- Welchen konstanten Funktionswert zeigt der Graph? - Welche Breite hat das zugehörige Rechteck? - Welches Vorzeichen erhält ein Flächenbeitrag unterhalb der \(x\)-Achse?

1. Aus dem Graphen liest man \(f(x)=-2\) ab. 2. Zwischen \(x=-2\) und \(x=3\) entsteht ein Rechteck der Breite \(5\) und der geometrischen Höhe \(2\). 3. Da das Rechteck unterhalb der \(x\)-Achse liegt, ist sein Flächenbeitrag \(-5\cdot2=-10\). Somit ist die Flächenbilanz \(\int_{-2}^{3}f(x)\,dx=-10\).

\(\int_{-2}^{3}f(x)\,dx=-10\)

- Lies den Funktionswert an der \(y\)-Achse ab. - Wie breit ist das Intervall, über das integriert wird? - Überlege, welche geometrische Form die Fläche zwischen dem Graphen und der \(x\)-Achse bildet.

1. Ablesen des Funktionswerts: Der Graph ist eine waagrechte Gerade bei \(y = 1{,}5\). 2. Bestimmung der Intervallbreite: Das Integral erstreckt sich von \(x = -3\) bis \(x = 1\), also ist die Breite \(1 - (-3) = 4\). 3. Berechnung des Flächeninhalts: Da die Funktion positiv ist, entspricht das Integral dem Flächeninhalt des Rechtecks: \(4 \cdot 1{,}5 = 6\).

\(\int_{-3}^{1} f(x) \, dx = 6\)

- Welche beiden \(x\)-Werte begrenzen die markierte Fläche im Bild? - Welcher Funktionsterm gehört zum dargestellten Graphen? - Wie werden Funktion und abgelesene Grenzen zu einem bestimmten Integral zusammengesetzt?

1. Aus der Abbildung liest man als linke Grenze \(x=0\) und als rechte Grenze \(x=2\) ab. 2. Der Graph liegt dort oberhalb der \(x\)-Achse. Die Flächenbilanz wird daher durch \(\int_0^2\left(\frac12x^2+1\right)\,dx\) beschrieben.

\(\int_0^2\left(\frac12x^2+1\right)\,dx\)

- Welche \(x\)-Werte bilden den linken und rechten Rand der markierten Fläche? - Welcher Funktionsterm ist zu integrieren? - Muss eine Flächenbilanz an einer Nullstelle zwingend in zwei Integrale zerlegt werden?

1. Aus der Abbildung liest man die Grenzen \(x=0\) und \(x=4\) ab. 2. Mit dem gegebenen Funktionsterm lautet die Flächenbilanz \(\int_0^4\left(\frac12x-1\right)\,dx\). Das Integral berücksichtigt automatisch, dass der Graph bei \(x=2\) die \(x\)-Achse schneidet.

\(\int_0^4\left(\frac12x-1\right)\,dx\)

- Skizziere den Graphen der Funktion im gegebenen Intervall. - Welche geometrische Figur entsteht zwischen dem Graphen und der \(x\)-Achse? - Erinnere dich an die Formeln für den Flächeninhalt von Standardfiguren wie Rechtecken, Dreiecken oder Trapezen. - Wie hängen die Funktionswerte an den Intervallgrenzen mit den Seitenlängen der Figur zusammen?

1. Identifikation der geometrischen Form: Der Graph der linearen Funktion \(f(x) = 0{,}5x + 3\) ist über dem Intervall \([-1; 4]\) eine Gerade. Da die Funktionswerte an den Intervallgrenzen \(f(-1) = 2{,}5\) und \(f(4) = 5\) beide positiv sind, bildet die Fläche zwischen dem Graphen und der \(x\)-Achse ein Trapez. 2. Bestimmung der Trapezmaße: Die parallelen Seiten haben die Längen \(a = f(-1) = 2{,}5\) und \(c = f(4) = 5\). Die Höhe des Trapezes entspricht der Intervallbreite \(h = 4 - (-1) = 5\). 3. Berechnung des Flächeninhalts: Unter Verwendung der Trapezformel \(A = \frac{a+c}{2} \cdot h\) ergibt sich \(A = \frac{2{,}5 + 5}{2} \cdot 5 = 3{,}75 \cdot 5 = 18{,}75\). 4. Bestimmung des Integralwerts: Da die Fläche vollständig oberhalb der \(x\)-Achse liegt, entspricht der Integralwert dem Flächeninhalt: \(18{,}75\).

\(\int_{-1}^{4} (0{,}5x + 3) \, dx = 18{,}75\)

- Welche Symmetrie besitzt die Sinuskurve über eine vollständige Periode? - Welche Eigenschaft hat \(x^4\) bei der Ersetzung \(x\mapsto -x\)? - Vergleiche in c) nicht nur die Funktionsterme, sondern auch die beiden Integrationsintervalle.

1. Zu a): Der Graph der Sinusfunktion ist auf \([0;2\pi]\) punktsymmetrisch zum Punkt \((\pi\mid 0)\). Die positiven Flächenbeiträge auf \([0;\pi]\) und die negativen Flächenbeiträge auf \([\pi;2\pi]\) sind betragsgleich und heben sich in der Flächenbilanz auf. 2. Zu b): Die Funktion \(f(x)=x^4\) ist gerade. Daher sind die Beiträge auf \([-2;0]\) und \([0;2]\) gleich groß, sodass \(\int_{-2}^{2}x^4\,dx=2\int_0^2x^4\,dx\) gilt. 3. Zu c): Der Graph von \(g(x)=x-1\) entsteht aus dem Graphen von \(h(x)=x\) durch eine Verschiebung um eine Einheit nach rechts. Gleichzeitig wird das Intervall \([-1;2]\) auf \([0;3]\) verschoben. Deshalb bleibt die Flächenbilanz unverändert.

a) Wegen der Punktsymmetrie zum Punkt \((\pi\mid 0)\) heben sich die positiven und negativen Flächenbeiträge auf. b) Wegen der Achsensymmetrie von \(x^4\) zur \(y\)-Achse sind die Beiträge auf beiden Intervallhälften gleich. c) Graph und Integrationsintervall werden gemeinsam um eine Einheit nach rechts verschoben; dadurch ändert sich die Flächenbilanz nicht.

- Bestimme zunächst den Integralwert mit einer Stammfunktion. - An welcher Stelle wechselt \(f\) sein Vorzeichen? - Vergleiche die beiden Flächenbeiträge links und rechts der Nullstelle hinsichtlich Betrag und Vorzeichen.

1. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=-\frac18x^2+x\). Damit ist \(I=F(8)-F(0)=-8+8=0\). 2. Die Nullstelle von \(f\) liegt bei \(x=4\). Auf \([0;4]\) ist der Flächenbeitrag positiv und beträgt \(2\), auf \([4;8]\) ist er negativ und beträgt \(-2\). 3. Die beiden Beiträge sind betragsgleich und heben sich in der Flächenbilanz auf. Deshalb ist der Integralwert \(0\).

\(I=0\). Die Flächenbilanz ist ausgeglichen: Der positive Flächenbeitrag auf \([0;4]\) und der negative Flächenbeitrag auf \([4;8]\) sind betragsgleich.

- Prüfe in a), wie sich der Integrand bei \(x\mapsto -x\) verhält. - Welches Vorzeichen hat der Integrand in b) im Inneren des Intervalls? - Welche Wirkung hat es in c), dass die Integrationsgrenzen in umgekehrter Reihenfolge stehen?

1. Zu a): Der Integrand \(f(x)=\frac{2x}{x^2+1}\) ist ungerade. Auf dem zum Ursprung symmetrischen Intervall \([-5;5]\) heben sich die positiven und negativen Flächenbeiträge in der Flächenbilanz auf. Das Integral ist daher \(0\). 2. Zu b): Für \(1<x\leq2\) gilt \(3^x>3\), also ist \(3-3^x<0\). Daher ist der Integralwert negativ. 3. Zu c): Auf \([0;4]\) gilt \(x-4\leq0\), also ist \(\int_0^4(x-4)\,dx<0\). Wegen der vertauschten Grenzen ist \(\int_4^0(x-4)\,dx>0\).

a) null b) negativ c) positiv

- Prüfe bei jedem Integranden, ob er gerade oder ungerade ist. - Welche Folgerung hat eine ungerade Funktion für die Flächenbilanz auf einem symmetrischen Intervall? - Welche Folgerung hat eine gerade Funktion für die beiden Hälften eines symmetrischen Intervalls?

1. Zu a): \(f(x)=x^3-x\) ist ungerade. Auf dem symmetrischen Intervall \([-a;a]\) heben sich die Flächenbeiträge in der Flächenbilanz auf, also ist das Integral \(0\). 2. Zu b): \(g(x)=\cos(x)\) ist gerade. Deshalb sind die Integrale über \([-2;0]\) und \([0;2]\) gleich, sodass das Integral über \([-2;2]\) das Doppelte des rechten Teilintegrals ist. 3. Zu c): \(h(x)=\sin(x)\cos(x)\) ist als Produkt einer ungeraden und einer geraden Funktion ungerade. Daher ist das Integral über \([-1;1]\) gleich \(0\).

a) \(x^3-x\) ist ungerade; auf \([-a;a]\) ist die Flächenbilanz deshalb \(0\). b) \(\cos(x)\) ist gerade; die Beiträge auf \([-2;0]\) und \([0;2]\) sind gleich. c) \(\sin(x)\cos(x)\) ist ungerade; daher verschwindet das Integral auf \([-1;1]\).

- Wo liegen die Nullstellen beziehungsweise Symmetriezentren der drei Graphen? - Welche Flächenbeiträge liegen oberhalb und welche unterhalb der \(x\)-Achse? - Welche Symmetrie macht in c) die beiden positiven Teilflächen gleich groß?

1. Zu a): Die Gerade \(f(x)=x-2\) schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=2\). Auf \([0;2]\) entsteht der Flächenbeitrag \(-2\), auf \([2;4]\) der betragsgleiche Flächenbeitrag \(+2\). Die Flächenbilanz ist daher \(0\). 2. Zu b): Der Graph von \(g(x)=(x-3)^3\) ist punktsymmetrisch zum Punkt \((3\mid0)\), und das Intervall \([1;5]\) liegt symmetrisch um \(x=3\). Die beiden Flächenbeiträge sind betragsgleich und haben entgegengesetzte Vorzeichen. 3. Zu c): Der Graph von \(h(x)=\sin(x)\) ist auf \([0;\pi]\) achsensymmetrisch zur Geraden \(x=\frac{\pi}{2}\). Deshalb sind die beiden positiven Teilflächen auf \([0;\frac{\pi}{2}]\) und \([\frac{\pi}{2};\pi]\) gleich groß.

a) Die Flächenbeiträge auf \([0;2]\) und \([2;4]\) sind \(-2\) und \(+2\); ihre Flächenbilanz ist \(0\). b) Wegen der Punktsymmetrie zu \((3\mid0)\) heben sich die Flächenbeiträge auf. c) Wegen der Achsensymmetrie zu \(x=\frac{\pi}{2}\) sind die beiden Teilflächen gleich groß; das Gesamtintegral ist daher das Doppelte des ersten Teilintegrals.

- Skizziere im Kopf den Verlauf der Funktion. Wo liegt der Scheitelpunkt? - Welche Symmetrie weist eine Parabel im Allgemeinen auf? - Betrachte die Lage der Integrationsgrenzen im Verhältnis zur Symmetrieachse der Funktion. - Haben die beiden Intervalle die gleiche Breite und den gleichen Abstand zur Symmetrieachse?

1. Identifikation der Funktion \(f(x) = (x - 2)^2\) als eine um \(2\) Einheiten nach rechts verschobene Normalparabel. 2. Bestimmung des Scheitelpunkts bei \(S(2\mid 0)\) und der daraus resultierenden Achsensymmetrie des Graphen zur Geraden \(x = 2\). 3. Analyse der Integrationsintervalle: Das Intervall \([1; 2]\) liegt unmittelbar links vom Symmetriezentrum \(x = 2\), das Intervall \([2; 3]\) unmittelbar rechts davon. Beide Intervalle haben die gleiche Breite \(1\). 4. Aufgrund der Achsensymmetrie sind die Flächeninhalte unter dem Graphen in diesen beiden zueinander symmetrisch liegenden Teilintervallen identisch, woraus die Gleichheit der Integrale folgt.

Die Gleichung ist wahr, da der Graph der Funktion \(f(x) = (x - 2)^2\) eine achsensymmetrische Parabel mit der Symmetrieachse \(x = 2\) ist. Da die Intervalle \([1; 2]\) und \([2; 3]\) symmetrisch zu dieser Achse liegen und die gleiche Breite besitzen, sind die Flächeninhalte unter dem Graphen in diesen Bereichen gleich groß.

- Wo liegt die Symmetrieachse der Parabel? - Wie liegen die beiden Teilintervalle \([1;2]\) und \([2;3]\) bezüglich dieser Achse? - Falls du rechnerisch vorgehen möchtest: Welche Stammfunktion von \(f\) kannst du verwenden?

1. Symmetrie: Der Graph von \(f\) ist achsensymmetrisch zur Geraden \(x=2\). Die Intervalle \([1;2]\) und \([2;3]\) liegen spiegelbildlich zur Symmetrieachse. Deshalb sind ihre Flächenbeiträge gleich, also ist das Integral über \([1;3]\) das Doppelte des Integrals über \([2;3]\). 2. Rechnerische Kontrolle: Eine Stammfunktion ist \(F(x)=\frac{1}{3}(x-2)^3-x\). Es gilt \(F(3)-F(1)=-\frac{4}{3}\) und \(2\bigl(F(3)-F(2)\bigr)=-\frac{4}{3}\).

Die Gleichung ist wahr. Wegen der Achsensymmetrie zur Geraden \(x=2\) sind die Flächenbeiträge auf \([1;2]\) und \([2;3]\) gleich. Rechnerisch haben beide Seiten den Wert \(-\frac{4}{3}\).

- Welche Bedeutung hat die Lage des Graphen zur \(x\)-Achse für das Vorzeichen eines Flächenbeitrags? - Wo schneidet die Gerade die \(x\)-Achse? - Welche geometrischen Teilflächen entstehen links und rechts der Nullstelle? - Wie kannst du deine Vermutung anschließend rechnerisch überprüfen?

1. Für \(0\leq x<2\) gilt \(x-2<0\). Daher liegt der Graph auf \([0;2]\) unterhalb der \(x\)-Achse und \(\int_0^2 f(x)\,dx<0\). 2. Die Nullstelle ist \(x=2\). Auf \([0;2]\) liegt ein Dreieck unterhalb der \(x\)-Achse mit Grundseite \(2\) und Höhe \(2\), also mit Flächeninhalt \(2\). Auf \([2;5]\) liegt ein Dreieck oberhalb der \(x\)-Achse mit Grundseite \(3\) und Höhe \(3\), also mit Flächeninhalt \(4{,}5\). Der positive Flächenbeitrag ist größer; daher ist ein positiver Integralwert auf \([0;5]\) zu erwarten. 3. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=\frac{1}{2}x^2-2x\). Damit gilt \(\int_0^2 f(x)\,dx=-2\) und \(\int_0^5 f(x)\,dx=2{,}5\). Beide Vorzeichenvermutungen werden bestätigt.

1. negativ, weil der Graph auf \([0;2]\) unterhalb der \(x\)-Achse liegt 2. Nullstelle: \(x=2\). Der negative Flächenbeitrag hat den Betrag \(2\), der positive den Betrag \(4{,}5\); daher ist der Integralwert positiv zu erwarten. 3. \(\int_0^2 f(x)\,dx=-2\), \(\int_0^5 f(x)\,dx=2{,}5\).

- Untersuche, ob die Funktionen achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung sind. - Welche Eigenschaft haben Integrale von ungeraden Funktionen über einem Intervall der Form \([-k; k]\)? - Wie lässt sich die Berechnung bei einer geraden Funktion vereinfachen?

1. Der Integrand in Teilaufgabe a) ist eine ungerade Funktion, da er nur ungerade Exponenten besitzt. Bei einem symmetrischen Intervall \([-k; k]\) ist der Integralwert daher \(0\). 2. Der Integrand in Teilaufgabe b) ist eine gerade Funktion. Es gilt \(\int_{-k}^{k} (\frac{1}{4}x^4 - 2) \, dx = 2 \cdot \int_{0}^{k} (\frac{1}{4}x^4 - 2) \, dx\). Mit der Stammfunktion \(\frac{1}{20}x^5 - 2x\) folgt \(2 \cdot [\frac{1}{20}x^5 - 2x]_0^k = \frac{1}{10}k^5 - 4k\).

a) \(0\) b) \(\frac{1}{10}k^5 - 4k\)

- Schau dir die Exponenten der Variable \(x\) an. Was fällt dir auf? - Erinnerst du dich an die Regeln für Integrale über Intervalle der Form \([-a; a]\)? - Musst du wirklich jedes Mal die Stammfunktion bilden und beide Grenzen einsetzen? - Überlege, ob der Graph der Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung oder achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist.

1. Untersuchung der Symmetrie für Teilaufgabe a: Die Funktion \(f(x) = x^3 - 25x\) enthält nur ungerade Exponenten und ist somit punktsymmetrisch zum Ursprung. Bei einem zum Ursprung symmetrischen Intervall \([-5; 5]\) heben sich die Flächenanteile oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse auf, sodass das Integral den Wert 0 besitzt. 2. Untersuchung der Symmetrie für Teilaufgabe b: Die Funktion \(g(x) = 3x^2 - 12\) enthält nur gerade Exponenten (beachte \(12 = 12 \cdot x^0\)) und ist somit achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 3. Berechnung unter Ausnutzung der Achsensymmetrie: \(\int_{-2}^{2} (3x^2 - 12) \, dx = 2 \cdot \int_{0}^{2} (3x^2 - 12) \, dx\). 4. Bestimmung der Stammfunktion \(G(x) = x^3 - 12x\) und Auswertung: \(2 \cdot [x^3 - 12x]_0^2 = 2 \cdot (2^3 - 12 \cdot 2 - (0)) = 2 \cdot (8 - 24) = -32\).

a) \(0\) b) \(-32\)

- Wo schneidet der Graph der Funktion die \(x\)-Achse im gegebenen Intervall? - Welche geometrische Form entsteht jeweils zwischen dem Graphen und der \(x\)-Achse? - Was ist der Unterschied in der Rechnung, wenn nach dem Integralwert oder nach dem Flächeninhalt gefragt wird?

1. Identifikation der geometrischen Teilflächen: Die Funktion \(f(x) = x - 3\) hat eine Nullstelle bei \(x = 3\). Im Intervall \([0; 3]\) verläuft der Graph unterhalb der \(x\)-Achse, im Intervall \([3; 5]\) oberhalb. 2. Berechnung der Teilflächen: Die Fläche unterhalb der \(x\)-Achse ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Eckpunkten \((0\mid 0)\), \((0\mid -3)\) und \((3\mid 0)\). Ihr Flächeninhalt ist \(A_{\text{unten}} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 4{,}5\). Die Fläche oberhalb der \(x\)-Achse ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Eckpunkten \((3\mid 0)\), \((5\mid 0)\) und \((5\mid 2)\). Ihr Flächeninhalt ist \(A_{\text{oben}} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\). 3. Berechnung des Integrals (Teil a): Das Integral entspricht der Flächenbilanz: \(\int_{0}^{5} f(x) \, dx = A_{\text{oben}} - A_{\text{unten}} = 2 - 4{,}5 = -2{,}5\). 4. Berechnung des Gesamtflächeninhalts (Teil b): Der absolute Flächeninhalt ist die Summe der Beträge der Teilflächen: \(A_{\text{ges}} = A_{\text{oben}} + A_{\text{unten}} = 2 + 4{,}5 = 6{,}5\).

a) \(\int_{0}^{5} f(x) \, dx = -2{,}5\) b) \(A = 6{,}5\)

- Lies zuerst die beiden Nullstellen des Graphen ab. - Welche Dreiecke liegen zwischen dem Graphen und der \(x\)-Achse? Nutze Grundseite und Höhe. - Flächen unterhalb der \(x\)-Achse gehen mit negativem Vorzeichen in die Flächenbilanz ein.

1. Die Nullstellen des dargestellten Graphen liegen bei \(x=-2\) und \(x=3\). 2. Auf \([-4;-2]\) liegt ein Dreieck unterhalb der \(x\)-Achse. Es hat Grundseite \(2\) und Höhe \(2\). Sein Flächenbeitrag ist daher \(-2\). 3. Auf \([-2;3]\) liegt ein Dreieck oberhalb der \(x\)-Achse. Es hat Grundseite \(5\) und Höhe \(2\). Sein Flächenbeitrag ist daher \(+5\). 4. Auf \([3;4]\) liegt ein Dreieck unterhalb der \(x\)-Achse. Es hat Grundseite \(1\) und Höhe \(2\). Sein Flächenbeitrag ist daher \(-1\). 5. Die Flächenbilanz ist \(-2+5-1=2\). Daher gilt \(\int_{-4}^{4}f(x)\,\mathrm{d}x=2\).

Unterhalb der \(x\)-Achse liegen Dreiecke mit den Flächenbeiträgen \(-2\) und \(-1\). Oberhalb liegt ein Dreieck mit dem Flächenbeitrag \(+5\). Daher ist die Flächenbilanz \(-2+5-1=2\), also \(\int_{-4}^{4}f(x)\,\mathrm{d}x=2\).

- Überlege dir, wie sich die Punktsymmetrie am Wendepunkt \(W(1 \mid 0)\) auf die Form und Größe der beiden Flächenstücke \(A_1\) und \(A_2\) auswirkt. - Denke an den Unterschied zwischen dem Wert eines bestimmten Integrals und dem geometrischen Flächeninhalt, besonders wenn ein Funktionsgraph unterhalb der \(x\)-Achse verläuft. - Nutze die Intervalladditivität des Integrals, um das Integral über das gesamte Intervall \([-1; 3]\) zu bestimmen. - Wie berechnet man den gesamten eingeschlossenen Flächeninhalt, wenn Teile der Fläche unterhalb der \(x\)-Achse liegen?

1. Aufgrund der Punktsymmetrie des Graphen zum Wendepunkt \(W(1 \mid 0)\) ist das Flächenstück \(A_2\) im Intervall \([1; 3]\) durch Punktspiegelung deckungsgleich zum Flächenstück \(A_1\) im Intervall \([-1; 1]\). Daher besitzt \(A_2\) ebenfalls einen Flächeninhalt von \(2\,\text{FE}\). 2. Da das Flächenstück \(A_1\) vollständig oberhalb der \(x\)-Achse liegt, entspricht das Integral dem Flächeninhalt: \(\int_{-1}^{1} f(x) \, dx = 2\). 3. Da das Flächenstück \(A_2\) vollständig unterhalb der \(x\)-Achse liegt, ist das Integral negativ und entspricht dem negativen Flächeninhalt: \(\int_{1}^{3} f(x) \, dx = -2\). 4. Die Flächenbilanz im Intervall \([-1; 3]\) ergibt sich durch Addition der beiden Teilintegrale: \(\int_{-1}^{3} f(x) \, dx = \int_{-1}^{1} f(x) \, dx + \int_{1}^{3} f(x) \, dx = 2 + (-2) = 0\). 5. Der gesamte geometrische Flächeninhalt \(A\) ist die Summe der absoluten Flächeninhalte der beiden Teilstücke: \(A = A_1 + A_2 = 2 + 2 = 4\,\text{FE}\).

a) \(A_2 = 2\,\text{FE}\), \(\int_{-1}^{1} f(x) \, dx = 2\) und \(\int_{1}^{3} f(x) \, dx = -2\). b) \(\int_{-1}^{3} f(x) \, dx = 0\). c) \(A = 4\,\text{FE}\).

- Erinnere dich daran, wie das bestimmte Integral grafisch interpretiert werden kann. - Welche Rolle spielen Flächenstücke oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse bei der Berechnung des Integrals? - Kannst du die gesamte Fläche zwischen dem Graphen und der \(x\)-Achse in einfache geometrische Formen (wie Dreiecke und Rechtecke) zerlegen? - Berechne die einzelnen Flächeninhalte dieser einfachen Formen und beachte das jeweilige Vorzeichen für die Flächenbilanz.

1. Aufteilen des Integrationsbereichs \([-3; 5]\) in Teilintervalle entsprechend den geometrischen Formen zwischen dem Graphen \(G_f\) und der \(x\)-Achse. 2. Bestimmen der Flächeninhalte oberhalb der \(x\)-Achse (positive Beiträge): - Dreieck über dem Intervall \([-3; 0]\) mit der Grundseite \(g = 3\) und der Höhe \(h = 2\). Der Flächeninhalt ist \(A_1 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3\). - Dreieck über dem Intervall \([4; 5]\) mit der Grundseite \(g = 1\) und der Höhe \(h = 2\). Der Flächeninhalt ist \(A_2 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1\). - Der gesamte positive Flächeninhalt beträgt somit \(A_{\text{oben}} = 3 + 1 = 4\). 3. Bestimmen der Flächeninhalte unterhalb der \(x\)-Achse (negative Beiträge): - Dreieck über dem Intervall \([0; 1]\) mit der Grundseite \(g = 1\) und der Höhe \(h = 2\). Der Flächeninhalt ist \(A_3 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1\). - Rechteck über dem Intervall \([1; 3]\) mit der Breite \(b = 2\) und der Höhe \(h = 2\). Der Flächeninhalt ist \(A_4 = 2 \cdot 2 = 4\). - Dreieck über dem Intervall \([3; 4]\) mit der Grundseite \(g = 1\) und der Höhe \(h = 2\). Der Flächeninhalt ist \(A_5 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1\). - Der gesamte negative Flächeninhalt beträgt somit \(A_{\text{unten}} = 1 + 4 + 1 = 6\). 4. Berechnung des Integrals durch die Flächenbilanz: \( \int_{-3}^{5} f(x) \,\mathrm{d}x = A_{\text{oben}} - A_{\text{unten}} = 4 - 6 = -2 \)

\(-2\)

- Wie beeinflusst die Lage des Graphen oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse das Vorzeichen des bestimmten Integrals? - Denke an die Intervalladditivität: Wie kannst du ein Integral über ein großes Intervall in mehrere Teilintegrale zerlegen? - Betrachte jedes Flächenstück einzeln und bestimme, ob sein Wert positiv oder negativ in die Gesamtbilanz eingeht.

1. Zusammenhang zwischen Integral und Flächeninhalt: Liegt ein Flächenstück oberhalb der \(x\)-Achse, so ist das zugehörige Teilintegral positiv und entspricht dem Flächeninhalt. Liegt ein Flächenstück unterhalb der \(x\)-Achse, so ist das zugehörige Teilintegral negativ und entspricht dem negativen Flächeninhalt. 2. Teilaufgabe a): Das Intervall von \(-4\) bis \(-1\) entspricht dem Flächenstück \(A_1\), das unterhalb der \(x\)-Achse liegt. Daher gilt \(\int_{-4}^{-1} f(x)\,\mathrm{d}x = -A_1 = -4\). 3. Teilaufgabe b): Das Intervall von \(-1\) bis \(3\) entspricht dem Flächenstück \(A_2\), das oberhalb der \(x\)-Achse liegt. Daher gilt \(\int_{-1}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x = A_2 = 6\). 4. Teilaufgabe c): Das Intervall \([-4; 3]\) setzt sich aus \([-4; -1]\) und \([-1; 3]\) zusammen. Somit gilt \(\int_{-4}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x = -A_1 + A_2 = -4 + 6 = 2\). 5. Teilaufgabe d): Das Intervall \([-4; 5]\) umfasst alle drei Teilflächen. Somit gilt \(\int_{-4}^{5} f(x)\,\mathrm{d}x = -A_1 + A_2 - A_3 = -4 + 6 - 2 = 0\).

a) \(-4\) b) \(6\) c) \(2\) d) \(0\)

- In welche Dreiecke lässt sich die dargestellte Fläche zerlegen? - Welches Vorzeichen erhält ein Flächenbeitrag unterhalb der \(x\)-Achse? - Worin unterscheiden sich Flächenbilanz und geometrischer Gesamtflächeninhalt?

1. Auf \([-4;-1]\) liegt ein Dreieck oberhalb der \(x\)-Achse mit Flächenbeitrag \(I_1=\frac12\cdot3\cdot2=3\). 2. Auf \([-1;3]\) liegt ein Dreieck unterhalb der \(x\)-Achse mit Flächenbeitrag \(I_2=-\frac12\cdot4\cdot2=-4\). 3. Auf \([3;6]\) liegt ein Dreieck oberhalb der \(x\)-Achse mit Flächenbeitrag \(I_3=\frac12\cdot3\cdot2=3\). 4. Die Flächenbilanz ist \(3-4+3=2\). Die positiven Flächenbeiträge überwiegen die negativen insgesamt um \(2\,\text{FE}\). 5. Der geometrische Gesamtflächeninhalt ist \(|3|+|-4|+|3|=10\,\text{FE}\). Er ist größer als die Flächenbilanz, weil bei ihm alle Teilflächen positiv gezählt werden.

a) 1. \(I_1=3\) 2. \(I_2=-4\) 3. \(I_3=3\) b) \(\int_{-4}^{6}f(x)\,\mathrm{d}x=2\); die Flächenbilanz ist um \(2\,\text{FE}\) positiv. c) \(A=10\,\text{FE}\).

- Achte auf die Integrationsgrenzen auf der \(x\)-Achse und vergleiche sie mit den markierten Bereichen. - Überprüfe den Funktionstyp: Handelt es sich um eine Gerade, eine Parabel oder eine Hyperbel? - Teste charakteristische Punkte wie den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse oder die Werte an den Intervallgrenzen. - Unterscheide zwischen Verschiebungen des Graphen (z. B. \((x-2)^2\) vs. \(x^2\)).

1. Abbildung a) zeigt eine Gerade mit dem \(y\)-Achsenabschnitt \(1\) und einer Steigung von \(0{,}5\). Die markierte Fläche erstreckt sich von \(x=0\) bis \(x=4\). Dies entspricht dem Integral (1). 2. Abbildung b) zeigt eine nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt bei \((2 \mid 0)\), was dem Term \((x-2)^2\) entspricht. Die Grenzen der Fläche liegen bei \(x=0\) und \(x=2\). Dies entspricht dem Integral (2). 3. Abbildung c) zeigt einen hyperbelförmigen Graphen, der durch die Punkte \((1 \mid 4)\) und \((4 \mid 1)\) verläuft. Einsetzen in \(y = \frac{k}{x}\) ergibt \(4 = \frac{k}{1} \Rightarrow k=4\). Die Fläche liegt zwischen \(x=1\) und \(x=4\). Dies entspricht dem Integral (3).

Abbildung a) gehört zu Integral (1), Abbildung b) zu Integral (2) und Abbildung c) zu Integral (3).

- Wo schneidet der Graph die \(x\)-Achse? Teile das Integral an dieser Stelle auf. - Berechne die Flächeninhalte der entstehenden Dreiecke einzeln. - Denke daran, dass Flächen unterhalb der \(x\)-Achse negativ gewertet werden.

1. Zerlegung in Teilflächen: Der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(x = 3\). Es entstehen zwei Dreiecke. 2. Berechnung der negativen Teilfläche \(A_1\) im Intervall \([0; 3]\): Ein rechtwinkliges Dreieck mit den Eckpunkten \((0\mid0), (0\mid-3)\) und \((3\mid0)\). Grundseite \(g_1 = 3\), geometrische Höhe \(h_1 = 3\). Da das Dreieck unterhalb der \(x\)-Achse liegt, gilt \(I_1 = -\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = -4{,}5\). 3. Berechnung der positiven Teilfläche \(A_2\) im Intervall \([3; 5]\): Ein rechtwinkliges Dreieck mit Grundseite \(g_2 = 5 - 3 = 2\) und Höhe \(f(5) = 2\). Flächeninhalt \(I_2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\). 4. Summation zur Flächenbilanz: \(\int_{0}^{5} f(x) \, dx = -4{,}5 + 2 = -2{,}5\).

\(\int_{0}^{5} f(x) \, dx = -2{,}5\)

- Wo schneidet der Graph die \(x\)-Achse? - Welche Dreiecksflächen liegen oberhalb beziehungsweise unterhalb der Achse? - Mit welchen Vorzeichen gehen diese Flächenbeiträge in die Flächenbilanz ein?

1. Aus dem Graphen liest man die Nullstelle \(x=2\) ab. 2. Auf \([-2;2]\) liegt ein Dreieck oberhalb der \(x\)-Achse mit Flächenbeitrag \(\frac12\cdot4\cdot2=4\). 3. Auf \([2;4]\) liegt ein Dreieck unterhalb der \(x\)-Achse mit Flächenbeitrag \(-\frac12\cdot2\cdot1=-1\). 4. Die Flächenbilanz ist \(4-1=3\). Daher gilt \(\int_{-2}^{4}f(x)\,dx=3\).

\(\int_{-2}^{4}f(x)\,dx=3\)

- In welche einfachen geometrischen Teilflächen kannst du den dargestellten Bereich zerlegen? - Wo wechselt der Graph sein Vorzeichen? - Welches Vorzeichen erhält die Teilfläche unterhalb der \(x\)-Achse in der Flächenbilanz?

1. Der Graph hat im betrachteten Bereich die Nullstellen \(x=-3\) und \(x=1\) sowie den Hochpunkt \((-1\mid2)\). 2. Auf \([-3;1]\) liegt ein Dreieck oberhalb der \(x\)-Achse mit Flächenbeitrag \(\frac12\cdot4\cdot2=4\). 3. Auf \([1;2]\) liegt ein Dreieck unterhalb der \(x\)-Achse mit Flächenbeitrag \(-\frac12\cdot1\cdot1=-0{,}5\). 4. Die Flächenbilanz ist \(4-0{,}5=3{,}5\).

\(\int_{-3}^{2}f(x)\,dx=3{,}5\)

- Das Integral entspricht der Bilanz der Flächeninhalte zwischen Funktionsgraph und \(x\)-Achse. - Bestimme die Basis und die Höhe für jedes der beiden Dreiecke. - Beachte das Vorzeichen der Flächenstücke.

1. Identifikation der Teilintervalle: Der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(x = 1\). 2. Berechnung der positiven Teilfläche im Intervall \([-2; 1]\): Ein rechtwinkliges Dreieck mit Grundseite \(1 - (-2) = 3\) und Höhe \(f(-2) = 3\). Flächeninhalt \(I_1 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 4{,}5\). 3. Berechnung der negativen Teilfläche im Intervall \([1; 3]\): Ein rechtwinkliges Dreieck mit Grundseite \(3 - 1 = 2\) und geometrische Höhe \(2\). Da das Dreieck unterhalb der \(x\)-Achse liegt, gilt \(I_2 = -\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = -2\). 4. Addition zur Flächenbilanz: \(\int_{-2}^{3} f(x) \, dx = 4{,}5 - 2 = 2{,}5\).

\(\int_{-2}^{3} f(x) \, dx = 2{,}5\)

- Wo schneidet der Graph die \(x\)-Achse? - In welche Dreiecke lässt sich die Fläche zerlegen? - Mit welchem Vorzeichen geht das Dreieck unterhalb der \(x\)-Achse in die Flächenbilanz ein?

1. Der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=1\). 2. Auf \([-1;1]\) liegt ein Dreieck unterhalb der \(x\)-Achse mit Flächenbeitrag \(-\frac12\cdot2\cdot2=-2\). 3. Auf \([1;2]\) liegt ein Dreieck oberhalb der \(x\)-Achse mit Flächenbeitrag \(\frac12\cdot1\cdot1=0{,}5\). 4. Die Flächenbilanz ist \(-2+0{,}5=-1{,}5\).

\(-1{,}5\)

- Welche Symmetrie besitzt der dargestellte Graph? - Welche Flächenbeiträge entstehen auf \([0;1]\) und \([1;2]\)? - Wie kannst du die Symmetrie nutzen, nachdem du die rechte Hälfte bilanziert hast?

1. Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse und schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=-1\) und \(x=1\). 2. Auf \([0;1]\) liegt ein Dreieck unterhalb der \(x\)-Achse mit Flächenbeitrag \(-0{,}5\), auf \([1;2]\) ein gleich großes Dreieck oberhalb der Achse mit Flächenbeitrag \(+0{,}5\). 3. Die Flächenbilanz auf \([0;2]\) ist daher \(0\). Wegen der Achsensymmetrie gilt für das gesamte Intervall ebenfalls \(\int_{-2}^{2}f(x)\,\mathrm{d}x=0\).

\(0\)

- Welche Symmetrie erkennst du im dargestellten Graphen? - Wie werden durch eine Punktspiegelung am Ursprung die Flächen links und rechts der \(y\)-Achse zugeordnet? - Welche Vorzeichen haben die entsprechenden Flächenbeiträge?

1. Der dargestellte Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Daher sind die Flächenbeiträge auf \([-3;0]\) und \([0;3]\) betragsgleich und haben entgegengesetzte Vorzeichen. 3. In der Flächenbilanz heben sich diese Beiträge auf. Deshalb gilt \(\int_{-3}^{3}f(x)\,dx=0\).

Wegen der Punktsymmetrie zum Ursprung sind die Flächenbeiträge auf \([-3;0]\) und \([0;3]\) betragsgleich und entgegengesetzt. Ihre Flächenbilanz ist \(0\).

- Welche algebraische Bedingung kennzeichnet eine ungerade Funktion? - Was bedeutet Punktsymmetrie zum Ursprung für die Flächenbeiträge auf einem symmetrischen Intervall? - Wie kannst du \(\int_{-1}^{2}f(x)\,dx\) an der Stelle \(x=1\) zerlegen?

1. Es gilt \(f(-x)=-\frac{1}{3}x^3+\frac{4}{3}x=-f(x)\). Damit ist \(f\) ungerade und der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Auf dem symmetrischen Intervall \([-2{,}5;2{,}5]\) sind die Flächenbeiträge paarweise betragsgleich und haben entgegengesetzte Vorzeichen. Ihre Flächenbilanz ist daher \(0\). 3. Wegen der Punktsymmetrie gilt \(\int_{-1}^{1}f(x)\,dx=0\). Mit der Intervalladditivität folgt \(\int_{-1}^{2}f(x)\,dx=\int_1^2f(x)\,dx\).

1. \(f(-x)=-f(x)\); der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Die Flächenbeiträge auf \([-2{,}5;0]\) und \([0;2{,}5]\) sind betragsgleich und haben entgegengesetzte Vorzeichen. Daher ist das Integral \(0\). 3. Wegen \(\int_{-1}^{1}f(x)\,dx=0\) sind beide Integrale gleich.

- Welche Symmetrie zeigt der Graph? - Was bedeutet diese Symmetrie für die Flächenbeiträge auf den beiden Halbintervallen? - Wann stimmt ein Integralwert mit dem geometrischen Flächeninhalt überein?

1. Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Deshalb sind die Flächen auf \([-3;0]\) und \([0;3]\) deckungsgleich und haben in der Flächenbilanz dasselbe Vorzeichen. Daher ist das Gesamtintegral das Doppelte des rechten Teilintegrals. 2. Eine Stammfunktion ist \(H(x)=-\frac19x^3+3x\). Es gilt \(\int_{-3}^{3}h(x)\,\mathrm{d}x=H(3)-H(-3)=12\). 3. Auf \([-3;3]\) gilt \(h(x)\geq0\). Deshalb gibt es keine negativen Flächenbeiträge, und der Integralwert entspricht dem geometrischen Flächeninhalt \(12\,\text{FE}\).

a) Wegen der Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse sind die beiden Halbintervalle flächengleich; daher gilt die angegebene Verdopplung. b) \(12\,\text{FE}\); der Graph liegt im gesamten Intervall auf oder oberhalb der \(x\)-Achse.

- Kannst du das Integral mithilfe der Rechenregeln für Integrale in zwei einfachere Teile zerlegen? - Welche geometrische Form beschreibt die Funktion \(f(x) = \sqrt{r^2 - x^2}\) über ihrem Definitionsbereich? - Wie lässt sich das Integral einer konstanten Funktion als Flächeninhalt deuten? - Überlege, welche bekannte Flächenformel für einen Kreis hier hilfreich sein könnte.

1. Anwendung der Additivität des Integrals ermöglicht die Aufteilung in zwei Teilintegrale: \(\int_{-5}^{5} 3 \, dx + \int_{-5}^{5} \sqrt{25 - x^2} \, dx\). 2. Das erste Teilintegral \(\int_{-5}^{5} 3 \, dx\) entspricht dem Flächeninhalt eines Rechtecks mit der Breite \(5 - (-5) = 10\) und der Höhe 3, woraus sich \(10 \cdot 3 = 30\) ergibt. 3. Das zweite Teilintegral \(\int_{-5}^{5} \sqrt{25 - x^2} \, dx\) beschreibt den Flächeninhalt eines oberen Halbkreises mit dem Radius \(r = 5\), da die Gleichung \(y = \sqrt{25 - x^2}\) die obere Hälfte eines Kreises um den Ursprung darstellt. Der Flächeninhalt berechnet sich zu \(\frac{1}{2} \cdot \pi \cdot 5^2 = 12{,}5\pi\). 4. Die Summe beider Teilwerte ergibt den Gesamtwert des Integrals: \(30 + 12{,}5\pi\).

\(30 + 12{,}5\pi\)

- Nutze die Differenzregel für Integrale, um die Aufgabe zu vereinfachen. - Betrachte die beiden Funktionen im Integranden getrennt voneinander. - Welche Flächen entstehen, wenn du die Graphen der Funktionen einzeln über dem Intervall \([0; 4]\) betrachtest? - Erinnerst du dich an die Flächenformeln für Kreise und Dreiecke?

1. Das Integral wird mithilfe der Linearität in die Differenz zweier Integrale zerlegt: \(\int_{0}^{4} \sqrt{16 - x^2} \, dx - \int_{0}^{4} x \, dx\). 2. Das erste Integral \(\int_{0}^{4} \sqrt{16 - x^2} \, dx\) wird als Flächeninhalt eines Viertelkreises im ersten Quadranten mit dem Radius \(r = 4\) interpretiert. Der Wert ist \(\frac{1}{4} \cdot \pi \cdot 4^2 = 4\pi\). 3. Das zweite Integral \(\int_{0}^{4} x \, dx\) entspricht dem Flächeninhalt eines rechtwinkligen, gleichschenkligen Dreiecks mit der Grundseite 4 und der Höhe 4. Die Berechnung ergibt \(\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8\). 4. Durch Subtraktion der beiden Flächeninhalte ergibt sich der Gesamtwert des Integrals: \(4\pi - 8\).

\(4\pi - 8\)

- Welche Werte des Arguments führen bei der Kosinusfunktion zu Nullstellen? - Welche Regel für eine lineare innere Funktion brauchst du beim Bestimmen einer Stammfunktion? - Untersuche das Vorzeichen von \(f\) links und rechts der Nullstelle im Intervall \([0;3]\). - Worin unterscheiden sich Flächenbilanz und geometrischer Flächeninhalt?

1. Aus \(\cos\left(\frac{\pi}{3}x\right)=0\) folgt \(\frac{\pi}{3}x=\frac{\pi}{2}+k\pi\) und damit \(x=1{,}5+3k\) für \(k\in\mathbb{Z}\). Zwei benachbarte Nullstellen sind zum Beispiel \(x_1=1{,}5\) und \(x_2=4{,}5\). 2. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=\frac{3}{\pi}\sin\left(\frac{\pi}{3}x\right)\). Daher gilt \(\int_0^3 f(x)\,dx=F(3)-F(0)=0\). 3. Auf \([0;1{,}5]\) ist \(f\) positiv, auf \([1{,}5;3]\) negativ. Das Integral bildet die Flächenbilanz: Die beiden Flächenbeiträge haben entgegengesetzte Vorzeichen und heben sich hier auf. Für den geometrischen Flächeninhalt würden dagegen die Beträge der beiden Beiträge addiert.

a) Zwei benachbarte Nullstellen sind zum Beispiel \(x_1=1{,}5\) und \(x_2=4{,}5\). b) \(\int_0^3 f(x)\,dx=0\). Das Integral gibt die Flächenbilanz an; der positive und der negative Flächenbeitrag heben sich auf, während der geometrische Flächeninhalt beide Beiträge positiv zählt.

- Wie löst man eine Gleichung nach \(x\) auf, wenn \(x\) im Exponenten steht? - Welche Regel nutzt man, um eine Funktion der Form \(e^{ax+b}\) zu integrieren? - Untersuche das Vorzeichen der Funktion links und rechts von der Nullstelle. - Was passiert bei der Integralrechnung mit Flächenstücken, die unterhalb der \(x\)-Achse liegen?

1. Berechnung der Nullstelle: Die Gleichung \(e^{0{,}5x} - e = 0\) führt auf \(e^{0{,}5x} = e^1\). Durch Logarithmieren oder Exponentenvergleich erhält man \(0{,}5x = 1\), woraus \(x = 2\) folgt. 2. Berechnung des Integrals: Eine Stammfunktion von \(g(x)\) ist \(G(x) = 2e^{0{,}5x} - ex\). Das bestimmte Integral berechnet sich als \(G(4) - G(0) = (2e^{0{,}5 \cdot 4} - e \cdot 4) - (2e^0 - e \cdot 0) = (2e^2 - 4e) - 2 = 2e^2 - 4e - 2\). 3. Erläuterung: Da die Nullstelle \(x = 2\) innerhalb des Integrationsintervalls \([0; 4]\) liegt, wechselt die Funktion dort das Vorzeichen (für \(x < 2\) ist \(g(x) < 0\), für \(x > 2\) ist \(g(x) > 0\)). Das Integral liefert die Flächenbilanz, bei der der Flächeninhalt unterhalb der \(x\)-Achse negativ gezählt wird, während für den Gesamtflächeninhalt die Beträge der Teilintegrale addiert werden müssten.

a) Die Nullstelle liegt bei \(x = 2\). b) Der Integralwert beträgt \(2e^2 - 4e - 2\) (ca. \(1{,}91\)). Da die Funktion bei \(x = 2\) einen Vorzeichenwechsel besitzt, stellt das Integral eine Bilanz aus negativen und positiven Flächenanteilen dar, was nicht dem geometrischen Gesamtflächeninhalt entspricht.

- Welche Symmetrie besitzt der Graph einer ungeraden Funktion? - Wie wirken sich zwei betragsgleiche Flächenbeiträge mit entgegengesetzten Vorzeichen auf die Flächenbilanz aus? - Welche anderen bekannten Funktionen sind ungerade?

1. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=\frac{1}{4}x^4-2x^2\). Es gilt \(F(2)=-4\) und \(F(-2)=-4\), also \(\int_{-2}^{2}f(x)\,dx=F(2)-F(-2)=0\). 2. Der Graph von \(f\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung, weil \(f\) ungerade ist. Auf dem symmetrischen Intervall \([-2;2]\) sind die Flächenbeiträge links und rechts des Ursprungs betragsgleich und haben entgegengesetzte Vorzeichen. Ihre Flächenbilanz ist daher \(0\). 3. Zum Beispiel ist \(g(x)=\sin(x)\) ungerade und kein Vielfaches von \(f\). Deshalb heben sich auf jedem symmetrischen Intervall \([-a;a]\) die beiden Flächenbeiträge auf.

1. \(\int_{-2}^{2}(x^3-4x)\,dx=0\). 2. Wegen der Punktsymmetrie zum Ursprung sind die Flächenbeiträge betragsgleich und entgegengesetzt; ihre Flächenbilanz ist \(0\). 3. Zum Beispiel \(g(x)=\sin(x)\); als ungerade Funktion hat sie auf jedem Intervall \([-a;a]\) die Flächenbilanz \(0\).

- Wie hängen bei einer geraden Funktion die Flächenbilanzen links und rechts der \(y\)-Achse zusammen? - Wie kannst du ein Integral über \([-k;k]\) in zwei Teilintegrale zerlegen? - Welche Bedingung muss für \(h(-x)\) gelten, damit \(h\) gerade ist?

1. Es gilt \(\int_{-k}^{k}(3x^2+5)\,dx=2k^3+10k\) und \(2\int_0^k(3x^2+5)\,dx=2k^3+10k\). 2. Ist \(f\) gerade, dann sind die Flächenbilanzen auf \([-k;0]\) und \([0;k]\) gleich. Daher gilt \(\int_{-k}^{k}f(x)\,dx=\int_{-k}^{0}f(x)\,dx+\int_0^k f(x)\,dx=2\int_0^k f(x)\,dx\). 3. Für \(h\) gilt \(h(-x)=x^2-cx+1\). Die Funktion ist genau dann gerade, wenn \(c=0\). Daher ist \(c=0\).

1. Beide Seiten sind \(2k^3+10k\). 2. Für eine gerade Funktion sind die Flächenbilanzen auf \([-k;0]\) und \([0;k]\) gleich. Daher gilt \(\int_{-k}^{k}f(x)\,dx=2\int_0^k f(x)\,dx\). 3. \(c=0\).

- Prüfe, ob der Graph im Intervall \([0;2]\) eine Punktsymmetrie besitzt. - Welche Folge hat diese Symmetrie für die Flächenbilanz auf \([0;2]\)? - Wie kannst du das Integral über \([0;4]\) mithilfe der Intervalladditivität zerlegen?

1. Der Graph von \(f\) ist punktsymmetrisch zum Punkt \((1\mid0)\), denn \(f(1+h)=-f(1-h)\). 2. Das Intervall \([0;2]\) liegt symmetrisch um \(x=1\). Die beiden Flächenbeiträge auf den Teilintervallen heben sich daher in der Flächenbilanz auf, also gilt \(\int_0^2 f(x)\,dx=0\). 3. Mit der Intervalladditivität folgt \(\int_0^4 f(x)\,dx=\int_0^2 f(x)\,dx+\int_2^4 f(x)\,dx=\int_2^4 f(x)\,dx\).

Die Aussage ist wahr. Wegen der Punktsymmetrie zum Punkt \((1\mid0)\) ist die Flächenbilanz auf \([0;2]\) gleich \(0\). Daher gilt \(\int_0^4 f(x)\,dx=\int_2^4 f(x)\,dx\).

- Erinnere dich an den Unterschied zwischen Achsensymmetrie und Punktsymmetrie bei Integralen. - Wann liefert ein Integral einen positiven Wert, und wann heben sich Flächen gegenseitig auf? - Für b): Suche nach einem Intervall, in dem der Graph eine Nullstelle so passiert, dass die Flächenstücke davor und danach gleich groß sind. - Nutze dein Wissen über die Sinusfunktion als Stammfunktion des Kosinus.

1. Analyse von Teilaufgabe a): Die Kosinusfunktion ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse (\(f(x) = f(-x)\)). Im Intervall \([-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\) verläuft der Graph vollständig oberhalb oder auf der \(x\)-Achse (\(\cos(x) \ge 0\)). Da keine negativen Flächenanteile existieren, muss die Bilanz (das Integral) positiv sein (konkret \(\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos(x) \, dx = [\sin(x)]_{-\pi/2}^{\pi/2} = 1 - (-1) = 2\)). 2. Analyse von Teilaufgabe b): Damit die Flächenbilanz Null ergibt, müssen sich positive und negative Flächenanteile exakt aufheben. 3. Intervallsuche: Da \(\int_a^b \cos(x) \, dx = \sin(b) - \sin(a)\), muss \(\sin(a) = \sin(b)\) gelten. Ein geeignetes Intervall ist \([\pi; 2\pi]\), da hier \(\sin(2\pi) - \sin(\pi) = 0 - 0 = 0\) gilt und \(a > 0\) erfüllt ist. 4. Überprüfung der Bedingung: Im Intervall \([\pi; 2\pi]\) ist \(\cos(x)\) negativ für \(x \in [\pi; \frac{3\pi}{2})\) und positiv für \(x \in (\frac{3\pi}{2}; 2\pi]\). Die Bedingung ist erfüllt.

a) Der Graph von \(f(x) = \cos(x)\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Im Intervall \([-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\) nimmt die Funktion nur Funktionswerte \(\ge 0\) an. Somit gibt es keine negativen Flächenanteile, die den positiven Anteil mindern oder aufheben könnten; die Flächenbilanz ist daher positiv. b) Ein mögliches Intervall ist \([\pi; 2\pi]\). Hier gilt \(\int_{\pi}^{2\pi} \cos(x) \, dx = [\sin(x)]_{\pi}^{2\pi} = \sin(2\pi) - \sin(\pi) = 0\). Der Graph verläuft in \([\pi; \frac{3\pi}{2}]\) unterhalb und in \([\frac{3\pi}{2}; 2\pi]\) oberhalb der \(x\)-Achse.

- Welche Symmetrie besitzt \(g\)? - Zerlege \([-1;2]\) so, dass du das Ergebnis aus Teil 1 direkt verwenden kannst. - Welches Vorzeichen hat \(g\) auf dem zusätzlich verbleibenden Intervall?

1. Die Funktion \(g\) ist ungerade und damit punktsymmetrisch zum Ursprung. Auf \([-1;1]\) sind die Flächenbeiträge betragsgleich und haben entgegengesetzte Vorzeichen; ihre Flächenbilanz ist \(0\). 2. Es gilt \(J=\int_{-1}^{1}g(x)\,dx+\int_1^2g(x)\,dx\). Der erste Summand ist \(0\), und auf \([1;2]\) gilt \(g(x)\geq0\), wobei \(g\) nicht identisch null ist. Daher ist \(J>0\). 3. Eine Stammfunktion ist \(G(x)=\frac14x^4-\frac12x^2\). Somit gilt \(J=G(2)-G(-1)=2-\left(-\frac14\right)=\frac94=2{,}25\).

1. Wegen der Punktsymmetrie zum Ursprung ist die Flächenbilanz auf \([-1;1]\) gleich \(0\). 2. \(J\) ist positiv. 3. \(J=\frac94=2{,}25\).

- Teile das Integral an der Stelle auf, an der sich die Funktionsvorschrift ändert. - Prüfe, ob der Graph innerhalb der Teilintervalle die \(x\)-Achse schneidet. - Welche einfachen geometrischen Figuren (Rechtecke, Dreiecke) kannst du in den einzelnen Abschnitten erkennen? - Beachte das Vorzeichen der Teilflächen je nach Lage zur \(x\)-Achse.

1. Zerlegung des Integrals in Intervalle basierend auf der Funktionsdefinition und den Nullstellen: \([-2; 1]\), \([1; 3]\) und \([3; 5]\). 2. Berechnung der Fläche \(A_1\) im Intervall \([-2; 1]\): Die Funktion ist konstant \(f(x) = 2\). Es entsteht ein Rechteck mit der Breite \(3\) und der Höhe \(2\). Flächeninhalt \(A_1 = 3 \cdot 2 = 6\). 3. Berechnung der Fläche \(A_2\) im Intervall \([1; 3]\): Die Funktion \(f(x) = 3 - x\) verläuft oberhalb der \(x\)-Achse bis zur Nullstelle bei \(x = 3\). Es entsteht ein Dreieck mit der Grundseite \(2\) und der Höhe \(f(1) = 2\). Flächeninhalt \(A_2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\). 4. Berechnung der Fläche \(A_3\) im Intervall \([3; 5]\): Die Funktion verläuft unterhalb der \(x\)-Achse. Es entsteht ein Dreieck mit der Grundseite \(2\) und der Höhe \(|f(5)| = |3 - 5| = 2\). Flächeninhalt \(A_3 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\). 5. Bestimmung der Flächenbilanz: Das Integral ergibt sich aus \(A_1 + A_2 - A_3 = 6 + 2 - 2 = 6\).

\(6\)

- Prüfe bei jedem Integranden, welche Terme gerade und welche ungerade sind. - Was folgt für das Integral einer ungeraden Funktion über ein symmetrisches Intervall? - Wie kannst du in Teil 3 gerade und ungerade Anteile getrennt behandeln?

1. Der Integrand enthält nur ungerade Potenzen und ist daher ungerade. Auf dem symmetrischen Intervall \([-4;4]\) heben sich die Flächenbeiträge in der Flächenbilanz auf. Das Integral ist \(0\). 2. \(g(x)=15x^4-6x^2\) ist gerade. Daher gilt \(\int_{-1}^{1}g(x)\,dx=2\int_0^1g(x)\,dx\). Mit \(G(x)=3x^5-2x^3\) folgt \(2\bigl(G(1)-G(0)\bigr)=2\). 3. Zerlege \(x^2+2x+1\) in den geraden Anteil \(x^2+1\) und den ungeraden Anteil \(2x\). Der ungerade Anteil hat auf \([-3;3]\) die Flächenbilanz \(0\). Für den geraden Anteil gilt \(2\int_0^3(x^2+1)\,dx=24\).

1. \(0\) 2. \(2\) 3. \(24\)

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen den Exponenten einer Polynomfunktion und ihrem Symmetrieverhalten. - Welche bekannten Integralregeln helfen dir beim Term \(f(x)+c\)? - Denke bei der Beurteilung von Aussagen über Integrale an die Lage des Graphen zur \(x\)-Achse. - Reicht die Symmetrie alleine aus, um das Vorzeichen des Integrals festzulegen?

1. Für \(f(-x)=-f(x)\) ist der Graph von \(f\) punktsymmetrisch zum Ursprung. Auf dem symmetrischen Intervall \([-3;3]\) heben sich die vorzeichenbehafteten Flächenbeiträge paarweise auf, also gilt \(\int_{-3}^{3}f(x)\,dx=0\). 2. Mit der Linearität gilt \(I=\int_{-3}^{3}f(x)\,dx+\int_{-3}^{3}c\,dx\). 3. Der erste Summand ist \(0\), und \(\int_{-3}^{3}c\,dx=[cx]_{-3}^{3}=3c-(-3c)=6c\). Damit ist \(I=6c\). 4. Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse legt das Vorzeichen des Integrals nicht fest. Zum Beispiel ist \(g(x)=-1\) achsensymmetrisch und \(\int_{-1}^{1}-1\,dx=-2<0\). Die Behauptung ist daher falsch.

a) Punktsymmetrie zum Ursprung bei symmetrischem Intervall führt zur Flächenbilanz \(0\). b) \(I=6c\) c) Die Aussage ist falsch; liegt der Graph unterhalb der \(x\)-Achse (z. B. \(g(x)=-1\)), ist das Integral negativ.

- Wie verhalten sich die Flächenbeiträge auf spiegelbildlich zur \(y\)-Achse liegenden Intervallen? - Nutze die Intervalladditivität, um bekannte Teilintegrale zusammenzusetzen. - Welche Rechenregel gilt für das Integral einer Summe?

1. Wegen der Achsensymmetrie gilt \(\int_{-3}^{3}f(x)\,dx=2\int_0^3f(x)\,dx=8\). 2. Ebenfalls wegen der Symmetrie gilt \(\int_{-5}^{-3}f(x)\,dx=\int_3^5f(x)\,dx=-2\). 3. Es ist \(\int_{-5}^{0}f(x)\,dx=\int_0^5f(x)\,dx=4+(-2)=2\). 4. Mit der Linearität folgt \(\int_0^5(f(x)+3)\,dx=\int_0^5f(x)\,dx+\int_0^5 3\,dx=2+15=17\).

a) \(8\) b) \(-2\) c) \(2\) d) \(17\)

- Was ist der Unterschied zwischen einem Integralwert und einem Flächeninhalt? - Wie findest du heraus, ob der Graph im gegebenen Intervall unterhalb der \(x\)-Achse verläuft? - Warum ist es wichtig, das Intervall an den Nullstellen aufzuteilen? - Überlege dir, wie du mit negativen Integralwerten bei der Flächenberechnung umgehst.

1. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2\). Berechnung des Integrals: \(\int_{-1}^{3} (x^3 - 4x) \, dx = F(3) - F(-1) = (20{,}25 - 18) - (0{,}25 - 2) = 2{,}25 - (-1{,}75) = 4\). 2. Bestimmung der Nullstellen von \(f\): \(x(x^2 - 4) = 0\) liefert \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\). Im Intervall \([-1; 3]\) liegen die Nullstellen \(x = 0\) und \(x = 2\). Aufteilung des Intervalls und Berechnung der Teilflächen: \(A_1 = \int_{-1}^{0} f(x) \, dx = [F(x)]_{-1}^{0} = 0 - (-1{,}75) = 1{,}75\). \(A_2 = \left| \int_{0}^{2} f(x) \, dx \right| = |F(2) - F(0)| = |(4 - 8) - 0| = 4\). \(A_3 = \int_{2}^{3} f(x) \, dx = F(3) - F(2) = 2{,}25 - (-4) = 6{,}25\). Gesamtfläche: \(A = 1{,}75 + 4 + 6{,}25 = 12\).

1. \(\int_{-1}^{3} (x^3 - 4x) \, dx = 4\) 2. Der Flächeninhalt beträgt \(12\,\text{FE}\).

- Kannst du den Funktionsterm in eine Summe aus einer geraden und einer ungeraden Funktion aufteilen? - Was passiert mit dem Integral der ungeraden Summanden, wenn man über ein Intervall von \(-k\) bis \(k\) integriert? - Berechne das Integral des verbleibenden Anteils unter Ausnutzung der Symmetrie zur \(y\)-Achse.

1. Zerlegung des Integrands: Aufgrund der Linearität des Integrals gilt \(\int_{-k}^{k} (x^3 - 6x^2 + 2x) \, dx = \int_{-k}^{k} (x^3 + 2x) \, dx + \int_{-k}^{k} (-6x^2) \, dx\). 2. Symmetriebetrachtung: Der Anteil \(u(x) = x^3 + 2x\) ist eine ungerade Funktion. Für jedes symmetrische Intervall \([-k; k]\) gilt \(\int_{-k}^{k} u(x) \, dx = 0\). Somit hängt der Gesamtwert nur vom Integral des geraden Anteils \(g(x) = -6x^2\) ab. 3. Berechnung: \(I = \int_{-k}^{k} -6x^2 \, dx = 2 \cdot \int_{0}^{k} -6x^2 \, dx = 2 \cdot [-2x^3]_0^k = 2 \cdot (-2k^3) = -4k^3\).

a) Da \(x^3\) und \(2x\) ungerade Funktionen sind, ist ihr Integral über \([-k; k]\) gleich \(0\). Es bleibt nur das Integral über den geraden Anteil \(-6x^2\). b) \(I = -4k^3\)

- Untersuche, welche Terme der Funktion \(f\) beim Integrieren über ein symmetrisches Intervall wegfallen könnten. - Wie verhalten sich Funktionen mit ausschließlich ungeraden Exponenten bei der Integration von \(-a\) bis \(a\)? - Nutze die Achsensymmetrie des verbleibenden Terms aus, um die Rechnung auf das Intervall von \(0\) bis \(5\) zu beschränken.

1. Identifikation der Symmetrieeigenschaften: Die Terme \(x^3\) und \(-\frac{1}{2}x\) sind ungerade Potenzen von \(x\), der Term \(\frac{3}{10}x^4\) ist eine gerade Potenz. 2. Aufgrund der Punktsymmetrie zum Ursprung ist das Integral der ungeraden Anteile über das symmetrische Intervall \([-5; 5]\) gleich null: \(\int_{-5}^{5} (x^3 - \frac{1}{2}x) \, dx = 0\). 3. Das Integral reduziert sich auf den geraden Anteil: \(\int_{-5}^{5} \frac{3}{10}x^4 \, dx = 2 \cdot \int_{0}^{5} \frac{3}{10}x^4 \, dx\). 4. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{3}{50}x^5\). 5. Berechnung des Werts: \(2 \cdot [\frac{3}{50}x^5]_0^5 = 2 \cdot (\frac{3}{50} \cdot 5^5 - 0) = 2 \cdot \frac{3 \cdot 3125}{50} = 2 \cdot 187{,}5 = 375\).

\(375\)

- Überlege dir, welche Koordinaten der Endpunkt des Graphen im betrachteten Intervall hat. - Welches geometrische Objekt wird durch die Koordinatenachsen und die Parallelen dazu aufgespannt? - Wie hängen die Flächeninhalte unter einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion zusammen, wenn man sie in ein gemeinsames Rechteck einzeichnet? - Welches Integral einer einfacheren Funktion (hier die Quadratfunktion) musst du berechnen, um den Restanteil der Fläche zu bestimmen?

1. Die Funktion \(g(x) = \sqrt{x}\) ist die Umkehrfunktion von \(f(x) = x^2\) für \(x \geq 0\). Die Fläche unter dem Graphen von \(g\) im Intervall \([0; 4]\) entspricht der Fläche zwischen dem Graphen von \(f\) und der \(y\)-Achse im Bereich von \(y = 0\) bis \(y = 4\). 2. Der Punkt \((4\mid 2)\) liegt auf dem Graphen von \(g\), da \(\sqrt{4} = 2\). Das zugehörige Rechteck im ersten Quadranten hat die Eckpunkte \((0\mid 0)\), \((4\mid 0)\), \((4\mid 2)\) und \((0\mid 2)\). Sein Flächeninhalt beträgt \(A_{\text{Rechteck}} = 4 \cdot 2 = 8\). 3. Die gesuchte Fläche \(\int_0^4 \sqrt{x} \, dx\) ergibt sich aus der Differenz zwischen dem Rechteckinhalt und der Fläche unter dem Graphen von \(f\) im Intervall \([0; 2]\). 4. Berechnung des Integrals von \(f\): \(\int_0^2 x^2 \, dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_0^2 = \frac{1}{3} \cdot 2^3 - 0 = \frac{8}{3}\). 5. Berechnung des gesuchten Werts: \(8 - \frac{8}{3} = \frac{24}{3} - \frac{8}{3} = \frac{16}{3}\).

\(\int_0^4 \sqrt{x} \, dx = \frac{16}{3}\)

- Wo schneidet das mittlere Streckenstück die \(x\)-Achse? - In welche Rechtecke und Dreiecke lässt sich die Fläche zerlegen? - Welches Vorzeichen erhält ein Flächenbeitrag unterhalb der \(x\)-Achse in der Flächenbilanz?

1. Das Segment von \(B\) nach \(C\) hat die Gleichung \(y=-x+4\) und schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=4\). 2. Oberhalb der \(x\)-Achse liegen ein Rechteck mit Flächenbeitrag \(4\) und ein Dreieck mit Flächenbeitrag \(2\). 3. Unterhalb der \(x\)-Achse liegen ein Dreieck mit Flächenbeitrag \(-0{,}5\) und ein Rechteck mit Flächenbeitrag \(-2\). 4. Die Flächenbilanz ist \(4+2-0{,}5-2=3{,}5\). Daher gilt \(\int_0^7 f(x)\,dx=3{,}5\).

\(\int_0^7 f(x)\,dx=3{,}5\)

- Wie hängen der Wert eines bestimmten Integrals und die Flächenstücke zwischen dem Graphen und der x-Achse zusammen? - Achte darauf, in welchen Bereichen der Graph oberhalb und in welchen er unterhalb der x-Achse verläuft. - Kannst du krummlinig begrenzte Flächen durch einfachere geometrische Formen wie Dreiecke oder Rechtecke abschätzen? - Überlege dir, welchen geometrischen Wert das Integral einer konstanten Funktion wie 1 über ein bestimmtes Intervall darstellt.

1. Zu a): Die positive Teilfläche auf \([-2;0]\) ist deutlich kleiner als die negative Teilfläche auf \([0;3]\). Die gesamte Flächenbilanz ist daher negativ. Aussage a) ist wahr. 2. Zu b): Unterhalb der \(x\)-Achse liegt auf \([0;3]\) bereits das Dreieck mit den Eckpunkten \((0\mid 0)\), \((2\mid -4)\) und \((3\mid 0)\). Es hat den Flächeninhalt \(\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4=6\). Der Graph verläuft in diesem Bereich noch unter den Dreiecksseiten, daher ist das Integral kleiner als \(-6\) und insbesondere nicht größer als \(-5\). Aussage b) ist falsch. 3. Zu c): Es gilt \(\int_{-2}^{0}1\,\mathrm{d}x=2\). Das Dreieck mit den Eckpunkten \((-2\mid 0)\), \((-1\mid 2)\) und \((0\mid 0)\) hat ebenfalls den Flächeninhalt \(2\), der Graph liegt zwischen diesen Punkten jedoch oberhalb der Dreiecksseiten. Daher ist \(\int_{-2}^{0}f(x)\,\mathrm{d}x>2\). Aussage c) ist wahr.

a) **Wahr**, da die negative Teilfläche im Intervall \([0; 3]\) betragsmäßig deutlich größer ist als die positive Teilfläche im Intervall \([-2; 0]\). b) **Falsch**, da das Integral im Intervall \([0; 3]\) kleiner als \(-6\) (und damit auch kleiner als \(-5\)) ist. c) **Wahr**, da das Integral über \([-2; 0]\) größer als \(2\) (der Flächeninhalt der Dreiecksannäherung) ist, während \(\int_{-2}^{0} 1 \,\mathrm{d}x = 2\) beträgt.

- Überlege zuerst, wie das Vorzeichen eines bestimmten Integrals mit der Lage des Graphen zur \(x\)-Achse zusammenhängt. - Liegt ein Flächenstück oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse? Welchen Einfluss hat das auf das Vorzeichen des Teilintegrals? - Zerlege die Integrale in Teilintervalle, die genau den gegebenen Flächen entsprechen. - Was passiert mit dem Vorzeichen eines Integrals, wenn man die obere und die untere Integrationsgrenze vertauscht?

1. Für das Integral a) \(\int_{-3}^{2} f(x) \,\mathrm{d}x\): Das Integrationsintervall reicht von \(-3\) bis \(2\). Dieses lässt sich in zwei Teilintervalle aufteilen: \(\int_{-3}^{2} f(x) \,\mathrm{d}x = \int_{-3}^{-1} f(x) \,\mathrm{d}x + \int_{-1}^{2} f(x) \,\mathrm{d}x\) - Im ersten Teilintervall \([-3; -1]\) verläuft der Graph unterhalb der \(x\)-Achse, daher gilt näherungsweise: \(\int_{-3}^{-1} f(x) \,\mathrm{d}x \approx -A_1 = -1{,}50\). - Im zweiten Teilintervall \([-1; 2]\) verläuft der Graph oberhalb der \(x\)-Achse, daher gilt näherungsweise: \(\int_{-1}^{2} f(x) \,\mathrm{d}x \approx A_2 = 2{,}75\). Damit ergibt sich: \(\int_{-3}^{2} f(x) \,\mathrm{d}x \approx -1{,}50 + 2{,}75 = 1{,}25\). 2. Für das Integral b) \(\int_{-1}^{5} f(x) \,\mathrm{d}x\): Das Integrationsintervall reicht von \(-1\) bis \(5\). Wir teilen es an der Nullstelle \(x = 2\) auf: \(\int_{-1}^{5} f(x) \,\mathrm{d}x = \int_{-1}^{2} f(x) \,\mathrm{d}x + \int_{2}^{5} f(x) \,\mathrm{d}x\) - Im Intervall \([-1; 2]\) verläuft der Graph oberhalb der \(x\)-Achse, also näherungsweise: \(\int_{-1}^{2} f(x) \,\mathrm{d}x \approx A_2 = 2{,}75\). - Im Intervall \([2; 5]\) verläuft der Graph unterhalb der \(x\)-Achse, also näherungsweise: \(\int_{2}^{5} f(x) \,\mathrm{d}x \approx -A_3 = -5{,}35\). Damit ergibt sich: \(\int_{-1}^{5} f(x) \,\mathrm{d}x \approx 2{,}75 - 5{,}35 = -2{,}60\). 3. Für das Integral c) \(\int_{5}^{-3} f(x) \,\mathrm{d}x\): Hier sind die Integrationsgrenzen vertauscht (die untere Grenze ist größer als die obere Grenze). Durch das Vertauschen der Grenzen ändert sich das Vorzeichen des Integrals: \(\int_{5}^{-3} f(x) \,\mathrm{d}x = -\int_{-3}^{5} f(x) \,\mathrm{d}x\) Das Integral von \(-3\) bis \(5\) setzt sich aus allen drei Teilintervallen zusammen: \(\int_{-3}^{5} f(x) \,\mathrm{d}x = \int_{-3}^{-1} f(x) \,\mathrm{d}x + \int_{-1}^{2} f(x) \,\mathrm{d}x + \int_{2}^{5} f(x) \,\mathrm{d}x \approx -A_1 + A_2 - A_3\) Setzen wir die Werte ein: \(\int_{-3}^{5} f(x) \,\mathrm{d}x \approx -1{,}50 + 2{,}75 - 5{,}35 = -4{,}10\) Damit erhalten wir für das gesuchte Integral: \(\int_{5}^{-3} f(x) \,\mathrm{d}x \approx -(-4{,}10) = 4{,}10\).

a) \(\int_{-3}^{2} f(x) \,\mathrm{d}x \approx 1{,}25\) b) \(\int_{-1}^{5} f(x) \,\mathrm{d}x \approx -2{,}60\) c) \(\int_{5}^{-3} f(x) \,\mathrm{d}x \approx 4{,}10\)

- Welche Wirkung hat die Punktsymmetrie zu einem Punkt auf der \(x\)-Achse auf die beiden Flächenbeiträge? - Worin unterscheiden sich Flächenbilanz und geometrischer Gesamtflächeninhalt? - Welche Rechenregel für bestimmte Integrale hilft bei \(g=f+1\)?

1. Wegen der Punktsymmetrie zu \(P(2\mid0)\) sind die Flächenbeiträge auf \([0;2]\) und \([2;4]\) betragsgleich und haben entgegengesetzte Vorzeichen. Daher ist ihre Flächenbilanz \(0\). 2. Eine Stammfunktion von \(f\) ist \(F(x)=0{,}125x^4-x^3+2x^2\). Es gilt \(\int_0^2 f(x)\,\mathrm{d}x=2\). Wegen der Symmetrie beträgt der geometrische Gesamtflächeninhalt \(2+2=4\,\text{FE}\). 3. Mit der Linearität gilt \(\int_0^4g(x)\,\mathrm{d}x=\int_0^4f(x)\,\mathrm{d}x+\int_0^4 1\,\mathrm{d}x=0+4=4\).

a) Die beiden Flächenbeiträge heben sich wegen der Punktsymmetrie auf; die Flächenbilanz ist \(0\). b) \(4\,\text{FE}\) c) \(\int_0^4g(x)\,\mathrm{d}x=4\)

- Überlege dir zuerst, in welchen Bereichen die Funktionswerte oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse liegen. - Welche Rolle spielt das Vorzeichen der Funktionswerte beim Berechnen eines bestimmten Integrals im Vergleich zu einem geometrischen Flächeninhalt? - Kannst du ein Integral über ein größeres Intervall in mehrere Teilintegrale zerlegen? - Nutze die Rechenregeln für Integrale, um Differenzen von Integralen mit gleichen Grenzen zusammenzufassen. - Erinnere dich daran, wie die Fläche zwischen zwei Graphen mathematisch als Integral definiert ist.

1. Für das Integral \(I_1 = \int_0^4 f(x) \,\mathrm{d}x\): Das Intervall \([0; 4]\) wird an der Nullstelle \(x = 1\) aufgeteilt. Da \(f(x) \le 0\) auf \([0; 1]\) und \(f(x) \ge 0\) auf \([1; 4]\) gilt, ergibt sich: \(\int_0^4 f(x) \,\mathrm{d}x = \int_0^1 f(x) \,\mathrm{d}x + \int_1^4 f(x) \,\mathrm{d}x = -A_1 + A_2\). 2. Für das Integral \(I_2 = \int_0^2 g(x) \,\mathrm{d}x\): Da der Graph \(G_g\) auf dem gesamten Intervall \([0; 2]\) unterhalb der \(x\)-Achse verläuft, ist der Wert des bestimmten Integrals negativ und entspricht dem negativen Flächeninhalt: \(\int_0^2 g(x) \,\mathrm{d}x = -A_3\). 3. Für das Integral \(I_3 = \int_0^3 f(x) \,\mathrm{d}x - \int_0^3 g(x) \,\mathrm{d}x\): Mithilfe der Linearität des Integrals lässt sich die Differenz der Integrale zu einem einzigen Integral zusammenfassen: \(\int_0^3 (f(x) - g(x)) \,\mathrm{d}x\). Da \(G_f\) auf dem Intervall \([0; 3]\) oberhalb von \(G_g\) verläuft (mit gemeinsamen Schnittpunkten bei \(x = 0\) und \(x = 3\)), entspricht dieses Integral genau der eingeschlossenen Fläche \(A_4\): \(I_3 = A_4\).

a) \(I_1 = -A_1 + A_2\) (oder \(A_2 - A_1\)) b) \(I_2 = -A_3\) c) \(I_3 = A_4\)

- Welche trigonometrische Identität verbindet \(\sin(2x)\) mit \(\sin(x)\) und \(\cos(x)\)? - Welche Regel für lineare innere Funktionen brauchst du beim Integrieren von \(\sin(2x)\)? - Warum genügt für den geometrischen Gesamtflächeninhalt nicht das Integral über das gesamte Intervall?

1. Mit \(\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)\) folgt \(f(x)=2\sin(x)(1-\cos(x))\). Im Intervall \([0;2\pi]\) sind die Nullstellen \(x=0\), \(x=\pi\) und \(x=2\pi\). 2. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=-2\cos(x)+\frac12\cos(2x)\). Daher gilt \(\int_0^{2\pi}f(x)\,\mathrm{d}x=F(2\pi)-F(0)=0\). Die positiven und negativen Flächenbeiträge heben sich in der Flächenbilanz auf. 3. Es ist \(\int_0^{\pi}f(x)\,\mathrm{d}x=4\) und \(\int_{\pi}^{2\pi}f(x)\,\mathrm{d}x=-4\). Der geometrische Gesamtflächeninhalt beträgt daher \(4+4=8\,\text{FE}\).

a) \(x=0\), \(x=\pi\), \(x=2\pi\) b) \(0\); die Flächenbeiträge heben sich in der Flächenbilanz auf. c) \(8\,\text{FE}\)

- Suche Teilintervalle, auf denen du eine einfache untere Schranke für die Funktionswerte angeben kannst. - Wie kannst du aus solchen unteren Schranken Rechtecke bilden, die vollständig unter dem Graphen liegen? - Welche Gesamtfläche müssen deine Rechtecke mindestens erreichen?

1. Für \(|x|\leq2\) gilt \(f(x)\geq f(2)=1{,}2\). Deshalb liegt auf \([-2;2]\) ein Rechteck der Breite \(4\) und Höhe \(1{,}2\) vollständig unter dem Graphen. Sein Flächeninhalt beträgt \(4{,}8\). 2. Auf den Randintervallen \([-3;-2]\) und \([2;3]\) gilt \(f(x)\geq f(3)=0{,}7\). Dort liegen zwei Rechtecke mit Breite \(1\) und Höhe \(0{,}7\) vollständig unter dem Graphen. Zusammen haben sie den Flächeninhalt \(1{,}4\). 3. Damit ist die Fläche unter dem Graphen mindestens \(4{,}8+1{,}4=6{,}2\). Also gilt \(\int_{-3}^{3}f(x)\,\mathrm{d}x\geq6{,}2>6\).

Auf \([-2;2]\) liegt ein Rechteck mit Flächeninhalt \(4\cdot1{,}2=4{,}8\) unter dem Graphen. Auf \([-3;-2]\) und \([2;3]\) liegen zusätzlich zwei Rechtecke mit zusammen \(2\cdot1\cdot0{,}7=1{,}4\) unter dem Graphen. Daher ist \(\int_{-3}^{3}f(x)\,\mathrm{d}x\geq6{,}2>6\).

- Wo wechselt \(f\) im Intervall \([0;3]\) das Vorzeichen? - Welches Vorzeichen hat der Flächenbeitrag auf \([0;2]\)? - Welche Größe zählt alle Teilflächen unabhängig von ihrer Lage zur \(x\)-Achse positiv?

1. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=\frac13x^3-4x\). Daher gilt \(\int_0^3(x^2-4)\,dx=F(3)-F(0)=-3\). 2. Auf \([0;2]\) ist der Flächenbeitrag \(-\frac{16}{3}\), also \(A_1=\frac{16}{3}\). Auf \([2;3]\) ist der Flächenbeitrag \(\frac73\), also \(A_2=\frac73\). Damit ist \(A_1+A_2=\frac{23}{3}\approx7{,}67\,\text{FE}\). 3. Das bestimmte Integral gibt die Flächenbilanz an und zählt den Beitrag unterhalb der \(x\)-Achse negativ. Der geometrische Flächeninhalt addiert dagegen die Beträge beider Teilflächen.

1. \(-3\) 2. \(\frac{23}{3}\approx7{,}67\,\text{FE}\) 3. Das Integral ist die Flächenbilanz; der geometrische Flächeninhalt ist die Summe der Beträge der Teilflächen.

- Überlege dir, wie das Vorzeichen des Funktionswerts das Vorzeichen des bestimmten Integrals beeinflusst. - Achte auf die Lage des Graphen relativ zur \(x\)-Achse: Wann heben sich Flächenanteile bei der Integration gegenseitig auf? - Untersuche den Graphen auf Symmetrieeigenschaften. Ein Symmetriepunkt auf der \(x\)-Achse kann viel über die Flächenbilanz aussagen. - Erinnere dich daran, dass das Integral über ein Intervall, in dem die Funktion nur negative Werte annimmt, selbst negativ sein muss.

1. Analyse der Flächenanteile: Der Graph verläuft im Intervall \((-1; 1)\) unterhalb der \(x\)-Achse, im Intervall \((1; 3)\) oberhalb und für \(x > 3\) wieder unterhalb. 2. Aussage a): Da \(f(x) < 0\) für alle \(x \in (-1; 1)\), ist das Integral negativ. Ergebnis: wahr. 3. Aussage b): Der Graph ist punktsymmetrisch zum Punkt \((1 \mid 0)\). Die Flächeninhalte der Flächenstücke zwischen Graph und \(x\)-Achse über \([-1; 1]\) und \([1; 3]\) sind daher betragsmäßig gleich. Da ein Teil unterhalb und einer oberhalb der Achse liegt, heben sie sich in der Bilanz auf. Ergebnis: wahr. 4. Aussage c): Das Intervall \([0; 2]\) liegt ebenfalls symmetrisch zum Punkt \((1 \mid 0)\). Das negative Flächenstück von \(0\) bis \(1\) wird durch das gleich große positive Flächenstück von \(1\) bis \(2\) ausgeglichen. Ergebnis: wahr. 5. Aussage d): Im Intervall \((3; 4)\) verläuft der Graph vollständig unterhalb der \(x\)-Achse. Das Integral ist daher negativ. Ergebnis: falsch.

a) wahr b) wahr c) wahr d) falsch

- In welchem Teil des dargestellten Intervalls liegt der Graph oberhalb der \(x\)-Achse? - Welche Folge hat Punktsymmetrie zum Ursprung für Flächenbeiträge auf einem symmetrischen Intervall? - Welche Regel für eine lineare innere Funktion brauchst du bei \(\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)\)?

1. Auf \([0;2]\) liegt der Graph oberhalb der \(x\)-Achse. Daher gilt \(A=\int_0^2 2\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)\,\mathrm{d}x\). 2. Wegen der Punktsymmetrie zum Ursprung sind die Flächenbeiträge auf \([-2;0]\) und \([0;2]\) betragsgleich und haben entgegengesetzte Vorzeichen. Ihre Flächenbilanz ist deshalb \(0\). 3. Mit der Regel für lineare innere Funktionen ist eine Stammfunktion \(F(x)=-\frac{4}{\pi}\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)\). Somit ist \(A=F(2)-F(0)=\frac{8}{\pi}\,\text{FE}\).

a) \(A=\int_0^2 2\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)\,\mathrm{d}x\) b) Die beiden Flächenbeiträge heben sich wegen der Punktsymmetrie in der Flächenbilanz auf. c) \(A=\frac{8}{\pi}\,\text{FE}\approx2{,}55\,\text{FE}\)

- Überlege dir zuerst, ob das Schaubild in dem gesuchten Intervall oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse verläuft. - Erinnere dich daran, dass Integrale Flächeninhalte unterhalb der \(x\)-Achse mit einem negativen Vorzeichen „zählen“. - Wenn ein Integral über mehrere Flächenstücke verläuft, musst du die einzelnen Werte unter Berücksichtigung ihrer Lage (positiv oder negativ) addieren. - Was passiert mit dem Wert eines Integrals, wenn man die obere und die untere Grenze vertauscht?

Zur Berechnung der Integrale wird die Flächenbilanz genutzt. Flächen oberhalb der \(x\)-Achse gehen positiv, Flächen unterhalb negativ in den Integralwert ein. 1. Für Teilaufgabe a): Das Intervall \([-4; -1]\) entspricht genau der Fläche \(A_1\). Da \(A_1\) oberhalb der \(x\)-Achse liegt, gilt: \(\int_{-4}^{-1} f(x) \, dx = A_1 = 1{,}2\). 2. Für Teilaufgabe b): Das Intervall \([-1; 5]\) umfasst \(A_2\) (unterhalb) und \(A_3\) (oberhalb). Somit ergibt sich: \(\int_{-1}^{5} f(x) \, dx = -A_2 + A_3 = -3{,}5 + 0{,}8 = -2{,}7\). 3. Für Teilaufgabe c): Das Intervall \([-4; 5]\) umfasst alle drei Flächen. Die Bilanz lautet: \(\int_{-4}^{5} f(x) \, dx = A_1 - A_2 + A_3 = 1{,}2 - 3{,}5 + 0{,}8 = -1{,}5\). 4. Für Teilaufgabe d): Durch Vertauschen der Integrationsgrenzen ändert sich das Vorzeichen: \(\int_{3}^{-1} f(x) \, dx = -\int_{-1}^{3} f(x) \, dx\). Da die Fläche \(A_2\) auf \([-1; 3]\) unterhalb der \(x\)-Achse liegt, ist \(\int_{-1}^{3} f(x) \, dx = -A_2 = -3{,}5\). Damit folgt: \(\int_{3}^{-1} f(x) \, dx = -(-3{,}5) = 3{,}5\).

a) \(1{,}2\) b) \(-2{,}7\) c) \(-1{,}5\) d) \(3{,}5\)

- Welche der drei Teilflächen liegen oberhalb und welche unterhalb der \(x\)-Achse? - Mit welchen Vorzeichen gehen diese Teilflächen in die Flächenbilanz ein? - Welche Wirkung hat der Betrag \(|g(x)|\) auf Bereiche unterhalb der \(x\)-Achse?

1. Auf \([0;6]\) ist die Flächenbilanz \(-A+B=-2{,}5+5{,}0=2{,}5\). 2. Auf \([0;8]\) ist die Flächenbilanz \(-A+B-C=-2{,}5+5{,}0-1{,}5=1{,}0\). 3. Das Integral der Betragsfunktion addiert alle geometrischen Teilflächen positiv: \(A+B+C=2{,}5+5{,}0+1{,}5=9{,}0\). 4. In b) werden die vorzeichenbehafteten Flächenbeiträge bilanziert; in c) werden ihre Beträge zum geometrischen Gesamtflächeninhalt addiert.

a) \(2{,}5\) b) \(1{,}0\) c) \(9{,}0\) d) In b) wird die Flächenbilanz gebildet; in c) der geometrische Gesamtflächeninhalt.

- Welche Verschiebung führt den Graphen von \(f\) in den Graphen von \(g\) über? - Wie hängen die beiden Integrationsintervalle geometrisch zusammen? - Was bleibt bei einer gemeinsamen Verschiebung von Graph und Intervall an der eingeschlossenen Fläche unverändert?

1. Der Graph von \(g\) entsteht aus dem Graphen von \(f\) durch Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts. 2. Gleichzeitig ist das Intervall \([1;3]\) genau das um \(2\) Einheiten nach rechts verschobene Intervall \([-1;1]\). 3. Daher sind die beiden zwischen Graph und \(x\)-Achse liegenden Flächenstücke deckungsgleich. Da beide Funktionen auf den betrachteten Intervallen positiv sind, stimmen damit auch ihre Flächenbilanzen und somit die Integralwerte überein.

Graph und Integrationsintervall werden jeweils um \(2\) Einheiten nach rechts verschoben. Die zugehörigen Flächenstücke sind deckungsgleich; deshalb sind die beiden Flächenbilanzen und damit die Integralwerte gleich.

- Welche Folge hat Punktsymmetrie zum Ursprung für entsprechende Flächenbeiträge? - Unterscheide zwischen Flächenbilanz und geometrischem Flächeninhalt. - Wo liegt der Graph oberhalb beziehungsweise unterhalb der \(x\)-Achse?

1. Aussage (1) ist korrekt. Wegen der Punktsymmetrie heben sich die Flächenbeiträge in der Flächenbilanz auf. 2. Aussage (2) ist falsch. Auf \([0;4]\) liegt der Graph unterhalb der \(x\)-Achse, daher ist das Integral negativ. Richtig ist \(A_2=-\int_0^4f(x)\,\mathrm{d}x\). 3. Aussage (3) ist korrekt. Die beiden geometrischen Teilflächen sind wegen der Punktsymmetrie gleich groß. 4. Aussage (4) ist korrekt. Auf \([-4;0]\) liegt der Graph oberhalb der \(x\)-Achse, und wegen \(A_1=A_2\) ist die Gesamtfläche das Doppelte dieses Integrals.

(1) korrekt (2) falsch; \(A_2=-\int_0^4f(x)\,\mathrm{d}x\) (3) korrekt (4) korrekt

- Wann ist ein Produkt aus \(x\) und \(\cos(x)\) gleich null? - In welchen Teilintervallen liegt der Graph oberhalb beziehungsweise unterhalb der \(x\)-Achse? - Nutze die vorgegebene Stammfunktion für beide Teilaufgaben. - Worin unterscheiden sich Flächenbilanz und geometrischer Flächeninhalt?

1. Aus \(x\cos(x)=0\) folgen im Intervall die Nullstellen \(x=0\) und \(x=\frac{\pi}{2}\). 2. Auf \([0;\frac{\pi}{2}]\) ist \(f\geq0\), auf \([\frac{\pi}{2};\pi]\) ist \(f\leq0\). Es gilt \(A_1=\frac{\pi}{2}-1\) und \(A_2=1+\frac{\pi}{2}\). Damit ist der geometrische Gesamtflächeninhalt \(A=\pi\,\text{FE}\). 3. Für das bestimmte Integral gilt \(\int_0^{\pi}f(x)\,dx=F(\pi)-F(0)=-2\). 4. Das bestimmte Integral bildet die Flächenbilanz und zählt den Flächenbeitrag unterhalb der \(x\)-Achse negativ; beim geometrischen Flächeninhalt werden die Beträge addiert.

a) \(x=0\), \(x=\frac{\pi}{2}\) b) \(\pi\,\text{FE}\) c) \(-2\); der Unterschied entsteht durch die vorzeichenbehaftete Flächenbilanz.

- Welche Funktionsgleichung kennzeichnet Punktsymmetrie zum Ursprung? - Was sagt eine Flächenbilanz von \(0\) tatsächlich über positive und negative Flächenbeiträge aus? - Suche für ein Gegenbeispiel nach einer einfachen geraden Funktion, deren positive und negative Flächenbeiträge sich auf einem symmetrischen Intervall ausgleichen.

1. Anjas Aussage ist wahr. Bei einer zum Ursprung punktsymmetrischen Funktion gilt \(f(-x)=-f(x)\). Auf \([-a;a]\) sind die beiden Flächenbeiträge betragsgleich und haben entgegengesetzte Vorzeichen; ihre Flächenbilanz ist deshalb \(0\). 2. Lukas' Aussage ist falsch. Eine Flächenbilanz von \(0\) erzwingt keine Punktsymmetrie. 3. Ein Gegenbeispiel ist \(f(x)=x^2-\frac{1}{3}\) auf \([-1;1]\). Es gilt \(\int_{-1}^{1}\left(x^2-\frac{1}{3}\right)\,dx=0\). 4. Zugleich ist \(f(-x)=f(x)\); der Graph ist also achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse und nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.

Anjas Aussage ist wahr, Lukas' Aussage ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist \(f(x)=x^2-\frac{1}{3}\) auf \([-1;1]\): Das Integral ist \(0\), der Graph ist aber achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse und nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.

- Was passiert mit dem Integral einer ungeraden (punktsymmetrischen) Funktion über ein Intervall, das symmetrisch zum Nullpunkt liegt? - Versuche, das gegebene Integral von \(-2\) bis \(6\) in Teilintervalle zu zerlegen, von denen du eines bereits durch die Symmetrie kennst. - Wie hängen die Integrale über \([a; b]\) und \([-b; -a]\) bei einer Punktsymmetrie zum Ursprung zusammen? Skizziere dir eventuell eine Beispielfunktion wie \(x^3\). - Prüfe genau, ob die Informationen ausreichen, um Teilflächen ab der Grenze \(0\) einzeln zu bestimmen.

1. Da \(g\) punktsymmetrisch zum Ursprung ist, gilt \(\int_{-a}^{a} g(x) \, dx = 0\) für jedes \(a\). 2. Für a): Zerlegung \(\int_{-2}^{6} g(x) \, dx = \int_{-2}^{2} g(x) \, dx + \int_{2}^{6} g(x) \, dx\). Da \(\int_{-2}^{2} g(x) \, dx = 0\), folgt \(12 = 0 + \int_{2}^{6} g(x) \, dx\), also \(\int_{2}^{6} g(x) \, dx = 12\). 3. Für b): Bei Punktsymmetrie gilt \(\int_{-b}^{-a} g(x) \, dx = -\int_{a}^{b} g(x) \, dx\). Mit dem Ergebnis aus a) folgt \(\int_{-6}^{-2} g(x) \, dx = -12\). 4. Für c): Nach der Intervalladditivität ist \(\int_{0}^{6} g(x) \, dx - \int_{0}^{2} g(x) \, dx = \int_{2}^{6} g(x) \, dx = 12\). 5. Für d): Wegen der Punktsymmetrie zum Ursprung ist das Integral über ein symmetrisches Intervall um Null stets \(\int_{-6}^{6} g(x) \, dx = 0\). 6. Für e): Es ist nur die Differenz der Integrale bekannt, nicht die Einzelwerte von \(\int_{0}^{2}\) oder \(\int_{0}^{6}\). Das Integral ist nicht berechenbar.

a) \(12\) b) \(-12\) c) \(12\) d) \(0\) e) Nicht eindeutig bestimmbar

- Welche geometrische Form entsteht auf jedem der beiden Teilintervalle? - Welche Größen bestimmen den Flächeninhalt eines Dreiecks, und welche davon sind durch die Abbildung festgelegt? - Was bedeutet das negative Vorzeichen der zweiten Integralbedingung für die Lage von \(P_3\)?

1. Auf \([0;2]\) entsteht ein Dreieck oberhalb der \(x\)-Achse mit Grundseite \(2\) und Höhe \(h\). Daher gilt \(\int_0^2 f(x)\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\cdot2h=h\). Aus der Bedingung folgt \(h=3\). 2. Auf \([2;4]\) entsteht ein Dreieck unterhalb der \(x\)-Achse mit Grundseite \(2\) und Höhe \(|k|\). Sein Flächenbeitrag ist \(k\). Aus \(\int_2^4 f(x)\,\mathrm{d}x=-1\) folgt \(k=-1\). 3. Die waagerechten Koordinaten der zusätzlichen Eckpunkte können innerhalb der jeweiligen Grundseiten frei gewählt werden, weil sich dadurch weder Grundseite noch Höhe der Dreiecke ändern. Eine mögliche Wahl ist \(u=1\) und \(v=3\). 4. Damit sind zum Beispiel \(P_1(1\mid3)\) und \(P_3(3\mid-1)\) geeignet.

Eine mögliche Wahl ist \(P_1(1\mid3)\) und \(P_3(3\mid-1)\). Allgemein sind alle \(u\in(0;2)\) und \(v\in(2;4)\) möglich, wenn \(h=3\) und \(k=-1\) gelten.