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- Was bedeutet „mit \(5\) erweitern“ für Zähler und Nenner gleichzeitig? - Der Wert des Bruchs soll sich beim Erweitern nicht ändern.

1. Beim Erweitern werden Zähler und Nenner mit demselben von null verschiedenen Faktor multipliziert. 2. Es gilt \(\frac{3}{2x}\cdot\frac{5}{5}=\frac{15}{10x}\).

\(\frac{15}{10x}\)

- Zerlege Zähler und Nenner gedanklich in gemeinsame Faktoren. - Welche gemeinsamen Faktoren dürfen unter der angegebenen Bedingung gekürzt werden?

1. Zähler und Nenner besitzen gemeinsame Faktoren; wegen \(x\neq0\) darf auch der Faktor \(x\) gekürzt werden. 2. Nach vollständigem Kürzen bleibt \(\frac{2}{3}\).

\(\frac{2}{3}\)

- Kannst du im Zähler oder Nenner eine Zahl oder Variable vor eine Klammer ziehen? - Schau dir an, ob derselbe Faktor sowohl oben als auch unten vorkommt. - Kürzen darfst du nur gemeinsame Faktoren des gesamten Zählers und Nenners, nicht einzelne Summanden. - Prüfe vor dem Kürzen die Nenner der vier Ausgangsterme auf mögliche Nullstellen.

Definitionsbedingungen: In a) gilt \(a\neq0\), in b) \(x\neq0\), in c) \(y\neq-2\) und in d) \(z\neq2\). 1. Teilaufgabe a): Ausklammern der \(5\) im Zähler ergibt \(5(a-b)\). Kürzen durch \(5\) im Zähler und Nenner führt zum Ergebnis \(\frac{a-b}{2a}\). 2. Teilaufgabe b): Ausklammern von \(x\) im Zähler ergibt \(x(x+2)\). Kürzen durch \(x\) im Zähler und Nenner führt zum Ergebnis \(x+2\). 3. Teilaufgabe c): Ausklammern der \(3\) im Nenner ergibt \(3(y+2)\). Kürzen durch \(3\) im Zähler und Nenner führt zum Ergebnis \(\frac{y}{y+2}\). 4. Teilaufgabe d): Ausklammern der \(2\) im Zähler ergibt \(2(z-2)\). Da der Faktor \((z-2)\) sowohl im Zähler als auch im Nenner steht, kann der gesamte Klammerausdruck gekürzt werden. Das Ergebnis ist \(2\).

a) \(\frac{a-b}{2a}\) b) \(x+2\) c) \(\frac{y}{y+2}\) d) \(2\) Definitionsbedingungen: In a) gilt \(a\neq0\), in b) \(x\neq0\), in c) \(y\neq-2\) und in d) \(z\neq2\).

- Kannst du im Zähler oder Nenner eine Zahl ausklammern? - Gibt es gemeinsame Variablen in Zähler und Nenner, die man kürzen kann? - Achte darauf, dass du nur aus Produkten kürzt, nicht aus Summen. - Siehst du Klammerausdrücke, die identisch sind?

1. Kürzen von \(\frac{14x}{21x^2}\): Den Zähler und Nenner durch den größten gemeinsamen Teiler \(7x\) dividieren. Ergebnis: \(\frac{2}{3x}\). 2. Kürzen von \(\frac{8a - 12}{4}\): Im Zähler den Faktor \(4\) ausklammern: \(4 \cdot (2a - 3)\). Den Faktor \(4\) gegen den Nenner kürzen. Ergebnis: \(2a - 3\). 3. Kürzen von \(\frac{x + 2}{2x + 4}\): Im Nenner den Faktor \(2\) ausklammern: \(2 \cdot (x + 2)\). Den gesamten Term \((x + 2)\) kürzen. Ergebnis: \(\frac{1}{2}\). 4. Kürzen von \(\frac{5y - 7}{10y - 14}\): Im Nenner den Faktor \(2\) ausklammern: \(2 \cdot (5y - 7)\). Den gesamten Term \((5y - 7)\) kürzen. Ergebnis: \(\frac{1}{2}\).

a) \(\frac{2}{3x}\) b) \(2a - 3\) c) \(\frac{1}{2}\) d) \(\frac{1}{2}\)

- Berechne zuerst den Wert des Bruchs ganz normal mit den gegebenen Zahlen. - Überlege dann, welches Ergebnis Lisas vorgeschlagenes „Wegstreichen“ der 5 liefern würde. - Vergleiche die beiden Ergebnisse. - Achte darauf, ob die 5 mit einem Malzeichen oder einem Pluszeichen mit dem Rest des Terms verbunden ist.

1. Einsetzen von \(a=5\) und \(b=10\) in die Terme: a) \(\frac{5 \cdot 5}{5 \cdot 10} = \frac{25}{50} = 0{,}5\). Ohne die Fünfen: \(\frac{a}{b} = \frac{5}{10} = 0{,}5\). Das Ergebnis ist gleich. b) \(\frac{5 + 5}{5 + 10} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \approx 0{,}67\). Ohne die Fünfen: \(\frac{a}{b} = \frac{5}{10} = 0{,}5\). Die Ergebnisse unterscheiden sich. c) \(\frac{5 \cdot (5 + 1)}{5} = \frac{30}{5} = 6\). Ohne die Fünf: \(a + 1 = 5 + 1 = 6\). Das Ergebnis ist gleich. 2. Schlussfolgerung: Kürzen ist nur erlaubt, wenn die Zahl ein Faktor im gesamten Zähler und im gesamten Nenner ist (wie in a und c). Einzelne Summanden einer Summe (wie in b) dürfen nicht gekürzt werden.

a) Kürzen möglich (Ergebnis \(0{,}5\)). b) Kürzen nicht möglich (Werte \(\frac{2}{3}\) und \(0{,}5\) sind verschieden). c) Kürzen möglich (Ergebnis \(6\)). Man darf nur gemeinsame Faktoren des gesamten Zählers und Nenners kürzen. In Summen ist das Kürzen einzelner Summanden falsch.

- Denke an den Unterschied zwischen einem Produkt und einer Summe. - Versuche, den Nenner jeweils als Produkt zu schreiben. Geht das bei beiden Beispielen? - Entscheidend ist nicht, ob derselbe Buchstabe vorkommt, sondern ob derselbe Faktor den gesamten Zähler und Nenner teilt.

1. Untersuchung von \(\frac{x}{x^2}\): Für \(x\neq0\) gilt \(x^2=x\cdot x\). Damit liegt im Nenner ein Produkt vor, und man kann durch den gemeinsamen Faktor \(x\) kürzen: \(\frac{x}{x\cdot x}=\frac{1}{x}\). Eine Vereinfachung ist möglich. 2. Untersuchung von \(\frac{x}{x+1}\): Im Nenner steht eine Summe. Da \(x\) kein Faktor des gesamten Nenners ist, kann nicht gekürzt werden. 3. Fazit: Die Aussage ist falsch. Das Vorkommen derselben Variablen reicht nicht aus; sie muss in Zähler und Nenner als Faktor auftreten, nicht nur als Summand.

Mikas Aussage ist falsch. Während man \(\frac{x}{x^2}\) für \(x\neq0\) zu \(\frac{1}{x}\) kürzen kann, lässt sich \(\frac{x}{x+1}\) nicht durch Kürzen vereinfachen. Kürzen ist nur bei gemeinsamen Faktoren möglich, nicht bei Summanden.

- Vergleiche in a) den vorhandenen Nenner mit dem gewünschten Nenner. - Vergleiche in b) den vorhandenen Zähler mit dem gewünschten Zähler. - Beim Erweitern müssen Zähler und Nenner mit demselben von null verschiedenen Faktor multipliziert werden.

1. Für a) ist der Erweiterungsfaktor \(4y\). Damit gilt \(\frac{5}{3y}=\frac{20y}{12y^2}\). 2. Für b) ist der Erweiterungsfaktor \(2y^3\). Damit gilt \(\frac{5}{3y}=\frac{10y^3}{6y^4}\). 3. Die Bedingung \(y\neq0\) stammt aus dem ursprünglichen Nenner und bleibt beim Erweitern bestehen.

a) \(\frac{20y}{12y^2}\) b) \(\frac{10y^3}{6y^4}\) Definitionsbedingung: \(y\neq0\).

- Prüfe zuerst beide Ausgangsnenner auf Nullstellen. - Für einen gemeinsamen Nenner kannst du hier die beiden unterschiedlichen Nennerfaktoren zusammennehmen. - Überlege für jeden Bruch, welcher Faktor im Nenner noch fehlt, und multipliziere damit auch den Zähler.

1. Die Ausgangsnenner dürfen nicht null sein. Daher gilt \(x\neq-2\) und \(x\neq0\). 2. Ein gemeinsamer Nenner ist \(x(x+2)=x^2+2x\). 3. Der erste Bruch wird mit \(x\) erweitert: \(\frac{3}{x+2}=\frac{3x}{x^2+2x}\). 4. Der zweite Bruch wird mit \(x+2\) erweitert: \(\frac{2}{x}=\frac{2(x+2)}{x(x+2)}=\frac{2x+4}{x^2+2x}\).

a) \(x\neq0\), \(x\neq-2\); gemeinsamer Nenner: \(x(x+2)=x^2+2x\). b) \(\frac{3x}{x^2+2x}\) und \(\frac{2x+4}{x^2+2x}\).

- Suche im gesamten Zähler nach einem gemeinsamen Zahlen- und Variablenfaktor. - Schreibe den Zähler als Produkt, bevor du kürzt. - Prüfe, ob der gemeinsame Faktor aufgrund der gegebenen Bedingungen tatsächlich von null verschieden ist.

1. Im Zähler lässt sich \(7ab\) ausklammern: \(14a^2b-21ab^2=7ab(2a-3b)\). 2. Damit wird der Bruch zu \(\frac{7ab(2a-3b)}{7ab}\). 3. Wegen \(a\neq0\) und \(b\neq0\) darf der gemeinsame Faktor \(7ab\) gekürzt werden. Es bleibt \(2a-3b\).

\(2a-3b\) für \(a\neq0\) und \(b\neq0\).

- Welche Zahl und welche Variable kommen als Faktor in beiden Summanden des Zählers vor? - Schreibe anschließend auch den Nenner als Produkt. - Prüfe, ob der Faktor, den du kürzen möchtest, aufgrund der gegebenen Bedingung von null verschieden ist.

1. Im Zähler lässt sich \(6x\) ausklammern: \(12x^2-18x=6x(2x-3)\). 2. Der Nenner ist \(6x^2=6x\cdot x\). 3. Wegen \(x\neq0\) darf der gemeinsame Faktor \(6x\) gekürzt werden. 4. Es bleibt \(\frac{2x-3}{x}\).

\(\frac{2x-3}{x}\) für \(x\neq0\).

- Suche im gesamten Nenner nach einem gemeinsamen Faktor. - Schreibe den Nenner als Produkt, bevor du kürzt. - Prüfe, ob der gemeinsame Faktor aufgrund der gegebenen Bedingungen von null verschieden ist.

1. Im Nenner lässt sich \(3y\) ausklammern: \(3y^2-6y=3y(y-2)\). 2. Damit lautet der Bruch \(\frac{12y}{3y(y-2)}\). 3. Wegen \(y\neq0\) darf der gemeinsame Faktor \(3y\) gekürzt werden. Es bleibt \(\frac{4}{y-2}\). 4. Die ursprünglichen Bedingungen \(y\neq0\) und \(y\neq2\) bleiben für den Ausgangsterm bestehen.

\(\frac{4}{y-2}\) für den ursprünglichen Term mit \(y\neq0\) und \(y\neq2\).

- Versuche zuerst, den Zähler in eine Produktform zu bringen. - Welche Faktoren kommen sowohl im gesamten Zähler als auch im Nenner vor? - Denk daran, dass man in Brüchen nur Faktoren kürzen darf, keine einzelnen Summanden.

1. Definitionsbedingungen festhalten: Wegen des Nenners gilt \(a \neq 0\) und \(b \neq 0\). 2. Im Zähler den größten gemeinsamen Faktor von \(20a^4b^3\) und \(30a^3b^4\) bestimmen: \(10a^3b^3\). 3. Zähler faktorisieren: \(10a^3b^3 \cdot (2a - 3b)\). 4. Den Bruch mit dem Faktor \(10a^3b^3\) kürzen: \(\frac{10a^3b^3 \cdot (2a - 3b)}{10a^3b^3} = 2a - 3b\).

\(2a - 3b\) für \(a \neq 0\) und \(b \neq 0\)

- Welcher Faktor im Dividenden kommt auch als Divisor vor? - Du kannst das Distributivgesetz rückwärts anwenden, bevor du kürzt. - Prüfe vor jedem Kürzen, ob der betreffende Divisor null werden kann.

1. Ausklammern von \(18\) ergibt \((18a + 18b) : 18 = 18 \cdot (a + b) : 18 = a + b\). 2. Für \(p \neq 0\) kann \(p\) ausgeklammert und gekürzt werden: \((mp + np) : p = p \cdot (m + n) : p = m + n\). 3. Ausklammern von \(7\) ergibt \((35x - 21y) : 7 = 7 \cdot (5x - 3y) : 7 = 5x - 3y\). 4. Für \(u - v \neq 0\) kann der gemeinsame Faktor gekürzt werden: \(12 \cdot (u - v) : (u - v) = 12\).

1) \(a + b\) 2) \(m + n\) für \(p \neq 0\) 3) \(5x - 3y\) 4) \(12\) für \(u - v \neq 0\)

- Prüfe jeden Zähler darauf, ob er ein binomisches Quadrat ist. - Schreibe den Zähler als Produkt zweier gleicher Faktoren. - Kürze erst, nachdem die Faktoren sichtbar sind und der Divisor als ungleich null vorausgesetzt ist.

1. \(x^2+14x+49=(x+7)^2\). Nach dem Kürzen eines Faktors \(x+7\) bleibt \(x+7\). 2. \(4a^2-12ab+9b^2=(2a-3b)^2\). Nach dem Kürzen eines Faktors \(2a-3b\) bleibt \(2a-3b\). 3. \(y^4+2y^2+1=(y^2+1)^2\). Nach dem Kürzen eines Faktors \(y^2+1\) bleibt \(y^2+1\).

a) \(x+7\) b) \(2a-3b\) c) \(y^2+1\)

- Was bedeutet es mathematisch, eine Variable durch ihr Dreifaches zu ersetzen? - Wie kannst du einen Bruchterm vereinfachen, nachdem du die neuen Ausdrücke eingesetzt hast? - Denke an das Ausklammern von gemeinsamen Faktoren in Zähler und Nenner, um zu kürzen. - Achte auf die Potenzgesetze, wenn du Ausdrücke wie \((3a)^2\) auflöst.

1. Ersetzung von \(a\) durch \(3a\) und \(b\) durch \(3b\) in den Termen. 2. Term a): \(\frac{5 \cdot (3a)}{3b} = \frac{15a}{3b} = \frac{5a}{b}\). Der Wert bleibt gleich. 3. Term b): \(\frac{3a - 3b}{3 \cdot (3a)} = \frac{3(a-b)}{9a} = \frac{a-b}{3a}\). Der Wert bleibt gleich. 4. Term c): \(\frac{(3a)^2}{(3b)^2 + 3a} = \frac{9a^2}{9b^2 + 3a} = \frac{3a^2}{3b^2 + a}\). Dieser Term ist nicht identisch mit \(\frac{a^2}{b^2+a}\); zum Beispiel ändert sich der Wert für \(a=1\) und \(b=1\) von \(\frac{1}{2}\) auf \(\frac{3}{4}\). 5. Term d): \(\frac{(3a)^2 + (3b)^2}{(3a) \cdot (3b)} = \frac{9a^2 + 9b^2}{9ab} = \frac{9(a^2 + b^2)}{9ab} = \frac{a^2 + b^2}{ab}\). Der Wert bleibt gleich.

Der Wert bleibt bei den Termen a), b) und d) für alle gemeinsamen zulässigen Werte gleich. Bei Term c) bleibt er nicht für alle zulässigen Werte gleich.

- Überlege, durch welche Zahlen und Variablen du Zähler und Nenner gleichzeitig teilen kannst. - Achte beim Kürzen von Potenzen genau auf die Exponenten. - Vergleiche die vereinfachten Formen nur für Variablenwerte, für die alle verglichenen Ausgangsterme definiert sind.

1. Kürzen von Term A: Division von Zähler und Nenner durch den gemeinsamen Faktor \(5xy\) führt zu \(\frac{3x}{4y}\). Dabei gelten \(x \neq 0\) und \(y \neq 0\). 2. Term B ist bereits vollständig gekürzt und lautet \(\frac{3x}{4y}\); hier gilt \(y \neq 0\). 3. Kürzen von Term C: Division von Zähler und Nenner durch den gemeinsamen Faktor \(3x^2\) ergibt \(\frac{3x}{4y}\). Dabei gelten \(x \neq 0\) und \(y \neq 0\). 4. Kürzen von Term D: Division von Zähler und Nenner durch \(2\) ergibt \(\frac{3x^2}{4y^2}\); hier gilt \(y \neq 0\). 5. Auf der gemeinsamen Definitionsmenge \(x \neq 0\) und \(y \neq 0\) haben die Terme A, B und C denselben Wert. Term D ist im Allgemeinen nicht wertgleich mit ihnen.

Auf der gemeinsamen Definitionsmenge \(x \neq 0\) und \(y \neq 0\) sind die Terme A, B und C wertgleich; ihre vereinfachte Form ist \(\frac{3x}{4y}\). Term D vereinfacht sich zu \(\frac{3x^2}{4y^2}\) und ist im Allgemeinen nicht wertgleich mit ihnen.

- Suche im Zähler und Nenner nach gemeinsamen Faktoren. - Potenzgesetze können dir helfen, wenn Variablen mit Hochzahlen vorkommen. - Klammerausdrücke können wie eine einzige Variable behandelt werden, wenn sie identisch sind. - Achte darauf, dass du beim Kürzen von Variablen im Nenner keine 1 vergisst, falls der gesamte Zähler wegfällt.

1. Teilaufgabe a: Division von Zähler und Nenner durch den größten gemeinsamen Teiler \(5x^2 y^2\). Ergebnis: \(\frac{3x}{4y^2}\). 2. Teilaufgabe b: Division von Zähler und Nenner durch \(3(a+b)\). Ergebnis: \(\frac{2(a+b)}{3}\). 3. Teilaufgabe c: Division von Zähler und Nenner durch \(4u(v-3)\). Da der Faktor \((v-3)\) in Zähler und Nenner identisch ist, kürzt er sich vollständig weg. Ergebnis: \(\frac{1}{2u}\). 4. Die ursprünglichen Definitionsbedingungen lauten: a) \(x \neq 0\), \(y \neq 0\); b) \(a+b \neq 0\); c) \(u \neq 0\), \(v \neq 3\).

a) \(\frac{3x}{4y^2}\); Definitionsbedingungen: \(x \neq 0\), \(y \neq 0\) b) \(\frac{2(a+b)}{3}\); Definitionsbedingung: \(a+b \neq 0\) c) \(\frac{1}{2u}\); Definitionsbedingungen: \(u \neq 0\), \(v \neq 3\)

- Betrachte die Zahlenkoeffizienten und jede Variable einzeln. - Wie lauten die Rechenregeln für Potenzen, wenn man sie dividiert? - Was passiert mit dem Exponenten einer Variablen, wenn die Potenz im Nenner größer ist als im Zähler? - Kannst du den Bruch in ein Produkt aus mehreren kleinen Brüchen zerlegen?

1. Kürzen von \(\frac{15x^3y^2}{10x^2y^4}\): Zähler und Nenner werden durch \(5x^2y^2\) geteilt. Ergebnis: \(\frac{3x}{2y^2}\). 2. Kürzen von \(\frac{4a^5b^3}{12a^3b^6}\): Zähler und Nenner werden durch \(4a^3b^3\) geteilt. Ergebnis: \(\frac{a^2}{3b^3}\). 3. Kürzen von \(\frac{18p^2q^4}{27pq^2}\): Zähler und Nenner werden durch \(9pq^2\) geteilt. Ergebnis: \(\frac{2pq^2}{3}\). 4. Kürzen von \(\frac{z^7 w^3}{z^4 w^5}\): Zähler und Nenner werden durch \(z^4w^3\) geteilt. Ergebnis: \(\frac{z^3}{w^2}\). 5. Die ursprünglichen Definitionsbedingungen bleiben erhalten: a) \(x \neq 0\), \(y \neq 0\); b) \(a \neq 0\), \(b \neq 0\); c) \(p \neq 0\), \(q \neq 0\); d) \(z \neq 0\), \(w \neq 0\).

a) \(\frac{3x}{2y^2}\); Definitionsbedingungen: \(x \neq 0\) und \(y \neq 0\) b) \(\frac{a^2}{3b^3}\); Definitionsbedingungen: \(a \neq 0\) und \(b \neq 0\) c) \(\frac{2pq^2}{3}\); Definitionsbedingungen: \(p \neq 0\) und \(q \neq 0\) d) \(\frac{z^3}{w^2}\); Definitionsbedingungen: \(z \neq 0\) und \(w \neq 0\)

- Erinnere dich daran, dass \(\frac{-a}{b} = \frac{a}{-b} = -\frac{a}{b}\) gilt. - Wie verändert sich eine Differenz wie \(x-y\), wenn du ein Minuszeichen davor setzt und die Klammer auflöst? - Du kannst im Zähler oder im Nenner eine \(-1\) ausklammern, um das Vorzeichen des gesamten Bruchs zu ändern.

1. Bei Teilaufgabe a) wird im Zähler \(-1\) ausgeklammert: \(\frac{7-x}{z} = \frac{-(x-7)}{z} = -\frac{x-7}{z}\). 2. Bei Teilaufgabe b) wird im Nenner \(-1\) ausgeklammert: \(\frac{a}{5-b} = \frac{a}{-(b-5)} = -\frac{a}{b-5}\). 3. Bei Teilaufgabe c) wird im Zähler \(-1\) ausgeklammert: \(\frac{x-y}{x+y} = \frac{-(y-x)}{x+y} = -\frac{y-x}{x+y}\). 4. Bei Teilaufgabe d) wird im Zähler \(-1\) ausgeklammert: \(\frac{-3-m}{n} = \frac{-(3+m)}{n} = -\frac{3+m}{n}\).

a) \(-\frac{x-7}{z}\) b) \(-\frac{a}{b-5}\) c) \(-\frac{y-x}{x+y}\) d) \(-\frac{3+m}{n}\)

- Was haben die Summanden im Zähler gemeinsam? - Kannst du eine Zahl finden, durch die sowohl der gesamte Zähler als auch der gesamte Nenner teilbar sind? - Achte darauf, dass du nur Faktoren kürzt, die mit dem restlichen Term durch eine Multiplikation verbunden sind. - Überlege dir, ob du im Nenner ebenfalls eine Zahl ausklammern kannst, um das Kürzen zu erleichtern.

1. Es muss \(a \neq 0\) gelten. Ausklammern der \(8\) im Zähler ergibt \(\frac{8(a-b)}{16a}\). Kürzen durch \(8\) führt zu \(\frac{a-b}{2a}\). 2. Es muss \(z+w \neq 0\) gelten. Ausklammern der \(3\) im Zähler und der \(12\) im Nenner ergibt \(\frac{3(x+y)}{12(z+w)}\). Kürzen durch \(3\) führt zu \(\frac{x+y}{4(z+w)}\). 3. Es muss \(k \neq 0\) gelten. Ausklammern der \(5\) im Zähler ergibt \(\frac{5(k-3m)}{20k}\). Kürzen durch \(5\) führt zu \(\frac{k-3m}{4k}\).

1. \(\frac{a-b}{2a}\) für \(a \neq 0\) 2. \(\frac{x+y}{4(z+w)}\) für \(z+w \neq 0\) 3. \(\frac{k-3m}{4k}\) für \(k \neq 0\)

- Kannst du im Zähler oder Nenner eine gemeinsame Zahl oder Variable vor die Klammer ziehen? - Erinnerst du dich an die Struktur der drei binomischen Formeln? - Gibt es im Zähler und Nenner identische Klammerausdrücke, die du wegstreichen kannst? - Achte darauf, dass du nur aus Produkten kürzen darfst, nicht aus Summen.

1. Faktorisieren von Zähler und Nenner: Im Zähler wird \(7\) ausgeklammert zu \(7(x - 2)\). Der Nenner wird mit der dritten binomischen Formel zu \((x - 2)(x + 2)\) faktorisiert. Kürzen des Faktors \((x - 2)\) ergibt \(\frac{7}{x + 2}\). 2. Anwendung binomischer Formeln: Der Zähler entspricht der ersten binomischen Formel \((b + 5)^2\). Der Nenner wird nach der dritten binomischen Formel zu \((b - 5)(b + 5)\) zerlegt. Kürzen des Faktors \((b + 5)\) führt zu \(\frac{b + 5}{b - 5}\). 3. Ausklammern und Binom: Im Zähler wird \(z\) ausgeklammert zu \(z(z - 1)\). Der Nenner entspricht der zweiten binomischen Formel \((z - 1)^2\). Durch Kürzen von \((z - 1)\) erhält man \(\frac{z}{z - 1}\). 4. Die ursprünglichen Ausschlusswerte bleiben erhalten: 1) \(x \neq -2\) und \(x \neq 2\); 2) \(b \neq -5\) und \(b \neq 5\); 3) \(z \neq 1\).

1) \(\frac{7}{x + 2}\); 2) \(\frac{b + 5}{b - 5}\); 3) \(\frac{z}{z - 1}\). Definitionsbedingungen: 1) \(x \neq -2\) und \(x \neq 2\); 2) \(b \neq -5\) und \(b \neq 5\); 3) \(z \neq 1\).

- Kannst du im Zähler oder Nenner eine Zahl oder Variable gemeinsam ausklammern? - Erkennst du im Zähler oder Nenner eine der drei binomischen Formeln? - Denk daran, dass man nur aus Produkten kürzen darf, nicht aus Summen. - Überlege, wie sich ein Quadrat verändert, wenn man das Vorzeichen der Basis umkehrt, zum Beispiel bei \((a-b)^2\).

1. Ausklammern im Zähler (\(5(x-3)\)) und Anwendung der 3. binomischen Formel im Nenner (\((x-3)(x+3)\)). Kürzen des Faktors \((x-3)\) ergibt \(\frac{5}{x+3}\). Dabei gilt \(x \neq -3\) und \(x \neq 3\). 2. Anwendung der 1. binomischen Formel im Zähler (\((a+2)^2\)) und Ausklammern im Nenner (\(3(a+2)\)). Kürzen des Faktors \((a+2)\) ergibt \(\frac{a+2}{3}\). Dabei gilt \(a \neq -2\). 3. Anwendung der 3. binomischen Formel im Zähler: \(y^2-x^2=(y-x)(y+x)\). Da \((x-y)^2=(y-x)^2\), kann ein Faktor \((y-x)\) gekürzt werden. Das Ergebnis ist \(\frac{x+y}{y-x}\), äquivalent zu \(-\frac{x+y}{x-y}\). Dabei gilt \(x \neq y\).

1) \(\frac{5}{x+3}\) für \(x \neq -3\) und \(x \neq 3\); 2) \(\frac{a+2}{3}\) für \(a \neq -2\); 3) \(\frac{x+y}{y-x}\) für \(x \neq y\).

- Kannst du im Zähler oder Nenner einen gemeinsamen Faktor finden und ausklammern? - Erinnerst du dich an die binomischen Formeln? Suche nach Termen, die wie \(a^2 - b^2\) oder \(a^2 + 2ab + b^2\) aussehen. - Gibt es einen Klammerausdruck, der sowohl im Zähler als auch im Nenner vorkommt?

1. Faktorisierung des ersten Bruchs: Im Zähler \(7x\) ausklammern zu \(7x(x-y)\); im Nenner Anwendung der 3. binomischen Formel zu \((x-y)(x+y)\). Kürzen des gemeinsamen Faktors \((x-y)\) führt zum Ergebnis \(\frac{7x}{x+y}\). 2. Faktorisierung des zweiten Bruchs: Anwendung der 1. binomischen Formel im Zähler ergibt \((a+2b)^2\); im Nenner die Zahl \(2\) ausklammern zu \(2(a+2b)\). Kürzen des Faktors \((a+2b)\) ergibt \(\frac{a+2b}{2}\). 3. Die ursprünglichen Definitionsbedingungen lauten: 1) \(x \neq y\) und \(x \neq -y\); 2) \(a \neq -2b\).

1) \(\frac{7x}{x+y}\); 2) \(\frac{a+2b}{2}\) Definitionsbedingungen: 1) \(x \neq \pm y\); 2) \(a \neq -2b\).

- Kannst du im Zähler und im Nenner Faktoren finden, die in jedem Summanden vorkommen? - Erinnerst du dich daran, wie man einen Term ausklammert? - Schau dir den dritten Aufgabenteil genau an: Wie hängen die Ausdrücke in den Klammern zusammen, wenn du das Vorzeichen änderst? - Denk daran, dass man nur aus Produkten kürzen darf, nicht aus Summen.

1. Faktorisieren des Zählers durch Ausklammern von \(6a\): \(12ab - 18ac = 6a(2b - 3c)\). Kürzen des Faktors \(6a\) im Zähler und Nenner führt zum Ergebnis \(2b - 3c\). 2. Faktorisieren von Zähler und Nenner durch Ausklammern von \(x\): \(x(x + y)\) und \(x(x - y)\). Kürzen des gemeinsamen Faktors \(x\) ergibt \(\frac{x + y}{x - y}\). 3. Faktorisieren des Zählers durch Ausklammern von \(5\): \(5(u - v)\). Umformen des Nenners durch Ausklammern von \(-1\): \(v - u = -1(u - v)\). Kürzen des gemeinsamen Terms \((u - v)\) ergibt \(\frac{5}{-1} = -5\). 4. Die ursprünglichen Definitionsbedingungen lauten: 1) \(a \neq 0\); 2) \(x \neq 0\) und \(x \neq y\); 3) \(u \neq v\).

1) \(2b - 3c\); 2) \(\frac{x + y}{x - y}\); 3) \(-5\) Definitionsbedingungen: 1) \(a \neq 0\); 2) \(x \neq 0\) und \(x \neq y\); 3) \(u \neq v\).

- Kannst du im Zähler oder Nenner eine binomische Formel erkennen? - Gibt es im Zähler oder Nenner einen gemeinsamen Faktor, den du vor die Klammer ziehen kannst? - Denk daran, dass man in Brüchen nur Produkte (Faktoren) kürzen darf, keine Summen oder Differenzen. - Schau dir die Struktur genau an: Erinnert dich der Ausdruck an \((a+b)^2\), \((a-b)^2\) oder \((a-b)(a+b)\)?

1. Der ursprüngliche Nenner ist \((x+4)^2\), daher gilt \(x \neq -4\). Im Zähler gilt \(x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)\), im Nenner \(x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2\). Durch Kürzen von \(x+4\) erhält man \(\frac{x - 4}{x + 4}\). 2. Der ursprüngliche Nenner ist \((a-3)^2\), daher gilt \(a \neq 3\). Im Zähler wird \(2\) ausgeklammert: \(2(a - 3)\). Durch Kürzen von \(a-3\) ergibt sich \(\frac{2}{a - 3}\).

1) \(\frac{x - 4}{x + 4}\) für \(x \neq -4\) 2) \(\frac{2}{a - 3}\) für \(a \neq 3\)

- Kannst du im Zähler oder Nenner eine Struktur erkennen, die zu einer binomischen Formel passt? - Überlege, ob du eine Potenz wie \(x^4\) als Quadrat einer anderen Potenz schreiben kannst. - Gibt es Faktoren, die sowohl im Zähler als auch im Nenner vorkommen? - Achte darauf, ob nach dem ersten Kürzen noch ein weiterer Schritt möglich ist.

1. Anwendung der dritten binomischen Formel auf den Nenner des ersten Bruchs: \(x^4 - 81 = (x^2)^2 - 9^2 = (x^2 - 9)(x^2 + 9)\). Durch Kürzen des gemeinsamen Faktors \((x^2 - 9)\) im Zähler und Nenner ergibt sich \(\frac{1}{x^2 + 9}\). 2. Anwendung der dritten binomischen Formel auf den Zähler des zweiten Bruchs: \(16a^4 - 1 = (4a^2)^2 - 1^2 = (4a^2 - 1)(4a^2 + 1)\). Durch Kürzen des gemeinsamen Faktors \((4a^2 + 1)\) im Zähler und Nenner ergibt sich \(4a^2 - 1\). 3. Beim ersten Term bleiben die ursprünglichen Ausschlusswerte \(x \neq -3\) und \(x \neq 3\) erhalten.

1) \(\frac{1}{x^2 + 9}\) für \(x \neq -3\) und \(x \neq 3\); 2) \(4a^2 - 1\)

- Kannst du im Zähler oder Nenner eine binomische Formel erkennen? - Überprüfe, ob du zuerst eine Zahl oder eine Variable ausklammern kannst, bevor du eine binomische Formel anwendest. - Erinnere dich daran, dass man in Brüchen nur Faktoren kürzen darf, die sowohl im gesamten Zähler als auch im gesamten Nenner vorkommen. - Was passiert mit den Vorzeichen, wenn du eine binomische Formel rückwärts anwendest?

1. Faktorisieren des Zählers in Teilaufgabe a) mit der zweiten binomischen Formel: \(x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2\). 2. Faktorisieren des Nenners in Teilaufgabe a) mit der dritten binomischen Formel: \(x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)\). 3. Kürzen des gemeinsamen Faktors \((x - 5)\) führt zum Ergebnis: \(\frac{x - 5}{x + 5}\). 4. Faktorisieren des Zählers in Teilaufgabe b) durch Ausklammern von \(2\) und Anwenden der ersten binomischen Formel: \(2(a^2 + 2ab + b^2) = 2(a + b)^2\). 5. Faktorisieren des Nenners in Teilaufgabe b) durch Ausklammern von \(6\) und Anwenden der dritten binomischen Formel: \(6(a^2 - b^2) = 6(a - b)(a + b)\). 6. Kürzen des gemeinsamen Faktors \(2(a + b)\) (beachte \(\frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)) führt zum Ergebnis: \(\frac{a + b}{3(a - b)}\). 7. Die ursprünglichen Definitionsbedingungen lauten: a) \(x \neq -5\) und \(x \neq 5\); b) \(a \neq b\) und \(a \neq -b\).

a) \(\frac{x - 5}{x + 5}\) b) \(\frac{a + b}{3(a - b)}\) Definitionsbedingungen: a) \(x \neq -5\) und \(x \neq 5\); b) \(a \neq \pm b\).

- Vergleiche zuerst nur die beiden Nenner und bestimme den Faktor zwischen ihnen. - Derselbe Faktor muss auf den gesamten Zähler angewendet werden. - Setze einen zusammengesetzten Zähler beim Multiplizieren gedanklich in Klammern.

1. Der Nenner \(3x\) wird durch Multiplikation mit \(4\) zu \(12x\). 2. Daher muss auch der gesamte Zähler mit \(4\) multipliziert werden: \(4(2x+1)=8x+4\).

Erweiterungsfaktor: \(4\); fehlender Zähler: \(8x+4\).

- Trenne bei den Nennern den Zahlenfaktor vom gemeinsamen Variablenfaktor. - Suche für die Zahlen \(6\) und \(9\) das kleinste gemeinsame Vielfache. - Bestimme für jeden Bruch anschließend nur noch den fehlenden Erweiterungsfaktor.

1. Die Nenner enthalten beide den Faktor \(x\). Das kleinste gemeinsame Vielfache von \(6\) und \(9\) ist \(18\), also ist der kleinste geeignete gemeinsame Nenner \(18x\). 2. Der erste Bruch wird mit \(3\) erweitert: \(\frac{5}{6x}=\frac{15}{18x}\). 3. Der zweite Bruch wird mit \(2\) erweitert: \(\frac{7}{9x}=\frac{14}{18x}\).

Gemeinsamer Nenner: \(18x\); \(\frac{5}{6x}=\frac{15}{18x}\) und \(\frac{7}{9x}=\frac{14}{18x}\).

- Prüfe zuerst, ob du einen gemeinsamen Faktor des gesamten Zählers und Nenners erkennst. - Unterscheide sorgfältig zwischen Faktoren eines Produkts und Summanden einer Summe. - Bestimme bei variablen Nennern zusätzlich die Werte, für die der Ausgangsterm nicht definiert ist. - Ein Zahlenbeispiel kann eine falsche Gleichheit widerlegen, ersetzt aber nicht die algebraische Begründung.

1. Prüfung von a): Im Zähler steht eine Summe. Da nur Faktoren und keine Summanden gekürzt werden dürfen, ist die Umformung falsch. Korrektur: \(\frac{x+5}{5}=\frac{x}{5}+1\). 2. Prüfung von b): Der Faktor \(3\) wird mit dem Nenner gekürzt. Da \(3\) ein Faktor des gesamten Zählers ist, ist die Umformung korrekt. 3. Prüfung von c): Durch Ausklammern von \(a\) im Zähler erhält man \(\frac{a(a-1)}{a}\). Für \(a\neq0\) bleibt nach dem Kürzen \(a-1\). Die Umformung ist korrekt. 4. Prüfung von d): Der Ausgangsterm ist nur für \(x\neq-4\) definiert. Die angegebene Kürzung ist falsch, weil Summanden gestrichen wurden. Ausklammern der \(2\) ergibt \(\frac{2(x+2)}{2(x+4)}\), also \(\frac{x+2}{x+4}\) für \(x\neq-4\).

a) Falsch; Korrektur: \(\frac{x}{5}+1\) oder \(\frac{x+5}{5}\). b) Korrekt. c) Korrekt für \(a\neq0\). d) Falsch; Korrektur: \(\frac{x+2}{x+4}\) für \(x\neq-4\).

- Suche nach binomischen Formeln und Differenzen von Quadraten. - Manchmal hilft es, ein Minuszeichen auszuklammern. - Bestimme vor dem Kürzen alle Werte, bei denen ein Nenner null wird.

Definitionsbedingungen: \(x \neq 7\), \(a \neq -3\), \(y \neq -5\) und \(y \neq 5\). 1. Vereinfachung von \(\frac{x^2 - 49}{x - 7}\): Anwendung der dritten binomischen Formel im Zähler: \(x^2 - 49 = (x - 7)(x + 7)\). Kürzen des Faktors \((x - 7)\). Ergebnis: \(x + 7\). 2. Vereinfachung von \(\frac{a^2 + 6a + 9}{3a + 9}\): Anwendung der ersten binomischen Formel im Zähler: \(a^2 + 6a + 9 = (a + 3)^2\). Ausklammern der \(3\) im Nenner: \(3(a + 3)\). Kürzen eines Faktors \((a + 3)\). Ergebnis: \(\frac{a + 3}{3}\). 3. Vereinfachung von \(\frac{y - 5}{25 - y^2}\): Anwendung der dritten binomischen Formel im Nenner: \(25 - y^2 = (5 - y)(5 + y)\). Umschreiben des Zählers: \(y - 5 = -(5 - y)\). Kürzen des Faktors \((5 - y)\). Ergebnis: \(-\frac{1}{y + 5}\).

a) \(x + 7\) b) \(\frac{a + 3}{3}\) c) \(-\frac{1}{y + 5}\) Definitionsbedingungen: \(x \neq 7\), \(a \neq -3\), \(y \neq -5\) und \(y \neq 5\).

- Suche im Zähler nach einer Zahl oder Variablen, die in jedem Summanden vorkommt. - Kannst du den Zähler als Produkt schreiben? - Ein Bruchstrich bedeutet Division; der Nenner darf niemals den Wert Null annehmen. - Schau dir bei Teilaufgabe c genau an, ob Zähler und Nenner ein Vielfaches voneinander sind.

1. Term a: Ausklammern der \(6\) im Zähler ergibt \(\frac{6(x + 3)}{12}\). Kürzen durch \(6\) führt zu \(\frac{x + 3}{2}\). Der Nenner \(12\) ist nie Null. 2. Term b: Ausklammern von \(x\) im Zähler ergibt \(\frac{x(x - 5)}{x}\). Kürzen durch \(x\) führt zu \(x - 5\). Definitionslücke: \(x = 0\). 3. Term c: Ausklammern der \(4\) im Zähler und der \(2\) im Nenner ergibt \(\frac{4(x - 2)}{2(x - 2)}\). Kürzen des gesamten Klammerausdrucks \((x - 2)\) und der Zahlen führt zu \(\frac{4}{2} = 2\). Definitionslücke: \(x = 2\).

a) \(\frac{x + 3}{2}\); Nenner ist nie Null. b) \(x - 5\); Definitionslücke bei \(x = 0\). c) \(2\); Definitionslücke bei \(x = 2\).

- Was musst du mit dem aktuellen Nenner multiplizieren, um auf den Zielnenner zu kommen? - Vergiss nicht, dass du beim Erweitern immer Zähler UND Nenner mit derselben Zahl oder demselben Term multiplizieren musst. - Es hilft oft, den Zielnenner und die vorhandenen Nenner zuerst in Faktoren zu zerlegen (auszuklammern). - Beim Ausmultiplizieren von Klammern wie \((a+2) \cdot 3a\) musst du jedes Glied in der Klammer mit dem Faktor davor multiplizieren.

1. Bestimmung des Erweiterungsfaktors für Teilaufgabe a: Der Zielnenner ist \(12a(a-2)\). Der vorhandene Nenner ist \(3a\). Division ergibt den Faktor \(\frac{12a(a-2)}{3a} = 4(a-2) = 4a-8\). Multiplikation des Zählers: \(5 \cdot (4a-8) = 20a - 40\). Multiplikation des Nenners: \(3a \cdot (4a-8) = 12a^2 - 24a\). Ergebnis: \(\frac{20a-40}{12a^2-24a}\). 2. Bestimmung des Erweiterungsfaktors für Teilaufgabe b: Faktorisierung des vorhandenen Nenners ergibt \(4a-8 = 4(a-2)\). Der Faktor zum Zielnenner \(12a(a-2)\) ist \(\frac{12a(a-2)}{4(a-2)} = 3a\). Multiplikation des Zählers: \((a+2) \cdot 3a = 3a^2 + 6a\). Multiplikation des Nenners: \(4(a-2) \cdot 3a = 12a^2 - 24a\). Ergebnis: \(\frac{3a^2+6a}{12a^2-24a}\). 3. Bestimmung des Erweiterungsfaktors für Teilaufgabe c: Der Term \(2a\) entspricht dem Bruch \(\frac{2a}{1}\). Der Erweiterungsfaktor ist der gesamte Zielnenner \(12a(a-2) = 12a^2 - 24a\). Multiplikation des Zählers: \(2a \cdot (12a^2 - 24a) = 24a^3 - 48a^2\). Ergebnis: \(\frac{24a^3-48a^2}{12a^2-24a}\). 4. Die Einschränkungen \(a \neq 0\) und \(a \neq 2\) stellen sicher, dass der Zielnenner und die verwendeten Erweiterungsfaktoren nicht null sind.

a) \(\frac{20a-40}{12a^2-24a}\) b) \(\frac{3a^2+6a}{12a^2-24a}\) c) \(\frac{24a^3-48a^2}{12a^2-24a}\) Gültig für \(a \neq 0\) und \(a \neq 2\).

- Schau dir den neuen Nenner genau an. Kannst du dort etwas ausklammern, um zu sehen, wie er mit dem alten Nenner zusammenhängt? - Wenn du einen Term wie \((x-3)\) mit einem anderen Term erweiterst, musst du Klammern setzen. - Denk beim Ausmultiplizieren von zwei Klammern an die Regel: „Jedes Glied der ersten Klammer mit jedem Glied der zweiten Klammer“.

1. Faktorisierung des Zielnenners: \(2x^2 + 10x = 2x(x+5)\). 2. Vergleich mit dem ursprünglichen Nenner \(2x\): Der Erweiterungsfaktor ist \((x+5)\). 3. Erweiterung des Zählers: Multiplikation von \((x-3)\) mit \((x+5)\) ergibt \(x^2 + 5x - 3x - 15 = x^2 + 2x - 15\). 4. Aufstellen des vollständigen Bruchs mit ausmultipliziertem Zähler und Nenner: \(\frac{x^2+2x-15}{2x^2+10x}\). 5. Die Darstellung mit dem neuen Nenner gilt für \(x \neq 0\) und \(x \neq -5\).

\(\frac{x^2+2x-15}{2x^2+10x}\) für \(x \neq 0\) und \(x \neq -5\).

- Zerlege beide Nenner zuerst in Faktoren und notiere dabei, wann ein Nenner null wird. - Der Hauptnenner muss jeden notwendigen Nennerfaktor in ausreichender Anzahl enthalten. - Vergleiche für jeden Bruch den vorhandenen Nenner mit dem Zielnenner, um den Erweiterungsfaktor zu finden.

1. Es gilt \(x^2-4x=x(x-4)\) und \(2x-8=2(x-4)\). Beide Ausgangsterme sind nur für \(x\neq0\) und \(x\neq4\) gemeinsam definiert. 2. Ein geeigneter Hauptnenner ist \(2x(x-4)\), ausmultipliziert \(2x^2-8x\). 3. Für \(A\) fehlt der Faktor \(2\): \(A=\frac{6}{2x^2-8x}\). 4. Für \(B\) fehlt der Faktor \(x\): \(B=\frac{x(x+1)}{2x(x-4)}=\frac{x^2+x}{2x^2-8x}\).

1. Nenner: \(x(x-4)\) und \(2(x-4)\); gemeinsam gilt \(x\neq0\), \(x\neq4\). 2. Hauptnenner: \(2x(x-4)=2x^2-8x\). 3. \(A=\frac{6}{2x^2-8x}\), \(B=\frac{x^2+x}{2x^2-8x}\).

- Schau dir die Seite an, auf der beide Terme (Zähler oder Nenner) bekannt sind. Wie kommst du von dem einen zum anderen? - Es hilft oft, Terme wie \(x^2 - 3x\) auszuklammern, um den Erweiterungsfaktor besser zu sehen.

1. In Teilaufgabe a) wird der Nenner von \(x-3\) zu \(x^2 - 3x\). Durch Ausklammern erkennt man: \(x^2 - 3x = x(x-3)\). Der Erweiterungsfaktor ist also \(x\). 2. Multiplikation des Zählers mit \(x\): \((x+2) \cdot x = x^2 + 2x\). 3. In Teilaufgabe b) wird der Zähler von \(z-1\) zu \(z^2 - z\). Durch Ausklammern erkennt man: \(z^2 - z = z(z-1)\). Der Erweiterungsfaktor ist also \(z\). 4. Multiplikation des Nenners mit \(z\): \(2z \cdot z = 2z^2\). 5. Die Einschränkungen folgen aus den ursprünglichen und den neuen Nennern: a) \(x \neq 0 \text{ und } x \neq 3\), b) \(z \neq 0\).

a) \(x^2 + 2x\) für \(x \neq 0 \text{ und } x \neq 3\) b) \(2z^2\) für \(z \neq 0\)

- Welche binomische Formel erkennst du im neuen Nenner? - Mit welchem Ausdruck musst du den alten Nenner multiplizieren, um den neuen zu erhalten? - Vergiss nicht, den gesamten Zähler in Klammern zu setzen, bevor du ihn multiplizierst.

1. Den Zielnenner faktorisieren: Mithilfe der dritten binomischen Formel lässt sich \(4a^2 - 9b^2\) als \((2a+3b) \cdot (2a-3b)\) schreiben. 2. Erweiterungsfaktor bestimmen: Da der ursprüngliche Nenner \(2a+3b\) war, muss der Bruch mit dem Faktor \((2a-3b)\) erweitert werden. 3. Neuen Zähler berechnen: Multiplikation des ursprünglichen Zählers mit dem Erweiterungsfaktor ergibt \((a-b) \cdot (2a-3b) = 2a^2 - 3ab - 2ab + 3b^2 = 2a^2 - 5ab + 3b^2\). 4. Die Bedingungen \(2a+3b \neq 0\) und \(2a-3b \neq 0\) schließen einen Nullnenner und einen Erweiterungsfaktor null aus.

Der neue Zähler lautet \(2a^2 - 5ab + 3b^2\), gültig für \(2a+3b \neq 0\) und \(2a-3b \neq 0\).

- Suche in Zähler und Nenner nach gemeinsamen Faktoren, bevor du kürzt. - Achte darauf, dass im Nenner mehr als eine Faktorisierungsidee nötig sein kann. - Behalte zusätzlich die Werte im Blick, die im ursprünglichen Term nicht zulässig sind.

1. Im Zähler gilt \(4x-8=4(x-2)\). 2. Im Nenner gilt \(2x^2-8=2(x^2-4)=2(x-2)(x+2)\). 3. Für die ursprüngliche Definitionsmenge müssen \(x\neq2\) und \(x\neq-2\) gelten. 4. Unter diesen Bedingungen kann der gemeinsame Faktor \(x-2\) gekürzt und \(4:2=2\) vereinfacht werden. Es ergibt sich \(\frac{2}{x+2}\). 5. Noahs Behauptung ist damit unter Beachtung der ursprünglichen Definitionsbedingungen korrekt.

Die Behauptung ist korrekt: \(\frac{4x - 8}{2x^2 - 8}=\frac{2}{x+2}\) für \(x\neq2\) und \(x\neq-2\).

- Erkennst du im Zähler ein bekanntes Muster aus den binomischen Formeln? - Kannst du im Nenner eine Zahl ausklammern, sodass ein Klammerausdruck entsteht? - Welcher gesamte Klammerausdruck kommt sowohl oben als auch unten vor? - Prüfe vor dem Umformen, für welche Variablenwerte ein Nenner null wird oder eine negative Potenz nicht definiert ist.

Definitionsbedingung: \(x\neq-5\). 1. Den Zähler mithilfe der dritten binomischen Formel faktorisieren: \(x^2 - 25 = (x + 5) \cdot (x - 5)\). 2. Den Nenner durch Ausklammern der Zahl \(2\) faktorisieren: \(2x + 10 = 2 \cdot (x + 5)\). 3. Den gemeinsamen Faktor \((x + 5)\) in Zähler und Nenner identifizieren und kürzen. 4. Das Ergebnis ist \(\frac{x - 5}{2}\).

\(\frac{x - 5}{2}\) Definitionsbedingung: \(x\neq-5\).

- Versuche zuerst, die Klammer im Zähler aufzulösen, indem du das Distributivgesetz anwendest. - Kannst du Zähler und Nenner jeweils als Produkt von Linearfaktoren schreiben? - Achte auf binomische Formeln, die dir beim Faktorisieren helfen könnten. - Gibt es Werte für \(x\), für die der ursprüngliche Term nicht definiert ist?

1. Vereinfachung des Zählers: Durch Multiplikation von \(x^4\) mit den Summanden in der Klammer ergibt sich \(x^4 \cdot \frac{1}{x} - x^4 \cdot \frac{1}{x^3} = x^3 - x\). 2. Faktorisieren des Zählers: Ausklammern von \(x\) liefert \(x(x^2 - 1)\). Die Anwendung der dritten binomischen Formel auf \((x^2 - 1)\) führt zur faktorisierten Form \(x(x - 1)(x + 1)\). 3. Faktorisieren des Nenners: Der Ausdruck \(x^2 + 2x + 1\) entspricht der ersten binomischen Formel und lässt sich als \((x + 1)^2\) schreiben. 4. Kürzen: Der Faktor \((x + 1)\) tritt in Zähler und Nenner auf und kann gekürzt werden. Das Ergebnis ist \(\frac{x(x - 1)}{x + 1}\) oder ausmultipliziert \(\frac{x^2 - x}{x + 1}\).

\(\frac{x(x - 1)}{x + 1}\) (für \(x \neq 0\) und \(x \neq -1\))

- Welche gemeinsamen Faktoren besitzen Zähler und Nenner der jeweiligen Quotienten? - Beachte die Definitionsbedingung, bevor du einen Variablenfaktor kürzt. - Vereinfache zuerst den Bruchterm und löse erst danach die entstehende Gleichung.

1. In der ersten Gleichung darf wegen \(x\ne0\) der Quotient \((12x^2):(4x)\) zu \(3x\) gekürzt werden. Aus \(3x=18\) folgt \(x=6\). 2. In der zweiten Gleichung gilt wegen \(y\ne0\): \((40y^3):(8y^2)=5y\). Damit folgt aus \(5y+13=48\) der Wert \(y=7\). 3. In der dritten Gleichung gilt wegen \(z\ne0\): \((18z^2):(6z)=3z\). Damit wird die Gleichung zu \(22z-3z=38\), also \(z=2\). 4. Alle drei Lösungen erfüllen die jeweilige Definitionsbedingung.

a) \(x = 6\) b) \(y = 7\) c) \(z = 2\)

- Welche Faktoren in Zähler und Nenner lassen sich unter der angegebenen Definitionsbedingung kürzen? - Was bedeutet es, dass \(x=6\) eine Lösung der Gleichung sein soll? - Setze den vorgegebenen Wert erst nach dem Vereinfachen ein und behandle \(k\) dann als Unbekannte.

1. Wegen \(x\ne0\) dürfen Koeffizienten und Variablenfaktoren gekürzt werden: \(45:9=5\) und \(x^2:x=x\). Der Bruchterm vereinfacht sich zu \(5x\). 2. Für die vorgegebene Lösung \(x=6\) einsetzen: \(5\cdot6+k\cdot6=84\). 3. Daraus folgt \(30+6k=84\), also \(6k=54\) und \(k=9\).

a) Für \(x \ne 0\) gilt \((45x^2) : (9x) = 5x\). b) \(k = 9\)

- Welcher Faktor lässt sich im Zählerterm gemeinsam ausklammern? - Vergleiche den ausgeklammerten Faktor mit dem Divisor. - Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit das Kürzen erlaubt ist?

1. Im Dividenden wird \(z\) ausgeklammert: \(xz + yz = z \cdot (x + y)\). 2. Wegen \(x + y \neq 0\) darf gekürzt werden: \(z \cdot (x + y) : (x + y) = z\). 3. Für \(z = 42\) ist der Termwert \(42\). 4. Die Werte von \(x\) und \(y\) beeinflussen das Ergebnis nicht, solange \(x+y\neq0\), weil sich der gemeinsame Faktor \(x+y\) vollständig kürzt.

a) \(z\) für \(x + y \neq 0\) b) \(42\) c) Der Faktor \(x+y\) kürzt sich für \(x+y\neq0\) vollständig; deshalb bleibt nur \(z\).

- Überlege rückwärts, welcher Faktor nach dem Kürzen übrig bleiben soll. - Prüfe bei jedem variablen Divisor, wann er den Wert \(0\) annimmt. - Eine Kürzung ist nur zulässig, wenn der gekürzte Faktor nicht null ist.

1. Damit in a) nach dem Kürzen \(13\) übrig bleibt, muss der Dividend \(13(x+y)\) sein. Daher werden beide Lücken mit \(13\) gefüllt. In b) muss der Dividend \(5(3z-4)=15z-20\) sein; die Lücke ist \(20\). 2. Die Division durch null ist nicht definiert. Für \(x+y=0\), also \(x=-y\), ist der Divisor null und der Ausgangsterm nicht definiert. Für \(x+y\neq0\) gilt \((ax+ay):(x+y)=a(x+y):(x+y)=a\).

1. a) Beide Lücken: \(13\); b) \(20\) 2. Die Aussage gilt nur für \(x+y\neq0\). Für \(x+y=0\), also \(x=-y\), ist der Term nicht definiert.

- Prüfe jeden Zähler auf eine Differenz von Quadraten. - Schreibe den Zähler zuerst als Produkt, bevor du kürzt. - Achte besonders darauf, ob ein Nenner der negative Gegenfaktor eines Zählerfaktors ist.

1. \(x^2-9=(x-3)(x+3)\). Nach dem Kürzen von \(x+3\) bleibt \(x-3\). 2. \(16-y^2=(4-y)(4+y)\). Nach dem Kürzen von \(4-y\) bleibt \(4+y\). 3. \(4a^2-25=(2a-5)(2a+5)\). Nach dem Kürzen von \(2a+5\) bleibt \(2a-5\). 4. \(b^2-1=(b-1)(b+1)\) und \(1-b=-(b-1)\). Nach dem Kürzen bleibt \(-(b+1)=-b-1\).

1) \(x - 3\) 2) \(4 + y\) 3) \(2a - 5\) 4) \(-b - 1\)

- Schreibe die Zähler mit der Differenz-von-Quadraten-Struktur als Produkte. - Prüfe vor dem Kürzen, ob Nenner und Zählerfaktor wirklich gleich oder nur Gegenterme sind. - Beachte bei jedem Nenner die ausgeschlossenen Werte.

1. Es gilt \(25-z^2=(5-z)(5+z)\). Damit nach dem Kürzen \(5-z\) übrig bleibt, muss \(D=5+z\) sein; dabei gilt \(z\ne-5\). 2. Es gilt \(k^2-16=(k-4)(k+4)\) und \(4-k=-(k-4)\). Für \(k\ne4\) bleibt daher \(-(k+4)=-k-4\). Hanas Behauptung ist falsch. 3. Es gilt \(9y^2-64=(3y-8)(3y+8)\). Für \(y\ne-\frac{8}{3}\) kann \(3y+8\) gekürzt werden. Es bleibt \(3y-8\).

a) \(D=5+z\) für \(z\ne-5\) b) Falsch; richtig ist \(-k-4\) für \(k\ne4\). c) \(3y-8\) für \(y\ne-\frac{8}{3}\)

- Vereinfache die beiden Quotienten zunächst getrennt. - Prüfe beide Zähler auf binomische Quadrate. - Fasse die verbleibenden Terme erst nach dem zulässigen Kürzen zusammen.

1. Der erste Zähler ist \((k-8)^2\). Nach dem Kürzen mit \(k-8\) bleibt \(k-8\). 2. Der zweite Zähler ist \((k+8)^2\). Nach dem Kürzen mit \(k+8\) bleibt \(k+8\). 3. Die beiden verbleibenden Terme ergeben \((k-8)+(k+8)=2k\).

\(2k\)

- Setze die veränderten Variablen (z. B. \(2x\)) in Klammern in die Formel ein. - Versuche, nach dem Einsetzen den ursprünglichen Term als Baustein in deinem neuen Ausdruck zu isolieren. - Welche Potenz von 2 ergibt die Zahl 4? - Vergleiche den Faktor, der nach der Vereinfachung vor dem ursprünglichen Term steht, mit der Aussage im Text.

1. Zu Teil a: Ersetzen von \(x\) durch \(2x\) und \(y\) durch \(2y\) im Term \(\frac{x^n}{y}\) ergibt \(\frac{(2x)^n}{2y} = \frac{2^n \cdot x^n}{2y} = \frac{2^n}{2} \cdot \frac{x^n}{y} = 2^{n-1} \cdot \frac{x^n}{y}\). 2. Damit sich der Wert vervierfacht, muss der Faktor \(2^{n-1} = 4\) sein. 3. Da \(4 = 2^2\), folgt \(n-1 = 2\), also \(n = 3\). 4. Zu Teil b: Ersetzen von \(x\) durch \(2x\) und \(y\) durch \(2y\) im Term \(\frac{x+y}{xy}\) ergibt \(\frac{2x + 2y}{(2x) \cdot (2y)} = \frac{2(x + y)}{4xy}\). 5. Durch Kürzen mit 2 erhält man \(\frac{x + y}{2xy} = \frac{1}{2} \cdot \frac{x + y}{xy}\). Der Faktor \(\frac{1}{2}\) entspricht einer Halbierung, womit die Behauptung korrekt ist.

a) Der gesuchte Wert ist \(n = 3\). b) Die Behauptung ist wahr, da die Umformung den Faktor \(\frac{1}{2}\) vor dem ursprünglichen Term liefert.

- Darf man aus Summen direkt kürzen? Überlege, was man zuerst tun muss. - Suche in Zähler und Nenner nach Faktoren, die in jedem Glied der Summe oder Differenz vorkommen. - Achte bei Teilaufgabe c) besonders auf die Vorzeichen und die Reihenfolge der Variablen. Kannst du eine \(-1\) ausklammern? - Warum darf man keine einzelnen Summanden kürzen? Forme eine Summe oder Differenz zuerst in ein Produkt um.

1. Teilaufgabe a): Ausklammern der \(4\) im Zähler ergibt \(4 \cdot (a + 2b)\). Kürzen durch \(4\) liefert \(\frac{a + 2b}{3}\). 2. Teilaufgabe b): Ausklammern von \(x\) im Zähler ergibt \(x \cdot (x - 5)\). Kürzen durch \(x\) liefert \(x - 5\); dabei bleibt \(x \neq 0\) ausgeschlossen. 3. Teilaufgabe c): Ausklammern der \(7\) im Zähler ergibt \(7 \cdot (m - n)\), Ausklammern der \(2\) im Nenner ergibt \(2 \cdot (n - m)\). Da \((n - m) = -1 \cdot (m - n)\), kann durch \((m - n)\) gekürzt werden. Das Ergebnis ist \(-\frac{7}{2}\); dabei gilt \(m \neq n\). 4. Teilaufgabe d): Ausklammern von \(3k\) im Zähler ergibt \(3k \cdot (k + 2)\), Ausklammern von \(k\) im Nenner ergibt \(k \cdot (k + 2)\). Kürzen durch \(k \cdot (k + 2)\) liefert das Ergebnis \(3\); dabei gelten \(k \neq 0\) und \(k \neq -2\).

a) \(\frac{a + 2b}{3}\) b) \(x - 5\) für \(x \neq 0\) c) \(-\frac{7}{2}\) für \(m \neq n\) d) \(3\) für \(k \neq 0\) und \(k \neq -2\)

- Wann ist ein Bruch nicht definiert? Überlege, welche Rechenoperation verboten ist. - Erinnerst du dich an die binomischen Formeln? Sie helfen oft beim Faktorisieren des Zählers. - Kannst du im Nenner eine Zahl ausklammern, um einen Faktor zu erhalten, der auch im Zähler vorkommt? - Beim Einsetzen von Zahlen in einen Term musst du die Vorrangregeln beachten.

1. Definitionsmenge: Der Nenner darf nicht Null werden. \(3x + 12 = 0 \Rightarrow 3x = -12 \Rightarrow x = -4\). Somit ist \(D = \mathbb{Q} \setminus \{-4\}\). 2. Faktorisieren und Kürzen: Im Zähler wird die dritte binomische Formel angewendet: \(x^2 - 16 = (x-4)(x+4)\). Im Nenner wird \(3\) ausgeklammert: \(3x + 12 = 3(x+4)\). Der Bruch lautet \(\frac{(x-4)(x+4)}{3(x+4)}\). Kürzen durch \((x+4)\) ergibt \(\frac{x-4}{3}\). 3. Einsetzen von \(x = 2\): Ursprünglich: \(\frac{2^2 - 16}{3 \cdot 2 + 12} = \frac{4 - 16}{6 + 12} = \frac{-12}{18} = -\frac{2}{3}\). Gekürzt: \(\frac{2 - 4}{3} = \frac{-2}{3}\). Beide Werte sind identisch.

a) \(D = \mathbb{Q} \setminus \{-4\}\) b) \(\frac{x-4}{3}\) c) Der Wert ist in beiden Fällen \(-\frac{2}{3}\).

- Darf man aus Summen oder Differenzen direkt kürzen? Überlege dir eine Merkregel dazu. - Versuche, Zähler und Nenner zuerst in Produkte zu verwandeln. - Suche nach gemeinsamen Variablen oder Zahlen, die du vor eine Klammer ziehen kannst. - Erkennst du im Nenner oder Zähler eine binomische Formel? - Gibt es nach dem Faktorisieren Klammerausdrücke, die exakt gleich sind?

1. Vereinfachung von \(\frac{3x + 6}{x^2 + 2x}\): Ausklammern im Zähler \(3(x+2)\) und im Nenner \(x(x+2)\). Kürzen des gemeinsamen Faktors \((x+2)\). Ergebnis: \(\frac{3}{x}\). 2. Vereinfachung von \(\frac{a^2 - a}{a^2 - 1}\): Ausklammern im Zähler \(a(a-1)\) und Anwendung der 3. binomischen Formel im Nenner \((a-1)(a+1)\). Kürzen des gemeinsamen Faktors \((a-1)\). Ergebnis: \(\frac{a}{a+1}\). 3. Vereinfachung von \(\frac{5y^2 + 10y}{15y}\): Ausklammern im Zähler \(5y(y+2)\). Kürzen des Faktors \(5y\) gegen den Nenner \(15y = 3 \cdot 5y\). Ergebnis: \(\frac{y+2}{3}\). 4. Vereinfachung von \(\frac{2b - 4}{b^2 - 4}\): Ausklammern im Zähler \(2(b-2)\) und Anwendung der 3. binomischen Formel im Nenner \((b-2)(b+2)\). Kürzen des gemeinsamen Faktors \((b-2)\). Ergebnis: \(\frac{2}{b+2}\). 5. Die ursprünglichen Ausschlusswerte bleiben erhalten: a) \(x \neq 0\) und \(x \neq -2\); b) \(a \neq -1\) und \(a \neq 1\); c) \(y \neq 0\); d) \(b \neq -2\) und \(b \neq 2\).

a) \(\frac{3}{x}\); Definitionsbedingungen: \(x \neq 0\) und \(x \neq -2\) b) \(\frac{a}{a+1}\); Definitionsbedingungen: \(a \neq -1\) und \(a \neq 1\) c) \(\frac{y+2}{3}\); Definitionsbedingung: \(y \neq 0\) d) \(\frac{2}{b+2}\); Definitionsbedingungen: \(b \neq -2\) und \(b \neq 2\)

- Kannst du im Zähler oder Nenner einen gemeinsamen Faktor ausklammern? - Schau dir die Reihenfolge der Terme in den Differenzen genau an. Was passiert, wenn du die Vorzeichen innerhalb einer Klammer umkehrst? - Suche nach Termen, die bis auf das Vorzeichen identisch sind.

1. In Teilaufgabe a) wird im Nenner \(-1\) ausgeklammert: \(\frac{x-8}{-(x-8)}\). Durch Kürzen des Terms \((x-8)\) erhält man \(-1\). 2. In Teilaufgabe b) wird im Zähler \(4\) ausgeklammert: \(\frac{4(a-3)}{3-a}\). Durch Ausklammern von \(-1\) im Nenner ergibt sich \(\frac{4(a-3)}{-(a-3)}\). Nach dem Kürzen von \((a-3)\) bleibt \(-4\) übrig. 3. In Teilaufgabe c) wird im Nenner \(3\) ausgeklammert: \(\frac{y-5}{3(5-y)}\). Durch Ausklammern von \(-1\) im Nenner erhält man \(\frac{y-5}{-3(y-5)}\). Nach dem Kürzen des Terms \((y-5)\) ergibt sich der Wert \(-\frac{1}{3}\). 4. Die Ergebnisse gelten unter den ursprünglichen Bedingungen a) \(x \neq 8\), b) \(a \neq 3\) und c) \(y \neq 5\).

a) \(-1\) b) \(-4\) c) \(-\frac{1}{3}\) Dabei gelten a) \(x \neq 8\), b) \(a \neq 3\) und c) \(y \neq 5\).

- Kannst du im Zähler oder Nenner eine gemeinsame Zahl oder Variable ausklammern? - Schau dir die Reihenfolge der Subtraktion genau an. Wie kannst du sie umkehren? - Gibt es einen gemeinsamen Teiler für die Zahlenkoeffizienten? - Prüfe, ob nach dem Ausklammern ähnliche Klammerausdrücke entstehen, die sich bis auf das Vorzeichen gleichen.

1. Ausklammern der \(7\) im Zähler ergibt \(7(a-b)\). Da \(b-a = -(a-b)\), erhält man \(\frac{7(a-b)}{-(a-b)} = -7\). 2. Ausklammern von \(x\) im Zähler ergibt \(x(x-3)\) und Ausklammern von \(2\) im Nenner ergibt \(2(3-x)\). Da \(3-x = -(x-3)\), folgt \(\frac{x(x-3)}{-2(x-3)} = -\frac{x}{2}\). 3. Erkennen der entgegengesetzten Vorzeichen in den Klammern: \((s-2r) = -(2r-s)\). Der Bruch wird zu \(\frac{12u^2v(2r-s)}{-18uv^2(2r-s)}\). Kürzen der Klammer sowie der Faktoren \(6\), \(u\) und \(v\) ergibt \(-\frac{2u}{3v}\). 4. Die ursprünglichen Definitionsbedingungen lauten: 1) \(a \neq b\); 2) \(x \neq 3\); 3) \(u \neq 0\), \(v \neq 0\) und \(s \neq 2r\).

1) \(-7\) 2) \(-\frac{x}{2}\) 3) \(-\frac{2u}{3v}\) Definitionsbedingungen: 1) \(a \neq b\); 2) \(x \neq 3\); 3) \(u \neq 0\), \(v \neq 0\), \(s \neq 2r\).

- Prüfe, welche Teile von Zähler und Nenner tatsächlich Faktoren des jeweils ganzen Ausdrucks sind. - Forme den Zähler so um, dass seine Faktorstruktur sichtbar wird. - Kontrolliere beim Einsetzen, ob dein vereinfachter Term und der ursprüngliche Term denselben Wert liefern.

1. Im Zähler wird \(4\) ausgeklammert: \(4x - 12 = 4(x - 3)\). Damit lautet der Term \(\frac{4(x-3)}{8x}\). 2. Kürzen des gemeinsamen Faktors \(4\) ergibt \(\frac{x-3}{2x}\). Wegen des ursprünglichen Nenners gilt \(x\neq0\). 3. Leons Vorgehen ist falsch, weil nur gemeinsame Faktoren von Zähler und Nenner gekürzt werden dürfen. Das \(x\) im Zähler ist hier Teil einer Differenz und kein Faktor des gesamten Zählers. 4. Für \(x = 5\) ergibt sich \(\frac{5-3}{2\cdot5}=\frac{2}{10}=0{,}2\).

a) \(\frac{x-3}{2x}\) für \(x \neq 0\) b) Man darf nur gemeinsame Faktoren von Zähler und Nenner kürzen, nicht einzelne Summanden einer Summe oder Differenz. c) \(0{,}2\) oder \(\frac{1}{5}\)

- Manchmal hilft es, zuerst eine Zahl auszuklammern, bevor man eine binomische Formel erkennt. - Schau dir den Zähler in Aufgabe 3 genau an: Kannst du dort mehrmals faktorisieren? - Was bleibt übrig, wenn ein ganzer Nenner weggekürzt wird? - Überprüfe bei jedem Schritt, ob im Ergebnis noch weitere gemeinsame Faktoren stecken.

1. Mehrstufige Faktorisierung: Im Zähler wird zunächst \(2\) ausgeklammert, woraus \(2(a^2 - 16)\) folgt, was wiederum mit der dritten binomischen Formel zu \(2(a - 4)(a + 4)\) wird. Der Nenner entspricht der zweiten binomischen Formel \((a - 4)^2\). Kürzen von \((a - 4)\) ergibt \(\frac{2(a + 4)}{a - 4}\). 2. Kombination aus Binom und Ausklammern: Der Zähler wird mittels dritter binomischer Formel zu \((x - y)(x + y)\) faktorisiert. Im Nenner wird \(2\) ausgeklammert zu \(2(x + y)\). Kürzen des Terms \((x + y)\) liefert \(\frac{x - y}{2}\). 3. Höhere Potenzen faktorisieren: Im Zähler wird \(m\) ausgeklammert, was \(m(m^2 - 1)\) ergibt, und weiter zu \(m(m - 1)(m + 1)\) zerlegt wird. Im Nenner wird \(m\) ausgeklammert zu \(m(m - 1)\). Nach Kürzen der gemeinsamen Faktoren \(m\) und \((m - 1)\) bleibt \(m + 1\) übrig. 4. Die ursprünglichen Definitionsbedingungen lauten: 1) \(a \neq 4\); 2) \(x+y \neq 0\); 3) \(m \neq 0\) und \(m \neq 1\).

1) \(\frac{2(a + 4)}{a - 4}\) oder \(\frac{2a + 8}{a - 4}\); 2) \(\frac{x - y}{2}\); 3) \(m + 1\). Definitionsbedingungen: 1) \(a \neq 4\); 2) \(x+y \neq 0\); 3) \(m \neq 0\) und \(m \neq 1\).

- Suche in Zähler und Nenner nach Faktoren, die sich nach einer geeigneten Umformung vergleichen lassen. - Achte beim Nenner besonders auf Vorzeichen und auf die ursprünglichen Ausschlusswerte. - Prüfe bei Teil 2, ob ein Bruch mit Nenner null überhaupt einen Zahlenwert besitzt.

1. Es gilt \(x^2-x=x(x-1)\) und \(1-x^2=(1-x)(1+x)=-(x-1)(1+x)\). Für \(x\neq1\) kann daher \(x-1\) gekürzt werden. Es ergibt sich \(-\frac{x}{1+x}\). 2. Im ursprünglichen Term dürfen die Nennerwerte \(x=1\) und \(x=-1\) nicht eingesetzt werden. Bei \(x=1\) entsteht eine Division durch null; der Ausdruck \(\frac00\) ist nicht definiert und hat insbesondere nicht den Wert \(0\). 3. Für \(x=-2\) gilt \(-\frac{-2}{1+(-2)}=\frac{2}{-1}=-2\). 4. Der vereinfachte Term gilt unter den ursprünglichen Bedingungen \(x\neq-1\) und \(x\neq1\).

1. \(-\frac{x}{1+x}\) für \(x\neq-1\) und \(x\neq1\) 2. \(\frac00\) ist nicht definiert; deshalb ist \(x=1\) kein zulässiger Wert des ursprünglichen Terms. 3. \(-2\)

- Achte besonders auf die Reihenfolge der Summanden in der Differenz. Kann man durch das Ausklammern von \(-1\) Vorzeichen umdrehen? - Manchmal hilft es, zuerst eine Variable oder Zahl auszuklammern, bevor man eine binomische Formel anwendet. - Überprüfe, ob du im Zähler und Nenner Potenzen der gleichen Variablen kürzen kannst.

1. Erster Bruch: Zähler mit der 3. binomischen Formel in \((x-4y)(x+4y)\) zerlegen. Nenner durch Ausklammern von \(-3\) in \(-3(x-4y)\) umformen. Nach dem Kürzen von \((x-4y)\) bleibt \(-\frac{x+4y}{3}\). 2. Zweiter Bruch: Im Zähler \(3ab\) ausklammern zu \(3ab(a^2-b^2)\) und weiter mit der 3. binomischen Formel zu \(3ab(a-b)(a+b)\) zerlegen. Im Nenner \(6ab\) ausklammern zu \(6ab(a+b)\). Kürzen von \(3ab(a+b)\) liefert das Ergebnis \(\frac{a-b}{2}\). 3. Die ursprünglichen Definitionsbedingungen lauten: 1) \(x \neq 4y\); 2) \(a \neq 0\), \(b \neq 0\) und \(a \neq -b\).

1) \(-\frac{x+4y}{3}\); 2) \(\frac{a-b}{2}\) Definitionsbedingungen: 1) \(x \neq 4y\); 2) \(a \neq 0\), \(b \neq 0\), \(a \neq -b\).

- Welche binomische Formel könnte dir helfen, Differenzen von Quadraten (wie \(z^2 - 9\)) in ein Produkt zu verwandeln? - Manchmal musst du zuerst etwas ausklammern, bevor du eine binomische Formel anwenden kannst. - Untersuche Zähler und Nenner getrennt darauf, ob sie sich in Faktoren zerlegen lassen. - Gibt es Faktoren, die sowohl im Zähler als auch im Nenner nach der Faktorisierung auftauchen?

1. Zähler mit der dritten binomischen Formel faktorisieren: \((z - 3)(z + 3)\). Nenner durch Ausklammern von \(z\) faktorisieren: \(z(z + 3)\). Kürzen von \((z + 3)\) ergibt \(\frac{z - 3}{z}\). 2. Zähler durch Ausklammern von \(ab\) faktorisieren: \(ab(a - b)\). Nenner mit der dritten binomischen Formel faktorisieren: \((a - b)(a + b)\). Kürzen von \((a - b)\) ergibt \(\frac{ab}{a + b}\). 3. Zähler durch Ausklammern von \(2x\) faktorisieren: \(2x(x^2 - y^2)\). Anschließend die dritte binomische Formel auf die Klammer anwenden: \(2x(x - y)(x + y)\). Nenner durch Ausklammern von \(x\) faktorisieren: \(x(x + y)\). Kürzen der Faktoren \(x\) und \((x + y)\) ergibt \(2(x - y)\) oder \(2x - 2y\). 4. Die ursprünglichen Definitionsbedingungen lauten: 1) \(z \neq 0,-3\); 2) \(a \neq b\) und \(a \neq -b\); 3) \(x \neq 0\) und \(x \neq -y\).

1) \(\frac{z - 3}{z}\); 2) \(\frac{ab}{a + b}\); 3) \(2(x - y)\) Definitionsbedingungen: 1) \(z \neq 0\) und \(z \neq -3\); 2) \(a \neq \pm b\); 3) \(x \neq 0\) und \(x \neq -y\).

- Schau dir zuerst an, ob du im Zähler und Nenner eine Zahl ausklammern kannst. - Kannst du die Ausdrücke in den Klammern mit Hilfe der binomischen Formeln faktorisieren? - Welche gemeinsamen Faktoren treten sowohl im Zähler als auch im Nenner auf? - Denk daran, dass man nur in Produkten kürzen darf.

1. Ausklammern der konstanten Faktoren in Zähler und Nenner: \(\frac{4(a^2 - 4ab + 4b^2)}{6(a^2 - 4b^2)}\). 2. Anwendung der 2. binomischen Formel im Zähler: \(a^2 - 4ab + 4b^2 = (a - 2b)^2\). 3. Anwendung der 3. binomischen Formel im Nenner: \(a^2 - 4b^2 = (a - 2b)(a + 2b)\). 4. Einsetzen der faktorisierten Ausdrücke: \(\frac{4(a - 2b)^2}{6(a - 2b)(a + 2b)}\). 5. Kürzen des gemeinsamen Faktors \(2(a - 2b)\). 6. Ergebnis: \(\frac{2(a - 2b)}{3(a + 2b)}\). 7. Die ursprünglichen Definitionsbedingungen \(a \neq 2b\) und \(a \neq -2b\) bleiben erhalten.

\(\frac{2(a - 2b)}{3(a + 2b)}\) Dabei gilt \(a \neq \pm 2b\).

- Kannst du im Zähler und im Nenner Teile erkennen, die einer binomischen Formel entsprechen? - Manchmal hilft es, ein Minuszeichen vor einer Klammer zu setzen, um eine binomische Formel im Inneren sichtbar zu machen. - Suche nach dem vollständigen Faktorisieren nach gemeinsamen Klammerausdrücken in Zähler und Nenner. - Setze die Zahlen erst ein, nachdem du den Term so weit wie möglich vereinfacht hast.

1. Zähler umformen: \(x^2 + 2xy + y^2 - z^2 = (x+y)^2-z^2\). 2. Mit der dritten binomischen Formel folgt \((x+y-z)(x+y+z)\). 3. Nenner umformen: \(x^2-(y^2-2yz+z^2)=x^2-(y-z)^2\). 4. Faktorisieren: \((x-y+z)(x+y-z)\). 5. Kürzen von \(x+y-z\) ergibt \(\frac{x+y+z}{x-y+z}\). 6. Einsetzen: \(\frac{5{,}6+2{,}4+3{,}2}{5{,}6-2{,}4+3{,}2}=\frac{11{,}2}{6{,}4}=1{,}75\). 7. Für die Äquivalenz zum ursprünglichen Term bleiben die ursprünglichen Bedingungen \(x+y-z \neq 0\) und \(x-y+z \neq 0\) erhalten.

\(\frac{x+y+z}{x-y+z} = 1{,}75\) Dabei gelten \(x+y-z \neq 0\) und \(x-y+z \neq 0\).

- Schreibe jeden Zähler als Differenz zweier Quadrate. - Vergleiche die entstehenden Faktoren genau mit dem jeweiligen Divisor. - Achte darauf, ob ein Divisor nur die umgekehrte Differenz eines Zählerfaktors ist.

1. Für a) gilt \(169p^2-144q^2=(13p-12q)(13p+12q)\). Da \(12q+13p=13p+12q\), bleibt nach dem Kürzen \(13p-12q\). 2. Für b) gilt \(k^4-16=(k^2-4)(k^2+4)\). Nach dem Kürzen bleibt \(k^2+4\). 3. Für c) gilt \(25r^2-36s^2=(5r-6s)(5r+6s)\). Da \(6s-5r=-(5r-6s)\), bleibt nach dem Kürzen \(-(5r+6s)=-5r-6s\).

a) \(13p - 12q\) b) \(k^2 + 4\) c) \(-5r - 6s\)

- Welche Zahl steht jeweils als Quotient aus Erweiterungsfaktor und demselben Erweiterungsfaktor für die Multiplikation des ganzen Bruchs? - Vergleiche die entstehenden Nenner mit dem vorgegebenen Zielnenner. - „Korrekt“ und „für ein bestimmtes Ziel effizient“ sind zwei verschiedene Bewertungen.

1. Eine Erweiterung mit einer von null verschiedenen Zahl multipliziert den Bruch mit \(1\) und verändert daher seinen Wert nicht. 2. Yara erhält \(\frac{2}{x-1}\cdot\frac{3}{3}=\frac{6}{3(x-1)}\). Diese Erweiterung ist korrekt, erreicht aber noch nicht den gewünschten Nenner. 3. Tim erhält \(\frac{2}{x-1}\cdot\frac{6}{6}=\frac{12}{6(x-1)}\). Dieser Bruch hat unmittelbar den gewünschten Nenner. 4. Für das genannte Ziel ist Tims Vorgehen daher effizienter, obwohl beide Umformungen wertgleich zum Ausgangsbruch sind.

Yara: \(\frac{6}{3(x-1)}\); Tim: \(\frac{12}{6(x-1)}\). Beide sind wertgleich zum Ausgangsbruch, aber Tims Erweiterung erreicht den Zielnenner direkt.

- Erinnerst du dich an die drei binomischen Formeln? - Manchmal hilft es, zuerst im Zähler oder Nenner etwas auszuklammern, bevor man eine Formel anwendet. - Suche nach Ausdrücken der Form \(a^2 - b^2\) oder \(a^2 \pm 2ab + b^2\). - Schau dir an, welche Klammer im Zähler und Nenner identisch sein könnte. - Prüfe vor dem Umformen, für welche Variablenwerte ein Nenner null wird oder eine negative Potenz nicht definiert ist.

Definitionsbedingung: \(x\neq-2,\;x\neq3\) beziehungsweise \(x\neq-1,\;x\neq1\) in den betreffenden Teilaufgaben. 1. Teilaufgabe a): Anwendung der 3. binomischen Formel im Zähler ergibt \((x - 2) \cdot (x + 2)\). Der Faktor \((x + 2)\) lässt sich im Zähler und Nenner kürzen. Ergebnis: \(x - 2\). 2. Teilaufgabe b): Anwendung der 2. binomischen Formel im Zähler ergibt \((x - 3)^2\). Da im Nenner \((x - 3)\) steht, kann ein Faktor gekürzt werden. Ergebnis: \(x - 3\). 3. Teilaufgabe c): Ausklammern der \(2\) im Zähler ergibt \(2 \cdot (x + 1)\). Anwendung der 3. binomischen Formel im Nenner ergibt \((x - 1) \cdot (x + 1)\). Der Faktor \((x + 1)\) wird gekürzt. Ergebnis: \(\frac{2}{x - 1}\).

a) \(x - 2\) b) \(x - 3\) c) \(\frac{2}{x - 1}\)

- Klammere zuerst gemeinsame Faktoren aus. - Suche anschließend nach binomischen Formeln und Differenzen von Quadraten. - Achte auf das Vorzeichen bei \((2-z)\) und \((z-2)\). - Bestimme vor dem Kürzen alle Werte, bei denen ein Nenner null wird.

Definitionsbedingungen: \(x \neq -3\), \(z \neq -2\), \(z \neq 2\) und \(a \neq 2\). 1. Lösung für \(\frac{2x^2 - 18}{x^2 + 6x + 9}\): Im Zähler \(2\) ausklammern und die Differenz von Quadraten zerlegen: \(2(x - 3)(x + 3)\). Im Nenner gilt \(x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2\). Kürzen von \((x + 3)\) ergibt \(\frac{2(x - 3)}{x + 3}\). 2. Lösung für \(\frac{10z - 5z^2}{z^2 - 4}\): Im Zähler \(5z\) ausklammern: \(5z(2 - z)\). Im Nenner gilt \(z^2 - 4 = (z - 2)(z + 2)\). Da \(2 - z = -(z - 2)\), ergibt sich \(-\frac{5z}{z + 2}\). 3. Lösung für \(\frac{(4a - 8)^2}{8a - 16}\): Der Zähler ist \([4(a - 2)]^2 = 16(a - 2)^2\), der Nenner \(8(a - 2)\). Kürzen ergibt \(2(a - 2) = 2a - 4\).

a) \(\frac{2(x - 3)}{x + 3}\) b) \(-\frac{5z}{z + 2}\) c) \(2a - 4\) Definitionsbedingungen: \(x \neq -3\), \(z \neq -2\), \(z \neq 2\) und \(a \neq 2\).

- Nutze den vorgegebenen Zahlenwert zuerst als direkten Test der behaupteten Gleichheit. - Prüfe danach, ob der Zähler tatsächlich einen Faktor \(x+3\) enthält. - Vergleiche dazu den Zähler mit einer passenden binomischen Formel, ohne einzelne Summanden zu kürzen.

1. Einsetzen von \(x = 1\) in den ursprünglichen Term ergibt \(\frac{1^2 + 9}{1 + 3} = \frac{10}{4} = 2{,}5\). 2. Einsetzen von \(x = 1\) in das behauptete Ergebnis ergibt \(1 + 3 = 4\). 3. Da \(2{,}5 \neq 4\), ist die Behauptung falsch. 4. Der Zähler \(x^2+9\) ist nicht gleich \((x+3)^2\), denn \((x+3)^2=x^2+6x+9\). Daher ist \(x+3\) kein gemeinsamer Faktor von Zähler und Nenner und kann nicht gekürzt werden.

Marie hat nicht recht. Für \(x=1\) hat der ursprüngliche Term den Wert \(2{,}5\), das behauptete Ergebnis aber den Wert \(4\). Außerdem gilt \(x^2+9\neq(x+3)^2\), sodass \(x+3\) kein Faktor des Zählers ist.

- Gibt es eine Zahl, durch die du alle Terme in Zähler und Nenner zuerst teilen kannst? - Manchmal sehen Faktoren fast gleich aus, unterscheiden sich aber durch ein Vorzeichen. Kannst du \(-1\) ausklammern? - Achte darauf, ob sich nach dem ersten Ausklammern eine binomische Formel im Nenner versteckt. - Prüfe vor dem Umformen, für welche Variablenwerte ein Nenner null wird oder eine negative Potenz nicht definiert ist.

Definitionsbedingung: \(y\neq-3\) und \(y\neq3\). 1. Ausklammern der \(2\) im Zähler: \(6 - 2y = 2(3 - y)\). 2. Ausklammern der \(2\) im Nenner: \(2y^2 - 18 = 2(y^2 - 9)\). 3. Kürzen der Zahl \(2\), woraus \(\frac{3 - y}{y^2 - 9}\) folgt. 4. Faktorisieren des Nenners mit der dritten binomischen Formel: \(y^2 - 9 = (y - 3)(y + 3)\). 5. Umformen des Zählers durch Ausklammern von \(-1\): \(3 - y = -(y - 3)\). 6. Kürzen des Faktors \((y - 3)\). 7. Das Endergebnis ist \(-\frac{1}{y + 3}\).

\(-\frac{1}{y + 3}\) Definitionsbedingung: \(y\neq-3\) und \(y\neq3\).

- Kannst du im Zähler zuerst eine Zahl ausklammern? - Erkennst du im Nenner eine binomische Formel? - Was passiert, wenn ein Faktor sowohl oben als auch unten im Bruch steht? - Prüfe vor dem Umformen, für welche Variablenwerte ein Nenner null wird oder eine negative Potenz nicht definiert ist.

Definitionsbedingung: \(x\neq2\). 1. Zähler faktorisieren: Zuerst wird die Konstante \(5\) ausgeklammert: \(5(x^2 - 4)\). Danach wird die dritte binomische Formel angewendet: \(5(x-2)(x+2)\). 2. Nenner faktorisieren: Der Ausdruck \(x^2 - 4x + 4\) entspricht der zweiten binomischen Formel und lässt sich als \((x-2)^2\) bzw. \((x-2)(x-2)\) schreiben. 3. Kürzen: Der gemeinsame Faktor \((x-2)\) im Zähler und Nenner wird gekürzt. 4. Endergebnis: Es bleibt \(\frac{5(x+2)}{x-2}\) bzw. \(\frac{5x+10}{x-2}\) übrig.

Der vereinfachte Bruchterm lautet \(\frac{5(x+2)}{x-2}\) oder \(\frac{5x+10}{x-2}\). Definitionsbedingung: \(x\neq2\).

- Schau dir Zähler und Nenner getrennt an. Welche binomischen Formeln könnten hier passen? - Schreibe Potenzen wie \((\ldots)^2\) als Produkt zweier Klammern, um das Kürzen zu erleichtern. - Überprüfe, ob nach dem ersten Kürzen noch weitere gemeinsame Faktoren übrig sind. - Prüfe vor dem Umformen, für welche Variablenwerte ein Nenner null wird oder eine negative Potenz nicht definiert ist.

Definitionsbedingung: \(a\neq-b\) und \(a\neq b\). 1. Den Zähler mithilfe der ersten binomischen Formel faktorisieren: \(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\). 2. Den Nenner mithilfe der dritten binomischen Formel faktorisieren: \(a^2 - b^2 = (a + b) \cdot (a - b)\). 3. Den Bruch mit den faktorisierten Ausdrücken umschreiben: \(\frac{(a + b)(a + b)}{(a + b)(a - b)}\). 4. Den gemeinsamen Faktor \((a + b)\) kürzen. 5. Das Ergebnis ist \(\frac{a + b}{a - b}\).

\(\frac{a + b}{a - b}\) Definitionsbedingung: \(a\neq-b\) und \(a\neq b\).

- Wie kann man die letzten drei Terme im Zähler zusammenfassen, um eine bekannte Formel zu erhalten? - Was passiert mit einem Bruch, wenn man durch Null teilen müsste? - Welche Rechenregel erlaubt es, einen Faktor aus dem Zähler und dem Nenner zu entfernen?

1. Zähler umformen: \(a^2-(b^2+2bc+c^2)\). 2. Binomische Formel: \(a^2-(b+c)^2\). 3. Faktorisieren: \((a-b-c)(a+b+c)\). 4. Kürzen von \(a+b+c\) ergibt für alle zulässigen Belegungen \(T=a-b-c\). 5. Einsetzen: \(15{,}5-2{,}75-1{,}25=15{,}5-4=11{,}5\). 6. Der ursprüngliche Term ist nicht definiert, wenn \(a+b+c=0\).

a) \(a-b-c\) b) \(11{,}5\) c) Nicht definiert für \(a+b+c=0\).