Bei einer Datensicherung werden Dateien mit einer konstanten Rate übertragen. Das Diagramm zeigt die Datenrate in Megabyte pro Minute. Berechne die gesamte Datenmenge, die in den ersten \(2{,}5\) Minuten übertragen wird.

In der Atmosphäre sinkt die Temperatur mit zunehmender Höhe \(h\). Der Graph zeigt den Betrag der Temperaturabnahmerate in \(\text{K/km}\). Bestimme, um wie viel die Temperatur beim Aufstieg von \(0\,\text{km}\) auf \(4\,\text{km}\) sinkt.

Ein Metallstab hat eine konstante linienförmige Massendichte (Masse pro Meter). Das Diagramm zeigt diese Dichte \(\lambda\) in \(\text{g/m}\) über der Länge \(l\) des Stabes. Bestimme die Gesamtmasse eines \(10\,\text{m}\) langen Teilstücks dieses Stabes.

In einer Mischanlage transportiert ein Förderband Kunststoffgranulat. Der Massenstrom in Kilogramm pro Minute kann während eines \(12\)-minütigen Beschickungsvorgangs durch \(v(t)=120t-10t^2\) modelliert werden, wobei \(t\) die Zeit in Minuten seit dem Start des Förderbands beschreibt \((0\le t\le12)\). Bestimme die gesamte Masse des Granulats, die in diesen \(12\) Minuten transportiert wird, in Tonnen.

Während eines Lasttests wird die elektrische Leistungsaufnahme eines Rechenzentrums für \(0\le t\le24\) durch \(g(t)=100t^2e^{-0{,}2t}+200\) modelliert. Dabei ist \(t\) die Zeit in Stunden seit Testbeginn und \(g(t)\) die Leistung in \(\text{kW}\). Bestimme die elektrische Energie, die das Rechenzentrum in den ersten \(12\) Stunden aufnimmt. Gib das Ergebnis zunächst exakt und anschließend auf zwei Dezimalstellen gerundet an. Verwende die Stammfunktion \(G(t)=(-500t^2-5000t-25\,000)e^{-0{,}2t}+200t\).

Bei einer Datensicherung wird die momentane Übertragungsrate durch \(h(t)=\frac{100(t+2)}{(t+2)^2+16}\) modelliert. Dabei ist \(t\) die Zeit in Stunden seit Beginn der Sicherung und \(h(t)\) die Datenrate in \(\frac{\text{GB}}{\text{h}}\). Eine Stammfunktion von \(h\) ist \(H(t)=50\ln((t+2)^2+16)\). a) Bestimme die Datenmenge, die in den ersten \(6\) Stunden übertragen wird. b) Berechne \(\int_2^4h(t)\,\mathrm{d}t\) und interpretiere das Ergebnis.

Auf einem Prüfstand wird die Beschleunigung eines Schlittens gemessen. Für \(0\le t\le16\) gilt \(a(t)=0{,}75\sqrt{t}\) in \(\text{m}/\text{s}^2\). Zu Beginn beträgt seine Geschwindigkeit \(v(0)=3\,\text{m}/\text{s}\). a) Stelle mit einem bestimmten Integral dar, um wie viel sich die Geschwindigkeit in den ersten \(16\,\text{s}\) ändert. b) Berechne diese Geschwindigkeitsänderung. c) Bestimme die Geschwindigkeit nach \(16\,\text{s}\).

Die Leistungsabgabe einer Photovoltaikanlage wird für die ersten \(12\) Stunden nach Sonnenaufgang durch \(P(t)=-t^2+12t\) modelliert, wobei \(t\) die Zeit in Stunden und \(P(t)\) die Leistung in \(\text{kW}\) angibt. Bestimme die insgesamt erzeugte elektrische Energie in \(\text{kWh}\), die in den ersten \(6\) Stunden nach Sonnenaufgang produziert wird.

Die elektrische Leistung einer Photovoltaikanlage wird während eines achtstündigen Tagesabschnitts durch \(f(t)=-0{,}5t^2+4t+2\) modelliert. Dabei ist \(t\) die Zeit in Stunden und \(f(t)\) die Leistung in \(\text{kW}\). a) Bestimme eine Stammfunktion \(F\) von \(f\). b) Berechne mithilfe des bestimmten Integrals die elektrische Energie, die von \(t=1\,\text{h}\) bis \(t=7\,\text{h}\) erzeugt wird. c) Erkläre die Bedeutung dieses Integrals im Sachzusammenhang und seine geometrische Bedeutung, da \(f(t)>0\) für \(1\le t\le7\) gilt.

Die Bearbeitungsrate einer Paketsortieranlage wird durch eine Funktion \(f\) in Paketen pro Minute beschrieben; \(t\) ist die Zeit in Minuten seit Beginn einer zehnminütigen Testphase. Der Verlauf ist im Graphen dargestellt. a) Beschreibe die mathematische und sachliche Bedeutung von \(\int_0^{10}f(t)\,\text{d}t\). b) Berechne den Wert des Integrals mithilfe geometrischer Überlegungen und gib die Einheit an.

Es gilt \(f(0)=2\). Bestimme \(f(4)\) mithilfe geometrischer Flächeninhalte am dargestellten Graphen von \(f'\).

Es gilt \(f(0)=1\). Bestimme \(f(2)\) mithilfe geometrischer Überlegungen am dargestellten Graphen von \(f'\).

In einem Labor wird das Wachstum des Durchmessers einer Bakterienkolonie beobachtet. Die Wachstumsgeschwindigkeit des Durchmessers in Millimetern pro Woche nimmt über drei Wochen linear zu. Bestimme anhand des Graphen den gesamten Zuwachs des Durchmessers nach diesen drei Wochen.

Eine Druckmaschine wird heruntergefahren. Dabei nimmt die Geschwindigkeit der Papierbahn in \(\text{m/min}\) linear ab, wie im Graphen dargestellt. Bestimme die Papierlänge, die in den ersten zwei Minuten noch durch die Maschine läuft.

Eine Ausstellungshalle wird über acht Stunden beobachtet. Der Graph zeigt die Nettoänderungsrate \(f(t)\) der Besucherzahl in der Einheit \(100\,\frac{\text{Personen}}{\text{h}}\). Positive Werte bedeuten, dass mehr Personen die Halle betreten als verlassen; negative Werte bedeuten einen Nettoabgang. 1. Bestimme den Zeitpunkt im Intervall \([0;8]\), zu dem die Besucherzahl am größten ist. Begründe ausschließlich mithilfe des Vorzeichens der dargestellten Rate. 2. Der Graph ist punktsymmetrisch zum Punkt \((4\mid0)\). Bestimme damit ohne Stammfunktion die gesamte Nettoänderung der Besucherzahl über die acht Stunden.

Ein Filtersystem in einer Industrieanlage fängt Feinstaub aus der Abluft auf. Die Rate des gefilterten Staubs pro Quadratmeter Filterfläche wird während einer 8-stündigen Arbeitsschicht durch die Funktion \(r\) mit \(r(t) = 500(1 - \frac{1}{16}t^2)\) beschrieben. Dabei gibt \(t\) die Zeit in Stunden seit der Schichtmitte an (\(-4 \le t \le 4\)); die Einheit von \(r(t)\) ist \(\frac{\text{mg}}{\text{m}^2 \cdot \text{h}}\). Das System besteht aus 120 identischen Filterelementen, die jeweils eine Oberfläche von \(2500\,\text{cm}^2\) besitzen. Berechne die Gesamtmasse des gefilterten Feinstaubs in Gramm, die während dieser 8-stündigen Schicht insgesamt vom System aufgefangen wird.

In einem Logistikzentrum wird die Nettoänderungsrate des Bestands versandfertiger Pakete während einer vierstündigen Schicht durch \(f(t)=-0{,}1t^3+0{,}6t^2-0{,}8t\) modelliert. Dabei ist \(t\) die Zeit in Stunden mit \(0\le t\le4\), und \(f(t)\) wird in \(100\,\frac{\text{Pakete}}{\text{h}}\) angegeben. Positive Werte bedeuten, dass mehr Pakete fertiggestellt als abgeholt werden; negative Werte bedeuten einen Nettoabbau des Bestands. a) Berechne die gesamte Bestandsänderung über die vier Stunden. b) Zu welchem Zeitpunkt \(t\in[0;4]\) ist der Bestand versandfertiger Pakete minimal? Begründe deine Antwort.

In einer chemischen Anlage wird die Schadstofffreisetzung während eines zehnstündigen Reinigungsprozesses durch \(E(t)=-0{,}01t^3+0{,}12t^2+0{,}5\) für \(0\le t\le10\) beschrieben. Dabei gibt \(t\) die Zeit in Stunden seit Beginn des Prozesses an und \(E(t)\) die Emissionsrate in \(\frac{\text{kg}}{\text{h}}\). a) Berechne die Gesamtmenge des freigesetzten Schadstoffs während der gesamten zehn Stunden. b) Vergleiche die freigesetzte Schadstoffmenge in der ersten Hälfte des Zeitraums \([0;5]\) mit der Menge in der zweiten Hälfte \([5;10]\).

Bei einem stationären Batteriespeicher wird die momentane Ladeleistung durch \(v(t)=20\cos\left(\frac{\pi}{4}t\right)\) modelliert. Dabei ist \(t\) die Zeit in Stunden seit Beginn der Aufzeichnung und \(v(t)\) die Leistung in \(\text{kW}\). Positive Werte bedeuten Laden, negative Werte Entladen. a) Berechne \(v(3)\) und interpretiere das Vorzeichen. b) Berechne \(\int_2^6v(t)\,\text{d}t\) und deute den Wert im Sachzusammenhang.

Die Konzentration eines Wirkstoffs in einer chemischen Lösung ändert sich während eines Versuchs. Die momentane Änderungsrate der Konzentration wird durch die Funktion \(k\) mit \(k(t) = -0{,}5\sin\left(\frac{\pi}{10} t\right)\) beschrieben. Dabei ist \(t\) die Zeit in Minuten (\(0 \leq t \leq 20\)) und \(k(t)\) die Änderungsrate in \(\text{mol}/(\text{l} \cdot \text{min})\). Ein positiver Wert von \(k(t)\) entspricht einer Zunahme der Konzentration. a) Berechne \(k(5)\) und gib die Bedeutung des Werts im Sachzusammenhang an. b) Bestimme den Wert des Integrals \(\int_{0}^{20} k(t) \, dt\) und interpretiere das Ergebnis in Bezug auf die Konzentration des Wirkstoffs.

Die Leistungsaufnahme einer industriellen Belüftungsanlage wird während einer \(12\)-stündigen Schicht durch \(P(t)=15\sin\!\left(\frac{\pi}{6}(t-3)\right)+20\) in \(\text{kW}\) modelliert, wobei \(t\) die Zeit in Stunden seit Schichtbeginn angibt. a) Berechne die gesamte elektrische Energie in \(\text{kWh}\), die eine Anlage während der Schicht aufnimmt. b) Auf einem Fabrikgelände laufen \(8\) baugleiche Anlagen an einem Arbeitstag in zwei solchen \(12\)-Stunden-Schichten. Berechne die gesamte elektrische Energie für alle Anlagen an diesem Tag.

In einer Dosieranlage wird ein Rohstoffvorrat während eines Produktionslaufs kontinuierlich entnommen. Die Nettoänderungsrate des Vorrats wird für \(0\leq t\leq12\) durch \(f(t)=-\frac{60t}{t^2+36}\) modelliert. Dabei ist \(t\) die Zeit in Stunden und \(f(t)\) wird in \(\frac{\text{kg}}{\text{h}}\) angegeben. Eine Stammfunktion von \(f\) ist \(F(t)=-30\ln(t^2+36)\). a) Berechne \(\int_0^8 f(t)\,\mathrm{d}t\) und interpretiere das Ergebnis. b) Formuliere eine Frage im Sachzusammenhang, die für einen Zeitpunkt \(t\in[0;12]\) auf die Ungleichung \(\int_0^t f(x)\,\mathrm{d}x<-40\) führt.

Der Graph zeigt die Vertikalgeschwindigkeit \(v(t)\) (in \(\text{m/min}\)) eines Heißluftballons während einer zehnminütigen Fahrt in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) (in \(\text{min}\)). Positive Werte von \(v(t)\) bedeuten, dass der Ballon steigt, negative Werte, dass er sinkt. a) In welchem Zeitraum ändert sich die Flughöhe des Ballons nicht? Begründe deine Antwort mithilfe des Graphen. b) In welchem Zeitraum erreicht der Ballon seine maximale Höhe während der Fahrt? Bestimme diese maximale Höhe, wenn der Ballon zu Beginn der Messung (\(t = 0\,\text{min}\)) eine Höhe von \(150\,\text{m}\) hatte. c) Berechne die Höhe des Ballons am Ende des betrachteten Zeitraums (\(t = 10\,\text{min}\)).

An einer Leihfahrradstation wird die Nettoänderungsrate des Bestands verfügbarer Räder durch \(f(t)=-(t-2)(t-8)\) modelliert. Dabei ist \(t\) die Zeit in Stunden mit \(0\le t\le10\), und \(f(t)\) wird in \(\frac{\text{Räder}}{\text{h}}\) angegeben. Positive Werte bedeuten, dass mehr Räder zurückgegeben als ausgeliehen werden; negative Werte bedeuten einen Bestandsabbau. Der Graph ist abgebildet. a) Welche Bedeutung hat der Flächeninhalt eines einzelnen Gitterkästchens im Sachzusammenhang? b) Zu welchen Zeitpunkten nimmt der Bestand am schnellsten zu bzw. am schnellsten ab? Bestimme außerdem den Zeitpunkt im Intervall \([2;8]\), an dem der Bestand maximal ist, und begründe. c) Berechne \(\int_2^8f(t)\,\text{d}t\) und erläutere die Bedeutung.

Während eines zwölfstündigen Testbetriebs wird die elektrische Leistungsaufnahme eines Elektrolyseurs durch den abgebildeten Graphen \(f(t)\) in \(\text{kW}\) beschrieben. a) Interpretiere \(\int_4^8f(t)\,\text{d}t\) im Sachzusammenhang und gib die Einheit an. b) Lies \(f(4)\), \(f(6)\) und \(f(8)\) aus dem Graphen ab. Schätze die aufgenommene Energie auf \([4;8]\), indem du auf \([4;6]\) und \([6;8]\) jeweils ein Trapez verwendest. c) Für eine Stammfunktion \(F\) der dargestellten Leistung (Werte in \(\text{kWh}\)) sind \(F(4)=-40\pi\) und \(F(8)=40\pi\) bekannt. Berechne damit die genaue Energie und vergleiche sie mit der Schätzung aus b).

Die Funktion \(f(t)=-30t^2+240t\) für \(0\le t\le8\) beschreibt die Eintreffrate von Besuchern an einem Festivaleinlass in Personen pro Stunde. Dabei ist \(t\) die Zeit in Stunden seit der Öffnung. a) Erläutere die Bedeutung von \(I_0(x)=\int_0^x f(t)\,\mathrm{d}t\) im Sachzusammenhang. b) Bestimme die Anzahl der Besucher, die in den ersten zwei Stunden eintreffen. c) Berechne den Zeitpunkt \(x\), an dem insgesamt \(2160\) Besucher eingetroffen sind. d) Der Einlassdienst kann maximal \(360\) Personen pro Stunde abfertigen. Bestimme den Zeitpunkt, ab dem die Warteschlange wieder abgebaut werden kann.

Die Funktion \(f(t)=0{,}25t^3-3t^2+8t=0{,}25t(t-4)(t-8)\) beschreibt für \(0\le t\le8\) die momentane Änderungsrate der Temperatur eines Werkstücks in \(\text{K}/\text{min}\). Positive Werte bedeuten Erwärmung, negative Werte Abkühlung. a) Erkläre die Bedeutung von \(f(2)=6\) im Sachzusammenhang. b) Zu welchem Zeitpunkt ist die Temperatur des Werkstücks am größten? Begründe mit dem Vorzeichen von \(f\). c) Berechne \(\int_0^4f(t)\,\text{d}t\) und interpretiere das Ergebnis. d) Wie groß ist die gesamte Temperaturänderung nach acht Minuten? Begründe ohne erneute Integralrechnung, indem du die Beziehung \(f(8-t)=-f(t)\) nutzt.

Die momentane Änderungsrate der Temperatur in einem Kühlraum wird für \(0\le t\le8\) durch \(f(t)=\frac{3\pi}{4}\cos\left(\frac{\pi}{4}t\right)\) modelliert. Dabei ist \(t\) die Zeit in Stunden und \(f(t)\) die Änderungsrate in \(\text{K}/\text{h}\). Positive Werte bedeuten Erwärmung, negative Werte Abkühlung. a) Bestimme den Zeitpunkt des lokalen Temperaturmaximums im Inneren des Intervalls und begründe mit dem Vorzeichen von \(f\). b) Berechne \(\int_2^6f(t)\,\text{d}t\) und interpretiere Wert und Vorzeichen. c) Zu Beginn beträgt die Temperatur \(15\,^\circ\text{C}\). Berechne die Temperatur nach sechs Stunden.

Die Abbildung zeigt den zeitabhängigen Massenstrom in Kilogramm pro Minute von drei Förderanlagen \(A\), \(B\) und \(C\) während eines \(60\)-minütigen Tests. Die zugehörigen Kurven sind in derselben Reihenfolge mit \(a\), \(b\) und \(c\) beschriftet. Zu Beginn des Tests wurde noch kein Material transportiert. Beurteile die Aussagen und begründe mathematisch: 1. Lukas: „Sobald die jeweilige Kurve fällt, nimmt die bereits transportierte Gesamtmasse wieder ab.“ 2. Mia: „Förderanlage B transportiert im gesamten Test die größte Materialmasse.“ 3. Jonas: „Weil Anlage C gegen Ende einen höheren Massenstrom als A hat, transportiert C insgesamt mehr Material als A.“ 4. Emma: „Anlage B transportiert in den 60 Minuten genau \(180\,\text{kg}\) Material.“

Eine Abfüllanlage fördert Kunststoffgranulat. Die Abbildung zeigt den Massenstrom \(r(t)\) in Kilogramm pro Minute für die ersten sechs Minuten. a) Lies aus dem Graphen ab, zu welchen Zeitpunkten der Massenstrom \(20\,\text{kg/min}\) beträgt, und gib das Zeitintervall an, in dem er größer als \(20\,\text{kg/min}\) ist. b) Erläutere die Bedeutung der Fläche unter dem Graphen im Intervall \([0;6]\). c) Für eine Stammfunktion \(R\) des dargestellten Massenstroms (Werte in \(\text{kg}\)) sind \(R(0)=-\frac{60}{\pi}\) und \(R(6)=90+\frac{60}{\pi}\) bekannt. Berechne damit die insgesamt transportierte Masse.

Der Graph zeigt die Ladeleistung \(v(t)\) eines Batteriespeichers in \(\text{kW}\) über zehn Stunden. Negative Werte bedeuten, dass der Speicher Energie abgibt. Beurteile, ob die Aussagen wahr oder falsch sind: a) In den ersten sechs Stunden nimmt der Energieinhalt insgesamt genau um \(12\,\text{kWh}\) zu. b) Im Zeitraum von \(t=6\) bis \(t=10\) sinkt der Energieinhalt kontinuierlich. c) Nach zehn Stunden ist der Energieinhalt höher als zu Beginn. d) Der Wert von \(\int_0^{10}v(t)\,\text{d}t\) gibt den Energieinhalt an, der nach zehn Stunden im Speicher vorhanden ist.

Ein Pufferlager einer Recyclinganlage wird automatisch befüllt und entleert. Der Graph zeigt die Nettoänderungsrate \(q(t)\) des Materialbestands in \(\text{kg/min}\). Positive Werte bedeuten Einlagerung, negative Werte Entnahme. a) In welchem Zeitraum ändert sich der Materialbestand nicht? Bestimme den Zeitpunkt oder Zeitraum, zu dem der Bestand maximal ist, und begründe. b) Berechne die gesamte Bestandsänderung nach \(12\,\text{min}\). Ist am Ende mehr oder weniger Material vorhanden als zu Beginn?

In einem Gewächshaus wird die Änderungsrate der \(\text{CO}_2\)-Konzentration über sechs Stunden gemessen. Die Funktion \(f\) beschreibt diese Rate in \(\text{ppm}/\text{h}\). Positive Werte bedeuten eine steigende, negative Werte eine sinkende Konzentration. Der Graph ist abgebildet. a) Erläutere die Bedeutung des Flächeninhalts eines einzelnen Gitterkästchens. b) Berechne die gesamte Änderung der \(\text{CO}_2\)-Konzentration von \(t=0\) bis \(t=6\). c) Zu welchem Zeitpunkt ist die \(\text{CO}_2\)-Konzentration am größten? Begründe mithilfe des Graphen.

Die Abbildung zeigt die elektrische Leistung \(f(t)\) eines Windparks während einer modellierten Wetterphase. Dabei ist \(t\) die Zeit in Stunden mit \(0\le t\le50\), und \(f(t)\) wird in \(\text{MW}\) angegeben. Für eine Stammfunktion \(F\) der dargestellten Leistung (Werte in \(\text{MWh}\)) sind die Werte \(F(0)=-200\), \(F(10)=-400e^{-1}\) und \(F(20)=-600e^{-2}\) bekannt. a) Berechne die in den ersten zehn Stunden erzeugte elektrische Energie. b) Bestimme ausschließlich anhand des Graphen den Zeitpunkt, an dem die Leistung maximal ist, und lies den maximalen Wert auf eine Dezimalstelle ab. c) Wie viel Energie ist nach \(20\) Stunden insgesamt erzeugt worden? Vergleiche mit a).

Das Diagramm zeigt die Einlassrate \(r(t)\) in Personen pro Minute einer Kulturhalle während der \(20\) Minuten vor Veranstaltungsbeginn. a) Erläutere die Bedeutung von \(\int_0^{20}r(t)\,\text{d}t\) und berechne den Wert. b) Bestimme, wie viele Personen in den ersten acht Minuten eingelassen werden. c) Zu welchem Zeitpunkt sind insgesamt \(340\) Personen eingelassen worden? d) Die Halle war zu Beginn leer. Ab \(t=20\,\text{min}\) gibt es keinen weiteren Einlass; die anwesenden Personen verlassen die Halle anschließend mit konstant \(20\) Personen pro Minute. Bestimme den Zeitpunkt, zu dem die Halle wieder leer ist.

Der Graph zeigt die Nettoänderungsrate eines Warenbestands in einem gekühlten Zwischenlager über zehn Stunden. Zu Beginn befinden sich genau \(100\,\text{kg}\) Ware im Lager. a) Zu welchem Zeitpunkt ist der Warenbestand innerhalb der zehn Stunden am geringsten? Begründe mithilfe des Graphen. b) Schätze den Warenbestand nach acht Stunden mit der Trapezregel. Verwende dafür die am Graphen exakt ablesbaren Stützwerte bei \(t=0,2,4,6,8\) und Teilintervalle der Breite \(2\,\text{h}\).

Die momentane Änderungsrate \(g\) der Lufttemperatur in einer Klimakammer wird in \(\text{K}/\text{h}\) angegeben. Der Zeitpunkt \(t=0\) ist ein festgelegter Referenzzeitpunkt; beobachtet wird von zwei Stunden davor bis sechs Stunden danach. Positive Werte bedeuten Erwärmung, negative Werte Abkühlung. Der Graph von \(g\) ist im ersten Koordinatensystem dargestellt. a) Berechne die gesamte Temperaturänderung \(\Delta T\) im Zeitraum von \(t=-2\) bis \(t=6\). b) Die Funktion \(G(x)=\int_{-2}^{x}g(t)\,\text{d}t\) gibt die seit \(t=-2\) aufgelaufene Temperaturänderung an. Welcher der Graphen 1, 2 oder 3 stellt \(G\) dar? Begründe durch den Vergleich von Nullstellen und Extrema.

Der Ladezustand eines Akkus beträgt zu Beginn \(40\,\%\). Seine Änderungsrate wird für \(0\le t\le4\) durch \(r(t)=6-2t\) beschrieben, wobei \(r(t)\) in Prozentpunkten pro Stunde angegeben ist. a) Zu welchem Zeitpunkt ist der Ladezustand am größten? b) Bestimme diesen maximalen Ladezustand. c) Bestimme den Ladezustand nach \(4\,\text{h}\).