- Überlege, in wie viele gleich große Gruppen das Ganze bei einem Viertel zerlegt wird. - Gesucht ist genau eine dieser gleich großen Gruppen. - Prüfe, ob vier solcher Gruppen wieder die Gesamtzahl ergeben.

1. Ein Viertel von \(20\) erhält man durch Teilen durch \(4\). 2. \(20:4=5\).

Es sind \(5\) Vollkornbrötchen.

- Bestimme, welche Länge das Ganze und welche Länge den gesuchten Teil beschreibt. - Schreibe Teil und Ganzes in derselben Einheit als Bruchbeziehung auf. - Prüfe, ob dein Bruch bereits vollständig gekürzt ist.

1. Das Ganze ist die gesamte Strecke von \(8\,\text{km}\). 2. Der betrachtete Teil ist \(3\,\text{km}\). 3. Der gesuchte Anteil ist daher \(\frac{3}{8}\).

\(\frac{3}{8}\) des Wanderwegs verlaufen am Fluss.

- Frage dich, auf welche gesamte Gruppe sich der Bruchteil bezieht. - Der Nenner beschreibt, in wie viele gleich große Teile das Ganze gedacht wird.

1. Das Ganze ist die gesamte Klasse. 2. Zur Klasse gehören \(24\) Kinder. Deshalb steht \(24\) im Nenner.

a) Das Ganze ist die gesamte Klasse mit \(24\) Kindern. b) Im Nenner steht \(24\).

- Wandle zuerst alle Angaben in die jeweils verlangte kleinere Einheit um. - Führe Addition oder Subtraktion erst aus, wenn beide Größen dieselbe Einheit haben. - Prüfe am Ende, ob jede Antwort tatsächlich in der verlangten Einheit steht.

1. Wandle die Bruchteile jeweils in die verlangte kleinere Einheit um. 2. \(\frac{3}{10}\,\text{km}=300\,\text{m}\), also \(300\,\text{m}+450\,\text{m}=750\,\text{m}\). 3. \(1\,\text{h}=60\,\text{min}\) und \(\frac{1}{12}\,\text{h}=5\,\text{min}\), also \(60\,\text{min}-5\,\text{min}=55\,\text{min}\). 4. \(\frac{1}{4}\,\text{t}=250\,\text{kg}\), also \(250\,\text{kg}-120\,\text{kg}=130\,\text{kg}\). 5. \(\frac{7}{20}\,\text{l}=350\,\text{ml}\), also \(350\,\text{ml}+150\,\text{ml}=500\,\text{ml}\).

a) \(750\,\text{m}\) b) \(55\,\text{min}\) c) \(130\,\text{kg}\) d) \(500\,\text{ml}\)

- Könntest du alle Angaben in dieselbe Einheit umrechnen, um sie besser vergleichen zu können? - Wie viele Meter sind ein ganzer Kilometer? - Überlege, wie man einen Bruchteil einer Größe berechnet.

1. Umrechnung aller Längen in die Einheit Meter: \(1\,\text{km} = 1000\,\text{m}\). 2. Berechnung des Weges von Lukas: \(\frac{3}{4}\text{ von }1000\,\text{m} = (1000 : 4) \cdot 3 = 250 \cdot 3 = 750\,\text{m}\). 3. Weg von Mia: \(700\,\text{m}\) (bereits gegeben). 4. Berechnung des Weges von Ben: \(\frac{4}{5}\text{ von }1000\,\text{m} = (1000 : 5) \cdot 4 = 200 \cdot 4 = 800\,\text{m}\). 5. Vergleich der Werte: \(700\,\text{m} < 750\,\text{m} < 800\,\text{m}\). 6. Ergebnisreihenfolge: Mia, Lukas, Ben.

Die Reihenfolge vom kürzesten zum längsten Weg ist: Mia (\(700\,\text{m}\)), Lukas (\(750\,\text{m}\)), Ben (\(800\,\text{m}\)).

- Bringe das Gesamtvolumen zuerst in Milliliter. - Bestimme jeden angegebenen Bruchteil des Ganzen getrennt. - Prüfe am Ende, ob die drei Teilmengen wieder das Ganze ergeben.

1. Das Gesamtvolumen beträgt \(2\,\text{l} = 2000\,\text{ml}\). 2. Apfelsaft: \(\frac{1}{2}\) von \(2000\,\text{ml}\) sind \(1000\,\text{ml}\). 3. Mineralwasser: \(\frac{3}{10}\) von \(2000\,\text{ml}\) sind \(600\,\text{ml}\). 4. Johannisbeersaft: \(\frac{1}{5}\) von \(2000\,\text{ml}\) sind \(400\,\text{ml}\). 5. Die Anteile ergeben zusammen \(1000 + 600 + 400 = 2000\,\text{ml}\).

Apfelsaft: \(1000\,\text{ml}\) Mineralwasser: \(600\,\text{ml}\) Johannisbeersaft: \(400\,\text{ml}\)

- Lies aus der Abbildung ab, wie viele gleich große Stücke das Ganze bilden und wie viele bereits markiert sind. - Überlege für b), wie viele dieser Stücke genau einer Hälfte entsprechen. - Für c) bestimmst du zuerst, wie viele Stücke nach insgesamt fünf gegessenen noch übrig sind.

1. Die Abbildung zeigt \(8\) gleich große Stücke; \(3\) davon sind orange markiert. Daher wurden \(\frac{3}{8}\) gegessen. 2. Die Hälfte der Pizza entspricht \(4\) von \(8\) Stücken. Nach \(3\) gegessenen Stücken fehlt also noch \(1\) Stück bis zur Hälfte. 3. Werden insgesamt \(5\) Stücke gegessen, bleiben \(8-5=3\) Stücke. Das sind \(\frac{3}{8}\) der Pizza.

a) \(\frac{3}{8}\) b) \(1\) weiteres Stück c) \(\frac{3}{8}\)

- Lies zuerst aus dem Balken ab, wie viele gleich große Teile das Ganze hat und wie viele davon markiert sind. - Nutze für b) die Anzahl der markierten Teile und den dazugehörigen Geldbetrag. - Gehe anschließend von einem gleich großen Teil zum ganzen Balken.

1. Der Balken besteht aus \(8\) gleich großen Teilen; \(3\) davon sind markiert. Der markierte Anteil ist \(\frac{3}{8}\). 2. Die drei markierten Teile entsprechen \(15\,\text{€}\). Ein Teil entspricht daher \(15\,\text{€}:3=5\,\text{€}\). 3. Acht solche Teile ergeben \(8\cdot5\,\text{€}=40\,\text{€}\).

a) \(\frac{3}{8}\) b) \(5\,\text{€}\) c) \(40\,\text{€}\)

- Gehe zuerst von drei gleich großen Teilen zu einem Teil zurück. - Das Ganze besteht aus fünf solchen Teilen. - Prüfe, ob drei Fünftel deines Ergebnisses wieder \(12\,\text{km}\) ergeben.

1. Drei Fünftel entsprechen \(12\,\text{km}\). Ein Fünftel sind deshalb \(12\,\text{km}:3=4\,\text{km}\). 2. Die ganze Strecke besteht aus fünf Fünfteln: \(5\cdot4\,\text{km}=20\,\text{km}\).

\(20\,\text{km}\)

- Vergleiche \(\frac{3}{4}\) zuerst mit \(\frac{1}{2}\). - Wie viel ist die Hälfte von \(20\,\text{kg}\)? - Rechne erst danach den genauen Wert aus.

1. \(\frac{3}{4}\) ist größer als \(\frac{1}{2}\). Die Hälfte von \(20\,\text{kg}\) sind \(10\,\text{kg}\). Das Ergebnis muss also größer als \(10\,\text{kg}\) sein. \(8\,\text{kg}\) kann nicht stimmen. 2. Ein Viertel von \(20\,\text{kg}\) sind \(20\,\text{kg}:4=5\,\text{kg}\). 3. Drei Viertel sind \(3\cdot5\,\text{kg}=15\,\text{kg}\).

a) Nein. \(\frac{3}{4}\) ist mehr als die Hälfte; die Hälfte von \(20\,\text{kg}\) sind \(10\,\text{kg}\). Das Ergebnis muss also größer als \(10\,\text{kg}\) sein. b) \(\frac{3}{4}\) von \(20\,\text{kg}\) sind \(15\,\text{kg}\).

- Bestimme zuerst, welche Gegenstände zum Ganzen gehören. - Zähle alle Bälle in der Kiste. - Prüfe dann, welche Zahl in den Nenner des Anteils gehört.

1. Für den Anteil der roten Bälle ist das Ganze die gesamte Kiste. 2. Insgesamt liegen \(12+8+5=25\) Bälle in der Kiste. 3. Der rote Anteil ist daher \(\frac{12}{25}\). 4. Lea hat die grünen Bälle nicht zum Ganzen gezählt und deshalb den falschen Nenner verwendet.

Lea hat nicht recht. Der rote Anteil ist \(\frac{12}{25}\). Zum Ganzen gehören auch die \(5\) grünen Bälle.

- Bestimme zuerst, wie viele Muffins Schokoglasur haben. - Das Drittel bezieht sich nur auf die Muffins mit Schokoglasur, nicht auf alle \(24\). - Teile diese Teilmenge in drei gleich große Gruppen.

1. Die Hälfte von \(24\) Muffins sind \(12\) Muffins mit Schokoglasur. 2. Ein Drittel von diesen \(12\) Muffins sind \(4\) Muffins. 3. Also haben \(4\) Muffins Schokoglasur und Streusel.

\(4\) Muffins haben Schokoglasur und Streusel.

- Stelle zuerst den Apfelsaft im Krug als Teil der gesamten Schorle dar und kürze diesen Bruch. - Derselbe Bruchteil muss auch für die neue Gesamtmenge gelten. - Gehe bei der neuen Gesamtmenge über einen passenden Stammbruch zum gesuchten Anteil.

1. Der Apfelsaftanteil im Krug beträgt \(\frac{600}{1500}=\frac{2}{5}\). 2. Ein Fünftel von \(4250\,\text{ml}\) ist \(4250\,\text{ml}:5=850\,\text{ml}\). 3. Zwei Fünftel sind \(2\cdot850\,\text{ml}=1700\,\text{ml}\).

a) \(\frac{2}{5}\) b) Es werden \(1700\,\text{ml}\) Apfelsaft benötigt.

- Stelle für beide Klassen den Haustieranteil als Bruch dar und kürze vollständig. - Unterscheide in Teil b) ausdrücklich zwischen einem Anteil und einer tatsächlichen Anzahl. - Bestimme die Anzahl ohne Haustier jeweils aus Gesamtzahl und Anzahl mit Haustier.

1. a) In Klasse 6a ist der Anteil \(\frac{15}{25} = \frac{3}{5}\). In Klasse 6b ist der Anteil \(\frac{18}{30} = \frac{3}{5}\). 2. Die Anteile der Kinder mit Haustier sind also gleich groß. 3. b) In Klasse 6a haben \(25 - 15 = 10\) Kinder kein Haustier. In Klasse 6b sind es \(30 - 18 = 12\). 4. Da \(12 > 10\), ist die absolute Anzahl der Kinder ohne Haustier in Klasse 6b größer.

a) Die Anteile sind gleich groß: In beiden Klassen haben \(\frac{3}{5}\) der Kinder ein Haustier. b) In Klasse 6b ist die absolute Anzahl größer: \(12\) Kinder ohne Haustier gegenüber \(10\) in Klasse 6a.

- Schreibe für jeden Garten den Teil als Bruch des Ganzen. - Kürze beide Brüche. - Bringe die Brüche für den Vergleich auf denselben Nenner.

1. Für Garten A ist der Anteil \(\frac{120}{540}=\frac{2}{9}\). 2. Für Garten B ist der Anteil \(\frac{90}{450}=\frac{1}{5}\). 3. Mit dem gemeinsamen Nenner \(45\) gilt \(\frac{2}{9}=\frac{10}{45}\) und \(\frac{1}{5}=\frac{9}{45}\). 4. Daher ist der Anteil in Garten A größer.

Garten A hat den größeren Anteil.

- Bilde jeweils den Bruch \(\frac{\text{Teichfläche}}{\text{Gesamtfläche}}\). - Bei b) ändert sich nur die Teichfläche von Garten B. - Bringe die beiden neuen Anteile für den Vergleich auf denselben Nenner.

1. Für Garten A gilt \(\frac{250}{1250}=\frac{1}{5}\). 2. Für Garten B gilt zunächst \(\frac{320}{1600}=\frac{1}{5}\). 3. Nach der Vergrößerung hat Garten B \(340\,\text{m}^2\) Teichfläche. Der Anteil ist \(\frac{340}{1600}=\frac{17}{80}\). 4. Für Garten A gilt weiterhin \(\frac{1}{5}=\frac{16}{80}\). Daher ist der Teichanteil in Garten B danach größer.

a) Beide: \(\frac{1}{5}\) b) Garten B, denn \(\frac{17}{80}>\frac{16}{80}\).

- Bei unterschiedlichen maximalen Punktzahlen solltest du nicht nur die erreichten Punkte vergleichen. - Stelle für beide Arbeiten den erreichten Anteil als vollständig gekürzten Bruch dar. - Vergleiche die beiden gekürzten Brüche mit einem gemeinsamen Nenner.

1. Annas Anteil ist \(\frac{27}{36} = \frac{3}{4}\). Lukas' Anteil ist \(\frac{32}{40} = \frac{4}{5}\). 2. Mit dem gemeinsamen Nenner \(20\) gilt \(\frac{3}{4} = \frac{15}{20}\) und \(\frac{4}{5} = \frac{16}{20}\). 3. Da \(\frac{16}{20} > \frac{15}{20}\), hat Lukas relativ zur möglichen Gesamtpunktzahl besser abgeschnitten. 4. Seine Begründung mit der bloßen Punktzahl reicht aber nicht aus, weil die Arbeiten unterschiedliche Gesamtpunktzahlen haben. Entscheidend ist der Anteil der erreichten Punkte.

Lukas hat im Verhältnis zur Gesamtpunktzahl besser abgeschnitten, denn \(\frac{32}{40} = \frac{4}{5} > \frac{3}{4} = \frac{27}{36}\). Seine Begründung nur mit der größeren absoluten Punktzahl ist jedoch nicht ausreichend.

- Bringe die benötigte Sahnemenge zuerst in dieselbe Einheit wie den vorhandenen Vorrat. - Bestimme zunächst die Menge, die einem Achtel der Literangabe entspricht. - Achte darauf, dass nach dem verbleibenden Vorrat gefragt ist.

1. Es gilt \(1\,\text{l} = 1000\,\text{ml}\). 2. Ein Achtelliter entspricht \(1000\,\text{ml} : 8 = 125\,\text{ml}\). Drei Achtelliter entsprechen \(3 \cdot 125\,\text{ml} = 375\,\text{ml}\). 3. Übrig bleiben \(500\,\text{ml} - 375\,\text{ml} = 125\,\text{ml}\).

Es bleiben \(125\,\text{ml}\) Sahne in der Packung übrig.

- Hier ist der Anteil gegeben und das Ganze gesucht. Wie kannst du von \(\frac{3}{8}\) auf \(\frac{1}{8}\) schließen? - Wenn du weißt, wie viel ein Achtel wert ist, wie kommst du dann auf den Gesamtbetrag? - Wie viele Achtel bleiben übrig, wenn drei Achtel ausgegeben wurden?

1. Bestimmung des Wertes für \(\frac{1}{8}\): Da \(\frac{3}{8}\) genau \(45\,\text{€}\) sind, teilt man \(45\,\text{€}\) durch \(3\), was \(15\,\text{€}\) ergibt. 2. Berechnung des Ganzen (Teil a): Da das Ganze \(\frac{8}{8}\) entspricht, multipliziert man \(15\,\text{€}\) mit \(8\). Das ergibt \(120\,\text{€}\). 3. Berechnung des Restbetrags (Teil b): Man subtrahiert den Anteil für das Geschenk vom Ganzen: \(120\,\text{€} - 45\,\text{€} = 75\,\text{€}\). Alternativ berechnet man \(\frac{5}{8}\) von \(120\,\text{€}\) (\(15\,\text{€} \cdot 5 = 75\,\text{€}\)).

a) \(120\,\text{€}\) b) \(75\,\text{€}\)

- Überlege zuerst, auf welche Menge sich „die Hälfte“ bezieht. - Frage dich danach, wovon die \(\frac{2}{5}\) gemeint sind. - Berechne die beiden Anteile nacheinander.

1. Die Hälfte von \(600\,\text{kg}\) sind \(600\,\text{kg}:2=300\,\text{kg}\). 2. Ein Fünftel von \(300\,\text{kg}\) sind \(300\,\text{kg}:5=60\,\text{kg}\). 3. Zwei Fünftel sind \(2\cdot60\,\text{kg}=120\,\text{kg}\).

\(120\,\text{kg}\)

- Bestimme zuerst, wie viel ein Fünfundzwanzigstel der gesamten Altglasmenge wiegt. - Ziehe die Masse der Fremdstoffe von der angelieferten Gesamtmasse ab. - Bringe für Teil b) die Glasmasse und die Flaschenmasse in dieselbe Einheit, bevor du die Anzahl bestimmst.

1. Ein Fünfundzwanzigstel von \(2500\,\text{kg}\) sind \(2500\,\text{kg} : 25 = 100\,\text{kg}\). Zwei Fünfundzwanzigstel sind daher \(2 \cdot 100\,\text{kg} = 200\,\text{kg}\). 2. Reines Glas bleiben \(2500\,\text{kg} - 200\,\text{kg} = 2300\,\text{kg}\). 3. Das sind \(2\,300\,000\,\text{g}\). 4. Daraus lassen sich theoretisch \(2\,300\,000\,\text{g} : 400\,\text{g} = 5750\) Flaschen herstellen.

a) \(2300\,\text{kg}\) reines Glas b) \(5750\) Flaschen

- Bestimme in Teil a) zuerst die Fläche eines Achtels und daraus die Fläche von drei Achteln. - Für Teil b) brauchst du zunächst ein Fünftel der bereits bestimmten Gemüsefläche. - Bringe die Tomatenfläche und den Platzbedarf einer Pflanze in dieselbe Flächeneinheit, bevor du die Anzahl bestimmst.

1. Ein Achtel von \(480\,\text{m}^2\) sind \(480\,\text{m}^2 : 8 = 60\,\text{m}^2\). Drei Achtel sind \(3 \cdot 60\,\text{m}^2 = 180\,\text{m}^2\). 2. Ein Fünftel der Gemüsefläche sind \(180\,\text{m}^2 : 5 = 36\,\text{m}^2\). 3. Es gilt \(1\,\text{m}^2 = 10\,000\,\text{cm}^2\). Damit sind \(36\,\text{m}^2 = 360\,000\,\text{cm}^2\). 4. Auf die Tomatenfläche passen \(360\,000\,\text{cm}^2 : 2500\,\text{cm}^2 = 144\) Pflanzen.

a) \(180\,\text{m}^2\) b) \(144\) Tomatenpflanzen

- Berechne zuerst die beiden Wassermengen in Litern. - Ziehe die abgelassene Litermenge von der vorhandenen Litermenge ab. - Bilde danach den Bruch aus verbleibender Menge und gesamtem Fassungsvermögen.

1. Ein Fünftel von \(80\,\text{l}\) sind \(80\,\text{l}:5=16\,\text{l}\). Vier Fünftel sind \(4\cdot16\,\text{l}=64\,\text{l}\). 2. Ein Viertel des Fassungsvermögens sind \(80\,\text{l}:4=20\,\text{l}\). 3. Es bleiben \(64\,\text{l}-20\,\text{l}=44\,\text{l}\). 4. Bezogen auf \(80\,\text{l}\) sind das \(\frac{44}{80}=\frac{11}{20}\).

a) \(44\,\text{l}\) b) \(\frac{11}{20}\)

- Bestimme bei Achteln zuerst die Masse eines Achtels. - Für drei Achtel brauchst du drei solcher gleich großen Teile. - Bei b) ist ein Achtel gegeben; gehe von diesem Teil zum Ganzen zurück.

1. Die Hälfte von \(120\,\text{kg}\) sind \(60\,\text{kg}\) Kompost. 2. Ein Achtel von \(120\,\text{kg}\) sind \(120\,\text{kg}:8=15\,\text{kg}\). Drei Achtel sind \(3\cdot15\,\text{kg}=45\,\text{kg}\) Mutterboden. 3. Der Sandanteil beträgt \(15\,\text{kg}\). 4. Bei b) entsprechen \(18\,\text{kg}\) einem Achtel. Das Ganze ist deshalb \(8\cdot18\,\text{kg}=144\,\text{kg}\).

a) \(60\,\text{kg}\) Kompost, \(45\,\text{kg}\) Mutterboden, \(15\,\text{kg}\) Sand b) \(144\,\text{kg}\)

- Berechne zuerst ein Drittel beziehungsweise ein Neuntel der Gesamtmasse. - Für fünf Neuntel brauchst du fünfmal die Masse eines Neuntels. - Bestimme für b) zuerst die benötigte Zementmasse.

1. Ein Drittel von \(540\,\text{kg}\) sind \(540\,\text{kg}:3=180\,\text{kg}\) Sand. 2. Ein Neuntel von \(540\,\text{kg}\) sind \(540\,\text{kg}:9=60\,\text{kg}\). Fünf Neuntel sind \(5\cdot60\,\text{kg}=300\,\text{kg}\) Kies. 3. Der Zementanteil beträgt ein Neuntel, also \(60\,\text{kg}\). 4. Dafür werden \(60\,\text{kg}:20\,\text{kg}=3\) Säcke benötigt.

a) \(180\,\text{kg}\) Sand und \(300\,\text{kg}\) Kies b) \(3\) Säcke

- Was bleibt von der Gesamtstrecke übrig, wenn man den Teil durch den Wald abzieht? - Wie viel Kilometer lang ist also der Teil, der über die Wiese führt? - Wenn du weißt, wie lang ein Viertel der Strecke ist, wie kommst du dann auf das Ganze? - Das Balkenmodell zeigt dir, wie viele gleich große Teile die Gesamtstrecke bilden.

1. Identifikation des Wiesenstücks: Die Differenz zwischen der Gesamtstrecke und dem Waldweg ist die Länge des Wiesenstücks. Also ist das Wiesenstück \(6\,\text{km}\) lang. 2. Verknüpfung mit dem Anteil: Laut Aufgabe entspricht dieses Wiesenstück \(\frac{1}{4}\) der Gesamtstrecke. 3. Berechnung der Gesamtlänge: Wenn ein Viertel der Strecke \(6\,\text{km}\) lang ist, beträgt die Gesamtlänge \(4 \cdot 6\,\text{km} = 24\,\text{km}\).

Die gesamte Wanderstrecke ist \(24\,\text{km}\) lang.