- Welche Formel verbindet die beiden Seitenlängen eines Rechtecks mit seiner Fläche? - Welche Größe musst du durch die bekannte Länge teilen, um die Breite zu erhalten?

1. Für ein Rechteck gilt \(A=ab\). 2. Die fehlende Breite ist \(b=96\,\text{m}^2:12\,\text{m}=8\,\text{m}\).

Der Raum ist \(8\,\text{m}\) breit.

- Welche beiden angegebenen Längen gehören direkt zur Flächenformel des Parallelogramms? - Welche Rolle spielt die senkrechte Zuordnung der Höhe zur gewählten Grundseite?

1. Für ein Parallelogramm gilt \(A=gh_g\). 2. Damit ist \(A=7\,\text{m}\cdot 4\,\text{m}=28\,\text{m}^2\).

Die Fläche des Beets beträgt \(28\,\text{m}^2\).

- Welche beiden Seitenlängen der rechteckigen Fläche sind gegeben? - Multipliziere die beiden Seitenlängen des Rechtecks.

1. Für ein Rechteck gilt \(A=ab\). 2. \(A=5\,\text{m}\cdot4\,\text{m}=20\,\text{m}^2\).

Die Wandfläche beträgt \(20\,\text{m}^2\).

- Grundseite und zugehörige Höhe sind bereits angegeben. - Bei der Dreiecksfläche wird das Produkt aus Grundseite und Höhe halbiert.

1. Für ein Dreieck gilt \(A=\frac{1}{2}gh_g\). 2. \(A=\frac{1}{2}\cdot6\,\text{m}\cdot3\,\text{m}=9\,\text{m}^2\).

Die Stofffläche beträgt \(9\,\text{m}^2\).

- Die passende Formel steht bereits in der Aufgabe. - Setze die beiden parallelen Seiten und ihren senkrechten Abstand direkt ein.

1. Setze \(a=8\,\text{m}\), \(c=4\,\text{m}\) und \(h=2\,\text{m}\) in die angegebene Formel ein. 2. \(A=\frac{8\,\text{m}+4\,\text{m}}{2}\cdot2\,\text{m}=12\,\text{m}^2\).

Die Beetfläche beträgt \(12\,\text{m}^2\).

- Welche beiden gegebenen Längen gehören direkt in die angegebene Dreiecksformel? - Achte darauf, dass das Ergebnis eine Flächeneinheit erhält.

1. Setze Grundseite und zugehörige Höhe in die angegebene Formel ein. 2. \(A=\frac{1}{2}\cdot3\,\text{m}\cdot2\,\text{m}=3\,\text{m}^2\).

Die Stofffläche beträgt \(3\,\text{m}^2\).

- Welche Formen kannst du mit einer bekannten Flächenformel genau berechnen? - Bei welcher Situation beschreiben die vorhandenen Messungen die ganze Form nicht vollständig?

1. Bei a) ist die Fläche rechteckig und beide Maße sind gegeben. Für die Bestellung ist eine genaue Berechnung sinnvoll. 2. Bei b) ist der Rand unregelmäßig und es liegen nur einzelne Breitenmessungen vor. Hier ist eine Schätzung sinnvoll. 3. Bei c) ist die Fläche rechteckig und beide Maße sind gegeben. Für den Zuschnitt ist eine genaue Berechnung sinnvoll.

a) genaue Berechnung b) Schätzung c) genaue Berechnung

- Welches der beiden Modelle kann an einem Ende breiter und am anderen schmaler sein? - Vergleiche nur die grobe Form; du musst noch keine Fläche berechnen.

1. Ein Rechteck wäre überall gleich breit und bildet das deutliche Schmalerwerden schlecht ab. 2. Ein Trapez kann an den beiden Enden unterschiedlich breit sein. Deshalb passt es als grobes Modell besser.

Das Trapez passt besser, weil der Pflanzstreifen an den beiden Enden unterschiedlich breit ist.

- Welche Formel verbindet Flächeninhalt und Seitenlängen eines Rechtecks? - Welche Größe musst du durch die bekannte Länge teilen, um die Breite zu erhalten? - Was passiert mit einem Produkt, wenn ein Faktor gleich bleibt und das Produkt verdoppelt wird?

1. Für ein Rechteck gilt \(A=ab\). Die gesuchte Breite erhält man aus \(b=A:a\). 2. Es ist \(7\frac{1}{2}\,\text{m}^2=\frac{15}{2}\,\text{m}^2\). Daher ist \(b=\frac{15}{2}\,\text{m}^2:5\,\text{m}=\frac{3}{2}\,\text{m}=1{,}5\,\text{m}\). 3. Bei gleichbleibender Länge ist der Flächeninhalt proportional zur Breite. Verdoppelt sich \(A\), muss sich deshalb auch \(b\) verdoppeln.

a) \(1{,}5\,\text{m}\) b) Die Breite verdoppelt sich auf \(3\,\text{m}\).

- Welche Längen müssen zuerst in dieselbe Einheit gebracht werden? - Welche beiden Seiten des Trapezes sind parallel? - Welche Flächenformel verbindet diese beiden Seiten mit ihrer Höhe?

1. Die Höhe wird umgerechnet: \(80\,\text{cm}=0{,}8\,\text{m}\). 2. Für das Trapez gilt \(A=\frac{1}{2}(a+c)h\). 3. Damit ist \(A=\frac{1}{2}(2{,}40\,\text{m}+1{,}60\,\text{m})\cdot 0{,}8\,\text{m}=1{,}6\,\text{m}^2\).

Der Flächeninhalt beträgt \(1{,}6\,\text{m}^2\).

- Welche Maße von Wand und Türöffnung zeigt die Abbildung? - Berechne beide Rechteckflächen getrennt. - Welche der beiden Flächen muss von der anderen abgezogen werden?

1. Die Wand ist \(3{,}5\,\text{m}\) breit und \(2{,}4\,\text{m}\) hoch. Ihre Fläche beträgt \(3{,}5\,\text{m}\cdot 2{,}4\,\text{m}=8{,}4\,\text{m}^2\). 2. Die Türöffnung ist \(0{,}8\,\text{m}\) breit und \(2\,\text{m}\) hoch. Ihre Fläche beträgt \(1{,}6\,\text{m}^2\). 3. Zu streichen sind \(8{,}4\,\text{m}^2-1{,}6\,\text{m}^2=6{,}8\,\text{m}^2\).

Die zu streichende Fläche beträgt \(6{,}8\,\text{m}^2\).

- In welche zwei nicht überlappenden Rechtecke kannst du die T-Form zerlegen? - Welche Gesamtfläche ergibt sich aus den beiden Teilflächen? - Wie verbindest du diese Fläche mit dem Preis je Quadratmeter?

1. Der Stamm ist ein Rechteck mit der Fläche \(1\,\text{m}\cdot 3\,\text{m}=3\,\text{m}^2\). 2. Der obere Balken ist ein Rechteck mit der Fläche \(3\,\text{m}\cdot 1\,\text{m}=3\,\text{m}^2\). 3. Die Gesamtfläche beträgt \(6\,\text{m}^2\). 4. Die Materialkosten betragen \(6\,\text{m}^2\cdot 45\,\text{€}:1\,\text{m}^2=270\,\text{€}\).

Die Materialkosten betragen \(270\,\text{€}\).

- Welche zwei Größen kommen in der Flächenformel für ein Dreieck vor? - Prüfe jede weitere Angabe darauf, ob sie die Grundseite oder die zugehörige Höhe beschreibt. - Nicht jede Zahl in einer Sachaufgabe muss in die Rechnung eingehen.

1. Für die Dreiecksfläche werden die gewählte Grundseite und die zugehörige senkrechte Höhe benötigt. 2. Es gilt \(A=\frac{1}{2}\cdot 6\,\text{m}\cdot 4\,\text{m}=12\,\text{m}^2\). 3. Die Länge der schrägen Seite und die Anzahl der Ösen werden für diese Flächenberechnung nicht benötigt.

Die Segelfläche beträgt \(12\,\text{m}^2\). Nicht benötigt werden die schräge Seitenlänge \(5\,\text{m}\) und die \(18\) Ösen.

- Welche Rechenart gehört zur Flächenformel eines Rechtecks? - Welche Einheit muss ein Flächeninhalt haben? - Passt die Rechnung in der Notiz überhaupt zur gesuchten Größenart?

1. Bei einem Rechteck wird für den Flächeninhalt Länge mit Breite multipliziert; die Addition der Seitenlängen liefert keinen Flächeninhalt. 2. Es gilt \(A=8\,\text{m}\cdot 5\,\text{m}=40\,\text{m}^2\). 3. Die Notiz verwechselt damit eine Addition von Längen mit der Berechnung einer Fläche.

Die Notiz ist falsch. Der richtige Flächeninhalt beträgt \(40\,\text{m}^2\). Der Fehler besteht darin, die Seitenlängen zu addieren statt zu multiplizieren.

- Welche drei Maße brauchst du für den Flächeninhalt eines Trapezes? - Berechne zuerst die Fläche und verwende sie danach für die Kostenrechnung. - Prüfe, ob sich die Flächeneinheit beim Multiplizieren mit dem Preis pro Quadratmeter passend kürzt.

1. Der Flächeninhalt des Trapezes ist \(A=\frac{4{,}2\,\text{m}+2{,}8\,\text{m}}{2}\cdot2\,\text{m}=7\,\text{m}^2\). 2. Die Materialkosten betragen \(7\,\text{m}^2\cdot9\,\text{€}/\text{m}^2=63\,\text{€}\).

Die Stofffläche beträgt \(7\,\text{m}^2\), die Materialkosten betragen \(63\,\text{€}\).

- Welcher einfache Wert fasst die drei gemessenen Breiten zusammen? - Lies die ungefähre Länge aus der Abbildung ab. - Verwende Länge mal mittlere Breite und kennzeichne das Ergebnis als Schätzung.

1. Als einfache mittlere Breite eignet sich der Mittelwert: \((4\,\text{m}+6\,\text{m}+5\,\text{m}):3=5\,\text{m}\). 2. Die Skizze zeigt eine Länge von ungefähr \(12\,\text{m}\). 3. Damit ergibt sich als Schätzung \(A\approx12\,\text{m}\cdot5\,\text{m}=60\,\text{m}^2\).

Eine passende Schätzung ist \(A\approx60\,\text{m}^2\).

- Was passiert, wenn du überall die größte vorkommende Breite verwendest? - Was passiert, wenn du überall die kleinste vorkommende Breite verwendest? - Vergleiche die Modellrechtecke mit der wechselnden Breite in a).

1. Modell b) verwendet überall die größte Breite. Der echte Streifen ist an vielen Stellen schmaler. Deshalb wird die Fläche eher zu groß geschätzt. 2. Modell c) verwendet überall die kleinste Breite. Der echte Streifen ist an vielen Stellen breiter. Deshalb wird die Fläche eher zu klein geschätzt.

b) eher zu groß c) eher zu klein

- Wie groß wäre die Fläche höchstens, wenn die ausgesparte Ecke gefüllt wäre? - Wie viel Fläche kann durch die ausgesparte Ecke höchstens fehlen? - Liegt \(75\,\text{m}^2\) zwischen den beiden Grenzen?

1. Das umschließende Rechteck ist \(10\,\text{m}\cdot8\,\text{m}=80\,\text{m}^2\) groß. Die gesuchte Fläche ist also kleiner als \(80\,\text{m}^2\). 2. Die ausgesparte Ecke ist kleiner als \(3\,\text{m}\cdot3\,\text{m}=9\,\text{m}^2\). Deshalb ist die gesuchte Fläche größer als \(80\,\text{m}^2-9\,\text{m}^2=71\,\text{m}^2\). 3. \(75\,\text{m}^2\) liegt zwischen \(71\,\text{m}^2\) und \(80\,\text{m}^2\). Die Schätzung ist daher plausibel.

Ja. Die Fläche liegt zwischen \(71\,\text{m}^2\) und \(80\,\text{m}^2\). Deshalb ist \(75\,\text{m}^2\) als Schätzung plausibel.

- Welches Modell verwendet die beiden unterschiedlichen Breiten getrennt? - Was zeigt Modell A nicht, wenn es für den ganzen Weg nur eine Breite verwendet? - Was nimmt Modell B in jeder Hälfte trotzdem vereinfacht an?

1. Modell B bildet die Breitenänderung besser ab, weil es die schmalere und die breitere Hälfte getrennt berücksichtigt. 2. Modell A fasst den ganzen Weg zu einer einzigen mittleren Breite zusammen. Dadurch geht die Breitenänderung verloren. 3. Auch Modell B ist nur eine Näherung: Innerhalb jeder Hälfte wird eine gleichbleibende Breite angenommen, obwohl der echte Rand unregelmäßig sein kann.

Modell B passt besser zur gemessenen Breitenänderung. Modell A zeigt die Änderung der Breite nicht; Modell B vereinfacht weiterhin die unregelmäßigen Ränder innerhalb der beiden Hälften.

- Welche Fläche hat eine einzelne Platte nach der Umrechnung von Zentimetern in Meter? - Welche ganzzahligen Faktorenpaare von \(36\) beschreiben mögliche rechteckige Anordnungen? - Vergleiche, welche dieser Anordnungen den Rand möglichst kurz macht.

1. Eine Platte hat die Seitenlänge \(40\,\text{cm}=0{,}4\,\text{m}\) und damit die Fläche \(0{,}4\,\text{m}\cdot 0{,}4\,\text{m}=0{,}16\,\text{m}^2\). 2. Insgesamt beträgt die Fläche \(36\cdot 0{,}16\,\text{m}^2=5{,}76\,\text{m}^2\). 3. Mögliche ganzzahlige Anordnungen sind \(1\times 36\), \(2\times 18\), \(3\times 12\), \(4\times 9\) und \(6\times 6\) Platten. 4. Die kompakteste Anordnung \(6\times 6\) hat den kleinsten Umfang. Jede Seite ist \(6\cdot 0{,}4\,\text{m}=2{,}4\,\text{m}\) lang.

a) \(5{,}76\,\text{m}^2\) b) \(6\times 6\) Platten; Seitenlängen \(2{,}4\,\text{m}\) und \(2{,}4\,\text{m}\)

- Welche Fläche bedeckt eine einzelne Platte nach der Umrechnung in Meter? - Wie hängt die Gesamtfläche des Wegs mit seiner Breite und Länge zusammen? - Welche zusätzliche Fläche entsteht durch die Verlängerung?

1. Eine Platte hat die Seitenlänge \(30\,\text{cm}=0{,}3\,\text{m}\) und damit die Fläche \(0{,}3\,\text{m}\cdot 0{,}3\,\text{m}=0{,}09\,\text{m}^2\). 2. Die \(80\) Platten bedecken \(80\cdot 0{,}09\,\text{m}^2=7{,}2\,\text{m}^2\). Daher ist die Weglänge \(7{,}2\,\text{m}^2:1{,}20\,\text{m}=6\,\text{m}\). 3. Die Verlängerung hat die Fläche \(1{,}50\,\text{m}\cdot 1{,}20\,\text{m}=1{,}8\,\text{m}^2\). 4. Dafür werden \(1{,}8\,\text{m}^2:0{,}09\,\text{m}^2=20\) zusätzliche Platten benötigt.

a) \(6\,\text{m}\) b) \(20\) zusätzliche Steinplatten

- Wie findest du eine Rechteckseite, wenn Fläche und andere Seite bekannt sind? - Welche Formel beschreibt den Umfang eines Rechtecks? - Welche Länge muss der Zaun insgesamt abdecken?

1. Die Länge beträgt \(22{,}1\,\text{m}^2:6{,}5\,\text{m}=3{,}4\,\text{m}\). 2. Der Umfang beträgt \(U=2(6{,}5\,\text{m}+3{,}4\,\text{m})=19{,}8\,\text{m}\).

a) \(3{,}4\,\text{m}\) b) \(19{,}8\,\text{m}\) Zaun

- Wie hängen Länge, Breite und Umfang eines Rechtecks zusammen? - Welche Summe aus Länge und Breite ergibt sich aus dem halben Umfang? - Wie berechnest du anschließend den Flächeninhalt?

1. Bei einem Rechteck gilt \(U=2(a+b)\). Daher ist \(a+b=40\,\text{m}:2=20\,\text{m}\). 2. Die Breite beträgt \(20\,\text{m}-12\,\text{m}=8\,\text{m}\). 3. Die Fläche beträgt \(12\,\text{m}\cdot 8\,\text{m}=96\,\text{m}^2\).

Das Gehege wird \(8\,\text{m}\) breit und hat den Flächeninhalt \(96\,\text{m}^2\).

- Bestimme zuerst für beide Beete die fehlenden Seitenlängen aus dem Umfang. - Was bedeutet „quadratisch“ für die vier Seitenlängen? - Berechne beide Flächen und vergleiche sie erst anschließend.

1. Beim Beet von Camila ist die Summe aus Länge und Breite \(24\,\text{m}:2=12\,\text{m}\). Daher beträgt die Breite \(12\,\text{m}-8\,\text{m}=4\,\text{m}\). 2. Seine Fläche beträgt \(8\,\text{m}\cdot 4\,\text{m}=32\,\text{m}^2\). 3. Beim quadratischen Beet von Tomáš ist jede Seite \(24\,\text{m}:4=6\,\text{m}\) lang. Seine Fläche beträgt \(6\,\text{m}\cdot 6\,\text{m}=36\,\text{m}^2\). 4. Da \(36\,\text{m}^2>32\,\text{m}^2\), bietet das Beet von Tomáš die größere Fläche.

Das Beet von Tomáš bietet mit \(36\,\text{m}^2\) die größere Fläche; Camilas Beet hat \(32\,\text{m}^2\).

- Welche beiden Längen bestimmen die Fläche eines Parallelogramms? - Welche Fläche muss das neue Rechteck genau erreichen? - Wie findest du die fehlende Rechteckseite aus Fläche und bekannter Seite?

1. Für das Parallelogramm gilt \(A=gh_g=80\,\text{m}\cdot 35\,\text{m}=2800\,\text{m}^2\). 2. Das Rechteck soll dieselbe Fläche haben. Bei einer Seite von \(70\,\text{m}\) ist die andere Seite \(2800\,\text{m}^2:70\,\text{m}=40\,\text{m}\) lang.

a) \(2800\,\text{m}^2\) b) \(40\,\text{m}\)

- Berechne zuerst die Fläche eines der beiden identischen Parallelogramme. - Wie erhältst du daraus die gesamte Logofläche? - Vergleiche die Gesamtfläche anschließend mit der Fläche, die eine Dose abdeckt.

1. Ein Parallelogramm hat die Fläche \(A_1=1{,}20\,\text{m}\cdot 0{,}50\,\text{m}=0{,}6\,\text{m}^2\). 2. Für zwei Parallelogramme ist die Gesamtfläche \(A=2\cdot 0{,}6\,\text{m}^2=1{,}2\,\text{m}^2\). 3. Die benötigte Dosenzahl ist \(1{,}2\,\text{m}^2:0{,}4\,\text{m}^2=3\).

a) \(1{,}2\,\text{m}^2\) b) \(3\) Dosen

- Welche Formel verbindet beim Parallelogramm Grundseite, zugehörige Höhe und Fläche? - Welche Fläche hat ein Quadrat mit Seitenlänge \(11\,\text{m}\)? - Vergleiche die beiden Flächenwerte erst, nachdem du sie bestimmt hast.

1. Beim Parallelogramm gilt \(A=gh_g\). Daher ist \(h_g=120\,\text{m}^2:15\,\text{m}=8\,\text{m}\). 2. Das quadratische Beet hat die Fläche \(11\,\text{m}\cdot 11\,\text{m}=121\,\text{m}^2\). 3. Da \(121\,\text{m}^2>120\,\text{m}^2\), ist das quadratische Beet um \(1\,\text{m}^2\) größer.

a) \(h_g=8\,\text{m}\) b) Das quadratische Beet ist mit \(121\,\text{m}^2\) größer als das Parallelogrammbeet mit \(120\,\text{m}^2\).

- Welche Größe erhältst du, wenn du die Fläche durch die Grundseite teilst? - Unterscheide beim Parallelogramm zwischen zugehöriger Höhe und schräger Seitenlänge. - Berechne beide Umfänge mit den jeweiligen Seitenlängen und vergleiche sie.

1. Die Höhe ist \(h_g=1800\,\text{m}^2:45\,\text{m}=40\,\text{m}\). 2. Der Umfang des Parallelogramms beträgt \(U_P=2(45\,\text{m}+42\,\text{m})=174\,\text{m}\). 3. Der Umfang des Rechtecks beträgt \(U_R=2(45\,\text{m}+40\,\text{m})=170\,\text{m}\). 4. Damit hat das rechteckige Trainingsfeld den kleineren Umfang.

a) \(40\,\text{m}\) b) \(174\,\text{m}\) c) Das rechteckige Trainingsfeld hat mit \(170\,\text{m}\) den kleineren Umfang.

- Berechne zuerst die Gesamtfläche der beiden Parallelogrammplatten. - Bringe die Steinmaße in Meter, bevor du ihre Fläche bestimmst. - Wie verändert sich eine Rechteckfläche, wenn beide Seitenlängen verdoppelt werden?

1. Eine Platte hat die Fläche \(A_1=2{,}40\,\text{m}\cdot 1{,}50\,\text{m}=3{,}6\,\text{m}^2\). Insgesamt sind es \(A=2\cdot 3{,}6\,\text{m}^2=7{,}2\,\text{m}^2\). 2. Ein Pflasterstein ist \(0{,}2\,\text{m}\) lang und \(0{,}1\,\text{m}\) breit. Seine Fläche beträgt \(0{,}02\,\text{m}^2\). 3. Es werden \(7{,}2\,\text{m}^2:0{,}02\,\text{m}^2=360\) Steine benötigt. 4. Verdoppelt man beide Seitenlängen eines Steins, vervierfacht sich seine Fläche. Deshalb wird nur noch ein Viertel der Anzahl benötigt: \(360:4=90\).

a) \(7{,}2\,\text{m}^2\) b) \(360\) Steine c) \(90\) Steine; die benötigte Anzahl wird geviertelt.

- Bringe zuerst die Höhe in Meter. - Welche Trapezformel enthält beide parallelen Seiten und die Höhe? - Welche Größe bleibt nach dem Einsetzen als einzige unbekannt?

1. Die Höhe beträgt \(50\,\text{cm}=0{,}5\,\text{m}\). 2. Mit \(a=1{,}20\,\text{m}\), gesuchtem \(c\) und \(h=0{,}5\,\text{m}\) gilt \(0{,}75\,\text{m}^2=\frac{1}{2}(1{,}20\,\text{m}+c)\cdot 0{,}5\,\text{m}\). 3. Daraus folgt \(1{,}50\,\text{m}^2=(1{,}20\,\text{m}+c)\cdot 0{,}5\,\text{m}\) und anschließend \(3{,}0\,\text{m}=1{,}20\,\text{m}+c\). 4. Somit ist \(c=1{,}80\,\text{m}\).

Die untere Kante ist \(1{,}80\,\text{m}\) lang.

- Welchen Flächeninhalt muss das zweite Beet genau erreichen? - Welche Größen kennst du beim zweiten Trapez bereits? - Setze den gemeinsamen Flächeninhalt in die Trapezformel ein und bestimme die fehlende parallele Seite.

1. Das erste Beet hat den Flächeninhalt \(A=\frac{1}{2}(5\,\text{m}+3\,\text{m})\cdot 2{,}5\,\text{m}=10\,\text{m}^2\). 2. Für das zweite Beet gilt daher \(10\,\text{m}^2=\frac{1}{2}(x+4\,\text{m})\cdot 2\,\text{m}\). 3. Damit ist \(10\,\text{m}=x+4\,\text{m}\) und folglich \(x=6\,\text{m}\).

Die andere parallele Seite ist \(6\,\text{m}\) lang.

- Welche Fläche hat der quadratische Spielplatz? - Welche Fläche muss das Dreieck deshalb ebenfalls haben? - Welche Größe bleibt in der Dreiecksformel unbekannt?

1. Der Spielplatz hat die Fläche \(A=12\,\text{m}\cdot 12\,\text{m}=144\,\text{m}^2\). 2. Für das Dreieck gilt \(144\,\text{m}^2=\frac{1}{2}\cdot 16\,\text{m}\cdot h_g\). 3. Damit ist \(h_g=2\cdot 144\,\text{m}^2:16\,\text{m}=18\,\text{m}\).

Die zugehörige Höhe beträgt \(18\,\text{m}\).

- Welche Fläche hat das vorhandene dreieckige Segel? - Was bedeutet „derselbe Flächeninhalt“ für das neue Rechteck? - Wie findest du bei einem Rechteck die fehlende Seite aus Fläche und bekannter Seite?

1. Das dreieckige Segel hat die Fläche \(A=\frac{1}{2}\cdot 5{,}40\,\text{m}\cdot 3{,}50\,\text{m}=9{,}45\,\text{m}^2\). 2. Das Rechteck soll ebenfalls \(9{,}45\,\text{m}^2\) groß sein. 3. Seine Breite beträgt \(9{,}45\,\text{m}^2:4{,}20\,\text{m}=2{,}25\,\text{m}\).

Die Breite beträgt \(2{,}25\,\text{m}\).

- Mit welchem Rechteck kannst du das rechtwinklige Dreieck vergleichen? - Welche Seitenlänge ist beim Dreieck und beim gesuchten Rechteck gleich? - Was muss dann mit der anderen Länge passieren, wenn die Dreiecksfläche nur halb so groß ist?

1. Das Dreieck ist halb so groß wie ein Rechteck mit den Seiten \(18\,\text{m}\) und \(12\,\text{m}\). 2. Das gesuchte Rechteck hat ebenfalls eine Seite von \(12\,\text{m}\). Damit es genau die halbe Fläche des \(18\,\text{m}\times12\,\text{m}\)-Rechtecks hat, muss seine andere Seite halb so lang wie \(18\,\text{m}\) sein. 3. Die andere Rechteckseite ist daher \(18\,\text{m}:2=9\,\text{m}\).

Die andere Rechteckseite ist \(9\,\text{m}\) lang. Weil beide Flächen dieselbe \(12\,\text{m}\)-Seite haben, kann man direkt erkennen, dass die andere Rechteckseite halb so lang wie \(18\,\text{m}\) sein muss.

- Bestimme zuerst die Fläche der ursprünglichen dreieckigen Bühne. - Welche Zielgröße entsteht durch die Verdopplung? - Wie findest du die fehlende Rechteckseite aus Ziel-Fläche und bekannter Länge?

1. Die ursprüngliche Bühne hat die Fläche \(A_{\text{alt}}=\frac{1}{2}\cdot 15\,\text{m}\cdot 6{,}40\,\text{m}=48\,\text{m}^2\). 2. Die neue Bühne soll die Fläche \(A_{\text{neu}}=2\cdot 48\,\text{m}^2=96\,\text{m}^2\) haben. 3. Die Breite des Rechtecks beträgt \(96\,\text{m}^2:12\,\text{m}=8\,\text{m}\).

Die neue Bühne muss \(8\,\text{m}\) breit sein.

- Wie findest du bei einem Rechteck die fehlende Seite aus Fläche und bekannter Seite? - Welche Formel liefert anschließend den Umfang? - Vergleiche die beiden Umfänge, nicht die Flächeninhalte, denn die sind bereits gleich.

1. Für ein Rechteck gilt \(A=ab\). Beim ersten Beet ist die Länge \(14{,}4\,\text{m}^2:3\,\text{m}=4{,}8\,\text{m}\). Sein Umfang beträgt \(2(3\,\text{m}+4{,}8\,\text{m})=15{,}6\,\text{m}\). 2. Beim zweiten Beet ist die Länge \(14{,}4\,\text{m}^2:1{,}2\,\text{m}=12\,\text{m}\). Sein Umfang beträgt \(2(1{,}2\,\text{m}+12\,\text{m})=26{,}4\,\text{m}\). 3. Da \(26{,}4\,\text{m}>15{,}6\,\text{m}\), benötigt das zweite Beet mehr Zaun.

a) Länge \(4{,}8\,\text{m}\), Umfang \(15{,}6\,\text{m}\) b) Länge \(12\,\text{m}\), Umfang \(26{,}4\,\text{m}\) c) Das zweite Beet benötigt mehr Zaun.

- Suche nach Zahlenpaaren, deren Produkt 12 ergibt. - Was bedeutet „ganze Zahlen“ für deine Wahl der Seiten? - Berechne für jedes Paar den Umfang nach der bekannten Formel. - Schau dir die Ergebnisse an: Wie verändert sich der Umfang, wenn die Seitenlängen fast gleich groß sind?

1. Bestimmung ganzzahliger Seitenlängen: Mögliche Paare sind \((1\,\text{m}, 12\,\text{m})\), \((2\,\text{m}, 6\,\text{m})\) und \((3\,\text{m}, 4\,\text{m})\), da ihr Produkt jeweils \(12\) ergibt. 2. Berechnung der Umfänge: - Paar 1: \(2 \cdot (1 + 12) = 26\,\text{m}\). - Paar 2: \(2 \cdot (2 + 6) = 16\,\text{m}\). - Paar 3: \(2 \cdot (3 + 4) = 14\,\text{m}\). 3. Analyse: Der Umfang wird kleiner, je näher die Seitenlängen beieinander liegen. Der „quadratischere“ Teppich (\(3\,\text{m} \times 4\,\text{m}\)) hat den kleinsten Umfang.

a) Mögliche Paare: \(1\,\text{m}\) und \(12\,\text{m}\); \(2\,\text{m}\) und \(6\,\text{m}\); \(3\,\text{m}\) und \(4\,\text{m}\). b) Die Umfänge sind \(26\,\text{m}\), \(16\,\text{m}\) und \(14\,\text{m}\). c) Je „quadratischer“ der Teppich ist (also je geringer der Unterschied zwischen den Seiten), desto kleiner ist der Umfang.

- Kannst du Flächen sinnvoll vergleichen, solange die Seitenlängen in verschiedenen Einheiten stehen? - Wandle die Angaben des zweiten Beets zuerst in Meter um. - Welche Rechnung liefert anschließend den Unterschied der beiden Flächen?

1. Das erste Beet hat die Fläche \(4{,}5\,\text{m}\cdot 2\,\text{m}=9\,\text{m}^2\). 2. Für das zweite Beet gilt \(60\,\text{dm}=6\,\text{m}\) und \(160\,\text{cm}=1{,}6\,\text{m}\). 3. Seine Fläche beträgt \(6\,\text{m}\cdot 1{,}6\,\text{m}=9{,}6\,\text{m}^2\). 4. Der Unterschied ist \(9{,}6\,\text{m}^2-9\,\text{m}^2=0{,}6\,\text{m}^2\). Das zweite Beet ist größer.

Das zweite Beet ist größer. Der Unterschied beträgt \(0{,}6\,\text{m}^2\).

- Welche Fläche muss das neue Grundstück genau haben? - Wie findest du die fehlende Rechteckseite aus Fläche und Länge? - Vergleiche danach die Umfänge beider Grundstücke.

1. Das Quadrat hat die Fläche \(A=21\,\text{m}\cdot 21\,\text{m}=441\,\text{m}^2\). 2. Die Breite des Rechtecks beträgt \(441\,\text{m}^2:24{,}5\,\text{m}=18\,\text{m}\). 3. Der Quadrat-Umfang beträgt \(4\cdot 21\,\text{m}=84\,\text{m}\). 4. Der Rechteck-Umfang beträgt \(2(24{,}5\,\text{m}+18\,\text{m})=85\,\text{m}\). 5. Das Rechteck benötigt daher \(85\,\text{m}-84\,\text{m}=1\,\text{m}\) mehr Zaun.

a) \(18\,\text{m}\) b) Das rechteckige Grundstück benötigt \(1\,\text{m}\) mehr Zaun.

- Welche Längenangabe muss vor dem Rechnen in Meter umgewandelt werden? - Welche Formel passt zur trapezförmigen Fläche? - Wie verbindest du die Gesamtfläche mit den Kosten je Quadratmeter?

1. Die Höhe wird umgerechnet: \(120\,\text{dm}=12\,\text{m}\). 2. Der Flächeninhalt beträgt \(A=\frac{1}{2}(24\,\text{m}+16\,\text{m})\cdot 12\,\text{m}=240\,\text{m}^2\). 3. Die Kosten betragen \(240\,\text{m}^2\cdot 0{,}80\,\text{€}:1\,\text{m}^2=192{,}00\,\text{€}\).

a) \(240\,\text{m}^2\) b) \(192{,}00\,\text{€}\)

- Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Trapezes? - Was bedeutet der Begriff „Verschnitt“ in diesem Zusammenhang? - Wie viel ist die Hälfte der gesamten Plattenfläche? - Vergleiche am Ende den mindestens verbleibenden Flächeninhalt mit diesem Wert.

1. Berechnung des Flächeninhalts eines Trapezes: \(A_{\text{Trapez}} = \frac{20\,\text{cm} + 30\,\text{cm}}{2} \cdot 15\,\text{cm} = 25\,\text{cm} \cdot 15\,\text{cm} = 375\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Gesamtflächeninhalts der 5 Brettchen: \(A_{\text{Gesamt}} = 5 \cdot 375\,\text{cm}^2 = 1875\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung des Flächeninhalts der Holzplatte: \(A_{\text{Platte}} = 50\,\text{cm} \cdot 80\,\text{cm} = 4000\,\text{cm}^2\). 4. Schon im günstigsten Fall bleibt mindestens die Differenz der Flächeninhalte ungenutzt: \(4000\,\text{cm}^2 - 1875\,\text{cm}^2 = 2125\,\text{cm}^2\). 5. Vergleich mit der Hälfte der Platte: Die Hälfte von \(4000\,\text{cm}^2\) ist \(2000\,\text{cm}^2\). Da \(2125 > 2000\), bleibt unabhängig von der konkreten Anordnung mehr als die Hälfte der Platte übrig. Die Aussage ist falsch.

a) Ein Brettchen hat einen Flächeninhalt von \(375\,\text{cm}^2\). b) Insgesamt werden \(1875\,\text{cm}^2\) Holz benötigt. c) Die Aussage stimmt nicht. Selbst im günstigsten Fall bleiben mindestens \(2125\,\text{cm}^2\) übrig; das ist mehr als die Hälfte der Platte (\(2000\,\text{cm}^2\)).

- Berechne zuerst, wie viel Platz auf dem Banner insgesamt gefüllt werden muss. - Bestimme dann die Fläche jedes einzelnen Stoffstücks. - Addiere alle verfügbaren Flächen und vergleiche sie mit der Bannerfläche.

1. Berechnung der Fläche des Banners: \(A_{\text{Banner}} = 120\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm} = 4800\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung der Fläche von Typ A: \(A_{\text{A}} = \frac{40\,\text{cm} + 20\,\text{cm}}{2} \cdot 40\,\text{cm} = 30\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm} = 1200\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung der Fläche von Typ B: \(A_{\text{B}} = \frac{30\,\text{cm} + 10\,\text{cm}}{2} \cdot 40\,\text{cm} = 20\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm} = 800\,\text{cm}^2\). 4. Summe der Flächen der vier Stücke: \(2 \cdot 1200\,\text{cm}^2 + 2 \cdot 800\,\text{cm}^2 = 2400\,\text{cm}^2 + 1600\,\text{cm}^2 = 4000\,\text{cm}^2\). 5. Vergleich: \(4000\,\text{cm}^2 < 4800\,\text{cm}^2\). Die Fläche der Stoffstücke ist kleiner als die Fläche des Banners.

Nein, die Fläche reicht nicht aus. Das Banner hat einen Flächeninhalt von \(4800\,\text{cm}^2\), während die vier Stoffstücke zusammen nur eine Fläche von \(4000\,\text{cm}^2\) haben (\(2 \cdot 1200\,\text{cm}^2 + 2 \cdot 800\,\text{cm}^2\)). Es fehlen also \(800\,\text{cm}^2\).

- Zerlege die T-förmige Fläche in zwei einfache Rechtecke, um den Flächeninhalt zu berechnen. - Welche Maße haben die beiden Teilrechtecke? Lies sie vorsichtig aus der Zeichnung ab. - Wenn du den Gesamtflächeninhalt in Quadratmetern hast, wie kannst du dann die Kosten berechnen, wenn du den Preis für einen einzelnen Quadratmeter kennst?

1. Berechnung des Flächeninhalts der Rasenfläche: Die T-förmige Rasenfläche wird in zwei Rechtecke zerlegt: - Oberer Querbalken: Breite \(8\,\text{m}\), Höhe \(3\,\text{m}\). Flächeninhalt: \(A_1 = 8\,\text{m} \cdot 3\,\text{m} = 24\,\text{m}^2\). - Unterer Stamm: Breite \(4\,\text{m}\), Höhe \(3\,\text{m}\). Flächeninhalt: \(A_2 = 4\,\text{m} \cdot 3\,\text{m} = 12\,\text{m}^2\). - Gesamter Flächeninhalt: \(A = A_1 + A_2 = 24\,\text{m}^2 + 12\,\text{m}^2 = 36\,\text{m}^2\). 2. Berechnung der Gesamtkosten für den Rollrasen: - Preis pro Quadratmeter: \(8{,}50\,\text{€}\). - Gesamtkosten: \(36 \cdot 8{,}50\,\text{€} = 306\,\text{€}\).

a) Der Flächeninhalt der Rasenfläche beträgt \(36\,\text{m}^2\). b) Die Gesamtkosten für den Rollrasen betragen \(306\,\text{€}\).

- Kannst du die Terrasse in zwei einfache Rechtecke aufteilen, deren Maße du kennst oder leicht berechnen kannst? - Bestimme zuerst die Flächeninhalte der beiden Teilrechtecke und addiere sie, um den Gesamtflächeninhalt zu erhalten. - Wie viel kosten die Pflastersteine für einen einzigen Quadratmeter? Wie kannst du daraus die Kosten für die gesamte Fläche berechnen? - Vergiss nicht, am Ende die einmaligen Lieferkosten zu den Materialkosten hinzuzurechnen.

1. Zur Berechnung des Flächeninhalts kann die Terrasse in zwei Rechtecke zerlegt werden: - Ein Rechteck mit den Maßen \(5\,\text{m} \times 2\,\text{m}\) hat den Flächeninhalt: \(A_1 = 5\,\text{m} \cdot 2\,\text{m} = 10\,\text{m}^2\) - Ein zweites Rechteck mit den Maßen \(3\,\text{m} \times 6\,\text{m}\) hat den Flächeninhalt: \(A_2 = 3\,\text{m} \cdot 6\,\text{m} = 18\,\text{m}^2\) Der gesamte Flächeninhalt beträgt: \(A = A_1 + A_2 = 10\,\text{m}^2 + 18\,\text{m}^2 = 28\,\text{m}^2\) 2. Zur Berechnung der Gesamtkosten multipliziert man den Flächeninhalt mit dem Preis pro Quadratmeter und addiert die Lieferkosten: \(\text{Kosten für Steine} = 28 \cdot 35\,\text{€} = 980\,\text{€}\) \(\text{Gesamtkosten} = 980\,\text{€} + 150\,\text{€} = 1130\,\text{€}\)

a) Der Flächeninhalt der Terrasse beträgt \(28\,\text{m}^2\). b) Die Gesamtkosten betragen \(1130\,\text{€}\).

- Welche Maße von Wand und Fenster kannst du aus der Abbildung ablesen? - Welche Fläche wird tatsächlich gestrichen? - Wie verbindet die angegebene Ergiebigkeit die Fläche mit der benötigten Farbmenge?

1. Die Wand ist \(5\,\text{m}\) breit und \(3\,\text{m}\) hoch. Ihre Fläche beträgt \(15\,\text{m}^2\). 2. Das Fenster ist \(2\,\text{m}\) breit und \(1\,\text{m}\) hoch. Seine Fläche beträgt \(2\,\text{m}^2\). 3. Zu streichen sind \(15\,\text{m}^2-2\,\text{m}^2=13\,\text{m}^2\). 4. Der Farbbedarf beträgt \(13\,\text{m}^2:5\,\text{m}^2\cdot 1\,\text{l}=2{,}6\,\text{l}\).

Es werden \(2{,}6\,\text{l}\) Farbe benötigt.

- Welche Maße des inneren Beets zeigt die Abbildung? - Um wie viel wächst jede Außenlänge durch den Weg auf beiden gegenüberliegenden Seiten? - Welche Differenz zweier Rechteckflächen beschreibt genau die Wegfläche?

1. Das Beet ist \(6\,\text{m}\) lang und \(4\,\text{m}\) breit. Seine Fläche beträgt \(24\,\text{m}^2\). 2. Der Weg ist auf jeder Seite \(1\,\text{m}\) breit. Das äußere Rechteck misst daher \(8\,\text{m}\times 6\,\text{m}\) und hat die Fläche \(48\,\text{m}^2\). 3. Die Wegfläche beträgt \(48\,\text{m}^2-24\,\text{m}^2=24\,\text{m}^2\).

Der gepflasterte Weg hat den Flächeninhalt \(24\,\text{m}^2\).

- Welche Maße der Fassade und wie viele Fenster zeigt die Abbildung? - Welche Fläche bleibt nach dem Abziehen aller Fenster übrig? - Wie verbindest du die verbleibende Fläche mit dem Preis je Quadratmeter?

1. Die Fassade ist \(20\,\text{m}\) breit und \(10\,\text{m}\) hoch. Ihre Fläche beträgt \(200\,\text{m}^2\). 2. Es sind fünf Fenster zu sehen. Jedes misst \(2\,\text{m}\times 1{,}5\,\text{m}\) und hat die Fläche \(3\,\text{m}^2\). Zusammen sind das \(15\,\text{m}^2\). 3. Zu streichen sind \(200\,\text{m}^2-15\,\text{m}^2=185\,\text{m}^2\). 4. Die Kosten betragen \(185\,\text{m}^2\cdot 8\,\text{€}:1\,\text{m}^2=1480\,\text{€}\).

Die Gesamtkosten betragen \(1480\,\text{€}\).

- In welche zwei Rechtecke kannst du die L-förmige Dachfläche zerlegen? - Welche Seitenlänge des kleineren Rechtecks musst du aus der Gesamtbreite bestimmen? - Wie viele Liter fallen bei \(8\,\text{mm}\) Niederschlag auf einen Quadratmeter?

1. Das Dach lässt sich in zwei Rechtecke zerlegen. Die Teilflächen betragen \(12\,\text{m}\cdot 15\,\text{m}=180\,\text{m}^2\) und \((20\,\text{m}-12\,\text{m})\cdot 8\,\text{m}=64\,\text{m}^2\). 2. Die Dachfläche beträgt insgesamt \(180\,\text{m}^2+64\,\text{m}^2=244\,\text{m}^2\). 3. Bei \(8\,\text{mm}\) Niederschlag fallen \(8\,\text{l}\) auf \(1\,\text{m}^2\). 4. Daher beträgt die Wassermenge \(244\,\text{m}^2\cdot 8\,\text{l}:1\,\text{m}^2=1952\,\text{l}\).

Es fließen insgesamt \(1952\,\text{l}\) Regenwasser vom Dach ab.

- Welche zwei Rechtecke erkennst du in der L-Form? - Für den Überschlag darfst du die beiden Teilflächen zunächst grob auf runde Werte schätzen. - Warum musst du die rechnerische Packungszahl am Ende auf eine ganze Packung aufrunden?

1. Für den Überschlag kann man die beiden Teilflächen grob runden: \(8\,\text{m}\cdot 3\,\text{m}=24\,\text{m}^2\) liegt etwa bei \(25\,\text{m}^2\), und \(3\,\text{m}\cdot 4\,\text{m}=12\,\text{m}^2\) liegt etwa bei \(15\,\text{m}^2\). Zusammen sind das ungefähr \(40\,\text{m}^2\); von den drei Vorgaben liegt also \(40\,\text{m}^2\) am nächsten. 2. Exakt besteht die Fläche aus einem unteren Rechteck mit \(8\,\text{m}\cdot 3\,\text{m}=24\,\text{m}^2\) und einem oberen Rechteck mit \(3\,\text{m}\cdot 4\,\text{m}=12\,\text{m}^2\). 3. Der exakte Flächeninhalt beträgt \(24\,\text{m}^2+12\,\text{m}^2=36\,\text{m}^2\). 4. Eine Packung reicht für \(5\,\text{m}^2\). Rechnerisch benötigt man \(36:5=7{,}2\) Packungen, also mindestens \(8\) ganze Packungen. 5. Die Gesamtkosten betragen \(8\cdot 89{,}50\,\text{€}=716{,}00\,\text{€}\).

Überschlag: Von \(30\,\text{m}^2\), \(40\,\text{m}^2\) und \(50\,\text{m}^2\) liegt \(40\,\text{m}^2\) am nächsten. Exakter Flächeninhalt: \(36\,\text{m}^2\). Frau Meyer muss mindestens \(8\) Packungen kaufen; diese kosten insgesamt \(716{,}00\,\text{€}\).

- Welche Formel nutzt Grundseite und zugehörige Höhe eines Parallelogramms? - Bestimme aus der Fläche zuerst die Materialkosten. - Der Zuschlag bezieht sich auf die Materialkosten.

1. Die Fläche beträgt \(12\,\text{m}\cdot8\,\text{m}=96\,\text{m}^2\). 2. Die Materialkosten betragen \(96\,\text{m}^2\cdot8{,}50\,\text{€}:1\,\text{m}^2=816\,\text{€}\). 3. Mit dem Zuschlag ergeben sich \(816\,\text{€}\cdot1{,}07=873{,}12\,\text{€}\).

Flächeninhalt: \(96\,\text{m}^2\) Materialkosten: \(816\,\text{€}\) Gesamtkosten: \(873{,}12\,\text{€}\)

- Welche drei Längen brauchst du aus der Abbildung für die Trapezfläche? - Bestimme zuerst den Flächeninhalt und daraus die Materialkosten. - Wende den Zuschlag erst auf die Materialkosten an und runde am Ende auf Cent.

1. Die parallelen Seiten sind \(2{,}4\,\text{m}\) und \(3{,}2\,\text{m}\) lang. Ihr senkrechter Abstand beträgt \(4\,\text{m}\). 2. Die Fläche beträgt \(\frac{1}{2}(2{,}4\,\text{m}+3{,}2\,\text{m})\cdot4\,\text{m}=11{,}2\,\text{m}^2\). 3. Die Materialkosten betragen \(11{,}2\,\text{m}^2\cdot4{,}50\,\text{€}:1\,\text{m}^2=50{,}40\,\text{€}\). 4. Mit dem Zuschlag ergeben sich \(50{,}40\,\text{€}\cdot1{,}19=59{,}976\,\text{€}\approx59{,}98\,\text{€}\).

Flächeninhalt: \(11{,}2\,\text{m}^2\) Materialkosten: \(50{,}40\,\text{€}\) Gesamtkosten: \(59{,}98\,\text{€}\)

- Welche Außen- und Innenmaße kannst du aus der Abbildung ablesen? - Welche Flächendifferenz beschreibt die zu besäende Rasenfläche? - In welche Einheit soll die Samenmenge am Ende umgerechnet werden?

1. Der Park ist \(40\,\text{m}\) lang und \(25\,\text{m}\) breit. Seine Fläche beträgt \(1000\,\text{m}^2\). 2. Das Blumenbeet ist \(10\,\text{m}\) lang und \(5\,\text{m}\) breit. Seine Fläche beträgt \(50\,\text{m}^2\). 3. Die zu besäende Rasenfläche beträgt \(1000\,\text{m}^2-50\,\text{m}^2=950\,\text{m}^2\). 4. Benötigt werden \(950\cdot 25\,\text{g}=23\,750\,\text{g}=23{,}75\,\text{kg}\) Grassamen.

Es werden \(23{,}75\,\text{kg}\) Grassamen benötigt.

- Welche Maße von Wand und Türöffnung zeigt die Abbildung? - Welche Fläche soll tatsächlich gefliest werden? - Bringe die Fliesenseite in Meter, bevor du die Fläche einer Fliese bestimmst.

1. Die Wand ist \(6\,\text{m}\) breit und \(3\,\text{m}\) hoch. Ihre Fläche beträgt \(18\,\text{m}^2\). 2. Die Türöffnung ist \(2\,\text{m}\) breit und \(2\,\text{m}\) hoch. Zu fliesen sind daher \(18\,\text{m}^2-4\,\text{m}^2=14\,\text{m}^2\). 3. Eine Fliese hat die Seitenlänge \(20\,\text{cm}=0{,}2\,\text{m}\) und die Fläche \(0{,}04\,\text{m}^2\). 4. Die benötigte Anzahl beträgt \(14\,\text{m}^2:0{,}04\,\text{m}^2=350\).

Es werden \(350\) Fliesen benötigt.

- Welche der beiden Modellformen kann beide verschieden langen parallelen Randseiten berücksichtigen? - Welche Größe beschreibt den senkrechten Abstand zwischen diesen Randseiten? - Begründe deine Modellwahl nicht nur mit der Rechnung, sondern auch mit der Form der Skizze.

1. Die Skizze zeigt zwei parallele Randseiten mit \(12\,\text{m}\) und \(8\,\text{m}\). Ein Rechteck mit Breite \(12\,\text{m}\) würde die Verjüngung des Streifens nicht berücksichtigen. 2. Das Trapezmodell verwendet beide Randlängen und den senkrechten Abstand \(5\,\text{m}\). 3. Damit ist \(A=\frac{12\,\text{m}+8\,\text{m}}{2}\cdot 5\,\text{m}=50\,\text{m}^2\). 4. Für diese Skizze ist das Trapez daher das passendere der beiden angebotenen Modelle.

Das Trapez ist das passendere Modell. Die geschätzte Fläche beträgt \(50\,\text{m}^2\).

- Welche Situation liefert eine klar definierte geometrische Form mit genauen Maßen? - Wofür wird das Ergebnis jeweils verwendet, und wie genau muss es deshalb sein? - Unterscheide zwischen Unsicherheit in der Form beziehungsweise Messung und einer vollständig bestimmten Rechnung.

1. In a) sind die Form und beide Maße genau angegeben, und der Bodenbelag soll passgenau bestellt werden. Daher ist eine exakte Berechnung angemessen. 2. Es gilt \(A=12{,}5\,\text{m}\cdot 7{,}2\,\text{m}=90\,\text{m}^2\). 3. In b) ist die Fläche unregelmäßig begrenzt und die Messung nur grob. Für den beschriebenen ersten Pflegeplan ist deshalb eine Schätzung angemessen.

a) Exakte Berechnung: \(90\,\text{m}^2\). b) Eine Schätzung ist angemessen, weil Rand und Messwerte nur näherungsweise beschrieben sind und zunächst nur ein ungefährer Flächenwert benötigt wird.

- Welche Angaben bestimmen den Flächeninhalt eines Trapezes direkt? - Bestimme zuerst den Mittelwert der beiden parallelen Seiten. - Welche Höhe ergibt zusammen mit diesem Wert die vorgegebene Fläche?

1. Der Mittelwert der parallelen Seiten ist \((14\,\text{m}+10\,\text{m}):2=12\,\text{m}\). 2. Für die Fläche gilt damit \(60\,\text{m}^2=12\,\text{m}\cdot h\). Der senkrechte Abstand ist \(60\,\text{m}^2:12\,\text{m}=5\,\text{m}\). 3. Die schräge Randseite und die Anzahl der Leuchten werden für diese Flächenberechnung nicht benötigt.

Der senkrechte Abstand beträgt \(5\,\text{m}\). Nicht benötigt werden die schräge Randseite \(6\,\text{m}\) und die \(24\) Leuchten.

- Welche beiden senkrechten Seitenlängen gehören zu den beiden oberen Dreiecken und welche zu den unteren? - Berechne zuerst die vier Dreiecksflächen und addiere sie. - Nutze danach die Angabe, für wie viel Fläche \(1\,\text{l}\) Grundierung reicht.

1. Die beiden oberen Dreiecke haben jeweils die Fläche \(\frac{1}{2}\cdot2\,\text{m}\cdot3\,\text{m}=3\,\text{m}^2\). Zusammen sind das \(6\,\text{m}^2\). 2. Die beiden unteren Dreiecke haben jeweils die Fläche \(\frac{1}{2}\cdot4\,\text{m}\cdot3\,\text{m}=6\,\text{m}^2\). Zusammen sind das \(12\,\text{m}^2\). 3. Die Platte hat insgesamt den Flächeninhalt \(6\,\text{m}^2+12\,\text{m}^2=18\,\text{m}^2\). 4. Für \(18\,\text{m}^2\) werden \(18:0{,}4=45\) Liter Grundierung benötigt.

a) \(18\,\text{m}^2\) b) \(45\,\text{l}\)

- Übertrage den Maßstab zunächst auf die beiden benötigten Längen, nicht direkt auf die Fläche. - Welche reale Länge entspricht einem Zentimeter in der Zeichnung? - Verwende erst die umgerechnete Grundseite und Höhe in der Dreiecksformel.

1. Im Maßstab \(1:10\,000\) entspricht \(1\,\text{cm}\) in der Zeichnung \(10\,000\,\text{cm}=100\,\text{m}\) in Wirklichkeit. 2. Die tatsächliche Grundseite ist daher \(600\,\text{m}\), die tatsächliche Höhe \(400\,\text{m}\). 3. Der Flächeninhalt beträgt \(A=\frac{1}{2}\cdot600\,\text{m}\cdot400\,\text{m}=120\,000\,\text{m}^2\).

Der tatsächliche Flächeninhalt beträgt \(120\,000\,\text{m}^2\).

- Bringe Flächeninhalt und Höhe zuerst in zusammenpassende Einheiten. - Nutze die Trapezformel rückwärts: Welche Größe zwischen den beiden parallelen Seiten brauchst du zuerst? - Wie hilft dir die Beziehung „eine Seite ist halb so lang wie die andere“, sobald du die Summe der beiden Seiten kennst?

1. Der Flächeninhalt beträgt \(0{,}9\,\text{m}^2=9000\,\text{cm}^2\). 2. Beim Trapez gilt: Flächeninhalt = Mittelwert der parallelen Seiten mal Höhe. Der Mittelwert muss also \(9000\,\text{cm}^2:60\,\text{cm}=150\,\text{cm}\) betragen. 3. Damit ist die Summe der beiden parallelen Seiten \(2\cdot150\,\text{cm}=300\,\text{cm}\). 4. Die obere Seite ist halb so lang wie die untere. Die \(300\,\text{cm}\) werden deshalb im Verhältnis \(1:2\) geteilt: oben \(100\,\text{cm}\), unten \(200\,\text{cm}\).

Die obere parallele Seite ist \(100\,\text{cm}\) lang, die untere \(200\,\text{cm}\).

- Welche Maße des rechteckigen Wandteils zeigt die Abbildung? - Wie hoch ist der dreieckige Giebel, wenn die Gesamthöhe bekannt ist? - Welche Flächen werden nicht gestrichen und müssen abgezogen werden? - Wie viele ganze Eimer brauchst du für die berechnete Farbmenge?

1. Der rechteckige Wandteil hat die Fläche \(10\,\text{m}\cdot5\,\text{m}=50\,\text{m}^2\). Der Giebel ist \(8\,\text{m}-5\,\text{m}=3\,\text{m}\) hoch und hat die Fläche \(\frac{1}{2}\cdot10\,\text{m}\cdot3\,\text{m}=15\,\text{m}^2\). 2. Die Fensterflächen betragen zusammen \(2\cdot(2\,\text{m}\cdot2\,\text{m})+2\,\text{m}\cdot1\,\text{m}=10\,\text{m}^2\). Pro Anstrich sind daher \(65\,\text{m}^2-10\,\text{m}^2=55\,\text{m}^2\) zu streichen. 3. Für zwei Anstriche sind es \(110\,\text{m}^2\). Dafür werden \(110:5=22\,\text{l}\) Farbe benötigt. 4. Es müssen \(3\) Eimer gekauft werden. Sie kosten \(3\cdot45\,\text{€}=135\,\text{€}\).

Die benötigten Farbeimer kosten insgesamt \(135\,\text{€}\).

- Welche einfache Ausgangsfläche eignet sich für eine Flächenbilanz? - Welche Rechtecke werden hinzugefügt beziehungsweise entfernt? - Gehe für den Umfang einmal vollständig am äußeren Rand entlang und zähle jede Teilstrecke genau einmal.

1. Das Hauptrechteck hat die Fläche \(8\,\text{m}\cdot 5\,\text{m}=40\,\text{m}^2\). 2. Ein Rechteck mit \(2\,\text{m}\times 1\,\text{m}\) wird hinzugefügt; zwei gleich große Rechtecke werden entfernt. 3. Damit ist \(A=40\,\text{m}^2+2\,\text{m}^2-2\,\text{m}^2-2\,\text{m}^2=38\,\text{m}^2\). 4. Für den Umfang werden die Randstrecken aus der Abbildung addiert: \(U=3\,\text{m}+1\,\text{m}+2\,\text{m}+1\,\text{m}+3\,\text{m}+2\,\text{m}+1\,\text{m}+2\,\text{m}+1\,\text{m}+1\,\text{m}+8\,\text{m}+1\,\text{m}+1\,\text{m}+2\,\text{m}+1\,\text{m}+2\,\text{m}=32\,\text{m}\).

Flächeninhalt: \(38\,\text{m}^2\) Umfang: \(32\,\text{m}\)

- Welche Breite setzt das Rechteckmodell an jeder Stelle voraus, und wie passt das zu den drei Messungen? - Behandle die beiden gleich langen Abschnitte getrennt und nutze jeweils die Breiten an ihren Enden. - Ein besseres Modell muss nicht exakt sein; es sollte die vorhandenen Messinformationen sinnvoller verwenden.

1. Das Rechteckmodell verwendet auf der ganzen Länge die größte gemessene Breite \(12\,\text{m}\). Da die Fläche an Anfang und Ende deutlich schmaler ist und nirgends breiter als \(12\,\text{m}\) wird, überschätzt dieses Modell die Fläche voraussichtlich. 2. Für den ersten Abschnitt ergibt das Trapezmodell \(A_1=\frac{6\,\text{m}+12\,\text{m}}{2}\cdot 15\,\text{m}=135\,\text{m}^2\). 3. Für den zweiten Abschnitt ergibt sich \(A_2=\frac{12\,\text{m}+8\,\text{m}}{2}\cdot 15\,\text{m}=150\,\text{m}^2\). 4. Zusammen erhält man \(A\approx 135\,\text{m}^2+150\,\text{m}^2=285\,\text{m}^2\). 5. Das Zwei-Trapez-Modell berücksichtigt die gemessene Verbreiterung und anschließende Verjüngung, statt überall die maximale Breite anzusetzen.

a) Das Rechteckmodell überschätzt die Fläche voraussichtlich. b) Mit zwei Trapezen ergibt sich \(A\approx 285\,\text{m}^2\). c) Das Zwei-Trapez-Modell nutzt alle drei Breitenmessungen und bildet die Formänderung entlang der Fläche besser ab.

- Vergleiche den Schätzwert zuerst nur mit der Fläche des umschließenden Rechtecks und beachte die sichtbaren Aussparungen. - Welche zwei Flächen müssen vom umschließenden Rechteck abgezogen werden, um den exakten Wert zu erhalten? - Die fehlenden Katheten des abgeschnittenen Eckdreiecks lassen sich aus den Randmaßen bestimmen. - Vergleiche am Ende nicht nur die beiden Werte, sondern ihre absolute Differenz mit der vorgegebenen Toleranz.

1. Das umschließende Rechteck wäre \(14\,\text{m}\cdot 10\,\text{m}=140\,\text{m}^2\) groß. Weil oben rechts ein Stück fehlt und außerdem ein Pflanzbeet ausgespart wird, ist ein Wert etwas unter \(140\,\text{m}^2\) grundsätzlich plausibel. 2. Beim fehlenden Dreieck oben rechts sind die Katheten \(14\,\text{m}-10\,\text{m}=4\,\text{m}\) und \(10\,\text{m}-7\,\text{m}=3\,\text{m}\) lang. Seine Fläche beträgt \(\frac{1}{2}\cdot 4\,\text{m}\cdot 3\,\text{m}=6\,\text{m}^2\). 3. Die äußere Hoffläche ohne das Pflanzbeet beträgt daher \(140\,\text{m}^2-6\,\text{m}^2=134\,\text{m}^2\). 4. Das Pflanzbeet ist \(3\,\text{m}\cdot 2\,\text{m}=6\,\text{m}^2\) groß. Die exakt befestigte Fläche ist somit \(134\,\text{m}^2-6\,\text{m}^2=128\,\text{m}^2\). 5. Die Schätzung \(130\,\text{m}^2\) weicht um \(2\,\text{m}^2\) ab. Das liegt innerhalb der erlaubten Abweichung von \(5\,\text{m}^2\), also ist die Schätzung für die Vorplanung ausreichend gut.

a) \(130\,\text{m}^2\) ist als grobe Schätzung plausibel, weil die gesuchte Fläche etwas kleiner als das umschließende \(140\,\text{m}^2\)-Rechteck sein muss. b) Die exakt befestigte Fläche beträgt \(128\,\text{m}^2\). c) Die Abweichung beträgt \(2\,\text{m}^2\) und ist damit höchstens \(5\,\text{m}^2\); die Schätzung ist für die Vorplanung ausreichend gut.

- In wie viele gleich lange Abschnitte teilen vier gleich weit auseinanderliegende Messstellen die gesamte Länge? - Betrachte zunächst nur den Bereich zwischen zwei benachbarten Messstellen. Welche bekannte Figur kann diesen Bereich näherungsweise beschreiben? - Welche Messlinien gehören zu zwei benachbarten Abschnitten?

1. Die vier Messstellen teilen die Länge von \(18\,\text{m}\) in drei gleich lange Abschnitte. Jeder Abschnitt ist \(6\,\text{m}\) lang. 2. Zwischen zwei benachbarten Messstellen wird die Fläche näherungsweise als Trapez betrachtet. 3. Für den ersten Abschnitt gilt \(A_1\approx\frac{8\,\text{m}+7\,\text{m}}{2}\cdot6\,\text{m}=45\,\text{m}^2\). 4. Für den zweiten Abschnitt gilt \(A_2\approx\frac{7\,\text{m}+9\,\text{m}}{2}\cdot6\,\text{m}=48\,\text{m}^2\). 5. Für den dritten Abschnitt gilt \(A_3\approx\frac{9\,\text{m}+8\,\text{m}}{2}\cdot6\,\text{m}=51\,\text{m}^2\). 6. Insgesamt gilt \(A\approx45\,\text{m}^2+48\,\text{m}^2+51\,\text{m}^2=144\,\text{m}^2\). 7. Jede innere Messlinie ist eine gemeinsame Seite von zwei benachbarten Trapezen. Deshalb wird ihre Breite in zwei Teilflächen verwendet. Eine Messlinie am Rand gehört dagegen nur zu einem Trapez.

\(A\approx144\,\text{m}^2\). Die inneren Messlinien sind gemeinsame Seiten von jeweils zwei benachbarten Trapezen. Deshalb gehen \(7\,\text{m}\) und \(9\,\text{m}\) jeweils in zwei Teilflächen ein. Die beiden äußeren \(8\,\text{m}\) gehören jeweils nur zu einem Trapez.