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- Wann ist ein Zahlenpaar eine Lösung einer Gleichung? - Was passiert, wenn du einen bekannten Wert für eine Variable einsetzt? - Wie kannst du eine Gleichung nach der gesuchten Variable umstellen?

1. Einsetzen von \(x = 2\) und \(y = 2\) in die Gleichung: \(2 \cdot 2 + 4 \cdot 2 = 4 + 8 = 12\). Die Aussage ist wahr, also ist \((2|2)\) eine Lösung. 2. Einsetzen von \(x = -2\): \(2 \cdot (-2) + 4y = 12 \implies -4 + 4y = 12 \implies 4y = 16 \implies y = 4\). Das Paar ist \((-2|4)\). 3. Einsetzen von \(y = 5\): \(2x + 4 \cdot 5 = 12 \implies 2x + 20 = 12 \implies 2x = -8 \implies x = -4\). Das Paar ist \((-4|5)\).

a) Ja, \((2|2)\) ist eine Lösung. b) \(y = 4\) c) \(x = -4\)

- Entscheide zuerst, ob die entstandene Aussage wahr oder falsch ist. - Überlege, was eine falsche Aussage am Ende einer äquivalenten Umformung für gemeinsame Lösungen bedeutet.

1. Die Aussage \(0=5\) ist falsch und kann für keine Werte von \(x\) und \(y\) erfüllt sein. 2. Daher besitzen die beiden Gleichungen kein gemeinsames Wertepaar.

Das Gleichungssystem hat keine Lösung.

- Wenn ein Punkt auf einer Geraden liegt, müssen seine Koordinaten die Geradengleichung erfüllen. - Bestimme zuerst den unbekannten Koeffizienten und schreibe danach die vollständige Gleichung auf. - Prüfe den zweiten Punkt unabhängig durch Einsetzen seiner Koordinaten.

1. \(x=2\) und \(y=-3\) einsetzen: \(2a+5(-3)=-11\). 2. Vereinfachen: \(2a-15=-11 \Rightarrow 2a=4 \Rightarrow a=2\). 3. Die Geradengleichung lautet damit \(2x+5y=-11\). 4. Für \((1|-2)\) ergibt die linke Seite \(2\cdot1+5(-2)=-8\). 5. Da \(-8\neq-11\), liegt der Punkt \((1|-2)\) nicht auf der Geraden.

a) \(a=2\); die Geradengleichung lautet \(2x+5y=-11\). b) Nein, \((1|-2)\) liegt nicht auf der Geraden.

- Setze die \(x\)- und \(y\)-Werte der Punkte nacheinander in die Gleichungen ein. - Überprüfe, ob die linke Seite der Gleichung nach dem Einsetzen denselben Wert ergibt wie die rechte Seite. - Achte besonders auf die Vorzeichen beim Einsetzen negativer Zahlen oder beim Subtrahieren. - Ein Punkt ist nur dann eine Lösung, wenn die Gleichung eine wahre Aussage ergibt.

1. Prüfung von Gleichung (1) \(y = 3x - 5\): Einsetzen von \(A(3 \mid 4)\) ergibt \(4 = 3 \cdot 3 - 5 = 4\). Das Paar \(A\) ist die Lösung für (1). 2. Prüfung von Gleichung (2) \(2x + 4y = 12\): Einsetzen von \(B(0 \mid 3)\) ergibt \(2 \cdot 0 + 4 \cdot 3 = 12\). Das Paar \(B\) ist die Lösung für (2). 3. Prüfung von Gleichung (3) \(x - y = 6\): Einsetzen von \(C(7 \mid 1)\) ergibt \(7 - 1 = 6\). Das Paar \(C\) ist die Lösung für (3). 4. Prüfung von Gleichung (4) \(y = -0{,}5x + 2\): Einsetzen von \(D(4 \mid 0)\) ergibt \(0 = -0{,}5 \cdot 4 + 2 = 0\). Das Paar \(D\) ist die Lösung für (4). 5. Das übrig gebliebene Wertepaar ist \(E(2 \mid 3)\). Es erfüllt keine der vier Gleichungen.

Die Zuordnungen lauten: (1) \(\rightarrow A(3 \mid 4)\) (2) \(\rightarrow B(0 \mid 3)\) (3) \(\rightarrow C(7 \mid 1)\) (4) \(\rightarrow D(4 \mid 0)\) Das Paar \(E(2 \mid 3)\) bleibt übrig.

- Was bedeutet es für ein Gleichungssystem, wenn ein Zahlenpaar eine Lösung ist? - Erinnere dich daran, welche Variable in einem Paar \((x|y)\) an welcher Stelle steht. - Reicht es aus, wenn nur eine der beiden Gleichungen durch das Zahlenpaar korrekt gelöst wird?

1. Prüfung für Teilaufgabe a): Einsetzen von \(x = 2\) und \(y = 1\) in Gleichung \(I\): \(3 \cdot 2 + 1 = 6 + 1 = 7\). Die Gleichung ist erfüllt. 2. Einsetzen in Gleichung \(II\): \(2 - 2 \cdot 1 = 2 - 2 = 0\). Die Gleichung ist erfüllt. Da beide Gleichungen wahr sind, ist \((2|1)\) eine Lösung. 3. Prüfung für Teilaufgabe b): Einsetzen von \(x = 3\) und \(y = 4\) in Gleichung \(I\): \(4 \cdot 3 - 3 \cdot 4 = 12 - 12 = 0\). Da \(0 \neq 2\), ist die erste Gleichung nicht erfüllt. 4. Einsetzen in Gleichung \(II\): \(2 \cdot 3 + 4 = 6 + 4 = 10\). Die Gleichung ist erfüllt. Da jedoch die erste Gleichung nicht erfüllt ist, ist das Zahlenpaar \((3|4)\) keine Lösung des Systems.

a) Ja, das Zahlenpaar \((2|1)\) ist eine Lösung. b) Nein, das Zahlenpaar \((3|4)\) ist keine Lösung.

- Was weißt du über die Werte von \(x\) und \(y\), wenn das Paar eine Lösung ist? - Kannst du die bekannten Werte in die Gleichung mit dem \(k\) einsetzen? - Wie kannst du die entstandene Gleichung nach der gesuchten Unbekannten auflösen?

1. Da \((5|2)\) eine Lösung ist, müssen die Werte \(x = 5\) und \(y = 2\) beide Gleichungen erfüllen. 2. Einsetzen der Werte in Gleichung \(II\): \(3 \cdot 5 - k \cdot 2 = 11\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(15 - 2k = 11\). 4. Subtraktion von 15 auf beiden Seiten: \(-2k = -4\). 5. Division durch \(-2\): \(k = 2\).

Der Wert des Parameters ist \(k = 2\).

- Überlege, welche Bedingung ein gemeinsamer Punkt zweier Geraden erfüllen muss. - Nutze die gegebenen Koordinaten, um diese Bedingung für beide Geraden getrennt zu überprüfen. - Ziehe erst danach die Schlussfolgerung über den behaupteten Schnittpunkt.

1. Ein Schnittpunkt muss auf beiden Geraden liegen und daher beide Funktionsgleichungen erfüllen. 2. Für \(g\) ergibt Einsetzen von \(P(4 \mid 2)\): \(1{,}5\cdot4-4=6-4=2\). Der Punkt liegt auf \(g\). 3. Für \(h\) ergibt Einsetzen: \(-4+6=2\). Der Punkt liegt auch auf \(h\). 4. Damit ist \(P(4 \mid 2)\) tatsächlich der Schnittpunkt der beiden Geraden. Lauras Behauptung ist wahr.

Die Behauptung ist wahr. Der Punkt \(P(4 \mid 2)\) erfüllt beide Funktionsgleichungen und ist daher ihr Schnittpunkt.

- Was passiert, wenn du eine Gleichung so umformst, dass sie genau wie die andere aussieht? - Überlege, was es grafisch bedeutet, wenn zwei Gleichungen im Grunde dasselbe aussagen. - Was bedeutet es für die Geraden, wenn die Kombination aus \(x\) und \(y\) dasselbe ergeben soll, aber zwei verschiedene Zahlen als Ergebnis dastehen? - Können zwei parallele Geraden einen gemeinsamen Punkt haben?

1. In Teilaufgabe a) wird Gleichung (I) äquivalent umgeformt: \(y = 2x - 5 \iff 2y = 4x - 10 \iff 4x - 2y = 10\). Da dies identisch mit Gleichung (II) ist, liegen die Geraden aufeinander. Ergebnis: unendlich viele Lösungen. 2. In Teilaufgabe b) sind die linken Seiten der Gleichungen identisch (\(3x + y\)), während die rechten Seiten unterschiedliche Werte (\(7\) und \(-2\)) aufweisen. Dies führt zu einem Widerspruch (\(7 = -2\)). Die entsprechenden Geraden verlaufen parallel zueinander. Ergebnis: keine Lösung.

a) Das System hat unendlich viele Lösungen. b) Das System hat keine Lösung.

- Was bedeutet es für die Graphen der Gleichungen, wenn es keine, eine oder unendlich viele Lösungen gibt? - Bringe die Gleichungen in die Form \(y = mx + b\), um Steigung und Achsenabschnitt direkt vergleichen zu können. - Überprüfe, ob eine Gleichung durch Multiplikation oder Division in die andere überführt werden kann.

1. Umformung von (II) in Teil a): \(3x - 2y = 4 \iff -2y = -3x + 4 \iff y = 1{,}5x - 2\). Vergleich mit (I) zeigt, dass beide Gleichungen identisch sind. Ergebnis: unendlich viele Lösungen. 2. Umformung beider Gleichungen in Teil b) nach \(y\): (I) \(y = -x + 5\) und (II) \(y = -x + 3\). Die Steigungen sind mit \(m = -1\) gleich, aber die \(y\)-Achsenabschnitte (\(5\) und \(3\)) sind verschieden. Die Geraden verlaufen parallel. Ergebnis: keine Lösung.

a) Unendlich viele Lösungen b) Keine Lösung

- Überlege dir, wie die Lage von zwei Geraden im Koordinatensystem mit der Anzahl der Lösungen zusammenhängt. - Was sagt die Steigung \(m\) über den Verlauf einer Geraden aus? - Was passiert, wenn zwei Geraden dieselbe Steigung haben, aber an unterschiedlichen Stellen die \(y\)-Achse schneiden? - Bringst du eine Gleichung wie \(4x - 2y = -10\) zuerst in die Form \(y = mx + b\), kannst du sie leichter vergleichen.

1. System (1): Beide Gleichungen haben die gleiche Steigung \(m = 4\), aber unterschiedliche \(y\)-Achsenabschnitte (\(-2\) und \(3\)). Die Geraden verlaufen parallel und haben keinen Schnittpunkt. Ergebnis: keine Lösung. 2. System (2): Die Steigungen sind unterschiedlich (\(m_1 = -1\) und \(m_2 = 1\)). Geraden mit unterschiedlichen Steigungen schneiden sich in genau einem Punkt. Ergebnis: genau eine Lösung. 3. System (3): Formt man die zweite Gleichung nach \(y\) um (\(-2y = -4x - 10 \implies y = 2x + 5\)), stellt man fest, dass beide Gleichungen identisch sind. Die Geraden liegen aufeinander. Ergebnis: unendlich viele Lösungen.

(1) Keine Lösung (parallel) (2) Genau eine Lösung (Schnittpunkt) (3) Unendlich viele Lösungen (identisch)

- Wie gehst du vor, um zu testen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt oder eine Gleichung erfüllt? - Wenn du eine Variable frei wählst, wie kannst du dann die andere berechnen? - Stell dir die Gleichung als Gerade in einem Koordinatensystem vor. Wie viele Punkte liegen auf einer Geraden?

1. Prüfung der Zahlenpaare: Einsetzen von \((3|0)\) ergibt \(2 \cdot 3 - 3 \cdot 0 = 6 - 0 = 6\). Die Aussage ist wahr, also ist \((3|0)\) eine Lösung. Einsetzen von \((0|2)\) ergibt \(2 \cdot 0 - 3 \cdot 2 = 0 - 6 = -6\). Da \(-6 \neq 6\), ist \((0|2)\) keine Lösung. 2. Bestimmung weiterer Lösungen: Wähle einen beliebigen Wert für \(x\), zum Beispiel \(x = 6\). Einsetzen ergibt \(2 \cdot 6 - 3y = 6 \Rightarrow 12 - 3y = 6 \Rightarrow -3y = -6 \Rightarrow y = 2\). Ein weiteres Paar ist \((6|2)\). Wähle \(x = 0\). Einsetzen ergibt \(2 \cdot 0 - 3y = 6 \Rightarrow -3y = 6 \Rightarrow y = -2\). Ein weiteres Paar ist \((0|-2)\). 3. Anzahl der Lösungen: Die Gleichung hat unendlich viele Lösungen. Zu jedem beliebigen Wert für \(x\) lässt sich durch Umstellen der Gleichung nach \(y\) (hier \(y = \frac{2}{3}x - 2\)) ein eindeutiger Wert für \(y\) berechnen.

a) \((3|0)\) ist eine Lösung, \((0|2)\) ist keine Lösung. b) Mögliche Lösungen sind z. B. \((6|2)\) und \((0|-2)\). c) Es gibt unendlich viele Lösungen, da man für \(x\) jede beliebige Zahl einsetzen und ein passendes \(y\) berechnen kann.

- Kannst du eine der Gleichungen so umstellen, dass eine Variable alleine steht? - Was passiert, wenn du eine Gleichung mit einer Zahl multiplizierst oder durch eine Zahl dividierst? Sehen die Gleichungen dann vielleicht ähnlich aus? - Wie viele Schnittpunkte können zwei Geraden im Koordinatensystem haben? - Überprüfe dein Ergebnis für Teil a), indem du die Werte in beide ursprünglichen Gleichungen einsetzt.

1. System a): Anwendung des Einsetzungsverfahrens durch Umformen der zweiten Gleichung zu \(y = 5x - 3\). Einsetzen in die erste Gleichung ergibt \(3x + 2 \cdot (5x - 3) = 7\). Vereinfachen zu \(13x - 6 = 7 \implies 13x = 13 \implies x = 1\). Einsetzen von \(x\) in den Ausdruck für \(y\) ergibt \(y = 5 \cdot 1 - 3 = 2\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{(1|2)\}\). 2. System b): Division der ersten Gleichung durch \(3\) ergibt \(2x - 3y = 4\). Division der zweiten Gleichung durch \(2\) ergibt ebenfalls \(2x - 3y = 4\). Da beide Gleichungen identisch sind, liegen alle Punkte der Geraden in der Lösungsmenge. Es gibt unendlich viele Lösungen der Form \(L = \{(x|y)\mid 2x - 3y = 4\}\).

a) \(L = \{(1|2)\}\) b) Unendlich viele Lösungen; die Gleichungen sind äquivalent zu \(2x - 3y = 4\).

- Kannst du die Bedingungen in mathematische Gleichungen übersetzen? - Was passiert, wenn du eine der Gleichungen so umformst, dass sie der anderen ähnlicher sieht? - Versuche, einen Ausdruck aus der ersten Gleichung in die zweite einzusetzen. - Führt deine Rechnung zu einer wahren Aussage oder zu einem Widerspruch?

1. Definition der Variablen: Sei \(x\) die erste Zahl und \(y\) die zweite Zahl. 2. Aufstellen des Gleichungssystems: I: \(x + y = 12\), II: \(4x + 4y = 50\). 3. Umformung von Gleichung II: Ausklammern von \(4\) auf der linken Seite ergibt \(4 \cdot (x + y) = 50\). 4. Einsetzen von Gleichung I in die umgeformte Gleichung II: \(4 \cdot 12 = 50\). 5. Prüfung der Aussage: Die Rechnung ergibt \(48 = 50\), was ein Widerspruch ist. 6. Schlussfolgerung: Das lineare Gleichungssystem hat keine Lösung. Es existiert kein Zahlenpaar, das beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt.

Es gibt kein solches Zahlenpaar. Die rechnerische Überprüfung führt auf den Widerspruch \(48 = 50\), was bedeutet, dass das Gleichungssystem keine Lösung besitzt.

- Wie berechnet man den Umfang eines Rechtecks aus seiner Länge und Breite? - Schreibe beide Forderungen als mathematische Formeln auf. - Kannst du eine der Formeln vereinfachen, um sie direkt mit der anderen zu vergleichen? - Was bedeutet es für die Realisierbarkeit, wenn zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein müssen, aber unterschiedliche Ergebnisse fordern?

1. Definition der Variablen \(l\) für die Länge und \(b\) für die Breite des Rechtecks in \(\text{cm}\). 2. Aufstellen der Gleichung für den Umfang: \(2 \cdot (l + b) = 80\). 3. Aufstellen der Gleichung für die Summe der Seiten: \(l + b = 45\). 4. Vereinfachung der Umfangsgleichung durch Division beider Seiten durch 2: \(l + b = 40\). 5. Vergleich der Bedingungen: Das System verlangt gleichzeitig \(l + b = 40\) und \(l + b = 45\). 6. Da \(40 \neq 45\) ist, entsteht ein mathematischer Widerspruch. Das Gleichungssystem hat keine Lösung.

Nein, die Konstruktion ist nicht möglich. Ein Umfang von \(80\,\text{cm}\) setzt voraus, dass die Summe von Länge und Breite \(40\,\text{cm}\) beträgt. Dies steht im Widerspruch zur zweiten Forderung von \(45\,\text{cm}\).

- Wie isoliert man die Variable \(y\) in einer Gleichung? - Was bedeutet es für die Graphen zweier Funktionen, wenn ihre Funktionsgleichungen exakt gleich sind? - Wenn jeder Punkt auf der einen Geraden auch ein Punkt auf der anderen Geraden ist, wie viele gemeinsame Punkte gibt es dann?

1. Umformen von Gleichung I nach \(y\): \(2x - 3y = 6 \Rightarrow -3y = -2x + 6 \Rightarrow y = \frac{2}{3}x - 2\). 2. Umformen von Gleichung II nach \(y\): \(-4x + 6y = -12 \Rightarrow 6y = 4x - 12 \Rightarrow y = \frac{4}{6}x - \frac{12}{6} \Rightarrow y = \frac{2}{3}x - 2\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Beide Gleichungen sind nach der Umformung identisch. 4. Schlussfolgerung für die Lösungsanzahl: Da die Gleichungen äquivalent sind, gibt es unendlich viele Lösungen (jedes Zahlenpaar \((x|y)\), das eine Gleichung erfüllt, erfüllt auch die andere). 5. Geometrische Bedeutung: Die beiden Geraden im Koordinatensystem liegen aufeinander (sie sind identisch).

a) Beide Gleichungen ergeben umgeformt \(y = \frac{2}{3}x - 2\). Sie sind also identisch. b) Das System hat unendlich viele Lösungen, da die Gleichungen äquivalent sind. Geometrisch bedeutet dies, dass die beiden Geraden im Koordinatensystem identisch sind (sie liegen aufeinander).

- Überlege dir, wie die beiden Gleichungen zusammenhängen. Was passiert mit der linken Seite von Gleichung (I), wenn man sie mit \(-2\) multipliziert? - Was bedeutet es für die Lösungsmenge, wenn die linken Seiten der Gleichungen „zusammenpassen“, die rechten Seiten aber nicht? - Erinnere dich an die drei Fälle: genau eine Lösung, keine Lösung oder unendlich viele Lösungen.

1. Vergleich der linken Seiten der Gleichungen: Die Koeffizienten in (II) sind das \(-2\)-fache der Koeffizienten in (I), da \(-6 : 3 = -2\) und \(2 : (-1) = -2\). 2. Für unendlich viele Lösungen muss auch die rechte Seite diesen Faktor erfüllen: \(c = 5 \cdot (-2) = -10\). 3. Untersuchung für \(c = 10\): Die linken Seiten bleiben proportional mit dem Faktor \(-2\), aber für die rechten Seiten gilt \(10 : 5 = 2\). 4. Da \(-2 \neq 2\), sind die entsprechenden Geraden parallel, aber nicht identisch. Das System hat somit keine Lösung.

a) \(c = -10\) b) Das System hat keine Lösung, da die Koeffizienten der Variablen proportional sind, die Konstanten jedoch nicht (die Geraden sind parallel).

- Was passiert mit der zeichnerischen Darstellung, wenn zwei Gleichungen eigentlich die gleiche Gerade beschreiben? - Wie verhalten sich die Steigungen zweier Geraden zueinander, wenn es keinen Schnittpunkt gibt? - Überlege dir, was passiert, wenn du eine Gleichung mit einer Zahl multiplizierst. Ändert das die Lösungsmenge? - Schau dir das Verhältnis der Zahlen vor dem \( x \) und vor dem \( y \) in beiden Gleichungen an.

1. Vergleich der Verhältnisse der Koeffizienten und der Konstanten: \( \frac{4}{2} = 2 \), \( \frac{-2}{-1} = 2 \), \( \frac{10}{5} = 2 \). Da alle Verhältnisse gleich sind (\( 2 = 2 = 2 \)), sind die Gleichungen äquivalent. Ergebnis: unendlich viele Lösungen. 2. Vergleich der Koeffizienten: Die linken Seiten sind identisch (\( 3x + 5y \)), aber die rechten Seiten unterscheiden sich (\( 15 \neq 20 \)). Die Geraden sind parallel und nicht identisch. Ergebnis: keine Lösung. 3. Vergleich der Verhältnisse der Koeffizienten von \( x \) und \( y \): \( \frac{1}{2} \) für \( x \) und \( \frac{3}{-6} = -0{,}5 \) für \( y \). Da \( 0{,}5 \neq -0{,}5 \), haben die Geraden unterschiedliche Steigungen und schneiden sich. Ergebnis: genau eine Lösung.

1) Unendlich viele Lösungen, da die Gleichungen linear abhängig sind (Faktor 2). 2) Keine Lösung, da die Geraden parallel verlaufen (gleiche Koeffizienten links, unterschiedliche Konstante rechts). 3) Genau eine Lösung, da die Verhältnisse der Koeffizienten von \( x \) und \( y \) unterschiedlich sind (unterschiedliche Steigungen).

- Kannst du eine der Gleichungen so umformen, dass die linke Seite genau wie bei der anderen aussieht? - Was passiert mit der Anzahl der Lösungen, wenn zwei Gleichungen im Grunde dasselbe aussagen? - Addiere die beiden Gleichungen in System B. Was fällt dir auf? - Wie viele Schnittpunkte können zwei Geraden im Koordinatensystem maximal haben?

1. Untersuchung von System A: Durch Division der ersten Gleichung durch \( -2 \) erhält man \( -2x + y = -3 \). Da diese Gleichung identisch mit der zweiten Gleichung des Systems ist, gibt es unendlich viele Lösungen. 2. Untersuchung von System B: Anwendung des Additionsverfahrens durch Summierung beider Gleichungen führt zu \( (3x + y) + (x - y) = 7 + 1 \), woraus \( 4x = 8 \) resultiert. 3. Berechnung der Variablen für System B: Division durch \( 4 \) ergibt \( x = 2 \). Einsetzen von \( x = 2 \) in die Gleichung \( x - y = 1 \) führt zu \( 2 - y = 1 \), also \( y = 1 \). Das System besitzt genau eine Lösung \( L = \{(2|1)\} \).

System A: unendlich viele Lösungen. System B: genau eine Lösung; \( L = \{(2|1)\} \).

- Unterscheide eine Aussage, die immer wahr ist, von einer Aussage, die niemals wahr ist. - Verbinde anschließend jede algebraische Situation mit der Anzahl gemeinsamer Punkte zweier Geraden. - Eine Gerade mit sich selbst hat eine andere Schnittpunktsituation als zwei verschiedene parallele Geraden.

1. \(0=0\) ist eine wahre Identität. Die beiden Ausgangsgleichungen beschreiben dieselbe Gerade, daher gibt es unendlich viele Lösungen. 2. \(0=-4\) ist ein Widerspruch. Die Geraden sind verschieden und parallel, daher gibt es keine Lösung.

System A: unendlich viele Lösungen; die Geraden sind identisch. System B: keine Lösung; die Geraden sind parallel und verschieden.

- Betrachte die Steigungen auf beiden Seiten der Gleichung. - Was passiert, wenn du die Klammern auflöst? - Wann verlaufen zwei Geraden parallel, und wann liegen sie genau aufeinander?

1. Vergleich der Terme \(2x + 5\) und \(2x - 3\): Beide Geraden haben die Steigung \(m = 2\), aber unterschiedliche \(y\)-Achsenabschnitte (\(5\) und \(-3\)). Die Geraden sind parallel und verschieden, daher gibt es keine Lösung. 2. Vereinfachung der rechten Seite: \(\frac{1}{2} \cdot (6x - 2) = 3x - 1\). Die Gleichung lautet \(3x - 1 = 3x - 1\). Beide Seiten beschreiben dieselbe Gerade. Jede reelle Zahl \(x\) ist eine Lösung, also gibt es unendlich viele Lösungen. 3. Vergleich der Steigungen: Die linke Seite hat die Steigung \(m_1 = 4\), die rechte Seite \(m_2 = -1\). Da die Steigungen unterschiedlich sind, schneiden sich die Geraden in genau einem Punkt. Es gibt genau eine Lösung.

1. Keine Lösung, da die Geraden parallel verlaufen (gleiche Steigung, verschiedene \(y\)-Achsenabschnitte). 2. Unendlich viele Lösungen, da beide Seiten dieselbe Gerade beschreiben (identische Terme). 3. Genau eine Lösung, da die Geraden unterschiedliche Steigungen haben und sich somit in einem Punkt schneiden.

- Versuche, beide Gleichungen in die Form \(y = mx + b\) zu bringen. - Wann liegen zwei Geraden genau übereinander? - Was muss für die Steigung und den Achsenabschnitt gelten, damit die Geraden parallel sind? - Überlege dir, ob es einen Fall geben kann, in dem diese beiden Geraden sich in genau einem Punkt schneiden.

1. Umformung von Gleichung (I) nach \(y\): Durch Division durch \(-3\) und Umstellen erhält man \(y = 2x - 4\). 2. Vergleich mit Gleichung (II) \(y = 2x + k\): Damit unendlich viele Lösungen existieren, müssen die Gleichungen identisch sein. Dies ist der Fall, wenn die y-Achsenabschnitte übereinstimmen, also \(k = -4\). 3. Analyse für \(k \neq -4\): Die Steigungen beider Geraden sind mit \(m = 2\) gleich. Wenn \(k \neq -4\) ist, sind die y-Achsenabschnitte verschieden. Die Geraden verlaufen somit parallel ohne Schnittpunkt. Ergebnis: keine Lösung.

Für \(k = -4\) hat das System unendlich viele Lösungen. Für alle anderen Werte von \(k\) (\(k \neq -4\)) hat das System keine Lösung.

- Wann liegen zwei Geraden genau aufeinander? - Was muss für die Koeffizienten von \(x\) und \(y\) gelten, damit die Geraden parallel verlaufen? - Vergleiche die beiden Gleichungen, indem du eine so multiplizierst, dass die Zahlen vor einer Variable (z. B. vor dem \(y\)) übereinstimmen.

1. Umformung von Gleichung (I) durch Multiplikation mit \(-2\), um den Koeffizienten von \(y\) an Gleichung (II) anzupassen: \(-10x + 4y = -20\). 2. Für unendlich viele Lösungen müssen beide Gleichungen identisch sein. Vergleich der Koeffizienten von (II) \(ax + 4y = b\) mit \(-10x + 4y = -20\) ergibt \(a = -10\) und \(b = -20\). 3. Für keine Lösung müssen die Geraden parallel, aber nicht identisch sein. Die Koeffizienten der Variablen müssen proportional sein, der konstante Term jedoch nicht. Dies ist erfüllt für \(a = -10\) und \(b \neq -20\) (zum Beispiel \(b = 0\)).

a) \(a = -10\) und \(b = -20\) b) \(a = -10\) und \(b \neq -20\) (z. B. \(b = 0\))

- Was gibt die Zahl vor dem \(x\) bei einer Funktionsgleichung der Form \(y = mx + n\) an? - Wann schneiden sich zwei Geraden im Koordinatensystem nicht? - Welches Verfahren (Gleichsetzungs-, Einsetzungs- oder Additionsverfahren) bietet sich hier am besten an?

1. Geometrische Deutung: Die Gleichungen beschreiben Geraden in der Form \(y = mx + n\). Keine Lösung existiert, wenn die Geraden parallel verlaufen, aber unterschiedliche \(y\)-Achsenabschnitte haben. 2. Vergleich der Steigungen: Die Steigung von (I) ist \(3\). Damit (II) parallel ist, muss \(k = 3\) gelten. Da die \(y\)-Achsenabschnitte \(-4\) und \(2\) verschieden sind, gibt es für \(k = 3\) keinen Schnittpunkt und somit keine Lösung. 3. Berechnung für \(k = 1\): Gleichsetzen der Terme: \(3x - 4 = x + 2\). 4. Nach \(x\) auflösen: \(2x = 6 \Rightarrow x = 3\). 5. Einsetzen in (I): \(y = 3 \cdot 3 - 4 = 5\). Das Lösungspaar ist \((3|5)\).

a) \(k = 3\); Begründung: Die Geraden haben dann die gleiche Steigung, aber unterschiedliche \(y\)-Achsenabschnitte, sind also echt parallel. b) \((3|5)\)

- Bringe beide Gleichungen in die Form \(y = mx + b\). - Was sagt es über den Verlauf zweier Geraden aus, wenn sie die gleiche Steigung haben? - Schau dir zusätzlich an, ob sie die \(y\)-Achse an derselben Stelle kreuzen oder nicht. - Wie viele gemeinsame Punkte können zwei Geraden haben, die parallel nebeneinander verlaufen?

1. Umformen von Gleichung (I) in die Form \(y = mx + b\): \(6x - 2y = 4 \implies -2y = -6x + 4 \implies y = 3x - 2\). 2. Vergleich mit Gleichung (II) \(y = 3x + 5\): Beide Geraden haben die gleiche Steigung \(m = 3\). 3. Vergleich der \(y\)-Achsenabschnitte: Die \(y\)-Achsenabschnitte sind verschieden (\(b_1 = -2\) und \(b_2 = 5\)). 4. Schlussfolgerung: Da die Steigungen gleich, aber die \(y\)-Achsenabschnitte unterschiedlich sind, verlaufen die Geraden echt parallel zueinander. 5. Es gibt keinen gemeinsamen Punkt und somit keinen Schnittpunkt. Das System hat keine Lösung.

Das Gleichungssystem hat keine Lösung, da die zugehörigen Geraden parallel sind (gleiche Steigung \(m = 3\), unterschiedliche \(y\)-Achsenabschnitte). Es gibt \(0\) Schnittpunkte.

- Überlege dir, was grafisch passieren muss, damit zwei Geraden keine oder unendlich viele Schnittpunkte haben. - Wie verändern sich die Lösungen einer Gleichung, wenn man die gesamte Gleichung mit einer Zahl multipliziert? - Was passiert mit der Lage einer Geraden im Koordinatensystem, wenn man nur den y-Achsenabschnitt ändert, aber die Steigung gleich lässt?

1. Für unendlich viele Lösungen müssen die Gleichungen äquivalent sein. Multiplikation von (I) mit einem Faktor, z. B. \(2\), ergibt (II) \(6x - 4y = 8\). Da beide Gleichungen dieselbe Lösungsmenge (dieselbe Gerade) beschreiben, gibt es unendlich viele Lösungen. 2. Für keine Lösung müssen die Geraden parallel, aber nicht identisch sein. Die Koeffizienten von \(x\) und \(y\) müssen im gleichen Verhältnis stehen, die Konstante jedoch nicht. Multiplikation der linken Seite von (I) mit \(2\) ergibt \(6x - 4y\). Wählt man eine Konstante ungleich \(8\), z. B. \(10\), so ergibt sich (II) \(6x - 4y = 10\). Da \(6x - 4y\) nicht gleichzeitig \(8\) und \(10\) sein kann, ist die Lösungsmenge leer.

Mögliche Lösungen: a) (II) \(6x - 4y = 8\) (oder ein anderes Vielfaches der gesamten Gleichung). b) (II) \(6x - 4y = 10\) (oder allgemein \(6x - 4y = c\) mit \(c \neq 8\)).

- Kannst du die Gleichungen so umformen, dass sie die Form \(y = mx + b\) haben? - Was kannst du über die Lösungsanzahl sagen, wenn die linke Seite zweier Gleichungen gleich ist, die rechte aber nicht? - Schau dir die Steigungen der Geraden an, wenn du sie dir grafisch vorstellst.

1. System (A): Umformung von (II) nach \(y\): \(4x + 10 = 2y \Rightarrow y = 2x + 5\). Da (I) und (II) identisch sind, gibt es unendlich viele Lösungen. 2. System (B): Die linken Seiten der Gleichungen sind identisch (\(3x + 4y\)), aber die rechten Seiten unterscheiden sich (\(12 \neq 15\)). Dies führt zu einem Widerspruch (\(12 = 15\)), daher gibt es keine Lösung. 3. System (C): Die Verhältnisse der Koeffizienten von \(x\) und \(y\) sind unterschiedlich (\(1:1\) bei \(x\), aber \(1:(-1)\) bei \(y\)). Die Geraden haben unterschiedliche Steigungen (\(m_1 = -1\), \(m_2 = 1\)) und schneiden sich daher in genau einem Punkt. Es gibt genau eine Lösung.

(A) Unendlich viele Lösungen (Gleichungen sind identisch). (B) Keine Lösung (Widerspruch: dieselbe Summe kann nicht zwei verschiedene Werte ergeben). (C) Genau eine Lösung (Geraden haben unterschiedliche Steigungen).

- Vergleiche in jedem Beispiel nicht nur die Koeffizienten vor den Variablen, sondern die vollständigen Gleichungen. - Überlege, wann zwei Gleichungen tatsächlich dieselbe Gerade beschreiben. - Prüfe, was geschieht, wenn die linken Seiten proportional sind, die rechten Seiten aber nicht.

1. In Beispiel 1 ist Gleichung (II) genau das Doppelte von Gleichung (I): \(2(x+2y)=2\cdot5\) ergibt \(2x+4y=10\). Beide Gleichungen beschreiben dieselbe Gerade; es gibt unendlich viele Lösungen. 2. In Beispiel 2 sind zwar die Variablenkoeffizienten verdoppelt, aber die rechte Seite müsste dann \(10\) statt \(12\) sein. Aus den beiden Gleichungen ergäbe sich der Widerspruch \(10=12\). Das System hat keine Lösung. 3. Ninas Regel ist daher unvollständig. Für unendlich viele Lösungen müssen alle Koeffizienten einschließlich der Konstanten im selben Verhältnis stehen. Sind nur die Variablenkoeffizienten proportional, die Konstanten aber nicht, beschreiben die Gleichungen verschiedene parallele Geraden.

Nina hat nicht recht. In Beispiel 1 gibt es unendlich viele Lösungen, weil die gesamte zweite Gleichung das Doppelte der ersten ist. In Beispiel 2 gibt es keine Lösung, weil die Konstanten nicht im selben Verhältnis stehen.

- Was passiert, wenn du die erste Gleichung durch 4 teilst? - Vergleiche die linken Seiten der beiden Gleichungen. Was fällt dir auf? - Wann liegen zwei Geraden direkt aufeinander und wann verlaufen sie parallel zueinander? - Überlege dir, wie die Steigung der beiden Geraden aussieht.

1. Umformung von Gleichung (I) durch Division beider Seiten durch 4 ergibt die äquivalente Gleichung \(3x - y = 2\). 2. Vergleich der umgeformten Gleichung (I) mit Gleichung (II) \(3x - y = k\): Die Koeffizienten von \(x\) und \(y\) sind in beiden Gleichungen identisch. 3. Fall \(k = 2\): Die Gleichungen sind identisch, was zu unendlich vielen Lösungen führt. Jedes Paar \((x|y)\), das \(y = 3x - 2\) erfüllt, ist eine Lösung. 4. Fall \(k \neq 2\): Die linken Seiten der Gleichungen sind identisch, aber die rechten Seiten unterscheiden sich. Dies führt zu einem Widerspruch (z. B. \(2 = k\)), sodass das System keine Lösung besitzt. 5. Da die Geraden für jeden Wert von \(k\) dieselbe Steigung haben, sind sie entweder identisch oder echt parallel. Daher können sie sich niemals in genau einem Punkt schneiden. Somit existiert kein \(k\) für eine eindeutige Lösung.

a) Für \(k = 2\) gibt es unendlich viele Lösungen. b) Für \(k \neq 2\) gibt es keine Lösung. c) Da die Koeffizienten von \(x\) und \(y\) proportional zueinander sind (\(12:3 = -4:-1\)), sind die entsprechenden Geraden entweder identisch oder echt parallel. Sie haben daher entweder unendlich viele oder keine Schnittpunkte, aber niemals genau einen.

- Wie müssen die Steigungen zweier Geraden zueinander stehen, damit sie sich in genau einem Punkt schneiden? - Wann verlaufen zwei Geraden parallel zueinander, ohne sich zu berühren? - Was muss gelten, damit zwei Gleichungen im Grunde dieselbe Gerade beschreiben?

1. Umformung der Ausgangsgleichung (I) nach \(y\): \(y = \frac{2}{3}x - 2\). 2. Für genau eine Lösung muss die Steigung der zweiten Geraden von \(\frac{2}{3}\) abweichen, zum Beispiel \(y = x\). 3. Für keine Lösung müssen die Steigungen gleich sein, aber der \(y\)-Achsenabschnitt verschieden, zum Beispiel \(y = \frac{2}{3}x\) (entspricht \(2x - 3y = 0\)). 4. Für unendlich viele Lösungen muss die Gleichung äquivalent zur ersten sein, zum Beispiel durch Multiplikation mit \(0{,}5\): \(2x - 3y = 6\).

Beispiele für mögliche Gleichungen (II): a) \(y = x\) b) \(2x - 3y = 0\) c) \(2x - 3y = 6\)

- Wann haben zwei Geraden keinen einzigen gemeinsamen Punkt? - Wenn zwei Geraden eine unterschiedliche Steigung haben, wie oft können sie sich dann höchstens schneiden? - Überlege, welche Werte \(m\) und \(n\) annehmen müssen, damit die zweite Gleichung exakt die gleiche Gerade beschreibt wie die erste.

1. Keine Lösung: Die Geraden müssen parallel sein. Das bedeutet, die Steigungen müssen gleich sein (\(m = 3\)), aber die \(y\)-Achsenabschnitte verschieden (\(n \neq -5\)). Beispiel: \(m = 3\), \(n = 0\). 2. Genau eine Lösung: Die Geraden müssen sich schneiden. Das ist immer dann der Fall, wenn die Steigungen unterschiedlich sind (\(m \neq 3\)). Der Wert von \(n\) spielt dabei keine Rolle. Beispiel: \(m = 1\), \(n = -5\). 3. Unendlich viele Lösungen: Die Geraden müssen identisch sein. Sowohl die Steigung als auch der \(y\)-Achsenabschnitt müssen gleich sein. Ergebnis: \(m = 3\), \(n = -5\).

Mögliche Beispiele: a) \(m = 3\), \(n = 0\) (allgemein: \(m = 3\) und \(n \neq -5\)) b) \(m = 1\), \(n = -5\) (allgemein: \(m \neq 3\), \(n\) beliebig) c) \(m = 3\), \(n = -5\)

- Wie viele Punkte liegen auf dem Graphen einer einzelnen linearen Gleichung mit zwei Variablen? - Welche Lage müssen zwei Geraden haben, damit sie genau einen gemeinsamen Punkt besitzen? - Kann derselbe Ausdruck \(a-b\) gleichzeitig die Werte \(5\) und \(8\) annehmen?

1. Die Gleichung \(a-b=5\) besitzt unendlich viele Lösungen, zum Beispiel \((10 \mid 5)\), \((7 \mid 2)\) und \((0 \mid -5)\). Ein einzelnes Zahlenpaar beschreibt daher nicht die gesamte Lösungsmenge. 2. Eine mögliche zweite Gleichung ist \(a+b=15\). Die beiden zugehörigen Geraden haben unterschiedliche Steigungen und schneiden sich daher in genau einem Punkt. Einsetzen zeigt, dass dieser Punkt \((10 \mid 5)\) ist. 3. Die beiden Gleichungen \(a-b=5\) und \(a-b=8\) können nicht gleichzeitig erfüllt sein. Subtraktion führt auf den Widerspruch \(0=3\). Daher gibt es keine gemeinsame Lösung.

1. \((10 \mid 5)\) ist nur eine von unendlich vielen Lösungen. 2. Zum Beispiel \(a+b=15\); dann ist die einzige gemeinsame Lösung \((10 \mid 5)\). 3. Keine gemeinsame Lösung.

- Kannst du für die erste Gleichung zwei Zahlen finden, deren Summe den Zielwert ergibt? - Wie kannst du die Information aus der zweiten Gleichung nutzen, um sie in die erste einzusetzen? - Was bedeutet es grafisch, wenn ein Punkt beide Gleichungen gleichzeitig erfüllt?

1. Lösungen für (I): Wähle \(x=0 \Rightarrow y=10\), also \((0|10)\). Wähle \(x=5 \Rightarrow y=5\), also \((5|5)\). 2. Lösungen für (II): Wähle \(x=0 \Rightarrow y=2\), also \((0|2)\). Wähle \(x=2 \Rightarrow y=4\), also \((2|4)\). 3. Gemeinsame Lösung bestimmen: Setze den Ausdruck für \(y\) aus (II) in (I) ein: \(x + (x + 2) = 10\). 4. Löse nach \(x\) auf: \(2x + 2 = 10 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4\). 5. Berechne \(y\) durch Einsetzen von \(x=4\) in (II): \(y = 4 + 2 = 6\). Das gesuchte Zahlenpaar ist \((4|6)\).

a) Beispiele für (I): \((0|10), (5|5)\); Beispiele für (II): \((0|2), (2|4)\). b) Das gemeinsame Zahlenpaar ist \((4|6)\).

- Könntest du die erste Gleichung so umformen, dass die Brüche oder Dezimalzahlen verschwinden? - Vergleiche die linken Seiten der beiden Gleichungen, nachdem du sie vereinfacht hast. Was fällt dir auf? - Was bedeutet es für die Lösungsmenge, wenn beim Lösen eine offensichtlich falsche Aussage wie \( 0 = 1 \) entsteht? - Kann ein Ausdruck wie \( 2x - 3y \) gleichzeitig zwei verschiedene Werte annehmen?

1. Umformung der ersten Gleichung durch Multiplikation mit 5, um ganzzahlige Koeffizienten zu erhalten: \( 5 \cdot (0{,}4x - 0{,}6y) = 5 \cdot 1{,}2 \implies 2x - 3y = 6 \). 2. Vergleich der umgeformten ersten Gleichung mit der zweiten Gleichung des Systems: \( 2x - 3y = 6 \) und \( 2x - 3y = 5 \). 3. Anwendung des Subtraktionsverfahrens führt zu der Aussage \( (2x - 3y) - (2x - 3y) = 6 - 5 \), also \( 0 = 1 \). 4. Da dies ein logischer Widerspruch (eine falsche Aussage) ist, besitzt das Gleichungssystem keine Lösung.

Das Gleichungssystem hat keine Lösung.

- Hilft es dir, die Brüche oder Dezimalzahlen zu eliminieren, indem du die gesamte Gleichung mit einer passenden Zahl multiplizierst? - Wenn beim Rechnen eine falsche Aussage wie \(0 = 5\) entsteht, was bedeutet das für die Lösungsmenge? - Welches Verfahren (Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren) erscheint dir hier am einfachsten? - Achte beim Rechnen mit negativen Zahlen und Dezimalstellen besonders auf die Vorzeichen.

1. System a: Multiplikation der ersten Gleichung mit \(6\) ergibt \(3x + 4y = 30\). Ein Vergleich mit der zweiten Gleichung \(3x + 4y = 20\) führt zu dem Widerspruch \(30 = 20\). Die Geraden sind parallel und haben keinen Schnittpunkt. Die Lösungsmenge ist leer: \(L = \emptyset\). 2. System b: Multiplikation beider Gleichungen mit \(10\) zur Eliminierung der Dezimalzahlen ergibt \(4x - 3y = 11\) und \(5x + 2y = 8\). Anwendung des Additionsverfahrens durch Multiplikation der ersten Gleichung mit \(2\) (\(8x - 6y = 22\)) und der zweiten mit \(3\) (\(15x + 6y = 24\)). Addition beider Gleichungen ergibt \(23x = 46 \implies x = 2\). Einsetzen von \(x = 2\) in \(5x + 2y = 8\) ergibt \(10 + 2y = 8 \implies 2y = -2 \implies y = -1\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{(2|-1)\}\).

a) Keine Lösung, \(L = \emptyset\). b) \(L = \{(2|-1)\}\).

- Überlege dir, wie die Lage von zwei Geraden im Koordinatensystem mit der Anzahl der Lösungen zusammenhängt. - Was muss für die Steigungen gelten, damit sich zwei Geraden schneiden? - Wie erkennst du an den Gleichungen, ob zwei Geraden parallel verlaufen oder sogar aufeinanderliegen? - Wenn du ein System lösen sollst, kannst du die Terme gleichsetzen, wenn beide nach derselben Variable aufgelöst sind.

1. Analyse der Systeme: a) Die Geraden haben die gleiche Steigung \(m_1 = m_2 = 2\), aber unterschiedliche \(y\)-Achsenabschnitte (\(3 \neq -1\)). Sie sind parallel, daher gibt es keine Lösung. b) Die Steigungen sind unterschiedlich (\(m_1 = -1\), \(m_2 = 2\)). Die Geraden schneiden sich in genau einem Punkt, daher gibt es genau eine Lösung. c) Umformen der zweiten Gleichung ergibt \(y = -2x + 4\). Dies entspricht der ersten Gleichung (\(y = -2x + 4\)). Die Geraden sind identisch, daher gibt es unendlich viele Lösungen. 2. Rechnerische Lösung für System b): Gleichsetzen der Funktionsterme: \(-x + 4 = 2x - 2\). Addieren von \(x\) und \(2\): \(6 = 3x \implies x = 2\). Einsetzen in eine Gleichung: \(y = -2 + 4 = 2\). Der Schnittpunkt ist \(S(2|2)\).

a) Keine Lösung (parallel) b) Genau eine Lösung (unterschiedliche Steigungen); rechnerisch ergibt sich \(x = 2\), \(y = 2\) und damit der Schnittpunkt \(S(2|2)\). c) Unendlich viele Lösungen (identische Geraden)

- Welches Verfahren erscheint dir hier am einfachsten? Vielleicht das Umstellen einer Gleichung nach einer Variablen? - Achte beim Umformen von Gleichung II besonders auf die Vorzeichen, wenn du durch eine negative Zahl dividierst. - Was sagt die Steigung \(m\) über den Verlauf einer Geraden aus? - Wann können zwei Geraden in einer Ebene mehr als einen oder gar keinen Schnittpunkt haben?

1. Rechnerische Lösung (z. B. Einsetzungsverfahren): Aus I folgt \(y = -\frac{1}{2}x + 2\). Einsetzen in II: \(3x - 2 \cdot (-\frac{1}{2}x + 2) = 12 \implies 3x + x - 4 = 12 \implies 4x = 16 \implies x = 4\). Einsetzen von \(x = 4\) in \(y = -\frac{1}{2}x + 2\) ergibt \(y = -\frac{1}{2} \cdot 4 + 2 = 0\). Lösung: \((4|0)\). 2. Umformung in Normalform: Gleichung I: \(y = -0{,}5x + 2\). Gleichung II: \(-2y = -3x + 12 \implies y = 1{,}5x - 6\). 3. Begründung: Die Steigung der ersten Geraden ist \(m_1 = -0{,}5\), die der zweiten ist \(m_2 = 1{,}5\). Da \(m_1 \neq m_2\), sind die Geraden nicht parallel und müssen sich in genau einem Punkt schneiden.

1. Die Lösung des Systems ist \(x = 4\) und \(y = 0\). 2. Normalformen: \(y = -0{,}5x + 2\) und \(y = 1{,}5x - 6\). 3. Da die Steigungen \(m_1 = -0{,}5\) und \(m_2 = 1{,}5\) verschieden sind, haben die Geraden genau einen Schnittpunkt.

- Stelle zu jeder Angabe eine Gleichung mit den Unbekannten für die Preise auf. - Schau dir die Zahlenwerte in beiden Gleichungen genau an. Gibt es einen Zusammenhang zwischen ihnen? - Was bedeutet es für die Lösbarkeit, wenn eine Gleichung ein Vielfaches der anderen ist? - Könntest du verschiedene Preisbeispiele finden, die zu beiden Tarifen passen würden?

1. Definition der Variablen: Sei \(x\) der Preis für einen Erwachsenen in \(\text{€}\) und \(y\) der Preis für ein Kind in \(\text{€}\). 2. Aufstellen des Gleichungssystems: I: \(3x + 5y = 110\), II: \(9x + 15y = 330\). 3. Analyse der Gleichungen: Multipliziert man Gleichung I mit \(3\), erhält man \(3 \cdot (3x + 5y) = 3 \cdot 110\), also \(9x + 15y = 330\). 4. Vergleich: Gleichung I und Gleichung II sind äquivalent (linear abhängig). Sie enthalten dieselbe Information über das Verhältnis der Preise. 5. Schlussfolgerung: Das System hat unendlich viele Lösungen (alle Paare \((x|y)\), die \(3x + 5y = 110\) erfüllen). 6. Ergebnis: Da es keine eindeutige Lösung gibt, kann der Preis für einen Erwachsenen nicht exakt bestimmt werden.

Nein, der Preis kann nicht eindeutig berechnet werden. Da die zweite Gleichung lediglich das Dreifache der ersten Gleichung ist, liefern beide Angaben dieselbe Information. Es gibt unendlich viele mögliche Preiskombinationen, die beide Bedingungen erfüllen.

- Überlege dir, wie die Steigung und der y-Achsenabschnitt zusammenhängen müssen, damit Geraden identisch oder parallel sind. - Was passiert mit dem Schnittpunkt, wenn beide Geraden denselben y-Achsenabschnitt haben? - Nutze ein bekanntes Verfahren wie das Einsetzungs- oder Additionsverfahren für den konkreten Wert von \(a\).

1. Bestimmung von \(a\) für unendlich viele Lösungen: Umformung von (I) zu \(6y = -3x + 12 \Rightarrow y = -0{,}5x + 2\). Umformung von (II) zu \(4y = -ax + 8 \Rightarrow y = -\frac{a}{4}x + 2\). Für unendlich viele Lösungen müssen die Steigungen gleich sein: \(-0{,}5 = -\frac{a}{4} \Rightarrow a = 2\). Da die y-Achsenabschnitte beide \(2\) sind, sind die Geraden bei \(a = 2\) identisch. 2. Untersuchung auf „keine Lösung“: Für keine Lösung müssten die Geraden parallel sein (gleiche Steigung), aber unterschiedliche y-Achsenabschnitte haben. Da beide Gleichungen nach Umformung den festen y-Achsenabschnitt \(n = 2\) haben, schneiden sie sich immer mindestens im Punkt \((0|2)\). Es gibt also keinen Wert für \(a\), der zu „keine Lösung“ führt. 3. Lösung für \(a = 1\): Das System lautet \(3x + 6y = 12\) und \(x + 4y = 8\). Aus der zweiten Gleichung folgt \(x = 8 - 4y\). Einsetzen in (I): \(3 \cdot (8 - 4y) + 6y = 12 \Rightarrow 24 - 12y + 6y = 12 \Rightarrow 24 - 6y = 12 \Rightarrow -6y = -12 \Rightarrow y = 2\). Einsetzen in die umgestellte zweite Gleichung: \(x = 8 - 4 \cdot 2 = 0\). Das Lösungspaar ist \((0|2)\).

a) \(a=2\) b) Es gibt keinen solchen Wert für \(a\), da die Geraden stets den Punkt \((0|2)\) gemeinsam haben und daher entweder identisch sind oder sich schneiden. c) Das Lösungspaar ist \((0|2)\).

- Was passiert, wenn du versuchst, eine Variable durch das Additionsverfahren zu eliminieren? - Betrachte das Verhältnis der Koeffizienten von \(x\) und \(y\) in beiden Gleichungen. - Entsteht bei der Berechnung eine wahre oder eine falsche Aussage? - Was bedeutet ein Widerspruch wie \(0 = 5\) für die Anzahl der Lösungen?

1. Multiplikation der ersten Gleichung mit 2 und der zweiten Gleichung mit 3, um die Koeffizienten von \(x\) anzugleichen: \(24x + 36y = 48\) und \(24x + 36y = 60\). 2. Subtraktion der ersten neuen Gleichung von der zweiten führt zu der Aussage \(0 = 12\). 3. Da dies ein mathematischer Widerspruch ist, gibt es kein Wertepaar \((x|y)\), das beide Gleichungen gleichzeitig erfüllt. Die Lösungsmenge ist leer.

Keine Lösung (oder \(L = \emptyset\)).

- Schau dir das Verhältnis der Zahlen vor dem \(x\) an. Wie hängen \(3\) und \(9\) zusammen? - Was muss mit der gesamten Gleichung passieren, damit sie ein Vielfaches der anderen ist? - Wann verlaufen zwei Geraden parallel, ohne sich zu berühren? - Wann liegen zwei Geraden genau aufeinander?

1. Vergleich der \(x\)-Koeffizienten: Der Koeffizient vor \(x\) in Gleichung II (\(9\)) ist das Dreifache des Koeffizienten in Gleichung I (\(3\)). 2. Bedingung für \(a\): Damit die linken Seiten der Gleichungen proportional sind (was Voraussetzung für null oder unendlich viele Lösungen ist), muss auch der \(y\)-Koeffizient verdreifacht werden. Also \(a = 4 \cdot 3 = 12\). 3. Bedingung für unendlich viele Lösungen: Auch die rechte Seite muss dem gleichen Proportionalitätsfaktor entsprechen. Es muss gelten \(c = 12 \cdot 3 = 36\). 4. Bedingung für keine Lösung: Bei proportionalen linken Seiten (\(a = 12\)) führt eine nicht-proportionale rechte Seite zu einem Widerspruch. Wenn also \(c \neq 36\) ist (z. B. \(c = 30\)), hat das System keine Lösung. 5. Begründung: Wenn \(a = 12\) ist, lautet die zweite Gleichung \(3 \cdot (3x + 4y) = c\). Da laut Gleichung I der Term in der Klammer den Wert \(12\) hat, müsste \(c = 3 \cdot 12 = 36\) sein. Jede andere Zahl für \(c\) führt zu einer falschen Aussage (Widerspruch).

a) \(a = 12\) b) \(c = 36\) c) \(c\) muss einen beliebigen Wert außer \(36\) annehmen (z. B. \(c = 10\)). Begründung: Die linke Seite von Gleichung II ist dann das Dreifache der linken Seite von Gleichung I, die rechten Seiten stehen jedoch nicht im selben Verhältnis. Dadurch entsteht ein Widerspruch; die Geraden sind parallel und nicht identisch.

- Wie hängen die Steigungen zweier Geraden zusammen, wenn sie parallel sind oder sich schneiden? - Was bedeutet es für die Lösungsanzahl, wenn zwei Gleichungen nach der Umformung exakt identisch sind? - Bringe alle Gleichungen zuerst in die Form \(y = mx + n\). - Wenn die Steigungen unterschiedlich sind, kannst du die Terme gleichsetzen, um den Schnittpunkt zu berechnen.

1. Umformung von System I in die Normalform \(y = mx + n\): Erste Gleichung \(y = 1{,}5x + 2\), zweite Gleichung \(y = 1{,}5x - 2\). Da die Steigungen gleich (\(m_1 = m_2 = 1{,}5\)), aber die \(y\)-Achsenabschnitte verschieden sind (\(2 \neq -2\)), verlaufen die Geraden parallel. Ergebnis: keine Lösung. 2. Umformung von System II: Erste Gleichung \(y = 0{,}5x - 1{,}5\), zweite Gleichung \(y = 0{,}5x - 1{,}5\). Da Steigungen und \(y\)-Achsenabschnitte identisch sind, liegen die Geraden aufeinander. Ergebnis: unendlich viele Lösungen. 3. Umformung von System III: Erste Gleichung \(y = -2x + 5\), zweite Gleichung \(y = x - 1\). Da die Steigungen verschieden sind (\(-2 \neq 1\)), gibt es genau einen Schnittpunkt. 4. Berechnung der Lösung für III: Gleichsetzen der Terme ergibt \(-2x + 5 = x - 1\), woraus \(3x = 6\) und somit \(x = 2\) folgt. Einsetzen in eine Gleichung ergibt \(y = 2 - 1 = 1\). Lösungsmenge \(L = \{(2|1)\}\).

System I hat keine Lösung (parallele Geraden). System II hat unendlich viele Lösungen (identische Geraden). System III hat genau eine Lösung: \(L = \{(2|1)\}\).

- Vergleiche die beiden Gleichungen, indem du die erste Gleichung so umformst, dass der Koeffizient vor \(x\) derselbe ist wie in der zweiten Gleichung. - Wann sind zwei Geraden parallel und wann liegen sie genau übereinander? - Für eine eindeutige Lösung müssen die Geraden unterschiedliche Steigungen haben. Was bedeutet das für den Wert von \(a\)? - Nutze ein bekanntes Verfahren wie das Einsetzungs- oder Additionsverfahren für den letzten Aufgabenteil.

1. Division von Gleichung (1) durch 2 ergibt die äquivalente Form \(2x + 3y = 6\). 2. Für den Fall a) (keine Lösung): Die Koeffizienten von \(x\) und \(y\) müssen proportional sein, der konstante Term jedoch nicht. Da \(2x\) in beiden Gleichungen steht, muss \(ay = 3y\) gelten, also \(a = 3\). Da \(b = 5 \neq 6\), ist das System für \(a = 3\) unlösbar. 3. Für den Fall b) (unendlich viele Lösungen): Die Gleichungen müssen identisch sein. Vergleich von \(2x + 3y = 6\) mit \(2x + ay = b\) liefert direkt \(a = 3\) und \(b = 6\). 4. Für den Fall c) (eine Lösung): Mit \(a = 1\) und \(b = 4\) lautet das System (1) \(4x + 6y = 12\) und (2) \(2x + y = 4\). Multiplikation von (2) mit 2 ergibt \(4x + 2y = 8\). Subtraktion dieser neuen Gleichung von (1) ergibt \(4y = 4\), also \(y = 1\). Einsetzen in (2) ergibt \(2x + 1 = 4\), also \(2x = 3\) bzw. \(x = 1{,}5\). Lösungsmenge \(L = \{(1{,}5|1)\}\).

a) \(a = 3\) b) \(a = 3\) und \(b = 6\) c) Für \(a = 1\) und \(b = 4\) ist die Lösungsmenge \(L = \{(1{,}5|1)\}\).

- Wann liegen zwei Geraden im Koordinatensystem genau aufeinander? - Was muss für die Koeffizienten und die Zahlen ohne Variable gelten, damit zwei Gleichungen im Grunde dasselbe aussagen? - Wie müssen zwei Gleichungen aussehen, damit sie sich widersprechen, obwohl die Anteile von \(x\) und \(y\) gleich sind?

1. Analyse von Gleichung I: Division der gesamten Gleichung durch 2 führt zu der äquivalenten Form \(x + 2y = 4\). 2. Bedingung für unendlich viele Lösungen: Die beiden Gleichungen müssen identisch sein. Ein Vergleich von \(x + 2y = 4\) mit Gleichung II (\(x + 2y = a\)) ergibt \(a = 4\). 3. Bedingung für keine Lösung: Zwei Geraden sind parallel und nicht identisch, wenn die Koeffizienten von \(x\) und \(y\) im gleichen Verhältnis stehen, die Konstante jedoch nicht. 4. Konstruktion von Gleichung III: Beibehaltung der linken Seite von Gleichung I (oder eines Vielfachen) bei gleichzeitiger Änderung der rechten Seite, zum Beispiel \(2x + 4y = 10\) oder \(x + 2y = 5\).

a) \(a = 4\) b) Zum Beispiel III: \(x + 2y = 5\) (oder jede andere Gleichung der Form \(x + 2y = c\) mit \(c \neq 4\)).

- Stelle dir die Gleichungen als Geraden im Koordinatensystem vor. Was bedeutet es für die Lage der Geraden, wenn es keine, eine oder unendlich viele Lösungen gibt? - Wann sind zwei Geraden parallel? Wann liegen sie direkt aufeinander? - Untersuche das Verhältnis der Zahlen vor den Variablen \(x\) und \(y\). - Wie ändert sich die zweite Gleichung, wenn du sie so multiplizierst, dass die Zahl vor \(y\) mit der ersten Gleichung übereinstimmt?

1. Multipliziere Gleichung II mit \(2\): \(2ax+6y=2c\). Vergleiche sie mit Gleichung I: \(4x+6y=12\). 2. Für \(a\neq 2\) sind die \(x\)-Koeffizienten verschieden. Durch Subtraktion entsteht \((4-2a)x=12-2c\) mit einem von null verschiedenen Koeffizienten; anschließend ist auch \(y\) eindeutig bestimmt. Somit besitzt das System für \(a\neq2\) und beliebiges \(c\) genau eine Lösung. 3. Für \(a=2\) lautet die verdoppelte zweite Gleichung \(4x+6y=2c\). Ist \(c=6\), so ist sie mit Gleichung I identisch; das System hat unendlich viele Lösungen. 4. Für \(a=2\) und \(c\neq6\) haben beide Gleichungen dieselbe linke Seite, aber verschiedene rechte Seiten; das System hat keine Lösung.

1) \(a \neq 2\), \(c \in \mathbb{Q}\) 2) \(a = 2\), \(c \neq 6\) 3) \(a = 2\), \(c = 6\)

- Versuche, eine der Gleichungen so zu verändern, dass die linke Seite (mit \( x \) und \( y \)) genau so aussieht wie bei der anderen Gleichung. - Was passiert mit dem Ergebnis auf der rechten Seite, wenn du die ganze Gleichung multiplizierst? - Wenn du am Ende eine Aussage wie \( 0 = 5 \) erhältst, was bedeutet das für die Anzahl der Lösungen?

1. Umformung der zweiten Gleichung, um die Koeffizienten vergleichbar zu machen: Multiplikation von II mit \( -2 \) ergibt \( 2x - 4y = -10 \). 2. Vergleich der beiden Gleichungen: I: \( 2x - 4y = 8 \) II (neu): \( 2x - 4y = -10 \) 3. Analyse des Ergebnisses: Die linken Seiten der Gleichungen sind identisch, während die rechten Seiten (\( 8 \) und \( -10 \)) verschieden sind. 4. Schlussfolgerung: Da für dieselben Werte von \( x \) und \( y \) nicht gleichzeitig zwei verschiedene Ergebnisse herauskommen können (\( 8 \neq -10 \)), liegt ein Widerspruch vor. Das System hat somit keine Lösung.

Das System hat keine Lösung. Durch Multiplikation der zweiten Gleichung mit \(-2\) erhält man \(2x - 4y = -10\). Dies widerspricht der ersten Gleichung \(2x - 4y = 8\).

- Was passiert, wenn du versuchst, die erste Gleichung so umzuformen, dass sie der zweiten möglichst ähnlich sieht? - Wann liegen zwei Geraden genau übereinander? - Was bedeutet ein mathematischer Widerspruch wie \(0 = 5\) für die Lösungsmenge eines Systems? - Wie müssen die Steigungen und die Schnittpunkte mit der y-Achse beschaffen sein, damit sich zwei Geraden nie treffen?

1. Umformung von Gleichung (I) durch Division beider Seiten durch 3: \(2x - y = 3\). 2. Vergleich mit Gleichung (II) \(2x - y = k\): Für \(k = 3\) sind beide Gleichungen identisch, woraus unendlich viele Lösungen resultieren. 3. Einsetzen von \(k = 5\) in (II) ergibt das System: (I) \(2x - y = 3\) (II) \(2x - y = 5\) Subtraktion der Gleichungen (I) \(-\) (II) führt zu \(0 = -2\). Dies ist ein Widerspruch, daher existiert keine Lösung. 4. Geometrische Interpretation für \(k = 5\): Da die Koeffizienten von \(x\) und \(y\) (und somit die Steigungen) gleich sind, aber die Konstanten auf der rechten Seite differieren, verlaufen die Geraden parallel zueinander ohne gemeinsamen Schnittpunkt.

a) \(k = 3\), da die Gleichungen dann identisch sind. b) Rechnerischer Nachweis durch Subtraktion: \(0 = -2\) (Widerspruch). c) Die Geraden sind parallel und haben keinen Schnittpunkt.

- Bringe die Gleichungen zunächst in eine Form, in der Steigung und Achsenabschnitt vergleichbar sind. - Unterscheide zwischen Geraden, die parallel und verschieden sind, und Geraden, die vollständig zusammenfallen. - Formuliere die Bedingung für „keine Lösung“ so, dass beide Parameter der Geraden berücksichtigt werden.

1. System A: Aus \(x-2y=-4\) folgt \(-2y=-x-4\) und damit \(y=0{,}5x+2\). System B: Aus \(x-2y=6\) folgt \(-2y=-x+6\) und damit \(y=0{,}5x-3\). 2. In System A sind beide Gleichungen identisch. Sie beschreiben dieselbe Gerade, also gibt es unendlich viele Lösungen. 3. In System B haben beide Geraden die Steigung \(0{,}5\), aber verschiedene \(y\)-Achsenabschnitte \(2\) und \(-3\). Die Geraden sind parallel und verschieden, also gibt es keine Lösung. 4. Pauls Aussage ist deshalb unvollständig: Gleiche Steigungen führen nur bei verschiedenen Achsenabschnitten zu keiner Lösung. Sind auch die Achsenabschnitte gleich, gibt es unendlich viele Lösungen.

1. System A (II): \(y=0{,}5x+2\); System B (II): \(y=0{,}5x-3\) 2. System A hat unendlich viele Lösungen; System B hat keine Lösung. 3. Die Aussage ist falsch. Bei gleicher Steigung gibt es keine Lösung, wenn die \(y\)-Achsenabschnitte verschieden sind, und unendlich viele Lösungen, wenn sie ebenfalls gleich sind.

- Wann liegen zwei Geraden genau übereinander? - Wie müssen die Steigungen und die Achsenabschnitte bei parallelen Geraden aussehen? - Wenn ein Punkt eine Lösung sein soll, muss er beim Einsetzen in die Gleichung eine wahre Aussage ergeben. - Kannst du eine einfache Gleichung finden, in die du die Zahlen für \( x \) und \( y \) einsetzt?

1. Für unendlich viele Lösungen müssen die Gleichungen äquivalent sein. Multiplikation von \( I \) mit einem Faktor (z. B. \( \frac{1}{3} \)) ergibt \( II: 2x - 3y = 4 \). 2. Für keine Lösung müssen die Geraden parallel, aber nicht identisch sein. Die Koeffizienten von \( x \) und \( y \) müssen im gleichen Verhältnis stehen wie in \( I \), die Konstante jedoch nicht. Beispiel: \( II: 6x - 9y = 10 \). Geometrische Begründung: Die Geraden haben die gleiche Steigung \( m = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \), aber unterschiedliche \( y \)-Achsenabschnitte. 3. Für die Lösung \( (2|0) \) muss die zweite Gleichung durch diesen Punkt erfüllt sein. Einsetzen von \( x = 2 \) und \( y = 0 \) in eine beliebige Form \( ax + by = c \), z. B. \( x + y = c \). Es ergibt sich \( 2 + 0 = 2 \), also \( II: x + y = 2 \). Da \( \frac{6}{1} \neq \frac{-9}{1} \), ist dies der einzige Schnittpunkt.

Mögliche Lösungen: a) \( II: 2x - 3y = 4 \) (oder jedes andere Vielfache von Gleichung \( I \)). b) \( II: 6x - 9y = 10 \) (oder allgemein \( 6x - 9y = c \) mit \( c \neq 12 \)). Geometrische Begründung: Gleiche Steigung, aber unterschiedliche \( y \)-Achsenabschnitte bewirken Parallelität ohne Schnittpunkt. c) \( II: x + y = 2 \) (oder jede andere Gleichung, die für \( x=2, y=0 \) wahr ist und keine parallele Gerade zu \( I \) darstellt).

- Was bedeutet es für die Graphen von zwei Gleichungen, wenn jeder Punkt der einen Geraden auch ein Punkt der anderen Geraden ist? - Bringe beide Gleichungen in dieselbe Form, zum Beispiel \(y = mx + b\). - Welche Werte müssen übereinstimmen, damit zwei Funktionsgraphen gleich sind?

1. Umformung von Gleichung II in die explizite Form \(y = mx + n\): \(4x - 2y = d \Rightarrow -2y = -4x + d \Rightarrow y = 2x - \frac{d}{2}\) 2. Vergleich mit Gleichung I (\(y = kx + 5\)): Damit unendlich viele Lösungen existieren, müssen die Geraden identisch sein. Vergleich der Steigungen: \(k = 2\) Vergleich der y-Achsenabschnitte: \(5 = -\frac{d}{2} \Rightarrow d = -10\) 3. Grafische Bedeutung: Die beiden Gleichungen beschreiben dieselbe Gerade. Im Koordinatensystem liegen die Graphen exakt aufeinander (sie sind identisch).

\(k = 2\) und \(d = -10\). Grafisch bedeutet dies, dass die beiden Geraden identisch sind und somit alle ihre Punkte gemeinsame Lösungen darstellen.

- Lege Variablen für die beiden Stückzahlen fest und übersetze die Gesamtkosten in eine Gleichung. - Beachte bei möglichen Lösungen die Bedingungen des Sachkontexts an Stückzahlen. - Überlege, welche zusätzliche unabhängige Beziehung zwischen den beiden Stückzahlen eine eindeutige Bestimmung erlauben würde.

1. Sei \(x\) die Anzahl der Äpfel und \(y\) die Anzahl der Müsliriegel. Dann gilt \(0{,}5x+y=4{,}5\). 2. Im Sachkontext müssen \(x\) und \(y\) nichtnegative ganze Zahlen sein. Die möglichen Paare sind \((1 \mid 4)\), \((3 \mid 3)\), \((5 \mid 2)\), \((7 \mid 1)\) und \((9 \mid 0)\). 3. Eine einzige lineare Gleichung mit zwei Unbekannten legt ohne weitere unabhängige Bedingung kein eindeutiges Zahlenpaar fest. Im Sachkontext gibt es hier fünf mögliche Paare. 4. Eine zweite unabhängige Information kann die Lösung eindeutig machen. Kennt man zum Beispiel zusätzlich die Gesamtzahl von \(6\) Artikeln, gilt \(x+y=6\). Zusammen mit \(0{,}5x+y=4{,}5\) folgt \(x=3\) und \(y=3\).

1. \(0{,}5x+y=4{,}5\) 2. Zum Beispiel \((1 \mid 4)\), \((3 \mid 3)\) und \((5 \mid 2)\) 3. Ohne eine zweite unabhängige Bedingung gibt es mehrere mögliche ganzzahlige Zahlenpaare. 4. Zum Beispiel die Gesamtzahl der gekauften Artikel; bei insgesamt \(6\) Artikeln wäre die eindeutige Lösung \((3 \mid 3)\).

- Was passiert, wenn du die zweite Gleichung mit \(-3\) multiplizierst? - Wann haben zwei Geraden unendlich viele gemeinsame Punkte? - Wie müssen die linken Seiten zweier Gleichungen aussehen, damit sie keinen gemeinsamen Schnittpunkt haben können (Parallelität)? - Was muss für die Steigung zweier Geraden gelten, damit sie sich genau einmal schneiden?

1. Untersuchung der Abhängigkeit: Multipliziert man Gleichung II mit \(-3\), erhält man \(3x - 6y = 12\). Dies entspricht exakt Gleichung I. Die Gleichungen sind linear abhängig bzw. äquivalent. Es existieren unendlich viele Lösungen. 2. Geometrische Interpretation: Da die Gleichungen äquivalent sind, liegen die zugehörigen Geraden im Koordinatensystem aufeinander (sie sind identisch). 3. Erzeugung eines Widerspruchs: Beibehaltung der Koeffizienten der linken Seite von II (\(-x + 2y\)), aber Wahl eines anderen Ergebnisses als \(-4\), zum Beispiel \(-x + 2y = 0\). Dies führt beim Gleichsetzen oder Addieren zu einem Widerspruch (z. B. \(0 = 12\)). 4. Erzeugung eines Schnittpunkts: Änderung eines Verhältnisses der Koeffizienten, zum Beispiel \(-x + 3y = -4\). Da das Verhältnis der Koeffizienten von \(x\) und \(y\) nun in beiden Gleichungen unterschiedlich ist (\(3:-6\) vs. \(-1:3\)), sind die Geraden nicht parallel und schneiden sich in genau einem Punkt.

1. Unendlich viele Lösungen, da die Gleichungen äquivalent sind. 2. Die Geraden sind identisch. 3. Beispiel: II: \(-x + 2y = 0\) (oder jeder Wert außer \(-4\)). 4. Beispiel: II: \(-x + 3y = -4\) (oder jede Änderung, die das Verhältnis der Koeffizienten bricht).

- Kannst du die Gleichungen zuerst in die Normalform \(y = mx + t\) umformen? - Wie hängen die Steigung und der y-Achsenabschnitt zweier Geraden mit der Anzahl ihrer Schnittpunkte zusammen? - Was bedeutet es grafisch, wenn ein Gleichungssystem keine Lösung, genau eine Lösung oder unendlich viele Lösungen hat? - Vergleiche die Lage der Geraden in den Abbildungen (A), (B) und (C). Welche Geraden sind parallel, welche schneiden sich und welche liegen aufeinander?

1. Umformen der Gleichungen in die Normalform \(y = mx + t\): - System (1): (I) \(y = -x + 2\) (Steigung \(m = -1\), y-Achsenabschnitt \(t = 2\)) (II) \(x + y = -1 \Rightarrow y = -x - 1\) (Steigung \(m = -1\), y-Achsenabschnitt \(t = -1\)) - System (2): (I) \(y = -x + 2\) (Steigung \(m = -1\), y-Achsenabschnitt \(t = 2\)) (II) \(2x + 2y = 4 \Rightarrow y = -x + 2\) (Steigung \(m = -1\), y-Achsenabschnitt \(t = 2\)) - System (3): (I) \(y = -x + 2\) (Steigung \(m = -1\), y-Achsenabschnitt \(t = 2\)) (II) \(-2x + y = -1 \Rightarrow y = 2x - 1\) (Steigung \(m = 2\), y-Achsenabschnitt \(t = -1\)) 2. Zuordnung und Bestimmung der Lösungsanzahl: - System (1) zeigt zwei parallele Geraden mit unterschiedlichen y-Achsenabschnitten. Dies entspricht Abbildung **(B)**. Da es keinen Schnittpunkt gibt, hat das System **keine Lösung**. - System (2) zeigt zwei identische Geraden, die aufeinanderliegen. Dies entspricht Abbildung **(A)** (kenntlich an der deckungsgleichen roten und blauen Linie). Das System hat **unendlich viele Lösungen**. - System (3) zeigt zwei Geraden mit unterschiedlichen Steigungen, die sich im Punkt \((1 \mid 1)\) schneiden. Dies entspricht Abbildung **(C)**. Das System hat **genau eine Lösung**.

(1) Darstellung **(B)**; keine Lösung. (2) Darstellung **(A)**; unendlich viele Lösungen. (3) Darstellung **(C)**; genau eine Lösung.

- Wann sind zwei Geraden identisch und wann sind sie parallel? - Untersuche das Verhältnis der Koeffizienten von \(x\) und \(y\) in beiden Gleichungen. - Wenn die linken Seiten zweier Gleichungen (oder Vielfache davon) gleich sind, die rechten Seiten aber nicht, was bedeutet das für die Lösungsmenge? - Um eine Gleichung für eine vorgegebene Lösung zu finden, kannst du dir eine einfache Struktur (wie \(x + y = \dots\)) überlegen und den passenden Ergebniswert berechnen.

a) Unendlich viele Lösungen: Die Gleichung (I) lässt sich durch Division durch \(2\) in \(2x - 3y = 6\) umformen. Damit (II) identisch mit (I) ist, muss \(k = 6\) gelten. In diesem Fall liegen beide Geraden aufeinander. b) Keine Lösung: Für \(k = 10\) lautet (II) \(2x - 3y = 10\). Multipliziert man dies mit \(2\), erhält man \(4x - 6y = 20\). Da die linke Seite identisch mit (I) ist, aber die rechte Seite (\(20 \neq 12\)) abweicht, verlaufen die Geraden parallel ohne gemeinsamen Punkt. c) Neue Gleichung (III): Das Paar \((3|0)\) muss die Gleichung erfüllen. Eine mögliche einfache Gleichung ist \(x + y = 3\), da \(3 + 0 = 3\) wahr ist. Da (I) für \((3|0)\) ebenfalls \(4 \cdot 3 - 6 \cdot 0 = 12\) ergibt und \(x + y = 3\) kein Vielfaches von (I) ist, ist dies eine gültige Lösung.

a) Für \(k = 6\), da die Gleichung (I) das Doppelte der Gleichung (II) ist und somit beide dieselbe Gerade beschreiben. b) Für \(k = 10\) sind die Steigungen der Geraden gleich, aber die Achsenabschnitte verschieden (Parallelität), da \(4x - 6y = 12\) zu \(4x - 6y = 20\) im Widerspruch steht. c) Eine mögliche Gleichung ist \(x + y = 3\) (andere Lösungen wie \(x = 3\) sind ebenfalls möglich).

- Bringe zuerst die erste Gleichung in die Form \(y = \dots\), um die Steigung ablesen zu können. - Wann haben zwei Geraden keinen gemeinsamen Punkt? - Schau dir die festen Zahlen ohne Variable an. Können diese jemals gleich werden, wenn sie bereits als unterschiedliche Zahlen gegeben sind? - Was müsste passieren, damit zwei Geraden unendlich viele Punkte gemeinsam haben?

1. Umformung der Geraden \(g\) in die explizite Form: \(2y = -5x + 10 \Rightarrow y = -2{,}5x + 5\). Die Steigung von \(g\) ist \(m_g = -2{,}5\) und der y-Achsenabschnitt ist \(b_g = 5\). 2. Bedingung für Parallelität (keine Lösung): Die Steigungen müssen gleich sein (\(m = -2{,}5\)), aber die y-Achsenabschnitte verschieden. Da der y-Achsenabschnitt von \(h\) fest auf \(3\) eingestellt ist und \(3 \neq 5\) gilt, ist die Bedingung für \(m = -2{,}5\) erfüllt. 3. Prüfung auf unendlich viele Lösungen: Hierfür müssten beide Geraden identisch sein (\(m_h = m_g\) und \(b_h = b_g\)). Da jedoch \(3 \neq 5\) gilt, können die Geraden für keinen Wert von \(m\) identisch sein.

a) Für \(m = -2{,}5\) verlaufen die Geraden parallel und es gibt keine Lösung. b) Nein, es gibt keinen solchen Wert für \(m\), da die y-Achsenabschnitte (\(5\) und \(3\)) verschieden sind und somit die Geraden niemals identisch sein können.

- Was bedeutet es für eine Gleichung, wenn ein Punkt eine „Lösung“ ist? - Setze die bekannten Koordinaten in die allgemeine Form der zweiten Gleichung ein. - Wie hängen die Zahlen vor \(x\) und \(y\) zusammen, wenn das System keine Lösung haben soll?

1. Bedingung für (a): Der Punkt \((3|2)\) muss beide Gleichungen erfüllen. Prüfung für (I): \(2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 = 6 + 6 = 12\) (wahr). 2. Einsetzen in (II): \(4 \cdot 3 + d \cdot 2 = e \Rightarrow 12 + 2d = e\). Jedes Paar \((d|e)\), das diese Gleichung erfüllt (außer \(d = 6\) und \(e = 24\), da das System dann unendlich viele Lösungen hätte), ist korrekt. Beispiel: \(d = 1 \Rightarrow e = 14\). 3. Bedingung für (b): Die Koeffizienten der linken Seite von (II) müssen ein Vielfaches der linken Seite von (I) sein, die rechte Seite jedoch nicht im gleichen Verhältnis stehen. 4. Faktor bestimmen: \(4x\) ist das Doppelte von \(2x\). Also muss \(d = 2 \cdot 3 = 6\) sein. 5. Rechte Seite: \(e\) darf nicht das Doppelte von \(12\) sein. Also \(d = 6\) und \(e \neq 24\).

a) Zum Beispiel \(d = 1\) und \(e = 14\) (möglich ist jedes Paar mit \(e = 12 + 2d\) und \(d \neq 6\)). b) \(d = 6\) und \(e \neq 24\) (z. B. \(e = 10\)).

- Versuche eine der Variablen in der zweiten Gleichung zu isolieren und in die erste einzusetzen. - Nachdem du zusammengefasst hast, steht dort ein Ausdruck mit \(x\) auf der einen und eine Zahl auf der anderen Seite. Was darf nicht passieren, damit du durch den Ausdruck vor dem \(x\) teilen kannst? - Was passiert mit der Gleichung, wenn der Term vor dem \(x\) Null wird?

1. Auflösen von Gleichung (II) nach \(y\): \(y = 2x - 3\). 2. Einsetzen von \(y\) in Gleichung (I): \(ax + 5(2x - 3) = 15\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(ax + 10x - 15 = 15 \Rightarrow (a + 10)x = 30\). 4. Bedingung für eine eindeutige Lösung: Wenn \(a + 10 \neq 0\), also \(a \neq -10\), kann nach \(x\) aufgelöst werden: \(x = \frac{30}{a + 10}\). 5. Berechnung von \(y\): \(y = 2\left(\frac{30}{a + 10}\right) - 3 = \frac{60 - 3(a + 10)}{a + 10} = \frac{30 - 3a}{a + 10}\). 6. Untersuchung des Sonderfalls \(a = -10\): Die Gleichung lautet \(0 \cdot x = 30\). Dies ist ein Widerspruch, daher gibt es für \(a = -10\) keine Lösung.

Für \(a \neq -10\) ist die Lösung \((x|y) = \left( \frac{30}{a+10} \mid \frac{30-3a}{a+10} \right)\). Für \(a = -10\) besitzt das System keine Lösung.

- Multipliziere die erste Gleichung so, dass der Koeffizient von \(y\) in beiden Gleichungen gleich ist. - Vergleiche nun die beiden Gleichungen. Was passiert, wenn \(m\) genau den Wert annimmt, der die \(x\)-Terme identisch macht? - Wenn \(m\) nicht diesen speziellen Wert hat, was muss dann für \(x\) gelten, damit die Gleichungen beide erfüllt sind?

1. Anwendung des Additionsverfahrens: Multiplikation von (I) mit 3 ergibt: \(3x + 6y = 18\). 2. Vergleich mit Gleichung (II) \(mx + 6y = 18\). Subtraktion der Gleichungen liefert: \((m - 3)x = 0\). 3. Fall \(m = 3\): Die Gleichung lautet \(0 \cdot x = 0\). Dies ist eine wahre Aussage für alle \(x\). Da die Gleichungen identisch sind (\(3x + 6y = 18\)), gibt es unendlich viele Lösungen der Form \((x|3 - 0{,}5x)\). 4. Fall \(m \neq 3\): Aus \((m - 3)x = 0\) folgt zwingend \(x = 0\). Einsetzen von \(x = 0\) in (I) ergibt \(0 + 2y = 6 \Rightarrow y = 3\). Das System hat für \(m \neq 3\) die eindeutige Lösung \((0|3)\).

Wenn \(m = 3\), hat das System unendlich viele Lösungen. Wenn \(m \neq 3\), hat das System genau eine Lösung: \((x|y) = (0|3)\).

- Versuche, das Einsetzungsverfahren anzuwenden und achte darauf, wann eine Variable wegfällt. - Betrachte die resultierende Gleichung: Wann entsteht eine wahre Aussage unabhängig von der Variablen, und wann ein Widerspruch? - Überlege dir, wie Steigung und Achsenabschnitt zusammenhängen müssen, damit Geraden identisch sind.

1. Auflösen von (II) nach \(x\): \(x = 3y + 5\). 2. Einsetzen in (I): \(2 \cdot (3y + 5) + ay = 8 \iff 6y + 10 + ay = 8 \iff (6 + a)y = -2\). 3. Keine Lösung existiert, wenn der Koeffizient von \(y\) null wird, die rechte Seite jedoch nicht: \(6 + a = 0 \implies a = -6\). Dies führt zur widersprüchlichen Aussage \(0 = -2\). 4. Unendlich viele Lösungen erfordern eine Gleichung der Form \(0 = 0\). Da die rechte Seite fest auf \(-2\) steht, kann die linke Seite für kein \(a\) so gewählt werden, dass die Gleichung für alle \(y\) erfüllt ist.

Das System hat keine Lösung für \(a = -6\). Es gibt keinen Wert für \(a\), für den das System unendlich viele Lösungen hat, da für \(a = -6\) die Geraden zwar parallel sind, aber unterschiedliche \(y\)-Achsenabschnitte (\(-\frac{4}{3}\) und \(-\frac{5}{3}\)) haben.

- Versuche zuerst, beide Gleichungen nach \(y\) aufzulösen, um sie besser vergleichen zu können. - Vergleiche dann die Ausdrücke vor dem \(x\) und die Zahlen ohne \(x\). - Welche Bedingung muss für die Steigung gelten, damit es überhaupt zu einem Schnittpunkt kommt? - Was muss für die Steigung und den Achsenabschnitt gelten, damit die Geraden parallel liegen oder sogar gleich sind?

1. Umformung von (I) in die Normalform: \(3y = -6x + 12 \implies y = -2x + 4\). 2. Umformung von (II) in die Normalform: \(y = -ax + b\). 3. Vergleich der Koeffizienten: - Unendlich viele Lösungen: Die Gleichungen müssen identisch sein. Also \(-a = -2 \implies a = 2\) und \(b = 4\). - Keine Lösung: Die Steigungen müssen gleich sein, aber die Abschnitte verschieden. Also \(a = 2\) und \(b \neq 4\). - Genau eine Lösung: Die Steigungen müssen verschieden sein. Also \(-a \neq -2 \implies a \neq 2\). Der Wert von \(b\) ist hierbei beliebig.

1. Unendlich viele Lösungen: \(a = 2\) und \(b = 4\) 2. Keine Lösung: \(a = 2\) und \(b \neq 4\) 3. Genau eine Lösung: \(a \neq 2\) (unabhängig von \(b\))

- Wenn ein Schnittpunkt bei \(x=2\) liegt, muss dieser Punkt auf beiden Geraden liegen. Wie findest du den passenden \(y\)-Wert? - Was weißt du über die Steigung von Geraden, die sich niemals schneiden? - Wann genau haben zwei Geraden keinen einzigen gemeinsamen Punkt?

a) 1. Berechnung des zugehörigen \(y\)-Wertes an der Stelle \(x = 2\) mithilfe von Gleichung (I): \(y = 1{,}5 \cdot 2 - 3 = 0\). 2. Einsetzen des Punktes \((2|0)\) in Gleichung (II): \(0 = m \cdot 2 + 2\). 3. Auflösen nach \(m\): \(2m = -2 \Rightarrow m = -1\). b) 1. Ein lineares Gleichungssystem hat keine Lösung, wenn die Geraden parallel verlaufen, aber nicht identisch sind. 2. Vergleich der Steigungen: Die Geraden sind parallel, wenn \(m = 1{,}5\) gilt. 3. Da die \(y\)-Achsenabschnitte \(-3\) und \(2\) unterschiedlich sind, gibt es für \(m = 1{,}5\) keinen gemeinsamen Punkt.

a) Damit der Schnittpunkt bei \(x = 2\) liegt, muss \(m = -1\) sein. b) Für \(m = 1{,}5\) hat das System keine Lösung, da die Geraden dann parallel verlaufen (gleiche Steigung), aber unterschiedliche \(y\)-Achsenabschnitte haben.

- Bringe beide Gleichungen in dieselbe Form, zum Beispiel \(y = mx + n\). - Was müssen zwei Geradengleichungen gemeinsam haben, damit die Geraden die gleiche Steigung besitzen? - Woran erkennst du an den Gleichungen, ob zwei Geraden denselben \(y\)-Achsenabschnitt haben? - Überlege dir, was passiert, wenn die Steigungen der Geraden unterschiedlich sind.

1. Geometrische Interpretation: Genau eine Lösung entspricht einem Schnittpunkt der Geraden. Keine Lösung bedeutet, dass die Geraden parallel verlaufen und nicht identisch sind. Unendlich viele Lösungen bedeuten, dass die Geraden identisch sind. 2. Umformung der Geradengleichung \(g\) in die allgemeine Form: \(y = 1{,}5x + 2 \iff -1{,}5x + y = 2\). Multiplikation mit \(-2\) ergibt: \(3x - 2y = -4\). 3. Vergleich mit Gerade \(h: 3x - ay = b\): Die Koeffizienten vor \(x\) sind nun identisch (beide \(3\)). 4. Bestimmung für Parallelität ohne Schnittpunkt (Teilaufgabe b): Die Koeffizienten vor \(y\) müssen gleich sein, die Konstanten jedoch verschieden. Es muss gelten: \(a = 2\) und \(b \neq -4\). 5. Bestimmung für genau einen Schnittpunkt (Teilaufgabe c): Die Steigungen müssen sich unterscheiden. Da die Steigung von \(g\) gleich \(1{,}5\) ist, darf die Steigung von \(h\) nicht \(1{,}5\) sein. Isolieren von \(y\) in \(h\): \(ay = 3x - b \implies y = \frac{3}{a}x - \frac{b}{a}\) (für \(a \neq 0\)). Steigungsvergleich: \(\frac{3}{a} = 1{,}5 \implies a = 2\). Somit gibt es für \(a \neq 2\) genau einen Schnittpunkt. Der Parameter \(b\) beeinflusst nur die Lage des Schnittpunkts, aber nicht dessen Existenz. Falls \(a = 0\), ist \(h\) eine senkrechte Gerade \(x = \frac{b}{3}\), die \(g\) ebenfalls in genau einem Punkt schneidet.

a) Eine Lösung: Schnittpunkt; keine Lösung: parallel (echt parallel); unendlich viele Lösungen: identisch. b) \(a = 2\) und \(b \neq -4\). c) \(a \neq 2\). Der Parameter \(b\) hat keinen Einfluss auf die Existenz des Schnittpunkts, er verschiebt lediglich dessen Position.

- Versuche zuerst, das Gleichungssystem so zu lösen, als wäre \(k\) eine normale Zahl. - Wie müssen die Ergebnisse für \(x\) und \(y\) aussehen, damit sie „positiv“ sind? - Kannst du die Bedingungen für \(x\) und \(y\) als Ungleichungen schreiben? - Überlege dir am Ende, welche Werte für \(k\) beide Bedingungen gleichzeitig erfüllen.

1. Auflösen des Systems nach \(x\) und \(y\) in Abhängigkeit von \(k\), zum Beispiel durch Umstellen von Gleichung II nach \(x = k - 2y\). 2. Einsetzen in Gleichung I: \(4(k - 2y) + 3y = 24 \Rightarrow 4k - 8y + 3y = 24 \Rightarrow -5y = 24 - 4k \Rightarrow y = \frac{4k - 24}{5}\). 3. Einsetzen von \(y\) in den Ausdruck für \(x\): \(x = k - 2 \cdot \frac{4k - 24}{5} = \frac{5k - 8k + 48}{5} = \frac{48 - 3k}{5}\). 4. Aufstellen der Bedingung \(y > 0\): \(\frac{4k - 24}{5} > 0 \Rightarrow 4k - 24 > 0 \Rightarrow k > 6\). 5. Aufstellen der Bedingung \(x > 0\): \(\frac{48 - 3k}{5} > 0 \Rightarrow 48 - 3k > 0 \Rightarrow 3k < 48 \Rightarrow k < 16\). 6. Zusammenfassen der Intervalle ergibt \(6 < k < 16\).

Das System hat für \(6 < k < 16\) eine eindeutige Lösung mit \(x > 0\) und \(y > 0\).

- Schau dir die Mengen und die Preise in der ersten und zweiten Bestellung genau an. Fällt dir ein bestimmtes Verhältnis auf? - Wenn eine Information nur eine Verdopplung oder Halbierung einer anderen ist, hilft sie dir dann weiter, zwei verschiedene Unbekannte zu finden? - Kombiniere für den zweiten Teil eine der ersten beiden Gleichungen mit der neuen Information aus der dritten Bestellung. - Welches Verfahren (Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren) erscheint dir hier am einfachsten?

1. Analyse zu Teil a): Die zweite Bestellung enthält bei beiden Getränkesorten genau denselben proportionalen Anteil wie die erste Bestellung; auch die Gesamtkosten stehen im selben Verhältnis. Daher beschreibt sie keine unabhängige zweite Bedingung. Die beiden Gleichungen sind linear abhängig, sodass unendlich viele Preispaare möglich sind. 2. Teil b) – Definition der Variablen: \(a\) für den Preis einer Kiste Apfelsaft, \(w\) für den Preis einer Kiste Mineralwasser. 3. Gleichungssystem aufstellen: I: \(10a + 8w = 184\) (bzw. gekürzt \(5a + 4w = 92\)) III: \(3a + 5w = 76\) 4. Lösungsweg (z. B. Einsetzungsverfahren aus I): \(5a = 92 - 4w \Rightarrow a = 18{,}4 - 0{,}8w\) 5. Einsetzen in III: \(3 \cdot (18{,}4 - 0{,}8w) + 5w = 76\) \(55{,}2 - 2{,}4w + 5w = 76\) \(2{,}6w = 20{,}8\) \(w = 8\) 6. Berechnung von \(a\): \(3a + 5 \cdot 8 = 76 \Rightarrow 3a + 40 = 76 \Rightarrow 3a = 36 \Rightarrow a = 12\) 7. Ergebnis: Eine Kiste Apfelsaft kostet \(12{,}00\,\text{€}\), eine Kiste Mineralwasser kostet \(8{,}00\,\text{€}\).

a) Die zweite Bestellung liefert keine neue Information, da sie lediglich die Hälfte der ersten Bestellung ist (lineare Abhängigkeit). b) Eine Kiste Apfelsaft kostet \(12{,}00\,\text{€}\) und eine Kiste Mineralwasser kostet \(8{,}00\,\text{€}\).

- Wann hat ein lineares Gleichungssystem genau eine Lösung, wann keine und wann unendlich viele? - Nutze die Symmetrie des Systems aus: Was passiert, wenn du \(x\) und \(y\) vertauschst? - Wie kannst du eine Variable eliminieren, um die andere in Abhängigkeit von \(k\) zu berechnen? - Achte darauf, dass „eindeutige Lösung“ bestimmte Werte für \(k\) ausschließt.

1. Subtrahiere die zweite Gleichung von der ersten: \((k-4)x+(4-k)y=0\), also \((k-4)(x-y)=0\). 2. Für \(k=4\) sind beide Gleichungen identisch; es gibt keine eindeutige Lösung. Für \(k\neq4\) folgt \(x=y\). 3. Setze \(x=y\) in die erste Gleichung ein: \((k+4)x=8\). 4. Für \(k=-4\) entsteht der Widerspruch \(0=8\); daher gibt es keine Lösung. Für \(k\neq-4\) gilt \(x=y=\frac{8}{k+4}\). 5. Die Werte sind positiv genau dann, wenn \(k+4>0\), also \(k>-4\). 6. Zusätzlich muss für Eindeutigkeit \(k\neq4\) gelten. Somit ist \(k\in(-4;4)\cup(4;\infty)\).

Für \(k > -4\) mit Ausnahme von \(k = 4\) (oder: \(k \in (-4; 4) \cup (4; \infty)\)).