Kostenlose Arbeitsblätter

- Schreibe die ganze Zahl bei Bedarf als Bruch. - Kannst du die ganze Zahl und den Nenner schon vor dem Multiplizieren kürzen?

1. a) \(\frac{5}{6}\cdot 18=5\cdot 3=15\). 2. b) \(24\cdot\frac{3}{8}=3\cdot 3=9\). 3. c) \(\frac{2}{7}\cdot 35=2\cdot 5=10\).

a) \(15\) b) \(9\) c) \(10\)

- Bei der Multiplikation von Brüchen werden Zähler miteinander und Nenner miteinander multipliziert. - Prüfe, ob vor oder nach der Multiplikation gekürzt werden kann. - Das Ergebnis muss kleiner als \(\frac{2}{3}\) sein, weil mit einem positiven Bruch kleiner als \(1\) multipliziert wird.

1. Multipliziere Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner: \(\frac{2\cdot3}{3\cdot5}\). 2. Kürze den gemeinsamen Faktor \(3\). Es bleibt \(\frac{2}{5}\).

\(\frac{2}{5}\)

- Bestimme in jedem Bild zuerst den markierten Anteil unabhängig vom anderen Bild. - Das zweite Bild beschreibt einen Anteil des im ersten Bild ausgewählten Anteils. - Welche Rechenart steht mathematisch für „ein Bruchteil von einem Bruchteil“?

1. In Bild a) sind \(3\) von \(4\) Teilen markiert, also \(\frac{3}{4}\). 2. In Bild b) sind \(2\) von \(3\) Teilen markiert, also \(\frac{2}{3}\). 3. „\(\frac{2}{3}\) von \(\frac{3}{4}\)“ wird durch Multiplikation dargestellt: \(\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{2}\).

Bild a): \(\frac{3}{4}\) Bild b): \(\frac{2}{3}\) Passende Rechnung: \(\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{2}\)

- Wie multipliziert man eine ganze Zahl mit einem Bruch? - Kannst du den Zähler und den Nenner durch die gleiche Zahl teilen? - Achte bei Teilaufgabe c) besonders auf das Vorzeichen. - Schau dir bei d) an, ob du den Bruch vielleicht schon vor dem Rechnen vereinfachen kannst.

1. Multiplikation der ganzen Zahl mit dem Zähler: \(4 \cdot 3 = 12\), Bruch ist \(\frac{12}{8}\). Kürzen durch 4 ergibt \(\frac{3}{2}\). 2. Multiplikation: \(5 \cdot 7 = 35\), Bruch ist \(\frac{35}{10}\). Kürzen durch 5 ergibt \(\frac{7}{2}\). 3. Multiplikation unter Beachtung des Vorzeichens: \(-6 \cdot 1 = -6\), Bruch ist \(\frac{-6}{3}\). Division ergibt \(-2\). 4. Multiplikation: \(11 \cdot 2 = 22\), Bruch ist \(\frac{22}{22}\). Division ergibt \(1\).

a) \(\frac{3}{2}\) b) \(\frac{7}{2}\) c) \(-2\) d) \(1\)

- Kannst du die ganze Zahl und den Nenner des Bruchs durch einen gemeinsamen Teiler kürzen, bevor du rechnest? - Das Rechnen mit kleineren Zahlen macht es oft einfacher. - Gibt es Aufgaben, die trotz unterschiedlicher Zahlen das gleiche Ergebnis haben?

1. Kürzen von 15 und 25 durch 5 ergibt \(3 \cdot \frac{4}{5}\). Resultat: \(\frac{12}{5}\). 2. Kürzen von 24 und 16 durch 8 ergibt \(3 \cdot \frac{5}{2}\). Resultat: \(\frac{15}{2}\). 3. Kürzen von 18 und 12 durch 6 ergibt \(-3 \cdot \frac{7}{2}\). Resultat: \(-\frac{21}{2}\). 4. Kürzen von 35 und 14 durch 7 ergibt \(5 \cdot \frac{3}{2}\). Resultat: \(\frac{15}{2}\).

a) \(\frac{12}{5}\) b) \(\frac{15}{2}\) c) \(-\frac{21}{2}\) d) \(\frac{15}{2}\)

- Könnte es helfen, den Bruch auf der rechten Seite so zu erweitern, dass er den gleichen Nenner hat wie der Bruch links? - Was passiert mit dem Zähler eines Bruchs, wenn man ihn mit einer ganzen Zahl multipliziert? - Du kannst auch probieren, welche Zahl passen könnte, und dein Ergebnis überprüfen.

1. Umwandlung des Ergebnisses auf den Nenner 9: \(\frac{2}{3} = \frac{6}{9}\). Vergleich der Zähler: \(x \cdot 2 = 6\) ergibt \(x = 3\). 2. Umwandlung des Ergebnisses auf den Nenner 20: \(\frac{9}{10} = \frac{18}{20}\). Vergleich der Zähler: \(x \cdot 3 = 18\) ergibt \(x = 6\). 3. Umwandlung des Ergebnisses auf den Nenner 12: \(\frac{5}{2} = \frac{30}{12}\). Vergleich der Zähler: \(x \cdot 5 = 30\) ergibt \(x = 6\).

a) \(x = 3\) b) \(x = 6\) c) \(x = 6\)

- Wie multipliziert man einen Bruch mit einer ganzen Zahl? - Denk daran, gemischte Zahlen vor der Rechnung in unechte Brüche umzuwandeln. - Kannst du vor dem Ausrechnen schon kürzen?

1. a) \(-\frac{5}{12}\cdot 8=-\frac{40}{12}=-\frac{10}{3}=-3\frac{1}{3}\). 2. b) \(2\frac{3}{10}=\frac{23}{10}\). Daher \(4\cdot\frac{23}{10}=\frac{92}{10}=\frac{46}{5}=9\frac{1}{5}\).

a) \(-3\frac{1}{3}\) b) \(9\frac{1}{5}\)

- Kannst du die Dezimalzahl in einen Bruch umwandeln? - Hilft es dir, bereits vor dem Ausmultiplizieren im Kopf zu kürzen? - Welches Vorzeichen hat das Ergebnis, wenn eine positive mit einer negativen Zahl multipliziert wird?

1. Multiplikation der Zähler und Nenner sowie anschließendes Kürzen bei a): \(\frac{3 \cdot 2}{8 \cdot 3} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}\). 2. Umwandlung der Dezimalzahl in einen Bruch bei b): \(1{,}2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}\). Multiplikation des Bruchs mit seinem Kehrwert: \(\frac{6}{5} \cdot \frac{5}{6} = 1\). 3. Multiplikation unter Beachtung des negativen Vorzeichens bei c): \(\frac{7 \cdot (-5)}{10 \cdot 14}\). Durch Kürzen von 7 gegen 14 und 5 gegen 10 erhält man \(-\frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{4}\).

a) \(\frac{1}{4}\) b) \(1\) c) \(-\frac{1}{4}\)

- Musst du alle Werte exakt berechnen, um sie vergleichen zu können? - Was passiert mit einem Wert, wenn du ihn mit einer Zahl multiplizierst, die kleiner als 1 ist? Was, wenn sie größer als 1 ist? - Könnte es helfen, alle Ergebnisse auf denselben Nenner zu bringen?

1. Berechnung der einzelnen Werte: \(A = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}\) \(B = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\) \(C = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4}\) \(D = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\) 2. Vergleich der Brüche durch Erweitern auf einen Hauptnenner (z. B. 12): \(A = \frac{2}{12}\), \(B = \frac{4}{12}\), \(C = \frac{9}{12}\), \(D = \frac{3}{12}\). 3. Sortierung: \(\frac{2}{12} < \frac{3}{12} < \frac{4}{12} < \frac{9}{12}\), also \(A < D < B < C\).

Der Term C liefert das größte Ergebnis. Die Reihenfolge ist: A, D, B, C.

- Kannst du die Dezimalzahlen oder Prozente zuerst in Brüche umwandeln? - Überlege, ob du schon vor dem Multiplizieren über Kreuz kürzen kannst, um die Zahlen klein zu halten. - Wie schreibt man eine gemischte Zahl als reinen Bruch?

1. Berechnung von a): Multiplikation der Zähler und Nenner ergibt \( \frac{3 \cdot 4}{8 \cdot 9} = \frac{12}{72} \). Kürzen durch 12 führt zu \( \frac{1}{6} \). 2. Berechnung von b): Umwandlung der gemischten Zahl in einen Bruch \( 1 \frac{1}{4} = \frac{5}{4} \) und der Dezimalzahl in einen Bruch \( 0{,}8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \). Multiplikation: \( \frac{5}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{20}{20} = 1 \). 3. Berechnung von c): Umwandlung des Prozentsatzes in einen Bruch \( 75\,\% = \frac{75}{100} = \frac{3}{4} \). Multiplikation: \( \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{6}{12} \). Kürzen durch 6 ergibt \( \frac{1}{2} \).

a) \( \frac{1}{6} \) b) \( 1 \) c) \( \frac{1}{2} \)

- Welche Rechenart ist die Umkehrung der Multiplikation? - Wie dividiert man durch einen Bruch? - Was muss man mit einem Bruch multiplizieren, um genau 1 zu erhalten?

1. Berechnung von \(x\): Division des Ergebnisses durch den bekannten Faktor ergibt \( x = \frac{1}{3} : \frac{5}{6} = \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{5} = \frac{6}{15} \). Kürzen durch 3 ergibt \( x = \frac{2}{5} \). 2. Berechnung von \(y\): Umwandlung \( 0{,}4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \). Berechnung durch Multiplikation mit dem Kehrwert: \( y = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{2} = \frac{10}{6} \). Kürzen durch 2 ergibt \( y = \frac{5}{3} \). 3. Berechnung von \(z\): Damit das Produkt 1 ergibt, muss \(z\) der Kehrwert von \(-\frac{3}{4}\) sein. Somit ist \( z = -\frac{4}{3} \).

a) \( x = \frac{2}{5} \) b) \( y = \frac{5}{3} \) c) \( z = -\frac{4}{3} \)

- Gesucht ist jeweils ein fehlender Faktor beziehungsweise eine fehlende Ausgangsmenge. - Nutze Division als Umkehroperation zur Anteil-von-Multiplikation. - Wandle gemischte Zahlen bei Bedarf zuerst in unechte Brüche um.

1. Im ersten Fall ist der fehlende Faktor \(\frac{2}{3} : \frac{8}{9} = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{8} = \frac{3}{4}\). 2. Im zweiten Fall ist \(1\frac{1}{5} = \frac{6}{5}\). Die gesuchte Menge ist \(\frac{6}{5} : \frac{3}{5} = 2\,\text{kg}\). 3. Im dritten Fall ist die gesuchte Zeit \(\frac{1}{2} : \frac{3}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{2}{3}\,\text{h}\).

a) \(\frac{3}{4}\) b) \(2\) c) \(\frac{2}{3}\)

- Kannst du dir vorstellen, wie man einen Teil von einem Teil berechnet? - Was bedeutet das Wort „von“ in der Mathematik, wenn es zwischen zwei Brüchen steht? - Wie berechnet man den Bruchteil einer ganzen Zahl?

1. Bestimmung des Anteils der Vogelbücher an der Gesamtzahl durch Multiplikation der Brüche: \( \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{12} \) 2. Berechnung der absoluten Anzahl der Vogelbücher: \( \frac{1}{12} \cdot 120 = 10 \)

a) Der Anteil der Vogelbücher beträgt \( \frac{1}{12} \). b) Es sind 10 Vogelbücher.

- Kannst du die Brüche bereits vor dem Multiplizieren vereinfachen? - Wie gehst du mit dem Vorzeichen bei der Multiplikation um? - Wie schreibt man eine gemischte Zahl als reinen Bruch?

1. Teilaufgabe a: Kürzen der Faktoren (\( 9 \) und \( 15 \) durch \( 3 \), \( 7 \) und \( 14 \) durch \( 7 \)) ergibt \( \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{5} \). Das Resultat ist \( \frac{3}{10} \). 2. Teilaufgabe b: Das Produkt ist negativ. Kürzen (\( 3 \) und \( 9 \) durch \( 3 \), \( 4 \) und \( 8 \) durch \( 4 \)) führt zu \( -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \). Das Resultat ist \( -\frac{1}{6} \). 3. Teilaufgabe c: Umwandeln der gemischten Zahl \( 1\frac{1}{5} \) in den unechten Bruch \( \frac{6}{5} \). Die Multiplikation \( \frac{5}{6} \cdot \frac{6}{5} \) ergibt nach vollständigem Kürzen das Resultat \( 1 \).

a) \( \frac{3}{10} \) b) \( -\frac{1}{6} \) c) \( 1 \)

- Prüfe vor dem Multiplizieren, ob sich Faktoren aus Zähler und Nenner kürzen lassen. - Suche nach gemeinsamen Teilern über Kreuz, ohne das ganze Produkt zuerst auszurechnen. - Kontrolliere anschließend, ob dein Ergebnis vollständig gekürzt ist.

1. Schreibe das Produkt als \(\frac{9\cdot7}{14\cdot12}\). 2. Kürze vor dem Multiplizieren geeignete Faktoren: \(\frac{9}{12}=\frac{3}{4}\) und \(\frac{7}{14}=\frac{1}{2}\). 3. Multipliziere: \(\frac{3\cdot1}{2\cdot4}=\frac{3}{8}\).

\(\frac{3}{8}\)

- Was bedeutet das Wort „von“ in der Mathematik, wenn es zwischen zwei Zahlen steht? - Wie multipliziert man zwei Brüche miteinander? - Denk daran, gemischte Zahlen vor der Rechnung in Brüche umzuwandeln. - Kannst du schon während der Rechnung kürzen, um mit kleineren Zahlen zu arbeiten?

1. Berechnung von a): Multiplikation der Brüche \(\frac{3}{5} \cdot \frac{10}{9} = \frac{3 \cdot 10}{5 \cdot 9}\). Kürzen durch 3 und 5 ergibt \(\frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 3} = \frac{2}{3}\). 2. Berechnung von b): Umwandlung der gemischten Zahl \(1\frac{1}{7} = \frac{8}{7}\). Multiplikation \(\frac{7}{8} \cdot \frac{8}{7} = \frac{56}{56} = 1\). 3. Berechnung von c): Multiplikation \(\frac{5}{12} \cdot \frac{18}{25} = \frac{5 \cdot 18}{12 \cdot 25}\). Kürzen durch 5 und 6 ergibt \(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10}\).

a) \(\frac{2}{3}\) b) \(1\) c) \(\frac{3}{10}\)

- Was bedeutet das Wort „von“ in der Mathematik, wenn es zwischen zwei Brüchen steht? - Wie multipliziert man mehrere Brüche miteinander? - Überlege, ob das Ergebnis kleiner oder größer werden muss, wenn man immer wieder einen Teil von einem Teil nimmt.

1. Den Ausdruck „Ein Drittel“ als Bruch schreiben: \( \frac{1}{3} \). 2. Die Kette „Ein Drittel von einem Drittel von einem Drittel“ als Multiplikation formulieren: \( \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \). 3. Das Produkt berechnen: \( \frac{1 \cdot 1 \cdot 1}{3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{1}{27} \). 4. Das berechnete Ergebnis \( \frac{1}{27} \) mit Jonas' Behauptung \( \frac{1}{9} \) vergleichen: \( \frac{1}{27} \neq \frac{1}{9} \). 5. Feststellen, dass Jonas nicht recht hat.

Nein, Jonas hat nicht recht. Die Rechnung \( \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \) ergibt \( \frac{1}{27} \) und nicht \( \frac{1}{9} \).

- Berechne zuerst den Wert für Julias Aussage. - Berechne danach den Wert für den Ausdruck, den Marc beschreibt. - Vergleiche die beiden Brüche, die du als Ergebnis erhalten hast.

1. Julias Ausdruck berechnen: „Ein Viertel von einem Viertel“ bedeutet \(\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{16}\). 2. Marcs Vergleichswert berechnen: „Die Hälfte von einem Achtel“ bedeutet \(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{16}\). 3. Die Ergebnisse vergleichen: \(\frac{1}{16}=\frac{1}{16}\). 4. Schlussfolgern, dass Marc recht hat, da beide Ausdrücke denselben Wert ergeben.

Julia: \(\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{16}\). Marc: \(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{16}\). Daher hat Marc recht; beide Ausdrücke sind gleich groß.

- Wie macht man aus einer gemischten Zahl einen unechten Bruch? - Kannst du Zähler und Nenner über Kreuz kürzen? - Achte auf die Vorzeichenregeln bei der Multiplikation.

1. Umwandlung von \(2\frac{2}{3}\) in \(\frac{8}{3}\) und \(1\frac{1}{8}\) in \(\frac{9}{8}\). Multiplikation: \(\frac{8}{3} \cdot \frac{9}{8} = \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{1} = 3\). 2. Umwandlung von \(-4\frac{1}{2}\) in \(-\frac{9}{2}\). Multiplikation: \(-\frac{9}{2} \cdot \frac{4}{9} = -\frac{1}{1} \cdot \frac{2}{1} = -2\). 3. Umwandlung von \(1\frac{3}{7}\) in \(\frac{10}{7}\) und \(-2\frac{1}{10}\) in \(-\frac{21}{10}\). Multiplikation: \(\frac{10}{7} \cdot (-\frac{21}{10}) = \frac{1}{1} \cdot (-\frac{3}{1}) = -3\).

a) \(3\) b) \(-2\) c) \(-3\)

- Runde beide Faktoren so, dass du das Produkt im Kopf grob abschätzen kannst. - Für die exakte Rechnung lassen sich gemischte Zahlen als unechte Brüche schreiben. - Prüfe vor dem Multiplizieren, ob sich Faktoren kürzen lassen.

1. Für den Überschlag runde beide Faktoren auf nahe ganze Zahlen: \(4\frac{2}{3}\approx5\) und \(1\frac{1}{2}\approx2\). Damit ergibt sich als Überschlag \(5\cdot2=10\). 2. Wandle für die exakte Rechnung um: \(4\frac{2}{3}=\frac{14}{3}\) und \(1\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\). 3. Multipliziere und kürze: \(\frac{14}{3}\cdot\frac{3}{2}=7\).

a) Überschlag: \(10\) b) Exaktes Ergebnis: \(7\)

- Überlege dir, was „ein Teil von einem Teil“ mathematisch bedeutet. - Welche Rechenart hilft dir, wenn du einen Bruchteil eines anderen Bruchteils bestimmen möchtest? - Kannst du das Ergebnis am Ende noch vereinfachen?

1. Bestimmung des Anteils der Hunde an der Gesamtzahl: \(\frac{5}{8}\). 2. Bestimmung des Anteils der Welpen an den Hunden: \(\frac{2}{5}\). 3. Berechnung des Anteils der Welpen an der Gesamtzahl durch Multiplikation der Brüche: \(\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{8} = \frac{10}{40}\). 4. Kürzen des Ergebnisses: \(\frac{10}{40} = \frac{1}{4}\).

Der Anteil der Welpen an allen Tieren beträgt \(\frac{1}{4}\).

- Wie multipliziert man zwei Brüche miteinander? - Kannst du eine ganze Zahl als Bruch schreiben, um die Rechnung zu vereinfachen? - Was musst du mit einer gemischten Zahl machen, bevor du sie multiplizieren kannst? - Denke am Ende daran, das Ergebnis zu vereinfachen.

1. Multiplikation der Zähler und Nenner: \(\frac{3 \cdot 2}{7 \cdot 5} = \frac{6}{35}\). 2. Multiplikation einer Ganzzahl mit einem Bruch: \(4 \cdot \frac{5}{12} = \frac{4 \cdot 5}{12} = \frac{20}{12}\). Kürzen durch 4 ergibt \(\frac{5}{3}\) oder \(1 \frac{2}{3}\). 3. Umwandlung der gemischten Zahl in einen unechten Bruch: \(1 \frac{1}{3} = \frac{4}{3}\). Multiplikation: \(\frac{9}{10} \cdot \frac{4}{3} = \frac{9 \cdot 4}{10 \cdot 3} = \frac{36}{30}\). Kürzen durch 6 ergibt \(\frac{6}{5}\) oder \(1 \frac{1}{5}\).

a) \(\frac{6}{35}\) b) \(1 \frac{2}{3}\) c) \(1 \frac{1}{5}\)

- Ist es einfacher, vor oder nach der Multiplikation zu kürzen? - Schau dir die Zähler des einen Bruchs und die Nenner des anderen Bruchs genau an. - Gibt es einen gemeinsamen Teiler für Zahlen, die „über Kreuz“ stehen?

1. Umwandlung in unechte Brüche: \(1 \frac{1}{4} = \frac{5}{4}\). Multiplikation: \(\frac{5}{4} \cdot \frac{8}{15}\). Über Kreuz kürzen: 5 und 15 durch 5 teilen, 8 und 4 durch 4 teilen. Es bleibt \(\frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 3} = \frac{2}{3}\). 2. Umwandlung beider Zahlen: \(2 \frac{2}{3} = \frac{8}{3}\) und \(1 \frac{1}{8} = \frac{9}{8}\). Multiplikation: \(\frac{8}{3} \cdot \frac{9}{8}\). Über Kreuz kürzen: Die 8er heben sich auf, 9 und 3 durch 3 teilen. Es bleibt \(\frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 1} = 3\).

a) \(\frac{2}{3}\) b) \(3\)

- Was bedeutet das Wort „von“ in der Mathematik, wenn es um Anteile geht? - Wenn du eine Menge mehrmals hast, welche Rechenart hilft dir? - Vergiss nicht, die Einheit im Endergebnis anzugeben.

1. „Von“ entspricht einer Multiplikation. Umwandlung: \(1 \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\). Rechnung: \(\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}\,\text{kg} = \frac{6}{6}\,\text{kg} = 1\,\text{kg}\). 2. Multiplikation von Inhalt und Anzahl: \(5 \cdot \frac{3}{4}\,\text{l} = \frac{15}{4}\,\text{l}\). Umwandlung in eine gemischte Zahl: \(15 : 4 = 3\) Rest \(3\). Ergebnis: \(3 \frac{3}{4}\,\text{l}\).

a) \(1\,\text{kg}\) b) \(3 \frac{3}{4}\,\text{l}\)

- Setze die gegebenen Werte zunächst in beide Terme ein und berechne sie getrennt. - Wie kann eine ganze Zahl als Bruch mit Nenner \(1\) dargestellt werden? - Vergleiche anschließend die beiden allgemeinen Bruchprodukte strukturell.

1. Für Term \(A\) gilt \(\frac{5}{6}\cdot3=\frac{15}{6}=\frac{5}{2}=2{,}5\). 2. Für Term \(B\) gilt \(\frac{5\cdot3}{6}=\frac{15}{6}=\frac{5}{2}=2{,}5\). 3. Beide Terme haben für die eingesetzten Werte denselben Wert. 4. Allgemein kann \(z\) als \(\frac{z}{1}\) geschrieben werden. Damit gilt \(\frac{x}{y}\cdot z=\frac{xz}{y}\) für \(y\ne0\).

a) Beide Terme ergeben \(2{,}5=\frac{5}{2}\). b) Für \(y\ne0\) gilt \(\frac{x}{y}\cdot z=\frac{xz}{y}\), weil \(z=\frac{z}{1}\) geschrieben werden kann.

- Vergleiche in A die markierten Felder mit allen Feldern des Rechtecks. - Vergleiche in B nur die markierten Felder mit den Feldern, die in A den Ausgangsbereich gebildet haben. - Verbinde „Anteil von einem Anteil“ mit einer Multiplikation und vergleiche anschließend die beiden Bruchteile.

1. In A sind \(9\) von \(12\) Feldern markiert. Der Ausgangsbereich ist daher \(\frac{9}{12}=\frac{3}{4}\) des ganzen Rechtecks. 2. In B sind \(6\) der \(9\) Felder markiert, die in A den Ausgangsbereich gebildet haben. Das sind \(\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\) des Ausgangsbereichs. 3. Die passende Multiplikation lautet \(\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\). 4. Es gilt \(\frac{1}{2}<\frac{3}{4}\). Der Produktanteil ist kleiner, weil nur ein Teil des Ausgangsbereichs ausgewählt wurde.

a) \(\frac{3}{4}\) b) \(\frac{2}{3}\) c) \(\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{2}\); außerdem gilt \(\frac{1}{2}<\frac{3}{4}\).

- Wie viel Zucker ist nach dem ersten Backen noch da? Drücke dies als Bruch aus. - Wenn man von einem Rest wiederum einen bestimmten Teil wegnimmt, wie viel bleibt dann von diesem Rest noch übrig? - Multipliziere die Anteile, um den Anteil an der Gesamtmenge zu finden.

1. Bestimmung der Restmenge nach dem ersten Schritt: \(1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}\) der ursprünglichen Menge. 2. Der restliche Zucker wird in 10 Teile geteilt, wovon 7 verbraucht werden. Es bleiben also \(3\) von 10 Teilen (oder \(\frac{3}{10}\)) dieser Restmenge übrig. 3. Berechnung des verbleibenden Anteils: \(\frac{3}{10} \cdot \frac{5}{9} = \frac{15}{90}\). 4. Kürzen des Ergebnisses: \(\frac{15}{90} = \frac{1}{6}\).

\(\frac{1}{6}\)

- Wie groß ist der Anteil der Äpfel an der ganzen Schale zu Beginn? - Was bedeutet es mathematisch, einen Bruchteil von einem Bruchteil zu nehmen? - Überlege dir, wie viel von den Äpfeln übrig bleibt, wenn ein bestimmter Teil gegessen wird.

1. Berechnung des ursprünglichen Anteils der Äpfel: \(1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}\) 2. Berechnung des Anteils der gegessenen Äpfel an der Gesamtmenge: \(\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{7} = \frac{1}{7}\) 3. Berechnung der verbleibenden Äpfel durch Subtraktion: \(\frac{5}{7} - \frac{1}{7} = \frac{4}{7}\) 4. Alternativer Weg: Wenn \(\frac{1}{5}\) gegessen wird, bleiben \(\frac{4}{5}\) der Äpfel übrig: \(\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{7} = \frac{4}{7}\)

Die übrigen Äpfel machen \(\frac{4}{7}\) der ursprünglichen Gesamtmenge aus.

- Bestimme die verkaufte Saftmenge für jede Bechergröße als Produkt aus Anzahl und Becherinhalt. - Vergleiche die Gesamtmenge anschließend mit Vielfachen von \(5\,\text{l}\). - Für den Rest im letzten Kanister kannst du die bereitgestellte Gesamtmenge der geöffneten Kanister mit der verkauften Menge vergleichen.

1. Die Standardbecher benötigen \(15\cdot\frac{1}{3}\,\text{l}=5\,\text{l}\). 2. Die großen Becher benötigen \(12\cdot\frac{1}{2}\,\text{l}=6\,\text{l}\). 3. Insgesamt wurden \(5+6=11\,\text{l}\) ausgeschenkt. 4. Zwei Kanister enthalten nur \(10\,\text{l}\); deshalb müssen mindestens drei Kanister geöffnet werden. 5. Drei volle Kanister enthalten \(15\,\text{l}\). Im zuletzt geöffneten Kanister bleiben nach dem Verkauf \(15-11=4\,\text{l}\).

a) \(11\,\text{l}\) b) \(3\) Kanister c) \(4\,\text{l}\)

- Was bedeutet das Wort „von“ in der Mathematik, wenn es um Anteile geht? - Wie multipliziert man zwei Brüche miteinander? - Denke daran, gemischte Zahlen vor der Rechnung in Brüche umzuwandeln. - Kannst du das Ergebnis durch Kürzen vereinfachen? - Überlege dir für den Alltag eine Situation, in der man etwas aufteilt oder nur einen Teil einer vorhandenen Menge nutzt.

1. Berechnung von a): Multiplikation von \( \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \). Ergebnis: \( \frac{2}{5}\,\text{l} \). Beispiel: Eine Saftflasche ist noch halbvoll (\( \frac{1}{2}\,\text{l} \)). Davon werden \( \frac{4}{5} \) getrunken. 2. Berechnung von b): Umwandlung der gemischten Zahl \( 1\frac{1}{4} = \frac{5}{4} \). Multiplikation \( \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \). Ergebnis: \( \frac{5}{6}\,\text{kg} \). Beispiel: In einer Packung sind \( 1\frac{1}{4}\,\text{kg} \) Mehl. Für einen Kuchen werden \( \frac{2}{3} \) der Menge benötigt. 3. Berechnung von c): Multiplikation \( \frac{3}{10} \cdot \frac{5}{6} \). Kürzen ergibt \( \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4} \). Ergebnis: \( \frac{1}{4}\,\text{m} \).

a) \( \frac{2}{5}\,\text{l} \). Beispiel: Von einer halbvollen Literflasche Saft werden \(\frac{4}{5}\) getrunken. b) \( \frac{5}{6}\,\text{kg} \). Beispiel: Von \(1\frac{1}{4}\,\text{kg}\) Mehl werden \(\frac{2}{3}\) für einen Kuchen verwendet. c) \( \frac{1}{4}\,\text{m} \)

- Berechne zuerst den Wert für jede Menge einzeln. - Schreibe die Rechnungen als Multiplikation von zwei Brüchen auf. - Vergleiche die Endergebnisse nach dem Kürzen. Was fällt dir auf?

1. Berechnung von Menge A: Multiplikation der Brüche \(\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{5}=\frac{6}{20}\). Kürzen mit 2 ergibt \(\frac{3}{10}\,\text{kg}\). 2. Berechnung von Menge B: Multiplikation der Brüche \(\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{5}=\frac{3}{10}\,\text{kg}\). 3. Vergleich: Beide Rechnungen ergeben denselben Wert von \(\frac{3}{10}\,\text{kg}\). Die Mengen sind also gleich groß.

Menge A: \(\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{5}=\frac{3}{10}\,\text{kg}\). Menge B: \(\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{5}=\frac{3}{10}\,\text{kg}\). Daher sind beide Mengen gleich groß.

- Überlege dir zuerst, wie du den Anteil der Weitspringer direkt aus den gegebenen Brüchen bestimmen kannst. - Gibt es einen Weg, die Anzahl der Kinder in zwei Schritten zu berechnen? - Was passiert, wenn du zuerst die Gruppe der Leichtathleten bestimmst?

1. Berechnung des Bruchteils der Weitspringer an der Gesamtzahl: \( \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \) 2. Erster Rechenweg (über den Gesamtanteil): \( \frac{1}{5} \cdot 60 = 12 \) 3. Zweiter Rechenweg (schrittweise): Zuerst Anzahl der Leichtathleten berechnen (\( \frac{2}{5} \cdot 60 = 24 \)), dann davon die Hälfte nehmen (\( \frac{1}{2} \cdot 24 = 12 \))

a) Der Anteil der Weitspringer beträgt \( \frac{1}{5} \) (oder \( \frac{2}{10} \)). b) Es sind 12 Kinder. Mögliche Wege: \( \frac{1}{5} \) von 60 ist 12; oder: \( \frac{2}{5} \) von 60 ist 24, davon die Hälfte ist 12.

- Berechne für jede Klasse den angegebenen Bruchteil der jeweiligen Kinderzahl. - Vergleiche die absoluten Anzahlen erst nach diesen beiden Multiplikationen. - Für b) brauchst du sowohl die gesamte Kinderzahl als auch die gesamte Zahl der Haustierbesitzer.

1. In Klasse 6a haben \(\frac{2}{3}\cdot24=16\) Kinder ein Haustier. 2. In Klasse 6b haben \(\frac{1}{2}\cdot30=15\) Kinder ein Haustier. 3. Da \(16>15\), gibt es in 6a mehr Kinder mit Haustieren. 4. Zusammen sind es \(24+30=54\) Kinder, davon \(16+15=31\) mit Haustier. 5. Der gemeinsame Anteil ist daher \(\frac{31}{54}\); der Bruch ist bereits vollständig gekürzt.

a) Klasse 6a mit \(16\) Kindern; in 6b sind es \(15\). b) \(\frac{31}{54}\)

- Wie gehst du mit gemischten Zahlen vor, bevor du sie multiplizierst? - Du kannst auch bei drei Faktoren „über Kreuz“ kürzen. - Prüfe am Ende, ob dein Bruch noch weiter gekürzt werden kann.

1. Umwandlung der gemischten Zahl in einen unechten Bruch: \(3\frac{3}{4} = \frac{15}{4}\). 2. Aufstellen des Gesamtbruchs: \(\frac{15 \cdot 2 \cdot 4}{4 \cdot 5 \cdot 9}\). 3. Kürzen der Faktoren: Die 4 im Zähler und Nenner kürzen sich zu 1; \(\frac{15}{5}\) ergibt 3 im Zähler. 4. Zwischenergebnis berechnen: \(\frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{1 \cdot 1 \cdot 9} = \frac{6}{9}\). 5. Endgültiges Kürzen durch 3: \(\frac{2}{3}\).

\(\frac{2}{3}\)

- Was bedeutet das kleine Quadrat an der Klammer für den Bruch? - Denk an die Regel „Potenzrechnung vor Punktrechnung“. - Wandle die gemischte Zahl zuerst in einen unechten Bruch um. - Vergiss nicht, das Endergebnis wieder als gemischte Zahl zu schreiben.

1. Berechnung des Quadrats: \((\frac{4}{5})^2 = \frac{4 \cdot 4}{5 \cdot 5} = \frac{16}{25}\). 2. Umwandlung der gemischten Zahl in einen unechten Bruch: \(1\frac{7}{8} = \frac{15}{8}\). 3. Multiplikation der Brüche mit Kürzen: \(\frac{16 \cdot 15}{25 \cdot 8} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 1} = \frac{6}{5}\). 4. Umwandlung des unechten Bruchs in eine gemischte Zahl: \(\frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}\).

\(1\frac{1}{5}\)

- Wie berechnest du einen Bruchteil von einem anderen Bruchteil? - Was ist das Ganze in Aufgabenteil a) und was in Aufgabenteil b)? - Kannst du dir die Situation mit einer Zeichnung vorstellen?

1. Berechnung des Anteils: Berechnung von \(\frac{2}{3}\) von \(\frac{3}{4}\) durch Multiplikation \(\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 4}\). Kürzen der 3 ergibt \(\frac{2}{4} = \frac{1}{2}\). 2. Berechnung der Menge in Litern: Berechnung von \(\frac{1}{2}\) von \(120\) Litern durch \(\frac{1}{2} \cdot 120 = 60\).

a) \(\frac{1}{2}\) des Fasses b) \(60\) Liter

- Berechne zuerst beide Werte getrennt voneinander. - Vergleiche die Endergebnisse nach dem vollständigen Kürzen. - Gibt es eine Möglichkeit, die Brüche zu vergleichen, ohne sie in Dezimalzahlen umzuwandeln?

1. Berechnung von Wert A: \(\frac{4}{9}\cdot\frac{27}{16}=\frac{4\cdot27}{9\cdot16}\). Kürzen durch 4 und 9 ergibt \(\frac{1\cdot3}{1\cdot4}=\frac{3}{4}\). 2. Berechnung von Wert B: \(\frac{5}{6}\cdot\frac{9}{10}=\frac{5\cdot9}{6\cdot10}\). Kürzen durch 5 und 3 ergibt \(\frac{1\cdot3}{2\cdot2}=\frac{3}{4}\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Da \(\frac{3}{4}=\frac{3}{4}\) ist, sind beide Werte gleich groß.

Wert A: \(\frac{4}{9}\cdot\frac{27}{16}=\frac{3}{4}\). Wert B: \(\frac{5}{6}\cdot\frac{9}{10}=\frac{3}{4}\). Daher sind beide Werte gleich groß.

- Wie kannst du eine gemischte Zahl in einen unechten Bruch umwandeln? - Gibt es vor dem Multiplizieren Möglichkeiten zum Kürzen? - Welches Vorzeichen hat das Ergebnis bei der Multiplikation einer negativen mit einer positiven Zahl? - Wie schreibst du eine Dezimalzahl als Bruch?

1. Überschlag zu a): \( 4 \cdot 2 = 8 \) oder \( 3{,}5 \cdot 2{,}5 = 8{,}75 \). Exakte Rechnung: \( \frac{7}{2} \cdot \frac{12}{5} = \frac{7 \cdot 6}{5} = \frac{42}{5} = 8\frac{2}{5} \). 2. Überschlag zu b): \( -5 \cdot 1{,}5 = -7{,}5 \). Exakte Rechnung: \( -\frac{14}{3} \cdot \frac{3}{2} = -\frac{14}{2} = -7 \). 3. Überschlag zu c): \( 0{,}5 \cdot 3{,}5 = 1{,}75 \) oder \( 0{,}6 \cdot 3 = 1{,}8 \). Exakte Rechnung: \( \frac{6}{10} \cdot \frac{10}{3} = \frac{6}{3} = 2 \).

a) Überschlag: ca. \( 8 \); Exakt: \( 8\frac{2}{5} \) b) Überschlag: ca. \( -7{,}5 \); Exakt: \( -7 \) c) Überschlag: ca. \( 2 \); Exakt: \( 2 \)

- Kannst du die Faktoren so umstellen, dass das Rechnen leichter wird? - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du zwei negative Zahlen multiplizierst? - Überlege, welche Zahlen im Zähler und Nenner gemeinsame Teiler haben.

1. Berechnung zu a): \( \frac{5}{8} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{4}{1} \). Kürzen der \( 5 \) im Zähler und Nenner ergibt \( \frac{1}{8} \cdot \frac{6}{1} \cdot \frac{4}{1} \). Kürzen von \( 4 \) und \( 8 \) ergibt \( \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{1} \cdot 1 = \frac{6}{2} = 3 \). 2. Berechnung zu b): Das Vorzeichen ist positiv, da zwei negative Faktoren multipliziert werden. \( \frac{9}{4} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} \). Kürzen der \( 4 \) im Zähler und Nenner ergibt \( \frac{9}{1} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \). Kürzen von \( 9 \) und \( 3 \) ergibt \( \frac{3}{1} \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} \).

a) \( 3 \) b) \( 1\frac{1}{2} \) (oder \( 1{,}5 \))

- Schau dir die Faktoren genau an. Wie unterscheiden sich die ersten Faktoren voneinander? Wie die zweiten? - Kannst du die Zahlen grob runden, um einen ersten Eindruck zu bekommen? - Wandle die gemischten Zahlen in Brüche um, um den exakten Wert zu finden.

1. Überschlag: Für A gilt \(4\frac{1}{2}\approx4{,}5\) und \(1\frac{1}{3}\approx1{,}3\), also \(A\approx4{,}5\cdot1{,}3\approx5{,}9\). Für B gilt \(3\frac{1}{3}\approx3{,}3\) und \(1\frac{1}{2}=1{,}5\), also \(B\approx3{,}3\cdot1{,}5\approx5{,}0\). Daher ist A voraussichtlich größer. 2. Berechnung A: \(\frac{9}{2}\cdot\frac{4}{3}=6\). 3. Berechnung B: \(\frac{10}{3}\cdot\frac{3}{2}=5\). 4. Ergebnis: \(6>5\), also ist Rechnung A größer.

Vermutung durch Überschlag: A ist größer, denn ungefähr gilt \(4{,}5\cdot1{,}3\approx5{,}9\) und \(3{,}3\cdot1{,}5\approx5{,}0\). A: \(\frac{9}{2}\cdot\frac{4}{3}=6\) B: \(\frac{10}{3}\cdot\frac{3}{2}=5\) Damit ist A größer.

- Du kannst bei mehr als zwei Faktoren alle Zähler und alle Nenner gleichzeitig betrachten und kürzen. - Zähle zuerst die negativen Vorzeichen, um das Vorzeichen des Ergebnisses zu bestimmen. - Gibt es Zahlen, die sich direkt gegenseitig aufheben?

1. Umwandlung der Faktoren in Teil a): \(\frac{6}{5} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{5}{6}\). Kürzen der \(6\) im Zähler und Nenner sowie der \(5\). Es bleibt \(\frac{5}{3}\), was \(1\frac{2}{3}\) entspricht. 2. Umwandlung der Faktoren in Teil b): \((-\frac{12}{5}) \cdot \frac{15}{8} \cdot (-\frac{1}{3})\). Bestimmung des Vorzeichens: Minus mal Plus mal Minus ergibt Plus. Multiplikation der Beträge: \(\frac{12 \cdot 15 \cdot 1}{5 \cdot 8 \cdot 3}\). Kürzen: \(\frac{12}{3} = 4\), \(\frac{15}{5} = 3\). Neuer Bruch: \(\frac{4 \cdot 3 \cdot 1}{8} = \frac{12}{8}\). Kürzen durch \(4\) ergibt \(\frac{3}{2}\) bzw. \(1\frac{1}{2}\).

a) \(1\frac{2}{3}\) b) \(1\frac{1}{2}\)

- Berechne jeden Wert einzeln. - Was passiert, wenn man eine Zahl mit ihrem Kehrwert multipliziert? Siehst du das bei einer der Aufgaben? - Vergiss nicht, am Ende die Buchstaben in die richtige Reihenfolge zu bringen.

1. Berechnung von \(A\): \(\frac{7}{4} \cdot \frac{8}{7} = \frac{1}{1} \cdot \frac{2}{1} = 2\). 2. Berechnung von \(B\): \(\frac{8}{3} \cdot \frac{3}{8} = 1\). 3. Berechnung von \(C\): \((-\frac{6}{5}) \cdot (-\frac{5}{2}) = \frac{6 \cdot 5}{5 \cdot 2} = \frac{6}{2} = 3\). 4. Vergleich der Ergebnisse: \(1 < 2 < 3\). Die Reihenfolge ist \(B, A, C\).

\(B < A < C\) (Ergebnisse: \(1 < 2 < 3\))

- Stell dir das Rechteck in vier kleine Rechtecke unterteilt vor. Welche Flächen entstehen, wenn du die Seiten in Ganze und Brüche zerlegst? - Wie wandelt man eine gemischte Zahl in einen Bruch um? - Kannst du vor dem Multiplizieren im Zähler und Nenner kürzen?

1. Begründung: Jonas hat nur einen Teil der Fläche berechnet. Beim Multiplizieren von gemischten Zahlen müssen alle Bestandteile der ersten Zahl mit allen Bestandteilen der zweiten Zahl multipliziert werden (wie bei einem Rechteck, das in vier Teilflächen unterteilt ist). Er hat die Kombinationen aus Ganzen und Brüchen (z. B. \(2 \cdot \frac{1}{5}\)) ausgelassen. 2. Umwandlung in unechte Brüche: \(2 \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\) und \(3 \frac{1}{5} = \frac{16}{5}\). 3. Multiplikation der Brüche: \(\frac{5}{2} \cdot \frac{16}{5} = \frac{5 \cdot 16}{2 \cdot 5}\). 4. Kürzen und Berechnen: Die \(5\) im Zähler und Nenner kürzt sich zu \(1\). Es bleibt \(\frac{16}{2} = 8\).

a) Jonas hat die Produkte aus ganzzahligem Anteil und Bruchanteil vernachlässigt, weshalb wesentliche Teile der Fläche fehlen. b) Der korrekte Flächeninhalt beträgt \(8\,\text{cm}^2\).

- Wie wandelt man eine gemischte Zahl in einen Bruch um? - Achte auf die Vorzeichenregeln bei der Multiplikation: Was passiert, wenn man eine positive mit einer negativen Zahl multipliziert? Was passiert bei zwei negativen Zahlen? - Kannst du Zähler und Nenner schon vor dem eigentlichen Multiplizieren vereinfachen? - Um Brüche zu vergleichen, kannst du sie auf den gleichen Nenner bringen oder in Dezimalzahlen umwandeln.

1. Umwandlung der gemischten Zahlen in unechte Brüche für Teil a: \( \frac{8}{5} \cdot \left(-\frac{5}{2}\right) \). Multiplikation und Kürzen der Faktoren \( 5 \) und \( 2 \): \( \frac{4}{1} \cdot \left(-\frac{1}{1}\right) = -4 \). 2. Umwandlung für Teil b: \( \left(-\frac{15}{4}\right) \cdot \left(-\frac{8}{15}\right) \). Da beide Faktoren negativ sind, ist das Produkt positiv. Kürzen der \( 15 \) und der \( 4 \) ergibt \( \frac{1}{1} \cdot \frac{2}{1} = 2 \). 3. Umwandlung für Teil c: \( \frac{7}{9} \cdot \frac{9}{7} \cdot (-3) \). Die ersten beiden Brüche sind Kehrwerte voneinander, ihr Produkt ist \( 1 \). Das Endergebnis ist \( 1 \cdot (-3) = -3 \). 4. Berechnung für Teil d: Erste Rechnung: \( \frac{9}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2} = 1{,}5 \). Zweite Rechnung: \( \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{6} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 2} = \frac{5}{4} = 1{,}25 \). Vergleich der Ergebnisse: \( 1{,}5 > 1{,}25 \). Das erste Ergebnis ist größer.

a) \( -4 \) b) \( 2 \) c) \( -3 \) d) Das Ergebnis von \( 2\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} \) (nämlich \( 1{,}5 \)) ist größer als das von \( 1\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{6} \) (nämlich \( 1{,}25 \)).

- Was passiert mit einem Bruch, wenn man nur seinen Zähler vergrößert? - Was passiert mit einem Bruch, wenn man nur seinen Nenner vergrößert? - Kannst du die Änderungen erst am einzelnen Bruch ausprobieren und dann das neue Produkt berechnen? - Überlege, ob sich das Gesamtergebnis so ändert wie der einzelne Faktor.

1. Berechnung des ursprünglichen Produkts: \(P = \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{5} = \frac{12}{40} = \frac{3}{10}\). 2. Schritt a: Verdopplung des ersten Zählers führt zum Faktor \(\frac{6}{8}\). Neues Produkt: \(\frac{6}{8} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{40} = \frac{3}{5}\). Vergleich: \(\frac{3}{5} = 2 \cdot \frac{3}{10}\). Der Wert verdoppelt sich. 3. Schritt b: Verdopplung des zweiten Nenners führt zum Faktor \(\frac{4}{10}\). Neues Produkt: \(\frac{3}{8} \cdot \frac{4}{10} = \frac{12}{80} = \frac{3}{20}\). Vergleich: \(\frac{3}{20} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{10}\). Der Wert halbiert sich. 4. Schritt c: Zähler verdoppelt (\(3 \cdot 2 = 6\)) und Nenner halbiert (\(8 : 2 = 4\)) ergibt den Faktor \(\frac{6}{4}\). Neues Produkt: \(\frac{6}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{20} = \frac{6}{5}\). Vergleich: \(\frac{6}{5} = 4 \cdot \frac{3}{10}\). Der Wert vervierfacht sich.

Das ursprüngliche Produkt ist \(\frac{3}{10}\). a) Der Wert verdoppelt sich zu \(\frac{3}{5}\). b) Der Wert halbiert sich zu \(\frac{3}{20}\). c) Der Wert vervierfacht sich zu \(\frac{6}{5}\).

- Denke daran, wie man Brüche multipliziert: Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner. - Wenn du jeden Zähler verdoppelst, wie oft hast du dann insgesamt mit 2 multipliziert? - Was passiert, wenn du eine Zahl erst mit 2 multiplizierst und dann durch 2 teilst?

1. Berechnung des ursprünglichen Produkts: \(P = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} = \frac{15}{48} = \frac{5}{16}\). 2. Schritt a: Verdopplung aller Zähler entspricht der Multiplikation des gesamten Produkts mit \(2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\). Neues Produkt: \(\frac{2 \cdot 6 \cdot 10}{2 \cdot 4 \cdot 6} = \frac{120}{48} = \frac{5}{2}\). Der Wert ist achtmal so groß wie \(\frac{5}{16}\). 3. Schritt b: Verdopplung aller Nenner entspricht der Division des gesamten Produkts durch \(2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\). Neues Produkt: \(\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{4 \cdot 8 \cdot 12} = \frac{15}{384} = \frac{5}{128}\). Der Wert sinkt auf ein Achtel des ursprünglichen Werts. 4. Schritt c: Erster Faktor mal 2 (\(1\)), zweiter Faktor mal \(\frac{1}{2}\) (\(\frac{3}{8}\)). Neues Produkt: \(1 \cdot \frac{3}{8} \cdot \frac{5}{6} = \frac{15}{48} = \frac{5}{16}\). Das Ergebnis bleibt unverändert, da sich die Faktoren \(2\) und \(\frac{1}{2}\) gegenseitig aufheben.

Das ursprüngliche Produkt ist \(\frac{5}{16}\). a) Das Ergebnis wird achtmal so groß (\(\frac{5}{2}\)). b) Das Ergebnis sinkt auf ein Achtel des ursprünglichen Werts (\(\frac{5}{128}\)). c) Das Ergebnis bleibt gleich (\(\frac{5}{16}\)).

- Bestimme zuerst das Gewicht der einzelnen Personen nacheinander. - Wie viel wiegt Mia, wenn du ihren Anteil an Jonas' Gewicht berechnest? - Vergiss nicht, am Ende alle Einzelgewichte und die Ausrüstung zusammenzuzählen.

1. Berechnung von Mias Gewicht: \(\frac{4}{5} \cdot 55\,\text{kg} = 44\,\text{kg}\). 2. Berechnung des Gewichts des Vaters: \(2 \cdot 44\,\text{kg} = 88\,\text{kg}\). 3. Summierung aller Gewichte (Jonas, Ausrüstung, Mia, Vater): \(55\,\text{kg} + 42\,\text{kg} + 44\,\text{kg} + 88\,\text{kg} = 229\,\text{kg}\). 4. Vergleich mit der Tragkraft: \(229\,\text{kg} \le 250\,\text{kg}\). Die Belastung liegt unter dem Maximum.

Ja, sie können gemeinsam fahren, da das Gesamtgewicht \(229\,\text{kg}\) beträgt und somit unter der Grenze von \(250\,\text{kg}\) liegt.

- Berechne zuerst den angegebenen Bruchteil der gesamten Gartenfläche. - Der zweite Bruchteil bezieht sich nicht auf den ganzen Garten, sondern auf die danach verbleibende Fläche. - Ziehe die Gemüsefläche erst von diesem Zwischenrest ab.

1. Die Blumenfläche beträgt \(\frac{1}{4}\cdot600=150\,\text{m}^2\). 2. Danach bleiben \(600-150=450\,\text{m}^2\). 3. Die Gemüsefläche beträgt \(\frac{2}{3}\cdot450=300\,\text{m}^2\). 4. Für den Rasen bleiben \(450-300=150\,\text{m}^2\).

\(150\,\text{m}^2\)

- Wie berechnet man den Anteil einer Teilmenge an der Gesamtmenge? - Stell dir vor, du teilst ein Rechteck erst in vier Teile und nimmst drei davon. Wie viel ist davon wiederum zwei Drittel? - Erinnere dich an die Regel „Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner“.

1. Identifikation der gegebenen Anteile: \(\frac{3}{4}\) (Beetfläche) und \(\frac{2}{3}\) (Gemüseanteil der Beetfläche). 2. Multiplikation der Brüche zur Berechnung des Anteils vom Ganzen: \(\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{12}\). 3. Kürzen des Bruchs: \(\frac{6}{12} = \frac{1}{2}\). 4. Begründung: Die Multiplikation wird verwendet, da ein Bruchteil (\(\frac{2}{3}\)) von einer bereits bestehenden Teilmenge (\(\frac{3}{4}\)) berechnet werden soll („Anteil eines Anteils“).

\(\frac{1}{2}\) des gesamten Gartens ist mit Gemüse bepflanzt. Man multipliziert, weil man den Anteil eines Anteils berechnet.

- Berechne zuerst den Anteil für die erste Situation (a) durch Multiplikation. - Führe die gleiche Rechnung für die zweite Situation (b) durch. - Vergleiche die beiden Brüche, die du als Ergebnis erhalten hast. - Vergiss nicht zu kürzen, um die Brüche besser vergleichen zu können.

1. Berechnung für Teil a: Multiplikation von \(\frac{3}{8}\) und \(\frac{4}{5}\) ergibt \(\frac{3 \cdot 4}{8 \cdot 5} = \frac{12}{40}\). 2. Kürzen des Ergebnisses aus Teil a: \(\frac{12}{40} = \frac{3}{10}\). 3. Berechnung für Teil b: Multiplikation von \(\frac{1}{2}\) und \(\frac{3}{5}\) ergibt \(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10}\). 4. Vergleich der Ergebnisse: Da \(\frac{3}{10} = \frac{3}{10}\), ist in beiden Fällen die gleiche Menge Saft im Glas.

a) Im Glas befinden sich \(\frac{3}{10}\) des Kannenvolumens. b) In beiden Fällen ist genau gleich viel Saft im Glas, da beide Rechnungen \(\frac{3}{10}\) ergeben.

- Überlege dir zuerst, welcher Bruchteil des Wassers im Fass bleibt, wenn ein Teil davon verloren geht. - Wie berechnet man einen Anteil von einem anderen Anteil? - Kannst du das Ergebnis am Ende noch vereinfachen?

1. Berechnung des Anteils, der nach dem Wasserverlust vom enthaltenen Wasser übrig bleibt: \(1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}\). 2. Multiplikation des ursprünglichen Füllstands mit dem verbleibenden Anteil: \(\frac{4}{5} \cdot \frac{7}{8} = \frac{28}{40}\). 3. Kürzen des Ergebnisses: \(\frac{28}{40} = \frac{7}{10}\).

\(\frac{7}{10}\)

- Bestimme schrittweise, wie viel Platz nach jeder Planung noch übrig ist. - Achte darauf, worauf sich die Anteile beziehen: auf den ganzen Garten oder nur auf den Rest? - Eine Skizze des Gartens könnte dir helfen, die Aufteilung besser zu sehen.

1. Bestimmung der Restfläche nach der Planung des Teichs: \(1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\). 2. Berechnung des Anteils, der von dieser Restfläche nach dem Anlegen der Beete übrig bleibt: \(1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}\). 3. Multiplikation der Anteile, um den Anteil an der Gesamtfläche zu erhalten: \(\frac{2}{5} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{15}\). Alternativ: Anteil der Beete berechnen (\(\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{5}\)) und von der Restfläche abziehen (\(\frac{2}{3} - \frac{2}{5} = \frac{10}{15} - \frac{6}{15} = \frac{4}{15}\)).

\(\frac{4}{15}\)

- Beschreibe zuerst, wie die markierte Fläche im Raster zu den gesamten Zeilen und Spalten liegt. - Wie viele gleich große Teilflächen hat das Raster insgesamt und wie viele davon gehören zum markierten Bereich? - Welche Rechnung mit den beiden Seitenanteilen bestätigt den am Raster gelesenen Flächenanteil?

1. Im Raster ist die Gesamtfläche in \(3\cdot5=15\) gleich große Felder geteilt. 2. Die markierte Teilfläche umfasst \(8\) dieser \(15\) Felder. 3. Rechnerisch entspricht das \(\frac{4}{5}\cdot\frac{2}{3}=\frac{8}{15}\).

\(\frac{8}{15}\)

- Was passiert mit dem Nenner eines Bruchs, wenn du ihn immer wieder mit \( \frac{1}{2} \) multiplizierst? - Kannst du eine Liste der Ergebnisse erstellen, wenn du schrittweise immer wieder halbierst? - Wie oft musst du die Zahl 2 mit sich selbst multiplizieren, um auf 64 zu kommen?

1. Startwert ist 1. 2. Einmalige Anwendung: \( 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \). 3. Zweimalige Anwendung: \( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \). 4. Den Vorgang fortsetzen und die Potenzen von 2 im Nenner prüfen: \( 2^2=4 \), \( 2^3=8 \), \( 2^4=16 \), \( 2^5=32 \), \( 2^6=64 \). 5. Da \( 2^6 = 64 \) ist, muss die Multiplikation mit \( \frac{1}{2} \) insgesamt 6-mal durchgeführt werden: \( (\frac{1}{2})^6 = \frac{1}{64} \).

Man muss den Ausdruck 6-mal anwenden, da \( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{64} \) ist.

- Kannst du das Produkt als einen einzigen Bruch schreiben, bevor du die Änderungen betrachtest? - Erinnerst du dich an das Gesetz, das besagt, dass man Zahlen beim Multiplizieren vertauschen darf? - Wenn du etwas dreimal so groß machst, was musst du tun, um wieder zum ursprünglichen Zustand zu kommen?

1. Ursprüngliches Produkt: \(P = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 7} = \frac{6}{35}\). 2. Schritt a: Neuer erster Faktor \(\frac{4}{5}\), neuer zweiter Faktor \(\frac{3}{14}\). Produkt: \(\frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 14} = \frac{12}{70} = \frac{6}{35}\). Der Wert bleibt gleich, da die Multiplikation im Zähler und Nenner mit demselben Faktor (2) einer Erweiterung des gesamten Bruchs entspricht. 3. Schritt b: Vertauschen der Zähler ergibt \(\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{7} = \frac{6}{35}\). Das Ergebnis bleibt gleich, da für die Multiplikation das Kommutativgesetz gilt (\(2 \cdot 3 = 3 \cdot 2\)). 4. Schritt c: Wenn der erste Faktor mit 3 multipliziert wird, muss der zweite Faktor durch 3 geteilt werden (oder mit \(\frac{1}{3}\) multipliziert werden), um die Änderung auszugleichen. Neuer zweiter Faktor: \(\frac{3}{7} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{7}\). Probe: \((3 \cdot \frac{2}{5}) \cdot \frac{1}{7} = \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{7} = \frac{6}{35}\).

a) Der Wert bleibt gleich (\(\frac{6}{35}\)). b) Ja, das Ergebnis bleibt gleich, da bei der Multiplikation das Kommutativgesetz gilt (die Reihenfolge der Faktoren im Gesamtzähler ist egal). c) Man muss den zweiten Faktor durch 3 teilen (bzw. mit \(\frac{1}{3}\) multiplizieren). Der neue Faktor wäre \(\frac{1}{7}\).

- Zerlege die Aufgabe in zwei Teile: berechne erst den Bruchteil und nutze diesen dann für die Energiemenge. - Wenn du weißt, welcher Bruchteil \(14\,\text{Wh}\) entspricht, wie kommst du dann auf das Ganze? - Überlege genau, wie viel vom Akku nach dem ersten Schritt noch übrig war.

1. Berechnung der Restladung nach dem Vormittag: \(1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}\). 2. Berechnung des verbleibenden Anteils nach der Pause: \(1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}\). 3. Multiplikation der Anteile für Teilaufgabe a: \(\frac{7}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{21}{72} = \frac{7}{24}\). 4. Berechnung des Grundwerts für Teilaufgabe b: \(14\,\text{Wh} : \frac{7}{24} = 14 \cdot \frac{24}{7} = 2 \cdot 24 = 48\,\text{Wh}\).

a) \(\frac{7}{24}\) b) \(48\,\text{Wh}\)