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- Wie viele Nachkommastellen hat das Ergebnis bei einer Multiplikation? - Kannst du die Rechnung zuerst ohne Komma durchführen? - Wie schreibst du \(\frac{1}{2}\) als Dezimalzahl?

1. \(0{,}2 \cdot 0{,}4=0{,}08\). 2. \(0{,}5 \cdot 0{,}6=0{,}30=0{,}3\). 3. \(\frac{1}{2}=0{,}5\). Daher \(\frac{1}{2} \cdot 0{,}8=0{,}5 \cdot 0{,}8=0{,}4\).

a) \(0{,}08\) b) \(0{,}3\) c) \(0{,}4\)

- Deute \(0{,}4\) als vier Zehntel. - Wie viele Zehntel entstehen bei drei gleichen Gruppen? - Prüfe die Größenordnung: Das Ergebnis muss größer als \(1\), aber deutlich kleiner als \(3\) sein.

1. Drei Mal vier Zehntel sind zwölf Zehntel. 2. Zwölf Zehntel sind \(1{,}2\). Daher ist B) richtig.

B) \(1{,}2\)

- Denke an den Stellenwert jeder Ziffer vor und nach der Multiplikation mit \(10\). - Jede Ziffer rückt um genau eine Stelle nach links im Stellenwertschema. - Kontrolliere, ob das Ergebnis zehnmal so groß wie \(0{,}37\) ist.

1. Beim Multiplizieren mit \(10\) wird jede Ziffer um eine Stelle in einen höheren Stellenwert verschoben. 2. Daher gilt \(0{,}37\cdot10=3{,}7\).

\(3{,}7\)

- Wie viele Stellen muss das Komma nach rechts verschoben werden, damit keine Ziffern mehr hinter dem Komma stehen? - Was passiert mit dem Komma, wenn du eine Zahl mit \(10\), \(100\) oder \(1000\) multiplizierst? - Erinnerst du dich an den Zusammenhang zwischen der Anzahl der Nullen in der Zehnerpotenz und der Verschiebung des Kommas?

1. Für \(0{,}8\): Die Zahl hat eine Nachkommastelle. Multiplikation mit \(10^1\) verschiebt das Komma um eine Stelle nach rechts: \(0{,}8 \cdot 10 = 8\). 2. Für \(0{,}045\): Die Zahl hat drei Nachkommastellen. Multiplikation mit \(10^3\) verschiebt das Komma um drei Stellen nach rechts: \(0{,}045 \cdot 1000 = 45\). 3. Für \(1{,}2034\): Die Zahl hat vier Nachkommastellen. Multiplikation mit \(10^4\) verschiebt das Komma um vier Stellen nach rechts: \(1{,}2034 \cdot 10\,000 = 12\,034\).

a) \(10^1\); Ergebnis: \(8\) b) \(10^3\); Ergebnis: \(45\) c) \(10^4\); Ergebnis: \(12\,034\)

- Verändern Endnullen nach dem Dezimalkomma den Wert einer Zahl? - Betrachte die Zahl in einer gleichwertigen Schreibweise ohne überflüssige Endnullen. - Prüfe Zehnerpotenzen der Größe nach, bis das Ergebnis natürlich ist.

1. \(0{,}750=0{,}75\); die Endnull ändert den Wert nicht. 2. \(0{,}75\cdot10=7{,}5\) ist noch keine natürliche Zahl. 3. \(0{,}75\cdot100=75\) ist eine natürliche Zahl. 4. Daher ist \(10^2\) die kleinste passende Zehnerpotenz.

Die Aussage ist falsch. Die kleinste Zehnerpotenz ist \(10^2\), denn \(0{,}750\cdot100=75\).

- Multipliziere zuerst so, als gäbe es kein Komma. - Zähle die Nachkommastellen, um das Komma im Ergebnis richtig zu setzen. - Achte bei negativen Zahlen auf die Vorzeichenregel.

1. \(0{,}8 \cdot 4=3{,}2\). 2. \(-0{,}5 \cdot 9=-4{,}5\). 3. \(1{,}2 \cdot 5=6\). 4. \(0{,}006 \cdot 7=0{,}042\).

a) \(3{,}2\) b) \(-4{,}5\) c) \(6\) d) \(0{,}042\)

- Wie viele Nachkommastellen haben die Faktoren insgesamt? - Das Ergebnis muss genauso viele Nachkommastellen haben wie die Faktoren zusammen. - Manchmal musst du am Ende Nullen weglassen oder vorne Nullen ergänzen.

1. Bei \(3{,}2 \cdot 4{,}5\) gibt es insgesamt zwei Nachkommastellen: \(14{,}40 = 14{,}4\). 2. Bei \(0{,}32 \cdot 45\) gibt es insgesamt zwei Nachkommastellen: \(14{,}40 = 14{,}4\). 3. Bei \(32 \cdot 0{,}045\) gibt es insgesamt drei Nachkommastellen: \(1{,}440 = 1{,}44\). 4. Bei \(0{,}032 \cdot 0{,}45\) gibt es insgesamt fünf Nachkommastellen. Aus \(1440\) wird unter Beachtung der Stellen \(0{,}01440 = 0{,}0144\).

a) \(14{,}4\) b) \(14{,}4\) c) \(1{,}44\) d) \(0{,}0144\)

- Überlege dir bei Aufgaben mit Lücken, welche Umkehroperation dir helfen könnte. - Erinnere dich daran, wie man eine Dezimalzahl mit \(10\), \(100\) oder \(1000\) multipliziert. - Achte bei negativen Ergebnissen auf die Vorzeichenregel.

1. Berechnung des Platzhalters durch Division: \(3{,}2 : 0{,}4 = 32 : 4 = 8\). 2. Multiplikation: \(7 \cdot 8 = 56\), mit zwei Nachkommastellen ergibt sich \(0{,}56\). 3. Bestimmung des Faktors: \(-4{,}5 : 1{,}5 = -3\). 4. Multiplikation mit einer Zehnerpotenz: \(0{,}003 \cdot 300 = 0{,}3 \cdot 3 = 0{,}9\).

a) \(8\) b) \(0{,}56\) c) \(-3\) d) \(0{,}9\)

- Welche Rechenart passt, wenn dasselbe Gewicht mehrfach vorkommt? - Achte bei der Multiplikation auf die Größenordnung des Produkts. - Prüfe, ob die Einheit in jedem Ergebnis erhalten bleibt.

1. Im Karton wiegen die Blöcke zusammen \(25\cdot0{,}245\,\text{kg}=6{,}125\,\text{kg}\). 2. Im Rucksack wiegen drei Blöcke \(3\cdot0{,}245\,\text{kg}=0{,}735\,\text{kg}\).

a) \(6{,}125\,\text{kg}\) b) \(0{,}735\,\text{kg}\)

- Überlege, welche Rechenart benötigt wird, wenn eine Menge vervielfacht wird. - Wie viele Nachkommastellen muss das Ergebnis haben, wenn du zwei Dezimalzahlen multiplizierst?

1. Multiplikation der Grundmenge des Mehls mit dem gewünschten Faktor: \(0{,}45 \cdot 2{,}4\). 2. Durchführung der schriftlichen Multiplikation: \(45 \cdot 24 = 1080\). 3. Setzen des Kommas für drei Nachkommastellen: \(1{,}080\). 4. Endergebnis: \(1{,}08\,\text{kg}\).

Er benötigt insgesamt \(1{,}08\,\text{kg}\) Mehl.

- Wandle die Seitenlängen vor dem Multiplizieren in Zentimeter um. - Berechne beide Flächen in Quadratzentimetern und vergleiche sie. - Wandle erst die Flächendifferenz in Quadratmeter um.

1. Teppich A: \(2{,}5\,\text{m} = 250\,\text{cm}\), \(1{,}8\,\text{m} = 180\,\text{cm}\). Die Fläche ist \(250 \cdot 180 = 45\,000\,\text{cm}^2\). 2. Teppich B: \(3{,}2\,\text{m} = 320\,\text{cm}\), \(1{,}4\,\text{m} = 140\,\text{cm}\). Die Fläche ist \(320 \cdot 140 = 44\,800\,\text{cm}^2\). 3. Teppich A ist größer. Der Unterschied beträgt \(45\,000 - 44\,800 = 200\,\text{cm}^2\). 4. \(200\,\text{cm}^2 = 0{,}02\,\text{m}^2\).

Teppich A hat die größere Fläche. Der Unterschied beträgt \(0{,}02\,\text{m}^2\).

- Welche Rechenart musst du verwenden, um den Preis für eine bestimmte Menge zu berechnen? - Achte beim Multiplizieren von Dezimalzahlen darauf, wie viele Nachkommastellen das Ergebnis insgesamt haben muss. - Kannst du das Ergebnis überschlagen, um zu sehen, ob dein Wert sinnvoll ist (z. B. \(5 \cdot 2\))?

1. Aufstellen der Multiplikationsaufgabe: \(4{,}80\,\text{€/kg} \cdot 2{,}25\,\text{kg}\) 2. Durchführung der Multiplikation: \(4{,}8 \cdot 2{,}25 = 10{,}8\) 3. Das Ergebnis in der Währungseinheit angeben: \(10{,}80\,\text{€}\)

Frau Müller muss \(10{,}80\,\text{€}\) bezahlen.

- Wie viele Nachkommastellen haben die Faktoren insgesamt? - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du zwei negative Zahlen multiplizierst? - Rechne zuerst so, als gäbe es kein Komma.

1. a) Ohne Kommas: \(48\cdot15\). Teilprodukte: \(48\cdot5=240\) und \(48\cdot10=480\); Summe \(720\). Zwei Nachkommastellen ergeben \(7{,}20=7{,}2\). 2. b) Ohne Kommas: \(22\cdot34\). Teilprodukte: \(22\cdot4=88\) und \(22\cdot30=660\); Summe \(748\). Zwei Nachkommastellen und ein negatives Vorzeichen ergeben \(-7{,}48\). 3. c) Ohne Kommas: \(5\cdot14\). Teilprodukte: \(5\cdot4=20\) und \(5\cdot10=50\); Summe \(70\). Vier Nachkommastellen und ein negatives Vorzeichen ergeben \(-0{,}0070=-0{,}007\). 4. d) Ohne Kommas: \(125\cdot8=1000\). Drei Nachkommastellen und zwei negative Faktoren ergeben \(1{,}000=1\).

a) Teilprodukte \(240\) und \(480\); Summe \(720\); \(2\) Nachkommastellen; \(7{,}2\). b) Teilprodukte \(88\) und \(660\); Summe \(748\); \(2\) Nachkommastellen; \(-7{,}48\). c) Teilprodukte \(20\) und \(50\); Summe \(70\); \(4\) Nachkommastellen; \(-0{,}007\). d) Ganzzahlprodukt \(125\cdot8=1000\); \(3\) Nachkommastellen; \(1\).

- Was fällt dir bei der Ziffernfolge der Ergebnisse auf? - Zähle bei jeder Teilaufgabe die Nachkommastellen der Faktoren. - Wie verändert sich die Position des Kommas, wenn ein Faktor eine zusätzliche Null nach dem Komma erhält?

1. Das Basisprodukt ist \(6 \cdot 7 = 42\). 2. Für a) zwei Nachkommastellen: \(0{,}42\). 3. Für b) drei Nachkommastellen: \(0{,}042\). 4. Für c) drei Nachkommastellen und positives Vorzeichen (Minus mal Minus): \(0{,}042\). 5. Für d) vier Nachkommastellen und negatives Vorzeichen: \(-0{,}0042\).

a) \(0{,}42\) b) \(0{,}042\) c) \(0{,}042\) d) \(-0{,}0042\)

- Der Überschlag entscheidet nur über die Größenordnung, nicht über das exakte Produkt. - Bei \(124\cdot52\) entstehen ein Einer- und ein Zehner-Teilprodukt. - Setze das Komma erst nach der Ganzzahlmultiplikation anhand der Nachkommastellen der beiden Faktoren.

1. Der Überschlag \(12\cdot5=60\) macht B plausibel. 2. Die Teilprodukte sind \(124\cdot2=248\) und \(124\cdot50=6200\). 3. Ihre Summe ist \(6448\). 4. Die Faktoren haben zusammen zwei Nachkommastellen, daher lautet das Dezimalergebnis \(64{,}48\).

1. B), denn \(12\cdot5\approx60\). 2. Teilprodukte: \(248\) und \(6200\); Summe: \(6448\); mit zwei Nachkommastellen: \(64{,}48\).

- Wie viel Wasser trinken alle Kinder zusammen an einem einzigen Tag? - Wenn du den Tagesverbrauch kennst, wie kommst du auf den Verbrauch für eine ganze Woche? - Achte beim Multiplizieren von Dezimalzahlen darauf, die Anzahl der Nachkommastellen im Ergebnis richtig zu setzen.

1. Berechnung des Wasserverbrauchs der gesamten Klasse an einem Tag durch Multiplikation der Kinderanzahl mit dem Einzelverbrauch: \(25 \cdot 0{,}35\,\text{l} = 8{,}75\,\text{l}\). 2. Berechnung des Verbrauchs für die gesamte Schulwoche durch Multiplikation des Tagesergebnisses mit der Anzahl der Tage: \(8{,}75\,\text{l} \cdot 5 = 43{,}75\,\text{l}\).

\(43{,}75\,\text{l}\)

- Wie viele Nachkommastellen hat das Ergebnis einer Multiplikation von zwei Dezimalzahlen? - Rechne zuerst so, als gäbe es kein Komma, und setze es am Ende an die richtige Stelle. - Was passiert mit der Anzahl der Nachkommastellen, wenn du eine Zahl mit sich selbst multiplizierst?

1. Berechnung von \(0{,}7^2\): \(7 \cdot 7 = 49\); mit zwei Nachkommastellen ergibt sich \(0{,}49\). 2. Berechnung von \(0{,}12^2\): \(12 \cdot 12 = 144\); mit vier Nachkommastellen ergibt sich \(0{,}0144\). 3. Berechnung von \(0{,}09^2\): \(9 \cdot 9 = 81\); mit vier Nachkommastellen ergibt sich \(0{,}0081\). 4. Berechnung von \(1{,}3^2\): \(13 \cdot 13 = 169\); mit zwei Nachkommastellen ergibt sich \(1{,}69\). 5. Berechnung von \(0{,}015^2\): \(15 \cdot 15 = 225\); mit sechs Nachkommastellen ergibt sich \(0{,}000225\).

a) \(0{,}49\) b) \(0{,}0144\) c) \(0{,}0081\) d) \(1{,}69\) e) \(0{,}000225\)

- Vergleiche in A die markierten Felder mit allen Feldern des Rasters. - Vergleiche in B die markierten Felder nur mit dem Ausgangsbereich aus A. - Nutze anschließend, dass Hundertstel direkt als Dezimalzahl gelesen werden können.

1. In A sind \(60\) von \(100\) Feldern markiert. Das entspricht \(0{,}6\). 2. In B sind \(24\) der \(60\) Ausgangsfelder markiert. \(\frac{24}{60}=0{,}4\). 3. Daher gilt \(0{,}6\cdot0{,}4=0{,}24\). Im ganzen Raster sind \(24\) von \(100\) Feldern markiert.

a) \(0{,}6\) b) \(0{,}4\) c) \(0{,}6\cdot0{,}4=0{,}24\)

- Vergleiche zunächst nur die Größenordnung der beiden Faktoren mit \(1\). - Muss das Produkt zweier positiver Zahlen unter \(1\) hier größer oder kleiner werden? - Erst nach dieser Plausibilitätsprüfung lohnt sich die genaue Kommasetzung.

1. Beide Faktoren liegen zwischen \(0\) und \(1\). Das Produkt muss daher kleiner als jeder der beiden positiven Faktoren und insbesondere kleiner als \(1\) sein. 2. Ohne Komma ergibt \(6\cdot7=42\). Insgesamt besitzen die Faktoren zwei Nachkommastellen. 3. Deshalb lautet das Produkt \(0{,}42\), nicht \(4{,}2\).

\(4{,}2\) ist zu groß. Richtig ist \(0{,}6\cdot0{,}7=0{,}42\). Das Komma wurde um eine Stelle zu weit rechts gesetzt.

- Betrachte zuerst nur, ob das Produkt größer oder kleiner als der bekannte Faktor ist. - Welche Umkehroperation hilft bei einem fehlenden Faktor? - Prüfe den gefundenen Wert in der ursprünglichen Multiplikation.

1. Da \(0{,}4\) mit dem gesuchten Faktor auf \(1{,}2\) vergrößert wird, muss der Faktor größer als \(1\) sein. 2. Mit der Umkehroperation gilt \(1{,}2:0{,}4=3\). 3. Kontrolle: \(3\cdot0{,}4=1{,}2\).

Der Faktor ist größer als \(1\) und hat den Wert \(3\).

- Ignoriere für die Teilprodukte zunächst die Dezimalpunkte und betrachte \(124\cdot35\). - Welche Multiplikation gehört zur Ziffer \(3\) des Multiplikators? - Der Stellenwert dieser Ziffer bestimmt, wie die Teilproduktzeile angeordnet wird.

1. Für die Ganzzahlrechnung wird \(124\cdot35\) betrachtet. Zur Ziffer \(3\) gehört das unverschobene Teilprodukt \(124\cdot3=372\). 2. Die \(3\) steht in \(35\) an der Zehnerstelle. Deshalb wird die zugehörige Teilproduktzeile in der schriftlichen Rechnung um eine Stelle nach links versetzt. 3. Zusammen mit dem anderen Teilprodukt ergibt sich das dargestellte Ergebnis \(43{,}40\).

Das fehlende Teilprodukt lautet \(372\). Die Zeile wird um eine Stelle versetzt, weil die \(3\) in \(35\) die Zehnerstelle darstellt.

- Bestimme zuerst für jede Zahl einzeln die kleinste passende Zehnerpotenz (\(10^1, 10^2, \dots\)). - Achte darauf, wie viele Nachkommastellen nach dem Entfernen von Endnullen übrig bleiben. - Vergleiche am Ende die Hochzahlen (Exponenten) der Zehnerpotenzen.

1. Bestimmung für \(A = 0{,}002\): Drei Nachkommastellen benötigen \(10^3\), da \(0{,}002 \cdot 1000 = 2\). 2. Bestimmung für \(B = 0{,}05\): Zwei Nachkommastellen benötigen \(10^2\), da \(0{,}05 \cdot 100 = 5\). 3. Bestimmung für \(C = 0{,}00018\): Fünf Nachkommastellen benötigen \(10^5\), da \(0{,}00018 \cdot 100\,000 = 18\). 4. Bestimmung für \(D = 1{,}23\): Zwei Nachkommastellen benötigen \(10^2\), da \(1{,}23 \cdot 100 = 123\). 5. Vergleich der Exponenten: \(B\) und \(D\) benötigen \(10^2\), \(A\) benötigt \(10^3\), \(C\) benötigt \(10^5\). 6. Reihenfolge: \(B\) und \(D\) (gleichauf), danach \(A\), danach \(C\).

Die Reihenfolge lautet: \(B\) und \(D\) (beide benötigen \(10^2\)), dann \(A\) (benötigt \(10^3\)), zuletzt \(C\) (benötigt \(10^5\)).

- Um Preise zu vergleichen, ist es hilfreich, die Kosten für die exakt gleiche Menge zu berechnen. - Was kostet Sorte A, wenn du genau so viel davon kaufst, wie in einem Beutel der Sorte B enthalten ist?

1. Berechnung des Preises für \(1{,}5\,\text{kg}\) der Sorte A: Multiplikation des Kilopreises mit der Menge: \(1{,}5 \cdot 2{,}40\,\text{€} = 3{,}60\,\text{€}\). 2. Vergleich der Preise für die gleiche Menge (\(1{,}5\,\text{kg}\)): Sorte A kostet \(3{,}60\,\text{€}\), Sorte B kostet \(3{,}45\,\text{€}\). 3. Da \(3{,}45\,\text{€} < 3{,}60\,\text{€}\) ist, ist Sorte B günstiger.

\(1{,}5\,\text{kg}\) der Sorte A kosten \(3{,}60\,\text{€}\). Sorte B ist somit preisgünstiger.

- Rechne zuerst die unbekannte Einheit in eine vertraute Einheit wie Zentimeter um. - Achte beim Vergleich darauf, dass beide Längenangaben in derselben Einheit (z. B. Meter) stehen. - Wie viele Zentimeter sind ein Meter?

1. Umrechnung der Zimmerlänge von Fuß in Zentimeter: Multiplikation der Anzahl der Fuß mit dem Umrechnungsfaktor: \(12{,}5 \cdot 30{,}48\,\text{cm} = 381{,}0\,\text{cm}\). 2. Umrechnung der Zimmerlänge in Meter: \(381\,\text{cm} = 3{,}81\,\text{m}\). 3. Vergleich mit der Teppichlänge: Der Teppich ist \(3{,}85\,\text{m}\) lang, das Zimmer nur \(3{,}81\,\text{m}\). 4. Da \(3{,}85\,\text{m} > 3{,}81\,\text{m}\), passt der Teppich nicht hinein.

a) Das Zimmer ist \(381\,\text{cm}\) lang. b) Nein, der Teppich passt nicht, da er mit \(3{,}85\,\text{m}\) länger ist als das Zimmer (\(3{,}81\,\text{m}\)).

- Was passiert mit einem Produkt, wenn du einen der Faktoren verdoppelst oder halbierst? Hier funktioniert es mit Zehnerpotenzen genauso. - Du musst nicht neu rechnen, sondern kannst das ursprüngliche Ergebnis \(450\) als Basis nehmen. - Überlege, ob das Endergebnis größer oder kleiner werden muss, wenn die Faktoren verändert werden.

1. Wenn ein Faktor durch \(10\) dividiert wird, verringert sich auch das Produkt um den Faktor \(10\). Rechnung: \(450 : 10 = 45\). 2. Wenn ein Faktor mit \(10\) multipliziert wird, vergrößert sich das Produkt um den Faktor \(10\). Rechnung: \(450 \cdot 10 = 4500\). 3. Wenn beide Faktoren durch \(10\) dividiert werden, wird das Gesamtergebnis zweimal durch \(10\) dividiert (also durch \(100\)). Rechnung: \(450 : 100 = 4{,}5\).

a) \(45\); das Ergebnis wird durch \(10\) geteilt. b) \(4500\); das Ergebnis wird mit \(10\) multipliziert. c) \(4{,}5\); das Ergebnis wird durch \(100\) geteilt.

- Kannst du die Strecke berechnen, wenn du Geschwindigkeit und Zeit kennst? - Für den zweiten Teil kannst du entweder das erste Ergebnis nutzen oder zuerst die neue Geschwindigkeit bestimmen. - Achte genau auf die Anzahl der Nachkommastellen bei jedem Schritt.

1. Berechnung der Strecke für die erste Schnecke: \(0{,}14\,\text{m/min} \cdot 7{,}5\,\text{min} = 1{,}05\,\text{m}\). 2. Berechnung der Strecke für die zweite Schnecke durch Anwendung des Faktors auf das erste Ergebnis: \(1{,}05\,\text{m} \cdot 1{,}3 = 1{,}365\,\text{m}\). Alternativ kann zuerst die Geschwindigkeit der zweiten Schnecke berechnet werden (\(0{,}14 \cdot 1{,}3 = 0{,}182\,\text{m/min}\)) und dann mit der Zeit multipliziert werden (\(0{,}182 \cdot 7{,}5 = 1{,}365\,\text{m}\)).

a) Die erste Schnecke schafft \(1{,}05\,\text{m}\). b) Die zweite Schnecke legt \(1{,}365\,\text{m}\) zurück.

- Sind alle Zeitangaben in derselben Einheit? - Wie viele Minuten hat eine Stunde? - Wie berechnet man die Gesamtmenge, wenn man den Wert für eine Minute kennt?

1. Umrechnung der Zeit von Stunden in Minuten: \(4{,}5\,\text{h} \cdot 60 = 270\,\text{min}\) 2. Multiplikation der Zeit mit der Verlustrate: \(270\,\text{min} \cdot 0{,}045\,\text{l/min}\) 3. Berechnung des Produkts: \(270 \cdot 0{,}045 = 12{,}15\) 4. Endergebnis: \(12{,}15\,\text{l}\)

Es werden \(12{,}15\,\text{l}\) Wasser verschwendet.

- Die Gesamtstrecke auf einem Rundkurs ist das Produkt aus Rundenzahl und Rundenlänge. - Schätze vor der exakten Multiplikation, ob Amiras Ergebnis eher unter oder über \(48\,\text{km}\) liegen sollte. - Vergleiche anschließend die beiden Strecken in derselben Einheit.

1. Amiras Strecke beträgt \(14{,}5\cdot3{,}25\,\text{km}\). 2. Berechne \(14{,}5\cdot3{,}25=47{,}125\). 3. Da \(48\,\text{km}>47{,}125\,\text{km}\), ist Klaras Behauptung richtig.

Amira fährt \(47{,}125\,\text{km}\). Klara fährt mit \(48\,\text{km}\) weiter.

- Achte genau darauf, ob addiert oder multipliziert wird. - Überlege dir bei den Vorzeichen zuerst, ob das Ergebnis positiv oder negativ sein muss. - Vergleiche die Anzahl der Nachkommastellen bei der Multiplikation.

1. Berechnung \(0{,}2 \cdot 0{,}3 = 0{,}06\) und \(0{,}2 + 0{,}3 = 0{,}5\); Vergleich \(0{,}06 < 0{,}5\). 2. Berechnung \(1{,}2 \cdot 0{,}5 = 0{,}6\) und \(1{,}2 \cdot 1{,}5 = 1{,}8\); Vergleich \(0{,}6 < 1{,}8\). 3. Berechnung \((-0{,}4) \cdot 0{,}5 = -0{,}2\) und \((-0{,}4) \cdot (-0{,}5) = 0{,}2\); Vergleich \(-0{,}2 < 0{,}2\). 4. Berechnung \(0{,}25 \cdot 4 = 1{,}0\) und \(0{,}5 \cdot 2 = 1{,}0\); Vergleich \(1 = 1\).

a) \(<\) b) \(<\) c) \(<\) d) \(=\)

- Überlege dir, wie sich das Verschieben eines Kommas in den Faktoren auf das Ergebnis auswirkt. - Zähle die Nachkommastellen in beiden Faktoren zusammen. - Was bewirkt eine zusätzliche Null am Ende einer Zahl (wie bei 480) für das Endergebnis?

1. Da beide Faktoren je eine Nachkommastelle haben, besitzt das Produkt zwei Nachkommastellen: \( 17{,}28 \). 2. \( 0{,}36 \) hat zwei Nachkommastellen (Faktor \( 10^{-2} \)) und \( 480 \) hat eine Null am Ende (Faktor \( 10^1 \)). Dies führt zu einer Verschiebung des Kommas um eine Stelle nach links gegenüber \( 1728 \): \( 172{,}8 \). 3. \( 360 \) (Faktor \( 10^1 \)) und \( 0{,}048 \) (drei Nachkommastellen, Faktor \( 10^{-3} \)) führen zu einer Verschiebung um zwei Stellen nach links: \( 17{,}28 \). 4. Drei Nachkommastellen bei \( 0{,}036 \) und eine bei \( 4{,}8 \) ergeben insgesamt vier Nachkommastellen im Produkt: \( 0{,}1728 \).

a) \( 17{,}28 \) b) \( 172{,}8 \) c) \( 17{,}28 \) d) \( 0{,}1728 \)

- Bestimme zuerst das Gewicht des Inhalts einer einzigen Kiste. - Welche Masse kommt durch die leere Kiste noch hinzu? - Übertrage anschließend das Gewicht einer vollen Kiste auf alle 15 Kisten.

1. Das Gewicht der Äpfel in einer Kiste beträgt \(48 \cdot 0{,}175\,\text{kg}=8{,}4\,\text{kg}\). 2. Eine volle Kiste wiegt damit \(8{,}4\,\text{kg}+1{,}2\,\text{kg}=9{,}6\,\text{kg}\). 3. Für 15 volle Kisten ergibt sich \(15\cdot9{,}6\,\text{kg}=144\,\text{kg}\).

\(144\,\text{kg}\)

- Was passiert, wenn man eine Zahl mit einem Wert multipliziert, der kleiner als \(1\) ist? - Überlege dir ein Beispiel mit Brüchen: Was ist die Hälfte von einer Hälfte? - Vergleiche die Ausgangszahl immer mit der \(1\).

1. Analyse der Größenverhältnisse: Ist eine positive Zahl kleiner als \(1\), so ist ihr Quadrat kleiner als die Zahl selbst. Ist sie größer als \(1\), ist das Quadrat größer. 2. Für \(a = 0{,}8\): Da \(0{,}8 < 1\), muss \(a^2 < 0{,}8\) sein. Rechnung: \(0{,}8 \cdot 0{,}8 = 0{,}64\). 3. Für \(a = 1{,}2\): Da \(1{,}2 > 1\), muss \(a^2 > 1{,}2\) sein. Rechnung: \(1{,}2 \cdot 1{,}2 = 1{,}44\). 4. Für \(a = 0{,}1\): Da \(0{,}1 < 1\), muss \(a^2 < 0{,}1\) sein. Rechnung: \(0{,}1 \cdot 0{,}1 = 0{,}01\). 5. Für \(a = 2{,}5\): Da \(2{,}5 > 1\), muss \(a^2 > 2{,}5\) sein. Rechnung: \(2{,}5 \cdot 2{,}5 = 6{,}25\).

a) kleiner; \(0{,}64\) b) größer; \(1{,}44\) c) kleiner; \(0{,}01\) d) größer; \(6{,}25\)