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- Bestimme zuerst den Wert eines einzelnen Teilstrichs zwischen zwei beschrifteten Zahlen. - Zähle für jeden Punkt von \(0\) aus die benötigten Schritte. - Achte darauf, ob der Punkt links oder rechts von \(0\) liegt.

1. Zwischen \(0\) und \(1\) liegen vier gleich große Abschnitte. Ein Teilstrich entspricht \(0{,}25\). 2. Punkt \(P\) liegt zwei Teilstriche links von \(0\), also bei \(-0{,}5\). 3. Punkt \(Q\) liegt einen Teilstrich rechts von \(0\), also bei \(0{,}25\).

\(P=-0{,}5\), \(Q=0{,}25\)

- Zähle die Zwischenräume zwischen den beiden Markierungen, nicht die Teilstriche selbst. - Bestimme aus den beschrifteten Werten, welchen Zahlenwert ein kleiner Abschnitt hat. - Verbinde anschließend die Anzahl der Abschnitte mit der Schrittweite.

1. Zwischen \(A\) und \(B\) liegen fünf kleine Abschnitte. 2. Jeder kleine Abschnitt entspricht \(0{,}1\). 3. Der Abstand beträgt daher \(5\cdot 0{,}1=0{,}5\).

a) \(5\) kleine Abschnitte b) \(0{,}5\)

- Überlege, wie oft \(0{,}1\) in \(0{,}6\) enthalten ist. - Zähle die Schritte vom Startwert \(0\) aus, nicht die beschrifteten Punkte. - Jeder Schritt verändert den Wert um genau eine Zehntelstelle.

1. Ein Schritt entspricht \(0{,}1\). 2. Für \(0{,}6\) werden sechs solche Schritte benötigt. 3. Die Zahl liegt daher auf dem sechsten kleinen Schritt rechts von \(0\).

Auf dem sechsten kleinen Schritt rechts von \(0\).

- Prüfe jede vorgeschlagene Schrittweite darauf, welche Werte auf ihren Teilstrichen liegen. - Beide gesuchten Zahlen müssen mit derselben Skala exakt erreichbar sein. - Achte besonders auf die Hundertstelstellen \(5\) in beiden Zahlen.

1. Bei einer Schrittweite von \(0{,}05\) sind alle Vielfachen von \(0{,}05\) Teilstrichwerte. 2. Sowohl \(0{,}35\) als auch \(0{,}55\) sind Vielfache von \(0{,}05\). 3. Die Schrittweiten \(0{,}1\) und \(0{,}2\) treffen diese beiden Hundertstelwerte nicht genau. Geeignet ist \(0{,}05\).

\(0{,}05\)

- Unterscheide zwischen der Anzahl der Teilstriche und der Anzahl der Zwischenräume. - Die Schrittweite gehört zu einem Abstand zwischen zwei benachbarten Teilstrichen. - Teile die gesamte Strecke von \(0\) bis \(1\) durch die Zahl dieser Abstände.

1. Von \(0\) bis \(1\) sind zwar sechs Teilstriche sichtbar, aber zwischen ihnen liegen nur fünf gleich große Abschnitte. 2. Die Länge \(1\) wird daher in fünf gleiche Schritte geteilt. 3. Die Schrittweite ist \(\frac{1}{5}=0{,}2\). Noras Aussage ist falsch.

Noras Aussage ist falsch. Die Schrittweite beträgt \(\frac{1}{5}=0{,}2\).

- Welche Zahl hat zu den beiden gegebenen Zahlen denselben Abstand? - Wie kannst du den Mittelpunkt zweier Zahlen rechnerisch bestimmen? - Prüfe dein Ergebnis, indem du die Abstände zu beiden Randwerten vergleichst.

1. Der gesuchte Wert muss zu \(-2{,}4\) und \(3{,}6\) denselben Abstand haben. 2. Der Mittelpunkt ist der Mittelwert: \(\frac{-2{,}4+3{,}6}{2}=\frac{1{,}2}{2}=0{,}6\). 3. Damit ist Antwort a) richtig.

a) \(0{,}6\)

- Was bedeutet der Begriff „Betrag“ geometrisch auf der Zahlengeraden? - Wie viele Zahlen haben denselben Abstand vom Nullpunkt? - Wie berechnet man den Abstand zwischen einer positiven und einer negativen Zahl?

1. Identifikation der Zahlen mit dem Betrag \(5{,}2\): Da der Betrag den Abstand einer Zahl zur Null angibt, kommen die Zahlen \(5{,}2\) und \(-5{,}2\) infrage. 2. Berechnung des Abstands zwischen den beiden Punkten auf der Zahlengeraden: \(5{,}2 - (-5{,}2) = 5{,}2 + 5{,}2 = 10{,}4\).

Die beiden Zahlen sind \(5{,}2\) und \(-5{,}2\). Der Abstand zwischen ihnen beträgt \(10{,}4\).

- Deute den Betrag als Abstand von \(0\). - Prüfe positive, negative und die Zahl \(0\) getrennt gegen die Schranke \(4\). - Achte darauf, dass „kleiner als“ die Randwerte mit Abstand \(4\) ausschließt.

1. Gesucht sind alle ganzen Zahlen, deren Abstand von \(0\) kleiner als \(4\) ist. 2. Im nichtnegativen Bereich passen \(0,1,2,3\). 3. Im negativen Bereich passen \(-1,-2,-3\). 4. Insgesamt erhält man \(\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\), also \(7\) Zahlen.

Die Zahlen sind \(-3,-2,-1,0,1,2,3\). Es sind insgesamt \(7\) Zahlen.

- Bringe die vier Zahlen zunächst in eine Darstellung, in der du sie direkt vergleichen kannst. - Achte beim Vergleichen darauf, dass unterschiedlich viele sichtbare Nachkommastellen den Wert nicht verändern. - Prüfe deine Reihenfolge paarweise von links nach rechts.

1. Umwandlung der Brüche in Dezimalzahlen: \(\frac{11}{4}=2{,}75\); \(2{,}8=2{,}80\); \(2\frac{3}{5}=2+0{,}6=2{,}60\); \(\frac{27}{10}=2{,}70\). 2. Vergleich der Werte: \(2{,}60<2{,}70<2{,}75<2{,}80\). 3. Daher lautet die Reihenfolge \(2\frac{3}{5}<\frac{27}{10}<\frac{11}{4}<2{,}8\).

Dezimalzahlen: \(2{,}75\), \(2{,}8\), \(2{,}6\), \(2{,}7\). Reihenfolge: \(2\frac{3}{5}<\frac{27}{10}<\frac{11}{4}<2{,}8\).

- Was bedeutet der Abstand einer Zahl zur Null mathematisch? - Wie kannst du Brüche, Dezimalzahlen und gemischte Zahlen am besten vergleichen? - Überlege dir, wo die Zahlen auf der Zahlengeraden liegen.

1. Der Abstand zur Null entspricht dem Betrag der Zahl \(|x|\). 2. a) \(|-\frac{5}{8}| = 0{,}625\) und \(|0{,}65| = 0{,}65\). 3. Da \(0{,}625 < 0{,}65\), liegt \(-\frac{5}{8}\) näher an der Null. 4. b) \(|-1{,}2| = 1{,}2\) und \(\left|1\frac{1}{10}\right| = 1{,}1\). 5. Da \(1{,}1 < 1{,}2\), liegt \(1\frac{1}{10}\) näher an der Null.

a) \(-\frac{5}{8}\) b) \(1\frac{1}{10}\)

- In welche Rechenoperation lässt sich eine Verschiebung nach rechts übersetzen? - Was bedeutet eine Verschiebung nach links für das Vorzeichen der Rechnung? - Führe die Schritte nacheinander aus und achte auf die Vorzeichenregeln bei Dezimalzahlen.

1. Berechnung der Position nach der ersten Verschiebung nach rechts (Addition): \(-2{,}3 + 4{,}5 = 2{,}2\). 2. Berechnung der Endposition nach der zweiten Verschiebung nach links (Subtraktion): \(2{,}2 - 1{,}4 = 0{,}8\).

\(0{,}8\)

- Wie berechnet man den Unterschied zwischen einer positiven und einer negativen Zahl? - Überlege dir, wie weit jede Zahl von der Null entfernt ist. - Hilft es dir, die Zahlen kurz auf einer Skizze einzuzeichnen?

1. Berechnung des Abstands für Paar A: Der Abstand zwischen \(-12\) und \(8\) wird berechnet durch \(|8 - (-12)| = |8 + 12| = 20\). 2. Berechnung des Abstands für Paar B: Der Abstand zwischen \(-5{,}5\) und \(-20\) wird berechnet durch \(|-20 - (-5{,}5)| = |-20 + 5{,}5| = |-14{,}5| = 14{,}5\). 3. Vergleich der Abstände: Da \(20 > 14{,}5\), hat Paar A den größeren Abstand.

Der Abstand von Paar A beträgt \(20\), der von Paar B beträgt \(14{,}5\). Somit liegt Paar A weiter auseinander.

- Übersetze jeden Zahlenwert zunächst mithilfe des Maßstabs in eine Entfernung von \(0\). - Das Vorzeichen entscheidet, ob die Position links oder rechts von \(0\) liegt. - Für b) brauchst du die äußerste linke und die äußerste rechte der vier Zahlen.

1. Da \(1\,\text{cm}\) dem Wert \(0{,}2\) entspricht, liegt \(-1{,}4\) \(7\,\text{cm}\) links von \(0\), \(0{,}6\) \(3\,\text{cm}\) rechts, \(-0{,}8\) \(4\,\text{cm}\) links und \(1{,}2\) \(6\,\text{cm}\) rechts. 2. Die kleinste Zahl ist \(-1{,}4\), die größte \(1{,}2\). 3. Von \(-1{,}4\) bis \(0\) beträgt der Abstand \(1{,}4\), von \(0\) bis \(1{,}2\) beträgt er \(1{,}2\). Insgesamt sind das \(1{,}4+1{,}2=2{,}6\). 4. In der Zeichnung entspricht das \(2{,}6:0{,}2=13\,\text{cm}\).

a) \(-1{,}4\): \(7\,\text{cm}\) links; \(0{,}6\): \(3\,\text{cm}\) rechts; \(-0{,}8\): \(4\,\text{cm}\) links; \(1{,}2\): \(6\,\text{cm}\) rechts von \(0\). b) Zahlenwert des Abstands: \(2{,}6\); Länge: \(13\,\text{cm}\).

- Was passiert mit dem Vorzeichen einer Zahl, wenn man ihre Gegenzahl sucht? - Stell dir die Zahlen auf einer Waage vor, bei der die Null in der Mitte ist. Wo müsste das Gegengewicht liegen? - Erinnere dich an den Begriff der Spiegelung. - Welche gegebene Zahl verändert sich beim Bilden der Gegenzahl nicht?

1. Bestimmung der Gegenzahlen durch Vorzeichenumkehr: Die Gegenzahl von \(-5{,}4\) ist \(5{,}4\), von \(3{,}1\) ist sie \(-3{,}1\), von \(0\) bleibt sie \(0\) und von \(-\frac{1}{2}\) ist sie \(\frac{1}{2}\). 2. Geometrische Anordnung: Eine Zahl und ihre Gegenzahl haben denselben Abstand vom Nullpunkt, liegen jedoch auf gegenüberliegenden Seiten. Sie sind punktsymmetrisch zum Nullpunkt. 3. Untersuchung der gegebenen Zahlen: Nur \(0\) bleibt beim Bilden der Gegenzahl unverändert. Daher ist \(0\) ihre eigene Gegenzahl.

1. Gegenzahlen: \(5{,}4\); \(-3{,}1\); \(0\); \(\frac{1}{2}\). 2. Sie liegen punktsymmetrisch zum Nullpunkt und haben denselben Abstand von ihm. 3. \(0\)

- Überlege dir, welche Vorzeichen Bewegungen nach rechts beziehungsweise nach links erhalten. - Eine Skizze der Zahlengeraden kann helfen, Start- und Zielpunkt auseinanderzuhalten. - Wenn der Zielpunkt bekannt ist, kannst du die Bewegung rückwärts verfolgen.

1. Eine Bewegung um \(8\) nach rechts ergibt \(-5+8=3\). 2. Eine Bewegung um \(6\) nach links ergibt \(3{,}5+(-6)=-2{,}5\). 3. Beim letzten Fall wird die Linksbewegung rückgängig gemacht: Vom Ziel \(-2\) gehst du \(4\) Einheiten nach rechts und erhältst den Startpunkt \(2\). Die passende Aufgabe lautet \(2+(-4)=-2\).

a) \(3\); Aufgabe: \(-5+8=3\) b) \(-2{,}5\); Aufgabe: \(3{,}5+(-6)=-2{,}5\) c) Startpunkt: \(2\); Aufgabe: \(2+(-4)=-2\)

- Bestimme zuerst den Wert eines einzelnen kleinen Schrittes, indem du den Abstand zwischen zwei beschrifteten Markierungen durch die Anzahl der Abschnitte dazwischen teilst. - Achte besonders auf das Vorzeichen: Zahlen links von der Null sind negativ, Zahlen rechts von der Null sind positiv. - Wenn du dich im negativen Bereich bewegst, zählen die Werte nach links hin immer weiter ins Negative. - Gehe von der am nächsten gelegenen beschrifteten Zahl aus und zähle die kleinen Schritte ab.

1. Zuerst bestimmen wir den Wert eines einzelnen kleinen Teilstriches. Zwischen den beschrifteten Hauptstrichen \(0\) und \(1\) liegen genau \(10\) Abschnitte. Das bedeutet, dass jeder kleine Schritt einen Wert von \(0{,}1\) hat, da \(1 : 10 = 0{,}1\) ist. 2. Für den Punkt \(A\): Die Markierung liegt im negativen Bereich, links von der Null. Wir starten bei \(-1\) und gehen zwei Teilstriche nach links. Da jeder Teilstrich \(0{,}1\) wert ist, liegt \(A\) bei \(-1 - 2\cdot 0{,}1 = -1{,}2\). 3. Für den Punkt \(B\): Die Markierung liegt ebenfalls links von der Null. Sie befindet sich \(4\) Teilstriche links von \(0\). Somit liegt \(B\) bei \(-0{,}4\). 4. Für den Punkt \(C\): Die Markierung liegt rechts von der Null. Sie befindet sich \(3\) Teilstriche rechts von \(0\). Somit liegt \(C\) bei \(0{,}3\). 5. Für den Punkt \(D\): Die Markierung liegt rechts von der Null. Sie befindet sich \(1\) Teilstrich rechts von \(1\). Somit liegt \(D\) bei \(1{,}1\).

\(A\): \(-1{,}2\), \(B\): \(-0{,}4\), \(C\): \(0{,}3\), \(D\): \(1{,}1\)

- Schau dir zuerst an, in wie viele Abschnitte der Bereich zwischen zwei benachbarten ganzen Zahlen unterteilt ist. Was bedeutet das für den Wert eines einzelnen Teilstriches? - Achte besonders auf das Vorzeichen: Werte links von \(0\) sind negativ, Werte rechts davon sind positiv. - Wenn du dich im negativen Bereich bewegst, zählen die Teilstriche von rechts nach links (also von \(0\) aus weiter ins Negative).

1. Zuerst bestimmen wir die Einteilung der Zahlengeraden: Der Abstand zwischen zwei benachbarten ganzen Zahlen (z. B. zwischen \(0\) und \(1\)) ist in \(10\) gleich große Abschnitte unterteilt. Jeder Teilstrich entspricht somit einer Differenz von \(0{,}1\). 2. Für \(P\): Die Markierung liegt links von \(-1\). Wir zählen von \(-1\) aus \(7\) Teilstriche nach links. Das entspricht \(-1 - 0{,}7 = -1{,}7\). 3. Für \(Q\): Die Markierung liegt links von \(0\). Wir zählen von \(0\) aus \(8\) Teilstriche nach links. Das entspricht \(-0{,}8\). 4. Für \(R\): Die Markierung liegt ebenfalls links von \(0\). Wir zählen von \(0\) aus \(3\) Teilstriche nach links. Das entspricht \(-0{,}3\). 5. Für \(S\): Die Markierung liegt rechts von \(0\). Wir zählen von \(0\) aus \(4\) Teilstriche nach rechts. Das entspricht \(0{,}4\).

- \(P = -1{,}7\) - \(Q = -0{,}8\) - \(R = -0{,}3\) - \(S = 0{,}4\)

- Bestimme zuerst den Wert eines einzelnen Teilstrichs, indem du den Abstand zwischen zwei beschrifteten Zahlen durch die Anzahl der Abschnitte teilst. - Achte genau darauf, ob eine Markierung links oder rechts von der Null liegt. - Welche Richtung auf der Zahlengeraden steht für positive Werte, welche für negative Werte? - Zähle von einer bekannten Zahl aus in Schritten des Teilstrichwerts zur gesuchten Markierung hin.

1. Bestimme den Abstand zwischen zwei beschrifteten Hauptstrichen auf der Zahlengeraden, beispielsweise zwischen \(0\) und \(1\): \(1 - 0 = 1\) 2. Zähle die Anzahl der Teilabschnitte zwischen diesen beiden Hauptstrichen. Es sind genau \(10\) Abschnitte. 3. Berechne den Wert eines einzelnen Teilstrichs: \(1 : 10 = 0{,}1\) 4. Bestimme die Werte für die einzelnen Markierungen unter Beachtung der Vorzeichen: - \(P\) liegt \(2\) Teilstriche rechts von \(-2{,}0\) (oder \(8\) Teilstriche links von \(-1{,}0\)): \(-2{,}0 + 2 \cdot 0{,}1 = -1{,}8\) - \(Q\) liegt \(3\) Teilstriche rechts von \(-1{,}0\): \(-1{,}0 + 3 \cdot 0{,}1 = -0{,}7\) - \(R\) liegt \(1\) Teilstrich links von \(0\): \(0 - 1 \cdot 0{,}1 = -0{,}1\) - \(S\) liegt \(6\) Teilstriche rechts von \(0\): \(0 + 6 \cdot 0{,}1 = 0{,}6\) - \(T\) liegt \(3\) Teilstriche rechts von \(1\): \(1 + 3 \cdot 0{,}1 = 1{,}3\)

\(P = -1{,}8\), \(Q = -0{,}7\), \(R = -0{,}1\), \(S = 0{,}6\), \(T = 1{,}3\)

- Bestimme zuerst den Abstand zwischen zwei benachbarten Teilstrichen, indem du die Abschnitte zwischen \(0\) und \(1\) zählst. - Welchem Dezimalwert entspricht ein einzelner Schritt? - Achte genau auf das Vorzeichen: Liegt der Punkt links oder rechts von \(0\)? - Zähle die Schritte von der nächsten beschrifteten Zahl aus, um schneller zum Ergebnis zu kommen.

1. Bestimme den Wert eines einzelnen Teilstrichs: Zwischen \(0\) und \(1\) (bzw. zwischen \(0\) und \(-1\)) befinden sich \(5\) gleich große Abschnitte. Ein Teilstrich entspricht somit: \(\frac{1}{5} = 0{,}2\). 2. Bestimme den Wert für \(A\): Der Punkt \(A\) liegt links von \(0\) bei zwei Teilstrichen links von \(-1\). \(A = -1 - 2 \cdot 0{,}2 = -1{,}4\). 3. Bestimme den Wert für \(B\): Der Punkt \(B\) liegt links von \(0\) bei drei Teilstrichen links von \(0\). \(B = -3 \cdot 0{,}2 = -0{,}6\). 4. Bestimme den Wert für \(C\): Der Punkt \(C\) liegt rechts von \(0\) bei vier Teilstrichen rechts von \(0\). \(C = 4 \cdot 0{,}2 = 0{,}8\).

\(A = -1{,}4\) \(B = -0{,}6\) \(C = 0{,}8\)

- Zähle zuerst, in wie viele gleich große Abschnitte die Strecke zwischen zwei benachbarten ganzen Zahlen (z. B. zwischen \(0\) und \(1\)) unterteilt ist. - Überlege dir, welchen Wert ein einzelner kleiner Teilstrich hat. - Achte beim Ablesen genau darauf, ob sich der Punkt links oder rechts von der Null befindet. - Gehe von der nächsten ganzen Zahl aus und zähle die kleinen Teilstriche in die entsprechende Richtung.

1. Bestimmung der Skalierung: Zwischen zwei benachbarten beschrifteten ganzen Zahlen, zum Beispiel \(0\) und \(1\), liegen \(10\) Teilabschnitte. Ein kleiner Teilstrich entspricht daher \(0{,}1\). 2. Ablesen der Werte: - Punkt \(A\) liegt \(6\) Teilstriche links von \(-1\), also bei \(-1{,}6\). - Punkt \(B\) liegt \(3\) Teilstriche links von \(0\), also bei \(-0{,}3\). - Punkt \(C\) liegt genau in der Mitte zwischen \(0\) und \(1\), also bei \(0{,}5\). - Punkt \(D\) liegt \(2\) Teilstriche rechts von \(1\), also bei \(1{,}2\). - Punkt \(E\) liegt \(9\) Teilstriche rechts von \(1\), also bei \(1{,}9\).

\(A = -1{,}6\); \(B = -0{,}3\); \(C = 0{,}5\); \(D = 1{,}2\); \(E = 1{,}9\)

- Beachte das Vorzeichen: Zahlen links von der Null sind negativ. - Bestimme zuerst den Wert eines Teilschritts, indem du die Unterteilung zwischen \(0\) und \(1\) betrachtest. - Zähle von der Null aus in die entsprechende Richtung.

1. Skalierung bestimmen: Der Abstand von \(0\) zu \(1\) ist in \(4\) Intervalle unterteilt, ein Intervall entspricht \(\frac{1}{4}\). 2. Punkt \(X\): Liegt drei Intervalle links von der Null, also \(-\frac{3}{4}\). 3. Punkt \(Y\): Liegt ein Intervall links von der Null, also \(-\frac{1}{4}\). 4. Punkt \(Z\): Liegt zwei Intervalle rechts von der Null, also \(\frac{2}{4} = \frac{1}{2}\).

\(X = -\frac{3}{4}\), \(Y = -\frac{1}{4}\), \(Z = \frac{1}{2}\)

- Ermittle die Schrittweite der Skala, bevor du die Buchstaben abliest. - Für die Reihenfolge kannst du die Punkte direkt von links nach rechts betrachten. - Eine Zahl und ihre Gegenzahl liegen gleich weit von \(0\) entfernt, aber auf verschiedenen Seiten.

1. Ein kleiner Teilstrich entspricht \(0{,}25\). Daher gilt \(A=-0{,}75\), \(B=0{,}25\) und \(C=0{,}75\). 2. Von links nach rechts erhält man \(-0{,}75 < 0{,}25 < 0{,}75\). 3. Die Gegenzahl zu \(-0{,}75\) ist \(0{,}75\). Sie wird durch Punkt \(C\) dargestellt.

a) \(A=-0{,}75\), \(B=0{,}25\), \(C=0{,}75\) b) \(-0{,}75 < 0{,}25 < 0{,}75\) c) Punkt \(C\)

- Bestimme zuerst aus den beschrifteten Endwerten, welchen Wert ein einzelner Abschnitt der Zahlengeraden hat. - Lies danach die Positionen von \(A\) und \(B\) ab und wandle die Dezimalwerte in gekürzte Brüche um. - Für die Mitte kannst du die beiden Brüche als Zahlenwerte mitteln. - Überlege für c), welche Eigenschaft der Mittelwert zweier verschiedener Zahlen bezüglich ihrer Lage hat.

1. Zwischen \(0{,}5\) und \(1\) liegen vier gleich große Abschnitte. Ein Abschnitt entspricht daher \(0{,}125=\frac{1}{8}\). 2. \(A\) liegt einen Schritt rechts von \(0{,}5=\frac{4}{8}\), also bei \(\frac{5}{8}\). \(B\) liegt zwei Schritte rechts davon, also bei \(\frac{6}{8}=\frac{3}{4}\). 3. Die Mitte ist \(M=\frac{\frac{5}{8}+\frac{6}{8}}{2}=\frac{11}{16}\). 4. Für zwei verschiedene rationale Zahlen \(x<y\) ist ihr Mittelwert \(\frac{x+y}{2}\) wieder rational und erfüllt \(x<\frac{x+y}{2}<y\). Dieser Schritt kann in einem der entstehenden Teilintervalle erneut ausgeführt werden.

a) \(A=\frac{5}{8}\), \(B=\frac{3}{4}\) b) \(M=\frac{11}{16}\) c) Der Mittelwert zweier verschiedener rationaler Zahlen ist wieder rational und liegt strikt zwischen ihnen; deshalb lässt sich das Halbieren immer wieder fortsetzen.

- Welche Stelle zwischen \(P\) und \(Q\) hat zu beiden Punkten denselben Abstand? - Auf welcher Seite dieser Stelle liegen Punkte, die näher an \(P\) sind? - Liste anschließend nur die ganzen Zahlen auf, die zusätzlich zwischen \(P\) und \(Q\) liegen.

1. Der Punkt, der von \(P\) und \(Q\) gleich weit entfernt ist, liegt genau in der Mitte. Sein Wert ist \((-3{,}4+1{,}2):2=-1{,}1\). 2. Gesuchte Zahlen müssen zwischen \(-3{,}4\) und \(1{,}2\) liegen und zugleich links von \(-1{,}1\), damit ihr Abstand zu \(P\) kleiner ist. 3. Die einzigen ganzen Zahlen mit beiden Eigenschaften sind \(-3\) und \(-2\).

\(-3\) und \(-2\). Der Mittelpunkt von \(P\) und \(Q\) liegt bei \(-1{,}1\); alle gesuchten ganzen Zahlen müssen zwischen \(-3{,}4\) und \(-1{,}1\) liegen.

- Wie berechnet man den Durchschnitt zweier Werte? - Stell dir die Zahlen auf einer Skala vor. Wie viele Schritte liegen dazwischen? - Der Abstand einer Zahl zu Null wird auch Betrag genannt. - Achte auf die Vorzeichen bei der Subtraktion.

1. Berechnung des Mittelpunkts: Der Mittelpunkt \(M\) zweier Zahlen \(a\) und \(b\) berechnet sich durch den Durchschnitt: \(M = \frac{a + b}{2}\). Einsetzen ergibt \(\frac{-2{,}4 + 5{,}6}{2} = \frac{3{,}2}{2} = 1{,}6\). 2. Berechnung des Abstands: Der Abstand ist die Differenz der Werte (groß minus klein): \(\frac{5}{4} - (-\frac{3}{4}) = \frac{5}{4} + \frac{3}{4} = \frac{8}{4} = 2\). 3. Bestimmung von \(Q\): Der Abstand von \(P(-2)\) zu \(0\) beträgt \(|-2| = 2\). Der Abstand von \(Q\) zu \(0\) ist somit \(2 \cdot 2 = 4\). Da \(Q\) im positiven Bereich liegt, ist die Zahl \(4\).

a) \(1{,}6\) b) \(2\) c) \(4\)

- Deute jeden Betrag als Abstand von \(0\). - Vergleiche für b) die beiden Abstände, nicht die Vorzeichen der Zahlen. - Bestimme in c) zuerst den mittleren Abstand und frage dann, welche Zahlen genau diesen Betrag besitzen.

1. Es gilt \(|a|=|-7|=7\) und \(|b|=|3|=3\). 2. Da \(3<7\), ist der Abstand von \(b\) zu \(0\) kleiner. Also liegt \(b=3\) näher an \(0\). 3. Die Mitte zwischen den Beträgen \(3\) und \(7\) ist \(\frac{3+7}{2}=5\). 4. Die Zahlen mit Betrag \(5\) sind \(5\) und \(-5\).

a) \(|a|=7\) und \(|b|=3\). b) \(b=3\) liegt näher an \(0\). c) \(5\) und \(-5\).

- Welche Zahl liegt genau in der Mitte zwischen \(-2\) und \(-3\)? - Wie hilft dir dieser Mittelpunkt dabei, zu entscheiden, welche ganze Zahl näher liegt? - Wandle die Brüche in Dezimalzahlen um, um sie einfacher mit der Mitte zu vergleichen. - Stell dir die Zahlen auf einer Zahlengeraden oder einem Thermometer vor.

1. Berechnung des Mittelpunkts zwischen \(-2\) und \(-3\): \(\frac{-2 + (-3)}{2} = -2{,}5\). 2. Umwandlung der Brüche in Dezimalzahlen: \(-\frac{11}{4} = -2{,}75\); \(-\frac{7}{3} \approx -2{,}33\); \(-\frac{13}{5} = -2{,}6\); \(-\frac{9}{4} = -2{,}25\). 3. Vergleich mit dem Mittelpunkt \(-2{,}5\): Zahlen, die größer als \(-2{,}5\) sind (also weiter rechts auf der Zahlengeraden), liegen näher an \(-2\). 4. Prüfung: \(-2{,}33 > -2{,}5\) und \(-2{,}25 > -2{,}5\). Die Brüche \(-\frac{7}{3}\) und \(-\frac{9}{4}\) liegen näher an \(-2\).

\(-\frac{7}{3}\) und \(-\frac{9}{4}\)

- Was bedeutet „Abstand“ in der Mathematik? Er ist immer nichtnegativ. - Suche zuerst für jeden Wert die ganze Zahl, die am wenigsten weit entfernt ist. - Subtrahiere dann die kleinere von der größeren Zahl, um den Abstand zu finden. - Bei Brüchen wie in Aufgabenteil c) kann es helfen, die ganze Zahl ebenfalls als Bruch mit demselben Nenner zu schreiben.

1. Für \(3{,}8\) ist die nächste ganze Zahl 4. Abstand: \(|4 - 3{,}8| = 0{,}2\). 2. Für \(-1 \frac{1}{4} = -1{,}25\) ist die nächste ganze Zahl -1. Abstand: \(|-1 - (-1{,}25)| = 0{,}25\). 3. Für \(-\frac{22}{7}\) (ca. \(-3{,}14\)) ist die nächste ganze Zahl -3. Abstand: \(|-\frac{21}{7} - (-\frac{22}{7})| = \frac{1}{7}\). 4. Für \(0{,}45\) ist die nächste ganze Zahl 0. Abstand: \(|0{,}45 - 0| = 0{,}45\).

a) \(0{,}2\) b) \(0{,}25\) c) \(\frac{1}{7}\) d) \(0{,}45\)

- Was bedeutet es, wenn eine Zahl „zwischen“ zwei anderen Werten liegt? - Wandle zuerst alle Werte in die Dezimalschreibweise um, um sie besser mit den Grenzen vergleichen zu können. - Achte darauf, dass eine gerundete Näherung die Lage im Intervall nicht verfälscht.

1. Umwandlung in Dezimalzahlen: \( \frac{11}{2} = 5{,}5 \); \( 5\frac{2}{3} = 5{,}666\dots \); \( \frac{53}{10} = 5{,}3 \); \( 5{,}65 = 5{,}65 \). 2. Prüfung des Bereichs \( 5{,}4 < x < 5{,}7 \): 3. \( 5{,}5 \) liegt im Intervall, denn \( 5{,}4 < 5{,}5 < 5{,}7 \). 4. \( 5{,}666\dots \) liegt im Intervall, denn \( 5{,}4 < 5{,}666\dots < 5{,}7 \). 5. \( 5{,}3 \) liegt nicht im Intervall, denn \( 5{,}3 < 5{,}4 \). 6. \( 5{,}65 \) liegt im Intervall, denn \( 5{,}4 < 5{,}65 < 5{,}7 \).

Die Zahlen \( \frac{11}{2} \), \( 5\frac{2}{3} \) und \( 5{,}65 \) liegen zwischen \( 5{,}4 \) und \( 5{,}7 \).

- Wie viele Nachkommastellen musst du betrachten, um \( 2{,}37 \) und \( 2{,}375 \) sicher zu vergleichen? - Wie berechnet man den Mittelwert von zwei Zahlen? - Stell dir die beiden Zahlen auf einem sehr fein unterteilten Zahlenstrahl vor.

1. Umwandlung von \( \frac{19}{8} \) in eine Dezimalzahl: \( 19 : 8 = 2{,}375 \). 2. Vergleich: \( 2{,}375 > 2{,}37 \) (da \( 2{,}375 > 2{,}370 \)). Somit ist \( \frac{19}{8} \) größer. 3. Berechnung der Mitte: Addiere beide Werte und dividiere durch 2: \( (2{,}375 + 2{,}37) : 2 = 4{,}745 : 2 = 2{,}3725 \).

\( \frac{19}{8} \) (oder \( 2{,}375 \)) ist größer als \( 2{,}37 \). Die Zahl genau in der Mitte ist \( 2{,}3725 \).

- Eine Zahl genau zwischen zwei Werten hat zu beiden Randwerten denselben Abstand. - Für den ersten Teil kann eine gemeinsame Dezimaldarstellung hilfreich sein. - Für den zweiten Teil kannst du die beiden Dezimalzahlen als Brüche mit einem feineren gemeinsamen Nenner darstellen.

1. \(\frac{5}{8}=0{,}625\). Der Mittelwert von \(0{,}625\) und \(0{,}63\) ist \((0{,}625+0{,}63):2=0{,}6275\). 2. Für die zweite Mitte gilt \(0{,}7=\frac{140}{200}\) und \(0{,}71=\frac{142}{200}\). Genau dazwischen liegt \(\frac{141}{200}\). 3. Der Bruch \(\frac{141}{200}\) ist vollständig gekürzt.

a) \(0{,}6275\) b) \(\frac{141}{200}\)

- Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Punkten auf der Zahlengeraden? - Hilft es dir, die Zahlen alle in die gleiche Darstellung (z. B. Dezimalzahlen) umzuwandeln? - Skizziere die Punkte grob auf einer Zahlengeraden, um eine erste Vermutung zu erhalten.

1. Der Abstand einer Zahl \(x\) zu \(1\) wird durch \(|x - 1|\) berechnet. 2. a) \(|\frac{3}{7} - 1| = |-\frac{4}{7}| = \frac{4}{7} \approx 0{,}571\). 3. \(|1{,}6 - 1| = 0{,}6\). 4. Vergleich: \(0{,}571 < 0{,}6\), also liegt \(\frac{3}{7}\) näher an \(1\). 5. b) \(|-\frac{1}{4} - 1| = |-1{,}25| = 1{,}25\). 6. \(|2{,}1 - 1| = 1{,}1\). 7. Vergleich: \(1{,}1 < 1{,}25\), also liegt \(2{,}1\) näher an \(1\).

a) \(\frac{3}{7}\) b) \(2{,}1\)

- Wandle alle Werte in eine vergleichbare Form um, zum Beispiel Dezimalzahlen. - Denk daran, dass der Abstand immer ein nichtnegativer Wert ist. - Kann ein Abstand auf der Zahlengeraden negativ sein?

1. Berechnung der Abstände zu \(-2\) mittels \(|x - (-2)| = |x + 2|\). 2. \(A: |-\frac{7}{3} + 2| = |-\frac{7}{3} + \frac{6}{3}| = |-\frac{1}{3}| \approx 0{,}333\). 3. \(B: |-1{,}65 + 2| = 0{,}35\). 4. \(C: |-2{,}2 + 2| = |-0{,}2| = 0{,}2\). 5. \(D: \left|-1\frac{3}{4}+2\right| = 0{,}25\). 6. Vergleich der Abstände: \(0{,}2 < 0{,}25 < 0{,}333 < 0{,}35\). 7. Die Zahl \(C = -2{,}2\) hat den kleinsten Abstand.

\(-2{,}2\)

- Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Werten mathematisch? - Wandle zuerst alle Brüche in ein einheitliches Format um, um sie besser vergleichen zu können. - Überlege dir, wie viele Nachkommastellen sinnvoll sind, um einen genauen Vergleich zu ermöglichen.

1. Umwandlung der Brüche in Dezimalzahlen: - \(\frac{3}{8} = 0{,}375\) - \(\frac{2}{5} = 0{,}4\) - \(\frac{4}{9} = 0{,}\overline{4} = 0{,}444\dots\) 2. Berechnung der absoluten Abstände (Differenzen) zu \(0{,}41\): - \(|0{,}41 - 0{,}375| = 0{,}035\) - \(|0{,}41 - 0{,}4| = 0{,}01\) - \(|0{,}41 - 0{,}444\dots| \approx 0{,}0344\) 3. Vergleich der Abstände: Da \(0{,}01 < 0{,}0344 < 0{,}035\), ist der Abstand von \(\frac{2}{5}\) am kleinsten. 4. Ergebnis: \(\frac{2}{5}\) liegt am nächsten an \(0{,}41\).

Der Bruch \(\frac{2}{5}\) liegt am nächsten an \(0{,}41\).

- Wie wandelt man einen Bruch am besten in eine Dezimalzahl um, wenn der Nenner keine Zehnerpotenz ist? - Erinnere dich daran, wie man den Abstand zwischen zwei Zahlen auf dem Zahlenstrahl bestimmt. - Vergleiche die Differenzen Stelle für Stelle, um zu sehen, welche kleiner ist.

1. Umwandlung von \(\frac{1}{6}\) in eine Dezimalzahl: \(1 : 6 = 0{,}1666\dots = 0{,}1\overline{6}\). 2. Umwandlung von \(\frac{1}{8}\) in eine Dezimalzahl: \(1 : 8 = 0{,}125\). 3. Berechnung des Abstands von \(0{,}1\overline{6}\) zu \(0{,}15\): \(0{,}1666\dots - 0{,}15 = 0{,}0166\dots = 0{,}01\overline{6}\). 4. Berechnung des Abstands von \(0{,}125\) zu \(0{,}15\): \(0{,}15 - 0{,}125 = 0{,}025\). 5. Vergleich der Abstände: Da \(0{,}01\overline{6} < 0{,}025\), liegt \(\frac{1}{6}\) näher an \(0{,}15\).

\(\frac{1}{6} = 0{,}1\overline{6}\) und \(\frac{1}{8} = 0{,}125\). Der Bruch \(\frac{1}{6}\) liegt näher an \(0{,}15\), da der Abstand \(0{,}01\overline{6}\) kleiner ist als \(0{,}025\).

- Was bedeutet es mathematisch, wenn eine Zahl „am nächsten“ an einer anderen liegt? - Hilft es dir, die Zahlen zuerst als Dezimalzahlen zu schreiben? - Du kannst dir die Lage der Zahlen auf einer Skizze der Zahlengeraden vorstellen.

1. Umwandlung aller Werte in Dezimalzahlen: \(A = -2{,}25\); \(B = -1{,}8\); \(C = -2{,}1\); \(D = -2{,}2\); \(E = -1{,}95\) 2. Berechnung der Abstände zu \(-2\) durch Differenzbildung: \(| -2{,}25 - (-2) | = 0{,}25\) \(| -1{,}8 - (-2) | = 0{,}2\) \(| -2{,}1 - (-2) | = 0{,}1\) \(| -2{,}2 - (-2) | = 0{,}2\) \(| -1{,}95 - (-2) | = 0{,}05\) 3. Vergleich der Abstände: \(0{,}05 < 0{,}1 < 0{,}2 < 0{,}25\) 4. Ergebnis: Der kleinste Abstand gehört zu \(E = -1{,}95\)

Die Zahl \(E = -1{,}95\) liegt am nächsten an \(-2\).

- Was bedeutet es für die Größe einer Zahl, wenn sie auf der Zahlengeraden „links“ von einer anderen Zahl liegt? - Wandle die Brüche zuerst in Dezimalzahlen um, um sie besser mit \(-3{,}15\) und \(-3{,}2\) vergleichen zu können. - Vorsicht bei negativen Zahlen: Je größer der Betrag (die Zahl ohne Vorzeichen), desto kleiner ist die eigentliche negative Zahl.

1. Umwandlung der Brüche in Dezimalzahlen: \(B = -\frac{13}{4} = -3{,}25\) und \(C = -3 \frac{1}{10} = -3{,}1\). 2. Bestimmung der Zahlen links von \(-3{,}1\): Eine Zahl liegt links von \(-3{,}1\), wenn sie kleiner als \(-3{,}1\) ist. 3. Vergleich der Werte: \(A = -3{,}15 < -3{,}1\); \(B = -3{,}25 < -3{,}1\); \(D = -3{,}2 < -3{,}1\). Die Zahl \(C = -3{,}1\) liegt genau auf dem Referenzpunkt, nicht links davon. 4. Ordnen der gefundenen Zahlen \(A\), \(B\) und \(D\): Der kleinste Wert ist der mit dem größten Betrag bei negativem Vorzeichen. Somit ergibt sich: \(-3{,}25 < -3{,}2 < -3{,}15\). 5. Endergebnis in Originalschreibweise: \(-\frac{13}{4} < -3{,}2 < -3{,}15\).

Die Zahlen \(-\frac{13}{4}\), \(-3{,}2\) und \(-3{,}15\) liegen links von \(-3{,}1\). Ihre Reihenfolge ist: \(-\frac{13}{4} < -3{,}2 < -3{,}15\).

- Bringe die beiden Randwerte zunächst in eine gemeinsame Darstellung. - Eine Zahl genau in der Mitte hat zu beiden Randwerten denselben Abstand. - Vergleiche die gefundene Zahl und \(-\frac{1}{8}\) anschließend auf der Zahlengeraden.

1. Es gilt \(-\frac{1}{2}=-0{,}5\). 2. Der Mittelpunkt ist \((-0{,}5+0{,}3):2=-0{,}1\). 3. Für den Vergleich gilt \(-\frac{1}{8}=-0{,}125\). 4. Auf der Zahlengeraden liegt \(-0{,}1\) rechts von \(-0{,}125\). Daher ist die gesuchte Zahl größer als \(-\frac{1}{8}\).

Die Zahl in der Mitte ist \(-0{,}1\). Es gilt \(-0{,}1>-0{,}125=-\frac{1}{8}\).

- Bestimme zuerst den Abstand zwischen dem bekannten Endpunkt und dem Mittelpunkt. - Ein Mittelpunkt hat zu beiden Endpunkten denselben Abstand. - Gehe diesen Abstand vom Mittelpunkt aus in die entgegengesetzte Richtung.

1. Der Abstand zwischen \(-3{,}5\) und dem Mittelpunkt \(0{,}5\) beträgt \(0{,}5-(-3{,}5)=4\). 2. Da \(0{,}5\) genau in der Mitte liegt, muss der andere Endpunkt denselben Abstand auf der gegenüberliegenden Seite haben. 3. Daher ist die gesuchte Zahl \(0{,}5+4=4{,}5\).

\(4{,}5\)

- Wie weit liegen die beiden äußeren Zahlen auf der Zahlengeraden auseinander? - Wenn du eine Strecke in drei gleiche Teile teilen willst, wie lang ist dann ein Teil? - Wie findest du die Zwischenstationen, wenn du beim Startwert beginnst und immer um die gleiche Teilstrecke weitergehst?

1. Berechnung der Gesamtlänge der Strecke durch Subtraktion: \(2{,}4 - (-1{,}2) = 3{,}6\). 2. Bestimmung der Länge eines einzelnen Abschnitts durch Division durch drei: \(3{,}6 : 3 = 1{,}2\). 3. Berechnung des ersten Teilungspunkts durch Addition der Abschnittslänge zum Startwert: \(-1{,}2 + 1{,}2 = 0\). 4. Berechnung des zweiten Teilungspunkts durch Addition der Abschnittslänge zum ersten Punkt: \(0 + 1{,}2 = 1{,}2\).

\(0\) und \(1{,}2\)

- In welche Richtungen kann man sich von einem Punkt aus auf der Zahlengeraden bewegen? - Wenn du den Abstand kennst, wie verändern sich die Werte, wenn du nach links oder nach rechts gehst?

1. Um den Punkt in positiver Richtung (nach rechts) zu finden, addiert man den Abstand zum Startpunkt: \(-3{,}4 + 7{,}2 = 3{,}8\). 2. Um den Punkt in negativer Richtung (nach links) zu finden, subtrahiert man den Abstand vom Startpunkt: \(-3{,}4 - 7{,}2 = -10{,}6\). 3. Die zwei möglichen Positionen sind somit \(3{,}8\) und \(-10{,}6\).

Der zweite Punkt kann an den Positionen \(3{,}8\) oder \(-10{,}6\) liegen.

- Es ist oft hilfreich, beide Zahlen in das gleiche Format zu bringen (beide als Dezimalzahlen oder beide als Brüche). - Denk daran, dass der Abstand zwischen einer positiven und einer negativen Zahl immer positiv sein muss. - Welcher gemeinsame Nenner bietet sich bei den Brüchen an?

1. Teilaufgabe a): Umwandlung von \(0{,}2\) in einen Bruch ergibt \(\frac{1}{5}\) oder von \(-\frac{3}{4}\) in eine Dezimalzahl ergibt \(-0{,}75\). Berechnung des Abstands: \(|0{,}2 - (-0{,}75)| = |0{,}2 + 0{,}75| = 0{,}95\). Als Bruch: \(|\frac{1}{5} - (-\frac{3}{4})| = |\frac{4}{20} + \frac{15}{20}| = \frac{19}{20}\). 2. Teilaufgabe b): Umwandlung von \(1\frac{1}{2}\) in \(1{,}5\) und \(-\frac{2}{5}\) in \(-0{,}4\). Berechnung des Abstands: \(|1{,}5 - (-0{,}4)| = |1{,}5 + 0{,}4| = 1{,}9\). Als Bruch: \(|\frac{3}{2} - (-\frac{2}{5})| = |\frac{15}{10} + \frac{4}{10}| = \frac{19}{10} = 1\frac{9}{10}\).

a) \(0{,}95\) oder \(\frac{19}{20}\) b) \(1{,}9\) oder \(1\frac{9}{10}\)

- Wie rechnet man einen Wert in eine zeichnerische Länge um, wenn man die Länge einer ganzen Einheit kennt? - Überlege dir, ob die Mitte zwischen einer negativen und einer positiven Zahl eher im positiven oder negativen Bereich liegen muss. - Wie berechnet man den Wert, der genau zwischen zwei anderen Werten liegt?

1. Abstandsberechnung für \(-1{,}25\): Der Betrag der Zahl ist \(|-1{,}25| = 1{,}25\). Da eine Einheit \(4\,\text{cm}\) entspricht, rechnet man \(1{,}25 \cdot 4\,\text{cm} = 5\,\text{cm}\). Der Punkt liegt \(5\,\text{cm}\) links von der Null. 2. Bestimmung der Mitte: Um die Mitte zwischen zwei Zahlen zu finden, berechnet man deren Mittelwert. 3. Umwandlung in Dezimalzahlen: \(-\frac{1}{2} = -0{,}5\) und \(\frac{3}{4} = 0{,}75\). 4. Mittelwert berechnen: \(\frac{-0{,}5 + 0{,}75}{2} = \frac{0{,}25}{2} = 0{,}125\). 5. Umwandlung in einen Bruch: \(0{,}125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}\).

a) Die Zahl \(-1{,}25\) liegt \(5\,\text{cm}\) vom Nullpunkt entfernt (nach links). b) Die Mitte liegt bei der Zahl \(0{,}125\) bzw. \(\frac{1}{8}\).

- Wie groß ist der gesamte Zahlenbereich, der von den 10 Abschnitten abgedeckt wird? - Wenn du weißt, wie viel ein Schritt wert ist, wie kannst du dann von einem Startpunkt aus andere Punkte erreichen? - Überlege, wie oft der Wert eines kleinen Abschnitts in die Differenz zweier Zahlen passt.

1. Bestimmung des Gesamtwerts zwischen \(A\) und \(B\): \(3 - (-2) = 5\). 2. Wert eines Teilabschnitts: Da die Strecke in \(10\) Abschnitte unterteilt ist, beträgt der Wert pro Abschnitt \(5 : 10 = 0{,}5\). 3. Zahl am vierten Teilstrich: Man startet bei \(A = -2\) und addiert vier Abschnitte: \(-2 + 4 \cdot 0{,}5 = -2 + 2 = 0\). 4. Anzahl der Abschnitte zwischen \(-0{,}5\) und \(1{,}5\): Zuerst Differenz berechnen: \(1{,}5 - (-0{,}5) = 2{,}0\). Dann durch den Wert eines Abschnitts teilen: \(2{,}0 : 0{,}5 = 4\). Es liegen \(4\) Abschnitte dazwischen.

a) Ein Teilabschnitt stellt den Wert \(0{,}5\) dar. b) Auf dem vierten Teilstrich rechts von \(A\) liegt die Zahl \(0\). c) Zwischen \(-0{,}5\) und \(1{,}5\) liegen \(4\) Teilabschnitte, da der Abstand \(2{,}0\) beträgt und \(2{,}0 : 0{,}5 = 4\) ist.

- Wenn zwei Punkte symmetrisch um einen Mittelpunkt liegen, wie berechnet man dann den Abstand eines Punktes zum Mittelpunkt? - Wo liegt die Mitte zwischen zwei Werten, die denselben Abstand vom Nullpunkt haben? - Gehe bei der „Gegenzahl der Gegenzahl“ schrittweise vor: Bestimme erst das erste Ergebnis und wende darauf die nächste Regel an.

1. Da \(p\) und \(q\) Gegenzahlen sind, liegen sie symmetrisch zum Nullpunkt. Der Abstand jeder Zahl vom Nullpunkt ist die Hälfte des Gesamtabstands: \(15 : 2 = 7{,}5\). Die Zahlen sind also \(7{,}5\) und \(-7{,}5\). Mögliche geordnete Paare sind \((7{,}5; -7{,}5)\) und \((-7{,}5; 7{,}5)\). 2. Eine Zahl und ihre Gegenzahl haben denselben Abstand vom Nullpunkt und liegen auf gegenüberliegenden Seiten. Ihr Mittelpunkt ist daher immer der Nullpunkt. Somit gilt \(r = 0\). 3. Die Gegenzahl von \(-8{,}3\) ist \(8{,}3\). Die Gegenzahl von \(8{,}3\) ist wieder \(-8{,}3\). Zweifache Vorzeichenumkehr führt zur ursprünglichen Zahl zurück.

1. Die geordneten Zahlenpaare sind \((7{,}5; -7{,}5)\) und \((-7{,}5; 7{,}5)\). 2. \(r = 0\). 3. Das Ergebnis ist \(-8{,}3\).

- Weiter links auf der Zahlengeraden bedeutet einen kleineren Zahlenwert. - Welche Gegenzahl ergänzt eine gegebene Zahl zur Summe \(0\)? - Für den Spiegelpunkt musst du den Weg von der Ausgangszahl über \(0\) bis zur Gegenzahl betrachten.

1. \((-12)+7=-5\) und \((-3)+(-3)=-6\). Da \(-6<-5\), liegt die zweite Summe weiter links. 2. Zu \(-4{,}8\) muss die Gegenzahl \(4{,}8\) addiert werden: \(-4{,}8+4{,}8=0\). 3. Der Spiegelpunkt von \(-2{,}4\) ist \(2{,}4\). Die nötige Verschiebung beträgt insgesamt \(4{,}8\) Einheiten nach rechts. Daher gilt \(-2{,}4+4{,}8=2{,}4\).

a) \((-3)+(-3)\) liegt weiter links, denn \(-6<-5\). b) \(4{,}8\) c) \(4{,}8\); Rechnung: \(-2{,}4+4{,}8=2{,}4\)

- Schau dir die Einteilung der Zahlengeraden genau an: Welchen Wert hat der Abstand zwischen zwei benachbarten kleinen Teilstrichen? - Achte besonders auf das Vorzeichen: Zahlen links von der Null sind negativ, Zahlen rechts von der Null sind positiv. - Was bedeutet der „Betrag“ einer Zahl? Erinnere dich an den Abstand einer Zahl zur Null. - Wie rechnet man eine Dezimalzahl in einen Bruch um? Kannst du den Bruch anschließend noch vereinfachen? - Welcher Wert liegt genau in der Mitte zwischen zwei Werten? Du kannst die beiden Werte addieren und das Ergebnis halbieren.

1. Bestimmung der Skalierung: Der Abstand zwischen zwei Hauptmarkierungen (z. B. von \(0\) bis \(0{,}5\)) ist in \(5\) gleiche Abschnitte unterteilt. Ein kleiner Teilschritt entspricht somit \(\frac{0{,}5}{5} = 0{,}1\). 2. Bestimmung der Werte: - Punkt \(A\) liegt \(2\) Teilstriche links von \(-1{,}0\), also bei \(-1{,}2\). - Punkt \(B\) liegt \(3\) Teilstriche links von \(0\), also bei \(-0{,}3\). - Punkt \(C\) liegt \(2\) Teilstriche rechts von \(0{,}5\), also bei \(0{,}7\). - Punkt \(D\) liegt \(1\) Teilstrich links von \(1{,}5\), also bei \(1{,}4\). 3. Bestimmung des größten Betrags: Die Beträge lauten \(|-1{,}2| = 1{,}2\), \(|-0{,}3| = 0{,}3\), \(|0{,}7| = 0{,}7\) und \(|1{,}4| = 1{,}4\). Der größte Betrag ist somit \(1{,}4\) (gehört zu Punkt \(D\)). 4. Umwandlung von \(B = -0{,}3\) in einen gekürzten Bruch: \(-0{,}3 = -\frac{3}{10}\). Da \(3\) und \(10\) keinen gemeinsamen Teiler außer \(1\) haben, ist der Bruch bereits vollständig gekürzt. 5. Berechnung der Mitte zwischen \(A\) und \(C\): \(\frac{A + C}{2} = \frac{-1{,}2 + 0{,}7}{2} = \frac{-0{,}5}{2} = -0{,}25\).

a) \(A = -1{,}2\); \(B = -0{,}3\); \(C = 0{,}7\); \(D = 1{,}4\) b) Die Zahl mit dem größten Betrag ist \(1{,}4\) (Punkt \(D\)). c) \(B = -\frac{3}{10}\) d) Die Zahl in der Mitte ist \(-0{,}25\).

- Bestimme zuerst den Wert eines kleinen Abschnitts zwischen zwei beschrifteten ganzen Zahlen. - Beachte links von \(0\) das negative Vorzeichen. - Bestimme die Abstände, indem du die Teilintervalle zwischen den Markierungen zählst.

1. Zwischen zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen liegen \(4\) gleich große Abschnitte. Jeder Abschnitt entspricht \(0{,}25\) beziehungsweise \(\frac{1}{4}\). 2. \(A\) liegt bei \(-1{,}75=-\frac{7}{4}=-1\frac{3}{4}\). \(B\) liegt bei \(-0{,}5=-\frac{1}{2}\). \(C\) liegt bei \(0{,}25=\frac{1}{4}\). 3. Zwischen \(A\) und \(B\) liegen \(5\) Viertel-Schritte. Der Abstand ist daher \(5\cdot0{,}25=1{,}25=\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}\). 4. Zwischen \(B\) und \(C\) liegen \(3\) Viertel-Schritte. Der Abstand ist \(3\cdot0{,}25=0{,}75=\frac{3}{4}\).

a) \(A=-1{,}75=-\frac{7}{4}=-1\frac{3}{4}\); \(B=-0{,}5=-\frac{1}{2}\); \(C=0{,}25=\frac{1}{4}\). b) Abstand \(A\)–\(B\): \(1{,}25=\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}\); Abstand \(B\)–\(C\): \(0{,}75=\frac{3}{4}\).

- Schaue dir zuerst die beiden bereits beschrifteten Punkte auf der Zahlengeraden an. - Wie kannst du den Abstand zwischen diesen beiden Werten berechnen? - Zähle die kleinen Abschnitte zwischen den beiden bekannten Werten. Wie viel ist ein einzelner kleiner Abschnitt wert? - Wenn du die Schrittweite kennst, kannst du von einem bekannten Punkt aus Schritt für Schritt zu den gesuchten Punkten \(A\) und \(B\) zählen. Achte dabei auf die Richtung!

1. Bestimmung des Abstands zwischen den beiden gegebenen Werten \(-0{,}8\) und \(-0{,}2\): \(-0{,}2 - (-0{,}8) = 0{,}6\). 2. Bestimmung der Schrittweite eines einzelnen Teilstrichs: Zwischen den Werten liegen \(6\) Abschnitte, woraus sich eine Schrittweite von \(0{,}6 : 6 = 0{,}1\) ergibt. 3. Berechnung des Werts an Position \(A\): \(A\) liegt \(7\) Teilstriche rechts von \(-0{,}2\), also \(A = -0{,}2 + 7 \cdot 0{,}1 = 0{,}5\). 4. Berechnung des Werts an Position \(B\): \(B\) liegt \(5\) Teilstriche links von \(-0{,}8\), also \(B = -0{,}8 - 5 \cdot 0{,}1 = -1{,}3\).

\(A = 0{,}5\) und \(B = -1{,}3\)

- Bestimme zuerst den Wert eines einzelnen Teilstriches, indem du den Abstand zwischen \(0\) und \(1\) betrachtest. - Beachte das Vorzeichen: Werte links von \(0\) sind negativ, Werte rechts davon sind positiv. - Du kannst die Werte zuerst als Brüche ablesen und diese dann in Dezimalzahlen umwandeln. - Vergiss nicht, Brüche so weit wie möglich zu kürzen.

1. Zuerst bestimmen wir die Skalierung der Zahlengeraden. Der Abstand zwischen \(0\) und \(1\) ist in \(4\) gleich große Abschnitte unterteilt. Jeder Teilstrich entspricht daher einer Schrittweite von \(0{,}25\) bzw. \(\frac{1}{4}\). 2. Für den Punkt \(A\): Er befindet sich links von der Null, einen Schritt links von \(-1\). Das entspricht \(-1 - 0{,}25 = -1{,}25\). Als gemischte Zahl geschrieben ist dies \(-1\frac{1}{4}\) (bzw. als unechter Bruch \(-\frac{5}{4}\)). 3. Für den Punkt \(B\): Er liegt zwei Teilstriche links von \(0\). Das entspricht \(-2 \cdot 0{,}25 = -0{,}5\). Als gekürzter Bruch geschrieben ist dies \(-\frac{1}{2}\). 4. Für den Punkt \(C\): Er befindet sich drei Teilstriche rechts von \(0\). Das entspricht \(3 \cdot 0{,}25 = 0{,}75\). Als gekürzter Bruch geschrieben ist dies \(\frac{3}{4}\). 5. Für den Punkt \(D\): Er liegt genau in der Mitte zwischen \(1\) und \(2\), beim zweiten Teilstrich nach \(1\). Das entspricht \(1{,}5\). Als gemischte Zahl geschrieben ist dies \(1\frac{1}{2}\) (bzw. als unechter Bruch \(\frac{3}{2}\)).

\(A = -1{,}25\) bzw. \(-1\frac{1}{4}\) (oder \(-\frac{5}{4}\)), \(B = -0{,}5\) bzw. \(-\frac{1}{2}\), \(C = 0{,}75\) bzw. \(\frac{3}{4}\), \(D = 1{,}5\) bzw. \(1\frac{1}{2}\) (oder \(\frac{3}{2}\))

- Lies aus der Abbildung ab, wie viele gleich große Abschnitte die gesamte Skala hat. - Zähle, nach wie vielen Abschnitten der Punkt \(A\) liegt. - Vergleiche diese beiden Anzahlen und übertrage das Verhältnis auf den jeweils gegebenen Wert von \(A\).

1. Die Position von \(A\) liegt nach \(4\) von insgesamt \(20\) Abschnitten, also bei \(\frac{4}{20}=\frac{1}{5}\) der gesamten Skala. 2. Der Endwert ist deshalb jeweils das Fünffache des Werts bei \(A\). 3. a) \(5\cdot0{,}8=4\). b) \(5\cdot0{,}08=0{,}4\). c) \(5\cdot\frac{2}{5}=2\).

a) \(4\) b) \(0{,}4\) c) \(2\)

- Bestimme zuerst den Wert eines einzelnen kleinen Teilschritts auf der Skala. - Achte darauf, ob ein Punkt links oder rechts von der Null liegt. - Bei negativen Zahlen (links von der Null) werden die Werte nach links hin „kleiner“ (der Betrag wird größer). - Du kannst von einer bekannten Zahl aus in Schritten der Skalierung weiterzählen.

1. Bestimmung der Skalierung: Der Abstand zwischen \(0\) und \(0{,}1\) ist in \(5\) Intervalle unterteilt. Damit entspricht ein kleiner Teilstrich einem Wert von \(0{,}1 : 5 = 0{,}02\). 2. Ablesen der Werte unter Berücksichtigung des Vorzeichens: - Punkt \(P\) liegt \(3\) Teilstriche rechts von \(-0{,}5\): \(-0{,}5 + 3 \cdot 0{,}02 = -0{,}44\). - Punkt \(Q\) liegt \(1\) Teilstrich rechts von \(-0{,}2\): \(-0{,}2 + 0{,}02 = -0{,}18\). - Punkt \(R\) liegt \(3\) Teilstriche rechts von \(0\): \(0 + 3 \cdot 0{,}02 = 0{,}06\). - Punkt \(S\) liegt \(1\) Teilstrich rechts von \(0{,}3\): \(0{,}3 + 0{,}02 = 0{,}32\).

\(P = -0{,}44\); \(Q = -0{,}18\); \(R = 0{,}06\); \(S = 0{,}32\)

- Bestimme zuerst den Wert eines einzelnen kleinen Teilstriches, indem du den Abstand zwischen zwei beschrifteten Zahlen durch die Anzahl der Zwischenräume teilst. - Überprüfe deine Werte, indem du von einer bekannten Zahl aus in Schritten der Skalierung zählst. - Denke daran, dass Zahlen links von der Null ein negatives Vorzeichen haben. - Der Abstand zwischen zwei Punkten ist immer ein positiver Wert. Du kannst ihn durch Subtraktion der Werte oder durch Zählen der Teilstriche ermitteln.

1. Bestimmung der Skalierung: Der Bereich zwischen zwei beschrifteten Hauptmarkierungen, zum Beispiel zwischen \(0\) und \(0{,}5\), ist in \(5\) gleich große Intervalle unterteilt. Ein kleiner Teilstrich entspricht daher \(0{,}5 : 5 = 0{,}1\). 2. Ablesen der Werte: - Punkt \(A\) liegt zwei Teilstriche rechts von \(-1{,}5\): \(A = -1{,}5 + 2 \cdot 0{,}1 = -1{,}3\). - Punkt \(B\) liegt zwei Teilstriche rechts von \(-1{,}0\): \(B = -1{,}0 + 2 \cdot 0{,}1 = -0{,}8\). - Punkt \(C\) liegt drei Teilstriche rechts von \(-0{,}5\): \(C = -0{,}5 + 3 \cdot 0{,}1 = -0{,}2\). - Punkt \(D\) liegt vier Teilstriche rechts von \(0\): \(D = 0 + 4 \cdot 0{,}1 = 0{,}4\). 3. Berechnung des Abstands zwischen \(B\) und \(C\): Die Differenz der Werte ergibt \(|-0{,}2 - (-0{,}8)| = 0{,}6\). Alternativ lassen sich die \(6\) Teilstriche zwischen den Punkten zählen: \(6 \cdot 0{,}1 = 0{,}6\).

a) \(A = -1{,}3\); \(B = -0{,}8\); \(C = -0{,}2\); \(D = 0{,}4\) b) Der Abstand beträgt \(0{,}6\).

- Überlege dir zuerst, wie viel ein kleiner Schritt zwischen zwei Zehntel-Markierungen wert ist. - Um den Abstand zwischen zwei Punkten zu finden, kannst du die Differenz ihrer Werte berechnen.

1. Bestimmung der Skalierung: Zwischen den beschrifteten Zehnteln (zum Beispiel \(5{,}2\) und \(5{,}3\)) liegen 10 kleine Teilschritte. Ein kleiner Schritt entspricht somit \(0{,}01\). 2. Ablesen der Werte: Markierung A liegt 4 Schritte rechts von \(5{,}2\), also bei \(5{,}24\). Markierung B liegt 7 Schritte rechts von \(5{,}4\), also bei \(5{,}47\). 3. Berechnung des Abstands: Zur Bestimmung des Abstands subtrahiert man den kleineren Wert vom größeren Wert: \(5{,}47 - 5{,}24 = 0{,}23\).

A: \(5{,}24\) B: \(5{,}47\) Abstand: \(0{,}23\)

- Wie viele Abschnitte liegen zwischen \(0\) und \(1\)? Das sagt dir, was der Nenner deines Bruches ist. - Wenn ein Punkt links von der Null liegt, ist die Zahl negativ. - Du kannst Werte, die größer als \(1\) oder kleiner als \(-1\) sind, als gemischte Zahlen schreiben. - Vergiss nicht, Brüche wenn möglich zu kürzen.

1. Bestimmung der Skalierung: Der Abstand zwischen \(0\) und \(1\) ist in \(4\) gleich große Abschnitte unterteilt. Ein Teilstrich entspricht somit dem Wert \(\frac{1}{4}\). 2. Bestimmung der markierten Werte: - Punkt \(P\) liegt bei \(-1\) und \(3\) weiteren Vierteln nach links: \(-1\frac{3}{4}\). - Punkt \(Q\) liegt \(2\) Teilstriche links von \(0\): \(-\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}\). - Punkt \(R\) liegt \(3\) Teilstriche rechts von \(0\): \(\frac{3}{4}\). - Punkt \(S\) liegt bei \(1\) und einem weiteren Viertel nach rechts: \(1\frac{1}{4}\).

\(P = -1\frac{3}{4}\); \(Q = -\frac{1}{2}\); \(R = \frac{3}{4}\); \(S = 1\frac{1}{4}\)

- Bestimme zuerst aus zwei beschrifteten Werten, welchen Zahlenwert ein kleines Teilintervall hat. - Zähle dann für jeden Marker die kleinen Schritte von einem bekannten Wert aus. - Schreibe die Dezimalzahl anschließend als Bruch mit einer Zehnerpotenz im Nenner und kürze.

1. Zwischen den beschrifteten Werten \(0\) und \(1\) liegen \(8\) gleich große Teilintervalle. Ein kleiner Schritt entspricht daher \(1:8=0{,}125\). 2. \(A\) liegt bei \(-0{,}75\), \(B\) bei \(-0{,}375\), \(C\) bei \(0{,}125\), \(D\) bei \(0{,}5\) und \(E\) bei \(0{,}875\). 3. Umgewandelt und gekürzt gilt: \(-0{,}75=-\frac{3}{4}\), \(-0{,}375=-\frac{3}{8}\), \(0{,}125=\frac{1}{8}\), \(0{,}5=\frac{1}{2}\), \(0{,}875=\frac{7}{8}\).

\(A\): \(-0{,}75=-\frac{3}{4}\) \(B\): \(-0{,}375=-\frac{3}{8}\) \(C\): \(0{,}125=\frac{1}{8}\) \(D\): \(0{,}5=\frac{1}{2}\) \(E\): \(0{,}875=\frac{7}{8}\)

- Wie groß ist der Abstand zwischen zwei benachbarten Markierungen? - Zähle von der Null aus in Schritten der Skalierung nach links (negativ) oder rechts (positiv). - Denke beim Umwandeln in einen Bruch daran, so weit wie möglich zu kürzen.

1. Bestimmung der Skalierung: Der Abstand zwischen \(0\) und \(1\) ist in fünf gleich große Abschnitte unterteilt. Ein Teilstrich entspricht daher \(1 : 5 = 0{,}2\). 2. Ablesen der Werte und Umwandlung: Der Punkt \(P\) liegt einen Schritt links von \(-1\): \(-1 - 0{,}2 = -1{,}2\). Als Bruch: \(-\frac{12}{10} = -\frac{6}{5}\). Der Punkt \(Q\) liegt einen Schritt rechts von \(-1\): \(-1 + 0{,}2 = -0{,}8\). Als Bruch: \(-\frac{8}{10} = -\frac{4}{5}\). Der Punkt \(R\) liegt zwei Schritte links von \(0\): \(0 - 2\cdot 0{,}2 = -0{,}4\). Als Bruch: \(-\frac{4}{10} = -\frac{2}{5}\). Der Punkt \(S\) liegt einen Schritt rechts von \(0\): \(0 + 0{,}2 = 0{,}2\). Als Bruch: \(\frac{2}{10} = \frac{1}{5}\). Der Punkt \(T\) liegt drei Schritte rechts von \(0\): \(0 + 3\cdot 0{,}2 = 0{,}6\). Als Bruch: \(\frac{6}{10} = \frac{3}{5}\). Der Punkt \(U\) liegt zwei Schritte rechts von \(1\): \(1 + 2\cdot 0{,}2 = 1{,}4\). Als Bruch: \(\frac{14}{10} = \frac{7}{5}\).

\(P\): \(-1{,}2 = -\frac{6}{5}\) \(Q\): \(-0{,}8 = -\frac{4}{5}\) \(R\): \(-0{,}4 = -\frac{2}{5}\) \(S\): \(0{,}2 = \frac{1}{5}\) \(T\): \(0{,}6 = \frac{3}{5}\) \(U\): \(1{,}4 = \frac{7}{5}\)

- Bestimme zunächst den mathematischen Unterschied (den Abstand) zwischen den beiden gegebenen Werten. - Wie viele Teilstriche unterteilen diesen Abstand? - Nutze diese Information, um die Schrittweite der Skala zu berechnen. - Überlege dir, ob die Null links oder rechts von den beiden negativen Werten liegen muss.

1. Berechnung der Differenz zwischen den markierten Werten: \(-0{,}04 - (-0{,}12) = 0{,}08\). 2. Ermittlung der Anzahl der Teilabschnitte: Zwischen den Markierungen \(C\) und \(D\) befinden sich \(8\) gleich große Abschnitte. 3. Berechnung der Schrittweite: \(0{,}08 : 8 = 0{,}01\). Jeder Teilstrich steht somit für eine Änderung von \(0{,}01\). 4. Lokalisierung des Nullpunkts: Von \(D = -0{,}04\) aus fehlen noch \(0{,}04\) Einheiten bis zur Null. Bei einer Schrittweite von \(0{,}01\) sind dies \(0{,}04 : 0{,}01 = 4\) Schritte. 5. Richtung: Da man von einer negativen Zahl aus zur Null gelangen möchte, muss man sich in positive Richtung (also nach rechts) bewegen. 6. Ergebnis: Der Nullpunkt liegt \(4\) Teilstriche rechts von Punkt \(D\).

a) Die Schrittweite beträgt \(0{,}01\). b) Der Nullpunkt liegt \(4\) Teilstriche rechts von Punkt \(D\).

- Bestimme zuerst, welchen Wert ein einzelner kleiner Teilstrich auf der Zahlengeraden hat. - Zähle die Schritte von der Null oder einer anderen bekannten Markierung aus. - Achte auf das Vorzeichen: Zahlen links von der Null sind negativ. - Überprüfe, ob deine Lösung zwischen den benachbarten beschrifteten Werten liegt.

1. Skalierung in Teilaufgabe a) bestimmen: Der Abstand zwischen zwei benachbarten beschrifteten Werten beträgt \(1000\) und ist in \(4\) Teilschritte unterteilt. Ein kleiner Strich entspricht also \(1000:4=250\). 2. Werte in a) ablesen: \(A=-2250\), \(B=-750\), \(C=500\), \(D=1750\). 3. Skalierung in Teilaufgabe b) bestimmen: Der Abstand zwischen zwei benachbarten beschrifteten Werten beträgt \(0{,}1\) und ist in \(2\) Teilschritte unterteilt. Ein kleiner Strich entspricht also \(0{,}05\). 4. Werte in b) ablesen: \(E=-0{,}35\), \(F=-0{,}15\), \(G=0{,}25\), \(H=0{,}45\).

a) \(A=-2250\); \(B=-750\); \(C=500\); \(D=1750\) b) \(E=-0{,}35\); \(F=-0{,}15\); \(G=0{,}25\); \(H=0{,}45\)

- Zähle, in wie viele gleich große Teile die Strecke zwischen \(0\) und \(1\) (oder \(0\) und \(-1\)) geteilt wurde. Das gibt dir den Nenner. - Zähle von der Null aus, an welchem Teilstrich der Buchstabe steht. Das gibt dir den Zähler. - Achte bei Werten links von der Null auf das Minuszeichen. - Prüfe am Ende, ob du Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen kannst, um den Bruch zu kürzen.

1. Nenner für a) bestimmen: Der Bereich von \(0\) bis \(1\) ist in \(10\) gleich große Abschnitte unterteilt. Jeder Teilstrich entspricht also \(\frac{1}{10}\). 2. Werte für a) ablesen und kürzen: - \(A\) ist der 3. Strich: \(\frac{3}{10}\) - \(B\) ist der 5. Strich: \(\frac{5}{10} = \frac{1}{2}\) - \(C\) ist der 8. Strich: \(\frac{8}{10} = \frac{4}{5}\) 3. Nenner für b) bestimmen: Der Bereich von \(-1\) bis \(0\) ist in \(4\) gleich große Abschnitte unterteilt. Jeder Teilstrich entspricht also \(\frac{1}{4}\). 4. Werte für b) ablesen und kürzen: - \(D\) liegt 3 Schritte links von der Null: \(-\frac{3}{4}\) - \(E\) liegt 2 Schritte links von der Null: \(-\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}\) - \(F\) liegt 1 Schritt links von der Null: \(-\frac{1}{4}\)

a) \(A = \frac{3}{10}\); \(B = \frac{1}{2}\); \(C = \frac{4}{5}\) b) \(D = -\frac{3}{4}\); \(E = -\frac{1}{2}\); \(F = -\frac{1}{4}\)

- Bestimme zuerst die Schrittweite zwischen zwei benachbarten Teilstrichen. - Lies den Wert an der Markierung genau ab und achte dabei auf das Vorzeichen. - Schreibe die Dezimalzahl zuerst als Zehnerbruch, zum Beispiel mit Nenner \(10\) oder \(100\). - Suche den größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner, um den Bruch vollständig zu kürzen.

1. Ablesen der Dezimalwerte an der Zahlengeraden: \(P = -1{,}2\); \(Q = -0{,}4\); \(R = 0{,}8\) 2. Umwandlung in Brüche und Kürzen: \(P = -1{,}2 = -\frac{12}{10} = -\frac{6}{5}\) (oder \(-1\frac{1}{5}\)) \(Q = -0{,}4 = -\frac{4}{10} = -\frac{2}{5}\) \(R = 0{,}8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}\)

\(P = -1{,}2 = -\frac{6}{5}\) \(Q = -0{,}4 = -\frac{2}{5}\) \(R = 0{,}8 = \frac{4}{5}\)

- Dividiere den Zähler durch den Nenner, um den Dezimalbruch zu erhalten. - Achte darauf, ob die Dezimalzahl abbricht oder ob sie periodisch ist. - Kennzeichne die Periode mit einem Strich über der sich wiederholenden Ziffer. - Ordne die berechneten Werte der Größe nach, um sie leichter auf der Zahlengeraden zu finden.

1. Umwandlung der Brüche in Dezimalzahlen: \(-1\frac{1}{2} = -1{,}5\) \(-\frac{5}{6} = -0{,}833\dots = -0{,}8\overline{3}\) \(-\frac{1}{3} = -0{,}333\dots = -0{,}\overline{3}\) 2. Vergleich mit den Positionen auf der Zahlengeraden: \(A\) liegt bei \(-1{,}5\), also \(A = -1\frac{1}{2}\). \(B\) liegt bei etwa \(-0{,}83\), also \(B = -\frac{5}{6}\). \(C\) liegt bei etwa \(-0{,}33\), also \(C = -\frac{1}{3}\).

\(-1\frac{1}{2} = -1{,}5\) (Punkt \(A\)) \(-\frac{5}{6} = -0{,}8\overline{3}\) (Punkt \(B\)) \(-\frac{1}{3} = -0{,}\overline{3}\) (Punkt \(C\))

- Zähle die Abstände zwischen zwei großen Markierungen (wie \(0\) und \(1\)), um den Wert eines einzelnen Teilstriches zu finden. - Wandle die abgelesene Dezimalzahl in einen Bruch um, indem du die Stellen nach dem Komma betrachtest. - Denke daran, Brüche immer so weit wie möglich zu kürzen.

1. Bestimmung der Skalierung: Zwischen \(0\) und \(1\) liegen \(5\) Abschnitte, also entspricht ein Teilstrich \(1 : 5 = 0{,}2\). 2. Ablesen der Werte: \(K = 0{,}4\) \(L = 1{,}2\) \(M = 1{,}6\) 3. Umwandlung in Brüche: \(K = 0{,}4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}\) \(L = 1{,}2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}\) \(M = 1{,}6 = \frac{16}{10} = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5}\)

\(K = 0{,}4 = \frac{2}{5}\) \(L = 1{,}2 = 1\frac{1}{5}\) \(M = 1{,}6 = 1\frac{3}{5}\)

- Ermittle zuerst den Wert eines einzelnen Teilstriches, indem du den Abstand zwischen zwei bekannten Werten durch die Anzahl der Teilstriche dazwischen teilst. - Achte beim Ablesen auf die Richtung von der Null aus (links ist negativ, rechts ist positiv). - Erinnere dich: Die Gegenzahl einer Zahl \(x\) ist die Zahl \(-x\), die auf der Zahlengeraden den gleichen Abstand zur Null hat, aber auf der anderen Seite liegt.

1. Bestimmung der Skalierung für a): Der Bereich von \(0\) bis \(0{,}4\) ist in \(2\) Abschnitte unterteilt. Die Schrittweite beträgt daher \(0{,}4 : 2 = 0{,}2\). 2. Ablesen der Punkte in a): \(P\) liegt \(6\) Teilstriche links von der Null: \(6 \cdot (-0{,}2) = -1{,}2\). \(Q\) liegt \(3\) Teilstriche links: \(3 \cdot (-0{,}2) = -0{,}6\). \(R\) liegt \(4\) Teilstriche rechts: \(4 \cdot 0{,}2 = 0{,}8\). 3. Bestimmung der Skalierung für b): Von \(0\) bis \(-1\) liegen \(4\) gleich große Abschnitte. Die Schrittweite beträgt \(0{,}25\) beziehungsweise \(\frac{1}{4}\). Bei einem Schritt nach links ändert sich der Zahlenwert jeweils um \(-0{,}25\). 4. Ablesen der Punkte in b): \(S\) liegt \(7\) Teilstriche links von der Null (\(S = -1{,}75\) oder \(-1\frac{3}{4}\)). \(T\) liegt \(2\) Teilstriche links (\(T = -0{,}5\) oder \(-\frac{1}{2}\)). \(U\) liegt \(2\) Teilstriche rechts (\(U = 0{,}5\) oder \(\frac{1}{2}\)). 5. Gegenzahl in Teilaufgabe c): Die Gegenzahl einer Zahl hat den gleichen Betrag, aber das entgegengesetzte Vorzeichen. Die Gegenzahl von \(0{,}5\) ist \(-0{,}5\). Dies entspricht dem Punkt \(T\).

a) \(P = -1{,}2\); \(Q = -0{,}6\); \(R = 0{,}8\) b) \(S = -1{,}75\) (oder \(-1 \frac{3}{4}\)); \(T = -0{,}5\) (oder \(-\frac{1}{2}\)); \(U = 0{,}5\) (oder \(\frac{1}{2}\)) c) Der Punkt \(T\) stellt die Gegenzahl zu \(0{,}5\) dar.

- Bestimme zuerst, wie viele Teilstriche zwischen dem Pfeil und der Markierung „2“ liegen. - Berechne für jeden Fall, wie viel ein einzelner Schritt auf der Skala wert ist, indem du die Differenz der Zahlenwerte durch die Anzahl der Teilstriche teilst. - Wenn du die Schrittweite kennst, kannst du ausrechnen, wie viele Schritte du vom Pfeil aus gehen musst, um die Null zu erreichen. - Achte darauf, ob du nach links oder nach rechts gehen musst, um zur Null zu kommen.

1. Zunächst wird der Abstand zwischen dem Pfeil (Teilstrich 12) und der Markierung „2“ (Teilstrich 20) in Einheiten der Skala bestimmt: \(20 - 12 = 8\) Teilstriche. 2. Nun wird für jeden Fall die Wertigkeit eines Teilstrichs berechnet: a) Wertdifferenz: \(2 - 0{,}4 = 1{,}6\). Ein Teilstrich entspricht \(1{,}6 : 8 = 0{,}2\). Um vom Wert \(0{,}4\) (Pfeil) zur Null zu gelangen, muss man um \(0{,}4 : 0{,}2 = 2\) Teilstriche nach links gehen. Die Null liegt also bei Teilstrich \(12 - 2 = 10\). b) Wertdifferenz: \(2 - 1{,}2 = 0{,}8\). Ein Teilstrich entspricht \(0{,}8 : 8 = 0{,}1\). Um vom Wert \(1{,}2\) zur Null zu gelangen, muss man um \(1{,}2 : 0{,}1 = 12\) Teilstriche nach links gehen. Die Null liegt bei Teilstrich \(12 - 12 = 0\). c) Wertdifferenz: \(2 - (-2) = 4\). Ein Teilstrich entspricht \(4 : 8 = 0{,}5\). Um vom Wert \(-2\) zur Null zu gelangen, muss man um \(2 : 0{,}5 = 4\) Teilstriche nach rechts gehen. Die Null liegt bei Teilstrich \(12 + 4 = 16\).

a) Teilstrich 10 b) Teilstrich 0 c) Teilstrich 16