- Welche Gleichung muss die Gesamtzahl aller beantworteten Aufgaben ausdrücken? - Welches Vorzeichen braucht die Zahl der falschen Antworten in der Punktebilanz?

1. Weil alle Aufgaben entweder richtig oder falsch beantwortet wurden, gilt \(r+f=12\). 2. Die Punktebilanz ist \(2r-f=18\), weil falsche Antworten jeweils einen Punkt abziehen. 3. Damit passt nur System C.

C: \(\begin{cases}r+f=12\\2r-f=18\end{cases}\)

- Übersetze „um \(5\) kleiner“ sorgfältig in einen Term. - Nutze anschließend die bereits gegebene Differenzbedingung zusammen mit der ausgewählten Gleichung. - Prüfe zum Schluss beide Aussagen des Zahlenrätsels.

1. „Das Doppelte der kleineren Zahl“ ist \(2y\). „Um \(5\) kleiner als die größere Zahl“ ist \(x-5\). Daher ist A korrekt: \(2y=x-5\). 2. Aus \(x-y=7\) folgt \(x=y+7\). 3. Einsetzen in \(2y=x-5\) ergibt \(2y=y+2\), also \(y=2\). 4. Damit ist \(x=9\).

a) A: \(2y=x-5\) b) \(x=9\), \(y=2\)

- Ordne jeder Zahl im Text zuerst ihre Bedeutung zu: Welche Zahl beschreibt eine Differenz, welche eine Summe? - Prüfe Nikos Gleichungen einzeln gegen die beiden Sätze im Text. - Die gefundenen Alter müssen sowohl die Altersdifferenz als auch die Summe erfüllen.

1. Die Differenz der Alter beträgt \(4\), nicht \(30\). Daher muss \(l-k=4\) gelten. 2. Die Summe der Alter beträgt \(30\). Daher gilt \(l+k=30\). 3. Addieren liefert \(2l=34\), also \(l=17\). 4. Damit ist \(k=13\).

Niko hat Summe und Differenz vertauscht. Richtig ist \(l-k=4\) und \(l+k=30\). Lena ist \(17\), Karim \(13\) Jahre alt.

- Übersetze „zusammen“ und „um \(8\) größer“ jeweils in eine Gleichung. - Vergleiche die Koeffizienten derselben Variablen in beiden Gleichungen. - Prüfe am Ende Summe und Differenz der gefundenen Zahlen.

1. Setze \(x\) für die größere und \(y\) für die kleinere Zahl. Dann gilt \(\begin{cases}x+y=34\\x-y=8\end{cases}\). 2. Das Additionsverfahren ist besonders günstig, weil sich \(y\) beim Addieren der Gleichungen sofort aufhebt. 3. Addition ergibt \(2x=42\), also \(x=21\). Damit ist \(y=13\). 4. Probe: \(21+13=34\) und \(21-13=8\).

a) Zum Beispiel \(\begin{cases}x+y=34\\x-y=8\end{cases}\) b) Das Additionsverfahren ist besonders günstig, weil sich \(y\) ohne vorheriges Umformen aufhebt. c) Die Zahlen sind \(21\) und \(13\). Beide Angaben werden erfüllt.

- Drücke zuerst den Unterschied zwischen Jans und Kims Erspartem als Gleichung aus. - Was bedeuten „verdoppeln“ und „verdreifachen“ für die beiden Variablen? - Welche Gleichung ist bereits günstig nach einer Variablen aufgelöst?

1. Setze \(x\) für Jans Erspartes und \(y\) für Kims Erspartes. 2. Die Bedingungen ergeben das Gleichungssystem \(\begin{cases}x=y+20\\2x+3y=240\end{cases}\). 3. Setze den Ausdruck aus der ersten Gleichung in die zweite ein: \(2(y+20)+3y=240\). 4. Daraus folgt \(5y+40=240\), also \(y=40\). 5. Mit der ersten Gleichung erhältst du \(x=60\).

Jan hat \(60\,\text{€}\) gespart und Kim \(40\,\text{€}\).

- Schreibe für jede der beiden Bedingungen eine eigene Gleichung auf. - Du hast nun ein System aus zwei Gleichungen. Kannst du eine Variable durch die andere ersetzen? - Wenn du einen Wert gefunden hast, kannst du ihn in eine der Gleichungen einsetzen, um den zweiten Wert zu finden.

1. Aufstellen der Gleichungen: Bedingung 1 ergibt \(x = 1{,}5y\). Bedingung 2 ergibt \(x + y = 35\). 2. Einsetzungsverfahren: Ersetze \(x\) in der zweiten Gleichung durch den Ausdruck aus der ersten Gleichung: \(1{,}5y + y = 35\). 3. Zusammenfassen: \(2{,}5y = 35\). 4. Berechnung von \(y\): \(y = 35 : 2{,}5 = 14\). 5. Berechnung von \(x\): Einsetzen in die erste Gleichung ergibt \(x = 1{,}5 \cdot 14 = 21\). 6. Überprüfung: \(21 + 14 = 35\) und \(21 : 14 = 1{,}5\).

Die Gleichungen lauten \(x = 1{,}5y\) und \(x + y = 35\). Das gesuchte Zahlenpaar ist \((21|14)\).

- Was passiert mit dem Geldbetrag einer Person, wenn sie etwas abgibt? Was passiert bei der Person, die es bekommt? - Kannst du die Bedingungen „doppelt so viel“ und „gleich viel“ in mathematische Zeichen übersetzen? - Stelle für jede der beiden Aussagen eine Gleichung auf. - Es hilft, die Gleichungen erst einmal zu vereinfachen, bevor du ein Lösungsverfahren wählst.

1. Variablen festlegen: \(a\) für Annas Erspartes und \(b\) für Bens Erspartes. 2. Modellieren der ersten Aussage: Erhält Anna \(15\,\text{€}\), hat sie \(a + 15\) und Ben \(b - 15\). Die Gleichung lautet \(a + 15 = 2 \cdot (b - 15)\). 3. Modellieren der zweiten Aussage: Gibt Anna \(5\,\text{€}\) ab, hat sie \(a - 5\) und Ben \(b + 5\). Die Gleichung lautet \(a - 5 = b + 5\). 4. Umformen des Systems: \(a - 2b = -45\) und \(a - b = 10\). 5. Lösen des Systems: Aus der zweiten Gleichung folgt \(a = b + 10\). Einsetzen in die erste: \((b + 10) - 2b = -45 \Rightarrow -b = -55 \Rightarrow b = 55\). 6. Berechnung von \(a\): \(a = 55 + 10 = 65\).

Anna hat \(65{,}00\,\text{€}\) und Ben hat \(55{,}00\,\text{€}\) gespart.

- Übersetze jede der beiden Aussagen in eine Gleichung mit zwei Variablen. - Wie kannst du die Gleichungen so vervielfachen, dass beim Addieren eine Variable verschwindet? - Prüfe am Ende, ob beide Zahlen die beiden Textbedingungen erfüllen.

1. Mit \(x\) als erster und \(y\) als zweiter Zahl gilt \(\begin{cases}2x+3y=50\\5x-2y=11\end{cases}\). 2. Multipliziere die erste Gleichung mit \(2\) und die zweite mit \(3\): \(4x+6y=100\) und \(15x-6y=33\). 3. Addition ergibt \(19x=133\), also \(x=7\). 4. Einsetzen in die erste Gleichung liefert \(14+3y=50\), also \(y=12\).

Die erste Zahl ist \(7\), die zweite Zahl ist \(12\).

- Wähle je eine Variable für die beiden unbekannten Einzelgewichte. - Welche zwei Gleichungen ergeben sich aus den beiden Wägungen? - Wie kannst du die Gleichungen vervielfachen, damit beim Subtrahieren eine Variable verschwindet?

1. Setze \(g\) für das Gewicht einer Goldkugel und \(s\) für das Gewicht einer Silbermünze. Dann gilt \(\begin{cases}2g+3s=48\\3g+2s=57\end{cases}\). 2. Multipliziere die erste Gleichung mit \(3\) und die zweite mit \(2\): \(6g+9s=144\) und \(6g+4s=114\). 3. Subtraktion ergibt \(5s=30\), also \(s=6\). 4. Einsetzen in die erste Gleichung ergibt \(2g+18=48\), also \(g=15\).

Eine Goldkugel wiegt \(15\,\text{g}\), eine Silbermünze \(6\,\text{g}\).

- Wähle je eine Variable für die beiden unbekannten Gewichte. - Übersetze die beiden Wägungen in zwei Gleichungen. - Welche Gleichung lässt sich besonders leicht nach einer Variablen auflösen?

1. Setze \(r\) für das Gewicht eines Rucksacks und \(s\) für das Gewicht eines Schlafsacks. Dann gilt \(\begin{cases}r+2s=4{,}2\\2r+s=3{,}9\end{cases}\). 2. Aus der zweiten Gleichung folgt \(s=3{,}9-2r\). Einsetzen in die erste ergibt \(r+2(3{,}9-2r)=4{,}2\). 3. Daraus folgt \(-3r=-3{,}6\), also \(r=1{,}2\). 4. Mit der zweiten Gleichung erhältst du \(s=1{,}5\).

Ein Rucksack wiegt \(1{,}2\,\text{kg}\), ein Schlafsack \(1{,}5\,\text{kg}\).

- Welche Einheit sollten die beiden gesuchten Zuflussraten haben? - Wie setzt sich die gesammelte Wassermenge aus Rate und Zeit zusammen? - Für Teil b brauchst du nach dem Lösen nur noch die beiden Raten zu addieren.

1. Setze \(a\) und \(b\) für die Zuflussraten in \(\text{l}/\text{h}\). 2. Es gilt \(\begin{cases}3a+2b=110\\2a+4b=140\end{cases}\). 3. Teile die zweite Gleichung durch \(2\): \(a+2b=70\), also \(a=70-2b\). 4. Einsetzen in die erste ergibt \(3(70-2b)+2b=110\), also \(b=25\). 5. Damit ist \(a=20\). Die Zuflussraten sind \(20\,\text{l}/\text{h}\) und \(25\,\text{l}/\text{h}\). 6. Gemeinsam liefern beide \(45\,\text{l}/\text{h}\). 7. Für \(225\,\text{l}\) werden \(225:45=5\,\text{h}\) benötigt.

a) Dachfläche A: \(20\,\text{l}/\text{h}\); Dachfläche B: \(25\,\text{l}/\text{h}\) b) Gemeinsam werden \(5\,\text{h}\) benötigt.

- Beschreibe für beide Rechnerprofile eine Rate in Bildern pro Minute. - Welche Beziehung folgt daraus, dass beide zusammen \(5000\) Bilder in \(50\) Minuten schaffen? - Wie verändert sich die Gesamtrate, wenn drei gleich schnelle Rechner parallel an unabhängigen Bildern arbeiten?

1. Setze \(a\) und \(b\) als Rendergeschwindigkeiten in Bildern pro Minute. 2. Aus dem gemeinsamen Rendern folgt \(50(a+b)=5000\), also \(a+b=100\). Aus dem Test folgt \(20a+30b=2600\). Damit lautet das LGS \(\begin{cases}a+b=100\\20a+30b=2600\end{cases}\). 3. Multipliziere die erste Gleichung mit \(20\): \(20a+20b=2000\). Subtraktion von der zweiten Gleichung ergibt \(10b=600\), also \(b=60\) und damit \(a=40\). 4. Drei Alpha-Rechner rendern zusammen \(3\cdot40=120\) Bilder pro Minute. 5. Für \(5000\) Bilder benötigen sie \(5000:120=\frac{125}{3}\,\text{Minuten}=41\,\text{Minuten}\;40\,\text{Sekunden}\).

a) Alpha: \(40\) Bilder pro Minute; Beta: \(60\) Bilder pro Minute b) Drei Alpha-Rechner benötigen \(41\,\text{Minuten}\;40\,\text{Sekunden}\).

- Kannst du die Aussagen von Lukas und Mia in mathematische Gleichungen übersetzen? - Welche Unbekannten suchen wir in dieser Aufgabe? - Welches Verfahren (Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren) bietet sich hier an? - Achte darauf, dass „zwei Fünftel deines Geldes“ als Bruch oder Dezimalzahl geschrieben werden kann.

1. Definition der Variablen: \(L\) für das Geld von Lukas und \(M\) für das Geld von Mia in Euro. 2. Aufstellen des Gleichungssystems: (I) \(L + \frac{2}{5}M = 30\) (II) \(M + \frac{1}{2}L = 30\) 3. Umstellen von Gleichung (II) nach \(M\): \(M = 30 - 0{,}5L\). 4. Einsetzen in Gleichung (I): \(L + 0{,}4 \cdot (30 - 0{,}5L) = 30\). 5. Vereinfachen und nach \(L\) auflösen: \(L + 12 - 0{,}2L = 30 \Rightarrow 0{,}8L = 18 \Rightarrow L = 22{,}5\). 6. Berechnung von \(M\): \(M = 30 - 0{,}5 \cdot 22{,}5 = 30 - 11{,}25 = 18{,}75\).

Lukas hat \(22{,}50\,\text{€}\) und Mia hat \(18{,}75\,\text{€}\).

- Stelle für jeden der beiden beschriebenen Fälle eine Gleichung auf. - Was passiert mit der Wassermenge im jeweils anderen Becher in deiner Rechnung? - Hast du am Ende geprüft, ob deine Lösung für beide Bedingungen der Aufgabe passt? - Wie berechnet man die Gesamtmenge, wenn man die Einzelmengen kennt?

1. Definition der Variablen: \(x\) für Becher A und \(y\) für Becher B in \(\text{ml}\). 2. Aufstellen des Gleichungssystems: (I) \(x + \frac{1}{3}y = 120\) (II) \(y + \frac{1}{2}x = 150\) 3. Lösung des Systems (z. B. Additionsverfahren): Multiplikation von (I) mit \(3\) ergibt \(3x + y = 360\), also \(y = 360 - 3x\). 4. Einsetzen in (II): \(360 - 3x + 0{,}5x = 150 \Rightarrow -2{,}5x = -210 \Rightarrow x = 84\). 5. Berechnung von \(y\): \(y = 360 - 3 \cdot 84 = 360 - 252 = 108\). 6. Gesamtmenge berechnen: \(84\,\text{ml} + 108\,\text{ml} = 192\,\text{ml}\).

a) In Becher A befanden sich ursprünglich \(84\,\text{ml}\) und in Becher B \(108\,\text{ml}\). b) Insgesamt befinden sich \(192\,\text{ml}\) Wasser in den Bechern.

- Stelle für jede der beiden Bedingungen eine Gleichung mit zwei Variablen auf. - Achte darauf, wie die Klammern gesetzt werden müssen, wenn sich die Längenänderung auf die gesamte Stange bezieht. - Überlege, wie du den Bruch in der zweiten Gleichung am geschicktesten eliminieren kannst. - Prüfe dein Ergebnis, indem du die berechneten Längen in die ursprünglichen Bedingungen einsetzt.

1. Variablen festlegen: \(a\) für die Länge von Stange \(A\) und \(b\) für die Länge von Stange \(B\) in \(\text{cm}\). 2. Bedingung 1 als Gleichung: \(a + 50 = 2 \cdot (b + 10)\). 3. Bedingung 2 als Gleichung: \(b + 50 = \frac{3}{4} \cdot (a + 10)\). 4. Erste Gleichung nach \(a\) umformen: \(a = 2b + 20 - 50 = 2b - 30\). 5. Einsetzen in die zweite Gleichung: \(b + 50 = \frac{3}{4} \cdot (2b - 30 + 10) = \frac{3}{4} \cdot (2b - 20)\). 6. Mit \(4\) multiplizieren, um den Bruch zu eliminieren: \(4b + 200 = 3 \cdot (2b - 20) \Rightarrow 4b + 200 = 6b - 60\). 7. Nach \(b\) auflösen: \(260 = 2b \Rightarrow b = 130\). 8. \(a\) berechnen: \(a = 2 \cdot 130 - 30 = 230\).

Stange \(A\) ist \(230\,\text{cm}\) lang und Stange \(B\) ist \(130\,\text{cm}\) lang.

- Kannst du für beide Personen eine Variable festlegen? - Wie verändert sich die Anzahl der Karten bei jeder Person, wenn Karten getauscht werden? - Versuche, für jede der beiden Aussagen eine eigene Gleichung aufzustellen. - Was bedeutet „doppelt so viele“ mathematisch ausgedrückt? - Welches Verfahren eignet sich am besten, um das Gleichungssystem zu lösen?

1. Variablen festlegen: \(x\) für die Anzahl der Karten von Lukas, \(y\) für die Anzahl der Karten von Marie 2. Erste Bedingung (Lukas erhält 10 Karten): \(x + 10 = 2 \cdot (y - 10)\) 3. Zweite Bedingung (Marie erhält 10 Karten): \(x - 10 = y + 10\) 4. Zweite Gleichung nach \(x\) auflösen: \(x = y + 20\) 5. \(x\) in die erste Gleichung einsetzen: \((y + 20) + 10 = 2y - 20\) 6. Gleichung vereinfachen: \(y + 30 = 2y - 20\) 7. Nach \(y\) auflösen: \(y = 50\) 8. \(x\) berechnen: \(x = 50 + 20 = 70\)

Lukas hatte zu Beginn 70 Karten und Marie hatte 50 Karten.

- Lege zuerst fest, welche beiden unbekannten Einzelmassen deine Variablen beschreiben. - Übersetze jede Wägung getrennt in eine Gleichung. - Prüfe nach dem Lösen beide ursprünglichen Wägungen mit deinen Werten.

1. Sei \(r\) die Masse einer roten und \(b\) die Masse einer blauen Kiste in Kilogramm. Dann gilt \(3r+2b=34\) und \(r+4b=38\). 2. Aus der zweiten Gleichung folgt \(r=38-4b\). 3. Einsetzen ergibt \(3(38-4b)+2b=34\), also \(114-10b=34\). Daher ist \(b=8\). 4. Damit ist \(r=38-4\cdot8=6\). 5. Probe: \(3\cdot6+2\cdot8=34\) und \(6+4\cdot8=38\).

a) Zum Beispiel: \(r\) = Masse einer roten Kiste, \(b\) = Masse einer blauen Kiste; \(3r+2b=34\), \(r+4b=38\) b) \((r|b)=(6|8)\) c) Eine rote Kiste wiegt \(6\,\text{kg}\), eine blaue \(8\,\text{kg}\); beide Angaben werden erfüllt.

- Lege zuerst fest, wofür jede Variable steht. - Welche Gleichung zählt Zimmer, welche Schlafplätze? - Beim Doppelzimmer gehören zu einem Zimmer zwei Schlafplätze.

1. Setze \(x\) für die Anzahl der Einzelzimmer und \(y\) für die Anzahl der Doppelzimmer. 2. Aus der Zimmerzahl folgt \(x+y=38\). Aus der Zahl der Schlafplätze folgt \(x+2y=62\). Damit lautet das LGS \(\begin{cases}x+y=38\\x+2y=62\end{cases}\). 3. Subtrahiere die erste Gleichung von der zweiten: \(y=24\). 4. Mit der ersten Gleichung folgt \(x=14\). Die Werte sind nichtnegativ und erfüllen beide Angaben.

Zum Beispiel: \(x\) = Anzahl der Einzelzimmer, \(y\) = Anzahl der Doppelzimmer. \(\begin{cases}x+y=38\\x+2y=62\end{cases}\). Es gibt 14 Einzelzimmer und 24 Doppelzimmer.

- Übersetze beide Beobachtungen zunächst jeweils in eine Gleichung. - Prüfe, ob eine der neuen Gleichungen nur ein Vielfaches der bereits bekannten Summengleichung ist. - Eine unabhängige zweite Gleichung muss tatsächlich neue Information über das Verhältnis von \(r\) und \(b\) liefern.

1. Beobachtung A enthält keine neue Information: Sie entspricht nur \(2r+2b=60\), also dem Doppelten von \(r+b=30\). 2. Beobachtung B liefert \(r-6=b\), äquivalent zu \(r-b=6\). Diese Gleichung ist nicht nur ein Vielfaches der ersten. 3. Das LGS lautet \(\begin{cases}r+b=30\\r-b=6\end{cases}\). 4. Addieren ergibt \(2r=36\), also \(r=18\) und \(b=12\).

Beobachtung B ist unabhängig. Das LGS lautet \(\begin{cases}r+b=30\\r-b=6\end{cases}\). Es gibt 18 rote und 12 blaue Spielsteine.

- Welche Größe bleibt bei beiden Anordnungen gleich? - Schreibe die Sitzplatzzahl für beide Anordnungen als Produkt aus Reihen und Stühlen pro Reihe. - Multipliziere die veränderte Produktform aus und beobachte, welcher Term auf beiden Seiten vorkommt. - Übersetze zusätzlich „3 Reihen mehr als Stühle pro Reihe“ in eine lineare Gleichung.

1. Die geplante Sitzplatzzahl beträgt \(nt\). Bei der veränderten Anordnung wären es \((n+2)(t-1)\). Daher gilt \(nt=(n+2)(t-1)\). 2. Ausmultiplizieren ergibt \(nt=nt-n+2t-2\). Der gemeinsame Produktterm \(nt\) fällt weg, sodass \(n-2t=-2\) entsteht. 3. Aus „3 Reihen mehr als Stühle pro Reihe“ folgt \(n-t=3\). Damit lautet das lineare LGS \(\begin{cases}n-2t=-2\\n-t=3\end{cases}\). 4. Aus der zweiten Gleichung folgt \(n=t+3\). Einsetzen in die erste ergibt \(t+3-2t=-2\), also \(t=5\) und \(n=8\). 5. Probe: \(8\cdot5=40\) und \(10\cdot4=40\) Sitzplätze.

Geplant sind 8 Reihen mit jeweils 5 Stühlen. Die Produktgleichung führt zum LGS \(\begin{cases}n-2t=-2\\n-t=3\end{cases}\).

- Schreibe die Angabe zu den Aufgabenzahlen und die Angabe zu den Punkten als zwei Gleichungen. - Vergleiche die drei Verfahren: Bei welchem müsstest du hier am wenigsten umformen? - Prüfe am Ende sowohl die Anzahl der Aufgaben als auch die Punktzahl.

1. Setze \(s\) für die Zahl der Standardaufgaben und \(k\) für die Zahl der Knobelaufgaben. Dann gilt \(s=2k+3\) und \(2s+3k=41\). 2. Das Einsetzungsverfahren ist hier günstig, weil eine Gleichung schon nach \(s\) aufgelöst ist. 3. Einsetzen ergibt \(2(2k+3)+3k=41\). Daraus folgt \(7k=35\), also \(k=5\). 4. Damit ist \(s=13\). 5. Probe: \(13=2\cdot5+3\) und \(2\cdot13+3\cdot5=41\).

a) Zum Beispiel \(\begin{cases}s=2k+3\\2s+3k=41\end{cases}\) b) Das Einsetzungsverfahren ist günstig, weil eine Variable schon allein steht. c) \(13\) Standardaufgaben und \(5\) Knobelaufgaben. Beide Angaben stimmen.

- Beschreibe zunächst, welchen Anteil des gesamten Auftrags jedes Modell pro Stunde schafft. - Wie verändert sich die gemeinsame Rate, wenn zwei Geräte desselben Modells gleichzeitig arbeiten? - Wie hängen Arbeitsrate und benötigte Zeit für genau einen ganzen Auftrag zusammen?

1. Setze \(r_X\) und \(r_Y\) als Arbeitsraten in Aufträgen pro Stunde. Dann gilt \(\begin{cases}r_X+r_Y=\frac{1}{4}\\2r_X+r_Y=\frac{1}{3}\end{cases}\). 2. Subtrahiere die erste Gleichung von der zweiten: \(r_X=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}\). 3. Einsetzen in die erste Gleichung ergibt \(r_Y=\frac{1}{4}-\frac{1}{12}=\frac{1}{6}\). 4. Die benötigte Zeit ist jeweils der Kehrwert der Rate. Modell X benötigt \(12\,\text{Stunden}\), Modell Y \(6\,\text{Stunden}\).

Modell X benötigt allein \(12\,\text{Stunden}\), Modell Y allein \(6\,\text{Stunden}\).

- Was bedeuten \(a\) und \(b\) nach mehreren Stunden? - Schreibe für die beiden Tests je eine Gleichung. - Überlege beim Lösen, wie eine Variable wegfallen kann. - Vergleiche die beiden Raten erst, nachdem du sie berechnet hast.

1. \(a\) und \(b\) geben an, welchen Anteil der benötigten Energie die beiden Anlagen in einer Stunde liefern. 2. Aus den beiden Tests folgt das LGS \(\begin{cases}4a+2b=\frac{1}{2}\\2a+5b=1\end{cases}\). 3. Multipliziere die zweite Gleichung mit \(2\) und subtrahiere die erste: \(8b=\frac{3}{2}\). Also ist \(b=\frac{3}{16}\). 4. Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt \(2a+\frac{15}{16}=1\). Daher ist \(a=\frac{1}{32}\). 5. Es gilt \(\frac{b}{a}=6\). Anlage B liefert pro Stunde sechsmal so viel von der benötigten Energie wie Anlage A.

a) \(\begin{cases}4a+2b=\frac{1}{2}\\2a+5b=1\end{cases}\) b) \(a=\frac{1}{32}\), \(b=\frac{3}{16}\) der benötigten Energie pro Stunde c) Anlage B hat die größere Rate. Sie ist sechsmal so groß wie die von Anlage A.

- Beschreibe die Ladeleistung als Anteil des gesamten Speichers pro Stunde. - Welche Information liefert die gemeinsame Ladezeit über die Summe der beiden Raten? - Für Teil b: Verdoppelt wird nur die Rate von B, nicht die Rate von A.

1. Setze \(r_A\) und \(r_B\) für die Ladeanteile pro Stunde. Dann gilt \(r_A+r_B=\frac{1}{12}\). 2. Aus dem Test folgt \(4(r_A+r_B)+20r_B=1\). 3. Einsetzen der gemeinsamen Rate ergibt \(4\cdot\frac{1}{12}+20r_B=1\), also \(r_B=\frac{1}{30}\). 4. Damit ist \(r_A=\frac{1}{12}-\frac{1}{30}=\frac{1}{20}\). A benötigt allein \(20\,\text{h}\), B allein \(30\,\text{h}\). 5. Bei verdoppelter Leistung von B beträgt die gemeinsame Rate \(\frac{1}{20}+2\cdot\frac{1}{30}=\frac{7}{60}\). 6. Die neue Ladezeit ist \(1:\frac{7}{60}=\frac{60}{7}\,\text{h}\approx8{,}57\,\text{h}\). 7. Die Hälfte von \(12\,\text{h}\) wären \(6\,\text{h}\). Daher ist die Behauptung falsch.

a) Ladegerät A: \(20\,\text{h}\); Ladegerät B: \(30\,\text{h}\) b) Die Behauptung ist falsch. Die neue gemeinsame Ladezeit beträgt \(\frac{60}{7}\,\text{h}\approx8{,}57\,\text{h}\), nicht \(6\,\text{h}\).

- Stelle zuerst ein System aus zwei Gleichungen auf, wobei eine die alte und eine die neue Situation beschreibt. - Achte darauf, wie du eine Zeitverringerung mathematisch ausdrückst, zum Beispiel mit dem Faktor \(0{,}8\) bei einer Verringerung um \(20\,\%\). - Überlege dir für den zweiten Teil, für welches Modell insgesamt mehr Zeit verbraucht wurde. Welchen Einfluss hat das auf den gewichteten Gesamtdurchschnitt?

1. Variablen festlegen: \(x\) für die ursprüngliche Zeit pro Standard-Regal, \(y\) für die ursprüngliche Zeit pro Luxus-Regal (in Stunden). 2. Erste Gleichung: \(50x + 40y = 130\). Vereinfacht: \(5x + 4y = 13\). 3. Zweite Gleichung mit Zeitreduktion (\(0{,}8x\) und \(0{,}9y\)): \(50 \cdot (0{,}8x) + 40 \cdot (0{,}9y) = 111 \Rightarrow 40x + 36y = 111\). 4. Lösen des Systems: Aus der ersten Gleichung folgt \(40x = 8 \cdot (13 - 4y) = 104 - 32y\). Einsetzen in die zweite: \(104 - 32y + 36y = 111 \Rightarrow 4y = 7 \Rightarrow y = 1{,}75\). 5. Berechnung von \(x\): \(5x + 4 \cdot 1{,}75 = 13 \Rightarrow 5x + 7 = 13 \Rightarrow 5x = 6 \Rightarrow x = 1{,}2\). 6. Ergebnis zu Teil a): Das Standard-Regal benötigte \(1{,}2\,\text{Stunden}\) (\(72\,\text{Minuten}\)), das Luxus-Regal \(1{,}75\,\text{Stunden}\) (\(105\,\text{Minuten}\)). 7. Erklärung zu Teil b): Die Gesamtersparnis ist ein gewichteter Durchschnitt. Auf die Luxus-Regale entfällt ursprünglich ein größerer Anteil der gesamten Arbeitszeit als auf die Standard-Regale. Deshalb beeinflusst die geringere Einzelersparnis von \(10\,\%\) den Gesamtwert stärker, sodass er unter \(15\,\%\) liegt und näher bei \(10\,\%\) als bei \(20\,\%\).

a) Ursprünglich benötigte ein Standard-Regal \(1{,}2\,\text{Stunden}\) und ein Luxus-Regal \(1{,}75\,\text{Stunden}\). b) Die Gesamtersparnis liegt näher bei \(10\,\%\), weil für die Luxus-Regale (mit der geringeren Ersparnis) insgesamt mehr Arbeitszeit aufgewendet wurde als für die Standard-Regale.

- Welche Größe bleibt in allen drei Planungsszenarien gleich? - Multipliziere die veränderte Zahl der Knoten mit der veränderten Laufzeit und vergleiche mit \(nt\). - Welche Terme fallen beim Ausmultiplizieren auf beiden Seiten weg?

1. Setze \(n\) für die Zahl der Renderknoten und \(t\) für die geplante Laufzeit in Stunden. Der gesamte Rechenaufwand ist proportional zu \(nt\). 2. Aus den beiden Szenarien folgt \((n+2)(t-2)=nt\) und \((n-3)(t+6)=nt\). 3. Ausmultiplizieren der ersten Gleichung ergibt \(-2n+2t=4\), also \(-n+t=2\). 4. Ausmultiplizieren der zweiten Gleichung ergibt \(6n-3t=18\), also \(2n-t=6\). Damit erhält man das lineare Gleichungssystem \(\begin{cases}-n+t=2\\2n-t=6\end{cases}\). 5. Addition der beiden Gleichungen ergibt \(n=8\). 6. Einsetzen in die erste Gleichung liefert \(t=10\).

Geplant waren \(8\) Renderknoten für \(10\,\text{h}\).

- Welche Größe muss bei identischen Scanstationen in allen Varianten gleich bleiben? - Schreibe für jede Variante „Anzahl der Stationen mal Laufzeit“. - Nach dem Ausmultiplizieren entsteht ein lineares System in \(n\) und \(t\).

1. Setze \(n\) für die Zahl der Scanstationen und \(t\) für die Betriebszeit pro Station. Der konstante Gesamtaufwand ist proportional zu \(nt\). 2. Es gilt \(nt=(n+4)(t-1)\) und \(nt=(n-3)(t+1{,}5)\). 3. Ausmultiplizieren und Kürzen von \(nt\) liefert das lineare LGS \(\begin{cases}-n+4t=4\\1{,}5n-3t=4{,}5\end{cases}\). 4. Aus der ersten Gleichung folgt \(n=4t-4\). Einsetzen in die zweite ergibt \(1{,}5(4t-4)-3t=4{,}5\), also \(t=3{,}5\). 5. Damit ist \(n=10\). 6. Der Gesamtaufwand beträgt \(10\cdot3{,}5=35\) Stationsstunden.

Ursprünglich waren \(10\) Scanstationen mit jeweils \(3{,}5\,\text{h}\) Betriebszeit geplant. Der Gesamtaufwand beträgt \(35\) Stationsstunden.

- Beschreibe die Förderleistung jeder Pumpe als Anteil eines ganzen Tankinhalts pro Stunde. - Welche zwei Gleichungen folgen aus den beiden Betriebsplänen? - Wie erhältst du aus einem geförderten Anteil pro Stunde die Zeit für einen ganzen Tankinhalt?

1. Setze \(x\) und \(y\) als Förderanteile des Tankinhalts pro Stunde für Pumpe A und B. 2. Aus den beiden Betriebsplänen folgt das LGS \(\begin{cases}x+y=\frac{1}{12}\\6x+3y=0{,}4\end{cases}\). 3. Setze \(y=\frac{1}{12}-x\) in die zweite Gleichung ein: \(6x+3(\frac{1}{12}-x)=\frac{2}{5}\). 4. Daraus folgt \(3x+\frac{1}{4}=\frac{2}{5}\), also \(x=\frac{1}{20}\) und \(y=\frac{1}{30}\). 5. Die Kehrwerte der Raten ergeben \(20\,\text{Stunden}\) für Pumpe A und \(30\,\text{Stunden}\) für Pumpe B.

Pumpe A benötigt allein \(20\,\text{Stunden}\), Pumpe B \(30\,\text{Stunden}\).

- Verwende für beide Roboter eine Rate „Anteil der Gesamtfläche pro Stunde“. - Übersetze die beiden Einsatzpläne in Gleichungen, bevor du Einzelzeiten berechnest. - Für Teil b brauchst du die Summe der beiden Raten und einen Vergleich mit dem schnelleren Roboter.

1. Setze \(x\) und \(y\) als gereinigte Flächenanteile pro Stunde. Dann gilt \(\begin{cases}2(x+y)=\frac{1}{3}\\4x+y=\frac{1}{2}\end{cases}\). 2. Aus der zweiten Gleichung folgt \(y=\frac{1}{2}-4x\). Einsetzen in die erste Gleichung ergibt \(2(\frac{1}{2}-3x)=\frac{1}{3}\). 3. Daraus folgt \(x=\frac{1}{9}\) und \(y=\frac{1}{18}\). 4. Allein benötigt A \(9\,\text{Stunden}\), B \(18\,\text{Stunden}\). 5. Gemeinsam ist die Rate \(\frac{1}{9}+\frac{1}{18}=\frac{1}{6}\); die gesamte Fläche dauert also \(6\,\text{Stunden}\). 6. Gegenüber Roboter A werden \(9-6=3\,\text{Stunden}\) gespart.

a) Roboter A: \(9\,\text{Stunden}\); Roboter B: \(18\,\text{Stunden}\) b) Der gemeinsame Einsatz spart \(3\,\text{Stunden}\).

- Wenn ein Rechner nur einen Bruchteil des Videos bearbeitet, welcher Bruchteil seiner vollständigen Exportzeit fällt dann an? - Übersetze beide Aufteilungen in je eine Gleichung. - Beseitige zunächst die Fünftel, bevor du das LGS löst.

1. Setze \(t_A\) und \(t_B\) für die Zeiten, die A beziehungsweise B allein für das vollständige Video benötigen. 2. Für die beiden Aufteilungen gilt \(\begin{cases}\frac{2}{5}t_A+\frac{3}{5}t_B=100\\\frac{3}{5}t_A+\frac{2}{5}t_B=80\end{cases}\). 3. Multipliziere beide Gleichungen mit \(5\). Es entsteht \(\begin{cases}2t_A+3t_B=500\\3t_A+2t_B=400\end{cases}\). 4. Multipliziere die erste Gleichung mit \(3\) und die zweite mit \(2\). Subtraktion ergibt \(5t_B=700\), also \(t_B=140\). 5. Einsetzen in die erste Gleichung liefert \(2t_A+420=500\), also \(t_A=40\).

Rechner A benötigt allein \(40\,\text{min}\), Rechner B allein \(140\,\text{min}\).

- Stelle für jedes Szenario eine Gleichung auf, die den neuen Zustand mit dem alten Zustand vergleicht. - Achte beim Ausmultiplizieren der Klammern besonders auf die Vorzeichen. - Nach dem Vereinfachen erhältst du ein klassisches System mit zwei Variablen. - Überprüfe dein Ergebnis am Ende, indem du die Werte in die ursprünglichen Bedingungen einsetzt.

1. Variablen festlegen: \(x\) für die Anzahl der Reihen, \(y\) für die Anzahl der Plätze pro Reihe. 2. Gleichungssystem aufstellen: \((x + 2) \cdot (y + 5) = xy + 200\) und \((x - 5) \cdot (y - 2) = xy - 150\). 3. Terme vereinfachen: Gleichung 1: \(xy + 5x + 2y + 10 = xy + 200 \implies 5x + 2y = 190\). Gleichung 2: \(xy - 2x - 5y + 10 = xy - 150 \implies 2x + 5y = 160\). 4. System lösen (z. B. Additionsverfahren): Erste Gleichung mit 5 multiplizieren (\(25x + 10y = 950\)), zweite Gleichung mit \(-2\) multiplizieren (\(-4x - 10y = -320\)). 5. Addition der Gleichungen: \(21x = 630 \implies x = 30\). 6. Einsetzen zur Bestimmung von \(y\): \(2 \cdot 30 + 5y = 160 \implies 60 + 5y = 160 \implies 5y = 100 \implies y = 20\).

Der Theatersaal hat aktuell 30 Reihen mit jeweils 20 Plätzen pro Reihe.

- Stelle zuerst je eine Gleichung für die Anzahl der Fahrzeuge und für die Anzahl der Räder auf. - Behandle \(n\) und \(r\) beim Umformen wie feste Zahlen. - Welche Variable lässt sich besonders leicht isolieren? - Prüfe anschließend, wann beide Formeln ganze, nichtnegative Werte liefern: Welche kleinste und größte Radzahl ist bei \(n\) Fahrzeugen möglich?

1. Gleichungssystem aufstellen: I: \(m + a = n\) II: \(2m + 4a = r\) 2. Die erste Gleichung nach \(m\) umstellen: \(m = n - a\). 3. Einsetzen in die zweite Gleichung: \(2 \cdot (n-a) + 4a = r\). 4. Nach \(a\) auflösen: \(2n - 2a + 4a = r \implies 2a = r - 2n \implies a = \frac{r-2n}{2} = \frac{r}{2}-n\). 5. \(a\) in \(m=n-a\) einsetzen: \(m = n-\left(\frac{r}{2}-n\right)=2n-\frac{r}{2}=\frac{4n-r}{2}\). 6. Für Fahrzeugzahlen müssen \(n,r\in\mathbb{N}_0\) gelten. Aus \(a\ge 0\) folgt \(r\ge 2n\), aus \(m\ge 0\) folgt \(r\le 4n\). Damit beide Formeln ganze Zahlen liefern, muss \(r\) gerade sein.

Die Anzahl der Autos ist \(a = \frac{r-2n}{2}\), die Anzahl der Motorräder ist \(m = \frac{4n-r}{2}\). Sinnvolle Fahrzeugzahlen erhält man für \(n,r\in\mathbb{N}_0\), \(2n\le r\le 4n\) und gerades \(r\).

- Für a) muss deine selbst erfundene Gleichung zunächst das vorgegebene Wertepaar erfüllen. - Zwei verschiedene Koeffizienten für die Gruppen können dafür sorgen, dass die zweite Bedingung eine andere Information trägt als die Gesamtzahl. - Bei c) soll die zweite Gleichung dieselbe Information nur skaliert wiederholen. - Für d) kannst du ein geeignetes Vielfaches von \(x+y=28\) von der allgemeinen zweiten Gleichung abziehen.

1. Eine mögliche unabhängige Bedingung ist: Jugendliche erhalten je \(2\) Wertmarken und Erwachsene je \(3\); insgesamt werden \(68\) Wertmarken ausgegeben. Das ergibt \(2x+3y=68\), denn \(2\cdot16+3\cdot12=68\). 2. Zusammen mit \(x+y=28\) folgt nach Verdoppeln der ersten Gleichung \(2x+2y=56\). Subtraktion von \(2x+3y=68\) ergibt \(y=12\), also \(x=16\). Andere passende Beispiele mit \(a\ne b\) sind ebenfalls möglich. 3. Eine abhängige Bedingung wäre zum Beispiel \(2x+2y=56\). Sie ist nur das Doppelte von \(x+y=28\) und schränkt die möglichen Verteilungen nicht weiter ein. 4. Allgemein gilt als zweite Gleichung \(ax+by=16a+12b\). Subtrahiere \(b(x+y=28)\): \((a-b)x=16a+12b-28b=16(a-b)\). 5. Für \(a\ne b\) folgt daraus eindeutig \(x=16\) und damit \(y=12\). Für \(a=b\) wird die zweite Gleichung zu \(a(x+y)=28a\) und ist somit nur ein Vielfaches der ersten Gleichung.

a) Zum Beispiel: \(2x+3y=68\), gedeutet als \(2\) Wertmarken je jugendlicher und \(3\) je erwachsener Person. b) Zusammen mit \(x+y=28\) ergibt sich eindeutig \((x|y)=(16|12)\). c) Zum Beispiel \(2x+2y=56\); diese Gleichung ist nur das Doppelte von \(x+y=28\) und daher abhängig. d) Aus \(ax+by=16a+12b\) und \(x+y=28\) folgt \((a-b)x=16(a-b)\). Für \(a\ne b\) ist daher \(x=16\), \(y=12\); für \(a=b\) ist die zweite Gleichung abhängig.