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- Welche beiden Terme sind bereits Gegenzahlen? - Addiere linke und rechte Seiten jeweils termweise, ohne vorher zu multiplizieren.

1. Beim Addieren heben sich \(2x\) und \(-2x\) auf. 2. Die übrigen Terme ergeben \(3y+y=11+1\), also \(4y=12\). Antwort A ist richtig.

A: \(4y=12\)

- Kannst du eine der Gleichungen so verändern, dass eine Variable beim Addieren beider Gleichungen wegfällt? - Welche Zahl müsste als Koeffizient vor einer der Variablen stehen, damit dieser Koeffizient die Gegenzahl des entsprechenden Koeffizienten in der anderen Gleichung ist? - Was passiert mit der anderen Variable, wenn du die beiden Gleichungen addierst? - Wie kannst du dein Ergebnis am Ende in den ursprünglichen Gleichungen überprüfen?

1. Multiplikation der Gleichung (II) mit \(2\), um die Koeffizienten von \(b\) gegengleich zu machen: \(2a + 4b = 12\). 2. Addition der neuen Gleichung (II') und der Gleichung (I): \((3a - 4b) + (2a + 4b) = 18 + 12\). 3. Zusammenfassen der Terme: \(5a = 30\). 4. Division durch \(5\): \(a = 6\). 5. Einsetzen von \(a = 6\) in Gleichung (II): \(6 + 2b = 6\). 6. Subtraktion von \(6\): \(2b = 0\). 7. Division durch \(2\): \(b = 0\). 8. Angabe der Lösungsmenge: \(L = \{(6 \mid 0)\}\).

\(L = \{(6 \mid 0)\}\)

- Schau dir die Koeffizienten von \(y\) in beiden Gleichungen an. Was passiert, wenn du die Gleichungen direkt addierst? - Überlege, wie du eine Variable verschwinden lassen kannst. - Vergiss nicht, den gefundenen Wert am Ende in eine der Gleichungen einzusetzen, um die zweite Variable zu bestimmen.

1. Addition der Gleichungen (I) und (II): \(7x = 21\) 2. Berechnung von \(x\): \(x = 3\) 3. Einsetzen von \(x = 3\) in Gleichung (I): \(5 \cdot 3 + 3y = 9\) 4. Berechnung von \(y\): \(15 + 3y = 9 \Rightarrow 3y = -6 \Rightarrow y = -2\) 5. Bestimmung der Lösungsmenge: \(L = \{(3 \mid -2)\}\)

\(L = \{(3 \mid -2)\}\)

- Wann heben sich zwei Summanden beim Addieren genau auf? - Schau dir die Zahlen direkt vor den Buchstaben an. - Wenn du eine Variable berechnet hast, wie findest du dann die andere?

1. Teilaufgabe a: Auswahl von Gleichung (1) und (2), da die Koeffizienten von \(y\) mit \(4\) und \(-4\) Gegenzahlen sind. 2. Addition: \((3x + 4y) + (5x - 4y) = 10 + 6 \implies 8x = 16 \implies x = 2\). 3. Einsetzen von \(x = 2\) in (1): \(3 \cdot 2 + 4y = 10 \implies 6 + 4y = 10 \implies 4y = 4 \implies y = 1\). Lösung: \((2|1)\). 4. Teilaufgabe b: Auswahl von Gleichung (1) und (3), da die Koeffizienten von \(x\) mit \(3\) und \(-3\) Gegenzahlen sind. 5. Addition: \((3x + 4y) + (-3x + 2y) = 10 + 8 \implies 6y = 18 \implies y = 3\). 6. Einsetzen von \(y = 3\) in (3): \(-3x + 2 \cdot 3 = 8 \implies -3x + 6 = 8 \implies -3x = 2 \implies x = -\frac{2}{3}\). Lösung: \((-\frac{2}{3}|3)\).

a) System aus (1) und (2); Lösung: \(x = 2\), \(y = 1\). b) System aus (1) und (3); Lösung: \(x = -\frac{2}{3}\), \(y = 3\).

- Was passiert, wenn du eine der Gleichungen so multiplizierst, dass die Koeffizienten vor einer Variablen in beiden Gleichungen gleich (oder genau entgegengesetzt) sind? - Wenn beim Rechnen die Variablen wegfallen und eine unwahre Aussage wie \(0 = 5\) übrig bleibt, was bedeutet das für die Lösungsmenge? - Überprüfe, ob die beiden Geraden, die durch die Gleichungen beschrieben werden, parallel zueinander verlaufen könnten.

1. Multiplikation der Gleichung (II) mit dem Faktor \(2\), um die Koeffizienten anzugleichen: \(3x + 4y = 30\). 2. Subtraktion der umgeformten Gleichung (II) von Gleichung (I): \((3x + 4y) - (3x + 4y) = 12 - 30\). 3. Ergebnis der Subtraktion: \(0 = -18\). 4. Da dies eine falsche Aussage ist, besitzt das System keine Lösung. 5. Resultat: \(L = \emptyset\).

\(L = \emptyset\) (keine Lösung)

- Schau dir die Zahlen vor den Variablen genau an. Fällt dir etwas auf, wenn du die Gleichungen addierst? - Was passiert mit einer Variablen, wenn du zwei Werte addierst, die den gleichen Betrag, aber verschiedene Vorzeichen haben? - Wenn du eine Variable berechnet hast, wie kannst du dann die andere finden?

1. Analyse der Koeffizienten: Die Koeffizienten von \(y\) sind Gegenzahlen (\(-3\) und \(+3\)), weshalb sie sich bei Addition direkt aufheben. 2. Addition der Gleichungen: \((5x + 2x) + (-3y + 3y) = 9 + 12 \Rightarrow 7x = 21\). 3. Bestimmung von \(x\): Division durch \(7\) ergibt \(x = 3\). 4. Bestimmung von \(y\): Einsetzen von \(x = 3\) in Gleichung (II) ergibt \(2 \cdot 3 + 3y = 12 \Rightarrow 6 + 3y = 12\). 5. Auflösen nach \(y\): \(3y = 6 \Rightarrow y = 2\). Die Lösung ist \((3|2)\).

a) Das Additionsverfahren ist besonders effizient, da die Koeffizienten von \(y\) Gegenzahlen sind (\(-3\) und \(3\)). Beim Addieren der Gleichungen fällt die Variable \(y\) sofort weg. b) Die Lösung des Systems ist \((3|2)\).

- Kannst du eine der Gleichungen so verändern, dass ein Buchstabe beim Zusammenzählen der Gleichungen wegfällt? - Was passiert, wenn du die zweite Gleichung mit einer bestimmten Zahl multiplizierst? - Hast du daran gedacht, den gefundenen Wert am Ende in eine der Gleichungen einzusetzen, um den zweiten Buchstaben zu berechnen? - Überprüfe dein Ergebnis, indem du beide Werte in die ursprünglichen Gleichungen einsetzt.

1. Multiplikation der zweiten Gleichung mit 2, um die Koeffizienten von \(y\) gegengleich zu machen: \(10x - 2y = 6\). 2. Addition der ersten Gleichung (\(3x + 2y = 7\)) und der neuen zweiten Gleichung: \(13x = 13\). 3. Division durch 13 ergibt \(x = 1\). 4. Einsetzen von \(x = 1\) in die ursprüngliche zweite Gleichung: \(5 \cdot 1 - y = 3\). 5. Umstellen nach \(y\): \(5 - 3 = y\), also \(y = 2\). 6. Die Lösung des Systems ist das Paar \((1|2)\).

\((1|2)\)

- Kannst du eine der Gleichungen so verändern, dass eine Variable beim Addieren der Gleichungen wegfällt? - Welches Vielfache eines Koeffizienten wäre hier hilfreich? - Was passiert, wenn du die zweite Gleichung mit einer bestimmten Zahl multiplizierst? - Ist es einfacher, die Variable \(x\) oder die Variable \(y\) zu eliminieren?

1. Multiplikation der zweiten Gleichung mit \(3\), um die Koeffizienten von \(y\) gegengleich zu machen: \(12x - 3y = 30\). 2. Addition der ersten Gleichung (\(2x + 3y = 12\)) und der neuen zweiten Gleichung (\(12x - 3y = 30\)) führt zu \(14x = 42\). 3. Division durch \(14\) ergibt den Wert \(x = 3\). 4. Einsetzen von \(x = 3\) in die ursprüngliche zweite Gleichung: \(4 \cdot 3 - y = 10\). 5. Vereinfachen zu \(12 - y = 10\) und Auflösen nach \(y\) ergibt \(y = 2\).

\((3|2)\)

- Suche Multiplikatoren, mit denen die Koeffizienten einer Variablen zu Gegenzahlen werden. - Addiere erst, wenn die gewählte Variable beim Zusammenfassen vollständig verschwindet. - Prüfe das gefundene Wertepaar in beiden Ausgangsgleichungen.

1. Gleichung (I) mit \(2\) und Gleichung (II) mit \(5\) multiplizieren: \(8x-10y=-4\) und \(15x+10y=50\). 2. Addieren: \(23x=46\), also \(x=2\). 3. Rückeinsetzen in Gleichung (II): \(3\cdot2+2y=10 \Rightarrow y=2\). 4. Die Lösung ist \((2|2)\).

\((2|2)\)

- Was passiert, wenn du beide Gleichungen direkt addierst? - Kannst du eine Variable eliminieren, ohne die Gleichungen vorher zu multiplizieren? - Wie kannst du den gefundenen Wert einer Variable nutzen, um die andere zu berechnen?

1. Addition der beiden Gleichungen zur Elimination von \(y\): \((\frac{x}{2} + y) + (\frac{x}{2} - y) = 7 + 1\). 2. Zusammenfassen der Terme auf der linken Seite ergibt \(x = 8\). 3. Einsetzen des Wertes \(x = 8\) in die erste Gleichung: \(\frac{8}{2} + y = 7\). 4. Vereinfachen der Gleichung: \(4 + y = 7\). 5. Subtraktion von 4 auf beiden Seiten ergibt \(y = 3\).

\(x = 8\) und \(y = 3\)

- Suche ein gemeinsames Vielfaches der Koeffizienten einer Variablen. - Wähle die Vorzeichen der Multiplikatoren so, dass sich diese Variable beim Addieren aufhebt. - Prüfe das gefundene Wertepaar in beiden Ausgangsgleichungen.

1. Gleichung (I) mit \(2\) und Gleichung (II) mit \(3\) multiplizieren: \(8x-6y=10\) und \(9x+6y=24\). 2. Addieren: \(17x=34\), also \(x=2\). 3. Rückeinsetzen in Gleichung (I): \(8-3y=5 \Rightarrow y=1\). 4. Die Lösung ist \((2|1)\).

\((2|1)\)

- Kannst du die Gleichungen so verändern, dass eine Variable wegfällt, wenn du sie addierst? - Was musst du mit den Gleichungen machen, damit die Zahlen vor dem \(y\) (oder dem \(x\)) bis auf das Vorzeichen gleich sind? - Hast du dein Ergebnis am Ende in beide Gleichungen eingesetzt, um es zu prüfen?

1. Multiplikation der ersten Gleichung mit \(5\) und der zweiten Gleichung mit \(-2\), um die Koeffizienten von \(y\) aneinander anzupassen: \(25x + 10y = 5\) und \(-6x - 10y = -24\). 2. Addition der beiden resultierenden Gleichungen zur Eliminierung von \(y\): \(19x = -19\). 3. Lösen nach \(x\): \(x = -1\). 4. Einsetzen von \(x = -1\) in die erste Originalgleichung: \(5 \cdot (-1) + 2y = 1 \implies -5 + 2y = 1\). 5. Lösen nach \(y\): \(2y = 6 \implies y = 3\).

\(x = -1\) und \(y = 3\)

- Was passiert, wenn du eine der Gleichungen so multiplizierst, dass eine Variable beim Addieren der Gleichungen wegfällt? - Welche Zahl bietet sich als Multiplikator für die erste Gleichung an, damit \(y\) verschwindet? - Hast du dein Ergebnis am Ende in beiden Gleichungen überprüft?

1. Erste Gleichung mit 3 multiplizieren, um die Koeffizienten von \(y\) gegengleich zu machen: \(12x - 3y = 21\). 2. Die neue Gleichung zur zweiten Gleichung addieren: \((12x - 3y) + (2x + 3y) = 21 + 7\). 3. Terme zusammenfassen: \(14x = 28\). 4. Nach \(x\) auflösen: \(x = 2\). 5. Den Wert \(x = 2\) in die ursprüngliche erste Gleichung einsetzen: \(4 \cdot 2 - y = 7\). 6. Nach \(y\) auflösen: \(8 - y = 7 \implies -y = -1 \implies y = 1\). 7. Die Lösung ist das Zahlenpaar \((2|1)\).

\((2|1)\)

- Wie kannst du eine der Gleichungen so verändern, dass eine Variable beim Addieren beider Gleichungen wegfällt? - Was passiert, wenn du die zweite Gleichung mit einer passenden Zahl multiplizierst? - Wenn du einen Wert für eine Variable gefunden hast, wie kommst du dann auf den Wert der anderen? - Hast du dein Ergebnis am Ende durch Einsetzen in beide Gleichungen überprüft?

1. Multiplikation der zweiten Gleichung mit \(-2\), um die Koeffizienten von \(y\) gegengleich zu machen: \(-30x - 8y + 14 = 0\). 2. Addition der resultierenden Gleichung zur ersten Gleichung: \((5x + 8y + 11) + (-30x - 8y + 14) = 0 \Rightarrow -25x + 25 = 0\). 3. Auflösen der Summengleichung nach \(x\): \(x = 1\). 4. Einsetzen von \(x = 1\) in die ursprüngliche erste Gleichung: \(5 \cdot 1 + 8y + 11 = 0 \Rightarrow 16 + 8y = 0\). 5. Auflösen nach \(y\): \(8y = -16 \Rightarrow y = -2\). Das Ergebnis ist das Zahlenpaar \((1|-2)\).

\((1|-2)\)

- Was passiert, wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst? - Wie kannst du die Brüche in der Gleichung vereinfachen, bevor du rechnest? - Kannst du eine Variable direkt eliminieren, ohne die Gleichungen vorher zu multiplizieren? - Vergiss nicht, dein Ergebnis am Ende in beide Ausgangsgleichungen einzusetzen, um es zu prüfen.

1. Subtraktion der zweiten Gleichung von der ersten zur Elimination von \(x\): \( (\frac{1}{3}y) - (-\frac{1}{6}y) = 7 - 1 \). 2. Zusammenfassen der Brüche durch Erweitern auf den Hauptnenner 6: \( \frac{2}{6}y + \frac{1}{6}y = 6 \), also \( \frac{3}{6}y = 6 \) bzw. \( \frac{1}{2}y = 6 \). 3. Berechnung von \(y\): \( y = 12 \). 4. Einsetzen von \(y = 12\) in die erste Gleichung: \( \frac{1}{2}x + \frac{12}{3} = 7 \), vereinfacht zu \( \frac{1}{2}x + 4 = 7 \). 5. Berechnung von \(x\): \( \frac{1}{2}x = 3 \), also \( x = 6 \). 6. Das Lösungspaar ist \((6|12)\).

\((6|12)\)

- Betrachte in Teil a) die Koeffizienten einer Variablen in beiden Gleichungen: Was geschieht beim Addieren? - Für Teil b) genügt es zu prüfen, ob die Koordinaten von \(S\) die weitere Gleichung erfüllen. - In Teil c) ist \(c\) der Wert, den die linke Seite für die Koordinaten von \(S\) annimmt.

1. Für den Schnittpunkt die Gleichungen addieren: \((3x-y)+(x+y)=5+7 \Rightarrow 4x=12\), also \(x=3\). 2. Rückeinsetzen in \(x+y=7\): \(3+y=7 \Rightarrow y=4\). Damit ist \(S(3|4)\). 3. In \(2x+3y=18\) einsetzen: \(2\cdot3+3\cdot4=18\). Daher liegt \(S\) auch auf dieser Geraden. 4. In \(x-2y=c\) einsetzen: \(c=3-2\cdot4=-5\).

a) \(S(3|4)\) b) Ja, denn \(2\cdot3+3\cdot4=18\). c) \(c=-5\)

- Was musst du tun, wenn die Koeffizienten einer Variable in beiden Gleichungen unterschiedlich und keine einfachen ganzzahligen Vielfachen voneinander sind? - Gibt es ein gemeinsames Vielfaches für die Zahlen vor \(u\) oder \(v\)? - Achte darauf, dass die Vorzeichen nach der Multiplikation so gewählt sind, dass sich eine Variable beim Addieren aufhebt.

1. Multiplikation der Gleichung (I) mit \(3\) und der Gleichung (II) mit \(-5\), um \(u\) zu eliminieren: (I') \(15u + 21v = 33\) (II') \(-15u - 20v = -30\) 2. Addition der Gleichungen (I') und (II'): \(15u - 15u + 21v - 20v = 33 - 30\). 3. Vereinfachen: \(v = 3\). 4. Einsetzen von \(v = 3\) in Gleichung (II): \(3u + 4 \cdot 3 = 6\). 5. Berechnung: \(3u + 12 = 6\). 6. Subtraktion von \(12\): \(3u = -6\). 7. Division durch \(3\): \(u = -2\). 8. Angabe der Lösungsmenge: \(L = \{(-2 \mid 3)\}\).

\(L = \{(-2 \mid 3)\}\)

- Wie kannst du die Klammern auflösen, um die Gleichungen zu vereinfachen? - Versuche, beide Gleichungen so zu sortieren, dass alle Variablen auf einer Seite und die Zahlen auf der anderen Seite stehen. - Welche Variable lässt sich nach der Umformung am leichtesten eliminieren? - Denke daran, dass Ergebnisse auch Dezimalzahlen sein können.

1. Umformung von (I): \(3x - 6 = 4y + 1 \Rightarrow 3x - 4y = 7\). 2. Umformung von (II): \(5x = 2y + 6x + 7 \Rightarrow -x - 2y = 7\). 3. Multiplikation der umgeformten Gleichung (II') mit \(-2\): \(2x + 4y = -14\). 4. Addition von (I') und (II''): \((3x - 4y) + (2x + 4y) = 7 + (-14)\). 5. Zusammenfassen: \(5x = -7\). 6. Division durch \(5\): \(x = -1{,}4\). 7. Einsetzen von \(x = -1{,}4\) in (II'): \(-(-1{,}4) - 2y = 7 \Rightarrow 1{,}4 - 2y = 7\). 8. Subtraktion von \(1{,}4\): \(-2y = 5{,}6\). 9. Division durch \(-2\): \(y = -2{,}8\). 10. Angabe der Lösungsmenge: \(L = \{(-1{,}4 \mid -2{,}8)\}\).

\(L = \{(-1{,}4 \mid -2{,}8)\}\)

- Kannst du eine der Gleichungen so verändern, dass die Koeffizienten einer Variable beim Addieren genau null ergeben? - Welche Zahl ist ein gemeinsames Vielfaches der Koeffizienten von \(y\)? - Achte darauf, jeden Term der Gleichung mit derselben Zahl zu multiplizieren.

1. Multiplikation der Gleichung (I) mit \(2\), um die Koeffizienten von \(y\) anzugleichen: \((I') \ 6x + 4y = 14\) 2. Addition von (I') und (II): \(15x = 15\) 3. Berechnung von \(x\): \(x = 1\) 4. Einsetzen von \(x = 1\) in die ursprüngliche Gleichung (I): \(3 \cdot 1 + 2y = 7\) 5. Berechnung von \(y\): \(3 + 2y = 7 \Rightarrow 2y = 4 \Rightarrow y = 2\) 6. Bestimmung der Lösungsmenge: \(L = \{(1 \mid 2)\}\)

\(L = \{(1 \mid 2)\}\)

- Hier ist es hilfreich, beide Gleichungen so zu multiplizieren, dass eine Variable eliminiert werden kann. - Suche nach einem gemeinsamen Vielfachen für die Koeffizienten von \(x\) oder \(y\). - Welche Vorzeichen haben die Koeffizienten der Variable, die du eliminieren möchtest?

1. Multiplikation von (I) mit \(2\) und (II) mit \(5\), um das kleinste gemeinsame Vielfache der Koeffizienten von \(y\) zu bilden: \((I') \ 8x - 10y = 26\) \((II') \ 15x + 10y = 20\) 2. Addition der neuen Gleichungen (I') und (II'): \(23x = 46\) 3. Berechnung von \(x\): \(x = 2\) 4. Einsetzen von \(x = 2\) in Gleichung (II): \(3 \cdot 2 + 2y = 4\) 5. Berechnung von \(y\): \(6 + 2y = 4 \Rightarrow 2y = -2 \Rightarrow y = -1\) 6. Bestimmung der Lösungsmenge: \(L = \{(2 \mid -1)\}\)

\(L = \{(2 \mid -1)\}\)

- Was ist das Ziel des Additionsverfahrens? - Wie viele Rechenschritte sparst du dir, wenn du nur eine Gleichung verändern musst? - Welche Strategie führt zu kleineren Zahlen, mit denen man leichter rechnen kann?

1. Bewertung: Strategie A ist effizienter, da nur eine Gleichung multipliziert werden muss, um entgegengesetzte Koeffizienten (\(4y\) und \(-4y\)) zu erhalten, während bei B beide Gleichungen verändert werden und größere Zahlen entstehen. 2. Anwendung von A: Multiplikation von (I) mit \(2\) ergibt (Ia) \(10x + 4y = 32\). 3. Addition von (Ia) und (II): \(10x + 3x + 4y - 4y = 32 + 7 \implies 13x = 39\). 4. Berechnung von \(x\): \(x = 39 : 13 = 3\). 5. Einsetzen von \(x = 3\) in (I): \(5 \cdot 3 + 2y = 16 \implies 15 + 2y = 16 \implies 2y = 1 \implies y = 0{,}5\). 6. Lösungsmenge: \(L = \{(3|0{,}5)\}\).

a) Strategie A ist effizienter, da nur eine Gleichung umgeformt werden muss und die Zahlen kleiner bleiben. b) Die Lösung ist \(x = 3\) und \(y = 0{,}5\), also \(L = \{(3|0{,}5)\}\).

- Schau dir die Koeffizienten vor dem \(y\) genau an. In welchem Verhältnis stehen \(1{,}2\) und \(0{,}6\)? - Was stört dich an der Aufgabe am meisten? Kannst du das durch eine einfache Multiplikation beheben? - Wenn du \(x\) kennst, wie kommst du dann auf \(y\)?

1. Bestimmung des Faktors: Um \(1{,}2y\) und \(-0{,}6y\) zu eliminieren, muss (II) mit \(2\) multipliziert werden, da \(-0{,}6 \cdot 2 = -1{,}2\). 2. Vorteil der Multiplikation mit 10: Alle Dezimalzahlen werden zu ganzen Zahlen, was das Kopfrechnen erleichtert und die Fehleranfälligkeit senkt. 3. Lösungsweg über (II) \(\cdot 2\): (IIa) \(4x - 1{,}2y = 4{,}4\). 4. Addition von (I) und (IIa): \(0{,}5x + 4x = 4{,}6 + 4{,}4 \implies 4{,}5x = 9\). 5. Berechnung von \(x\): \(x = 9 : 4{,}5 = 2\). 6. Einsetzen von \(x = 2\) in (II): \(2 \cdot 2 - 0{,}6y = 2{,}2 \implies 4 - 0{,}6y = 2{,}2 \implies 1{,}8 = 0{,}6y \implies y = 3\). 7. Ergebnis: \(L = \{(2|3)\}\).

a) Multiplikation mit \(2\). b) Der Vorteil ist die Vermeidung von Dezimalzahlen, wodurch mit ganzen Zahlen gerechnet werden kann. c) Die Lösungsmenge ist \(L = \{(2|3)\}\).

- Prüfe in a), ob sich die beiden ursprünglichen Gleichungen beim Addieren tatsächlich wie angegeben vereinfachen. - Nutze anschließend eine ursprüngliche Gleichung, um die zweite Variable zu bestimmen. - Überlege für b), welche Beziehung zwei Koeffizienten haben müssen, damit ihre Summe null wird.

1. Die Addition ist korrekt: \((6x-5y)+(3x+5y)=9x\) und \(14+31=45\). Daher ist \(x=45:9=5\). 2. Einsetzen in (II) ergibt \(3\cdot5+5y=31\), also \(15+5y=31\), \(5y=16\) und \(y=3{,}2\). 3. Damit \(x\) beim Addieren direkt verschwindet, muss sein Koeffizient in (II) die Gegenzahl von \(6\) sein. Die geänderte Gleichung lautet \(-6x+5y=31\). 4. Bei dieser geänderten Gleichung verschwinden beim Addieren sogar beide Variablen, weil auch \(-5y+5y=0\) gilt; es entsteht \(0=45\). Das ändert jedoch nicht die gesuchte Antwort auf die Koeffizientenfrage.

a) Die Rechnung für \(x\) ist korrekt; \(y=3{,}2\). b) Die geänderte Gleichung (II) lautet \(-6x+5y=31\). Beim Addieren verschwinden dann sogar \(x\) und \(y\) gleichzeitig.

- Kannst du eine der Gleichungen so verändern, dass der Koeffizient einer Variablen die Gegenzahl des entsprechenden Koeffizienten in der anderen Gleichung wird? - Schau dir die Zahlen vor dem \(y\) an: \(9\) und \(-3\). Wie hängen diese zusammen? - Alternativ: Wie hängen die Zahlen vor dem \(x\) (\(4\) und \(2\)) zusammen?

1. Elimination von \(y\): Multiplikation von (II) mit \(3\) ergibt \(6x - 9y = 24\). 2. Addition von (I) und der neuen Gleichung: \((4x + 9y) + (6x - 9y) = 1 + 24 \implies 10x = 25 \implies x = 2{,}5\). 3. Einsetzen von \(x = 2{,}5\) in (II): \(2 \cdot 2{,}5 - 3y = 8 \implies 5 - 3y = 8 \implies -3y = 3 \implies y = -1\).

Die Lösung des Systems ist \(x = 2{,}5\) und \(y = -1\). Möglicher erster Schritt: Gleichung (II) mit \(3\) multiplizieren, um \(y\) zu eliminieren.

- Es hilft oft, zuerst alle Variablen auf die linke Seite und die Zahlen auf die rechte Seite der Gleichung zu bringen. - Suche nach einem gemeinsamen Vielfachen für die Koeffizienten einer Variablen, um diese durch Addition oder Subtraktion eliminieren zu können. - Vergiss nicht, den gefundenen Wert für die erste Variable in eine der Ausgangsgleichungen einzusetzen, um die zweite Variable zu bestimmen.

1. Umstellen der Gleichung (II) in die Standardform: \(5a + 4b = 23\). 2. Multiplikation von (I) mit \(4\) und von (II) mit \(3\), um die Koeffizienten von \(b\) gegengleich zu machen: (I') \(8a - 12b = 0\) und (II') \(15a + 12b = 69\). 3. Addition der Gleichungen (I') und (II'): \(23a = 69\). 4. Division durch \(23\): \(a = 3\). 5. Einsetzen von \(a = 3\) in (I): \(2 \cdot 3 - 3b = 0 \Rightarrow 6 - 3b = 0 \Rightarrow 6 = 3b\). 6. Berechnung von \(b\): \(b = 2\). 7. Resultat: \(L = \{(3 | 2)\}\).

\(L = \{(3 | 2)\}\)

- Lass dich von den Dezimalzahlen nicht verunsichern; das Verfahren bleibt genau gleich. - Könntest du eine Gleichung mit einer Zahl multiplizieren, sodass die Dezimalstellen bei einer Variablen verschwinden oder mit der anderen Gleichung übereinstimmen? - Manchmal ist es einfacher, eine Gleichung so zu erweitern, dass eine Variable direkt wegfällt, wenn man beide Gleichungen addiert.

1. Multiplikation der Gleichung (II) mit \(3\), um den Koeffizienten von \(y\) an den von (I) anzupassen: \(3x - 1{,}2y = 3\). 2. Addition der ursprünglichen Gleichung (I) und der neuen Gleichung (II): \((0{,}5x + 1{,}2y) + (3x - 1{,}2y) = 4 + 3\). 3. Zusammenfassen der Terme: \(3{,}5x = 7\). 4. Berechnung von \(x\): \(x = \frac{7}{3{,}5} = 2\). 5. Einsetzen von \(x = 2\) in Gleichung (II): \(2 - 0{,}4y = 1\). 6. Umformen nach \(y\): \(1 = 0{,}4y \Rightarrow y = \frac{1}{0{,}4} = 2{,}5\). 7. Resultat: \(L = \{(2 | 2{,}5)\}\).

\(L = \{(2 | 2{,}5)\}\)

- Betrachte die Zahlen vor den Buchstaben \(x\) und \(y\). Gibt es ein einfaches Vielfaches? - Könntest du eine Gleichung so verändern, dass eine Variable beim Zusammenzählen beider Gleichungen wegfällt? - Ist es einfacher, eine Gleichung zu multiplizieren oder eine Variable mühsam mit Brüchen zu isolieren?

1. Wahl des Verfahrens: Das Additionsverfahren ist effizient, da sich die Koeffizienten von \(y\) (\(2\) und \(-4\)) durch einfache Multiplikation von Gleichung (I) mit \(2\) gegengleich machen lassen. 2. Gleichung (I) mit \(2\) multiplizieren: \(10x + 4y = 2\). 3. Addieren der neuen Gleichung (I') und Gleichung (II): \((10x + 3x) + (4y - 4y) = 2 + 11 \Rightarrow 13x = 13\). 4. Nach \(x\) auflösen: \(x = 1\). 5. \(x = 1\) in (I) einsetzen: \(5 \cdot 1 + 2y = 1 \Rightarrow 5 + 2y = 1\). 6. Nach \(y\) auflösen: \(2y = -4 \Rightarrow y = -2\). 7. Ergebnis: Das Lösungspaar ist \((1|-2)\).

Durch das Additionsverfahren (Multiplikation von (I) mit \(2\)) erhält man die Lösung \(x = 1\) und \(y = -2\), also \(L = \{(1|-2)\}\).

- Dezimalzahlen können oft durch Multiplikation in ganze Zahlen umgewandelt werden. - Was passiert, wenn du die erste Gleichung mit \(5\) oder mit \(10\) multiplizierst? - Siehst du eine Ähnlichkeit zwischen den \(x\)-Werten in beiden Gleichungen nach einer Umformung? - Wenn auf der rechten Seite nach einer Subtraktion Null steht, was bedeutet das für die Variable?

1. Strategieprüfung: Multipliziert man (I) mit \(5\), erhält man \(2x + 1{,}5y = 9\). Dies ist vorteilhaft, da der Koeffizient von \(x\) dann mit Gleichung (II) übereinstimmt. 2. Umformung von (I): \(5 \cdot (0{,}4x + 0{,}3y) = 5 \cdot 1{,}8 \Rightarrow 2x + 1{,}5y = 9\). 3. Subtraktionsverfahren (Variante des Additionsverfahrens): (I') minus (II) rechnen: \((2x - 2x) + (1{,}5y - (-5y)) = 9 - 9\). 4. Vereinfachen: \(6{,}5y = 0\). 5. Nach \(y\) auflösen: \(y = 0\). 6. \(y = 0\) in (II) einsetzen: \(2x - 5 \cdot 0 = 9 \Rightarrow 2x = 9\). 7. Nach \(x\) auflösen: \(x = 4{,}5\). 8. Ergebnis: Die Lösung ist \((4{,}5|0)\).

Durch Multiplikation von (I) mit \(5\) und anschließender Subtraktion von (II) ergibt sich \(y = 0\) und \(x = 4{,}5\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{(4{,}5|0)\}\).

- Wie kannst du die Gleichungen multiplizieren, damit die Nenner verschwinden? - Welche Zahl ist ein gemeinsames Vielfaches von 2 und 5? - Wenn du eine Gleichung addierst, sollte eine der Variablen wegfallen. Wie müssen die Zahlen vor dieser Variablen in beiden Gleichungen aussehen?

1. Multiplikation beider Gleichungen mit \(10\), um die Nenner zu eliminieren: (Ia) \(4x - 5y = -10\) und (IIa) \(2x + 15y = 170\). 2. Multiplikation von (Ia) mit \(3\), um den Koeffizienten von \(y\) an (IIa) anzupassen: (Ib) \(12x - 15y = -30\). 3. Addition von (Ib) und (IIa): \(14x = 140\), woraus \(x = 10\) folgt. 4. Einsetzen von \(x = 10\) in (IIa): \(2 \cdot 10 + 15y = 170 \Rightarrow 20 + 15y = 170 \Rightarrow 15y = 150 \Rightarrow y = 10\). 5. Die Lösungsmenge ist \(L = \{(10 | 10)\}\).

\(L = \{(10 | 10)\}\)

- Mit welcher Zehnerzahl musst du multiplizieren, um die Kommas um eine Stelle nach rechts zu verschieben? - Was musst du tun, damit beim Addieren der Gleichungen entweder \(x\) oder \(y\) verschwindet? - Hast du daran gedacht, jeden Summanden und auch das Ergebnis auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens zu multiplizieren?

1. Multiplikation beider Gleichungen mit \(10\), um die Dezimalstellen zu entfernen: (Ia) \(3x + 4y = 25\) und (IIa) \(7x - 2y = 13\). 2. Multiplikation von (IIa) mit \(2\), um gegengleiche Koeffizienten für \(y\) zu erhalten: (IIb) \(14x - 4y = 26\). 3. Addition von (Ia) und (IIb): \(17x = 51\), woraus \(x = 3\) folgt. 4. Einsetzen von \(x = 3\) in (Ia): \(3 \cdot 3 + 4y = 25 \Rightarrow 9 + 4y = 25 \Rightarrow 4y = 16 \Rightarrow y = 4\). 5. Die Lösungsmenge ist \(L = \{(3 | 4)\}\).

\(L = \{(3 | 4)\}\)

- Gibt es eine Variable, deren Koeffizienten in beiden Gleichungen leicht auf den gleichen Betrag gebracht werden können? - Achte beim Addieren der Gleichungen besonders auf die Vorzeichen. - Du kannst das Ergebnis überprüfen, indem du beide Werte in die ursprünglichen Gleichungen einsetzt.

1. Anwendung des Additionsverfahrens: Multiplikation der Gleichung (II) mit \(-2\), um die Variable \(x\) zu eliminieren: \(-4x - 10y = 2\). 2. Addieren der neuen Gleichung (II') zur Gleichung (I): \((4x - 4x) + (-3y - 10y) = 11 + 2\). 3. Vereinfachen: \(-13y = 13\). 4. Division durch \(-13\): \(y = -1\). 5. Einsetzen von \(y = -1\) in Gleichung (II): \(2x + 5 \cdot (-1) = -1\). 6. Auflösen nach \(x\): \(2x - 5 = -1 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2\). 7. Die Lösungsmenge ist \(L = \{(2 | -1)\}\).

\(L = \{(2 | -1)\}\)

- Wenn keine Variable direkt isoliert ist, kann es hilfreich sein, beide Gleichungen zu multiplizieren. - Suche nach dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Koeffizienten einer Variablen. - Überprüfe am Ende, ob deine Lösung für beide Gleichungen eine wahre Aussage ergibt.

1. Anwendung des Additionsverfahrens: Multiplikation der Gleichung (I) mit \(3\) und Gleichung (II) mit \(4\), um \(y\) zu eliminieren. 2. (I') \(9x + 12y = 15\) und (II') \(20x - 12y = 72\). 3. Addieren von (I') und (II'): \(29x = 87\). 4. Division durch \(29\): \(x = 3\). 5. Einsetzen von \(x = 3\) in Gleichung (I): \(3 \cdot 3 + 4y = 5\). 6. Auflösen nach \(y\): \(9 + 4y = 5 \Rightarrow 4y = -4 \Rightarrow y = -1\). 7. Die Lösungsmenge ist \(L = \{(3 | -1)\}\).

\(L = \{(3 | -1)\}\)

- Was muss mit den Zahlen vor dem \(y\) passieren, damit sie sich beim Addieren genau aufheben? - Suche das kleinste gemeinsame Vielfache der Koeffizienten einer Variablen. - Vergiss nicht, die gesamte Gleichung (auch die rechte Seite) zu multiplizieren. - Wie kannst du dein Ergebnis am Ende überprüfen?

1. Um \(y\) zu eliminieren, wird ein gemeinsames Vielfaches der Koeffizienten von \(y\) (\(3\) und \(-4\)) gesucht, z. B. \(12\). 2. Multiplikation von (I) mit \(4\): \(20x + 12y = 28\). 3. Multiplikation von (II) mit \(3\): \(6x - 12y = 24\). 4. Addition der neuen Gleichungen: \((20x + 6x) + (12y - 12y) = 28 + 24\), also \(26x = 52\). 5. Division durch \(26\): \(x = 2\). 6. Einsetzen von \(x = 2\) in (I): \(5 \cdot 2 + 3y = 7 \Rightarrow 10 + 3y = 7\). 7. Nach \(y\) auflösen: \(3y = -3 \Rightarrow y = -1\). 8. Die Lösungsmenge ist \(L = \{(2|-1)\}\). 9. Begründung: Da weder \(3\) ein ganzzahliges Vielfaches von \(4\) noch \(4\) ein ganzzahliges Vielfaches von \(3\) ist, müssen bei Verwendung ganzzahliger Faktoren beide Gleichungen auf einen gemeinsamen Koeffizienten gebracht werden, damit sich \(y\) beim Addieren aufhebt.

a) (I') \(20x + 12y = 28\) und (II') \(6x - 12y = 24\) b) \(L = \{(2|-1)\}\) c) Bei Verwendung ganzzahliger Faktoren müssen beide Gleichungen multipliziert werden, weil \(3\) und \(4\) keine ganzzahligen Vielfachen voneinander sind. Um Gegenzahlen zu erzeugen (z. B. \(12\) und \(-12\)), müssen beide Gleichungen angepasst werden.

- Es hilft oft, zuerst alle Zahlen in das gleiche Format (entweder Brüche oder Dezimalzahlen) zu bringen. - Könntest du eine Gleichung so multiplizieren, dass ein Bruch verschwindet? - Überlege, welcher Koeffizient einfacher zu eliminieren ist: der vor dem \(x\) oder der vor dem \(y\).

1. Umwandlung der Dezimalzahlen in (II) in Brüche oder Brüche in (I) in Dezimalzahlen. Hier bietet sich die Multiplikation von (II) mit \(2\) an, um den Koeffizienten von \(x\) an (I) anzupassen: \(2 \cdot (0{,}25x - 0{,}5y = -1) \Rightarrow 0{,}5x - y = -2\). 2. Da \(\frac{1}{2} = 0{,}5\), lautet das System nun: (I) \(0{,}5x + \frac{2}{3}y = 4\) (II') \(0{,}5x - y = -2\) 3. Subtraktion von (II') von (I) (oder Multiplikation von (II') mit \(-1\) und Addition): \((0{,}5x - 0{,}5x) + (\frac{2}{3}y - (-y)) = 4 - (-2)\). 4. Zusammenfassen: \(\frac{5}{3}y = 6\). 5. Nach \(y\) auflösen: \(y = 6 \cdot \frac{3}{5} = \frac{18}{5} = 3{,}6\). 6. Einsetzen von \(y = 3{,}6\) in (II): \(0{,}25x - 0{,}5 \cdot 3{,}6 = -1 \Rightarrow 0{,}25x - 1{,}8 = -1\). 7. Nach \(x\) auflösen: \(0{,}25x = 0{,}8 \Rightarrow x = 3{,}2\). 8. Die Lösungsmenge ist \(L = \{(3{,}2 | 3{,}6)\}\). 9. Prüfung des vorgegebenen Zahlenpaars \((3|3{,}6)\): In (I) ergibt sich \(\frac{1}{2} \cdot 3 + \frac{2}{3} \cdot 3{,}6 = 3{,}9 \neq 4\). Das Zahlenpaar ist daher keine Lösung.

\(L = \{(3{,}2 | 3{,}6)\}\). Das zu prüfende Zahlenpaar \((3 | 3{,}6)\) ist keine Lösung des Systems.

- Könntest du eine der Gleichungen so multiplizieren, dass eine Variable beim Addieren beider Gleichungen wegfällt? - Es könnte helfen, die Gleichungen zuerst mit \(10\) zu multiplizieren, um die Dezimalzahlen zu eliminieren. - Vergiss nicht, dein Ergebnis für die erste Variable in eine der Ausgangsgleichungen einzusetzen, um die zweite Variable zu finden.

1. Multiplikation der Gleichung (II) mit \(-2\), um die Koeffizienten von \(x\) gegengleich zu machen: \(-0{,}4x - 1{,}0y = -4{,}4\). 2. Addition der neuen Gleichung (II') zur Gleichung (I): \((0{,}4x - 0{,}4x) + (-0{,}3y - 1{,}0y) = 1{,}8 - 4{,}4\). 3. Vereinfachen: \(-1{,}3y = -2{,}6\). 4. Division durch \(-1{,}3\): \(y = 2\). 5. Einsetzen von \(y = 2\) in Gleichung (I): \(0{,}4x - 0{,}3 \cdot 2 = 1{,}8 \implies 0{,}4x - 0{,}6 = 1{,}8\). 6. Umformen nach \(x\): \(0{,}4x = 2{,}4 \implies x = 6\).

Die Lösung ist \(x = 6\) und \(y = 2\).

- Was passiert, wenn du beide Gleichungen addierst? Fällt eine Variable weg? - Achte auf die Vorzeichen der Summanden mit derselben Variable. - Wenn die Koeffizienten einer Variable gleich sind, hilft Subtraktion. - Nachdem du eine Variable berechnet hast, kannst du sie in eine der ursprünglichen Gleichungen einsetzen.

Für System 1: 1. Addition beider Gleichungen: \((5x + 3y) + (2x - 3y) = 21 + 0\) ergibt \(7x = 21\) 2. Division durch 7: \(x = 3\) 3. Einsetzen von \(x = 3\) in die zweite Gleichung: \(2 \cdot 3 - 3y = 0 \implies 6 = 3y\) 4. Ergebnis: \(y = 2\). Lösungspaar: \((3|2)\) Für System 2: 1. Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung: \((6a + 5b) - (6a - 4b) = 28 - 10\) ergibt \(9b = 18\) 2. Division durch 9: \(b = 2\) 3. Einsetzen von \(b = 2\) in die erste Gleichung: \(6a - 4 \cdot 2 = 10 \implies 6a - 8 = 10\) 4. Addition von 8 und Division durch 6: \(6a = 18 \implies a = 3\). Lösungspaar: \((3|2)\)

1) \((x|y) = (3|2)\) 2) \((a|b) = (3|2)\)

- Überprüfe, ob alle Variablen auf der linken Seite und die Zahlen auf der rechten Seite stehen. - Wie kannst du die Gleichungen verändern, damit die Koeffizienten vor \(x\) oder \(y\) gegengleich oder identisch werden? - Achte beim Subtrahieren besonders auf die Vorzeichen (Minus mal Minus ergibt Plus). - Vergiss nicht, die berechneten Werte am Ende in die Lösungsmenge zu schreiben.

1. Umformen von Gleichung (II) durch Subtraktion von \(2y\): \(3x - 2y = 8\) 2. Multiplikation von (I) mit 3 und der neuen Form von (II) mit 2, um die Koeffizienten von \(x\) anzugleichen: (I') \(6x + 15y = -3\) (II') \(6x - 4y = 16\) 3. Subtraktion von (II') von (I'): \((6x + 15y) - (6x - 4y) = -3 - 16 \implies 19y = -19\) 4. Division durch 19: \(y = -1\) 5. Einsetzen von \(y = -1\) in (II): \(3x = 2 \cdot (-1) + 8 \implies 3x = 6\) 6. Division durch 3: \(x = 2\) 7. Lösungsmenge: \(L = \{(2|-1)\}\)

\(L = \{(2|-1)\}\)

- Schau dir die Zahlen vor den Buchstaben an. Gibt es ein gemeinsames Vielfaches, auf das du sie bringen kannst? - Du kannst beide Gleichungen mit unterschiedlichen Zahlen multiplizieren, um eine Variable zu eliminieren. - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn du die Gleichungen addierst. - Hast du beide Variablen berechnet?

1. Multiplikation der ersten Gleichung mit 2 und der zweiten Gleichung mit 5, um die Koeffizienten von \(y\) auf \(10\) und \(-10\) zu bringen: \(8x + 10y = 4\) und \(15x - 10y = 65\). 2. Addition der beiden umgeformten Gleichungen eliminiert \(y\): \(23x = 69\). 3. Division durch 23 ergibt \(x = 3\). 4. Einsetzen von \(x = 3\) in die erste Gleichung: \(4 \cdot 3 + 5y = 2\). 5. Berechnung von \(y\): \(12 + 5y = 2 \implies 5y = -10 \implies y = -2\). 6. Die Lösungsmenge ist \(\{(3|-2)\}\).

\((3|-2)\)

- Findest du ein gemeinsames Vielfaches für die Koeffizienten von \(x\) oder \(y\)? - Wie müssen die Vorzeichen der Koeffizienten sein, damit sie sich beim Addieren gegenseitig aufheben? - Kannst du beide Gleichungen so umformen, dass eine Variable beim Addieren verschwindet? - Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache von \(2\) und \(3\)?

1. Multiplikation der ersten Gleichung mit \(2\) und der zweiten Gleichung mit \(-3\), um \(y\) zu eliminieren: \(8x + 6y = 4\) und \(-15x - 6y = 3\). 2. Addition der beiden umgeformten Gleichungen ergibt \(-7x = 7\). 3. Division durch \(-7\) liefert \(x = -1\). 4. Einsetzen von \(x = -1\) in die erste Gleichung: \(4 \cdot (-1) + 3y = 2\). 5. Auflösen der Gleichung \(-4 + 3y = 2\) führt zu \(3y = 6\) und somit \(y = 2\).

\((-1|2)\)

- Es kann hilfreich sein, zuerst alle Terme mit Variablen auf die eine Seite und die reinen Zahlen auf die andere Seite des Gleichheitszeichens zu bringen. - Mit welchen Zahlen musst du die Gleichungen multiplizieren, damit beim Addieren oder Subtrahieren eine Variable wegfällt? - Wenn du einen Wert für eine Variable gefunden hast, wie kommst du dann auf die zweite? - Vergiss nicht, dein Ergebnis am Ende durch Einsetzen in die Originalgleichungen zu prüfen.

1. Umformen der Gleichungen in die Standardform: \(4x+3y=1\) und \(5x+2y=3\). 2. Multiplikation der ersten Gleichung mit \(2\) und der zweiten mit \(3\), damit beide \(y\)-Koeffizienten dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen \(6\) entsprechen: \(8x+6y=2\) und \(15x+6y=9\). 3. Subtraktion der ersten Gleichung von der zweiten: \(15x-8x=9-2\), also \(7x=7\) und damit \(x=1\). 4. Einsetzen von \(x=1\) in \(4x+3y=1\): \(4+3y=1\). 5. Auflösen nach \(y\): \(3y=-3\), also \(y=-1\).

\((1|-1)\)

- Forme beide Gleichungen zuerst so um, dass die Variablenterme auf einer Seite und die Zahlen auf der anderen Seite stehen. - Mit welchem Faktor kannst du eine Gleichung multiplizieren, damit sich beim Addieren eine Variable aufhebt? - Achte beim Auflösen der Klammern besonders auf die Vorzeichen. - Wie kannst du dein Ergebnis am Ende überprüfen?

1. Auflösen der Klammern und Ordnen der Variablen: \( 2x - 3y = -5 \) und \( 4x - 5y = -3 \). 2. Anwendung des Additionsverfahrens: Multiplikation der ersten Gleichung mit \(-2\) ergibt \( -4x + 6y = 10 \). 3. Addition der neuen Gleichung zur zweiten Gleichung: \( ( -4x + 6y ) + ( 4x - 5y ) = 10 + ( -3 ) \), woraus \( y = 7 \) folgt. 4. Einsetzen von \( y = 7 \) in die erste vereinfachte Gleichung: \( 2x - 3 \cdot 7 = -5 \). 5. Berechnung von \( x \): \( 2x - 21 = -5 \Rightarrow 2x = 16 \Rightarrow x = 8 \). Die Lösung ist \( x = 8 \) und \( y = 7 \).

\((8|7)\)

- Beseitige in jeder Gleichung zuerst die Nenner und vereinfache vollständig. - Wähle danach Multiplikatoren, sodass die Koeffizienten einer Variablen zu Gegenzahlen werden. - Prüfe das Ergebnis in den ursprünglichen Bruchgleichungen.

1. Gleichung (I) mit \(12\) multiplizieren und vereinfachen: \(4(x+2)+3(y-1)=24 \Rightarrow 4x+3y=19\). 2. Gleichung (II) mit \(6\) multiplizieren und vereinfachen: \(3(x-1)-2(y+2)=3 \Rightarrow 3x-2y=10\). 3. Die erste vereinfachte Gleichung mit \(2\), die zweite mit \(3\) multiplizieren: \(8x+6y=38\) und \(9x-6y=30\). 4. Addieren: \(17x=68\), also \(x=4\). 5. Rückeinsetzen in \(3x-2y=10\): \(12-2y=10 \Rightarrow y=1\). 6. Somit ist \(L=\{(4|1)\}\).

\(L=\{(4|1)\}\)

- Beseitige die Nenner in jeder Gleichung, bevor du die Gleichungen miteinander verknüpfst. - Vergleiche danach die Koeffizienten einer Variablen in den beiden Gleichungen. - Prüfe dein Wertepaar in den ursprünglichen Gleichungen.

1. Gleichung (I) mit \(4\) multiplizieren: \(2x+3y=24\). 2. Gleichung (II) mit \(6\) multiplizieren: \(4x-3y=12\). 3. Addieren: \(6x=36\), also \(x=6\). 4. Rückeinsetzen in \(2x+3y=24\): \(12+3y=24 \Rightarrow y=4\). 5. Die Lösung ist \((6|4)\).

\((6|4)\)

- Beseitige die Nenner in beiden Gleichungen vollständig. - Prüfe anschließend, ob sich eine Variable beim direkten Addieren eliminiert. - Kontrolliere dein Wertepaar in den ursprünglichen Bruchgleichungen.

1. Gleichung (I) mit \(6\) und Gleichung (II) mit \(4\) multiplizieren: \(3x-2y=6\) und \(x+2y=10\). 2. Addieren: \(4x=16\), also \(x=4\). 3. Rückeinsetzen in \(x+2y=10\): \(4+2y=10 \Rightarrow y=3\). 4. Die Lösung ist \((4|3)\).

\((4|3)\)

- Entferne zuerst die Nenner in beiden Gleichungen. - Untersuche danach die Koeffizienten von \(y\): Welche Verknüpfung der Gleichungen eliminiert diese Variable? - Prüfe das Ergebnis in beiden ursprünglichen Gleichungen.

1. Gleichung (I) mit \(6\) und Gleichung (II) mit \(12\) multiplizieren: \(3x-2y=12\) und \(3x+2y=24\). 2. Addieren: \(6x=36\), also \(x=6\). 3. Rückeinsetzen in \(3x+2y=24\): \(18+2y=24 \Rightarrow y=3\). 4. Die Lösung ist \((6|3)\).

\((6|3)\)

- Könnte es helfen, die komplizierten Brüche durch einfache Buchstaben zu ersetzen? - Was passiert, wenn du die beiden Gleichungen direkt addierst? - Wie kommst du von den Hilfsvariablen zurück zu den ursprünglichen Unbekannten?

1. Definitionsbedingungen: \(x\neq-2\) und \(y\neq3\). 2. Setze \(u=\frac{1}{x+2}\) und \(v=\frac{1}{y-3}\). Dann gilt \(u+v=\frac34\) und \(u-v=\frac14\). 3. Addition der Gleichungen: \(2u=1\), also \(u=\frac12\). 4. Subtraktion der zweiten von der ersten Gleichung: \(2v=\frac12\), also \(v=\frac14\). 5. Rücksubstitution: \(\frac{1}{x+2}=\frac12\Rightarrow x=0\) und \(\frac{1}{y-3}=\frac14\Rightarrow y=7\). 6. Beide Werte erfüllen die Definitionsbedingungen.

\(L=\{(0 \mid 7)\}\), mit \(x\neq-2\) und \(y\neq3\).

- Beseitige zunächst die Dezimalzahlen durch eine geeignete Multiplikation beider Gleichungen. - Bereite danach die Koeffizienten einer Variablen so vor, dass sie sich durch Addieren oder Subtrahieren eliminieren lässt. - Prüfe dein Ergebnis in den ursprünglichen Gleichungen mit Dezimalzahlen.

1. Beide Gleichungen mit \(10\) multiplizieren: \(4x+3y=50\) und \(2x+5y=60\). 2. Die zweite Gleichung mit \(2\) multiplizieren: \(4x+10y=120\). 3. Die erste vereinfachte Gleichung subtrahieren: \(7y=70\), also \(y=10\). 4. Rückeinsetzen in \(4x+3y=50\): \(4x+30=50 \Rightarrow x=5\). 5. Die Lösung ist \((5|10)\).

\(L=\{(5|10)\}\)

- Schreibe den gemischten Bruch zuerst als gewöhnlichen Bruch. - Beseitige anschließend in jeder Gleichung alle Nenner. - Vergleiche danach die Koeffizienten einer Variablen und nutze das Additionsverfahren zur Elimination.

1. Den gemischten Bruch umwandeln: \(2\frac{1}{12}=\frac{25}{12}\). 2. Gleichung (I) mit \(12\) multiplizieren: \(3x+4y=25\). 3. Gleichung (II) mit \(6\) multiplizieren: \(3x-y=5\). 4. Die zweite vereinfachte Gleichung von der ersten subtrahieren: \(5y=20\), also \(y=4\). 5. Rückeinsetzen in \(3x-y=5\): \(3x-4=5 \Rightarrow x=3\). 6. Somit ist \(L=\{(3|4)\}\).

\(L=\{(3|4)\}\)

- Könntest du eine der Gleichungen so verändern, dass eine Variable beim Addieren beider Gleichungen wegfällt? - Wäre es einfacher, zuerst die Dezimalzahlen und Brüche durch Multiplikation mit einer geeigneten Zahl in ganze Zahlen umzuwandeln? - Was musst du tun, nachdem du den Wert für die erste Variable gefunden hast?

1. Multiplikation der zweiten Gleichung mit \(-2\), um den Koeffizienten von \(x\) zu eliminieren: \(-0{,}4x + 1{,}5y = 6\). 2. Addition der umgeformten zweiten Gleichung zur ersten Gleichung: \(2y = 16\). 3. Auflösen nach \(y\): \(y = 8\). 4. Einsetzen von \(y = 8\) in die erste Gleichung: \(0{,}4x + 4 = 10\). 5. Isolieren von \(x\): \(0{,}4x = 6 \implies x = 15\). 6. Die Lösungsmenge ist \(L = \{(15|8)\}\).

\(x = 15\) und \(y = 8\) bzw. \(L = \{(15|8)\}\)

- Vereinfache beide Gleichungen vollständig und beseitige dabei Dezimalzahlen beziehungsweise Nenner. - Bringe beide vereinfachten Gleichungen in die Form \(ax+by=c\). - Wähle für das Additionsverfahren einen Multiplikator, durch den sich eine Variable direkt eliminieren lässt.

1. Gleichung (I) ausmultiplizieren und ordnen: \(0{,}8x-2y+1{,}2=0{,}2x \Rightarrow 0{,}6x-2y=-1{,}2\). 2. Mit \(10\) multiplizieren: \(6x-20y=-12\). 3. Gleichung (II) mit \(4\) multiplizieren und vereinfachen: \(2(x-1)=3y \Rightarrow 2x-3y=2\). 4. Die zweite vereinfachte Gleichung mit \(-3\) multiplizieren: \(-6x+9y=-6\). 5. Addieren: \(-11y=-18\), also \(y=\frac{18}{11}\). 6. Rückeinsetzen in \(2x-3y=2\): \(2x-\frac{54}{11}=2 \Rightarrow 2x=\frac{76}{11}\), also \(x=\frac{38}{11}\).

\(L=\{\left(\frac{38}{11}\middle|\frac{18}{11}\right)\}\)

- Manchmal reicht es nicht, nur eine Gleichung zu multiplizieren. Kannst du beide Gleichungen so verändern, dass eine Variable die gleichen Koeffizienten mit unterschiedlichen Vorzeichen hat? - Suche das kleinste gemeinsame Vielfache der Koeffizienten einer Variablen. - Überlege dir, ob es einfacher ist, \(x\) oder \(y\) zu eliminieren.

1. Beide Gleichungen multiplizieren, um die Koeffizienten von \(y\) auf das kleinste gemeinsame Vielfache (12) zu bringen: Erste Gleichung mit 3 und zweite Gleichung mit 4 multiplizieren. 2. Resultierende Gleichungen: \(9x + 12y = 15\) und \(8x - 12y = 36\). 3. Gleichungen addieren: \((9x + 12y) + (8x - 12y) = 15 + 36\). 4. Terme zusammenfassen: \(17x = 51\). 5. Nach \(x\) auflösen: \(x = 3\). 6. Den Wert \(x = 3\) in die ursprüngliche erste Gleichung einsetzen: \(3 \cdot 3 + 4y = 5\). 7. Nach \(y\) auflösen: \(9 + 4y = 5 \implies 4y = -4 \implies y = -1\). 8. Die Lösungsmenge ist \(L = \{(3|-1)\}\).

\(L = \{(3|-1)\}\)

- Hier ist es hilfreich, beide Gleichungen so zu multiplizieren, dass die Koeffizienten einer Variablen den gleichen Betrag, aber verschiedene Vorzeichen haben. - Suche nach dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Koeffizienten von \(x\) oder \(y\). - Lass dich von Brüchen im Ergebnis nicht verunsichern; rechne Schritt für Schritt weiter. - Wie kannst du Brüche beim Einsetzen geschickt kürzen?

1. Finden eines gemeinsamen Vielfachen für die Koeffizienten einer Variablen, zum Beispiel für \(y\) (\(\text{kgV}(15, 20) = 60\)). 2. Multiplikation der ersten Gleichung mit \(4\) und der zweiten Gleichung mit \(-3\): \(88x - 60y + 4 = 0\) und \(-99x + 60y - 12 = 0\). 3. Addition der beiden Gleichungen zur Elimination von \(y\): \((88x - 99x) + (-60y + 60y) + (4 - 12) = 0 \Rightarrow -11x - 8 = 0\). 4. Auflösen nach \(x\): \(-11x = 8 \Rightarrow x = -\frac{8}{11}\). 5. Einsetzen von \(x = -\frac{8}{11}\) in die erste Gleichung: \(22 \cdot (-\frac{8}{11}) - 15y + 1 = 0 \Rightarrow 2 \cdot (-8) - 15y + 1 = 0\). 6. Vereinfachen der Gleichung: \(-16 - 15y + 1 = 0 \Rightarrow -15 - 15y = 0\). 7. Auflösen nach \(y\): \(-15y = 15 \Rightarrow y = -1\). Die Lösung ist \((-\frac{8}{11}|-1)\).

\((-\frac{8}{11}|-1)\)

- Kannst du die Gleichungen so multiplizieren, dass eine Variable beim Addieren wegfällt? - Was passiert, wenn du die Koeffizienten von \( y \) auf den gleichen Betrag mit unterschiedlichen Vorzeichen bringst? - Hast du nach dem Finden der ersten Variable diese wieder in eine der Ausgangsgleichungen eingesetzt?

1. Multipliziere Gleichung I mit 3 und Gleichung II mit 5, um die Koeffizienten von \( y \) zu Gegenzahlen zu machen: I': \( 18x - 15y = 33 \) II': \( 20x + 15y = 195 \) 2. Addiere die Gleichungen I' und II': \( (18x + 20x) + (-15y + 15y) = 33 + 195 \), woraus \( 38x = 228 \) folgt. 3. Berechne \( x \): \( x = \frac{228}{38} = 6 \). 4. Setze \( x = 6 \) in Gleichung II ein: \( 4 \cdot 6 + 3y = 39 \), also \( 24 + 3y = 39 \). 5. Löse nach \( y \) auf: \( 3y = 15 \), also \( y = 5 \). 6. Die Lösungsmenge ist \( L = \{(6|5)\} \).

\( L = \{(6|5)\} \)

- Es hilft oft, die Gleichungen zuerst so umzustellen, dass die Zahlen ohne Variablen auf der rechten Seite stehen. - Wie kannst du die Dezimalzahlen durch Multiplikation in ganze Zahlen umwandeln, um leichter rechnen zu können? - Welches Verfahren eignet sich hier am besten, um eine Variable schnell zu eliminieren?

1. Bringe beide Gleichungen in die Standardform \( ax + by = c \): I: \( 0{,}4x - 0{,}3y = 0{,}5 \) II: \( 0{,}5x + 0{,}2y = 1{,}2 \) 2. Multipliziere Gleichung I mit 2 und Gleichung II mit 3, um das Additionsverfahren für \( y \) vorzubereiten: I': \( 0{,}8x - 0{,}6y = 1{,}0 \) II': \( 1{,}5x + 0{,}6y = 3{,}6 \) 3. Addiere I' und II': \( 2{,}3x = 4{,}6 \). 4. Berechne \( x \): \( x = \frac{4{,}6}{2{,}3} = 2 \). 5. Setze \( x = 2 \) in die umgeformte Gleichung II ein: \( 0{,}5 \cdot 2 + 0{,}2y = 1{,}2 \), also \( 1 + 0{,}2y = 1{,}2 \). 6. Löse nach \( y \) auf: \( 0{,}2y = 0{,}2 \), also \( y = 1 \). 7. Die Lösungsmenge ist \( L = \{(2|1)\} \).

\(L = \{(2|1)\}\)

- Prüfe, welche \(x\)-Koeffizienten nach Sofias Multiplikation tatsächlich vorliegen. - Für eine Elimination durch Addition müssen sich die betreffenden Terme gegenseitig aufheben. - Kontrolliere nach der Korrektur die gefundene Lösung in beiden Ausgangsgleichungen.

1. Nach Multiplikation von (I) mit \(2\) hätten beide Gleichungen den \(x\)-Term \(4x\). Beim Addieren würden daraus \(8x\); \(x\) verschwindet also nicht. 2. Für eine Elimination durch Addition muss (I) mit \(-2\) multipliziert werden: \(-4x-6y=-26\). 3. Addieren mit (II) ergibt \(-11y=-33\), also \(y=3\). 4. Einsetzen in (I) liefert \(2x+9=13\), also \(x=2\).

Der Faktor \(2\) erzeugt gleiche statt entgegengesetzter \(x\)-Koeffizienten. Mit dem Faktor \(-2\) lässt sich \(x\) durch Addition eliminieren. Die Lösung ist \((2|3)\).

- Vergleiche die Zahlen in (I) mit denen in (Ia) – was fällt dir auf? - Welche Terme heben sich beim Addieren auf? - Welche Terme heben sich beim Subtrahieren auf?

1. Analyse: (I) wurde mit \(2\) multipliziert (\(9 \cdot 2=18, 6 \cdot 2=12, 12 \cdot 2=24\)). (II) wurde mit \(3\) multipliziert (\(6 \cdot 3=18, 4 \cdot 3=12, 24 \cdot 3=72\)). 2. Rechenoperationen: Durch Addition von (Ia) und (IIa) wird \(y\) eliminiert. Durch Subtraktion, zum Beispiel (IIa) minus (Ia), wird \(x\) eliminiert. 3. Addition von (Ia) und (IIa): \(36x = 96 \implies x = \frac{96}{36} = \frac{8}{3}\) oder \(x \approx 2{,}67\). 4. Einsetzen von \(x = \frac{8}{3}\) in (II): \(6 \cdot \frac{8}{3} + 4y = 24 \implies 16 + 4y = 24 \implies 4y = 8 \implies y = 2\). 5. Ergebnis: \(L = \{(\frac{8}{3}|2)\}\).

a) Gleichung (I) wurde mit \(2\) multipliziert, Gleichung (II) mit \(3\). b) Durch Addition wird \(y\) eliminiert; durch Subtraktion wird \(x\) eliminiert. c) Die Lösungsmenge ist \(L = \{(\frac{8}{3}|2)\}\).

- Welche Zahl muss vor dem \(x\) in der zweiten Gleichung stehen, damit \(x + (\dots)x = 0\) ergibt? - Du kannst dir für die Zahl vor dem \(y\) jede beliebige Zahl außer \(-1\) aussuchen. - Wie berechnest du das Ergebnis auf der rechten Seite der Gleichung, wenn du \(x\), \(y\) und die Koeffizienten schon kennst?

1. Bestimmung des Koeffizienten: Damit \(x\) wegfällt, muss der Koeffizient \(a\) in Gleichung (II) die Gegenzahl zu \(1\) (aus Gleichung I) sein, also \(a = -1\). 2. Aufstellen der Gleichung: Ansatz \(-x + by = c\). Wahl eines Wertes \(b \ne -1\), zum Beispiel \(b = 2\). Für \(b = -1\) wäre die zweite Gleichung nur das Negative der ersten Gleichung und das System hätte keine eindeutige Lösung. 3. Berechnung von \(c\): Einsetzen der Lösung \((5|2)\) ergibt \(-5 + 2 \cdot 2 = c \Rightarrow -5 + 4 = -1\). Die Gleichung (II) lautet \(-x + 2y = -1\). 4. Kontrolle durch Addition: \((x - x) + (y + 2y) = 7 + (-1) \Rightarrow 3y = 6 \Rightarrow y = 2\). 5. Berechnung von \(x\): Einsetzen von \(y = 2\) in (I) ergibt \(x + 2 = 7 \Rightarrow x = 5\). Das konstruierte System ist korrekt.

Eine mögliche Gleichung ist (II) \(-x + 2y = -1\). Auch andere Gleichungen der Form \(-x + by = -5 + 2b\) mit \(b \ne -1\) sind korrekt. Die Kontrolle bestätigt die Lösung \((5|2)\).

- Wähle für die Koeffizienten von \(x\) Werte, die keine ganzzahligen Vielfachen voneinander sind (z. B. 2 und 3). - Achte darauf, dass die Zahlen vor dem \(y\) so gewählt sind, dass sie sich nicht gleichzeitig mit \(x\) aufheben. - Wie findest du ein gemeinsames Vielfaches für die Koeffizienten von \(x\)?

1. Wahl von Koeffizienten für \(x\) und \(y\), die keine ganzzahligen Vielfachen voneinander sind: z. B. (I) \(2x + 3y\) und (II) \(3x + 2y\). 2. Berechnung der Konstanten mit \(x = 3\) und \(y = 4\): \(2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 = 18\) und \(3 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 17\). 3. Das System lautet: (I) \(2x + 3y = 18\) und (II) \(3x + 2y = 17\). 4. Vorbereitung zur Elimination von \(x\): Multipliziere (I) mit \(3\) und (II) mit \(-2\). 5. Neue Gleichungen: (I') \(6x + 9y = 54\) und (II') \(-6x - 4y = -34\). 6. Addition: \((6x - 6x) + (9y - 4y) = 54 - 34 \Rightarrow 5y = 20\). 7. Ergebnis: \(y = 4\). Durch Einsetzen folgt \(x = 3\).

Ein mögliches System ist: (I) \(2x + 3y = 18\) (II) \(3x + 2y = 17\) Zur Elimination von \(x\) multipliziert man (I) mit \(3\) und (II) mit \(-2\), sodass \(6x\) und \(-6x\) entstehen. Die Addition ergibt \(5y = 20\), also \(y = 4\).

- Multipliziere zuerst die gesamte Gleichung mit dem Hauptnenner, um die Brüche aufzulösen. - Achte beim Auflösen der Klammern besonders auf die Vorzeichen, wenn ein Minus vor dem Bruch steht. - Sortiere die Gleichungen so, dass alle Terme mit \(x\) und \(y\) auf einer Seite stehen, bevor du das Additionsverfahren anwendest.

1. Multiplikation von (I) mit dem Hauptnenner \(6\): \(3 \cdot (x-2) + 2 \cdot (y+1) = 12\). Vereinfachen: \(3x - 6 + 2y + 2 = 12 \Rightarrow 3x + 2y = 16\). 2. Multiplikation von (II) mit dem Hauptnenner \(6\): \(2 \cdot (x+4) - 3 \cdot (y-1) = 0\). Vereinfachen: \(2x + 8 - 3y + 3 = 0 \Rightarrow 2x - 3y = -11\). 3. Multiplikation der ersten neuen Gleichung mit \(3\) und der zweiten mit \(2\): \(9x + 6y = 48\) und \(4x - 6y = -22\). 4. Addition der Gleichungen: \(13x = 26\), also \(x = 2\). 5. Einsetzen von \(x = 2\) in \(3x + 2y = 16\): \(6 + 2y = 16 \Rightarrow 2y = 10 \Rightarrow y = 5\). 6. Die Lösungsmenge ist \(L = \{(2 | 5)\}\).

\(L = \{(2 | 5)\}\)

- Was passiert mit den Koeffizienten, wenn du sie addierst? Fällt dir eine Gemeinsamkeit auf? - Kannst du die Summe der Gleichungen durch eine bestimmte Zahl teilen, um sie extrem zu vereinfachen? - Dieser spezielle Weg funktioniert besonders gut, wenn die Zahlen „über Kreuz“ gleich sind.

1. Addition (I) + (II): \(11x + 13x + 13y + 11y = 25 + 23 \Rightarrow 24x + 24y = 48\). 2. Vereinfachen durch Division durch \(24\): \(x + y = 2\). 3. Subtraktion (I) - (II): \(11x - 13x + 13y - 11y = 25 - 23 \Rightarrow -2x + 2y = 2\). 4. Vereinfachen durch Division durch \(2\): \(-x + y = 1\). 5. Neues System lösen: (A) \(x + y = 2\) (B) \(-x + y = 1\) 6. Addition von (A) und (B): \(2y = 3 \Rightarrow y = 1{,}5\). 7. Einsetzen in (A): \(x + 1{,}5 = 2 \Rightarrow x = 0{,}5\). 8. Lösungsmenge \(L = \{(0{,}5 | 1{,}5)\}\). 9. Der Vorteil liegt darin, dass man die hohen Koeffizienten sofort reduziert, anstatt mit sehr großen Zahlen (wie \(11 \cdot 13 = 143\)) zu rechnen, was fehleranfällig ist.

a) \(x + y = 2\) b) \(-x + y = 1\) c) \(L = \{(0{,}5 | 1{,}5)\}\) d) Durch Addition und Subtraktion entstehen Gleichungen mit sehr kleinen Koeffizienten. Das erspart das Rechnen mit großen Zahlen wie \(143\), das beim direkten Eliminieren nötig wäre.

- Behandle \(u\) und \(v\) beim Umformen wie feste Zahlen. - Vergleiche die Koeffizienten von \(x\) und \(y\): Welche Variable verschwindet beim Addieren, welche beim Subtrahieren? - Kontrolliere deine beiden Terme symbolisch in den Ausgangsgleichungen.

1. Beide Gleichungen addieren: \(2x=6u+4v\), also \(x=3u+2v\). 2. Gleichung (II) von Gleichung (I) subtrahieren: \(2y=4u-6v\), also \(y=2u-3v\). 3. Einsetzen der Terme in beide Ausgangsgleichungen bestätigt die Lösung.

\(x=3u+2v\) und \(y=2u-3v\)

- Betrachte die Koeffizienten von \(y\) in beiden Gleichungen. - Der Parameter \(a\) wird beim Addieren wie eine feste Zahl behandelt. - Prüfe die gefundenen Terme durch Rückeinsetzen in beide Gleichungen.

1. Beide Gleichungen addieren: \(6x=12a\). 2. Daher ist \(x=2a\). 3. Rückeinsetzen in Gleichung (I): \(4(2a)+3y=10a \Rightarrow 3y=2a\). 4. Somit ist \(y=\frac{2}{3}a\).

\(x=2a\) und \(y=\frac{2}{3}a\)

- Beim Addieren und Subtrahieren kannst du hier jeweils eine andere Variable eliminieren. - Behandle \(k\) während des Rechnens wie eine feste Zahl. - Prüfe die symbolische Lösung in beiden Ausgangsgleichungen.

1. Beide Gleichungen addieren: \(8x=16k\), also \(x=2k\). 2. Gleichung (II) von Gleichung (I) subtrahieren: \(6y=6k\), also \(y=k\). 3. Damit ist das Lösungspaar \((2k|k)\).

\((2k|k)\)

- Welche Variable verschwindet beim direkten Addieren der beiden Gleichungen? - Nutze danach eine Ausgangsgleichung, um die zweite Variable als Term in \(a\) zu bestimmen. - Übersetze die Bedingung aus Teil b) in eine Gleichung zwischen deinen beiden Termen.

1. Gleichungen (I) und (II) addieren: \(4x=8a-4\), also \(x=2a-1\). 2. In Gleichung (II) einsetzen: \((2a-1)-2y=a-5\). 3. Umformen: \(-2y=-a-4\), also \(y=\frac{a+4}{2}\). 4. Für \(x=y\) gilt \(2a-1=\frac{a+4}{2}\). 5. Auflösen: \(4a-2=a+4 \Rightarrow 3a=6 \Rightarrow a=2\).

a) \(x=2a-1\) und \(y=\frac{a+4}{2}\) b) \(a=2\)

- Multipliziere jede Gleichung mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner, um die Brüche aufzulösen. - Achte beim Auflösen der Klammern besonders auf die Vorzeichen, wenn ein Minus vor dem Bruchstrich steht. - Nachdem du die Gleichungen vereinfacht hast, welches Verfahren (Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren) erscheint dir am effizientesten? - Kannst du eine Variable eliminieren, indem du die Gleichungen mit passenden Faktoren multiplizierst und sie dann addierst?

1. Multiplikation der ersten Gleichung mit dem Hauptnenner \(6\): \( 3 \cdot (a+1) + 2 \cdot (b-2) = 18 \Rightarrow 3a + 3 + 2b - 4 = 18 \Rightarrow 3a + 2b = 19 \) 2. Multiplikation der zweiten Gleichung mit dem Hauptnenner \(12\): \( 4 \cdot (a-2) - 3 \cdot (b+2) = 0 \Rightarrow 4a - 8 - 3b - 6 = 0 \Rightarrow 4a - 3b = 14 \) 3. Vorbereitung des Additionsverfahrens durch Multiplikation der ersten vereinfachten Gleichung mit \(3\) und der zweiten mit \(2\): \( 9a + 6b = 57 \) \( 8a - 6b = 28 \) 4. Addition der Gleichungen zur Eliminierung von \(b\): \( 17a = 85 \Rightarrow a = 5 \) 5. Einsetzen von \(a = 5\) in die Gleichung \(3a + 2b = 19\): \( 3 \cdot 5 + 2b = 19 \Rightarrow 15 + 2b = 19 \Rightarrow 2b = 4 \Rightarrow b = 2 \)

\((a|b) = (5|2)\)

- Beginne damit, beide Gleichungen durch Multiplikation mit dem jeweils kleinsten gemeinsamen Nenner bruchfrei zu machen. - Vergiss nicht, beim Multiplizieren der gesamten Gleichung auch die Terme auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens einzubeziehen. - Achte beim Auflösen der Klammern auf das Minuszeichen vor dem zweiten Bruch in der ersten Gleichung. - Welche Variable lässt sich nach der Vereinfachung besonders leicht eliminieren?

1. Multiplikation der ersten Gleichung mit dem Hauptnenner \(12\): \(3 \cdot (3x-1) - 4 \cdot (2y+1) = 2 \cdot (x-y)\). 2. Multiplikation der zweiten Gleichung mit dem Hauptnenner \(10\): \(5 \cdot (x+y) + 2 \cdot (x-y) = 20\). 3. Vereinfachung der Gleichungen: \(9x - 3 - 8y - 4 = 2x - 2y \Rightarrow 7x - 6y = 7\) und \(5x + 5y + 2x - 2y = 20 \Rightarrow 7x + 3y = 20\). 4. Subtraktion der ersten vereinfachten Gleichung von der zweiten, um \(x\) zu eliminieren: \((7x + 3y) - (7x - 6y) = 20 - 7 \Rightarrow 9y = 13\), woraus \(y = \frac{13}{9}\) folgt. 5. Einsetzen von \(y\) in \(7x + 3y = 20\): \(7x + 3 \cdot \frac{13}{9} = 20 \Rightarrow 7x + \frac{13}{3} = 20 \Rightarrow 7x = \frac{47}{3}\), woraus \(x = \frac{47}{21}\) folgt.

\(\left(\frac{47}{21}\middle|\frac{13}{9}\right)\)

- Multipliziere auf beiden Seiten jeder Gleichung alle Klammern vollständig aus. - Fasse erst nach dem vollständigen Ausmultiplizieren gleichartige Terme zusammen und bringe beide Gleichungen in lineare Standardform. - Prüfe an den vereinfachten Gleichungen, welche Variable sich durch Addieren unmittelbar beseitigen lässt.

1. Gleichung (I) ausmultiplizieren: \(xy-2x+y-2=xy+3x-y-3\). Zusammenfassen ergibt \(-5x+2y=-1\). 2. Gleichung (II) ausmultiplizieren: \(xy+4x-3y-12=xy-x+2y-2\). Zusammenfassen ergibt \(5x-5y=10\). 3. Die beiden vereinfachten Gleichungen addieren: \(-3y=9\), also \(y=-3\). 4. Rückeinsetzen in \(5x-5y=10\): \(5x+15=10 \Rightarrow x=-1\). 5. Die Lösung ist \((-1|-3)\).

\((-1|-3)\)

- Kannst du die Terme im Nenner als Ganzes betrachten? - Gibt es ein Verfahren, um die Brüche komplett zu eliminieren, bevor du nach \(x\) und \(y\) suchst? - Hast du nach der ersten Lösung daran gedacht, dass du noch die ursprünglichen Variablen finden musst? - Prüfe am Ende, ob deine Werte die Nenner nicht null werden lassen.

1. Definitionsbedingungen: \(x+2y\neq0\) und \(2x-y\neq0\). 2. Setze \(u=\frac{1}{x+2y}\) und \(v=\frac{1}{2x-y}\). Dann entsteht das lineare System \(10u+5v=3\) und \(5u-10v=-1\). 3. Multipliziere die erste Gleichung mit \(2\): \(20u+10v=6\). Addieren mit der zweiten Gleichung ergibt \(25u=5\), also \(u=\frac15=0{,}2\). 4. Einsetzen in die erste Gleichung: \(2+5v=3\), somit \(v=\frac15=0{,}2\). 5. Rücksubstitution: \(x+2y=5\) und \(2x-y=5\). 6. Multipliziere die zweite Gleichung mit \(2\) und addiere: \(5x=15\), also \(x=3\). Dann folgt \(y=1\). 7. Die Lösung erfüllt beide Definitionsbedingungen.

\(L=\{(3 \mid 1)\}\)

- Was passiert, wenn du die gesamten Nenner als neue Variablen betrachtest? - Welches Verfahren eignet sich am besten, um eine der Variablen zu eliminieren, nachdem du substituiert hast? - Vergiss nicht, nach der ersten Lösung die Kehrwerte zu bilden, um die Gleichungen für die gesuchten Variablen aufzustellen. - Prüfe dein Ergebnis am Ende durch Einsetzen in die Originalgleichungen.

1. Definitionsbedingungen: \(3a+b\neq0\) und \(a+2b\neq0\). 2. Setze \(u=\frac{1}{3a+b}\) und \(v=\frac{1}{a+2b}\). Dann gilt \(21u+8v=5\) und \(14u-12v=-1\). 3. Multipliziere die erste Gleichung mit \(2\) und die zweite mit \(3\): \(42u+16v=10\) und \(42u-36v=-3\). 4. Subtraktion ergibt \(52v=13\), also \(v=\frac14\). 5. Einsetzen: \(21u+2=5\Rightarrow u=\frac17\). 6. Rücksubstitution: \(3a+b=7\) und \(a+2b=4\). 7. Aus \(a=4-2b\) folgt \(3(4-2b)+b=7\Rightarrow b=1\) und damit \(a=2\). 8. Die Lösung erfüllt beide Definitionsbedingungen.

\(L=\{(2 \mid 1)\}\) für das geordnete Paar \((a \mid b)\).

- Behandle \(u\) und \(v\) beim Umformen wie feste Zahlen. - Wähle einen Multiplikator, sodass sich eine Variable beim Addieren vollständig aufhebt. - Kontrolliere die beiden gefundenen Terme symbolisch in den Ausgangsgleichungen.

1. Gleichung (II) mit \(2\) multiplizieren: \(4x-2y=2u+6v\). 2. Mit Gleichung (I) addieren: \(5x=5u+5v\), also \(x=u+v\). 3. Rückeinsetzen in Gleichung (I): \((u+v)+2y=3u-v\). 4. Zusammenfassen: \(2y=2u-2v\), also \(y=u-v\).

\(x=u+v\) und \(y=u-v\)