Kostenlose Arbeitsblätter

- Überlege, ob Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler haben. - Welche Teilbarkeitsregeln kennst du für kleine Zahlen wie 2, 3 oder 5? - Kannst du die Zahlen in ihre kleinstmöglichen Bausteine (Primfaktoren) zerlegen?

1. Faktoren von 15 und 21 prüfen: beide durch 3 teilbar (\(15 = 3 \cdot 5, 21 = 3 \cdot 7\)). 2. Faktoren von 12 und 25 prüfen: \(12 = 2 \cdot 2 \cdot 3, 25 = 5 \cdot 5\). Keine gemeinsamen Primfaktoren außer 1 vorhanden. 3. Faktoren von 35 und 42 prüfen: beide durch 7 teilbar (\(35 = 7 \cdot 5, 42 = 7 \cdot 6\)). 4. Faktoren von 24 und 45 prüfen: beide durch 3 teilbar (\(24 = 3 \cdot 8, 45 = 3 \cdot 15\)). 5. Ergebnis: Nur \(\frac{12}{25}\) ist nicht kürzbar.

b) \(\frac{12}{25}\)

- Prüfe bei jeder Möglichkeit, wie sich Zähler und Nenner gegenüber \(\frac{2}{3}\) verändert haben. - Ein gleichwertiger Bruch entsteht nur, wenn dieselbe Veränderung auf Zähler und Nenner angewendet wird. - Du kannst einen Kandidaten auch wieder kürzen und mit dem Ausgangsbruch vergleichen.

1. Beim Erweitern müssen Zähler und Nenner mit demselben Faktor multipliziert werden. 2. Aus \(\frac{2}{3}\) wird durch Erweitern mit \(2\) der Bruch \(\frac{4}{6}\). 3. Daher ist A gleichwertig zu \(\frac{2}{3}\).

A: \(\frac{4}{6}\), denn Zähler und Nenner wurden jeweils mit \(2\) multipliziert.

- Bestimme zuerst, mit welcher Zahl der bekannte Teil des Bruchs (Zähler oder Nenner) multipliziert wurde. - Wende diesen Faktor auf den anderen Teil des Bruchs an. - Erweitern bedeutet, Zähler und Nenner mit derselben Zahl zu multiplizieren.

1. Berechnung von \(x\): Division des neuen Nenners durch den alten ergibt den Erweiterungsfaktor \(54 : 9 = 6\). Multiplikation des Zählers mit diesem Faktor: \(4 \cdot 6 = 24\). Also \(x = 24\). 2. Berechnung von \(y\): Division des neuen Zählers durch den alten ergibt den Erweiterungsfaktor \(60 : 12 = 5\). Multiplikation des Nenners mit diesem Faktor: \(17 \cdot 5 = 85\). Also \(y = 85\). 3. Berechnung von \(z\): Division des neuen Nenners durch den alten ergibt den Erweiterungsfaktor \(175 : 25 = 7\). Division des neuen Zählers durch diesen Faktor, um den ursprünglichen Zähler zu finden: \(112 : 7 = 16\). Also \(z = 16\).

a) \(x = 24\) b) \(y = 85\) c) \(z = 16\)

- Wie oft passt der kleinere bekannte Zähler beziehungsweise Nenner in den größeren? - Prüfe dein Ergebnis, indem du sowohl den Zähler als auch den Nenner mit deinem gefundenen Faktor multiplizierst.

1. Zu a): Division des neuen Zählers durch den alten: \(55 : 5 = 11\). Überprüfung am Nenner: \(6 \cdot 11 = 66\). Der Faktor ist \(k = 11\). 2. Zu b): Division des neuen Zählers durch den alten: \(39 : 3 = 13\). Überprüfung am Nenner: \(14 \cdot 13 = 182\). Der Faktor ist \(k = 13\). 3. Zu c): Division des neuen Zählers durch den alten: \(120 : 8 = 15\). Überprüfung am Nenner: \(15 \cdot 15 = 225\). Der Faktor ist \(k = 15\).

a) \(k = 11\) b) \(k = 13\) c) \(k = 15\)

- Schau dir an, mit welcher Zahl der Nenner multipliziert wurde, um auf den neuen Nenner zu kommen. - Was du im Nenner machst, musst du auch im Zähler machen, damit der Wert des Bruchs gleich bleibt. - Kannst du eine kleine Nebenrechnung zur Division der Nenner machen?

1. Bestimmung des Erweiterungsfaktors für jede Teilaufgabe durch Division des neuen Nenners durch den alten Nenner. 2. a) \(20 : 5 = 4\). Multiplikation des Zählers mit 4 ergibt \(3 \cdot 4 = 12\). 3. b) \(56 : 8 = 7\). Multiplikation des Zählers mit 7 ergibt \(7 \cdot 7 = 49\). 4. c) \(39 : 13 = 3\). Multiplikation des Zählers mit 3 ergibt \(12 \cdot 3 = 36\). 5. d) \(100 : 4 = 25\). Multiplikation des Zählers mit 25 ergibt \(15 \cdot 25 = 375\).

a) 12 b) 49 c) 36 d) 375

- Wie oft passt der kleinere Nenner in den größeren Nenner? - Wenn du einen Bruch erweiterst, ändert sich sein Wert nicht. Vergleiche die Brüche erst, wenn sie denselben Nenner haben. - Sind die Zähler nach dem Erweitern exakt gleich?

1. Teilaufgabe a): Vergleich von \(\frac{5}{6}\) und \(\frac{21}{24}\). Der gemeinsame Nenner ist 24. Erweitern von \(\frac{5}{6}\) mit dem Faktor \(24 : 6 = 4\) ergibt \(\frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{20}{24}\). Da \(\frac{20}{24} \neq \frac{21}{24}\), sind die Brüche nicht gleichwertig. 2. Teilaufgabe b): Vergleich von \(\frac{4}{7}\) und \(\frac{28}{49}\). Der gemeinsame Nenner ist 49. Erweitern von \(\frac{4}{7}\) mit dem Faktor \(49 : 7 = 7\) ergibt \(\frac{4 \cdot 7}{7 \cdot 7} = \frac{28}{49}\). Da \(\frac{28}{49} = \frac{28}{49}\), sind die Brüche gleichwertig.

a) Nicht gleichwertig, da \(\frac{20}{24} \neq \frac{21}{24}\). b) Gleichwertig, da \(\frac{28}{49} = \frac{28}{49}\).

- Beim Kürzen müssen Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl ohne Rest teilbar sein. - Prüfe für jede Teilaufgabe Zähler und Nenner getrennt. - Wenn du unsicher bist, ob eine Zahl ein Teiler ist, kannst du die Division mit Rest oder ein passendes Vielfaches prüfen.

1. a) \(60 : 15 = 4\) und \(15 : 15 = 1\), also \(\frac{4}{1} = 4\). 2. b) \(112 : 14 = 8\) und \(14 : 14 = 1\), also \(\frac{8}{1} = 8\). 3. c) \(144 : 12 = 12\) und \(60 : 12 = 5\), also \(\frac{12}{5}\). 4. d) \(200 : 25 = 8\) und \(75 : 25 = 3\), also \(\frac{8}{3}\). 5. e) \(130\) ist durch \(13\) teilbar, aber \(45\) nicht: \(45 = 3 \cdot 13 + 6\). Deshalb ist das Kürzen mit \(13\) nicht möglich.

a) \(4\) b) \(8\) c) \(\frac{12}{5}\) d) \(\frac{8}{3}\) e) nicht möglich

- Ein Bruch kann nur dann mit einer Zahl gekürzt werden, wenn diese Zahl Zähler und Nenner ohne Rest teilt. - Nutze geeignete Teilbarkeitsregeln, statt jeden Quotienten auszurechnen. - Vergleiche am Ende nur die Zahlen, die bei Zähler und Nenner zugleich funktionieren.

1. \(126\) ist durch \(2\), \(3\), \(6\) und \(9\) teilbar. Durch \(4\) ist \(126\) nicht teilbar, weil die letzten beiden Ziffern \(26\) kein Vielfaches von \(4\) bilden. 2. \(162\) ist ebenfalls durch \(2\), \(3\), \(6\) und \(9\) teilbar. Durch \(4\) ist \(162\) nicht teilbar, weil die letzten beiden Ziffern \(62\) kein Vielfaches von \(4\) bilden. 3. Damit funktionieren als gemeinsame Teiler \(2\), \(3\), \(6\) und \(9\).

Der Bruch kann mit \(2\), \(3\), \(6\) und \(9\) gekürzt werden.

- Überlege dir, mit welcher Zahl der Zähler oder Nenner multipliziert oder dividiert wurde. - Was du im Zähler tust, musst du auch im Nenner tun, damit der Wert des Bruchs gleich bleibt. - Suche nach dem Faktor zwischen den bekannten Werten.

1. Bestimmung des Erweiterungsfaktors für Teil a): \(14 : 2 = 7\). Multiplikation des Nenners: \(5 \cdot 7 = 35\). 2. Bestimmung des Kürzungsfaktors für Teil b): \(81 : 9 = 9\). Division des Zählers: \(54 : 9 = 6\). 3. Bestimmung des Kürzungsfaktors für Teil c): \(72 : 3 = 24\). Division des Nenners: \(96 : 24 = 4\). 4. Bestimmung des Erweiterungsfaktors für Teil d): \(51 : 17 = 3\). Multiplikation des Zählers: \(13 \cdot 3 = 39\).

a) 35 b) 6 c) 4 d) 39

- Schreibe zuerst den Anteil als Bruch (Anzahl des betrachteten Teils geteilt durch die Gesamtanzahl). - Suche nach einer Zahl, durch die du sowohl den Zähler als auch den Nenner ohne Rest teilen kannst. - Wiederhole das Kürzen so lange, bis Zähler und Nenner keine gemeinsamen Teiler mehr haben.

1. Aufstellen der Brüche für jeden Anteil: \(\frac{28}{70}\), \(\frac{15}{45}\), \(\frac{54}{72}\), \(\frac{13}{52}\). 2. Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers (ggT) für jeden Bruch: \(\operatorname{ggT}(28, 70) = 14\); \(\operatorname{ggT}(15, 45) = 15\); \(\operatorname{ggT}(54, 72) = 18\); \(\operatorname{ggT}(13, 52) = 13\). 3. Kürzen der Brüche durch Division von Zähler und Nenner durch den ggT: a) \(\frac{28 : 14}{70 : 14} = \frac{2}{5}\) b) \(\frac{15 : 15}{45 : 15} = \frac{1}{3}\) c) \(\frac{54 : 18}{72 : 18} = \frac{3}{4}\) d) \(\frac{13 : 13}{52 : 13} = \frac{1}{4}\)

a) \(\frac{2}{5}\) b) \(\frac{1}{3}\) c) \(\frac{3}{4}\) d) \(\frac{1}{4}\)

- Gibt es Teilbarkeitsregeln, die dir helfen, erste gemeinsame Teiler zu finden? - Was ist die größte Zahl, durch die du sowohl den Zähler als auch den Nenner ohne Rest teilen kannst? - Du kannst auch in mehreren kleinen Schritten kürzen, bis es nicht mehr weitergeht.

1. Für \(\frac{45}{120}\): Bestimmung des \(\operatorname{ggT}(45, 120) = 15\). Division von Zähler und Nenner durch \(15\) ergibt \(\frac{3}{8}\). 2. Für \(\frac{56}{196}\): Bestimmung des \(\operatorname{ggT}(56, 196) = 28\). Division von Zähler und Nenner durch \(28\) ergibt \(\frac{2}{7}\). 3. Für \(\frac{144}{216}\): Bestimmung des \(\operatorname{ggT}(144, 216) = 72\). Division von Zähler und Nenner durch \(72\) ergibt \(\frac{2}{3}\).

a) \(\frac{3}{8}\) b) \(\frac{2}{7}\) c) \(\frac{2}{3}\)

- Was passiert, wenn du beide Brüche so weit wie möglich vereinfachst? - Wie kannst du feststellen, ob zwei unterschiedlich aussehende Brüche eigentlich denselben Anteil beschreiben? - Suche für jeden Bruch einzeln den größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner.

1. Vollständiges Kürzen von \(\frac{84}{105}\): Der \(\operatorname{ggT}(84, 105)\) ist \(21\). Division ergibt \(\frac{84 : 21}{105 : 21} = \frac{4}{5}\). 2. Vollständiges Kürzen von \(\frac{64}{80}\): Der \(\operatorname{ggT}(64, 80)\) ist \(16\). Division ergibt \(\frac{64 : 16}{80 : 16} = \frac{4}{5}\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Beide Brüche ergeben vollständig gekürzt \(\frac{4}{5}\).

Ja, beide Brüche besitzen den gleichen Wert, da sie vollständig gekürzt beide \(\frac{4}{5}\) ergeben.

- Überlege, welche ursprünglichen Nenner durch Multiplikation mit einer ganzen Zahl genau \(20\) ergeben können. - Wähle zu jedem solchen Nenner einen Zähler, der einen echten Bruch ergibt. - Beim Erweitern müssen Zähler und Nenner mit demselben Faktor multipliziert werden.

1. Damit ein Nenner durch Erweitern zu \(20\) werden kann, muss er ein Teiler von \(20\) sein. Außer \(1\) und \(20\) sind das \(2,4,5,10\). 2. Für Nenner \(2\) ist zum Beispiel \(\frac{1}{2}\) möglich. Erweitert mit \(10\) ergibt sich \(\frac{1}{2}=\frac{10}{20}\). 3. Für Nenner \(4\) ist zum Beispiel \(\frac{1}{4}\) möglich. Erweitert mit \(5\) ergibt sich \(\frac{1}{4}=\frac{5}{20}\). 4. Für Nenner \(5\) ist zum Beispiel \(\frac{1}{5}\) möglich. Erweitert mit \(4\) ergibt sich \(\frac{1}{5}=\frac{4}{20}\). 5. Für Nenner \(10\) ist zum Beispiel \(\frac{3}{10}\) möglich. Erweitert mit \(2\) ergibt sich \(\frac{3}{10}=\frac{6}{20}\).

a) \(2,4,5,10\) b) Zum Beispiel: \(\frac{1}{2}=\frac{10}{20}\) \(\frac{1}{4}=\frac{5}{20}\) \(\frac{1}{5}=\frac{4}{20}\) \(\frac{3}{10}=\frac{6}{20}\)

- Wie viele Teile hat das Ganze insgesamt und wie viele davon betrachtest du? - Suche nach einer Zahl, durch die du sowohl den Zähler als auch den Nenner ohne Rest teilen kannst. - Stell dir vor, du würdest die Trennlinien zwischen einigen Stücken einfach ignorieren.

1. Bestimmung des Bruchteils: Es sind 3 von 12 Stücken, also \(\frac{3}{12}\). 2. Kürzen des Bruchs: Der größte gemeinsame Teiler von 3 und 12 ist 3. Division von Zähler und Nenner durch 3 ergibt \(\frac{3 : 3}{12 : 3} = \frac{1}{4}\). 3. Anschauliche Interpretation: Das Kürzen durch 3 bedeutet, dass man jeweils 3 der kleinen Stücke zu einem großen Stück zusammenfasst. Die Pizza besteht dann aus 4 solcher großen Stücke (Viertel), von denen eines auf dem Teller liegt.

a) \(\frac{3}{12}\) b) \(\frac{1}{4}\) c) Es bedeutet, dass die 3 kleinen Stücke zusammen genau ein Viertel der ganzen Pizza ausmachen.

- Wann nennt man einen Bruch „unkürzbar“? - Welche Zahlen teilen den Zähler? - Gibt es eine Zahl außer 1, die sowohl den Zähler als auch den Nenner ohne Rest teilt? - Schau dir die Malfolgen (Einmaleins) der Zahlen an.

1. Bestimmung der Teiler für \(\frac{7}{45}\): Die Teiler von 7 sind 1 und 7. Die Teiler von 45 sind 1, 3, 5, 9, 15 und 45. Da nur die 1 ein gemeinsamer Teiler ist, lässt sich der Bruch nicht kürzen. 2. Bestimmung der Teiler für \(\frac{14}{49}\): Die Teiler von 14 sind 1, 2, 7 und 14. Die Teiler von 49 sind 1, 7 und 49. 3. Da die 7 ein gemeinsamer Teiler ist, lässt sich der Bruch kürzen: \(\frac{14 : 7}{49 : 7} = \frac{2}{7}\).

\(\frac{7}{45}\) lässt sich nicht kürzen, da 7 und 45 außer der 1 keine gemeinsamen Teiler haben. \(\frac{14}{49}\) lässt sich mit 7 kürzen, da beide Zahlen durch 7 teilbar sind; das Ergebnis ist \(\frac{2}{7}\).

- Suche die kleinste Zahl, die sowohl in der 10er-Reihe als auch in der 25er-Reihe vorkommt. - Wie oft passt die 10 in diese Zahl? Wie oft die 25? - Denk daran, dass du beim Erweitern Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren musst.

1. Bestimmung des kgV von 10 und 25: Die Primfaktorzerlegungen sind \(10 = 2 \cdot 5\) und \(25 = 5^2\). Das kgV ist \(2 \cdot 5^2 = 50\). 2. Erweitern des ersten Bruchs: Um von 10 auf 50 zu kommen, muss mit 5 erweitert werden: \(\frac{3 \cdot 5}{10 \cdot 5} = \frac{15}{50}\). 3. Erweitern des zweiten Bruchs: Um von 25 auf 50 zu kommen, muss mit 2 erweitert werden: \(\frac{4 \cdot 2}{25 \cdot 2} = \frac{8}{50}\).

Der Hauptnenner ist 50. Die erweiterten Brüche lauten \(\frac{15}{50}\) und \(\frac{8}{50}\).

- Überlege, welche Zahl in der Einmaleins-Reihe beider Nenner als erste gemeinsam vorkommt. - Mit welcher Zahl musst du den Nenner multiplizieren, um auf diesen gemeinsamen Wert zu kommen? - Vergiss nicht, den Zähler mit derselben Zahl zu multiplizieren wie den Nenner.

1. Berechnung des Hauptnenners für a): Das kleinste gemeinsame Vielfache von 6 und 8 ist 24. Erweitern: \(\frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{20}{24}\) und \(\frac{7 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{21}{24}\). 2. Berechnung des Hauptnenners für b): Das kleinste gemeinsame Vielfache von 9 und 12 ist 36. Erweitern: \(\frac{2 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{8}{36}\) und \(\frac{5 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{15}{36}\). 3. Berechnung des Hauptnenners für c): Das kleinste gemeinsame Vielfache von 4, 6 und 3 ist 12. Erweitern: \(\frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}\), \(\frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{2}{12}\) und \(\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}\).

a) \(\frac{20}{24}\) und \(\frac{21}{24}\) b) \(\frac{8}{36}\) und \(\frac{15}{36}\) c) \(\frac{9}{12}\), \(\frac{2}{12}\) und \(\frac{8}{12}\)

- Ein Gegenbeispiel muss alle Bedingungen der Behauptung erfüllen und trotzdem zu einem anderen Ergebnis führen. - Prüfe die Brüche systematisch darauf, ob Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler größer als \(1\) besitzen. - Erst wenn du einen solchen gemeinsamen Teiler gefunden hast, kürze den betreffenden Bruch vollständig.

1. Prüfe bei jedem Bruch, ob Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler größer als \(1\) haben. 2. Bei \(\frac{7}{9}\), \(\frac{3}{11}\) und \(\frac{17}{19}\) gibt es keinen solchen gemeinsamen Teiler. 3. Bei \(\frac{15}{25}\) sind Zähler und Nenner durch \(5\) teilbar. Daher gilt \(\frac{15}{25}=\frac{3}{5}\). 4. Damit widerlegt \(\frac{15}{25}\) Jans Behauptung.

Das Gegenbeispiel ist \(\frac{15}{25}\). Vollständig gekürzt ergibt sich \(\frac{3}{5}\).

- Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie gleichzeitig durch 2 und durch 3 teilbar ist. - Gehe die 6er-Reihe im Kopf durch, um Zähler und Nenner zu prüfen.

1. Prüfung von \(\frac{12}{20}\): \(12\) ist durch \(6\) teilbar, aber \(20\) nicht (\(20 : 6 = 3\) Rest \(2\)). 2. Prüfung von \(\frac{18}{30}\): \(18 = 3 \cdot 6\) und \(30 = 5 \cdot 6\). Beide sind durch \(6\) teilbar. 3. Prüfung von \(\frac{24}{32}\): \(24 = 4 \cdot 6\), aber \(32\) ist nicht durch \(6\) teilbar (\(32 : 6 = 5\) Rest \(2\)). 4. Kürzen von \(\frac{18}{30}\) mit der Zahl \(6\): \(\frac{18 : 6}{30 : 6} = \frac{3}{5}\). 5. Da \(3\) und \(5\) teilerfremd sind, ist \(\frac{3}{5}\) der vollständig gekürzte Wert.

Nur der Bruch aus b) \(\frac{18}{30}\) lässt sich mit \(6\) kürzen. Der vollständig gekürzte Wert ist \(\frac{3}{5}\).

- Lies zuerst die Koordinaten der vier Punkte aus dem Koordinatensystem ab. - Übersetze jeden Punkt nach der angegebenen Regel in einen Bruch. - Prüfe anschließend mit Erweitern oder Kürzen, welche Brüche gleichwertig sind.

1. Aus dem Koordinatensystem liest man ab: \(A(2|1)\), \(B(4|3)\), \(C(6|3)\) und \(D(10|5)\). 2. Die zugehörigen Brüche sind \(\frac{1}{2}\), \(\frac{3}{4}\), \(\frac{3}{6}\) und \(\frac{5}{10}\). 3. Es gilt \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\) und \(\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\). 4. Daher repräsentieren A, C und D denselben Bruchwert; C und D entstehen durch Erweitern von \(\frac{1}{2}\).

A, C und D repräsentieren denselben Wert \(\frac{1}{2}\). Die Brüche bei C und D lassen sich zu \(\frac{1}{2}\) kürzen beziehungsweise aus \(\frac{1}{2}\) erweitern.

- Zähle zuerst, in wie viele gleich große Felder das gesamte Raster unterteilt ist. Das ergibt den Nenner des Bruchs. - Zähle dann die gefärbten beziehungsweise die weißen Felder für den Zähler. - Überlege, durch welche gemeinsame Zahl du Zähler und Nenner teilen kannst, um den Bruch vollständig zu kürzen.

1. Zähle die Gesamtzahl der Plätze im Raster: Es gibt 3 Zeilen und 5 Spalten, also insgesamt \(3 \cdot 5 = 15\) Plätze. 2. Bestimme den Anteil der gefüllten Plätze: Es sind 6 Plätze blau gefärbt. Der Anteil ist \(\frac{6}{15}\). Gekürzt mit 3 ergibt sich \(\frac{2}{5}\). 3. Bestimme den Anteil der leeren Plätze: Es sind \(15 - 6 = 9\) Plätze weiß. Der Anteil ist \(\frac{9}{15}\). Gekürzt mit 3 ergibt sich \(\frac{3}{5}\).

a) \(\frac{2}{5}\) b) \(\frac{3}{5}\)

- Kannst du beschreiben, wie man den Anteil gefärbter Objekte an einer Gesamtzahl als Bruch darstellt? - Bestimme zuerst die Gesamtzahl aller Objekte in der Abbildung. - Wie viele der Objekte sind gefärbt? - Wenn du den Bruch aufgeschrieben hast, prüfe, ob Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler haben, um den Bruch zu vereinfachen.

1. Bestimme die Gesamtzahl der Murmeln in der Schachtel: In der Abbildung sind insgesamt \(20\) Murmeln zu sehen. 2. Bestimme die Anzahl der blau gefärbten Murmeln: Es sind \(8\) blau gefärbte Murmeln. 3. Stelle den Anteil als Bruch dar: \(\frac{8}{20}\). 4. Kürze den Bruch mit dem größten gemeinsamen Teiler \(4\): \(\frac{8 : 4}{20 : 4} = \frac{2}{5}\).

\(\frac{2}{5}\)

- Wie viele kleine Quadrate siehst du insgesamt im Raster? - Zähle, wie viele dieser Quadrate farbig markiert sind. - Kannst du den Anteil als Bruch aufschreiben, indem du die Anzahl der markierten Quadrate durch die Gesamtzahl teilst? - Überlege, durch welche Zahl du sowohl den Zähler als auch den Nenner des Bruchs teilen kannst, um ihn zu kürzen. - Wie kannst du den verbleibenden weißen Anteil berechnen?

1. Gesamtzahl der kleinen Quadrate im Gitternetz: Das Raster hat 4 Zeilen und 6 Spalten, also insgesamt \(4 \cdot 6 = 24\) Quadrate. 2. Anzahl der farbig markierten Quadrate: Durch Abzählen erhält man genau 9 farbige Quadrate. 3. Bestimmung des farbigen Anteils: Der Anteil ist \(\frac{9}{24}\). Kürzen mit 3 liefert den vollständig gekürzten Bruch \(\frac{3}{8}\). 4. Anzahl der weißen Quadrate: Es sind \(24 - 9 = 15\) weiße Quadrate. 5. Bestimmung des weißen Anteils: Der Anteil ist \(\frac{15}{24}\). Kürzen mit 3 liefert den vollständig gekürzten Bruch \(\frac{5}{8}\).

a) \(\frac{3}{8}\) b) \(\frac{5}{8}\)

- Bestimme aus der Abbildung zuerst die Gesamtzahl der Farbtöpfe. - Zähle anschließend die markierten Farbtöpfe. - Stelle den Anteil als Bruch dar und prüfe, ob du ihn vollständig kürzen kannst.

1. Die Abbildung zeigt insgesamt \(18\) Farbtöpfe. 2. Davon sind \(6\) markiert. Der Anteil ist \(\frac{6}{18}\). 3. Gekürzt mit \(6\) ergibt sich \(\frac{6:6}{18:6}=\frac{1}{3}\).

\(\frac{1}{3}\)

- Bestimme zuerst den Bruch aus der Anzahl der gefärbten Teile (Zähler) und der Gesamtzahl der Teile (Nenner). - Suche zum Kürzen nach einem gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner. - Ein Bruch ist vollständig gekürzt, wenn es außer der 1 keine Zahl mehr gibt, durch die man beide Zahlen teilen kann.

1. Analyse von Figur a): Das Gitter besteht aus \(3 \cdot 4 = 12\) gleich großen Kästchen. Davon sind 9 Kästchen gefärbt. Der Anteil ist \(\frac{9}{12}\). Durch Kürzen mit der Zahl 3 erhält man den vollständig gekürzten Bruch \(\frac{3}{4}\). 2. Analyse von Figur b): Das Sechseck ist in 6 gleich große Dreiecke unterteilt. Davon sind 4 gefärbt. Der Anteil ist \(\frac{4}{6}\). Durch Kürzen mit der Zahl 2 erhält man den vollständig gekürzten Bruch \(\frac{2}{3}\).

a) \(\frac{9}{12} = \frac{3}{4}\) b) \(\frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)

- Bestimme die Gesamtzahl der Fliesen direkt aus dem Raster. - Zähle die blau gefärbten Fliesen und stelle ihren Anteil als Bruch dar. - Für den weißen Anteil kannst du den Rest des Ganzen verwenden; kürze beide Brüche vollständig.

1. Die Abbildung zeigt ein Raster mit \(4\) Zeilen und \(6\) Spalten, also \(24\) gleich großen Fliesen. 2. Davon sind \(8\) blau. Der blaue Anteil ist \(\frac{8}{24}=\frac{1}{3}\). 3. Weiß bleiben \(24-8=16\) Fliesen. Der weiße Anteil ist \(\frac{16}{24}=\frac{2}{3}\).

Der blaue Anteil beträgt \(\frac{1}{3}\), der weiße Anteil \(\frac{2}{3}\).

- Wie viele Kästchen sind es insgesamt? Das ist dein Nenner. - Wie viele Kästchen sind farbig? Das ist dein Zähler. - Durch welche Zahl lassen sich sowohl der Zähler als auch der Nenner ohne Rest teilen?

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Kästchen: \(3 \cdot 8 = 24\). 2. Zählen der gefärbten Kästchen: 18 Kästchen. 3. Aufstellen des Bruchs: \(\frac{18}{24}\). 4. Kürzen des Bruchs durch den größten gemeinsamen Teiler 6: \(\frac{18 : 6}{24 : 6} = \frac{3}{4}\).

Der Anteil ist \(\frac{18}{24}\), was gekürzt \(\frac{3}{4}\) entspricht.

- Bestimme die Anzahl aller Kreise in der Gruppe. - Wie viele dieser Kreise sind blau gefärbt? - Suche nach einer großen Zahl, durch die du sowohl die Anzahl der blauen Kreise als auch die Gesamtzahl teilen kannst.

1. Bestimmung der Gesamtanzahl der Kreise: \(5 \cdot 9 = 45\). 2. Zählen der blau markierten Kreise: 27 Kreise. 3. Aufstellen des Bruchs: \(\frac{27}{45}\). 4. Kürzen des Bruchs durch den größten gemeinsamen Teiler 9: \(\frac{27 : 9}{45 : 9} = \frac{3}{5}\).

Der Anteil der blauen Kreise ist \(\frac{3}{5}\).

- Vergleiche getrennt, wie sich Zähler und Nenner in Leas Behauptung verändert haben. - Überlege, welche Bedingung beim Erweitern erfüllt sein muss, damit der Wert des Bruchs gleich bleibt. - Nutze den vorgegebenen neuen Zähler, um den passenden Veränderungsfaktor zu bestimmen.

1. Von \(3\) zu \(6\) wurde der Zähler mit \(2\) multipliziert. 2. Beim Erweitern muss der Nenner mit demselben Faktor multipliziert werden. Daher muss aus \(5\) der Nenner \(10\) werden. 3. Es gilt \(\frac{3}{5}=\frac{6}{10}\), nicht \(\frac{6}{8}\).

Lea verändert Zähler und Nenner nicht mit demselben Faktor. Richtig ist \(\frac{3}{5}=\frac{6}{10}\).

- Gehe schrittweise vor und vergleiche jeden neuen Bruch immer mit dem Ausgangsbruch \(\frac{7}{12}\). - Erinnere dich daran, dass beim Erweitern das Verhältnis zwischen Zähler und Nenner gleich bleibt. - Für den zweiten Teil der Aufgabe musst du nur den Zielnenner durch den Startnenner teilen.

1. Bestimmung von \(a\): Der Nenner \(12\) wurde auf \(84\) erweitert. Faktor: \(84 : 12 = 7\). Zähler \(a = 7 \cdot 7 = 49\). 2. Bestimmung von \(b\): Der Zähler \(7\) wurde auf \(91\) erweitert. Faktor: \(91 : 7 = 13\). Nenner \(b = 12 \cdot 13 = 156\). 3. Bestimmung von \(k\): Der Zielnenner ist \(132\). Division durch den ursprünglichen Nenner: \(132 : 12 = 11\). Der Erweiterungsfaktor ist \(k = 11\).

1. \(a = 49\), \(b = 156\) 2. \(k = 11\)

- Führe die Divisionen nacheinander durch und achte darauf, das Zwischenergebnis für den nächsten Schritt zu nutzen. - Wenn du nacheinander durch mehrere Zahlen teilst, entspricht das einer Teilung durch das Produkt dieser Zahlen. - Wie hängen die kleinen Zahlen aus Aufgabenteil a mit der großen Zahl aus Aufgabenteil b zusammen?

1. Schrittweises Kürzen: \(\frac{210}{462} \xrightarrow{:2} \frac{105}{231} \xrightarrow{:3} \frac{35}{77} \xrightarrow{:7} \frac{5}{11}\) 2. Bestimmung des Gesamtkürzungsfaktors: Multiplikation der einzelnen Faktoren \(2 \cdot 3 \cdot 7 = 42\) 3. Überprüfung: \(210 : 42 = 5\) und \(462 : 42 = 11\). Der gesuchte Faktor ist 42.

a) \(\frac{5}{11}\) b) 42

- Beziehe dich bei jedem Schritt am besten immer auf den ersten, vollständig gegebenen Bruch. - Du kannst eine lange Kette in zwei einzelne Aufgaben zerlegen. - Prüfe am Ende, ob alle Brüche in der Kette wirklich denselben Wert haben.

1. Erste Kette: - Vergleich \(\frac{4}{7}\) und \(\frac{a}{28}\): Erweiterungsfaktor ist \(28 : 7 = 4\). Somit \(a = 4 \cdot 4 = 16\). - Vergleich \(\frac{4}{7}\) und \(\frac{36}{b}\): Erweiterungsfaktor ist \(36 : 4 = 9\). Somit \(b = 7 \cdot 9 = 63\). 2. Zweite Kette: - Vergleich \(\frac{120}{180}\) und \(\frac{c}{15}\): Kürzungsfaktor ist \(180 : 15 = 12\). Somit \(c = 120 : 12 = 10\). - Vergleich \(\frac{120}{180}\) und \(\frac{2}{d}\): Kürzungsfaktor ist \(120 : 2 = 60\). Somit \(d = 180 : 60 = 3\).

1) \(a = 16\), \(b = 63\) 2) \(c = 10\), \(d = 3\)

- Wie oft passt der neue Zähler in den ursprünglichen Zähler hinein? - Erinnerst du dich an den Zusammenhang zwischen Kürzen und Erweitern? - Wenn du weißt, mit welcher Zahl der Zähler verändert wurde, muss dasselbe für den Nenner gelten.

1. Berechnung der Zahl \(k\): Da der ursprüngliche Zähler \(117\) durch \(k\) geteilt den neuen Zähler \(9\) ergab, gilt \(117 : k = 9\). Daraus folgt \(k = 117 : 9 = 13\). 2. Berechnung des ursprünglichen Nenners: Der neue Nenner \(13\) entstand durch Division des alten Nenners durch \(k\). Also gilt \(\text{alter Nenner} = 13k = 13 \cdot 13 = 169\).

Die Zahl ist \(k = 13\) und der ursprüngliche Nenner war \(169\). (Der ursprüngliche Bruch war \(\frac{117}{169}\)).

- Wie kannst du Brüche am besten vergleichen, wenn sie unterschiedliche Nenner haben? - Was passiert, wenn du jeden Bruch so weit wie möglich vereinfachst? - Haben alle Brüche nach dem Kürzen denselben Zähler und Nenner?

1. Kürzen von \(\frac{18}{24}\): Division durch \(\operatorname{ggT}(18, 24) = 6\) ergibt \(\frac{3}{4}\). 2. Kürzen von \(\frac{25}{40}\): Division durch \(\operatorname{ggT}(25, 40) = 5\) ergibt \(\frac{5}{8}\). 3. Kürzen von \(\frac{45}{60}\): Division durch \(\operatorname{ggT}(45, 60) = 15\) ergibt \(\frac{3}{4}\). 4. Kürzen von \(\frac{9}{12}\): Division durch \(\operatorname{ggT}(9, 12) = 3\) ergibt \(\frac{3}{4}\). 5. Vergleich: Da \(\frac{18}{24} = \frac{45}{60} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}\), ist \(\frac{25}{40}\) der abweichende Bruch.

Der Bruch \(\frac{25}{40}\) passt nicht in die Gruppe. Gekürzt ergeben die anderen drei Brüche jeweils \(\frac{3}{4}\), während \(\frac{25}{40}\) gekürzt \(\frac{5}{8}\) ergibt.

- Untersuche die Primfaktorzerlegung der Nenner. - Welche Primfaktoren stecken in 10, 100 oder 1000? - Vergleiche die Anzahl der Faktoren 2 und 5 im Nenner mit denen in der Zehnerpotenz. - Wann ist eine Zahl ein Teiler einer anderen Zahl?

1. Analyse von Aufgabenteil a: Die Primfaktorzerlegung von 8 ist \(2^3\). Der Nenner 100 hat die Zerlegung \(2^2 \cdot 5^2\). Da \(2^3\) kein Teiler von \(2^2 \cdot 5^2\) ist (der Exponent der 2 ist zu groß), kann man nicht auf 100 erweitern. Da \(1000 = 2^3 \cdot 5^3\), ist 8 ein Teiler von 1000 und das Erweitern ist möglich. 2. Analyse von Aufgabenteil b: Die Primfaktorzerlegung von 40 ist \(2^3 \cdot 5^1\). Eine Zehnerpotenz \(10^n\) hat die Form \(2^n \cdot 5^n\). Damit 40 ein Teiler ist, muss \(n \ge 3\) und \(n \ge 1\) gelten. Der kleinste Wert ist \(n=3\), also ist die kleinste Zehnerpotenz \(10^3 = 1000\). 3. Analyse von Aufgabenteil c: Ein Nenner zwischen 10 und 15 mit anderen Primfaktoren als 2 oder 5 ist gesucht. Mögliche Nenner sind 11 (Primzahl), 12 (enthält Faktor 3), 13 (Primzahl) oder 14 (enthält Faktor 7). Beispiel: 12, da \(12 = 2^2 \cdot 3\) und der Faktor 3 nicht in Zehnerpotenzen vorkommt.

a) \(8 = 2^3\) ist kein Teiler von \(100 = 2^2 \cdot 5^2\), aber ein Teiler von \(1000 = 2^3 \cdot 5^3\). b) Die kleinste Zehnerpotenz ist 1000. c) Zum Beispiel der Nenner 11, 12, 13 oder 14, da diese Primfaktoren außer 2 und 5 enthalten (z. B. die 3 bei der 12).

- Schau dir zuerst die Nenner im ersten Schritt an. Mit welcher Zahl wurde die 5 multipliziert, um 20 zu erhalten? - Denk daran, dass beim Erweitern Zähler und Nenner immer mit derselben Zahl multipliziert werden müssen. - Beim Kürzen gehst du genau umgekehrt vor: Du dividierst Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl.

1. Berechnung von \(a\): Da der Nenner von 5 auf 20 erweitert wurde, berechnet man \(20 : 5 = 4\). Somit ist \(a = 4\). 2. Berechnung von \(x\): Der Zähler 2 muss mit demselben Faktor \(a=4\) erweitert werden. \(2 \cdot 4 = 8\). Somit ist \(x = 8\). 3. Überprüfung des nächsten Schritts: Der Bruch \(\frac{8}{20}\) wird durch 2 gekürzt. Der Zähler wird zu \(8 : 2 = 4\), was mit der Angabe übereinstimmt. 4. Berechnung von \(y\): Der Nenner 20 muss ebenfalls durch 2 gekürzt werden. \(20 : 2 = 10\). Somit ist \(y = 10\).

\(a = 4\), \(x = 8\), \(y = 10\)

- Führe die Rechnungen für beide Kinder Schritt für Schritt durch. Was fällt dir am Ende auf? - Untersuche die Zahlen, durch die Leon teilt. Was passiert, wenn du diese Zahlen miteinander multiplizierst? - Überlege dir, was schwieriger ist: Den größten gemeinsamen Teiler sofort zu sehen oder kleine Teiler wie 2 oder 3 zu finden.

1. Leons Rechnung: \(\frac{24}{36} \xrightarrow{:2} \frac{12}{18} \xrightarrow{:2} \frac{6}{9} \xrightarrow{:3} \frac{2}{3}\). 2. Sophies Rechnung: \(\frac{24}{36} \xrightarrow{:12} \frac{2}{3}\). 3. Vergleich: Beide Kinder erhalten das Ergebnis \(\frac{2}{3}\). 4. Mathematische Begründung: Das Produkt von Leons Kürzungszahlen ist \(2 \cdot 2 \cdot 3 = 12\). Da nacheinander durch diese Faktoren dividiert wird, entspricht dies der Division durch ihr Produkt (den größten gemeinsamen Teiler). 5. Vor- und Nachteile: Sophies Methode ist schneller und effizienter (direktes Kürzen mit dem ggT). Leons Methode ist sicherer, wenn man große Teiler nicht sofort erkennt, da man mit kleinen Primfaktoren arbeiten kann.

a) Beide erhalten \(\frac{2}{3}\). b) Das Produkt von Leons Teilerzahlen (\(2 \cdot 2 \cdot 3\)) ergibt genau 12, was Sophies Teiler entspricht. c) Sophies Methode ist zeitsparend. Leons Methode ist einfacher im Kopf zu rechnen, wenn man den größten gemeinsamen Teiler nicht sofort sieht.

- Woran erkennst du, ob eine Zahl als gemeinsamer Nenner zweier Brüche dienen kann? - Überprüfe für jede der vorgegebenen Zahlen, ob sie ein Vielfaches von 6 und gleichzeitig ein Vielfaches von 10 ist. - Wenn du einen gemeinsamen Nenner gefunden hast, wie findest du heraus, mit welcher Zahl du den Zähler multiplizieren musst?

1. Prüfung der Teilbarkeit der vorgeschlagenen Nenner durch die ursprünglichen Nenner 6 und 10 2. Ausschluss von 20 (nicht durch 6 teilbar) und 45 (nicht durch 10 teilbar) 3. Identifikation von 30 und 60 als geeignete Nenner, da sie Vielfache von 6 und 10 sind 4. Festlegung des kleinsten geeigneten Nenners: 30 5. Erweitern von \(\frac{1}{6}\) auf den Nenner 30: \(\frac{1 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{5}{30}\) 6. Erweitern von \(\frac{3}{10}\) auf den Nenner 30: \(\frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{9}{30}\)

Geeignete Nenner sind 30 und 60, da sie Vielfache von 6 und 10 sind. Auf dem kleinsten dieser Nenner lauten die Brüche \(\frac{5}{30}\) und \(\frac{9}{30}\).

- Welche Zahlen unter \(10\) können überhaupt Teiler von \(12\) sein? - Prüfe für mögliche Paare, wann \(12\) ein gemeinsames Vielfaches ist. - Achte darauf, dass kein kleineres gemeinsames Vielfaches existieren darf.

1. Als mögliche Zahlen kommen nur positive Teiler von \(12\) unter \(10\) infrage: \(1,2,3,4,6\). 2. Prüfe die ungeordneten Paare dieser Zahlen auf ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches. 3. Für \(\{3,4\}\) gilt \(\operatorname{kgV}(3,4)=12\). 4. Für \(\{4,6\}\) gilt ebenfalls \(\operatorname{kgV}(4,6)=12\). 5. Bei allen anderen Paaren ist das kgV nicht \(12\).

Die möglichen ungeordneten Paare sind \(\{3,4\}\) und \(\{4,6\}\).

- Schreibe einige Vielfache beider Nenner auf und suche das erste gemeinsame Vielfache. - Untersuche, ob die beiden Nenner einen gemeinsamen Teiler größer als \(1\) besitzen. - Überlege, was sich ändert, wenn zwei Nenner keinen gemeinsamen Teiler außer \(1\) haben.

1. Die ersten Vielfachen von \(10\) sind \(10, 20, 30, 40, \dots\), die von \(6\) sind \(6, 12, 18, 24, 30, \dots\). Der kleinste gemeinsame Wert ist \(30\). 2. Die Teiler von \(6\) sind \(1, 2, 3, 6\), die Teiler von \(10\) sind \(1, 2, 5, 10\). Beide Zahlen haben den gemeinsamen Teiler \(2\). 3. Deshalb enthält das Produkt \(60\) einen gemeinsamen Faktor doppelt. Für das kgV wird dieser gemeinsame Faktor nur einmal benötigt; so entsteht \(30\). 4. Das Produkt zweier Nenner ist genau dann ihr kgV, wenn die Nenner teilerfremd sind, also außer \(1\) keinen gemeinsamen Teiler haben.

a) Der Hauptnenner ist \(30\). b) \(6\) und \(10\) haben den gemeinsamen Teiler \(2\); deshalb ist ihr Produkt nicht der kleinste gemeinsame Nenner. c) Das Produkt ist der Hauptnenner, wenn die beiden Nenner teilerfremd sind.

- Bringe zuerst alle Werte auf den gleichen Nenner, um sie besser vergleichen zu können. - Wann nennt man einen Bruch „vollständig gekürzt“? - Welche gemeinsamen Teiler dürfen Zähler und Nenner in diesem Fall nicht haben? - Schau dir die Primfaktorzerlegung des Nenners an.

1. Erweitern der Grenzen auf den Nenner 20: \(\frac{2}{5} = \frac{8}{20}\) und \(\frac{4}{5} = \frac{16}{20}\). 2. Identifikation aller Brüche mit Nenner 20 im Intervall: \(\frac{9}{20}, \frac{10}{20}, \frac{11}{20}, \frac{12}{20}, \frac{13}{20}, \frac{14}{20}, \frac{15}{20}\). 3. Prüfung der Zähler auf Teilerfremdheit zum Nenner 20 (Primfaktoren 2 und 5): - 9: teilerfremd zu 20 - 10: teilbar durch 2 und 5 - 11: teilerfremd zu 20 - 12: teilbar durch 2 - 13: teilerfremd zu 20 - 14: teilbar durch 2 - 15: teilbar durch 5 4. Auswahl der vollständig gekürzten Brüche: \(\frac{9}{20}, \frac{11}{20}, \frac{13}{20}\).

Die vollständig gekürzten Brüche sind \(\frac{9}{20}, \frac{11}{20}\) und \(\frac{13}{20}\).

- Kannst du eine Zahl finden, in die alle drei Nenner ohne Rest hineinpassen? - Gehe die Vielfachen der größten Zahl (hier 15) durch und prüfe, ob die anderen Zahlen auch Teiler davon sind. - Denk daran, dass du beim Erweitern Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren musst.

1. Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) von 10, 15 und 6. 2. Vielfache von 15 prüfen: 15 (nicht durch 10 oder 6 teilbar), 30 (durch 10 und 6 teilbar). Das kgV ist 30. 3. Erweitern von \(\frac{3}{10}\) mit dem Faktor \(30 : 10 = 3\): \(\frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{9}{30}\). 4. Erweitern von \(\frac{4}{15}\) mit dem Faktor \(30 : 15 = 2\): \(\frac{4 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{8}{30}\). 5. Erweitern von \(\frac{1}{6}\) mit dem Faktor \(30 : 6 = 5\): \(\frac{1 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{5}{30}\).

\(\frac{9}{30}; \frac{8}{30}; \frac{5}{30}\)

- Vergleiche bei jedem Fall, welche Teile des Bruchs verändert werden und welche unverändert bleiben. - Überlege, ob eine Änderung den Bruchwert größer, kleiner oder gleich lässt. - Für c) kannst du an die Bedeutung des Kürzens denken.

1. Wird nur der Zähler vervierfacht, wird auch der Bruchwert vervierfacht: \(\frac{4a}{b}=4\cdot\frac{a}{b}\). Beispiel: \(\frac{2}{5}\to\frac{8}{5}\). 2. Wird nur der Nenner vervierfacht, wird der Bruchwert geviertelt: \(\frac{a}{4b}=\frac{1}{4}\cdot\frac{a}{b}\). Beispiel: \(\frac{3}{4}\to\frac{3}{16}\). 3. Werden Zähler und Nenner durch dieselbe von null verschiedene Zahl dividiert, bleibt der Wert gleich. Beispiel: \(\frac{10}{15}\to\frac{2}{3}\).

a) Der Wert vervierfacht sich; zum Beispiel \(\frac{2}{5}\to\frac{8}{5}\). b) Der Wert wird geviertelt; zum Beispiel \(\frac{3}{4}\to\frac{3}{16}\). c) Der Wert bleibt gleich; zum Beispiel \(\frac{10}{15}\to\frac{2}{3}\).

- Lies die Koordinaten von P aus dem Koordinatensystem ab und übersetze sie in einen Bruch. - Überlege, wie du diesen Bruch vollständig kürzen kannst. - Punkte derselben Bruchfamilie haben Zähler und Nenner im gleichen Verhältnis.

1. Aus dem Koordinatensystem liest man \(P(12|15)\). Der zugehörige Bruch ist \(\frac{15}{12}\). 2. Es gilt \(\operatorname{ggT}(15,12)=3\), also \(\frac{15}{12}=\frac{5}{4}\). 3. Der vollständig gekürzte Bruch gehört zum Punkt \((4|5)\). 4. Die ganzzahligen Punkte auf der Strecke entstehen durch gleiches Vervielfachen beider Koordinaten: \((4|5)\), \((8|10)\), \((12|15)\). 5. Im Inneren liegen daher \((4|5)\) und \((8|10)\).

a) \((4|5)\) b) \((4|5)\) und \((8|10)\)

- Lies zuerst die Koordinaten von P ab und übersetze sie in einen Bruch. - Beim Erweitern werden Zähler und Nenner mit demselben Faktor verändert. - Vergleiche anschließend die Koordinatendifferenzen aufeinanderfolgender Punkte.

1. Aus der Abbildung liest man \(P(3|2)\); der Bruch ist \(\frac{2}{3}\). 2. Mit \(2\) erweitert erhält man \(\frac{4}{6}\), also den Punkt \((6|4)\). 3. Mit \(3\) erweitert erhält man \(\frac{6}{9}\), also den Punkt \((9|6)\). 4. Mit \(4\) erweitert erhält man \(\frac{8}{12}\), also den Punkt \((12|8)\). 5. Von einem Punkt zum nächsten steigen die Koordinaten jeweils um \((3|2)\): \(3\) nach rechts und \(2\) nach oben.

a) \((6|4)\), \((9|6)\) und \((12|8)\) b) Jeweils \(3\) Einheiten nach rechts und \(2\) Einheiten nach oben.

- Bestimme für jede einzelne Figur den Anteil der markierten Fläche als Bruch (Zähler = markierte Teile, Nenner = alle Teile). - Kürze jeden dieser Brüche so weit wie möglich, indem du Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler dividierst. - Vergleiche die gekürzten Brüche, um herauszufinden, welche beiden denselben Wert haben.

1. Figur A zeigt einen Kreis mit 6 gleich großen Sektoren, von denen 4 farbig markiert sind. Das entspricht dem Bruch \(\frac{4}{6}\). Gekürzt mit 2 ergibt das \(\frac{2}{3}\). 2. Figur B zeigt ein Gitter mit \(4 \cdot 4 = 16\) Feldern, von denen 12 farbig markiert sind. Das entspricht dem Bruch \(\frac{12}{16}\). Gekürzt mit 4 ergibt das \(\frac{3}{4}\). 3. Figur C zeigt einen Balken mit 9 gleich großen Abschnitten, von denen 6 farbig markiert sind. Das entspricht dem Bruch \(\frac{6}{9}\). Gekürzt mit 3 ergibt das \(\frac{2}{3}\). 4. Figur D zeigt ein Dreieck mit 4 gleich großen Teilen, von denen 2 farbig markiert sind. Das entspricht dem Bruch \(\frac{2}{4}\). Gekürzt mit 2 ergibt das \(\frac{1}{2}\). Beim Vergleich der gekürzten Brüche sieht man, dass Figur A und Figur C denselben Anteil von \(\frac{2}{3}\) darstellen.

Figur A und Figur C stellen denselben Anteil dar (nämlich \(\frac{2}{3}\)).

- Bestimme für jede Figur den Zähler (markierte Teile) und den Nenner (alle Teile). - Suche nach einem gemeinsamen Teiler für Zähler und Nenner, um den Bruch zu vereinfachen. - Wenn du die Brüche nicht mehr weiter teilen kannst, vergleiche die Endergebnisse. - Schauen die gefärbten Flächen im Verhältnis zur Gesamtfigur vielleicht ähnlich aus?

1. Bestimmung der Brüche: - Figur a): Der Kreis ist in 8 Sektoren unterteilt, 6 sind markiert. Anteil: \(\frac{6}{8}\). - Figur b): Das Rechteck-Gitter hat \(3 \cdot 4 = 12\) Felder, 9 sind markiert. Anteil: \(\frac{9}{12}\). 2. Kürzen der Brüche: - \(\frac{6}{8}\) lässt sich durch 2 kürzen: \(\frac{6 : 2}{8 : 2} = \frac{3}{4}\). - \(\frac{9}{12}\) lässt sich durch 3 kürzen: \(\frac{9 : 3}{12 : 3} = \frac{3}{4}\). 3. Vergleich: Beide Brüche lassen sich auf den Grundbruch \(\frac{3}{4}\) kürzen. Die Anteile sind also gleichwertig.

a) \(\frac{6}{8} = \frac{3}{4}\) b) \(\frac{9}{12} = \frac{3}{4}\) Feststellung: Beide Figuren stellen denselben Anteil der Gesamtfläche dar; die Brüche sind gleichwertig.

- Überlege, welche Eigenschaft ein Nenner haben muss, damit man ihn durch Multiplikation genau auf \(1000\) bringen kann. - Suche die möglichen Nenner systematisch, statt einzelne Zahlen nur auszuprobieren. - In b) kennst du den Erweiterungsfaktor und den neuen Nenner; welche Gleichung verbindet diese Größen? - Prüfe bei deinen Beispielbrüchen, ob Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler größer als \(1\) haben.

1. Für a) muss \(n\) ein Teiler von \(1000\) sein. Mit \(1000=2^3\cdot5^3\) haben alle Teiler die Form \(2^a\cdot5^b\) mit \(0\le a\le3\) und \(0\le b\le3\). 2. Die Teiler bis \(100\) sind \(1,2,4,5,8,10,20,25,40,50,100\). 3. Für b) gilt \(m\cdot8=1000\), also \(m=125\). 4. Ein Bruch mit Nenner \(125\) ist unkürzbar, wenn sein Zähler nicht durch \(5\) teilbar ist. Beispiele sind \(\frac{1}{125}\), \(\frac{2}{125}\) und \(\frac{3}{125}\).

a) \(1,2,4,5,8,10,20,25,40,50,100\) b) \(m=125\); zum Beispiel \(\frac{1}{125}\), \(\frac{2}{125}\), \(\frac{3}{125}\)

- Vergleiche bei den Beispielen aus a) jeweils das kgV mit dem Produkt der beiden Zahlen. - Überlege, was ein gemeinsamer Teiler zweier Zahlen auch über ihre Differenz aussagt. - Wie groß ist die Differenz zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen?

1. Es gilt \(\operatorname{kgV}(3,4)=12\), \(\operatorname{kgV}(4,5)=20\) und \(\operatorname{kgV}(7,8)=56\). 2. In jedem Beispiel ist das kgV gleich dem Produkt der beiden Zahlen. 3. Vermutung: Für aufeinanderfolgende natürliche Zahlen \(n\) und \(n+1\) gilt \(\operatorname{kgV}(n,n+1)=n(n+1)\). 4. Teilt eine Zahl \(d\) sowohl \(n\) als auch \(n+1\), dann teilt \(d\) auch die Differenz \((n+1)-n=1\). Deshalb ist der einzige gemeinsame positive Teiler \(1\). 5. Die beiden Zahlen sind also teilerfremd; deshalb ist ihr kgV ihr Produkt.

a) \(12\), \(20\) und \(56\) b) Das kgV zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist ihr Produkt. c) Zwei aufeinanderfolgende natürliche Zahlen haben nur den gemeinsamen Teiler \(1\), weil jeder gemeinsame Teiler auch ihre Differenz \(1\) teilen müsste. Daher sind sie teilerfremd und ihr kgV ist ihr Produkt.