- Vergleiche jeden Messwert zuerst mit \(0\). - Das Vorzeichen zeigt, auf welcher Seite von \(0\) eine Zahl liegt. - Für die Reihenfolge kannst du dir die Werte auf einer Zahlengeraden vorstellen.

1. \(-3\,\text{°C}\) ist negativ, \(0\,\text{°C}\) ist weder positiv noch negativ und \(2\,\text{°C}\) ist positiv. 2. Auf der Zahlengeraden liegen negative Zahlen links von \(0\), positive rechts davon. Daher gilt \(-3 < 0 < 2\).

a) negativ: \(-3\,\text{°C}\); null: \(0\,\text{°C}\); positiv: \(2\,\text{°C}\) b) \(-3\,\text{°C} < 0\,\text{°C} < 2\,\text{°C}\)

- Gegenzahlen haben denselben Abstand von \(0\) und unterschiedliche Vorzeichen. - Überlege, wo eine negative Zahl, die Null und eine positive Zahl auf der Zahlengeraden liegen. - Prüfe die Reihenfolge von links nach rechts.

1. \(-1{,}5\) und \(1{,}5\) haben denselben Abstand von \(0\), aber entgegengesetzte Vorzeichen. Sie sind Gegenzahlen. 2. Die negative Zahl liegt links von \(0\), die positive rechts davon. Daher gilt \(-1{,}5 < 0 < 1{,}5\).

a) \(-1{,}5\) und \(1{,}5\) b) \(-1{,}5 < 0 < 1{,}5\)

- Orientiere dich zuerst an der \(0\) auf der Zahlengeraden. - Links von \(0\) liegen negative, rechts von \(0\) positive Zahlen. - Lies die beiden Werte anschließend mithilfe der gleichmäßigen Skaleneinteilung ab.

1. Punkt \(A\) liegt links von \(0\). Daher ist sein Wert negativ: \(-0{,}6\). 2. Punkt \(B\) liegt rechts von \(0\). Daher ist sein Wert positiv: \(0{,}4\).

a) \(A\) ist negativ, \(B\) ist positiv. b) \(A=-0{,}6\), \(B=0{,}4\)

- Lies die Werte von \(P\) und \(Q\) an der Zahlengeraden ab. - Vergleiche ihre Abstände von \(0\), nicht nur ihre Ziffern. - Gegenzahlen liegen spiegelbildlich auf verschiedenen Seiten von \(0\).

1. \(P\) liegt bei \(-0{,}75\), \(Q\) bei \(0{,}75\). 2. Beide Punkte haben von \(0\) den gleichen Abstand \(0{,}75\), liegen aber auf verschiedenen Seiten von \(0\). 3. Daher sind \(-0{,}75\) und \(0{,}75\) Gegenzahlen.

Ja. \(P=-0{,}75\) und \(Q=0{,}75\) haben den gleichen Abstand zu \(0\) und verschiedene Vorzeichen.

- Beachte, dass beide Zahlen ein Minuszeichen haben. - Stelle dir ihre Lage links von \(0\) auf einer Zahlengeraden vor. - Vergleiche, welche Zahl näher an \(0\) liegt.

1. Beide Zahlen sind negativ. Bei negativen Zahlen ist die Zahl größer, die näher an \(0\) liegt. 2. \(-0{,}3\) liegt näher an \(0\) als \(-0{,}8\). 3. Daher gilt \(-0{,}8<-0{,}3\). Jonas' Begründung ist falsch.

Jonas' Aussage ist falsch. Es gilt \(-0{,}8<-0{,}3\).

- Vergleiche jede Angabe zuerst mit \(0\). - Überlege, was ein positives und was ein negatives Vorzeichen bei einer Abweichung vom Normalpegel bedeutet.

1. \(+0{,}2\,\text{m}\) beschreibt eine positive Abweichung und gehört zu „über dem Normalpegel“. 2. \(0\,\text{m}\) bedeutet, dass keine Abweichung vorliegt. Das ist „genau am Normalpegel“. 3. \(-0{,}35\,\text{m}\) beschreibt eine negative Abweichung und gehört zu „unter dem Normalpegel“.

über dem Normalpegel: \(+0{,}2\,\text{m}\) genau am Normalpegel: \(0\,\text{m}\) unter dem Normalpegel: \(-0{,}35\,\text{m}\)

- Was bedeutet der Betrag einer Zahl geometrisch auf der Zahlengeraden? - Kann das Ergebnis eines Betrags \(|x|\) jemals negativ sein? - Achte genau darauf, ob ein Minuszeichen innerhalb oder außerhalb der Betragsstriche steht.

1. Auswertung von (a): Der Betrag von \(-\frac{7}{8}\) ist \(\frac{7}{8}\) und der Betrag von \(+\frac{7}{8}\) ist ebenfalls \(\frac{7}{8}\). Die Gleichung \(\frac{7}{8} = \frac{7}{8}\) ist wahr. 2. Auswertung von (b): Der Betrag von \(\frac{5}{6}\) ist \(\frac{5}{6}\). Mit dem negativen Vorzeichen ergibt sich \(-\frac{5}{6}\). Die Gleichung \(-\frac{5}{6} = \frac{5}{6}\) ist falsch. 3. Auswertung von (c): Der Betrag von \(-\frac{1}{2}\) ist \(\frac{1}{2}\). Da \(\frac{1}{2} > 0\), ist die Aussage wahr. 4. Auswertung von (d): Der Betrag von \(-\frac{3}{4}\) ist \(\frac{3}{4}\). Da \(\frac{3}{4} \neq -\frac{3}{4}\), ist die Aussage falsch.

(a) wahr (b) falsch (c) wahr (d) falsch

- Denke beim Betrag an den Abstand von \(0\) auf der Zahlengeraden. - Zu einem positiven Abstand gehören normalerweise zwei Punkte, einer links und einer rechts von \(0\). - Überlege bei b), ob ein Abstand kleiner als \(0\) sein kann.

1. Der Betrag ist der Abstand einer Zahl von \(0\). Den Abstand \(\frac{5}{12}\) haben \(\frac{5}{12}\) und \(-\frac{5}{12}\). 2. Ein Abstand kann nicht negativ sein. Deshalb kann keine Zahl den Betrag \(-2{,}5\) haben. 3. Der Betrag von \(-\frac{3}{7}\) ist \(\frac{3}{7}\). Diesen Betrag haben \(\frac{3}{7}\) und \(-\frac{3}{7}\).

a) \(\frac{5}{12}\) und \(-\frac{5}{12}\) b) Nein. Ein Betrag ist nie negativ. c) \(\frac{3}{7}\) und \(-\frac{3}{7}\)

- Vereinfache zuerst \(-\frac{8}{2}\). - Überlege dann, welche Werte ohne Bruchteil auf der Zahlengeraden an ganzen Stellen liegen. - Für b) kannst du \(\frac{1}{2}\) als Dezimalzahl schreiben und danach von links nach rechts ordnen.

1. Zuerst gilt \(-\frac{8}{2}=-4\). 2. Ganze Zahlen in der Liste sind \(4\), \(0\), \(-4\) und \(-1\). Davon ist nur \(4\) natürlich. Gesucht sind daher \(-4\), \(-1\) und \(0\). 3. Für die Ordnung gilt \(-4<-2{,}5<-1<0<0{,}5<1{,}2<4\). 4. Mit den ursprünglichen Schreibweisen lautet die Kette \(-\frac{8}{2}<-2{,}5<-1<0<\frac{1}{2}<1{,}2<4\).

a) \(-\frac{8}{2}\), \(-1\) und \(0\) b) \(-\frac{8}{2}<-2{,}5<-1<0<\frac{1}{2}<1{,}2<4\)

- Suche in a) eine Zahl mit einem Bruchteil, die zwischen den beiden negativen Grenzen liegt. - Vergleiche bei b) und c) jeweils die beiden genannten Zahlenmengen in der angegebenen Richtung. - Für c) reicht ein einziges passendes Gegenbeispiel.

1. Für a) eignet sich zum Beispiel \(-0{,}75\). Die Zahl liegt zwischen \(-1\) und \(-0{,}5\), ist rational, aber nicht ganz. 2. b) Ja. Natürliche Zahlen gehören zu den ganzen Zahlen. 3. c) Nein. Zum Beispiel ist \(-3\) eine ganze Zahl, aber keine natürliche Zahl.

a) Zum Beispiel \(-0{,}75\). b) Ja. Jede natürliche Zahl ist auch eine ganze Zahl. c) Nein. Zum Beispiel ist \(-3\) ganz, aber nicht natürlich.

- Wie kannst du Brüche mit unterschiedlichen Nennern am besten vergleichen? - Was passiert mit der Reihenfolge von Zahlen, wenn du sie an der Null auf der Zahlengeraden spiegelst (also das Vorzeichen änderst)? - Welche Zahl liegt auf der Zahlengeraden weiter links?

1. Bestimmung des Hauptnenners der Brüche \(4, 8\) und \(16\): Der Hauptnenner ist \(16\). 2. Erweiterung der Brüche auf den Nenner \(16\): \(-\frac{3}{4} = -\frac{12}{16}\), \(-\frac{5}{8} = -\frac{10}{16}\) und \(-\frac{11}{16}\) bleibt unverändert. 3. Vergleich der Zähler unter Berücksichtigung des negativen Vorzeichens: \(-12 < -11 < -10\). 4. Aufstellung der geordneten Kette: \(-\frac{12}{16} < -\frac{11}{16} < -\frac{10}{16}\). 5. Rückführung auf die ursprünglichen Brüche: \(-\frac{3}{4} < -\frac{11}{16} < -\frac{5}{8}\).

\(-\frac{3}{4} < -\frac{11}{16} < -\frac{5}{8}\)

- Überlege bei a), wie du eine ganze Zahl als Bruch schreiben kannst. - Für b) reicht ein Bruch, dessen Wert ohne Rest eine natürliche Zahl ergibt. - Denke bei c) an die eindeutige Position einer Zahl auf der Zahlengeraden.

1. a) ist wahr. Jede ganze Zahl kann als Bruch mit dem Nenner \(1\) geschrieben werden. 2. b) ist falsch. Zum Beispiel gilt \(\frac{8}{2}=4\), und \(4\) ist eine natürliche Zahl. 3. c) ist wahr. Jede rationale Zahl hat genau eine Position auf der Zahlengeraden.

a) wahr b) falsch; zum Beispiel \(\frac{8}{2}=4\) c) wahr

- Überlege, wie du jede ganze Zahl als Bruch schreiben kannst. - Für b) reicht eine rationale Zahl mit einem echten Bruchteil. - Berechne für c) zuerst den Wert des Bruchs.

1. a) Ja. Jede ganze Zahl lässt sich als Bruch mit dem Nenner \(1\) schreiben und ist deshalb rational. 2. b) Nein. Zum Beispiel ist \(\frac{1}{2}\) rational, aber keine ganze Zahl. 3. c) Es gilt \(\frac{12}{4}=3\). Daher ist der Wert ganz und zugleich rational.

a) Ja. b) Nein; zum Beispiel \(\frac{1}{2}\). c) ganze Zahl und rationale Zahl

- Wandle Brüche bei Bedarf in Dezimalzahlen um. - Bei zwei negativen Zahlen ist die Zahl größer, die weiter rechts auf der Zahlengeraden liegt. - Achte in c) darauf, dass \(\frac{1}{3}\) eine periodische und keine endliche Dezimalzahl ergibt.

1. \(-\frac{3}{5}=-0{,}6\). Daher gilt \(-\frac{3}{5}<-0{,}5\). 2. \(1\frac{1}{8}=1{,}125\). Daher sind die beiden Werte gleich. 3. \(-\frac{1}{3}=-0{,}\overline{3}=-0{,}3333\dots\). Deshalb ist \(-0{,}33>-\frac{1}{3}\).

a) \(-\frac{3}{5}<-0{,}5\) b) \(1\frac{1}{8}=1{,}125\) c) \(-0{,}33>-\frac{1}{3}\)

- Was bedeutet der Abstand einer Zahl zur Null mathematisch? - Wie kannst du Brüche, Dezimalzahlen und gemischte Zahlen am besten vergleichen? - Überlege dir, wo die Zahlen auf der Zahlengeraden liegen.

1. Der Abstand zur Null entspricht dem Betrag der Zahl \(|x|\). 2. a) \(|-\frac{5}{8}| = 0{,}625\) und \(|0{,}65| = 0{,}65\). 3. Da \(0{,}625 < 0{,}65\), liegt \(-\frac{5}{8}\) näher an der Null. 4. b) \(|-1{,}2| = 1{,}2\) und \(\left|1\frac{1}{10}\right| = 1{,}1\). 5. Da \(1{,}1 < 1{,}2\), liegt \(1\frac{1}{10}\) näher an der Null.

a) \(-\frac{5}{8}\) b) \(1\frac{1}{10}\)

- Was bedeutet das Minuszeichen für den Vergleich zweier Zahlen auf der Zahlengeraden? - Welche Zahl liegt weiter rechts? - Ist bei zwei negativen Zahlen die Zahl mit dem größeren Betrag größer oder kleiner?

1. Umwandlung des gemischten Bruchs in eine Dezimalzahl: \(-4\frac{2}{3} = -(4 + 0{,}\overline{6}) = -4{,}666\dots\) 2. Vergleich der Beträge der beiden Zahlen: \(|-4{,}6| = 4{,}6\) und \(|-4{,}666\dots| = 4{,}666\dots\) 3. Da bei negativen Zahlen diejenige Zahl größer ist, deren Betrag kleiner ist (da sie weiter rechts auf der Zahlengeraden liegt), folgt aus \(4{,}6 < 4{,}666\dots\), dass \(-4{,}6 > -4{,}666\dots\) ist. 4. Ergebnis: \(-4{,}6\) ist die größere Zahl.

\(-4{,}6\) ist größer als \(-4\frac{2}{3}\).

- Prüfe bei jeder Zahl zuerst, ob sie ohne Nachkomma- oder Bruchteil geschrieben werden kann. - Ganze Zahlen können positiv, negativ oder null sein. - Endliche Dezimalzahlen und Brüche sind rationale Zahlen, auch wenn sie keine ganzen Zahlen sind.

1. Ganze Zahlen haben keinen Bruchteil. Daher sind \(-3\), \(0\) und \(2\) ganze Zahlen. 2. Die Zahlen \(-0{,}5\), \(\frac{1}{4}\) und \(4{,}5\) sind rational, aber nicht ganz.

a) \(-3\), \(0\), \(2\) b) \(-0{,}5\), \(\frac{1}{4}\), \(4{,}5\)

- Wandle zuerst \(-\frac{1}{5}\) in eine Dezimalzahl um. - Eine passende Zahl muss größer als die linke Grenze und kleiner als die rechte Grenze sein. - Bei negativen Zahlen liegt die größere Zahl näher an \(0\).

1. Es gilt \(-\frac{1}{5}=-0{,}2\). 2. Für \(-0{,}15\) gilt \(-0{,}2<-0{,}15<-0{,}1\). Diese Zahl liegt also zwischen den beiden Grenzen. 3. \(-0{,}25\) ist kleiner als \(-0{,}2\), und \(-0{,}05\) ist größer als \(-0{,}1\). Beide liegen deshalb nicht dazwischen.

\(-0{,}15\), denn \(-0{,}2<-0{,}15<-0{,}1\).

- Bringe unterschiedliche Darstellungen in eine Form, in der du sie direkt vergleichen kannst. - Ordne zuerst die negativen Zahlen, dann die Null im Blick und anschließend die positiven Zahlen. - Prüfe, ob zwei der negativen Angaben denselben Zahlenwert beschreiben.

1. Umwandlung der Brüche in Dezimaldarstellung: \(-\frac{3}{4} = -0{,}75\) und \(\frac{2}{3} = 0{,}666\dots\). 2. Vergleich der negativen Zahlen: \(-0{,}8 < -0{,}75\). 3. Feststellung der Gleichheit: \(-\frac{3}{4} = -0{,}75\). 4. Vergleich der positiven Zahlen: \(\frac{2}{3} < 0{,}7 < 0{,}75\). 5. Zusammenführung zur aufsteigenden Kette: \(-0{,}8 < -\frac{3}{4} = -0{,}75 < \frac{2}{3} < 0{,}7 < 0{,}75\).

\(-0{,}8 < -\frac{3}{4} = -0{,}75 < \frac{2}{3} < 0{,}7 < 0{,}75\)

- Kannst du die Zahlen so erweitern, dass sie die gleiche Anzahl an Nachkommastellen haben? - Wo liegen die Zahlen auf einer Zahlengeraden? Welche liegt weiter links? - Wie kannst du einen Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln? - Denke daran, dass bei negativen Zahlen diejenige kleiner ist, die den größeren Abstand zur Null hat.

1. Vergleich von \(0{,}708\) und \(0{,}710\): Da \(708 < 710\) im Tausendstel-Bereich, gilt \(0{,}708 < 0{,}71\). 2. Vergleich negativer Zahlen: \(-0{,}520\) hat einen größeren Betrag als \(-0{,}502\). Auf der Zahlengeraden liegt \(-0{,}52\) weiter links, also \(-0{,}52 < -0{,}502\). 3. Umwandlung des Bruchs: \(\frac{3}{8} = 3 : 8 = 0{,}375\). Somit gilt \(\frac{3}{8} = 0{,}375\). 4. Vergleich von \(-\frac{2}{3} = -0{,}\overline{6}\) und \(-0{,}6\): Da \(-0{,}666\dots < -0{,}600\), gilt \(-\frac{2}{3} < -0{,}6\).

a) \(0{,}708 < 0{,}71\) b) \(-0{,}52 < -0{,}502\) c) \(\frac{3}{8} = 0{,}375\) d) \(-\frac{2}{3} < -0{,}6\)

- Überlege dir, welche der Zahlen negativ und welche positiv sind. - Es hilft oft, alle Zahlen in die gleiche Darstellung (zum Beispiel Dezimalzahlen) umzuwandeln. - Denk an die Zahlengerade: Welche Zahl liegt am weitesten links? - Achte darauf, ob zwei Werte vielleicht denselben Betrag haben, aber unterschiedliche Vorzeichen oder Schreibweisen.

1. Umwandlung aller Brüche in Dezimalzahlen zur besseren Vergleichbarkeit: \(-\frac{2}{5} = -0{,}4\) und \(\frac{1}{4} = 0{,}25\). 2. Vergleich der negativen Zahlen: Da \(-0{,}45\) weiter links auf der Zahlengeraden liegt als \(-0{,}4\), gilt \(-0{,}45 < -0{,}4\). Da \(-0{,}4 = -\frac{2}{5}\), folgt \(-0{,}45 < -0{,}4 = -\frac{2}{5}\). 3. Einordnung der Null und der positiven Zahlen: \(0\) ist größer als jede negative Zahl und kleiner als jede positive Zahl. Der Vergleich der positiven Dezimalzahlen ergibt \(0{,}25 < 0{,}35\). 4. Zusammenführung der Ergebnisse zur vollständigen Kette: \(-0{,}45 < -0{,}4 = -\frac{2}{5} < 0 < \frac{1}{4} < 0{,}35\).

\(-0{,}45 < -0{,}4 = -\frac{2}{5} < 0 < \frac{1}{4} < 0{,}35\)

- Bestimme zuerst den Wert von Brüchen und gemischten Zahlen. - Prüfe dann zuerst: Ist der Wert natürlich? Wenn nicht, ist er ganz? - Ist eine Zahl weder natürlich noch ganz, kann sie trotzdem rational sein.

1. \(4{,}5\) ist rational, aber nicht ganz. Die kleinste passende Menge ist \(\mathbb{Q}\). 2. \(-12\) ist eine ganze Zahl, aber keine natürliche Zahl. Die kleinste passende Menge ist \(\mathbb{Z}\). 3. \(\frac{20}{4}=5\). Daher gehört der Wert zur kleinsten passenden Menge \(\mathbb{N}\). 4. Nach der Vorgabe gehört \(0\) nicht zu \(\mathbb{N}\), aber zu \(\mathbb{Z}\). 5. \(-0{,}75\) ist rational, aber nicht ganz. Die kleinste passende Menge ist \(\mathbb{Q}\). 6. \(1\frac{1}{5}=1{,}2\) ist rational, aber nicht ganz. Die kleinste passende Menge ist \(\mathbb{Q}\).

\(4{,}5\): \(\mathbb{Q}\) \(-12\): \(\mathbb{Z}\) \(\frac{20}{4}\): \(\mathbb{N}\) \(0\): \(\mathbb{Z}\) \(-0{,}75\): \(\mathbb{Q}\) \(1\frac{1}{5}\): \(\mathbb{Q}\)

- Wandle Brüche am besten in Dezimalzahlen um, um sie leichter vergleichen zu können. - Denke an das Thermometer: Welche Zahl liegt weiter oben (ist größer) und welche weiter unten (ist kleiner)? - Bei negativen Zahlen ist diejenige Zahl kleiner, die den größeren Betrag (Abstand zur Null) hat.

1. Um \(-\frac{3}{5}\) und \(-0{,}58\) zu vergleichen, wandelt man den Bruch in eine Dezimalzahl um: \(-\frac{3}{5} = -0{,}6\). Da \(0{,}6 > 0{,}58\), gilt für die negativen Zahlen \(-0{,}6 < -0{,}58\). 2. Vergleich von \(-2{,}07\) und \(-2{,}7\): Da \(2{,}07 < 2{,}7\), ist die Zahl mit dem kleineren Betrag bei negativen Vorzeichen die größere, also \(-2{,}07 > -2{,}7\). 3. Um \(-\frac{1}{8}\) und \(-0{,}125\) zu vergleichen, wandelt man den Bruch um: \(-\frac{1}{8} = -0{,}125\). Die Werte sind gleich: \(-\frac{1}{8} = -0{,}125\). 4. Vergleich von \(-0{,}33\) und \(-\frac{1}{3}\): Es gilt \(-\frac{1}{3} = -0{,}333\dots\). Da \(0{,}33 < 0{,}333\dots\), ist \(-0{,}33 > -0{,}333\dots\), also \(-0{,}33 > -\frac{1}{3}\).

a) \(-\frac{3}{5} < -0{,}58\) b) \(-2{,}07 > -2{,}7\) c) \(-\frac{1}{8} = -0{,}125\) d) \(-0{,}33 > -\frac{1}{3}\)

- Was bedeutet das Minuszeichen für die Reihenfolge der Zahlen? - Hilft es dir, die Zahlen auf einer Zahlengeraden vorzustellen? - Was passiert mit dem Wert einer negativen Zahl, wenn ihr Abstand zur Null (der Betrag) größer wird?

1. Vergleich der Beträge der negativen Zahlen: \(5{,}44 > 5{,}404 > 5{,}4 > 5{,}04 > 5{,}0\). 2. Anwendung der Regel für negative Zahlen: Je größer der Betrag einer negativen Zahl, desto kleiner ist die Zahl selbst. 3. Anordnung von klein nach groß: \(-5{,}44 < -5{,}404 < -5{,}4 < -5{,}04 < -5\).

\(-5{,}44 < -5{,}404 < -5{,}4 < -5{,}04 < -5\)

- Bei der Gegenzahl wechseln positive und negative Zahlen das Vorzeichen. - Stelle dir die Zahl und ihre Gegenzahl auf einer Zahlengeraden vor. - Vergleiche ihre Abstände von \(0\) und die Seite, auf der sie liegen. - Welche Zahl verändert sich beim Bilden der Gegenzahl nicht?

1. Die Gegenzahl von \(-5{,}4\) ist \(5{,}4\), von \(3{,}1\) ist sie \(-3{,}1\), von \(0\) ist sie \(0\) und von \(-\frac{1}{2}\) ist sie \(\frac{1}{2}\). 2. Eine Zahl und ihre Gegenzahl haben denselben Abstand von \(0\), liegen aber auf verschiedenen Seiten. Ihre Punkte sind an der \(0\) gespiegelt. 3. Nur \(0\) bleibt beim Bilden der Gegenzahl unverändert. Daher ist \(0\) ihre eigene Gegenzahl.

1. \(5{,}4\), \(-3{,}1\), \(0\), \(\frac{1}{2}\) 2. Sie haben denselben Abstand von \(0\) und liegen auf verschiedenen Seiten; ihre Punkte sind an der \(0\) gespiegelt. 3. \(0\)

- Welche Zahl liegt auf der Zahlengeraden am weitesten links? - Wie kannst du Brüche und Dezimalzahlen am besten miteinander vergleichen? - Denke an den Betrag einer Zahl: Was bedeutet ein großer Betrag bei einer negativen Zahl für ihren Wert? - Kannst du alle Zahlen so umschreiben, dass sie die gleiche Anzahl an Nachkommastellen haben?

1. Umwandlung aller Brüche in Dezimalzahlen zur besseren Vergleichbarkeit: \(-4\frac{1}{4} = -4{,}25\) und \(-4\frac{3}{10} = -4{,}3\). 2. Vergleich der Dezimalzahlen: \(-4{,}20\); \(-4{,}25\); \(-4{,}08\); \(-4{,}30\); \(-4{,}19\). 3. Bestimmung der kleinsten Zahl: Die Zahl mit dem größten Betrag ist bei negativen Vorzeichen die kleinste, also \(-4{,}3\), was \(-4\frac{3}{10}\) entspricht. 4. Bestimmung der größten Zahl: Die Zahl mit dem kleinsten Betrag ist bei negativen Vorzeichen die größte, also \(-4{,}08\).

a) \(-4\frac{3}{10}\) b) \(-4{,}08\)

- Wandle die Brüche zuerst in Dezimalzahlen um. - Stelle dir die Zahlen auf einer Zahlengeraden oder einem Thermometer vor. - Bei negativen Zahlen liegt die kleinere Zahl weiter links. - Ergänze bei Bedarf rechts Nullen, damit du die Dezimalstellen leichter vergleichen kannst.

1. Als Dezimalzahlen gilt \(-\frac{1}{2}=-0{,}5\) und \(-\frac{3}{5}=-0{,}6\). 2. Bei negativen Zahlen ist die Zahl mit dem größeren Betrag kleiner. 3. Daher gilt \(-0{,}6<-0{,}55<-0{,}5<-0{,}45<-0{,}4\). 4. In den ursprünglichen Schreibweisen lautet die Reihenfolge \(-\frac{3}{5}<-0{,}55<-\frac{1}{2}<-0{,}45<-0{,}4\).

\(-\frac{3}{5}<-0{,}55<-\frac{1}{2}<-0{,}45<-0{,}4\)

- Wandle die beiden Brüche bei Bedarf in Dezimalzahlen um. - Für a) suchst du Zahlen, die auf der Zahlengeraden links von \(-1\) liegen. - Für b) muss eine Zahl rechts von \(-3\) und gleichzeitig links von \(-0{,}5\) liegen. - Für c) suche eine Zahl, die noch weiter links als die kleinste gegebene Zahl liegt.

1. Es gilt \(-\frac{1}{2}=-0{,}5\) und \(-\frac{9}{4}=-2{,}25\). 2. Kleiner als \(-1\) sind \(-4{,}2\), \(-5\) und \(-\frac{9}{4}\). 3. Zwischen \(-3\) und \(-0{,}5\) liegen \(-0{,}75\) und \(-\frac{9}{4}\). Die Grenze \(-0{,}5\) selbst zählt nicht mit. 4. Die kleinste gegebene Zahl ist \(-5\). Eine kleinere rationale Zahl ist zum Beispiel \(-6\).

a) \(-4{,}2\), \(-5\), \(-\frac{9}{4}\) b) \(-0{,}75\), \(-\frac{9}{4}\) c) Zum Beispiel \(-6\)

- Vergleiche in a) bis c) nur die Größe der beiden Zahlen; du musst keine konkrete Rechnung ausführen. - Überlege, wann beim Wegnehmen genau nichts übrig bleibt. - Denke bei d) daran, welche Vorzeichen in a) bis c) möglich sind.

1. Sind beide Zahlen gleich groß, ist das Ergebnis \(0\). 2. Ist die erste Zahl kleiner, ist das Ergebnis negativ. 3. Ist die erste Zahl größer, ist das Ergebnis positiv. 4. Neben positiven rationalen Zahlen werden deshalb auch \(0\) und negative rationale Zahlen benötigt.

a) \(0\) b) negativ c) positiv d) \(0\) und die negativen rationalen Zahlen

- Prüfe jede Aussage an einer positiven Zahl, einer negativen Zahl und an \(0\). - Gegenzahlen liegen auf verschiedenen Seiten von \(0\), sofern die Zahl nicht selbst \(0\) ist. - Der Betrag beschreibt den Abstand einer Zahl von \(0\).

1. a) Die Aussage ist falsch. Zum Beispiel ist die Gegenzahl von \(-5\) die positive Zahl \(5\). Die Gegenzahl von \(0\) ist wieder \(0\). 2. b) Die Aussage ist wahr. Eine Zahl und ihre Gegenzahl haben denselben Abstand von \(0\), also denselben Betrag. 3. c) Die Aussage ist falsch. Für die Zahl \(0\) gilt \(|0|=0\).

a) Falsch. Zum Beispiel ist die Gegenzahl von \(-5\) gleich \(5\). b) Wahr. Gegenzahlen haben denselben Abstand von \(0\). c) Falsch. \(|0|=0\).

- Wähle eine einfache positive und eine einfache negative rationale Zahl. - Bestimme jeweils die Gegenzahl und vergleiche die beiden Zahlen. - Ein Gegenbeispiel reicht aus, um eine Aussage mit „immer“ zu widerlegen.

1. Zum Beispiel gilt für \(3\): Die Gegenzahl ist \(-3\), also ist \(-3<3\). 2. Für \(0\) ist die Gegenzahl wieder \(0\). Beide Zahlen sind gleich. 3. Zum Beispiel gilt für \(-2\): Die Gegenzahl ist \(2\), also ist \(2>-2\). 4. Die Behauptung ist deshalb falsch. Sie gilt für positive Zahlen, aber nicht für \(0\) oder negative Zahlen.

Zum Beispiel: - positive Zahl: Zu \(3\) gehört die Gegenzahl \(-3\), also \(-3<3\). - \(0\): Die Gegenzahl ist wieder \(0\). - negative Zahl: Zu \(-2\) gehört die Gegenzahl \(2\), also \(2>-2\). Die Behauptung ist deshalb falsch. Sie gilt nur für positive Zahlen.

- Stell dir beide Werte auf einer senkrechten Skala mit \(0\) an der Wasseroberfläche vor. - Bei negativen Zahlen liegt die kleinere Zahl weiter von \(0\) in negativer Richtung. - Für die Gegenzahl änderst du nur das Vorzeichen; der Abstand zu \(0\) bleibt gleich.

1. Unter der Wasseroberfläche bedeuten kleinere Zahlen eine tiefere Lage. 2. \(-2{,}4\) liegt auf der Zahlengeraden weiter links als \(-1{,}75\). Deshalb ist \(-2{,}4<-1{,}75\), und Tarek ist tiefer. 3. Die Gegenzahl zu \(-1{,}75\) hat denselben Abstand zu \(0\), aber das andere Vorzeichen. Sie ist \(1{,}75\).

a) Tarek ist tiefer. b) \(-2{,}4<-1{,}75\) c) \(1{,}75\)

- Berechne zuerst alle Beträge, damit du mit „normalen“ Zahlen arbeiten kannst. - Es hilft oft, alle Brüche in Dezimalzahlen umzuwandeln oder umgekehrt. - Denk an die Position der Zahlen auf der Zahlengeraden: Je weiter links eine Zahl steht, desto kleiner ist sie.

1. Berechnen der Beträge: \(b = |-\frac{3}{4}| = \frac{3}{4} = 0{,}75\) und \(d = |0{,}6| = 0{,}6\). 2. Umwandeln aller Zahlen in Dezimaldarstellung zum besseren Vergleich: \(a = -1{,}2\); \(b = 0{,}75\); \(c = -0{,}5\); \(d = 0{,}6\). 3. Vergleich der negativen Zahlen: \(-1{,}2 < -0{,}5\), also \(a < c\). 4. Vergleich der positiven Zahlen: \(0{,}6 < 0{,}75\), also \(d < b\). 5. Gesamte Ordnung: \(-1{,}2 < -0{,}5 < 0{,}6 < 0{,}75\). 6. Ersetzen durch die ursprünglichen Ausdrücke: \(a < c < d < b\).

\(-1{,}2 < -\frac{1}{2} < |0{,}6| < |-\frac{3}{4}|\) (bzw. \(a < c < d < b\))

- Was bedeutet es für die Position auf der Zahlengeraden, wenn eine Zahl „größer“ ist als eine andere? - Wenn zwei Zahlen negativ sind, welche liegt dann näher bei der Null? - Wie vergleichst du Brüche wie \(\frac{4}{9}\) und \(\frac{5}{11}\) am einfachsten?

1. Bestimmung der Beträge der beiden Zahlen: \(|a| = 3 \frac{4}{9}\) und \(|b| = 3 \frac{5}{11}\). 2. Vergleich der gebrochenen Anteile \(\frac{4}{9}\) und \(\frac{5}{11}\) durch Hauptnennerbildung (\(99\)): \(\frac{4}{9} = \frac{44}{99}\) und \(\frac{5}{11} = \frac{45}{99}\). 3. Feststellung, dass \(\frac{44}{99} < \frac{45}{99}\), woraus folgt, dass \(|a| < |b|\) ist (\(3 \frac{44}{99} < 3 \frac{45}{99}\)). 4. Schlussfolgerung für negative Zahlen: Die Zahl mit dem kleineren Betrag liegt näher an der Null und somit auf der Zahlengeraden weiter rechts. 5. Ergebnis: \(a = -3 \frac{4}{9}\) liegt weiter rechts.

\(a = -3 \frac{4}{9}\) liegt weiter rechts, da \(|-3 \frac{4}{9}| < |-3 \frac{5}{11}|\).

- Bringe die beiden äußeren Brüche auf den Nenner \(12\). - Wenn alle Nenner gleich sind, kannst du die Zähler direkt vergleichen. - Die Randwerte selbst gehören wegen der Zeichen \(<\) nicht dazu.

1. Schreibe beide Grenzen mit dem Nenner \(12\): \(-\frac{3}{4}=-\frac{9}{12}\) und \(-\frac{1}{3}=-\frac{4}{12}\). 2. Der Zähler im Kästchen muss daher größer als \(-9\) und kleiner als \(-4\) sein. 3. Möglich sind \(-8\), \(-7\), \(-6\) und \(-5\).

\(-8\), \(-7\), \(-6\) und \(-5\)

- Vereinfache zuerst den Bruch. - Überlege anschließend, welche der drei Zahlengruppen den erhaltenen Wert enthalten. - Die Gegenzahl liegt gleich weit von \(0\) entfernt auf der anderen Seite. - Für c) brauchst du eine Zahl mit Bruchteil links vom gegebenen Wert.

1. Es gilt \(-\frac{24}{6}=-4\). 2. \(-4\) ist keine natürliche Zahl, aber eine ganze Zahl und damit auch rational. 3. Die Gegenzahl zu \(-4\) ist \(4\). Sie liegt rechts von \(0\). 4. Eine rationale, nicht ganze Zahl kleiner als \(-4\) ist zum Beispiel \(-4{,}5\).

a) ganze Zahl und rationale Zahl b) Rechts von \(0\), bei \(4\). c) Zum Beispiel \(-4{,}5\).

- Ein Bruch mit einem nicht ganzzahligen Wert ist ein guter Kandidat für a). - Denke bei b) an die Beziehung zwischen ganzen und rationalen Zahlen, ohne sofort ein Beispiel festzulegen. - Der Betrag einer negativen Zahl beschreibt ihren Abstand von \(0\).

1. Für a) eignet sich zum Beispiel \(\frac{1}{2}\). Die Zahl ist rational, aber nicht ganz. 2. Für b) gibt es keine Lösung, denn jede ganze Zahl gehört auch zu den rationalen Zahlen. 3. Für c) eignet sich zum Beispiel \(-3\). Die Zahl ist rational und ihr Betrag ist \(3\), also eine natürliche Zahl.

a) Zum Beispiel \(\frac{1}{2}\). b) Keine; jede ganze Zahl ist rational. c) Zum Beispiel \(-3\).

- Was ist eine gute Strategie, um Zahlen mit unterschiedlichen Formaten (Bruch, Dezimalzahl) zu vergleichen? - Sortiere zuerst die negativen und die positiven Zahlen getrennt voneinander. - Welche Zahl liegt auf der Zahlengeraden am weitesten links? - Hilft es dir, alle Dezimalzahlen auf die gleiche Anzahl von Nachkommastellen zu bringen?

1. Umwandlung aller Zahlen in Dezimaldarstellung zum besseren Vergleich: \(-0{,}6 = -0{,}600\) \(\frac{1}{2} = 0{,}500\) \(-\frac{5}{8} = -0{,}625\) \(0{,}45 = 0{,}450\) \(-\frac{1}{10} = -0{,}100\) 2. Sortierung der negativen Zahlen (je größer der Betrag, desto kleiner die Zahl): \(-0{,}625 < -0{,}600 < -0{,}100\). 3. Sortierung der positiven Zahlen: \(0{,}450 < 0{,}500\). 4. Zusammenfügen der gesamten Kette: \(-0{,}625 < -0{,}600 < -0{,}100 < 0{,}450 < 0{,}500\). 5. Rückübersetzung in die ursprüngliche Schreibweise: \(-\frac{5}{8} < -0{,}6 < -\frac{1}{10} < 0{,}45 < \frac{1}{2}\).

\(-\frac{5}{8} < -0{,}6 < -\frac{1}{10} < 0{,}45 < \frac{1}{2}\)

- Was bedeutet es für den Wert einer Zahl, wenn sie auf der Zahlengeraden weiter rechts liegt? - Erinnere dich an die Definition des Betrags: Was gibt der Betrag einer Zahl an? - Wandle den Bruch in eine Dezimalzahl um, um ihn direkt mit der anderen Zahl vergleichen zu können. - Haben „größer sein“ und „einen größeren Betrag haben“ bei negativen Zahlen dieselbe Bedeutung?

1. Umwandlung von \(a\) in eine Dezimalzahl: \(a = -\frac{7}{4} = -1{,}75\). 2. Vergleich der Lage auf der Zahlengeraden: Da \(-1{,}75 > -1{,}8\), liegt die Zahl \(a\) weiter rechts als \(b\). 3. Bestimmung der Beträge: \(|a| = |-1{,}75| = 1{,}75\) und \(|b| = |-1{,}8| = 1{,}8\). 4. Vergleich der Beträge: Da \(1{,}8 > 1{,}75\), hat die Zahl \(b\) den größeren Betrag.

1. Die Zahl \(a = -\frac{7}{4}\) liegt weiter rechts, da \(-1{,}75 > -1{,}8\). 2. Die Zahl \(b = -1{,}8\) hat den größeren Betrag, da \(|-1{,}8| = 1{,}8\) und \(|-\frac{7}{4}| = 1{,}75\).

- Schreibe die beiden Brüche als Dezimalzahlen oder genügend weit als Näherungswerte aus. - Denke daran: Unter negativen Zahlen ist die Zahl näher an \(0\) die größere. - Vergleiche die Werte anschließend von rechts nach links auf der Zahlengeraden.

1. Schreibe die Brüche als Dezimalzahlen: \(-\frac{3}{7}\approx-0{,}4286\) und \(-\frac{4}{9}=-0{,}\overline{4}\approx-0{,}4444\). 2. Bei negativen Zahlen ist die Zahl größer, die näher an \(0\) liegt. 3. Daher gilt \(-0{,}4>-\frac{3}{7}>-0{,}44>-\frac{4}{9}>-0{,}45\).

\(-0{,}4>-\frac{3}{7}>-0{,}44>-\frac{4}{9}>-0{,}45\)

- Schreibe die Brüche als Dezimalzahlen oder passende Näherungswerte. - Alle gegebenen Zahlen liegen zwischen \(-1\) und \(-0{,}9\). - Bei negativen Zahlen ist die weiter links liegende Zahl kleiner.

1. Es gilt \(-\frac{9}{10}=-0{,}9\), \(-\frac{11}{12}\approx-0{,}9167\) und \(-\frac{12}{13}\approx-0{,}9231\). 2. Alle Zahlen liegen zwischen \(-1\) und \(-0{,}9\). Je weiter links eine Zahl auf der Zahlengeraden liegt, desto kleiner ist sie. 3. Damit lautet die Reihenfolge \(-0{,}95<-\frac{12}{13}<-\frac{11}{12}<-0{,}915<-\frac{9}{10}\).

\(-0{,}95<-\frac{12}{13}<-\frac{11}{12}<-0{,}915<-\frac{9}{10}\)

- Erinnere dich daran, wie sich die Größe von negativen Zahlen verhält, wenn ihr Betrag wächst. - Schreibe die periodischen Zahlen mit ein paar zusätzlichen Nachkommastellen auf, um sie besser vergleichen zu können. - Welche dieser Zahlen sind eigentlich identisch?

1. Umwandlung in Dezimalzahlen: \(-0{,}75\), \(-0{,}7\overline{5} = -0{,}7555\dots\), \(-0{,}\overline{75} = -0{,}7575\dots\), \(-\frac{3}{4} = -0{,}75\). 2. Vergleich der Beträge: \(0{,}75 < 0{,}7555\dots < 0{,}7575\dots\). 3. Bei negativen Zahlen ist diejenige mit dem größten Betrag die kleinste Zahl auf der Zahlengeraden. 4. Vergleichsergebnis: \(-0{,}7575\dots < -0{,}7555\dots < -0{,}75\). 5. Aufsteigende Kette: \(-0{,}\overline{75} < -0{,}7\overline{5} < -0{,}75 = -\frac{3}{4}\).

\(-0{,}\overline{75} < -0{,}7\overline{5} < -0{,}75 = -\frac{3}{4}\)

- Wie verhalten sich negative Zahlen auf der Zahlengeraden? Welche liegt weiter links? - Wandle den Bruch in eine Dezimalzahl um, um ihn besser vergleichen zu können. - Was bedeutet der Strich über der 5 bei \(-1{,}2\overline{5}\) für den Wert der Zahl?

1. Umwandlung aller Zahlen in vergleichbare Dezimalzahlen: 2. \(a = -1{,}25\) 3. \(b = -\frac{5}{4} = -1{,}25\) 4. \(c = -1{,}2555\dots\) 5. \(d = -1{,}2 = -1{,}20\) 6. Vergleich auf der Zahlengeraden (negativer Bereich): Je größer der Betrag einer negativen Zahl, desto kleiner ist ihr Wert. 7. \(-1{,}255\dots < -1{,}25 < -1{,}20\) 8. Da \(a\) und \(b\) den gleichen Wert haben, gilt \(a = b\). 9. Ergebnis: \(c < a = b < d\) (bzw. \(-1{,}2\overline{5} < -1{,}25 = -\frac{5}{4} < -1{,}2\))

\(-1{,}2\overline{5} < -1{,}25 = -\frac{5}{4} < -1{,}2\)

- Was bedeutet der Strich über einer Ziffer bei Dezimalzahlen? - Könnte es helfen, die Zahlen mit gleich vielen Nachkommastellen zu schreiben (evtl. mit Nullen auffüllen)? - Überlege dir bei negativen Zahlen, welche Zahl weiter rechts auf der Zahlengeraden liegt. - Wie kannst du einen Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln?

1. Vergleich von \(0{,}\overline{7} = 0{,}777\dots\) mit \(0{,}77\): Da die dritte Nachkommastelle \(7 > 0\) ist, gilt \(0{,}\overline{7} > 0{,}77\). 2. Vergleich von \(-1{,}23\) und \(-1{,}229\): Da \(1{,}230 > 1{,}229\), liegt \(-1{,}23\) auf der Zahlengeraden weiter links als \(-1{,}229\). Somit gilt \(-1{,}23 < -1{,}229\). 3. Umwandlung des Bruchs: \(\frac{1}{20} = \frac{5}{100} = 0{,}05\). Da beide Werte identisch sind, gilt \(0{,}05 = \frac{1}{20}\). 4. Vergleich von \(-0{,}001\) und \(-0{,}01\): Da \(0{,}001 < 0{,}01\), liegt \(-0{,}001\) näher an der Null und somit weiter rechts auf der Zahlengeraden. Es gilt \(-0{,}001 > -0{,}01\).

a) \(0{,}\overline{7} > 0{,}77\) b) \(-1{,}23 < -1{,}229\) c) \(0{,}05 = \frac{1}{20}\) d) \(-0{,}001 > -0{,}01\)

- Versuche, Brüche zuerst in Dezimalzahlen umzuwandeln, um sie besser vergleichen zu können. - Schreibe bei periodischen Zahlen die ersten paar Ziffern hintereinander auf. - Achte bei negativen Zahlen darauf, dass die Zahl mit dem größeren Betrag die kleinere Zahl ist.

1. Umwandlung des Bruchs: \(-\frac{5}{4} = -1{,}25\). Vergleich von \(-1{,}25\) und \(-1{,}2\): Da \(1{,}25 > 1{,}20\), ist \(-1{,}25 < -1{,}2\). 2. Vergleich von \(0{,}\overline{15} = 0{,}151515\dots\) mit \(0{,}151\): Die vierte Nachkommastelle bei \(0{,}\overline{15}\) ist \(5\), während \(0{,}151\) dort eine gedachte \(0\) hat. Da \(5 > 0\), gilt \(0{,}\overline{15} > 0{,}151\). 3. Vergleich von \(-3{,}45\) und \(-3{,}455\): Da \(3{,}450 < 3{,}455\), liegt \(-3{,}45\) weiter rechts auf der Zahlengeraden. Es gilt \(-3{,}45 > -3{,}455\). 4. Umwandlung der gemischten Zahl: \(2\frac{2}{25} = 2 + \frac{8}{100} = 2{,}08\). Da beide Werte identisch sind, gilt \(2{,}08 = 2\frac{2}{25}\).

a) \(-\frac{5}{4} < -1{,}2\) b) \(0{,}\overline{15} > 0{,}151\) c) \(-3{,}45 > -3{,}455\) d) \(2{,}08 = 2\frac{2}{25}\)

- Bringe alle Zahlen in die gleiche Darstellung (am besten Dezimalzahlen). - Schreibe die Zahlen untereinander, sodass die Kommata genau übereinander stehen. - Welche Zahl ist am weitesten von der Null entfernt in negative Richtung? - Gibt es in der Liste Zahlen, die denselben Wert haben?

1. Umwandlung aller Zahlen in eine vergleichbare Form (Dezimaldarstellung): - \(-0{,}3 = -0{,}3000\dots\) - \(-\frac{1}{3} = -0{,}3333\dots\) - \(-0{,}33 = -0{,}3300\dots\) - \(-0{,}\overline{3} = -0{,}3333\dots\) - \(-0{,}34 = -0{,}3400\dots\) 2. Vergleich der Beträge: \(0{,}34 > 0{,}3333\dots > 0{,}33 > 0{,}3\). 3. Da es sich um negative Zahlen handelt, kehrt sich die Reihenfolge um: Die Zahl mit dem größten Betrag ist die kleinste. 4. Feststellung der Gleichheit: \(-\frac{1}{3} = -0{,}\overline{3}\). 5. Endgültige Ordnung: \(-0{,}34 < -0{,}\overline{3} = -\frac{1}{3} < -0{,}33 < -0{,}3\).

\(-0{,}34 < -0{,}\overline{3} = -\frac{1}{3} < -0{,}33 < -0{,}3\)

- Bei zwei negativen Zahlen ist die Zahl größer, die näher an \(0\) liegt. - Für b) kannst du die beiden Grenzen mit zwei Nachkommastellen schreiben und eine passende Zahl dazwischen wählen. - Wandle für c) die beiden Brüche in Dezimalzahlen um.

1. \(-1{,}4\) liegt auf der Zahlengeraden rechts von \(-1{,}5\). Daher gilt \(-1{,}4>-1{,}5\). 2. Zwischen den beiden Zahlen liegt zum Beispiel \(-1{,}45\), denn \(-1{,}5<-1{,}45<-1{,}4\). 3. Es gilt \(-\frac{7}{5}=-1{,}4\) und \(-\frac{3}{2}=-1{,}5\). Deshalb entspricht \(-\frac{7}{5}\) der Zahl \(-1{,}4\), und \(-\frac{7}{5}>-\frac{3}{2}\).

a) \(-1{,}4>-1{,}5\) b) Zum Beispiel \(-1{,}45\) c) \(-\frac{7}{5}=-1{,}4\) und \(-\frac{7}{5}>-\frac{3}{2}\)

- Was bedeutet es für die Größe einer Zahl, wenn sie auf der Zahlengeraden „links“ von einer anderen Zahl liegt? - Wandle die Brüche zuerst in Dezimalzahlen um, um sie besser mit \(-3{,}15\) und \(-3{,}2\) vergleichen zu können. - Vorsicht bei negativen Zahlen: Je größer der Betrag (die Zahl ohne Vorzeichen), desto kleiner ist die eigentliche negative Zahl.

1. Umwandlung der Brüche in Dezimalzahlen: \(B = -\frac{13}{4} = -3{,}25\) und \(C = -3 \frac{1}{10} = -3{,}1\). 2. Bestimmung der Zahlen links von \(-3{,}1\): Eine Zahl liegt links von \(-3{,}1\), wenn sie kleiner als \(-3{,}1\) ist. 3. Vergleich der Werte: \(A = -3{,}15 < -3{,}1\); \(B = -3{,}25 < -3{,}1\); \(D = -3{,}2 < -3{,}1\). Die Zahl \(C = -3{,}1\) liegt genau auf dem Referenzpunkt, nicht links davon. 4. Ordnen der gefundenen Zahlen \(A\), \(B\) und \(D\): Der kleinste Wert ist der mit dem größten Betrag bei negativem Vorzeichen. Somit ergibt sich: \(-3{,}25 < -3{,}2 < -3{,}15\). 5. Endergebnis in Originalschreibweise: \(-\frac{13}{4} < -3{,}2 < -3{,}15\).

Die Zahlen \(-\frac{13}{4}\), \(-3{,}2\) und \(-3{,}15\) liegen links von \(-3{,}1\). Ihre Reihenfolge ist: \(-\frac{13}{4} < -3{,}2 < -3{,}15\).

- Wandle zur besseren Vergleichbarkeit alle Brüche in Dezimalzahlen um. - Denke daran, dass bei negativen Zahlen der Wert mit dem größeren Betrag („die größere Zahl ohne Vorzeichen“) die kleinere Zahl ist. - Ein Zahlenstrahl kann helfen, die Reihenfolge zu visualisieren.

1. Umwandlung aller Werte in Dezimalzahlen: \(A = 0{,}75\); \(B = -0{,}8\) (da \(\frac{4}{5} = \frac{8}{10}\)); \(C = 0{,}8\); \(D = -0{,}75\) (da \(\frac{3}{4} = \frac{75}{100}\)); \(E = -0{,}7\). 2. Vergleich der negativen Zahlen: \(-0{,}8 < -0{,}75 < -0{,}7\). 3. Vergleich der positiven Zahlen: \(0{,}75 < 0{,}8\). 4. Zusammenführung der gesamten Kette: \(-0{,}8 < -0{,}75 < -0{,}7 < 0{,}75 < 0{,}8\). 5. Zuordnung der Buchstaben: \(B < D < E < A < C\).

\(B < D < E < A < C\) (bzw. \(-\frac{4}{5} < -\frac{3}{4} < -0{,}7 < 0{,}75 < 0{,}8\))

- Wandle die Brüche in Dezimalzahlen um und schreibe die Werte bei Bedarf mit gleich vielen Nachkommastellen. - Bei negativen Zahlen liegt die kleinere Zahl weiter links auf der Zahlengeraden. - Für b) kannst du eine Dezimalzahl wählen, die größer als \(-1{,}6\) und kleiner als \(-1{,}5\) ist.

1. Als Dezimalzahlen lauten die Werte \(-1{,}600\), \(-1{,}750\), \(-1{,}705\) und \(-1{,}500\). 2. Bei negativen Zahlen ist die Zahl mit dem größeren Betrag kleiner. Daher gilt \(-\frac{7}{4}<-1{,}705<-1{,}6<-\frac{3}{2}\). 3. Die beiden größten Zahlen sind \(-1{,}6\) und \(-\frac{3}{2}=-1{,}5\). Dazwischen liegt zum Beispiel \(-1{,}55\), denn \(-1{,}6<-1{,}55<-1{,}5\).

a) \(-\frac{7}{4}<-1{,}705<-1{,}6<-\frac{3}{2}\) b) Zum Beispiel \(-1{,}55\)

- Was ist die Gegenzahl einer negativen Zahl? - Wandle zuerst alle Brüche in Dezimalzahlen um, um sie besser vergleichen zu können. - Sortiere zuerst die negativen und dann die positiven Zahlen getrennt voneinander. - Wie verändert sich die Reihenfolge, wenn man die Vorzeichen aller Zahlen umdreht?

1. Umwandlung von \(b\) in eine Dezimalzahl: \(b = -1{,}25\). 2. Bestimmung der Gegenzahlen durch Vorzeichenumkehr: \(-a = 1{,}2\); \(-b = 1{,}25\); \(-c = 1{,}15\). 3. Vergleich der negativen Werte: Wegen \(1{,}25 > 1{,}2 > 1{,}15\) gilt \(-1{,}25 < -1{,}2 < -1{,}15\), also \(b < a < c\). 4. Vergleich der positiven Werte: \(1{,}15 < 1{,}2 < 1{,}25\), also \(-c < -a < -b\). 5. Zusammenführen der Teilketten: \(b < a < c < -c < -a < -b\). 6. Resultierende Wertekette: \(-1{,}25 < -1{,}2 < -1{,}15 < 1{,}15 < 1{,}2 < 1{,}25\).

\(b < a < c < -c < -a < -b\) bzw. \(-1{,}25 < -1{,}2 < -1{,}15 < 1{,}15 < 1{,}2 < 1{,}25\)

- Wie kannst du Brüche mit unterschiedlichen Nennern vergleichbar machen? - Könnte es helfen, einen Bruch in eine Dezimalzahl umzuwandeln oder umgekehrt? - Achte genau auf die Anzahl der Dezimalstellen hinter dem Komma. - Erinnere dich daran, dass bei negativen Zahlen diejenige größer ist, deren Betrag kleiner ist.

1. Vergleich von \(-\frac{5}{9}\) und \(-\frac{7}{12}\): Hauptnenner ist \(36\). Erweitern liefert \(-\frac{20}{36}\) und \(-\frac{21}{36}\). Da \(-20 > -21\), gilt \(-\frac{5}{9} > -\frac{7}{12}\). 2. Vergleich von \(-3{,}101\) und \(-3{,}11\): Angleichen der Stellen ergibt \(-3{,}101\) und \(-3{,}110\). Da \(3{,}101 < 3{,}110\), ist \(-3{,}101 > -3{,}110\). 3. Vergleich von \(-\frac{19}{20}\) und \(-0{,}9\): Umwandeln des Bruchs ergibt \(-\frac{95}{100} = -0{,}95\). Vergleich von \(-0{,}95\) und \(-0{,}90\) zeigt, dass \(-0{,}95 < -0{,}90\). Somit \(-\frac{19}{20} < -0{,}9\). 4. Vergleich von \(-1\frac{2}{3}\) und \(-\frac{13}{8}\): Umwandeln in Brüche ergibt \(-\frac{5}{3}\) und \(-\frac{13}{8}\). Hauptnenner ist \(24\). Erweitern liefert \(-\frac{40}{24}\) und \(-\frac{39}{24}\). Da \(-40 < -39\), gilt \(-1\frac{2}{3} < -\frac{13}{8}\).

1) \(-\frac{5}{9} > -\frac{7}{12}\) 2) \(-3{,}101 > -3{,}11\) 3) \(-\frac{19}{20} < -0{,}9\) 4) \(-1\frac{2}{3} < -\frac{13}{8}\)

- Wandle die beiden Brüche in Dezimalzahlen um. - Ordne zuerst positive Zahlen, \(0\) und negative Zahlen in drei Gruppen. - Bei negativen Zahlen ist die Zahl größer, die näher an \(0\) liegt.

1. Die Brüche als Dezimalzahlen sind \(-\frac{13}{4}=-3{,}25\) und \(3\frac{1}{5}=3{,}2\). 2. Bei den positiven Zahlen gilt \(3{,}25>3{,}2\). 3. \(0\) ist kleiner als jede positive und größer als jede negative Zahl. 4. Bei den negativen Zahlen gilt \(-0{,}03>-3{,}05>-3{,}1>-3{,}25\). 5. Insgesamt ergibt sich \(3{,}25>3\frac{1}{5}>0>-0{,}03>-3{,}05>-3{,}1>-\frac{13}{4}\).

\(3{,}25>3\frac{1}{5}>0>-0{,}03>-3{,}05>-3{,}1>-\frac{13}{4}\)

- Unterhalb des Meeresspiegels werden die Positionszahlen negativ. - Eine tiefere Position liegt auf der Zahlengeraden weiter links. - Für b) müssen beide gewählten Werte zwischen den beiden vorgegebenen Zahlen liegen.

1. Tiefere Positionen entsprechen kleineren Zahlen. Mögliche Werte sind zum Beispiel \(-13\) und \(-14{,}5\). 2. Zwischen \(-12{,}5\) und \(-10\) liegen zum Beispiel die Dezimalzahl \(-11{,}5\) und der Bruch \(-\frac{21}{2}=-10{,}5\). 3. Es gilt \(-13<-12{,}5\). Auf der Zahlengeraden liegt \(-13\) weiter links und ist deshalb kleiner.

a) Zum Beispiel \(-13\) und \(-14{,}5\) b) Zum Beispiel \(-11{,}5\) und \(-\frac{21}{2}\) c) \(-13\) ist kleiner als \(-12{,}5\).