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- Du kannst bei einer endlichen Dezimalzahl rechts Nullen ergänzen, ohne ihren Wert zu verändern. - Vergleiche die Stellen von links nach rechts. - Die erste unterschiedliche Stelle entscheidet über die Reihenfolge.

1. Schreibe \(0{,}7\) als \(0{,}70\). 2. Beide Zahlen haben \(0\) Einer. Bei den Zehnteln steht \(7\) gegenüber \(6\). Daher ist \(0{,}7 > 0{,}65\).

\(0{,}7 > 0{,}65\)

- Richte die Dezimalstellen gedanklich untereinander aus. - Beginne beim größten Stellenwert und gehe erst bei Gleichheit zur nächsten Stelle. - Fehlende Stellen am rechten Ende darfst du mit Nullen ergänzen.

1. Zum Vergleichen können die Zahlen als \(0{,}09\), \(0{,}60\) und \(0{,}54\) geschrieben werden. 2. Bei den Zehnteln ist \(0{,}09\) kleiner als die beiden anderen Zahlen. Zwischen \(0{,}54\) und \(0{,}60\) entscheidet ebenfalls die Zehntelstelle. 3. Es gilt \(0{,}09 < 0{,}54 < 0{,}6\).

\(0{,}09 < 0{,}54 < 0{,}6\)

- Vergleiche die Stellenwerte der beiden Zahlen. - Überlege, was rechts angehängte Nullen bei einer Dezimalzahl am Wert ändern. - Prüfe, ob beide Schreibweisen denselben Punkt auf einer Zahlengeraden bezeichnen würden.

1. Eine rechts angehängte Null verändert den Wert einer Dezimalzahl nicht. 2. Daher gilt \(5{,}4=5{,}40\).

\(5{,}4=5{,}40\); die angehängte Null verändert den Zahlenwert nicht.

- Vergleiche jede Auswahlzahl zuerst mit der unteren Grenze. - Eine Zahl im gesuchten Intervall muss zugleich kleiner als die obere Grenze sein. - Formuliere die beiden Bedingungen am Ende als doppelte Ungleichung.

1. \(1{,}27<1{,}3\), also liegt \(1{,}27\) nicht im gesuchten Intervall. 2. \(1{,}42>1{,}4\), also liegt \(1{,}42\) ebenfalls nicht darin. 3. Für \(1{,}35\) gilt \(1{,}3<1{,}35<1{,}4\). Diese Zahl liegt zwischen den beiden Grenzen.

\(1{,}35\), denn \(1{,}3<1{,}35<1{,}4\).

- Für diese Aufgabe brauchst du die genauen Markerwerte nicht auszurechnen. - Überlege, in welche Richtung die Zahlen auf einer Zahlengeraden größer werden. - Vergleiche nur die horizontale Lage von \(A\) und \(B\).

1. Auf einer Zahlengeraden werden die Zahlen nach rechts größer. 2. Punkt \(B\) liegt rechts von Punkt \(A\). 3. Daher steht \(B\) für die größere Dezimalzahl.

\(B\) steht für die größere Dezimalzahl, weil \(B\) weiter rechts liegt.

- Was hilft dir dabei, Brüche und Dezimalzahlen besser zu vergleichen? - Wie viele Nachkommastellen musst du betrachten, um einen Unterschied festzustellen? - Was bedeutet der Strich über einer Ziffer bei einer periodischen Dezimalzahl?

1. Umwandlung aller Zahlen in Dezimalschreibweise: \(0{,}6 = 0{,}6000\dots\), \(\frac{2}{3} = 0{,}6666\dots\), \(0{,}\overline{6} = 0{,}6666\dots\), \(0{,}666 = 0{,}6660\). 2. Vergleich der Nachkommastellen: Die periodischen Zahlen \(0{,}\overline{6}\) und \(\frac{2}{3}\) sind identisch und haben an der vierten Nachkommastelle eine \(6\), während \(0{,}666\) dort eine \(0\) hat. 3. Die Zahl \(0{,}6\) ist mit nur einer Sechs nach dem Komma die kleinste. 4. Reihenfolge: \(\frac{2}{3} = 0{,}\overline{6} > 0{,}666 > 0{,}6\).

\(\frac{2}{3} = 0{,}\overline{6} > 0{,}666 > 0{,}6\)

- Hilft es dir, wenn du an die Stellenwerte nach dem Komma denkst und eine Null anhängst? - Wie verhalten sich negative Zahlen auf dem Zahlenstrahl? Welche liegt weiter links? - Könntest du Brüche und Dezimalzahlen in die gleiche Darstellung bringen, um sie besser vergleichen zu können?

1. Ergänzung von Endnullen zur besseren Vergleichbarkeit: \(0{,}40\) und \(0{,}50\). Mögliche Werte: \(0{,}41\) und \(0{,}45\). 2. Betrachtung der negativen Zahlen auf dem Zahlenstrahl zwischen \(-1{,}20\) und \(-1{,}10\). Mögliche Werte: \(-1{,}19\) und \(-1{,}15\). 3. Umwandlung des Bruchs in eine Dezimalzahl: \(\frac{3}{4} = 0{,}75\). Vergleich von \(0{,}75\) und \(0{,}80\). Mögliche Werte: \(0{,}76\) und \(0{,}78\).

(Beispiele) a) \(0{,}41\) und \(0{,}42\) b) \(-1{,}18\) und \(-1{,}12\) c) \(0{,}77\) und \(0{,}79\)

- Was ist der Dezimalwert von einem Fünftel? - Kannst du die Zahlen auf einem Zahlenstrahl markieren? - Welche Zahl ist „größer“ bei negativen Vorzeichen – diejenige, die näher an der Null liegt oder diejenige, die weiter weg ist?

1. Umwandlung des Bruchs \(-\frac{1}{5}\) in die Dezimalzahl \(-0{,}2\). 2. Festlegung der Intervallgrenzen: Zahlen \(x\) müssen die Bedingung \(-0{,}2 < x < -0{,}1\) erfüllen. 3. Vergleich von \(-0{,}15\): Da \(-0{,}2 < -0{,}15 < -0{,}1\), liegt die Zahl im Intervall. 4. Vergleich von \(-0{,}25\): Da \(-0{,}25 < -0{,}2\), liegt die Zahl außerhalb (links vom Intervall). 5. Vergleich von \(-0{,}05\): Da \(-0{,}05 > -0{,}1\), liegt die Zahl außerhalb (rechts vom Intervall).

Nur \(-0{,}15\) liegt im Intervall. Begründung: \(-\frac{1}{5} = -0{,}2\). Es gilt \(-0{,}2 < -0{,}15 < -0{,}1\). Die Zahl \(-0{,}25\) ist kleiner als \(-0{,}2\) und \(-0{,}05\) ist größer als \(-0{,}1\).

- Überlege, was das Wort „Prozent“ über den Nenner eines passenden Bruchs aussagt. - Verbinde die Hundertstel-Darstellung mit der entsprechenden Dezimalschreibweise. - Prüfe bei jeder Teilaufgabe, ob Bruch, Prozentsatz und Dezimalzahl denselben Wert beschreiben.

1. \(70\,\% = \frac{70}{100} = 0{,}70\). 2. \(72\,\% = \frac{72}{100} = 0{,}72\). 3. \(75\,\% = \frac{75}{100} = 0{,}75\). 4. \(65\,\% = \frac{65}{100} = 0{,}65\).

a) \(\frac{70}{100} = 0{,}70\) b) \(\frac{72}{100} = 0{,}72\) c) \(\frac{75}{100} = 0{,}75\) d) \(\frac{65}{100} = 0{,}65\)

- Bringe unterschiedliche Darstellungen in eine Form, in der du sie direkt vergleichen kannst. - Ordne zuerst die negativen Zahlen, dann die Null im Blick und anschließend die positiven Zahlen. - Prüfe, ob zwei der negativen Angaben denselben Zahlenwert beschreiben.

1. Umwandlung der Brüche in Dezimaldarstellung: \(-\frac{3}{4} = -0{,}75\) und \(\frac{2}{3} = 0{,}666\ldots\). 2. Vergleich der negativen Zahlen: \(-0{,}8 < -0{,}75\). 3. Feststellung der Gleichheit: \(-\frac{3}{4} = -0{,}75\). 4. Vergleich der positiven Zahlen: \(\frac{2}{3} < 0{,}7 < 0{,}75\). 5. Zusammenführung zur aufsteigenden Kette: \(-0{,}8 < -\frac{3}{4} = -0{,}75 < \frac{2}{3} < 0{,}7 < 0{,}75\).

\(-0{,}8 < -\frac{3}{4} = -0{,}75 < \frac{2}{3} < 0{,}7 < 0{,}75\)

- Was bedeutet das Wort „Prozent“ in Bezug auf den Nenner eines Bruchs? - Wie schreibst du einen Hundertstelbruch als Dezimalzahl? - Prüfe zum Kürzen, ob Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler größer als \(1\) haben.

1. Prozent bedeutet Hundertstel. Daher gilt \(83\,\%=\frac{83}{100}\). 2. Als Dezimalzahl ist \(\frac{83}{100}=0{,}83\). 3. Die Zahlen \(83\) und \(100\) haben keinen gemeinsamen Teiler größer als \(1\). Deshalb ist \(\frac{83}{100}\) bereits vollständig gekürzt.

\(83\,\%=\frac{83}{100}=0{,}83\); vollständig gekürzt bleibt der Bruch \(\frac{83}{100}\).

- Überlege dir, welche der Zahlen negativ und welche positiv sind. - Es hilft oft, alle Zahlen in die gleiche Darstellung (zum Beispiel Dezimalzahlen) umzuwandeln. - Denk an die Zahlengerade: Welche Zahl liegt am weitesten links? - Achte darauf, ob zwei Werte vielleicht denselben Betrag haben, aber unterschiedliche Vorzeichen oder Schreibweisen.

1. Umwandlung aller Brüche in Dezimalzahlen zur besseren Vergleichbarkeit: \(-\frac{2}{5} = -0{,}4\) und \(\frac{1}{4} = 0{,}25\). 2. Vergleich der negativen Zahlen: Da \(-0{,}45\) weiter links auf der Zahlengeraden liegt als \(-0{,}4\), gilt \(-0{,}45 < -0{,}4\). Da \(-0{,}4 = -\frac{2}{5}\), folgt \(-0{,}45 < -0{,}4 = -\frac{2}{5}\). 3. Einordnung der Null und der positiven Zahlen: \(0\) ist größer als jede negative Zahl und kleiner als jede positive Zahl. Der Vergleich der positiven Dezimalzahlen ergibt \(0{,}25 < 0{,}35\). 4. Zusammenführung der Ergebnisse zur vollständigen Kette: \(-0{,}45 < -0{,}4 = -\frac{2}{5} < 0 < \frac{1}{4} < 0{,}35\).

\(-0{,}45 < -0{,}4 = -\frac{2}{5} < 0 < \frac{1}{4} < 0{,}35\)

- Unterscheide eine Null innerhalb der Dezimalstellen von einer Null ganz am rechten Ende. - Bringe die Zahlen eines Paares bei Bedarf auf gleich viele Nachkommastellen. - Suche anschließend die erste Stelle, an der sich zwei Ziffern wirklich unterscheiden.

1. a) Eine angehängte Null ändert den Wert nicht: \(2{,}5 = 2{,}50\). 2. b) Schreibe \(2{,}5\) als \(2{,}50\). Bei den Zehnteln steht \(0\) gegenüber \(5\), daher gilt \(2{,}05 < 2{,}5\). 3. c) Auch mehrere angehängte Nullen ändern den Wert nicht: \(2{,}500 = 2{,}50\). 4. Nullen rechts von der letzten von Null verschiedenen Dezimalziffer verändern den Zahlenwert nicht.

a) \(2{,}5 = 2{,}50\) b) \(2{,}05 < 2{,}5\) c) \(2{,}500 = 2{,}50\) Angefügte Nullen am rechten Ende des Dezimalteils ändern den Zahlenwert nicht.

- Schreibe die kürzere Dezimalzahl so, dass beide Darstellungen gleich viele Nachkommastellen haben. - Welche Stelle nach dem Komma ist die erste, an der sich die beiden Zahlen unterscheiden? - Prüfe, ob der Vergleich der Ziffernfolge hinter dem Komma als ganze Zahl die Stellenwerte berücksichtigt.

1. Für den Dezimalvergleich kann \(0{,}9\) als \(0{,}900\) geschrieben werden. 2. Bereits bei den Zehnteln unterscheiden sich die Zahlen: \(0{,}421\) hat \(4\) Zehntel, \(0{,}900\) hat \(9\) Zehntel. 3. Daher gilt \(0{,}421 < 0{,}9\). Maras Fehler ist, die Ziffernfolge hinter dem Komma wie eine ganze Zahl zu vergleichen und dabei die Stellenwerte zu ignorieren.

Die Behauptung ist falsch. Es gilt \(0{,}421 < 0{,}9\). Entscheidend sind die Stellenwerte von links nach rechts, nicht die Größe der Ziffernfolge als ganze Zahl.

- Vergleiche die beiden Dezimalzahlen Stelle für Stelle von links nach rechts. - Bis zu welcher Stelle stimmen die beiden Zahlen bereits überein? - Überlege, welche Beziehung die unbekannte Ziffer zur entsprechenden Ziffer der Vergleichszahl haben muss, damit die Ungleichung streng bleibt.

1. Die Einer- und Zehntelstellen sind gleich. Deshalb entscheidet die Hundertstelstelle. 2. Die Ziffer im Kästchen muss kleiner als \(7\) sein. 3. Möglich sind daher \(0,1,2,3,4,5,6\).

Möglich sind die Ziffern \(0,1,2,3,4,5,6\).

- Bestimme zuerst den Wert eines kleinen Teilstrichs aus den beschrifteten Stellen. - Lies die Positionen der beiden Buchstaben unabhängig voneinander ab. - Auf einem Zahlenstrahl liegt die größere Zahl weiter rechts.

1. Jeder kleine Schritt auf dem Zahlenstrahl entspricht \(0{,}1\). 2. Punkt \(A\) liegt bei \(0{,}4\), Punkt \(B\) bei \(0{,}7\). 3. Punkt \(B\) liegt weiter rechts. Daher gilt für die abgelesenen Werte \(0{,}4 < 0{,}7\).

\(A=0{,}4\), \(B=0{,}7\); damit gilt \(0{,}4<0{,}7\).

- Bestimme zuerst den Wert eines kleinen Teilintervalls zwischen zwei beschrifteten Zehnteln. - Lies damit die beiden Markerwerte ab. - Formuliere „liegt zwischen“ als doppelte Ungleichung.

1. Zwischen \(0{,}3\) und \(0{,}4\) liegen zehn Hundertstelschritte. Daraus liest man \(A=0{,}36\) ab. 2. Rechts von \(0{,}4\) liegt \(B\) beim ersten Hundertstelschritt, also bei \(0{,}41\). 3. Es gilt \(0{,}36<0{,}38<0{,}41\). Daher liegt \(0{,}38\) zwischen \(A\) und \(B\).

a) \(A=0{,}36\), \(B=0{,}41\) b) Ja, denn \(0{,}36<0{,}38<0{,}41\).

- Könntest du alle Zahlen so umschreiben, dass sie das gleiche Format haben? - Überlege, ob es einfacher ist, alle Zahlen als Brüche mit gleichem Nenner oder als Dezimalzahlen zu vergleichen. - Wenn du Dezimalzahlen vergleichst, hilft es, alle Zahlen auf die gleiche Anzahl an Nachkommastellen zu bringen.

1. Umwandlung aller Zahlen in Dezimalzahlen für eine bessere Vergleichbarkeit: 2. \( \frac{2}{5} = 0{,}4 \) 3. \( \frac{1}{2} = 0{,}5 \) 4. \( \frac{3}{8} = 0{,}375 \) 5. Vergleich der Dezimalzahlen: \( 0{,}375 < 0{,}4 < 0{,}405 < 0{,}45 < 0{,}5 \) 6. Rückübersetzung in die ursprüngliche Form ergibt die Reihenfolge: \( \frac{3}{8} < \frac{2}{5} < 0{,}405 < 0{,}45 < \frac{1}{2} \)

\( \frac{3}{8} < \frac{2}{5} < 0{,}405 < 0{,}45 < \frac{1}{2} \)

- Was bedeutet der Bruchstrich bei \( \frac{4}{3} \) als Rechenoperation? - Wie viele Nachkommastellen hat die Zahl \( \frac{4}{3} \), wenn man sie als Dezimalzahl schreibt? - Achte genau darauf, welche Zahlen exakt gleich groß sind.

1. Bestimmung der Dezimalwerte: \( 1{,}3 = 1{,}3 \), \( 1{,}33 = 1{,}33 \), \( 1{,}333 = 1{,}333 \). 2. Umrechnung der Brüche: \( 1\frac{3}{10} = 1 + 0{,}3 = 1{,}3 \). 3. Umrechnung von \( \frac{4}{3} \): \( 4 : 3 = 1{,}3333\dots \) (periodisch). 4. Vergleich der Werte in Dezimalschreibweise: \( 1{,}300 < 1{,}330 < 1{,}3330 < 1{,}3333\dots \). 5. Ordnung: \( 1{,}3 = 1\frac{3}{10} < 1{,}33 < 1{,}333 < \frac{4}{3} \). 6. Zu b): \( \frac{4}{3} \) ergibt einen unendlichen, periodischen Dezimalbruch \( 1{,}\overline{3} \), während \( 1{,}333 \) ein endlicher Dezimalbruch ist. Da \( 1{,}3333 > 1{,}3330 \), ist \( \frac{4}{3} \) größer.

a) \( 1{,}3 = 1\frac{3}{10} < 1{,}33 < 1{,}333 < \frac{4}{3} \) b) \( \frac{4}{3} = 1{,}3333\dots \) ist periodisch und damit größer als der endliche Dezimalbruch \( 1{,}333 \).

- Wie kannst du einen Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln? - Es hilft, alle Zahlen mit der gleichen Anzahl an Nachkommastellen zu schreiben. - Vergleiche die Ziffern Stelle für Stelle von links nach rechts.

1. Umwandlung des Bruchs \(\frac{5}{11}\) in eine Dezimalzahl durch Division: \(5 : 11 = 0{,}\overline{45} = 0{,}454545\dots\) 2. Vergleich der Dezimalzahlen durch Auffüllen mit Nullen für eine einheitliche Stellenanzahl: - \(0{,}45 = 0{,}450000\dots\) - \(0{,}454 = 0{,}454000\dots\) - \(\frac{5}{11} = 0{,}454545\dots\) 3. Vergleich der Ziffern von links nach rechts: \(0{,}4500 < 0{,}4540 < 0{,}4545\dots\) 4. Aufstellen der Reihenfolge: \(0{,}45 < 0{,}454 < \frac{5}{11}\).

\(0{,}45 < 0{,}454 < \frac{5}{11}\)

- Schreibe die periodischen Dezimalzahlen mit ein paar weiteren Stellen aus, um sie besser vergleichen zu können. - Wandle Brüche in Dezimalzahlen um, indem du den Zähler durch den Nenner teilst. - Vergleiche die Zahlen Stelle für Stelle von links nach rechts, beginnend bei den Einerstellen. - Wenn eine Dezimalzahl weniger Stellen hat als die andere, kannst du sie mit Nullen auffüllen.

1. Umwandlung des Bruchs \(\frac{9}{11}\) in eine Dezimalzahl durch Division: \(9 : 11 = 0{,}8181\dots\), also \(0{,}\overline{81}\). Vergleich der Stellen ab der Tausendstelstelle (\(0\) gegen \(8\)) ergibt \(0{,}81 < 0{,}\overline{81}\). 2. Ausschreiben der periodischen Zahl: \(0{,}\overline{12} = 0{,}121212\dots\). Vergleich der vierten Nachkommastelle (\(2\) gegen \(0\)) ergibt \(0{,}1212\dots > 0{,}121\). 3. Vergleich der Stellenwerte: \(2{,}\overline{6} = 2{,}6666\dots\). Da die dritte Nachkommastelle (\(6\)) größer als die gedachte Null bei \(2{,}660\) ist, folgt \(2{,}66 < 2{,}\overline{6}\). 4. Umwandlung des Bruchs \(\frac{3}{8}\) durch Erweitern auf Tausendstel (\(\frac{375}{1000}\)) oder Division: \(3 : 8 = 0{,}375\). Die Werte sind identisch, also \(\frac{3}{8} = 0{,}375\).

a) \(0{,}81 < \frac{9}{11}\) b) \(0{,}\overline{12} > 0{,}121\) c) \(2{,}66 < 2{,}\overline{6}\) d) \(\frac{3}{8} = 0{,}375\)

- Bringe alle Zahlen in das gleiche Format, am besten als Dezimalzahlen. - Welche Ziffer steht bei \(\frac{7}{9}\) an der dritten und vierten Nachkommastelle? - Um eine Zahl zwischen zwei anderen zu finden, betrachte weitere Nachkommastellen oder bilde den Mittelwert.

1. Darstellung aller Zahlen als Dezimalzahlen für den Vergleich: \(0{,}7 = 0{,}7000\dots\), \(\frac{7}{9} = 0{,}7777\dots\), \(0{,}77 = 0{,}7700\dots\) und \(0{,}778 = 0{,}7780\dots\). 2. Vergleich nach Stellenwerten (Zehntel, Hundertstel, Tausendstel): \(0{,}700 < 0{,}770 < 0{,}777\dots < 0{,}778\). 3. Sortierung: \(0{,}7 < 0{,}77 < \frac{7}{9} < 0{,}778\). 4. Identifikation der beiden größten Zahlen: \(\frac{7}{9} \approx 0{,}7777\dots\) und \(0{,}778\). 5. Eine mögliche Zahl dazwischen finden, indem man mehr Nachkommastellen betrachtet: Zwischen \(0{,}7777\dots\) und \(0{,}7780\) liegt zum Beispiel \(0{,}7779\).

a) \(0{,}7 < 0{,}77 < \frac{7}{9} < 0{,}778\) b) Zum Beispiel \(0{,}7779\) (andere Lösungen wie \(0{,}77785\) sind ebenfalls korrekt).

- Erinnere dich daran, wie sich die Größe von negativen Zahlen verhält, wenn ihr Betrag wächst. - Schreibe die periodischen Zahlen mit ein paar zusätzlichen Nachkommastellen auf, um sie besser vergleichen zu können. - Welche dieser Zahlen sind eigentlich identisch?

1. Umwandlung in Dezimalzahlen: \(-0{,}75\), \(-0{,}7\overline{5} = -0{,}7555\dots\), \(-0{,}\overline{75} = -0{,}7575\dots\), \(-\frac{3}{4} = -0{,}75\). 2. Vergleich der Beträge: \(0{,}75 < 0{,}7555\dots < 0{,}7575\dots\). 3. Bei negativen Zahlen ist diejenige mit dem größten Betrag die kleinste Zahl auf der Zahlengeraden. 4. Vergleichsergebnis: \(-0{,}7575\dots < -0{,}7555\dots < -0{,}75\). 5. Aufsteigende Kette: \(-0{,}\overline{75} < -0{,}7\overline{5} < -0{,}75 = -\frac{3}{4}\).

\(-0{,}\overline{75} < -0{,}7\overline{5} < -0{,}75 = -\frac{3}{4}\)

- Es hilft oft, alle Brüche in Dezimalzahlen umzuwandeln. - Achte bei periodischen Dezimalzahlen darauf, was die Pünktchen oder der Strich über den Ziffern bedeuten. - Vergleiche die Zahlen Stelle für Stelle von links nach rechts (Zehntel, Hundertstel, Tausendstel).

1. Umwandlung aller Zahlen in Dezimaldarstellung: 2. \(\frac{7}{20} = 0{,}35\) 3. \(0{,}36\) bleibt \(0{,}36\) 4. \(\frac{1}{3} = 0{,}3333\dots = 0{,}\overline{3}\) 5. \(0{,}3\overline{5} = 0{,}3555\dots\) 6. \(0{,}34\) bleibt \(0{,}34\) 7. Vergleich der Dezimalstellen von links nach rechts: \(0{,}333\dots < 0{,}34 < 0{,}35 < 0{,}355\dots < 0{,}36\) 8. Ersetzen durch die ursprünglichen Werte: \(\frac{1}{3} < 0{,}34 < \frac{7}{20} < 0{,}3\overline{5} < 0{,}36\)

\(\frac{1}{3} < 0{,}34 < \frac{7}{20} < 0{,}3\overline{5} < 0{,}36\)

- Wie verhalten sich negative Zahlen auf der Zahlengeraden? Welche liegt weiter links? - Wandle den Bruch in eine Dezimalzahl um, um ihn besser vergleichen zu können. - Was bedeutet der Strich über der 5 bei \(-1{,}2\overline{5}\) für den Wert der Zahl?

1. Umwandlung aller Zahlen in vergleichbare Dezimalzahlen: 2. \(a = -1{,}25\) 3. \(b = -\frac{5}{4} = -1{,}25\) 4. \(c = -1{,}2555\dots\) 5. \(d = -1{,}2 = -1{,}20\) 6. Vergleich auf der Zahlengeraden (negativer Bereich): Je größer der Betrag einer negativen Zahl, desto kleiner ist ihr Wert. 7. \(-1{,}255\dots < -1{,}25 < -1{,}20\) 8. Da \(a\) und \(b\) den gleichen Wert haben, gilt \(a = b\). 9. Ergebnis: \(c < a = b < d\) (bzw. \(-1{,}2\overline{5} < -1{,}25 = -\frac{5}{4} < -1{,}2\))

\(-1{,}2\overline{5} < -1{,}25 = -\frac{5}{4} < -1{,}2\)

- Was bedeutet der Strich über einer Ziffer bei Dezimalzahlen? - Könnte es helfen, die Zahlen mit gleich vielen Nachkommastellen zu schreiben (evtl. mit Nullen auffüllen)? - Überlege dir bei negativen Zahlen, welche Zahl weiter rechts auf der Zahlengeraden liegt. - Wie kannst du einen Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln?

1. Vergleich von \(0{,}\overline{7} = 0{,}777\dots\) mit \(0{,}77\): Da die dritte Nachkommastelle \(7 > 0\) ist, gilt \(0{,}\overline{7} > 0{,}77\). 2. Vergleich von \(-1{,}23\) und \(-1{,}229\): Da \(1{,}230 > 1{,}229\), liegt \(-1{,}23\) auf der Zahlengeraden weiter links als \(-1{,}229\). Somit gilt \(-1{,}23 < -1{,}229\). 3. Umwandlung des Bruchs: \(\frac{1}{20} = \frac{5}{100} = 0{,}05\). Da beide Werte identisch sind, gilt \(0{,}05 = \frac{1}{20}\). 4. Vergleich von \(-0{,}001\) und \(-0{,}01\): Da \(0{,}001 < 0{,}01\), liegt \(-0{,}001\) näher an der Null und somit weiter rechts auf der Zahlengeraden. Es gilt \(-0{,}001 > -0{,}01\).

a) \(0{,}\overline{7} > 0{,}77\) b) \(-1{,}23 < -1{,}229\) c) \(0{,}05 = \frac{1}{20}\) d) \(-0{,}001 > -0{,}01\)

- Versuche, Brüche zuerst in Dezimalzahlen umzuwandeln, um sie besser vergleichen zu können. - Schreibe bei periodischen Zahlen die ersten paar Ziffern hintereinander auf. - Achte bei negativen Zahlen darauf, dass die Zahl mit dem größeren Betrag die kleinere Zahl ist.

1. Umwandlung des Bruchs: \(-\frac{5}{4} = -1{,}25\). Vergleich von \(-1{,}25\) und \(-1{,}2\): Da \(1{,}25 > 1{,}20\), ist \(-1{,}25 < -1{,}2\). 2. Vergleich von \(0{,}\overline{15} = 0{,}151515\dots\) mit \(0{,}151\): Die vierte Nachkommastelle bei \(0{,}\overline{15}\) ist \(5\), während \(0{,}151\) dort eine gedachte \(0\) hat. Da \(5 > 0\), gilt \(0{,}\overline{15} > 0{,}151\). 3. Vergleich von \(-3{,}45\) und \(-3{,}455\): Da \(3{,}450 < 3{,}455\), liegt \(-3{,}45\) weiter rechts auf der Zahlengeraden. Es gilt \(-3{,}45 > -3{,}455\). 4. Umwandlung der gemischten Zahl: \(2\frac{2}{25} = 2 + \frac{8}{100} = 2{,}08\). Da beide Werte identisch sind, gilt \(2{,}08 = 2\frac{2}{25}\).

a) \(-\frac{5}{4} < -1{,}2\) b) \(0{,}\overline{15} > 0{,}151\) c) \(-3{,}45 > -3{,}455\) d) \(2{,}08 = 2\frac{2}{25}\)

- Bringe alle Zahlen in die gleiche Darstellung (am besten Dezimalzahlen). - Schreibe die Zahlen untereinander, sodass die Kommata genau übereinander stehen. - Welche Zahl ist am weitesten von der Null entfernt in negative Richtung? - Gibt es in der Liste Zahlen, die denselben Wert haben?

1. Umwandlung aller Zahlen in eine vergleichbare Form (Dezimaldarstellung): - \(-0{,}3 = -0{,}3000\dots\) - \(-\frac{1}{3} = -0{,}3333\dots\) - \(-0{,}33 = -0{,}3300\dots\) - \(-0{,}\overline{3} = -0{,}3333\dots\) - \(-0{,}34 = -0{,}3400\dots\) 2. Vergleich der Beträge: \(0{,}34 > 0{,}3333\dots > 0{,}33 > 0{,}3\). 3. Da es sich um negative Zahlen handelt, kehrt sich die Reihenfolge um: Die Zahl mit dem größten Betrag ist die kleinste. 4. Feststellung der Gleichheit: \(-\frac{1}{3} = -0{,}\overline{3}\). 5. Endgültige Ordnung: \(-0{,}34 < -0{,}\overline{3} = -\frac{1}{3} < -0{,}33 < -0{,}3\).

\(-0{,}34 < -0{,}\overline{3} = -\frac{1}{3} < -0{,}33 < -0{,}3\)

- Wenn du zwischen zwei direkt aufeinanderfolgenden Hundertsteln Zahlen suchst, welche Stelle nach dem Komma musst du dann betrachten? - Wie viele Tausendstel liegen zwischen \(120\) Tausendsteln und \(130\) Tausendsteln? - Was bedeutet „aufsteigend“ für die Reihenfolge deiner Kette?

1. Erweitern der gegebenen Zahlen auf drei Nachkommastellen: \(4{,}12 = 4{,}120\) und \(4{,}13 = 4{,}130\). 2. Auswahl von drei Werten zwischen \(4{,}120\) und \(4{,}130\), zum Beispiel \(4{,}121\), \(4{,}125\) und \(4{,}129\). 3. Aufstellen der Ordnung: \(4{,}12 < 4{,}121 < 4{,}125 < 4{,}129 < 4{,}13\).

Beispielhafte Zahlen: \(4{,}121\); \(4{,}125\); \(4{,}129\). Ordnung: \(4{,}12 < 4{,}121 < 4{,}125 < 4{,}129 < 4{,}13\)

- Es ist einfacher, Zahlen zu vergleichen, wenn sie alle im gleichen Format (zum Beispiel als Dezimalzahlen) vorliegen. - Ergänze bei den Dezimalzahlen Nullen am Ende, damit sie alle gleich viele Nachkommastellen haben.

1. Umwandlung der Brüche in Dezimalzahlen: \(\frac{3}{8} = 3 : 8 = 0{,}375\) und \(\frac{2}{5} = \frac{4}{10} = 0{,}4\) 2. Vergleich aller Dezimalzahlen: \(0{,}375 < 0{,}380 < 0{,}400 < 0{,}420\) 3. Zuordnung der ursprünglichen Werte zur Sortierung: \(\frac{3}{8} < 0{,}38 < \frac{2}{5} < 0{,}42\)

\(\frac{3}{8} < 0{,}38 < \frac{2}{5} < 0{,}42\)

- Kannst du die Brüche in Dezimalzahlen umwandeln, um sie direkt mit den anderen Werten zu vergleichen? - Achte bei b) besonders auf das negative Vorzeichen. - Denk bei c) an die Umwandlungsregel von periodischen Dezimalbrüchen in Brüche. - Schreibe bei d) beide Zahlen bis zur vierten Nachkommastelle auf.

1. a) \(\frac{5}{11} = 0{,}4545\dots\); Da \(0{,}4500 < 0{,}4545\dots\) gilt, ist \(0{,}45 < \frac{5}{11}\). 2. b) \(-\frac{5}{8} = -0{,}625\); Da \(-0{,}620 > -0{,}625\) gilt, ist \(-0{,}62 > -\frac{5}{8}\). 3. c) Gemäß der Definition periodischer Dezimalbrüche gilt \(0{,}\overline{9} = \frac{9}{9} = 1\), also ist \(0{,}\overline{9} = 1\). 4. d) \(1{,}2\overline{3} = 1{,}2333\dots\) und \(1{,}\overline{23} = 1{,}2323\dots\); Vergleich der dritten Nachkommastelle (\(3 > 2\)) ergibt \(1{,}2\overline{3} > 1{,}\overline{23}\).

a) \(<\) b) \(>\) c) \(=\) d) \(>\)