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- Werden nicht überlappende Teilflächen beim Zusammensetzen addiert oder subtrahiert? - Beide Angaben liegen bereits in derselben Flächeneinheit vor.

1. Die Teilflächen überlappen sich nicht, deshalb werden ihre Flächeninhalte addiert. 2. \(12\,\text{cm}^2+5\,\text{cm}^2=17\,\text{cm}^2\).

Die gesamte Fläche beträgt \(17\,\text{cm}^2\).

- Berechne zuerst die Fläche des äußeren Rechtecks. - Welche Maße hat der rechteckige Ausschnitt? - Der Ausschnitt wird von der äußeren Fläche abgezogen.

1. Das äußere Rechteck ist \(6\,\text{cm}\) breit und \(4\,\text{cm}\) hoch. Seine Fläche beträgt \(6\cdot4=24\,\text{cm}^2\). 2. Der Ausschnitt ist \(2\,\text{cm}\) breit und \(3\,\text{cm}\) hoch. Seine Fläche beträgt \(2\cdot3=6\,\text{cm}^2\). 3. Verbleibend sind \(24\,\text{cm}^2-6\,\text{cm}^2=18\,\text{cm}^2\).

Die verbleibende Fläche beträgt \(18\,\text{cm}^2\).

- Wird die Fläche des Ausschnitts addiert oder von der Gesamtfläche abgezogen? - Beide Angaben sind bereits Flächeninhalte in derselben Einheit.

1. Die Fläche des Ausschnitts wird von der Gesamtfläche abgezogen. 2. \(30\,\text{cm}^2-7\,\text{cm}^2=23\,\text{cm}^2\).

Die verbleibende Fläche beträgt \(23\,\text{cm}^2\).

- Gehören beide durch die Hilfslinie entstandenen Rechtecke zur gesuchten Fläche? - Überdecken sich die beiden Rechtecke an irgendeiner Stelle?

1. Beide Rechtecke gehören vollständig zur L-förmigen Gesamtfläche. 2. Sie überlappen sich nicht. 3. Deshalb werden ihre Flächeninhalte addiert.

Die beiden Rechteckflächen müssen addiert werden.

- Welche Beziehung besteht zwischen Gesamtfläche und den beiden nicht überlappenden Teilflächen? - Welche Umkehroperation hilft, wenn die Gesamtfläche und eine Teilfläche bekannt sind?

1. Die beiden Teilflächen ergeben zusammen \(26\,\text{cm}^2\). 2. Daher ist die fehlende Teilfläche \(26\,\text{cm}^2-11\,\text{cm}^2=15\,\text{cm}^2\) groß.

Die andere Teilfläche beträgt \(15\,\text{cm}^2\).

- Welche Teilflächen gehören zur fertigen Figur dazu? - Welche Teilfläche beschreibt eine Öffnung und muss deshalb mit dem entgegengesetzten Vorzeichen eingehen?

1. Die beiden zur Figur gehörenden Teilflächen werden addiert. 2. Die Öffnung gehört nicht zur verbleibenden Fläche und wird abgezogen. 3. Daher gilt \(A=A_1+A_2-A_3\).

\(A=A_1+A_2-A_3\)

- Aus welchen zwei bekannten geometrischen Formen setzt sich die Wand zusammen? - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Rechtecks? - Wie lautet die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks? - Wie erhältst du das Gesamtergebnis aus den beiden Teilflächen?

1. Berechnung der Fläche des rechteckigen Teils: \(A_1 = ab = 4\,\text{m} \cdot 2{,}5\,\text{m} = 10\,\text{m}^2\). 2. Berechnung der Fläche des dreieckigen Giebels: \(A_2 = \frac{1}{2}gh = \frac{1}{2} \cdot 4\,\text{m} \cdot 1{,}8\,\text{m} = 3{,}6\,\text{m}^2\). 3. Addition der Teilflächen zur Gesamtfläche: \(A_{\text{gesamt}} = 10\,\text{m}^2 + 3{,}6\,\text{m}^2 = 13{,}6\,\text{m}^2\).

Die gesamte Fläche der Giebelseite beträgt \(13{,}6\,\text{m}^2\).

- Ist es einfacher, zuerst alle Längen in dieselbe Einheit umzurechnen oder erst am Ende die Flächen? - Was passiert mit der Gesamtfläche, wenn ein Teil entfernt wird? - Achte darauf, dass du beim Rechnen nur Werte mit der gleichen Einheit kombinierst.

1. Berechnung der Gesamtfläche der Glasplatte: \(80\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm} = 3200\,\text{cm}^2\). 2. Umrechnung der Maße des Ausschnitts in Zentimeter: \(200\,\text{mm} = 20\,\text{cm}\) und \(150\,\text{mm} = 15\,\text{cm}\). 3. Berechnung der Fläche des Ausschnitts: \(20\,\text{cm} \cdot 15\,\text{cm} = 300\,\text{cm}^2\). 4. Subtraktion des Ausschnitts von der Gesamtfläche: \(3200\,\text{cm}^2 - 300\,\text{cm}^2 = 2900\,\text{cm}^2\).

Die verbleibende Glasfläche beträgt \(2900\,\text{cm}^2\).

- Stell dir vor, die Figur wäre ein vollständig ausgefülltes \(5 \times 5\)-Quadrat. - Welche rechteckige Fläche ist ausgespart? - Ziehe die ausgesparte Fläche von der Fläche des äußeren Quadrats ab.

1. Das äußere Quadrat hat die Seitenlänge \(5\). Sein Flächeninhalt beträgt \(5 \cdot 5 = 25\,\text{FE}\). 2. Das ausgesparte Rechteck ist \(4\) Einheiten breit und \(3\) Einheiten hoch. Sein Flächeninhalt beträgt \(4 \cdot 3 = 12\,\text{FE}\). 3. Der Flächeninhalt der orangefarbenen C-Form beträgt \(25 - 12 = 13\,\text{FE}\).

\(13\,\text{FE}\)

- Überlege dir, wie groß die Fläche wäre, wenn kein Loch darin wäre. - Wie viel Fläche geht durch das Loch verloren? - Welche Rechenoperation hilft dir, den Rest zu bestimmen?

1. Berechnung der Fläche der gesamten Glasscheibe (ohne Loch): \(15\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} = 150\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung der Fläche des quadratischen Lochs: \(4\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 16\,\text{cm}^2\). 3. Subtraktion der Lochfläche von der Gesamtfläche: \(150\,\text{cm}^2 - 16\,\text{cm}^2 = 134\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt der blauen Glasfläche beträgt \(134\,\text{cm}^2\).

- Berechne zuerst, wie groß das gesamte Rechteck wäre, wenn es kein Loch hätte. - Berechne dann die Fläche des inneren „Lochs“. - Was musst du tun, um nur die Fläche des Rahmens zu erhalten?

1. Berechnung des Flächeninhalts des äußeren Rechtecks: \(10\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 80\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Flächeninhalts der inneren Aussparung: \(6\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 24\,\text{cm}^2\). 3. Subtraktion der Aussparung von der Gesamtfläche: \(80\,\text{cm}^2 - 24\,\text{cm}^2 = 56\,\text{cm}^2\).

Die Fläche des Bilderrahmens beträgt \(56\,\text{cm}^2\).

- Wie berechnet man die Fläche eines Rechtecks? - Wenn ein Teil aus einer Fläche herausgeschnitten wird, was bedeutet das für die Berechnung? - Berechne zuerst die Fläche des großen Rechtecks und dann die des kleinen.

1. Berechnung des Flächeninhalts der gesamten Scheibe (ohne Loch): \(A_{\text{gesamt}} = 80\,\text{cm} \cdot 50\,\text{cm} = 4000\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Flächeninhalts der Aussparung: \(A_{\text{Loch}} = 30\,\text{cm} \cdot 20\,\text{cm} = 600\,\text{cm}^2\). 3. Subtraktion der Aussparung von der Gesamtfläche: \(4000\,\text{cm}^2 - 600\,\text{cm}^2 = 3400\,\text{cm}^2\).

Die verbleibende Glasfläche beträgt \(3400\,\text{cm}^2\).

- Kannst du die Figur in zwei einfachere Formen zerlegen? - Welche Maße haben die Teilrechtecke?

1. Zerlegung der Figur in zwei Rechtecke: - Rechteck 1: \(3\,\text{cm} \times 6\,\text{cm} \implies A_1 = 18\,\text{cm}^2\). - Rechteck 2: \(3\,\text{cm} \times 3\,\text{cm} \implies A_2 = 9\,\text{cm}^2\). 2. Gesamtfläche: \(A = A_1 + A_2 = 18\,\text{cm}^2 + 9\,\text{cm}^2 = 27\,\text{cm}^2\). Alternativ: Ergänzung zu einem großen Quadrat (\(6 \times 6\)) und Abzug eines Quadrats (\(3 \times 3\)): \(36 - 9 = 27\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt beträgt \(27\,\text{cm}^2\).

- Welche Außenmaße und welche Lochgröße kannst du aus der Abbildung ablesen? - Berechne zunächst die Fläche der vollständigen Platte und die Fläche einer Aussparung getrennt. - Berücksichtige, dass dieselbe Aussparungsfläche zweimal entfernt wird.

1. Aus der Abbildung liest man für die Platte \(30\,\text{cm}\) Länge und \(20\,\text{cm}\) Breite ab. Ihre Fläche ist \(30\,\text{cm}\cdot 20\,\text{cm}=600\,\text{cm}^2\). 2. Jede quadratische Aussparung hat die Seitenlänge \(5\,\text{cm}\) und damit die Fläche \(25\,\text{cm}^2\). 3. Beide Aussparungen zusammen haben die Fläche \(2\cdot 25\,\text{cm}^2=50\,\text{cm}^2\). 4. Verbleibend sind \(600\,\text{cm}^2-50\,\text{cm}^2=550\,\text{cm}^2\).

Die verbleibende Fläche beträgt \(550\,\text{cm}^2\).

- Welche gemeinsame Strecke trennt die Figur in zwei bekannte Flächenformen? - Ordne die im Bild markierten Höhen jeweils dem Trapez und dem Dreieck zu. - Addiere erst ganz am Ende die beiden Teilflächen.

1. Für das Trapez gilt \(A_T=\frac{8\,\text{cm}+4\,\text{cm}}{2}\cdot 3\,\text{cm}=18\,\text{cm}^2\). 2. Für das Dreieck gilt \(A_D=\frac{1}{2}\cdot 4\,\text{cm}\cdot 2\,\text{cm}=4\,\text{cm}^2\). 3. Die beiden Teilflächen überlappen sich nicht. Daher beträgt die Gesamtfläche \(18\,\text{cm}^2+4\,\text{cm}^2=22\,\text{cm}^2\).

Der gesamte Flächeninhalt beträgt \(22\,\text{cm}^2\).

- Welche beiden Teilflächen werden zur Gesamtfigur hinzugefügt? - Welche Teilfläche wird anschließend wieder entfernt? - Welche Flächenformeln brauchst du für Rechteck, Quadrat und Dreieck? - Prüfe am Ende, ob du die ausgeschnittene Fläche wirklich nur einmal abgezogen hast.

1. Das Rechteck hat den Flächeninhalt \(5\,\text{cm}\cdot3\,\text{cm}=15\,\text{cm}^2\). 2. Das Quadrat hat den Flächeninhalt \((2\,\text{cm})^2=4\,\text{cm}^2\). 3. Das ausgeschnittene Dreieck hat den Flächeninhalt \(\frac{1}{2}\cdot1{,}2\,\text{cm}\cdot1{,}5\,\text{cm}=0{,}9\,\text{cm}^2\). 4. Die verbleibende Fläche ist \(15\,\text{cm}^2+4\,\text{cm}^2-0{,}9\,\text{cm}^2=18{,}1\,\text{cm}^2\).

\(A=18{,}1\,\text{cm}^2\)

- Berechne zuerst die Flächeninhalte der beiden geometrischen Formen einzeln. - Wie lautet die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes? - Wie lautet die Formel für ein Parallelogramm? - Um den Prozentsatz zu finden, kannst du den Anteil als Bruch schreiben und diesen auf den Nenner 100 erweitern.

1. Flächeninhalt des Trapezes berechnen: \(A_{\text{Trapez}} = \frac{a + c}{2} \cdot h = \frac{6\,\text{cm} + 4\,\text{cm}}{2} \cdot 3\,\text{cm} = 5\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 15\,\text{cm}^2\) 2. Flächeninhalt des Parallelogramms berechnen: \(A_{\text{Para}} = g \cdot h_g = 4\,\text{cm} \cdot 2{,}5\,\text{cm} = 10\,\text{cm}^2\) 3. Gesamtfläche addieren: \(A_{\text{Gesamt}} = 15\,\text{cm}^2 + 10\,\text{cm}^2 = 25\,\text{cm}^2\) 4. Prozentualen Anteil des Parallelogramms bestimmen: \(\frac{10}{25} = \frac{40}{100} = 40\,\%\)

Der Gesamtflächeninhalt des Logos beträgt \(25\,\text{cm}^2\). Das Parallelogramm nimmt \(40\,\%\) der Gesamtfläche ein.

- Stelle dir vor, wie viel Material insgesamt durch die Quadrate entfernt wird. - Spielt es für die Größe eines Loches eine Rolle, wo genau es sich in der Platte befindet? - Denke an die Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms. - Wie berechnet man den Flächeninhalt von drei gleichen Objekten?

1. Flächeninhalt des Parallelogramms berechnen: \(A_{\text{Para}} = 12\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 96\,\text{cm}^2\) 2. Flächeninhalt eines Quadrats berechnen: \(A_{\text{Quadrat}} = (2{,}5\,\text{cm})^2 = 6{,}25\,\text{cm}^2\) 3. Gesamtfläche der drei Quadrate berechnen: \(3 \cdot 6{,}25\,\text{cm}^2 = 18{,}75\,\text{cm}^2\) 4. Restfläche durch Subtraktion bestimmen: \(96\,\text{cm}^2 - 18{,}75\,\text{cm}^2 = 77{,}25\,\text{cm}^2\) 5. Begründung zur Lage: Der Flächeninhalt ändert sich nicht, da die Größe der abgezogenen Teilflächen gleich bleibt, unabhängig von ihrer Position.

a) Die Restfläche beträgt \(77{,}25\,\text{cm}^2\). b) Nein, der Flächeninhalt ändert sich nicht, da die Größe der entfernten Flächenstücke gleich bleibt, solange sie innerhalb der Platte liegen.

- Wie kannst du die Längen der beiden inneren Seiten herausfinden, indem du die bekannten Außenlängen vergleichst? - Denke daran, dass der Umfang die Summe aller äußeren Begrenzungslinien der Figur ist. - Wie kannst du die L-förmige Terrasse in zwei einfache, rechteckige Flächen aufteilen? - Berechne zuerst die Flächeninhalte der beiden einzelnen Rechtecke und addiere sie anschließend. - Wie viele Packungen benötigst du, wenn eine Packung für eine bestimmte Quadratmeterzahl ausreicht? Runde gegebenenfalls auf die nächste ganze Packung auf.

1. Bestimmung der fehlenden inneren Seitenlängen: - Die Gesamthöhe rechts beträgt \(6\,\text{m}\), die Höhe links beträgt \(3\,\text{m}\). Die innere vertikale Seite ist somit \(6\,\text{m} - 3\,\text{m} = 3\,\text{m}\) lang. - Die Gesamtbreite unten beträgt \(8\,\text{m}\), die Breite oben rechts beträgt \(4\,\text{m}\). Die innere horizontale Seite ist somit \(8\,\text{m} - 4\,\text{m} = 4\,\text{m}\) lang. 2. Berechnung des Umfangs: Addiere alle sechs Seitenlängen der Terrasse: \(\text{Umfang} = 8\,\text{m} + 6\,\text{m} + 4\,\text{m} + 3\,\text{m} + 4\,\text{m} + 3\,\text{m} = 28\,\text{m}\) 3. Berechnung des Flächeninhalts durch Zerlegung in zwei Rechtecke: - Zerlege die Figur horizontal in ein unteres Rechteck der Größe \(8\,\text{m} \times 3\,\text{m}\) und ein oberes Rechteck der Größe \(4\,\text{m} \times 3\,\text{m}\). - \(\text{Fläche 1} = 8\,\text{m} \cdot 3\,\text{m} = 24\,\text{m}^2\) - \(\text{Fläche 2} = 4\,\text{m} \cdot 3\,\text{m} = 12\,\text{m}^2\) - \(\text{Gesamtfläche} = 24\,\text{m}^2 + 12\,\text{m}^2 = 36\,\text{m}^2\) 4. Berechnung der Kosten für die Steinplatten: - Anzahl der benötigten Packungen: \(36\,\text{m}^2 : 2\,\text{m}^2 = 18\) Packungen. - Da \(18\) eine glatte ganze Zahl ist, müssen genau \(18\) Packungen gekauft werden. - Gesamtkosten: \(18 \cdot 34{,}90\,\text{€} = 628{,}20\,\text{€}\)

a) Der Umfang der Terrasse beträgt \(28\,\text{m}\). b) Der Flächeninhalt beträgt \(36\,\text{m}^2\). Herr Schmidt benötigt \(18\) Packungen Steinplatten und muss insgesamt \(628{,}20\,\text{€}\) bezahlen.

- Welche Fläche hätte das vollständige äußere Rechteck ohne Ausschnitt? - Welche beiden Maße des rechteckigen Ausschnitts kannst du direkt aus der Abbildung ablesen? - Vergleiche beim Umfang den Rand der C-Form mit dem Rand des vollständigen Rechtecks: Welche Strecken kommen durch den Ausschnitt zusätzlich hinzu?

1. Das umschließende Rechteck hat den Flächeninhalt \(6\,\text{cm}\cdot 7\,\text{cm}=42\,\text{cm}^2\). 2. Der rechteckige Ausschnitt ist \(4\,\text{cm}\) breit und \(3\,\text{cm}\) hoch. Seine Fläche beträgt \(4\,\text{cm}\cdot 3\,\text{cm}=12\,\text{cm}^2\). 3. Damit ist \(A=42\,\text{cm}^2-12\,\text{cm}^2=30\,\text{cm}^2\). 4. Der Umfang des äußeren \(6\,\text{cm}\times 7\,\text{cm}\)-Rechtecks beträgt \(26\,\text{cm}\). Durch den Ausschnitt wird eine senkrechte Randstrecke der Länge \(3\,\text{cm}\) durch eine gleich lange innere Randstrecke ersetzt; zusätzlich kommen zwei waagerechte Strecken von je \(4\,\text{cm}\) hinzu. 5. Daher ist \(U=26\,\text{cm}+2\cdot 4\,\text{cm}=34\,\text{cm}\).

a) \(30\,\text{cm}^2\) b) \(34\,\text{cm}\)

- Wie kannst du die L-förmige Gesamtfläche in kleinere, einfachere Rechtecke zerlegen? - Gibt es eine Möglichkeit, die Fläche zu berechnen, indem du von einem großen, gedachten Rechteck eine Ecke abziehst? - Was musst du mit der Fläche des Beetes tun, da dieses nicht verfliest wird? - Berechne zuerst die gesamte Terrassenfläche und ziehe dann den nicht verfliesten Bereich ab.

1. **Flächeninhalt der L-förmigen Terrasse (ohne Beet-Abzug):** Man kann die L-Form in zwei Teilrechtecke zerlegen: - Ein linkes Hochkant-Rechteck der Breite \(6\,\text{m}\) und der Höhe \(10\,\text{m}\). Seine Fläche beträgt \(6\,\text{m} \cdot 10\,\text{m} = 60\,\text{m}^2\). - Ein rechtes Quer-Rechteck der Breite \(12\,\text{m} - 6\,\text{m} = 6\,\text{m}\) und der Höhe \(4\,\text{m}\). Seine Fläche beträgt \(6\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 24\,\text{m}^2\). - Die Gesamtfläche der L-Form beträgt \(60\,\text{m}^2 + 24\,\text{m}^2 = 84\,\text{m}^2\). Alternativ kann man die L-Form zu einem großen Rechteck der Maße \(12\,\text{m} \times 10\,\text{m}\) (Fläche \(120\,\text{m}^2\)) ergänzen und die fehlende Ecke der Maße \(6\,\text{m} \times 6\,\text{m}\) (Fläche \(36\,\text{m}^2\)) abziehen: \(120\,\text{m}^2 - 36\,\text{m}^2 = 84\,\text{m}^2\). 2. **Flächeninhalt des Beetes (Loch):** Das Beet hat die Maße \(2\,\text{m} \times 3\,\text{m}\). Seine Fläche beträgt \(2\,\text{m} \cdot 3\,\text{m} = 6\,\text{m}^2\). 3. **Zu verfliesende Fläche:** Von der Gesamtfläche der Terrasse wird die Fläche des Beetes abgezogen: \(84\,\text{m}^2 - 6\,\text{m}^2 = 78\,\text{m}^2\).

Die zu verfliesende Fläche beträgt \(78\,\text{m}^2\).

- Kannst du dir vorstellen, wie groß die Fläche wäre, wenn es kein Loch gäbe? - Wie berechnet man den Flächeninhalt des gesamten äußeren Rechtecks? - Wie berechnet man den Flächeninhalt des inneren Lochs? - Was musst du tun, um den übrig gebliebenen grünen Teil zu berechnen, wenn das Loch ausgeschnitten wird?

1. Berechnung des Flächeninhalts des gesamten äußeren Rechtecks (ohne Aussparung): \(A_{\text{außen}} = 24\,\text{dm} \cdot 18\,\text{dm} = 432\,\text{dm}^2\). 2. Berechnung des Flächeninhalts des inneren rechteckigen Lochs: \(A_{\text{innen}} = 14\,\text{dm} \cdot 8\,\text{dm} = 112\,\text{dm}^2\). 3. Subtraktion des inneren Flächeninhalts vom äußeren Flächeninhalt, um den verbleibenden grünen Flächeninhalt zu erhalten: \(A_{\text{grün}} = 432\,\text{dm}^2 - 112\,\text{dm}^2 = 320\,\text{dm}^2\).

Der Flächeninhalt des verbleibenden grünen Teppichbodens beträgt \(320\,\text{dm}^2\).

- Kannst du die L-förmige Figur in zwei einfache Rechtecke zerlegen? - Welche Maße haben die beiden einzelnen Rechtecke? - Wie berechnest du den Flächeninhalt eines Rechtecks? - Um den Umfang zu bestimmen, musst du alle äußeren Seitenlängen zusammenrechnen. Sind dir alle sechs Seitenlängen bekannt?

1. Zerlegung der L-förmigen Figur in zwei Rechtecke: - Unteres Rechteck mit den Seitenlängen \(8\,\text{m}\) und \(4\,\text{m}\): \(A_1 = 8\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 32\,\text{m}^2\) - Oberes linkes Rechteck mit den Seitenlängen \(5\,\text{m}\) und \(3\,\text{m}\) (da die Gesamthöhe links \(7\,\text{m}\) und die Höhe des unteren Rechtecks \(4\,\text{m}\) beträgt, ist die verbleibende Höhe \(7\,\text{m} - 4\,\text{m} = 3\,\text{m}\)): \(A_2 = 5\,\text{m} \cdot 3\,\text{m} = 15\,\text{m}^2\) 2. Gesamtflächeninhalt: \(A = A_1 + A_2 = 32\,\text{m}^2 + 15\,\text{m}^2 = 47\,\text{m}^2\) 3. Berechnung des Umfangs durch Addition aller sechs Außenkanten: \(U = 8\,\text{m} + 4\,\text{m} + 3\,\text{m} + 3\,\text{m} + 5\,\text{m} + 7\,\text{m} = 30\,\text{m}\)

a) Der Flächeninhalt des Beets beträgt \(47\,\text{m}^2\). b) Es müssen insgesamt \(30\,\text{m}\) Holzleisten gekauft werden.

- Kannst du dir vorstellen, dass der Pool ein großes, ausgefülltes Rechteck ist, aus dem ein kleineres Rechteck herausgeschnitten wurde? - Wenn du das große Rechteck nimmst, welche Maße hat die ausgeschnittene Fläche in der Mitte? - Alternativ kannst du die Form auch in drei kleinere Rechtecke aufteilen. Welche Maße haben diese? - Achte darauf, wie sich die Gesamthöhe aus den einzelnen Abschnitten zusammensetzt.

1. Berechnung über Ergänzung zu einem großen Rechteck: Das umgebende große Rechteck hat die Maße \(10\,\text{m} \times 8\,\text{m}\). Der Flächeninhalt dieses großen Rechtecks beträgt: \(A_{\text{groß}} = 10\,\text{m} \cdot 8\,\text{m} = 80\,\text{m}^2\) 2. Berechnung der ausgeschnittenen Innenfläche: Die rechteckige Aussparung im oberen Bereich hat eine Breite von \(4\,\text{m}\) und eine Höhe von \(5\,\text{m}\). Ihr Flächeninhalt beträgt: \(A_{\text{Innen}} = 4\,\text{m} \cdot 5\,\text{m} = 20\,\text{m}^2\) 3. Berechnung der Poolfläche: Subtrahiert man die Aussparung von der großen Rechtecksfläche, erhält man den Gesamtflächeninhalt: \(A_{\text{Pool}} = A_{\text{groß}} - A_{\text{Innen}} = 80\,\text{m}^2 - 20\,\text{m}^2 = 60\,\text{m}^2\) Alternativer Lösungsweg durch Zerlegung in drei Rechtecke: - Zwei vertikale Seitenbalken von jeweils \(3\,\text{m} \times 8\,\text{m}\): \(2 \cdot (3\,\text{m} \cdot 8\,\text{m}) = 48\,\text{m}^2\) - Ein horizontaler Verbindungsbalken am Boden mit den Maßen \(4\,\text{m} \times 3\,\text{m}\) (da \(8\,\text{m} - 5\,\text{m} = 3\,\text{m}\)): \(4\,\text{m} \cdot 3\,\text{m} = 12\,\text{m}^2\) - Gesamtfläche: \(48\,\text{m}^2 + 12\,\text{m}^2 = 60\,\text{m}^2\)

Der Flächeninhalt des Swimmingpools beträgt \(60\,\text{m}^2\).

- Kannst du die Figur in einfachere Formen wie Rechtecke oder Quadrate zerlegen? - Gibt es eine große äußere Form, von der du ein Stück abziehen kannst? - Vergiss nicht, dass sich in der Mitte ein Loch befindet. Wie beeinflusst das den gesamten Flächeninhalt? - Berechne zuerst den Flächeninhalt der äußeren Figur, bevor du das Loch berücksichtigst. - Welche Maße haben die einzelnen Teile, die du berechnen möchtest?

1. Der äußere Teil der Figur kann in zwei einfache Teilrechtecke zerlegt werden: Ein großes linkes Quadrat mit den Seitenlängen \(6\,\text{cm} \times 6\,\text{cm}\) und ein kleineres rechtes Rechteck mit den Seitenlängen \(2\,\text{cm} \times 3\,\text{cm}\). 2. Der Flächeninhalt des linken Quadrats beträgt: \(A_1 = 6\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 36\,\text{cm}^2\). 3. Der Flächeninhalt des rechten Rechtecks beträgt: \(A_2 = 2\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 6\,\text{cm}^2\). 4. Der gesamte äußere Flächeninhalt (ohne Berücksichtigung des Lochs) beträgt somit: \(A_{\text{außen}} = A_1 + A_2 = 36\,\text{cm}^2 + 6\,\text{cm}^2 = 42\,\text{cm}^2\). 5. Das quadratische Loch in der Mitte hat eine Seitenlänge von \(2\,\text{cm}\). Sein Flächeninhalt beträgt: \(A_{\text{Loch}} = 2\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 4\,\text{cm}^2\). 6. Der gesuchte Flächeninhalt der Figur ergibt sich, indem man den Flächeninhalt des Lochs vom äußeren Flächeninhalt abzieht: \(A = A_{\text{außen}} - A_{\text{Loch}} = 42\,\text{cm}^2 - 4\,\text{cm}^2 = 38\,\text{cm}^2\). Alternativ kann man die äußere Figur zu einem großen Rechteck der Maße \(8\,\text{cm} \times 6\,\text{cm}\) ergänzen (\(A_{\text{gesamt}} = 48\,\text{cm}^2\)) und die oben rechts fehlende Ecke der Maße \(2\,\text{cm} \times 3\,\text{cm}\) (\(A_{\text{Ecke}} = 6\,\text{cm}^2\)) abziehen, um auf \(A_{\text{außen}} = 42\,\text{cm}^2\) zu kommen.

\(38\,\text{cm}^2\)

- Wie kannst du die Figur in zwei nicht überlappende Rechtecke zerlegen? - Welche fehlenden Randlängen lassen sich aus den gesamten Breiten und Höhen bestimmen? - Was musst du nach dem Berechnen des gesamten Umfangs wegen des Tores noch berücksichtigen?

1. Das linke Rechteck ist \(6\,\text{m}\) breit und \(12\,\text{m}\) hoch. Seine Fläche ist \(A_1=6\,\text{m}\cdot 12\,\text{m}=72\,\text{m}^2\). 2. Das rechte Rechteck ist \(15\,\text{m}-6\,\text{m}=9\,\text{m}\) breit und \(5\,\text{m}\) hoch. Seine Fläche ist \(A_2=9\,\text{m}\cdot 5\,\text{m}=45\,\text{m}^2\). 3. Damit ist \(A=72\,\text{m}^2+45\,\text{m}^2=117\,\text{m}^2\). 4. Die fehlende waagerechte Randstrecke ist \(9\,\text{m}\), die fehlende senkrechte Randstrecke \(12\,\text{m}-5\,\text{m}=7\,\text{m}\). 5. Der Umfang beträgt \(U=12\,\text{m}+15\,\text{m}+5\,\text{m}+9\,\text{m}+7\,\text{m}+6\,\text{m}=54\,\text{m}\). 6. Wegen des Tores werden \(54\,\text{m}-3\,\text{m}=51\,\text{m}\) Zaun benötigt.

a) \(117\,\text{m}^2\) b) \(51\,\text{m}\) Zaun

- Der Umfang ist der Weg einmal um die Figur herum. Zähle die Gitterabschnitte der Außenlinie. - Für den Flächeninhalt kannst du die Figur in Rechtecke zerlegen oder sie zu einem größeren Rechteck ergänzen und Teile abziehen. - Achte darauf, beim Umfang keine Teilstrecke zu vergessen, besonders an den einspringenden Ecken. - Das graue Quadrat unten rechts hilft dir, die Größe einer Einheit zu erkennen.

1. Figur 1: - Umfang: Die Kantenlängen werden addiert: \(5 + 2 + 1 + 3 + 3 + 2 + 3 + 3 = 22\,\text{LE}\). - Flächeninhalt: Zerlegung in drei Teilrechtecke. Ein Rechteck links (\(3 \times 3 = 9\,\text{FE}\)), ein Rechteck in der Mitte (\(2 \times 5 = 10\,\text{FE}\)) und ein Rechteck rechts (\(1 \times 3 = 3\,\text{FE}\)). Gesamt: \(9 + 10 + 3 = 22\,\text{FE}\). 2. Figur 2: - Umfang: Die Kantenlängen werden addiert: \(3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 3 = 12\,\text{LE}\). - Flächeninhalt: Zerlegung in drei horizontale Streifen oder Abzählen der Quadrate: \(3 + 2 + 1 = 6\,\text{FE}\).

Figur 1: \(U = 22\,\text{LE}\), \(A = 22\,\text{FE}\). Figur 2: \(U = 12\,\text{LE}\), \(A = 6\,\text{FE}\).

- Manchmal ist es einfacher, eine größere Fläche zu nehmen und etwas wegzunehmen, als viele kleine Teile zusammenzuzählen. - Welches einfache Rechteck umschließt die gesamte Figur? - Welche Form hat die Lücke, die oben in das Rechteck hineinragt?

1. Berechnung des umschreibenden Rechtecks: - Breite = \(6\) Einheiten, Höhe = \(4\) Einheiten. - \(A_{\text{Rechteck}} = 6 \cdot 4 = 24\,\text{FE}\). 2. Berechnung des ausgeschnittenen Dreiecks (der „Kerbe“): - Die Grundseite des Dreiecks liegt oben und ist \(2\) Einheiten lang (von \(x=2\) bis \(x=4\)). - Die Höhe des Dreiecks reicht von \(y=4\) bis \(y=1\), ist also \(3\) Einheiten lang. - \(A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2}gh = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 = 3\,\text{FE}\). 3. Subtraktion: - \(A_{\text{Figur}} = 24 - 3 = 21\,\text{FE}\).

Der Flächeninhalt beträgt \(21\) Flächeneinheiten.

- Welche beiden Längen musst du aus der Abbildung ablesen? - Berechne zunächst die Fläche des vollständigen Parallelogramms und die Fläche des Lochs getrennt. - Welche der beiden Flächen muss am Ende abgezogen werden?

1. Aus der Abbildung liest man für die Grundseite \(g = 20\,\text{cm}\) und für die Seitenlänge des quadratischen Lochs \(s = 4\,\text{cm}\) ab. 2. Die Fläche des Parallelogramms ist \(A_{\text{P}} = gh = 20\,\text{cm}\cdot 15\,\text{cm} = 300\,\text{cm}^2\). 3. Die Fläche des quadratischen Lochs ist \(A_{\text{L}} = s^2 = 4\,\text{cm}\cdot 4\,\text{cm} = 16\,\text{cm}^2\). 4. Verbleibend sind \(300\,\text{cm}^2-16\,\text{cm}^2 = 284\,\text{cm}^2\).

Der verbleibende Flächeninhalt beträgt \(284\,\text{cm}^2\).

- Welche große Rechteckfläche umschließt die gesamte C-Form? - Welche Maße der ausgeschnittenen Rechteckfläche sind direkt in der Abbildung angegeben? - Welche Fläche musst du von der äußeren Rechteckfläche abziehen?

1. Das umschließende Rechteck hat den Flächeninhalt \(9\,\text{dm}\cdot 8\,\text{dm} = 72\,\text{dm}^2\). 2. Die rechteckige Aussparung ist laut Abbildung \(6\,\text{dm}\) breit und \(4\,\text{dm}\) hoch. Ihre Fläche beträgt \(6\,\text{dm}\cdot 4\,\text{dm} = 24\,\text{dm}^2\). 3. Daher hat die Tischplatte den Flächeninhalt \(72\,\text{dm}^2-24\,\text{dm}^2 = 48\,\text{dm}^2\).

Der Flächeninhalt der Tischplatte beträgt \(48\,\text{dm}^2\).

- Zu welcher einfachen Außenfläche kannst du die U-Form ergänzen? - Welche Maße der fehlenden Rechteckfläche sind direkt in der Abbildung markiert? - Welche Fläche muss von der Außenfläche abgezogen werden?

1. Das umschließende Quadrat hat den Flächeninhalt \(10\,\text{m}\cdot 10\,\text{m} = 100\,\text{m}^2\). 2. Die rechteckige Aussparung ist in der Abbildung mit \(4\,\text{m}\) Breite und \(6\,\text{m}\) Höhe angegeben. Ihre Fläche beträgt \(4\,\text{m}\cdot 6\,\text{m} = 24\,\text{m}^2\). 3. Damit ist die Beetfläche \(100\,\text{m}^2-24\,\text{m}^2 = 76\,\text{m}^2\).

Der Flächeninhalt des Blumenbeets beträgt \(76\,\text{m}^2\).

- Aus welchen zwei Rechtecken besteht das T-Stück? - Für den Umfang musst du einmal um die gesamte Figur herumgehen und alle Teilstrecken addieren. - Achte darauf, keine Seite zu vergessen oder doppelt zu zählen.

1. Zerlegung in zwei Rechtecke: Ein oberes Querteil (\(12\,\text{cm} \times 3\,\text{cm}\)) und ein unteres Längsteil (\(4\,\text{cm} \times 5\,\text{cm}\)). 2. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = (12\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm}) + (4\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm}) = 36\,\text{cm}^2 + 20\,\text{cm}^2 = 56\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung des Umfangs durch Addition aller Außenkanten: \(U = 12\,\text{cm} + 3\,\text{cm} + 4\,\text{cm} + 5\,\text{cm} + 4\,\text{cm} + 5\,\text{cm} + 4\,\text{cm} + 3\,\text{cm} = 40\,\text{cm}\).

Der Flächeninhalt beträgt \(56\,\text{cm}^2\) und der Umfang beträgt \(40\,\text{cm}\).

- In welche zwei Rechtecke kannst du die T-Form zerlegen? - Welche Flächen musst du anschließend addieren? - Vergleiche die Gesamtfläche mit der Fläche, die ein Eimer abdeckt. Was bedeutet ein nicht ganzzahliges Ergebnis für die Einkaufsmenge?

1. Die obere Teilfläche ist ein Rechteck mit \(8\,\text{m}\times 3\,\text{m}\). Damit ist \(A_1=8\,\text{m}\cdot 3\,\text{m}=24\,\text{m}^2\). 2. Die untere Teilfläche ist ein Rechteck mit \(3\,\text{m}\times 4\,\text{m}\). Damit ist \(A_2=3\,\text{m}\cdot 4\,\text{m}=12\,\text{m}^2\). 3. Insgesamt ist \(A=24\,\text{m}^2+12\,\text{m}^2=36\,\text{m}^2\). 4. Die benötigte Eimerzahl ist \(36\,\text{m}^2:15\,\text{m}^2=2{,}4\). Da nur ganze Eimer gekauft werden können, werden \(3\) Eimer benötigt.

Der Flächeninhalt beträgt \(36\,\text{m}^2\). Es werden \(3\) Eimer Schutzlack benötigt.

- In welche zwei Rechtecke lässt sich die dargestellte Fläche zerlegen? - Welche Seitenlängen gehören jeweils zu diesen Rechtecken? - Addiere die beiden Teilflächen erst, nachdem du sie getrennt berechnet hast.

1. Das linke Rechteck ist \(8\,\text{m}\) breit und \(4\,\text{m}\) hoch. Seine Fläche beträgt \(A_1=8\,\text{m}\cdot 4\,\text{m}=32\,\text{m}^2\). 2. Das rechte Rechteck ist \(3\,\text{m}\) breit und \(5\,\text{m}\) hoch. Seine Fläche beträgt \(A_2=3\,\text{m}\cdot 5\,\text{m}=15\,\text{m}^2\). 3. Insgesamt ist \(A=32\,\text{m}^2+15\,\text{m}^2=47\,\text{m}^2\).

Der gesamte Flächeninhalt beträgt \(47\,\text{m}^2\).

- Zerlege die Figur in drei senkrechte Rechtecke. - Welche Breiten und Höhen kannst du direkt ablesen, und welche musst du zusammensetzen? - Prüfe, ob die drei Teilbreiten zusammen die gesamte Breite ergeben.

1. Die rechte Stufe ist \(3\,\text{m}\) breit und \(2\,\text{m}\) hoch. Ihre Fläche beträgt \(6\,\text{m}^2\). 2. Die mittlere Stufe ist \(3\,\text{m}\) breit und \(4\,\text{m}\) hoch. Ihre Fläche beträgt \(12\,\text{m}^2\). 3. Die linke Stufe ist \(9\,\text{m}-3\,\text{m}-3\,\text{m}=3\,\text{m}\) breit und \(6\,\text{m}\) hoch. Ihre Fläche beträgt \(18\,\text{m}^2\). 4. Insgesamt ist \(A=6\,\text{m}^2+12\,\text{m}^2+18\,\text{m}^2=36\,\text{m}^2\).

Der gesamte Flächeninhalt beträgt \(36\,\text{m}^2\).

- Welche große Rechteckfläche umschließt die gesamte U-Form? - Welche rechteckige Aussparung wird nicht gepflastert? - Wie erhältst du aus der zu pflasternden Fläche und dem Preis je Quadratmeter die Gesamtkosten?

1. Das umschließende Rechteck hat die Fläche \(8\,\text{m}\cdot 6\,\text{m}=48\,\text{m}^2\). 2. Die rechteckige Aussparung hat die Fläche \(4\,\text{m}\cdot 3\,\text{m}=12\,\text{m}^2\). 3. Die zu pflasternde Fläche beträgt \(48\,\text{m}^2-12\,\text{m}^2=36\,\text{m}^2\). 4. Für die Kosten gilt \(36\,\text{m}^2\cdot 55\,\text{€}:1\,\text{m}^2=1980\,\text{€}\).

Die Gesamtkosten betragen \(1980\,\text{€}\).

- Berechne zuerst die Fläche jedes Grundstücks einzeln. - Bei Grundstück B hilft es, die Figur in zwei einfache Rechtecke zu unterteilen. - Vergleiche die beiden Ergebnisse und ziehe den kleineren Wert vom größeren ab.

1. Flächeninhalt von Grundstück A berechnen: \(22\,\text{m} \cdot 18\,\text{m} = 396\,\text{m}^2\). 2. Flächeninhalt von Grundstück B berechnen (Zerlegung in zwei Rechtecke): Ein Rechteck mit \(25\,\text{m} \cdot 12\,\text{m} = 300\,\text{m}^2\) und ein Rechteck mit \(10\,\text{m} \cdot (20\,\text{m} - 12\,\text{m}) = 10\,\text{m} \cdot 8\,\text{m} = 80\,\text{m}^2\). Gesamtfläche B: \(300\,\text{m}^2 + 80\,\text{m}^2 = 380\,\text{m}^2\). 3. Vergleich der Flächen: Grundstück A (\(396\,\text{m}^2\)) ist größer als Grundstück B (\(380\,\text{m}^2\)). 4. Differenz berechnen: \(396\,\text{m}^2 - 380\,\text{m}^2 = 16\,\text{m}^2\).

Grundstück A ist um \(16\,\text{m}^2\) größer als Grundstück B.

- Suche eine Zerlegung der Figur in zwei Rechtecke ohne Überlappung. - Welche Maße haben die beiden Teilrechtecke? - Wie verbindest du die Gesamtfläche mit dem Preis je Quadratmeter?

1. Die Fläche lässt sich in zwei Rechtecke zerlegen: \(A_1=12\,\text{m}\cdot 5\,\text{m}=60\,\text{m}^2\) und \(A_2=6\,\text{m}\cdot 5\,\text{m}=30\,\text{m}^2\). 2. Insgesamt ist \(A=60\,\text{m}^2+30\,\text{m}^2=90\,\text{m}^2\). 3. Die Kosten betragen \(90\,\text{m}^2\cdot 45\,\text{€}:1\,\text{m}^2=4050\,\text{€}\).

a) \(90\,\text{m}^2\) b) \(4050\,\text{€}\)

- Zerlege die Figur in zwei Rechtecke. - Wie lang ist das Teilstück, für das kein Maß direkt an der Kante steht? - Du kannst fehlende Längen finden, indem du parallele Seiten vergleichst.

1. Zerlegung in zwei Rechtecke: Ein unteres Rechteck \(R_1\) und ein oberes Rechteck \(R_2\). 2. \(R_1\) hat die Maße \(10\,\text{cm} \times 4\,\text{cm}\), also \(A_1 = 40\,\text{cm}^2\). 3. Die Breite von \(R_2\) ist oben mit \(6\,\text{cm}\) gegeben. Die Höhe von \(R_2\) berechnet sich aus der Gesamthöhe links (\(9\,\text{cm}\)) minus der Höhe der ersten Stufe (\(4\,\text{cm}\)): \(9\,\text{cm} - 4\,\text{cm} = 5\,\text{cm}\). 4. \(A_2 = 6\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 30\,\text{cm}^2\). 5. Gesamtfläche: \(A = 40\,\text{cm}^2 + 30\,\text{cm}^2 = 70\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt der Figur beträgt \(70\,\text{cm}^2\).

- Welche Fläche würdest du erhalten, wenn das Blumenbeet nicht vorhanden wäre? - Welche Fläche musst du davon abziehen? - Wie berechnest du anschließend die Kosten aus der tatsächlich zu pflasternden Fläche?

1. Die gesamte rechteckige Fläche beträgt \(10\,\text{m}\cdot 6\,\text{m}=60\,\text{m}^2\). 2. Das Blumenbeet hat die Fläche \(3\,\text{m}\cdot 2\,\text{m}=6\,\text{m}^2\). 3. Zu pflastern sind \(60\,\text{m}^2-6\,\text{m}^2=54\,\text{m}^2\). 4. Die Kosten betragen \(54\,\text{m}^2\cdot 28{,}00\,\text{€}:1\,\text{m}^2=1512{,}00\,\text{€}\).

Die Gesamtkosten betragen \(1512{,}00\,\text{€}\).

- Zerlege die Hauswand in einfache Formen wie Rechtecke und Dreiecke. - Vergiss nicht, dass das Fenster nicht mitgestrichen wird. - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Dreiecks?

1. Berechnung des Flächeninhalts des rechteckigen Teils der Wand: \(A_{\text{Rechteck}} = 8\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 32\,\text{m}^2\). 2. Berechnung des Flächeninhalts des dreieckigen Giebels: \(A_{\text{Giebel}} = \frac{1}{2} \cdot 8\,\text{m} \cdot 3\,\text{m} = 12\,\text{m}^2\). 3. Berechnung des Flächeninhalts des Fensters: \(A_{\text{Fenster}} = 2\,\text{m} \cdot 1{,}5\,\text{m} = 3\,\text{m}^2\). 4. Berechnung der gesamten Wandfläche ohne Fenster: \(A_{\text{Gesamt}} = 32\,\text{m}^2 + 12\,\text{m}^2 - 3\,\text{m}^2 = 41\,\text{m}^2\).

Die zu streichende Wandfläche beträgt \(41\,\text{m}^2\).

- Welche zwei Maße musst du zuerst aus der Abbildung ablesen? - Wie erhältst du aus Gesamthöhe und Rechteckhöhe die Höhe des Dreiecks? - Berechne Rechteck und Dreieck getrennt und addiere ihre Flächen.

1. Aus der Abbildung liest man die Breite \(8\,\text{cm}\) und die Rechteckhöhe \(5\,\text{cm}\) ab. 2. Die Rechteckfläche beträgt \(8\,\text{cm}\cdot 5\,\text{cm} = 40\,\text{cm}^2\). 3. Die Höhe des aufgesetzten Dreiecks ist \(8\,\text{cm}-5\,\text{cm} = 3\,\text{cm}\). Seine Fläche ist \(\frac{1}{2}\cdot 8\,\text{cm}\cdot 3\,\text{cm} = 12\,\text{cm}^2\). 4. Insgesamt ergibt sich \(A = 40\,\text{cm}^2+12\,\text{cm}^2 = 52\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt beträgt \(52\,\text{cm}^2\).

- Kannst du die Figur in zwei einfache Rechtecke unterteilen? - Überlege, wie du fehlende Seitenlängen aus den gegebenen Maßen berechnen kannst. - Der Umfang ist die Länge der äußeren Begrenzungslinie. - Der Flächeninhalt lässt sich auch berechnen, indem man ein großes Rechteck nimmt und die fehlende Ecke abzieht.

1. Zerlegung der Figur: Die Figur kann in zwei Rechtecke zerlegt werden. Zum Beispiel ein linkes Rechteck mit den Seiten \(4\,\text{m}\) und \(5\,\text{m}\) sowie ein rechtes oberes Rechteck mit den Seiten \(3\,\text{m}\) und \(3\,\text{m}\) (da \(7\,\text{m} - 4\,\text{m} = 3\,\text{m}\) und \(5\,\text{m} - 2\,\text{m} = 3\,\text{m}\)). 2. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = 4\,\text{m} \cdot 5\,\text{m} + 3\,\text{m} \cdot 3\,\text{m} = 20\,\text{m}^2 + 9\,\text{m}^2 = 29\,\text{m}^2\). Alternativ durch Ergänzung zum großen Rechteck: \(A = 7\,\text{m} \cdot 5\,\text{m} - 3\,\text{m} \cdot 2\,\text{m} = 35\,\text{m}^2 - 6\,\text{m}^2 = 29\,\text{m}^2\). 3. Berechnung des Umfangs: Summe aller Seitenlängen: \(U = 7\,\text{m} + 3\,\text{m} + 3\,\text{m} + 2\,\text{m} + 4\,\text{m} + 5\,\text{m} = 24\,\text{m}\).

Der Flächeninhalt der Terrasse beträgt \(29\,\text{m}^2\) und der Umfang beträgt \(24\,\text{m}\).

- Welche zwei Rechtecke bilden zusammen die Fläche der Figur? - Für den Umfang brauchst du auch die beiden unbeschrifteten senkrechten Randstücke. Welche Gesamtlänge haben sie zusammen? - Gehe beim Umfang den äußeren Rand einmal vollständig ab und zähle jede Teilstrecke genau einmal.

1. Die Figur besteht aus einem Hauptrechteck mit \(15\,\text{cm}\cdot 10\,\text{cm}\) und einem Vorsprung mit \(5\,\text{cm}\cdot 4\,\text{cm}\). 2. Der Flächeninhalt ist \(A = 15\,\text{cm}\cdot 10\,\text{cm}+5\,\text{cm}\cdot 4\,\text{cm}=170\,\text{cm}^2\). 3. Die beiden nicht beschrifteten senkrechten Randstücke am rechten Rand des Hauptrechtecks sind zusammen \(10\,\text{cm}-4\,\text{cm}=6\,\text{cm}\) lang. 4. Der Umfang ist daher \(U = 15\,\text{cm}+15\,\text{cm}+10\,\text{cm}+5\,\text{cm}+5\,\text{cm}+4\,\text{cm}+6\,\text{cm}=60\,\text{cm}\).

Der Flächeninhalt beträgt \(170\,\text{cm}^2\), der Umfang \(60\,\text{cm}\).

- Kannst du die Figur mit einer Linie in zwei einfache Rechtecke teilen? - Bestimme die fehlenden Seitenlängen der Teilrechtecke. - Addiere am Ende die beiden Einzelflächen.

1. Zerlegung in zwei Rechtecke: Ein unteres Rechteck mit den Maßen \(10\,\text{cm} \times 3\,\text{cm}\) und ein oberes linkes Rechteck. 2. Die Breite des oberen Teils ist \(4\,\text{cm}\). Die Höhe des oberen Teils ist \(7\,\text{cm} - 3\,\text{cm} = 4\,\text{cm}\). 3. Flächeninhalte: \(A_1 = 10\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 30\,\text{cm}^2\) und \(A_2 = 4\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 16\,\text{cm}^2\). 4. Gesamtfläche: \(30\,\text{cm}^2 + 16\,\text{cm}^2 = 46\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt beträgt \(46\,\text{cm}^2\).

- Gehe für den Umfang einmal vollständig um die Figur und addiere alle Teilstrecken. - Du kannst die Fläche berechnen, indem du die beiden Zinnen zur Grundfläche addierst. - Achte darauf, keine Seite doppelt zu zählen oder zu vergessen.

1. Die Figur besteht aus einem unteren Basisrechteck der Größe \(12\,\text{cm} \times 4\,\text{cm}\) und zwei rechteckigen Zinnen der Größe \(2\,\text{cm} \times 3\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = (12 \cdot 4) + 2 \cdot (2 \cdot 3) = 48 + 12 = 60\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung des Umfangs: Die Summe aller Außenkanten ergibt \(12 + 4 + 3 + 2 + 3 + 3 + 3 + 2 + 3 + 3 + 2 + 4 = 44\,\text{cm}\).

Der Flächeninhalt beträgt \(60\,\text{cm}^2\) und der Umfang \(44\,\text{cm}\).

- Kannst du die Figur in zwei einfachere Rechtecke zerlegen? - Überlege dir, wie du die Längen aller Außenkanten zusammenzählst, um den Umfang zu erhalten. - Achte darauf, dass du keine Seite beim Zusammenzählen vergisst oder doppelt nimmst.

1. Berechnung des Flächeninhalts durch Zerlegen in zwei Rechtecke: - Unteres Rechteck: \(10\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 30\,\text{cm}^2\) - Oberes Rechteck: \(4\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 20\,\text{cm}^2\) - Gesamtfläche: \(30\,\text{cm}^2 + 20\,\text{cm}^2 = 50\,\text{cm}^2\) 2. Für den Umfang beträgt die Summe der beiden waagerechten Teilstrecken neben dem Stamm \(10\,\text{cm} - 4\,\text{cm} = 6\,\text{cm}\). Daher: \(U = 10\,\text{cm} + 2 \cdot 3\,\text{cm} + 2 \cdot 5\,\text{cm} + 4\,\text{cm} + 6\,\text{cm} = 36\,\text{cm}\).

Der Flächeninhalt beträgt \(50\,\text{cm}^2\) und der Umfang beträgt \(36\,\text{cm}\).

- Zerlege das L in zwei Rechtecke. - Achte darauf, wie lang die Seiten der Teilrechtecke sind. Musst du eine Seite erst berechnen? - Multipliziere Länge und Breite für jedes Teilrechteck und zähle die Ergebnisse zusammen.

1. Zerlegung der Fläche in zwei Rechtecke: - Rechteck 1 (unten): \(2{,}00\,\text{m} \cdot 0{,}60\,\text{m} = 1{,}20\,\text{m}^2\) - Rechteck 2 (links oben): Die Höhe beträgt \(2{,}50\,\text{m} - 0{,}60\,\text{m} = 1{,}90\,\text{m}\). Die Breite ist \(0{,}60\,\text{m}\). - Fläche 2: \(0{,}60\,\text{m} \cdot 1{,}90\,\text{m} = 1{,}14\,\text{m}^2\) 2. Gesamtfläche: \(1{,}20\,\text{m}^2 + 1{,}14\,\text{m}^2 = 2{,}34\,\text{m}^2\).

Der Flächeninhalt der Arbeitsplatte beträgt \(2{,}34\,\text{m}^2\).

- Wie viel Platz nehmen die beiden äußeren Dreiecke zusammen im Parallelogramm ein? - Kannst du die Gesamtfläche des Parallelogramms berechnen, wenn du die Fläche eines Eckdreiecks kennst?

1. Der Flächeninhalt von \(\triangle ADE\) ist \(\frac{1}{4}\) der Gesamtfläche \(S_{para}\), da die Grundseite \(AE\) halb so groß wie \(AB\) ist. Also \(S_{para} = 4 \cdot 9 = 36\,\text{cm}^2\). 2. Ebenso ist \(S_{FCD} = \frac{1}{4} S_{para} = 9\,\text{cm}^2\), da \(F\) die Mitte von \(BC\) ist. 3. Das Viereck \(EBFD\) hat den Flächeninhalt \(S_{EBFD} = S_{para} - S_{ADE} - S_{FCD} = 36 - 9 - 9 = 18\,\text{cm}^2\).

\(18\,\text{cm}^2\)

- Welche zwei Längenangaben kannst du aus der Abbildung ablesen? - Welche einfachen Teilflächen liegen zwischen dem äußeren und dem inneren Quadrat? - Wie hängt die zweite Kathetenlänge eines Eckdreiecks mit der Seitenlänge des äußeren Quadrats zusammen?

1. Aus der Abbildung liest man die Seitenlänge des äußeren Quadrats \(10\,\text{m}\) und den markierten Abstand \(3\,\text{m}\) ab. Die äußere Fläche beträgt \(10\,\text{m}\cdot 10\,\text{m}=100\,\text{m}^2\). 2. An jeder Ecke bleibt ein rechtwinkliges Dreieck. Dessen Katheten sind \(3\,\text{m}\) und \(10\,\text{m}-3\,\text{m}=7\,\text{m}\) lang. 3. Ein Eckdreieck hat die Fläche \(\frac{1}{2}\cdot 3\,\text{m}\cdot 7\,\text{m}=10{,}5\,\text{m}^2\). Vier solche Dreiecke haben zusammen \(42\,\text{m}^2\). 4. Für die Rasenfläche bleiben \(100\,\text{m}^2-42\,\text{m}^2=58\,\text{m}^2\).

Der Flächeninhalt der Rasenfläche beträgt \(58\,\text{m}^2\).

- Welche zwei äußeren Teilflächen kannst du zunächst addieren? - Welche Fläche gehört nicht zum Material und muss anschließend abgezogen werden? - Achte darauf, die eingezeichneten senkrechten Höhen den richtigen Teilfiguren zuzuordnen.

1. Das Parallelogramm hat den Flächeninhalt \(A_P=8\,\text{m}\cdot 4\,\text{m}=32\,\text{m}^2\). 2. Das aufgesetzte Dreieck hat den Flächeninhalt \(A_D=\frac{1}{2}\cdot 8\,\text{m}\cdot 3\,\text{m}=12\,\text{m}^2\). 3. Die rechteckige Aussparung hat den Flächeninhalt \(A_R=2\,\text{m}\cdot 1\,\text{m}=2\,\text{m}^2\). 4. Damit ist die vorhandene Metallfläche \(32\,\text{m}^2+12\,\text{m}^2-2\,\text{m}^2=42\,\text{m}^2\).

Die tatsächlich vorhandene Metallfläche beträgt \(42\,\text{m}^2\).

- Welche der beiden Teilflächen kannst du aus den gegebenen Maßen vollständig berechnen? - Wie hängt die Gesamtfläche mit den beiden Teilflächen zusammen? - Welche bekannte Rechteckseite gehört zur gesuchten Höhe?

1. Das Trapez hat den Flächeninhalt \(A_T=\frac{6\,\text{cm}+4\,\text{cm}}{2}\cdot3\,\text{cm}=15\,\text{cm}^2\). 2. Für das Rechteck bleiben \(35\,\text{cm}^2-15\,\text{cm}^2=20\,\text{cm}^2\). 3. Die Rechteckbreite beträgt \(4\,\text{cm}\). Daher gilt \(4\,\text{cm}\cdot x=20\,\text{cm}^2\). 4. Somit ist \(x=5\,\text{cm}\).

\(x=5\,\text{cm}\)

- Bringe zuerst alle Längenangaben auf dieselbe Einheit. - Welche zwei Rechtecke ergeben zusammen genau die T-Form? - Zu welchem großen Rechteck könntest du die T-Form ergänzen, und welche Teile fehlen darin?

1. Zuerst werden die gemischten Einheiten vereinheitlicht: \(40\,\text{mm} = 4\,\text{cm}\) und \(30\,\text{mm} = 3\,\text{cm}\). 2. Beim Zerlegen besteht die T-Form aus einem oberen Rechteck mit \(12\,\text{cm}\cdot 3\,\text{cm} = 36\,\text{cm}^2\) und einem unteren Rechteck mit \(4\,\text{cm}\cdot 6\,\text{cm} = 24\,\text{cm}^2\). Zusammen sind das \(60\,\text{cm}^2\). 3. Beim Ergänzen liegt die Figur in einem Rechteck mit \(12\,\text{cm}\cdot 9\,\text{cm} = 108\,\text{cm}^2\). Die beiden fehlenden Rechtecke haben zusammen \(2\cdot 4\,\text{cm}\cdot 6\,\text{cm} = 48\,\text{cm}^2\). Daher bleiben \(108\,\text{cm}^2-48\,\text{cm}^2 = 60\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt beträgt \(60\,\text{cm}^2\). Ein möglicher Rechenweg ist die Zerlegung in den oberen Querbalken und den unteren Stamm. Ein zweiter Rechenweg ist die Ergänzung zu einem umschließenden Rechteck und das Abziehen der beiden fehlenden Rechtecke.