- Prüfe bei jedem Bruch, ob Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler größer als \(1\) haben. - Wenn du keinen gemeinsamen Teiler größer als \(1\) findest, ist der Bruch bereits vollständig gekürzt.

1. \(\frac{6}{9}\) lässt sich durch \(3\) kürzen. 2. Bei \(\frac{4}{7}\) haben Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler größer als \(1\). 3. \(\frac{10}{15}\) lässt sich durch \(5\) kürzen. 4. \(\frac{8}{12}\) lässt sich durch \(4\) kürzen. 5. Daher lässt sich nur \(\frac{4}{7}\) nicht kürzen.

b) \(\frac{4}{7}\)

- Prüfe bei jeder Möglichkeit, wie sich Zähler und Nenner gegenüber \(\frac{2}{3}\) verändert haben. - Ein gleichwertiger Bruch entsteht nur, wenn dieselbe Veränderung auf Zähler und Nenner angewendet wird. - Du kannst einen Kandidaten auch wieder kürzen und mit dem Ausgangsbruch vergleichen.

1. Beim Erweitern müssen Zähler und Nenner mit demselben Faktor multipliziert werden. 2. Aus \(\frac{2}{3}\) wird durch Erweitern mit \(2\) der Bruch \(\frac{4}{6}\). 3. Daher ist A gleichwertig zu \(\frac{2}{3}\).

A: \(\frac{4}{6}\), denn Zähler und Nenner wurden jeweils mit \(2\) multipliziert.

- Der Erweiterungsfaktor ist schon gegeben. - Multipliziere Zähler und Nenner mit derselben Zahl.

1. Beim Erweitern werden Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert. 2. \(2\cdot3=6\) und \(5\cdot3=15\). 3. Daher gilt \(\frac{2}{5}=\frac{6}{15}\).

\(\frac{6}{15}\)

- Der Kürzungsfaktor ist schon gegeben. - Teile Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl.

1. Teile Zähler und Nenner durch \(3\). 2. \(12:3=4\) und \(18:3=6\). 3. Daher gilt \(\frac{12}{18}=\frac{4}{6}\).

\(\frac{4}{6}\)

- Vergleiche zuerst die beiden bekannten Zähler oder die beiden bekannten Nenner. - Bestimme daraus den Erweiterungs- oder Kürzungsfaktor. - Verändere Zähler und Nenner immer mit demselben Faktor.

1. Bei a) wurde der Nenner mit \(6\) erweitert, denn \(54 : 9 = 6\). Also ist der fehlende Zähler \(4 \cdot 6 = 24\). 2. Bei b) wurde der Zähler mit \(5\) erweitert, denn \(60 : 12 = 5\). Also ist der fehlende Nenner \(17 \cdot 5 = 85\). 3. Bei c) wurde der Nenner von \(25\) auf \(175\) mit \(7\) erweitert. Daher ist der fehlende Zähler \(112 : 7 = 16\).

a) \(24\) b) \(85\) c) \(16\)

- Vergleiche zuerst die beiden Zähler. - Prüfe deinen Faktor anschließend an den Nennern. - Beim Erweitern werden Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert.

1. Bei a) gilt \(55 : 5 = 11\). Auch \(6 \cdot 11 = 66\). Der Erweiterungsfaktor ist \(11\). 2. Bei b) gilt \(39 : 3 = 13\). Auch \(14 \cdot 13 = 182\). Der Erweiterungsfaktor ist \(13\). 3. Bei c) gilt \(120 : 8 = 15\). Auch \(15 \cdot 15 = 225\). Der Erweiterungsfaktor ist \(15\).

a) \(11\) b) \(13\) c) \(15\)

- Vergleiche jeden neuen Bruch mit \(\frac{7}{12}\). - Bestimme zuerst den Faktor an der Stelle, an der beide Zahlen bekannt sind. - Beim Erweitern werden Zähler und Nenner mit demselben Faktor multipliziert.

1. Für den Nenner \(84\) gilt \(84 : 12 = 7\). Deshalb ist der fehlende Zähler \(7 \cdot 7 = 49\). 2. Für den Zähler \(91\) gilt \(91 : 7 = 13\). Deshalb ist der fehlende Nenner \(12 \cdot 13 = 156\). 3. Für den Zielnenner \(132\) gilt \(132 : 12 = 11\). Der Erweiterungsfaktor ist \(11\).

a) \(49\) und \(156\) b) \(11\)

- Vergleiche jeweils den alten und den neuen Nenner. - Bestimme daraus den Erweiterungsfaktor. - Multipliziere den Zähler mit demselben Faktor.

1. Bei a) ist der Erweiterungsfaktor \(20 : 5 = 4\). Daher ist der Zähler \(3 \cdot 4 = 12\). 2. Bei b) ist der Erweiterungsfaktor \(56 : 8 = 7\). Daher ist der Zähler \(7 \cdot 7 = 49\). 3. Bei c) ist der Erweiterungsfaktor \(39 : 13 = 3\). Daher ist der Zähler \(12 \cdot 3 = 36\). 4. Bei d) ist der Erweiterungsfaktor \(100 : 4 = 25\). Daher ist der Zähler \(15 \cdot 25 = 375\).

a) \(12\) b) \(49\) c) \(36\) d) \(375\)

- Wie oft passt der kleinere Nenner in den größeren Nenner? - Wenn du einen Bruch erweiterst, ändert sich sein Wert nicht. Vergleiche die Brüche erst, wenn sie denselben Nenner haben. - Sind die Zähler nach dem Erweitern exakt gleich?

1. Teilaufgabe a): Vergleich von \(\frac{5}{6}\) und \(\frac{21}{24}\). Der gemeinsame Nenner ist 24. Erweitern von \(\frac{5}{6}\) mit dem Faktor \(24 : 6 = 4\) ergibt \(\frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{20}{24}\). Da \(\frac{20}{24} \neq \frac{21}{24}\), sind die Brüche nicht gleichwertig. 2. Teilaufgabe b): Vergleich von \(\frac{4}{7}\) und \(\frac{28}{49}\). Der gemeinsame Nenner ist 49. Erweitern von \(\frac{4}{7}\) mit dem Faktor \(49 : 7 = 7\) ergibt \(\frac{4 \cdot 7}{7 \cdot 7} = \frac{28}{49}\). Da \(\frac{28}{49} = \frac{28}{49}\), sind die Brüche gleichwertig.

a) Nicht gleichwertig, da \(\frac{20}{24} \neq \frac{21}{24}\). b) Gleichwertig, da \(\frac{28}{49} = \frac{28}{49}\).

- Beim Kürzen müssen Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl ohne Rest teilbar sein. - Prüfe für jede Teilaufgabe Zähler und Nenner getrennt. - Wenn du unsicher bist, ob eine Zahl ein Teiler ist, kannst du die Division mit Rest oder ein passendes Vielfaches prüfen.

1. a) \(60 : 15 = 4\) und \(15 : 15 = 1\), also \(\frac{4}{1} = 4\). 2. b) \(112 : 14 = 8\) und \(14 : 14 = 1\), also \(\frac{8}{1} = 8\). 3. c) \(144 : 12 = 12\) und \(60 : 12 = 5\), also \(\frac{12}{5}\). 4. d) \(200 : 25 = 8\) und \(75 : 25 = 3\), also \(\frac{8}{3}\). 5. e) \(130\) ist durch \(13\) teilbar, aber \(45\) nicht: \(45 = 3 \cdot 13 + 6\). Deshalb ist das Kürzen mit \(13\) nicht möglich.

a) \(4\) b) \(8\) c) \(\frac{12}{5}\) d) \(\frac{8}{3}\) e) nicht möglich

- Ein Bruch kann nur dann mit einer Zahl gekürzt werden, wenn diese Zahl Zähler und Nenner ohne Rest teilt. - Nutze geeignete Teilbarkeitsregeln, statt jeden Quotienten auszurechnen. - Vergleiche am Ende nur die Zahlen, die bei Zähler und Nenner zugleich funktionieren.

1. \(126\) ist durch \(2\), \(3\), \(6\) und \(9\) teilbar. Durch \(4\) ist \(126\) nicht teilbar, weil die letzten beiden Ziffern \(26\) kein Vielfaches von \(4\) bilden. 2. \(162\) ist ebenfalls durch \(2\), \(3\), \(6\) und \(9\) teilbar. Durch \(4\) ist \(162\) nicht teilbar, weil die letzten beiden Ziffern \(62\) kein Vielfaches von \(4\) bilden. 3. Damit funktionieren als gemeinsame Teiler \(2\), \(3\), \(6\) und \(9\).

Der Bruch kann mit \(2\), \(3\), \(6\) und \(9\) gekürzt werden.

- Überlege dir, mit welcher Zahl der Zähler oder Nenner multipliziert oder dividiert wurde. - Was du im Zähler tust, musst du auch im Nenner tun, damit der Wert des Bruchs gleich bleibt. - Suche nach dem Faktor zwischen den bekannten Werten.

1. Bestimmung des Erweiterungsfaktors für Teil a): \(14 : 2 = 7\). Multiplikation des Nenners: \(5 \cdot 7 = 35\). 2. Bestimmung des Kürzungsfaktors für Teil b): \(81 : 9 = 9\). Division des Zählers: \(54 : 9 = 6\). 3. Bestimmung des Kürzungsfaktors für Teil c): \(72 : 3 = 24\). Division des Nenners: \(96 : 24 = 4\). 4. Bestimmung des Erweiterungsfaktors für Teil d): \(51 : 17 = 3\). Multiplikation des Zählers: \(13 \cdot 3 = 39\).

a) \(35\) b) \(6\) c) \(4\) d) \(39\)

- Schreibe jeweils die betrachtete Anzahl in den Zähler und die Gesamtanzahl in den Nenner. - Suche dann einen gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner. - Kürze weiter, bis kein gemeinsamer Teiler größer als \(1\) mehr vorhanden ist.

1. Die Anteile sind \(\frac{28}{70}\), \(\frac{15}{45}\), \(\frac{54}{72}\) und \(\frac{13}{52}\). 2. Bei a) kürzt man mit \(14\): \(\frac{28}{70} = \frac{2}{5}\). 3. Bei b) kürzt man mit \(15\): \(\frac{15}{45} = \frac{1}{3}\). 4. Bei c) kürzt man mit \(18\): \(\frac{54}{72} = \frac{3}{4}\). 5. Bei d) kürzt man mit \(13\): \(\frac{13}{52} = \frac{1}{4}\).

a) \(\frac{2}{5}\) b) \(\frac{1}{3}\) c) \(\frac{3}{4}\) d) \(\frac{1}{4}\)

- Gibt es Teilbarkeitsregeln, die dir helfen, erste gemeinsame Teiler zu finden? - Was ist die größte Zahl, durch die du sowohl den Zähler als auch den Nenner ohne Rest teilen kannst? - Du kannst auch in mehreren kleinen Schritten kürzen, bis es nicht mehr weitergeht.

1. Für \(\frac{45}{120}\): Bestimmung des \(\operatorname{ggT}(45, 120) = 15\). Division von Zähler und Nenner durch \(15\) ergibt \(\frac{3}{8}\). 2. Für \(\frac{56}{196}\): Bestimmung des \(\operatorname{ggT}(56, 196) = 28\). Division von Zähler und Nenner durch \(28\) ergibt \(\frac{2}{7}\). 3. Für \(\frac{144}{216}\): Bestimmung des \(\operatorname{ggT}(144, 216) = 72\). Division von Zähler und Nenner durch \(72\) ergibt \(\frac{2}{3}\).

a) \(\frac{3}{8}\) b) \(\frac{2}{7}\) c) \(\frac{2}{3}\)

- Was passiert, wenn du beide Brüche so weit wie möglich vereinfachst? - Wie kannst du feststellen, ob zwei unterschiedlich aussehende Brüche eigentlich denselben Anteil beschreiben? - Suche für jeden Bruch einzeln den größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner.

1. Vollständiges Kürzen von \(\frac{84}{105}\): Der \(\operatorname{ggT}(84, 105)\) ist \(21\). Division ergibt \(\frac{84 : 21}{105 : 21} = \frac{4}{5}\). 2. Vollständiges Kürzen von \(\frac{64}{80}\): Der \(\operatorname{ggT}(64, 80)\) ist \(16\). Division ergibt \(\frac{64 : 16}{80 : 16} = \frac{4}{5}\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Beide Brüche ergeben vollständig gekürzt \(\frac{4}{5}\).

Ja, beide Brüche besitzen den gleichen Wert, da sie vollständig gekürzt beide \(\frac{4}{5}\) ergeben.

- Überlege, welche ursprünglichen Nenner durch Multiplikation mit einer ganzen Zahl genau \(20\) ergeben können. - Wähle zu jedem solchen Nenner einen Zähler, der einen echten Bruch ergibt. - Beim Erweitern müssen Zähler und Nenner mit demselben Faktor multipliziert werden.

1. Damit ein Nenner durch Erweitern zu \(20\) werden kann, muss er ein Teiler von \(20\) sein. Außer \(1\) und \(20\) sind das \(2,4,5,10\). 2. Für Nenner \(2\) ist zum Beispiel \(\frac{1}{2}\) möglich. Erweitert mit \(10\) ergibt sich \(\frac{1}{2}=\frac{10}{20}\). 3. Für Nenner \(4\) ist zum Beispiel \(\frac{1}{4}\) möglich. Erweitert mit \(5\) ergibt sich \(\frac{1}{4}=\frac{5}{20}\). 4. Für Nenner \(5\) ist zum Beispiel \(\frac{1}{5}\) möglich. Erweitert mit \(4\) ergibt sich \(\frac{1}{5}=\frac{4}{20}\). 5. Für Nenner \(10\) ist zum Beispiel \(\frac{3}{10}\) möglich. Erweitert mit \(2\) ergibt sich \(\frac{3}{10}=\frac{6}{20}\).

a) \(2,4,5,10\) b) Zum Beispiel: \(\frac{1}{2}=\frac{10}{20}\) \(\frac{1}{4}=\frac{5}{20}\) \(\frac{1}{5}=\frac{4}{20}\) \(\frac{3}{10}=\frac{6}{20}\)

- Wie viele Teile hat das Ganze insgesamt und wie viele davon betrachtest du? - Suche nach einer Zahl, durch die du sowohl den Zähler als auch den Nenner ohne Rest teilen kannst. - Stell dir vor, du würdest die Trennlinien zwischen einigen Stücken einfach ignorieren.

1. Bestimmung des Bruchteils: Es sind 3 von 12 Stücken, also \(\frac{3}{12}\). 2. Kürzen des Bruchs: Der größte gemeinsame Teiler von 3 und 12 ist 3. Division von Zähler und Nenner durch 3 ergibt \(\frac{3 : 3}{12 : 3} = \frac{1}{4}\). 3. Anschauliche Interpretation: Das Kürzen durch 3 bedeutet, dass man jeweils 3 der kleinen Stücke zu einem großen Stück zusammenfasst. Die Pizza besteht dann aus 4 solcher großen Stücke (Viertel), von denen eines auf dem Teller liegt.

a) \(\frac{3}{12}\) b) \(\frac{1}{4}\) c) Es bedeutet, dass die 3 kleinen Stücke zusammen genau ein Viertel der ganzen Pizza ausmachen.

- Wann nennt man einen Bruch „unkürzbar“? - Welche Zahlen teilen den Zähler? - Gibt es eine Zahl außer 1, die sowohl den Zähler als auch den Nenner ohne Rest teilt? - Schau dir die Malfolgen (Einmaleins) der Zahlen an.

1. Bestimmung der Teiler für \(\frac{7}{45}\): Die Teiler von 7 sind 1 und 7. Die Teiler von 45 sind 1, 3, 5, 9, 15 und 45. Da nur die 1 ein gemeinsamer Teiler ist, lässt sich der Bruch nicht kürzen. 2. Bestimmung der Teiler für \(\frac{14}{49}\): Die Teiler von 14 sind 1, 2, 7 und 14. Die Teiler von 49 sind 1, 7 und 49. 3. Da die 7 ein gemeinsamer Teiler ist, lässt sich der Bruch kürzen: \(\frac{14 : 7}{49 : 7} = \frac{2}{7}\).

\(\frac{7}{45}\) lässt sich nicht kürzen, da 7 und 45 außer der 1 keine gemeinsamen Teiler haben. \(\frac{14}{49}\) lässt sich mit 7 kürzen, da beide Zahlen durch 7 teilbar sind; das Ergebnis ist \(\frac{2}{7}\).

- Suche die kleinste Zahl, die sowohl in der 10er-Reihe als auch in der 25er-Reihe vorkommt. - Wie oft passt die 10 in diese Zahl? Wie oft die 25? - Denk daran, dass du beim Erweitern Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren musst.

1. Bestimmung des kgV von 10 und 25: Die Primfaktorzerlegungen sind \(10 = 2 \cdot 5\) und \(25 = 5^2\). Das kgV ist \(2 \cdot 5^2 = 50\). 2. Erweitern des ersten Bruchs: Um von 10 auf 50 zu kommen, muss mit 5 erweitert werden: \(\frac{3 \cdot 5}{10 \cdot 5} = \frac{15}{50}\). 3. Erweitern des zweiten Bruchs: Um von 25 auf 50 zu kommen, muss mit 2 erweitert werden: \(\frac{4 \cdot 2}{25 \cdot 2} = \frac{8}{50}\).

Der Hauptnenner ist 50. Die erweiterten Brüche lauten \(\frac{15}{50}\) und \(\frac{8}{50}\).

- Überlege, welche Zahl in der Einmaleins-Reihe beider Nenner als erste gemeinsam vorkommt. - Mit welcher Zahl musst du den Nenner multiplizieren, um auf diesen gemeinsamen Wert zu kommen? - Vergiss nicht, den Zähler mit derselben Zahl zu multiplizieren wie den Nenner.

1. Berechnung des Hauptnenners für a): Das kleinste gemeinsame Vielfache von 6 und 8 ist 24. Erweitern: \(\frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{20}{24}\) und \(\frac{7 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{21}{24}\). 2. Berechnung des Hauptnenners für b): Das kleinste gemeinsame Vielfache von 9 und 12 ist 36. Erweitern: \(\frac{2 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{8}{36}\) und \(\frac{5 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{15}{36}\). 3. Berechnung des Hauptnenners für c): Das kleinste gemeinsame Vielfache von 4, 6 und 3 ist 12. Erweitern: \(\frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}\), \(\frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{2}{12}\) und \(\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}\).

a) \(\frac{20}{24}\) und \(\frac{21}{24}\) b) \(\frac{8}{36}\) und \(\frac{15}{36}\) c) \(\frac{9}{12}\), \(\frac{2}{12}\) und \(\frac{8}{12}\)

- Ein Gegenbeispiel muss alle Bedingungen der Behauptung erfüllen und trotzdem zu einem anderen Ergebnis führen. - Prüfe die Brüche systematisch darauf, ob Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler größer als \(1\) besitzen. - Erst wenn du einen solchen gemeinsamen Teiler gefunden hast, kürze den betreffenden Bruch vollständig.

1. Prüfe bei jedem Bruch, ob Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler größer als \(1\) haben. 2. Bei \(\frac{7}{9}\), \(\frac{3}{11}\) und \(\frac{17}{19}\) gibt es keinen solchen gemeinsamen Teiler. 3. Bei \(\frac{15}{25}\) sind Zähler und Nenner durch \(5\) teilbar. Daher gilt \(\frac{15}{25}=\frac{3}{5}\). 4. Damit widerlegt \(\frac{15}{25}\) Jans Behauptung.

Das Gegenbeispiel ist \(\frac{15}{25}\). Vollständig gekürzt ergibt sich \(\frac{3}{5}\).

- Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie gleichzeitig durch 2 und durch 3 teilbar ist. - Gehe die 6er-Reihe im Kopf durch, um Zähler und Nenner zu prüfen.

1. Prüfung von \(\frac{12}{20}\): \(12\) ist durch \(6\) teilbar, aber \(20\) nicht (\(20 : 6 = 3\) Rest \(2\)). 2. Prüfung von \(\frac{18}{30}\): \(18 = 3 \cdot 6\) und \(30 = 5 \cdot 6\). Beide sind durch \(6\) teilbar. 3. Prüfung von \(\frac{24}{32}\): \(24 = 4 \cdot 6\), aber \(32\) ist nicht durch \(6\) teilbar (\(32 : 6 = 5\) Rest \(2\)). 4. Kürzen von \(\frac{18}{30}\) mit der Zahl \(6\): \(\frac{18 : 6}{30 : 6} = \frac{3}{5}\). 5. Da \(3\) und \(5\) teilerfremd sind, ist \(\frac{3}{5}\) der vollständig gekürzte Wert.

Nur der Bruch aus b) \(\frac{18}{30}\) lässt sich mit \(6\) kürzen. Der vollständig gekürzte Wert ist \(\frac{3}{5}\).

- Prüfe bei jeder Lücke, welcher Bruchwert erhalten bleiben soll. - Beobachte, mit welchem Faktor sich eine vorhandene Zahl verändert. - Damit der Bruch gleichwertig bleibt, müssen Zähler und Nenner aufeinander abgestimmt verändert werden.

1. In der ersten Gleichungskette muss bei gleichbleibendem Bruchwert Zähler und Nenner jeweils mit demselben Faktor verändert werden. So erhält man \(\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{4}{8} = \frac{5}{10}\). 2. Von \(4\) zu \(8\) wird der Nenner verdoppelt; deshalb wird auch der Zähler verdoppelt: \(\frac{1}{4} = \frac{2}{8}\). 3. Von \(3\) zu \(6\) wird der Zähler verdoppelt; deshalb wird auch der Nenner verdoppelt: \(\frac{3}{4} = \frac{6}{8}\). 4. \(\frac{10}{10}\) ist ein Ganzes. Ein Bruch mit Nenner \(2\) hat denselben Wert, wenn auch der Zähler \(2\) ist: \(\frac{10}{10} = \frac{2}{2}\).

a) \(\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{4}{8} = \frac{5}{10}\) b) \(\frac{1}{4} = \frac{2}{8}\) c) \(\frac{3}{4} = \frac{6}{8}\) d) \(\frac{10}{10} = \frac{2}{2}\)

- Bestimme in jeder Abbildung zuerst die Anzahl aller gleich großen Teile. - Zähle danach die markierten Teile. - Kürze beide Brüche vollständig und vergleiche die Ergebnisse.

1. In a) sind \(6\) von \(8\) Teilen markiert: \(\frac{6}{8}\). 2. In b) sind \(9\) von \(12\) Feldern markiert: \(\frac{9}{12}\). 3. Es gilt \(\frac{6}{8} = \frac{3}{4}\) und \(\frac{9}{12} = \frac{3}{4}\). 4. Beide Abbildungen zeigen also denselben Anteil.

a) \(\frac{6}{8} = \frac{3}{4}\) b) \(\frac{9}{12} = \frac{3}{4}\) Beide Abbildungen zeigen denselben Anteil.

- Vergleiche getrennt, wie sich Zähler und Nenner in Leas Behauptung verändert haben. - Überlege, welche Bedingung beim Erweitern erfüllt sein muss, damit der Wert des Bruchs gleich bleibt. - Nutze den vorgegebenen neuen Zähler, um den passenden Veränderungsfaktor zu bestimmen.

1. Von \(3\) zu \(6\) wurde der Zähler mit \(2\) multipliziert. 2. Beim Erweitern muss der Nenner mit demselben Faktor multipliziert werden. Daher muss aus \(5\) der Nenner \(10\) werden. 3. Es gilt \(\frac{3}{5}=\frac{6}{10}\), nicht \(\frac{6}{8}\).

Lea verändert Zähler und Nenner nicht mit demselben Faktor. Richtig ist \(\frac{3}{5}=\frac{6}{10}\).

- Vergleiche zuerst die Länge der beiden ganzen Balken. - In welchem Balken sind die Teile feiner unterteilt? - Prüfe, wie sich Zähler und Nenner von A zu B verändern.

1. In A ist \(1\) von \(2\) Teilen markiert: \(\frac{1}{2}\). 2. In B sind \(2\) von \(4\) Teilen markiert: \(\frac{2}{4}\). 3. B teilt jedes Halb noch einmal in zwei gleich große Teile. Dabei verdoppeln sich Zähler und Nenner, der markierte Anteil bleibt aber gleich. Deshalb gilt \(\frac{1}{2}=\frac{2}{4}\).

a) \(\frac{1}{2}\) b) \(\frac{2}{4}\) c) Beide markieren dieselbe Hälfte des gleich großen Ganzen.

- Führe die Divisionen nacheinander durch und achte darauf, das Zwischenergebnis für den nächsten Schritt zu nutzen. - Wenn du nacheinander durch mehrere Zahlen teilst, entspricht das einer Teilung durch das Produkt dieser Zahlen. - Wie hängen die kleinen Zahlen aus Aufgabenteil a mit der großen Zahl aus Aufgabenteil b zusammen?

1. Schrittweises Kürzen: \(\frac{210}{462} \xrightarrow{:2} \frac{105}{231} \xrightarrow{:3} \frac{35}{77} \xrightarrow{:7} \frac{5}{11}\) 2. Bestimmung des Gesamtkürzungsfaktors: Multiplikation der einzelnen Faktoren \(2 \cdot 3 \cdot 7 = 42\) 3. Überprüfung: \(210 : 42 = 5\) und \(462 : 42 = 11\). Der gesuchte Faktor ist 42.

a) \(\frac{5}{11}\) b) 42

- Vergleiche für jede Lücke zwei Brüche, bei denen du eine passende Zahl direkt erkennen kannst. - Bestimme zuerst den Erweiterungs- oder Kürzungsfaktor. - Prüfe anschließend, ob Zähler und Nenner mit demselben Faktor verändert wurden.

1. Bei a) gilt für die erste Lücke \(28 : 7 = 4\). Deshalb ist der fehlende Zähler \(4 \cdot 4 = 16\). 2. Für die zweite Lücke gilt \(36 : 4 = 9\). Deshalb ist der fehlende Nenner \(7 \cdot 9 = 63\). 3. Bei b) gilt \(180 : 15 = 12\). Deshalb ist der fehlende Zähler \(120 : 12 = 10\). 4. Für die letzte Lücke gilt \(120 : 2 = 60\). Deshalb ist der fehlende Nenner \(180 : 60 = 3\).

a) \(16\) und \(63\) b) \(10\) und \(3\)

- Vergleiche den ursprünglichen und den neuen Zähler. - Beim Kürzen werden Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl geteilt. - Wenn du den Kürzungsfaktor kennst, kannst du vom neuen Nenner zum ursprünglichen Nenner zurückgehen.

1. Der ursprüngliche Zähler \(117\) wurde auf \(9\) gekürzt. Es gilt \(117 : 9 = 13\). Also wurde durch \(13\) gekürzt. 2. Beim Kürzen werden Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl geteilt. Deshalb war der ursprüngliche Nenner \(13 \cdot 13 = 169\).

a) Durch \(13\). b) \(169\)

- Wie kannst du Brüche am besten vergleichen, wenn sie unterschiedliche Nenner haben? - Was passiert, wenn du jeden Bruch so weit wie möglich vereinfachst? - Haben alle Brüche nach dem Kürzen denselben Zähler und Nenner?

1. Kürzen von \(\frac{18}{24}\): Division durch \(\operatorname{ggT}(18, 24) = 6\) ergibt \(\frac{3}{4}\). 2. Kürzen von \(\frac{25}{40}\): Division durch \(\operatorname{ggT}(25, 40) = 5\) ergibt \(\frac{5}{8}\). 3. Kürzen von \(\frac{45}{60}\): Division durch \(\operatorname{ggT}(45, 60) = 15\) ergibt \(\frac{3}{4}\). 4. Kürzen von \(\frac{9}{12}\): Division durch \(\operatorname{ggT}(9, 12) = 3\) ergibt \(\frac{3}{4}\). 5. Vergleich: Da \(\frac{18}{24} = \frac{45}{60} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}\), ist \(\frac{25}{40}\) der abweichende Bruch.

Der Bruch \(\frac{25}{40}\) passt nicht in die Gruppe. Gekürzt ergeben die anderen drei Brüche jeweils \(\frac{3}{4}\), während \(\frac{25}{40}\) gekürzt \(\frac{5}{8}\) ergibt.

- Vergleiche zuerst die Nenner \(5\) und \(20\). - Beim Erweitern werden Zähler und Nenner mit demselben Faktor multipliziert. - Vergleiche danach die Zähler des mittleren und des letzten Bruchs.

1. Von \(5\) auf \(20\) wird mit \(4\) erweitert. 2. Deshalb wird auch der Zähler mit \(4\) erweitert: \(2 \cdot 4 = 8\). Der mittlere Bruch ist \(\frac{8}{20}\). 3. Von \(8\) auf \(4\) wird durch \(2\) gekürzt. 4. Deshalb wird auch der Nenner durch \(2\) gekürzt: \(20 : 2 = 10\). Der letzte Bruch ist \(\frac{4}{10}\).

Die fehlenden Werte sind \(8\) und \(10\). Zuerst wird mit \(4\) erweitert, danach durch \(2\) gekürzt.

- Führe die Rechnungen für beide Kinder Schritt für Schritt durch. Was fällt dir am Ende auf? - Untersuche die Zahlen, durch die Leon teilt. Was passiert, wenn du diese Zahlen miteinander multiplizierst? - Überlege dir, was schwieriger ist: Den größten gemeinsamen Teiler sofort zu sehen oder kleine Teiler wie 2 oder 3 zu finden.

1. Leons Rechnung: \(\frac{24}{36} \xrightarrow{:2} \frac{12}{18} \xrightarrow{:2} \frac{6}{9} \xrightarrow{:3} \frac{2}{3}\). 2. Sophies Rechnung: \(\frac{24}{36} \xrightarrow{:12} \frac{2}{3}\). 3. Vergleich: Beide Kinder erhalten das Ergebnis \(\frac{2}{3}\). 4. Mathematische Begründung: Das Produkt von Leons Kürzungszahlen ist \(2 \cdot 2 \cdot 3 = 12\). Da nacheinander durch diese Faktoren dividiert wird, entspricht dies der Division durch ihr Produkt (den größten gemeinsamen Teiler). 5. Vor- und Nachteile: Sophies Methode ist schneller und effizienter (direktes Kürzen mit dem ggT). Leons Methode ist sicherer, wenn man große Teiler nicht sofort erkennt, da man mit kleinen Primfaktoren arbeiten kann.

a) Beide erhalten \(\frac{2}{3}\). b) Das Produkt von Leons Teilerzahlen (\(2 \cdot 2 \cdot 3\)) ergibt genau 12, was Sophies Teiler entspricht. c) Sophies Methode ist zeitsparend. Leons Methode ist einfacher im Kopf zu rechnen, wenn man den größten gemeinsamen Teiler nicht sofort sieht.

- Woran erkennst du, ob eine Zahl als gemeinsamer Nenner zweier Brüche dienen kann? - Überprüfe für jede der vorgegebenen Zahlen, ob sie ein Vielfaches von 6 und gleichzeitig ein Vielfaches von 10 ist. - Wenn du einen gemeinsamen Nenner gefunden hast, wie findest du heraus, mit welcher Zahl du den Zähler multiplizieren musst?

1. Prüfung der Teilbarkeit der vorgeschlagenen Nenner durch die ursprünglichen Nenner 6 und 10 2. Ausschluss von 20 (nicht durch 6 teilbar) und 45 (nicht durch 10 teilbar) 3. Identifikation von 30 und 60 als geeignete Nenner, da sie Vielfache von 6 und 10 sind 4. Festlegung des kleinsten geeigneten Nenners: 30 5. Erweitern von \(\frac{1}{6}\) auf den Nenner 30: \(\frac{1 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{5}{30}\) 6. Erweitern von \(\frac{3}{10}\) auf den Nenner 30: \(\frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{9}{30}\)

Geeignete Nenner sind 30 und 60, da sie Vielfache von 6 und 10 sind. Auf dem kleinsten dieser Nenner lauten die Brüche \(\frac{5}{30}\) und \(\frac{9}{30}\).

- Schreibe einige Vielfache beider Nenner auf. - Suche das erste Vielfache, das in beiden Listen vorkommt. - Überlege für c), welche gemeinsamen Teiler die Nenner haben dürfen.

1. Die Vielfachen von \(6\) beginnen mit \(6, 12, 18, 24, 30, \dots\). Die Vielfachen von \(10\) beginnen mit \(10, 20, 30, \dots\). Das kleinste gemeinsame Vielfache ist \(30\). 2. \(60\) ist durch \(6\) und durch \(10\) teilbar, also ein gemeinsamer Nenner. Es ist aber größer als \(30\). 3. Das Produkt zweier Nenner ist genau dann ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches, wenn die beiden Nenner außer \(1\) keinen gemeinsamen Teiler haben.

a) \(30\) b) \(60\) ist ein gemeinsamer Nenner, aber \(30\) ist kleiner und ebenfalls durch \(6\) und \(10\) teilbar. c) Wenn die Nenner teilerfremd sind.

- Bringe zuerst alle Werte auf den gleichen Nenner, um sie besser vergleichen zu können. - Wann nennt man einen Bruch „vollständig gekürzt“? - Welche gemeinsamen Teiler dürfen Zähler und Nenner in diesem Fall nicht haben? - Schau dir die Primfaktorzerlegung des Nenners an.

1. Erweitern der Grenzen auf den Nenner 20: \(\frac{2}{5} = \frac{8}{20}\) und \(\frac{4}{5} = \frac{16}{20}\). 2. Identifikation aller Brüche mit Nenner 20 im Intervall: \(\frac{9}{20}, \frac{10}{20}, \frac{11}{20}, \frac{12}{20}, \frac{13}{20}, \frac{14}{20}, \frac{15}{20}\). 3. Prüfung der Zähler auf Teilerfremdheit zum Nenner 20 (Primfaktoren 2 und 5): - 9: teilerfremd zu 20 - 10: teilbar durch 2 und 5 - 11: teilerfremd zu 20 - 12: teilbar durch 2 - 13: teilerfremd zu 20 - 14: teilbar durch 2 - 15: teilbar durch 5 4. Auswahl der vollständig gekürzten Brüche: \(\frac{9}{20}, \frac{11}{20}, \frac{13}{20}\).

Die vollständig gekürzten Brüche sind \(\frac{9}{20}, \frac{11}{20}\) und \(\frac{13}{20}\).

- Kannst du eine Zahl finden, in die alle drei Nenner ohne Rest hineinpassen? - Gehe die Vielfachen der größten Zahl (hier 15) durch und prüfe, ob die anderen Zahlen auch Teiler davon sind. - Denk daran, dass du beim Erweitern Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren musst.

1. Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) von 10, 15 und 6. 2. Vielfache von 15 prüfen: 15 (nicht durch 10 oder 6 teilbar), 30 (durch 10 und 6 teilbar). Das kgV ist 30. 3. Erweitern von \(\frac{3}{10}\) mit dem Faktor \(30 : 10 = 3\): \(\frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{9}{30}\). 4. Erweitern von \(\frac{4}{15}\) mit dem Faktor \(30 : 15 = 2\): \(\frac{4 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{8}{30}\). 5. Erweitern von \(\frac{1}{6}\) mit dem Faktor \(30 : 6 = 5\): \(\frac{1 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{5}{30}\).

\(\frac{9}{30}; \frac{8}{30}; \frac{5}{30}\)

- Prüfe in jedem Fall getrennt, was mit Zähler und Nenner passiert. - Überlege, ob dadurch mehr gleich große Teile genommen werden oder ob die Teile selbst kleiner werden. - Bei c) kannst du an die Bedeutung des Kürzens denken.

1. Bei a) wird nur der Zähler von \(2\) auf \(8\) vervierfacht. Der neue Bruch ist viermal so groß wie der Ausgangsbruch. 2. Bei b) wird nur der Nenner von \(4\) auf \(16\) vervierfacht. Dadurch wird jeder Teil viermal kleiner; der neue Bruch ist ein Viertel so groß wie vorher. 3. Bei c) werden Zähler und Nenner durch \(5\) geteilt. Das ist Kürzen; der Wert des Bruchs bleibt gleich.

a) Nur der Zähler wird vervierfacht; der Nenner bleibt gleich. Der Wert wird viermal so groß. b) Der Zähler bleibt gleich; der Nenner wird vervierfacht. Der Wert wird auf ein Viertel verkleinert. c) Zähler und Nenner werden durch \(5\) geteilt. Der Wert bleibt gleich.

- Lies zuerst die Koordinaten der vier Punkte aus dem Koordinatensystem ab. - Übersetze jeden Punkt nach der angegebenen Regel in einen Bruch. - Prüfe anschließend mit Erweitern oder Kürzen, welche Brüche gleichwertig sind.

1. Aus dem Koordinatensystem liest man ab: \(A(2|1)\), \(B(4|3)\), \(C(6|3)\) und \(D(10|5)\). 2. Die zugehörigen Brüche sind \(\frac{1}{2}\), \(\frac{3}{4}\), \(\frac{3}{6}\) und \(\frac{5}{10}\). 3. Es gilt \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\) und \(\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\). 4. Daher repräsentieren A, C und D denselben Bruchwert; C und D entstehen durch Erweitern von \(\frac{1}{2}\).

A, C und D repräsentieren denselben Wert \(\frac{1}{2}\). Die Brüche bei C und D lassen sich zu \(\frac{1}{2}\) kürzen beziehungsweise aus \(\frac{1}{2}\) erweitern.

- Lies zuerst Nenner und Zähler in der vereinbarten Reihenfolge aus den Koordinaten ab. - Suche einen gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner. - Übertrage Nenner und Zähler des gekürzten Bruchs wieder auf die beiden Koordinatenachsen.

1. Aus dem Koordinatensystem liest man \(P(12|15)\). Damit ist der dargestellte Bruch \(\frac{15}{12}\). 2. Zähler und Nenner sind durch \(3\) teilbar: \(\frac{15}{12} = \frac{5}{4}\). 3. Zum vollständig gekürzten Bruch \(\frac{5}{4}\) gehört deshalb der Punkt \((4|5)\).

a) \(\frac{15}{12}\) b) \(\frac{5}{4}\); Punkt \((4|5)\)

- Lies zuerst aus P den Nenner und den Zähler ab. - Beim Erweitern werden Zähler und Nenner mit demselben Faktor multipliziert. - Für die Koordinaten gilt weiterhin: zuerst der Nenner, dann der Zähler.

1. Aus der Abbildung liest man \(P(3|2)\). Der Bruch ist \(\frac{2}{3}\). 2. Mit \(2\) erweitert: \(\frac{2}{3} = \frac{4}{6}\). Dazu gehört der Punkt \((6|4)\). 3. Mit \(3\) erweitert: \(\frac{2}{3} = \frac{6}{9}\). Dazu gehört der Punkt \((9|6)\). 4. Mit \(4\) erweitert: \(\frac{2}{3} = \frac{8}{12}\). Dazu gehört der Punkt \((12|8)\).

a) \(\frac{2}{3}\) b) \(\frac{4}{6}\rightarrow(6|4)\), \(\frac{6}{9}\rightarrow(9|6)\), \(\frac{8}{12}\rightarrow(12|8)\)

- Bestimme für jede einzelne Figur den Anteil der markierten Fläche als Bruch (Zähler = markierte Teile, Nenner = alle Teile). - Kürze jeden dieser Brüche so weit wie möglich, indem du Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler dividierst. - Vergleiche die gekürzten Brüche, um herauszufinden, welche beiden denselben Wert haben.

1. Figur A zeigt einen Kreis mit 6 gleich großen Sektoren, von denen 4 farbig markiert sind. Das entspricht dem Bruch \(\frac{4}{6}\). Gekürzt mit 2 ergibt das \(\frac{2}{3}\). 2. Figur B zeigt ein Gitter mit \(4 \cdot 4 = 16\) Feldern, von denen 12 farbig markiert sind. Das entspricht dem Bruch \(\frac{12}{16}\). Gekürzt mit 4 ergibt das \(\frac{3}{4}\). 3. Figur C zeigt einen Balken mit 9 gleich großen Abschnitten, von denen 6 farbig markiert sind. Das entspricht dem Bruch \(\frac{6}{9}\). Gekürzt mit 3 ergibt das \(\frac{2}{3}\). 4. Figur D zeigt ein Dreieck mit 4 gleich großen Teilen, von denen 2 farbig markiert sind. Das entspricht dem Bruch \(\frac{2}{4}\). Gekürzt mit 2 ergibt das \(\frac{1}{2}\). Beim Vergleich der gekürzten Brüche sieht man, dass Figur A und Figur C denselben Anteil von \(\frac{2}{3}\) darstellen.

Figur A und Figur C stellen denselben Anteil dar (nämlich \(\frac{2}{3}\)).

- Eine Markierung ganzer Sektoren erzeugt immer einen Bruch mit dem Nenner \(10\), bevor gekürzt wird. - Prüfe, ob \(\frac{3}{8}\) durch Erweitern einen Nenner von \(10\) erhalten kann. - Für eine mögliche andere Einteilung suche eine Sektorenzahl, die zum Nenner \(8\) passt.

1. Mit \(10\) Sektoren müsste \(\frac{3}{8}\) als Bruch mit dem Nenner \(10\) geschrieben werden können. 2. Dafür müsste \(8\) durch einen ganzzahligen Erweiterungsfaktor zu \(10\) werden. Das ist nicht möglich. 3. Daher lässt sich \(\frac{3}{8}\) mit ganzen Zehntelsektoren nicht exakt darstellen. 4. Mit \(8\) gleich großen Sektoren ist die Darstellung direkt möglich; auch jede passende Vielfacheinteilung wie \(16\) Sektoren funktioniert.

Nein. Mit \(10\) ganzen Sektoren lässt sich \(\frac{3}{8}\) nicht exakt darstellen. Mit \(8\) gleich großen Sektoren wäre es möglich, ebenso zum Beispiel mit \(16\).

- Prüfe bei a), welche Zahlen \(1000\) ohne Rest teilen. - Nutze bei b) den bekannten Erweiterungsfaktor \(8\). - Prüfe bei deinen Beispielbrüchen, ob Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler größer als \(1\) haben.

1. Für a) kommen genau die Teiler von \(1000\) infrage, die höchstens \(100\) sind. 2. Das sind \(1,2,4,5,8,10,20,25,40,50,100\). 3. Für b) muss der ursprüngliche Nenner mit \(8\) multipliziert \(1000\) ergeben. Daher ist der Nenner \(125\). 4. Ein Bruch mit Nenner \(125\) ist vollständig gekürzt, wenn der Zähler nicht durch \(5\) teilbar ist. Beispiele sind \(\frac{1}{125}\), \(\frac{2}{125}\) und \(\frac{3}{125}\).

a) \(1,2,4,5,8,10,20,25,40,50,100\) b) Nenner \(125\); zum Beispiel \(\frac{1}{125}\), \(\frac{2}{125}\), \(\frac{3}{125}\)