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- Wie viele gleich große Teile entstehen durch die Diagonale? - Wie erhältst du aus der gesamten Rechteckfläche die Fläche eines Teils?

1. Die Diagonale zerlegt das Rechteck in zwei gleich große Dreiecke. 2. \(32\,\text{cm}^2:2=16\,\text{cm}^2\).

Eines der Dreiecke hat den Flächeninhalt \(16\,\text{cm}^2\).

- Verfolge für jede gestrichelte Linie, welche Teilformen nach dem Zerlegen entstehen. - Gesucht ist eine Zerlegung, bei der beide Teilflächen Rechtecke sind.

1. Die Hilfslinie \(p\) verläuft vom inneren Eckpunkt waagerecht bis zum linken Rand. 2. Dadurch entstehen unmittelbar zwei Rechtecke. 3. Die diagonale Linie \(q\) erzeugt keine Zerlegung in zwei Rechtecke.

Die geeignete Hilfslinie ist \(p\).

- Welche einfache Form erhältst du, wenn du die Lücke der U-Form gedanklich auffüllst? - Welche rechteckige Fläche hast du dabei zusätzlich ergänzt?

1. Ergänzt man die U-Form zum äußeren Rechteck, erhält man ein Rechteck mit den Seitenlängen \(8\,\text{cm}\) und \(6\,\text{cm}\). 2. Die fehlende rechteckige Aussparung ist \(3\,\text{cm}\) breit und \(4\,\text{cm}\) hoch. 3. Eine passende Rechnung wäre deshalb \(8\,\text{cm}\cdot6\,\text{cm}-3\,\text{cm}\cdot4\,\text{cm}\).

Äußeres Rechteck: \(8\,\text{cm}\times6\,\text{cm}\); abzuziehendes Rechteck: \(3\,\text{cm}\times4\,\text{cm}\).

- Suche die äußerste linke und rechte Ausdehnung der Figur. - Vergleiche anschließend die tiefste und höchste Lage auf dem Gitter.

1. In horizontaler Richtung reicht die Figur über \(5\) Gittereinheiten. 2. In vertikaler Richtung reicht sie über \(4\) Gittereinheiten. 3. Das kleinste umschließende Rechteck hat daher die Seitenlängen \(5\) und \(4\) Gittereinheiten.

Das umschließende Rechteck ist \(5\times4\) Gittereinheiten groß.

- Betrachte die Begrenzungen links und rechts der gestrichelten Strecke getrennt. - Welche Winkel entstehen dort an der Grundseite?

1. Links der Hilfslinie entsteht ein Rechteck. 2. Rechts der Hilfslinie entsteht ein rechtwinkliges Dreieck.

Die Zerlegung liefert ein Rechteck und ein rechtwinkliges Dreieck.

- Welche Lücke würde rechts entstehen, wenn du die schräge Seitenkante gedanklich senkrecht machen möchtest? - Kann das links abgetrennte Dreieck genau diese Lücke füllen?

1. Das linke Dreieck kann abgeschnitten und an die schräge rechte Seite des Parallelogramms verschoben werden. 2. Dadurch wird die schräge Verschiebung ausgeglichen und es entsteht ein Rechteck mit derselben Grundseite und derselben Höhe wie das Parallelogramm. 3. Beim Verschieben geht keine Fläche verloren; deshalb sind beide Figuren flächengleich.

Das linke Dreieck wird an die rechte Seite verschoben; so entsteht ein flächengleiches Rechteck.

- Wie groß ist die Grundseite des Dreiecks, wenn der Schnitt genau in der Mitte der Seite endet? - Welche Maße des Rechtecks entsprechen der Höhe des Dreiecks? - Gibt es einen einfachen Weg, die Fläche des zweiten Teils zu bestimmen, wenn du die Gesamtfläche bereits kennst?

1. Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks: Die Grundseite entspricht der Hälfte der langen Rechteckseite, also \(30\,\text{cm} : 2 = 15\,\text{cm}\). Die Höhe des Dreiecks entspricht der kurzen Seite des Rechtecks (\(12\,\text{cm}\)). Der Flächeninhalt ist \(A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot 15\,\text{cm} \cdot 12\,\text{cm} = 90\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Flächeninhalts des Trapezes: Die parallelen Seiten sind die volle Rechteckseite (\(30\,\text{cm}\)) und der verbleibende Rest der gegenüberliegenden Seite (\(15\,\text{cm}\)). Die Höhe ist \(12\,\text{cm}\). Der Flächeninhalt ist \(A_{\text{Trapez}} = \frac{30\,\text{cm} + 15\,\text{cm}}{2} \cdot 12\,\text{cm} = 22{,}5\,\text{cm} \cdot 12\,\text{cm} = 270\,\text{cm}^2\). Alternativ: Gesamtfläche \(30\,\text{cm} \cdot 12\,\text{cm} = 360\,\text{cm}^2\) minus Dreiecksfläche \(90\,\text{cm}^2 = 270\,\text{cm}^2\).

Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von \(90\,\text{cm}^2\), das Trapez einen Flächeninhalt von \(270\,\text{cm}^2\).

- Zu welchem einfachen Rechteck kannst du die U-Form ergänzen? - Welche Maße der rechteckigen Aussparung sind in der Abbildung angegeben? - Welche Fläche musst du von der äußeren Rechteckfläche abziehen?

1. Die U-Form lässt sich zu dem äußeren Rechteck mit \(8\,\text{cm}\) Breite und \(5\,\text{cm}\) Höhe ergänzen. Dessen Fläche beträgt \(8\,\text{cm}\cdot 5\,\text{cm}=40\,\text{cm}^2\). 2. Die rechteckige Aussparung ist in der Abbildung mit \(4\,\text{cm}\) Breite und \(3\,\text{cm}\) Höhe angegeben. Ihre Fläche beträgt \(4\,\text{cm}\cdot 3\,\text{cm}=12\,\text{cm}^2\). 3. Der Flächeninhalt der U-Form ist daher \(40\,\text{cm}^2-12\,\text{cm}^2=28\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt beträgt \(28\,\text{cm}^2\).

- Zerlege den Pfeil in einfache geometrische Formen, deren Flächeninhalt du leicht berechnen kannst. - Siehst du ein Rechteck und ein Dreieck in der Figur? - Bestimme die Maße (Breite und Höhe) der einzelnen Teile, indem du die Abstände zwischen den Stiften zählst. - Berechne die Flächeninhalte der Teilflächen einzeln und addiere sie am Ende.

1. Zerlege den Pfeil in einen rechteckigen Schaft und eine dreieckige Pfeilspitze. 2. Der Schaft ist \(2\,\text{cm}\) breit und \(2\,\text{cm}\) hoch. Sein Flächeninhalt beträgt \(A_{\text{Schaft}} = 2\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 4\,\text{cm}^2\). 3. Die Pfeilspitze hat eine Grundseite von \(4\,\text{cm}\) und eine Höhe von \(3\,\text{cm}\). Ihr Flächeninhalt beträgt \(A_{\text{Spitze}} = \frac{1}{2} \cdot 4\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 6\,\text{cm}^2\). 4. Insgesamt gilt: \(A_{\text{Gesamt}} = 4\,\text{cm}^2 + 6\,\text{cm}^2 = 10\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt des Pfeils beträgt \(10\,\text{cm}^2\).

- Kannst du die Figur in einfachere Teilflächen zerlegen, von denen du den Flächeninhalt leicht berechnen kannst? - Versuche, eine waagerechte oder senkrechte Linie in die Figur zu zeichnen, um sie aufzuteilen. - Berechne die Flächeninhalte der kleineren Teile einzeln und überlege, wie du damit den Gesamtflächeninhalt bestimmen kannst.

1. Zerlege die Figur durch eine waagerechte Trennlinie auf Höhe \(y = 3\) in zwei Teilflächen: - Ein Rechteck im unteren Bereich. - Ein Dreieck im oberen Bereich (als Dach). 2. Berechne den Flächeninhalt des Rechtecks: Die Breite beträgt 4 Einheiten, die Höhe beträgt 3 Einheiten. \(A_{\text{Rechteck}} = 4 \cdot 3 = 12\,\text{FE}\). 3. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks: Die Grundseite (Breite) beträgt 4 Einheiten. Die Höhe des Dreiecks beträgt 2 Einheiten (von Höhe 3 bis Höhe 5). \(A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4\,\text{FE}\). 4. Berechne den Gesamtflächeninhalt durch Addition der Teilflächen: \(A_{\text{Gesamt}} = 12\,\text{FE} + 4\,\text{FE} = 16\,\text{FE}\).

Der Flächeninhalt der Figur beträgt \(16\,\text{FE}\).

- Suche nach einer Möglichkeit, die Figur mit einem oder zwei Strichen in Rechtecke zu teilen. - Addiere die Flächeninhalte der Teilstücke.

1. Zerlege die Figur in ein unteres Rechteck der Größe \(3\,\text{cm} \times 2\,\text{cm}\) und ein oberes Rechteck der Größe \(2\,\text{cm} \times 2\,\text{cm}\). 2. Die Teilflächen betragen \(3 \cdot 2 = 6\,\text{cm}^2\) und \(2 \cdot 2 = 4\,\text{cm}^2\). 3. Insgesamt gilt: \(6 + 4 = 10\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt beträgt \(10\,\text{cm}^2\).

- Versuche, die Figuren in einfachere Formen wie Rechtecke oder Quadrate zu zerlegen. - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Dreiecks, wenn man die Grundseite und die Höhe kennt? - Zähle die vollen und halben Kästchen innerhalb der Figuren.

1. Zerlegung von Figur a): Die L-Form kann in ein unteres Rechteck (\(3\,\text{cm} \times 1\,\text{cm}\)) und ein oberes Quadrat (\(1\,\text{cm} \times 1\,\text{cm}\)) zerlegt werden. 2. Berechnung Fläche a): \(3 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 4\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung Fläche b): Das Dreieck hat eine Grundseite von \(4\,\text{cm}\) und eine Höhe von \(2\,\text{cm}\). Die Fläche berechnet sich zu \(\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4\,\text{cm}^2\). 4. Vergleich: Beide Figuren haben trotz ihrer unterschiedlichen Form den exakt gleichen Flächeninhalt von \(4\,\text{cm}^2\).

Beide Figuren haben einen Flächeninhalt von \(4\,\text{cm}^2\). Sie sind also flächengleich.

- Kannst du die Figuren in Rechtecke oder Dreiecke aufteilen, deren Flächeninhalt du leicht berechnen kannst? - Zähle bei Figur a) einfach die Kästchen oder berechne die Flächen der Teilrechtecke. - Erinnere dich bei Figur b) an die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks: \(A = \frac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{Höhe}\). - Du kannst auch ein großes Rechteck um die Figur denken und die überschüssigen Flächen abziehen.

1. Bestimmung des Flächeninhalts von Figur a): Zerlegung in zwei Rechtecke. Das untere Rechteck hat eine Breite von \(4\) und eine Höhe von \(2\) (\(4 \cdot 2 = 8\,\text{FE}\)). Das obere Rechteck hat eine Breite von \(2\) und eine Höhe von \(3\) (\(2 \cdot 3 = 6\,\text{FE}\)). Gesamtinhalt: \(8 + 6 = 14\,\text{FE}\). 2. Bestimmung des Flächeninhalts von Figur b): Zerlegung in ein Rechteck und ein Dreieck. Das Rechteck hat eine Breite von \(4\) und eine Höhe von \(3\) (\(4 \cdot 3 = 12\,\text{FE}\)). Das aufgesetzte Dreieck hat eine Grundseite von \(4\) und eine Höhe von \(3\) (\(\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6\,\text{FE}\)). Gesamtinhalt: \(12 + 6 = 18\,\text{FE}\).

a) Der Flächeninhalt von Figur a) beträgt \(14\,\text{FE}\). Der Flächeninhalt von Figur b) beträgt \(18\,\text{FE}\). b) Figur b) kann zum Beispiel in ein Rechteck (\(4 \times 3\) Kästchen) und ein darauf liegendes Dreieck (Grundseite \(4\), Höhe \(3\)) zerlegt werden.

- Zerlege die Figur in zwei Rechtecke, deren Seiten du leicht zählen kannst. - Du kannst auch ein großes Quadrat um die Figur denken und den fehlenden Teil abziehen. - Zähle die Einheitsquadrate in jedem Teilbereich einzeln.

1. Zerlegung in zwei Rechtecke: Ein unteres Rechteck der Größe \(4 \times 2\) und ein oberes Rechteck der Größe \(2 \times 2\). 2. Berechnung der Teilflächen: \(A_1 = 4 \cdot 2 = 8\,\text{FE}\) und \(A_2 = 2 \cdot 2 = 4\,\text{FE}\). 3. Gesamter Flächeninhalt: \(A = 8 + 4 = 12\,\text{FE}\). 4. Alternativ: Ergänzen zu einem \(4 \times 4\)-Quadrat (\(16\,\text{FE}\)) und Abziehen der leeren Ecke (\(2 \times 2 = 4\,\text{FE}\)): \(16 - 4 = 12\,\text{FE}\).

\(12\,\text{FE}\)

- Überlege dir, wie groß die Platte ohne die Kerbe wäre. - Wie groß ist die Kerbe selbst? - Ziehe die Fläche der Kerbe von der Gesamtfläche ab.

1. Gesamtfläche ohne Kerbe: \(10\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} = 100\,\text{cm}^2\). 2. Fläche der Kerbe: Breite \(2\,\text{cm}\), Höhe \(3\,\text{cm}\). Fläche: \(2\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 6\,\text{cm}^2\). 3. Restliche Fläche: \(100\,\text{cm}^2 - 6\,\text{cm}^2 = 94\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt der Metallplatte beträgt \(94\,\text{cm}^2\).

- Kannst du das Logo in drei senkrechte oder drei waagerechte Rechtecke zerlegen? - Welche Maße haben diese Teilrechtecke? - Prüfe, ob die Summe deiner Teilbreiten der Gesamtbreite von \(6\,\text{cm}\) entspricht.

1. Zerlegung in drei waagerechte Rechtecke: - Unteres Rechteck: \(6\,\text{cm}\) breit, \(1\,\text{cm}\) hoch \(\rightarrow 6 \cdot 1 = 6\,\text{cm}^2\). - Mittleres Rechteck: \(4\,\text{cm}\) breit, \(3\,\text{cm} - 1\,\text{cm} = 2\,\text{cm}\) hoch \(\rightarrow 4 \cdot 2 = 8\,\text{cm}^2\). - Oberes Rechteck: \(2\,\text{cm}\) breit, \(5\,\text{cm} - 3\,\text{cm} = 2\,\text{cm}\) hoch \(\rightarrow 2 \cdot 2 = 4\,\text{cm}^2\). 2. Gesamtfläche: \(6\,\text{cm}^2 + 8\,\text{cm}^2 + 4\,\text{cm}^2 = 18\,\text{cm}^2\). Alternativ: Zerlegung in senkrechte Streifen von je \(2\,\text{cm}\) Breite mit Höhen von \(5\,\text{cm}\), \(3\,\text{cm}\) und \(1\,\text{cm}\). \(2 \cdot 5 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1 = 10 + 6 + 2 = 18\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt des Logos beträgt \(18\,\text{cm}^2\).

- Welche einfache Außenfläche hat das Logo vor dem Aussägen? - Welche Maße der rechteckigen Aussparung sind direkt in der Abbildung angegeben? - Welche Fläche musst du von der Außenfläche abziehen?

1. Die quadratische Ausgangsfläche beträgt \(10\,\text{cm}\cdot 10\,\text{cm}=100\,\text{cm}^2\). 2. Die rechteckige Aussparung ist in der Abbildung mit \(6\,\text{cm}\) Breite und \(8\,\text{cm}\) Höhe angegeben. Ihre Fläche beträgt \(6\,\text{cm}\cdot 8\,\text{cm}=48\,\text{cm}^2\). 3. Für das Logo bleiben \(100\,\text{cm}^2-48\,\text{cm}^2=52\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt des Logos beträgt \(52\,\text{cm}^2\).

- In welche zwei Rechtecke lässt sich das T am einfachsten zerlegen? - Berechne die Fläche des senkrechten Teils. - Berechne die Fläche des waagerechten Teils oben. - Addiere beide Ergebnisse.

1. Zerlegung in zwei Rechtecke: - Ein senkrechter Stamm mit den Maßen \(2\,\text{cm} \times 7\,\text{cm}\). - Ein waagerechter Balken oben mit den Maßen \(8\,\text{cm} \times 2\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Teilflächen: - \(A_{\text{Stamm}} = 2 \cdot 7 = 14\,\text{cm}^2\) - \(A_{\text{Balken}} = 8 \cdot 2 = 16\,\text{cm}^2\) 3. Summe: \(A_{\text{Gesamt}} = 14 + 16 = 30\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt beträgt \(30\,\text{cm}^2\).

- Welche Beziehung zwischen \(BM\) und \(MC\) folgt daraus, dass \(M\) der Mittelpunkt ist? - Welche Höhe haben die Dreiecke \(ABM\) und \(AMC\) gemeinsam? - Was folgt für zwei Dreiecksflächen, wenn ihre Grundseiten gleich lang sind und sie dieselbe Höhe haben?

1. Da \(M\) der Mittelpunkt von \(BC\) ist, gilt \(BM = MC\). 2. Die Dreiecke \(ABM\) und \(AMC\) haben damit gleich lange Grundseiten auf derselben Geraden und dieselbe zugehörige Höhe von \(A\) auf \(BC\). Deshalb sind ihre Flächen gleich groß. 3. Somit ist \(A_{ABC}=2\cdot 18\,\text{cm}^2=36\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt des Dreiecks \(ABC\) beträgt \(36\,\text{cm}^2\).

- Welche Flächenformel kennst du bereits für das ganze Parallelogramm? - Was bewirkt die Diagonale \(DB\) für die beiden entstehenden Dreiecke? - Wie lässt sich „die Hälfte der Parallelogrammfläche“ algebraisch ausdrücken?

1. Das Parallelogramm hat mit der Grundseite \(g\) und der zugehörigen Höhe \(h_g\) den Flächeninhalt \(A_P=gh_g\). 2. Die Diagonale \(DB\) teilt das Parallelogramm in zwei flächengleiche Dreiecke. 3. Das Dreieck \(ABD\) besitzt deshalb die Hälfte der Parallelogrammfläche. 4. Somit gilt \(A_{ABD}=\frac{1}{2}gh_g\).

Die Diagonale teilt das Parallelogramm in zwei flächengleiche Dreiecke. Deshalb ist die Dreiecksfläche halb so groß wie \(gh_g\), also \(A=\frac{1}{2}gh_g\).

- Stelle dir vor, du ziehst eine Linie parallel zu einer der schrägen Seiten des Trapezes. - Wie lang ist die restliche Grundseite, wenn du \(6\,\text{cm}\) für das Parallelogramm „verbrauchst“? - Haben alle Teilfiguren dieselbe Höhe wie das Trapez?

1. Berechnung des Flächeninhalts des Trapezes: \(A_{Trapez} = \frac{1}{2} \cdot (10\,\text{cm} + 6\,\text{cm}) \cdot 4\,\text{cm} = 32\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Flächeninhalts des Parallelogramms: \(A_{Para} = 6\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 24\,\text{cm}^2\). 3. Bestimmung der Grundseite des Dreiecks: \(g_{Drei} = 10\,\text{cm} - 6\,\text{cm} = 4\,\text{cm}\). 4. Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks: \(A_{Drei} = \frac{1}{2} \cdot 4\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 8\,\text{cm}^2\). 5. Addition der Teilflächen: \(24\,\text{cm}^2 + 8\,\text{cm}^2 = 32\,\text{cm}^2\). Dies entspricht dem Gesamtwert.

Der Flächeninhalt des Parallelogramms beträgt \(24\,\text{cm}^2\), der des Dreiecks \(8\,\text{cm}^2\). Die Summe ergibt \(32\,\text{cm}^2\), was exakt dem berechneten Trapezinhalt entspricht.

- Welche kleinsten und größten x- und y-Koordinaten kommen bei den vier Eckpunkten vor? - Welche Teilflächen liegen innerhalb des umschließenden Rechtecks, aber außerhalb des Vierecks? - Wie erhältst du die gesuchte Fläche aus Rechteckfläche und äußeren Teilflächen?

1. Das umschließende Rechteck hat die Eckpunkte \((1|1)\), \((8|1)\), \((8|6)\) und \((1|6)\). 2. Seine Seitenlängen sind \(7\) und \(5\) Längeneinheiten, also beträgt seine Fläche \(7\cdot5=35\) Flächeneinheiten. 3. Die vier äußeren rechtwinkligen Dreiecke haben die Flächeninhalte \(2\), \(4{,}5\), \(5\) und \(4\) Flächeneinheiten. 4. Zusammen haben sie \(2+4{,}5+5+4=15{,}5\) Flächeneinheiten. 5. Für das Viereck bleibt \(35-15{,}5=19{,}5\) Flächeneinheiten.

1. \((1|1)\), \((8|1)\), \((8|6)\), \((1|6)\) 2. \(35\) Flächeneinheiten 3. \(2\), \(4{,}5\), \(5\) und \(4\) Flächeneinheiten 4. \(19{,}5\) Flächeneinheiten

- Versuche dir eine Skizze der Zerlegung zu machen. Wie hängen die Längen auf der unteren Seite zusammen? - Wenn du die Dreiecke an den Seiten wegschneidest, was bleibt in der Mitte übrig? - Du kannst den Flächeninhalt entweder mit der Trapezformel oder durch Addieren der Teilflächen berechnen.

1. Bestimmung der Seite \(c\): Da das Trapez gleichschenklig ist und an beiden Enden der Basis \(a\) jeweils ein Stück von \(2\,\text{cm}\) für die Dreiecke „abgeht“, berechnet sich die obere Seite zu \(c = a - 2 \cdot 2\,\text{cm} = 10\,\text{cm} - 4\,\text{cm} = 6\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Flächeninhalts mit der Trapezformel: \(A = \frac{10\,\text{cm} + 6\,\text{cm}}{2} \cdot 4\,\text{cm}\). 3. Ausrechnen des Ergebnisses: \(A = \frac{16\,\text{cm}}{2} \cdot 4\,\text{cm} = 8\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 32\,\text{cm}^2\). 4. Alternativweg über Teilflächen: Rechteck (\(6\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 24\,\text{cm}^2\)) plus zwei Dreiecke (\(2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 8\,\text{cm}^2\)). Gesamtsumme: \(24\,\text{cm}^2 + 8\,\text{cm}^2 = 32\,\text{cm}^2\).

a) Die Seite \(c\) ist \(6\,\text{cm}\) lang. b) Der Flächeninhalt des Trapezes beträgt \(32\,\text{cm}^2\).

- Welche beiden Seiten des Vierecks verlaufen horizontal? - Wo könntest du senkrechte Hilfslinien einzeichnen, damit Rechtecke und Dreiecke entstehen? - Addiere anschließend die Flächeninhalte der entstandenen Teilfiguren.

1. Die parallelen Seiten \(AB\) und \(CD\) sind \(8\) beziehungsweise \(4\) Längeneinheiten lang; ihr Abstand beträgt \(4\) Längeneinheiten. 2. Eine mögliche Zerlegung besteht aus einem Rechteck mit Seitenlängen \(4\) und \(4\) sowie zwei rechtwinkligen Dreiecken mit Grundseite \(2\) und Höhe \(4\). 3. Die Teilflächen betragen \(16\), \(4\) und \(4\) Flächeneinheiten. 4. Insgesamt ergibt sich \(16+4+4=24\) Flächeneinheiten.

Der Flächeninhalt des Vierecks \(ABCD\) beträgt \(24\) Flächeneinheiten.

- Welche zwei Eckpunkte liegen auf derselben horizontalen Geraden und könnten verbunden werden? - Welche bekannten Flächenformen entstehen durch diese Verbindung? - Bestimme für jede Teilfigur die benötigten Längen aus den Koordinaten.

1. Verbinde \(T\) und \(R\). Dadurch entsteht oben das Dreieck \(TSR\) und unten das Trapez \(PQRT\). 2. Für das Dreieck gilt \(TR=10\) Längeneinheiten und die zugehörige Höhe beträgt \(3\) Längeneinheiten. Daher ist \(A_1=\frac{1}{2}\cdot10\cdot3=15\) Flächeneinheiten. 3. Das Trapez hat die parallelen Seitenlängen \(PQ=6\) und \(TR=10\) sowie die Höhe \(3\). Daher ist \(A_2=\frac{6+10}{2}\cdot3=24\) Flächeneinheiten. 4. Insgesamt beträgt die Fläche \(15+24=39\) Flächeneinheiten.

Der Flächeninhalt des Fünfecks \(PQRST\) beträgt \(39\) Flächeneinheiten.

- Welche kleinsten und größten Koordinaten bestimmen das umschließende Rechteck? - Welche Flächen liegen im Rechteck, aber nicht im Viereck? - Prüfe an jeder Ecke des Rechtecks, ob dort tatsächlich eine abzuziehende Dreiecksfläche entsteht.

1. Das kleinste achsenparallele Rechteck reicht von \(x=2\) bis \(x=8\) und von \(y=2\) bis \(y=7\). Seine Fläche beträgt \(6\cdot5=30\) Flächeneinheiten. 2. Unten rechts liegt ein rechtwinkliges Dreieck mit Fläche \(\frac{1}{2}\cdot6\cdot1=3\) Flächeneinheiten. 3. Oben rechts liegt ein rechtwinkliges Dreieck mit Fläche \(\frac{1}{2}\cdot2\cdot4=4\) Flächeneinheiten. 4. Oben links liegt ein rechtwinkliges Dreieck mit Fläche \(\frac{1}{2}\cdot4\cdot2=4\) Flächeneinheiten. Unten links entsteht kein zusätzliches Dreieck. 5. Damit beträgt der Flächeninhalt des Vierecks \(30-3-4-4=19\) Flächeneinheiten.

Der Flächeninhalt des Vierecks \(KLMN\) beträgt \(19\) Flächeneinheiten.

- Skizziere dir ein Trapez und zeichne eine Diagonale ein. Welche Grundseiten haben die entstandenen Dreiecke? - Haben beide Dreiecke die gleiche Höhe wie das Trapez? - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Trapezes direkt?

1. Die Diagonale zerlegt das Trapez in zwei Dreiecke mit der gleichen Höhe \(h = 4\,\text{cm}\). 2. Berechnung Dreieck 1 (Basis \(a\)): \(A_1 = \frac{1}{2} \cdot 7\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 14\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung Dreieck 2 (Basis \(c\)): \(A_2 = \frac{1}{2} \cdot 3\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 6\,\text{cm}^2\). 4. Summe der Teilflächen: \(14\,\text{cm}^2 + 6\,\text{cm}^2 = 20\,\text{cm}^2\). 5. Berechnung mit der Trapezformel \(A = \frac{a+c}{2} \cdot h\): \(\frac{7\,\text{cm} + 3\,\text{cm}}{2} \cdot 4\,\text{cm} = 5\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 20\,\text{cm}^2\). 6. Vergleich: Beide Wege führen zum selben Ergebnis von \(20\,\text{cm}^2\).

Die Flächeninhalte der Dreiecke sind \(14\,\text{cm}^2\) und \(6\,\text{cm}^2\). Ihre Summe ergibt \(20\,\text{cm}^2\). Die Trapezformel liefert mit \(\frac{7+3}{2} \cdot 4 = 20\) dasselbe Ergebnis.

- Welche Fläche bleibt für das Beet übrig, wenn du die Gesamtfläche des Grundstücks kennst? - Das Beet ist ein rechtwinkliges Dreieck. Welche Seite des Rechtecks dient hier als Höhe? - Überlege dir die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks und setze die bekannten Werte ein.

1. Berechnung des gesamten Flächeninhalts des Rechtecks: \(A_{\text{Gesamt}} = 24\,\text{m} \cdot 10\,\text{m} = 240\,\text{m}^2\). 2. Berechnung der Fläche des Blumenbeets durch Subtraktion: \(A_{\text{Beet}} = 240\,\text{m}^2 - 190\,\text{m}^2 = 50\,\text{m}^2\). 3. Bestimmung der Grundseite \(g\) des Dreiecks: Da die Höhe \(h = 10\,\text{m}\) bekannt ist, gilt \(50\,\text{m}^2 = \frac{1}{2} \cdot g \cdot 10\,\text{m}\). Dies führt zu \(50 = 5g\), also \(g = 10\,\text{m}\).

Der Flächeninhalt des Blumenbeets beträgt \(50\,\text{m}^2\). Die Grundseite des Dreiecks entlang der gegenüberliegenden langen Seite ist \(10\,\text{m}\) lang.

- Berechne zuerst den Flächeninhalt für beide Fälle getrennt. - Achte genau darauf, welche Seite jeweils halbiert wird und welche Seite als Höhe dient. - Was fällt dir beim Vergleich der Ergebnisse auf?

1. Berechnung für Rechteck A: Die Grundseite des Dreiecks ist die Hälfte der langen Seite (\(g_A = 5\,\text{cm}\)), die Höhe ist die kurze Seite (\(h_A = 6\,\text{cm}\)). Flächeninhalt \(A_A = \frac{1}{2} \cdot 5\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 15\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung für Rechteck B: Die Grundseite des Dreiecks ist die Hälfte der kurzen Seite (\(g_B = 3\,\text{cm}\)), die Höhe ist die lange Seite (\(h_B = 10\,\text{cm}\)). Flächeninhalt \(A_B = \frac{1}{2} \cdot 3\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} = 15\,\text{cm}^2\). 3. Ergebnis: Beide Dreiecke haben denselben Flächeninhalt. Begründung: In beiden Fällen wird für die Dreiecksgrundseite eine Rechteckseite halbiert, während die jeweils andere Rechteckseite die Höhe bildet. Daher ist das Produkt aus Grundseite und Höhe in beiden Fällen gleich (\(5 \cdot 6 = 3 \cdot 10 = 30\)).

Beide Dreiecke haben denselben Flächeninhalt von \(15\,\text{cm}^2\). Obwohl die Form der Dreiecke unterschiedlich ist, bleibt das Produkt aus Grundseite und Höhe (\(5 \cdot 6 = 30\) und \(3 \cdot 10 = 30\)) gleich.

- Wo könntest du eine waagerechte Hilfslinie einzeichnen, damit zwei bekannte Figuren entstehen? - Welche Höhe hat das Dreieck oberhalb des Rechtecks? - Berechne beide Teilflächen getrennt und addiere sie anschließend.

1. Eine waagerechte Hilfslinie auf Höhe der rechten Seite zerlegt die Figur in ein Rechteck und ein rechtwinkliges Dreieck. 2. Das Rechteck ist \(12\,\text{m}\) breit und \(3\,\text{m}\) hoch. Daher ist \(A_1=12\,\text{m}\cdot 3\,\text{m}=36\,\text{m}^2\). 3. Das Dreieck hat die Grundseite \(g=12\,\text{m}\) und die zugehörige Höhe \(h_g=6\,\text{m}-3\,\text{m}=3\,\text{m}\). Daher ist \(A_2=\frac{1}{2}\cdot 12\,\text{m}\cdot 3\,\text{m}=18\,\text{m}^2\). 4. Insgesamt ist \(A=36\,\text{m}^2+18\,\text{m}^2=54\,\text{m}^2\).

\(54\,\text{m}^2\)

- In welche zwei nicht überlappenden Rechtecke kannst du die T-Form zerlegen? - Welche Maße haben diese beiden Rechtecke laut Abbildung? - Wie verbindest du die Gesamtfläche mit dem Preis je Quadratmeter?

1. Das obere Rechteck ist \(10\,\text{m}\) breit und \(3\,\text{m}\) hoch. Seine Fläche ist \(A_1=10\,\text{m}\cdot 3\,\text{m}=30\,\text{m}^2\). 2. Das untere Rechteck ist \(4\,\text{m}\) breit und \(5\,\text{m}\) hoch. Seine Fläche ist \(A_2=4\,\text{m}\cdot 5\,\text{m}=20\,\text{m}^2\). 3. Insgesamt ist \(A=30\,\text{m}^2+20\,\text{m}^2=50\,\text{m}^2\). 4. Die Teppichkosten betragen \(50\,\text{m}^2\cdot 18\,\text{€}:1\,\text{m}^2=900\,\text{€}\).

a) \(50\,\text{m}^2\) b) \(900\,\text{€}\)

- Betrachte die weggesägten Bereiche als Rechtecke. - Welche fehlende Höhe erhältst du aus der gesamten Seitenlänge und den beiden beschrifteten vertikalen Teilstrecken? - Welche fehlenden Breiten kannst du aus der Gesamtbreite und den waagerechten Teilstrecken bestimmen?

1. Die quadratische Ausgangsplatte hat den Flächeninhalt \(12\,\text{cm}\cdot 12\,\text{cm}=144\,\text{cm}^2\). 2. Die Höhe des unteren rechten Ausschnitts ist nicht direkt beschriftet. Aus den vertikalen Teilstrecken folgt \(12\,\text{cm}-5\,\text{cm}-4\,\text{cm}=3\,\text{cm}\). Seine Breite ist \(12\,\text{cm}-7\,\text{cm}=5\,\text{cm}\), also beträgt seine Fläche \(15\,\text{cm}^2\). 3. Der mittlere rechte Ausschnitt ist \(12\,\text{cm}-7\,\text{cm}-3\,\text{cm}=2\,\text{cm}\) breit und \(5\,\text{cm}\) hoch. Seine Fläche beträgt \(10\,\text{cm}^2\). 4. Der Abfall hat damit den Flächeninhalt \(15\,\text{cm}^2+10\,\text{cm}^2=25\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt des Abfalls beträgt \(25\,\text{cm}^2\).

- Nutze die Symmetrie der Figur: Was bedeutet es für das rechte Teilstück, wenn das linke \(3\,\text{m}\) breit ist? - Wie kannst du die U-Form geschickt in drei Rechtecke aufteilen? - Welche Maße haben diese einzelnen Rechtecke? - Wie viele Quadratmeter Rasenfläche hast du insgesamt ermittelt?

1. Bestimmung der fehlenden Maße durch Symmetrie: Die Breite des rechten Teilstücks beträgt ebenfalls \(3\,\text{m}\). Die Breite des mittleren Ausschnitts beträgt \(10\,\text{m} - 3\,\text{m} - 3\,\text{m} = 4\,\text{m}\). Die Höhe des unteren Teilstücks beträgt \(8\,\text{m} - 6\,\text{m} = 2\,\text{m}\). 2. Zerlegung der Fläche in drei Rechtecke und Berechnung der Teilflächen: Zwei äußere Rechtecke mit jeweils \(3\,\text{m} \cdot 8\,\text{m} = 24\,\text{m}^2\) und ein mittleres unteres Verbindungsstück mit \(4\,\text{m} \cdot 2\,\text{m} = 8\,\text{m}^2\). 3. Berechnung des Gesamtflächeninhalts: \(A_{\text{gesamt}} = 24\,\text{m}^2 + 24\,\text{m}^2 + 8\,\text{m}^2 = 56\,\text{m}^2\). 4. Berechnung der Anzahl der Düngersäcke bei einer Reichweite von \(8\,\text{m}^2\) pro Sack: \(\frac{56\,\text{m}^2}{8\,\text{m}^2} = 7\).

Es müssen \(7\) Säcke Rasendünger gekauft werden.

- Kannst du die T-Form in einfachere geometrische Formen zerlegen, deren Flächeninhalt du leicht berechnen kannst? - Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Figur zu zerlegen. Versuche, sie entweder waagerecht in zwei Rechtecke oder senkrecht in drei Rechtecke zu teilen. - Um den Umfang zu berechnen, musst du die Längen aller äußeren Begrenzungslinien addieren. - Fehlen dir Kantenlängen? Nutze die Symmetrie der Figur, um die Längen der unbeschrifteten Kanten zu bestimmen.

1. Zerlegung in Rechtecke: - Möglichkeit 1: Wir zerlegen die T-Figur in einen oberen waagerechten Balken und einen unteren senkrechten Balken. - Der obere Balken hat eine Länge von \(10\,\text{m}\) und eine Breite von \(2\,\text{m}\). Seine Fläche beträgt: \(A_1 = 10\,\text{m} \cdot 2\,\text{m} = 20\,\text{m}^2\) - Der untere Balken hat eine Breite von \(6\,\text{m}\) und eine Höhe von \(4\,\text{m}\). Seine Fläche beträgt: \(A_2 = 6\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 24\,\text{m}^2\) - Der Gesamtflächeninhalt ist: \(A = A_1 + A_2 = 20\,\text{m}^2 + 24\,\text{m}^2 = 44\,\text{m}^2\) - Möglichkeit 2: Wir zerlegen die T-Figur vertikal in drei Rechtecke (links, mitte, rechts). - Das linke Rechteck hat die Maße \(2\,\text{m} \times 2\,\text{m}\) mit der Fläche \(A_{\text{links}} = 4\,\text{m}^2\). - Das rechte Rechteck hat ebenfalls die Maße \(2\,\text{m} \times 2\,\text{m}\) mit der Fläche \(A_{\text{rechts}} = 4\,\text{m}^2\). - Das mittlere Rechteck hat eine Breite von \(6\,\text{m}\) und eine Gesamthöhe von \(4\,\text{m} + 2\,\text{m} = 6\,\text{m}\). Seine Fläche ist \(A_{\text{mitte}} = 6\,\text{m} \cdot 6\,\text{m} = 36\,\text{m}^2\). - Der Gesamtflächeninhalt ist: \(A = 4\,\text{m}^2 + 4\,\text{m}^2 + 36\,\text{m}^2 = 44\,\text{m}^2\) 2. Berechnung des Umfangs: - Die Längen aller Außenkanten der Figur müssen addiert werden. - Da die Figur symmetrisch ist, sind die unbeschrifteten Kanten ebenfalls bekannt: Die linke vertikale Kante ist \(4\,\text{m}\) lang und die linke horizontale Kante unter dem Flügel ist \((10\,\text{m} - 6\,\text{m}) : 2 = 2\,\text{m}\) lang. - Der Gesamtumfang beträgt: \(U = 6\,\text{m} + 4\,\text{m} + 2\,\text{m} + 2\,\text{m} + 10\,\text{m} + 2\,\text{m} + 2\,\text{m} + 4\,\text{m} = 32\,\text{m}\)

a) Der Flächeninhalt der Terrasse beträgt \(44\,\text{m}^2\). b) Für die Beeteinfassung werden \(32\,\text{m}\) benötigt.

- Für die Fläche kannst du die U-Form zu einem großen Rechteck ergänzen und die rechteckige Nische abziehen. - Welche Gesamtlänge haben die beiden oberen waagerechten Randstücke zusammen? - Welcher Abschnitt des Umfangs wird wegen des Durchgangs nicht eingezäunt?

1. Das umschließende Rechteck hat die Fläche \(10\,\text{m}\cdot 6\,\text{m}=60\,\text{m}^2\). Die rechteckige Nische hat die Fläche \(4\,\text{m}\cdot 3\,\text{m}=12\,\text{m}^2\). 2. Damit beträgt die Platzfläche \(60\,\text{m}^2-12\,\text{m}^2=48\,\text{m}^2\). 3. Die beiden oberen waagerechten Randstücke sind zusammen \(10\,\text{m}-4\,\text{m}=6\,\text{m}\) lang. Der gesamte Umfang beträgt \(U=10\,\text{m}+2\cdot 6\,\text{m}+6\,\text{m}+4\,\text{m}+2\cdot 3\,\text{m}=38\,\text{m}\). 4. Wegen des Durchgangs werden \(38\,\text{m}-2\,\text{m}=36\,\text{m}\) Zaun benötigt.

a) \(48\,\text{m}^2\) b) \(36\,\text{m}\) Zaun

- Wandle zuerst alle Längen in dieselbe Einheit um. - Welche Fläche erhältst du, wenn du die U-Form zu einem Rechteck ergänzt? - In welche drei Rechtecke lässt sich die U-Form alternativ zerlegen?

1. Zuerst werden die gemischten Einheiten vereinheitlicht: \(80\,\text{mm}=8\,\text{cm}\) und \(20\,\text{mm}=2\,\text{cm}\). 2. Beim Ergänzen hat das umschließende Rechteck die Fläche \(10\,\text{cm}\cdot 8\,\text{cm}=80\,\text{cm}^2\). Die Aussparung ist \(10\,\text{cm}-2\,\text{cm}-2\,\text{cm}=6\,\text{cm}\) breit und \(5\,\text{cm}\) tief, also \(30\,\text{cm}^2\) groß. Damit bleiben \(50\,\text{cm}^2\). 3. Beim Zerlegen ist der untere Balken \(10\,\text{cm}\) breit und \(8\,\text{cm}-5\,\text{cm}=3\,\text{cm}\) hoch, also \(30\,\text{cm}^2\) groß. Die beiden oberen Säulen haben zusammen die Fläche \(2\cdot 2\,\text{cm}\cdot 5\,\text{cm}=20\,\text{cm}^2\). Zusammen ergeben sich ebenfalls \(50\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt beträgt \(50\,\text{cm}^2\). Ein Rechenweg ist die Ergänzung zum äußeren Rechteck und das Abziehen der Aussparung. Ein zweiter Rechenweg ist die Zerlegung in den unteren Balken und die beiden oberen Säulen.

- Kannst du die Figur zu einem vollständigen Rechteck oder Quadrat ergänzen? - Welche einfache geometrische Form musst du von dem großen Rechteck abziehen, um den Flächeninhalt der Figur zu erhalten? - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks? - Alternativ kannst du versuchen, die Figuren mit senkrechten oder waagerechten Linien in Rechtecke und rechtwinklige Dreiecke zu zerlegen.

1. Berechnung des Flächeninhalts von Figur A: Die Figur A kann zu einem Quadrat der Größe \(5\,\text{cm} \times 5\,\text{cm}\) mit einer Fläche von \(25\,\text{cm}^2\) ergänzt werden. Dabei wird eine dreieckige Ecke oben rechts mit den Kathetenlängen \(2\,\text{cm}\) und \(2\,\text{cm}\) hinzugefügt. Der Flächeninhalt dieses rechtwinkligen Dreiecks beträgt \(\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\,\text{cm}^2\). Der Flächeninhalt von Figur A ist somit \(25 - 2 = 23\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Flächeninhalts von Figur B: Die Figur B kann zu einem Rechteck der Größe \(6\,\text{cm} \times 4\,\text{cm}\) mit einer Fläche von \(24\,\text{cm}^2\) ergänzt werden. Dabei wird eine dreieckige Ecke unten links mit den Kathetenlängen \(2\,\text{cm}\) und \(2\,\text{cm}\) hinzugefügt. Der Flächeninhalt dieses rechtwinkligen Dreiecks beträgt \(\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\,\text{cm}^2\). Der Flächeninhalt von Figur B ist somit \(24 - 2 = 22\,\text{cm}^2\). Alternativ kann Figur B durch eine vertikale Linie bei \(x = 2\) zerlegt werden in ein linkes Trapez mit der Fläche \(\frac{2 + 4}{2} \cdot 2 = 6\,\text{cm}^2\) und ein rechtes Quadrat mit der Fläche \(4 \cdot 4 = 16\,\text{cm}^2\), was ebenfalls \(6 + 16 = 22\,\text{cm}^2\) ergibt. 3. Vergleich der beiden Figuren: Figur A ist größer als Figur B. Der Unterschied beträgt \(23 - 22 = 1\,\text{cm}^2\).

a) Der Flächeninhalt von Figur A beträgt \(23\,\text{cm}^2\). b) Der Flächeninhalt von Figur B beträgt \(22\,\text{cm}^2\). c) Figur A ist um \(1\,\text{cm}^2\) größer als Figur B.

- Kannst du Linien in die Figuren einzeichnen, um sie in bekannte Formen wie Rechtecke, Quadrate oder Dreiecke aufzuteilen? - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Rechtecks und wie den eines Dreiecks? - Achte bei den Dreiecken genau auf die Längen der Grundseiten und die dazugehörigen Höhen im Gitternetz. - Addiere am Ende einfach die Flächeninhalte aller Teilflächen einer Figur, um das Gesamtergebnis zu erhalten.

1. **Figur A (Haus-Form):** Wir zerlegen die Figur in ein Rechteck unten und ein Dreieck oben: - Das Rechteck hat eine Breite von \(4\,\text{cm}\) und eine Höhe von \(2\,\text{cm}\): \(A_{\text{Rechteck}} = 4\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 8\,\text{cm}^2\). - Das Dreieck hat eine Grundseite von \(4\,\text{cm}\) und eine Höhe von \(2\,\text{cm}\): \(A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot 4\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 4\,\text{cm}^2\). - Gesamtflächeninhalt: \(8\,\text{cm}^2 + 4\,\text{cm}^2 = 12\,\text{cm}^2\). 2. **Figur B (Pfeil-Form):** Wir zerlegen den Pfeil in einen rechteckigen Schaft und eine dreieckige Spitze: - Das Rechteck (Schaft) hat eine Breite von \(3\,\text{cm}\) und eine Höhe von \(2\,\text{cm}\): \(A_{\text{Rechteck}} = 3\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 6\,\text{cm}^2\). - Das Dreieck (Spitze) hat eine vertikale Grundseite der Länge \(4\,\text{cm}\) (von \(y=0\) bis \(y=4\)) und eine horizontale Höhe von \(2\,\text{cm}\) (von \(x=3\) bis \(x=5\)): \(A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot 4\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 4\,\text{cm}^2\). - Gesamtflächeninhalt: \(6\,\text{cm}^2 + 4\,\text{cm}^2 = 10\,\text{cm}^2\). 3. **Figur C (Fünfeck):** Wir zerlegen die Figur in ein großes Rechteck rechts und einen kleinen Bereich links: - Das rechte Rechteck erstreckt sich von \(x=1\) bis \(x=4\) und von \(y=0\) bis \(y=3\). Es hat eine Breite von \(3\,\text{cm}\) und eine Höhe von \(3\,\text{cm}\): \(A_{\text{Rechteck}} = 3\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 9\,\text{cm}^2\). - Der linke Teil (von \(x=0\) bis \(x=1\)) kann in ein kleines Quadrat der Größe \(1\,\text{cm} \times 1\,\text{cm}\) unten und ein rechtwinkliges Dreieck mit einer Grundseite von \(2\,\text{cm}\) und einer Höhe von \(1\,\text{cm}\) darüber zerlegt werden: \(A_{\text{Quadrat}} = 1\,\text{cm} \cdot 1\,\text{cm} = 1\,\text{cm}^2\). \(A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot 2\,\text{cm} \cdot 1\,\text{cm} = 1\,\text{cm}^2\). - Gesamtflächeninhalt: \(9\,\text{cm}^2 + 1\,\text{cm}^2 + 1\,\text{cm}^2 = 11\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt von Figur A beträgt \(12\,\text{cm}^2\), von Figur B \(10\,\text{cm}^2\) und von Figur C \(11\,\text{cm}^2\).

- Welche bekannten Teilfiguren erkennst du im Schiff? - Bei welcher Figur ist es einfacher, zuerst ein umschließendes Rechteck zu betrachten? - Nutze das Stiftraster, um Grundseiten und Höhen in Zentimetern abzulesen.

1. Das Schiff lässt sich in einen trapezförmigen Rumpf und ein Dreieck zerlegen. Der Rumpf hat die Fläche \(\frac{4\,\text{cm}+6\,\text{cm}}{2}\cdot 2\,\text{cm}=10\,\text{cm}^2\). Das Dreieck hat die Fläche \(\frac{1}{2}\cdot 1\,\text{cm}\cdot 3\,\text{cm}=1{,}5\,\text{cm}^2\). Zusammen sind das \(11{,}5\,\text{cm}^2\). 2. Die Krone kann zu einem Rechteck mit \(4\,\text{cm}\cdot 3\,\text{cm}=12\,\text{cm}^2\) ergänzt werden. Zwei Dreiecke mit jeweils \(\frac{1}{2}\cdot 2\,\text{cm}\cdot 2\,\text{cm}=2\,\text{cm}^2\) werden abgezogen. Es bleiben \(8{,}0\,\text{cm}^2\).

a) \(11{,}5\,\text{cm}^2\) b) \(8{,}0\,\text{cm}^2\)

- Kannst du Figur A in ein Rechteck in der Mitte und zwei Dreiecke an den Seiten zerlegen? - Lässt sich Figur B in zwei einfache Rechtecke aufteilen? - Berechne den Flächeninhalt jedes Teils einzeln und addiere sie für die jeweilige Figur. - Vergleiche die beiden Endergebnisse miteinander.

1. Flächeninhalt von Figur A: Figur A lässt sich in ein mittleres Rechteck mit Breite \(2\,\text{LE}\) und Höhe \(3\,\text{LE}\) sowie zwei rechtwinklige Dreiecke mit Grundseite \(1\,\text{LE}\) und Höhe \(3\,\text{LE}\) zerlegen. Die Teilflächen betragen \(2 \cdot 3 = 6\,\text{FE}\) sowie zweimal \(\frac{1 \cdot 3}{2} = 1{,}5\,\text{FE}\). Insgesamt gilt: \(6 + 1{,}5 + 1{,}5 = 9\,\text{FE}\). 2. Flächeninhalt von Figur B: Figur B lässt sich in ein linkes Rechteck mit Breite \(2\,\text{LE}\) und Höhe \(4\,\text{LE}\) sowie ein Quadrat mit Seitenlänge \(1\,\text{LE}\) zerlegen. Die Teilflächen betragen \(2 \cdot 4 = 8\,\text{FE}\) und \(1 \cdot 1 = 1\,\text{FE}\). Insgesamt gilt: \(8 + 1 = 9\,\text{FE}\). 3. Beide Figuren haben denselben Flächeninhalt von \(9\,\text{FE}\).

a) Der Flächeninhalt von Figur A beträgt \(9\,\text{FE}\). b) Der Flächeninhalt von Figur B beträgt \(9\,\text{FE}\). c) Beide Figuren haben denselben Flächeninhalt (\(9\,\text{FE}\)).

- Schau dir die Figur an. Kannst du eine vertikale oder horizontale Linie ziehen, um sie in zwei einfachere Formen (wie Rechtecke, Quadrate oder Dreiecke) zu unterteilen? - Für den zweiten Weg: Stell dir vor, die Figur wäre ein vollständiges Rechteck. Welches Teilstück fehlt, um dieses Rechteck vollzumachen? - Berechne den Flächeninhalt des großen Rechtecks und ziehe das fehlende Teilstück ab. - Überprüfe, ob beide Rechenwege denselben Flächeninhalt ergeben.

1. **Weg 1: Zerlegen der Figur** Wir können die Figur durch eine vertikale Linie bei \(x = 3\) in zwei Teilflächen zerlegen: - Eine rechte Teilfläche: Ein Rechteck mit der Breite 2 (von \(x = 3\) bis \(x = 5\)) und der Höhe 3 (von \(y = 0\) bis \(y = 3\)). \(\text{A}_1 = 2 \cdot 3 = 6\,\text{FE}\) - Eine linke Teilfläche: Ein Trapez mit den parallelen vertikalen Seiten der Längen 1 (bei \(x = 1\) von \(y = 0\) bis \(y = 1\)) und 3 (bei \(x = 3\) von \(y = 0\) bis \(y = 3\)) und der Höhe 2 (von \(x = 1\) bis \(x = 3\)). \(\text{A}_2 = \frac{1 + 3}{2} \cdot 2 = 4\,\text{FE}\) - Gesamtflächeninhalt durch Addition: \(\text{A}_{\text{gesamt}} = \text{A}_1 + \text{A}_2 = 6 + 4 = 10\,\text{FE}\) 2. **Weg 2: Ergänzen der Figur** Wir umschließen die Figur mit einem großen Rechteck, das die Eckpunkte \((1|0)\), \((5|0)\), \((5|3)\) und \((1|3)\) besitzt. - Das umschließende Rechteck hat die Breite 4 und die Höhe 3. \(\text{A}_{\text{Rechteck}} = 4 \cdot 3 = 12\,\text{FE}\) - Um den Flächeninhalt der Figur zu erhalten, müssen wir das nicht zur Figur gehörende, rechtwinklige Dreieck oben links abziehen. Dieses Dreieck hat die Eckpunkte \((1|1)\), \((3|3)\) und \((1|3)\). Seine Katheten haben die Längen 2 und 2. \(\text{A}_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\,\text{FE}\) - Gesamtflächeninhalt durch Subtraktion: \(\text{A}_{\text{gesamt}} = \text{A}_{\text{Rechteck}} - \text{A}_{\text{Dreieck}} = 12 - 2 = 10\,\text{FE}\) 3. **Vergleich:** Beide Wege führen zum selben Ergebnis von \(10\,\text{FE}\).

a) Durch Zerlegen erhält man ein Rechteck mit \(6\,\text{FE}\) und ein Trapez mit \(4\,\text{FE}\). Der Gesamtflächeninhalt beträgt \(10\,\text{FE}\). b) Durch Ergänzen zu einem \(4 \times 3\)-Rechteck (\(12\,\text{FE}\)) und Abzug eines Dreiecks (\(2\,\text{FE}\)) erhält man ebenfalls \(10\,\text{FE}\). c) Beide Methoden liefern denselben Flächeninhalt von \(10\,\text{FE}\).

- Kannst du die Figur in einfachere Formen zerlegen, deren Flächeninhalt du leicht berechnen kannst? - Welche geometrischen Grundformen wie Rechtecke oder Dreiecke kannst du in der Rakete erkennen? - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Rechtecks und eines Dreiecks? - Zähle die Gitterabstände ab, um die Längen der Seiten für deine Berechnung zu bestimmen.

1. Zerlegung der Rakete in vier Teilflächen: - Ein zentrales Rechteck (Körper) mit einer Breite von \(2\,\text{cm}\) und einer Höhe von \(4\,\text{cm}\). Flächeninhalt: \(A_1 = 2\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 8\,\text{cm}^2\). - Ein Dreieck oben (Spitze) mit einer Grundseite von \(2\,\text{cm}\) und einer Höhe von \(2\,\text{cm}\). Flächeninhalt: \(A_2 = \frac{1}{2} \cdot 2\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 2\,\text{cm}^2\). - Zwei kleine, rechtwinklige Dreiecke unten (Flügel) mit jeweils einer Grundseite von \(1\,\text{cm}\) und einer Höhe von \(1\,\text{cm}\). Flächeninhalt eines Flügels: \(A_3 = A_4 = \frac{1}{2} \cdot 1\,\text{cm} \cdot 1\,\text{cm} = 0{,}5\,\text{cm}^2\). 2. Addition der Teilflächen zur Bestimmung des gesamten Flächeninhalts: \(A_{\text{gesamt}} = 8\,\text{cm}^2 + 2\,\text{cm}^2 + 0{,}5\,\text{cm}^2 + 0{,}5\,\text{cm}^2 = 11\,\text{cm}^2\).

Der gesamte Flächeninhalt der Rakete beträgt \(11\,\text{cm}^2\).

- Zerlege das Trapez in ein Rechteck und zwei Dreiecke, um den Inhalt leichter zu finden. - Nutze für die anderen Figuren die bekannten Flächenformeln. - Achte beim Ablesen der Längen genau auf die Abstände zwischen den Stiften des Geobretts.

1. Flächeninhalt Trapez (a): Grundseiten \(a = 4\), \(c = 2\), Höhe \(h = 2\). Fläche \(A = \frac{4+2}{2} \cdot 2 = 6\). 2. Flächeninhalt Dreieck (b): Grundseite \(g = 4\), Höhe \(h = 3\). Fläche \(A = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6\). 3. Flächeninhalt Rechteck (c): Seiten \(3\) und \(2\). Fläche \(A = 3 \cdot 2 = 6\). 4. Flächeninhalt Dreieck (d): Grundseite \(g = 3\), Höhe \(h = 3\). Fläche \(A = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 4{,}5\). 5. Vergleich: Die Figuren b) und c) haben denselben Flächeninhalt wie Figur a).

Die Figuren b) und c) haben denselben Flächeninhalt wie Figur a) (jeweils \(6\) Flächeneinheiten).

- Stell dir vor, du schneidest an einer Ecke ein Dreieck ab. Wo könntest du es wieder ansetzen, um ein Rechteck zu erhalten? - Welche Seitenlängen hätte das Rechteck, das genau den gleichen Platz einnimmt? - Kannst du das Dreieck gedanklich so teilen, dass die Teile in ein Rechteck passen?

1. Das Parallelogramm in Figur 1 hat eine Grundseite von \(4\,\text{Längeneinheiten}\) und eine Höhe von \(2\,\text{Längeneinheiten}\). Wenn man das linke Dreieck abschneidet und rechts anfügt, erhält man ein Rechteck mit den Seiten \(4\) und \(2\). Der Flächeninhalt ist \(4 \cdot 2 = 8\,\text{FE}\). 2. Das Dreieck in Figur 2 hat eine Grundseite von \(4\,\text{Längeneinheiten}\) und eine Höhe von \(4\,\text{Längeneinheiten}\). Durch Zerlegen und Umlegen (oder Verdoppeln zu einem Rechteck und anschließendes Halbieren) ergibt sich der Flächeninhalt zu \(\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8\,\text{FE}\).

1) \(8\,\text{FE}\) 2) \(8\,\text{FE}\)

- Kannst du die Figur so teilen, dass zwei Dreiecke mit der gleichen Grundseite entstehen? - Wie lang ist die waagerechte Verbindungslinie zwischen den beiden spitzen Ecken? - Wie hoch sind die beiden Dreiecke, die über und unter dieser Linie liegen?

1. Die Figur kann durch eine horizontale Diagonale in zwei spiegelsymmetrische Dreiecke zerlegt werden. Die Diagonale verläuft von \((0|2)\) nach \((6|2)\) und hat die Länge \(g = 6\). 2. Das obere Dreieck hat eine Höhe von \(h_1 = 2\) Einheiten. Sein Flächeninhalt ist \(A_1 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 = 6\,\text{Flächeneinheiten}\). 3. Das untere Dreieck hat ebenfalls eine Höhe von \(h_2 = 2\) Einheiten. Sein Flächeninhalt ist \(A_2 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 = 6\,\text{Flächeneinheiten}\). 4. Der gesamte Flächeninhalt des Vierecks ist die Summe beider Dreiecksflächen: \(A = 6 + 6 = 12\,\text{Flächeneinheiten}\).

Der Flächeninhalt beträgt \(12\,\text{Flächeneinheiten}\).

- Kannst du Figur a) in zwei einfache Rechtecke zerlegen? - Wie lässt sich der Flächeninhalt eines Dreiecks auf einem Gitter bestimmen? Hilft es dir, das Dreieck zu einem Rechteck zu ergänzen? - Erinnere dich an die Formeln für den Flächeninhalt von Rechtecken und Dreiecken.

1. Flächeninhalt von Figur a): Zerlegung der L-Form in zwei Teilrechtecke. Das liegende Rechteck hat die Maße \(4 \times 1\) (\(4\,\text{FE}\)), das stehende Rechteck die Maße \(1 \times 4\) (\(4\,\text{FE}\)). Gesamter Flächeninhalt: \(4\,\text{FE} + 4\,\text{FE} = 8\,\text{FE}\). 2. Flächeninhalt von Figur b): Berechnung des Dreiecks mit der Grundseite \(g = 4\) und der Höhe \(h = 4\). Der Flächeninhalt ergibt sich durch \(A = \frac{1}{2}gh = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8\,\text{FE}\). 3. Vergleich: Beide Figuren besitzen denselben Flächeninhalt von \(8\,\text{FE}\).

a) Der Flächeninhalt von Figur a) beträgt \(8\,\text{FE}\). b) Der Flächeninhalt von Figur b) beträgt \(8\,\text{FE}\). Beide Figuren haben den gleichen Flächeninhalt.

- Zerlege die Figuren in einfachere Formen oder nutze ein umschließendes Rechteck, um die Flächeninhalte zu bestimmen. - Wenn du ein Rechteck um die Figur ziehst, kannst du die überstehenden Flächen (meist rechtwinklige Dreiecke) leicht berechnen und abziehen. - Achte darauf, die Abstände zwischen den Stiften genau zu zählen, um Grundseiten und Höhen zu bestimmen. - Vergleiche am Ende die beiden Ergebnisse durch eine Subtraktion.

1. Berechnung von Figur (a): Umschließe das blaue Dreieck mit einem Rechteck der Größe \(4 \times 3\). Der Flächeninhalt dieses Rechtecks beträgt \(12\,\text{cm}^2\). Subtrahiere die Flächen der drei rechtwinkligen Dreiecke, die außerhalb des blauen Dreiecks liegen: \(\frac{4 \cdot 1}{2} = 2\,\text{cm}^2\), \(\frac{3 \cdot 2}{2} = 3\,\text{cm}^2\) und \(\frac{1 \cdot 3}{2} = 1{,}5\,\text{cm}^2\). Der Flächeninhalt von (a) ist somit \(12 - (2 + 3 + 1{,}5) = 5{,}5\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung von Figur (b): Umschließe das grüne Viereck mit einem Rechteck der Größe \(4 \times 3\). Der Flächeninhalt beträgt \(12\,\text{cm}^2\). Subtrahiere die vier äußeren rechtwinkligen Dreiecke: \(\frac{2 \cdot 1}{2} = 1\,\text{cm}^2\), \(\frac{2 \cdot 1}{2} = 1\,\text{cm}^2\), \(\frac{2 \cdot 2}{2} = 2\,\text{cm}^2\) und \(\frac{2 \cdot 2}{2} = 2\,\text{cm}^2\). Der Flächeninhalt von (b) ist somit \(12 - (1 + 1 + 2 + 2) = 6\,\text{cm}^2\). 3. Vergleich: Figur (b) ist größer als Figur (a). Der Unterschied beträgt \(6\,\text{cm}^2 - 5{,}5\,\text{cm}^2 = 0{,}5\,\text{cm}^2\).

Figur a) hat einen Flächeninhalt von \(5{,}5\,\text{cm}^2\), Figur b) von \(6\,\text{cm}^2\). Figur b) ist um \(0{,}5\,\text{cm}^2\) größer als Figur a).

- Welche geometrischen Grundformen kannst du in dem Segelboot erkennen? - Nutze die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes und eines Dreiecks. - Die Gitterpunkte helfen dir dabei, die Längen der Grundseiten und Höhen abzulesen.

1. Zerlegung in Rumpf (Trapez) und Segel (Dreieck). 2. Flächeninhalt Rumpf: Die parallelen Seiten sind \(a = 6\) und \(c = 4\), die Höhe ist \(h = 2\). \(A_{\text{Rumpf}} = \frac{6+4}{2} \cdot 2 = 10\,\text{FE}\). 3. Flächeninhalt Segel: Die Grundseite ist \(g = 2\) und die Höhe ist \(h = 4\). \(A_{\text{Segel}} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4\,\text{FE}\). 4. Gesamtfläche: \(10 + 4 = 14\,\text{FE}\).

Der Flächeninhalt des Segelbootes beträgt \(14\,\text{FE}\).

- In welche Rechtecke kannst du die Figur zerlegen, ohne dass sie sich überlappen? - Welche Breiten und Höhen kannst du durch die Abstände der Stifte bestimmen? - Prüfe dein Ergebnis mit einer zweiten Strategie, zum Beispiel durch Ergänzen zu einem großen Rechteck.

1. Eine mögliche Zerlegung besteht aus einem linken Rechteck und zwei rechten rechteckigen Armen. 2. Das linke Rechteck ist \(4\) Einheiten breit und \(6\) Einheiten hoch. Sein Flächeninhalt beträgt \(4\cdot 6=24\) Einheitsquadrate. 3. Jeder rechte Arm ist \(3\) Einheiten breit und \(2\) Einheiten hoch. Jeder hat daher den Flächeninhalt \(3\cdot 2=6\) Einheitsquadrate. 4. Insgesamt ist der Flächeninhalt \(24+6+6=36\) Einheitsquadrate. 5. Alternativ kann man zu einem Rechteck mit \(7\times 6\) Einheitsquadraten ergänzen und die rechteckige Lücke mit \(3\times 2\) Einheitsquadraten abziehen: \(42-6=36\).

Der Flächeninhalt beträgt \(36\) Einheitsquadrate.

- Kannst du eine waagerechte Linie ziehen, um die Figur in ein Rechteck und ein Dreieck zu teilen? - Bestimme für beide Teilfiguren die Längen der Seiten bzw. die Höhe durch Abzählen der Gitterabstände. - Erinnere dich an die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks: \(\frac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{Höhe}\). - Addiere am Ende die Ergebnisse der Teilflächen, um das Gesamtergebnis zu erhalten.

1. Zerlegung der Figur in ein unteres Rechteck und ein oberes Dreieck. 2. Berechnung des Rechtecks: Die Breite beträgt \(5\,\text{cm}\) (von \(x=1\) bis \(x=6\)) und die Höhe \(2\,\text{cm}\) (von \(y=1\) bis \(y=3\)). Der Flächeninhalt ist \(5\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 10\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung des Dreiecks: Die Grundseite auf der Trennlinie ist \(5\,\text{cm}\) lang. Die Höhe von der Trennlinie bis zur Spitze beträgt \(3\,\text{cm}\) (von \(y=3\) bis \(y=6\)). Der Flächeninhalt ist \(\frac{1}{2} \cdot 5\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 7{,}5\,\text{cm}^2\). 4. Addition der Teilflächen: \(10\,\text{cm}^2 + 7{,}5\,\text{cm}^2 = 17{,}5\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt der Figur beträgt \(17{,}5\,\text{cm}^2\).

- Du kannst die Figur in Rechtecke und Dreiecke zerlegen. - Achte besonders auf die schräge Linie.

1. Die Figur kann als Rechteck der Größe \(4 \times 4\) minus einem Trapez an der linken Seite betrachtet werden. 2. Alternativ Zerlegung: Unteres Rechteck \(4 \times 2\) (\(8\,\text{cm}^2\)), oberes Rechteck \(2 \times 2\) (\(4\,\text{cm}^2\)) und ein Dreieck mit Grundseite \(1\) und Höhe \(2\) (\(1\,\text{cm}^2\)). 3. Summe: \(8 + 4 + 1 = 13\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt beträgt \(13\,\text{cm}^2\).

- Kannst du in der Mitte des Sterns ein Quadrat erkennen? - Aus welchen anderen geometrischen Formen bestehen die „Zacken“ des Sterns? - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Dreiecks auf einem Gitter? - Versuche, die Figur in Teile zu zerlegen, deren Flächeninhalt du leicht bestimmen kannst.

1. Zerlegung des Sterns in ein zentrales Quadrat und vier angrenzende Dreiecke: Das Quadrat in der Mitte hat die Eckpunkte \((2|2)\), \((4|2)\), \((4|4)\) und \((2|4)\). Seine Seitenlänge beträgt \(2\,\text{cm}\), woraus ein Flächeninhalt von \(2\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 4\,\text{cm}^2\) folgt. 2. Berechnung der vier Dreiecke: Jedes Dreieck hat eine Grundseite von \(2\,\text{cm}\) (entspricht einer Seite des Quadrats) und eine Höhe von \(2\,\text{cm}\) (Abstand von der Quadratseite zur jeweiligen Sternspitze). Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist \(\frac{1}{2} \cdot 2\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 2\,\text{cm}^2\). 3. Gesamter Flächeninhalt: \(4\,\text{cm}^2 + 4 \cdot 2\,\text{cm}^2 = 4\,\text{cm}^2 + 8\,\text{cm}^2 = 12\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt des Sterns beträgt \(12\,\text{cm}^2\).

- Welche Verbindung zweier Eckpunkte teilt die Figur in zwei einfache Dreiecke? - Welche gemeinsame Grundseite haben die beiden Dreiecke auf dem Geobrett? - Bestimme für jedes Dreieck die senkrechte Höhe zur gemeinsamen Grundseite und addiere anschließend die beiden Teilflächen.

1. Die waagerechte Strecke durch die beiden seitlichen Eckpunkte teilt das Drachenviereck in zwei Dreiecke mit gemeinsamer Grundseite \(g=2\,\text{cm}\). 2. Beim oberen Dreieck beträgt die zugehörige Höhe \(3\,\text{cm}\). Damit ist \(A_1=\frac{1}{2}\cdot 2\,\text{cm}\cdot 3\,\text{cm}=3\,\text{cm}^2\). 3. Beim unteren Dreieck beträgt die zugehörige Höhe \(2\,\text{cm}\). Damit ist \(A_2=\frac{1}{2}\cdot 2\,\text{cm}\cdot 2\,\text{cm}=2\,\text{cm}^2\). 4. Insgesamt ist \(A=A_1+A_2=3\,\text{cm}^2+2\,\text{cm}^2=5\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt beträgt \(5\,\text{cm}^2\).

- Überlege dir, wie du die schräge Figur in ein gerades Rechteck umwandeln kannst, ohne die Fläche zu verändern. - Wie viele Kästchen ist die Figur an der Unterseite breit? - Wie viele Kästchenreihen hoch ist das Parallelogramm? - Du kannst auch versuchen, die vollen Quadrate zu zählen und die restlichen Teilstücke zu Ganzen zusammenzusetzen.

1. Bestimmung der Grundseite: Die untere Seite des Parallelogramms liegt auf einer Gitterlinie und ist \(4\) Einheiten lang. 2. Bestimmung der Höhe: Der senkrechte Abstand zwischen der unteren und der oberen Seite beträgt \(3\) Einheiten. 3. Zerlegung und Zusammensetzung: Durch das Abschneiden eines rechtwinkligen Dreiecks (Grundseite \(2\), Höhe \(3\)) an der linken Seite und das Verschieben an die rechte Seite entsteht ein Rechteck mit der Breite \(4\) und der Höhe \(3\). 4. Berechnung des Flächeninhalts: \(4 \cdot 3 = 12\). Der Flächeninhalt beträgt \(12\) Einheitsquadrate.

Der Flächeninhalt beträgt \(12\) Einheitsquadrate.

- Zerlege Figur f in bekannte Teilflächen wie ein Rechteck und ein Dreieck. - Erinnere dich an die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks: \(\frac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{Höhe}\). - Du kannst auch ein großes Rechteck um die Figuren zeichnen und die überschüssigen Flächen abziehen.

1. Zerlege Figur f in ein unteres Rechteck und ein oberes Dreieck. Das Rechteck hat die Eckpunkte \((1|1)\), \((5|1)\), \((5|3)\) und \((1|3)\). Sein Flächeninhalt beträgt \(4 \cdot 2 = 8\) Einheitsquadrate. 2. Das obere Dreieck von Figur f hat die Grundseite \(4\) und die Höhe \(2\). Sein Flächeninhalt beträgt \(\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4\) Einheitsquadrate. 3. Figur f hat somit den Flächeninhalt \(8 + 4 = 12\) Einheitsquadrate. 4. Figur g ist ein Dreieck mit Grundseite \(6\) und Höhe \(4\); seine Spitze liegt bei \((3|5)\). 5. Sein Flächeninhalt beträgt \(\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12\) Einheitsquadrate. 6. Beide Figuren haben trotz ihrer unterschiedlichen Form denselben Flächeninhalt.

Beide Figuren haben einen Flächeninhalt von \(12\,\text{Einheitsquadraten}\). Sie sind also flächengleich.

- Versuche, die Figur durch Linien in drei bekannte Formen zu teilen. - Stell dir vor, die Lücke wäre geschlossen. Wie groß wäre das ganze Rechteck dann? - Welches Verfahren benötigt weniger Rechenschritte?

1. Methode 1 (Zerlegen): Die Figur wird horizontal in drei Rechtecke zerlegt. Das obere und untere Rechteck messen je \(10\,\text{cm} \times 2\,\text{cm}\) (Fläche jeweils \(20\,\text{cm}^2\)). Das verbindende Rechteck links misst \(4\,\text{cm} \times 3\,\text{cm}\) (Fläche \(12\,\text{cm}^2\)). Gesamtfläche: \(20 + 20 + 12 = 52\,\text{cm}^2\). 2. Methode 2 (Ergänzen): Man denkt sich ein großes Rechteck mit \(10\,\text{cm} \times 7\,\text{cm}\) (Fläche \(70\,\text{cm}^2\)). Davon wird die Lücke rechts abgezogen, die \(6\,\text{cm} \times 3\,\text{cm}\) groß ist (Fläche \(18\,\text{cm}^2\)). Gesamtfläche: \(70 - 18 = 52\,\text{cm}^2\). 3. Beurteilung: Der Weg über das Ergänzen ist oft schneller, da man nur zwei Flächen berechnen und einmal subtrahieren muss, während man beim Zerlegen drei Flächen berechnet und zweimal addiert.

Der Flächeninhalt beträgt \(52\,\text{cm}^2\). Beide Rechenwege führen zum selben Ergebnis. Das Ergänzen ist oft effizienter, da weniger Teilflächen berechnet werden müssen.

- Wo genau entsteht das Dreieck, wenn du ein Rechteck aus dem Trapez heraustrennst? - Wie lang ist die kurze Seite des Dreiecks unten? Nutze die Maße der beiden parallelen Seiten. - Wie hoch ist das Dreieck?

1. Die Grundseite des Dreiecks ergibt sich aus der Differenz der parallelen Trapezseiten: \(100\,\text{cm} - 70\,\text{cm} = 30\,\text{cm}\). 2. Die Höhe des Dreiecks entspricht der Höhe des Trapezes: \(h = 40\,\text{cm}\). 3. Der Flächeninhalt des Dreiecks ist \(A = \frac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{Höhe}\). 4. Rechnung: \(A = 0{,}5 \cdot 30 \cdot 40 = 600\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt \(600\,\text{cm}^2\).

- Zerlege die Figur in ein unteres Rechteck und zwei Seitenflügel. - Welche fehlenden Höhen und Breiten kannst du aus den Gesamt- und Teilstrecken bestimmen? - Addiere die drei Teilflächen erst, nachdem du ihre Maße getrennt bestimmt hast.

1. Die Höhe des unteren durchgehenden Rechtecks ist \(10\,\text{m}-6\,\text{m}=4\,\text{m}\). Seine Fläche beträgt \(12\,\text{m}\cdot 4\,\text{m}=48\,\text{m}^2\). 2. Der rechte Flügel ist \(3\,\text{m}\) breit und \(6\,\text{m}\) hoch. Seine Fläche beträgt \(18\,\text{m}^2\). 3. Der linke Flügel ist \(12\,\text{m}-3\,\text{m}-6\,\text{m}=3\,\text{m}\) breit und \(8\,\text{m}-4\,\text{m}=4\,\text{m}\) hoch. Seine Fläche beträgt \(12\,\text{m}^2\). 4. Insgesamt ist \(A=48\,\text{m}^2+18\,\text{m}^2+12\,\text{m}^2=78\,\text{m}^2\).

Der Flächeninhalt beträgt \(78\,\text{m}^2\).

- Berechne für beide Grundstücke getrennt den Flächeninhalt. - Bei Grundstück a ist es einfacher, ein Loch abzuziehen. - Bei Grundstück b kannst du zwei Rechtecke addieren. - Vergleiche am Ende die beiden Ergebnisse.

1. Grundstück a: Ein Rechteck (\(12\,\text{m} \cdot 10\,\text{m} = 120\,\text{m}^2\)) mit einer Aussparung in der Mitte (\(4\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 16\,\text{m}^2\)). Fläche: \(120 - 16 = 104\,\text{m}^2\). 2. Grundstück b: Besteht aus einem unteren Teil (\(10\,\text{m} \cdot 10\,\text{m} = 100\,\text{m}^2\)) und einem oberen Anbau (\(6\,\text{m} \cdot 3\,\text{m} = 18\,\text{m}^2\)). Fläche: \(100 + 18 = 118\,\text{m}^2\). 3. Vergleich: \(118\,\text{m}^2 > 104\,\text{m}^2\). Grundstück b ist größer.

Grundstück a hat einen Flächeninhalt von \(104\,\text{m}^2\), Grundstück b hat \(118\,\text{m}^2\). Somit ist Grundstück b größer.

- Überlege dir zuerst, wie groß das gesamte Holzbrett vor dem Sägen war. - Kannst du das fertige Bauteil in einfache Formen wie Rechtecke zerlegen? - Der Abfall ist der Teil des Bretts, der nicht zum Bauteil gehört.

1. Berechnung des Flächeninhalts des ursprünglichen Quadrats: \(40\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm} = 1600\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Flächeninhalts des Bauteils durch Zerlegung in zwei Rechtecke: - Ein großes Rechteck mit \(40\,\text{cm} \times 30\,\text{cm}\): \(1200\,\text{cm}^2\). - Ein kleineres Rechteck mit \(30\,\text{cm} \times 10\,\text{cm}\): \(300\,\text{cm}^2\). - Gesamtfläche des Bauteils: \(1200\,\text{cm}^2 + 300\,\text{cm}^2 = 1500\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung des Abfalls: \(1600\,\text{cm}^2 - 1500\,\text{cm}^2 = 100\,\text{cm}^2\).

Der Abfall hat einen Flächeninhalt von \(100\,\text{cm}^2\).

- In welche zwei nicht überlappenden Rechtecke lässt sich die T-Form zerlegen? - Welche Maße dieser beiden Rechtecke sind in der Abbildung angegeben? - Addiere die beiden Teilflächen erst nach der getrennten Berechnung.

1. Der untere Querbalken ist \(20\,\text{m}\) breit und \(5\,\text{m}\) hoch. Seine Fläche beträgt \(20\,\text{m}\cdot 5\,\text{m}=100\,\text{m}^2\). 2. Der obere Stamm ist \(4\,\text{m}\) breit und \(10\,\text{m}\) hoch. Seine Fläche beträgt \(4\,\text{m}\cdot 10\,\text{m}=40\,\text{m}^2\). 3. Insgesamt ist \(A=100\,\text{m}^2+40\,\text{m}^2=140\,\text{m}^2\).

Der gesamte Flächeninhalt beträgt \(140\,\text{m}^2\).

- Zeichne eine Hilfslinie ein, um das „L“ in zwei Rechtecke zu teilen. - Achte darauf, dass du keine Teilstücke doppelt zählst. - Wie lang ist die Seite des oberen Rechtecks, die nicht direkt beschriftet ist?

1. Zerlegung in zwei Rechtecke: Ein waagerechtes Rechteck unten und ein senkrechtes Rechteck links. 2. Maße des waagerechten Rechtecks: \(15\,\text{cm}\) Breite und \(5\,\text{cm}\) Höhe. Fläche \(A_{\text{unten}} = 15\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 75\,\text{cm}^2\). 3. Maße des senkrechten Rechtecks: \(5\,\text{cm}\) Breite und \(15\,\text{cm} - 5\,\text{cm} = 10\,\text{cm}\) zusätzliche Höhe. Fläche \(A_{\text{links}} = 5\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} = 50\,\text{cm}^2\). 4. Gesamtfläche: \(75\,\text{cm}^2 + 50\,\text{cm}^2 = 125\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt des Werkstücks beträgt \(125\,\text{cm}^2\).

- Welche Fläche hätte der vollständige rechteckige Hof ohne Aussparungen? - Wie groß ist die Gesamtfläche der drei gleich großen quadratischen Beete? - Wie erhältst du aus der Pflasterfläche und dem Preis je Quadratmeter die Materialkosten?

1. Die Fläche des gesamten rechteckigen Hofes beträgt \(15\,\text{m}\cdot 8\,\text{m}=120\,\text{m}^2\). 2. Die drei quadratischen Beete haben zusammen die Fläche \(3\cdot(2\,\text{m}\cdot 2\,\text{m})=12\,\text{m}^2\). 3. Zu pflastern sind \(120\,\text{m}^2-12\,\text{m}^2=108\,\text{m}^2\). 4. Die Materialkosten betragen \(108\,\text{m}^2\cdot 65\,\text{€}:1\,\text{m}^2=7020\,\text{€}\).

a) \(108\,\text{m}^2\) b) \(7020\,\text{€}\)

- Kannst du die Figur mit einer waagerechten Linie in zwei bekannte Teilflächen zerlegen? - Zu welchem großen Rechteck kannst du die Figur alternativ ergänzen? - Beschreibe bei beiden Wegen nicht nur die Rechnung, sondern auch die verwendeten Teilflächen.

1. Beim Zerlegen in zwei waagerechte Rechtecke erhält man ein Rechteck mit \(7\,\text{cm}\cdot 3\,\text{cm}=21\,\text{cm}^2\) und ein Quadrat mit \(3\,\text{cm}\cdot 3\,\text{cm}=9\,\text{cm}^2\). Zusammen sind das \(30\,\text{cm}^2\). 2. Beim Ergänzen zum umschließenden Rechteck beträgt dessen Fläche \(7\,\text{cm}\cdot 6\,\text{cm}=42\,\text{cm}^2\). Die fehlende Ecke ist \(4\,\text{cm}\cdot 3\,\text{cm}=12\,\text{cm}^2\) groß. Damit bleiben ebenfalls \(30\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt beträgt \(30\,\text{cm}^2\). Ein Rechenweg ist die Zerlegung in ein unteres Rechteck und das obere Quadrat. Ein zweiter Rechenweg ist die Ergänzung zum umschließenden Rechteck und das Abziehen der fehlenden Ecke.

- Wo kannst du eine Linie ziehen, damit zwei Rechtecke ohne Überlappung entstehen? - Welche Maße hat beim Ergänzen das große umschließende Rechteck? - Welche Maße hat das rechteckige Stück, das beim Ergänzen zu viel wäre?

1. Bei einer Zerlegung in zwei Rechtecke erhält man zum Beispiel \(12{,}4\,\text{m}\cdot 4{,}2\,\text{m}=52{,}08\,\text{m}^2\) und \(5{,}2\,\text{m}\cdot 6{,}6\,\text{m}=34{,}32\,\text{m}^2\). 2. Damit ist \(A=52{,}08\,\text{m}^2+34{,}32\,\text{m}^2=86{,}4\,\text{m}^2\). 3. Beim Ergänzen hat das große Rechteck die Fläche \(12{,}4\,\text{m}\cdot 10{,}8\,\text{m}=133{,}92\,\text{m}^2\). Das fehlende Rechteck hat die Fläche \(7{,}2\,\text{m}\cdot 6{,}6\,\text{m}=47{,}52\,\text{m}^2\). 4. Auch so ergibt sich \(A=133{,}92\,\text{m}^2-47{,}52\,\text{m}^2=86{,}4\,\text{m}^2\).

Der Flächeninhalt beträgt \(86{,}4\,\text{m}^2\).

- Welche vollständige Rechteckfläche würdest du ohne Ausschnitt erhalten? - Welche Seite des ausgeschnittenen Dreiecks eignet sich als Grundseite? - Wie groß ist der senkrechte Abstand der Dreiecksspitze zu dieser Grundseite?

1. Das umschließende Rechteck hat die Fläche \(A_{\text{Rechteck}}=10\,\text{cm}\cdot 6\,\text{cm}=60\,\text{cm}^2\). 2. Beim ausgeschnittenen Dreieck kann die rechte Rechteckseite als Grundseite gewählt werden. Damit ist \(g=6\,\text{cm}\) und die zugehörige Höhe \(h_g=10\,\text{cm}-6\,\text{cm}=4\,\text{cm}\). 3. Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt \(A_{\text{Dreieck}}=\frac{1}{2}\cdot 6\,\text{cm}\cdot 4\,\text{cm}=12\,\text{cm}^2\). 4. Daher ist \(A_{\text{Logo}}=60\,\text{cm}^2-12\,\text{cm}^2=48\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt des Logos beträgt \(48\,\text{cm}^2\).

- In welche zwei Rechtecke kannst du die abgestufte Figur zerlegen? - Welche fehlende Höhe ergibt sich aus der Gesamthöhe und der unteren Höhe? - Gehe für den Umfang einmal vollständig am äußeren Rand entlang.

1. Das obere Rechteck ist \(4\,\text{m}\) breit und \(7\,\text{m}-4\,\text{m}=3\,\text{m}\) hoch. Das untere Rechteck ist \(8\,\text{m}\) breit und \(4\,\text{m}\) hoch. 2. Der Flächeninhalt beträgt \(A=4\,\text{m}\cdot 3\,\text{m}+8\,\text{m}\cdot 4\,\text{m}=44\,\text{m}^2\). 3. Der Umfang ist die Summe der Außenkanten: \(U=4\,\text{m}+3\,\text{m}+4\,\text{m}+4\,\text{m}+8\,\text{m}+7\,\text{m}=30\,\text{m}\).

Der Flächeninhalt beträgt \(44\,\text{m}^2\), der Umfang \(30\,\text{m}\).

- Für die Fläche kannst du ein äußeres Rechteck und die rechteckige Aussparung vergleichen. - Für den Umfang musst du die beiden unteren Randstücke nicht einzeln bestimmen. Welche Gesamtlänge haben sie? - Gehe den äußeren und inneren Rand der U-Form einmal vollständig ab.

1. Das äußere Rechteck hat die Fläche \(10\,\text{cm}\cdot 8\,\text{cm}=80\,\text{cm}^2\). Die rechteckige Aussparung hat die Fläche \(6\,\text{cm}\cdot 5\,\text{cm}=30\,\text{cm}^2\). Daher beträgt die farbige Fläche \(50\,\text{cm}^2\). 2. Die beiden nicht einzeln beschrifteten unteren waagerechten Randstücke sind zusammen \(10\,\text{cm}-6\,\text{cm}=4\,\text{cm}\) lang. 3. Für den Umfang werden die obere Seite, die beiden äußeren Höhen, die beiden inneren Höhen, die innere waagerechte Seite und die beiden unteren Randstücke addiert: \(U=10\,\text{cm}+2\cdot 8\,\text{cm}+2\cdot 5\,\text{cm}+6\,\text{cm}+4\,\text{cm}=46\,\text{cm}\).

Der Flächeninhalt des Logos beträgt \(50\,\text{cm}^2\), der Umfang \(46\,\text{cm}\).

- In welche zwei nicht überlappenden Rechtecke kannst du die L-Form zerlegen? - Welche Höhe hat das schmalere obere Rechteck, wenn du die beiden vertikalen Maße vergleichst? - Addiere die beiden Teilflächen erst am Ende.

1. Die Fläche lässt sich in ein unteres Rechteck mit \(12\,\text{m}\times 4\,\text{m}\) und ein linkes oberes Rechteck mit \(5\,\text{m}\times (10\,\text{m}-4\,\text{m})\) zerlegen. 2. Die erste Teilfläche beträgt \(12\,\text{m}\cdot 4\,\text{m}=48\,\text{m}^2\). 3. Die zweite Teilfläche beträgt \(5\,\text{m}\cdot 6\,\text{m}=30\,\text{m}^2\). 4. Insgesamt ist \(A=48\,\text{m}^2+30\,\text{m}^2=78\,\text{m}^2\).

Die gesamte Bodenfläche beträgt \(78\,\text{m}^2\).

- Wie kannst du das rechtwinklige Trapez in ein Rechteck und ein Dreieck zerlegen? - Welche Länge bleibt für die Grundseite des Dreiecks übrig, wenn du die beiden parallelen Seiten vergleichst? - Welche Höhe haben Rechteck und Dreieck gemeinsam?

1. Das Trapez lässt sich in ein Rechteck mit \(9\,\text{m}\times 6\,\text{m}\) und ein rechtwinkliges Dreieck zerlegen. 2. Beim Dreieck ist die Grundseite \(g=14\,\text{m}-9\,\text{m}=5\,\text{m}\), die zugehörige Höhe ist \(h_g=6\,\text{m}\). 3. Das Rechteck hat die Fläche \(9\,\text{m}\cdot 6\,\text{m}=54\,\text{m}^2\). 4. Das Dreieck hat die Fläche \(\frac{1}{2}\cdot 5\,\text{m}\cdot 6\,\text{m}=15\,\text{m}^2\). 5. Insgesamt ist \(A=54\,\text{m}^2+15\,\text{m}^2=69\,\text{m}^2\).

Der Flächeninhalt beträgt \(69\,\text{m}^2\).

- Wie groß wäre die Fläche ohne die Ausschnitte? - Was passiert mit dem Umfang, wenn man ein Quadrat aus einer Kante herausschneidet?

1. Ursprüngliches Rechteck: \(10\,\text{dm} \times 6\,\text{dm}\). 2. Zwei Ausschnitte: jeweils \(2\,\text{dm} \times 2\,\text{dm}\). 3. Flächeninhalt: \(A = (10 \cdot 6) - 2 \cdot (2 \cdot 2) = 60 - 8 = 52\,\text{dm}^2\). 4. Umfang: \(10 + 6 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 6 = 40\,\text{dm}\).

Der Flächeninhalt beträgt \(52\,\text{dm}^2\) und der Umfang \(40\,\text{dm}\).

- Welche Maße von Wand und Türöffnung zeigt die Abbildung? - Welche Fläche soll tatsächlich gefliest werden? - Bringe die Fliesenseite in Meter, bevor du die Fläche einer Fliese bestimmst.

1. Die Wand ist \(6\,\text{m}\) breit und \(3\,\text{m}\) hoch. Ihre Fläche beträgt \(18\,\text{m}^2\). 2. Die Türöffnung ist \(2\,\text{m}\) breit und \(2\,\text{m}\) hoch. Zu fliesen sind daher \(18\,\text{m}^2-4\,\text{m}^2=14\,\text{m}^2\). 3. Eine Fliese hat die Seitenlänge \(20\,\text{cm}=0{,}2\,\text{m}\) und die Fläche \(0{,}04\,\text{m}^2\). 4. Die benötigte Anzahl beträgt \(14\,\text{m}^2:0{,}04\,\text{m}^2=350\).

Es werden \(350\) Fliesen benötigt.

- Zeichne die Situation auf. Wie viele kleine Dreiecke entstehen in den Ecken? - Wie verhält sich die Fläche der vier Eckdreiecke zur Gesamtfläche?

1. Bezeichne den Flächeninhalt des Parallelogramms mit \(A_{\text{para}}\). Jedes der vier Eckdreiecke hat eine halb so lange Grundseite und eine halb so große Höhe wie das Parallelogramm. Daher besitzt jedes Eckdreieck den Flächenanteil \(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}\). 2. Die vier Eckdreiecke bedecken zusammen \(4 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{2}\) der Gesamtfläche. Das innere Viereck nimmt somit ebenfalls die Hälfte ein. 3. \(A_{\text{innen}} = \frac{1}{2} \cdot 80\,\text{cm}^2 = 40\,\text{cm}^2\).

\(40\,\text{cm}^2\)

- Welche Eigenschaft haben die Diagonalen eines Parallelogramms an ihrem Schnittpunkt? - Wie kannst du daraus gleiche Flächeninhalte benachbarter Dreiecke begründen? - Wenn alle vier Teilflächen gleich groß sind, wie hängt eine Teilfläche mit der Gesamtfläche zusammen?

1. Die Diagonalen eines Parallelogramms halbieren einander. Dadurch entstehen vier Dreiecke mit gleichem Flächeninhalt. 2. Betrachtet man jeweils zwei benachbarte Dreiecke an einer Diagonalen, so sind ihre Grundseiten auf dieser Diagonalen gleich lang und sie haben dieselbe zugehörige Höhe. 3. Daher ist der Flächeninhalt des Parallelogramms \(A=4\cdot 12\,\text{cm}^2=48\,\text{cm}^2\).

\(48\,\text{cm}^2\)

- Wie verhält sich der Flächeninhalt eines Dreiecks, wenn man eine seiner Seiten verkürzt, die Höhe auf diese Seite aber gleich bleibt? - Überlege dir, welchen Anteil der Fläche das Dreieck \(AEC\) am Gesamtdreieck \(ABC\) hat. - Wenn \(AD : DC = 2 : 1\) ist, welchen Bruchteil der gesamten Strecke \(AC\) macht dann der Abschnitt \(AD\) aus? - Du kannst das Problem lösen, indem du den Flächeninhalt schrittweise für immer kleinere Teildreiecke berechnest.

1. Da \(E\) der Mittelpunkt der Seite \(AB\) ist, haben die Dreiecke \(AEC\) und \(ABC\) zur Geraden \(AB\) die gleiche Höhe, während \(AE = \frac{1}{2}AB\) gilt. Somit ist \(A_{AEC} = \frac{1}{2} \cdot A_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 45\,\text{cm}^2 = 22{,}5\,\text{cm}^2\). 2. Aus \(AD : DC = 2 : 1\) folgt \(AD = \frac{2}{3}AC\). Die Dreiecke \(ADE\) und \(AEC\) haben zur Geraden \(AC\) die gleiche Höhe. Daher gilt \(A_{ADE} = \frac{2}{3} \cdot A_{AEC} = \frac{2}{3} \cdot 22{,}5\,\text{cm}^2 = 15\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt des Dreiecks \(ADE\) beträgt \(15\,\text{cm}^2\).

- Wie verhält sich der Flächeninhalt eines Dreiecks, wenn man bei gleichbleibender Höhe die Grundseite verkürzt? - Überlege dir, welchen Anteil das Teildreieck \(ABD\) am gesamten Dreieck \(ABC\) hat. - Was bewirkt eine Verbindungslinie von einer Ecke zum Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite (eine Seitenhalbierende) für den Flächeninhalt eines Dreiecks? - Versuche, den Flächeninhalt Schritt für Schritt von der großen Figur zu den kleineren Teilen zu berechnen.

1. Da die Seite \(BC\) durch die Punkte \(D\) und \(E\) in drei gleich lange Abschnitte unterteilt wird, ist die Grundseite \(BD\) des Dreiecks \(ABD\) genau ein Drittel so lang wie die Seite \(BC\) des Dreiecks \(ABC\). 2. Da beide Dreiecke die gleiche Höhe bezüglich dieser Grundseiten haben (die Höhe von der Spitze \(A\) auf die Gerade \(BC\)), ist der Flächeninhalt von \(ABD\) ein Drittel des Gesamtinhalts: \(A_{ABD} = \frac{1}{3} \cdot 60\,\text{cm}^2 = 20\,\text{cm}^2\). 3. Da \(M\) der Mittelpunkt der Strecke \(AD\) ist, teilt die Strecke \(BM\) das Dreieck \(ABD\) in zwei flächengleiche Teildreiecke (\(ABM\) und \(BDM\)), da sie die gleiche Höhe und gleich lange Grundseiten auf der Geraden \(AD\) besitzen. 4. Der Flächeninhalt des Dreiecks \(ABM\) ist somit die Hälfte des Flächeninhalts von \(ABD\): \(A_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot 20\,\text{cm}^2 = 10\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt des Dreiecks \(ABM\) beträgt \(10\,\text{cm}^2\).

- Manchmal ist es einfacher, die Flächen zu berechnen, die nicht gesucht sind, und diese vom Ganzen abzuziehen. - Welche geometrischen Formen entstehen um das farbige Dreieck herum innerhalb des Quadrats? - Wie lang sind die Katheten der rechtwinkligen Dreiecke an den Ecken? - Denke an die Formel für den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks.

1. Der Flächeninhalt des gesamten Quadrats \(ABCD\) berechnet sich zu \(12\,\text{cm} \cdot 12\,\text{cm} = 144\,\text{cm}^2\). 2. Die Flächeninhalte der drei rechtwinkligen Dreiecke an den Ecken werden bestimmt: - Dreieck \(ABE\): \(\frac{1}{2} \cdot 12\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 36\,\text{cm}^2\) (da \(E\) Mittelpunkt von \(BC\) ist). - Dreieck \(ADF\): \(\frac{1}{2} \cdot 12\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 36\,\text{cm}^2\) (da \(F\) Mittelpunkt von \(CD\) ist). - Dreieck \(ECF\): \(\frac{1}{2} \cdot 6\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 18\,\text{cm}^2\) (da \(E\) und \(F\) Mittelpunkte sind). 3. Die Summe der Flächen dieser drei „abzuziehenden“ Dreiecke ist \(36\,\text{cm}^2 + 36\,\text{cm}^2 + 18\,\text{cm}^2 = 90\,\text{cm}^2\). 4. Der Flächeninhalt des Dreiecks \(AEF\) ergibt sich durch die Differenz: \(144\,\text{cm}^2 - 90\,\text{cm}^2 = 54\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt des Dreiecks \(AEF\) beträgt \(54\,\text{cm}^2\).

- Stell dir vor, du ziehst zwei Linien durch die Mitte des großen Quadrats (waagerecht und senkrecht). Was fällt dir auf? - Wie viele kleine Dreiecke entstehen durch diese Linien und die Seiten des inneren Quadrats? - Sind alle diese kleinen Dreiecke gleich groß? - Welchen Bruchteil der Gesamtfläche nimmt das gelbe Quadrat ein?

1. Ziehe gedanklich eine waagerechte und eine senkrechte Mittellinie durch das äußere Quadrat. Dadurch wird es in vier gleich große kleine Quadrate zerlegt. 2. Jede Seite des inneren Quadrats ist eine Diagonale eines dieser kleinen Quadrate und halbiert dessen Fläche. 3. Das innere Quadrat besteht daher aus vier halben kleinen Quadraten, also aus der Fläche von zwei kleinen Quadraten. 4. Das äußere Quadrat besteht aus vier kleinen Quadraten. Das innere Quadrat nimmt somit genau die Hälfte der äußeren Fläche ein. 5. Berechnung: \(2 \cdot 32\,\text{cm}^2 = 64\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt des äußeren Quadrats beträgt \(64\,\text{cm}^2\).

- Welche bekannte Flächenform entsteht in b) aus den beiden Trapezen? - Wie setzt sich die untere Seite dieser neuen Figur aus \(a\) und \(c\) zusammen? - Welchen Anteil der Gesamtfläche nimmt genau eine der beiden kongruenten Kopien ein?

1. In b) bilden die beiden kongruenten Trapeze zusammen ein Parallelogramm. 2. Dessen Grundseite setzt sich aus den Längen \(a\) und \(c\) zusammen und hat daher die Länge \(a+c\). Die Höhe bleibt \(h\). 3. Das Parallelogramm hat somit den Flächeninhalt \((a+c)h\). 4. Ein Trapez ist die Hälfte dieser Fläche. Deshalb gilt \(A=\frac{1}{2}(a+c)h=\frac{a+c}{2}h\).

Zwei kongruente Trapeze ergeben ein Parallelogramm mit Grundseite \(a+c\) und Höhe \(h\). Daher hat ein Trapez die Fläche \(A=\frac{a+c}{2}h\).

- Welche einfache bekannte Figur könntest du um das Vieleck herum ergänzen? - Welche Fläche liegt dann zusätzlich in dieser Ergänzungsfigur, aber nicht im Vieleck? - Du kannst auch eine eigene Hilfslinie einzeichnen und die entstehenden Teilflächen addieren.

1. Eine mögliche Strategie ist, das Vieleck gedanklich zu einem Rechteck mit \(5\) Einheiten Breite und \(4\) Einheiten Höhe zu ergänzen. 2. Dieses Rechteck hat die Fläche \(5\cdot 4=20\,\text{FE}\). 3. Oben rechts fehlt ein rechtwinkliges Dreieck mit Grundseite \(2\) Einheiten und Höhe \(2\) Einheiten. Seine Fläche beträgt \(\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2=2\,\text{FE}\). 4. Daher hat das Vieleck die Fläche \(20\,\text{FE}-2\,\text{FE}=18\,\text{FE}\).

Der Flächeninhalt beträgt \(18\,\text{FE}\). Eine mögliche Ergänzung ist das umschließende \(5\times 4\)-Rechteck; andere korrekte Zerlegungen sind ebenfalls möglich.

- Betrachte zunächst die beiden Dreiecke oberhalb und die beiden unterhalb des Diagonalenschnittpunkts. - Welche Länge besitzen die beiden Hälften der durch die Symmetriediagonale halbierten Diagonale? - Addiere die vier Dreiecksflächen und fasse die beiden Teilstücke der Symmetriediagonale wieder zu \(e\) zusammen.

1. Der Schnittpunkt der Diagonalen teilt die Symmetriediagonale \(e\) in zwei Teilstücke mit Längen \(p\) und \(q\), also \(p+q=e\). 2. Die andere Diagonale wird halbiert. Jedes ihrer Teilstücke hat daher die Länge \(\frac{f}{2}\). 3. Die beiden oberen rechtwinkligen Dreiecke haben zusammen die Fläche \(2\cdot\frac{1}{2}\cdot p\cdot\frac{f}{2}=\frac{pf}{2}\). 4. Die beiden unteren rechtwinkligen Dreiecke haben zusammen die Fläche \(\frac{qf}{2}\). 5. Insgesamt ist \(A=\frac{pf}{2}+\frac{qf}{2}=\frac{(p+q)f}{2}=\frac{e\cdot f}{2}\).

Die vier rechtwinkligen Teildreiecke ergeben zusammen \(A=\frac{e\cdot f}{2}\).

- Welche beiden Seiten des großen Dreiecks stehen senkrecht aufeinander? - Welche Punkte begrenzen den Teil des Dreiecks im I. Quadranten? - Vergleiche die Teilfläche mit der gesamten Dreiecksfläche.

1. Die Seite \(AC\) ist vertikal und \(10\) Längeneinheiten lang. Die Seite \(AB\) ist horizontal und ebenfalls \(10\) Längeneinheiten lang. Daher stehen beide Seiten senkrecht aufeinander. 2. Der gesamte Flächeninhalt ist \(A=\frac{1}{2}\cdot10\cdot10=50\) Flächeneinheiten. 3. Die Strecke \(BC\) verläuft durch den Ursprung. Im I. Quadranten entsteht deshalb ein rechtwinkliges Dreieck mit Kathetenlängen \(5\) und \(5\). 4. Diese Teilfläche beträgt \(A_I=\frac{1}{2}\cdot5\cdot5=12{,}5\) Flächeneinheiten. 5. Der Anteil ist \(12{,}5:50=0{,}25=25\,\%\).

a) \(50\) Flächeneinheiten b) \(25\,\%\)

- Welche achsenparallele Figur kannst du so um das Dreieck legen, dass deren Fläche leicht berechenbar ist? - Welche Formen entstehen zwischen dieser Figur und dem Dreieck? - Welche Längen dieser Restflächen kannst du direkt aus den Koordinaten bestimmen?

1. Umschließe das Dreieck mit dem achsenparallelen Rechteck mit den Eckpunkten \((2|2)\), \((10|2)\), \((10|9)\) und \((2|9)\). 2. Das Rechteck ist \(8\) Längeneinheiten breit und \(7\) Längeneinheiten hoch. Seine Fläche beträgt \(8\cdot7=56\) Flächeneinheiten. 3. Die drei äußeren rechtwinkligen Dreiecke haben die Flächeninhalte \(8\), \(12{,}5\) und \(10{,}5\) Flächeneinheiten. 4. Ihre Gesamtfläche ist \(8+12{,}5+10{,}5=31\) Flächeneinheiten. 5. Daher hat \(XYZ\) den Flächeninhalt \(56-31=25\) Flächeneinheiten.

Der exakte Flächeninhalt des Dreiecks \(XYZ\) beträgt \(25\) Flächeneinheiten.

- Wenn eine Figur schräge Seiten hat, kann es schwierig sein, die Kästchen direkt zu zählen. Versuche, ein Rechteck um die gesamte Figur zu zeichnen. - Wie kannst du den Flächeninhalt der äußeren, rechtwinkligen Dreiecke berechnen, die nicht zur Figur gehören? - Wenn du den Flächeninhalt der äußeren Teile vom Gesamtflächeninhalt des umschreibenden Rechtecks abziehst, erhältst du den Flächeninhalt der gesuchten Figur. - Eine andere Möglichkeit ist, die Figur in zwei oder mehr Dreiecke zu zerlegen, deren Grundseiten und Höhen sich leicht auf dem Gitter ablesen lassen.

1. **Flächeninhalt von Figur D:** Wir umschließen Figur D mit einem Quadrat der Größe \(4 \times 4\) und dem Flächeninhalt \(16\,\text{FE}\). An den vier Ecken liegen rechtwinklige Dreiecke mit Grundseite \(1\,\text{LE}\) und Höhe \(3\,\text{LE}\), die nicht zur Figur gehören. Jedes hat den Flächeninhalt \(\frac{1 \cdot 3}{2} = 1{,}5\,\text{FE}\). Damit beträgt der Flächeninhalt von Figur D \(16 - 4 \cdot 1{,}5 = 10\,\text{FE}\). 2. **Flächeninhalt von Figur E:** Wir umschließen Figur E mit einem Rechteck der Größe \(5 \times 4\) und dem Flächeninhalt \(20\,\text{FE}\). Außerhalb der Figur liegen zwei rechtwinklige Dreiecke mit Grundseite \(3\,\text{LE}\) und Höhe \(2\,\text{LE}\) sowie zwei mit Grundseite \(2\,\text{LE}\) und Höhe \(2\,\text{LE}\). Ihre Gesamtfläche beträgt \(2 \cdot \frac{3 \cdot 2}{2} + 2 \cdot \frac{2 \cdot 2}{2} = 6 + 4 = 10\,\text{FE}\). Damit beträgt der Flächeninhalt von Figur E \(20 - 10 = 10\,\text{FE}\).

Der Flächeninhalt von Figur D beträgt \(10\,\text{FE}\) und der Flächeninhalt von Figur E beträgt ebenfalls \(10\,\text{FE}\).

- Überlege dir zuerst, in welchem Verhältnis der Flächeninhalt von \(XST\) zum Flächeninhalt des Dreiecks \(XSZ\) steht. - Was bedeutet das Verhältnis \(1 : 3\) für die Länge einer Teilstrecke im Vergleich zur Gesamtlänge der Seite? - Du kannst das gesamte Dreieck schrittweise aus den Teildreiecken „aufbauen“. - Wenn eine Seite eines Dreiecks verdreifacht wird und die Höhe gleich bleibt, wie ändert sich dann die Fläche?

1. Aus dem Verhältnis \(XT : TZ = 1 : 3\) folgt, dass \(XT\) genau \(\frac{1}{4}\) der gesamten Seite \(XZ\) ausmacht. Die Dreiecke \(XST\) und \(XSZ\) haben zur Geraden \(XZ\) die gleiche Höhe. Daher ist \(A_{XSZ} = 4 \cdot A_{XST} = 4 \cdot 4\,\text{cm}^2 = 16\,\text{cm}^2\). 2. Da \(S\) die Seite \(XY\) im Verhältnis \(1 : 2\) teilt, ist \(XS = \frac{1}{3}XY\). Die Dreiecke \(XSZ\) und \(XYZ\) haben zur Geraden \(XY\) die gleiche Höhe. Somit gilt \(A_{XYZ} = 3 \cdot A_{XSZ} = 3 \cdot 16\,\text{cm}^2 = 48\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt des Dreiecks \(XYZ\) beträgt \(48\,\text{cm}^2\).

- Welche Gesamtbreite und Gesamthöhe lassen sich aus den Randmaßen zusammensetzen? - Welche zwei Stücke fehlen gegenüber dem umschließenden Rechteck? - Für die Zerlegung darfst du zusätzliche senkrechte Hilfslinien durch vorhandene Ecken denken. - Vergleiche anschließend die Anzahl der Teilflächen beziehungsweise Rechenschritte beider Wege.

1. Bei der Ergänzung ist das umschließende Rechteck \(10\,\text{cm}\cdot 6\,\text{cm}=60\,\text{cm}^2\) groß. 2. Unten fehlt ein Rechteck mit \(2\,\text{cm}\cdot 2\,\text{cm}=4\,\text{cm}^2\). Oben rechts fehlt ein rechtwinkliges Dreieck mit Kathetenlängen \(2\,\text{cm}\) und \(2\,\text{cm}\), also mit \(2\,\text{cm}^2\). 3. Damit ist die Fläche \(60\,\text{cm}^2-4\,\text{cm}^2-2\,\text{cm}^2=54\,\text{cm}^2\). 4. Eine mögliche Zerlegung ist: links ein Rechteck \(4\,\text{cm}\times 6\,\text{cm}\), darüber in der Mitte ein Rechteck \(2\,\text{cm}\times 4\,\text{cm}\), rechts daneben ein Rechteck \(2\,\text{cm}\times 6\,\text{cm}\) und ganz rechts ein Trapez mit parallelen Seiten \(6\,\text{cm}\) und \(4\,\text{cm}\) sowie Abstand \(2\,\text{cm}\). 5. Diese Teilflächen haben zusammen \(24\,\text{cm}^2+8\,\text{cm}^2+12\,\text{cm}^2+10\,\text{cm}^2=54\,\text{cm}^2\). 6. Die Ergänzungsmethode ist hier kürzer, weil nur zwei fehlende Teilflächen vom großen Rechteck abzuziehen sind.

a) \(54\,\text{cm}^2\) b) \(54\,\text{cm}^2\) Die Ergänzungsmethode ist hier kürzer, weil sie weniger Teilflächen benötigt.