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- Du kannst \(4{,}8\) als Anzahl von Zehnteln betrachten. - Teile diese Zehntel gleichmäßig auf sechs Gruppen. - Prüfe mit der Umkehraufgabe Multiplikation.

1. \(48\) Zehntel werden auf \(6\) gleich große Gruppen verteilt. Jede Gruppe enthält \(8\) Zehntel. 2. Daher ist \(4{,}8:6=0{,}8\).

\(0{,}8\)

- Denke an die Stellenwerte der Ziffern in \(4{,}8\). - Beim Teilen durch \(10\) wird der Wert zehnmal kleiner. - Prüfe, ob dein Ergebnis zwischen \(0\) und \(1\) liegen muss.

1. Beim Dividieren durch \(10\) wird jede Ziffer um eine Stelle in einen niedrigeren Stellenwert verschoben. 2. Daher gilt \(4{,}8:10=0{,}48\).

\(0{,}48\)

- Ziel ist nicht, den Quotienten zu berechnen, sondern den Dezimaldivisor zu beseitigen. - Welche Zehnerpotenz macht aus \(0{,}3\) eine natürliche Zahl? - Dieselbe Veränderung muss bei Dividend und Divisor vorgenommen werden.

1. Multipliziere Dividend und Divisor mit \(10\). 2. Dadurch entsteht die gleichwertige Division \(12:3\). 3. Der Quotient bleibt gleich, weil beide Zahlen mit demselben von null verschiedenen Faktor multipliziert wurden.

\(1{,}2:0{,}3=12:3\). Dividend und Divisor wurden beide mit \(10\) multipliziert; deshalb bleibt der Quotient unverändert.

- Teile zuerst die dezimale Maßzahl durch die ganze Zahl. - Deute anschließend den Dezimalteil in der jeweils kleineren Einheit. - Prüfe die Umrechnung über die Beziehungen \(1\,\text{m}=100\,\text{cm}\), \(1\,\text{kg}=1000\,\text{g}\) und \(1\,\text{l}=1000\,\text{ml}\).

1. \(11{,}4:4=2{,}85\). Also \(2{,}85\,\text{m}=2\,\text{m}\ 85\,\text{cm}\). 2. \(3{,}5:5=0{,}7\). Also \(0{,}7\,\text{kg}=700\,\text{g}\). 3. \(9{,}6:4=2{,}4\). Also \(2{,}4\,\text{l}=2\,\text{l}\ 400\,\text{ml}\).

a) \(2{,}85\,\text{m}=2\,\text{m}\ 85\,\text{cm}\) b) \(0{,}7\,\text{kg}=700\,\text{g}\) c) \(2{,}4\,\text{l}=2\,\text{l}\ 400\,\text{ml}\)

- Welche Division liefert das Gewicht genau einer Packung? - Nutze dieses Einzelgewicht anschließend für 100 Packungen. - Prüfe, ob die Größenordnung deines Ergebnisses plausibel ist.

1. Das Gewicht einer Packung erhält man durch \(12{,}6\,\text{kg}:12=1{,}05\,\text{kg}\). 2. Für 100 Packungen ergibt sich \(1{,}05\,\text{kg}\cdot100=105\,\text{kg}\).

a) \(1{,}05\,\text{kg}\) b) \(105\,\text{kg}\)

- Vergleiche die Anzahl der Nullen im Teiler mit der Anzahl der Stellen, um die das Komma gewandert ist. - In welche Richtung bewegt sich das Komma, wenn eine Zahl durch die Division kleiner wird?

1. Berechnung der ersten Aufgabe: \(15{,}4 : 10 = 1{,}54\). Das Komma rückt um eine Stelle nach links. 2. Berechnung der zweiten Aufgabe: \(15{,}4 : 1000 = 0{,}0154\). Das Komma rückt um drei Stellen nach links. 3. Formulierung der Regel: Bei der Division durch eine Zehnerpotenz verschiebt sich das Komma um so viele Stellen nach links, wie die Zehnerpotenz Nullen hat. Reichen die vorhandenen Ziffern nicht aus, werden links Nullen als Platzhalter ergänzt.

Die Ergebnisse sind \(1{,}54\) und \(0{,}0154\). Die Regel lautet: Das Komma wird bei der Division durch eine Zehnerpotenz um so viele Stellen nach links verschoben, wie der Teiler Nullen besitzt.

- Was bedeutet eine 12-fache Vergrößerung für das Verhältnis zwischen Bild und Wirklichkeit? - Überlege, ob das echte Tier größer oder kleiner als auf dem Foto sein muss. - Wie rechnet man Zentimeter in Millimeter um?

1. Berechnung der tatsächlichen Länge in Zentimetern durch Division der Bildgröße durch den Vergrößerungsfaktor: \(5{,}4\,\text{cm} : 12 = 0{,}45\,\text{cm}\). 2. Umrechnung der Zentimeterangabe in Millimeter: \(0{,}45 \cdot 10 = 4{,}5\,\text{mm}\).

Die Ameise ist in Wirklichkeit \(4{,}5\,\text{mm}\) lang.

- Achte darauf, das Komma im Ergebnis genau dann zu setzen, wenn du die erste Stelle nach dem Komma beim Dividenden überschreitest. - Überlege dir bei negativen Zahlen zuerst, welches Vorzeichen das Ergebnis haben muss. - Wenn die Zahl vor dem Komma kleiner ist als der Teiler, beginnt das Ergebnis mit \(0,\dots\).

1. Berechnung von \(15{,}6 : 6\): Division der Vorkommastelle ergibt \(2\), Rest \(3\). Herunterholen der \(6\) hinter dem Komma ergibt \(36\). \(36 : 6 = 6\). Ergebnis: \(2{,}6\). 2. Berechnung von \(8{,}4 : 12\): Da \(8 < 12\), ist die erste Stelle \(0\). Komma setzen und \(84 : 12\) rechnen. \(84 : 12 = 7\). Ergebnis: \(0{,}7\). 3. Berechnung von \(-13{,}5 : 5\): Division einer negativen Zahl durch eine positive ergibt ein negatives Vorzeichen. \(13{,}5 : 5 = 2{,}7\). Ergebnis: \(-2{,}7\). 4. Berechnung von \(0{,}64 : 16\): Erste Stelle ist \(0\). \(6 : 16\) ist ebenfalls \(0\). \(64 : 16 = 4\). Ergebnis: \(0{,}04\).

a) \(15:6=2\) Rest \(3\); danach \(36:6=6\); Ergebnis \(2{,}6\). b) \(84:12=7\), nachdem das Ergebnis mit \(0{,}\) beginnt; Ergebnis \(0{,}7\). c) \(13:5=2\) Rest \(3\); danach \(35:5=7\); mit negativem Vorzeichen \(-2{,}7\). d) Nach \(0{,}0\) wird \(64:16=4\) gerechnet; Ergebnis \(0{,}04\).

- Nutze bei passenden Aufgaben bekannte Divisionen mit ganzen Zahlen. - Achte bei der negativen Zahl auf das Vorzeichen des Quotienten. - Bei einem Dezimaldivisor kannst du Dividend und Divisor mit derselben Zehnerpotenz skalieren.

1. \(0{,}48:6=0{,}08\). 2. \(-1{,}5:3=-0{,}5\). 3. \(1{,}2:0{,}4=12:4=3\).

a) \(0{,}08\) b) \(-0{,}5\) c) \(3\)

- Stelle dir die Division als Bruch vor. Was musst du tun, damit der Wert eines Bruches gleich bleibt? - Wie viele Stellen wurde das Komma bei der ersten Zahl verschoben? Wurde es bei der zweiten Zahl genauso gemacht? - Überprüfe, ob die Richtung der Verschiebung bei beiden Zahlen identisch ist.

1. Prüfung von Term 1: Dividend und Divisor wurden jeweils mit \(10\) multipliziert (Komma um eine Stelle nach rechts). Das Ergebnis bleibt gleich. 2. Prüfung von Term 2: Dividend und Divisor wurden jeweils mit \(100\) multipliziert (Komma um zwei Stellen nach rechts). Das Ergebnis bleibt gleich. 3. Prüfung von Term 3: Dividend und Divisor wurden jeweils durch \(10\) dividiert (Komma um eine Stelle nach links). Das Ergebnis bleibt gleich. 4. Prüfung von Term 4: Der Dividend wurde mit \(100\) multipliziert, der Divisor jedoch nur mit \(10\). Da die Verschiebung nicht identisch ist, ändert sich das Ergebnis (\(300\) statt \(30\)). Die Terme 1, 2 und 3 sind wertgleich.

Die Terme 1, 2 und 3 haben das gleiche Ergebnis. Begründung: Bei diesen Aufgaben wurde das Komma beim Dividenden und beim Divisor um die gleiche Anzahl an Stellen in dieselbe Richtung verschoben, was den Wert des Quotienten unverändert lässt. Bei Term 4 ist die Verschiebung ungleichmäßig.

- Skaliere Dividend und Divisor jeweils mit derselben Zehnerpotenz. - Wähle die Skalierung so, dass der Divisor möglichst einfach wird. - Kontrolliere, ob die Größenordnung des Quotienten zur Größe des Divisors passt.

1. \(15:0{,}3=150:3=50\). 2. \(0{,}8:0{,}04=80:4=20\). 3. \(1{,}2:0{,}06=120:6=20\). 4. \(0{,}45:0{,}15=45:15=3\). 5. \(10:0{,}005=10\,000:5=2000\).

a) \(50\) b) \(20\) c) \(20\) d) \(3\) e) \(2000\)

- Was passiert mit dem Ergebnis einer Division, wenn du bei beiden Zahlen das Komma um gleich viele Stellen nach rechts verschiebst? - Versuche den Divisor (die zweite Zahl) durch Kommaverschiebung in eine ganze Zahl zu verwandeln. - Vergiss nicht, das Komma beim Dividenden (der ersten Zahl) um genau dieselbe Anzahl an Stellen zu verschieben.

1. Division durch Verschieben des Kommas vorbereiten: \(7{,}2 : 0{,}8 = 72 : 8 = 9\) 2. Komma um eine Stelle nach rechts verschieben: \(1{,}26 : 0{,}3 = 12{,}6 : 3 = 4{,}2\) 3. Komma um drei Stellen nach rechts verschieben: \(0{,}048 : 0{,}006 = 48 : 6 = 8\) 4. Komma um zwei Stellen nach rechts verschieben: \(3{,}45 : 0{,}15 = 345 : 15 = 23\)

a) \(9\) b) \(4{,}2\) c) \(8\) d) \(23\)

- Überlege dir, in welche Richtung und um wie viele Stellen das Komma verschoben wurde. - Eine Multiplikation mit \(10, 100, 1000\) verschiebt das Komma nach rechts. - Eine Division durch \(10, 100, 1000\) verschiebt das Komma nach links. - Zähle die Nullen der Zehnerpotenz, um die Anzahl der Stellen für die Verschiebung zu bestimmen.

1. Um von \(0{,}082\) zu \(82\) zu gelangen, muss das Komma um drei Stellen nach rechts verschoben werden. Dies entspricht einer Multiplikation mit \(1000\). 2. Um von \(740\) zu \(0{,}74\) zu gelangen, muss das Komma um drei Stellen nach links verschoben werden. Dies entspricht einer Division durch \(1000\). 3. Um von \(0{,}005\) zu \(500\) zu gelangen, muss das Komma um fünf Stellen nach rechts verschoben werden. Dies entspricht einer Multiplikation mit \(100\,000\). 4. Die Division von \(1{,}23\) durch \(100\) verschiebt das Komma um zwei Stellen nach links, was \(0{,}0123\) ergibt.

a) \(1000\) b) \(1000\) c) \(100\,000\) d) \(0{,}0123\)

- Welche Division beschreibt, wie oft eine Stücklänge in die Gesamtlänge passt? - Du kannst Dividend und Divisor mit derselben Zehnerpotenz skalieren. - Prüfe, ob eine kleinere Stücklänge zu einer größeren Stückzahl führt.

1. \(3{,}5\,\text{m}:0{,}25\,\text{m}=14\). 2. \(3{,}5\,\text{m}:0{,}14\,\text{m}=25\).

a) \(14\) Stücke b) \(25\) Stücke

- Der Einzelpreis entsteht jeweils durch Division des Gesamtpreises durch die Stückzahl. - Führe für beide Angebote dieselbe Art von Rechnung durch. - Vergleiche die Ergebnisse erst, wenn beide Preise auf eine Orange bezogen sind.

1. Angebot A kostet pro Orange \(5{,}85:15=0{,}39\,\text{€}\). 2. Angebot B kostet pro Orange \(4{,}80:12=0{,}40\,\text{€}\). 3. Da \(0{,}39<0{,}40\), ist Angebot A günstiger.

Angebot A: \(0{,}39\,\text{€}\) pro Orange; Angebot B: \(0{,}40\,\text{€}\) pro Orange. Angebot A ist günstiger.

- Führe zunächst die Division in der gegebenen Einheit aus. - Welche Umrechnungsbeziehung gilt zwischen Metern und Zentimetern? - Welche Umrechnungsbeziehung gilt zwischen Kilometern und Metern?

1. \(4{,}5\,\text{m}:6=0{,}75\,\text{m}=75\,\text{cm}\). 2. \(0{,}12\,\text{km}:8=0{,}015\,\text{km}=15\,\text{m}\).

a) \(75\,\text{cm}\) b) \(15\,\text{m}\)

- Lies zuerst die Länge eines einzelnen Intervalls an der beschrifteten Skala ab. - Zähle anschließend die gleich langen Intervalle bis zum Punkt Z. - Zur Kontrolle kannst du die Anzahl der Intervalle mit der Länge eines einzelnen Intervalls multiplizieren.

1. Die Teilintervalle haben die Länge \(0{,}3\). Z liegt beim vierten solchen Intervall, also bei \(1{,}2\). 2. Zwischen \(0\) und Z liegen vier gleich lange Intervalle. 3. Die passende Rechnung lautet \(1{,}2:0{,}3=4\). Die Anzahl der Intervalle entspricht dem Quotienten.

a) \(Z=1{,}2\) b) \(4\) Teilintervalle c) \(1{,}2:0{,}3=4\). Der Zahlenstrahl zeigt vier gleich lange Intervalle der Länge \(0{,}3\) zwischen \(0\) und Z; ihre Anzahl ist der Quotient.

- Bestimme in A den markierten Anteil durch Zählen der gleich großen Teile. - Vergleiche anschließend die drei Balken B, C und D miteinander. - Die drei gleichen Teilmengen müssen zusammen wieder genau die in A dargestellte Menge ergeben.

1. In A sind \(9\) von \(12\) Teilen markiert. Das sind \(\frac{9}{12}=\frac{3}{4}=0{,}75\,\text{l}\). 2. In B, C und D sind jeweils \(3\) von \(12\) Teilen markiert. Das sind \(\frac{3}{12}=\frac{1}{4}=0{,}25\,\text{l}\) je Flasche. 3. Die passende Division lautet \(0{,}75:3=0{,}25\). Kontrolle: \(3\cdot0{,}25=0{,}75\).

a) \(\frac{3}{4}\,\text{l}=0{,}75\,\text{l}\) b) \(0{,}75:3=0{,}25\,\text{l}\) c) \(3\cdot0{,}25=0{,}75\)

- Betrachte zuerst den bereits sichtbaren Schritt \(37-30\). - Welche Ziffer des Arbeitsdividenden wird danach heruntergeholt? - Die neue Teildividende bestimmt die nächste Quotientenziffer und den Subtrahenden.

1. Nach \(37-30=7\) wird die nächste Ziffer \(5\) heruntergeholt; die zweite Teildividende ist daher \(75\). 2. \(75:15=5\), also lautet der passende Subtrahend \(75\) und die fehlende Quotientenziffer \(5\). 3. Der Quotient ist \(2{,}5\). 4. Von \(3{,}75:1{,}5\) zu \(37{,}5:15\) wurden Dividend und Divisor beide mit \(10\) multipliziert; der Quotient bleibt dadurch unverändert.

Zweite Teildividende: \(75\) Subtrahend: \(75\) Fehlende Quotientenziffer: \(5\), also Quotient \(2{,}5\) Begründung: Dividend und Divisor wurden beide mit \(10\) multipliziert.

- Berechne zuerst jeden Dezimalquotienten. - Bringe danach beide Seiten jedes Vergleichs in dieselbe Einheit. - Vergleiche erst nach der Umrechnung.

1. \(5{,}2:4=1{,}3\,\text{m}=130\,\text{cm}\), also \(>125\,\text{cm}\). 2. \(1{,}5:8=0{,}1875\,\text{kg}=187{,}5\,\text{g}\), also \(<190\,\text{g}\). 3. \(7{,}5:10=0{,}75\,\text{km}\), also \(=0{,}75\,\text{km}\).

a) \(>\) b) \(<\) c) \(=\)

- Wandle beide Flächen zuerst in \(\text{dm}^2\) um. - Bei einem Dezimaldivisor kannst du Dividend und Divisor mit derselben Zehnerpotenz multiplizieren. - Vergleiche die beiden Ergebnisse erst, wenn sie in derselben Einheit stehen.

1. \(9\,\text{m}^2=900\,\text{dm}^2\). Daher \(900:2{,}4=375\,\text{dm}^2\). 2. \(400\,\text{cm}^2=4\,\text{dm}^2\). Daher \(4:0{,}8=5\,\text{dm}^2\). 3. \(375\,\text{dm}^2>5\,\text{dm}^2\), also ist A größer.

A: \(375\,\text{dm}^2\) B: \(5\,\text{dm}^2\) Damit ist Rechnung A größer.

- Bringe vor jeder Rechnung die beteiligten Größen in zueinander passende Einheiten. - Nutze die passende Umkehroperation, wenn bei einer Division ein Wert fehlt. - Bei einer Division durch eine Dezimalzahl kannst du Dividend und Divisor mit derselben Zehnerpotenz vervielfachen.

1. \(75\,\text{m}=0{,}075\,\text{km}\). Der fehlende Dividend ist daher \(0{,}075\cdot40=3\). In den ersten Platzhalter gehört \(3\). 2. \(0{,}6\,\text{m}^2=60\,\text{dm}^2\). Gesucht ist der Divisor, bei dem \(60\,\text{dm}^2\) durch die Division auf \(12\,\text{dm}^2\) verteilt werden. Da \(60:5=12\), gehört \(5\) in den zweiten Platzhalter. 3. \(5\,\text{t}=5000\,\text{kg}\), also \(5000:200=25\,\text{kg}\). Außerdem gilt \(30:1{,}2=25\,\text{kg}\). Beide Quotienten sind gleich groß.

a) \(\Box=3\) b) \(\Box=5\) c) Beide Ergebnisse sind gleich: \(25\,\text{kg}\).

- Wie viel verbraucht das Auto auf einem einzigen Kilometer? - Wenn du weißt, wie viel das Auto pro Kilometer verbraucht, wie kannst du dann die Gesamtkilometer berechnen? - Erinnere dich an die Regel zur Division durch Dezimalzahlen: Wie verschiebt man das Komma?

1. Berechnung des Verbrauchs pro Kilometer: \(6{,}4\,\text{l} : 100 = 0{,}064\,\text{l/km}\). 2. Berechnung des Verbrauchs für \(15\,\text{km}\): \(0{,}064\,\text{l/km} \cdot 15\,\text{km} = 0{,}96\,\text{l}\). 3. Berechnung der Reichweite mit der gegebenen Tankfüllung durch Division der Kraftstoffmenge durch den Verbrauch pro Kilometer: \(54{,}4\,\text{l} : 0{,}064\,\text{l/km} = 850\,\text{km}\).

Auf \(15\,\text{km}\) verbraucht das Auto \(0{,}96\,\text{l}\) Benzin. Mit \(54{,}4\,\text{l}\) kommt das Auto \(850\,\text{km}\) weit.

- Wie erhältst du aus der Gesamthöhe die Dicke einer einzelnen Platte? - Achte darauf, die in a) verlangte Einheit korrekt umzurechnen. - Für b) kannst du prüfen, wie oft die Dicke einer Platte in die Zielhöhe passt.

1. Eine Platte ist \(13{,}75\,\text{cm}:25=0{,}55\,\text{cm}\) dick. 2. Das sind \(0{,}55\,\text{cm}=5{,}5\,\text{mm}\). 3. Für einen \(44\,\text{cm}\) hohen Stapel werden \(44\,\text{cm}:0{,}55\,\text{cm}=80\) Platten benötigt.

a) \(5{,}5\,\text{mm}\) b) \(80\) Platten

- Zähle, um wie viele Stellen das Komma in jedem Fall verschoben wurde. - Was passiert, wenn man das Komma nach links schiebt, aber dort keine Ziffern mehr stehen?

1. Bestimmung für a): Um von \(68\) zu \(0{,}68\) zu gelangen, wurde das Komma um zwei Stellen nach links verschoben. Der Teiler ist also \(100\). 2. Bestimmung für b): Um von \(0{,}9\) zu \(0{,}009\) zu gelangen, wurde das Komma ebenfalls um zwei Stellen nach links verschoben. Der Teiler ist also \(100\). 3. Erklärung der Nullen: Die Nullen dienen als Platzhalter, um die korrekten Stellenwerte (Zehntel, Hundertstel, Tausendstel) anzuzeigen, wenn links von der ursprünglichen Ziffer keine weiteren Ziffern vorhanden sind.

a) \(100\) b) \(100\). Die Nullen links von der \(9\) sind Platzhalter für die unbesetzten Stellenwerte.

- Überlege dir zuerst getrennt, was eine Division und was eine Multiplikation mit dem Komma macht. - Stelle dir die Bewegungen wie Schritte auf einem Zahlenstrahl oder einer Skala vor. - Kannst du die beiden Bewegungen (links und rechts) miteinander verrechnen?

1. Erster Schritt: Division durch \(1000\) verschiebt das Komma um 3 Stellen nach links. 2. Zweiter Schritt: Multiplikation des Zwischenergebnisses mit \(100\) verschiebt das Komma um 2 Stellen nach rechts. 3. Gesamteffekt berechnen: \(3 \text{ Stellen links} - 2 \text{ Stellen rechts} = 1 \text{ Stelle links}\). 4. Einzelne Rechnung bestimmen: Eine Verschiebung um eine Stelle nach links entspricht der Division durch \(10\).

Das Komma hat sich insgesamt um eine Stelle nach links verschoben. Das entspricht einer einfachen Division durch \(10\).

- Welche Operation verbindet Originalgröße und Vergrößerungsfaktor mit der Bildgröße? - Bringe in b) Bildgröße und Originalgröße zuerst auf dieselbe Längeneinheit. - Wenn Bildgröße und Originalgröße bekannt sind, welche Umkehroperation liefert den Faktor?

1. Für die Bildlänge bei \(40\)-facher Vergrößerung passt \(0{,}25\cdot40\). Das ergibt \(10\,\text{mm}=1\,\text{cm}\). 2. Für die gewünschte Bildlänge gilt \(2\,\text{cm}=20\,\text{mm}\). 3. Der Vergrößerungsfaktor wird durch den Ausdruck \(20:0{,}25\) beschrieben. 4. Es ergibt sich \(20:0{,}25=80\).

a) \(0{,}25\cdot40=10\,\text{mm}=1\,\text{cm}\) b) \(20:0{,}25=80\); benötigt wird eine \(80\)-fache Vergrößerung.

- Welche Division vergleicht gezeichnete Dicke und tatsächliche Dicke und liefert damit den Faktor? - Wenn derselbe Faktor für ein zweites Bauteil gilt, wie verbindet er Original- und Bilddicke? - Führe die Einheitumrechnung in c) erst nach der Vergrößerungsrechnung durch.

1. Für den Vergrößerungsfaktor passt \(4:0{,}08\). Das ergibt \(50\). 2. Für das zweite Bauteil passt \(0{,}12\cdot50\). Es wird \(6\,\text{mm}\) dick dargestellt. 3. Bei \(1000\)-facher Vergrößerung lautet der Ausdruck \(0{,}08\cdot1000\). Das ergibt \(80\,\text{mm}\). 4. Es gilt \(80\,\text{mm}=8\,\text{cm}\).

a) \(4:0{,}08=50\) b) \(0{,}12\cdot50=6\,\text{mm}\) c) \(0{,}08\cdot1000=80\,\text{mm}=8\,\text{cm}\)

- Zähle die Stellen, um die das Komma wandert. - Was passiert mit einer Zahl, wenn du sie durch eine Zahl teilst, die kleiner als 1 ist? - Erinnere dich an die Regel für die Division durch Dezimalzahlen: Das Komma bei beiden Zahlen so weit nach rechts verschieben, bis der Divisor eine ganze Zahl ist.

1. Division durch 100 verschiebt das Komma um 2 Stellen nach links: \(3{,}4 : 100 = 0{,}034\). 2. Vergleich von \(0{,}5\) und \(0{,}005\): Das Komma rückt um 2 Stellen nach links, also Division durch \(100\). 3. Vergleich von \(0{,}002\) und \(20\): Das Komma rückt um 4 Stellen nach rechts (\(0{,}002 \rightarrow 0{,}02 \rightarrow 0{,}2 \rightarrow 2 \rightarrow 20\)), also Multiplikation mit \(10\,000\). 4. \(0{,}8 : 0{,}01 = 80\) und \(0{,}8 \cdot 100 = 80\). Feststellung: Die Division durch \(0{,}01\) hat denselben Effekt wie die Multiplikation mit \(100\).

a) \(0{,}034\); 2 Stellen nach links. b) \(100\) c) \(10\,000\) d) Beide Ergebnisse sind \(80\). Die Division durch \(0{,}01\) ist gleichbedeutend mit der Multiplikation mit \(100\).

- Vergleiche die Divisoren von einer Zeile zur nächsten. - Suche nach einem regelmäßigen Faktor zwischen aufeinanderfolgenden Ergebnissen. - Formuliere die Beobachtung erst, nachdem du mehrere Ergebnisse miteinander verglichen hast.

1. \(4{,}5:100=0{,}045\). 2. \(4{,}5:10=0{,}45\). 3. \(4{,}5:1=4{,}5\). 4. \(4{,}5:0{,}1=45\). 5. \(4{,}5:0{,}01=450\). 6. Wird der Divisor von einer Rechnung zur nächsten durch \(10\) geteilt, wird der Quotient jeweils zehnmal so groß.

a) \(0{,}045\) b) \(0{,}45\) c) \(4{,}5\) d) \(45\) e) \(450\) Regel: Wird der Divisor durch \(10\) geteilt, wird der Quotient zehnmal so groß.

- Mache eine Überschlagsrechnung oder die Umkehraufgabe (Multiplikation), um das Ergebnis schnell zu prüfen. - Achte besonders auf die Anzahl der Nachkommastellen. - Was passiert mit dem Komma, wenn du eine sehr kleine Zahl durch eine größere Zahl teilst?

1. Überprüfung \(4{,}5 : 9\): \(45 : 9 = 5\), mit Kommaverschiebung ist \(0{,}5\) korrekt. 2. Überprüfung \(1{,}44 : 12\): \(1{,}44\) entspricht \(144\) Hundertsteln. Da \(144 : 12 = 12\), beträgt der Quotient \(12\) Hundertstel, also \(0{,}12\). \(1{,}2\) ist falsch. 3. Überprüfung \(-3{,}6 : 4\): \(36 : 4 = 9\), Vorzeichen negativ, Ergebnis \(-0{,}9\) ist korrekt. 4. Überprüfung \(0{,}07 : 2\): Division von \(7\) durch \(2\) ist \(3{,}5\). Da wir von \(0{,}07\) ausgehen, muss das Komma um zwei Stellen nach links wandern: \(0{,}035\). \(0{,}35\) ist falsch.

a) Richtig b) Falsch, korrekt ist \(0{,}12\) c) Richtig d) Falsch, korrekt ist \(0{,}035\)

- Wenn der Divisor ein Komma hat, kannst du Dividend und Divisor mit derselben Zehnerpotenz multiplizieren. - Prüfe bei jeder Umformung, ob sich Dividend und Divisor im gleichen Verhältnis ändern. - Bei c) hilft der Vergleich mit der entsprechenden Rechnung ohne Dezimalkomma.

1. Berechnung von \(4{,}8:0{,}6\): Komma bei beiden Zahlen um eine Stelle nach rechts verschieben ergibt \(48:6=8\). 2. Berechnung von \(1{,}25:0{,}5\): Komma bei beiden Zahlen um eine Stelle nach rechts verschieben ergibt \(12{,}5:5=2{,}5\). 3. Berechnung von \(0{,}12:5\): \(12:5=2{,}4\). Da der Dividend \(0{,}12\) hundertmal kleiner als \(12\) ist, ist auch der Quotient hundertmal kleiner: \(0{,}024\).

a) \(8\) b) \(2{,}5\) c) \(0{,}024\)

- Teile bei jeder Lieferung das Gesamtgewicht durch die Anzahl der Säcke. - Vergleiche erst die beiden Einzelgewichte. - Bringe die Differenz anschließend in die verlangte Einheit.

1. Ein Sack der ersten Lieferung wiegt \(312{,}5\,\text{kg}:25=12{,}5\,\text{kg}\). 2. Ein Sack der zweiten Lieferung wiegt \(480\,\text{kg}:40=12\,\text{kg}\). 3. Der erste Sack ist schwerer. Die Differenz beträgt \(12{,}5\,\text{kg}-12\,\text{kg}=0{,}5\,\text{kg}\). 4. \(0{,}5\,\text{kg}=500\,\text{g}\).

a) Erste Lieferung: \(12{,}5\,\text{kg}\); zweite Lieferung: \(12\,\text{kg}\) b) Der Sack der ersten Lieferung ist um \(500\,\text{g}\) schwerer.

- Welche Division beschreibt die gleichmäßige Verteilung auf alle Flaschen? - Bestimme für den Vorschlag die insgesamt benötigte Menge. - Vergleiche diese Menge mit dem vorhandenen Vorrat.

1. Gleichmäßiges Verteilen ergibt \(12{,}5\,\text{l}:50=0{,}25\,\text{l}\) pro Flasche. 2. Für \(50\) Flaschen mit jeweils \(0{,}3\,\text{l}\) wären \(50\cdot0{,}3\,\text{l}=15\,\text{l}\) nötig. 3. Da \(15\,\text{l}>12{,}5\,\text{l}\), reicht der Vorrat nicht aus.

a) \(0{,}25\,\text{l}\) pro Flasche b) Der Vorschlag ist nicht möglich, weil dafür \(15\,\text{l}\) benötigt würden, aber nur \(12{,}5\,\text{l}\) vorhanden sind.

- Ziehe die Masse der leeren Kiste ab, bevor du auf eine Scheibe verteilst. - Bleibe für die Division zunächst in Kilogramm; dadurch ist der Dividend eine Dezimalzahl. - Wandle erst den Einzelwert anschließend in Gramm um.

1. Nettomasse: \(1{,}58-0{,}14=1{,}44\,\text{kg}\). 2. Masse einer Scheibe: \(1{,}44:400=0{,}0036\,\text{kg}=3{,}6\,\text{g}\). 3. Zehn Scheiben wiegen \(10\cdot3{,}6=36\,\text{g}\).

a) \(1{,}44\,\text{kg}:400=0{,}0036\,\text{kg}=3{,}6\,\text{g}\) b) \(36\,\text{g}\)

- Schau dir immer das Zahlenpaar an, bei dem beide Werte bekannt sind. - Wie verändert sich die Zahl vor dem Geteilt-Zeichen im Vergleich zur ersten Aufgabe? - Was du mit der einen Zahl machst, musst du auch mit der anderen tun. - Suche dir die einfachste der vier Aufgaben aus, um das Endergebnis zu berechnen.

1. Schritt: Bestimmung der ersten Lücke. Von \(1{,}2\) zu \(12\) wurde das Komma um eine Stelle nach rechts verschoben (Multiplikation mit \(10\)). Also muss auch \(0{,}3\) mit \(10\) multipliziert werden: \(0{,}3 \cdot 10 = 3\). 2. Schritt: Bestimmung der zweiten Lücke. Von \(0{,}3\) zu \(30\) wurde das Komma um zwei Stellen nach rechts verschoben (Multiplikation mit \(100\)). Also muss auch \(1{,}2\) mit \(100\) multipliziert werden: \(1{,}2 \cdot 100 = 120\). 3. Schritt: Bestimmung der dritten Lücke. Von \(1{,}2\) zu \(0{,}12\) wurde das Komma um eine Stelle nach links verschoben (Division durch \(10\)). Also muss auch \(0{,}3\) durch \(10\) dividiert werden: \(0{,}3 : 10 = 0{,}03\). 4. Schritt: Berechnung des Werts. Am einfachsten mit der Aufgabe ohne Komma: \(12 : 3 = 4\).

Die ausgefüllte Kette lautet: \(1{,}2 : 0{,}3 = 12 : 3 = 120 : 30 = 0{,}12 : 0{,}03\). Der Wert des Quotienten ist \(4\).

- Welche Veränderung an Dividend und Divisor lässt den Quotienten unverändert? - Denke an das Erweitern eines Bruchs: Was muss mit Zähler und Nenner gleichzeitig geschehen? - Prüfe außerdem durch Schätzen, ob ein Quotient nahe bei \(1\) plausibel wäre.

1. Damit ein Quotient unverändert bleibt, müssen Dividend und Divisor mit derselben Zahl multipliziert werden. 2. Wird der Divisor mit \(10\) multipliziert, muss deshalb auch der Dividend mit \(10\) multipliziert werden. 3. Aus \(0{,}45:0{,}5\) wird so \(4{,}5:5\). 4. \(4{,}5:5=0{,}9\). Minas Ergebnis \(9\) ist daher falsch.

Mina verändert Dividend und Divisor mit unterschiedlichen Faktoren. Korrekt ist \(0{,}45:0{,}5=4{,}5:5=0{,}9\).

- Berechne bei den Gleichungen mit zwei Quotienten zuerst die Seite, auf der beide Zahlen bekannt sind. - Bestimme anschließend den fehlenden Dividend oder Divisor mit einer Umkehroperation. - Kontrolliere, dass beide Seiten der Gleichung denselben Quotienten ergeben.

1. Im ersten Term ist die fehlende Zahl \(20 \cdot 0{,}3 = 6\). 2. Im zweiten Term ist der fehlende Divisor \(1{,}8 : 9 = 0{,}2\). 3. Im dritten Term ergibt die linke Seite \(0{,}75 : 0{,}25 = 3\). Daher muss \(7{,}5\) durch die gesuchte Zahl ebenfalls \(3\) ergeben; die gesuchte Zahl ist \(7{,}5 : 3 = 2{,}5\). 4. Im vierten Term ergibt die linke Seite \(0{,}04 : 0{,}008 = 5\). Rechts muss daher eine Zahl stehen, die durch \(8\) ebenfalls \(5\) ergibt; das ist \(5 \cdot 8 = 40\).

a) \(6\) b) \(0{,}2\) c) \(2{,}5\) d) \(40\)

- Vergleiche zunächst Aufgaben, bei denen nur der Divisor verändert wurde. - Vergleiche anschließend Aufgaben, bei denen nur der Dividend verändert wurde. - Welche Veränderung tritt ein, wenn beide Zahlen mit demselben Faktor skaliert werden?

1. \(2{,}4:0{,}6=24:6=4\). 2. \(2{,}4:0{,}06=240:6=40\). 3. \(0{,}24:0{,}6=2{,}4:6=0{,}4\). 4. \(0{,}24:0{,}06=24:6=4\). 5. Wird bei gleichem Dividenden der Divisor zehnmal kleiner, wird der Quotient zehnmal größer. Wird bei gleichem Divisor der Dividend zehnmal kleiner, wird der Quotient zehnmal kleiner. Werden Dividend und Divisor mit demselben Faktor verändert, bleibt der Quotient gleich.

a) \(4\) b) \(40\) c) \(0{,}4\) d) \(4\) Beobachtung: Wird nur der Divisor zehnmal kleiner, wird der Quotient zehnmal größer. Wird nur der Dividend zehnmal kleiner, wird der Quotient zehnmal kleiner. Werden Dividend und Divisor gleich skaliert, bleibt der Quotient unverändert.

- Kannst du die Aufgaben so umformen, dass du immer durch dieselbe ganze Zahl teilst? - Schau dir an, wie sich die Positionen der Kommata in den verschiedenen Aufgaben zueinander verhalten. - Rechne die Werte nacheinander aus und vergleiche sie.

1. Berechnung von A: \(0{,}45 : 0{,}09 = 45 : 9 = 5\) 2. Berechnung von B: \(4{,}5 : 0{,}9 = 45 : 9 = 5\) 3. Berechnung von C: \(45 : 9 = 5\) 4. Berechnung von D: \(0{,}045 : 0{,}9 = 0{,}45 : 9 = 0{,}05\) 5. Vergleich der Ergebnisse: Der Term D hat den Wert \(0{,}05\), während alle anderen den Wert \(5\) haben.

Term D hat einen anderen Wert (\(0{,}05\)). Die Terme A, B und C ergeben jeweils \(5\).

- Wähle für den Überschlag Zahlen, mit denen sich die Division leicht im Kopf ausführen lässt. - Skaliere bei der exakten Division Dividend und Divisor mit derselben Zehnerpotenz. - Bestimme bei negativen Zahlen zuerst das Vorzeichen des Quotienten.

1. Für \(5{,}6:0{,}08\) liefert \(6:0{,}1=60\) einen passenden Überschlag. Exakt gilt \(560:8=70\). 2. Für \(0{,}441:2{,}1\) ist \(0{,}4:2=0{,}2\) ein sinnvoller Überschlag. Exakt gilt \(4{,}41:21=0{,}21\). 3. Für \(-2{,}25:(-0{,}15)\) ist der Quotient positiv; \((-2):(-0{,}2)=10\) dient als Überschlag. Exakt gilt \(225:15=15\).

a) Überschlag: \(60\); exakt: \(70\) b) Überschlag: \(0{,}2\); exakt: \(0{,}21\) c) Überschlag: \(10\); exakt: \(15\)

- Vergleiche jede neue Aufgabe mit der gegebenen Ausgangsdivision. - Was bewirkt eine Veränderung nur des Dividenden oder nur des Divisors? - Werden beide Zahlen mit demselben Faktor skaliert, bleibt der Quotient unverändert.

1. Der Dividend \(15{,}6\) ist zehnmal kleiner als \(156\); daher ist auch der Quotient zehnmal kleiner: \(3{,}12\). 2. Bei \(1{,}56:0{,}5\) kann man beide Zahlen mit \(10\) multiplizieren. Dadurch entsteht \(15{,}6:5=3{,}12\). 3. Der Divisor \(0{,}05\) ist hundertmal kleiner als \(5\); bei gleichem Dividenden wird der Quotient hundertmal größer: \(31{,}2\cdot100=3120\). 4. Der Dividend \(0{,}156\) ist tausendmal kleiner als \(156\); daher ist der Quotient \(31{,}2:1000=0{,}0312\).

a) \(3{,}12\), weil der Dividend zehnmal kleiner ist. b) \(3{,}12\), weil \(1{,}56:0{,}5=15{,}6:5\) nach gleicher Skalierung beider Zahlen gilt. c) \(3120\), weil der Divisor hundertmal kleiner ist und der Quotient dadurch hundertmal größer wird. d) \(0{,}0312\), weil der Dividend tausendmal kleiner ist und der Quotient dadurch tausendmal kleiner wird.

- Berechne zunächst die vollständig bekannte Seite einer Gleichung. - Beobachte bei gleichen Quotienten, wie Dividend und Divisor gemeinsam skaliert werden müssen. - Nutze die Bedeutung der Zehnerpotenzen, statt einen neuen Buchstaben für den Platzhalter einzuführen.

1. Die linke Seite von a) ist \(0{,}0007 \cdot 10^4 = 7\). Rechts muss daher die gesuchte Zahl mit \(100\) ebenfalls \(7\) ergeben; der Platzhalter ist \(7 : 100 = 0{,}07\). 2. In b) gilt \(15{,}2 : 1000 = 0{,}0152\). Damit \(0{,}152\) denselben Quotienten ergibt, muss durch \(10\) geteilt werden. 3. Von \(10^2\) zu \(10^4\) wird der Dividend mit \(100\) multipliziert. Damit der Quotient gleich bleibt, muss auch der Divisor mit \(100\) multipliziert werden: \(8{,}5 \cdot 100 = 850\).

a) \(0{,}07\) b) \(10\) c) \(850\)

- Bestimme für beide zuerst die Strecke pro Minute durch Division. - Wie kannst du einen Wert pro Minute auf einen Wert pro Stunde hochrechnen? - Für b) müssen Kilometer und Stunden in Meter und Sekunden umgerechnet werden, bevor du die Strecke für eine Sekunde bestimmst.

1. Lukas fährt pro Minute \(5{,}4:15=0{,}36\,\text{km}\). Pro Stunde sind das \(0{,}36\cdot60=21{,}6\,\text{km/h}\). 2. Sarah fährt pro Minute \(4{,}5:12=0{,}375\,\text{km}\). Pro Stunde sind das \(0{,}375\cdot60=22{,}5\,\text{km/h}\). 3. Da \(22{,}5>21{,}6\), fährt Sarah durchschnittlich schneller. 4. \(22{,}5\,\text{km/h}=22\,500\,\text{m}\) in \(3600\,\text{s}\). Daher legt Sarah in einer Sekunde \(22\,500:3600=6{,}25\,\text{m}\) zurück.

a) Lukas: \(21{,}6\,\text{km/h}\); Sarah: \(22{,}5\,\text{km/h}\). Sarah fährt schneller. b) \(6{,}25\,\text{m}\)

- Für jede Drohne ist die Geschwindigkeit der Quotient aus Strecke und Zeit. - Verschiebe bei der Division durch eine Dezimalzahl das Komma in Dividend und Divisor gleich weit. - Nutze in b) die Geschwindigkeit der schnelleren Drohne und wandle das Ergebnis anschließend in Zentimeter um.

1. Für Alpha gilt \(45{,}5:3{,}5=455:35=13\,\text{m/s}\). 2. Für Beta gilt \(61{,}2:4{,}8=612:48=12{,}75\,\text{m/s}\). 3. Da \(13>12{,}75\), ist Alpha schneller. 4. In \(0{,}01\,\text{s}\) legt Alpha \(13\cdot0{,}01=0{,}13\,\text{m}\) zurück. 5. \(0{,}13\,\text{m}=13\,\text{cm}\).

a) Alpha: \(13\,\text{m/s}\); Beta: \(12{,}75\,\text{m/s}\). Alpha ist schneller. b) \(13\,\text{cm}\)

- Berechne zuerst für jeden Schlauch die Wassermenge, die in genau einer Minute fließt. - Wenn du weißt, wie viel Wasser in einer Minute fließt, wie findest du dann heraus, wie viel es in einer Sekunde ist? - Überlege, wie oft eine Sekunde in eine Minute passt.

1. Durchflussrate Schlauch A: \(25{,}5 : 1{,}5 = 255 : 15 = 17\,\text{l/min}\). 2. Durchflussrate Schlauch B: \(32{,}4 : 1{,}8 = 324 : 18 = 18\,\text{l/min}\). 3. Vergleich: Schlauch B hat die höhere Durchflussrate (\(18 > 17\)). 4. Wassermenge pro Sekunde für Schlauch B: Da eine Minute \(60\,\text{s}\) hat, berechnet man \(18 : 60 = 0{,}3\,\text{l}\).

a) Schlauch B hat mit \(18\,\text{l/min}\) die höhere Durchflussrate (Schlauch A: \(17\,\text{l/min}\)). b) Aus Schlauch B fließen \(0{,}3\,\text{l}\) pro Sekunde.

- Achte darauf, dass alle Längenangaben in der gleichen Einheit (Meter) vorliegen. - Wie viele Schritte macht die Schwester insgesamt, wenn du Leons Anzahl kennst? - Wie berechnet man die Länge eines einzelnen Schrittes, wenn man die Gesamtstrecke und die Schrittanzahl hat?

1. Umrechnung der Wegstrecke: \(4{,}2\,\text{km} = 4200\,\text{m}\). 2. Berechnung von Leons Schritten: \(4200 : 0{,}7 = 6000\) Schritte. 3. Berechnung der Schritte der Schwester: \(6000 + 2000 = 8000\) Schritte. 4. Berechnung der Schrittlänge der Schwester: \(4200 : 8000 = 0{,}525\,\text{m}\).

a) Leon benötigt \(6000\) Schritte. b) Die durchschnittliche Schrittlänge seiner Schwester beträgt \(0{,}525\,\text{m}\).

- Wandle die gesamte Zeit zuerst vollständig in Sekunden um. - Wie viele Bahnen zu \(50\,\text{m}\) ergeben die Gesamtstrecke? - Teile die Gesamtzeit anschließend gleichmäßig auf diese Bahnen auf.

1. Die Gesamtzeit beträgt \(4\cdot60+24{,}8=264{,}8\,\text{s}\). 2. Die Zahl der Bahnen ist \(400:50=8\). 3. Die durchschnittliche Zeit pro Bahn beträgt \(264{,}8:8=33{,}1\,\text{s}\).

\(33{,}1\,\text{s}\) pro Bahn

- Für a) verteilst du die Gesamtmenge gleichmäßig auf die gegebenen Minuten. - Für b) muss die gesamte Zeit zunächst in Sekunden vorliegen. - Achte darauf, dass sich in b) die Rollen von Zeit und Saftmenge gegenüber a) vertauschen.

1. Die Menge pro Minute beträgt \(112{,}5:15=7{,}5\,\text{l/min}\). 2. Die Gesamtzeit entspricht \(15\cdot60=900\,\text{s}\). 3. Die Zeit pro Liter beträgt \(900:112{,}5=8\,\text{s}\).

a) \(7{,}5\,\text{l/min}\) b) \(8\,\text{s}\) pro Liter

- Für a) teilst du die dezimale Strecke durch die Zeit. - Für den Vergleich müssen beide Geschwindigkeiten dieselbe Einheit haben. - Von \(\text{m/s}\) zu \(\text{km/h}\) wird mit \(3{,}6\) multipliziert.

1. \(188{,}4:40=4{,}71\,\text{m/s}\). 2. Umrechnung: \(4{,}71\cdot3{,}6=16{,}956\,\text{km/h}\). 3. Da \(16{,}956>16{,}9\), ist das erste Auto schneller.

a) \(4{,}71\,\text{m/s}\) b) \(16{,}956\,\text{km/h}>16{,}9\,\text{km/h}\); das erste Auto ist schneller.

- Für a) musst du die gegebene Geschwindigkeit in eine Rate pro Sekunde umrechnen. - Bringe für b) die zehn Minuten auf eine für beide Personen passende Zeiteinheit. - Beim Läufer kannst du mit der Anzahl gleich langer Zeitabschnitte arbeiten, ohne eine gerundete Geschwindigkeit zu benötigen.

1. Nils fährt \(23{,}4:3{,}6=6{,}5\,\text{m/s}\). 2. Samir benötigt \(75\,\text{s}\) für \(400\,\text{m}\). 3. Zehn Minuten sind \(600\,\text{s}\). Nils legt \(6{,}5\cdot600=3900\,\text{m}\) zurück. 4. In \(600\,\text{s}\) stecken \(600:75=8\) Laufabschnitte. Samir legt daher \(8\cdot400=3200\,\text{m}\) zurück. 5. Da \(3900>3200\), legt Nils die größere Strecke zurück.

a) \(6{,}5\,\text{m/s}\) b) Nils: \(3900\,\text{m}\); Samir: \(3200\,\text{m}\). Nils legt die größere Strecke zurück.

- Bestimme zuerst durch Division, wie viele gleich große Tüten aus der Gesamtmasse entstehen. - Welche Gesamteinnahme ist nötig, um Einkaufskosten und gewünschten Gewinn zusammen abzudecken? - Teile diese Zieleinnahme anschließend gleichmäßig auf alle Tüten auf.

1. Die Zahl der Tüten beträgt \(15:0{,}25=60\). 2. Für den Zielgewinn muss der Gesamterlös \(127{,}50+67{,}50=195{,}00\,\text{€}\) betragen. 3. Der Preis pro Tüte ist \(195:60=3{,}25\,\text{€}\).

\(3{,}25\,\text{€}\) pro Tüte

- Welcher Gesamterlös entspricht Einkaufskosten plus gewünschtem Gewinn? - Welche Einnahmen sind durch die bereits verkauften Bücher schon vorhanden? - Teile nur den noch fehlenden Erlös auf die tatsächlich verbleibenden Bücher auf.

1. Für Kosten und Zielgewinn zusammen braucht Elif einen Gesamterlös von \(80+50=130\,\text{€}\). 2. Am Vormittag nimmt sie \(25\cdot4=100\,\text{€}\) ein. 3. Es bleiben \(40-25=15\) Bücher, mit denen noch \(130-100=30\,\text{€}\) eingenommen werden müssen. 4. Ein passender Gesamtausdruck für den Preis pro restlichem Buch ist \(\frac{80+50-25\cdot4}{40-25}\). 5. Sein Wert ist \(30:15=2{,}00\,\text{€}\).

\(\frac{80+50-25\cdot4}{40-25}=2{,}00\,\text{€}\) pro Buch

- Bringe Gesamtmasse und Verpackungsmasse in dieselbe Einheit. - Welche Masse bleibt nach dem Abziehen der leeren Verpackung übrig? - Diese Restmasse verteilt sich gleichmäßig auf \(12\) Tüten.

1. \(2{,}7\,\text{kg}=2700\,\text{g}\). 2. Die Safttüten zusammen haben die Masse \(2700\,\text{g}-60\,\text{g}=2640\,\text{g}\). 3. Eine Tüte hat daher die Masse \(2640\,\text{g}:12=220\,\text{g}\).

\(220\,\text{g}\)

- Für a) verteilst du die verbrauchte Gesamtmenge auf die gefahrenen Kilometer. - Für b) fragst du umgekehrt, wie oft der Verbrauch eines Kilometers in die vorhandene Restmenge passt. - Prüfe die zweite Rechnung durch Rückmultiplikation mit dem Verbrauch pro Kilometer.

1. Der Verbrauch pro Kilometer beträgt \(22{,}5:300=0{,}075\,\text{l/km}\). 2. Die Reichweite mit \(6\,\text{l}\) ergibt sich aus \(6:0{,}075=80\,\text{km}\).

a) \(0{,}075\,\text{l/km}\) b) \(80\,\text{km}\)

- Nutze Division, um zu bestimmen, wie oft das jeweilige Flaschenvolumen vollständig in die vorhandene Saftmenge passt. - Für einen Rest brauchst du danach die tatsächlich abgefüllte Menge, nicht den nicht-ganzzahligen Quotienten. - In c) bestimme zuerst, wie viel Saft nach den zwanzig großen Flaschen noch vorhanden ist.

1. Bei großen Flaschen gilt \(20:0{,}75=26{,}\overline{6}\). Es können daher \(26\) Flaschen vollständig gefüllt werden. Sie enthalten \(26\cdot0{,}75=19{,}5\,\text{l}\); Rest: \(0{,}5\,\text{l}\). 2. Bei kleinen Flaschen gilt \(20:0{,}33\approx60{,}60\). Es können \(60\) Flaschen vollständig gefüllt werden. Sie enthalten \(60\cdot0{,}33=19{,}8\,\text{l}\); Rest: \(0{,}2\,\text{l}\). 3. Da \(0{,}2<0{,}5\), ist Salmas Aussage richtig. 4. Zwanzig große Flaschen enthalten \(20\cdot0{,}75=15\,\text{l}\). Es bleiben \(5\,\text{l}\). 5. Für kleine Flaschen gilt \(5:0{,}33\approx15{,}15\). Somit können noch \(15\) kleine Flaschen vollständig gefüllt werden; sie benötigen \(4{,}95\,\text{l}\).

a) \(26\) große Flaschen; Rest \(0{,}5\,\text{l}\) b) Die Aussage ist richtig; mit kleinen Flaschen bleiben \(0{,}2\,\text{l}\) statt \(0{,}5\,\text{l}\) übrig. c) \(15\) kleine Flaschen

- Bestimme zuerst, welchen Gesamterlös der Hof für Kosten und Zielgewinn benötigt. - Ziehe davon die Einnahmen des Vormittags ab und beachte gleichzeitig die noch nicht verkaufte Masse. - Die verlangte Differenz entsteht erst nach der Bestimmung des notwendigen Nachmittagspreises.

1. Die Gesamtkosten werden durch \(120\cdot1{,}80\) beschrieben und betragen \(216\,\text{€}\). 2. Der benötigte Gesamterlös ist \(216+240=456\,\text{€}\). 3. Am Morgen werden \(70\cdot4{,}50=315\,\text{€}\) eingenommen. 4. Für die restlichen \(120-70=50\,\text{kg}\) fehlen noch \(456-315=141\,\text{€}\). 5. Der Nachmittagspreis ist daher \(141:50=2{,}82\,\text{€/kg}\). 6. Für die verlangte Preisdifferenz passt \(4{,}50-\frac{120\cdot1{,}80+240-70\cdot4{,}50}{120-70}\). 7. Das ergibt \(4{,}50-2{,}82=1{,}68\,\text{€/kg}\).

\(4{,}50-\frac{120\cdot1{,}80+240-70\cdot4{,}50}{120-70}=1{,}68\,\text{€/kg}\)