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- Überlege dir, was passiert, wenn du eine Pizza in mehr oder in weniger Stücke teilst. Werden die Stücke dann größer oder kleiner? - Der Nenner gibt an, in wie viele Teile das Ganze geteilt wurde. - Wenn du von zwei verschiedenen Pizzen jeweils genau ein Stück nimmst, welches ist dann größer?

1. Bestimmung der Brüche: Kreis A ist in 3 gleich große Teile unterteilt, von denen eines gefärbt ist (\(\frac{1}{3}\)). Kreis B ist in 5 gleich große Teile unterteilt, von denen ebenfalls eines gefärbt ist (\(\frac{1}{5}\)). 2. Visueller Vergleich: In Kreis A ist das gefärbte Stück breiter als in Kreis B, da das Ganze in weniger Teile zerlegt wurde. 3. Rechnerischer Vergleich: Da die Zähler beider Brüche gleich sind, ist der Bruch mit dem kleineren Nenner der größere (\(3 < 5 \implies \frac{1}{3} > \frac{1}{5}\)). 4. Endergebnis: \(\frac{1}{3} > \frac{1}{5}\).

\(\frac{1}{3} > \frac{1}{5}\)

- In welcher Abbildung ist weniger Fläche farbig markiert? - Wenn du die gleiche Menge (2 Teile) nimmst, sind diese kleiner, wenn das Ganze in mehr Teile (8 statt 5) geteilt wurde.

1. Identifiziere die Zähler: Beide sind 2. 2. Identifiziere die Nenner: 5 und 8. 3. Je größer der Nenner bei gleichem Zähler, desto kleiner ist der Wert des Bruchs. 4. \(\frac{2}{8} < \frac{2}{5}\).

\(\frac{2}{8}\) (Abbildung B) ist der kleinere Bruch.

- Bei verschiedenen Nennern kannst du zwei Brüche durch Erweitern auf einen gemeinsamen Nenner vergleichbar machen. - Es reicht, einen aussichtsreichen Bruch nacheinander mit den anderen zu vergleichen. - Achte nach dem Erweitern darauf, welcher Zähler beim gleichen Nenner größer ist.

1. Vergleiche \(\frac{2}{3}\) mit \(\frac{3}{5}\): \(\frac{2}{3} = \frac{10}{15}\) und \(\frac{3}{5} = \frac{9}{15}\). Also ist \(\frac{2}{3} > \frac{3}{5}\). 2. Vergleiche \(\frac{2}{3}\) mit \(\frac{4}{7}\): \(\frac{2}{3} = \frac{14}{21}\) und \(\frac{4}{7} = \frac{12}{21}\). Also ist \(\frac{2}{3} > \frac{4}{7}\). 3. Vergleiche \(\frac{2}{3}\) mit \(\frac{5}{8}\): \(\frac{2}{3} = \frac{16}{24}\) und \(\frac{5}{8} = \frac{15}{24}\). Also ist \(\frac{2}{3} > \frac{5}{8}\). 4. Damit ist \(\frac{2}{3}\) der größte der vier Brüche.

a) \(\frac{2}{3}\)

- Wie stellt man einen Anteil mathematisch dar? - Kürze beide Brüche so weit wie möglich, um sie besser vergleichen zu können. - Wenn die Zähler gleich sind, wie kannst du dann am Nenner erkennen, welcher Bruch den größeren Anteil beschreibt?

1. Anteil für Klasse 6a als Bruch: \(\frac{12}{16}\). Kürzen mit \(\operatorname{ggT}(12, 16) = 4\) ergibt \(\frac{3}{4}\). 2. Anteil für Klasse 6b als Bruch: \(\frac{15}{25}\). Kürzen mit \(\operatorname{ggT}(15, 25) = 5\) ergibt \(\frac{3}{5}\). 3. Vergleich der Brüche \(\frac{3}{4}\) und \(\frac{3}{5}\): Da beide Zähler gleich sind, ist der Bruch mit dem kleineren Nenner größer. 4. Ergebnis: \(\frac{3}{4} > \frac{3}{5}\). In Klasse 6a ist der Anteil größer.

In Klasse 6a ist der Anteil mit \(\frac{3}{4}\) größer als in Klasse 6b mit \(\frac{3}{5}\).

- Kannst du eine Zahl finden, die durch alle drei Nenner teilbar ist? - Was musst du tun, um Brüche mit verschiedenen Nennern direkt vergleichen zu können? - Wie verändern sich die Zähler, wenn du die Nenner angleichst?

1. Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Nenners für 3, 5 und 10: \(\text{kgV}(3, 5, 10) = 30\) 2. Erweiterung der Brüche auf den Nenner 30: Klasse 6a: \(\frac{2 \cdot 10}{3 \cdot 10} = \frac{20}{30}\) Klasse 6b: \(\frac{3 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{18}{30}\) Klasse 6c: \(\frac{7 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{21}{30}\) 3. Vergleich der Zähler: \(18 < 20 < 21\) 4. Zuordnung der Klassen: Klasse 6b (\(\frac{18}{30}\)) < Klasse 6a (\(\frac{20}{30}\)) < Klasse 6c (\(\frac{21}{30}\))

Klasse 6c hat den größten Anteil gefüllt. Die Reihenfolge lautet: Klasse 6b (\(\frac{3}{5}\)) < Klasse 6a (\(\frac{2}{3}\)) < Klasse 6c (\(\frac{7}{10}\)).

- Überlege dir, wie groß der Zähler sein müsste, damit der Bruch genau den Wert \(\frac{1}{2}\) hat. - Ist der erste Bruch größer oder kleiner als \(\frac{1}{2}\)? - Wie sieht es beim zweiten Bruch aus? - Kannst du daraus schließen, welcher Bruch insgesamt größer ist, ohne die Nenner gleichzumachen?

1. Vergleich von \(\frac{15}{32}\) mit \(\frac{1}{2}\): Die Hälfte von 32 ist 16. Da \(15 < 16\), ist \(\frac{15}{32} < \frac{1}{2}\). 2. Vergleich von \(\frac{17}{30}\) mit \(\frac{1}{2}\): Die Hälfte von 30 ist 15. Da \(17 > 15\), ist \(\frac{17}{30} > \frac{1}{2}\). 3. Schlussfolgerung: Da ein Wert kleiner als \(\frac{1}{2}\) und der andere größer als \(\frac{1}{2}\) ist, gilt \(\frac{17}{30} > \frac{15}{32}\).

\(\frac{17}{30}\) ist größer als \(\frac{15}{32}\), da \(\frac{15}{32} < \frac{1}{2}\) und \(\frac{17}{30} > \frac{1}{2}\) ist.

- Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Nenner? - Mit welcher Zahl musst du den Zähler und den Nenner multiplizieren, um auf diesen neuen Nenner zu kommen? - Wie hilft dir ein gleicher Nenner dabei, die Größe der Brüche zu vergleichen?

1. Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) der Nenner 8 und 12: \(24\) 2. Berechnung des Erweiterungsfaktors für den ersten Bruch: \(24 : 8 = 3\) 3. Erweitern von \(\frac{5}{8}\) mit 3: \(\frac{15}{24}\) 4. Berechnung des Erweiterungsfaktors für den zweiten Bruch: \(24 : 12 = 2\) 5. Erweitern von \(\frac{7}{12}\) mit 2: \(\frac{14}{24}\) 6. Vergleich der erweiterten Brüche: Da \(15 > 14\), gilt \(\frac{15}{24} > \frac{14}{24}\) 7. Ergebnis: \(\frac{5}{8}\) ist der größere Bruch

Die erweiterten Brüche sind \(\frac{15}{24}\) und \(\frac{14}{24}\). Der Bruch \(\frac{5}{8}\) ist größer.

- Kannst du beide Größen in dieselbe Einheit umwandeln, bevor du den Anteil bestimmst? - Wie schreibst du einen Anteil als Bruch? - Wie vergleichst du zwei Brüche miteinander? Hilft es, sie auf denselben Nenner zu bringen?

1. Umrechnung der Einheiten für Anteil a: \(1{,}5\,\text{kg} = 1500\,\text{g}\) 2. Berechnung des Anteils a: \(\frac{450}{1500} = \frac{45}{150} = \frac{3}{10}\) 3. Umrechnung der Einheiten für Anteil b: \(0{,}5\,\text{h} = 30\,\text{min}\) 4. Berechnung des Anteils b: \(\frac{12}{30} = \frac{2}{5} = \frac{4}{10}\) 5. Vergleich der Brüche: \(\frac{4}{10} > \frac{3}{10}\)

Der Anteil in b), \(12\,\text{min}\) von \(0{,}5\,\text{h}\), ist größer.

- Was passiert mit dem Zähler, wenn du den Nenner vergrößerst? - Wie viele ganze Zahlen liegen zwischen den Zählern der erweiterten Brüche? - Versuche, beide Brüche mit einer Zahl wie 2, 4 oder 10 zu erweitern.

1. Um Brüche zwischen \(\frac{3}{7}\) und \(\frac{4}{7}\) zu finden, müssen diese auf einen größeren gemeinsamen Nenner erweitert werden. 2. Erweiterung mit der Zahl 4 ergibt: \(\frac{3 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{12}{28}\) und \(\frac{4 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{16}{28}\). 3. Zwischen den Zählern 12 und 16 liegen die ganzen Zahlen 13, 14 und 15. 4. Drei mögliche Brüche im gesuchten Bereich sind \(\frac{13}{28}\), \(\frac{14}{28}\) (gekürzt \(\frac{1}{2}\)) und \(\frac{15}{28}\).

Zum Beispiel \(\frac{13}{28}\), \(\frac{14}{28}\) (oder \(\frac{1}{2}\)) und \(\frac{15}{28}\).

- Schreibe für beide Personen die Treffer als Anteil aller Würfe auf. - Bringe die beiden Brüche auf einen gemeinsamen Nenner. - Vergleiche bei gleichem Nenner die Zähler.

1. Lukas' Trefferanteil ist \(\frac{12}{20} = \frac{3}{5}\). 2. Sarahs Trefferanteil ist \(\frac{18}{25}\). 3. Erweitere \(\frac{3}{5}\) auf den Nenner \(25\): \(\frac{3}{5} = \frac{15}{25}\). 4. Weil \(18 > 15\), gilt \(\frac{18}{25} > \frac{15}{25}\). Sarah hat den größeren Trefferanteil.

Sarah hat den größeren Trefferanteil, denn \(\frac{18}{25} > \frac{12}{20} = \frac{15}{25}\).

- Wie viel fehlt jedem Kind jeweils bis zu einer ganzen Pizza? - Welcher dieser „Rest-Brüche“ ist der kleinste? - Was bedeutet es für die gegessene Menge, wenn der Rest besonders klein ist?

1. Berechnung des Rests (Ergänzung zu 1): Anton lässt \(1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}\) übrig. Berta lässt \(1 - \frac{7}{8} = \frac{1}{8}\) übrig. Claus lässt \(1 - \frac{11}{12} = \frac{1}{12}\) übrig. 2. Vergleich der Reststücke: \(\frac{1}{6}\), \(\frac{1}{8}\) und \(\frac{1}{12}\) sind Stammbrüche. 3. Je größer der Nenner eines Stammbruchs, desto kleiner ist der Wert des Bruchstücks. 4. Da \(12 > 8 > 6\), gilt \(\frac{1}{12} < \frac{1}{8} < \frac{1}{6}\). 5. Claus lässt mit \(\frac{1}{12}\) das kleinste Stück übrig.

Claus lässt das kleinste Stück übrig. Da \(\frac{1}{12}\) kleiner ist als \(\frac{1}{8}\) und \(\frac{1}{6}\), ist er am nächsten an einer ganzen Pizza.

- Überlege dir, ob es einfacher ist, alle Zahlen als Brüche oder als Dezimalzahlen zu vergleichen. - Erweitere Brüche so, dass sie eine Zehnerpotenz (10, 100 oder 1000) im Nenner haben, um sie leichter umzuwandeln. - Achte beim Vergleichen von Dezimalzahlen genau auf die Stellen nach dem Komma (Zehntel, Hundertstel, Tausendstel).

1. Umwandlung aller Zahlen in Dezimalzahlen: - \(\frac{2}{5} = 0{,}4\) - \(\frac{11}{25} = \frac{44}{100} = 0{,}44\) 2. Vergleich der Dezimalzahlen: - \(0{,}4 < 0{,}405 < 0{,}44 < 0{,}45\) 3. Rückführung auf die ursprünglichen Zahlen: - \(\frac{2}{5} < 0{,}405 < \frac{11}{25} < 0{,}45\)

Umwandlungen: \(\frac{2}{5}=0{,}4\), \(\frac{11}{25}=0{,}44\). Reihenfolge: \(\frac{2}{5}<0{,}405<\frac{11}{25}<0{,}45\).

- Es hilft oft, Brüche in Dezimalzahlen umzuwandeln, um sie besser vergleichen zu können. - Denke bei periodischen Dezimalzahlen wie \(\frac{1}{3}\) daran, dass sie unendlich viele Nachkommastellen haben. - Du kannst Brüche auch auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Dieser gemeinsame Nenner muss nicht immer eine Zehnerpotenz sein.

1. Umwandlung von \(\frac{3}{4}\) in \(0{,}75\). Vergleich: \(0{,}75 > 0{,}7\). 2. Umwandlung von \(\frac{1}{8}\) in \(0{,}125\). Vergleich: \(0{,}12 < 0{,}125\). 3. Umwandlung von \(2 \frac{1}{2}\) in \(2{,}5\). Vergleich: \(2{,}5 = 2{,}50\). 4. Umwandlung von \(\frac{1}{3}\) in \(0{,}333\dots\). Vergleich: \(0{,}33 < 0{,}333\dots\). 5. Umwandlung von \(\frac{9}{20}\) in \(\frac{45}{100} = 0{,}45\). Vergleich: \(0{,}45 = 0{,}45\).

a) \(\frac{3}{4}=0{,}75\); daher \(\frac{3}{4}>0{,}7\). b) \(\frac{1}{8}=0{,}125\); daher \(0{,}12<\frac{1}{8}\). c) \(2\frac{1}{2}=2{,}5\); daher \(2\frac{1}{2}=2{,}50\). d) \(\frac{1}{3}=0{,}\overline{3}\); daher \(0{,}33<\frac{1}{3}\). e) \(\frac{9}{20}=0{,}45\); daher \(\frac{9}{20}=0{,}45\).

- Zähle zuerst bei jeder Figur, in wie viele gleich große Teile sie insgesamt unterteilt ist. Das ist dein Nenner. - Zähle dann, wie viele dieser Teile gefärbt sind. Das ist dein Zähler. - Kannst du die Brüche durch Kürzen vereinfachen? - Um zwei Brüche zu vergleichen, ist es hilfreich, sie auf denselben Nenner (Hauptnenner) zu bringen. Welchen gemeinsamen Nenner haben 5 und 10?

1. Bestimmung der Brüche: - In Figur A sind \(9\) von \(15\) Kästchen gefärbt. Gekürzter Bruch: \(\frac{9}{15} = \frac{3}{5}\). - In Figur B sind \(7\) von \(10\) Kreissektoren gefärbt. Gekürzter Bruch: \(\frac{7}{10}\). 2. Vergleich der Brüche durch Erweitern auf den Hauptnenner \(10\): - Figur A: \(\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{6}{10}\). - Da \(\frac{6}{10} < \frac{7}{10}\), gilt \(\frac{3}{5} < \frac{7}{10}\). 3. Ergebnis: In Figur B ist ein größerer Anteil gefärbt.

a) Figur A: \(\frac{3}{5}\), Figur B: \(\frac{7}{10}\) b) In Figur B ist ein größerer Anteil gefärbt, da \(\frac{3}{5} = \frac{6}{10}\) und \(\frac{6}{10} < \frac{7}{10}\) gilt.

- Zähle zuerst, in wie viele gleich große Teile jeder der beiden Kreise unterteilt ist. Das ist der Nenner deines Bruches. - Zähle dann die gefärbten Teile für jede Figur. Das ist der Zähler deines Bruches. - Denke daran, Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler zu teilen, um die Brüche vollständig zu kürzen. - Um zwei Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu vergleichen, kannst du sie auf einen gemeinsamen Nenner (Hauptnenner) bringen.

1. Bestimmung des Anteils in Figur A: Der Kreis ist in 6 gleich große Sektoren unterteilt, von denen 4 gefärbt sind. Das entspricht dem Bruch \(\frac{4}{6}\). Durch Kürzen mit 2 erhalten wir \(\frac{2}{3}\). 2. Bestimmung des Anteils in Figur B: Der Kreis ist in 8 gleich große Sektoren unterteilt, von denen 6 gefärbt sind. Das entspricht dem Bruch \(\frac{6}{8}\). Durch Kürzen mit 2 erhalten wir \(\frac{3}{4}\). 3. Vergleich der beiden Brüche: Um die Brüche \(\frac{2}{3}\) und \(\frac{3}{4}\) zu vergleichen, bringen wir sie auf den gemeinsamen Nenner 12: \(\frac{2}{3} = \frac{8}{12}\) \(\frac{3}{4} = \frac{9}{12}\) Da \(\frac{8}{12} < \frac{9}{12}\) ist, gilt \(\frac{2}{3} < \frac{3}{4}\). Der Anteil in Figur B ist somit größer als in Figur A. Das gesuchte Vergleichszeichen ist \(<\).

a) Figur A: \(\frac{2}{3}\); Figur B: \(\frac{3}{4}\) b) \(<\)

- Bestimme in jeder Abbildung zuerst den gefärbten Anteil als Bruch des jeweiligen Ganzen. - Kürze jeden Bruch, bevor du die drei Werte vergleichst. - Wähle anschließend einen Nenner, zu dem sich alle drei Brüche erweitern lassen.

1. Abbildung a) zeigt \(3\) von \(8\) Teilen, also \(\frac{3}{8}\). 2. Abbildung b) zeigt \(5\) von \(12\) Teilen, also \(\frac{5}{12}\). 3. Abbildung c) zeigt \(2\) von \(6\) Teilen, also \(\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\). 4. Ein gemeinsamer Nenner ist \(24\): \(\frac{1}{3}=\frac{8}{24}\), \(\frac{3}{8}=\frac{9}{24}\), \(\frac{5}{12}=\frac{10}{24}\). 5. Daher gilt \(\frac{1}{3}<\frac{3}{8}<\frac{5}{12}\).

a) Abbildung a): \(\frac{3}{8}\), Abbildung b): \(\frac{5}{12}\), Abbildung c): \(\frac{1}{3}\) b) \(\frac{1}{3}<\frac{3}{8}<\frac{5}{12}\)

- Bestimme für jede Abbildung zuerst, wie viele gleich große Teile das Ganze hat und wie viele davon markiert sind. - Alle drei entstehenden Brüche haben denselben Zähler. - Überlege, wie sich bei Stammbrüchen die Größe eines einzelnen Teils verändert, wenn der Nenner größer wird.

1. Abbildung a) zeigt \(1\) von \(4\) gleichen Teilen, also \(\frac{1}{4}\). 2. Abbildung b) zeigt \(1\) von \(3\) gleichen Teilen, also \(\frac{1}{3}\). 3. Abbildung c) zeigt \(1\) von \(6\) gleichen Teilen, also \(\frac{1}{6}\). 4. Bei Stammbrüchen ist der Bruch mit dem größeren Nenner kleiner. Daher gilt \(\frac{1}{6}<\frac{1}{4}<\frac{1}{3}\).

a) Abbildung a): \(\frac{1}{4}\), Abbildung b): \(\frac{1}{3}\), Abbildung c): \(\frac{1}{6}\) b) \(\frac{1}{6}<\frac{1}{4}<\frac{1}{3}\)

- Lies aus jeder Abbildung den markierten Anteil als Bruch ab. - Überlege, wie du zwei Brüche mit unterschiedlichen Nennern direkt vergleichbar machen kannst. - Vergleiche nach dem Erweitern die Zähler bei gleichem Nenner.

1. In Abbildung A sind \(3\) von \(5\) Teilen markiert, also \(\frac{3}{5}\). 2. In Abbildung B sind \(2\) von \(4\) Teilen markiert, also \(\frac{2}{4} = \frac{1}{2}\). 3. Mit dem gemeinsamen Nenner \(20\) gilt \(\frac{3}{5} = \frac{12}{20}\) und \(\frac{2}{4} = \frac{10}{20}\). 4. Weil \(12 > 10\), ist der verbliebene Anteil in Abbildung A größer.

In Abbildung A ist der Anteil größer, denn \(\frac{3}{5} > \frac{2}{4}\).

- Vergleiche zuerst nur die Zähler der beiden Brüche. - Überlege dann, wie sich die Größe eines Einzelteils verändert, wenn dasselbe Ganze in mehr gleich große Teile zerlegt wird. - Formuliere die passende Vergleichsregel, bevor du das Zeichen einsetzt.

1. Beide Brüche haben den gleichen Zähler \(2\). 2. Bei gleichem Zähler ist der Bruch mit dem kleineren Nenner größer, weil das Ganze in weniger und damit größere gleich große Teile geteilt wird. 3. Daher gilt \(\frac{2}{3}>\frac{2}{6}\). 4. Lukas hat mehr Kuchen gegessen.

\(\frac{2}{3}>\frac{2}{6}\). Lukas hat mehr Kuchen gegessen.

- Lies für jede Abbildung zuerst markierte Teile und Gesamtzahl der gleich großen Teile ab. - Schreibe beide dargestellten Anteile zunächst als Brüche, bevor du sie vergleichst. - Für den Vergleich ist die Form vor dem Kürzen besonders hilfreich: Achte darauf, was bei beiden Brüchen gleich ist.

1. In Abbildung A sind \(4\) von \(6\) Kästchen markiert. Daher ist der dargestellte Bruch \(\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\). 2. In Abbildung B sind \(4\) von \(12\) Kästchen markiert. Daher ist der dargestellte Bruch \(\frac{4}{12}=\frac{1}{3}\). 3. Vor dem Kürzen haben beide Brüche den Zähler \(4\). Bei gleichem Zähler ist der Bruch mit dem kleineren Nenner größer. 4. Daher gilt \(\frac{4}{6}>\frac{4}{12}\), also \(\frac{2}{3}>\frac{1}{3}\).

A: \(\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\) B: \(\frac{4}{12}=\frac{1}{3}\) Vergleich: \(\frac{4}{6}>\frac{4}{12}\)

- Wenn der Zähler gleich bleibt, wie verändert sich der Wert des Bruchs, wenn der Nenner größer wird? - Stell dir vor, du teilst 3 Liter Saft auf 4 oder auf 10 Flaschen auf.

1. Beide Brüche haben den Zähler 3. 2. Der Bruch \(\frac{3}{4}\) bedeutet, dass 3 von 4 gleich großen Teilen genommen werden. 3. Der Bruch \(\frac{3}{10}\) bedeutet, dass 3 von 10 gleich großen Teilen genommen werden. 4. Da Viertel deutlich größer als Zehntel sind, ist \(\frac{3}{4} > \frac{3}{10}\).

\(\frac{3}{4}\) ist der größere Bruch.

- Lies aus beiden Gruppenbildern jeweils den ausgewählten Teil und die Gesamtzahl ab. - Vergleiche die beiden entstehenden Brüche und achte darauf, was gleich ist. - Begründe die Richtung des Vergleichs mit der Größe der gleich großen Teile.

1. Aus der Abbildung liest man für T \(3\) ausgewählte von \(12\) Kindern ab, also \(\frac{3}{12}\). 2. Für K sind \(3\) von \(6\) Kindern ausgewählt, also \(\frac{3}{6}\). 3. Bei gleichem Zähler ist der Bruch mit dem größeren Nenner kleiner. Daher gilt \(\frac{3}{12}<\frac{3}{6}\). 4. Der ausgewählte Anteil ist in der Theater-AG kleiner.

In der Theater-AG ist der Anteil kleiner: \(\frac{3}{12}<\frac{3}{6}\).

- Ist es einfacher, Brüche mit verschiedenen Nennern zu vergleichen oder alles in Prozente umzurechnen? - Was ergibt \(3 : 8\)? - Wie viel Prozent sind ein Fünftel? - Gibt es Werte, die vielleicht genau gleich groß sind?

1. Umwandlung aller Werte in Prozent: - \(\frac{3}{8} = 0{,}375 = 37{,}5\,\%\) - \(35\,\%\) bleibt \(35\,\%\) - \(0{,}4 = 40\,\%\) - \(\frac{2}{5} = \frac{4}{10} = 40\,\%\) 2. Vergleich der Prozentwerte: \(35\,\% < 37{,}5\,\% < 40\,\% = 40\,\%\) 3. Aufstellen der Reihenfolge: \(35\,\% < \frac{3}{8} < 0{,}4 = \frac{2}{5}\)

\(35\,\% < \frac{3}{8} < 0{,}4 = \frac{2}{5}\)

- Bringe alle Zahlen in das gleiche Format, zum Beispiel in Prozent, um sie besser vergleichen zu können. - Die „Hälfte“ lässt sich einfach als Prozentsatz mit dem Nenner 100 ausdrücken. - Wie viel fehlt jedem Wert bis zu \(50\,\%\) oder wie weit liegt er darüber?

1. Umwandlung von \(A\): \(\frac{14}{25} = \frac{56}{100} = 56\,\%\) 2. Umwandlung von \(B\): \(0{,}49 = \frac{49}{100} = 49\,\%\) 3. Umwandlung von \(C\): Erweitern von \(\frac{123}{250}\) mit 4 ergibt \(\frac{492}{1000} = 0{,}492 = 49{,}2\,\%\) 4. Berechnung der Abstände zu \(50\,\%\): Der Abstand beträgt bei \(A\) 6 Prozentpunkte, bei \(B\) 1 Prozentpunkt und bei \(C\) \(0{,}8\) Prozentpunkte. 5. Vergleich der Abstände: \(0{,}8\) Prozentpunkte sind der kleinste Abstand, daher liegt \(C\) am nächsten.

Anteil \(C = \frac{123}{250}\) liegt am nächsten bei \(50\,\%\). Begründung: \(A = 56\,\%\), \(B = 49\,\%\) und \(C = 49{,}2\,\%\). Der Abstand von \(C\) zu \(50\,\%\) beträgt nur \(0{,}8\) Prozentpunkte.

- Bringe die Zahlen zuerst in eine Form, die sich gut miteinander vergleichen lässt. - Bei unterschiedlichen Nennern kann ein gemeinsamer Nenner helfen. - Prüfe außerdem, zwischen welchen benachbarten ganzen Zahlen die Werte liegen.

1. Wandle die gemischten Zahlen um: \(3\frac{1}{4} = \frac{13}{4}\) und \(3\frac{1}{2} = \frac{7}{2}\). 2. Das kgV der Nenner \(4\), \(3\), \(5\) und \(2\) ist \(60\). 3. Erweitere: \(\frac{13}{4} = \frac{195}{60}\), \(\frac{10}{3} = \frac{200}{60}\), \(\frac{17}{5} = \frac{204}{60}\), \(\frac{7}{2} = \frac{210}{60}\). 4. Daher gilt \(195 < 200 < 204 < 210\). 5. Somit ist \(3\frac{1}{4} < \frac{10}{3} < \frac{17}{5} < 3\frac{1}{2}\).

\(3\frac{1}{4} < \frac{10}{3} < \frac{17}{5} < 3\frac{1}{2}\)

- Wähle für jedes Paar dieselbe größere Einheit, bevor du vergleichst. - Schreibe auch die zunächst ganzzahlig angegebene Größe als Bruch dieser Einheit und kürze sie. - Bringe die beiden Brüche eines Paares anschließend auf eine gut vergleichbare Form.

1. Bei a) gilt \(450\,\text{ml}=\frac{450}{1000}\,\text{l}=\frac{9}{20}\,\text{l}\). Außerdem ist \(\frac{2}{5}=\frac{8}{20}\). Daher gilt \(\frac{2}{5}<\frac{9}{20}\). 2. Bei b) gilt \(18\,\text{min}=\frac{18}{60}\,\text{h}=\frac{3}{10}\,\text{h}\). Mit dem Nenner \(20\) erhält man \(\frac{3}{10}=\frac{6}{20}\) und \(\frac{1}{4}=\frac{5}{20}\). Daher gilt \(\frac{3}{10}>\frac{1}{4}\). 3. Bei c) gilt \(320\,\text{g}=\frac{320}{1000}\,\text{kg}=\frac{8}{25}\,\text{kg}\). Mit dem Nenner \(100\) erhält man \(\frac{7}{20}=\frac{35}{100}\) und \(\frac{8}{25}=\frac{32}{100}\). Daher gilt \(\frac{7}{20}>\frac{8}{25}\).

a) \(\frac{2}{5}\,\text{l}<\frac{9}{20}\,\text{l}\) b) \(\frac{3}{10}\,\text{h}>\frac{1}{4}\,\text{h}\) c) \(\frac{7}{20}\,\text{kg}>\frac{8}{25}\,\text{kg}\)

- Es ist oft einfacher, Zahlen zu vergleichen, wenn sie im gleichen Format stehen. - Du kannst einen unechten Bruch in eine gemischte Zahl verwandeln oder umgekehrt. - Achte darauf, ob Brüche gekürzt oder erweitert werden müssen, um sie besser vergleichen zu können. - Was passiert mit dem Wert eines Bruches, wenn du Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilst?

1. Vergleich a): Umwandlung \(3 \frac{4}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{25}{7}\). Vergleich \(\frac{25}{7} > \frac{24}{7}\). Ergebnis: \(>\). 2. Vergleich b): Kürzen von \(\frac{45}{12}\) mit \(3\) ergibt \(\frac{15}{4}\). Umwandlung \(3 \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{15}{4}\). Ergebnis: \(=\). 3. Vergleich c): Umwandlung \(6 \frac{2}{5} = \frac{32}{5}\). Erweitern auf Nenner \(10\) ergibt \(\frac{64}{10}\). Vergleich \(\frac{64}{10} > \frac{62}{10}\). Alternativ: \(\frac{62}{10} = 6 \frac{2}{10} = 6 \frac{1}{5}\). Vergleich \(6 \frac{2}{5} > 6 \frac{1}{5}\). Ergebnis: \(>\).

a) \(>\) b) \(=\) c) \(>\)

- Prüfe in Teil a), auf welcher Seite von \(\frac{1}{2}\) die beiden Brüche liegen. - Vergleiche in Teil b) beide Brüche mit \(1\). - Überlege in Teil c), wie sich die Größe eines Stammbruchs verändert, wenn nur der Nenner größer wird.

1. a) \(\frac{4}{9} < \frac{1}{2}\), denn bei einem Nenner von \(18\) ist \(\frac{4}{9} = \frac{8}{18}\) und \(\frac{1}{2} = \frac{9}{18}\). Dagegen ist \(\frac{5}{8} > \frac{1}{2}\), weil \(\frac{1}{2} = \frac{4}{8}\). Also ist \(\frac{5}{8}\) größer. 2. b) \(\frac{11}{10} > 1\), während \(\frac{12}{13} < 1\). Also ist \(\frac{11}{10}\) größer. 3. c) Bei gleichem Zähler ist der Bruch mit dem kleineren Nenner größer. Deshalb ist \(\frac{1}{7} > \frac{1}{8}\).

a) \(\frac{5}{8}\) ist größer. b) \(\frac{11}{10}\) ist größer. c) \(\frac{1}{7}\) ist größer.

- Überlege dir, wie viel jedem Bruch bis zu einem Ganzen (\(1\)) fehlt. - Ist einer der Brüche kleiner als die Hälfte und der andere größer? - Kannst du die Brüche so erweitern, dass sie die gleiche Anzahl an Teilen (gleicher Zähler) haben? - Schau dir bei unechten Brüchen an, wie viele Ganze enthalten sind.

1. Fall a): Vergleich der Abstände zur \(1\). \(\frac{7}{8} = 1 - \frac{1}{8}\) und \(\frac{8}{9} = 1 - \frac{1}{9}\). Da \(\frac{1}{9} < \frac{1}{8}\), fehlt dem zweiten Bruch weniger bis zur Eins, also \(\frac{8}{9} > \frac{7}{8}\). 2. Fall b): Erweitern auf gleichen Zähler 20. \(\frac{4}{9} = \frac{20}{45}\) und \(\frac{5}{11} = \frac{20}{44}\). Ein Bruch mit kleinerem Nenner bei gleichem Zähler ist größer, also \(\frac{5}{11} > \frac{4}{9}\). 3. Fall c): Umwandlung in gemischte Zahlen. \(\frac{12}{5} = 2 \frac{2}{5}\) und \(\frac{15}{7} = 2 \frac{1}{7}\). Beide Zahlen enthalten zwei Ganze. Da \(\frac{2}{5} > \frac{1}{7}\), gilt \(2 \frac{2}{5} > 2 \frac{1}{7}\), also \(\frac{12}{5} > \frac{15}{7}\).

a) \(\frac{8}{9} > \frac{7}{8}\) b) \(\frac{5}{11} > \frac{4}{9}\) c) \(\frac{12}{5} > \frac{15}{7}\)

- Suche einen gemeinsamen Nenner, mit dem sich beide Grenzbrüche und Zehntel vergleichen lassen. - Überlege, welche Zähler ein Bruch mit Nenner \(10\) nach dem Erweitern auf diesen gemeinsamen Nenner haben kann. - Prüfe, wie viele dieser möglichen Zähler streng zwischen den beiden Grenzwerten liegen.

1. Wähle den gemeinsamen Nenner \(20\): \(\frac{1}{4} = \frac{5}{20}\) und \(\frac{2}{5} = \frac{8}{20}\). 2. Ein Bruch \(\frac{k}{10}\) wird bei Erweiterung mit \(2\) zu \(\frac{2k}{20}\). Gesucht ist daher eine gerade Zahl \(2k\) mit \(5 < 2k < 8\). 3. Die einzige gerade ganze Zahl zwischen \(5\) und \(8\) ist \(6\). Also gilt \(2k=6\) und damit \(k=3\). 4. Der einzige passende Bruch ist \(\frac{3}{10}\).

Der einzige passende Bruch ist \(\frac{3}{10}\).

- Was passiert mit der Größe eines Bruchteils, wenn der Zähler gleich bleibt, aber der Nenner größer wird? - Wie rechnet man eine gemischte Zahl in einen Bruch um? - Schau dir bei c) an, wie viel jeweils bis zu einem Ganzen (\(1\)) fehlt. Welcher Rest ist kleiner?

1. Teilaufgabe a: Vergleich bei gleichen Zählern. Da der Nenner 15 größer ist als 13, werden die Ganzen in mehr Teile zerlegt, wodurch jedes Teil kleiner ist. Ergebnis: \(\frac{7}{15} < \frac{7}{13}\). 2. Teilaufgabe b: Umwandlung der gemischten Zahl in einen unechten Bruch: \(2 \frac{3}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{13}{5}\). Ergebnis: \(2 \frac{3}{5} = \frac{13}{5}\). 3. Teilaufgabe c: Vergleich über den Abstand zur 1. Es gilt \(1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}\) und \(1 - \frac{9}{10} = \frac{1}{10}\). Da \(\frac{1}{9} > \frac{1}{10}\), fehlt \(\frac{8}{9}\) ein größeres Stück zum Ganzen als \(\frac{9}{10}\). Ergebnis: \(\frac{8}{9} < \frac{9}{10}\).

a) \(\frac{7}{15} < \frac{7}{13}\) b) \(2 \frac{3}{5} = \frac{13}{5}\) c) \(\frac{8}{9} < \frac{9}{10}\)

- Wenn zwei Brüche den gleichen Zähler haben, wie erkennst du dann, welcher Bruch größer ist? - Überlege dir, wer von beiden schon mehr vom Weg geschafft hat. - Was bedeutet es für den Restweg, wenn man schon einen größeren Teil gelaufen ist? - Hilft dir vielleicht ein Vergleich mit der „Hälfte“ der Strecke weiter?

1. Vergleich der bereits zurückgelegten Anteile: \(\frac{4}{7}\) und \(\frac{4}{9}\) haben den gleichen Zähler. 2. Da der Nenner \(7\) kleiner als \(9\) ist, ist ein Siebtel größer als ein Neuntel. Daraus folgt: \(\frac{4}{7} > \frac{4}{9}\). 3. Bestimmung der Reststrecken: Gruppe A hat noch \(\frac{3}{7}\) vor sich, Gruppe B noch \(\frac{5}{9}\). 4. Logische Schlussfolgerung: Da Gruppe A bereits einen größeren Anteil der Strecke gelaufen ist als Gruppe B, muss Gruppe B noch einen längeren Anteil der Strecke vor sich haben. 5. Alternativ über den Vergleich mit der Hälfte: \(\frac{4}{7} > \frac{1}{2}\), weil \(8 > 7\), während \(\frac{4}{9} < \frac{1}{2}\) gilt, weil \(8 < 9\). Somit hat Gruppe B noch mehr als die Hälfte des Weges vor sich.

Gruppe B hat noch einen längeren Weg vor sich. Da \(\frac{4}{9}\) weniger ist als \(\frac{4}{7}\), hat Gruppe B einen kleineren Teil der Strecke geschafft und folglich einen größeren Teil (\(\frac{5}{9}\)) noch vor sich.

- Hier sind es vier Brüche. Das Prinzip bleibt gleich: Finde einen gemeinsamen Nenner für alle. - Gibt es eine Zahl in der 36er-Reihe, die auch durch 18, 24 und 12 teilbar ist? - Achte beim Vergleichen genau darauf, welcher ursprüngliche Bruch zu welchem erweiterten Zähler gehört.

1. Bestimmung des kgV der Nenner 18, 24, 36 und 12: \(18 = 2 \cdot 3^2\), \(24 = 2^3 \cdot 3\), \(36 = 2^2 \cdot 3^2\), \(12 = 2^2 \cdot 3\). Das kleinste gemeinsame Vielfache ist \(2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72\). 2. Erweitern der Brüche auf den Nenner 72: \(\frac{13}{18} = \frac{52}{72}\), \(\frac{19}{24} = \frac{57}{72}\), \(\frac{25}{36} = \frac{50}{72}\), \(\frac{11}{12} = \frac{66}{72}\). 3. Vergleich der Zähler: \(50 < 52 < 57 < 66\). 4. Ergebnis: \(\frac{25}{36} < \frac{13}{18} < \frac{19}{24} < \frac{11}{12}\).

\(\frac{25}{36} < \frac{13}{18} < \frac{19}{24} < \frac{11}{12}\)

- Bei gemischten und unechten Brüchen kann es helfen, zuerst die Anzahl der Ganzen sichtbar zu machen. - Liegen zwei Brüche knapp unter \(1\), vergleiche ihre fehlenden Anteile bis zum Ganzen. - Bei gleichen Nennern entscheidet direkt der Zähler über die Reihenfolge.

1. a) \(\frac{11}{4} = 2\frac{3}{4}\). Beide Zahlen haben also den Ganzzahlanteil \(2\). Bei \(\frac{3}{5}\) und \(\frac{3}{4}\) ist der Zähler gleich; der größere Nenner macht den Bruch kleiner. Daher gilt \(2\frac{3}{5} < \frac{11}{4}\). 2. b) Bis \(1\) fehlen bei \(\frac{9}{10}\) noch \(\frac{1}{10}\), bei \(\frac{10}{11}\) noch \(\frac{1}{11}\). Weil \(\frac{1}{11} < \frac{1}{10}\), liegt \(\frac{10}{11}\) näher an \(1\) und ist größer. 3. c) Die Nenner sind gleich. Da \(5 < 7\), gilt \(\frac{5}{12} < \frac{7}{12}\).

a) \(2\frac{3}{5} < \frac{11}{4}\) b) \(\frac{9}{10} < \frac{10}{11}\) c) \(\frac{5}{12} < \frac{7}{12}\)

- Nutze zuerst die beiden Vergleiche, bei denen entweder Zähler oder Nenner gleich sind. - Bei gleichem Zähler macht ein größerer Nenner den Bruch kleiner; bei gleichem Nenner entscheidet der Zähler. - Für das verbleibende Paar genügt es, nur diese beiden Brüche gleichnamig zu machen; du brauchst keinen gemeinsamen Nenner für alle drei.

1. \(\frac{7}{15} < \frac{8}{15}\), weil bei gleichem Nenner der kleinere Zähler den kleineren Bruch ergibt. 2. \(\frac{7}{15} < \frac{7}{13}\), weil bei gleichem Zähler der größere Nenner den kleineren Bruch ergibt. 3. Für das verbleibende Paar genügt es, nur diese beiden Brüche gleichnamig zu machen: \(\frac{8}{15} = \frac{104}{195}\) und \(\frac{7}{13} = \frac{105}{195}\). Daher gilt \(\frac{8}{15} < \frac{7}{13}\). 4. Insgesamt gilt \(\frac{7}{15} < \frac{8}{15} < \frac{7}{13}\).

\(\frac{7}{15} < \frac{8}{15} < \frac{7}{13}\)

- Was ist der Vorteil, wenn zwei Brüche den gleichen Nenner haben? - Wie findest du eine Zahl, die sowohl durch 24 als auch durch 36 teilbar ist? - Hast du die Zähler beim Erweitern mit derselben Zahl multipliziert wie die Nenner?

1. Nenner in Primfaktoren zerlegen: \(24 = 2^3 \cdot 3\) und \(36 = 2^2 \cdot 3^2\). 2. Den Hauptnenner (kgV) bestimmen: \(2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72\). 3. Beide Brüche auf den Nenner \(72\) erweitern: \(\frac{11}{24} = \frac{11 \cdot 3}{72} = \frac{33}{72}\) und \(\frac{13}{36} = \frac{13 \cdot 2}{72} = \frac{26}{72}\). 4. Da \(33 > 26\) gilt, ist \(\frac{33}{72} > \frac{26}{72}\). 5. Ergebnis: \(\frac{11}{24}\) ist größer als \(\frac{13}{36}\).

\(\frac{11}{24} > \frac{13}{36}\)

- Kannst du die Nenner einzeln in ihre kleinsten Bausteine (Primzahlen) zerlegen? - Wie bildest du aus diesen Bausteinen das kleinste gemeinsame Vielfache? - Überprüfe deine Multiplikationen beim Erweitern der Brüche sorgfältig.

1. Primfaktorzerlegung der Nenner durchführen: \(60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5\), \(45 = 3^2 \cdot 5\), \(75 = 3 \cdot 5^2\). 2. Das kgV der Nenner berechnen: \(2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 = 4 \cdot 9 \cdot 25 = 900\). 3. Brüche auf den Nenner \(900\) erweitern: \(\frac{19}{60} = \frac{19 \cdot 15}{900} = \frac{285}{900}\), \(\frac{13}{45} = \frac{13 \cdot 20}{900} = \frac{260}{900}\), \(\frac{23}{75} = \frac{23 \cdot 12}{900} = \frac{276}{900}\). 4. Zähler vergleichen: \(260 < 276 < 285\). 5. Aufsteigende Reihenfolge bestimmen: \(\frac{13}{45} < \frac{23}{75} < \frac{19}{60}\).

\(\frac{13}{45} < \frac{23}{75} < \frac{19}{60}\)

- Bringe zuerst alle Werte auf den gleichen Nenner, um sie besser vergleichen zu können. - Wann nennt man einen Bruch „vollständig gekürzt“? - Welche gemeinsamen Teiler dürfen Zähler und Nenner in diesem Fall nicht haben? - Schau dir die Primfaktorzerlegung des Nenners an.

1. Erweitern der Grenzen auf den Nenner 20: \(\frac{2}{5} = \frac{8}{20}\) und \(\frac{4}{5} = \frac{16}{20}\). 2. Identifikation aller Brüche mit Nenner 20 im Intervall: \(\frac{9}{20}, \frac{10}{20}, \frac{11}{20}, \frac{12}{20}, \frac{13}{20}, \frac{14}{20}, \frac{15}{20}\). 3. Prüfung der Zähler auf Teilerfremdheit zum Nenner 20 (Primfaktoren 2 und 5): - 9: teilerfremd zu 20 - 10: teilbar durch 2 und 5 - 11: teilerfremd zu 20 - 12: teilbar durch 2 - 13: teilerfremd zu 20 - 14: teilbar durch 2 - 15: teilbar durch 5 4. Auswahl der vollständig gekürzten Brüche: \(\frac{9}{20}, \frac{11}{20}, \frac{13}{20}\).

Die vollständig gekürzten Brüche sind \(\frac{9}{20}, \frac{11}{20}\) und \(\frac{13}{20}\).

- Wenn zwei Brüche den gleichen Zähler haben, wie erkennst du dann, welcher größer ist? - Wenn zwei Brüche den gleichen Nenner haben, wie erkennst du dann, welcher größer ist? - Kannst du die Kinder in Paare mit gleichen Nennern oder Zählern aufteilen?

1. Vergleich Anna (\(\frac{3}{7}\)) und Ben (\(\frac{3}{5}\)): Da beide den gleichen Zähler 3 haben, ist der Bruch mit dem kleineren Nenner größer. Da \(5 < 7\), ist \(\frac{3}{5} > \frac{3}{7}\). Ben hat also mehr Saft als Anna. 2. Vergleich innerhalb gleicher Nenner: Clara (\(\frac{2}{5}\)) < Ben (\(\frac{3}{5}\)) Anna (\(\frac{3}{7}\)) < David (\(\frac{4}{7}\)) 3. Vergleich der größten Kandidaten (\(\frac{3}{5}\) und \(\frac{4}{7}\)): \(\frac{3}{5} = \frac{21}{35}\) \(\frac{4}{7} = \frac{20}{35}\) Somit ist \(\frac{3}{5}\) (Ben) am größten. 4. Vergleich der kleinsten Kandidaten (\(\frac{2}{5}\) und \(\frac{3}{7}\)): \(\frac{2}{5} = \frac{14}{35}\) \(\frac{3}{7} = \frac{15}{35}\) Somit ist \(\frac{2}{5}\) (Clara) am kleinsten.

a) Ben hat mehr Saft als Anna, da bei gleichem Zähler der Bruch mit dem kleineren Nenner größer ist. b) Ben hat am meisten Saft (\(\frac{3}{5}\,\text{l}\)). c) Clara hat am wenigsten Saft (\(\frac{2}{5}\,\text{l}\)).

- Beginne mit den beiden Brüchen; ihre Dezimaldarstellungen sollen Teil deiner Antwort sein. - Für die Ordnung müssen anschließend alle vier Werte auf derselben Zahlenskala verglichen werden. - Für die Zahl in c) kannst du \(0{,}62\) zunächst mit drei Nachkommastellen schreiben.

1. \(\frac{4}{7}=0{,}\overline{571428}\) und \(\frac{5}{8}=0{,}625\). 2. Damit gilt \(0{,}\overline{571428}<0{,}62<0{,}625<0{,}63\). 3. In der ursprünglichen Darstellung lautet die Reihenfolge \(\frac{4}{7}<0{,}62<\frac{5}{8}<0{,}63\). 4. Zwischen \(0{,}620\) und \(0{,}625\) liegen zum Beispiel \(0{,}621\), \(0{,}622\), \(0{,}623\) und \(0{,}624\).

a) \(\frac{4}{7}=0{,}\overline{571428}\), \(\frac{5}{8}=0{,}625\) b) \(\frac{4}{7}<0{,}62<\frac{5}{8}<0{,}63\) c) Zum Beispiel \(0{,}621\)

- Bestimme zuerst die Dezimaldarstellungen der beiden gemischten Zahlen; diese Ergebnisse gehören zur Antwort. - Vergleiche danach die vier Dezimalwerte stellenweise. - Achte darauf, dass die Wege vom längsten zum kürzesten geordnet werden sollen.

1. Umwandlung aller Längen in Dezimalzahlen: - Weg A: \(12{,}5\,\text{km}\) - Weg B: \(12{,}45\,\text{km}\) - Weg C: \(12 \frac{3}{5} = 12{,}6\,\text{km}\) - Weg D: \(12{,}505\,\text{km}\) 2. Vergleich der Werte (absteigend): - \(12{,}6 > 12{,}505 > 12{,}5 > 12{,}45\) 3. Zuordnung der Wege: - Weg C (\(12{,}6\)) > Weg D (\(12{,}505\)) > Weg A (\(12{,}5\)) > Weg B (\(12{,}45\))

Umwandlungen: Weg A \(=12{,}5\,\text{km}\), Weg C \(=12{,}6\,\text{km}\). Reihenfolge: Weg C, Weg D, Weg A, Weg B.

- Bringe die beiden Brüche zuerst auf einen gemeinsamen Nenner. - Erweitere anschließend beide Brüche mit derselben Zahl. Wie kannst du erreichen, dass zwischen den neuen Zählern mindestens zwei ganze Zahlen liegen?

1. Da die Brüche bereits gleichnamig sind, werden beide mit 3 erweitert, um den Abstand ihrer Zähler zu vergrößern. 2. \(\frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}\) und \(\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{12}{12}\). 3. Zwischen \(\frac{9}{12}\) und \(\frac{12}{12}\) liegen die Brüche \(\frac{10}{12}\) (gekürzt \(\frac{5}{6}\)) und \(\frac{11}{12}\). 4. Allgemeine Methode: Zuerst bringt man zwei Brüche auf einen gemeinsamen Nenner. Anschließend erweitert man beide bei Bedarf mit derselben Zahl, bis zwischen den Zählern mindestens eine ganze Zahl liegt.

Zwei mögliche Brüche sind \(\frac{10}{12}\) (oder \(\frac{5}{6}\)) und \(\frac{11}{12}\). Allgemein bringt man die Ausgangsbrüche zuerst auf einen gemeinsamen Nenner und erweitert sie anschließend bei Bedarf weiter, sodass zwischen den Zählern Platz für weitere ganze Zahlen entsteht.

- Führe in Teil a) die von Kwame beschriebene Regel genau auf Zähler und Nenner aus und kürze anschließend. - Für Teil b) kann ein gemeinsamer Nenner alle drei Brüche direkt vergleichbar machen. - Nutze für Teil c) eine feinere Unterteilung des Intervalls und suche einen Wert, der streng zwischen den beiden Grenzen liegt.

1. a) Die vorgeschlagene Methode ergibt \(\frac{1+1}{4+2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\). 2. b) Mit dem gemeinsamen Nenner \(12\) gilt \(\frac{1}{4} = \frac{3}{12}\), \(\frac{1}{3} = \frac{4}{12}\) und \(\frac{1}{2} = \frac{6}{12}\). Also liegt \(\frac{1}{3}\) tatsächlich dazwischen. 3. c) Zum Beispiel gilt \(\frac{3}{12} < \frac{5}{12} < \frac{6}{12}\). Daher liegt \(\frac{5}{12}\) ebenfalls zwischen den beiden Ausgangsbrüchen und ist nicht gleich \(\frac{1}{3}\).

a) \(\frac{1}{3}\) b) Ja, denn \(\frac{1}{4} < \frac{1}{3} < \frac{1}{2}\). c) Zum Beispiel \(\frac{5}{12}\); auch andere korrekt begründete Brüche zwischen den beiden Grenzen sind möglich.

- Beginne mit den drei Brüchen; ihre Dezimaldarstellungen gehören ausdrücklich zur Antwort. - Vergleiche für die Ordnung anschließend alle fünf Dezimalwerte. - Für c) reicht es, die Abstände der größten Kandidaten zu \(0{,}9\) zu vergleichen.

1. Die Brüche ergeben \(\frac{7}{8}=0{,}875\), \(\frac{4}{5}=0{,}8\) und \(\frac{17}{20}=0{,}85\). 2. Damit gilt \(0{,}8<0{,}85<0{,}87<0{,}875<0{,}88\). 3. In der ursprünglichen Darstellung ist die Reihenfolge \(\frac{4}{5}<\frac{17}{20}<0{,}87<\frac{7}{8}<0{,}88\). 4. Von den gegebenen Zahlen liegt \(0{,}88\) am nächsten an \(0{,}9\). 5. Der Unterschied beträgt \(0{,}9-0{,}88=0{,}02\).

a) \(\frac{7}{8}=0{,}875\), \(\frac{4}{5}=0{,}8\), \(\frac{17}{20}=0{,}85\) b) \(\frac{4}{5}<\frac{17}{20}<0{,}87<\frac{7}{8}<0{,}88\) c) \(0{,}88\); der Unterschied beträgt \(0{,}02\).

- Bestimme zuerst für jede Abbildung den Anteil als Bruch (Anzahl der gefärbten Teile durch die Gesamtzahl der Teile). - Kürze die Brüche so weit wie möglich, um sie besser miteinander vergleichen zu können. - Um zwei unterschiedliche Brüche zu vergleichen, kannst du sie auf einen gemeinsamen Nenner (Hauptnenner) bringen.

1. Schritt: Brüche für die drei Abbildungen bestimmen. - Abbildung \(A\): \(4\) von \(6\) Teilen sind gefärbt, also \(\frac{4}{6}\). Gekürzt ergibt das \(\frac{2}{3}\). - Abbildung \(B\): \(6\) von \(8\) Teilen sind gefärbt, also \(\frac{6}{8}\). Gekürzt ergibt das \(\frac{3}{4}\). - Abbildung \(C\): \(8\) von \(12\) Teilen sind gefärbt, also \(\frac{8}{12}\). Gekürzt ergibt das \(\frac{2}{3}\). 2. Schritt: Vergleich der Anteile. - Da \(\frac{4}{6} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\) gilt, stellen die Abbildungen \(A\) und \(C\) denselben Anteil dar. - Der gekürzte Bruch für diesen Anteil ist \(\frac{2}{3}\). 3. Schritt: Größten Anteil bestimmen. - Um \(\frac{2}{3}\) (Abbildungen \(A\) und \(C\)) mit \(\frac{3}{4}\) (Abbildung \(B\)) zu vergleichen, bringen wir beide Brüche auf den Hauptnenner \(12\): \(\frac{2}{3} = \frac{8}{12}\) \(\frac{3}{4} = \frac{9}{12}\) - Da \(\frac{9}{12} > \frac{8}{12}\) ist, ist der Anteil in Abbildung \(B\) am größten.

1. Die Abbildungen \(A\) und \(C\) stellen denselben Anteil dar. 2. Der gekürzte Bruch ist \(\frac{2}{3}\). 3. Der Anteil in Abbildung \(B\) (\(\frac{3}{4}\)) ist am größten, da \(\frac{3}{4} = \frac{9}{12} > \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\).

- Lies für jeden Riegel aus der Abbildung den verbleibenden Teil und das jeweilige Ganze ab. - Suche für b) einen gemeinsamen Nenner der beiden Brüche. - Nach dem Erweitern kannst du die Zähler direkt vergleichen.

1. Aus der Abbildung liest man für A \(2\) von \(3\) Teilen und für B \(3\) von \(5\) Teilen ab. Die Anteile sind \(\frac{2}{3}\) und \(\frac{3}{5}\). 2. Ein gemeinsamer Nenner ist \(15\): \(\frac{2}{3}=\frac{10}{15}\) und \(\frac{3}{5}=\frac{9}{15}\). 3. Da \(\frac{10}{15}>\frac{9}{15}\), hat Riegel A den größeren verbleibenden Anteil.

a) A: \(\frac{2}{3}\); B: \(\frac{3}{5}\) b) A hat den größeren Anteil, denn \(\frac{2}{3}=\frac{10}{15}>\frac{9}{15}=\frac{3}{5}\).

- Wie viele gleich große Teile hat der Kreis in Abbildung A insgesamt und wie viele davon sind gefärbt? - Wie sieht es bei Kreis B aus? Schreibe für beide Kreise zuerst den jeweiligen Anteil als Bruch auf. - Um zwei Brüche mit unterschiedlichen Nennern vergleichen zu können, müssen sie denselben Nenner haben. Wie kannst du Brüche so verändern, dass sie denselben Nenner haben? - Suche nach dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der beiden Nenner. - Welcher Zähler ist nach dem Erweitern größer?

1. Bestimmung des gefärbten Anteils in Kreis A: Der Kreis ist in 8 gleich große Teile unterteilt, wovon 5 gefärbt sind. Das entspricht dem nicht weiter kürzbaren Bruch \(\frac{5}{8}\). 2. Bestimmung des gefärbten Anteils in Kreis B: Der Kreis ist in 6 gleich große Teile unterteilt, wovon 4 gefärbt sind. Das entspricht dem Bruch \(\frac{4}{6}\). Gekürzt mit 2 ergibt dies \(\frac{2}{3}\). 3. Bestimmung des Hauptnenners: Das kleinste gemeinsame Vielfache von 8 und 3 ist 24. 4. Erweitern der Brüche auf den Nenner 24: - \(\frac{5}{8} = \frac{15}{24}\) - \(\frac{2}{3} = \frac{16}{24}\) 5. Vergleich der Brüche: Da \(\frac{16}{24} > \frac{15}{24}\) gilt, hat der Kreis B den größeren gefärbten Anteil.

a) Anteil A: \(\frac{5}{8}\), Anteil B: \(\frac{2}{3}\) b) Kreis B, da \(\frac{2}{3} = \frac{16}{24}\) größer ist als \(\frac{5}{8} = \frac{15}{24}\).

- Bestimme bei jeder Abbildung zuerst den gefärbten Anteil aus gleich großen Teilen. - Bringe die Brüche bei Bedarf auf einen gemeinsamen Nenner oder kürze sie passend. - Ordne erst die Brüche vollständig; die Buchstaben liest du erst danach ab.

1. Aus den Abbildungen erhält man B: \(\frac{2}{5}\), O: \(\frac{1}{4}\), S: \(\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\) und T: \(\frac{6}{8}=\frac{3}{4}\). 2. Mit dem gemeinsamen Nenner \(20\) gilt \(\frac{1}{4}=\frac{5}{20}\), \(\frac{2}{5}=\frac{8}{20}\), \(\frac{3}{5}=\frac{12}{20}\) und \(\frac{3}{4}=\frac{15}{20}\). 3. Daher lautet die Reihenfolge O, B, S, T. 4. Die Buchstaben ergeben das Lösungswort „OBST“.

O: \(\frac{1}{4}\) < B: \(\frac{2}{5}\) < S: \(\frac{3}{5}\) < T: \(\frac{3}{4}\) Lösungswort: „OBST“

- Bestimme zuerst für jede Figur einzeln, wie viele Teile insgesamt vorhanden sind und wie viele davon gefärbt sind. - Schreibe diese Anteile als Brüche auf und kürze sie, wenn möglich. - Um zwei Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu vergleichen, musst du sie zuerst durch Erweitern auf denselben Nenner (den Hauptnenner) bringen. - Welcher der beiden erweiterten Brüche hat nun den größeren Zähler?

1. Bestimmung des gefärbten Anteils von Figur A: Ein Kreis mit \(8\) gleich großen Sektoren, von denen \(5\) gefärbt sind. Der Anteil ist \(\frac{5}{8}\) (nicht weiter kürzbar). 2. Bestimmung des gefärbten Anteils von Figur B: Ein Gitter mit \(2 \cdot 5 = 10\) Kästchen, von denen \(6\) gefärbt sind. Der Anteil ist \(\frac{6}{10}\), was gekürzt \(\frac{3}{5}\) ergibt. 3. Vergleich der beiden Anteile durch Erweitern auf den Hauptnenner \(40\): - Figur A: \(\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{25}{40}\) - Figur B: \(\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 8}{5 \cdot 8} = \frac{24}{40}\) 4. Da \(\frac{25}{40} > \frac{24}{40}\) ist, hat Figur A einen größeren gefärbten Anteil an der Gesamtfläche als Figur B.

a) Figur A: \(\frac{5}{8}\); Figur B: \(\frac{3}{5}\) b) Figur A hat den größeren gefärbten Anteil, da beim Vergleich auf dem gemeinsamen Nenner gilt: \(\frac{25}{40} > \frac{24}{40}\).

- Bestimme für jedes Bild zuerst den Bruchteil der gefärbten Stücke an der Gesamtzahl der Stücke der Schokoladentafel. - Versuche, die Brüche so weit wie möglich zu kürzen. - Um Brüche mit verschiedenen Nennern zu vergleichen, kannst du sie auf einen gemeinsamen Nenner (Hauptnenner) erweitern. - Welches ist das kleinste gemeinsame Vielfache von \(3\), \(8\) und \(4\)?

1. Bestimmung der Anteile als Bruch: - Amelie (Bild a): Von \(6\) Teilen sind \(4\) gefärbt. Das entspricht dem Bruch \(\frac{4}{6}\). Gekürzt erhalten wir \(\frac{2}{3}\). - Ben (Bild b): Von \(8\) Teilen sind \(5\) gefärbt. Das entspricht dem Bruch \(\frac{5}{8}\). Dieser Bruch ist bereits vollständig gekürzt. - Charlotte (Bild c): Von \(12\) Teilen sind \(9\) gefärbt. Das entspricht dem Bruch \(\frac{9}{12}\). Gekürzt erhalten wir \(\frac{3}{4}\). 2. Vergleich und Ordnung der Brüche: Um die Brüche \(\frac{2}{3}\), \(\frac{5}{8}\) und \(\frac{3}{4}\) zu vergleichen, bringen wir sie auf den Hauptnenner \(24\): - Amelie: \(\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{16}{24}\) - Ben: \(\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{15}{24}\) - Charlotte: \(\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 6}{4 \cdot 6} = \frac{18}{24}\) Es gilt: \(\frac{15}{24} < \frac{16}{24} < \frac{18}{24}\). Daraus ergibt sich die geordnete Reihenfolge: \(\frac{5}{8} < \frac{2}{3} < \frac{3}{4}\). Charlotte hat am meisten Schokolade übrig.

a) Amelie: \(\frac{2}{3}\), Ben: \(\frac{5}{8}\), Charlotte: \(\frac{3}{4}\) b) Reihenfolge: \(\frac{5}{8} < \frac{2}{3} < \frac{3}{4}\). Charlotte hat am meisten Schokolade übrig.

- Suche einen gemeinsamen Nenner, zu dem sich alle drei Nenner erweitern lassen. - Erweitere jeden Bruch so, dass dieser gemeinsame Nenner entsteht. - Vergleiche danach die Zähler der gleichnamigen Brüche und nutze die Abbildung nur zur Kontrolle.

1. Ein gemeinsamer Nenner von \(4\), \(3\) und \(6\) ist \(12\). 2. Es gilt \(\frac{3}{4}=\frac{9}{12}\), \(\frac{2}{3}=\frac{8}{12}\) und \(\frac{5}{6}=\frac{10}{12}\). 3. Damit ist \(\frac{10}{12}>\frac{9}{12}>\frac{8}{12}\), also hat Beet C den größten bepflanzten Anteil.

Beet C hat die größte bepflanzte Fläche, denn \(\frac{5}{6}=\frac{10}{12}>\frac{9}{12}=\frac{3}{4}>\frac{8}{12}=\frac{2}{3}\).

- Bestimme für jede Figur den Bruchteil der markierten Fläche. - Versuche, die Brüche so weit wie möglich zu kürzen, um sie besser vergleichen zu können. - Welche zwei Brüche haben nach dem Kürzen denselben Wert?

1. Anteil A bestimmen: Der Kreis ist in 4 Teile geteilt, 1 Teil ist markiert. Anteil = \(\frac{1}{4}\). 2. Anteil B bestimmen: Das Gitter besteht aus \(2 \cdot 4 = 8\) Feldern, 2 Felder sind markiert. Anteil = \(\frac{2}{8}\). Durch Kürzen mit 2 erhält man \(\frac{2 : 2}{8 : 2} = \frac{1}{4}\). 3. Anteil C bestimmen: Das Sechseck ist in 6 Dreiecke unterteilt, 2 Dreiecke sind markiert. Anteil = \(\frac{2}{6}\). Durch Kürzen mit 2 erhält man \(\frac{2 : 2}{6 : 2} = \frac{1}{3}\). 4. Vergleich: Anteil A (\(\frac{1}{4}\)) und Anteil B (\(\frac{1}{4}\)) sind gleich groß. Anteil C (\(\frac{1}{3}\)) ist größer als \(\frac{1}{4}\). 5. Ergebnis: Figur C stellt einen anderen Anteil dar.

Abbildung C stellt einen anderen Anteil dar. Die Abbildungen A und B zeigen jeweils \(\frac{1}{4}\), denn \(\frac{2}{8} = \frac{1}{4}\). Abbildung C zeigt dagegen \(\frac{2}{6} = \frac{1}{3}\).

- Zähle zuerst, in wie viele gleich große Teile die jeweilige Figur unterteilt ist. Das ist dein Nenner. - Zähle dann die gefärbten Teile für den Zähler. - Kürze die Brüche so weit wie möglich, bevor du sie vergleichst. - Um Brüche besser vergleichen zu können, hilft es oft, sie auf denselben Nenner zu bringen.

1. Bestimmung der Bruchteile: - Figur S (Sechseck): \(1\) von \(6\) Dreiecken ist gefärbt: \(\frac{1}{6}\). - Figur T (Dreieck): \(1\) von \(3\) Teilflächen ist gefärbt: \(\frac{1}{3}\). - Figur A (Kreis): \(2\) von \(4\) Sektoren sind gefärbt: \(\frac{2}{4} = \frac{1}{2}\). - Figur R (Balken): \(2\) von \(3\) Abschnitten sind gefärbt: \(\frac{2}{3}\). 2. Vergleich der Brüche (Hauptnenner \(6\)): - S: \(\frac{1}{6}\) - T: \(\frac{1}{3} = \frac{2}{6}\) - A: \(\frac{1}{2} = \frac{3}{6}\) - R: \(\frac{2}{3} = \frac{4}{6}\) 3. Ordnung: \(\frac{1}{6} < \frac{1}{3} < \frac{1}{2} < \frac{2}{3}\). 4. Buchstabenfolge: S – T – A – R.

Die Anteile sind: S: \(\frac{1}{6}\), T: \(\frac{1}{3}\), A: \(\frac{1}{2}\), R: \(\frac{2}{3}\). In der richtigen Reihenfolge gilt: \(\frac{1}{6} < \frac{1}{3} < \frac{1}{2} < \frac{2}{3}\). Das Lösungswort ist STAR.

- Sortiere zuerst die Brüche, die kleiner als \(1\) sind, und die, die größer als \(1\) sind. - Wenn zwei Brüche fast \(1\) ergeben, welcher ist dann näher dran? - Denke an die Größe der fehlenden „Stücke“: Ist \(\frac{1}{124}\) größer oder kleiner als \(\frac{1}{125}\)?

1. Identifikation des größten Wertes: Bruch \(B = \frac{124}{123}\) ist der einzige unechte Bruch (\(B > 1\)), während \(A\) und \(C\) echte Brüche sind (\(< 1\)). Somit ist \(B\) der größte Wert. 2. Vergleich von \(A\) und \(C\): Beide Brüche haben einen Abstand von genau einem Teil zum Ganzen. Bei \(A\) fehlt \(\frac{1}{124}\) zu \(1\), bei \(C\) fehlt \(\frac{1}{125}\) zu \(1\). 3. Da \(\frac{1}{124} > \frac{1}{125}\), ist der „Abstand“ zur \(1\) bei \(A\) größer als bei \(C\). Das bedeutet, \(A\) liegt weiter links auf dem Zahlenstrahl als \(C\). 4. Schlussfolgerung: \(A < C < 1 < B\).

Die Reihenfolge lautet: \(A < C < B\) (bzw. \(\frac{123}{124} < \frac{124}{125} < \frac{124}{123}\)).

- Überlege, ob zwei verschiedene Brüche auf dem Zahlenstrahl direkte Nachbarn sein können. - Was passiert, wenn du beide Brüche so erweiterst, dass zwischen ihren Zählern Platz für weitere ganze Zahlen entsteht? - Unterscheide die gezeichnete Länge eines Intervalls von der Anzahl der Zahlen, die mathematisch darin liegen.

1. Die Behauptung ist falsch. 2. Zwischen zwei verschiedenen Brüchen liegen immer weitere Brüche; tatsächlich sind es unendlich viele. 3. Durch geeignetes Erweitern kann man zwischen zwei gegebenen Brüchen immer weitere Brüche mit größeren Nennern finden. Die Länge des gezeichneten Abstands ändert daran nichts.

Haruto hat nicht recht. Zwischen zwei verschiedenen Brüchen liegen immer unendlich viele weitere Brüche, unabhängig davon, wie nah die beiden Ausgangsbrüche beieinanderliegen.