- Lies zuerst bei jedem Pfeil ab, ob der Wert zunimmt oder abnimmt. - Achte beim Rechnen auf die Stellenwerte nach dem Dezimalkomma. - Prüfe, ob dein Zielwert zur Richtung des Pfeils passt.

1. Der erste Sprung ergibt \(1{,}5+0{,}8=2{,}3\). 2. Der zweite Sprung ergibt \(4{,}2-1{,}5=2{,}7\). 3. Der dritte Sprung ergibt \(0{,}9+1{,}4=2{,}3\).

a) \(2{,}3\) b) \(2{,}7\) c) \(2{,}3\)

- Achte darauf, dass Einer unter Einern und Zehntel unter Zehnteln stehen. - Du kannst die Differenz auch in zwei einfachen Schritten im Kopf bilden. - Prüfe mit Addition, ob dein Ergebnis wieder zur Ausgangszahl führt.

1. Ziehe zuerst die Einer und dann die Zehntel stellenwertgerecht ab: \(4{,}7-1{,}2=3{,}5\).

\(3{,}5\)

- Beide Summanden sind bis auf Zehntel angegeben. - Addiere die Zehntel und behalte den Stellenwert im Blick. - Prüfe, ob dein Ergebnis etwas größer als \(2{,}3\) ist.

1. Beide Zahlen haben Zehntelstellen. 2. \(2{,}3+0{,}4=2{,}7\).

\(2{,}7\)

- Welche Stellenwerte müssen beim schriftlichen Addieren untereinander stehen? - Wie kannst du \(4{,}7\) schreiben, ohne den Wert zu ändern, damit beide Zahlen gleich viele Nachkommastellen haben? - Woran erkennst du beim Aufschreiben, ob die Kommas richtig stehen?

1. Bei Dezimalzahlen müssen gleiche Stellenwerte untereinander stehen. Die letzte Ziffer ist nicht automatisch derselbe Stellenwert. 2. Schreibe \(4{,}7\) als \(4{,}70\). 3. Dann stehen die Kommas untereinander: \(4{,}70+0{,}38=5{,}08\).

a) Beim schriftlichen Addieren müssen gleiche Stellenwerte untereinander stehen. b) \(4{,}7=4{,}70\). c) \(4{,}70+0{,}38=5{,}08\).

- Richte die Kommas untereinander aus und ergänze fehlende Nachkommastellen mit Endnullen. - Bei der Addition: Wo wird eine Summe mindestens \(10\), sodass ein Übertrag entsteht? - Bei der Subtraktion: Wo ist die obere Ziffer zu klein, sodass du aus der nächsthöheren Stelle entbündeln musst?

1. a) Schreibe \(15{,}8\) als \(15{,}80\). Hundertstel: \(2+0=2\). Zehntel: \(4+8=12\), also Übertrag \(1\) in die Einer. Einer: \(9+5+1=15\), also Übertrag \(1\) in die Zehner. Ergebnis: \(25{,}22\). 2. b) Schreibe \(14{,}6\) als \(14{,}60\). Für \(0-5\) entbündelst du ein Zehntel: \(10-5=5\). Danach entbündelst du für die Zehntel einen Einer: \(15-7=8\). Für die Einer entbündelst du einen Zehner: \(13-6=7\). Ergebnis: \(7{,}85\). 3. c) Schreibe \(3{,}59\) als \(3{,}590\). Tausendstel: \(4+0=4\). Hundertstel: \(3+9=12\), also Übertrag \(1\) in die Zehntel. Zehntel: \(7+5+1=13\), also Übertrag \(1\) in die Einer. Ergebnis: \(4{,}324\). 4. d) Schreibe \(30\) als \(30{,}000\). Nach dem nötigen Entbündeln rechnest du von rechts nach links: \(10-1=9\), \(9-4=5\), \(9-8=1\), \(9-2=7\), \(2-1=1\). Ergebnis: \(17{,}159\).

a) \(25{,}22\). Überträge: Zehntel \(\to\) Einer und Einer \(\to\) Zehner. b) \(7{,}85\). Entbündeln ist bei den Hundertsteln, Zehnteln und Einern nötig. c) \(4{,}324\). Überträge: Hundertstel \(\to\) Zehntel und Zehntel \(\to\) Einer. d) \(17{,}159\). Nach dem Entbündeln: \(10-1=9\), \(9-4=5\), \(9-8=1\), \(9-2=7\), \(2-1=1\).

- Gibt es eine ganze Zahl, die sehr nah an dem Subtrahenden bzw. Summanden liegt? - Wenn du mit einer einfacheren Zahl rechnest, wie musst du den Fehler am Ende korrigieren? - Überlege, ob du zu viel oder zu wenig abgezogen bzw. hinzugefügt hast.

1. Für \(45{,}67 - 19{,}99\): Subtraktion von \(20\) statt \(19{,}99\), da \(20\) eine „glatte“ Zahl ist. Da \(0{,}01\) zu viel abgezogen wurde, muss dieser Betrag addiert werden: \(45{,}67 - 20 = 25{,}67\); \(25{,}67 + 0{,}01 = 25{,}68\). 2. Für \(12{,}456 + 3{,}998\): Addition von \(4\) statt \(3{,}998\). Da \(0{,}002\) zu viel addiert wurde, muss dieser Betrag subtrahiert werden: \(12{,}456 + 4 = 16{,}456\); \(16{,}456 - 0{,}002 = 16{,}454\).

a) \(25{,}68\) (Rechenweg: \(45{,}67 - 20 + 0{,}01\)) b) \(16{,}454\) (Rechenweg: \(12{,}456 + 4 - 0{,}002\))

- Schreibe die beiden Dezimalzahlen stellengerecht untereinander. - Was musst du tun, wenn bei den Hundertsteln die obere Ziffer kleiner als die untere ist? - Prüfe nach dem Entbündeln, welche Ziffer an der Zehntelstelle übrig bleibt.

1. Bei der Hundertstelstelle kann \(0-5\) nicht ohne Entbündeln gerechnet werden. Ein Zehntel wird in zehn Hundertstel umgewandelt. 2. Danach stehen bei den Hundertsteln \(10-5=5\). Bei den Zehnteln bleiben nach dem Entbündeln nur noch \(4\) Zehntel; daher gilt dort \(4-2=2\), nicht \(3\). 3. Somit ist \(4{,}50-1{,}25=3{,}25\).

Amina berücksichtigt beim Entbündeln nicht, dass sich die Zehntelstelle von \(5\) auf \(4\) verringert. Richtig ist \(4{,}50-1{,}25=3{,}25\).

- Können wir alle Mengen in derselben Einheit vergleichen? - Wie schreibt man Brüche wie ein Viertel oder ein Fünftel als Dezimalzahl? - Reicht es aus, die Liter und Milliliter getrennt zu betrachten?

1. Umwandlung aller Einheiten in Liter (\(\text{l}\)): - Apfelsaft: \(1 \frac{1}{4}\,\text{l} = 1{,}25\,\text{l}\) - Mineralwasser: \(0{,}8\,\text{l}\) - Orangensaft: \(750\,\text{ml} = 0{,}75\,\text{l}\) - Johannisbeersirup: \(\frac{1}{5}\,\text{l} = 0{,}2\,\text{l}\) - Zitronensaft: \(50\,\text{ml} = 0{,}05\,\text{l}\) 2. Addition der Teilvolumina: \(1{,}25\,\text{l} + 0{,}8\,\text{l} + 0{,}75\,\text{l} + 0{,}2\,\text{l} + 0{,}05\,\text{l} = 3{,}05\,\text{l}\) 3. Vergleich mit dem Fassungsvermögen: \(3{,}05\,\text{l} > 3\,\text{l}\). Die Schüssel reicht nicht aus.

Das Gesamtvolumen beträgt \(3{,}05\,\text{l}\). Da dies mehr als \(3\,\text{l}\) sind, passt der Punsch nicht vollständig in die Schüssel.

- Achte beim Addieren darauf, die Dezimalkommas stellenwertgerecht auszurichten. - Ergänze bei Bedarf Endnullen, ohne den Wert der Zahl zu verändern. - Für das Runden auf zwei Dezimalstellen entscheidet die dritte Nachkommastelle.

1. Addiere die drei Längen: \(12{,}45+8{,}7+15{,}333=36{,}483\). Die Gesamtlänge beträgt \(36{,}483\,\text{km}\). 2. Für zwei Dezimalstellen betrachtet man die dritte Nachkommastelle. Sie ist \(3\), daher ergibt sich \(36{,}48\,\text{km}\).

a) \(36{,}483\,\text{km}\) b) \(36{,}48\,\text{km}\)

- In welche Rechenoperation lässt sich eine Verschiebung nach rechts übersetzen? - Was bedeutet eine Verschiebung nach links für das Vorzeichen der Rechnung? - Führe die Schritte nacheinander aus und achte auf die Vorzeichenregeln bei Dezimalzahlen.

1. Berechnung der Position nach der ersten Verschiebung nach rechts (Addition): \(-2{,}3 + 4{,}5 = 2{,}2\). 2. Berechnung der Endposition nach der zweiten Verschiebung nach links (Subtraktion): \(2{,}2 - 1{,}4 = 0{,}8\).

\(0{,}8\)

- Was bedeutet ein negativer Kontostand in diesem Zusammenhang? - Wie viel Geld muss man einzahlen, um erst einmal bei Null zu landen? - Welche Rechnung führt dich vom Minusbereich in den Plusbereich?

1. Der aktuelle Stand des Kontos ist \(-75{,}20\,\text{€}\). 2. Der gewünschte Zielstand ist \(+120{,}00\,\text{€}\). 3. Die notwendige Einzahlung entspricht der Differenz zwischen Zielstand und aktuellem Stand: \(120{,}00\,\text{€} - (-75{,}20\,\text{€})\). 4. Berechnung der Summe: \(120{,}00\,\text{€} + 75{,}20\,\text{€} = 195{,}20\,\text{€}\).

Frau Weber muss \(195{,}20\,\text{€}\) einzahlen.

- Stelle dir das Konto wie eine Skala vor. Was passiert bei einer Einzahlung mit dem Kontostand? - Was bedeutet ein Minuszeichen vor dem Geldbetrag für das Guthaben? - Kannst du alle Vorgänge in einer einzigen Zeile aufschreiben?

1. Zusammenhängende Rechnung aufstellen: \(-125{,}50 + 350{,}00 - 80{,}00\). 2. Berechnung: \(-125{,}50 + 350{,}00 = 224{,}50\) und \(224{,}50 - 80{,}00 = 144{,}50\). 3. Der neue Kontostand beträgt \(144{,}50\,\text{€}\).

\(-125{,}50 + 350{,}00 - 80{,}00 = 144{,}50\) Der neue Kontostand beträgt \(144{,}50\,\text{€}\).

- Wie viel fehlt bei den Preisen jeweils bis zum nächsten vollen Euro? - Wenn du mit glatten Beträgen rechnest, hast du dann zu viel oder zu wenig bezahlt? - Wie musst du das Ergebnis korrigieren, um den genauen Preis zu erhalten?

1. Runden der Beträge auf den jeweils nächsten vollen Euro: \(12{,}95\,\text{€} \approx 13{,}00\,\text{€}\) (Differenz \(+0{,}05\,\text{€}\)) und \(8{,}98\,\text{€} \approx 9{,}00\,\text{€}\) (Differenz \(+0{,}02\,\text{€}\)). 2. Addition der gerundeten Werte: \(13{,}00\,\text{€} + 9{,}00\,\text{€} = 22{,}00\,\text{€}\). 3. Berechnung der gesamten Differenz durch das Aufrunden: \(0{,}05\,\text{€} + 0{,}02\,\text{€} = 0{,}07\,\text{€}\). 4. Subtraktion dieser Differenz vom Zwischenergebnis: \(22{,}00\,\text{€} - 0{,}07\,\text{€} = 21{,}93\,\text{€}\).

Leon rundet auf \(13{,}00\,\text{€}\) und \(9{,}00\,\text{€}\) auf, was zusammen \(22{,}00\,\text{€}\) ergibt. Da er insgesamt \(0{,}07\,\text{€}\) zu viel hinzugefügt hat (\(0{,}05\,\text{€} + 0{,}02\,\text{€}\)), zieht er diese vom Ergebnis ab. Der exakte Preis beträgt \(21{,}93\,\text{€}\).

- Welche ganze Zahl liegt sehr nah an \(2{,}998\)? - Ist es einfacher, \(3\) abzuziehen oder \(2{,}998\)? - Wenn du mehr abziehst als eigentlich nötig, wie musst du das Ergebnis am Ende anpassen?

1. Runden des Subtrahenden auf die nächste ganze Zahl: \(2{,}998 \approx 3\). 2. Durchführung der einfacheren Subtraktion: \(34{,}152 - 3 = 31{,}152\). 3. Da \(3\) statt \(2{,}998\) abgezogen wurde, wurde um \(0{,}002\) zu viel subtrahiert (\(3 - 2{,}998 = 0{,}002\)). 4. Korrektur des Ergebnisses durch Addition des zu viel abgezogenen Betrags: \(31{,}152 + 0{,}002 = 31{,}154\).

Man rechnet zuerst \(34{,}152 - 3 = 31{,}152\). Da man \(0{,}002\) zu viel abgezogen hat, addiert man diese Differenz wieder dazu. Das Ergebnis lautet \(31{,}154\).

- Beachte das Vorzeichen jedes Sprungs. - Ist der Startwert gesucht, musst du vom bekannten Endwert mit der Umkehroperation zurückrechnen. - Prüfe die Stellenwerte nach dem Dezimalkomma sorgfältig.

1. Der erste Sprung führt zu \(4{,}5+2{,}7=7{,}2\). 2. Beim zweiten Zahlenstrahl ist der Startwert gesucht. Rückwärts gerechnet gilt \(6{,}7+3{,}5=10{,}2\). 3. Der dritte Sprung führt zu \(12{,}3-4{,}6=7{,}7\).

a) \(7{,}2\) b) \(10{,}2\) c) \(7{,}7\)

- Gehe Schritt für Schritt vor und berechne zuerst die Zahl in der Mitte. - Achte beim Rechnen mit Dezimalzahlen auf das Komma.

1. Erster Sprung: Addition von \(3{,}8\) zum Startwert \(12{,}4\). Ergebnis: \(12{,}4 + 3{,}8 = 16{,}2\). 2. Zweiter Sprung: Subtraktion von \(2{,}5\) vom Zwischenergebnis \(16{,}2\). Ergebnis: \(16{,}2 - 2{,}5 = 13{,}7\).

Die fehlenden Zahlen sind \(16{,}2\) und \(13{,}7\).

- Bestimme zuerst den Wert eines kleinen Teilstrichs. - Für die Schätzung darfst du beide Zahlen sinnvoll auf Zehntel runden. - Vergleiche für c) die Abstände beider Punkte zu \(1{,}5\).

1. Ein kleiner Teilstrich entspricht \(0{,}05\). Daher ist \(P=1{,}35\) und \(Q=1{,}75\). 2. Überschlagen kann man etwa \(1{,}8-1{,}4=0{,}4\). Genau gilt \(1{,}75-1{,}35=0{,}40\). 3. Der Abstand von P zu \(1{,}5\) beträgt \(0{,}15\), der von Q zu \(1{,}5\) beträgt \(0{,}25\). P liegt näher.

a) \(P=1{,}35\), \(Q=1{,}75\) b) Schätzung etwa \(0{,}4\); genau \(0{,}40\) c) P, denn \(0{,}15<0{,}25\).

- Welche ganzen Zahlen liegen nahe bei den gegebenen Dezimalzahlen? - Achte beim genauen Rechnen auf die Vorzeichen. - Welche Rechnung macht deine ursprüngliche Rechnung wieder rückgängig?

1. a) Überschlag: \(-4+5\approx1\). Genau: \(-3{,}6+5{,}25=1{,}65\). Das passt zum Überschlag. 2. b) Überschlag: \(2-7\approx-5\). Genau: \(2{,}4-6{,}85=-4{,}45\). Das passt ebenfalls. 3. Eine mögliche Probe für b): \(-4{,}45+6{,}85=2{,}40\). Damit stimmt die Subtraktion.

a) \(1{,}65\) b) \(-4{,}45\). Eine mögliche Probe ist \(-4{,}45+6{,}85=2{,}40\).

- Finde für jede Angabe zuerst die kleinste Zahl, die noch auf das angegebene Ergebnis gerundet wird. - Addiere erst danach die beiden gefundenen Zahlen. - Für die kleinste mögliche Summe brauchst du in beiden Fällen den kleinsten möglichen Wert.

1. Die kleinste Zahl, die auf Zehntel zu \(7{,}4\) gerundet wird, ist \(7{,}35\). 2. Die kleinste Zahl, die auf Hundertstel zu \(2{,}15\) gerundet wird, ist \(2{,}145\). 3. Für die kleinstmögliche Summe werden diese beiden Werte addiert: \(7{,}35+2{,}145=9{,}495\).

Die kleinsten möglichen ursprünglichen Zahlen sind \(7{,}35\) und \(2{,}145\). Die kleinstmögliche Summe ist \(9{,}495\).

- Bringe die unterschiedlichen Zahlendarstellungen zuerst in eine gemeinsame Form. - Verfolge den Flascheninhalt nach jedem Trinken und Nachfüllen in der richtigen Reihenfolge. - Für das Fassungsvermögen ist nicht der Endstand entscheidend, sondern der größte Füllstand zwischendurch.

1. Es gilt \(\frac{3}{8}\,\text{l}=0{,}375\,\text{l}\). 2. Nach dem ersten Trinken sind \(1{,}5-0{,}375=1{,}125\,\text{l}\) in der Flasche. 3. Nach dem Nachfüllen sind es \(1{,}125+0{,}5=1{,}625\,\text{l}\). 4. Am Ende bleiben \(1{,}625-0{,}4=1{,}225\,\text{l}\). 5. Der höchste Füllstand während der Tour beträgt \(1{,}625\,\text{l}\). So groß muss das Fassungsvermögen mindestens sein.

a) \(1{,}225\,\text{l}\) b) Mindestens \(1{,}625\,\text{l}\)

- Runde für den Überschlag jede Zahl zuerst auf eine ganze Zahl. - Richte für die genaue Rechnung die Kommas untereinander aus und ergänze Endnullen. - Wo entsteht bei der Addition ein Übertrag? Wo ist bei der Subtraktion die obere Ziffer zu klein, sodass du entbündeln musst?

1. a) Überschlag: \(57+14+8=79\). Für die genaue Rechnung: \(56{,}70+14{,}00+8{,}29\). Hundertstel und Zehntel ergeben jeweils \(9\). Bei den Einern gilt \(6+4+8=18\): \(8\) wird notiert und \(1\) in die Zehner übertragen. Dadurch entsteht \(78{,}99\). 2. b) Überschlag: \(95-(24+32)=39\). Zuerst \(24{,}38+31{,}70=56{,}08\). Bei den Zehnteln gilt \(3+7=10\), also Übertrag \(1\) in die Einer. Danach \(95{,}40-56{,}08\): Hundertstel \(10-8=2\) nach dem Entbündeln eines Zehntels; Einer \(15-6=9\) nach dem Entbündeln eines Zehners. Die übrigen Stellen ergeben \(3\) Zehntel und \(3\) Zehner. Ergebnis: \(39{,}32\).

a) Schätzung: \(79\). Exakt: \(78{,}99\). Bei den Einern entsteht ein Übertrag \(1\) in die Zehner. b) Schätzung: \(39\). Klammer: \(24{,}38+31{,}70=56{,}08\); bei den Zehnteln entsteht ein Übertrag \(1\) in die Einer. Danach gilt \(95{,}40-56{,}08=39{,}32\); entbündelt wird bei den Hundertsteln und den Einern.

- Für den Überschlag reichen sinnvoll gerundete ganze Zahlen. - Schreibe die Zahlen kommagerecht untereinander und ergänze fehlende Nachkommastellen mit Nullen. - Wo entsteht bei a) ein Übertrag? Wo musst du bei b) über eine oder mehrere Stellen hinweg entbündeln?

1. a) Überschlag: \(43+5+13=61\). Genaue Rechnung: \(42{,}70+5{,}09+13{,}00\). Hundertstel: \(0+9+0=9\). Zehntel: \(7+0+0=7\). Einer: \(2+5+3=10\), also Übertrag \(1\) in die Zehner. Damit ergibt sich \(60{,}79\). 2. b) Überschlag: \(105-37=68\). Genaue Rechnung: \(105{,}200-37{,}485\). Nach dem nötigen Entbündeln lauten die Stellrechnungen von rechts nach links: Tausendstel \(10-5=5\), Hundertstel \(9-8=1\), Zehntel \(11-4=7\), Einer \(14-7=7\), Zehner \(9-3=6\). Damit ergibt sich \(67{,}715\).

a) Überschlag: \(61\). Exakt: \(60{,}79\). Bei den Einern entsteht ein Übertrag \(1\) in die Zehner. b) Überschlag: \(68\). Exakt: \(67{,}715\). Nach dem Entbündeln rechnest du von rechts nach links: \(10-5=5\), \(9-8=1\), \(11-4=7\), \(14-7=7\), \(9-3=6\).

- Schau dir die Hundertstelstelle beider Zahlen genau an. Was passiert dort bei Sarahs Rechnung? - Stell dir die Zahlen in einer Stellenwerttafel vor. - Wie würde die Rechnung aussehen, wenn du \(15{,}8\) als \(15{,}80\) schreibst?

1. Sarah hat die Hundertstelstelle nicht richtig berücksichtigt. In \(15{,}8\) sind \(0\) Hundertstel enthalten. 2. Schreibe deshalb \(15{,}8\) als \(15{,}80\). Bei den Hundertsteln kannst du \(0-5\) nicht direkt rechnen; du musst aus der Zehntelstelle entbündeln. 3. Die korrekte Rechnung ist \(15{,}80-2{,}45=13{,}35\). 4. Die Endnull macht die Hundertstelstelle sichtbar und hilft dabei, die Stellenwerte richtig untereinander zu rechnen.

Fehler: Sarah hat die Hundertstelstelle nicht richtig berücksichtigt und dort nicht entbündelt. Korrektes Ergebnis: \(13{,}35\). Die Endnull in \(15{,}80\) macht die \(0\) Hundertstel sichtbar.

- Überlege zuerst, wie du das Gesamtgewicht für jedes Paket einzeln bestimmen kannst. - Achte beim Addieren der Dezimalzahlen darauf, dass die Kommata genau untereinander stehen. - Um den Unterschied zu finden, subtrahiere das kleinere vom größeren Ergebnis.

1. Berechnung des Gesamtgewichts von Paket A: \(1{,}425\,\text{kg} + 0{,}890\,\text{kg} = 2{,}315\,\text{kg}\). 2. Berechnung des Gesamtgewichts von Paket B: \(1{,}185\,\text{kg} + 1{,}142\,\text{kg} = 2{,}327\,\text{kg}\). 3. Vergleich der Gesamtgewichte: \(2{,}327\,\text{kg} > 2{,}315\,\text{kg}\), somit ist Paket B schwerer. 4. Berechnung der Differenz: \(2{,}327\,\text{kg} - 2{,}315\,\text{kg} = 0{,}012\,\text{kg}\).

Paket B ist mit insgesamt \(2{,}327\,\text{kg}\) schwerer. Der Gewichtsunterschied beträgt \(0{,}012\,\text{kg}\).

- Was bedeutet „gewinnen“ im Zusammenhang mit Zeitmessungen beim Sport? - Addiere die Einzelzeiten für jedes Team, um die Gesamtzeit zu erhalten. - Wie berechnet man den zeitlichen Abstand zwischen zwei Ergebnissen?

1. Berechnung der Gesamtzeit von Team Blau: \(32{,}45\,\text{s} + 31{,}98\,\text{s} = 64{,}43\,\text{s}\). 2. Berechnung der Gesamtzeit von Team Rot: \(32{,}12\,\text{s} + 32{,}26\,\text{s} = 64{,}38\,\text{s}\). 3. Vergleich der Zeiten: Da im Sport die kürzere Zeit gewinnt und \(64{,}38\,\text{s} < 64{,}43\,\text{s}\) gilt, gewinnt Team Rot. 4. Berechnung des Vorsprungs: \(64{,}43\,\text{s} - 64{,}38\,\text{s} = 0{,}05\,\text{s}\).

Team Rot hat gewonnen, da seine Gesamtzeit von \(64{,}38\,\text{s}\) kürzer ist als die von Team Blau (\(64{,}43\,\text{s}\)). Der Vorsprung beträgt \(0{,}05\,\text{s}\).

- Bestimme zuerst, wie weit Kenji insgesamt schon gewandert ist. - Wie findest du heraus, was noch bis zum Ziel fehlt? - Vergleiche anschließend alle drei Teilstrecken stellenwertgerecht.

1. Bisher zurückgelegt: \(7{,}35\,\text{km}+6{,}825\,\text{km}=14{,}175\,\text{km}\). 2. Reststrecke: \(18{,}5\,\text{km}-14{,}175\,\text{km}=4{,}325\,\text{km}\). 3. Vergleiche \(7{,}35\,\text{km}\), \(6{,}825\,\text{km}\) und \(4{,}325\,\text{km}\). Die Vormittagsstrecke ist am längsten.

Kenji muss noch \(4{,}325\,\text{km}\) wandern. Die längste Teilstrecke ist die Vormittagsstrecke mit \(7{,}35\,\text{km}\).

- Rechne die Beispiele einmal schrittweise nach. - Wenn du eine größere Zahl abziehst als nötig, hast du dann am Ende zu viel oder zu wenig weggenommen? - Stell dir die Zahlen auf einem Zahlenstrahl vor, um die Korrekturrichtung zu prüfen.

1. Prüfung der ersten Aussage: \(17{,}4 - 3{,}9 = 13{,}5\). Der vorgeschlagene Weg \(17{,}4 - 4 - 0{,}1\) ergibt \(13{,}3\). Die Aussage ist falsch. Da man beim Abziehen von \(4\) bereits \(0{,}1\) zu viel abgezogen hat (da \(4 > 3{,}9\)), muss man \(0{,}1\) wieder addieren. Korrekter Weg: \(17{,}4 - 4 + 0{,}1 = 13{,}5\). 2. Prüfung der zweiten Aussage: \(5{,}65 + 2{,}98 = 8{,}63\). Der vorgeschlagene Weg \(5{,}65 + 3 - 0{,}02\) ergibt \(8{,}65 - 0{,}02 = 8{,}63\). Die Aussage ist korrekt, da man durch die Addition von \(3\) genau \(0{,}02\) zu viel hinzugefügt hat und dies am Ende ausgleicht.

Aussage 1 ist falsch. Korrektur: Man muss \(0{,}1\) addieren statt subtrahieren (\(17{,}4 - 4 + 0{,}1 = 13{,}5\)). Aussage 2 ist korrekt (\(5{,}65 + 3 - 0{,}02 = 8{,}63\)).

- Was genau soll am Ende berechnet werden? - Könntest du die Kosten für die Hefte zuerst einzeln bestimmen? - Wie berechnet man den Betrag, den man an der Kasse zurückbekommt? - Achte darauf, die Kommas beim Addieren untereinander zu schreiben.

1. Berechnung der Kosten für die Schreibhefte: \(3 \cdot 0{,}60\,\text{€} = 1{,}80\,\text{€}\). 2. Addition aller Einzelbeträge zur Gesamtsumme: \(1{,}35\,\text{€} + 1{,}80\,\text{€} + 9{,}49\,\text{€} = 12{,}64\,\text{€}\). 3. Subtraktion der Gesamtsumme vom gezahlten Betrag zur Ermittlung des Wechselgelds: \(20{,}00\,\text{€} - 12{,}64\,\text{€} = 7{,}36\,\text{€}\).

Lukas erhält \(7{,}36\,\text{€}\) Wechselgeld.

- Versuche zuerst, die Beträge auf bequeme Zahlen zu runden, um eine schnelle Einschätzung zu bekommen. - Vergiss nicht, dass einige Artikel mehrfach gekauft wurden. - Wann im Rechenweg sollte der Gutschein berücksichtigt werden? - Sind die Parkgebühren Teil des Einkaufs oder kommen sie später dazu?

1. Überschlag durch Runden: \(4{,}60\,\text{€} + 2{,}30\,\text{€} + 3{,}10\,\text{€} + 2{,}70\,\text{€} = 12{,}70\,\text{€}\). Abzüglich \(1{,}50\,\text{€}\) Gutschein ergibt \(11{,}20\,\text{€}\). Zuzüglich \(3{,}50\,\text{€}\) Parkgebühren ergibt ca. \(14{,}70\,\text{€}\). Schätzung: \(15\,\text{€}\) reichen aus. 2. Exakte Berechnung der Limonadenkosten: \(2 \cdot 1{,}35\,\text{€} = 2{,}70\,\text{€}\). 3. Addition der Einkäufe: \(4{,}58\,\text{€} + 2{,}25\,\text{€} + 3{,}12\,\text{€} + 2{,}70\,\text{€} = 12{,}65\,\text{€}\). 4. Abzug des Gutscheins: \(12{,}65\,\text{€} - 1{,}50\,\text{€} = 11{,}15\,\text{€}\). 5. Addition der Parkgebühren: \(11{,}15\,\text{€} + 3{,}50\,\text{€} = 14{,}65\,\text{€}\). 6. Vergleich mit dem Budget: \(14{,}65\,\text{€} \le 15{,}00\,\text{€}\). Das Geld reicht aus.

Die Schätzung ergibt, dass das Geld reicht. Die exakte Berechnung ergibt Gesamtkosten von \(14{,}65\,\text{€}\). Da \(14{,}65\,\text{€} \le 15{,}00\,\text{€}\), reicht das Geld aus.

- Ermittle die Gesamtkosten der Ausrüstung schrittweise. - Berücksichtige den Rabatt, bevor du das Restbudget bestimmst. - Vergleiche das Restbudget erst danach mit den Kosten der Handtücher.

1. Die Springseile kosten \(5\cdot4{,}25\,\text{€}=21{,}25\,\text{€}\). 2. Vor Rabatt kosten die Sachen \(21{,}25\,\text{€}+18{,}90\,\text{€}+12{,}50\,\text{€}=52{,}65\,\text{€}\). 3. Nach Rabatt sind \(52{,}65\,\text{€}-5{,}75\,\text{€}=46{,}90\,\text{€}\) zu zahlen. 4. Vom Budget bleiben \(50{,}00\,\text{€}-46{,}90\,\text{€}=3{,}10\,\text{€}\). 5. Die Handtücher kosten \(3\cdot2{,}80\,\text{€}=8{,}40\,\text{€}\). Da \(3{,}10\,\text{€}<8{,}40\,\text{€}\), reicht das Geld nicht; es fehlen \(5{,}30\,\text{€}\).

Nein. Nach dem ersten Einkauf bleiben \(3{,}10\,\text{€}\); die Handtücher kosten \(8{,}40\,\text{€}\). Es fehlen \(5{,}30\,\text{€}\).

- Schau dir an, wie viel jede einzelne Strecke von den Zahlen \(5\), \(3\) und \(3\) abweicht. - Notiere dir die Abweichungen mit Vorzeichen (plus für mehr, minus für weniger). - Was passiert, wenn du alle diese kleinen Abweichungen zusammenzählst?

1. Bestimmung der Abweichungen der Teilstrecken von den Zielwerten \(5\), \(3\) und \(3\): - \(4{,}97 = 5 - 0{,}03\) - \(3{,}05 = 3 + 0{,}05\) - \(2{,}98 = 3 - 0{,}02\) 2. Berechnung der Summe der Zielwerte: \(5 + 3 + 3 = 11\). 3. Zusammenfassung der Korrekturwerte: \(-0{,}03 + 0{,}05 - 0{,}02\). 4. Berechnung der Gesamtkorrektur: \(-0{,}03 - 0{,}02 = -0{,}05\); dann \(-0{,}05 + 0{,}05 = 0\). 5. Das exakte Ergebnis entspricht somit genau der Summe der gerundeten Werte: \(11 + 0 = 11\).

Die Korrektur ergibt sich aus den Abweichungen \(-0{,}03\,\text{km}\), \(+0{,}05\,\text{km}\) und \(-0{,}02\,\text{km}\). Da diese sich gegenseitig zu \(0\) aufheben, ist die Korrektur \(0\). Das exakte Gesamtergebnis lautet \(11\,\text{km}\).

- In welche Richtungen kann man sich von einem Punkt aus auf der Zahlengeraden bewegen? - Wenn du den Abstand kennst, wie verändern sich die Werte, wenn du nach links oder nach rechts gehst?

1. Um den Punkt in positiver Richtung (nach rechts) zu finden, addiert man den Abstand zum Startpunkt: \(-3{,}4 + 7{,}2 = 3{,}8\). 2. Um den Punkt in negativer Richtung (nach links) zu finden, subtrahiert man den Abstand vom Startpunkt: \(-3{,}4 - 7{,}2 = -10{,}6\). 3. Die zwei möglichen Positionen sind somit \(3{,}8\) und \(-10{,}6\).

Der zweite Punkt kann an den Positionen \(3{,}8\) oder \(-10{,}6\) liegen.

- Erstelle eine Liste aller Temperaturen, die nacheinander erreicht werden. - Vergiss nicht, die Starttemperatur als ersten Wert in deine Überlegungen einzubeziehen. - Achte beim Addieren und Subtrahieren genau auf die Vorzeichen der Änderungen.

1. Berechnung der Temperaturen nach jedem Schritt: - Start: \(8{,}5\,^\circ\text{C}\) - Nach 1. Änderung: \(8{,}5 - 2{,}4 = 6{,}1\,^\circ\text{C}\) - Nach 2. Änderung: \(6{,}1 + 5{,}8 = 11{,}9\,^\circ\text{C}\) - Nach 3. Änderung: \(11{,}9 - 1{,}2 = 10{,}7\,^\circ\text{C}\) - Nach 4. Änderung: \(10{,}7 - 3{,}7 = 7{,}0\,^\circ\text{C}\) - Nach 5. Änderung: \(7{,}0 + 4{,}1 = 11{,}1\,^\circ\text{C}\) 2. Bestimmung der Werte aus der Liste \(\{8{,}5; 6{,}1; 11{,}9; 10{,}7; 7{,}0; 11{,}1\}\): - Endtemperatur: \(11{,}1\,^\circ\text{C}\) - Höchste Temperatur: \(11{,}9\,^\circ\text{C}\) - Niedrigste Temperatur: \(6{,}1\,^\circ\text{C}\)

a) Die Endtemperatur beträgt \(11{,}1\,^\circ\text{C}\). b) Die höchste Temperatur war \(11{,}9\,^\circ\text{C}\). c) Die niedrigste Temperatur war \(6{,}1\,^\circ\text{C}\).

- Berechne zunächst Schritt für Schritt, wie viel Wasser nach jeder Aktion in der Tonne ist. - Für den zweiten Teil der Aufgabe musst du zuerst herausfinden, wann die Tonne am vollsten war. - Subtrahiere diesen Höchststand dann vom Gesamtvolumen der Tonne.

1. Berechnung der Füllstände nach jedem Ereignis: - Start: \(120{,}75\,\text{l}\) - Nach Regen 1: \(120{,}75 + 34{,}50 = 155{,}25\,\text{l}\) - Nach Gießen 1: \(155{,}25 - 55{,}20 = 100{,}05\,\text{l}\) - Nach Regen 2: \(100{,}05 + 12{,}85 = 112{,}90\,\text{l}\) - Nach Gießen 2: \(112{,}90 - 88{,}40 = 24{,}50\,\text{l}\) 2. Ermittlung des maximalen Füllstands: \(155{,}25\,\text{l}\). 3. Berechnung des freien Platzes bei Maximum: \(200{,}00 - 155{,}25 = 44{,}75\,\text{l}\).

a) Am Ende befinden sich \(24{,}50\,\text{l}\) in der Tonne. b) Beim höchsten Füllstand waren noch \(44{,}75\,\text{l}\) Platz in der Tonne.

- Beachte, dass der Kontostand auch negativ werden kann („im Minus sein“). - Wenn du von einem negativen Stand zu einem positiven Zielwert willst, musst du den Schuldenbetrag und den Zielwert zusammenrechnen. - Gehe die Buchungen einzeln nacheinander durch und notiere dir jedes Zwischenergebnis.

1. Berechnung der Kontostände: - Start: \(250{,}00\,\text{€}\) - Nach 1. Abbuchung: \(250{,}00 - 315{,}50 = -65{,}50\,\text{€}\) - Nach Einzahlung: \(-65{,}50 + 120{,}00 = 54{,}50\,\text{€}\) - Nach 2. Abbuchung: \(54{,}50 - 85{,}25 = -30{,}75\,\text{€}\) 2. Vergleich der Stände \(\{250{,}00; -65{,}50; 54{,}50; -30{,}75\}\): - Niedrigster Stand: \(-65{,}50\,\text{€}\) - Endstand: \(-30{,}75\,\text{€}\) 3. Berechnung der Differenz zum Zielwert: \(100{,}00 - (-30{,}75) = 130{,}75\,\text{€}\).

a) Der niedrigste Kontostand betrug \(-65{,}50\,\text{€}\). b) Der Endstand beträgt \(-30{,}75\,\text{€}\). c) Es müssten \(130{,}75\,\text{€}\) eingezahlt werden.

- Was ist der Startwert für deine Rechnung? - Wie verändern positive und negative Werte das Ergebnis? - Um den höchsten und niedrigsten Punkt zu finden, hilft es, die Temperatur nach jedem einzelnen Schritt auszurechnen. - Beziehe jede Temperaturänderung auf den jeweils vorherigen Messzeitpunkt.

1. Aufstellen des Terms für die Endtemperatur: \(-2{,}5 + 4{,}2 + 3{,}8 + 2{,}4 - 1{,}5 - 4{,}6 - 2{,}3\). 2. Berechnung der Endtemperatur um 21:00 Uhr: \(-0{,}5\,^{\circ}\text{C}\). 3. Berechnung der Zwischenstände zur Ermittlung von Maximum und Minimum: Mitternacht: \(-2{,}5\,^{\circ}\text{C}\) 06:00 Uhr: \(-2{,}5 + 4{,}2 = 1{,}7\,^{\circ}\text{C}\) 09:00 Uhr: \(1{,}7 + 3{,}8 = 5{,}5\,^{\circ}\text{C}\) 12:00 Uhr: \(5{,}5 + 2{,}4 = 7{,}9\,^{\circ}\text{C}\) 15:00 Uhr: \(7{,}9 - 1{,}5 = 6{,}4\,^{\circ}\text{C}\) 18:00 Uhr: \(6{,}4 - 4{,}6 = 1{,}8\,^{\circ}\text{C}\) 21:00 Uhr: \(1{,}8 - 2{,}3 = -0{,}5\,^{\circ}\text{C}\) 4. Vergleich der Werte: Die höchste Temperatur betrug \(7{,}9\,^{\circ}\text{C}\) (um 12:00 Uhr), die niedrigste Temperatur betrug \(-2{,}5\,^{\circ}\text{C}\) (um Mitternacht).

a) Der Rechenausdruck lautet \(-2{,}5 + 4{,}2 + 3{,}8 + 2{,}4 - 1{,}5 - 4{,}6 - 2{,}3\). Die Temperatur um 21:00 Uhr beträgt \(-0{,}5\,^{\circ}\text{C}\). b) Die höchste Temperatur war \(7{,}9\,^{\circ}\text{C}\), die niedrigste Temperatur war \(-2{,}5\,^{\circ}\text{C}\).

- Kannst du die Einnahmen und Ausgaben getrennt zusammenfassen, um die Rechnung zu vereinfachen? - Was bedeutet ein negatives Vorzeichen bei einem Geldbetrag für das Guthaben? - Um herauszufinden, ob das Konto zwischendurch im Minus war, musst du die Beträge nacheinander in der zeitlichen Reihenfolge verrechnen.

1. Aufstellen des Terms für den Endstand: \(28{,}50 - 14{,}20 + 20{,}00 - 35{,}00 + 12{,}50 - 6{,}80\). 2. Berechnung der Zwischenstände: Start: \(28{,}50\,\text{€}\) Nach 04.04.: \(28{,}50 - 14{,}20 = 14{,}30\,\text{€}\) Nach 10.04.: \(14{,}30 + 20{,}00 = 34{,}30\,\text{€}\) Nach 15.04.: \(34{,}30 - 35{,}00 = -0{,}70\,\text{€}\) Nach 22.04.: \(-0{,}70 + 12{,}50 = 11{,}80\,\text{€}\) Nach 28.04.: \(11{,}80 - 6{,}80 = 5{,}00\,\text{€}\) 3. Auswertung: Der Endstand beträgt \(5{,}00\,\text{€}\). Der niedrigste Stand war \(-0{,}70\,\text{€}\), das Konto war also am 15.04. im Minus.

a) Der Kontostand am Ende des Monats beträgt \(5{,}00\,\text{€}\). b) Ja, das Konto war im Minus. Der niedrigste Stand betrug \(-0{,}70\,\text{€}\).

- Verfolge den Bestand chronologisch vom Anfangswert aus. - Notiere nach jeder Veränderung den neuen Zwischenbestand. - Vergleiche für b) alle Zwischenbestände einschließlich des Anfangsbestands.

1. Der Endbestand ist \(15{,}5-3{,}2-4{,}8+20{,}0-7{,}5-9{,}4=10{,}6\,\text{kg}\). 2. Nach Montag sind \(12{,}3\,\text{kg}\), nach Dienstag \(7{,}5\,\text{kg}\), nach Mittwoch \(27{,}5\,\text{kg}\), nach Donnerstag \(20{,}0\,\text{kg}\) und nach Freitag \(10{,}6\,\text{kg}\) vorhanden. 3. Der größte dieser Bestände ist \(27{,}5\,\text{kg}\).

a) \(10{,}6\,\text{kg}\) b) \(27{,}5\,\text{kg}\)

- Achte auf Vorzeichen und Richtung jedes Sprungs. - Wenn ein Startwert gesucht ist, arbeite vom bekannten Zielwert mit der Umkehroperation zurück. - Führe bei mehreren Pfeilen die Sprünge nacheinander aus.

1. Vom Startwert \(3{,}5\) führt der Sprung \(-4{,}8\) zu \(3{,}5-4{,}8=-1{,}3\). 2. Beim zweiten Zahlenstrahl ist der Startwert gesucht. Rückwärts gerechnet gilt \(-0{,}8-2{,}6=-3{,}4\). 3. Beim dritten Zahlenstrahl ergibt der erste Sprung \(-1{,}2-1{,}5=-2{,}7\). 4. Der nächste Sprung führt zu \(-2{,}7+3{,}1=0{,}4\).

a) \(-1{,}3\) b) \(-3{,}4\) c) \(-2{,}7\) und \(0{,}4\)

- Ein positiver Sprung verändert den Wert in die positive, ein negativer in die negative Richtung. - Wenn nur der Endpunkt bekannt ist, arbeite mit den Umkehroperationen rückwärts. - Kontrolliere am Ende, ob deine Werte die vorgegebenen Sprünge in der richtigen Reihenfolge erfüllen.

1. Vom Startwert \(2{,}8\) führt der erste Sprung zu \(2{,}8+1{,}5=4{,}3\). 2. Der nächste Sprung ergibt \(4{,}3+0{,}9=5{,}2\). 3. Vom Startwert \(7{,}3\) führt der erste negative Sprung zu \(7{,}3-2{,}6=4{,}7\). 4. Danach gilt \(4{,}7-1{,}8=2{,}9\). 5. Beim letzten Zahlenstrahl ist der Endwert \(5{,}5\) bekannt. Rückwärts über den letzten Sprung ergibt sich \(5{,}5+1{,}6=7{,}1\). 6. Rückwärts über den ersten Sprung erhält man \(7{,}1-3{,}4=3{,}7\).

a) \(4{,}3\) und \(5{,}2\) b) \(4{,}7\) und \(2{,}9\) c) \(3{,}7\) und \(7{,}1\)

- Achte auf Richtung und Größe der einzelnen Sprünge. - Wenn der Anfangswert gesucht ist, arbeite vom bekannten Zielwert rückwärts. - Bei mehreren Sprüngen muss jeder Zwischenwert zum nächsten Pfeil passen.

1. Der erste Sprung ergibt \(1{,}25+0{,}45=1{,}7\). 2. Beim zweiten Zahlenstrahl ist der Startwert gesucht. Rückwärts gerechnet gilt \(0{,}5-0{,}8=-0{,}3\). 3. Beim dritten Zahlenstrahl führt der erste Sprung zu \(0{,}1-0{,}75=-0{,}65\). 4. Der zweite Sprung führt weiter zu \(-0{,}65+0{,}25=-0{,}4\).

a) \(1{,}7\) b) \(-0{,}3\) c) \(-0{,}65\) und \(-0{,}4\)

- Kannst du die Preise erst einmal grob runden, um ein Gefühl für die Summe zu bekommen? - Wie viel Geld hat Lukas insgesamt durch seine Gutscheine zur Verfügung? - Was ist der Unterschied zwischen dem Betrag, den Lukas eigentlich zahlen müsste, und dem Betrag auf dem Kassenzettel? - Könnte die Differenz mit einem der Artikelpreise zusammenhängen?

1. Schätzung der Kosten durch Rundung auf ganze Euro: \(3 \cdot 1\,\text{€} + 7\,\text{€} + 2 \cdot 2\,\text{€} = 14\,\text{€}\). 2. Schätzung der Gutscheine durch Rundung auf ganze Euro: \(5\,\text{€} + 2\,\text{€} + 4\,\text{€} = 11\,\text{€}\). Die Gutscheine reichen voraussichtlich nicht aus. 3. Exakte Kosten: \(3 \cdot 1{,}49\,\text{€} + 6{,}95\,\text{€} + 2 \cdot 2{,}25\,\text{€} = 4{,}47\,\text{€} + 6{,}95\,\text{€} + 4{,}50\,\text{€} = 15{,}92\,\text{€}\). 4. Exakter Gutscheinwert: \(5{,}00\,\text{€} + 2{,}20\,\text{€} + 3{,}50\,\text{€} = 10{,}70\,\text{€}\). 5. Tatsächlicher Restbetrag: \(15{,}92\,\text{€} - 10{,}70\,\text{€} = 5{,}22\,\text{€}\). Lukas muss noch \(5{,}22\,\text{€}\) bezahlen. 6. Fehleranalyse: Die Differenz zwischen dem korrekten Restbetrag und dem Kassenbetrag ist \(5{,}22\,\text{€} - 3{,}27\,\text{€} = 1{,}95\,\text{€}\). 7. Wenn die Tischdecke statt mit \(6{,}95\,\text{€}\) fälschlich mit \(5{,}00\,\text{€}\) eingegeben wurde, ist der Einkauf um \(1{,}95\,\text{€}\) zu billig und der angezeigte Endbetrag beträgt \(3{,}27\,\text{€}\).

a) Gerundet kostet der Einkauf etwa \(14\,\text{€}\), die Gutscheine sind etwa \(11\,\text{€}\) wert. Sie reichen nicht aus. b) Lukas muss noch \(5{,}22\,\text{€}\) bezahlen. c) Die Tischdecke wurde vermutlich mit \(5{,}00\,\text{€}\) statt mit \(6{,}95\,\text{€}\) eingegeben.