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- Schau dir zuerst an, wie viele Flächen komplett ausgefüllt sind. - Bestimme dann den Anteil der letzten, nur teilweise gefüllten Fläche. - Kombiniere die Anzahl der Ganzen mit dem Bruch zu einer gemischten Zahl.

1. Zählen der vollständig gefüllten Tafeln: Es sind \(2\) ganze Tafeln vorhanden. 2. Bestimmung des Anteils der unvollständigen Tafel: Die Tafel ist in \(5\) gleich große Stücke unterteilt, von denen \(2\) vorhanden sind, was \(\frac{2}{5}\) entspricht. 3. Kombination zu einer gemischten Zahl: Insgesamt sind \(2\frac{2}{5}\) Tafeln abgebildet.

\(2\frac{2}{5}\)

- Zähle zuerst alle Flächen, die ganz ausgefüllt sind. - Bestimme dann bei der angebrochenen Fläche, welcher Bruchteil dort markiert ist. - Eine gemischte Zahl besteht aus einer Ganzen Zahl und einem echten Bruch.

1. Zähle die vollständig gefärbten Quadrate: Es sind \(2\) ganze Quadrate. 2. Bestimme den Bruchteil des letzten Quadrats: Es ist in \(4\) gleich große Quadrate unterteilt, von denen \(1\) gefärbt ist. Das entspricht dem Bruch \(\frac{1}{4}\). 3. Die gemischte Zahl lautet somit \(2 \frac{1}{4}\).

\(2 \frac{1}{4}\)

- Wie viele Kreise sind vollständig farbig? Das ist der ganzzahlige Teil deiner Lösung. - Betrachte den letzten Kreis: Wie viele Stücke hat er insgesamt und wie viele davon sind gefärbt? - Erinnere dich daran, dass der Nenner angibt, in wie viele Teile das Ganze geteilt wurde.

1. Zähle die vollständig gefärbten Kreise: Es sind \(3\) ganze Kreise. 2. Bestimme den Bruchteil des letzten Kreises: Er ist in \(4\) gleich große Sektoren unterteilt, von denen \(3\) gefärbt sind. Das entspricht dem Bruch \(\frac{3}{4}\). 3. Die gemischte Zahl ist \(3 \frac{3}{4}\).

\(3 \frac{3}{4}\)

- Zerlege die gemischte Zahl gedanklich in ihren ganzzahligen Anteil und ihren Bruchteil. - Prüfe bei jeder Abbildung zuerst, wie viele Ganze vollständig markiert sind. - Vergleiche danach nur noch die markierten Viertel des nächsten Ganzen mit dem Bruchteil der gemischten Zahl.

1. Die gemischte Zahl \(1\frac{3}{4}\) besteht aus einem vollständig markierten Ganzen und weiteren \(3\) von \(4\) gleich großen Teilen. 2. In Abbildung A sind genau ein Ganzes und drei Viertel des nächsten Ganzen markiert. 3. Daher stellt A die gemischte Zahl \(1\frac{3}{4}\) dar.

Abbildung A. Dort sind ein Ganzes und zusätzlich \(3\) von \(4\) gleich großen Teilen des nächsten Ganzen markiert.

- Wie oft passt der Nenner ganz in den Zähler? - Was bleibt als Rest übrig, wenn du den ganzzahligen Teil abgezogen hast? - Schau dir den verbleibenden Bruch genau an – kannst du Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen?

1. Durchführung der Division mit Rest für \(\frac{26}{4}\): \(26 : 4 = 6\) Rest \(2\). Gemischte Zahl: \(6 \frac{2}{4}\). Kürzen durch \(2\) ergibt \(6 \frac{1}{2}\). 2. Durchführung der Division mit Rest für \(\frac{50}{12}\): \(50 : 12 = 4\) Rest \(2\). Gemischte Zahl: \(4 \frac{2}{12}\). Kürzen durch \(2\) ergibt \(4 \frac{1}{6}\). 3. Durchführung der Division mit Rest für \(\frac{108}{15}\): \(108 : 15 = 7\) Rest \(3\). Gemischte Zahl: \(7 \frac{3}{15}\). Kürzen durch \(3\) ergibt \(7 \frac{1}{5}\).

a) \(6 \frac{1}{2}\) b) \(4 \frac{1}{6}\) c) \(7 \frac{1}{5}\)

- Überlege dir, wie man eine gemischte Zahl wieder in einen unechten Bruch zurückverwandelt. - Wie viele „Siebtel“ stecken in 5 Ganzen? - Multipliziere die ganze Zahl mit dem Nenner und addiere den Zähler des Bruchanteils dazu.

1. Umwandlung der gemischten Zahl \(5 \frac{3}{7}\) in einen unechten Bruch: \(5 \cdot 7 + 3 = 35 + 3 = 38\). Somit ist \(x = 38\). 2. Umwandlung der gemischten Zahl \(8 \frac{4}{9}\) in einen unechten Bruch: \(8 \cdot 9 + 4 = 72 + 4 = 76\). Somit ist \(x = 76\).

a) \(x = 38\) b) \(x = 76\)

- Kannst du die Divisionsaufgabe zuerst als Bruch schreiben? - Gibt es einen gemeinsamen Teiler für Zähler und Nenner? - Wie oft passt der Nenner vollständig in den Zähler? - Was passiert, wenn kein Rest bei der Division übrig bleibt?

1. Teilaufgabe a: Division als Bruch \(\frac{210}{45}\) schreiben, durch 15 kürzen ergibt \(\frac{14}{3}\), Umwandlung in gemischte Zahl ergibt \(4 \frac{2}{3}\). 2. Teilaufgabe b: Division als Bruch \(\frac{444}{24}\) schreiben, durch 12 kürzen ergibt \(\frac{37}{2}\), Umwandlung in gemischte Zahl ergibt \(18 \frac{1}{2}\). 3. Teilaufgabe c: Division als Bruch \(\frac{1005}{15}\) schreiben, durch 15 kürzen ergibt die ganze Zahl \(67\).

a) Gekürzter Bruch: \(\frac{14}{3}\), Gemischte Zahl: \(4 \frac{2}{3}\) b) Gekürzter Bruch: \(\frac{37}{2}\), Gemischte Zahl: \(18 \frac{1}{2}\) c) Ergebnis: \(67\)

- Kannst du dir vorstellen, wie viele Einzelteile die Ganzen ergeben? - Was passiert mit dem Nenner, wenn du die Darstellungsform änderst? - Wie oft passt der Nenner vollständig in den Zähler? - Was bedeutet der Rest bei einer Divisionsaufgabe für den Bruch?

1. Umwandlung von gemischten Zahlen in unechte Brüche: Berechne \(\text{Ganze} \cdot \text{Nenner} + \text{Zähler}\) für den neuen Zähler. 2. Für a): \(8 \cdot 9 + 4 = 72 + 4 = 76\). Ergebnis: \(\frac{76}{9}\). 3. Für b): \(11 \cdot 12 + 7 = 132 + 7 = 139\). Ergebnis: \(\frac{139}{12}\). 4. Umwandlung von unechten Brüchen in gemischte Zahlen: Führe eine Division mit Rest durch. 5. Für c): \(53 : 6 = 8\) Rest \(5\). Ergebnis: \(8 \frac{5}{6}\). 6. Für d): \(127 : 10 = 12\) Rest \(7\). Ergebnis: \(12 \frac{7}{10}\).

a) \(\frac{76}{9}\) b) \(\frac{139}{12}\) c) \(8 \frac{5}{6}\) d) \(12 \frac{7}{10}\)

- Erinnere dich an die Regel, wie man eine gemischte Zahl in einen Bruch umrechnet. - Kannst du eine kleine Gleichung aufstellen, um den fehlenden Teil zu finden? - Überprüfe deine Ergebnisse, indem du die fertigen gemischten Zahlen wieder zurückrechnest.

1. Für a): Nutze die Formel \(\text{Ganze} \cdot \text{Nenner} + \text{Zähler} = \text{neuer Zähler}\). Es gilt \(6 \cdot 7 + x = 46\). Daraus folgt \(42 + x = 46\), also \(x = 4\). 2. Für b): Es gilt \(y \cdot 3 + 2 = 23\). Daraus folgt \(3y = 21\), also \(y = 7\).

a) \(x = 4\) b) \(y = 7\)

- Überlege dir, wie eine gemischte Zahl und ein unechter Bruch zusammenhängen. - Welche Rechenoperation hilft dir, den Zähler eines unechten Bruchs zu finden? - Wie findest du den Rest einer Division heraus? - Bleibt der Nenner bei der Umwandlung zwischen diesen Formen gleich?

1. Teilaufgabe a): Berechnung des Zählers durch \(7 \cdot 9 + 2 = 63 + 2 = 65\). Der fehlende Wert ist \(65\). 2. Teilaufgabe b): Division \(53 : 6 = 8\) Rest \(5\). Der Rest stellt den Zähler des Bruchteils dar. Der fehlende Wert ist \(5\). 3. Teilaufgabe c): Umwandlung von \(11 \frac{3}{4}\) in einen unechten Bruch ergibt \(11 \cdot 4 + 3 = 47\). Da der Zähler \(47\) bereits gegeben ist, muss der Nenner unverändert bleiben. Der fehlende Wert ist \(4\).

a) \(65\) b) \(5\) c) \(4\)

- Teile den Zähler durch den Nenner und beachte den Rest. - Der Rest wird zum Zähler des Bruchteils der gemischten Zahl. - Ergänze diesen Zähler gedanklich bis zum Nenner, um den fehlenden Anteil bis zum nächsten Ganzen zu bestimmen.

1. a) \(19 : 3 = 6\) Rest \(1\), also \(\frac{19}{3} = 6\frac{1}{3}\). Für ein ganzes Drittelpaket werden im Zähler \(3\) Drittel benötigt; zu \(1\) Drittel fehlen noch \(2\) Drittel. Bis \(7\) fehlen daher \(\frac{2}{3}\). 2. b) \(55 : 8 = 6\) Rest \(7\), also \(\frac{55}{8} = 6\frac{7}{8}\). Zu \(8\) Achteln fehlt noch \(1\) Achtel. Bis \(7\) fehlt daher \(\frac{1}{8}\). 3. c) \(113 : 15 = 7\) Rest \(8\), also \(\frac{113}{15} = 7\frac{8}{15}\). Zu \(15\) Fünfzehnteln fehlen noch \(7\) Fünfzehntel. Bis \(8\) fehlen daher \(\frac{7}{15}\).

a) \(6\frac{1}{3}\); bis \(7\) fehlen \(\frac{2}{3}\). b) \(6\frac{7}{8}\); bis \(7\) fehlt \(\frac{1}{8}\). c) \(7\frac{8}{15}\); bis \(8\) fehlen \(\frac{7}{15}\).

- Überlege zuerst, ob Zähler und Nenner eine gemeinsame Teilerzahl haben. - Wie oft passt der Nenner vollständig in den Zähler? - Was bleibt als Rest übrig, wenn du den Zähler durch den Nenner teilst?

1. \(\frac{22}{4}\): Kürzen mit 2 ergibt \(\frac{11}{2}\). Division \(11 : 2 = 5\) Rest 1 ergibt \(5 \frac{1}{2}\). 2. \(\frac{45}{10}\): Kürzen mit 5 ergibt \(\frac{9}{2}\). Division \(9 : 2 = 4\) Rest 1 ergibt \(4 \frac{1}{2}\). 3. \(\frac{19}{6}\): Kein gemeinsamer Teiler vorhanden. Division \(19 : 6 = 3\) Rest 1 ergibt \(3 \frac{1}{6}\). 4. \(\frac{32}{12}\): Kürzen mit 4 ergibt \(\frac{8}{3}\). Division \(8 : 3 = 2\) Rest 2 ergibt \(2 \frac{2}{3}\).

a) \(5 \frac{1}{2}\) b) \(4 \frac{1}{2}\) c) \(3 \frac{1}{6}\) d) \(2 \frac{2}{3}\)

- Zähle zuerst, wie viele Waffeln vollständig ausgefüllt sind. - Betrachte dann die unvollständige Waffel: In wie viele Teile ist sie unterteilt und wie viele davon sind farbig? - Für den unechten Bruch kannst du überlegen, wie viele Sechstel-Teile ein Ganzes hat. Multipliziere diese Zahl mit den ganzen Waffeln und addiere die restlichen Teile dazu.

1. Bestimmung der gemischten Zahl: In der Abbildung sieht man 2 ganz ausgefüllte Kreise und einen Kreis, bei dem 5 von 6 Teilen ausgefüllt sind. Dies entspricht der gemischten Zahl \(2\frac{5}{6}\). 2. Bestimmung der einzelnen Teile und des unechten Bruchs: Da jede Waffel in 6 Teile zerlegt ist, entsprechen 2 ganze Waffeln insgesamt \(2 \cdot 6 = 12\) Teilen. Zusammen mit den restlichen 5 Teilen sind dies \(12 + 5 = 17\) Teile (Sechstel). Als unechter Bruch geschrieben ist das \(\frac{17}{6}\).

a) \(2\frac{5}{6}\) b) Insgesamt sind es \(17\) Stücke, was dem unechten Bruch \(\frac{17}{6}\) entspricht.

- Wie viele ganze Figuren siehst du? - Wie viel fehlt noch an der letzten Figur, damit sie ein Ganzes ergibt? - Vergleiche die Anzahl der Ganzen direkt mit der Zahl 3.

1. Identifikation der dargestellten Zahl: 2 ganze Kreise und \(\frac{4}{5}\) eines weiteren Kreises, also \(2 \frac{4}{5}\). 2. Vergleich mit der Zahl 3: Da nur 2 ganze Kreise und ein Teil eines dritten Kreises vorhanden sind, ist die Zahl kleiner als 3.

Der Wert ist kleiner als 3, da nur 2 ganze Kreise und \(\frac{4}{5}\) eines Kreises dargestellt sind.

- Bestimme zuerst die gemischte Zahl, die im Bild zu sehen ist. - Wie wandelt man eine gemischte Zahl in einen Bruch um? - Vergleiche nun dein Ergebnis mit dem vorgegebenen Bruch.

1. Ablesen der gemischten Zahl aus der Grafik: 2 Ganze und \(\frac{2}{3}\), also \(2 \frac{2}{3}\). 2. Umwandlung der gemischten Zahl in einen unechten Bruch: \(2 \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}\). 3. Vergleich der beiden Brüche: \(\frac{8}{3} = \frac{8}{3}\).

Die Werte sind gleich groß.

- Überlege, wie viele Viertel ein vollständiges Quadrat enthält. - Bündele die \(11\) Viertel zunächst zu möglichst vielen ganzen Quadraten. - Die übrig bleibenden Viertel bilden den Bruchteil der gemischten Zahl.

1. Der Bruch \(\frac{11}{4}\) bedeutet \(11\) Viertel. 2. Zwei ganze Quadrate enthalten zusammen \(8\) Viertel. Von den \(11\) Vierteln bleiben danach \(3\) Viertel übrig. 3. Daher werden zwei Quadrate vollständig und im dritten Quadrat \(3\) von \(4\) Teilen markiert. 4. Als gemischte Zahl ist \(\frac{11}{4} = 2\frac{3}{4}\).

Markiere zwei Quadrate vollständig und im dritten Quadrat \(3\) von \(4\) Vierteln. Es gilt \(\frac{11}{4} = 2\frac{3}{4}\).

- Kannst du den Zähler durch den Nenner teilen? Nutze die schriftliche Division. - Der Quotient der Division ist deine ganze Zahl. - Der Rest der Division wird zum neuen Zähler des Bruchs. - Der Nenner bleibt dabei immer gleich.

1. Berechnung für \(\frac{475}{21}\): \(475 : 21 = 22\) Rest \(13\), da \(21 \cdot 22 = 462\) und \(475 - 462 = 13\). Ergebnis: \(22 \frac{13}{21}\). 2. Berechnung für \(\frac{1000}{37}\): \(1000 : 37 = 27\) Rest \(1\), da \(37 \cdot 27 = 999\) und \(1000 - 999 = 1\). Ergebnis: \(27 \frac{1}{37}\).

a) \(22 \frac{13}{21}\) b) \(27 \frac{1}{37}\)

- Wandle beide Divisionen zuerst in Brüche um. - Hilft es dir, die Brüche so weit wie möglich zu kürzen, bevor du sie vergleichst? - Wie kannst du eine ganze Zahl mit einer gemischten Zahl vergleichen?

1. Berechnung von \(A\): Darstellung als Bruch \(\frac{250}{12}\), Kürzen mit 2 ergibt \(\frac{125}{6}\). Umwandlung in eine gemischte Zahl: \(125 : 6 = 20\) Rest \(5\), also \(20 \frac{5}{6}\). 2. Berechnung von \(B\): Darstellung als Bruch \(\frac{315}{15}\), Kürzen mit 15 (oder schrittweise mit 3 und 5) ergibt \(21\). 3. Vergleich: Da \(21 > 20 \frac{5}{6}\) ist, ist Ergebnis \(B\) größer als Ergebnis \(A\).

\(B\) ist größer als \(A\), da \(21 > 20 \frac{5}{6}\).

- Wandle beide unechten Brüche mit Division und Rest in gemischte Zahlen um. - Ergänze bei jedem Bruchteil den Zähler gedanklich bis zum Nenner, um den fehlenden Anteil zum nächsten Ganzen zu finden. - Vergleiche anschließend die beiden fehlenden Bruchteile mit einem gemeinsamen Nenner.

1. \(25 : 4 = 6\) Rest \(1\), also \(\frac{25}{4} = 6\frac{1}{4}\). Bis zum nächsten Ganzen \(7\) müssen die Viertel im Zähler von \(1\) auf \(4\) ergänzt werden. Es fehlen \(\frac{3}{4}\). 2. \(31 : 5 = 6\) Rest \(1\), also \(\frac{31}{5} = 6\frac{1}{5}\). Bis \(7\) müssen die Fünftel im Zähler von \(1\) auf \(5\) ergänzt werden. Es fehlen \(\frac{4}{5}\). 3. Mit dem gemeinsamen Nenner \(20\) gilt \(\frac{3}{4} = \frac{15}{20}\) und \(\frac{4}{5} = \frac{16}{20}\). 4. Weil \(\frac{15}{20} < \frac{16}{20}\), fehlt bei \(\frac{25}{4}\) weniger bis \(7\). Daher liegt \(\frac{25}{4}\) näher an der nächsten ganzen Zahl.

\(\frac{25}{4} = 6\frac{1}{4}\) und es fehlen \(\frac{3}{4}\) bis \(7\). \(\frac{31}{5} = 6\frac{1}{5}\) und es fehlen \(\frac{4}{5}\) bis \(7\). Daher liegt \(\frac{25}{4}\) näher an der nächsten ganzen Zahl.

- Wenn \(10\) die nächstgrößere ganze Zahl ist, welchen Ganzzahlanteil muss die gesuchte gemischte Zahl haben? - Bei Elfteln muss der vorhandene Zähler zusammen mit dem fehlenden Zähler \(11\) ergeben. - Wandle die gefundene gemischte Zahl anschließend mit Ganzzahlanteil, Nenner und Zähler in einen unechten Bruch um.

1. Weil \(10\) die nächstgrößere ganze Zahl ist, hat die gesuchte gemischte Zahl den Ganzzahlanteil \(9\). 2. Ein Ganzes entspricht \(\frac{11}{11}\). Wenn bis zum Ganzen \(\frac{5}{11}\) fehlen, muss der vorhandene Bruchteil \(\frac{6}{11}\) sein, denn die Zähler \(6\) und \(5\) ergänzen sich zu \(11\). 3. Die gemischte Zahl lautet \(9\frac{6}{11}\). 4. Als unechter Bruch ergibt sich \(\frac{9 \cdot 11 + 6}{11} = \frac{105}{11}\).

Die gemischte Zahl ist \(9\frac{6}{11}\). Als unechter Bruch lautet sie \(\frac{105}{11}\).

- Prüfe Chidis Quotient und Rest, indem du sie wieder mit dem Divisor zusammensetzt. - Bei einer Division mit Rest muss der zusammengesetzte Wert wieder genau den ursprünglichen Zähler ergeben. - Achte außerdem darauf, dass der Rest kleiner als der Divisor ist.

1. Chidis Division mit Rest stimmt nicht, denn \(7 \cdot 6 + 1 = 43\) und nicht \(41\). 2. Für die richtige Division gilt \(41 = 6 \cdot 6 + 5\). Also ist \(41 : 6 = 6\) Rest \(5\). 3. Der Quotient gibt die ganzen Einheiten und der Rest den Zähler des verbleibenden Sechstels an. 4. Daher ist \(\frac{41}{6} = 6\frac{5}{6}\).

Chidis Fehler ist die falsche Division mit Rest: \(7 \cdot 6 + 1 = 43\). Richtig ist \(41 : 6 = 6\) Rest \(5\), also \(\frac{41}{6} = 6\frac{5}{6}\).

- Kannst du die gemischten Zahlen zuerst in unechte Brüche umwandeln? - Wie hängen Zähler und Nenner bei erweiterten Brüchen zusammen? - Wenn zwei Brüche gleich sind, wie verändern sich Zähler und Nenner proportional zueinander?

1. Teilaufgabe a: Die gemischte Zahl \(15 \frac{3}{4}\) in einen unechten Bruch umwandeln: \(\frac{15 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{63}{4}\). Um den Nenner 8 zu erhalten, den Bruch mit 2 erweitern: \(\frac{63 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{126}{8}\). Somit ist \(x = 126\). 2. Teilaufgabe b: Die gemischte Zahl \(4 \frac{2}{3}\) in einen unechten Bruch umwandeln: \(\frac{4 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{14}{3}\). Die Gleichung \(\frac{210}{y} = \frac{14}{3}\) lösen, indem der Erweiterungsfaktor bestimmt wird: \(210 : 14 = 15\). Den Nenner 3 ebenfalls mit 15 multiplizieren: \(3 \cdot 15 = 45\). Somit ist \(y = 45\).

a) \(x = 126\) b) \(y = 45\)