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- Eine Gleichung muss die Gesamtzahl der beantworteten Aufgaben ausdrücken. - Achte in der Punktegleichung auf das Vorzeichen für falsche Antworten.

1. Weil alle Aufgaben entweder richtig oder falsch beantwortet wurden, gilt \(r+f=12\). 2. Die Punktebilanz ist \(2r-f=18\), weil falsche Antworten je einen Punkt abziehen. 3. Damit passt nur System A.

A: \(r+f=12\), \(2r-f=18\)

- Kannst du für beide Personen eine Variable festlegen? - Wie verändert sich die Anzahl der Karten bei jeder Person, wenn Karten getauscht werden? - Versuche, für jede der beiden Aussagen eine eigene Gleichung aufzustellen. - Was bedeutet „doppelt so viele“ mathematisch ausgedrückt? - Welches Verfahren eignet sich am besten, um das Gleichungssystem zu lösen?

1. Variablen festlegen: \(x\) für die Anzahl der Karten von Lukas, \(y\) für die Anzahl der Karten von Marie 2. Erste Bedingung (Lukas erhält 10 Karten): \(x + 10 = 2 \cdot (y - 10)\) 3. Zweite Bedingung (Marie erhält 10 Karten): \(x - 10 = y + 10\) 4. Zweite Gleichung nach \(x\) auflösen: \(x = y + 20\) 5. \(x\) in die erste Gleichung einsetzen: \((y + 20) + 10 = 2y - 20\) 6. Gleichung vereinfachen: \(y + 30 = 2y - 20\) 7. Nach \(y\) auflösen: \(y = 50\) 8. \(x\) berechnen: \(x = 50 + 20 = 70\)

Lukas hatte zu Beginn 70 Karten und Marie hatte 50 Karten.

- Übersetze „um \(5\) kleiner“ sorgfältig in einen Term. - Nutze anschließend die bereits gegebene Differenzbedingung zusammen mit der ausgewählten Gleichung. - Prüfe zum Schluss beide Aussagen des Zahlenrätsels.

1. „Das Doppelte der kleineren Zahl“ ist \(2y\). „Um \(5\) kleiner als die größere Zahl“ ist \(x-5\). Daher ist A korrekt: \(2y=x-5\). 2. Aus \(x-y=7\) folgt \(x=y+7\). 3. Einsetzen in \(2y=x-5\) ergibt \(2y=y+2\), also \(y=2\). 4. Damit ist \(x=9\).

a) A: \(2y=x-5\) b) \(x=9\), \(y=2\)

- Ordne jeder Zahl im Text zuerst ihre Bedeutung zu: Welche Zahl beschreibt eine Differenz, welche eine Summe? - Prüfe Nikos Gleichungen einzeln gegen die beiden Sätze im Text. - Die gefundenen Alter müssen sowohl die Altersdifferenz als auch die Summe erfüllen.

1. Die Differenz der Alter beträgt \(4\), nicht \(30\). Daher muss \(l-k=4\) gelten. 2. Die Summe der Alter beträgt \(30\). Daher gilt \(l+k=30\). 3. Addieren liefert \(2l=34\), also \(l=17\). 4. Damit ist \(k=13\).

Niko hat Summe und Differenz vertauscht. Richtig ist \(l-k=4\) und \(l+k=30\). Lena ist \(17\), Karim \(13\) Jahre alt.

- Kannst du für jede Information im Text (Anzahl Kisten, Anzahl Flaschen) eine eigene Gleichung aufstellen? - Wie hängen die Anzahl der Kisten und die Gesamtzahl der Flaschen zusammen? - Welches Verfahren kennst du, um zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten gleichzeitig zu lösen? - Überprüfe dein Ergebnis am Ende: Ergeben deine Kistenzahlen zusammen wirklich 11?

1. Definition der Variablen: \(x\) für die Anzahl der Limonaden-Kisten und \(y\) für die Anzahl der Wasser-Kisten. 2. Aufstellen des linearen Gleichungssystems: (I) \(x + y = 11\) (II) \(12x + 10y = 122\) 3. Auflösen von (I) nach \(y\): \(y = 11 - x\). 4. Einsetzen in (II): \(12x + 10 \cdot (11 - x) = 122\). 5. Vereinfachen der Gleichung: \(12x + 110 - 10x = 122 \Rightarrow 2x + 110 = 122\). 6. Lösen nach \(x\): \(2x = 12 \Rightarrow x = 6\). 7. Berechnen von \(y\): \(y = 11 - 6 = 5\). 8. Ergebnis: Es wurden 6 Limonaden-Kisten und 5 Wasser-Kisten geliefert.

Es wurden 6 Limonaden-Kisten und 5 Wasser-Kisten geliefert.

- Welche zwei Informationen über die Geldbeträge sind gegeben? - Schreibe die Zinssätze als Dezimalzahlen, um damit rechnen zu können. - Überlege, wie du die Gesamtsumme und die Gesamtzinsen in zwei getrennte Gleichungen übersetzt.

1. Variablen festlegen: \(x\) für den Betrag auf dem ersten Konto und \(y\) für den Betrag auf dem zweiten Konto. 2. Gleichungssystem aufstellen: I: \(x + y = 10\,000\) II: \(0{,}02x + 0{,}03y = 260\) 3. Gleichung I nach \(x\) umstellen: \(x = 10\,000 - y\). 4. In Gleichung II einsetzen: \(0{,}02 \cdot (10\,000 - y) + 0{,}03y = 260\). 5. Klammer auflösen und zusammenfassen: \(200 - 0{,}02y + 0{,}03y = 260 \implies 200 + 0{,}01y = 260\). 6. Nach \(y\) auflösen: \(0{,}01y = 60 \implies y = 6000\). 7. \(x\) berechnen: \(x = 10\,000 - 6000 = 4000\). Auf dem ersten Konto liegen \(4000\,\text{€}\) und auf dem zweiten \(6000\,\text{€}\).

Frau Müller hat \(4000\,\text{€}\) auf dem ersten Konto (\(2\,\%\)) und \(6000\,\text{€}\) auf dem zweiten Konto (\(3\,\%\)) angelegt.

- Lies genau, wer mehr Geld hat und wie dieser Unterschied mathematisch ausgedrückt werden kann. - Was bedeutet „verdoppeln“ und „verdreifachen“ für deine Variablen? - Wenn eine Variable bereits nach der anderen aufgelöst ist, bietet sich ein bestimmtes Lösungsverfahren besonders an.

1. Variablen festlegen: \(x\) für Jans Erspartes und \(y\) für Kims Erspartes. 2. Gleichungen aufstellen: I: \(x = y + 20\); II: \(2x + 3y = 240\). 3. Einsetzungsverfahren nutzen: Setze \(x\) aus Gleichung I in Gleichung II ein: \(2 \cdot (y + 20) + 3y = 240\). 4. Gleichung lösen: \(2y + 40 + 3y = 240 \implies 5y + 40 = 240 \implies 5y = 200 \implies y = 40\). 5. Wert für \(x\) berechnen: \(x = 40 + 20 = 60\).

Jan hat \(60\,\text{€}\) gespart und Kim hat \(40\,\text{€}\) gespart.

- Kannst du die Informationen aus dem Text in zwei mathematische Gleichungen übersetzen? - Welche Unbekannten suchen wir in dieser Aufgabe? - Wie verändern sich die Beträge im beschriebenen „Was-wäre-wenn“-Szenario? - Welches Verfahren kennst du, um zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten zu lösen?

1. Variablen festlegen: \(L\) für Leons Erspartes und \(M\) für Mias Erspartes. 2. Erste Gleichung aufstellen: \(L + M = 30\). 3. Zweite Bedingung als Gleichung formulieren: \(2L + 0{,}5M = 36\). 4. Einsetzungsverfahren anwenden: \(M = 30 - L\) in die zweite Gleichung einsetzen. 5. Berechnung: \(2L + 0{,}5 \cdot (30 - L) = 36 \implies 2L + 15 - 0{,}5L = 36 \implies 1{,}5L = 21\). 6. Ergebnis für \(L\): \(L = 14\). 7. Ergebnis für \(M\): \(M = 30 - 14 = 16\). Leon hat \(14\,\text{€}\) gespart und Mia \(16\,\text{€}\).

Leon hat \(14\,\text{€}\) gespart und Mia \(16\,\text{€}\).

- Wie drückt man eine prozentuale Zunahme oder Abnahme als Dezimalzahl aus? - Was bedeutet es für die Rechnung, wenn eine Größe um \(20\,\%\) wächst? - Stelle zwei Gleichungen auf: eine für die jetzige Situation und eine für die Prognose. - Achte darauf, dass die Anzahl der Schülerinnen und Schüler am Ende eine ganze Zahl sein muss.

1. Variablen festlegen: \(a\) für die Anzahl in 8a und \(b\) für die Anzahl in 8b. 2. Erste Gleichung: \(a + b = 60\). 3. Zweite Gleichung (prozentuale Änderung): \(1{,}2a + 0{,}8b = 62\). 4. Einsetzungsverfahren: \(b = 60 - a\) in die zweite Gleichung einsetzen. 5. Berechnung: \(1{,}2a + 0{,}8 \cdot (60 - a) = 62 \implies 1{,}2a + 48 - 0{,}8a = 62\). 6. Zusammenfassen: \(0{,}4a + 48 = 62 \implies 0{,}4a = 14\). 7. Ergebnis für \(a\): \(a = 14 : 0{,}4 = 35\). 8. Ergebnis für \(b\): \(b = 60 - 35 = 25\). Klasse 8a hat \(35\) Schülerinnen und Schüler, Klasse 8b hat \(25\) Schülerinnen und Schüler.

In Klasse 8a sind aktuell \(35\) Schülerinnen und Schüler und in Klasse 8b sind es \(25\) Schülerinnen und Schüler.

- Schreibe für jede der beiden Bedingungen eine eigene Gleichung auf. - Du hast nun ein System aus zwei Gleichungen. Kannst du eine Variable durch die andere ersetzen? - Wenn du einen Wert gefunden hast, kannst du ihn in eine der Gleichungen einsetzen, um den zweiten Wert zu finden.

1. Aufstellen der Gleichungen: Bedingung 1 ergibt \(x = 1{,}5y\). Bedingung 2 ergibt \(x + y = 35\). 2. Einsetzungsverfahren: Ersetze \(x\) in der zweiten Gleichung durch den Ausdruck aus der ersten Gleichung: \(1{,}5y + y = 35\). 3. Zusammenfassen: \(2{,}5y = 35\). 4. Berechnung von \(y\): \(y = 35 : 2{,}5 = 14\). 5. Berechnung von \(x\): Einsetzen in die erste Gleichung ergibt \(x = 1{,}5 \cdot 14 = 21\). 6. Überprüfung: \(21 + 14 = 35\) und \(21 : 14 = 1{,}5\).

Die Gleichungen lauten \(x = 1{,}5y\) und \(x + y = 35\). Das gesuchte Zahlenpaar ist \((21|14)\).

- Kannst du Variablen für die beiden unbekannten Alter festlegen? - Wie drücken wir das Alter der beiden in fünf Jahren aus? - Versuche, für jede Information im Text eine mathematische Beziehung aufzuschreiben. - Könntest du eine der Unbekannten durch die andere ersetzen, um nur noch eine Variable in der Gleichung zu haben?

1. Definition der Variablen: \(s\) für Sarahs heutiges Alter und \(v\) für das heutige Alter des Vaters. 2. Aufstellen der Gleichungen: Aus der ersten Bedingung folgt \(v = 3s\). In \(5\) Jahren sind sie \(s+5\) und \(v+5\) Jahre alt. Die zweite Bedingung lautet \(v + 5 = 2 \cdot (s + 5) + 6\). 3. Einsetzen von \(v = 3s\) in die zweite Gleichung: \(3s + 5 = 2s + 10 + 6\). 4. Zusammenfassen und Lösen nach \(s\): \(3s + 5 = 2s + 16 \implies s = 11\). 5. Berechnung von \(v\): \(v = 3 \cdot 11 = 33\). Sarah ist heute \(11\) Jahre alt und ihr Vater \(33\) Jahre.

Sarah ist \(11\) Jahre alt und ihr Vater ist \(33\) Jahre alt.

- Was passiert mit dem Geldbetrag einer Person, wenn sie etwas abgibt? Was passiert bei der Person, die es bekommt? - Kannst du die Bedingungen „doppelt so viel“ und „gleich viel“ in mathematische Zeichen übersetzen? - Stelle für jede der beiden Aussagen eine Gleichung auf. - Es hilft, die Gleichungen erst einmal zu vereinfachen, bevor du ein Lösungsverfahren wählst.

1. Variablen festlegen: \(a\) für Annas Erspartes und \(b\) für Bens Erspartes. 2. Modellieren der ersten Aussage: Erhält Anna \(15\,\text{€}\), hat sie \(a + 15\) und Ben \(b - 15\). Die Gleichung lautet \(a + 15 = 2 \cdot (b - 15)\). 3. Modellieren der zweiten Aussage: Gibt Anna \(5\,\text{€}\) ab, hat sie \(a - 5\) und Ben \(b + 5\). Die Gleichung lautet \(a - 5 = b + 5\). 4. Umformen des Systems: \(a - 2b = -45\) und \(a - b = 10\). 5. Lösen des Systems: Aus der zweiten Gleichung folgt \(a = b + 10\). Einsetzen in die erste: \((b + 10) - 2b = -45 \Rightarrow -b = -55 \Rightarrow b = 55\). 6. Berechnung von \(a\): \(a = 55 + 10 = 65\).

Anna hat \(65{,}00\,\text{€}\) und Ben hat \(55{,}00\,\text{€}\) gespart.

- Kannst du Variablen für die beiden Tierarten festlegen? - Welche Gleichung beschreibt die Gesamtzahl der Köpfe und welche die der Beine? - Überlege für Teil b), ob die Summe von geraden Zahlen jemals ungerade sein kann.

1. Variablen festlegen: \(x\) für die Anzahl der Hühner und \(y\) für die Anzahl der Schafe. 2. Gleichungssystem aufstellen: I: \(x + y = 25\) (Köpfe) und II: \(2x + 4y = 72\) (Beine). 3. Gleichung I nach \(x\) umstellen: \(x = 25 - y\). 4. Einsetzen in Gleichung II: \(2 \cdot (25 - y) + 4y = 72 \implies 50 - 2y + 4y = 72 \implies 2y = 22 \implies y = 11\). 5. \(x\) berechnen: \(x = 25 - 11 = 14\). Es gibt \(14\) Hühner und \(11\) Schafe. 6. Zu Teil b): Da sowohl Hühner als auch Schafe eine gerade Anzahl an Beinen haben, muss die Gesamtsumme der Beine immer eine gerade Zahl sein. \(75\) ist eine ungerade Zahl und daher als Ergebnis unmöglich.

a) Es sind 14 Hühner und 11 Schafe auf dem Bauernhof. b) Da jedes Tier eine gerade Anzahl an Beinen hat, muss auch die Gesamtzahl der Beine gerade sein. 75 ist jedoch ungerade.

- Kannst du die Sätze in mathematische Gleichungen mit zwei Variablen übersetzen? - Welches Verfahren (Einsetzen, Gleichsetzen oder Addieren) erscheint dir hier am einfachsten? - Wie kannst du eine der Variablen verschwinden lassen, indem du die Gleichungen geschickt multiplizierst? - Hast du am Ende geprüft, ob deine Zahlen beide Bedingungen aus dem Text erfüllen?

1. Aufstellen des Gleichungssystems mit den Zahlen \(x\) und \(y\): (I) \(2x + 3y = 50\) (II) \(5x - 2y = 11\) 2. Anwendung des Additionsverfahrens: Multiplikation von (I) mit \(2\) und (II) mit \(3\): (I') \(4x + 6y = 100\) (II') \(15x - 6y = 33\) 3. Addition der Gleichungen (I') und (II'): \(19x = 133\). 4. Berechnen von \(x\): \(x = 133 : 19 = 7\). 5. Einsetzen von \(x = 7\) in Gleichung (I): \(2 \cdot 7 + 3y = 50 \Rightarrow 14 + 3y = 50 \Rightarrow 3y = 36 \Rightarrow y = 12\). Die gesuchten Zahlen sind \(7\) und \(12\).

Die erste Zahl ist \(7\) und die zweite Zahl ist \(12\).

- Kannst du die Informationen aus dem Text in zwei mathematische Gleichungen übersetzen? - Welche Buchstaben (Variablen) könnten für die unbekannten Gewichte stehen? - Erinnere dich an Verfahren wie das Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren. Welches passt hier am besten? - Wie kannst du am Ende überprüfen, ob deine gefundenen Gewichte zu beiden Aussagen im Text passen?

1. Aufstellen des Gleichungssystems mit \(g\) für das Gewicht einer Goldkugel und \(s\) für das Gewicht einer Silbermünze: I: \(2g + 3s = 48\) II: \(3g + 2s = 57\) 2. Anwendung eines Lösungsverfahrens (z. B. Additionsverfahren): Multiplikation von I mit 3 und II mit 2 ergibt: I': \(6g + 9s = 144\) II': \(6g + 4s = 114\) 3. Subtraktion der Gleichungen (I' - II'): \(5s = 30\), woraus \(s = 6\) folgt. 4. Einsetzen von \(s = 6\) in Gleichung I: \(2g + 3 \cdot 6 = 48 \Rightarrow 2g + 18 = 48 \Rightarrow 2g = 30 \Rightarrow g = 15\). 5. Ergebnis: Eine Goldkugel wiegt \(15\,\text{g}\), eine Silbermünze wiegt \(6\,\text{g}\).

Eine Goldkugel wiegt \(15\,\text{g}\) und eine Silbermünze wiegt \(6\,\text{g}\).

- Wie lässt sich eine zweistellige Zahl mithilfe ihrer Zehner- und Einerziffer allgemein als Term schreiben? - Was bedeutet „Quersumme“ mathematisch für die Ziffern? - Wie verändert sich der Wert der Zahl, wenn die Ziffern ihre Plätze tauschen? - Stelle für jede Bedingung im Text eine Gleichung auf.

1. Definition der Variablen: \(x\) sei die Zehnerziffer und \(y\) die Einerziffer. Die Zahl lautet somit \(10x + y\). 2. Aufstellen der ersten Gleichung (Quersumme): \(x + y = 12\). 3. Aufstellen der zweiten Gleichung (Vertauschen der Ziffern): \((10y + x) = (10x + y) + 18\). 4. Vereinfachen der zweiten Gleichung: \(9y - 9x = 18\), was durch Division durch 9 zu \(y - x = 2\) wird. 5. Lösen des Systems: I: \(x + y = 12\) II: \(-x + y = 2\) Addition der Gleichungen ergibt \(2y = 14\), also \(y = 7\). Einsetzen in I ergibt \(x + 7 = 12\), also \(x = 5\). 6. Die ursprüngliche Zahl ist \(10 \cdot 5 + 7 = 57\).

Die ursprüngliche Zahl lautet 57.

- Überlege dir zuerst, welche zwei Werte unbekannt sind, und gib ihnen Namen wie \(x\) und \(y\). - Kannst du aus der Gesamtzahl der geplanten Karten eine erste Gleichung bilden? - Die zweite Gleichung beschreibt die Situation nach der Änderung der Verkaufszahlen. Wie drückst du Prozentsätze als Dezimalzahlen aus? - Wenn du die geplanten Mengen berechnet hast, vergiss nicht, am Ende die tatsächlichen Verkaufszahlen auszurechnen.

1. Definition der Variablen: \(x\) für die geplante Anzahl der Schülerkarten und \(y\) für die geplante Anzahl der Erwachsenenkarten. 2. Aufstellen des linearen Gleichungssystems: I: \(x + y = 500\); II: \(1{,}05x + 0{,}90y = 495\). 3. Auflösen der ersten Gleichung nach \(y\): \(y = 500 - x\). 4. Einsetzen in die zweite Gleichung: \(1{,}05x + 0{,}90 \cdot (500 - x) = 495\). 5. Vereinfachen und Lösen nach \(x\): \(1{,}05x + 450 - 0{,}90x = 495 \implies 0{,}15x = 45 \implies x = 300\). 6. Berechnen von \(y\): \(y = 500 - 300 = 200\). 7. Berechnung der tatsächlich verkauften Karten: Schülerkarten: \(300 \cdot 1{,}05 = 315\); Erwachsenenkarten: \(200 \cdot 0{,}90 = 180\).

Es wurden tatsächlich 315 Schülerkarten und 180 Erwachsenenkarten verkauft.

- Was genau stellt der Unterschied zwischen dem Endguthaben und dem Startkapital dar? - Stelle eine Gleichung für das Gesamtkapital und eine zweite Gleichung für die erwirtschafteten Zinsen auf. - Achte darauf, die Zinssätze korrekt in Dezimalzahlen umzuwandeln (z. B. \(1\,\% = 0{,}01\)). - Du kannst ein beliebiges Verfahren zum Lösen des Gleichungssystems verwenden, zum Beispiel das Einsetzungsverfahren.

1. Definition der Variablen: \(x\) für den Anlagebetrag auf Konto 1 und \(y\) für den Anlagebetrag auf Konto 2. 2. Bestimmung der Gesamtzinsen: Die Zunahme des Kapitals beträgt \(12\,230{,}00\,\text{€} - 12\,000{,}00\,\text{€} = 230{,}00\,\text{€}\). 3. Aufstellen des Gleichungssystems: I: \(x + y = 12\,000\); II: \(0{,}015x + 0{,}025y = 230\). 4. Auflösen von Gleichung I nach \(y\): \(y = 12\,000 - x\). 5. Einsetzen in Gleichung II: \(0{,}015x + 0{,}025 \cdot (12\,000 - x) = 230\). 6. Vereinfachen und Lösen nach \(x\): \(0{,}015x + 300 - 0{,}025x = 230 \implies -0{,}01x = -70 \implies x = 7000\). 7. Berechnen von \(y\): \(y = 12\,000 - 7000 = 5000\).

Auf dem ersten Konto wurden \(7000{,}00\,\text{€}\) und auf dem zweiten Konto \(5000{,}00\,\text{€}\) angelegt.

- Welche zwei Bestandteile tragen zum Gesamtgewicht bei? - Wenn drei Viertel der Äpfel weg sind, welcher Anteil der Äpfel ist dann noch in der Kiste? - Kannst du für den Anfangszustand und den Endzustand jeweils eine Gleichung aufstellen? - Überlege, wie du eine der Unbekannten eliminieren kannst, indem du die Gleichungen voneinander abziehst.

1. Variablen festlegen: \(x\) für das Gewicht der leeren Kiste und \(y\) für das ursprüngliche Gewicht der Äpfel. 2. Gleichungssystem aufstellen: \(x + y = 15{,}5\) und \(x + \frac{1}{4}y = 5\). 3. Die erste Gleichung nach \(y\) auflösen: \(y = 15{,}5 - x\). 4. Den Ausdruck für \(y\) in die zweite Gleichung einsetzen: \(x + \frac{1}{4} \cdot (15{,}5 - x) = 5\). 5. Die Gleichung nach \(x\) auflösen: \(x + 3{,}875 - 0{,}25x = 5 \implies 0{,}75x = 1{,}125 \implies x = 1{,}5\). 6. Das Gewicht der leeren Kiste beträgt \(1{,}5\,\text{kg}\).

Die leere Kiste wiegt \(1{,}5\,\text{kg}\).

- Was sind die beiden Unbekannten, nach denen in der Aufgabe gefragt wird? - Stelle für jede der beiden beschriebenen Kombinationen eine Gleichung auf. - Welches Verfahren zur Lösung von Gleichungssystemen (Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren) erscheint dir hier am einfachsten? - Wie kannst du dein Ergebnis am Ende überprüfen?

1. Variablen festlegen: \(r\) für das Gewicht eines Rucksacks und \(s\) für das Gewicht eines Schlafsacks. 2. Gleichungssystem aufstellen: I: \(r + 2s = 4{,}2\) und II: \(2r + s = 3{,}9\). 3. Eine Gleichung nach einer Variablen umstellen, z. B. Gleichung II nach \(s\): \(s = 3{,}9 - 2r\). 4. Den Ausdruck für \(s\) in Gleichung I einsetzen: \(r + 2 \cdot (3{,}9 - 2r) = 4{,}2\). 5. Klammer auflösen und zusammenfassen: \(r + 7{,}8 - 4r = 4{,}2 \implies -3r = -3{,}6\). 6. Nach \(r\) auflösen: \(r = 1{,}2\). 7. \(r\) in die Gleichung für \(s\) einsetzen: \(s = 3{,}9 - 2 \cdot 1{,}2 = 1{,}5\). 8. Ein Rucksack wiegt \(1{,}2\,\text{kg}\) und ein Schlafsack wiegt \(1{,}5\,\text{kg}\).

Ein Rucksack wiegt \(1{,}2\,\text{kg}\) und ein Schlafsack wiegt \(1{,}5\,\text{kg}\).

- Kannst du für jeden Tank einen Term aufstellen, der die Wassermenge nach einer bestimmten Zeit beschreibt? - Was bedeutet es für die Gleichung, wenn am Ende in beiden Tanks „die gleiche Menge“ ist? - Stelle ein System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten auf. - Überlege dir zuerst, wie viel Wasser insgesamt aus jedem Tank nach der angegebenen Zeit abgeflossen ist.

1. Definition der Variablen \(x\) für die Wassermenge in Tank 1 und \(y\) für Tank 2 in Litern. 2. Aufstellen der ersten Gleichung für die Gesamtmenge: \(x + y = 3500\). 3. Berechnung der abgeflossenen Mengen nach \(50\,\text{min}\): Tank 1 verliert \(12 \cdot 50 = 600\,\text{l}\), Tank 2 verliert \(18 \cdot 50 = 900\,\text{l}\). 4. Aufstellen der Gleichgewichtsbedingung: \(x - 600 = y - 900\). 5. Umformen der zweiten Gleichung nach \(x\): \(x = y - 300\). 6. Einsetzen in die erste Gleichung: \((y - 300) + y = 3500 \implies 2y = 3800 \implies y = 1900\). 7. Berechnung von \(x\): \(x = 1900 - 300 = 1600\).

Im ersten Tank waren ursprünglich \(1600\,\text{l}\) und im zweiten Tank \(1900\,\text{l}\) Wasser.

- Achte darauf, dass eine Person Geld verliert (Minus) und die andere Person Geld dazu bekommt (Plus). - Wie viel Geld hat Paul nach den 12 Wochen insgesamt ausgegeben? - Wie viel Geld hat Marie nach den 12 Wochen insgesamt dazugewonnen? - Kannst du eine Gleichung schreiben, die besagt, dass ihre Endbeträge gleich sind?

1. Festlegen der Variablen \(p\) für Pauls Anfangsbetrag und \(m\) für Maries Anfangsbetrag. 2. Summengleichung aufstellen: \(p + m = 150\). 3. Terme für die Beträge nach \(12\,\text{Wochen}\) aufstellen: Paul hat \(p - 4 \cdot 12 = p - 48\), Marie hat \(m + 2 \cdot 12 = m + 24\). 4. Gleichsetzen der Terme: \(p - 48 = m + 24\). 5. Umformen der Gleichung zu \(p - m = 72\). 6. Addition der beiden Gleichungen \((p + m) + (p - m) = 150 + 72 \implies 2p = 222\). 7. Ergebnis für Paul: \(p = 111\). 8. Ergebnis für Marie durch Einsetzen: \(111 + m = 150 \implies m = 39\).

Paul hatte am Anfang \(111{,}00\,\text{€}\) und Marie hatte \(39{,}00\,\text{€}\).

- Überlege dir, wie du das Alter der beiden Personen heute bezeichnen kannst. - Wie verändert sich das Alter beider Personen, wenn 12 Jahre vergehen? - Kannst du die Beziehung der Alterswerte in der Zukunft in einer Gleichung festhalten? - Versuche, eine Variable durch die andere zu ersetzen, um die Gleichung lösbar zu machen.

1. Festlegen der Variablen \(v\) für das aktuelle Alter des Vaters und \(s\) für das aktuelle Alter des Sohnes. 2. Aufstellen der Gleichungen: \(v = 4s\) für den Ist-Zustand und \(v + 12 = 2 \cdot (s + 12)\) für den Zustand in 12 Jahren. 3. Einsetzen von \(v\) in die zweite Gleichung: \(4s + 12 = 2 \cdot (s + 12)\). 4. Auflösen der Klammer und Berechnen von \(s\): \(4s + 12 = 2s + 24 \Rightarrow 2s = 12 \Rightarrow s = 6\). 5. Einsetzen von \(s\) zur Bestimmung von \(v\): \(v = 4 \cdot 6 = 24\). Der Vater ist heute 24 Jahre alt und der Sohn ist 6 Jahre alt.

Der Vater ist aktuell 24 Jahre alt und der Sohn ist 6 Jahre alt.

- Kannst du für die beiden unbekannten Gewichte Variablen festlegen? - Welche zwei Informationen gibt dir der Text über die Beziehung der Gewichte zueinander? - Kannst du eine der Variablen durch die andere ausdrücken und in die erste Gleichung einsetzen? - Überprüfe am Ende, ob die Summe der Gewichte wirklich \(5500\,\text{kg}\) ergibt.

1. Definition der Variablen: \(x\) für das Gewicht eines Zebras in \(\text{kg}\) und \(y\) für das Gewicht des Elefanten in \(\text{kg}\). 2. Aufstellen des Gleichungssystems: I: \(y + 4x = 5500\) II: \(y = 12x + 100\) 3. Einsetzen von Gleichung II in Gleichung I: \((12x + 100) + 4x = 5500\). 4. Zusammenfassen und Lösen nach \(x\): \(16x + 100 = 5500 \Rightarrow 16x = 5400 \Rightarrow x = 337{,}5\). 5. Einsetzen von \(x\) in Gleichung II zur Bestimmung von \(y\): \(y = 12 \cdot 337{,}5 + 100 = 4050 + 100 = 4150\). 6. Ergebnis: Ein Zebra wiegt \(337{,}5\,\text{kg}\), der Elefant wiegt \(4150\,\text{kg}\).

Ein Zebra wiegt \(337{,}5\,\text{kg}\) und der Elefant wiegt \(4150\,\text{kg}\).

- Welche zwei Unbekannten suchen wir in dieser Aufgabe? - Kannst du die Zusammenhänge aus dem Text in zwei mathematische Gleichungen übersetzen? - Welches Verfahren (Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren) bietet sich hier besonders an, wenn eine Variable bereits fast alleine steht? - Hast du am Ende geprüft, ob deine Werte in beide Sätze der Aufgabenstellung passen?

1. Definition der Variablen: \(x\) für das Volumen eines großen Kanisters und \(y\) für das eines kleinen Kanisters in Litern. 2. Aufstellen des Gleichungssystems: \(2x + 6y = 54\) und \(x = 2y + 2\). 3. Anwendung des Einsetzungsverfahrens durch Einsetzen der zweiten Gleichung in die erste: \(2 \cdot (2y + 2) + 6y = 54\). 4. Auflösen der Klammer und Zusammenfassen der Terme: \(4y + 4 + 6y = 54 \Rightarrow 10y + 4 = 54\). 5. Isolieren der Variable \(y\): \(10y = 50 \Rightarrow y = 5\). 6. Berechnung von \(x\) durch Einsetzen von \(y = 5\) in die zweite Gleichung: \(x = 2 \cdot 5 + 2 = 12\). 7. Ergebnis: Ein großer Kanister fasst \(12\,\text{l}\) und ein kleiner Kanister fasst \(5\,\text{l}\).

Ein großer Kanister hat eine Füllmenge von \(12\,\text{l}\) und ein kleiner Kanister eine Füllmenge von \(5\,\text{l}\).

- Was bleibt in beiden Situationen gleich? - Kannst du für die Anzahl der Kisten und die Anzahl der Äpfel jeweils eine Variable festlegen? - Wie viele Äpfel passen in die Kisten, wenn zwei Kisten leer bleiben? - Versuche, für beide Szenarien einen Term für die Gesamtzahl der Äpfel aufzustellen.

1. Definition der Variablen: \(x\) für die Anzahl der Kisten und \(y\) für die Anzahl der Äpfel. 2. Aufstellen der Gleichungen aus den Bedingungen: \(y = 12x + 15\) (erste Verteilung) und \(y = 15 \cdot (x - 2)\) (zweite Verteilung). 3. Gleichsetzen der Ausdrücke für \(y\): \(12x + 15 = 15 \cdot (x - 2)\). 4. Auflösen der Klammer und Zusammenfassen: \(12x + 15 = 15x - 30\). 5. Isolieren der Variable \(x\): \(3x = 45\), woraus \(x = 15\) Kisten folgt. 6. Einsetzen von \(x\) in eine der Ausgangsgleichungen: \(y = 12 \cdot 15 + 15 = 195\) Äpfel.

Es sind \(195\) Äpfel und \(15\) Kisten.

- Kannst du für jede Abteilung eine Variable festlegen, die die ursprüngliche Mitgliederzahl beschreibt? - Wie hängen die Mitgliederzahlen im Vorjahr zusammen? - Wie verändern sich die Zahlen durch die prozentualen Angaben? - Kannst du eine der Variablen durch die andere ausdrücken, um die Anzahl der Unbekannten zu reduzieren?

1. Definition der Variablen: \(x\) für die Anzahl der Mitglieder beim Fußball und \(y\) für die Anzahl beim Tennis im Vorjahr. 2. Aufstellen des Gleichungssystems: \(x + y = 200\) und \(1{,}1x + 0{,}9y = 202\). 3. Auflösen der ersten Gleichung nach \(y\): \(y = 200 - x\). 4. Einsetzen in die zweite Gleichung: \(1{,}1x + 0{,}9 \cdot (200 - x) = 202\). 5. Vereinfachen der Gleichung: \(1{,}1x + 180 - 0{,}9x = 202 \Rightarrow 0{,}2x + 180 = 202\). 6. Berechnung von \(x\): \(0{,}2x = 22 \Rightarrow x = 110\). 7. Berechnung von \(y\): \(y = 200 - 110 = 90\).

Im vergangenen Jahr hatte die Fußballabteilung 110 Mitglieder und die Tennisabteilung 90 Mitglieder.

- Was sind die gesuchten Größen und welche Zwischenschritte sind nötig? - Wie stellst du eine Abnahme um \(5\,\%\) oder eine Zunahme um \(20\,\%\) mathematisch dar? - Achte darauf, ob nach den Werten vom letzten Monat oder von diesem Monat gefragt wird. - Könnte eine Tabelle helfen, die Werte von „letztem Monat“ und „diesem Monat“ gegenüberzustellen?

1. Definition der Variablen für den letzten Monat: \(b\) (Basic) und \(p\) (Premium). 2. Aufstellen des Gleichungssystems: \(b + p = 600\) und \(0{,}95b + 1{,}2p = 630\). 3. Anwendung des Einsetzungsverfahrens: \(p = 600 - b\), also \(0{,}95b + 1{,}2 \cdot (600 - b) = 630\). 4. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen: \(0{,}95b + 720 - 1{,}2b = 630 \Rightarrow -0{,}25b + 720 = 630\). 5. Auflösen nach \(b\): \(-0{,}25b = -90 \Rightarrow b = 360\). 6. Berechnung von \(p\): \(p = 600 - 360 = 240\). 7. Berechnung der aktuellen Mitgliederzahlen für diesen Monat: Basic: \(0{,}95 \cdot 360 = 342\); Premium: \(1{,}2 \cdot 240 = 288\).

In diesem Monat nutzen 342 Mitglieder den Basic-Tarif und 288 Mitglieder den Premium-Tarif.

- Stelle zuerst fest, wie viele Werkstücke die beiden zusammen in einer einzigen Stunde schaffen. - Wie lässt sich die gesamte produzierte Menge (180 Stück) aus den Einzelzeiten der beiden Personen zusammensetzen? - Kannst du ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten aufstellen? - Überlege, wie du den bekannten Wert für die gemeinsame Stundenleistung in die zweite Situation einsetzen kannst.

1. Definition der Variablen: \(x\) ist die Anzahl der Werkstücke pro Stunde von Herrn Abel, \(y\) die von Frau Bekker. 2. Aufstellen der ersten Gleichung aus der gemeinsamen Arbeitszeit: \(8(x + y) = 240\), vereinfacht zu \(x + y = 30\). 3. Aufstellen der zweiten Gleichung aus dem Teilarbeitsgang: \(3x + 4(x + y) = 180\). 4. Substitution von \((x + y)\) durch \(30\) in der zweiten Gleichung: \(3x + 4 \cdot 30 = 180\). 5. Lösung nach \(x\): \(3x + 120 = 180 \implies 3x = 60 \implies x = 20\). 6. Lösung nach \(y\): \(20 + y = 30 \implies y = 10\). 7. Ergebnis: Herr Abel bearbeitet \(20\,\text{Werkstücke}/\text{h}\), Frau Bekker \(10\,\text{Werkstücke}/\text{h}\).

Herr Abel bearbeitet \(20\,\text{Werkstücke}\) pro Stunde und Frau Bekker \(10\,\text{Werkstücke}\) pro Stunde.

- Überlege dir zuerst, welchen Bruchteil des Beckens eine Pumpe pro Stunde füllt. - Kannst du die Informationen aus dem Text in zwei mathematische Gleichungen übersetzen? - Schreibe \(40\,\%\) als Bruch oder Dezimalzahl. - Wenn du den gefüllten Anteil pro Stunde kennst, wie erhältst du daraus die Zeit für das ganze Becken?

1. Definition der Arbeitsraten \(x\) und \(y\) (Anteil des Beckens pro Stunde) für die beiden Pumpen. 2. Aufstellen des linearen Gleichungssystems basierend auf den Angaben: \(4 \cdot (x + y) = \frac{1}{3}\) und \(6x + 3y = 0{,}4\). 3. Vereinfachung der ersten Gleichung zu \(x + y = \frac{1}{12}\). 4. Lösen des Systems, zum Beispiel durch Einsetzen von \(y = \frac{1}{12} - x\) in die zweite Gleichung: \(6x + 3 \cdot (\frac{1}{12} - x) = \frac{2}{5} \implies 3x + \frac{1}{4} = \frac{2}{5}\). 5. Berechnung der Raten: \(3x = \frac{8}{20} - \frac{5}{20} = \frac{3}{20} \implies x = \frac{1}{20}\) und \(y = \frac{1}{12} - \frac{1}{20} = \frac{5}{60} - \frac{3}{60} = \frac{1}{30}\). 6. Bestimmung der Zeitdauer für das gesamte Becken durch die Kehrwerte der Raten: Die erste Pumpe benötigt \(20\,\text{Stunden}\), die zweite Pumpe \(30\,\text{Stunden}\).

Die erste Pumpe benötigt allein \(20\,\text{Stunden}\), die zweite Pumpe \(30\,\text{Stunden}\).

- Was bedeutet „Förderleistung“ in diesem Zusammenhang? - Stelle zuerst ein System für die stündlichen Raten auf. - Wenn du die Raten beider Pumpen kennst, wie viel Wasser fördern sie dann gemeinsam in einer Stunde? - Wie berechnet man die Zeit, wenn die Gesamtmenge und die Geschwindigkeit bekannt sind?

1. Variablen festlegen: \(a\) und \(b\) für die Förderleistungen in \(\text{m}^3/\text{h}\). 2. Gleichungssystem aufstellen: (I) \(3a + 2b = 110\) und (II) \(2a + 4b = 140\). 3. Gleichung (II) durch \(2\) teilen: \(a + 2b = 70 \implies a = 70 - 2b\). 4. Einsetzen in (I): \(3 \cdot (70 - 2b) + 2b = 110 \implies 210 - 6b + 2b = 110 \implies -4b = -100 \implies b = 25\). 5. Berechnung von \(a\): \(a = 70 - 2 \cdot 25 = 20\). Die Förderleistungen betragen \(20\,\text{m}^3/\text{h}\) für Pumpe \(A\) und \(25\,\text{m}^3/\text{h}\) für Pumpe \(B\). 6. Gemeinsame Leistung berechnen: \(20 + 25 = 45\,\text{m}^3/\text{h}\). 7. Zeit für \(225\,\text{m}^3\) berechnen: \(225\,\text{m}^3 : 45\,\text{m}^3/\text{h} = 5\,\text{h}\).

a) Pumpe \(A\) fördert \(20\,\text{m}^3/\text{h}\) und Pumpe \(B\) fördert \(25\,\text{m}^3/\text{h}\). b) Es würde \(5\) Stunden dauern.

- Kannst du die Aussagen von Lukas und Mia in mathematische Gleichungen übersetzen? - Welche Unbekannten suchen wir in dieser Aufgabe? - Welches Verfahren (Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren) bietet sich hier an? - Achte darauf, dass „zwei Fünftel deines Geldes“ als Bruch oder Dezimalzahl geschrieben werden kann.

1. Definition der Variablen: \(L\) für das Geld von Lukas und \(M\) für das Geld von Mia in Euro. 2. Aufstellen des Gleichungssystems: (I) \(L + \frac{2}{5}M = 30\) (II) \(M + \frac{1}{2}L = 30\) 3. Umstellen von Gleichung (II) nach \(M\): \(M = 30 - 0{,}5L\). 4. Einsetzen in Gleichung (I): \(L + 0{,}4 \cdot (30 - 0{,}5L) = 30\). 5. Vereinfachen und nach \(L\) auflösen: \(L + 12 - 0{,}2L = 30 \Rightarrow 0{,}8L = 18 \Rightarrow L = 22{,}5\). 6. Berechnung von \(M\): \(M = 30 - 0{,}5 \cdot 22{,}5 = 30 - 11{,}25 = 18{,}75\).

Lukas hat \(22{,}50\,\text{€}\) und Mia hat \(18{,}75\,\text{€}\).

- Stelle für jeden der beiden beschriebenen Fälle eine Gleichung auf. - Was passiert mit der Wassermenge im jeweils anderen Becher in deiner Rechnung? - Hast du am Ende geprüft, ob deine Lösung für beide Bedingungen der Aufgabe passt? - Wie berechnet man die Gesamtmenge, wenn man die Einzelmengen kennt?

1. Definition der Variablen: \(x\) für Becher A und \(y\) für Becher B in \(\text{ml}\). 2. Aufstellen des Gleichungssystems: (I) \(x + \frac{1}{3}y = 120\) (II) \(y + \frac{1}{2}x = 150\) 3. Lösung des Systems (z. B. Additionsverfahren): Multiplikation von (I) mit \(3\) ergibt \(3x + y = 360\), also \(y = 360 - 3x\). 4. Einsetzen in (II): \(360 - 3x + 0{,}5x = 150 \Rightarrow -2{,}5x = -210 \Rightarrow x = 84\). 5. Berechnung von \(y\): \(y = 360 - 3 \cdot 84 = 360 - 252 = 108\). 6. Gesamtmenge berechnen: \(84\,\text{ml} + 108\,\text{ml} = 192\,\text{ml}\).

a) In Becher A befanden sich ursprünglich \(84\,\text{ml}\) und in Becher B \(108\,\text{ml}\). b) Insgesamt befinden sich \(192\,\text{ml}\) Wasser in den Bechern.

- Welche Informationen über die Flaschenmengen und die Saftmengen kannst du nutzen? - Versuche, eine Gleichung für die gesamte Saftmenge aufzustellen. - Überlege dir für den zweiten Teil, was passiert, wenn du Saft von vielen kleinen in wenige große Gefäße umfüllst.

1. Definition der Variablen: \(x\) für die Anzahl der \(0{,}5\,\text{Liter}\)-Flaschen und \(y\) für die Anzahl der \(0{,}75\,\text{Liter}\)-Flaschen. 2. Aufstellen des Gleichungssystems: \(x + y = 200\) (Gesamtanzahl) und \(0{,}5x + 0{,}75y = 120\) (Gesamtvolumen). 3. Auflösen der ersten Gleichung nach \(x\): \(x = 200 - y\). 4. Einsetzen in die Volumengleichung: \(0{,}5 \cdot (200 - y) + 0{,}75y = 120\). 5. Vereinfachen und Lösen: \(100 - 0{,}5y + 0{,}75y = 120 \implies 0{,}25y = 20 \implies y = 80\). 6. Berechnung von \(x\): \(x = 200 - 80 = 120\). 7. Zu Aufgabenteil b): Da die \(0{,}75\,\text{Liter}\)-Flaschen ein größeres Einzelvolumen haben als die \(0{,}5\,\text{Liter}\)-Flaschen, wird pro Flasche mehr Saft transportiert. Erhöht man den Anteil der größeren Flaschen, sinkt die benötigte Gesamtzahl der Gefäße für die konstante Saftmenge von \(120\,\text{Litern}\).

a) Es wurden 120 Flaschen der Größe \(0{,}5\,\text{Liter}\) und 80 Flaschen der Größe \(0{,}75\,\text{Liter}\) befüllt. b) Die Gesamtzahl der Flaschen würde sinken, da die größeren Flaschen mehr Inhalt fassen und somit insgesamt weniger Gefäße für dieselbe Menge Saft benötigt werden.

- Überlege dir, wie du die Abnahme bzw. Zunahme des Wassers mathematisch als Steigung darstellen kannst. - Welcher Wert in deiner Gleichung entspricht dem Startwert im Tank? - Wenn zwei Graphen sich schneiden, haben sie an dieser Stelle denselben Funktionswert.

1. Aufstellen der linearen Funktionsgleichungen für die Füllmengen in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) in Stunden: Tank A: \(y_A = -50t + 500\) Tank B: \(y_B = 150t + 100\) 2. Gleichsetzen der Funktionsterme zur Bestimmung des Zeitpunkts, an dem beide Tanks den gleichen Füllstand haben: \(-50t + 500 = 150t + 100\) 3. Zusammenfassen der Terme und Lösen der Gleichung nach \(t\): \(400 = 200t \Rightarrow t = 2\) 4. Einsetzen von \(t = 2\) in eine der Ausgangsgleichungen, um die entsprechende Wassermenge \(y\) zu berechnen: \(y = 150 \cdot 2 + 100 = 400\) Das Ergebnis zeigt, dass nach \(2\,\text{Stunden}\) beide Tanks jeweils \(400\,\text{l}\) Wasser enthalten.

Zeitpunkt: Nach \(2\,\text{Stunden}\). Wassermenge: \(400\,\text{l}\) je Tank.

- Lege zuerst fest, welche beiden unbekannten Einzelmassen deine Variablen beschreiben. - Übersetze jede Wägung getrennt in eine Gleichung. - Prüfe nach dem Lösen beide ursprünglichen Wägungen mit deinen Werten.

1. Sei \(r\) die Masse einer roten und \(b\) die Masse einer blauen Kiste in Kilogramm. Dann gilt \(3r+2b=34\) und \(r+4b=38\). 2. Aus der zweiten Gleichung folgt \(r=38-4b\). 3. Einsetzen ergibt \(3(38-4b)+2b=34\), also \(114-10b=34\). Daher ist \(b=8\). 4. Damit ist \(r=38-4\cdot8=6\). 5. Probe: \(3\cdot6+2\cdot8=34\) und \(6+4\cdot8=38\).

a) Zum Beispiel: \(r\) = Masse einer roten Kiste, \(b\) = Masse einer blauen Kiste; \(3r+2b=34\), \(r+4b=38\) b) \((r|b)=(6|8)\) c) Eine rote Kiste wiegt \(6\,\text{kg}\), eine blaue \(8\,\text{kg}\); beide Angaben werden erfüllt.

- Überlege dir, welchen Bruchteil des Auftrags die Drucker pro Stunde schaffen. - Was passiert mathematisch, wenn man die Anzahl der Geräte eines Typs verdoppelt? - Kannst du eine Gleichung für die gemeinsame Arbeitsleistung pro Stunde aufstellen? - Wie hängen Arbeitsrate und benötigte Gesamtdauer für einen Auftrag zusammen?

1. Aufstellen des Gleichungssystems mit den Arbeitsraten \(r_X\) und \(r_Y\) (Auftrag pro Stunde): I. \(1 \cdot r_X + 1 \cdot r_Y = \frac{1}{4}\) II. \(2 \cdot r_X + 1 \cdot r_Y = \frac{1}{3}\) 2. Subtraktion von Gleichung I von Gleichung II: \((2r_X + r_Y) - (r_X + r_Y) = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}\) \(r_X = \frac{4}{12} - \frac{3}{12} = \frac{1}{12}\) 3. Einsetzen von \(r_X\) in Gleichung I: \(\frac{1}{12} + r_Y = \frac{1}{4} \Rightarrow r_Y = \frac{3}{12} - \frac{1}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}\) 4. Bestimmung der Einzelzeiten: Modell X benötigt \(1 : \frac{1}{12} = 12\,\text{Stunden}\). Modell Y benötigt \(1 : \frac{1}{6} = 6\,\text{Stunden}\).

Modell X benötigt alleine \(12\,\text{Stunden}\), Modell Y benötigt alleine \(6\,\text{Stunden}\).

- Stelle für beide Situationen eine Gleichung auf, die beschreibt, wie viel vom Park fertiggestellt wird. - Achte darauf, dass im ersten Fall nur die Hälfte der Fläche bearbeitet wurde. - Um die Raten zu vergleichen, kannst du die Brüche auf den gleichen Nenner bringen oder ihren Quotienten bilden.

1. Definition der Variablen: \(g\) sei die Arbeitsrate von Herrn Grün, \(b\) die von Frau Blume. 2. Aufstellen der Gleichungen: I. \(4g + 2b = 0{,}5\) II. \(2g + 5b = 1\) 3. Lösen des Systems: Multiplikation von II mit 2: \(4g + 10b = 2\) Subtraktion von I: \((4g + 10b) - (4g + 2b) = 2 - 0{,}5 \Rightarrow 8b = 1{,}5\) \(b = \frac{1{,}5}{8} = \frac{3}{16}\) Einsetzen in II: \(2g + 5 \cdot \frac{3}{16} = 1 \Rightarrow 2g + \frac{15}{16} = 1 \Rightarrow 2g = \frac{1}{16} \Rightarrow g = \frac{1}{32}\) 4. Vergleich und Verhältnis: Frau Blume hat die höhere Arbeitsrate, da \(\frac{3}{16} > \frac{1}{32}\) (bzw. \(\frac{6}{32} > \frac{1}{32}\)). Das Verhältnis \(\frac{b}{g} = \frac{3}{16} : \frac{1}{32} = \frac{3}{16} \cdot \frac{32}{1} = 6\).

Frau Blume arbeitet schneller. Ihre Arbeitsrate ist genau \(6\)-mal so hoch wie die von Herrn Grün.

- Beschreibe die Leistung jedes Förderbands als Anteil einer vollständigen Beladung pro Stunde. - Nutze sowohl die gemeinsame Gesamtzeit als auch den Testlauf als zwei Bedingungen für die beiden Raten. - Für Teil b) verändert sich nur die Rate von Förderband B; die Rate von A bleibt unverändert. - Vergleiche die neu berechnete Gesamtzeit mit der Hälfte von \(12\,\text{Stunden}\).

1. Mit den Arbeitsraten \(r_A\) und \(r_B\) gilt \(r_A+r_B=\frac{1}{12}\). 2. Aus dem Testlauf folgt \(4(r_A+r_B)+20r_B=1\). 3. Einsetzen der gemeinsamen Rate: \(4\cdot\frac{1}{12}+20r_B=1 \Rightarrow r_B=\frac{1}{30}\). 4. Damit ist \(r_A=\frac{1}{12}-\frac{1}{30}=\frac{1}{20}\). A benötigt allein \(20\,\text{Stunden}\), B allein \(30\,\text{Stunden}\). 5. Bei verdoppelter Geschwindigkeit von B ist die neue gemeinsame Rate \(\frac{1}{20}+2\cdot\frac{1}{30}=\frac{7}{60}\). 6. Die neue Zeit beträgt daher exakt \(1:\frac{7}{60}=\frac{60}{7}\,\text{Stunden}\approx8{,}57\,\text{Stunden}\). 7. Die Hälfte der ursprünglichen Zeit wären \(6\,\text{Stunden}\). Da \(\frac{60}{7}>6\), ist die Behauptung falsch.

a) A: \(20\,\text{Stunden}\); B: \(30\,\text{Stunden}\) b) Die Behauptung ist falsch. Die neue gemeinsame Zeit beträgt exakt \(\frac{60}{7}\,\text{Stunden}\approx8{,}57\,\text{Stunden}\), nicht \(6\,\text{Stunden}\).

- Stelle zuerst ein System aus zwei Gleichungen auf, wobei eine die alte und eine die neue Situation beschreibt. - Achte darauf, wie du eine Zeitverringerung mathematisch ausdrückst, zum Beispiel mit dem Faktor \(0{,}8\) bei einer Verringerung um \(20\,\%\). - Überlege dir für den zweiten Teil, für welches Modell insgesamt mehr Zeit verbraucht wurde. Welchen Einfluss hat das auf den gewichteten Gesamtdurchschnitt?

1. Variablen festlegen: \(x\) für die ursprüngliche Zeit pro Standard-Regal, \(y\) für die ursprüngliche Zeit pro Luxus-Regal (in Stunden). 2. Erste Gleichung: \(50x + 40y = 130\). Vereinfacht: \(5x + 4y = 13\). 3. Zweite Gleichung mit Zeitreduktion (\(0{,}8x\) und \(0{,}9y\)): \(50 \cdot (0{,}8x) + 40 \cdot (0{,}9y) = 111 \Rightarrow 40x + 36y = 111\). 4. Lösen des Systems: Aus der ersten Gleichung folgt \(40x = 8 \cdot (13 - 4y) = 104 - 32y\). Einsetzen in die zweite: \(104 - 32y + 36y = 111 \Rightarrow 4y = 7 \Rightarrow y = 1{,}75\). 5. Berechnung von \(x\): \(5x + 4 \cdot 1{,}75 = 13 \Rightarrow 5x + 7 = 13 \Rightarrow 5x = 6 \Rightarrow x = 1{,}2\). 6. Ergebnis zu Teil a): Das Standard-Regal benötigte \(1{,}2\,\text{Stunden}\) (\(72\,\text{Minuten}\)), das Luxus-Regal \(1{,}75\,\text{Stunden}\) (\(105\,\text{Minuten}\)). 7. Erklärung zu Teil b): Die Gesamtersparnis ist ein gewichteter Durchschnitt. Auf die Luxus-Regale entfällt ursprünglich ein größerer Anteil der gesamten Arbeitszeit als auf die Standard-Regale. Deshalb beeinflusst die geringere Einzelersparnis von \(10\,\%\) den Gesamtwert stärker, sodass er unter \(15\,\%\) liegt und näher bei \(10\,\%\) als bei \(20\,\%\).

a) Ursprünglich benötigte ein Standard-Regal \(1{,}2\,\text{Stunden}\) und ein Luxus-Regal \(1{,}75\,\text{Stunden}\). b) Die Gesamtersparnis liegt näher bei \(10\,\%\), weil für die Luxus-Regale (mit der geringeren Ersparnis) insgesamt mehr Arbeitszeit aufgewendet wurde als für die Standard-Regale.

- Was bleibt bei allen Szenarien gleich? Überlege, wie du die gesamte Arbeitsleistung beschreiben kannst. - Stelle zwei Gleichungen auf, die den Zusammenhang zwischen der Anzahl der Maschinen und der benötigten Zeit beschreiben. - Wie kannst du die Gleichungen so umformen, dass die Produkte der Unbekannten wegfallen? - Welches Verfahren eignet sich am besten, um das lineare Gleichungssystem am Ende zu lösen?

1. Variablen festlegen: \(m\) für die Anzahl der Mähdrescher und \(d\) für die Anzahl der Tage. Die Gesamtarbeitsleistung ist \(md\). 2. Gleichungssystem aufstellen: \((m + 2) \cdot (d - 2) = md\) und \((m - 3) \cdot (d + 6) = md\). 3. Erste Gleichung vereinfachen: \(md - 2m + 2d - 4 = md \Rightarrow -2m + 2d = 4 \Rightarrow -m + d = 2\). 4. Zweite Gleichung vereinfachen: \(md + 6m - 3d - 18 = md \Rightarrow 6m - 3d = 18 \Rightarrow 2m - d = 6\). 5. Lösen des Systems durch Addition der vereinfachten Gleichungen: \((-m + d) + (2m - d) = 2 + 6 \Rightarrow m = 8\). 6. Berechnung von \(d\): \(-8 + d = 2 \Rightarrow d = 10\). Ergebnis: Geplant waren 8 Mähdrescher für eine Dauer von 10 Tagen.

Ursprünglich waren 8 Mähdrescher und eine Dauer von 10 Tagen geplant.

- Überlege dir, was der Begriff „Personenstunden“ (Anzahl Personen mal Stunden pro Person) bedeutet. - Welche zwei Größen sind unbekannt? - Stelle ein Gleichungssystem auf, indem du den Gesamtaufwand auf zwei verschiedene Arten ausdrückst. - Achte beim Rechnen auf den Umgang mit Dezimalzahlen. - Wie kannst du überprüfen, ob deine Lösung für beide Szenarien den gleichen Gesamtaufwand ergibt?

1. Variablen festlegen: \(n\) für die Anzahl der Reinigungskräfte, \(t\) für die Arbeitszeit pro Person in Stunden. Der Gesamtaufwand ist \(A = nt\). 2. Gleichungen aufstellen: I: \(nt = (n + 4) \cdot (t - 1)\) II: \(nt = (n - 3) \cdot (t + 1{,}5)\) 3. Gleichungen vereinfachen: I: \(nt = nt - n + 4t - 4 \implies -n + 4t = 4\) II: \(nt = nt + 1{,}5n - 3t - 4{,}5 \implies 1{,}5n - 3t = 4{,}5\) 4. Gleichungssystem lösen: Aus I folgt \(n = 4t - 4\). Einsetzen in II: \(1{,}5 \cdot (4t - 4) - 3t = 4{,}5\) \(6t - 6 - 3t = 4{,}5 \implies 3t = 10{,}5 \implies t = 3{,}5\). 5. \(n\) berechnen: \(n = 4 \cdot 3{,}5 - 4 = 14 - 4 = 10\). 6. Gesamtaufwand berechnen: \(A = 10 \cdot 3{,}5 = 35\). Ergebnis: Es waren 10 Reinigungskräfte geplant; die Arbeitszeit betrug \(3{,}5\) Stunden pro Person; der Gesamtaufwand beträgt 35 Personenstunden.

Ursprünglich waren 10 Reinigungskräfte geplant, die jeweils \(3{,}5\) Stunden arbeiten sollten. Der gesamte Arbeitsaufwand beträgt 35 Personenstunden.

- Stelle zuerst ein Gleichungssystem für die Arbeitsraten auf. - Was bedeuten „die Hälfte“ und „ein Drittel“ für deine Gleichungen? - Für Teil b) benötigst du die gemeinsame Zeit für \(100\,\%\) der Fläche. - Vergleiche diese Dauer mit der Dauer des schnelleren Betriebs.

1. Definition der Raten \(x\) (Betrieb 1) und \(y\) (Betrieb 2) in Fassadenfläche pro Stunde. 2. Aufstellen des Gleichungssystems: \(2 \cdot (x + y) = \frac{1}{3}\) und \(4x + y = \frac{1}{2}\). 3. Umstellen der zweiten Gleichung nach \(y\): \(y = \frac{1}{2} - 4x\). 4. Einsetzen in die erste Gleichung: \(2 \cdot (x + \frac{1}{2} - 4x) = \frac{1}{3} \implies 2 \cdot (\frac{1}{2} - 3x) = \frac{1}{3} \implies 1 - 6x = \frac{1}{3}\). 5. Lösung für die Raten: \(6x = \frac{2}{3} \implies x = \frac{1}{9}\) und \(y = \frac{1}{2} - \frac{4}{9} = \frac{9}{18} - \frac{8}{18} = \frac{1}{18}\). 6. Berechnung der Einzelzeiten: Betrieb 1 benötigt \(9\,\text{Stunden}\), Betrieb 2 benötigt \(18\,\text{Stunden}\). 7. Berechnung der gemeinsamen Zeit für die ganze Fassade: \(1 : (x + y) = 1 : (\frac{1}{9} + \frac{1}{18}) = 1 : \frac{3}{18} = 6\,\text{Stunden}\). 8. Berechnung der Zeitersparnis gegenüber dem schnelleren Betrieb (\(9\,\text{h}\)): \(9\,\text{h} - 6\,\text{h} = 3\,\text{h}\).

a) Der erste Betrieb benötigt allein \(9\,\text{Stunden}\), der zweite Betrieb \(18\,\text{Stunden}\). b) Man spart \(3\,\text{Stunden}\) Zeit ein.

- Beginne damit, die Druckraten pro Minute als Unbekannte festzulegen. - Nutze die Information über die \(50\,\text{Minuten}\), um eine einfache Beziehung zwischen den beiden Raten zu finden. - Was ändert sich an der Gesamtrate, wenn du mehrere Geräte desselben Typs benutzt? - Achte beim Umrechnen der Zeit am Ende darauf, dass ein Bruchteil einer Minute in Sekunden angegeben werden kann.

1. Variablen festlegen: \(a\) sei die Geschwindigkeit von Modell Alpha und \(b\) die von Modell Beta in Seiten pro Minute. 2. Gleichungssystem aufstellen: Aus der gemeinsamen Arbeit folgt \(50 \cdot (a + b) = 5000\), was zu \(a + b = 100\) vereinfacht wird. Aus dem Testlauf folgt \(20a + 30b = 2600\). 3. System lösen: Multiplikation der ersten Gleichung mit 20 ergibt \(20a + 20b = 2000\). Subtraktion von der zweiten Gleichung liefert \(10b = 600\), also \(b = 60\). Daraus folgt \(a = 40\). 4. Ergebnisse für Teil a: Modell Alpha druckt \(40\) Seiten pro Minute, Modell Beta druckt \(60\) Seiten pro Minute. 5. Teil b berechnen: Die Gesamtrate von drei Alpha-Druckern beträgt \(3 \cdot 40 = 120\) Seiten pro Minute. Die Zeit für den Auftrag ist \(5000 : 120 = \frac{500}{12} = \frac{125}{3}\,\text{Minuten}\). Dies entspricht \(41\,\text{Minuten}\) und \(40\,\text{Sekunden}\).

a) Modell Alpha druckt \(40\,\text{Seiten}\) pro Minute, Modell Beta druckt \(60\,\text{Seiten}\) pro Minute. b) Drei Drucker vom Typ Alpha würden zusammen \(41\,\text{Minuten}\) und \(40\,\text{Sekunden}\) benötigen.

- Überlege dir, wie viel Zeit ein Drucker für einen Bruchteil der Arbeit braucht, wenn du seine Gesamtzeit als Unbekannte bezeichnest. - Kannst du für jede der beiden Situationen eine Gleichung aufstellen? - Wie kannst du ein System mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten am besten lösen? - Es hilft oft, die Gleichungen so umzuformen, dass die Brüche verschwinden.

1. Definition der Variablen: \(t_A\) ist die Zeit in Minuten, die Drucker A für den gesamten Auftrag benötigt; \(t_B\) ist die Zeit für Drucker B. 2. Aufstellen des linearen Gleichungssystems basierend auf den Szenarien: Szenario 1: \(\frac{2}{5} t_A + \frac{3}{5} t_B = 100\) Szenario 2: \(\frac{3}{5} t_A + \frac{2}{5} t_B = 80\) 3. Multiplikation beider Gleichungen mit \(5\), um die Brüche zu eliminieren: I: \(2 t_A + 3 t_B = 500\) II: \(3 t_A + 2 t_B = 400\) 4. Lösen des Systems (z. B. Additionsverfahren): Multipliziere I mit \(3\) und II mit \(2\): I': \(6 t_A + 9 t_B = 1500\) II': \(6 t_A + 4 t_B = 800\) Subtraktion II' von I': \(5 t_B = 700 \Rightarrow t_B = 140\). 5. Einsetzen von \(t_B = 140\) in Gleichung I: \(2 t_A + 3 \cdot 140 = 500 \Rightarrow 2 t_A + 420 = 500 \Rightarrow 2 t_A = 80 \Rightarrow t_A = 40\). 6. Ergebnis: Drucker A benötigt \(40\) Minuten, Drucker B benötigt \(140\) Minuten.

Drucker A benötigt \(40\) Minuten, Drucker B benötigt \(140\) Minuten (bzw. \(2\) Stunden und \(20\) Minuten).

- Stelle für jedes Szenario eine Gleichung auf, die den neuen Zustand mit dem alten Zustand vergleicht. - Achte beim Ausmultiplizieren der Klammern besonders auf die Vorzeichen. - Nach dem Vereinfachen erhältst du ein klassisches System mit zwei Variablen. - Überprüfe dein Ergebnis am Ende, indem du die Werte in die ursprünglichen Bedingungen einsetzt.

1. Variablen festlegen: \(x\) für die Anzahl der Reihen, \(y\) für die Anzahl der Plätze pro Reihe. 2. Gleichungssystem aufstellen: \((x + 2) \cdot (y + 5) = xy + 200\) und \((x - 5) \cdot (y - 2) = xy - 150\). 3. Terme vereinfachen: Gleichung 1: \(xy + 5x + 2y + 10 = xy + 200 \implies 5x + 2y = 190\). Gleichung 2: \(xy - 2x - 5y + 10 = xy - 150 \implies 2x + 5y = 160\). 4. System lösen (z. B. Additionsverfahren): Erste Gleichung mit 5 multiplizieren (\(25x + 10y = 950\)), zweite Gleichung mit \(-2\) multiplizieren (\(-4x - 10y = -320\)). 5. Addition der Gleichungen: \(21x = 630 \implies x = 30\). 6. Einsetzen zur Bestimmung von \(y\): \(2 \cdot 30 + 5y = 160 \implies 60 + 5y = 160 \implies 5y = 100 \implies y = 20\).

Der Theatersaal hat aktuell 30 Reihen mit jeweils 20 Plätzen pro Reihe.

- Stelle zuerst je eine Gleichung für die Anzahl der Fahrzeuge und für die Anzahl der Räder auf. - Behandle \(n\) und \(r\) beim Umformen wie feste Zahlen. - Welche Variable lässt sich besonders leicht isolieren? - Prüfe anschließend, wann beide Formeln ganze, nichtnegative Werte liefern: Welche kleinste und größte Radzahl ist bei \(n\) Fahrzeugen möglich?

1. Gleichungssystem aufstellen: I: \(m + a = n\) II: \(2m + 4a = r\) 2. Die erste Gleichung nach \(m\) umstellen: \(m = n - a\). 3. Einsetzen in die zweite Gleichung: \(2 \cdot (n-a) + 4a = r\). 4. Nach \(a\) auflösen: \(2n - 2a + 4a = r \implies 2a = r - 2n \implies a = \frac{r-2n}{2} = \frac{r}{2}-n\). 5. \(a\) in \(m=n-a\) einsetzen: \(m = n-\left(\frac{r}{2}-n\right)=2n-\frac{r}{2}=\frac{4n-r}{2}\). 6. Für Fahrzeugzahlen müssen \(n,r\in\mathbb{N}_0\) gelten. Aus \(a\ge 0\) folgt \(r\ge 2n\), aus \(m\ge 0\) folgt \(r\le 4n\). Damit beide Formeln ganze Zahlen liefern, muss \(r\) gerade sein.

Die Anzahl der Autos ist \(a = \frac{r-2n}{2}\), die Anzahl der Motorräder ist \(m = \frac{4n-r}{2}\). Sinnvolle Fahrzeugzahlen erhält man für \(n,r\in\mathbb{N}_0\), \(2n\le r\le 4n\) und gerades \(r\).

- Für a) muss deine selbst erfundene Gleichung zunächst das vorgegebene Wertepaar erfüllen. - Zwei verschiedene Koeffizienten für die Gruppen können dafür sorgen, dass die zweite Bedingung eine andere Information trägt als die Gesamtzahl. - Bei c) soll die zweite Gleichung dieselbe Information nur skaliert wiederholen. - Für d) kannst du ein geeignetes Vielfaches von \(x+y=28\) von der allgemeinen zweiten Gleichung abziehen.

1. Eine mögliche unabhängige Bedingung ist: Jugendliche erhalten je \(2\) Wertmarken und Erwachsene je \(3\); insgesamt werden \(68\) Wertmarken ausgegeben. Das ergibt \(2x+3y=68\), denn \(2\cdot16+3\cdot12=68\). 2. Zusammen mit \(x+y=28\) folgt nach Verdoppeln der ersten Gleichung \(2x+2y=56\). Subtraktion von \(2x+3y=68\) ergibt \(y=12\), also \(x=16\). Andere passende Beispiele mit \(a\ne b\) sind ebenfalls möglich. 3. Eine abhängige Bedingung wäre zum Beispiel \(2x+2y=56\). Sie ist nur das Doppelte von \(x+y=28\) und schränkt die möglichen Verteilungen nicht weiter ein. 4. Allgemein gilt als zweite Gleichung \(ax+by=16a+12b\). Subtrahiere \(b(x+y=28)\): \((a-b)x=16a+12b-28b=16(a-b)\). 5. Für \(a\ne b\) folgt daraus eindeutig \(x=16\) und damit \(y=12\). Für \(a=b\) wird die zweite Gleichung zu \(a(x+y)=28a\) und ist somit nur ein Vielfaches der ersten Gleichung.

a) Zum Beispiel: \(2x+3y=68\), gedeutet als \(2\) Wertmarken je jugendlicher und \(3\) je erwachsener Person. b) Zusammen mit \(x+y=28\) ergibt sich eindeutig \((x|y)=(16|12)\). c) Zum Beispiel \(2x+2y=56\); diese Gleichung ist nur das Doppelte von \(x+y=28\) und daher abhängig. d) Aus \(ax+by=16a+12b\) und \(x+y=28\) folgt \((a-b)x=16(a-b)\). Für \(a\ne b\) ist daher \(x=16\), \(y=12\); für \(a=b\) ist die zweite Gleichung abhängig.