- Suche im Diagramm die Stelle, an der beide Geraden durch denselben Punkt verlaufen. - Lies zuerst die waagerechte und danach die senkrechte Koordinate dieses Punktes ab. - Achte auf die Reihenfolge \((x|y)\).

1. Der Schnittpunkt ist die Stelle, an der sich die beiden Geraden kreuzen. 2. Im Diagramm liegt dieser Punkt bei \(x=2\) und \(y=3\). 3. Daher ist \(S(2|3)\).

\(S(2|3)\)

- Lies zuerst nur die beiden markierten Punkte im Koordinatensystem ab. - Überlege dann bei jeder Gleichung, wie sich \(y\) ändert, wenn \(x\) um \(1\) steigt. - Dein zweiter Punkt muss genau auf der jeweiligen Geraden liegen.

1. Aus der Abbildung liest man \(A(0|1)\) und \(B(0|5)\) ab. Damit liegt \(A\) auf \(g\) und \(B\) auf \(h\). 2. Für \(g\) kann man zum Beispiel \((1|2)\) markieren. Von \(A\) geht man dafür \(1\) nach rechts und \(1\) nach oben. 3. Für \(h\) kann man zum Beispiel \((1|4)\) markieren. Von \(B\) geht man dafür \(1\) nach rechts und \(1\) nach unten. 4. Durch jedes Punktpaar kann nun die passende Gerade gezeichnet werden.

a) \(A(0|1)\) gehört zu \(g\); \(B(0|5)\) gehört zu \(h\). b) Zum Beispiel: für \(g\) der Punkt \((1|2)\), für \(h\) der Punkt \((1|4)\). c) \(g\): 1 nach rechts, 1 nach oben. \(h\): 1 nach rechts, 1 nach unten.

- Lies den \(y\)-Achsenabschnitt jeder Geraden ab. - Nutze zwei gut ablesbare Punkte auf jeder Geraden, um die Steigung zu bestimmen. - Welche Bedeutung hat der Schnittpunkt für die Lösungsmenge?

1. Für \(g\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(1\). Mit den Punkten \((0|1)\) und \((1|2)\) ergibt sich die Steigung \(1\), also \(y=x+1\). 2. Für \(h\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(4\). Mit den Punkten \((0|4)\) und \((2|3)\) ergibt sich die Steigung \(-0{,}5\), also \(y=-0{,}5x+4\). Das LGS lautet damit \(\begin{cases}y=x+1\\y=-0{,}5x+4\end{cases}\). 3. Die Geraden schneiden sich in \(S(2|3)\). Somit ist \(L=\{(2|3)\}\).

\(\begin{cases}y=x+1\\y=-0{,}5x+4\end{cases}\); \(L=\{(2|3)\}\)

- Vergleiche die Steigungen der beiden Geraden. - Welche Rolle spielen unterschiedliche \(y\)-Achsenabschnitte bei gleicher Steigung? - Was folgt daraus für die Lösungsmenge?

1. Die Gerade \(g\) hat den \(y\)-Achsenabschnitt \(1\) und die Steigung \(0{,}5\), also \(y=0{,}5x+1\). 2. Die Gerade \(h\) hat den \(y\)-Achsenabschnitt \(-2\) und die Steigung \(0{,}5\), also \(y=0{,}5x-2\). Das LGS lautet damit \(\begin{cases}y=0{,}5x+1\\y=0{,}5x-2\end{cases}\). 3. Beide Geraden haben dieselbe Steigung, aber unterschiedliche \(y\)-Achsenabschnitte. Sie sind parallel und haben keinen gemeinsamen Punkt. Daher ist \(L=\emptyset\).

\(\begin{cases}y=0{,}5x+1\\y=0{,}5x-2\end{cases}\); \(L=\emptyset\)

- Lies für jede beschriftete Gerade zunächst den \(y\)-Achsenabschnitt und die Steigung ab. - Wie kannst du die Geradengleichungen in eine äquivalente Form mit \(x\) und \(y\) auf einer Seite bringen? - Welche Bedingung muss der Schnittpunkt in beiden Gleichungen erfüllen?

1. Die Gerade \(g\) verläuft durch \((0|3)\) und \((1|2)\). Ihre Steigung ist \(-1\). Daher gilt \(y=-x+3\), also äquivalent \(x+y=3\). 2. Die Gerade \(h\) verläuft durch \((0|-1)\) und \((1|2)\). Ihre Steigung ist \(3\). Daher gilt \(y=3x-1\), also äquivalent \(-3x+y=-1\). Das LGS ist somit \(\begin{cases}x+y=3\\-3x+y=-1\end{cases}\). 3. Der Schnittpunkt ist \(S(1|2)\). 4. Die Probe ergibt \(1+2=3\) und \(-3\cdot1+2=-1\). Der Punkt erfüllt beide Gleichungen.

\(\begin{cases}x+y=3\\-3x+y=-1\end{cases}\); \(S(1|2)\). Die Punktprobe erfüllt beide Gleichungen.

- Bestimme unabhängig von Leilas Angabe die Position des Kreuzungspunkts im Diagramm. - Welche Koordinate wird an der waagerechten Achse und welche an der senkrechten Achse abgelesen? - Vergleiche deine Ablesereihenfolge mit der Schreibweise \((x|y)\).

1. Im Diagramm schneiden sich die Geraden bei der senkrechten Gitterlinie \(x=4\) und der waagerechten Gitterlinie \(y=3\). 2. Leila hat die beiden Koordinaten vertauscht. 3. Der richtige Schnittpunkt ist \(S(4|3)\).

Leila hat \(x\)- und \(y\)-Koordinate vertauscht. Richtig ist \(S(4|3)\).

- Bringe beide Gleichungen zuerst in dieselbe Geradenform. - Ordne die markierten Punkte über den konstanten Term der passenden Gleichung zu. - Für einen zweiten Punkt hilft dir die Änderung von \(y\), wenn \(x\) um \(1\) steigt. - Prüfe den abgelesenen Schnittpunkt erst ganz am Ende in den Ausgangsgleichungen.

1. Aus \(x+y=4\) wird \(y=-x+4\). Aus \(2x-y=2\) wird \(y=2x-2\). 2. In der Abbildung ist \(A(0|4)\) und \(B(0|-2)\). Also gehört \(A\) zur ersten und \(B\) zur zweiten Geraden. 3. Für die erste Gerade eignet sich zum Beispiel \((1|3)\): von \(A\) \(1\) nach rechts und \(1\) nach unten. 4. Für die zweite Gerade eignet sich zum Beispiel \((1|0)\): von \(B\) \(1\) nach rechts und \(2\) nach oben. 5. Die Geraden schneiden sich in \(S(2|2)\). 6. Probe: \(2+2=4\) und \(2\cdot2-2=2\).

a) \(y=-x+4\) gehört zu \(A(0|4)\); \(y=2x-2\) gehört zu \(B(0|-2)\). b) Zum Beispiel: erste Gerade \((1|3)\), also 1 nach rechts und 1 nach unten; zweite Gerade \((1|0)\), also 1 nach rechts und 2 nach oben. c) \(S(2|2)\). Probe: \(2+2=4\) und \(2\cdot2-2=2\).

- Lies bei jeder beschrifteten Geraden Steigung und \(y\)-Achsenabschnitt ab. - Der Schnittpunkt zweier Geraden entspricht der gemeinsamen Lösung. - Was bedeutet es für \(L\), wenn zwei verschiedene Geraden parallel sind?

1. In Abbildung a) hat \(g_1\) den \(y\)-Achsenabschnitt \(-3\) und die Steigung \(2\). Die Gerade \(g_2\) verläuft durch den Ursprung und hat die Steigung \(-1\). Damit lautet das LGS \(\begin{cases}y=2x-3\\y=-x\end{cases}\). Die Geraden schneiden sich in \(S(1|-1)\), also ist \(L=\{(1|-1)\}\). 2. In Abbildung b) lautet das LGS \(\begin{cases}y=-0{,}5x+2\\y=-0{,}5x-1\end{cases}\). Beide Geraden haben dieselbe Steigung, aber unterschiedliche \(y\)-Achsenabschnitte. Sie sind parallel, daher ist \(L=\emptyset\).

1. a) \(\begin{cases}y=2x-3\\y=-x\end{cases}\) b) \(\begin{cases}y=-0{,}5x+2\\y=-0{,}5x-1\end{cases}\) 2. a) \(L=\{(1|-1)\}\) b) \(L=\emptyset\)

- Nutze für jede Gerade zwei gut ablesbare Punkte aus der Abbildung. - Bestimme zuerst \(y\)-Achsenabschnitt und Steigung jeder Geraden. - Für den exakten Schnittpunkt müssen die beiden Funktionsterme denselben Wert haben.

1. Aus dem Diagramm liest man näherungsweise \(S\approx(1{,}6|1{,}4)\) ab. Der Schnittpunkt liegt nicht auf einem Gitterpunkt, daher ist die Ablesung nur näherungsweise. 2. Für \(g_1\) lassen sich zum Beispiel die Punkte \((0|3)\) und \((1|2)\) ablesen. Damit gilt \(g_1:y=-x+3\). 3. Für \(g_2\) lassen sich zum Beispiel die Punkte \((0|-1)\) und \((2|2)\) ablesen. Die Steigung ist \(\frac{3}{2}\), also gilt \(g_2:y=1{,}5x-1\). 4. Am Schnittpunkt ist \(-x+3=1{,}5x-1\). Daraus folgt \(x=\frac{8}{5}=1{,}6\) und anschließend \(y=\frac{7}{5}=1{,}4\). 5. Das exakte Ergebnis \(S\left(\frac{8}{5}\middle|\frac{7}{5}\right)\) stimmt mit der grafischen Schätzung überein.

a) Näherungsweise \(S\approx(1{,}6|1{,}4)\); der Punkt liegt nicht auf einem Gitterpunkt. b) \(g_1:y=-x+3\), \(g_2:y=1{,}5x-1\); exakt \(S\left(\frac{8}{5}\middle|\frac{7}{5}\right)\). c) Die Ablesung stimmt mit dem exakten Ergebnis überein.

- Nutze den Schnittpunkt mit der vertikalen Achse, um den \(y\)-Achsenabschnitt direkt zu finden. - Ein Steigungsdreieck hilft dir, den Faktor vor dem \(x\) zu bestimmen. - Um den Schnittpunkt zweier Geraden zu berechnen, musst du ihre Funktionsterme gleichsetzen.

1. Bestimmung der Funktionsgleichung von \(f\) (blau): Der Graph schneidet die \(y\)-Achse bei \(1\), also ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(c = 1\). Mit einem weiteren Punkt wie \((1 \mid 2)\) ergibt sich die Steigung \(m = \frac{2 - 1}{1 - 0} = 1\). Somit lautet die Gleichung \(f(x) = x + 1\). 2. Bestimmung der Funktionsgleichung von \(g\) (rot): Der Graph schneidet die \(y\)-Achse bei \(5\), also ist \(c = 5\). Mit dem Punkt \((2 \mid 1)\) ergibt sich die Steigung \(m = \frac{1 - 5}{2 - 0} = -2\). Somit lautet die Gleichung \(g(x) = -2x + 5\). 3. Gleichsetzen der Funktionsterme zur Schnittpunktbestimmung: \(x + 1 = -2x + 5\). 4. Umformen der Gleichung nach \(x\): \(3x = 4 \Rightarrow x = \frac{4}{3} \approx 1{,}33\). 5. Einsetzen des \(x\)-Werts in eine der Funktionen zur Berechnung des \(y\)-Werts: \(y = \frac{4}{3} + 1 = \frac{7}{3} \approx 2{,}33\). Der exakte Schnittpunkt ist \(S(\frac{4}{3} \mid \frac{7}{3})\).

a) \(f(x) = x + 1\) und \(g(x) = -2x + 5\) b) Der Schnittpunkt ist \(S(\frac{4}{3} \mid \frac{7}{3})\) bzw. gerundet \(S(1{,}33 \mid 2{,}33)\).

- Ein Punkt, in dem sich zwei Geraden schneiden, stellt eine gemeinsame Lösung dar. - Überlege dir, was „parallel“ für die Existenz gemeinsamer Punkte bedeutet. - Wenn zwei Geraden exakt aufeinanderliegen, welche Punkte gehören dann zu beiden? - Die Lösungsmenge enthält alle Paare \((x \mid y)\), die beide Bedingungen des Systems erfüllen.

1. In Abbildung (1) schneiden sich die Geraden im Punkt \((2 \mid -1)\). Dieser Punkt erfüllt beide Gleichungen gleichzeitig. Die Lösungsmenge ist somit \(L = \{(2 \mid -1)\}\). 2. In Abbildung (2) verlaufen die Geraden parallel zueinander. Da sie keinen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen, gibt es kein Zahlenpaar \((x \mid y)\), das beide Gleichungen erfüllt. Die Lösungsmenge ist leer: \(L = \emptyset\). 3. In Abbildung (3) sind die Geraden identisch. Jeder Punkt, der auf der Geraden liegt, ist eine Lösung des Systems. Es gibt daher unendlich viele Lösungen. Da die Geradengleichung \(y = 1{,}5x + 1\) gegeben ist, lautet die Lösungsmenge \(L = \{(x \mid y) \mid y = 1{,}5x + 1\}\).

a) \(L = \{(2 \mid -1)\}\) b) Die Geraden sind parallel und haben keinen Schnittpunkt, daher gibt es keine gemeinsame Lösung. c) Es gibt unendlich viele Lösungen. Lösungsmenge: \(L = \{(x \mid y) \mid y = 1{,}5x + 1\}\).

- Forme beide Gleichungen in die Form \(y=mx+b\) um. - Vergleiche Steigung und \(y\)-Achsenabschnitt mit den beschrifteten Geraden in beiden Diagrammen. - Wie kannst du den abgelesenen Schnittpunkt rechnerisch prüfen?

1. Umformen ergibt \(y=-x+4\) und \(y=x-2\). 2. In Diagramm a) beschreibt \(g\) die Gerade \(y=-x+4\), und \(h\) beschreibt \(y=x-2\). In Diagramm b) hat \(h\) dagegen den falschen \(y\)-Achsenabschnitt \(2\). 3. Im richtigen Diagramm a) schneiden sich die Geraden in \(S(3|1)\). 4. Die Probe liefert \(3+1=4\) und \(3-1=2\). Der abgelesene Punkt erfüllt beide Ausgangsgleichungen.

Diagramm a) ist korrekt. Der Schnittpunkt ist \(S(3|1)\).

- Der Schnittpunkt zeigt eine Mietdauer, zu der beide Kosten gleich sind. - Lies beide Koordinaten des Schnittpunkts mit ihren Bedeutungen an den Achsen ab. - Für den Preisvergleich genügt es zu prüfen, welche Gerade links vom Schnittpunkt tiefer liegt.

1. Die Geraden schneiden sich bei \(S(2|14)\). 2. Daher kosten beide Verleihe bei einer Mietdauer von \(2\,\text{h}\) jeweils \(14\,\text{€}\). 3. Links vom Schnittpunkt liegt die Gerade \(h\) unter \(g\). Für weniger als \(2\,\text{h}\) ist daher Verleih Süd günstiger.

a) bei \(2\,\text{h}\) b) Bei \(2\,\text{h}\) kosten beide Verleihe \(14\,\text{€}\). c) Für weniger als \(2\,\text{h}\) ist Verleih Süd günstiger.

- Bestimme aus zwei gut ablesbaren Punkten Steigung und \(y\)-Achsenabschnitt. - Wie kannst du aus einer Geradengleichung eine äquivalente zweite Gleichung erzeugen? - Was bedeutet es für die Lösungsmenge, wenn beide Gleichungen dieselbe Gerade beschreiben?

1. Die sichtbare Gerade verläuft durch \((0|-1)\) und \((2|2)\). Daher ist die Steigung \(m=\frac{2-(-1)}{2-0}=1{,}5\), und der \(y\)-Achsenabschnitt beträgt \(-1\). 2. Eine passende erste Gleichung ist \(y=1{,}5x-1\). Eine äquivalente zweite Gleichung ist beispielsweise \(3x-2y=2\). 3. Ein passendes LGS ist damit \(\begin{cases}y=1{,}5x-1\\3x-2y=2\end{cases}\). 4. Beide Gleichungen beschreiben dieselbe Gerade. Deshalb besteht die Lösungsmenge aus allen Punkten dieser Geraden: \(L=\{(x|y)\mid y=1{,}5x-1\}\).

Zum Beispiel: \(\begin{cases}y=1{,}5x-1\\3x-2y=2\end{cases}\); \(L=\{(x|y)\mid y=1{,}5x-1\}\).