- Bestimme zuerst den Wert eines einzelnen Teilstrichs zwischen zwei beschrifteten Zahlen. - Zähle für jeden Punkt von \(0\) aus die benötigten Schritte. - Achte darauf, ob der Punkt links oder rechts von \(0\) liegt.

1. Zwischen \(0\) und \(1\) liegen vier gleich große Abschnitte. Ein Teilstrich entspricht \(0{,}25\). 2. Punkt \(P\) liegt zwei Teilstriche links von \(0\), also bei \(-0{,}5\). 3. Punkt \(Q\) liegt einen Teilstrich rechts von \(0\), also bei \(0{,}25\).

\(P=-0{,}5\), \(Q=0{,}25\)

- Zähle die Zwischenräume zwischen den beiden Markierungen, nicht die Teilstriche selbst. - Bestimme aus den beschrifteten Werten, welchen Zahlenwert ein kleiner Abschnitt hat. - Verbinde anschließend die Anzahl der Abschnitte mit der Schrittweite.

1. Zwischen \(A\) und \(B\) liegen fünf kleine Abschnitte. 2. Jeder kleine Abschnitt entspricht \(0{,}1\). 3. Der Abstand beträgt daher \(5\cdot 0{,}1=0{,}5\).

a) \(5\) kleine Abschnitte b) \(0{,}5\)

- Beginne bei \(0\) und zähle in Zehnteln nach rechts. - Notiere bei Bedarf den Wert nach jedem Schritt. - Höre auf, sobald du \(0{,}6\) erreicht hast.

1. Jeder Schritt verändert den Wert um \(0{,}1\). 2. Die Werte nach den Schritten sind \(0{,}1\), \(0{,}2\), \(0{,}3\), \(0{,}4\), \(0{,}5\), \(0{,}6\). 3. Daher sind sechs kleine Schritte nötig.

\(6\) kleine Schritte

- Prüfe jede vorgeschlagene Schrittweite darauf, welche Werte auf ihren Teilstrichen liegen. - Beide gesuchten Zahlen müssen mit derselben Skala exakt erreichbar sein. - Achte besonders auf die Hundertstelstellen \(5\) in beiden Zahlen.

1. Bei einer Schrittweite von \(0{,}05\) sind alle Vielfachen von \(0{,}05\) Teilstrichwerte. 2. Sowohl \(0{,}35\) als auch \(0{,}55\) sind Vielfache von \(0{,}05\). 3. Die Schrittweiten \(0{,}1\) und \(0{,}2\) treffen diese beiden Hundertstelwerte nicht genau. Geeignet ist \(0{,}05\).

\(0{,}05\)

- Unterscheide zwischen der Anzahl der Teilstriche und der Anzahl der Zwischenräume. - Die Schrittweite gehört zu einem Abstand zwischen zwei benachbarten Teilstrichen. - Teile die gesamte Strecke von \(0\) bis \(1\) durch die Zahl dieser Abstände.

1. Von \(0\) bis \(1\) sind zwar sechs Teilstriche sichtbar, aber zwischen ihnen liegen nur fünf gleich große Abschnitte. 2. Die Länge \(1\) wird daher in fünf gleiche Schritte geteilt. 3. Die Schrittweite ist \(\frac{1}{5}=0{,}2\). Noras Aussage ist falsch.

Noras Aussage ist falsch. Die Schrittweite beträgt \(\frac{1}{5}=0{,}2\).

- Bestimme zuerst den Wert eines kleinen Abschnitts und lies damit \(P\) ab. - Bei einer Spiegelung an \(0\) bleibt der Abstand zu \(0\) gleich. - Überlege für \(Q\), auf welcher Seite von \(0\) der Punkt liegen muss.

1. Ein kleiner Abschnitt entspricht \(0{,}2\). Daher liegt \(P\) bei \(-0{,}6\). 2. \(P\) hat den Abstand \(0{,}6\) von \(0\). 3. Der spiegelbildliche Punkt liegt auf der anderen Seite von \(0\), aber gleich weit entfernt. Daher gilt \(Q=0{,}6\).

a) \(P=-0{,}6\) b) \(Q=0{,}6\). Beide Punkte haben den Abstand \(0{,}6\) zu \(0\) und liegen auf verschiedenen Seiten.

- Bestimme zuerst, wie viel ein kleiner Schritt auf der Zahlengeraden wert ist. - Wähle einen Teilstrich, der nicht auf einem der beiden beschrifteten Randwerte liegt. - Prüfe deine Wahl mit zwei Vergleichszeichen.

1. Zwischen \(0{,}4\) und \(0{,}5\) liegen auf der Skala Hundertstelschritte. 2. Ein möglicher Teilstrich ist \(0{,}45\). 3. Es gilt \(0{,}4<0{,}45\) und \(0{,}45<0{,}5\).

Zum Beispiel \(0{,}45\), denn \(0{,}4<0{,}45<0{,}5\).

- Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand von \(0\). - Suche die beiden Punkte, die gleich weit links und rechts von \(0\) liegen. - Zähle für den Abstand die Abschnitte von \(-2{,}5\) bis \(2{,}5\).

1. Der Betrag gibt den Abstand von \(0\) an. Die beiden Zahlen mit dem Betrag \(2{,}5\) sind deshalb \(-2{,}5\) und \(2{,}5\). 2. Zwischen den beiden Markierungen liegen zehn Abschnitte von je einer halben Einheit. 3. Zehn halbe Einheiten ergeben \(5\) ganze Einheiten. Der Abstand beträgt also \(5\).

a) \(-2{,}5\) und \(2{,}5\) b) \(5\)

- Suche auf der Skala zuerst die Mitte zwischen \(-3\) und \(-2\). - Vergleiche die Lage jedes Punktes mit dieser Mitte. - Entscheide erst danach, zu welcher der beiden ganzen Zahlen der Punkt näher liegt.

1. Die Mitte zwischen \(-3\) und \(-2\) liegt bei \(-2{,}5\). 2. Punkte rechts von dieser Mitte liegen näher bei \(-2\); Punkte links davon näher bei \(-3\). 3. \(B\) und \(D\) liegen rechts von \(-2{,}5\). Daher liegen \(-\frac{7}{3}\) und \(-\frac{9}{4}\) näher bei \(-2\).

\(B\) und \(D\), also \(-\frac{7}{3}\) und \(-\frac{9}{4}\).

- Betrachte in jedem Bild die Abstände links und rechts von \(1\). - Zähle die Skalenabschnitte, statt mit negativen Zahlen zu subtrahieren. - Vergleiche nur, welcher der beiden Abstände kleiner ist.

1. In a) liegt \(A=\frac12\) einen halben Schritt von \(1\) entfernt. \(B=1{,}6\) liegt sechs Zehntel von \(1\) entfernt. Daher liegt \(A\) näher. 2. In b) liegt \(C=-\frac14\) weiter als eine ganze Einheit von \(1\) entfernt. \(D=2\) liegt genau eine Einheit von \(1\) entfernt. Daher liegt \(D\) näher.

a) \(A=\frac12\) b) \(D=2\)

- Bestimme zuerst, wie viel ein kleiner Abschnitt der Skala wert ist. - Zähle für jeden Punkt die kleinen Abschnitte bis \(-2\). - Der kleinste gezählte Abstand entscheidet.

1. Ein kleiner Abschnitt entspricht \(0{,}05\). 2. Punkt \(E\) liegt nur einen kleinen Abschnitt rechts von \(-2\). 3. Sein Wert ist \(-1{,}95\). Alle anderen Punkte liegen mindestens zwei kleine Abschnitte von \(-2\) entfernt.

Punkt \(E\) mit dem Wert \(-1{,}95\).

- Suche zuerst den Zielpunkt \(Z\) auf der Skala. - Vergleiche die waagerechten Abstände von \(A\), \(B\) und \(C\) zu \(Z\). - Du musst die drei Differenzen nicht ausrechnen, wenn die Skala die Abstände deutlich zeigt.

1. Auf der Skala liegt \(B\) direkt links von \(Z\) und nur \(0{,}01\) entfernt. 2. \(A\) liegt deutlich weiter links und \(C\) deutlich weiter rechts. 3. Damit ist \(B=\frac25\) der Bruch mit dem kleinsten Abstand zu \(0{,}41\).

\(B=\frac25\)

- Wandle beide Brüche zuerst in Dezimalzahlen um. - Suche dann die drei markierten Punkte auf der Skala. - Vergleiche die Abstände zu \(Z\), ohne sie voneinander abzuziehen.

1. Es gilt \(\frac16=0{,}1\overline{6}\) und \(\frac18=0{,}125\). 2. Auf der Zahlengeraden liegt \(A\) näher bei \(0{,}15\) als \(B\). 3. Daher liegt \(\frac16\) näher beim Zielwert.

\(\frac16=0{,}1\overline{6}\), \(\frac18=0{,}125\); näher bei \(0{,}15\) liegt \(\frac16\).

- Bestimme in jedem Bild zuerst die Schrittweite der Skala. - Zähle dann die Abschnitte zwischen den beiden markierten Punkten. - Vergleiche erst danach die beiden Abstände.

1. In a) liegen zwischen \(A\) und \(B\) zehn Abschnitte zu je \(2\). Der Abstand beträgt \(20\). 2. In b) liegen zwischen \(C\) und \(D\) sieben Abschnitte zu je \(2\). Der Abstand beträgt \(14\). 3. Damit liegt das Punktpaar in a) weiter auseinander.

a) Abstand \(20\) b) Abstand \(14\) Weiter auseinander liegt Paar a).

- Bestimme in jedem Bild zuerst die Schrittweite. - Zähle dann die Abschnitte zwischen den beiden markierten Punkten. - Vergleiche die beiden Ergebnisse erst am Schluss.

1. In a) liegen zwischen \(-\frac34\) und \(\frac14\) vier Viertelschritte. Der Abstand beträgt \(1\). 2. In b) liegen zwischen \(-0{,}4\) und \(1{,}5\) neunzehn Zehntelschritte. Der Abstand beträgt \(1{,}9\). 3. Damit ist der Abstand in b) größer.

a) \(1\) b) \(1{,}9\) c) Der Abstand in b) ist größer.

- Gehe von \(0\) aus in Schritten von \(0{,}2\). - Das Vorzeichen entscheidet, ob du nach links oder nach rechts gehst. - Zähle für jede Zahl die benötigten Schritte; jeder Schritt entspricht \(1\,\text{cm}\).

1. Von \(0\) bis \(-1{,}4\) sind es sieben Schritte zu je \(0{,}2\). Der Punkt liegt \(7\,\text{cm}\) links von \(0\). 2. Von \(0\) bis \(0{,}6\) sind es drei Schritte. Der Punkt liegt \(3\,\text{cm}\) rechts von \(0\). 3. Von \(0\) bis \(-0{,}8\) sind es vier Schritte. Der Punkt liegt \(4\,\text{cm}\) links von \(0\). 4. Von \(0\) bis \(1{,}2\) sind es sechs Schritte. Der Punkt liegt \(6\,\text{cm}\) rechts von \(0\). 5. Am weitesten links liegt \(-1{,}4\), am weitesten rechts \(1{,}2\).

a) \(-1{,}4\): \(7\,\text{cm}\) links; \(0{,}6\): \(3\,\text{cm}\) rechts; \(-0{,}8\): \(4\,\text{cm}\) links; \(1{,}2\): \(6\,\text{cm}\) rechts b) Am weitesten links: \(-1{,}4\); am weitesten rechts: \(1{,}2\)

- Schreibe \(1{,}25\) als Anzahl von Vierteln. - Ein Viertelschritt entspricht genau \(1\,\text{cm}\). - Das Minuszeichen führt nach links, ein positiver Wert nach rechts.

1. \(-1{,}25=-1\frac{1}{4}\) liegt fünf Viertelschritte von \(0\) entfernt. Der Punkt liegt also \(5\,\text{cm}\) links von \(0\). 2. \(\frac{3}{4}\) liegt drei Viertelschritte von \(0\) entfernt. Der Punkt liegt also \(3\,\text{cm}\) rechts von \(0\).

a) \(5\,\text{cm}\) links von \(0\) b) \(3\,\text{cm}\) rechts von \(0\)

- Nutze zwei beschriftete Werte und zähle die Abschnitte dazwischen. - Gehe für b) vom Punkt \(A\) Teilstrich für Teilstrich nach rechts. - Für c) brauchst du nur die kleinen Abschnitte zwischen den beiden angegebenen Zahlen zu zählen.

1. Zwischen \(-2\) und \(0\) liegen vier kleine Abschnitte. Zwei Einheiten werden also in vier gleiche Teile geteilt; ein Abschnitt entspricht \(0{,}5\). 2. Vom Punkt \(A\) bei \(-2\) geht es vier Schritte nach rechts: \(-1{,}5\), \(-1\), \(-0{,}5\), \(0\). Auf dem vierten Teilstrich liegt \(0\). 3. Von \(-0{,}5\) bis \(1{,}5\) lassen sich vier kleine Abschnitte zählen.

a) \(0{,}5\) b) \(0\) c) \(4\) Abschnitte

- Wie findest du die Zahl genau in der Mitte zwischen zwei rationalen Zahlen? - Kannst du dasselbe Verfahren mit dem neuen, kleineren Abstand zu \(0\) noch einmal anwenden? - Überlege, ob dieses Halbieren irgendwann aufhören muss.

1. Die Zahl genau zwischen \(0\) und \(\frac{3}{4}\) ist der Mittelwert: \(\frac{3}{8}\). 2. Die Zahl genau zwischen \(0\) und \(\frac{3}{8}\) ist \(\frac{3}{16}\). 3. Dasselbe Verfahren kann man mit jeder positiven rationalen Zahl wiederholen: Halbiert man sie, erhält man wieder eine positive rationale Zahl, die näher an \(0\) liegt. Deshalb gibt es bei den rationalen Zahlen keine positive Zahl direkt rechts neben \(0\).

a) \(\frac{3}{8}\) b) \(\frac{3}{16}\) c) Nein. Jede positive rationale Zahl kann halbiert werden; die Hälfte ist wieder positiv und rational und liegt noch näher an \(0\).

- Erweitere die Brüche auf den vorgegebenen Nenner. - Suche zwischen den beiden Zählern nach einer ganzen Zahl. - Überlege, ob du dieselbe Idee mit einem noch feineren Nenner wiederholen kannst.

1. Es gilt \(\frac{2}{3}=\frac{16}{24}\) und \(\frac{3}{4}=\frac{18}{24}\). 2. Dazwischen liegt \(\frac{17}{24}\). 3. Mit dem Nenner \(48\) gilt \(\frac{2}{3}=\frac{32}{48}\) und \(\frac{17}{24}=\frac{34}{48}\). Dazwischen liegt \(\frac{33}{48}\). 4. Dasselbe kann man immer wieder machen: Zwischen \(a\) und einer größeren rationalen Zahl lässt sich erneut eine rationale Zahl finden. Deshalb gibt es keine rationale Zahl, die direkt rechts neben \(a\) liegt.

a) \(\frac{2}{3}=\frac{16}{24}\), \(\frac{3}{4}=\frac{18}{24}\) b) \(\frac{17}{24}\) c) \(\frac{2}{3}=\frac{32}{48}\), \(\frac{17}{24}=\frac{34}{48}\); dazwischen liegt \(\frac{33}{48}\). d) Zwischen \(a\) und jeder größeren rationalen Zahl kann wieder eine rationale Zahl gefunden werden. Daher gibt es keine rationale Zahl direkt rechts neben \(a\).

- Bestimme zuerst den Wert eines einzelnen kleinen Schrittes, indem du den Abstand zwischen zwei beschrifteten Markierungen durch die Anzahl der Abschnitte dazwischen teilst. - Achte besonders auf das Vorzeichen: Zahlen links von der Null sind negativ, Zahlen rechts von der Null sind positiv. - Wenn du dich im negativen Bereich bewegst, zählen die Werte nach links hin immer weiter ins Negative. - Gehe von der am nächsten gelegenen beschrifteten Zahl aus und zähle die kleinen Schritte ab.

1. Zuerst bestimmen wir den Wert eines einzelnen kleinen Teilstriches. Zwischen den beschrifteten Hauptstrichen \(0\) und \(1\) liegen genau \(10\) Abschnitte. Das bedeutet, dass jeder kleine Schritt einen Wert von \(0{,}1\) hat, da \(1 : 10 = 0{,}1\) ist. 2. Für den Punkt \(A\): Die Markierung liegt im negativen Bereich, links von der Null. Wir starten bei \(-1\) und gehen zwei Teilstriche nach links. Da jeder Teilstrich \(0{,}1\) wert ist, liegt \(A\) bei \(-1 - 2\cdot 0{,}1 = -1{,}2\). 3. Für den Punkt \(B\): Die Markierung liegt ebenfalls links von der Null. Sie befindet sich \(4\) Teilstriche links von \(0\). Somit liegt \(B\) bei \(-0{,}4\). 4. Für den Punkt \(C\): Die Markierung liegt rechts von der Null. Sie befindet sich \(3\) Teilstriche rechts von \(0\). Somit liegt \(C\) bei \(0{,}3\). 5. Für den Punkt \(D\): Die Markierung liegt rechts von der Null. Sie befindet sich \(1\) Teilstrich rechts von \(1\). Somit liegt \(D\) bei \(1{,}1\).

\(A\): \(-1{,}2\), \(B\): \(-0{,}4\), \(C\): \(0{,}3\), \(D\): \(1{,}1\)

- Bestimme zuerst den Wert eines einzelnen Teilstrichs, indem du den Abstand zwischen zwei beschrifteten Zahlen durch die Anzahl der Abschnitte teilst. - Achte genau darauf, ob eine Markierung links oder rechts von der Null liegt. - Welche Richtung auf der Zahlengeraden steht für positive Werte, welche für negative Werte? - Zähle von einer bekannten Zahl aus in Schritten des Teilstrichwerts zur gesuchten Markierung hin.

1. Bestimme den Abstand zwischen zwei beschrifteten Hauptstrichen auf der Zahlengeraden, beispielsweise zwischen \(0\) und \(1\): \(1 - 0 = 1\) 2. Zähle die Anzahl der Teilabschnitte zwischen diesen beiden Hauptstrichen. Es sind genau \(10\) Abschnitte. 3. Berechne den Wert eines einzelnen Teilstrichs: \(1 : 10 = 0{,}1\) 4. Bestimme die Werte für die einzelnen Markierungen unter Beachtung der Vorzeichen: - \(P\) liegt \(2\) Teilstriche rechts von \(-2{,}0\) (oder \(8\) Teilstriche links von \(-1{,}0\)): \(-2{,}0 + 2 \cdot 0{,}1 = -1{,}8\) - \(Q\) liegt \(3\) Teilstriche rechts von \(-1{,}0\): \(-1{,}0 + 3 \cdot 0{,}1 = -0{,}7\) - \(R\) liegt \(1\) Teilstrich links von \(0\): \(0 - 1 \cdot 0{,}1 = -0{,}1\) - \(S\) liegt \(6\) Teilstriche rechts von \(0\): \(0 + 6 \cdot 0{,}1 = 0{,}6\) - \(T\) liegt \(3\) Teilstriche rechts von \(1\): \(1 + 3 \cdot 0{,}1 = 1{,}3\)

\(P = -1{,}8\), \(Q = -0{,}7\), \(R = -0{,}1\), \(S = 0{,}6\), \(T = 1{,}3\)

- Bestimme zuerst den Abstand zwischen zwei benachbarten Teilstrichen, indem du die Abschnitte zwischen \(0\) und \(1\) zählst. - Welchem Dezimalwert entspricht ein einzelner Schritt? - Achte genau auf das Vorzeichen: Liegt der Punkt links oder rechts von \(0\)? - Zähle die Schritte von der nächsten beschrifteten Zahl aus, um schneller zum Ergebnis zu kommen.

1. Bestimme den Wert eines einzelnen Teilstrichs: Zwischen \(0\) und \(1\) (bzw. zwischen \(0\) und \(-1\)) befinden sich \(5\) gleich große Abschnitte. Ein Teilstrich entspricht somit: \(\frac{1}{5} = 0{,}2\). 2. Bestimme den Wert für \(A\): Der Punkt \(A\) liegt links von \(0\) bei zwei Teilstrichen links von \(-1\). \(A = -1 - 2 \cdot 0{,}2 = -1{,}4\). 3. Bestimme den Wert für \(B\): Der Punkt \(B\) liegt links von \(0\) bei drei Teilstrichen links von \(0\). \(B = -3 \cdot 0{,}2 = -0{,}6\). 4. Bestimme den Wert für \(C\): Der Punkt \(C\) liegt rechts von \(0\) bei vier Teilstrichen rechts von \(0\). \(C = 4 \cdot 0{,}2 = 0{,}8\).

\(A = -1{,}4\) \(B = -0{,}6\) \(C = 0{,}8\)

- Wie viele Abschnitte liegen zwischen \(0\) und \(1\)? Das sagt dir, was der Nenner deines Bruches ist. - Wenn ein Punkt links von der Null liegt, ist die Zahl negativ. - Du kannst Werte, die größer als \(1\) oder kleiner als \(-1\) sind, als gemischte Zahlen schreiben. - Vergiss nicht, Brüche wenn möglich zu kürzen.

1. Bestimmung der Skalierung: Der Abstand zwischen \(0\) und \(1\) ist in \(4\) gleich große Abschnitte unterteilt. Ein Teilstrich entspricht somit dem Wert \(\frac{1}{4}\). 2. Bestimmung der markierten Werte: - Punkt \(P\) liegt bei \(-1\) und \(3\) weiteren Vierteln nach links: \(-1\frac{3}{4}\). - Punkt \(Q\) liegt \(2\) Teilstriche links von \(0\): \(-\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}\). - Punkt \(R\) liegt \(3\) Teilstriche rechts von \(0\): \(\frac{3}{4}\). - Punkt \(S\) liegt bei \(1\) und einem weiteren Viertel nach rechts: \(1\frac{1}{4}\).

\(P = -1\frac{3}{4}\); \(Q = -\frac{1}{2}\); \(R = \frac{3}{4}\); \(S = 1\frac{1}{4}\)

- Bestimme zuerst, in wie viele gleich große Abschnitte die Strecke von \(0\) bis \(1\) geteilt ist. - Links von \(0\) liegen negative Zahlen, rechts davon positive Zahlen. - Zähle von \(0\) aus die Abschnitte bis zu jeder Markierung.

1. Der Abstand von \(0\) zu \(1\) ist in vier gleich große Abschnitte geteilt. Ein Abschnitt entspricht \(\frac{1}{4}\). 2. \(X\) liegt drei Abschnitte links von \(0\), also bei \(-\frac{3}{4}\). 3. \(Y\) liegt einen Abschnitt links von \(0\), also bei \(-\frac{1}{4}\). 4. \(Z\) liegt zwei Abschnitte rechts von \(0\), also bei \(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\).

\(X=-\frac{3}{4}\), \(Y=-\frac{1}{4}\), \(Z=\frac{1}{2}\)

- Bestimme zuerst, welchen Wert ein kleiner Abschnitt zwischen zwei beschrifteten Zehnteln hat. - Zähle danach von einer beschrifteten Marke bis zum gesuchten Punkt. - Achte links von \(0\) auf das Minuszeichen.

1. Zwischen zwei benachbarten Zehntelmarken liegt jeweils noch ein Teilstrich. Ein kleiner Abschnitt entspricht daher \(0{,}05\). 2. \(P\) liegt bei \(-0{,}35\), \(Q\) bei \(-0{,}15\), \(R\) bei \(0{,}25\) und \(S\) bei \(0{,}45\).

\(P=-0{,}35\), \(Q=-0{,}15\), \(R=0{,}25\), \(S=0{,}45\)

- Ermittle die Schrittweite der Skala, bevor du die Buchstaben abliest. - Für die Reihenfolge kannst du die Punkte direkt von links nach rechts betrachten. - Eine Zahl und ihre Gegenzahl liegen gleich weit von \(0\) entfernt, aber auf verschiedenen Seiten.

1. Ein kleiner Teilstrich entspricht \(0{,}25\). Daher gilt \(A=-0{,}75\), \(B=0{,}25\) und \(C=0{,}75\). 2. Von links nach rechts erhält man \(-0{,}75 < 0{,}25 < 0{,}75\). 3. Die Gegenzahl zu \(-0{,}75\) ist \(0{,}75\). Sie wird durch Punkt \(C\) dargestellt.

a) \(A=-0{,}75\), \(B=0{,}25\), \(C=0{,}75\) b) \(-0{,}75 < 0{,}25 < 0{,}75\) c) Punkt \(C\)

- Zähle zuerst die Zwischenräume von \(0\) bis zum Punkt \(A\). - Teile den gegebenen Wert von \(A\) durch diese Anzahl der Abschnitte. - Gehe danach von \(0\) aus bis \(B\) und achte auf die Richtung nach links.

1. Von \(0\) bis \(A\) liegen drei gleich große Abschnitte. 2. Wenn drei Abschnitte zusammen \(0{,}6\) ergeben, hat ein Abschnitt den Wert \(0{,}6:3=0{,}2\). 3. \(B\) liegt zwei Abschnitte links von \(0\). Daher ist \(B=-0{,}4\).

a) \(0{,}2\) b) \(B=-0{,}4\)

- Schreibe die Randzahlen bei Bedarf als \(-0{,}30\) und \(-0{,}20\). - Denke bei negativen Zahlen an die Zahlengerade: Weiter rechts bedeutet größer. - Prüfe beide gewählten Zahlen mit einer vollständigen Ungleichungskette.

1. Gesucht sind Zahlen, die größer als \(-0{,}3\), aber kleiner als \(-0{,}2\) sind. 2. Zwei mögliche Zahlen sind \(-0{,}28\) und \(-0{,}25\). 3. Auf der Zahlengeraden liegen sie in der Reihenfolge \(-0{,}3<-0{,}28<-0{,}25<-0{,}2\).

Zum Beispiel \(-0{,}28\) und \(-0{,}25\). Es gilt \(-0{,}3<-0{,}28<-0{,}25<-0{,}2\).

- Schreibe \(0{,}7\) auch als \(0{,}700\), damit du leichter eine Zahl dazwischen findest. - Suche zuerst nur ein Gegenbeispiel zu Leas Behauptung. - Überlege danach, ob du denselben Trick zwischen der linken Randzahl und deiner neuen Zahl noch einmal anwenden kannst.

1. Leas Aussage ist falsch. Zum Beispiel gilt \(0{,}7<0{,}705<0{,}71\). 2. Damit liegt bereits eine rationale Zahl zwischen \(0{,}7\) und \(0{,}71\). 3. Auch zwischen \(0{,}7\) und \(0{,}705\) kann man wieder eine Zahl finden, zum Beispiel \(0{,}7025\). 4. Deshalb gibt es bei rationalen Zahlen keinen direkten Nachfolger: Zwischen zwei verschiedenen rationalen Zahlen liegt immer noch eine weitere rationale Zahl.

Lea hat nicht recht. Zum Beispiel liegt \(0{,}705\) zwischen \(0{,}7\) und \(0{,}71\). Daher kann \(0{,}71\) nicht der direkte Nachfolger von \(0{,}7\) sein. Bei rationalen Zahlen gibt es keinen unmittelbaren Nachfolger.

- Bestimme zuerst, welchen Bruchteil ein kleiner Schritt zwischen \(0{,}5\) und \(1\) darstellt. - Zähle die Teilstriche von \(0{,}5\) aus bis zu \(A\), zum mittleren Teilstrich und zu \(B\). - Überlege bei c), was mit einem Abschnitt geschieht, wenn du ihn in zwei gleich große Teile teilst.

1. Von \(0{,}5=\frac{8}{16}\) bis \(1=\frac{16}{16}\) ist die Zahlengerade in Acht gleich große Abschnitte geteilt. Jeder kleine Schritt entspricht also \(\frac{1}{16}\). 2. Punkt \(A\) liegt bei \(\frac{10}{16}=\frac{5}{8}\), Punkt \(B\) bei \(\frac{12}{16}=\frac{3}{4}\). 3. Der Teilstrich genau zwischen \(A\) und \(B\) gehört zu \(\frac{11}{16}\). 4. Wird jeder kleine Abschnitt erneut halbiert, entsteht zwischen zwei bisherigen Nachbarpunkten jeweils ein neuer Teilstrich. Auch diese neuen Werte lassen sich als Brüche schreiben und sind deshalb rationale Zahlen. Das Halbieren kann immer weiter fortgesetzt werden.

a) \(A=\frac{5}{8}\), \(B=\frac{3}{4}\) b) \(\frac{11}{16}\) c) Durch jedes weitere Halbieren entstehen neue Teilstriche zwischen bisherigen Punkten. Ihre Werte sind wieder Brüche und damit rationale Zahlen.

- Zähle in a) zuerst die gleich großen Abschnitte zwischen \(A\) und \(B\). - Nutze in b) die Viertelschritte der Skala, statt eine Differenz zu berechnen. - Vergleiche in c) die Abstände von \(P\) und \(Q\) zu \(0\).

1. In a) liegen zwischen \(A\) und \(B\) zehn gleich große Abschnitte. Nach fünf Abschnitten liegt die Mitte bei \(1{,}6\). 2. In b) liegen zwischen \(C\) und \(D\) acht Viertelschritte. Das sind \(8\cdot\frac14=2\). 3. In c) liegt \(P\) bei \(-2\) und hat Abstand \(2\) von \(0\). Der doppelte Abstand ist \(4\). Auf der positiven Seite liegt \(Q\) daher bei \(4\).

a) \(1{,}6\) b) \(2\) c) \(4\)

- Bestimme in jeder Abbildung zuerst den Wert eines kleinen Schritts. - Prüfe danach, welche ganze Zahl links oder rechts am nächsten liegt. - Bestimme den Abstand durch Zählen der kleinen Abschnitte, nicht durch eine Rechnung mit negativen Zahlen.

1. a) Der Punkt liegt bei \(3{,}8\). Die nächstgelegene ganze Zahl ist \(4\). Zwei Schritte von je \(0{,}1\) ergeben den Abstand \(0{,}2\). 2. b) Der Punkt liegt bei \(-1{,}25\). Die nächstgelegene ganze Zahl ist \(-1\). Ein Schritt von \(0{,}25\) ergibt den Abstand \(0{,}25\). 3. c) Der Punkt liegt bei \(-3{,}2\). Die nächstgelegene ganze Zahl ist \(-3\). Zwei Schritte von je \(0{,}1\) ergeben den Abstand \(0{,}2\). 4. d) Der Punkt liegt bei \(0{,}45\). Die nächstgelegene ganze Zahl ist \(0\). Neun Schritte von je \(0{,}05\) ergeben den Abstand \(0{,}45\).

a) Wert \(3{,}8\); nächste ganze Zahl \(4\); Abstand \(0{,}2\) b) Wert \(-1{,}25\); nächste ganze Zahl \(-1\); Abstand \(0{,}25\) c) Wert \(-3{,}2\); nächste ganze Zahl \(-3\); Abstand \(0{,}2\) d) Wert \(0{,}45\); nächste ganze Zahl \(0\); Abstand \(0{,}45\)

- Zähle für jeden Punkt die kleinen Abschnitte bis \(-2\). - Schreibe dir die fünf Anzahlen zuerst getrennt auf. - Achte darauf, ob zwei Punkte gleich weit von \(-2\) entfernt liegen.

1. Ein kleiner Abschnitt entspricht \(0{,}05\). 2. \(E\) liegt einen Abschnitt von \(-2\) entfernt, \(C\) zwei, \(B\) und \(D\) jeweils vier und \(A\) fünf Abschnitte. 3. Daher gilt für die Abstände: \(E<C<B=D<A\).

\(E<C<B=D<A\)

- Gegenzahlen haben denselben Abstand von \(0\). - Teile den gesamten Abstand der beiden Gegenzahlen in zwei gleich große Hälften. - Beim zweimaligen Bilden der Gegenzahl wechselst du das Vorzeichen zweimal.

1. Gegenzahlen haben denselben Abstand von \(0\). Die Hälfte von \(15\) ist \(7{,}5\). Die beiden Zahlen sind daher \(-7{,}5\) und \(7{,}5\). 2. Eine Zahl und ihre Gegenzahl liegen gleich weit auf verschiedenen Seiten von \(0\). Ihre Mitte ist deshalb immer \(0\). 3. Die Gegenzahl von \(-8{,}3\) ist \(8{,}3\). Deren Gegenzahl ist wieder \(-8{,}3\).

1. \(-7{,}5\) und \(7{,}5\) 2. Bei \(0\) 3. \(-8{,}3\)

- Bestimme zuerst den Wert eines kleinen Abschnitts der Zahlengeraden. - Für den Betrag zählt nur der Abstand von \(0\), nicht das Vorzeichen. - Schreibe \(-0{,}3\) zunächst als Zehntelbruch und kürze nur, wenn es möglich ist. - Für d) zähle die kleinen Abschnitte direkt zwischen den Markierungen \(B\) und \(C\).

1. Zwischen \(0\) und \(0{,}5\) liegen fünf gleich große Abschnitte. Ein kleiner Schritt entspricht daher \(0{,}1\). 2. Abgelesen erhält man \(A=-1{,}2\), \(B=-0{,}3\), \(C=0{,}7\) und \(D=1{,}4\). 3. Die Beträge sind \(1{,}2\), \(0{,}3\), \(0{,}7\) und \(1{,}4\). Den größten Betrag hat daher \(D\) mit \(1{,}4\). 4. Es gilt \(-0{,}3=-\frac{3}{10}\). Der Bruch ist vollständig gekürzt. 5. Von \(B\) bis \(C\) lassen sich zehn kleine Abschnitte zählen. Bei \(0{,}1\) pro Abschnitt beträgt der Abstand \(1\).

a) \(A=-1{,}2\); \(B=-0{,}3\); \(C=0{,}7\); \(D=1{,}4\) b) \(D\) mit dem Betrag \(1{,}4\) c) \(-\frac{3}{10}\) d) \(10\) kleine Abschnitte; Abstand \(1\)

- Bestimme zuerst den Wert eines kleinen Abschnitts zwischen zwei beschrifteten ganzen Zahlen. - Beachte links von \(0\) das negative Vorzeichen. - Bestimme die Abstände, indem du die Teilintervalle zwischen den Markierungen zählst.

1. Zwischen zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen liegen \(4\) gleich große Abschnitte. Jeder Abschnitt entspricht \(0{,}25\) beziehungsweise \(\frac{1}{4}\). 2. \(A\) liegt bei \(-1{,}75=-\frac{7}{4}=-1\frac{3}{4}\). \(B\) liegt bei \(-0{,}5=-\frac{1}{2}\). \(C\) liegt bei \(0{,}25=\frac{1}{4}\). 3. Zwischen \(A\) und \(B\) liegen \(5\) Viertel-Schritte. Der Abstand ist daher \(5\cdot0{,}25=1{,}25=\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}\). 4. Zwischen \(B\) und \(C\) liegen \(3\) Viertel-Schritte. Der Abstand ist \(3\cdot0{,}25=0{,}75=\frac{3}{4}\).

a) \(A=-1{,}75=-\frac{7}{4}=-1\frac{3}{4}\); \(B=-0{,}5=-\frac{1}{2}\); \(C=0{,}25=\frac{1}{4}\). b) Abstand \(A\)–\(B\): \(1{,}25=\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}\); Abstand \(B\)–\(C\): \(0{,}75=\frac{3}{4}\).

- Zähle zuerst die gleich großen Abschnitte zwischen \(-0{,}8\) und \(-0{,}2\). - Schreibe die Werte der Teilstriche zwischen den beiden bekannten Zahlen der Reihe nach auf. - Wenn du die Schrittweite kennst, zähle von einem bekannten Wert bis zu \(A\) und \(B\).

1. Zwischen \(-0{,}8\) und \(-0{,}2\) liegen sechs gleich große Abschnitte. Die Werte an den Teilstrichen lauten der Reihe nach \(-0{,}8\), \(-0{,}7\), \(-0{,}6\), \(-0{,}5\), \(-0{,}4\), \(-0{,}3\), \(-0{,}2\). Ein Schritt entspricht also \(0{,}1\). 2. Von \(-0{,}2\) aus liegt \(A\) sieben Schritte rechts: \(-0{,}1\), \(0\), \(0{,}1\), \(0{,}2\), \(0{,}3\), \(0{,}4\), \(0{,}5\). Daher ist \(A=0{,}5\). 3. Von \(-0{,}8\) aus liegt \(B\) fünf Schritte links. Die Werte sind \(-0{,}9\), \(-1{,}0\), \(-1{,}1\), \(-1{,}2\), \(-1{,}3\). Daher ist \(B=-1{,}3\).

\(A=0{,}5\), \(B=-1{,}3\)

- Bestimme zuerst den Wert eines einzelnen Teilstriches, indem du den Abstand zwischen \(0\) und \(1\) betrachtest. - Beachte das Vorzeichen: Werte links von \(0\) sind negativ, Werte rechts davon sind positiv. - Du kannst die Werte zuerst als Brüche ablesen und diese dann in Dezimalzahlen umwandeln. - Vergiss nicht, Brüche so weit wie möglich zu kürzen.

1. Zuerst bestimmen wir die Skalierung der Zahlengeraden. Der Abstand zwischen \(0\) und \(1\) ist in \(4\) gleich große Abschnitte unterteilt. Jeder Teilstrich entspricht daher einer Schrittweite von \(0{,}25\) bzw. \(\frac{1}{4}\). 2. Für den Punkt \(A\): Er befindet sich links von der Null, einen Schritt links von \(-1\). Das entspricht \(-1 - 0{,}25 = -1{,}25\). Als gemischte Zahl geschrieben ist dies \(-1\frac{1}{4}\) (bzw. als unechter Bruch \(-\frac{5}{4}\)). 3. Für den Punkt \(B\): Er liegt zwei Teilstriche links von \(0\). Das entspricht \(-2 \cdot 0{,}25 = -0{,}5\). Als gekürzter Bruch geschrieben ist dies \(-\frac{1}{2}\). 4. Für den Punkt \(C\): Er befindet sich drei Teilstriche rechts von \(0\). Das entspricht \(3 \cdot 0{,}25 = 0{,}75\). Als gekürzter Bruch geschrieben ist dies \(\frac{3}{4}\). 5. Für den Punkt \(D\): Er liegt genau in der Mitte zwischen \(1\) und \(2\), beim zweiten Teilstrich nach \(1\). Das entspricht \(1{,}5\). Als gemischte Zahl geschrieben ist dies \(1\frac{1}{2}\) (bzw. als unechter Bruch \(\frac{3}{2}\)).

\(A = -1{,}25\) bzw. \(-1\frac{1}{4}\) (oder \(-\frac{5}{4}\)), \(B = -0{,}5\) bzw. \(-\frac{1}{2}\), \(C = 0{,}75\) bzw. \(\frac{3}{4}\), \(D = 1{,}5\) bzw. \(1\frac{1}{2}\) (oder \(\frac{3}{2}\))

- Lies aus der Abbildung ab, wie viele gleich große Abschnitte die gesamte Skala hat. - Zähle, nach wie vielen Abschnitten der Punkt \(A\) liegt. - Vergleiche diese beiden Anzahlen und übertrage das Verhältnis auf den jeweils gegebenen Wert von \(A\).

1. Die Position von \(A\) liegt nach \(4\) von insgesamt \(20\) Abschnitten, also bei \(\frac{4}{20}=\frac{1}{5}\) der gesamten Skala. 2. Der Endwert ist deshalb jeweils das Fünffache des Werts bei \(A\). 3. a) \(5\cdot0{,}8=4\). b) \(5\cdot0{,}08=0{,}4\). c) \(5\cdot\frac{2}{5}=2\).

a) \(4\) b) \(0{,}4\) c) \(2\)

- Bestimme zuerst den Wert eines kleinen Abschnitts zwischen zwei beschrifteten Zehnteln. - Achte darauf, ob ein Punkt links oder rechts von \(0\) liegt. - Zähle von einer nahen beschrifteten Zahl aus Schritt für Schritt zur Markierung.

1. Zwischen \(0\) und \(0{,}1\) liegen fünf gleich große Abschnitte. Ein kleiner Schritt entspricht daher \(0{,}02\). 2. Punkt \(P\) liegt drei Schritte rechts von \(-0{,}5\) und damit bei \(-0{,}44\). 3. Punkt \(Q\) liegt einen Schritt rechts von \(-0{,}2\) und damit bei \(-0{,}18\). 4. Punkt \(R\) liegt drei Schritte rechts von \(0\) und damit bei \(0{,}06\). 5. Punkt \(S\) liegt einen Schritt rechts von \(0{,}3\) und damit bei \(0{,}32\).

\(P=-0{,}44\); \(Q=-0{,}18\); \(R=0{,}06\); \(S=0{,}32\)

- Bestimme zuerst den Wert eines kleinen Abschnitts. - Lies die vier Markierungen von einer nahen beschrifteten Zahl aus ab. - Für den Abstand zwischen \(B\) und \(C\) zähle nur die kleinen Abschnitte zwischen den beiden Punkten.

1. Zwischen \(0\) und \(0{,}5\) liegen fünf gleich große Abschnitte. Ein kleiner Schritt entspricht daher \(0{,}1\). 2. Abgelesen gilt \(A=-1{,}3\), \(B=-0{,}8\), \(C=-0{,}2\) und \(D=0{,}4\). 3. Zwischen \(B\) und \(C\) liegen sechs kleine Abschnitte. Jeder entspricht \(0{,}1\), also beträgt der Abstand \(0{,}6\).

a) \(A=-1{,}3\); \(B=-0{,}8\); \(C=-0{,}2\); \(D=0{,}4\) b) \(0{,}6\)

- Bestimme zuerst den Wert eines kleinen Schritts zwischen zwei benachbarten Zehnteln. - Lies dann die beiden Markierungen von einer nahen beschrifteten Zahl aus ab. - Für den Abstand kannst du die kleinen Schritte zwischen \(A\) und \(B\) zählen.

1. Zwischen zwei beschrifteten Zehnteln, zum Beispiel \(5{,}2\) und \(5{,}3\), liegen zehn kleine Abschnitte. Ein kleiner Schritt entspricht \(0{,}01\). 2. Markierung \(A\) liegt vier Schritte rechts von \(5{,}2\), also bei \(5{,}24\). Markierung \(B\) liegt sieben Schritte rechts von \(5{,}4\), also bei \(5{,}47\). 3. Zwischen \(A\) und \(B\) liegen \(23\) kleine Schritte. Bei \(0{,}01\) pro Schritt beträgt der Abstand \(0{,}23\).

\(A=5{,}24\) \(B=5{,}47\) Abstand: \(0{,}23\)

- Bestimme aus den beschrifteten Werten, welchen Zahlenwert ein kleiner Abschnitt hat. - Zähle für jeden Punkt die kleinen Schritte von einem bekannten Wert aus. - Wandle die abgelesene Dezimalzahl anschließend in einen Bruch um und kürze vollständig.

1. Zwischen \(0\) und \(1\) liegen acht gleich große Abschnitte. Ein kleiner Schritt entspricht daher \(\frac{1}{8}=0{,}125\). 2. Die markierten Werte sind \(A=-0{,}75\), \(B=-0{,}375\), \(C=0{,}125\), \(D=0{,}5\) und \(E=0{,}875\). 3. Als vollständig gekürzte Brüche gilt: \(-0{,}75=-\frac{3}{4}\), \(-0{,}375=-\frac{3}{8}\), \(0{,}125=\frac{1}{8}\), \(0{,}5=\frac{1}{2}\), \(0{,}875=\frac{7}{8}\).

\(A\): \(-0{,}75=-\frac{3}{4}\) \(B\): \(-0{,}375=-\frac{3}{8}\) \(C\): \(0{,}125=\frac{1}{8}\) \(D\): \(0{,}5=\frac{1}{2}\) \(E\): \(0{,}875=\frac{7}{8}\)

- Wie groß ist der Abstand zwischen zwei benachbarten Markierungen? - Zähle von der Null aus in Schritten der Skalierung nach links (negativ) oder rechts (positiv). - Denke beim Umwandeln in einen Bruch daran, so weit wie möglich zu kürzen.

1. Bestimmung der Skalierung: Der Abstand zwischen \(0\) und \(1\) ist in fünf gleich große Abschnitte unterteilt. Ein Teilstrich entspricht daher \(1 : 5 = 0{,}2\). 2. Ablesen der Werte und Umwandlung: Der Punkt \(P\) liegt einen Schritt links von \(-1\): \(-1 - 0{,}2 = -1{,}2\). Als Bruch: \(-\frac{12}{10} = -\frac{6}{5}\). Der Punkt \(Q\) liegt einen Schritt rechts von \(-1\): \(-1 + 0{,}2 = -0{,}8\). Als Bruch: \(-\frac{8}{10} = -\frac{4}{5}\). Der Punkt \(R\) liegt zwei Schritte links von \(0\): \(0 - 2\cdot 0{,}2 = -0{,}4\). Als Bruch: \(-\frac{4}{10} = -\frac{2}{5}\). Der Punkt \(S\) liegt einen Schritt rechts von \(0\): \(0 + 0{,}2 = 0{,}2\). Als Bruch: \(\frac{2}{10} = \frac{1}{5}\). Der Punkt \(T\) liegt drei Schritte rechts von \(0\): \(0 + 3\cdot 0{,}2 = 0{,}6\). Als Bruch: \(\frac{6}{10} = \frac{3}{5}\). Der Punkt \(U\) liegt zwei Schritte rechts von \(1\): \(1 + 2\cdot 0{,}2 = 1{,}4\). Als Bruch: \(\frac{14}{10} = \frac{7}{5}\).

\(P\): \(-1{,}2 = -\frac{6}{5}\) \(Q\): \(-0{,}8 = -\frac{4}{5}\) \(R\): \(-0{,}4 = -\frac{2}{5}\) \(S\): \(0{,}2 = \frac{1}{5}\) \(T\): \(0{,}6 = \frac{3}{5}\) \(U\): \(1{,}4 = \frac{7}{5}\)

- Zähle zuerst die Abschnitte zwischen \(P\) und der Markierung \(2\). - Überlege, wie viele Zehntel zwischen \(0{,}4\) und \(2{,}0\) liegen und verteile sie auf diese Abschnitte. - Gehe danach von \(P\) in passenden Schritten zurück bis zum Wert \(0\).

1. Zwischen \(P\) und der Markierung \(2\) liegen acht gleich große Abschnitte. 2. Von \(0{,}4\) bis \(2{,}0\) sind es sechzehn Zehntel. Auf acht Abschnitte verteilt sind das pro Abschnitt zwei Zehntel, also \(0{,}2\). 3. Von \(P=0{,}4\) sind es zwei Schritte zu je \(0{,}2\) nach links bis \(0\). 4. \(P\) liegt am Teilstrich \(12\). Deshalb liegt \(0\) am Teilstrich \(10\).

Teilstrich \(10\).

- Zähle die gleich großen Abschnitte zwischen den beiden beschrifteten Werten. - Schreibe die Hundertstelwerte von \(-0{,}12\) bis \(-0{,}04\) der Reihe nach auf. - Gehe von \(-0{,}04\) anschließend in derselben Schrittweite weiter bis \(0\).

1. Punkt \(C\) liegt bei \(-0{,}12\), Punkt \(D\) bei \(-0{,}04\). Zwischen ihnen liegen acht gleich große Abschnitte. 2. Die Werte an den Teilstrichen laufen in Hundertsteln: \(-0{,}12\), \(-0{,}11\), \(-0{,}10\), \(-0{,}09\), \(-0{,}08\), \(-0{,}07\), \(-0{,}06\), \(-0{,}05\), \(-0{,}04\). Ein kleiner Schritt entspricht daher \(0{,}01\). 3. Von \(D=-0{,}04\) geht es über \(-0{,}03\), \(-0{,}02\), \(-0{,}01\) zu \(0\). Der Nullpunkt liegt also vier kleine Schritte rechts von \(D\).

a) \(0{,}01\) b) \(4\) kleine Schritte rechts von \(D\)

- Zähle, in wie viele gleich große Teile die Strecke zwischen \(0\) und \(1\) (oder \(0\) und \(-1\)) geteilt wurde. Das gibt dir den Nenner. - Zähle von der Null aus, an welchem Teilstrich der Buchstabe steht. Das gibt dir den Zähler. - Achte bei Werten links von der Null auf das Minuszeichen. - Prüfe am Ende, ob du Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen kannst, um den Bruch zu kürzen.

1. Nenner für a) bestimmen: Der Bereich von \(0\) bis \(1\) ist in \(10\) gleich große Abschnitte unterteilt. Jeder Teilstrich entspricht also \(\frac{1}{10}\). 2. Werte für a) ablesen und kürzen: - \(A\) ist der 3. Strich: \(\frac{3}{10}\) - \(B\) ist der 5. Strich: \(\frac{5}{10} = \frac{1}{2}\) - \(C\) ist der 8. Strich: \(\frac{8}{10} = \frac{4}{5}\) 3. Nenner für b) bestimmen: Der Bereich von \(-1\) bis \(0\) ist in \(4\) gleich große Abschnitte unterteilt. Jeder Teilstrich entspricht also \(\frac{1}{4}\). 4. Werte für b) ablesen und kürzen: - \(D\) liegt 3 Schritte links von der Null: \(-\frac{3}{4}\) - \(E\) liegt 2 Schritte links von der Null: \(-\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}\) - \(F\) liegt 1 Schritt links von der Null: \(-\frac{1}{4}\)

a) \(A = \frac{3}{10}\); \(B = \frac{1}{2}\); \(C = \frac{4}{5}\) b) \(D = -\frac{3}{4}\); \(E = -\frac{1}{2}\); \(F = -\frac{1}{4}\)

- Bestimme zuerst die Schrittweite zwischen zwei benachbarten Teilstrichen. - Lies den Wert an der Markierung genau ab und achte dabei auf das Vorzeichen. - Schreibe die Dezimalzahl zuerst als Zehnerbruch, zum Beispiel mit Nenner \(10\) oder \(100\). - Suche den größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner, um den Bruch vollständig zu kürzen.

1. Ablesen der Dezimalwerte an der Zahlengeraden: \(P = -1{,}2\); \(Q = -0{,}4\); \(R = 0{,}8\) 2. Umwandlung in Brüche und Kürzen: \(P = -1{,}2 = -\frac{12}{10} = -\frac{6}{5}\) (oder \(-1\frac{1}{5}\)) \(Q = -0{,}4 = -\frac{4}{10} = -\frac{2}{5}\) \(R = 0{,}8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}\)

\(P = -1{,}2 = -\frac{6}{5}\) \(Q = -0{,}4 = -\frac{2}{5}\) \(R = 0{,}8 = \frac{4}{5}\)

- Dividiere den Zähler durch den Nenner, um die Dezimalzahl zu erhalten. - Achte darauf, ob die Dezimaldarstellung endlich oder periodisch ist. - Ordne die berechneten Werte anschließend ihrer Lage auf der Zahlengeraden zu.

1. Es gilt \(-1\frac{1}{2}=-1{,}5\), \(-\frac{5}{6}=-0{,}8\overline{3}\) und \(-\frac{1}{3}=-0{,}\overline{3}\). 2. Punkt \(A\) liegt bei \(-1{,}5\) und gehört daher zu \(-1\frac{1}{2}\). 3. Punkt \(B\) liegt bei etwa \(-0{,}83\) und gehört zu \(-\frac{5}{6}\). 4. Punkt \(C\) liegt bei etwa \(-0{,}33\) und gehört zu \(-\frac{1}{3}\).

\(-1\frac{1}{2}=-1{,}5\): Punkt \(A\) \(-\frac{5}{6}=-0{,}8\overline{3}\): Punkt \(B\) \(-\frac{1}{3}=-0{,}\overline{3}\): Punkt \(C\)

- Zähle die Abschnitte zwischen \(0\) und \(1\), um den Wert eines Teilstrichs zu bestimmen. - Lies danach die drei Markierungen von einer bekannten Zahl aus ab. - Wandle die Dezimalzahlen in Brüche um und kürze vollständig.

1. Zwischen \(0\) und \(1\) liegen fünf gleich große Abschnitte. Ein Teilstrich entspricht daher \(0{,}2\). 2. Abgelesen gilt \(K=0{,}4\), \(L=1{,}2\) und \(M=1{,}6\). 3. Als Brüche gilt \(0{,}4=\frac{2}{5}\), \(1{,}2=\frac{6}{5}=1\frac{1}{5}\) und \(1{,}6=\frac{8}{5}=1\frac{3}{5}\).

\(K=0{,}4=\frac{2}{5}\) \(L=1{,}2=1\frac{1}{5}\) \(M=1{,}6=1\frac{3}{5}\)

- Ermittle zuerst den Wert eines einzelnen Teilstriches, indem du den Abstand zwischen zwei bekannten Werten durch die Anzahl der Teilstriche dazwischen teilst. - Achte beim Ablesen auf die Richtung von der Null aus (links ist negativ, rechts ist positiv). - Erinnere dich: Die Gegenzahl einer Zahl \(x\) ist die Zahl \(-x\), die auf der Zahlengeraden den gleichen Abstand zur Null hat, aber auf der anderen Seite liegt.

1. Bestimmung der Skalierung für a): Der Bereich von \(0\) bis \(0{,}4\) ist in \(2\) Abschnitte unterteilt. Die Schrittweite beträgt daher \(0{,}4 : 2 = 0{,}2\). 2. Ablesen der Punkte in a): \(P\) liegt \(6\) Teilstriche links von der Null: \(6 \cdot (-0{,}2) = -1{,}2\). \(Q\) liegt \(3\) Teilstriche links: \(3 \cdot (-0{,}2) = -0{,}6\). \(R\) liegt \(4\) Teilstriche rechts: \(4 \cdot 0{,}2 = 0{,}8\). 3. Bestimmung der Skalierung für b): Von \(0\) bis \(-1\) liegen \(4\) gleich große Abschnitte. Die Schrittweite beträgt \(0{,}25\) beziehungsweise \(\frac{1}{4}\). Bei einem Schritt nach links ändert sich der Zahlenwert jeweils um \(-0{,}25\). 4. Ablesen der Punkte in b): \(S\) liegt \(7\) Teilstriche links von der Null (\(S = -1{,}75\) oder \(-1\frac{3}{4}\)). \(T\) liegt \(2\) Teilstriche links (\(T = -0{,}5\) oder \(-\frac{1}{2}\)). \(U\) liegt \(2\) Teilstriche rechts (\(U = 0{,}5\) oder \(\frac{1}{2}\)). 5. Gegenzahl in Teilaufgabe c): Die Gegenzahl einer Zahl hat den gleichen Betrag, aber das entgegengesetzte Vorzeichen. Die Gegenzahl von \(0{,}5\) ist \(-0{,}5\). Dies entspricht dem Punkt \(T\).

a) \(P = -1{,}2\); \(Q = -0{,}6\); \(R = 0{,}8\) b) \(S = -1{,}75\) (oder \(-1 \frac{3}{4}\)); \(T = -0{,}5\) (oder \(-\frac{1}{2}\)); \(U = 0{,}5\) (oder \(\frac{1}{2}\)) c) Der Punkt \(T\) stellt die Gegenzahl zu \(0{,}5\) dar.

- Überlege, ob zwei verschiedene Brüche auf dem Zahlenstrahl direkte Nachbarn sein können. - Was passiert, wenn du beide Brüche so erweiterst, dass zwischen ihren Zählern Platz für weitere ganze Zahlen entsteht? - Unterscheide die gezeichnete Länge eines Intervalls von der Anzahl der Zahlen, die mathematisch darin liegen.

1. Die Behauptung ist falsch. 2. Zwischen zwei verschiedenen Brüchen liegen immer weitere Brüche; tatsächlich sind es unendlich viele. 3. Durch geeignetes Erweitern kann man zwischen zwei gegebenen Brüchen immer weitere Brüche mit größeren Nennern finden. Die Länge des gezeichneten Abstands ändert daran nichts.

Haruto hat nicht recht. Zwischen zwei verschiedenen Brüchen liegen immer unendlich viele weitere Brüche, unabhängig davon, wie nah die beiden Ausgangsbrüche beieinanderliegen.