- Schreibe die Potenz als Produkt zweier gleicher Faktoren. - Beachte das Vorzeichen beim Produkt zweier negativer Zahlen. - Die Klammer zeigt, dass das Minuszeichen zur Basis gehört.

1. Die Basis ist die negative Zahl \(-0{,}5\), weil sie in Klammern steht. 2. \((-0{,}5)^2=(-0{,}5)\cdot(-0{,}5)=0{,}25\).

\(0{,}25\)

- Welche Zahl wird in der Multiplikation immer wieder als Faktor verwendet? - Wie oft kommt dieser Faktor vor? - Welche Angaben beschreiben bei einer Potenz die Basis und den Exponenten?

1. Der wiederholte Faktor ist \(\frac{3}{5}\). Er ist die Basis der Potenz. 2. Der Faktor kommt dreimal vor. Daher ist der Exponent \(3\). 3. Die Potenz lautet \(\left(\frac{3}{5}\right)^3\).

\(\left(\frac{3}{5}\right)^3\); Basis: \(\frac{3}{5}\); Exponent: \(3\)

- Überlege, was ein negativer Exponent bei einer von null verschiedenen Basis mit dem Kehrwert der entsprechenden positiven Potenz zu tun hat. - Unterscheide ein Minuszeichen im Exponenten von einem Minuszeichen vor oder in der Basis. - Welche der vier Darstellungen ist ein Kehrwert einer positiven Potenz von \(5\)?

1. Bei einer von null verschiedenen Basis bedeutet ein negativer ganzzahliger Exponent, dass der Kehrwert der entsprechenden Potenz mit positivem Exponenten gebildet wird. 2. Deshalb gilt \(5^{-2}=\frac{1}{5^2}=\frac{1}{25}\). 3. Damit ist Aussage B richtig. Das Minuszeichen im Exponenten macht den Potenzwert nicht automatisch negativ.

B) \(5^{-2}=\frac{1}{25}\)

- Welche Bedeutung hat der Exponent \(-1\) für eine von null verschiedene Zahl? - Wie bildest du den Kehrwert eines Bruchs? - Prüfe dein Ergebnis, indem du Basis und Kehrwert miteinander multiplizierst.

1. Der Exponent \(-1\) bedeutet, dass der Kehrwert der Basis gebildet wird. 2. Der Kehrwert von \(\frac{3}{4}\) ist \(\frac{4}{3}\). 3. Daher gilt \(\left(\frac{3}{4}\right)^{-1}=\frac{4}{3}\).

\(\left(\frac{3}{4}\right)^{-1}=\frac{4}{3}\). Der Exponent \(-1\) bedeutet: Bilde den Kehrwert der Basis.

- Erinnere dich daran, wie viele Meter ein Kilometer enthält. - Schreibe diese Anzahl als Potenz von \(10\). - Prüfe, ob beim Wechsel von Kilometern zu Metern die Maßzahl größer oder kleiner wird.

1. Ein Kilometer besteht aus \(1000\) Metern. 2. Es gilt \(1000=10^3\). 3. Daher ist B richtig: \(1\,\text{km}=10^3\,\text{m}\).

B) \(1\,\text{km}=10^3\,\text{m}\)

- Welches Vorzeichen hat eine ungerade Potenz von \(-1\)? - Was bewirkt das zusätzliche Minuszeichen vor dem Bruch? - Wo liegen positive Zahlen auf der Zahlengeraden relativ zur Null?

1. Da \(101\) ungerade ist, gilt \((-1)^{101}=-1\). 2. Damit ist \(x=-\frac{-1}{5}=\frac{1}{5}\). 3. Weil \(\frac{1}{5}>0\) gilt, liegt der Wert rechts von der Null.

Der Wert liegt rechts von der Null, denn \(x=\frac{1}{5}>0\).

- Kannst du die Potenzen einzeln ausrechnen? - Was bedeutet die Basis und was der Exponent bei einer Potenz? - Vergleiche am Ende die beiden Endergebnisse miteinander.

1. Berechnung von Term \(A\): \(2^6 = 64\) und \(4^3 = 64\). 2. Subtraktion für \(A\): \(64 - 64 = 0\). 3. Berechnung von Term \(B\): \(5^3 = 125\) und \(11^2 = 121\). 4. Subtraktion für \(B\): \(125 - 121 = 4\). 5. Vergleich der Ergebnisse: Da \(4 > 0\) ist, hat Term \(B\) das größere Ergebnis.

Term \(B\) ist größer, da sein Wert \(4\) ist, während Term \(A\) den Wert \(0\) hat.

- Schreibe eine Potenz bei Bedarf als wiederholte Multiplikation. - Bei Brüchen werden Zähler und Nenner potenziert. - Achte bei Dezimalzahlen auf den Stellenwert des Produkts.

1. \(0{,}4^2=0{,}4\cdot0{,}4=0{,}16\). 2. \((\frac{2}{3})^3=\frac{8}{27}\). 3. \(0{,}1^4=0{,}0001\). 4. \((\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}=6{,}25\).

a) \(0{,}16\) b) \(\frac{8}{27}\) c) \(0{,}0001\) d) \(\frac{25}{4}\)

- Was passiert mit dem Vorzeichen beim Multiplizieren zweier negativer Zahlen? - Welche Rolle spielt eine gerade oder ungerade Anzahl negativer Faktoren? - Du kannst die wiederholte Multiplikation als Potenz schreiben.

1. In der 8. Zeile stehen acht negative Faktoren. Eine gerade Anzahl negativer Faktoren ergibt ein positives Produkt. 2. In der 4. Zeile gilt \((-3)^4=81\).

a) Das Vorzeichen ist positiv. b) \(81\)

- Die nötigen Umrechnungen stehen in der Aufgabe; du musst keine Vorsätze auswendig kennen. - Bringe den Zahlenfaktor jeweils in den Bereich von \(1\) bis kleiner als \(10\). - Beim Quotienten gleicher Basis werden die Exponenten subtrahiert.

1. \(0{,}25\,\text{mm}=0{,}25\cdot10^{-3}\,\text{m}=2{,}5\cdot10^{-4}\,\text{m}\). 2. \(2\,\mu\text{m}=2\cdot10^{-6}\,\text{m}\). 3. \(25\,\text{nm}=25\cdot10^{-9}\,\text{m}=2{,}5\cdot10^{-8}\,\text{m}\). 4. Der Größenfaktor ist \(\frac{2{,}5\cdot10^{-4}}{2{,}5\cdot10^{-8}}=10^{-4-(-8)}=10^4=10\,000\).

a) \(2{,}5\cdot10^{-4}\,\text{m}\), \(2\cdot10^{-6}\,\text{m}\), \(2{,}5\cdot10^{-8}\,\text{m}\) b) Faktor \(10^4=10\,000\)

- Wie viele Nachkommastellen hat das Ergebnis einer Multiplikation von zwei Dezimalzahlen? - Rechne zuerst so, als gäbe es kein Komma, und setze es am Ende an die richtige Stelle. - Was passiert mit der Anzahl der Nachkommastellen, wenn du eine Zahl mit sich selbst multiplizierst?

1. Berechnung von \(0{,}7^2\): \(7 \cdot 7 = 49\); mit zwei Nachkommastellen ergibt sich \(0{,}49\). 2. Berechnung von \(0{,}12^2\): \(12 \cdot 12 = 144\); mit vier Nachkommastellen ergibt sich \(0{,}0144\). 3. Berechnung von \(0{,}09^2\): \(9 \cdot 9 = 81\); mit vier Nachkommastellen ergibt sich \(0{,}0081\). 4. Berechnung von \(1{,}3^2\): \(13 \cdot 13 = 169\); mit zwei Nachkommastellen ergibt sich \(1{,}69\). 5. Berechnung von \(0{,}015^2\): \(15 \cdot 15 = 225\); mit sechs Nachkommastellen ergibt sich \(0{,}000225\).

a) \(0{,}49\) b) \(0{,}0144\) c) \(0{,}0081\) d) \(1{,}69\) e) \(0{,}000225\)

- Schreibe das Quadrat zunächst als Produkt zweier gleicher Brüche. - Was geschieht mit Zähler und Nenner, wenn zwei Brüche miteinander multipliziert werden? - Prüfe besonders, ob der Nenner in der behaupteten Rechnung vollständig berücksichtigt wurde.

1. Quadrieren bedeutet, den ganzen Bruch mit sich selbst zu multiplizieren: \(\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}\). 2. Beim Multiplizieren von Brüchen werden Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert. 3. Daher gilt \(\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4}{9}\). 4. Jonas Fehler ist, dass er den Nenner \(3\) nicht mitquadriert hat.

Die Behauptung ist falsch. Der ganze Bruch wird quadriert, also gilt \(\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4}{9}\).

- Forme einen negativen Exponenten zunächst mithilfe eines Kehrwerts um. - Behalte bei einer negativen Basis die Klammern bei, damit das Vorzeichen zur Basis gehört. - Bei der Dezimalzahl kannst du zuerst überlegen, welchen Kehrwert die Basis hat.

1. Für a) gilt \(2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}\). 2. Für b) gilt \((-2)^{-3}=\frac{1}{(-2)^3}=-\frac{1}{8}\). 3. Für c) gilt \((0{,}5)^{-2}=\frac{1}{(0{,}5)^2}=\frac{1}{0{,}25}=4\).

a) \(\frac{1}{8}\) b) \(-\frac{1}{8}\) c) \(4\)

- Schreibe bei einer von null verschiedenen Basis einen negativen Exponenten mithilfe eines Kehrwerts um. - Prüfe bei jeder Basis, ob dieser Kehrwert überhaupt gebildet werden kann. - Welche besondere Rolle spielt die Zahl \(0\) bei einer Division?

1. Für a) gilt \(4^{-1}=\frac{1}{4}\). 2. Für b) gilt \((-2)^{-2}=\frac{1}{(-2)^2}=\frac{1}{4}\). 3. Für c) würde die Kehrwertregel zu \(0^{-1}=\frac{1}{0}\) führen. 4. Eine Division durch \(0\) ist nicht definiert. Daher ist \(0^{-1}\) nicht definiert.

a) \(\frac{1}{4}\) b) \(\frac{1}{4}\) c) nicht definiert, weil dafür durch \(0\) geteilt werden müsste

- Erinnere dich daran, wie viele Meter ein Kilometer enthält. - Schreibe den Umrechnungsfaktor als Potenz von \(10\), bevor du die Maßzahl ausrechnest. - Kontrolliere, ob die Meterangabe eine größere Maßzahl als die Kilometerangabe haben muss.

1. Beim Umrechnen von Kilometern in Meter gilt \(1\,\text{km}=10^3\,\text{m}\). 2. Daher ist \(4{,}8\,\text{km}=4{,}8\cdot10^3\,\text{m}\). 3. Ausgerechnet sind das \(4800\,\text{m}\).

\(4{,}8\cdot10^3\,\text{m}=4800\,\text{m}\)

- Bestimme für jede Vorsilbe zuerst, welcher Bruchteil der jeweils angegebenen Einheit gemeint ist. - Schreibe diesen Bruchteil anschließend als Potenz von \(10\). - Die Maßzahl vor der Einheit soll laut Aufgabe unverändert bleiben; verändert wird nur der Faktor mit der Zehnerpotenz.

1. Ein Zentimeter ist ein Hundertstel Meter, also gilt \(3{,}2\,\text{cm}=3{,}2\cdot10^{-2}\,\text{m}\). 2. Ein Millimeter ist ein Tausendstel Meter, also gilt \(7\,\text{mm}=7\cdot10^{-3}\,\text{m}\). 3. Ein Milligramm ist ein Tausendstel Gramm, also gilt \(450\,\text{mg}=450\cdot10^{-3}\,\text{g}\).

a) \(3{,}2\cdot10^{-2}\,\text{m}\) b) \(7\cdot10^{-3}\,\text{m}\) c) \(450\cdot10^{-3}\,\text{g}\)

- Ist ein Zentimeter größer oder kleiner als ein Meter? - Überlege, ob der Faktor beim Wechsel von Zentimetern zu Metern größer oder kleiner als \(1\) sein muss. - Schreibe einen Zentimeter zunächst als Bruchteil eines Meters und dann als Zehnerpotenz.

1. Ein Zentimeter ist kleiner als ein Meter. Deshalb muss der Faktor, mit dem \(8\) multipliziert wird, kleiner als \(1\) sein. 2. Es gilt \(1\,\text{cm}=\frac{1}{100}\,\text{m}=10^{-2}\,\text{m}\). 3. Daher ist \(8\,\text{cm}=8\cdot10^{-2}\,\text{m}\). 4. Als Dezimalzahl sind das \(0{,}08\,\text{m}\). 5. Nilas Exponent \(2\) würde mit einem Faktor größer als \(1\) multiplizieren und die Länge dadurch falsch vergrößern.

Richtig ist \(8\,\text{cm}=8\cdot10^{-2}\,\text{m}=0{,}08\,\text{m}\). Der Exponent muss negativ sein, weil ein Zentimeter nur ein Bruchteil eines Meters ist.

- Berechne zuerst die einzelnen Potenzen nach der Regel „Potenz vor Punkt vor Strich“. - Überlege dir für den zweiten Teil, was passiert, wenn man in einer Minusaufgabe die Zahl, die abgezogen wird, kleiner macht. - Musst du den ganzen Term neu ausrechnen, um die Änderung zu bestimmen?

1. Potenzwerte ermitteln: \(3^4 = 81\), \(2^5 = 32\), \(7^2 = 49\). 2. Gesamtwert berechnen: \(81 + 32 - 49 = 113 - 49 = 64\). 3. Analyse der Änderung: Die Basis des Subtrahenden wird von \(7\) auf \(6\) verringert. 4. Da \(6^2 = 36\) kleiner ist als \(7^2 = 49\), wird eine kleinere Zahl abgezogen. 5. Das Gesamtergebnis vergrößert sich somit um die Differenz der Quadrate: \(49 - 36 = 13\).

a) Der Wert des Terms ist \(64\). b) Der Gesamtwert vergrößert sich um \(13\), da der Subtrahend (die Zahl, die abgezogen wird) von \(49\) auf \(36\) sinkt.

- Schreibe die Potenz als Multiplikationsaufgabe aus. - Wie oft musst du die Zahl mit sich selbst multiplizieren? - Achte besonders auf die Anzahl der Nachkommastellen beim Multiplizieren von Dezimalzahlen. - Überlege, ob das Vorzeichen bei einem ungeraden Exponenten positiv oder negativ sein muss.

1. Berechnung des Terms: \( (-0{,}5)^3 = (-0{,}5) \cdot (-0{,}5) \cdot (-0{,}5) \). 2. Schrittweise Multiplikation: \( (-0{,}5) \cdot (-0{,}5) = 0{,}25 \). Dann \( 0{,}25 \cdot (-0{,}5) = -0{,}125 \). Somit ist B korrekt. 3. Analyse der Fehler: Bei A wurde die Basis mit dem Exponenten multipliziert (\( -0{,}5 \cdot 3 \)). Bei C wurde das Vorzeichen falsch bestimmt (ein ungerader Exponent bei negativer Basis ergibt ein negatives Ergebnis). Bei D wurde ein Fehler beim Stellenwert der Dezimalstellen gemacht.

B ist richtig. A: Potenz mit Multiplikation verwechselt. C: Vorzeichenfehler (negativ hoch ungerade muss negativ sein). D: Stellenwertfehler bei der Dezimalrechnung.

- Berechne jeweils zuerst die Potenz. - Vergleiche Brüche bei Bedarf in einer gemeinsamen Darstellung. - Beachte, dass Quadrieren bei Zahlen zwischen \(0\) und \(1\) den Wert verkleinern kann.

1. \(0{,}2^2=0{,}04<0{,}2\). 2. \((\frac{1}{2})^3=\frac{1}{8}<\frac{1}{4}=(\frac{1}{2})^2\). 3. \(0{,}1^2=0{,}01\), also gilt Gleichheit. 4. \((\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}>\frac{3}{2}\).

a) \(0{,}2^2=0{,}04<0{,}2\) b) \((\frac{1}{2})^3=\frac{1}{8}<\frac{1}{4}=(\frac{1}{2})^2\) c) \(0{,}1^2=0{,}01\), also \(=\) d) \((\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}>\frac{3}{2}\)

- Was passiert mit dem Vorzeichen von \(-1\), wenn man es mehrfach mit sich selbst multipliziert? - Macht es einen Unterschied, ob der Exponent gerade oder ungerade ist? - Spielt die Reihenfolge der Faktoren bei einer Multiplikation eine Rolle für das Ergebnis?

1. Eine negative Basis mit einem ungeraden Exponenten ergibt immer ein negatives Ergebnis. Da \(3\) ungerade ist, gilt \((-1)^3 = -1\). 2. Damit ist der Wert von Term A: \(-1 \cdot 4{,}2 = -4{,}2\). 3. Auch im Term B ist der Exponent \(7\) ungerade, weshalb \((-1)^7 = -1\) gilt. 4. Der Wert von Term B ist somit: \(4{,}2 \cdot (-1) = -4{,}2\). 5. Da beide Berechnungen zum selben Ergebnis führen, haben die Terme denselben Wert.

Ja, die Terme haben denselben Wert. Da sowohl \(3\) als auch \(7\) ungerade Zahlen sind, ergibt sowohl \((-1)^3\) als auch \((-1)^7\) den Wert \(-1\). In beiden Fällen wird also \(4{,}2\) mit \(-1\) multipliziert, was jeweils \(-4{,}2\) ergibt.

- Welche Vorzeichen entstehen bei geraden beziehungsweise ungeraden Potenzen negativer Zahlen? - Vergleiche negative Zahlen auf der Zahlengeraden. - Der Betrag ist der Abstand einer Zahl von der Null.

1. Es gilt \(A=-1000\), \(B=10\,000\) und \(C=-100\,000\). 2. Damit ist \(C\) der kleinste Wert. 3. Nur \(B\) ist positiv. 4. Der Betrag von \(B\) ist \(10\,000\).

a) Term C mit \(-100\,000\) b) Nur Term B c) \(10\,000\)

- Welche Vorzeichenfolge entsteht bei Potenzen einer negativen Zahl? - Was unterscheidet gerade und ungerade Exponenten? - In c) wird zuerst die Potenz und erst danach das äußere Minus ausgewertet.

1. Die ersten fünf Werte sind \(-2,4,-8,16,-32\). 2. Bei negativer Basis ergeben ungerade Exponenten negative, gerade Exponenten positive Werte. Daher ist das 15. Glied negativ und das 20. positiv. 3. Zuerst gilt \((-2)^4=16\), danach \(-16\). Der letzte Term ist also negativ.

a) \(-2;4;-8;16;-32\) b) 15. Glied negativ; 20. Glied positiv c) negativ, denn \(-(-2)^4=-16\)

- Was passiert, wenn man eine Zahl mit einem Wert multipliziert, der kleiner als \(1\) ist? - Überlege dir ein Beispiel mit Brüchen: Was ist die Hälfte von einer Hälfte? - Vergleiche die Ausgangszahl immer mit der \(1\).

1. Analyse der Größenverhältnisse: Ist eine positive Zahl kleiner als \(1\), so ist ihr Quadrat kleiner als die Zahl selbst. Ist sie größer als \(1\), ist das Quadrat größer. 2. Für \(a = 0{,}8\): Da \(0{,}8 < 1\), muss \(a^2 < 0{,}8\) sein. Rechnung: \(0{,}8 \cdot 0{,}8 = 0{,}64\). 3. Für \(a = 1{,}2\): Da \(1{,}2 > 1\), muss \(a^2 > 1{,}2\) sein. Rechnung: \(1{,}2 \cdot 1{,}2 = 1{,}44\). 4. Für \(a = 0{,}1\): Da \(0{,}1 < 1\), muss \(a^2 < 0{,}1\) sein. Rechnung: \(0{,}1 \cdot 0{,}1 = 0{,}01\). 5. Für \(a = 2{,}5\): Da \(2{,}5 > 1\), muss \(a^2 > 2{,}5\) sein. Rechnung: \(2{,}5 \cdot 2{,}5 = 6{,}25\).

a) kleiner; \(0{,}64\) b) größer; \(1{,}44\) c) kleiner; \(0{,}01\) d) größer; \(6{,}25\)

- Welche Vorzeichen entstehen bei geraden und ungeraden Exponenten negativer Zahlen? - Potenziere bei einem Bruch Zähler und Nenner. - Wandle die gemischte Zahl vor dem Potenzieren in einen unechten Bruch um.

1. \((-8)^2=64\). 2. \((-3)^3=-27\). 3. \(\left(-\frac{2}{5}\right)^2=\frac{4}{25}\). 4. \((-0{,}1)^3=-0{,}001\). 5. \(-1\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}\), also \(\left(-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}=2\frac{1}{4}\).

1) \(64\) 2) \(-27\) 3) \(\frac{4}{25}\) 4) \(-0{,}001\) 5) \(2\frac{1}{4}\)

- Schreibe jede Potenz mit negativem Exponenten zunächst als Kehrwert einer Potenz mit positivem Exponenten. - Du musst keine neue Rechenregel erfinden: Prüfe die drei angebotenen rationalen Zahlen nacheinander. - Achte darauf, dass beim Kehrwert eines Bruchs Zähler und Nenner ihre Plätze tauschen.

1. Wegen des negativen Exponenten gilt \(x^{-2}=\frac{1}{x^2}\). 2. Für A ergibt sich \(\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}=\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}\). Das passt nicht. 3. Für B ergibt sich \(\left(\frac{3}{4}\right)^{-2}=\left(\frac{4}{3}\right)^2=\frac{16}{9}\). Das passt. 4. Für C ergibt sich \(\left(\frac{4}{3}\right)^{-2}=\left(\frac{3}{4}\right)^2=\frac{9}{16}\). Das passt nicht. 5. Daher ist \(x=\frac{3}{4}\).

B) \(x=\frac{3}{4}\)

- Schreibe jede Potenz als Kehrwert einer Potenz mit positivem Exponenten. - Vergleiche anschließend die entstehenden positiven Brüche. - Welche Rolle spielt der Nenner beim Vergleich von Stammbrüchen?

1. Es gilt \(3^{-1}=\frac{1}{3}\), \(3^{-2}=\frac{1}{9}\) und \(3^{-3}=\frac{1}{27}\). 2. Bei positiven Stammbrüchen ist der Bruch mit dem größeren Nenner kleiner. 3. Deshalb gilt \(\frac{1}{27}<\frac{1}{9}<\frac{1}{3}\). 4. Somit ist die Reihenfolge \(3^{-3}<3^{-2}<3^{-1}\).

\(3^{-3}<3^{-2}<3^{-1}\)

- Drücke zuerst \(1\,\text{mm}\) als Zehnerpotenz von Metern aus. - Wandle anschließend \(25\,\text{mm}\) in Meter um. - Vergleiche die beiden Angaben erst, wenn sie in derselben Einheit vorliegen.

1. Es gilt \(1\,\text{mm}=10^{-3}\,\text{m}\). 2. Daher ist \(25\,\text{mm}=25\cdot10^{-3}\,\text{m}\). 3. Das entspricht \(0{,}025\,\text{m}\). 4. Auch \(2{,}5\cdot10^{-2}\,\text{m}=0{,}025\,\text{m}\). 5. Die beiden Angaben stimmen also überein.

Ja. Beide Angaben entsprechen \(0{,}025\,\text{m}\).