\,\text{h}\) sinkt die Höhe von \(18\,\text{cm}\) auf \(6\,\text{cm}\), also um \(12\,\text{cm}\) in \(4\,\text{h}\). Die Kerze wird daher pro Stunde um \(12:4=3\,\text{cm}\) kürzer. Die Brenngeschwindigkeit beträgt \(3\,\text{cm/h}\). c) Der Graph erreicht die Höhe \(0\,\text{cm}\) bei \(t=6\,\text{h}\). Dann ist die Kerze vollständig abgebrannt.

a) \(18\,\text{cm}\). b) \(3\,\text{cm/h}\). c) Nach \(6\,\text{h}\).

- Achte auf die Einheiten der Achsen. - Liegt der Graph auf der Zeitachse, beträgt die Geschwindigkeit \(0\,\text{km/h}\). - Bestimme die Pausendauer aus Start- und Endzeitpunkt. - Die Höchstgeschwindigkeit entspricht dem höchsten y-Wert des Graphen.

a) Nach \(5\,\text{min}\) beträgt die Geschwindigkeit \(10\,\text{km/h}\), nach \(15\,\text{min}\) \(20\,\text{km/h}\), nach \(30\,\text{min}\) \(0\,\text{km/h}\) und nach \(50\,\text{min}\) \(25\,\text{km/h}\). b) Die Geschwindigkeit ist von \(t=25\,\text{min}\) bis \(t=40\,\text{min}\) gleich null. Die Pause dauert \(40\,\text{min}-25\,\text{min}=15\,\text{min}\). c) Der höchste Wert des Graphen beträgt \(25\,\text{km/h}\).

a) Nach \(5\,\text{min}\): \(10\,\text{km/h}\); nach \(15\,\text{min}\): \(20\,\text{km/h}\); nach \(30\,\text{min}\): \(0\,\text{km/h}\); nach \(50\,\text{min}\): \(25\,\text{km/h}\). b) \(15\,\text{Minuten}\), von der 25. bis zur 40. Minute. c) \(25\,\text{km/h}\).

- Vergleiche, wie viel Strecke in gleich langen Zeitabschnitten hinzukommt. - Ein waagerechter Abschnitt steht für eine Pause. - Wird ein Graph immer steiler, nimmt das Tempo zu; wird er immer flacher, nimmt das Tempo ab.

1. Graph a zeigt in gleich langen Zeitabschnitten jeweils denselben Streckenzuwachs. Das passt zu Leons gleichbleibendem Tempo. 2. Graph b zeigt zunächst eine gleichmäßige Zunahme, dann einen waagerechten Abschnitt von 20 bis 30 Minuten und anschließend einen schnelleren Streckenzuwachs. Das passt zu Sarah. 3. Graph c wird im Verlauf immer steiler: In späteren Zeitabschnitten wächst die Strecke stärker als in früheren. Das passt zu Tim. 4. Graph d wird im Verlauf immer flacher: In späteren Zeitabschnitten wächst die Strecke weniger stark als zu Beginn. Das passt zu Maya.

Leon \(\rightarrow\) Graph a; Sarah \(\rightarrow\) Graph b; Tim \(\rightarrow\) Graph c; Maya \(\rightarrow\) Graph d.

- Nutze für die Messwerte die markierten Punkte und lies sie in zeitlicher Reihenfolge ab. - Suche für b) den höchsten markierten Messpunkt und prüfe, ob dieselbe Höhe mehrfach vorkommt. - Ziehe für c) den niedrigsten gemessenen Wasserstand vom höchsten ab.

1. Zwischen \(00{:}00\) Uhr und \(03{:}00\) Uhr steigt der Wasserstand von \(3{,}0\,\text{m}\) auf \(5{,}25\,\text{m}\). Danach sinkt er: Um \(06{:}00\) Uhr beträgt er wieder \(3{,}0\,\text{m}\), und um \(09{:}00\) Uhr erreicht er \(0{,}75\,\text{m}\). Bis \(12{:}00\) Uhr steigt er wieder auf \(3{,}0\,\text{m}\). 2. Der höchste gemessene Wasserstand beträgt \(5{,}25\,\text{m}\). Er wurde um \(03{:}00\) Uhr und \(15{:}00\) Uhr gemessen. 3. Der niedrigste gemessene Wasserstand beträgt \(0{,}75\,\text{m}\). Die Differenz ist \(5{,}25\,\text{m}-0{,}75\,\text{m}=4{,}5\,\text{m}\).

a) Der Wasserstand steigt zunächst von \(3{,}0\,\text{m}\) auf \(5{,}25\,\text{m}\), fällt anschließend bis auf \(0{,}75\,\text{m}\) und steigt danach wieder auf \(3{,}0\,\text{m}\). b) Um \(03{:}00\) Uhr und \(15{:}00\) Uhr. c) Der Unterschied beträgt \(4{,}5\,\text{m}\).

- Vergleiche jeweils zwei benachbarte Messwerte und trenne die Messwerte von Annahmen über den Verlauf dazwischen. - Für das Minimum reicht es, die tatsächlich aufgezeichneten Werte zu vergleichen. - Für die durchschnittliche Änderung über mehrere Stunden brauchst du nur Anfangswert, Endwert und die gesamte Zeitspanne.

1. Ab dem Messwert bei \(t=4\,\text{h}\) ist jeder folgende Messwert größer als der vorherige. Ein Anstieg ist daher für die Messintervalle \(4\) bis \(5\), \(5\) bis \(6\), \(6\) bis \(7\) und \(7\) bis \(8\) Stunden belegt. Über den Verlauf innerhalb dieser Intervalle sagt die Tabelle nichts aus. 2. Der kleinste gemessene Wert ist \(10\,\%\) bei \(t=4\,\text{h}\). 3. Von \(t=4\,\text{h}\) bis \(t=7\,\text{h}\) steigt der Ladestand von \(10\,\%\) auf \(90\,\%\), also um \(80\) Prozentpunkte in \(3\,\text{h}\). Die durchschnittliche Änderung beträgt \(80:3\approx26{,}7\) Prozentpunkte pro Stunde.

a) In den Messintervallen \(4\)–\(5\), \(5\)–\(6\), \(6\)–\(7\) und \(7\)–\(8\) Stunden. b) Nach \(4\,\text{h}\) mit \(10\,\%\). c) Etwa \(26{,}7\) Prozentpunkte pro Stunde.

- Rechne die beiden Uhrzeiten bei Bedarf in Minuten seit \(08{:}00\) Uhr um und suche dort die markanten Abfälle. - Trenne beim Ablesen den beobachtbaren Funktionsverlauf von einer Erklärung, die zusätzliche Sachinformationen bräuchte. - Frage dich bei b), welche Information tatsächlich auf den Achsen dargestellt ist und welche Information dort nicht vorkommt.

1. \(09{:}30\) Uhr entsprechen \(90\) Minuten nach \(08{:}00\) Uhr. Dort liegt die Konzentration bei ungefähr \(1200\,\text{ppm}\) und fällt unmittelbar danach stark auf etwa \(600\,\text{ppm}\). \(11{:}15\) Uhr entsprechen \(195\) Minuten nach \(08{:}00\) Uhr. Dort liegt der Wert bei ungefähr \(1400\,\text{ppm}\) und fällt unmittelbar danach stark auf ungefähr \(700\,\text{ppm}\). 2. Der Graph zeigt die starken Konzentrationsabnahmen, aber nicht ihre Ursache. Lüften wäre eine mögliche Erklärung, wird durch die dargestellten Funktionswerte allein jedoch nicht bewiesen.

a) Nach \(09{:}30\) Uhr fällt der Wert ungefähr von \(1200\) auf \(600\,\text{ppm}\); nach \(11{:}15\) Uhr ungefähr von \(1400\) auf \(700\,\text{ppm}\). b) Nein. Der Graph belegt die Abnahmen, aber keine bestimmte Ursache dafür.

- Auf der geraden Straße kann sich die Entfernung vom Depot während der Hinfahrt nur ändern, wenn der Lieferwagen fährt. - Addiere für a) die Längen aller waagerechten Zeitintervalle. - Für c) brauchst du Beginn und Ende des letzten fallenden Abschnitts.

1. Die Aufenthaltszeiten sind die waagerechten Abschnitte: \(10\,\text{min}\), \(15\,\text{min}\) und \(10\,\text{min}\). Insgesamt sind das \(35\,\text{min}\). 2. Der höchste Punkt des Graphen liegt bei \(12\,\text{km}\). 3. Die Rückfahrt beginnt bei \(t=75\,\text{min}\) und endet bei \(t=90\,\text{min}\). Sie dauert also \(15\,\text{min}\).

a) \(35\,\text{min}\) b) \(12\,\text{km}\) c) \(15\,\text{min}\)

- Ordne zuerst jeder Frage die richtige Achsenrichtung zu: Strecke ist das Argument, Geschwindigkeit der Funktionswert. - Für b) brauchst du den höchsten Punkt des gesamten Graphen, nicht den Wert aus a). - Ein lokales Minimum ist ein Tiefpunkt zwischen zwei benachbarten höheren Graphenabschnitten. - Für d) ist die letzte dargestellte Streckenposition entscheidend.

1. Bei \(350\,\text{m}\) liegt der Graph bei \(40\,\text{km/h}\). 2. Der höchste Punkt des Graphen liegt bei \(200\,\text{m}\). Dort beträgt die Geschwindigkeit \(115\,\text{km/h}\). 3. Das erste lokale Minimum liegt bei \(100\,\text{m}\) und etwa \(5\,\text{km/h}\). 4. Der dargestellte Fahrtverlauf endet bei \(800\,\text{m}\). Die gesamte dargestellte Schienenstrecke beträgt daher \(800\,\text{m}\).

a) \(40\,\text{km/h}\) b) \(115\,\text{km/h}\) bei \(200\,\text{m}\) c) Nach \(100\,\text{m}\) bei etwa \(5\,\text{km/h}\) d) \(800\,\text{m}\)

- Waagerechte Abschnitte bedeuten konstante Geschwindigkeit; der niedrigste davon liefert b). - Für c) vergleiche in beiden ein Kilometer langen Übergängen jeweils Endwert minus Anfangswert. - Das Vorzeichen der Änderung unterscheidet Abbremsen und Beschleunigen. - Beschreibe in d) beide Teilabschnitte zwischen Kilometer \(11\) und \(13\) getrennt.

1. In den freien Kanalabschnitten von \(0\) bis \(8\,\text{km}\) und ab \(12\,\text{km}\) verläuft der Graph waagerecht bei \(12\,\text{kn}\). 2. Zwischen Kilometer \(9\) und Kilometer \(11\) liegt der niedrigste waagerechte Abschnitt bei \(3\,\text{kn}\). 3. Von Kilometer \(8\) bis \(9\) ändert sich die Geschwindigkeit um \(3-12=-9\,\text{kn}\) auf \(1\,\text{km}\), also \(-9\,\text{kn/km}\). Von Kilometer \(11\) bis \(12\) ändert sie sich um \(12-3=9\,\text{kn}\), also \(+9\,\text{kn/km}\). Die Beträge sind gleich, die Vorzeichen entgegengesetzt. 4. Von Kilometer \(11\) bis \(12\) steigt die Geschwindigkeit von \(3\,\text{kn}\) auf \(12\,\text{kn}\). Von Kilometer \(12\) bis \(13\) bleibt sie bei \(12\,\text{kn}\) konstant.

a) \(12\,\text{kn}\) b) Von Kilometer \(9\) bis \(11\) mit \(3\,\text{kn}\) c) \(-9\,\text{kn/km}\) und \(+9\,\text{kn/km}\); gleicher Betrag, entgegengesetztes Vorzeichen. d) Von Kilometer \(11\) bis \(12\) steigt die Geschwindigkeit auf \(12\,\text{kn}\); danach bleibt sie bis Kilometer \(13\) konstant.

- Für a) suche den ersten Zeitpunkt, an dem die Entfernung wieder \(0\) ist. - Ein waagerechter Abschnitt sagt unmittelbar etwas über den dargestellten Funktionswert aus; über andere Bewegungsmerkmale sagt er nur dann etwas, wenn diese ebenfalls dargestellt sind. - Nutze für c) den geraden Abschnitt zwischen den beiden benachbarten bekannten Punkten. - Prüfe für d) die Eindeutigkeit in der vorgegebenen Richtung Zeit zu Entfernung.

1. Der Graph beginnt bei \(t=0\) und erreicht bei \(t=60\,\text{min}\) wieder die Entfernung \(0\). Die Tour dauert \(60\,\text{min}\). 2. Bei \(t=20\,\text{min}\) beträgt die Entfernung \(6\,\text{km}\). Von Minute \(15\) bis Minute \(25\) bleibt die Entfernung zum Zentrum konstant bei \(6\,\text{km}\). Daraus folgt nicht, dass der Kurier stillsteht: Er könnte sich auch auf einem Weg bewegen, auf dem seine Entfernung zum Zentrum gleich bleibt. Der Graph zeigt nur die Entfernung, nicht seinen vollständigen Bewegungsweg. 3. Zwischen Minute \(40\) mit \(10\,\text{km}\) und Minute \(60\) mit \(0\,\text{km}\) verläuft der Graph geradlinig. Nach \(45\) Minuten beträgt die Entfernung \(7{,}5\,\text{km}\). 4. Jedem dargestellten Zeitpunkt ist genau eine Entfernung zugeordnet. Daher ist die Zuordnung eine Funktion.

a) \(60\,\text{min}\) b) \(6\,\text{km}\). Von Minute \(15\) bis \(25\) bleibt die Entfernung bei \(6\,\text{km}\); ob der Kurier dabei stillsteht, lässt sich aus diesem Entfernungsgraphen nicht sicher folgern. c) \(7{,}5\,\text{km}\) d) Funktion, weil jedem Zeitpunkt genau eine Entfernung zugeordnet ist.

- Suche nach lokalen Hochpunkten: Dort wechselt der Verlauf von steigend zu fallend. - Vergleiche für b) die Funktionswerte der beiden Hochpunkte auf derselben Skala. - Drehe für c) die Zuordnungsrichtung um und prüfe, ob ein Pegelwert die Uhrzeit eindeutig festlegt.

1. Die beiden deutlichsten lokalen Hochpunkte liegen ungefähr bei \(10{:}00\) Uhr und \(16{:}00\) Uhr. 2. Der erste Hochpunkt liegt bei etwa \(90\,\text{dB}\), der zweite bei etwa \(80\,\text{dB}\). Der erste ist damit ungefähr \(10\,\text{dB}\) höher. 3. Die umgekehrte Zuordnung ist keine Funktion. Derselbe Pegelwert tritt im dargestellten Verlauf zu mehreren Uhrzeiten auf; damit kann eine Eingabe in der umgekehrten Zuordnung mehrere Ausgaben besitzen.

a) Ungefähr um \(10{:}00\) Uhr und \(16{:}00\) Uhr. b) Etwa \(90\,\text{dB}\) gegenüber etwa \(80\,\text{dB}\); Unterschied ungefähr \(10\,\text{dB}\). c) Nein. Derselbe Pegelwert kann im dargestellten Verlauf zu mehreren Uhrzeiten auftreten.

- Welche Werte liest du bei \(x=0\) ab? - Wie groß ist die Höhenabnahme pro Stunde bei jeder Gerade? - Welche Bedeutung hat der Schnittpunkt der beiden Graphen im Sachkontext?

1. Kerze A startet bei \(12\,\text{cm}\) und verliert pro Stunde \(1{,}5\,\text{cm}\). Daher gilt \(y_A=-1{,}5x+12\). 2. Kerze B startet bei \(18\,\text{cm}\) und verliert pro Stunde \(3\,\text{cm}\). Daher gilt \(y_B=-3x+18\). 3. Gleichsetzen ergibt \(-1{,}5x+12=-3x+18\). Daraus folgt \(1{,}5x=6\) und \(x=4\). 4. Einsetzen ergibt \(y=6\). Nach \(4\,\text{h}\) sind beide Kerzen \(6\,\text{cm}\) hoch.

a) Kerze A: \(12\,\text{cm}\) Anfangshöhe, \(1{,}5\,\text{cm/h}\) Abbrand. Kerze B: \(18\,\text{cm}\) Anfangshöhe, \(3\,\text{cm/h}\) Abbrand. b) Nach \(4\,\text{h}\) sind beide \(6\,\text{cm}\) hoch.

- Lies die Guthaben bei \(x=0\) ab, um die Startbeträge zu vergleichen. - Vergleiche für die wöchentliche Sparrate die Guthabenänderung mit der Zahl der vergangenen Wochen. - Gleiche Guthaben erkennst du dort, wo sich die beiden Graphen treffen.

1. Zu Beginn, also bei \(x=0\), hat Sarah \(40\,\text{€}\) und Lukas \(10\,\text{€}\). Sarah startet daher mit mehr Geld. 2. Lukas' Guthaben wächst in \(10\,\text{Wochen}\) von \(10\,\text{€}\) auf \(60\,\text{€}\), also um \(50\,\text{€}\). Das sind \(5\,\text{€/Woche}\). Sarahs Guthaben wächst in \(10\,\text{Wochen}\) von \(40\,\text{€}\) auf \(60\,\text{€}\), also um \(20\,\text{€}\). Das sind \(2\,\text{€/Woche}\). Lukas spart wöchentlich mehr. 3. Die beiden Graphen treffen sich im Punkt \((10\mid60)\). Nach \(10\,\text{Wochen}\) haben beide \(60\,\text{€}\).

a) Sarah hat zu Beginn mit \(40\,\text{€}\) mehr Geld. Lukas spart mit \(5\,\text{€/Woche}\) mehr pro Woche als Sarah mit \(2\,\text{€/Woche}\). b) Nach \(10\,\text{Wochen}\) haben beide \(60\,\text{€}\).

- Welche Größen stehen auf den beiden Achsen, und wie kannst du den zu \(240\,\text{l}\) gehörenden Zeitwert ablesen? - Welchen Anfangswert zeigt der Graph bei \(t=0\)? - Welche zwei Punkte des Graphen eignen sich, um die konstante Änderungsrate zu bestimmen? - Wie kannst du mit der gefundenen Funktionsgleichung die Zeit zu einem vorgegebenen Volumen berechnen?

1. Im Graphen gehört zum Volumen \(240\,\text{l}\) die Zeit \(t=7\,\text{min}\). 2. Der Graph schneidet die Volumenachse bei \(100\,\text{l}\). Außerdem liegt zum Beispiel der Punkt \((7 \mid 240)\) auf dem Graphen. 3. Die Steigung beträgt \(m=\frac{240-100}{7-0}=20\). Damit lautet die Funktionsgleichung \(V(t)=20t+100\). 4. Für \(V(t)=360\) gilt \(360=20t+100\). Daraus folgt \(260=20t\) und damit \(t=13\).

a) Nach \(7\,\text{min}\) sind \(240\,\text{l}\) im Tank. b) \(V(t)=20t+100\); \(360\,\text{l}\) werden nach \(13\,\text{min}\) erreicht.

- Wie kannst du im Graphen den Funktionswert zur Zeit \(4\,\text{h}\) ablesen? - Welchen Anfangswert zeigt der Graph bei \(t=0\)? - Welche zwei gut ablesbaren Punkte kannst du verwenden, um die Änderungsrate zu bestimmen? - Wie lässt sich mit der Funktionsgleichung die Zeit zu einer vorgegebenen Höhe bestimmen?

1. Im Graphen lässt sich bei \(t=4\) die Höhe \(18\,\text{cm}\) ablesen. 2. Der Anfangswert beträgt \(24\,\text{cm}\). Zusammen mit dem Punkt \((4 \mid 18)\) ergibt sich die Steigung \(m=\frac{18-24}{4-0}=-1{,}5\). 3. Damit lautet die Funktionsgleichung \(h(t)=-1{,}5t+24\). 4. Für \(h(t)=9\) gilt \(9=-1{,}5t+24\). Daraus folgt \(-15=-1{,}5t\) und damit \(t=10\).

a) Nach \(4\,\text{h}\) ist die Kerze \(18\,\text{cm}\) hoch. b) \(h(t)=-1{,}5t+24\); die Höhe \(9\,\text{cm}\) wird nach \(10\,\text{h}\) erreicht.

- Überlege dir, ob die Größe gleichmäßig (immer gleich viel pro Zeit), immer langsamer oder abwechselnd steigt und fällt. - Welcher Graph zeigt einen Vorgang, der sich ständig wiederholt? - Welcher Graph passt zu einer Größe, die nach einer Weile einen festen Endwert erreicht?

1. Zuordnung: (1) \(\rightarrow\) A. Da der Regen gleichmäßig fällt und das Fass zylindrisch ist, steigt der Wasserstand proportional zur Zeit an, was einem linearen Graphen entspricht. 2. Zuordnung: (2) \(\rightarrow\) B. Das Kind wächst anfangs schnell, dann langsamer, bis das Wachstum schließlich fast ganz aufhört. Dies zeigt der degressiv steigende Graph. 3. Zuordnung: (3) \(\rightarrow\) C. Die Schwingung ist ein periodischer Vorgang, bei dem sich die Höhe regelmäßig wiederholt, was durch den wellenförmigen Graphen dargestellt wird.

(1) – A; (2) – B; (3) – C.

- Überlege dir, wie sich eine lineare Zunahme im Vergleich zu einer quadratischen Zunahme im Graphen unterscheidet. - Der Schnittpunkt der beiden Graphen zeigt dir, wann die Wasserstände identisch sind. - Um die Höhe zu einem bestimmten Zeitpunkt zu finden, kannst du diesen Wert einfach in die jeweilige Funktionsgleichung einsetzen.

a) Zuordnung: Behälter 1 hat eine lineare Funktion (\(h_1(t) = 15t\)), was einer Geraden im Diagramm entspricht (blau). Behälter 2 hat eine quadratische Funktion (\(h_2(t) = t^2\)), was einer Parabel entspricht (grün). b) Schnittpunkte bestimmen: \(t^2 = 15t \Rightarrow t(t - 15) = 0\). Damit gilt \(t = 0\) oder \(t = 15\). Zu Beginn sind beide Becken leer. Nach \(15\,\text{min}\) sind die Wasserstände erneut gleich hoch. c) Differenz nach \(10\) Minuten: \(h_1(10) = 15 \cdot 10 = 150\,\text{cm}\). \(h_2(10) = 10^2 = 100\,\text{cm}\). Der Unterschied beträgt \(150\,\text{cm} - 100\,\text{cm} = 50\,\text{cm}\).

a) Die Gerade (blau) gehört zu Behälter 1, die Kurve (grün) zu Behälter 2. b) Gleich hohe Wasserstände liegen bei \(t = 0\) und \(t = 15\,\text{min}\) vor. Nach dem Start sind sie nach \(15\,\text{min}\) erneut gleich hoch. c) Nach \(10\,\text{min}\) beträgt der Unterschied \(50\,\text{cm}\).

- Suche für Aufgabenteil a) den Wert 6 auf der waagrechten Achse und gehe von dort senkrecht nach oben zum Graphen. - Überlege dir für Aufgabenteil b), wo die Grenze von \(30\,\text{mg/l}\) im Diagramm verläuft. - Welche Abschnitte des Graphen liegen oberhalb dieser Grenze? - Achte beim Ablesen auf die Skalierung der Achsen.

a) Bei \(t = 6\,\text{h}\) liegt der Graph bei \(30\,\text{mg/l}\). b) Der Graph überschreitet \(30\,\text{mg/l}\) ungefähr bei \(t \approx 0{,}75\,\text{h}\) und erreicht diesen Grenzwert bei \(t = 6\,\text{h}\) erneut. Wegen der strengen Ungleichung \(c > 30\,\text{mg/l}\) liegt die Konzentration ungefähr für \(0{,}75 < t < 6\) über dem Grenzwert.

a) Nach \(6\,\text{h}\) beträgt die Konzentration \(30\,\text{mg/l}\). b) Ungefähr für \(0{,}75 < t < 6\), also strikt zwischen etwa 45 Minuten und 6 Stunden nach dem Unfall.

- Welche beiden markierten Punkte liefern gut ablesbare Werte? - Um wie viele Liter ändert sich das Volumen zwischen diesen Punkten? - Teile die Volumenänderung durch die zugehörige Zeitänderung.

1. Im Graphen sind die Punkte \(P_1(2 \mid 10)\) und \(P_2(6 \mid 30)\) markiert. 2. Zwischen den Punkten nimmt das Volumen um \(30-10=20\,\text{l}\) zu, während \(6-2=4\,\text{min}\) vergehen. 3. Damit beträgt die Steigung \(m=\frac{20}{4}=5\). Die Füllrate ist also \(5\,\text{l/min}\).

Die Füllrate beträgt \(5\,\text{l/min}\).

- Lies zu jedem gegebenen Datenvolumen die Höhe der zugehörigen waagerechten Stufe ab. - Achte an einer Sprungstelle darauf, welcher Punkt ausgefüllt und welcher offen ist. - Der ausgefüllte Punkt entscheidet, welcher Preis genau an der Grenze gilt.

1. Bei \(v=0{,}3\,\text{GB}\) liegt der Graph bei \(K=0\,\text{€}\). Bei \(v=0{,}5\,\text{GB}\) ist der Punkt bei \(K=5\,\text{€}\) ausgefüllt, also betragen die Kosten genau \(5\,\text{€}\). Der Wert \(1{,}6\,\text{GB}\) liegt auf der Stufe bei \(K=15\,\text{€}\). 2. Bei genau \(1{,}0\,\text{GB}\) ist der Punkt bei \(10\,\text{€}\) ausgefüllt. Damit ist an dieser Grenze bereits die nächste Preisstufe von \(10\,\text{€}\) gültig.

a) \(0{,}3\,\text{GB}\rightarrow0\,\text{€}\); \(0{,}5\,\text{GB}\rightarrow5\,\text{€}\); \(1{,}6\,\text{GB}\rightarrow15\,\text{€}\) b) Bei genau \(1{,}0\,\text{GB}\) gilt bereits die Preisstufe von \(10\,\text{€}\).

- Überlege, welche Größe den Ablauf steuert und welche Größe sich mit ihr verändert. - Die Definitionsmenge beschreibt alle sinnvollen Eingabewerte während des gesamten Druckvorgangs, nicht nur die fünf Tabellenstellen. - Nutze für die Wertemenge sowohl Anfangs- und Endmasse als auch die Angabe, wie sich die Masse dazwischen verhält. - Übersetze bei \(m(30)=91\) das Argument und den Funktionswert jeweils zurück in ihre Sachgrößen.

1. Die unabhängige Größe ist die Zeit \(t\) in Minuten. Die abhängige Größe ist die bereits gedruckte Masse \(m(t)\) in Gramm. 2. Der Druck läuft von Beginn bis zum Ende nach \(40\,\text{min}\). Da der Vorgang fortlaufend betrachtet wird, ist \(D_m=[0;40]\) eine sinnvolle Definitionsmenge für \(t\) in Minuten. 3. Die Masse beginnt bei \(0\,\text{g}\), wächst fortlaufend, nimmt nicht ab und endet bei \(120\,\text{g}\). Daher ist \(W_m=[0;120]\) eine sinnvolle Wertemenge für die Masse in Gramm. 4. \(m(30)=91\) bedeutet: Nach \(30\,\text{min}\) sind \(91\,\text{g}\) des Modells gedruckt.

a) Unabhängig: Zeit \(t\) in min; abhängig: gedruckte Masse \(m(t)\) in g. b) \(D_m=[0;40]\) für \(t\) in min. c) \(W_m=[0;120]\) für \(m(t)\) in g, weil die Masse fortlaufend von \(0\,\text{g}\) bis \(120\,\text{g}\) wächst. d) Nach \(30\,\text{min}\) sind \(91\,\text{g}\) gedruckt.

- Lies bei a) das Argument und den Funktionswert getrennt und übersetze beide in den Sachzusammenhang. - Bei b) suchst du rückwärts in der Wertzeile nach allen Stellen mit demselben Funktionswert. - Für c) prüfst du die Eindeutigkeit erst nach dem Vertauschen von Eingabe und Ausgabe.

1. \(T(30)=140\) bedeutet: \(30\) Minuten nach dem Einschalten wurde eine Temperatur von \(140\,^\circ\text{C}\) gemessen. 2. Der Funktionswert \(140\,^\circ\text{C}\) tritt bei \(t=20\,\text{min}\) und bei \(t=30\,\text{min}\) auf. 3. Die umgekehrte Zuordnung ist keine Funktion, weil der Eingabe \(140\,^\circ\text{C}\) zwei verschiedene Messzeitpunkte zugeordnet würden.

a) Nach \(30\,\text{min}\) wurden \(140\,^\circ\text{C}\) gemessen. b) \(t=20\,\text{min}\) und \(t=30\,\text{min}\). c) Nein. \(140\,^\circ\text{C}\) gehört zu zwei Messzeitpunkten.

- Nutze für die 20. Minute den geradlinigen Verlauf innerhalb des passenden 15-Minuten-Abschnitts. - Wie rechnet man Minuten in Stunden um, um die Geschwindigkeit in \(\text{km/h}\) anzugeben? - Vergleiche bei Ben die Streckenzuwächse in gleich langen Zeitabschnitten.

1. Anna legt in jedem 15-Minuten-Abschnitt \(4{,}5\,\text{km}\) zurück. Nach \(20\,\text{min}\) sind das \(4{,}5+5:15\cdot4{,}5=6{,}0\,\text{km}\). Ben legt zwischen Minute 15 und Minute 30 ebenfalls \(4{,}5\,\text{km}\) zurück. Nach \(20\,\text{min}\) sind das \(6{,}0+5:15\cdot4{,}5=7{,}5\,\text{km}\). Ben ist also \(1{,}5\,\text{km}\) vorn. 2. Anna legt in \(60\,\text{min}=1\,\text{h}\) insgesamt \(18{,}0\,\text{km}\) zurück. Ihre Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt \(18\,\text{km/h}\). 3. Anna legt in gleich langen Zeitabschnitten gleich große Strecken zurück. Bens Streckenzuwachs pro 15 Minuten wird dagegen immer kleiner; er wird also langsamer. Mögliche Gründe sind Erschöpfung, Gegenwind oder ein Anstieg im Gelände.

a) Ben ist vorn; sein Vorsprung beträgt \(1{,}5\,\text{km}\). b) Annas Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt \(18\,\text{km/h}\). c) Ben startet schnell und wird dann langsamer, zum Beispiel durch Ermüdung oder eine Steigung, während Anna ihr Tempo hält.

- Vergleiche bei jedem Gefäß die Höhenzunahmen in sämtlichen gleich langen Zeitintervallen. - Da in gleichen Zeiten gleich viel Wasser zufließt, ist entscheidend, wie viel Höhe dieselbe zusätzliche Wassermenge erzeugt. - Formuliere die geometrische Schlussfolgerung nur unter den im Text genannten Modellannahmen.

1. Bei Gefäß A nimmt die Höhe in jedem \(10\)-Sekunden-Intervall um \(2{,}0\,\text{cm}\) zu. Bei konstantem Volumenzufluss ist diese gleichbleibende Höhenzunahme mit einem konstanten Querschnitt vereinbar. 2. Bei Gefäß B werden die Höhenzunahmen immer kleiner: \(3{,}5\,\text{cm}\), \(2{,}5\,\text{cm}\), \(1{,}5\,\text{cm}\), \(1{,}0\,\text{cm}\) und \(0{,}5\,\text{cm}\) pro \(10\,\text{s}\). Bei gleicher zugeführter Wassermenge spricht eine kleinere Höhenzunahme für einen größeren Querschnitt. Unter den angegebenen Modellannahmen wird Gefäß B daher nach oben breiter.

a) Gefäß A. Die Füllhöhe steigt in jedem \(10\)-Sekunden-Intervall um \(2{,}0\,\text{cm}\), was unter den Modellannahmen zu einem konstanten Querschnitt passt. b) Gefäß B wird nach oben breiter; die Höhenzunahmen pro \(10\,\text{s}\) werden fortlaufend kleiner.

- Vergleiche für a) jeweils die Änderung des Ladestands mit der Länge des betrachteten Zeitraums. - Prüfe für b) die Zuwächse zwischen aufeinanderfolgenden Messwerten, statt eine technische Ursache zu vermuten. - Für c) trennst du die beobachtete konstante Rate von der ausdrücklich angenommenen Fortsetzung über den Messzeitraum hinaus.

1. Beim neuen Smartphone steigt der Ladestand von \(5\,\%\) auf \(45\,\%\) in \(20\,\text{min}\). Das sind \(40:20=2\) Prozentpunkte pro Minute. Von \(40\) bis \(60\,\text{min}\) steigt er von \(72\,\%\) auf \(90\,\%\), also um \(18\) Prozentpunkte in \(20\,\text{min}\). Das sind \(18:20=0{,}9\) Prozentpunkte pro Minute. 2. Beim alten Modell steigt jeder Messwert in \(10\,\text{min}\) um \(10\) Prozentpunkte. Beim neuen Modell sind die Zuwächse anfangs größer und werden im Verlauf kleiner. Diese Aussage bezieht sich auf die beobachteten Messintervalle. 3. Beim alten Modell beträgt die beobachtete Rate \(1\) Prozentpunkt pro Minute. Nach \(60\,\text{min}\) fehlen von \(65\,\%\) bis \(100\,\%\) noch \(35\) Prozentpunkte. Unter der genannten Fortsetzungsannahme dauert das weitere \(35\,\text{min}\). Rechnerisch werden \(100\,\%\) nach insgesamt \(95\,\text{min}\) erreicht.

a) \(0\)–\(20\,\text{min}\): \(2\) Prozentpunkte pro Minute; \(40\)–\(60\,\text{min}\): \(0{,}9\) Prozentpunkte pro Minute. b) Das alte Modell zeigt in jedem Messintervall denselben Zuwachs; beim neuen Modell werden die Zuwächse im Verlauf kleiner. c) Unter der Fortsetzungsannahme nach insgesamt \(95\,\text{min}\).

- Rechne zuerst aus, um wie viele Prozentpunkte der Akkuladestand in einer Stunde sinkt. Bleibt dieser Wert zwischen allen Messpunkten gleich? - Wie viele Stunden sind von 10:00 Uhr bis 16:30 Uhr vergangen? - Wenn du weißt, wie viel der Akku pro Stunde verliert, kannst du ausrechnen, wie lange die verbleibende Akkuladung noch reicht. - Ein Term hilft dir, beliebige Zeiten einzusetzen. Was ist der Startwert und was wird abgezogen?

1. Durchschnittlicher Verbrauch (a): Von 10:00 bis 12:00 Uhr (2 h): \(100 - 84 = 16\) Prozentpunkte, also \(8\) Prozentpunkte pro Stunde. Von 12:00 bis 14:00 Uhr (2 h): \(84 - 68 = 16\) Prozentpunkte, also \(8\) Prozentpunkte pro Stunde. Von 14:00 bis 15:00 Uhr (1 h): \(68 - 60 = 8\) Prozentpunkte, also \(8\) Prozentpunkte pro Stunde. Von 15:00 bis 18:00 Uhr (3 h): \(60 - 36 = 24\) Prozentpunkte, also \(8\) Prozentpunkte pro Stunde. Der Verbrauch ist über den gesamten Zeitraum konstant. 2. Ladestand um 16:30 Uhr (b): Von 10:00 bis 16:30 Uhr sind \(6{,}5\,\text{Stunden}\) vergangen. Einsetzen ergibt \(100 - 8 \cdot 6{,}5 = 48\). Der Ladestand beträgt \(48\,\%\). 3. Zeitpunkt für \(0\,\%\) (c): \(100 - 8x = 0 \Rightarrow 8x = 100 \Rightarrow x = 12{,}5\). \(12{,}5\,\text{Stunden}\) nach 10:00 Uhr ist 22:30 Uhr. 4. Funktionsterm (d): Mit dem Startwert \(100\) und einer Abnahme von \(8\) Prozentpunkten pro Stunde gilt \(y = 100 - 8x\).

a) Der Verbrauch ist konstant und beträgt \(8\) Prozentpunkte pro Stunde. b) Um 16:30 Uhr beträgt der Ladestand \(48\,\%\). c) Der Akku wird um 22:30 Uhr leer sein. d) Der Term lautet \(y = 100 - 8x\).

- Vergleiche den markierten Geschwindigkeitswert bei Kilometer \(8\) mit den Werten unmittelbar davor und danach. - Welche Größe steht auf der waagerechten Achse: Weg oder Zeit? - Überlege, was mit dem Wegwert während eines Stillstands geschieht.

1. Bei \(s=8\,\text{km}\) zeigt das Diagramm \(v(8)=0\,\text{km/h}\), während die Geschwindigkeit unmittelbar davor und danach \(50\,\text{km/h}\) beträgt. Das kann idealisiert einen kurzen Halt an genau diesem Wegpunkt darstellen, zum Beispiel an einer roten Ampel. 2. Auf der waagerechten Achse steht der zurückgelegte Weg und nicht die Zeit. 3. Während eines Stillstands ändert sich der Wegwert nicht. Die gesamte Wartezeit gehört deshalb zum selben Wegpunkt \(s=8\,\text{km}\). Ein Weg-Geschwindigkeits-Diagramm kann an diesem Punkt den Wert \(0\,\text{km/h}\), aber keine Wartezeitdauer zeigen.

a) Bei Kilometer \(8\) gab es idealisiert einen Halt, zum Beispiel an einer Ampel. b) Während des Wartens ändert sich der Wegwert nicht. Das Diagramm zeigt deshalb nur \(v(8)=0\,\text{km/h}\), aber nicht, wie lange der Halt dauert.

- Welche Kosten fallen unabhängig von der Strecke an? - Welcher Anteil wächst mit jedem gefahrenen Kilometer? - Für den letzten Teil ist der Gesamtpreis gegeben; setze ihn in die Zuordnung ein.

1. Der Gesamtpreis besteht aus dem Grundpreis und dem kilometerabhängigen Anteil. Daher gilt \(y=2{,}20x+4{,}50\). 2. Die Konstante \(4{,}50\,\text{€}\) ist der feste Grundpreis, der unabhängig von der gefahrenen Strecke anfällt. 3. Für \(y=26{,}50\) gilt \(26{,}50=2{,}20x+4{,}50\). Daraus folgen \(22=2{,}20x\) und \(x=10\).

a) \(y=2{,}20x+4{,}50\) b) \(4{,}50\,\text{€}\) ist der streckenunabhängige Grundpreis. c) Der Fahrgast ist \(10\,\text{km}\) gefahren.

- Rechne die Zeit von \(12{:}15\) bis \(14{:}45\) erst in Dezimalstunden oder Minuten um. - Wenn du weißt, wie viele Prozentpunkte pro Stunde verloren gehen, kannst du auch „rückwärts“ rechnen. - Gibt es eine Obergrenze für die Ladung eines Akkus?

1. Berechnung der Zeitdifferenz: Von \(12{:}15\,\text{Uhr}\) bis \(14{:}45\,\text{Uhr}\) vergehen \(2{,}5\,\text{Stunden}\). 2. Berechnung der Ladungsdifferenz: \(88\,\% - 63\,\% = 25\) Prozentpunkte. 3. Abnahme pro Stunde: \(25 : 2{,}5 = 10\) Prozentpunkte pro Stunde. 4. Zeitpunkt \(0\,\%\) (a): Von \(63\,\%\) ausgehend dauert es noch \(63 : 10 = 6{,}3\,\text{Stunden}\). \(6\,\text{Stunden}\) und \(18\,\text{Minuten}\) nach \(14{:}45\,\text{Uhr}\) ist es \(21{:}03\,\text{Uhr}\). 5. Ladestand um \(10{:}15\,\text{Uhr}\) (b): Das sind \(2\,\text{Stunden}\) vor \(12{:}15\,\text{Uhr}\). Die Zunahme beim Rückwärtsrechnen beträgt \(2 \cdot 10 = 20\) Prozentpunkte. Damit ergibt sich ein Ladestand von \(88\,\% + 20\) Prozentpunkten \(= 108\,\%\). 6. Interpretation (c): Ein Akku kann physikalisch nicht mehr als \(100\,\%\) Ladung haben. Das lineare Modell liefert hier einen Wert, der in der Realität unmöglich ist, was bedeutet, dass die Entladungsrate vorher anders gewesen sein muss oder der Akku voll war.

a) Der Akku verliert \(10\) Prozentpunkte pro Stunde. Er wäre um \(21{:}03\,\text{Uhr}\) leer. b) Laut Modell hätte der Akku um \(10{:}15\,\text{Uhr}\) einen Stand von \(108\,\%\) gehabt. c) Da ein Akku maximal \(100\,\%\) geladen sein kann, ist der berechnete Wert von \(108\,\%\) unmöglich. Das Modell ist also für diesen Zeitraum nicht anwendbar.

- Für eine mittlere jährliche Änderung brauchst du die Änderung des Messwerts und die Länge des Zeitraums. - Wo liegt 2018 zwischen den beiden bekannten Jahren 2016 und 2020, wenn du eine lineare Entwicklung annimmst? - Vergleiche für die Prognose die zuletzt beobachtete jährliche Änderungsrate mit der Änderungsrate, die bis 2030 nötig wäre.

1. Von 2000 bis 2012 steigt die Müllmenge um \(42\,\text{kg}-32\,\text{kg}=10\,\text{kg}\) in \(12\) Jahren. Die durchschnittliche jährliche Zunahme beträgt daher \(10:12\approx 0{,}83\,\text{kg}\) pro Jahr. 2. Das Jahr 2018 liegt genau in der Mitte zwischen 2016 und 2020. Bei linearer Interpolation ergibt sich \((44+45):2=44{,}5\,\text{kg}\). 3. Von 2012 bis 2020 steigt die Müllmenge um \(45\,\text{kg}-42\,\text{kg}=3\,\text{kg}\) in \(8\) Jahren, also durchschnittlich um \(3:8=0{,}375\,\text{kg}\) pro Jahr. Für mehr als \(60\,\text{kg}\) im Jahr 2030 wären ausgehend von \(45\,\text{kg}\) im Jahr 2020 mehr als \(15\,\text{kg}\) in \(10\) Jahren, also mehr als \(1{,}5\,\text{kg}\) pro Jahr, nötig. Das ist mit dem jüngeren Trend nicht vereinbar.

a) Die durchschnittliche jährliche Zunahme beträgt etwa \(0{,}83\,\text{kg}\) pro Jahr. b) Für 2018 ergibt die lineare Interpolation \(44{,}5\,\text{kg}\). c) Die Prognose erscheint anhand des Trends von 2012 bis 2020 nicht realistisch; dort beträgt die durchschnittliche Zunahme nur \(0{,}375\,\text{kg}\) pro Jahr, erforderlich wären mehr als \(1{,}5\,\text{kg}\) pro Jahr.

- Beschreibe zuerst für jede Abteilung, ob die Werte mit der Zeit steigen oder fallen. - Betrachte für den Gleichstand die Differenz der beiden Mitgliederzahlen in den Jahren 2019 und 2022 und nimm dazwischen eine lineare Änderung an. - Für 2025 kannst du die Änderung des letzten Dreijahresabschnitts auf den nächsten gleich langen Abschnitt übertragen.

1. Die Mitgliederzahl im Tennis sinkt von \(240\) auf \(190\), während sie im Basketball von \(80\) auf \(210\) steigt. 2. Im Jahr 2019 beträgt die Differenz „Tennis minus Basketball“ \(205-175=30\), im Jahr 2022 beträgt sie \(190-210=-20\). Die Differenz nimmt in \(3\) Jahren also um \(50\) ab. Bis zum Gleichstand muss sie um \(30\) abnehmen; das entspricht \(\frac{30}{50}\) des Dreijahreszeitraums, also \(\frac{30}{50}\cdot 3=1{,}8\) Jahren nach 2019. Der Gleichstand liegt damit ungefähr im Jahr 2021. 3. Von 2019 bis 2022 steigt Basketball um \(210-175=35\) Mitglieder. Bei gleicher linearer Entwicklung kommen bis 2025 nochmals \(35\) hinzu, also \(210+35=245\).

a) Die Tennisabteilung verliert Mitglieder, während die Basketballabteilung Mitglieder gewinnt. b) Unter der Annahme einer gleichmäßigen Entwicklung liegt der Gleichstand ungefähr im Jahr 2021. c) Für 2025 ergibt die Trendfortsetzung ungefähr \(245\) Basketballmitglieder.

- Bestimme zuerst die Zahl der berechneten Minuten. - Vergleiche die Kosten beider Anbieter bei \(10\) Minuten und danach die Kostensteigerung pro weiterer Minute. - Überlege, ob der Preis innerhalb einer angefangenen Minute stetig steigt oder konstant bleibt.

1. Bei einer tatsächlichen Fahrtdauer wird auf die nächste volle Minute aufgerundet; \(n\) bezeichnet die Zahl der berechneten Minuten. Dann gilt \(K_{\text{Flitz}}=1{,}00+0{,}15n\) und \(K_{\text{Saust}}=0{,}25n\). 2. Für \(5\), \(10\) und \(15\) Minuten ergeben sich: Flitz: \(1{,}75\,\text{€}\), \(2{,}50\,\text{€}\), \(3{,}25\,\text{€}\). Saust: \(1{,}25\,\text{€}\), \(2{,}50\,\text{€}\), \(3{,}75\,\text{€}\). 3. Wertetabelle für ganze Fahrzeiten von \(1\) bis \(12\) Minuten: <table> <tr><td>Minuten</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>7</td><td>8</td><td>9</td><td>10</td><td>11</td><td>12</td></tr> <tr><td>Flitz (in €)</td><td>\(1{,}15\)</td><td>\(1{,}30\)</td><td>\(1{,}45\)</td><td>\(1{,}60\)</td><td>\(1{,}75\)</td><td>\(1{,}90\)</td><td>\(2{,}05\)</td><td>\(2{,}20\)</td><td>\(2{,}35\)</td><td>\(2{,}50\)</td><td>\(2{,}65\)</td><td>\(2{,}80\)</td></tr> <tr><td>Saust (in €)</td><td>\(0{,}25\)</td><td>\(0{,}50\)</td><td>\(0{,}75\)</td><td>\(1{,}00\)</td><td>\(1{,}25\)</td><td>\(1{,}50\)</td><td>\(1{,}75\)</td><td>\(2{,}00\)</td><td>\(2{,}25\)</td><td>\(2{,}50\)</td><td>\(2{,}75\)</td><td>\(3{,}00\)</td></tr> </table> 4. Bei \(10\) berechneten Minuten kosten beide Anbieter \(2{,}50\,\text{€}\). Für mehr als \(10\) berechnete Minuten ist Flitz günstiger, weil dessen Preis pro weiterer Minute geringer ist. 5. Bei angefangenen Minuten ist der Preis auch für Bruchteile einer Minute definiert, bleibt aber innerhalb eines Abrechnungsintervalls konstant und springt an der nächsten Minutengrenze. Deshalb ist eine Treppenfunktion passend; geradliniges Verbinden der Tabellenpunkte ist nicht passend.

a) Flitz: \(1{,}75\,\text{€}\), \(2{,}50\,\text{€}\), \(3{,}25\,\text{€}\); Saust: \(1{,}25\,\text{€}\), \(2{,}50\,\text{€}\), \(3{,}75\,\text{€}\). b) <table> <tr><td>Minuten</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>7</td><td>8</td><td>9</td><td>10</td><td>11</td><td>12</td></tr> <tr><td>Flitz (in €)</td><td>\(1{,}15\)</td><td>\(1{,}30\)</td><td>\(1{,}45\)</td><td>\(1{,}60\)</td><td>\(1{,}75\)</td><td>\(1{,}90\)</td><td>\(2{,}05\)</td><td>\(2{,}20\)</td><td>\(2{,}35\)</td><td>\(2{,}50\)</td><td>\(2{,}65\)</td><td>\(2{,}80\)</td></tr> <tr><td>Saust (in €)</td><td>\(0{,}25\)</td><td>\(0{,}50\)</td><td>\(0{,}75\)</td><td>\(1{,}00\)</td><td>\(1{,}25\)</td><td>\(1{,}50\)</td><td>\(1{,}75\)</td><td>\(2{,}00\)</td><td>\(2{,}25\)</td><td>\(2{,}50\)</td><td>\(2{,}75\)</td><td>\(3{,}00\)</td></tr> </table> c) Die Aussage ist wahr. Bei \(10\) Minuten kosten beide \(2{,}50\,\text{€}\); danach ist Flitz günstiger. d) Die Kosten sollten als Treppenfunktion dargestellt werden. Für Bruchteile einer Minute gilt jeweils der Preis der nächsten berechneten vollen Minute.

- Berechne die Gesamtkosten jeweils mit dem für die Bestellmenge gültigen Stückpreis. - Vergleiche 9 und 11 Shirts direkt, statt nur die Stückpreise zu betrachten. - Für Proportionalität müsste das Verhältnis Gesamtpreis zu Stückzahl überall gleich sein. - Prüfe außerdem, welche Werte die Stückzahl im Kontext annehmen kann.

1. Für 10 Shirts gilt \(10\cdot15{,}00\,\text{€}=150{,}00\,\text{€}\). Für 11 Shirts gilt \(11\cdot12{,}00\,\text{€}=132{,}00\,\text{€}\). Damit sind 11 Shirts insgesamt \(18{,}00\,\text{€}\) günstiger als 10. 2. Für 9 Shirts gilt \(9\cdot15{,}00\,\text{€}=135{,}00\,\text{€}\). 11 Shirts kosten \(132{,}00\,\text{€}\), also \(3{,}00\,\text{€}\) weniger. 3. Die charakteristischen Punkte sind \((1\mid15)\), \((10\mid150)\), \((11\mid132)\) und \((15\mid180)\). 4. Die Zuordnung ist nicht proportional, weil der Quotient Gesamtpreis : Stückzahl nicht konstant ist: bis 10 Stück beträgt er \(15\,\text{€}\), ab 11 Stück \(12\,\text{€}\). Zwischenwerte werden nicht dargestellt, weil nur ganze T-Shirt-Anzahlen bestellt werden.

a) 10 Shirts: \(150{,}00\,\text{€}\); 11 Shirts: \(132{,}00\,\text{€}\). 11 Shirts sind trotz der größeren Menge günstiger. b) 9 Shirts kosten \(135{,}00\,\text{€}\), 11 Shirts nur \(132{,}00\,\text{€}\); Ersparnis: \(3{,}00\,\text{€}\). c) \((1\mid15)\), \((10\mid150)\), \((11\mid132)\), \((15\mid180)\). Nicht proportional wegen des wechselnden Stückpreises; keine Zwischenpunkte, weil nur ganze Stückzahlen zulässig sind.

- Übersetze \(30\,\text{Minuten}\) zunächst in Stunden und beachte das Wort „angefangene“. - Prüfe an jeder Tarifgrenze, zu welcher Stufe der Grenzwert selbst gehört. - Beschreibe den Graphen über konstante Preisintervalle statt über einzelne Punkte. - Für Proportionalität muss mehr gelten als nur „mehr Zeit kostet mehr“.

1. Für \(45\,\text{min}\) beginnt nach den freien 30 Minuten die erste kostenpflichtige Stunde, also kostet das Parken \(2{,}50\,\text{€}\). Bei \(2\,\text{h}\) sind zwei angefangene kostenpflichtige Stunden zu zahlen, also \(5{,}00\,\text{€}\). Für \(6\,\text{h}\) und \(10\,\text{h}\) greift der Höchstpreis von \(15{,}00\,\text{€}\). 2. Der Graph ist eine Treppenfunktion: \(P=0\) für \(0\le t\le0{,}5\); \(P=2{,}50\) für \(0{,}5<t\le1{,}5\); \(P=5{,}00\) für \(1{,}5<t\le2{,}5\); \(P=7{,}50\) für \(2{,}5<t\le3{,}5\); \(P=10{,}00\) für \(3{,}5<t\le4{,}5\); \(P=12{,}50\) für \(4{,}5<t\le5{,}5\); danach gilt bis \(10\,\text{h}\) der Höchstpreis \(15{,}00\,\text{€}\). 3. Die Zuordnung ist nicht proportional: Der Graph ist keine Ursprungsgerade, sondern eine Treppenfunktion, und eine Verdopplung der Parkdauer führt im Allgemeinen nicht zu einer Verdopplung des Preises.

a) \(45\,\text{min}\to2{,}50\,\text{€}\); \(2\,\text{h}\to5{,}00\,\text{€}\); \(6\,\text{h}\to15{,}00\,\text{€}\); \(10\,\text{h}\to15{,}00\,\text{€}\) b) \([0;0{,}5]\to0\,\text{€}\), \((0{,}5;1{,}5]\to2{,}50\,\text{€}\), \((1{,}5;2{,}5]\to5{,}00\,\text{€}\), \((2{,}5;3{,}5]\to7{,}50\,\text{€}\), \((3{,}5;4{,}5]\to10{,}00\,\text{€}\), \((4{,}5;5{,}5]\to12{,}50\,\text{€}\), \((5{,}5;10]\to15{,}00\,\text{€}\) c) Keine Ursprungsgerade/Treppenverlauf; Verdopplung der Parkdauer verdoppelt den Preis nicht allgemein.

- Werte beide Zuordnungen zunächst für dieselbe Eingabe aus. - Eine Abweichung ist die Differenz der beiden Ergebnisse. - Vergleiche für die Behauptung sowohl den gemeinsamen Wert an der Grenze als auch die beiden Koeffizienten vor \(C\).

1. Bei \(30\,^\circ\text{C}\) liefert die Faustformel \(2\cdot30+30=90\,^\circ\text{F}\), die exakte Formel \(1{,}8\cdot30+32=86\,^\circ\text{F}\). 2. Bei \(25\,^\circ\text{C}\) ergeben sich \(80\,^\circ\text{F}\) und \(77\,^\circ\text{F}\); die Abweichung beträgt \(3\,^\circ\text{F}\). 3. Bei \(C=10\) liefern beide Terme \(50\). Für größere Werte wächst \(2C+30\) wegen des größeren Koeffizienten stärker als \(1{,}8C+32\). 4. Die Behauptung ist daher in der Form „ab \(10\)“ falsch: Bei genau \(10\,^\circ\text{C}\) sind die Werte gleich; erst für \(C>10\) ist die Faustformel größer.

a) Faustformel: \(90\,^\circ\text{F}\); exakt: \(86\,^\circ\text{F}\). b) Die Abweichung beträgt \(3\,^\circ\text{F}\). c) Die Behauptung ist falsch; bei \(10\,^\circ\text{C}\) sind beide Werte gleich, erst darüber ist die Faustformel größer.

- Unterscheide bei der Schreibweise \(V(t)\) zwischen dem Argument \(t\) und dem zugehörigen Wasservolumen. - Übersetze „weitere 30 Minuten nach Minute 10“ zuerst in ein Argument der Funktion. - Für c) suchst du nicht einen Funktionswert, sondern das Argument zu einem vorgegebenen Funktionswert. - Die sinnvolle Definitionsmenge endet dort, wo das Modell wegen des vollen Tanks nicht weitergeführt werden darf.

1. \(V(10)=90\) bedeutet: Nach \(10\,\text{min}\) befinden sich \(90\,\text{l}\) im Tank. Für \(t=40\) gilt \(V(40)=40+5\cdot40=240\). Nach weiteren \(30\,\text{min}\) ab dem Zeitpunkt \(t=10\) wären also erst \(240\,\text{l}\) im Tank. 2. Damit ist die Behauptung falsch; nach insgesamt \(40\,\text{min}\) ist der \(300\)-Liter-Tank noch nicht voll. 3. Gesucht ist \(40+5t=300\). Daraus folgt \(5t=260\) und \(t=52\). Der Tank wird nach \(52\,\text{min}\) voll. 4. Das Modell gilt vom Beginn bis zum Vollwerden: \(D_V=[0;52]\) mit \(t\) in Minuten. Die Wassermenge reicht von \(40\,\text{l}\) bis \(300\,\text{l}\), also \(W_V=[40;300]\).

a) Nach \(10\,\text{min}\) sind \(90\,\text{l}\) im Tank; \(V(40)=240\,\text{l}\). b) Die Behauptung ist falsch; nach insgesamt \(40\,\text{min}\) sind erst \(240\,\text{l}\) im Tank. c) \(t=52\,\text{min}\). d) \(D_V=[0;52]\) in Minuten; \(W_V=[40;300]\) in Litern.

- Bestimme für beide Angebote zuerst die variablen Kosten pro Monat. - Bei Angebot B kommt zu diesen laufzeitabhängigen Kosten noch ein fester Betrag hinzu. - Woran erkennt man an einem Funktionsterm der Form \(am+b\), ob die Zuordnung direkt proportional ist?

1. Bei Angebot A betragen die Jahreszinsen \(1500\,\text{€}\cdot0{,}11=165\,\text{€}\), also \(13{,}75\,\text{€}\) pro Monat. Daher gilt \(K_A(m)=13{,}75\,\text{€}\cdot m\). 2. Bei Angebot B betragen die Jahreszinsen \(90\,\text{€}\), also \(7{,}50\,\text{€}\) pro Monat. Mit der festen Gebühr gilt \(K_B(m)=7{,}50\,\text{€}\cdot m+15\,\text{€}\). 3. Für \(m=3\) gilt \(K_A(3)=41{,}25\,\text{€}\) und \(K_B(3)=37{,}50\,\text{€}\). Angebot B ist um \(3{,}75\,\text{€}\) günstiger. 4. \(K_A\) ist direkt proportional, weil der Term die Form \(a m\) hat und \(K_A(0)=0\) gilt. \(K_B\) ist wegen der festen Gebühr \(15\,\text{€}\) nicht direkt proportional.

a) \(K_A(m)=13{,}75\,\text{€}\cdot m\), \(K_B(m)=7{,}50\,\text{€}\cdot m+15\,\text{€}\) b) Angebot A: \(41{,}25\,\text{€}\); Angebot B: \(37{,}50\,\text{€}\). Angebot B ist um \(3{,}75\,\text{€}\) günstiger. c) \(K_A\) ist direkt proportional; \(K_B\) ist wegen des konstanten Summanden \(15\,\text{€}\) nicht direkt proportional.

- Was passiert mit dem Akkustand, wenn das Handy geladen wird? Suche nach einem Anstieg in der Tabelle. - Für den Durchschnitt teilst du die gesamte Änderung durch die Anzahl der vergangenen Stunden. - Eine Funktion muss eindeutig sein. Kann man bei einem bestimmten Akkustand sicher sagen, wie spät es war?

1. Identifikation des Ladevorgangs: Zwischen 16:00 Uhr (\(44\,\%\)) und 18:00 Uhr (\(88\,\%\)) steigt der Ladestand deutlich an, was auf einen Ladevorgang hindeutet. 2. Berechnung des durchschnittlichen Verbrauchs: Zeitraum von 07:00 bis 12:00 Uhr sind \(5\,\text{Stunden}\). Verbrauch: \(100\,\% - 60\,\% = 40\) Prozentpunkte. Durchschnitt pro Stunde: \(40 : 5 = 8\) Prozentpunkte pro Stunde. 3. Prüfung der Umkehrzuordnung: Der Ladestand \(60\,\%\) tritt zu zwei verschiedenen Uhrzeiten auf (12:00 Uhr und 14:00 Uhr). Damit ist die Zuordnung Ladestand \(\to\) Uhrzeit nicht eindeutig und somit keine Funktion.

a) Das Handy wurde zwischen 16:00 und 18:00 Uhr geladen, da der Ladestand dort ansteigt. b) Der durchschnittliche Verbrauch beträgt \(8\) Prozentpunkte pro Stunde. c) Nein, die Umkehrzuordnung ist keine Funktion, da dem Wert \(60\,\%\) zwei verschiedene Uhrzeiten (12:00 und 14:00) zugeordnet werden.

- Vergleiche die Änderungen zwischen den aufeinanderfolgenden Messwerten, ohne den auffälligen Wert vorschnell als Fehler zu bezeichnen. - Zur Wertemenge gehören die tatsächlich berücksichtigten Temperaturwerte, nicht alle Werte zwischen ihnen. - Zur Definitionsmenge der Messreihe gehören nur die Uhrzeiten, zu denen gemessen wurde. - Überlege für die Schätzung, welche Änderung pro Stunde die übrigen Messwerte gemeinsam zeigen.

1. Ohne den Wert um 11:00 Uhr liegen die übrigen Messwerte auf einem Muster mit einer Zunahme von \(0{,}7\,^\circ\text{C}\) pro Stunde: Von 08:00 bis 10:00 Uhr steigt die Temperatur in jeder Stunde um \(0{,}7\,^\circ\text{C}\), und von 10:00 bis 12:00 Uhr steigt sie insgesamt um \(1{,}4\,^\circ\text{C}\). Daher fällt \(31{,}5\,^\circ\text{C}\) deutlich aus diesem Muster. Aus der Tabelle allein folgt aber nicht sicher, dass ein Messfehler vorliegt; auch ein reales Ereignis könnte einen ungewöhnlichen Messwert verursacht haben. 2. Ohne den auffälligen Wert ist \(W_T=\{18{,}2;18{,}9;19{,}6;21{,}0;21{,}7\}\,^\circ\text{C}\). 3. Zu sechs vollen Stunden wurde gemessen. Daher ist \(D_T=\{8;9;10;11;12;13\}\), wobei die Zahlen für 08:00 Uhr bis 13:00 Uhr stehen. 4. Das erkennbare Muster ist eine Zunahme um \(0{,}7\,^\circ\text{C}\) pro Stunde. Für 11:00 Uhr ergibt sich daher als Schätzwert \(19{,}6\,^\circ\text{C}+0{,}7\,^\circ\text{C}=20{,}3\,^\circ\text{C}\).

a) Auffällig ist \(31{,}5\,^\circ\text{C}\) um 11:00 Uhr. Die übrigen Werte passen zu einer Zunahme von \(0{,}7\,^\circ\text{C}\) pro Stunde; ein Messfehler ist damit aber nicht bewiesen. b) \(W_T=\{18{,}2;18{,}9;19{,}6;21{,}0;21{,}7\}\,^\circ\text{C}\) c) \(D_T=\{8;9;10;11;12;13\}\) d) \(20{,}3\,^\circ\text{C}\)

- Welcher Teil der Kosten ist fix und welcher hängt vom Verbrauch ab? - Kannst du eine Gleichung der Form \(y = mx + n\) für diese Situation aufstellen? - Wie gehst du vor, wenn du prüfen willst, ob ein bestimmtes Wertepaar (Verbrauch in \(\text{kWh}\) und Kosten) die Gleichung erfüllt? - Was musst du tun, wenn der Endbetrag gegeben ist und der Verbrauch gesucht wird?

1. Aufstellen des Modells: Sei \(x\) der Verbrauch und \(y\) die Kosten. Die Gleichung lautet \(y = 0{,}80x + 18{,}50\). 2. Überprüfung für Teil a): Einsetzen von \(x = 40\) ergibt \(y = 0{,}80 \cdot 40 + 18{,}50 = 32 + 18{,}50 = 50{,}50\). Die Behauptung ist korrekt. 3. Berechnung für Teil b): Setze \(y = 74{,}50\) in die Gleichung ein: \(74{,}50 = 0{,}80x + 18{,}50\). 4. Subtraktion der Grundgebühr: \(56{,}00 = 0{,}80x\). 5. Division durch den Preis pro Kilowattstunde: \(x = 56 : 0{,}8 = 70\). Es wurden \(70\,\text{kWh}\) verbraucht.

a) Ja, die Angabe ist korrekt, da der Punkt \((40|50{,}50)\) die Funktionsgleichung erfüllt. b) Es wurden \(70\,\text{kWh}\) verbraucht.

- Wie viel steigt der Wasserspiegel in einer einzigen Stunde? - Wenn du die Änderung pro Stunde kennst, kannst du dann ausrechnen, wie lange es gedauert hat, um auf \(40\,\text{cm}\) zu kommen? - Achte auf die Einheiten: \(1{,}60\,\text{m}\) sind wie viele Zentimeter? - Wie viel Platz ist ab \(100\,\text{cm}\) noch bis zum Rand?

1. Zeitdifferenz: \(15{:}00 - 13{:}00 = 2\,\text{h}\). Höhendifferenz: \(100\,\text{cm} - 40\,\text{cm} = 60\,\text{cm}\). Der Anstieg der Wasserhöhe beträgt \(60\,\text{cm} : 2\,\text{h} = 30\,\text{cm/h}\). Diese Rate entspricht der Steigung der Geraden. 2. Zeitpunkt mit Wasserhöhe \(0\): Von \(13{:}00\,\text{Uhr}\) bei \(40\,\text{cm}\) wird rückwärts gerechnet. Die benötigte Zeit beträgt \(40\,\text{cm} : 30\,\text{cm/h} = \frac{4}{3}\,\text{h} = 1\,\text{h}\,20\,\text{min}\). 3. Der Pool war daher um \(11{:}40\,\text{Uhr}\) leer. 4. Die Gesamttiefe beträgt \(1{,}60\,\text{m} = 160\,\text{cm}\). Von \(100\,\text{cm}\) fehlen noch \(60\,\text{cm}\). 5. Dafür werden \(60\,\text{cm} : 30\,\text{cm/h} = 2\,\text{h}\) benötigt. 6. Der Pool ist um \(17{:}00\,\text{Uhr}\) vollständig gefüllt.

a) Die Wasserhöhe steigt um \(30\,\text{cm/h}\). Dieser Wert ist die Steigung des Funktionsgraphen. b) Der Pool war um \(11{:}40\,\text{Uhr}\) leer. c) Der Pool ist um \(17{:}00\,\text{Uhr}\) vollständig gefüllt und beginnt dann überzulaufen.

- Untersuche, um wie viele Grade die Temperatur in gleichen Zeitabschnitten sinkt. - Was bedeutet es für den Graphen, wenn die Werte nicht immer um denselben Betrag fallen? - Überlege, warum ein heißes Getränk irgendwann nicht mehr kälter wird.

1. Prüfung auf Linearität: Im Intervall \([0;2]\) beträgt die durchschnittliche Änderungsrate \((59-75):(2-0)=-8\,^\circ\text{C/min}\). Im Intervall \([2;4]\) beträgt sie \((47-59):(4-2)=-6\,^\circ\text{C/min}\). Da die Änderungsraten nicht konstant sind, ist die Zuordnung nicht linear. 2. Die Temperatur sinkt kontinuierlich. Zu Beginn kühlt der Kakao schneller ab; später wird die Abkühlung langsamer. Zwischen Minute 10 und Minute 15 beträgt die durchschnittliche Änderungsrate nur noch \((23-28):(15-10)=-1\,^\circ\text{C/min}\). 3. Die Zimmertemperatur muss unter \(23\,^\circ\text{C}\) liegen, weil der Kakao bei der letzten Messung noch abkühlt. Ein Wert von etwa \(20\,^\circ\text{C}\) bis \(22\,^\circ\text{C}\) ist plausibel. Aus endlich vielen Messwerten lässt sich die genaue Zimmertemperatur ohne ein zusätzliches Abkühlungsmodell jedoch nicht eindeutig bestimmen.

a) Die Zuordnung ist nicht linear, weil die Temperaturabnahme pro Minute nicht konstant ist, zum Beispiel \(-8\,^\circ\text{C/min}\) am Anfang und \(-1\,^\circ\text{C/min}\) im letzten Intervall. b) Der Kakao kühlt anfangs schnell und später immer langsamer ab. c) Eine plausible Schätzung liegt bei etwa \(20\,^\circ\text{C}\) bis \(22\,^\circ\text{C}\). Der genaue Wert ist aus den Messdaten allein nicht eindeutig bestimmbar.

- Vergleiche die Höhenzunahmen in gleich langen Zeitabschnitten. - Für eine durchschnittliche Zunahme pro Minute teilst du die Höhenänderung durch die zugehörige Zeitspanne. - Überlege, wie sich ein größerer Querschnitt auf den Anstieg des Wasserspiegels auswirkt.

1. In den ersten 10 Minuten steigt die Füllhöhe um \(12\,\text{cm}\), zwischen Minute 20 und 30 dagegen nur um \(6\,\text{cm}\). Die Zunahme ist also nicht über den gesamten Zeitraum gleich. 2. Für \([0;20]\) beträgt die durchschnittliche Zunahme \((24-0):(20-0)=1{,}2\,\text{cm/min}\). Für \([20;50]\) beträgt sie \((42-24):(50-20)=0{,}6\,\text{cm/min}\). 3. In den ersten 20 Minuten steigt der Wasserspiegel doppelt so schnell wie danach. Bei gleichmäßigem Zufluss spricht das dafür, dass das Gefäß ab \(24\,\text{cm}\) Füllhöhe breiter ist.

a) Nein. Die Füllhöhe nimmt nicht während des gesamten Zeitraums gleichmäßig zu. b) \([0;20]\): \(1{,}2\,\text{cm/min}\); \([20;50]\): \(0{,}6\,\text{cm/min}\). c) Ab \(24\,\text{cm}\) Füllhöhe wird das Fass breiter, sodass der Wasserspiegel bei gleichem Zufluss langsamer steigt.

- Formuliere für a), welche Größe die Eingabe und welche Größe die Ausgabe der Zuordnung ist. - Vergleiche für die durchschnittliche Änderung die gesamte Volumenänderung mit der vergangenen Zeit. - Überlege für die Umrechnung, wie viele Minuten eine Stunde hat. - Für c) nutzt du zusätzlich die ausdrücklich genannte Annahme einer gleichmäßigen Zunahme.

1. Zu jedem betrachteten Zeitpunkt gehört genau ein Wasserinhalt der Regentonne. Daher ist die Zuordnung \(t\mapsto V(t)\) eine Funktion. 2. Der Wasserinhalt nimmt um \(105\,\text{l}-45\,\text{l}=60\,\text{l}\) in \(12\,\text{min}\) zu. Das sind durchschnittlich \(60\,\text{l}:12\,\text{min}=5\,\text{l/min}\). Auf eine Stunde hochgerechnet ergibt das \(5\,\text{l/min}\cdot60\,\text{min/h}=300\,\text{l/h}\). 3. Sechs Minuten sind die Hälfte des beobachteten Zeitraums. Bei gleichmäßiger Zunahme ist dann die Hälfte von \(60\,\text{l}\), also \(30\,\text{l}\), hinzugekommen. Somit gilt \(V(6)=75\,\text{l}\).

a) Ja. Jedem betrachteten Zeitpunkt wird genau ein Wasserinhalt zugeordnet. b) \(5\,\text{l/min}\) beziehungsweise \(300\,\text{l/h}\) c) Unter der Annahme gleichmäßiger Zunahme gilt \(V(6)=75\,\text{l}\).

- Unterscheide zwischen der Geschwindigkeit auf einem Teilweg und der Durchschnittsgeschwindigkeit über die gesamte Strecke. - Für die gesamte Wanderung müssen Gesamtstrecke und Gesamtdauer zusammenpassen. - In Teil c bleibt nur die Rückwegzeit veränderlich; überlege, wie sie in der Gesamtdauer erscheint.

1. Für den Hinweg gilt \(v_1=6:1{,}5=4\,\text{km/h}\). 2. Für den Rückweg gilt \(t_2=9:4{,}5=2\,\text{h}\). 3. Die gesamte Wanderung umfasst \(15\,\text{km}\) in \(1{,}5+2=3{,}5\,\text{h}\). Daher ist \(v_g=15:3{,}5\approx4{,}29\,\text{km/h}\). 4. Für eine variable Rückwegzeit \(t_2\) beträgt die Gesamtdauer \(1{,}5+t_2\). Somit gilt \(v_g(t_2)=\frac{15}{1{,}5+t_2}\).

a) \(v_1=4\,\text{km/h}\) b) \(t_2=2\,\text{h}\); \(v_g\approx4{,}29\,\text{km/h}\) c) \(v_g(t_2)=\frac{15}{1{,}5+t_2}\)

- Rechne die Pause und den Abstieg zuerst vollständig in Stunden um. - Bestimme die Höhen an den Zeitpunkten, an denen sich die Bewegungsphase ändert. - Vergleiche für b) jeweils Höhenänderung und Dauer. - Für c) kann dieselbe Höhe auf dem Hinauf- und auf dem Hinabweg vorkommen.

1. Die Eckpunkte sind \((0\mid400)\), \((2\mid1000)\), \((2{,}5\mid1000)\) und \((4\mid700)\). Die Punkte werden entsprechend dem gleichmäßigen Aufstieg, der Pause und dem gleichmäßigen Abstieg geradlinig verbunden. 2. Beim Aufstieg beträgt die vertikale Geschwindigkeit \((1000-400):2=300\,\text{m/h}\). Beim Abstieg beträgt ihr Betrag \((1000-700):1{,}5=200\,\text{m/h}\). Damit ist der Aufstieg vertikal schneller. 3. Beim Aufstieg gilt \((850-400):300=1{,}5\,\text{h}\). 4. Beim Abstieg müssen von \(1000\,\text{m}\) noch \(150\,\text{m}\) mit \(200\,\text{m/h}\) zurückgelegt werden. Das dauert \(0{,}75\,\text{h}\) nach Ende der Pause, also ist der zweite Zeitpunkt \(2{,}5+0{,}75=3{,}25\,\text{h}\).

a) \((0\mid400)\), \((2\mid1000)\), \((2{,}5\mid1000)\), \((4\mid700)\); benachbarte Punkte werden geradlinig verbunden. b) Aufstieg: \(300\,\text{m/h}\); Abstieg: \(200\,\text{m/h}\). Der Aufstieg ist vertikal schneller. c) Nach \(1{,}5\,\text{h}\) und nach \(3{,}25\,\text{h}\)

- Überlege zuerst, wie viele volle und angebrochene Zeitblöcke in der Gesamtdauer enthalten sind. - „Angefangene 30 Minuten“ bedeutet, dass jede Sekunde über die Grenze hinaus einen neuen vollen Block berechnet. - Setze eine Gleichung oder Ungleichung an, um herauszufinden, ab welchem Block die Summe der Einzelpreise das Maximum überschreitet.

1. Berechnung für \(145\,\text{Minuten}\): Die Anzahl der \(30\)-Minuten-Intervalle beträgt \(145 : 30 \approx 4{,}83\), also sind \(5\) Intervalle angebrochen. Kosten: \(2{,}50\,\text{€}\) (1. Intervall) + \(4 \cdot 1{,}50\,\text{€} = 6{,}00\,\text{€}\). Gesamtkosten: \(8{,}50\,\text{€}\). 2. Ermittlung der Zeit für den Maximalpreis: Gesucht ist das Intervall \(n\), für das gilt: \(2{,}50 + (n-1) \cdot 1{,}50 \ge 12{,}00\). Daraus folgt \(1{,}50 \cdot (n-1) \ge 9{,}50\), also \(n \ge 7{,}33\). Damit wird der Deckel im \(8\). Intervall erreicht. 3. Das \(8\). Intervall beginnt erst für Zeiten größer als \(7 \cdot 30 = 210\,\text{Minuten}\). Bei Erfassung in ganzen Minuten ist der erste mögliche Wert daher \(211\,\text{Minuten}\). 4. Beschreibung: Es handelt sich um eine monotone, stückweise konstante Funktion (Treppenfunktion) mit Sprungstellen alle \(30\,\text{Minuten}\), die für \(x > 210\,\text{Minuten}\) konstant bei \(12{,}00\,\text{€}\) verläuft.

a) \(8{,}50\,\text{€}\). b) Für jede Nutzungsdauer \(x > 210\,\text{Minuten}\); bei Erfassung in ganzen Minuten ab \(211\,\text{Minuten}\). c) Es handelt sich um eine Treppenfunktion (stückweise konstante Funktion).

- Wie berechnet man die Änderung eines Wertes über eine bestimmte Zeitspanne? - Was bedeutet eine „durchschnittliche Rate“ im Zusammenhang mit der Steigung zwischen zwei Punkten? - Überlege dir, wie viel die Pflanze pro Tag im jeweiligen Abschnitt dazugewinnt. - Für die Prognose: Nutze den Wert an Tag 20 als Startwert und rechne den Zuwachs für 10 weitere Tage hinzu.

1. Berechnung der durchschnittlichen Wachstumsraten \(\frac{\Delta h}{\Delta t}\) für die Intervalle: - Intervall \([0; 5]\): \(\frac{22 - 12}{5 - 0} = \frac{10}{5} = 2\,\text{cm/Tag}\) - Intervall \([5; 15]\): \(\frac{62 - 22}{15 - 5} = \frac{40}{10} = 4\,\text{cm/Tag}\) - Intervall \([15; 20]\): \(\frac{92 - 62}{20 - 15} = \frac{30}{5} = 6\,\text{cm/Tag}\) - Intervall \([20; 30]\): \(\frac{112 - 92}{30 - 20} = \frac{20}{10} = 2\,\text{cm/Tag}\) 2. Vergleich der Raten: Die höchste Rate liegt im Intervall \([15; 20]\) mit \(6\,\text{cm/Tag}\) vor. 3. Prognose für Tag 30 bei konstanter Rate von \(6\,\text{cm/Tag}\) ab Tag 20: \(h(30) = h(20) + 10 \cdot 6 = 92 + 60 = 152\,\text{cm}\). 4. Vergleich: Der theoretische Wert (\(152\,\text{cm}\)) ist deutlich höher als der tatsächliche Tabellenwert (\(112\,\text{cm}\)), was bedeutet, dass sich das Wachstum verlangsamt hat.

a) Die Wachstumsraten betragen \(2\,\text{cm/Tag}\), \(4\,\text{cm/Tag}\), \(6\,\text{cm/Tag}\) und \(2\,\text{cm/Tag}\). b) Im Intervall \([15; 20]\) war das Wachstum mit \(6\,\text{cm/Tag}\) am schnellsten. c) Die theoretische Höhe wäre \(152\,\text{cm}\). Der tatsächliche Wert (\(112\,\text{cm}\)) liegt darunter, da die Wachstumsgeschwindigkeit abgenommen hat.

- Trenne zunächst strikt die tatsächlich in der Tabelle vorhandenen Argumente von möglichen Zwischenwerten. - Eine Funktion kann nur an Argumenten ausgewertet werden, die zu ihrer Definitionsmenge gehören. - Bei c) darfst du einen Zwischenwert erst deshalb berechnen, weil dort ausdrücklich ein neues Interpolationsmodell eingeführt wird.

1. Die Definitionsmenge besteht genau aus den fünf in der Tabelle aufgeführten Jahren: \(D_L=\{2017;2018;2019;2020;2021\}\). Die Wertemenge ist \(W_L=\{10\,700;15\,600;23\,900;39\,500;52\,200\}\). 2. \(2019{,}5\) gehört nicht zu \(D_L\). Deshalb ist \(L(2019{,}5)\) für die reine Tabellenfunktion nicht definiert. 3. Unter der ausdrücklich zusätzlichen linearen Interpolation liegt die Jahresmitte genau zwischen den beiden Funktionswerten von 2019 und 2020. Der Modellwert ist \((23\,900+39\,500):2=31\,700\). Dieser Wert gehört zum Interpolationsmodell, nicht zu den ursprünglich gegebenen Tabellendaten.

a) \(D_L=\{2017;2018;2019;2020;2021\}\), \(W_L=\{10\,700;15\,600;23\,900;39\,500;52\,200\}\) b) Nein. \(2019{,}5\notin D_L\). c) Unter linearer Interpolation: \(31\,700\) Ladepunkte. Dieser Wert entsteht erst durch die zusätzliche Modellannahme.

- Werte das vorgeschlagene Modell an jedem Tabellenargument aus, statt es schon nach dem ersten Widerspruch abzubrechen. - Für b) zählt nur exakte Gleichheit von Modellwert und Messwert. - Die durchschnittliche Änderungsrate in c) bezieht sich auf die Messwerte, nicht auf das vorgeschlagene Modell.

1. Das Modell liefert \(h_M(0)=50{,}0\), \(h_M(5)=48{,}0\), \(h_M(10)=46{,}0\), \(h_M(15)=44{,}0\) und \(h_M(20)=42{,}0\). Verglichen mit den Messwerten \(50{,}0\), \(48{,}5\), \(46{,}5\), \(44{,}0\), \(41{,}0\) stimmen nicht alle Werte überein. Das Modell beschreibt die Tabelle daher nicht exakt. 2. Exakte Übereinstimmung gibt es bei \(t=0\) und \(t=15\). 3. Von Tag \(15\) bis Tag \(20\) ändert sich der Messwert um \(41{,}0-44{,}0=-3{,}0\,\text{m}\) in \(5\) Tagen. Die durchschnittliche Änderungsrate ist \(-3{,}0:5=-0{,}6\,\text{m/Tag}\).

a) Modellwerte: \(50{,}0\), \(48{,}0\), \(46{,}0\), \(44{,}0\), \(42{,}0\,\text{m}\). Das Modell beschreibt die Messwerte nicht exakt. b) Bei \(t=0\) und \(t=15\). c) \(-0{,}6\,\text{m/Tag}\).

- Bestimme zuerst für jedes Fahrzeug die Fahrzeit in Abhängigkeit von derselben Strecke. - Der Zeitvorsprung ist die Differenz der beiden Fahrzeiten. - Prüfe nach dem Vereinfachen, ob der Term die Form „konstanter Faktor mal \(s\)“ besitzt. - Bringe für Teil c die Zeitangabe auf Stunden.

1. Die Fahrzeiten sind \(t_L(s)=\frac{s}{60}\) und \(t_M(s)=\frac{s}{80}\). Daher gilt \(\Delta t(s)=\frac{s}{60}-\frac{s}{80}=\frac{s}{240}\). 2. Der Term hat die Form \(\Delta t(s)=k s\) mit dem konstanten Faktor \(k=\frac{1}{240}\). Damit ist \(\Delta t\) direkt proportional zu \(s\). Bei doppelter Strecke verdoppelt sich der Zeitvorsprung. 3. \(15\,\text{min}=0{,}25\,\text{h}\). Aus \(\frac{s}{240}=0{,}25\) folgt \(s=60\,\text{km}\).

a) \(\Delta t(s)=\frac{s}{240}\,\text{h}\) b) Direkte Proportionalität; bei doppelter Strecke verdoppelt sich \(\Delta t\). c) \(60\,\text{km}\)

- Stelle dir die Werte in einem Koordinatensystem vor. Was passiert zwischen zwei Zeitpunkten? - Wenn ein Wert genau in der Mitte zwischen zwei Messungen gesucht wird, wie kannst du ihn berechnen? - Überlege dir, wie viel der Wasserstand pro Stunde sinkt oder steigt, um den genauen Zeitpunkt für eine bestimmte Tiefe zu finden.

1. Um 04:30 Uhr liegt die Zeit genau in der Mitte zwischen 03:00 Uhr (\(6{,}0\,\text{m}\)) und 06:00 Uhr (\(4{,}5\,\text{m}\)). Der Wasserstand beträgt \(6{,}0\,\text{m} - 0{,}75\,\text{m} = 5{,}25\,\text{m}\). Um 10:30 Uhr liegt die Zeit in der Mitte zwischen 09:00 Uhr (\(3{,}0\,\text{m}\)) und 12:00 Uhr (\(4{,}5\,\text{m}\)). Der Wasserstand beträgt \(3{,}0\,\text{m} + 0{,}75\,\text{m} = 3{,}75\,\text{m}\). 2. Der Wasserstand steigt von 00:00 bis 03:00 Uhr, von 09:00 bis 15:00 Uhr und von 21:00 bis 24:00 Uhr. Er sinkt von 03:00 bis 09:00 Uhr und von 15:00 bis 21:00 Uhr. 3. Zwischen 06:00 und 09:00 Uhr gilt bei linearer Änderung \(h(t) = 4{,}5 - 0{,}5 \cdot (t-6)\). Aus \(h(t)=4\) folgt \(t=7\). Zwischen 09:00 und 12:00 Uhr gilt \(h(t) = 3 + 0{,}5 \cdot (t-9)\); daraus folgt \(t=11\). Zwölf Stunden später ergeben sich die Grenzzeiten 19:00 Uhr und 23:00 Uhr. Da das Boot bei genau \(4\,\text{m}\) noch fahren kann, ist die Ein- oder Ausfahrt nur für \(7 < t < 11\) und \(19 < t < 23\) nicht möglich.

1. Um 04:30 Uhr: \(5{,}25\,\text{m}\); um 10:30 Uhr: \(3{,}75\,\text{m}\). 2. Steigend: 00:00–03:00 Uhr, 09:00–15:00 Uhr und 21:00–24:00 Uhr. Sinkend: 03:00–09:00 Uhr und 15:00–21:00 Uhr. 3. Das Boot kann nach 07:00 Uhr bis vor 11:00 Uhr sowie nach 19:00 Uhr bis vor 23:00 Uhr nicht fahren.

- Vergleiche Änderungsraten nur in Zeiträumen, in denen der Ladestand tatsächlich sinkt. - Trenne bei 3. eine Aussage über zwei Messpunkte von einer Aussage über alles, was dazwischen passiert ist. - Für die Prognose in 4. gilt die frühere Änderungsrate nur deshalb weiter, weil der Text diese Fortsetzung ausdrücklich annimmt.

1. Von \(08{:}00\) bis \(10{:}00\) Uhr sinkt der Ladestand von \(100\,\%\) auf \(60\,\%\), also um \(40\) Prozentpunkte in \(2\) Stunden. Das sind durchschnittlich \(20\) Prozentpunkte pro Stunde. 2. Von \(10{:}30\) bis \(12{:}30\) Uhr sinkt der Ladestand von \(90\,\%\) auf \(20\,\%\), also um \(70\) Prozentpunkte in \(2\) Stunden. Das sind \(35\) Prozentpunkte pro Stunde und damit mehr als die \(20\) Prozentpunkte pro Stunde von \(08{:}00\) bis \(10{:}00\) Uhr. Von \(10{:}00\) bis \(10{:}30\) Uhr steigt der Ladestand und gehört deshalb nicht zu den Zeiträumen mit sinkendem Ladestand. 3. Sicher ist nur, dass beide aufgezeichneten Messwerte \(20\,\%\) betragen. Aus zwei gleichen Messwerten allein folgt weder, dass der Ladestand während der gesamten Stunde konstant war, noch dass das Auto abgestellt war; dafür fehlen weitere Informationen. 4. Bei der angenommenen Rate von \(35\) Prozentpunkten pro Stunde reichen \(20\) Prozentpunkte noch \(20:35\approx0{,}5714\,\text{h}\). Das sind etwa \(34{,}3\,\text{min}\). Auf die nächste Minute gerundet ergibt sich ungefähr \(14{:}04\) Uhr.

1. \(20\) Prozentpunkte pro Stunde. 2. Von \(10{:}30\) bis \(12{:}30\) Uhr mit \(35\) Prozentpunkten pro Stunde. 3. Sicher ist nur: Beide Messwerte betragen \(20\,\%\). Dass das Auto abgestellt war oder der Ladestand dazwischen ständig gleich blieb, folgt daraus nicht. 4. Rechnerisch ungefähr um \(14{:}04\) Uhr.

- Teile die Tour an jedem Wechsel von Geschwindigkeit oder Pause in Abschnitte. - Für die Tabelle sind die verlangten Zeitpunkte fest vorgegeben; bestimme dort jeweils die bis dahin angesammelte Gesamtstrecke. - Bei der Rückwärtsfrage in 3) musst du zuerst feststellen, in welchem Fahrabschnitt die gesuchte Strecke erreicht wird. - Für die Gesamtdurchschnittsgeschwindigkeit zählt auch die Pausenzeit zur gesamten verstrichenen Zeit.

1. An den geforderten Zeitpunkten ergeben sich: \(09{:}00\) Uhr \(\mapsto0\,\text{km}\); \(10{:}00\) Uhr \(\mapsto18\,\text{km}\); \(11{:}30\) Uhr \(\mapsto36\,\text{km}\); \(12{:}00\) Uhr \(\mapsto36\,\text{km}\); \(12{:}30\) Uhr \(\mapsto49\,\text{km}\). 2. Um \(11{:}00\) Uhr liegt die Radfahrerin im zweiten Fahrabschnitt. Seit \(10{:}00\) Uhr ist eine Stunde vergangen, also beträgt die Gesamtstrecke \(18\,\text{km}+12\,\text{km}=30\,\text{km}\). 3. Nach \(10{:}00\) Uhr fehlen von \(18\,\text{km}\) bis \(24\,\text{km}\) noch \(6\,\text{km}\). Bei \(12\,\text{km/h}\) dauert das \(6:12=0{,}5\,\text{h}\). Daher werden \(24\,\text{km}\) um \(10{:}30\) Uhr erreicht. 4. Die Gesamtstrecke beträgt \(49\,\text{km}\), die gesamte Zeit von \(09{:}00\) bis \(12{:}30\) Uhr \(3{,}5\,\text{h}\). Damit ist die Durchschnittsgeschwindigkeit \(49:3{,}5=14\,\text{km/h}\).

1) \(09{:}00\mapsto0\,\text{km}\), \(10{:}00\mapsto18\,\text{km}\), \(11{:}30\mapsto36\,\text{km}\), \(12{:}00\mapsto36\,\text{km}\), \(12{:}30\mapsto49\,\text{km}\) 2) \(30\,\text{km}\) 3) \(10{:}30\) Uhr 4) \(14\,\text{km/h}\)

- Unterscheide zwischen den tatsächlich gemessenen Kreuzen und den gezeichneten Verbindungen zwischen ihnen. - Frage dich, welche zusätzliche Annahme nötig ist, um einen Verlauf zwischen zwei Messzeitpunkten zu modellieren. - Beachte bei b) ausdrücklich die verlangte grobe Ablesegenauigkeit. - Suche bei c) nur das 5-Minuten-Intervall, in dem der Graph die Höhe \(40\,^\circ\text{C}\) erreicht.

1. Die Messwerte geben die Temperatur nur zu einzelnen Zeitpunkten an. Zwischen diesen Zeitpunkten ist der tatsächliche Verlauf nicht gemessen. Bei einem ungestörten Abkühlvorgang ist ein stetiger, sich allmählich ändernder Verlauf plausibel; deshalb kann die glatte Kurve ein sinnvolles Modell sein. Die Messwerte legen den Zwischenverlauf aber nicht eindeutig fest. 2. Bei \(t=12\,\text{min}\) liegt Graph B knapp unter \(50\,^\circ\text{C}\). Auf die verlangte Genauigkeit geschätzt sind das etwa \(50\,^\circ\text{C}\). 3. Die Höhe \(40\,^\circ\text{C}\) wird zwischen \(15\,\text{min}\) und \(20\,\text{min}\) erreicht.

a) Graph B ist als glattes Zwischenmodell plausibel, aber die Messpunkte bestimmen den tatsächlichen Zwischenverlauf nicht eindeutig. b) Etwa \(50\,^\circ\text{C}\) c) Zwischen \(15\,\text{min}\) und \(20\,\text{min}\)

- Vergleiche die verbalen Beschreibungen mit der Art, wie die zurückgelegte Strecke im Graphen zunimmt. - Eine Pause erkennst du daran, dass die Strecke trotz weiterlaufender Zeit gleich bleibt. - Für die Ankunftszeit suchst du den ersten Graphen, der die Zielmarke \(20\,\text{km}\) erreicht. - Lies Laras Wert bei \(40\,\text{min}\) direkt am zugeordneten Graphen ab.

a) Lara gehört zu Graph A, weil ihre Strecke in gleich langen Zeitabschnitten jeweils um gleich viel zunimmt. Max gehört zu Graph B: Zunächst nimmt seine Strecke gleichmäßig zu, zwischen Minute 20 und 50 bleibt sie konstant, danach nimmt sie wieder mit derselben Änderung pro Minute wie vor der Pause zu. Sophie gehört zu Graph C, weil die Strecke anfangs langsam und später immer schneller zunimmt. b) 1. Graph B erreicht \(20\,\text{km}\) nach \(70\,\text{min}\), Graph A nach \(80\,\text{min}\) und Graph C nach \(90\,\text{min}\). Max kommt als Erster an und benötigt \(70\,\text{min}\). 2. Max steht von Minute 20 bis Minute 50 still. Die Pause dauert \(30\,\text{min}\). 3. Auf Graph A liest man bei \(40\,\text{min}\) die Strecke \(10\,\text{km}\) ab.

a) Lara \(\rightarrow\) A; Max \(\rightarrow\) B; Sophie \(\rightarrow\) C. b) 1. Max, \(70\,\text{min}\). 2. \(30\,\text{min}\). 3. \(10\,\text{km}\).

- Lies Anfangs- und Höchstwert direkt am Graphen ab. - Ein waagerechter Abschnitt bedeutet eine konstante Temperatur. - Vergleiche für eine durchschnittliche Änderung Temperaturänderung und Zeitspanne. - Nutze für die gesuchten Zeitpunkte die geraden Graphabschnitte.

1. Zu Beginn beträgt die Temperatur \(20\,^\circ\text{C}\), maximal werden \(80\,^\circ\text{C}\) erreicht. 2. Von \(t=3\,\text{min}\) bis \(t=6\,\text{min}\) bleibt sie bei \(80\,^\circ\text{C}\), also \(3\,\text{min}\). 3. In den ersten drei Minuten steigt sie um \(60\,^\circ\text{C}\), also durchschnittlich um \(20\,^\circ\text{C}/\text{min}\). 4. Beim Erwärmen gilt \(45:20=2{,}25\,\text{min}\). Beim Abkühlen von \(80\,^\circ\text{C}\) auf \(50\,^\circ\text{C}\) in zwei Minuten werden \(65\,^\circ\text{C}\) nach einer Minute erreicht. Die Zeitpunkte sind daher \(2{,}25\,\text{min}\) und \(7\,\text{min}\).

a) \(20\,^\circ\text{C}\); maximal \(80\,^\circ\text{C}\) b) \(3\,\text{min}\) c) \(20\,^\circ\text{C}/\text{min}\) d) \(t=2{,}25\,\text{min}\) und \(t=7\,\text{min}\)

- Überlege, ob die Wasserhöhe bei gleichem Zufluss in einem schmalen oder in einem breiten Gefäß schneller zunimmt. - Vergleiche bei jedem Graphen den Anstieg vor und nach dem Knickpunkt. - Am Knickpunkt erreicht das Wasser die Grenze zwischen den beiden Zylindern.

a) Bei gleichmäßigem Zufluss steigt das Wasser in einem schmaleren Zylinder schneller als in einem breiteren Zylinder. Graph 2 steigt zu Beginn schnell bis zum Knickpunkt und danach langsamer. Deshalb gehört er zu Gefäß A: unten schmal, oben breit. Graph 1 steigt zuerst langsamer und nach dem Knickpunkt schneller. Deshalb gehört er zu Gefäß B: unten breit, oben schmal. b) Die Änderung des Durchmessers entspricht dem Knickpunkt im jeweiligen Graphen. Bei Gefäß A liegt dieser bei \(4\,\text{cm}\), bei Gefäß B bei \(2\,\text{cm}\).

a) Graph 2 \(\rightarrow\) Gefäß A; Graph 1 \(\rightarrow\) Gefäß B. b) Gefäß A: \(4\,\text{cm}\); Gefäß B: \(2\,\text{cm}\).

- Waagerechte Abschnitte stehen für konstante Höhe. - Suche für \(300\,\text{m}\) alle Stellen und Intervalle auf dieser Höhe. - Vergleiche Höhenänderung und Zeitspanne. - Für den zweiten 300-Meter-Zeitpunkt hilft der Anteil der benötigten Höhenänderung am gesamten Sinkabschnitt.

1. Konstant bleibt die Höhe von \(1\) bis \(1{,}5\,\text{h}\) bei \(300\,\text{m}\) und von \(3\) bis \(4\,\text{h}\) bei \(600\,\text{m}\). 2. Auf \(300\,\text{m}\) ist der Ballon zunächst im ganzen Intervall \([1;1{,}5]\). Beim späteren Sinken von \(600\,\text{m}\) auf \(200\,\text{m}\) in einer Stunde erreicht er \(300\,\text{m}\) nach \(0{,}75\,\text{h}\), also bei \(t=4{,}75\,\text{h}\). 3. In der ersten Stunde steigt er um \(300\,\text{m}\), also mit \(300\,\text{m/h}\). 4. Von \(4\) bis \(5\,\text{h}\) sinkt er um \(400\,\text{m}\) in einer Stunde. Die Sinkgeschwindigkeit beträgt \(400\,\text{m/h}\).

a) \(1\) bis \(1{,}5\,\text{h}\) bei \(300\,\text{m}\); \(3\) bis \(4\,\text{h}\) bei \(600\,\text{m}\) b) \([1;1{,}5]\,\text{h}\) sowie \(t=4{,}75\,\text{h}\) c) \(300\,\text{m/h}\) d) \(4\) bis \(5\,\text{h}\); \(400\,\text{m/h}\)

- Prüfe zuerst, welche Größen und Einheiten auf den Achsen dargestellt sind. - Achte bei b) und c) darauf, welche Genauigkeit die Skalierung des Diagramms tatsächlich zulässt. - Für den durchschnittlichen Zuwachs brauchst du die Änderung der Besucherzahl und die dazugehörige Zeitspanne.

1. Bei \(8{:}00\) Uhr und bei \(20{:}00\) Uhr liegt die Besucherzahl bei \(0\). Dazwischen verläuft der Graph oberhalb der Zeitachse. Die Besucherzahl ist daher nach \(8{:}00\) Uhr und vor \(20{:}00\) Uhr positiv. 2. Der höchste Punkt liegt ungefähr bei \(15{:}00\) Uhr und bei rund \(600\) Besuchern. 3. Die waagerechte Höhe von \(400\) Besuchern wird ungefähr um \(12{:}00\) Uhr und um \(18{:}00\) Uhr erreicht. 4. Aus dem Diagramm liest man für \(10{:}00\) Uhr etwa \(200\) Besucher und für \(12{:}00\) Uhr etwa \(400\) Besucher ab. Damit beträgt die durchschnittliche Zunahme der dargestellten Besucherzahl ungefähr \((400-200):(12-10)=100\) Besucher pro Stunde.

a) Nach \(8{:}00\) Uhr und vor \(20{:}00\) Uhr b) Ungefähr um \(15{:}00\) Uhr mit etwa \(600\) Besuchern c) Ungefähr um \(12{:}00\) Uhr und um \(18{:}00\) Uhr d) Ungefähr \(100\) Besucher pro Stunde

- Welche Startzeiten kannst du an der \(x\)-Achse ablesen? - Wie bestimmst du die Geschwindigkeit aus der Änderung von Weg und Zeit? - Welche Bedeutung hat der Schnittpunkt der beiden Graphen? - Wie kannst du die Startzeit in einem linearen Funktionsterm berücksichtigen?

1. Lena legt in einer Stunde \(12\,\text{km}\) zurück, Jonas \(18\,\text{km}\). Daher fährt Lena \(12\,\text{km/h}\) und Jonas \(18\,\text{km/h}\). 2. Der Schnittpunkt liegt bei \((11{,}5 \mid 18)\). Jonas holt Lena daher um \(11{:}30\,\text{Uhr}\) nach \(18\,\text{km}\) ein. 3. Für Lena gilt \(f(x)=12(x-10)=12x-120\), für Jonas \(g(x)=18(x-10{,}5)=18x-189\). Gleichsetzen liefert \(x=11{,}5\) und \(y=18\); das bestätigt das Ableseergebnis.

a) Lena: \(12\,\text{km/h}\); Jonas: \(18\,\text{km/h}\). Jonas ist schneller. b) Um \(11{:}30\,\text{Uhr}\) bei \(18\,\text{km}\). c) Lena: \(f(x)=12x-120\) für \(x\ge10\); Jonas: \(g(x)=18x-189\) für \(x\ge10{,}5\); Schnittpunkt \((11{,}5 \mid 18)\).

- Welche Werte liest du bei \(x=0\) an den beiden Kostengeraden ab? - Welche Kostengerade liegt nach dem Schnittpunkt tiefer? - An welcher Stelle trifft der Umsatzgraph jeweils eine Kostengerade? - Beachte bei Teil b), dass nur ganze Stückzahlen sinnvoll sind.

1. Bei \(x=0\) liest man für Verfahren A \(200\,\text{€}\) und für Verfahren B \(50\,\text{€}\) ab. Verfahren A hat daher die höheren Fixkosten. 2. Die beiden Kostengeraden schneiden sich bei \((150 \mid 275)\). Für \(x>150\) liegt die Kostengerade von Verfahren A unter der von Verfahren B. Bei ganzen Stückzahlen ist Verfahren A daher ab \(151\) Stück günstiger. 3. Der Umsatzgraph schneidet die Kostengerade von Verfahren B bei \(x=50\) und die von Verfahren A bei \(x=100\). Dies sind die jeweiligen Gewinnschwellen.

a) Verfahren A: \(200\,\text{€}\); Verfahren B: \(50\,\text{€}\). Verfahren A hat die höheren Fixkosten. b) Ab \(151\) Stück. c) Verfahren B: \(50\) Stück; Verfahren A: \(100\) Stück.

- Ordne jedem Wert von \(t\) zuerst die passende Uhrzeit zu. - Suche für b) die Schnittpunkte des Graphen mit der waagerechten Achse. - Vergleiche für d) jeweils Temperaturänderung und Zeitspanne, nicht nur die gesamte Temperaturänderung.

1. Aus dem Graphen liest man \(T(2)=2\,\text{°C}\) und \(T(8)=-1\,\text{°C}\) ab. Da die Messung um 6:00 Uhr beginnt, entspricht \(t=2\) der Uhrzeit 8:00 Uhr und \(t=8\) der Uhrzeit 14:00 Uhr. 2. Der Graph schneidet die \(t\)-Achse bei \(t=1\) und \(t=7{,}5\). Diese Stellen heißen Nullstellen. 3. Der Höchstwert beträgt \(5\,\text{°C}\), am Ende beträgt die Temperatur \(-3\,\text{°C}\). Der Rückgang ist \(5\,\text{°C}-(-3\,\text{°C})=8\,\text{°C}\). 4. Von \(t=0\) bis \(t=2\) beträgt die durchschnittliche Änderung \((2\,\text{°C}-(-2\,\text{°C})):2\,\text{h}=2\,\text{°C/h}\). Von \(t=2\) bis \(t=5\) beträgt sie \((5\,\text{°C}-2\,\text{°C}):3\,\text{h}=1\,\text{°C/h}\). Daher stieg die Temperatur im ersten Zeitraum schneller.

a) Bei \(t=2\), also um 8:00 Uhr, \(2\,\text{°C}\); bei \(t=8\), also um 14:00 Uhr, \(-1\,\text{°C}\) b) Bei \(t=1\) und \(t=7{,}5\); Nullstellen c) Um \(8\,\text{°C}\) d) Von \(t=0\) bis \(t=2\): \(2\,\text{°C/h}\); von \(t=2\) bis \(t=5\): \(1\,\text{°C/h}\)

- Suche für a) den höchsten Punkt der Kurve. - Lies für b) zu den beiden Zeitpunkten die zugehörigen Höhen ab und achte auf die halben Meter im Raster. - Prüfe bei c), ob derselbe Höhenwert zu mehr als einem Zeitpunkt vorkommt.

1. Der Scheitelpunkt liegt bei \((3\mid4{,}5)\). Die maximale Höhe beträgt daher \(4{,}5\,\text{m}\) und wird nach \(3\,\text{s}\) erreicht. 2. Nach \(1\,\text{s}\) und nach \(5\,\text{s}\) beträgt die Höhe jeweils \(2{,}5\,\text{m}\). 3. Die Zuordnung Höhe zu Zeit ist nicht eindeutig, weil fast jede Höhe zu zwei verschiedenen Zeitpunkten erreicht wird: einmal beim Steigen und einmal beim Fallen. Daher ist diese Umkehrzuordnung keine Funktion.

a) \(4{,}5\,\text{m}\) nach \(3\,\text{s}\) b) Nach \(1\,\text{s}\) und nach \(5\,\text{s}\) jeweils \(2{,}5\,\text{m}\) c) Nein; fast jede Höhe gehört zu zwei Zeitpunkten. Daher ist die Zuordnung \(\text{Höhe}\rightarrow\text{Zeit}\) keine Funktion.

- Welche beiden Koordinatenpaare liefern die markierten Messpunkte? - Die Zuflussrate beschreibt, wie stark sich das Volumen pro Minute verändert. - Nutze nach der Bestimmung der Rate einen der Messpunkte, um den noch unbekannten Anfangswert zu finden. - Welche Form hat eine lineare Volumenfunktion, wenn Rate und Anfangswert bekannt sind?

1. Aus der Grafik liest man \(P_1(2 \mid 400)\) und \(P_2(8 \mid 1000)\) ab. Die Zuflussrate ist \(\frac{1000-400}{8-2} = 100\,\frac{\text{l}}{\text{min}}\). 2. Mit \(P_1\) gilt \(400 = 100 \cdot 2 + V(0)\). Daraus folgt \(V(0)=200\,\text{l}\). 3. Das Modell lautet \(V(t)=100t+200\). 4. Nach \(15\) Minuten gilt \(V(15)=100 \cdot 15+200=1700\,\text{l}\).

a) \(100\,\text{l/min}\) b) \(V(0)=200\,\text{l}\) c) \(V(t)=100t+200\) d) \(1700\,\text{l}\)

- Welche Grundgebühr liest du jeweils am Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ab? - Wie bestimmst du aus einem zweiten Punkt die Kostensteigerung pro Minute? - Welche Bedeutung hat ein gemeinsamer Punkt zweier Kostenfunktionen?

1. Tarif A schneidet die \(y\)-Achse bei \(t_A=5\). Mit dem Punkt \((100 \mid 15)\) ergibt sich \(m_A=\frac{15-5}{100}=0{,}1\). Daher ist \(y_A=0{,}1x+5\). 2. Tarif B schneidet die \(y\)-Achse bei \(t_B=10\). Mit demselben Punkt ergibt sich \(m_B=\frac{15-10}{100}=0{,}05\). Daher ist \(y_B=0{,}05x+10\). 3. Der Schnittpunkt \((100 \mid 15)\) bedeutet, dass beide Tarife bei \(100\,\text{min}\) Gesprächsdauer genau \(15\,\text{€}\) kosten.

Tarif A: \(y_A=0{,}1x+5\); Tarif B: \(y_B=0{,}05x+10\). Bei \(100\,\text{min}\) kosten beide Tarife \(15\,\text{€}\).

- Überlege, wie viel Wasser für einen zusätzlichen Zentimeter Höhe in einem schmalen beziehungsweise breiten Bereich benötigt wird. - Welcher Graph zeigt in gleich langen Zeitabschnitten immer denselben Höhenzuwachs? - Welcher Graph wird im Verlauf immer flacher?

a) Bei einem Zylinder ist die Querschnittsfläche überall gleich groß. Bei konstantem Zufluss nimmt die Füllhöhe deshalb in gleich langen Zeitabschnitten jeweils um gleich viel zu. Das zeigt Graph \(f\). Also gehört \(f\) zu Gefäß A. b) Gefäß B wird nach oben hin breiter. Für jeden weiteren Zentimeter Höhe wird deshalb immer mehr Wasser benötigt. Bei konstantem Zufluss steigt die Füllhöhe immer langsamer. Das zeigt der zunehmend flacher werdende Graph \(g\). Also gehört \(g\) zu Gefäß B.

a) \(f\) gehört zu Gefäß A; \(g\) gehört zu Gefäß B. b) Beim Zylinder nimmt die Füllhöhe gleichmäßig zu. Beim nach oben breiter werdenden Gefäß nimmt sie immer langsamer zu.

- Suche den Punkt, an dem die Füllhöhe \(8\,\text{cm}\) erreicht und sich der Graphverlauf ändert. - Vergleiche in jedem Abschnitt Höhenzunahme und vergangene Zeit. - Überlege, ob Wasser bei gleichem Zufluss in einem schmaleren oder breiteren Zylinder schneller steigt.

a) Bei \(h=8\,\text{cm}\) liegt im Graphen der Knickpunkt bei \(t=4\,\text{s}\). Der untere Abschnitt ist nach \(4\,\text{s}\) gefüllt. b) Im ersten Abschnitt steigt das Wasser um \(8\,\text{cm}\) in \(4\,\text{s}\), also um \(2\,\text{cm}\) pro Sekunde. Im zweiten Abschnitt steigt es von \(8\,\text{cm}\) auf \(18\,\text{cm}\), also um \(10\,\text{cm}\) in \(2\,\text{s}\) beziehungsweise \(5\,\text{cm}\) pro Sekunde. Im oberen Abschnitt steigt das Wasser schneller. Bei gleichem Zufluss muss dieser Abschnitt daher einen kleineren Querschnitt und damit einen kleineren Durchmesser haben. c) Die durchschnittliche Zunahme beträgt unten \(2\,\text{cm/s}\) und oben \(5\,\text{cm/s}\). Die Werte geben an, wie schnell die Wasserhöhe im jeweiligen zylindrischen Abschnitt zunimmt.

a) Nach \(4\,\text{s}\). b) Im oberen Abschnitt; dieser hat den kleineren Durchmesser. c) Unten \(2\,\text{cm/s}\), oben \(5\,\text{cm/s}\). Das ist die Zunahme der Füllhöhe pro Sekunde.

- Unterscheide die tatsächlich eingetragenen Monatswerte von den geraden Verbindungsstrecken des Modells. - Gewinn liegt dort vor, wo Graph E oberhalb von Graph A liegt. - Für c) suchst du den Schnittpunkt der beiden modellierten Verbindungsstrecken.

1. Gewinn entsteht dort, wo Graph E oberhalb von Graph A liegt. Die modellierten Geraden schneiden sich ungefähr bei \(t=6{,}5\). Ab dem 7. Monat liegt Graph E oberhalb von Graph A. In den vollen Monaten Juli bis Dezember sind die Einnahmen daher größer als die Ausgaben. 2. Bei den eingetragenen Monaten ist der Abstand mit den Ausgaben oberhalb der Einnahmen im 1. Monat am größten: etwa \(12\) gegenüber \(2\), jeweils in Tausend Euro. Der größte Verlust unter den eingetragenen Monaten liegt damit im Januar vor. 3. Die Verbindungsstrecken schneiden sich ungefähr bei \(t\approx6{,}5\), also zwischen Juni und Juli.

a) Juli bis Dezember b) Januar c) Zwischen Juni und Juli, ungefähr bei \(t\approx6{,}5\)

- Lies am Endpunkt ab, wie viele Kilometer Lara insgesamt entlang der Route zurückgelegt hat. - Ein waagerechter Abschnitt bedeutet bei einer insgesamt zurückgelegten Strecke, dass während dieser Zeit keine weitere Strecke hinzukommt. - Vergleiche für c) auf jedem Fahrtabschnitt zurückgelegte Strecke und benötigte Zeit.

1. Am Ende der Fahrt zeigt der Graph eine zurückgelegte Strecke von \(15\,\text{km}\). Die Route bis zum See ist daher \(15\,\text{km}\) lang. 2. Von Minute \(30\) bis Minute \(45\) kommt keine weitere Strecke hinzu. Lara steht daher ab Minute \(30\) für \(15\,\text{min}\) still. 3. Im ersten Fahrtstück legt Lara \(10\,\text{km}\) in \(30\,\text{min}=0{,}5\,\text{h}\) zurück. Das sind \(20\,\text{km/h}\). Im letzten Fahrtstück legt sie \(5\,\text{km}\) in \(15\,\text{min}=0{,}25\,\text{h}\) zurück. Das sind ebenfalls \(20\,\text{km/h}\). Auf beiden Fahrtstücken ist sie gleich schnell.

a) \(15\,\text{km}\) b) Nach \(30\,\text{min}\); Stillstand \(15\,\text{min}\) c) Auf beiden Fahrtstücken mit \(20\,\text{km/h}\)

- Lies für a) Anfang und höchsten Funktionswert aus dem Höhenprofil ab. - Ein fallender Abschnitt des Graphen entspricht einer Abfahrt. - Für c) ist „mindestens doppelt“ jetzt ein überprüfbares Kriterium: Vergleiche in beiden Abschnitten den Höhengewinn pro Kilometer.

1. Der Graph beginnt bei \(150\,\text{m}\). Die maximale Höhe beträgt \(600\,\text{m}\) am Ende der Tour. 2. Der Graph fällt von Kilometer \(10\) bis Kilometer \(20\); dort fahren die Radfahrer bergab. 3. Zwischen Kilometer \(4\) und \(10\) steigt die Höhe von \(200\,\text{m}\) auf \(500\,\text{m}\). Das sind \(300\,\text{m}\) auf \(6\,\text{km}\), also \(50\,\text{m/km}\). Zwischen Kilometer \(20\) und \(30\) steigt sie von \(350\,\text{m}\) auf \(600\,\text{m}\). Das sind \(250\,\text{m}\) auf \(10\,\text{km}\), also \(25\,\text{m/km}\). Da \(50=2\cdot25\), ist der erste durchschnittliche Höhengewinn genau doppelt so groß und damit mindestens doppelt so groß.

a) Start: \(150\,\text{m}\); Maximum: \(600\,\text{m}\). b) Von Kilometer \(10\) bis Kilometer \(20\). c) Ja. \(50\,\text{m/km}\) gegenüber \(25\,\text{m/km}\); der erste Wert ist genau doppelt so groß.

- Überlege dir, was ein waagerechter Strich in diesem Diagramm für den Hund bedeutet. Ändert sich seine Position relativ zum Besitzer? - Der Abstand ist nicht dasselbe wie die gelaufene Strecke. Die Strecke ist die Summe aller Teilwege. - Achte auf die Einheiten an den Achsen.

a) Ablesen nach \(20\,\text{s}\): Bei \(t = 20\,\text{s}\) beträgt der Abstand \(40\,\text{m}\). b) Zeiträume mit konstantem Abstand: Waagerechte Abschnitte im Zeit-Abstands-Diagramm bedeuten einen gleichbleibenden Abstand. Dies ist von \(20\,\text{s}\) bis \(50\,\text{s}\) (Abstand \(40\,\text{m}\)) und von \(70\,\text{s}\) bis \(90\,\text{s}\) (Abstand \(10\,\text{m}\)) der Fall. c) Bestimmung des Maximums: Der höchste Punkt des Graphen liegt im Intervall \([20; 50]\) bei einem Abstand von \(40\,\text{m}\). d) Berechnung der Gesamtstrecke: - \(0\) bis \(20\,\text{s}\): Entfernung nimmt um \(40\,\text{m}\) zu. Strecke: \(40\,\text{m}\). - \(20\) bis \(50\,\text{s}\): Keine Änderung. Strecke: \(0\,\text{m}\). - \(50\) bis \(70\,\text{s}\): Abstand sinkt von \(40\,\text{m}\) auf \(10\,\text{m}\). Strecke: \(30\,\text{m}\). - \(70\) bis \(90\,\text{s}\): Keine Änderung. Strecke: \(0\,\text{m}\). - \(90\) bis \(120\,\text{s}\): Abstand sinkt von \(10\,\text{m}\) auf \(0\,\text{m}\). Strecke: \(10\,\text{m}\). Gesamtstrecke: \(40\,\text{m} + 30\,\text{m} + 10\,\text{m} = 80\,\text{m}\).

a) Nach \(20\,\text{s}\) ist Bello \(40\,\text{m}\) entfernt. b) Bellos Abstand bleibt zwischen \(20\,\text{s}\) und \(50\,\text{s}\) sowie zwischen \(70\,\text{s}\) und \(90\,\text{s}\) konstant. c) Zwischen \(20\,\text{s}\) und \(50\,\text{s}\) ist er mit \(40\,\text{m}\) am weitesten entfernt. d) Die gesamte gelaufene Strecke beträgt \(80\,\text{m}\).

- Schau dir den höchsten Punkt der Kurve an und lies die Werte auf beiden Achsen ab. - Suche den Wert \(15\) auf der senkrechten Achse und schätze die Schnittzeiten mit der Kurve in der verlangten Genauigkeit. - Überprüfe den Verlauf des Graphen in den frühen Morgenstunden. - Für eine Funktion muss jedem zulässigen Eingabewert genau ein Ausgabewert zugeordnet sein. Prüfe diese Bedingung in der Richtung Datenrate \(\mapsto\) Uhrzeit.

1. Der höchste Punkt des Graphen liegt bei ca. \(20{:}00\) Uhr mit einem Wert von etwa \(42\,\text{Mbit/s}\). 2. Auf eine halbe Stunde genau liegt die Datenrate etwa von \(12{:}00\) bis \(14{:}30\) Uhr sowie von \(16{:}30\) bis \(23{:}00\) Uhr über \(15\,\text{Mbit/s}\). 3. Die Aussage ist falsch. In der Nacht und am frühen Morgen liegt die Datenrate zeitweise deutlich unter \(5\,\text{Mbit/s}\). 4. Die umgekehrte Zuordnung ist keine Funktion. Derselben Datenrate sind im Tagesverlauf mehrere Uhrzeiten zugeordnet; zu einem Eingabewert gäbe es also mehrere Ausgabewerte.

a) Maximum um ca. \(20{:}00\) Uhr bei ca. \(42\,\text{Mbit/s}\) b) Etwa von \(12{:}00\) bis \(14{:}30\) Uhr sowie von \(16{:}30\) bis \(23{:}00\) Uhr c) Die Aussage ist falsch, da der Wert nachts unter \(5\,\text{Mbit/s}\) liegt. d) Keine Funktion, da derselben Datenrate mehrere Uhrzeiten zugeordnet sein können.

- Schau dir die Achsen genau an: Was wird auf der waagerechten und was auf der senkrechten Achse dargestellt? - Hoch- und Tiefpunkte findest du dort, wo der Graph seine Richtung ändert. - Orientiere dich für Aufgabenteil b) an der horizontalen Gitterlinie bei \(2\,\text{m}\) und prüfe, in welchen Abschnitten der Graph darüber oder darauf liegt. - Die Steilheit des Graphen gibt an, wie schnell sich der Wasserstand ändert. - Um die Änderung in einem Zeitraum zu bestimmen, vergleiche die Werte am Anfang und am Ende dieses Zeitraums.

1. Der höchste Wasserstand beträgt \(5\,\text{m}\) und wird um \(3{:}00\) Uhr erreicht. Der niedrigste Wasserstand beträgt \(1\,\text{m}\) um \(9{:}00\) Uhr. 2. Die Höhe \(2\,\text{m}\) wird bei \(t=7\) und \(t=11\) erreicht. Daher ist das sichere Manövrieren von \(0{:}00\) bis \(7{:}00\) Uhr sowie von \(11{:}00\) bis \(12{:}00\) Uhr möglich. 3. Die gleich großen stärksten Anstiege innerhalb von Zwei-Stunden-Zeiträumen liegen von \(0{:}00\) bis \(2{:}00\) Uhr und von \(10{:}00\) bis \(12{:}00\) Uhr. 4. Auf \(0{,}5\,\text{m}\) genau liest man bei \(t=4\) etwa \(4{,}5\,\text{m}\) und bei \(t=6\) etwa \(3{,}0\,\text{m}\) ab. Der Wasserstand sinkt damit um etwa \(1{,}5\,\text{m}\).

a) Höchster Wasserstand: \(5\,\text{m}\) um \(3{:}00\,\text{Uhr}\); niedrigster Wasserstand: \(1\,\text{m}\) um \(9{:}00\,\text{Uhr}\). b) Von \(0{:}00\) bis \(7{:}00\,\text{Uhr}\) und von \(11{:}00\) bis \(12{:}00\,\text{Uhr}\). c) Von \(0{:}00\) bis \(2{:}00\,\text{Uhr}\) und von \(10{:}00\) bis \(12{:}00\,\text{Uhr}\). d) Der Wasserstand sinkt um etwa \(1{,}5\,\text{m}\).

- Suche dir einen Punkt auf dem Graphen, der genau auf einer Gitterkreuzung liegt, um Werte sicher abzulesen. - Die Steigung der Geraden entspricht hier der Geschwindigkeit. - Wenn du die Funktionsgleichung hast, kannst du jeden beliebigen Wert durch Einsetzen berechnen. - Achte beim Ergebnis in Teil c) darauf, den Dezimalwert der Stunden korrekt in Zeit umzurechnen.

a) Bestimmung der Geschwindigkeit: Aus dem Graphen lässt sich ein Wertepaar ablesen, z. B. nach \(5\) Stunden wurden \(30\,\text{km}\) zurückgelegt. Die Geschwindigkeit \(v\) ist \(\frac{30\,\text{km}}{5\,\text{h}} = 6\,\text{km/h}\). Funktionsgleichung: Die Gleichung lautet \(s(t) = 6t\). b) Strecke nach \(4{,}5\,\text{h}\): \(s = 6\,\text{km/h} \cdot 4{,}5\,\text{h} = 27\,\text{km}\). c) Zeit für \(15\,\text{km}\): \(t = \frac{15\,\text{km}}{6\,\text{km/h}} = 2{,}5\,\text{h}\). Dies entspricht \(2\) Stunden und \(30\) Minuten.

a) Die Wandergeschwindigkeit beträgt \(6\,\text{km/h}\). Die Funktionsgleichung lautet \(s(t) = 6t\). b) Nach \(4{,}5\) Stunden hat er \(27\,\text{km}\) zurückgelegt. c) Er benötigt \(2{,}5\) Stunden (also \(2\) Stunden und \(30\) Minuten) für \(15\,\text{km}\).

- Welche Bedeutung haben die Funktionswerte bei \(t=0\) für Anton und Bea? - Welche zwei gut ablesbaren Punkte kannst du bei jeder Geraden zur Bestimmung der Steigung verwenden? - Warum hat eine der beiden Geraden eine negative Steigung? - Bis zu welchem Zeitpunkt kann \(s_B(t)\) als nichtnegative Entfernung vom Punkt \(0\,\text{km}\) interpretiert werden?

1. Für Anton ist der Anfangswert \(0\). Nach \(2\,\text{h}\) befindet er sich bei \(10\,\text{km}\). Daher ist die Steigung \(m=\frac{10-0}{2-0}=5\), also \(s_A(t)=5t\). 2. Für Bea ist der Anfangswert \(18\). Nach \(2\,\text{h}\) befindet sie sich bei \(10\,\text{km}\). Daher ist die Steigung \(m=\frac{10-18}{2-0}=-4\), also \(s_B(t)=-4t+18\). 3. Für Bea beschreibt dieses Entfernungsmodell nur Zeiten bis \(s_B(t)=0\). Aus \(-4t+18=0\) folgt \(t=4{,}5\,\text{h}\). Deshalb endet die gemeinsame dargestellte Zeitspanne bei \(4{,}5\,\text{h}\).

Für Anton gilt \(s_A(t)=5t\). Für Bea gilt im dargestellten Bereich \(s_B(t)=-4t+18\) für \(0\le t\le 4{,}5\).

- Welche Anfangsvolumina kannst du bei \(t=0\) direkt aus dem Graphen ablesen? - Welche zwei gut ablesbaren Punkte eignen sich für die Steigungsberechnung bei jedem Tank? - Was bedeutet das Vorzeichen der Steigung jeweils im Sachzusammenhang?

1. Für Tank 1 liest man bei \(t=0\) den Anfangswert \(10\,\text{l}\) ab. Außerdem liegt zum Beispiel der Punkt \((5 \mid 30)\) auf \(v_1\). Daher ist \(m=\frac{30-10}{5-0}=4\). 2. Somit gilt für Tank 1 \(V_1(t)=4t+10\). 3. Für Tank 2 liest man bei \(t=0\) den Anfangswert \(50\,\text{l}\) ab. Bei \(t=10\,\text{min}\) ist das Volumen \(0\,\text{l}\). Daher ist \(m=\frac{0-50}{10-0}=-5\). 4. Somit gilt für Tank 2 \(V_2(t)=-5t+50\).

Tank 1: \(V_1(t)=4t+10\) Tank 2: \(V_2(t)=-5t+50\)

- Welcher Graph hat bei \(x=0\) bereits Kosten und welcher startet im Ursprung? - Welche Gleichung beschreibt gleiche Gesamtkosten? - Auf welcher Seite des Schnittpunkts liegt der Graph von Anbieter A niedriger? - Vergleiche für \(20\) Shirts die beiden Kostenwerte.

1. Graph \(p\) hat den \(y\)-Achsenabschnitt \(60\) und gehört daher zu Anbieter A. Graph \(q\) verläuft durch den Ursprung und gehört zu Anbieter B. 2. Die Kostenfunktionen sind \(K_A(x)=4x+60\) und \(K_B(x)=10x\). Gleichsetzen ergibt \(4x+60=10x\), also \(x=10\) und \(y=100\). Der Schnittpunkt \((10 \mid 100)\) bedeutet gleiche Kosten von \(100\,\text{€}\) bei \(10\) Shirts. 3. Für \(x>10\) ist Anbieter A günstiger; bei ganzen Stückzahlen also ab \(11\) Shirts. 4. Bei \(20\) Shirts kostet A \(140\,\text{€}\), B \(200\,\text{€}\). Die Ersparnis beträgt \(60\,\text{€}\).

a) \(p\to\) Anbieter A, \(q\to\) Anbieter B b) \((10 \mid 100)\); bei \(10\) Shirts kosten beide \(100\,\text{€}\). c) Ab \(11\) Shirts. d) \(60\,\text{€}\)

- Welchen Startwert liest du für jeden Behälter bei \(x=0\) ab? - Welche Volumenänderung pro Minute beschreibt die Steigung? - Welche Gleichung gilt, wenn beide Behälter denselben Inhalt haben?

1. Für Behälter 1 liest man \(t_1=100\) ab. Nach \(5\,\text{min}\) sind \(200\,\text{l}\) enthalten, also ist \(m_1=\frac{200-100}{5}=20\). Damit gilt \(y_1=20x+100\). 2. Behälter 2 startet bei \(t_2=0\). Nach \(5\,\text{min}\) sind \(200\,\text{l}\) enthalten, also ist \(m_2=40\). Damit gilt \(y_2=40x\). 3. Gleichsetzen ergibt \(40x=20x+100\). Daraus folgt \(x=5\). Der gemeinsame Inhalt ist \(40\cdot 5=200\,\text{l}\).

a) Behälter 1: \(y_1=20x+100\); Behälter 2: \(y_2=40x\) b) Nach \(5\,\text{min}\) mit jeweils \(200\,\text{l}\).

- Nutze bei b) ausdrücklich die im Text gegebenen Zu- und Abflussannahmen; erst dadurch darf die Volumenzunahme dem Regen zugerechnet werden. - Vergleiche die Zunahmen pro Stunde, weil die beiden Regenintervalle unterschiedlich lang sind. - In c) darf die Volumenabnahme wegen der angegebenen Modellannahme vollständig als Entnahme interpretiert werden.

1. Zu Beginn bei \(t=0\) beträgt das Volumen \(200\,\text{l}\). 2. Von Stunde \(0\) bis Stunde \(2\) steigt das Volumen von \(200\,\text{l}\) auf \(400\,\text{l}\), also um \(200\,\text{l}\) in \(2\,\text{h}\). Das sind \(100\,\text{l/h}\). Von Stunde \(2\) bis Stunde \(3\) steigt es von \(400\,\text{l}\) auf \(600\,\text{l}\), also um \(200\,\text{l}\) in \(1\,\text{h}\). Das sind \(200\,\text{l/h}\). Da laut Modell in diesen Intervallen nur Regen Wasser zuführt und die Auffangfläche gleich bleibt, ist die mittlere Regenintensität im Intervall \(2\)–\(3\) Stunden größer. 3. In der Bewässerungsphase sinkt das Volumen von \(600\,\text{l}\) auf \(200\,\text{l}\). Nach der gegebenen Annahme entspricht die Differenz der entnommenen Wassermenge: \(600-200=400\,\text{l}\).

a) \(200\,\text{l}\) b) Von Stunde \(2\) bis Stunde \(3\); dort beträgt die Zunahme \(200\,\text{l/h}\) statt \(100\,\text{l/h}\). c) \(400\,\text{l}\)

- Überlege dir, wie sich die Füllhöhe ändert, wenn das Gefäß an einer Stelle sehr schmal oder sehr breit ist. - Wo im Diagramm steigt die Kurve am steilsten an? - Was bedeutet eine steile Kurve für die Geschwindigkeit, mit der das Wasser steigt?

1. Ablesen am Punkt \((2 \mid 1)\): Nach \(2\,\text{Sekunden}\) beträgt die Höhe \(1\,\text{cm}\). 2. Ablesen am Punkt \((6 \mid 9)\): Die Höhe \(9\,\text{cm}\) wird nach \(6\,\text{Sekunden}\) erreicht. 3. Die Vase ist dort am schmalsten, wo die Füllhöhe bei konstantem Zufluss am schnellsten steigt. Die größte Steigung liegt zwischen \(t = 2\,\text{s}\) und \(t = 6\,\text{s}\). Das entspricht dem Höhenbereich von \(1\,\text{cm}\) bis \(9\,\text{cm}\).

1. Nach \(2\,\text{Sekunden}\) ist das Wasser \(1\,\text{cm}\) hoch. 2. Die Höhe von \(9\,\text{cm}\) wird nach \(6\,\text{Sekunden}\) erreicht. 3. Im Höhenbereich von \(1\,\text{cm}\) bis \(9\,\text{cm}\).

- Die x-Achse zeigt die Entfernung, die y-Achse die Höhe. - Konstante Werte erkennst du an einer waagerechten Linie im Graphen. - Für die Höhe bei 10 km kannst du den Wert auf der geraden Verbindungslinie zwischen den Gitterpunkten bei 9 km und 12 km bestimmen. - Vergleiche, wie viele Höhenmeter auf demselben horizontalen Wegstück überwunden werden, um die Steilheit zu beurteilen.

1. Ablesen der Endpunkte des Graphen: Startpunkt \((0 \mid 500)\) ergibt \(500\,\text{m}\), Endpunkt \((12 \mid 450)\) ergibt \(450\,\text{m}\). 2. Ein waagerechter Verlauf zeigt eine konstante Höhe an. Dies ist zwischen Kilometer 2 und Kilometer 4 der Fall (Höhe \(700\,\text{m}\)). 3. Der höchste Punkt des Graphen liegt bei Kilometer 6 auf einer Höhe von \(950\,\text{m}\). 4. Bei Kilometer 10 liegt der Punkt auf dem linearen Teilstück zwischen Kilometer 9 (\(600\,\text{m}\)) und Kilometer 12 (\(450\,\text{m}\)). Die Höhendifferenz beträgt \(-150\,\text{m}\) auf \(3\,\text{km}\), was einer Änderung von \(-50\,\text{m}\) pro Kilometer entspricht. Nach einem Kilometer (bei Kilometer 10) beträgt die Höhe somit \(600\,\text{m} - 50\,\text{m} = 550\,\text{m}\). 5. Steigung 0-2: \(200\,\text{m}\) auf \(2\,\text{km}\) (\(100\,\text{m/km}\)). Steigung 4-6: \(250\,\text{m}\) auf \(2\,\text{km}\) (\(125\,\text{m/km}\)). Der Abschnitt 4-6 ist steiler, da pro Kilometer mehr Höhenmeter überwunden werden.

1. Start: \(500\,\text{m}\); Landung: \(450\,\text{m}\). 2. Von Kilometer 2 bis Kilometer 4. 3. Maximale Höhe: \(950\,\text{m}\). 4. Höhe bei \(10\,\text{km}\): \(550\,\text{m}\). 5. Der Abschnitt zwischen Kilometer 4 und 6 ist steiler, da dort \(125\,\text{m/km}\) statt \(100\,\text{m/km}\) überwunden werden.

- Die vertikale Achse zeigt die insgesamt entlang der Bahnstrecke zurückgelegte Strecke; ein waagerechter Abschnitt bedeutet daher, dass währenddessen keine Strecke hinzukommt. - Für einen Wert innerhalb eines geraden Fahrabschnitts kannst du zuerst bestimmen, wie viele Kilometer pro Minute hinzukommen. - Für eine Geschwindigkeit in \(\text{km/h}\) musst du die Zeit passend in Stunden umrechnen.

1. Zwischen Minute \(50\) und Minute \(90\) wächst die zurückgelegte Strecke gleichmäßig von \(60\,\text{km}\) auf \(100\,\text{km}\). Das sind \(40\,\text{km}\) in \(40\,\text{min}\), also \(1\,\text{km}\) pro Minute. Von Minute \(50\) bis Minute \(60\) kommen \(10\,\text{km}\) hinzu. Nach \(60\,\text{min}\) sind \(70\,\text{km}\) zurückgelegt. 2. Die beiden waagerechten Abschnitte reichen von Minute \(40\) bis \(50\) und von Minute \(90\) bis \(100\). Die Halte dauern zusammen \(10\,\text{min}+10\,\text{min}=20\,\text{min}\). 3. Im ersten Abschnitt legt der Zug \(60\,\text{km}\) in \(40\,\text{min}=\frac{2}{3}\,\text{h}\) zurück. Die Geschwindigkeit beträgt \(60:\frac{2}{3}=90\,\text{km/h}\). 4. Ab Minute \(50\) sind \(60\,\text{km}\) zurückgelegt. In diesem Abschnitt kommen \(1\,\text{km}\) pro Minute hinzu. Für weitere \(20\,\text{km}\) benötigt der Zug \(20\,\text{min}\), also erreicht er \(80\,\text{km}\) erstmals bei \(t=70\,\text{min}\).

1) \(70\,\text{km}\) 2) \(20\,\text{min}\) 3) \(90\,\text{km/h}\) 4) Nach \(70\,\text{min}\)

- Lies zuerst ab, in welchem Abschnitt des Graphen der jeweils gefragte Zeitpunkt oder Wasserstand liegt. - Eine waagerechte Strecke bedeutet, dass sich der Wasserstand in diesem Zeitraum nicht verändert. - Für eine Änderungsrate vergleichst du die Änderung der Höhe mit der dazugehörigen Zeitspanne.

1. Der Zeitpunkt \(t=6\,\text{h}\) liegt im geraden Abschnitt zwischen \((4\mid100)\) und \((8\mid180)\). Die Änderungsrate beträgt \((180-100):(8-4)=20\,\text{cm/h}\). Daher ist \(h(6)=100+2\cdot20=140\,\text{cm}\). 2. Zwischen \(t=2\,\text{h}\) und \(t=4\,\text{h}\) ist der Graph waagerecht. Der Wasserstand bleibt also \(2\,\text{h}\) lang unverändert. 3. In den ersten zwei Stunden steigt der Pegel von \(40\,\text{cm}\) auf \(100\,\text{cm}\). Die Änderungsrate ist \((100-40):2=30\,\text{cm/h}\). 4. Im Abschnitt von \(t=4\,\text{h}\) bis \(t=8\,\text{h}\) gilt \(100+20(t-4)=160\). Daraus folgt \(20(t-4)=60\), also \(t=7\,\text{h}\).

1) \(140\,\text{cm}\) 2) \(2\,\text{h}\) 3) \(30\,\text{cm/h}\) 4) \(t=7\,\text{h}\)

- Lies Anfangs- und Höchstwert direkt am Diagramm ab. - Waagerechte Abschnitte stehen für eine konstante Geschwindigkeit. - Für einen gesuchten Wert innerhalb eines geraden Abschnitts kannst du bestimmen, um wie viele \(\text{km/h}\) sich die Geschwindigkeit pro Minute ändert.

1. Zum Zeitpunkt \(t=0\,\text{min}\) beträgt die Geschwindigkeit \(0\,\text{km/h}\). 2. Der höchste dargestellte Wert ist \(24\,\text{km/h}\). Diese Geschwindigkeit wird von Minute 20 bis Minute 24 konstant gefahren. 3. \(16\,\text{km/h}\) werden von Minute 4 bis Minute 12 konstant gefahren. Die Dauer beträgt \(12\,\text{min}-4\,\text{min}=8\,\text{min}\). 4. Zwischen Minute 12 und Minute 20 steigt die Geschwindigkeit gleichmäßig von \(16\,\text{km/h}\) auf \(24\,\text{km/h}\), also um \(1\,\text{km/h}\) pro Minute. \(20\,\text{km/h}\) werden daher bei \(t=16\,\text{min}\) erreicht. Zwischen Minute 24 und Minute 30 sinkt sie gleichmäßig von \(24\,\text{km/h}\) auf \(0\,\text{km/h}\), also um \(4\,\text{km/h}\) pro Minute. Der Wert \(20\,\text{km/h}\) wird dort nach einer Minute erreicht, also bei \(t=25\,\text{min}\).

1. \(0\,\text{km/h}\). 2. \(24\,\text{km/h}\) von Minute 20 bis Minute 24. 3. \(8\,\text{min}\). 4. Nach \(16\,\text{min}\) und nach \(25\,\text{min}\).

- Welche Werte kannst du direkt aus dem Graphen bei \(x=400\) und am Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse ablesen? - Wie hängt die insgesamt verbrauchte Kraftstoffmenge mit der gefahrenen Strecke zusammen? - Welche zwei Punkte des Graphen eignen sich zur Bestimmung der Steigung? - Welche Bedeutung hat der Funktionswert bei \(x=0\)?

1. Bei \(x=400\) lässt sich im Graphen ungefähr \(y=36\) ablesen. Es sind also noch etwa \(36\,\text{l}\) im Tank. 2. Der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=1000\). Nach \(1000\,\text{km}\) ist der Tank leer. 3. Auf \(1000\,\text{km}\) werden \(60\,\text{l}\) verbraucht. Pro \(100\,\text{km}\) sind das \(\frac{60}{1000}\cdot 100=6\,\text{l}\). 4. Der Anfangswert beträgt \(60\,\text{l}\). Die Steigung ist \(m=\frac{0-60}{1000-0}=-0{,}06\). Damit lautet die Funktionsgleichung \(y=-0{,}06x+60\).

1) Nach \(400\,\text{km}\) sind noch etwa \(36\,\text{l}\) im Tank. 2) Der Tank ist nach \(1000\,\text{km}\) leer. 3) Der Durchschnittsverbrauch beträgt \(6\,\text{l}\) pro \(100\,\text{km}\). 4) \(y=-0{,}06x+60\)

- Welche Werte liest du bei \(x=0\) ab? - Was bedeutet der Schnittpunkt der beiden Ladekurven? - Wie bestimmst du die Änderung des Ladestands pro Minute? - Nutze für die Funktionsgleichungen die Form \(y=mx+t\).

1. Smartphone A startet bei \(10\,\%\), Smartphone B bei \(40\,\%\). Daher hat B den höheren Anfangswert. 2. Die Geraden schneiden sich bei \((30 \mid 55)\). Nach \(30\,\text{min}\) haben beide \(55\,\%\). 3. Smartphone A gewinnt pro Minute \(1{,}5\) Prozentpunkte. Nach \(50\,\text{min}\) gilt daher \(10+1{,}5\cdot 50=85\). Der Ladestand beträgt \(85\,\%\). 4. Für A gilt \(y_A=1{,}5x+10\). Für B liest man die Steigung \(0{,}5\) Prozentpunkte pro Minute und den Anfangswert \(40\) ab, also \(y_B=0{,}5x+40\).

1) Smartphone B; A startet bei \(10\,\%\), B bei \(40\,\%\). 2) Nach \(30\,\text{min}\) bei \(55\,\%\). 3) \(85\,\%\) 4) A: \(y_A=1{,}5x+10\); B: \(y_B=0{,}5x+40\)

- Lies die Startwerte beider Graphen bei \(t=0\) ab. - Vergleiche für jede gleichmäßige Phase die Volumenänderung mit der dazugehörigen Zeitspanne. - Gleiche Wassermengen erkennst du dort, wo sich die beiden Graphen treffen.

1. Bei \(t=0\) enthält Tank \(A\) \(5\,\text{L}\), Tank \(B\) \(35\,\text{L}\). 2. Tank \(A\): In \(4\,\text{min}\) steigt das Volumen von \(5\,\text{L}\) auf \(15\,\text{L}\), also um \(10\,\text{L}\). Die Änderungsrate beträgt \(10\,\text{L}:4\,\text{min}=2{,}5\,\text{L/min}\). Tank \(B\): In \(4\,\text{min}\) sinkt das Volumen von \(35\,\text{L}\) auf \(15\,\text{L}\), also um \(20\,\text{L}\). Die Änderungsrate beim Leeren beträgt \(20\,\text{L}:4\,\text{min}=5\,\text{L/min}\). 3. Die beiden Graphen treffen sich im Punkt \((4\mid15)\). Nach \(4\,\text{min}\) enthalten daher beide Tanks \(15\,\text{L}\).

a) Tank \(A\): \(5\,\text{L}\); Tank \(B\): \(35\,\text{L}\). b) Tank \(A\): \(2{,}5\,\text{L/min}\) beim Befüllen; Tank \(B\): \(5\,\text{L/min}\) beim Leeren. c) Nach \(4\,\text{min}\) enthalten beide \(15\,\text{L}\).

- Welche Gleichung verbindet das feste Volumen mit Radius und Höhe? - Wie verändert sich \(r^2\), wenn der Radius halbiert wird? - Beim Einsetzen in \(M(r)\) ist der Radius die einzige veränderliche Größe.

1. Aus \(V=\pi r^2h\) folgt für das feste Volumen \(h(r)=\frac{330}{\pi r^2}\). 2. Für den halbierten Radius gilt \(h\left(\frac{r}{2}\right)=\frac{330}{\pi(\frac{r}{2})^2}=4\frac{330}{\pi r^2}=4h(r)\). Die Höhe vervierfacht sich. 3. Für \(r=3{,}2\,\text{cm}\) ergibt sich \(M(3{,}2)=\frac{660}{3{,}2}\,\text{cm}^2=206{,}25\,\text{cm}^2\).

a) \(h(r) = \frac{330}{\pi r^2}\) b) Die Höhe vervierfacht sich: \(h_{\text{neu}} = 4h\). c) \(M(3{,}2) = 206{,}25\,\text{cm}^2\)

- Achte darauf, welche Zeichen im Diagramm ausdrücklich Messungen und welche eine Modellvorstellung darstellen. - Für Tag 5 musst du den Wert an der Kurve ablesen, weil dort kein Messkreuz liegt. - Unterscheide bei einer Aussage über Tag 12 zwischen einer Vorhersage des Modells und einer tatsächlich beobachteten Größe. - Überlege, welche neue Information einen direkten Vergleich mit dem fortgeführten Teil der Kurve ermöglichen würde.

1. Die Kreuze stehen für tatsächlich erhobene Messwerte. Die glatte Kurve verbindet nicht einfach zusätzliche Messungen, sondern stellt ein Modell dar. An Tag 5 ist kein Kreuz eingezeichnet; dieser Wert wurde daher nicht direkt gemessen. 2. Bei \(t=5\) liegt die Modellkurve bei ungefähr \(6{,}5\,\text{cm}\). 3. Bei Tag 12 liefert das Modell ungefähr \(13{,}5\,\text{cm}\). Das ist eine Modellvorhersage und keine sichere Messung. Da die vorhandenen Messwerte nur bis Tag 8 reichen, wird hier außerdem über den beobachteten Zeitraum hinaus fortgesetzt. 4. Eine weitere tatsächliche Höhenmessung an einem späteren Tag, zum Beispiel nach Tag 10 oder Tag 12, könnte mit der Modellkurve verglichen werden und die Vorhersage besser überprüfen.

a) Kreuze: Messwerte; Kurve: Modell. Tag 5 wurde nicht direkt gemessen. b) etwa \(6{,}5\,\text{cm}\) c) Die Aussage ist zu sicher formuliert. Das Modell sagt für Tag 12 ungefähr \(13{,}5\,\text{cm}\) voraus; die tatsächliche Höhe ist dadurch nicht garantiert. d) Zum Beispiel eine zusätzliche tatsächliche Höhenmessung nach Tag 8, etwa an Tag 10 oder 12.

- Wie stark ändert sich die Temperatur, wenn man \(100\) Meter höher steigt? - Überlege dir, wie viel kälter es im Vergleich zur Messung auf \(600\,\text{m}\) wird. - Glaubst du, dass die Natur sich immer exakt an eine gerade Linie hält, egal wie hoch man geht?

1. Berechnung des Temperaturabfalls pro Meter: Die Höhendifferenz beträgt \(1400\,\text{m} - 600\,\text{m} = 800\,\text{m}\). Der Temperaturunterschied beträgt \(11{,}2\,^\circ\text{C} - 16\,^\circ\text{C} = -4{,}8\,^\circ\text{C}\). Die Rate ist \(-4{,}8 : 800 = -0{,}006\,^\circ\text{C/m}\) (bzw. \(0{,}6\,^\circ\text{C}\) pro \(100\,\text{m}\)). 2. Berechnung für \(2500\,\text{m}\) (a): Die Differenz zu \(600\,\text{m}\) ist \(1900\,\text{m}\). Temperaturänderung: \(1900\,\text{m} \cdot (-0{,}006\,^\circ\text{C/m}) = -11{,}4\,^\circ\text{C}\). Endtemperatur: \(16\,^\circ\text{C} + (-11{,}4\,^\circ\text{C}) = 4{,}6\,^\circ\text{C}\). 3. Berechnung für \(12\,000\,\text{m}\) (b): Die Differenz zu \(600\,\text{m}\) ist \(11\,400\,\text{m}\). Temperaturänderung: \(11\,400\,\text{m} \cdot (-0{,}006\,^\circ\text{C/m}) = -68{,}4\,^\circ\text{C}\). Endtemperatur: \(16\,^\circ\text{C} + (-68{,}4\,^\circ\text{C}) = -52{,}4\,^\circ\text{C}\). 4. Begründung (c): Das Modell nimmt an, dass die Bedingungen in der Atmosphäre überall gleich sind. In der Realität gibt es verschiedene Luftschichten (wie die Stratosphäre), in denen sich das Temperaturverhalten ändert, sowie Wettereffekte, die das lineare Modell für extreme Höhen ungenau machen.

a) Auf \(2500\,\text{m}\) Höhe beträgt die Temperatur voraussichtlich \(4{,}6\,^\circ\text{C}\). b) Das Modell sagt für \(12\,000\,\text{m}\) eine Temperatur von \(-52{,}4\,^\circ\text{C}\) voraus. c) Lineare Modelle sind oft nur in einem begrenzten Bereich gültig. In extremen Höhen ändern sich die atmosphärischen Bedingungen (z. B. Übergang zur Stratosphäre), sodass die konstante Abnahmerate nicht mehr stimmt.

- Erinnere dich an die Volumenformel eines Zylinders: \(V = G \cdot h\). - Was bedeutet eine konstante Zuflussrate für die Zunahme des Volumens? - Wie wirkt sich eine kleinere Grundfläche auf die Geschwindigkeit aus, mit der die Höhe wächst?

1. Berechnung der Steigrate: Das Volumen \(V\) berechnet sich aus \(G \cdot h\). Da \(500\,\text{ml} = 500\,\text{cm}^3\), gilt \(500 = 200 \cdot h\). Daraus folgt \(h = 2{,}5\,\text{cm}\) pro Minute. 2. Funktionsgleichung: \(h(t) = 2{,}5t\). 3. Vergleich der Gefäße: Bei \(G = 100\,\text{cm}^2\) gilt \(500 = 100 \cdot h\), also \(h = 5\,\text{cm}\) pro Minute. Die Steigung des Graphen verdoppelt sich, der Graph verläuft also steiler. 4. Zusammengesetztes Gefäß: - Unterer Teil (\(0\) bis \(10\,\text{cm}\)): Steigung \(2{,}5\,\text{cm/min}\). Die Höhe von \(10\,\text{cm}\) wird nach \(10 : 2{,}5 = 4\,\text{min}\) erreicht. - Oberer Teil (\(10\) bis \(20\,\text{cm}\)): Ab \(t = 4\) steigt das Wasser schneller mit \(5\,\text{cm/min}\). - Nach \(4\) Minuten erreicht das Wasser den schmaleren Teil, wodurch der Wasserspiegel doppelt so schnell steigt wie zuvor. Der Graph hat an dieser Stelle einen Knick nach oben.

a) Der Wasserspiegel steigt um \(2{,}5\,\text{cm}\) pro Minute. b) \(h(t) = 2{,}5t\). c) Die Steigung verdoppelt sich auf \(5\,\text{cm/min}\). Der Graph ist steiler. d) Nach \(4\) Minuten ist der untere Teil voll. Da der obere Teil schmaler ist, steigt der Wasserspiegel ab diesem Zeitpunkt schneller an (Knick im Graphen).

- Achte auf das Minuszeichen in der Funktion – was bedeutet das für die Bewegung? - Wenn eine bestimmte Höhe gesucht ist, musst du die Gleichung nach \(t\) umstellen. - „Das Tal erreichen“ bedeutet mathematisch, dass die Höhe Null wird. - Für den Vergleich musst du für beide Personen die Zeit berechnen, die sie bis zur Höhe \(0\,\text{m}\) benötigen.

1. Höhe nach \(2{,}5\,\text{h}\): \(h(2{,}5) = 1500 - 240 \cdot 2{,}5 = 1500 - 600 = 900\). Er befindet sich auf \(900\,\text{m}\). 2. Zeit für \(660\,\text{m}\): \(660 = 1500 - 240t \Rightarrow 240t = 840 \Rightarrow t = 3{,}5\). Er benötigt \(3{,}5\,\text{Stunden}\). 3. Talankunft und Wertebereich: \(0 = 1500 - 240t \Rightarrow 240t = 1500 \Rightarrow t = 6{,}25\). Er erreicht das Tal nach \(6\,\text{Stunden}\) und \(15\,\text{Minuten}\). Der Wertebereich ist \(W = [0; 1500]\), da er auf \(1500\,\text{m}\) startet und bei \(0\,\text{m}\) endet. 4. Vergleich: Wanderer 2 wird beschrieben durch \(g(t) = 1200 - 180t\). Nullstelle: \(0 = 1200 - 180t \Rightarrow 180t = 1200 \Rightarrow t = \frac{1200}{180} \approx 6{,}67\). Da \(6{,}25 < 6{,}67\), erreicht der erste Wanderer das Tal trotz der größeren Starthöhe früher.

a) \(900\,\text{m}\). b) Nach \(3{,}5\,\text{Stunden}\). c) Talankunft nach \(6{,}25\,\text{Stunden}\) (\(6\,\text{h}\) \(15\,\text{min}\)). Wertebereich: \([0; 1500]\) in Metern. d) Der erste Wanderer erreicht das Tal zuerst (\(6{,}25\,\text{h}\) vs. ca. \(6{,}67\,\text{h}\)).

- Welches Vorzeichen hat die Änderungsrate, wenn die Höhe abnimmt? - Welche Höhe entspricht der Hälfte von \(25\,\text{cm}\)? - Wie wandelst du den Nachkommaanteil einer Stunde in Minuten um? - Welche geometrische Größe ändert sich bei einer Pyramide mit der Höhe?

1. Die Kerze verliert pro Stunde \(1{,}2\,\text{cm}\), daher beträgt die Steigung \(-1{,}2\). Der Anfangswert ist \(25\,\text{cm}\). Somit gilt \(h(t)=-1{,}2t+25\). 2. Die halbe Anfangshöhe beträgt \(12{,}5\,\text{cm}\). Aus \(12{,}5=-1{,}2t+25\) folgt \(t=\frac{12{,}5}{1{,}2}\approx10{,}4167\,\text{h}\). 3. Der Nachkommaanteil entspricht \(0{,}4167 \cdot 60\approx25\) Minuten. Die Zeit beträgt daher etwa \(10\) Stunden und \(25\) Minuten. 4. Bei einer Pyramidenform ändert sich die Querschnittsfläche mit der Höhe. Bei gleichem Wachsverbrauch pro Stunde führt dieselbe Volumenabnahme deshalb nicht zu einer konstanten Höhenabnahme; die Änderungsrate der Höhe ist nicht konstant.

a) \(h(t)=-1{,}2t+25\) b) Etwa \(10\) Stunden und \(25\) Minuten. c) Die Querschnittsfläche ändert sich mit der Höhe; deshalb ist die Höhenabnahme bei konstantem Wachsverbrauch nicht konstant und damit nicht linear.

- Was bedeutet die Steigung in diesem Kontext? Ist sie positiv oder negativ? - Stelle für die zweite Phase die Geradengleichung sorgfältig auf. Beachte, dass diese Phase erst bei Minute 40 startet. - Für Teilaufgabe d) kannst du die verbleibende Ladung durch den Verlust pro Minute teilen. - Überlege genau, was mit „weiteren Minuten“ in Teil d) gemeint ist.

1. Punkte definieren: \(A(0 \mid 10)\), \(B(40 \mid 90)\), \(C(60 \mid 60)\). 2. Funktionsgleichungen aufstellen: - Laden (\(0 \le x \le 40\)): Steigung \(m_1 = \frac{90-10}{40} = 2\). Gleichung: \(y = 2x + 10\). - Nutzen (\(40 \le x \le 60\)): Steigung \(m_2 = \frac{60-90}{60-40} = -1{,}5\). Gleichung: \(y = 90 - 1{,}5(x - 40)\) bzw. \(y = -1{,}5x + 150\). 3. Vergleich der Geschwindigkeiten: Ladegeschwindigkeit \(2\) Prozentpunkte pro Minute, Entladegeschwindigkeit \(1{,}5\) Prozentpunkte pro Minute. Differenz: \(0{,}5\,\) Prozentpunkte pro Minute. 4. Berechnung für \(y = 75\): - Laden: \(75 = 2x + 10 \implies 2x = 65 \implies x = 32{,}5\,\text{min}\). - Nutzen: \(75 = -1{,}5x + 150 \implies 1{,}5x = 75 \implies x = 50\,\text{min}\). 5. Restlaufzeit: Aktuelle Ladung \(60\,\%\), Entladerate \(1{,}5\) Prozentpunkte pro Minute. \(60 : 1{,}5 = 40\). Nach weiteren \(40\,\text{Minuten}\) ist der Akku leer.

a) Laden: \(y = 2x + 10\); Nutzen: \(y = -1{,}5x + 150\). b) Die Ladegeschwindigkeit (\(2\) Prozentpunkte pro Minute) ist um \(0{,}5\) Prozentpunkte pro Minute höher als die Entladegeschwindigkeit (\(1{,}5\) Prozentpunkte pro Minute). c) Nach \(32{,}5\,\text{Minuten}\) und nach \(50\,\text{Minuten}\). d) Der Akku wäre nach weiteren \(40\,\text{Minuten}\) leer (also insgesamt \(100\,\text{Minuten}\) nach Beobachtungsbeginn).

- Welche Gesamtkosten gelten in den drei durch die Schwellenwerte bestimmten Bereichen? - Durchschnittskosten erhältst du, indem du die Gesamtkosten durch die Gästezahl teilst. - Achte bei einer gefundenen Lösung darauf, ob sie in dem Intervall liegt, für dessen Formel du gerechnet hast. - Wie verändert sich ein positiver Bruch mit festem Zähler, wenn sein Nenner wächst?

1. Die Gesamtkosten sind abschnittsweise \(K(x)=25x+600\) für \(x<80\), \(K(x)=25x+300\) für \(80\le x<100\) und \(K(x)=25x+150\) für \(x\ge100\). Damit ist \(k(x)=\frac{K(x)}{x}\). 2. Es ist \(k(79)=25+\frac{600}{79}\approx32{,}59\,\text{€}\) und \(k(80)=25+\frac{300}{80}=28{,}75\,\text{€}\). Der Unterschied beträgt ungefähr \(3{,}84\,\text{€}\). 3. Im ersten Intervall ergibt \(25+\frac{600}{x}=35\) die Lösung \(x=60\), die mit \(60<80\) zum verwendeten Intervall gehört. 4. Für \(x\ge100\) gilt \(k(x)=25+\frac{150}{x}\). Dieser Ausdruck nimmt mit wachsendem \(x\) ab. Sein größter Wert in diesem Bereich ist daher \(k(100)=26{,}50\,\text{€}<27\,\text{€}\). Somit liegen alle Werte ab \(100\) Gästen unter \(27\,\text{€}\).

a) \(k(x)=25+\frac{600}{x}\) für \(x<80\); \(k(x)=25+\frac{300}{x}\) für \(80\le x<100\); \(k(x)=25+\frac{150}{x}\) für \(x\ge100\) b) Unterschied: ungefähr \(3{,}84\,\text{€}\) pro Person c) \(x=60\) Gäste d) Für \(x\ge100\) ist \(k(x)\le k(100)=26{,}50\,\text{€}<27\,\text{€}\).

- Was bedeutet „aufgerundet“ mathematisch für die Kostenberechnung in Tarif A? - Erstelle für Tarif A eine kleine Wertetabelle oder eine abschnittsweise Definition, um den Überblick zu behalten. - Um herauszufinden, wann ein Tarif günstiger ist, kannst du eine Ungleichung aufstellen. - Da Tarif A eine Treppenfunktion ist, ist es hilfreich, die Untersuchung für jedes Kilogramm-Intervall einzeln durchzuführen.

1. Berechnung der Werte für Aufgabenteil a): Für \(x = 0{,}5\): Tarif A: \(2 \cdot 1 = 2{,}00\,\text{€}\); Tarif B: \(1{,}5 \cdot 0{,}5 + 1 = 1{,}75\,\text{€}\). Für \(x = 1{,}0\): Tarif A: \(2 \cdot 1 = 2{,}00\,\text{€}\); Tarif B: \(1{,}5 \cdot 1{,}0 + 1 = 2{,}50\,\text{€}\). Für \(x = 2{,}2\): Tarif A: \(2 \cdot 3 = 6{,}00\,\text{€}\); Tarif B: \(1{,}5 \cdot 2{,}2 + 1 = 4{,}30\,\text{€}\). 2. Lösung der Ungleichung \(f(x) < g(x)\) für Aufgabenteil b): Betrachtung der Intervalle \((k-1; k]\) für \(k \in \{1, 2, 3, 4, 5\}\). Intervall \((0; 1]\): \(2 < 1{,}5x + 1 \Rightarrow 1 < 1{,}5x \Rightarrow x > \frac{2}{3}\). Also \(x \in (\frac{2}{3}; 1]\). Intervall \((1; 2]\): \(4 < 1{,}5x + 1 \Rightarrow 3 < 1{,}5x \Rightarrow x > 2\). Keine Lösung in diesem Intervall. Intervall \((2; 3]\): \(6 < 1{,}5x + 1 \Rightarrow 5 < 1{,}5x \Rightarrow x > \frac{10}{3} \approx 3{,}33\). Keine Lösung in diesem Intervall, da \(x \le 3\). Für höhere Intervalle wächst der Wert von Tarif A schneller als der von Tarif B, sodass keine weiteren Lösungen existieren.

a) \(0{,}5\,\text{kg}\): A: \(2{,}00\,\text{€}\), B: \(1{,}75\,\text{€}\); \(1{,}0\,\text{kg}\): A: \(2{,}00\,\text{€}\), B: \(2{,}50\,\text{€}\); \(2{,}2\,\text{kg}\): A: \(6{,}00\,\text{€}\), B: \(4{,}30\,\text{€}\). b) Tarif A ist für \(\frac{2}{3} < x \le 1\) (ca. \(0{,}67\,\text{kg} < x \le 1\,\text{kg}\)) günstiger als Tarif B.

- Vergleiche eine gerade fallende Linie mit Kurven, deren Steilheit sich verändert. - Überlege, wie viel Wasser bei gleicher Höhenänderung in einem schmalen beziehungsweise breiten Gefäßabschnitt steckt. - Prüfe, ob der Wasserspiegel in breiteren Bereichen schneller oder langsamer sinken muss.

1. Graph \(h_2\) fällt zu Beginn langsam ab und wird dann immer steiler. Die Abnahmegeschwindigkeit nimmt also zu. Graph \(h_3\) fällt zu Beginn sehr steil ab und wird dann immer flacher. Die Abnahmegeschwindigkeit nimmt ab. 2. Graph \(h_1\) gehört zu Gefäß (1): Beim Zylinder ist die Querschnittsfläche überall gleich und die Höhe sinkt gleichmäßig. Graph \(h_2\) gehört zu Gefäß (2): Oben ist viel Volumen pro Zentimeter Höhe vorhanden, deshalb sinkt der Spiegel zunächst langsam; nach unten wird das Gefäß schmaler und der Spiegel sinkt schneller. Graph \(h_3\) gehört zu Gefäß (3): Oben ist wenig Volumen pro Zentimeter Höhe vorhanden, deshalb sinkt der Spiegel zunächst schnell; nach unten wird das Gefäß breiter und der Spiegel sinkt langsamer.

a) \(h_2\): erst langsam, dann immer schneller sinkend; \(h_3\): erst schnell, dann immer langsamer sinkend b) \(h_1\) zu (1), \(h_2\) zu (2), \(h_3\) zu (3)

- Überlege dir, wie groß die Querschnittsfläche des Gefäßes in verschiedenen Höhen ist. - Ändert sich die Form des Wasserspiegels ab einer bestimmten Höhe? - Teile das Problem in zwei Bereiche auf: den unteren breiten Teil und den oberen schmaleren Teil. - Wie berechnet man das Volumen eines Quaders? Gilt das hier für das gesamte Gefäß auf einmal? - Was passiert mit dem Volumen, wenn das Wasser die Stufe bei \(5\,\text{cm}\) erreicht?

1. Analyse der Querschnittsflächen: - Für \(0 \le h \le 5\,\text{cm}\) beträgt die waagerechte Querschnittsfläche \(20\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} = 200\,\text{cm}^2\). - Für \(5 < h \le 10\,\text{cm}\) beträgt die waagerechte Querschnittsfläche des oberen Teils \(10\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} = 100\,\text{cm}^2\). 2. Aufstellen der Funktionsgleichung: - Im ersten Abschnitt (\(0 \le h \le 5\)): \(V(h) = 200h\). - Im zweiten Abschnitt (\(5 < h \le 10\)): Das Volumen des unteren Teils ist \(V(5) = 200 \cdot 5 = 1000\,\text{cm}^3\). Dazu kommt das Volumen des oberen Teils: \(V(h) = 1000 + 100(h - 5) = 100h + 500\). - Zusammenfassend: \(V(h) = \begin{cases} 200h & \text{für } 0 \le h \le 5 \\ 100h + 500 & \text{für } 5 < h \le 10 \end{cases}\). 3. Berechnung der Werte: - Für \(h = 4\): \(V(4) = 200 \cdot 4 = 800\,\text{cm}^3\). - Für \(h = 8\): \(V(8) = 100 \cdot 8 + 500 = 1300\,\text{cm}^3\). 4. Definitions- und Wertebereich: - Die Höhe \(h\) reicht von \(0\) bis \(10\), also \(D = [0; 10]\), wobei \(h\) in \(\text{cm}\) angegeben wird. - Das Volumen reicht von \(V(0) = 0\) bis \(V(10) = 1500\), also \(W = [0; 1500]\), wobei \(V\) in \(\text{cm}^3\) angegeben wird.

a) \(V(h) = \begin{cases} 200h & \text{für } 0 \le h \le 5 \\ 100h + 500 & \text{für } 5 < h \le 10 \end{cases}\), mit \(h\) in \(\text{cm}\) und \(V\) in \(\text{cm}^3\) b) \(V(4) = 800\,\text{cm}^3\); \(V(8) = 1300\,\text{cm}^3\) c) \(D = [0; 10]\); \(W = [0; 1500]\)