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- Welche Vorrangregel gilt, wenn Punkt- und Strichrechnung im selben Term vorkommen? - Die Schreibweise enthält keine Klammer, die diese Regel verändern würde. - Prüfe, ob du nicht einfach nur von links nach rechts gerechnet hast.

1. Multiplikation hat Vorrang vor Addition. 2. Daher wird zuerst \(2\cdot5=10\) berechnet. 3. Anschließend gilt \(6+10=16\).

Zuerst die Multiplikation; der Termwert ist \(16\).

- Eine Klammer legt fest, welcher Teil eines Terms zuerst ausgewertet wird. - Welche beiden Zahlen sollen laut Auftrag zuerst miteinander verknüpft werden? - Das Multiplikationszeichen soll außerhalb dieser Klammer bleiben.

1. Ohne Klammern würde zuerst multipliziert. 2. Damit \(7-3\) zuerst berechnet wird, muss diese Differenz in Klammern stehen. 3. Der neue Term lautet \((7-3)\cdot2\).

\((7-3)\cdot2\)

- Lies zuerst die Verknüpfung, die näher an den Blättern liegt. - Die Operation an der Wurzel verbindet die beiden großen Äste zuletzt. - Vergleiche diese Reihenfolge mit den drei angebotenen Termen.

1. Im rechten Ast werden \(2\) und \(3\) multipliziert. 2. Dieses Ergebnis wird an der Wurzel zu \(5\) addiert. 3. Daher passt \(5+2\cdot3\), also A).

A) \(5+2\cdot3\)

- Prüfe bei jeder Potenz genau, ob das Minuszeichen zur Basis gehört. - Welche Operation wird zuerst ausgeführt: Potenzieren oder das vorangestellte Minus? - Beachte anschließend die Vorzeichenregel beim Dividieren.

1. In a) gilt \((-3)^2=9\), also \(\frac{9}{-9}=-1\). 2. In b) wird nur die \(3\) quadriert: \(-3^2=-9\). Daher ist \(\frac{-9}{-9}=1\). 3. In c) gilt im Zähler \(-3^2=-9\), also \(-\frac{-9}{9}=1\).

a) \(-1\) b) \(1\) c) \(1\)

- Prüfe, welches Rechenzeichen unmittelbar vor jeder Klammer steht. - Beachte bei b) zusätzlich Punkt-vor-Strich. - Unterscheide zwischen einer Plusklammer und einer Minusklammer.

1. In a) kann die Klammer ohne weitere Zeichenänderung weggelassen werden, weil ein Pluszeichen davor steht: \(24{,}5+12{,}8-5{,}2\). 2. In b) darf die Klammer nicht einfach entfallen. Ohne sie würde wegen Punkt-vor-Strich nicht mehr die gesamte Differenz mit \(3\) multipliziert. 3. In c) darf die Klammer nicht unverändert weggelassen werden. Beim korrekten Auflösen einer Minusklammer müssten die Vorzeichen der beiden Glieder geändert werden.

a) Ja, weil vor der Klammer ein Plus steht. b) Nein, weil ohne Klammer die Multiplikation mit \(3\) Vorrang hätte und nicht mehr die ganze Differenz erfasst. c) Nein, weil beim Auflösen einer Minusklammer die Vorzeichen in der Klammer geändert werden müssen.

- Beachte, dass Multiplikation und Division die gleiche Rangstufe haben. - Ohne Klammern werden gleichrangige Punktrechnungen von links nach rechts ausgeführt. - Vergleiche für jeden Term die beiden vollständigen Endwerte.

1. Mit Klammern ergibt der erste Term \((3{,}6 \cdot 5) : 2 = 18 : 2 = 9\). Ohne Klammern gilt \(3{,}6 \cdot 5 : 2 = 18 : 2 = 9\), weil Multiplikation und Division bei gleicher Priorität von links nach rechts ausgeführt werden. 2. Mit Klammern ergibt der zweite Term \(36 : (3 \cdot 2) = 36 : 6 = 6\). Ohne Klammern gilt \(36 : 3 \cdot 2 = 12 \cdot 2 = 24\). 3. Im ersten Term ändern die Klammern den Wert nicht; im zweiten Term ändern sie ihn.

a) Mit und ohne Klammern: \(9\); die Klammern ändern den Wert nicht. b) Mit Klammern: \(6\); ohne Klammern: \(24\); die Klammern ändern den Wert.

- Beachte bei Term A die Regel „Punkt vor Strich“ und rechne dann von links nach rechts. - Bei den Termen B und C musst du zuerst das berechnen, was in den Klammern steht. - Achte beim Vergleichen der Ergebnisse auf die Vorzeichen.

1. Berechnung Term A (Standardregeln): \(\frac{1}{4} \cdot 20 - 4 + 8 = 5 - 4 + 8 = 1 + 8 = 9\). 2. Berechnung Term B (Klammer zuerst): \(\frac{1}{4} \cdot 16 + 8 = 4 + 8 = 12\). 3. Berechnung Term C (Klammer zuerst): \(\frac{1}{4} \cdot 20 - 12 = 5 - 12 = -7\). 4. Vergleich der Ergebnisse: \(12 > 9 > -7\). 5. Term C liefert mit \(-7\) das kleinste Ergebnis.

Term A: \(9\) Term B: \(12\) Term C: \(-7\) Term C liefert das kleinste Ergebnis.

- Wandle die Brüche zuerst in Dezimalzahlen um, damit du leichter rechnen kannst. - Denke an die Vorrangregel: Klammern werden zuerst berechnet. - Rechne bei Strichrechnungen ohne Klammern immer von links nach rechts.

1. Berechnung von Term \(A\): Zuerst den Klammerausdruck auswerten. \(8 \frac{1}{4}\) als Dezimalzahl ist \(8{,}25\). Die Summe in der Klammer ist \(8{,}25 + 3{,}5 = 11{,}75\). Der Term lautet nun \(25{,}5 - 11{,}75 + 2\). Von links nach rechts gerechnet ergibt sich \(13{,}75 + 2 = 15{,}75\). 2. Berechnung von Term \(B\): Zuerst den Klammerausdruck auswerten: \(3{,}5 + 2 = 5{,}5\). Der Term lautet nun \(25{,}5 - 8{,}25 + 5{,}5\). Von links nach rechts gerechnet ergibt sich \(17{,}25 + 5{,}5 = 22{,}75\). 3. Vergleich: Da \(22{,}75 > 15{,}75\), hat Term \(B\) den größeren Wert.

\(A = 15{,}75\); \(B = 22{,}75\). Term \(B\) hat den größeren Wert.

- Prüfe, ob das Minuszeichen innerhalb oder außerhalb der Potenzbasis steht. - Welche Operation wird bei \(-3^4\) zuerst ausgeführt? - Schreibe die Potenzen als wiederholte Produkte, um die Bedeutung zu kontrollieren.

1. \((-3)^4=(-3)(-3)(-3)(-3)=81\). 2. \(-3^4=-(3\cdot3\cdot3\cdot3)=-81\). 3. \((-10)^3=(-10)(-10)(-10)=-1000\). 4. \(-10^3=-(10\cdot10\cdot10)=-1000\). 5. Da \(100\) gerade ist, gilt \((-1)^{100}=1\). 6. Bei a) gehört das Minuszeichen zur Basis, bei b) steht es außerhalb der Potenz.

a) \(81\) b) \(-81\) c) \(-1000\) d) \(-1000\) e) \(1\) Bei a) wird die negative Zahl \(-3\) potenziert; bei b) wird \(3\) potenziert und das Ergebnis anschließend negiert.

- Was passiert mit den Vorzeichen in einer Klammer, wenn ein Minuszeichen davor steht? - Berechne zuerst den Wert innerhalb der Klammer und schaue dann, wie es weitergeht. - Vergleiche Schritt für Schritt, wie Lukas und Mia vorgegangen sind.

1. Berechnung des Klammerinhalts: \(7 - 12 = -5\). 2. Einsetzen in den Gesamtausdruck: \(-15 - (-5)\). 3. Auflösen des doppelten Minuszeichens: \(-15 + 5 = -10\). 4. Vergleich der Ergebnisse: Mia hat recht, da ihr Ergebnis \(-10\) korrekt ist. 5. Fehleranalyse: Lukas hat die Klammer einfach weggelassen, ohne das Vorzeichen innerhalb der Klammer anzupassen. Richtig wäre beim Auflösen der Klammer: \(-15 - 7 + 12\).

Mia hat recht. Lukas hat einen Fehler beim Auflösen der Klammer gemacht: Beim Auflösen der Minusklammer muss sich das Vorzeichen jedes Glieds in der Klammer ändern. Richtig ist \(-15 - 7 + 12 = -10\).

- Berechne immer zuerst den Ausdruck innerhalb der Klammern. - Denke an die Regel für das Auflösen von Minusklammern. - Was passiert mit dem Wert einer Zahl, wenn du ein Minuszeichen davor setzt?

1. Berechnung Term A: \(-12 - (5 - 13) = -12 - (-8) = -12 + 8 = -4\). 2. Berechnung Term B: \((-12 - 5) - 13 = -17 - 13 = -30\). 3. Vergleich und Erklärung: In Term A bewirkt das Minuszeichen vor der Klammer, dass sich die Vorzeichen innerhalb der Klammer beim Auflösen umkehren. Aus \(-(5 - 13)\) wird \(-5 + 13\). In Term B werden die Subtraktionen einfach nacheinander von links nach rechts ausgeführt.

a) Term A hat den Wert \(-4\), Term B hat den Wert \(-30\). b) In Term A bezieht sich das Minuszeichen auf die gesamte Differenz \((5 - 13)\). Beim Auflösen der Klammer wird daraus \(-5 + 13\). In Term B werden alle Zahlen schrittweise subtrahiert, was zu einem wesentlich kleineren Wert führt.

- Wie wird eine Kette aus Subtraktionen ohne Klammern ausgewertet? - Welche Rechnung findet innerhalb einer gesetzten Klammer zuerst statt? - Prüfe verschiedene zusammenhängende Zahlenblöcke systematisch.

1. Ohne Klammern wird von links nach rechts gerechnet: \(40-20-10-5=5\). 2. Zum Beispiel bleibt der Wert bei \((40-20)-10-5=5\) unverändert. Auch \((40-20-10)-5=5\) ist möglich. 3. Für den Wert \(25\) eignet sich \(40-(20-10)-5=25\).

a) \(5\) b) Zum Beispiel \((40-20)-10-5\) c) \(40-(20-10)-5\)

- Achte bei Term A auf die Vorrangregeln für Klammern. - Was passiert mit den Vorzeichen, wenn man eine Klammer auflöst, vor der ein Minus steht? - Rechne bei Term B einfach Schritt für Schritt von links nach rechts.

1. Berechnung von Term \(A\): Zuerst den Wert in der Klammer bestimmen: \(2{,}1 - 4{,}6 = -2{,}5\). Anschließend subtrahieren: \(-3{,}5 - (-2{,}5) = -3{,}5 + 2{,}5 = -1{,}0\). 2. Berechnung von Term \(B\): Von links nach rechts rechnen: \(-3{,}5 - 2{,}1 = -5{,}6\). Danach weiter subtrahieren: \(-5{,}6 - 4{,}6 = -10{,}2\). 3. Erklärung: In Term \(A\) bewirkt die Klammer mit dem Minuszeichen davor eine Vorzeichenänderung beider Glieder innerhalb der Klammer beim Auflösen (Minus-Klammer-Regel). In Term \(B\) wird \(4{,}6\) subtrahiert, während in Term \(A\) durch das Minus vor der Klammer effektiv \(4{,}6\) addiert wird (\(-(-4{,}6) = +4{,}6\)).

a) \(A = -1{,}0\); \(B = -10{,}2\) b) Bei Term \(A\) bezieht sich das Minuszeichen auf die gesamte Differenz in der Klammer. Durch die Klammerregel wird der Wert \(-4{,}6\) effektiv zu \(+4{,}6\), während er in Term \(B\) subtrahiert wird.

- Markiere in jedem Term zuerst Klammern und Punktrechnungen. - Führe gleichrangige Operationen in der korrekten Reihenfolge aus. - Kontrolliere jeden Zwischenschritt, bevor du zur nächsten Rangstufe gehst.

1. Im ersten Term gilt Multiplikation vor Subtraktion: \(85 - 60 = 25\). 2. Im zweiten Term werden Division und Multiplikation vor der Addition ausgeführt: \(12 + 32 = 44\). 3. Im dritten Term werden beide Klammern zuerst berechnet: \(80 : 20 = 4\). 4. Im vierten Term gilt innerhalb der Klammer zuerst \(4 \cdot 6 = 24\), dann \(32 - 24 = 8\) und schließlich \(7 \cdot 8 = 56\).

a) \(25\) b) \(44\) c) \(4\) d) \(56\)

- Berechne zuerst beide Werte getrennt voneinander. - Welche Rechenoperation wird in Term A zuerst ausgeführt? Welche in Term B? - Wie beeinflussen die Klammern den Rechenweg?

1. Berechnung von \(A\) nach der Punkt-vor-Strich-Regel: \(40 - 5 + 3 = 38\). 2. Berechnung von \(B\): Klammern zuerst berechnen: \(30 : 5 = 6\). 3. Vergleich: In Term \(A\) wird nur die \(10\) durch \(2\) geteilt. In Term \(B\) bewirken die Klammern, dass zuerst die Differenz \(40-10\) und die Summe \(2+3\) gebildet werden, bevor die Division ausgeführt wird. Die Klammern verändern also die Rangfolge der Rechenoperationen.

\(A = 38\) und \(B = 6\). Die Ergebnisse unterscheiden sich, weil Klammern die normale Vorrangregel „Punkt vor Strich“ außer Kraft setzen und festlegen, welche Teile des Terms zuerst zusammengefasst werden müssen.

- Gehört das Minuszeichen jeweils zur Basis oder steht es vor der Potenz? - Welche Operation wird bei einem Ausdruck wie \(-4^2\) zuerst ausgeführt? - Bearbeite verschachtelte Vorzeichen von innen nach außen.

1. Bei \(-4^2\) wird nur \(4\) quadriert: \(-4^2=-16\). 2. Bei \((-4)^2\) gehört das Minus zur Basis: \((-4)^2=16\). 3. Ein gerader Exponent liefert \((-1)^{50}=1\). 4. \(\left(-\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{16}\). 5. Zuerst gilt \((-2)^3=-8\), danach \(-(-8)=8\).

1) \(-16\) 2) \(16\) 3) \(1\) 4) \(\frac{1}{16}\) 5) \(8\)

- Achte beim ersten Schritt auf das Vorzeichen: „Minus durch Plus ergibt Minus“. - Achte beim zweiten Schritt auf das Vorzeichen: „Minus mal Minus ergibt Plus“.

1. Berechnung des ersten Schritts: \(-35 : 7 = -5\). 2. Berechnung des zweiten Schritts mit dem Zwischenergebnis: \(-5 \cdot (-9) = 45\).

Das Zwischenergebnis im oberen Kästchen ist \(-5\). Das Endergebnis im unteren Kästchen ist \(45\).

- Beginne an den Blättern des linken Astes, nicht am Endergebnis. - Erst wenn der linke Zwischenwert bekannt ist, kannst du den Wurzelknoten rückwärts lesen. - Welche Zahl ergänzt den linken Zwischenwert auf \(10\)?

1. Der linke Ast ist \(2\cdot3\), also hat der linke Zwischenknoten den Wert \(6\). 2. Am Wurzelknoten gilt damit \(6+?=10\). 3. Die fehlende Zahl ist \(4\).

Linker Zwischenwert: \(6\) Fehlendes Blatt: \(4\)

- Schau dir die Vorzeichen der Zahlen in der Klammer genau an. - Was bewirkt ein Pluszeichen vor einer Klammer im Vergleich zu einem Minuszeichen? - Kannst du die Regel in eigenen Worten formulieren?

1. Berechnung von \(A\): \(-15 + (-15) = -30\). Berechnung von \(B\): \(-15 + 30 - 45 = 15 - 45 = -30\). 2. Die Ergebnisse sind gleich. Regel: Steht ein Pluszeichen vor einer Klammer, kann man die Klammer weglassen, ohne die Vorzeichen im Inneren zu ändern. 3. Bei einem Minuszeichen vor der Klammer ändern sich alle Vorzeichen in der Klammer beim Auflösen: \(-15 - 30 + 45\).

1. \(A = -30\), \(B = -30\) 2. Bei einem Plus vor der Klammer kann diese weggelassen werden. 3. \(-15 - 30 + 45\)

- Welche Rechenoperationen musst du laut den Vorrangregeln zuerst ausführen? - Erinnere dich an die Reihenfolge: Klammern zuerst, dann Potenzen, dann Punkt-vor-Strich-Rechnung. - Wandle den Bruch in eine Dezimalzahl um, um die Addition in der Klammer zu vereinfachen. - Was bedeutet es, eine Zahl zu quadrieren?

1. Umwandeln des Bruchs in der Klammer in eine Dezimalzahl: \( \frac{4}{5} = 0{,}8 \) 2. Berechnen des Klammerwerts: \( 0{,}4 + 0{,}8 = 1{,}2 \) 3. Berechnen der Division (Multiplikation mit dem Kehrwert): \( 1{,}2 : 0{,}5 = 2{,}4 \) 4. Berechnen des Quadrats: \( (1{,}2)^2 = 1{,}44 \) 5. Endgültige Subtraktion: \( 2{,}4 - 1{,}44 = 0{,}96 \)

\( 0{,}96 \)

- Welche Rechnung wird durch die Klammern zuerst ausgeführt? - Wo muss der lange Hauptbruchstrich im Doppelbruch stehen? - Vergleiche die Position der Divisionen mit der Position der Bruchstriche.

1. Teilaufgabe a): Der Ausdruck \((12 : 4) : 2\) wird als Doppelbruch \(\frac{\frac{12}{4}}{2}\) geschrieben. Berechnung: \(\frac{3}{2} = 1{,}5\). Hier ist der Zähler selbst ein Bruch (\(\frac{12}{4}\)). 2. Teilaufgabe b): Der Ausdruck \(12 : (4 : 2)\) wird als Doppelbruch \(\frac{12}{\frac{4}{2}}\) geschrieben. Berechnung: \(\frac{12}{2} = 6\). Hier ist der Nenner selbst ein Bruch (\(\frac{4}{2}\)). 3. Vergleich: Die Ergebnisse \(\frac{3}{2}\) und \(6\) sind verschieden. Die Klammersetzung bestimmt, welcher Teil des Terms als „Hauptbruchstrich“ fungiert.

a) Doppelbruch: \(\frac{\frac{12}{4}}{2}\), Ergebnis: \(\frac{3}{2}\) (oder \(1{,}5\)) b) Doppelbruch: \(\frac{12}{\frac{4}{2}}\), Ergebnis: \(6\) Vergleich: Die Ergebnisse sind unterschiedlich, da der Hauptbruchstrich an verschiedenen Stellen steht.

- Welche Rechenoperationen musst du laut den Vorrangregeln zuerst ausführen? - Markiere dir Multiplikationen und Divisionen, bevor du mit Addition oder Subtraktion beginnst. - Arbeite dich bei Klammern von innen nach außen vor. - Achte besonders auf das Minuszeichen vor Klammern oder bei der Multiplikation.

1. Punkt-vor-Strich-Rechnung: \((-32) : 4 = -8\) und \((-12) \cdot 2 = -24\). Subtraktion: \(-8 - (-24) = -8 + 24 = 16\). 2. Innere Klammer zuerst: \(40 - (-10) = 50\). Dann Multiplikation: \(50 \cdot 3 = 150\). Subtraktion: \(150 - 150 = 0\). 3. Multiplikation und Division zuerst: \((-0{,}2) \cdot 50 = -10\) und \((-10) : (-2) = 5\). Addition: \(-10 + 5 = -5\).

a) \(16\) b) \(0\) c) \(-5\)

- Probiere verschiedene Stellen für die Klammern aus und berechne das Ergebnis jeweils schrittweise. - Denke an die Regel „Klammer zuerst“. - Was passiert, wenn du die Addition vor der Division ausführst? - Vergiss nicht die Vorzeichenregeln bei der Multiplikation und Division.

1. Berechnung ohne Klammern: Gemäß Punkt-vor-Strichrechnung gilt \( (-20 : 2) + (3 \cdot (-2)) = -10 + (-6) = -16 \). Dies ist ungleich \( 8 \). 2. Testen verschiedener Klammersetzungen: Variante 1: \( (-20 : 2 + 3) \cdot (-2) = (-10 + 3) \cdot (-2) = -7 \cdot (-2) = 14 \). Variante 2: \( -20 : (2 + 3) \cdot (-2) = -20 : 5 \cdot (-2) \). Da Division und Multiplikation gleichrangig sind, rechnet man von links nach rechts: \( -4 \cdot (-2) = 8 \). 3. Ergebnis: Die Klammern müssen um den Ausdruck \( 2 + 3 \) gesetzt werden.

Die richtige Klammersetzung ist: \( -20 : (2 + 3) \cdot (-2) = 8 \). Rechnung: \( -20 : 5 \cdot (-2) = -4 \cdot (-2) = 8 \).

- Welche Operation hat nach den Vorrangregeln Vorrang: Quadrieren oder Subtrahieren? - Berechne die beiden Potenzen getrennt, bevor du ihre Differenz bildest. - Vergleiche dann den korrekten Rechenweg mit dem fehlerhaften Übergang.

1. Der Fehler liegt im Übergang von der Differenz der beiden Quadrate zum Quadrat einer Differenz. Die beiden Potenzen müssen nach der Vorrangregel jeweils zuerst berechnet werden. 2. Es gilt \((-0{,}3)^2 = 0{,}09\) und \(0{,}1^2 = 0{,}01\). 3. Danach wird subtrahiert: \(0{,}09 - 0{,}01 = 0{,}08\).

Die Potenzen dürfen nicht durch vorheriges Subtrahieren der Basen zusammengefasst werden. Richtig ist \(0{,}09 - 0{,}01 = 0{,}08\).

- Berechne erst beide Werte und vergleiche sie. - Worauf bezieht sich die kleine Hochzahl (der Exponent) jeweils? - Erinnerst du dich an die Regel für „Minus mal Minus“?

1. Berechnung Term \(A\): Zuerst die Potenz \(6^2 = 36\), dann das Minuszeichen davor setzen: \(-36\). Division durch \(4\) ergibt \(-9\). Addition von \(5\) ergibt \(-4\). 2. Berechnung Term \(B\): Die Klammer bewirkt, dass die negative Zahl quadriert wird: \((-6) \cdot (-6) = 36\). Division durch \(4\) ergibt \(9\). Addition von \(5\) ergibt \(14\). 3. Vergleich: Bei Term \(A\) bezieht sich das Quadrat nur auf die Zahl \(6\). Bei Term \(B\) bezieht sich das Quadrat auf die gesamte Zahl \(-6\), wodurch das Ergebnis der Potenz positiv wird.

a) Term \(A = -4\); Term \(B = 14\) b) Bei \(-6^2\) wird nur die \(6\) quadriert und das Minus danach davor gesetzt. Bei \((-6)^2\) wird die Zahl \(-6\) mit sich selbst multipliziert, was ein positives Ergebnis (\(36\)) liefert.

- Was passiert mit den Rechenzeichen, wenn man eine Klammer auflöst, vor der ein Minus steht? - Gibt es einen Weg, das Ergebnis zu berechnen, ohne die Klammer vorher aufzulösen? - Überprüfe jeden einzelnen Schritt der Gleichungskette.

1. Prüfung des Rechenwegs: Der Übergang von der Klammerform zur klammerfreien Form ist fehlerhaft. Beim Auflösen einer Minusklammer müssen sich alle Vorzeichen innerhalb der Klammer umkehren. 2. Korrektur des Terms: \(\frac{4}{5} - \frac{1}{2} + \frac{1}{10}\). 3. Alternativer (einfacherer) Weg: Zuerst den Wert in der Klammer berechnen. \(\frac{1}{2} - \frac{1}{10} = \frac{5}{10} - \frac{1}{10} = \frac{4}{10}\). 4. Endberechnung: \(\frac{4}{5} - \frac{4}{10} = \frac{8}{10} - \frac{4}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}\).

Der Rechenweg ist falsch, da das Minuszeichen vor der Klammer nicht korrekt auf die Terme in der Klammer angewendet wurde (aus \(-\frac{1}{10}\) hätte \(+\frac{1}{10}\) werden müssen). Das korrekte Ergebnis ist \(\frac{4}{10}\) bzw. \(\frac{2}{5}\).

- Welche Operation wird in jedem Term ganz zuletzt ausgeführt? - Vergleiche genau, welche Teile durch die zusätzliche Klammer zusammengefasst werden. - Berechne Potenzen und Divisionen gemäß den Vorrangregeln.

1. Im ersten Term ist die äußerste Operation eine Subtraktion; er ist eine Differenz. Es gilt \(0{,}16-0{,}4=-0{,}24\). 2. Im zweiten Term liegt die Differenz vollständig in der Klammer und ergibt \(0\); die äußerste Operation ist die Division. Der Term ist ein Quotient mit dem Wert \(0:0{,}4=0\).

a) Struktur: Differenz; Wert: \(-0{,}24\) b) Struktur: Quotient; Wert: \(0\)

- Frage bei jeder Klammer zuerst, ob ihr Weglassen die Vorrangstruktur verändert. - Unterscheide beim negativen Faktor zwischen mathematischem Wert und üblicher Schreibkonvention. - Beachte besonders die Multiplikation und das Minuszeichen vor der letzten Klammer.

1. Die Klammern um \(-12\) sind für den Wert nicht nötig; am Anfang der eckigen Klammer ist \(-12+4\) eindeutig. 2. Die eckigen Klammern sind mathematisch nötig, wenn die Summe \(-12+4\) als Ganzes mit \(-3\) multipliziert werden soll. Ohne sie würde die Multiplikation Vorrang haben und der Wert sich ändern. 3. Die Klammern um \(-3\) ändern den Rechenwert nicht: Der Faktor bleibt negativ. In der üblichen Schulnotation schreibt man nach einem Multiplikationszeichen einen negativen Faktor jedoch in Klammern, also \(\cdot(-3)\), weil das klarer und standardgemäß ist. 4. Die Klammern um \(10-2\) sind für den Wert nötig, weil die gesamte Differenz subtrahiert wird. Ein unverändertes Weglassen würde einen anderen Term erzeugen.

1. Für den Wert nicht nötig. 2. Mathematisch nötig. 3. Für den Wert nicht nötig, in üblicher Schulnotation aber sinnvoll beziehungsweise standardgemäß. 4. Mathematisch nötig.

- Welche Größe beschreibt zuerst den gesamten Höhenunterschied? - Wie lässt sich daraus die Anzahl der \(100\)-Meter-Schritte ausdrücken? - Überlege, ob die gesamte Temperaturänderung zum Startwert addiert oder von ihm subtrahiert werden muss.

1. Der Höhenunterschied wird durch \(2960 - 600\) beschrieben. Die Anzahl der \(100\)-Meter-Schritte ist daher \((2960 - 600) : 100\). 2. Jeder dieser Schritte senkt die Temperatur um \(0{,}8\,^{\circ}\text{C}\). Ein passender Term ist deshalb \(22 - ((2960 - 600) : 100) \cdot 0{,}8\). 3. Der Höhenunterschied beträgt \(2360\,\text{m}\), also \(23{,}6\) Schritte zu je \(100\,\text{m}\). Die Temperaturabnahme ist \(23{,}6 \cdot 0{,}8 = 18{,}88\,^{\circ}\text{C}\). 4. Die erwartete Temperatur ist \(22\,^{\circ}\text{C} - 18{,}88\,^{\circ}\text{C} = 3{,}12\,^{\circ}\text{C}\).

Ein passender Term ist \(22 - ((2960 - 600) : 100) \cdot 0{,}8\). Sein Wert ist \(3{,}12\,^{\circ}\text{C}\).

- Welche Rechenoperation wird laut Vorrangregeln als Letztes ausgeführt? - Siehst du in der Klammer einen gemeinsamen Faktor, den du ausklammern kannst? - Achte beim Dividieren besonders auf die Vorzeichen.

1. Der Term ist insgesamt eine Summe, weil nach Auswertung der Punktrechnungen zuletzt \((-4{,}5)\) addiert wird. 2. In der Klammer kann \(2{,}4\) ausgeklammert werden: \(2{,}4\cdot(-1{,}5-3{,}5)=2{,}4\cdot(-5)=-12\). 3. Dann gilt \(-12:(-1{,}2)=10\). 4. Schließlich ist \(10+(-4{,}5)=5{,}5\).

Der Term ist eine Summe, weil die äußerste letzte Operation die Addition von \((-4{,}5)\) ist. Geschickt: \(2{,}4\cdot(-1{,}5-3{,}5)=-12\), dann \(-12:(-1{,}2)+(-4{,}5)=5{,}5\).

- Bestimme zuerst, welche Rechenoperation den gesamten Term äußerlich gliedert. - Fasse innerhalb jeder eckigen Klammer zunächst die Dezimalzahlen zusammen. - Beobachte anschließend, welche gleichen Bruchteile mehrfach vorkommen und welche ganzzahligen Anteile sich aufheben.

1. Der gesamte Ausdruck ist eine Differenz: Von der Summe der beiden eckigen Klammern wird zuletzt \(-\frac{3}{7}\) subtrahiert. 2. In der ersten Klammer ergänzen sich \(12{,}5+7{,}5\) zu \(20\), sodass \(20+\frac{3}{7}\) entsteht. 3. In der zweiten Klammer ist \(2{,}5-22{,}5=-20\), sodass \(-20+\frac{3}{7}\) entsteht. 4. \(20\) und \(-20\) heben sich auf. Außerdem wird am Ende \(-\frac{3}{7}\) subtrahiert, also ein weiteres \(\frac{3}{7}\) addiert. Es bleiben \(3\cdot\frac{3}{7}=\frac{9}{7}=1\frac{2}{7}\).

Der Term ist insgesamt eine Differenz. Das Muster ist \(20+(-20)=0\); übrig bleiben drei gleiche Summanden \(\frac{3}{7}\). Daher ist der Wert \(\frac{9}{7}=1\frac{2}{7}\).

- Welche Rechenoperation wird im gesamten Term zuletzt ausgeführt? - Arbeite innerhalb der eckigen Klammer nach den Vorrangregeln von innen nach außen. - Achte darauf, was beim Quadrieren einer negativen Zahl mit dem Vorzeichen geschieht.

1. Der Term ist insgesamt eine Summe, weil zuletzt \(-2\frac{1}{2}\) und der Wert der eckigen Klammer addiert werden. 2. \((-0{,}4)^2=0{,}16\). 3. \(0{,}16\cdot5=0{,}8\). 4. In der Klammer gilt \(0{,}5-0{,}8=-0{,}3\). 5. Damit ist \(-2{,}5+(-0{,}3)=-2{,}8\).

Struktur: Summe aus \(-2\frac{1}{2}\) und dem Klammerwert. Rechnung: \((-0{,}4)^2=0{,}16\), \(0{,}16\cdot5=0{,}8\), \(0{,}5-0{,}8=-0{,}3\), also \(-2{,}8\).

- Welche Operation verbindet die beiden größten Teilstücke des Terms? - Berechne zuerst die Potenz und anschließend den Wert der eckigen Klammer. - Wähle für die letzte Addition eine gemeinsame Darstellung.

1. Der Term ist insgesamt eine Summe, weil zuletzt das Produkt und \(1\frac{1}{3}\) addiert werden. 2. \((-1{,}5)^2=2{,}25\), also ist die eckige Klammer \(2{,}25-0{,}25=2\). 3. Das Produkt ist \(2\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)=-\frac{4}{3}\). 4. Mit \(1\frac{1}{3}=\frac{4}{3}\) ergibt sich \(-\frac{4}{3}+\frac{4}{3}=0\).

Struktur: Summe aus dem Produkt \([(-1{,}5)^2-\frac14]\cdot\left(-\frac23\right)\) und \(1\frac13\). Der Wert ist \(0\).

- Welche Operation verbindet \(\frac{7}{8}\) mit dem gesamten Klammerausdruck? - Berechne in der Klammer Potenz und Punktrechnungen vor der Addition. - Ziehe erst ganz am Ende den vollständigen Klammerwert ab.

1. Der Term ist insgesamt eine Differenz: Vom Wert \(\frac{7}{8}\) wird zuletzt der Wert der eckigen Klammer subtrahiert. 2. In der Klammer gilt \(-1{,}2:(-0{,}4)=3\) und \((-2)^2\cdot0{,}5=4\cdot0{,}5=2\). 3. Der Klammerwert ist damit \(3+2=5\). 4. Schließlich gilt \(\frac{7}{8}-5=-4\frac{1}{8}=-4{,}125\).

Struktur: Differenz aus \(\frac{7}{8}\) und dem Klammerwert. In der Klammer entstehen \(3\) und \(2\), also \(5\). Daher ist der Wert \(-4\frac{1}{8}=-4{,}125\).

- Probiere verschiedene Positionen für die Klammern aus: um die ersten beiden Zahlen, die letzten beiden oder die mittlere Gruppe. - Berechne für jede Position den Wert unter Beachtung der Klammerregel. - Welche Operation muss zuerst ausgeführt werden, damit das Ergebnis größer oder kleiner wird als der Standardwert?

1. Für Zielwert \(30{,}5\): Wir versuchen, die Subtraktion vor der Multiplikation auszuführen. \((15 - 3) \cdot 2{,}5 + 0{,}5 = 12 \cdot 2{,}5 + 0{,}5 = 30 + 0{,}5 = 30{,}5\). Die Klammern müssen um \(15 - 3\) gesetzt werden. 2. Für Zielwert \(6\): Wir versuchen, die Addition am Ende zuerst auszuführen, um einen größeren Wert abzuziehen. \(15 - 3 \cdot (2{,}5 + 0{,}5) = 15 - 3 \cdot 3{,}0 = 15 - 9 = 6\). Die Klammern müssen um \(2{,}5 + 0{,}5\) gesetzt werden.

a) \((15 - 3) \cdot 2{,}5 + 0{,}5 = 30{,}5\) b) \(15 - 3 \cdot (2{,}5 + 0{,}5) = 6\)

- Wandle die gemischten Zahlen für die Suche gegebenenfalls in Dezimalzahlen um. - Überlege, welcher Teil des Terms durch eine Klammer gemeinsam subtrahiert werden soll. - Prüfe jede gefundene Klammerung vollständig gegen den Zielwert.

1. Schreibe für die Suche \(4\frac{1}{2} = 4{,}5\) und \(2\frac{1}{5} = 2{,}2\). 2. Für \(4{,}8\) funktioniert \(12{,}8 - 4{,}5 - (1{,}3 + 2{,}2) = 8{,}3 - 3{,}5 = 4{,}8\). 3. Für \(7{,}4\) funktioniert \(12{,}8 - (4{,}5 - 1{,}3 + 2{,}2) = 12{,}8 - 5{,}4 = 7{,}4\).

a) \(12{,}8 - 4\frac{1}{2} - (1{,}3 + 2\frac{1}{5}) = 4{,}8\) b) \(12{,}8 - (4\frac{1}{2} - 1{,}3 + 2\frac{1}{5}) = 7{,}4\)

- Berechne zuerst den vollständigen Klammerwert. - Vergleiche danach mit der ausdrücklich angegebenen Rechnung ohne Klammern. - Nutze die unterschiedlichen Endwerte zur Begründung der Behauptung.

1. Mit Klammer ist \(7{,}5 - 2{,}4 + 1{,}1 = 6{,}2\), also \(30 - 6{,}2 = 23{,}8\). 2. Ohne Klammer ergibt die Rechnung von links nach rechts \(30 - 7{,}5 - 2{,}4 + 1{,}1 = 21{,}2\). 3. Tim hat nicht recht, denn \(23{,}8 \ne 21{,}2\). Das Minuszeichen vor der Klammer bezieht sich auf den gesamten Klammerwert; ein unverändertes Weglassen ändert den Term.

a) \(23{,}8\) b) \(21{,}2\) c) Tim hat nicht recht; die beiden Werte sind verschieden.

- Welche Rechenoperationen musst du zuerst ausführen, wenn keine Klammern da sind? - Wenn nur Punktrechnungen (Multiplikation und Division) hintereinander stehen, in welcher Richtung rechnest du dann? - Vergleiche die Ergebnisse: Welches ist weiter von der Null entfernt?

1. Berechnung von Term A: Hier gilt die Punkt-vor-Strich-Regel. Zuerst die Division: \(-2{,}4 : 0{,}6 = -4\). Dann die Multiplikation: \(0{,}2 \cdot 5 = 1\). Subtraktion der Ergebnisse: \(-4 - 1 = -5\). 2. Berechnung von Term B: Zuerst wird die Klammer berechnet: \((0{,}6 - 0{,}2) = 0{,}4\). Der Term lautet nun \(-2{,}4 : 0{,}4 \cdot 5\). Da Division und Multiplikation gleichrangig sind, wird von links nach rechts gerechnet: \(-2{,}4 : 0{,}4 = -6\). Dann \(-6 \cdot 5 = -30\). 3. Vergleich: Term A hat den Wert \(-5\), Term B hat den Wert \(-30\). Die Klammer verändert die Rechenreihenfolge und führt zu einem deutlich kleineren Ergebnis.

Term A = \(-5\); Term B = \(-30\). Term B ist wesentlich kleiner als Term A.

- Welche Regel bestimmt die Reihenfolge, wenn keine Klammern gesetzt sind? - Wie verändert eine Klammer den Ablauf der Rechnung? - Berechne zuerst Schritt für Schritt die Zwischenergebnisse.

1. Berechnung von Term \(A\): Zuerst wird die Klammer berechnet (\(1{,}2 + 0{,}9 = 2{,}1\)). Dann folgt die Division (\(8{,}4 : 2{,}1 = 4\)). 2. Berechnung von Term \(B\): Hier gilt die Punkt-vor-Strich-Regel. Zuerst wird dividiert (\(8{,}4 : 1{,}2 = 7\)), dann wird addiert (\(7 + 0{,}9 = 7{,}9\)). 3. Vergleich: Die Ergebnisse unterscheiden sich, weil die Klammer in Term \(A\) die Rechenreihenfolge ändert und bewirkt, dass die Summe der Divisor ist, während in Term \(B\) nur durch \(1{,}2\) geteilt wird.

\(A = 4\); \(B = 7{,}9\). Die Ergebnisse sind unterschiedlich, da die Klammer in \(A\) vorschreibt, zuerst die Addition durchzuführen, während in \(B\) die Division Vorrang hat.

- Überlege, welche Rechenregel (z. B. Punkt vor Strich) in welchem Term wichtig ist. - Wie verändert die Klammer die Reihenfolge der Rechenschritte? - Wandle den Bruch zuerst in eine Dezimalzahl um.

1. Term \(A\) berechnen: Klammer zuerst \(2{,}4 - 0{,}4 = 2\), dann \(2 : 0{,}5 = 4\). 2. Term \(B\) berechnen: Nach der Punkt-vor-Strich-Regel zuerst \(0{,}4 : 0{,}5 = 0{,}8\), dann \(2{,}4 - 0{,}8 = 1{,}6\). 3. Vergleich: Da \(4 > 1{,}6\), ist der Wert von Term \(A\) größer.

\(A = 4\); \(B = 1{,}6\). Der Wert von Term \(A\) ist größer.

- Bestimme in jedem Term zuerst die Operation mit der höchsten Priorität. - Achte bei einer negativen Basis darauf, ob das Minuszeichen innerhalb der Potenzklammer steht. - Wandle bei der Bruchdivision gegebenenfalls die Dezimalzahl in einen Bruch um.

1. Im ersten Term ist die Klammer \(3{,}5 - 1{,}2 = 2{,}3\). Daher gilt \(2{,}4 - 2{,}3 = 0{,}1\). 2. Im zweiten Term gilt \((-0{,}5)^2 = 0{,}25\) und \(\frac{3}{4} \cdot 2 = 1{,}5\). Danach ergibt sich \(0{,}25 - 1{,}5 = -1{,}25\). 3. Im dritten Term ist \(0{,}2 - 0{,}5 = -0{,}3 = -\frac{3}{10}\). Damit gilt \(\frac{2}{5} : \left(-\frac{3}{10}\right) = \frac{2}{5} \cdot \left(-\frac{10}{3}\right) = -\frac{4}{3}\).

a) \(0{,}1\) b) \(-1{,}25\) c) \(-\frac{4}{3}\) oder \(-1{,}\overline{3}\)

- Prüfe bei jeder Klammer zuerst, welches Vorzeichen unmittelbar davor steht. - Nach dem korrekten Auflösen kannst du passende positive und negative Summanden gruppieren. - Darstellungswechsel sind nur ein Hilfsmittel; entscheidend ist hier die richtige Klammerstruktur.

1. In a) wird die Minusklammer korrekt aufgelöst: \(-3{,}25-1{,}75+8=-5+8=3\). 2. In b) gilt \(2\frac{1}{5}-4{,}8-\frac{1}{5}+0{,}8\). Vorteilhafte Gruppen sind \(2\frac{1}{5}-\frac{1}{5}=2\) und \(-4{,}8+0{,}8=-4\). Damit ergibt sich \(-2\). 3. In c) gilt \(\frac{5}{8}+1{,}4-\frac{1}{8}+0{,}6\). Gruppiert: \(\left(\frac{5}{8}-\frac{1}{8}\right)+(1{,}4+0{,}6)=\frac{1}{2}+2=2{,}5\).

a) Minusklammer aufgelöst: \(-3{,}25-1{,}75+8=3\) b) Gruppiert: \(\left(2\frac{1}{5}-\frac{1}{5}\right)+(-4{,}8+0{,}8)=-2\) c) Gruppiert: \(\left(\frac{5}{8}-\frac{1}{8}\right)+(1{,}4+0{,}6)=2{,}5\)

- Welche zusammenhängenden Zahlenblöcke können von genau einem Klammerpaar umschlossen werden? - Berechne jede zulässige Variante vollständig. - Prüfe, ob eine der Varianten den Zielwert \(40\) ergibt.

1. Klammern um die ersten zwei, die ersten drei oder alle vier Zahlen ergeben jeweils \(10\). 2. Es gilt \(50-(25-10)-5=30\). 3. Es gilt \(50-(25-10-5)=40\). 4. Es gilt \(50-25-(10-5)=20\). 5. Damit ist der Wert \(40\) erreichbar, und zwar mit \(50-(25-10-5)\).

Ja. Eine passende Platzierung ist \(50-(25-10-5)\).

- Welche Rechnung muss in Term A wegen der Klammer zuerst ausgeführt werden? - Welche Vorrangregel gilt in Term B ohne diese Klammer? - Vergleiche die beiden Werte erst nach korrekter Auswertung.

1. Für \(A\) wird wegen der Klammer zuerst \(2{,}4-5{,}4=-3\) berechnet. Danach gilt \(-3\cdot(-3)=9\). 2. Für \(B\) gilt Punkt-vor-Strich: \(-3\cdot2{,}4=-7{,}2\), danach \(-7{,}2-5{,}4=-12{,}6\). 3. Da \(9>-12{,}6\), hat \(A\) den größeren Wert.

\(A=-3\cdot(-3)=9\) \(B=-7{,}2-5{,}4=-12{,}6\) Daher ist \(A>B\).

- Berechne zunächst den Ausgangswert nach den Vorrangregeln. - Überlege bei jedem Zielwert, welche Addition oder Subtraktion durch eine Klammer vor die Division gezogen werden könnte. - Prüfe jede Klammerung vollständig.

1. Ohne zusätzliche Klammern gilt \(12 + 48 : 6 - 2 = 12 + 8 - 2 = 18\). 2. Für den Zielwert \(8\) funktioniert \((12 + 48) : 6 - 2 = 60 : 6 - 2 = 8\). 3. Für den Zielwert \(24\) funktioniert \(12 + 48 : (6 - 2) = 12 + 48 : 4 = 24\).

a) \(18\) b) \((12 + 48) : 6 - 2\) c) \(12 + 48 : (6 - 2)\)

- Die Reihenfolge der Zahlen und Rechenzeichen bleibt fest; nur die Gruppierung wird verändert. - Betrachte systematisch die möglichen Gruppierungen statt nur einzelne Beispiele zu testen. - Vergleiche anschließend alle erhaltenen Werte, um Maximum und Minimum wirklich zu begründen.

1. Die fünf strukturell unterschiedlichen vollständigen Gruppierungen bei unveränderter Reihenfolge der Zahlen und Rechenzeichen liefern: \(((15-3)\cdot4)+6 = 54\), \((15-(3\cdot4))+6 = 9\), \((15-3)\cdot(4+6) = 120\), \(15-((3\cdot4)+6) = -3\) und \(15-(3\cdot(4+6)) = -15\). 2. Damit ist der größte mögliche Wert \(120\), erreicht durch \((15-3)\cdot(4+6)\). 3. Der kleinste mögliche Wert ist \(-15\), erreicht durch \(15-3\cdot(4+6)\).

Größtmöglicher Wert: \((15-3)\cdot(4+6)=120\). Kleinstmöglicher Wert: \(15-3\cdot(4+6)=-15\).

- Welche Rechenoperationen musst du zuerst ausführen? - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn du eine Klammer auflöst, vor der ein Minus steht. - Was bedeutet das Quadrat an einer Zahl? - Arbeite dich von der innersten Klammer nach außen vor.

1. Berechnung der Potenzen: \( 4^2 = 16 \), \( 5^2 = 25 \), \( 6^2 = 36 \). 2. Berechnung der inneren Klammer: \( 25 - 36 = -11 \). 3. Vereinfachung der eckigen Klammer: \( 12 - 16 - (-11) = -4 + 11 = 7 \). 4. Subtraktion vom ersten Wert: \( 40 - 7 = 33 \).

\( 33 \)

- Betrachte die beiden Äste des Rechenbaums getrennt voneinander. Was wird links berechnet, was rechts? - Wie verbinden wir die beiden Teilergebnisse am Ende? Welche Rolle spielen dabei Klammern? - Rechnest du mit Dezimalzahlen, ist es oft hilfreich, die Stellen nach dem Komma genau untereinander zu betrachten. - Berechne erst die beiden oberen Verknüpfungen, bevor du das Endergebnis ganz unten bestimmst.

1. Aufstellen des Terms aus dem Rechenbaum: - Der linke Ast berechnet eine Summe: \((4{,}5 + 1{,}5)\). - Der rechte Ast berechnet eine Differenz: \((12{,}8 - 7{,}3)\). - Beide Teilergebnisse werden miteinander multipliziert. Da die Punktrechnung (Multiplikation) stärker bindet als Strichrechnungen (Addition, Subtraktion), müssen beide Teilausdrücke in Klammern gesetzt werden. - Der vollständige Term lautet: \((4{,}5 + 1{,}5) \cdot (12{,}8 - 7{,}3)\). 2. Berechnung der Werte: - Linke Klammer (Addition): \(4{,}5 + 1{,}5 = 6\) - Rechte Klammer (Subtraktion): \(12{,}8 - 7{,}3 = 5{,}5\) - Multiplikation (Endwert): \(6 \cdot 5{,}5 = 33\)

a) Der Term lautet: \((4{,}5 + 1{,}5) \cdot (12{,}8 - 7{,}3)\) b) Die Zwischenergebnisse sind \(6\) und \(5{,}5\). Der Endwert des Terms ist \(33\).

- Lies jeden Rechenbaum von den Blättern zur Wurzel: Welche Teilrechnungen müssen zuerst ausgeführt werden? - Setze Klammern so, dass der Term genau dieselbe Struktur wie der Baum hat. - Achte bei den Zwischenergebnissen besonders auf die Vorzeichen negativer Zahlen.

1. Im ersten Rechenbaum wird zuerst im rechten Ast gerechnet: \(-25+(-15)=-40\). Danach wird dieses Ergebnis von \(12\) subtrahiert. Der Term lautet \(12-(-25+(-15))\) und hat den Wert \(12-(-40)=52\). 2. Im zweiten Rechenbaum wird links \(-8-14=-22\) und rechts \(-11+6=-5\) berechnet. Danach werden beide Ergebnisse addiert. Der Term lautet \((-8-14)+(-11+6)\) und hat den Wert \(-22+(-5)=-27\).

a) Term: \(12-(-25+(-15))\), Ergebnis: \(52\) b) Term: \((-8-14)+(-11+6)\), Ergebnis: \(-27\)

- Folge den Verbindungen im Baum: Welche Operation wird jeweils zuerst ausgeführt? - Übertrage diese Gruppierung mit Klammern in den Term. - Achte bei negativen Zahlen auf die Vorzeichenregeln.

1. Im ersten Baum wird zuerst \(-15+7=-8\) berechnet; danach folgt die Multiplikation mit \(-4\). Der Term lautet \((-15+7)\cdot(-4)\) und hat den Wert \(32\). 2. Im zweiten Baum wird zuerst \(60:(-5)=-12\) berechnet; danach wird zu \(-100\) addiert. Der Term lautet \(-100+(60:(-5))\) und hat den Wert \(-112\).

a) Term: \((-15+7)\cdot(-4)\); Ergebnis: \(32\) b) Term: \(-100+(60:(-5))\); Ergebnis: \(-112\)

- Schau dir den Rechenbaum von oben nach unten an. Welche Rechnungen stehen nebeneinander auf derselben Ebene? - Überlege, welche Rechenschritte zuerst ausgeführt werden müssen. Wie kennzeichnet man das in einem mathematischen Ausdruck? - Erinnere dich an die Regel „Punkt- vor Strichrechnung“. Wann müssen wir Klammern setzen, um diese Regel außer Kraft zu setzen?

1. Der Rechenbaum zeigt auf der linken Seite die Addition \(15 + (-3)\) und auf der rechten Seite die Subtraktion \(4 - (-7)\). Diese beiden Zwischenergebnisse werden am Ende multipliziert. Der zugehörige Term lautet: \((15 + (-3)) \cdot (4 - (-7))\). 2. Berechnung der Zwischenergebnisse im Rechenbaum von oben nach unten: - Linkes Kästchen: \(15 + (-3) = 12\) - Rechtes Kästchen: \(4 - (-7) = 11\) - Unteres Kästchen (Endergebnis): \(12 \cdot 11 = 132\) 3. Wenn man die Klammern weglässt und die Vorzeichen in üblicher Schreibweise notiert, lautet der Term \(15 - 3 \cdot 4 + 7\). Nach der Regel „Punkt- vor Strichrechnung“ berechnet man zuerst \(3 \cdot 4 = 12\). Der gesamte Ausdruck ergibt dann \(15 - 12 + 7 = 10\). Da dies von \(132\) abweicht, sind die Klammern notwendig.

a) Der zugehörige Term lautet: \((15 + (-3)) \cdot (4 - (-7))\) b) Die Zwischenergebnisse lauten \(12\) und \(11\). Das Endergebnis lautet \(132\). c) Ohne die strukturgebenden Klammern gilt „Punkt- vor Strichrechnung“. In üblicher Schreibweise lautet der Term dann \(15 - 3 \cdot 4 + 7\) und ergibt den falschen Wert \(10\).

- Welche Rechenregel gilt, wenn in einem Term sowohl eine Subtraktion als auch eine Division vorkommen? - Welcher Rechenschritt wird in Rechenbaum A als Erstes ausgeführt und welcher in Rechenbaum B? - Wie verändert sich die Reihenfolge der Rechnungen, wenn man Klammern setzen würde? - Berechne die Zwischenergebnisse für beide Bäume, um die Endwerte zu bestimmen.

1. Nach der Regel „Punkt- vor Strichrechnung“ muss in dem Term \(180 - 40 : 5\) zuerst die Division \(40 : 5\) ausgeführt werden. Erst danach wird dieses Ergebnis von \(180\) abgezogen. Das entspricht genau der Struktur von Rechenbaum A. Rechenbaum B stellt dagegen den Term \((180 - 40) : 5\) dar, bei dem zuerst die Subtraktion ausgeführt wird. Somit ist Rechenbaum A korrekt. 2. Berechnung von Rechenbaum A: Das Zwischenergebnis der Division ist \(40 : 5 = 8\). Der Endwert beträgt somit \(180 - 8 = 172\). 3. Berechnung von Rechenbaum B: Das Zwischenergebnis der Subtraktion ist \(180 - 40 = 140\). Der Endwert beträgt somit \(140 : 5 = 28\).

a) Rechenbaum A ist korrekt, da nach der Regel „Punkt- vor Strichrechnung“ zuerst die Division \(40 : 5\) berechnet werden muss. b) Endwert für Rechenbaum A: \(172\); Endwert für Rechenbaum B: \(28\).

- Lies zuerst die beiden innersten Verknüpfungen des Baums ab; ihre Ergebnisse werden jeweils weiterverwendet. - Beim Aufschreiben als Term müssen die Teilrechnungen, die im Baum zusammengehören, durch Klammern erhalten bleiben. - Berechne erst beide großen Äste vollständig und führe die Subtraktion an der Wurzel zuletzt aus.

1. Linke Seite berechnen: \(4{,}2-1{,}2=3{,}0\), dann \(10{,}5-3{,}0=7{,}5\). 2. Rechte Seite berechnen: \(2{,}8-0{,}8=2{,}0\), dann \(1{,}5+2{,}0=3{,}5\). 3. Endergebnis: \(7{,}5-3{,}5=4{,}0\). 4. Der zugehörige Term lautet \((10{,}5-(4{,}2-1{,}2))-(1{,}5+(2{,}8-0{,}8))\).

Der Term lautet \((10{,}5-(4{,}2-1{,}2))-(1{,}5+(2{,}8-0{,}8))\). Das Ergebnis ist \(4{,}0\).

- Beginne bei der innersten Verknüpfung des Rechenbaums und arbeite dich schrittweise zur Wurzel vor. - Übertrage jede Verzweigung als eigenen Teilterm; Klammern helfen, die Baumstruktur im Term zu erhalten. - Prüfe nach jedem Zwischenschritt, welcher Knoten als Nächstes vollständig berechnet werden kann.

1. Berechne das Produkt im inneren Zweig: \(2\cdot9=18\). 2. Berechne den Quotienten im rechten Zweig: \(18:3=6\). 3. Berechne den abschließenden Quotienten: \(144:6=24\). 4. Der zugehörige Term lautet \(144:((2\cdot9):3)\).

Der Term lautet \(144:((2\cdot9):3)\). Das Ergebnis ist \(24\).

- Beginne bei den äußersten Verzweigungen des Baums. - Denke daran, dass jede Verzweigung im Baum eine Operation darstellt, die oft eine Klammer im Term benötigt. - Achte auf die Dezimalzahlen beim Rechnen.

1. Struktur des Terms erkennen: \(1{,}5 \cdot ((8{,}2 + 1{,}8) : 5)\) 2. Summe in der innersten Klammer berechnen: \(8{,}2 + 1{,}8 = 10\) 3. Division durchführen: \(10 : 5 = 2\) 4. Multiplikation für das Endergebnis: \(1{,}5 \cdot 2 = 3\)

Der Term lautet \(1{,}5 \cdot ((8{,}2 + 1{,}8) : 5)\). Das Ergebnis ist \(3\).

- Achte beim ersten Schritt auf das Minuszeichen vor der 15. - Berechne die beiden Hauptäste getrennt voneinander, bevor du sie multiplizierst. - Gehe in der rechten Baumhälfte schrittweise von innen nach außen vor.

1. Term aufstellen: \((-15 + 25) \cdot (40 - (30 - 10))\) 2. Linke Klammer (Addition rationaler Zahlen): \(-15 + 25 = 10\) 3. Rechte innere Klammer: \(30 - 10 = 20\) 4. Rechte äußere Klammer: \(40 - 20 = 20\) 5. Finale Multiplikation: \(10 \cdot 20 = 200\)

Der Wert des Terms ist \(200\).

- Gehe den Baum von oben nach unten durch und notiere die Teilergebnisse. - Denke daran: Das Subtrahieren einer negativen Zahl entspricht dem Addieren der Gegenzahl. - Setze Klammern um die Ausdrücke, die in den Zweigen berechnet werden.

1. Aufstellen des Terms: \((-20 + 35) + (10 - (-15))\) 2. Berechnung des linken Zweigs: \(-20 + 35 = 15\) 3. Berechnung des rechten Zweigs: \(10 - (-15) = 10 + 15 = 25\) 4. Addition der Zwischenergebnisse: \(15 + 25 = 40\) Das Ergebnis ist \(40\).

Term: \((-20 + 35) + (10 - (-15))\) Ergebnis: \(40\)

- Berechne zuerst den Wert in dem Kästchen, das zwei Zahlen verbindet. - Achte beim Dividieren auf die Vorzeichenregeln. - Wo müssen im Term Klammern stehen, damit die Addition zuerst gerechnet wird?

1. Berechnung der Summe in der rechten Verzweigung: \(12 + 3 = 15\). 2. Durchführung der Division für das Endergebnis: \(-60 : 15 = -4\). 3. Bildung des Terms unter Berücksichtigung der Rechenreihenfolge: Da die Addition zuerst ausgeführt wird, lautet der Term \(-60 : (12 + 3)\).

Das Zwischenergebnis ist \(15\), das Endergebnis ist \(-4\). Der Term lautet \(-60 : (12 + 3)\).

- Gehe von oben nach unten vor und achte auf die Vorzeichen der Zahlen. - Denke an die Vorzeichenregeln für die Multiplikation zweier negativer Zahlen.

1. Linke Verzweigung: \(15 - 25 = -10\). 2. Rechte Verzweigung: \(48 : (-6) = -8\). 3. Endergebnis durch Multiplikation der Zwischenergebnisse: \((-10) \cdot (-8) = 80\). 4. Zugehöriger Term: \((15 - 25) \cdot (48 : (-6))\).

Die Zwischenergebnisse sind \(-10\) und \(-8\). Das Endergebnis ist \(80\). Der Term lautet \((15 - 25) \cdot (48 : (-6))\).

- Berechne die Werte in den beiden separaten Ästen des Baums zuerst. - Achte beim letzten Schritt auf die Addition zweier negativer Zahlen. - Wie schreibst du einen Term auf, der zwei Punktrechnungen enthält, die am Ende addiert werden?

1. Berechnung des linken Zweigs: \(6 \cdot (-7) = -42\). 2. Berechnung des rechten Zweigs: \(80 : (-16) = -5\). 3. Zusammenführen durch Addition: \(-42 + (-5) = -47\). 4. Der Term lautet \(6 \cdot (-7) + 80 : (-16)\). Hierbei sind Klammern um die Multiplikation und Division aufgrund der „Punkt-vor-Strich“-Regel nicht zwingend notwendig, verdeutlichen aber die Struktur.

Das Ergebnis ist \(-47\). Der passende Term ist \(6 \cdot (-7) + 80 : (-16)\).

- Welche Rechenoperation steht ganz unten im Baum? Das ist der letzte Schritt deiner Rechnung. - Überlege dir, welche Zahlen oder Teilergebnisse durch die Rechenzeichen verbunden werden. - Achte beim Aufschreiben des Terms darauf, Klammern zu setzen, damit die Reihenfolge der Rechnungen erhalten bleibt.

1. Den Term aus dem Rechenbaum ablesen: Zuerst wird die Multiplikation \(5 \cdot (-6) = -30\) berechnet. 2. Danach wird dieses Ergebnis von \(-20\) subtrahiert: \(-20 - (-30) = -20 + 30 = 10\). 3. Als letzter Schritt wird das Zwischenergebnis durch \(-2\) dividiert: \(10 : (-2) = -5\). Der vollständige Term lautet \(((-20) - 5 \cdot (-6)) : (-2)\). Sein Wert ist \(-5\).

Der Term lautet \(((-20) - 5 \cdot (-6)) : (-2)\). Der Wert des Terms ist \(-5\).

- Wie liest man einen solchen Baum? Die obersten Zahlen sind die Ausgangswerte. - Ein Rechenzeichen zwischen zwei Linien bedeutet, dass die Werte oberhalb damit verknüpft werden. - Denke an die Vorzeichenregeln beim Rechnen mit Dezimalzahlen.

1. Berechnung des rechten Zweigs: \(-0{,}4 \cdot 5 = -2{,}0\). 2. Addition zum linken Zweig: \(0{,}6 + (-2{,}0) = 0{,}6 - 2{,}0 = -1{,}4\). 3. Division durch die letzte Zahl: \(-1{,}4 : 0{,}2 = -7\). Der Term ist \((0{,}6 + (-0{,}4) \cdot 5) : 0{,}2\). Sein Wert ist \(-7\).

Der Term ist \((0{,}6 + (-0{,}4) \cdot 5) : 0{,}2\). Das Ergebnis ist \(-7\).

- Was passiert im rechten Teil des Baums zuerst? - Wie verbindest du die \(-15\) mit dem restlichen Ergebnis? - Achte auf die korrekte Verwendung von Klammern, damit die Addition von \(-8\) und \(3\) zuerst erfolgt.

1. Zuerst wird die Summe in der Klammer gebildet: \(-8 + 3 = -5\). 2. Dieses Ergebnis wird mit \(-4\) multipliziert: \(-5 \cdot (-4) = 20\). 3. Zum Schluss wird \(-15\) dazu addiert: \(-15 + 20 = 5\). Term: \(-15 + ((-8 + 3) \cdot (-4)) = 5\).

Der Term lautet \(-15 + ((-8 + 3) \cdot (-4))\). Der Wert ist \(5\).

- Dieser Baum hat zwei Hauptzweige, die am Ende voneinander abgezogen werden. - Berechne erst den linken und dann den rechten Zweig komplett fertig. - Sei vorsichtig mit den Vorzeichen, besonders bei der Subtraktion am Ende.

1. Linker Teilbaum: \(-3 \cdot 8 = -24\). 2. Rechter Teilbaum (innerster Schritt): \(-4 \cdot (-2) = 8\). 3. Rechter Teilbaum (nächster Schritt): \(-10 + 8 = -2\). 4. Gesamtergebnis (letzter Schritt): \(-24 - (-2) = -24 + 2 = -22\). Term: \((-3) \cdot 8 - ((-10) + (-4) \cdot (-2))\). Wert: \(-22\).

Der Term lautet \((-3) \cdot 8 - ((-10) + (-4) \cdot (-2))\). Der Wert ist \(-22\).

- Welche Rechenschritte kannst du unabhängig voneinander ausführen? - Wie hängen die Teilergebnisse zusammen? - Denke an die Regel „Punkt- vor Strichrechnung“, aber beachte auch, was der Baum durch seine Form vorgibt.

1. Linker Zweig: \(12 : (-4) = -3\). 2. Rechter Zweig (innerste Rechnung): \(3 \cdot 2 = 6\). 3. Rechter Zweig (nächster Schritt): \(15 - 6 = 9\). 4. Zusammenführung: \(-3 + 9 = 6\). Term: \((12 : (-4)) + (15 - (3 \cdot 2)) = 6\).

Der Wert des Terms ist \(6\).

- Beginne diesmal beim bekannten Endergebnis und arbeite im Baum rückwärts. - Welche Zahl muss unmittelbar vor der letzten Addition entstanden sein? - Nutze anschließend die Umkehroperation im linken Ast.

1. Die letzte Rechnung addiert \(4\) und ergibt \(19\). Das linke Zwischenergebnis muss daher \(15\) sein. 2. Im linken Ast gilt \(3\cdot\square=15\). Also gehört \(5\) in das fehlende Blatt. 3. Der passende Term ist \(3\cdot5+4\).

a) \(5\) b) \(15\) c) \(3\cdot5+4\)

- Was ist die Hauptoperation, wenn du den gesamten Ausdruck betrachtest? - Kannst du innerhalb der eckigen Klammer einen gemeinsamen Faktor erkennen? - Beachte die Potenz, bevor die abschließende Subtraktion ausgeführt wird. - Wie dividiert man durch einen Bruch?

1. Es handelt sich insgesamt um eine Differenz, weil nach der Division und der Potenz zuletzt \((-2)^3\) subtrahiert wird. 2. In der eckigen Klammer lässt sich \(\frac{2}{3}\) ausklammern: \(\left(-\frac{3}{4}-\frac{1}{4}\right)\cdot\frac{2}{3}=-\frac{2}{3}\). 3. Dann gilt \(\frac{7}{2}:\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{7}{2}\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)=-\frac{21}{4}=-5{,}25\). 4. Die Potenz ist \((-2)^3=-8\). 5. Somit ist \(-5{,}25-(-8)=2{,}75\).

Der Term ist eine Differenz, weil zuletzt \((-2)^3\) subtrahiert wird. Schrittweise: \([\dots]=-\frac{2}{3}\), \(3\frac{1}{2}:\left(-\frac{2}{3}\right)=-5{,}25\), \((-2)^3=-8\), also \(-5{,}25-(-8)=2{,}75\).

- Ein einziges Klammerpaar kann verändern, welcher zusammenhängende Ausdruck vor einer Multiplikation beziehungsweise nach einem Minuszeichen zuerst ausgewertet wird. - Suche für das Maximum nach einer möglichst großen Größe, die mit \(5\) multipliziert wird. - Suche für das Minimum nach einer möglichst großen positiven Größe, die vollständig subtrahiert wird. - Prüfe anschließend die anderen strukturell unterschiedlichen Klammerpositionen, damit du die Extremwerte begründen kannst.

1. Ohne zusätzliche Klammern ist der Wert \(10 + 6 - 0{,}2 + 4 = 19{,}8\). 2. Für ein möglichst großes Ergebnis soll die Multiplikation mit \(5\) auf einen möglichst großen zusammenhängenden Ausdruck rechts davon wirken. Mit \(10 + 5 \cdot (1{,}2 - 0{,}2 + 4)\) entsteht \(10 + 5 \cdot 5 = 35\). 3. Für ein möglichst kleines Ergebnis soll nach dem vorhandenen Minuszeichen ein möglichst großer positiver Ausdruck abgezogen werden. Mit \(10 + 5 \cdot 1{,}2 - (0{,}2 + 4)\) entsteht \(16 - 4{,}2 = 11{,}8\). 4. Zur Optimalitätskontrolle reichen die strukturell wirksamen Ein-Klammer-Möglichkeiten: Eine Klammer links der Multiplikation kann höchstens \((10+5)\cdot1{,}2-0{,}2+4=21{,}8\) erzeugen; eine kürzere Klammer rechts von \(5\) liefert beispielsweise \(10+5\cdot(1{,}2-0{,}2)+4=19\). Nur die Klammer bis zur letzten \(+4\) erzeugt \(35\). Auf der Minusseite ist \((0{,}2+4)\) der größte zusammenhängende Ausdruck, der mit einem einzigen Klammerpaar vollständig unter das Minus gezogen werden kann; daher ist \(11{,}8\) minimal.

a) \(10 + 5 \cdot (1{,}2 - 0{,}2 + 4) = 35\) b) \(10 + 5 \cdot 1{,}2 - (0{,}2 + 4) = 11{,}8\) c) Andere wirksame Ein-Klammer-Platzierungen vergrößern den Faktor von \(5\) weniger beziehungsweise ziehen unter dem Minus einen kleineren Ausdruck ab; daher sind \(35\) und \(11{,}8\) die Extremwerte.

- Vergiss bei Teil a) nicht die Regel „Punkt vor Strich“. - Probier für b) und c) systematisch aus, wo du die Klammern setzen kannst: Um die erste Summe, um die letzte Differenz oder um den gesamten hinteren Teil. - Bedenke, dass bei negativen Zahlen ein Wert wie \(-0{,}2\) größer ist als \(-6{,}5\).

1. Standardberechnung: Punktrechnung zuerst: \(5 \cdot 0{,}4 = 2{,}0\). Dann Strichrechnung von links nach rechts: \(-2{,}5 + 2{,}0 = -0{,}5\); \(-0{,}5 - 1{,}2 = -1{,}7\). 2. Maximierung des Wertes: Testen verschiedener Klammerungen. - \((-2{,}5 + 5) \cdot 0{,}4 - 1{,}2 = 2{,}5 \cdot 0{,}4 - 1{,}2 = 1{,}0 - 1{,}2 = -0{,}2\). - \(-2{,}5 + 5 \cdot (0{,}4 - 1{,}2) = -2{,}5 + 5 \cdot (-0{,}8) = -2{,}5 - 4{,}0 = -6{,}5\). - \((-2{,}5 + 5 \cdot 0{,}4) - 1{,}2 = -1{,}7\) (keine Änderung). - \(-2{,}5 + (5 \cdot 0{,}4 - 1{,}2) = -1{,}7\) (keine Änderung). Der größte Wert ist \(-0{,}2\) bei der Klammerung \((-2{,}5 + 5) \cdot 0{,}4 - 1{,}2\). 3. Minimierung des Wertes: Wie oben gezeigt, ergibt \(-2{,}5 + 5 \cdot (0{,}4 - 1{,}2) = -6{,}5\). Dies ist der kleinste mögliche Wert.

a) \(-1{,}7\) b) \((-2{,}5 + 5) \cdot 0{,}4 - 1{,}2 = -0{,}2\) c) \(-2{,}5 + 5 \cdot (0{,}4 - 1{,}2) = -6{,}5\)