- Die Definitionsmenge ist bereits gegeben. - Frage dich direkt, welche Zahl im Nenner den Quotienten \(6\) ergibt.

1. Gesucht ist die Zahl, durch die \(18\) geteilt den Wert \(6\) ergibt. Das ist \(x=3\). 2. Da \(3\in D\), ist \(L=\{3\}\).

\(L=\{3\}\)

- Die Multiplikation mit \(x\) muss auf beide Seiten der Gleichung wirken. - Auf der linken Seite entsteht ein Faktor \(x\), der mit dem Nenner zusammenhängt.

1. Wegen \(x\neq0\) darf auf beiden Seiten mit \(x\) multipliziert werden. 2. Es entsteht \(x\cdot\frac{x+1}{x}=2x\). 3. Kürzen von \(x\) auf der linken Seite ergibt \(x+1=2x\).

\(x+1=2x\)

- Eine Probe ersetzt \(x\) durch den vorgeschlagenen Wert. - Vergleiche danach den Wert der linken Seite mit der rechten Seite.

1. Einsetzen von \(x=4\) in die linke Seite ergibt \(\frac{12}{4}=3\). 2. Linke und rechte Seite stimmen überein. Daher ist \(x=4\) eine Lösung der gegebenen Bruchgleichung.

Ja, denn \(\frac{12}{4}=3\).

- Kannst du die Gleichung so umformen, dass alle Terme mit \(x\) im Nenner auf einer Seite stehen? - Was passiert mathematisch, wenn man versucht, eine Zahl durch 0 zu teilen? - Wie findet man die \(y\)-Koordinate, wenn man den \(x\)-Wert bereits kennt?

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(\frac{15}{x}=\frac{3}{x}+4\). 2. Subtraktion von \(\frac{3}{x}\) auf beiden Seiten: \(\frac{12}{x}=4\). 3. Multiplikation mit \(x\) unter der Bedingung \(x\neq0\) ergibt \(12=4x\). 4. Division durch \(4\) ergibt \(x=3\). 5. Für die y-Koordinate gilt \(f(3)=\frac{15}{3}=5\). Der Schnittpunkt ist \(P(3\mid5)\). 6. Die Zahl \(0\) gehört nicht zur Definitionsmenge beider Funktionen, weil eine Division durch \(0\) nicht definiert ist.

a) Der Schnittpunkt ist \(P(3 \mid 5)\). b) \(x = 0\) ist für beide Funktionen nicht definiert (Division durch Null), weshalb dort kein Punkt auf den Graphen existiert.

- Was darf man für die Variable im Nenner niemals einsetzen? - Wie kannst du den Bruch auflösen, um eine lineare Gleichung zu erhalten? - Überlege, was das Gleichsetzen zweier Funktionsterme geometrisch bedeutet.

1. Definitionsmenge bestimmen: Der Nenner darf nicht Null sein, also \(x - 1 \neq 0\), woraus \(x \neq 1\) folgt. 2. Gleichung lösen: Multiplikation der Gleichung \(\frac{6}{x-1} = 3\) mit dem Nenner \((x-1)\) führt zu \(6 = 3 \cdot (x-1)\). 3. Ausmultiplizieren und nach \(x\) auflösen: \(6 = 3x - 3\) ergibt durch Addition von \(3\) die Gleichung \(9 = 3x\), woraus \(x = 3\) folgt. 4. Abgleich mit Definitionsmenge: \(3 \neq 1\), daher ist die Lösung gültig. Die Lösungsmenge ist \(L = \{3\}\). 5. Graphische Interpretation: Der Wert \(x = 3\) ist die x-Koordinate des Schnittpunktes zwischen dem Graphen der gebrochen-rationalen Funktion \(f\) und der waagerechten Geraden \(g\).

a) \(L = \{3\}\) b) Die Lösung \(x = 3\) gibt die Stelle an, an der sich die Graphen der Funktionen \(f(x) = \frac{6}{x-1}\) und \(g(x) = 3\) schneiden.

- Was muss im Nenner stehen, damit das Ergebnis der Division aufgeht? - Wenn zwei Brüche den gleichen Nenner haben und gleich groß sind, was lässt sich dann über die Zähler sagen? - Wann wird ein Bruch insgesamt zu Null? - Kannst du die Gleichung so umformen, dass kein Bruch mehr dasteht?

1. Bei \(\frac{12}{x}=4\) ergibt die Multiplikation mit \(x\) anschließend \(12=4x\), also \(x=3\). 2. Da die Nenner in \(\frac{x}{9}=\frac{7}{9}\) gleich sind, müssen die Zähler übereinstimmen. Daher ist \(x=7\). 3. Ein Bruch ist null, wenn sein Zähler null ist. Aus \(x-5=0\) folgt \(x=5\). 4. Bei \(\frac{2}{x}=-\frac{1}{4}\) ergibt die Multiplikation beider Seiten mit \(4x\) die Gleichung \(8=-x\). Daher ist \(x=-8\).

a) \(x = 3\) b) \(x = 7\) c) \(x = 5\) d) \(x = -8\)

- Prüfe bei jeder Teilaufgabe zuerst, ob eine Variable in einem Nenner steht. - Beseitige danach die Nenner durch eine äquivalente Multiplikation oder fasse gleichnamige Brüche zusammen. - Vergleiche jeden berechneten Wert am Ende mit der zugehörigen Zulässigkeitsbedingung.

1. In a) gilt \(x\neq-1\). Aus \(12=3(x+1)\) folgt \(x=3\), also ist die Lösung zulässig. 2. In b) gibt es keine variable Nennerbedingung. Aus \(5x-10=4x\) folgt \(x=10\). 3. In c) gilt \(x\neq0\). Zusammenfassen ergibt \(\frac{8}{x}=2\), also \(x=4\), zulässig. 4. In d) gilt \(x\neq0\). Aus \(\frac{1}{2x}=\frac{1}{10}\) folgt \(2x=10\) und damit \(x=5\), zulässig.

a) \(x=3\) bei \(x\neq-1\) b) \(x=10\) c) \(x=4\) bei \(x\neq0\) d) \(x=5\) bei \(x\neq0\)

- Was darfst du für \(x\) nicht einsetzen, damit der Nenner nicht null wird? - Wie kannst du die Gleichung umformen, damit die Variable \(x\) nicht mehr im Nenner steht? - Kannst du die Terme mit \(x\) auf eine Seite der Gleichung bringen?

1. Der Nenner wird für \(x=0\) null. Daher ist \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\). 2. Multiplikation der gesamten Gleichung mit dem gemeinsamen Nenner \(2x\) ergibt \(10-x=6\). 3. Subtraktion von \(10\) ergibt \(-x=-4\). 4. Division durch \(-1\) liefert \(x=4\). 5. Da \(4\in D\), ist der Wert eine Lösung.

\(D = \mathbb{Q} \setminus \{0\}\); \(x = 4\)

- Welche Werte für \(x\) führen dazu, dass einer der Nenner null wird? - Mit welchem Produkt kannst du beide Seiten multiplizieren, damit keine Nenner mehr vorkommen? - Achte beim Auflösen der Klammern besonders auf die Vorzeichen.

1. Aus \(x-1\neq0\) und \(2x+1\neq0\) folgt \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-0{,}5;1\}\). 2. Multiplikation beider Seiten mit \((x-1)(2x+1)\) ergibt \(2(2x+1)=5(x-1)\). 3. Ausmultiplizieren liefert \(4x+2=5x-5\). 4. Daraus folgt \(x=7\). 5. Da \(7\in D\), ist \(L=\{7\}\).

\(L = \{7\}\)

- Schreibe zuerst den veränderten Nenner als Term mit \(x\). - Prüfe, für welchen Wert dieser Nenner null wäre. - Forme anschließend die Gleichung mit den beiden Brüchen so um, dass keine Nenner mehr vorkommen.

1. Der neue Bruch ist \(\frac{5}{12+x}\); daher muss \(x\neq-12\) gelten. 2. Multiplikation beider Seiten von \(\frac{5}{12+x}=\frac{1}{3}\) mit \(3(12+x)\) ergibt \(15=12+x\). 3. Somit ist \(x=3\). Dieser Wert liegt in der Definitionsmenge.

\(D=\mathbb{Q}\setminus\{-12\}\); \(x=3\).

- Was passiert, wenn der Nenner eines Bruchs null wird? - Wie kannst du den Bruch auflösen, damit kein \(x\) mehr im Nenner steht? - Hast du am Ende geprüft, ob dein Ergebnis laut Definitionsmenge überhaupt erlaubt ist?

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Der Nenner darf nicht null werden. Aus \(x - 4 = 0\) folgt \(x = 4\). Somit ist \(D = \mathbb{Q} \setminus \{4\}\). 2. Multiplikation der gesamten Gleichung mit dem Nenner \((x - 4)\): \(18 = 6 \cdot (x - 4)\). 3. Auflösen der Klammer auf der rechten Seite: \(18 = 6x - 24\). 4. Addition von \(24\) auf beiden Seiten: \(42 = 6x\). 5. Division durch \(6\): \(x = 7\). Da \(7 \in D\), ist dies eine mögliche Lösung. 6. Probe durch Einsetzen von \(x = 7\) in die Ausgangsgleichung: \(\frac{18}{7 - 4} = \frac{18}{3} = 6\). Die Aussage \(6 = 6\) ist wahr.

\(D = \mathbb{Q} \setminus \{4\}\); \(x = 7\)

- Schreibe den negativen Exponenten als Bruch. - Welcher Wert ist wegen des Nenners ausgeschlossen? - Multipliziere die Gleichung anschließend mit \(x\).

1. Für beide Teilaufgaben gilt wegen \(x^{-1}=\frac{1}{x}\): \(D = \mathbb{Q} \setminus \{0\}\). 2. a) \(\frac{8}{x}=16\). Multiplikation mit \(x\) ergibt \(8=16x\), also \(x=0{,}5\). Daher \(L = \{0{,}5\}\). 3. b) \(4x^{-1}+5=7\) führt zu \(\frac{4}{x}=2\). Multiplikation mit \(x\) ergibt \(4=2x\), also \(x=2\). Daher \(L = \{2\}\).

a) \(D = \mathbb{Q} \setminus \{0\}\); \(L = \{0{,}5\}\) b) \(D = \mathbb{Q} \setminus \{0\}\); \(L = \{2\}\)

- Was darf man für \( x \) nicht einsetzen, damit man nicht durch null teilt? - Wie kannst du eine Gleichung mit zwei Brüchen so umformen, dass keine Brüche mehr vorkommen? - Wenn du die \( x \)-Koordinate gefunden hast, wie erhältst du dann den zugehörigen \( y \)-Wert?

1. Die Nenner dürfen nicht null werden. Daher ist \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0;1\}\). 2. Für einen Schnittpunkt gilt \(\frac{3}{x}=\frac{2}{x-1}\). 3. Multiplikation beider Seiten mit \(x(x-1)\) ergibt \(3(x-1)=2x\). 4. Daraus folgt \(x=3\). 5. Da \(3\in D\), ist dies die x-Koordinate des Schnittpunkts. 6. Es gilt \(f(3)=1\). Somit ist der Schnittpunkt \((3\mid1)\).

Die Definitionsmenge ist \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0;1\}\). Der Schnittpunkt der Graphen ist \((3\mid1)\).

- Bringe die Terme mit \(x\) im Nenner auf dieselbe Seite. - Wie kannst du Brüche mit gleichem Nenner subtrahieren? - Prüfe, ob dein Ergebnis in der Definitionsmenge liegt.

1. Für einen gemeinsamen Punkt gilt \(f(x)=g(x)\), also \(\frac{4}{x}=\frac{1}{x}+1\). 2. Subtraktion von \(\frac{1}{x}\) ergibt \(\frac{3}{x}=1\). 3. Multiplikation mit \(x\) liefert \(x=3\). 4. Der Wert \(3\) liegt in der Definitionsmenge. 5. Der gemeinsame Funktionswert ist \(f(3)=\frac{4}{3}\).

An der Stelle \( x = 3 \) besitzen beide Funktionen denselben Funktionswert \( y = \frac{4}{3} \) (bzw. \( 1\frac{1}{3} \)).

- Bestimme zuerst alle Werte, für die einer der Nenner null wird. - Mit welchem Produkt kannst du beide Seiten multiplizieren, sodass keine Nenner mehr vorkommen? - Prüfe den berechneten Wert am Ende gegen \(D\).

1. Aus \(2x+4\neq0\) und \(x+1\neq0\) folgt \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-2;-1\}\). 2. Multiplikation beider Seiten mit \((2x+4)(x+1)\) ergibt \(5(x+1)=3(2x+4)\). 3. Daraus folgt \(x=-7\). 4. Da \(-7\in D\), ist \(L=\{-7\}\).

\(D=\mathbb{Q}\setminus\{-2;-1\}\); \(L=\{-7\}\)

- Welche Gleichung müssen die Funktionswerte an einem Schnittpunkt erfüllen? - Welchen Funktionswert besitzt eine Nullstelle? - Beachte bei den entstehenden Bruchgleichungen die Definitionsmenge.

1. Für den Schnittpunkt gilt \(f(x)=g(x)\), also \(\frac{6}{x}-3=\frac{2}{x}+1\). 2. Daraus folgt \(\frac{4}{x}=4\) und damit \(x=1\). 3. Es ist \(f(1)=3\), also liegt der Schnittpunkt bei \((1\mid3)\). 4. Aus \(f(x)=0\) folgt \(\frac{6}{x}=3\), also \(x=2\). 5. Aus \(g(x)=0\) folgt \(\frac{2}{x}=-1\), also \(x=-2\).

Schnittpunkt: \((1\mid3)\) Nullstelle von \(f\): \((2\mid0)\) Nullstelle von \(g\): \((-2\mid0)\)

- Bestimme zuerst die Definitionsmenge aus den beiden Nennern. - Mit welchem Produkt kannst du beide Seiten multiplizieren, sodass keine Nenner mehr vorkommen? - Prüfe den berechneten Wert gegen \(D\).

1. Es gilt \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-1;0\}\). 2. Multiplikation beider Seiten mit \(z(z+1)\) ergibt \(12(z+1)=15z\). 3. Daraus folgt \(z=4\). 4. Da \(4\in D\), ist \(L=\{4\}\).

\(L=\{4\}\)

- Bestimme zuerst den Wert, der den Nenner null machen würde. - Ein Bruch kann nur dann den Wert null haben, wenn sein Zähler null und sein Nenner zugleich ungleich null ist. - Prüfe den aus dem Zähler erhaltenen Kandidaten gegen \(D\).

1. Der Nenner darf nicht null sein. Aus \(x+2=0\) folgt \(x=-2\), also \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-2\}\). 2. Ein definierter Bruch ist genau dann null, wenn sein Zähler null ist. Daher gilt \(3x-9=0\). 3. Daraus folgt \(x=3\). Da \(3\in D\), ist \(L=\{3\}\).

\(D=\mathbb{Q}\setminus\{-2\}\) \(L=\{3\}\)

- Was bedeutet es für die Gleichung der Funktionen, wenn sich ihre Graphen schneiden? - Wie kannst du den Nenner in einer Bruchgleichung eliminieren? - Hast du am Ende geprüft, ob dein berechneter \(x\)-Wert laut Definitionsmenge erlaubt ist? - Vergiss nicht, dass ein Punkt immer aus einer \(x\)- und einer \(y\)-Koordinate besteht.

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(5 = \frac{2x+8}{x-2}\). 2. Bestimmung der Definitionsmenge: \(x \neq 2\). 3. Multiplikation der Gleichung mit dem Nenner \((x-2)\): \(5(x-2) = 2x+8\). 4. Auflösen der Klammer und Zusammenfassen: \(5x - 10 = 2x + 8\). 5. Isolieren der Unbekannten \(x\): \(3x = 18 \implies x = 6\). 6. Da \(f(x) = 5\) eine konstante Funktion ist, ist der \(y\)-Wert für jeden Punkt auf dem Graphen \(5\). 7. Der Schnittpunkt ist \(S(6 \mid 5)\).

Der Schnittpunkt liegt bei \((6 \mid 5)\).

- Überlege zuerst, für welche Werte von \(x\) der Nenner des Bruchs null werden würde. - Wie kannst du den Bruch auflösen, um eine lineare Gleichung zu erhalten? - Vergiss am Ende nicht zu prüfen, ob dein Ergebnis in der Definitionsmenge liegt.

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Der Nenner darf nicht null sein. \(2x - 5 \neq 0 \Rightarrow 2x \neq 5 \Rightarrow x \neq 2{,}5\). Somit ist \(D = \mathbb{Q} \setminus \{2{,}5\}\). 2. Multiplikation der Gleichung mit dem Nenner \((2x-5)\): \(x + 2 = 3 \cdot (2x - 5)\). 3. Ausmultiplizieren und nach \(x\) auflösen: \(x + 2 = 6x - 15\) \(17 = 5x\) \(x = 3{,}4\). 4. Abgleich mit der Definitionsmenge: \(3{,}4 \in D\). Lösungsmenge: \(L = \{3{,}4\}\).

\(D = \mathbb{Q} \setminus \{2{,}5\}\); \(L = \{3{,}4\}\)

- Bestimme zuerst den Wert, der den Nenner null machen würde. - Multipliziere anschließend die gesamte Gleichung mit dem gemeinsamen Nenner. - Prüfe den berechneten Wert gegen \(D\), bevor du \(L\) angibst.

1. Wegen \(x-5\neq0\) gilt \(D=\mathbb{Q}\setminus\{5\}\). 2. Multiplikation mit \(x-5\) ergibt \(2x-(x-5)=10\). 3. Daraus folgt \(x+5=10\) und damit \(x=5\). 4. Da \(5\notin D\), ist der einzige rechnerische Kandidat ausgeschlossen. Somit gilt \(L=\emptyset\).

1. \(D=\mathbb{Q}\setminus\{5\}\) 2. Rechnerischer Kandidat: \(x=5\) 3. \(L=\emptyset\), weil \(5\notin D\).

- Mit welcher Multiplikation kannst du beide Nenner beseitigen? - Achte beim Ausmultiplizieren auf die Vorzeichen. - Prüfe den berechneten Wert am Ende gegen die vorgegebene Definitionsmenge.

1. Multiplikation beider Seiten mit \((x-1)(x+1)\) ergibt \(6(x+1)=4(x-1)\). 2. Ausmultiplizieren liefert \(6x+6=4x-4\). 3. Daraus folgt \(2x=-10\), also \(x=-5\). 4. Da \(-5\in\mathbb{Q}\setminus\{-1;1\}\), ist \(L=\{-5\}\).

\(L=\{-5\}\)

- Bestimme zuerst, welcher Wert wegen des Nenners ausgeschlossen ist. - Beseitige den Nenner erst danach durch Multiplikation. - Prüfe zum Schluss, ob der berechnete Wert zur Definitionsmenge gehört.

1. Definitionsmenge: Wegen des Nenners \(x-1\) gilt \(D = \mathbb{Q} \setminus \{1\}\). 2. Für \(x \in D\) darf die Gleichung mit \(x-1\) multipliziert werden. Es folgt \(2=x+1\). 3. Daraus ergibt sich \(x=1\). 4. Dieser Wert gehört nicht zur Definitionsmenge. Daher besitzt die Bruchgleichung keine Lösung: \(L=\emptyset\).

Keine Lösung: \(L=\emptyset\), weil der rechnerische Kandidat \(x=1\) nicht zur Definitionsmenge gehört.

- Wann ist ein Bruch gleich \(0\)? - Bei einem Produkt im Zähler kann jeder einzelne Faktor eine Nullstelle liefern. - Prüfe jeden Zählerkandidaten anschließend im ursprünglichen Nenner.

1. Ein Bruchterm ist genau dann \(0\), wenn sein Zähler \(0\) und sein Nenner zugleich ungleich \(0\) ist. 2. In 1) führt \(x-12=0\) zu \(x=12\). Der Nenner ist dann \(36\neq0\). 3. In 2) wird der Zähler für \(x=5\) oder \(x=-5\) null. Für \(x=-5\) wird jedoch auch der Nenner \(0\), daher bleibt nur \(x=5\). 4. In 3) gilt \(x(x+2)=0\), also \(x=0\) oder \(x=-2\). Für beide Werte ist der Nenner ungleich \(0\).

1) \(x=12\) 2) \(x=5\) 3) \(x=0\) und \(x=-2\)

- Suche im Diagramm nach dem Punkt, der auf beiden Graphen liegt. - Lies zuerst die x- und y-Koordinate am Raster ab. - Bei \(f(x)=g(x)\) sind genau die x-Koordinaten von Schnittpunkten relevant.

1. Im Diagramm schneiden sich die beiden Graphen im Punkt \(S(2\mid2)\). 2. An einem Schnittpunkt haben \(f\) und \(g\) denselben Funktionswert. Deshalb erfüllt die x-Koordinate des Schnittpunkts die Gleichung \(f(x)=g(x)\). 3. Im dargestellten Bereich ist daher \(L=\{2\}\).

a) \(S(2\mid2)\) b) \(L=\{2\}\) im dargestellten Bereich; die Lösung ist die x-Koordinate des Schnittpunkts.

- Suche nach allen Stellen, an denen sich die beiden Graphen kreuzen. - Nutze die ganzzahligen Rasterlinien zum Ablesen der Koordinaten. - Für die Gleichung \(f(x)=g(x)\) benötigst du die x-Koordinaten der Schnittpunkte.

1. Im Diagramm lassen sich die Schnittpunkte \(S_1(-3\mid-2)\) und \(S_2(2\mid3)\) ablesen. 2. Für die Gleichung \(f(x)=g(x)\) sind die x-Koordinaten der Schnittpunkte die Lösungen. 3. Im dargestellten Bereich ist daher \(L=\{-3;2\}\).

a) \(S_1(-3\mid-2)\), \(S_2(2\mid3)\) b) \(L=\{-3;2\}\); entscheidend sind die x-Koordinaten der Schnittpunkte.

- Welche Beziehung verbindet Strecke, Geschwindigkeit und benötigte Zeit? - Drücke die beiden Geschwindigkeiten mit derselben Variablen aus. - Welche beiden Zeit-Ausdrücke müssen wegen der Aussage „genauso viel Zeit“ übereinstimmen?

1. Henrik läuft mit \(v\,\text{km/h}\), Felix mit \((v+1)\,\text{km/h}\). Im Sachzusammenhang gilt \(v>0\). 2. Mit \(\text{Zeit}=\frac{\text{Strecke}}{\text{Geschwindigkeit}}\) und den gleichen Laufzeiten erhält man \(\frac{21}{v+1}=\frac{18}{v}\). 3. Multiplikation beider Seiten mit \(v(v+1)\) ergibt \(21v=18(v+1)\). 4. Daraus folgt \(21v=18v+18\), also \(3v=18\) und damit \(v=6\). 5. \(v=6\,\text{km/h}\) ist positiv und daher im Sachzusammenhang zulässig.

\(\frac{21}{v+1}=\frac{18}{v}\) mit \(v>0\); Henrik läuft mit \(6\,\text{km/h}\).

- Was muss für die Funktionswerte an einem Schnittpunkt gelten? - Wie kannst du nach dem Bestimmen von \(P\) die Gerade \(h\) verwenden, um \(m\) zu finden? - Welche Art von Gleichung entsteht aus der Schnittpunktgleichung, nachdem der Nenner beseitigt ist?

1. Für einen Schnittpunkt gilt \(\frac{12}{x}=\frac{3}{x}+1{,}5\). 2. Daraus folgt \(\frac{9}{x}=1{,}5\). Da \(x>0\), darf mit \(x\) multipliziert werden: \(9=1{,}5x\), also \(x=6\). 3. Der zugehörige y-Wert ist \(f(6)=2\). Somit ist \(P(6\mid2)\). 4. Für b) wird \(P\) in \(h\) eingesetzt: \(2=6m-1\). Damit gilt \(m=0{,}5\). 5. Für c) führt die Schnittpunktgleichung im Bereich \(x>0\) äquivalent auf die lineare Gleichung \(9=1{,}5x\). Diese hat genau eine Lösung, also gibt es dort genau einen Schnittpunkt.

a) \(P(6\mid2)\) b) \(m=0{,}5\) c) Die Schnittpunktgleichung ist für \(x>0\) äquivalent zu \(9=1{,}5x\); diese lineare Gleichung hat genau eine Lösung.

- Wann genau wird ein Bruchterm gleich null? - Schau dir die Zähler der beiden Gleichungen genau an. - Was bedeutet es für den Graphen einer Funktion, wenn eine Gleichung der Form \(f(x)=0\) keine Lösung besitzt?

1. Lösung von Gleichung (I): Ein Bruch wird Null, wenn der Zähler Null ist. \(x + 4 = 0\) ergibt \(x = -4\). Da der Nenner für \(x = -4\) nicht Null wird (\(2 \cdot (-4) - 6 = -14\)), ist \(x = -4\) die Lösung. 2. Begründung für Gleichung (II): Ein Bruchterm kann nur dann den Wert Null annehmen, wenn sein Zähler Null ist. Da im Zähler die konstante Zahl \(10\) steht, kann der gesamte Term niemals Null werden. 3. Graphische Schlussfolgerung: Da die Gleichung \(\frac{10}{x+1} = 0\) keine Lösung besitzt, hat der Graph der Funktion \(h\) keinen Schnittpunkt mit der x-Achse (die x-Achse entspricht der Geraden \(y = 0\)).

a) \(x = -4\) b) Da der Zähler konstant \(10\) ist und niemals Null werden kann, hat die Gleichung keine Lösung. c) Der Graph der Funktion \(h(x)\) besitzt keinen Schnittpunkt mit der x-Achse.

- Überlege zuerst, welche Werte nicht zur Definitionsmenge gehören, weil ein Nenner null würde. - Wenn auf beiden Seiten je ein Bruch steht, kannst du beide Seiten mit den beiden Nennern multiplizieren. - Wie findest du einen gemeinsamen Nenner, wenn mehrere Brüche auf einer Seite stehen? - Was passiert mit den Nennern, wenn du die gesamte Gleichung mit einem gemeinsamen Nenner multiplizierst?

1. In a) ist \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\). Multiplikation mit \(x\) ergibt \(x+6=3x\), also \(x=3\). Damit ist \(L=\{3\}\). 2. In b) ist \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-1;2\}\). Multiplikation beider Seiten mit \((x-2)(x+1)\) ergibt \(3(x+1)=6(x-2)\). Daraus folgt \(x=5\), also \(L=\{5\}\). 3. In c) ist \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\). Ein gemeinsamer Nenner ist \(3x\). Multiplikation der gesamten Gleichung mit \(3x\) ergibt \(4=12x\), also \(x=\frac{1}{3}\) und \(L=\{\frac{1}{3}\}\). 4. In d) ist \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-2\}\). Für einen Bruchwert \(0\) muss \(3x-12=0\) gelten. Daher ist \(x=4\) und \(L=\{4\}\).

a) \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\), \(L=\{3\}\) b) \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-1;2\}\), \(L=\{5\}\) c) \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\), \(L=\{\frac{1}{3}\}\) d) \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-2\}\), \(L=\{4\}\)

- Welche Gleichung beschreibt die ausgeschlossene Nennerstelle? - Unter welcher Bedingung ist ein Bruch gleich null? - Beachte beim Lösen von \(g(x)=1\) zuerst die Definitionsmenge und prüfe deine Lösung anschließend im ursprünglichen Term. - Welcher Teil des Funktionsterms enthält \(b\), und welcher Teil bestimmt die Nullstelle?

1. Der ausgeschlossene Wert entsteht durch \(x+b=0\). Weil \(x=-5\) ausgeschlossen ist, gilt \(-5+b=0\), also \(b=5\). 2. Für die Nullstelle muss der Zähler null und der Nenner ungleich null sein: \(2x-6=0\). Daraus folgt \(x=3\); der Nenner ist dort \(8\neq0\). 3. Mit \(b=5\) lautet die Bruchgleichung \(\frac{2x-6}{x+5}=1\). Für \(x\neq-5\) folgt \(2x-6=x+5\), also \(x=11\). Probe: \(g(11)=\frac{22-6}{16}=1\). 4. Der Parameter \(b\) verändert nur den Nenner und damit die ausgeschlossene Stelle. Die Nullstelle wird durch den Zähler \(2x-6\) bestimmt, sofern der Nenner bei \(x=3\) nicht null ist.

a) \(b=5\) b) \(x=3\) c) \(x=11\); Probe: \(g(11)=1\) d) Die Nullstelle wird durch \(2x-6=0\) bestimmt; \(b\) darf nur nicht dazu führen, dass \(x=3\) ausgeschlossen ist.

- Drücke Zähler und Nenner zunächst mit nur einer Variablen aus. - Prüfe sowohl den ursprünglichen als auch den nach der Änderung entstehenden Nenner auf den Wert null. - Übersetze anschließend den angegebenen neuen Bruchwert in eine Gleichung.

1. Sei \(n\) der ursprüngliche Nenner. Dann ist der Zähler \(n-5\). Für den ursprünglichen Bruch gilt \(n\neq0\); für den veränderten Bruch gilt zusätzlich \(n\neq-3\). 2. Die Bedingung führt auf \(\frac{n-2}{n+3}=\frac{3}{4}\). 3. Multiplikation beider Seiten mit \(4(n+3)\) ergibt \(4(n-2)=3(n+3)\). Daraus folgt \(n=17\). 4. Der Zähler ist \(12\). Die Bedingungen für die Definitionsmenge sind erfüllt.

Der ursprüngliche Bruch ist \(\frac{12}{17}\).

- Drücke den Nenner mithilfe des Zählers als Variable aus. - Prüfe die Nenner vor und nach der beschriebenen Änderung getrennt auf den Wert null. - Ein Bruch hat den Wert \(1\), wenn Zähler und zulässiger Nenner gleich sind.

1. Sei \(z\) der Zähler. Dann ist der ursprüngliche Nenner \(3z+1\), also muss \(3z+1\neq0\) gelten. Der veränderte Nenner ist \(3z-4\), also muss zusätzlich \(3z-4\neq0\) gelten. 2. Die Bedingung führt auf \(\frac{2z}{3z-4}=1\). 3. Multiplikation mit dem zulässigen Nenner ergibt \(2z=3z-4\), also \(z=4\). 4. Der ursprüngliche Nenner ist \(3\cdot4+1=13\). Der Wert \(z=4\) erfüllt beide Nennerbedingungen.

Der ursprüngliche Bruch ist \(\frac{4}{13}\).

- Welche Werte darf \(x\) im Nenner nicht annehmen? - Kannst du die Gleichung so umformen, dass sie wie eine normale lineare Gleichung aussieht? - Vergiss nicht, das Ergebnis in die Lösungsmenge zu schreiben.

1. Definitionsmenge bestimmen: Der Nenner \(x + 2\) wird für \(x = -2\) null, daher ist \(D = \mathbb{Q} \setminus \{-2\}\). 2. Multiplikation mit dem Nenner \((x + 2)\): \(2x + 10 = 3 \cdot (x + 2)\). 3. Klammer ausmultiplizieren: \(2x + 10 = 3x + 6\). 4. Gleichung nach \(x\) auflösen: Subtraktion von \(2x\) ergibt \(10 = x + 6\). Subtraktion von \(6\) ergibt \(x = 4\). 5. Abgleich mit der Definitionsmenge: \(4\) ist in \(D\) enthalten. 6. Probe: \(\frac{2 \cdot 4 + 10}{4 + 2} = \frac{8 + 10}{6} = \frac{18}{6} = 3\). Die Lösung ist korrekt.

\(L = \{4\}\)

- Hier stehen auf beiden Seiten Brüche. Mit welchem gemeinsamen Nenner kannst du beide Seiten multiplizieren? - Führe diese Multiplikation für jeden Term vollständig aus. - Achte beim Auflösen der Klammern besonders auf die Vorzeichen.

1. Die Nenner werden für \(x=1\) und \(x=-1\) null. Daher ist \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-1;1\}\). 2. Multiplikation beider Seiten mit dem gemeinsamen Nenner \((x-1)(x+1)\) ergibt \(4(x+1)=6(x-1)\). 3. Ausmultiplizieren liefert \(4x+4=6x-6\). 4. Daraus folgt \(x=5\). 5. Da \(5\in D\), ist der Wert zulässig. 6. Probe: \(\frac{4}{5-1}=1\) und \(\frac{6}{5+1}=1\). Beide Seiten stimmen überein.

\(D=\mathbb{Q}\setminus\{-1;1\}\); \(L=\{5\}\). Probe für \(x=5\): \(\frac{4}{5-1}=1\) und \(\frac{6}{5+1}=1\).

- Achte beim Ausmultiplizieren der Klammern auf alle Glieder, besonders auf die Vorzeichen. - Was passiert mit den quadratischen Termen (\(x^2\)), wenn du sie auf beiden Seiten der Gleichung findest? - Kannst du den Bruch am Ende noch kürzen?

1. Aus \(x+3\neq0\) und \(2x-1\neq0\) folgt \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-3;0{,}5\}\). 2. Multiplikation beider Seiten mit \((x+3)(2x-1)\) ergibt \((2x-1)^2=(x+3)(4x+5)\). 3. Ausmultiplizieren liefert \(4x^2-4x+1=4x^2+17x+15\). 4. Nach Subtraktion von \(4x^2\) folgt \(-4x+1=17x+15\). 5. Damit ist \(-14=21x\) und somit \(x=-\frac{2}{3}\). 6. Da \(-\frac{2}{3}\in D\), gilt \(L=\{-\frac{2}{3}\}\).

a) \(D = \mathbb{Q} \setminus \{-3; 0{,}5\}\) b) \(L = \{-\frac{2}{3}\}\)

- Bestimme zuerst die Definitionsmenge aus den Nennern. - Führe die algebraische Umformung anschließend nur für Werte aus dieser Definitionsmenge durch. - Prüfe jeden rechnerisch erhaltenen Wert am Ende gegen die ursprüngliche Definitionsmenge.

1. Die Nenner dürfen nicht null sein. Aus \(x^2-16=0\) folgen \(x=4\) und \(x=-4\); aus \(x+2=0\) folgt \(x=-2\). Daher ist \(D = \mathbb{Q} \setminus \{-4; -2; 4\}\). 2. Nach der Multiplikation beider Seiten mit \((x^2-16)(x+2)\) ergibt sich \((x-4)(x+2)=x^2-16\). 3. Ausmultiplizieren liefert \(x^2-2x-8=x^2-16\). 4. Nach Subtraktion von \(x^2\) folgt \(-2x-8=-16\), also \(-2x=-8\) und \(x=4\). 5. Dieser rechnerische Wert ist nicht zulässig, weil \(4\notin D\). Er würde den Nenner \(x^2-16\) zu null machen. 6. Da kein weiterer Wert aus der Gleichungsumformung entsteht, ist \(L=\emptyset\).

\(D = \mathbb{Q} \setminus \{-4; -2; 4\}\). Der einzige rechnerisch erhaltene Wert ist \(x=4\), aber \(4\notin D\). Daher ist \(L=\emptyset\).

- Achte genau darauf, worauf sich der negative Exponent bezieht – auf eine Klammer oder nur auf ein einzelnes Zeichen. - Wie bestimmt man den Kehrwert einer Dezimalzahl? - Überlege dir, welche Vorzeichen das Ergebnis einer Quadratzahl haben kann.

1. Teilaufgabe a): Der Term \((x-5)^{-1}\) entspricht \(\frac{1}{x-5}\). Der Nenner darf nicht null sein, also \(x \neq 5\). Definitionsmenge \(D = \mathbb{Q} \setminus \{5\}\). Die Gleichung \(\frac{1}{x-5} = 0{,}2\) wird zu \(1 = 0{,}2(x-5)\). Ausmultiplizieren ergibt \(1 = 0{,}2x - 1\), also \(2 = 0{,}2x\). Daraus folgt \(x = 10\). Da \(10 \in D\), ist \(L = \{10\}\). 2. Teilaufgabe b): Der Term \(x^{-1} - 5^{-1}\) entspricht \(\frac{1}{x} - \frac{1}{5}\). Hier darf \(x\) nicht \(0\) sein, also \(D = \mathbb{Q} \setminus \{0\}\). Die Gleichung lautet \(\frac{1}{x} - 0{,}2 = 0{,}2\), was zu \(\frac{1}{x} = 0{,}4\) führt. Umstellen ergibt \(x = \frac{1}{0{,}4} = 2{,}5\). Da \(2{,}5 \in D\), ist \(L = \{2{,}5\}\). 3. Teilaufgabe c): Der Term \(x^{-2}\) ist gleich \(\frac{1}{x^2}\). Da Quadratzahlen rationaler Zahlen (außer der Null) stets positiv sind, ist auch ihr Kehrwert stets positiv. Ein positiver Wert kann niemals gleich \(-1\) sein.

a) \(D = \mathbb{Q} \setminus \{5\}\); \(L = \{10\}\) b) \(D = \mathbb{Q} \setminus \{0\}\); \(L = \{2{,}5\}\) c) Ein Quadrat \(x^2\) ist für alle \(x \in \mathbb{Q} \setminus \{0\}\) stets positiv, daher ist auch der Kehrwert \(x^{-2}\) stets positiv und kann nicht \(-1\) sein.

- Schreibe die Terme zuerst als Brüche ohne negative Exponenten auf. - Welcher gemeinsame Nenner eignet sich in b) für \(3x\) und \(x\)? - Wenn zwei Brüche mit gleichem Zähler gleich sind, welche Beziehung müssen dann ihre Nenner erfüllen?

1. Es gilt \(T_1(x)=\frac{1}{3x}\) und \(T_2(x)=\frac{3}{x}\). Beide Terme haben \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\). 2. In b) lautet die Gleichung \(\frac{1}{3x}=\frac{3}{x}+4\). Ein gemeinsamer Nenner ist \(3x\). Multiplikation mit \(3x\) ergibt \(1=9+12x\), also \(x=-\frac{2}{3}\). Damit ist \(L=\{-\frac{2}{3}\}\). 3. In c) gilt \(\frac{1}{3x}=\frac{1}{x+4}\). Für eine Lösung mit gleichen Zählern müssen die Nenner gleich sein: \(3x=x+4\). Somit ist \(x=2\). Dieser Wert liegt in den Definitionsmengen beider Seiten.

a) Nein, beide haben \(D = \mathbb{Q} \setminus \{0\}\). b) \(L = \{-\frac{2}{3}\}\) c) \(x = 2\)

- Setze die Funktionsterme gleich, um mögliche gemeinsame Punkte zu finden. - Löse die entstehende Gleichung durch gewöhnliches Ausmultiplizieren und Zusammenfassen. - Was bedeutet es für die Graphen, wenn eine Gleichung keine Lösung hat?

1. Für die Gleichung gilt \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0;2\}\). 2. Gleichsetzen ergibt \(\frac{x+2}{x}=\frac{x}{x-2}\). 3. Multiplikation beider Seiten mit dem gemeinsamen Nenner \(x(x-2)\) ergibt \((x+2)(x-2)=x^2\). 4. Ausmultiplizieren liefert \(x^2-4=x^2\). 5. Daraus folgt der Widerspruch \(-4=0\). 6. Die Bruchgleichung besitzt keine Lösung. Daher schneiden sich die Graphen nicht.

Die Graphen schneiden sich nicht. Die zugehörige Bruchgleichung führt auf den Widerspruch \(-4=0\); daher gibt es keinen Schnittpunkt.

- Bestimme zuerst die Definitionsmenge aus den Nennern. - Welche Faktoren enthält ein gemeinsamer Nenner bereits sichtbar? - Prüfe einen rechnerisch gefundenen Kandidaten immer gegen die ursprüngliche Definitionsmenge.

1. Aus den Nennern folgt \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-2;2\}\). 2. Multiplikation mit dem gemeinsamen Nenner \((x-2)(x+2)\) ergibt \((x+2)+(x-2)=4\). 3. Damit gilt \(2x=4\), also \(x=2\). 4. Da \(2\notin D\), ist der Kandidat keine Lösung. Somit ist \(L=\emptyset\).

\(L=\emptyset\)

- Welcher Wert ist wegen des Nenners ausgeschlossen? - Welche Operation beseitigt in b) den Nenner, und wann ist sie zulässig? - Was bedeutet ein Widerspruch für die Lösungsmenge? - Wann ist ein Bruch gleich null?

1. Der Nenner wird bei \(2x+4=0\), also bei \(x=-2\), null. Daher ist \(D_g=\mathbb{Q}\setminus\{-2\}\). 2. Für \(g(x)=1{,}5\) gilt \(\frac{3x-6}{2x+4}=1{,}5\). Für \(x\in D_g\) darf mit \(2x+4\) multipliziert werden. Es entsteht \(3x-6=3x+6\). 3. Der Widerspruch \(-6=6\) zeigt: Die Gleichung hat keine Lösung. Der Graph schneidet die Gerade \(y=1{,}5\) nicht. 4. Für eine Nullstelle muss der Zähler null sein: \(3x-6=0\). Daraus folgt \(x=2\). Dieser Wert liegt in \(D_g\). Der Graph schneidet die x-Achse bei \((2\mid0)\).

a) \(D_g=\mathbb{Q}\setminus\{-2\}\) b) Keine Lösung; der Graph schneidet \(y=1{,}5\) nicht. c) Nullstelle \(x=2\); Schnittpunkt mit der x-Achse: \((2\mid0)\).

- Zerlege den quadratischen Nenner zuerst in Faktoren und bestimme daraus \(D\). - Multipliziere anschließend jeden Term der Gleichung mit einem gemeinsamen Nenner. - Prüfe den berechneten Kandidaten gegen \(D\), bevor du \(L\) angibst.

1. Es gilt \(x^2-x=x(x-1)\). Daher ist \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0;1\}\). 2. Multiplikation mit dem gemeinsamen Nenner \(x(x-1)\) ergibt \(x(x+1)-x(x-1)=2\). 3. Ausmultiplizieren liefert \(2x=2\), also \(x=1\). 4. Da \(1\notin D\), ist der Kandidat keine Lösung. Somit ist \(L=\emptyset\).

\(D=\mathbb{Q}\setminus\{0;1\}\); \(L=\emptyset\)

- Multipliziere jeden Term der Gleichung mit dem gemeinsamen Nenner \(x(x-4)\). - Behandle das Produkt \((x+4)(x-4)\) als Ganzes und achte auf das Minuszeichen davor. - Prüfe den berechneten Wert am Ende gegen die vorgegebene Menge \(D\).

1. Multiplikation mit dem gemeinsamen Nenner \(x(x-4)\) ergibt \(2x^2-(x+4)(x-4)=x(x-4)\). 2. Ausmultiplizieren liefert \(2x^2-(x^2-16)=x^2-4x\). 3. Daraus folgt \(16=-4x\), also \(x=-4\). 4. Da \(-4\in D\), gilt \(L=\{-4\}\).

\(L=\{-4\}\)

- Nutze einen gemeinsamen Faktor, um einen beliebigen Bruch mit dem Wert \(\frac{3}{4}\) darzustellen. - Prüfe die Nenner vor und nach der Addition von \(12\) auf den Wert null. - Übersetze den neuen Bruchwert anschließend in eine Gleichung.

1. Schreibe den ursprünglichen Bruch als \(\frac{3k}{4k}\). Dann muss \(k\neq0\) gelten. 2. Nach der Änderung lautet der Bruch \(\frac{3k+12}{4k+12}\); zusätzlich gilt \(4k+12\neq0\), also \(k\neq-3\). 3. Aus \(\frac{3k+12}{4k+12}=\frac{4}{5}\) folgt \(5(3k+12)=4(4k+12)\). 4. Damit gilt \(15k+60=16k+48\), also \(k=12\). 5. Dieser Wert ist zulässig. Zähler und Nenner sind \(36\) und \(48\).

Der ursprüngliche Bruch ist \(\frac{36}{48}\).

- Drücke einen beliebigen Bruch mit dem Wert \(\frac{3}{2}\) mithilfe eines gemeinsamen Faktors aus. - Prüfe den ursprünglichen und den veränderten Nenner auf den Wert null. - Der neue Bruchwert ist der Kehrwert von \(\frac{3}{2}\); daraus entsteht eine Gleichung für den gemeinsamen Faktor.

1. Schreibe den ursprünglichen Bruch als \(\frac{3k}{2k}\). Es gilt \(k\neq0\). 2. Der Kehrwert des ursprünglichen Bruchwerts ist \(\frac{2}{3}\). Der veränderte Nenner ist \(2k+5\), also muss \(2k+5\neq0\) gelten. 3. Aus \(\frac{3k-5}{2k+5}=\frac{2}{3}\) folgt \(3(3k-5)=2(2k+5)\). 4. Damit gilt \(9k-15=4k+10\), also \(k=5\). 5. Dieser Wert ist zulässig. Der ursprüngliche Bruch ist \(\frac{15}{10}\).

Der ursprüngliche Bruch ist \(\frac{15}{10}\).

- Wenn zwei Brüche mit demselben Nenner gleich sein sollen, was kannst du über ihre Zähler sagen? - Überlege dir, unter welchen Bedingungen ein Bruch den Wert null annimmt. - Gibt es Werte für \(x\), die du von vornherein ausschließen musst?

1. Beide Funktionen haben die Definitionsmenge \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-2\}\). 2. Für den Schnittpunkt gilt \(\frac{3}{x+2}=\frac{x-1}{x+2}\). Da die Nenner gleich sind, müssen die Zähler gleich sein: \(3=x-1\). 3. Daraus folgt \(x=4\). 4. Es gilt \(f(4)=\frac{1}{2}\). Der Schnittpunkt ist \(S(4\mid0{,}5)\). 5. Der Zähler von \(f\) ist die von null verschiedene Konstante \(3\); daher besitzt \(f\) keine Nullstelle. 6. Für \(g\) muss \(x-1=0\) gelten. Damit ist \(x=1\), und \(1\in D\). Die Nullstelle ist \((1\mid0)\).

Schnittpunkt: \((4\mid0{,}5)\) Nullstelle von \(f\): Keine vorhanden Nullstelle von \(g\): \((1\mid0)\)

- Löse jede Gleichung für sich und beachte die jeweilige Definitionsmenge. - Was bedeutet eine leere Lösungsmenge für eine Gleichung der Form \(f(x)=g(x)\)? - Welche \(x\)-Koordinate haben alle Punkte der \(y\)-Achse?

1. Für (A) gilt \(x\neq-3\). Multiplikation mit \(x+3\) ergibt \(x=x+3\), also den Widerspruch \(0=3\). Daher ist \(L_A=\emptyset\); die zugehörigen Graphen haben keinen gemeinsamen Punkt. 2. Für (B) gilt \(x\neq2\). Multiplikation mit \(x-2\) ergibt \(4=-2(x-2)=-2x+4\). Daher ist \(x=0\) und somit \(L_B=\{0\}\). 3. Die \(x\)-Koordinate des Schnittpunkts zu (B) ist \(0\). Deshalb liegt dieser Schnittpunkt auf der \(y\)-Achse.

(A) \(L_A=\emptyset\); die Graphen haben keinen gemeinsamen Punkt. (B) \(L_B=\{0\}\); der Schnittpunkt liegt auf der \(y\)-Achse.

- Was musst du beim Lösen von Bruchgleichungen bezüglich der Nenner beachten? - Darf man jeden berechneten Wert für \(x\) am Ende auch wirklich in die ursprüngliche Gleichung einsetzen? - Was passiert an einer Stelle im Graphen, für die die Funktion gar nicht definiert ist?

1. Der Nenner \(x-2\) darf nicht null sein. Daher ist \(D=\mathbb{Q}\setminus\{2\}\). 2. Für einen Schnittpunkt gilt \(\frac{2x}{x-2}=\frac{4}{x-2}+1\). 3. Multiplikation mit dem gemeinsamen Nenner \(x-2\) ergibt \(2x=4+(x-2)\). 4. Daraus folgt \(2x=x+2\) und somit \(x=2\). 5. Da \(2\notin D\), ist der berechnete Wert keine Lösung. 6. Die Bruchgleichung hat keine Lösung; daher haben die Graphen keinen Schnittpunkt.

Die Graphen der Funktionen \(f\) und \(g\) haben keinen Schnittpunkt. Der rechnerisch erhaltene Kandidat \(x=2\) ist keine Lösung der ursprünglichen Bruchgleichung, weil \(2\notin D\).

- Notiere zuerst den ausgeschlossenen Nennerwert. - Multipliziere die gesamte Gleichung mit dem gemeinsamen Nenner. - Prüfe den berechneten Kandidaten gegen \(D\), bevor du \(L\) festlegst.

1. Wegen \(x-4\neq0\) gilt \(D=\mathbb{Q}\setminus\{4\}\). 2. Multiplikation mit \(x-4\) ergibt \(x+2(x-4)=4\). 3. Daraus folgt \(3x-8=4\), also \(x=4\). 4. Da \(4\notin D\), ist der einzige rechnerische Kandidat ausgeschlossen. Somit gilt \(L=\emptyset\).

\(D=\mathbb{Q}\setminus\{4\}\); \(L=\emptyset\)

- Bestimme die Definitionsmenge, bevor du den gemeinsamen Faktor kürzt. - Eine nach dem Umformen entstehende wahre Identität gilt für alle Werte, für die die ursprüngliche Gleichung definiert war. - Vergleiche Annas Aussage „jede rationale Zahl“ deshalb mit \(D\).

1. Der Nenner wird bei \(x=2\) null. Daher ist \(D=\mathbb{Q}\setminus\{2\}\). 2. Für \(x\in D\) gilt \(\frac{2(x-2)}{x-2}=2\). Nach dem Kürzen bleibt die wahre Identität \(2=2\). 3. Die Gleichung ist somit für jeden Wert aus \(D\) erfüllt, aber nicht für den ausgeschlossenen Wert \(2\). 4. Ben hat recht und \(L=\mathbb{Q}\setminus\{2\}\).

Ben hat recht. \(D=\mathbb{Q}\setminus\{2\}\) und \(L=\mathbb{Q}\setminus\{2\}\).

- Welche Werte gehören nicht zur Definitionsmenge, weil ein Nenner null würde? - Mit welchem Produkt kannst du beide Seiten multiplizieren, sodass keine Nenner mehr vorkommen? - Achte beim Auflösen der Klammern besonders auf die Vorzeichen. - Prüfe am Ende, ob dein Ergebnis in der Definitionsmenge liegt.

1. Die Nenner dürfen nicht null werden. Daher ist \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-2;1\}\). 2. Multiplikation beider Seiten mit \((x+2)(x-1)\) ergibt \((2x-3)(x-1)=(2x+1)(x+2)\). 3. Ausmultiplizieren liefert \(2x^2-5x+3=2x^2+5x+2\). 4. Nach dem Subtrahieren von \(2x^2\) gilt \(-5x+3=5x+2\). 5. Auflösen nach \(x\) ergibt \(1=10x\), also \(x=0{,}1\). 6. Da \(0{,}1\in D\) gilt, ist die Lösung zulässig.

\(D=\mathbb{Q}\setminus\{-2;1\}\); \(L=\{0{,}1\}\)

- Wann hat ein Bruch den Wert \(1\)? - Wie kannst du in c) ausdrücken, dass ursprünglicher und veränderter Bruch denselben Wert haben? - Welche Vereinfachung ist möglich, weil in c) ausdrücklich \(x\neq0\) gilt?

1. In a) gilt \(\frac{5}{5+10}=\frac{1}{3}\). 2. In b) sei \(k\) die Vergrößerung des Zählers. Aus \(\frac{x+k}{x+10}=1\) folgt \(x+k=x+10\), also \(k=10\). 3. In c) gilt \(\frac{x}{x+10}=\frac{2x}{x+25}\). Zusätzlich zu \(x\neq0\) dürfen \(x=-10\) und \(x=-25\) nicht eingesetzt werden. 4. Weil \(x\neq0\) vorgegeben ist, kann auf beiden Seiten durch \(x\) geteilt werden: \(\frac{1}{x+10}=\frac{2}{x+25}\). 5. Multiplikation beider Seiten mit \((x+10)(x+25)\) ergibt \(x+25=2(x+10)\), also \(x=5\). Dieser Wert ist zulässig.

a) \(\frac{1}{3}\) b) um \(10\) c) \(x=5\)

- Bestimme zuerst die Definitionsmenge aus den ursprünglichen Nennern. - Welcher gemeinsame Nenner beseitigt alle Brüche? - Prüfe den rechnerisch erhaltenen Wert anschließend gegen die ursprüngliche Definitionsmenge.

1. Wegen \(x^2-2x=x(x-2)\) gilt \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0;2\}\). 2. Ein gemeinsamer Nenner ist \(x(x-2)\). 3. Multiplikation der Gleichung mit \(x(x-2)\) ergibt \(3x-(x-2)=2\). 4. Daraus folgt \(2x+2=2\), also \(x=0\). 5. Da \(0\notin D\), ist dieser rechnerisch erhaltene Wert keine Lösung. Somit gilt \(L=\emptyset\).

\(L=\emptyset\)

- Bestimme zuerst mit \(f\) den gemeinsamen Funktionswert an der gegebenen Stelle. - Prüfe vor dem Umformen, für welchen Parameterwert der Nenner von \(g(2)\) null wäre. - Setze danach die Schnittpunktbedingung \(f(2)=g(2)\) als Gleichung für \(a\) um.

1. Es ist \(f(2)=\frac{6}{2}=3\). Der gemeinsame Punkt hat also die Koordinaten \((2\mid3)\). 2. Für \(g(2)=\frac{3}{2+a}\) muss zunächst \(2+a\neq0\) gelten, also \(a\neq-2\). 3. Wegen des Schnittpunkts gilt \(\frac{3}{2+a}=3\). 4. Für den zulässigen Nenner folgt \(3=3(2+a)\), also \(1=2+a\) und damit \(a=-1\). 5. Der Wert \(a=-1\) erfüllt die Bedingung \(a\neq-2\).

\(a=-1\)

- Welche gemeinsamen Faktoren besitzen Dividend und Divisor der jeweiligen Quotienten? - Berücksichtige die angegebene Definitionsmenge, bevor du einen Variablenfaktor kürzt. - Vereinfache zuerst den Bruchterm und löse erst danach die entstehende Gleichung.

1. In a) gilt wegen \(x\neq0\): \((12x^2):(4x)=3x\). Aus \(3x=18\) folgt \(x=6\). 2. In b) gilt wegen \(y\neq0\): \((40y^3):(8y^2)=5y\). Damit folgt aus \(5y+13=48\) der Wert \(y=7\). 3. In c) gilt wegen \(z\neq0\): \((18z^2):(6z)=3z\). Damit wird die Gleichung zu \(22z-3z=38\), also \(z=2\). 4. Die Werte \(6\), \(7\) und \(2\) liegen jeweils in der zugehörigen Definitionsmenge.

a) \(x = 6\) b) \(y = 7\) c) \(z = 2\)

- Welche Faktoren in Zähler und Nenner lassen sich unter der angegebenen Bedingung für die Definitionsmenge kürzen? - Was bedeutet es, dass \(x=6\) eine Lösung der Gleichung sein soll? - Setze den vorgegebenen Wert erst nach dem Vereinfachen ein und behandle \(k\) dann als Unbekannte.

1. Wegen \(x\ne0\) dürfen Koeffizienten und Variablenfaktoren gekürzt werden: \(45:9=5\) und \(x^2:x=x\). Der Bruchterm vereinfacht sich zu \(5x\). 2. Für die vorgegebene Lösung \(x=6\) einsetzen: \(5\cdot6+k\cdot6=84\). 3. Daraus folgt \(30+6k=84\), also \(6k=54\) und \(k=9\).

a) Für \(x \ne 0\) gilt \((45x^2) : (9x) = 5x\). b) \(k = 9\)

- Welche Faktoren enthält jeder Summand im Zähler des Bruchterms? - Beachte die vorgegebene Definitionsmenge, bevor du einen Variablenfaktor kürzt. - Vereinfache zuerst den Bruchterm und löse danach die verbleibende Gleichung.

1. Für \(y\in D\) darf der Quotient vereinfacht werden: \((18y^2-9y):(9y)=2y-1\). 2. Damit lautet die Gleichung \(14+2y-1=20\), also \(13+2y=20\). 3. Daraus folgt \(2y=7\) und damit \(y=3{,}5\). 4. Der Wert \(3{,}5\) gehört zu \(D\).

\(L=\{3{,}5\}\)

- Vereinfache die beiden Bruchterme zunächst unabhängig voneinander. - Beachte die vorgegebene Definitionsmenge, bevor du Variablenfaktoren kürzt. - Achte nach dem Kürzen besonders auf das Minuszeichen zwischen den beiden Termen.

1. Für \(x\in D\) gilt \((15x^2+10x):(5x)=3x+2\). 2. Ebenso gilt \((12x^2-18x):(6x)=2x-3\). 3. Die vereinfachte Gleichung lautet \((3x+2)-(2x-3)=1\). 4. Auflösen der Minusklammer ergibt \(x+5=1\). 5. Daraus folgt \(x=-4\), und \(-4\in D\).

\(L=\{-4\}\)

- Für welchen Wert wird der Nenner null? - Welche Bedingung erfüllt der Zähler an einer Nullstelle? - Beachte beim Lösen der Bruchgleichung die Definitionsmenge. - Prüfe die gefundene Lösung im ursprünglichen Term.

1. Der Nenner wird für \(x=-2\) null. Daher ist \(D_g=\mathbb{Q}\setminus\{-2\}\). 2. Für eine Nullstelle muss \(3x-2=0\) gelten. Daraus folgt \(x=\frac{2}{3}\); dieser Wert gehört zu \(D_g\). 3. Aus \(\frac{3x-2}{x+2}=1\) folgt wegen \(x\neq-2\): \(3x-2=x+2\). Also \(2x=4\) und \(x=2\). 4. Probe: \(g(2)=\frac{6-2}{4}=1\).

a) \(D_g=\mathbb{Q}\setminus\{-2\}\) b) \(x=\frac{2}{3}\) c) \(x=2\); Probe: \(g(2)=1\)

- Für den Wert \(0\) muss der Zähler null sein und der Nenner gleichzeitig ungleich null bleiben. - Prüfe bei jedem Term zuerst mögliche Zählernullstellen. - Kontrolliere jeden Zählerkandidaten anschließend im ursprünglichen Nenner.

1. Ein Bruchterm ist \(0\), wenn sein Zähler \(0\) ist und der zugehörige Wert in der Definitionsmenge liegt. 2. In 1) ist der Zähler die konstante Zahl \(5\) und damit niemals \(0\). Es gibt keine Lösung. 3. In 2) liefert der Zähler die Kandidaten \(x=4\) und \(x=-2\). Der Wert \(x=4\) ist wegen des Nenners ausgeschlossen, also bleibt \(x=-2\). 4. In 3) führt der Zähler zu \(x=4\). Für diesen Wert ist aber auch der Nenner \(4^2-16=0\). Daher gibt es keine Lösung.

1) Keine Lösung. 2) \(x=-2\) 3) Keine Lösung; der Zählerkandidat \(x=4\) ist nicht definiert.

- Gehe bei \(x=-1\) senkrecht zum jeweiligen Graphen und lies die y-Werte am Raster ab. - Ein Schnittpunkt müsste gleichzeitig auf beiden Graphen liegen. - Unterscheide zwischen einer Beobachtung im sichtbaren Bereich und einer Aussage über alle möglichen x-Werte.

1. Bei \(x=-1\) liest man \(f(-1)=-1\) und \(g(-1)=0\) ab. 2. Im dargestellten Ausschnitt ist kein Schnittpunkt der beiden Graphen zu sehen. 3. Das legt die Vermutung nahe, dass \(f(x)=g(x)\) keine Lösung besitzt. 4. Der dargestellte Ausschnitt zeigt jedoch nur einen begrenzten Bereich. Ohne zusätzliche algebraische Information kann daraus nicht bewiesen werden, dass außerhalb des sichtbaren Bereichs ebenfalls kein Schnittpunkt existiert.

a) \(f(-1)=-1\), \(g(-1)=0\) b) Im dargestellten Ausschnitt gibt es keinen Schnittpunkt. c) Vermutung: keine Lösung. Der endliche Ausschnitt allein beweist dies nicht für alle rationalen x-Werte.

- Bestimme die Definitionsmenge vor dem Kürzen. - Eine zulässige Umformung kann einen rechnerischen Kandidaten erzeugen, der für den ursprünglichen Term trotzdem verboten ist. - Trenne deshalb die Frage nach dem Rechenweg von der abschließenden Prüfung des Kandidaten.

1. Im ursprünglichen Term darf \(x-2\) nicht null sein. Daher ist \(D=\mathbb{Q}\setminus\{2\}\). 2. Für Werte aus \(D\) ist das Kürzen von \(x-2\) zulässig und die Gleichung wird zu \(x+2=4\). 3. Diese Gleichung liefert den einzigen Kandidaten \(x=2\). 4. Der Kandidat liegt jedoch nicht in \(D\). Daher ist er keine Lösung der ursprünglichen Bruchgleichung. 5. Omar hat recht und \(L=\emptyset\). Kiras Umformung war nur unter der bereits notwendigen Bedingung \(x\neq2\) zulässig; ihr Fehler liegt im fehlenden abschließenden Abgleich mit \(D\).

Omar hat recht. \(D=\mathbb{Q}\setminus\{2\}\) und \(L=\emptyset\).

- Achte darauf, ob der Punkt auf der Höhe \(y=2\) ausgefüllt oder offen dargestellt ist. - Eine Lösung von \(f(x)=2\) müsste als gemeinsamer Punkt des Graphen von \(f\) und der Geraden \(y=2\) erscheinen. - Welche Bedeutung könnte die offene Stelle für die zulässigen x-Werte des ursprünglichen Terms haben?

1. Bei \((1\mid2)\) zeigt das Diagramm einen offenen Punkt. Dieser Punkt gehört nicht zum Graphen von \(f\). 2. Deshalb ist \(x=1\) keine Lösung von \(f(x)=2\). Im dargestellten Bereich gibt es keinen Schnittpunkt des Graphen von \(f\) mit der gestrichelten Geraden \(y=2\). 3. Der offene Punkt zeigt, dass der ursprüngliche Bruchterm bei \(x=1\) nicht definiert ist. Mina hat beim Kürzen nicht beachtet, dass \(1\) nicht zur ursprünglichen Definitionsmenge gehört.

a) Nein. Bei \((1\mid2)\) liegt ein offener Punkt, also gehört dieser Punkt nicht zum Graphen von \(f\). b) Im dargestellten Bereich gibt es keinen Schnittpunkt. c) Mina hat übersehen, dass \(1\) nicht zur ursprünglichen Definitionsmenge gehört.

- Welche Bedeutung hat die Zeit, die eine einzelne Pumpe zum vollständigen Füllen benötigt, für ihren Beitrag in einer Stunde? - Welche Beziehung muss zwischen den beiden Einzelbeiträgen und dem gemeinsamen Beitrag bestehen? - Prüfe nach dem Lösen, ob die gefundene Einzelzeit im Vergleich zu \(4\,\text{h}\) gemeinsam und \(6\,\text{h}\) für Pumpe B plausibel ist.

1. Pumpe A füllt pro Stunde den Anteil \(\frac{1}{x}\) des Beckens, Pumpe B den Anteil \(\frac{1}{6}\). Gemeinsam füllen sie pro Stunde \(\frac{1}{4}\). 2. Daher gilt die Bruchgleichung \(\frac{1}{x}+\frac{1}{6}=\frac{1}{4}\) mit \(x>0\). 3. Multiplikation beider Seiten mit dem gemeinsamen Nenner \(12x\) ergibt \(12+2x=3x\). 4. Daraus folgt \(x=12\). Der Wert ist im Kontext zulässig.

\(x=12\,\text{h}\)

- Was ist der erste Schritt, um eine Variable aus dem Nenner eines Bruchs zu entfernen? - Wie hängen \(x\) und \(k\) zusammen? Kannst du \(x\) alleine auf eine Seite der Gleichung bringen? - Schau dir den Nenner der ursprünglichen Aufgabe an. Was darf dort niemals stehen?

1. Auflösen nach \(x\): Multiplikation mit \(x\) (wobei \(x \neq 0\)) ergibt \(2x + k = 5x\). Subtraktion von \(2x\) führt zu \(k = 3x\). Division durch \(3\) ergibt \(x = \frac{k}{3}\). 2. Bestimmung von \(k\) für \(x = 2\): Einsetzen von \(x = 2\) in \(x = \frac{k}{3}\) ergibt \(2 = \frac{k}{3} \implies k = 6\). 3. Bedingung für \(k\): Da \(x\) im Nenner der ursprünglichen Gleichung steht, muss \(x \neq 0\) gelten. Da \(x = \frac{k}{3}\) ist, folgt aus \(\frac{k}{3} \neq 0\), dass \(k \neq 0\) sein muss. Wenn \(k = 0\) wäre, gäbe es keine Lösung für \(x\).

a) \(x = \frac{k}{3}\). b) Die Lösung ist \(x = 2\), wenn \(k = 6\) ist. c) Es muss \(k \neq 0\) gelten. Da \(x = \frac{k}{3}\) ist, wäre für \(k = 0\) auch \(x = 0\). Da \(x\) jedoch im Nenner steht, ist \(0\) kein erlaubter Wert für \(x\).

- Wie hängen Zähler und Nenner allgemein zusammen, wenn ein Bruch den Wert \(\frac{1}{2}\) hat? - Was muss zwischen Zähler und Nenner gelten, damit der veränderte Bruch den Wert \(1\) hat? - Prüfe, ob die daraus folgende Bedingung mit einem zulässigen ursprünglichen Bruch vereinbar ist.

1. Ein Bruch mit dem Wert \(\frac{1}{2}\) kann als \(\frac{k}{2k}\) mit \(k\in\mathbb{N}\), \(k>0\), beschrieben werden. 2. Nach Addition von \(n\) lautet die Bedingung \(\frac{k+n}{2k+n}=1\). 3. Da der Nenner positiv und damit zulässig ist, folgt \(k+n=2k+n\), also \(k=0\). 4. Dies widerspricht \(k>0\). Daher gibt es keinen solchen Bruch.

Es gibt keinen solchen Bruch; die Bedingung würde \(k=0\) erzwingen, obwohl für einen Bruch mit dem Wert \(\frac{1}{2}\) hier \(k>0\) gelten muss.

- Welche Werte für \(x\) sind wegen der sichtbaren Nennerfaktoren ausgeschlossen? - Was erhältst du, wenn du die Gleichung mit dem gemeinsamen Nenner multiplizierst? - Prüfe vor jeder Division, ob der jeweilige Faktor für alle Parameterwerte ungleich \(0\) ist; untersuche sonst den betreffenden Parameterfall separat.

1. Aus den Nennern folgen die Bedingungen \(x\neq a\) und \(x\neq-a\). 2. Multiplikation beider Seiten mit dem gemeinsamen Nenner \((x-a)(x+a)\) ergibt \(a(x+a)+a(x-a)=a^2\). 3. Zusammenfassen liefert \(2ax=a^2\). 4. Für \(a\neq0\) darf durch \(a\) geteilt werden. Dann folgt \(2x=a\), also \(x=\frac{a}{2}\). Dieser Wert gehört für \(a\neq0\) zur ursprünglichen Definitionsmenge. 5. Für \(a=0\) lautet die ursprüngliche Gleichung für alle zulässigen \(x\) schlicht \(0=0\). Wegen der Nenner gilt dann \(x\neq0\). Somit ist jedes \(x\in\mathbb{Q}\setminus\{0\}\) eine Lösung.

Für \(a\neq0\): \(x=\frac{a}{2}\). Für \(a=0\): alle \(x\in\mathbb{Q}\setminus\{0\}\).