- Bestimme zuerst, welches Vorzeichen das Ergebnis haben muss. - Bei Brüchen hilft ein gemeinsamer Nenner. - Beim Teilen durch einen Bruch multiplizierst du mit seinem Kehrwert.

1. \(-1{,}4+0{,}6=-0{,}8\). 2. \(2\frac{1}{2}=\frac{10}{4}\). Daher \(\frac{10}{4}-\frac{3}{4}=\frac{7}{4}=1\frac{3}{4}\). 3. Zwei negative Faktoren ergeben ein positives Produkt: \((-0{,}5)\cdot(-6)=3\). 4. Teile durch einen Bruch, indem du mit seinem Kehrwert multiplizierst: \(\frac{3}{4}\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)=-\frac{1}{2}\).

a) \(-0{,}8\) b) \(1\frac{3}{4}\) c) \(3\) d) \(-\frac{1}{2}\)

- Rechne Klammern zuerst. - Multiplikationen werden vor Additionen und Subtraktionen berechnet. - Achte bei negativen Zahlen besonders auf die Vorzeichen.

1. \(1{,}2+0{,}4\cdot2=1{,}2+0{,}8=2\). 2. \(\left(\frac{3}{4}-\frac{1}{4}\right)\cdot2=\frac{1}{2}\cdot2=1\). 3. \(-1{,}5+0{,}25\cdot2=-1{,}5+0{,}5=-1\). 4. \(1-\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot\frac{1}{2}=1-\left(-\frac{1}{4}\right)=\frac{5}{4}\).

a) \(2\) b) \(1\) c) \(-1\) d) \(\frac{5}{4}\)

- Welche Rechenart hat in diesem Term Vorrang? - Welche Teilrechnung kannst du zuerst als eigenes Zwischenergebnis bestimmen? - Was musst du bei der letzten Rechenoperation mit den Brüchen beachten?

1. Zuerst die Multiplikation: \(\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\). 2. Danach die Addition: \(\frac{3}{4}+\frac{1}{3}=\frac{9}{12}+\frac{4}{12}=\frac{13}{12}=1\frac{1}{12}\). 3. Zuletzt wird also addiert. Der gesamte Term ist eine Summe.

\(1\frac{1}{12}\). Zuletzt wird addiert; der gesamte Term ist eine Summe.

- Welche Rechnung steht in der Klammer? - Welche Rechenart kommt danach? - Für die Schätzung reichen einfache nahe Zahlen.

1. Klammer: \(3-1{,}4=1{,}6\). 2. Multiplikation: \(0{,}5\cdot1{,}6=0{,}8\). 3. Addition: \(-1{,}2+0{,}8=-0{,}4\). 4. Überschlag: \(-1+1\approx0\). Ein Ergebnis nahe bei \(0\) ist plausibel.

\(-0{,}4\). Zwischenergebnisse: \(1{,}6\) und \(0{,}8\).

- Erinnere dich an die Regel: Klammern zuerst. - Um Brüche zu addieren, müssen sie den gleichen Nenner haben. - Wie schreibt man Zehntel als Dezimalzahl?

1. Rechne zuerst in der Klammer. Ein gemeinsamer Nenner für 5 und 2 ist 10: \(\frac{2}{5}+\frac{1}{2}=\frac{4}{10}+\frac{5}{10}=\frac{9}{10}\). 2. Dann gilt \(\frac{7}{10}-\frac{9}{10}=-\frac{2}{10}\). 3. Als Dezimalzahl ist das \(-\frac{2}{10}=-0{,}2\).

\(-0{,}2\)

- Zähle bei Multiplikationen die Nachkommastellen der Faktoren. - Denke bei Potenzen daran, wie oft das Vorzeichen mit sich selbst multipliziert wird. - Kannst du Brüche in Dezimalzahlen umwandeln, um die Rechnung zu vereinfachen? - Überlege dir bei der Subtraktion, welche der beiden Zahlen den größeren Betrag hat.

1. Multiplikation einer negativen mit einer positiven Zahl ergibt ein negatives Vorzeichen: \( -0{,}4 \cdot 1{,}2 = -0{,}48 \). 2. Division zweier negativer Zahlen ergibt ein positives Vorzeichen: \( -2{,}5 : (-5) = 0{,}5 \). 3. Subtraktion einer größeren von einer kleineren Zahl: \( 0{,}12 - 0{,}2 = -0{,}08 \). 4. Eine negative Zahl mit ungeradem Exponenten ergibt ein negatives Vorzeichen: \( (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -27 \). 5. Umwandeln des Bruchs in eine Dezimalzahl und Addition: \( -0{,}5 + 0{,}3 = -0{,}2 \).

a) \( -0{,}48 \) b) \( 0{,}5 \) c) \( -0{,}08 \) d) \( -27 \) e) \( -0{,}2 \)

- Wähle bei gemischten Darstellungen die Form, mit der du im Kopf am einfachsten rechnen kannst. - Beachte die Regel für das Subtrahieren einer negativen Zahl. - Bestimme bei Produkten mit Vorzeichen zuerst das Vorzeichen des Ergebnisses.

1. Mit \(2\frac{1}{2} = 2{,}5\) gilt \(-1{,}5 + 2{,}5 = 1\). 2. Mit \(\frac{3}{4} = 0{,}75\) gilt \(0{,}25 - (-0{,}75) = 1\). 3. Zwei negative Faktoren ergeben ein positives Produkt: \(-0{,}5 \cdot (-12) = 6\). 4. Es gilt \(-3{,}5 + (-1{,}5) = -5\).

a) \(1\) b) \(1\) c) \(6\) d) \(-5\)

- Überlege, ob der gesamte zweite Wert abgezogen oder teilweise addiert werden soll. - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du die zweite Zahl in Ganzzahl und Dezimalteil zerlegst? - Es kann helfen, beide Zahlen zuerst in derselben Schreibweise darzustellen.

1. Der Fehler: Beim Zerlegen der Zahlen wurde \(0{,}5\) addiert. Es gehört aber zu \(2{,}5\) und muss deshalb mit abgezogen werden. 2. Schreibe \(7\frac{1}{4}\) als Dezimalzahl: \(7{,}25\). 3. Rechne richtig: \(7{,}25-2{,}5=4{,}75\).

Der Fehler liegt darin, dass der Dezimalteil \(0{,}5\) addiert statt subtrahiert wurde. Richtig ist: \(7{,}25 - 2{,}5 = 4{,}75\).

- Überlege dir zuerst, ob das Ergebnis positiv oder negativ sein muss. - Wie verändert sich das Vorzeichen bei einer geraden Anzahl an Minuszeichen in einer Multiplikationskette? - Kannst du Brüche in Dezimalzahlen umwandeln, um leichter zu rechnen?

1. Addition zweier negativer Zahlen führt zu einem negativen Ergebnis mit dem addierten Betrag: \(- (12{,}4 + 3{,}6) = -16\). 2. Multiplikation zweier negativer Zahlen ergibt ein positives Vorzeichen: \(8 \cdot 1{,}5 = 12\). 3. Umwandlung des Bruchs in eine Dezimalzahl: \(\frac{3}{4} = 0{,}75\). Subtraktion: \(0{,}75 - 1{,}25 = -0{,}5\). 4. Eine negative Basis mit einem geraden Exponenten ergibt ein positives Ergebnis: \((-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16\).

a) \(-16\) b) \(12\) c) \(-0{,}5\) d) \(16\)

- Überlege, welche Dezimalzahlen sich besonders einfach als Brüche schreiben lassen. - Nutze beim Multiplizieren von Brüchen mögliche Kürzungen. - Bestimme bei jeder Rechnung zuerst das Vorzeichen des Ergebnisses.

1. Schreibe \(-0{,}9\) als \(-\frac{9}{10}\): \(\frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{9}{10}\right) = -\frac{3}{5} = -0{,}6\). 2. Mit \(-0{,}75 = -\frac{3}{4}\) gilt \(-\frac{3}{4} : \frac{3}{4} = -1\). 3. Mit \(1{,}25 = \frac{5}{4}\) gilt \(\frac{5}{4} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = -1\).

a) \(-0{,}6\) oder \(-\frac{3}{5}\) b) \(-1\) c) \(-1\)

- Kannst du die Brüche in Dezimalzahlen umwandeln, um die Rechnung zu vereinfachen? - Achte besonders auf das Vorzeichen bei der Addition und Subtraktion. - Überlege dir, ob es einfacher ist, mit Brüchen oder mit Dezimalzahlen zu rechnen.

1. Berechnung von \(\frac{3}{4} + (-0{,}5)\): Umwandlung in Dezimalzahlen ergibt \(0{,}75 - 0{,}5 = 0{,}25\). 2. Berechnung von \(-1{,}2 - \frac{1}{5}\): Umwandlung des Bruchs ergibt \(-1{,}2 - 0{,}2 = -1{,}4\). 3. Berechnung von \(-0{,}25 + \frac{3}{4}\): Umwandlung des Bruchs ergibt \(-0{,}25 + 0{,}75 = 0{,}5\).

a) \(0{,}25\) oder \(\frac{1}{4}\) b) \(-1{,}4\) oder \(-\frac{7}{5}\) c) \(0{,}5\) oder \(\frac{1}{2}\)

- Was musst du zuerst berechnen, wenn eine Klammer im Term steht? - Hilft es dir, die Dezimalzahlen in Brüche umzuwandeln, bevor du multiplizierst? - Kannst du bei der Multiplikation von Brüchen vorab kürzen?

1. Berechnung von \(1{,}5 - (\frac{2}{3} + 0{,}5)\): Klammerinhalt \(\frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{4}{6} + \frac{3}{6} = \frac{7}{6}\); Subtraktion \(\frac{3}{2} - \frac{7}{6} = \frac{9}{6} - \frac{7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\). 2. Berechnung von \(-2{,}4 \cdot \frac{5}{6}\): Umwandlung \(- \frac{24}{10} \cdot \frac{5}{6} = - \frac{12}{5} \cdot \frac{5}{6}\); Kürzen von \(5\) gegen \(5\) und von \(12\) gegen \(6\) führt zu \(-2\). 3. Berechnung von \(\frac{7}{10} + (-0{,}3) - \frac{1}{2}\): Umwandlung in Dezimalzahlen ergibt \(0{,}7 - 0{,}3 - 0{,}5 = 0{,}4 - 0{,}5 = -0{,}1\).

a) \(\frac{1}{3}\) b) \(-2\) c) \(-0{,}1\) oder \(-\frac{1}{10}\)

- Beachte Punkt-vor-Strich. - Nutze jeweils die Darstellung, in der die Punktrechnung besonders einfach wird. - Führe die Addition oder Subtraktion erst danach aus.

1. \(0{,}5:\frac{1}{2}=1\); danach gilt \(\frac{3}{4}+1=1{,}75\). 2. \(1{,}2\cdot\frac{5}{6}=1\); danach gilt \(1-0{,}4=0{,}6\).

a) \(1{,}75\) b) \(0{,}6\)

- Überlege, welcher Teil des Terms aufgrund der Klammern zuerst berechnet werden muss. - Wie bringst du Brüche auf einen gemeinsamen Nenner, um sie subtrahieren zu können? - Kannst du ein Zwischenergebnis kürzen, bevor du mit dem nächsten Schritt weitermachst?

1. Subtraktion in der Klammer durchführen: Zuerst wird der gemeinsame Nenner \(6\) bestimmt. Damit ergibt sich \(\frac{5}{6} - \frac{3}{6} = \frac{2}{6}\). 2. Kürzen des Bruchs: Das Ergebnis der Klammer wird zu \(\frac{1}{3}\) vereinfacht. 3. Multiplikation mit dem äußeren Faktor: \(\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12}\). 4. Endgültiges Ergebnis kürzen: \(\frac{3}{12} = \frac{1}{4}\).

\(\frac{1}{4}\)

- Achte bei Multiplikation und Division auf die Vorzeichenregeln. - Welche Wirkung hat das Subtrahieren einer negativen Zahl? - Bei einer Summe mit verschiedenen Vorzeichen hilft der Vergleich der Beträge.

1. \((-1{,}4)\cdot6=-8{,}4\). 2. \((-7{,}2):(-0{,}4)=18\). 3. \(-10{,}5+3{,}8=-6{,}7\). 4. \(1{,}7-(-8{,}3)=1{,}7+8{,}3=10\).

a) \(-8{,}4\) b) \(18\) c) \(-6{,}7\) d) \(10\)

- Achte auf die Vorzeichenregeln beim Auflösen von Klammern. - Bringe Brüche vor der Addition oder Subtraktion immer auf denselben Nenner. - Überlege dir bei Dezimalzahlen, ob das Ergebnis positiv oder negativ sein muss, bevor du rechnest.

1. \(-4{,}8-2{,}35=-7{,}15\). 2. Mit dem gemeinsamen Nenner 6 gilt \(-\frac{5}{6}+\frac{1}{3}=-\frac{5}{6}+\frac{2}{6}=-\frac{1}{2}\). 3. \(0{,}75+(-1{,}2)=0{,}75-1{,}2=-0{,}45\). 4. In der Klammer gilt mit dem gemeinsamen Nenner 8 \(\frac{1}{4}-\frac{5}{8}=\frac{2}{8}-\frac{5}{8}=-\frac{3}{8}\). Das Minus vor der Klammer macht daraus \(\frac{3}{8}\).

a) \(-7{,}15\) b) \(-\frac{1}{2}\) c) \(-0{,}45\) d) \(\frac{3}{8}\)

- Denk an die Regel: Klammern zuerst berechnen. - Was passiert mit dem Rechenzeichen, wenn ein Minus vor einer Klammer steht, in der ein negatives Ergebnis herauskommt? - Kannst du die Aufgabe am Zahlenstrahl verbildlichen?

1. Berechnung der ersten Klammer: \(-4{,}2 + 1{,}7 = -2{,}5\) 2. Berechnung der zweiten Klammer: \(0{,}8 - 2{,}3 = -1{,}5\) 3. Subtraktion der Ergebnisse unter Beachtung der Vorzeichenregeln: \(-2{,}5 - (-1{,}5) = -2{,}5 + 1{,}5 = -1{,}0\)

\(-1\)

- Wähle für den Überschlag nahe, leicht rechenbare Zahlen. - Beim Überschlag reicht eine sinnvolle Größenordnung; rechne nicht schon exakt. - Beachte bei der exakten Rechnung Punkt-vor-Strich.

1. Für den ersten Term kann man \(4{,}2\) und \(3{,}8\) jeweils auf etwa \(4\) runden: \((4+4)\cdot0{,}5\approx4\). Exakt ist \((4{,}2+3{,}8)\cdot0{,}5=4\). 2. Für den zweiten Term kann man \(10{,}5\approx11\) und \(2{,}5\approx3\) runden: \(11-3\cdot3\approx2\). Exakt gilt \(10{,}5-2{,}5\cdot3=3\).

a) Schätzung: etwa \(4\); exakt: \(4\) b) Schätzung: etwa \(2\); exakt: \(3\)

- Wandle den Bruch in eine Dezimalzahl um, um die Subtraktion in der ersten Klammer zu vereinfachen. - Beachte die Vorzeichenregeln bei der Division. - Rechne zuerst die Ausdrücke in den Klammern aus.

1. Erste Klammer berechnen: \(1{,}2 - 0{,}75 = 0{,}45\). 2. Zweite Klammer berechnen: \(0{,}2 - 0{,}5 = -0{,}3\). 3. Division durchführen: \(0{,}45 : (-0{,}3) = -1{,}5\).

\(-1{,}5\) oder \(-\frac{3}{2}\)

- Beachte die Vorrangregeln für Klammern. - Überlege dir zuerst, welches Vorzeichen das Ergebnis der Klammer hat. - Erinnere dich an die Vorzeichenregel bei der Multiplikation zweier negativer Zahlen.

1. Berechnung des Ausdrucks in der Klammer: \(-4{,}2 + 1{,}85 = -2{,}35\). 2. Multiplikation des Zwischenergebnisses mit dem zweiten Faktor: \(-2{,}35 \cdot (-2{,}5) = 5{,}875\).

\(5{,}875\)

- Gilt hier die Regel „Punkt vor Strich“? - Es kann hilfreich sein, Brüche und Dezimalzahlen in derselben Schreibweise darzustellen. - Berechne die einzelnen Teile des Terms nacheinander, bevor du sie addierst.

1. Umwandlung des Bruchs in eine Dezimalzahl oder des Dezimalbruchs in einen Bruch: \(\frac{3}{4} = 0{,}75\). 2. Durchführung der Division: \(0{,}75 : (-0{,}5) = -1{,}5\). 3. Durchführung der Multiplikation in der Klammer: \(1{,}2 \cdot 5 = 6\). 4. Addition der beiden Teilergebnisse: \(-1{,}5 + 6 = 4{,}5\).

\(4{,}5\)

- Entscheide bei jeder Rechnung, ob Bruch- oder Dezimaldarstellung einfacher ist. - Bestimme bei Multiplikation und Division zunächst das Vorzeichen. - Bei der Division durch einen Bruch hilft die Multiplikation mit dem Kehrwert.

1. Mit \(2\frac{1}{4} = 2{,}25\) gilt \(-1{,}5 + 2{,}25 = 0{,}75 = \frac{3}{4}\). 2. Mit \(-0{,}8 = -\frac{4}{5}\) gilt \(-\frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = \frac{3}{5} = 0{,}6\). 3. Mit \(-2{,}5 = -\frac{5}{2}\) und \(1\frac{2}{3} = \frac{5}{3}\) gilt \(-\frac{5}{2} : \frac{5}{3} = -\frac{5}{2} \cdot \frac{3}{5} = -\frac{3}{2} = -1{,}5\).

a) \(0{,}75\) oder \(\frac{3}{4}\) b) \(0{,}6\) oder \(\frac{3}{5}\) c) \(-1{,}5\) oder \(-\frac{3}{2}\)

- Welches Vorzeichen hat das Ergebnis, wenn du zwei negative Zahlen addierst? - Erinnere dich an die Regeln für das Rechnen mit verschiedenen Vorzeichen. - Wie findet man den kleinsten gemeinsamen Nenner bei Brüchen? - Hilft es dir, die Subtraktion als Addition der Gegenzahl zu schreiben?

1. \(-8{,}7+(-13{,}5)=-22{,}2\). 2. \(4{,}2-9{,}8=-5{,}6\). 3. Mit dem gemeinsamen Nenner 18 gilt \(-\frac{5}{9}+\frac{1}{6}=-\frac{10}{18}+\frac{3}{18}=-\frac{7}{18}\). 4. Mit dem gemeinsamen Nenner 12 gilt \(\frac{2}{3}-\frac{3}{4}-\frac{1}{2}=\frac{8}{12}-\frac{9}{12}-\frac{6}{12}=-\frac{7}{12}\).

a) \(-22{,}2\) b) \(-5{,}6\) c) \(-\frac{7}{18}\) d) \(-\frac{7}{12}\)

- Ist es für dich einfacher, mit Brüchen oder mit Dezimalzahlen zu rechnen? Wandle alles in die Form um, mit der du besser arbeiten kannst. - Erinnere dich an die Umrechnung: Was ist \( \frac{1}{4} \), \( \frac{1}{2} \) oder \( \frac{1}{5} \) als Dezimalzahl? - Achte besonders auf das „Minus vor dem Minus“.

1. Umwandlung in einheitliche Darstellung (Bruch oder Dezimalzahl): \( 0{,}75 - 1{,}25 = -0{,}5 \) bzw. \( -\frac{1}{2} \). 2. Vereinfachung des Terms zu \( -0{,}6 + 0{,}2 \). Berechnung ergibt \( -0{,}4 \) bzw. \( -\frac{2}{5} \). 3. Schrittweise Subtraktion: \( 2 - 0{,}5 = 1{,}5 \); dann \( 1{,}5 - 0{,}75 = 0{,}75 \) bzw. \( \frac{3}{4} \). 4. Umwandlung von \( \frac{1}{8} \) in \( 0{,}125 \): \( -0{,}125 - 0{,}125 = -0{,}25 \) bzw. \( -\frac{1}{4} \).

a) \( -0{,}5 \) oder \( -\frac{1}{2} \) b) \( -0{,}4 \) oder \( -\frac{2}{5} \) c) \( 0{,}75 \) oder \( \frac{3}{4} \) d) \( -0{,}25 \) oder \( -\frac{1}{4} \)

- Was passiert, wenn du zwei Schuldenbeträge zusammenzählst? - Erinnere dich: Das Subtrahieren einer negativen Zahl entspricht dem Addieren ihrer Gegenzahl. - Vergleiche die Abstände der Zahlen zur Null. Welche Zahl „zieht“ das Ergebnis stärker in ihre Richtung? - Bringe Brüche auf den gleichen Nenner, um ihre Größe besser vergleichen zu können.

1. Bei a) werden zwei negative Zahlen addiert, was eine negative Summe ergibt: Vorzeichen negativ. 2. Bei b) entspricht das Subtrahieren einer negativen Zahl der Addition einer positiven Zahl \(24+10\), daher ist das Ergebnis positiv. 3. Bei c) ist der Betrag der negativen Zahl größer als der der positiven Zahl, daher ist das Ergebnis negativ. 4. Bei d) gilt \(\frac{1}{2}<\frac{3}{4}\), daher ist die Differenz negativ. 5. Bei e) wird zu \(-8\) die Zahl \(5\) addiert; der negative Betrag überwiegt, daher bleibt das Ergebnis negativ.

a) negativ, weil zwei negative Zahlen addiert werden. b) positiv, weil das Subtrahieren einer negativen Zahl einer Addition entspricht. c) negativ, weil \(0{,}5>0{,}3\) und der betragsmäßig größere Summand negativ ist. d) negativ, weil \(\frac{1}{2}<\frac{3}{4}\). e) negativ, weil \(-8-(-5)=-8+5\) und der negative Betrag größer ist.

- Was passiert, wenn man eine Zahl und ihre Gegenzahl addiert? - Stelle dir die Aufgaben auf einem Zahlenstrahl vor. In welche Richtung bewegst du dich? - Wandle die Subtraktion einer negativen Zahl zuerst in eine Addition um. - Vergleiche die Stellenwerte bei den Dezimalzahlen.

1. Bei a) werden eine Zahl und ihre Gegenzahl addiert, daher ist die Summe genau \(0\). 2. Bei b) wird zu \(-123\) die positive Zahl \(122\) addiert; der negative Betrag ist größer, daher ist das Ergebnis negativ. 3. Bei c) werden zwei negative Brüche addiert, daher ist die Summe negativ. 4. Bei d) wird eine größere positive Zahl von einer kleineren subtrahiert, daher ist das Ergebnis negativ.

a) \(=\), weil eine Zahl und ihre Gegenzahl zusammen \(0\) ergeben. b) \(<\), weil \(-123+122\) negativ bleibt. c) \(<\), weil zwei negative Zahlen addiert werden. d) \(<\), weil \(0{,}01<0{,}1\) und die größere positive Zahl subtrahiert wird.

- Zähle die Anzahl der negativen Vorzeichen in der Produktkette. Was sagt dir das über das Endergebnis? - Du kannst die Faktoren in einer Multiplikationskette beliebig vertauschen oder zusammenfassen. - Was bedeutet ein Exponent bei einer negativen Zahl in Klammern?

1. Zählen der negativen Faktoren: Vier negative Faktoren ergeben ein positives Produkt. \(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24\). 2. Schrittweise Multiplikation: \((-\frac{1}{2} \cdot 8) = -4\). Dann \(-4 \cdot (-0{,}25) = 1\). 3. Potenz berechnen: \((-0{,}1)^2 = 0{,}01\). Dann \(0{,}01 \cdot (-1000) = -10\). 4. Schrittweise Multiplikation: \((-5) \cdot (-\frac{2}{5}) = 2\). Dann \(2 \cdot (-3) = -6\).

a) \(24\) b) \(1\) c) \(-10\) d) \(-6\)

- Bestimme zuerst das Vorzeichen des jeweiligen Produkts. - Kürze Brüche und ganze Faktoren, bevor du vollständig multiplizierst. - Berechne eine Potenz vor den übrigen Multiplikationen.

1. \((-12)\cdot\frac{3}{4}=-9\), danach \(-9\cdot(-2)=18\). 2. \(-\frac{2}{5}\cdot(-10)=4\), danach \(4\cdot(-0{,}5)=-2\). 3. \((-1)^4=1\), daher \(1\cdot7\cdot(-3)=-21\). 4. \(\frac{4}{9}\cdot(-18)=-8\), danach \(-8\cdot(-\frac{1}{2})=4\).

a) \(18\) b) \(-2\) c) \(-21\) d) \(4\)

- Arbeite dich von unten nach oben durch die Mauer. - Achte besonders auf die Vorzeichenregeln: Was passiert, wenn man zwei negative Zahlen multipliziert? - Wandle den Bruch in eine Dezimalzahl um, um die Rechnung zu vereinfachen.

1. Berechnung der Steine in Ebene 2: - Linker Stein: \(-1{,}2 \cdot (-5) = 6\) - Rechter Stein: \(-5 \cdot \frac{1}{4} = -5 \cdot 0{,}25 = -1{,}25\) 2. Berechnung des obersten Steins in Ebene 3: - Produkt aus Ebene 2: \(6 \cdot (-1{,}25) = -7{,}5\)

Ebene 2: \(6\) und \(-1{,}25\) Ebene 3: \(-7{,}5\)

- Achte zuerst auf das Vorzeichen des Ergebnisses. - Wie lautet die Regel für das Vorzeichen, wenn zwei Zahlen mit gleichem oder unterschiedlichem Vorzeichen multipliziert werden? - Bei Brüchen kannst du oft schon vor dem Ausrechnen kürzen, um die Zahlen kleiner zu halten. - Dezimalzahlen lassen sich manchmal leichter als Brüche schreiben (oder umgekehrt).

1. Multiplikation einer negativen mit einer positiven Ganzzahl: \(-12 \cdot 11 = -132\). 2. Multiplikation zweier negativer Dezimalzahlen: Das Vorzeichen ist positiv. Das Produkt der Beträge ist \(0{,}5 \cdot 0{,}08 = 0{,}04\). 3. Multiplikation eines Bruchs mit einem negativen Bruch: Das Vorzeichen ist negativ. Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner ergibt \(-\frac{3 \cdot 14}{7 \cdot 9} = -\frac{42}{63}\). Kürzen mit 21 führt zu \(-\frac{2}{3}\). 4. Multiplikation einer Dezimalzahl mit einem Bruch: Umwandlung von \(-2{,}5\) in \(-\frac{5}{2}\) ergibt \((-\frac{5}{2}) \cdot \frac{2}{5} = -1\). Alternativ: \(-2{,}5 \cdot 0{,}4 = -1\).

a) \(-132\) b) \(0{,}04\) c) \(-\frac{2}{3}\) d) \(-1\)

- Bestimme zuerst das Vorzeichen des Ergebnisses. - Wie multipliziert man Brüche miteinander? - Wie dividiert man durch einen Bruch? - Beachte beim Quotienten die im Text festgelegte Reihenfolge.

1. a) Produkt: \(-2{,}5\cdot0{,}4=-1\). Quotient: \(-2{,}5:0{,}4=-6{,}25\). 2. b) Produkt: \(\frac{3}{10}\cdot(-\frac{6}{5})=-\frac{9}{25}\). Quotient: \(\frac{3}{10}:(-\frac{6}{5})=-\frac{1}{4}\). 3. c) Produkt: \(-12\cdot(-\frac{4}{3})=16\). Quotient: \(-12:(-\frac{4}{3})=9\).

a) Produkt: \(-1\); Quotient: \(-6{,}25\) b) Produkt: \(-\frac{9}{25}\); Quotient: \(-\frac{1}{4}\) c) Produkt: \(16\); Quotient: \(9\)

- Rechne Multiplikationen und Divisionen vor Additionen und Subtraktionen. - Für das Addieren oder Subtrahieren von Brüchen brauchst du einen gemeinsamen Nenner. - Achte auf das Minuszeichen vor negativen Zwischenergebnissen.

1. Zuerst multiplizieren: \(\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot\frac{2}{5}=-\frac{1}{5}\). Dann \(\frac{4}{5}-\frac{1}{5}=\frac{3}{5}\). 2. \(\frac{5}{6}\cdot\frac{3}{5}=\frac{1}{2}\). Mit dem gemeinsamen Nenner 4 gilt \(-\frac{3}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{3}{4}-\frac{2}{4}=-\frac{5}{4}\). 3. In der Klammer: \(-1{,}5+0{,}25=-1{,}25\). Dann \(-1{,}25\cdot2=-2{,}5\). 4. \(\left(-\frac{2}{3}\right):2=-\frac{1}{3}\). Mit dem gemeinsamen Nenner 9 gilt \(\frac{7}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{7}{9}+\frac{3}{9}=\frac{10}{9}\).

a) \(\frac{3}{5}\) b) \(-\frac{5}{4}\) c) \(-2{,}5\) d) \(\frac{10}{9}\)

- Überlege dir bei jeder Aufgabe zuerst, welches Vorzeichen das Ergebnis haben muss. - Kannst du Zahlen im Zähler und Nenner gegeneinander kürzen, bevor du rechnest? - Erinnere dich daran, wie man eine Division durch eine ganze Zahl als Multiplikation mit einem Stammbruch schreiben kann.

1. Multiplikation einer negativen Zahl mit einer positiven Zahl: \((-15) \cdot 4 = -60\). 2. Division zweier negativer Zahlen: Das Ergebnis ist positiv, \((-20) : (-5) = 4\). 3. Multiplikation eines Bruchs mit einer ganzen Zahl durch Kürzen: \(\frac{4}{7} \cdot 14 = 4 \cdot 2 = 8\). 4. Division eines Bruchs durch eine ganze Zahl: \(\frac{3}{10} : 3 = \frac{3}{10 \cdot 3} = \frac{1}{10}\). 5. Multiplikation zweier negativer Brüche: Das Ergebnis ist positiv; nach Kürzen der \(2\) im Zähler und Nenner ergibt sich \(\frac{1}{5}\).

a) \(-60\) b) \(4\) c) \(8\) d) \(\frac{1}{10}\) (oder \(0{,}1\)) e) \(\frac{1}{5}\) (oder \(0{,}2\))

- Beachte Punkt-vor-Strich. - Bestimme bei Divisionen und Multiplikationen zunächst das Vorzeichen. - Nutze bei der Bruchdivision den Kehrwert des Divisors.

1. \(12\cdot(-5)=-60\); danach \(-60+72=12\). 2. \(\frac{4}{5}:(-\frac{8}{15})=\frac{4}{5}\cdot(-\frac{15}{8})=-\frac{3}{2}\); danach \(-1{,}5+1=-0{,}5\). 3. \(0{,}4\cdot0{,}3=0{,}12\); danach \(0{,}12-0{,}2=-0{,}08\).

a) \(12\) b) \(-0{,}5\) c) \(-0{,}08\)

- Beachte in a) Punkt-vor-Strich. - Berechne in b) zuerst die Klammer. - Zwei negative Faktoren ergeben ein positives Produkt.

1. \(\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{8}=\frac{3}{4}\); daher ist die Differenz \(0\). 2. \(\frac{1}{2}+\frac{3}{5}=\frac{11}{10}\); die anschließende Division durch \(\frac{11}{10}\) ergibt \(1\). 3. \((-4)\cdot(-9)=36\); daher ist \(36:6=6\).

a) \(0\) b) \(1\) c) \(6\)

- Überlege dir, welche Vorzeichen Bewegungen nach rechts beziehungsweise nach links erhalten. - Eine Skizze der Zahlengeraden kann helfen, Start- und Zielpunkt auseinanderzuhalten. - Wenn der Zielpunkt bekannt ist, kannst du die Bewegung rückwärts verfolgen.

1. Eine Bewegung um \(8\) nach rechts ergibt \(-5+8=3\). 2. Eine Bewegung um \(6\) nach links ergibt \(3{,}5+(-6)=-2{,}5\). 3. Beim letzten Fall wird die Linksbewegung rückgängig gemacht: Vom Ziel \(-2\) gehst du \(4\) Einheiten nach rechts und erhältst den Startpunkt \(2\). Die passende Aufgabe lautet \(2+(-4)=-2\).

a) \(3\); Aufgabe: \(-5+8=3\) b) \(-2{,}5\); Aufgabe: \(3{,}5+(-6)=-2{,}5\) c) Startpunkt: \(2\); Aufgabe: \(2+(-4)=-2\)

- Achte bei jedem Summanden auf sein Vorzeichen. - Bei gemischten Darstellungen kann eine einheitliche Bruch- oder Dezimaldarstellung helfen. - Bringe Brüche vor Addition oder Subtraktion auf einen gemeinsamen Nenner.

1. \(-17+25-13=8-13=-5\). 2. \(4{,}8-6{,}3-2{,}5=-1{,}5-2{,}5=-4\). 3. \(-\frac{3}{10}+0{,}75=-0{,}3+0{,}75=0{,}45\). 4. \(-2\frac{1}{4}-1\frac{5}{8}=-2\frac{2}{8}-1\frac{5}{8}=-3\frac{7}{8}\).

1) \(-5\) 2) \(-4\) 3) \(0{,}45\) 4) \(-3\frac{7}{8}\)

- Beim Subtrahieren einer negativen Zahl addierst du ihre Gegenzahl. - Prüfe b) durch Einsetzen der gefundenen Zahl. - Bei c) kannst du beide gemischten Zahlen zuerst in Brüche oder Dezimalzahlen umwandeln.

1. a) \(7-(-15)=7+15=22\). 2. b) Von \(-3{,}8\) bis \(-10\) beträgt der Unterschied \(6{,}2\). Probe: \(-3{,}8-6{,}2=-10\). Also gehört \(6{,}2\) in das Kästchen. 3. c) \(-2\frac{1}{2}-1\frac{3}{4}=-\frac{10}{4}-\frac{7}{4}=-\frac{17}{4}=-4\frac{1}{4}=-4{,}25\).

a) \(22\) b) \(6{,}2\) c) \(-4\frac{1}{4}\) (oder \(-4{,}25\))

- Wandle das Subtrahieren negativer Zahlen in Addition der Gegenzahl um. - Rechne anschließend schrittweise von links nach rechts. - Kontrolliere bei Dezimalzahlen Komma und Vorzeichen.

1. \(-18-12+20=-10\). 2. \(-5{,}4+2{,}6-1{,}2=-4\). 3. \(3{,}7-8{,}7+5=0\).

1) \(-10\) 2) \(-4\) 3) \(0\)

- Beachte beim Subtrahieren negativer Zahlen den Vorzeichenwechsel. - Bringe Brüche vor der Rechnung auf eine gemeinsame Darstellung. - Prüfe das Vorzeichen jeder Differenz anhand der Größenordnung.

1. \(-2{,}4-5{,}6=-8\). 2. \(\frac{3}{5}-(-\frac{7}{10})=\frac{13}{10}=1{,}3\). 3. \(-1\frac{1}{2}-(-2\frac{1}{4})=\frac{3}{4}\). 4. \(-0{,}75-0{,}75=-1{,}5\).

1) \(-8\) 2) \(1{,}3\) 3) \(\frac{3}{4}\) 4) \(-1{,}5\)

- Überlege, welche Bedeutung das Vorzeichen eines Monatswerts für die Bilanz hat. - Achte darauf, auf welcher Seite der Nulllinie die Säulen liegen. - Vergleiche für b), wie sich die Monate hinsichtlich ihres Vorzeichens verteilen.

1. Die Werte für jeden Monat aus dem Diagramm ablesen: Jan (\(35\,\text{€}\)), Feb (\(-20\,\text{€}\)), Mär (\(55\,\text{€}\)), Apr (\(-45\,\text{€}\)), Mai (\(90\,\text{€}\)), Jun (\(35\,\text{€}\)). 2. Die Summe aller monatlichen Ergebnisse berechnen: \(35 - 20 + 55 - 45 + 90 + 35 = 150\). Das Gesamtergebnis beträgt \(150\,\text{€}\). 3. Die Anzahl der Monate mit Gewinn (Säulen über der Nulllinie) zählen: Jan, Mär, Mai, Jun (insgesamt 4 Monate). 4. Die Anzahl der Monate mit Verlust (Säulen unter der Nulllinie) zählen: Feb, Apr (insgesamt 2 Monate). 5. Die Anzahlen vergleichen: \(4 > 2\). Es gab mehr Monate mit Gewinn.

a) Das Gesamtergebnis für das erste Halbjahr beträgt \(150\,\text{€}\). b) Es gab mehr Monate mit Gewinn (4 Monate) als Monate mit Verlust (2 Monate).

- Vergleiche kurz beide Schreibweisen, bevor du losrechnest. - Welche Schreibweise macht die Rechnung in der Klammer einfacher? - Achte nach der Klammer auf das Vorzeichen beim Multiplizieren.

1. Hier sind Dezimalzahlen besonders einfach: \(\frac{3}{4}=0{,}75\) und \(\frac{1}{2}=0{,}5\). 2. Klammer: \(0{,}75-1{,}25=-0{,}5\). 3. Multiplikation: \((-0{,}5)\cdot(-2)=1\). 4. Addition: \(1+0{,}5=1{,}5\). 5. Eine Rechnung vollständig mit Brüchen ist ebenfalls richtig; entscheidend ist eine nachvollziehbare Wahl.

\(1{,}5\). Eine günstige Wahl ist hier die Dezimalschreibweise, weil \(\frac{3}{4}=0{,}75\) und \(\frac{1}{2}=0{,}5\) endliche Dezimalzahlen sind.

- Welche Schreibweise passt in der Klammer gut zu \(1{,}8\)? - Welche Rechnung muss wegen der Klammer zuerst fertig sein? - Wie kannst du die Division rückwärts prüfen?

1. \(\frac{3}{5}=0{,}6\). Damit ist die Klammer \(1{,}8-0{,}6=1{,}2\). 2. \(1{,}2:0{,}4=3\). 3. Rückwärtsprobe: \(3\cdot0{,}4=1{,}2\). Dann \(1{,}2+0{,}6=1{,}8\). Die Ausgangszahl wird wieder erreicht.

Klammerwert: \(1{,}2\). Endwert: \(3\).

- Berechne zuerst jeden der drei Werte einzeln. - Achte bei \(B\) darauf, worauf sich der Exponent bezieht. - Vergleiche anschließend die drei rationalen Zahlen auf der Zahlengeraden.

1. Es gilt \(A=-\frac{1}{2}=-0{,}5\). 2. Es gilt \(B=\frac{-1}{-4}=0{,}25\). 3. Es gilt \(C=-\frac{1}{8}=-0{,}125\). 4. Daher ist \(-0{,}5<-0{,}125<0{,}25\), also \(A<C<B\).

\(A<C<B\)

- Bearbeite Betrag, Potenz und Klammer zunächst getrennt. - Welche Punktrechnungen müssen vor der abschließenden Strichrechnung ausgeführt werden? - Prüfe bei der Division das Vorzeichen des Quotienten.

1. \(|-12-3|=|-15|=15\). 2. \((-3)^3=-27\), also ist \((-27+30)=3\). 3. \(2\cdot15=30\) und \(3:(-3)=-1\). 4. Damit gilt \(50-30+(-1)=19\).

\(19\)

- Welche Rechnung muss wegen der Klammer zuerst ausgeführt werden? - Welche Darstellung von \(0{,}8\) passt günstig zu einem anderen Summanden im Term? - Prüfe am Ende, ob deine gemischte Zahl zur Größenordnung des Terms passt.

1. Berechne zuerst die Klammer: \(2\frac{1}{2} + 1\frac{3}{4} = 4\frac{1}{4}\). 2. Wandle \(0{,}8\) in \(\frac{4}{5}\) um. 3. Fasse die Fünftel günstig zusammen: \(7\frac{1}{5} + \frac{4}{5} = 8\). 4. Subtrahiere: \(8 - 4\frac{1}{4} = 3\frac{3}{4}\).

\(3\frac{3}{4}\)

- Kannst du die Brüche in Dezimalzahlen umwandeln, bevor du rechnest? - Was musst du bei der Reihenfolge der Rechenoperationen beachten, wenn Klammern vorkommen? - Hilft es dir, die Zahlen auf Ganze oder Halbe zu runden, um einen schnellen Überschlag zu erhalten?

1. Überschlagsrechnung: \( 19 - (4{,}5 + 3) + 1 = 19 - 7{,}5 + 1 = 12{,}5 \) (oder ganzzahlig: \( 19 - 8 + 1 = 12 \)) 2. Umwandlung der Brüche in Dezimalzahlen: \( 4\frac{1}{2} = 4{,}5 \) und \( 1\frac{1}{4} = 1{,}25 \) 3. Berechnung des Klammerwerts: \( 4{,}5 + 3{,}2 = 7{,}7 \) 4. Subtraktion: \( 18{,}75 - 7{,}7 = 11{,}05 \) 5. Addition des letzten Summanden: \( 11{,}05 + 1{,}25 = 12{,}3 \)

Überschlag: ca. \( 12 \) (oder \( 12{,}5 \)); Exakter Wert: \( 12{,}3 \)

- Wandle gemischte Zahlen in unechte Brüche um. - Bei einer Division kannst du die Division in eine Multiplikation mit dem Kehrwert umformen. - Kürze geeignete Faktoren, bevor du das Endergebnis bestimmst.

1. \(3\frac{3}{4}\,\text{m}:5=\frac{15}{4}\,\text{m}\cdot\frac{1}{5}=\frac{3}{4}\,\text{m}\). 2. \(1\frac{1}{2}\,\text{kg}\cdot7=\frac{3}{2}\,\text{kg}\cdot7=\frac{21}{2}\,\text{kg}=10\frac{1}{2}\,\text{kg}\). 3. \(2\frac{2}{3}\,\text{h}:4=\frac{8}{3}\,\text{h}\cdot\frac{1}{4}=\frac{2}{3}\,\text{h}\).

a) \(\frac{3}{4}\,\text{m}\) b) \(10\frac{1}{2}\,\text{kg}\) c) \(\frac{2}{3}\,\text{h}\)

- Beachte Klammern und Punkt-vor-Strich. - Wandle die gemischte Zahl in einen unechten Bruch um. - Kürze Produkte möglichst früh.

1. \(\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{2}\) und \(1\frac{1}{2}:3=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{2}\); zusammen ergibt das \(1\). 2. \(2-\frac{1}{3}=\frac{5}{3}\); damit gilt \(\frac{5}{3}\cdot\frac{6}{5}=2\).

a) \(1\) b) \(2\)

- Schritt für Schritt: Was passiert innerhalb der Klammer zuerst? - Achte bei der Addition und Subtraktion auf den gemeinsamen Nenner. - Kannst du vor dem Multiplizieren über Kreuz kürzen? - Wandle das Endergebnis in eine gemischte Zahl um, falls der Zähler größer als der Nenner ist.

1. Division durch Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{7}{10}\cdot\frac{5}{14}=\frac{1}{4}\). 2. Zweite Multiplikation: \(\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{4}\). 3. Addiere die beiden Ergebnisse: \(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\). 4. In der Klammer gilt zuerst \(\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{6}\). 5. Dann ist \(\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}\). 6. Zum Schluss subtrahierst du. Mit dem gemeinsamen Nenner 6 gilt \(3\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{21}{6}-\frac{2}{6}=\frac{19}{6}=3\frac{1}{6}\).

a) \(\frac{1}{2}\) b) \(3\frac{1}{6}\)

- Überlege zuerst, welche Rechenregel bei Klammern Vorrang hat. - Suche für die Addition und Subtraktion von Brüchen einen gemeinsamen Nenner. - Wandle gemischte Zahlen in unechte Brüche um, um leichter rechnen zu können.

1. Rechne zuerst in der Klammer. \(2\frac{3}{4}=\frac{11}{4}\). Ein gemeinsamer Nenner von 4 und 6 ist 12: \(\frac{11}{4}+\frac{5}{6}=\frac{33}{12}+\frac{10}{12}=\frac{43}{12}\). 2. Schreibe auch \(4\frac{1}{2}\) mit Nenner 12: \(4\frac{1}{2}=\frac{9}{2}=\frac{54}{12}\). 3. Nun subtrahierst du: \(\frac{54}{12}-\frac{43}{12}=\frac{11}{12}\).

\(\frac{11}{12}\)

- Beachte die Vorrangregel „Klammer zuerst“ und danach „Punkt vor Strich“. - Achte beim Multiplizieren besonders auf das Vorzeichen. - Kannst du innerhalb der Rechnung kürzen, um die Zahlen klein zu halten?

1. Berechnung des Klammerinhalts: \(2\frac{2}{3} - \frac{1}{6} = \frac{8}{3} - \frac{1}{6} = \frac{16}{6} - \frac{1}{6} = \frac{15}{6}\). Kürzen ergibt \(\frac{5}{2}\). 2. Multiplikation durchführen: \(-1\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{2} = -\frac{6}{5} \cdot \frac{5}{2}\). Nach dem Kürzen der beiden Fünfen und dem Kürzen von \(6\) durch \(2\) bleibt \(-3\) übrig. 3. Letzte Addition: \(-3 + \frac{3}{4} = -\frac{12}{4} + \frac{3}{4} = -\frac{9}{4}\). 4. Umwandlung in eine gemischte Zahl: \(-2\frac{1}{4}\).

\(-2\frac{1}{4}\) oder \(-\frac{9}{4}\)

- Teile den Term in zwei große Blöcke links und rechts vom Minuszeichen auf. - Erinnere dich daran, wie man durch einen Bruch dividiert. - Achte auf die Vorzeichenregeln bei der Subtraktion.

1. Erste Klammer berechnen: \(\frac{5}{8} - \frac{3}{2} = \frac{5}{8} - \frac{12}{8} = -\frac{7}{8}\). 2. Division des Ergebnisses: \(-\frac{7}{8} : \frac{7}{4} = -\frac{7}{8} \cdot \frac{4}{7} = -\frac{4}{8} = -\frac{1}{2}\). 3. Zweite Klammer (bzw. Division am Ende) berechnen: \(2 : \frac{4}{3} = 2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\). 4. Subtraktion der beiden Teilergebnisse: \(-\frac{1}{2} - \frac{3}{2} = -\frac{4}{2} = -2\).

\(-2\)

- Berechne jeweils zuerst die Klammer. - Wandle gemischte Zahlen in unechte Brüche um. - Achte bei der Multiplikation negativer Zahlen auf das Vorzeichen.

1. In der ersten Klammer gilt \(2\frac{1}{2}+\frac{3}{10}=\frac{25}{10}+\frac{3}{10}=\frac{14}{5}\); daher ist \(\frac{22}{5}-\frac{14}{5}=\frac{8}{5}=1\frac{3}{5}\). 2. In der zweiten Klammer gilt \(\frac{2}{3}-2=-\frac{4}{3}\); damit ist \(-\frac{5}{4}\cdot(-\frac{4}{3})=\frac{5}{3}=1\frac{2}{3}\).

a) \(1\frac{3}{5}\) b) \(1\frac{2}{3}\)

- Bringe die beiden Summanden in der Klammer zunächst auf eine gemeinsame Bruchdarstellung. - Wie lässt sich eine Division durch einen Bruch umformen? - Bestimme vor der letzten Rechnung das zu erwartende Vorzeichen.

1. In der Klammer gilt \(-\frac{5}{6}+1\frac{1}{4}=-\frac{10}{12}+\frac{15}{12}=\frac{5}{12}\). 2. Die Division durch \(-\frac{5}{12}\) wird zur Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{5}{12}\cdot(-\frac{12}{5})=-1\).

\(-1\)

- Vergleiche bei Bedarf die Werte der beiden Seiten. - Denke bei negativen Zahlen daran, welche Zahl weiter rechts auf der Zahlengeraden liegt. - Was bewirkt die Multiplikation einer positiven Zahl mit einem Faktor zwischen \(0\) und \(1\)?

1. \(2{,}5:5=0{,}5\) und \(2{,}5\cdot0{,}2=0{,}5\); daher gilt Gleichheit. 2. \(-3{,}6:6=-0{,}6\) und \(-3{,}6:4=-0{,}9\); deshalb ist der linke Wert größer. 3. \(0{,}8\cdot0{,}8=0{,}64<0{,}8\).

a) \(=\) b) \(>\) c) \(<\)

- Wie wird eine Division durch einen Bruch umgeformt? - Welche Bruchdarstellung ist für \(1{,}2\) günstig? - Beachte in b) Punkt-vor-Strich.

1. \(\frac{14}{15}:\frac{21}{10}=\frac{14}{15}\cdot\frac{10}{21}=\frac{4}{9}\). 2. \(1{,}2=\frac{6}{5}\), also gilt \(\frac{6}{5}\cdot\frac{5}{6}=1\) und damit \(1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\).

a) \(\frac{4}{9}\) b) \(\frac{3}{2}\)

- Berechne zuerst Klammern und Potenzen. - Eine negative Zahl zum geraden Exponenten ergibt einen positiven Wert. - Wandle die Dezimalzahl bei Bedarf in einen Bruch um.

1. \(\frac{2}{3}+\frac{1}{4}=\frac{11}{12}\); damit ist \(\frac{11}{12}\cdot\frac{12}{11}=1\). 2. \((-\frac{3}{8})^2=\frac{9}{64}\) und \(0{,}75=\frac{3}{4}\); daher gilt \(\frac{3}{4}:\frac{9}{64}=\frac{3}{4}\cdot\frac{64}{9}=\frac{16}{3}\).

a) \(1\) b) \(\frac{16}{3}\)

- Wandle gemischte Zahlen und geeignete Dezimalzahlen in Brüche um. - Berechne in a) zuerst die Klammer. - Beachte in b) die Punktrechnungen vor der abschließenden Subtraktion.

1. \(2\frac{1}{3}=\frac{7}{3}\) und \(4{,}5-6=-\frac{3}{2}\); daher gilt \(\frac{7}{3}\cdot(-\frac{3}{2})=-\frac{7}{2}\) und anschließend \(-\frac{7}{2}:\frac{7}{4}=-2\). 2. \(\frac{5}{12}:\frac{25}{18}=\frac{3}{10}\). Außerdem ist \(0{,}4\cdot1\frac{1}{2}=\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{2}=\frac{3}{5}\). Daher gilt \(\frac{3}{10}-\frac{3}{5}=-\frac{3}{10}\).

a) \(-2\) b) \(-\frac{3}{10}\)

- Berechne zunächst die Werte beider Terme getrennt voneinander. - Es hilft oft, Brüche und Dezimalzahlen in die gleiche Darstellung zu bringen. - Wie dividiert man eine Zahl durch einen Bruch?

1. Für Term A gilt \(\frac{3}{4}=0{,}75\), also \((0{,}75-1{,}25)\cdot(-4)=(-0{,}5)\cdot(-4)=2\). 2. Für Term B gilt \(2{,}5:\frac{1}{2}=2{,}5\cdot2=5\), also \(5-6=-1\). 3. Da \(2>-1\), ist Term A größer.

Term A: \(\left(\frac{3}{4}-1{,}25\right)\cdot(-4)=2\) Term B: \(2{,}5:\frac{1}{2}-6=-1\) Daher ist Term A größer, denn \(2>-1\).

- Beachte bei Potenzen, ob die negative Zahl selbst eingeklammert ist. - Nutze bei b) eine passende gemeinsame Darstellung. - Bestimme bei der Division zuerst das Vorzeichen.

1. \((-0{,}2)^3=-0{,}008\). 2. \(-\frac{4}{5}+0{,}8=-0{,}8+0{,}8=0\). 3. \(1{,}5:(-0{,}3)=15:(-3)=-5\). 4. \(-0{,}7^2=-(0{,}7^2)=-0{,}49\).

a) \(-0{,}008\) b) \(0\) c) \(-5\) d) \(-0{,}49\)

- Bestimme zunächst jeden der vier Werte. - Beachte den Unterschied zwischen einem Minus vor der Potenz und einer negativen Basis in Klammern. - Ordne negative Zahlen auf der Zahlengeraden sorgfältig.

1. Es gilt \(A=-0{,}16\), \(B=0{,}16\), \(C=-0{,}8\) und \(D=-0{,}2\). 2. Damit ist \(-0{,}8<-0{,}2<-0{,}16<0{,}16\). 3. Die Reihenfolge der Terme lautet daher \(C,D,A,B\).

\(C,D,A,B\)

- Bestimme bei a) zuerst das Vorzeichen eines Produkts aus zwei negativen Faktoren. - Welche Umkehroperation wird bei der Division durch einen Bruch verwendet? - Prüfe die korrigierten Ergebnisse durch Einsetzen der Rechenregeln.

1. Das Produkt zweier negativer Zahlen ist positiv. Daher lautet das erste Ergebnis \(0{,}06\). 2. Bei der Division durch einen Bruch muss mit seinem Kehrwert multipliziert werden: \(\frac{3}{4}\cdot(-2)=-\frac{3}{2}\).

a) Vorzeichenfehler; richtig ist \(0{,}06\). b) Der Kehrwert des Divisors wurde nicht verwendet; richtig ist \(-\frac{3}{2}\).

- Überlege zuerst, welche Vorzeichen die verglichenen Werte haben. - Nutze für a) die Wirkung von Multiplikation und Division auf den Betrag. - Berechne nur dort exakt, wo die Struktur allein noch nicht entscheidet.

1. Links wird der Betrag von \(-1{,}2\) durch Multiplikation mit \(5\) größer, rechts durch Division durch \(5\) kleiner; daher ist der linke Wert kleiner. Exakt: \(-6<-0{,}24\). 2. \(-3\cdot(-4)=12\) und \(-3+(-4)=-7\); daher gilt \(12>-7\). 3. \(-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=-\frac{1}{6}\) und \(-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=-\frac{1}{6}\); daher gilt Gleichheit.

a) \(<\). Ohne genaue Rechnung: Multiplikation mit \(5\) vergrößert den Betrag der negativen Zahl, Division durch \(5\) verkleinert ihn; deshalb liegt das linke Ergebnis weiter links auf der Zahlengeraden. b) \(>\) c) \(=\)

- Was ist der Kehrwert eines Bruchs? - Wenn vor einer Klammer ein Minuszeichen steht, was passiert mit dem Wert in der Klammer? - Achte auf die Reihenfolge: Was muss zuerst berechnet werden, die Potenz oder die Multiplikation?

1. Schreibe \(-0{,}4\) als Bruch: \(-\frac{2}{5}\cdot\frac{5}{8}=-\frac{1}{4}=-0{,}25\). 2. Division durch einen Bruch ist Multiplikation mit dem Kehrwert: \(-2{,}5\cdot(-4)=10\). 3. In der Klammer brauchst du einen gemeinsamen Nenner: \(\frac{1}{3}-\frac{1}{2}=\frac{2}{6}-\frac{3}{6}=-\frac{1}{6}\). Das Minus vor der Klammer macht daraus \(\frac{1}{6}\). 4. Zuerst die Potenz: \((-0{,}1)^2=0{,}01\). Dann \(0{,}01\cdot(-10)=-0{,}1\).

a) \(-0{,}25\) (oder \(-\frac{1}{4}\)) b) \(10\) c) \(\frac{1}{6}\) d) \(-0{,}1\)

- Wie beeinflusst der Exponent das Vorzeichen einer negativen Basis? - Welche Vorrangregeln kennst du für Klammern und Punkt-vor-Strichrechnung? - Kannst du bei der Multiplikation von Brüchen vorab kürzen?

1. \((-0{,}2)^2\) hat einen geraden Exponenten, das Ergebnis ist daher positiv. \((-0{,}2)^3\) hat einen ungeraden Exponenten, das Ergebnis ist negativ. Da jede positive Zahl größer als jede negative Zahl ist, gilt \((-0{,}2)^2 > (-0{,}2)^3\). 2. Berechnung der Klammer: \(-4{,}8 + 2{,}4 = -2{,}4\). Division durch \(-0{,}6\): \(-2{,}4 : (-0{,}6) = 4\). 3. Punktrechnung zuerst: \(\frac{-3 \cdot (-10)}{5 \cdot 9} = \frac{30}{45} = \frac{2}{3}\). Addition: \(\frac{2}{3} + (-1) = \frac{2}{3} - \frac{3}{3} = -\frac{1}{3}\).

a) \((-0{,}2)^2\) ist größer, da es positiv ist, während \((-0{,}2)^3\) negativ ist. b) \(4\) c) \(-\frac{1}{3}\)

- Welche Rechenregel bestimmt die Reihenfolge der Operationen? - Wie gehst du vor, wenn Brüche und Dezimalzahlen in einer Aufgabe vorkommen? - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine positive durch eine negative Zahl teilst? - Erinnerst du dich daran, dass das Subtrahieren einer negativen Zahl einer Addition entspricht?

1. Umwandlung des Bruchs in eine Dezimalzahl: \(1\frac{1}{5} = 1{,}2\) 2. Multiplikation des ersten Teils: \(1{,}2 \cdot (-0{,}5) = -0{,}6\) 3. Division des zweiten Teils: \(2{,}4 : (-3) = -0{,}8\) 4. Subtraktion der Ergebnisse unter Beachtung der Vorzeichen: \(-0{,}6 - (-0{,}8) = -0{,}6 + 0{,}8 = 0{,}2\)

\(0{,}2\)

- Berechne zuerst jeden Term einzeln für sich. - Was passiert mit dem Vorzeichen einer negativen Zahl, wenn man sie quadriert? - Kannst du den Bruch im zweiten Term als Dezimalzahl schreiben, um leichter zu rechnen? - Vergleiche am Ende deine beiden Endergebnisse.

1. \(A=(-0{,}3)^2:0{,}1=0{,}09:0{,}1=0{,}9\). 2. \(B=-2{,}5\cdot\frac{2}{5}+1{,}9=-1+1{,}9=0{,}9\). 3. Beide Terme haben den Wert \(0{,}9\).

\(A=0{,}09:0{,}1=0{,}9\) \(B=-2{,}5\cdot\frac{2}{5}+1{,}9=-1+1{,}9=0{,}9\) Ja, beide Terme haben den gleichen Wert.

- Arbeite dich bei verschachtelten Klammern von innen nach außen vor. - Wie dividiert man durch einen Bruch? Denke an den Kehrwert. - Überlege bei jeder Teilaufgabe neu, ob Brüche oder Dezimalzahlen praktischer sind.

1. Berechnung von \((-1{,}2 + \frac{2}{5}) \cdot 1{,}5\): Klammerinhalt \(-1{,}2 + 0{,}4 = -0{,}8\); Multiplikation \(-0{,}8 \cdot 1{,}5 = -1{,}2\). 2. Berechnung von \(\frac{3}{8} : (-0{,}75) - 1{,}25\): Umwandlung \(\frac{3}{8} : (-\frac{3}{4}) = \frac{3}{8} \cdot (-\frac{4}{3}) = -\frac{1}{2} = -0{,}5\); Subtraktion \(-0{,}5 - 1{,}25 = -1{,}75\). 3. Berechnung von \(- [\frac{1}{3} - (0{,}5 + \frac{1}{6})]\): Innere Klammer \(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\); Ausdruck in der eckigen Klammer \(\frac{1}{3} - \frac{2}{3} = -\frac{1}{3}\); Vorzeichenwechsel ergibt \(-(-\frac{1}{3}) = \frac{1}{3}\).

a) \(-1{,}2\) oder \(-\frac{6}{5}\) b) \(-1{,}75\) oder \(-\frac{7}{4}\) c) \(\frac{1}{3}\)

- Welche Rechenoperation wird ganz am Ende ausgeführt? - Arbeite innerhalb der Klammern von innen nach außen. - Berechne die Potenz separat vor der letzten Division.

1. Die äußerste Operation ist die Division; der Term ist daher ein Quotient. 2. \(12-15=-3\), also \((-4)\cdot(-3)=12\) und \(12-20=-8\). 3. \((-2)^3=-8\). 4. Schließlich gilt \(-8:(-8)=1\).

Struktur: Quotient; Wert: \(1\)

- Welche Operation steht strukturell ganz außen? - Beachte Klammern und Punkt-vor-Strich. - Lies den Term bei Bedarf als Rechenbeschreibung laut vor.

1. Der erste Term ist ein Produkt. Die Klammer hat den Wert \(2{,}5\), daher ergibt sich \(2{,}5\cdot(-4)=-10\). 2. Der zweite Term ist eine Differenz. Zuerst gilt \(0{,}75:\frac{1}{4}=3\), danach \(5{,}5-3=2{,}5\).

a) Struktur: Produkt; Wert: \(-10\) b) Struktur: Differenz; Wert: \(2{,}5\)

- Überlege zuerst, welche Operation ganz zum Schluss ausgeführt wird. - Beginne anschließend mit der innersten Klammer. - Welche gemeinsame Darstellung macht das Produkt besonders einfach?

1. Gesamtstruktur: Summe; der erste Summand ist ein Produkt. 2. \(\frac{3}{8}-\left(-\frac{1}{4}\right)=\frac{3}{8}+\frac{2}{8}=\frac{5}{8}\). 3. \(-1{,}6=-\frac{8}{5}\), also \(\frac{5}{8}\cdot\left(-\frac{8}{5}\right)=-1\). 4. \(-1+1=0\).

Struktur: Summe; der erste Summand ist ein Produkt. Rechenweg: \(\frac{3}{8}-\left(-\frac{1}{4}\right)=\frac{5}{8}\), dann \(\frac{5}{8}\cdot\left(-\frac{8}{5}\right)=-1\), schließlich \(-1+1=0\).

- Überlege zuerst, ob es einfacher ist, alle Zahlen als Brüche oder als Dezimalzahlen zu schreiben. - Achte bei der Addition und Subtraktion von Brüchen darauf, sie zuerst auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. - Gehe Schritt für Schritt vor und berechne zuerst die Werte innerhalb der Klammern.

1. Erste Klammer: \(1{,}5=\frac{3}{2}\). Mit dem gemeinsamen Nenner 6 gilt \(\frac{2}{3}-\frac{3}{2}=\frac{4}{6}-\frac{9}{6}=-\frac{5}{6}\). 2. Zweite Klammer: \(0{,}25=\frac{1}{4}\). Mit dem gemeinsamen Nenner 12 gilt \(-\frac{5}{6}+\frac{1}{4}=-\frac{10}{12}+\frac{3}{12}=-\frac{7}{12}\). 3. Addiere die beiden Ergebnisse: \(-\frac{5}{6}-\frac{7}{12}=-\frac{10}{12}-\frac{7}{12}=-\frac{17}{12}\).

\(-\frac{17}{12}\) oder \(-1\frac{5}{12}\)

- Denke daran: Die Punkt-vor-Strich-Regel gilt auch innerhalb von Klammern. - Wie dividiert man durch einen Bruch? - Kannst du am Ende das Ergebnis noch kürzen oder in eine gemischte Zahl umwandeln?

1. Erste Klammer: \(-4{,}5=-\frac{9}{2}\). Teile durch \(\frac{9}{10}\), indem du mit \(\frac{10}{9}\) multiplizierst: \(-\frac{9}{2}\cdot\frac{10}{9}=-5\). 2. Zweite Klammer: \(1{,}2=\frac{6}{5}\). Mit dem gemeinsamen Nenner 15 gilt \(\frac{2}{3}-\frac{6}{5}=\frac{10}{15}-\frac{18}{15}=-\frac{8}{15}\). 3. Nun multiplizierst du: \(-5\cdot\left(-\frac{8}{15}\right)=\frac{40}{15}=\frac{8}{3}\).

\(\frac{8}{3}\) oder \(2\frac{2}{3}\)

- Ein Bruchstrich wirkt wie ein Geteilt-Zeichen und umschließt Zähler und Nenner wie unsichtbare Klammern. - Bestimme zuerst, was die „letzte“ Rechenoperation ist, die du ausführen würdest. - Berechne den oberen und den unteren Teil des Bruchs getrennt voneinander. - Achte beim Dividieren auf die Vorzeichenregeln für rationale Zahlen.

1. Beschreibung des Aufbaus: Der Term ist ein Quotient (wegen des Hauptbruchstrichs). Der Dividend (Zähler) ist die Summe aus \(-3{,}6\) und \(1{,}2\). Der Divisor (Nenner) ist der Quotient aus \(-3{,}6\) und \(1{,}2\). 2. Berechnung des Zählers: \(-3{,}6 + 1{,}2 = -2{,}4\). 3. Berechnung des Nenners: \(-3{,}6 : 1{,}2 = -3\). 4. Berechnung des Gesamtwerts: \(-2{,}4 : (-3) = 0{,}8\).

a) Der Term ist der Quotient aus der Summe von \(-3{,}6\) und \(1{,}2\) und dem Quotienten aus \(-3{,}6\) und \(1{,}2\). b) Der Wert des Terms ist \(0{,}8\).

- Berechne zuerst den Wert von Term A und dann den von Term B. - Denk bei Term A daran, dass das Quadrat einer negativen Zahl positiv ist. - Wandle bei Term B den Bruch in eine Dezimalzahl um, um leichter rechnen zu können.

1. Wert von \(A\) berechnen: \((-0{,}6)^2 = 0{,}36\). Division durchführen: \(0{,}64 : (-2) = -0{,}32\). Addition: \(0{,}36 + (-0{,}32) = 0{,}04\). 2. Wert von \(B\) berechnen: Klammerinhalt bestimmen: \(1{,}2 - 0{,}7 = 0{,}5\). Multiplikation: \(0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25\). Subtraktion: \(\frac{1}{4} - 0{,}25 = 0{,}25 - 0{,}25 = 0\). 3. Vergleich: Da \(0{,}04 > 0\), gilt \(A > B\).

Es gilt \(A > B\), da \(A = 0{,}04\) und \(B = 0\).

- Welche Rechenregel bestimmt die Reihenfolge der Berechnungen? - Ist es einfacher, mit Dezimalzahlen oder mit Brüchen zu rechnen? - Achte besonders auf die Vorzeichen bei der Subtraktion. - Kannst du den Term in kleinere Teilschritte zerlegen?

1. Berechnung des Ausdrucks in der ersten Klammer: \(-1{,}5 + 0{,}4 = -1{,}1\). 2. Multiplikation des Ergebnisses mit \(10\): \(-1{,}1 \cdot 10 = -11\). 3. Berechnung der Division in der zweiten Klammer: \(-\frac{3}{4} : 0{,}25 = -0{,}75 : 0{,}25 = -3\). 4. Subtraktion der beiden Teilergebnisse: \(-11 - (-3) = -11 + 3 = -8\).

\(-8\)

- Welche Klammer musst du zuerst auflösen? - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn zwei negative Zahlen multipliziert werden? - Wie dividiert man eine Zahl durch einen Bruch? - Überlege dir, ob du das Ergebnis als Dezimalzahl oder als Bruch angeben möchtest.

1. Innere Klammer: \(\frac{1}{5}-0{,}6=0{,}2-0{,}6=-0{,}4\). 2. Dann: \((-2{,}5)\cdot(-0{,}4)=1\). 3. Teile durch \(-\frac{1}{2}\): \(1:\left(-\frac{1}{2}\right)=-2\). 4. Zum Schluss subtrahierst du: \(\frac{5}{8}-(-2)=\frac{5}{8}+2=2\frac{5}{8}=2{,}625\).

\(2{,}625\) oder \(2\frac{5}{8}\)

- Welche Rechenoperation wird laut Vorrangregeln als Letztes ausgeführt? - Siehst du in der Klammer einen gemeinsamen Faktor, den du ausklammern kannst? - Achte beim Dividieren besonders auf die Vorzeichen.

1. Der Term ist insgesamt eine Summe, weil nach Auswertung der Punktrechnungen zuletzt \((-4{,}5)\) addiert wird. 2. In der Klammer kann \(2{,}4\) ausgeklammert werden: \(2{,}4\cdot(-1{,}5-3{,}5)=2{,}4\cdot(-5)=-12\). 3. Dann gilt \(-12:(-1{,}2)=10\). 4. Schließlich ist \(10+(-4{,}5)=5{,}5\).

Der Term ist eine Summe, weil die äußerste letzte Operation die Addition von \((-4{,}5)\) ist. Geschickt: \(2{,}4\cdot(-1{,}5-3{,}5)=-12\), dann \(-12:(-1{,}2)+(-4{,}5)=5{,}5\).

- Welche Rechenoperation gliedert den gesamten Term außen? - Fasse in jeder eckigen Klammer zuerst die Dezimalzahlen zusammen. - Welche gleichen Bruchteile bleiben danach übrig?

1. Der gesamte Ausdruck ist eine Differenz: Von der Summe der beiden eckigen Klammern wird zuletzt \(-\frac{3}{7}\) subtrahiert. 2. In der ersten Klammer ergänzen sich \(12{,}5+7{,}5\) zu \(20\), sodass \(20+\frac{3}{7}\) entsteht. 3. In der zweiten Klammer ist \(2{,}5-22{,}5=-20\), sodass \(-20+\frac{3}{7}\) entsteht. 4. \(20\) und \(-20\) heben sich auf. Außerdem wird am Ende \(-\frac{3}{7}\) subtrahiert, also ein weiteres \(\frac{3}{7}\) addiert. Es bleiben \(3\cdot\frac{3}{7}=\frac{9}{7}=1\frac{2}{7}\).

Der Term ist insgesamt eine Differenz. Das Muster ist \(20+(-20)=0\); übrig bleiben drei gleiche Summanden \(\frac{3}{7}\). Daher ist der Wert \(\frac{9}{7}=1\frac{2}{7}\).

- Bestimme nur das Vorzeichen des Klammerwerts, nicht seinen exakten Wert. - Welche Wirkung hat die Multiplikation eines negativen Werts mit \(-2\)? - Welche Wirkung hat der Betrag auf denselben negativen Wert?

1. Der Klammerwert \(-\frac{3}{4}+0{,}5\) ist negativ, weil \(\frac{1}{2}<\frac{3}{4}\). 2. In Term A wird dieser negative Wert mit \(-2\) multipliziert; das Ergebnis ist also zweimal sein positiver Betrag. 3. In Term B macht der Betrag denselben Klammerwert positiv und anschließend wird ebenfalls mit \(2\) multipliziert. 4. Deshalb müssen beide Terme denselben Wert haben.

Der gemeinsame Klammerwert ist negativ. Term A macht ihn durch die Multiplikation mit \(-2\) positiv und verdoppelt seinen Betrag; Term B bildet zuerst denselben Betrag und verdoppelt ihn ebenfalls. Daher sind die Terme gleichwertig.

- Welche Rechenoperation wird im gesamten Term zuletzt ausgeführt? - Arbeite innerhalb der eckigen Klammer nach den Vorrangregeln von innen nach außen. - Achte darauf, was beim Quadrieren einer negativen Zahl mit dem Vorzeichen geschieht.

1. Der Term ist insgesamt eine Summe, weil zuletzt \(-2\frac{1}{2}\) und der Wert der eckigen Klammer addiert werden. 2. \((-0{,}4)^2=0{,}16\). 3. \(0{,}16\cdot5=0{,}8\). 4. In der Klammer gilt \(0{,}5-0{,}8=-0{,}3\). 5. Damit ist \(-2{,}5+(-0{,}3)=-2{,}8\).

Struktur: Summe aus \(-2\frac{1}{2}\) und dem Klammerwert. Rechnung: \((-0{,}4)^2=0{,}16\), \(0{,}16\cdot5=0{,}8\), \(0{,}5-0{,}8=-0{,}3\), also \(-2{,}8\).

- Welche Operation verbindet die beiden größten Teilstücke des Terms? - Berechne zuerst die Potenz und anschließend den Wert der eckigen Klammer. - Wähle für die letzte Addition eine gemeinsame Darstellung.

1. Der Term ist insgesamt eine Summe, weil zuletzt das Produkt und \(1\frac{1}{3}\) addiert werden. 2. \((-1{,}5)^2=2{,}25\), also ist die eckige Klammer \(2{,}25-0{,}25=2\). 3. Das Produkt ist \(2\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)=-\frac{4}{3}\). 4. Mit \(1\frac{1}{3}=\frac{4}{3}\) ergibt sich \(-\frac{4}{3}+\frac{4}{3}=0\).

Struktur: Summe aus dem Produkt \([(-1{,}5)^2-\frac14]\cdot\left(-\frac23\right)\) und \(1\frac13\). Der Wert ist \(0\).

- Welche Operation verbindet \(\frac{7}{8}\) mit dem gesamten Klammerausdruck? - Berechne in der Klammer Potenz und Punktrechnungen vor der Addition. - Ziehe erst ganz am Ende den vollständigen Klammerwert ab.

1. Der Term ist insgesamt eine Differenz: Vom Wert \(\frac{7}{8}\) wird zuletzt der Wert der eckigen Klammer subtrahiert. 2. In der Klammer gilt \(-1{,}2:(-0{,}4)=3\) und \((-2)^2\cdot0{,}5=4\cdot0{,}5=2\). 3. Der Klammerwert ist damit \(3+2=5\). 4. Schließlich gilt \(\frac{7}{8}-5=-4\frac{1}{8}=-4{,}125\).

Struktur: Differenz aus \(\frac{7}{8}\) und dem Klammerwert. In der Klammer entstehen \(3\) und \(2\), also \(5\). Daher ist der Wert \(-4\frac{1}{8}=-4{,}125\).

- Berechne jeweils zuerst die Klammer. - Wie wird eine Division durch einen Bruch umgeformt? - Wähle bei gemischten Darstellungen eine günstige gemeinsame Form.

1. \(\frac{5}{9}+\frac{1}{3}=\frac{8}{9}\); daher gilt \(\frac{8}{9}:\frac{4}{3}=\frac{8}{9}\cdot\frac{3}{4}=\frac{2}{3}\). 2. \(\frac{1}{2}-0{,}2=0{,}3\); daher gilt \(0{,}6:0{,}3=2\).

a) \(\frac{2}{3}\) b) \(2\)

- Berechne zunächst die Klammerblöcke. - Wechsle die Darstellung nur dort, wo sie die Rechnung vereinfacht. - Führe die äußere Addition oder Subtraktion zuletzt aus.

1. \(1{,}4-\frac{2}{5}=1\); damit ist \(\frac{1}{2}\cdot1+\frac{3}{10}=0{,}8\). 2. \(\frac{2}{3}:\frac{4}{9}=\frac{3}{2}=1{,}5\) und \(0{,}5\cdot\frac{1}{2}=0{,}25\); daher gilt \(1{,}5-0{,}25=1{,}25\).

a) \(0{,}8\) b) \(1{,}25\)

- Was bedeuten die Klammern für die Reihenfolge deiner Rechenschritte? - Erinnerst du dich an die Regel für die Division von zwei Brüchen? - Gibt es beim Multiplizieren der Brüche eine Möglichkeit, über Kreuz zu kürzen?

1. Erste Klammer: Mit dem gemeinsamen Nenner 8 gilt \(\frac{7}{8}-\frac{1}{4}=\frac{7}{8}-\frac{2}{8}=\frac{5}{8}\). 2. Zweite Klammer: Mit dem gemeinsamen Nenner 6 gilt \(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}\). 3. Teile die beiden Ergebnisse, indem du mit dem Kehrwert multiplizierst: \(\frac{5}{8}:\frac{5}{6}=\frac{5}{8}\cdot\frac{6}{5}\). 4. Kürze und multipliziere: \(\frac{5}{8}\cdot\frac{6}{5}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}\).

\(\frac{3}{4}\)

- Berechne jede Seite der Gleichung einzeln. - Denk an die Regel „Klammer zuerst“. - Was passiert mit den Vorzeichen innerhalb einer Klammer, wenn ein Minus davor steht?

1. a) Linke Seite: \(-12{,}5+7{,}5=-5\). Rechte Seite: \(-(12{,}5-7{,}5)=-5\). Die Aussage ist wahr. 2. b) Linke Seite: \(\frac{4}{8}-(\frac{2}{8}+\frac{1}{8})=\frac{1}{8}\). Rechte Seite: \(\frac{4}{8}-\frac{2}{8}+\frac{1}{8}=\frac{3}{8}\). Die Aussage ist falsch.

a) Linke Seite: \(-12{,}5+7{,}5=-5\). Rechte Seite: \(-(12{,}5-7{,}5)=-5\). Wahr. b) Linke Seite: \(\frac{1}{2}-(\frac{1}{4}+\frac{1}{8})=\frac{1}{8}\). Rechte Seite: \(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=\frac{3}{8}\). Falsch.

- Ist es hier einfacher, mit Dezimalzahlen oder mit Brüchen zu rechnen? - Schreibe die Zahlen in derselben Schreibweise, bevor du rechnest. - Achte beim Multiplizieren auf das Vorzeichen des Ergebnisses.

1. Schreibe die Zahlen in derselben Schreibweise. Zum Beispiel als Dezimalzahlen: \(1\frac{1}{5}=1{,}2\) und \(\frac{7}{10}=0{,}7\). 2. Rechne zuerst in der Klammer: \(0{,}2-0{,}7=-0{,}5\). 3. Multipliziere: \(1{,}2\cdot(-0{,}5)=-0{,}6\). Als Bruch ergibt sich entsprechend \(-\frac{3}{5}\).

\(-0{,}6\) oder \(-\frac{3}{5}\)

- Berechne nacheinander die Werte in den beiden Klammern. - Wie dividiert man durch einen Bruch? - Welches Vorzeichen hat das Ergebnis, wenn man eine negative Zahl durch eine negative Zahl teilt?

1. Rechne zuerst in den beiden Klammern. Mit dem gemeinsamen Nenner 6 gilt \(\frac{5}{6}-1\frac{1}{3}=\frac{5}{6}-\frac{8}{6}=-\frac{1}{2}\). 2. In der zweiten Klammer gilt \(0{,}75-1=-0{,}25=-\frac{1}{4}\). 3. Nun teilst du: \(-\frac{1}{2}:\left(-\frac{1}{4}\right)\). 4. Multipliziere mit dem Kehrwert: \(-\frac{1}{2}\cdot(-4)=2\).

\(2\)

- Beachte die Vorrangregeln: Klammern zuerst, dann Punkt-vor-Strich-Rechnung. - Wandle den Bruch am besten in eine Dezimalzahl um, um die Rechnung in der Klammer zu vereinfachen. - Denk an die Vorzeichenregeln bei der Division zweier negativer Zahlen.

1. Berechnung des Ausdrucks in der Klammer: \(-2{,}25 + 0{,}5 = -1{,}75\) 2. Division des Ergebnisses durch \(-0{,}5\): \(-1{,}75 : (-0{,}5) = 3{,}5\) 3. Subtraktion von \(4{,}5\): \(3{,}5 - 4{,}5 = -1\)

\(-1\)

- Berechne zuerst den Wert innerhalb der eckigen Klammer. - Du kannst Brüche in Dezimalzahlen umwandeln oder umgekehrt – entscheide dich für den Weg, der dir leichter fällt. - Was passiert, wenn du zu einer Zahl ihre Gegenzahl addierst?

1. Erstes Produkt: \(\frac{3}{8}\cdot(-1{,}6)=0{,}375\cdot(-1{,}6)=-0{,}6\). 2. In der eckigen Klammer gilt zuerst \(\frac{1}{5}:(-0{,}4)=0{,}2:(-0{,}4)=-0{,}5\). 3. Dann ist \(-0{,}5+0{,}5=0\). 4. Zum Schluss: \(-0{,}6-0=-0{,}6\).

\(-0{,}6\) (oder \(-\frac{3}{5}\))

- Berechne jeweils zuerst die Klammer. - Wandle Brüche und Dezimalzahlen bei Bedarf in eine gemeinsame Darstellung um. - Beachte bei der letzten Subtraktion das Vorzeichen des Subtrahenden.

1. \(\frac{3}{4}-1{,}25=-0{,}5\); damit ist \((-0{,}5)\cdot(-4)+0{,}5=2{,}5\). 2. \(\frac{1}{5}+0{,}1=0{,}3\); damit ist \(-0{,}6:0{,}3-(-2)=-2+2=0\).

a) \(2{,}5\) b) \(0\)

- Arbeite von den inneren Klammern nach außen. - Beachte das Vorzeichen einer quadrierten negativen Zahl. - Nutze bei Bedarf eine gemeinsame Darstellung für Bruch und Dezimalzahl.

1. \(0{,}4-\frac{4}{5}=-0{,}4\), also gilt \(-1{,}5\cdot(-0{,}4)=0{,}6\) und \(0{,}6:(-0{,}3)=-2\). 2. \((-0{,}5)^2=0{,}25\), damit ist die eckige Klammer \(1{,}75\); schließlich gilt \(\frac{5}{8}-1{,}75=-1{,}125\).

a) \(-2\) b) \(-1{,}125\)

- Wandle gemischte Zahlen und Dezimalzahlen bei Bedarf in Brüche um, damit du exakt rechnen kannst. - Arbeite dich von der innersten Klammer nach außen vor. - Kannst du vor dem Multiplizieren von Brüchen vielleicht etwas kürzen?

1. Innerste Operation: Division in der Klammer. Umwandlung in Brüche: \(\frac{20}{3} : \frac{5}{2} = \frac{20}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{40}{15} = \frac{8}{3}\). 2. Subtraktion in der Klammer: \(\frac{8}{3} - 0{,}8 = \frac{8}{3} - \frac{4}{5} = \frac{40}{15} - \frac{12}{15} = \frac{28}{15}\). 3. Multiplikation: \(\frac{28}{15} \cdot 1{,}5 = \frac{28}{15} \cdot \frac{3}{2} = \frac{14}{5} = 2{,}8\). 4. Letzte Addition: \(2{,}8 + 2 \frac{1}{4} = 2{,}8 + 2{,}25 = 5{,}05\).

\(5{,}05\) (oder \(5 \frac{1}{20}\))

- Behandle den Zähler und den Nenner wie zwei getrennte Aufgaben, die du nacheinander löst. - Wandle Brüche in Dezimalzahlen um, wenn dies die Rechnung vereinfacht. - Was bedeutet der lange Bruchstrich für die Reihenfolge der Rechnungen?

1. Zähler berechnen: Klammer \(\frac{1}{5} - 0{,}6 = 0{,}2 - 0{,}6 = -0{,}4\). Dann Multiplikation \(2{,}5 \cdot (-0{,}4) = -1\). 2. Nenner berechnen: Punktrechnung \(0{,}25 \cdot 8 = 2\). Dann Subtraktion \(2 - 1{,}5 = 0{,}5\). 3. Gesamtwert berechnen: \(-1 : 0{,}5 = -2\).

\(-2\)

- Beim Schätzen kannst du komplizierte Brüche durch nahegelegene ganze Zahlen oder einfache Dezimalzahlen ersetzen. - Achte bei Teilaufgabe c auf die Anzahl der negativen Faktoren, um das Vorzeichen des Ergebnisses schnell zu bestimmen. - Brüche wie \(\frac{3}{8}\) oder \(\frac{1}{2}\) lassen sich oft leichter als Dezimalzahlen verrechnen, wenn der Rest des Terms auch so gegeben ist.

1. Schätzung zu a): \((-1{,}5)^3\) liegt ungefähr bei \(-3{,}4\); zusammen mit \(0{,}375 \approx 0{,}4\) ergibt sich etwa \(-3\). Exakt: \((-1{,}5)^3 + 0{,}375 = -3{,}375 + 0{,}375 = -3\). 2. Schätzung zu b): Der Klammerwert liegt bei etwa \(-1{,}5\); geteilt durch \(-0{,}5\) ergibt das etwa \(3\). Exakt: \((2{,}25 - 3{,}75) : (-0{,}5) = -1{,}5 : (-0{,}5) = 3\). 3. Schätzung zu c): Der Klammerwert liegt bei etwa \(-3{,}8\). Damit ist \(0{,}1 \cdot (-3{,}8) \cdot (-3)\) ungefähr \(1{,}1\). Exakt: \(0{,}1 \cdot (-2\frac{1}{3} - 1{,}5) \cdot (-3) = 0{,}1 \cdot (-\frac{23}{6}) \cdot (-3) = \frac{23}{20} = 1{,}15\).

a) Schätzung \(\approx -3\); Exakt: \(-3\) b) Schätzung \(\approx 3\); Exakt: \(3\) c) Schätzung \(\approx 1{,}1\); Exakt: \(1{,}15\)

- Beachte Punkt-vor-Strich. - Bringe Brüche und Dezimalzahlen bei Bedarf in eine gemeinsame Darstellung. - Bei negativen Zahlen ist der Wert näher an \(0\) größer.

1. \(-\frac{1}{2}+1{,}2:(-3)=-0{,}5-0{,}4=-0{,}9\). 2. \(0{,}4\cdot(-2)+\frac{3}{5}=-0{,}8+0{,}6=-0{,}2\). 3. \(-\frac{1}{4}-(-0{,}15)=-0{,}25+0{,}15=-0{,}1\). 4. Es gilt \(-0{,}1>-0{,}2>-0{,}9\); c) ist am größten.

a) \(-0{,}9\) b) \(-0{,}2\) c) \(-0{,}1\) Vergleich: \(-0{,}1>-0{,}2>-0{,}9\). Daher hat c) den größten Wert.

- Beachte die Vorrangregeln: Klammern zuerst, dann Potenzen, dann Punkt-vor-Strich-Rechnung. - Überlege genau, wie das Minuszeichen bei \(-3^2\) behandelt wird. - Schreibe dir die Zwischenergebnisse für jeden Term einzeln auf.

1. Berechnung von A: Der Klammerausdruck ergibt \(0{,}6 : (-0{,}2) = -3\). Damit folgt \(0{,}5 - (-3) = 0{,}5 + 3 = 3{,}5\). 2. Berechnung von B: In der Klammer gilt \(0{,}25 - 0{,}75 = -0{,}5\). Die Multiplikation ergibt \(2{,}5 \cdot (-0{,}5) = -1{,}25\). 3. Berechnung von C: Im Zähler bindet das Quadrat stärker als das Vorzeichen, also \(-3^2 = -9\). Der Zähler ist \(-9 + 5 = -4\). Der Bruchwert ist \(\frac{-4}{4} = -1\). 4. Sortierung der Ergebnisse: \(-1{,}25 < -1 < 3{,}5\). Dies entspricht der Reihenfolge B, C, A.

Die richtige Reihenfolge ist B, C, A. Die Werte sind \(-1{,}25 < -1 < 3{,}5\).

- Du musst nicht exakt rechnen. Überlege zuerst, ob die Ergebnisse positiv oder negativ sind. - Eine positive Zahl ist immer größer als eine negative Zahl. - Stelle dir vor, du stehst an einem Punkt auf dem Zahlenstrahl. Welche Operation bewegt dich nach rechts?

1. In a) ist der erste Term negativ, der zweite wird durch das Subtrahieren einer negativen Zahl positiv. Daher ist der zweite größer. 2. In b) ist der erste Term negativ, der zweite positiv. Daher ist der zweite größer. 3. In c) wird im ersten Term eine positive Zahl von einer negativen subtrahiert, im zweiten addiert. Daher ist der zweite größer.

a) \((-15)-(-20)\) ist größer, weil der erste Term negativ und der zweite positiv ist. b) \(-0{,}4+0{,}6\) ist größer, weil der erste Term negativ und der zweite positiv ist. c) \(-\frac{1}{8}+\frac{1}{4}\) ist größer, weil Addition eines positiven Werts die Zahl vergrößert, Subtraktion sie verkleinert.

- Berechne zuerst jeden Term einzeln Schritt für Schritt. - Erinnere dich daran, wie sich das Vorzeichen beim Quadrieren einer negativen Zahl verhält. - Welche der beiden negativen Zahlen liegt weiter rechts auf der Zahlengeraden?

1. \(X=(-4)^2\cdot(-0{,}5)=16\cdot(-0{,}5)=-8\). 2. \(Y=(-2)\cdot(-2)\cdot(-2{,}5)=4\cdot(-2{,}5)=-10\). 3. Da \(-8>-10\), ist \(X\) größer.

\(X=16\cdot(-0{,}5)=-8\) \(Y=4\cdot(-2{,}5)=-10\) Daher ist \(X\) größer, denn \(-8>-10\).

- Entscheidend für das Vorzeichen ist die Anzahl negativer Faktoren. - Ist diese Anzahl gerade oder ungerade? - Teile in c) die 15 Faktoren gedanklich entsprechend dem Verhältnis in gleichartige Gruppen.

1. Bei einer ungeraden Anzahl negativer Faktoren ist das Produkt negativ, bei einer geraden Anzahl positiv. 2. Sieben negative Faktoren ergeben ein negatives Produkt. 3. Fünfzehn negative Faktoren ergeben ebenfalls ein negatives Produkt. 4. In c) gibt es fünf negative und zehn positive Faktoren; fünf ist ungerade, also ist das Produkt negativ.

a) negativ, weil \(7\) negative Faktoren eine ungerade Anzahl sind. b) negativ, weil \(15\) negative Faktoren eine ungerade Anzahl sind. c) negativ; es gibt \(5\) negative und \(10\) positive Faktoren, und \(5\) ist ungerade.

- Entscheidend ist, ob die Anzahl negativer Faktoren gerade oder ungerade ist. - Bestimme in b) zuerst die Zahl der negativen Faktoren. - Was geschieht mit gerade/ungerade, wenn sich eine Anzahl um genau eins ändert?

1. Zwölf negative Faktoren sind möglich. Weil zwölf gerade ist, wäre das Produkt positiv. 2. Bei drei positiven Faktoren bleiben neun negative Faktoren. Neun ist ungerade, also ist das Produkt negativ. 3. Dreht man das Vorzeichen genau eines Faktors um, ändert sich die Anzahl negativer Faktoren genau um eins. Damit wechselt sie zwischen gerade und ungerade; das Produkt wechselt deshalb immer sein Vorzeichen.

a) Ja; das Produkt wäre positiv. b) negativ c) Ja. Ein einzelner Vorzeichenwechsel ändert die Anzahl negativer Faktoren um eins und damit ihre Geradheit/Ungeradheit.

- Zähle die negativen Faktoren in \(A\) und \(B\). - Nutze für b) die bereits bestimmten Vorzeichen. - Formuliere c) mit den Wörtern „gerade“ und „ungerade“.

1. \(A\) enthält zehn negative Faktoren und ist positiv; \(B\) enthält elf negative Faktoren und ist negativ. 2. Positiv mal negativ ist negativ; also ist \(A\cdot B\) negativ. 3. Ein Produkt ausschließlich negativer Faktoren ist genau dann negativ, wenn die Anzahl der Faktoren ungerade ist.

a) \(A\) ist positiv. b) \(A\cdot B\) ist negativ. c) Das Produkt ist bei einer ungeraden Anzahl negativer Faktoren negativ.

- Berechne einige frühe Glieder und suche nach einem periodischen Muster. - Welche Werte gehören zu geraden, welche zu ungeraden Positionen? - Nutze die Parität von \(100\), ohne alle Glieder auszurechnen.

1. Die Werte wechseln periodisch zwischen \(-2\) bei ungeradem Index und \(1\) bei geradem Index. 2. Daher ist das 6. Glied positiv und hat den Wert \(1\). 3. Das 7. Glied ist negativ und hat den Wert \(-2\). 4. Das 100. Glied hat wegen des geraden Index den Wert \(1\), also den Betrag \(1\).

a) positiv, \(1\) b) negativ, \(-2\) c) \(1\)

- Bringe die Zahlen in eine jeweils günstige gemeinsame Darstellung. - Beachte in b) Punkt-vor-Strich. - Kontrolliere die Vorzeichen bei negativen Summanden und Faktoren.

1. \(-3\frac{1}{2}+5-\frac{3}{4}=-3{,}5+5-0{,}75=0{,}75\). 2. \(1{,}2=\frac{6}{5}\), daher \(\frac{6}{5}\cdot(-\frac{5}{6})=-1\); anschließend \(-1+2{,}5=1{,}5\).

a) \(0{,}75\) b) \(1{,}5\)

- Berechne jeweils zuerst die Klammer. - Kürze beim Multiplizieren oder bei der Kehrwertmultiplikation frühzeitig. - Achte auf die Vorzeichen der Zwischenwerte.

1. \(\frac{2}{7}-2=-\frac{12}{7}\); daher ist \(-\frac{7}{10}\cdot(-\frac{12}{7})=1{,}2\) und anschließend \(1{,}2-1{,}4=-0{,}2\). 2. \(1\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{3}{2}\); danach \(\frac{3}{2}:(-\frac{3}{4})=-2\) und \(-2\cdot0{,}5=-1\).

a) \(\frac{2}{7}-2=-\frac{12}{7}\), dann \(-\frac{7}{10}\cdot(-\frac{12}{7})=1{,}2\), schließlich \(1{,}2-1{,}4=-0{,}2\). b) \(1\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{3}{2}\), dann \(\frac{3}{2}:(-\frac{3}{4})=-2\), schließlich \(-2\cdot0{,}5=-1\).

- Beachte Punkt-vor-Strich und Klammern zuerst. - Kürze bei Produkten möglichst früh. - Denke daran, wie eine Division durch eine ganze Zahl als Bruchrechnung geschrieben werden kann.

1. \(\frac{5}{6}\cdot\frac{3}{10}=\frac{1}{4}\) und \(\frac{1}{4}:(-2)=-\frac{1}{8}\); daher ist \(\frac{1}{4}-(-\frac{1}{8})=\frac{3}{8}\). 2. \(-\frac{2}{3}+\frac{5}{6}=\frac{1}{6}\); damit ist \(\frac{1}{6}\cdot12-7{,}5=2-7{,}5=-5{,}5\).

a) \(\frac{3}{8}\) b) \(-5{,}5\)

- Wandle gemischte Zahlen zuerst in unechte Brüche um. - Berechne zuerst die Ausdrücke innerhalb der eckigen Klammer. - Beachte innerhalb der Klammer die Regel „Punkt vor Strich“. - Kannst du Brüche vor dem Multiplizieren kürzen, um die Rechnung zu vereinfachen?

1. Erste Punktrechnung in der eckigen Klammer: \(\frac{2}{3}\cdot\left(-\frac{3}{8}\right)=-\frac{1}{4}\). 2. Zweite Punktrechnung: \(\frac{1}{2}:\frac{4}{5}=\frac{1}{2}\cdot\frac{5}{4}=\frac{5}{8}\). 3. In der eckigen Klammer gilt \(-\frac{1}{4}+\frac{5}{8}=-\frac{2}{8}+\frac{5}{8}=\frac{3}{8}\). 4. Zum Schluss subtrahierst du: \(1\frac{1}{4}-\frac{3}{8}=\frac{10}{8}-\frac{3}{8}=\frac{7}{8}=0{,}875\).

\( \frac{7}{8} \) oder \( 0{,}875 \)

- Wie multipliziert man Brüche miteinander? - Wie dividiert man durch einen Bruch? - Denke daran, die Brüche vor der Addition auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen.

1. Multiplikation der ersten beiden Brüche: \((-\frac{5}{6}) \cdot \frac{3}{10} = -\frac{15}{60} = -\frac{1}{4}\) 2. Division im zweiten Teilterm durch Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{2}{5} \cdot (-\frac{5}{4}) = -\frac{10}{20} = -\frac{1}{2}\) 3. Addition der beiden Zwischenergebnisse: \(-\frac{1}{4} + (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{4} - \frac{2}{4} = -\frac{3}{4}\)

Das Ergebnis ist \(-\frac{3}{4}\) (oder \(-0{,}75\)).

- Wandle die Dezimalzahl und die gemischte Zahl zuerst in Brüche um. - Denke an die Regel „Klammer zuerst“. - Wie dividiert man zwei Brüche miteinander? - Achte auf das Vorzeichen beim Rechnen mit negativen Zahlen.

1. \(1\frac{1}{3}-0{,}5=\frac{4}{3}-\frac{1}{2}=\frac{5}{6}\). 2. \(\frac{1}{6}-1=-\frac{5}{6}\). 3. \(\frac{5}{6}:(-\frac{5}{6})=-1\). 4. \(-1\cdot\frac{3}{5}=-\frac{3}{5}\).

\(1\frac{1}{3}-0{,}5=\frac{5}{6}\) \(\frac{1}{6}-1=-\frac{5}{6}\) \(\frac{5}{6}:(-\frac{5}{6})=-1\) \(-1\cdot\frac{3}{5}=-\frac{3}{5}\)

- Bestimme für die Subtraktionen in den Klammern jeweils den kleinsten gemeinsamen Nenner. - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine positive Zahl durch eine negative Zahl teilst? - Überlege am Ende, ob es einfacher ist, mit Brüchen oder mit Dezimalzahlen weiterzurechnen.

1. Erste Klammer mit dem gemeinsamen Nenner 12: \(\frac{5}{6}-\frac{3}{4}=\frac{10}{12}-\frac{9}{12}=\frac{1}{12}\). 2. Zweite Klammer mit dem gemeinsamen Nenner 6: \(\frac{1}{2}-\frac{2}{3}=\frac{3}{6}-\frac{4}{6}=-\frac{1}{6}\). 3. Division: \(\frac{1}{12}:\left(-\frac{1}{6}\right)=\frac{1}{12}\cdot(-6)=-\frac{1}{2}\). 4. Zum Schluss addierst du: \(-0{,}5+1{,}5=1\).

Der Wert des Terms ist \( 1 \).

- Beachte Potenz, Klammer und Punkt-vor-Strich. - Wechsle zwischen Bruch und Dezimalzahl nur dort, wo die Rechnung dadurch einfacher wird. - Prüfe die Größenordnung jedes Ergebnisses.

1. \(0{,}3\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{10}\); daher gilt \(\frac{2}{5}+\frac{1}{10}=0{,}5\). 2. \(1{,}2-\frac{3}{4}=0{,}45\); danach \(0{,}45:0{,}5=0{,}9\). 3. \(0{,}75^2=\frac{9}{16}\); daher gilt \(\frac{9}{16}-\frac{1}{8}=\frac{7}{16}=0{,}4375\).

a) \(0{,}5\) b) \(0{,}9\) c) \(0{,}4375\)

- Beachte, ob ein Minuszeichen zur potenzierten Basis gehört oder vor der Potenz steht. - Arbeite bei Klammern und Potenzen von innen nach außen. - Bestimme vor einer Multiplikation das Vorzeichen.

1. \(-2^4=-16\) und \((-3)^2\cdot\frac{1}{9}=1\); damit ist der Wert \(-15\). 2. \(\frac{1}{2}-\frac{2}{3}=-\frac{1}{6}\), dessen Quadrat ist \(\frac{1}{36}\); daher gilt \(\frac{5}{6}-\frac{1}{36}=\frac{29}{36}\). 3. \(10-10^2=10-100=-90\); daher ist \(-0{,}1\cdot(-90)=9\).

a) \(-15\) b) \(\frac{29}{36}\) c) \(9\)

- Ein Bruchstrich bündelt Zähler und Nenner wie Klammern. - Arbeite bei geschachtelten Klammern von innen nach außen. - Beachte bei c) zuerst die Potenz und dann die Division.

1. a) Zähler: \(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\). Nenner: \(\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{5}{12}\). Daher \(\frac{1}{6}:\frac{5}{12}=\frac{2}{5}\). 2. b) \(1-\frac{4}{5}=0{,}2\), dann \(0{,}5\cdot0{,}2+0{,}1=0{,}2\), daher \(2-0{,}2=1{,}8\). 3. c) \((-\frac{2}{3})^3=-\frac{8}{27}\), dann \(-\frac{8}{27}:\frac{4}{9}=-\frac{2}{3}\), schließlich \(-\frac{2}{3}+1=\frac{1}{3}\).

a) \(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\), \(\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{5}{12}\), also \(\frac{1}{6}:\frac{5}{12}=\frac{2}{5}\). b) \(1-\frac{4}{5}=0{,}2\), dann \(0{,}5\cdot0{,}2+0{,}1=0{,}2\), also \(2-0{,}2=1{,}8\). c) \((-\frac{2}{3})^3=-\frac{8}{27}\), dann \(-\frac{8}{27}:\frac{4}{9}=-\frac{2}{3}\), also \(-\frac{2}{3}+1=\frac{1}{3}\).

- Beachte Punkt-vor-Strich und berechne Klammern zuerst. - Bei Division durch einen Bruch hilft der Kehrwert. - Kürze möglichst vor dem Multiplizieren.

1. \(\frac{5}{6}\cdot\frac{9}{10}=\frac{3}{4}\); daher gilt \(\frac{3}{8}-\frac{3}{4}=-\frac{3}{8}\). 2. \(\frac{2}{5}+\frac{1}{2}=\frac{9}{10}\); daher ist \(\frac{9}{10}:(-\frac{3}{20})=-6\). 3. \(\frac{4}{7}:\frac{8}{21}=\frac{3}{2}\); daher gilt \(2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\).

a) \(-\frac{3}{8}\) b) \(-6\) c) \(\frac{1}{2}\)

- Wandle alle Zahlen in die gleiche Darstellung (Brüche) um, um besser rechnen zu können. - Welche Rechenoperation musst du zuerst ausführen? Denke an „Klammer vor Punkt vor Strich“. - Wie dividiert man durch einen Bruch?

1. Umwandlung der Dezimalzahl: \(0{,}5 = \frac{1}{2}\). 2. Berechnung des Klammerinhalts: \(\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}\). 3. Division nach der Punkt-vor-Strich-Regel durchführen: \(\frac{5}{6} : \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{5}{6} \cdot (-2) = -\frac{10}{6} = -\frac{5}{3}\). 4. Subtraktion durchführen: \(\frac{5}{6} - \left( -\frac{5}{3} \right) = \frac{5}{6} + \frac{5}{3} = \frac{5}{6} + \frac{10}{6} = \frac{15}{6}\). 5. Kürzen des Ergebnisses: \(\frac{15}{6} = \frac{5}{2} = 2{,}5\).

\(2{,}5\) (oder \(\frac{5}{2}\))

- Berechne zuerst den Wert jedes Terms einzeln. - Vergleiche danach die Abstände der Ergebnisse von \(0\). - Welcher Betrag ist am kleinsten?

1. \(A=-12+10=-2\); Abstand zu \(0\): \(2\). 2. \(B=-5+4=-1\); Abstand zu \(0\): \(1\). 3. \(C=-3+2{,}8=-0{,}2\); Abstand zu \(0\): \(0{,}2\). 4. Der kleinste Abstand ist \(0{,}2\), also liegt \(C\) am nächsten bei \(0\).

\(A=-2\), Abstand \(2\) \(B=-1\), Abstand \(1\) \(C=-0{,}2\), Abstand \(0{,}2\) Daher liegt Term \(C\) am nächsten bei \(0\).

- Weiter links auf der Zahlengeraden bedeutet einen kleineren Zahlenwert. - Welche Gegenzahl ergänzt eine gegebene Zahl zur Summe \(0\)? - Für den Spiegelpunkt musst du den Weg von der Ausgangszahl über \(0\) bis zur Gegenzahl betrachten.

1. \((-12)+7=-5\) und \((-3)+(-3)=-6\). Da \(-6<-5\), liegt die zweite Summe weiter links. 2. Zu \(-4{,}8\) muss die Gegenzahl \(4{,}8\) addiert werden: \(-4{,}8+4{,}8=0\). 3. Der Spiegelpunkt von \(-2{,}4\) ist \(2{,}4\). Die nötige Verschiebung beträgt insgesamt \(4{,}8\) Einheiten nach rechts. Daher gilt \(-2{,}4+4{,}8=2{,}4\).

a) \((-3)+(-3)\) liegt weiter links, denn \(-6<-5\). b) \(4{,}8\) c) \(4{,}8\); Rechnung: \(-2{,}4+4{,}8=2{,}4\)

- Berechne zunächst jeden Term einzeln. - Nutze für den Vergleich möglichst eine gemeinsame Darstellung. - Bei negativen Zahlen liegt die betragsmäßig größere negative Zahl weiter links.

1. \(-12{,}5+7{,}8=-4{,}7\). 2. \(-\frac{3}{5}-\frac{1}{2}=-\frac{11}{10}=-1{,}1\). 3. \(4\frac{1}{3}-2\frac{5}{6}=\frac{26}{6}-\frac{17}{6}=1{,}5\). 4. \(-0{,}75-(-1{,}2)=0{,}45\). 5. Damit gilt \(-4{,}7<-1{,}1<0{,}45<1{,}5\), also ist die Reihenfolge a), b), d), c).

a) \(-4{,}7\) b) \(-1{,}1\) c) \(1{,}5\) d) \(0{,}45\) Reihenfolge: a), b), d), c).

- Subtrahieren einer Zahl entspricht dem Addieren ihrer Gegenzahl. - Bringe Brüche bei Bedarf auf einen gemeinsamen Nenner. - Wandle gemischte Zahlen in unechte Brüche um, wenn das die Rechnung vereinfacht.

1. \(-\frac{7}{8}-\frac{1}{8}+3=-1+3=2\). 2. \(\frac{2}{5}+\frac{1}{2}-\frac{9}{10}=0\). 3. \(-2\frac{1}{4}+\frac{3}{4}-1=-2\frac{1}{2}\).

1) \(2\) 2) \(0\) 3) \(-2\frac{1}{2}\)

- Zerlege den Term in die eckige Klammer, die Division und den Betrag. - Beachte das Vorzeichen bei Potenzen mit negativer Basis. - Fasse die drei Teilergebnisse erst am Ende zusammen.

1. \((-2)^5=-32\) und \((-4)\cdot(-7)=28\); die eckige Klammer hat daher den Wert \(-60\). 2. \((-2)^3=-8\), also gilt \(120:(-8)=-15\). 3. \(|-10|=10\). 4. Damit ist \(-60-(-15)+10=-35\).

\(-35\)

- Welche Darstellung von \(0{,}75\) ist für die Multiplikation mit \(\frac{2}{3}\) besonders günstig? - Wandle die gemischte Zahl für die Division in eine passende Darstellung um. - Führe Potenz und Punktrechnungen vor der abschließenden Addition und Subtraktion aus.

1. Schreibe \(0{,}75=\frac{3}{4}\). Dann gilt \(\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{2}=0{,}5\). 2. Für die Division gilt \(1\frac{1}{2}:0{,}75=1{,}5:0{,}75=2\). 3. \((\frac{1}{2})^3=\frac{1}{8}=0{,}125\). 4. Damit ist \(0{,}5+2-0{,}125=2{,}375\).

\(2{,}375\)

- Bestimme zunächst nur die Vorzeichen der beiden großen Rechenteile. - Vergleiche bei der Klammer in \(B\) die Beträge der beiden Summanden. - Erst in b) brauchst du die exakten Werte der Klammern.

1. Bei \(A\) ist \(\frac{1}{2}-\frac{3}{4}<0\). Das Produkt aus zwei negativen Faktoren ist positiv. 2. Bei \(B\) ist die Klammer negativ, weil \(\left|-2\frac{2}{3}\right|>1\frac{1}{6}\). Die Division durch die positive Zahl \(\frac{1}{2}\) ändert das Vorzeichen nicht. Also ist \(B\) negativ. 3. \(A=-\frac{25}{8}\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)=\frac{25}{32}\). 4. \(B=\left(-\frac{16}{6}+\frac{7}{6}\right):\frac{1}{2}=-\frac{9}{6}\cdot2=-3\).

a) Term \(B\) ist negativ. Bei \(A\) werden zwei negative Faktoren multipliziert; bei \(B\) bleibt die negative Klammer durch die Division durch eine positive Zahl negativ. b) \(A=\frac{25}{32}\); \(B=-3\)

- Manchmal reicht es, zuerst nur das Vorzeichen eines Ergebnisses zu bestimmen. - Überlege bei b), wie Addition beziehungsweise Subtraktion einer positiven Zahl die Lage auf der Zahlengeraden verändert. - Vergleiche bei d) die Wirkung von Multiplikation und Division durch eine Zahl zwischen \(0\) und \(1\).

1. \((-0{,}5)^2\) ist positiv, \((-0{,}5)^3\) negativ. Daher gilt \(>\). 2. Links wird zu \(-5{,}5\) etwas Positives addiert, rechts etwas Positives abgezogen. Daher gilt \(>\). 3. Ein Produkt aus drei negativen Faktoren ist negativ und damit kleiner als \(0\). Daher gilt \(<\). 4. Division durch \(0{,}5\) verdoppelt den Betrag, Multiplikation mit \(0{,}5\) halbiert ihn. Beide Ergebnisse sind negativ; der Wert mit größerem Betrag ist kleiner. Daher gilt \(<\).

a) \(>\), weil ein gerader Exponent einen positiven und ein ungerader Exponent einen negativen Wert ergibt. b) \(>\), weil links etwas Positives addiert und rechts etwas Positives subtrahiert wird. c) \(<\), weil das Produkt aus drei negativen Faktoren negativ ist. d) \(<\), weil die Division durch \(0{,}5\) den Betrag verdoppelt, die Multiplikation mit \(0{,}5\) ihn aber halbiert; beide Werte sind negativ.

- Was ist die Hauptoperation, wenn du den gesamten Ausdruck betrachtest? - Kannst du innerhalb der eckigen Klammer einen gemeinsamen Faktor erkennen? - Beachte die Potenz, bevor die abschließende Subtraktion ausgeführt wird. - Wie dividiert man durch einen Bruch?

1. Es handelt sich insgesamt um eine Differenz, weil nach der Division und der Potenz zuletzt \((-2)^3\) subtrahiert wird. 2. In der eckigen Klammer lässt sich \(\frac{2}{3}\) ausklammern: \(\left(-\frac{3}{4}-\frac{1}{4}\right)\cdot\frac{2}{3}=-\frac{2}{3}\). 3. Dann gilt \(\frac{7}{2}:\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{7}{2}\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)=-\frac{21}{4}=-5{,}25\). 4. Die Potenz ist \((-2)^3=-8\). 5. Somit ist \(-5{,}25-(-8)=2{,}75\).

Der Term ist eine Differenz, weil zuletzt \((-2)^3\) subtrahiert wird. Schrittweise: \([\dots]=-\frac{2}{3}\), \(3\frac{1}{2}:\left(-\frac{2}{3}\right)=-5{,}25\), \((-2)^3=-8\), also \(-5{,}25-(-8)=2{,}75\).

- Bestimme in a) nacheinander nur die Vorzeichen der Teilergebnisse. - Welche Wirkung hat das Subtrahieren eines negativen Werts in der eckigen Klammer? - Für b) kannst du die Division durch einen Bruch als Multiplikation mit seinem Kehrwert schreiben.

1. Das innere Produkt ist negativ. Durch das Minus davor wird daraus eine Addition; da \(\frac{3}{4}>\frac{5}{12}\), ist die eckige Klammer positiv. Division durch \(-\frac{1}{6}\) ergibt deshalb ein negatives Endergebnis. 2. \(\frac{1}{4}\cdot(-3)=-\frac{3}{4}\). 3. \(-\frac{5}{12}-(-\frac{3}{4})=-\frac{5}{12}+\frac{9}{12}=\frac{1}{3}\). 4. \(\frac{1}{3}:(-\frac{1}{6})=\frac{1}{3}\cdot(-6)=-2\).

a) Negativ: Die eckige Klammer ist positiv, weil \(\frac{3}{4}>\frac{5}{12}\); die Division durch eine negative Zahl macht das Endergebnis negativ. b) \(\frac{1}{4}\cdot(-3)=-\frac{3}{4}\), dann \(-\frac{5}{12}-(-\frac{3}{4})=\frac{1}{3}\), schließlich \(\frac{1}{3}:(-\frac{1}{6})=-2\).

- Reicht es aus, wenn nur ein Teil der Multiplikation Null ist? - Probier die Multiplikation mit \(-1\) mal mit einer negativen Zahl aus. - Was passiert bei Quadraten von Zahlen, die zwischen 0 und 1 liegen? - Untersuche auch die Zahlen 0 und 1 für die letzte Behauptung.

1. Zu Teil a): Wähle die Faktoren \(0\) und \(5\). Das Produkt ist \(0 \cdot 5 = 0\). Hier ist nur ein Faktor Null, nicht beide. Somit ist die Aussage „beide müssen Null sein“ falsch. 2. Zu Teil b): Wähle die Zahl \(-3\). Multiplikation mit \(-1\): \(-3 \cdot (-1) = 3\). Da \(3 > -3\), ist das Ergebnis größer und nicht kleiner. 3. Zu Teil c): Wähle die Zahl \(0{,}5\). Berechnung des Quadrats: \(0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25\). Da \(0{,}25 < 0{,}5\), ist das Quadrat kleiner. (Weitere Gegenbeispiele wären \(0\), da \(0^2 = 0\), oder \(1\), da \(1^2 = 1\)).

a) Gegenbeispiel: \(0\cdot5=0\); nur ein Faktor ist null. b) Gegenbeispiel: \((-3)\cdot(-1)=3>-3\). c) Gegenbeispiel: \(0{,}5^2=0{,}25<0{,}5\).

- Berechne zuerst den Wert in der Klammer. Was ist einfacher: Brüche oder Dezimalzahlen? - Denke an die Regel „Klammer zuerst“. - Für den zweiten Teil: Wie viel größer ist \(1{,}5\) im Vergleich zu \(1{,}25\)? Was passiert mit diesem Unterschied im weiteren Verlauf der Rechnung?

1. Schritt: Umwandlung von \(\frac{3}{4}\) in \(0{,}75\). 2. Schritt: Berechnung der Klammer: \(1{,}25 - 0{,}75 = 0{,}5\). 3. Schritt: Division durch \(0{,}5\): \(0{,}5 : 0{,}5 = 1\). 4. Schritt: Addition von \(\frac{1}{10} = 0{,}1\): \(1 + 0{,}1 = 1{,}1\). 5. Analyse der Änderung: Der Wert in der Klammer erhöht sich um \(0{,}25\) (da \(1{,}5 - 1{,}25 = 0{,}25\)). Dieser Unterschied wird anschließend durch \(0{,}5\) dividiert. Da die Division durch \(0{,}5\) einer Verdopplung entspricht, erhöht sich das Endergebnis um \(0{,}25 \cdot 2 = 0{,}5\). Das neue Ergebnis ist \(1{,}6\).

1. Das Ergebnis ist \(1{,}1\). 2. Das Ergebnis erhöht sich um \(0{,}5\) auf insgesamt \(1{,}6\). Da die Differenz in der Klammer um \(0{,}25\) steigt und dieser Wert danach durch \(0{,}5\) geteilt (also verdoppelt) wird, wächst das Endergebnis um \(0{,}5\).

- Behandle den Zähler und den Nenner wie separate Aufgaben, bevor du sie dividierst. - Erinnere dich an die Vorrangregel „Potenz vor Punkt vor Strich“. - Ein Bruchstrich wirkt wie eine Klammer für den gesamten Zähler und den gesamten Nenner. - Kannst du beim Multiplizieren von Brüchen vorab kürzen?

1. Berechnung des Zählers: Zuerst die Potenz \( \left( \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{1}{9} \), dann die Subtraktion \( \frac{1}{2} - \frac{1}{9} = \frac{9}{18} - \frac{2}{18} = \frac{7}{18} \) 2. Berechnung des Nenners: Zuerst die Multiplikation \( \frac{5}{4} \cdot \frac{8}{3} = \frac{10}{3} \), dann die Subtraktion \( \frac{10}{3} - \frac{12}{3} = -\frac{2}{3} \) 3. Division des Zählers durch den Nenner: \( \frac{7}{18} : \left( -\frac{2}{3} \right) = \frac{7}{18} \cdot \left( -\frac{3}{2} \right) = -\frac{7 \cdot 1}{6 \cdot 2} = -\frac{7}{12} \)

Das Ergebnis ist \( -\frac{7}{12} \).