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- Bestimme zuerst, wie viele Würfel in nur einer Schicht liegen. - Danach wiederholt sich diese Schicht mehrfach übereinander. - Welche Rechenart verbindet gleich große Schichten zu einer Gesamtanzahl?

1. Eine Schicht enthält \(ab\) Einheitswürfel. 2. Bei \(c\) gleich aufgebauten Schichten ergibt sich \(ab\cdot c=abc\). 3. Deshalb beschreibt \(abc\) die Anzahl der Einheitswürfel und damit das Volumen in Einheitswürfeln.

Der passende Ausdruck ist \(abc\).

- Welche Größe beschreibt den Raum im Inneren des Quaders? - Welche Größe entsteht durch das Addieren von Rechtecksflächen? - Achte darauf, ob bei der jeweiligen Rechnung zwei oder drei Längen miteinander verknüpft werden.

1. Das Produkt der drei Kantenlängen beschreibt den Rauminhalt. Daher gilt \(V=abc\), und bei Zentimeter-Kanten ist die Einheit \(\text{cm}^3\). 2. Die Summe der Flächeninhalte der sechs Rechtecksflächen beschreibt die Oberfläche. Daher gilt \(O=2(ab+ac+bc)\), und die Einheit ist \(\text{cm}^2\).

\(V=abc\) mit der Einheit \(\text{cm}^3\). \(O=2(ab+ac+bc)\) mit der Einheit \(\text{cm}^2\).

- Überlege, aus wie vielen Seitenflächen die Oberfläche eines Würfels besteht. - Bei einem Würfel sind alle Seitenflächen gleich groß. - Der Oberflächeninhalt ist die Summe der Flächeninhalte aller außen liegenden Seitenflächen.

1. Ein Würfel besitzt sechs gleich große quadratische Seitenflächen. 2. Deshalb gilt \(O=6\cdot9\,\text{cm}^2=54\,\text{cm}^2\).

\(O=54\,\text{cm}^2\)

- Haben alle Kantenlängen dieselbe Einheit? - Wie viele Begrenzungsflächen hat ein Quader insgesamt? - Überlege, wie viele Quadratzentimeter in einen Quadratdezimeter passen.

1. Umrechnung aller Maße in die Einheit Zentimeter: \(a = 12\,\text{cm}\), \(b = 5\,\text{cm}\), \(c = 8\,\text{cm}\) 2. Berechnung der Teilflächen: \(12\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 60\,\text{cm}^2\), \(12\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 96\,\text{cm}^2\), \(5\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 40\,\text{cm}^2\) 3. Anwendung der Formel \(O = 2(ab + ac + bc)\): \(O = 2 \cdot (60\,\text{cm}^2 + 96\,\text{cm}^2 + 40\,\text{cm}^2)\) 4. Berechnung der Summe: \(60\,\text{cm}^2 + 96\,\text{cm}^2 + 40\,\text{cm}^2 = 196\,\text{cm}^2\) 5. Multiplikation mit 2: \(O = 392\,\text{cm}^2\) 6. Umrechnung in \(\text{dm}^2\) durch Division durch 100: \(O = 3{,}92\,\text{dm}^2\)

Der Oberflächeninhalt beträgt \(3{,}92\,\text{dm}^2\).

- Wie berechnet man das Volumen eines Würfels, wenn die Kantenlänge bekannt ist? - Berechne zuerst beide Volumina einzeln. - Vergleiche das Ergebnis des großen Würfels mit dem des kleinen Würfels. Wie oft passt der kleine in den großen?

1. Berechnung des Volumens des ersten Würfels: \(V_1 = 2\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 8\,\text{cm}^3\). 2. Berechnung des Volumens des zweiten Würfels mit \(a = 4\,\text{cm}\): \(V_2 = 4\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 64\,\text{cm}^3\). 3. Vergleich der Volumina: Das Verhältnis \(\frac{V_2}{V_1} = \frac{64}{8} = 8\). 4. Schlussfolgerung: Die Aussage ist falsch, da sich das Volumen bei Verdopplung der Kantenlänge verachtfacht (\(2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\)), nicht nur verdoppelt.

a) \(V_1 = 8\,\text{cm}^3\), \(V_2 = 64\,\text{cm}^3\). b) Die Aussage ist falsch; das Volumen verachtfacht sich.

- Welche Volumeneinheit lässt sich besonders leicht in Liter umrechnen? - Überlege, wie viele Zentimeter ein Dezimeter hat. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Kubikdezimetern und Litern.

1. Umrechnung der Kantenlänge in Dezimeter, da \(1\,\text{dm}^3 = 1\,\text{l}\): \(a = 60\,\text{cm} = 6\,\text{dm}\). 2. Berechnung des Volumens in Kubikdezimeter: \(V = 6\,\text{dm} \cdot 6\,\text{dm} \cdot 6\,\text{dm} = 216\,\text{dm}^3\). 3. Umwandlung in Liter: Da \(1\,\text{dm}^3\) einem Liter entspricht, fasst das Aquarium \(216\,\text{l}\).

Es passen \(216\,\text{l}\) Wasser in das Aquarium.

- Überlege dir zuerst, in welche Einheit du alle Längen umrechnen solltest, um das Volumen am einfachsten in Litern anzugeben. - Wie hängen Kubikdezimeter und Liter zusammen? - Achte darauf, dass alle Kantenlängen dieselbe Einheit haben, bevor du sie multiplizierst.

1. Umrechnung aller Maße in die Einheit Dezimeter (\(\text{dm}\)), da \(1\,\text{dm}^3 = 1\,\text{l}\) gilt: \(l = 40\,\text{cm} = 4\,\text{dm}\), \(b = 5\,\text{dm}\) (bleibt gleich), \(h = 250\,\text{mm} = 2{,}5\,\text{dm}\). 2. Berechnung des Volumens mit der Formel \(V = lbh\): \(V = 4\,\text{dm} \cdot 5\,\text{dm} \cdot 2{,}5\,\text{dm} = 50\,\text{dm}^3\). 3. Da \(1\,\text{dm}^3\) genau einem Liter entspricht, beträgt das Volumen \(50\,\text{l}\).

Das Volumen beträgt \(50\,\text{l}\).

- Berechne zuerst die fehlende Kantenlänge von Quader A. - Vergleiche dann die berechnete Höhe von Quader A mit der gegebenen Höhe von Quader B. - Lies die Aufgabenstellung genau: Welche Maße sind für welchen Quader bereits gegeben?

1. Berechnung der Höhe von Quader A (\(h_A\)): Die Grundfläche ist \(G_A = 12\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 96\,\text{cm}^2\). Die Höhe ergibt sich aus \(V : G_A\), also \(480\,\text{cm}^3 : 96\,\text{cm}^2 = 5\,\text{cm}\). 2. Die Höhe von Quader B (\(h_B\)) ist bereits mit \(6\,\text{cm}\) gegeben. 3. Vergleich der Höhen: Da \(6\,\text{cm} > 5\,\text{cm}\), ist Quader B höher als Quader A.

Quader B ist mit einer Höhe von \(6\,\text{cm}\) höher als Quader A, welcher eine Höhe von \(5\,\text{cm}\) besitzt.

- Wie viele Millimeter sind ein Meter? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Kubikdezimetern und Litern. - Wie berechnet man das Volumen eines Quaders, wenn Grundfläche und Höhe bekannt sind? - Achte darauf, alle Längenangaben in dieselbe Einheit (zum Beispiel Meter) umzurechnen, bevor du rechnest.

1. Berechnung für \(1\,\text{mm}\) auf \(1\,\text{m}^2\): Die Höhe beträgt \(1\,\text{mm} = 0{,}001\,\text{m}\). Das Volumen ist \(V = 1\,\text{m}^2 \cdot 0{,}001\,\text{m} = 0{,}001\,\text{m}^3\). 2. Da \(1\,\text{m}^3 = 1000\,\text{l}\) gilt, entspricht \(0{,}001\,\text{m}^3\) genau \(1\,\text{l}\). Die Faustregel ist korrekt. 3. Berechnung für das Flachdach: Die Fläche beträgt \(A = 8\,\text{m} \cdot 5\,\text{m} = 40\,\text{m}^2\). 4. Die Regenhöhe beträgt \(15\,\text{mm} = 0{,}015\,\text{m}\). 5. Das Gesamtvolumen ist \(V = 40\,\text{m}^2 \cdot 0{,}015\,\text{m} = 0{,}6\,\text{m}^3\). 6. Umrechnung in Liter: \(0{,}6 \cdot 1000\,\text{l} = 600\,\text{l}\).

a) \(1\,\text{mm}\) auf \(1\,\text{m}^2\) ergibt \(0{,}001\,\text{m}^3\), was genau \(1\,\text{l}\) entspricht. b) Auf das Flachdach fallen \(600\,\text{l}\) Wasser.

- Wie berechnet man das Volumen eines Quaders? - Denke an die Umrechnung von Kilogramm in Tonnen. - Welche Maße sind für die Grundfläche entscheidend?

1. Berechnung des Volumens: \(V = 12\,\text{m} \cdot 8\,\text{m} \cdot 2{,}5\,\text{m} = 240\,\text{m}^3\). 2. Berechnung der Masse in Kilogramm: \(240\,\text{m}^3 \cdot 750\,\text{kg}/\text{m}^3 = 180\,000\,\text{kg}\). 3. Umrechnung in Tonnen: \(180\,000\,\text{kg} : 1000 = 180\,\text{t}\).

a) Das Volumen beträgt \(240\,\text{m}^3\). b) Der Vorrat hat eine Masse von \(180\,\text{t}\).

- Wie berechnet man das Volumen eines Quaders? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen Kubikmetern und Litern? - Überlege, wie viele Kubikdezimeter in einen Kubikmeter passen.

1. Berechnung des Volumens in Kubikmetern: \(V = abc = 4\,\text{m} \cdot 2{,}5\,\text{m} \cdot 1{,}5\,\text{m} = 15\,\text{m}^3\). 2. Umrechnung von Kubikmetern in Liter: Da \(1\,\text{m}^3 = 1000\,\text{dm}^3\) und \(1\,\text{dm}^3 = 1\,\text{l}\) ist, gilt \(1\,\text{m}^3 = 1000\,\text{l}\). 3. Berechnung der Gesamtlitermenge: \(15 \cdot 1000\,\text{l} = 15\,000\,\text{l}\).

a) Das maximale Fassungsvermögen beträgt \(15\,\text{m}^3\). b) Es passen \(15\,000\,\text{l}\) in das Becken.

- Wie viele Kanten hat ein Würfel insgesamt? Sind sie alle gleich lang? - Aus wie vielen quadratischen Einzelflächen besteht die Oberfläche eines Würfels? - Erinnere dich an die Formel für den Rauminhalt eines Würfels.

1. Ein Würfel besitzt insgesamt 12 gleich lange Kanten. Die Kantenlänge \(a\) berechnet sich durch Division der Gesamtsumme durch 12: \(a = 48\,\text{cm} : 12 = 4\,\text{cm}\). 2. Der Oberflächeninhalt \(O\) eines Würfels berechnet sich mit der Formel \(O = 6a^2\). Einsetzen ergibt: \(O = 6 \cdot (4\,\text{cm})^2 = 6 \cdot 16\,\text{cm}^2 = 96\,\text{cm}^2\). 3. Das Volumen \(V\) eines Würfels berechnet sich mit der Formel \(V = a^3\). Einsetzen ergibt: \(V = (4\,\text{cm})^3 = 4\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 64\,\text{cm}^3\).

a) Die Kantenlänge beträgt \(4\,\text{cm}\). b) Der Oberflächeninhalt beträgt \(96\,\text{cm}^2\). c) Das Volumen beträgt \(64\,\text{cm}^3\).

- Überlege dir, wie das Volumen eines Quaders berechnet wird. - Welche Maße kennst du bereits und welches Maß fehlt? - Achte darauf, dass alle Einheiten zueinander passen, bevor du rechnest. - Wie hängen Grundfläche, Höhe und Volumen zusammen?

1. Berechnung der Grundfläche des Sandkastens: \(G = 2{,}50\,\text{m} \cdot 1{,}80\,\text{m} = 4{,}5\,\text{m}^2\). 2. Berechnung der Höhe durch Umstellen der Volumenformel \(V = G \cdot h\): \(h = \frac{V}{G}\). 3. Einsetzen der Werte: \(h = \frac{1{,}35\,\text{m}^3}{4{,}5\,\text{m}^2} = 0{,}3\,\text{m}\). 4. Umrechnung der Höhe in Zentimeter: \(0{,}3\,\text{m} = 30\,\text{cm}\).

Der Sand wird im Sandkasten \(30\,\text{cm}\) hoch stehen.

- Achte darauf, alle Längenangaben zuerst in dieselbe Einheit umzurechnen, bevor du das Volumen berechnest. - Überlege dir, welche Einheit am besten passt, wenn die Masse pro Kubikdezimeter gegeben ist. - Wie hängen Volumen, Masse pro Kubikdezimeter und Gesamtmasse zusammen?

1. Umrechnung der Maße in Dezimeter: \(1{,}2\,\text{dm}\), \(1{,}2\,\text{dm}\) und \(25\,\text{dm}\). 2. Berechnung des Volumens: \(V = 1{,}2\,\text{dm} \cdot 1{,}2\,\text{dm} \cdot 25\,\text{dm} = 36\,\text{dm}^3\). 3. Berechnung der Masse: \(m = 36 \cdot 0{,}8\,\text{kg} = 28{,}8\,\text{kg}\).

a) Das Volumen des Balkens beträgt \(36\,\text{dm}^3\). b) Der Balken hat insgesamt eine Masse von \(28{,}8\,\text{kg}\).

- Wähle für Teil a) eine Längeneinheit, bei der du das Volumen direkt mit Litern verbinden kannst. - Die Kiesschicht ist ein flacher Quader mit der Grundfläche des Aquariums. - Nutze in Teil b) die vom Fachgeschäft angegebene Masse für einen Liter Kies.

1. In Dezimetern sind die Maße \(8\,\text{dm}\), \(4\,\text{dm}\) und \(0{,}5\,\text{dm}\). 2. Das Volumen der Kiesschicht beträgt \(8\,\text{dm}\cdot4\,\text{dm}\cdot0{,}5\,\text{dm}=16\,\text{dm}^3=16\,\text{l}\). 3. Mit der angegebenen Masse pro Liter ergibt sich \(16\cdot1{,}6\,\text{kg}=25{,}6\,\text{kg}\).

a) \(16\,\text{l}\) b) \(25{,}6\,\text{kg}\)

- Bringe das zusätzliche Wasservolumen und die Grundfläche in zueinander passende Einheiten. - Überlege, wie Grundfläche, zusätzliche Höhe und zusätzliches Volumen zusammenhängen. - Gesucht ist nur der Höhenzuwachs, nicht die gesamte Wasserhöhe.

1. Die zusätzliche Wassermenge ist \(12\,\text{l}=12\,\text{dm}^3=12\,000\,\text{cm}^3\). 2. Die Grundfläche des Aquariums beträgt \(50\,\text{cm}\cdot30\,\text{cm}=1500\,\text{cm}^2\). 3. Die zusätzliche Höhe erfüllt \(12\,000\,\text{cm}^3=1500\,\text{cm}^2\cdot h\). Daher ist \(h=12\,000\,\text{cm}^3:1500\,\text{cm}^2=8\,\text{cm}\).

\(8\,\text{cm}\)

- Überlege zuerst, wie man das Volumen eines Quaders berechnet. - Denk an den Zusammenhang zwischen Kubikzentimetern, Kubikdezimetern und Litern. - Wie verändert sich das Volumen, wenn nur eine der drei Seitenlängen vergrößert wird?

1. Berechnung des Volumens des ersten Aquariums: \(V_1 = 60\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm} \cdot 30\,\text{cm} = 72\,000\,\text{cm}^3\). 2. Umrechnung in Liter: \(72\,000\,\text{cm}^3 = 72\,\text{dm}^3 = 72\,\text{l}\). 3. Berechnung des Volumens des zweiten Aquariums: \(V_2 = 60\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm} \cdot 50\,\text{cm} = 120\,000\,\text{cm}^3\). 4. Umrechnung in Liter: \(120\,000\,\text{cm}^3 = 120\,\text{dm}^3 = 120\,\text{l}\). 5. Berechnung der Differenz: \(120\,\text{l} - 72\,\text{l} = 48\,\text{l}\).

Es passen \(48\,\text{l}\) mehr hinein.

- Kannst du dir vorstellen, welche Form der Sand im Behälter einnimmt? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen Grundfläche, Höhe und Volumen? - Was genau ist mit dem Abstand zur Oberkante gemeint? - Überlege, wie hoch der Sand im Behälter steht, bevor du den Abstand berechnest.

1. Berechnung der Füllhöhe des Sandes im Behälter durch Division des Volumens durch die Grundfläche: \(15\,\text{m}^3 : 12\,\text{m}^2 = 1{,}25\,\text{m}\). 2. Bestimmung des Abstands zwischen Sandoberfläche und Behälterrand durch Subtraktion der Füllhöhe von der Gesamthöhe: \(1{,}50\,\text{m} - 1{,}25\,\text{m} = 0{,}25\,\text{m}\).

Der Abstand beträgt \(0{,}25\,\text{m}\) (oder \(25\,\text{cm}\)).

- Wie berechnet man das Volumen eines Quaders, wenn drei unterschiedliche Seitenlängen gegeben sind? - Was ist das Besondere an den Seitenlängen eines Würfels? - Vergleiche die beiden Endergebnisse direkt miteinander.

1. Berechnung des Volumens von Paket A (Quader): \(V_A = 60\,\text{cm} \cdot 30\,\text{cm} \cdot 20\,\text{cm} = 36\,000\,\text{cm}^3\). 2. Berechnung des Volumens von Paket B (Würfel): \(V_B = 35\,\text{cm} \cdot 35\,\text{cm} \cdot 35\,\text{cm} = 42\,875\,\text{cm}^3\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Da \(42\,875\,\text{cm}^3 > 36\,000\,\text{cm}^3\), hat Paket B das größere Volumen.

Das Volumen von Paket A beträgt \(36\,000\,\text{cm}^3\). Das Volumen von Paket B beträgt \(42\,875\,\text{cm}^3\). Paket B nimmt somit mehr Platz ein.

- Überlege dir zuerst, wie sich das Volumen eines Quaders aus seinen drei Kantenlängen berechnen lässt. - Wie viele Begrenzungsflächen hat ein Quader und welche davon sind jeweils gleich groß? - Berechne die Flächeninhalte der einzelnen Seitenflächen und addiere sie passend für die Gesamtoberfläche.

1. Berechnung des Volumens \(V\) des Quaders durch Multiplikation der Kantenlängen: \(V=abc=8\,\text{cm}\cdot5\,\text{cm}\cdot4\,\text{cm}=160\,\text{cm}^3\). 2. Berechnung des Oberflächeninhalts \(O\) des Quaders mit der Formel \(O=2(ab+bc+ac)\): \(O=2\cdot(8\cdot5+5\cdot4+8\cdot4)\,\text{cm}^2=2\cdot(40+20+32)\,\text{cm}^2=184\,\text{cm}^2\).

a) \(V=160\,\text{cm}^3\) b) \(O=184\,\text{cm}^2\)

- Nutze die angegebenen Maße des vollständigen Quaders: \(4\,\text{cm}\), \(3\,\text{cm}\) und \(3\,\text{cm}\). - Berechne das Volumen des vollständigen Quaders. - Addiere die Stapelhöhen im Bauplan. - Bestimme die Differenz zwischen der benötigten und der vorhandenen Würfelzahl.

1. Zuerst verwenden wir die angegebenen Maße des fertigen Quaders: - Die Breite beträgt \(4\,\text{cm}\). - Die Tiefe beträgt \(3\,\text{cm}\). - Die Höhe beträgt \(3\,\text{cm}\). - Das Volumen ist \(V = 4\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 36\,\text{cm}^3\). - Für den fertigen Quader werden insgesamt \(36\) Einheitswürfel benötigt. 2. Nun zählen wir die bereits vorhandenen Einheitswürfel im Bauplan: - Hintere Reihe: \(3 + 2 + 1 + 0 = 6\) Würfel. - Mittlere Reihe: \(3 + 3 + 2 + 1 = 9\) Würfel. - Vordere Reihe: \(2 + 1 + 0 + 0 = 3\) Würfel. - Insgesamt sind bereits \(6 + 9 + 3 = 18\) Würfel vorhanden. 3. Es fehlen \(36 - 18 = 18\) Würfel.

a) Das Volumen des fertigen Quaders beträgt \(36\,\text{cm}^3\). b) Es fehlen noch genau \(18\) Einheitswürfel.

- Bestimme für jede Schachtel die drei Maße: Breite, Tiefe und Höhe. - Multipliziere die Maße, um das Volumen zu berechnen. - Vergleiche die beiden Endergebnisse.

1. Schachtel 1 hat die Maße Breite \(4\), Tiefe \(3\) und Höhe \(5\). Sie fasst \(4 \cdot 3 \cdot 5 = 60\) Würfel. 2. Schachtel 2 hat die Maße Breite \(2\), Tiefe \(6\) und Höhe \(5\). Sie fasst \(2 \cdot 6 \cdot 5 = 60\) Würfel. 3. Beide Schachteln haben den gleichen Rauminhalt von \(60\) Würfeln.

Beide Schachteln haben den gleichen Rauminhalt von \(60\) Würfeln.

- Welche Form haben die abgebildeten Körper? - Erinnere dich an die Formel zur Berechnung des Rauminhalts für diese Körperform. - Berechne die Werte für beide Körper nacheinander und vergleiche die Endergebnisse.

Das Volumen eines Quaders berechnet sich mit der Formel \(V = abc\). 1. Berechnung des Volumens von Karton a): \(V_a = 8\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 72\,\text{cm}^3\). 2. Berechnung des Volumens von Karton b): \(V_b = 4\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 72\,\text{cm}^3\). Beide Kartons haben mit \(72\,\text{cm}^3\) das gleiche Volumen.

Ja, beide Kartons haben das gleiche Volumen von \(72\,\text{cm}^3\).

- Berechne zuerst den Rauminhalt für jeden der drei Körper einzeln. - Achte darauf, dass alle Maße in derselben Einheit angegeben sind. - Vergleiche die berechneten Zahlenwerte und sortiere sie der Größe nach.

1. Berechnung des Volumens von Quader A: \(V_A = 4\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 120\,\text{cm}^3\). 2. Berechnung des Volumens von Würfel B: \(V_B = (5\,\text{cm})^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125\,\text{cm}^3\). 3. Berechnung des Volumens von Quader C: \(V_C = 8\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 128\,\text{cm}^3\). Die Reihenfolge nach aufsteigendem Volumen ist somit: Baustein A (\(120\,\text{cm}^3\)), Baustein B (\(125\,\text{cm}^3\)), Baustein C (\(128\,\text{cm}^3\)).

Die Reihenfolge lautet: A < B < C.

- Überlege dir zuerst, aus wie vielen Kanten und Flächen ein Würfel besteht. - Wie berechnet man den Umfang eines Quadrats oder die Länge mehrerer Kanten? - Für die Oberfläche musst du den Flächeninhalt einer Seite bestimmen und diesen vervielfachen.

1. Berechnung der Gesamtkantenlänge \(s\): Ein Würfel besitzt \(12\) gleich lange Kanten. \(s=12a=12\cdot1{,}5\,\text{m}=18\,\text{m}\). 2. Berechnung der Oberfläche \(O\): Die Oberfläche besteht aus \(6\) quadratischen Flächen. \(O=6a^2=6\cdot(1{,}5\,\text{m})^2=6\cdot2{,}25\,\text{m}^2=13{,}5\,\text{m}^2\).

a) Die Gesamtlänge aller Kanten beträgt \(18\,\text{m}\). b) Es müssen \(13{,}5\,\text{m}^2\) gestrichen werden.

- Lies zuerst alle drei Kantenlängen aus der Abbildung ab. - Jede der drei Kantenlängen kommt bei einem Quader viermal vor. - Für die Oberfläche gibt es drei Paare gleich großer Rechtecke; achte danach auf die Umrechnung der Flächeneinheit.

1. Aus der Abbildung liest man \(a=60\,\text{cm}\), \(b=40\,\text{cm}\) und \(c=35\,\text{cm}\) ab. 2. Ein Quader hat je vier Kanten jeder Länge. Die Summe aller Kantenlängen ist \(4(a+b+c)=4\cdot(60+40+35)\,\text{cm}=540\,\text{cm}\). 3. Die Oberfläche ist \(O=2(ab+ac+bc)=2\cdot(60\cdot40+60\cdot35+40\cdot35)\,\text{cm}^2=11\,800\,\text{cm}^2\). 4. Wegen \(10\,000\,\text{cm}^2=1\,\text{m}^2\) gilt \(11\,800\,\text{cm}^2=1{,}18\,\text{m}^2\).

a) \(540\,\text{cm}\) b) \(1{,}18\,\text{m}^2\)

- Überlege dir, aus wie vielen Teilflächen die Oberfläche eines Quaders besteht. - Wie viele dieser Flächen sind jeweils gleich groß? - Welche Maße haben die einzelnen Rechtecke, die den Quader begrenzen?

1. Berechnung der Flächeninhalte der drei verschiedenen Seitenflächenpaare: \(A_1=8\,\text{cm}\cdot5\,\text{cm}=40\,\text{cm}^2\), \(A_2=8\,\text{cm}\cdot12\,\text{cm}=96\,\text{cm}^2\) und \(A_3=5\,\text{cm}\cdot12\,\text{cm}=60\,\text{cm}^2\). 2. Addition der Flächeninhalte und Verdopplung für den gesamten Oberflächeninhalt: \(O=2\cdot(40+96+60)\,\text{cm}^2=392\,\text{cm}^2\).

Der Oberflächeninhalt des Quaders beträgt \(392\,\text{cm}^2\).

- Lies die Maße beider Körper aus den Abbildungen ab. - Berechne die Oberflächen der beiden Körper getrennt. - Vergleiche erst die vollständigen Oberflächenwerte miteinander.

1. Aus der Abbildung liest man für Schachtel A die Kantenlänge \(a=10\,\text{cm}\) ab. Damit ist \(O_A=6a^2=6\cdot(10\,\text{cm})^2=600\,\text{cm}^2\). 2. Für Schachtel B liest man die Kantenlängen \(15\,\text{cm}\), \(8\,\text{cm}\) und \(8\,\text{cm}\) ab. Daher ist \(O_B=2\cdot(15\cdot8+15\cdot8+8\cdot8)\,\text{cm}^2=608\,\text{cm}^2\). 3. Weil \(608\,\text{cm}^2>600\,\text{cm}^2\), hat Schachtel B die größere Oberfläche.

Schachtel B; \(O_B=608\,\text{cm}^2\) und \(O_A=600\,\text{cm}^2\).

- Berechne zuerst das Volumen jedes einzelnen Quaders. - Wie lautet die Formel für das Volumen eines Quaders? - Addiere am Ende alle Teilergebnisse.

Das Gesamtvolumen ergibt sich aus der Summe der Volumina der drei Einzelquader: 1. Quader a: \(V_a = 8\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} = 480\,\text{cm}^3\). 2. Quader b: \(V_b = 5\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} \cdot 15\,\text{cm} = 450\,\text{cm}^3\). 3. Quader c: \(V_c = 8\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} = 480\,\text{cm}^3\). Gesamtvolumen: \(V = 480\,\text{cm}^3 + 450\,\text{cm}^3 + 480\,\text{cm}^3 = 1410\,\text{cm}^3\).

Das Gesamtvolumen beträgt \(1410\,\text{cm}^3\).

- Suche im Netz zuerst nach gleich großen Rechtecken und bilde Paare. - Der Oberflächeninhalt ist die Summe aller sechs Rechtecksflächen. - Ersetze für die allgemeine Formel die konkreten Kantenlängen durch \(a\), \(b\) und \(c\).

1. Im Netz kommen jeweils zwei Rechtecke mit \(5\,\text{cm}\times3\,\text{cm}\), zwei mit \(5\,\text{cm}\times2\,\text{cm}\) und zwei mit \(3\,\text{cm}\times2\,\text{cm}\) vor. 2. Daher ist \(O=2\cdot15\,\text{cm}^2+2\cdot10\,\text{cm}^2+2\cdot6\,\text{cm}^2=62\,\text{cm}^2\). 3. Allgemein entsprechen die drei Rechtecktypen den Flächen \(ab\), \(ac\) und \(bc\). Jeder Typ kommt zweimal vor, also \(O=2(ab+ac+bc)\).

a) Zweimal \(5\,\text{cm}\times3\,\text{cm}\), zweimal \(5\,\text{cm}\times2\,\text{cm}\) und zweimal \(3\,\text{cm}\times2\,\text{cm}\). b) \(O=62\,\text{cm}^2\). c) \(O=2(ab+ac+bc)\).

- Zähle die gleich großen Flächen im Netz. - Wie lautet der Flächeninhalt einer einzelnen quadratischen Würfelfläche mit Seitenlänge \(a\)? - Nutze für Teil b) die Maßangabe direkt aus dem Netz.

1. Das Würfelnetz besteht aus sechs kongruenten Quadraten. 2. Jedes Quadrat hat bei Kantenlänge \(a\) den Flächeninhalt \(a^2\). Deshalb ist \(O=6a^2\). 3. In der Abbildung ist \(a=4\,\text{cm}\). Damit ist \(O=6\cdot(4\,\text{cm})^2=96\,\text{cm}^2\).

a) Das Netz enthält 6 Quadrate mit jeweils dem Flächeninhalt \(a^2\); daher gilt \(O=6a^2\). b) \(O=96\,\text{cm}^2\).

- Wie berechnet man das Volumen eines Quaders? - Wenn eine Seite um \(10\,\%\) wächst, mit welcher Zahl muss man die ursprüngliche Länge multiplizieren? - Was passiert mit dem Gesamtprodukt, wenn man zwei der Faktoren mit ihren jeweiligen Wachstumsfaktoren multipliziert?

1. Formel für das Volumen eines Quaders: \(V = lbh\). 2. Neue Maße definieren: Länge \(l' = 1{,}1l\), Breite \(b' = 1{,}2b\), Höhe \(h' = h\). 3. Neues Volumen berechnen: \(V' = (1{,}1l)(1{,}2b)h = 1{,}1 \cdot 1{,}2 \cdot (lbh) = 1{,}32V\). 4. Zunahme bestimmen: \(1{,}32 - 1 = 0{,}32 = 32\,\%\).

\(32\,\%\)

- Wie viele Flächen hat ein normaler Quader? - Was ändert sich an der Anzahl der Flächen, wenn der Karton oben offen ist? - Skizziere die einzelnen Flächen, aus denen der Karton besteht.

1. Identifikation der vorhandenen Flächen: 1 Bodenfläche, 2 Seitenflächen (Länge \(\cdot\) Höhe), 2 Seitenflächen (Breite \(\cdot\) Höhe) 2. Berechnung der Bodenfläche: \(30\,\text{cm} \cdot 20\,\text{cm} = 600\,\text{cm}^2\) 3. Berechnung der ersten zwei Seitenwände: \(2 \cdot (30\,\text{cm} \cdot 15\,\text{cm}) = 2 \cdot 450\,\text{cm}^2 = 900\,\text{cm}^2\) 4. Berechnung der anderen zwei Seitenwände: \(2 \cdot (20\,\text{cm} \cdot 15\,\text{cm}) = 2 \cdot 300\,\text{cm}^2 = 600\,\text{cm}^2\) 5. Addition aller Teilflächen: \(600 + 900 + 600 = 2100\,\text{cm}^2\)

Es werden \(2100\,\text{cm}^2\) Pappe benötigt.

- Wie berechnet man das Volumen eines Quaders? - Denke an den Zusammenhang zwischen \(\text{cm}^3\), \(\text{dm}^3\) und Litern. - Wie viele Milliliter stecken in einem Liter?

1. Berechnung des Volumens des Gefäßes: \(V = 20\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 1000\,\text{cm}^3\). 2. Umrechnung des Volumens in Liter: \(1000\,\text{cm}^3 = 1\,\text{dm}^3 = 1\,\text{l}\). 3. Vergleich mit der Saftmenge: Da \(1{,}5\,\text{l} > 1\,\text{l}\), passt der Saft nicht hinein. 4. Berechnung der Differenz: \(1{,}5\,\text{l} - 1\,\text{l} = 0{,}5\,\text{l}\). 5. Umrechnung der Differenz in Milliliter: \(0{,}5\,\text{l} = 500\,\text{ml}\).

Das Gefäß hat ein Volumen von \(1000\,\text{cm}^3\), was genau \(1\,\text{l}\) entspricht. Da \(1{,}5\,\text{l}\) eingefüllt werden sollen, passen \(0{,}5\,\text{l}\) nicht hinein. Es laufen \(500\,\text{ml}\) Saft über.

- Berechne zuerst den Rauminhalt des Quaders. - Wie viele Kubikzentimeter ergeben einen Liter? - Vergiss nicht, am Ende die Masse des Glases zur Masse des Wassers zu addieren.

1. Berechnung des Volumens in Kubikzentimetern: \(V = 50\,\text{cm} \cdot 30\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm} = 60\,000\,\text{cm}^3\). 2. Umrechnung in Liter: Da \(1000\,\text{cm}^3 = 1\,\text{dm}^3 = 1\,\text{l}\) ist, entsprechen \(60\,000\,\text{cm}^3\) einem Volumen von \(60\,\text{l}\). 3. Bestimmung der Masse des Wassers: Da \(1\,\text{l}\) Wasser eine Masse von \(1\,\text{kg}\) hat, haben \(60\,\text{l}\) Wasser eine Masse von \(60\,\text{kg}\). 4. Berechnung der Gesamtmasse: \(12\,\text{kg}\,\text{(Glas)} + 60\,\text{kg}\,\text{(Wasser)} = 72\,\text{kg}\).

a) Das Aquarium hat ein Volumen von \(60\,\text{l}\). b) Das gefüllte Aquarium hat insgesamt eine Masse von \(72\,\text{kg}\).

- Wie viele Liter passen insgesamt in einen Würfel von \(1\,\text{m} \cdot 1\,\text{m} \cdot 1\,\text{m}\)? - Überlege, welcher Bruchteil des Behälters bereits gefüllt ist. - Wenn die Grundfläche \(1\,\text{m}^2\) groß ist, wie verteilt sich das Volumen dann auf die Höhe?

1. Bestimmung des Gesamtvolumens und des halben Volumens: Ein Würfel mit \(1\,\text{m}\) Kantenlänge hat ein Volumen von \(1\,\text{m}^3\). Die Hälfte davon sind \(0{,}5\,\text{m}^3\). 2. Umrechnung der vorhandenen Wassermenge: \(150\,\text{l} = 150\,\text{dm}^3 = 0{,}15\,\text{m}^3\). 3. Berechnung der fehlenden Menge zur Hälfte: \(0{,}5\,\text{m}^3 - 0{,}15\,\text{m}^3 = 0{,}35\,\text{m}^3\). 4. Berechnung der Wasserhöhe: Das Volumen ist Grundfläche mal Höhe (\(V = G \cdot h\)). Die Grundfläche ist \(1\,\text{m} \cdot 1\,\text{m} = 1\,\text{m}^2 = 10\,000\,\text{cm}^2\). Das Volumen in Kubikzentimetern ist \(150\,\text{l} = 150\,000\,\text{cm}^3\). 5. Berechnung der Höhe: \(h = V : G = 150\,000\,\text{cm}^3 : 10\,000\,\text{cm}^2 = 15\,\text{cm}\).

a) Es fehlen noch \(0{,}35\,\text{m}^3\) Wasser, bis der Behälter zur Hälfte voll ist. b) Das Wasser steht \(15\,\text{cm}\) hoch.

- Überlege für Teil a), ob beim Auseinanderbauen Holz verloren geht oder dazukommt. - Stell dir für Teil b) vor, du müsstest die Würfel anmalen. Musst du beim großen Würfel mehr oder weniger Fläche streichen als bei den vielen kleinen Würfeln zusammen? - Was passiert mit den Flächen, die im großen Würfel „aneinanderkleben“, wenn man sie trennt?

1. Berechnung des Volumens des großen Würfels: \(3 \cdot 3 \cdot 3 = 27\). Da jeder kleine Würfel \(1\,\text{cm}^3\) groß ist, beträgt das Gesamtvolumen \(27\,\text{cm}^3\). 2. Berechnung der Summe der Volumina der Einzelteile: \(27 \cdot 1\,\text{cm}^3 = 27\,\text{cm}^3\). Das Volumen bleibt also gleich. 3. Analyse der Oberfläche: Der große Würfel hat eine Oberfläche von \(6 \cdot (3\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm}) = 54\,\text{cm}^2\). Jedes der 27 Einzelteile hat eine Oberfläche von \(6 \cdot (1\,\text{cm} \cdot 1\,\text{cm}) = 6\,\text{cm}^2\). Die Gesamtoberfläche der Einzelteile ist \(27 \cdot 6\,\text{cm}^2 = 162\,\text{cm}^2\). 4. Schlussfolgerung für b): Die Oberfläche wird größer, da durch das Zerlegen Flächen sichtbar werden, die vorher im Inneren des großen Würfels verborgen waren.

a) Das Volumen des großen Würfels beträgt \(27\,\text{cm}^3\). Die Summe der Volumina der 27 kleinen Würfel beträgt ebenfalls \(27\,\text{cm}^3\). Das Volumen bleibt gleich. b) Die Gesamtoberfläche wird größer. Durch das Zerlegen werden die Flächen im Inneren des großen Würfels zu Außenflächen der kleinen Würfel.

- Weißt du noch, wie viele Kubikdezimeter ein Liter sind? - Wenn du die Maße von Dezimetern in Zentimeter umrechnest, was passiert dann mit jeder einzelnen Seite? - Suche nach Zahlen, die zusammen multipliziert 60 ergeben.

1. Umrechnung des Volumens: \(1\,\text{l} = 1\,\text{dm}^3\), also ist \(V = 60\,\text{dm}^3\). 2. Suche nach drei Faktoren für \(60\): Möglichkeit 1: \(2\,\text{dm} \cdot 3\,\text{dm} \cdot 10\,\text{dm} = 60\,\text{dm}^3\). Möglichkeit 2: \(4\,\text{dm} \cdot 3\,\text{dm} \cdot 5\,\text{dm} = 60\,\text{dm}^3\). 3. Umrechnung eines Beispiels in Zentimeter: Da \(1\,\text{dm} = 10\,\text{cm}\) ist, wird jede Kantenlänge mit \(10\) multipliziert. 4. Möglichkeit 1 in Zentimetern: \(20\,\text{cm}, 30\,\text{cm}, 100\,\text{cm}\).

a) Zum Beispiel: \(2\,\text{dm} \times 3\,\text{dm} \times 10\,\text{dm}\) oder \(4\,\text{dm} \times 3\,\text{dm} \times 5\,\text{dm}\). b) Für das erste Beispiel lauten die Maße \(20\,\text{cm} \times 30\,\text{cm} \times 100\,\text{cm}\).

- Erinnere dich an die Volumenformel für einen Würfel. - Probiere kleine ganze Zahlen aus und berechne ihr Volumen (\(x \cdot x \cdot x\)). - Wie kannst du mathematisch zeigen, welche Zahl „näher dran“ ist?

1. Suche nach Kubikzahlen (\(a^3\)), die den Wert \(60\) einschließen. 2. Berechnung: \(3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27\) und \(4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64\). 3. Zu Teil a): Da \(27 < 60 < 64\), liegt die Kantenlänge zwischen \(3\,\text{dm}\) und \(4\,\text{dm}\). 4. Zu Teil b): Der Mittelpunkt zwischen \(3\,\text{dm}\) und \(4\,\text{dm}\) ist \(3{,}5\,\text{dm}\). Es gilt \(3{,}5^3 = 42{,}875\). 5. Da \(60 > 42{,}875\), ist die tatsächliche Kantenlänge größer als \(3{,}5\,\text{dm}\) und damit näher an \(4\,\text{dm}\) als an \(3\,\text{dm}\).

a) Die Kantenlänge liegt zwischen \(3\,\text{dm}\) und \(4\,\text{dm}\). b) \(4\,\text{dm}\) ist die bessere Schätzung, da \(3{,}5^3 = 42{,}875 < 60\) gilt und die tatsächliche Kantenlänge daher größer als \(3{,}5\,\text{dm}\) ist.

- Überlege dir zuerst, welche Form der Behälter hat. - Wie viele Flächen hat ein Quader insgesamt? - Welche dieser Flächen müssen im zweiten Aufgabenteil berücksichtigt werden? - Achte auf die Einheiten beim Rechnen.

1. Berechnung des Volumens: \(V = abc = 3\,\text{m} \cdot 2\,\text{m} \cdot 1{,}5\,\text{m} = 9\,\text{m}^3\). 2. Berechnung der Bodenfläche: \(A_{\text{Boden}} = 3\,\text{m} \cdot 2\,\text{m} = 6\,\text{m}^2\). 3. Berechnung der Seitenflächen: Zwei Flächen zu \(3\,\text{m} \cdot 1{,}5\,\text{m} = 4{,}5\,\text{m}^2\) und zwei Flächen zu \(2\,\text{m} \cdot 1{,}5\,\text{m} = 3\,\text{m}^2\). 4. Gesamte Folienfläche: \(A_{\text{Gesamt}} = 6\,\text{m}^2 + 2 \cdot 4{,}5\,\text{m}^2 + 2 \cdot 3\,\text{m}^2 = 6\,\text{m}^2 + 9\,\text{m}^2 + 6\,\text{m}^2 = 21\,\text{m}^2\).

a) Der Behälter fasst maximal \(9\,\text{m}^3\) Streusalz. b) Es müssen \(21\,\text{m}^2\) mit Folie bedeckt werden.

- Wie hängen \(\text{cm}^3\) und Liter zusammen? Eine Skizze der Maßeinheiten hilft. - Was ändert sich an der Rechnung, wenn das Wasser nicht bis zum Rand steht? - Überlege, welche der drei Kantenlängen die Höhe des Wasserspiegels beeinflusst.

1. Berechnung des maximalen Volumens in \(\text{cm}^3\): \(V_{\text{max}} = 60\,\text{cm} \cdot 30\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm} = 72\,000\,\text{cm}^3\). 2. Umrechnung in Liter: \(72\,000\,\text{cm}^3 = 72\,\text{dm}^3 = 72\,\text{l}\). 3. Bestimmung der aktuellen Wasserhöhe: \(h_{\text{Wasser}} = 40\,\text{cm} - 5\,\text{cm} = 35\,\text{cm}\). 4. Berechnung des Wasservolumens: \(V_{\text{Wasser}} = 60\,\text{cm} \cdot 30\,\text{cm} \cdot 35\,\text{cm} = 63\,000\,\text{cm}^3\). 5. Umrechnung in Liter: \(63\,000\,\text{cm}^3 = 63\,\text{l}\).

a) Es passen maximal \(72\,\text{l}\) in das Aquarium. b) Es befinden sich aktuell \(63\,\text{l}\) Wasser im Aquarium.

- Achte darauf, dass alle Längenangaben in der gleichen Einheit vorliegen, bevor du rechnest. - Überlege dir, wie viele Liter in einen Kubikmeter passen. - Wie hängen Liter und Hektoliter zusammen?

1. Umrechnung der Wasserhöhe in Meter: \(45\,\text{cm} = 0{,}45\,\text{m}\). 2. Berechnung des Volumens in Kubikmetern: \(V = G \cdot h = 12\,\text{m}^2 \cdot 0{,}45\,\text{m} = 5{,}4\,\text{m}^3\). 3. Umrechnung von Kubikmetern in Liter: \(5{,}4\,\text{m}^3 = 5400\,\text{dm}^3 = 5400\,\text{l}\). 4. Umrechnung von Litern in Hektoliter: Da \(100\,\text{l} = 1\,\text{hl}\) gilt, ergibt sich \(5400\,\text{l} : 100 = 54\,\text{hl}\).

In der Zisterne befinden sich \(54\,\text{hl}\) Wasser.

- Überlege dir zuerst, welche Fläche der Boden des Aquariums einnimmt. - Kannst du die Angabe in Litern in eine Raumeinheit wie Kubikzentimeter oder Kubikdezimeter umwandeln? - Wie hängen Volumen, Grundfläche und Höhe bei einem Quader zusammen?

1. Berechnung der Grundfläche des Aquariums: \(A = 80\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm} = 3200\,\text{cm}^2\). 2. Umrechnung des Wasservolumens in Kubikzentimeter: \(96\,\text{l} = 96\,\text{dm}^3 = 96\,000\,\text{cm}^3\). 3. Berechnung der Wasserhöhe durch Division des Volumens durch die Grundfläche: \(h = V : A = 96\,000\,\text{cm}^3 : 3200\,\text{cm}^2 = 30\,\text{cm}\).

Das Wasser steht \(30\,\text{cm}\) hoch im Aquarium.

- Berechne zuerst, wie viel Wasser sich insgesamt im ersten Becken befindet. - Wenn die Wassermenge gleich bleibt, aber die Grundfläche sich ändert, was passiert dann mit der Höhe? - Wie kannst du die Höhe berechnen, wenn du das Volumen und die neue Grundfläche kennst?

1. Berechnung der Grundfläche von Becken A: \(G_A = 4\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 16\,\text{m}^2\). 2. Berechnung des Wasservolumens in Becken A: \(V = 16\,\text{m}^2 \cdot 1{,}5\,\text{m} = 24\,\text{m}^3\). 3. Da das Volumen in Becken B gleich bleibt, Berechnung der Höhe in Becken B: \(h_B = V : G_B = 24\,\text{m}^3 : 20\,\text{m}^2 = 1{,}2\,\text{m}\).

Das Wasser steht in Becken B \(1{,}2\,\text{m}\) hoch.

- Achte auf die Einheiten: Rechne die Zentimeterangaben zuerst in Meter um, bevor du das Volumen berechnest. - Überlege dir, wie viele Liter in einen Kubikmeter passen. - Für die Kostenrechnung multiplizierst du den Preis mit der Menge.

1. Berechnung des Volumens in \(\text{m}^3\): \(V = 2{,}4\,\text{m} \cdot 1{,}5\,\text{m} \cdot 0{,}2\,\text{m} = 0{,}72\,\text{m}^3\). 2. Berechnung der Kosten: \(0{,}72\,\text{m}^3 \cdot 25\,\text{€}/\text{m}^3 = 18{,}00\,\text{€}\). 3. Umrechnung des Volumens in Liter: \(0{,}72\,\text{m}^3 = 720\,\text{dm}^3 = 720\,\text{l}\). 4. Berechnung der Sackanzahl: \(720\,\text{l} : 20\,\text{l}/\text{Sack} = 36\,\text{Säcke}\).

a) Man benötigt \(0{,}72\,\text{m}^3\) Sand. b) Die Kosten betragen \(18{,}00\,\text{€}\). c) Es müssen \(36\,\text{Säcke}\) gekauft werden.

- Überlege dir, wie das Volumen berechnet wird. Was passiert mit dem Ergebnis, wenn du eine Zahl in der Rechnung änderst? - Wenn du zwei Kanten veränderst, wie beeinflussen beide Änderungen zusammen das Endergebnis? - Gibt es verschiedene Zahlenpaare oder -trios, deren Produkt 6 ergibt?

Das Ziel ist ein neues Volumen \(V_{\text{neu}} = 6V_{\text{alt}} = 6(abc)\). Die Änderungsfaktoren der Kantenlängen müssen das Produkt 6 ergeben. Mögliche Lösungen: 1. Eine Kantenlänge wird versechsfacht, die anderen bleiben gleich: \(6abc\). 2. Eine Kantenlänge wird verdoppelt, eine andere verdreifacht, die dritte bleibt gleich: \(2a \cdot 3b \cdot c = 6(abc)\). 3. Eine Kantenlänge wird mit 12 multipliziert, eine andere halbiert, die dritte bleibt gleich: \(12a \cdot 0{,}5b \cdot c = 6(abc)\).

Mögliche Lösungen sind: 1. Eine Kantenlänge wird mit 6 multipliziert, die anderen bleiben gleich. 2. Eine Kantenlänge wird verdoppelt und eine zweite Kantenlänge wird verdreifacht. 3. Eine Kantenlänge wird mit 12 multipliziert und eine andere Kantenlänge wird halbiert.

- Berechne zuerst die Kantenlängen des Quaders einzeln. - Vergleiche die beiden Endergebnisse durch Division. - Schau dir die Zahlen „doppelt“, „dreifach“ und „halbe“ an. Was passiert, wenn du diese Zahlen miteinander multiplizierst?

1. Volumen des Würfels: \(V_{W} = 4\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 64\,\text{cm}^3\). 2. Maße des Quaders bestimmen: Länge \(L = 4\,\text{cm} \cdot 2 = 8\,\text{cm}\), Breite \(B = 4\,\text{cm} \cdot 3 = 12\,\text{cm}\), Höhe \(H = 4\,\text{cm} \cdot 0{,}5 = 2\,\text{cm}\). 3. Volumen des Quaders: \(V_{Q} = 8\,\text{cm} \cdot 12\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 192\,\text{cm}^3\). 4. Faktor bestimmen: \(192 : 64 = 3\). 5. Direkte Bestimmung des Faktors: Das Produkt der Änderungsfaktoren der Kanten ergibt den Gesamtfaktor: \(2 \cdot 3 \cdot 0{,}5 = 3\).

a) Das Volumen des Würfels beträgt \(64\,\text{cm}^3\), das des Quaders \(192\,\text{cm}^3\). b) Das Volumen des Quaders ist 3-mal so groß. Man erhält diesen Faktor, indem man die einzelnen Änderungsfaktoren multipliziert: \(2 \cdot 3 \cdot 0{,}5 = 3\).

- Überlege zuerst, wie viele Kubikzentimeter in einen Liter passen. - Wie hängen die Grundfläche, die Höhe und das Volumen eines Quaders zusammen? - Kannst du die neue Höhe berechnen, indem du zuerst das neue Gesamtvolumen bestimmst? - Was passiert mit der Füllhöhe, wenn du eine bestimmte Menge Wasser zu einer bereits vorhandenen Menge hinzufügst?

1. Berechnung des Gesamtvolumens: \(V_{\text{gesamt}} = 50\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm} \cdot 30\,\text{cm} = 60\,000\,\text{cm}^3\). Umrechnung in Liter: \(60\,000\,\text{cm}^3 = 60\,\text{l}\). 2. Berechnung des aktuellen Wasservolumens bei \(20\,\text{cm}\) Höhe: \(V_{\text{aktuell}} = 50\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm} \cdot 20\,\text{cm} = 40\,000\,\text{cm}^3 = 40\,\text{l}\). 3. Neues Volumen nach Zugabe von \(10\,\text{l}\): \(40\,\text{l} + 10\,\text{l} = 50\,\text{l}\). Dies entspricht \(50\,000\,\text{cm}^3\). 4. Berechnung der neuen Füllhöhe: Die Grundfläche beträgt \(G = 50\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm} = 2000\,\text{cm}^2\). Die Höhe ergibt sich aus \(h = \frac{V}{G} = \frac{50000\,\text{cm}^3}{2000\,\text{cm}^2} = 25\,\text{cm}\).

a) Es passen insgesamt \(60\,\text{l}\) in das Aquarium. b) Das Volumen des Wassers beträgt \(40\,\text{l}\). c) Die neue Füllhöhe beträgt \(25\,\text{cm}\).

- Vergleiche in Teil a) das Gesamtvolumen der ersten Kiste mit dem bereits gefüllten Volumen. - Beim Umfüllen ändert sich die Form des Sandes, aber nicht sein Volumen. - Welche Größe fehlt dir bei der zweiten Kiste, wenn Volumen und Grundfläche bekannt sind?

1. Das Volumen der ersten Kiste ist \(40\,\text{cm}\cdot30\,\text{cm}\cdot20\,\text{cm}=24\,000\,\text{cm}^3\). 2. Der noch freie Teil hat das Volumen \(24\,000\,\text{cm}^3-18\,000\,\text{cm}^3=6000\,\text{cm}^3\). 3. Die Grundfläche der zweiten Kiste ist \(20\,\text{cm}\cdot20\,\text{cm}=400\,\text{cm}^2\). 4. Beim Umfüllen bleibt das Sandvolumen gleich. Daher beträgt die Füllhöhe \(18\,000\,\text{cm}^3:400\,\text{cm}^2=45\,\text{cm}\).

a) \(6000\,\text{cm}^3\) b) \(45\,\text{cm}\)

- Denke an den Zusammenhang zwischen Litern und Kubikdezimetern oder Kubikzentimetern (\(1\,\text{l} = 1000\,\text{cm}^3\)). - Wie kannst du die Zeit berechnen, wenn du die Gesamtmenge und die Menge pro Stunde kennst? - Wenn nur die Änderung der Höhe gegeben ist, kannst du damit direkt das Volumen dieser Schicht berechnen?

1. Umrechnung des Volumens: \(240\,\text{l} = 240\,\text{dm}^3 = 240\,000\,\text{cm}^3\). 2. Berechnung der Füllhöhe: Die Grundfläche ist \(G = 100\,\text{cm} \cdot 80\,\text{cm} = 8000\,\text{cm}^2\). Die Höhe beträgt \(h = \frac{240000\,\text{cm}^3}{8000\,\text{cm}^2} = 30\,\text{cm}\). 3. Berechnung der Zeit bis zur Leerung: \(\text{Zeit} = \frac{240\,\text{l}}{40\,\text{l}/\text{h}} = 6\,\text{h}\). 4. Berechnung des zusätzlichen Regenwassers: Das Volumen der Schicht mit \(5\,\text{cm}\) Höhe beträgt \(V_{\text{Regen}} = 100\,\text{cm} \cdot 80\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 40\,000\,\text{cm}^3\). Umrechnung in Liter: \(40\,000\,\text{cm}^3 = 40\,\text{l}\).

a) Die Füllhöhe beträgt \(30\,\text{cm}\). b) Der Tank ist nach \(6\,\text{h}\) leer. c) Es sind \(40\,\text{l}\) Wasser zusätzlich in den Tank geflossen.

- Wie hängen Volumen, Länge, Breite und Höhe bei einem Quader zusammen? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Litern und Kubikdezimetern. - Was passiert mit der Einheit, wenn man ein Volumen durch eine Länge teilt? - Überlege dir bei Teil b), wie ein echtes Aquarium aussieht – wäre es sehr schmal und extrem hoch praktisch?

1. Umrechnung des Volumens: \(540\,\text{l} = 540\,\text{dm}^3 = 540\,000\,\text{cm}^3\). 2. Berechnung der Stirnfläche durch Division des Volumens durch die Länge: \(540\,000\,\text{cm}^3 : 150\,\text{cm} = 3600\,\text{cm}^2\). 3. Bestimmung möglicher Maße: Suche nach zwei Zahlen, deren Produkt \(3600\) ist, zum Beispiel \(60\,\text{cm} \cdot 60\,\text{cm}\) oder \(90\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm}\). 4. Begründung: Maße wie \(60\,\text{cm} \cdot 60\,\text{cm}\) sind sinnvoll, da das Aquarium so eine ausreichende Breite und Höhe bei stabiler Form hat.

a) Der Flächeninhalt der Stirnfläche beträgt \(3600\,\text{cm}^2\). b) Mögliche Maße sind zum Beispiel eine Breite von \(60\,\text{cm}\) und eine Höhe von \(60\,\text{cm}\).

- Nutze für Teil a) die im Aufgabentext angegebene Beziehung zwischen Körpervolumen und verdrängtem Wasservolumen. - Überlege, auf welcher Grundfläche sich das zusätzliche Wasservolumen verteilt. - Für Teil b) kannst du die gewünschte Wasserhöhe zusammen mit der Grundfläche des Behälters verwenden.

1. Die Platten haben zusammen das Volumen \(12\cdot15\,\text{dm}^3=180\,\text{dm}^3=0{,}18\,\text{m}^3\). 2. Die Grundfläche des Behälters ist \(2\,\text{m}\cdot1{,}5\,\text{m}=3\,\text{m}^2\). 3. Das verdrängte Volumen verteilt sich über diese Grundfläche. Der Wasserspiegel steigt daher um \(0{,}18\,\text{m}^3:3\,\text{m}^2=0{,}06\,\text{m}=6\,\text{cm}\). 4. Für eine Füllhöhe von \(10\,\text{cm}=0{,}1\,\text{m}\) werden \(3\,\text{m}^2\cdot0{,}1\,\text{m}=0{,}3\,\text{m}^3\) Wasser benötigt. 5. Es gilt \(0{,}3\,\text{m}^3=300\,\text{l}\).

a) \(6\,\text{cm}\) b) \(300\,\text{l}\)

- Berechne zuerst das Volumen beider Körper in derselben Einheit. - Wie viele Kubikzentimeter entsprechen einem Liter? - Ergibt die Division keine ganze Anzahl von Säcken, muss auf die nächste ganze Sackzahl aufgerundet werden.

1. Berechnung des Volumens von Kübel A: \(80\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm} \cdot 30\,\text{cm} = 96\,000\,\text{cm}^3\). 2. Umrechnung in Liter: \(96\,000\,\text{cm}^3 = 96\,\text{dm}^3 = 96\,\text{l}\). 3. Berechnung des Volumens von Kübel B: \(50\,\text{cm} \cdot 50\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm} = 100\,000\,\text{cm}^3\). 4. Umrechnung in Liter: \(100\,000\,\text{cm}^3 = 100\,\text{dm}^3 = 100\,\text{l}\). 5. Vergleich: Kübel B (\(100\,\text{l}\)) ist größer als Kübel A (\(96\,\text{l}\)). 6. Berechnung der Säcke für Kübel A: \(96\,\text{l} : 20\,\text{l}/\text{Sack} = 4{,}8\,\text{Säcke}\). Da man nur ganze Säcke kaufen kann, müssen \(5\) Säcke gekauft werden.

a) Kübel B hat mit \(100\) Litern ein größeres Fassungsvermögen als Kübel A mit \(96\) Litern. b) Es müssen mindestens \(5\) Säcke Erde gekauft werden.

- Für Teil a) kannst du die Grundstücksfläche mit der Regenhöhe verbinden. - Überlege bei Teil b), was die senkrechten Poolwände für die Größe der Wasseroberfläche bei einem kleinen Höhenanstieg bedeuten. - Rechne für Teil c) nur mit der Wasseroberfläche des Pools.

1. Die Grundstücksfläche beträgt \(20\,\text{m}\cdot15\,\text{m}=300\,\text{m}^2\). 2. Die Regenhöhe ist \(2{,}4\,\text{cm}=0{,}024\,\text{m}\). Damit fallen auf das gesamte Grundstück \(300\,\text{m}^2\cdot0{,}024\,\text{m}=7{,}2\,\text{m}^3=7200\,\text{l}\) Regen. 3. Im Pool verteilt sich der direkt hineinfallende Regen über dieselbe waagerechte Fläche. Wegen der senkrechten Wände steigt der Wasserspiegel deshalb um die Regenhöhe \(2{,}4\,\text{cm}\). 4. Direkt in den Pool fallen \(12\,\text{m}^2\cdot0{,}024\,\text{m}=0{,}288\,\text{m}^3=288\,\text{l}\).

a) \(7200\,\text{l}\) b) \(2{,}4\,\text{cm}\), weil der direkt hineinfallende Regen bei senkrechten Wänden genau diese zusätzliche Höhe bildet. c) \(288\,\text{l}\)

- Für die Literangaben ist es praktisch, die Kantenlängen zunächst in Dezimeter umzuwandeln. - Bestimme in Teil b) zuerst die tatsächliche Wasserhöhe. - Nutze in Teil c) die im Text angegebene Beziehung zwischen Steinvolumen und verdrängtem Wasservolumen und verteile dieses Volumen auf die Grundfläche.

1. In Dezimetern hat das Aquarium die Maße \(8\,\text{dm}\), \(4\,\text{dm}\) und \(5\,\text{dm}\). Das maximale Volumen ist \(8\,\text{dm}\cdot4\,\text{dm}\cdot5\,\text{dm}=160\,\text{dm}^3=160\,\text{l}\). 2. Die aktuelle Wasserhöhe beträgt \(50\,\text{cm}-10\,\text{cm}=40\,\text{cm}=4\,\text{dm}\). Daher befinden sich \(8\,\text{dm}\cdot4\,\text{dm}\cdot4\,\text{dm}=128\,\text{dm}^3=128\,\text{l}\) Wasser im Aquarium. 3. Die Grundfläche beträgt \(80\,\text{cm}\cdot40\,\text{cm}=3200\,\text{cm}^2\). Das verdrängte Volumen von \(1600\,\text{cm}^3\) erhöht den Wasserspiegel daher um \(1600\,\text{cm}^3:3200\,\text{cm}^2=0{,}5\,\text{cm}\).

a) \(160\,\text{l}\) b) \(128\,\text{l}\) c) \(0{,}5\,\text{cm}\)

- Berechne zuerst den Flächeninhalt des Daches. - Achte darauf, dass alle Längenangaben die gleiche Einheit haben, bevor du das Volumen berechnest. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Kubikmetern und Litern.

1. Berechnung der Dachfläche: \(A = 3\,\text{m} \cdot 6\,\text{m} = 18\,\text{m}^2\). 2. Umrechnung der Regenhöhe in Meter: \(h = 1{,}5\,\text{cm} = 0{,}015\,\text{m}\). 3. Berechnung des Volumens in Kubikmetern: \(V = 18\,\text{m}^2 \cdot 0{,}015\,\text{m} = 0{,}27\,\text{m}^3\). 4. Umrechnung in Liter: \(1\,\text{m}^3 = 1000\,\text{l}\), also \(0{,}27 \cdot 1000 = 270\,\text{l}\). 5. Vergleich mit dem Fassungsvermögen: \(270\,\text{l} > 200\,\text{l}\). Eine Tonne reicht nicht aus.

Das gesamte Wasservolumen beträgt \(270\,\text{l}\). Eine Regentonne mit \(200\,\text{l}\) Fassungsvermögen reicht nicht aus.

- Wie berechnet man die Grundfläche eines Quaders, wenn das Volumen und die Höhe bekannt sind? - Welche Zahl mit sich selbst multipliziert ergibt den Wert der Grundfläche? - Stelle dir vor, das Wasser ist ein kleinerer Quader mit derselben Grundfläche, aber einer geringeren Höhe. - Achte auf die Umrechnung von Kubikzentimetern in Liter.

1. Berechnung der Grundfläche \(G\) aus dem Volumen \(V = Gh\): \(G = 48\,000 : 30 = 1600\,\text{cm}^2\). 2. Da die Grundfläche quadratisch ist, gilt \(G = a \cdot a\). Suche die Zahl, deren Quadrat \(1600\) ist: \(a = 40\,\text{cm}\). Die Seitenlängen sind \(40\,\text{cm}\). 3. Berechnung des Volumenverlusts: Die Grundfläche bleibt gleich (\(1600\,\text{cm}^2\)), die Höhendifferenz beträgt \(5\,\text{cm}\). 4. \(V_{\text{Differenz}} = 1600 \cdot 5 = 8000\,\text{cm}^3\). 5. Umrechnung in Liter: \(8000 : 1000 = 8\,\text{l}\).

a) Die Seitenlängen der Grundfläche betragen jeweils \(40\,\text{cm}\). b) Das Volumen sinkt um \(8\,\text{l}\).

- Welche Zahl mit sich selbst dreimal multipliziert ergibt das jeweilige Volumen? - Kannst du berechnen, um welchen Faktor das Volumen des großen Würfels größer ist als das des kleinen? - Wenn du weißt, wie oft größer das Volumen ist, was sagt das über die Kantenlänge aus?

1. Bestimmung der Kantenlänge des kleinen Würfels (\(V = a^3\)): Da \(2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\), beträgt die Kantenlänge \(a_1 = 2\,\text{dm}\). 2. Bestimmung der Kantenlänge des großen Würfels: Da \(6 \cdot 6 \cdot 6 = 216\), beträgt die Kantenlänge \(a_2 = 6\,\text{dm}\). 3. Vergleich der Kantenlängen: Berechnung des Verhältnisses \(\frac{6\,\text{dm}}{2\,\text{dm}} = 3\). 4. Alternativ: Das Volumen hat sich um den Faktor \(\frac{216}{8} = 27\) vergrößert. Da \(27 = 3 \cdot 3 \cdot 3\), müssen die Kantenlängen dreimal so lang sein.

Die Kanten des großen Würfels sind \(3\)-mal so lang wie die des kleinen Würfels.

- Überlege, welche Zahl dreimal mit sich selbst multipliziert das Volumen ergibt. - Achte auf die Einheiten: Wie viele Zentimeter sind ein Meter? - Ein Würfel hat sechs identische quadratische Seitenflächen.

1. Umrechnung des Volumens in Kubikzentimeter: \(0{,}008\,\text{m}^3 = 8000\,\text{cm}^3\). 2. Bestimmung der Kantenlänge: \(20\,\text{cm} \cdot 20\,\text{cm} \cdot 20\,\text{cm} = 8000\,\text{cm}^3\). Daher ist \(a = 20\,\text{cm}\). 3. Berechnung des Oberflächeninhalts mit der Formel \(O = 6a^2\): \(O = 6 \cdot (20\,\text{cm})^2 = 6 \cdot 400\,\text{cm}^2 = 2400\,\text{cm}^2\).

a) Die Kantenlänge beträgt \(20\,\text{cm}\). b) Der Oberflächeninhalt beträgt \(2400\,\text{cm}^2\).

- Wie berechnet man das Volumen eines Quaders? - Wie hängen Kubikzentimeter, Kubikdezimeter und Liter zusammen? - Wenn du weißt, wie viel in ein Gefäß passt, wie oft passt dieser Teil in das Gesamtvolumen des Eimers?

1. Berechnung des Volumens in \(\text{cm}^3\): \(V = 5\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} = 200\,\text{cm}^3\). 2. Umrechnung in Liter: \(200\,\text{cm}^3 = 0{,}2\,\text{dm}^3 = 0{,}2\,\text{l}\). 3. Berechnung der Anzahl der Gefäße für \(10\,\text{l}\): \(10\,\text{l} : 0{,}2\,\text{l} = 50\).

a) Das Volumen beträgt \(200\,\text{cm}^3\), was \(0{,}2\,\text{l}\) entspricht. b) Man benötigt \(50\) dieser Gefäße, um den Eimer zu füllen.

- Welche drei Zahlen ergeben miteinander multipliziert \(24\)? - Denk daran, dass die Oberfläche aus sechs Rechtecken besteht, von denen jeweils zwei gleich groß sind. - Die „größte Seitenfläche“ ist die Fläche mit dem größten Flächeninhalt. - Probiere verschiedene Kombinationen aus, wie zum Beispiel ganz flache oder eher würfelähnliche Quader.

1. Beispiel 1: Kantenlängen \(a=4\,\text{cm}\), \(b=3\,\text{cm}\), \(c=2\,\text{cm}\). Volumen \(V = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24\,\text{cm}^3\). 2. Beispiel 2: Kantenlängen \(a=6\,\text{cm}\), \(b=4\,\text{cm}\), \(c=1\,\text{cm}\). Volumen \(V = 6 \cdot 4 \cdot 1 = 24\,\text{cm}^3\). 3. Oberfläche Beispiel 1: \(O = 2 \cdot (4 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + 4 \cdot 2) = 2 \cdot (12 + 6 + 8) = 2 \cdot 26 = 52\,\text{cm}^2\). 4. Oberfläche Beispiel 2: \(O = 2 \cdot (6 \cdot 4 + 4 \cdot 1 + 6 \cdot 1) = 2 \cdot (24 + 4 + 6) = 2 \cdot 34 = 68\,\text{cm}^2\). 5. Vergleich: Die Oberflächen sind trotz gleichen Volumens unterschiedlich. 6. Schichten: Bei Beispiel 1 liegen \(4 \cdot 3 = 12\) Würfel in der untersten Schicht. Bei Beispiel 2 liegen \(6 \cdot 4 = 24\) Würfel in der untersten Schicht.

Mögliche Lösung: a) Quader 1: \(4\,\text{cm}\), \(3\,\text{cm}\), \(2\,\text{cm}\); Quader 2: \(6\,\text{cm}\), \(4\,\text{cm}\), \(1\,\text{cm}\). b) \(O_1 = 52\,\text{cm}^2\), \(O_2 = 68\,\text{cm}^2\). Quader mit gleicher Würfelanzahl können unterschiedliche Oberflächen haben. c) Quader 1: \(12\) Würfel; Quader 2: \(24\) Würfel.

- Verbinde zuerst Liter mit Kubikdezimetern. - Suche für Teil a) drei ganze Zahlen, deren Produkt zum Volumen passt. - Für Teil b) brauchst du die drei verschiedenen Rechteckflächen des Quaders. - Überlege in Teil c), welches Volumen ein Würfel mit \(1\,\text{dm}\) Kantenlänge hat.

1. Es gilt \(40\,\text{l}=40\,\text{dm}^3\). Gesucht sind daher ganzzahlige Kantenlängen mit \(a\cdot b\cdot c=40\,\text{dm}^3\). 2. Drei mögliche Maße sind \(10\,\text{dm}\times2\,\text{dm}\times2\,\text{dm}\), \(8\,\text{dm}\times5\,\text{dm}\times1\,\text{dm}\) und \(5\,\text{dm}\times4\,\text{dm}\times2\,\text{dm}\). 3. Für die dritte Möglichkeit gilt \(O=2(ab+ac+bc)=2\cdot(5\cdot4+5\cdot2+4\cdot2)\,\text{dm}^2=76\,\text{dm}^2\). 4. Ein kleiner Würfel hat das Volumen \((1\,\text{dm})^3=1\,\text{dm}^3\). Daher passen genau \(40\) solcher Würfel in den Karton.

a) Zum Beispiel \(10\,\text{dm}\times2\,\text{dm}\times2\,\text{dm}\), \(8\,\text{dm}\times5\,\text{dm}\times1\,\text{dm}\) und \(5\,\text{dm}\times4\,\text{dm}\times2\,\text{dm}\) b) Für \(5\,\text{dm}\times4\,\text{dm}\times2\,\text{dm}\): \(76\,\text{dm}^2\); bei anderer Wahl ist ein anderes korrektes Ergebnis möglich. c) \(40\) Würfel

- Was bedeutet „materialsparend“ im Zusammenhang mit der Geometrie eines Körpers? - Berechne zuerst alle Teilflächen der beiden Quader. - Vergleiche die Ergebnisse der Oberflächenberechnung.

1. Berechnung des Oberflächeninhalts für Schachtel A (\(6, 2, 2\)): \(O_A = 2 \cdot (6 \cdot 2 + 6 \cdot 2 + 2 \cdot 2) = 2 \cdot (12 + 12 + 4) = 56\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Oberflächeninhalts für Schachtel B (\(4, 3, 2\)): \(O_B = 2 \cdot (4 \cdot 3 + 4 \cdot 2 + 3 \cdot 2) = 2 \cdot (12 + 8 + 6) = 52\,\text{cm}^2\). 3. Vergleich und Begründung: Schachtel B hat einen geringeren Oberflächeninhalt (\(52\,\text{cm}^2 < 56\,\text{cm}^2\)) und benötigt daher weniger Pappe bei gleichem Volumen.

a) Schachtel A: \(56\,\text{cm}^2\); Schachtel B: \(52\,\text{cm}^2\). b) Schachtel B ist materialsparender, da ihr Oberflächeninhalt kleiner ist und somit weniger Pappe verbraucht wird.

- Berechne zuerst das Volumen für die gewünschte Füllhöhe. - Achte auf die Einheiten: Wie rechnet man Kubikmeter in Liter um? - Wenn du die Gesamtlitermenge durch die Liter pro Minute teilst, erhältst du die Zeit. - Wie viele Minuten hat eine Stunde?

1. Berechnung des Wasservolumens in \(\text{m}^3\): \(V = 10\,\text{m} \cdot 5\,\text{m} \cdot 1{,}6\,\text{m} = 80\,\text{m}^3\). 2. Umrechnung in Liter: \(80\,\text{m}^3 = 80\,000\,\text{l}\). 3. Berechnung der Zeit in Minuten: \(80\,000\,\text{l} : 40\,\text{l}/\text{min} = 2000\,\text{min}\). 4. Umrechnung der Zeit in Stunden und Minuten: \(2000 : 60 = 33\) Rest \(20\). Das entspricht \(33\,\text{Stunden}\) und \(20\,\text{Minuten}\).

a) Das Wasservolumen beträgt \(80\,000\,\text{l}\). b) Es dauert \(33\,\text{Stunden}\) und \(20\,\text{Minuten}\).

- Wie viel Wasser kommt in den 10 Minuten dazu? - Rechne die Litermenge in Kubikmeter um, um sie besser mit den Maßen des Tanks vergleichen zu können. - Überlege, wie die Grundfläche des Tanks mit dem Volumen und der Höhe zusammenhängt. - Was bedeutet „zur Hälfte gefüllt“ für die Starthöhe des Wassers?

1. Berechnung der Grundfläche des Tanks: \(A = 2\,\text{m} \cdot 1{,}5\,\text{m} = 3\,\text{m}^2\). 2. Berechnung des hinzugefügten Volumens: \(V_{\text{zu}} = 10\,\text{min} \cdot 150\,\text{l}/\text{min} = 1500\,\text{l}\). 3. Umrechnung des Volumens in \(\text{m}^3\): \(1500\,\text{l} = 1{,}5\,\text{m}^3\). 4. Berechnung des Höhenzuwachses: \(h_{\text{zu}} = V_{\text{zu}} : A = 1{,}5\,\text{m}^3 : 3\,\text{m}^2 = 0{,}5\,\text{m}\). In Zentimetern: \(0{,}5\,\text{m} = 50\,\text{cm}\). 5. Berechnung der Gesamthöhe: Die Anfangshöhe war die Hälfte der Gesamthöhe, also \(2\,\text{m} : 2 = 1\,\text{m}\). Gesamthöhe = \(1\,\text{m} + 0{,}5\,\text{m} = 1{,}5\,\text{m}\).

a) Der Wasserspiegel ist um \(50\,\text{cm}\) gestiegen. b) Das Wasser steht insgesamt \(1{,}5\,\text{m}\) hoch im Tank.

- In Teil a) sind Volumen und zwei Kantenlängen des Quaders bekannt. - Nutze in Teil b) die angegebene Masse pro Kubikzentimeter zusammen mit dem Volumen. - Achte beim Endergebnis auf die geforderte Masseneinheit.

1. Für den Quader gilt \(V=a\cdot b\cdot c\). Daher ist \(250\,\text{cm}^3=10\,\text{cm}\cdot5\,\text{cm}\cdot c\), also \(c=250:50\,\text{cm}=5\,\text{cm}\). 2. Die Masse beträgt \(250\,\text{cm}^3\cdot19{,}3\,\text{g}/\text{cm}^3=4825\,\text{g}\). 3. Das sind \(4825\,\text{g}:1000=4{,}825\,\text{kg}\).

a) \(c=5\,\text{cm}\) b) \(4{,}825\,\text{kg}\)

- Achte darauf, alle Werte zuerst in die gleiche Einheit (z. B. Zentimeter) umzurechnen. - Wie hängen Kubikdezimeter (\(\text{dm}^3\)) und Kubikzentimeter (\(\text{cm}^3\)) zusammen? - Suche nach einer Zahl, die dreimal mit sich selbst multipliziert das Volumen ergibt.

1. Umrechnung des Volumens von Würfel A in \(\text{cm}^3\): \(0{,}008\,\text{dm}^3 = 0{,}008 \cdot 1000\,\text{cm}^3 = 8\,\text{cm}^3\). 2. Bestimmung der Kantenlänge \(a_A\): Da \(a_A^3 = 8\,\text{cm}^3\), ist \(a_A = 2\,\text{cm}\) (denn \(2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\)). 3. Bestimmung der Kantenlänge \(a_B\) aus dem Oberflächeninhalt: \(6a_B^2 = 54\,\text{cm}^2 \implies a_B^2 = 9\,\text{cm}^2 \implies a_B = 3\,\text{cm}\). 4. Vergleich der Kantenlängen: \(a_B = 3\,\text{cm}\) ist länger als \(a_A = 2\,\text{cm}\). 5. Berechnung des Volumens von Würfel B: \(V_B = (3\,\text{cm})^3 = 27\,\text{cm}^3\). 6. Volumenunterschied: \(V_B - V_A = 27\,\text{cm}^3 - 8\,\text{cm}^3 = 19\,\text{cm}^3\).

Würfel B hat mit \(3\,\text{cm}\) die längere Kante (Würfel A hat nur \(2\,\text{cm}\)). Der Unterschied der Volumina beträgt \(19\,\text{cm}^3\).

- Überlege für Teil a), wie viele Kantenlängen in den Flächeninhalt eines Rechtecks eingehen. - Überlege für Teil b), wie viele Kantenlängen in das Volumen eines Quaders eingehen. - Vergleiche anschließend, wie oft der Streckungsfaktor \(3\) jeweils als Faktor vorkommt.

1. Eine Seitenfläche hat zum Beispiel den Flächeninhalt \(A=ab\). Nach der Verdreifachung gilt \(A_{\text{neu}}=(3a)(3b)=9ab=9A\). Die entsprechende Seitenfläche wird also \(9\)-mal so groß. 2. Für das Volumen gilt \(V=abc\). Nach der Verdreifachung ist \(V_{\text{neu}}=(3a)(3b)(3c)=27abc=27V\). Das Volumen wird also \(27\)-mal so groß. 3. Bei einer Fläche wirken zwei verdreifachte Längen zusammen, beim Volumen drei. Deshalb entstehen die Faktoren \(3^2=9\) und \(3^3=27\).

a) \(9\)-mal b) \(27\)-mal Die Fläche hängt von zwei, das Volumen von drei Kantenlängen ab; deshalb entstehen die Faktoren \(3^2\) und \(3^3\).

- Rechne die Maße am besten zuerst in Dezimeter um, da \(1\,\text{l}\) einem Kubikdezimeter entspricht. - Wie berechnet man die gesamte Außenfläche eines Quaders? - Gibt es einen Unterschied zwischen dem Platzbedarf (Volumen) und dem Materialbedarf (Oberfläche)? - Denke bei der letzten Teilaufgabe an den Verwendungszweck eines Aquariums.

1. Umrechnung der Maße in Dezimeter (dm) für einfachere Rechnung: Aquarium A: \(6\,\text{dm}, 3\,\text{dm}, 4\,\text{dm}\). Aquarium B: \(12\,\text{dm}, 2\,\text{dm}, 3\,\text{dm}\). 2. Berechnung der Oberfläche für Aquarium A: \(O_A = 2 \cdot (6 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + 6 \cdot 4) = 2 \cdot (18 + 12 + 24) = 2 \cdot 54 = 108\,\text{dm}^2\). 3. Berechnung der Oberfläche für Aquarium B: \(O_B = 2 \cdot (12 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 12 \cdot 3) = 2 \cdot (24 + 6 + 36) = 2 \cdot 66 = 132\,\text{dm}^2\). 4. Vergleich: Aquarium B benötigt mit \(132\,\text{dm}^2\) mehr Glas als Aquarium A mit \(108\,\text{dm}^2\). 5. Mögliche Gründe für Aquarium B: Mehr Schwimmstrecke für Fische, passt besser auf schmale Regale, optische Gründe (Panoramablick).

a) Oberfläche A: \(108\,\text{dm}^2\); Oberfläche B: \(132\,\text{dm}^2\). b) Aquarium B benötigt mehr Glas. c) Ein möglicher Grund für Aquarium B ist die größere Länge, die Fischen mehr Platz zum Schwimmen in einer Richtung bietet, oder die geringere Tiefe, wodurch es auf schmalere Möbel passt.

- Was passiert mit einem Produkt, wenn man einen Faktor verdoppelt? - Rechne die Werte am besten erst einmal für den ursprünglichen Quader aus. - Führe die gleichen Rechnungen mit den neuen (verdoppelten) Maßen durch und vergleiche die Ergebnisse. - Gilt deine Beobachtung zur Verdopplung nur für diesen speziellen Quader?

1. Berechnung der Mantelfläche \(M\): \(M = 2(a + b)c = 2 \cdot (3\,\text{cm} + 4\,\text{cm}) \cdot 5\,\text{cm} = 14\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 70\,\text{cm}^2\). 2. Bei Verdopplung der Höhe (\(c = 10\,\text{cm}\)): \(M_{neu} = 14\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} = 140\,\text{cm}^2\). Die Mantelfläche verdoppelt sich. 3. Berechnung des Oberflächeninhalts \(O\): \(O = 2 \cdot (3 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + 4 \cdot 5) = 2 \cdot (12 + 15 + 20) = 2 \cdot 47 = 94\,\text{cm}^2\). 4. Verdopplung aller Kanten (\(6\,\text{cm}, 8\,\text{cm}, 10\,\text{cm}\)): \(O_{neu} = 2 \cdot (6 \cdot 8 + 6 \cdot 10 + 8 \cdot 10) = 2 \cdot (48 + 60 + 80) = 2 \cdot 188 = 376\,\text{cm}^2\). 5. Vergleich: \(376 : 94 = 4\). Der Oberflächeninhalt vervierfacht sich.

a) Die Mantelfläche beträgt \(70\,\text{cm}^2\). Bei Verdopplung der Höhe verdoppelt sich auch die Mantelfläche auf \(140\,\text{cm}^2\). b) Der Oberflächeninhalt beträgt \(94\,\text{cm}^2\). Wenn alle Kanten verdoppelt werden, vervierfacht sich der Oberflächeninhalt auf \(376\,\text{cm}^2\).

- Wie berechnet man das Volumen eines Quaders? - Achte beim Vergleich der Volumina darauf, dass alle Maße in der gleichen Einheit vorliegen. - Wie viele Kubikzentimeter passen in einen Liter? - Wenn du das Volumen und die Grundfläche kennst, wie kannst du dann die Höhe bestimmen?

1. Berechnung des Volumens von Becken 1: \(V_1 = 50\,\text{cm} \cdot 30\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm} = 60\,000\,\text{cm}^3\). 2. Berechnung des Volumens von Becken 2: \(V_2 = 60\,\text{cm} \cdot 25\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm} = 60\,000\,\text{cm}^3\). 3. Vergleich: Beide Becken haben das gleiche Volumen von \(60\,000\,\text{cm}^3\) (bzw. \(60\,\text{dm}^3\) oder \(60\,\text{l}\)). 4. Umrechnung der Wassermenge für Aufgabenteil b): \(45\,\text{l} = 45\,\text{dm}^3 = 45\,000\,\text{cm}^3\). 5. Berechnung der Wasserhöhe im ersten Becken: Die Grundfläche beträgt \(A = 50\,\text{cm} \cdot 30\,\text{cm} = 1500\,\text{cm}^2\). Die Höhe berechnet sich durch \(h = \frac{V_{\text{Wasser}}}{A} = \frac{45000\,\text{cm}^3}{1500\,\text{cm}^2} = 30\,\text{cm}\).

a) Beide Becken haben das gleiche Volumen von \(60\,000\,\text{cm}^3\). b) Das Wasser steht im ersten Becken \(30\,\text{cm}\) hoch.

- Bringe Volumen und Grundkanten zunächst in zueinander passende Einheiten. - Für Teil a) sind Volumen und Grundfläche bekannt. - Überlege in Teil b), zwischen welchen aufeinanderfolgenden Kubikzahlen \(1440\) liegt.

1. Das Volumen ist \(1{,}44\,\text{dm}^3=1440\,\text{cm}^3\), und \(80\,\text{mm}=8\,\text{cm}\). 2. Die Grundfläche des Quaders beträgt \(12\,\text{cm}\cdot8\,\text{cm}=96\,\text{cm}^2\). 3. Die Höhe ist \(1440\,\text{cm}^3:96\,\text{cm}^2=15\,\text{cm}\). 4. Für einen Würfel mit Kantenlänge \(a\) gilt \(V=a^3\). Es ist \(11^3=1331\) und \(12^3=1728\). 5. Da \(1440\) zwischen \(1331\) und \(1728\) liegt, ist \(1440\) keine Kubikzahl. Die Kantenlänge kann daher keine ganze Zahl in Zentimetern sein.

a) \(15\,\text{cm}\) b) Nein. Es gilt \(11^3=1331<1440<1728=12^3\), also ist \(1440\) keine Kubikzahl.

- Was bleibt gleich, wenn das Wasser umgefüllt wird? - Berechne zuerst, wie viel Wasser insgesamt vorhanden ist. - Wie berechnet man die Höhe, wenn das Volumen und die Grundfläche bekannt sind? - Überlege, ob die Form des Gefäßes Einfluss auf die Wassermenge hat.

1. Berechnung des Volumens des vollen Würfels: \(40\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm} = 64\,000\,\text{cm}^3\). 2. Berechnung der Grundfläche des quaderförmigen Beckens: \(50\,\text{cm} \cdot 32\,\text{cm} = 1600\,\text{cm}^2\). 3. Ermittlung der neuen Füllhöhe durch Division des übertragenen Wasservolumens durch die neue Grundfläche: \(64\,000\,\text{cm}^3 : 1600\,\text{cm}^2 = 40\,\text{cm}\).

Das Wasser steht im zweiten Becken \(40\,\text{cm}\) hoch.

- Überlege, wie die Grundfläche und die Höhe mit dem Volumen eines Quaders zusammenhängen. - Wie viel Platz ist im Becken oben noch frei, wenn das Wasser nicht bis zum Rand steht? - Achte auf die Umrechnung von Kubikmetern in Liter.

1. Berechnung des Gesamtvolumens: Da die Grundfläche \(G\) bereits gegeben ist, gilt \(V = G \cdot h\). Also \(V_{\text{gesamt}} = 15\,\text{m}^2 \cdot 2\,\text{m} = 30\,\text{m}^3\). 2. Bestimmung der fehlenden Wasserhöhe: \(2\,\text{m} - 1{,}20\,\text{m} = 0{,}80\,\text{m}\). 3. Berechnung des fehlenden Volumens: \(V_{\text{fehlend}} = 15\,\text{m}^2 \cdot 0{,}80\,\text{m} = 12\,\text{m}^3\). 4. Umrechnung in Liter: \(12\,\text{m}^3 = 12 \cdot 1000\,\text{l} = 12\,000\,\text{l}\).

a) Das maximale Fassungsvermögen beträgt \(30\,\text{m}^3\). b) Es fehlen noch \(12\,000\,\text{l}\) Wasser.

- Überlege zuerst, wie viel Wasser sich im Beckenbereich einer einzelnen Bahn befindet. - Achte bei Teilaufgabe b) darauf, dass alle Maße in der gleichen Einheit (Meter) vorliegen, bevor du rechnest. - Wie ändert sich die Wassertiefe, wenn der Wasserspiegel sinkt?

1. Volumen des Beckenbereichs einer Bahn: \(25\,\text{m} \cdot 2{,}5\,\text{m} \cdot 2\,\text{m} = 125\,\text{m}^3\). 2. Gesamtvolumen des vollständig gefüllten Beckens: \(3 \cdot 125\,\text{m}^3 = 375\,\text{m}^3\). 3. Umrechnung der Absenkung in Meter: \(40\,\text{cm} = 0{,}4\,\text{m}\). 4. Berechnung der neuen Wassertiefe: \(2\,\text{m} - 0{,}4\,\text{m} = 1{,}6\,\text{m}\). 5. Volumen des Beckenbereichs einer Bahn bei reduziertem Wasserstand: \(25\,\text{m} \cdot 2{,}5\,\text{m} \cdot 1{,}6\,\text{m} = 100\,\text{m}^3\). 6. Verbleibendes Gesamtvolumen: \(3 \cdot 100\,\text{m}^3 = 300\,\text{m}^3\).

a) Das gesamte Wasservolumen beträgt \(375\,\text{m}^3\). b) Es befinden sich noch insgesamt \(300\,\text{m}^3\) Wasser im Becken.

- Beginne mit der quadratischen Grundfläche. - In der Oberfläche kommen Grund- und Deckfläche sowie vier gleich große Seitenflächen vor. - Nutze die bekannte Gesamtoberfläche, um die noch unbekannte Kantenlänge zu bestimmen.

1. Die Grundfläche hat den Flächeninhalt \(4\,\text{cm}\cdot4\,\text{cm}=16\,\text{cm}^2\). 2. Für die Oberfläche gilt \(O=2(ab+ac+bc)\). Mit \(a=b=4\,\text{cm}\) ergibt sich \(160\,\text{cm}^2=2\cdot(16+4c+4c)\,\text{cm}^2\). 3. Daraus folgt \(160=32+16c\), also \(c=8\,\text{cm}\). 4. Das Volumen beträgt \(V=abc=4\,\text{cm}\cdot4\,\text{cm}\cdot8\,\text{cm}=128\,\text{cm}^3\).

a) \(16\,\text{cm}^2\) b) \(c=8\,\text{cm}\) c) \(128\,\text{cm}^3\)

- Nutze die schwarzen Umrandungen, um die vollständigen Außenmaße jeder Schachtel zu erkennen. - Zähle anschließend für jede Schachtel die bereits vorhandenen Würfel im Bild. - Vergleiche jeweils vollständige Kapazität und vorhandene Würfelzahl.

1. Schachtel A hat die Kantenlängen \(a=3\), \(b=3\) und \(c=4\) in Einheitskanten. Vollständig gefüllt fasst sie \(3\cdot3\cdot4=36\) Einheitswürfel. 2. Im Bild sind in Schachtel A \(14\) Würfel vorhanden. Es fehlen \(36-14=22\) Würfel. 3. Schachtel B hat die Kantenlängen \(a=5\), \(b=2\) und \(c=3\). Vollständig gefüllt fasst sie \(5\cdot2\cdot3=30\) Einheitswürfel. 4. Im Bild sind in Schachtel B \(10\) Würfel vorhanden. Es fehlen \(30-10=20\) Würfel. 5. Da \(22>20\), fehlen in Schachtel A mehr Würfel.

a) Schachtel A: \(36\) Einheitswürfel; Schachtel B: \(30\) Einheitswürfel b) Schachtel A; dort fehlen \(22\) Würfel.

- Wie viele gleich große Seitenflächen bilden die Oberfläche eines Würfels? - In Teil b) suchst du die Seitenlänge eines Quadrats, dessen Flächeninhalt du aus Teil a) kennst. - Wenn die Kantenlänge feststeht, kannst du daraus das Würfelvolumen bestimmen.

1. Der Würfel hat sechs gleich große Seitenflächen. Daher ist \(A=150\,\text{cm}^2:6=25\,\text{cm}^2\). 2. Für eine quadratische Seitenfläche gilt \(A=a^2\). Weil \(5\,\text{cm}\cdot5\,\text{cm}=25\,\text{cm}^2\), ist \(a=5\,\text{cm}\). 3. Das Volumen beträgt \(V=a^3=(5\,\text{cm})^3=125\,\text{cm}^3\).

a) \(25\,\text{cm}^2\) b) \(a=5\,\text{cm}\) c) \(125\,\text{cm}^3\)

- Identifiziere zuerst die drei Kantenlängen des Quaders aus der Zeichnung. - Überlege für die Oberfläche, wie viele Flächenpaare es gibt. - Wie berechnet man den Rauminhalt eines Quaders, wenn man Länge, Breite und Höhe kennt?

1. Die Kantenlängen des Quaders betragen \(a = 5\,\text{cm}\), \(b = 4\,\text{cm}\) und \(c = 3\,\text{cm}\). 2. Oberflächeninhalt: \(O = 2(ab + bc + ac) = 2 \cdot (5 \cdot 4 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 3) = 2 \cdot (20 + 12 + 15) = 2 \cdot 47 = 94\,\text{cm}^2\). 3. Volumen: \(V = abc = 5\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 60\,\text{cm}^3\).

a) \(O = 94\,\text{cm}^2\) b) \(V = 60\,\text{cm}^3\)

- Für Teil a) überlege, wie oft jede der drei Kantenlängen bei einem Quader vorkommt. - Zerlege die Glasfläche für Teil b) in Boden, Vorder- und Rückseite sowie die beiden übrigen Seitenwände. - Die obere Rechteckfläche gehört nicht zur Glasfläche des offenen Aquariums.

1. Jede der drei Kantenlängen kommt viermal vor. Die Summe aller Kantenlängen ist \(4\cdot(60+30+40)\,\text{cm}=520\,\text{cm}\). 2. Die Bodenfläche beträgt \(60\,\text{cm}\cdot30\,\text{cm}=1800\,\text{cm}^2\). Vorder- und Rückseite haben zusammen \(2\cdot60\,\text{cm}\cdot40\,\text{cm}=4800\,\text{cm}^2\), die beiden übrigen Seiten zusammen \(2\cdot30\,\text{cm}\cdot40\,\text{cm}=2400\,\text{cm}^2\). 3. Da die obere Fläche fehlt, ist die gesamte Glasfläche \(1800+4800+2400=9000\,\text{cm}^2\).

a) \(520\,\text{cm}\) b) \(9000\,\text{cm}^2\)

- Wenn du die Gesamtlänge aller Kanten kennst, wie findest du dann die Länge einer einzelnen Kante heraus? - Wie viele Begrenzungsflächen hat ein Würfel? - Welche Form haben diese Flächen?

1. Ein Würfel hat 12 Kanten. Um die Länge einer einzelnen Kante \(a\) zu finden, teilt man die Gesamtlänge durch 12: \(a = 144\,\text{cm} : 12 = 12\,\text{cm}\). 2. Der Oberflächeninhalt \(O\) berechnet sich mit der Formel \(O = 6a^2\). 3. Einsetzen von \(a = 12\,\text{cm}\): \(O = 6 \cdot (12\,\text{cm})^2 = 6 \cdot 144\,\text{cm}^2 = 864\,\text{cm}^2\).

Der Oberflächeninhalt des Würfels beträgt \(864\,\text{cm}^2\).

- Vergleiche die Formen und Seitenlängen der sechs Rechtecke im Netz. - Suche nach Paaren kongruenter Rechtecke statt nach sechs gleichen Flächen. - Addiere die Flächeninhalte der verschiedenen Rechteckpaare.

1. Bei einem Quader sind die sechs Begrenzungsflächen nicht alle gleich groß. Im Netz erkennt man drei verschiedene Rechtecktypen, die jeweils zweimal vorkommen. 2. Aus den eingezeichneten Kantenlängen ergeben sich die Flächeninhalte \(7\,\text{cm}\cdot4\,\text{cm}=28\,\text{cm}^2\), \(7\,\text{cm}\cdot2\,\text{cm}=14\,\text{cm}^2\) und \(4\,\text{cm}\cdot2\,\text{cm}=8\,\text{cm}^2\). 3. Daher ist \(O=2\cdot28\,\text{cm}^2+2\cdot14\,\text{cm}^2+2\cdot8\,\text{cm}^2=100\,\text{cm}^2\).

Nora behandelt alle sechs Rechtecke fälschlich als gleich groß. Der richtige Oberflächeninhalt beträgt \(100\,\text{cm}^2\).

- Berechne zuerst den Oberflächeninhalt des Körpers, von dem du alle Maße kennst. - Wie hängen die Oberflächeninhalte der beiden Körper zusammen? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der die unbekannte Höhe vorkommt?

1. Umrechnung der Würfelkante in Zentimeter: \(s = 4\,\text{cm}\) 2. Berechnung des Oberflächeninhalts des Würfels: \(O_{\text{Würfel}} = 6s^2 = 6 \cdot (4\,\text{cm})^2 = 6 \cdot 16\,\text{cm}^2 = 96\,\text{cm}^2\) 3. Aufstellen der Gleichung für den Quader: \(96 = 2 \cdot (6 \cdot 2 + 6h + 2h)\) 4. Vereinfachung der Klammer: \(96 = 2(12 + 8h)\) 5. Auflösen nach \(h\): \(48 = 12 + 8h \Rightarrow 36 = 8h \Rightarrow h = 4{,}5\,\text{cm}\)

Die Höhe des Quaders beträgt \(4{,}5\,\text{cm}\).

- Wenn das Volumen und die Grundfläche bekannt sind, wie findet man dann die Höhe? - Überlege dir zuerst, wie viel Platz in einer einzelnen Transportkiste ist. - Wie oft passt das Volumen einer kleinen Kiste in das Gesamtvolumen des Weizens?

1. Maximales Volumen: \(V_{\text{max}} = 8\,\text{m} \cdot 5\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 160\,\text{m}^3\). 2. Berechnung der Füllhöhe: Die Grundfläche beträgt \(G = 8\,\text{m} \cdot 5\,\text{m} = 40\,\text{m}^2\). Die Höhe ergibt sich aus \(h = V : G = 120\,\text{m}^3 : 40\,\text{m}^2 = 3\,\text{m}\). 3. Volumen einer Transportkiste: \(V_{\text{Kiste}} = 1\,\text{m} \cdot 1\,\text{m} \cdot 0{,}5\,\text{m} = 0{,}5\,\text{m}^3\). 4. Anzahl der Kisten: \(120\,\text{m}^3 : 0{,}5\,\text{m}^3/\text{Kiste} = 240\) Kisten.

a) Das maximale Volumen beträgt \(160\,\text{m}^3\). b) Das Getreide steht \(3\,\text{m}\) hoch. c) Es werden \(240\) Kisten benötigt.

- Berechne zuerst den Rauminhalt beider Tonnen in einer einheitlichen Maßeinheit. - Was bedeutet „zur Hälfte gefüllt“ mathematisch für das Volumen? - Wenn du das Volumen und die Grundfläche eines Quaders kennst, wie kannst du die Höhe bestimmen?

1. Berechnung der Volumina: Tonne A: \(60\,\text{cm} \cdot 60\,\text{cm} \cdot 100\,\text{cm} = 360\,000\,\text{cm}^3 = 360\,\text{l}\). Tonne B: \(80\,\text{cm} \cdot 50\,\text{cm} \cdot 100\,\text{cm} = 400\,000\,\text{cm}^3 = 400\,\text{l}\). 2. Vergleich der Füllmengen: Halbe Füllung Tonne A entspricht \(360\,\text{l} : 2 = 180\,\text{l}\). Vergleich: \(180\,\text{l} > 170\,\text{l}\), daher ist in Tonne A mehr Wasser. 3. Berechnung der Wasserhöhe in B: Gegeben \(V = 180\,\text{l} = 180\,000\,\text{cm}^3\). Grundfläche B: \(G = 80\,\text{cm} \cdot 50\,\text{cm} = 4000\,\text{cm}^2\). Höhe \(h = V : G = 180\,000\,\text{cm}^3 : 4000\,\text{cm}^2 = 45\,\text{cm}\).

a) Tonne A fasst \(360\,\text{l}\), Tonne B fasst \(400\,\text{l}\). b) In Tonne A befindet sich mehr Wasser, da \(180\,\text{l} > 170\,\text{l}\). c) Das Wasser würde in Tonne B genau \(45\,\text{cm}\) hoch stehen.

- Erinnere dich an die Umrechnungen für Flächeneinheiten: Wie viele Quadratmeter sind ein Hektar? Wie viele ein Quadratkilometer? - Bringe alle Angaben (Höhen und Flächen) auf die Basiseinheiten Meter und Quadratmeter, bevor du das Volumen berechnest. - Vergleiche am Ende die Ergebnisse in der Einheit Liter.

1. Umrechnung für Gebiet A: Fläche \(4\,\text{ha} = 4 \cdot 10\,000\,\text{m}^2 = 40\,000\,\text{m}^2\). Regenhöhe \(12\,\text{mm} = 0{,}012\,\text{m}\). 2. Volumen A: \(V_A = 40\,000\,\text{m}^2 \cdot 0{,}012\,\text{m} = 480\,\text{m}^3\). In Litern: \(480\,\text{m}^3 \cdot 1000\,\text{l}/\text{m}^3 = 480\,000\,\text{l}\). 3. Umrechnung für Gebiet B: Fläche \(0{,}05\,\text{km}^2 = 0{,}05 \cdot 1\,000\,000\,\text{m}^2 = 50\,000\,\text{m}^2\). Regenhöhe \(0{,}8\,\text{cm} = 0{,}008\,\text{m}\). 4. Volumen B: \(V_B = 50\,000\,\text{m}^2 \cdot 0{,}008\,\text{m} = 400\,\text{m}^3\). In Litern: \(400\,\text{m}^3 \cdot 1000\,\text{l}/\text{m}^3 = 400\,000\,\text{l}\). 5. Vergleich: In Gebiet A fiel mehr Wasser. Unterschied: \(480\,000\,\text{l} - 400\,000\,\text{l} = 80\,000\,\text{l}\).

Im Waldgebiet (Station A) ist mit \(480\,000\,\text{l}\) mehr Wasser gefallen als auf dem Feld (Station B) mit \(400\,000\,\text{l}\). Der Unterschied beträgt \(80\,000\,\text{l}\).

- Achte auf die Einheiten: Wandle Quadratkilometer zuerst in Quadratmeter um. - Wie viele Quadratmeter sind ein Quadratkilometer? - Wenn das gleiche Volumen aus einem kleineren Becken kommt, was passiert dann mit der Wasserhöhe? - Vergleiche das Fassungsvermögen des Reservebeckens mit dem berechneten Wasserverlust.

1. Umrechnung der Wasseroberfläche: \(0{,}4\,\text{km}^2 = 400\,000\,\text{m}^2\). 2. Umrechnung der Höhendifferenz: \(12\,\text{cm} = 0{,}12\,\text{m}\). 3. Verdunstungsvolumen: \(V = 400\,000\,\text{m}^2 \cdot 0{,}12\,\text{m} = 48\,000\,\text{m}^3\). 4. Grundfläche des Reservebeckens: \(100\,\text{m} \cdot 40\,\text{m} = 4000\,\text{m}^2\). 5. Erforderliche Absenkung im Reservebecken: \(h = 48\,000\,\text{m}^3 : 4000\,\text{m}^2 = 12\,\text{m}\). 6. Fassungsvermögen des vollständig gefüllten Reservebeckens: \(4000\,\text{m}^2 \cdot 5\,\text{m} = 20\,000\,\text{m}^3\). Da \(20\,000\,\text{m}^3 < 48\,000\,\text{m}^3\), reicht das Wasser nicht aus.

a) Es sind \(48\,000\,\text{m}^3\) Wasser verdunstet. b) Das Wasser im Reservebecken müsste um \(12\,\text{m}\) sinken. c) Die Aussage ist falsch. Das vollständig gefüllte Reservebecken enthält nur \(20\,000\,\text{m}^3\) Wasser; benötigt werden \(48\,000\,\text{m}^3\).

- Überlege, wie viele Kanten eines Quaders jeweils dieselbe Länge haben. - Nutze die Beziehung zwischen Grundkanten und Höhe, um die gesamte Drahtlänge mit möglichst wenigen Unbekannten zu beschreiben. - Für die Oberfläche brauchst du die Flächeninhalte der drei verschiedenen Rechtecktypen.

1. Sei \(a\) die Kantenlänge der quadratischen Grundfläche und \(c=2a\) die Höhe. Die Gesamtkantenlänge beträgt \(8a+4c\). 2. Mit \(c=2a\) gilt \(120\,\text{cm}=8a+4\cdot2a=16a\). Daher ist \(a=120\,\text{cm}:16=7{,}5\,\text{cm}\). 3. Die Höhe ist \(c=2\cdot7{,}5\,\text{cm}=15\,\text{cm}\). Die drei Kantenlängen sind also \(a=7{,}5\,\text{cm}\), \(b=7{,}5\,\text{cm}\) und \(c=15\,\text{cm}\). 4. Für die Oberfläche gilt \(O=2(ab+ac+bc)\). Damit ist \(O=2\cdot(7{,}5\cdot7{,}5+7{,}5\cdot15+7{,}5\cdot15)\,\text{cm}^2=562{,}5\,\text{cm}^2\).

a) \(7{,}5\,\text{cm}\), \(7{,}5\,\text{cm}\) und \(15\,\text{cm}\) b) \(562{,}5\,\text{cm}^2\)

- Bei Körper A sind Volumen und zwei Kantenlängen bekannt. Welche Größe fehlt in der Volumenformel? - Für den Würfel suchst du eine Kantenlänge, deren dritte Potenz \(216\) ergibt. - Vergleiche in Teil c) die vollständigen Oberflächen beider Körper, nicht nur einzelne Seitenflächen.

1. Für Körper A gilt \(V=a\cdot b\cdot c\). Daher ist \(216\,\text{cm}^3=12\,\text{cm}\cdot6\,\text{cm}\cdot c\), also \(c=216:72\,\text{cm}=3\,\text{cm}\). 2. Für Körper B gilt \(V=a^3\). Da \(6\cdot6\cdot6=216\), beträgt seine Kantenlänge \(6\,\text{cm}\). 3. Die Oberfläche von Körper A ist \(O_A=2(ab+ac+bc)=2\cdot(12\cdot6+12\cdot3+6\cdot3)\,\text{cm}^2=252\,\text{cm}^2\). 4. Die Oberfläche von Körper B ist \(O_B=6a^2=6\cdot(6\,\text{cm})^2=216\,\text{cm}^2\). 5. Weil \(216\,\text{cm}^2<252\,\text{cm}^2\), hat Körper B die kleinere Oberfläche.

a) \(c=3\,\text{cm}\) b) \(6\,\text{cm}\) c) Körper B; \(O_B=216\,\text{cm}^2\) und \(O_A=252\,\text{cm}^2\).

- Suche in Teil a) systematisch nach ganzzahligen Faktorzerlegungen von \(12\). - Bei einer offenen Kiste fehlt genau die Fläche gegenüber dem Boden. - Für Teil c) kann bei derselben Dreierkombination eine andere Kante als Höhe gewählt werden; dadurch ändert sich die Holzfläche.

1. Für das Volumen gilt \(a\cdot b\cdot c=12\,\text{dm}^3\). Die ungeordneten ganzzahligen Kombinationen sind \((12,1,1)\), \((6,2,1)\), \((4,3,1)\) und \((3,2,2)\), jeweils in Dezimetern. 2. Bei Bodenmaßen \(4\,\text{dm}\times3\,\text{dm}\) und Höhe \(1\,\text{dm}\) ist die Bodenfläche \(12\,\text{dm}^2\). Die vier Seitenwände haben zusammen \(2\cdot4\cdot1+2\cdot3\cdot1=14\,\text{dm}^2\). Insgesamt werden \(26\,\text{dm}^2\) Holz benötigt. 3. Für eine offene Kiste mit Bodenmaßen \(a\) und \(b\) sowie Höhe \(c\) gilt \(A=ab+2ac+2bc\). Prüft man bei jeder Kombination die möglichen Höhen, ergeben sich als kleinste Werte \(26\,\text{dm}^2\) für \(4\times3\times1\) und ebenfalls \(26\,\text{dm}^2\) für \(3\times2\times2\). 4. Damit ist die Holzfläche minimal bei einem \(4\,\text{dm}\times3\,\text{dm}\) großen Boden mit \(1\,\text{dm}\) Höhe oder bei einem \(3\,\text{dm}\times2\,\text{dm}\) großen Boden mit \(2\,\text{dm}\) Höhe.

a) \((12,1,1)\), \((6,2,1)\), \((4,3,1)\), \((3,2,2)\), jeweils in Dezimetern b) \(26\,\text{dm}^2\) c) Minimum \(26\,\text{dm}^2\): Boden \(4\,\text{dm}\times3\,\text{dm}\) mit Höhe \(1\,\text{dm}\) oder Boden \(3\,\text{dm}\times2\,\text{dm}\) mit Höhe \(2\,\text{dm}\)

- Stelle sicher, dass du alle Maße in die kleinste vorkommende Einheit umrechnest, bevor du rechnest. - Ein Draht kann mathematisch als ein sehr langer, dünner Quader betrachtet werden. - Wie viele Millimeter sind ein Zentimeter? Wie verändert sich dieser Faktor bei Flächen- und Volumeneinheiten? - Überlege am Ende gut, wie man Millimeter in Meter umrechnet.

1. Berechnung des Volumens des Kupferblocks: \(V = 12\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 720\,\text{cm}^3\). 2. Umrechnung des Volumens in Kubikmillimeter: \(720\,\text{cm}^3 = 720\,000\,\text{mm}^3\). 3. Berechnung der Querschnittsfläche des Drahtes: \(A = 2\,\text{mm} \cdot 2\,\text{mm} = 4\,\text{mm}^2\). 4. Berechnung der Länge \(l\) des Drahtes in mm: \(l = V : A = 720\,000\,\text{mm}^3 : 4\,\text{mm}^2 = 180\,000\,\text{mm}\). 5. Umrechnung der Länge in Meter: \(180\,000\,\text{mm} = 18\,000\,\text{cm} = 180\,\text{m}\).

Der Draht wird eine Länge von \(180\,\text{m}\) haben.

- Welche Glasflächen des Aquariums kommen mit dem Wasser in Berührung? - Ist die Oberseite des Wassers eine Glasfläche? - Welche Höhe musst du für die Berechnung der Seitenwände verwenden: die Höhe des Aquariums oder die Höhe des Wassers? - Skizziere dir das Aquarium und markiere die Flächen, die unter Wasser liegen.

1. Identifikation der benetzten Flächen: Der Boden und die vier Seitenwände bis zur Wasserhöhe. 2. Fläche des Bodens: \(60\,\text{cm} \cdot 30\,\text{cm} = 1800\,\text{cm}^2\). 3. Fläche der beiden langen Seitenwände (bis zur Wasserhöhe): \(2 \cdot (60\,\text{cm} \cdot 20\,\text{cm}) = 2400\,\text{cm}^2\). 4. Fläche der beiden kurzen Seitenwände (bis zur Wasserhöhe): \(2 \cdot (30\,\text{cm} \cdot 20\,\text{cm}) = 1200\,\text{cm}^2\). 5. Summe der benetzten Flächen: \(1800\,\text{cm}^2 + 2400\,\text{cm}^2 + 1200\,\text{cm}^2 = 5400\,\text{cm}^2\).

Die mit Wasser bedeckte Glasfläche beträgt \(5400\,\text{cm}^2\).

- Woraus setzt sich die Oberfläche eines Quaders zusammen? - Kannst du die Flächen berechnen, von denen du bereits beide Seitenlängen kennst? - Wie viel vom Oberflächeninhalt bleibt übrig, wenn du diese bekannten Teilflächen abziehst? - Wie oft kommt die gesuchte Breite in den restlichen Teilflächen vor?

1. Berechnung der Flächeninhalte der beiden Seitenflächen mit bekannten Maßen (\(6\,\text{cm}\) und \(10\,\text{cm}\)): \(2 \cdot (6\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm}) = 120\,\text{cm}^2\). 2. Subtraktion dieser Flächen vom Gesamtoberflächeninhalt: \(280\,\text{cm}^2 - 120\,\text{cm}^2 = 160\,\text{cm}^2\). Dieser Rest verteilt sich auf die zwei Grundflächen und die zwei noch unbekannten Seitenflächen. 3. Aufstellen eines Terms für die verbleibenden Flächen mit der unbekannten Breite \(b\): \(2 \cdot (6\,\text{cm} \cdot b) + 2 \cdot (10\,\text{cm} \cdot b) = (12\,\text{cm} + 20\,\text{cm}) \cdot b = 32\,\text{cm} \cdot b\). 4. Gleichsetzen: \(32\,\text{cm} \cdot b = 160\,\text{cm}^2\). 5. Division durch \(32\,\text{cm}\): \(b = 160\,\text{cm}^2 : 32\,\text{cm} = 5\,\text{cm}\).

Die Breite des Kartons beträgt \(5\,\text{cm}\).

- Erinnere dich an die Formel für die Oberfläche eines Quaders: Sie besteht aus sechs Rechtecken. - Was passiert an der Stelle, an der der Block durchgeschnitten wird? Entstehen dort neue Flächen? - Skizziere dir den Schnitt, um die Maße der kleineren Quader besser zu erkennen.

1. Oberfläche des ursprünglichen Quaders: \(O = 2 \cdot (10\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} + 10\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} + 8\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm}) = 2 \cdot (80 + 60 + 48) = 2 \cdot 188 = 376\,\text{cm}^2\). 2. Maße der neuen Teilquader: Länge \(10\,\text{cm}\), Breite \(8\,\text{cm}\), Höhe \(3\,\text{cm}\). 3. Oberfläche eines Teilquaders: \(O_{Teil} = 2 \cdot (10 \cdot 8 + 10 \cdot 3 + 8 \cdot 3) = 2 \cdot (80 + 30 + 24) = 2 \cdot 134 = 268\,\text{cm}^2\). 4. Summe der Oberflächen beider Teilquader: \(2 \cdot 268\,\text{cm}^2 = 536\,\text{cm}^2\). Alternative: Durch den Schnitt entstehen zwei neue Flächen der Größe \(10\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 80\,\text{cm}^2\). Die Gesamtoberfläche erhöht sich also um \(2 \cdot 80\,\text{cm}^2 = 160\,\text{cm}^2\). \(376 + 160 = 536\,\text{cm}^2\).

a) Die Oberfläche beträgt \(376\,\text{cm}^2\). b) Die Summe der Oberflächen beträgt \(536\,\text{cm}^2\).

- Welche verschiedenen Rechtecktypen erkennst du im Netz, und wie oft kommt jeder Typ vor? - Entscheide, ob du die Flächen zuerst in \(\text{cm}^2\) berechnest oder die Längen vorab in Dezimeter umwandelst. - Welche Einheit muss die Fläche haben, bevor du sie mit der angegebenen Masse pro \(\text{dm}^2\) verknüpfst?

1. Das Netz besteht aus zwei Quadraten mit \(15\,\text{cm}\times15\,\text{cm}\) und vier Rechtecken mit \(60\,\text{cm}\times15\,\text{cm}\). 2. Die Gesamtfläche beträgt \(2\cdot(15\cdot15)+4\cdot(60\cdot15)=4050\,\text{cm}^2\). 3. Es gilt \(4050\,\text{cm}^2=40{,}5\,\text{dm}^2\). 4. Die Masse beträgt \(40{,}5\cdot150\,\text{g}=6075\,\text{g}\). 5. Damit gilt \(6075\,\text{g}=6{,}075\,\text{kg}\).

Die Oberfläche beträgt \(40{,}5\,\text{dm}^2\). Die Masse beträgt \(6075\,\text{g}\) beziehungsweise \(6{,}075\,\text{kg}\).