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- Überlege dir zuerst, welches Vorzeichen das Ergebnis haben muss. - Erinnere dich: „Minus mal Minus ergibt Plus.“ - Was passiert mit dem Rechenzeichen, wenn ein Minus auf ein Minus trifft? - Stell dir bei Addition und Subtraktion ein Thermometer oder eine Zahlengerade vor.

1. Addition zweier negativer Zahlen: \(-14 - 26 = -40\). 2. Subtraktion einer negativen Zahl (entspricht Addition): \(35 + 15 = 50\). 3. Multiplikation zweier negativer Zahlen (Ergebnis positiv): \(4 \cdot 12 = 48\). 4. Division einer positiven durch eine negative Zahl (Ergebnis negativ): \(100 : (-5) = -20\).

a) \(-40\) b) \(50\) c) \(48\) d) \(-20\)

- Bestimme bei Rechnungen mit negativen Zahlen zuerst, in welche Richtung sich der Wert verändert. - Bei der Addition zweier negativer Zahlen werden die Beträge addiert und das Minuszeichen bleibt erhalten. - Bei gleichnamigen Brüchen bleiben die Nenner erhalten; rechne mit den Zählern und kürze anschließend.

1. \(45-72=-27\). 2. \(-18+(-12)=-30\). 3. \(\frac{5}{6}-\frac{1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\). 4. \(-\frac{3}{8}-\frac{1}{8}=-\frac{4}{8}=-\frac{1}{2}\).

a) \(-27\) b) \(-30\) c) \(\frac{2}{3}\) d) \(-\frac{1}{2}\)

- Schreibe die Potenz als Produkt zweier gleicher Faktoren. - Beachte das Vorzeichen beim Produkt zweier negativer Zahlen. - Die Klammer zeigt, dass das Minuszeichen zur Basis gehört.

1. Die Basis ist die negative Zahl \(-0{,}5\), weil sie in Klammern steht. 2. \((-0{,}5)^2=(-0{,}5)\cdot(-0{,}5)=0{,}25\).

\(0{,}25\)

- Welches Vorzeichen hat eine ungerade Potenz von \(-1\)? - Was bewirkt das zusätzliche Minuszeichen vor dem Bruch? - Wo liegen positive Zahlen auf der Zahlengeraden relativ zur Null?

1. Da \(101\) ungerade ist, gilt \((-1)^{101}=-1\). 2. Damit ist \(x=-\frac{-1}{5}=\frac{1}{5}\). 3. Weil \(\frac{1}{5}>0\) gilt, liegt der Wert rechts von der Null.

Der Wert liegt rechts von der Null, denn \(x=\frac{1}{5}>0\).

- Welche Rechenoperationen müssen nach der Regel „Klammern vor Potenzen vor Punkt vor Strich“ zuerst ausgeführt werden? - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl quadrierst? - Achte besonders auf das Rechenzeichen vor der Multiplikation und das Vorzeichen des Ergebnisses der Multiplikation.

1. Potenz berechnen: \( (-4)^2 = 16 \) 2. Klammerausdruck berechnen: \( 14 - 18 = -4 \) 3. Multiplikation durchführen: \( 5 \cdot (-4) = -20 \) 4. Division durchführen: \( 24 : (-6) = -4 \) 5. Zwischenergebnisse zusammenführen: \( 16 - (-20) + (-4) \) 6. Subtraktion der negativen Zahl (Addition): \( 16 + 20 - 4 = 32 \)

\(32\)

- Kannst du die Potenzen einzeln ausrechnen? - Was bedeutet die Basis und was der Exponent bei einer Potenz? - Vergleiche am Ende die beiden Endergebnisse miteinander.

1. Berechnung von Term \(A\): \(2^6 = 64\) und \(4^3 = 64\). 2. Subtraktion für \(A\): \(64 - 64 = 0\). 3. Berechnung von Term \(B\): \(5^3 = 125\) und \(11^2 = 121\). 4. Subtraktion für \(B\): \(125 - 121 = 4\). 5. Vergleich der Ergebnisse: Da \(4 > 0\) ist, hat Term \(B\) das größere Ergebnis.

Term \(B\) ist größer, da sein Wert \(4\) ist, während Term \(A\) den Wert \(0\) hat.

- Welche Operation hat jeweils Vorrang vor Addition oder Subtraktion? - Wie wird eine Division durch einen Bruch umgeformt? - Prüfe am Ende, ob die Ergebnisse zur Größenordnung der Terme passen.

1. \(\frac{3}{8}\cdot2=\frac{3}{4}\); damit gilt \(1\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=2\). 2. \(10:\frac{5}{2}=10\cdot\frac{2}{5}=4\); damit gilt \(4-\frac{1}{2}=3\frac{1}{2}\).

a) \(2\) b) \(3\frac{1}{2}\)

- Erinnere dich an die Regel: Klammern zuerst. - Um Brüche zu addieren, müssen sie den gleichen Nenner haben. - Wie schreibt man Zehntel als Dezimalzahl?

1. Berechnung des Klammerinhalts durch Finden des Hauptnenners \(10\): \(\frac{2}{5} + \frac{1}{2} = \frac{4}{10} + \frac{5}{10} = \frac{9}{10}\) 2. Subtraktion des Klammerergebnisses vom ersten Wert: \(\frac{7}{10} - \frac{9}{10} = -\frac{2}{10}\) 3. Umwandlung in eine Dezimalzahl: \(-\frac{2}{10} = -0{,}2\)

\(-0{,}2\)

- Welche Rechenoperationen müssen vor der Subtraktion durchgeführt werden? - Bei der Division durch eine Dezimalzahl hilft es, das Komma bei beiden Zahlen so weit nach rechts zu verschieben, bis der Divisor eine ganze Zahl ist. - Denk an das Vorzeichen, wenn du eine größere Zahl von einer kleineren abziehst.

1. Durchführung der Multiplikation: \(4{,}5 \cdot 0{,}2 = 0{,}9\) 2. Durchführung der Division: \(1{,}2 : 0{,}3 = 12 : 3 = 4\) 3. Subtraktion der beiden Teilergebnisse: \(0{,}9 - 4 = -3{,}1\)

\(-3{,}1\)

- Zähle bei Multiplikationen die Nachkommastellen der Faktoren. - Denke bei Potenzen daran, wie oft das Vorzeichen mit sich selbst multipliziert wird. - Kannst du Brüche in Dezimalzahlen umwandeln, um die Rechnung zu vereinfachen? - Überlege dir bei der Subtraktion, welche der beiden Zahlen den größeren Betrag hat.

1. Multiplikation einer negativen mit einer positiven Zahl ergibt ein negatives Vorzeichen: \( -0{,}4 \cdot 1{,}2 = -0{,}48 \). 2. Division zweier negativer Zahlen ergibt ein positives Vorzeichen: \( -2{,}5 : (-5) = 0{,}5 \). 3. Subtraktion einer größeren von einer kleineren Zahl: \( 0{,}12 - 0{,}2 = -0{,}08 \). 4. Eine negative Zahl mit ungeradem Exponenten ergibt ein negatives Vorzeichen: \( (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -27 \). 5. Umwandeln des Bruchs in eine Dezimalzahl und Addition: \( -0{,}5 + 0{,}3 = -0{,}2 \).

a) \( -0{,}48 \) b) \( 0{,}5 \) c) \( -0{,}08 \) d) \( -27 \) e) \( -0{,}2 \)

- Wähle bei gemischten Darstellungen die Form, mit der du im Kopf am einfachsten rechnen kannst. - Beachte die Regel für das Subtrahieren einer negativen Zahl. - Bestimme bei Produkten mit Vorzeichen zuerst das Vorzeichen des Ergebnisses.

1. Mit \(2\frac{1}{2} = 2{,}5\) gilt \(-1{,}5 + 2{,}5 = 1\). 2. Mit \(\frac{3}{4} = 0{,}75\) gilt \(0{,}25 - (-0{,}75) = 1\). 3. Zwei negative Faktoren ergeben ein positives Produkt: \(-0{,}5 \cdot (-12) = 6\). 4. Es gilt \(-3{,}5 + (-1{,}5) = -5\).

a) \(1\) b) \(1\) c) \(6\) d) \(-5\)

- Überlege, ob der gesamte zweite Wert abgezogen oder teilweise addiert werden soll. - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine Zahl in ihre Bestandteile (Ganzzahl und Rest) zerlegst? - Es kann helfen, beide Zahlen zuerst in das gleiche Format (beide als Dezimalzahl oder beide als Bruch) zu bringen.

1. Identifikation des Fehlers: Beim Aufteilen der Zahlen wurde der Dezimalteil \(0{,}5\) addiert, obwohl er als Teil des Subtrahenden (\(2{,}5\)) abgezogen werden müsste. 2. Korrekte Umwandlung: \(7\frac{1}{4} = 7{,}25\). 3. Korrekte Subtraktion: \(7{,}25 - 2{,}5 = 4{,}75\).

Der Fehler liegt darin, dass der Dezimalteil \(0{,}5\) addiert statt subtrahiert wurde. Richtig ist: \(7{,}25 - 2{,}5 = 4{,}75\).

- Überlege dir zuerst, ob das Ergebnis positiv oder negativ sein muss. - Wie verändert sich das Vorzeichen bei einer geraden Anzahl an Minuszeichen in einer Multiplikationskette? - Kannst du Brüche in Dezimalzahlen umwandeln, um leichter zu rechnen?

1. Addition zweier negativer Zahlen führt zu einem negativen Ergebnis mit dem addierten Betrag: \(- (12{,}4 + 3{,}6) = -16\). 2. Multiplikation zweier negativer Zahlen ergibt ein positives Vorzeichen: \(8 \cdot 1{,}5 = 12\). 3. Umwandlung des Bruchs in eine Dezimalzahl: \(\frac{3}{4} = 0{,}75\). Subtraktion: \(0{,}75 - 1{,}25 = -0{,}5\). 4. Eine negative Basis mit einem geraden Exponenten ergibt ein positives Ergebnis: \((-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16\).

a) \(-16\) b) \(12\) c) \(-0{,}5\) d) \(16\)

- Schreibe eine Potenz bei Bedarf als wiederholte Multiplikation. - Bei Brüchen werden Zähler und Nenner potenziert. - Achte bei Dezimalzahlen auf den Stellenwert des Produkts.

1. \(0{,}4^2=0{,}4\cdot0{,}4=0{,}16\). 2. \((\frac{2}{3})^3=\frac{8}{27}\). 3. \(0{,}1^4=0{,}0001\). 4. \((\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}=6{,}25\).

a) \(0{,}16\) b) \(\frac{8}{27}\) c) \(0{,}0001\) d) \(\frac{25}{4}\)

- Überlege, welche Dezimalzahlen sich besonders einfach als Brüche schreiben lassen. - Nutze beim Multiplizieren von Brüchen mögliche Kürzungen. - Bestimme bei jeder Rechnung zuerst das Vorzeichen des Ergebnisses.

1. Schreibe \(-0{,}9\) als \(-\frac{9}{10}\): \(\frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{9}{10}\right) = -\frac{3}{5} = -0{,}6\). 2. Mit \(-0{,}75 = -\frac{3}{4}\) gilt \(-\frac{3}{4} : \frac{3}{4} = -1\). 3. Mit \(1{,}25 = \frac{5}{4}\) gilt \(\frac{5}{4} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = -1\).

a) \(-0{,}6\) oder \(-\frac{3}{5}\) b) \(-1\) c) \(-1\)

- Kannst du die Brüche in Dezimalzahlen umwandeln, um die Rechnung zu vereinfachen? - Achte besonders auf das Vorzeichen bei der Addition und Subtraktion. - Überlege dir, ob es einfacher ist, mit Brüchen oder mit Dezimalzahlen zu rechnen.

1. Berechnung von \(\frac{3}{4} + (-0{,}5)\): Umwandlung in Dezimalzahlen ergibt \(0{,}75 - 0{,}5 = 0{,}25\). 2. Berechnung von \(-1{,}2 - \frac{1}{5}\): Umwandlung des Bruchs ergibt \(-1{,}2 - 0{,}2 = -1{,}4\). 3. Berechnung von \(-0{,}25 + \frac{3}{4}\): Umwandlung des Bruchs ergibt \(-0{,}25 + 0{,}75 = 0{,}5\).

a) \(0{,}25\) oder \(\frac{1}{4}\) b) \(-1{,}4\) oder \(-\frac{7}{5}\) c) \(0{,}5\) oder \(\frac{1}{2}\)

- Was musst du zuerst berechnen, wenn eine Klammer im Term steht? - Hilft es dir, die Dezimalzahlen in Brüche umzuwandeln, bevor du multiplizierst? - Kannst du bei der Multiplikation von Brüchen vorab kürzen?

1. Berechnung von \(1{,}5 - (\frac{2}{3} + 0{,}5)\): Klammerinhalt \(\frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{4}{6} + \frac{3}{6} = \frac{7}{6}\); Subtraktion \(\frac{3}{2} - \frac{7}{6} = \frac{9}{6} - \frac{7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\). 2. Berechnung von \(-2{,}4 \cdot \frac{5}{6}\): Umwandlung \(- \frac{24}{10} \cdot \frac{5}{6} = - \frac{12}{5} \cdot \frac{5}{6}\); Kürzen von \(5\) gegen \(5\) und von \(12\) gegen \(6\) führt zu \(-2\). 3. Berechnung von \(\frac{7}{10} + (-0{,}3) - \frac{1}{2}\): Umwandlung in Dezimalzahlen ergibt \(0{,}7 - 0{,}3 - 0{,}5 = 0{,}4 - 0{,}5 = -0{,}1\).

a) \(\frac{1}{3}\) b) \(-2\) c) \(-0{,}1\) oder \(-\frac{1}{10}\)

- Bestimme zuerst das Vorzeichen des Ergebnisses. - Führe danach die schriftliche Rechnung mit den Beträgen aus. - Prüfe, ob die Zwischenschritte der schriftlichen Multiplikation oder Division zum Stellenwert passen.

1. Bestimme zuerst das Vorzeichen: a) negativ, b) negativ, c) positiv, d) negativ. 2. Schriftliche Multiplikation zu a): \(145\cdot4=580\), \(145\cdot10=1450\), also \(580+1450=2030\). Mit Vorzeichen: \(-2030\). 3. Schriftliche Division zu b): \(23:12=1\) Rest \(11\); \(115:12=9\) Rest \(7\); \(72:12=6\). Damit \(2352:12=196\), also \(-196\). 4. Schriftliche Multiplikation zu c): \(26\cdot2=52\) und \(26\cdot300=7800\); \(52+7800=7852\). Zwei negative Faktoren ergeben \(7852\). 5. Schriftliche Division zu d): \(44:18=2\) Rest \(8\); \(86:18=4\) Rest \(14\); \(144:18=8\). Damit \(4464:18=248\), also \(-248\).

a) Teilprodukte zu \(145\cdot14\): \(580\) und \(1450\); Summe \(2030\); Ergebnis \(-2030\). b) \(23:12=1\) Rest \(11\), \(115:12=9\) Rest \(7\), \(72:12=6\); Ergebnis \(-196\). c) Teilprodukte zu \(26\cdot302\): \(52\), \(0\) und \(7800\); Summe und Ergebnis \(7852\). d) \(44:18=2\) Rest \(8\), \(86:18=4\) Rest \(14\), \(144:18=8\); Ergebnis \(-248\).

- Beachte Punkt-vor-Strich. - Nutze jeweils die Darstellung, in der die Punktrechnung besonders einfach wird. - Führe die Addition oder Subtraktion erst danach aus.

1. \(0{,}5:\frac{1}{2}=1\); danach gilt \(\frac{3}{4}+1=1{,}75\). 2. \(1{,}2\cdot\frac{5}{6}=1\); danach gilt \(1-0{,}4=0{,}6\).

a) \(1{,}75\) b) \(0{,}6\)

- Überlege, welcher Teil des Terms aufgrund der Klammern zuerst berechnet werden muss. - Wie bringst du Brüche auf einen gemeinsamen Nenner, um sie subtrahieren zu können? - Kannst du ein Zwischenergebnis kürzen, bevor du mit dem nächsten Schritt weitermachst?

1. Subtraktion in der Klammer durchführen: Zuerst wird der gemeinsame Nenner \(6\) bestimmt. Damit ergibt sich \(\frac{5}{6} - \frac{3}{6} = \frac{2}{6}\). 2. Kürzen des Bruchs: Das Ergebnis der Klammer wird zu \(\frac{1}{3}\) vereinfacht. 3. Multiplikation mit dem äußeren Faktor: \(\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12}\). 4. Endgültiges Ergebnis kürzen: \(\frac{3}{12} = \frac{1}{4}\).

\(\frac{1}{4}\)

- Achte bei Multiplikation und Division auf die Vorzeichenregeln. - Welche Wirkung hat das Subtrahieren einer negativen Zahl? - Bei einer Summe mit verschiedenen Vorzeichen hilft der Vergleich der Beträge.

1. \((-14)\cdot6=-84\). 2. \((-72):(-4)=18\). 3. \(-105+38=-67\). 4. \(17-(-83)=17+83=100\).

a) \(-84\) b) \(18\) c) \(-67\) d) \(100\)

- Achte auf die Vorzeichenregeln beim Auflösen von Klammern. - Bringe Brüche vor der Addition oder Subtraktion immer auf denselben Nenner. - Überlege dir bei Dezimalzahlen, ob das Ergebnis positiv oder negativ sein muss, bevor du rechnest.

1. Addition zweier negativer Dezimalzahlen: \(-4{,}8 - 2{,}35 = -7{,}15\). 2. Addition von Brüchen durch Erweitern auf den Hauptnenner 6: \(-\frac{5}{6} + \frac{2}{6} = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}\). 3. Verrechnung unterschiedlicher Vorzeichen: \(0{,}75 - 1{,}2 = -0{,}45\). 4. Berechnung der Klammer mit Hauptnenner 8: \(\frac{2}{8} - \frac{5}{8} = -\frac{3}{8}\). Das Minuszeichen vor der Klammer kehrt das Vorzeichen um: \(-(-\frac{3}{8}) = \frac{3}{8}\).

a) \(-7{,}15\) b) \(-\frac{1}{2}\) c) \(-0{,}45\) d) \(\frac{3}{8}\)

- Denk an die Regel: Klammern zuerst berechnen. - Was passiert mit dem Rechenzeichen, wenn ein Minus vor einer Klammer steht, in der ein negatives Ergebnis herauskommt? - Kannst du die Aufgabe am Zahlenstrahl verbildlichen?

1. Berechnung der ersten Klammer: \(-4{,}2 + 1{,}7 = -2{,}5\) 2. Berechnung der zweiten Klammer: \(0{,}8 - 2{,}3 = -1{,}5\) 3. Subtraktion der Ergebnisse unter Beachtung der Vorzeichenregeln: \(-2{,}5 - (-1{,}5) = -2{,}5 + 1{,}5 = -1{,}0\)

\(-1\)

- Wähle für den Überschlag nahe, leicht rechenbare Zahlen. - Beim Überschlag reicht eine sinnvolle Größenordnung; rechne nicht schon exakt. - Beachte bei der exakten Rechnung Punkt-vor-Strich.

1. Für den ersten Term kann man \(4{,}2\) und \(3{,}8\) jeweils auf etwa \(4\) runden: \((4+4)\cdot0{,}5\approx4\). Exakt ist \((4{,}2+3{,}8)\cdot0{,}5=4\). 2. Für den zweiten Term kann man \(10{,}5\approx11\) und \(2{,}5\approx3\) runden: \(11-3\cdot3\approx2\). Exakt gilt \(10{,}5-2{,}5\cdot3=3\).

a) Schätzung: etwa \(4\); exakt: \(4\) b) Schätzung: etwa \(2\); exakt: \(3\)

- Wandle den Bruch in eine Dezimalzahl um, um die Subtraktion in der ersten Klammer zu vereinfachen. - Beachte die Vorzeichenregeln bei der Division. - Rechne zuerst die Ausdrücke in den Klammern aus.

1. Erste Klammer berechnen: \(1{,}2 - 0{,}75 = 0{,}45\). 2. Zweite Klammer berechnen: \(0{,}2 - 0{,}5 = -0{,}3\). 3. Division durchführen: \(0{,}45 : (-0{,}3) = -1{,}5\).

\(-1{,}5\) oder \(-\frac{3}{2}\)

- Beachte die Vorrangregeln für Klammern. - Überlege dir zuerst, welches Vorzeichen das Ergebnis der Klammer hat. - Erinnere dich an die Vorzeichenregel bei der Multiplikation zweier negativer Zahlen.

1. Berechnung des Ausdrucks in der Klammer: \(-4{,}2 + 1{,}85 = -2{,}35\). 2. Multiplikation des Zwischenergebnisses mit dem zweiten Faktor: \(-2{,}35 \cdot (-2{,}5) = 5{,}875\).

\(5{,}875\)

- Gilt hier die Regel „Punkt-vor-Strich“? - Es kann hilfreich sein, Brüche und Dezimalzahlen in das gleiche Format zu bringen. - Berechne die einzelnen Bestandteile des Terms nacheinander, bevor du sie addierst.

1. Umwandlung des Bruchs in eine Dezimalzahl oder des Dezimalbruchs in einen Bruch: \(\frac{3}{4} = 0{,}75\). 2. Durchführung der Division: \(0{,}75 : (-0{,}5) = -1{,}5\). 3. Durchführung der Multiplikation in der Klammer: \(1{,}2 \cdot 5 = 6\). 4. Addition der beiden Teilergebnisse: \(-1{,}5 + 6 = 4{,}5\).

\(4{,}5\)

- Überlege dir zuerst, welches Vorzeichen das Ergebnis haben muss. - Verwende die schriftliche Division für die Beträge der Zahlen. - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn man eine positive durch eine negative Zahl teilt?

1. Bestimmung des Vorzeichens: Da eine positive Zahl durch eine negative Zahl geteilt wird, ist das Ergebnis negativ. 2. Durchführung der Division der Beträge: \(18\,432 : 16\). 3. \(18 : 16 = 1\) Rest \(2\). 4. \(24 : 16 = 1\) Rest \(8\). 5. \(83 : 16 = 5\) Rest \(3\). 6. \(32 : 16 = 2\) Rest \(0\). 7. Der Quotient der Beträge ist \(1152\). 8. Unter Berücksichtigung des Vorzeichens ergibt sich \(-1152\).

\(-1152\)

- Rechne wegen der Klammer zuerst die innere Division. - Bestimme bei jedem Schritt zunächst das Vorzeichen. - Prüfe das Zwischenergebnis, bevor du die zweite Division ausführst.

1. \(-2160:18=-120\). 2. \(-120:(-3)=40\).

\(-2160:18=-120\) \(-120:(-3)=40\)

- Entscheide bei jeder Rechnung, ob Bruch- oder Dezimaldarstellung einfacher ist. - Bestimme bei Multiplikation und Division zunächst das Vorzeichen. - Bei der Division durch einen Bruch hilft die Multiplikation mit dem Kehrwert.

1. Mit \(2\frac{1}{4} = 2{,}25\) gilt \(-1{,}5 + 2{,}25 = 0{,}75 = \frac{3}{4}\). 2. Mit \(-0{,}8 = -\frac{4}{5}\) gilt \(-\frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = \frac{3}{5} = 0{,}6\). 3. Mit \(-2{,}5 = -\frac{5}{2}\) und \(1\frac{2}{3} = \frac{5}{3}\) gilt \(-\frac{5}{2} : \frac{5}{3} = -\frac{5}{2} \cdot \frac{3}{5} = -\frac{3}{2} = -1{,}5\).

a) \(0{,}75\) oder \(\frac{3}{4}\) b) \(0{,}6\) oder \(\frac{3}{5}\) c) \(-1{,}5\) oder \(-\frac{3}{2}\)

- Beachte Punkt-vor-Strich und Klammern zuerst. - Wie wird eine Division durch einen Bruch umgeformt? - Kürze Produkte möglichst früh.

1. \(\frac{1}{4}\cdot3=\frac{3}{4}\); daher ist \(\frac{3}{8}+\frac{3}{4}=\frac{9}{8}\). 2. \(\frac{5}{6}\cdot\frac{9}{10}=\frac{3}{4}\). 3. \(12:\frac{4}{5}=15\); danach gilt \(15-7=8\). 4. \(\frac{2}{3}+\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\); daher ist \(\frac{5}{6}\cdot12=10\).

a) \(\frac{9}{8}\) b) \(\frac{3}{4}\) c) \(8\) d) \(10\)

- Welches Vorzeichen hat das Ergebnis, wenn du zwei negative Zahlen addierst? - Erinnere dich an die Regeln für das Rechnen mit verschiedenen Vorzeichen. - Wie findet man den kleinsten gemeinsamen Nenner bei Brüchen? - Hilft es dir, die Subtraktion als Addition der Gegenzahl zu schreiben?

1. Addition zweier negativer Dezimalzahlen: \(-8{,}7 - 13{,}5 = -22{,}2\). 2. Subtraktion einer größeren von einer kleineren Dezimalzahl: \(4{,}2 - 9{,}8 = -(9{,}8 - 4{,}2) = -5{,}6\). 3. Addition von Brüchen durch Erweitern auf den Hauptnenner 18: \(-\frac{10}{18} + \frac{3}{18} = -\frac{7}{18}\). 4. Verrechnung dreier Brüche mit dem Hauptnenner 12: \(\frac{8}{12} - \frac{9}{12} - \frac{6}{12} = \frac{8 - 9 - 6}{12} = -\frac{7}{12}\).

a) \(-22{,}2\) b) \(-5{,}6\) c) \(-\frac{7}{18}\) d) \(-\frac{7}{12}\)

- Ist es für dich einfacher, mit Brüchen oder mit Dezimalzahlen zu rechnen? Wandle alles in die Form um, mit der du besser arbeiten kannst. - Erinnere dich an die Umrechnung: Was ist \( \frac{1}{4} \), \( \frac{1}{2} \) oder \( \frac{1}{5} \) als Dezimalzahl? - Achte besonders auf das „Minus vor dem Minus“.

1. Umwandlung in einheitliche Darstellung (Bruch oder Dezimalzahl): \( 0{,}75 - 1{,}25 = -0{,}5 \) bzw. \( -\frac{1}{2} \). 2. Vereinfachung des Terms zu \( -0{,}6 + 0{,}2 \). Berechnung ergibt \( -0{,}4 \) bzw. \( -\frac{2}{5} \). 3. Schrittweise Subtraktion: \( 2 - 0{,}5 = 1{,}5 \); dann \( 1{,}5 - 0{,}75 = 0{,}75 \) bzw. \( \frac{3}{4} \). 4. Umwandlung von \( \frac{1}{8} \) in \( 0{,}125 \): \( -0{,}125 - 0{,}125 = -0{,}25 \) bzw. \( -\frac{1}{4} \).

a) \( -0{,}5 \) oder \( -\frac{1}{2} \) b) \( -0{,}4 \) oder \( -\frac{2}{5} \) c) \( 0{,}75 \) oder \( \frac{3}{4} \) d) \( -0{,}25 \) oder \( -\frac{1}{4} \)

- Was passiert, wenn du zwei Schuldenbeträge zusammenzählst? - Erinnere dich: Das Subtrahieren einer negativen Zahl entspricht dem Addieren ihrer Gegenzahl. - Vergleiche die Abstände der Zahlen zur Null. Welche Zahl „zieht“ das Ergebnis stärker in ihre Richtung? - Bringe Brüche auf den gleichen Nenner, um ihre Größe besser vergleichen zu können.

1. Bei a) werden zwei negative Zahlen addiert, was eine negative Summe ergibt: Vorzeichen negativ. 2. Bei b) entspricht das Subtrahieren einer negativen Zahl der Addition einer positiven Zahl \(24+10\), daher ist das Ergebnis positiv. 3. Bei c) ist der Betrag der negativen Zahl größer als der der positiven Zahl, daher ist das Ergebnis negativ. 4. Bei d) gilt \(\frac{1}{2}<\frac{3}{4}\), daher ist die Differenz negativ. 5. Bei e) wird zu \(-8\) die Zahl \(5\) addiert; der negative Betrag überwiegt, daher bleibt das Ergebnis negativ.

a) negativ, weil zwei negative Zahlen addiert werden. b) positiv, weil das Subtrahieren einer negativen Zahl einer Addition entspricht. c) negativ, weil \(0{,}5>0{,}3\) und der betragsmäßig größere Summand negativ ist. d) negativ, weil \(\frac{1}{2}<\frac{3}{4}\). e) negativ, weil \(-8-(-5)=-8+5\) und der negative Betrag größer ist.

- Was passiert, wenn man eine Zahl und ihre Gegenzahl addiert? - Stelle dir die Aufgaben auf einem Zahlenstrahl vor. In welche Richtung bewegst du dich? - Wandle die Subtraktion einer negativen Zahl zuerst in eine Addition um. - Vergleiche die Stellenwerte bei den Dezimalzahlen.

1. Bei a) werden eine Zahl und ihre Gegenzahl addiert, daher ist die Summe genau \(0\). 2. Bei b) wird zu \(-123\) die positive Zahl \(122\) addiert; der negative Betrag ist größer, daher ist das Ergebnis negativ. 3. Bei c) werden zwei negative Brüche addiert, daher ist die Summe negativ. 4. Bei d) wird eine größere positive Zahl von einer kleineren subtrahiert, daher ist das Ergebnis negativ.

a) \(=\), weil eine Zahl und ihre Gegenzahl zusammen \(0\) ergeben. b) \(<\), weil \(-123+122\) negativ bleibt. c) \(<\), weil zwei negative Zahlen addiert werden. d) \(<\), weil \(0{,}01<0{,}1\) und die größere positive Zahl subtrahiert wird.

- Zähle die Anzahl der negativen Vorzeichen in der Produktkette. Was sagt dir das über das Endergebnis? - Du kannst die Faktoren in einer Multiplikationskette beliebig vertauschen oder zusammenfassen. - Was bedeutet ein Exponent bei einer negativen Zahl in Klammern?

1. Zählen der negativen Faktoren: Vier negative Faktoren ergeben ein positives Produkt. \(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24\). 2. Schrittweise Multiplikation: \((-\frac{1}{2} \cdot 8) = -4\). Dann \(-4 \cdot (-0{,}25) = 1\). 3. Potenz berechnen: \((-0{,}1)^2 = 0{,}01\). Dann \(0{,}01 \cdot (-1000) = -10\). 4. Schrittweise Multiplikation: \((-5) \cdot (-\frac{2}{5}) = 2\). Dann \(2 \cdot (-3) = -6\).

a) \(24\) b) \(1\) c) \(-10\) d) \(-6\)

- Bestimme zuerst das Vorzeichen des jeweiligen Produkts. - Kürze Brüche und ganze Faktoren, bevor du vollständig multiplizierst. - Berechne eine Potenz vor den übrigen Multiplikationen.

1. \((-12)\cdot\frac{3}{4}=-9\), danach \(-9\cdot(-2)=18\). 2. \(-\frac{2}{5}\cdot(-10)=4\), danach \(4\cdot(-0{,}5)=-2\). 3. \((-1)^4=1\), daher \(1\cdot7\cdot(-3)=-21\). 4. \(\frac{4}{9}\cdot(-18)=-8\), danach \(-8\cdot(-\frac{1}{2})=4\).

a) \(18\) b) \(-2\) c) \(-21\) d) \(4\)

- Arbeite dich von unten nach oben durch die Mauer. - Achte besonders auf die Vorzeichenregeln: Was passiert, wenn man zwei negative Zahlen multipliziert? - Wandle den Bruch in eine Dezimalzahl um, um die Rechnung zu vereinfachen.

1. Berechnung der Steine in Ebene 2: - Linker Stein: \(-1{,}2 \cdot (-5) = 6\) - Rechter Stein: \(-5 \cdot \frac{1}{4} = -5 \cdot 0{,}25 = -1{,}25\) 2. Berechnung des obersten Steins in Ebene 3: - Produkt aus Ebene 2: \(6 \cdot (-1{,}25) = -7{,}5\)

Ebene 2: \(6\) und \(-1{,}25\) Ebene 3: \(-7{,}5\)

- Achte zuerst auf das Vorzeichen des Ergebnisses. - Wie lautet die Regel für das Vorzeichen, wenn zwei Zahlen mit gleichem oder unterschiedlichem Vorzeichen multipliziert werden? - Bei Brüchen kannst du oft schon vor dem Ausrechnen kürzen, um die Zahlen kleiner zu halten. - Dezimalzahlen lassen sich manchmal leichter als Brüche schreiben (oder umgekehrt).

1. Multiplikation einer negativen mit einer positiven Ganzzahl: \(-12 \cdot 11 = -132\). 2. Multiplikation zweier negativer Dezimalzahlen: Das Vorzeichen ist positiv. Das Produkt der Beträge ist \(0{,}5 \cdot 0{,}08 = 0{,}04\). 3. Multiplikation eines Bruchs mit einem negativen Bruch: Das Vorzeichen ist negativ. Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner ergibt \(-\frac{3 \cdot 14}{7 \cdot 9} = -\frac{42}{63}\). Kürzen mit 21 führt zu \(-\frac{2}{3}\). 4. Multiplikation einer Dezimalzahl mit einem Bruch: Umwandlung von \(-2{,}5\) in \(-\frac{5}{2}\) ergibt \((-\frac{5}{2}) \cdot \frac{2}{5} = -1\). Alternativ: \(-2{,}5 \cdot 0{,}4 = -1\).

a) \(-132\) b) \(0{,}04\) c) \(-\frac{2}{3}\) d) \(-1\)

- Was passiert mit dem Vorzeichen beim Multiplizieren zweier negativer Zahlen? - Welche Rolle spielt eine gerade oder ungerade Anzahl negativer Faktoren? - Du kannst die wiederholte Multiplikation als Potenz schreiben.

1. In der 8. Zeile stehen acht negative Faktoren. Eine gerade Anzahl negativer Faktoren ergibt ein positives Produkt. 2. In der 4. Zeile gilt \((-3)^4=81\).

a) Das Vorzeichen ist positiv. b) \(81\)

- Welche bekannten Teilgewichte gehören zum Gesamtgewicht? - Wie kannst du mit einer Klammer ausdrücken, dass alle Inhaltsgewichte zusammen abgezogen werden? - Berechne erst nach dem Aufstellen des Terms.

1. Vom Gesamtgewicht müssen alle bekannten Teilgewichte abgezogen werden. Ein passender Term ist \(4{,}5-(1{,}85+0{,}42+0{,}35+0{,}75)\). 2. Die Inhalte wiegen zusammen \(3{,}37\,\text{kg}\). 3. Damit wiegt der leere Ranzen \(4{,}5\,\text{kg}-3{,}37\,\text{kg}=1{,}13\,\text{kg}\).

Term: \(4{,}5-(1{,}85+0{,}42+0{,}35+0{,}75)\) Ergebnis: \(1{,}13\,\text{kg}\)

- Schreibe alle Werte als Potenzen zur Basis \(10\). - Was passiert mit den Exponenten beim Multiplizieren oder Dividieren gleicher Basen? - Vergleiche anschließend nur noch die Exponenten.

1. Als Zehnerpotenzen lauten die Werte \(10^4,10^3,10^5,10^5,10^6\). 2. Daher gilt \(10^3<10^4<10^5=10^5<10^6\).

\(1000<10^4<10^2\cdot10^3=\text{Hunderttausend}<10^7:10\)

- Suche nach Zahlen, die sich zu glatten Summen zusammenfassen lassen. - Prüfe, ob ein Umgruppieren die Rechnung vereinfacht. - Kürze Brüche vor einer Multiplikation, wenn möglich.

1. \(42+(18-50)=42-32=10\). 2. \(6{,}7-4+3{,}3=(6{,}7+3{,}3)-4=6\). 3. \(\frac{17}{8}-\frac{5}{8}=\frac{3}{2}\); danach \(\frac{4}{9}\cdot\frac{3}{2}=\frac{2}{3}\).

a) \(42+(18-50)=10\) b) \((6{,}7+3{,}3)-4=6\) c) \(\frac{4}{9}\cdot\frac{3}{2}=\frac{2}{3}\)

- Bestimme zuerst das Vorzeichen des Ergebnisses. - Wie multipliziert man Brüche miteinander? - Wie dividiert man durch einen Bruch? - Beachte beim Quotienten die im Text festgelegte Reihenfolge.

1. a) Produkt: \(-2{,}5\cdot0{,}4=-1\). Quotient: \(-2{,}5:0{,}4=-6{,}25\). 2. b) Produkt: \(\frac{3}{10}\cdot(-\frac{6}{5})=-\frac{9}{25}\). Quotient: \(\frac{3}{10}:(-\frac{6}{5})=-\frac{1}{4}\). 3. c) Produkt: \(-12\cdot(-\frac{4}{3})=16\). Quotient: \(-12:(-\frac{4}{3})=9\).

a) Produkt: \(-1\); Quotient: \(-6{,}25\) b) Produkt: \(-\frac{9}{25}\); Quotient: \(-\frac{1}{4}\) c) Produkt: \(16\); Quotient: \(9\)

- Denke an die Regel „Punkt-vor-Strich“. - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine positive Zahl durch eine negative Zahl teilst? - Achte auf das Rechenzeichen und das Vorzeichen beim zweiten Teil der Aufgabe.

1. Division des ersten Teilterms: \(18 : (-3) = -6\) 2. Multiplikation des zweiten Teilterms: \(4 \cdot (-2{,}5) = -10\) 3. Subtraktion der Ergebnisse: \(-6 - (-10) = -6 + 10 = 4\)

Der Wert des Terms ist \(4\).

- Erinnere dich an die Regel: Das Subtrahieren einer negativen Zahl ist dasselbe wie das Addieren der Gegenzahl. - Um Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu addieren, musst du sie zuerst gleichnamig machen. - Du kannst Dezimalzahlen oft einfacher in Brüche umwandeln, um mit anderen Brüchen zu rechnen. - Achte darauf, ob das Ergebnis als echter Bruch, unechter Bruch oder gemischte Zahl angegeben werden soll.

1. Auflösen der Klammer und Hauptnenner 10 finden: \( \frac{4}{5} - \frac{1}{2} = \frac{8}{10} - \frac{5}{10} = \frac{3}{10} \). 2. Hauptnenner 12 finden und beide negativen Werte addieren: \( -\frac{9}{12} - \frac{10}{12} = -\frac{19}{12} = -1\frac{7}{12} \). 3. Umwandlung in Brüche oder Dezimalzahlen: \( -1{,}5 + 0{,}25 = -1{,}25 \) oder \( -\frac{3}{2} + \frac{1}{4} = -\frac{6}{4} + \frac{1}{4} = -\frac{5}{4} \). 4. Das Subtrahieren einer negativen Zahl entspricht dem Addieren ihrer Gegenzahl; anschließend wird der Hauptnenner 9 verwendet: \( \frac{7}{9} + \frac{6}{9} = \frac{13}{9} = 1\frac{4}{9} \).

a) \( \frac{3}{10} \) b) \( -\frac{19}{12} \) oder \( -1\frac{7}{12} \) c) \( -1{,}25 \) oder \( -\frac{5}{4} \) d) \( \frac{13}{9} \) oder \( 1\frac{4}{9} \)

- Überlege dir bei jeder Aufgabe zuerst, welches Vorzeichen das Ergebnis haben muss. - Kannst du Zahlen im Zähler und Nenner gegeneinander kürzen, bevor du rechnest? - Erinnere dich daran, wie man eine Division durch eine ganze Zahl als Multiplikation mit einem Stammbruch schreiben kann.

1. Multiplikation einer negativen Zahl mit einer positiven Zahl: \((-15) \cdot 4 = -60\). 2. Division zweier negativer Zahlen: Das Ergebnis ist positiv, \((-20) : (-5) = 4\). 3. Multiplikation eines Bruchs mit einer ganzen Zahl durch Kürzen: \(\frac{4}{7} \cdot 14 = 4 \cdot 2 = 8\). 4. Division eines Bruchs durch eine ganze Zahl: \(\frac{3}{10} : 3 = \frac{3}{10 \cdot 3} = \frac{1}{10}\). 5. Multiplikation zweier negativer Brüche: Das Ergebnis ist positiv; nach Kürzen der \(2\) im Zähler und Nenner ergibt sich \(\frac{1}{5}\).

a) \(-60\) b) \(4\) c) \(8\) d) \(\frac{1}{10}\) (oder \(0{,}1\)) e) \(\frac{1}{5}\) (oder \(0{,}2\))

- Beachte Punkt-vor-Strich. - Bestimme bei Divisionen und Multiplikationen zunächst das Vorzeichen. - Nutze bei der Bruchdivision den Kehrwert des Divisors.

1. \(12\cdot(-5)=-60\); danach \(-60+72=12\). 2. \(\frac{4}{5}:(-\frac{8}{15})=\frac{4}{5}\cdot(-\frac{15}{8})=-\frac{3}{2}\); danach \(-1{,}5+1=-0{,}5\). 3. \(0{,}4\cdot0{,}3=0{,}12\); danach \(0{,}12-0{,}2=-0{,}08\).

a) \(12\) b) \(-0{,}5\) c) \(-0{,}08\)

- Denke an die Regel „Klammer vor Punkt vor Strich“. - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl quadrierst oder hoch drei nimmst? - Achte genau auf das Minuszeichen vor einer Klammer.

1. Berechnung der Klammer zuerst: \(2 - 2 \cdot 3 = 2 - 6 = -4\). Dann Multiplikation: \(5 \cdot (-4) = -20\). 2. Potenz vor Multiplikation: \((-2)^2 = 4\). Dann Multiplikation: \(4 \cdot 3 = 12\). Schließlich Addition: \(4 + 12 = 16\). 3. Potenz berechnen: \((-3)^3 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -27\). Dann Addition: \(-27 + 20 = -7\). 4. Klammer berechnen: \(2 - 7 = -5\). Dann Division: \(15 : (-5) = -3\). 5. Klammer berechnen: \(5 - 8 = -3\). Dann Subtraktion: \(-10 - (-3) = -10 + 3 = -7\).

1. \(-20\) 2. \(16\) 3. \(-7\) 4. \(-3\) 5. \(-7\)

- Beachte in a) Punkt-vor-Strich. - Berechne in b) zuerst die Klammer. - Zwei negative Faktoren ergeben ein positives Produkt.

1. \(\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{8}=\frac{3}{4}\); daher ist die Differenz \(0\). 2. \(\frac{1}{2}+\frac{3}{5}=\frac{11}{10}\); die anschließende Division durch \(\frac{11}{10}\) ergibt \(1\). 3. \((-4)\cdot(-9)=36\); daher ist \(36:6=6\).

a) \(0\) b) \(1\) c) \(6\)

- Überlege dir, welche Vorzeichen Bewegungen nach rechts beziehungsweise nach links erhalten. - Eine Skizze der Zahlengeraden kann helfen, Start- und Zielpunkt auseinanderzuhalten. - Wenn der Zielpunkt bekannt ist, kannst du die Bewegung rückwärts verfolgen.

1. Eine Bewegung um \(8\) nach rechts ergibt \(-5+8=3\). 2. Eine Bewegung um \(6\) nach links ergibt \(3{,}5+(-6)=-2{,}5\). 3. Beim letzten Fall wird die Linksbewegung rückgängig gemacht: Vom Ziel \(-2\) gehst du \(4\) Einheiten nach rechts und erhältst den Startpunkt \(2\). Die passende Aufgabe lautet \(2+(-4)=-2\).

a) \(3\); Aufgabe: \(-5+8=3\) b) \(-2{,}5\); Aufgabe: \(3{,}5+(-6)=-2{,}5\) c) Startpunkt: \(2\); Aufgabe: \(2+(-4)=-2\)

- Achte bei jedem Summanden auf sein Vorzeichen. - Bei gemischten Darstellungen kann eine einheitliche Bruch- oder Dezimaldarstellung helfen. - Bringe Brüche vor Addition oder Subtraktion auf einen gemeinsamen Nenner.

1. \(-17+25-13=8-13=-5\). 2. \(4{,}8-6{,}3-2{,}5=-1{,}5-2{,}5=-4\). 3. \(-\frac{3}{10}+0{,}75=-0{,}3+0{,}75=0{,}45\). 4. \(-2\frac{1}{4}-1\frac{5}{8}=-2\frac{2}{8}-1\frac{5}{8}=-3\frac{7}{8}\).

1) \(-5\) 2) \(-4\) 3) \(0{,}45\) 4) \(-3\frac{7}{8}\)

- Überlege dir bei jeder Aufgabe zuerst, ob das Ergebnis positiv oder negativ sein muss. - Wenn du Brüche addierst, müssen sie den gleichen Nenner haben. - Dezimalzahlen und Brüche können oft ineinander umgewandelt werden, um die Rechnung zu vereinfachen. - Wenn die Summe und ein Summand gegeben sind, kannst du den anderen Summanden durch Subtraktion finden.

1. Berechnung der Summe: \(-7{,}2 + 4{,}5 = -2{,}7\). 2. Berechnung der Summe: \(3\frac{1}{4} + (-5\frac{1}{2}) = 3\frac{1}{4} - 5\frac{2}{4} = -2\frac{1}{4}\). 3. Bestimmung von \(y\): \(-0{,}8 + y = -2 \implies y = -2 - (-0{,}8) = -2 + 0{,}8 = -1{,}2\). 4. Berechnung der Summe: \(-\frac{5}{6} + \frac{1}{3} = -\frac{5}{6} + \frac{2}{6} = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}\). 5. Berechnung der Summe: \(-4{,}15 + 4{,}15 = 0\).

1) \(-2{,}7\) 2) \(-2\frac{1}{4}\) 3) \(y = -1{,}2\) 4) \(-\frac{1}{2}\) 5) \(0\)

- Suche in jeder Zeile zuerst zwei Summanden, die sich zu einer ganzen oder besonders einfachen Zahl ergänzen. - Das Kommutativgesetz erlaubt das Vertauschen, das Assoziativgesetz das neue Gruppieren von Summanden. - Bei b) kann eine passende Darstellungsänderung das günstige Paar sichtbar machen.

1. a) Gruppiere \((-3{,}8-1{,}2)+5{,}5=-5+5{,}5=0{,}5\). 2. b) Schreibe \(\frac{3}{5}=0{,}6\) und gruppiere \((0{,}6-1{,}6)+2=-1+2=1\). 3. c) Gruppiere \(-12+(7\frac{3}{4}-2\frac{1}{4})=-12+5{,}5=-6{,}5\).

a) \((-3{,}8-1{,}2)+5{,}5=0{,}5\) b) \((0{,}6-1{,}6)+2=1\) c) \(-12+(7\frac{3}{4}-2\frac{1}{4})=-6{,}5\)

- Was passiert mit dem Rechenzeichen, wenn du eine negative Zahl subtrahierst? - Kannst du die Aufgabe b) als eine Gleichung mit einer Lücke schreiben? - Bei Brüchen hilft es, sie zuerst auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen oder sie in Dezimalzahlen umzuwandeln.

1. Berechnung von \((+7) - (-15)\): Das Subtrahieren einer negativen Zahl entspricht der Addition ihrer Gegenzahl: \(7 + 15 = 22\). 2. Bestimmung der gesuchten Zahl \(x\) in der Gleichung \((-3{,}8) - x = -10\): Umstellen der Gleichung ergibt \(x = -3{,}8 - (-10) = -3{,}8 + 10 = 6{,}2\). 3. Berechnung der Differenz aus \((-2\frac{1}{2})\) und \((+1\frac{3}{4})\): Umwandlung in Brüche mit gleichem Nenner ergibt \(-\frac{10}{4} - \frac{7}{4} = -\frac{17}{4} = -4\frac{1}{4}\) (oder als Dezimalzahl: \(-2{,}5 - 1{,}75 = -4{,}25\)).

a) \(22\) b) \(6{,}2\) c) \(-4\frac{1}{4}\) (oder \(-4{,}25\))

- Wandle das Subtrahieren negativer Zahlen in Addition der Gegenzahl um. - Rechne anschließend schrittweise von links nach rechts. - Kontrolliere bei Dezimalzahlen Komma und Vorzeichen.

1. \(-18-12+20=-10\). 2. \(-5{,}4+2{,}6-1{,}2=-4\). 3. \(3{,}7-8{,}7+5=0\).

1) \(-10\) 2) \(-4\) 3) \(0\)

- Bei gleicher Basis kannst du beim Multiplizieren die Exponenten addieren. - Bei der Division gleicher Basen werden die Exponenten subtrahiert. - In c) ist \(10^5\) ein gemeinsamer Faktor.

1. In a) werden die Exponenten addiert: \(10^4\cdot10^3=10^7\). 2. In b) werden die Exponenten subtrahiert: \(\frac{10^7}{10^2}=10^5\). 3. In c) werden die gleichen Zehnerpotenzen zusammengefasst: \((4+5)\cdot10^5=9\cdot10^5\). 4. In d) gilt \(10^{2+2+2}=10^6\).

a) \(10^7\) b) \(10^5\) c) \(9\cdot10^5\) d) \(10^6\)

- Beachte beim Subtrahieren negativer Zahlen den Vorzeichenwechsel. - Bringe Brüche vor der Rechnung auf eine gemeinsame Darstellung. - Prüfe das Vorzeichen jeder Differenz anhand der Größenordnung.

1. \(-2{,}4-5{,}6=-8\). 2. \(\frac{3}{5}-(-\frac{7}{10})=\frac{13}{10}=1{,}3\). 3. \(-1\frac{1}{2}-(-2\frac{1}{4})=\frac{3}{4}\). 4. \(-0{,}75-0{,}75=-1{,}5\).

1) \(-8\) 2) \(1{,}3\) 3) \(\frac{3}{4}\) 4) \(-1{,}5\)

- Überlege, welche Bedeutung das Vorzeichen eines Monatswerts für die Bilanz hat. - Achte darauf, auf welcher Seite der Nulllinie die Säulen liegen. - Vergleiche für b), wie sich die Monate hinsichtlich ihres Vorzeichens verteilen.

1. Die Werte für jeden Monat aus dem Diagramm ablesen: Jan (\(35\,\text{€}\)), Feb (\(-20\,\text{€}\)), Mär (\(55\,\text{€}\)), Apr (\(-45\,\text{€}\)), Mai (\(90\,\text{€}\)), Jun (\(35\,\text{€}\)). 2. Die Summe aller monatlichen Ergebnisse berechnen: \(35 - 20 + 55 - 45 + 90 + 35 = 150\). Das Gesamtergebnis beträgt \(150\,\text{€}\). 3. Die Anzahl der Monate mit Gewinn (Säulen über der Nulllinie) zählen: Jan, Mär, Mai, Jun (insgesamt 4 Monate). 4. Die Anzahl der Monate mit Verlust (Säulen unter der Nulllinie) zählen: Feb, Apr (insgesamt 2 Monate). 5. Die Anzahlen vergleichen: \(4 > 2\). Es gab mehr Monate mit Gewinn.

a) Das Gesamtergebnis für das erste Halbjahr beträgt \(150\,\text{€}\). b) Es gab mehr Monate mit Gewinn (4 Monate) als Monate mit Verlust (2 Monate).

- Achte beim ersten Schritt auf das Vorzeichen: „Minus durch Plus ergibt Minus“. - Achte beim zweiten Schritt auf das Vorzeichen: „Minus mal Minus ergibt Plus“.

1. Berechnung des ersten Schritts: \(-35 : 7 = -5\). 2. Berechnung des zweiten Schritts mit dem Zwischenergebnis: \(-5 \cdot (-9) = 45\).

Das Zwischenergebnis im oberen Kästchen ist \(-5\). Das Endergebnis im unteren Kästchen ist \(45\).

- Beginne bei geschachtelten Klammern mit der innersten Klammer. - Achte darauf, wie sich das Subtrahieren einer negativen Zahl auswirkt. - Kontrolliere nach jedem Schritt die Vorzeichen.

1. \(-18+42-(-15)=-18+42+15=39\). 2. \(125-(250-75)=125-175=-50\). 3. Zuerst gilt \(12-22=-10\), dann \(-40+(-10)=-50\) und schließlich \(-15-(-50)=35\).

a) \(39\) b) \(-50\) c) \(35\)

- Welche Operationen müssen vor Addition und Subtraktion ausgeführt werden? - Beachte bei einer negativen Basis die Klammern um die Basis. - Arbeite bei geschachtelten Klammern von innen nach außen.

1. \(2^5-6^2+(-4)=32-36-4=-8\). 2. \((-2)^3+3^2-(10-15)=-8+9-(-5)=6\). 3. \(2^3\cdot5=40\), damit ist \(50-40=10\) und schließlich \(10^2-10=90\).

a) \(-8\) b) \(6\) c) \(90\)

- Schau dir die Vorzeichen der Zahlen in der Klammer genau an. - Was bewirkt ein Pluszeichen vor einer Klammer im Vergleich zu einem Minuszeichen? - Kannst du die Regel in eigenen Worten formulieren?

1. Berechnung von \(A\): \(-15 + (-15) = -30\). Berechnung von \(B\): \(-15 + 30 - 45 = 15 - 45 = -30\). 2. Die Ergebnisse sind gleich. Regel: Steht ein Pluszeichen vor einer Klammer, kann man die Klammer weglassen, ohne die Vorzeichen im Inneren zu ändern. 3. Bei einem Minuszeichen vor der Klammer ändern sich alle Vorzeichen in der Klammer beim Auflösen: \(-15 - 30 + 45\).

1. \(A = -30\), \(B = -30\) 2. Bei einem Plus vor der Klammer kann diese weggelassen werden. 3. \(-15 - 30 + 45\)

- Berechne zuerst jeden der drei Werte einzeln. - Achte bei \(B\) darauf, worauf sich der Exponent bezieht. - Vergleiche anschließend die drei rationalen Zahlen auf der Zahlengeraden.

1. Es gilt \(A=-\frac{1}{2}=-0{,}5\). 2. Es gilt \(B=\frac{-1}{-4}=0{,}25\). 3. Es gilt \(C=-\frac{1}{8}=-0{,}125\). 4. Daher ist \(-0{,}5<-0{,}125<0{,}25\), also \(A<C<B\).

\(A<C<B\)

- Bearbeite Betrag, Potenz und Klammer zunächst getrennt. - Welche Punktrechnungen müssen vor der abschließenden Strichrechnung ausgeführt werden? - Prüfe bei der Division das Vorzeichen des Quotienten.

1. \(|-12-3|=|-15|=15\). 2. \((-3)^3=-27\), also ist \((-27+30)=3\). 3. \(2\cdot15=30\) und \(3:(-3)=-1\). 4. Damit gilt \(50-30+(-1)=19\).

\(19\)

- Bei periodischen Dezimalzahlen kann eine exakte Bruchdarstellung den Vergleich erleichtern. - Bei zwei Produkten mit demselben positiven Faktor genügt es, die jeweils anderen Faktoren zu vergleichen. - Vergleiche bei c) eine endliche Dezimalzahl mit einer Dezimalzahl, deren Ziffernfolge ohne Ende weitergeht.

1. \(0{,}\overline{3}=\frac{1}{3}\) und \(0{,}\overline{6}=\frac{2}{3}\). Daher ist ihre Summe \(1\), also gilt Gleichheit. 2. In beiden Produkten ist \(0{,}4\) ein positiver gemeinsamer Faktor. Weil \(\frac{1}{2}=0{,}5<0{,}55\), ist \(0{,}4\cdot\frac{1}{2}<0{,}4\cdot0{,}55\). 3. \(\frac{1}{3}=0{,}\overline{3}\) besitzt unendlich viele Dreien nach dem Komma, während \(0{,}333\) nach drei Dezimalstellen endet. Deshalb ist \(\frac{1}{3}>0{,}333\).

a) \(=\), denn \(\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1\) b) \(<\), denn \(0{,}5<0{,}55\) c) \(>\), denn \(0{,}\overline{3}>0{,}333\)

- Berechne zuerst die einzelnen Potenzen nach der Regel „Potenz vor Punkt vor Strich“. - Überlege dir für den zweiten Teil, was passiert, wenn man in einer Minusaufgabe die Zahl, die abgezogen wird, kleiner macht. - Musst du den ganzen Term neu ausrechnen, um die Änderung zu bestimmen?

1. Potenzwerte ermitteln: \(3^4 = 81\), \(2^5 = 32\), \(7^2 = 49\). 2. Gesamtwert berechnen: \(81 + 32 - 49 = 113 - 49 = 64\). 3. Analyse der Änderung: Die Basis des Subtrahenden wird von \(7\) auf \(6\) verringert. 4. Da \(6^2 = 36\) kleiner ist als \(7^2 = 49\), wird eine kleinere Zahl abgezogen. 5. Das Gesamtergebnis vergrößert sich somit um die Differenz der Quadrate: \(49 - 36 = 13\).

a) Der Wert des Terms ist \(64\). b) Der Gesamtwert vergrößert sich um \(13\), da der Subtrahend (die Zahl, die abgezogen wird) von \(49\) auf \(36\) sinkt.

- Welche Rechnung muss wegen der Klammer zuerst ausgeführt werden? - Welche Darstellung von \(0{,}8\) passt günstig zu einem anderen Summanden im Term? - Prüfe am Ende, ob deine gemischte Zahl zur Größenordnung des Terms passt.

1. Berechne zuerst die Klammer: \(2\frac{1}{2} + 1\frac{3}{4} = 4\frac{1}{4}\). 2. Wandle \(0{,}8\) in \(\frac{4}{5}\) um. 3. Fasse die Fünftel günstig zusammen: \(7\frac{1}{5} + \frac{4}{5} = 8\). 4. Subtrahiere: \(8 - 4\frac{1}{4} = 3\frac{3}{4}\).

\(3\frac{3}{4}\)

- Kannst du die Brüche in Dezimalzahlen umwandeln, bevor du rechnest? - Was musst du bei der Reihenfolge der Rechenoperationen beachten, wenn Klammern vorkommen? - Hilft es dir, die Zahlen auf Ganze oder Halbe zu runden, um einen schnellen Überschlag zu erhalten?

1. Überschlagsrechnung: \( 19 - (4{,}5 + 3) + 1 = 19 - 7{,}5 + 1 = 12{,}5 \) (oder ganzzahlig: \( 19 - 8 + 1 = 12 \)) 2. Umwandlung der Brüche in Dezimalzahlen: \( 4\frac{1}{2} = 4{,}5 \) und \( 1\frac{1}{4} = 1{,}25 \) 3. Berechnung des Klammerwerts: \( 4{,}5 + 3{,}2 = 7{,}7 \) 4. Subtraktion: \( 18{,}75 - 7{,}7 = 11{,}05 \) 5. Addition des letzten Summanden: \( 11{,}05 + 1{,}25 = 12{,}3 \)

Überschlag: ca. \( 12 \) (oder \( 12{,}5 \)); Exakter Wert: \( 12{,}3 \)

- Wandle gemischte Zahlen in unechte Brüche um. - Bei einer Division kannst du die Division in eine Multiplikation mit dem Kehrwert umformen. - Kürze geeignete Faktoren, bevor du das Endergebnis bestimmst.

1. \(3\frac{3}{4}\,\text{m}:5=\frac{15}{4}\,\text{m}\cdot\frac{1}{5}=\frac{3}{4}\,\text{m}\). 2. \(1\frac{1}{2}\,\text{kg}\cdot7=\frac{3}{2}\,\text{kg}\cdot7=\frac{21}{2}\,\text{kg}=10\frac{1}{2}\,\text{kg}\). 3. \(2\frac{2}{3}\,\text{h}:4=\frac{8}{3}\,\text{h}\cdot\frac{1}{4}=\frac{2}{3}\,\text{h}\).

a) \(\frac{3}{4}\,\text{m}\) b) \(10\frac{1}{2}\,\text{kg}\) c) \(\frac{2}{3}\,\text{h}\)

- Beachte Klammern und Punkt-vor-Strich. - Wandle die gemischte Zahl in einen unechten Bruch um. - Kürze Produkte möglichst früh.

1. \(\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{2}\) und \(1\frac{1}{2}:3=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{2}\); zusammen ergibt das \(1\). 2. \(2-\frac{1}{3}=\frac{5}{3}\); damit gilt \(\frac{5}{3}\cdot\frac{6}{5}=2\).

a) \(1\) b) \(2\)

- Schritt für Schritt: Was passiert innerhalb der Klammer zuerst? - Achte bei der Addition und Subtraktion auf den gemeinsamen Nenner. - Kannst du vor dem Multiplizieren über Kreuz kürzen? - Wandle das Endergebnis in eine gemischte Zahl um, falls der Zähler größer als der Nenner ist.

1. Division durch Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{7}{10} \cdot \frac{5}{14} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\). 2. Zweite Multiplikation: \(\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{4}\). 3. Addition der Ergebnisse: \(\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\). 4. Multiplikation innerhalb der Klammer: \(\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}\). 5. Addition innerhalb der Klammer: \(\frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\). 6. Finale Subtraktion mit Hauptnenner 6: \(3\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{7}{2} - \frac{1}{3} = \frac{21}{6} - \frac{2}{6} = \frac{19}{6} = 3\frac{1}{6}\).

a) \(\frac{1}{2}\) b) \(3\frac{1}{6}\)

- Überlege zuerst, welche Rechenregel bei Klammern Vorrang hat. - Suche für die Addition und Subtraktion von Brüchen einen gemeinsamen Nenner. - Wandle gemischte Zahlen in unechte Brüche um, um leichter rechnen zu können.

1. Berechnung des Klammerinhalts: Bestimmung des Hauptnenners für \(2\frac{3}{4} + \frac{5}{6}\). Der Hauptnenner von 4 und 6 ist 12. Umwandlung in Brüche: \(\frac{11}{4} + \frac{5}{6} = \frac{33}{12} + \frac{10}{12} = \frac{43}{12}\). 2. Subtraktion vom ersten Wert: Umwandlung von \(4\frac{1}{2}\) in einen Bruch mit Nenner 12: \(4\frac{1}{2} = \frac{9}{2} = \frac{54}{12}\). 3. Gesamtergebnis berechnen: \(\frac{54}{12} - \frac{43}{12} = \frac{11}{12}\).

\(\frac{11}{12}\)

- Beachte die Vorrangregel „Klammer zuerst“ und danach „Punkt vor Strich“. - Achte beim Multiplizieren besonders auf das Vorzeichen. - Kannst du innerhalb der Rechnung kürzen, um die Zahlen klein zu halten?

1. Berechnung des Klammerinhalts: \(2\frac{2}{3} - \frac{1}{6} = \frac{8}{3} - \frac{1}{6} = \frac{16}{6} - \frac{1}{6} = \frac{15}{6}\). Kürzen ergibt \(\frac{5}{2}\). 2. Multiplikation durchführen: \(-1\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{2} = -\frac{6}{5} \cdot \frac{5}{2}\). Nach dem Kürzen der beiden Fünfen und dem Kürzen von \(6\) durch \(2\) bleibt \(-3\) übrig. 3. Letzte Addition: \(-3 + \frac{3}{4} = -\frac{12}{4} + \frac{3}{4} = -\frac{9}{4}\). 4. Umwandlung in eine gemischte Zahl: \(-2\frac{1}{4}\).

\(-2\frac{1}{4}\) oder \(-\frac{9}{4}\)

- Teile den Term in zwei große Blöcke links und rechts vom Minuszeichen auf. - Erinnere dich daran, wie man durch einen Bruch dividiert. - Achte auf die Vorzeichenregeln bei der Subtraktion.

1. Erste Klammer berechnen: \(\frac{5}{8} - \frac{3}{2} = \frac{5}{8} - \frac{12}{8} = -\frac{7}{8}\). 2. Division des Ergebnisses: \(-\frac{7}{8} : \frac{7}{4} = -\frac{7}{8} \cdot \frac{4}{7} = -\frac{4}{8} = -\frac{1}{2}\). 3. Zweite Klammer (bzw. Division am Ende) berechnen: \(2 : \frac{4}{3} = 2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\). 4. Subtraktion der beiden Teilergebnisse: \(-\frac{1}{2} - \frac{3}{2} = -\frac{4}{2} = -2\).

\(-2\)

- Berechne jeweils zuerst die Klammer. - Wandle gemischte Zahlen in unechte Brüche um. - Achte bei der Multiplikation negativer Zahlen auf das Vorzeichen.

1. In der ersten Klammer gilt \(2\frac{1}{2}+\frac{3}{10}=\frac{25}{10}+\frac{3}{10}=\frac{14}{5}\); daher ist \(\frac{22}{5}-\frac{14}{5}=\frac{8}{5}=1\frac{3}{5}\). 2. In der zweiten Klammer gilt \(\frac{2}{3}-2=-\frac{4}{3}\); damit ist \(-\frac{5}{4}\cdot(-\frac{4}{3})=\frac{5}{3}=1\frac{2}{3}\).

a) \(1\frac{3}{5}\) b) \(1\frac{2}{3}\)

- Bringe die beiden Summanden in der Klammer zunächst auf eine gemeinsame Bruchdarstellung. - Wie lässt sich eine Division durch einen Bruch umformen? - Bestimme vor der letzten Rechnung das zu erwartende Vorzeichen.

1. In der Klammer gilt \(-\frac{5}{6}+1\frac{1}{4}=-\frac{10}{12}+\frac{15}{12}=\frac{5}{12}\). 2. Die Division durch \(-\frac{5}{12}\) wird zur Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{5}{12}\cdot(-\frac{12}{5})=-1\).

\(-1\)

- Suche nach bekannten Produkten oder geeigneten Zerlegungen. - Bei einem Produkt nahe einer runden Zahl kann das Distributivgesetz helfen. - Zerlege bei der Division in Summanden, die alle durch den Divisor teilbar sind.

1. Weil \(14\cdot14=196\), gilt \(196:14=14\). 2. \(18\cdot(20+2)=360+36=396\). 3. \((700+280+21):7=100+40+3=143\). 4. \(-13\cdot13=-(13\cdot13)=-169\).

a) \(196:14=14\), weil \(14\cdot14=196\) b) \(18\cdot(20+2)=396\) c) \((700+280+21):7=143\) d) \(-13\cdot13=-(13\cdot13)=-169\)

- Vergleiche bei Bedarf die Werte der beiden Seiten. - Denke bei negativen Zahlen daran, welche Zahl weiter rechts auf der Zahlengeraden liegt. - Was bewirkt die Multiplikation einer positiven Zahl mit einem Faktor zwischen \(0\) und \(1\)?

1. \(2{,}5:5=0{,}5\) und \(2{,}5\cdot0{,}2=0{,}5\); daher gilt Gleichheit. 2. \(-3{,}6:6=-0{,}6\) und \(-3{,}6:4=-0{,}9\); deshalb ist der linke Wert größer. 3. \(0{,}8\cdot0{,}8=0{,}64<0{,}8\).

a) \(=\) b) \(>\) c) \(<\)

- Wie wird eine Division durch einen Bruch umgeformt? - Welche Bruchdarstellung ist für \(1{,}2\) günstig? - Beachte in b) Punkt-vor-Strich.

1. \(\frac{14}{15}:\frac{21}{10}=\frac{14}{15}\cdot\frac{10}{21}=\frac{4}{9}\). 2. \(1{,}2=\frac{6}{5}\), also gilt \(\frac{6}{5}\cdot\frac{5}{6}=1\) und damit \(1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\).

a) \(\frac{4}{9}\) b) \(\frac{3}{2}\)

- Berechne zuerst Klammern und Potenzen. - Eine negative Zahl zum geraden Exponenten ergibt einen positiven Wert. - Wandle die Dezimalzahl bei Bedarf in einen Bruch um.

1. \(\frac{2}{3}+\frac{1}{4}=\frac{11}{12}\); damit ist \(\frac{11}{12}\cdot\frac{12}{11}=1\). 2. \((-\frac{3}{8})^2=\frac{9}{64}\) und \(0{,}75=\frac{3}{4}\); daher gilt \(\frac{3}{4}:\frac{9}{64}=\frac{3}{4}\cdot\frac{64}{9}=\frac{16}{3}\).

a) \(1\) b) \(\frac{16}{3}\)

- Wandle gemischte Zahlen und geeignete Dezimalzahlen in Brüche um. - Berechne in a) zuerst die Klammer. - Beachte in b) die Punktrechnungen vor der abschließenden Subtraktion.

1. \(2\frac{1}{3}=\frac{7}{3}\) und \(4{,}5-6=-\frac{3}{2}\); daher gilt \(\frac{7}{3}\cdot(-\frac{3}{2})=-\frac{7}{2}\) und anschließend \(-\frac{7}{2}:\frac{7}{4}=-2\). 2. \(\frac{5}{12}:\frac{25}{18}=\frac{3}{10}\). Außerdem ist \(0{,}4\cdot1\frac{1}{2}=\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{2}=\frac{3}{5}\). Daher gilt \(\frac{3}{10}-\frac{3}{5}=-\frac{3}{10}\).

a) \(-2\) b) \(-\frac{3}{10}\)

- Führe in der eckigen Klammer zuerst Multiplikation und Division aus. - Achte dabei auf die Vorzeichenregeln. - Addiere erst danach die Ergebnisse der Strichrechnungen.

1. In der eckigen Klammer gilt \(4{,}5:(-0{,}5)=-9\) und \(7\cdot(-2)=-14\). 2. Die Klammer hat damit den Wert \(-9+(-14)=-23\). 3. Schließlich gilt \(-18+(-23)=-41\).

\(-41\)

- Berechne zunächst die Werte beider Terme getrennt voneinander. - Es hilft oft, Brüche und Dezimalzahlen in die gleiche Darstellung zu bringen. - Wie dividiert man eine Zahl durch einen Bruch?

1. Für Term A gilt \(\frac{3}{4}=0{,}75\), also \((0{,}75-1{,}25)\cdot(-4)=(-0{,}5)\cdot(-4)=2\). 2. Für Term B gilt \(2{,}5:\frac{1}{2}=2{,}5\cdot2=5\), also \(5-6=-1\). 3. Da \(2>-1\), ist Term A größer.

Term A: \(\left(\frac{3}{4}-1{,}25\right)\cdot(-4)=2\) Term B: \(2{,}5:\frac{1}{2}-6=-1\) Daher ist Term A größer, denn \(2>-1\).

- Beachte bei Potenzen, ob die negative Zahl selbst eingeklammert ist. - Nutze bei b) eine passende gemeinsame Darstellung. - Bestimme bei der Division zuerst das Vorzeichen.

1. \((-0{,}2)^3=-0{,}008\). 2. \(-\frac{4}{5}+0{,}8=-0{,}8+0{,}8=0\). 3. \(1{,}5:(-0{,}3)=15:(-3)=-5\). 4. \(-0{,}7^2=-(0{,}7^2)=-0{,}49\).

a) \(-0{,}008\) b) \(0\) c) \(-5\) d) \(-0{,}49\)

- Bestimme zunächst jeden der vier Werte. - Beachte den Unterschied zwischen einem Minus vor der Potenz und einer negativen Basis in Klammern. - Ordne negative Zahlen auf der Zahlengeraden sorgfältig.

1. Es gilt \(A=-0{,}16\), \(B=0{,}16\), \(C=-0{,}8\) und \(D=-0{,}2\). 2. Damit ist \(-0{,}8<-0{,}2<-0{,}16<0{,}16\). 3. Die Reihenfolge der Terme lautet daher \(C,D,A,B\).

\(C,D,A,B\)

- Bestimme bei a) zuerst das Vorzeichen eines Produkts aus zwei negativen Faktoren. - Welche Umkehroperation wird bei der Division durch einen Bruch verwendet? - Prüfe die korrigierten Ergebnisse durch Einsetzen der Rechenregeln.

1. Das Produkt zweier negativer Zahlen ist positiv. Daher lautet das erste Ergebnis \(0{,}06\). 2. Bei der Division durch einen Bruch muss mit seinem Kehrwert multipliziert werden: \(\frac{3}{4}\cdot(-2)=-\frac{3}{2}\).

a) Vorzeichenfehler; richtig ist \(0{,}06\). b) Der Kehrwert des Divisors wurde nicht verwendet; richtig ist \(-\frac{3}{2}\).

- Schreibe die Potenz als Multiplikationsaufgabe aus. - Wie oft musst du die Zahl mit sich selbst multiplizieren? - Achte besonders auf die Anzahl der Nachkommastellen beim Multiplizieren von Dezimalzahlen. - Überlege, ob das Vorzeichen bei einem ungeraden Exponenten positiv oder negativ sein muss.

1. Berechnung des Terms: \( (-0{,}5)^3 = (-0{,}5) \cdot (-0{,}5) \cdot (-0{,}5) \). 2. Schrittweise Multiplikation: \( (-0{,}5) \cdot (-0{,}5) = 0{,}25 \). Dann \( 0{,}25 \cdot (-0{,}5) = -0{,}125 \). Somit ist B korrekt. 3. Analyse der Fehler: Bei A wurde die Basis mit dem Exponenten multipliziert (\( -0{,}5 \cdot 3 \)). Bei C wurde das Vorzeichen falsch bestimmt (ein ungerader Exponent bei negativer Basis ergibt ein negatives Ergebnis). Bei D wurde ein Fehler beim Stellenwert der Dezimalstellen gemacht.

B ist richtig. A: Potenz mit Multiplikation verwechselt. C: Vorzeichenfehler (negativ hoch ungerade muss negativ sein). D: Stellenwertfehler bei der Dezimalrechnung.

- Überlege zuerst, welche Vorzeichen die verglichenen Werte haben. - Nutze für a) die Wirkung von Multiplikation und Division auf den Betrag. - Berechne nur dort exakt, wo die Struktur allein noch nicht entscheidet.

1. Links wird der Betrag von \(-1{,}2\) durch Multiplikation mit \(5\) größer, rechts durch Division durch \(5\) kleiner; daher ist der linke Wert kleiner. Exakt: \(-6<-0{,}24\). 2. \(-3\cdot(-4)=12\) und \(-3+(-4)=-7\); daher gilt \(12>-7\). 3. \(-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=-\frac{1}{6}\) und \(-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=-\frac{1}{6}\); daher gilt Gleichheit.

a) \(<\). Ohne genaue Rechnung: Multiplikation mit \(5\) vergrößert den Betrag der negativen Zahl, Division durch \(5\) verkleinert ihn; deshalb liegt das linke Ergebnis weiter links auf der Zahlengeraden. b) \(>\) c) \(=\)

- Was ist der Kehrwert eines Bruchs? - Wenn vor einer Klammer ein Minuszeichen steht, was passiert mit dem Wert in der Klammer? - Achte auf die Reihenfolge: Was muss zuerst berechnet werden, die Potenz oder die Multiplikation?

1. Umwandlung in Brüche: \(-\frac{4}{10} \cdot \frac{5}{8} = -\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{8}\). Nach dem Kürzen der beiden Fünfen sowie des Faktorpaars \(2\) und \(8\) ergibt sich \(-\frac{1}{4}\) bzw. \(-0{,}25\). 2. Division durch einen Bruch ist Multiplikation mit dem Kehrwert: \(-2{,}5 \cdot (-4)\). Das Vorzeichen wird positiv: \(2{,}5 \cdot 4 = 10\). 3. Hauptnenner in der Klammer finden: \(\frac{2}{6} - \frac{3}{6} = -\frac{1}{6}\). Das Minuszeichen vor der Klammer kehrt das Vorzeichen um: \(-(-\frac{1}{6}) = \frac{1}{6}\). 4. Quadrat berechnen: \((-0{,}1) \cdot (-0{,}1) = 0{,}01\). Dann Multiplikation mit \(-10\): \(0{,}01 \cdot (-10) = -0{,}1\).

a) \(-0{,}25\) (oder \(-\frac{1}{4}\)) b) \(10\) c) \(\frac{1}{6}\) d) \(-0{,}1\)

- Wie beeinflusst der Exponent das Vorzeichen einer negativen Basis? - Welche Vorrangregeln kennst du für Klammern und Punkt-vor-Strichrechnung? - Kannst du bei der Multiplikation von Brüchen vorab kürzen?

1. \((-0{,}2)^2\) hat einen geraden Exponenten, das Ergebnis ist daher positiv. \((-0{,}2)^3\) hat einen ungeraden Exponenten, das Ergebnis ist negativ. Da jede positive Zahl größer als jede negative Zahl ist, gilt \((-0{,}2)^2 > (-0{,}2)^3\). 2. Berechnung der Klammer: \(-4{,}8 + 2{,}4 = -2{,}4\). Division durch \(-0{,}6\): \(-2{,}4 : (-0{,}6) = 4\). 3. Punktrechnung zuerst: \(\frac{-3 \cdot (-10)}{5 \cdot 9} = \frac{30}{45} = \frac{2}{3}\). Addition: \(\frac{2}{3} + (-1) = \frac{2}{3} - \frac{3}{3} = -\frac{1}{3}\).

a) \((-0{,}2)^2\) ist größer, da es positiv ist, während \((-0{,}2)^3\) negativ ist. b) \(4\) c) \(-\frac{1}{3}\)

- Berechne jeweils zuerst die Potenz. - Vergleiche Brüche bei Bedarf in einer gemeinsamen Darstellung. - Beachte, dass Quadrieren bei Zahlen zwischen \(0\) und \(1\) den Wert verkleinern kann.

1. \(0{,}2^2=0{,}04<0{,}2\). 2. \((\frac{1}{2})^3=\frac{1}{8}<\frac{1}{4}=(\frac{1}{2})^2\). 3. \(0{,}1^2=0{,}01\), also gilt Gleichheit. 4. \((\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}>\frac{3}{2}\).

a) \(0{,}2^2=0{,}04<0{,}2\) b) \((\frac{1}{2})^3=\frac{1}{8}<\frac{1}{4}=(\frac{1}{2})^2\) c) \(0{,}1^2=0{,}01\), also \(=\) d) \((\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}>\frac{3}{2}\)

- Welche Rechenregel bestimmt die Reihenfolge der Operationen? - Wie gehst du vor, wenn Brüche und Dezimalzahlen in einer Aufgabe vorkommen? - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine positive durch eine negative Zahl teilst? - Erinnerst du dich daran, dass das Subtrahieren einer negativen Zahl einer Addition entspricht?

1. Umwandlung des Bruchs in eine Dezimalzahl: \(1\frac{1}{5} = 1{,}2\) 2. Multiplikation des ersten Teils: \(1{,}2 \cdot (-0{,}5) = -0{,}6\) 3. Division des zweiten Teils: \(2{,}4 : (-3) = -0{,}8\) 4. Subtraktion der Ergebnisse unter Beachtung der Vorzeichen: \(-0{,}6 - (-0{,}8) = -0{,}6 + 0{,}8 = 0{,}2\)

\(0{,}2\)

- Berechne zuerst jeden Term einzeln für sich. - Was passiert mit dem Vorzeichen einer negativen Zahl, wenn man sie quadriert? - Kannst du den Bruch im zweiten Term als Dezimalzahl schreiben, um leichter zu rechnen? - Vergleiche am Ende deine beiden Endergebnisse.

1. \(A=(-0{,}3)^2:0{,}1=0{,}09:0{,}1=0{,}9\). 2. \(B=-2{,}5\cdot\frac{2}{5}+1{,}9=-1+1{,}9=0{,}9\). 3. Beide Terme haben den Wert \(0{,}9\).

\(A=0{,}09:0{,}1=0{,}9\) \(B=-2{,}5\cdot\frac{2}{5}+1{,}9=-1+1{,}9=0{,}9\) Ja, beide Terme haben den gleichen Wert.

- Arbeite dich bei verschachtelten Klammern von innen nach außen vor. - Wie dividiert man durch einen Bruch? Denke an den Kehrwert. - Überlege bei jeder Teilaufgabe neu, ob Brüche oder Dezimalzahlen praktischer sind.

1. Berechnung von \((-1{,}2 + \frac{2}{5}) \cdot 1{,}5\): Klammerinhalt \(-1{,}2 + 0{,}4 = -0{,}8\); Multiplikation \(-0{,}8 \cdot 1{,}5 = -1{,}2\). 2. Berechnung von \(\frac{3}{8} : (-0{,}75) - 1{,}25\): Umwandlung \(\frac{3}{8} : (-\frac{3}{4}) = \frac{3}{8} \cdot (-\frac{4}{3}) = -\frac{1}{2} = -0{,}5\); Subtraktion \(-0{,}5 - 1{,}25 = -1{,}75\). 3. Berechnung von \(- [\frac{1}{3} - (0{,}5 + \frac{1}{6})]\): Innere Klammer \(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\); Ausdruck in der eckigen Klammer \(\frac{1}{3} - \frac{2}{3} = -\frac{1}{3}\); Vorzeichenwechsel ergibt \(-(-\frac{1}{3}) = \frac{1}{3}\).

a) \(-1{,}2\) oder \(-\frac{6}{5}\) b) \(-1{,}75\) oder \(-\frac{7}{4}\) c) \(\frac{1}{3}\)

- Potenzen werden vor Division, Multiplikation, Addition und Subtraktion berechnet. - Beachte den Unterschied zwischen \(-10^2\) und einer eingeklammerten negativen Basis. - Beim Subtrahieren einer negativen Zahl ändern sich zwei Minuszeichen zu Plus.

1. \(-10^2=-100\), also gilt \(-100:5=-20\) und \(4\cdot(-6)=-24\); damit ist \(-20-(-24)+3=7\). 2. \((-3)^3=-27\) und \(8\cdot(-2)=-16\); damit ist \(-27-16+12=-31\).

a) \(7\) b) \(-31\)

- Berechne erst beide Werte und vergleiche sie. - Worauf bezieht sich die kleine Hochzahl (der Exponent) jeweils? - Erinnerst du dich an die Regel für „Minus mal Minus“?

1. Berechnung Term \(A\): Zuerst die Potenz \(6^2 = 36\), dann das Minuszeichen davor setzen: \(-36\). Division durch \(4\) ergibt \(-9\). Addition von \(5\) ergibt \(-4\). 2. Berechnung Term \(B\): Die Klammer bewirkt, dass die negative Zahl quadriert wird: \((-6) \cdot (-6) = 36\). Division durch \(4\) ergibt \(9\). Addition von \(5\) ergibt \(14\). 3. Vergleich: Bei Term \(A\) bezieht sich das Quadrat nur auf die Zahl \(6\). Bei Term \(B\) bezieht sich das Quadrat auf die gesamte Zahl \(-6\), wodurch das Ergebnis der Potenz positiv wird.

a) Term \(A = -4\); Term \(B = 14\) b) Bei \(-6^2\) wird nur die \(6\) quadriert und das Minus danach davor gesetzt. Bei \((-6)^2\) wird die Zahl \(-6\) mit sich selbst multipliziert, was ein positives Ergebnis (\(36\)) liefert.

- Welche Rechenoperation wird ganz am Ende ausgeführt? - Arbeite innerhalb der Klammern von innen nach außen. - Berechne die Potenz separat vor der letzten Division.

1. Die äußerste Operation ist die Division; der Term ist daher ein Quotient. 2. \(12-15=-3\), also \((-4)\cdot(-3)=12\) und \(12-20=-8\). 3. \((-2)^3=-8\). 4. Schließlich gilt \(-8:(-8)=1\).

Struktur: Quotient; Wert: \(1\)

- Welche Operation steht strukturell ganz außen? - Beachte Klammern und Punkt-vor-Strich. - Lies den Term bei Bedarf als Rechenbeschreibung laut vor.

1. Der erste Term ist ein Produkt. Die Klammer hat den Wert \(2{,}5\), daher ergibt sich \(2{,}5\cdot(-4)=-10\). 2. Der zweite Term ist eine Differenz. Zuerst gilt \(0{,}75:\frac{1}{4}=3\), danach \(5{,}5-3=2{,}5\).

a) Struktur: Produkt; Wert: \(-10\) b) Struktur: Differenz; Wert: \(2{,}5\)

- Welche Operation wird in jedem Term ganz zuletzt ausgeführt? - Vergleiche genau, welche Teile durch die zusätzliche Klammer zusammengefasst werden. - Berechne Potenzen und Divisionen gemäß den Vorrangregeln.

1. Im ersten Term ist die äußerste Operation eine Subtraktion; er ist eine Differenz. Es gilt \(0{,}16-0{,}4=-0{,}24\). 2. Im zweiten Term liegt die Differenz vollständig in der Klammer und ergibt \(0\); die äußerste Operation ist die Division. Der Term ist ein Quotient mit dem Wert \(0:0{,}4=0\).

a) Struktur: Differenz; Wert: \(-0{,}24\) b) Struktur: Quotient; Wert: \(0\)

- Überlege zuerst, welche Operation ganz zum Schluss ausgeführt wird. - Beginne anschließend mit der innersten Klammer. - Welche gemeinsame Darstellung macht das Produkt besonders einfach?

1. Gesamtstruktur: Summe; der erste Summand ist ein Produkt. 2. \(\frac{3}{8}-\left(-\frac{1}{4}\right)=\frac{3}{8}+\frac{2}{8}=\frac{5}{8}\). 3. \(-1{,}6=-\frac{8}{5}\), also \(\frac{5}{8}\cdot\left(-\frac{8}{5}\right)=-1\). 4. \(-1+1=0\).

Struktur: Summe; der erste Summand ist ein Produkt. Rechenweg: \(\frac{3}{8}-\left(-\frac{1}{4}\right)=\frac{5}{8}\), dann \(\frac{5}{8}\cdot\left(-\frac{8}{5}\right)=-1\), schließlich \(-1+1=0\).

- Überlege zuerst, ob es einfacher ist, alle Zahlen als Brüche oder als Dezimalzahlen zu schreiben. - Achte bei der Addition und Subtraktion von Brüchen darauf, sie zuerst auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. - Gehe Schritt für Schritt vor und berechne zuerst die Werte innerhalb der Klammern.

1. Berechnung der ersten Klammer: Wandle \(1{,}5\) in einen Bruch um: \(1{,}5 = \frac{3}{2}\). Bringe die Brüche auf den Hauptnenner 6: \(\frac{4}{6} - \frac{9}{6} = -\frac{5}{6}\). 2. Berechnung der zweiten Klammer: Wandle \(0{,}25\) in einen Bruch um: \(0{,}25 = \frac{1}{4}\). Bringe die Brüche auf den Hauptnenner 12: \(-\frac{10}{12} + \frac{3}{12} = -\frac{7}{12}\). 3. Addition der Zwischenergebnisse: Bringe \(-\frac{5}{6}\) und \(-\frac{7}{12}\) auf den Hauptnenner 12: \(-\frac{10}{12} + (-\frac{7}{12}) = -\frac{17}{12}\).

\(-\frac{17}{12}\) oder \(-1\frac{5}{12}\)

- Denke daran: Die Punkt-vor-Strich-Regel gilt auch innerhalb von Klammern. - Wie dividiert man durch einen Bruch? - Kannst du am Ende das Ergebnis noch kürzen oder in eine gemischte Zahl umwandeln?

1. Berechnung der ersten Klammer: Wandle \(-4{,}5\) in einen Bruch um: \(-\frac{45}{10} = -\frac{9}{2}\). Division durch \(\frac{9}{10}\) entspricht der Multiplikation mit dem Kehrwert: \(-\frac{9}{2} \cdot \frac{10}{9} = -5\). 2. Berechnung der zweiten Klammer: Wandle \(1{,}2\) in einen Bruch um: \(1{,}2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}\). Bringe \(\frac{2}{3}\) und \(\frac{6}{5}\) auf den Hauptnenner 15: \(\frac{10}{15} - \frac{18}{15} = -\frac{8}{15}\). 3. Multiplikation der Ergebnisse: \(-5 \cdot (-\frac{8}{15}) = \frac{40}{15}\). Kürzen durch 5 ergibt \(\frac{8}{3}\).

\(\frac{8}{3}\) oder \(2\frac{2}{3}\)

- Ein Bruchstrich wirkt wie ein Geteilt-Zeichen und umschließt Zähler und Nenner wie unsichtbare Klammern. - Bestimme zuerst, was die „letzte“ Rechenoperation ist, die du ausführen würdest. - Berechne den oberen und den unteren Teil des Bruchs getrennt voneinander. - Achte beim Dividieren auf die Vorzeichenregeln für rationale Zahlen.

1. Beschreibung des Aufbaus: Der Term ist ein Quotient (wegen des Hauptbruchstrichs). Der Dividend (Zähler) ist die Summe aus \(-3{,}6\) und \(1{,}2\). Der Divisor (Nenner) ist der Quotient aus \(-3{,}6\) und \(1{,}2\). 2. Berechnung des Zählers: \(-3{,}6 + 1{,}2 = -2{,}4\). 3. Berechnung des Nenners: \(-3{,}6 : 1{,}2 = -3\). 4. Berechnung des Gesamtwerts: \(-2{,}4 : (-3) = 0{,}8\).

a) Der Term ist der Quotient aus der Summe von \(-3{,}6\) und \(1{,}2\) und dem Quotienten aus \(-3{,}6\) und \(1{,}2\). b) Der Wert des Terms ist \(0{,}8\).

- Welche Rechenregel bestimmt, ob du zuerst addieren oder multiplizieren darfst? - Was bedeutet die kleine Hochzahl bei einer Potenz genau? - Überprüfe die Vorzeichen bei der Subtraktion in der Klammer.

1. Fehleranalyse: Im 1. Schritt wurde die Addition \(1{,}5 + 2{,}5\) vor der Multiplikation durchgeführt (Verstoß gegen die Punkt-vor-Strich-Regel). Zudem wurde die Potenz \(3^2\) fälschlicherweise als \(3 \cdot 2 = 6\) berechnet. 2. Korrekte Berechnung der Klammer: \(4{,}4 - 6{,}4 = -2\) 3. Korrekte Berechnung der Potenz: \(3^2 = 9\) 4. Einsetzen und Punktrechnung: \(1{,}5 + 2{,}5 \cdot (-2) - 9 = 1{,}5 - 5 - 9\) 5. Endergebnis berechnen: \(1{,}5 - 5 - 9 = -3{,}5 - 9 = -12{,}5\)

Die Fehler liegen im 1. Schritt: Es wurde fälschlicherweise \(1{,}5 + 2{,}5\) zuerst addiert und \(3^2\) als 6 berechnet. Das richtige Ergebnis ist \(-12{,}5\).

- Berechne zuerst den Wert von Term A und dann den von Term B. - Denk bei Term A daran, dass das Quadrat einer negativen Zahl positiv ist. - Wandle bei Term B den Bruch in eine Dezimalzahl um, um leichter rechnen zu können.

1. Wert von \(A\) berechnen: \((-0{,}6)^2 = 0{,}36\). Division durchführen: \(0{,}64 : (-2) = -0{,}32\). Addition: \(0{,}36 + (-0{,}32) = 0{,}04\). 2. Wert von \(B\) berechnen: Klammerinhalt bestimmen: \(1{,}2 - 0{,}7 = 0{,}5\). Multiplikation: \(0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25\). Subtraktion: \(\frac{1}{4} - 0{,}25 = 0{,}25 - 0{,}25 = 0\). 3. Vergleich: Da \(0{,}04 > 0\), gilt \(A > B\).

Es gilt \(A > B\), da \(A = 0{,}04\) und \(B = 0\).

- Prüfe jede Umformung anhand der Vorrangregeln. - Welche Punktrechnung ist noch offen, bevor eine Strichrechnung ausgeführt werden darf? - Setze den Rechenweg ab dem ersten fehlerhaften Übergang korrekt fort.

1. Bis zur zweiten Zeile ist der Rechenweg korrekt. Danach wurde die Subtraktion vor der noch ausstehenden Division ausgeführt; das verletzt Punkt-vor-Strich. 2. Richtig ist zunächst \(1{,}2:0{,}3=4\). 3. Danach gilt \(0{,}75-4=-3{,}25\).

Der Fehler entsteht vor der dritten Zeile: Die Subtraktion wurde vor der Division ausgeführt. Richtig ist \(-3{,}25\).

- Vergleiche vor dem Rechnen nur die beiden Abnahmen pro \(100\,\text{m}\). - Wie viele Abschnitte zu \(100\,\text{m}\) enthält die vorgegebene Höhe? - Baue Starttemperatur und gesamte Abnahme für jedes Modell zu einem Ausdruck zusammen.

1. Modell B muss den niedrigeren Wert liefern, weil die Temperatur dort je \(100\,\text{m}\) stärker abnimmt. 2. Für Modell A passt \(15-\frac{3500}{100}\cdot0{,}6\). Das ergibt \(15-35\cdot0{,}6=15-21=-6\,^\circ\text{C}\). 3. Für Modell B passt \(15-\frac{3500}{100}\cdot1{,}0\). Das ergibt \(15-35=-20\,^\circ\text{C}\). 4. Der Unterschied beträgt \((-6)-(-20)=14\,^\circ\text{C}\).

Modell B ergibt die niedrigere Temperatur. Modell A: \(15-\frac{3500}{100}\cdot0{,}6=-6\,^\circ\text{C}\) Modell B: \(15-\frac{3500}{100}\cdot1{,}0=-20\,^\circ\text{C}\) Unterschied: \(14\,^\circ\text{C}\)

- Welche Teilrechnung steht wegen der Klammer am Anfang? - Überlege für die Geschichte, welche Zahlen sinnvoll Höhen, Starttemperatur und Änderungsrate beschreiben können. - Das Minus vor dem Produkt sollte sich auch in der beschriebenen Temperaturänderung wiederfinden.

1. Der Höhenunterschied im Term ist \(2400-400=2000\,\text{m}\). 2. Das sind \(2000:100=20\) Abschnitte zu \(100\,\text{m}\). 3. Die gesamte Temperaturabnahme beträgt \(20\cdot0{,}5=10\,^\circ\text{C}\). 4. Der Termwert ist \(12-10=2\). 5. Eine passende Situation ist: Nia startet auf \(400\,\text{m}\) Höhe bei \(12\,^\circ\text{C}\) und steigt auf \(2400\,\text{m}\). In dem verwendeten Rechenmodell sinkt die Temperatur je \(100\,\text{m}\) um \(0{,}5\,^\circ\text{C}\).

a) \(2\) b) Zum Beispiel: Start bei \(12\,^\circ\text{C}\) auf \(400\,\text{m}\), Zielhöhe \(2400\,\text{m}\), Abnahme \(0{,}5\,^\circ\text{C}\) pro \(100\,\text{m}\).

- Welche Rechenregel bestimmt die Reihenfolge der Berechnungen? - Ist es einfacher, mit Dezimalzahlen oder mit Brüchen zu rechnen? - Achte besonders auf die Vorzeichen bei der Subtraktion. - Kannst du den Term in kleinere Teilschritte zerlegen?

1. Berechnung des Ausdrucks in der ersten Klammer: \(-1{,}5 + 0{,}4 = -1{,}1\). 2. Multiplikation des Ergebnisses mit \(10\): \(-1{,}1 \cdot 10 = -11\). 3. Berechnung der Division in der zweiten Klammer: \(-\frac{3}{4} : 0{,}25 = -0{,}75 : 0{,}25 = -3\). 4. Subtraktion der beiden Teilergebnisse: \(-11 - (-3) = -11 + 3 = -8\).

\(-8\)

- Welche Klammer musst du zuerst auflösen? - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn zwei negative Zahlen multipliziert werden? - Wie dividiert man eine Zahl durch einen Bruch? - Überlege dir, ob du das Ergebnis als Dezimalzahl oder als Bruch angeben möchtest.

1. Berechnung der inneren runden Klammer: \(\frac{1}{5} - 0{,}6 = 0{,}2 - 0{,}6 = -0{,}4\). 2. Multiplikation innerhalb der eckigen Klammer: \(-2{,}5 \cdot (-0{,}4) = 1\). 3. Division des Ergebnisses der eckigen Klammer durch den Divisor: \(1 : (-\frac{1}{2}) = 1 : (-0{,}5) = -2\). 4. Finale Subtraktion: \(\frac{5}{8} - (-2) = 0{,}625 + 2 = 2{,}625\) bzw. \(2\frac{5}{8}\).

\(2{,}625\) oder \(2\frac{5}{8}\)

- Arbeite dich von der innersten zur äußersten Klammer vor. - Kannst du die Division durch eine Dezimalzahl vereinfachen? - Was ergibt „Minus mal Minus“? - Achte auf die Reihenfolge: Erst die Division innerhalb der geschweiften Klammer, dann die Subtraktion.

1. Berechnung der innersten eckigen Klammer: \(4 - 0{,}5 = 3{,}5\). 2. Division des Ergebnisses durch \(-0{,}7\): \(3{,}5 : (-0{,}7) = -5\). 3. Subtraktion innerhalb der geschweiften Klammer: \(-5 - 2 = -7\). 4. Abschließende Multiplikation: \(-7 \cdot (- \frac{2}{7}) = 2\).

\(2\)

- Bestimme nur das Vorzeichen des Klammerwerts, nicht seinen exakten Wert. - Welche Wirkung hat die Multiplikation eines negativen Werts mit \(-2\)? - Welche Wirkung hat der Betrag auf denselben negativen Wert?

1. Der Klammerwert \(-\frac{3}{4}+0{,}5\) ist negativ, weil \(\frac{1}{2}<\frac{3}{4}\). 2. In Term A wird dieser negative Wert mit \(-2\) multipliziert; das Ergebnis ist also zweimal sein positiver Betrag. 3. In Term B macht der Betrag denselben Klammerwert positiv und anschließend wird ebenfalls mit \(2\) multipliziert. 4. Deshalb müssen beide Terme denselben Wert haben.

Der gemeinsame Klammerwert ist negativ. Term A macht ihn durch die Multiplikation mit \(-2\) positiv und verdoppelt seinen Betrag; Term B bildet zuerst denselben Betrag und verdoppelt ihn ebenfalls. Daher sind die Terme gleichwertig.

- Was passiert mit dem Vorzeichen von \(-1\), wenn man es mehrfach mit sich selbst multipliziert? - Macht es einen Unterschied, ob der Exponent gerade oder ungerade ist? - Spielt die Reihenfolge der Faktoren bei einer Multiplikation eine Rolle für das Ergebnis?

1. Eine negative Basis mit einem ungeraden Exponenten ergibt immer ein negatives Ergebnis. Da \(3\) ungerade ist, gilt \((-1)^3 = -1\). 2. Damit ist der Wert von Term A: \(-1 \cdot 4{,}2 = -4{,}2\). 3. Auch im Term B ist der Exponent \(7\) ungerade, weshalb \((-1)^7 = -1\) gilt. 4. Der Wert von Term B ist somit: \(4{,}2 \cdot (-1) = -4{,}2\). 5. Da beide Berechnungen zum selben Ergebnis führen, haben die Terme denselben Wert.

Ja, die Terme haben denselben Wert. Da sowohl \(3\) als auch \(7\) ungerade Zahlen sind, ergibt sowohl \((-1)^3\) als auch \((-1)^7\) den Wert \(-1\). In beiden Fällen wird also \(4{,}2\) mit \(-1\) multipliziert, was jeweils \(-4{,}2\) ergibt.

- Welche Rechenoperation wird im gesamten Term zuletzt ausgeführt? - Arbeite innerhalb der eckigen Klammer nach den Vorrangregeln von innen nach außen. - Achte darauf, was beim Quadrieren einer negativen Zahl mit dem Vorzeichen geschieht.

1. Der Term ist insgesamt eine Summe, weil zuletzt \(-2\frac{1}{2}\) und der Wert der eckigen Klammer addiert werden. 2. \((-0{,}4)^2=0{,}16\). 3. \(0{,}16\cdot5=0{,}8\). 4. In der Klammer gilt \(0{,}5-0{,}8=-0{,}3\). 5. Damit ist \(-2{,}5+(-0{,}3)=-2{,}8\).

Struktur: Summe aus \(-2\frac{1}{2}\) und dem Klammerwert. Rechnung: \((-0{,}4)^2=0{,}16\), \(0{,}16\cdot5=0{,}8\), \(0{,}5-0{,}8=-0{,}3\), also \(-2{,}8\).

- Welche Operation verbindet die beiden größten Teilstücke des Terms? - Berechne zuerst die Potenz und anschließend den Wert der eckigen Klammer. - Wähle für die letzte Addition eine gemeinsame Darstellung.

1. Der Term ist insgesamt eine Summe, weil zuletzt das Produkt und \(1\frac{1}{3}\) addiert werden. 2. \((-1{,}5)^2=2{,}25\), also ist die eckige Klammer \(2{,}25-0{,}25=2\). 3. Das Produkt ist \(2\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)=-\frac{4}{3}\). 4. Mit \(1\frac{1}{3}=\frac{4}{3}\) ergibt sich \(-\frac{4}{3}+\frac{4}{3}=0\).

Struktur: Summe aus dem Produkt \([(-1{,}5)^2-\frac14]\cdot\left(-\frac23\right)\) und \(1\frac13\). Der Wert ist \(0\).

- Welche Operation verbindet \(\frac{7}{8}\) mit dem gesamten Klammerausdruck? - Berechne in der Klammer Potenz und Punktrechnungen vor der Addition. - Ziehe erst ganz am Ende den vollständigen Klammerwert ab.

1. Der Term ist insgesamt eine Differenz: Vom Wert \(\frac{7}{8}\) wird zuletzt der Wert der eckigen Klammer subtrahiert. 2. In der Klammer gilt \(-1{,}2:(-0{,}4)=3\) und \((-2)^2\cdot0{,}5=4\cdot0{,}5=2\). 3. Der Klammerwert ist damit \(3+2=5\). 4. Schließlich gilt \(\frac{7}{8}-5=-4\frac{1}{8}=-4{,}125\).

Struktur: Differenz aus \(\frac{7}{8}\) und dem Klammerwert. In der Klammer entstehen \(3\) und \(2\), also \(5\). Daher ist der Wert \(-4\frac{1}{8}=-4{,}125\).

- Bei einem reinen Produkt darfst du günstig umgruppieren. - Bei gleichrangiger Multiplikation und Division arbeitest du sonst von links nach rechts. - Achte bei jedem Schritt auf die Vorzeichen.

1. Beim reinen Produkt kann günstig gruppiert werden: \((-4)\cdot(-8)=32\) und \(32\cdot125=4000\). 2. \((-3600):(-15)=240\) und \(240:(-4)=-60\). 3. \(12\cdot(-15)=-180\), danach \(-180:(-9)=20\) und \(20\cdot(-2)=-40\).

a) \(4000\) b) \(-60\) c) \(-40\)

- Berechne jeweils zuerst die Klammer. - Wie wird eine Division durch einen Bruch umgeformt? - Wähle bei gemischten Darstellungen eine günstige gemeinsame Form.

1. \(\frac{5}{9}+\frac{1}{3}=\frac{8}{9}\); daher gilt \(\frac{8}{9}:\frac{4}{3}=\frac{8}{9}\cdot\frac{3}{4}=\frac{2}{3}\). 2. \(\frac{1}{2}-0{,}2=0{,}3\); daher gilt \(0{,}6:0{,}3=2\).

a) \(\frac{2}{3}\) b) \(2\)

- Berechne zunächst die Klammerblöcke. - Wechsle die Darstellung nur dort, wo sie die Rechnung vereinfacht. - Führe die äußere Addition oder Subtraktion zuletzt aus.

1. \(1{,}4-\frac{2}{5}=1\); damit ist \(\frac{1}{2}\cdot1+\frac{3}{10}=0{,}8\). 2. \(\frac{2}{3}:\frac{4}{9}=\frac{3}{2}=1{,}5\) und \(0{,}5\cdot\frac{1}{2}=0{,}25\); daher gilt \(1{,}5-0{,}25=1{,}25\).

a) \(0{,}8\) b) \(1{,}25\)

- Was bedeuten die Klammern für die Reihenfolge deiner Rechenschritte? - Erinnerst du dich an die Regel für die Division von zwei Brüchen? - Gibt es beim Multiplizieren der Brüche eine Möglichkeit, über Kreuz zu kürzen?

1. Berechnung der ersten Klammer: Mit dem Hauptnenner \(8\) ergibt sich \(\frac{7}{8} - \frac{2}{8} = \frac{5}{8}\). 2. Berechnung der zweiten Klammer: Mit dem Hauptnenner \(6\) ergibt sich \(\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}\). 3. Division der beiden Ergebnisse: Die Division wird durch die Multiplikation mit dem Kehrwert ersetzt: \(\frac{5}{8} : \frac{5}{6} = \frac{5}{8} \cdot \frac{6}{5}\). 4. Multiplizieren und Kürzen: \(\frac{5 \cdot 6}{8 \cdot 5} = \frac{30}{40} = \frac{3}{4}\).

\(\frac{3}{4}\)

- Welche Rechenoperationen müssen hier in welcher Reihenfolge ausgeführt werden? Denke an „Klammer vor Punkt vor Strich“. - Wie findest du für die Addition am Ende den kleinsten gemeinsamen Nenner? - Hilft es dir, Zwischenergebnisse sofort zu kürzen?

1. Klammerinhalt berechnen: Mit dem gemeinsamen Nenner \(10\) folgt \(\frac{8}{10} - \frac{1}{10} = \frac{7}{10}\). 2. Multiplikation nach der Punkt-vor-Strich-Regel: \(\frac{7}{10} \cdot \frac{2}{3} = \frac{14}{30}\). Durch Kürzen erhält man \(\frac{7}{15}\). 3. Addition des letzten Summanden: Für \(\frac{7}{15} + \frac{1}{6}\) wird der Hauptnenner \(30\) gewählt. 4. Endergebnis ermitteln: \(\frac{14}{30} + \frac{5}{30} = \frac{19}{30}\).

\(\frac{19}{30}\)

- Berechne Klammern zuerst. - Innerhalb von Klammern gilt Punkt-vor-Strich. - Kontrolliere besonders das Subtrahieren negativer Werte.

1. \((-15)+(-25)=-40\); daher gilt \(-40\cdot(-4)=160\). 2. \((-12)-8=-20\); daher gilt \(200:(-20)=-10\). 3. \(4\cdot(-5)+7=-20+7=-13\); daher gilt \(-13-(-13)=0\).

a) \(160\) b) \(-10\) c) \(0\)

- Berechne jede Seite der Gleichung einzeln. - Denk an die Regel „Klammer zuerst“. - Was passiert mit den Vorzeichen innerhalb einer Klammer, wenn ein Minus davor steht?

1. a) Linke Seite: \(-12{,}5+7{,}5=-5\). Rechte Seite: \(-(12{,}5-7{,}5)=-5\). Die Aussage ist wahr. 2. b) Linke Seite: \(\frac{4}{8}-(\frac{2}{8}+\frac{1}{8})=\frac{1}{8}\). Rechte Seite: \(\frac{4}{8}-\frac{2}{8}+\frac{1}{8}=\frac{3}{8}\). Die Aussage ist falsch.

a) Linke Seite: \(-12{,}5+7{,}5=-5\). Rechte Seite: \(-(12{,}5-7{,}5)=-5\). Wahr. b) Linke Seite: \(\frac{1}{2}-(\frac{1}{4}+\frac{1}{8})=\frac{1}{8}\). Rechte Seite: \(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=\frac{3}{8}\). Falsch.

- Ist es hier einfacher, mit Dezimalzahlen oder mit Brüchen zu rechnen? - Wandle am besten alles in die Form um, mit der du sicherer rechnen kannst. - Achte beim Multiplizieren auf das Vorzeichen des Ergebnisses.

1. Umwandlung aller Zahlen in ein einheitliches Format (entweder Brüche oder Dezimalzahlen): \(1\frac{1}{5} = 1{,}2\) und \(\frac{7}{10} = 0{,}7\) 2. Berechnung des Inhalts der Klammer: \(0{,}2 - 0{,}7 = -0{,}5\) 3. Multiplikation des Ergebnisses mit dem Faktor vor der Klammer: \(1{,}2 \cdot (-0{,}5) = -0{,}6\) Alternativ als Bruch: \(\frac{6}{5} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{6}{10} = -\frac{3}{5}\)

\(-0{,}6\) oder \(-\frac{3}{5}\)

- Berechne nacheinander die Werte in den beiden Klammern. - Wie dividiert man durch einen Bruch? - Welches Vorzeichen hat das Ergebnis, wenn man eine negative Zahl durch eine negative Zahl teilt?

1. Berechnung der ersten Klammer durch Finden des Hauptnenners: \(\frac{5}{6} - \frac{4}{3} = \frac{5}{6} - \frac{8}{6} = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}\) 2. Berechnung der zweiten Klammer: \(0{,}75 - 1 = -0{,}25\), was als Bruch \(-\frac{1}{4}\) entspricht. 3. Division der beiden Teilergebnisse: \(-\frac{1}{2} : (-\frac{1}{4})\). 4. Multiplikation mit dem Kehrwert: \(-\frac{1}{2} \cdot (-4) = 2\).

\(2\)

- Beachte die Vorrangregeln: Klammern zuerst, dann Punkt-vor-Strich-Rechnung. - Wandle den Bruch am besten in eine Dezimalzahl um, um die Rechnung in der Klammer zu vereinfachen. - Denk an die Vorzeichenregeln bei der Division zweier negativer Zahlen.

1. Berechnung des Ausdrucks in der Klammer: \(-2{,}25 + 0{,}5 = -1{,}75\) 2. Division des Ergebnisses durch \(-0{,}5\): \(-1{,}75 : (-0{,}5) = 3{,}5\) 3. Subtraktion von \(4{,}5\): \(3{,}5 - 4{,}5 = -1\)

\(-1\)

- Berechne zuerst den Wert innerhalb der eckigen Klammer. - Du kannst Brüche in Dezimalzahlen umwandeln oder umgekehrt – entscheide dich für den Weg, der dir leichter fällt. - Was passiert, wenn du zu einer Zahl ihre Gegenzahl addierst?

1. Berechnung des ersten Produkts: \(\frac{3}{8} \cdot (-1{,}6) = 0{,}375 \cdot (-1{,}6) = -0{,}6\) 2. Berechnung der Division innerhalb der eckigen Klammer: \(\frac{1}{5} : (-0{,}4) = 0{,}2 : (-0{,}4) = -0{,}5\) 3. Addition innerhalb der eckigen Klammer: \(-0{,}5 + 0{,}5 = 0\) 4. Zusammenführung der Termteile: \(-0{,}6 - 0 = -0{,}6\)

\(-0{,}6\) (oder \(-\frac{3}{5}\))

- Berechne jeweils zuerst die Klammer. - Wandle Brüche und Dezimalzahlen bei Bedarf in eine gemeinsame Darstellung um. - Beachte bei der letzten Subtraktion das Vorzeichen des Subtrahenden.

1. \(\frac{3}{4}-1{,}25=-0{,}5\); damit ist \((-0{,}5)\cdot(-4)+0{,}5=2{,}5\). 2. \(\frac{1}{5}+0{,}1=0{,}3\); damit ist \(-0{,}6:0{,}3-(-2)=-2+2=0\).

a) \(2{,}5\) b) \(0\)

- Arbeite von den inneren Klammern nach außen. - Beachte das Vorzeichen einer quadrierten negativen Zahl. - Nutze bei Bedarf eine gemeinsame Darstellung für Bruch und Dezimalzahl.

1. \(0{,}4-\frac{4}{5}=-0{,}4\), also gilt \(-1{,}5\cdot(-0{,}4)=0{,}6\) und \(0{,}6:(-0{,}3)=-2\). 2. \((-0{,}5)^2=0{,}25\), damit ist die eckige Klammer \(1{,}75\); schließlich gilt \(\frac{5}{8}-1{,}75=-1{,}125\).

a) \(-2\) b) \(-1{,}125\)

- Welche Regel bestimmt die Reihenfolge, wenn keine Klammern gesetzt sind? - Wie verändert eine Klammer den Ablauf der Rechnung? - Berechne zuerst Schritt für Schritt die Zwischenergebnisse.

1. Berechnung von Term \(A\): Zuerst wird die Klammer berechnet (\(1{,}2 + 0{,}9 = 2{,}1\)). Dann folgt die Division (\(8{,}4 : 2{,}1 = 4\)). 2. Berechnung von Term \(B\): Hier gilt die Punkt-vor-Strich-Regel. Zuerst wird dividiert (\(8{,}4 : 1{,}2 = 7\)), dann wird addiert (\(7 + 0{,}9 = 7{,}9\)). 3. Vergleich: Die Ergebnisse unterscheiden sich, weil die Klammer in Term \(A\) die Rechenreihenfolge ändert und bewirkt, dass die Summe der Divisor ist, während in Term \(B\) nur durch \(1{,}2\) geteilt wird.

\(A = 4\); \(B = 7{,}9\). Die Ergebnisse sind unterschiedlich, da die Klammer in \(A\) vorschreibt, zuerst die Addition durchzuführen, während in \(B\) die Division Vorrang hat.

- Wandle gemischte Zahlen und Dezimalzahlen bei Bedarf in Brüche um, damit du exakt rechnen kannst. - Arbeite dich von der innersten Klammer nach außen vor. - Kannst du vor dem Multiplizieren von Brüchen vielleicht etwas kürzen?

1. Innerste Operation: Division in der Klammer. Umwandlung in Brüche: \(\frac{20}{3} : \frac{5}{2} = \frac{20}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{40}{15} = \frac{8}{3}\). 2. Subtraktion in der Klammer: \(\frac{8}{3} - 0{,}8 = \frac{8}{3} - \frac{4}{5} = \frac{40}{15} - \frac{12}{15} = \frac{28}{15}\). 3. Multiplikation: \(\frac{28}{15} \cdot 1{,}5 = \frac{28}{15} \cdot \frac{3}{2} = \frac{14}{5} = 2{,}8\). 4. Letzte Addition: \(2{,}8 + 2 \frac{1}{4} = 2{,}8 + 2{,}25 = 5{,}05\).

\(5{,}05\) (oder \(5 \frac{1}{20}\))

- Behandle den Zähler und den Nenner wie zwei getrennte Aufgaben, die du nacheinander löst. - Wandle Brüche in Dezimalzahlen um, wenn dies die Rechnung vereinfacht. - Was bedeutet der lange Bruchstrich für die Reihenfolge der Rechnungen?

1. Zähler berechnen: Klammer \(\frac{1}{5} - 0{,}6 = 0{,}2 - 0{,}6 = -0{,}4\). Dann Multiplikation \(2{,}5 \cdot (-0{,}4) = -1\). 2. Nenner berechnen: Punktrechnung \(0{,}25 \cdot 8 = 2\). Dann Subtraktion \(2 - 1{,}5 = 0{,}5\). 3. Gesamtwert berechnen: \(-1 : 0{,}5 = -2\).

\(-2\)

- Beim Schätzen kannst du komplizierte Brüche durch nahegelegene ganze Zahlen oder einfache Dezimalzahlen ersetzen. - Achte bei Teilaufgabe c auf die Anzahl der negativen Faktoren, um das Vorzeichen des Ergebnisses schnell zu bestimmen. - Brüche wie \(\frac{3}{8}\) oder \(\frac{1}{2}\) lassen sich oft leichter als Dezimalzahlen verrechnen, wenn der Rest des Terms auch so gegeben ist.

1. Schätzung zu a): \((-1{,}5)^3\) liegt ungefähr bei \(-3{,}4\); zusammen mit \(0{,}375 \approx 0{,}4\) ergibt sich etwa \(-3\). Exakt: \((-1{,}5)^3 + 0{,}375 = -3{,}375 + 0{,}375 = -3\). 2. Schätzung zu b): Der Klammerwert liegt bei etwa \(-1{,}5\); geteilt durch \(-0{,}5\) ergibt das etwa \(3\). Exakt: \((2{,}25 - 3{,}75) : (-0{,}5) = -1{,}5 : (-0{,}5) = 3\). 3. Schätzung zu c): Der Klammerwert liegt bei etwa \(-3{,}8\). Damit ist \(0{,}1 \cdot (-3{,}8) \cdot (-3)\) ungefähr \(1{,}1\). Exakt: \(0{,}1 \cdot (-2\frac{1}{3} - 1{,}5) \cdot (-3) = 0{,}1 \cdot (-\frac{23}{6}) \cdot (-3) = \frac{23}{20} = 1{,}15\).

a) Schätzung \(\approx -3\); Exakt: \(-3\) b) Schätzung \(\approx 3\); Exakt: \(3\) c) Schätzung \(\approx 1{,}1\); Exakt: \(1{,}15\)

- Beachte Punkt-vor-Strich. - Bringe Brüche und Dezimalzahlen bei Bedarf in eine gemeinsame Darstellung. - Bei negativen Zahlen ist der Wert näher an \(0\) größer.

1. \(-\frac{1}{2}+1{,}2:(-3)=-0{,}5-0{,}4=-0{,}9\). 2. \(0{,}4\cdot(-2)+\frac{3}{5}=-0{,}8+0{,}6=-0{,}2\). 3. \(-\frac{1}{4}-(-0{,}15)=-0{,}25+0{,}15=-0{,}1\). 4. Es gilt \(-0{,}1>-0{,}2>-0{,}9\); c) ist am größten.

a) \(-0{,}9\) b) \(-0{,}2\) c) \(-0{,}1\) Vergleich: \(-0{,}1>-0{,}2>-0{,}9\). Daher hat c) den größten Wert.

- Beachte die Vorrangregeln: Klammern zuerst, dann Potenzen, dann Punkt-vor-Strich-Rechnung. - Überlege genau, wie das Minuszeichen bei \(-3^2\) behandelt wird. - Schreibe dir die Zwischenergebnisse für jeden Term einzeln auf.

1. Berechnung von A: Der Klammerausdruck ergibt \(0{,}6 : (-0{,}2) = -3\). Damit folgt \(0{,}5 - (-3) = 0{,}5 + 3 = 3{,}5\). 2. Berechnung von B: In der Klammer gilt \(0{,}25 - 0{,}75 = -0{,}5\). Die Multiplikation ergibt \(2{,}5 \cdot (-0{,}5) = -1{,}25\). 3. Berechnung von C: Im Zähler bindet das Quadrat stärker als das Vorzeichen, also \(-3^2 = -9\). Der Zähler ist \(-9 + 5 = -4\). Der Bruchwert ist \(\frac{-4}{4} = -1\). 4. Sortierung der Ergebnisse: \(-1{,}25 < -1 < 3{,}5\). Dies entspricht der Reihenfolge B, C, A.

Die richtige Reihenfolge ist B, C, A. Die Werte sind \(-1{,}25 < -1 < 3{,}5\).

- Welche Rechenzeichen gehören zu „Produkt“, „Quotient“ und „Differenz“? - Stelle zuerst den Ausdruck für die ursprünglichen Zahlen auf. - Vergleiche anschließend die neue Differenz mit der Hälfte des ersten Werts.

1. Die verbale Beschreibung führt zum Term \((24\cdot8)-(24:8)\). 2. Das Produkt ist \(192\), der Quotient \(3\); die Differenz beträgt \(189\). 3. Mit den halbierten Zahlen entsteht \((12\cdot4)-(12:4)=48-3=45\). 4. Die Hälfte von \(189\) wäre \(94{,}5\). Da \(45\ne94{,}5\), ist Leilas Aussage falsch.

a) \((24\cdot8)-(24:8)=189\) b) Die Aussage ist falsch; mit \(12\) und \(4\) ergibt sich \(45\), nicht \(94{,}5\).

- Du musst nicht exakt rechnen. Überlege zuerst, ob die Ergebnisse positiv oder negativ sind. - Eine positive Zahl ist immer größer als eine negative Zahl. - Stelle dir vor, du stehst an einem Punkt auf dem Zahlenstrahl. Welche Operation bewegt dich nach rechts?

1. In a) ist der erste Term negativ, der zweite wird durch das Subtrahieren einer negativen Zahl positiv. Daher ist der zweite größer. 2. In b) ist der erste Term negativ, der zweite positiv. Daher ist der zweite größer. 3. In c) wird im ersten Term eine positive Zahl von einer negativen subtrahiert, im zweiten addiert. Daher ist der zweite größer.

a) \((-15)-(-20)\) ist größer, weil der erste Term negativ und der zweite positiv ist. b) \(-0{,}4+0{,}6\) ist größer, weil der erste Term negativ und der zweite positiv ist. c) \(-\frac{1}{8}+\frac{1}{4}\) ist größer, weil Addition eines positiven Werts die Zahl vergrößert, Subtraktion sie verkleinert.

- Berechne zuerst jeden Term einzeln Schritt für Schritt. - Erinnere dich daran, wie sich das Vorzeichen beim Quadrieren einer negativen Zahl verhält. - Welche der beiden negativen Zahlen liegt weiter rechts auf der Zahlengeraden?

1. \(X=(-4)^2\cdot(-0{,}5)=16\cdot(-0{,}5)=-8\). 2. \(Y=(-2)\cdot(-2)\cdot(-2{,}5)=4\cdot(-2{,}5)=-10\). 3. Da \(-8>-10\), ist \(X\) größer.

\(X=16\cdot(-0{,}5)=-8\) \(Y=4\cdot(-2{,}5)=-10\) Daher ist \(X\) größer, denn \(-8>-10\).

- Entscheidend für das Vorzeichen ist die Anzahl negativer Faktoren. - Ist diese Anzahl gerade oder ungerade? - Teile in c) die 15 Faktoren gedanklich entsprechend dem Verhältnis in gleichartige Gruppen.

1. Bei einer ungeraden Anzahl negativer Faktoren ist das Produkt negativ, bei einer geraden Anzahl positiv. 2. Sieben negative Faktoren ergeben ein negatives Produkt. 3. Fünfzehn negative Faktoren ergeben ebenfalls ein negatives Produkt. 4. In c) gibt es fünf negative und zehn positive Faktoren; fünf ist ungerade, also ist das Produkt negativ.

a) negativ, weil \(7\) negative Faktoren eine ungerade Anzahl sind. b) negativ, weil \(15\) negative Faktoren eine ungerade Anzahl sind. c) negativ; es gibt \(5\) negative und \(10\) positive Faktoren, und \(5\) ist ungerade.

- Entscheidend ist, ob die Anzahl negativer Faktoren gerade oder ungerade ist. - Bestimme in b) zuerst die Zahl der negativen Faktoren. - Was geschieht mit gerade/ungerade, wenn sich eine Anzahl um genau eins ändert?

1. Zwölf negative Faktoren sind möglich. Weil zwölf gerade ist, wäre das Produkt positiv. 2. Bei drei positiven Faktoren bleiben neun negative Faktoren. Neun ist ungerade, also ist das Produkt negativ. 3. Dreht man das Vorzeichen genau eines Faktors um, ändert sich die Anzahl negativer Faktoren genau um eins. Damit wechselt sie zwischen gerade und ungerade; das Produkt wechselt deshalb immer sein Vorzeichen.

a) Ja; das Produkt wäre positiv. b) negativ c) Ja. Ein einzelner Vorzeichenwechsel ändert die Anzahl negativer Faktoren um eins und damit ihre Geradheit/Ungeradheit.

- Zähle die negativen Faktoren in A und B. - Nutze für b) die bereits bestimmten Vorzeichen. - Formuliere c) ohne Variable nur mit „gerade“ und „ungerade“.

1. A enthält zehn negative Faktoren und ist positiv; B enthält elf negative Faktoren und ist negativ. 2. Positiv mal negativ ist negativ; also ist \(A\cdot B\) negativ. 3. Ein Produkt ausschließlich negativer Faktoren ist genau dann negativ, wenn die Anzahl der Faktoren ungerade ist.

a) \(A\) ist positiv. b) \(A\cdot B\) ist negativ. c) Das Produkt ist bei einer ungeraden Anzahl negativer Faktoren negativ.

- Welche Vorzeichen entstehen bei geraden beziehungsweise ungeraden Potenzen negativer Zahlen? - Vergleiche negative Zahlen auf der Zahlengeraden. - Der Betrag ist der Abstand einer Zahl von der Null.

1. Es gilt \(A=-1000\), \(B=10\,000\) und \(C=-100\,000\). 2. Damit ist \(C\) der kleinste Wert. 3. Nur \(B\) ist positiv. 4. Der Betrag von \(B\) ist \(10\,000\).

a) Term C mit \(-100\,000\) b) Nur Term B c) \(10\,000\)

- Berechne einige frühe Glieder und suche nach einem periodischen Muster. - Welche Werte gehören zu geraden, welche zu ungeraden Positionen? - Nutze die Parität von \(100\), ohne alle Glieder auszurechnen.

1. Die Werte wechseln periodisch zwischen \(-2\) bei ungeradem Index und \(1\) bei geradem Index. 2. Daher ist das 6. Glied positiv und hat den Wert \(1\). 3. Das 7. Glied ist negativ und hat den Wert \(-2\). 4. Das 100. Glied hat wegen des geraden Index den Wert \(1\), also den Betrag \(1\).

a) positiv, \(1\) b) negativ, \(-2\) c) \(1\)

- Welche Vorzeichenfolge entsteht bei Potenzen einer negativen Zahl? - Was unterscheidet gerade und ungerade Exponenten? - In c) wird zuerst die Potenz und erst danach das äußere Minus ausgewertet.

1. Die ersten fünf Werte sind \(-2,4,-8,16,-32\). 2. Bei negativer Basis ergeben ungerade Exponenten negative, gerade Exponenten positive Werte. Daher ist das 15. Glied negativ und das 20. positiv. 3. Zuerst gilt \((-2)^4=16\), danach \(-16\). Der letzte Term ist also negativ.

a) \(-2;4;-8;16;-32\) b) 15. Glied negativ; 20. Glied positiv c) negativ, denn \(-(-2)^4=-16\)

- Bringe die Zahlen in eine jeweils günstige gemeinsame Darstellung. - Beachte in b) Punkt-vor-Strich. - Kontrolliere die Vorzeichen bei negativen Summanden und Faktoren.

1. \(-3\frac{1}{2}+5-\frac{3}{4}=-3{,}5+5-0{,}75=0{,}75\). 2. \(1{,}2=\frac{6}{5}\), daher \(\frac{6}{5}\cdot(-\frac{5}{6})=-1\); anschließend \(-1+2{,}5=1{,}5\).

a) \(0{,}75\) b) \(1{,}5\)

- Berechne in a) zuerst die Klammer. - Wie wird eine Division durch einen Bruch umgeformt? - Beachte Punkt-vor-Strich in b).

1. \(\frac{2}{5}-1=-\frac{3}{5}\) und \(-2\frac{1}{2}=-\frac{5}{2}\); damit ist das Produkt \(\frac{3}{2}\). 2. \(\frac{3}{8}:(-\frac{1}{4})=-\frac{3}{2}\) und \(0{,}5\cdot3=1{,}5\); daher gilt \(-1{,}5-1{,}5=-3\).

a) \(\frac{3}{2}\) b) \(-3\)

- Berechne jeweils zuerst die Klammer. - Kürze beim Multiplizieren oder bei der Kehrwertmultiplikation frühzeitig. - Achte auf die Vorzeichen der Zwischenwerte.

1. \(\frac{2}{7}-2=-\frac{12}{7}\); daher ist \(-\frac{7}{10}\cdot(-\frac{12}{7})=1{,}2\) und anschließend \(1{,}2-1{,}4=-0{,}2\). 2. \(1\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{3}{2}\); danach \(\frac{3}{2}:(-\frac{3}{4})=-2\) und \(-2\cdot0{,}5=-1\).

a) \(\frac{2}{7}-2=-\frac{12}{7}\), dann \(-\frac{7}{10}\cdot(-\frac{12}{7})=1{,}2\), schließlich \(1{,}2-1{,}4=-0{,}2\). b) \(1\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{3}{2}\), dann \(\frac{3}{2}:(-\frac{3}{4})=-2\), schließlich \(-2\cdot0{,}5=-1\).

- Beachte Punkt-vor-Strich und Klammern zuerst. - Kürze bei Produkten möglichst früh. - Denke daran, wie eine Division durch eine ganze Zahl als Bruchrechnung geschrieben werden kann.

1. \(\frac{5}{6}\cdot\frac{3}{10}=\frac{1}{4}\) und \(\frac{1}{4}:(-2)=-\frac{1}{8}\); daher ist \(\frac{1}{4}-(-\frac{1}{8})=\frac{3}{8}\). 2. \(-\frac{2}{3}+\frac{5}{6}=\frac{1}{6}\); damit ist \(\frac{1}{6}\cdot12-7{,}5=2-7{,}5=-5{,}5\).

a) \(\frac{3}{8}\) b) \(-5{,}5\)

- Was passiert mit den Vorzeichen, wenn ein Minuszeichen vor einer Klammer mit einem negativen Wert steht? - Suche nach einem gemeinsamen Nenner für alle Brüche, bevor du addierst oder subtrahierst. - Kannst du die Zahl 1 auch als einen Bruch mit diesem Nenner schreiben?

1. Auflösen des Doppelzeichens: \( \frac{2}{3} + \frac{1}{4} + \frac{5}{6} - 1 \) 2. Bestimmung des Hauptnenners (\( 12 \)) und Erweitern der Brüche: \( \frac{8}{12} + \frac{3}{12} + \frac{10}{12} - \frac{12}{12} \) 3. Zusammenfassen der Zähler: \( \frac{8 + 3 + 10 - 12}{12} = \frac{9}{12} \) 4. Kürzen des Ergebnisses: \( \frac{3}{4} \) (entspricht \( 0{,}75 \))

\( \frac{3}{4} \) oder \( 0{,}75 \)

- Erinnere dich an die Regel „Klammer vor Punkt vor Strich“. - Wie dividiert man durch einen Bruch? - Achte besonders auf das Vorzeichen beim letzten Rechenschritt.

1. Berechnung der Klammer: \( \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} \) 2. Multiplikation des Zwischenergebnisses: \( \frac{5}{6} \cdot \frac{6}{5} = 1 \) 3. Division durch den negativen Bruch (Multiplikation mit dem Kehrwert): \( \frac{3}{4} \cdot ( - 2 ) = - \frac{6}{4} = - 1{,}5 \) 4. Subtraktion der Teilergebnisse: \( 1 - ( - 1{,}5 ) = 1 + 1{,}5 = 2{,}5 \)

\( 2{,}5 \) oder \( \frac{5}{2} \)

- Wandle gemischte Zahlen zuerst in unechte Brüche um. - Berechne zuerst die Ausdrücke innerhalb der eckigen Klammer. - Beachte innerhalb der Klammer die Regel „Punkt vor Strich“. - Kannst du Brüche vor dem Multiplizieren kürzen, um die Rechnung zu vereinfachen?

1. Erste Punktrechnung in der eckigen Klammer: \( \frac{2}{3} \cdot ( - \frac{3}{8} ) = - \frac{6}{24} = - \frac{1}{4} \) 2. Zweite Punktrechnung in der eckigen Klammer: \( \frac{1}{2} : \frac{4}{5} = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{4} = \frac{5}{8} \) 3. Addition innerhalb der eckigen Klammer auf den Nenner 8: \( - \frac{2}{8} + \frac{5}{8} = \frac{3}{8} \) 4. Umwandlung der gemischten Zahl und finale Subtraktion: \( \frac{5}{4} - \frac{3}{8} = \frac{10}{8} - \frac{3}{8} = \frac{7}{8} \) (entspricht \( 0{,}875 \))

\( \frac{7}{8} \) oder \( 0{,}875 \)

- Schreibe \(4,8,16\) und \(32\) jeweils als Zweierpotenz. - Wie verändert sich der Exponent beim Potenzieren einer Potenz? - Bei gleicher Basis entscheidet der Exponent über die Größe.

1. Umgeschrieben ergeben sich \(2^{12},2^{14},2^{11},2^{12},2^{10}\). 2. Damit gilt \(2^{10}<2^{11}<2^{12}=2^{12}<2^{14}\). 3. Der kleinste Wert ist daher \(32^2\), der größte \(4^7\).

Kleinster Wert: \(32^2\) Größter Wert: \(4^7\)

- Wie multipliziert man Brüche miteinander? - Wie dividiert man durch einen Bruch? - Denke daran, die Brüche vor der Addition auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen.

1. Multiplikation der ersten beiden Brüche: \((-\frac{5}{6}) \cdot \frac{3}{10} = -\frac{15}{60} = -\frac{1}{4}\) 2. Division im zweiten Teilterm durch Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{2}{5} \cdot (-\frac{5}{4}) = -\frac{10}{20} = -\frac{1}{2}\) 3. Addition der beiden Zwischenergebnisse: \(-\frac{1}{4} + (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{4} - \frac{2}{4} = -\frac{3}{4}\)

Das Ergebnis ist \(-\frac{3}{4}\) (oder \(-0{,}75\)).

- Welche Rechnung muss in Term A wegen der Klammer zuerst ausgeführt werden? - Welche Vorrangregel gilt in Term B ohne diese Klammer? - Vergleiche die beiden Werte erst nach korrekter Auswertung.

1. Für \(A\) wird wegen der Klammer zuerst \(2{,}4-5{,}4=-3\) berechnet. Danach gilt \(-3\cdot(-3)=9\). 2. Für \(B\) gilt Punkt-vor-Strich: \(-3\cdot2{,}4=-7{,}2\), danach \(-7{,}2-5{,}4=-12{,}6\). 3. Da \(9>-12{,}6\), hat \(A\) den größeren Wert.

\(A=-3\cdot(-3)=9\) \(B=-7{,}2-5{,}4=-12{,}6\) Daher ist \(A>B\).

- Wandle die Dezimalzahl und die gemischte Zahl zuerst in Brüche um. - Denke an die Regel „Klammer zuerst“. - Wie dividiert man zwei Brüche miteinander? - Achte auf das Vorzeichen beim Rechnen mit negativen Zahlen.

1. \(1\frac{1}{3}-0{,}5=\frac{4}{3}-\frac{1}{2}=\frac{5}{6}\). 2. \(\frac{1}{6}-1=-\frac{5}{6}\). 3. \(\frac{5}{6}:(-\frac{5}{6})=-1\). 4. \(-1\cdot\frac{3}{5}=-\frac{3}{5}\).

\(1\frac{1}{3}-0{,}5=\frac{5}{6}\) \(\frac{1}{6}-1=-\frac{5}{6}\) \(\frac{5}{6}:(-\frac{5}{6})=-1\) \(-1\cdot\frac{3}{5}=-\frac{3}{5}\)

- Bestimme für die Subtraktionen in den Klammern jeweils den kleinsten gemeinsamen Nenner. - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine positive Zahl durch eine negative Zahl teilst? - Überlege am Ende, ob es einfacher ist, mit Brüchen oder mit Dezimalzahlen weiterzurechnen.

1. Berechnung der ersten Klammer mit dem Hauptnenner 12: \( \frac{10}{12} - \frac{9}{12} = \frac{1}{12} \) 2. Berechnung der zweiten Klammer mit dem Hauptnenner 6: \( \frac{3}{6} - \frac{4}{6} = -\frac{1}{6} \) 3. Division der Ergebnisse: \( \frac{1}{12} : \left( -\frac{1}{6} \right) = \frac{1}{12} \cdot (-6) = -\frac{1}{2} \) (oder \( -0{,}5 \)) 4. Finale Addition: \( -0{,}5 + 1{,}5 = 1 \)

Der Wert des Terms ist \( 1 \).

- Beachte Potenz, Klammer und Punkt-vor-Strich. - Wechsle zwischen Bruch und Dezimalzahl nur dort, wo die Rechnung dadurch einfacher wird. - Prüfe die Größenordnung jedes Ergebnisses.

1. \(0{,}3\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{10}\); daher gilt \(\frac{2}{5}+\frac{1}{10}=0{,}5\). 2. \(1{,}2-\frac{3}{4}=0{,}45\); danach \(0{,}45:0{,}5=0{,}9\). 3. \(0{,}75^2=\frac{9}{16}\); daher gilt \(\frac{9}{16}-\frac{1}{8}=\frac{7}{16}=0{,}4375\).

a) \(0{,}5\) b) \(0{,}9\) c) \(0{,}4375\)

- Beachte, ob ein Minuszeichen zur potenzierten Basis gehört oder vor der Potenz steht. - Arbeite bei Klammern und Potenzen von innen nach außen. - Bestimme vor einer Multiplikation das Vorzeichen.

1. \(-2^4=-16\) und \((-3)^2\cdot\frac{1}{9}=1\); damit ist der Wert \(-15\). 2. \(\frac{1}{2}-\frac{2}{3}=-\frac{1}{6}\), dessen Quadrat ist \(\frac{1}{36}\); daher gilt \(\frac{5}{6}-\frac{1}{36}=\frac{29}{36}\). 3. \(10-10^2=10-100=-90\); daher ist \(-0{,}1\cdot(-90)=9\).

a) \(-15\) b) \(\frac{29}{36}\) c) \(9\)

- Ein Bruchstrich bündelt Zähler und Nenner wie Klammern. - Arbeite bei geschachtelten Klammern von innen nach außen. - Beachte bei c) zuerst die Potenz und dann die Division.

1. a) Zähler: \(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\). Nenner: \(\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{5}{12}\). Daher \(\frac{1}{6}:\frac{5}{12}=\frac{2}{5}\). 2. b) \(1-\frac{4}{5}=0{,}2\), dann \(0{,}5\cdot0{,}2+0{,}1=0{,}2\), daher \(2-0{,}2=1{,}8\). 3. c) \((-\frac{2}{3})^3=-\frac{8}{27}\), dann \(-\frac{8}{27}:\frac{4}{9}=-\frac{2}{3}\), schließlich \(-\frac{2}{3}+1=\frac{1}{3}\).

a) \(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\), \(\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{5}{12}\), also \(\frac{1}{6}:\frac{5}{12}=\frac{2}{5}\). b) \(1-\frac{4}{5}=0{,}2\), dann \(0{,}5\cdot0{,}2+0{,}1=0{,}2\), also \(2-0{,}2=1{,}8\). c) \((-\frac{2}{3})^3=-\frac{8}{27}\), dann \(-\frac{8}{27}:\frac{4}{9}=-\frac{2}{3}\), also \(-\frac{2}{3}+1=\frac{1}{3}\).

- Beachte Punkt-vor-Strich und berechne Klammern zuerst. - Bei Division durch einen Bruch hilft der Kehrwert. - Kürze möglichst vor dem Multiplizieren.

1. \(\frac{5}{6}\cdot\frac{9}{10}=\frac{3}{4}\); daher gilt \(\frac{3}{8}-\frac{3}{4}=-\frac{3}{8}\). 2. \(\frac{2}{5}+\frac{1}{2}=\frac{9}{10}\); daher ist \(\frac{9}{10}:(-\frac{3}{20})=-6\). 3. \(\frac{4}{7}:\frac{8}{21}=\frac{3}{2}\); daher gilt \(2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\).

a) \(-\frac{3}{8}\) b) \(-6\) c) \(\frac{1}{2}\)

- Wandle alle Zahlen in die gleiche Darstellung (Brüche) um, um besser rechnen zu können. - Welche Rechenoperation musst du zuerst ausführen? Denke an „Klammer vor Punkt vor Strich“. - Wie dividiert man durch einen Bruch?

1. Umwandlung der Dezimalzahl: \(0{,}5 = \frac{1}{2}\). 2. Berechnung des Klammerinhalts: \(\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}\). 3. Division nach der Punkt-vor-Strich-Regel durchführen: \(\frac{5}{6} : \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{5}{6} \cdot (-2) = -\frac{10}{6} = -\frac{5}{3}\). 4. Subtraktion durchführen: \(\frac{5}{6} - \left( -\frac{5}{3} \right) = \frac{5}{6} + \frac{5}{3} = \frac{5}{6} + \frac{10}{6} = \frac{15}{6}\). 5. Kürzen des Ergebnisses: \(\frac{15}{6} = \frac{5}{2} = 2{,}5\).

\(2{,}5\) (oder \(\frac{5}{2}\))

- Berechne zuerst den Wert jedes Terms einzeln. - Vergleiche danach die Abstände der Ergebnisse von \(0\). - Welcher Betrag ist am kleinsten?

1. \(A=-12+10=-2\); Abstand zu \(0\): \(2\). 2. \(B=-5+4=-1\); Abstand zu \(0\): \(1\). 3. \(C=-3+2{,}8=-0{,}2\); Abstand zu \(0\): \(0{,}2\). 4. Der kleinste Abstand ist \(0{,}2\), also liegt \(C\) am nächsten bei \(0\).

\(A=-2\), Abstand \(2\) \(B=-1\), Abstand \(1\) \(C=-0{,}2\), Abstand \(0{,}2\) Daher liegt Term \(C\) am nächsten bei \(0\).

- Welche Klammer musst du zuerst auflösen? - Denk an die Regel „Punkt vor Strich“. - Was passiert, wenn du eine größere Zahl von einer kleineren abziehst?

1. Berechnung der inneren runden Klammer: \(15 + 5 = 20\) 2. Berechnung innerhalb der eckigen Klammer (Punkt vor Strich): \(20 \cdot 2 = 40\) 3. Abschluss der eckigen Klammer: \(40 - 10 = 30\) 4. Multiplikation vor Subtraktion im Hauptterm: \(3 \cdot 30 = 90\) 5. Finale Subtraktion: \(60 - 90 = -30\)

\(-30\)

- Weiter links auf der Zahlengeraden bedeutet einen kleineren Zahlenwert. - Welche Gegenzahl ergänzt eine gegebene Zahl zur Summe \(0\)? - Für den Spiegelpunkt musst du den Weg von der Ausgangszahl über \(0\) bis zur Gegenzahl betrachten.

1. \((-12)+7=-5\) und \((-3)+(-3)=-6\). Da \(-6<-5\), liegt die zweite Summe weiter links. 2. Zu \(-4{,}8\) muss die Gegenzahl \(4{,}8\) addiert werden: \(-4{,}8+4{,}8=0\). 3. Der Spiegelpunkt von \(-2{,}4\) ist \(2{,}4\). Die nötige Verschiebung beträgt insgesamt \(4{,}8\) Einheiten nach rechts. Daher gilt \(-2{,}4+4{,}8=2{,}4\).

a) \((-3)+(-3)\) liegt weiter links, denn \(-6<-5\). b) \(4{,}8\) c) \(4{,}8\); Rechnung: \(-2{,}4+4{,}8=2{,}4\)

- Berechne zunächst jeden Term einzeln. - Nutze für den Vergleich möglichst eine gemeinsame Darstellung. - Bei negativen Zahlen liegt die betragsmäßig größere negative Zahl weiter links.

1. \(-12{,}5+7{,}8=-4{,}7\). 2. \(-\frac{3}{5}-\frac{1}{2}=-\frac{11}{10}=-1{,}1\). 3. \(4\frac{1}{3}-2\frac{5}{6}=\frac{26}{6}-\frac{17}{6}=1{,}5\). 4. \(-0{,}75-(-1{,}2)=0{,}45\). 5. Damit gilt \(-4{,}7<-1{,}1<0{,}45<1{,}5\), also ist die Reihenfolge a), b), d), c).

a) \(-4{,}7\) b) \(-1{,}1\) c) \(1{,}5\) d) \(0{,}45\) Reihenfolge: a), b), d), c).

- Setze die Werte für \(x\) nacheinander in den Ausdruck ein und achte auf die Klammern bei negativen Zahlen. - Beim Subtrahieren einer negativen Zahl addierst du ihre Gegenzahl. - Vergleiche die drei Ergebnisse aus Aufgabenteil a). Werden sie größer oder kleiner? - Was bedeutet es für eine Differenz, wenn die Zahl, die abgezogen wird, immer kleiner wird?

1. Einsetzen von \(x = 2\): \(-4{,}5 - 2 = -6{,}5\) 2. Einsetzen von \(x = -2\): \(-4{,}5 - (-2) = -4{,}5 + 2 = -2{,}5\) 3. Einsetzen von \(x = -4{,}5\): \(-4{,}5 - (-4{,}5) = -4{,}5 + 4{,}5 = 0\) 4. Vergleich der Ergebnisse: Da \(2 > -2 > -4{,}5\), wird \(x\) kleiner; die Ergebnisse \(-6{,}5 < -2{,}5 < 0\) zeigen, dass der Wert des Ausdrucks dabei größer wird. 5. Begründung: Wird \(x\) kleiner, wird seine Gegenzahl \(-x\) größer. Deshalb wird auch der Wert von \(-4{,}5 - x\) größer.

a) Für \(x = 2\) ist das Ergebnis \(-6{,}5\); für \(x = -2\) ist es \(-2{,}5\); für \(x = -4{,}5\) ist es \(0\). b) Das Ergebnis wird größer, wenn \(x\) kleiner wird, weil dann die Gegenzahl \(-x\) größer wird.

- Subtrahieren einer negativen Zahl bedeutet Addieren ihrer Gegenzahl. - Vergleiche die beiden Ergebnisse auch über ihren Betrag und ihr Vorzeichen. - Zum Widerlegen einer allgemeinen Aussage genügt ein passendes Gegenbeispiel.

1. \(x-y=-6{,}2-(-3{,}4)=-2{,}8\). 2. \(y-x=-3{,}4-(-6{,}2)=2{,}8\). 3. Die beiden Ergebnisse sind Gegenzahlen. 4. Zum Beispiel ist \((-10)-(-2)=-8\) negativ; damit ist Elifs Behauptung widerlegt.

a) \(-2{,}8\) b) \(2{,}8\) c) Die Ergebnisse sind Gegenzahlen. d) Zum Beispiel \((-10)-(-2)=-8\); die Behauptung ist falsch.

- Subtrahieren einer Zahl entspricht dem Addieren ihrer Gegenzahl. - Bringe Brüche bei Bedarf auf einen gemeinsamen Nenner. - Wandle gemischte Zahlen in unechte Brüche um, wenn das die Rechnung vereinfacht.

1. \(-\frac{7}{8}-\frac{1}{8}+3=-1+3=2\). 2. \(\frac{2}{5}+\frac{1}{2}-\frac{9}{10}=0\). 3. \(-2\frac{1}{4}+\frac{3}{4}-1=-2\frac{1}{2}\).

1) \(2\) 2) \(0\) 3) \(-2\frac{1}{2}\)

- Welche Vorzeichen entstehen bei geraden und ungeraden Exponenten negativer Zahlen? - Potenziere bei einem Bruch Zähler und Nenner. - Wandle die gemischte Zahl vor dem Potenzieren in einen unechten Bruch um.

1. \((-8)^2=64\). 2. \((-3)^3=-27\). 3. \(\left(-\frac{2}{5}\right)^2=\frac{4}{25}\). 4. \((-0{,}1)^3=-0{,}001\). 5. \(-1\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}\), also \(\left(-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}=2\frac{1}{4}\).

1) \(64\) 2) \(-27\) 3) \(\frac{4}{25}\) 4) \(-0{,}001\) 5) \(2\frac{1}{4}\)

- Betrachte die beiden Äste des Rechenbaums getrennt voneinander. Was wird links berechnet, was rechts? - Wie verbinden wir die beiden Teilergebnisse am Ende? Welche Rolle spielen dabei Klammern? - Rechnest du mit Dezimalzahlen, ist es oft hilfreich, die Stellen nach dem Komma genau untereinander zu betrachten. - Berechne erst die beiden oberen Verknüpfungen, bevor du das Endergebnis ganz unten bestimmst.

1. Aufstellen des Terms aus dem Rechenbaum: - Der linke Ast berechnet eine Summe: \((4{,}5 + 1{,}5)\). - Der rechte Ast berechnet eine Differenz: \((12{,}8 - 7{,}3)\). - Beide Teilergebnisse werden miteinander multipliziert. Da die Punktrechnung (Multiplikation) stärker bindet als Strichrechnungen (Addition, Subtraktion), müssen beide Teilausdrücke in Klammern gesetzt werden. - Der vollständige Term lautet: \((4{,}5 + 1{,}5) \cdot (12{,}8 - 7{,}3)\). 2. Berechnung der Werte: - Linke Klammer (Addition): \(4{,}5 + 1{,}5 = 6\) - Rechte Klammer (Subtraktion): \(12{,}8 - 7{,}3 = 5{,}5\) - Multiplikation (Endwert): \(6 \cdot 5{,}5 = 33\)

a) Der Term lautet: \((4{,}5 + 1{,}5) \cdot (12{,}8 - 7{,}3)\) b) Die Zwischenergebnisse sind \(6\) und \(5{,}5\). Der Endwert des Terms ist \(33\).

- Folge den Verbindungen im Baum: Welche Operation wird jeweils zuerst ausgeführt? - Übertrage diese Gruppierung mit Klammern in den Term. - Achte bei negativen Zahlen auf die Vorzeichenregeln.

1. Im ersten Baum wird zuerst \(-15+7=-8\) berechnet; danach folgt die Multiplikation mit \(-4\). Der Term lautet \((-15+7)\cdot(-4)\) und hat den Wert \(32\). 2. Im zweiten Baum wird zuerst \(60:(-5)=-12\) berechnet; danach wird zu \(-100\) addiert. Der Term lautet \(-100+(60:(-5))\) und hat den Wert \(-112\).

a) Term: \((-15+7)\cdot(-4)\); Ergebnis: \(32\) b) Term: \(-100+(60:(-5))\); Ergebnis: \(-112\)

- Lies zuerst die beiden innersten Verknüpfungen des Baums ab; ihre Ergebnisse werden jeweils weiterverwendet. - Beim Aufschreiben als Term müssen die Teilrechnungen, die im Baum zusammengehören, durch Klammern erhalten bleiben. - Berechne erst beide großen Äste vollständig und führe die Subtraktion an der Wurzel zuletzt aus.

1. Linke Seite berechnen: \(4{,}2-1{,}2=3{,}0\), dann \(10{,}5-3{,}0=7{,}5\). 2. Rechte Seite berechnen: \(2{,}8-0{,}8=2{,}0\), dann \(1{,}5+2{,}0=3{,}5\). 3. Endergebnis: \(7{,}5-3{,}5=4{,}0\). 4. Der zugehörige Term lautet \((10{,}5-(4{,}2-1{,}2))-(1{,}5+(2{,}8-0{,}8))\).

Der Term lautet \((10{,}5-(4{,}2-1{,}2))-(1{,}5+(2{,}8-0{,}8))\). Das Ergebnis ist \(4{,}0\).

- Achte beim ersten Schritt auf das Minuszeichen vor der 15. - Berechne die beiden Hauptäste getrennt voneinander, bevor du sie multiplizierst. - Gehe in der rechten Baumhälfte schrittweise von innen nach außen vor.

1. Term aufstellen: \((-15 + 25) \cdot (40 - (30 - 10))\) 2. Linke Klammer (Addition rationaler Zahlen): \(-15 + 25 = 10\) 3. Rechte innere Klammer: \(30 - 10 = 20\) 4. Rechte äußere Klammer: \(40 - 20 = 20\) 5. Finale Multiplikation: \(10 \cdot 20 = 200\)

Der Wert des Terms ist \(200\).

- Gehe den Baum von oben nach unten durch und notiere die Teilergebnisse. - Denke daran: Das Subtrahieren einer negativen Zahl entspricht dem Addieren der Gegenzahl. - Setze Klammern um die Ausdrücke, die in den Zweigen berechnet werden.

1. Aufstellen des Terms: \((-20 + 35) + (10 - (-15))\) 2. Berechnung des linken Zweigs: \(-20 + 35 = 15\) 3. Berechnung des rechten Zweigs: \(10 - (-15) = 10 + 15 = 25\) 4. Addition der Zwischenergebnisse: \(15 + 25 = 40\) Das Ergebnis ist \(40\).

Term: \((-20 + 35) + (10 - (-15))\) Ergebnis: \(40\)

- Berechne zuerst den Wert in dem Kästchen, das zwei Zahlen verbindet. - Achte beim Dividieren auf die Vorzeichenregeln. - Wo müssen im Term Klammern stehen, damit die Addition zuerst gerechnet wird?

1. Berechnung der Summe in der rechten Verzweigung: \(12 + 3 = 15\). 2. Durchführung der Division für das Endergebnis: \(-60 : 15 = -4\). 3. Bildung des Terms unter Berücksichtigung der Rechenreihenfolge: Da die Addition zuerst ausgeführt wird, lautet der Term \(-60 : (12 + 3)\).

Das Zwischenergebnis ist \(15\), das Endergebnis ist \(-4\). Der Term lautet \(-60 : (12 + 3)\).

- Gehe von oben nach unten vor und achte auf die Vorzeichen der Zahlen. - Denke an die Vorzeichenregeln für die Multiplikation zweier negativer Zahlen.

1. Linke Verzweigung: \(15 - 25 = -10\). 2. Rechte Verzweigung: \(48 : (-6) = -8\). 3. Endergebnis durch Multiplikation der Zwischenergebnisse: \((-10) \cdot (-8) = 80\). 4. Zugehöriger Term: \((15 - 25) \cdot (48 : (-6))\).

Die Zwischenergebnisse sind \(-10\) und \(-8\). Das Endergebnis ist \(80\). Der Term lautet \((15 - 25) \cdot (48 : (-6))\).

- Welche Rechenoperation steht ganz unten im Baum? Das ist der letzte Schritt deiner Rechnung. - Überlege dir, welche Zahlen oder Teilergebnisse durch die Rechenzeichen verbunden werden. - Achte beim Aufschreiben des Terms darauf, Klammern zu setzen, damit die Reihenfolge der Rechnungen erhalten bleibt.

1. Den Term aus dem Rechenbaum ablesen: Zuerst wird die Multiplikation \(5 \cdot (-6) = -30\) berechnet. 2. Danach wird dieses Ergebnis von \(-20\) subtrahiert: \(-20 - (-30) = -20 + 30 = 10\). 3. Als letzter Schritt wird das Zwischenergebnis durch \(-2\) dividiert: \(10 : (-2) = -5\). Der vollständige Term lautet \(((-20) - 5 \cdot (-6)) : (-2)\). Sein Wert ist \(-5\).

Der Term lautet \(((-20) - 5 \cdot (-6)) : (-2)\). Der Wert des Terms ist \(-5\).

- Wie liest man einen solchen Baum? Die obersten Zahlen sind die Ausgangswerte. - Ein Rechenzeichen zwischen zwei Linien bedeutet, dass die Werte oberhalb damit verknüpft werden. - Denke an die Vorzeichenregeln beim Rechnen mit Dezimalzahlen.

1. Berechnung des rechten Zweigs: \(-0{,}4 \cdot 5 = -2{,}0\). 2. Addition zum linken Zweig: \(0{,}6 + (-2{,}0) = 0{,}6 - 2{,}0 = -1{,}4\). 3. Division durch die letzte Zahl: \(-1{,}4 : 0{,}2 = -7\). Der Term ist \((0{,}6 + (-0{,}4) \cdot 5) : 0{,}2\). Sein Wert ist \(-7\).

Der Term ist \((0{,}6 + (-0{,}4) \cdot 5) : 0{,}2\). Das Ergebnis ist \(-7\).

- Dieser Baum hat zwei Hauptzweige, die am Ende voneinander abgezogen werden. - Berechne erst den linken und dann den rechten Zweig komplett fertig. - Sei vorsichtig mit den Vorzeichen, besonders bei der Subtraktion am Ende.

1. Linker Teilbaum: \(-3 \cdot 8 = -24\). 2. Rechter Teilbaum (innerster Schritt): \(-4 \cdot (-2) = 8\). 3. Rechter Teilbaum (nächster Schritt): \(-10 + 8 = -2\). 4. Gesamtergebnis (letzter Schritt): \(-24 - (-2) = -24 + 2 = -22\). Term: \((-3) \cdot 8 - ((-10) + (-4) \cdot (-2))\). Wert: \(-22\).

Der Term lautet \((-3) \cdot 8 - ((-10) + (-4) \cdot (-2))\). Der Wert ist \(-22\).

- Zerlege den Term in die eckige Klammer, die Division und den Betrag. - Beachte das Vorzeichen bei Potenzen mit negativer Basis. - Fasse die drei Teilergebnisse erst am Ende zusammen.

1. \((-2)^5=-32\) und \((-4)\cdot(-7)=28\); die eckige Klammer hat daher den Wert \(-60\). 2. \((-2)^3=-8\), also gilt \(120:(-8)=-15\). 3. \(|-10|=10\). 4. Damit ist \(-60-(-15)+10=-35\).

\(-35\)

- Welche Darstellung von \(0{,}75\) ist für die Multiplikation mit \(\frac{2}{3}\) besonders günstig? - Wandle die gemischte Zahl für die Division in eine passende Darstellung um. - Führe Potenz und Punktrechnungen vor der abschließenden Addition und Subtraktion aus.

1. Schreibe \(0{,}75=\frac{3}{4}\). Dann gilt \(\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{2}=0{,}5\). 2. Für die Division gilt \(1\frac{1}{2}:0{,}75=1{,}5:0{,}75=2\). 3. \((\frac{1}{2})^3=\frac{1}{8}=0{,}125\). 4. Damit ist \(0{,}5+2-0{,}125=2{,}375\).

\(2{,}375\)

- Bestimme zunächst nur die Vorzeichen der beiden großen Rechenteile. - Vergleiche bei der Klammer in \(B\) die Beträge der beiden Summanden. - Erst in b) brauchst du die exakten Werte der Klammern.

1. Bei \(A\) ist \(\frac{1}{2}-\frac{3}{4}<0\). Das Produkt aus zwei negativen Faktoren ist positiv. 2. Bei \(B\) ist die Klammer negativ, weil \(\left|-2\frac{2}{3}\right|>1\frac{1}{6}\). Die Division durch die positive Zahl \(\frac{1}{2}\) ändert das Vorzeichen nicht. Also ist \(B\) negativ. 3. \(A=-\frac{25}{8}\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)=\frac{25}{32}\). 4. \(B=\left(-\frac{16}{6}+\frac{7}{6}\right):\frac{1}{2}=-\frac{9}{6}\cdot2=-3\).

a) Term \(B\) ist negativ. Bei \(A\) werden zwei negative Faktoren multipliziert; bei \(B\) bleibt die negative Klammer durch die Division durch eine positive Zahl negativ. b) \(A=\frac{25}{32}\); \(B=-3\)

- Betrachte Zähler und Nenner zunächst getrennt. - Welche Zahl kommt in beiden Produkten des Zählers als gemeinsamer Faktor vor? - Vereinfache den Nenner vollständig, bevor du den Gesamtquotienten bildest.

1. Zähler: \(12{,}5\cdot(3{,}7+4{,}3)=12{,}5\cdot8=100\). 2. Nenner: \(\frac{2}{3}+\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\) und \(\frac{5}{6}:\frac{1}{12}=10\). 3. Gesamtwert: \(100:10=10\).

Zähler: \(12{,}5\cdot(3{,}7+4{,}3)=100\). Nenner: \((\frac{2}{3}+\frac{1}{6}):\frac{1}{12}=10\). Gesamt: \(100:10=10\).

- Manchmal reicht es, zuerst nur das Vorzeichen eines Ergebnisses zu bestimmen. - Überlege bei b), wie Addition beziehungsweise Subtraktion einer positiven Zahl die Lage auf der Zahlengeraden verändert. - Vergleiche bei d) die Wirkung von Multiplikation und Division durch eine Zahl zwischen \(0\) und \(1\).

1. \((-0{,}5)^2\) ist positiv, \((-0{,}5)^3\) negativ. Daher gilt \(>\). 2. Links wird zu \(-5{,}5\) etwas Positives addiert, rechts etwas Positives abgezogen. Daher gilt \(>\). 3. Ein Produkt aus drei negativen Faktoren ist negativ und damit kleiner als \(0\). Daher gilt \(<\). 4. Division durch \(0{,}5\) verdoppelt den Betrag, Multiplikation mit \(0{,}5\) halbiert ihn. Beide Ergebnisse sind negativ; der Wert mit größerem Betrag ist kleiner. Daher gilt \(<\).

a) \(>\), weil ein gerader Exponent einen positiven und ein ungerader Exponent einen negativen Wert ergibt. b) \(>\), weil links etwas Positives addiert und rechts etwas Positives subtrahiert wird. c) \(<\), weil das Produkt aus drei negativen Faktoren negativ ist. d) \(<\), weil die Division durch \(0{,}5\) den Betrag verdoppelt, die Multiplikation mit \(0{,}5\) ihn aber halbiert; beide Werte sind negativ.

- Bestimme in a) nacheinander nur die Vorzeichen der Teilergebnisse. - Welche Wirkung hat das Subtrahieren eines negativen Werts in der eckigen Klammer? - Für b) kannst du die Division durch einen Bruch als Multiplikation mit seinem Kehrwert schreiben.

1. Das innere Produkt ist negativ. Durch das Minus davor wird daraus eine Addition; da \(\frac{3}{4}>\frac{5}{12}\), ist die eckige Klammer positiv. Division durch \(-\frac{1}{6}\) ergibt deshalb ein negatives Endergebnis. 2. \(\frac{1}{4}\cdot(-3)=-\frac{3}{4}\). 3. \(-\frac{5}{12}-(-\frac{3}{4})=-\frac{5}{12}+\frac{9}{12}=\frac{1}{3}\). 4. \(\frac{1}{3}:(-\frac{1}{6})=\frac{1}{3}\cdot(-6)=-2\).

a) Negativ: Die eckige Klammer ist positiv, weil \(\frac{3}{4}>\frac{5}{12}\); die Division durch eine negative Zahl macht das Endergebnis negativ. b) \(\frac{1}{4}\cdot(-3)=-\frac{3}{4}\), dann \(-\frac{5}{12}-(-\frac{3}{4})=\frac{1}{3}\), schließlich \(\frac{1}{3}:(-\frac{1}{6})=-2\).

- Reicht es aus, wenn nur ein Teil der Multiplikation Null ist? - Probier die Multiplikation mit \(-1\) mal mit einer negativen Zahl aus. - Was passiert bei Quadraten von Zahlen, die zwischen 0 und 1 liegen? - Untersuche auch die Zahlen 0 und 1 für die letzte Behauptung.

1. Zu Teil a): Wähle die Faktoren \(0\) und \(5\). Das Produkt ist \(0 \cdot 5 = 0\). Hier ist nur ein Faktor Null, nicht beide. Somit ist die Aussage „beide müssen Null sein“ falsch. 2. Zu Teil b): Wähle die Zahl \(-3\). Multiplikation mit \(-1\): \(-3 \cdot (-1) = 3\). Da \(3 > -3\), ist das Ergebnis größer und nicht kleiner. 3. Zu Teil c): Wähle die Zahl \(0{,}5\). Berechnung des Quadrats: \(0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25\). Da \(0{,}25 < 0{,}5\), ist das Quadrat kleiner. (Weitere Gegenbeispiele wären \(0\), da \(0^2 = 0\), oder \(1\), da \(1^2 = 1\)).

a) Gegenbeispiel: \(0\cdot5=0\); nur ein Faktor ist null. b) Gegenbeispiel: \((-3)\cdot(-1)=3>-3\). c) Gegenbeispiel: \(0{,}5^2=0{,}25<0{,}5\).

- Berechne zuerst den Wert in der Klammer. Was ist einfacher: Brüche oder Dezimalzahlen? - Denke an die Regel „Klammer zuerst“. - Für den zweiten Teil: Wie viel größer ist \(1{,}5\) im Vergleich zu \(1{,}25\)? Was passiert mit diesem Unterschied im weiteren Verlauf der Rechnung?

1. Schritt: Umwandlung von \(\frac{3}{4}\) in \(0{,}75\). 2. Schritt: Berechnung der Klammer: \(1{,}25 - 0{,}75 = 0{,}5\). 3. Schritt: Division durch \(0{,}5\): \(0{,}5 : 0{,}5 = 1\). 4. Schritt: Addition von \(\frac{1}{10} = 0{,}1\): \(1 + 0{,}1 = 1{,}1\). 5. Analyse der Änderung: Der Wert in der Klammer erhöht sich um \(0{,}25\) (da \(1{,}5 - 1{,}25 = 0{,}25\)). Dieser Unterschied wird anschließend durch \(0{,}5\) dividiert. Da die Division durch \(0{,}5\) einer Verdopplung entspricht, erhöht sich das Endergebnis um \(0{,}25 \cdot 2 = 0{,}5\). Das neue Ergebnis ist \(1{,}6\).

1. Das Ergebnis ist \(1{,}1\). 2. Das Ergebnis erhöht sich um \(0{,}5\) auf insgesamt \(1{,}6\). Da die Differenz in der Klammer um \(0{,}25\) steigt und dieser Wert danach durch \(0{,}5\) geteilt (also verdoppelt) wird, wächst das Endergebnis um \(0{,}5\).

- Behandle den Zähler und den Nenner wie separate Aufgaben, bevor du sie dividierst. - Erinnere dich an die Vorrangregel „Potenz vor Punkt vor Strich“. - Ein Bruchstrich wirkt wie eine Klammer für den gesamten Zähler und den gesamten Nenner. - Kannst du beim Multiplizieren von Brüchen vorab kürzen?

1. Berechnung des Zählers: Zuerst die Potenz \( \left( \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{1}{9} \), dann die Subtraktion \( \frac{1}{2} - \frac{1}{9} = \frac{9}{18} - \frac{2}{18} = \frac{7}{18} \) 2. Berechnung des Nenners: Zuerst die Multiplikation \( \frac{5}{4} \cdot \frac{8}{3} = \frac{10}{3} \), dann die Subtraktion \( \frac{10}{3} - \frac{12}{3} = -\frac{2}{3} \) 3. Division des Zählers durch den Nenner: \( \frac{7}{18} : \left( -\frac{2}{3} \right) = \frac{7}{18} \cdot \left( -\frac{3}{2} \right) = -\frac{7 \cdot 1}{6 \cdot 2} = -\frac{7}{12} \)

Das Ergebnis ist \( -\frac{7}{12} \).