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- Welche Eigenschaft muss eine Höhe zur gewählten Grundseite erfüllen? - Schau auf die Rechtwinkligkeitsmarkierung bei \(H\). - Eine Seitenkante ist nicht automatisch eine Höhe.

1. Zur Grundseite \(AB\) gehört eine Strecke, die senkrecht auf der Geraden durch \(AB\) steht. 2. Die Rechtwinkligkeitsmarkierung bei \(H\) zeigt, dass \(DH\) senkrecht auf \(AB\) steht. 3. Die schräge Seite \(AD\) ist daher nicht die Höhe zur Grundseite \(AB\); die zugehörige Höhe ist \(DH\).

Die zu \(AB\) gehörige Höhe ist \(DH\), weil \(DH\) senkrecht auf \(AB\) steht.

- Betrachte die ganze Gerade durch \(B\) und \(C\), nicht nur das Seitenstück. - Welche Strecke steht laut Markierung senkrecht auf dieser Geraden? - Bei einem stumpfwinkligen Dreieck kann eine Höhe außerhalb des Dreiecks verlaufen.

1. Die Höhe zur Grundseite \(BC\) ist der senkrechte Abstand des Punktes \(A\) von der Geraden durch \(BC\). 2. Die gestrichelte Strecke \(HB\) verlängert die Gerade durch \(BC\) über \(B\) hinaus. 3. Die Rechtwinkligkeitsmarkierung bei \(H\) zeigt, dass \(AH\) senkrecht auf dieser Geraden steht. 4. Deshalb ist \(AH\) die Höhe zu \(BC\). Bei einem stumpfwinkligen Dreieck kann der Höhenfußpunkt außerhalb der Seite liegen.

Die zu \(BC\) gehörige Höhe ist \(AH\). Der Höhenfußpunkt \(H\) liegt auf der Verlängerung der Geraden durch \(BC\).

- Eine Höhe muss nicht als zusätzliche Strecke im Inneren des Dreiecks eingezeichnet sein. - Welche Seite geht vom gegenüberliegenden Eckpunkt \(C\) aus? - Was zeigt die rechte Winkelmarkierung bei \(A\) über diese Seite und \(AB\)?

1. Zur Grundseite \(AB\) gehört die Strecke vom gegenüberliegenden Eckpunkt \(C\), die senkrecht auf \(AB\) steht. 2. Die rechte Winkelmarkierung bei \(A\) zeigt \(AC\perp AB\). 3. Deshalb ist die Dreiecksseite \(AC\) selbst die Höhe zur Grundseite \(AB\).

\(AC\) ist die Höhe zur Grundseite \(AB\), weil \(AC\perp AB\) gilt.

- Zwischen welchen beiden parallelen Seiten wird die Höhe gemessen? - Welche Seite bildet laut Markierung einen rechten Winkel mit \(AB\)?

1. Die Höhe ist der senkrechte Abstand zwischen den parallelen Seiten \(AB\) und \(CD\). 2. Die Rechtwinkligkeitsmarkierung bei \(A\) zeigt, dass \(AD\) senkrecht auf \(AB\) steht. 3. Deshalb ist \(AD\) die Höhe des Trapezes.

Die Höhe ist \(AD\), weil \(AD\) senkrecht auf den parallelen Seiten \(AB\) und \(CD\) steht.

- Suche die Seite, auf deren Gerade die eingezeichnete Höhe senkrecht steht. - Was zeigt die Rechtwinkligkeitsmarkierung bei \(H\)?

1. Eine Höhe steht senkrecht auf der zugehörigen Grundseite. 2. Die Markierung bei \(H\) zeigt, dass \(BH\) senkrecht auf der Geraden durch \(AD\) steht. 3. Daher gehört die Höhe \(BH\) zur Grundseite \(AD\), nicht zu \(AB\).

Die zugehörige Grundseite ist \(AD\), weil \(BH\perp AD\) gilt.

- Welche Winkelbedingung muss eine Höhe erfüllen? - Achte auf die Rechtwinkelmarkierung an der Grundseite.

1. Eine Höhe zur Grundseite \(AB\) muss senkrecht auf der Geraden durch \(AB\) stehen. 2. Die Strecke \(h\) erfüllt diese Bedingung; \(s\) verläuft schräg zur Grundseite.

Die zu \(AB\) gehörende Höhe ist \(h\).

- Überlege dir, welche Arten von Dreiecken es gibt, wenn man sie nach ihren Winkeln einteilt. - Skizziere dir für jeden Fall (spitzwinklig, rechtwinklig, stumpfwinklig) die Höhen. - Was passiert mit den Höhen, wenn ein Winkel genau \(90^\circ\) groß ist? - Erinnere dich daran, dass eine Höhe immer senkrecht auf einer Grundseite (oder deren Verlängerung) stehen muss.

1. Wahr: In einem spitzwinkligen Dreieck (alle Winkel \(< 90^\circ\)) liegen alle drei Höhen im Inneren. Ein solches Dreieck kann einen Flächeninhalt von \(18\,\text{cm}^2\) haben (z. B. Grundseite \(6\,\text{cm}\), Höhe \(6\,\text{cm}\)). 2. Falsch: Die Anzahl der Höhen, die außerhalb eines Dreiecks liegen, kann nur 0 (spitzwinklig oder rechtwinklig) oder 2 (stumpfwinklig) sein. Eine einzelne Höhe außerhalb ist geometrisch unmöglich. 3. Wahr: Ein Dreieck mit einem Winkel von \(110^\circ\) ist stumpfwinklig. Bei jedem stumpfwinkligen Dreieck liegen die beiden Höhen, die auf die Schenkel des stumpfen Winkels gefällt werden, außerhalb der Dreiecksfläche.

1. Wahr (spitzwinkliges Dreieck). 2. Falsch (nur 0 oder 2 Höhen können außerhalb liegen). 3. Wahr (stumpfwinklige Dreiecke haben immer zwei außen liegende Höhen).

- Welche Seiten in einem Trapez sind für die Flächenberechnung wichtig? - Erinnere dich an den Unterschied zwischen der Länge einer schrägen Seite und der Höhe. - Welche Formel nutzt man, um den Flächeninhalt eines Trapezes zu berechnen?

1. Identifikation der relevanten Größen: Für den Flächeninhalt eines Trapezes werden die Längen der parallelen Seiten \(a\) und \(c\) sowie die Höhe \(h\) (der senkrechte Abstand) benötigt. Die Längen der schrägen Seiten sind für den Flächeninhalt nicht relevant. 2. Einsetzen der Werte in die Formel \(A = \frac{a + c}{2} \cdot h\): \(A = \frac{9\,\text{cm} + 5\,\text{cm}}{2} \cdot 3{,}5\,\text{cm}\). 3. Berechnung des Mittelwerts der parallelen Seiten: \(\frac{14\,\text{cm}}{2} = 7\,\text{cm}\). 4. Multiplikation mit der Höhe: \(7\,\text{cm} \cdot 3{,}5\,\text{cm} = 24{,}5\,\text{cm}^2\).

a) Benötigt werden die parallelen Seiten \(a = 9\,\text{cm}\) und \(c = 5\,\text{cm}\) sowie die Höhe \(h = 3{,}5\,\text{cm}\). b) Der Flächeninhalt beträgt \(24{,}5\,\text{cm}^2\).

- Welche beschriftete Strecke in der Abbildung ist die Grundseite? - Welche zwei zueinander passenden Größen benötigt die Parallelogrammformel? - Prüfe, ob die schräge Seitenkante einen senkrechten Abstand beschreibt.

1. Aus der Abbildung liest man \(g = 25\,\text{cm}\) und für die schräge Seitenkante \(s = 12\,\text{cm}\) ab. 2. Für den Flächeninhalt werden die Grundseite \(g\) und die zugehörige senkrechte Höhe \(h\) benötigt; die schräge Seitenkante \(s\) ist dafür nicht erforderlich. 3. Daher ist \(A = gh = 25\,\text{cm}\cdot 10\,\text{cm} = 250\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt beträgt \(250\,\text{cm}^2\). Benötigt werden \(g = 25\,\text{cm}\) aus der Abbildung und \(h = 10\,\text{cm}\); die schräge Seitenkante ist für die Fläche nicht nötig.

- Eine Strecke vom gegenüberliegenden Eckpunkt reicht noch nicht aus: Welche Winkelbedingung muss gelten? - Welche Strecke trifft die Grundseite bei \(H\) im rechten Winkel? - Vergleiche die schräge Seite \(AC\) mit dem senkrechten Abstand \(CH\).

1. Eine Höhe zur Grundseite \(AB\) muss vom gegenüberliegenden Eckpunkt \(C\) senkrecht zur Geraden durch \(AB\) verlaufen. 2. Die Rechtwinkligkeitsmarkierung bei \(H\) zeigt, dass \(CH\) senkrecht auf \(AB\) steht. 3. Die Seite \(AC\) ist schräg zur Grundseite und deshalb keine Höhe zu \(AB\). 4. Noras Aussage ist falsch; die zugehörige Höhe ist \(CH\).

Noras Aussage ist falsch. Die Höhe zur Grundseite \(AB\) ist \(CH\), weil \(CH\) senkrecht auf \(AB\) steht.

- Suche zuerst die beiden Seiten mit derselben Richtung. - Welche Strecke verbindet diese beiden Seiten im rechten Winkel? - Die drei Zahlen in der Abbildung gehören genau zu den beiden parallelen Seiten und ihrem Abstand.

1. Die Seiten \(AB\) und \(CD\) verlaufen parallel. Aus der Abbildung liest man \(AB=5\,\text{cm}\) und \(CD=3\,\text{cm}\) ab. 2. Die Strecke \(EF\) verbindet die beiden parallelen Seiten. Die Rechtwinkligkeitsmarkierung bei \(E\) zeigt, dass \(EF\) senkrecht auf \(AB\) steht. 3. Aus der Abbildung liest man \(EF=4\,\text{cm}\) ab. Damit ist \(EF\) die zu \(AB\) und \(CD\) gehörige Höhe.

Parallel sind \(AB=5\,\text{cm}\) und \(CD=3\,\text{cm}\). Ihr senkrechter Abstand ist \(EF=4\,\text{cm}\).

- Beide eingezeichneten Strecken sind Höhen, aber nicht zur selben Grundseite. - Welche rechte Winkelmarkierung liegt an der Geraden durch \(AB\)? - Ordne die zweite Höhe anschließend der Seite zu, auf der ihr Fußpunkt liegt.

1. Zur Grundseite \(AB\) gehört eine Strecke, die senkrecht auf der Geraden durch \(AB\) steht und bis zur gegenüberliegenden Seite reicht. 2. Die rechte Winkelmarkierung bei \(H\) zeigt \(DH\perp AB\). Daher ist \(DH\) die Höhe zu \(AB\). 3. Die rechte Winkelmarkierung bei \(K\) zeigt \(BK\perp AD\). Daher ist \(BK\) die Höhe zur Grundseite \(AD\).

Zu \(AB\) gehört die Höhe \(DH\). Die Strecke \(BK\) ist die Höhe zur Grundseite \(AD\).

- Welche Eigenschaft ist für eine Höhe entscheidend: der Mittelpunkt oder der rechte Winkel? - Was sagen die gleichen Strichmarkierungen auf \(AM\) und \(MB\) über \(M\) aus? - Vergleiche diese Information mit der rechten Winkelmarkierung bei \(D\).

1. Eine Höhe zur Grundseite \(AB\) muss von \(C\) senkrecht auf \(AB\) führen. 2. Die rechte Winkelmarkierung zeigt \(CD\perp AB\). Deshalb ist \(CD\) die Höhe. 3. \(CM\) führt zwar zum Mittelpunkt \(M\) von \(AB\), steht aber nicht senkrecht auf \(AB\). Es ist daher hier keine Höhe.

\(CD\) ist die Höhe zu \(AB\). \(CM\) ist keine Höhe, weil die Verbindung zum Mittelpunkt allein keine Senkrechtstellung zur Grundseite garantiert.

- Welche Lage zur Grundseite muss eine Höhe haben? - Welche der beiden eingezeichneten Strecken besitzt eine rechte Winkelmarkierung an \(AB\)? - Die Bezeichnung „Diagonale“ sagt noch nichts darüber aus, ob eine Strecke eine Höhe ist.

1. Die Höhe zur Grundseite \(AB\) muss senkrecht auf \(AB\) stehen. 2. Die Strecke \(DF\) trifft \(AB\) in \(F\) im rechten Winkel. 3. \(AC\) ist eine Diagonale und steht nicht senkrecht auf \(AB\). Daher ist \(DF\) die Höhe.

\(DF\) ist die Höhe zu \(AB\). Die Diagonale \(AC\) ist keine Höhe.

- Die Parallelität \(AB\parallel CD\) ist im Text gegeben; du musst sie nicht aus der Zeichnung schätzen. - Welche der beiden genannten Strecken besitzt eine rechte Winkelmarkierung zu einer Grundgeraden? - Eine Höhe darf eine Verlängerung treffen, wenn der senkrechte Abstand außerhalb der eigentlichen Seite liegt.

1. Die Höhe eines Trapezes ist der senkrechte Abstand der Geraden durch die beiden parallelen Seiten. 2. Die rechte Winkelmarkierung bei \(F\) zeigt, dass \(AF\) senkrecht auf der Geraden durch \(CD\) steht. 3. Wegen \(AB\parallel CD\) steht \(AF\) damit auch senkrecht auf der Geraden durch \(AB\). Also ist \(AF\) die Höhe. 4. Der Höhenfußpunkt darf auf der Verlängerung einer Grundseite liegen; entscheidend ist der senkrechte Abstand der beiden parallelen Geraden.

\(AF\) ist die Höhe des Trapezes. Der Punkt \(F\) darf auf der Verlängerung von \(CD\) liegen, weil die Höhe den senkrechten Abstand der parallelen Geraden angibt.

- Welcher Eckpunkt liegt der gewählten Grundseite \(BC\) gegenüber? - Suche die eingezeichnete Strecke, die von diesem Eckpunkt zur Geraden durch \(BC\) führt. - Formuliere die Senkrechtbeziehung mit den Namen der beiden Strecken beziehungsweise Geraden.

1. Zur Grundseite \(BC\) muss die Höhe vom gegenüberliegenden Eckpunkt \(A\) ausgehen. 2. Die Strecke von \(A\) zur Geraden durch \(BC\) endet in \(H\). 3. Die rechte Winkelmarkierung bei \(H\) zeigt \(AH\perp BC\).

Die gesuchte Höhe ist \(AH\). Es gilt \(AH\perp BC\).

- Welche Bedingung muss der zweite Faktor in \(A=gh\) erfüllen? - Vergleiche die schräge Seite mit der eingezeichneten senkrechten Strecke. - Welche Länge gehört tatsächlich zur Grundseite \(7\,\text{cm}\)?

1. Die \(5\,\text{cm}\) lange schräge Seite ist nicht die zur Grundseite \(7\,\text{cm}\) gehörende Höhe. 2. Die senkrechte Höhe zur Grundseite beträgt \(4\,\text{cm}\). 3. Daher ist \(A=7\,\text{cm}\cdot4\,\text{cm}=28\,\text{cm}^2\).

Lena verwendet die schräge Seitenlänge statt der senkrechten Höhe. Richtig ist \(A=28\,\text{cm}^2\).

- Wie ist die Höhe eines Trapezes geometrisch definiert? - Welche eingezeichnete Strecke steht senkrecht auf den parallelen Seiten? - Verwende nur diese Strecke als Höhe in der Trapezformel.

1. Die Höhe eines Trapezes ist der senkrechte Abstand der parallelen Seiten. Die schräge Seite mit \(5\,\text{cm}\) ist deshalb nicht die Höhe. 2. Aus der Abbildung liest man die senkrechte Höhe \(h=3\,\text{cm}\) sowie die parallelen Seiten \(8\,\text{cm}\) und \(4\,\text{cm}\) ab. 3. Damit ist \(A=\frac{8\,\text{cm}+4\,\text{cm}}{2}\cdot3\,\text{cm}=18\,\text{cm}^2\).

Die schräge Seite ist nicht senkrecht zu den parallelen Seiten. Richtig ist \(A=18\,\text{cm}^2\).

- Überlege genau, welche Maße bei einem Trapez für die Fläche wichtig sind und welche nur zur Ablenkung dienen. - Was bedeutet „senkrechte Höhe“ im Gegensatz zu den „schrägen Seiten“? - Berechne für den letzten Teil einfach die Fläche mit dem neuen Maß und vergleiche sie mit dem ersten Ergebnis.

1. Teil a: Für den Flächeninhalt eines Trapezes werden nur die beiden parallelen Seiten (Krone und Sohle) sowie die senkrechte Höhe benötigt. Die Längen der schrägen Seiten sind für den Flächeninhalt irrelevant. 2. Teil b: Anwendung der Formel mit \(a = 3\,\text{m}\), \(c = 9{,}5\,\text{m}\) und \(h = 4\,\text{m}\). 3. Berechnung: \(A = \frac{3 + 9{,}5}{2} \cdot 4 = \frac{12{,}5}{2} \cdot 4 = 6{,}25 \cdot 4 = 25\,\text{m}^2\). 4. Teil c: Neue untere Breite \(c_{neu} = 9{,}5\,\text{m} + 1\,\text{m} = 10{,}5\,\text{m}\). 5. Neue Berechnung: \(A_{neu} = \frac{3 + 10{,}5}{2} \cdot 4 = \frac{13{,}5}{2} \cdot 4 = 6{,}75 \cdot 4 = 27\,\text{m}^2\). 6. Differenz bestimmen: \(27\,\text{m}^2 - 25\,\text{m}^2 = 2\,\text{m}^2\). Die Fläche vergrößert sich um \(2\,\text{m}^2\).

a) Obere Breite, untere Breite und Höhe. b) \(25\,\text{m}^2\) c) Die Fläche vergrößert sich um \(2\,\text{m}^2\).

- Welche Maße sind in der Standardformel für den Flächeninhalt eines Dreiecks vorgesehen? - Stell dir vor, du veränderst die Längen der Seiten \(a\) und \(b\), hältst aber die Grundseite und die Höhe konstant. Was passiert mit der Fläche?

1. Anwendung der Flächenformel für Dreiecke: \(A = \frac{1}{2}gh\). 2. Einsetzen der Werte für die Grundseite \(c\) und die Höhe \(h_c\): \(A = \frac{1}{2} \cdot 4\,\text{m} \cdot 2{,}2\,\text{m} = 2\,\text{m} \cdot 2{,}2\,\text{m} = 4{,}4\,\text{m}^2\). 3. Begründung: Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist durch das Produkt aus Grundseite und der senkrecht darauf stehenden Höhe definiert. Die Seiten \(a\) und \(b\) bestimmen zwar die Form des Dreiecks mit, für den Flächeninhalt genügen jedoch die Grundseite \(c\) und die zugehörige Höhe \(h_c\).

1. Der Flächeninhalt des Segels beträgt \(4{,}4\,\text{m}^2\). 2. Die Seiten \(a\) und \(b\) werden nicht benötigt, da die Fläche eines Dreiecks ausschließlich durch die Grundseite und die dazugehörige Höhe bestimmt wird (\(A = \frac{1}{2}gh\)). Die Höhe gibt den senkrechten Abstand der Spitze von der Grundseite an.

- Welche Maße benötigst du für die Flächenberechnung eines Dreiecks? - Schau dir die Flächenformel genau an: Kommt darin die Lage der Spitze oder die Art der Winkel vor? - Was weißt du über die Lage der Höhen in einem stumpfwinkligen Dreieck?

1. Berechnung des Flächeninhalts mit der Formel \(A = \frac{1}{2}gh\): \(A = 0{,}5 \cdot 10\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 20\,\text{cm}^2\). 2. Der Flächeninhalt bleibt gleich, da er nur von der Länge der Grundseite und der dazugehörigen Höhe abhängt. Solange diese beiden Maße konstant bleiben, ändert die Form des Dreiecks nichts am Flächeninhalt. 3. In einem stumpfwinkligen Dreieck liegen genau zwei der drei Höhen außerhalb der Dreiecksfläche. Welche Höhen das sind, hängt davon ab, an welchem Eckpunkt der stumpfe Winkel liegt.

a) \(20\,\text{cm}^2\) b) Nein, der Flächeninhalt bleibt gleich, da Grundseite und Höhe unverändert sind. c) Genau zwei Höhen liegen außerhalb des Dreiecks.

- Was bedeutet es für die Höhen, wenn zwei Seiten eines Dreiecks bereits einen rechten Winkel bilden? - Nutze den bereits berechneten Flächeninhalt, um eine fehlende Größe in einer anderen Formel zu finden. - Wie stellt man die Flächenformel um, wenn man die Höhe sucht?

1. In einem rechtwinkligen Dreieck stehen die Katheten senkrecht aufeinander. Daher ist die Seite \(b\) gleichzeitig die Höhe auf die Seite \(a\) (\(h_a = 12\,\text{cm}\)) und die Seite \(a\) die Höhe auf die Seite \(b\) (\(h_b = 5\,\text{cm}\)). 2. Der Flächeninhalt berechnet sich aus den Katheten: \(A = \frac{1}{2}ab = 0{,}5 \cdot 5\,\text{cm} \cdot 12\,\text{cm} = 30\,\text{cm}^2\). 3. Um die dritte Höhe \(h_c\) zu finden, nutzt man die Formel \(A = \frac{1}{2}ch_c\). Umgestellt nach \(h_c\) ergibt sich: \(h_c = \frac{2A}{c} = \frac{2 \cdot 30\,\text{cm}^2}{13\,\text{cm}} = \frac{60}{13}\,\text{cm} \approx 4{,}62\,\text{cm}\).

a) Die Höhen entsprechen den Katheten: \(h_a = 12\,\text{cm}\) und \(h_b = 5\,\text{cm}\). b) \(30\,\text{cm}^2\) c) \(h_c \approx 4{,}62\,\text{cm}\)

- Beginne bei jeder Höhe am Eckpunkt und prüfe, auf welcher Gegenseite sie senkrecht endet. - Die Rechtwinkligkeitsmarkierungen zeigen die drei Zuordnungen. - Es bleibt immer dasselbe Dreieck; nur die Wahl von Grundseite und zugehöriger Höhe ändert sich.

1. \(CH\) steht senkrecht auf \(AB\); deshalb gehört \(CH\) zur Grundseite \(AB\). 2. \(AK\) steht senkrecht auf \(BC\); deshalb gehört \(AK\) zur Grundseite \(BC\). 3. \(BL\) steht senkrecht auf \(AC\); deshalb gehört \(BL\) zur Grundseite \(AC\). 4. In allen drei Fällen wird dasselbe Dreieck beschrieben. Wird eine andere Seite als Grundseite gewählt, ändert sich die zugehörige Höhe so, dass \(A=\frac12 gh\) denselben Flächeninhalt ergibt.

\(AB\leftrightarrow CH\), \(BC\leftrightarrow AK\), \(AC\leftrightarrow BL\). Jedes Paar besteht aus einer gewählten Grundseite und ihrem senkrechten Abstand vom gegenüberliegenden Eckpunkt.

- Betrachte jeweils nur eine Grundseite und den ihr gegenüberliegenden Eckpunkt. - Eine Höhe darf die Verlängerung einer Grundseite treffen; sie muss nicht vollständig im Dreieck liegen. - Nutze die drei rechten Winkel, um die Zuordnungen zu prüfen.

1. Zur Grundseite \(AB\) gehört die Höhe vom gegenüberliegenden Eckpunkt \(C\). Das ist \(CD\). 2. Zur Grundseite \(BC\) gehört die Höhe vom gegenüberliegenden Eckpunkt \(A\). Sie trifft die Verlängerung von \(BC\) in \(E\), also ist \(AE\) die zugehörige Höhe. 3. Zur Grundseite \(AC\) gehört die Höhe vom gegenüberliegenden Eckpunkt \(B\). Das ist \(BF\). 4. Die rechten Winkel bei \(D\), \(E\) und \(F\) bestätigen jeweils die Senkrechtstellung.

\(AB\rightarrow CD\) \(BC\rightarrow AE\) \(AC\rightarrow BF\)

- Eine Seite des Parallelogramms kann als Grundseite gewählt werden; dazu gehört jeweils der senkrechte Abstand zur gegenüberliegenden parallelen Seite. - Prüfe die rechten Winkel bei \(E\) und \(G\). - Eine Höhe darf auf der Verlängerung einer gewählten Grundseite enden.

1. Für die Grundseite \(AB\) steht \(DE\) senkrecht auf \(AB\). Ein gültiges Paar ist daher \(AB\) und \(DE\). 2. Für die Grundseite \(AD\) steht \(CG\) senkrecht auf der Geraden durch \(AD\). Der Fußpunkt \(G\) liegt auf der Verlängerung von \(AD\). Ein zweites gültiges Paar ist daher \(AD\) und \(CG\). 3. Die Seite \(BC\) ist parallel zu \(AD\), aber nicht senkrecht zu \(AB\). Deshalb ist \(BC\) keine Höhe zu \(AB\).

Gültige Paare sind \(AB\) mit \(DE\) sowie \(AD\) mit \(CG\). \(BC\) ist keine Höhe zu \(AB\), weil \(BC\not\perp AB\) gilt.

- Muss der Fußpunkt einer Dreieckshöhe immer innerhalb des Dreiecks liegen? - Welche der beschrifteten Strecken steht senkrecht auf der Geraden durch \(BC\)? - Verwende diese Strecke zusammen mit \(BC\) in der Dreiecksformel.

1. Bei einem stumpfwinkligen Dreieck darf der Fußpunkt einer Höhe auf der Verlängerung einer Seite liegen. Deshalb ist \(AH\) trotz des außen liegenden Punktes \(H\) eine gültige Höhe zur Grundseite \(BC\). 2. Die Seite \(AB\) ist nicht senkrecht zur Geraden durch \(BC\) und daher keine zu \(BC\) gehörende Höhe. 3. Mit \(BC=8\,\text{cm}\) und \(AH=3\,\text{cm}\) ist \(A=\frac{1}{2}\cdot8\,\text{cm}\cdot3\,\text{cm}=12\,\text{cm}^2\).

Noahs Aussage ist falsch. \(AH\) ist die zu \(BC\) gehörende Höhe, und der Flächeninhalt beträgt \(12\,\text{cm}^2\).

- Eine Höhe gehört immer zu einer bestimmten Grundseite. - Ordne jeder Seitenlänge die Höhe zu, die senkrecht auf dieser Seite steht. - Bei korrekter Zuordnung müssen beide Rechnungen denselben Flächeninhalt liefern.

1. Zu jeder gewählten Grundseite muss genau die senkrechte Höhe auf diese Grundseite verwendet werden. 2. Zur Grundseite \(AB=8\,\text{cm}\) gehört die Höhe \(4\,\text{cm}\). Damit ist \(A=8\,\text{cm}\cdot4\,\text{cm}=32\,\text{cm}^2\). 3. Zur Grundseite \(AD=5\,\text{cm}\) gehört die Höhe \(6{,}4\,\text{cm}\). Damit ist ebenfalls \(A=5\,\text{cm}\cdot6{,}4\,\text{cm}=32\,\text{cm}^2\). 4. Jonas hat jeweils eine Grundseite mit der Höhe zur anderen Grundseite kombiniert.

Die richtigen Paare sind \(AB=8\,\text{cm}\) mit \(h_{AB}=4\,\text{cm}\) und \(AD=5\,\text{cm}\) mit \(h_{AD}=6{,}4\,\text{cm}\). Beide ergeben \(32\,\text{cm}^2\).