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- Der ursprüngliche Preis ist das Ganze und entspricht \(100\,\%\). - Rabatt ist der Anteil, der nicht bezahlt werden muss.

1. Der ursprüngliche Preis entspricht \(100\,\%\). 2. Nach einem Rabatt von \(20\,\%\) bleiben \(100\,\% - 20\,\% = 80\,\%\) zu bezahlen.

Es müssen noch \(80\,\%\) des ursprünglichen Preises bezahlt werden.

- Achte darauf, welche der drei Angaben ein Geldbetrag und welche eine Prozentangabe ist. - Der Zinssatz beschreibt einen Anteil des Kapitals; die Zinsen sind der dazugehörige Geldbetrag.

1. \(K = 500\,\text{€}\) ist das Kapital, also der Grundbetrag auf dem Konto. 2. \(p\,\% = 2\,\%\) ist der Zinssatz, also die prozentuale Verzinsung für das Jahr. 3. \(Z = 10\,\text{€}\) sind die Zinsen, also der Geldbetrag, der für dieses Jahr gutgeschrieben wird.

\(K = 500\,\text{€}\): Kapital bzw. Grundbetrag. \(p\,\% = 2\,\%\): Zinssatz bzw. prozentuale Verzinsung. \(Z = 10\,\text{€}\): Zinsen bzw. gutgeschriebener Geldbetrag für das Jahr.

- Welcher Wert stellt das Ganze (die \(100\,\%\)) dar? - Kannst du den Prozentsatz in einen Dezimalbruch oder einen gewöhnlichen Bruch umwandeln? - Wie hängen der ursprüngliche Preis, der Rabatt und der neue Preis zusammen?

1. Berechnung des Rabattbetrags (Prozentwert): \(320\,\text{€} \cdot 0{,}15 = 48\,\text{€}\). 2. Berechnung des Endpreises: \(320\,\text{€} - 48\,\text{€} = 272\,\text{€}\).

a) Die Ersparnis beträgt \(48\,\text{€}\). b) Der neue Preis beträgt \(272\,\text{€}\).

- Überlege dir zuerst, was \(100\,\%\) in dieser Aufgabe ist. - Was ist der Unterschied zwischen „um \(15\,\%\) senken“ und „auf \(80\,\%\) reduzieren“? - Kannst du den neuen Prozentsatz bestimmen, bevor du rechnest?

1. Berechnung für Fall a): Bestimmung des Rabattwerts durch \(120 \cdot 0{,}15 = 18\,\text{€}\) oder Berechnung des verbleibenden Anteils (\(85\,\%\)) durch \(120 \cdot 0{,}85 = 102\,\text{€}\). Der neue Preis beträgt \(102\,\text{€}\). 2. Berechnung für Fall b): Bestimmung des Erhöhungsbetrags durch \(120 \cdot 0{,}05 = 6\,\text{€}\) oder Berechnung des neuen Gesamtwerts (\(105\,\%\)) durch \(120 \cdot 1{,}05 = 126\,\text{€}\). Der neue Preis beträgt \(126\,\text{€}\). 3. Berechnung für Fall c): Direkte Anwendung des Prozentsatzes auf den Grundwert durch \(120 \cdot 0{,}80 = 96\,\text{€}\). Der neue Preis beträgt \(96\,\text{€}\).

a) \(102\,\text{€}\) b) \(126\,\text{€}\) c) \(96\,\text{€}\)

- Kannst du den prozentualen Rabatt des ersten Geschäfts in Euro umrechnen? - Was ist der Endpreis in jedem Geschäft? - Vergleiche entweder die beiden Endpreise oder die beiden Ersparnisse.

1. Im Radhaus Morgenwind beträgt der Rabatt \(450\,\text{€} \cdot 0{,}12 = 54\,\text{€}\). Der Endpreis ist \(450\,\text{€} - 54\,\text{€} = 396\,\text{€}\). 2. Bei Bikepoint Falken beträgt der Endpreis \(450\,\text{€} - 55\,\text{€} = 395\,\text{€}\). 3. Der Unterschied ist \(396\,\text{€} - 395\,\text{€} = 1\,\text{€}\). Bikepoint Falken ist günstiger.

Das Angebot von Bikepoint Falken ist günstiger. Der Preisunterschied beträgt \(1\,\text{€}\).

- Bestimme zuerst, wie viel Prozent des ursprünglichen Preises nach dem Rabatt noch übrig sind. - Nutze, dass \(25\,\%\) ein Drittel von \(75\,\%\) sind. - Ergänze den bezahlten Anteil anschließend auf den ursprünglichen Preis.

1. Nach \(25\,\%\) Rabatt werden noch \(75\,\%\) des ursprünglichen Preises bezahlt. 2. \(75\,\%\) entsprechen \(54\,\text{€}\). Damit entsprechen \(25\,\%\) dem Drittel davon: \(54\,\text{€} {:} 3 = 18\,\text{€}\). 3. \(100\,\%\) sind \(75\,\% + 25\,\%\), also \(54\,\text{€} + 18\,\text{€} = 72\,\text{€}\).

Der ursprüngliche Preis betrug \(72\,\text{€}\).

- Bei einfachen Jahreszinsen ist der Zinsbetrag ein Prozentwert des Kapitals. - Bestimme zuerst, welcher Geldbetrag zu \(1\,\%\) des Kapitals gehört. - Rechne von dort auf den angegebenen Zinssatz hoch.

1. Gesucht ist der Prozentwert zum Kapital \(K = 750\,\text{€}\) und zum Zinssatz \(p\,\% = 4\,\%\). 2. \(1\,\%\) von \(750\,\text{€}\) sind \(7{,}50\,\text{€}\). 3. \(4\,\%\) sind \(4 \cdot 7{,}50\,\text{€} = 30\,\text{€}\).

Die Zinsen betragen \(Z = 30\,\text{€}\).

- Berechne zuerst den Zinsbetrag als Prozentwert des Kapitals. - Du kannst \(1{,}5\,\%\) in leicht berechenbare Anteile zerlegen. - Erst nach der Zinsberechnung addierst du die Zinsen zum ursprünglichen Kapital.

1. \(1\,\%\) von \(1200\,\text{€}\) sind \(12\,\text{€}\), und \(0{,}5\,\%\) sind \(6\,\text{€}\). 2. Daher sind \(1{,}5\,\%\) von \(1200\,\text{€}\) gleich \(12\,\text{€} + 6\,\text{€} = 18\,\text{€}\). Also gilt \(Z = 18\,\text{€}\). 3. Nach der Gutschrift beträgt der Kontostand \(1200\,\text{€} + 18\,\text{€} = 1218\,\text{€}\).

Die Zinsen betragen \(Z = 18\,\text{€}\). Danach beträgt der Kontostand \(1218\,\text{€}\).

- Hier ist der Zinsbetrag gegeben, das zugrunde liegende Kapital aber unbekannt. - Ordne \(3\,\%\) dem bekannten Zinsbetrag zu und rechne zunächst auf \(1\,\%\) zurück. - Das vollständige Kapital entspricht \(100\,\%\).

1. \(3\,\%\) des Kapitals entsprechen \(24\,\text{€}\). 2. \(1\,\%\) entspricht \(24\,\text{€} {:} 3 = 8\,\text{€}\). 3. \(100\,\%\) entsprechen \(8\,\text{€} \cdot 100 = 800\,\text{€}\). Damit ist \(K = 800\,\text{€}\).

Das Kapital betrug \(K = 800\,\text{€}\).

- Vergleiche den Zinsbetrag mit dem gesamten Kapital. - Der gesuchte Zinssatz ist der Prozentsatz, den \(15\,\text{€}\) von \(600\,\text{€}\) ausmachen. - Du kannst den Quotienten aus Teil und Ganzem zuerst als Dezimalzahl bestimmen.

1. Der Zinssatz gibt an, wie viel Prozent des Kapitals der Zinsbetrag ausmacht. 2. Der Anteil ist \(\frac{15}{600} = 0{,}025\). 3. \(0{,}025 = 2{,}5\,\%\). Somit gilt \(p\,\% = 2{,}5\,\%\).

Der Zinssatz beträgt \(p\,\% = 2{,}5\,\%\).

- Bestimme zuerst den Preis aller Artikel ohne den Nachtisch. - Wird der Rabatt auch ohne den Nachtisch schon gewährt? - Berechne den neuen Gesamtpreis inklusive Nachtisch und ziehe dann den Rabatt ab. - Vergleiche die beiden Endergebnisse miteinander.

1. Berechnung der Summe ohne Nachtisch: \(7{,}50 + 8{,}20 + 5{,}40 + 4{,}80 = 25{,}90\,\text{€}\). Da dieser Wert unter \(30\,\text{€}\) liegt, gibt es keinen Rabatt. 2. Berechnung der Summe mit Nachtisch: \(25{,}90 + 4{,}50 = 30{,}40\,\text{€}\). 3. Prüfung der Rabattbedingung: Da \(30{,}40\,\text{€} \ge 30\,\text{€}\), wird der Rabatt gewährt. 4. Berechnung des Rabattbetrags: \(10\,\%\) von \(30{,}40\,\text{€} = 0{,}10 \cdot 30{,}40 = 3{,}04\,\text{€}\). 5. Berechnung des Endpreises mit Rabatt: \(30{,}40 - 3{,}04 = 27{,}36\,\text{€}\). 6. Vergleich der Endpreise: \(27{,}36\,\text{€} > 25{,}90\,\text{€}\). Die Gruppe zahlt mit Nachtisch insgesamt mehr.

Sie zahlen mit dem Nachtisch insgesamt mehr. Ohne Nachtisch beträgt der Preis \(25{,}90\,\text{€}\). Mit Nachtisch und dem \(10\,\%\)-Rabatt beträgt der Endpreis \(27{,}36\,\text{€}\).

- Was genau ist hier gefragt: der neue Preis oder nur die Ersparnis? - Wie berechnet man einen Anteil von einem Ganzen? - Hilft es dir, die Prozentsätze in einfache Brüche umzuwandeln?

1. Beim Fußball beträgt die Ersparnis \(0{,}20 \cdot 35{,}00\,\text{€} = 7{,}00\,\text{€}\). 2. Beim Basketball beträgt die Ersparnis \(0{,}15 \cdot 48{,}00\,\text{€} = 7{,}20\,\text{€}\). 3. Beim Handball beträgt die Ersparnis \(0{,}25 \cdot 28{,}00\,\text{€} = 7{,}00\,\text{€}\). 4. Damit ist \(7{,}20\,\text{€}\) die größte Ersparnis.

Beim Basketball spart man mit \(7{,}20\,\text{€}\) am meisten Geld.

- Berechne für beide Aktionen den Preis, den man am Ende tatsächlich bezahlen muss. - Wenn etwas um einen Prozentsatz reduziert wird, wie viel Prozent vom ursprünglichen Preis bleiben dann übrig? - Vergleiche am Ende die beiden Ergebnisse.

1. Bei Aktion A bleiben \(100\,\% - 25\,\% = 75\,\%\) des Originalpreises zu zahlen. Das sind \(40\,\text{€} \cdot 0{,}75 = 30\,\text{€}\). 2. Bei Aktion B kostet der Ball \(32\,\text{€}\). 3. Der Unterschied beträgt \(32\,\text{€} - 30\,\text{€} = 2\,\text{€}\). Aktion A ist günstiger.

Aktion A ist günstiger. Der Unterschied beträgt \(2\,\text{€}\).

- Was bedeutet „jedes vierte“ als Bruch ausgedrückt? - Rechne beide Brüche in Prozentangaben um und vergleiche sie. - Wann ist ein Angebot günstiger: wenn der Gratisanteil steigt oder sinkt? - Prüfe, ob die Prozentangabe am Ende zum aktuellen Angebot passt.

1. „Jedes vierte“ entspricht \(\frac{1}{4} = 25\,\%\), „jedes fünfte“ entspricht \(\frac{1}{5} = 20\,\%\). 2. Das neue Angebot ist daher nicht günstiger, sondern bietet einen kleineren Gratisanteil. Außerdem passen die genannten \(25\,\%\) zum alten, nicht zum neuen Angebot. 3. Eine mathematisch stimmige Verbesserung wäre: „Früher war jedes fünfte Brötchen gratis (\(20\,\%\)), heute ist jedes vierte Brötchen gratis. Damit sparst du \(25\,\%\).“

Der Text ist widersprüchlich, weil „jedes fünfte“ \(20\,\%\) und „jedes vierte“ \(25\,\%\) entspricht. Das neue Angebot ist also schlechter, und die \(25\,\%\) passen nicht zum neuen Angebot. Eine korrekte Version wäre: „Früher war jedes fünfte Brötchen gratis (\(20\,\%\)), heute ist jedes vierte Brötchen gratis. Damit sparst du \(25\,\%\).“

- Achte besonders auf die kleinen Wörter im Werbeslogan. Was bedeutet „bis zu“ genau? - Gilt der hohe Rabatt für alle Gegenstände im Laden oder nur für manche? - Welche Information wird groß hervorgehoben und welche bleibt im Hintergrund?

1. „Bis zu \(70\,\%\)“ nennt nur die Obergrenze der Rabatte. Die Aussage verspricht nicht, dass alle oder die meisten Artikel um \(70\,\%\) reduziert sind. 2. Kein genannter Rabatt überschreitet \(70\,\%\), und die Duftkerzen erreichen diese Obergrenze. Deshalb ist der Wortlaut des Slogans wahr. 3. Irreführend wirkt die Werbung trotzdem, weil die große Zahl \(70\,\%\) hervorgehoben wird, obwohl die Möbel nur um \(5\,\%\) reduziert sind.

Der Eindruck ist irreführend, weil die hervorgehobenen \(70\,\%\) nur für einen kleinen Teil des Sortiments gelten. Der Slogan ist dennoch wahr, weil „bis zu“ nur eine Obergrenze bezeichnet und tatsächlich mindestens ein Artikel diesen Rabatt erreicht.

- Was genau stellt der Betrag von \(72\,\text{€}\) in dieser Situation dar? - Überlege, wie du von \(15\,\%\) auf \(100\,\%\) hochrechnen kannst. - Gibt es eine Zahl, durch die du \(15\,\%\) und \(72\,\text{€}\) teilen kannst, um einen einfacheren Zwischenwert zu erhalten?

1. Der Rabattbetrag \(W = 72\,\text{€}\) entspricht dem Prozentsatz \(p\,\% = 15\,\%\) des ursprünglichen Preises \(G\). 2. Daher gilt \(G = 72\,\text{€} : 0{,}15 = 480\,\text{€}\).

Der ursprüngliche Preis des Fahrrads betrug \(480\,\text{€}\).

- Berechne für jedes Konto den Zinsbetrag getrennt. - Vergleiche nicht nur die Zinssätze, sondern auch die beiden Kapitalbeträge. - Überlege nach der Rechnung, welche zwei Größen gemeinsam den Zinsbetrag bestimmen.

1. Für „Aurora“ betragen die Zinsen \(2{,}5\,\%\) von \(800\,\text{€}\), also \(20\,\text{€}\). 2. Für „Nordlicht“ betragen die Zinsen \(3\,\%\) von \(600\,\text{€}\), also \(18\,\text{€}\). 3. Damit fallen auf „Aurora“ \(2\,\text{€}\) mehr Zinsen an. 4. Der Zinsbetrag hängt sowohl vom Zinssatz als auch vom Kapital ab. Das größere Kapital bei „Aurora“ gleicht den niedrigeren Zinssatz mehr als aus.

Auf „Aurora“ fallen mit \(20\,\text{€}\) mehr Zinsen an als auf „Nordlicht“ mit \(18\,\text{€}\). Ein höherer Zinssatz allein garantiert keinen höheren Zinsbetrag, weil auch das Kapital entscheidend ist.

- Prüfe zuerst die Einheit: Ein Zinssatz ist eine Prozentangabe, kein Eurobetrag. - Frage dich, wovon die \(3\,\%\) genommen werden müssen. - Berechne erst die Zinsen und addiere sie danach zum Kapital.

1. Die Zahl \(3\) im Zinssatz bedeutet \(3\,\%\) des Kapitals und nicht \(3\,\text{€}\). 2. \(3\,\%\) von \(400\,\text{€}\) sind \(400\,\text{€} \cdot \frac{3}{100} = 12\,\text{€}\). 3. Der richtige Zinsbetrag ist also \(Z = 12\,\text{€}\). 4. Nach der Gutschrift beträgt der Kontostand \(400\,\text{€} + 12\,\text{€} = 412\,\text{€}\).

Inês verwechselt den Zinssatz \(3\,\%\) mit einem Geldbetrag von \(3\,\text{€}\). Richtig sind \(Z = 12\,\text{€}\) Zinsen und ein Kontostand von \(412\,\text{€}\).

- Rechne zuerst aus, was die Gruppe ohne jeglichen Rabatt bezahlen müsste. - Berechne für Angebot A den Preisnachlass und ziehe ihn vom Gesamtbetrag ab. - Überlege für Angebot B, wie viele Pakete die Gruppe kaufen muss, um für alle 12 Personen Tickets zu haben. - Vergleiche die Ergebnisse der beiden Angebote und den Normalpreis.

1. Berechnung des regulären Preises ohne Rabatt: \(12 \cdot 8{,}50 = 102{,}00\,\text{€}\). 2. Berechnung Angebot A: \(15\,\%\) Rabatt auf \(102{,}00\,\text{€}\). Rabattwert: \(102{,}00 \cdot 0{,}15 = 15{,}30\,\text{€}\). Endpreis A: \(102{,}00 - 15{,}30 = 86{,}70\,\text{€}\). 3. Berechnung Angebot B: Die Gruppe benötigt \(12 : 4 = 3\) Pakete. Kosten: \(3 \cdot 30{,}00 = 90{,}00\,\text{€}\). 4. Vergleich der Angebote: \(86{,}70\,\text{€} < 90{,}00\,\text{€}\), also ist Angebot A günstiger. 5. Berechnung der Ersparnis zum regulären Preis: \(102{,}00 - 86{,}70 = 15{,}30\,\text{€}\).

Angebot A (Gruppenrabatt) ist mit \(86{,}70\,\text{€}\) am günstigsten (Angebot B kostet \(90{,}00\,\text{€}\)). Im Vergleich zum regulären Preis von \(102{,}00\,\text{€}\) spart die Gruppe mit Angebot A insgesamt \(15{,}30\,\text{€}\).

- Berechne zuerst für beide Karten, wie viel ein einzelnes Ticket nach Abzug des Rabatts kostet. - Für Aufgabenteil b): Wie viel mehr kostet die Premium-Karte am Anfang? Und wie viel sparst du mit ihr bei jedem einzelnen Besuch im Vergleich zur Spar-Karte? - Du kannst auch eine Tabelle anlegen, um die Kosten bei einer steigenden Anzahl von Besuchen zu vergleichen.

1. Berechnung der Ticketpreise mit Rabatt: - Spar-Karte: \(12\,\text{€} - (0{,}25 \cdot 12\,\text{€}) = 12\,\text{€} - 3\,\text{€} = 9\,\text{€}\) pro Ticket. - Premium-Karte: \(12\,\text{€} - (0{,}50 \cdot 12\,\text{€}) = 12\,\text{€} - 6\,\text{€} = 6\,\text{€}\) pro Ticket. 2. Lösung Teil a) für \(10\) Besuche: - Spar-Karte: \(24\,\text{€} + 10 \cdot 9\,\text{€} = 24\,\text{€} + 90\,\text{€} = 114\,\text{€}\). - Premium-Karte: \(72\,\text{€} + 10 \cdot 6\,\text{€} = 72\,\text{€} + 60\,\text{€} = 132\,\text{€}\). 3. Lösung Teil b) Vergleich der Karten: - Die Premium-Karte kostet in der Anschaffung \(72\,\text{€} - 24\,\text{€} = 48\,\text{€}\) mehr als die Spar-Karte. - Pro Kinobesuch spart man mit der Premium-Karte gegenüber der Spar-Karte \(9\,\text{€} - 6\,\text{€} = 3\,\text{€}\). - Berechnung des Schnittpunkts: \(48\,\text{€} : 3\,\text{€}/\text{Besuch} = 16\) Besuche. - Bei genau \(16\) Besuchen kosten beide Karten gleich viel (\(24 + 16 \cdot 9 = 168\,\text{€}\) und \(72 + 16 \cdot 6 = 168\,\text{€}\)). - Ab dem \(17.\) Besuch ist die Premium-Karte günstiger.

a) Bei \(10\) Besuchen kostet die Spar-Karte \(114\,\text{€}\) und die Premium-Karte \(132\,\text{€}\). b) Ab dem \(17.\) Kinobesuch ist die Premium-Karte günstiger als die Spar-Karte.