- Markiere zuerst die Stelle, auf die gerundet werden soll. - Welche Ziffer steht unmittelbar rechts von dieser Stelle? - Entscheide anhand dieser Folgeziffer, ob die Rundungsziffer unverändert bleibt oder erhöht wird.

1. Die Zehntelstelle ist die \(4\). Für die Rundungsentscheidung betrachtet man die Hundertstelstelle \(7\). 2. Weil die Folgeziffer mindestens \(5\) ist, wird die Zehntelziffer um \(1\) erhöht. 3. Das gerundete Ergebnis ist \(6{,}5\).

\(6{,}5\)

- Lies die Lage des markierten Punktes relativ zu den beiden ganzen Zahlen ab. - Der markierte Mittelpunkt hilft dir zu entscheiden, welcher ganze Wert näher liegt. - Begründe die Rundung mit der Lage, nicht nur mit einer Dezimalziffer.

1. \(A\) liegt zwischen \(4\) und \(5\) und links vom Mittelpunkt \(4{,}5\). 2. Damit liegt \(A\) näher bei \(4\) als bei \(5\). 3. Der dargestellte Wert wird deshalb auf \(4\) gerundet.

\(4\), weil \(A\) links von \(4{,}5\) und damit näher bei \(4\) liegt.

- Vergleiche in der Abbildung die Abstände von \(M\) zu \(7\) und \(8\). - Bestimme daraus, welcher besondere Dezimalwert zwischen den beiden ganzen Zahlen dargestellt ist. - Wende anschließend die Rundungsregel für den Grenzfall mit einer \(5\) an.

1. Aus der Abbildung erkennt man, dass \(M\) genau in der Mitte zwischen \(7\) und \(8\) liegt. 2. Der Mittelpunkt hat den Wert \(7{,}5\). 3. Bei einer \(5\) an der entscheidenden Stelle wird aufgerundet. 4. Daher wird der dargestellte Wert auf \(8\) gerundet.

a) \(M\) ist von \(7\) und \(8\) gleich weit entfernt. b) \(8\)

- Ordne die Nachkommastellen als Zehntel, Hundertstel und Tausendstel. - Die Rundungsstelle ist die Stelle, auf die gerundet werden soll; die Entscheidung fällt eine Stelle weiter rechts. - Führe nach der Stellenbestimmung die Rundungsregel tatsächlich aus.

1. Beim Runden auf Hundertstel ist die Hundertstelstelle die Rundungsstelle. Dort steht vor dem Runden die Ziffer \(7\). 2. Die unmittelbar folgende Tausendstelstelle entscheidet über Auf- oder Abrunden. Dort steht die Ziffer \(6\). 3. Weil \(6\ge 5\), wird die Hundertstelziffer von \(7\) auf \(8\) erhöht. 4. Das gerundete Ergebnis ist \(8{,}38\).

a) Rundungsstelle: Hundertstel; dort steht zunächst \(7\). b) Die Tausendstelziffer \(6\) entscheidet. c) \(8{,}38\)

- Runde jeden der drei Kandidaten unabhängig auf eine ganze Zahl. - Prüfe anschließend, bei welchem Kandidaten tatsächlich \(13\) entsteht. - Achte bei jedem Kandidaten auf die Zehntelstelle.

1. \(12{,}4\) wird auf \(12\) gerundet. 2. \(12{,}6\) wird auf \(13\) gerundet. 3. \(13{,}6\) wird auf \(14\) gerundet. 4. Daher kann nur \(12{,}6\) die gesuchte Ausgangszahl gewesen sein.

Nur \(12{,}6\): \(12{,}4\to12\), \(12{,}6\to13\), \(13{,}6\to14\).

- Bestimme zuerst die Hundertstelstelle und die Ziffer direkt rechts davon. - Beim Runden gehen Stellen verloren; frage dich deshalb, ob der gerundete Wert noch exakt gleich sein kann. - Das Zeichen \(\approx\) bedeutet „ist ungefähr gleich“.

1. Beim Runden auf Hundertstel entscheidet die Tausendstelziffer \(4\). 2. Weil \(4<5\), bleibt die Hundertstelziffer \(7\) unverändert. Das Ergebnis ist \(6{,}27\). 3. \(6{,}274\) ist der gegebene Ausgangswert. \(6{,}27\) ist der gerundete Näherungswert. 4. Die Zahlen sind nicht gleich. Daher schreibt man \(6{,}274\approx6{,}27\).

a) \(6{,}27\) b) Ausgangswert: \(6{,}274\); Näherungswert: \(6{,}27\) c) \(6{,}274\approx6{,}27\)

- Beim Runden auf ganze Zahlen hilft dir die Zehntelstelle bei der Entscheidung. - Überlege bei jeder Zahl, zwischen welchen beiden ganzen Zahlen sie liegt. - Prüfe besonders bei negativen Zahlen, welche der beiden ganzen Zahlen auf der Zahlengeraden näher liegt.

1. \(12{,}4\) liegt näher bei \(12\) als bei \(13\). Das Ergebnis ist \(12\). 2. \(-8{,}7\) liegt näher bei \(-9\) als bei \(-8\). Das Ergebnis ist \(-9\). 3. \(-4{,}2\) liegt näher bei \(-4\) als bei \(-5\). Das Ergebnis ist \(-4\). 4. \(-3{,}75\) liegt näher bei \(-4\) als bei \(-3\). Das Ergebnis ist \(-4\).

a) \(12\) b) \(-9\) c) \(-4\) d) \(-4\)

- Überlege dir zuerst, welche Ziffer an welcher Stelle steht. - Welche Ziffer ist entscheidend dafür, ob du auf- oder abrundest? - Erinnere dich an die Regel: Bei welchen Ziffern bleibst du bei der Zahl, und ab welcher Ziffer erhöhst du sie um eins?

1. Rundung auf eine ganze Zahl: Betrachten der Zehntelstelle (\(3\)). Da \(3 < 5\), wird abgerundet. Ergebnis: \(12\). 2. Rundung auf Zehntel: Betrachten der Hundertstelstelle (\(5\)). Da \(5 \ge 5\), wird aufgerundet. Ergebnis: \(12{,}4\). 3. Rundung auf Hundertstel: Betrachten der Tausendstelstelle (\(4\)). Da \(4 < 5\), wird abgerundet. Ergebnis: \(12{,}35\). 4. Rundung auf Tausendstel: Betrachten der Zehntausendstelstelle (\(9\)). Da \(9 \ge 5\), wird aufgerundet. Ergebnis: \(12{,}355\).

a) \(12\) b) \(12{,}4\) c) \(12{,}35\) d) \(12{,}355\)

- Welche Ziffer folgt direkt auf die Stelle, auf die du runden sollst? - Was passiert mit der Ziffer davor, wenn du aufrunden musst und dort bereits eine 9 steht? - Gibt es einen Unterschied beim Runden, ob nach der Prüfziffer noch weitere Ziffern stehen?

1. Bestimmung der Rundungsstelle und der darauf folgenden Ziffer (Prüfziffer). 2. a) \(0{,}396\): Hundertstelstelle ist die \(9\), Prüfziffer ist die \(6\). Da \(6 \ge 5\), wird aufgerundet. Aus \(0{,}39\) wird \(0{,}40\). 3. b) \(1{,}952\): Zehntelstelle ist die \(9\), Prüfziffer ist die \(5\). Da \(5 \ge 5\), wird aufgerundet. Aus \(1{,}9\) wird \(2{,}0\). 4. c) \(7{,}0049\): Hundertstelstelle ist die zweite \(0\), Prüfziffer ist die \(4\). Da \(4 < 5\), wird abgerundet. Ergebnis ist \(7{,}00\). 5. d) \(0{,}999\): Zehntelstelle ist die erste \(9\), Prüfziffer ist die zweite \(9\). Da \(9 \ge 5\), wird aufgerundet. Aus \(0{,}9\) wird \(1{,}0\).

a) \(0{,}40\) b) \(2{,}0\) c) \(7{,}00\) d) \(1{,}0\)

- Betrachte für jede Zahl nur die Ziffer an der Tausendstelstelle, um über das Runden auf Hundertstel zu entscheiden. - Spielen Ziffern, die nach der Tausendstelstelle kommen, eine Rolle für die Rundungsentscheidung? - Überlege dir für jede Zahl einzeln: Würde ich hier auf- oder abrunden?

1. Prüfung von A: \(3{,}415\). Die Tausendstelziffer ist \(5\), also aufrunden: \(3{,}42\). (Korrekt) 2. Prüfung von B: \(3{,}4249\). Die Tausendstelziffer ist \(4\), also abrunden: \(3{,}42\). (Korrekt) 3. Prüfung von C: \(3{,}425\). Die Tausendstelziffer ist \(5\), also aufrunden: \(3{,}43\). (Falsch) 4. Prüfung von D: \(3{,}4149\). Die Tausendstelziffer ist \(4\), also abrunden: \(3{,}41\). (Falsch) 5. Prüfung von E: \(3{,}4201\). Die Tausendstelziffer ist \(0\), also abrunden: \(3{,}42\). (Korrekt)

A, B und E

- Welche Ziffer steht rechts von der Stelle, auf die du runden sollst? - Was passiert, wenn du eine \(9\) aufrunden musst? - Beachte die Rundungsregel für die Ziffer \(5\).

1. Bei \(12{,}963\) ist die Hundertstelstelle \(6\), daher wird die Zehntelstelle aufgerundet: \(13{,}0\). 2. Bei \(-0{,}0452\) ist die Tausendstelstelle \(5\), daher wird auf zwei Nachkommastellen zu \(-0{,}05\) gerundet. 3. Bei \(5{,}9996\) ist die Zehntausendstelstelle \(6\), was zum Aufrunden der Tausendstelstelle führt. Durch den Übertrag über alle Stellen ergibt sich \(6{,}000\).

a) \(13{,}0\) b) \(-0{,}05\) c) \(6{,}000\)

- Welche Ziffer entscheidet darüber, ob eine Zahl auf- oder abgerundet wird? - Erinnere dich an die Regel: Bei welchen Ziffern wird abgerundet, bei welchen aufgerundet? - Was passiert mit der Zehntelstelle, wenn die Hundertstelstelle eine \(5\) ist?

1. Runden von \(4{,}649\) auf Zehntel: Die zweite Nachkommastelle ist \(4\), daher wird abgerundet. Ergebnis: \(4{,}6\). 2. Runden von \(4{,}65\) auf Zehntel: Die zweite Nachkommastelle ist \(5\), daher wird aufgerundet. Ergebnis: \(4{,}7\). 3. Bestimmung der kleinsten Zahl mit zwei Dezimalstellen für \(4{,}7\): Alle Zahlen ab \(4{,}65\) werden auf \(4{,}7\) aufgerundet. Die kleinste Zahl mit zwei Stellen ist somit \(4{,}65\). 4. Prüfung von \(4{,}75\): Bei der Zahl \(4{,}75\) ist die zweite Nachkommastelle eine \(5\). Nach den Rundungsregeln wird bei einer \(5\) aufgerundet, sodass \(4{,}75\) auf \(4{,}8\) gerundet wird.

\(4{,}649\) gerundet auf Zehntel ist \(4{,}6\). \(4{,}65\) gerundet auf Zehntel ist \(4{,}7\). Die kleinste Zahl mit zwei Dezimalstellen, die auf \(4{,}7\) gerundet wird, ist \(4{,}65\). \(4{,}75\) wird auf \(4{,}8\) aufgerundet, da die Hundertstelstelle eine \(5\) ist.

- Überlege, ab welcher Zehntelzahl unter \(7\) auf \(7\) aufgerundet wird. - Prüfe danach, welche Zehntelzahl über \(7\) noch auf \(7\) abgerundet wird. - Achte darauf, dass nur Ausgangswerte mit genau einer Nachkommastelle gesucht sind.

1. Werte ab \(6{,}5\,\text{a}\) werden auf \(7\,\text{a}\) aufgerundet. 2. Werte bis \(7{,}4\,\text{a}\) werden noch auf \(7\,\text{a}\) abgerundet. \(7{,}5\,\text{a}\) würde bereits \(8\,\text{a}\) ergeben. 3. Bei genau einer Nachkommastelle sind daher alle Werte von \(6{,}5\,\text{a}\) bis \(7{,}4\,\text{a}\) möglich.

a) \(6{,}5\,\text{a}\) b) \(7{,}4\,\text{a}\) c) Von \(6{,}5\,\text{a}\) bis \(7{,}4\,\text{a}\), jeweils eingeschlossen.

- Bringe beide Massen zuerst auf dieselbe Einheit. - Welche Zahl liegt genau zwischen \(2\) und \(3\)? - Vergleiche beide Massen mit dieser Rundungsgrenze.

1. Paket A wiegt \(2450\,\text{g} = 2{,}45\,\text{kg}\). 2. \(2{,}45\,\text{kg}\) liegt unter \(2{,}5\,\text{kg}\) und wird auf \(2\,\text{kg}\) gerundet. 3. \(2{,}55\,\text{kg}\) liegt über \(2{,}5\,\text{kg}\) und wird auf \(3\,\text{kg}\) gerundet. 4. Die gerundeten Werte unterscheiden sich, weil die beiden Massen auf verschiedenen Seiten der Rundungsgrenze \(2{,}5\,\text{kg}\) liegen.

a) Paket A: \(2\,\text{kg}\); Paket B: \(3\,\text{kg}\) b) Ja. Paket A liegt unter \(2{,}5\,\text{kg}\), Paket B darüber. Deshalb werden sie auf verschiedene ganze Kilogramm gerundet.

- Bestimme zuerst genau die Stelle, auf die gerundet werden soll. - Die Rundungsentscheidung hängt von der unmittelbar rechts daneben stehenden Ziffer ab. - Prüfe Jonas' Ergebnis, indem du nur diese Entscheidungsregel auf die Hundertstelstelle anwendest.

1. Beim Runden auf Hundertstel entscheidet die Tausendstelstelle. In \(12{,}364\) ist das die Ziffer \(4\). 2. Weil die entscheidende Ziffer kleiner als \(5\) ist, bleibt die Hundertstelziffer \(6\) unverändert. 3. Das korrekte Ergebnis lautet \(12{,}36\).

a) Die Tausendstelziffer \(4\). b) \(12{,}36\); die entscheidende Folgeziffer ist kleiner als \(5\), daher bleibt die Hundertstelziffer unverändert.

- Lies zuerst die beiden markierten Grenzen an der Hundertstelskala ab. - Runde beide Grenzwerte probeweise auf eine Nachkommastelle. - Für c) gehst du in Hundertstelschritten von der linken Grenze bis direkt vor die rechte Grenze.

1. Aus der Hundertstelskala liest man \(L=2{,}35\) und \(R=2{,}45\) ab. 2. \(2{,}35\) wird auf eine Nachkommastelle zu \(2{,}4\) gerundet. Die linke Grenze gehört also noch zum Bereich. 3. \(2{,}45\) wird zu \(2{,}5\) gerundet. Die rechte Grenze gehört deshalb nicht mehr zum Bereich für \(2{,}4\). 4. Mit genau zwei Nachkommastellen gehören \(2{,}35\), \(2{,}36\), \(2{,}37\), \(2{,}38\), \(2{,}39\), \(2{,}40\), \(2{,}41\), \(2{,}42\), \(2{,}43\) und \(2{,}44\) dazu.

a) \(L=2{,}35\), \(R=2{,}45\) b) \(2{,}4\) c) \(2{,}35\), \(2{,}36\), \(2{,}37\), \(2{,}38\), \(2{,}39\), \(2{,}40\), \(2{,}41\), \(2{,}42\), \(2{,}43\), \(2{,}44\)

- Bestimme zuerst, welche Nachkommastelle beim Runden auf Zehntel erhalten bleiben soll. - Schau für die Rundungsentscheidung auf die unmittelbar folgende Stelle. - Vergleiche anschließend nicht nur den Zahlenwert der beiden Schreibweisen, sondern auch die geforderte Anzahl sichtbarer Nachkommastellen.

1. Beim Runden von \(5{,}04\,\text{cm}\) auf Zehntel entscheidet die Hundertstelziffer \(4\); die Zehntelziffer bleibt \(0\). 2. Das gerundete Ergebnis lautet daher \(5{,}0\,\text{cm}\). 3. \(5\) und \(5{,}0\) haben denselben Zahlenwert, aber nur \(5{,}0\,\text{cm}\) zeigt ausdrücklich, dass auf Zehntelzentimeter gerundet wurde.

a) Nikos Eintrag \(5{,}0\,\text{cm}\). b) Die Null kennzeichnet die verlangte Angabe auf eine Nachkommastelle; \(5\) zeigt diese Rundungsgenauigkeit nicht.

- Nutze \(1\,\text{km}=1000\,\text{m}\), um die geforderte Genauigkeit in Kilometer umzuschreiben. - Ordne die gefundene Größe danach der passenden Stelle nach dem Komma zu. - Runde erst, wenn du entschieden hast, welche Stelle erhalten bleiben soll.

1. \(100\,\text{m}=0{,}1\,\text{km}\). 2. Eine Genauigkeit von \(0{,}1\,\text{km}\) bedeutet: auf Zehntelkilometer beziehungsweise auf eine Nachkommastelle runden. 3. Bei \(12{,}846\) entscheidet die Hundertstelziffer \(4\). Daher bleibt die Zehntelziffer \(8\) unverändert. 4. Die passende Angabe ist \(12{,}8\,\text{km}\).

Auf Zehntelkilometer beziehungsweise eine Nachkommastelle; \(12{,}8\,\text{km}\).

- Überlege, welche Tausendstelziffern beim Runden zu den Hundertsteln \(4{,}32\) führen können. - Suche bewusst zwei Ausgangszahlen, die nicht gleich sind. - Was zeigt dir die Tatsache, dass du mehr als eine passende Ausgangszahl findest?

1. Zum Beispiel werden \(4{,}316\) und \(4{,}323\) beide auf \(4{,}32\) gerundet. 2. Bei \(4{,}316\) führt die Tausendstelziffer \(6\) zum Aufrunden. 3. Bei \(4{,}323\) bleibt die Hundertstelziffer wegen der Tausendstelziffer \(3\) unverändert. 4. Mehrere verschiedene Ausgangszahlen können also denselben gerundeten Wert haben. Deshalb lässt sich der ursprüngliche Wert nicht eindeutig zurückbestimmen.

a) Zum Beispiel \(4{,}316\) und \(4{,}323\). b) Verschiedene Ausgangszahlen können auf denselben Hundertstelwert gerundet werden. Deshalb lässt sich der ursprüngliche exakte Wert aus \(4{,}32\) allein nicht bestimmen.

- Überlege, welchen Stellenwert die letzte Null in \(3{,}50\) hat. - Achte in b) darauf, auf welche Stelle der Messwert gerundet wurde. - Unterscheide zwischen dem Zahlenwert und der Stelle, auf die gerundet wurde.

1. \(3{,}5\) und \(3{,}50\) haben denselben Zahlenwert. Eine Null ganz rechts nach dem Komma ändert den Wert nicht. 2. Bei einem gerundeten Messwert zeigt \(3{,}50\,\text{m}\), dass bis auf Hundertstelmeter gerundet wurde. 3. Die letzte Null ändert also nicht den Zahlenwert, zeigt hier aber, auf welche Stelle gerundet wurde.

a) Ja. \(3{,}5=3{,}50\). b) Die letzte Null zeigt, dass der Messwert auf Hundertstelmeter gerundet angegeben wurde. Sie ändert den Zahlenwert nicht.

- Überlege dir, ab welcher Ziffer an der zweiten Nachkommastelle auf \(5{,}4\) aufgerundet wird. - Überlege dir auch, bis zu welcher Ziffer an der zweiten Nachkommastelle noch auf \(5{,}4\) abgerundet wird. - Schreibe dir eine Liste von Zahlen mit zwei Nachkommastellen auf, die gerundet alle \(5{,}4\) ergeben könnten.

1. Um beim Runden auf eine Nachkommastelle \(5{,}4\) zu erhalten, muss die Zahl im Bereich von \(5{,}35\) bis unter \(5{,}45\) liegen. 2. Die kleinste Zahl mit zwei Nachkommastellen, bei der die Zehntelstelle auf \(4\) aufgerundet wird, ist \(5{,}35\) (da die Hundertstelstelle mindestens \(5\) sein muss). 3. Die größte Zahl mit zwei Nachkommastellen, bei der die Zehntelstelle \(4\) erhalten bleibt, ist \(5{,}44\) (da die Hundertstelstelle höchstens \(4\) sein darf).

Kleinstmögliche Zahl: \(5{,}35\) Größtmögliche Zahl: \(5{,}44\)

- Welche Ziffer ist allein entscheidend, wenn man auf eine Nachkommastelle runden möchte? - Spielt die dritte Nachkommastelle eine Rolle, wenn man direkt auf die erste Nachkommastelle rundet? - Was passiert, wenn man Informationen aus weiter hinten liegenden Stellen „mitschleppt“, so wie Jonas es tut?

1. Bestimmung der relevanten Stelle: Für die Rundung auf eine Nachkommastelle ist nur die direkt darauf folgende Stelle (Hundertstelstelle) entscheidend. 2. Analyse der Zahl \(0{,}445\): Die Hundertstelstelle ist eine \(4\). 3. Anwendung der Rundungsregel: Da \(4 < 5\), wird abgerundet. Die Zehntelstelle bleibt unverändert. Korrektes Ergebnis: \(0{,}4\). 4. Fehleranalyse: Jonas wendet eine „Kettenrundung“ an. Man darf jedoch immer nur direkt von der Ausgangszahl auf die Zielstelle runden, da sich sonst Rundungsfehler addieren können.

Das korrekte Ergebnis ist \(0{,}4\). Jonas macht einen Fehler, weil er schrittweise rundet. Man muss jedoch immer direkt auf die Zielstelle runden und dabei nur die eine Ziffer betrachten, die unmittelbar rechts daneben steht. Da die Hundertstelstelle eine \(4\) ist, muss abgerundet werden.

- Frage dich in a), ob \(2\) ganze Packungen den angegebenen Bedarf vollständig decken. - Frage dich in b), ob eine fünfte ganze Kiste noch vollständig Platz hätte. - Entscheidend ist nicht nur die Rundungsziffer, sondern was das Ergebnis in der Situation bedeuten soll.

1. Bei a) reichen \(2\) Packungen nicht für den berechneten Bedarf. Deshalb müssen \(3\) Packungen gekauft werden. 2. Bei b) passen nur \(4\) ganze Kisten vollständig auf das Brett. Eine fünfte Kiste würde nicht mehr vollständig passen. 3. Die Entscheidung hängt also vom Sachzusammenhang ab: Ein Mindestbedarf muss vollständig gedeckt werden, während eine vorhandene Grenze nicht überschritten werden darf.

a) \(3\) Packungen b) \(4\) Kisten In a) muss der Bedarf vollständig gedeckt werden; in b) darf der vorhandene Platz nicht überschritten werden.

- Führe die schriftliche Division bis zur dritten Nachkommastelle aus. - Welche Regel gilt für das Auf- und Abrunden bei der Ziffer 5? - Konzentriere dich nur auf die Stelle direkt rechts neben der Zielstelle.

1. Division für \( \frac{19}{12} \): \( 19 : 12 = 1{,}5833\dots \) 2. Bestimmung der Tausendstelstelle für a): Die dritte Nachkommastelle ist \( 3 \). Da \( 3 < 5 \), wird abgerundet. Ergebnis: \( 1{,}58 \). 3. Division für \( \frac{7}{11} \): \( 7 : 11 = 0{,}636363\dots \) 4. Bestimmung der Tausendstelstelle für b): Die dritte Nachkommastelle ist \( 6 \). Da \( 6 \geq 5 \), wird aufgerundet. Ergebnis: \( 0{,}64 \).

a) \( 1{,}58 \) (Tausendstelstelle: \( 3 \)) b) \( 0{,}64 \) (Tausendstelstelle: \( 6 \))

- Überlege für A, ab welcher Zahl mit drei Nachkommastellen auf \(5{,}0\) aufgerundet wird. - Überlege entsprechend für B, ab welcher Zahl mit drei Nachkommastellen auf \(5{,}00\) aufgerundet wird. - Vergleiche danach die möglichen Ausgangsbereiche der beiden Rundungen.

1. Für A ist die kleinste dreistellige Dezimalzahl \(4{,}950\). Ab diesem Wert wird auf Zehntel zu \(5{,}0\) gerundet. 2. Für B ist die kleinste dreistellige Dezimalzahl \(4{,}995\). Ab diesem Wert wird auf Hundertstel zu \(5{,}00\) gerundet. 3. Angabe B ist genauer. Beim Runden auf Hundertstel ist der Bereich möglicher Ausgangswerte enger als beim Runden auf Zehntel.

1. A: \(4{,}950\); B: \(4{,}995\) 2. B grenzt den ursprünglichen Wert genauer ein, weil auf Hundertstel statt nur auf Zehntel gerundet wurde.

- Überlege, ab welcher Tausendstelziffer eine Zahl mit \(2{,}45\dots\) auf \(2{,}46\) gerundet wird. - Prüfe auch, bis zu welcher Zahl mit \(2{,}46\dots\) noch auf \(2{,}46\) abgerundet wird. - Liste die passenden Tausendstelwerte der Reihe nach auf.

1. Die kleinste passende Zahl ist \(2{,}455\). Bei der Tausendstelziffer \(5\) wird auf \(2{,}46\) aufgerundet. 2. Die größte passende Zahl ist \(2{,}464\). Bei \(2{,}465\) würde bereits auf \(2{,}47\) gerundet. 3. Die möglichen Zahlen reichen damit von \(2{,}455\) bis \(2{,}464\): \(2{,}455\), \(2{,}456\), \(2{,}457\), \(2{,}458\), \(2{,}459\), \(2{,}460\), \(2{,}461\), \(2{,}462\), \(2{,}463\), \(2{,}464\). 4. Das sind insgesamt \(10\) Zahlen.

a) Kleinste Zahl: \(2{,}455\); größte Zahl: \(2{,}464\) b) \(10\) Zahlen

- Überlege, welcher Tonnenwert gerade noch auf \(2{,}4\,\text{t}\) aufgerundet wird. - Überlege auch, ab welchem Wert bereits \(2{,}5\,\text{t}\) entstehen würde. - Wandle die beiden Grenzen anschließend in Kilogramm um und beachte, dass ganze Kilogramm gefragt sind.

1. \(2{,}4\,\text{t}\) entspricht \(2400\,\text{kg}\). 2. Beim Runden auf eine Nachkommastelle werden alle Tonnenwerte ab \(2{,}35\,\text{t}\) auf \(2{,}4\,\text{t}\) aufgerundet. 3. Ab \(2{,}45\,\text{t}\) würde auf \(2{,}5\,\text{t}\) gerundet. Die tatsächliche Masse muss also kleiner als \(2{,}45\,\text{t}\) sein. 4. In ganzen Kilogramm sind damit Werte von \(2350\,\text{kg}\) bis \(2449\,\text{kg}\) möglich.

Die tatsächliche Masse kann zwischen \(2350\,\text{kg}\) und \(2449\,\text{kg}\) liegen.

- Welche Stelle nach dem Komma entscheidet darüber, ob die Zehntelstelle gleich bleibt oder um eins erhöht wird? - Spielen Ziffern, die noch weiter rechts stehen, eine Rolle für das Runden auf die erste Stelle? - Erinnere dich an die Regel: Ab welcher Ziffer wird „aufgerundet“?

1. Identifikation der entscheidenden Stelle: Beim Runden auf die erste Dezimalstelle (Zehntel) ist allein die zweite Dezimalstelle (Hundertstel) ausschlaggebend. 2. Bestimmung der Bedingung für das Aufrunden: Damit aus \(4{,}3\) durch Aufrunden \(4{,}4\) wird, muss die Ziffer im Kästchen \(5, 6, 7, 8\) oder \(9\) sein. 3. Analyse der Tausendstelstelle: Die Ziffer \(9\) an der dritten Stelle (Tausendstel) hat keinen Einfluss, da Rundungsentscheidungen in der Schule nicht schrittweise von rechts nach links, sondern direkt anhand der Folgestelle getroffen werden.

Mögliche Ziffern: \(\{5, 6, 7, 8, 9\}\). Die Ziffer \(9\) an der Tausendstelstelle wird ignoriert, da nur die direkt auf die Zielstelle folgende Ziffer (die Hundertstelstelle) über das Runden entscheidet.

- Schau dir immer die Ziffer rechts von der Stelle an, auf die du runden möchtest. - Bei einer Folgeziffer von \(0\) bis \(4\) bleibt die Rundungsziffer unverändert. - Bei einer Folgeziffer von \(5\) bis \(9\) wird die Rundungsziffer um \(1\) erhöht; bei negativen Zahlen bleibt das Minuszeichen erhalten. - Schreibe dir bei periodischen Zahlen die ersten paar Ziffern hintereinander auf, um die Folgeziffer besser zu erkennen.

1. Ausschreiben der Dezimaldarstellung von \(0{,}\overline{5} = 0{,}555\dots\): Die Zehntelziffer ist \(5\); die Folgeziffer \(5\) führt zu \(0{,}6\). Die Hundertstelziffer ist \(5\); die Folgeziffer \(5\) führt zu \(0{,}56\). 2. Zahl \(1{,}274\): Die Zehntelziffer ist \(2\); die Folgeziffer \(7\) führt zu \(1{,}3\). Die Hundertstelziffer ist \(7\); die Folgeziffer \(4\) lässt die Rundungsziffer unverändert. Ergebnis: \(1{,}27\). 3. Ausschreiben der Dezimaldarstellung von \(-0{,}\overline{18} = -0{,}1818\dots\): Für die Rundung auf Zehntel ist die nächste Ziffer \(8\). Daher wird die Zehntelziffer von \(1\) auf \(2\) erhöht; das Minuszeichen bleibt erhalten: \(-0{,}2\). Für Hundertstel ist die nächste Ziffer \(1\); die Hundertstelziffer \(8\) bleibt unverändert: \(-0{,}18\). 4. Zahl \(3{,}009\): Die Zehntelziffer ist \(0\); die Folgeziffer \(0\) lässt die Rundungsziffer unverändert. Ergebnis: \(3{,}0\). Die Hundertstelziffer ist \(0\); die Folgeziffer \(9\) führt zu \(3{,}01\).

a) Zehntel: \(0{,}6\); Hundertstel: \(0{,}56\) b) Zehntel: \(1{,}3\); Hundertstel: \(1{,}27\) c) Zehntel: \(-0{,}2\); Hundertstel: \(-0{,}18\) d) Zehntel: \(3{,}0\); Hundertstel: \(3{,}01\)

- Schreibe beide Zahlen mit mindestens vier Nachkommastellen untereinander. - Führe die Rundung für beide Zahlen Schritt für Schritt für jede geforderte Stelle durch. - Was passiert bei einer endlichen Dezimalzahl wie \(0{,}27\), wenn man sie auf Tausendstel runden möchte?

1. Dezimaldarstellung: \(A = 0{,}272727\dots\) und \(B = 0{,}270000\dots\). 2. Runden auf Zehntel: Bei \(A\) folgt auf die 2 eine 7 (Aufrunden) \(\to 0{,}3\). Bei \(B\) folgt auf die 2 eine 7 (Aufrunden) \(\to 0{,}3\). Die Werte sind gleich. 3. Runden auf Hundertstel: Bei \(A\) folgt auf die 7 eine 2 (Abrunden) \(\to 0{,}27\). \(B\) ist bereits \(0{,}27\). Die Werte sind gleich. 4. Runden auf Tausendstel: Bei \(A\) folgt auf die 2 eine 7 (Aufrunden) \(\to 0{,}273\). Bei \(B\) folgt auf die 0 eine 0 (Abrunden) \(\to 0{,}270\). Die Werte unterscheiden sich (\(0{,}273 \neq 0{,}270\)).

Die gerundeten Werte unterscheiden sich zum ersten Mal bei der Rundung auf Tausendstel (\(0{,}273\) gegenüber \(0{,}270\)).

- Welche Ziffer rechts von der Rundungsstelle entscheidet, ob die Rundungsziffer unverändert bleibt oder um \(1\) erhöht wird? - Was passiert mit den Stellen links davon, wenn beim Erhöhen einer \(9\) ein Übertrag entsteht? - Überlege, was die Anzahl der Nachkommastellen über die Genauigkeit einer Angabe aussagt.

1. Rundung von \(0{,}4951\): Die dritte Dezimalstelle ist eine \(5\), also wird die zweite Stelle um \(1\) erhöht. Da dort eine \(9\) steht, entsteht ein Übertrag zur ersten Dezimalstelle. Ergebnis auf \(2\) Dezimalstellen: \(0{,}50\). Auf \(1\) Dezimalstelle: Die zweite Stelle ist eine \(9\), daher ergibt sich \(0{,}5\). 2. Rundung von \(12{,}997\): Die dritte Stelle ist eine \(7\), daher wird die zweite Stelle um \(1\) erhöht. Durch die beiden Neunen entstehen Überträge bis zur Einerstelle. Ergebnis auf \(2\) Dezimalstellen: \(13{,}00\). Auf \(1\) Dezimalstelle ergibt sich \(13{,}0\). 3. Rundung von \(-3{,}0449\): Für \(2\) Dezimalstellen ist die dritte Dezimalstelle \(4\); die Hundertstelziffer bleibt deshalb \(4\). Ergebnis: \(-3{,}04\). Für \(1\) Dezimalstelle ist die zweite Dezimalstelle \(4\); die Zehntelziffer bleibt \(0\). Ergebnis: \(-3{,}0\). 4. Bedeutung der Nullen: Die Nullen bei \(13{,}00\) zeigen an, dass die Zahl auf die Hundertstelstelle genau gerundet wurde und dort den Wert Null hat. Ohne die Nullen wäre die erreichte Genauigkeit nicht erkennbar.

Gerundete Werte: \(0{,}4951 \rightarrow 0{,}50\) (\(2\) Dezimalstellen), \(0{,}5\) (\(1\) Dezimalstelle) \(12{,}997 \rightarrow 13{,}00\) (\(2\) Dezimalstellen), \(13{,}0\) (\(1\) Dezimalstelle) \(-3{,}0449 \rightarrow -3{,}04\) (\(2\) Dezimalstellen), \(-3{,}0\) (\(1\) Dezimalstelle) Die Nullen bei \(13{,}00\) müssen notiert werden, um die Rundungsgenauigkeit bis zur Hundertstelstelle zu kennzeichnen.

- Beim Runden auf Zehntel entscheidet die Hundertstelziffer. - Prüfe getrennt Zahlen, die mit \(4{,}9\) beginnen, und Zahlen, die mit \(5{,}0\) beginnen. - Nutze die Ziffernsumme erst zusammen mit der Rundungsbedingung.

1. Eine Zahl mit drei Nachkommastellen, die auf \(5{,}0\) gerundet wird, kann mit \(4{,}9\) oder mit \(5{,}0\) beginnen. 2. Beginnt sie mit \(4{,}9\), müsste die Hundertstelziffer mindestens \(5\) sein. Dann wäre die Summe der Nachkommastellen schon größer als \(10\). Dieser Fall ist unmöglich. 3. Beginnt sie mit \(5{,}0\), muss die Hundertstelziffer kleiner als \(5\) sein, damit nicht auf \(5{,}1\) gerundet wird. 4. Die Hundertstel- und Tausendstelziffer müssen zusammen \(10\) ergeben. Möglich sind \(1+9\), \(2+8\), \(3+7\) und \(4+6\). 5. Die gesuchten Zahlen sind daher \(5{,}019\), \(5{,}028\), \(5{,}037\) und \(5{,}046\).

\(5{,}019\), \(5{,}028\), \(5{,}037\) und \(5{,}046\)

- Gibt es Zahlen, die mehr als drei Nachkommastellen haben? - Wie verhält sich die Rundung, wenn du hinter die \(9\) in \(8{,}249\) noch weitere Ziffern schreibst? - Wie nah kannst du an die Zahl \(8{,}25\) herankommen, ohne sie zu erreichen? - Kannst du immer noch eine Ziffer hinzufügen, um eine Zahl noch ein kleines Stück größer zu machen?

1. Überprüfung für drei Stellen: Die Zahlen, die auf \(8{,}2\) abgerundet werden, müssen an der Hundertstelstelle eine \(0, 1, 2, 3\) oder \(4\) haben. Die größte Zahl mit drei Stellen ist somit \(8{,}249\). Julia hat für diesen speziellen Fall recht. 2. Gegenbeispiele mit mehr Stellen: Zahlen wie \(8{,}2491\), \(8{,}2499\) oder \(8{,}24999\) sind alle größer als \(8{,}249\). Da ihre Hundertstelstelle weiterhin eine \(4\) ist, werden sie alle auf \(8{,}2\) abgerundet. 3. Begründung für die Nichtexistenz: Die Grenze zum Aufrunden liegt bei \(8{,}25\). Jede Zahl \(x\) mit \(8{,}15 \le x < 8{,}25\) wird auf \(8{,}2\) gerundet. Da man zwischen jede Zahl \(x\) und die Grenze \(8{,}25\) immer eine weitere, noch größere Zahl finden kann (z. B. den Mittelwert oder durch Anhängen einer weiteren \(9\)), gibt es keine absolut größte Zahl in diesem Bereich.

a) Für genau drei Nachkommastellen hat Julia recht; \(8{,}249\) ist die größte. b) Beispiele für größere Zahlen sind \(8{,}2499\), \(8{,}24999\) und \(8{,}249999\). c) Es gibt keine größte Zahl, da man sich der Grenze \(8{,}25\) unendlich nah annähern kann (z. B. durch immer mehr Neunen), diese Grenze selbst aber zum Aufrunden auf \(8{,}3\) führt.

- Bestimme für jede Rundungsangabe getrennt den kleinsten möglichen Wert und die Grenze, ab der anders gerundet würde. - Prüfe anschließend, welcher der beiden möglichen Bereiche enger ist. - Wandle diesen Bereich in Meter um und beachte, dass nur ganze Meterwerte gesucht sind.

1. Damit eine Länge auf eine Nachkommastelle zu \(7{,}3\,\text{km}\) wird, muss sie mindestens \(7{,}25\,\text{km}\), aber kleiner als \(7{,}35\,\text{km}\) sein. 2. Damit sie auf zwei Nachkommastellen zu \(7{,}28\,\text{km}\) wird, muss sie mindestens \(7{,}275\,\text{km}\), aber kleiner als \(7{,}285\,\text{km}\) sein. 3. Jeder Wert aus dem zweiten, engeren Bereich erfüllt auch die erste Bedingung. 4. In Metern reicht dieser Bereich von \(7275\,\text{m}\) bis knapp unter \(7285\,\text{m}\). 5. Bei ganzen Metern ist daher \(7275\,\text{m}\) der kleinste und \(7284\,\text{m}\) der größte mögliche Wert.

Kleinstmöglich: \(7275\,\text{m}\) Größtmöglich: \(7284\,\text{m}\)