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- Welche Rechenoperation verbindet \(v\) mit \(t\)? - Nutze die Umkehroperation auf beiden Seiten der Gleichung.

1. Beide Seiten werden durch \(t\) geteilt. 2. Damit ist \(v=\frac{s}{t}\).

\(v=\frac{s}{t}\)

- Welche Rechenoperation hält \(F\) im Bruch fest? - Nutze die passende Umkehroperation auf beiden Seiten.

1. Beide Seiten werden mit \(A\) multipliziert. 2. Damit ist \(F=pA\).

\(F=pA\)

- Was genau ist in der Aufgabe gegeben und was wird gesucht? - Überlege, wie du die Variable im Nenner isolieren kannst. - Stell dir vor, du müsstest die Rechnung für 100 verschiedene Werte durchführen – welcher Weg wäre dann weniger Schreibarbeit? - Erinnerst du dich an die Regeln zum Lösen von Gleichungen mit Brüchen?

1. Umstellen der Formel \(P = \frac{W}{t}\) nach \(t\): Multiplikation mit \(t\) ergibt \(P \cdot t = W\), Division durch \(P\) ergibt \(t = \frac{W}{P}\). 2. Einsetzen der Werte für die erste Berechnung: \(t = \frac{2500\,\text{J}}{500\,\text{W}} = 5\,\text{s}\). 3. Analyse des Vorteils von Weg A: Durch das einmalige Umstellen erhält man eine allgemeine Lösungsgleichung. Für weitere Werte von \(W\) müssen diese nur noch in den fertigen Ausdruck eingesetzt werden, ohne dass jedes Mal erneut algebraische Umformungsschritte durchgeführt werden müssen. Dies spart Zeit und verringert die Fehleranfälligkeit bei Serienberechnungen.

a) \(t = 5\,\text{s}\) b) Der Vorteil von Weg A ist die Effizienz: Man muss die Formel nur ein einziges Mal allgemein umstellen. Danach können beliebige Werte für \(W\) direkt eingesetzt werden, ohne die gesamte Gleichung jedes Mal neu auflösen zu müssen.

- Überlege dir, welche Rechenoperation die bestehende Verknüpfung aufhebt (z. B. Multiplikation hebt Division auf). - Versuche im ersten Schritt, den Bruch zu beseitigen, indem du mit dem Nenner multiplizierst. - Behandle alle Variablen, nach denen nicht aufgelöst werden soll, wie feste Zahlen.

a) Multiplikation mit \(2\) ergibt \(2A = (a + c)h\). Division durch \(h\) führt zu \(\frac{2A}{h} = a + c\). Subtraktion von \(a\) ergibt \(c = \frac{2A}{h} - a\). b) Multiplikation mit \(t\) ergibt \(vt = s_2 - s_1\). Umstellen nach \(s_1\) durch Addition von \(s_1\) und Subtraktion von \(vt\) ergibt \(s_1 = s_2 - vt\). c) Multiplikation mit \(A\) ergibt \(pA = F\). Division durch \(p\) ergibt \(A = \frac{F}{p}\). Bedingungen: a) \(h \neq 0\); b) \(t \neq 0\); c) \(p \neq 0\) und \(F \neq 0\), damit der berechnete Wert \(A\) nicht null ist.

a) \(c=\frac{2A}{h}-a\) für \(h \neq 0\) b) \(s_1=s_2-vt\) für \(t \neq 0\) c) \(A=\frac{F}{p}\) für \(p \neq 0\), \(F \neq 0\)

- Welche Umkehroperation isoliert den Platzhalter? - Wann ist ein Bruch nicht definiert? - Achte darauf, welche Variable nach dem Umstellen im Nenner steht.

1. a) Division durch \(h\): \(\square=\frac{A}{h}\), mit \(h \neq 0\). 2. b) Der Platzhalter ist bereits isoliert: \(\square=\frac{s}{t}\), mit \(t \neq 0\). 3. c) Division durch \(r\): \(\square=\frac{C}{r}\), mit \(r \neq 0\).

a) \(\square=\frac{A}{h}\), \(h \neq 0\) b) \(\square=\frac{s}{t}\), \(t \neq 0\) c) \(\square=\frac{C}{r}\), \(r \neq 0\)

- Wie gehst du vor, wenn ein Bruch in der Formel vorkommt, zum Beispiel \(\frac{1}{3}\)? - Wenn der gesuchte Platzhalter im Nenner steht, wie bekommst du ihn in den Zähler? - Behandle den Ausdruck \((a+c)\) wie eine einzelne Zahl. - Achte darauf, welche Variablen nach der Umformung im Nenner landen.

1. Auflösen von \(V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot \square\) nach dem Platzhalter durch Multiplikation mit \(3\) und Division durch \(G\): \(\square = \frac{3V}{G}\). Bedingung: \(G \neq 0\). 2. Auflösen von \(\rho = \frac{m}{\square}\) nach dem Platzhalter durch Multiplikation mit \(\square\) und Division durch \(\rho\): \(\square = \frac{m}{\rho}\). Bedingungen: \(\rho \neq 0\) und \(m \neq 0\). 3. Auflösen von \(\frac{a+c}{2} \cdot \square = A\) nach dem Platzhalter durch Multiplikation mit \(2\) und Division durch \((a+c)\): \(\square = \frac{2A}{a+c}\). Bedingung: \(a+c \neq 0\). 4. Auflösen von \(\frac{p \cdot V}{\square} = T\) nach dem Platzhalter durch Multiplikation mit \(\square\) und Division durch \(T\): \(\square = \frac{pV}{T}\). Bedingungen: \(T \neq 0\), \(p \neq 0\) und \(V \neq 0\).

a) \(\square = \frac{3V}{G}\); Einschränkung: \(G \neq 0\). b) \(\square = \frac{m}{\rho}\); Einschränkungen: \(\rho \neq 0\), \(m \neq 0\). c) \(\square = \frac{2A}{a+c}\); Einschränkung: \(a+c \neq 0\). d) \(\square = \frac{pV}{T}\); Einschränkungen: \(T \neq 0\), \(p \neq 0\), \(V \neq 0\).

- Nutze für a) den Zusammenhang zwischen Millilitern und Kubikzentimetern. - Stelle für b) die gegebene Dichteformel nach der Masse um. - Achte darauf, Volumen und Masse jeweils in zueinander passenden Einheiten einzusetzen und die verlangte Endeinheit anzugeben.

1. Da \(1\,\text{mL}=1\,\text{cm}^3\) gilt, ist \(V=250\,\text{cm}^3\). Damit ist \(\rho=\frac{210\,\text{g}}{250\,\text{cm}^3}=0{,}84\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}\). 2. Für b) gilt \(1{,}2\,\text{L}=1200\,\text{cm}^3\). 3. Aus \(\rho=\frac{m}{V}\) folgt \(m=\rho V\). 4. Damit ist \(m=0{,}84\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}\cdot1200\,\text{cm}^3=1008\,\text{g}=1{,}008\,\text{kg}\).

a) \(0{,}84\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}\) b) \(1{,}008\,\text{kg}\)

- Überlege, welche Rechenoperation die Variable im Nenner „befreit“. - Achte darauf, dass du beim Umstellen auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Operation ausführst. - Für den Vergleich in Teilaufgabe c) hilft es, die Formel zuerst nach der gesuchten Größe \(U\) aufzulösen.

1. Umstellen der Formel \(R = \frac{U}{I}\) nach \(I\): Multiplikation mit \(I\) ergibt \(RI = U\), Division durch \(R\) ergibt \(I = \frac{U}{R}\). 2. Einsetzen der Werte für Teilaufgabe b): \(I = \frac{12\,\text{V}}{5\,\Omega} = 2{,}4\,\text{A}\). 3. Untersuchung der Änderung für Teilaufgabe c): Die Formel für die Spannung lautet \(U = RI\). Wenn \(R\) durch \(2R\) ersetzt wird, ergibt sich \(U_{\text{neu}} = (2R) \cdot I = 2 \cdot (RI) = 2U\). Die Spannung verdoppelt sich also.

a) \(I = \frac{U}{R}\) b) \(I = 2{,}4\,\text{A}\) c) Die Spannung \(U\) verdoppelt sich ebenfalls, da \(U = RI\) gilt und bei konstantem \(I\) die Spannung proportional zum Widerstand ist.

- Was ist die Umkehroperation zur Multiplikation? - Überlege, was mit der Variablen passieren muss, die nicht alleine stehen soll. - Behandle die Buchstaben wie Zahlen beim Lösen einer Gleichung.

1. Division beider Seiten durch \(I\) isoliert \(U\): \(U = \frac{P}{I}\). 2. Division beider Seiten durch \(v\) isoliert \(t\): \(t = \frac{s}{v}\). 3. Division beider Seiten durch \(m\) isoliert \(a\): \(a = \frac{F}{m}\). Bedingungen: a) \(I \neq 0\), b) \(v \neq 0\), c) \(m \neq 0\).

a) \(U=\frac{P}{I}\) für \(I \neq 0\) b) \(t=\frac{s}{v}\) für \(v \neq 0\) c) \(a=\frac{F}{m}\) für \(m \neq 0\)

- Welche Rechenart verbindet die Terme auf der Seite der gesuchten Variablen? - Wie kannst du einen Bruchstrich in einer Gleichung „auflösen“? - In welcher Reihenfolge musst du vorgehen, wenn sowohl Punktrechnung als auch Strichrechnung vorkommen?

1. Addition von \(12\) ergibt \(y + 12 = 3x\). Division durch \(3\) ergibt \(x = \frac{y + 12}{3}\). 2. Multiplikation mit \(3\) ergibt \(3V = G \cdot h\). Division durch \(h\) ergibt für \(h \neq 0\): \(G = \frac{3V}{h}\). 3. Subtraktion von \(a\) und \(c\) auf beiden Seiten isoliert \(b\): \(b = u - a - c\).

a) \(x = \frac{y + 12}{3}\) b) \(G = \frac{3V}{h}\) für \(h \neq 0\) c) \(b = u - a - c\)

- Welchen ersten Schritt kannst du machen, um die Klammer zu beseitigen? - Wie bringst du alle Terme ohne \(x\) auf die rechte Seite der Gleichung? - Was musst du tun, um die Zahl vor dem \(x\) zu entfernen? - Behandle die Buchstaben \(a\) und \(b\) beim Umformen genau wie normale Zahlen.

1. Auflösen der Klammer auf der linken Seite durch Multiplikation mit 8: \( 8x - 8a = 16b + 24a \) 2. Isolation des Terms mit \(x\) durch Addition von \( 8a \) auf beiden Seiten: \( 8x = 16b + 32a \) 3. Division der gesamten Gleichung durch 8, um \(x\) zu isolieren: \( x = 2b + 4a \)

\( x = 4a + 2b \)

- Wie kannst du den Bruch als ersten Schritt auflösen? - Welche Rechenoperation macht das Subtrahieren von \( 12a \) rückgängig? - Wie isolierst du die Variable \(y\) im letzten Schritt? - Es hilft oft, zuerst den Nenner zu entfernen, bevor man andere Terme verschiebt.

1. Multiplikation der gesamten Gleichung mit 3 zur Beseitigung des Nenners: \( 4y - 12a = 24b + 12a \) 2. Addition von \( 12a \) auf beiden Seiten, um den Term mit \(y\) zu isolieren: \( 4y = 24b + 24a \) 3. Division der Gleichung durch 4: \( y = 6b + 6a \)

\( y = 6a + 6b \)

- Überlege dir, ob die Variable im Zähler oder im Nenner des Bruchs steht. - Was passiert mit dem Wert eines Bruchs, wenn man den Nenner vergrößert? - Stell dir vor, du setzt für die Variablen einfache Zahlen ein, um die Änderung zu prüfen. - Um eine Variable unter einem Bruchstrich zu isolieren, musst du sie zuerst durch Multiplikation „nach oben“ holen.

1. Einsetzen von \(4V\) für \(V\) in die Formel: \(\rho_{\text{neu}} = \frac{m}{4V} = \frac{1}{4} \cdot \frac{m}{V} = \frac{1}{4} \rho\). Die Dichte viertelt sich. 2. Einsetzen von \(\frac{1}{2}m\) für \(m\) in die Formel: \(\rho_{\text{neu}} = \frac{\frac{1}{2}m}{V} = \frac{1}{2} \cdot \frac{m}{V} = \frac{1}{2} \rho\). Die Dichte halbiert sich. 3. Multiplikation beider Seiten der Gleichung \(\rho = \frac{m}{V}\) mit \(V\) isoliert die Masse: \(m = \rho \cdot V\). 4. Aus \(m = \rho \cdot V\) folgt durch Division beider Seiten durch \(\rho\) die Formel für das Volumen: \(V = \frac{m}{\rho}\).

1) Die Dichte viertelt sich (\(\frac{1}{4}\) des ursprünglichen Wertes). 2) Die Dichte halbiert sich (\(\frac{1}{2}\) des ursprünglichen Wertes). 3) \(m = \rho \cdot V\) 4) \(V = \frac{m}{\rho}\)

- Was ist der erste Schritt, um einen Nenner aus einer Gleichung zu entfernen? - Überlege dir, welche Rechenoperation die Klammer oder den Bruchstrich „auflöst“. - Behandle die Variablen, nach denen du nicht auflöst, wie feste Zahlen. - Kannst du den gesuchten Buchstaben isolieren, indem du Schritt für Schritt die Operationen umkehrst?

1. Nach \(a\): \(Pc=(a+b)d\), also \(\frac{Pc}{d}=a+b\) und damit \(a=\frac{Pc}{d}-b\). 2. Nach \(d\): Aus \(Pc=(a+b)d\) folgt \(d=\frac{Pc}{a+b}\). 3. Nach \(c\): Aus \(Pc=(a+b)d\) folgt \(c=\frac{d(a+b)}{P}\).

a) \(a = \frac{Pc}{d} - b\) b) \(d = \frac{Pc}{a + b}\) c) \(c = \frac{d(a + b)}{P}\)

- Wie bekommt man eine Variable aus dem Nenner eines Bruchs heraus? - Was wäre dein erster Schritt, wenn anstelle der Buchstaben Zahlen stünden? - Kannst du die Klammer um \((x - b)\) zuerst isolieren, bevor du \(x\) alleine stehen hast? - Welche Rechenoperation ist das Gegenteil von Division?

1. Multiplikation der gesamten Gleichung mit dem Nenner \((x - b)\), um den Bruch aufzulösen: \(a = c \cdot (x - b)\). 2. Division durch \(c\) (da \(c > 0\)), um die Klammer zu isolieren: \(\frac{a}{c} = x - b\). 3. Addition von \(b\), um \(x\) allein auf einer Seite zu erhalten: \(x = \frac{a}{c} + b\). Alternativer Weg: Kehrwertbildung auf beiden Seiten ergibt \(\frac{x - b}{a} = \frac{1}{c}\). Multiplikation mit \(a\) ergibt \(x - b = \frac{a}{c}\). Addition von \(b\) führt zum gleichen Ergebnis \(x = \frac{a}{c} + b\).

\(x = \frac{a}{c} + b\) oder \(x = \frac{a + bc}{c}\)

- Wenn die gesuchte Variable im Nenner steht, ist es oft hilfreich, die gesamte Gleichung mit dem Nenner zu multiplizieren. - Bei Summen von Brüchen solltest du diese zuerst auf einen gemeinsamen Nenner bringen, bevor du den Kehrwert bildest. - Achte darauf, dass beim Kehrwertbilden die gesamte Seite der Gleichung umgedreht werden muss.

a) Subtraktion von \(\frac{1}{b}\) ergibt \(\frac{1}{g} = \frac{1}{f} - \frac{1}{b}\). Um die Brüche auf der rechten Seite zusammenzufassen, wird der Hauptnenner \(fb\) gebildet: \(\frac{1}{g} = \frac{b - f}{fb}\). Der Kehrwert auf beiden Seiten ergibt \(g = \frac{fb}{b - f}\). b) Multiplikation mit dem Nenner \((R_i + R_a)\) ergibt \(I(R_i + R_a) = U\). Division durch \(I\) ergibt \(R_i + R_a = \frac{U}{I}\). Subtraktion von \(R_a\) ergibt \(R_i = \frac{U}{I} - R_a\). Bedingungen: a) \(f \neq 0\), \(b \neq 0\) und \(b-f \neq 0\). b) \(I \neq 0\) und \(U \neq 0\).

a) \(g=\frac{fb}{b-f}\) für \(f \neq 0\), \(b \neq 0\), \(b-f \neq 0\) b) \(R_i=\frac{U}{I}-R_a\) für \(I \neq 0\), \(U \neq 0\)

- Kannst du die Gleichung so umstellen, dass alle Terme mit \(y\) auf einer Seite stehen? - Was passiert mit einem Bruch, wenn du den Kehrwert auf beiden Seiten der Gleichung bildest? - Wie gehst du vor, wenn bei einer Gleichung am Ende eine falsche Aussage wie \(0 = 1\) herauskommt?

1. Einsetzen von \(x = 2\): \(\frac{1}{2} + \frac{1}{y} = 1 \implies \frac{1}{y} = \frac{1}{2} \implies y = 2\). 2. Einsetzen von \(x = 5\): \(\frac{1}{5} + \frac{1}{y} = 1 \implies \frac{1}{y} = \frac{4}{5} \implies y = \frac{5}{4} = 1{,}25\). 3. Umformen nach \(y\): \(\frac{1}{y} = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x}\). Durch Bilden des Kehrwerts folgt \(y = \frac{x}{x-1}\). Diese Darstellung gilt für \(x \neq 0\) und \(x \neq 1\). 4. Überprüfung für \(y = 1\): Die Gleichung \(1 = \frac{x}{x-1}\) führt nach Multiplikation mit \((x-1)\) zu \(x-1 = x\). Subtraktion von \(x\) ergibt \(-1 = 0\), was ein Widerspruch ist. Somit existiert kein solches \(x\).

a) Für \(x = 2\) ist \(y = 2\); für \(x = 5\) ist \(y = 1{,}25\). b) \(y = \frac{x}{x-1}\) für \(x \notin \{0; 1\}\). c) Die Annahme \(y = 1\) führt auf die widersprüchliche Gleichung \(x-1 = x\) bzw. \(-1 = 0\), daher gibt es keine Lösung.

- Wie schreibt man „das Doppelte der Summe“ als mathematischen Ausdruck? - Könnte es helfen, die Gleichung nach einer der beiden Variablen aufzulösen? - Was passiert, wenn du für eine Variable eine einfache Zahl wie \(0\) oder \(3\) einsetzt?

1. Aufstellen der Gleichung: Das Produkt ist \(a \cdot b\), die Summe ist \(a + b\). Die Bedingung lautet \(a \cdot b = 2 \cdot (a + b)\). 2. Finden von Zahlenpaaren: Umformen der Gleichung nach \(b\): \(ab = 2a + 2b \implies ab - 2b = 2a \implies b(a - 2) = 2a \implies b = \frac{2a}{a-2}\). 3. Beispielpaare: Für \(a = 3\) ergibt sich \(b = \frac{2 \cdot 3}{3 - 2} = 6\). Paar: \((3; 6)\). Für \(a = 0\) ergibt sich \(b = 0\). Paar: \((0; 0)\). 4. Nachweis für \(a = 4\): Einsetzen in die Gleichung: \(4 \cdot b = 2 \cdot (4 + b) \implies 4b = 8 + 2b \implies 2b = 8 \implies b = 4\).

a) \(a \cdot b = 2(a+b)\). b) Zum Beispiel \((3; 6)\) und \((0; 0)\). c) Aus \(4b=2(4+b)\) folgt \(4b=8+2b\) und damit \(b=4\).

- Kannst du die linke Seite einer Gleichung so umformen, dass sie denselben Nenner wie die rechte Seite hat? - Was passiert, wenn du beide Seiten einer Gleichung mit demselben Term multiplizierst? - Erinnerst du dich an das „Über-Kreuz-Multiplizieren“ bei Verhältnisgleichungen? - Welche Variablen stehen von Anfang an in einem Nenner und dürfen daher nicht null sein?

1. Bei \(\frac{a}{b} = \frac{c}{\square}\) liefert das Über-Kreuz-Multiplizieren \(a \cdot \square = b \cdot c\). Auflösen ergibt \(\square = \frac{bc}{a}\). Bedingungen: \(a \neq 0, b \neq 0, c \neq 0\). 2. Bei \(\frac{1}{x} \cdot \square = \frac{y}{z}\) multipliziert man beide Seiten mit \(x\): \(\square = \frac{xy}{z}\). Bedingungen: \(x \neq 0, z \neq 0\). 3. Bei \(\frac{x}{y} + 1 = \frac{\square}{y}\) bringt man die linke Seite auf den Hauptnenner \(y\): \(\frac{x}{y} + \frac{y}{y} = \frac{x+y}{y}\). Durch Vergleich folgt \(\square = x+y\). Bedingung: \(y \neq 0\). 4. Bei \(\frac{k}{\square} = \frac{m}{n}\) bildet man den Kehrwert beider Seiten oder multipliziert über Kreuz: \(k \cdot n = m \cdot \square\). Auflösen ergibt \(\square = \frac{kn}{m}\). Bedingungen: \(k \neq 0, m \neq 0, n \neq 0\).

a) \(\square = \frac{bc}{a}\); Bedingungen: \(a \neq 0, b \neq 0, c \neq 0\). b) \(\square = \frac{xy}{z}\); Bedingungen: \(x \neq 0, z \neq 0\). c) \(\square = x+y\); Bedingung: \(y \neq 0\). d) \(\square = \frac{kn}{m}\); Bedingungen: \(k \neq 0, m \neq 0, n \neq 0\).

- Wie lässt sich der Zusammenhang zwischen den beiden Zahlen als mathematische Gleichung schreiben? - Versuche, alle Terme mit der gesuchten Variablen auf eine Seite der Gleichung zu bringen. - Denke daran, dass man durch einen Ausdruck nur dividieren darf, wenn dieser nicht null ist. - Setze für eine der Variablen beliebige Zahlen ein, um die zugehörige zweite Zahl zu berechnen.

1. Die Bedingung lautet \(x + y = x \cdot y\). Umstellen nach \(y\): \(x = x \cdot y - y = y \cdot (x - 1)\). Daraus folgt \(y = \frac{x}{x - 1}\). 2. Da der Nenner nicht null sein darf, muss \(x \neq 1\) gelten. 3. Mögliche Paare: - Für \(x = 2\) ergibt sich \(y = \frac{2}{2 - 1} = 2\). Paar: \((2; 2)\). - Für \(x = 0\) ergibt sich \(y = \frac{0}{0 - 1} = 0\). Paar: \((0; 0)\). - Für \(x = -1\) ergibt sich \(y = \frac{-1}{-1 - 1} = 0{,}5\). Paar: \((-1; 0{,}5)\).

Ausgangsgleichung: \(x+y=x \cdot y\). Umgestellt nach \(y\): \(y = \frac{x}{x - 1}\) mit \(x \neq 1\). Beispielpaare: \((2; 2)\), \((0; 0)\), \((-1; 0{,}5)\).

- Multipliziere zuerst mit dem Nenner, um den Bruch aufzulösen. - Klammere die Variable, nach der du auflösen möchtest, aus, wenn sie in mehreren Summanden vorkommt. - Achte darauf, welche Werte im Nenner eines Bruchs stehen könnten.

1. Die Gleichung lautet \(2(a + b) = \frac{a}{b}\). 2. Multiplikation mit \(b\) (wobei \(b \neq 0\)): \(2ab + 2b^2 = a\). Umstellen nach \(a\): \(2b^2 = a - 2ab = a(1 - 2b)\). Daraus folgt \(a = \frac{2b^2}{1 - 2b}\). 3. Es muss \(b \neq 0\) gelten (wegen des Quotienten \(\frac{a}{b}\)) und \(1 - 2b \neq 0\), also \(b \neq 0{,}5\). 4. Mögliche Paare: - Für \(b = 1\) ist \(a = \frac{2 \cdot 1^2}{1 - 2 \cdot 1} = \frac{2}{-1} = -2\). Paar: \((-2; 1)\). - Für \(b = -1\) ist \(a = \frac{2 \cdot (-1)^2}{1 - 2 \cdot (-1)} = \frac{2}{3}\). Paar: \((\frac{2}{3}; -1)\). - Für \(b = 2\) ist \(a = \frac{2 \cdot 2^2}{1 - 2 \cdot 2} = \frac{8}{-3} = -2\frac{2}{3}\). Paar: \((-2\frac{2}{3}; 2)\).

Gleichung nach \(a\): \(a = \frac{2b^2}{1 - 2b}\). Einschränkungen für \(b\): \(b \neq 0\) und \(b \neq 0{,}5\). Beispielpaare: \((-2; 1)\), \((\frac{2}{3}; -1)\), \((-2\frac{2}{3}; 2)\).

- Kannst du den Term, der \(z\) enthält, zuerst isolieren? - Wie fasst man zwei Brüche mit unterschiedlichen Nennern zusammen? - Was passiert, wenn man auf beiden Seiten einer Gleichung den Kehrwert bildet?

1. Isolation des Terms mit \(z\) durch Addition von \(\frac{1}{z}\) und Subtraktion von \(\frac{1}{x}\): \(\frac{1}{z} = \frac{1}{y} - \frac{1}{x}\) 2. Bringen der rechten Seite auf einen gemeinsamen Nenner: \(\frac{1}{z} = \frac{x}{x \cdot y} - \frac{y}{x \cdot y} = \frac{x - y}{x \cdot y}\) 3. Bildung des Kehrwerts auf beiden Seiten: \(z = \frac{x \cdot y}{x - y}\) 4. Es müssen \(x \neq 0\), \(y \neq 0\) und \(x-y \neq 0\) gelten. Dann ist auch der berechnete Wert \(z\) von null verschieden.

\(z=\frac{xy}{x-y}\) für \(x \neq 0\), \(y \neq 0\) und \(x \neq y\).

- Wie isolierst du \(A\) in der Gleichung? - Schau dir die umgestellte Formel an: Was passiert mit dem Ergebnis eines Bruches, wenn man den Nenner vergrößert? - Versuche, die neue Höhe \(2h\) in deine Formel für \(A\) einzusetzen.

1. Umstellen nach \(A\): Multiplikation mit \(3\) ergibt \(3V = Ah\). Division durch \(h\) ergibt \(A = \frac{3V}{h}\). 2. Analyse der Änderung: Setzt man die neue Höhe \(h_{\text{neu}} = 2h\) in die umgestellte Formel ein, erhält man \(A_{\text{neu}} = \frac{3V}{2h} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3V}{h}\). 3. Vergleich: Da \(\frac{3V}{h}\) dem ursprünglichen \(A\) entspricht, gilt \(A_{\text{neu}} = \frac{1}{2} A\). Die Grundfläche halbiert sich also.

a) \(A = \frac{3V}{h}\) b) Die Grundfläche \(A\) halbiert sich. Begründung: Da \(h\) im Nenner der umgestellten Formel steht, führt eine Verdopplung von \(h\) bei gleichbleibendem \(V\) dazu, dass der Gesamtwert des Bruches mit \(\frac{1}{2}\) multipliziert wird.

- Was bedeutet es für das Volumen, wenn ein Material bei gleicher Masse eine viel geringere Dichte hat? - Wie isolierst du eine Variable, die im Nenner eines Bruchs steht? - Um einen Faktor zu bestimmen, teilst du den größeren Wert durch den kleineren.

1. Formel auflösen: Durch Multiplikation mit \(V\) und Division durch \(\rho\) erhält man \(V = \frac{m}{\rho}\). 2. Volumen von Zylinder 1: \(V_1 = \frac{540\,\text{g}}{9{,}0\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}} = 60\,\text{cm}^3\). 3. Volumen von Zylinder 2: \(V_2 = \frac{540\,\text{g}}{2{,}7\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}} = 200\,\text{cm}^3\). 4. Vergleich der Volumina: Berechnung des Verhältnisses \(\frac{V_2}{V_1} = \frac{200\,\text{cm}^3}{60\,\text{cm}^3} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3} \approx 3{,}33\). Das Volumen des Aluminiumzylinders ist also \(\frac{10}{3}\)-mal so groß wie das des ersten Zylinders.

a) \(V = \frac{m}{\rho}\) b) \(V_1 = 60\,\text{cm}^3\) und \(V_2 = 200\,\text{cm}^3\). c) Das Volumen des Aluminiumzylinders ist \(\frac{10}{3}\)-mal so groß wie das des ersten Zylinders.

- Wandle die Dicke zunächst in Meter um, bevor du das Volumen berechnest. - Stelle die Dichteformel nach der Masse um und kontrolliere die Einheiten. - Bei der Fahrtenzahl muss ein nicht ganzzahliger Quotient so interpretiert werden, dass die gesamte Masse transportiert werden kann.

1. Die Dicke beträgt \(15\,\text{cm}=0{,}15\,\text{m}\). Daher ist \(V=4{,}5\,\text{m}\cdot4{,}0\,\text{m}\cdot0{,}15\,\text{m}=2{,}7\,\text{m}^3\). 2. Aus \(\rho=\frac{m}{V}\) folgt \(m=\rho V\). 3. Damit ist \(m=2400\,\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}\cdot2{,}7\,\text{m}^3=6480\,\text{kg}=6{,}48\,\text{t}\). 4. Es gilt \(6{,}48\,\text{t}:1{,}5\,\text{t}=4{,}32\). Da nur ganze Fahrten möglich sind, werden mindestens \(5\) Fahrten benötigt.

a) \(2{,}7\,\text{m}^3\) b) \(6{,}48\,\text{t}\) c) mindestens \(5\) Fahrten

- Was passiert mit einem Bruch, wenn man den Zähler vergrößert, der Wert des Bruchs aber gleich bleiben soll? - Behandle die Einheiten wie Variablen oder konzentriere dich erst rein auf die Zahlenwerte. - Erinnere dich an die Umkehroperation der Division.

1. Umstellen der Formel \(p = \frac{F}{A}\) nach \(A\): Multiplikation mit \(A\) ergibt \(p \cdot A = F\), Division durch \(p\) führt zu \(A = \frac{F}{p}\). 2. Berechnung der Fläche für Teilaufgabe b): \(A = \frac{450\,\text{N}}{1500\,\text{Pa}} = 0{,}3\,\text{m}^2\). 3. Analyse für Teilaufgabe c): Aus \(A = \frac{F}{p}\) folgt bei konstantem \(p\), dass eine Verdreifachung der Kraft (\(3F\)) zu einer neuen Fläche \(A_{\text{neu}} = \frac{3F}{p} = 3 \cdot \frac{F}{p} = 3A\) führt. Die Fläche muss also ebenfalls verdreifacht werden.

a) \(A = \frac{F}{p}\) b) \(A = 0{,}3\,\text{m}^2\) c) Die Fläche \(A\) muss ebenfalls verdreifacht werden.

- Wie kannst du eine Variable isolieren, die im Nenner eines Bruchs steht? - Setze für den Vergleich in Teilaufgabe c) die veränderten Ausdrücke (\(2s\) und \(4t\)) einfach in die Grundformel ein. - Kannst du den neuen Bruch so vereinfachen, dass die ursprüngliche Formel wieder erkennbar wird?

1. Umstellen der Formel \(v = \frac{s}{t}\) nach \(t\): Multiplikation mit \(t\) ergibt \(vt = s\), anschließende Division durch \(v\) ergibt \(t = \frac{s}{v}\). 2. Einsetzen der Werte für Teilaufgabe b): \(t = \frac{165\,\text{km}}{110\,\text{km/h}} = 1{,}5\,\text{h}\). 3. Herleitung für Teilaufgabe c): Die neue Geschwindigkeit ist \(v_{\text{neu}} = \frac{2s}{4t}\). Durch Kürzen des Bruchs erhält man \(v_{\text{neu}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{s}{t}\). Da \(v = \frac{s}{t}\) ist, gilt \(v_{\text{neu}} = \frac{1}{2}v\) bzw. \(v_{\text{neu}} = 0{,}5v\).

a) \(t = \frac{s}{v}\) b) \(t = 1{,}5\,\text{h}\) (oder \(1\,\text{h}\,30\,\text{min}\)) c) \(v_{\text{neu}} = \frac{1}{2}v\). Die neue Geschwindigkeit ist also nur noch halb so groß wie die ursprüngliche.

- Kannst du die Formel schrittweise vereinfachen, indem du zuerst Brüche eliminierst? - Wenn eine Variable in Klammern steht, isoliere zuerst die gesamte Klammer. - Überlege dir, welche Operationen nötig sind, um die gesuchte Variable ganz alleine auf eine Seite zu bringen.

1. Multiplikation mit \(2\) ergibt \(2A = (a+c)h\). Division durch \(h\) ergibt \(\frac{2A}{h} = a+c\). Subtraktion von \(c\) führt zu \(a = \frac{2A}{h} - c\). 2. Multiplikation mit \(100\) ergibt \(100Z = Kpt\). Division durch das Produkt \(Kt\) ergibt \(p = \frac{100Z}{Kt}\). 3. Subtraktion von \(M\) ergibt \(O - M = 2G\). Division beider Seiten durch \(2\) ergibt \(G = \frac{O - M}{2}\). Bedingungen: a) \(h \neq 0\); b) \(K \neq 0\) und \(t \neq 0\).

a) \(a=\frac{2A}{h}-c\) für \(h \neq 0\) b) \(p=\frac{100Z}{Kt}\) für \(K \neq 0\), \(t \neq 0\) c) \(G=\frac{O-M}{2}\)

- Achte auf die Reihenfolge der Rechenschritte: Was muss zuerst auf die andere Seite gebracht werden? - Klammern können oft als Ganzes behandelt werden, bevor man ihren Inhalt auflöst. - Gibt es einen Weg, den Bruch am Anfang der Formel direkt zu entfernen?

1. Umstellung von \( y = mx + n \) nach \( x \): Subtraktion von \( n \) ergibt \( y - n = mx \). Division durch \( m \) ergibt \( x = \frac{y - n}{m} \). 2. Umstellung von \( A = \frac{1}{2}(a + c)h \) nach \( c \): Multiplikation mit \( 2 \) ergibt \( 2A = (a + c)h \). Division durch \( h \) ergibt \( \frac{2A}{h} = a + c \). Subtraktion von \( a \) ergibt \( c = \frac{2A}{h} - a \). 3. Umstellung von \( K = K_0(1 + i) \) nach \( i \): Division durch \( K_0 \) ergibt \( \frac{K}{K_0} = 1 + i \). Subtraktion von \( 1 \) ergibt \( i = \frac{K}{K_0} - 1 \) oder alternativ \( i = \frac{K - K_0}{K_0} \). Bedingungen: a) \(m \neq 0\); b) \(h \neq 0\); c) \(K_0 \neq 0\).

a) \(x=\frac{y-n}{m}\) für \(m \neq 0\) b) \(c=\frac{2A}{h}-a\) für \(h \neq 0\) c) \(i=\frac{K}{K_0}-1\) für \(K_0 \neq 0\)

- Überlege bei jeder Umstellung, durch welchen Faktor du am Ende dividieren musst und wann dieser Faktor null sein könnte. - Stelle für b) die Formel ausdrücklich nach \(K\) um, bevor du die Zeit veränderst. - Vergleiche den alten und den neuen Nenner der nach \(K\) umgestellten Formel.

1. Multiplikation mit \(100\) ergibt \(100Z=Kpt\). Für \(K\neq0\) und \(p\neq0\) darf durch \(Kp\) dividiert werden; daher ist \(t=\frac{100Z}{Kp}\). 2. Für b) wird nach \(K\) umgestellt. Bei \(p\neq0\) und \(t\neq0\) gilt \(K=\frac{100Z}{pt}\). 3. Wird \(t\) durch \(\frac{t}{2}\) ersetzt, so gilt \(K_{\text{neu}}=\frac{100Z}{p(t/2)}=2\frac{100Z}{pt}=2K\). 4. Das Kapital muss daher verdoppelt werden.

a) \(t=\frac{100Z}{Kp}\) für \(K\neq0\) und \(p\neq0\) b) \(K\) muss verdoppelt werden; für die Umstellung nach \(K\) gelten \(p\neq0\) und \(t\neq0\).

- Welche Terme beschreiben die beiden Guthaben nach \(n\) Monaten? - Was muss für diese beiden Terme gelten, wenn beide Spardosen gleich viel enthalten? - Versuche, den Faktor mit \(n\) nach dem Umformen auszuklammern. - Untersuche anschließend, wie sich ein Bruch verändert, wenn sein positiver Nenner größer wird und der Zähler fest bleibt.

1. Die Guthaben nach \(n\) Monaten lauten \(x + an\) und \(bn\). 2. Für gleich große Guthaben gilt \(x + an = bn\). 3. Subtraktion von \(an\) ergibt \(x = bn - an\). 4. Ausklammern von \(n\) ergibt \(x = n(b-a)\), also \(n = \frac{x}{b-a}\). 5. Wenn \(b\) bei festem \(x\) und \(a\) größer wird, wird \(b-a\) größer und damit \(n\) kleiner. 6. Eine Gleichheit genau nach ganzen Monaten tritt ein, wenn \(\frac{x}{b-a}\) eine nichtnegative ganze Zahl ist.

a) \(n=\frac{x}{b-a}\); für eine Gleichheit nach ganzen Monaten muss \(\frac{x}{b-a}\in\mathbb{N}_0\) gelten. b) Wenn \(b\) größer wird, vergrößert sich der Nenner \(b-a\); dadurch wird \(n\) kleiner.

- Löse zunächst die Klammer auf und fasse die Terme mit dem Parameter zusammen. - Behandle \(a\) beim Auflösen nach \(x\) wie eine feste Größe. - Wenn \(x\) isoliert ist, kannst du die zusätzliche Bedingung für \(x\) einsetzen.

1. Ausmultiplizieren ergibt \(3x-6a+5a=14a\). 2. Zusammenfassen führt zu \(3x-a=14a\). 3. Addition von \(a\) ergibt \(3x=15a\). 4. Division durch \(3\) liefert \(x=5a\). 5. Für \(x=15\) gilt daher \(15=5a\), also \(a=3\).

Die aufgelöste Formel lautet \(x=5a\). Für \(x=15\) gilt \(a=3\).

- Wie kannst du den Term mit der gesuchten Variable zuerst auf eine Seite bringen? - Erinnere dich daran, wie man Brüche mit unterschiedlichen Nennern voneinander subtrahiert. - Wenn die gesuchte Variable im Nenner eines Bruchs steht, welche Operation hilft dir am Ende, sie in den Zähler zu bringen? - Welche Nenner dürfen in der Ausgangsgleichung und in der umgestellten Formel nicht null werden?

1. Subtraktion von \(\frac{1}{R_2}\) auf beiden Seiten, um den Term mit \(R_1\) zu isolieren: \(\frac{1}{R_1} = \frac{1}{R} - \frac{1}{R_2}\). 2. Zusammenfassen der Brüche auf der rechten Seite durch Bilden des Hauptnenners \(R \cdot R_2\): \(\frac{1}{R_1} = \frac{R_2 - R}{R \cdot R_2}\). 3. Bilden des Kehrwerts auf beiden Seiten der Gleichung: \(R_1 = \frac{R \cdot R_2}{R_2 - R}\). 4. Notwendige Bedingungen: In der Ausgangsgleichung müssen \(R \neq 0\), \(R_1 \neq 0\) und \(R_2 \neq 0\) gelten. In der umgestellten Formel muss außerdem \(R_2 - R \neq 0\) gelten, also \(R_2 \neq R\).

\(R_1 = \frac{R \cdot R_2}{R_2 - R}\) für \(R \neq 0\), \(R_2 \neq 0\) und \(R_2 \neq R\).

- Betrachte die Summe \((a+c)\) für die ersten beiden Teilaufgaben wie eine einzelne Größe. - Wie kannst du den Bruch \(\frac{\dots}{2}\) auflösen, um die Variablen im Zähler freizustellen? - Achte beim Umstellen nach \(a\) darauf, dass du erst den Faktor \(h\) und dann die Addition von \(c\) rückgängig machst. - Kannst du die Formel Schritt für Schritt wie eine Waage behandeln?

1. Untersuchung der Proportionalität zur Höhe: Da \(h\) im Zähler (als Faktor) steht, führt eine Verdopplung von \(h\) zu einer Verdopplung des Flächeninhalts: \(A_{\text{neu}} = \frac{a+c}{2} \cdot (2h) = 2A\). 2. Untersuchung der Summe \((a+c)\): Da der gesamte Term \((a+c)\) halbiert wird, halbiert sich auch das Produkt mit \(\frac{1}{2}h\), somit halbiert sich der Flächeninhalt: \(A_{\text{neu}} = \frac{\frac{1}{2}(a+c)}{2} h = \frac{1}{2} A\). 3. Umstellen nach \(h\): Multiplikation mit \(2\) ergibt \(2A = (a+c)h\). Division durch \((a+c)\) ergibt \(h = \frac{2A}{a+c}\). 4. Umstellen nach \(a\): Aus \(2A = (a+c)h\) folgt durch Division durch \(h\) zuerst \(\frac{2A}{h} = a + c\). Subtraktion von \(c\) isoliert die Variable: \(a = \frac{2A}{h} - c\).

1) Der Flächeninhalt verdoppelt sich. 2) Der Flächeninhalt halbiert sich. 3) \(h = \frac{2A}{a+c}\) 4) \(a = \frac{2A}{h} - c\)

- Was musst du tun, um eine Variable, die im Zähler eines Bruchs steht, zu isolieren? - Wie gehst du vor, wenn du mehrere Faktoren auf die andere Seite der Gleichung bringen möchtest? - Welche Rechenoperation ist jeweils die Umkehroperation zu Multiplikation beziehungsweise Division? - Setze die gegebenen Zahlen erst ein, nachdem du die Formel erfolgreich umgestellt hast.

1. Umstellung nach \(K\): Durch Multiplikation mit \(36\,000\) erhält man \(36\,000Z = Kpt\). Die anschließende Division durch das Produkt \(pt\) führt zu \(K = \frac{36000Z}{pt}\). 2. Umstellung nach \(t\): Aus \(36\,000Z = Kpt\) folgt durch Division durch \(Kp\) die Formel \(t = \frac{36000Z}{Kp}\). 3. Umstellung nach \(p\): \(p = \frac{36000Z}{Kt}\). Einsetzen ergibt \(p = \frac{36000 \cdot 100}{5000 \cdot 180} = \frac{3600000}{900000} = 4\). Da \(p\) in Prozent angegeben wird, beträgt der Zinssatz \(4\,\%\).

a) \(K = \frac{36000Z}{pt}\) b) \(t = \frac{36000Z}{Kp}\) c) \(p = 4\,\%\)

- Was ist dein Ziel beim Umstellen einer Gleichung nach einer bestimmten Variablen? - Wie kannst du die Klammern auflösen, um an das \(x\) heranzukommen? - Wie gehst du vor, wenn die gesuchte Variable in mehreren Termen vorkommt? - Überlege, welcher Rechenschritt eine Einschränkung für die Werte von \(k\) erfordern könnte.

1. Ausmultiplizieren der Klammern auf beiden Seiten der Gleichung: \(kx - km = 5x + 5n\). 2. Alle Terme mit \(x\) auf die linke Seite und alle Terme ohne \(x\) auf die rechte Seite bringen: \(kx - 5x = 5n + km\). 3. Ausklammern von \(x\) auf der linken Seite: \(x(k - 5) = 5n + km\). 4. Division durch den Ausdruck in der Klammer, um \(x\) zu isolieren: \(x = \frac{5n + km}{k - 5}\). 5. Bestimmung der Bedingung für die Lösbarkeit: Da eine Division durch Null nicht erlaubt ist, muss \(k - 5 \neq 0\) gelten, woraus \(k \neq 5\) folgt.

\(x = \frac{5n + km}{k - 5}\) mit der Bedingung \(k \neq 5\).

- Kannst du die Gleichung vereinfachen, indem du zuerst alle Klammern auflöst? - Versuche, die gesuchte Variable Schritt für Schritt auf eine Seite der Gleichung zu bringen. - Achte darauf, gleichartige Parameter (zum Beispiel alle Terme mit \(a\)) korrekt zusammenzufassen. - Überprüfe am Ende, ob du den entstandenen Bruch noch weiter vereinfachen kannst.

1. Auflösen der Klammern auf beiden Seiten durch Multiplikation: \(4x - 8a + 3b = 2b - 2x - 6a\). 2. Zusammenfassen der \(x\)-Terme auf der linken Seite durch Addition von \(2x\): \(6x - 8a + 3b = 2b - 6a\). 3. Isolieren des \(x\)-Terms durch Addition von \(8a\) und Subtraktion von \(3b\) auf beiden Seiten: \(6x = 2a - b\). 4. Division durch den Koeffizienten 6 zur Bestimmung des Endwerts: \(x = \frac{2a - b}{6}\).

\(x = \frac{2a - b}{6}\)

- Berücksichtige beim Streckenterm für Jan seinen zeitlichen Vorsprung. - Beim Einholen haben beide vom gemeinsamen Startpunkt aus dieselbe Strecke zurückgelegt. - Sammle beim Umstellen alle Terme mit der gesuchten Zeit auf einer Seite. - Prüfe, warum der Nenner der Endformel unter der gegebenen Geschwindigkeitsbedingung positiv ist.

1. Wenn Tim seit \(t\) Sekunden läuft, ist Jan bereits \(t+100\) Sekunden unterwegs. Daher gilt \(s_J=v_J(t+100)\). 2. Für Tim gilt \(s_T=v_Tt\). 3. Beim Einholen sind die Strecken gleich: \(v_J(t+100)=v_Tt\). 4. Ausmultiplizieren ergibt \(v_Jt+100v_J=v_Tt\). 5. Umstellen liefert \(100v_J=v_Tt-v_Jt=t(v_T-v_J)\). 6. Da \(v_T>v_J\), ist \(v_T-v_J>0\). Division durch diese Differenz ergibt \(t=\frac{100v_J}{v_T-v_J}\).

a) \(s_J=v_J(t+100)\) b) \(s_T=v_Tt\) c) \(t=\frac{100v_J}{v_T-v_J}\)

- Wie kannst du die Brüche in der Gleichung entfernen? - Achte beim Auflösen der Klammern besonders auf das Minuszeichen vor dem zweiten Bruch. - Was bedeutet es für die Gleichung, wenn ein konkreter Wert für \(x\) vorgegeben ist? - Kannst du die gefundene Formel nutzen, um den gesuchten Wert für den Parameter zu finden?

1. Multiplikation der gesamten Gleichung mit dem Hauptnenner \(6\), um die Brüche zu eliminieren: \(2 \cdot (2x - a) - 3 \cdot (x + a) = 6a\). 2. Auflösen der Klammern unter Beachtung der Vorzeichen: \(4x - 2a - 3x - 3a = 6a\). 3. Zusammenfassen der Terme auf der linken Seite: \(x - 5a = 6a\). 4. Isolation von \(x\) durch Addition von \(5a\): \(x = 11a\). 5. Einsetzen des gegebenen Wertes \(x = 22\) in die gefundene Formel: \(22 = 11a\). 6. Berechnung von \(a\): \(a = 22 : 11 = 2\).

a) \(x = 11a\) b) \(a = 2\). Setzt man \(x = 22\) in die Gleichung \(x = 11a\) ein, ergibt sich \(22 = 11a\), woraus \(a = 2\) folgt.

- Setze die beiden parallelen Seiten in die allgemeine Trapezformel ein. - Vereinfache die Formel, bevor du sie nach einer Variablen auflöst. - Beim Umstellen müssen alle Faktoren, die nicht zur gesuchten Variablen gehören, auf die andere Seite gebracht werden. - Kontrolliere die numerische Höhe durch Einsetzen in die Flächenformel.

1. Mit der Trapezformel \(A=\frac{a+c}{2}h\), \(a=3x\) und \(c=x\) folgt \(A=\frac{3x+x}{2}h=2xh\). 2. Auflösen nach \(h\) ergibt \(h=\frac{A}{2x}\). 3. Für \(x=5\,\text{cm}\) und \(A=70\,\text{cm}^2\) ist \(h=\frac{70\,\text{cm}^2}{10\,\text{cm}}=7\,\text{cm}\). 4. Auflösen derselben Formel nach \(x\) ergibt \(x=\frac{A}{2h}\).

a) \(A=2xh\) b) \(h=\frac{A}{2x}\); für die gegebenen Werte ist \(h=7\,\text{cm}\). c) \(x=\frac{A}{2h}\)

- Behandle \(k\) beim Umformen wie eine feste, aber unbekannte Zahl. - Welche Terme müssen auf welcher Seite stehen, damit \(z\) isoliert werden kann? - Führe dieselbe zulässige Umformung immer auf beiden Seiten der Gleichung aus.

1. Subtraktion von \(4k\) auf beiden Seiten ergibt \(0{,}8z=8k-1{,}6\). 2. Division beider Seiten durch \(0{,}8\) ergibt \(z=\frac{8k-1{,}6}{0{,}8}\). 3. Vereinfachen liefert \(z=10k-2\).

\(z=10k-2\)

- Welche Rechenschritte machen die Operationen in der ursprünglichen Formel rückgängig? - Achte bei Teilaufgabe b) auf die richtige Reihenfolge der Rechenarten (Punkt vor Strich). - Schau dir bei Teilaufgabe c) die Lage von \(A\) in deiner Formel an: Steht es im Zähler oder im Nenner? - Setze doch einmal ein Beispiel in deine Formel ein, um die Vermutung aus c) zu prüfen.

1. Umstellen nach \(c\): Zuerst Multiplikation mit \(2\) ergibt \(2A = (a + c) \cdot h\). Dann Division durch \(h\) ergibt \(\frac{2A}{h} = a + c\). Schließlich Subtraktion von \(a\) ergibt \(c = \frac{2A}{h} - a\). 2. Berechnung für \(A = 40\), \(h = 5\), \(a = 10\): \(c = \frac{2 \cdot 40}{5} - 10 = \frac{80}{5} - 10 = 16 - 10 = 6\,\text{cm}\). 3. Analyse der Änderung: Wenn \(A\) verdoppelt wird (\(A \to 2A\)), wird der Term \(\frac{2A}{h}\) in der Formel ebenfalls verdoppelt. Da \(a\) konstant abgezogen wird, vergrößert sich der Wert von \(c\). Konkret: \(c_{\text{neu}} = \frac{2 \cdot (2A)}{h} - a = 2 \cdot \frac{2A}{h} - a = 2(c + a) - a = 2c + a\). Damit gilt exakt \(c_{\text{neu}} = 2c + a\).

a) \(c = \frac{2A}{h} - a\) b) \(c = 6\,\text{cm}\) c) Es gilt \(c_{\text{neu}} = 2c + a\). Der neue Wert ist daher nicht allgemein einfach das Doppelte des alten Werts.

- Was kannst du tun, um die Klammern aufzulösen, nachdem du den Nenner beseitigt hast? - Wenn die gesuchte Variable in mehreren Termen vorkommt, musst du diese Terme auf eine Seite der Gleichung bringen. - Erinnerst du dich an das Ausklammern (Faktorisieren)? Das hilft dir, die Variable zu isolieren.

1. Multiplikation mit dem Nenner \((x + 1)\) ergibt \(y(x + 1) = kx\). 2. Ausmultiplizieren der Klammer ergibt \(yx + y = kx\). 3. Alle Terme mit \(x\) auf eine Seite bringen durch Subtraktion von \(yx\): \(y = kx - yx\). 4. Ausklammern von \(x\) auf der rechten Seite ergibt \(y = x(k - y)\). 5. Division durch \((k - y)\) liefert das Ergebnis \(x = \frac{y}{k - y}\). 6. Für die Division muss \(k-y \neq 0\) gelten. Zusätzlich muss \(k \neq 0\) sein, damit der gefundene Wert nicht \(x=-1\) ergibt. Für \(k=y\neq 0\) sowie für \(k=0\), \(y\neq 0\) gibt es keine Lösung; bei \(k=y=0\) gibt es unendlich viele Lösungen \(x \neq -1\).

Für \(k \neq 0\) und \(k \neq y\) gilt eindeutig \(x=\frac{y}{k-y}\). Bei \(k=y\neq 0\) oder \(k=0\), \(y\neq 0\) gibt es keine Lösung; bei \(k=y=0\) sind alle \(x \neq -1\) Lösungen.

- Übersetze den Text Schritt für Schritt in eine mathematische Gleichung. Was bedeutet „um 2 größer“? - Um nach einer Variablen aufzulösen, die im Nenner steht, musst du die Gleichung zuerst mit diesem Nenner multiplizieren. - Überlege dir, welche Divisionen mathematisch nicht erlaubt sind. - Probiere verschiedene Werte für eine Variable aus, um gezielt nach negativen Ergebnissen zu suchen.

1. Quotient: \(2 : 0{,}5 = 4\). Zahl \(u\) plus \(2\): \(2 + 2 = 4\). Da \(4 = 4\), erfüllt das Paar die Bedingung. 2. Die Gleichung lautet \(\frac{u}{v} = u + 2\). Multiplikation mit \(v\): \(u = v(u + 2) = uv + 2v\). Umstellen nach \(u\): \(u - uv = 2v \implies u(1 - v) = 2v\). Für \(v \neq 1\) folgt \(u = \frac{2v}{1 - v}\). 3. Wegen des Quotienten \(\frac{u}{v}\) ist \(v=0\) ausgeschlossen. Für \(v=1\) ist der Quotient zwar definiert, die Gleichung wird jedoch zu \(u=u+2\) und besitzt daher keine Lösung für \(u\). 4. Für \(v=-1\) ergibt sich \(u = \frac{2 \cdot (-1)}{1 - (-1)} = \frac{-2}{2} = -1\). Das Paar \((-1; -1)\) besteht aus zwei negativen Zahlen.

1. Ja, denn \(2 : 0{,}5 = 4\) und \(2 + 2 = 4\). 2. Für \(v \neq 1\) gilt \(u = \frac{2v}{1 - v}\). 3. \(v=0\) ist wegen der Division durch Null ausgeschlossen. Für \(v=1\) ist die Ausgangsgleichung definiert, aber unlösbar. 4. Zum Beispiel \((-1; -1)\).

- Drücke zuerst die Zeit jedes Teilwegs mithilfe von Weg und Geschwindigkeit aus. - Nutze die Beziehung zwischen den beiden Geschwindigkeiten, bevor du die Teilzeiten addierst. - Für die Durchschnittsgeschwindigkeit brauchst du Gesamtweg und Gesamtdauer. - In Teil c ist die hergeleitete Beziehung zwischen \(v_g\) und \(v_1\) die passende Ausgangsgleichung.

1. Die Teilzeiten sind \(t_1=\frac{12}{v_1}\) und \(t_2=\frac{12}{1{,}5v_1}=\frac{8}{v_1}\). 2. Damit ist \(t_{ges}=\frac{12}{v_1}+\frac{8}{v_1}=\frac{20}{v_1}\). 3. Für die Gesamtstrecke von \(24\,\text{km}\) gilt \(v_g=\frac{24}{20/v_1}=\frac{24v_1}{20}=1{,}2v_1\). 4. Aus \(54=1{,}2v_1\) folgt \(v_1=45\,\text{km/h}\).

a) \(t_{ges}=\frac{20}{v_1}\) b) \(v_g=1{,}2v_1\) c) \(v_1=45\,\text{km/h}\)

- Löse jede Gleichung zunächst nach \(x\) auf und behandle \(k\) dabei wie einen Parameter. - Was muss für die beiden Ausdrücke gelten, wenn sie dieselbe Lösung für \(x\) liefern sollen? - Vergleiche die beiden erhaltenen Terme erst nach dem vollständigen Auflösen.

1. Aus (1) folgt nach dem Ausmultiplizieren \(4x+8k=20k\), also \(4x=12k\) und damit \(x=3k\). 2. Aus (2) folgt durch Addition von \(5k\) die Gleichung \(2x=16k\), also \(x=8k\). 3. Für eine gleiche Lösung müssen die beiden Ausdrücke übereinstimmen: \(3k=8k\). 4. Daraus folgt \(5k=0\) und somit \(k=0\).

a) Für (1) gilt \(x=3k\), für (2) gilt \(x=8k\). b) Beide Gleichungen haben für \(k=0\) dieselbe Lösung.

- Isoliere zunächst den Kehrwert \(\frac{1}{g}\), bevor du nach \(g\) selbst auflöst. - Ein konkretes Zahlenbeispiel kann eine falsche Umformung widerlegen. - Für c) untersuche zuerst, wie sich \(\frac{1}{b}\) verändert, und übertrage das anschließend auf \(\frac{1}{g}\) und \(g\).

1. Aus \(\frac{1}{f}=\frac{1}{g}+\frac{1}{b}\) folgt \(\frac{1}{g}=\frac{1}{f}-\frac{1}{b}=\frac{b-f}{fb}\). Für \(b\neq f\), \(f\neq0\) und \(b\neq0\) ergibt die Kehrwertbildung \(g=\frac{fb}{b-f}\). 2. Für \(f=6\) und \(b=10\) liefert die korrekte Formel \(g=\frac{60}{4}=15\). Jonas' Vermutung liefert dagegen \(-4\) und ist damit widerlegt. 3. Für \(b>f>0\) wird \(\frac{1}{b}\) kleiner, wenn \(b\) wächst. Daher wird \(\frac{1}{g}=\frac{1}{f}-\frac{1}{b}\) größer und \(g\) kleiner. 4. Für sehr große \(b\) nähert sich \(\frac{1}{b}\) dem Wert \(0\), also nähert sich \(g\) dem Wert \(f\) von oben an.

a) \(g=\frac{fb}{b-f}\) b) Die Vermutung ist falsch; für \(f=6\) und \(b=10\) ergibt sich \(g=15\) statt \(-4\). c) \(g\) wird kleiner und nähert sich \(f\) von oben an.

- Welche Operation hilft dir dabei, die Brüche in der Gleichung loszuwerden? - Was ist der gemeinsame Nenner der vorkommenden Brüche? - Kannst du alle Terme mit \(x\) auf eine Seite bringen und dann \(x\) isolieren? - Welche Werte dürfen Variablen in einem Nenner niemals annehmen?

1. Multiplikation der gesamten Gleichung mit dem Hauptnenner \(ac\), um die Brüche zu eliminieren: \(cx - abc = ax\). 2. Sortieren der Terme, sodass alle Glieder mit \(x\) auf einer Seite stehen: \(cx - ax = abc\). 3. Ausklammern der Variablen \(x\): \(x(c - a) = abc\). 4. Isolieren von \(x\) durch Division: \(x = \frac{abc}{c - a}\). 5. Analyse der Bedingungen: Aufgrund der ursprünglichen Nenner darf weder \(a\) noch \(c\) null sein (\(a \neq 0, c \neq 0\)). Damit die Division im letzten Schritt möglich ist, darf der Nenner nicht null werden, also \(c - a \neq 0 \Rightarrow c \neq a\).

\(x = \frac{abc}{c - a}\) mit den Bedingungen \(a \neq 0\), \(c \neq 0\) und \(c \neq a\).

- Drücke zunächst die größere Zahl mithilfe der kleineren Zahl und des Verhältnisses aus. - Nutze anschließend die bekannte Differenz der beiden Zahlen. - Welche Größe soll am Ende allein stehen? - Beachte, warum die Bedingung \(n>1\) den Nenner ungleich null hält.

1. Sei \(x\) die kleinere Zahl. Wegen des Verhältnisses \(1:n\) ist die größere Zahl \(nx\). 2. Die gegebene Differenz führt zur Gleichung \(nx-x=d\). 3. Ausklammern ergibt \(x(n-1)=d\). 4. Auflösen nach \(x\) liefert \(x=\frac{d}{n-1}\). 5. Die größere Zahl ist daher \(n\cdot\frac{d}{n-1}=\frac{nd}{n-1}\).

Die kleinere Zahl ist \(\frac{d}{n-1}\), die größere Zahl ist \(\frac{nd}{n-1}\).

- Wie kannst du die Klammern beseitigen, um die Terme einzeln zu betrachten? - Was passiert mit den Gliedern, die \(x^2\) enthalten? - Wenn eine Variable in verschiedenen Termen vorkommt, welches mathematische Verfahren hilft dir dabei, sie zu isolieren? - Denke an die mathematischen Regeln für die Division – was darf niemals im Nenner eines Bruches stehen?

1. Ausmultiplizieren der Klammern auf beiden Seiten der Gleichung führt zu \(x^2 + ax + bx + ab - x^2 = cx + c\). 2. Vereinfachen der linken Seite durch Subtraktion von \(x^2\): \(ax + bx + ab = cx + c\). 3. Umstellen der Gleichung, sodass alle Terme mit der Variablen \(x\) auf der linken Seite stehen: \(ax + bx - cx = c - ab\). 4. Ausklammern von \(x\) auf der linken Seite: \(x \cdot (a + b - c) = c - ab\). 5. Division durch den Klammerausdruck liefert die Lösung für \(x\): \(x = \frac{c - ab}{a + b - c}\). 6. Bestimmung der Existenzbedingung: Damit die Division möglich ist und eine eindeutige Lösung existiert, darf der Nenner nicht Null sein, also \(a + b - c \neq 0\).

\(x = \frac{c - ab}{a + b - c}\) mit der Bedingung \(a + b - c \neq 0\)

- Wie viele Umdrehungen macht ein Rad, wenn Strecke und Umfang bekannt sind? - Drücke die Umdrehungszahlen beider Räder mit \(s\) und \(u\) aus. - Die Differenz der Umdrehungszahlen ist vorgegeben; nutze daraus eine Gleichung. - Löse diese Gleichung anschließend nach \(s\) auf.

1. Rad A macht auf der Strecke \(s\) genau \(\frac{s}{u}\) Umdrehungen, Rad B genau \(\frac{s}{1{,}25u}\). 2. Die geforderte Differenz führt zu \(\frac{s}{u}-\frac{s}{1{,}25u}=n\). 3. Da \(\frac{1}{1{,}25}=0{,}8\) gilt, wird die linke Seite zu \(\frac{s}{u}-0{,}8\frac{s}{u}=0{,}2\frac{s}{u}\). 4. Damit gilt \(0{,}2\frac{s}{u}=n\). 5. Auflösen nach \(s\) ergibt \(s=5nu\).

\(s=5nu\)

- Welche absolute Menge an Frucht bleibt beim Verdünnen mit Wasser unverändert? - Wie groß ist das neue Gesamtvolumen nach Zugabe von \(w\) Litern Wasser? - Setze Fruchtmenge und Gesamtvolumen so ins Verhältnis, dass der Zielprozentsatz entsteht. - Löse die entstehende Formel nach \(w\) auf.

1. Die reine Fruchtmenge beträgt \(V\frac{p}{100}\). 2. Nach Zugabe von \(w\) Litern Wasser beträgt das Gesamtvolumen \(V+w\). 3. Für die Zielkonzentration gilt \(\frac{V\frac{p}{100}}{V+w}=\frac{q}{100}\). 4. Umformen ergibt \(Vp=q(V+w)\). 5. Daraus folgen \(Vp=qV+qw\), \(qw=V(p-q)\) und schließlich \(w=\frac{V(p-q)}{q}\).

\(w=\frac{V(p-q)}{q}\)

- Wie verändern sich Gesamtmasse und Salzmasse, wenn reines Salz hinzugefügt wird? - Stelle beide neuen Massen mit \(z\) dar. - Welches Verhältnis muss dem Zielprozentsatz entsprechen? - Löse die daraus entstehende Formel nach \(z\) auf.

1. Die ursprüngliche Salzmasse beträgt \(m\frac{s}{100}\). 2. Nach Zugabe von \(z\) Gramm Salz beträgt die Gesamtmasse \(m+z\) und die Salzmasse \(m\frac{s}{100}+z\). 3. Für die Zielkonzentration gilt \(\frac{m\frac{s}{100}+z}{m+z}=\frac{k}{100}\). 4. Multiplikation mit \(100(m+z)\) ergibt \(ms+100z=k(m+z)\). 5. Umformen führt zu \(z(100-k)=m(k-s)\). 6. Daher ist \(z=\frac{m(k-s)}{100-k}\).

\(z=\frac{m(k-s)}{100-k}\)

- Wenn die gesuchte Variable sowohl im Nenner als auch im Zähler steht, was musst du zuerst tun? - Wie kannst du einen Term mit der gesuchten Variable zusammenfassen, wenn er an mehreren Stellen vorkommt? - Erinnerst du dich an das Ausklammern (Distributivgesetz), um eine Variable zu isolieren? - Achte darauf, alle Terme mit der gesuchten Variable auf eine Seite der Gleichung zu bringen.

1. Nach \(k\): Multiplikation mit \(x+m\) ergibt \(y(x+m)=kx\). Wegen \(x \neq 0\) darf durch \(x\) dividiert werden: \(k=\frac{y(x+m)}{x}\). 2. Nach \(x\): Aus \(y(x+m)=kx\) folgt \(yx+ym=kx\), also \(ym=x(k-y)\). Wegen \(k \neq y\) erhält man \(x=\frac{ym}{k-y}\). Die Voraussetzungen \(m \neq 0\) und \(k \neq 0\) schließen die Sonderfälle ohne eindeutige Lösung aus und sichern \(x+m \neq 0\).

a) \(k = \frac{y(x+m)}{x}\) für \(x \neq 0\) b) \(x = \frac{ym}{k-y}\) für \(m \neq 0\), \(k \neq 0\) und \(k \neq y\)

- Kannst du \(x\) auf der linken Seite ausklammern, um die Struktur zu vereinfachen? - Wie subtrahiert man zwei Brüche mit unterschiedlichen Nennern? - Erkennst du im Nenner eine binomische Formel, die dir beim Zusammenfassen helfen könnte? - Was passiert mit dem Term \(2b\), wenn du die Gleichung nach \(x\) umstellst?

1. Ausklammern von \(x\): \(x\left(\frac{1}{a-b}-\frac{1}{a+b}\right)=\frac{2b}{a}\). 2. Zusammenfassen der Klammer: \(\frac{(a+b)-(a-b)}{(a-b)(a+b)}=\frac{2b}{a^2-b^2}\). 3. Damit gilt \(x\cdot\frac{2b}{a^2-b^2}=\frac{2b}{a}\). 4. Wegen \(b \neq 0\) darf durch \(2b\) dividiert werden. Es folgt \(x=\frac{a^2-b^2}{a}=a-\frac{b^2}{a}\).

\(x = \frac{a^2 - b^2}{a}\) (oder \(x = a - \frac{b^2}{a}\))

- Wie kannst du die Brüche loswerden? Suche nach einem gemeinsamen Nenner. - Achte beim Ausmultiplizieren besonders auf die Vorzeichen. - Versuche, alle Terme mit \(x\) auf eine Seite der Gleichung zu bringen und \(x\) dann auszuklammern. - Kannst du den Ausdruck auf der rechten Seite so faktorisieren, dass er dem Koeffizienten von \(x\) ähnelt?

1. Multiplikation der gesamten Gleichung mit dem Hauptnenner \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\), um die Brüche zu eliminieren: \(a(x+b)(a-b) + b(x-a)(a+b) = a(a^2-b^2)\). 2. Ausmultiplizieren der Terme: \(a^2x - abx + a^2b - ab^2 + abx + b^2x - a^2b - ab^2 = a^3 - ab^2\). 3. Zusammenfassen gleichartiger Terme ergibt \((a^2+b^2)x - 2ab^2 = a^3 - ab^2\). 4. Addition von \(2ab^2\) auf beiden Seiten ergibt \((a^2+b^2)x = a^3 + ab^2\). 5. Ausklammern auf der rechten Seite ergibt \((a^2+b^2)x = a(a^2+b^2)\). 6. Da \(a \neq 0\) gilt, ist \(a^2+b^2 \neq 0\). Division durch \(a^2+b^2\) ergibt \(x = a\).

\(x = a\)

- Wie kannst du die Brüche in der Gleichung eliminieren, um die Rechnung zu vereinfachen? - Versuche, alle Terme, die die gesuchte Variable enthalten, auf eine Seite der Gleichung zu bringen. - Wenn die gesuchte Variable in mehreren Termen vorkommt, hilft oft das Ausklammern. - Denk daran, dass du am Ende durch den Faktor vor der gesuchten Variable teilen musst.

1. Multiplikation der Gleichung mit dem Hauptnenner \(ab\): \(a(x-a) = b(x-b) + ab\). 2. Auflösen der Klammern: \(ax - a^2 = bx - b^2 + ab\). 3. Sortieren der Terme, sodass alle Glieder mit \(x\) auf einer Seite stehen: \(ax - bx = a^2 - b^2 + ab\). 4. Ausklammern der Variable \(x\): \(x(a-b) = a^2 - b^2 + ab\). 5. Division durch \((a-b)\) zur Isolation von \(x\): \(x = \frac{a^2 - b^2 + ab}{a-b}\).

\(x = \frac{a^2 - b^2 + ab}{a-b}\)