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- Welchen Wert hat der Volumenstrom auf der y-Achse? - Über welches Zeitintervall wird das Wasser gemessen? - Wie hängen Volumenstrom, Zeit und Gesamtvolumen zusammen?

1. Analyse des Graphen: Die Rate ist konstant bei \(200\,\text{L}/\text{min}\). 2. Zeitraum bestimmen: Das betrachtete Intervall auf der Zeitachse reicht von \(0\) bis \(2{,}5\,\text{min}\). 3. Berechnung des Volumens: \(V = 200\,\text{L}/\text{min} \cdot 2{,}5\,\text{min} = 500\,\text{L}\). Ergebnis: \(500\,\text{L}\).

Es sind insgesamt \(500\,\text{L}\) Wasser abgeflossen.

- Was gibt die y-Achse in diesem Diagramm an? - Welche Höhendifferenz wird auf der \(x\)-Achse betrachtet? - Multipliziere die Rate mit dem zurückgelegten Höhenintervall.

1. Der Betrag der Abnahmerate ist konstant \(5\,\text{K/km}\). 2. Die Höhendifferenz beträgt \(4\,\text{km}\). 3. Der Betrag der Temperaturänderung ist \(5\,\text{K/km} \cdot 4\,\text{km} = 20\,\text{K}\). Da die Temperatur sinkt, ist die orientierte Änderung \(-20\,\text{K}\).

Die Temperatur sinkt um \(20\,\text{K}\).

- Welcher Wert für die Dichte lässt sich auf der vertikalen Achse ablesen? - Welche Länge wird auf der horizontalen Achse für die Berechnung herangezogen? - Wie erhält man die Gesamtmasse aus der Dichte pro Längeneinheit?

1. Analyse des Graphen: Die Dichte ist über die gesamte Länge konstant bei \(15\,\text{g/m}\). 2. Länge des Teilstücks: Es wird ein Stück der Länge \(10\,\text{m}\) betrachtet. 3. Berechnung der Masse: Die Masse ist das Produkt aus Dichte und Länge: \(m = 15\,\text{g/m} \cdot 10\,\text{m} = 150\,\text{g}\). Ergebnis: \(150\,\text{g}\).

Die Gesamtmasse des Stabstücks beträgt \(150\,\text{g}\).

- Wie hängen die momentane Änderungsrate und die totale Bestandsänderung mathematisch zusammen? - In welchem Zeitraum findet der Pumpvorgang statt? Das definiert deine Integrationsgrenzen. - Denke am Ende an die Umrechnung der Einheit von Litern in Kubikmeter.

1. Das Gesamtvolumen in Litern entspricht dem bestimmten Integral der Pumprate über den Zeitraum von \(0\) bis \(12\) Minuten: \(\int_{0}^{12} (120t - 10t^2) \, dt\). 2. Bestimmung der Stammfunktion: \(V(t) = 60t^2 - \frac{10}{3}t^3\). 3. Berechnung des Werts: \(V(12) - V(0) = (60 \cdot 144 - \frac{10}{3} \cdot 1728) - 0 = 8640 - 5760 = 2880\,\text{l}\). 4. Umrechnung von Litern in Kubikmeter: Da \(1000\,\text{l} = 1\,\text{m}^3\), ergibt sich \(2880 : 1000 = 2{,}88\,\text{m}^3\).

Es werden insgesamt \(2{,}88\,\text{m}^3\) Wasser abgepumpt.

- Überlege dir den Zusammenhang zwischen einer zeitabhängigen Rate (Leistung) und dem daraus resultierenden Gesamtbestand (Energie). - Welches mathematische Werkzeug hilft dir, den Gesamteffekt einer sich ändernden Größe über ein Zeitintervall zu bestimmen? - Wie berechnet man den Durchschnittswert einer Funktion über einen bestimmten Bereich? - Achte auf die Einheiten: Wie hängen Kilowatt und Kilowattstunden zusammen?

1. Berechnung der Gesamtenergie als Integral der Leistung über das Zeitintervall \([0; 6]\): \(\int_{0}^{6} (-t^2 + 12t) \, dt\). Bestimmung der Stammfunktion \(F(t) = -\frac{1}{3}t^3 + 6t^2\). Einsetzen der Grenzen: \(F(6) - F(0) = (-\frac{1}{3} \cdot 6^3 + 6 \cdot 6^2) - 0 = -72 + 216 = 144\). Die Energie beträgt \(144\,\text{kWh}\). 2. Anwendung der Mittelwertformel für Integrale: \(\bar{P} = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} P(t) \, dt\). Einsetzen der Werte: \(\frac{1}{12-0} \int_{0}^{12} (-t^2 + 12t) \, dt\). Berechnung des Integrals: \([-\frac{1}{3}t^3 + 6t^2]_{0}^{12} = (-\frac{1}{3} \cdot 1728 + 6 \cdot 144) - 0 = -576 + 864 = 288\). Division durch die Intervallbreite: \(\frac{288}{12} = 24\). Die durchschnittliche Leistung beträgt \(24\,\text{kW}\).

1. Die erzeugte Energie beträgt \(144\,\text{kWh}\). 2. Die durchschnittliche Leistungsabgabe beträgt \(24\,\text{kW}\).

- Kannst du beschreiben, welche physikalische oder praktische Bedeutung die Fläche unter einer Änderungsrate-Kurve hat? - Welche mathematische Operation hilft dir dabei, die Gesamtänderung aus einer Änderungsrate zu berechnen? - Erinnere dich daran, wie man eine Stammfunktion für eine ganzrationale Funktion (Polynomfunktion) bildet. - Wie lautet der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung, um das bestimmte Integral mit den Grenzen \(1\) und \(7\) zu berechnen? - Überprüfe am Ende, ob deine Einheiten zueinander passen: Was ergibt sich, wenn man die Einheit der y-Achse mit der Einheit der x-Achse multipliziert?

1. Bestimmung der Stammfunktion \(F\) von \(f(t) = -0{,}5 t^2 + 4t + 2\): Durch gliedweise Integration erhält man: \(F(t) = -\frac{1}{6} t^3 + 2t^2 + 2t\) (oder allgemein mit einer Integrationskonstante \(C\)). 2. Berechnung des bestimmten Integrals von \(1\) bis \(7\): Es gilt \(\int_{1}^{7} f(t) \,\text{d}t = F(7) - F(1)\). Einsetzen der Grenzen liefert: \(F(7) = -\frac{1}{6} \cdot 7^3 + 2 \cdot 7^2 + 2 \cdot 7 = -\frac{343}{6} + 98 + 14 = \frac{329}{6} \approx 54{,}83\) \(F(1) = -\frac{1}{6} \cdot 1^3 + 2 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 = \frac{23}{6} \approx 3{,}83\) Die Differenz ergibt: \(F(7) - F(1) = \frac{329}{6} - \frac{23}{6} = \frac{306}{6} = 51\) Somit sind in diesem Zeitraum \(51\,\text{m}^3\) Wasser in das Becken geflossen. 3. Interpretation im Sachzusammenhang: Das Integral gibt die Netto-Änderung des Wasservolumens (die Gesamtzuflussmenge in Kubikmetern) im Zeitraum von \(t = 1\,\text{h}\) bis \(t = 7\,\text{h}\) an. Grafisch entspricht dieser Wert dem Flächeninhalt der Fläche unter dem Graphen von \(f\) über dem Intervall \([1; 7]\), die seitlich durch die vertikalen Linien bei \(t = 1\) und \(t = 7\) und unten durch die \(t\)-Achse begrenzt wird.

a) Eine Stammfunktion ist \(F(t) = -\frac{1}{6} t^3 + 2t^2 + 2t\) (oder allgemein mit \(+ C\)). b) Das Gesamtvolumen des Wassers beträgt \(51\,\text{m}^3\). c) Im Sachzusammenhang gibt das Integral das gesamte Wasservolumen an, das zwischen der 1. und der 7. Stunde in das Becken geflossen ist. Grafisch entspricht dieser Wert dem Flächeninhalt der Fläche unter dem Graphen von \(f\) über dem Intervall \([1; 7]\).

- Was gibt die y-Achse an und was die x-Achse? Überlege, welche Einheit entsteht, wenn man die Einheiten der beiden Achsen miteinander multipliziert. - Wie hängen eine Änderungsrate (hier die Zuflussrate) und die Gesamtänderung (hier das gesamte Wasservolumen) mathematisch zusammen? - Kannst du die geometrische Form der Fläche unter dem Graphen bestimmen? - Falls die gesamte Form schwer auf einmal zu berechnen ist, kannst du sie in einfachere Teilflächen zerlegen, deren Flächeninhalt du leicht berechnen kannst?

1. Mathematische Bedeutung: Das bestimmte Integral \(\int_{0}^{10} f(t) \,\text{d}t\) entspricht dem Inhalt der Fläche, die der Graph der Funktion \(f\) im Intervall \([0; 10]\) mit der \(t\)-Achse einschließt. 2. Sachliche Bedeutung: Das Integral beschreibt die gesamte Wassermenge (das Gesamtvolumen), die im Zeitraum von \(t = 0\,\text{min}\) bis \(t = 10\,\text{min}\) in den Speicherbehälter geflossen ist. 3. Berechnung des Werts: Die Fläche unter dem Graphen bildet ein Trapez mit den parallelen Seitenlängen \(a = 10\) und \(c = 4\) sowie der Höhe \(h = 20\). \(A = \frac{10 + 4}{2} \cdot 20 = 140\) Alternativ lässt sich die Fläche in zwei Dreiecke und ein Rechteck zerlegen: - Linkes Dreieck (\(0\) bis \(4\,\text{min}\)): \(\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 20 = 40\) - Mittleres Rechteck (\(4\) bis \(8\,\text{min}\)): \(4 \cdot 20 = 80\) - Rechtes Dreieck (\(8\) bis \(10\,\text{min}\)): \(\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 20 = 20\) - Gesamtfläche: \(40 + 80 + 20 = 140\) 4. Ergebnis: Der Wert des Integrals beträgt \(140\). Die dazugehörige physikalische Größe ist das Wasservolumen mit der Einheit Liter (\(\text{l}\)).

a) Mathematisch entspricht das Integral dem Flächeninhalt unter dem Graphen im Intervall \([0; 10]\). Sachlich stellt es das gesamte Wasservolumen dar, das in den ersten 10 Minuten in den Behälter geflossen ist. b) Der Wert des Integrals beträgt \(140\). Die Maßeinheit der berechneten Größe ist Liter (\(\text{l}\)).

- Welche geometrische Form hat die Fläche zwischen der ansteigenden Geraden und der Zeitachse? - Welche beiden Randwerte der Wachstumsrate kannst du aus dem Graphen ablesen? - Welche Einheit erhältst du, wenn du eine Rate in Millimetern pro Woche über Wochen aufsummierst?

1. Die Fläche unter dem Graphen ist ein Trapez. 2. Zu Beginn beträgt die Wachstumsrate \(2\,\text{mm}/\text{Woche}\), nach drei Wochen \(8\,\text{mm}/\text{Woche}\). 3. Der Flächeninhalt ist \(A=\frac{2+8}{2}\cdot3\,\text{mm}=15\,\text{mm}\). 4. Dieser Flächeninhalt ist der gesamte Durchmesserzuwachs in den drei Wochen.

Der Durchmesserzuwachs beträgt \(15\,\text{mm}\).

- Betrachte die Fläche, die der Graph mit den Koordinatenachsen einschließt. - Wie groß sind die Grundseite und die Höhe dieses Dreiecks? - Nutze die Formel für den Dreiecksinhalt, um das Gesamtvolumen zu berechnen.

1. Geometrische Form: Die Fläche unter der Geraden ist ein rechtwinkliges Dreieck. 2. Werte ablesen: Die Rate beginnt bei \(400\,\text{L}/\text{min}\) und sinkt bis \(t=2\,\text{min}\) auf \(0\). 3. Flächenberechnung: \(V = \frac{1}{2} \cdot 2\,\text{min} \cdot 400\,\text{L}/\text{min} = 400\,\text{L}\). Ergebnis: \(400\,\text{L}\).

In den ersten zwei Minuten sind insgesamt \(400\,\text{L}\) Wasser ausgeflossen.

- Welche Größe erhältst du, wenn du eine Geschwindigkeit über die Zeit integrierst? - Achte darauf, dass \(v(t)\) hier im gesamten Zeitraum positiv ist. - Wie hängt die gesuchte Endhöhe mit Anfangshöhe und Höhenänderung zusammen?

1. Die Höhenänderung ist die Gesamtänderung zur Geschwindigkeitsrate: \(\Delta h=\int_0^2(2t+1)\,\mathrm{d}t\). 2. Mit einer Stammfunktion \(t^2+t\) folgt \(\Delta h=[t^2+t]_0^2=6\,\text{m}\). 3. Zur Anfangshöhe werden \(6\,\text{m}\) addiert. Daher ist die Höhe nach \(2\,\text{s}\) gleich \(21\,\text{m}\).

Höhenänderung: \(6\,\text{m}\) Höhe nach \(2\,\text{s}\): \(21\,\text{m}\)

- Überlege zuerst, wie man aus einer Rate die Gesamtänderung über einen Zeitraum berechnet. - Achte darauf, dass die Funktion die Rate pro Quadratmeter angibt. Wie groß ist die gesamte Fläche aller Filterelemente? - Achte bei der Flächenberechnung und beim Endergebnis auf die korrekten Einheiten (Zentimeter, Meter, Milligramm, Gramm). - Welches Zeitintervall wird durch die Angabe „Stunden seit der Schichtmitte“ abgedeckt?

1. Berechnung der Staubmasse pro Quadratmeter durch Integration der Rate \(r(t)\) über das Zeitintervall \([-4; 4]\): \(\int_{-4}^{4} 500(1 - \frac{1}{16}t^2) \, dt = [500t - \frac{500}{48}t^3]_{-4}^4\). 2. Einsetzen der Grenzen liefert \((2000 - \frac{2000}{3}) - (-2000 + \frac{2000}{3}) = \frac{4000}{3} + \frac{4000}{3} = \frac{8000}{3} \approx 2666{,}67\,\frac{\text{mg}}{\text{m}^2}\). 3. Bestimmung der gesamten Filterfläche: \(120 \cdot 2500\,\text{cm}^2 = 300\,000\,\text{cm}^2 = 30\,\text{m}^2\). 4. Berechnung der Gesamtmasse: \(30\,\text{m}^2 \cdot \frac{8000}{3}\,\frac{\text{mg}}{\text{m}^2} = 80\,000\,\text{mg}\). 5. Umrechnung in Gramm: \(80\,000\,\text{mg} = 80\,\text{g}\).

Während der Schicht werden insgesamt \(80\,\text{g}\) Feinstaub aufgefangen.

- Wie hängen die Bestandsänderung und die Änderungsrate mathematisch zusammen? - Welches Werkzeug hilft dir, den Durchschnittswert einer Funktion über ein Intervall zu berechnen? - Überlege dir, was ein negatives Vorzeichen der Änderungsrate für das Gesamtvolumen bedeutet. - Wann hört das Volumen auf zu sinken und beginnt wieder zu steigen?

1. Berechnung der gesamten Volumenänderung durch das Integral der Rate über das Intervall \([0; 4]\): \(\int_0^4 (-0{,}1t^3 + 0{,}6t^2 - 0{,}8t) \, dt = [-0{,}025t^4 + 0{,}2t^3 - 0{,}4t^2]_0^4\). Einsetzen der Grenzen: \((-0{,}025 \cdot 256 + 0{,}2 \cdot 64 - 0{,}4 \cdot 16) - 0 = -6{,}4 + 12{,}8 - 6{,}4 = 0\). Die gesamte Volumenänderung beträgt \(0\,\text{m}^3\). 2. Bestimmung der durchschnittlichen Rate über \([0; 2]\) mithilfe des Mittelwertsatzes der Integralrechnung: \(\bar{m} = \frac{1}{2-0} \int_0^2 f(t) \, dt = \frac{1}{2} [-0{,}025t^4 + 0{,}2t^3 - 0{,}4t^2]_0^2 = \frac{1}{2} (-0{,}025 \cdot 16 + 0{,}2 \cdot 8 - 0{,}4 \cdot 4) = \frac{1}{2} (-0{,}4 + 1{,}6 - 1{,}6) = -0{,}2\). Die durchschnittliche Rate beträgt \(-0{,}2 \cdot 100\,\text{m}^3/\text{h} = -20\,\text{m}^3/\text{h}\). 3. Untersuchung des Vorzeichens von \(f(t)\): Nullstellen liegen bei \(t_1=0\), \(t_2=2\) und \(t_3=4\). Für \(0 < t < 2\) ist \(f(t) < 0\) (Abfluss), für \(2 < t < 4\) ist \(f(t) > 0\) (Zufluss). Da das Volumen bis \(t=2\) abnimmt und danach wieder zunimmt, ist das Volumen zum Zeitpunkt \(t=2\,\text{h}\) minimal.

a) Die Volumenänderung beträgt \(0\,\text{m}^3\). b) Die durchschnittliche Rate beträgt \(-20\,\text{m}^3/\text{h}\). c) Das Volumen ist zum Zeitpunkt \(t = 2\,\text{h}\) minimal.

- Wie berechnet man die akkumulierte Menge aus einer gegebenen Rate? - Was gibt der Mittelwert einer Funktion anschaulich an? - Teile das Zeitintervall in zwei Abschnitte und berechne für jeden die entsprechende Fläche unter dem Graphen.

1. Berechnung der Gesamtmenge über das Integral: \(\int_0^{10} (-0{,}01t^3 + 0{,}12t^2 + 0{,}5) \,\text{d}t = [-0{,}0025t^4 + 0{,}04t^3 + 0{,}5t]_0^{10}\). Einsetzen der Grenzen: \(-0{,}0025 \cdot 10\,000 + 0{,}04 \cdot 1000 + 0{,}5 \cdot 10 = -25 + 40 + 5 = 20\). Die Gesamtmenge beträgt \(20\,\text{kg}\). 2. Durchschnittliche Emissionsrate \(\bar{E} = \frac{1}{10-0} \cdot 20 = 2\,\text{kg}/\text{h}\). 3. Berechnung der Teilmengen: Für \(t \in [0; 5]\): \(F(5) - F(0) = -0{,}0025 \cdot 625 + 0{,}04 \cdot 125 + 0{,}5 \cdot 5 = -1{,}5625 + 5 + 2{,}5 = 5{,}9375\,\text{kg}\). Für \(t \in [5; 10]\): \(F(10) - F(5) = 20 - 5{,}9375 = 14{,}0625\,\text{kg}\). In der zweiten Hälfte wird mit ca. \(14{,}06\,\text{kg}\) deutlich mehr Schadstoff freigesetzt als in der ersten Hälfte (ca. \(5{,}94\,\text{kg}\)).

a) Es werden insgesamt \(20\,\text{kg}\) Schadstoff freigesetzt. b) Die durchschnittliche Emissionsrate beträgt \(2\,\text{kg}/\text{h}\). c) In der ersten Hälfte werden \(5{,}9375\,\text{kg}\) und in der zweiten Hälfte \(14{,}0625\,\text{kg}\) freigesetzt.

- Was sagt das Vorzeichen einer Änderungsrate über die Zunahme oder Abnahme einer Größe aus? - Welche mathematische Operation berechnet die gesamte Änderung einer Größe aus ihrer Änderungsrate? - Achte beim Einsetzen in die Winkelfunktionen darauf, ob dein Taschenrechner auf das Bogenmaß (RAD) eingestellt ist. - Überlege dir, welche physikalische Einheit das Ergebnis des Integrals haben muss, wenn die Rate in Volumen pro Zeit angegeben ist.

1. Berechnung von \(v(3)\): \(v(3) = 20 \cdot \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = 20 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -10\sqrt{2} \approx -14{,}14\). Damit beträgt die Änderungsrate \(-14{,}14 \cdot 10^3\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}\). Das negative Vorzeichen bedeutet, dass zu diesem Zeitpunkt Wasser aus dem Oberbecken abfließt (z. B. zur Stromerzeugung). 2. Bestimmung der Stammfunktion von \(v(t)\): \(V(t) = 20 \cdot \frac{4}{\pi} \sin\left(\frac{\pi}{4} t\right) = \frac{80}{\pi} \sin\left(\frac{\pi}{4} t\right)\). 3. Berechnung des Integrals: \(\int_{2}^{6} v(t) \, dt = \left[ \frac{80}{\pi} \sin\left(\frac{\pi}{4} t\right) \right]_{2}^{6} = \frac{80}{\pi} \cdot \left( \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) \right) = \frac{80}{\pi} \cdot (-1 - 1) = -\frac{160}{\pi}\). 4. Interpretation: Der Wert des Integrals gibt die Nettoänderung des Wasservolumens im Zeitraum von \(t = 2\) bis \(t = 6\) an. Das Volumen im Oberbecken hat in diesem Zeitraum um \(\frac{160}{\pi} \cdot 10^3\,\text{m}^3 \approx 50{,}93 \cdot 10^3\,\text{m}^3\) abgenommen.

a) \(v(3) = -10\sqrt{2} \cdot 10^3\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}} \approx -14{,}14 \cdot 10^3\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}\). Das negative Vorzeichen gibt an, dass das Wasservolumen im Oberbecken zum Zeitpunkt \(t = 3\) abnimmt. b) \(\int_{2}^{6} v(t) \, dt = -\frac{160}{\pi} \cdot 10^3\,\text{m}^3 \approx -50{,}93 \cdot 10^3\,\text{m}^3\). Dies bedeutet, dass das Wasservolumen im Oberbecken zwischen den Zeitpunkten \(t = 2\) und \(t = 6\) insgesamt um etwa \(50{,}93 \cdot 10^3\,\text{m}^3\) gesunken ist.

- Was bedeutet eine negative Änderungsrate für die betrachtete Konzentration? - Welche mathematische Operation liefert aus einer Änderungsrate die gesamte Änderung über ein Zeitintervall? - Für den Sinusterm kannst du die Integrationsregel für eine lineare innere Funktion verwenden. - Überlege, was ein Integralwert von null für den Vergleich von Anfangs- und Endzustand bedeutet.

1. Berechnung von \(k(5)\): \(k(5) = -0{,}5 \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=-0{,}5\). Zum Zeitpunkt \(t=5\,\text{min}\) sinkt die Konzentration mit einer Rate von \(0{,}5\,\text{mol}/(\text{l}\cdot\text{min})\). 2. Mit der Integrationsregel für lineare innere Funktionen ist \(K(t)=\frac{5}{\pi}\cos\left(\frac{\pi}{10}t\right)\) eine Stammfunktion von \(k\). 3. Damit gilt \(\int_0^{20}k(t)\,dt=\left[\frac{5}{\pi}\cos\left(\frac{\pi}{10}t\right)\right]_0^{20}=\frac{5}{\pi}(\cos(2\pi)-\cos(0))=0\). 4. Die Nettoänderung der Konzentration über die 20 Minuten ist somit null; die Endkonzentration stimmt mit der Anfangskonzentration überein.

a) \(k(5) = -0{,}5\). Die Konzentration nimmt zum Zeitpunkt \(t = 5\) mit einer Rate von \(0{,}5\,\text{mol}/(\text{l} \cdot \text{min})\) ab. b) \(\int_{0}^{20} k(t) \, dt = 0\). Über den Zeitraum von 20 Minuten ist die Nettoänderung der Konzentration gleich Null, d. h. die Endkonzentration ist identisch mit der Anfangskonzentration.

- Wann erreicht eine Sinusfunktion ihren höchsten Wert? - Wie hängen Leistung und Energie mathematisch zusammen, wenn die Leistung zeitabhängig ist? - Was fällt dir an der Länge des Zeitintervalls im Vergleich zur Periode der Funktion auf? - Wie skaliert man ein Ergebnis von einer Anlage auf mehrere Anlagen und längere Zeiträume?

1. Zur Bestimmung des Maximums von \(P(t)\) wird das Maximum der Sinusfunktion betrachtet: \(\sin(x) = 1\) für \(x = \frac{\pi}{2}\). Aus \(\frac{\pi}{6}(t - 3) = \frac{\pi}{2}\) folgt \(t - 3 = 3\), also \(t = 6\). Die maximale Leistung beträgt \(P(6) = 15 \cdot 1 + 20 = 35\,\text{kW}\). 2. Die aufgenommene elektrische Energie entspricht dem Integral der Leistung über die Zeit: \(\int_{0}^{12} \left(15\sin\left(\frac{\pi}{6}(t - 3)\right) + 20\right) \text{d}t\). Da das Intervall \([0; 12]\) genau einer Periodenlänge \(T = \frac{2\pi}{\pi/6} = 12\) entspricht, ist das Integral über den Sinus-Term gleich Null. Es bleibt \(20 \cdot (12 - 0) = 240\,\text{kWh}\). 3. Die Gesamtenergie für 8 Anlagen über zwei Schichten berechnet sich durch Multiplikation der Energie einer Anlage pro Schicht mit der Anzahl der Anlagen und der Anzahl der Schichten: \(240\,\text{kWh} \cdot 8 \cdot 2 = 3840\,\text{kWh}\).

a) Der Zeitpunkt ist \(t = 6\,\text{h}\) mit einer maximalen Leistung von \(35\,\text{kW}\). b) Die aufgenommene elektrische Energie beträgt \(240\,\text{kWh}\). c) Die gesamte elektrische Energie beträgt \(3840\,\text{kWh}\).

- Was gibt der Wert eines Integrals über eine Änderungsrate an? - Achte auf das Vorzeichen des Ergebnisses und überlege, was dies für die Flüssigkeitsmenge im Tank bedeutet. - Wie hängen die Ableitung des Nenners und der Zähler der Funktion zusammen? - Was bedeutet das Kleiner-Zeichen in Bezug auf den Flüssigkeitsverlust?

1. Bestimmung der Stammfunktion: Da der Zähler bis auf einen Faktor die Ableitung des Nenners ist, verwendet man die logarithmische Integrationsregel \(\int \frac{g'(t)}{g(t)} \, dt = \ln|g(t)|\). Es gilt \(f(t) = -30\frac{2t}{t^2+36}\), woraus die Stammfunktion \(F(t) = -30\ln(t^2+36)\) folgt. 2. Berechnung des bestimmten Integrals: \(\int_0^8 f(t) \, dt = [-30 \ln(t^2+36)]_0^8 = -30 \ln(64+36) - (-30 \ln(0+36)) = -30 \ln(100) + 30 \ln(36) = -30 \ln\left(\frac{100}{36}\right) \approx -30{,}65\). 3. Interpretation: Das Integral gibt die Gesamtänderung des Volumens an. In den ersten 8 Stunden sind somit ca. \(30{,}65\,\text{l}\) Flüssigkeit aus dem Behälter ausgetreten. 4. Sachbezogene Frage zu b): Die Ungleichung fragt nach dem Zeitpunkt, ab dem die gesamte Volumenänderung einen Verlust von mehr als \(40\,\text{l}\) darstellt. Mögliche Frage: „Nach welcher Zeit \(t\) sind insgesamt mehr als \(40\,\text{l}\) Kühlflüssigkeit aus dem Behälter ausgeflossen?“

a) \(\int_0^8 f(t) \, dt = -30 \ln\left(\frac{25}{9}\right) \approx -30{,}65\). In den ersten 8 Stunden nach Entdeckung des Defekts hat das Volumen der Flüssigkeit im Behälter um ca. \(30{,}65\,\text{l}\) abgenommen. b) Eine mögliche Frage ist: „Nach wie vielen Stunden hat der Behälter insgesamt mehr als \(40\,\text{l}\) Flüssigkeit verloren?“

- Wie berechnet man die Gesamtmenge aus einer gegebenen Änderungsrate? - Kannst du eine Stammfunktion finden, indem du den Nenner und seine Ableitung betrachtest? - Was ist der Unterschied zwischen der Gesamtmenge seit Beginn und der Menge in einem bestimmten Zeitfenster? - Überlege dir, welche Einheit das Ergebnis nach der Integration über die Zeit haben muss.

1. Identifikation der Stammfunktion: Die Funktion hat die Form \(k \cdot \frac{g'(t)}{g(t)}\) mit \(g(t) = (t+2)^2+16\). Da \(g'(t) = 2(t+2)\), folgt \(h(t) = 50 \cdot \frac{2(t+2)}{(t+2)^2+16}\). Die Stammfunktion lautet \(H(t) = 50 \ln((t+2)^2+16)\). 2. Berechnung für a): \(\int_0^6 h(t) \, dt = H(6) - H(0) = 50 \ln(8^2+16) - 50 \ln(2^2+16) = 50 \ln(80) - 50 \ln(20) = 50 \ln(4) \approx 69{,}31\). In den ersten 6 Stunden fließen ca. \(69{,}31\,\text{m}^3\) Wasser zu. 3. Berechnung für b): \(\int_2^4 h(t) \, dt = H(4) - H(2) = 50 \ln(6^2+16) - 50 \ln(4^2+16) = 50 \ln(52) - 50 \ln(32) = 50 \ln(1{,}625) \approx 24{,}28\). 4. Interpretation zu b): Das Integral gibt die Wassermenge an, die im Zeitintervall von \(t=2\) bis \(t=4\) (also zwischen der zweiten und der vierten Stunde nach Beobachtungsbeginn) insgesamt in das Becken geflossen ist. Dieser Wert beträgt ca. \(24{,}28\,\text{m}^3\).

a) Das zugeflossene Volumen beträgt ca. \(69{,}31\,\text{m}^3\). b) \(\int_2^4 h(t) \, dt = 50 \ln(1{,}625) \approx 24{,}28\). Dieser Wert gibt das Wasservolumen in Kubikmetern an, das zwischen der 2. und der 4. Stunde nach Beobachtungsbeginn in das Becken zugeflossen ist.

- Überlege dir zuerst, was eine positive, eine negative und eine Geschwindigkeit von Null für die Bewegung des Ballons bedeuten. - Wie hängt die Änderung einer Größe (hier der Höhe) mit der Fläche unter der Änderungsratenkurve (hier der Geschwindigkeit) zusammen? - Versuche, die Flächen zwischen dem Graphen und der Zeitachse in einfache geometrische Formen wie Dreiecke, Rechtecke oder Trapeze zu zerlegen. - Achte darauf, ob die Flächen oberhalb oder unterhalb der Zeitachse liegen, um zu entscheiden, ob Höhe dazukommt oder verloren geht.

1. Die Flughöhe bleibt konstant, wenn \(v(t)=0\). Dies ist im Intervall \([6; 7]\) der Fall. 2. Bis \(t=6\) steigt der Ballon, von \(6\) bis \(7\) bleibt seine Höhe konstant und danach sinkt er. Daher wird die maximale Höhe im Zeitraum von \(6\) bis \(7\) Minuten erreicht. 3. Die positive Fläche bis \(t=6\) ist ein Trapez mit den parallelen Seitenlängen \(6\) und \(2\) und der Höhe \(4\): \(\Delta h_1=\frac{6+2}{2}\cdot4=16\,\text{m}\). Die maximale Höhe ist \(150\,\text{m}+16\,\text{m}=166\,\text{m}\). 4. Die negative Fläche von \(7\) bis \(10\) ist ein Trapez mit den parallelen Seitenlängen \(3\) und \(1\) und der Höhe \(2\): \(\Delta h_2=-\frac{3+1}{2}\cdot2=-4\,\text{m}\). Die Endhöhe ist \(166\,\text{m}-4\,\text{m}=162\,\text{m}\).

a) Im Zeitraum von \(t = 6\,\text{min}\) bis \(t = 7\,\text{min}\) ändert sich die Flughöhe nicht, da dort die Geschwindigkeit \(v(t) = 0\,\text{m/min}\) ist. b) Der Ballon erreicht seine maximale Höhe im Zeitraum von \(t = 6\,\text{min}\) bis \(t = 7\,\text{min}\). Diese beträgt \(166\,\text{m}\). c) Am Ende des Zeitraums (\(t = 10\,\text{min}\)) beträgt die Flughöhe des Ballons \(162\,\text{m}\).

- Überlege zuerst, welche Einheiten auf den beiden Achsen aufgetragen sind. - Wie berechnet sich der Flächeninhalt eines Rechtecks, wenn die Seitenlängen durch die Einheiten der Achsen gegeben sind? - Wann wächst eine Größe am schnellsten? Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Wachstumsgeschwindigkeit und der momentanen Änderungsrate? - Was sagt das Vorzeichen der Änderungsrate über das Steigen oder Fallen des Bestands aus? - Erinnere dich daran, wie man das bestimmte Integral einer Funktion mithilfe einer Stammfunktion berechnet.

1. Bedeutung des Kästchen-Flächeninhalts: Die Breite eines Kästchens entspricht \(1\,\text{h}\). Die Höhe eines Kästchens entspricht \(2\,\text{m}^3/\text{h}\). Der Flächeninhalt eines Kästchens entspricht somit \(1\,\text{h} \cdot 2\,\text{m}^3/\text{h} = 2\,\text{m}^3\). Dies stellt ein Wasservolumen von \(2\,\text{m}^3\) dar. 2. Zeitpunkte maximaler Zunahme und Abnahme: - Die Zunahme des Wasservolumens ist am schnellsten, wenn die Änderungsrate \(f(t)\) maximal ist. Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei \(t = 5\,\text{h}\) mit \(f(5) = 9\,\text{m}^3/\text{h}\). Das Volumen nimmt also bei \(t = 5\,\text{h}\) am schnellsten zu. - Die Abnahme ist am schnellsten, wenn die Änderungsrate minimal ist. An den Rändern des Intervalls bei \(t = 0\,\text{h}\) und \(t = 10\,\text{h}\) ist \(f(t) = -16\,\text{m}^3/\text{h}\) minimal. Das Volumen nimmt also bei \(t = 0\,\text{h}\) und \(t = 10\,\text{h}\) am schnellsten ab. - Maximales Wasservolumen im Zeitraum \([2; 8]\): Da \(f(t) > 0\) für alle \(t \in (2; 8)\), fließt in diesem gesamten Zeitraum Wasser in das Becken. Das Wasservolumen steigt also kontinuierlich an und erreicht sein Maximum am Ende des Zuflusszeitraums, also bei \(t = 8\,\text{h}\). 3. Berechnung des Integrals: Ausmultiplizieren der Funktion ergibt \(f(t) = -t^2 + 10t - 16\). Eine Stammfunktion ist \(F(t) = -\frac{1}{3}t^3 + 5t^2 - 16t\). Das bestimmte Integral berechnet sich über: \(\int_2^8 f(t) \,\text{d}t = F(8) - F(2) = \left(-\frac{512}{3} + 320 - 128\right) - \left(-\frac{8}{3} + 20 - 32\right) = \frac{64}{3} - \left(-\frac{44}{3}\right) = \frac{108}{3} = 36\). Bedeutung im Sachzusammenhang: Das Integral gibt die Gesamtänderung des Wasservolumens im Zeitraum von \(t = 2\,\text{h}\) bis \(t = 8\,\text{h}\) an. In diesem Zeitraum fließen insgesamt \(36\,\text{m}^3\) Wasser in das Becken.

a) Ein Kästchen im Koordinatensystem entspricht einem Wasservolumen von \(2\,\text{m}^3\). b) Das Wasservolumen nimmt bei \(t = 5\,\text{h}\) am schnellsten zu und bei \(t = 0\,\text{h}\) sowie \(t = 10\,\text{h}\) am schnellsten ab. Im Zeitraum \([2; 8]\) ist das Wasservolumen bei \(t = 8\,\text{h}\) maximal, da in diesem gesamten Intervall ein Nettozufluss stattfindet. c) \(\int_2^8 f(t) \,\text{d}t = 36\). Dies bedeutet, dass im Zeitraum von \(t = 2\,\text{h}\) bis \(t = 8\,\text{h}\) insgesamt \(36\,\text{m}^3\) Wasser zusätzlich in das Becken geflossen sind.

- Überlege dir zuerst, was die mathematische Operation des Integrierens anschaulich für eine Änderungsrate bedeutet. - Welche physikalische oder praktische Größe erhältst du, wenn du eine Rate (z. B. Personen pro Stunde) über einen Zeitraum integrierst? - Erinnere dich an den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung, um das bestimmte Integral einer Funktion rechnerisch zu bestimmen. - Wie hängen die Eintreffrate der Besucher und die maximale Bearbeitungskapazität zusammen, wenn es um die Entstehung einer Warteschlange geht? - Wann beginnt eine Warteschlange zu schrumpfen? Vergleiche dazu die beiden Linien im Graphen.

1. \(I_0(x)=\int_0^x f(t)\,\mathrm{d}t\) gibt die Gesamtzahl der Besucher an, die von der Öffnung bis zum Zeitpunkt \(x\) eingetroffen sind. 2. \(I_0(2)=\int_0^2(-30t^2+240t)\,\mathrm{d}t=\left[-10t^3+120t^2\right]_0^2=400\). In den ersten zwei Stunden treffen \(400\) Besucher ein. 3. Aus \(-10x^3+120x^2=2160\) folgt im Intervall \([0; 8]\) die Lösung \(x=6\). 4. Die Gleichung \(-30t^2+240t=360\) führt auf \((t-2)(t-6)=0\). Zwischen \(2\) und \(6\) Stunden ist die Eintreffrate größer als die Kapazität; ab \(t=6\) kann die Warteschlange wieder abgebaut werden.

a) \(I_0(x)\) beschreibt die Gesamtzahl der Besucher, die von der Öffnung bis zum Zeitpunkt \(x\) (in Stunden) am Einlass eingetroffen sind. b) In den ersten zwei Stunden treffen \(400\) Besucher ein. c) Nach \(6\) Stunden sind insgesamt \(2160\) Besucher eingetroffen. d) Ab dem Zeitpunkt \(t = 6\) Stunden kann die Warteschlange wieder abgebaut werden.

- Überlege dir zuerst, was positive und negative Werte der Funktion \(f(t)\) für die Wassermenge im Teich bedeuten. - Wie hängen der Bestand (die Wassermenge) und die Änderungsrate \(f(t)\) zusammen? Wann erreicht ein Bestand seinen maximalen Wert? - Bestimme für Aufgabenteil c) eine Stammfunktion \(F(t)\) von \(f(t)\) und wende den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung an. - Betrachte für Aufgabenteil d) den Verlauf des Graphen vor und nach dem Zeitpunkt \(t = 4\,\text{Minuten}\). Welche Symmetrie fällt dir auf?

1. \(f(2)=6\) bedeutet: Nach \(2\) Minuten beträgt die momentane Zuflussrate \(6\,\text{L/min}\). 2. Das Volumen ist bei \(t=4\) Minuten am größten, weil \(f\) davor positiv und danach negativ ist. 3. Es gilt \(\int_0^4 (0{,}25t^3-3t^2+8t)\,\text{d}t=\left[0{,}0625t^4-t^3+4t^2\right]_0^4=16\). In den ersten vier Minuten fließen netto \(16\,\text{L}\) zu. 4. Der Graph ist punktsymmetrisch zu \((4 \mid 0)\). Daher heben sich die orientierten Flächen auf \([0; 4]\) und \([4; 8]\) auf; die Nettoänderung beträgt \(0\,\text{L}\).

a) Nach \(2\) Minuten fließen momentan \(6\,\text{Liter pro Minute}\) Wasser in den Teich. b) Nach \(4\) Minuten, da bis dahin Wasser zufließt (\(f(t) > 0\)) und danach Wasser abfließt (\(f(t) < 0\)). c) \(\int_0^4 f(t)\,\text{d}t = 16\). In den ersten \(4\) Minuten fließen insgesamt \(16\,\text{Liter}\) Wasser in den Teich. d) Die Netto-Änderung beträgt \(0\,\text{Liter}\), da die zugeflossene Wassermenge in den ersten \(4\) Minuten aufgrund der Punktsymmetrie zum Punkt \((4 \mid 0)\) exakt der abgeflossenen Wassermenge in den letzten \(4\) Minuten entspricht.

- Überlege dir zuerst, was ein positives oder negatives Vorzeichen der Änderungsrate für die Zu- und Abnahme des Wasservolumens bedeutet. - Wann wechselt das Volumen von einer Zunahme zu einer Abnahme? - Erinnere dich an den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, um das bestimmte Integral zu berechnen. Welche Stammfunktion hat die Kosinusfunktion? - Wie hängt das Wasservolumen zu einem beliebigen Zeitpunkt mit dem Anfangsvolumen und der akkumulierten Änderung (dem Integral) zusammen?

1. Bestimmung des Zeitpunkts des maximalen Wasservolumens: Die Änderungsrate \(f(t)\) ist im Intervall \([0; 2]\) positiv (Zufluss) und im Intervall \([2; 6]\) negativ (Abfluss). Bei \(t = 2\) liegt somit ein lokales Maximum des Wasservolumens vor. Da der Verlust im Intervall \([2; 6]\) größer ist als der Zufluss im Intervall \([6; 8]\) (die Flächenbilanz zeigt, dass der Verlust größer ist als der anschließende Gewinn), ist das Volumen bei \(t = 2\) auch das globale Maximum im Intervall \([0; 8]\). Das Wasservolumen ist nach genau \(2\) Stunden am größten. 2. Berechnung des bestimmten Integrals: Mit der Stammfunktion \(F(t) = 3 \sin\left(\frac{\pi}{4} t\right)\) ergibt sich \(\int_{2}^{6} f(t)\,\text{d}t = \left[ 3 \sin\left(\frac{\pi}{4} t\right) \right]_{2}^{6} = 3 \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) - 3 \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -3 - 3 = -6\). Dies bedeutet, dass im Zeitraum von \(t = 2\) bis \(t = 6\) Stunden netto \(6\,\text{m}^3\) Wasser aus dem Speicher abgeflossen sind. 3. Berechnung des Wasservolumens nach \(6\) Stunden: \(V(6) = V(0) + \int_{0}^{6} f(t)\,\text{d}t = 15 + \left[ 3 \sin\left(\frac{\pi}{4} t\right) \right]_{0}^{6} = 15 + 3 \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) - 3 \sin(0) = 15 - 3 = 12\,\text{m}^3\).

a) Das Wasservolumen ist nach genau \(2\) Stunden am größten. b) \(\int_{2}^{6} f(t)\,\text{d}t = -6\). Dies bedeutet, dass im Zeitraum von \(t = 2\) bis \(t = 6\) Stunden netto \(6\,\text{m}^3\) Wasser aus dem Speicher abgeflossen sind. c) Nach \(6\) Stunden befinden sich \(12\,\text{m}^3\) Wasser im Speicher.

- Was stellt die y-Achse genau dar? Handelt es sich um eine Menge oder um eine Änderungsrate? - Was bedeutet es für die Gesamtmenge im Becken, wenn die Zuflussrate positiv ist, aber kleiner wird? - Wie lässt sich die Gesamtänderung einer Größe grafisch bestimmen, wenn die Änderungsrate gegeben ist? - Gibt es eine einfache geometrische Formel für die Fläche unter einer Parabel oder kannst du die Kästchen unter der Kurve zählen?

1. **Lukas' Aussage ist falsch**: Die Kurven zeigen die Zuflussrate \(f(t)\). Da diese für alle drei Zuleitungen im gesamten Intervall \([0; 60]\) positiv ist (\(f(t) \ge 0\)), fließt kontinuierlich Wasser in das Becken. Ein Sinken der Kurve bedeutet nur, dass der Zufluss langsamer erfolgt, die Wassermenge im Becken steigt jedoch weiter an. 2. **Mias Aussage ist richtig**: Die gesamte Wassermenge entspricht dem bestimmten Integral der Zuflussrate über das Intervall \([0; 60]\), also der Fläche unter der jeweiligen Kurve. Diese Fläche ist unter Kurve \(B\) sichtlich am größten. 3. **Jonas' Aussage ist falsch**: Die Gesamtwassermenge entspricht der Fläche unter den Kurven. Für Zufluss \(A\) beträgt diese Fläche ungefähr \(100\,\text{m}^3\) (genauer \(\frac{896}{9}\,\text{m}^3 \approx 99{,}6\,\text{m}^3\)), während sie für Zufluss \(C\) nur ungefähr \(85\,\text{m}^3\) (genauer \(\frac{256}{3}\,\text{m}^3 \approx 85{,}3\,\text{m}^3\)) beträgt. Somit liefert Zufluss \(A\) mehr Wasser als Zufluss \(C\). 4. **Emmas Aussage ist richtig**: Die Gesamtmenge für Zufluss \(B\) berechnet sich durch das Integral \(\int_0^{60} 0{,}005 \cdot t \cdot (60 - t)\,\text{d}t = \left[0{,}005 \cdot \left(30t^2 - \frac{1}{3}t^3\right)\right]_0^{60} = 180\,\text{m}^3\). Alternativ lässt sich dies durch die Flächenformel einer Parabel (\(\frac{2}{3} \cdot \text{Breite} \cdot \text{Höhe} = \frac{2}{3} \cdot 60 \cdot 4{,}5 = 180\)) oder durch das Abzählen der Kästchen im Gitter bestätigen (1 Kästchen entspricht \(10\,\text{min} \cdot 1\,\text{m}^3/\text{min} = 10\,\text{m}^3\); unter \(B\) liegen ca. 18 Kästchen, was \(180\,\text{m}^3\) ergibt).

1. Lukas' Aussage ist **falsch**: Da die Zuflussrate stets positiv ist, nimmt die Wassermenge im Becken immer weiter zu. 2. Mias Aussage ist **richtig**: Die Fläche unter der Kurve \(B\) ist am größten, somit liefert Zufluss \(B\) die größte Wassermenge. 3. Jonas' Aussage ist **falsch**: Trotz des steileren Verlaufs von \(C\) am Ende ist die Gesamtfläche unter der Kurve \(A\) größer als unter \(C\) (ca. \(100\,\text{m}^3\) zu ca. \(85\,\text{m}^3\)). 4. Emmas Aussage ist **richtig**: Das Integral von Zufluss \(B\) über den Zeitraum ergibt genau \(180\,\text{m}^3\), was auch über die Parabel-Flächenformel (\(\frac{2}{3} \cdot 60 \cdot 4{,}5 = 180\)) oder Kästchenzählen bestätigt werden kann.

- Das Vorzeichen von \(f'\) zeigt, wo \(f\) steigt oder fällt. - Die größte Steigung von \(f\) entspricht dem höchsten Wert des Ableitungsgraphen. - Für Teil 3 beschreibt die orientierte Fläche unter \(f'\) die Änderung von \(f\).

1. Für \(0<x<4\) gilt \(f'(x)>0\), danach \(f'(x)<0\). Daher steigt \(f\) bis \(x=4\) und fällt anschließend. Das absolute Maximum liegt bei \(x=4\). 2. Die größte Steigung von \(f\) ist der größte Wert von \(f'\). Der Graph hat bei \(x=2\) den Wert \(2\). Die größte Steigung ist also \(2\). 3. Es gilt \(f(4)-f(0)=\int_0^4 f'(x)\,\mathrm{d}x\). Die beiden Dreiecksflächen von \(0\) bis \(2\) und von \(2\) bis \(4\) haben jeweils den Inhalt \(2\), also beträgt die Änderung \(4\). 4. Mit \(f(0)=2\) folgt \(f(4)=6\).

1. \(x=4\) 2. Bei \(x=2\); größte Steigung \(2\) 3. \(f(4)=6\)

- Die orientierte Fläche unter dem Ableitungsgraphen beschreibt die Änderung der ursprünglichen Funktion. - Welche geometrische Form liegt zwischen \(x=0\) und \(x=2\) vor? - Addiere die gefundene Änderung zum gegebenen Startwert.

1. Die Änderung von \(f\) im Intervall \([0;2]\) entspricht \(\int_0^2 f'(x)\,\mathrm{d}x\). 2. Zwischen \(x=0\) und \(x=2\) entsteht ein Trapez mit den parallelen Seitenlängen \(1\) und \(2\) und der Breite \(2\). Sein Flächeninhalt ist \(\frac{1+2}{2}\cdot2=3\). 3. Daher ist \(f(2)-f(0)=3\). Mit \(f(0)=1\) folgt \(f(2)=4\).

\(f(2)=4\)

- Eine Wendestelle von \(f\) lässt sich daran erkennen, dass \(f'\) von Steigen zu Fallen oder umgekehrt wechselt. - Für den Funktionswert in Teil b brauchst du die orientierte Fläche unter dem Ableitungsgraphen. - Nutze das Vorzeichen von \(f'\), um Steigen, Fallen und den Hochpunkt zu bestimmen.

1. Der Graph von \(f'\) steigt bis \(x=2\) und fällt danach. Daher wechselt \(f''\) dort von positiv zu negativ; \(f\) besitzt bei \(x=2\) eine Wendestelle. 2. Es gilt \(f(4)-f(0)=\int_0^4 f'(x)\,\mathrm{d}x\). Die Fläche unter \(f'\) von \(0\) bis \(4\) ist ein Dreieck mit Grundseite \(4\) und Höhe \(2\), also \(4\). Mit \(f(0)=0\) folgt \(f(4)=4\). 3. Von \(x=0\) bis \(x=4\) ist \(f'>0\), daher steigt \(f\). Bei \(x=4\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ, also liegt dort ein Hochpunkt bei \((4\mid4)\). 4. Bis \(x=2\) nimmt die Steigung zu, danach nimmt sie ab. Daher ist der Graph zunächst linksgekrümmt und ab \(x=2\) rechtsgekrümmt.

a) Wendestelle bei \(x=2\). b) \(f(4)=4\) c) \(f\) steigt von \((0\mid0)\) bis zum Hochpunkt \((4\mid4)\), besitzt bei \(x=2\) eine Wendestelle und fällt nach \(x=4\).

- Für Extremstellen und Monotonie von \(F\) ist das Vorzeichen von \(f\) entscheidend. - Der gegebene Wert \(F(-2)=0\) ist der Ausgangswert für Teil c. - Schätze die orientierte Fläche zwischen \(x=-2\) und \(x=2\) anhand des Rasters und beachte die geforderte Genauigkeit.

1. Wegen \(F'=f\) liegen Extremstellen von \(F\) an Nullstellen von \(f\) mit Vorzeichenwechsel. Bei \(x=-2\) wechselt \(f\) von negativ zu positiv, also liegt dort ein Tiefpunkt. Bei \(x=2\) wechselt \(f\) von positiv zu negativ, also liegt dort ein Hochpunkt. 2. Für \(-2<x<2\) ist \(f>0\). Daher ist \(F\) auf \([-2;2]\) streng steigend. 3. Es gilt \(F(2)-F(-2)=\int_{-2}^{2}f(x)\,\mathrm{d}x\). Da \(F(-2)=0\), entspricht \(F(2)\) der positiven Flächenbilanz. Aus dem feineren Raster ergibt sich ein Wert zwischen \(2{,}5\) und \(3\); auf halbe Einheiten gerundet ist das \(2{,}5\).

a) Tiefpunkt bei \(x=-2\), Hochpunkt bei \(x=2\). b) Streng steigend auf \([-2;2]\). c) \(F(2)\approx2{,}5\) (auf halbe Einheiten gerundet).

- Achte auf die Skalierung der Achsen, um die Werte genau abzulesen. - Überlege dir, welche Einheit das Produkt aus der Einheit der \(x\)-Achse (Zeit) und der Einheit der \(y\)-Achse (Rate) ergibt. - Die Stammfunktion einer Sinusfunktion vom Typ \(\sin(kt)\) ist \(-\frac{1}{k}\cos(kt)\). - Setze die Integrationsgrenzen sorgfältig in die Stammfunktion ein.

1. Ablesen der Werte: Aus dem Graphen liest man ab: \(r(0) = 15\,\text{L/min}\), \(r(3) = 25\,\text{L/min}\) und \(r(6) = 15\,\text{L/min}\). 2. Interpretation der Fläche: Das Integral der Zuflussrate über die Zeit gibt die Gesamtänderung des Bestands an. In diesem Kontext entspricht die Fläche unter dem Graphen dem gesamten Wasservolumen in Litern, das im Zeitraum von \(t=0\) bis \(t=6\) in den Behälter geflossen ist. 3. Berechnung des Volumens: \(V = \int_{0}^{6} \left(10\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right) + 15\right)\,\text{d}t = \left[-10 \cdot \frac{6}{\pi}\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right) + 15t\right]_0^6\). 4. Einsetzen der Grenzen: \(V = \left(-\frac{60}{\pi}\cos(\pi) + 15 \cdot 6\right) - \left(-\frac{60}{\pi}\cos(0) + 0\right) = \left(\frac{60}{\pi} + 90\right) - \left(-\frac{60}{\pi}\right) = 90 + \frac{120}{\pi} \approx 128{,}20\,\text{L}\).

a) Die Zuflussraten sind \(r(0) = 15\,\text{L/min}\), \(r(3) = 25\,\text{L/min}\) und \(r(6) = 15\,\text{L/min}\). b) Die Fläche unter dem Graphen entspricht dem Wasservolumen, das in den 6 Minuten insgesamt zugeflossen ist. c) Es sind insgesamt etwa \(128{,}20\,\text{L}\) Wasser in den Behälter geflossen.

- Überlege dir, welche physikalische Größe durch die Fläche unter einem Zeit-Geschwindigkeits-Graphen (oder hier Zeit-Zuflussrate-Graphen) dargestellt wird. - Was bedeutet es für den Wasserstand, wenn die Zuflussrate negativ ist? - Du kannst die Flächenstücke unter dem Graphen einfach als geometrische Formen (Dreiecke, Rechtecke, Trapeze) berechnen. - Unterscheide zwischen der Änderung einer Größe (dem Integral) und dem absoluten Wert dieser Größe zu einem bestimmten Zeitpunkt.

1. Berechnung des Integrals über \([0; 6]\) (Fläche oberhalb der Achse): Die Fläche besteht aus einem Trapez mit den parallelen Seiten \(6\) und \(2\) (von \(t=2\) bis \(t=4\)) und der Höhe \(4\). Fläche \(A_1 = \frac{6+2}{2} \cdot 4 = 16\,\text{L}\). Aussage a) ist falsch (\(16\) statt \(12\)). 2. Analyse des Bereichs \([6; 10]\): Da \(v(t) < 0\) ist, fließt Wasser ab, der Wasserstand sinkt. Aussage b) ist wahr. 3. Gesamtbilanz nach 10 Minuten: Das abgeflossene Volumen entspricht der Dreiecksfläche unter der Achse von \(t=6\) bis \(t=10\). \(A_2 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4\,\text{L}\). Die Netto-Änderung ist \(16 - 4 = 12\,\text{L}\). Da die Bilanz positiv ist, ist der Wasserstand höher als zu Beginn. Aussage c) ist wahr. 4. Interpretation des Integrals: Das Integral \(\int_{0}^{10} v(t) \,\mathrm{d}t = 12\,\text{L}\) gibt nur die Bestandsänderung an. Um das Gesamtvolumen zu kennen, müsste man den Anfangsbestand bei \(t=0\) addieren. Aussage d) ist falsch.

a) falsch b) wahr c) wahr d) falsch

- Überlege dir, was ein Funktionswert von Null für die Bestandsgröße (das Wasservolumen) bedeutet. - Wie hängen die Flächen zwischen dem Graphen und der Zeitachse mit der Zu- und Abnahme des Bestands zusammen? - Erinnere dich daran, wie man Flächeninhalte von Trapezen oder Dreiecken berechnet, um das Integral stückweise zu bestimmen. - Achte auf das Vorzeichen der Flächen: Flächen unterhalb der Achse zählen negativ für die Bilanz.

1. Die Wassermenge ist konstant, wenn die Zuflussrate \(q(t) = 0\) ist. Dies ist im Zeitraum \([4; 6]\) der Fall. 2. Da für \(t < 4\) die Zuflussrate positiv ist (Wasser kommt hinzu) und ab \(t = 6\) negativ ist (Wasser fließt ab), ist die Wassermenge im Zeitraum \([4; 6]\) maximal. 3. Die Volumenänderung entspricht dem bestimmten Integral der Zuflussrate. Fläche oberhalb der \(t\)-Achse (\(0\) bis \(4\,\text{min}\)): \(2 \cdot 2 + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 6\,\text{L}\). Fläche unterhalb der \(t\)-Achse (\(6\) bis \(12\,\text{min}\)): \(\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (-2) + 2 \cdot (-2) + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (-2) = -2 - 4 - 2 = -8\,\text{L}\). Gesamtänderung: \(6\,\text{L} - 8\,\text{L} = -2\,\text{L}\). 4. Da die Bilanz negativ ist, befindet sich am Ende weniger Wasser im Tank als zu Beginn.

a) Die Wassermenge ist im Zeitraum von \(4\) bis \(6\,\text{min}\) konstant. Sie ist im gesamten Zeitraum \([4; 6]\) maximal. b) Die Volumenänderung beträgt \(-2\,\text{L}\). Es befindet sich am Ende weniger Wasser im Tank als zu Beginn.

- Überlege dir, welche Einheiten auf den Achsen stehen und was passiert, wenn man sie multipliziert. - Wie hängen die Flächen oberhalb und unterhalb der Zeitachse mit der Zu- und Abnahme des Bestands zusammen? - Denke an den Zusammenhang zwischen der Änderungsrate und dem Bestand: Wann hört ein Bestand auf zu wachsen und beginnt zu sinken? - Du kannst die Flächen unter dem Graphen in einfache geometrische Formen wie Dreiecke und Rechtecke zerlegen.

1. Ein Gitterkästchen hat eine Breite von \(1\,\text{h}\) und eine Höhe von \(1\,\text{m}^3/\text{h}\). Sein Flächeninhalt entspricht daher einer Volumenänderung von \(1\,\text{h} \cdot 1\,\text{m}^3/\text{h} = 1\,\text{m}^3\). 2. Die gesamte Volumenänderung entspricht der Flächenbilanz unter dem Graphen: - Der positive Flächeninhalt (Trapez zwischen \(t = 0{,}5\) und \(t = 5{,}5\)) wird berechnet als \(A_{\text{pos}} = \frac{1}{2} \cdot (a + c) \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (5 + 2) \cdot 3 = 10{,}5\,\text{m}^3\). - Die negativen Flächeninhalte (zwei Dreiecke) betragen zusammen \(A_{\text{neg}} = \frac{1}{2} \cdot 0{,}5 \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 0{,}5 \cdot 1 = 0{,}5\,\text{m}^3\). - Die Bilanz ergibt \(10{,}5\,\text{m}^3 - 0{,}5\,\text{m}^3 = 10\,\text{m}^3\). 3. Die Wassermenge nimmt zu, solange die Änderungsrate positiv ist (\(f(t) > 0\)), also im Intervall \([0{,}5; 5{,}5]\). Vorher nimmt sie ab, danach nimmt sie wieder ab. Das Maximum der Wassermenge wird daher zum Zeitpunkt \(t = 5{,}5\,\text{h}\) erreicht, wenn der Zufluss endet.

a) Ein Gitterkästchen entspricht einer Volumenänderung von \(1\,\text{m}^3\). b) Die gesamte Volumenänderung beträgt \(10\,\text{m}^3\). c) Die Wassermenge ist zum Zeitpunkt \(t = 5{,}5\,\text{h}\) am größten.

- Überlege dir, was die Fläche unter einem Graphen einer Änderungsrate bedeutet. - Kannst du die gesuchten Wassermengen als einfache geometrische Teilflächen (Dreiecke oder Trapeze) im Koordinatensystem sehen? - Für Teilaufgabe c) kannst du die Fläche in ein bekanntes Rechteck und ein Restdreieck zerlegen oder eine Gleichung aufstellen. - Beachte bei der Leerung in d), dass dieser Prozess erst startet, wenn der Zufluss beendet ist.

1. Das Integral \(\int_{0}^{20} r(t) \,\text{d}t\) stellt das gesamte Wasservolumen dar, das im Zeitraum von \(t = 0\) bis \(t = 20\) Minuten in das Becken geflossen ist. 2. Berechnung des Gesamtzustroms über die Dreiecksfläche: \(V_{ges} = \frac{1}{2} \cdot 20\,\text{min} \cdot 40\,\frac{\text{m}^3}{\text{min}} = 400\,\text{m}^3\). 3. Wassermenge nach 8 Minuten (Fläche des linken Teildreiecks): \(V(8) = \frac{1}{2} \cdot 8\,\text{min} \cdot 40\,\frac{\text{m}^3}{\text{min}} = 160\,\text{m}^3\). 4. Bestimmung des Zeitpunkts für \(340\,\text{m}^3\): Da \(340 > 160\), liegt der Zeitpunkt im Intervall \([8; 20]\). Die Rate ist hier \(r(t) = 40 - \frac{10}{3}(t - 8)\). Wir suchen \(t\) mit \(160 + \int_{8}^{t} (40 - \frac{10}{3}(s - 8)) \,\text{d}s = 340\), also \(\int_{8}^{t} (40 - \frac{10}{3}(s - 8)) \,\text{d}s = 180\). Mit \(u = t - 8\) folgt \(40u - \frac{5}{3}u^2 = 180\), woraus sich \(u = 6\) ergibt. Somit ist \(t = 8 + 6 = 14\,\text{min}\). 5. Leerungsvorgang: Das Becken enthält nach 20 Minuten \(400\,\text{m}^3\). Bei einer Abpumprate von \(20\,\frac{\text{m}^3}{\text{min}}\) dauert die Leerung \(\frac{400\,\text{m}^3}{20\,\text{m}^3/\text{min}} = 20\,\text{min}\). Das Becken ist also nach insgesamt \(20 + 20 = 40\,\text{min}\) leer.

a) Das Integral gibt das Gesamtvolumen des zugeflossenen Wassers an; der Wert beträgt \(400\,\text{m}^3\). b) Es sind \(160\,\text{m}^3\) zugeflossen. c) Nach \(14\,\text{min}\) sind \(340\,\text{m}^3\) erreicht. d) Das Becken ist nach \(40\,\text{min}\) wieder leer.

- Überlege dir, was ein positiver oder negativer Wert der Änderungsrate für den tatsächlichen Bestand bedeutet. - Wann hört eine Größe auf zu sinken und fängt an zu steigen? Schau dir den Nulldurchgang des Graphen an. - Die Fläche zwischen dem Graphen und der Zeitachse entspricht der Netto-Änderung des Bestands. - Achte darauf, Flächen unterhalb der Zeitachse als Abnahme (negativ) zu werten.

1. In den ersten zwei Stunden ist die Änderungsrate negativ; der Bestand sinkt. Bei \(t=2\) wechselt die Rate von negativ zu positiv, sodass dort zunächst ein Tiefpunkt des Bestands liegt. Aus dem Graphen ist außerdem erkennbar, dass die positive Flächenbilanz von \(t=2\) bis \(t=8\) größer ist als die anschließende negative Fläche von \(t=8\) bis \(t=10\). Der Bestand fällt daher bis zum Ende nicht mehr auf den Wert bei \(t=2\) zurück. Somit liegt das globale Minimum bei \(t=2\). 2. Für die Schätzung bis \(t=8\) kann die Fläche mit Trapezen der Breite \(1\,\text{h}\) angenähert werden. Aus den am Graphen abgelesenen ganzzahligen Stützstellen ergibt sich eine Nettoänderung von ungefähr \(5\,\text{L}\). 3. Somit befinden sich nach acht Stunden ungefähr \(100\,\text{L}+5\,\text{L}=105\,\text{L}\) im Behälter.

a) Die Wassermenge ist nach \(2\) Stunden am geringsten. b) Nach \(8\) Stunden befinden sich näherungsweise \(105\,\text{L}\) Wasser im Behälter.

- Überlege dir, wie sich der Bestand (das Volumen) ändert, wenn die Änderungsrate positiv oder negativ ist. - Ein lokales Extremum des Bestands liegt oft dort vor, wo die Änderungsrate einen Vorzeichenwechsel hat. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Integral einer Änderungsrate und der Gesamtänderung einer Größe. - Schau dir die Flächeninhalte zwischen dem Graphen und der Zeitachse genau an. Was fällt dir bezüglich ihrer Größe auf?

1. Das Wasservolumen nimmt zu, solange die Zuflussrate \(f(t)\) positiv ist. Laut Graph ist dies im Intervall \([0; 4]\) der Fall. Ab \(t = 4\) ist die Rate negativ, das Wasser fließt also ab und das Volumen sinkt wieder. Daher ist das Volumen zum Zeitpunkt \(t = 4\,\text{h}\) am größten. 2. Die gesamte Netto-Volumenänderung entspricht dem bestimmten Integral der Rate über das Intervall \([0; 8]\): \(\Delta V = \int_0^8 0{,}1(t^3 - 12t^2 + 32t) \,\text{d}t = 0{,}1\left[\frac{1}{4}t^4 - 4t^3 + 16t^2\right]_0^8\) Einsetzen der Grenzen: \(0{,}1 \cdot \left(\left(\frac{1}{4} \cdot 8^4 - 4 \cdot 8^3 + 16 \cdot 8^2\right) - 0\right) = 0{,}1 \cdot (1024 - 2048 + 1024) = 0\,\text{m}^3\). Die Netto-Volumenänderung nach 8 Stunden beträgt somit \(0\,\text{m}^3\).

1. Das Volumen ist zum Zeitpunkt \(t = 4\,\text{h}\) am größten, da bis dahin ein Netto-Zufluss stattfindet und danach ein Abfluss beginnt. 2. Die gesamte Netto-Volumenänderung nach 8 Stunden beträgt \(0\,\text{m}^3\).

- Welche Bedeutung haben Flächen oberhalb und unterhalb der Zeitachse bei einem Geschwindigkeitsgraphen? - Unterscheide zwischen einer vorzeichenbehafteten Gesamtänderung und einer gesamten Weglänge. - Die beiden Teilflächen lassen sich aus der Abbildung als Dreiecke bestimmen.

1. Oberhalb der Zeitachse liegt ein Dreieck mit Grundseite \(2\,\text{s}\) und Höhe \(2\,\text{m}/\text{s}\). Sein Flächeninhalt ist \(2\,\text{m}\). 2. Unterhalb der Zeitachse liegt ein Dreieck mit Grundseite \(2\,\text{s}\) und Höhe \(1\,\text{m}/\text{s}\). Sein Flächeninhalt beträgt \(1\,\text{m}\), geht in die Ortsänderung aber mit negativem Vorzeichen ein. 3. Die Ortsänderung ist daher \(2\,\text{m}-1\,\text{m}=1\,\text{m}\). 4. Für die insgesamt zurückgelegte Strecke werden beide Flächeninhalte positiv addiert: \(2\,\text{m}+1\,\text{m}=3\,\text{m}\). 5. Der Unterschied entsteht, weil die Ortsänderung die Bewegungsrichtung über das Vorzeichen berücksichtigt, während die zurückgelegte Strecke die Weglängen beider Bewegungsrichtungen addiert.

a) Ortsänderung: \(1\,\text{m}\) b) Zurückgelegte Strecke: \(3\,\text{m}\) c) Negative Geschwindigkeiten vermindern die Ortsänderung, tragen zur zurückgelegten Strecke aber mit ihrem Betrag bei.

- Der Bestand wächst bei positiver Änderungsrate und fällt bei negativer Änderungsrate. - Suche zuerst die Stelle, an der die Änderungsrate ihr Vorzeichen wechselt. - Eine integrierte Rate in Prozentpunkten pro Stunde liefert eine Änderung in Prozentpunkten. - Addiere die jeweilige Gesamtänderung zum anfänglichen Ladezustand.

1. Der Ladezustand wächst, solange \(r(t)>0\), und fällt, sobald \(r(t)<0\). Aus \(6-2t=0\) folgt \(t=3\,\text{h}\). Dort liegt das Maximum. 2. Bis \(t=3\) beträgt die Änderung \(\int_0^3(6-2t)\,\mathrm{d}t=[6t-t^2]_0^3=9\) Prozentpunkte. 3. Der maximale Ladezustand ist daher \(40\,\%+9\) Prozentpunkte \(=49\,\%\). 4. Bis \(t=4\) beträgt die Gesamtänderung \(\int_0^4(6-2t)\,\mathrm{d}t=[6t-t^2]_0^4=8\) Prozentpunkte. 5. Nach \(4\,\text{h}\) beträgt der Ladezustand somit \(48\,\%\).

a) Nach \(3\,\text{h}\) b) \(49\,\%\) c) \(48\,\%\)

- Welche Größe erhältst du, wenn du eine Durchflussrate über ein Zeitintervall integrierst? - Wie unterscheidet sich die gesamte durchgeflossene Wassermenge von der mittleren Durchflussrate? - Welche Ableitung beschreibt, wie schnell die Durchflussrate selbst zu- oder abnimmt? - Für „am stärksten abnimmt“ suchst du den kleinsten Wert dieser Änderungsrate und musst die infrage kommenden Stellen vergleichen.

1. Eine Stammfunktion von \(g\) ist \(G(t)=(-500t^2-5000t-25\,000)e^{-0{,}2t}+200t\). Daher gilt \(\int_0^{12}g(t)\,\text{d}t=G(12)-G(0)=27\,400-157\,000e^{-12/5}\,\text{m}^3\approx13\,157{,}28\,\text{m}^3\). 2. Für die mittlere Durchflussrate gilt \(\bar g=\frac{1}{12}\int_6^{18}g(t)\,\text{d}t\). Damit ist \(\bar g=\frac{1}{12}(2400+73\,000e^{-6/5}-277\,000e^{-18/5})\,\text{m}^3/\text{h}\approx1401{,}54\,\text{m}^3/\text{h}\). 3. Die stärkste Abnahme der Durchflussrate entspricht dem Minimum von \(g'(t)\). Es ist \(g'(t)=(200t-20t^2)e^{-0{,}2t}\) und \(g''(t)=(4t^2-80t+200)e^{-0{,}2t}\). Aus \(g''(t)=0\) folgen \(t=10\pm5\sqrt2\). Da \(g''\) zwischen diesen beiden Stellen negativ und danach positiv ist, besitzt \(g'\) bei \(t=10+5\sqrt2\) sein Minimum. Also nimmt \(g\) dort am stärksten ab: \(t=10+5\sqrt2\,\text{h}\approx17{,}07\,\text{h}\).

a) \(27\,400-157\,000e^{-12/5}\,\text{m}^3\approx13\,157{,}28\,\text{m}^3\) b) \(\frac{1}{12}(2400+73\,000e^{-6/5}-277\,000e^{-18/5})\,\text{m}^3/\text{h}\approx1401{,}54\,\text{m}^3/\text{h}\) c) \(t=10+5\sqrt2\,\text{h}\approx17{,}07\,\text{h}\)

- Welche physikalische Größe entsteht, wenn du eine Zuflussrate in \(\text{m}^3/\text{h}\) über die Zeit integrierst? - Beim graphischen Schätzen kannst du zuerst bestimmen, welches Volumen ein Gitterquadrat repräsentiert. - Nutze für die exakte Berechnung unmittelbar das angegebene Stammfunktionsmuster mit dem verschobenen Argument \(t-6\). - Vergleiche anschließend nur die Größenordnung des exakten Werts mit deiner graphischen Näherung.

1. Das Integral \(\int_4^8 f(t)\,\text{d}t\) beschreibt das gesamte Wasservolumen, das zwischen der 4. und der 8. Stunde zufließt. Die Einheit ist \(\text{m}^3\). 2. Im Graphen entspricht ein Gitterquadrat \(1\,\text{h}\cdot10\,\text{m}^3/\text{h}=10\,\text{m}^3\). Durch Kästchenzählen oder eine geeignete Zerlegung erhält man einen sinnvollen Näherungswert von etwa \(240\,\text{m}^3\) bis \(255\,\text{m}^3\). 3. Mit dem angegebenen Stammfunktionsmuster für \(k=0{,}25\) und dem verschobenen Argument \(t-6\) ist \(F(t)=160\arctan(0{,}5(t-6))\) eine Stammfunktion von \(f\). 4. Damit gilt \(\int_4^8 f(t)\,\text{d}t=F(8)-F(4)=160\left(\arctan(1)-\arctan(-1)\right)=80\pi\,\text{m}^3\approx251{,}33\,\text{m}^3\). 5. Der exakte Wert liegt im sinnvollen Näherungsbereich aus Teilaufgabe b).

a) Das Integral beschreibt das Wasservolumen in \(\text{m}^3\), das zwischen der 4. und der 8. Stunde in das Becken fließt. b) Ein sinnvoller Näherungswert liegt je nach Methode etwa zwischen \(240\,\text{m}^3\) und \(255\,\text{m}^3\). c) Das genaue Volumen beträgt \(80\pi\,\text{m}^3\approx251{,}33\,\text{m}^3\) und stimmt gut mit dem Näherungsbereich aus b) überein.

- Welche Gesamtgröße erhältst du, wenn du eine Zuflussrate über einen Zeitraum integrierst? - Für Teil b genügt es, den höchsten Punkt des dargestellten Rate-Graphen zu lokalisieren. - Verwende für beide Zeiträume dieselbe Stammfunktion und vergleiche anschließend die beiden exakten Integralwerte.

1. Eine Stammfunktion von \(f(t)=2t e^{-0{,}1t}\) ist \(F(t)=-20(t+10)e^{-0{,}1t}\). 2. Für die ersten zehn Stunden gilt \(\int_0^{10}f(t)\,\text{d}t=200-400e^{-1}\). Damit sind \((200-400e^{-1})\cdot10^3\,\text{m}^3\) Wasser zugeflossen. 3. Aus dem Graphen ist das Maximum der Zuflussrate bei \(t=10\,\text{h}\) ablesbar. Rechnerisch bestätigt dies \(f'(t)=(2-0{,}2t)e^{-0{,}1t}\). 4. Bis \(t=20\) ist die zugeflossene Wassermenge \(\int_0^{20}f(t)\,\text{d}t=200-600e^{-2}\). Das entspricht \((200-600e^{-2})\cdot10^3\,\text{m}^3\). 5. Da \(200-600e^{-2}>2(200-400e^{-1})\), ist nach 20 Stunden insgesamt mehr als doppelt so viel Wasser zugeflossen wie nach zehn Stunden.

a) \((200-400e^{-1})\cdot10^3\,\text{m}^3\) b) \(t=10\,\text{h}\) c) \((200-600e^{-2})\cdot10^3\,\text{m}^3\); das ist mehr als das Doppelte des Werts aus Teil a.