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- Bestimme zunächst für jeden Teilquader getrennt das Volumen. - Welche drei Kantenlängen gehören jeweils zu einem Teilquader? - Überlege, wie die Volumina nicht überlappender Teile zum Gesamtvolumen beitragen.

1. Für den ersten Teilquader gilt \(V_1=3\cdot2\cdot2\,\text{cm}^3=12\,\text{cm}^3\). 2. Für den zweiten Teilquader gilt \(V_2=2\cdot2\cdot1\,\text{cm}^3=4\,\text{cm}^3\). 3. Die Teilquader überlappen sich nicht. Daher gilt \(V=V_1+V_2=12\,\text{cm}^3+4\,\text{cm}^3=16\,\text{cm}^3\).

\(V=3\cdot2\cdot2\,\text{cm}^3+2\cdot2\cdot1\,\text{cm}^3=16\,\text{cm}^3\)

- Beginne mit den Flächen der beiden Würfel, solange sie noch getrennt sind. - Überlege, was mit den beiden Quadratflächen geschieht, die beim Zusammenfügen direkt aufeinanderliegen. - Eine Kontaktstelle zwischen zwei Würfeln betrifft je eine Fläche beider Würfel.

1. Zwei getrennte Würfel haben zusammen \(12\) Quadratflächen. 2. An der Kontaktstelle liegt von jedem Würfel eine Fläche innen. Diese beiden Flächen gehören nicht zur Außenfläche. 3. Außen liegen daher \(12-2=10\) Quadratflächen.

Es liegen \(10\) Quadratflächen außen.

- Addiere zunächst alle Stapelhöhen im Bauplan. - Bestimme das Volumen eines einzelnen Holzwürfels. - Wie hängen Würfelzahl und Gesamtvolumen zusammen?

1. Die Stapelhöhen ergeben zusammen \(2+1+2+1+3+1+2+1+2=15\) Würfel. 2. Ein kleiner Würfel hat das Volumen \((2\,\text{cm})^3=8\,\text{cm}^3\). 3. Das Gesamtvolumen beträgt \(15\cdot8\,\text{cm}^3=120\,\text{cm}^3\).

\(120\,\text{cm}^3\)

- Addiere die Stapelhöhen im Bauplan. - Berechne das Volumen eines Würfels mit \(V = a \cdot a \cdot a\). - Multipliziere das Volumen eines Würfels mit der Gesamtzahl der Würfel.

1. Wir addieren die Stapelhöhen in den Reihen des Bauplans: - Vordere Reihe: \(2 + 1 = 3\) Würfel. - Mittlere Reihe: \(2 + 2 = 4\) Würfel. - Hintere Reihe: \(1 + 2 = 3\) Würfel. Insgesamt sind es \(3 + 4 + 3 = 10\) Würfel. 2. Das Volumen eines Würfels mit der Kantenlänge \(a = 5\,\text{cm}\) beträgt \(V_{\text{Einzel}} = 5\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 125\,\text{cm}^3\). 3. Das Gesamtvolumen beträgt \(V_{\text{Gesamt}} = 10 \cdot 125\,\text{cm}^3 = 1250\,\text{cm}^3\).

1. Es wurden \(10\) kleine Würfel verbaut. 2. Ein Würfel hat ein Volumen von \(125\,\text{cm}^3\). 3. Das Gesamtvolumen beträgt \(1250\,\text{cm}^3\).

- Was bedeuten die Zahlen in den quadratischen Feldern des Bauplans für die Struktur? - Überlege, wie du durch einfaches Addieren die Gesamtanzahl der Würfel herausfindest. - Welchen Rechenschritt benötigst du, um vom Volumen eines Würfels zum Volumen des ganzen Objekts zu kommen? - Überprüfe deine Rechnung für das Volumen eines einzelnen Würfels: \(a \cdot a \cdot a\).

1. Bestimmung der Gesamtanzahl der Würfel durch Summation aller Werte im Bauplan: \(1 + 2 + 1 + 0 + 1 + 0 + 2 + 1 + 2 = 10\) Würfel. 2. Berechnung des Volumens eines Einzelwürfels mit \(a = 4\,\text{cm}\): \(V_{\text{Einzel}} = 4\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 64\,\text{cm}^3\). 3. Berechnung des Gesamtvolumens: \(V_{\text{Gesamt}} = 10 \cdot 64\,\text{cm}^3 = 640\,\text{cm}^3\).

1. Es wurden insgesamt \(10\) Würfel verwendet. 2. Ein Würfel hat ein Volumen von \(64\,\text{cm}^3\). 3. Das Gesamtvolumen beträgt \(640\,\text{cm}^3\).

- Lies die Turmhöhen im Bauplan reihenweise ab. - Addiere alle Turmhöhen. - Berechne das Volumen eines Würfels und multipliziere es mit der Würfelzahl.

1. Wir addieren die Turmhöhen in jeder Reihe: - Vordere Reihe: \(1 + 1 + 1 = 3\) Würfel. - Mittlere Reihe: \(1 + 2 + 2 = 5\) Würfel. - Hintere Reihe: \(1 + 2 + 3 = 6\) Würfel. Insgesamt sind es \(3 + 5 + 6 = 14\) Würfel. 2. Das Volumen eines Würfels mit der Kantenlänge \(a = 2\,\text{cm}\) beträgt \(V_{\text{Einzel}} = 2\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 8\,\text{cm}^3\). 3. Das Gesamtvolumen beträgt \(V_{\text{Gesamt}} = 14 \cdot 8\,\text{cm}^3 = 112\,\text{cm}^3\).

1. Das Bauwerk besteht aus \(14\) kleinen Würfeln. 2. Ein kleiner Würfel hat ein Volumen von \(8\,\text{cm}^3\). 3. Das Gesamtvolumen beträgt \(112\,\text{cm}^3\).

- Zähle die Würfel im Bild über die einzelnen Turmhöhen. - Bestimme das Volumen eines kleinen Würfels aus seiner Kantenlänge. - Verbinde Würfelzahl und Einzelvolumen.

1. Aus dem Bild liest man die Turmhöhen \(2,0,2\), \(2,0,2\) und \(2,2,2\) ab. Insgesamt sind das \(14\) Würfel. 2. Ein Würfel hat das Volumen \((1\,\text{m})^3=1\,\text{m}^3\). 3. Das Gesamtvolumen beträgt daher \(14\cdot1\,\text{m}^3=14\,\text{m}^3\).

\(14\,\text{m}^3\)

- Zähle für Teil a) die Würfel in den beiden Reihen getrennt. - Ordne die Außenflächen für Teil b) nach Blickrichtungen, damit du keine Seite doppelt zählst. - Prüfe auch Ober- und Unterseite des zusammengesetzten Körpers.

1. Vorne stehen \(3\) einzelne Würfel. Hinten stehen \(3\) Türme der Höhe \(2\), also \(3 \cdot 2 = 6\) Würfel. 2. Insgesamt sind es \(3 + 6 = 9\) Würfel. 3. Für die Außenflächen kann man nach Richtungen zählen: oben \(6\), unten \(6\), vorne \(6\), hinten \(6\), links \(3\) und rechts \(3\). 4. Insgesamt sind das \(6 + 6 + 6 + 6 + 3 + 3 = 30\) quadratische Außenflächen.

a) \(9\) Würfel b) \(30\) quadratische Außenflächen

- Lies die Turmhöhen in beiden Reihen aus dem Bild ab. - Addiere zuerst die Zahl der dargestellten Würfel. - Übertrage anschließend die Bedeutung eines Modellwürfels auf das reale Volumen.

1. In der vorderen Reihe zeigt das Bild die Turmhöhen \(3,1,3\), also \(7\) Würfel. 2. In der hinteren Reihe sind es ebenfalls \(3,1,3\), also weitere \(7\) Würfel. 3. Insgesamt sind das \(14\) Würfel. Da jeder für \(1\,\text{m}^3\) steht, beträgt das Gesamtvolumen \(14\,\text{m}^3\).

\(14\,\text{m}^3\)

- Zähle die Würfel im Bild Reihe für Reihe oder Turm für Turm. - Bestimme anschließend das Volumen eines einzelnen Würfels aus seiner Kantenlänge. - Überlege, wie sich das Volumen eines Würfels auf alle gleich großen Würfel des Gebäudes übertragen lässt.

1. In der vorderen Reihe stehen \(3\) einzelne Würfel. In der hinteren Reihe stehen \(3\) Türme mit jeweils \(2\) Würfeln. Insgesamt sind das \(3+3\cdot2=9\) Würfel. 2. Für einen Würfel mit der Kantenlänge \(a=2\,\text{dm}\) gilt \(V=a^3=(2\,\text{dm})^3=8\,\text{dm}^3\). 3. Das gesamte Gebäude hat daher das Volumen \(9\cdot8\,\text{dm}^3=72\,\text{dm}^3\).

a) \(9\) Würfel b) \(72\,\text{dm}^3\)

- Zerlege die Treppe in die drei nebeneinanderliegenden Quader. - Berechne die Volumina der drei Quader getrennt. - Addiere die Teilvolumina.

1. Die drei Teilvolumina sind \(10\cdot30\cdot10=3000\,\text{cm}^3\), \(10\cdot30\cdot20=6000\,\text{cm}^3\) und \(10\cdot30\cdot30=9000\,\text{cm}^3\). 2. Das Gesamtvolumen beträgt \(V=3000+6000+9000=18\,000\,\text{cm}^3\).

\(18\,000\,\text{cm}^3\)

- Zerlege den I-Träger in oberen Flansch, Steg und unteren Flansch. - Berechne die drei Quader-Volumina getrennt. - Prüfe, dass die Teile nur an Flächen aneinanderstoßen und sich nicht überlappen.

1. Jeder Flansch hat das Volumen \(60\cdot20\cdot10=12\,000\,\text{cm}^3\). 2. Der Steg hat das Volumen \(20\cdot20\cdot30=12\,000\,\text{cm}^3\). 3. Die drei Quader überlappen sich nicht. Daher ist \(V=12\,000+12\,000+12\,000=36\,000\,\text{cm}^3\).

Das Volumen beträgt \(36\,000\,\text{cm}^3\).

- Berechne das Volumen der Platte und eines Beins getrennt. - Berücksichtige, dass es vier gleich große Beine gibt. - Wandle das Gesamtvolumen erst am Ende von Kubikzentimetern in Liter um.

1. Die Platte hat das Volumen \(60\cdot40\cdot5=12\,000\,\text{cm}^3\). 2. Ein Bein hat \(5\cdot5\cdot40=1000\,\text{cm}^3\). Vier Beine haben zusammen \(4000\,\text{cm}^3\). 3. Das Gesamtvolumen ist \(16\,000\,\text{cm}^3=16\,\text{dm}^3=16\,\text{l}\).

\(16\,\text{l}\)

- Du kannst den Körper zu einem vollständigen Quader ergänzen und die Aussparung abziehen. - Alternativ kannst du links, in der Mitte und rechts drei nicht überlappende Quader betrachten. - Achte beim mittleren Reststück darauf, wie viel Höhe unter der Ausklinkung übrig bleibt.

1. Der vollständige äußere Quader hat das Volumen \(32\cdot15\cdot20=9600\,\text{cm}^3\). 2. Die Ausklinkung hat das Volumen \(12\cdot15\cdot8=1440\,\text{cm}^3\). 3. Daher bleibt \(V=9600-1440=8160\,\text{cm}^3\). 4. Alternativ kann der Restkörper in zwei seitliche Quader \(10\times15\times20\) und einen mittleren Quader \(12\times15\times12\) zerlegt werden; auch diese Summe ergibt \(8160\,\text{cm}^3\).

\(8160\,\text{cm}^3\)

- Berechne zuerst das Volumen jedes einzelnen Quaders. - Wie lautet die Formel für das Volumen eines Quaders? - Addiere am Ende alle Teilergebnisse.

Das Gesamtvolumen ergibt sich aus der Summe der Volumina der drei Einzelquader: 1. Quader a: \(V_a = 8\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} = 480\,\text{cm}^3\). 2. Quader b: \(V_b = 5\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} \cdot 15\,\text{cm} = 450\,\text{cm}^3\). 3. Quader c: \(V_c = 8\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} = 480\,\text{cm}^3\). Gesamtvolumen: \(V = 480\,\text{cm}^3 + 450\,\text{cm}^3 + 480\,\text{cm}^3 = 1410\,\text{cm}^3\).

Das Gesamtvolumen beträgt \(1410\,\text{cm}^3\).

- Um was für eine geometrische Form handelt es sich bei diesem Körper? - Wie berechnet man allgemein das Volumen eines Prismas? - Bestimme zuerst die Fläche der vorderen (trapezförmigen) Seite und multipliziere sie dann mit der Tiefe des Körpers.

1. Den Körper als Prisma mit trapezförmiger Grundfläche identifizieren. 2. Maße des Trapezes bestimmen: Grundseite \(a = 1 + 4 + 3 = 8\text{ cm}\), parallele Oberseite \(c = 4\text{ cm}\), Höhe \(h = 6\text{ cm}\). 3. Flächeninhalt der Grundfläche (Trapez) berechnen: \(G = \frac{a+c}{2} \cdot h = \frac{8+4}{2} \cdot 6 = 36 \text{ cm}^2\). 4. Volumen mit der Tiefe des Prismas (\(2 \text{ cm}\)) berechnen: \(V = G \cdot \text{Tiefe} = 36 \cdot 2 = 72 \text{ cm}^3\).

\(72 \text{ cm}^3\)

- Aus welchen Teilflächen setzt sich die gesamte Oberfläche der Pyramide zusammen? - Wie berechnet man die Fläche eines Quadrats und die Fläche eines Dreiecks? - Achte in der Zeichnung darauf, welche Maße gegeben sind (Grundseite und Höhe der Seitenfläche).

1. Flächeninhalt der quadratischen Grundfläche berechnen: \(G = a^2 = 5 \cdot 5 = 25 \text{ cm}^2\). 2. Mantelfläche berechnen, bestehend aus 4 kongruenten Dreiecken mit Grundseite \(a=5\) und Höhe \(h_s=8\): \(M = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_s = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 = 80 \text{ cm}^2\). 3. Gesamtoberfläche summieren: \(O = G + M = 25 + 80 = 105 \text{ cm}^2\).

\(105 \text{ cm}^2\)

- Wenn du die Gesamtfläche durch die Anzahl der Würfelseiten teilst, erhältst du den Flächeninhalt eines einzelnen Quadrats. - Überlege dir für den Turm, wie viele der ursprünglichen Würfelseiten nach dem Stapeln noch von außen sichtbar sind. - Das Volumen verändert sich beim Zusammenstellen von Körpern einfach durch Addition.

1. Aus dem Oberflächeninhalt \(O = 6a^2 = 150\,\text{cm}^2\) folgt für eine Seitenfläche \(a^2 = 150\,\text{cm}^2 : 6 = 25\,\text{cm}^2\). Die Kantenlänge ist somit \(a = 5\,\text{cm}\). 2. Das Volumen eines Würfels ist \(V = a^3 = (5\,\text{cm})^3 = 125\,\text{cm}^3\). 3. Das Volumen des Turms aus 4 Würfeln ist die vierfache Menge: \(V_{\text{Turm}} = 4 \cdot 125\,\text{cm}^3 = 500\,\text{cm}^3\). 4. Der Turm hat eine Grundfläche von \(25\,\text{cm}^2\), eine Deckfläche von \(25\,\text{cm}^2\) und vier Seitenflächen, die jeweils aus 4 Quadraten bestehen. Jede dieser Seitenflächen hat den Inhalt \(4 \cdot 25\,\text{cm}^2 = 100\,\text{cm}^2\). Gesamtoberfläche: \(O_{\text{Turm}} = 2 \cdot 25\,\text{cm}^2 + 4 \cdot 100\,\text{cm}^2 = 50\,\text{cm}^2 + 400\,\text{cm}^2 = 450\,\text{cm}^2\). Alternativ: 4 Würfel haben \(4 \cdot 6 = 24\) Außenflächen. Beim Stapeln entstehen 3 Kontaktstellen, an denen jeweils 2 Flächen „verschwinden“: \(24 - (3 \cdot 2) = 18\) Flächen bleiben sichtbar. \(18 \cdot 25\,\text{cm}^2 = 450\,\text{cm}^2\).

a) Die Kantenlänge beträgt \(5\,\text{cm}\), das Volumen beträgt \(125\,\text{cm}^3\). b) Der Turm hat ein Volumen von \(500\,\text{cm}^3\) und einen Oberflächeninhalt von \(450\,\text{cm}^2\).

- Suche in der Abbildung eine Zerlegung in zwei Quader. - Für das Volumen kannst du die Volumina der beiden Quader addieren. - Bei der Oberfläche musst du beachten, dass die gemeinsame Berührungsfläche der Quader im Inneren liegt.

1. Zerlege den Körper in einen hohen Quader mit den Maßen \(3\,\text{cm}\times5\,\text{cm}\times4\,\text{cm}\) und einen niedrigen Quader mit \(3\,\text{cm}\times5\,\text{cm}\times2\,\text{cm}\). 2. Die Teilvolumina sind \(3\cdot5\cdot4=60\,\text{cm}^3\) und \(3\cdot5\cdot2=30\,\text{cm}^3\). Daher ist \(V=90\,\text{cm}^3\). 3. Die Oberflächen der beiden Quader betragen \(2\cdot(3\cdot5+3\cdot4+5\cdot4)=94\,\text{cm}^2\) und \(2\cdot(3\cdot5+3\cdot2+5\cdot2)=62\,\text{cm}^2\). 4. Die Quader berühren sich auf einer Fläche von \(5\,\text{cm}\times2\,\text{cm}=10\,\text{cm}^2\). Diese Kontaktfläche wurde zweimal mitgezählt und liegt nicht außen. Deshalb ist \(O=94+62-2\cdot10=136\,\text{cm}^2\).

a) \(90\,\text{cm}^3\) b) \(136\,\text{cm}^2\)

- Eine mögliche Trennlinie verläuft senkrecht an der Stufe, eine andere waagerecht. - Bestimme bei jeder Zerlegung die drei Kantenlängen der beiden entstehenden Quader. - Die beiden Teilvolumina jeder Zerlegung müssen sich zum gleichen Gesamtvolumen addieren.

1. Erste Zerlegung: Ein hoher linker Quader hat das Volumen \(3\cdot5\cdot4=60\,\text{cm}^3\). Rechts daneben liegt ein niedriger Quader mit der Breite \(8-3=5\,\text{cm}\) und dem Volumen \(5\cdot2\cdot4=40\,\text{cm}^3\). Zusammen ergibt das \(100\,\text{cm}^3\). 2. Zweite Zerlegung: Der untere Quader hat das Volumen \(8\cdot2\cdot4=64\,\text{cm}^3\). Darüber liegt links ein Quader mit der Höhe \(5-2=3\,\text{cm}\) und dem Volumen \(3\cdot3\cdot4=36\,\text{cm}^3\). Zusammen ergibt das ebenfalls \(100\,\text{cm}^3\). 3. Beide Zerlegungen beschreiben denselben Körper und liefern daher dasselbe Gesamtvolumen.

\(100\,\text{cm}^3\); zum Beispiel als \(60+40\) oder als \(64+36\) Kubikzentimeter.

- Zähle die Würfel Reihe für Reihe von hinten nach vorne oder Schicht für Schicht. - Berechne zuerst das Volumen eines einzigen kleinen Würfels mit der Kantenlänge \(5\,\text{cm}\). - Multipliziere das Volumen eines Würfels mit der Gesamtanzahl der Würfel. - Wie lautet der Umrechnungsfaktor von Kubikzentimetern (\(\text{cm}^3\)) in Kubikdezimeter (\(\text{dm}^3\))? Denke an die dreidimensionale Einheit!

1. Bestimme die Anzahl der Würfel durch systematisches Zählen von hinten nach vorne: - Hintere Reihe: \(2 + 2 + 2 = 6\) Würfel - Mittlere Reihe: \(1 + 0 + 1 = 2\) Würfel - Vordere Reihe: \(1 + 0 + 1 = 2\) Würfel - Insgesamt: \(6 + 2 + 2 = 10\) Würfel. 2. Berechne das Volumen eines einzelnen Würfels: - \(V_{\text{Würfel}} = 5\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 125\,\text{cm}^3\). 3. Berechne das Gesamtvolumen des zusammengesetzten Körpers in Kubikzentimetern: - \(V_{\text{gesamt}} = 10 \cdot 125\,\text{cm}^3 = 1250\,\text{cm}^3\). 4. Rechne das Gesamtvolumen in Kubikdezimeter um: - Da \(1\,\text{dm}^3 = 1000\,\text{cm}^3\) ist, gilt: - \(1250\,\text{cm}^3 : 1000 = 1{,}25\,\text{dm}^3\).

a) Das Würfelgebäude besteht aus \(10\) einzelnen Würfeln. b) Das Gesamtvolumen beträgt \(1250\,\text{cm}^3\). c) In Kubikdezimetern ausgedrückt beträgt das Gesamtvolumen \(1{,}25\,\text{dm}^3\).

- Zähle die Würfel sorgfältig Reihe für Reihe durch. - Denke daran, dass das Volumen eines Würfels mit der Kantenlänge \(2\,\text{cm}\) nicht einfach \(2\,\text{cm}^3\) ist. - Multipliziere die Kantenlängen des Zielquaders, um die Gesamtzahl der benötigten Würfel zu finden.

1. Anzahl der vorhandenen Würfel: Von vorne nach hinten betrachtet haben die Reihen \(1\), \(1\), \(2\) und \(5\) Würfel (\(1 + 0 + 0\); \(1 + 0 + 0\); \(1 + 1 + 0\); \(2 + 2 + 1\)). Das sind insgesamt \(1 + 1 + 2 + 5 = 9\) Würfel. 2. Volumen eines Würfels: \(V_{\text{Würfel}} = (2\,\text{cm})^3 = 8\,\text{cm}^3\). 3. Volumen des Körpers: \(9 \cdot 8\,\text{cm}^3 = 72\,\text{cm}^3\). 4. Würfel im Zielquader: \(4 \cdot 3 \cdot 2 = 24\) Würfel. 5. Fehlende Würfel: \(24 - 9 = 15\) Würfel.

a) Das Volumen des Körpers beträgt \(72\,\text{cm}^3\). b) Es fehlen noch \(15\) Würfel.

- An jeder Grundposition muss die Gesamthöhe \(2\) entstehen. - Stehen in Teil A bereits \(2\) Würfel, benötigt das Ergänzungsteil dort \(0\) Würfel. - Stehen in Teil A \(0\) Würfel, muss das Ergänzungsteil dort die Höhe \(2\) haben. - Addiere die Höhen an jeder Position.

1. Im vollständigen \(2 \times 2 \times 2\)-Würfel muss jede der vier Grundpositionen die Gesamthöhe \(2\) haben. 2. Bauteil A hat vorne die Höhen \((2, 1)\) und hinten \((1, 0)\). Die Ergänzung benötigt daher vorne \((0, 1)\) und hinten \((1, 2)\). 3. Teil B hat genau diese beiden Reihen. Teil C und Teil D weichen davon ab.

Teil B passt exakt zu Bauteil A.

- Bringe zuerst die Millimeterangabe in Zentimeter. - Addiere zunächst die Oberflächen der drei getrennten Teilkörper. - Jede der beiden Kontaktflächen ist in dieser Summe zweimal enthalten.

1. Es gilt \(20\,\text{mm}=2\,\text{cm}\). 2. Die Oberfläche des mittleren Quaders ist \(2(6\cdot3+6\cdot2+3\cdot2)=72\,\text{cm}^2\). Jeder angesetzte Würfel hat \(6\cdot2^2=24\,\text{cm}^2\) Oberfläche. 3. Jeder Würfel berührt den mittleren Quader auf einer Fläche von \(2\cdot2=4\,\text{cm}^2\). Insgesamt müssen deshalb vier solche innen liegenden Flächenanteile von der Summe der Einzeloberflächen abgezogen werden. 4. Somit ist \(O=72+24+24-4\cdot4=104\,\text{cm}^2\).

\(104\,\text{cm}^2\)

- Bestimme zuerst das Volumen des vollständigen großen Würfels. - Bestimme danach das Volumen des herausgeschnittenen Würfels. - Das gesuchte Volumen ist die Differenz der beiden Volumina.

1. Der ursprüngliche Würfel hat das Volumen \((6\,\text{cm})^3=216\,\text{cm}^3\). 2. Der herausgeschnittene Würfel hat das Volumen \((2\,\text{cm})^3=8\,\text{cm}^3\). 3. Das Restvolumen beträgt \(216-8=208\,\text{cm}^3\).

\(208\,\text{cm}^3\)

- Betrachte zunächst die Oberfläche von fünf getrennten Würfeln. - Wie viele Berührungsflächen gibt es zwischen dem mittleren und den äußeren Würfeln? - Bei jeder Berührung verschwinden zwei Quadratflächen aus der äußeren Oberfläche.

1. Fünf einzelne Würfel hätten zusammen \(5\cdot6=30\) quadratische Außenflächen mit jeweils \(10\cdot10=100\,\text{cm}^2\). 2. Der mittlere Würfel hat vier Kontaktflächen zu den vier äußeren Würfeln. Jede Kontaktfläche verschwindet bei beiden beteiligten Würfeln aus der Außenfläche, also fallen \(2\cdot4=8\) Quadratflächen weg. 3. Außen bleiben \(30-8=22\) Quadratflächen. 4. Daher ist \(O=22\cdot100=2200\,\text{cm}^2\).

\(2200\,\text{cm}^2\)

- Stelle dir zunächst den vollständigen äußeren Quader ohne Rinne vor. - Die Rinne kann als herausgenommener Quader betrachtet werden. - Das Materialvolumen ist die Differenz der beiden Quader-Volumina.

1. Ohne Rinne wäre das Bauteil ein Quader mit dem Volumen \(15\cdot10\cdot25=3750\,\text{mm}^3\). 2. Die herausgefräste Rinne ist ein Quader mit dem Volumen \(5\cdot6\cdot25=750\,\text{mm}^3\). 3. Das verbleibende Volumen beträgt \(V=3750-750=3000\,\text{mm}^3\).

\(3000\,\text{mm}^3\)

- Zerlege den Grundriss entlang der inneren Ecke in zwei Rechtecke. - In Teil b) wird aus jedem Rechteck zusammen mit der Raumhöhe ein Quader. - Für Teil c) wird der gegebene Preis auf das gesamte berechnete Volumen angewendet.

1. Der Grundriss zerfällt in ein Rechteck mit \(15\,\text{m}\times10\,\text{m}=150\,\text{m}^2\) und eines mit \(7\,\text{m}\times8\,\text{m}=56\,\text{m}^2\). Zusammen sind das \(206\,\text{m}^2\). 2. Der erste Gebäudeteil hat das Volumen \(15\cdot10\cdot2{,}8=420\,\text{m}^3\), der zweite \(7\cdot8\cdot2{,}8=156{,}8\,\text{m}^3\). Insgesamt ist \(V=576{,}8\,\text{m}^3\). 3. Die Kosten betragen \(576{,}8\cdot310\,\text{€}=178\,808\,\text{€}\).

a) \(206\,\text{m}^2\) b) \(576{,}8\,\text{m}^3\) c) \(178\,808\,\text{€}\)

- Für die Grundfläche kannst du die beiden rechteckigen Aussparungen vom äußeren Rechteck abziehen. - Übertrage dieselbe Idee in Teil b) auf dreidimensionale Quader. - Beide Aussparungen gehen über die gesamte Hallenhöhe.

1. Die Fläche des äußeren Rechtecks beträgt \(25\cdot12=300\,\text{m}^2\). Die beiden Aussparungen haben zusammen \(2\cdot4\cdot3=24\,\text{m}^2\). Daher ist die Hallenfläche \(276\,\text{m}^2\). 2. Der vollständige äußere Quader hätte das Volumen \(25\cdot12\cdot7=2100\,\text{m}^3\). 3. Jede Aussparung entspricht einem Quader mit \(4\cdot3\cdot7=84\,\text{m}^3\). Beide zusammen umfassen \(168\,\text{m}^3\). 4. Das Volumen der Halle beträgt daher \(2100-168=1932\,\text{m}^3\).

a) \(276\,\text{m}^2\) b) \(1932\,\text{m}^3\)

- Ergänze die U-Form gedanklich zu einem äußeren Rechteck. - Der fehlende mittlere Bereich kann in Teil b) als ausgesparter Quader betrachtet werden. - Beide Quader haben dieselbe Tiefe.

1. Die Wasseroberfläche ist \(8\cdot6-6\cdot4=48-24=24\,\text{m}^2\). 2. Der äußere Quader hätte das Volumen \(8\cdot6\cdot1{,}2=57{,}6\,\text{m}^3\). 3. Der ausgesparte innere Quader hat das Volumen \(6\cdot4\cdot1{,}2=28{,}8\,\text{m}^3\). 4. Das Wasservolumen ist \(57{,}6-28{,}8=28{,}8\,\text{m}^3\).

a) \(24\,\text{m}^2\) b) \(28{,}8\,\text{m}^3\)

- Welche zweidimensionale Form hat die gleichbleibende Vorderseite des Prismas? - Bestimme zuerst den Flächeninhalt dieser Grundfläche. - Wie hängt bei einem Prisma das Volumen mit Grundfläche und Prismenlänge zusammen?

1. Die trapezförmige Grundfläche hat den Flächeninhalt \(G=\frac{8{,}0\,\text{dm}+4{,}0\,\text{dm}}{2}\cdot3{,}0\,\text{dm}=18{,}0\,\text{dm}^2\). 2. Die Prismenlänge ist \(l=20{,}0\,\text{dm}\). Daher gilt \(V=G\cdot l=18{,}0\,\text{dm}^2\cdot20{,}0\,\text{dm}=360{,}0\,\text{dm}^3\).

Das Volumen des Bauteils beträgt \(360{,}0\,\text{dm}^3\).

- Welche einfache Flächen kannst du im hausförmigen Querschnitt erkennen? - Welche Höhe hat nur der dreieckige Dachteil? - Bestimme zuerst den Querschnitt und nutze dann die gleichbleibende Länge des Prismas.

1. Der rechteckige Teil des Querschnitts hat den Flächeninhalt \(3{,}0\,\text{m}\cdot2{,}5\,\text{m}=7{,}5\,\text{m}^2\). 2. Das Dachdreieck ist \(3{,}5\,\text{m}-2{,}5\,\text{m}=1{,}0\,\text{m}\) hoch. Sein Flächeninhalt beträgt \(\frac{1}{2}\cdot3{,}0\,\text{m}\cdot1{,}0\,\text{m}=1{,}5\,\text{m}^2\). 3. Damit ist die Grundfläche des Prismas \(G=7{,}5\,\text{m}^2+1{,}5\,\text{m}^2=9{,}0\,\text{m}^2\). 4. Das Volumen beträgt \(V=9{,}0\,\text{m}^2\cdot4{,}0\,\text{m}=36{,}0\,\text{m}^3\).

Das Luftvolumen im Gartenhaus beträgt \(36{,}0\,\text{m}^3\).

- Welche Fläche bleibt bei diesem Prisma von vorne bis hinten gleich? - Bestimme zuerst den Flächeninhalt des Trapezes. - Wie nutzt du anschließend die Tiefe des Körpers für das Volumen?

1. Der Flächeninhalt der trapezförmigen Grundfläche ist \(G=\frac{3{,}5\,\text{cm}+5{,}5\,\text{cm}}{2}\cdot4{,}0\,\text{cm}=18{,}0\,\text{cm}^2\). 2. Das Volumen des Prismas beträgt \(V=18{,}0\,\text{cm}^2\cdot8{,}0\,\text{cm}=144{,}0\,\text{cm}^3\).

Das Volumen des Keils beträgt \(144{,}0\,\text{cm}^3\).

- Bringe die Außenmaße und die Öffnung zuerst auf eine gemeinsame Längeneinheit. - Welcher volle Quader würde entstehen, wenn die Öffnung geschlossen wäre? - Welchen Quader musst du wegen der durchgehenden Öffnung wieder abziehen? - Verwende die angegebene Masse pro Kubikdezimeter erst für Teil b).

1. In Dezimetern misst der äußere Quader \(3\,\text{dm}\times3\,\text{dm}\times1\,\text{dm}\), der innere Quader \(1\,\text{dm}\times1\,\text{dm}\times1\,\text{dm}\). 2. Die Volumina sind \(V_{\text{außen}}=9\,\text{dm}^3\) und \(V_{\text{innen}}=1\,\text{dm}^3\). 3. Das Rahmenvolumen ist \(V=9\,\text{dm}^3-1\,\text{dm}^3=8\,\text{dm}^3\). 4. Die Masse beträgt \(8\,\text{dm}^3\cdot7{,}8\,\frac{\text{kg}}{\text{dm}^3}=62{,}4\,\text{kg}\).

a) Das Volumen des Rahmens beträgt \(8\,\text{dm}^3\). b) Die Masse des Rahmens beträgt \(62{,}4\,\text{kg}\).

- Für Methode a): Welche vier Quader bilden das E ohne Überlappung? - Für Methode b): Welcher große Quader umschließt die gesamte Form? - Welche zwei gleich großen Quader fehlen aus diesem umschließenden Quader? - Wandle das Volumen erst am Ende von \(\text{cm}^3\) in Liter um.

1. Methode a): Der Rücken hat \(V_R=20\cdot20\cdot60=24\,000\,\text{cm}^3\). Jeder der drei Balken hat \(V_B=40\cdot20\cdot10=8000\,\text{cm}^3\). Damit ist \(V=24\,000+3\cdot8000=48\,000\,\text{cm}^3\). 2. Methode b): Der umschließende Quader hat \(60\cdot20\cdot60=72\,000\,\text{cm}^3\). Jede Aussparung hat \(40\cdot20\cdot15=12\,000\,\text{cm}^3\). Damit ist \(V=72\,000-2\cdot12\,000=48\,000\,\text{cm}^3\). 3. Mit \(1000\,\text{cm}^3=1\,\text{l}\) folgt \(48\,000\,\text{cm}^3=48\,\text{l}\).

a) \(48\,\text{l}\) b) \(48\,\text{l}\)

- Betrachte den Boden und die beiden Seitenwände als drei Quader. - Welche Höhe haben die Seitenwände oberhalb des Bodens? - Bringe die Körperlänge in dieselbe Längeneinheit wie die Querschnittsmaße. - Addiere die drei Quader-Volumina und wandle erst das Ergebnis in Kubikdezimeter um.

1. Die Länge beträgt \(2\,\text{m}=2000\,\text{mm}\). Oberhalb des \(10\,\text{mm}\) dicken Bodens sind die Seitenwände jeweils \(60\,\text{mm}-10\,\text{mm}=50\,\text{mm}\) hoch. 2. Der Bodenquader hat \(V_1=100\,\text{mm}\cdot10\,\text{mm}\cdot2000\,\text{mm}=2\,000\,000\,\text{mm}^3\). 3. Jede Seitenwand hat \(V_2=10\,\text{mm}\cdot50\,\text{mm}\cdot2000\,\text{mm}=1\,000\,000\,\text{mm}^3\). 4. Insgesamt ist \(V=2\,000\,000\,\text{mm}^3+2\cdot1\,000\,000\,\text{mm}^3=4\,000\,000\,\text{mm}^3=4\,\text{dm}^3\).

Das Materialvolumen des Kabelkanals beträgt \(4\,\text{dm}^3\).

- Betrachte Boden und Seitenwände als drei Quader. - Welche Höhe haben die beiden Seitenwände nur oberhalb des Bodens? - Addiere die drei Teilvolumina und wandle das Ergebnis passend zur angegebenen Masse pro Kubikdezimeter um. - Die Massenangabe wird erst nach der Volumenberechnung benötigt.

1. Der Bodenquader hat das Volumen \(V_1=40\,\text{cm}\cdot100\,\text{cm}\cdot10\,\text{cm}=40\,000\,\text{cm}^3\). 2. Oberhalb des Bodens ist jede Seitenwand \(30\,\text{cm}-10\,\text{cm}=20\,\text{cm}\) hoch. Eine Seitenwand hat \(V_2=10\,\text{cm}\cdot100\,\text{cm}\cdot20\,\text{cm}=20\,000\,\text{cm}^3\). 3. Insgesamt ist \(V=40\,000\,\text{cm}^3+2\cdot20\,000\,\text{cm}^3=80\,000\,\text{cm}^3=80\,\text{dm}^3\). 4. Die Masse beträgt \(80\,\text{dm}^3\cdot2{,}4\,\frac{\text{kg}}{\text{dm}^3}=192\,\text{kg}\).

Das Betonelement hat eine Masse von \(192\,\text{kg}\).

- Welchen vollen Quader erhältst du, wenn du die Öffnung gedanklich schließt? - Welche Form und welche Maße hat der herausgenommene Hohlraum? - Vergleiche die beiden Volumina so, dass nur das Material übrig bleibt.

1. Der äußere Quader hat das Volumen \(V_{\text{außen}}=12\,\text{cm}\cdot10\,\text{cm}\cdot6\,\text{cm}=720\,\text{cm}^3\). 2. Die durchgehende Öffnung entspricht einem Quader mit \(V_{\text{innen}}=8\,\text{cm}\cdot10\,\text{cm}\cdot4\,\text{cm}=320\,\text{cm}^3\). 3. Daher beträgt das Metallvolumen \(V=720\,\text{cm}^3-320\,\text{cm}^3=400\,\text{cm}^3\).

Das Volumen des Metalls beträgt \(400\,\text{cm}^3\).

- Bestimme zuerst, wie viel vom Gesamtvolumen auf den unteren Quader entfällt. - Welches Volumen bleibt danach für den oberen Quader übrig? - Aus Volumen und Höhe des oberen Quaders kannst du seine quadratische Grundfläche bestimmen. - Welche positive Seitenlänge gehört zu dieser quadratischen Fläche?

1. Der untere Quader hat \(V_1=8\,\text{cm}\cdot8\,\text{cm}\cdot3\,\text{cm}=192\,\text{cm}^3\). 2. Für den oberen Quader bleiben \(V_2=256\,\text{cm}^3-192\,\text{cm}^3=64\,\text{cm}^3\). 3. Seine quadratische Grundfläche hat den Flächeninhalt \(G=64\,\text{cm}^3:4\,\text{cm}=16\,\text{cm}^2\). 4. Wegen \(x\cdot x=16\,\text{cm}^2\) und \(x>0\) gilt \(x=4\,\text{cm}\).

Die Seitenlänge beträgt \(x=4\,\text{cm}\).

- Bestimme zuerst das Volumen des vollständig bekannten Teilquaders. - Welcher Anteil des Gesamtvolumens bleibt für den zweiten Quader übrig? - Beim zweiten Quader kennst du danach Volumen und zwei Kantenlängen.

1. Der erste Quader hat \(V_1=6\,\text{cm}\cdot3\,\text{cm}\cdot4\,\text{cm}=72\,\text{cm}^3\). 2. Für den zweiten Quader bleiben \(V_2=90\,\text{cm}^3-72\,\text{cm}^3=18\,\text{cm}^3\). 3. Seine Grundfläche hat den Flächeninhalt \(3\,\text{cm}\cdot2\,\text{cm}=6\,\text{cm}^2\). 4. Daher ist \(h=18\,\text{cm}^3:6\,\text{cm}^2=3\,\text{cm}\).

Die unbekannte Höhe beträgt \(h=3\,\text{cm}\).

- Überlege, welche Flächen nach dem Zusammenfügen der beiden Quader nicht mehr außen liegen. - Welche Größe hat die gemeinsame Berührungsfläche? - Prüfe, wie oft diese Fläche in der Summe der beiden Einzeloberflächen enthalten ist.

1. Die beiden Einzeloberflächen sind richtig berechnet. Die gemeinsame Kontaktfläche liegt nach dem Zusammensetzen jedoch innen. 2. Die Kontaktfläche ist \(3\,\text{cm}\times4\,\text{cm}=12\,\text{cm}^2\) groß. 3. Diese Fläche wurde in der Summe der beiden Einzeloberflächen zweimal mitgezählt. 4. Deshalb gilt \(O=140\,\text{cm}^2-2\cdot12\,\text{cm}^2=116\,\text{cm}^2\).

Amina zählt die gemeinsame Kontaktfläche zweimal als Außenfläche mit. Die richtige äußere Oberfläche beträgt \(116\,\text{cm}^2\).

- Welche Flächen verschwinden aus der äußeren Oberfläche, sobald zwei Quader aneinandergefügt werden? - Verfolge die Kette von A nach D und zähle die tatsächlichen Flächenkontakte. - Überlege, wie oft jede Kontaktfläche in der Summe der Einzeloberflächen enthalten ist.

1. Beim Zusammenfügen entstehen drei Kontaktflächen: zwischen A und B, zwischen B und C sowie zwischen C und D. 2. Jede Kontaktfläche ist \(2\,\text{cm}\times2\,\text{cm}=4\,\text{cm}^2\) groß. 3. Jede Kontaktfläche wurde in der Summe der Einzeloberflächen zweimal mitgezählt. Insgesamt müssen daher \(2\cdot3\cdot4\,\text{cm}^2=24\,\text{cm}^2\) abgezogen werden. 4. Die richtige äußere Oberfläche ist \(144\,\text{cm}^2-24\,\text{cm}^2=120\,\text{cm}^2\).

Amina zählt drei innen liegende Kontaktflächen jeweils zweimal mit. Die richtige äußere Oberfläche beträgt \(120\,\text{cm}^2\).

- Stell dir vor, welche Flächen des Körpers von außen sichtbar sind. - Was passiert mit den Flächen an der Stelle, an der die beiden Körper zusammengeklebt sind? - Gehören diese inneren Flächen noch zum Oberflächeninhalt des Gesamtkörpers? - Du kannst entweder die Oberflächen einzeln berechnen und die Klebefläche abziehen oder alle sichtbaren Teilflächen addieren.

1. Berechnung des Oberflächeninhalts des unteren Quaders: \(O_1 = 2 \cdot (10 \cdot 10 + 10 \cdot 4 + 10 \cdot 4) = 2 \cdot (100 + 40 + 40) = 360\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Oberflächeninhalts des oberen Würfels: \(O_2 = 6 \cdot (5 \cdot 5) = 150\,\text{cm}^2\). 3. Bestimmung der Klebefläche: Da der Würfel auf dem Quader klebt, ist eine Fläche von \(5\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 25\,\text{cm}^2\) bei beiden Körpern nicht mehr Teil der Außenfläche. 4. Berechnung der Gesamtoberfläche: \(O_{Gesamt} = O_1 + O_2 - 2 \cdot 25\,\text{cm}^2 = 360 + 150 - 50 = 460\,\text{cm}^2\). Alternativ: Addition aller sichtbaren Teilflächen (Boden: \(100\), 4 Seiten unten: \(160\), Rest-Oberseite unten: \(100-25=75\), 4 Seiten oben: \(100\), Deckfläche oben: \(25\)). Summe: \(100 + 160 + 75 + 100 + 25 = 460\,\text{cm}^2\).

Der gesamte Oberflächeninhalt des Podests beträgt \(460\,\text{cm}^2\).

- Berechne zuerst die Volumina der drei Teilkörper. - Bei der Oberfläche darfst du Flächen, an denen zwei Teilkörper zusammenstoßen, nicht als Außenflächen mitzählen. - Es gibt zwei verschieden große Kontaktflächen.

1. Die drei Volumina sind \(6\cdot4\cdot2=48\,\text{cm}^3\), \(2\cdot4\cdot3=24\,\text{cm}^3\) und \(2\cdot2\cdot2=8\,\text{cm}^3\). Daher ist \(V=48+24+8=80\,\text{cm}^3\). 2. Die Oberflächen der drei Einzelkörper sind \(88\,\text{cm}^2\), \(52\,\text{cm}^2\) und \(24\,\text{cm}^2\). 3. Der linke Quader berührt den Grundquader auf \(2\cdot4=8\,\text{cm}^2\), der Würfel auf \(2\cdot2=4\,\text{cm}^2\). Beide Kontaktflächen wurden jeweils zweimal mitgezählt. 4. Somit ist \(O=88+52+24-2\cdot8-2\cdot4=140\,\text{cm}^2\).

\(V=80\,\text{cm}^3\) \(O=140\,\text{cm}^2\)

- Für das Volumen kannst du die drei Stufen als einzelne Quader behandeln. - Bei der Oberfläche sind die Berührungsflächen zwischen übereinanderliegenden Stufen nicht sichtbar. - Wenn du die Einzeloberflächen addierst, wie oft ist jede Kontaktfläche zu viel enthalten?

1. Die drei Teilvolumina sind \(30\cdot10\cdot10=3000\,\text{cm}^3\), \(20\cdot10\cdot10=2000\,\text{cm}^3\) und \(10\cdot10\cdot10=1000\,\text{cm}^3\). Daher ist \(V=6000\,\text{cm}^3\). 2. Die Einzeloberflächen der drei Quader sind \(1400\,\text{cm}^2\), \(1000\,\text{cm}^2\) und \(600\,\text{cm}^2\). 3. Zwischen unterer und mittlerer Stufe liegt eine Kontaktfläche von \(20\,\text{cm}\times10\,\text{cm}=200\,\text{cm}^2\), zwischen mittlerer und oberster Stufe eine von \(10\,\text{cm}\times10\,\text{cm}=100\,\text{cm}^2\). Beide Kontaktflächen wurden jeweils zweimal mitgezählt. 4. Deshalb ist \(O=1400+1000+600-2\cdot200-2\cdot100=2400\,\text{cm}^2\).

\(V=6000\,\text{cm}^3\) \(O=2400\,\text{cm}^2\)

- Betrachte zuerst den vollständigen äußeren Quader. - Für die Innenmaße wird die Wandstärke bei Länge und Breite auf zwei Seiten, bei der Höhe aber nur am Boden abgezogen. - Das gesuchte Materialvolumen ist die Differenz aus Außenvolumen und Hohlraum.

1. Der äußere Quader hat das Volumen \(8\cdot5\cdot4=160\,\text{dm}^3\). 2. Der Hohlraum ist innen \(8-2=6\,\text{dm}\) lang, \(5-2=3\,\text{dm}\) breit und wegen des Bodens \(4-1=3\,\text{dm}\) hoch. Sein Volumen ist \(6\cdot3\cdot3=54\,\text{dm}^3\). 3. Das Betonvolumen beträgt daher \(160-54=106\,\text{dm}^3\). 4. Wegen \(1\,\text{dm}^3=1\,\text{l}\) entspricht das \(106\,\text{l}\).

\(106\,\text{dm}^3\), entsprechend \(106\,\text{l}\)

- Addiere für Teil a) die Volumina der drei Quader. - Bei der Oberfläche liegen die Kontaktflächen zwischen Pfeilern und Deckstein innen. - Überlege, wie oft jede innere Kontaktfläche in der Summe der Einzeloberflächen enthalten ist.

1. Ein Pfeiler hat das Volumen \(2\cdot3\cdot4=24\,\text{cm}^3\), der Deckstein \(8\cdot3\cdot2=48\,\text{cm}^3\). Damit ist \(V=2\cdot24+48=96\,\text{cm}^3\). 2. Ein einzelner Pfeiler hat die Oberfläche \(2\cdot(2\cdot3+2\cdot4+3\cdot4)=52\,\text{cm}^2\), der Deckstein \(2\cdot(8\cdot3+8\cdot2+3\cdot2)=92\,\text{cm}^2\). 3. Jeder Pfeiler berührt den Deckstein auf \(2\,\text{cm}\times3\,\text{cm}=6\,\text{cm}^2\). Es gibt zwei solcher Kontaktstellen, und jede wurde in zwei Einzeloberflächen mitgezählt. 4. Deshalb ist \(O=2\cdot52+92-4\cdot6=172\,\text{cm}^2\).

a) \(96\,\text{cm}^3\) b) \(172\,\text{cm}^2\)

- Das Gesamtvolumen ist die Summe der drei Quader-Volumina. - Für Teil b) trenne senkrechte Außenflächen von waagerechten sichtbaren Flächen. - Die Standfläche des untersten Quaders gehört ausdrücklich nicht zur gesuchten Fläche.

1. Die Teilvolumina sind \(6\cdot4\cdot2=48\,\text{m}^3\), \(4\cdot2\cdot2=16\,\text{m}^3\) und \(2\cdot2\cdot2=8\,\text{m}^3\). Insgesamt ist \(V=72\,\text{m}^3\). 2. Die senkrechten Seitenflächen der drei Quader haben zusammen die Flächeninhalte \(2(6+4)\cdot2=40\,\text{m}^2\), \(2(4+2)\cdot2=24\,\text{m}^2\) und \(2(2+2)\cdot2=16\,\text{m}^2\). 3. Die von oben sichtbaren waagerechten Flächen ergänzen sich insgesamt zur Deckfläche des unteren Quaders, also zu \(6\,\text{m}\cdot4\,\text{m}=24\,\text{m}^2\). 4. Die Standfläche wird nicht gereinigt. Daher beträgt die zu reinigende Fläche \(40+24+16+24=104\,\text{m}^2\).

a) \(72\,\text{m}^3\) b) \(104\,\text{m}^2\)

- Kannst du die L-förmige Figur in zwei einfache Rechtecke zerlegen? - Wie berechnest du den Flächeninhalt eines Rechtecks? - Wie rechnest du die Füllhöhe von Zentimetern in Meter um? - Welches Gesamtvolumen an Sand in Kubikmetern ergibt sich daraus? - Denke daran, dass ein Kubikmeter \(1000\) Litern entspricht.

1. Zerlegung der Grundfläche in zwei Rechtecke: ein oberes Rechteck mit den Maßen \(4{,}0\,\text{m} \times 1{,}5\,\text{m}\) und ein unteres rechtes Rechteck mit den Maßen \(1{,}5\,\text{m} \times 2{,}0\,\text{m}\). 2. Berechnung der Teilflächen: \(A_1 = 4{,}0\,\text{m} \cdot 1{,}5\,\text{m} = 6{,}0\,\text{m}^2\) und \(A_2 = 1{,}5\,\text{m} \cdot 2{,}0\,\text{m} = 3{,}0\,\text{m}^2\). 3. Berechnung des Gesamtflächeninhalts: \(A_{\text{gesamt}} = 6{,}0\,\text{m}^2 + 3{,}0\,\text{m}^2 = 9{,}0\,\text{m}^2\). 4. Berechnung des benötigten Sandvolumens bei einer Füllhöhe von \(25\,\text{cm} = 0{,}25\,\text{m}\): \(V = 9{,}0\,\text{m}^2 \cdot 0{,}25\,\text{m} = 2{,}25\,\text{m}^3\). 5. Umrechnung des Volumens in Liter: \(2{,}25\,\text{m}^3 = 2250\,\text{l}\). 6. Ermittlung der Sackanzahl bei \(25\,\text{l}\) pro Sack: \(\frac{2250\,\text{l}}{25\,\text{l}} = 90\).

Es müssen \(90\) Säcke Spielsand gekauft werden.

- Bestimme aus dem Bauplan zunächst die Anzahl aller Würfel. - Überlege anschließend, wie viele ganze Quadratflächen jeweils zwischen zwei benachbarten Würfeln liegen. - Warum verschwinden bei jeder Berührungsfläche zwei Würfelflächen von der äußeren Oberfläche?

1. Der Bauplan beschreibt \(9\) Würfel in der unteren Schicht und einen zusätzlichen Würfel auf der Mitte. Insgesamt gilt \(N=10\). 2. In der unteren \(3\times3\)-Schicht gibt es \(12\) Berührungsflächen zwischen seitlich benachbarten Würfeln. Der zusätzliche Würfel hat eine weitere Berührungsfläche mit dem mittleren Würfel. Daher gilt \(C=13\). 3. Zehn getrennte Würfel hätten zusammen \(6\cdot10=60\) Quadratflächen. Jede Berührungsfläche entfernt zwei Flächen von der äußeren Oberfläche. 4. Somit gilt \(O=60-2\cdot13=34\,\text{cm}^2\).

Der Oberflächeninhalt beträgt \(34\,\text{cm}^2\).

- Bestimme aus der Abbildung zunächst die Größe des vollständigen äußeren Würfels. - Untersuche anschließend Breite, Tiefe und Höhe des herausgenommenen Schachts. - Das verbleibende Würfelvolumen ist die Differenz aus äußerem Körper und Schacht.

1. Aus der Abbildung erkennt man einen vollständigen \(5\times5\times5\)-Würfel. Er würde \(5\cdot5\cdot5=125\) Einheitswürfel enthalten. 2. Der herausgenommene Schacht hat eine \(3\times3\)-Grundfläche und geht durch alle \(5\) Schichten. Er umfasst \(3\cdot3\cdot5=45\) Einheitswürfel. 3. Verbleiben \(125-45=80\) Einheitswürfel.

\(80\) Einheitswürfel

- Denke an äußere Seitenflächen, innere Seitenflächen und die beiden Stirnflächen. - Bestimme aus Außenmaß und Wandstärke zuerst die Kantenlänge der quadratischen Öffnung. - Die Stirnflächen sind Rahmenflächen, also äußeres Quadrat minus inneres Quadrat.

1. Die vier äußeren Seitenflächen haben zusammen den Flächeninhalt \(4\cdot30\cdot20=2400\,\text{cm}^2\). 2. Das innere Loch ist \(30-2\cdot5=20\,\text{cm}\) breit und hoch. Seine vier inneren Seitenflächen haben zusammen \(4\cdot20\cdot20=1600\,\text{cm}^2\). 3. Jede Stirnfläche ist ein \(30\,\text{cm}\times30\,\text{cm}\)-Quadrat mit einem \(20\,\text{cm}\times20\,\text{cm}\)-Ausschnitt. Beide Stirnflächen haben zusammen \(2\cdot(30^2-20^2)=1000\,\text{cm}^2\). 4. Insgesamt ist \(O=2400+1600+1000=5000\,\text{cm}^2\).

\(5000\,\text{cm}^2\)

- Zerlege die C-Form in einen senkrechten und zwei waagerechte Quader. - Addiere zunächst die vollständigen Oberflächen der drei Quader. - Welche Kontaktflächen liegen nach dem Zusammensetzen innen und sind deshalb doppelt abzuziehen?

1. Zerlege den Körper in einen linken Quader mit \(2\,\text{cm}\times10\,\text{cm}\times6\,\text{cm}\) sowie einen oberen und einen unteren Quader mit jeweils \(4\,\text{cm}\times10\,\text{cm}\times2\,\text{cm}\). 2. Die Oberfläche des linken Quaders beträgt \(2\cdot(2\cdot10+2\cdot6+10\cdot6)=184\,\text{cm}^2\). Jeder der beiden anderen Quader hat die Oberfläche \(2\cdot(4\cdot10+4\cdot2+10\cdot2)=136\,\text{cm}^2\). 3. Oben und unten gibt es je eine Kontaktfläche von \(2\,\text{cm}\times10\,\text{cm}=20\,\text{cm}^2\). Jede wurde zweimal mitgezählt. 4. Daher ist \(O=184+136+136-4\cdot20=376\,\text{cm}^2\).

\(376\,\text{cm}^2\)

- Zerlege den stufenförmigen Querschnitt in drei waagerechte Rechtecke. - Für Teil a) achte auf die Umrechnung von \(\text{cm}^2\) in \(\text{m}^2\). - Für Teil b) stelle dir jedes dieser Rechtecke über die gesamte Länge als eigenen Quader vor.

1. Der Querschnitt lässt sich in Rechtecke mit \(120\,\text{cm}\times30\,\text{cm}\), \(80\,\text{cm}\times30\,\text{cm}\) und \(40\,\text{cm}\times30\,\text{cm}\) zerlegen. Ihre Flächen sind \(3600\,\text{cm}^2\), \(2400\,\text{cm}^2\) und \(1200\,\text{cm}^2\). 2. Insgesamt sind das \(7200\,\text{cm}^2=0{,}72\,\text{m}^2\). 3. Für Teil b) entsprechen die drei Rechtecke Quadern mit den Maßen \(1{,}2\,\text{m}\times0{,}3\,\text{m}\times15\,\text{m}\), \(0{,}8\,\text{m}\times0{,}3\,\text{m}\times15\,\text{m}\) und \(0{,}4\,\text{m}\times0{,}3\,\text{m}\times15\,\text{m}\). 4. Die Teilvolumina sind \(5{,}4\,\text{m}^3\), \(3{,}6\,\text{m}^3\) und \(1{,}8\,\text{m}^3\). Zusammen ergibt das \(V=10{,}8\,\text{m}^3\).

a) \(0{,}72\,\text{m}^2\) b) \(10{,}8\,\text{m}^3\)

- Für die Stirnfläche kannst du die innere Aussparung vom äußeren Rechteck abziehen. - Übertrage dieselbe Idee in Teil b) auf zwei Quader mit derselben Tiefe. - Für die Literangabe brauchst du den Zusammenhang zwischen \(\text{cm}^3\) und Litern.

1. Die Stirnfläche ist ein äußeres Rechteck mit \(120\,\text{cm}\times50\,\text{cm}\) minus die innere Aussparung mit \(100\,\text{cm}\times40\,\text{cm}\). Daher ist \(A=6000-4000=2000\,\text{cm}^2\). 2. Der vollständige äußere Quader hätte das Volumen \(120\cdot50\cdot40=240\,000\,\text{cm}^3\). 3. Der innere Aussparungsquader hat das Volumen \(100\cdot40\cdot40=160\,000\,\text{cm}^3\). 4. Das Betonvolumen beträgt \(240\,000-160\,000=80\,000\,\text{cm}^3\). Das entspricht \(80\,\text{l}\).

a) \(2000\,\text{cm}^2\) b) \(80\,000\,\text{cm}^3\), entsprechend \(80\,\text{l}\)

- Zerlege den T-Querschnitt in Kopfplatte und Steg. - In Teil b) wird aus jedem Rechteck über die gesamte Balkenlänge ein Quader. - Für Teil c) muss das Volumen zur Einheit der gegebenen Dichte passen.

1. Die Querschnittsfläche besteht aus einem Rechteck \(20\,\text{cm}\times5\,\text{cm}\) und einem Rechteck \(6\,\text{cm}\times15\,\text{cm}\). Damit ist \(A=100+90=190\,\text{cm}^2\). 2. Die Länge ist \(300\,\text{cm}\). Der obere Quader hat das Volumen \(20\cdot5\cdot300=30\,000\,\text{cm}^3\), der Stegquader \(6\cdot15\cdot300=27\,000\,\text{cm}^3\). 3. Insgesamt ist \(V=57\,000\,\text{cm}^3=57\,\text{dm}^3\). 4. Die Masse beträgt \(57\cdot2{,}4\,\text{kg}=136{,}8\,\text{kg}\).

a) \(190\,\text{cm}^2\) b) \(57\,000\,\text{cm}^3\) c) \(136{,}8\,\text{kg}\)

- Zerlege das Profil in zwei Flansche und einen Steg. - In Teil b) bildet jedes dieser drei Rechtecke über die gesamte Länge einen Quader. - Nutze in Teil c) die angegebene Masse pro Kubikzentimeter und wandle erst am Ende in Kilogramm um.

1. Die beiden Flansche haben zusammen die Fläche \(2\cdot15\cdot3=90\,\text{cm}^2\), der Steg \(3\cdot10=30\,\text{cm}^2\). Insgesamt ist \(A=120\,\text{cm}^2\). 2. Die Länge ist \(500\,\text{cm}\). Die beiden Flanschquader haben zusammen das Volumen \(2\cdot15\cdot3\cdot500=45\,000\,\text{cm}^3\), der Stegquader \(3\cdot10\cdot500=15\,000\,\text{cm}^3\). 3. Damit ist \(V=60\,000\,\text{cm}^3\). 4. Die Masse beträgt \(60\,000\cdot7{,}85\,\text{g}=471\,000\,\text{g}=471\,\text{kg}\).

a) \(120\,\text{cm}^2\) b) \(60\,000\,\text{cm}^3\) c) \(471\,\text{kg}\)

- Zerlege die Kreuzform ohne Überlappung in ein langes Mittelrechteck und zwei seitliche Rechtecke. - Übertrage diese drei Rechtecke für Teil b) auf drei Quader mit derselben Höhe. - Passe für Teil c) die Volumeneinheit an die gegebene Dichte an.

1. Die Querschnittsfläche besteht aus einem senkrechten Rechteck \(10\,\text{cm}\times40\,\text{cm}\) und zwei seitlichen Rechtecken \(10\,\text{cm}\times10\,\text{cm}\). Damit ist \(A=400+2\cdot100=600\,\text{cm}^2\). 2. Die Höhe beträgt \(250\,\text{cm}\). Der senkrechte Quader hat das Volumen \(10\cdot40\cdot250=100\,000\,\text{cm}^3\). Die beiden Seitenquader haben zusammen \(2\cdot10\cdot10\cdot250=50\,000\,\text{cm}^3\). 3. Insgesamt ist \(V=150\,000\,\text{cm}^3=150\,\text{dm}^3\). 4. Die Masse beträgt \(150\cdot2{,}5\,\text{kg}=375\,\text{kg}\).

a) \(600\,\text{cm}^2\) b) \(150\,\text{dm}^3\) c) \(375\,\text{kg}\)

- Du kannst zunächst die Oberflächen der drei einzelnen Kisten bestimmen. - Welche rechteckigen Flächen verschwinden dort, wo zwei Kisten aneinanderstehen? - Die gemeinsame Kontaktfläche zweier unterschiedlich hoher Kisten richtet sich nach der kleineren der beiden Höhen. - Überlege, wie oft jede Kontaktfläche in der Summe der Einzeloberflächen vorkommt.

1. Die Oberflächen der drei einzelnen Quader sind \(O_1=2(25+40+40)\,\text{dm}^2=210\,\text{dm}^2\), \(O_2=2(25+60+60)\,\text{dm}^2=290\,\text{dm}^2\) und \(O_3=2(25+50+50)\,\text{dm}^2=250\,\text{dm}^2\). 2. Zwischen der ersten und zweiten Kiste liegt eine Kontaktfläche von \(5\,\text{dm}\cdot8\,\text{dm}=40\,\text{dm}^2\). Zwischen der zweiten und dritten liegt eine Kontaktfläche von \(5\,\text{dm}\cdot10\,\text{dm}=50\,\text{dm}^2\). 3. Beide Kontaktflächen wurden in der Summe der Einzeloberflächen jeweils zweimal mitgezählt. Daher ist \(O=210\,\text{dm}^2+290\,\text{dm}^2+250\,\text{dm}^2-2\cdot40\,\text{dm}^2-2\cdot50\,\text{dm}^2=570\,\text{dm}^2\).

Der Oberflächeninhalt des Gesamtkörpers beträgt \(570\,\text{dm}^2\).