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- Musst du die genaue Funktionsgleichung von \(g(x)\) kennen, um diese Aufgabe zu lösen? - Wie beeinflusst ein konstanter Faktor vor der Funktion den Wert des bestimmten Integrals? - Nutze die Eigenschaft, dass man konstante Faktoren aus dem Integral „herausziehen“ darf.

1. Anwendung der Faktorregel für Integrale: Der konstante Faktor \(\frac{2}{3}\) wird vor das Integral geschrieben: \(\frac{2}{3} \cdot \int_{2}^{6} g(x) \, dx\). 2. Einsetzen des gegebenen Integralwertes \(18\) in den Ausdruck: \(\frac{2}{3} \cdot 18\). 3. Durchführung der Multiplikation: \(\frac{2 \cdot 18}{3} = \frac{36}{3} = 12\).

\(12\)

- Welche beiden Werte der Stammfunktion gehören zu den Integrationsgrenzen? - Achte auf die Reihenfolge „oberer Randwert minus unterer Randwert“.

1. Nach dem Hauptsatz gilt \(\int_1^4 f(x)\,\mathrm{d}x=F(4)-F(1)\). 2. Damit ist der Integralwert \(7-2=5\).

\(5\)

- Vergleiche die Reihenfolge der beiden Integrationsgrenzen. - Welche Auswirkung hat das Vertauschen der Grenzen auf das Vorzeichen?

1. Beim Vertauschen der Integrationsgrenzen ändert sich das Vorzeichen des Integralwerts. 2. Daher gilt \(\int_5^2 f(x)\,\mathrm{d}x=-6\).

\(-6\)

- Findest du eine Funktion, deren Ableitung genau dem Term im Integral entspricht? - Achte beim Einsetzen der Grenzen genau auf die Vorzeichen, besonders bei der unteren Grenze. - Was ändert sich an der Rechnung, wenn die obere Grenze kleiner ist als die untere? - Kannst du die Stammfunktion für jeden Summanden einzeln bestimmen?

1. Berechnung von a): Bestimmung einer Stammfunktion \(F(x) = \frac{1}{2}x^2 + x\). Einsetzen der Grenzen: \(F(4) - F(-2) = (\frac{1}{2} \cdot 16 + 4) - (\frac{1}{2} \cdot 4 - 2) = 12 - 0 = 12\). 2. Berechnung von b): Bestimmung einer Stammfunktion \(F(t) = 2t - 0{,}4t^2\). Einsetzen der Grenzen: \(F(5) - F(0) = (2 \cdot 5 - 0{,}4 \cdot 25) - 0 = 10 - 10 = 0\). 3. Berechnung von c): Bestimmung einer Stammfunktion \(F(u) = 0{,}75u^2 - 3u\). Einsetzen der Grenzen: \(F(1) - F(4) = (0{,}75 - 3) - (0{,}75 \cdot 16 - 3 \cdot 4) = -2{,}25 - (12 - 12) = -2{,}25\).

a) \(12\) b) \(0\) c) \(-2{,}25\)

- Welche Regel nutzt du, um die Potenz eines Terms beim Integrieren zu erhöhen? - Denk daran, dass du beim Einsetzen der Grenzen immer „Obere Grenze minus Untere Grenze“ rechnest. - Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn die untere Grenze oder der Funktionswert negativ ist. - Kannst du den konstanten Faktor beim Bilden der Stammfunktion einfach beibehalten?

1. Bestimmung einer Stammfunktion \(F\) der Funktion \(f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 2\): \(F(x) = \frac{1}{6}x^3 - 2x\) 2. Berechnung des Funktionswertes an der oberen Grenze \(x = 4\): \(F(4) = \frac{1}{6} \cdot 4^3 - 2 \cdot 4 = \frac{64}{6} - 8 = \frac{32}{3} - \frac{24}{3} = \frac{8}{3}\) 3. Berechnung des Funktionswertes an der unteren Grenze \(x = 1\): \(F(1) = \frac{1}{6} \cdot 1^3 - 2 \cdot 1 = \frac{1}{6} - 2 = -\frac{11}{6}\) 4. Differenzbildung gemäß Hauptsatz: \(F(4) - F(1) = \frac{8}{3} - \left(-\frac{11}{6}\right) = \frac{16}{6} + \frac{11}{6} = \frac{27}{6} = 4{,}5\)

\(4{,}5\)

- Wie verändert sich der Exponent und der Vorfaktor, wenn du die Stammfunktion bildest? - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl mit einem geraden Exponenten potenzierst? - Es hilft oft, Brüche erst am Ende in Dezimalzahlen umzuwandeln, um Rechenfehler zu vermeiden. - Hast du daran gedacht, die gesamte Stammfunktion an der unteren Grenze in Klammern zu setzen?

1. Finden einer Stammfunktion \(F\) für \(f(x) = \frac{1}{4}x^3 + x\): \(F(x) = \frac{1}{16}x^4 + \frac{1}{2}x^2\) 2. Einsetzen der oberen Integrationsgrenze \(x = 2\): \(F(2) = \frac{1}{16} \cdot 2^4 + \frac{1}{2} \cdot 2^2 = \frac{16}{16} + \frac{4}{2} = 1 + 2 = 3\) 3. Einsetzen der unteren Integrationsgrenze \(x = -1\): \(F(-1) = \frac{1}{16} \cdot (-1)^4 + \frac{1}{2} \cdot (-1)^2 = \frac{1}{16} + \frac{1}{2} = \frac{1}{16} + \frac{8}{16} = \frac{9}{16}\) 4. Auswertung des Integrals: \(F(2) - F(-1) = 3 - \frac{9}{16} = \frac{48}{16} - \frac{9}{16} = \frac{39}{16} = 2{,}4375\)

\(2{,}4375\)

- Beachte die Reihenfolge der Integrationsgrenzen beim Einsetzen in die Stammfunktion. - Wie lautet die Regel für das Integrieren einer Summe von Potenzfunktionen? - Überprüfe deine Rechnung für den Wert an der Stelle \(x = 3\) sorgfältig Schritt für Schritt.

1. Bestimmung der Stammfunktion des Polynoms: \(F(x) = x^4 - 2x^3 + x^2 - 5x\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(\left[x^4 - 2x^3 + x^2 - 5x\right]_{3}^{0}\). 3. Berechnung des Wertes an der oberen Grenze: \(F(0) = 0\). 4. Berechnung des Wertes an der unteren Grenze: \(F(3) = 3^4 - 2 \cdot 3^3 + 3^2 - 5 \cdot 3 = 81 - 54 + 9 - 15 = 21\). 5. Differenz bilden: \(F(0) - F(3) = 0 - 21 = -21\).

\(-21\)

- Wie berechnet man ein bestimmtes Integral, wenn die Stammfunktion bekannt ist? - Schreibe die Terme für beide Seiten der Gleichung separat mithilfe der Stammfunktion auf. - Achte auf die Reihenfolge der Grenzen beim Einsetzen in die Stammfunktion. - Was passiert mit den Vorzeichen in einer Klammer, wenn ein Minuszeichen davor steht?

1. Anwendung des Hauptsatzes auf die linke Seite der Gleichung: \(\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)\). 2. Anwendung des Hauptsatzes auf das Integral der rechten Seite: \(\int_b^a f(x) \, dx = F(a) - F(b)\). 3. Multiplikation des Ergebnisses aus Schritt 2 mit \(-1\): \(-(F(a) - F(b)) = -F(a) + F(b) = F(b) - F(a)\). 4. Da beide Seiten den Wert \(F(b) - F(a)\) ergeben, ist die Identität bewiesen.

Nach dem Hauptsatz gilt \(\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)\). Für die rechte Seite ergibt sich \(- \int_b^a f(x) \, dx = -(F(a) - F(b)) = -F(a) + F(b) = F(b) - F(a)\). Somit sind beide Seiten identisch.

- Überlege dir zuerst, wie du die Wurzel und den Bruch als Potenzen mit rationalen bzw. negativen Exponenten schreiben kannst. - Suche nach einer Funktion, deren Ableitung genau dem Term im Integral entspricht. - Was besagt der Hauptsatz über die Verwendung der Integrationsgrenzen? - Achte beim Einsetzen der unteren Grenze besonders auf die Vorzeichen.

1. Bestimmung einer Stammfunktion \(F\) des Integranden \(f(x) = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} + 2x^{-2}\): \(F(x) = x^{\frac{3}{2}} - 2x^{-1} = x\sqrt{x} - \frac{2}{x}\). 2. Anwendung des Hauptsatzes durch Einsetzen der Integrationsgrenzen: \([x\sqrt{x} - \frac{2}{x}]_{1}^{4}\). 3. Auswertung an der oberen Grenze \(x = 4\): \(F(4) = 4\sqrt{4} - \frac{2}{4} = 8 - 0{,}5 = 7{,}5\). 4. Auswertung an der unteren Grenze \(x = 1\): \(F(1) = 1\sqrt{1} - \frac{2}{1} = 1 - 2 = -1\). 5. Berechnung der Differenz: \(F(4) - F(1) = 7{,}5 - (-1) = 8{,}5\).

\(8{,}5\)

- Erinnere dich an die Ableitungsregeln für trigonometrische Funktionen und die Exponentialfunktion, um die Stammfunktion zu finden. - Welchen Wert haben Sinus und Kosinus an den Stellen \(0\) und \(\pi\)? - Vergiss nicht, dass \(e^0\) einen festen Zahlenwert hat. - Subtrahiere den Wert an der unteren Grenze sorgfältig vom Wert an der oberen Grenze.

1. Finden einer Stammfunktion \(F\) für die Funktion \(f(x) = \sin(x) - \frac{1}{3}e^x\): \(F(x) = -\cos(x) - \frac{1}{3}e^x\). 2. Einsetzen der Grenzen gemäß \([-\cos(x) - \frac{1}{3}e^x]_{0}^{\pi}\). 3. Berechnung des Wertes an der oberen Grenze \(x = \pi\): \(-\cos(\pi) - \frac{1}{3}e^{\pi} = -(-1) - \frac{1}{3}e^{\pi} = 1 - \frac{1}{3}e^{\pi}\). 4. Berechnung des Wertes an der unteren Grenze \(x = 0\): \(-\cos(0) - \frac{1}{3}e^{0} = -1 - \frac{1}{3} = -\frac{4}{3}\). 5. Bildung der Differenz: \((1 - \frac{1}{3}e^{\pi}) - (-\frac{4}{3}) = 1 + \frac{4}{3} - \frac{1}{3}e^{\pi} = \frac{7 - e^{\pi}}{3}\).

\(\frac{7 - e^{\pi}}{3}\)

- Kannst du die Wurzel und den Bruch als Potenzen mit rationalen Exponenten schreiben? - Welche Regel hilft dir, die Stammfunktion einer Potenzfunktion zu finden? - Denk daran, zuerst die obere Grenze und dann die untere Grenze in die Stammfunktion einzusetzen. - Was musst du beim Subtrahieren der beiden Werte beachten, falls einer davon negativ ist?

1. Umschreiben des Integranden in Potenzschreibweise: \(x^{-\frac{1}{2}} + 2x^{-2}\) 2. Bestimmen einer Stammfunktion mittels der Potenzregel: \(F(x) = 2x^{\frac{1}{2}} - 2x^{-1} = 2\sqrt{x} - \frac{2}{x}\) 3. Berechnen des Funktionswertes an der oberen Grenze \(x = 4\): \(F(4) = 2\sqrt{4} - \frac{2}{4} = 4 - 0{,}5 = 3{,}5\) 4. Berechnen des Funktionswertes an der unteren Grenze \(x = 1\): \(F(1) = 2\sqrt{1} - \frac{2}{1} = 2 - 2 = 0\) 5. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(F(4) - F(1) = 3{,}5 - 0 = 3{,}5\)

\(3{,}5\)

- Weißt du, welche Funktionen beim Ableiten den Sinus bzw. den Kosinus ergeben? Achte dabei besonders auf das Vorzeichen. - Erinnere dich an die Werte der trigonometrischen Funktionen für die Winkel \(0\) und \(\frac{\pi}{2}\). - Wie lautet die allgemeine Formel, um ein Integral mithilfe einer Stammfunktion zu berechnen?

1. Bestimmen einer Stammfunktion unter Verwendung der Grundintegrale für Sinus und Kosinus: \(F(x) = -3\cos(x) - 2\sin(x)\) 2. Einsetzen der oberen Grenze \(x = \frac{\pi}{2}\): \(F(\frac{\pi}{2}) = -3\cos(\frac{\pi}{2}) - 2\sin(\frac{\pi}{2}) = -3 \cdot 0 - 2 \cdot 1 = -2\) 3. Einsetzen der unteren Grenze \(x = 0\): \(F(0) = -3\cos(0) - 2\sin(0) = -3 \cdot 1 - 2 \cdot 0 = -3\) 4. Berechnen der Differenz gemäß dem Hauptsatz: \(F(\frac{\pi}{2}) - F(0) = -2 - (-3) = 1\)

\(1\)

- Welche Ableitungsregel musst du anwenden, wenn ein Term als Produkt zweier Funktionen erscheint? - Erinnerst du dich an die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion? - Wie hilft dir die Stammfunktion dabei, den Wert eines Integrals zwischen zwei Grenzen zu bestimmen? - Was ist der Logarithmus von \(e\) und was ist der Logarithmus von \(1\)?

1. Ableitung von \(F\) unter Verwendung der Produktregel: \(F'(x) = 1 \cdot \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} + 1\) 2. Vereinfachung des Terms: \(F'(x) = \ln(x) + 1 + 1 = \ln(x) + 2\). Da \(F'(x) = f(x)\) gilt, ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\). 3. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(\int_1^e f(x) \, dx = [x \cdot \ln(x) + x]_1^e\) 4. Einsetzen der oberen Grenze: \(F(e) = e \cdot \ln(e) + e = e \cdot 1 + e = 2e\) 5. Einsetzen der unteren Grenze: \(F(1) = 1 \cdot \ln(1) + 1 = 1 \cdot 0 + 1 = 1\) 6. Differenzbildung: \(2e - 1\)

a) \(F'(x) = \ln(x) + 1 + 1 = \ln(x) + 2 = f(x)\) b) \(\int_1^e f(x) \, dx = 2e - 1\)

- Überlege dir, wie der Graph der Funktion im ersten Fall im Vergleich zum Mittelpunkt des Intervalls aussieht. - Was passiert mit dem Vorzeichen eines Integrals, wenn man die obere und untere Grenze vertauscht? - Kannst du das Integral einer Summe von zwei Funktionen als Summe von zwei einzelnen Integralen schreiben? - Erinnere dich an die geometrische Deutung des Integrals einer konstanten Funktion.

1. Teilaufgabe a): Die Funktion \(f(x) = (x-1)^5\) ist punktsymmetrisch zum Punkt \((1\mid 0)\). Da das Integrationsintervall \([0; 2]\) symmetrisch um die Stelle \(x=1\) liegt, heben sich die orientierten Flächeninhalte oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse exakt auf, woraus der Integralwert \(0\) folgt. 2. Teilaufgabe b): Es gilt die allgemeine Eigenschaft bestimmter Integrale \(\int_{a}^{b} f(x) \, dx = -\int_{b}^{a} f(x) \, dx\). Addiert man ein Integral zu seinem Gegenwert (erzeugt durch das Vertauschen der Grenzen), ergibt sich stets \(0\). 3. Teilaufgabe c): Nach der Additivität (Linearität) des Integrals kann der Integrand aufgeteilt werden in \(\int_{0}^{2} x^2 \, dx + \int_{0}^{2} 4 \, dx\). Das zweite Teilintegral entspricht dem Flächeninhalt eines Rechtecks mit der Breite \(2\) und der Höhe \(4\), also \(4 \cdot 2 = 8\).

a) Der Graph der Funktion ist punktsymmetrisch zum Punkt \((1\mid 0)\), und das Intervall ist symmetrisch zu \(x=1\). Daher heben sich die Flächenanteile auf. b) Das Vertauschen der Integrationsgrenzen kehrt das Vorzeichen des Integrals um, die Summe ist daher \(0\). c) Durch Anwendung der Summenregel und Berechnung des Integrals der Konstanten (\(\int_{0}^{2} 4 \, dx = 8\)) folgt die Gleichung.

- Kannst du die Brüche als Potenzen mit negativen Exponenten umschreiben, um die Potenzregel anzuwenden? - Gibt es einen der Brüche, bei dem die Potenzregel nicht direkt funktioniert und du eine spezielle Funktion (den Logarithmus) benötigst? - Wie lautet der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung für die Berechnung von bestimmten Integralen? - Welche besonderen Werte haben \(\ln(e)\) und \(\ln(1)\)?

1. Umschreiben der Funktionsterme in Potenzschreibweise: \(g(x) = 2 \cdot \frac{1}{x} + 6x^{-2}\) 2. Anwendung der Grundintegrale (\(\ln\)-Funktion und Potenzregel): \(G(x) = 2\ln(x) - 6x^{-1} = 2\ln(x) - \frac{6}{x}\) 3. Aufstellen des Integrals mit den Grenzen \(1\) und \(e\): \(\int_{1}^{e} (\frac{2}{x} + \frac{6}{x^2}) \, dx = [2\ln(x) - \frac{6}{x}]_{1}^{e}\) 4. Einsetzen der oberen und unteren Grenze: \((2\ln(e) - \frac{6}{e}) - (2\ln(1) - \frac{6}{1})\) 5. Auswerten der Terme (\(\ln(e) = 1\) und \(\ln(1) = 0\)): \((2 - \frac{6}{e}) - (0 - 6) = 2 - \frac{6}{e} + 6 = 8 - \frac{6}{e}\)

a) \(G(x) = 2\ln(x) - \frac{6}{x}\) b) \(8 - \frac{6}{e}\)

- Kannst du das Integral in einzelne Teilintegrale zerlegen? - Überlege, wie du konstante Faktoren innerhalb des Integrals behandeln darfst. - Vergiss nicht, auch den konstanten Summanden über das gesamte Intervall zu integrieren. - Welche Rechenregeln für Integrale helfen dir, wenn Funktionen addiert oder subtrahiert werden?

1. Anwendung der Summen- und Faktorregel zur Zerlegung des Integrals: \(1{,}5 \cdot \int_{2}^{6} f(x) \, dx - 4 \cdot \int_{2}^{6} g(x) \, dx + \int_{2}^{6} 3 \, dx\) 2. Einsetzen der bekannten Integralwerte für \(f\) und \(g\): \(1{,}5 \cdot 12 - 4 \cdot 5 + \int_{2}^{6} 3 \, dx = 18 - 20 + \int_{2}^{6} 3 \, dx\) 3. Berechnung des Integrals der konstanten Funktion: \(\int_{2}^{6} 3 \, dx = [3x]_{2}^{6} = 3 \cdot (6 - 2) = 12\) 4. Addition der Teilwerte: \(18 - 20 + 12 = 10\)

10

- Wie lautet die allgemeine Regel, um eine Stammfunktion einer Potenzfunktion zu bilden? - Was besagt der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung über den Zusammenhang zwischen Integral und Stammfunktion? - Achte beim Einsetzen negativer Zahlen besonders auf die Klammern und Vorzeichen.

1. Bestimmung der Stammfunktion mittels Potenz-, Summen- und Faktorregel: \(F(x) = 2x^3 - x^2 + x\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(\int_{-1}^{2} (6x^2 - 2x + 1) \, dx = [2x^3 - x^2 + x]_{-1}^{2}\). 3. Berechnung des Wertes an der oberen Grenze: \(F(2) = 2 \cdot 2^3 - 2^2 + 2 = 16 - 4 + 2 = 14\). 4. Berechnung des Wertes an der unteren Grenze: \(F(-1) = 2 \cdot (-1)^3 - (-1)^2 + (-1) = -2 - 1 - 1 = -4\). 5. Differenzbildung: \(14 - (-4) = 18\).

\(\int_{-1}^{2} (6x^2 - 2x + 1) \, dx = 18\)

- Wie gehst du vor, wenn die Funktion aus mehreren Summanden besteht? - Was passiert mit konstanten Faktoren beim Integrieren? - Überprüfe deine Stammfunktion, indem du sie im Kopf kurz ableitest. Erhältst du wieder die ursprüngliche Funktion?

1. Bestimmung der Stammfunktion unter Verwendung der Potenzregel, Summenregel und Faktorregel: \(F(x) = \frac{1}{32}x^4 + \frac{1}{2}x^3 - 4x\). 2. Einsetzen der oberen Grenze \(x = 4\): \(F(4) = \frac{1}{32} \cdot 4^4 + \frac{1}{2} \cdot 4^3 - 4 \cdot 4 = \frac{256}{32} + \frac{64}{2} - 16 = 8 + 32 - 16 = 24\). 3. Einsetzen der unteren Grenze \(x = 0\): \(F(0) = 0\). 4. Berechnung der Differenz gemäß Hauptsatz: \(24 - 0 = 24\).

\(\int_{0}^{4} (\frac{1}{8}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 4) \, dx = 24\)

- Welcher Buchstabe gibt hier an, nach welcher Variablen integriert wird? - Wie findest du die Stammfunktion für eine Summe von Termen? - Was musst du beim Einsetzen der Integrationsgrenzen in die Stammfunktion beachten? - Welcher Satz erlaubt es dir, ein bestimmtes Integral über die Stammfunktion zu berechnen?

1. Bestimmung der Stammfunktion mittels Potenz-, Faktor- und Summenregel: \(F(u) = 2u^3 - 2u^2 + 3u\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung durch Einsetzen der Grenzen: \(F(2) - F(1)\). 3. Berechnung des Wertes an der oberen Grenze: \(F(2) = 2 \cdot 2^3 - 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2 = 16 - 8 + 6 = 14\). 4. Berechnung des Wertes an der unteren Grenze: \(F(1) = 2 \cdot 1^3 - 2 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1 = 2 - 2 + 3 = 3\). 5. Differenzbildung: \(14 - 3 = 11\).

Das Integral hat den Wert \(11\). Verwendete Regeln: Potenzregel, Faktorregel, Summenregel und der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

- Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn du die untere Grenze einsetzt. - Wie verändert sich der Exponent beim Integrieren nach der Potenzregel? - Welche Rechenregel hilft dir, wenn der Integrand aus einer Differenz besteht? - Was besagt der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung über die Reihenfolge der Grenzen?

1. Ermittlung der Stammfunktion unter Anwendung der Potenz- und Summenregel: \(F(v) = \frac{1}{4}v^4 - \frac{1}{2}v^2\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(\left[ \frac{1}{4}v^4 - \frac{1}{2}v^2 \right]_{-1}^{2}\). 3. Auswertung an der oberen Grenze: \(F(2) = \frac{1}{4} \cdot 2^4 - \frac{1}{2} \cdot 2^2 = 4 - 2 = 2\). 4. Auswertung an der unteren Grenze: \(F(-1) = \frac{1}{4} \cdot (-1)^4 - \frac{1}{2} \cdot (-1)^2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -0{,}25\). 5. Berechnung der Differenz: \(2 - (-0{,}25) = 2{,}25\).

Der Wert des Integrals beträgt \(2{,}25\). Verwendete Regeln: Potenzregel, Summenregel (bzw. Differenzregel) und der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

- Welche Regel nutzt du, um eine Stammfunktion für Potenzen zu finden? - Denk daran, zuerst die obere Grenze in deine Stammfunktion einzusetzen. - Was musst du beim Abziehen der Werte beachten, wenn eine Grenze Null ist?

1. Bestimmung einer Stammfunktion \(F\) des Integranden \(f(t) = 3t^2 - 2t\): \(F(t) = t^3 - t^2\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung durch Einsetzen der Integrationsgrenzen: \([t^3 - t^2]_{0}^{4}\). 3. Berechnung des Wertes an der oberen Grenze: \(F(4) = 4^3 - 4^2 = 64 - 16 = 48\). 4. Berechnung des Wertes an der unteren Grenze: \(F(0) = 0^3 - 0^2 = 0\). 5. Differenzbildung: \(F(4) - F(0) = 48 - 0 = 48\).

48

- Wie gehst du vor, wenn der Integrand aus mehreren Summanden besteht? - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn du die negative untere Grenze einsetzt. - Erinnere dich daran, dass eine Potenz mit negativer Basis bei einem geraden Exponenten positiv ist. - Es hilft oft, Brüche in Dezimalzahlen umzuwandeln oder alles auf einen Hauptnenner zu bringen.

1. Bestimmung einer Stammfunktion \(F(x)\) für den Integranden \(f(x) = \frac{1}{2}x^3 - 3x + 1\): \(F(x) = \frac{1}{8}x^4 - \frac{3}{2}x^2 + x\). 2. Auswertung an der oberen Grenze \(x = 2\): \(F(2) = \frac{1}{8} \cdot 2^4 - \frac{3}{2} \cdot 2^2 + 2 = \frac{16}{8} - \frac{12}{2} + 2 = 2 - 6 + 2 = -2\). 3. Auswertung an der unteren Grenze \(x = -1\): \(F(-1) = \frac{1}{8}(-1)^4 - \frac{3}{2}(-1)^2 + (-1) = \frac{1}{8} - \frac{3}{2} - 1 = 0{,}125 - 1{,}5 - 1 = -2{,}375\). 4. Berechnung der Differenz \(F(2) - F(-1)\): \(-2 - (-2{,}375) = -2 + 2{,}375 = 0{,}375\).

\(0{,}375\) (oder \(\frac{3}{8}\))

- Welche Regel hilft dir dabei, von einer Potenzfunktion zur Stammfunktion zu gelangen? - Wie verhält sich eine Quadratwurzel, wenn sie mit der vierten Potenz potenziert wird? - Vergiss nicht, nach dem Einsetzen der Grenzen den Wert der unteren Grenze vom Wert der oberen Grenze abzuziehen.

1. Eine Stammfunktion \(F\) des Integranden \(f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x\) bilden: \(F(x) = \frac{1}{12}x^4 - x^2\). 2. Den Wert an der oberen Grenze berechnen: \(F(\sqrt{6}) = \frac{1}{12}(\sqrt{6})^4 - (\sqrt{6})^2 = \frac{36}{12} - 6 = 3 - 6 = -3\). 3. Den Wert an der unteren Grenze berechnen: \(F(0) = \frac{1}{12} \cdot 0^4 - 0^2 = 0\). 4. Die Differenz bilden: \(F(\sqrt{6}) - F(0) = -3 - 0 = -3\).

\(-3\)

- Überlege, wie sich der Wert eines Integrals ändert, wenn die obere und die untere Grenze getauscht werden. - Kannst du das Integral so zerlegen, dass du die gegebenen Informationen direkt einsetzen kannst? - Welche Regeln gelten für die Multiplikation des Integranden mit einer Zahl und für die Summe zweier Funktionen?

1. Das Vertauschen der Integralgrenzen führt zu einer Vorzeichenumkehr des Integralwertes: \(\int_5^1 (3f(x) + 4g(x)) \, dx = - \int_1^5 (3f(x) + 4g(x)) \, dx\). 2. Anwendung der Linearität des Integrals (Summen- und Faktorregel): \(- (3 \cdot \int_1^5 f(x) \, dx + 4 \cdot \int_1^5 g(x) \, dx)\). 3. Einsetzen der bekannten Integralwerte: \(- (3 \cdot 8 + 4 \cdot (-2))\). 4. Numerische Berechnung des Ergebnisses: \(- (24 - 8) = -16\).

\(I = -16\)

- Erinnere dich an den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. - Wie findet man eine Stammfunktion für eine Potenzfunktion? - Achte beim Einsetzen der unteren Grenze besonders auf die Vorzeichen, falls diese negativ ist. - Fällt dir bei Teilaufgabe b) etwas Besonderes am Integranden und den Integrationsgrenzen auf?

1. Für Teilaufgabe a): Eine Stammfunktion von \(f(x) = x^2 - 4x + 6\) ist \(F(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 6x\). Einsetzen der Grenzen liefert \(F(4) = \frac{64}{3} - 32 + 24 = \frac{40}{3}\) und \(F(1) = \frac{1}{3} - 2 + 6 = \frac{13}{3}\). Die Differenz ergibt \(\frac{40}{3} - \frac{13}{3} = \frac{27}{3} = 9\). 2. Für Teilaufgabe b): Eine Stammfunktion von \(g(x) = x^3 - 3x\) ist \(G(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^2\). Einsetzen der Grenzen liefert \(G(2) = \frac{16}{4} - \frac{3 \cdot 4}{2} = 4 - 6 = -2\) und \(G(-2) = \frac{16}{4} - \frac{3 \cdot 4}{2} = 4 - 6 = -2\). Die Differenz ergibt \(-2 - (-2) = 0\).

a) \(9\) b) \(0\)

- Gehe schrittweise vor: Bestimme zuerst die Stammfunktion und setze dann die Grenzen ein. - Vergiss nicht, dass beim Integrieren von \(x^n\) der neue Exponent \(n+1\) ist und du durch diesen teilst. - Setze Klammern beim Subtrahieren des unteren Grenzwerts, um Rechenfehler zu vermeiden.

1. Für Teilaufgabe a): Die Stammfunktion ist \(F(x) = \frac{1}{12}x^4 - \frac{1}{3}x^3 + 2x\). Die Berechnung an den Grenzen ergibt \(F(3) = \frac{81}{12} - \frac{27}{3} + 6 = 6{,}75 - 9 + 6 = 3{,}75\) und \(F(0) = 0\). Das Integral hat somit den Wert \(3{,}75 - 0 = 3{,}75\). 2. Für Teilaufgabe b): Die Stammfunktion ist \(G(x) = 2x^3 - x^2 - 4x\). Die Berechnung an den Grenzen ergibt \(G(2) = 2 \cdot 8 - 4 - 4 \cdot 2 = 16 - 4 - 8 = 4\) und \(G(-1) = 2(-1)^3 - (-1)^2 - 4(-1) = -2 - 1 + 4 = 1\). Das Integral hat somit den Wert \(4 - 1 = 3\).

a) \(3{,}75\) (oder \(\frac{15}{4}\)) b) \(3\)

- Erinnere dich an die Ableitungsregeln für trigonometrische Funktionen und Potenzen, um die Stammfunktion zu finden. - Was ist die Stammfunktion von \(\cos x\)? - Achte beim Einsetzen der Grenzen darauf, ob du im Gradmaß oder im Bogenmaß rechnen musst. - Der Hauptsatz besagt, dass du den Wert an der unteren Grenze vom Wert an der oberen Grenze abziehen musst.

1. Bestimmung der Stammfunktion der Integrandenfunktion \(f(x) = 3 \cos x - 2x\): Eine mögliche Stammfunktion ist \(F(x) = 3 \sin x - x^2\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: Das Integral entspricht der Differenz der Werte der Stammfunktion an den Grenzen, also \(F(\frac{\pi}{2}) - F(0)\). 3. Einsetzen der oberen Grenze: \(F(\frac{\pi}{2}) = 3 \sin(\frac{\pi}{2}) - (\frac{\pi}{2})^2 = 3 \cdot 1 - \frac{\pi^2}{4} = 3 - \frac{\pi^2}{4}\). 4. Einsetzen der unteren Grenze: \(F(0) = 3 \sin(0) - 0^2 = 0\). 5. Differenz bilden: \((3 - \frac{\pi^2}{4}) - 0 = 3 - \frac{\pi^2}{4}\).

\(3 - \frac{\pi^2}{4}\)

- Kannst du die Brüche und Wurzeln als Potenzen mit negativen oder rationalen Exponenten schreiben? - Welche Regel hilft dir dabei, die Stammfunktion einer Summe von Potenzfunktionen zu finden? - Denk daran, beim Einsetzen der Grenzen sorgfältig mit den Vorzeichen umzugehen. - Wie lautet der Hauptsatz, der den Wert eines Integrals mit der Stammfunktion verknüpft?

1. Umschreiben des Integranden in die Potenzschreibweise: \(f(x) = 3x^2 - 4x^{-2} + x^{\frac{1}{2}}\) 2. Bestimmen einer Stammfunktion mithilfe der Potenzregel: \(F(x) = x^3 + 4x^{-1} + \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\), was vereinfacht \(F(x) = x^3 + \frac{4}{x} + \frac{2}{3}\sqrt{x^3}\) entspricht. 3. Einsetzen der oberen Grenze \(x = 4\): \(F(4) = 4^3 + \frac{4}{4} + \frac{2}{3}\sqrt{4^3} = 64 + 1 + \frac{16}{3} = \frac{211}{3}\) 4. Einsetzen der unteren Grenze \(x = 1\): \(F(1) = 1^3 + \frac{4}{1} + \frac{2}{3}\sqrt{1^3} = 5 + \frac{2}{3} = \frac{17}{3}\) 5. Berechnung der Differenz gemäß dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: \(\frac{211}{3} - \frac{17}{3} = \frac{194}{3}\)

\(\frac{194}{3}\) (oder \(64 \frac{2}{3}\))

- Erinnere dich an die Potenzregel für das Bilden von Stammfunktionen. - Wie gehst du vor, wenn im Integranden eine Summe oder Differenz steht? - Überlege dir, wie man Wurzeln als Potenzen schreiben kann, um die Stammfunktion leichter zu finden. - Gibt es bei symmetrischen Integrationsintervallen Besonderheiten bei ungeraden Funktionen?

1. Teilaufgabe a): Bestimmung der Stammfunktion \(F(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x\). Einsetzen der Grenzen liefert \(F(3) = 3\) und \(F(0) = 0\). Das Ergebnis ist \(3 - 0 = 3\). 2. Teilaufgabe b): Umschreiben des Integranden zu \(x^{-\frac{1}{2}}\) und Bestimmung der Stammfunktion \(F(x) = 2\sqrt{x}\). Einsetzen der Grenzen liefert \(F(4) = 4\) und \(F(1) = 2\). Das Ergebnis ist \(4 - 2 = 2\). 3. Teilaufgabe c): Bestimmung der Stammfunktion \(F(x) = \frac{1}{4}x^4\). Einsetzen der Grenzen liefert \(F(2) = 4\) und \(F(-2) = 4\). Das Ergebnis ist \(4 - 4 = 0\).

a) \(3\) b) \(2\) c) \(0\)

- Wie lassen sich Wurzeln und Brüche als Potenzen mit rationalen oder negativen Exponenten schreiben? - Gehe beim Bilden der Stammfunktion schrittweise für jeden Summanden vor. - Achte besonders auf die Vorzeichen beim Integrieren negativer Exponenten. - Überprüfe deine Stammfunktion durch Ableiten, bevor du die Grenzen einsetzt.

1. Umschreiben des Integranden in die Potenzschreibweise: \(\frac{3}{2}t^{-\frac{1}{2}} - 2t^{-2}\). 2. Bestimmen einer Stammfunktion unter Anwendung der Potenzregel: \(F(t) = \frac{3}{2} \cdot \frac{t^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} - 2 \cdot \frac{t^{-1}}{-1} = 3\sqrt{t} + \frac{2}{t}\). 3. Auswerten der Stammfunktion an der oberen Grenze \(t = 4\): \(F(4) = 3\sqrt{4} + \frac{2}{4} = 6 + 0{,}5 = 6{,}5\). 4. Auswerten der Stammfunktion an der unteren Grenze \(t = 1\): \(F(1) = 3\sqrt{1} + \frac{2}{1} = 3 + 2 = 5\). 5. Berechnung der Differenz gemäß dem Hauptsatz: \(F(4) - F(1) = 6{,}5 - 5 = 1{,}5\).

\(1{,}5\)

- Überlege, welcher Teil der Funktion ein fester Zahlenwert ist und welcher Teil von \(x\) abhängt. - Erinnere dich daran, wie man Faktoren beim Ableiten behandelt – beim Integrieren funktioniert das ganz ähnlich. - Es ist oft einfacher, zuerst das Integral der Basisfunktion zu berechnen und das Ergebnis danach mit dem Faktor zu multiplizieren.

1. Anwendung der Faktorregel durch Herausziehen der Konstanten \(5\): \(5 \cdot \int_{1}^{2} x^4 \, dx\). 2. Bestimmung der Stammfunktion von \(x^4\): \(\frac{1}{5}x^5\). 3. Verrechnung des Faktors mit der Stammfunktion: \(5 \cdot \frac{1}{5}x^5 = x^5\). 4. Einsetzen der Integrationsgrenzen in die Stammfunktion: \(2^5 - 1^5\). 5. Berechnung des Endergebnisses: \(32 - 1 = 31\).

\(31\)

- Welchen Zusammenhang gibt es zwischen dem bestimmten Integral und der Stammfunktion einer Funktion? - Wie lautet die Regel für das Integrieren von Potenzfunktionen? - Achte beim Einsetzen der unteren Grenze besonders auf das Vorzeichen und die Klammern. - Was bedeutet die Schreibweise \( [F(x)]_a^b \)?

1. Bestimmung einer Stammfunktion der Integrandenfunktion \( f(x) = 4x^3 - 6x^2 + 2 \). Eine mögliche Stammfunktion ist \( F(x) = x^4 - 2x^3 + 2x \). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung durch Einsetzen der Integrationsgrenzen in die Stammfunktion: \( \int_{-1}^{2} f(x) \, dx = F(2) - F(-1) \). 3. Berechnung des Funktionswertes an der oberen Grenze: \( F(2) = 2^4 - 2 \cdot 2^3 + 2 \cdot 2 = 16 - 16 + 4 = 4 \). 4. Berechnung des Funktionswertes an der unteren Grenze: \( F(-1) = (-1)^4 - 2 \cdot (-1)^3 + 2 \cdot (-1) = 1 + 2 - 2 = 1 \). 5. Berechnung der Differenz der Werte: \( 4 - 1 = 3 \).

\( \int_{-1}^{2} (4x^3 - 6x^2 + 2) \, dx = 3 \)

- Kannst du die Funktion in zwei einfachere Teile zerlegen? - Welche Regeln kennst du, um Ausdrücke der Form \(x^n\) zu integrieren? - Wie gehst du vor, wenn du die Stammfunktion gefunden hast und die Grenzen einsetzen musst? - Denke daran, dass \(\frac{1}{x^2}\) auch als Potenz mit negativem Exponenten geschrieben werden kann.

1. Anwendung der Summenregel: Das Integral wird in zwei Teilintegrale zerlegt: \(\int_{1}^{2} 6x^2 \, dx + \int_{1}^{2} -4x^{-2} \, dx\). 2. Bestimmung der Stammfunktionen unter Verwendung der Potenz- und Faktorregel: Für \(6x^2\) ergibt sich \(2x^3\), für \(-4x^{-2}\) ergibt sich \(4x^{-1} = \frac{4}{x}\). 3. Bildung der Gesamtstammfunktion: \(F(x) = 2x^3 + \frac{4}{x}\). 4. Einsetzen der Grenzen gemäß dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung: \(F(2) = 2 \cdot 2^3 + \frac{4}{2} = 16 + 2 = 18\) und \(F(1) = 2 \cdot 1^3 + \frac{4}{1} = 2 + 4 = 6\). 5. Berechnung der Differenz: \(18 - 6 = 12\).

Der Wert des Integrals ist \(12\).

- Welche Regeln zum Bilden von Stammfunktionen von Potenzfunktionen kennst du? - Wie gehst du vor, wenn du die Stammfunktion gefunden hast und die Grenzen einsetzen möchtest? - Achte beim Einsetzen der unteren Grenze besonders auf die Vorzeichen in der Klammer.

1. Bestimmung einer Stammfunktion \(F\) der Integrandenfunktion \(f(x) = 3x^2 - 4x + 1\): \(F(x) = x^3 - 2x^2 + x\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung durch Einsetzen der Integrationsgrenzen: \([x^3 - 2x^2 + x]_{1}^{3} = F(3) - F(1)\). 3. Berechnung des Funktionswerts an der oberen Grenze: \(F(3) = 3^3 - 2 \cdot 3^2 + 3 = 27 - 18 + 3 = 12\). 4. Berechnung des Funktionswerts an der unteren Grenze: \(F(1) = 1^3 - 2 \cdot 1^2 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0\). 5. Differenzbildung der Werte: \(12 - 0 = 12\).

\(12\)

- Welchen Zusammenhang stellt der Hauptsatz zwischen einem Integral und einer Stammfunktion her? - Musst du die Funktion \(f(x)\) explizit bestimmen, um das Integral zu berechnen? - Achte beim Einsetzen der unteren Grenze besonders auf das Vorzeichen und den Wert der Exponentialfunktion bei Null.

1. Identifikation der notwendigen Größen für den Hauptsatz: \(F(x)\) ist bereits als Stammfunktion von \(f(x)\) gegeben. 2. Formulierung des Hauptsatzes: \(\int_0^2 f(x) \, dx = F(2) - F(0)\). 3. Berechnung von \(F(2)\): \(F(2) = (2 - 2) \cdot e^2 = 0 \cdot e^2 = 0\). 4. Berechnung von \(F(0)\): \(F(0) = (0 - 2) \cdot e^0 = -2 \cdot 1 = -2\). 5. Berechnung der Differenz: \(0 - (-2) = 2\).

\(\int_0^2 f(x) \, dx = 2\)

- Welche bekannte Funktion hat die Ableitung \(\frac{1}{x}\)? - Du kannst die Stammfunktion gliedweise bestimmen. - Erinnere dich an den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: \(\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)\). - Wie lässt sich \(\ln(e^k)\) vereinfachen?

1. Bestimmung einer Stammfunktion der Funktion \(f(x) = \frac{5}{x} - 1\): Unter Verwendung der Grundintegrale ergibt sich \(F(x) = 5\ln|x| - x\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung durch Einsetzen der Grenzen: Obere Grenze: \(F(e^2) = 5\ln(e^2) - e^2 = 5 \cdot 2 - e^2 = 10 - e^2\). Untere Grenze: \(F(1) = 5\ln(1) - 1 = 5 \cdot 0 - 1 = -1\). 3. Berechnung der Differenz: \((10 - e^2) - (-1) = 11 - e^2\).

\(11 - e^2\)

- Kannst du eine Stammfunktion für den Ausdruck in der Klammer finden? - Denke beim Integrieren von \(e^{kx}\) an die Regel für die lineare Substitution. - Was musst du beim Einsetzen der Grenzen in die Stammfunktion beachten? - Vergiss nicht, dass \(e^0\) einen bestimmten Wert hat.

1. Bestimmung der Stammfunktion unter Verwendung der linearen Substitution für den Exponentialterm: \(F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{0{,}25} e^{0{,}25x} + 2x = 2e^{0{,}25x} + 2x\). 2. Einsetzen der oberen Grenze: \(F(4) = 2e^{0{,}25 \cdot 4} + 2 \cdot 4 = 2e^1 + 8 = 2e + 8\). 3. Einsetzen der unteren Grenze: \(F(0) = 2e^{0{,}25 \cdot 0} + 2 \cdot 0 = 2e^0 + 0 = 2\). 4. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(\int_{0}^{4} f(x) \, dx = F(4) - F(0) = (2e + 8) - 2 = 2e + 6\).

\(2e + 6\)

- Kannst du eine Stammfunktion für den jeweiligen Term finden? - Erinnere dich an den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung: \(\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x = F(b) - F(a)\). - Bei einfachen linearen Funktionen kannst du das Integral auch als (orientierten) Flächeninhalt von Rechtecken, Dreiecken oder Trapezen deuten.

1. Teilaufgabe a): Die Funktion \(f(x) = 0{,}5\) ist konstant. Das Integral entspricht dem Flächeninhalt eines Rechtecks mit der Breite \(6 - (-4) = 10\) und der Höhe \(0{,}5\). Rechnung: \([0{,}5x]_{-4}^{6} = 0{,}5 \cdot 6 - 0{,}5 \cdot (-4) = 3 + 2 = 5\). 2. Teilaufgabe b): Die Stammfunktion von \(f(x) = 3 - x\) ist \(F(x) = 3x - 0{,}5x^2\). Einsetzen der Grenzen: \(F(4) - F(0) = (3 \cdot 4 - 0{,}5 \cdot 4^2) - (0) = 12 - 8 = 4\). Geometrisch handelt es sich um eine Bilanz aus einem Dreieck oberhalb und einem kleineren Dreieck unterhalb der \(x\)-Achse. 3. Teilaufgabe c): Die Stammfunktion von \(f(t) = 2t + 1\) ist \(F(t) = t^2 + t\). Einsetzen der Grenzen: \(F(3) - F(-2) = (3^2 + 3) - ((-2)^2 + (-2)) = (9 + 3) - (4 - 2) = 12 - 2 = 10\).

a) \(5\) b) \(4\) c) \(10\)

- Welchen Zusammenhang gibt es zwischen einer Funktion und ihrer Stammfunktion im Hinblick auf das Integral? - Welche Werte musst du vom Graphen der Stammfunktion ablesen, um das bestimmte Integral zu berechnen? - Achte genau darauf, welchen der beiden Graphen du für die Bestimmung der Werte nutzen musst. - Überlege dir, was die untere und die obere Grenze des Integrals für die Berechnung bedeuten.

1. Bestimmung der Integrationsgrenzen aus dem Integral: \(a = 0\) und \(b = 3\). 2. Ablesen der Funktionswerte der Stammfunktion \(F\) an diesen Stellen vom Graphen \(G_F\): \(F(3) = 4\) und \(F(0) = 1\). 3. Anwendung des Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung: \(\int_{0}^{3} f(x) \,\mathrm{d}x = F(3) - F(0)\). 4. Berechnung des Ergebnisses: \(4 - 1 = 3\).

\(3\)

- Wie hängen die Werte einer Stammfunktion mit dem Integral zusammen? - Betrachte die Funktionswerte von \(F\) an den Stellen \(-2\) und \(2\). - Was bedeutet es für das Integral, wenn die Stammfunktion an beiden Grenzen denselben Wert hat?

1. Integrationsgrenzen sind \(-2\) und \(2\). 2. Ablesen der Werte am Graphen \(G_F\): \(F(2) = 0\) und \(F(-2) = 0\). 3. Berechnung: \(F(2) - F(-2) = 0 - 0 = 0\).

\(0\)

- Betrachte den dargestellten Verlauf der Sinuskurve im angegebenen Intervall. - Liegt die Kurve in diesem Bereich komplett oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse? - Erinnere dich an die Stammfunktion der Sinusfunktion.

1. Aufstellen des Integrals für den Flächeninhalt \(A\): Da \(\sin(x) \geq 0\) für \(x \in [0; \pi]\), gilt \(A = \int_{0}^{\pi} \sin(x) \, \mathrm{d}x\). 2. Bestimmung der Stammfunktion von \(\sin(x)\): \(F(x) = -\cos(x)\). 3. Einsetzen der Integrationsgrenzen: \(A = [-\cos(x)]_{0}^{\pi} = (-\cos(\pi)) - (-\cos(0))\). 4. Berechnung der Werte: \(\cos(\pi) = -1\) und \(\cos(0) = 1\). 5. Ergebnis: \(A = (-(-1)) - (-1) = 1 + 1 = 2\).

Der Flächeninhalt beträgt \(2\) Flächeneinheiten.

- Wo liegen die Schnittpunkte der Parabel mit der \(x\)-Achse? - Wenn eine Fläche unterhalb der \(x\)-Achse liegt, was bedeutet das für das Vorzeichen des Integrals? - Wie erhältst du aus einem negativen Integralwert einen positiven Flächeninhalt?

1. Nullstellenberechnung von \(f(x) = 0{,}5x^2 - 2\): \(0 = 0{,}5x^2 - 2 \Rightarrow 4 = x^2 \Rightarrow x_1 = -2, x_2 = 2\). 2. Da die Fläche unterhalb der \(x\)-Achse liegt, ist das Integral negativ. Der Flächeninhalt ist der Betrag des Integrals: \(A = \left| \int_{-2}^{2} (0{,}5x^2 - 2) \, dx \right|\). 3. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{1}{6}x^3 - 2x\). 4. Berechnung des Integrals: \(\int_{-2}^{2} (0{,}5x^2 - 2) \, dx = (\frac{8}{6} - 4) - (-\frac{8}{6} + 4) = \frac{4}{3} - 4 + \frac{4}{3} - 4 = \frac{8}{3} - 8 = -\frac{16}{3}\). 5. Der Flächeninhalt ist \(A = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3} \approx 5{,}33\).

Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{16}{3} = 5\frac{1}{3} \approx 5{,}33\).

- Setze dieselbe allgemeine Stammfunktion mit Konstante an beiden Grenzen ein. - Welche Terme treten sowohl beim oberen als auch beim unteren Funktionswert auf? - Ein bestimmtes Integral darf nicht von der frei wählbaren Integrationskonstante abhängen.

1. Maras Schlussfolgerung ist falsch: Für den Hauptsatz darf jede Stammfunktion \(F_C\) verwendet werden. 2. Es gilt \(F_C(3)-F_C(1)=(6+C)-(0+C)\). Die Integrationskonstante hebt sich in der Differenz auf. 3. Daher ist \(\int_1^3(2x-1)\,\mathrm{d}x=6\), unabhängig von \(C\).

Maras Aussage ist falsch. Die Integrationskonstante hebt sich in \(F_C(3)-F_C(1)\) auf; der Integralwert ist \(6\).

- Denke an den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung. - Wie berechnet man die Differenz der Stammfunktionswerte an den Grenzen? - Was bedeutet ein negatives Ergebnis oder das Ergebnis Null für die Lage des Graphen zur \(x\)-Achse? - Erinnere dich daran, dass das Integral Flächeninhalte unterhalb der \(x\)-Achse negativ wertet.

1. Für Teilaufgabe a): Bestimmung der Stammfunktion \(F(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x\). Berechnung der Grenzen: \(F(2) = \frac{1}{3} \cdot 8 - 4 - 6 = \frac{8}{3} - 10 = -\frac{22}{3}\) und \(F(-1) = \frac{1}{3} \cdot (-1) - 1 + 3 = \frac{5}{3}\). Differenz bilden: \(-\frac{22}{3} - \frac{5}{3} = -\frac{27}{3} = -9\). 2. Für Teilaufgabe b): Bestimmung der Stammfunktion \(G(x) = \frac{1}{8}x^4 - 2x^2\). Berechnung der Grenzen: \(G(4) = \frac{1}{8} \cdot 256 - 2 \cdot 16 = 32 - 32 = 0\) und \(G(0) = 0\). Das Integral hat den Wert \(0\). 3. Deutung zu b): Da der Wert des Integrals Null ist, bedeutet dies im Sinne der Flächenbilanz, dass die Flächeninhalte der oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse liegenden Teilflächen im Integrationsintervall betragsmäßig gleich groß sind und sich gegenseitig aufheben.

a) \(-9\) b) \(0\). Der Wert \(0\) bedeutet, dass sich die Flächeninhalte oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse im Intervall \([0; 4]\) gegenseitig aufheben.

- Überprüfe zuerst, wie die Stammfunktion lautet. - Welche Grenze muss man laut Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung zuerst einsetzen? - Achte besonders auf die Klammersetzung und die Vorzeichen, wenn du negative Zahlen für \(x\) einsetzt. - Was passiert mit dem Vorzeichen einer negativen Zahl, wenn sie potenziert wird?

1. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = 2x - x^3\). 2. Berechnung des Wertes an der oberen Grenze: \(F(2) = 2 \cdot 2 - 2^3 = 4 - 8 = -4\). 3. Berechnung des Wertes an der unteren Grenze: \(F(-1) = 2 \cdot (-1) - (-1)^3 = -2 - (-1) = -2 + 1 = -1\). 4. Anwendung des Hauptsatzes: \(F(2) - F(-1) = -4 - (-1) = -3\). 5. Vergleich: Lukas hat korrekt gerechnet. Mia hat die Grenzen vertauscht und die Rechnung \(F(-1) - F(2)\) durchgeführt. Tom hat beim Einsetzen der unteren Grenze in die Stammfunktion den Term \((-1)^3\) fälschlicherweise als \(1^3\) (oder \(1\)) behandelt, was zu einem Vorzeichenfehler führte (\(2(-1) - 1 = -3\) statt \(-1\)).

Lukas hat richtig gerechnet. Fehler von Mia: Sie hat die untere und die obere Grenze vertauscht (\(F(a) - F(b)\) statt \(F(b) - F(a)\)). Fehler von Tom: Er hat beim Einsetzen von \(-1\) in den Term \(-x^3\) einen Vorzeichenfehler gemacht, indem er \(1^3\) statt \((-1)^3\) verwendet hat.

- Gehe die Rechnung Schritt für Schritt durch und prüfe jede Umformung einzeln. - Was bewirkt ein negativer Exponent bei einer Potenz? - Prüfe am Ende auch das Einsetzen der Grenzen und die Reihenfolge der Subtraktion.

1. Die Umformung zu \(4x^{-3}\), die Stammfunktion \(F(x)=-2x^{-2}\) und das Einsetzen der Grenzen in den Schritten 1 bis 3 sind korrekt. 2. Im 4. Schritt wird \((-2)^{-2}\) fälschlicherweise als \(4\) berechnet. Korrekt ist \((-2)^{-2}=\frac{1}{(-2)^2}=\frac14=0{,}25\). 3. Damit ist \(F(-1)=-2\cdot1=-2\) und \(F(-2)=-2\cdot\frac14=-0{,}5\). 4. Folglich gilt \(F(-1)-F(-2)=-2-(-0{,}5)=-1{,}5\).

Der erste Fehler tritt im 4. Schritt auf: \((-2)^{-2}=\frac14=0{,}25\), nicht \(4\). Ab dort ergibt sich \(-2-(-2\cdot0{,}25)=-1{,}5\). Der korrekte Integralwert ist \(-1{,}5\).

- Überlege zuerst, wie du den Term im Integral vereinfachen kannst, bevor du die Stammfunktion bildest. - Erinnere dich an die binomischen Formeln und das Distributivgesetz zum Auflösen der Klammern. - Achte beim Einsetzen der negativen unteren Grenze besonders auf die Vorzeichenregeln bei Potenzen.

1. Ausmultiplizieren des Integranden: \((x^2 - 4x + 4)(x + 1) = x^3 - 3x^2 + 4\). 2. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^3 + 4x\). 3. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(\left[\frac{1}{4}x^4 - x^3 + 4x\right]_{-2}^{1}\). 4. Berechnung der Werte an den Grenzen: \(F(1) = 3{,}25\) und \(F(-2) = 4\). 5. Differenz bilden: \(3{,}25 - 4 = -0{,}75\).

\(-0{,}75\) (oder \(-\frac{3}{4}\))

- Wie hängen eine Funktion und ihre Stammfunktion über die Ableitung zusammen? - Welche Ableitungsregel ist bei einer verketteten Funktion wie dem Logarithmus eines Terms anzuwenden? - Erinnere dich an den Hauptsatz, der die Berechnung eines Integrals durch die Differenz der Stammfunktionswerte an den Grenzen erlaubt. - Kannst du das Ergebnis mithilfe von Logarithmengesetzen vereinfachen?

1. Ableitung von \(F\) mit der Kettenregel: Die äußere Funktion ist der natürliche Logarithmus, die innere Funktion ist \(g(x) = x^2 + 4\). Es folgt \(F'(x) = \frac{1}{x^2 + 4} \cdot (x^2 + 4)' = \frac{1}{x^2 + 4} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 4}\). Damit ist \(F\) eine Stammfunktion des Integranden. 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(\int_{0}^{2} \frac{2x}{x^2 + 4} \, dx = [F(x)]_0^2 = F(2) - F(0)\). 3. Berechnung der Funktionswerte: \(F(2) = \ln(2^2 + 4) = \ln(8)\) und \(F(0) = \ln(0^2 + 4) = \ln(4)\). 4. Subtraktion und Anwendung der Logarithmengesetze: \(\ln(8) - \ln(4) = \ln\left(\frac{8}{4}\right) = \ln(2)\).

\(\ln(2)\)

- Welche Regel nutzt du, um ein Produkt aus zwei Funktionen abzuleiten? - Was musst du tun, um zu zeigen, dass eine Funktion eine Stammfunktion einer anderen ist? - Wie setzt man die obere und untere Grenze korrekt in die Stammfunktion ein? - Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn du den Wert an der unteren Grenze abziehst.

1. Ableitung von \(F\) mit der Produktregel: Mit \(u(x) = 2x - 1\) und \(v(x) = e^x\) gilt \(F'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\). 2. Einsetzen der Ableitungen: \(F'(x) = 2 \cdot e^x + (2x - 1) \cdot e^x\). 3. Ausklammern von \(e^x\): \(F'(x) = e^x \cdot (2 + 2x - 1) = (2x + 1) \cdot e^x\). Dies entspricht der Funktion \(f(x)\). 4. Berechnung des Integrals mit dem Hauptsatz: \(\int_{0}^{1} f(x) \, dx = [F(x)]_0^1 = F(1) - F(0)\). 5. Einsetzen der Grenzen: \(F(1) = (2 \cdot 1 - 1) \cdot e^1 = 1 \cdot e = e\). \(F(0) = (2 \cdot 0 - 1) \cdot e^0 = -1 \cdot 1 = -1\). 6. Differenz bilden: \(e - (-1) = e + 1\).

\(e + 1\)

- Welche Funktion ist die Stammfunktion der Summe \(f(x) + g(x)\)? - Erinnere dich an die Ableitungsregeln für Summen. - Setze die Definition des Hauptsatzes für jedes Integral einzeln ein. - Versuche, die Terme auf einer Seite so umzusortieren, dass sie genau wie die andere Seite aussehen.

1. Identifikation einer Stammfunktion für die Summe: Da \((F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x) = f(x) + g(x)\) gilt, ist \(H(x) = F(x) + G(x)\) eine Stammfunktion von \(f(x) + g(x)\). 2. Anwendung des Hauptsatzes auf die linke Seite: \(\int_a^b (f(x) + g(x)) \, dx = [F(x) + G(x)]_a^b = (F(b) + G(b)) - (F(a) + G(a))\). 3. Anwendung des Hauptsatzes auf die rechte Seite: \(\int_a^b f(x) \, dx + \int_a^b g(x) \, dx = (F(b) - F(a)) + (G(b) - G(a))\). 4. Umformung der rechten Seite durch Auflösen der Klammern und Umstellen der Terme (Kommutativgesetz): \(F(b) - F(a) + G(b) - G(a) = F(b) + G(b) - F(a) - G(a) = (F(b) + G(b)) - (F(a) + G(a))\). 5. Vergleich zeigt die Übereinstimmung beider Seiten.

Mit der Stammfunktion \(H = F + G\) für \(f + g\) ergibt die linke Seite nach dem Hauptsatz \((F(b) + G(b)) - (F(a) + G(a))\). Die rechte Seite ergibt summiert \((F(b) - F(a)) + (G(b) - G(a))\). Durch Umstellen der Terme (Kommutativ- und Assoziativgesetz) folgt die Gleichheit: \(F(b) + G(b) - F(a) - G(a) = F(b) + G(b) - (F(a) + G(a))\).

- Kannst du den Ausdruck unter der Wurzel zu einem einzigen Term zusammenfassen? - Wie lässt sich ein Bruch mit einer Potenz im Nenner als Potenz mit negativem Exponenten schreiben? - Welche Integrationsregel wendest du auf Terme der Form \(x^n\) an? - Erinnerst du dich an den Hauptsatz, um das bestimmte Integral aus der Stammfunktion zu berechnen?

1. Vereinfachung des Integranden: Durch Zusammenfassen der Wurzeln und Umschreiben des Bruchs ergibt sich \(\sqrt{3x \cdot 12x} - 4x^{-3} = \sqrt{36x^2} - 4x^{-3} = 6x - 4x^{-3}\) (da \(x > 0\)). 2. Bestimmung der Stammfunktion: Mithilfe der Potenzregel der Integration erhält man \(F(x) = 3x^2 + 2x^{-2} = 3x^2 + \frac{2}{x^2}\). 3. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: Das Einsetzen der Grenzen liefert \(F(2) - F(1) = (3 \cdot 2^2 + \frac{2}{2^2}) - (3 \cdot 1^2 + \frac{2}{1^2}) = (12 + 0{,}5) - (3 + 2) = 12{,}5 - 5 = 7{,}5\).

\(7{,}5\)

- Kannst du den Bruch so aufteilen, dass jeder Term im Zähler einzeln durch den Nenner geteilt wird? - Welches Potenzgesetz hilft dir, wenn Potenzen mit der gleichen Basis dividiert werden? - Was ist die Ableitung von \(e^{-x}\) und wie hilft dir das bei der Suche nach der Stammfunktion? - Welchen Wert hat eine Potenz mit dem Exponenten \(0\)?

1. Vereinfachung des Integranden: Durch Aufteilen des Bruchs und Anwenden der Potenzgesetze für Division (\(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\)) erhält man \(\frac{e^{3x}}{e^{2x}} + \frac{e^x}{e^{2x}} = e^x + e^{-x}\). 2. Bestimmung der Stammfunktion: Die Stammfunktion von \(e^x\) ist \(e^x\) und die von \(e^{-x}\) ist \(-e^{-x}\) (lineare Substitution), woraus \(F(x) = e^x - e^{-x}\) folgt. 3. Berechnung des bestimmten Integrals: Einsetzen der Grenzen ergibt \(F(1) - F(0) = (e^1 - e^{-1}) - (e^0 - e^0) = e - \frac{1}{e} - (1 - 1) = e - \frac{1}{e}\).

\(e - \frac{1}{e}\)

- Kannst du zwei Integrale mit denselben Grenzen zu einem einzigen Integral zusammenfassen? - Was passiert, wenn die obere Grenze des einen Integrals der unteren Grenze des nächsten entspricht? - Kannst du Faktoren vor dem Integral in den Integranden hineinziehen? - Schau dir die Funktionsterme genau an – heben sich beim Zusammenfassen vielleicht komplizierte Teile gegenseitig auf?

1. Anwendung der Linearität des Integrals in Teilaufgabe a): Da die Integrationsgrenzen identisch sind, können die Integranden subtrahiert werden: \(\int_{1}^{3} (x^3 + 2x - (x^3 - 4)) \, dx = \int_{1}^{3} (2x + 4) \, dx\). 2. Berechnung des Integrals: \([x^2 + 4x]_{1}^{3} = (3^2 + 4 \cdot 3) - (1^2 + 4 \cdot 1) = 21 - 5 = 16\). 3. Nutzung der Intervalladditivität in Teilaufgabe b): Die nahtlos aneinandergrenzenden Intervalle \([0; \frac{\pi}{2}]\) und \([\frac{\pi}{2}; \pi]\) werden zu \(\int_{0}^{\pi} \sin(x) \, dx\) zusammengefasst. 4. Berechnung des Integrals: \([-\cos(x)]_{0}^{\pi} = -\cos(\pi) - (-\cos(0)) = -(-1) + 1 = 2\). 5. Vereinfachung durch Linearität in Teilaufgabe c): Der Faktor \(2\) wird in das erste Integral gezogen und mit dem zweiten Integral kombiniert: \(\int_{1}^{2} (\frac{2}{x} + x - \frac{2}{x}) \, dx = \int_{1}^{2} x \, dx\). 6. Berechnung des Integrals: \([\frac{1}{2}x^2]_{1}^{2} = \frac{1}{2} \cdot 2^2 - \frac{1}{2} \cdot 1^2 = 2 - 0{,}5 = 1{,}5\).

a) \(16\) b) \(2\) c) \(1{,}5\)

- Überprüfe bei symmetrischen Grenzen (wie von \(-a\) bis \(a\)), ob der Integrand eine besondere Symmetrie aufweist. - Wie ändert sich ein Integral, wenn man die obere und untere Grenze vertauscht? - Lassen sich aufeinanderfolgende Intervalle bei gleichem Integranden zu einem großen Intervall verbinden? - Versuche, Klammern erst nach dem Zusammenfassen der Integrale aufzulösen.

1. Ausnutzung der Punktsymmetrie in Teilaufgabe a): Da der Integrand \(f(x) = x^3 + \sin(x)\) eine ungerade Funktion ist (\(f(-x) = -f(x)\)) und das Integrationsintervall \([-3; 3]\) symmetrisch zum Ursprung liegt, ist der Wert des Integrals direkt \(0\). 2. Anwendung der Vertauschungsregel und Linearität in Teilaufgabe b): Das zweite Integral wird durch Vorzeichenwechsel gedreht zu \(-\int_{0}^{1} (9x^2 + 1) \, dx\). Zusammenfassen ergibt \(\int_{0}^{1} ((3x+1)^2 - (9x^2 + 1)) \, dx = \int_{0}^{1} (9x^2 + 6x + 1 - 9x^2 - 1) \, dx = \int_{0}^{1} 6x \, dx\). 3. Berechnung: \([3x^2]_{0}^{1} = 3 \cdot 1^2 - 0 = 3\). 4. Anwendung der Intervalladditivität in Teilaufgabe c): Zusammenfassen der Teilintervalle zu \(\int_{1}^{5} x^{-2} \, dx\). 5. Berechnung mittels Stammfunktion: \([-\frac{1}{x}]_{1}^{5} = -\frac{1}{5} - (-\frac{1}{1}) = -0{,}2 + 1 = 0{,}8\).

a) \(0\) b) \(3\) c) \(0{,}8\)

- Achte beim Ableiten von \(F\) besonders auf die Kettenregel. Was ist hier die innere und was die äußere Funktion? - Wie lautet die Ableitung von \((\dots)^2\)? - Welche Eigenschaft von Logarithmen kannst du nutzen, um \(\ln(e^2)\) zu vereinfachen? - Wie lautet der Zusammenhang zwischen dem Integral und der Differenz der Stammfunktionswerte an den Grenzen?

1. Ableitung von \(F\) mittels Kettenregel: Die äußere Funktion ist \(u^2\) mit \(u = \ln(x)\). Es ergibt sich \(F'(x) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (\ln(x))^1 \cdot \frac{1}{x}\) 2. Vereinfachung: \(F'(x) = \ln(x) \cdot \frac{1}{x} = \frac{\ln(x)}{x}\). Da \(F'(x) = f(x)\), ist der Nachweis erbracht. 3. Berechnung des Integrals mit dem Hauptsatz: \(\int_1^{e^2} f(x) \, dx = F(e^2) - F(1)\) 4. Berechnung der Funktionswerte: \(F(e^2) = \frac{1}{2} (\ln(e^2))^2 = \frac{1}{2} \cdot 2^2 = 2\) und \(F(1) = \frac{1}{2} (\ln(1))^2 = 0\) 5. Endergebnis: \(2 - 0 = 2\)

a) \(F'(x) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \ln(x) \cdot \frac{1}{x} = \frac{\ln(x)}{x} = f(x)\) b) \(\int_1^{e^2} f(x) \, dx = 2\)

- Was fällt dir bei der Funktion in Teilaufgabe a) hinsichtlich ihrer Symmetrie zum Ursprung auf? - Wie integriert man eine verkettete Funktion mit einer linearen inneren Funktion? - Denke bei den trigonometrischen Funktionen an die Vorzeichenregeln beim Ableiten und Integrieren. - Nutze Rechenregeln für Logarithmen und Potenzen, um das Ergebnis in b) zu vereinfachen.

1. Teilaufgabe a): Bestimmung einer Stammfunktion \(F(x) = \frac{1}{16}x^4 - \frac{1}{2}x^2\). Einsetzen der Grenzen: \(F(2) = \frac{16}{16} - \frac{4}{2} = 1 - 2 = -1\) und \(F(-2) = \frac{16}{16} - \frac{4}{2} = -1\). Die Differenz ergibt \(-1 - (-1) = 0\). 2. Teilaufgabe b): Bestimmung einer Stammfunktion unter Beachtung der linearen Verkettung: \(F(x) = \frac{1}{3}e^{3x}\). Einsetzen der Grenzen: \(F(\ln(2)) = \frac{1}{3}e^{3\ln(2)} = \frac{1}{3}e^{\ln(8)} = \frac{8}{3}\) und \(F(0) = \frac{1}{3}e^0 = \frac{1}{3}\). Die Differenz ergibt \(\frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}\). 3. Teilaufgabe c): Bestimmung einer Stammfunktion: \(F(x) = -2\cos(x) - \frac{1}{2}\sin(2x)\). Einsetzen der Grenzen: \(F(\frac{\pi}{2}) = -2\cos(\frac{\pi}{2}) - \frac{1}{2}\sin(\pi) = 0 - 0 = 0\) und \(F(0) = -2\cos(0) - \frac{1}{2}\sin(0) = -2 - 0 = -2\). Die Differenz ergibt \(0 - (-2) = 2\).

a) \(0\) b) \(\frac{7}{3}\) c) \(2\)

- Kannst du die Wurzelfunktion als Potenz mit rationalem Exponenten schreiben? - Welche Integrationsregel hilft dir bei einem linearen Term unter der Wurzel? - Hast du eine Stammfunktion gefunden, in die du die Grenzen einsetzen kannst? - Achte beim Einsetzen der unteren Grenze besonders auf die Vorzeichen.

1. Bestimmung einer Stammfunktion von \(f\): Unter Verwendung der Regel für lineare Substitution ergibt sich für den Term \(\sqrt{2x + 4} = (2x + 4)^{\frac{1}{2}}\) die Stammfunktion \(\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} (2x + 4)^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{3} (2x + 4)^{\frac{3}{2}}\). Somit ist \(F(x) = 4x - \frac{1}{3} (2x + 4)^{\frac{3}{2}}\) eine Stammfunktion von \(f\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: Das Integral berechnet sich durch \(F(0) - F(-2)\). 3. Berechnung der Funktionswerte: \(F(0) = 4 \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} = 0 - \frac{1}{3} \cdot 8 = -\frac{8}{3}\) und \(F(-2) = 4 \cdot (-2) - \frac{1}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} = -8\). 4. Differenzbildung: \(-\frac{8}{3} - (-8) = -\frac{8}{3} + \frac{24}{3} = \frac{16}{3}\).

\(\frac{16}{3}\)

- Wie lässt sich die Wurzel in eine Potenzschreibweise umwandeln? - Welchen Einfluss hat der Faktor vor dem \(x\) innerhalb der Wurzel auf die Stammfunktion? - Erinnere dich an den Hauptsatz: Wie verknüpfst du die Stammfunktion mit den Integrationsgrenzen? - Vereinfache den Ausdruck unter der Wurzel für beide Grenzen, bevor du die Potenz berechnest.

1. Umschreiben des Funktionsterms: \(g(x) = (4 - \frac{1}{2}x)^{\frac{1}{2}}\). 2. Finden einer Stammfunktion: Durch lineare Substitution (innere Funktion \(v(x) = 4 - \frac{1}{2}x\), Faktor \(\frac{1}{-\frac{1}{2}} = -2\)) erhält man \(G(x) = -2 \cdot \frac{2}{3} (4 - \frac{1}{2}x)^{\frac{3}{2}} = -\frac{4}{3} (4 - \frac{1}{2}x)^{\frac{3}{2}}\). 3. Auswertung des Integrals an den Grenzen: \(\int_{0}^{8} g(x) \, dx = G(8) - G(0)\). 4. Einsetzen der Werte: \(G(8) = -\frac{4}{3} \cdot (4 - 4)^{\frac{3}{2}} = 0\) und \(G(0) = -\frac{4}{3} \cdot (4 - 0)^{\frac{3}{2}} = -\frac{4}{3} \cdot 8 = -\frac{32}{3}\). 5. Endergebnis: \(0 - (-\frac{32}{3}) = \frac{32}{3}\).

\(\frac{32}{3}\)

- Welche Regeln zum Bilden von Stammfunktionen kennst du für Potenz-, Exponential- und Trigonometriefunktionen? - Wie gehst du vor, wenn du die Stammfunktion an der oberen und unteren Grenze auswerten musst? - Achte bei Teilaufgabe b) darauf, den Bruch in eine Potenz mit negativem Exponenten umzuschreiben. - Denk bei Teilaufgabe c) an die Kettenregel beim Integrieren der Exponentialfunktion.

1. Bestimmung der Stammfunktion für Teilaufgabe a): \(F(x) = 2\sin(x) + \cos(x)\). Auswertung an den Grenzen: \((2\sin(\frac{\pi}{2}) + \cos(\frac{\pi}{2})) - (2\sin(0) + \cos(0)) = (2 \cdot 1 + 0) - (0 + 1) = 1\). 2. Bestimmung der Stammfunktion für Teilaufgabe b): \(F(x) = -2x^{-2} + 2x = -\frac{2}{x^2} + 2x\). Auswertung an den Grenzen: \((-\frac{2}{4} + 4) - (-\frac{2}{1} + 2) = 3{,}5 - 0 = 3{,}5\). 3. Bestimmung der Stammfunktion für Teilaufgabe c): \(F(x) = \frac{1}{2}e^{2x} + \frac{1}{2}x^2\). Auswertung an den Grenzen: \((\frac{1}{2}e^2 + \frac{1}{2}) - (\frac{1}{2}e^0 + 0) = \frac{1}{2}e^2 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}e^2\).

a) \(1\) b) \(3{,}5\) c) \(\frac{1}{2}e^2\)

- Erinnerst du dich, wie man Wurzeln als Potenzen schreibt, um die Potenzregel anzuwenden? - Was ist die Stammfunktion von \(\frac{1}{x}\)? - Achte beim Einsetzen negativer Zahlen in Potenzen besonders auf die Vorzeichen. - Gibt es bei Teilaufgabe c) eine Symmetrie, die du für Teile des Integrals nutzen könntest?

1. Berechnung für a): Umschreiben der Wurzel als Potenz \(3x^{\frac{1}{2}} - 1\). Bildung der Stammfunktion \(F(x) = 2x^{\frac{3}{2}} - x\). Einsetzen der Grenzen: \((2 \cdot 4^{\frac{3}{2}} - 4) - (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 1) = (2 \cdot 8 - 4) - (2 - 1) = 12 - 1 = 11\). 2. Berechnung für b): Stammfunktion bestimmen zu \(F(x) = 2\ln|x|\). Einsetzen der Grenzen: \(2\ln(e^2) - 2\ln(e) = 2 \cdot 2 - 2 \cdot 1 = 2\). 3. Berechnung für c): Stammfunktion bestimmen zu \(F(x) = \frac{1}{6}x^6 - x^3\). Einsetzen der Grenzen: \((\frac{1}{6} \cdot 1^6 - 1^3) - (\frac{1}{6} \cdot (-1)^6 - (-1)^3) = (\frac{1}{6} - 1) - (\frac{1}{6} + 1) = -\frac{5}{6} - \frac{7}{6} = -2\).

a) \(11\) b) \(2\) c) \(-2\)

- Überlege dir, wie du den Funktionsterm vereinfachen kannst, bevor du mit dem Integrieren beginnst. - Erinnere dich an die Potenzregel für das Bilden von Stammfunktionen. - Achte beim Einsetzen der negativen unteren Grenze besonders auf die Vorzeichen. - Der Hauptsatz besagt, dass du den Wert der Stammfunktion an der oberen Grenze minus den Wert an der unteren Grenze rechnest.

1. Den Integranden durch Ausmultiplizieren in eine Polynomform bringen: \((x + 1)(x^2 - 4x + 4) = x^3 - 4x^2 + 4x + x^2 - 4x + 4 = x^3 - 3x^2 + 4\). 2. Eine Stammfunktion \(F\) bestimmen: \(F(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^3 + 4x\). 3. Die Grenzen in die Stammfunktion einsetzen: Obere Grenze: \(F(2) = \frac{1}{4} \cdot 2^4 - 2^3 + 4 \cdot 2 = 4 - 8 + 8 = 4\). Untere Grenze: \(F(-1) = \frac{1}{4} \cdot (-1)^4 - (-1)^3 + 4 \cdot (-1) = 0{,}25 + 1 - 4 = -2{,}75\). 4. Die Differenz berechnen: \(F(2) - F(-1) = 4 - (-2{,}75) = 6{,}75\).

\(6{,}75\) (oder \(\frac{27}{4}\))

- Was passiert mit den Integrationsgrenzen, wenn du das Vorzeichen vor einem Integral änderst? - Kannst du die beiden Integrale so umformen, dass sie eine gemeinsame Grenze haben? - Über welches Gesamtintervall wird effektiv integriert, wenn man ein Teilintervall von einem größeren abzieht? - Versuche, eine Stammfunktion für den Term in der Klammer zu finden.

1. Nutzung der Integraleigenschaften: Die Subtraktion eines Integrals ist gleichbedeutend mit der Addition des Integrals bei vertauschten Grenzen: \(-\int_{2}^{3} f(x) \, dx = \int_{3}^{2} f(x) \, dx\). 2. Zusammenfassen der Integrale: \(\int_{-1}^{3} (4 - x^2) \, dx + \int_{3}^{2} (4 - x^2) \, dx = \int_{-1}^{2} (4 - x^2) \, dx\). 3. Bestimmung einer Stammfunktion: \(F(x) = 4x - \frac{1}{3}x^3\). 4. Einsetzen der Grenzen: \(F(2) = 4 \cdot 2 - \frac{1}{3} \cdot 2^3 = 8 - \frac{8}{3} = \frac{16}{3}\). 5. Einsetzen der unteren Grenze: \(F(-1) = 4 \cdot (-1) - \frac{1}{3} \cdot (-1)^3 = -4 + \frac{1}{3} = -\frac{11}{3}\). 6. Berechnung der Differenz: \(\frac{16}{3} - \left(-\frac{11}{3}\right) = \frac{27}{3} = 9\).

\(9\)

- Wie kannst du ein Minuszeichen vor einem Integral eliminieren, indem du die Integrationsgrenzen anpasst? - Schau dir die Grenzen der einzelnen Integrale genau an. Lassen sie sich zu einer lückenlosen Kette verbinden? - Es ist oft einfacher, zuerst den gesamten Integralausdruck zu vereinfachen, bevor du die Stammfunktion bildest.

1. Anwendung der Rechenregel für vertauschte Grenzen: \(-\int_{4}^{2} f(x) \, dx = \int_{2}^{4} f(x) \, dx\). 2. Zusammenfassen der drei Integrale über die aneinandergrenzenden Intervalle \([-1; 2]\), \([2; 4]\) und \([4; 5]\) zu einem Integral über das Gesamtintervall \([-1; 5]\): \(\int_{-1}^{5} (3x^2 - 4x + 5) \, dx\). 3. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = x^3 - 2x^2 + 5x\). 4. Berechnung der Funktionswerte an den Grenzen: \(F(5) = 5^3 - 2 \cdot 5^2 + 5 \cdot 5 = 125 - 50 + 25 = 100\) und \(F(-1) = (-1)^3 - 2 \cdot (-1)^2 + 5 \cdot (-1) = -1 - 2 - 5 = -8\). 5. Differenzbildung: \(100 - (-8) = 108\).

\(\int_{-1}^{5} (3x^2 - 4x + 5) \, dx = 108\)

- Kannst du die beiden Integrale zu einem einzigen Integral zusammenfassen, da sie dieselben Grenzen haben? - Multipliziere den Faktor vor dem ersten Integral in den Integranden hinein, bevor du die Funktionen addierst. - Welche Terme im Integranden heben sich gegenseitig auf, wenn du alles zusammenfasst? - Erinnere dich beim Integrieren daran, wie man Potenzen mit negativen Exponenten behandelt.

1. Anwendung der Linearität (Faktorregel und Summenregel), um die Integranden zusammenzufassen: \(\int_{1}^{4} \left(3 \cdot (\sqrt{x} + \frac{1}{x^2}) + (2 - 3\sqrt{x})\right) \, dx\). 2. Vereinfachung des Integranden: \(3\sqrt{x} + \frac{3}{x^2} + 2 - 3\sqrt{x} = \frac{3}{x^2} + 2\). 3. Bestimmung der Stammfunktion von \(f(x) = 3x^{-2} + 2\): \(F(x) = -3x^{-1} + 2x = -\frac{3}{x} + 2x\). 4. Berechnung der Werte an den Grenzen: \(F(4) = -\frac{3}{4} + 2 \cdot 4 = -0{,}75 + 8 = 7{,}25\) und \(F(1) = -\frac{3}{1} + 2 \cdot 1 = -3 + 2 = -1\). 5. Differenzbildung: \(7{,}25 - (-1) = 8{,}25\).

\(\int_{1}^{4} \left(\frac{3}{x^2} + 2\right) \, dx = 8{,}25\)

- Betrachte die Symmetrie der einzelnen Summanden der Funktion im Hinblick auf das Integrationsintervall. - Was passiert mit dem Integral einer ungeraden Funktion über ein Intervall, das symmetrisch zum Nullpunkt liegt? - Kannst du die Berechnung vereinfachen, indem du nur den geraden Anteil der Funktion integrierst? - Erinnere dich an den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, um das verbleibende Integral zu lösen.

1. Aufteilen des Integrands in einen ungeraden Teil \(u(x) = 2x^5 - 4x^3\) und einen geraden Teil \(g(x) = 3x^2 - 1\). 2. Da das Integrationsintervall \([-2; 2]\) symmetrisch zum Ursprung ist, gilt für den ungeraden Teil \(\int_{-2}^{2} (2x^5 - 4x^3) \, dx = 0\). 3. Berechnung des verbleibenden Integrals des geraden Teils: \(\int_{-2}^{2} (3x^2 - 1) \, dx = 2 \cdot \int_{0}^{2} (3x^2 - 1) \, dx\). 4. Bestimmung einer Stammfunktion von \(g(x)\): \(G(x) = x^3 - x\). 5. Anwendung des Hauptsatzes: \(2 \cdot [x^3 - x]_0^2 = 2 \cdot ((2^3 - 2) - (0^3 - 0)) = 2 \cdot (8 - 2) = 12\).

\(12\)

- Welche Regel beim Ableiten kennst du, die einen konstanten Faktor betrifft? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihrer Stammfunktion. - Wie lässt sich ein bestimmtes Integral mithilfe einer Stammfunktion berechnen? - Kannst du den konstanten Faktor aus der Differenz der Funktionswerte an den Grenzen ausklammern?

1. Es sei \(F\) eine Stammfunktion von \(f\), sodass \(F'(x) = f(x)\) gilt. 2. Nach der Faktorregel der Differentialrechnung ist die Ableitung von \(k \cdot F(x)\) gleich \(k \cdot F'(x) = k \cdot f(x)\). Damit ist \(k \cdot F\) eine Stammfunktion der Funktion \(k \cdot f\). 3. Die Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung ergibt: \(\int_{a}^{b} k \cdot f(x) \, dx = [k \cdot F(x)]_{a}^{b}\). 4. Durch Einsetzen der Grenzen erhält man \(k \cdot F(b) - k \cdot F(a)\). 5. Ausklammern von \(k\) führt zu \(k \cdot (F(b) - F(a))\). Da \(F(b) - F(a) = \int_{a}^{b} f(x) \, dx\), folgt die Behauptung: \(k \cdot \int_{a}^{b} f(x) \, dx\).

Durch die Wahl einer Stammfunktion \(F\) von \(f\) und Anwendung der Faktorregel der Differentialrechnung zeigt man, dass \(k \cdot F\) eine Stammfunktion von \(k \cdot f\) ist. Über den Hauptsatz folgt \([k \cdot F(x)]_a^b = k \cdot (F(b) - F(a)) = k \cdot \int_a^b f(x) \, dx\).

- Betrachte die Differenz zweier Stammfunktionen und leite diese ab. - Welche Ableitungsregel hilft dir, eine Stammfunktion für den Ausdruck \(f(x) - g(x)\) zu finden? - Nutze den Hauptsatz, um das Integral der Differenz durch die Werte der Stammfunktionen an den Grenzen auszudrücken. - Versuche, die resultierenden Terme so zu sortieren, dass die einzelnen Integrale von \(f\) und \(g\) erkennbar werden.

1. Es seien \(F\) und \(G\) Stammfunktionen von \(f\) bzw. \(g\), sodass \(F' = f\) und \(G' = g\) gilt. 2. Aufgrund der Differenzregel der Differentialrechnung ist die Ableitung der Funktion \(H(x) = F(x) - G(x)\) gegeben durch \(H'(x) = F'(x) - G'(x) = f(x) - g(x)\). Somit ist \(F - G\) eine Stammfunktion von \(f - g\). 3. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt: \(\int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx = [F(x) - G(x)]_{a}^{b}\). 4. Auswerten an den Grenzen liefert \((F(b) - G(b)) - (F(a) - G(a))\). 5. Durch Umordnen der Terme erhält man \((F(b) - F(a)) - (G(b) - G(a))\). 6. Dies entspricht nach Definition genau der Differenz der Einzelintegrale \(\int_{a}^{b} f(x) \, dx - \int_{a}^{b} g(x) \, dx\).

Mit den Stammfunktionen \(F\) und \(G\) gilt \((F-G)' = f-g\). Über den Hauptsatz folgt \(\int_a^b (f-g) \, dx = (F(b)-G(b)) - (F(a)-G(a)) = (F(b)-F(a)) - (G(b)-G(a)) = \int_a^b f \, dx - \int_a^b g \, dx\).

- Gibt es eine Möglichkeit, den Bruchterm zu vereinfachen, bevor du mit dem Integrieren beginnst? - Was passiert, wenn du jeden Term im Zähler einzeln durch den Nenner teilst? - Achte besonders auf das Minuszeichen, wenn du den Wert an der unteren Grenze abziehst.

1. Vereinfachen des Integranden durch gliedweise Division des Zählers durch den Nenner: \(f(x) = \frac{4x^4}{2x^2} - \frac{3x^2}{2x^2} + \frac{2}{2x^2} = 2x^2 - \frac{3}{2} + x^{-2}\) 2. Bilden einer Stammfunktion: \(F(x) = \frac{2}{3}x^3 - \frac{3}{2}x - x^{-1} = \frac{2}{3}x^3 - 1{,}5x - \frac{1}{x}\) 3. Auswerten an der oberen Grenze \(x = 2\): \(F(2) = \frac{2}{3} \cdot 8 - 1{,}5 \cdot 2 - \frac{1}{2} = \frac{16}{3} - 3{,}5 = \frac{32 - 21}{6} = \frac{11}{6}\) 4. Auswerten an der unteren Grenze \(x = 1\): \(F(1) = \frac{2}{3} - 1{,}5 - 1 = \frac{4 - 9 - 6}{6} = -\frac{11}{6}\) 5. Differenzbildung: \(F(2) - F(1) = \frac{11}{6} - \left(-\frac{11}{6}\right) = \frac{22}{6} = \frac{11}{3}\)

\(\frac{11}{3}\) (oder \(3 \frac{2}{3}\))

- Denke daran, Brüche mit \(x\) im Nenner zuerst in die Form \(x^n\) mit negativem Exponenten zu bringen. - Verwende für die Stammfunktion von \(\sqrt{x}\) die Regel für Potenzen mit rationalen Exponenten. - Achte beim Subtrahieren der unteren Grenze besonders auf die Vorzeichen, wenn die Stammfunktion selbst negative Vorzeichen enthält.

1. Teilaufgabe a): Umschreiben des Integranden zu \(3x^{-4}\). Bestimmung der Stammfunktion \(F(x) = -x^{-3} = -\frac{1}{x^3}\). Einsetzen der Grenzen liefert \(F(2) = -\frac{1}{8}\) und \(F(1) = -1\). Berechnung: \(-\frac{1}{8} - (-1) = \frac{7}{8}\). 2. Teilaufgabe b): Bestimmung der Stammfunktion \(F(x) = \frac{1}{2}x^2 + \frac{2}{3}x\sqrt{x}\). Einsetzen der Grenzen liefert \(F(4) = 8 + \frac{16}{3} = \frac{40}{3}\) und \(F(1) = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} = \frac{7}{6}\). Berechnung: \(\frac{80}{6} - \frac{7}{6} = \frac{73}{6}\). 3. Teilaufgabe c): Bestimmung der Stammfunktion \(F(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^2\). Einsetzen der Grenzen liefert \(F(2) = 4 - 2 = 2\) und \(F(0) = 0\). Das Ergebnis ist \(2 - 0 = 2\).

a) \(\frac{7}{8}\) b) \(\frac{73}{6}\) c) \(2\)

- Kannst du die Funktion in zwei Teile zerlegen, von denen einer vielleicht besonders leicht zu integrieren ist? - Untersuche, welche Terme der Summe punktsymmetrisch und welche achsensymmetrisch sind. - Wie vereinfacht sich die Rechnung, wenn du die untere Grenze \(0\) statt \(-2\) nutzt?

1. Aufteilung des Integranden in einen ungeraden Anteil \(u(x) = \frac{1}{2}x^3\) und einen geraden Anteil \(g(x) = -x^2 + 2\). 2. Aufgrund der Punktsymmetrie von \(u(x)\) zum Ursprung gilt \(\int_{-2}^{2} \frac{1}{2}x^3 \, dx = 0\). 3. Aufgrund der Achsensymmetrie von \(g(x)\) zur \(y\)-Achse kann das Integral über \([-2; 2]\) als \(2 \cdot \int_{0}^{2} (-x^2 + 2) \, dx\) berechnet werden. 4. Bestimmung einer Stammfunktion für den verbleibenden Teil: \(G(x) = -\frac{1}{3}x^3 + 2x\). 5. Berechnung des Werts: \(2 \cdot [-\frac{1}{3}x^3 + 2x]_0^2 = 2 \cdot \left(-\frac{1}{3} \cdot 2^3 + 2 \cdot 2 - 0\right) = 2 \cdot \left(-\frac{8}{3} + 4\right) = 2 \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{3}\).

\(\frac{8}{3}\)

- Fällt dir eine Ähnlichkeit zwischen dem Zähler und dem Nenner auf? - Versuche, den Bruch in zwei einfachere Brüche aufzuteilen. - Kannst du den Nenner mithilfe einer binomischen Formel umschreiben? - Wie lässt sich ein Bruch der Form \(\frac{k}{(x+a)^2}\) als Potenz mit negativem Exponenten schreiben, um die Integration zu erleichtern?

1. Den Nenner als Binom erkennen: \(x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2\). 2. Den Zähler so umschreiben, dass der Nennerterm enthalten ist: \(x^2 + 2x + 5 = (x^2 + 2x + 1) + 4 = (x + 1)^2 + 4\). 3. Den Integranden als Summe zweier Brüche darstellen und vereinfachen: \(\frac{(x + 1)^2 + 4}{(x + 1)^2} = 1 + \frac{4}{(x + 1)^2} = 1 + 4(x + 1)^{-2}\). 4. Eine Stammfunktion bilden: \(F(x) = x + 4 \cdot \frac{(x + 1)^{-1}}{-1} = x - \frac{4}{x + 1}\). 5. Die Integrationsgrenzen einsetzen: \(F(2) = 2 - \frac{4}{2 + 1} = 2 - \frac{4}{3} = \frac{2}{3}\) und \(F(0) = 0 - \frac{4}{0 + 1} = -4\). 6. Das Endergebnis berechnen: \(F(2) - F(0) = \frac{2}{3} - (-4) = \frac{2}{3} + \frac{12}{3} = \frac{14}{3}\).

\(\frac{14}{3}\)

- Kannst du den Integranden zuerst so umformen, dass er nur noch aus einer Summe von Potenzen besteht? - Welche Regel hilft dir dabei, die Stammfunktion eines Polynoms zu finden? - Denk daran, dass beim Einsetzen negativer Werte in Potenzen das Vorzeichen beachtet werden muss. - Wie berechnest du das bestimmte Integral, wenn du die Stammfunktion und die Grenzen kennst?

1. Ausmultiplizieren des Integranden ergibt die Polynomform \(x^3 + 2x^2 - x - 2\). 2. Bestimmen einer Stammfunktion mittels der Potenzregel: \(F(x) = \frac{1}{4}x^4 + \frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - 2x\). 3. Einsetzen der oberen Grenze \(x = 2\): \(F(2) = \frac{1}{4} \cdot 16 + \frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{1}{2} \cdot 4 - 2 \cdot 2 = 4 + \frac{16}{3} - 2 - 4 = \frac{10}{3}\). 4. Einsetzen der unteren Grenze \(x = -1\): \(F(-1) = \frac{1}{4} \cdot (-1)^4 + \frac{2}{3} \cdot (-1)^3 - \frac{1}{2} \cdot (-1)^2 - 2 \cdot (-1) = \frac{1}{4} - \frac{2}{3} - \frac{1}{2} + 2 = \frac{13}{12}\). 5. Differenzbildung nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: \(F(2) - F(-1) = \frac{10}{3} - \frac{13}{12} = \frac{40 - 13}{12} = \frac{27}{12} = 2{,}25\).

\(2{,}25\)

- Schau dir an, an welcher Stelle sich die Definition der Funktion ändert. - Wie kannst du das gesamte Intervall in Teilintervalle zerlegen, in denen jeweils nur eine Funktionsvorschrift gilt? - Berechne die Integrale für die einzelnen Abschnitte getrennt und addiere danach die Ergebnisse.

1. Zerlegung des Integrals an der Nahtstelle der Funktionsvorschriften bei \(x = 0\) gemäß der Intervalladditivität: \(\int_{-1}^{0} e^{2x} \, dx + \int_{0}^{2} (1 - x) \, dx\). 2. Berechnung des ersten Teilintegrals unter Verwendung der Stammfunktion \(F_1(x) = \frac{1}{2}e^{2x}\): \([\frac{1}{2}e^{2x}]_{-1}^0 = \frac{1}{2}e^0 - \frac{1}{2}e^{-2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2e^2}\). 3. Berechnung des zweiten Teilintegrals unter Verwendung der Stammfunktion \(F_2(x) = x - \frac{1}{2}x^2\): \([x - \frac{1}{2}x^2]_0^2 = (2 - \frac{1}{2} \cdot 4) - (0 - 0) = 0\). 4. Addition der beiden Teilwerte ergibt den Gesamtwert: \(\frac{1}{2} - \frac{1}{2e^2} + 0 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2e^2} \approx 0{,}432\).

\(\frac{1}{2} - \frac{1}{2e^2} \approx 0{,}432\)

- Welche Stammfunktion gehört zur Kehrwertfunktion? - Achte besonders auf die Betragsstriche beim Logarithmus, wenn du negative Grenzen einsetzt. - Erinnere dich an die Rechenregeln für den natürlichen Logarithmus, insbesondere für Potenzen von \(e\). - Was bedeutet es für das Vorzeichen des Integrals, wenn der Graph unterhalb der \(x\)-Achse verläuft?

1. Bestimmung der Stammfunktion: Eine Stammfunktion von \(f(x) = \frac{2}{x}\) ist \(F(x) = 2\ln|x|\). 2. Berechnung von \(I_1\): Anwendung des Hauptsatzes liefert \(I_1 = [2\ln|x|]_1^{e^2} = 2\ln(e^2) - 2\ln(1) = 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0 = 4\). 3. Berechnung von \(I_2\): Anwendung des Hauptsatzes liefert \(I_2 = [2\ln|x|]_{-e}^{-1} = 2\ln|-1| - 2\ln|-e| = 2\ln(1) - 2\ln(e) = 0 - 2 \cdot 1 = -2\). 4. Symmetriebetrachtung: Da \(f(x) = \frac{2}{x}\) punktsymmetrisch zum Ursprung ist (\(f(-x) = -f(x)\)), liegen die Flächenstücke im III. Quadranten unterhalb der \(x\)-Achse. Da die Integrationsgrenzen von \(I_1\) im positiven Bereich liegen (\(x > 0\)), ist der Funktionswert positiv und somit das Integral positiv. Bei \(I_2\) liegen die Grenzen im negativen Bereich (\(x < 0\)), die Funktionswerte sind dort negativ, was zu einem negativen Integralwert führt.

a) \(I_1 = 4\) b) \(I_2 = -2\) c) Da der Graph von \(f\) punktsymmetrisch zum Ursprung ist, verlaufen alle Funktionswerte für \(x < 0\) im negativen Bereich. Da die Integrationsintervalle jeweils nur im positiven (\(I_1\)) bzw. nur im negativen (\(I_2\)) Bereich liegen, ergeben sich die entsprechenden Vorzeichen durch die Lage des Graphen zur \(x\)-Achse.

- Überlege dir zuerst, wie die allgemeine Stammfunktion von \(\frac{1}{x}\) lautet. - Achte besonders auf den Betrag beim Logarithmus, wenn die Integrationsgrenzen negativ sind. - Nutze die Logarithmengesetze, um das Endergebnis so weit wie möglich zu vereinfachen. - Erinnere dich an die Werte von \(\ln(e)\) und \(\ln(e^x)\).

1. Für Teilaufgabe a) wird die Stammfunktion \(F(x) = 5\ln|x|\) verwendet. Einsetzen der Grenzen ergibt \(5\ln|-e| - 5\ln|-e^2|\). Da \(\ln|-e| = \ln(e) = 1\) und \(\ln|-e^2| = \ln(e^2) = 2\), folgt: \(5 \cdot 1 - 5 \cdot 2 = -5\). 2. Für Teilaufgabe b) wird die Stammfunktion \(G(x) = \frac{1}{2}\ln|x|\) genutzt. Einsetzen der Grenzen liefert \(\frac{1}{2}\ln(2) - \frac{1}{2}\ln(0{,}5)\). Mit \(0{,}5 = 2^{-1}\) und dem Logarithmengesetz \(\ln(2^{-1}) = -\ln(2)\) ergibt sich \(\frac{1}{2}\ln(2) - \frac{1}{2}(-\ln(2)) = \frac{1}{2} \ln(2) + \frac{1}{2} \ln(2) = \ln(2)\).

a) \(-5\) b) \(\ln(2)\)

- Kannst du den Bruch im Integranden in zwei einfachere Terme zerlegen? - Welche Funktion hat die Ableitung \(\frac{1}{x}\)? - Überlege, wie du Potenzen mit negativem Exponenten integrierst. - Erinnere dich an die Rechenregeln für Logarithmen, um das Endergebnis zusammenzufassen.

1. Aufteilen des Bruchs im Integranden: \(\frac{x - 2}{x^{2}} = \frac{x}{x^{2}} - \frac{2}{x^{2}} = \frac{1}{x} - 2x^{-2}\) 2. Bestimmen einer Stammfunktion \(F(x)\): \(F(x) = \ln|x| - 2 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} = \ln|x| + \frac{2}{x}\) 3. Anwenden des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(F(4) = \ln(4) + \frac{2}{4} = \ln(4) + 0{,}5\) \(F(2) = \ln(2) + \frac{2}{2} = \ln(2) + 1\) 4. Differenz bilden: \((\ln(4) + 0{,}5) - (\ln(2) + 1) = \ln(4) - \ln(2) - 0{,}5\) 5. Vereinfachen unter Verwendung von Logarithmusgesetzen: \(\ln\left(\frac{4}{2}\right) - 0{,}5 = \ln(2) - 0{,}5\)

\(\ln(2) - 0{,}5\)

- Wie kannst du den Zähler umschreiben, damit ein Vielfaches des Nenners darin vorkommt? - Kannst du den Bruch so aufteilen, dass eine Konstante und ein einfacher Bruchrest entstehen? - Welche Stammfunktion hat der Term \(\frac{1}{x+k}\)? - Achte beim Einsetzen der Grenzen besonders auf die Vorzeichen beim Subtrahieren.

1. Vereinfachen des Integranden durch Termumformung: \(\frac{2x + 3}{x + 2} = \frac{2(x + 2) - 1}{x + 2} = 2 - \frac{1}{x + 2}\) 2. Bestimmen einer Stammfunktion \(F(x)\): \(F(x) = 2x - \ln|x + 2|\) 3. Berechnen der Funktionswerte an den Integrationsgrenzen: \(F(1) = 2(1) - \ln(1 + 2) = 2 - \ln(3)\) \(F(0) = 2(0) - \ln(0 + 2) = -\ln(2)\) 4. Einsetzen in den Hauptsatz: \((2 - \ln(3)) - (-\ln(2)) = 2 - \ln(3) + \ln(2)\) 5. Zusammenfassen der Logarithmen: \(2 + \ln\left(\frac{2}{3}\right)\)

\(2 + \ln\left(\frac{2}{3}\right)\)

- Kannst du den Term im Integral zuerst mithilfe einer binomischen Formel ausmultiplizieren? - Was ergibt das Produkt \(e^x \cdot e^{-x}\)? Nutze die Potenzgesetze. - Bestimme die Stammfunktion für jeden Teil des entstandenen Summenterms einzeln. - Achte beim Einsetzen der unteren Grenze genau darauf, ob Terme wegfallen oder den Wert \(1\) annehmen.

1. Anwendung der ersten binomischen Formel zur Vereinfachung des Integranden: \((e^x + e^{-x})^2 = (e^x)^2 + 2 \cdot e^x \cdot e^{-x} + (e^{-x})^2 = e^{2x} + 2 + e^{-2x}\). 2. Bestimmung der Stammfunktion der einzelnen Summanden: \(F(x) = \frac{1}{2}e^{2x} + 2x - \frac{1}{2}e^{-2x}\). 3. Auswertung an der oberen Grenze: \(F(1) = \frac{1}{2}e^2 + 2 \cdot 1 - \frac{1}{2}e^{-2} = \frac{1}{2}e^2 + 2 - \frac{1}{2}e^{-2}\). 4. Auswertung an der unteren Grenze: \(F(0) = \frac{1}{2}e^0 + 2 \cdot 0 - \frac{1}{2}e^0 = \frac{1}{2} + 0 - \frac{1}{2} = 0\). 5. Berechnung der Differenz \(F(1) - F(0)\) ergibt den Wert: \(\frac{1}{2}e^2 + 2 - \frac{1}{2}e^{-2}\).

\(\frac{1}{2}e^2 + 2 - \frac{1}{2}e^{-2}\)

- Wie hängen das bestimmte Integral einer Funktion \(f\) und ihre Stammfunktion \(F\) zusammen? Erinnere dich an den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. - Welche Werte für die untere Grenze \(a\) und die obere Grenze \(b\) kannst du direkt aus dem Integral ablesen? - Finde die entsprechenden Punkte auf dem roten Graphen von \(F\), um die Werte \(F(a)\) und \(F(b)\) zu bestimmen. - Berechne die Differenz \(F(b) - F(a)\). Achte dabei besonders auf das Vorzeichen des Ergebnisses.

1. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt: \(\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a)\) 2. Für das gegebene Integral \(\int_{0}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x\) sind die Grenzen \(a = 0\) und \(b = 2\). Wir benötigen also die Funktionswerte der Stammfunktion \(F\) an diesen Stellen: - Aus dem Graphen von \(F\) (roter Graph, \(G_F\)) lesen wir bei \(x = 2\) den Wert \(F(2) = 0\) ab. - Aus dem Graphen von \(F\) bei \(x = 0\) lesen wir den Wert \(F(0) = 2\) ab. 3. Einsetzen in die Formel liefert: \(\int_{0}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x = F(2) - F(0) = 0 - 2 = -2\)

\(-2\)

- Wie hängen die Eckpunkte des Dreiecks mit den Nullstellen und dem Scheitelpunkt der Funktion zusammen? - Erinnere dich daran, wie man den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet, wenn die Grundseite und die Höhe bekannt sind. - Welches mathematische Werkzeug hilft dir dabei, den exakten Flächeninhalt unter einer Kurve zu berechnen? Denke an die Grenzen der Fläche. - Wenn du beide Flächeninhalte berechnet hast, wie kannst du das Verhältnis des kleineren zum größeren Wert bestimmen und als Prozentsatz ausdrücken?

1. Nullstellen von \(f(x) = 4 - x^2\) durch Nullsetzen bestimmen: \(4 - x^2 = 0 \implies x = \pm 2\). Somit sind die Nullstellen \(N_1(-2 \mid 0)\) und \(N_2(2 \mid 0)\). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(0 \mid 4)\). 2. Der Flächeninhalt des Dreiecks berechnet sich mit der Grundseite \(g = 4\) (Abstand der Nullstellen) und der Höhe \(h = 4\) (\(y\)-Koordinate des Scheitelpunktes) zu \(A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8\). 3. Der Flächeninhalt der von der Parabel und der \(x\)-Achse eingeschlossenen Fläche wird über das bestimmte Integral berechnet: \(A_{\text{Gesamt}} = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, \mathrm{d}x = \left[ 4x - \frac{1}{3}x^3 \right]_{-2}^{2} = \left(8 - \frac{8}{3}\right) - \left(-8 + \frac{8}{3}\right) = \frac{16}{3} - \left(-\frac{16}{3}\right) = \frac{32}{3}\). 4. Das Verhältnis der Flächeninhalte bestimmen: \(\frac{A_{\text{Dreieck}}}{A_{\text{Gesamt}}} = \frac{8}{\frac{32}{3}} = \frac{24}{32} = \frac{3}{4} = 75\,\%\).

a) Nullstellen bei \(N_1(-2 \mid 0)\) und \(N_2(2 \mid 0)\), Scheitelpunkt bei \(S(0 \mid 4)\). Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt \(A_{\text{Dreieck}} = 8\). b) Der Flächeninhalt der eingeschlossenen Fläche beträgt \(A_{\text{Gesamt}} = \frac{32}{3} \approx 10{,}67\). c) Das Dreieck nimmt einen Anteil von genau \(75\,\%\) der Gesamtfläche ein.

- Zähle für die Schätzung zuerst alle Kästchen, die komplett innerhalb der Fläche liegen, und versuche dann, die Bruchstücke zu ganzen Kästchen zu ergänzen. - Erinnere dich an die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes: \(A = \frac{a+c}{2} \cdot h\). In diesem Fall sind \(a\) und \(c\) die Funktionswerte an den Intervallgrenzen. - Für die exakte Berechnung musst du eine Stammfunktion bilden und die Grenzen des Integrals einsetzen.

1. Abschätzung durch Kästchenzählen: Im Intervall \([0; 4]\) befinden sich etwa 12 ganze Kästchen vollständig unter der Kurve. Die angeschnittenen Kästchen ergeben zusammen etwa 2,5 bis 3 weitere Flächeneinheiten. Eine gute Schätzung liegt bei etwa \(14{,}5\,\text{FE}\) bis \(15\,\text{FE}\). 2. Näherung mit Trapezregel (\(n=2\), Breite \(h=2\)): Die Funktionswerte an den Stützstellen sind \(f(0) = 1\), \(f(2) = -0{,}25 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 + 1 = 4\) und \(f(4) = -0{,}25 \cdot 4^2 + 2 \cdot 4 + 1 = 5\). Der Näherungswert ist \(A \approx \frac{2}{2} \cdot (f(0) + f(2)) + \frac{2}{2} \cdot (f(2) + f(4)) = (1 + 4) + (4 + 5) = 14\,\text{FE}\). 3. Exakte Berechnung: Das Integral lautet \(\int_{0}^{4} (-0{,}25x^2 + 2x + 1) \, dx = \left[ -\frac{1}{12}x^3 + x^2 + x \right]_0^4\). Einsetzen der Grenzen ergibt \((-\frac{64}{12} + 16 + 4) - 0 = -\frac{16}{3} + 20 = \frac{44}{3} \approx 14{,}67\,\text{FE}\). 4. Vergleich: Die Schätzungen und der Näherungswert liegen sehr nah am exakten Wert von \(14{,}67\,\text{FE}\).

a) Der geschätzte Flächeninhalt beträgt etwa \(14{,}5\) bis \(15\,\text{FE}\). b) Der Näherungswert mittels zweier Trapeze beträgt \(14\,\text{FE}\). c) Der exakte Flächeninhalt ist \(\frac{44}{3} \approx 14{,}67\,\text{FE}\).

- Wie hängen die beiden Funktionsterme mathematisch zusammen? Was bedeutet das für ihre Graphen? - Vergleiche die Lage der „Glockenkurven“ zueinander. - Schau dir die Grenzen der beiden Integrale an. Wie weit liegen sie jeweils auseinander und wo beginnen sie?

1. Geometrische Interpretation: Das Integral \(\int_a^b h(x) \, dx\) entspricht dem orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen von \(h\) und der x-Achse über dem Intervall \([a; b]\). 2. Zusammenhang der Funktionen: Der Funktionsterm von \(g\) entsteht aus \(f\), indem \(x\) durch \((x-2)\) ersetzt wird. Das bedeutet, der Graph von \(g\) ist der um \(2\) Einheiten nach rechts verschobene Graph von \(f\). 3. Vergleich der Intervalle: Das Integrationsintervall \([1; 3]\) für die Funktion \(g\) ist genau das um \(2\) Einheiten nach rechts verschobene Intervall \([-1; 1]\) der Funktion \(f\). Ergebnis: Da sowohl der Graph als auch das Intervall um denselben Betrag in dieselbe Richtung verschoben wurden, umschließen sie denselben Flächeninhalt. Die Integrale sind daher gleich groß.

Der Graph von \(g\) ist gegenüber dem Graphen von \(f\) um \(2\) Einheiten nach rechts verschoben. Da das Integrationsintervall \([1; 3]\) ebenfalls um genau \(2\) Einheiten gegenüber \([-1; 1]\) nach rechts verschoben ist, sind die eingeschlossenen Flächenstücke kongruent (deckungsgleich) und somit die Integralwerte gleich.

- Was sagt der Hauptsatz über die Berechnung eines bestimmten Integrals aus, wenn die Stammfunktion bekannt ist? - Schaue dir den Graphen \(G_F\) an den Integrationsgrenzen genau an. - Wie berechnet man die Änderung einer Größe zwischen zwei Zeitpunkten oder Stellen?

1. Grenzen festlegen: \(a = 0\), \(b = 3\). 2. Werte von \(F\) ablesen: \(F(3) = 4\), \(F(0) = 4\). 3. Differenz bilden: \(F(3) - F(0) = 4 - 4 = 0\).

0

- Welche Funktion ist die Stammfunktion von \(\cos(x)\)? - Überprüfe die Werte der Sinusfunktion an den Grenzen \(\frac{\pi}{2}\) und \(-\frac{\pi}{2}\). - Denke daran, dass beim Berechnen des Integrals „Obere Grenze minus untere Grenze“ gerechnet wird.

1. Aufstellen des Integrals für den Flächeninhalt im gegebenen Intervall: \(A = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} 2 \cos(x) \, dx\). 2. Bestimmung der Stammfunktion: \(G(x) = 2 \sin(x)\). 3. Anwendung des Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung: \(A = [2 \sin(x)]_{-\pi/2}^{\pi/2} = 2 \sin(\frac{\pi}{2}) - 2 \sin(-\frac{\pi}{2})\). 4. Einsetzen der Werte: \(A = 2 \cdot 1 - 2 \cdot (-1) = 2 + 2 = 4\). 5. Der Flächeninhalt beträgt \(4\).

Der Flächeninhalt der markierten Fläche beträgt \(4\).

- Bestimme zuerst, an welchen Stellen der Graph die \(x\)-Achse schneidet. - Du kannst den Funktionsterm ausmultiplizieren oder die verschobene Potenz direkt integrieren. - Achte darauf, zwischen dem vorzeichenbehafteten Integralwert und dem positiven Flächeninhalt zu unterscheiden.

1. Es gilt \(h(1)=0\) und \(h(3)=0\). Damit sind \(x=1\) und \(x=3\) die Grenzen der eingeschlossenen Fläche. 2. Zwischen den Nullstellen liegt die Parabel unterhalb der \(x\)-Achse. Deshalb ist \(A=\left|\int_1^3((x-2)^2-1)\,\mathrm{d}x\right|\). 3. Eine Stammfunktion ist \(H(x)=\frac{1}{3}(x-2)^3-x\). 4. Der Integralwert ist \([\frac{1}{3}(x-2)^3-x]_1^3=-\frac{4}{3}\). 5. Somit beträgt der Flächeninhalt \(A=\frac{4}{3}\,\text{FE}\approx1{,}33\,\text{FE}\).

Der Flächeninhalt der markierten Fläche beträgt \(\frac{4}{3} \approx 1{,}33\).

- Was weißt du über Integrale, bei denen die Grenzen identisch sind? - Versuche, alle Integrale auf die gleichen Grenzen zu bringen, um sie kombinieren zu können. - Wenn ein Ausdruck für jede beliebige Funktion \(g\) gelten soll, was muss dann mit dem Term passieren, der \(g\) enthält? - Vergiss nicht, am Ende zu prüfen, ob der konstante Anteil des Integrals mit dem Ergebnis auf der rechten Seite übereinstimmt.

1. Ein Integral mit identischen Grenzen ist stets Null, also \(\int_7^7 (g(x) + k) \, dx = 0\). 2. Durch Vertauschen der Grenzen beim ersten Integral erhält man \(- \int_1^4 (kg(x) + 2) \, dx\). 3. Zusammenfassen der verbleibenden Integrale über dem Intervall \([1; 4]\) ergibt: \(\int_1^4 (-kg(x) - 2 + 3g(x) - k) \, dx = \int_1^4 ((3 - k)g(x) - (k + 2)) \, dx\). 4. Damit der Wert unabhängig von \(g\) ist, muss der Koeffizient von \(g(x)\) im Integranden Null sein: \(3 - k = 0\), woraus \(k = 3\) folgt. 5. Zur Überprüfung wird \(k = 3\) in den verbleibenden konstanten Teil eingesetzt: \(\int_1^4 -(3 + 2) \, dx = \int_1^4 -5 \, dx = -5 \cdot (4 - 1) = -15\). Dies bestätigt die rechte Seite der Gleichung.

\(k = 3\)