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- Die Definitionsmenge ist bereits gegeben; du musst keinen Ausschlusswert mehr bestimmen. - Frage dich direkt, welche Zahl im Nenner den Quotienten \(6\) ergibt.

1. Gesucht ist die Zahl, durch die \(18\) geteilt den Wert \(6\) ergibt. Das ist \(x=3\). 2. Daher ist \(L=\{3\}\).

\(L=\{3\}\)

- Beachte, dass die Multiplikation mit \(x\) auf beide Seiten der Gleichung wirkt. - Prüfe, bei welcher Antwort auf der linken Seite der Nenner tatsächlich verschwindet.

1. Da \(x\neq0\) gilt, darf die Gleichung mit \(x\) multipliziert werden. 2. Dadurch verschwindet der Nenner auf der linken Seite und es entsteht \(x+1=2x\).

Antwort 1: \(x+1=2x\)

- Kannst du die Gleichung so umformen, dass alle Terme mit \(x\) im Nenner auf einer Seite stehen? - Was passiert mathematisch, wenn man versucht, eine Zahl durch 0 zu teilen? - Wie findet man die \(y\)-Koordinate, wenn man den \(x\)-Wert bereits kennt?

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(\frac{15}{x} = \frac{3}{x} + 4\). 2. Subtraktion von \(\frac{3}{x}\) auf beiden Seiten: \(\frac{12}{x} = 4\). 3. Multiplikation mit \(x\) (unter der Bedingung \(x \neq 0\)): \(12 = 4x\). 4. Division durch 4: \(x = 3\). 5. Berechnung der \(y\)-Koordinate: \(f(3) = \frac{15}{3} = 5\). Der Schnittpunkt liegt bei \(P(3 \mid 5)\). 6. Begründung für \(x=0\): Die Zahl 0 liegt nicht im Definitionsbereich beider Funktionen, da eine Division durch Null mathematisch nicht definiert ist. Die Graphen (Hyperbeln) nähern sich der \(y\)-Achse nur an, berühren oder schneiden sie aber nie.

a) Der Schnittpunkt ist \(P(3 \mid 5)\). b) \(x = 0\) ist für beide Funktionen nicht definiert (Division durch Null), weshalb dort kein Punkt auf den Graphen existiert.

- Was darf man für die Variable im Nenner niemals einsetzen? - Wie kannst du den Bruch auflösen, um eine lineare Gleichung zu erhalten? - Überlege, was das Gleichsetzen zweier Funktionsterme geometrisch bedeutet.

1. Definitionsmenge bestimmen: Der Nenner darf nicht Null sein, also \(x - 1 \neq 0\), woraus \(x \neq 1\) folgt. 2. Gleichung lösen: Multiplikation der Gleichung \(\frac{6}{x-1} = 3\) mit dem Nenner \((x-1)\) führt zu \(6 = 3 \cdot (x-1)\). 3. Ausmultiplizieren und nach \(x\) auflösen: \(6 = 3x - 3\) ergibt durch Addition von \(3\) die Gleichung \(9 = 3x\), woraus \(x = 3\) folgt. 4. Abgleich mit Definitionsmenge: \(3 \neq 1\), daher ist die Lösung gültig. Die Lösungsmenge ist \(L = \{3\}\). 5. Graphische Interpretation: Der Wert \(x = 3\) ist die x-Koordinate des Schnittpunktes zwischen dem Graphen der gebrochen-rationalen Funktion \(f\) und der waagerechten Geraden \(g\).

a) \(L = \{3\}\) b) Die Lösung \(x = 3\) gibt die Stelle an, an der sich die Graphen der Funktionen \(f(x) = \frac{6}{x-1}\) und \(g(x) = 3\) schneiden.

- Was muss im Nenner stehen, damit das Ergebnis der Division aufgeht? - Wenn zwei Brüche den gleichen Nenner haben und gleich groß sind, was lässt sich dann über die Zähler sagen? - Wann wird ein Bruch insgesamt zu Null? - Kannst du die Gleichung so umformen, dass kein Bruch mehr dasteht?

1. Bei \(\frac{12}{x} = 4\) wird durch Multiplikation mit \(x\) und Division durch 4 der Wert \(x = 3\) ermittelt. 2. Da die Nenner in \(\frac{x}{9} = \frac{7}{9}\) gleich sind, müssen auch die Zähler übereinstimmen, woraus \(x = 7\) folgt. 3. Ein Bruch ist null, wenn sein Zähler null ist, daher führt \(x-5 = 0\) zu \(x = 5\). 4. Durch Überkreuzmultiplikation bei \(\frac{2}{x} = -\frac{1}{4}\) ergibt sich \(2 \cdot 4 = -1 \cdot x\), also \(x = -8\).

a) \(x = 3\) b) \(x = 7\) c) \(x = 5\) d) \(x = -8\)

- Prüfe bei jeder Teilaufgabe zuerst, ob eine Variable in einem Nenner steht. - Beseitige danach die Nenner durch eine äquivalente Multiplikation oder fasse gleichnamige Brüche zusammen. - Vergleiche jeden berechneten Wert am Ende mit der zugehörigen Zulässigkeitsbedingung.

1. In a) gilt \(x\neq-1\). Aus \(12=3(x+1)\) folgt \(x=3\), also ist die Lösung zulässig. 2. In b) gibt es keine variable Nennerbedingung. Aus \(5x-10=4x\) folgt \(x=10\). 3. In c) gilt \(x\neq0\). Zusammenfassen ergibt \(\frac{8}{x}=2\), also \(x=4\), zulässig. 4. In d) gilt \(x\neq0\). Aus \(\frac{1}{2x}=\frac{1}{10}\) folgt \(2x=10\) und damit \(x=5\), zulässig.

a) \(x=3\) bei \(x\neq-1\) b) \(x=10\) c) \(x=4\) bei \(x\neq0\) d) \(x=5\) bei \(x\neq0\)

- Was darfst du für \(x\) nicht einsetzen, damit der Nenner nicht null wird? - Wie kannst du die Gleichung umformen, damit die Variable \(x\) nicht mehr im Nenner steht? - Kannst du die Terme mit \(x\) auf eine Seite der Gleichung bringen?

1. Bestimmung der Definitionsmenge durch Ausschluss der Nullstellen des Nenners: \(D = \mathbb{Q} \setminus \{0\}\) 2. Multiplikation der gesamten Gleichung mit dem Hauptnenner \(2x\), um die Nenner zu eliminieren: \(10 - x = 6\) 3. Isolieren der Variable \(x\) durch Subtraktion von \(10\): \(-x = -4\) 4. Division durch \(-1\) ergibt den potenziellen Lösungswert: \(x = 4\) 5. Abgleich mit der Definitionsmenge: Da \(4 \in D\), ist die Lösung gültig.

\(D = \mathbb{Q} \setminus \{0\}\); \(x = 4\)

- Welche Werte für \(x\) führen dazu, dass einer der Nenner null wird? - Wenn zwei Brüche gleich sind, kannst du die Methode der Überkreuzmultiplikation anwenden. - Achte beim Auflösen der Klammern besonders auf die Vorzeichen.

1. Definitionsmenge bestimmen: \(x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1\) und \(2x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -0{,}5\). Also \(D = \mathbb{Q} \setminus \{-0{,}5; 1\}\) 2. Anwendung der Überkreuzmultiplikation: \(2 \cdot (2x + 1) = 5 \cdot (x - 1)\) 3. Auflösen der Klammern durch Distributivgesetz: \(4x + 2 = 5x - 5\) 4. Zusammenfassen der Terme: Subtraktion von \(4x\) und Addition von \(5\) führt zu \(7 = x\) 5. Vergleich mit der Definitionsmenge: Da \(7 \in D\), ist die Lösungsmenge \(L = \{7\}\).

\(L = \{7\}\)

- Schreibe zuerst den veränderten Nenner als Term mit \(x\). - Prüfe, für welchen Wert dieser Nenner null wäre. - Forme anschließend die Gleichung mit den beiden Brüchen so um, dass keine Nenner mehr vorkommen.

1. Der neue Bruch ist \(\frac{5}{12+x}\); deshalb gilt zunächst \(x\neq-12\). 2. Aus \(\frac{5}{12+x}=\frac{1}{3}\) folgt durch Kreuzmultiplikation \(15=12+x\). 3. Daher ist \(x=3\). Dieser Wert erfüllt die Zulässigkeitsbedingung.

\(x=3\); der ausgeschlossene Wert ist \(x=-12\).

- Was passiert, wenn der Nenner eines Bruchs null wird? - Wie kannst du den Bruch auflösen, damit kein \(x\) mehr im Nenner steht? - Hast du am Ende geprüft, ob dein Ergebnis laut Definitionsmenge überhaupt erlaubt ist?

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Der Nenner darf nicht null werden. Aus \(x - 4 = 0\) folgt \(x = 4\). Somit ist \(D = \mathbb{Q} \setminus \{4\}\). 2. Multiplikation der gesamten Gleichung mit dem Nenner \((x - 4)\): \(18 = 6 \cdot (x - 4)\). 3. Auflösen der Klammer auf der rechten Seite: \(18 = 6x - 24\). 4. Addition von \(24\) auf beiden Seiten: \(42 = 6x\). 5. Division durch \(6\): \(x = 7\). Da \(7 \in D\), ist dies eine mögliche Lösung. 6. Probe durch Einsetzen von \(x = 7\) in die Ausgangsgleichung: \(\frac{18}{7 - 4} = \frac{18}{3} = 6\). Die Aussage \(6 = 6\) ist wahr.

\(D = \mathbb{Q} \setminus \{4\}\); \(x = 7\)

- Schreibe den negativen Exponenten als Bruch. - Welcher Wert ist wegen des Nenners ausgeschlossen? - Multipliziere die Gleichung anschließend mit \(x\).

1. Für beide Teilaufgaben gilt wegen \(x^{-1}=\frac{1}{x}\): \(D = \mathbb{Q} \setminus \{0\}\). 2. a) \(\frac{8}{x}=16\). Multiplikation mit \(x\) ergibt \(8=16x\), also \(x=0{,}5\). Daher \(L = \{0{,}5\}\). 3. b) \(4x^{-1}+5=7\) führt zu \(\frac{4}{x}=2\). Multiplikation mit \(x\) ergibt \(4=2x\), also \(x=2\). Daher \(L = \{2\}\).

a) \(D = \mathbb{Q} \setminus \{0\}\); \(L = \{0{,}5\}\) b) \(D = \mathbb{Q} \setminus \{0\}\); \(L = \{2\}\)

- Was darf man für \( x \) nicht einsetzen, damit man nicht durch null teilt? - Wie kannst du eine Gleichung mit zwei Brüchen so umformen, dass keine Brüche mehr vorkommen? - Wenn du die \( x \)-Koordinate gefunden hast, wie erhältst du dann den zugehörigen \( y \)-Wert?

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Die Nenner dürfen nicht null werden, also \( x \neq 0 \) und \( x \neq 1 \). Damit ist \( D = \mathbb{Q} \setminus \{0; 1\} \). 2. Gleichsetzen der Funktionsterme: \( \frac{3}{x} = \frac{2}{x-1} \). 3. Multiplikation mit den Nennern (Überkreuzmultiplikation): \( 3(x-1) = 2x \). 4. Klammer auflösen: \( 3x - 3 = 2x \). 5. Nach \( x \) auflösen: \( x = 3 \). 6. Da \( 3 \in D \), ist dies die \( x \)-Koordinate des Schnittpunkts. 7. Berechnung der \( y \)-Koordinate durch Einsetzen in \( f(x) \): \( f(3) = \frac{3}{3} = 1 \). 8. Der Schnittpunkt liegt bei \( (3|1) \).

Die Definitionsmenge ist \( D = \mathbb{Q} \setminus \{0; 1\} \). Der Schnittpunkt der Graphen ist \( (3|1) \).

- Bestimme zuerst alle Werte, für die einer der Nenner null wird. - Bei zwei einzelnen Brüchen auf den beiden Seiten kannst du die Gleichung durch Kreuzmultiplikation bruchfrei machen. - Prüfe den berechneten Wert am Ende gegen \(D\).

1. Die Nenner dürfen nicht null sein. Aus \(2x+4=0\) folgt \(x=-2\), aus \(x+1=0\) folgt \(x=-1\). Daher ist \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-2;-1\}\). 2. Kreuzmultiplikation ergibt \(5(x+1)=3(2x+4)\). 3. Aus \(5x+5=6x+12\) folgt \(x=-7\). 4. Da \(-7\in D\) gilt, ist \(L=\{-7\}\).

\(D=\mathbb{Q}\setminus\{-2;-1\}\); \(L=\{-7\}\)

- Nutze einen gemeinsamen Faktor, um einen beliebigen Bruch mit dem Wert \(\frac{3}{4}\) darzustellen. - Prüfe die Nenner vor und nach der Addition von \(12\) auf den Wert null. - Übersetze den neuen Bruchwert anschließend in eine Gleichung.

1. Schreibe den ursprünglichen Bruch als \(\frac{3k}{4k}\). Dann muss \(k\neq0\) gelten. 2. Nach der Änderung lautet der Bruch \(\frac{3k+12}{4k+12}\); zusätzlich gilt \(4k+12\neq0\), also \(k\neq-3\). 3. Aus \(\frac{3k+12}{4k+12}=\frac{4}{5}\) folgt \(5(3k+12)=4(4k+12)\). 4. Damit gilt \(15k+60=16k+48\), also \(k=12\). 5. Dieser Wert ist zulässig. Zähler und Nenner sind \(36\) und \(48\).

Der ursprüngliche Bruch ist \(\frac{36}{48}\).

- Wie gehst du vor, wenn du herausfinden möchtest, an welcher Stelle zwei Graphen denselben Wert haben? - Was muss für den Funktionswert an einer Nullstelle gelten? - Achte bei Bruchgleichungen darauf, dass der Nenner nicht null werden darf. - Wie kannst du eine Gleichung umformen, in der die Unbekannte im Nenner steht?

1. Berechnung des Schnittpunkts: Gleichsetzen der Funktionsterme \(f(x) = g(x)\) führt zu \(\frac{6}{x} - 3 = \frac{2}{x} + 1\). 2. Zusammenfassen der Terme mit \(x\): \(\frac{4}{x} = 4\). 3. Lösen nach \(x\): \(x = 1\). 4. Bestimmung des \(y\)-Werts: \(f(1) = \frac{6}{1} - 3 = 3\). Der Schnittpunkt liegt bei \(S(1|3)\). 5. Nullstelle von \(f\): Ansatz \(f(x) = 0\) ergibt \(\frac{6}{x} - 3 = 0\), also \(\frac{6}{x} = 3\), woraus \(x = 2\) folgt. Nullstelle bei \((2|0)\). 6. Nullstelle von \(g\): Ansatz \(g(x) = 0\) ergibt \(\frac{2}{x} + 1 = 0\), also \(\frac{2}{x} = -1\), woraus \(x = -2\) folgt. Nullstelle bei \((-2|0)\).

Schnittpunkt: \((1|3)\) Nullstelle von \(f\): \((2|0)\) Nullstelle von \(g\): \((-2|0)\)

- Was bedeutet es für die Graphen, wenn die Gleichung keine Lösung hat? - Welche \(x\)-Koordinate besitzen Punkte auf der \(y\)-Achse? - Multipliziere jeweils mit dem Nenner.

1. (A): Multiplikation mit \(x+3\) ergibt \(x=x+3\), also den Widerspruch \(0=3\). Es gibt keinen Schnittpunkt. Zuordnung: (A) \(\rightarrow\) 1. 2. (B): Multiplikation mit \(x-2\) ergibt \(4=-2(x-2)=-2x+4\). Daher ist \(x=0\). Der Schnittpunkt liegt auf der \(y\)-Achse. Zuordnung: (B) \(\rightarrow\) 2.

(A) \(\rightarrow\) 1 (keine Lösung); (B) \(\rightarrow\) 2 (Lösung \(x=0\))

- Bestimme zuerst die beiden ausgeschlossenen Nennerwerte. - Die Gleichung mit je einem Bruch auf jeder Seite kann durch Kreuzmultiplikation bruchfrei gemacht werden. - Prüfe den berechneten Wert gegen \(D\).

1. Es gilt \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-1;0\}\). 2. Kreuzmultiplikation ergibt \(12(z+1)=15z\). 3. Aus \(12z+12=15z\) folgt \(z=4\). 4. Da \(4\in D\), gilt \(L=\{4\}\).

\(L=\{4\}\)

- Bestimme zuerst den Wert, der den Nenner null machen würde. - Ein Bruch kann nur dann den Wert null haben, wenn sein Zähler null und sein Nenner zugleich ungleich null ist. - Prüfe den aus dem Zähler erhaltenen Kandidaten gegen \(D\).

1. Der Nenner darf nicht null sein. Aus \(x+2=0\) folgt \(x=-2\), also \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-2\}\). 2. Ein definierter Bruch ist genau dann null, wenn sein Zähler null ist. Daher gilt \(3x-9=0\). 3. Daraus folgt \(x=3\). Da \(3\in D\), ist \(L=\{3\}\).

\(D=\mathbb{Q}\setminus\{-2\}\) \(L=\{3\}\)

- Was bedeutet es für die Gleichung der Funktionen, wenn sich ihre Graphen schneiden? - Wie kannst du den Nenner in einer Bruchgleichung eliminieren? - Hast du am Ende geprüft, ob dein berechneter \(x\)-Wert laut Definitionsmenge erlaubt ist? - Vergiss nicht, dass ein Punkt immer aus einer \(x\)- und einer \(y\)-Koordinate besteht.

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(5 = \frac{2x+8}{x-2}\). 2. Bestimmung der Definitionsmenge: \(x \neq 2\). 3. Multiplikation der Gleichung mit dem Nenner \((x-2)\): \(5(x-2) = 2x+8\). 4. Auflösen der Klammer und Zusammenfassen: \(5x - 10 = 2x + 8\). 5. Isolieren der Unbekannten \(x\): \(3x = 18 \implies x = 6\). 6. Da \(f(x) = 5\) eine konstante Funktion ist, ist der \(y\)-Wert für jeden Punkt auf dem Graphen \(5\). 7. Der Schnittpunkt ist \(S(6 \mid 5)\).

Der Schnittpunkt liegt bei \((6 \mid 5)\).

- Überlege zuerst, für welche Werte von \(x\) der Nenner des Bruchs null werden würde. - Wie kannst du den Bruch auflösen, um eine lineare Gleichung zu erhalten? - Vergiss am Ende nicht zu prüfen, ob dein Ergebnis in der Definitionsmenge liegt.

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Der Nenner darf nicht null sein. \(2x - 5 \neq 0 \Rightarrow 2x \neq 5 \Rightarrow x \neq 2{,}5\). Somit ist \(D = \mathbb{Q} \setminus \{2{,}5\}\). 2. Multiplikation der Gleichung mit dem Nenner \((2x-5)\): \(x + 2 = 3 \cdot (2x - 5)\). 3. Ausmultiplizieren und nach \(x\) auflösen: \(x + 2 = 6x - 15\) \(17 = 5x\) \(x = 3{,}4\). 4. Abgleich mit der Definitionsmenge: \(3{,}4 \in D\). Lösungsmenge: \(L = \{3{,}4\}\).

\(D = \mathbb{Q} \setminus \{2{,}5\}\); \(L = \{3{,}4\}\)

- Bestimme zuerst den Wert, der den Nenner null machen würde. - Multipliziere anschließend die gesamte Gleichung mit dem gemeinsamen Nenner. - Prüfe den berechneten Wert gegen \(D\), bevor du \(L\) angibst.

1. Wegen \(x-5\neq0\) gilt \(D=\mathbb{Q}\setminus\{5\}\). 2. Multiplikation mit \(x-5\) ergibt \(2x-(x-5)=10\). 3. Daraus folgt \(x+5=10\) und damit \(x=5\). 4. Da \(5\notin D\), ist der einzige rechnerische Kandidat ausgeschlossen. Somit gilt \(L=\emptyset\).

\(D=\mathbb{Q}\setminus\{5\}\); \(L=\emptyset\)

- Wie kannst du die Brüche eliminieren, um eine lineare Gleichung zu erhalten? - Hast du beim Ausmultiplizieren der Klammern auf die Vorzeichen geachtet? - Vergleiche dein Ergebnis am Ende mit den Werten, die für \(x\) nicht erlaubt sind.

1. Multiplikation der Gleichung mit den Nennern (Über-Kreuz-Multiplizieren): \(6 \cdot (x + 1) = 4 \cdot (x - 1)\) 2. Auflösen der Klammern durch Ausmultiplizieren: \(6x + 6 = 4x - 4\) 3. Umstellen der Gleichung zur Isolierung von \(x\): \(2x = -10\) 4. Berechnung des Wertes: \(x = -5\) 5. Überprüfung der Definitionsmenge: Da \(-5 \neq 1\) und \(-5 \neq -1\), ist die Lösung gültig.

\(L = \{-5\}\)

- Bestimme zuerst, welcher Wert wegen des Nenners ausgeschlossen ist. - Beseitige den Nenner erst danach durch Multiplikation. - Prüfe zum Schluss, ob der berechnete Wert zur Definitionsmenge gehört.

1. Definitionsmenge: Wegen des Nenners \(x-1\) gilt \(D = \mathbb{Q} \setminus \{1\}\). 2. Für \(x \in D\) darf die Gleichung mit \(x-1\) multipliziert werden. Es folgt \(2=x+1\). 3. Daraus ergibt sich \(x=1\). 4. Dieser Wert gehört nicht zur Definitionsmenge. Daher besitzt die Bruchgleichung keine Lösung: \(L=\emptyset\).

Keine Lösung: \(L=\emptyset\), weil der rechnerische Kandidat \(x=1\) nicht zur Definitionsmenge gehört.

- Wann genau ist ein Bruch gleich Null? Überlege dir, was mit dem Zähler und dem Nenner passieren muss. - Darfst du jeden beliebigen Wert für die Variable einsetzen? Prüfe, ob der Nenner bei deinen gefundenen Werten Null werden würde. - Bei einem Produkt im Zähler reicht es, wenn einer der Faktoren Null wird. - Erinnerst du dich an die binomischen Formeln? Sie können dir helfen, den Zähler in Teil 2 zu untersuchen.

1. Ein Bruchterm hat den Wert Null, wenn sein Zähler Null ist und sein Nenner einen Wert ungleich Null annimmt. 2. Für \( \frac{x - 12}{3x} \): Der Zähler \(x - 12 = 0\) führt zu \(x = 12\). Der Nenner ist für \(x = 12\) gleich \(36 \neq 0\). Ergebnis: \(x = 12\). 3. Für \( \frac{x^2 - 25}{x + 5} \): Der Zähler \(x^2 - 25 = 0\) führt zu \(x = 5\) oder \(x = -5\). Der Nenner \(x + 5\) wird für \(x = -5\) zu Null, weshalb dieser Wert ausgeschlossen ist. Für \(x = 5\) ist der Nenner \(10 \neq 0\). Ergebnis: \(x = 5\). 4. Für \( \frac{x(x + 2)}{x - 2} \): Der Zähler \(x(x + 2) = 0\) führt zu \(x = 0\) oder \(x = -2\). Der Nenner \(x - 2\) ist für \(x = 0\) gleich \(-2\) und für \(x = -2\) gleich \(-4\). Beide Werte sind ungleich Null. Ergebnisse: \(x = 0\) und \(x = -2\).

1) \(x = 12\); 2) \(x = 5\); 3) \(x = 0\) und \(x = -2\)

- Ein Schnittpunkt liegt dort, wo beide Graphen dieselbe \(x\)- und dieselbe \(y\)-Koordinate haben. - Lies zuerst die Koordinaten am Achsenraster ab, bevor du rechnest. - Setze anschließend nur die abgelesene \(x\)-Koordinate in beide Seiten der Gleichung ein.

1. Aus dem Diagramm lässt sich der Schnittpunkt \(S(2\mid2)\) ablesen. 2. Für die Bruchgleichung gilt \(x\neq0\). Einsetzen von \(x=2\) ergibt \(\frac{4}{2}=2\). 3. Damit bestätigt die Rechnung die aus dem Graphen gelesene Lösung.

\(S(2\mid2)\); die Lösung der Bruchgleichung ist \(x=2\).

- Wie hängen Strecke, Geschwindigkeit und Zeit zusammen? - Wenn beide für ihre jeweilige Strecke „genauso viel Zeit“ brauchen, was bedeutet das für ihre Zeit-Formeln? - Kannst du die Geschwindigkeiten der beiden zueinander in Beziehung setzen?

1. Definition der Variablen: Henriks Geschwindigkeit \(v\), Felix' Geschwindigkeit \(v + 1\). 2. Aufstellen der Zeit-Gleichung (\(\text{Zeit} = \frac{\text{Strecke}}{\text{Geschwindigkeit}}\)): \(\frac{21}{v + 1} = \frac{18}{v}\). 3. Über-Kreuz-Multiplizieren: \(21v = 18(v + 1)\). 4. Auflösen der Klammer und Isolieren von \(v\): \(21v = 18v + 18 \Rightarrow 3v = 18 \Rightarrow v = 6\). Henrik läuft mit \(6\,\text{km/h}\).

b) \(6\,\text{km/h}\)

- Wann genau wird ein Bruchterm gleich Null? - Schau dir die Zähler der beiden Gleichungen genau an. - Was bedeutet es für ein Schaubild, wenn eine Gleichung der Form \(f(x) = 0\) nicht lösbar ist?

1. Lösung von Gleichung (I): Ein Bruch wird Null, wenn der Zähler Null ist. \(x + 4 = 0\) ergibt \(x = -4\). Da der Nenner für \(x = -4\) nicht Null wird (\(2 \cdot (-4) - 6 = -14\)), ist \(x = -4\) die Lösung. 2. Begründung für Gleichung (II): Ein Bruchterm kann nur dann den Wert Null annehmen, wenn sein Zähler Null ist. Da im Zähler die konstante Zahl \(10\) steht, kann der gesamte Term niemals Null werden. 3. Graphische Schlussfolgerung: Da die Gleichung \(\frac{10}{x+1} = 0\) keine Lösung besitzt, hat der Graph der Funktion \(h\) keinen Schnittpunkt mit der x-Achse (die x-Achse entspricht der Geraden \(y = 0\)).

a) \(x = -4\) b) Da der Zähler konstant \(10\) ist und niemals Null werden kann, hat die Gleichung keine Lösung. c) Der Graph der Funktion \(h(x)\) besitzt keinen Schnittpunkt mit der x-Achse.

- Überlege zuerst, welche Werte \(x\) nicht annehmen darf, damit man nicht durch Null teilt. - Hilft dir das Überkreuzmultiplizieren weiter, wenn auf beiden Seiten ein Bruch steht? - Wie findest du einen gemeinsamen Nenner, um Brüche zu addieren? - Was passiert mit dem Nenner, wenn du die gesamte Gleichung mit ihm multiplizierst?

1. Teil a): Definitionsmenge \(D=\mathbb Q\setminus\{0\}\). Multiplizieren mit \(x\) ergibt \(x+6=3x\), also \(x=3\). Damit \(L=\{3\}\). 2. Teil b): \(D=\mathbb Q\setminus\{-1,2\}\). Aus \(3(x+1)=6(x-2)\) folgt \(x=5\), also \(L=\{5\}\). 3. Teil c): \(D=\mathbb Q\setminus\{0\}\). Mit dem Hauptnenner \(3x\) folgt \(4=12x\), also \(x=\frac13\) und \(L=\{\frac13\}\). 4. Teil d): \(D=\mathbb Q\setminus\{-2\}\). Für einen Bruchwert \(0\) muss \(3x-12=0\) gelten. Daher \(x=4\) und \(L=\{4\}\).

a) \(D=\mathbb Q\setminus\{0\}\), \(L=\{3\}\) b) \(D=\mathbb Q\setminus\{-1,2\}\), \(L=\{5\}\) c) \(D=\mathbb Q\setminus\{0\}\), \(L=\{\frac13\}\) d) \(D=\mathbb Q\setminus\{-2\}\), \(L=\{4\}\)

- Drücke Zähler und Nenner zunächst mit nur einer Variablen aus. - Prüfe sowohl den ursprünglichen als auch den nach der Änderung entstehenden Nenner auf den Wert null. - Übersetze anschließend den angegebenen neuen Bruchwert in eine Gleichung.

1. Sei \(n\) der ursprüngliche Nenner. Dann ist der Zähler \(n-5\). Für den ursprünglichen Bruch gilt \(n\neq0\); für den veränderten Bruch gilt zusätzlich \(n+3\neq0\), also \(n\neq-3\). 2. Die Bedingung führt auf \(\frac{n-2}{n+3}=\frac{3}{4}\). 3. Kreuzmultiplikation ergibt \(4(n-2)=3(n+3)\), also \(4n-8=3n+9\) und damit \(n=17\). 4. Der Zähler ist \(17-5=12\). Beide Nennerbedingungen sind erfüllt.

Der ursprüngliche Bruch ist \(\frac{12}{17}\).

- Drücke den Nenner mithilfe des Zählers als Variable aus. - Prüfe die Nenner vor und nach der beschriebenen Änderung getrennt auf den Wert null. - Ein Bruch hat den Wert \(1\), wenn Zähler und zulässiger Nenner gleich sind.

1. Sei \(z\) der Zähler. Dann ist der ursprüngliche Nenner \(3z+1\), also muss \(3z+1\neq0\) gelten. Der veränderte Nenner ist \(3z-4\), also muss zusätzlich \(3z-4\neq0\) gelten. 2. Die Bedingung führt auf \(\frac{2z}{3z-4}=1\). 3. Multiplikation mit dem zulässigen Nenner ergibt \(2z=3z-4\), also \(z=4\). 4. Der ursprüngliche Nenner ist \(3\cdot4+1=13\). Der Wert \(z=4\) erfüllt beide Nennerbedingungen.

Der ursprüngliche Bruch ist \(\frac{4}{13}\).

- Welche Werte darf \(x\) im Nenner nicht annehmen? - Kannst du die Gleichung so umformen, dass sie wie eine normale lineare Gleichung aussieht? - Vergiss nicht, das Ergebnis in die Lösungsmenge zu schreiben.

1. Definitionsmenge bestimmen: Der Nenner \(x + 2\) wird für \(x = -2\) null, daher ist \(D = \mathbb{Q} \setminus \{-2\}\). 2. Multiplikation mit dem Nenner \((x + 2)\): \(2x + 10 = 3 \cdot (x + 2)\). 3. Klammer ausmultiplizieren: \(2x + 10 = 3x + 6\). 4. Gleichung nach \(x\) auflösen: Subtraktion von \(2x\) ergibt \(10 = x + 6\). Subtraktion von \(6\) ergibt \(x = 4\). 5. Abgleich mit der Definitionsmenge: \(4\) ist in \(D\) enthalten. 6. Probe: \(\frac{2 \cdot 4 + 10}{4 + 2} = \frac{8 + 10}{6} = \frac{18}{6} = 3\). Die Lösung ist korrekt.

\(L = \{4\}\)

- Hier stehen auf beiden Seiten Brüche. Wie kannst du beide Nenner gleichzeitig eliminieren? - Könnte das „Überkreuzmultiplizieren“ hier hilfreich sein? - Achte beim Auflösen der Klammern besonders auf die Vorzeichen.

1. Definitionsmenge bestimmen: Die Nenner werden für \(x = 1\) und \(x = -1\) null. Also ist \(D = \mathbb{Q} \setminus \{-1; 1\}\). 2. Anwendung der Überkreuzmultiplikation (oder Multiplikation mit dem Hauptnenner \((x-1)(x+1)\)): \(4 \cdot (x + 1) = 6 \cdot (x - 1)\). 3. Ausmultiplizieren der Klammern: \(4x + 4 = 6x - 6\). 4. Zusammenfassen und nach \(x\) auflösen: Subtraktion von \(4x\) führt zu \(4 = 2x - 6\). Addition von \(6\) ergibt \(10 = 2x\). Division durch \(2\) ergibt \(x = 5\). 5. Da \(5 \in D\), ist der Wert zulässig. 6. Probe: Linke Seite: \(\frac{4}{5 - 1} = \frac{4}{4} = 1\). Rechte Seite: \(\frac{6}{5 + 1} = \frac{6}{6} = 1\). Beide Seiten sind gleich.

\(D = \mathbb{Q} \setminus \{-1; 1\}\); \(x = 5\)

- Achte beim Ausmultiplizieren der Klammern auf alle Glieder, besonders auf die Vorzeichen. - Was passiert mit den quadratischen Termen (\(x^2\)), wenn du sie auf beiden Seiten der Gleichung findest? - Kannst du den Bruch am Ende noch kürzen?

1. Definitionsmenge: \(x+3 \neq 0 \implies x \neq -3\) und \(2x-1 \neq 0 \implies x \neq 0{,}5\). Also \(D = \mathbb{Q} \setminus \{-3; 0{,}5\}\). 2. Kreuzmultiplikation: \((2x-1) \cdot (2x-1) = (x+3) \cdot (4x+5)\). 3. Ausmultiplizieren: \(4x^2 - 2x - 2x + 1 = 4x^2 + 5x + 12x + 15\). 4. Vereinfachen: \(4x^2 - 4x + 1 = 4x^2 + 17x + 15\). 5. Subtraktion von \(4x^2\) auf beiden Seiten: \(-4x + 1 = 17x + 15\). 6. Nach \(x\) auflösen: \(-14 = 21x \implies x = -\frac{14}{21} = -\frac{2}{3}\). 7. Da \(-\frac{2}{3} \in D\), ist \(L = \{-\frac{2}{3}\}\).

a) \(D = \mathbb{Q} \setminus \{-3; 0{,}5\}\) b) \(L = \{-\frac{2}{3}\}\)

- Schreibe die Terme zuerst als Brüche ohne negative Exponenten auf. - Was ist der Hauptnenner, wenn du Terme wie \(3x\) und \(x\) im Nenner hast? - Wenn zwei Brüche mit dem gleichen Zähler gleich sein sollen, was muss dann für die Nenner gelten?

1. Teilaufgabe a): \(T_1(x) = \frac{1}{3x}\) erfordert \(3x \neq 0\), also \(x \neq 0\). \(T_2(x) = \frac{3}{x}\) erfordert ebenfalls \(x \neq 0\). Die Definitionsmengen sind identisch: \(D = \mathbb{Q} \setminus \{0\}\). 2. Teilaufgabe b): Die Gleichung lautet \(\frac{1}{3x} = \frac{3}{x} + 4\). Multiplikation mit dem Hauptnenner \(3x\) ergibt \(1 = 9 + 12x\). Subtraktion von \(9\) führt zu \(-8 = 12x\). Division durch \(12\) ergibt \(x = -\frac{8}{12} = -\frac{2}{3}\). Da \(-\frac{2}{3} \in D\), ist \(L = \{-\frac{2}{3}\}\). 3. Teilaufgabe c): Die Gleichung lautet \(\frac{1}{3x} = \frac{1}{x+4}\). Da beide Zähler \(1\) sind, müssen für eine Lösung die Nenner gleich sein: \(3x = x+4\). Dies führt zu \(2x = 4\), also \(x = 2\). Prüfung der Definitionsmengen: Für den rechten Term muss \(x \neq -4\) gelten. Da \(2\) weder \(0\) noch \(-4\) ist, ist \(L = \{2\}\).

a) Nein, beide haben \(D = \mathbb{Q} \setminus \{0\}\). b) \(L = \{-\frac{2}{3}\}\) c) \(x = 2\)

- Versuche alle Terme, die ein \( x \) im Nenner haben, auf eine Seite der Gleichung zu bringen. - Wie kannst du Brüche mit dem gleichen Nenner subtrahieren? - Vergiss nicht zu prüfen, ob dein Ergebnis im Definitionsbereich liegt.

1. Ansatz für den Schnittpunkt: \( f(x) = g(x) \). 2. Aufstellen der Gleichung: \( \frac{4}{x} = \frac{1}{x} + 1 \). 3. Subtraktion von \( \frac{1}{x} \) auf beiden Seiten: \( \frac{4}{x} - \frac{1}{x} = 1 \). 4. Zusammenfassen der Brüche: \( \frac{3}{x} = 1 \). 5. Multiplikation mit \( x \) liefert \( 3 = x \). 6. Prüfung: \( 3 \) ist im Definitionsbereich enthalten. 7. Berechnung des Funktionswertes: \( f(3) = \frac{4}{3} \).

An der Stelle \( x = 3 \) besitzen beide Funktionen denselben Funktionswert \( y = \frac{4}{3} \) (bzw. \( 1\frac{1}{3} \)).

- Bestimme vor dem Rechnen die Nullstellen aller Nenner und notiere \(D\). - Zerlege den quadratischen Nenner in die beiden bereits auftretenden linearen Faktoren. - Prüfe jeden berechneten Kandidaten gegen \(D\), bevor du ihn in \(L\) aufnimmst.

1. Da \(x^2-4=(x-2)(x+2)\), gilt \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-2;2\}\). 2. Multiplikation mit \((x-2)(x+2)\) ergibt \((x+2)+(x-2)=4\). 3. Damit gilt \(2x=4\) und somit \(x=2\). 4. Da \(2\notin D\), ist der berechnete Wert ausgeschlossen. Folglich gilt \(L=\emptyset\).

\(L=\emptyset\)

- Multipliziere jeden Term der Gleichung mit dem gemeinsamen Nenner \(x(x-4)\). - Behandle das Produkt \((x+4)(x-4)\) als Ganzes und achte auf das Minuszeichen davor. - Prüfe den berechneten Wert am Ende gegen die vorgegebene Menge \(D\).

1. Multiplikation mit dem Hauptnenner \(x(x-4)\) ergibt \(2x^2-(x+4)(x-4)=x(x-4)\). 2. Ausmultiplizieren liefert \(2x^2-(x^2-16)=x^2-4x\). 3. Vereinfachen ergibt \(16=-4x\), also \(x=-4\). 4. Da \(-4\in D\), gilt \(L=\{-4\}\).

\(L=\{-4\}\)

- Drücke einen beliebigen Bruch mit dem Wert \(\frac{3}{2}\) mithilfe eines gemeinsamen Faktors aus. - Prüfe den ursprünglichen und den veränderten Nenner auf den Wert null. - Der neue Bruchwert ist der Kehrwert von \(\frac{3}{2}\); daraus entsteht eine Gleichung für den gemeinsamen Faktor.

1. Schreibe den ursprünglichen Bruch als \(\frac{3k}{2k}\). Es gilt \(k\neq0\). 2. Der Kehrwert des ursprünglichen Bruchwerts ist \(\frac{2}{3}\). Der veränderte Nenner ist \(2k+5\), also muss \(2k+5\neq0\) gelten. 3. Aus \(\frac{3k-5}{2k+5}=\frac{2}{3}\) folgt \(3(3k-5)=2(2k+5)\). 4. Damit gilt \(9k-15=4k+10\), also \(k=5\). 5. Dieser Wert ist zulässig. Der ursprüngliche Bruch ist \(\frac{15}{10}\).

Der ursprüngliche Bruch ist \(\frac{15}{10}\).

- Wenn zwei Brüche mit demselben Nenner gleich sein sollen, was kannst du über ihre Zähler sagen? - Überlege dir, unter welchen Bedingungen ein Bruch den Wert null annimmt. - Gibt es Werte für \(x\), die du von vornherein ausschließen musst?

1. Bestimmung des Definitionsbereichs: \(x \neq -2\). 2. Berechnung des Schnittpunkts: Gleichsetzen \(\frac{3}{x+2} = \frac{x-1}{x+2}\). Da die Nenner gleich sind, müssen die Zähler gleich sein: \(3 = x - 1\). 3. Lösen nach \(x\): \(x = 4\). 4. Bestimmung des \(y\)-Werts: \(f(4) = \frac{3}{4+2} = \frac{3}{6} = 0{,}5\). Schnittpunkt bei \(S(4|0{,}5)\). 5. Nullstelle von \(f\): Der Zähler \(3\) kann nie null werden, daher hat \(f\) keine Nullstellen. 6. Nullstelle von \(g\): Ein Bruch ist null, wenn der Zähler null ist: \(x - 1 = 0 \implies x = 1\). Da \(1\) im Definitionsbereich liegt, ist die Nullstelle bei \((1|0)\).

Schnittpunkt: \((4|0{,}5)\) Nullstelle von \(f\): Keine vorhanden Nullstelle von \(g\): \((1|0)\)

- Was musst du beim Lösen von Bruchgleichungen bezüglich der Nenner beachten? - Darf man jeden berechneten Wert für \(x\) am Ende auch wirklich in die ursprüngliche Gleichung einsetzen? - Was passiert an einer Stelle im Graphen, für die die Funktion gar nicht definiert ist?

1. Definitionsmenge bestimmen: Da der Nenner \(x-2\) nicht null sein darf, ist \(x = 2\) ausgeschlossen. Definitionsmenge \(D = \mathbb{Q} \setminus \{2\}\). 2. Gleichung aufstellen: \(\frac{2x}{x-2} = \frac{4}{x-2} + 1\). 3. Gleichung lösen: Multiplikation der gesamten Gleichung mit dem Hauptnenner \((x-2)\) ergibt \(2x = 4 + 1 \cdot (x-2)\). 4. Vereinfachen: \(2x = 4 + x - 2\) führt zu \(2x = x + 2\). 5. Ergebnis für \(x\) berechnen: Subtraktion von \(x\) ergibt \(x = 2\). 6. Abgleich mit der Definitionsmenge: Der berechnete Wert \(x = 2\) ist in der Definitionsmenge nicht enthalten. 7. Fazit: Die Gleichung hat keine Lösung im Definitionsbereich. Die Graphen von \(f\) und \(g\) haben keinen Schnittpunkt.

Die Graphen der Funktionen \(f\) und \(g\) haben keinen Schnittpunkt. Die rechnerische Lösung \(x = 2\) ist nicht Teil der Definitionsmenge (\(x \neq 2\)).

- Notiere zuerst den ausgeschlossenen Nennerwert. - Multipliziere die gesamte Gleichung mit dem gemeinsamen Nenner. - Prüfe den berechneten Kandidaten gegen \(D\), bevor du \(L\) festlegst.

1. Wegen \(x-4\neq0\) gilt \(D=\mathbb{Q}\setminus\{4\}\). 2. Multiplikation mit \(x-4\) ergibt \(x+2(x-4)=4\). 3. Daraus folgt \(3x-8=4\), also \(x=4\). 4. Da \(4\notin D\), ist der einzige rechnerische Kandidat ausgeschlossen. Somit gilt \(L=\emptyset\).

\(D=\mathbb{Q}\setminus\{4\}\); \(L=\emptyset\)

- Was darfst du für \(x\) nicht einsetzen, damit man nicht durch null teilt? - Wie kannst du die Brüche „eliminieren“, indem du beide Seiten mit den Nennern multiplizierst? - Achte beim Auflösen der Klammern besonders auf die Vorzeichen. - Prüfe am Ende, ob dein Ergebnis in der erlaubten Zahlenmenge liegt.

1. Definitionsmenge bestimmen: Über \(\mathbb{Q}\) gilt \(x \neq -2\) und \(x \neq 1\), da die Nenner nicht null werden dürfen. 2. Gleichung mit den Nennern multiplizieren (Überkreuzmultiplikation): \((2x-3)(x-1) = (2x+1)(x+2)\). 3. Klammern auflösen: \(2x^2 - 2x - 3x + 3 = 2x^2 + 4x + x + 2\). 4. Terme zusammenfassen: \(2x^2 - 5x + 3 = 2x^2 + 5x + 2\). 5. \(2x^2\) auf beiden Seiten subtrahieren: \(-5x + 3 = 5x + 2\). 6. Nach \(x\) auflösen: \(1 = 10x \implies x = 0{,}1\). 7. Abgleich mit der Definitionsmenge: \(0{,}1\) ist in der Definitionsmenge enthalten.

\(D=\mathbb{Q}\setminus\{-2;1\}\); \(L=\{0{,}1\}\)

- Was passiert mit einem Bruch, wenn Zähler und Nenner den gleichen Wert haben? - Wie kannst du ausdrücken, dass ein veränderter Bruch denselben Wert hat wie der ursprüngliche? - Kannst du die Gleichung in Teil c) so umformen, dass kein Bruch mehr vorkommt?

a) Einsetzen von \(x = 5\): \(\frac{5}{5+10} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}\). b) Sei \(k\) die Vergrößerung des Zählers. Ansatz: \(\frac{x+k}{x+10} = 1\). Damit der Wert 1 ist, müssen Zähler und Nenner gleich sein: \(x+k = x+10\). Daraus folgt \(k = 10\). c) Ansatz: Der ursprüngliche Bruch \(\frac{x}{x+10}\) soll gleich dem neuen Bruch \(\frac{2x}{(x+10)+15}\) sein. 1. Gleichung aufstellen: \(\frac{x}{x+10} = \frac{2x}{x+25}\). 2. Über-Kreuz-Multiplizieren: \(x \cdot (x+25) = 2x \cdot (x+10)\). 3. Ausmultiplizieren: \(x^2 + 25x = 2x^2 + 20x\). 4. Umformen zur quadratischen Gleichung: \(x^2 - 5x = 0\). 5. Faktorisieren: \(x \cdot (x-5) = 0\). 6. Da \(x \neq 0\) gesucht ist, ergibt sich \(x = 5\).

a) \(\frac{1}{3}\) b) um 10 c) \(x = 5\)

- Welche Werte darf \(x\) auf keinen Fall annehmen? - Wie kannst du die Nenner faktorisieren, um einen gemeinsamen Hauptnenner zu bestimmen? - Was musst du tun, nachdem du einen Wert für \(x\) berechnet hast?

1. Definitionsmenge bestimmen: Die Nenner dürfen nicht null werden. \(x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2\) und \(x \neq 0\). Da \(x^2-2x = x(x-2)\), sind dies die einzigen Einschränkungen. \(D = \mathbb{Q} \setminus \{0; 2\}\). 2. Hauptnenner finden: Der Hauptnenner ist \(x(x-2)\). 3. Gleichung mit dem Hauptnenner multiplizieren: \(3x - 1(x-2) = 2\). 4. Klammern auflösen: \(3x - x + 2 = 2\). 5. Zusammenfassen: \(2x + 2 = 2\). 6. Nach \(x\) auflösen: \(2x = 0 \Rightarrow x = 0\). 7. Abgleich mit der Definitionsmenge: Der Wert \(x = 0\) ist in der Definitionsmenge nicht enthalten, da er einen Nenner der ursprünglichen Gleichung zu null machen würde. 8. Ergebnis: Die Lösungsmenge ist leer: \(L = \emptyset\).

\(L = \emptyset\) (oder die leere Menge)

- Bestimme zuerst mit \(f\) den gemeinsamen Funktionswert an der gegebenen Stelle. - Prüfe vor dem Umformen, für welchen Parameterwert der Nenner von \(g(2)\) null wäre. - Setze danach die Schnittpunktbedingung \(f(2)=g(2)\) als Gleichung für \(a\) um.

1. Es ist \(f(2)=\frac{6}{2}=3\). Der gemeinsame Punkt hat also die Koordinaten \((2\mid3)\). 2. Für \(g(2)=\frac{3}{2+a}\) muss zunächst \(2+a\neq0\) gelten, also \(a\neq-2\). 3. Wegen des Schnittpunkts gilt \(\frac{3}{2+a}=3\). 4. Für den zulässigen Nenner folgt \(3=3(2+a)\), also \(1=2+a\) und damit \(a=-1\). 5. Der Wert \(a=-1\) erfüllt die Bedingung \(a\neq-2\).

\(a=-1\)

- Welche Faktoren enthält jeder Summand im Zähler des Bruchterms? - Beachte die Definitionsbedingung, bevor du einen Variablenfaktor kürzt. - Vereinfache zuerst den Bruchterm und löse danach die verbleibende Gleichung.

1. Wegen \(y\ne0\) darf der Quotient vereinfacht werden: \((18y^2-9y):(9y)=2y-1\). 2. Damit lautet die Gleichung \(14+2y-1=20\), also \(13+2y=20\). 3. Subtraktion von \(13\) ergibt \(2y=7\). 4. Division durch \(2\) liefert \(y=3{,}5\). Dieser Wert erfüllt \(y\ne0\).

\(y = 3{,}5\); die Lösung ist zulässig, da \(y \ne 0\) gilt.

- Vereinfache die beiden Bruchterme zunächst unabhängig voneinander. - Beachte die Definitionsbedingung, bevor du Variablenfaktoren kürzt. - Achte nach dem Kürzen besonders auf das Minuszeichen zwischen den beiden Termen. - Löse erst die vereinfachte Gleichung und prüfe anschließend die Definitionsbedingung.

1. Wegen \(x\ne0\) gilt \((15x^2+10x):(5x)=3x+2\). 2. Ebenso gilt \((12x^2-18x):(6x)=2x-3\). 3. Die vereinfachte Gleichung lautet \((3x+2)-(2x-3)=1\). 4. Auflösen der Minusklammer ergibt \(3x+2-2x+3=1\), also \(x+5=1\). 5. Subtraktion von \(5\) führt zu \(x=-4\). Dieser Wert erfüllt die Definitionsbedingung.

\(x = -4\); die Lösung ist zulässig, da \(x \ne 0\) gilt.

- Anzahl der Umdrehungen ist Strecke geteilt durch Radumfang. - Beide Räder legen dieselbe Strecke zurück, haben aber verschiedene Umdrehungszahlen. - Welche der beiden Umdrehungszahlen ist um 15 größer?

1. Die Umdrehungszahlen sind \(s:20\) und \(s:30\). 2. Die Differenzbedingung ergibt \(\frac{s}{20}=\frac{s}{30}+15\). 3. Multiplikation mit 60 ergibt \(3s=2s+900\), also \(s=900\,\text{cm}\). 4. Das sind \(9\,\text{m}\).

Gleichung: \(\frac{s}{20}=\frac{s}{30}+15\). Daraus folgt \(s=900\,\text{cm}=9\,\text{m}\).

- Könnte es helfen, die komplizierten Brüche durch einfache Buchstaben zu ersetzen? - Was passiert, wenn du die beiden Gleichungen direkt addierst? - Wie kommst du von den Hilfsvariablen zurück zu den ursprünglichen Unbekannten?

1. Definitionsbedingungen: \(x\neq-2\) und \(y\neq3\). 2. Setze \(u=\frac{1}{x+2}\) und \(v=\frac{1}{y-3}\). Dann gilt \(u+v=\frac34\) und \(u-v=\frac14\). 3. Addition der Gleichungen: \(2u=1\), also \(u=\frac12\). 4. Subtraktion der zweiten von der ersten Gleichung: \(2v=\frac12\), also \(v=\frac14\). 5. Rücksubstitution: \(\frac{1}{x+2}=\frac12\Rightarrow x=0\) und \(\frac{1}{y-3}=\frac14\Rightarrow y=7\). 6. Beide Werte erfüllen die Definitionsbedingungen.

\(L=\{(0 \mid 7)\}\), mit \(x\neq-2\) und \(y\neq3\).

- Schreibe die gleiche Zaunlänge einmal mit der manuellen und einmal mit der Gerätegeschwindigkeit. - Die manuelle Arbeitszeit ist um 2 Stunden länger als \(x\). - Gleichgesetzt werden die zurückgelegten Längen, nicht die Geschwindigkeiten.

1. Mit Gerät beträgt die Länge \(20x\), manuell \(12(x+2)\). 2. Dieselbe Zaunlänge führt zu \(20x=12(x+2)\). 3. Daraus folgt \(20x=12x+24\), also \(x=3\). 4. Die Länge beträgt \(20\cdot3=60\,\text{m}\).

Gleichung: \(20x=12(x+2)\). Mit Sprühgerät dauert die Arbeit 3 Stunden; der Zaun ist \(60\,\text{m}\) lang.

- Kannst du die komplizierten Ausdrücke in den Nennern durch einfache Buchstaben ersetzen? - Versuche das System erst für diese neuen Buchstaben zu lösen. - Wenn du die Werte für die Hilfsvariablen hast, wie kommst du dann zurück zu den ursprünglichen Unbekannten? - Achte darauf, dass du am Ende zwei einfache lineare Gleichungen erhältst.

1. Definitionsbedingungen: \(x+y\neq0\) und \(x-y\neq0\). 2. Setze \(u=\frac{1}{x+y}\) und \(v=\frac{1}{x-y}\). Dann gilt \(3u+4v=1\) und \(5u-2v=0{,}8\). 3. Multipliziere die zweite Gleichung mit \(2\): \(10u-4v=1{,}6\). Addition mit der ersten Gleichung liefert \(13u=2{,}6\), also \(u=0{,}2\). 4. Einsetzen in die erste Gleichung: \(0{,}6+4v=1\Rightarrow v=0{,}1\). 5. Rücksubstitution: \(x+y=5\) und \(x-y=10\). 6. Addition ergibt \(2x=15\), also \(x=7{,}5\); anschließend \(y=-2{,}5\). 7. Die Lösung erfüllt beide Definitionsbedingungen.

\(L=\{(7{,}5 \mid -2{,}5)\}\)

- Gibt es eine Zahl, deren Quadrat addiert mit 1 Null ergibt? - Überprüfe bei jedem gefundenen Kandidaten für \(x\), ob der gesamte Term an dieser Stelle überhaupt definiert ist. - Was passiert, wenn eine Zahl gleichzeitig den Zähler und den Nenner auf Null bringt? - Löse die Gleichung im Zähler und vergleiche das Ergebnis mit den Werten, die im Nenner verboten sind.

1. Ein Bruchterm ist Null, wenn der Zähler Null ist, der zugehörige \(x\)-Wert aber im Definitionsbereich liegt (Nenner \(\neq 0\)). 2. Bei \( \frac{x^2 + 1}{x - 1} \) müsste \(x^2 + 1 = 0\) gelten, also \(x^2 = -1\). Da Quadrate reeller Zahlen nie negativ sind, hat diese Gleichung keine Lösung. Der Term kann nicht Null werden. 3. Bei \( \frac{(x - 4)(x + 2)}{x - 4} \) wird der Zähler für \(x = 4\) und \(x = -2\) zu Null. Da der Nenner \(x - 4\) für \(x = 4\) jedoch Null wird, ist dieser Wert nicht definiert. Die einzige Lösung ist \(x = -2\). 4. Bei \( \frac{0{,}5x - 2}{x^2 - 16} \) führt der Zähler \(0{,}5x - 2 = 0\) zu \(x = 4\). Setzt man \(x = 4\) in den Nenner \(x^2 - 16\) ein, erhält man \(4^2 - 16 = 0\). Da der Nenner Null wird, ist der Term für diesen Wert nicht definiert. Es gibt keinen Wert von \(x\), für den der Term null wird.

1) Keine Lösung (Zähler \(x^2 + 1\) wird nie Null); 2) \(x = -2\); 3) Keine Lösung (Zählernullstelle \(x = 4\) macht auch den Nenner zu Null).

- Beschreibe zunächst nur, was du im dargestellten Ausschnitt beobachten kannst. - Eine grafische Beobachtung in einem endlichen Ausschnitt ist noch kein Beweis für alle zulässigen Werte. - Vergleiche anschließend die beiden Funktionsterme algebraisch und trenne diese Entscheidung von der Beobachtung im Diagramm.

1. Im dargestellten Ausschnitt ist kein Schnittpunkt zu sehen. Das legt die Vermutung nahe, dass die Gleichung keine Lösung besitzt. 2. Beide Funktionsterme sind für \(x\neq1\) definiert, also ist \(D=\mathbb{Q}\setminus\{1\}\). 3. Algebraisch lautet die Gleichung \(\frac{2}{x-1}=\frac{2}{x-1}+1\). 4. Subtraktion von \(\frac{2}{x-1}\) auf beiden Seiten ergibt für jeden Wert aus \(D\) die falsche Aussage \(0=1\). 5. Daher gilt \(L=\emptyset\). Die algebraische Entscheidung bestätigt die Vermutung aus dem dargestellten Ausschnitt.

Im dargestellten Ausschnitt ist kein Schnittpunkt zu sehen; algebraisch folgt \(L=\emptyset\).

- Suche im Diagramm nach allen Stellen, an denen sich die beiden Kurven kreuzen. - Nutze die ganzzahligen Rasterlinien, um die Koordinaten abzulesen. - Prüfe jeden abgelesenen \(x\)-Wert getrennt in beiden Seiten der Gleichung.

1. Aus dem Diagramm lassen sich die Schnittpunkte \(S_1(-3\mid-2)\) und \(S_2(2\mid3)\) ablesen. 2. Für \(x=-3\) gilt \(\frac{6}{-3}=-2\) und \(-3+1=-2\). Der Wert erfüllt die Gleichung. 3. Für \(x=2\) gilt \(\frac{6}{2}=3\) und \(2+1=3\). Auch dieser Wert erfüllt die Gleichung. 4. Beide Werte sind zulässig, da nur \(x=0\) ausgeschlossen ist. Somit ist \(L=\{-3;2\}\).

\(S_1(-3\mid-2)\), \(S_2(2\mid3)\); \(L=\{-3;2\}\).

- Wenn ein Punkt auf einem Graphen liegt, müssen seine Koordinaten die Funktionsgleichung erfüllen. - Was passiert mit dem Abstand der beiden Kurven, wenn \(x\) immer größer wird? - Wie viele Lösungen kann eine einfache Gleichung der Form \(\frac{a}{x} = c\) maximal haben?

1. Schnittpunkt \(f\) und \(g\): \(\frac{12}{x} = \frac{3}{x} + 1{,}5\). 2. Umformen: \(\frac{9}{x} = 1{,}5 \Rightarrow 1{,}5x = 9 \Rightarrow x = 6\). 3. \(y\)-Wert: \(f(6) = \frac{12}{6} = 2\). Der Punkt ist \(P(6 \mid 2)\). 4. Bestimmung von \(m\): Einsetzen von \(P\) in \(h(x)\): \(2 = m \cdot 6 - 1\). 5. Lösen nach \(m\): \(3 = 6m \Rightarrow m = 0{,}5\). 6. Begründung: Die Differenzfunktion \(d(x) = f(x) - g(x) = \frac{9}{x} - 1{,}5\) ist im Bereich \(x > 0\) streng monoton fallend. Da sie nur eine Nullstelle besitzt, gibt es nur einen Schnittpunkt. Alternativ: Die Umformung führt auf eine lineare Gleichung mit genau einer Lösung.

a) Der Schnittpunkt ist \(P(6 \mid 2)\). b) Die Steigung ist \(m = 0{,}5\). c) Die Gleichung \(\frac{9}{x} = 1{,}5\) ist eine einfache Bruchgleichung, die nach Multiplikation mit \(x\) eine lineare Gleichung ergibt, welche im Definitionsbereich genau eine Lösung hat.

- Bestimme zuerst, welche Werte wegen der Nenner ausgeschlossen sind. - Führe die algebraische Umformung anschließend unter diesen Definitionsbedingungen durch. - Prüfe jeden rechnerisch erhaltenen Wert am Ende gegen die ursprüngliche Definitionsmenge.

1. Die Nenner dürfen nicht null sein. Aus \(x^2-16=0\) folgen \(x=4\) und \(x=-4\); aus \(x+2=0\) folgt \(x=-2\). Daher ist \(D = \mathbb{Q} \setminus \{-4; -2; 4\}\). 2. Über-Kreuz-Multiplizieren ergibt \((x-4)(x+2)=x^2-16\). 3. Ausmultiplizieren liefert \(x^2-2x-8=x^2-16\). 4. Nach Subtraktion von \(x^2\) folgt \(-2x-8=-16\), also \(-2x=-8\) und \(x=4\). 5. Dieser rechnerische Wert ist nicht zulässig, weil \(4\notin D\). Er würde den Nenner \(x^2-16\) zu null machen. 6. Da kein weiterer Wert aus der Gleichungsumformung entsteht, ist \(L=\emptyset\).

\(D = \mathbb{Q} \setminus \{-4; -2; 4\}\). Der einzige rechnerisch erhaltene Wert ist \(x=4\), aber \(4\notin D\). Daher ist \(L=\emptyset\).

- Achte genau darauf, worauf sich der negative Exponent bezieht – auf eine Klammer oder nur auf ein einzelnes Zeichen. - Wie bestimmt man den Kehrwert einer Dezimalzahl? - Überlege dir, welche Vorzeichen das Ergebnis einer Quadratzahl haben kann.

1. Teilaufgabe a): Der Term \((x-5)^{-1}\) entspricht \(\frac{1}{x-5}\). Der Nenner darf nicht null sein, also \(x \neq 5\). Definitionsmenge \(D = \mathbb{Q} \setminus \{5\}\). Die Gleichung \(\frac{1}{x-5} = 0{,}2\) wird zu \(1 = 0{,}2(x-5)\). Ausmultiplizieren ergibt \(1 = 0{,}2x - 1\), also \(2 = 0{,}2x\). Daraus folgt \(x = 10\). Da \(10 \in D\), ist \(L = \{10\}\). 2. Teilaufgabe b): Der Term \(x^{-1} - 5^{-1}\) entspricht \(\frac{1}{x} - \frac{1}{5}\). Hier darf \(x\) nicht \(0\) sein, also \(D = \mathbb{Q} \setminus \{0\}\). Die Gleichung lautet \(\frac{1}{x} - 0{,}2 = 0{,}2\), was zu \(\frac{1}{x} = 0{,}4\) führt. Umstellen ergibt \(x = \frac{1}{0{,}4} = 2{,}5\). Da \(2{,}5 \in D\), ist \(L = \{2{,}5\}\). 3. Teilaufgabe c): Der Term \(x^{-2}\) ist gleich \(\frac{1}{x^2}\). Da Quadratzahlen rationaler Zahlen (außer der Null) stets positiv sind, ist auch ihr Kehrwert stets positiv. Ein positiver Wert kann niemals gleich \(-1\) sein.

a) \(D = \mathbb{Q} \setminus \{5\}\); \(L = \{10\}\) b) \(D = \mathbb{Q} \setminus \{0\}\); \(L = \{2{,}5\}\) c) Ein Quadrat \(x^2\) ist für alle \(x \in \mathbb{Q} \setminus \{0\}\) stets positiv, daher ist auch der Kehrwert \(x^{-2}\) stets positiv und kann nicht \(-1\) sein.

- Setze die Funktionsterme gleich, um mögliche gemeinsame Punkte zu finden. - Denk an die binomischen Formeln, wenn du Klammern auflöst. - Was bedeutet es für die Graphen, wenn eine Gleichung keine Lösung hat?

1. Definitionsmenge festlegen: \( D = \mathbb{Q} \setminus \{0; 2\} \). 2. Gleichsetzen der Terme: \( \frac{x+2}{x} = \frac{x}{x-2} \). 3. Multiplikation mit dem Hauptnenner \( x(x-2) \): \( (x+2)(x-2) = x \cdot x \). 4. Anwendung der dritten binomischen Formel auf der linken Seite: \( x^2 - 4 = x^2 \). 5. Subtraktion von \( x^2 \) auf beiden Seiten: \( -4 = 0 \). 6. Interpretation: Die Gleichung führt auf einen Widerspruch (falsche Aussage). 7. Da die Gleichung keine Lösung besitzt, existiert kein Schnittpunkt.

Die Graphen schneiden sich nicht. Die zugehörige Bruchgleichung führt auf den Widerspruch \( -4 = 0 \), woraus folgt, dass es keine Lösung und somit keinen Schnittpunkt gibt.

- Was ist der erste Schritt, um eine Variable aus dem Nenner eines Bruchs zu entfernen? - Wie hängen \(x\) und \(k\) zusammen? Kannst du \(x\) alleine auf eine Seite der Gleichung bringen? - Schau dir den Nenner der ursprünglichen Aufgabe an. Was darf dort niemals stehen?

1. Auflösen nach \(x\): Multiplikation mit \(x\) (wobei \(x \neq 0\)) ergibt \(2x + k = 5x\). Subtraktion von \(2x\) führt zu \(k = 3x\). Division durch \(3\) ergibt \(x = \frac{k}{3}\). 2. Bestimmung von \(k\) für \(x = 2\): Einsetzen von \(x = 2\) in \(x = \frac{k}{3}\) ergibt \(2 = \frac{k}{3} \implies k = 6\). 3. Bedingung für \(k\): Da \(x\) im Nenner der ursprünglichen Gleichung steht, muss \(x \neq 0\) gelten. Da \(x = \frac{k}{3}\) ist, folgt aus \(\frac{k}{3} \neq 0\), dass \(k \neq 0\) sein muss. Wenn \(k = 0\) wäre, gäbe es keine Lösung für \(x\).

a) \(x = \frac{k}{3}\). b) Die Lösung ist \(x = 2\), wenn \(k = 6\) ist. c) Es muss \(k \neq 0\) gelten. Da \(x = \frac{k}{3}\) ist, wäre für \(k = 0\) auch \(x = 0\). Da \(x\) jedoch im Nenner steht, ist \(0\) kein erlaubter Wert für \(x\).

- Zerlege den quadratischen Nenner zuerst in Faktoren und bestimme daraus \(D\). - Multipliziere anschließend jeden Term der Gleichung mit einem gemeinsamen Nenner. - Prüfe den berechneten Kandidaten gegen \(D\), bevor du \(L\) angibst.

1. Es gilt \(x^2-x=x(x-1)\). Daher ist \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0;1\}\). 2. Multiplikation mit dem Hauptnenner \(x(x-1)\) ergibt \(x(x+1)-x(x-1)=2\). 3. Nach dem Ausmultiplizieren folgt \(2x=2\), also \(x=1\). 4. Da \(1\notin D\), ist dieser Kandidat ausgeschlossen. Somit gilt \(L=\emptyset\).

\(D=\mathbb{Q}\setminus\{0;1\}\); \(L=\emptyset\)

- Wie hängen Zähler und Nenner allgemein zusammen, wenn ein Bruch den Wert \(\frac{1}{2}\) hat? - Was muss zwischen Zähler und Nenner gelten, damit der veränderte Bruch den Wert \(1\) hat? - Prüfe, ob die daraus folgende Bedingung mit einem zulässigen ursprünglichen Bruch vereinbar ist.

1. Ein Bruch mit dem Wert \(\frac{1}{2}\) kann als \(\frac{k}{2k}\) mit \(k\in\mathbb{N}\), \(k>0\), beschrieben werden. 2. Nach Addition von \(n\) lautet die Bedingung \(\frac{k+n}{2k+n}=1\). 3. Da der Nenner positiv und damit zulässig ist, folgt \(k+n=2k+n\), also \(k=0\). 4. Dies widerspricht \(k>0\). Daher gibt es keinen solchen Bruch.

Es gibt keinen solchen Bruch; die Bedingung würde \(k=0\) erzwingen, obwohl für einen Bruch mit dem Wert \(\frac{1}{2}\) hier \(k>0\) gelten muss.

- Bestimme die Definitionsmenge, bevor du den gemeinsamen Faktor kürzt. - Eine nach dem Umformen entstehende wahre Identität gilt für alle Werte, für die die ursprüngliche Gleichung definiert war. - Vergleiche Annas Aussage „jede rationale Zahl“ deshalb mit \(D\).

1. Der Nenner wird bei \(x=2\) null. Daher ist \(D=\mathbb{Q}\setminus\{2\}\). 2. Für \(x\in D\) gilt \(\frac{2(x-2)}{x-2}=2\). Nach dem Kürzen bleibt die wahre Identität \(2=2\). 3. Die Gleichung ist somit für jeden Wert aus \(D\) erfüllt, aber nicht für den ausgeschlossenen Wert \(2\). 4. Ben hat recht und \(L=\mathbb{Q}\setminus\{2\}\).

Ben hat recht. \(D=\mathbb{Q}\setminus\{2\}\) und \(L=\mathbb{Q}\setminus\{2\}\).

- Kannst du die Terme im Nenner als Ganzes betrachten? - Gibt es ein Verfahren, um die Brüche komplett zu eliminieren, bevor du nach \(x\) und \(y\) suchst? - Hast du nach der ersten Lösung daran gedacht, dass du noch die ursprünglichen Variablen finden musst? - Prüfe am Ende, ob deine Werte die Nenner nicht null werden lassen.

1. Definitionsbedingungen: \(x+2y\neq0\) und \(2x-y\neq0\). 2. Setze \(u=\frac{1}{x+2y}\) und \(v=\frac{1}{2x-y}\). Dann entsteht das lineare System \(10u+5v=3\) und \(5u-10v=-1\). 3. Multipliziere die erste Gleichung mit \(2\): \(20u+10v=6\). Addieren mit der zweiten Gleichung ergibt \(25u=5\), also \(u=\frac15=0{,}2\). 4. Einsetzen in die erste Gleichung: \(2+5v=3\), somit \(v=\frac15=0{,}2\). 5. Rücksubstitution: \(x+2y=5\) und \(2x-y=5\). 6. Multipliziere die zweite Gleichung mit \(2\) und addiere: \(5x=15\), also \(x=3\). Dann folgt \(y=1\). 7. Die Lösung erfüllt beide Definitionsbedingungen.

\(L=\{(3 \mid 1)\}\)

- Welche Formel verbindet Weg, Zeit und Geschwindigkeit? - Wie verändert sich die Geschwindigkeit des Bootes, wenn es mit oder gegen die Strömung fährt? - Kannst du die Gesamtfahrzeit als Summe zweier einzelner Zeitabschnitte darstellen? - Es könnte hilfreich sein, zuerst die Geschwindigkeiten relativ zum Ufer als unbekannte Größen zu behandeln. - Erinnerst du dich an ein Verfahren, um Gleichungen mit Variablen im Nenner einfacher zu lösen?

1. Definition der Variablen: \(v_b\) als Eigengeschwindigkeit des Bootes und \(v_s\) als Strömungsgeschwindigkeit des Wassers. 2. Bestimmung der Geschwindigkeiten relativ zum Ufer: mit der Strömung \(x = v_b + v_s\), gegen die Strömung \(y = v_b - v_s\). 3. Aufstellen des Gleichungssystems basierend auf \(t = \frac{s}{v}\): \(\frac{60}{x} + \frac{36}{y} = 6\) und \(\frac{40}{x} + \frac{60}{y} = 7\). 4. Substitution zur Vereinfachung (\(u = \frac{1}{x}\), \(w = \frac{1}{y}\)): \(60u + 36w = 6\) und \(40u + 60w = 7\). 5. Lösen des linearen Systems: Aus der ersten Gleichung folgt \(10u + 6w = 1 \Rightarrow w = \frac{1 - 10u}{6}\). Einsetzen in die zweite Gleichung: \(40u + 60 \cdot \frac{1 - 10u}{6} = 7 \Rightarrow 40u + 10 - 100u = 7 \Rightarrow -60u = -3 \Rightarrow u = \frac{1}{20}\). Daraus folgt \(w = \frac{1 - 0{,}5}{6} = \frac{1}{12}\). 6. Rücksubstitution: \(x = 20\,\text{km/h}\) und \(y = 12\,\text{km/h}\). 7. Berechnung der gesuchten Werte: \(v_b = \frac{20 + 12}{2} = 16\,\text{km/h}\) und \(v_s = 20 - 16 = 4\,\text{km/h}\).

Die Eigengeschwindigkeit des Dampfers beträgt \(16\,\text{km/h}\) und die Strömungsgeschwindigkeit des Flusses beträgt \(4\,\text{km/h}\).

- Was passiert, wenn du die gesamten Nenner als neue Variablen betrachtest? - Welches Verfahren eignet sich am besten, um eine der Variablen zu eliminieren, nachdem du substituiert hast? - Vergiss nicht, nach der ersten Lösung die Kehrwerte zu bilden, um die Gleichungen für die gesuchten Variablen aufzustellen. - Prüfe dein Ergebnis am Ende durch Einsetzen in die Originalgleichungen.

1. Definitionsbedingungen: \(3a+b\neq0\) und \(a+2b\neq0\). 2. Setze \(u=\frac{1}{3a+b}\) und \(v=\frac{1}{a+2b}\). Dann gilt \(21u+8v=5\) und \(14u-12v=-1\). 3. Multipliziere die erste Gleichung mit \(2\) und die zweite mit \(3\): \(42u+16v=10\) und \(42u-36v=-3\). 4. Subtraktion ergibt \(52v=13\), also \(v=\frac14\). 5. Einsetzen: \(21u+2=5\Rightarrow u=\frac17\). 6. Rücksubstitution: \(3a+b=7\) und \(a+2b=4\). 7. Aus \(a=4-2b\) folgt \(3(4-2b)+b=7\Rightarrow b=1\) und damit \(a=2\). 8. Die Lösung erfüllt beide Definitionsbedingungen.

\(L=\{(2 \mid 1)\}\) für das geordnete Paar \((a \mid b)\).

- Bestimme die Definitionsmenge vor dem Kürzen. - Eine zulässige Umformung kann einen rechnerischen Kandidaten erzeugen, der für den ursprünglichen Term trotzdem verboten ist. - Trenne deshalb die Frage nach dem Rechenweg von der abschließenden Prüfung des Kandidaten.

1. Im ursprünglichen Term darf \(x-2\) nicht null sein. Daher ist \(D=\mathbb{Q}\setminus\{2\}\). 2. Für Werte aus \(D\) ist das Kürzen von \(x-2\) zulässig und die Gleichung wird zu \(x+2=4\). 3. Diese Gleichung liefert den einzigen Kandidaten \(x=2\). 4. Der Kandidat liegt jedoch nicht in \(D\). Daher ist er keine Lösung der ursprünglichen Bruchgleichung. 5. Omar hat recht und \(L=\emptyset\). Kiras Umformung war nur unter der bereits notwendigen Bedingung \(x\neq2\) zulässig; ihr Fehler liegt im fehlenden abschließenden Abgleich mit \(D\).

Omar hat recht. \(D=\mathbb{Q}\setminus\{2\}\) und \(L=\emptyset\).

- Was ist der Hauptnenner der drei Brüche in der Gleichung? - Erinnere dich an die dritte binomische Formel, um die Nenner zu vergleichen. - Welche Werte für \(x\) sind nicht erlaubt, da sie den Nenner zu Null machen würden? - Musst du bei der Auflösung nach \(x\) unterscheiden, ob der Platzhalter \(a\) den Wert Null hat?

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Die Nenner dürfen nicht Null werden, daher gilt \(x \neq a\) und \(x \neq -a\). 2. Bringen der linken Seite auf den Hauptnenner \(x^2 - a^2\): \(\frac{a(x+a) + a(x-a)}{(x-a)(x+a)} = \frac{ax + a^2 + ax - a^2}{x^2 - a^2} = \frac{2ax}{x^2 - a^2}\). 3. Gleichsetzen der Zähler der linken und rechten Seite: \(2ax = a^2\). 4. Fallunterscheidung für den Parameter \(a\): - Wenn \(a \neq 0\): Division der Gleichung \(2ax = a^2\) durch \(2a\) ergibt \(x = \frac{a}{2}\). Prüfung der Definitionsmenge: Für \(a \neq 0\) ist \(\frac{a}{2} \neq a\) und \(\frac{a}{2} \neq -a\). - Wenn \(a = 0\): Die ursprüngliche Gleichung wird zu \(0 + 0 = 0\), was für alle \(x\) aus der Definitionsmenge (\(x \neq 0\)) eine wahre Aussage ist.

Für \(a \neq 0\) ist \(x = \frac{a}{2}\). Wenn \(a = 0\), ist \(x\) eine beliebige Zahl außer \(0\).

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Masse, Volumen und Dichte. - Wie berechnet man das Volumen einer Teilmenge, wenn Masse und Dichte gegeben sind? - Das Gesamtsystem sieht zunächst nicht linear aus. Könnte eine Ersetzung (Substitution) helfen, die Brüche zu eliminieren? - Was passiert, wenn du für die Kehrwerte der Dichten neue Buchstaben einsetzt?

1. Unter der Annahme additiver Volumina gilt mit \(V=\frac{m}{\rho}\): I: \(\frac{100}{\rho_1}+\frac{100}{\rho_2}=150\) II: \(\frac{120}{\rho_1}+\frac{40}{\rho_2}=100\). 2. Setze \(u=\frac{1}{\rho_1}\) und \(v=\frac{1}{\rho_2}\): I: \(100u+100v=150\Rightarrow u+v=1{,}5\) II: \(120u+40v=100\Rightarrow3u+v=2{,}5\). 3. Subtraktion: \((3u+v)-(u+v)=2{,}5-1{,}5\Rightarrow2u=1\Rightarrow u=0{,}5\). 4. Dann gilt \(v=1\). 5. Rücksubstitution: \(\rho_1=\frac1u=2\) und \(\rho_2=\frac1v=1\). 6. Somit \(\rho_1=2\,\text{g/cm}^3\) und \(\rho_2=1\,\text{g/cm}^3\).

Die Dichte der ersten Flüssigkeit beträgt \(2\,\text{g/cm}^3\), die der zweiten Flüssigkeit \(1\,\text{g/cm}^3\).