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Kostenlose Arbeitsblätter

Stellen Sie aus rund 25.000 Matheaufgaben von der 3. bis zur 13. Klasse Ihre eigenen Arbeitsblätter zusammen. Alle Aufgaben enthalten Lösungsschritte.

Relative Häufigkeit darstellen

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5525566
In einer Gruppe von \(20\) Kindern wählen \(10\) Kinder bei einer Umfrage die Antwort „Apfel“. a) Wie groß ist die absolute Häufigkeit dieser Antwort? b) Wie groß ist die relative Häufigkeit in Prozent?

Denkanstöße

- Die absolute Häufigkeit ist eine Anzahl. - Für die relative Häufigkeit vergleichst du diese Anzahl mit der Gesamtzahl der Kinder.

Lösung

1. Die absolute Häufigkeit ist die Anzahl der Kinder mit dieser Antwort, also \(10\). 2. Die relative Häufigkeit ist \(\frac{10}{20} = \frac{1}{2} = 50\,\%\).

Antwort

a) Die absolute Häufigkeit beträgt \(10\). b) Die relative Häufigkeit beträgt \(50\,\%\).
5552936
In einer Umfrage stehen in der Auswertung zwei Angaben zur Antwort „Bus“: \(12\) Kinder und \(30\,\%\) der Befragten. Ordne zu: Welche Angabe ist die absolute Häufigkeit und welche die relative Häufigkeit? Erkläre kurz den Unterschied.

Denkanstöße

- Welche der beiden Angaben zählt Personen direkt? - Welche Angabe beschreibt stattdessen einen Anteil an allen Befragten?

Lösung

1. Die absolute Häufigkeit gibt eine Anzahl an. Deshalb sind \(12\) Kinder die absolute Häufigkeit. 2. Die relative Häufigkeit beschreibt den Anteil an allen Befragten. Deshalb sind \(30\,\%\) die relative Häufigkeit.

Antwort

Die absolute Häufigkeit beträgt \(12\) Kinder. Die relative Häufigkeit beträgt \(30\,\%\). Die absolute Häufigkeit ist eine Anzahl; die relative Häufigkeit beschreibt den Anteil an der Gesamtzahl.
4115046
Die Schulbibliothek besitzt insgesamt 800 Bücher. Davon sind \(40\,\%\) Romane und \(25\,\%\) Sachbücher. Alle restlichen Bücher sind Kinderbücher. a) Wie viele Kinderbücher gibt es in der Bibliothek? Gib auch ihren Anteil als relative Häufigkeit in Prozent an. b) Wenn du ein Kreisdiagramm für den gesamten Bücherbestand zeichnen würdest, wie groß wäre der Winkel für den Bereich der Romane?

Denkanstöße

- Wenn du die Prozentanteile der anderen Kategorien kennst, wie viel bleibt dann für den Rest übrig? - Wie berechnet man den Prozentwert, wenn der Grundwert und der Prozentsatz bekannt sind? - Welcher Bruchteil des Kreises entspricht dem Prozentsatz der Romane?

Lösung

1. Anteil der Kinderbücher in Prozent berechnen: \(100\,\% - 40\,\% - 25\,\% = 35\,\%\). 2. Anzahl der Kinderbücher berechnen: \(0{,}35 \cdot 800 = 280\). 3. Winkel für den Sektor „Romane“ berechnen: \(40\,\%\) von \(360^\circ\) entspricht \(0{,}40 \cdot 360^\circ = 144^\circ\).

Antwort

a) Es gibt 280 Kinderbücher. Das entspricht einem Anteil von \(35\,\%\). b) Der Winkel für die Romane beträgt \(144^\circ\).
4115076
Der Radladen „Kettenblatt“ hat insgesamt \(50\) Fahrräder im Laden stehen. Für die Übersicht über die verschiedenen Fahrradtypen fehlt noch eine Zahl: <table> <thead><tr><th>Fahrradtyp</th><th>Anzahl (absolut)</th><th>Relative Häufigkeit (in \(\,\%\))</th></tr></thead> <tbody> <tr><td>Mountainbike</td><td>20</td><td>?</td></tr> <tr><td>Cityrad</td><td>15</td><td>?</td></tr> <tr><td>E-Bike</td><td>?</td><td>?</td></tr> </tbody> </table> a) Berechne die fehlende Anzahl der E-Bikes. b) Vervollständige die Tabelle, indem du die relativen Häufigkeiten in Prozent für alle drei Fahrradtypen berechnest. c) Überprüfe, ob die Summe deiner berechneten Prozentsätze \(100\,\%\) ergibt.

Denkanstöße

- Wie viele Fahrräder fehlen noch, wenn du die anderen beiden Typen von der Gesamtzahl abziehst? - Was muss die Summe aller Anteile ergeben, wenn alle Kategorien erfasst wurden? - Ein Bruch mit dem Nenner \(50\) lässt sich leicht auf den Nenner \(100\) erweitern.

Lösung

1. Es fehlen \(50 - 20 - 15 = 15\) E-Bikes. 2. Mountainbike: \(\frac{20}{50} = \frac{40}{100} = 40\,\%\). 3. Cityrad: \(\frac{15}{50} = \frac{30}{100} = 30\,\%\). 4. E-Bike: \(\frac{15}{50} = \frac{30}{100} = 30\,\%\). 5. Kontrolle: \(40\,\% + 30\,\% + 30\,\% = 100\,\%\).

Antwort

a) Es gibt \(15\) E-Bikes. b) Mountainbike: \(40\,\%\), Cityrad: \(30\,\%\), E-Bike: \(30\,\%\). c) Die Summe beträgt \(100\,\%\).
4115096
Ein Kreisdiagramm ist in fünf gleich große Sektoren unterteilt. a) Berechne den Mittelpunktswinkel und den Prozentsatz für einen dieser Sektoren. b) Einer dieser Sektoren wird nun genau in der Mitte geteilt, um eine neue Kategorie darzustellen. Bestimme die Winkel und Prozentsätze der beiden entstandenen kleineren Sektoren.

Denkanstöße

- Wie viele Grad hat ein ganzer Kreis? - Was bedeutet „gleich groß“ für die Aufteilung der \(100\,\%\)? - Wenn man ein Stück Torte halbiert, was passiert dann mit seinem Anteil am Ganzen?

Lösung

1. Berechnung für fünf gleich große Sektoren: Division des Vollwinkels durch 5 ergibt \(360^\circ : 5 = 72^\circ\). 2. Berechnung des Prozentsatzes: Da das Ganze (\(100\,\%\)) in 5 Teile geteilt wird, entspricht jeder Teil \(100\,\% : 5 = 20\,\%\). 3. Halbierung eines Sektors: Die neuen Winkel betragen \(72^\circ : 2 = 36^\circ\). 4. Die neuen Prozentsätze betragen \(20\,\% : 2 = 10\,\%\).

Antwort

a) Mittelpunktswinkel: \(72^\circ\), Prozentsatz: \(20\,\%\) b) Mittelpunktswinkel: jeweils \(36^\circ\), Prozentsatz: jeweils \(10\,\%\)
4115606
In einer Umfrage wurden Schüler nach ihrem liebsten Pausensnack gefragt. Dabei ergaben sich folgende Werte: \(50\,\%\) wählten Obst, \(25\,\%\) wählten Müsliriegel und \(25\,\%\) wählten belegte Brötchen. a) Berechne für jeden Snack den zugehörigen Mittelpunktswinkel für ein Kreisdiagramm. b) Erkläre, warum der Sektor für „Obst“ besonders einfach in einen Kreis eingezeichnet werden kann.

Denkanstöße

- Wie viel Grad hat ein ganzer Kreis? - Welchen Bruchteil eines Kreises stellen \(50\,\%\) dar? - Welche einfache Linie teilt einen Kreis in zwei gleich große Hälften?

Lösung

1. Berechnung des Winkels für Obst: \(360^\circ \cdot 0{,}50 = 180^\circ\). 2. Berechnung des Winkels für Müsliriegel: \(360^\circ \cdot 0{,}25 = 90^\circ\). 3. Berechnung des Winkels für belegte Brötchen: \(360^\circ \cdot 0{,}25 = 90^\circ\). 4. Begründung für Obst: Der Winkel von \(180^\circ\) entspricht genau einem Halbkreis (gestreckter Winkel), der durch einen einfachen Durchmesser markiert werden kann.

Antwort

a) Obst: \(180^\circ\), Müsliriegel: \(90^\circ\), belegte Brötchen: \(90^\circ\). b) Der Sektor für Obst ist besonders einfach zu zeichnen, da \(180^\circ\) einem halben Kreis entsprechen. Man muss lediglich einen Durchmesser durch den Mittelpunkt zeichnen.
4115616
Eine Klasse hat untersucht, wie die Schüler zur Schule kommen: \(40\,\%\) kommen zu Fuß, \(20\,\%\) mit dem Fahrrad, \(30\,\%\) mit dem Bus und \(10\,\%\) mit dem Auto. a) Berechne die Mittelpunktswinkel für alle vier Kategorien. b) Elias Novak behauptet: „Der Sektor für die Radfahrer im Kreisdiagramm muss genau doppelt so groß sein wie der Sektor für die Autofahrer.“ Überprüfe diese Aussage mithilfe der berechneten Winkel.

Denkanstöße

- Wie berechnet man den Anteil eines Winkels an \(360^\circ\)? - Überlege, ob das Verhältnis der Prozentangaben auch für die Winkel gelten muss. - Prüfe durch Division, ob ein Winkel das Doppelte des anderen ist.

Lösung

1. Zu Fuß: \(0{,}40 \cdot 360^\circ = 144^\circ\). 2. Fahrrad: \(0{,}20 \cdot 360^\circ = 72^\circ\). 3. Bus: \(0{,}30 \cdot 360^\circ = 108^\circ\). 4. Auto: \(0{,}10 \cdot 360^\circ = 36^\circ\). 5. Da \(72^\circ = 2 \cdot 36^\circ\), ist Elias' Aussage richtig.

Antwort

a) Zu Fuß: \(144^\circ\), Fahrrad: \(72^\circ\), Bus: \(108^\circ\), Auto: \(36^\circ\). b) Die Aussage ist korrekt, da der Fahrradsektor mit \(72^\circ\) genau doppelt so groß ist wie der Autosektor mit \(36^\circ\).
4318246
In einer Schulklasse wurde eine Umfrage zur Lieblingsobstsorte durchgeführt. Jedes Kind durfte genau eine Stimme abgeben. Die Ergebnisse sind im folgenden Säulendiagramm dargestellt: Bestimme die relativen Häufigkeiten der einzelnen Obstsorten in Prozent.
Abbildung zur Aufgabe 431824

Denkanstöße

- Lies zuerst die Anzahl der Stimmen für jede Obstsorte aus dem Säulendiagramm ab. - Wie viele Stimmen wurden insgesamt abgegeben? Berechne die Summe aller Stimmen. - Um die relative Häufigkeit zu bestimmen, teile die Anzahl der Stimmen einer Obstsorte durch die Gesamtzahl aller Stimmen. - Wie kannst du einen Anteil (Bruch) in eine Prozentangabe umrechnen? Erweitere den Bruch so, dass im Nenner \(100\) steht.

Lösung

1. Bestimmung der Gesamtzahl der abgegebenen Stimmen durch Summation der Häufigkeiten der einzelnen Obstsorten: \(8 + 5 + 4 + 3 = 20\) Stimmen insgesamt. 2. Berechnung der relativen Häufigkeit für jede Obstsorte in Prozent: - Apfel: \(\frac{8}{20} = 0{,}40 = 40\,\%\) - Banane: \(\frac{5}{20} = 0{,}25 = 25\,\%\) - Erdbeere: \(\frac{4}{20} = 0{,}20 = 20\,\%\) - Kirsche: \(\frac{3}{20} = 0{,}15 = 15\,\%\)

Antwort

Die relativen Häufigkeiten sind: - Apfel: \(40\,\%\) - Banane: \(25\,\%\) - Erdbeere: \(20\,\%\) - Kirsche: \(15\,\%\)
4318386
In der Klasse 6b wurde eine Umfrage zu den Lieblingssportarten der Schülerinnen und Schüler durchgeführt. Das Säulendiagramm zeigt das Ergebnis der Befragung. a) Wie viele Kinder haben insgesamt an der Umfrage teilgenommen? b) Bestimme die relative Häufigkeit der Sportart „Fußball“ als Bruch und in Prozent.
Abbildung zur Aufgabe 431838

Denkanstöße

- Lies die Werte für jede Sportart sorgfältig an den Säulen ab. - Wie berechnet man die Gesamtzahl aller Befragten aus den einzelnen Werten? - Erinnere dich daran, dass die relative Häufigkeit das Verhältnis der Anzahl einer bestimmten Antwort zur Gesamtzahl ist. - Du kannst einen Bruch auf Hundertstel erweitern, um ihn in eine Prozentzahl umzuwandeln.

Lösung

1. Zuerst bestimmen wir die absoluten Häufigkeiten der einzelnen Sportarten aus dem Säulendiagramm: - Fußball: 10 - Schwimmen: 6 - Turnen: 4 - Basketball: 5 2. Für Aufgabenteil a) addieren wir diese Werte, um die Gesamtzahl der teilnehmenden Kinder zu erhalten: \(10 + 6 + 4 + 5 = 25\) Kinder. 3. Für Aufgabenteil b) berechnen wir die relative Häufigkeit von „Fußball“: Die absolute Häufigkeit ist 10 bei einer Gesamtzahl von 25. Als Bruch: \(\frac{10}{25} = \frac{2}{5}\). In Prozent: \(\frac{2}{5} = 0{,}4 = 40\,\%\).

Antwort

a) Insgesamt haben 25 Kinder an der Umfrage teilgenommen. b) Die relative Häufigkeit für Fußball beträgt \(\frac{2}{5}\) (oder \(\frac{10}{25}\)) bzw. \(40\,\%\).
4355186
Für ein Klassenplakat soll ein Kreisdiagramm über die Lieblingsfächer gezeichnet werden. Die Anteile der Schüler sind bereits bekannt: Mathe (\(20\,\%\)), Sport (\(30\,\%\)), Kunst (\(15\,\%\)) und Deutsch (\(35\,\%\)). Welche Mittelpunktswinkel müssen für die einzelnen Sektoren im Diagramm berechnet werden, damit man es genau zeichnen kann?

Denkanstöße

- Wie viel Grad hat ein ganzer Kreis? - Wenn der ganze Kreis \(100\,\%\) darstellt, wie kannst du den Winkel zu einem einzelnen Prozentsatz bestimmen? - Prüfe am Ende, ob sich deine vier Winkel zu einem Vollkreis ergänzen.

Lösung

1. Ein ganzer Kreis entspricht \(360^\circ\). 2. Mathe: \(0{,}20 \cdot 360^\circ = 72^\circ\). 3. Sport: \(0{,}30 \cdot 360^\circ = 108^\circ\). 4. Kunst: \(0{,}15 \cdot 360^\circ = 54^\circ\). 5. Deutsch: \(0{,}35 \cdot 360^\circ = 126^\circ\). 6. Kontrolle: \(72^\circ + 108^\circ + 54^\circ + 126^\circ = 360^\circ\).

Antwort

Mathe: \(72^\circ\) Sport: \(108^\circ\) Kunst: \(54^\circ\) Deutsch: \(126^\circ\)
4355366
Wie groß ist der Mittelpunktswinkel, den du in einem Kreisdiagramm zeichnen musst, um die folgenden Anteile darzustellen? a) \(15\,\%\) b) \(\frac{2}{9}\) c) \(7\) von \(20\)

Denkanstöße

- Überlege dir zuerst, wie viel Grad ein ganzer Kreis hat. - Schreibe jeden Anteil in einer Form, mit der du seinen Anteil am Vollkreis bestimmen kannst. - Prüfe, ob die Größe des Winkels zu der Größe des Anteils passt.

Lösung

1. Für a) gilt \(0{,}15 \cdot 360^\circ = 54^\circ\). 2. Für b) gilt \(\frac{2}{9} \cdot 360^\circ = 80^\circ\). 3. Für c) gilt \(\frac{7}{20} \cdot 360^\circ = 126^\circ\).

Antwort

a) \(54^\circ\) b) \(80^\circ\) c) \(126^\circ\)
4355386
In einer Klasse wurde eine Umfrage zur Lieblingsfarbe durchgeführt. Die Ergebnisse sind in der Tabelle zusammengefasst. Berechne für jede Farbe den Winkel, den der entsprechende Sektor im Kreisdiagramm haben muss. <table> <tr><th>Lieblingsfarbe</th><th>Anteil</th></tr> <tr><td>Blau</td><td>\(40\,\%\)</td></tr> <tr><td>Rot</td><td>\(25\,\%\)</td></tr> <tr><td>Grün</td><td>\(20\,\%\)</td></tr> <tr><td>Andere</td><td>\(15\,\%\)</td></tr> </table>

Denkanstöße

- Die Summe aller Winkel muss am Ende \(360^\circ\) ergeben. - Bestimme für jeden Prozentanteil den entsprechenden Anteil eines Vollkreises.

Lösung

1. Blau: \(0{,}40 \cdot 360^\circ = 144^\circ\). 2. Rot: \(0{,}25 \cdot 360^\circ = 90^\circ\). 3. Grün: \(0{,}20 \cdot 360^\circ = 72^\circ\). 4. Andere: \(0{,}15 \cdot 360^\circ = 54^\circ\). 5. Kontrolle: \(144^\circ + 90^\circ + 72^\circ + 54^\circ = 360^\circ\).

Antwort

Blau: \(144^\circ\), Rot: \(90^\circ\), Grün: \(72^\circ\), Andere: \(54^\circ\)
4357246
Das Kreisdiagramm zeigt, wie Leon seine Freizeit nach der Schule verbringt. 1) Wie viel Prozent seiner Freizeit verbringt Leon insgesamt mit Medien (Fernsehen und Videospiele)? 2) Wie viel Prozent seiner Zeit entfallen auf Aktivitäten, die man als gesundheitsfördernd bezeichnen kann (Sport und Draußen sein)? 3) Wie oft so viel Zeit verbringt Leon mit Fernsehen und Videospielen zusammen wie mit seinen Hausaufgaben?
Abbildung zur Aufgabe 435724

Denkanstöße

- Schau dir die Beschriftungen im Diagramm genau an. Welche Kategorien gehören zusammen? - Um herauszufinden, wie oft ein Wert so groß wie ein anderer ist, kannst du eine Division durchführen. - Achte darauf, alle relevanten Sektoren für eine Teilaufgabe zu addieren.

Lösung

1. Addition der Anteile für Fernsehen (\(30\,\%\)) und Videospiele (\(20\,\%\)): \(30\,\% + 20\,\% = 50\,\%\). 2. Addition der Anteile für Sport (\(15\,\%\)) und Draußen sein (\(10\,\%\)): \(15\,\% + 10\,\% = 25\,\%\). 3. Vergleich der Medienzeit (\(50\,\%\)) mit der Zeit für Hausaufgaben (\(10\,\%\)): \(50\,\% : 10\,\% = 5\). Leon verbringt fünfmal so viel Zeit mit Medien wie mit seinen Hausaufgaben.

Antwort

1) \(50\,\%\) 2) \(25\,\%\) 3) Fünfmal so viel.
5525576
Eine Umfrage ergibt vier Anteile: \(50\,\%\), \(25\,\%\), \(15\,\%\) und \(10\,\%\). Zur Darstellung stehen ein Kreisdiagramm und ein Säulendiagramm zur Wahl. a) Welche Darstellung macht besonders deutlich, dass die vier Anteile zusammen ein Ganzes bilden? b) Welche Darstellung eignet sich besonders gut, um die beiden Anteile \(15\,\%\) und \(10\,\%\) über ihre Höhen direkt zu vergleichen? Begründe beide Entscheidungen kurz.

Denkanstöße

- Überlege, welche Darstellung selbst schon die Form eines vollständigen Ganzen besitzt. - Überlege bei Teil b), bei welcher Darstellung zwei Werte auf derselben geraden Skala liegen. - Begründe mit einer Eigenschaft der Darstellung, nicht nur mit einer persönlichen Vorliebe.

Lösung

1. Ein Kreisdiagramm stellt das Ganze als vollständigen Kreis dar. Dadurch ist die Aufteilung eines Ganzen in die vier Anteile unmittelbar sichtbar. 2. Ein Säulendiagramm stellt die Werte auf einer gemeinsamen Skala als Säulenhöhen dar. Dadurch lassen sich \(15\,\%\) und \(10\,\%\) direkt über ihre Höhen vergleichen.

Antwort

a) Das Kreisdiagramm eignet sich besonders gut für die Aufteilung eines Ganzen. b) Das Säulendiagramm eignet sich besonders gut für den direkten Höhenvergleich. Entscheidend sind der vollständige Kreis beziehungsweise die gemeinsame Skala der Säulen.
5525586
Für ein Säulendiagramm sollen die Anmeldungen zu vier AGs dargestellt werden: Theater \(12\), Musik \(8\), Technik \(5\), Sport \(5\). Plane die Darstellung, ohne sie zeichnen zu müssen: a) Welche vier Säulenhöhen werden benötigt? b) Ist eine y-Achse von \(0\) bis \(12\) mit Teilstrichen in Zweierschritten geeignet? Begründe.

Denkanstöße

- In einem Säulendiagramm entspricht die Höhe einer Säule dem darzustellenden Wert. - Prüfe für die Achse zuerst, ob auch der größte Wert hineinpasst. - Eine Skala darf Werte auch zwischen zwei beschrifteten Teilstrichen zulassen, wenn ihre Lage eindeutig ist.

Lösung

1. Die Säulenhöhen müssen den absoluten Häufigkeiten entsprechen: Theater \(12\), Musik \(8\), Technik \(5\), Sport \(5\). 2. Die Achse von \(0\) bis \(12\) umfasst alle vier Werte; der größte Wert \(12\) passt genau in den dargestellten Bereich. 3. Teilstriche in Zweierschritten geben eine übersichtliche Skala. Die Werte \(5\) liegen jeweils zwischen den Teilstrichen bei \(4\) und \(6\) und können dennoch eindeutig eingetragen werden.

Antwort

a) Theater: \(12\), Musik: \(8\), Technik: \(5\), Sport: \(5\). b) Ja. Der Bereich erfasst alle Werte und die Zweierschritte ergeben eine übersichtliche Skala; die Höhe \(5\) liegt jeweils zwischen \(4\) und \(6\).
4115056
Die Modellstadt „Lindenhafen“ deckt einen jährlichen Energiebedarf von insgesamt \(5000\,\text{MWh}\) durch verschiedene Quellen. Das Kreisdiagramm zeigt die Verteilung auf Solarenergie, Windenergie und Biomasse. Bestimme für die Biomasse: a) den Anteil in Prozent, b) den Mittelpunktswinkel im Kreisdiagramm, c) die Energiemenge in \(\text{MWh}\).
Abbildung zur Aufgabe 411505

Denkanstöße

- Kannst du den im Diagramm angegebenen Winkel der Solarenergie zuerst in einen Prozentsatz umrechnen? - Alle Anteile zusammen müssen im Kreisdiagramm \(360^\circ\) beziehungsweise \(100\,\%\) ergeben. - Welcher Rechenweg führt dich von einem Prozentsatz zur tatsächlichen Menge in \(\text{MWh}\)?

Lösung

1. Für Solarenergie gilt \(\frac{144^\circ}{360^\circ} = 0{,}4 = 40\,\%\). 2. Für Biomasse bleiben \(100\,\% - 40\,\% - 25\,\% = 35\,\%\). 3. Der Mittelpunktswinkel der Biomasse ist \(0{,}35 \cdot 360^\circ = 126^\circ\). 4. Die Energiemenge beträgt \(0{,}35 \cdot 5000\,\text{MWh} = 1750\,\text{MWh}\).

Antwort

a) \(35\,\%\) b) \(126^\circ\) c) \(1750\,\text{MWh}\)
4115066
In zwei sechsten Klassen wurde eine Umfrage nach dem liebsten Haustier durchgeführt. Die Ergebnisse sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst: <table> <thead><tr><th>Klasse</th><th>Hund</th><th>Katze</th><th>Andere</th><th>Gesamt</th></tr></thead> <tbody> <tr><td>6a</td><td>8</td><td>6</td><td>6</td><td>20</td></tr> <tr><td>6b</td><td>10</td><td>5</td><td>10</td><td>25</td></tr> </tbody> </table> a) Berechne für beide Klassen die relativen Häufigkeiten der drei Kategorien in Prozent. b) In welcher Klasse ist der Anteil der Kinder, die die Katze als Lieblingstier gewählt haben, größer? Begründe kurz mithilfe deiner Ergebnisse aus Aufgabenteil a).

Denkanstöße

- Wie berechnet man den Anteil eines Wertes am Ganzen? - Erinnere dich daran, wie man einen Bruch in eine Prozentzahl umwandelt (z. B. durch Erweitern auf den Nenner 100). - Warum reicht es nicht aus, nur die absoluten Zahlen (6 gegen 5) zu vergleichen, um zu sagen, wo Katzen beliebter sind?

Lösung

1. Berechnung der relativen Häufigkeiten für Klasse 6a (Gesamtzahl \(20\)): Hund: \(\frac{8}{20} = 0{,}40 = 40\,\%\) Katze: \(\frac{6}{20} = 0{,}30 = 30\,\%\) Andere: \(\frac{6}{20} = 0{,}30 = 30\,\%\) 2. Berechnung der relativen Häufigkeiten für Klasse 6b (Gesamtzahl \(25\)): Hund: \(\frac{10}{25} = 0{,}40 = 40\,\%\) Katze: \(\frac{5}{25} = 0{,}20 = 20\,\%\) Andere: \(\frac{10}{25} = 0{,}40 = 40\,\%\) 3. Vergleich für Katze: In Klasse 6a liegt der Anteil bei \(30\,\%\), in Klasse 6b nur bei \(20\,\%\). Somit ist der relative Anteil in der Klasse 6a größer.

Antwort

a) Klasse 6a: Hund \(40\,\%\), Katze \(30\,\%\), Andere \(30\,\%\). Klasse 6b: Hund \(40\,\%\), Katze \(20\,\%\), Andere \(40\,\%\). b) In der Klasse 6a ist der Anteil größer (\(30\,\%\) im Vergleich zu \(20\,\%\) in der 6b).
4115086
In einer Schule wird der Müll getrennt gesammelt. Die Umwelt-AG wertet die Mengen von zwei Wochen aus: Woche 1: Insgesamt \(80\,\text{kg}\) Müll. Davon entfallen \(24\,\text{kg}\) auf Plastikmüll. Woche 2: Insgesamt \(120\,\text{kg}\) Müll. Davon entfallen \(42\,\text{kg}\) auf Plastikmüll. Mina Park behauptet: „In der zweiten Woche ist der Plastikmüll-Anteil im Vergleich zum Gesamtmüll gestiegen, obwohl auch insgesamt mehr Müll angefallen ist.“ Untersuche rechnerisch mithilfe der relativen Häufigkeiten, ob Mina recht hat.

Denkanstöße

- Was bedeutet „Anteil“ in der Mathematik? - Berechne für jede Woche separat, welchen Prozentsatz der Plastikmüll am Gesamtmüll ausmacht. - Vergleiche am Ende die beiden Prozentsätze miteinander.

Lösung

1. In Woche 1 gilt \(\frac{24}{80} = \frac{3}{10} = 30\,\%\). 2. In Woche 2 gilt \(\frac{42}{120} = \frac{7}{20} = 35\,\%\). 3. Da \(35\,\% > 30\,\%\), ist der relative Plastikmüll-Anteil gestiegen.

Antwort

Mina Park hat recht. In Woche 1 beträgt der relative Plastikmüll-Anteil \(30\,\%\), in Woche 2 \(35\,\%\).
4115106
In einem Kreisdiagramm gibt es drei Sektoren. Der erste Sektor hat einen Mittelpunktswinkel von \(108^\circ\), der zweite Sektor einen Winkel von \(54^\circ\). a) Berechne den Mittelpunktswinkel des dritten Sektors. b) Ermittle für alle drei Sektoren den jeweiligen Anteil am Ganzen in Prozent. c) Welcher Sektor ist der größte? Nimmt dieser Sektor mehr als die Hälfte der Gesamtfläche ein? Begründe kurz.

Denkanstöße

- Alle Winkel in einem Kreisdiagramm müssen zusammen immer einen vollen Kreis ergeben. - Ein Anteil von \(50\,\%\) entspricht genau einem halben Kreis. Wie viel Grad sind das? - Wie rechnet man einen Bruchteil des Kreises in eine Prozentzahl um?

Lösung

1. Berechnung des dritten Winkels: \(360^\circ - 108^\circ - 54^\circ = 198^\circ\). 2. Berechnung der Prozentsätze (\(\frac{\text{Winkel}}{360^\circ} \cdot 100\)): - Sektor 1: \(108^\circ \text{ von } 360^\circ = \frac{108}{360} = 0{,}3 = 30\,\%\). - Sektor 2: \(54^\circ \text{ von } 360^\circ = \frac{54}{360} = 0{,}15 = 15\,\%\). - Sektor 3: \(198^\circ \text{ von } 360^\circ = \frac{198}{360} = 0{,}55 = 55\,\%\). 3. Vergleich: Der dritte Sektor ist mit \(198^\circ\) bzw. \(55\,\%\) der größte. Er nimmt mehr als die Hälfte ein, da \(198^\circ > 180^\circ\) bzw. \(55\,\% > 50\,\%\).

Antwort

a) Der dritte Winkel beträgt \(198^\circ\). b) Sektor 1: \(30\,\%\), Sektor 2: \(15\,\%\), Sektor 3: \(55\,\%\). c) Der dritte Sektor ist der größte. Er nimmt mehr als die Hälfte ein, da sein Anteil (\(55\,\%\)) größer als \(50\,\%\) ist (oder sein Winkel \(198^\circ\) größer als \(180^\circ\) ist).
4115596
Zwei Klassen einer Schule haben bei einer Spendenaktion mitgemacht. - In Klasse 6A haben \(12\) von \(20\) Kindern gespendet. - In Klasse 6B haben \(15\) von \(30\) Kindern gespendet. Klassensprecherin Hana Sato aus der 6B behauptet: „Wir sind die spendenfreudigere Klasse, da bei uns mehr Kinder mitgemacht haben als in der 6A!“ Überprüfe diese Aussage mithilfe der relativen Häufigkeiten in Prozent. Wer hat recht, wenn man die unterschiedlichen Klassengrößen berücksichtigt? Begründe deine Antwort rechnerisch.

Denkanstöße

- Kann man die Anzahl der Spender direkt vergleichen, wenn die Klassen verschieden groß sind? - Berechne für jede Klasse den Anteil der spendenden Kinder an der jeweiligen Klassengröße. - Vergleiche anschließend die beiden relativen Häufigkeiten.

Lösung

1. Für Klasse 6A gilt \(\frac{12}{20} = \frac{60}{100} = 60\,\%\). 2. Für Klasse 6B gilt \(\frac{15}{30} = \frac{1}{2} = 50\,\%\). 3. Obwohl in 6B absolut mehr Kinder gespendet haben, ist der relative Anteil in 6A größer, denn \(60\,\% > 50\,\%\).

Antwort

Hana Sato hat unrecht. Bezogen auf die jeweilige Klassengröße ist Klasse 6A spendenfreudiger: Dort haben \(60\,\%\), in 6B \(50\,\%\) der Kinder gespendet.
4115626
In einer Freizeitgruppe mit insgesamt 20 Kindern spielen 5 Kinder Fußball und 4 Kinder Flöte. Alle anderen Kinder haben andere Hobbys. a) Bestimme für die Hobbys „Fußball“ und „Flöte“ jeweils den Anteil als Prozentsatz. b) Berechne die zugehörigen Mittelpunktswinkel für ein Kreisdiagramm. c) Um wie viel Grad ist der Sektor für „Fußball“ größer als der Sektor für „Flöte“?

Denkanstöße

- Bestimme zuerst, welcher Bruchteil der Kinder das jeweilige Hobby hat. - Wie rechnet man einen Bruch in einen Prozentsatz um? - Wie viel Grad entsprechen \(100\,\%\)? - Was ist der Unterschied zwischen den beiden berechneten Winkeln?

Lösung

1. Berechnung der Prozentsätze: - Fußball: \(\frac{5}{20} = \frac{25}{100} = 25\,\%\) - Flöte: \(\frac{4}{20} = \frac{20}{100} = 20\,\%\) 2. Berechnung der Winkel: - Fußball: \(360^\circ \cdot 0{,}25 = 90^\circ\) - Flöte: \(360^\circ \cdot 0{,}20 = 72^\circ\) 3. Berechnung der Differenz: \(90^\circ - 72^\circ = 18^\circ\).

Antwort

a) Fußball: \(25\,\%\), Flöte: \(20\,\%\). b) Fußball: \(90^\circ\), Flöte: \(72^\circ\). c) Der Sektor für Fußball ist um \(18^\circ\) größer als der Sektor für Flöte.
4117786
Zwei sechste Klassen vergleichen ihre Ergebnisse bei einem Lesewettbewerb. In Klasse 6a haben \(\frac{13}{18}\) der Kinder eine Urkunde erhalten. In Klasse 6b haben \(72\,\%\) der Kinder eine Urkunde erhalten. In welcher Klasse ist der Anteil der Urkunden höher? Begründe deine Antwort, indem du den Bruch der Klasse 6a in einen Prozentsatz umrechnest (gerundet auf eine Dezimalstelle).

Denkanstöße

- Um zwei Anteile zu vergleichen, ist es hilfreich, beide in dieselbe Darstellung zu bringen. - Führe die Division des Bruchs weit genug aus, um auf eine Dezimalstelle in Prozent runden zu können.

Lösung

1. Für Klasse 6a gilt \(13 : 18 = 0{,}7\overline{2}\). 2. Damit ist \(\frac{13}{18} \approx 72{,}2\,\%\). 3. Da \(72{,}2\,\% > 72\,\%\), ist der Anteil in Klasse 6a etwas höher.

Antwort

In Klasse 6a ist der Anteil höher, da \(\frac{13}{18} \approx 72{,}2\,\%\) und damit etwas größer als \(72\,\%\) ist.
4118426
An einer Schule wurden die \(150\) Schülerinnen und Schüler der 6. Klassen nach ihrem Lieblingsfach gefragt. Dabei ergaben sich folgende Stimmen: - Mathematik: \(45\) - Deutsch: \(30\) - Englisch: \(15\) - Sport: \(60\) a) Bestimme für jedes Fach die relative Häufigkeit als Prozentsatz. b) Berechne die zugehörigen Mittelpunktswinkel für ein Kreisdiagramm. c) Rania El-Masri behauptet: „Mehr als ein Drittel der Kinder hat Sport als Lieblingsfach gewählt.“ Hat sie recht? Begründe mithilfe deiner Ergebnisse aus Aufgabenteil a).

Denkanstöße

- Wie berechnet man den Anteil eines Wertes an der Gesamtsumme? - Wie viel Grad hat ein ganzer Kreis? - Was bedeutet „ein Drittel“ ausgedrückt in Prozent?

Lösung

1. Mathematik: \(\frac{45}{150} = 30\,\%\); Deutsch: \(\frac{30}{150} = 20\,\%\); Englisch: \(\frac{15}{150} = 10\,\%\); Sport: \(\frac{60}{150} = 40\,\%\). 2. Mathematik: \(0{,}30 \cdot 360^\circ = 108^\circ\); Deutsch: \(0{,}20 \cdot 360^\circ = 72^\circ\); Englisch: \(0{,}10 \cdot 360^\circ = 36^\circ\); Sport: \(0{,}40 \cdot 360^\circ = 144^\circ\). 3. Ein Drittel entspricht ungefähr \(33{,}3\,\%\). Da \(40\,\% > 33{,}3\,\%\), ist Ranias Aussage richtig.

Antwort

a) Mathematik: \(30\,\%\), Deutsch: \(20\,\%\), Englisch: \(10\,\%\), Sport: \(40\,\%\). b) Mathematik: \(108^\circ\), Deutsch: \(72^\circ\), Englisch: \(36^\circ\), Sport: \(144^\circ\). c) Ja. \(40\,\%\) sind mehr als ungefähr \(33{,}3\,\%\).
4118436
Zwei Klassen vergleichen ihr Leseverhalten. In der Klasse 6A gaben 15 von 25 Kindern an, regelmäßig Bücher in der Bibliothek auszuleihen. In der Klasse 6B sind es 18 von 30 Kindern. a) Berechne für beide Klassen den Anteil der Bibliotheksnutzer in Prozent. b) In welcher Klasse ist der Anteil höher? c) Stell dir vor, du sollst die Ergebnisse beider Klassen in einem Säulendiagramm darstellen. Erkläre, warum man für einen fairen Vergleich eher die relativen Häufigkeiten in Prozent statt der absoluten Schülerzahlen verwenden sollte.

Denkanstöße

- Wie kannst du Brüche vergleichen, wenn sie unterschiedliche Nenner haben? - Welcher Wert ändert sich, wenn eine Gruppe insgesamt größer ist als die andere? - Was sagt uns die relative Häufigkeit in Prozent über das Verhältnis aus?

Lösung

1. Berechnung für Klasse 6A: Anteil: \(\frac{15}{25} = \frac{60}{100} = 60\,\%\). 2. Berechnung für Klasse 6B: Anteil: \(\frac{18}{30} = \frac{6}{10} = 60\,\%\). 3. Vergleich: Beide Klassen haben einen identischen Anteil von \(60\,\%\). 4. Begründung für das Säulendiagramm: Da die Klassen unterschiedliche Gesamtzahlen an Schülern haben (\(25\) gegen \(30\)), würde ein Vergleich der absoluten Zahlen (\(15\) gegen \(18\)) das Bild verzerren. Die Klasse 6B hat zwar mehr Kinder, die Bücher ausleihen, aber im Verhältnis zur Klassengröße ist der Anteil der Bibliotheksnutzer in beiden Klassen genau gleich groß. Relative Häufigkeiten machen Gruppen unterschiedlicher Größe vergleichbar.

Antwort

a) Klasse 6A: \(60\,\%\), Klasse 6B: \(60\,\%\). b) Der Anteil ist in beiden Klassen genau gleich hoch. c) Da die Klassen unterschiedlich groß sind, sind absolute Zahlen nicht direkt vergleichbar. Relative Häufigkeiten in Prozent ermöglichen einen fairen Vergleich der Bibliotheksnutzung unabhängig von der Klassengröße.
4142656
In einer Sportgruppe mit insgesamt \(80\) Kindern wurde eine Umfrage zu ihren Lieblingssportarten durchgeführt. Die Ergebnisse liegen teilweise als Prozentsätze vor: <table> <tr><td><b>Sportart</b></td><td><b>Anteil (in \(\,\%\))</b></td><td><b>Anzahl der Kinder</b></td></tr> <tr><td>Fußball</td><td>\(25\,\%\)</td><td>?</td></tr> <tr><td>Basketball</td><td>\(20\,\%\)</td><td>?</td></tr> <tr><td>Tennis</td><td>?</td><td>\(8\)</td></tr> <tr><td>Andere</td><td>?</td><td>?</td></tr> </table> a) Vervollständige die Tabelle. Berechne dazu die fehlenden Anzahlen und Prozentsätze. b) Wenn du ein Säulendiagramm erstellst, in dem die Sportarten auf der x-Achse stehen: Welcher Sportart würde die höchste Säule zugeordnet werden?

Denkanstöße

- Erinnere dich daran, dass \(100\,\%\) der Gesamtzahl der Kinder entsprechen. - Wie rechnet man einen Anteil in eine absolute Zahl um? - Was muss die Summe aller Prozentsätze in der Tabelle ergeben?

Lösung

1. Fußball: \(25\,\%\) von \(80\) Kindern entspricht \(\frac{1}{4} \cdot 80 = 20\) Kindern. 2. Basketball: \(20\,\%\) von \(80\) Kindern entspricht \(0{,}2 \cdot 80 = 16\) Kindern. 3. Tennis: \(8\) von \(80\) Kindern entspricht \(\frac{8}{80} = \frac{1}{10} = 10\,\%\). 4. Andere: Die restlichen Prozente sind \(100\,\% - 25\,\% - 20\,\% - 10\,\% = 45\,\%\). 5. Anzahl für „Andere“: \(45\,\%\) von \(80\) Kindern entspricht \(0{,}45 \cdot 80 = 36\) Kindern (oder \(80 - 20 - 16 - 8 = 36\)). 6. Vergleich der Häufigkeiten: Die Kategorie „Andere“ hat mit \(36\) Kindern (bzw. \(45\,\%\)) den höchsten Wert und somit die höchste Säule.

Antwort

a) Die vervollständigte Tabelle lautet: Fußball: \(20\) Kinder; Basketball: \(16\) Kinder; Tennis: \(10\,\%\); Andere: \(45\,\%\) und \(36\) Kinder. b) Die höchste Säule gehört zur Kategorie „Andere“.
4350976
In einer 6. Klasse wurde eine Umfrage zum täglichen Schulweg durchgeführt. Das Säulendiagramm zeigt das Ergebnis der Befragung. a) Wie viele Kinder haben insgesamt an der Umfrage teilgenommen? b) Bestimme für jedes Verkehrsmittel die relative Häufigkeit in Prozent. c) Welches Verkehrsmittel wird von den meisten Kindern genutzt?
Abbildung zur Aufgabe 435097

Denkanstöße

- Lies zuerst die Höhe jeder Säule genau an der y-Achse ab. - Addiere alle Werte der Säulen, um die Gesamtzahl der befragten Personen zu erhalten. - Überlege dir, wie du den Anteil eines Wertes am Ganzen berechnest. - Erweitere oder kürze den Bruch so, dass der Nenner 100 ist, um den Prozentsatz leicht zu finden.

Lösung

1. Ablesen der absoluten Häufigkeiten aus dem Diagramm: - Fahrrad: \(15\) Kinder - Zu Fuß: \(10\) Kinder - Bus/Bahn: \(20\) Kinder - Auto: \(5\) Kinder 2. Berechnung der Gesamtzahl der Kinder: \(15 + 10 + 20 + 5 = 50\). 3. Berechnung der relativen Häufigkeiten: - Fahrrad: \(\frac{15}{50} = \frac{30}{100} = 30\,\%\) - Zu Fuß: \(\frac{10}{50} = \frac{20}{100} = 20\,\%\) - Bus/Bahn: \(\frac{20}{50} = \frac{40}{100} = 40\,\%\) - Auto: \(\frac{5}{50} = \frac{10}{100} = 10\,\%\) 4. Bestimmung des am häufigsten genutzten Verkehrsmittels: Bus/Bahn mit \(20\) Kindern.

Antwort

a) Es haben insgesamt \(50\) Kinder teilgenommen. b) Relative Häufigkeiten: Fahrrad: \(30\,\%\); Zu Fuß: \(20\,\%\); Bus/Bahn: \(40\,\%\); Auto: \(10\,\%\). c) Am häufigsten wird der Bus bzw. die Bahn genutzt.
4351066
In einem Jugendzentrum wurden alle Besucher nach ihrem liebsten Hobby gefragt. Jeder durfte genau eine Antwort geben. Das Säulendiagramm zeigt das Ergebnis der Umfrage. a) Bestimme die absolute Häufigkeit für das Ereignis: „Das liebste Hobby ist Sport oder Lesen“. b) Berechne die relative Häufigkeit für das Hobby „Gaming“. Gib das Ergebnis als gekürzten Bruch und als Prozentsatz an.
Abbildung zur Aufgabe 435106

Denkanstöße

- Bestimme zunächst die Werte für jede einzelne Säule im Diagramm. - Wie viele Personen haben insgesamt an der Umfrage teilgenommen? Addiere dafür alle Säulenwerte. - Überlege dir, welche Säulen für die jeweilige Teilaufgabe zusammengezählt werden müssen. - Die relative Häufigkeit berechnet man, indem man die absolute Häufigkeit durch die Gesamtzahl teilt. - Um einen Bruch in Prozent umzurechnen, kannst du ihn so erweitern, dass im Nenner 100 steht.

Lösung

1. Zuerst werden die absoluten Häufigkeiten aus dem Diagramm abgelesen: Sport: 18, Gaming: 12, Lesen: 10, Musik: 6, Sonstiges: 4. 2. Die Gesamtzahl der befragten Personen berechnet sich aus der Summe aller Häufigkeiten: \(18 + 12 + 10 + 6 + 4 = 50\). 3. Die absolute Häufigkeit für das Ereignis „Sport oder Lesen“ ist die Summe der Einzelhäufigkeiten: \(18 + 10 = 28\). 4. Die relative Häufigkeit für „Gaming“ ist der Quotient aus der absoluten Häufigkeit von Gaming und der Gesamtzahl: \(\frac{12}{50}\). 5. Durch Kürzen mit 2 erhält man den Bruch \(\frac{6}{25}\). 6. Umrechnung in Prozent: \(\frac{6}{25} = \frac{24}{100} = 24\,\%\).

Antwort

a) Die absolute Häufigkeit beträgt 28. b) Die relative Häufigkeit ist \(\frac{6}{25}\) (bzw. \(24\,\%\)).
4351236
In einer Umfrage wurden \(40\) Schülerinnen und Schüler nach ihrem bevorzugten Pausensnack gefragt. Das Säulendiagramm zeigt die relativen Häufigkeiten der Antworten. Welche der drei Snack-Verteilungen in der folgenden Tabelle passt genau zu diesem Diagramm? Begründe deine Entscheidung durch eine Rechnung. <table> <tr> <th>Snack-Verteilung</th> <th>Apfel</th> <th>Brezel</th> <th>Riegel</th> <th>Joghurt</th> </tr> <tr> <td>Verteilung 1</td> <td>10</td> <td>16</td> <td>8</td> <td>6</td> </tr> <tr> <td>Verteilung 2</td> <td>8</td> <td>20</td> <td>4</td> <td>8</td> </tr> <tr> <td>Verteilung 3</td> <td>12</td> <td>12</td> <td>10</td> <td>6</td> </tr> </table>
Abbildung zur Aufgabe 435123

Denkanstöße

- Überlege dir zuerst, was die Werte auf der y-Achse des Diagramms aussagen. - Wie viele Schüler wurden insgesamt befragt? Addiere dazu die Anzahlen einer Zeile aus der Tabelle. - Wie berechnet man den Anteil (die relative Häufigkeit) eines Snacks an der Gesamtzahl? - Vergleiche deine berechneten Anteile Schritt für Schritt mit den Säulenhöhen im Diagramm.

Lösung

1. Berechnung der Gesamtzahl der befragten Personen pro Verteilung: \(10 + 16 + 8 + 6 = 40\). 2. Berechnung der relativen Häufigkeiten für Verteilung 1: Apfel \(\frac{10}{40} = 0{,}25\); Brezel \(\frac{16}{40} = 0{,}40\); Riegel \(\frac{8}{40} = 0{,}20\); Joghurt \(\frac{6}{40} = 0{,}15\). 3. Vergleich mit dem Diagramm: Die berechneten Werte \(0{,}25\), \(0{,}40\), \(0{,}20\) und \(0{,}15\) entsprechen exakt den Höhen der Säulen für die jeweiligen Snacks. 4. Ausschluss der anderen Verteilungen: Bei Verteilung 2 wäre die Säule für Brezel bei \(\frac{20}{40} = 0{,}50\) (Diagramm zeigt \(0{,}40\)). Bei Verteilung 3 wäre die Säule für Apfel bei \(\frac{12}{40} = 0{,}30\) (Diagramm zeigt \(0{,}25\)). 5. Ergebnis: Verteilung 1 ist die richtige Antwort.

Antwort

Verteilung 1 passt zum Diagramm. Die relativen Häufigkeiten dieser Verteilung (Apfel: \(0{,}25\); Brezel: \(0{,}40\); Riegel: \(0{,}20\); Joghurt: \(0{,}15\)) stimmen genau mit den im Diagramm dargestellten Werten überein.
4351366
Das Säulendiagramm zeigt die Entwicklung der Recyclingquote (den Anteil des recycelten Hausmülls am Gesamtmüll) in einer Stadt. Die Zahlen 1 bis 6 auf der waagerechten Achse stehen für die Jahre 2018 bis 2023. a) Um wie viele Prozentpunkte ist die Recyclingquote im gesamten Zeitraum von 2018 bis 2023 gestiegen? b) In welchem Zeitraum (zwischen zwei aufeinanderfolgenden Jahren) war der Anstieg am größten? Wie viele Prozentpunkte betrug er? c) In welchem Jahr sank die Recyclingquote im Vergleich zum Vorjahr?
Abbildung zur Aufgabe 435136

Denkanstöße

- Die Zahlen über den Säulen geben den jeweiligen Prozentsatz an. - Für die Gesamtzunahme vergleichst du den ersten mit dem letzten Wert. - Um den größten Zuwachs zu finden, musst du die Differenzen zwischen allen nacheinander folgenden Jahren berechnen. - Ein Rückgang bedeutet, dass der Wert in einem Jahr kleiner ist als im Jahr davor.

Lösung

1. Gesamter Anstieg: Differenz zwischen dem Endwert im Jahr 2023 (\(55\,\%\)) und dem Startwert im Jahr 2018 (\(30\,\%\)) berechnen: \(55 - 30 = 25\). Die Quote stieg um \(25\,\text{Prozentpunkte}\). 2. Jährliche Änderungen vergleichen: - Von 2018 auf 2019: \(35 - 30 = 5\) - Von 2019 auf 2020: \(32 - 35 = -3\) (Rückgang) - Von 2020 auf 2021: \(42 - 32 = 10\) - Von 2021 auf 2022: \(50 - 42 = 8\) - Von 2022 auf 2023: \(55 - 50 = 5\) Der größte Anstieg erfolgte von 2020 auf 2021 mit \(10\,\text{Prozentpunkten}\). 3. Rückgang: Der Wert fiel nur im Jahr 2020 (Säule 3) von \(35\,\%\) auf \(32\,\%\).

Antwort

a) Die Recyclingquote ist insgesamt um \(25\,\text{Prozentpunkte}\) gestiegen. b) Der größte Anstieg war im Zeitraum von 2020 auf 2021; er betrug \(10\,\text{Prozentpunkte}\). c) Im Jahr 2020 sank die Recyclingquote.
4351376
In einer Umfrage in der Klasse 6a wurden \(40\) Schülerinnen und Schüler nach ihrem liebsten Hobby gefragt. Das Ergebnis ist im folgenden Säulendiagramm dargestellt. Welche der folgenden Aussagen sind wahr? 1) Mehr als ein Drittel der Befragten nannte Sport als Hobby. 2) Zusammen sind die Hobbys Musik und Lesen beliebter als Sport. 3) Der Anteil von Gaming an allen Antworten beträgt genau \(25\,\%\). 4) Mehr als die Hälfte der Klasse wählte entweder Sport oder Lesen.
Abbildung zur Aufgabe 435137

Denkanstöße

- Ermittle zuerst die Gesamtzahl aller befragten Kinder, indem du alle Säulenwerte addierst. - Berechne für Anteile wie „ein Drittel“ oder „ein Viertel“ den entsprechenden Wert von der Gesamtzahl. - Addiere die Werte der genannten Hobbys, um sie mit anderen Werten zu vergleichen. - Achte genau auf Formulierungen wie „mehr als“ oder „genau“.

Lösung

1. Bestimmung der Gesamtzahl: \(14 + 10 + 10 + 6 = 40\). 2. Überprüfung von Aussage 1: Ein Drittel von \(40\) ist etwa \(13{,}33\). Da \(14\) Kinder Sport gewählt haben und \(14 > 13{,}33\), ist die Aussage wahr. 3. Überprüfung von Aussage 2: Die Anzahl für Musik (\(10\)) und Lesen (\(6\)) ergibt zusammen \(16\). Da \(16 > 14\) (Anzahl für Sport), ist die Aussage wahr. 4. Überprüfung von Aussage 3: Der Anteil von Gaming ist \(\frac{10}{40} = \frac{1}{4} = 0{,}25\). Das entspricht genau \(25\,\%\). Die Aussage ist wahr. 5. Überprüfung von Aussage 4: Sport (\(14\)) und Lesen (\(6\)) ergeben zusammen \(20\). Da \(20\) genau die Hälfte von \(40\) ist, ist die Aussage „mehr als die Hälfte“ falsch.

Antwort

Die Aussagen 1, 2 und 3 sind wahr.
4355636
Ein Müsliriegel mit einem Gesamtgewicht von \(50\,\text{g}\) besteht aus \(20\,\text{g}\) Haferflocken, \(15\,\text{g}\) Nüssen, \(10\,\text{g}\) Trockenfrüchten und \(5\,\text{g}\) Honig. Um diese Anteile in einem Kreisdiagramm darzustellen, müssen die Mittelpunktswinkel berechnet werden. Berechne die Winkel für alle vier Bestandteile.

Denkanstöße

- Wie viele Grad hat ein ganzer Kreis? - Bestimme zuerst, welchen Anteil jede Zutat am Gesamtgewicht hat. - Wie rechnest du diesen Anteil in einen Winkel um?

Lösung

1. Haferflocken: \(\frac{20}{50} = 40\,\%\), also \(0{,}40 \cdot 360^\circ = 144^\circ\). 2. Nüsse: \(\frac{15}{50} = 30\,\%\), also \(0{,}30 \cdot 360^\circ = 108^\circ\). 3. Trockenfrüchte: \(\frac{10}{50} = 20\,\%\), also \(0{,}20 \cdot 360^\circ = 72^\circ\). 4. Honig: \(\frac{5}{50} = 10\,\%\), also \(0{,}10 \cdot 360^\circ = 36^\circ\).

Antwort

Haferflocken: \(144^\circ\) Nüsse: \(108^\circ\) Trockenfrüchte: \(72^\circ\) Honig: \(36^\circ\)
4357266
In einer Schule wurde eine Umfrage zum Schulweg durchgeführt. Das Diagramm zeigt die Verteilung der genutzten Verkehrsmittel. 1) Wie viel Prozent der Schüler nutzen ein umweltfreundliches Verkehrsmittel (Fahrrad oder zu Fuß)? 2) Wie oft so viele Schüler nutzen den Bus wie das Auto? 3) Welches Verkehrsmittel wird von genau einem Fünftel der Schüler genutzt?
Abbildung zur Aufgabe 435726

Denkanstöße

- Ein Prozentwert gibt den Anteil von Hundert an. Weißt du, wie viel Prozent ein Fünftel sind? - Kombiniere die passenden Sektoren für die erste Teilaufgabe. - Vergleiche die Sektorengrößen für die zweite Teilaufgabe.

Lösung

1. Addition der Anteile für Fahrrad (\(30\,\%\)) und zu Fuß (\(20\,\%\)): \(30\,\% + 20\,\% = 50\,\%\). 2. Division des Busanteils (\(40\,\%\)) durch den Anteil für das Auto (\(10\,\%\)): \(40 : 10 = 4\). Den Bus nutzen 4-mal so viele Schüler wie das Auto. 3. Umrechnung des Bruchs \(\frac{1}{5}\) in Prozent: \(\frac{1}{5} = \frac{20}{100} = 20\,\%\). Der Anteil von \(20\,\%\) entspricht dem Weg zu Fuß.

Antwort

1) \(50\,\%\) 2) 4-mal so viele 3) Zu Fuß
5525596
In einer Klasse mit \(30\) Kindern wird der Schulweg erfasst. Das angefangene Säulendiagramm zeigt bereits die Kategorien „zu Fuß“, „Fahrrad“ und „Auto“. Die Reihenfolge der vier Kategorien soll „zu Fuß“, „Bus“, „Fahrrad“, „Auto“ sein; die Bus-Säule fehlt noch. a) Wie viele Kinder fahren mit dem Bus? b) Welche Höhe muss die fehlende Bus-Säule haben? c) Wie groß ist die relative Häufigkeit der Busfahrten in Prozent?
Abbildung zur Aufgabe 552559

Denkanstöße

- Lies zuerst die drei vorhandenen Säulenhöhen ab. - Die vier absoluten Häufigkeiten müssen zusammen die Klassengröße ergeben. - Die Höhe der fehlenden Säule entspricht der fehlenden absoluten Häufigkeit. - Für die relative Häufigkeit vergleichst du die Busfahrten mit allen \(30\) Kindern.

Lösung

1. Aus dem Diagramm liest man ab: zu Fuß \(9\), Fahrrad \(6\), Auto \(3\). 2. Zusammen sind das \(9 + 6 + 3 = 18\) Kinder. 3. Für den Bus bleiben \(30 - 18 = 12\) Kinder. Die fehlende Säule muss daher die Höhe \(12\) haben. 4. Die relative Häufigkeit beträgt \(\frac{12}{30} = 0{,}4 = 40\,\%\).

Antwort

a) \(12\) Kinder fahren mit dem Bus. b) Die Bus-Säule muss die Höhe \(12\) haben. c) Die relative Häufigkeit beträgt \(40\,\%\).
4115116
In einer Umfrage zu Lieblingsgetränken sieht die Verteilung in einem Kreisdiagramm so aus: - „Apfelsaft“ entspricht genau einem Viertel des Diagramms. - „Wasser“ nimmt einen Anteil von \(45\,\%\) ein. - Der restliche Teil entfällt auf „Limo“ und „Tee“, wobei der Sektor für „Limo“ doppelt so groß ist wie der für „Tee“. Berechne die Mittelpunktswinkel und die Prozentsätze für die Kategorien „Limo“ und „Tee“.

Denkanstöße

- Welchen Prozentsatz stellt ein Viertel dar? - Wie viel Prozent bleiben für Limo und Tee übrig, wenn du die anderen Anteile von \(100\,\%\) abziehst? - Wenn eine Menge im Verhältnis \(2:1\) geteilt wird, in wie viele gleich große Verhältnisanteile wird sie zerlegt? - Wie kannst du einen Prozentanteil in einen Mittelpunktswinkel umrechnen?

Lösung

1. Apfelsaft entspricht \(\frac{1}{4} = 25\,\%\), Wasser entspricht \(45\,\%\). 2. Für Limo und Tee bleiben \(100\,\% - 25\,\% - 45\,\% = 30\,\%\). 3. Das Verhältnis Limo : Tee ist \(2:1\). Der Rest wird also in \(3\) gleich große Verhältnisanteile geteilt. Ein Anteil entspricht \(30\,\% : 3 = 10\,\%\). Damit entfallen \(20\,\%\) auf Limo und \(10\,\%\) auf Tee. 4. Für Limo gilt \(0{,}20 \cdot 360^\circ = 72^\circ\); für Tee gilt \(0{,}10 \cdot 360^\circ = 36^\circ\).

Antwort

Limo: \(20\,\%\) und \(72^\circ\) Tee: \(10\,\%\) und \(36^\circ\)
4115686
In einer Stadt gibt es zwei Schulen. Die „Sonnenweg-Schule“ hat \(500\) Kinder, von denen \(10\,\%\) in einem Fußballverein sind. Die „Uferblick-Schule“ hat \(100\) Kinder, von denen \(20\,\%\) in einem Fußballverein sind. Die Lokalzeitung schreibt: „An der Uferblick-Schule sind Kinder doppelt so sportlich wie an der Sonnenweg-Schule, da dort im Vergleich doppelt so viele Kinder Fußball spielen.“ Untersuche diese Aussage, indem du die tatsächliche Anzahl der Kinder berechnest. Wo liegt der Denkfehler in der Schlagzeile?

Denkanstöße

- Rechne zuerst aus, wie viele Kinder an jeder Schule tatsächlich im Verein sind. - Kann man Prozentzahlen direkt in absolute Anzahlen übersetzen, wenn die Gesamtzahlen verschieden sind? - Was meint die Zeitung mit „doppelt so viele“: den Prozentsatz oder die Anzahl der Kinder?

Lösung

1. An der Sonnenweg-Schule sind \(0{,}10 \cdot 500 = 50\) Kinder im Fußballverein. 2. An der Uferblick-Schule sind \(0{,}20 \cdot 100 = 20\) Kinder im Fußballverein. 3. Der relative Anteil ist an der Uferblick-Schule mit \(20\,\%\) doppelt so hoch wie an der Sonnenweg-Schule mit \(10\,\%\). Absolut sind aber \(50 > 20\) Kinder an der Sonnenweg-Schule im Verein. 4. Die Schlagzeile verwechselt den doppelten Prozentsatz mit der absoluten Anzahl. Außerdem lässt sich aus der Fußballvereinsmitgliedschaft allein nicht ableiten, dass Kinder allgemein „doppelt so sportlich“ seien.

Antwort

Der prozentuale Anteil ist an der Uferblick-Schule doppelt so hoch, die absolute Zahl jedoch an der Sonnenweg-Schule größer: \(50\) statt \(20\) Kinder. Die Zeitung verwechselt relative und absolute Angaben; die allgemeine Aussage „doppelt so sportlich“ ist durch die Daten nicht belegt.
4118446
Für eine Darstellung des jährlichen Stromverbrauchs eines Haushalts soll ein \(10\,\text{cm}\) langer Streifen in vier Abschnitte geteilt werden. Der Gesamtverbrauch beträgt \(3000\,\text{kWh}\). Die Abschnittslängen sind: - Kochen: \(1{,}5\,\text{cm}\) - Licht: \(1{,}0\,\text{cm}\) - Kühlen/Gefrieren: \(2{,}5\,\text{cm}\) - Sonstige Geräte: \(5{,}0\,\text{cm}\) a) Bestimme die Anteile der vier Bereiche in Prozent. b) Berechne den Stromverbrauch in \(\text{kWh}\) für jeden Bereich. c) Wie groß wäre in einem Kreisdiagramm der Mittelpunktswinkel für „Kühlen/Gefrieren“?

Denkanstöße

- Welchen Anteil hat eine Teilstrecke an der Gesamtlänge des Streifens? - Wie rechnet man von einem Prozentsatz auf eine konkrete Energiemenge um? - Welcher Anteil eines Vollkreises gehört zum Bereich „Kühlen/Gefrieren“?

Lösung

1. Kochen: \(\frac{1{,}5}{10} = 15\,\%\); Licht: \(\frac{1{,}0}{10} = 10\,\%\); Kühlen/Gefrieren: \(\frac{2{,}5}{10} = 25\,\%\); Sonstige Geräte: \(\frac{5{,}0}{10} = 50\,\%\). 2. Kochen: \(0{,}15 \cdot 3000\,\text{kWh} = 450\,\text{kWh}\); Licht: \(300\,\text{kWh}\); Kühlen/Gefrieren: \(750\,\text{kWh}\); Sonstige Geräte: \(1500\,\text{kWh}\). 3. Für Kühlen/Gefrieren gilt \(0{,}25 \cdot 360^\circ = 90^\circ\).

Antwort

a) Kochen: \(15\,\%\), Licht: \(10\,\%\), Kühlen/Gefrieren: \(25\,\%\), Sonstige Geräte: \(50\,\%\). b) Kochen: \(450\,\text{kWh}\), Licht: \(300\,\text{kWh}\), Kühlen/Gefrieren: \(750\,\text{kWh}\), Sonstige Geräte: \(1500\,\text{kWh}\). c) Der Mittelpunktswinkel beträgt \(90^\circ\).

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