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- Welche beiden Seitenlängen kannst du aus der Abbildung ablesen? - Wie berechnest du den Flächeninhalt eines Rechtecks aus seinen Seitenlängen? - Achte darauf, dass das Ergebnis eine Flächeneinheit trägt.

1. Aus der Abbildung liest man die Seitenlängen \(25\,\text{cm}\) und \(14\,\text{cm}\) ab. 2. Für ein Rechteck gilt \(A=ab\). 3. Damit ist \(A=25\,\text{cm}\cdot14\,\text{cm}=350\,\text{cm}^2\).

Das Poster hat einen Flächeninhalt von \(350\,\text{cm}^2\).

- Welche Seite des Dreiecks ist als Grundseite gegeben? - Wie lautet die allgemeine Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks? - Achte darauf, die richtige Höhe zur Grundseite zu verwenden.

1. Identifiziere die Grundseite \(c = 8\,\text{cm}\) und die zugehörige Höhe \(h_c = 4\,\text{cm}\). 2. Wende die Flächenformel für Dreiecke an: \(A = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c\). 3. Setze die Werte ein und berechne das Ergebnis: \(A = \frac{1}{2} \cdot 8\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 16\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt \(16\,\text{cm}^2\).

- Welche beiden Seiten in der Abbildung sind parallel? - Welche eingezeichnete Strecke ist die senkrechte Höhe zwischen diesen Seiten? - Wie setzt du diese drei Längen in die Trapezformel ein?

1. Aus der Abbildung liest man \(a = 8\,\text{cm}\), \(c = 4\,\text{cm}\) und \(h = 5\,\text{cm}\) ab. 2. Für ein Trapez gilt \(A = \frac{a+c}{2}\cdot h\). 3. Damit ist \(A = \frac{8\,\text{cm}+4\,\text{cm}}{2}\cdot 5\,\text{cm} = 30\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt beträgt \(30\,\text{cm}^2\).

- Welche Art von Größe wird berechnet: eine Länge, eine Fläche oder ein Rauminhalt? - Welche Einheit verwendest du für eine Fläche, wenn die zugehörigen Längen in Zentimetern gemessen werden?

1. Ein Flächeninhalt beschreibt eine zweidimensionale Größe. 2. Werden die Längen in Zentimetern angegeben, wird der Flächeninhalt in Quadratzentimetern angegeben.

b) \(\text{cm}^2\)

- Erinnere dich daran, wie zwei kongruente Trapeze zu einer bekannten Figur zusammengesetzt werden können. - Prüfe die Antwortmöglichkeiten am Sonderfall \(a=c\): Dann muss die Formel zur Flächenformel eines Parallelogramms passen.

1. Beim Trapez werden die beiden parallelen Seiten \(a\) und \(c\) gemeinsam mit der Höhe \(h\) verwendet. 2. Die passende Formel ist \(A=\frac{a+c}{2}h\).

b) \(A=\frac{a+c}{2}h\)

- Welche beiden Längen gehören zu den gestrichelten Diagonalen? - Welche dieser beiden Längen setzt du für \(e\) und welche für \(f\) ein? Spielt die Reihenfolge eine Rolle?

1. Die Diagonalen haben die Längen \(6\,\text{cm}\) und \(4\,\text{cm}\). 2. Damit ist \(A=\frac{6\,\text{cm}\cdot4\,\text{cm}}{2}=12\,\text{cm}^2\).

\(A=12\,\text{cm}^2\)

- Welche Eckpunkte einer Figur heißen gegenüberliegend? - Suche nach den Strecken, die jeweils zwei solche Eckpunkte verbinden.

1. Diagonalen verbinden jeweils zwei gegenüberliegende Eckpunkte. 2. In der Abbildung sind das die Strecken \(e\) und \(f\).

Die gesuchten Diagonalen sind \(e\) und \(f\).

- Welche Größe ist gesucht und welche Größen sind gegeben? - Setze die bekannten Größen in die Flächenformel des Drachenvierecks ein. - Überlege, wie du die Gleichung nach der unbekannten Diagonale auflösen kannst.

1. Für ein Drachenviereck gilt \(A=\frac{e\cdot f}{2}\). 2. Damit gilt \(27\,\text{cm}^2=\frac{9\,\text{cm}\cdot f}{2}\). 3. Daraus folgt \(f=6\,\text{cm}\).

\(f=6\,\text{cm}\)

- Was bedeuten gleiche Strichmarkierungen an Seiten? - Vergleiche, wie viele Seiten in jeder Figur als gleich lang markiert sind. - Welche Bedingung unterscheidet hier die Raute vom anderen Drachenviereck?

1. In a) sind jeweils zwei benachbarte Seiten gleich lang, aber nicht alle vier Seiten. Daher ist a) ein Drachenviereck, das keine Raute ist. 2. In b) sind alle vier Seiten gleich lang. Daher ist b) eine Raute.

a) Drachenviereck, das keine Raute ist b) Raute

- Welche Eigenschaften haben die gegenüberliegenden Seiten eines Parallelogramms? - Wie weit liegen die oberen Punkte senkrecht von der Grundseite entfernt? - Welche Größen brauchst du für die Flächenformel des Parallelogramms?

1. Zur Bestimmung von \(D\): In einem Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang. Die Strecke \(AB\) verläuft von \(A(2|1)\) nach \(B(7|1)\) fünf Einheiten nach rechts. Daher muss die gegenüberliegende Strecke \(DC\) ebenfalls fünf Einheiten nach rechts verlaufen. Von \(C(8|4)\) geht man also fünf Einheiten nach links und erhält \(D(3|4)\). 2. Die Seite \(AB\) liegt auf der Geraden \(y=1\), die gegenüberliegende Seite auf der Geraden \(y=4\). Der senkrechte Abstand beträgt \(4-1=3\) Längeneinheiten. 3. Mit der Grundseite \(g=5\) und der Höhe \(h=3\) ergibt sich \(A=g\cdot h=5\cdot3=15\) Flächeneinheiten.

a) \(D(3|4)\) b) \(h_a=3\) Längeneinheiten c) \(A=15\) Flächeneinheiten

- Welche Koordinatendifferenz liefert die Länge der waagerechten Strecke \(AB\)? - Welche beiden y-Werte bestimmen den senkrechten Abstand der parallelen Seiten? - Welche Größen kommen in der Flächenformel des Parallelogramms vor?

1. Die Länge der Grundseite \(a\) ergibt sich aus der Differenz der x-Koordinaten von \(A\) und \(B\): \(7\,\text{cm}-1\,\text{cm}=6\,\text{cm}\). 2. Die Höhe \(h_a\) ist der vertikale Abstand zwischen den parallelen Geraden \(y=1\) und \(y=5\). Damit ist \(h_a=5\,\text{cm}-1\,\text{cm}=4\,\text{cm}\). 3. Der Flächeninhalt ist \(A=a\cdot h_a=6\,\text{cm}\cdot4\,\text{cm}=24\,\text{cm}^2\). 4. Bei einer Parallelverschiebung von \(CD\) bleiben Grundseite und zugehörige Höhe unverändert. Deshalb bleibt auch der Flächeninhalt unverändert.

a) \(a=6\,\text{cm}\), \(h_a=4\,\text{cm}\) b) \(A=24\,\text{cm}^2\) c) Der Flächeninhalt bleibt \(24\,\text{cm}^2\), weil Grundseite und Höhe unverändert bleiben.

- Welche Formel nutzt du, um den Flächeninhalt einer Figur zu bestimmen? - Wenn zwei Figuren den „gleichen Flächeninhalt“ haben, was bedeutet das für ihre Ergebnisse? - Wie kannst du eine fehlende Seite berechnen, wenn du das Ergebnis der Multiplikation schon kennst?

1. Berechnung des Flächeninhalts des Parallelogramms mit der Formel \(A = g \cdot h\): \(A = 12\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 60\,\text{cm}^2\). 2. Da das Rechteck flächengleich ist, gilt für dessen Flächeninhalt ebenfalls \(A = 60\,\text{cm}^2\). 3. Mit der bekannten Seite \(a = 10\,\text{cm}\) und der Formel \(A = a \cdot b\) wird die fehlende Seite \(b\) berechnet: \(b = A : a = 60\,\text{cm}^2 : 10\,\text{cm} = 6\,\text{cm}\).

Die andere Seite des Rechtecks ist \(6\,\text{cm}\) lang.

- Welche Maße benötigst du für den Flächeninhalt und welche für den Umfang? - Unterscheide genau zwischen der Seite und der darauf stehenden Höhe. - Schau dir die Ergebnisse an: Sind sie gleich oder verschieden?

1. Berechnung für Parallelogramm A: Flächeninhalt \(A_A = a \cdot h_a = 8\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 40\,\text{cm}^2\). Umfang \(U_A = 2 \cdot (a + b) = 2 \cdot (8\,\text{cm} + 6\,\text{cm}) = 28\,\text{cm}\). 2. Berechnung für Parallelogramm B: Flächeninhalt \(A_B = c \cdot h_c = 10\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 40\,\text{cm}^2\). Umfang \(U_B = 2 \cdot (c + d) = 2 \cdot (10\,\text{cm} + 5\,\text{cm}) = 30\,\text{cm}\). 3. Vergleich: Beide Parallelogramme haben denselben Flächeninhalt von \(40\,\text{cm}^2\), aber unterschiedliche Umfänge (\(28\,\text{cm}\) und \(30\,\text{cm}\)).

a) Parallelogramm A: \(A = 40\,\text{cm}^2\), \(U = 28\,\text{cm}\); Parallelogramm B: \(A = 40\,\text{cm}^2\), \(U = 30\,\text{cm}\). b) Die Flächeninhalte sind gleich, aber die Umfänge sind verschieden.

- Welche beiden waagerechten Strecken sind jeweils die parallelen Seiten des Trapezes? - Welche Koordinatendifferenz liefert die Höhe? - Vergleiche nach der Verschiebung nur die geänderte obere Seite mit der ursprünglichen.

1. Beim Trapez \(ABCD\) sind die parallelen Seiten \(AB=9-1=8\) und \(CD=6-4=2\) Längeneinheiten lang. Die Höhe beträgt \(4-1=3\). Damit ist \(A=\frac{8+2}{2}\cdot3=15\) Flächeneinheiten. 2. Beim Trapez \(ABC'D'\) bleibt \(AB=8\). Die neue obere Seite hat die Länge \(C'D'=7-3=4\), die Höhe bleibt \(3\). Daher ist \(A'=\frac{8+4}{2}\cdot3=18\) Flächeneinheiten. 3. Die Vergrößerung beträgt \(18-15=3\) Flächeneinheiten.

a) \(15\) Flächeneinheiten b) \(18\) Flächeneinheiten c) Der Flächeninhalt vergrößert sich um \(3\) Flächeneinheiten.

- Welche Koordinatendifferenz liefert die Länge der waagerechten Grundseite? - Welcher senkrechte Abstand gehört zu dieser Grundseite? - Welche Flächenformel verwendest du für ein Dreieck?

1. Die Grundseite \(AB\) liegt waagerecht. Ihre Länge ist \(7\,\text{cm}-1\,\text{cm}=6\,\text{cm}\). 2. Die Höhe ist der senkrechte Abstand von \(C\) zur Geraden durch \(AB\). Daher ist \(h=6\,\text{cm}-2\,\text{cm}=4\,\text{cm}\). 3. Mit \(A=\frac{1}{2}gh\) folgt \(A=\frac{1}{2}\cdot6\,\text{cm}\cdot4\,\text{cm}=12\,\text{cm}^2\).

a) \(AB=6\,\text{cm}\), \(h=4\,\text{cm}\) b) \(A=12\,\text{cm}^2\)

- Was haben die beiden Dreiecke gemeinsam, wenn du die Seite \(AB\) als Grundseite betrachtest? - Wie lautet die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks? - Überlege, wie sich die Änderung der Grundseite auf das Ergebnis auswirkt, wenn die Höhe gleich bleibt.

1. Berechnung des Flächeninhalts von Dreieck \(ABC\): \(A_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 12\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 30\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Flächeninhalts von Dreieck \(ADC\): \(A_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot 3\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 7{,}5\,\text{cm}^2\). 3. Bestimmung des Verhältnisses: \(30\,\text{cm}^2 : 7{,}5\,\text{cm}^2 = 4\). 4. Schlussfolgerung: Der Flächeninhalt von \(ADC\) ist ein Viertel (\(\frac{1}{4}\)) des Flächeninhalts von \(ABC\).

Der Flächeninhalt von \(ABC\) beträgt \(30\,\text{cm}^2\), der von \(ADC\) beträgt \(7{,}5\,\text{cm}^2\). Das Dreieck \(ADC\) macht ein Viertel der Gesamtfläche aus.

- Welche beiden Größen bestimmen den Flächeninhalt eines Dreiecks? - Was bleibt am senkrechten Abstand zu \(AB\) gleich, wenn sich \(C\) nur auf einer Parallelen zu \(AB\) bewegt? - Welche der beiden Größen in der Flächenformel kann sich dadurch nicht ändern?

1. Für ein Dreieck gilt \(A=\frac{1}{2}gh_g\). 2. Damit ist \(A=\frac{1}{2}\cdot 10\,\text{cm}\cdot 4\,\text{cm}=20\,\text{cm}^2\). 3. Beim Verschieben von \(C\) auf einer Geraden parallel zu \(AB\) bleibt der senkrechte Abstand dieser Geraden von \(AB\) konstant. Deshalb bleibt \(h_g=4\,\text{cm}\) unverändert. 4. Da auch die Grundseite \(AB\) gleich bleibt, bleibt der Flächeninhalt \(20\,\text{cm}^2\).

a) Der Flächeninhalt beträgt \(20\,\text{cm}^2\). b) Sofia hat recht. Die zu \(AB\) gehörige Höhe \(h_g\) bleibt beim Verschieben auf der Parallelen konstant; daher bleibt auch der Flächeninhalt gleich.

- Wie hängen Umfang und die einzelnen Seitenlängen zusammen? - Welche Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks kennst du? - Welche der Seiten musst du als Grundseite wählen, um die gesuchte Höhe zu berechnen?

1. Berechnung der dritten Seite \(c\) über den Umfang: \(c = U - a - b = 32\,\text{cm} - 10\,\text{cm} - 10\,\text{cm} = 12\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Höhe \(h_c\) unter Verwendung der Flächeninhaltsformel \(A = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c\): \(48 = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot h_c \Rightarrow 48 = 6h_c\). 3. Auflösen nach \(h_c\): \(h_c = 48 : 6 = 8\,\text{cm}\).

Die dritte Seite ist \(12\,\text{cm}\) lang und die dazugehörige Höhe beträgt \(8\,\text{cm}\).

- Achte darauf, dass alle Längenangaben in derselben Einheit vorliegen, bevor du rechnest. - Überlege, welche Formel für die Fläche eines Trapezes gilt. - Das Ergebnis soll in Quadratmetern angegeben werden.

1. Umrechnung aller Einheiten in Meter: \(a = 0{,}85\,\text{m}\), \(c = 1{,}15\,\text{m}\), \(h = 0{,}6\,\text{m}\). 2. Anwendung der Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes: \(A = \frac{a + c}{2} \cdot h\). 3. Berechnung der Summe der parallelen Seiten: \(0{,}85\,\text{m} + 1{,}15\,\text{m} = 2{,}0\,\text{m}\). 4. Berechnung des Durchschnitts der parallelen Seiten: \(\frac{2{,}0\,\text{m}}{2} = 1{,}0\,\text{m}\). 5. Multiplikation mit der Höhe: \(1{,}0\,\text{m} \cdot 0{,}6\,\text{m} = 0{,}6\,\text{m}^2\).

\(0{,}6\,\text{m}^2\)

- Welche Formel hilft dir, den Flächeninhalt eines Trapezes zu berechnen? - Kannst du die Formel so umstellen, dass die gesuchte Größe allein auf einer Seite steht? - Was ergibt der Mittelwert der beiden parallelen Seiten?

1. Verwendung der Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes: \(A = \frac{a + c}{2} \cdot h\) 2. Einsetzen der gegebenen Werte: \(48 = \frac{10 + 6}{2} \cdot h\) 3. Berechnen des Mittelwerts der parallelen Seiten: \(\frac{16}{2} = 8\,\text{cm}\) 4. Umstellen der Gleichung nach \(h\): \(48 = 8h \implies h = \frac{48}{8}\) 5. Ergebnis: \(h = 6\,\text{cm}\)

Die Höhe des Trapezes beträgt \(6\,\text{cm}\).

- Welche beiden Seiten liegen auf vertikalen Geraden und sind deshalb parallel? - Wie erhältst du ihre Längen aus den y-Koordinaten? - Welcher horizontale Abstand ist die Höhe des Trapezes? - Welche Größen setzt du in die Trapezformel ein?

1. Die Strecken \(AB\) und \(CD\) sind parallel, weil sie auf den vertikalen Geraden \(x=2\) und \(x=5\) liegen. 2. Es gilt \(AB=6-1=5\) und \(CD=5-2=3\) Längeneinheiten. 3. Die Höhe ist der horizontale Abstand der parallelen Geraden: \(h=5-2=3\) Längeneinheiten. 4. Damit ist \(A=\frac{5+3}{2}\cdot3=12\) Flächeneinheiten.

\(A=12\) Flächeneinheiten

- Überprüfe zuerst, ob alle Längenangaben in derselben Einheit vorliegen. - Welche Formeln benötigst du für den Flächeninhalt und den Umfang eines Trapezes? - Kannst du die gegebenen Werte direkt in die Formeln einsetzen?

1. Umrechnung der Höhe in Zentimeter: \(h = 4\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Flächeninhalts mit der Formel \(A = \frac{a+c}{2} \cdot h\): \(A = \frac{14\,\text{cm} + 8\,\text{cm}}{2} \cdot 4\,\text{cm} = 11\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 44\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung des Umfangs mit der Formel \(U = a + b + c + d\): \(U = 14\,\text{cm} + 5\,\text{cm} + 8\,\text{cm} + 5\,\text{cm} = 32\,\text{cm}\).

\(A = 44\,\text{cm}^2\) \(U = 32\,\text{cm}\)

- Wie lauten die Formeln für den Flächeninhalt von Rechtecken und Parallelogrammen? - Was passiert mit einem Produkt, wenn man einen der Faktoren mit einer Zahl multipliziert? - Überlege dir, wie sich das Ergebnis ändert, wenn gleich zwei Faktoren im Produkt verändert werden.

1. Vergleich der Flächeninhalte: Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist \(A_R = g \cdot h\), der eines Parallelogramms ist \(A_P = g \cdot h\). Die Flächeninhalte sind also gleich groß. 2. Verdreifachung der Grundseite: Der neue Flächeninhalt des Parallelogramms ist \(A_{P2} = (3g) \cdot h = 3(g \cdot h) = 3A_R\). Das ursprüngliche Rechteck passt genau 3-mal in das neue Parallelogramm. 3. Skalierung beider Maße: Die neue Grundseite ist \(2g\) und die neue Höhe ist \(4h\). Der neue Flächeninhalt ist \(A_{P3} = (2g) \cdot (4h) = 8(g \cdot h) = 8A_P\). Der Flächeninhalt vergrößert sich um den Faktor 8.

a) Die Flächeninhalte sind gleich groß. b) Das Rechteck passt 3-mal hinein. c) Der Flächeninhalt vergrößert sich um den Faktor 8.

- Welche Werte aus der Formel für den Flächeninhalt kennst du bereits? - Kannst du die Formel so umstellen, dass die gesuchte Größe alleine auf einer Seite steht? - Überprüfe, ob die Einheiten zusammenpassen.

1. Aufstellen der Flächenformel für das Trapez: \(A = \frac{a + c}{2} \cdot h\). 2. Einsetzen der gegebenen Werte: \(0{,}50\,\text{m}^2 = \frac{1{,}40\,\text{m} + 0{,}60\,\text{m}}{2} \cdot h\). 3. Vereinfachung des Bruchs: \(\frac{1{,}40\,\text{m} + 0{,}60\,\text{m}}{2} = \frac{2{,}00\,\text{m}}{2} = 1{,}00\,\text{m}\). 4. Auflösen nach \(h\): \(0{,}50\,\text{m}^2 = 1{,}00\,\text{m} \cdot h\), woraus sich \(h = 0{,}50\,\text{m}\) ergibt.

Die Höhe des Trapezes beträgt \(h = 0{,}50\,\text{m}\) (oder \(50\,\text{cm}\)).

- Was passiert mit der Fläche, wenn du ein Quadrat in ein Koordinatensystem zeichnest und die Seitenlängen vergrößerst? - Überprüfe die Definitionen der Vierecke. Welche Eigenschaft muss ein Viereck haben, um ein Parallelogramm zu sein? - Berechne die Flächeninhalte mit den passenden Formeln und vergleiche die Ergebnisse.

1. Falsch. Der Flächeninhalt eines Quadrats ist \(A = a^2\). Bei Verdoppelung der Seite gilt \(A' = (2a)^2 = 4a^2\). Der Flächeninhalt vervierfacht sich also. 2. Wahr. Ein Parallelogramm ist definiert als ein Viereck, bei dem die gegenüberliegenden Seiten parallel sind. Da dies bei jedem Rechteck der Fall ist, ist jedes Rechteck ein spezielles Parallelogramm. 3. Wahr. Der Flächeninhalt des Trapezes ist \(A_T = \frac{5 + 3}{2} \cdot 4 = 4 \cdot 4 = 16\,\text{cm}^2\). Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist \(A_P = 4 \cdot 4 = 16\,\text{cm}^2\). Die Werte sind identisch.

a) Falsch (Der Flächeninhalt vervierfacht sich). b) Wahr. c) Wahr (Beide haben einen Flächeninhalt von \(16\,\text{cm}^2\)).

- Überlege, ob die Form des Vierecks starr ist oder ob man es „verformen“ kann, ohne die Seitenlängen zu ändern. - Welche Formeln kennst du für den Flächeninhalt von Vierecken mit gleichen Seiten? - Was passiert mit der Höhe eines solchen Vierecks, wenn man es an den Ecken drückt?

1. Bestimmung der Vierecksart: Ein Viereck mit vier gleich langen Seiten ist eine Raute. Ein Quadrat ist ein besonderer Fall der Raute. 2. Analyse der Flächenberechnung: Bei einem Quadrat ist der Flächeninhalt durch die Seitenlänge festgelegt (\(A = a^2\)). Bei einer nicht quadratischen Raute hängt der Flächeninhalt zusätzlich vom Winkel zwischen den Seiten beziehungsweise von der Höhe ab (\(A = a \cdot h\)). 3. Schlussfolgerung: Da nicht bekannt ist, ob die Raute ein Quadrat ist beziehungsweise wie groß ihre Winkel oder ihre Höhe sind, ist der Flächeninhalt nicht eindeutig bestimmt. Verschiedene Höhen führen bei gleicher Seitenlänge zu unterschiedlichen Flächeninhalten.

a) Es handelt sich um eine Raute; ein Quadrat ist ein besonderer Fall der Raute. b) Nein, der Flächeninhalt ist nicht eindeutig bestimmt. Bei einem Quadrat beträgt er \(25\,\text{cm}^2\), eine nicht quadratische Raute kann bei gleicher Seitenlänge je nach Höhe unterschiedliche Flächeninhalte haben. Ohne Angabe eines Winkels oder der Höhe lässt sich der Wert nicht festlegen.

- Welche Formeln kennst du für den Flächeninhalt von Parallelogrammen und Dreiecken? - Schau dir die beiden Formeln genau an – was fällt dir im Vergleich auf? - Wie oft passt das Dreieck flächenmäßig in das Parallelogramm, wenn die Grundseite und Höhe gleich sind?

1. Berechnung des Flächeninhalts des Parallelogramms mit der Formel \(A_P = g \cdot h\): \(8\,\text{cm} \cdot 4{,}5\,\text{cm} = 36\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks mit der Formel \(A_D = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h\): \(\frac{1}{2} \cdot 8\,\text{cm} \cdot 4{,}5\,\text{cm} = 18\,\text{cm}^2\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Der Flächeninhalt des Dreiecks ist genau halb so groß wie der des Parallelogramms (\(18\,\text{cm}^2 : 36\,\text{cm}^2 = 1 : 2\)).

Das Parallelogramm hat einen Flächeninhalt von \(36\,\text{cm}^2\), das Dreieck einen Flächeninhalt von \(18\,\text{cm}^2\). Der Flächeninhalt des Dreiecks ist halb so groß wie der des Parallelogramms.

- Wandle die Seitenlängen vor dem Multiplizieren in Zentimeter um. - Berechne beide Flächen in Quadratzentimetern und vergleiche sie. - Wandle erst die Flächendifferenz in Quadratmeter um.

1. Teppich A: \(2{,}5\,\text{m} = 250\,\text{cm}\), \(1{,}8\,\text{m} = 180\,\text{cm}\). Die Fläche ist \(250 \cdot 180 = 45\,000\,\text{cm}^2\). 2. Teppich B: \(3{,}2\,\text{m} = 320\,\text{cm}\), \(1{,}4\,\text{m} = 140\,\text{cm}\). Die Fläche ist \(320 \cdot 140 = 44\,800\,\text{cm}^2\). 3. Teppich A ist größer. Der Unterschied beträgt \(45\,000 - 44\,800 = 200\,\text{cm}^2\). 4. \(200\,\text{cm}^2 = 0{,}02\,\text{m}^2\).

Teppich A hat die größere Fläche. Der Unterschied beträgt \(0{,}02\,\text{m}^2\).

- Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Parallelogramms? - Welche Größen müssen im zweiten Teil gleich bleiben? - Wie kannst du die Formel umstellen, um eine fehlende Seite oder Höhe zu finden?

1. Berechnung des Flächeninhalts des ersten Parallelogramms durch Multiplikation von Grundseite und Höhe: \(8\,\text{cm} \cdot 4{,}5\,\text{cm} = 36\,\text{cm}^2\). 2. Bestimmung der gesuchten Höhe des zweiten Parallelogramms durch Division des bekannten Flächeninhalts durch die neue Grundseite: \(36\,\text{cm}^2 : 12\,\text{cm} = 3\,\text{cm}\).

a) \(36\,\text{cm}^2\) b) \(3\,\text{cm}\)

- Achte darauf, dass alle Längenangaben in derselben Einheit vorliegen, bevor du rechnest. - Erinnere dich an die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes. - Welche Größe wird mit \(\frac{a+c}{2}\) berechnet, bevor mit der Höhe multipliziert wird?

1. Berechnung für Teil a): Summe der parallelen Seiten bilden: \(4{,}5\,\text{cm} + 7{,}5\,\text{cm} = 12\,\text{cm}\). Diese Summe halbieren und mit der Höhe multiplizieren: \(A = \frac{1}{2} \cdot 12\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 24\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung für Teil b): Einheit der Höhe umrechnen: \(60\,\text{cm} = 0{,}6\,\text{m}\). Summe der parallelen Seiten bilden: \(1{,}2\,\text{m} + 0{,}8\,\text{m} = 2\,\text{m}\). Flächeninhalt berechnen: \(A = \frac{1}{2} \cdot 2\,\text{m} \cdot 0{,}6\,\text{m} = 0{,}6\,\text{m}^2\).

a) \(A = 24\,\text{cm}^2\) b) \(A = 0{,}6\,\text{m}^2\)

- Welche beiden Seiten liegen waagerecht und sind deshalb parallel? - Welche x-Koordinatendifferenzen liefern ihre Längen? - Welcher y-Abstand ist die Höhe des Trapezes?

1. Die parallele Seite \(AB\) hat die Länge \(10-2=8\), die parallele Seite \(CD\) die Länge \(7-4=3\). 2. Die Höhe ist der vertikale Abstand der parallelen Geraden: \(h=5-1=4\). 3. Daher ist \(A=\frac{8+3}{2}\cdot4=22\,\text{FE}\).

\(A=22\,\text{FE}\)

- Welche Formel nutzt du, um den Flächeninhalt eines Trapezes zu berechnen? - Überlege, wie du die Formel umstellen kannst, um die Summe der parallelen Seiten zu isolieren. - Was muss für die Seiten \(a\) und \(c\) gelten, damit die Figur ein Trapez, aber kein Parallelogramm ist?

1. Anwendung der Flächenformel des Trapezes: \(A = \frac{a + c}{2} \cdot h\) 2. Einsetzen der bekannten Werte: \(24 = \frac{a + c}{2} \cdot 4\) 3. Vereinfachen der Gleichung: \(24 = (a + c) \cdot 2\) 4. Division durch \(2\), um die Summe zu erhalten: \(a + c = 12\,\text{cm}\) 5. Bestimmung möglicher Wertepaare für \(a\) und \(c\), deren Summe \(12\) ergibt und die ungleich sind: z. B. \(a = 7\,\text{cm}, c = 5\,\text{cm}\) oder \(a = 8\,\text{cm}, c = 4\,\text{cm}\)

a) Die Summe der parallelen Seiten \(a + c\) beträgt \(12\,\text{cm}\). b) Mögliche Längen sind zum Beispiel: \(a = 7\,\text{cm}\) und \(c = 5\,\text{cm}\) oder \(a = 8\,\text{cm}\) und \(c = 4\,\text{cm}\).

- Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Dreiecks, wenn Grundseite und Höhe bekannt sind? - Zähle die Abstände zwischen den Stiften, um die Seitenlängen und Höhen zu bestimmen. - Achte darauf, dass bei Dreieck a) die beiden Seiten am rechten Winkel direkt als Grundseite und Höhe genutzt werden können.

1. Dreieck a) ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Kathetenlängen \(4\) und \(5\). Der Flächeninhalt berechnet sich zu \(A_a = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 = 10\,\text{Flächeneinheiten}\). 2. Dreieck b) hat eine Grundseite der Länge \(5\) und eine zugehörige Höhe von \(4\). Der Flächeninhalt beträgt \(A_b = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 = 10\,\text{Flächeneinheiten}\). 3. Da \(10 = 10\), haben beide Dreiecke denselben Flächeninhalt.

Beide Dreiecke haben den gleichen Flächeninhalt von \(10\,\text{Flächeneinheiten}\).

- Welche beiden Strecken aus der Abbildung bilden ein passendes Grundseite-Höhe-Paar? - Welche Flächenformel gilt für ein Dreieck? - Prüfe, ob deine Einheit am Ende eine Flächeneinheit ist.

1. Aus der Abbildung liest man \(g = 15\,\text{cm}\) und \(h = 10\,\text{cm}\) ab. 2. Für ein Dreieck gilt \(A = \frac{1}{2}gh\). 3. Damit ist \(A = \frac{1}{2}\cdot 15\,\text{cm}\cdot 10\,\text{cm} = 75\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt beträgt \(75\,\text{cm}^2\).

- Welche Flächenformel gehört zu einem Dreieck? - Welche Größen sind gegeben und welche ist gesucht? - Wie kannst du die Gleichung nach der Höhe auflösen?

1. Für ein Dreieck gilt \(A=\frac{1}{2}gh\). 2. Einsetzen ergibt \(30\,\text{cm}^2=\frac{1}{2}\cdot12\,\text{cm}\cdot h=6\,\text{cm}\cdot h\). 3. Daher ist \(h=30\,\text{cm}^2:6\,\text{cm}=5\,\text{cm}\).

\(h=5\,\text{cm}\)

- Welche Flächenformel verwendest du beim Parallelogramm? - Welche der beiden Faktoren in der Formel ist unbekannt? - Welche Umkehroperation führt von Fläche und Höhe zur Grundseite?

1. Für ein Parallelogramm gilt \(A=gh\). 2. Einsetzen ergibt \(48\,\text{cm}^2=g\cdot6\,\text{cm}\). 3. Daher ist \(g=48\,\text{cm}^2:6\,\text{cm}=8\,\text{cm}\).

\(g=8\,\text{cm}\)

- Welche drei Längen beziehungsweise Größen verbindet die Trapezformel mit dem Flächeninhalt? - Was ergibt der Mittelwert der beiden parallelen Seiten? - Wie kannst du anschließend die gesuchte Höhe bestimmen?

1. Für ein Trapez gilt \(A=\frac{a+c}{2}h\). 2. Einsetzen ergibt \(45\,\text{cm}^2=\frac{10\,\text{cm}+8\,\text{cm}}{2}\cdot h=9\,\text{cm}\cdot h\). 3. Daher ist \(h=45\,\text{cm}^2:9\,\text{cm}=5\,\text{cm}\).

\(h=5\,\text{cm}\)

- Suche dir eine Seite des Parallelogramms aus, deren Länge du leicht am Gitternetz ablesen kannst. - Wie weit sind die gegenüberliegenden Seiten voneinander entfernt? Zeichne dir zur Hilfe eine Linie ein, die senkrecht auf deiner gewählten Seite steht. - Erinnere dich an die Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms.

1. Die Seite \(AB\) liegt auf einer horizontalen Gitterlinie und ist 5 Kästchen lang. Daher ist \(g=5\). 2. Der senkrechte Abstand zwischen den parallelen Seiten \(AB\) und \(CD\) beträgt 3 Kästchen. Daher ist \(h=3\). 3. Mit \(A=g\cdot h\) ergibt sich \(A=5\cdot3=15\). Der Flächeninhalt beträgt \(15\,\text{FE}\).

Der Flächeninhalt des Parallelogramms beträgt \(15\,\text{FE}\).

- Auch bei stumpfwinkligen Dreiecken gilt die Standardformel für den Flächeninhalt. - Wo liegt die Höhe, wenn sie auf der Verlängerung einer Grundseite steht? - Welche Maße sind für die Fläche relevant?

1. Identifiziere die Grundseite \(p = 5\,\text{cm}\) und die Höhe \(h_p = 6\,\text{cm}\). 2. Nutze die Flächenformel \(A = \frac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{Höhe}\). 3. Berechne den Wert: \(A = \frac{1}{2} \cdot 5\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 15\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt \(15\,\text{cm}^2\).

- Welche beiden Längen kannst du aus der Abbildung ablesen, und welche Teilstrecke fehlt noch? - Welche Höhe haben die beiden Teildreiecke gemeinsam? - Wie wirkt sich eine gemeinsame Höhe auf das Verhältnis zweier Dreiecksflächen aus?

1. Aus der Abbildung liest man \(BD = 3\,\text{cm}\) und \(BC = 10\,\text{cm}\) ab. 2. Damit ist \(DC = BC-BD = 10\,\text{cm}-3\,\text{cm} = 7\,\text{cm}\). 3. Beide Dreiecke haben bezüglich der Geraden \(BC\) dieselbe Höhe. Deshalb entspricht das Verhältnis ihrer Flächeninhalte dem Verhältnis ihrer Grundseiten. 4. Somit gilt \(\frac{S_1}{S_2} = \frac{BD}{DC} = \frac{3}{7}\).

\(\frac{S_1}{S_2} = \frac{3}{7}\)

- Hängt der Flächeninhalt des Dreiecks davon ab, wo genau der Punkt \(K\) auf der Seite liegt? - Vergleiche die Formeln für den Flächeninhalt von Dreieck und Parallelogramm.

1. Ein Dreieck, dessen Grundseite eine Seite eines Parallelogramms ist und dessen dritter Eckpunkt auf der gegenüberliegenden Seite liegt, hat stets den halben Flächeninhalt des Parallelogramms. 2. Dies liegt daran, dass Grundseite und Höhe für beide Figuren identisch sind, die Dreiecksformel aber den Faktor \(\frac{1}{2}\) enthält. 3. \(S_{AKD} = \frac{1}{2} \cdot 60\,\text{cm}^2 = 30\,\text{cm}^2\).

\(30\,\text{cm}^2\)

- Welche Formel verbindet den Flächeninhalt einer Raute mit ihren beiden Diagonalen? - Welche Größe in dieser Formel ist unbekannt? - Löse die entstehende Gleichung nach der unbekannten Diagonale auf.

1. Für eine Raute gilt \(A=\frac{e\cdot f}{2}\). 2. Einsetzen ergibt \(42\,\text{cm}^2=\frac{12\,\text{cm}\cdot f}{2}=6\,\text{cm}\cdot f\). 3. Daher ist \(f=42\,\text{cm}^2:6\,\text{cm}=7\,\text{cm}\).

\(f=7\,\text{cm}\)

- Welche vollständigen Längen brauchst du für die Diagonalenformel? - Eine der beiden Diagonalen ist in der Abbildung in zwei Teilstücke zerlegt. - Setze erst danach beide vollständigen Diagonalenlängen in die Flächenformel ein.

1. Die senkrechte Diagonale hat die Länge \(2\,\text{cm}+5\,\text{cm}=7\,\text{cm}\). 2. Mit \(A=\frac{e\cdot f}{2}\) ergibt sich \(A=\frac{6\,\text{cm}\cdot7\,\text{cm}}{2}=21\,\text{cm}^2\).

\(A=21\,\text{cm}^2\)

- Bestimme zuerst die Seitenlänge des Quadrats aus seinem Umfang. - Berechne daraus den gemeinsamen Flächeninhalt. - Welche Rechteckseite fehlt, wenn Fläche und eine Seitenlänge bekannt sind?

1. Die Quadratseite ist \(24\,\text{cm} : 4 = 6\,\text{cm}\) lang. 2. Der Flächeninhalt des Quadrats beträgt \(6\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 36\,\text{cm}^2\). 3. Die fehlende Rechteckseite ist \(36\,\text{cm}^2 : 4\,\text{cm} = 9\,\text{cm}\) lang.

Die andere Seite des Rechtecks ist \(9\,\text{cm}\) lang.

- Suche nach Zahlenpaaren, deren Produkt genau \(30\) ergibt. - Achte darauf, dass mindestens ein Wert jedes Paares eine Dezimalzahl ist. - Vergleiche anschließend die beiden Umfänge.

1. Zwei mögliche Paare sind \(a=4\,\text{cm}\), \(b=7{,}5\,\text{cm}\) und \(a=2{,}5\,\text{cm}\), \(b=12\,\text{cm}\). 2. Für das erste Paar ist \(U_1=2(4\,\text{cm}+7{,}5\,\text{cm})=23\,\text{cm}\). 3. Für das zweite Paar ist \(U_2=2(2{,}5\,\text{cm}+12\,\text{cm})=29\,\text{cm}\). 4. Rechtecke mit gleichem Flächeninhalt können unterschiedliche Umfänge haben.

a) Zum Beispiel \(4\,\text{cm}\) und \(7{,}5\,\text{cm}\) sowie \(2{,}5\,\text{cm}\) und \(12\,\text{cm}\). b) Die Umfänge sind \(23\,\text{cm}\) und \(29\,\text{cm}\). Gleicher Flächeninhalt bedeutet nicht gleichen Umfang.

- Vergleiche die Flächenformel eines Parallelogramms mit der eines Dreiecks. - Wie muss sich die Höhe ändern, wenn Grundseite und Flächeninhalt gleich bleiben, aber in der Dreiecksformel der Faktor \(\frac{1}{2}\) vorkommt? - Welche Geraden haben überall denselben senkrechten Abstand von der Geraden durch \(P\) und \(Q\)?

1. Die Grundseite hat die Länge \(g=6-1=5\), die Höhe beträgt \(h=6-2=4\). Damit ist \(A_{\text{Parallelogramm}}=5\cdot4=20\) Flächeneinheiten. 2. Für das Dreieck gilt \(A_{\text{Dreieck}}=\frac{1}{2}gh_D\). 3. Aus \(\frac{1}{2}\cdot5\cdot h_D=20\) folgt \(h_D=8\). 4. Die Grundseite liegt auf \(y=2\). Daher muss \(T\) auf einer dazu parallelen Geraden im Abstand \(8\) liegen, also auf \(y=10\) oder \(y=-6\).

a) \(A=20\) Flächeneinheiten b) \(T\) muss auf der Geraden \(y=10\) oder \(y=-6\) liegen. Die Dreieckshöhe muss \(8\) Längeneinheiten betragen.

- Wie lang ist die senkrecht verlaufende Strecke \(AB\)? - Welche Koordinatendifferenz gibt den senkrechten Abstand zu der gegenüberliegenden parallelen Seite an? - Vergleiche beim zweiten Parallelogramm nur Grundseite und zugehörige Höhe mit der ersten Figur.

1. Die Grundseite \(AB\) liegt auf \(x=2\) und hat die Länge \(8\,\text{cm}-2\,\text{cm}=6\,\text{cm}\). 2. Die zugehörige Höhe ist der horizontale Abstand zwischen \(x=2\) und \(x=6\), also \(4\,\text{cm}\). 3. Damit ist \(A=6\,\text{cm}\cdot4\,\text{cm}=24\,\text{cm}^2\). 4. Beim zweiten Parallelogramm sind dieselbe Grundseite \(AB\) und derselbe horizontale Abstand \(4\,\text{cm}\) gegeben. Deshalb ist sein Flächeninhalt ebenfalls \(24\,\text{cm}^2\).

a) \(A=24\,\text{cm}^2\) b) Beide Parallelogramme haben den gleichen Flächeninhalt von \(24\,\text{cm}^2\).

- Welche waagerechte Seite erlaubt es dir, Grundseite und Höhe direkt aus den Koordinaten zu bestimmen? - Der Flächeninhalt bleibt derselbe, wenn du eine andere Seite als Grundseite wählst. - Welche Größe fehlt in \(A=g\cdot h_g\), wenn \(A\) und \(g=QR\) bekannt sind? - Warum ist ein rechnerisch bestimmter Wert verlässlicher als eine Längenmessung in einer Skizze?

1. Mit der waagerechten Grundseite \(PQ\) gilt \(g=11\,\text{cm}-1\,\text{cm}=10\,\text{cm}\). Der senkrechte Abstand der parallelen Seiten beträgt \(5\,\text{cm}-1\,\text{cm}=4\,\text{cm}\). 2. Daher ist \(A=10\,\text{cm}\cdot4\,\text{cm}=40\,\text{cm}^2\). 3. Für die Grundseite \(QR\) gilt ebenfalls \(A=QR\cdot h_{QR}\). Also \(40\,\text{cm}^2=5\,\text{cm}\cdot h_{QR}\). 4. Daraus folgt \(h_{QR}=40\,\text{cm}^2:5\,\text{cm}=8\,\text{cm}\). 5. Beim Zeichnen und Messen entstehen kleine Ungenauigkeiten, etwa durch Strichstärke, Linealablesung oder eine nicht exakt konstruierte Senkrechte. Deshalb sollte der Wert rechnerisch bestimmt werden.

a) \(A=40\,\text{cm}^2\) b) \(h_{QR}=8\,\text{cm}\) c) Eine selbstgezeichnete Skizze ist nur begrenzt messgenau; kleine Zeichen- und Ablesefehler können den Höhenwert verändern.

- Schau dir die Formel für das Trapez genau an: Welcher Teil der Formel bestimmt die „durchschnittliche Breite“? - Wenn die Höhen identisch sind, welcher Teil der Trapezformel muss dann der Breite des Rechtecks entsprechen? - Was passiert, wenn du die beiden parallelen Seiten des Trapezes addierst und halbierst?

1. Berechnung des Flächeninhalts des Trapezes: \(A = \frac{a+c}{2} \cdot h = \frac{9\,\text{cm} + 3\,\text{cm}}{2} \cdot 5\,\text{cm} = 6\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 30\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung der Rechteckbreite \(b\): Da \(A = b \cdot h\) und \(h = 5\,\text{cm}\) ist, folgt \(b = 30\,\text{cm}^2 : 5\,\text{cm} = 6\,\text{cm}\). 3. Zusammenhang: Die Breite des Rechtecks entspricht dem Mittelwert der beiden parallelen Seiten des Trapezes (\(\frac{a+c}{2}\)). Da die Höhe bei beiden Figuren gleich ist, müssen die Faktoren vor der Höhe in den Formeln übereinstimmen.

a) Die Breite des Rechtecks beträgt \(6\,\text{cm}\). b) Die Breite entspricht dem Mittelwert der beiden parallelen Seiten des Trapezes: \(b = \frac{a+c}{2}\).

- Welche bekannte Vierecksart ist eine Raute zugleich? - Welche beiden Längen müssen bei der Flächenformel eines Parallelogramms zueinander gehören? - In b) bleibt der Flächeninhalt gleich. Welche Größe kannst du aus Fläche und neuer Grundseite rückwärts bestimmen?

1. Eine Raute ist ein Parallelogramm. Für die erste Raute gilt \(A=gh_g\). 2. Damit ist \(A=10\,\text{cm}\cdot 9{,}6\,\text{cm}=96\,\text{cm}^2\). 3. Für die zweite Raute gilt bei demselben Flächeninhalt \(96\,\text{cm}^2=12\,\text{cm}\cdot h_g\). 4. Daher ist \(h_g=96\,\text{cm}^2:12\,\text{cm}=8\,\text{cm}\).

a) Der Flächeninhalt beträgt \(96\,\text{cm}^2\). b) Die zugehörige Höhe beträgt \(8\,\text{cm}\).

- Wie hängen Grundseite, Höhe und Flächeninhalt zusammen? - Kannst du die Flächenformel so umstellen, dass du die Höhe berechnen kannst? - Vergleiche die Seite \(a\) mit ihrer Höhe \(h_a\) und die Seite \(b\) mit ihrer Höhe \(h_b\).

1. Berechnung von \(h_a\): Aus \(A = a \cdot h_a\) folgt \(h_a = A : a = 48\,\text{cm}^2 : 8\,\text{cm} = 6\,\text{cm}\). 2. Berechnung von \(h_b\): Aus \(A = b \cdot h_b\) folgt \(h_b = A : b = 48\,\text{cm}^2 : 6\,\text{cm} = 8\,\text{cm}\). 3. Begründung: Da das Produkt aus Seite und Höhe immer den konstanten Flächeninhalt ergeben muss (\(8 \cdot 6 = 48\) und \(6 \cdot 8 = 48\)), gehört zur längeren Seite die kürzere Höhe und zur kürzeren Seite die längere Höhe.

a) \(h_a = 6\,\text{cm}\) und \(h_b = 8\,\text{cm}\). b) Je länger die Seite ist, desto kürzer ist die dazugehörige Höhe.

- Stell dir vor, wie sich die Form verändert, wenn man sie zur Seite drückt. - Was ist beim Rechteck die Höhe auf die Grundseite? - Überlege, was mit den Leisten passiert: Werden sie länger, kürzer oder bleiben sie gleich? - Welches Maß in der Flächenformel hat sich konkret verändert?

1. Flächeninhalt Rechteck: \(A_{Recht} = 12\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 60\,\text{cm}^2\). Beim Rechteck entspricht die Seite \(5\,\text{cm}\) gleichzeitig der Höhe. 2. Flächeninhalt Parallelogramm: Die Grundseite ist \(g = 12\,\text{cm}\), die neue Höhe ist \(h = 4\,\text{cm}\). \(A_{Para} = 12\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 48\,\text{cm}^2\). 3. Umfang: Der Umfang bleibt gleich, da die Längen der vier Leisten (\(12, 5, 12, 5\)) nicht verändert wurden. 4. Erklärung Flächeninhalt: Der Flächeninhalt berechnet sich aus Grundseite mal Höhe. Da die Seiten schräg gestellt wurden, ist der senkrechte Abstand (die Höhe) zwischen den Grundseiten kleiner geworden (\(4\,\text{cm}\) statt \(5\,\text{cm}\)), wodurch das Produkt sinkt.

a) \(60\,\text{cm}^2\). b) \(48\,\text{cm}^2\). c) Der Umfang bleibt gleich, weil die Seitenlängen der Leisten identisch bleiben. d) Der Flächeninhalt sinkt, weil die Höhe (der senkrechte Abstand) kleiner geworden ist, während die Grundseite gleich blieb.

- Wie hängen der Flächeninhalt, eine Grundseite und die dazugehörige Höhe zusammen? - Welche Formel nutzt du, um den Umfang eines Parallelogramms zu berechnen? - Überlege dir, wie du aus dem Umfang und einer bereits bekannten Seite die fehlende Seite bestimmen kannst. - Kannst du die Informationen Schritt für Schritt nutzen?

1. Berechnung der Grundseite aus dem Flächeninhalt: Da \(A = g \cdot h\), folgt mit \(24 = g \cdot 3\), dass die zugehörige Grundseite \(g = 8\,\text{cm}\) lang ist. Sei dies Seite \(a = 8\,\text{cm}\). 2. Berechnung der zweiten Seite über den Umfang: Mit \(U = 2 \cdot (a + b)\) ergibt sich \(22 = 2 \cdot (8 + b)\). 3. Auflösen nach \(b\): \(11 = 8 + b \implies b = 3\,\text{cm}\). 4. Überprüfung der geometrischen Existenz: Die Höhe zu einer Seite muss immer kleiner oder gleich der benachbarten Seite sein. Hier gilt \(h_a = 3\,\text{cm}\) und \(b = 3\,\text{cm}\) (da \(3 \le 3\), handelt es sich um ein Rechteck). Wäre die gegebene Höhe \(h_b = 3\,\text{cm}\), ergäbe sich analog \(b = 8\,\text{cm}\) und \(a = 3\,\text{cm}\). Die Seitenlängen sind \(8\,\text{cm}\) und \(3\,\text{cm}\).

Die Seitenlängen des Parallelogramms betragen \(8\,\text{cm}\) und \(3\,\text{cm}\).

- Ein Parallelogramm hat zwei verschiedene Höhen. Der Flächeninhalt bleibt aber immer gleich, egal welche Seite du als Grundseite wählst. - Welche Maße brauchst du für den Flächeninhalt? - Wenn du den Flächeninhalt bereits kennst, wie kannst du dann eine fehlende Höhe berechnen? - Erinnere dich an die Formel für den Umfang einer Figur mit vier Seiten, bei der die gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind.

1. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = a \cdot h_a = 12\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 72\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung der zweiten Höhe: Da der Flächeninhalt auch über \(A = b \cdot h_b\) berechnet werden kann, gilt \(72 = 8h_b\). Daraus folgt \(h_b = 72 : 8 = 9\,\text{cm}\). 3. Berechnung des Umfangs: \(U = 2 \cdot (a + b) = 2 \cdot (12\,\text{cm} + 8\,\text{cm}) = 2 \cdot 20\,\text{cm} = 40\,\text{cm}\).

a) Der Flächeninhalt beträgt \(72\,\text{cm}^2\). b) Die Höhe \(h_b\) beträgt \(9\,\text{cm}\). c) Der Umfang beträgt \(40\,\text{cm}\).

- Welche gemeinsame waagerechte Grundseite haben beide Figuren? - Vergleiche die senkrechten Abstände der oberen Punkte beziehungsweise Seiten zur Grundseite. - Welche Rolle spielt der Faktor \(\frac{1}{2}\) in der Dreiecksformel?

1. Die Grundseite \(AB\) hat die Länge \(10-2=8\) Längeneinheiten. Der senkrechte Abstand zur gegenüberliegenden Seite beträgt \(5-2=3\). Daher ist \(A_{\text{Parallelogramm}}=8\cdot3=24\) Flächeneinheiten. 2. Das Dreieck hat dieselbe Grundseite \(AB\). Seine Höhe beträgt \(8-2=6\) Längeneinheiten. Somit ist \(A_{\text{Dreieck}}=\frac{1}{2}\cdot8\cdot6=24\) Flächeneinheiten. 3. Beide Flächeninhalte sind gleich. Die Dreieckshöhe ist doppelt so groß wie die Parallelogrammhöhe; der Faktor \(\frac{1}{2}\) in der Dreiecksformel gleicht das aus.

a) \(24\) Flächeneinheiten b) \(24\) Flächeneinheiten c) Die Flächeninhalte sind gleich groß. Die Höhe des Dreiecks ist doppelt so groß wie die des Parallelogramms.

- Notiere dir zuerst die Flächenformeln für beide Figuren. - Setze die bekannten Werte für die Fläche und die Grundseite in die Formeln ein. - Was bewirkt der Faktor \(\frac{1}{2}\) in der Dreiecksformel für die benötigte Höhe?

1. Berechnung der Höhe des Parallelogramms: \(h_P = 24\,\text{cm}^2 : 8\,\text{cm} = 3\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Höhe des Dreiecks: \(h_D = 24\,\text{cm}^2 : (\frac{1}{2} \cdot 8\,\text{cm}) = 24\,\text{cm}^2 : 4\,\text{cm} = 6\,\text{cm}\). 3. Vergleich der Formeln: \(A_{Para} = g \cdot h_P\) und \(A_{Drei} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h_D\). 4. Da im Dreieck nur die halbe Fläche des Produkts aus Grundseite und Höhe berechnet wird, muss die Höhe des Dreiecks doppelt so groß sein wie die des Parallelogramms, um denselben Flächeninhalt zu erzielen (\(h_D = 2h_P\)).

Die Höhe des Parallelogramms beträgt \(3\,\text{cm}\), die des Dreiecks \(6\,\text{cm}\). Die Höhe des Dreiecks ist doppelt so groß, da die Dreiecksformel den Faktor \(\frac{1}{2}\) enthält, der ausgeglichen werden muss.

- Berechne zuerst den Flächeninhalt, den beide Dreiecke gemeinsam haben. - Wie lang ist die Grundseite des zweiten Dreiecks? - Nutze die Flächenformel für das zweite Dreieck, um die fehlende Höhe zu finden. - Vergleiche die Maße der beiden Dreiecke direkt miteinander.

1. Berechnung des Flächeninhalts des ersten Dreiecks: \(A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 10\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 30\,\text{cm}^2\) 2. Da beide Dreiecke flächengleich sind, gilt für das zweite Dreieck ebenfalls \(A = 30\,\text{cm}^2\) 3. Bestimmung der Grundseite des zweiten Dreiecks: \(g_2 = 10\,\text{cm} : 2 = 5\,\text{cm}\) 4. Berechnung der Höhe des zweiten Dreiecks: \(30\,\text{cm}^2 = \frac{1}{2} \cdot 5\,\text{cm} \cdot h_2\), daraus folgt \(30 = 2{,}5h_2\), also \(h_2 = 30 : 2{,}5 = 12\,\text{cm}\) 5. Analyse der Proportionalität: Wenn die Grundseite bei konstantem Flächeninhalt halbiert wird, muss sich die Höhe verdoppeln, um das Produkt \(g \cdot h\) konstant zu halten.

a) Der Flächeninhalt beträgt \(30\,\text{cm}^2\). b) Die Höhe des zweiten Dreiecks beträgt \(12\,\text{cm}\). c) Die Höhe muss sich verdoppeln, damit der Flächeninhalt gleich bleibt.

- Erinnere dich an die Formel für den Trapezinhalt: Man addiert die parallelen Seiten, teilt durch 2 und nimmt das Ergebnis mal die Höhe. - Was passiert mit dem Ergebnis einer Multiplikation, wenn man nur einen der Faktoren verdoppelt? - Wenn man bei einer Figur alle Längen halbiert, schrumpft die Fläche stärker als die einzelnen Linien. Probiere es Schritt für Schritt aus.

1. Flächeninhalt Trapez: \(A = \frac{a+c}{2} \cdot h = \frac{4\,\text{cm} + 6\,\text{cm}}{2} \cdot 5\,\text{cm} = 5\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 25\,\text{cm}^2\). 2. Verdopplung der Höhe: \(h' = 10\,\text{cm}\). Neuer Inhalt: \(A' = \frac{4+6}{2} \cdot 10 = 5 \cdot 10 = 50\,\text{cm}^2\). Der Flächeninhalt verdoppelt sich. 3. Halbierung aller Maße: \(a'' = 2\,\text{cm}\), \(c'' = 3\,\text{cm}\), \(h'' = 2{,}5\,\text{cm}\). 4. Neuer Flächeninhalt: \(A'' = \frac{2 + 3}{2} \cdot 2{,}5 = 2{,}5 \cdot 2{,}5 = 6{,}25\,\text{cm}^2\). 5. Vergleich: \(25\,\text{cm}^2 : 6{,}25\,\text{cm}^2 = 4\). Der Flächeninhalt viertelt sich (wird durch 4 geteilt).

a) \(25\,\text{cm}^2\) b) Der Flächeninhalt verdoppelt sich (\(50\,\text{cm}^2\)). c) Der Flächeninhalt viertelt sich (neuer Wert: \(6{,}25\,\text{cm}^2\)).

- Berechne zuerst, wie groß der Flächeninhalt des dreieckigen Beets ist. - Erinnere dich an den Unterschied zwischen der Flächenformel für Dreiecke und der für Parallelogramme. - Wenn die Grundseiten gleich lang sind, wie müssen sich dann die Höhen unterscheiden, damit die Flächen gleich groß sind?

1. Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks: \(A_{Dreieck} = \frac{1}{2} \cdot 12\,\text{m} \cdot 5\,\text{m} = 30\,\text{m}^2\). 2. Aufstellen der Gleichung für das Parallelogramm (\(A = g \cdot h\)): \(30\,\text{m}^2 = 12\,\text{m} \cdot h_{Para}\). 3. Berechnung der Höhe des Parallelogramms: \(h_{Para} = 30\,\text{m}^2 : 12\,\text{m} = 2{,}5\,\text{m}\).

Die Höhe des Parallelogramms beträgt \(2{,}5\,\text{m}\).

- Achte darauf, alle Längenangaben zuerst in dieselbe Einheit umzurechnen. - Wenn zwei Figuren den gleichen Flächeninhalt haben, was bedeutet das für deine Gleichung? - Kannst du den Flächeninhalt zuerst mit den vollständig bekannten Werten berechnen?

1. Umrechnung aller Maße in die Einheit Dezimeter: \(a = 12\,\text{dm}\), \(h_a = 8\,\text{dm}\), \(b = 15\,\text{dm}\). 2. Berechnung des Flächeninhalts des ersten Segels: \(A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 12\,\text{dm} \cdot 8\,\text{dm} = 48\,\text{dm}^2\). 3. Da die Flächeninhalte gleich sind, gilt für das zweite Segel: \(48\,\text{dm}^2 = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b = \frac{1}{2} \cdot 15\,\text{dm} \cdot h_b\). 4. Auflösen nach \(h_b\): \(48 = 7{,}5h_b \Rightarrow h_b = 48 : 7{,}5 = 6{,}4\,\text{dm}\).

Die Höhe \(h_b\) des zweiten Segels beträgt \(6{,}4\,\text{dm}\).

- Welche drei Längen bzw. Größen kommen in der Trapezformel vor? - Welcher Faktor bleibt unverändert, wenn nur die Höhe verändert wird? - Wie verändert sich ein Produkt, wenn genau ein Faktor verdoppelt wird?

1. Für das Trapez gilt \(A=\frac{1}{2}(a+c)h\). 2. Der Mittelwert der parallelen Seiten ist \(\frac{7\,\text{m}+5\,\text{m}}{2}=6\,\text{m}\). 3. Damit gilt \(24\,\text{m}^2=6\,\text{m}\cdot h\), also \(h=24\,\text{m}^2:6\,\text{m}=4\,\text{m}\). 4. Bei unveränderten parallelen Seiten ist \(h\) ein direkter Faktor der Flächenformel. Wird \(h\) verdoppelt, verdoppelt sich deshalb auch \(A\).

a) \(h=4\,\text{m}\) b) Ja. Bei unveränderten parallelen Seiten verdoppelt eine Verdopplung der Höhe den Flächeninhalt.

- Schau dir die Flächenformel an: Was passiert mit dem Ergebnis, wenn du einen Teil des Zählers verdoppelst? - Musst du für den zweiten Teil wirklich alle Längen einzeln kennen? - Wie hängen die Summe der Seiten und der Flächeninhalt zusammen?

1. Zu Teil a): Einsetzen der Summe \((a+c) = 12\) in die Formel \(A = \frac{a+c}{2} \cdot h\): \(36 = \frac{12}{2} \cdot h\) 2. Berechnung der Höhe: \(36 = 6h \implies h = 6\,\text{cm}\) 3. Zu Teil b): Analyse der Flächenformel \(A = \frac{a+c}{2} \cdot h\). Da der Flächeninhalt direkt proportional zur Summe der parallelen Seiten ist (bei gleichbleibender Höhe), führt eine Verdoppelung der Summe \((a+c)\) zu einer Verdoppelung des Flächeninhalts. 4. Ergebnis für den Flächeninhalt: \(2 \cdot 36\,\text{cm}^2 = 72\,\text{cm}^2\)

a) Die Höhe beträgt \(6\,\text{cm}\). b) Der Flächeninhalt beträgt \(72\,\text{cm}^2\). Da der Flächeninhalt proportional zur Summe der parallelen Seiten ist, verdoppelt er sich, wenn die Summe der Seiten verdoppelt wird und die Höhe gleich bleibt.

- Schreibe dir zuerst die allgemeine Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes auf. - Überlege, welcher Teil der Formel sich verändert und was mit dem Rest passiert. - Setze die neuen Werte (wie zum Beispiel das Doppelte oder ein Drittel) in die Formel ein und vergleiche das Ergebnis mit der ursprünglichen Formel.

1. Die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes lautet \(A = \frac{a + c}{2} \cdot h\). 2. Für Teilaufgabe a): Ersetzt man \((a + c)\) durch \(2(a + c)\), ergibt sich der neue Flächeninhalt \(A_{neu} = \frac{2(a + c)}{2} \cdot h = 2\left( \frac{a + c}{2} \cdot h \right) = 2A\). Der Flächeninhalt verdoppelt sich also. 3. Für Teilaufgabe b): Ersetzt man \(h\) durch \(3h\) und \((a + c)\) durch \(\frac{1}{3}(a + c)\), ergibt sich \(A_{neu} = \frac{\frac{1}{3}(a + c)}{2} \cdot (3h) = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot \frac{a + c}{2} \cdot h = 1 \cdot A\). Der Flächeninhalt bleibt also unverändert.

a) Der Flächeninhalt verdoppelt sich. b) Der Flächeninhalt bleibt gleich.

- Schau dir an, welcher Teil der Formel für die Berechnung des Inhalts verantwortlich ist. - Was passiert mit der Summe der beiden parallelen Seiten, wenn man zu der einen etwas addiert und von der anderen denselben Betrag abzieht? - Probiere es einfach mal mit festen Zahlen aus, um zu sehen, was passiert.

1. Die Flächeninhaltsformel ist \(A = \frac{a + c}{2} \cdot h\). Der Flächeninhalt hängt von der Summe \((a + c)\) ab. 2. Berechnung der neuen Summe: \((a + 2) + (c - 2) = a + c + 2 - 2 = a + c\). Die Summe der parallelen Seiten bleibt also gleich. 3. Da sich weder die Summe \((a + c)\) noch die Höhe \(h\) ändert, bleibt der Flächeninhalt konstant. 4. Beispiel: Sei \(a = 6\,\text{cm}\), \(c = 4\,\text{cm}\) und \(h = 5\,\text{cm}\). Dann ist \(A = \frac{6 + 4}{2} \cdot 5 = 25\,\text{cm}^2\). Nach der Änderung ist \(a' = 8\,\text{cm}\) und \(c' = 2\,\text{cm}\). Der neue Flächeninhalt ist \(A' = \frac{8 + 2}{2} \cdot 5 = 25\,\text{cm}^2\). 5. Lukas hat nicht recht.

Lukas hat nicht recht. Der Flächeninhalt bleibt gleich, da die Summe der parallelen Seiten \((a + c)\) unverändert bleibt.

- Schreibe zuerst die allgemeine Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes auf. - Welche Werte aus dem Text kannst du in die Formel einsetzen? - Wie kannst du die Gleichung schrittweise umformen, um die unbekannte Seite zu isolieren? - Überlege dir, welche Rechenoperationen die Multiplikation mit \(7\) und die Division durch \(2\) rückgängig machen.

1. Anwendung der Flächenformel für das Trapez: \(A = \frac{a + c}{2} \cdot h\). 2. Einsetzen der bekannten Werte: \(24{,}5 = \frac{4{,}2 + c}{2} \cdot 7\). 3. Auflösen der Gleichung nach der Summe der Grundseiten: \(\frac{4{,}2 + c}{2} = 24{,}5 : 7 = 3{,}5\). 4. Multiplikation mit \(2\): \(4{,}2 + c = 7\). 5. Subtraktion von \(4{,}2\): \(c = 7 - 4{,}2 = 2{,}8\). Die gesuchte Seite ist \(2{,}8\,\text{cm}\) lang.

Die andere parallele Seite ist \(2{,}8\,\text{cm}\) lang.

- Erinnere dich an die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes. Welche Rolle spielt die Summe der beiden parallelen Seiten? - Rechne erst das Beispiel konkret aus, bevor du eine Entscheidung triffst. - Was müsste passieren, damit sich der Wert eines Bruchs verdoppelt?

1. Berechnung des ursprünglichen Flächeninhalts: \(A = \frac{a + c}{2} \cdot h = \frac{3\,\text{cm} + 5\,\text{cm}}{2} \cdot 4\,\text{cm} = \frac{8}{2} \cdot 4 = 16\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung mit verdoppelter Seite \(a\): Die neue Seite ist \(a' = 2 \cdot 3\,\text{cm} = 6\,\text{cm}\). Der neue Flächeninhalt ist \(A' = \frac{6\,\text{cm} + 5\,\text{cm}}{2} \cdot 4\,\text{cm} = \frac{11}{2} \cdot 4 = 22\,\text{cm}^2\). 3. Überprüfung der Behauptung: Das Doppelte des ursprünglichen Inhalts wäre \(2 \cdot 16\,\text{cm}^2 = 32\,\text{cm}^2\). Da \(22\,\text{cm}^2 \neq 32\,\text{cm}^2\), hat Leon nicht recht. Die Verdopplung nur einer Seite führt nicht zur Verdopplung des gesamten Flächeninhalts, da die Summe der Grundseiten in der Formel steht.

1. Der Flächeninhalt beträgt \(16\,\text{cm}^2\). 2. Der neue Flächeninhalt beträgt \(22\,\text{cm}^2\). 3. Leon hat nicht recht. Der Flächeninhalt hat sich nicht verdoppelt (dafür hätte er \(32\,\text{cm}^2\) groß sein müssen).

- Berechne zuerst den Flächeninhalt der Figur, von der alle Maße bekannt sind. - Setze diesen Wert in die Formel für die zweite Figur ein. - Kannst du die Formel schrittweise umstellen, um die fehlende Seite zu finden?

1. Berechnung des Flächeninhalts des Parallelogramms: \(A = g \cdot h = 12\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 72\,\text{cm}^2\) 2. Aufstellen der Gleichung für den Flächeninhalt des Trapezes mit der unbekannten Seite \(c\): \(72 = \frac{15 + c}{2} \cdot 6\) 3. Vereinfachung der Gleichung durch Division durch \(6\): \(12 = \frac{15 + c}{2}\) 4. Auflösen nach \(c\): \(24 = 15 + c\), also \(c = 9\,\text{cm}\)

Die zweite parallele Seite des Trapezes ist \(9\,\text{cm}\) lang.

- Welche Größen kommen in der Trapezformel vor? - Wenn Flächeninhalt und Höhe unverändert bleiben, welcher Ausdruck mit \(a\) und \(c\) muss dann ebenfalls unverändert bleiben? - Verändere probeweise eine der parallelen Seiten und überlege, wie die andere Seite darauf reagieren muss.

1. Es gilt \(A=\frac{9+3}{2}\cdot4=24\,\text{cm}^2\). 2. Bei gleicher Höhe und gleicher Fläche muss der Mittelwert der parallelen Seiten unverändert bleiben. Mögliche Paare sind beispielsweise \(a=8\,\text{cm}\), \(c=4\,\text{cm}\) oder \(a=7\,\text{cm}\), \(c=5\,\text{cm}\). 3. Deshalb muss die Summe \(a+c\) konstant bleiben; hier beträgt sie \(12\,\text{cm}\).

a) \(A=24\,\text{cm}^2\) b) Zum Beispiel \(a=10\,\text{cm}\), \(c=2\,\text{cm}\) und \(a=8\,\text{cm}\), \(c=4\,\text{cm}\) c) Die Summe \(a+c\) muss konstant bleiben; hier gilt \(a+c=12\,\text{cm}\).

- Überlege dir, wie sich eine Verdopplung der Summe \((a+c)\) auf das Ergebnis der Formel auswirkt. - Überlege dir dann, was die zusätzliche Verdopplung der Höhe bewirkt. - Du kannst die Formel auch so schreiben: \(A = \frac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h\). Was passiert, wenn zwei der Faktoren verdoppelt werden?

1. Ursprünglicher Flächeninhalt: \(A = \frac{a+c}{2} \cdot h\). 2. Neue Werte: \(h_{neu} = 2h\) und die neue Summe der parallelen Seiten ist \(a_{neu} + c_{neu} = 2a + 2c = 2(a+c)\). 3. Einsetzen in die Formel: \(A_{neu} = \frac{2(a+c)}{2} \cdot 2h = (a+c) \cdot 2h = 2(a+c) \cdot h\). 4. Vergleich mit der ursprünglichen Formel: Da \(A = \frac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h\), ist \(A_{neu} = 4(\frac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h) = 4A\). 5. Der neue Flächeninhalt ist viermal so groß wie der ursprüngliche.

Der ursprüngliche Flächeninhalt passt genau 4-mal in den neuen Flächeninhalt. Durch die Verdopplung der Summe der parallelen Seiten verdoppelt sich die Fläche; durch die zusätzliche Verdopplung der Höhe verdoppelt sie sich nochmals (\(2 \cdot 2 = 4\)).

- Was weißt du über das Verhältnis der beiden parallelen Seiten? - Wie lautet die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Trapezes? - Kannst du die längere Seite durch die kürzere Seite ausdrücken, um nur noch eine Unbekannte in der Formel zu haben? - Stelle die Formel nach der gesuchten Größe um.

1. Verwendung der Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes: \(A = \frac{a+c}{2} \cdot h\) 2. Einsetzen der bekannten Werte \(A = 36\) und \(h = 6\) sowie der Beziehung \(c = 3a\): \(36 = \frac{a + 3a}{2} \cdot 6\) 3. Vereinfachung des Terms in der Klammer: \(a + 3a = 4a\) 4. Vereinfachung der Gleichung: \(36 = \frac{4a}{2} \cdot 6 = 2a \cdot 6 = 12a\) 5. Berechnung von \(a\): \(a = 36 : 12 = 3\,\text{cm}\) 6. Berechnung von \(c\): \(c = 3 \cdot 3 = 9\,\text{cm}\)

Die Längen der Seiten betragen \(a = 3\,\text{cm}\) und \(c = 9\,\text{cm}\).

- Schau dir die Flächenformel genau an. Welche Teile der Formel sind gegeben? - In Teil a suchst du einen Faktor in einem Produkt. Wie isoliert man diesen? - In Teil b ist nach der Summe der Seiten gefragt. Du musst die einzelnen Seiten \(a\) und \(c\) nicht getrennt berechnen. - Überlege, was passiert, wenn du die Fläche durch die Höhe teilst.

1. Teil a: Berechnung der Höhe \(h\) mit \(A = 40\), \(a = 7\) und \(c = 13\). Formel: \(40 = \frac{7 + 13}{2} \cdot h\) 2. Berechnung des Mittelwerts der Seiten: \(\frac{20}{2} = 10\). Gleichung: \(40 = 10h\) 3. Ergebnis für a: \(h = 4\,\text{cm}\) 4. Teil b: Berechnung der Summe \(a + c\) mit \(A = 40\) und \(h = 5\). Formel: \(40 = \frac{a + c}{2} \cdot 5\) 5. Umstellen nach der Summe: \(40 : 5 = 8\), also \(8 = \frac{a + c}{2}\) 6. Ergebnis für b: \(a + c = 16\,\text{cm}\)

a) Die Höhe des ersten Trapezes beträgt \(h = 4\,\text{cm}\). b) Die Summe der parallelen Seiten des zweiten Trapezes muss \(16\,\text{cm}\) betragen.

- Erinnere dich an die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks. - Berechne zuerst die Werte für Mia und dann schrittweise für Leo. - Was passiert mit dem Flächeninhalt, wenn du eine Seite verdoppelst und die andere halbierst? - Setze im zweiten Teil die bekannten Werte in die Flächenformel ein und löse nach der unbekannten Höhe auf.

1. Flächeninhalt von Mias Dreieck: \(A_{Mia} = \frac{1}{2} \cdot 10\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 30\,\text{cm}^2\). 2. Maße von Leos Dreieck: \(g = 2 \cdot 10\,\text{cm} = 20\,\text{cm}\) und \(h = 6\,\text{cm} : 2 = 3\,\text{cm}\). 3. Flächeninhalt von Leos Dreieck: \(A_{Leo} = \frac{1}{2} \cdot 20\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 30\,\text{cm}^2\). Vergleich: Die Flächeninhalte sind identisch. 4. Ziel für das dritte Dreieck: \(A_{Ziel} = 4 \cdot 30\,\text{cm}^2 = 120\,\text{cm}^2\). 5. Berechnung der Höhe mit \(g = 20\,\text{cm}\): \(120 = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot h \Rightarrow 120 = 10h \Rightarrow h = 12\,\text{cm}\).

a) Mias Dreieck: \(30\,\text{cm}^2\); Leos Dreieck: \(30\,\text{cm}^2\). Die Flächeninhalte sind gleich groß. b) Die Höhe muss \(12\,\text{cm}\) betragen.

- Schreibe die Formeln für beide Flächeninhalte nebeneinander auf. - Was unterscheidet die Formel des Rechtecks von der des Dreiecks? - Überlege dir für den zweiten Teil, wie sich die Faktoren 2 und 3 auf das Endergebnis in der Formel auswirken. - Du kannst dir auch hier wieder einfache Zahlen für \(g\) und \(h\) ausdenken, um es zu prüfen.

1. Für Teil a): Flächeninhalt Rechteck \(A_R = g \cdot h\). Flächeninhalt Dreieck \(A_D = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h\). Das Verhältnis ist \(A_R : A_D = 1 : 0{,}5 = 2 : 1\). Das Rechteck ist doppelt so groß wie das Dreieck. 2. Für Teil b): Ursprüngliches Dreieck \(A_1 = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h\). 3. Neues Dreieck mit \(g_{neu} = 2g\) und \(h_{neu} = 3h\): \(A_2 = \frac{1}{2} \cdot (2g) \cdot (3h) = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot g \cdot h = 3gh\). 4. Vergleich durch Division: \(\frac{A_2}{A_1} = \frac{3 \cdot g \cdot h}{0{,}5 \cdot g \cdot h} = \frac{3}{0{,}5} = 6\). Das neue Dreieck ist 6-mal so groß.

a) Das Rechteck hat den doppelten Flächeninhalt des Dreiecks (Verhältnis \(2 : 1\)). b) Der ursprüngliche Flächeninhalt passt genau 6-mal in das neue Dreieck.

- Schau dir die Formel für den Flächeninhalt an und überlege, wie sich Änderungen der Variablen auf das Ergebnis auswirken. - Erinnere dich daran, dass der Umfang die Summe aller Außenkanten ist, während der Flächeninhalt das Innere beschreibt. - Überlege dir, ob man ein Parallelogramm so drehen oder spiegeln kann, dass die beiden Teildreiecke genau aufeinanderpassen.

1. Wahr. Der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich durch \(A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h\). Ersetzt man die Grundseite durch \(2g\) und die Höhe durch \(\frac{1}{2}h\), ergibt sich \(A' = \frac{1}{2} \cdot (2g) \cdot (\frac{1}{2}h) = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h = A\). 2. Falsch. Ein Parallelogramm mit Grundseite \(10\) und Höhe \(2\) (als Rechteck) hat \(A = 20\) und \(U = 24\). Ein Parallelogramm mit Grundseite \(5\) und Höhe \(4\) (als Rechteck) hat ebenfalls \(A = 20\), aber \(U = 18\). 3. Wahr. Die Diagonale teilt das Parallelogramm in zwei Dreiecke. Verwendet man die beiden gegenüberliegenden, gleich langen und parallelen Seiten als Grundseiten, besitzen die Dreiecke dieselbe Grundseitenlänge und dieselbe Höhe; daher sind ihre Flächeninhalte gleich.

a) Wahr b) Falsch (Gegenbeispiel: Ein \(10 \times 2\)-Rechteck und ein \(5 \times 4\)-Rechteck haben beide die Fläche 20, aber unterschiedliche Umfänge von 24 und 18). c) Wahr

- Wie bestimmst du die Länge einer senkrechten Strecke aus ihren y-Koordinaten? - Welche Formel verbindet Grundseite, Höhe und Flächeninhalt eines Dreiecks? - In welche Richtung verläuft die Höhe, wenn die Grundseite senkrecht ist? - Welche Punkte haben denselben horizontalen Abstand von der Geraden durch \(P\) und \(Q\)?

1. Da \(P\) und \(Q\) dieselbe x-Koordinate haben, ist \(PQ=7\,\text{cm}-1\,\text{cm}=6\,\text{cm}\). 2. Mit \(A=\frac{1}{2}gh\) gilt \(12\,\text{cm}^2=\frac{1}{2}\cdot6\,\text{cm}\cdot h\). Daraus folgt \(h=4\,\text{cm}\). 3. Die Höhe verläuft waagerecht, weil die Grundseite senkrecht ist. Daher muss \(R\) den horizontalen Abstand \(4\) zur Geraden \(x=1\) haben. 4. Die beiden möglichen Geraden sind \(x=5\) und \(x=-3\). Ein möglicher Punkt ist beispielsweise \(R(5|4)\).

a) \(PQ=6\,\text{cm}\) b) \(h=4\,\text{cm}\) c) \(R\) muss auf \(x=5\) oder \(x=-3\) liegen; zum Beispiel \(R(5|4)\).

- Wie lang ist die Grundseite \(AB\)? - Welche Höhe braucht ein Dreieck mit dieser Grundseite für den gegebenen Flächeninhalt? - Welche Koordinate beschreibt bei einer waagerechten Grundseite den senkrechten Abstand zur x-Achse? - Was verändert sich geometrisch, wenn du einen Punkt nur nach links oder rechts verschiebst?

1. Die Grundseite hat die Länge \(AB=3-(-3)=6\) Längeneinheiten. 2. Mit \(18=\frac{1}{2}\cdot6\cdot h\) folgt \(h=6\) Längeneinheiten. 3. Die Grundseite liegt auf der x-Achse. Wegen \(y>0\) ist der y-Wert von \(D\) gleich der Höhe, also \(y=6\). 4. Eine Änderung der x-Koordinate verschiebt \(D\) nur parallel zur Grundseite. Der senkrechte Abstand zur x-Achse bleibt gleich, daher bleibt auch der Flächeninhalt gleich.

a) \(y=6\) b) Die x-Koordinate verändert nur die Lage der Spitze parallel zur Grundseite; der senkrechte Abstand zur Grundseite und damit der Flächeninhalt bleiben gleich.

- Wie lang ist die gemeinsame Grundseite \(AB\)? - Vergleiche die Flächenformeln für Dreieck und Parallelogramm. - Welche Höhe braucht jede Figur für denselben Flächeninhalt? - Wie wandelst du den senkrechten Abstand in eine y-Koordinate um, wenn die Grundseite auf \(y=2\) liegt?

1. Die Grundseite hat die Länge \(g=6-2=4\) Längeneinheiten. 2. Für das Dreieck gilt \(10=\frac{1}{2}\cdot4\cdot h_{\text{Dreieck}}\). Daraus folgt \(h_{\text{Dreieck}}=5\) Längeneinheiten. 3. Für das Parallelogramm gilt \(10=4\cdot h_{\text{Parallelogramm}}\). Daher ist \(h_{\text{Parallelogramm}}=2{,}5\) Längeneinheiten. 4. Weil \(AB\) auf \(y=2\) liegt, muss die obere Seite auf \(y=2+2{,}5=4{,}5\) liegen. 5. Die Dreiecksformel enthält den Faktor \(\frac{1}{2}\), die Parallelogrammformel nicht. Deshalb muss das Dreieck bei gleicher Grundseite und Fläche doppelt so hoch sein.

a) \(h_{\text{Dreieck}}=5\) Längeneinheiten b) \(DE\) muss auf \(y=4{,}5\) liegen. c) Wegen des Faktors \(\frac{1}{2}\) in der Dreiecksformel ist die Dreieckshöhe bei gleicher Grundseite und gleicher Fläche doppelt so groß.

- Welche Formel nutzt du für den Flächeninhalt eines Parallelogramms? - Wie unterscheidet sich die Flächenformel eines Dreiecks von der eines Parallelogramms? - Wenn zwei Flächen gleich groß sind, kannst du ihre Werte gleichsetzen.

1. Berechnung des Flächeninhalts des Parallelogramms: \(A = g \cdot h = 12\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 60\,\text{cm}^2\). 2. Da das Dreieck denselben Flächeninhalt besitzt, gilt für das Dreieck: \(A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h = 60\,\text{cm}^2\). 3. Einsetzen der Grundseite \(g = 15\,\text{cm}\) in die Formel: \(\frac{1}{2} \cdot 15\,\text{cm} \cdot h = 60\,\text{cm}^2\). 4. Umformen der Gleichung: \(7{,}5\,\text{cm} \cdot h = 60\,\text{cm}^2\). 5. Berechnung der Höhe: \(h = 60\,\text{cm}^2 : 7{,}5\,\text{cm} = 8\,\text{cm}\).

Die zugehörige Höhe des Dreiecks beträgt \(8\,\text{cm}\).

- Achte darauf, dass alle Längenangaben in derselben Einheit vorliegen, bevor du rechnest. - Erinnere dich an die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes. - Was weißt du über die Seiten eines Quadrats und wie man seinen Flächeninhalt berechnet?

1. Umwandlung der Einheiten: \(a = 1{,}3\,\text{dm} = 13\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Flächeninhalts des Trapezes: \(A = \frac{a + c}{2} \cdot h = \frac{13\,\text{cm} + 5\,\text{cm}}{2} \cdot 4\,\text{cm} = \frac{18}{2} \cdot 4 = 9 \cdot 4 = 36\,\text{cm}^2\). 3. Der Flächeninhalt des Quadrats ist ebenfalls \(36\,\text{cm}^2\). 4. Für die Seitenlänge \(s\) gilt \(s \cdot s = 36\,\text{cm}^2\). Da \(6\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 36\,\text{cm}^2\), ist \(s = 6\,\text{cm}\).

Die Seitenlänge des Quadrats beträgt \(6\,\text{cm}\).

- Welche Formel verknüpft Grundseite, zugehörige Höhe und Flächeninhalt eines Dreiecks? - Welche Größe ist in a) beziehungsweise b) jeweils unbekannt? - Prüfe in c), was mit dem Produkt aus Grundseite und zugehöriger Höhe passiert, wenn der eine Faktor verdoppelt und der andere halbiert wird.

1. Für Dreieck A gilt \(24\,\text{cm}^2=\frac{1}{2}\cdot 8\,\text{cm}\cdot h_g\). Daher ist \(h_g=6\,\text{cm}\). 2. Für Dreieck B gilt \(24\,\text{cm}^2=\frac{1}{2}\cdot g\cdot 4\,\text{cm}\). Daher ist \(g=12\,\text{cm}\). 3. Bei Dreieck A werden aus \(g=8\,\text{cm}\) und \(h_g=6\,\text{cm}\) die neuen Maße \(16\,\text{cm}\) und \(3\,\text{cm}\). 4. Der neue Flächeninhalt ist \(A=\frac{1}{2}\cdot 16\,\text{cm}\cdot 3\,\text{cm}=24\,\text{cm}^2\). Die Aussage ist richtig.

a) \(h_g=6\,\text{cm}\) b) \(g=12\,\text{cm}\) c) Die Aussage ist richtig; mit \(16\,\text{cm}\) Grundseite und \(3\,\text{cm}\) zugehöriger Höhe beträgt der Flächeninhalt wieder \(24\,\text{cm}^2\).

- Achte darauf, alle Längenangaben in dieselbe Einheit umzurechnen, bevor du rechnest. - Überlege, welche Formel für welche Figur gilt. - Was ist der Unterschied zwischen der Flächenformel eines Dreiecks und eines Parallelogramms?

1. Umrechnung der Einheiten für das Dreieck: \(g = 1{,}2\,\text{m} = 120\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks: \(A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 120\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm} = 2400\,\text{cm}^2\). 3. Umrechnung der Einheiten für das Parallelogramm: \(g = 5\,\text{dm} = 50\,\text{cm}\). 4. Berechnung des Flächeninhalts des Parallelogramms: \(A_{\text{Parallelogramm}} = g \cdot h = 50\,\text{cm} \cdot 50\,\text{cm} = 2500\,\text{cm}^2\). 5. Vergleich der Ergebnisse: Das Parallelogramm ist größer. Differenz: \(2500\,\text{cm}^2 - 2400\,\text{cm}^2 = 100\,\text{cm}^2\).

Das Parallelogramm hat einen größeren Flächeninhalt. Der Unterschied beträgt \(100\,\text{cm}^2\).

- Der Flächeninhalt eines Parallelogramms bleibt gleich, egal welche Grundseite und zugehörige Höhe du zur Berechnung nutzt. - Überlege dir für Teil c), wie die Variablen in der Formel zusammenhängen. Was passiert mit dem Ergebnis, wenn ein Faktor verdoppelt wird?

1. Berechnung des Flächeninhalts mit \(a\) und \(h_a\): \(A = a \cdot h_a = 10\,\text{cm} \cdot 4{,}5\,\text{cm} = 45\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung der Höhe \(h_b\) unter Verwendung des Flächeninhalts: \(A = b \cdot h_b \Rightarrow 45\,\text{cm}^2 = 6\,\text{cm} \cdot h_b\). 3. Auflösen nach \(h_b\): \(h_b = 45 : 6 = 7{,}5\,\text{cm}\). 4. Untersuchung der Änderung: Neuer Flächeninhalt \(A_{neu} = (2a) \cdot h_a = 2(a \cdot h_a) = 2A\). Der Flächeninhalt verdoppelt sich, da er proportional zur Grundseite ist.

a) Der Flächeninhalt beträgt \(45\,\text{cm}^2\). b) Die Höhe \(h_b\) beträgt \(7{,}5\,\text{cm}\). c) Der Flächeninhalt verdoppelt sich ebenfalls, da die Grundseite ein direkter Faktor in der Flächenformel ist.

- Welche Verschiebung führt von \(A\) nach \(D\), und wie kannst du dieselbe Verschiebung bei \(B\) nutzen? - Welche Grundseite und welche senkrechte Höhe kannst du aus den gegebenen Punkten bestimmen? - Was muss bei gleicher Grundseite und gleichem Flächeninhalt für die Höhe des Rechtecks gelten? - Wo liegen die oberen Rechteckpunkte, wenn die Seiten senkrecht auf \(AB\) stehen?

1. Die Verschiebung von \(A\) nach \(D\) beträgt zwei Einheiten nach rechts und vier Einheiten nach oben. Dieselbe Verschiebung von \(B\) aus ergibt \(C(10|5)\). 2. Die Grundseite hat die Länge \(g=8-1=7\), die zugehörige Höhe beträgt \(h=5-1=4\). Somit ist \(A=7\cdot4=28\) Flächeneinheiten. 3. Das Rechteck hat dieselbe Grundseite und denselben Flächeninhalt, also ebenfalls die Höhe \(4\). Seine obere Seite liegt auf \(y=5\). Daher sind \(C''(8|5)\) und \(D''(1|5)\).

a) \(C(10|5)\), \(A=28\) Flächeneinheiten b) \(C''(8|5)\) und \(D''(1|5)\)

- Wie erhältst du die Seitenlänge eines Quadrats aus seinem Umfang? - Welche Beziehung gilt zwischen den beiden Seitenlängen eines Parallelogramms und seinem Umfang? - Welche geometrische Beziehung besteht zwischen einer schrägen Seitenlänge und der dazu senkrechten Höhe?

1. Beim Quadrat gilt \(U=4a=32\,\text{m}\). Daher ist \(a=32\,\text{m}:4=8\,\text{m}\) und \(A=8\,\text{m}\cdot8\,\text{m}=64\,\text{m}^2\). 2. Beim Parallelogramm gilt \(U=2(a+b)=32\,\text{m}\). Damit ist \(a+b=16\,\text{m}\). Für \(a=10\,\text{m}\) folgt \(b=6\,\text{m}\). 3. Wählt man die \(10\,\text{m}\) lange Seite als Grundseite, kann die zugehörige Höhe höchstens so groß wie die angrenzende Seite sein. Deshalb ist der Flächeninhalt höchstens \(10\,\text{m}\cdot6\,\text{m}=60\,\text{m}^2\). 4. Da \(60\,\text{m}^2<64\,\text{m}^2\), kann dieses Parallelogramm keinen größeren Flächeninhalt als das Quadrat haben.

a) Seitenlänge \(8\,\text{m}\), Flächeninhalt \(64\,\text{m}^2\) b) \(6\,\text{m}\) c) Nein. Der Flächeninhalt des Parallelogramms kann höchstens \(60\,\text{m}^2\) betragen und ist damit kleiner als \(64\,\text{m}^2\).

- Wie kannst du die Flächenformel umstellen, wenn das Ergebnis schon bekannt ist, aber eine Seite fehlt? - Überlege dir für den zweiten Teil zwei Zahlen, deren Produkt das Doppelte des Flächeninhalts ergibt. - Stell dir vor, du verschiebst die obere Ecke eines Dreiecks nach links oder rechts, ohne die Höhe zu ändern. Was passiert mit der Form?

1. Umstellen der Dreiecksformel \(A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h\) nach \(h\): \(h = \frac{2A}{g}\). 2. Einsetzen der Werte für Teil a): \(h = \frac{2 \cdot 15\,\text{cm}^2}{6\,\text{cm}} = \frac{30}{6}\,\text{cm} = 5\,\text{cm}\). 3. Für Teil b) ein beliebiges Paar finden, bei dem \(g \cdot h = 30\) gilt, zum Beispiel \(g = 10\,\text{cm}\) und \(h = 3\,\text{cm}\). 4. Zu Teil c): Nein, die Dreiecke müssen nicht die gleiche Form haben. Die Spitze des Dreiecks kann auf einer Parallelen zur Grundseite verschoben werden, wodurch sich die Winkel und Seitenlängen ändern, während der Flächeninhalt gleich bleibt.

a) Die Höhe beträgt \(5\,\text{cm}\). b) Ein mögliches Paar ist \(g = 10\,\text{cm}\) und \(h = 3\,\text{cm}\) (oder jedes andere Paar mit \(g \cdot h = 30\,\text{cm}^2\)). c) Nein, sie müssen nicht die gleiche Form haben, da die Spitze auf einer zur Grundseite parallelen Geraden verschoben werden kann.

- Welche waagerechte Strecke eignet sich als Grundseite? - Welche Koordinatendifferenz liefert den senkrechten Abstand der Spitze von der Grundseite? - Was bleibt bei der Verschiebung von \(C\) zu \(C''\) unverändert? - Wie muss sich bei fester Grundseite die Höhe ändern, wenn sich der Flächeninhalt verdoppeln soll?

1. Die Grundseite hat die Länge \(g=10\,\text{cm}-2\,\text{cm}=8\,\text{cm}\). 2. Der senkrechte Abstand von \(C\) zur Grundseite beträgt \(h=7\,\text{cm}-1\,\text{cm}=6\,\text{cm}\). 3. Damit ist \(A_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot8\,\text{cm}\cdot6\,\text{cm}=24\,\text{cm}^2\). 4. Bei \(C''(9|7)\) bleiben Grundseite und Höhe gleich. Der Flächeninhalt bleibt daher \(24\,\text{cm}^2\). 5. Für den doppelten Flächeninhalt muss bei gleicher Grundseite die Höhe verdoppelt werden. Der senkrechte Abstand muss also \(12\,\text{cm}\) betragen. Weil \(AB\) auf \(y=1\) liegt, kann \(D\) auf \(y=13\) oder \(y=-11\) liegen, zum Beispiel \(D(5|13)\).

a) \(A=24\,\text{cm}^2\) b) Der Flächeninhalt bleibt \(24\,\text{cm}^2\). c) Zum Beispiel \(D(5|13)\); allgemein ist jeder Punkt mit \(y=13\) oder \(y=-11\) möglich.

- Welche Grundseite und welche Höhe hat das Parallelogramm? - Welche dieser beiden Größen übernimmt das Dreieck \(ABP\) unverändert? - Wie unterscheiden sich die Flächenformeln von Dreieck und Parallelogramm? - Was bleibt gleich, wenn \(P\) entlang der Seite \(CD\) verschoben wird?

1. Für das Parallelogramm gilt \(g=7-1=6\) und \(h=5-1=4\). Daher ist \(A_{\text{Parallelogramm}}=6\cdot4=24\) Flächeneinheiten. 2. Das Dreieck \(ABP\) hat dieselbe Grundseite \(AB\) und dieselbe Höhe \(4\). Somit ist \(A_{\text{Dreieck}}=\frac{1}{2}\cdot6\cdot4=12\) Flächeneinheiten. 3. Das Verhältnis beträgt \(12:24=1:2\). 4. Jeder Punkt auf \(CD\) hat denselben senkrechten Abstand zur Grundseite \(AB\). Deshalb gilt das Verhältnis für jeden Punkt auf dieser Strecke.

a) \(A_{ABCD}=24\) Flächeneinheiten b) \(A_{ABP}=12\) Flächeneinheiten c) Verhältnis \(1:2\); dies gilt für jeden Punkt \(P\) auf \(CD\).

- Schau dir die Formel für den Flächeninhalt genau an. Welche Teile der Formel sind bei beiden Trapezen gleich? - Was passiert mit dem Ergebnis, wenn die Summe der parallelen Seiten gleich bleibt? - Musst du wirklich alles ausrechnen, um die Größe zu vergleichen?

1. Berechnung der Summe der parallelen Seiten für Trapez 1: \(a_1 + c_1 = 4\,\text{cm} + 8\,\text{cm} = 12\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Summe der parallelen Seiten für Trapez 2: \(a_2 + c_2 = 5\,\text{cm} + 7\,\text{cm} = 12\,\text{cm}\). 3. Da die Höhen \(h\) beider Trapeze identisch sind (\(5\,\text{cm}\)) und auch die Summen der parallelen Seiten gleich sind (\(12\,\text{cm}\)), müssen die Flächeninhalte nach der Formel \(A = \frac{a+c}{2} \cdot h\) gleich groß sein. 4. Überprüfung durch Rechnung: \(A = \frac{12}{2} \cdot 5 = 6 \cdot 5 = 30\,\text{cm}^2\).

Beide Trapeze haben den gleichen Flächeninhalt von \(30\,\text{cm}^2\), da die Summe ihrer parallelen Seiten jeweils \(12\,\text{cm}\) ergibt und die Höhen gleich sind.

- Unterscheide zwischen der Flächenformel für ein Parallelogramm und der für ein Dreieck. - Der Umfang eines Parallelogramms berechnet sich ähnlich wie der eines Rechtecks. - Überlege, wie sich die Höhe eines Dreiecks verändern muss, wenn der Faktor \(\frac{1}{2}\) in der Formel steht, die Fläche aber gleich bleiben soll.

1. Berechnung von \(h_a\): \(A = a \cdot h_a \Rightarrow 40\,\text{cm}^2 = 8\,\text{cm} \cdot h_a \Rightarrow h_a = 5\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Umfangs: \(U = 2 \cdot (a + b) = 2 \cdot (8\,\text{cm} + 6\,\text{cm}) = 2 \cdot 14\,\text{cm} = 28\,\text{cm}\). 3. Höhe des Dreiecks bestimmen: Die Flächenformel des Dreiecks lautet \(A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h\). 4. Gleichsetzen mit dem Flächeninhalt des Parallelogramms: \(40\,\text{cm}^2 = \frac{1}{2} \cdot 8\,\text{cm} \cdot h\). 5. Auflösen nach \(h\): \(40 = 4h \Rightarrow h = 10\,\text{cm}\).

a) Die Höhe \(h_a\) beträgt \(5\,\text{cm}\). b) Der Umfang beträgt \(28\,\text{cm}\). c) Die Höhe des Dreiecks muss \(10\,\text{cm}\) betragen.

- Welche Besonderheit haben die Seiten an einem rechten Winkel bei der Flächenberechnung? - Jede Seite eines Dreiecks kann als Grundseite dienen, solange man die richtige Höhe verwendet. - Schau dir die Flächenformel an: Was passiert mit dem Ergebnis, wenn man einen der Faktoren verdoppelt?

1. Im rechtwinkligen Dreieck dient eine Kathete als Grundseite und die andere als Höhe: \(A = \frac{1}{2} \cdot 6\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 24\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung der Höhe \(h_c\): \(A = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c \Rightarrow 24\,\text{cm}^2 = \frac{1}{2} \cdot 10\,\text{cm} \cdot h_c\). 3. Auflösen nach \(h_c\): \(24 = 5h_c \Rightarrow h_c = 4{,}8\,\text{cm}\). 4. Verdopplung von \(a\): In der Formel \(A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\) ist der Flächeninhalt proportional zur Grundseite. Wenn \(a\) verdoppelt wird, verdoppelt sich auch das Produkt und damit der Flächeninhalt auf \(48\,\text{cm}^2\).

a) Der Flächeninhalt beträgt \(24\,\text{cm}^2\). b) Die Höhe \(h_c\) beträgt \(4{,}8\,\text{cm}\). c) Der Flächeninhalt verdoppelt sich (auf \(48\,\text{cm}^2\)), da die Grundseite in der Flächenformel verdoppelt wird und die Höhe gleich bleibt.

- Berechne im ersten Schritt die fehlende Höhe mit der bekannten Flächenformel für Dreiecke. - Überlege für die weiteren Teile, wie sich eine Halbierung oder Verdreifachung eines Faktors in einer Multiplikation auf das Gesamtergebnis auswirkt. - Du kannst die neuen Maße entweder direkt in die Formel einsetzen oder eine proportionale Schlussfolgerung ziehen.

1. Berechnung der ursprünglichen Höhe: \(A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h \implies 24 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot h \implies 24 = 4h \implies h = 6\,\text{cm}\). 2. Berechnung bei halber Grundseite: \(A = \frac{1}{2} \cdot 4\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 12\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung bei dreifacher Höhe: \(A = \frac{1}{2} \cdot 8\,\text{cm} \cdot 18\,\text{cm} = 72\,\text{cm}^2\).

a) \(6\,\text{cm}\) b) \(12\,\text{cm}^2\) c) \(72\,\text{cm}^2\)

- Berechne zuerst den Flächeninhalt, den beide Trapeze gemeinsam haben. - Was fällt dir auf, wenn du die „mittlere Breite“ (den Durchschnitt der parallelen Seiten) beider Trapeze vergleichst? - Wie beeinflussen sich Breite und Höhe bei gleichbleibender Fläche?

1. Berechnung des Flächeninhalts von Trapez 1: \(A = \frac{10 + 14}{2} \cdot 6 = 12 \cdot 6 = 72\,\text{cm}^2\) 2. Da die Flächen gleich sind, gilt für Trapez 2: \(72 = \frac{8 + 22}{2} \cdot h_2\) 3. Berechnung der Höhe \(h_2\): \(72 = 15h_2 \Rightarrow h_2 = \frac{72}{15} = 4{,}8\,\text{cm}\) 4. Vergleich der Seitensummen: Trapez 1 hat \(10 + 14 = 24\,\text{cm}\), Trapez 2 hat \(8 + 22 = 30\,\text{cm}\) 5. Begründung: Da die Summe der parallelen Seiten bei Trapez 2 größer ist, muss die Höhe kleiner sein, damit das Produkt (und somit der Flächeninhalt) gleich bleibt.

a) Die Höhe von Trapez 2 beträgt \(4{,}8\,\text{cm}\). b) Da die Summe der parallelen Seiten bei Trapez 2 (\(30\,\text{cm}\)) größer ist als bei Trapez 1 (\(24\,\text{cm}\)), muss die Höhe entsprechend kleiner ausfallen, um denselben Flächeninhalt zu erzielen.

- Überlege zuerst, welche Formel für den Flächeninhalt der jeweiligen Figur gilt. - Wenn zwei Figuren den gleichen Flächeninhalt haben, kannst du das Ergebnis aus dem ersten Schritt für die anderen Rechnungen verwenden. - Bei Teilaufgabe b) und c) musst du die Formel so umstellen oder rückwärts rechnen, dass du die gesuchte Größe findest.

1. Berechnung des Flächeninhalts des Parallelogramms: \(A = g \cdot h = 10\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 60\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung der Dreieckshöhe: Aus \(A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h\) folgt \(60\,\text{cm}^2 = \frac{1}{2} \cdot 12\,\text{cm} \cdot h\), also \(60 = 6h\), woraus \(h = 10\,\text{cm}\) resultiert. 3. Berechnung der Seitensumme des Trapezes: Aus \(A = \frac{a+c}{2} \cdot h\) folgt \(60\,\text{cm}^2 = \frac{a+c}{2} \cdot 5\,\text{cm}\). Multiplikation mit 2 ergibt \(120 = (a+c) \cdot 5\), Division durch 5 ergibt \(a+c = 24\,\text{cm}\).

a) Der Flächeninhalt beträgt \(60\,\text{cm}^2\). b) Die Höhe des Dreiecks muss \(10\,\text{cm}\) sein. c) Die Summe der Seiten \(a\) und \(c\) muss \(24\,\text{cm}\) betragen.

- Erinnere dich an die Trapezformel: Man nimmt den Durchschnitt der parallelen Seiten und multipliziert mit der Höhe. - Schau dir in der Formel an, was passiert, wenn du eine Zahl durch ihr Doppeltes ersetzt. - Überlege dir, wie ein Trapez aussieht, wenn die obere Seite immer kleiner wird, bis sie nur noch ein Punkt ist.

1. Flächeninhalt Trapez: \(A = \frac{a+c}{2} \cdot h = \frac{9 + 5}{2} \cdot 4 = 7 \cdot 4 = 28\,\text{cm}^2\). 2. Änderung bei Verdopplung der Höhe: Da die Höhe \(h\) ein linearer Faktor in der Flächenformel ist, verdoppelt sich der gesamte Flächeninhalt auf \(56\,\text{cm}^2\) (\(7 \cdot 8 = 56\)). 3. Grenzfall \(c=0\): Wenn eine der parallelen Seiten die Länge 0 hat, treffen sich die Schenkel in einem Punkt; es entsteht ein Dreieck. Der Flächeninhalt ist \(A = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 4 = 18\,\text{cm}^2\).

a) Der Flächeninhalt beträgt \(28\,\text{cm}^2\). b) Der Flächeninhalt verdoppelt sich (auf \(56\,\text{cm}^2\)), da die Höhe ein direkter Faktor in der Formel ist. c) Es entsteht ein Dreieck mit einem Flächeninhalt von \(18\,\text{cm}^2\).

- Welche Zahlen ergeben miteinander multipliziert 36? - Was passiert, wenn du eine Fläche genau in der Mitte teilst? - Überlege, wie die Flächenformeln für Rechteck und Parallelogramm aufgebaut sind. Unterscheiden sie sich grundsätzlich?

1. Mögliche Paare für \(g\) und \(h\): Da \(A = g \cdot h\), muss das Produkt 36 ergeben. Beispiele: \(g=6\,\text{cm}, h=6\,\text{cm}\) oder \(g=9\,\text{cm}, h=4\,\text{cm}\). 2. Dreiecksflächen: Eine Diagonale teilt jedes Parallelogramm in zwei kongruente (deckungsgleiche) Dreiecke. Daher ist der Flächeninhalt jedes Dreiecks genau halb so groß: \(36\,\text{cm}^2 : 2 = 18\,\text{cm}^2\). 3. Vergleich mit Rechteck: Für das Rechteck gilt \(A = a \cdot b\) (Länge mal Breite). Da das Rechteck ein spezielles Parallelogramm ist, entspricht die Breite der Höhe. Wenn Grundseite und Fläche gleich sind, muss auch die Höhe (bzw. Breite) identisch sein, da in beiden Fällen \(h = A : g\) gilt.

a) Mögliche Paare sind zum Beispiel \(g=6\,\text{cm}, h=6\,\text{cm}\) oder \(g=12\,\text{cm}, h=3\,\text{cm}\). b) Jedes Dreieck hat einen Flächeninhalt von \(18\,\text{cm}^2\), da die Diagonale das Parallelogramm in zwei gleich große Flächen teilt. c) Die Höhen der beiden Figuren müssen gleich groß sein.

- Welche Seite kannst du direkt mit dem Flächeninhalt und der gegebenen Höhe berechnen? - Erinnere dich an die Formel für den Umfang eines Parallelogramms. - Wenn du eine Seite kennst, wie viel bleibt dann vom Umfang für die anderen Seiten übrig?

1. Berechnung der Seite \(a\): Aus der Flächenformel \(A = a \cdot h_a\) folgt \(48 = a \cdot 6\). Division durch \(6\) ergibt \(a = 8\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Seite \(b\): Die Umfangsformel lautet \(U = 2a + 2b\). Einsetzen der Werte ergibt \(40 = 2 \cdot 8 + 2b\), also \(40 = 16 + 2b\). Subtraktion von \(16\) ergibt \(24 = 2b\). Division durch \(2\) ergibt \(b = 12\,\text{cm}\).

Die Seitenlängen sind \(a = 8\,\text{cm}\) und \(b = 12\,\text{cm}\).

- Überlege dir zuerst, für welche Grundseite du bereits die passende Höhe kennst. - Wie hängen Grundseite, Höhe und Flächeninhalt mathematisch zusammen? - Kann ein Dreieck zwei verschiedene Flächeninhalte haben?

1. Berechnung des Flächeninhalts mit \(a\) und \(h_a\): \(A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 14\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 35\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung der Höhe \(h_b\) unter Verwendung des Flächeninhalts: \(h_b = \frac{2 \cdot A}{b} = \frac{2 \cdot 35\,\text{cm}^2}{10\,\text{cm}} = \frac{70}{10}\,\text{cm} = 7\,\text{cm}\). 3. Der Flächeninhalt ist eine feste Eigenschaft der geometrischen Fläche innerhalb der drei Eckpunkte. Da sich die Form und Größe des Dreiecks nicht ändern, muss jede Kombination aus Grundseite und zugehöriger Höhe denselben Wert für den Flächeninhalt liefern.

a) \(A = 35\,\text{cm}^2\) b) \(h_b = 7\,\text{cm}\) c) Der Flächeninhalt beschreibt die Größe der überdeckten Fläche, die unabhängig von der Wahl der Grundseite konstant ist.

- Berechne zuerst beide Flächeninhalte getrennt voneinander. - Schau dir den Teil \(\frac{a+c}{2}\) in der Trapezformel genau an. Welchen Wert ergibt dieser hier? - Was passiert, wenn man in den Formeln \(g\) und \(\frac{a+c}{2}\) vergleicht?

1. Berechnung des Flächeninhalts des Parallelogramms: \(A_P = g \cdot h = 6\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 24\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Flächeninhalts des Trapezes: \(A_T = \frac{a + c}{2} \cdot h = \frac{8\,\text{cm} + 4\,\text{cm}}{2} \cdot 4\,\text{cm} = \frac{12\,\text{cm}}{2} \cdot 4\,\text{cm} = 6\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 24\,\text{cm}^2\). 3. Vergleich und Begründung: Beide Flächeninhalte sind gleich (\(24\,\text{cm}^2\)). Dies liegt daran, dass der Mittelwert der parallelen Seiten des Trapezes (\(\frac{a+c}{2} = 6\,\text{cm}\)) genau der Grundseite \(g\) des Parallelogramms entspricht. Da auch die Höhen identisch sind, müssen die Flächeninhalte gleich sein.

a) Beide Figuren haben einen Flächeninhalt von \(24\,\text{cm}^2\). b) Die Flächeninhalte sind gleich, weil der Mittelwert der parallelen Seiten des Trapezes (\(6\,\text{cm}\)) identisch mit der Grundseite des Parallelogramms ist und beide die gleiche Höhe haben.

- Welche Flächenformel für ein Trapez verwendet die beiden parallelen Seiten und die zugehörige Höhe? - Prüfe vor jeder Rechnung, ob die Längenangaben in derselben Einheit vorliegen. - Wenn der Mittelwert der parallelen Seiten und der Flächeninhalt bekannt sind, welche Größe bleibt in der Flächenformel noch unbekannt?

1. Für das erste Trapez gilt \(A = \frac{a+c}{2}\cdot h = \frac{12\,\text{cm}+18\,\text{cm}}{2}\cdot 5\,\text{cm} = 75\,\text{cm}^2\). 2. Für das zweite Trapez wird zuerst \(40\,\text{cm} = 4\,\text{dm}\) umgerechnet. Dann gilt \(A = 7\,\text{dm}\cdot 4\,\text{dm} = 28\,\text{dm}^2\). 3. Für das dritte Trapez gilt \(100\,\text{cm}^2 = 20\,\text{cm}\cdot h\). Daher ist \(h = 100\,\text{cm}^2 : 20\,\text{cm} = 5\,\text{cm}\).

a) \(A = 75\,\text{cm}^2\) b) \(A = 28\,\text{dm}^2\) c) \(h = 5\,\text{cm}\)

- Gehe Zeile für Zeile vor und prüfe, welche Größen bereits bekannt sind. - Welche Beziehung besteht zwischen den beiden parallelen Seiten und ihrem Mittelwert? - Wie kannst du aus Flächeninhalt und dem Mittelwert der parallelen Seiten die Höhe bestimmen?

1. Für Trapez 1 ist der Mittelwert der parallelen Seiten \(\frac{4{,}5+3{,}5}{2}\,\text{m} = 4\,\text{m}\). Damit gilt \(A = 4\,\text{m}\cdot 2\,\text{m} = 8\,\text{m}^2\). 2. Für Trapez 2 folgt aus \(\frac{8+c}{2}=10\) zunächst \(c = 12\,\text{cm}\). Aus \(50\,\text{cm}^2 = 10\,\text{cm}\cdot h\) folgt \(h = 5\,\text{cm}\). 3. Für Trapez 3 folgt aus \(\frac{a+12}{2}=15\) zunächst \(a = 18\,\text{mm}\). Dann gilt \(A = 15\,\text{mm}\cdot 10\,\text{mm} = 150\,\text{mm}^2\).

Trapez 1: Mittelwert \(= 4\,\text{m}\), \(A = 8\,\text{m}^2\) Trapez 2: \(c = 12\,\text{cm}\), \(h = 5\,\text{cm}\) Trapez 3: \(a = 18\,\text{mm}\), \(A = 150\,\text{mm}^2\)

- Berechne zuerst den Flächeninhalt der Figur, von der du alle Maße kennst. - Was bedeutet es für die Rechnung, wenn zwei Figuren „denselben Flächeninhalt“ haben? - Setze den berechneten Flächeninhalt in die Formel für die zweite Figur ein.

1. Berechnen des Flächeninhalts des Dreiecks: \(A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2}gh = \frac{1}{2} \cdot 10\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 40\,\text{cm}^2\). 2. Da die Flächeninhalte gleich sind, gilt für das Trapez: \(A_{\text{Trapez}} = 40\,\text{cm}^2\). 3. Aufstellen der Trapezformel mit den bekannten Werten: \(40\,\text{cm}^2 = \frac{6\,\text{cm} + c}{2} \cdot 5\,\text{cm}\). 4. Division durch die Höhe des Trapezes: \(40\,\text{cm}^2 : 5\,\text{cm} = 8\,\text{cm}\), also \(8\,\text{cm} = \frac{6\,\text{cm} + c}{2}\). 5. Multiplikation mit 2, um den Nenner zu entfernen: \(16\,\text{cm} = 6\,\text{cm} + c\). 6. Subtraktion der bekannten Seite: \(c = 16\,\text{cm} - 6\,\text{cm} = 10\,\text{cm}\).

Die andere parallele Seite des Trapezes ist \(10\,\text{cm}\) lang.

- Fange damit an, die fehlende Größe des Parallelogramms zu berechnen. - Wie hängen die Höhen der beiden Figuren zusammen? - Setze den bekannten Flächeninhalt und die neue Höhe in die Formel für das Trapez ein.

1. Berechnung der Höhe des Parallelogramms: \(h_p = \frac{A}{g} = \frac{40}{8} = 5\,\text{cm}\) 2. Bestimmung der Höhe des Trapezes: \(h_t = 2 \cdot 5 = 10\,\text{cm}\) 3. Nutzung der Trapezformel für den Flächeninhalt: \(A = \frac{a + c}{2} \cdot h_t\) 4. Einsetzen der Werte: \(40 = \frac{a + c}{2} \cdot 10\) 5. Vereinfachen: \(40 = (a + c) \cdot 5\) 6. Berechnung der Summe: \(a + c = \frac{40}{5} = 8\,\text{cm}\)

Die Summe der Längen der parallelen Seiten des Trapezes beträgt \(8\,\text{cm}\).

- Stelle zuerst eine Formel für den Flächeninhalt mit den ursprünglichen Zahlen auf. - Schreibe auf, wie die neuen Längen der Seiten und der Höhe aussehen. - Berechne den neuen Flächeninhalt und vergleiche ihn mit deinem ersten Ergebnis.

1. Berechnung des ursprünglichen Flächeninhalts in Abhängigkeit von \(h\): \(A_1 = \frac{12\,\text{cm} + 8\,\text{cm}}{2} \cdot h = 10\,\text{cm} \cdot h\) 2. Bestimmung der neuen Maße: \(a_{neu} = 6\,\text{cm}\), \(c_{neu} = 4\,\text{cm}\), \(h_{neu} = 2h\) 3. Berechnung des neuen Flächeninhalts: \(A_2 = \frac{6\,\text{cm} + 4\,\text{cm}}{2} \cdot (2h) = 5\,\text{cm} \cdot 2h = 10\,\text{cm} \cdot h\) 4. Vergleich der Ergebnisse: \(A_1 = A_2\). Der Flächeninhalt bleibt unverändert.

Der Flächeninhalt bleibt gleich. Rechnung: Ursprünglich \(A = \frac{12\,\text{cm} + 8\,\text{cm}}{2} \cdot h = 10\,\text{cm} \cdot h\); neu \(A = \frac{6\,\text{cm} + 4\,\text{cm}}{2} \cdot (2h) = 5\,\text{cm} \cdot 2h = 10\,\text{cm} \cdot h\).

- Welche beiden Seiten des Trapezes sind parallel, und welche Strecke ist ihre Höhe? - Welche Flächenformel passt zu einem Trapez? - Für den Umfang zählt nur der Rand. Welche vier Längen gehören dazu?

1. Die parallelen Seiten sind \(a=8\,\text{m}\) und \(c=5\,\text{m}\), die Höhe ist \(h=4\,\text{m}\). 2. Der Flächeninhalt ist \(A=\frac{1}{2}(a+c)h=\frac{1}{2}(8\,\text{m}+5\,\text{m})\cdot 4\,\text{m}=26\,\text{m}^2\). 3. Für den Umfang werden alle vier Außenkanten addiert: \(U=8\,\text{m}+5\,\text{m}+5\,\text{m}+4\,\text{m}=22\,\text{m}\).

a) \(26\,\text{m}^2\) b) \(22\,\text{m}\)

- Bestimme für beide Figuren jeweils die Länge der Grundseite und die dazugehörige Höhe. - Welche Formeln kennst du, um den Flächeninhalt von Parallelogrammen und Dreiecken zu berechnen? - Achte darauf, dass beim Dreieck noch ein Faktor \(\frac{1}{2}\) in der Formel steht.

1. Berechnung des Flächeninhalts des Parallelogramms (Figur a): Die Grundseite beträgt \(g = 3\) Einheiten und die zugehörige Höhe \(h = 2\) Einheiten. Mit der Formel \(A = gh\) ergibt sich \(A = 3 \cdot 2 = 6\) Flächeneinheiten. 2. Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks (Figur b): Die Grundseite beträgt \(g = 4\) Einheiten und die Höhe \(h = 3\) Einheiten. Mit der Formel \(A = \frac{1}{2}gh\) ergibt sich \(A = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6\) Flächeneinheiten. 3. Vergleich: Beide Figuren haben einen Flächeninhalt von \(6\) Flächeneinheiten.

Ja, beide Figuren haben den gleichen Flächeninhalt von \(6\) Flächeneinheiten.

- Nutze die Gitterlinien, um die Grundseite und die Höhe zu bestimmen. - Ein halbes Kästchen entspricht \(0{,}5\,\text{cm}^2\).

1. Die Grundseite \(g\) auf der unteren Gitterlinie misst \(5\,\text{cm}\). 2. Die zugehörige Höhe \(h\) beträgt \(3\,\text{cm}\). 3. Flächeninhalt \(A = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 = 7{,}5\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt beträgt \(7{,}5\,\text{cm}^2\).

- Erinnere dich an die Formel für den Flächeninhalt eines Quadrats. - Wie bestimmt man die Grundseite und die Höhe bei einem schrägen Parallelogramm? - Vergleiche die Anzahl der Kästchen, die jede Figur bedeckt.

1. Flächeninhalt Quadrat (1): Die Seitenlänge beträgt \(2\,\text{cm}\). Somit ist \(A = 2\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 4\,\text{cm}^2\). 2. Flächeninhalt Parallelogramm (2): Die Grundseite \(g\) ist \(2\,\text{cm}\) lang. Die zugehörige Höhe \(h\) beträgt ebenfalls \(2\,\text{cm}\). 3. Berechnung: \(A = gh = 2\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 4\,\text{cm}^2\). 4. Feststellung: Beide Figuren haben denselben Flächeninhalt.

Das Quadrat und das Parallelogramm haben beide einen Flächeninhalt von \(4\,\text{cm}^2\).

- Welche Seiten der Figur liegen parallel zueinander? - Wie groß ist der senkrechte Abstand zwischen diesen parallelen Seiten? - Kennst du eine Formel, mit der man den Flächeninhalt eines Trapezes direkt berechnen kann?

1. Identifikation der Maße: Die parallelen Seiten haben die Längen \(a = 5\) und \(c = 3\). Die Höhe beträgt \(h = 4\). 2. Anwendung der Flächenformel für Trapeze: \(A = \frac{a + c}{2} \cdot h\). 3. Einsetzen der Werte: \(A = \frac{5 + 3}{2} \cdot 4 = \frac{8}{2} \cdot 4 = 4 \cdot 4 = 16\). 4. Ergebnis: Der Flächeninhalt beträgt \(16\,\text{FE}\).

Der Flächeninhalt beträgt \(16\,\text{FE}\).

- Welche Verbindung zweier Eckpunkte teilt die Figur in zwei einfache Dreiecke? - Welche gemeinsame Grundseite haben die beiden Dreiecke auf dem Geobrett? - Bestimme für jedes Dreieck die senkrechte Höhe zur gemeinsamen Grundseite und addiere anschließend die beiden Teilflächen.

1. Die waagerechte Strecke durch die beiden seitlichen Eckpunkte teilt das Drachenviereck in zwei Dreiecke mit gemeinsamer Grundseite \(g=2\,\text{cm}\). 2. Beim oberen Dreieck beträgt die zugehörige Höhe \(3\,\text{cm}\). Damit ist \(A_1=\frac{1}{2}\cdot 2\,\text{cm}\cdot 3\,\text{cm}=3\,\text{cm}^2\). 3. Beim unteren Dreieck beträgt die zugehörige Höhe \(2\,\text{cm}\). Damit ist \(A_2=\frac{1}{2}\cdot 2\,\text{cm}\cdot 2\,\text{cm}=2\,\text{cm}^2\). 4. Insgesamt ist \(A=A_1+A_2=3\,\text{cm}^2+2\,\text{cm}^2=5\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt beträgt \(5\,\text{cm}^2\).

- Suche dir eine Seite aus, die genau auf den Gitterlinien liegt. Das ist deine Grundseite. - Wie weit ist die gegenüberliegende Seite senkrecht von dieser Grundseite entfernt? Das ist die Höhe. - Du kannst dir auch vorstellen, ein Dreieck an einer Seite abzuschneiden und an der anderen Seite dranzusetzen, um ein Rechteck zu erhalten.

1. Die untere waagerechte Seite erstreckt sich von \(x=0\) bis \(x=5\). Daher ist die Grundseite \(g = 5\,\text{LE}\) lang. 2. Der senkrechte Abstand zwischen der unteren und der oberen Seite beträgt \(h = 3\,\text{LE}\). 3. Mit \(A = gh\) ergibt sich \(A = 5 \cdot 3 = 15\,\text{FE}\).

Der Flächeninhalt des Parallelogramms beträgt \(15\) Flächeneinheiten.

- Wie kannst du das rechtwinklige Trapez in ein Rechteck und ein Dreieck zerlegen? - Welche Länge bleibt für die Grundseite des Dreiecks übrig, wenn du die beiden parallelen Seiten vergleichst? - Welche Höhe haben Rechteck und Dreieck gemeinsam?

1. Das Trapez lässt sich in ein Rechteck mit \(9\,\text{m}\times 6\,\text{m}\) und ein rechtwinkliges Dreieck zerlegen. 2. Beim Dreieck ist die Grundseite \(g=14\,\text{m}-9\,\text{m}=5\,\text{m}\), die zugehörige Höhe ist \(h_g=6\,\text{m}\). 3. Das Rechteck hat die Fläche \(9\,\text{m}\cdot 6\,\text{m}=54\,\text{m}^2\). 4. Das Dreieck hat die Fläche \(\frac{1}{2}\cdot 5\,\text{m}\cdot 6\,\text{m}=15\,\text{m}^2\). 5. Insgesamt ist \(A=54\,\text{m}^2+15\,\text{m}^2=69\,\text{m}^2\).

Der Flächeninhalt beträgt \(69\,\text{m}^2\).

- Auch wenn die Figur „auf der Seite liegt“, handelt es sich um ein Trapez. Identifiziere die beiden parallelen Seiten. - Die Höhe eines Trapezes ist immer der senkrechte Abstand zwischen den parallelen Seiten. - Du kannst die Figur auch im Kopf (oder das Blatt) drehen, um sie in einer gewohnteren Lage zu sehen.

1. Die Figur ist ein Trapez, dessen parallele Seiten \(KL\) und \(MN\) vertikal verlaufen. 2. Durch Abzählen erhält man \(|\overline{KL}|=6\) und \(|\overline{MN}|=2\). 3. Der senkrechte Abstand der parallelen Seiten beträgt 4 Kästchen, also \(h=4\). 4. Damit ist \(A=\frac{6+2}{2}\cdot4=16\). Der Flächeninhalt beträgt \(16\,\text{FE}\).

Die Figur hat einen Flächeninhalt von \(16\,\text{FE}\).

- Wie viele Kästchen lang ist die waagerechte Grundseite? - Welcher senkrechte Abstand gehört zu dieser Grundseite? - Welche Flächenformel gilt für ein Dreieck?

1. Die waagerechte Grundseite ist \(g = 3\,\text{cm}\) lang. 2. Der senkrechte Abstand der Spitze von der Geraden durch die Grundseite beträgt \(h = 3\,\text{cm}\). 3. Für ein Dreieck gilt \(A = \frac{1}{2}gh\). 4. Damit ist \(A = \frac{1}{2}\cdot 3\,\text{cm}\cdot 3\,\text{cm} = 4{,}5\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt \(4{,}5\,\text{cm}^2\).

- Wie verhält sich die Grundseite des Dreiecks zur entsprechenden Seite des Parallelogramms? - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Dreiecks und eines Parallelogramms?

1. Die Grundseite des Dreiecks \(ABM\) ist \(BM = \frac{1}{2} BC\). Die Höhe des Dreiecks entspricht der Höhe des Parallelogramms bezüglich der Seite \(BC\). 2. Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist \(A_{Para} = BC \cdot h\). 3. Der Flächeninhalt des Dreiecks ist \(A_{Dreieck} = \frac{1}{2} \cdot BM \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} BC \cdot h = \frac{1}{4} A_{Para}\). 4. \(A_{Para} = 4 \cdot 12\,\text{cm}^2 = 48\,\text{cm}^2\).

\(48\,\text{cm}^2\)

- Bestimme zuerst den Flächeninhalt der Raute. - Welche Fläche muss das Drachenviereck deshalb ebenfalls besitzen? - Nutze diese gemeinsame Fläche, um die fehlende Diagonale zu bestimmen.

1. Die Raute hat den Flächeninhalt \(A=\frac{10\,\text{cm}\cdot6\,\text{cm}}{2}=30\,\text{cm}^2\). 2. Für das Drachenviereck muss daher \(30\,\text{cm}^2=\frac{12\,\text{cm}\cdot f}{2}=6\,\text{cm}\cdot f\) gelten. 3. Somit ist \(f=5\,\text{cm}\).

Die zweite Diagonale des Drachenvierecks muss \(5\,\text{cm}\) lang sein.

- Welche Flächenformel kannst du mit Seitenlänge und zugehöriger Höhe direkt verwenden? - Derselbe Flächeninhalt muss auch zur Diagonalenformel passen. - Nutze den zuerst bestimmten Flächeninhalt, um die fehlende Diagonale zu berechnen.

1. Mit Grundseite und Höhe ergibt sich \(A=5\,\text{cm}\cdot4{,}8\,\text{cm}=24\,\text{cm}^2\). 2. Für die Diagonalen gilt ebenfalls \(24\,\text{cm}^2=\frac{8\,\text{cm}\cdot f}{2}=4\,\text{cm}\cdot f\). 3. Daher ist \(f=6\,\text{cm}\).

a) \(24\,\text{cm}^2\) b) \(f=6\,\text{cm}\)

- Achte zuerst darauf, dass alle Längenangaben in derselben Einheit (zum Beispiel Zentimeter) stehen. - Kannst du zuerst die Länge der unbekannten Seite berechnen, wenn du den Umfang und eine Seite kennst? - Welche der beiden Seiten ist die kürzere? - Benutze den Flächeninhalt und die Länge dieser kürzeren Seite, um die dazugehörige Höhe zu finden.

1. Einheiten angleichen: Der Umfang \(U = 1{,}4\,\text{m} = 140\,\text{cm}\). 2. Bestimmung der zweiten Seitenlänge: Aus \(U = 2 \cdot (a + b)\) folgt \(140 = 2 \cdot (45 + b)\). Division durch 2 ergibt \(70 = 45 + b\), also ist die zweite Seite \(b = 25\,\text{cm}\). 3. Identifikation der kürzeren Seite: Die Seiten sind \(45\,\text{cm}\) und \(25\,\text{cm}\). Die kürzere Seite ist somit \(b = 25\,\text{cm}\). 4. Berechnung der gesuchten Höhe \(h_b\): Da \(A = b \cdot h_b\), gilt \(900 = 25h_b\). 5. Ergebnis berechnen: \(h_b = 900 : 25 = 36\,\text{cm}\). Zusatzprüfung (optional): \(h_b \le a\) bedeutet \(36 \le 45\), was geometrisch möglich ist.

Die Höhe auf der kürzeren Seite beträgt \(36\,\text{cm}\).

- Berechne zuerst, wie hoch das Dreieck sein müsste, um den gewünschten Flächeninhalt zu erreichen. - Überlege dir, wie die Höhe in einem Dreieck im Verhältnis zu den an die Grundseite angrenzenden Seiten steht. - Kann eine an die Grundseite angrenzende Seite kürzer sein als die zugehörige Höhe? Skizziere dir ein Dreieck und die Höhe.

1. Berechnung der benötigten Höhe \(h_c\) zur Grundseite \(c\): Aus \(A = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c\) folgt \(20 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot h_c\). 2. Berechnungswert für \(h_c\): \(20 = 4h_c \implies h_c = 5\,\text{cm}\). 3. Vergleich der Höhe mit den Seitenlängen: Die Höhe \(h_c\) ist der senkrechte Abstand von \(C\) zur Geraden \(AB\). Daher ist sie höchstens so lang wie jede der beiden an die Grundseite \(c\) angrenzenden Seiten \(a\) und \(b\). 4. Schlussfolgerung: Damit das Dreieck existieren kann, müsste \(h_c \le a\) gelten. Da jedoch \(5\,\text{cm} > 4\,\text{cm}\) ist, kann die Seite \(a\) die erforderliche Höhe nicht erreichen. Das Dreieck ist nicht konstruierbar.

Die notwendige Höhe \(h_c\) für diesen Flächeninhalt beträgt \(5\,\text{cm}\). Da die an die Grundseite \(c\) angrenzende Seite \(a = 4\,\text{cm}\) kürzer als die Höhe \(h_c = 5\,\text{cm}\) ist, ist die Konstruktion unmöglich.

- Erinnere dich an die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes. - Kannst du zuerst herausfinden, wie groß die Summe der beiden parallelen Seiten sein muss? - Wenn du die Summe kennst und weißt, dass eine Seite um einen bestimmten Wert länger ist als die andere, wie kannst du die Längen aufteilen? - Versuche, eine der Seiten durch die andere auszudrücken.

1. Aufstellen der Flächenformel für das Trapez: \(A = \frac{a + c}{2} \cdot h\) 2. Einsetzen der bekannten Werte: \(60 = \frac{a + c}{2} \cdot 6\) 3. Vereinfachen der Gleichung: \(60 = (a + c) \cdot 3\) 4. Division durch 3 liefert die Summe der parallelen Seiten: \(a + c = 20\,\text{cm}\) 5. Einsetzen der Beziehung \(a = c + 4\) in die Summe: \((c + 4) + c = 20\) 6. Zusammenfassen und Lösen nach \(c\): \(2c + 4 = 20 \Rightarrow 2c = 16 \Rightarrow c = 8\,\text{cm}\) 7. Berechnen von \(a\): \(a = 8\,\text{cm} + 4\,\text{cm} = 12\,\text{cm}\)

Die Seite \(a\) ist \(12\,\text{cm}\) lang und die Seite \(c\) ist \(8\,\text{cm}\) lang.

- Man kann den Flächeninhalt eines Dreiecks auf verschiedene Arten berechnen, je nachdem, welche Seite und Höhe man nutzt. - Was weißt du über den Flächeninhalt, egal welche Grundseite du wählst? - Wie kannst du den Umfang nutzen, wenn du bereits zwei Seitenlängen kennst?

1. Berechnung des Flächeninhalts \(A\) mit der Seite \(c\) und der Höhe \(h_c\): \(A = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c = \frac{1}{2} \cdot 10\,\text{cm} \cdot 4{,}8\,\text{cm} = 24\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung der Seite \(a\) unter Verwendung des Flächeninhalts und der Höhe \(h_a\): \(24 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot 8 \Rightarrow 24 = 4a \Rightarrow a = 6\,\text{cm}\). 3. Berechnung der Seite \(b\) über den Umfang: \(b = U - a - c = 24\,\text{cm} - 6\,\text{cm} - 10\,\text{cm} = 8\,\text{cm}\).

Die Seite \(a\) ist \(6\,\text{cm}\) lang und die Seite \(b\) ist \(8\,\text{cm}\) lang.

- Berechne zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms. - Vergleiche die Formeln für das Parallelogramm (\(g \cdot h\)) und das Trapez (\(\frac{a+c}{2} \cdot h\)). - Welchen Wert muss der Ausdruck \(\frac{a+c}{2}\) haben, damit das gleiche Ergebnis herauskommt? - Gibt es nur eine einzige Lösung für \(a\) und \(c\)?

1. Flächeninhalt des Parallelogramms: \(A_P = g \cdot h = 10 \cdot 4 = 40\,\text{cm}^2\). 2. Flächeninhalt des Trapezes: \(A_T = \frac{a + c}{2} \cdot h\). Da \(A_T = A_P\) und \(h\) gleich sind, muss gelten: \(\frac{a + c}{2} = g = 10\). 3. Daraus folgt die Bedingung: \(a + c = 20\,\text{cm}\). 4. Mögliche Paare für \(a\) und \(c\) (wobei \(a\) und \(c\) positiv sein müssen): Paar 1: \(a = 12\,\text{cm}\), \(c = 8\,\text{cm}\). Paar 2: \(a = 15\,\text{cm}\), \(c = 5\,\text{cm}\). (Auch \(a = 10, c = 10\) wäre möglich, dann ist das Trapez ein Parallelogramm).

Die Bedingung ist \(a + c = 20\,\text{cm}\). Mögliche Paare sind zum Beispiel \(a = 12\,\text{cm}, c = 8\,\text{cm}\) und \(a = 15\,\text{cm}, c = 5\,\text{cm}\).

- Welche beiden Größen bestimmen den Flächeninhalt eines Dreiecks? - Wenn die Grundseite verdoppelt wird, der Flächeninhalt aber gleich bleiben soll: Wie muss sich der andere Faktor verändern? - Schreibe für c) die Flächenformel zunächst mit \(g\) und \(h_g\) und ersetze anschließend beide Größen durch das Doppelte.

1. Für das Dreieck gilt \(A=\frac{1}{2}gh_g\). 2. Damit ist \(A=\frac{1}{2}\cdot 10\,\text{cm}\cdot 6\,\text{cm}=30\,\text{cm}^2\). 3. Für die verdoppelte Grundseite gilt bei gleichem Flächeninhalt \(30\,\text{cm}^2=\frac{1}{2}\cdot 20\,\text{cm}\cdot h_g\). Daher ist \(h_g=3\,\text{cm}\); die Höhe muss halbiert werden. 4. Beim Parallelogramm gilt ursprünglich \(A=gh_g\). Nach dem Verdoppeln beider Faktoren ist \(A_{\text{neu}}=(2g)(2h_g)=4gh_g=4A\). Die Aussage ist richtig.

a) \(30\,\text{cm}^2\) b) Die zugehörige Höhe muss auf \(3\,\text{cm}\) halbiert werden. c) Die Aussage ist richtig: Durch das Verdoppeln von Grundseite und zugehöriger Höhe vervierfacht sich der Flächeninhalt.

- Kannst du die Formel schrittweise rückwärts rechnen, um \(c\) zu isolieren? - Überlege dir für Teil b, wie sich ein Produkt verhält, wenn man einen Faktor verdoppelt. - Nutze für Teil c die in Teil a gefundene Länge für \(c\). - Was ist der „Durchschnitt“ der beiden parallelen Seiten? Dieser Wert hilft dir bei der Berechnung der Höhe.

1. Teil a: Einsetzen in \(A = \frac{a+c}{2} \cdot h \implies 25 = \frac{4+c}{2} \cdot 5\) 2. Division durch 5: \(5 = \frac{4+c}{2}\). Multiplikation mit 2: \(10 = 4+c\). Ergebnis: \(c = 6\,\text{cm}\) 3. Teil b: Da die Höhe ein linearer Faktor in der Formel \(A = \frac{a+c}{2} \cdot h\) ist, führt eine Verdopplung der Höhe bei konstanten Grundseiten zu einer Verdopplung des Flächeninhalts (\(50\,\text{cm}^2\)). 4. Teil c: Einsetzen der neuen Fläche \(A = 60\) und der bekannten Seiten \(a=4, c=6\): \(60 = \frac{4+6}{2} \cdot h\) 5. Berechnung des Mittelwerts: \(\frac{10}{2} = 5\). Gleichung: \(60 = 5h\) 6. Ergebnis: \(h = 12\,\text{cm}\)

a) Die Seite \(c\) ist \(6\,\text{cm}\) lang. b) Der Flächeninhalt würde sich ebenfalls verdoppeln (auf \(50\,\text{cm}^2\)), da die Höhe proportional zum Flächeninhalt ist. c) Die neue Höhe müsste \(h = 12\,\text{cm}\) betragen.

- Wie lautet die Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms? - Überlege dir, was passiert, wenn du einen Faktor in einem Produkt veränderst. - Wenn das Ergebnis (der Flächeninhalt) gleich bleiben soll, muss eine Vergrößerung der einen Seite durch eine Verkleinerung der anderen Seite ausgeglichen werden. - Kannst du die Aufgabe mit einfachen Beispielzahlen (z. B. \(g = 4\) und \(h = 2\)) durchrechnen?

1. Der Flächeninhalt eines Parallelogramms berechnet sich durch \(A = g \cdot h\). 2. Für Teil a): Die neue Grundseite ist \(2g\). Der neue Flächeninhalt ist \(A_{neu} = (2g) \cdot h = 2(g \cdot h) = 2A\). Der Flächeninhalt verdoppelt sich. 3. Für Teil b): Es gilt \(g_{neu} = 3g\) und \(A_{neu} = A\). Aus \(A = (3g) \cdot h_{neu}\) folgt \(h_{neu} = \frac{A}{3g} = \frac{g \cdot h}{3g} = \frac{1}{3}h\). Die Höhe muss gedrittelt werden. 4. Für Teil c): Es gilt \(h_{neu} = \frac{1}{4}h\) und \(A_{neu} = 2A\). Aus \(2A = g_{neu} \cdot \frac{1}{4}h\) folgt durch Einsetzen von \(A = g \cdot h\): \(2gh = g_{neu} \cdot \frac{1}{4}h\). Auflösen nach \(g_{neu}\) ergibt \(g_{neu} = 8g\). Die Grundseite muss verachtfacht werden.

a) Der Flächeninhalt verdoppelt sich. b) Die Höhe muss gedrittelt werden (durch 3 teilen). c) Die Grundseite muss verachtfacht werden (mit 8 multiplizieren).

- Was passiert mit einem Produkt, wenn man einen Faktor durch 2 teilt und den anderen mit 2 multipliziert? - Berechne zuerst den neuen Ziel-Flächeninhalt und die neue Grundseite einzeln. - Stelle eine kleine Gleichung auf, um die unbekannte Höhe zu finden.

1. Ursprünglicher Flächeninhalt: \(A = \frac{1}{2} \cdot 12\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 24\,\text{cm}^2\). 2. Überprüfung der Aussage: Neue Grundseite \(c' = 6\,\text{cm}\), neue Höhe \(h' = 8\,\text{cm}\). Neuer Flächeninhalt \(A' = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24\,\text{cm}^2\). Die Aussage ist wahr. 3. Berechnung für Teil c): Neue Grundseite \(c'' = \frac{12}{3} = 4\,\text{cm}\). Ziel-Flächeninhalt \(A'' = 2 \cdot 24 = 48\,\text{cm}^2\). Einsetzen in die Formel: \(48 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot h'' \Rightarrow 48 = 2h'' \Rightarrow h'' = 24\,\text{cm}\).

a) Der Flächeninhalt beträgt \(24\,\text{cm}^2\). b) Die Aussage ist wahr, da \(\frac{1}{2} \cdot 6\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 24\,\text{cm}^2\) gilt. c) Die neue Höhe muss \(24\,\text{cm}\) betragen.