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- Erinnere dich daran, welche Rolle der Zähler und der Nenner bei einer Division spielen. - Der Bruchstrich kann wie ein Geteiltzeichen gelesen werden. - Welche Zahl wird geteilt und durch welche Zahl wird geteilt?

1. Identifikation des Dividenden: Der Zähler eines Bruches entspricht dem Dividenden der Divisionsaufgabe. Ergebnis: \( 5 \). 2. Identifikation des Divisors: Der Nenner eines Bruches entspricht dem Divisor der Divisionsaufgabe. Ergebnis: \( 13 \). 3. Darstellung als Quotient: Kombination der Werte zur Divisionsaufgabe \( 5 : 13 \).

a) 5 b) 13 c) \( 5 : 13 \)

- Stell dir vor, du schneidest jede der zwei Pizzen in drei gleich große Stücke. - Wie viele solcher Drittelstücke bekommt jedes Kind insgesamt? - Ein Bruchstrich bedeutet dasselbe wie ein Geteiltzeichen.

1. Identifikation der Situation: Es werden \(2\) Ganze durch \(3\) Personen geteilt. 2. Anwendung des Wissens „Bruch als Quotient“: Die Rechnung lautet \(2 : 3\). 3. Ergebnis als Bruch: Das Ergebnis der Division \(2 : 3\) ist der Bruch \(\frac{2}{3}\). Jedes Kind erhält \(\frac{2}{3}\) einer Pizza.

Jedes Kind erhält \(\frac{2}{3}\) einer Pizza.

- Überlege, welche Zahl das eine ganze Fladenbrot und welche Zahl die Anzahl der Kinder beschreibt. - Eine Division \(a:b\) kann als Bruch \(\frac{a}{b}\) geschrieben werden. - Prüfe, ob vier gleich große Anteile zusammen wieder ein Ganzes ergeben.

1. Ein ganzes Fladenbrot wird auf \(4\) Kinder verteilt. Das ist die Division \(1:4\). 2. Als Bruch geschrieben gilt \(1:4=\frac{1}{4}\). 3. Jedes Kind erhält daher ein Viertel des Fladenbrots.

\(1:4=\frac{1}{4}\). Jedes Kind erhält \(\frac{1}{4}\) des Fladenbrots.

- Was bedeutet das Geteiltzeichen bei einem Bruchstrich? - Überlege, durch welche Zahl du sowohl den Dividenden als auch den Divisor teilen kannst. - Wenn der Dividend größer als der Divisor ist, ist der Quotient größer als 1. Nur wenn die Division ohne Rest aufgeht, ist das Ergebnis eine ganze Zahl; andernfalls kann der Bruch als gemischte Zahl geschrieben werden. - Suche nach dem größten gemeinsamen Teiler, um den Bruch in einem Schritt vollständig zu kürzen.

1. Umwandlung der Division \(a : b\) in den Bruch \(\frac{a}{b}\). 2. Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers (ggT) für Zähler und Nenner. 3. Kürzen des Bruchs durch Division von Zähler und Nenner durch den ggT. Ergebnisse: a) \(\frac{12}{15} = \frac{4}{5}\) (ggT ist 3) b) \(\frac{45}{20} = \frac{9}{4}\) (ggT ist 5) c) \(\frac{132}{11} = 12\) (132 ist durch 11 teilbar) d) \(\frac{14}{42} = \frac{1}{3}\) (ggT ist 14) e) \(\frac{75}{100} = \frac{3}{4}\) (ggT ist 25)

a) \(\frac{4}{5}\) b) \(\frac{9}{4}\) c) \(12\) d) \(\frac{1}{3}\) e) \(\frac{3}{4}\)

- Berechne für jeden Ausdruck einzeln den einfachsten Bruch. - Schreibe dir die gekürzten Ergebnisse unter die Aufgaben, um sie besser vergleichen zu können. - Achte darauf, wirklich so weit wie möglich zu kürzen, damit du die Gleichheit erkennst.

1. Umwandlung jedes Quotienten in einen Bruch und anschließendes vollständiges Kürzen. 2. \(A = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}\) 3. \(B = \frac{24}{16} = \frac{3}{2}\) 4. \(C = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\) 5. \(D = \frac{18}{15} = \frac{6}{5}\) 6. \(E = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}\) 7. Vergleich der Ergebnisse: Gruppe 1 besteht aus \(A, B, C\) (Wert \(\frac{3}{2}\)); Gruppe 2 besteht aus \(D, E\) (Wert \(\frac{6}{5}\)).

Gruppe 1: \(15 : 10\), \(24 : 16\) und \(6 : 4\) (ergeben alle \(\frac{3}{2}\)). Gruppe 2: \(18 : 15\) und \(12 : 10\) (ergeben beide \(\frac{6}{5}\)).

- Überlege dir ein praktisches Beispiel: Ist es das Gleiche, wenn 3 Pizzen an 4 Kinder verteilt werden, wie wenn 4 Pizzen an 3 Kinder verteilt werden? - Schreibe beide Fälle als Bruch auf und schaue dir die Größe der Anteile an. - Was passiert mit dem Wert eines Bruches, wenn Zähler und Nenner vertauscht werden?

1. Erster Quotient: Dividend \( 3 \), Divisor \( 4 \) ergibt den Bruch \( \frac{3}{4} \). 2. Zweiter Quotient: Dividend \( 4 \), Divisor \( 3 \) ergibt den Bruch \( \frac{4}{3} \). 3. Vergleich: \( \frac{3}{4} \) ist ein echter Bruch (kleiner als 1), \( \frac{4}{3} \) ist ein unechter Bruch (größer als 1). 4. Schlussfolgerung: Lukas hat nicht recht, da die Ergebnisse unterschiedlich sind.

a) \( \frac{3}{4} \) b) \( \frac{4}{3} \) c) Nein, Lukas hat nicht recht. \( \frac{3}{4} \) ist kleiner als \( 1 \), während \( \frac{4}{3} \) größer als \( 1 \) ist. Die Reihenfolge von Dividend und Divisor beeinflusst das Ergebnis.

- Stell dir vor, was genau verteilt wird und worauf es verteilt wird. - Die Zahl, die „zerlegt“ oder „verteilt“ wird, steht in der Rechnung vorne. - Wie hängen die Begriffe Dividend und Divisor mit der Position im Bruch zusammen?

1. Die Menge, die verteilt wird, sind 7 Packungsfüllungen; sie bilden den Dividend. 2. Die 10 Behälter geben an, auf wie viele Teile verteilt wird; sie bilden den Divisor. 3. Divisionsschreibweise: \(7 : 10\). 4. Bruchschreibweise: Der Dividend wird zum Zähler, der Divisor zum Nenner. Pro Behälter werden \(\frac{7}{10}\) einer Packungsfüllung eingefüllt.

a) Dividend b) Divisor c) Quotient: \(7 : 10\); Bruch: \(\frac{7}{10}\) einer Packungsfüllung

- Teile zuerst die dezimale Maßzahl durch die ganze Zahl. - Deute anschließend den Dezimalteil in der jeweils kleineren Einheit. - Prüfe die Umrechnung über die Beziehungen \(1\,\text{m}=100\,\text{cm}\), \(1\,\text{kg}=1000\,\text{g}\) und \(1\,\text{l}=1000\,\text{ml}\).

1. \(11{,}4:4=2{,}85\). Also \(2{,}85\,\text{m}=2\,\text{m}\ 85\,\text{cm}\). 2. \(3{,}5:5=0{,}7\). Also \(0{,}7\,\text{kg}=700\,\text{g}\). 3. \(9{,}6:4=2{,}4\). Also \(2{,}4\,\text{l}=2\,\text{l}\ 400\,\text{ml}\).

a) \(2{,}85\,\text{m}=2\,\text{m}\ 85\,\text{cm}\) b) \(0{,}7\,\text{kg}=700\,\text{g}\) c) \(2{,}4\,\text{l}=2\,\text{l}\ 400\,\text{ml}\)

- Kannst du die Divisionsaufgabe zuerst als Bruch schreiben? - Gibt es einen gemeinsamen Teiler für Zähler und Nenner? - Wie oft passt der Nenner vollständig in den Zähler? - Was passiert, wenn kein Rest bei der Division übrig bleibt?

1. Teilaufgabe a: Division als Bruch \(\frac{210}{45}\) schreiben, durch 15 kürzen ergibt \(\frac{14}{3}\), Umwandlung in gemischte Zahl ergibt \(4 \frac{2}{3}\). 2. Teilaufgabe b: Division als Bruch \(\frac{444}{24}\) schreiben, durch 12 kürzen ergibt \(\frac{37}{2}\), Umwandlung in gemischte Zahl ergibt \(18 \frac{1}{2}\). 3. Teilaufgabe c: Division als Bruch \(\frac{1005}{15}\) schreiben, durch 15 kürzen ergibt die ganze Zahl \(67\).

a) Gekürzter Bruch: \(\frac{14}{3}\), Gemischte Zahl: \(4 \frac{2}{3}\) b) Gekürzter Bruch: \(\frac{37}{2}\), Gemischte Zahl: \(18 \frac{1}{2}\) c) Ergebnis: \(67\)

- Kannst du die Division als Bruch aufschreiben? - Denk daran, Zähler und Nenner durch ihre gemeinsamen Teiler zu teilen, um den Bruch zu vereinfachen. - Wenn der Zähler größer als der Nenner ist, wie oft passt der Nenner dann ganz in den Zähler?

1. Berechnung für a): Division der Anzahl der Kuchen durch die Anzahl der Personen ergibt den Bruch \(\frac{12}{16}\). Kürzen mit dem gemeinsamen Teiler 4 führt zu \(\frac{3}{4}\). 2. Berechnung für b): Division der Litermenge durch die Anzahl der Karaffen ergibt \(\frac{14}{20}\). Kürzen mit 2 führt zu \(\frac{7}{10}\). 3. Berechnung für c): Division der Seillänge durch die Anzahl der Stücke ergibt \(\frac{21}{6}\). Kürzen mit 3 führt zu \(\frac{7}{2}\). Umwandlung in eine gemischte Zahl: \(7 : 2 = 3\) Rest \(1\), also \(3 \frac{1}{2}\).

a) \(\frac{3}{4}\) Blechkuchen b) \(\frac{7}{10}\) Liter c) \(3 \frac{1}{2}\) Meter

- Stelle dir vor, wie oft die \(12 \text{ km}\) in die jeweilige Gesamtstrecke passen. - Ein Bruchstrich ist nichts anderes als ein Geteiltzeichen. - Denke daran, das Ergebnis so weit wie möglich zu vereinfachen, bevor du die gemischte Zahl schreibst.

1. Berechnung für Familie Müller: Division der Gesamtstrecke durch die Länge einer Umrundung: \( \frac{30}{12} \). 2. Kürzen des Bruchs: \( \frac{30}{12} = \frac{5}{2} \). 3. Umwandlung in eine gemischte Zahl: \( 5 : 2 = 2 \) Rest \(1\), also \( 2 \frac{1}{2} \). 4. Berechnung für die Sportgruppe: Division der Gesamtstrecke durch die Rundenlänge: \( \frac{50}{12} \). 5. Kürzen des Bruchs: \( \frac{50}{12} = \frac{25}{6} \). 6. Umwandlung in eine gemischte Zahl: \( 25 : 6 = 4 \) Rest \(1\), also \( 4 \frac{1}{6} \).

Familie Müller ist \( 2 \frac{1}{2} \) Runden gefahren. Die Sportgruppe ist \( 4 \frac{1}{6} \) Runden gefahren.

- Schreibe zuerst in beiden Situationen auf, welche Gesamtmenge und welche Zahl \(4\) jeweils bedeutet. - Der Rechenausdruck kann gleich sein, obwohl die Bedeutung des Ergebnisses verschieden ist. - Frage dich in a), „wie viel pro Person?“, und in b), „wie oft passt die Stücklänge hinein?“.

1. In a) gilt \(12:4=\frac{12}{4}=3\). Das Ergebnis bedeutet \(3\,\text{m}\) Seil pro Person. 2. In b) gilt ebenfalls \(12:4=\frac{12}{4}=3\). Hier bedeutet das Ergebnis, dass drei Stücke der Länge \(4\,\text{m}\) in die Gesamtlänge passen. 3. Der Zahlenwert des Quotienten ist gleich, aber die Division beantwortet in a) eine Verteilfrage und in b) eine Mess- beziehungsweise Gruppierungsfrage.

a) \(12:4=\frac{12}{4}=3\); jede Person erhält \(3\,\text{m}\). b) \(12:4=\frac{12}{4}=3\); es entstehen \(3\) Stücke. In a) wird verteilt, in b) wird bestimmt, wie oft eine vorgegebene Stücklänge in die Gesamtlänge passt.

- Stelle dir den Quotienten als Bruch vor. - Wie hängen die Zahlen im Nenner oder Zähler zusammen? Musst du erweitern oder kürzen? - Überprüfe dein Ergebnis, indem du die Division am Ende wieder in einen Bruch umwandelst.

1. Für a): Ansatz \(\frac{x}{12} = \frac{3}{4}\). Erweiterung von \(\frac{3}{4}\) mit 3 ergibt \(\frac{9}{12}\). Also \(x = 9\). 2. Für b): Ansatz \(\frac{56}{y} = \frac{7}{8}\). Da \(56 = 7 \cdot 8\), muss der Nenner \(y = 8 \cdot 8 = 64\) sein. 3. Für c): Ansatz \(\frac{144}{60} = \frac{z}{5}\). Kürzen von \(\frac{144}{60}\) durch 12 (da \(60 : 5 = 12\)). Berechnung: \(144 : 12 = 12\). Also \(z = 12\).

a) \(x = 9\) b) \(y = 64\) c) \(z = 12\)

- Berechne zuerst jeden Dezimalquotienten. - Bringe danach beide Seiten jedes Vergleichs in dieselbe Einheit. - Vergleiche erst nach der Umrechnung.

1. \(5{,}2:4=1{,}3\,\text{m}=130\,\text{cm}\), also \(>125\,\text{cm}\). 2. \(1{,}5:8=0{,}1875\,\text{kg}=187{,}5\,\text{g}\), also \(<190\,\text{g}\). 3. \(7{,}5:10=0{,}75\,\text{km}\), also \(=0{,}75\,\text{km}\).

a) \(>\) b) \(<\) c) \(=\)

- Wandle beide Flächen zuerst in \(\text{dm}^2\) um. - Bei einem Dezimaldivisor kannst du Dividend und Divisor mit derselben Zehnerpotenz multiplizieren. - Vergleiche die beiden Ergebnisse erst, wenn sie in derselben Einheit stehen.

1. \(9\,\text{m}^2=900\,\text{dm}^2\). Daher \(900:2{,}4=375\,\text{dm}^2\). 2. \(400\,\text{cm}^2=4\,\text{dm}^2\). Daher \(4:0{,}8=5\,\text{dm}^2\). 3. \(375\,\text{dm}^2>5\,\text{dm}^2\), also ist A größer.

A: \(375\,\text{dm}^2\) B: \(5\,\text{dm}^2\) Damit ist Rechnung A größer.

- Bringe vor jeder Rechnung die beteiligten Größen in zueinander passende Einheiten. - Nutze die passende Umkehroperation, wenn bei einer Division ein Wert fehlt. - Bei einer Division durch eine Dezimalzahl kannst du Dividend und Divisor mit derselben Zehnerpotenz vervielfachen.

1. \(75\,\text{m}=0{,}075\,\text{km}\). Der fehlende Dividend ist daher \(0{,}075\cdot40=3\). In den ersten Platzhalter gehört \(3\). 2. \(0{,}6\,\text{m}^2=60\,\text{dm}^2\). Gesucht ist der Divisor, bei dem \(60\,\text{dm}^2\) durch die Division auf \(12\,\text{dm}^2\) verteilt werden. Da \(60:5=12\), gehört \(5\) in den zweiten Platzhalter. 3. \(5\,\text{t}=5000\,\text{kg}\), also \(5000:200=25\,\text{kg}\). Außerdem gilt \(30:1{,}2=25\,\text{kg}\). Beide Quotienten sind gleich groß.

a) \(\Box=3\) b) \(\Box=5\) c) Beide Ergebnisse sind gleich: \(25\,\text{kg}\).

- Wandle beide Divisionen zuerst in Brüche um. - Hilft es dir, die Brüche so weit wie möglich zu kürzen, bevor du sie vergleichst? - Wie kannst du eine ganze Zahl mit einer gemischten Zahl vergleichen?

1. Berechnung von \(A\): Darstellung als Bruch \(\frac{250}{12}\), Kürzen mit 2 ergibt \(\frac{125}{6}\). Umwandlung in eine gemischte Zahl: \(125 : 6 = 20\) Rest \(5\), also \(20 \frac{5}{6}\). 2. Berechnung von \(B\): Darstellung als Bruch \(\frac{315}{15}\), Kürzen mit 15 (oder schrittweise mit 3 und 5) ergibt \(21\). 3. Vergleich: Da \(21 > 20 \frac{5}{6}\) ist, ist Ergebnis \(B\) größer als Ergebnis \(A\).

\(B\) ist größer als \(A\), da \(21 > 20 \frac{5}{6}\).

- Stelle für jede Gruppe zuerst einen Bruch auf, der den Anteil pro Kind angibt. - Um zwei Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu vergleichen, musst du sie auf denselben Nenner bringen (erweitern). - Welche Zahl ist ein gemeinsames Vielfaches von 8 und 5?

1. Bestimmung des Anteils in Gruppe A: Division von 5 Pizzen durch 8 Kinder ergibt \(\frac{5}{8}\). 2. Bestimmung des Anteils in Gruppe B: Division von 3 Pizzen durch 5 Kinder ergibt \(\frac{3}{5}\). 3. Vergleich der Brüche: Um \(\frac{5}{8}\) und \(\frac{3}{5}\) zu vergleichen, wird der Hauptnenner 40 gebildet. 4. Erweiterung von Gruppe A: \(\frac{5 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{25}{40}\). 5. Erweiterung von Gruppe B: \(\frac{3 \cdot 8}{5 \cdot 8} = \frac{24}{40}\). 6. Da \(\frac{25}{40} > \frac{24}{40}\), ist der Anteil in Gruppe A größer.

In Gruppe A erhält ein Kind ein größeres Stück Pizza, da \(\frac{5}{8} > \frac{3}{5}\) (bzw. \(\frac{25}{40} > \frac{24}{40}\)).