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- Welche Koordinate ist bei allen Punkten der Ebene \(x_3=0\) gleich? - In welcher Koordinatenrichtung verläuft eine Senkrechte auf diese Koordinatenebene?

1. Die Ebene \(x_3=0\) ist die \(x_1x_2\)-Ebene. Der senkrechte Abstand wird deshalb allein durch die dritte Koordinate bestimmt. 2. Es gilt \(d(P,E) = |7| = 7\).

Der Abstand beträgt \(7\,\text{LE}\).

- Was bedeutet die gegebene Parallelität für den Abstand der Punkte auf \(g\) zur Ebene? - Welcher Punkt der Geraden ist ohne weitere Rechnung sofort verfügbar? - Welche Koordinate bestimmt den senkrechten Abstand zur Ebene \(x_3=1\)?

1. Weil \(g\) parallel zu \(E\) ist, haben alle Punkte von \(g\) denselben Abstand zur Ebene. Man kann den Stützpunkt \(A(2|1|5)\) verwenden. 2. Für die Ebene \(x_3=1\) ist der Abstand \(d(g,E) = |5-1| = 4\).

Der Abstand beträgt \(4\,\text{LE}\).

- Was kennzeichnet die kürzeste Verbindung zwischen einem Punkt und einer Ebene? - Wie wird eine Ebene in dem beschriebenen senkrechten Schnitt dargestellt? - Welche der beiden Strecken hat im Schnitt die passende Richtung zur Geraden \(e\)?

1. Der Abstand eines Punktes von einer Ebene ist die Länge der kürzesten Verbindung vom Punkt zur Ebene. 2. Diese kürzeste Verbindung steht senkrecht auf der Ebene und erscheint im senkrechten Schnitt senkrecht zur Geraden \(e\). 3. In der Abbildung steht \(\overline{PA}\) senkrecht auf \(e\). Daher stellt \(\overline{PA}\) den Abstand \(d(P,E)\) dar.

\(\overline{PA}\) stellt den Abstand \(d(P,E)\) dar, weil diese Strecke im senkrechten Schnitt senkrecht auf \(e\) steht.

- Welcher Vektor steht senkrecht auf der Ebene und kann als Richtungsvektor für die Lotgerade dienen? - Wie findet man den Punkt auf der Ebene, der einem gegebenen Punkt am nächsten liegt? - Welche Gleichung muss ein Punkt erfüllen, damit er in der Ebene liegt? - Wie berechnet man die Entfernung zwischen zwei Punkten im Raum?

1. Aufstellen der Lotgeraden \(g\) durch \(A\) mit dem Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) der Ebene \(E\): \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Bestimmung des Schnittparameters \(r\) durch Einsetzen der Geraden in die Ebenengleichung: \((7+r) + (5+r) = 4 \Rightarrow 12 + 2r = 4 \Rightarrow r = -4\). 3. Berechnung des Lotfußpunktes \(F\) durch Einsetzen von \(r = -4\) in die Geradengleichung: \(F(3|1|2)\). 4. Berechnung des Abstands \(d\) als Länge des Vektors \(\vec{AF}\) oder mittels der Abstandsformel: \(d = \sqrt{(3-7)^2 + (1-5)^2 + (2-2)^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \approx 5{,}66\).

a) \(F(3|1|2)\) b) \(d = 4\sqrt{2} \approx 5{,}66\)

- Welche Eigenschaft hat der Schnittpunkt der Diagonalen in einem Rechteck? - Wie hängen die Koordinaten eines Punktes mit seinem Abstand zu den Koordinatenebenen zusammen? - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Stab senkrecht auf der \(x_2x_3\)-Ebene steht?

1. Bestimmung des Diagonalenschnittpunkts \(M\): Da es sich um ein Rechteck handelt, liegt der Schnittpunkt der Diagonalen in der Mitte zwischen zwei gegenüberliegenden Eckpunkten. Es gilt \(M = \frac{1}{2} \cdot (\vec{A} + \vec{C}) = \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 10+2 \\ 2+8 \\ 3+9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}\). 2. Identifikation der Wand: Die Wand liegt in der \(x_2x_3\)-Ebene, welche durch die Koordinatengleichung \(x_1 = 0\) beschrieben wird. 3. Berechnung der Länge: Der Abstand eines Punktes zur \(x_2x_3\)-Ebene entspricht dem Betrag seiner \(x_1\)-Koordinate. Für den Punkt \(M(6|5|6)\) ergibt sich somit ein Abstand von \(d = |6| = 6\). Die Länge des Stabs beträgt \(6\) Längeneinheiten.

Die Länge des Stabs beträgt \(6\) Längeneinheiten.

- Was ist die geometrische Bedeutung des „kürzesten Abstands“ eines Punktes zu einer Ebene? - Kennst du eine Formel, mit der man den Abstand eines Punktes zu einer Ebene in Koordinatenform direkt berechnen kann? - Wie bestimmt man die Länge des Normalenvektors einer Ebene?

1. Aufstellen der Hesseschen Normalform (HNF) der Ebene \(E\): Der Normalenvektor ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}\). Die Länge des Normalenvektors berechnet sich zu \(|\vec{n}| = \sqrt{6^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7\). Die HNF lautet somit \(\frac{6x_1 + 3x_2 - 2x_3 - 14}{7} = 0\). 2. Berechnung des Abstands: Der Punkt \(S(7|9|10)\) wird in die Abstandsformel eingesetzt: \(d = \frac{|6 \cdot 7 + 3 \cdot 9 - 2 \cdot 10 - 14|}{7}\). 3. Ausrechnen des Zählers: \(|42 + 27 - 20 - 14| = |35| = 35\). 4. Endergebnis: \(d = \frac{35}{7} = 5\). Der kürzeste Abstand beträgt \(5\) Längeneinheiten.

Der kürzeste Abstand beträgt \(5\) Längeneinheiten.

- Welche Formel ermöglicht es dir, den Abstand eines Punktes direkt aus der Koordinatengleichung einer Ebene zu berechnen? - Was musst du mit dem Normalenvektor der Ebene tun, um die Hessesche Normalform zu erhalten? - Wie gehst du mit dem Vorzeichen um, wenn du einen Abstand berechnest? - Kannst du die beiden berechneten Werte durch Division vergleichen?

1. Bestimmung des Normalenvektors \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\) und dessen Betrag \(|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = 3\). 2. Aufstellen der Hesseschen Normalform (HNF) der Ebene \(E\): \(\frac{2x_1 + x_2 - 2x_3 - 12}{3} = 0\). 3. Berechnung des Abstands von \(P\): \(d(P, E) = \frac{|2\cdot 3 + 12 - 2\cdot 1 - 12|}{3} = \frac{4}{3}\). 4. Berechnung des Abstands von \(Q\): \(d(Q, E) = \frac{|2\cdot 1 + 2 - 2\cdot (-3) - 12|}{3} = \frac{|-2|}{3} = \frac{2}{3}\). 5. Bestimmung des Verhältnisses: \(d(P, E) {:} d(Q, E) = \frac{4}{3} {:} \frac{2}{3} = 2{:}1\).

a) \(d(P, E) = \frac{4}{3}\) und \(d(Q, E) = \frac{2}{3}\) b) Das Verhältnis beträgt \(2{:}1\).

- Wie ist die Normalenform einer Ebene aufgebaut und welche Informationen kannst du direkt ablesen? - Kennst du eine Formel, die den Normalenvektor und einen Vektor zwischen Punkt und Ebene nutzt? - Denk daran, den Normalenvektor zu normieren oder durch seinen Betrag zu teilen. - Was bedeutet das Skalarprodukt geometrisch im Kontext der Projektion eines Punktes auf die Normalenrichtung?

1. Identifikation des Normalenvektors \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -12 \\ 6 \end{pmatrix}\) und des Stützvektors \(\vec{p} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung der Länge des Normalenvektors: \(|\vec{n}| = \sqrt{4^2 + (-12)^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 144 + 36} = \sqrt{196} = 14\). 3. Berechnung des Differenzvektors zwischen dem Punkt \(A\) und dem Stützpunkt: \(\vec{v} = \vec{a} - \vec{p} = \begin{pmatrix} 5-1 \\ -1-1 \\ 4-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\). 4. Anwendung der Abstandsformel: \(d = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{v}|}{|\vec{n}|}\). 5. Berechnung des Skalarprodukts: \(\vec{n} \cdot \vec{v} = 4 \cdot 4 + (-12) \cdot (-2) + 6 \cdot 4 = 16 + 24 + 24 = 64\). 6. Damit beträgt der Abstand \(d = \frac{64}{14} = \frac{32}{7}\).

Der Abstand beträgt \(\frac{32}{7}\) (ca. \(4{,}57\)).

- Die Koeffizienten der Koordinatengleichung verraten dir direkt die Komponenten des Normalenvektors. - Um den Abstand zu berechnen, muss die Ebene oft in die Hessesche Normalform gebracht werden, wofür man durch die Länge des Normalenvektors dividiert. - Setze die Koordinaten der Punkte einfach in den Betragsterm der Abstandsformel ein. - Vergleiche am Ende die berechneten Werte, um die Frage nach der Nähe zu beantworten.

1. Bestimmung des Normalenvektors der Ebene: \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 7 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung der Länge des Normalenvektors: \(|\vec{n}| = \sqrt{4^2 + (-4)^2 + 7^2} = \sqrt{16 + 16 + 49} = \sqrt{81} = 9\). 3. Aufstellen der Hesseschen Normalform: \(\frac{4x_1 - 4x_2 + 7x_3 - 18}{9} = 0\). 4. Abstandsberechnung für den Ursprung \(O(0|0|0)\): \(d(O, E) = \frac{|4 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + 7 \cdot 0 - 18|}{9} = \frac{|-18|}{9} = 2\). 5. Abstandsberechnung für den Punkt \(M(2|1|6)\): \(d(M, E) = \frac{|4 \cdot 2 - 4 \cdot 1 + 7 \cdot 6 - 18|}{9} = \frac{|8 - 4 + 42 - 18|}{9} = \frac{28}{9} \approx 3{,}11\). 6. Vergleich der Ergebnisse: Da \(2 < \frac{28}{9}\), liegt der Ursprung näher an der Ebene.

Der Ursprung \(O\) hat den Abstand \(2\), der Punkt \(M\) den Abstand \(\frac{28}{9} \approx 3{,}11\). Somit liegt der Ursprung näher an der Ebene.

- Welche Formel hilft dir, den Abstand eines Punktes von einer Ebene direkt zu berechnen? - Kannst du den Normalenvektor der Ebene aus der Gleichung ablesen? - Wie berechnet man die Länge (den Betrag) eines Vektors? - Denk daran, den Betrag im Zähler zu verwenden, da ein Abstand niemals negativ sein kann.

1. Bestimmung des Normalenvektors der Ebene \(E\) aus der Koordinatenform: \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Betrags des Normalenvektors: \(|\vec{n}| = \sqrt{6^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 9 + 4} = 7\). 3. Aufstellen der Hesseschen Normalform (HNF) oder direktes Einsetzen in die Abstandsformel: \(d(P, E) = \frac{|6 \cdot 5 + 3 \cdot (-1) - 2 \cdot 4 - 12|}{7}\). 4. Auswerten des Zählers: \(|30 - 3 - 8 - 12| = |7| = 7\). 5. Berechnung des Endergebnisses: \(d = \frac{7}{7} = 1\).

Der Abstand beträgt \(1\,\text{LE}\) (Längeneinheit).

- Was bedeutet es geometrisch, wenn eine Kugel eine Ebene berührt? - Wie berechnet man den Abstand eines Punktes von einer Ebene in Koordinatenform? - Wie hängt der Radius einer berührenden Kugel mit dem Abstand ihres Mittelpunktes zur Ebene zusammen?

1. Der Normalenvektor der Ebene \(G\) ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 7 \end{pmatrix}\) mit dem Betrag \(|\vec{n}| = \sqrt{16 + 16 + 49} = \sqrt{81} = 9\). 2. Für den Abstand von \(P(1|-2|4)\) wird die Hessesche Normalform genutzt: \(d(P, G) = \frac{|4(1) - 4(-2) + 7(4) - 18|}{9} = \frac{|4 + 8 + 28 - 18|}{9} = \frac{22}{9}\). 3. Wenn eine Kugel eine Ebene berührt, entspricht ihr Radius genau dem Abstand des Mittelpunkts zur Ebene. Einsetzen von \(M(5|2|2)\) in die HNF liefert: \(r = d(M, G) = \frac{|4(5) - 4(2) + 7(2) - 18|}{9} = \frac{|20 - 8 + 14 - 18|}{9} = \frac{8}{9}\).

a) \(d(P, G) = \frac{22}{9} \approx 2{,}44\) b) \(r = \frac{8}{9} \approx 0{,}89\)

- Erinnere dich daran, dass die Lotgerade durch den Punkt \(B\) verläuft und orthogonal zur Ebene steht. - Wie hängen der ursprüngliche Punkt, der Lotfußpunkt und der gespiegelte Punkt auf der Lotgeraden zusammen? - Welchen Parameterwert der Lotgeraden erhältst du für den Lotfußpunkt und welchen folglich für den Bildpunkt? - Überlege dir eine Vektorkette, die vom Ursprung zum Bildpunkt führt.

1. Aufstellen der Lotgeraden \(h\) durch den Punkt \(B\) mit dem Normalenvektor der Ebene \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) als Richtungsvektor: \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Schnittpunkts von \(h\) und \(F\) durch Einsetzen der Koordinaten von \(h\) in die Ebenengleichung: \(2(-1+2r) - 2(4-2r) + (3+r) = 2 \Rightarrow -2 + 4r - 8 + 4r + 3 + r = 2 \Rightarrow 9r - 7 = 2 \Rightarrow r = 1\). 3. Bestimmung des Lotfußpunktes \(L\) durch Einsetzen von \(r = 1\) in \(h\): \(L(1|2|4)\). 4. Der gespiegelte Punkt \(B'\) liegt auf der Lotgeraden bei dem doppelten Parameterwert \(r = 2\) oder kann über den Vektor \(\vec{OB'} = \vec{OL} + \vec{BL}\) berechnet werden: \(\vec{OB'} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 - (-1) \\ 2 - 4 \\ 4 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}\), also \(B'(3|0|5)\).

a) \(L(1|2|4)\) b) \(B'(3|0|5)\)

- Überlege zuerst, wie du aus drei Punkten eine Ebenengleichung in Koordinatenform oder Normalenform erstellen kannst. - Ein Normalenvektor steht senkrecht auf beiden Spannvektoren der Ebene. - Erinnere dich an die Hessesche Normalform, um Abstände effizient zu berechnen. - Achte darauf, dass der Betrag im Zähler der Abstandsformel sicherstellt, dass der Abstand nicht negativ wird.

1. Aufstellen der Spannvektoren: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\) und \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Bestimmung des Normalenvektors über das Kreuzprodukt: \(\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{pmatrix} -20 \\ 0 \\ 15 \end{pmatrix}\). Zur Vereinfachung kann \(\vec{n} = \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\) verwendet werden. 3. Berechnung des Betrags des Normalenvektors: \(|\vec{n}| = \sqrt{(-4)^2 + 0^2 + 3^2} = 5\). 4. Aufstellen der Koordinatenform: \(-4x_1 + 3x_3 = d\). Einsetzen von \(A(1|2|1)\) ergibt \(-4(1) + 3(1) = -1\), also \(-4x_1 + 3x_3 + 1 = 0\). 5. Anwendung der Abstandsformel für \(P(10|4|3)\): \(d(P, E) = \frac{|-4 \cdot 10 + 3 \cdot 3 + 1|}{5} = \frac{|-30|}{5} = 6\). 6. Anwendung der Abstandsformel für \(Q(-5|2|-4)\): \(d(Q, E) = \frac{|-4 \cdot (-5) + 3 \cdot (-4) + 1|}{5} = \frac{|9|}{5} = 1{,}8\).

Der Abstand von \(P\) zur Ebene beträgt \(6\) Längeneinheiten, der Abstand von \(Q\) beträgt \(1{,}8\) Längeneinheiten.

- Wie hängen der Richtungsvektor einer Geraden und der Normalenvektor einer Ebene zusammen, wenn diese parallel sind? - Wenn eine Gerade parallel zu einer Ebene verläuft, ist der Abstand für alle Punkte der Geraden gleich. - Erinnere dich an die Formel für den Abstand eines Punktes von einer Ebene in Koordinatenform. - Wie prüft man, ob eine Gerade in einer Ebene liegt oder echt parallel zu ihr ist?

1. Bestimmung des Richtungsvektors der Geraden \(g\): \(\vec{u} = \vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = \begin{pmatrix} 2-1 \\ 2-5 \\ 2-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Prüfung der Parallelität über das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}\) der Ebene: \(\vec{n} \cdot \vec{u} = 6 \cdot 1 + 2 \cdot (-3) + (-3) \cdot 0 = 6 - 6 + 0 = 0\). Da das Skalarprodukt null ist, ist die Gerade parallel zur Ebene oder liegt in ihr. 3. Punktprobe mit \(A(1|5|2)\) in \(E\): \(6 \cdot 1 + 2 \cdot 5 - 3 \cdot 2 = 6 + 10 - 6 = 10 \neq 12\). Da die Ebenengleichung nicht erfüllt ist, ist die Gerade echt parallel zur Ebene. 4. Berechnung des Abstands mit der Abstandsformel (Hessesche Normalform): \(d(g, E) = \frac{|6 \cdot 1 + 2 \cdot 5 - 3 \cdot 2 - 12|}{\sqrt{6^2 + 2^2 + (-3)^2}} = \frac{|10 - 12|}{\sqrt{49}} = \frac{2}{7}\).

Die Gerade \(g\) ist echt parallel zur Ebene \(E\). Der Abstand beträgt \(d = \frac{2}{7} \approx 0{,}29\).

- Was muss für den Richtungsvektor der Geraden und den Normalenvektor der Ebene gelten, damit Parallelität vorliegt? - Welchen Punkt der Geraden kannst du am einfachsten für eine Abstandsberechnung nutzen? - Überprüfe zuerst, ob die Gerade eventuell direkt in der Ebene liegt. - Nutze die Hessesche Normalform für die Berechnung des Abstands.

1. Identifikation des Richtungsvektors \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\) der Geraden und des Normalenvektors \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\) der Ebene. 2. Nachweis der Parallelität: Das Skalarprodukt \(\vec{u} \cdot \vec{n} = 2 \cdot 1 + 2 \cdot (-2) + 1 \cdot 2 = 2 - 4 + 2 = 0\) zeigt, dass der Richtungsvektor orthogonal zum Normalenvektor steht, die Gerade also parallel zur Ebene verläuft. 3. Ausschluss der Identität: Einsetzen des Aufpunkts \(P(1|1|4)\) in die Ebenengleichung ergibt \(1 - 2 \cdot 1 + 2 \cdot 4 = 7 \neq 5\). Somit ist die Gerade echt parallel. 4. Abstandsbestimmung: Der Abstand der Geraden entspricht dem Abstand des Aufpunkts \(P\) zur Ebene \(F\). Anwendung der Abstandsformel: \(d(h, F) = \frac{|1 \cdot 1 - 2 \cdot 1 + 2 \cdot 4 - 5|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} = \frac{|7 - 5|}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3}\).

Der Nachweis erfolgt über das Skalarprodukt des Richtungsvektors der Geraden und des Normalenvektors der Ebene, welches \(0\) ergibt. Der Abstand beträgt \(d = \frac{2}{3} \approx 0{,}67\).

- Überlege dir, wie man den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene berechnet, wenn die Ebene in Koordinatenform vorliegt. - Setze die bekannten Werte in die Abstandsformel ein. - Denk daran, dass der Abstand durch einen Betrag definiert ist, was zu zwei möglichen Gleichungen führen kann. - Wie kannst du eine Gleichung der Form \(|f(x)| = c\) auflösen?

1. Aufstellen der Formel für den Abstand eines Punktes von einer Ebene in Koordinatenform: \(d(P, E) = \frac{|a p_1 + b p_2 + c p_3 + e|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\). 2. Einsetzen der Ebenenparameter \(a=6\), \(b=2\), \(c=-3\), \(e=-5\), der Punktkoordinaten \(P(k|1|-3)\) und des Abstands \(d(P,E)=4\): \(4 = \frac{|6k + 2 \cdot 1 - 3 \cdot (-3) - 5|}{\sqrt{6^2 + 2^2 + (-3)^2}}\). 3. Berechnen des Betrags des Normalenvektors: \(\sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7\). 4. Vereinfachen des Zählers: \(|6k + 2 + 9 - 5| = |6k + 6|\). 5. Lösen der Betragsgleichung \(\frac{|6k + 6|}{7} = 4 \iff |6k + 6| = 28\). 6. Fallunterscheidung für den Betrag: Fall 1: \(6k + 6 = 28 \implies 6k = 22 \implies k = \frac{11}{3}\). Fall 2: \(6k + 6 = -28 \implies 6k = -34 \implies k = -\frac{17}{3}\).

Die gesuchten Werte sind \(k_1 = \frac{11}{3}\) und \(k_2 = -\frac{17}{3}\).

- Zuerst musst du die Gleichung der Ebene bestimmen. Welche Form (Parameterform, Normalenform, Koordinatenform) eignet sich hier am besten? - Erinnere dich an die Hessesche Normalform, um Abstände zu berechnen. - Welche Rolle spielt der Normalenvektor bei der Berechnung der Länge im Nenner der Abstandsformel? - Beachte, dass es zwei Punkte geben kann, die den gleichen Abstand zu einer Ebene haben, aber auf verschiedenen Seiten liegen.

1. Aufstellen der Koordinatengleichung der Ebene \(E\) unter Verwendung des Normalenvektors \(\vec{n}\) und des Punktes \(A\): \(0 \cdot (x_1 - 1) + 12 \cdot (x_2 - 1) - 5 \cdot (x_3 - 1) = 0\), vereinfacht zu \(12x_2 - 5x_3 - 7 = 0\). 2. Bestimmung der Hesseschen Normalform der Ebene: \(\frac{12x_2 - 5x_3 - 7}{\sqrt{0^2 + 12^2 + (-5)^2}} = \frac{12x_2 - 5x_3 - 7}{13} = 0\). 3. Einsetzen des Punktes \(S(2|y|4)\) in die Abstandsformel: \(d(S, E) = \frac{|12y - 5 \cdot 4 - 7|}{13} = 3\). 4. Lösen der Gleichung: \(\frac{|12y - 27|}{13} = 3 \iff |12y - 27| = 39\). 5. Fallunterscheidung: Fall 1: \(12y - 27 = 39 \implies 12y = 66 \implies y = 5{,}5\). Fall 2: \(12y - 27 = -39 \implies 12y = -12 \implies y = -1\).

Die Koordinate \(y\) kann die Werte \(5{,}5\) oder \(-1\) annehmen.

- Wie hängen das Kreuzprodukt zweier Vektoren und der Flächeninhalt des von ihnen aufgespannten Dreiecks zusammen? - Welche Formel für das Volumen einer Pyramide kennst du, die nur die Koordinaten der Eckpunkte verwendet? - Wie lässt sich die Höhe einer Pyramide geometrisch als Abstand interpretieren? - Welche Darstellungsform einer Ebene eignet sich besonders gut, um den Abstand eines Punktes zu ihr zu berechnen?

1. Berechnung der Spannvektoren: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Kreuzprodukt: \(\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix}\). 3. Grundflächeninhalt: \(G = \frac{1}{2} \cdot |\vec{n}| = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{6^2 + 0^2 + 6^2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{72} = 3\sqrt{2} \approx 4{,}24\). 4. Volumenberechnung: Mit \(\vec{AS} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\) ist \(V = \frac{1}{6} \cdot |(\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{AS}| = \frac{1}{6} \cdot |6 \cdot 3 + 0 \cdot 0 + 6 \cdot 3| = \frac{36}{6} = 6\). 5. Höhe über Volumen: \(h = \frac{3V}{G} = \frac{18}{3\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} \approx 4{,}24\). 6. Höhe über Abstand Punkt-Ebene: Normalenform der Ebene \(E_{ABC}\) ist \(6x + 6z - 12 = 0\) bzw. \(x + z - 2 = 0\). Abstand von \(S(4|1|4)\) ist \(h = \frac{|4 + 4 - 2|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} \approx 4{,}24\).

a) Der Flächeninhalt der Grundfläche beträgt \(G = 3\sqrt{2} \approx 4{,}24\,\text{FE}\). b) Die Höhe der Pyramide beträgt \(h = 3\sqrt{2} \approx 4{,}24\,\text{LE}\).

- Wie kannst du aus drei Punkten im Raum eine Gleichung in Koordinatenform erstellen? - Erinnere dich an das Kreuzprodukt, um einen Vektor zu finden, der senkrecht auf einer Fläche steht. - Welche Formel hilft dir, den kürzesten Weg von einem Punkt zu einer Ebene zu berechnen? - Was stellt die kürzeste Verbindung zwischen der Spitze einer Pyramide und ihrer Grundfläche dar?

1. Aufstellen der Ebene \(E\) durch \(P, Q, R\): Spannvektoren \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{PR} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix}\). 2. Normalenvektor über das Kreuzprodukt: \(\vec{n} = \vec{PQ} \times \vec{PR} = \begin{pmatrix} 24 \\ 12 \\ 8 \end{pmatrix}\). Kürzen durch 4 ergibt den Normalenvektor \(\vec{n}_0 = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}\). 3. Koordinatengleichung: \(6x + 3y + 2z = d\). Einsetzen von \(P(2|0|0)\) liefert \(d = 12\). Also \(E: 6x + 3y + 2z - 12 = 0\). 4. Abstandsberechnung mit der HNF: \(d(S, E) = \frac{|6 \cdot 5 + 3 \cdot 5 + 2 \cdot 5 - 12|}{\sqrt{6^2 + 3^2 + 2^2}} = \frac{|30 + 15 + 10 - 12|}{\sqrt{49}} = \frac{43}{7} \approx 6{,}14\). 5. Geometrische Interpretation: Der berechnete Abstand entspricht der Länge der Höhe des Tetraeders bezüglich der Grundfläche \(PQR\).

a) Eine Koordinatengleichung der Ebene ist \(E: 6x + 3y + 2z = 12\). b) Der Abstand beträgt \(\frac{43}{7} \approx 6{,}14\,\text{LE}\). Dieser Wert entspricht der Höhe der Pyramide.

- Überlege dir, welche Form die Koordinaten eines Punktes auf der Symmetrieachse haben müssen. - Wie kannst du den Abstand eines Punktes zu einer schrägen Ebene mathematisch beschreiben? - Nutze die Symmetrie der Pyramide: Wenn der Punkt auf der Mittelachse liegt, hat er zu allen vier Seitenflächen denselben Abstand. Es reicht also, eine Fläche zu betrachten. - Achte beim Auflösen der Betragsgleichung darauf, dass der Punkt innerhalb der Pyramide liegen muss.

1. Aufgrund der Symmetrie liegt die LED auf der \(z\)-Achse, hat also die Form \(L(0|0|z_L)\) mit \(0 < z_L < 12\). 2. Aufstellen der Ebenengleichung einer Mantelfläche, z. B. \(ABS\): Mit \(A(5|5|0)\), \(B(5|-5|0)\) und \(S(0|0|12)\) ergibt sich der Normalenvektor durch das Kreuzprodukt \(\vec{AB} \times \vec{AS} = \begin{pmatrix} 0 \\ -10 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -5 \\ -5 \\ 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -120 \\ 0 \\ -50 \end{pmatrix}\). Ein vereinfachter Normalenvektor ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 12 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}\). 3. Die Koordinatengleichung der Ebene \(E_{ABS}\) lautet \(12x + 5z = 60\). Die Länge des Normalenvektors ist \(|\vec{n}| = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13\). 4. Die Abstandsformel für \(L(0|0|z_L)\) zur Ebene \(E_{ABS}\) lautet \(d = \frac{|12 \cdot 0 + 5 \cdot z_L - 60|}{13}\). 5. Da \(L\) innerhalb der Pyramide liegt, gilt \(5z_L - 60 < 0\), also \(d = \frac{60 - 5z_L}{13}\). 6. Gleichsetzen mit dem gegebenen Abstand: \(\frac{60 - 5z_L}{13} = 2 \implies 60 - 5z_L = 26 \implies 5z_L = 34 \implies z_L = 6{,}8\). 7. Die Koordinaten der LED sind \(L(0|0|6{,}8)\).

\(L(0|0|6{,}8)\)

- Wie lautet die Formel für den Abstand eines Punktes von einer Ebene in Koordinatenform? - Was bedeutet es geometrisch für die Koordinaten eines Punktes, wenn er in einer Ebene liegt? - Wenn \(B\) die Mitte von \(AC\) ist, wie hängen die Vektoren \(\vec{AB}\) und \(\vec{BC}\) zusammen? - Kannst du die Koordinaten von \(C\) finden, indem du den Weg von \(A\) nach \(B\) einfach noch einmal von \(B\) aus gehst?

1. Berechnung des Abstands von \(A(0|0|0)\) zu \(E\) mittels der Abstandsformel: \(d(A, E) = \frac{|6 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 - 14|}{\sqrt{6^2 + 3^2 + 2^2}} = \frac{|-14|}{7} = 2\). 2. Einsetzen von \(B(1|2|1)\) in die Ebenengleichung: \(6 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1 - 14 = 6 + 6 + 2 - 14 = 0\). Somit liegt \(B\) in \(E\). 3. Bestimmung von \(C\) über die Mittelpunktsbedingung \(\vec{OC} = \vec{OA} + 2 \cdot \vec{AB}\) oder \(\vec{OC} = 2 \cdot \vec{OB} - \vec{OA}\): \(\vec{OC} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}\). Der Punkt ist \(C(2|4|2)\). 4. Berechnung des Abstands von \(C\) zu \(E\): \(d(C, E) = \frac{|6 \cdot 2 + 3 \cdot 4 + 2 \cdot 2 - 14|}{7} = \frac{|12 + 12 + 4 - 14|}{7} = \frac{14}{7} = 2\). Die Abstände sind identisch.

a) Der Abstand beträgt \(2\) Längeneinheiten. b) Der Punkt \(B\) liegt in \(E\), da die Koordinaten die Gleichung erfüllen. Der gesuchte Punkt ist \(C(2|4|2)\). c) Der Abstand von \(C\) zu \(E\) beträgt ebenfalls \(2\) Längeneinheiten.

- Wie findet man einen Vektor, der senkrecht auf zwei anderen Vektoren steht? - Eine Ebene kann durch eine Gleichung der Form \(ax_1 + bx_2 + cx_3 = d\) beschrieben werden, wobei der Normalenvektor die Koeffizienten liefert. - Der Spiegelpunkt liegt auf einer Geraden, die durch den ursprünglichen Punkt geht und senkrecht auf der Ebene steht. - Welchen Abstand haben der Punkt und sein Spiegelbild jeweils vom Lotfußpunkt auf der Ebene?

1. Aufstellen der Spannvektoren der Ebene: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\). 2. Bestimmung des Normalenvektors über das Kreuzprodukt: \(\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{pmatrix} -4 \\ -4 \\ -4 \end{pmatrix}\). Ein vereinfachter Normalenvektor ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). 3. Aufstellen der Koordinatengleichung: \(x_1 + x_2 + x_3 = d\). Einsetzen von \(A\) ergibt \(4 + 1 + 2 = 7\), also \(E: x_1 + x_2 + x_3 = 7\). 4. Aufstellen der Lotgeraden \(h\) durch \(P\) senkrecht zu \(E\): \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). 5. Schnittpunkt von \(h\) und \(E\): \((5+k) + (6+k) + (8+k) = 7 \Rightarrow 19 + 3k = 7 \Rightarrow k = -4\). Der Lotfußpunkt ist \(F(1|2|4)\). 6. Berechnung des Spiegelpunktes: \(\vec{OP'} = \vec{OP} + 2 \cdot \vec{PF} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ -4 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}\).

a) \(E: x_1 + x_2 + x_3 = 7\) b) \(P'(-3|-2|0)\)

- Welche Form hat die Grundfläche der Pyramide? Überprüfe dies mit den Vektoren zwischen den Eckpunkten. - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Parallelogramms im Raum? - Erinnerst du dich an die Formel für das Volumen einer Pyramide? Welche Größen fehlen dir noch? - Wie lässt sich der senkrechte Abstand eines Punktes von einer Ebene bestimmen?

1. Bestimmung der Richtungsvektoren der Grundfläche: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{AD} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Flächeninhalts der Grundfläche (Parallelogramm) über das Kreuzprodukt: \(G = |\vec{AB} \times \vec{AD}| = \left| \begin{pmatrix} -8 \\ -16 \\ 16 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{(-8)^2 + (-16)^2 + 16^2} = 24\). 3. Aufstellen der Ebenengleichung für die Grundfläche in Normalenform. Ein Normalenvektor ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\). Mit \(A(1|1|1)\) ergibt sich die Koordinatengleichung \(x + 2y - 2z - 1 = 0\). 4. Berechnung der Höhe \(h\) der Pyramide als Abstand der Spitze \(S(6|9|10)\) zur Ebene mittels der Hesseschen Normalform: \(h = \frac{|6 + 2 \cdot 9 - 2 \cdot 10 - 1|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} = \frac{|3|}{3} = 1\). 5. Berechnung des Volumens: \(V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 1 = 8\).

Das Volumen der Pyramide beträgt \(8\,\text{VE}\).

- Die Grundfläche ist hier ein Dreieck. Denke an den Faktor \(\frac{1}{2}\) beim Kreuzprodukt. - Welche Methode kennst du, um den Abstand eines Punktes zu einer Ebene effizient zu berechnen? - Achte darauf, dass die Höhe immer senkrecht auf der gewählten Grundfläche stehen muss. - Gibt es eine alternative Formel für das Volumen eines Tetraeders, wenn alle vier Eckpunkte gegeben sind?

1. Berechnung der Spannvektoren der Grundfläche: \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{PR} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks \(PQR\): \(G = \frac{1}{2} |\vec{PQ} \times \vec{PR}| = \frac{1}{2} \left| \begin{pmatrix} 24 \\ 12 \\ 8 \end{pmatrix} \right| = \frac{1}{2} \cdot 28 = 14\). 3. Bestimmung der Koordinatengleichung der Ebene durch \(P, Q, R\). Ein Normalenvektor ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}\). Die Ebene lautet \(6x + 3y + 2z = 12\) bzw. \(6x + 3y + 2z - 12 = 0\). 4. Berechnung der Höhe \(h\) als Abstand von \(S(5|1|0)\) zur Ebene: \(h = \frac{|6 \cdot 5 + 3 \cdot 1 + 2 \cdot 0 - 12|}{\sqrt{6^2 + 3^2 + 2^2}} = \frac{|21|}{7} = 3\). 5. Berechnung des Volumens: \(V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 14 \cdot 3 = 14\).

Der Flächeninhalt der Grundfläche beträgt \(14\,\text{FE}\), die Höhe beträgt \(3\,\text{LE}\) und das Volumen des Tetraeders beträgt \(14\,\text{VE}\).

- Wie lautet die Formel für den Abstand eines Punktes von einer Ebene? - Welche besonderen Koordinaten hat ein Punkt, der auf der \(x_3\)-Achse liegt? - Beachte, dass bei einer Gleichung mit Betragsstrichen oft zwei Lösungen möglich sind. - Welche der beiden Lösungen ist laut Aufgabenstellung gesucht?

1. Der Normalenvektor ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}\) mit der Länge \(|\vec{n}| = \sqrt{6^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 9 + 4} = 7\). Die Hessesche Normalform lautet \(\frac{6x_1 + 3x_2 - 2x_3 - 28}{7} = 0\). Der Abstand zum Ursprung ergibt sich durch Einsetzen von \((0|0|0)\): \(d_O = \frac{|-28|}{7} = 4\). 2. Ein Punkt auf der \(x_3\)-Achse hat die Form \(Q(0 \mid 0 \mid z)\). Sein Abstand zur Ebene muss ebenfalls \(4\) betragen: \(\frac{|6 \cdot 0 + 3 \cdot 0 - 2 \cdot z - 28|}{7} = 4 \Rightarrow |-2z - 28| = 28\). Lösung der Betragsgleichung: Fall 1: \(-2z - 28 = 28 \Rightarrow -2z = 56 \Rightarrow z = -28\). Fall 2: \(-2z - 28 = -28 \Rightarrow -2z = 0 \Rightarrow z = 0\) (entspricht dem Ursprung). Der gesuchte Punkt ist somit \(Q(0 \mid 0 \mid -28)\).

1. Der Abstand zum Ursprung beträgt \(4\). 2. Der Punkt hat die Koordinaten \(Q(0 \mid 0 \mid -28)\).

- Wie findest du einen Vektor, der senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren der Ebene steht? - Erinnerst du dich an die Hessesche Normalform einer Ebene? - Welche Rolle spielt der Betrag des Normalenvektors bei der Abstandsberechnung? - Hast du schon den Verbindungsvektor zwischen dem Punkt \(P\) und dem Stützpunkt der Ebene berechnet?

1. Bestimmung eines Normalenvektors \(\vec{n}\) der Ebene durch das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren: \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Betrags des Normalenvektors: \(|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3\). 3. Aufstellen der Hesseschen Normalform (HNF) oder Nutzung der Abstandsformel mit dem Stützvektor \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\): \(d = \frac{|\vec{n} \cdot (\vec{p} - \vec{a})|}{|\vec{n}|}\). 4. Einsetzen der Werte: \(\vec{p} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 6-3 \\ 1-0 \\ 5-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}\). 5. Skalarprodukt berechnen: \(\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} = 6 - 1 + 10 = 15\). 6. Abstand berechnen: \(d = \frac{|15|}{3} = 5\).

Der Abstand des Punktes \(P\) von der Ebene \(E\) beträgt \(5\) Längeneinheiten.

- Was bedeutet es für die Gleichung der Ebene, wenn sie durch den Ursprung verläuft? - Kannst du die Ebene zuerst in die Koordinatenform umwandeln? - Wie lautet die Formel für den Abstand eines Punktes von einer Ebene, wenn du den Normalenvektor kennst? - Vergiss nicht, am Ende durch die Länge des Normalenvektors zu teilen.

1. Berechnung des Normalenvektors \(\vec{n}\) mittels Kreuzprodukt: \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 12 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung der Länge des Normalenvektors: \(|\vec{n}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13\). 3. Da die Ebene durch den Ursprung verläuft, ist der Stützvektor \(\vec{a} = \vec{0}\). Die Abstandsformel vereinfacht sich zu \(d = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{q}|}{|\vec{n}|}\). 4. Berechnung des Skalarprodukts: \(\vec{n} \cdot \vec{q} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 12 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} = 6 + 20 + 0 = 26\). 5. Damit beträgt der Abstand \(d = \frac{|26|}{13} = 2\).

Der Abstand des Punktes \(Q\) von der Ebene \(F\) beträgt \(2\) Längeneinheiten.

- Überlege dir für die Grundfläche OAB, in welcher Koordinatenebene sie liegt. - Wie findet man einen Normalenvektor, wenn zwei Vektoren in der Ebene bekannt sind? - Die Hessesche Normalform ist besonders hilfreich, um den Abstand eines Punktes zu einer Ebene direkt zu berechnen. - Das Volumen eines Tetraeders berechnet sich allgemein durch die Formel \(V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h\).

1. Der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks \(OAB\) in der \(xy\)-Ebene berechnet sich zu \(A_{OAB} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18\). 2. Für die Ebene \(E_{ABC}\) liefern die Spannvektoren \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} -6 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 6 \end{pmatrix}\) durch das Kreuzprodukt den Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 36 \\ 36 \\ -36 \end{pmatrix}\). Die vereinfachte Koordinatengleichung lautet \(x + y - z = 6\). 3. Die Hessesche Normalform von \(E_{ABC}\) ist \(\frac{x+y-z-6}{\sqrt{3}} = 0\). Der Abstand von \(O(0|0|0)\) beträgt \(d(O, E_{ABC}) = \frac{|-6|}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46\). 4. Erste Volumenberechnung mit Grundfläche \(OAB\) und Höhe \(h_C = z_C = 6\): \(V = \frac{1}{3} \cdot 18 \cdot 6 = 36\). 5. Zweite Volumenberechnung mit Grundfläche \(ABC\): Der Flächeninhalt von \(ABC\) ist \(A_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot |\vec{n}| = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{36^2 + 36^2 + (-36)^2} = 18\sqrt{3}\). Damit ergibt sich \(V = \frac{1}{3} \cdot 18\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 36\).

a) \(18\) b) \(x + y - z = 6\) c) \(2\sqrt{3} \approx 3{,}46\) d) \(V = 36\)

- Wie hängen die Richtungsvektoren einer Ebene mit ihrem Normalenvektor zusammen? - Kennst du eine Formel, mit der man Abstände direkt berechnen kann, sobald die Koordinatenform feststeht? - Was ist beim Betrag des Normalenvektors zu beachten?

1. Bestimmung des Normalenvektors über das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren: \(\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ -3 \\ 6 \end{pmatrix}\). Ein dazu paralleler, vereinfachter Normalenvektor ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\). 2. Aufstellen der Koordinatengleichung \(2x_1 + x_2 - 2x_3 = d\). Einsetzen des Stützpunktes \((4|1|0)\) ergibt \(8 + 1 - 0 = 9\), also \(E: 2x_1 + x_2 - 2x_3 = 9\). 3. Umwandlung in die Hessesche Normalform (HNF) mit dem Betrag des Normalenvektors \(|\vec{n}| = \sqrt{4+1+4} = 3\): \(\frac{2x_1 + x_2 - 2x_3 - 9}{3} = 0\). 4. Der Abstand zum Ursprung entspricht dem Betrag des konstanten Glieds der HNF: \(d(O, E) = \frac{|-9|}{3} = 3\). 5. Der Abstand von \(S(10|10|10)\) ergibt sich durch Einsetzen in die HNF: \(d(S, E) = \frac{|2 \cdot 10 + 10 - 2 \cdot 10 - 9|}{3} = \frac{1}{3}\).

a) \(E: 2x_1 + x_2 - 2x_3 = 9\) b) \(d = 3\) c) \(d(S, E) = \frac{1}{3}\)

- Wie kannst du überprüfen, ob ein Punkt einer Geraden auch in einer Ebene liegt? - Kennst du eine Formel, mit der man den Abstand eines beliebigen Punktes zu einer Ebene berechnen kann? - Welche Rolle spielt der Normalenvektor der Ebene bei der Abstandsberechnung? - Bedenke, dass es auf einer Geraden, die eine Ebene schneidet, meist zwei Punkte mit demselben Abstand zur Ebene gibt.

1. Einsetzen der Geradengleichung in die Ebenengleichung: \( 6(1+t) + 3(2) - 2(-1+2t) = 14 \). 2. Vereinfachen der Gleichung: \( 14 + 2t = 14 \). 3. Lösen nach \( t \): \( t = 0 \). 4. Bestimmung des Schnittpunktes \( S \) durch Einsetzen von \( t=0 \) in \( g \): \( S(1 \mid 2 \mid -1) \). 5. Aufstellen der Hesseschen Normalform (HNF) von \( E \): Der Betrag des Normalenvektors ist \( \sqrt{6^2 + 3^2 + (-2)^2} = 7 \), also \( \frac{6x_1 + 3x_2 - 2x_3 - 14}{7} = 0 \). 6. Einsetzen eines allgemeinen Geradenpunktes \( P_t(1+t \mid 2 \mid -1+2t) \) in die Abstandsformel: \( \frac{|6(1+t) + 3(2) - 2(-1+2t) - 14|}{7} = 4 \). 7. Vereinfachen des Zählers: \( \frac{|2t|}{7} = 4 \), woraus \( |2t| = 28 \) folgt. 8. Fallunterscheidung für den Betrag: \( 2t = 28 \Rightarrow t = 14 \) und \( 2t = -28 \Rightarrow t = -14 \). 9. Berechnen der Punktkoordinaten: Für \( t=14 \) ergibt sich \( P_1(15 \mid 2 \mid 27) \), für \( t=-14 \) ergibt sich \( P_2(-13 \mid 2 \mid -29) \).

a) \( S(1 \mid 2 \mid -1) \) b) \( P_1(15 \mid 2 \mid 27) \) und \( P_2(-13 \mid 2 \mid -29) \)

- Wie hängt der kürzeste Weg von einem Punkt zu einer Ebene mit dem Normalenvektor zusammen? - Was ist ein Lotfußpunkt und wie kann man ihn mithilfe einer Hilfsgeraden bestimmen? - Wenn du den Abstand eines Punktes auf der Lotgeraden zur Ebene suchst, wie verändert sich dieser Abstand, wenn du dich entlang der Geraden bewegst? - Überlege dir, wie du die Parameterwerte für die gesuchten Punkte direkt aus dem bereits berechneten Abstand von \( B \) ableiten kannst.

1. Berechnung des Abstands mit der HNF: Der Normalenvektor \( \vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \) hat die Länge \( \sqrt{1^2+2^2+2^2} = 3 \). Der Abstand ist \( d(B, F) = \frac{|1\cdot 2 + 2\cdot 2 + 2\cdot 6 - 9|}{3} = \frac{9}{3} = 3 \). 2. Aufstellen der Lotgeraden durch \( B \) mit Richtungsvektor \( \vec{n} \): \( \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \). 3. Schnitt der Lotgeraden mit \( F \): \( (2+r) + 2(2+2r) + 2(6+2r) = 9 \Rightarrow 9r + 18 = 9 \Rightarrow r = -1 \). 4. Einsetzen von \( r = -1 \) ergibt den Lotfußpunkt \( Q(1 \mid 0 \mid 4) \). 5. Für Punkte auf der Lotgeraden \( h \) gilt für den Abstand zur Ebene \( d(P_r, F) = \frac{|9r+9|}{3} = |3r+3| \). 6. Ansatz für Abstand 6: \( |3r+3| = 6 \). Dies liefert \( 3r+3=6 \Rightarrow r=1 \) und \( 3r+3=-6 \Rightarrow r=-3 \). 7. Koordinaten der Punkte: Für \( r=1 \) folgt \( P_1(3 \mid 4 \mid 8) \), für \( r=-3 \) folgt \( P_2(-1 \mid -4 \mid 0) \).

a) Der Abstand beträgt \( 3 \). b) \( Q(1 \mid 0 \mid 4) \) c) \( P_1(3 \mid 4 \mid 8) \) und \( P_2(-1 \mid -4 \mid 0) \)

- Wie findest du einen Vektor, der senkrecht auf zwei anderen Vektoren steht? - Was benötigst du, um von der Parameterform einer Ebene zur Koordinatenform zu gelangen? - Kennst du eine Formel, mit der man den Abstand eines Punktes zu einer Ebene direkt berechnen kann? - Welche geometrische Beziehung besteht zwischen einem Punkt, seinem Spiegelpunkt und der Spiegelebene?

1. Bestimmung der Spannvektoren der Ebene: \( \vec{AB} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \) und \( \vec{AC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} \). 2. Berechnung des Normalenvektors über das Kreuzprodukt: \( \vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{pmatrix} -8 \\ -4 \\ -8 \end{pmatrix} \). Ein vereinfachter Normalenvektor ist \( \vec{n}_E = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \). 3. Aufstellen der Koordinatengleichung durch Einsetzen von \( A(2|0|1) \): \( 2 \cdot 2 + 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 = 6 \). Somit \( E: 2x_1 + x_2 + 2x_3 = 6 \). 4. Berechnung des Abstands von \( Q \) zu \( E \) mittels der Hesseschen Normalform: \( d(Q, E) = \frac{|2 \cdot 5 + 1 \cdot 5 + 2 \cdot 9 - 6|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2}} = \frac{27}{3} = 9 \). 5. Berechnung des Spiegelpunktes \( Q' \): Der Lotfußpunkt \( F \) liegt bei \( \vec{f} = \vec{q} - 9 \cdot \frac{1}{3} \vec{n}_E = \begin{pmatrix} 5-6 \\ 5-3 \\ 9-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \). Der Spiegelpunkt ergibt sich zu \( \vec{q'} = \vec{q} + 2 \cdot (\vec{f} - \vec{q}) = \begin{pmatrix} 5 - 12 \\ 5 - 6 \\ 9 - 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} \).

a) \( E: 2x_1 + x_2 + 2x_3 = 6 \) b) \( d(Q, E) = 9 \) c) \( Q'(-7|-1|-3) \)

- Wie stehen der Richtungsvektor einer Geraden und der Normalenvektor einer Ebene zueinander, wenn diese parallel sind? - Wenn eine Gerade parallel zu einer Ebene ist, wie bestimmt man dann ihren Abstand? - Was bedeutet es für den Radius einer Kugel, wenn sie eine Ebene berührt? - Wie prüft man, ob ein gegebener Punkt auf einer Geraden liegt?

1. Nachweis der Parallelität: Das Skalarprodukt aus dem Richtungsvektor \( \vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} \) der Geraden und dem Normalenvektor \( \vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \) der Ebene berechnen: \( 3 \cdot 2 + (-2) \cdot 2 + (-2) \cdot 1 = 6 - 4 - 2 = 0 \). Da der Aufpunkt \( P(1|4|5) \) die Ebenengleichung nicht erfüllt (\( 2+8+5 = 15 \neq 6 \)), ist \( g \) echt parallel zu \( E \). 2. Abstandsberechnung: Der Abstand der Geraden entspricht dem Abstand eines beliebigen Punktes auf \( g \) (z. B. der Aufpunkt \( P \)) zu \( E \). \( d(g, E) = \frac{|2 \cdot 1 + 2 \cdot 4 + 1 \cdot 5 - 6|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2}} = \frac{9}{3} = 3 \). 3. Punktprobe für \( M \): Gleichsetzen von \( M \) und \( g \): \( \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} \). Für \( t = 1 \) ist die Gleichung erfüllt, also \( M \in g \). 4. Kugelgleichung: Da die Kugel die Ebene berührt, entspricht der Radius \( r \) dem Abstand des Mittelpunktes \( M \) zur Ebene \( E \). Da \( M \) auf \( g \) liegt und \( g \parallel E \), ist \( r = d(g, E) = 3 \). Die Kugelgleichung lautet \( (x_1 - 4)^2 + (x_2 - 2)^2 + (x_3 - 3)^2 = 3^2 = 9 \).

a) \( \vec{v}_g \cdot \vec{n}_E = 0 \) und \( P_g \notin E \), daher \( g \parallel E \). b) \( d(g, E) = 3 \) c) \( M \) liegt auf \( g \) für \( t = 1 \). Kugelgleichung: \( (x_1 - 4)^2 + (x_2 - 2)^2 + (x_3 - 3)^2 = 9 \)

- Welche Koordinaten muss ein Punkt haben, der genau auf der Symmetrieachse der Pyramide liegt? - Wie lässt sich der Abstand eines Punktes von einer Ebene allgemein berechnen? - Überlege dir, wie du die Gleichung einer der geneigten Seitenwände aufstellen kannst. - Wenn der Punkt von der Grundfläche (in der \(xy\)-Ebene) den Abstand \(d\) hat, was sagt das über seine \(z\)-Koordinate aus? - Setze die Abstandsformeln für die Grundfläche und eine Seitenfläche gleich.

1. Symmetriebedingung: Da \(P\) auf der Symmetrieachse liegt und von der quadratischen Grundfläche \(z=0\) denselben Abstand \(d\) hat wie von den Seitenflächen, muss \(P\) die Form \(P(5|5|z)\) mit \(z = d\) haben. 2. Bestimmung einer Seitenebene (z. B. \(BCS\)): Die Ebene wird durch \(B(10|10|0)\), \(C(0|10|0)\) und \(S(5|5|12)\) aufgespannt. Ein Normalenvektor ist \(\vec{n} = \vec{CB} \times \vec{CS} = \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 5 \\ -5 \\ 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -120 \\ -50 \end{pmatrix}\). Vereinfacht kann \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 12 \\ 5 \end{pmatrix}\) verwendet werden. 3. Ebenengleichung in Koordinatenform: \(12y + 5z = 120\). Die Hessesche Normalform lautet \(\frac{12y + 5z - 120}{13} = 0\). 4. Abstandsbedingung aufstellen: Der Abstand von \(P(5|5|z)\) zur Ebene ist \(d = \left| \frac{12 \cdot 5 + 5z - 120}{13} \right| = \frac{60 - 5z}{13}\) (da \(P\) unterhalb der Ebene liegt). 5. Gleichsetzen mit \(z\): \(z = \frac{60 - 5z}{13} \implies 13z = 60 - 5z \implies 18z = 60 \implies z = \frac{10}{3}\). 6. Ergebnis: Der Punkt ist \(P(5|5|\frac{10}{3})\).

\(P(5|5|\frac{10}{3})\)

- Wandle die Ebene zunächst von der Parameterform in die Koordinatenform um. - Was sagt das Skalarprodukt zwischen dem Richtungsvektor der Geraden und dem Normalenvektor der Ebene über deren Lagebeziehung aus? - Wie berechnet man den Abstand zwischen einer parallelen Geraden und einer Ebene? - Überprüfe, ob der Aufpunkt der Geraden die Ebenengleichung erfüllt.

1. Bestimmung des Normalenvektors von \(E\): Das Kreuzprodukt der Spannvektoren ergibt \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Überprüfung der Parallelität: Das Skalarprodukt des Richtungsvektors von \(g\) mit \(\vec{n}\) ist \(\begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} = 12 - 12 + 0 = 0\). Da der Richtungsvektor senkrecht auf dem Normalenvektor steht, ist \(g\) parallel zu \(E\). 3. Koordinatengleichung von \(E\): Mit \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\) und dem Stützpunkt \(P(4|0|0)\) lautet die Gleichung \(3x_1 + 4x_2 = 12\). 4. Punktprobe und Abstand: Der Stützpunkt \(P(1|1|5)\) von \(g\) ergibt in der Ebenengleichung \(3 \cdot 1 + 4 \cdot 1 = 7 \neq 12\), also ist \(g\) echt parallel. Der Abstand berechnet sich zu \(d = \frac{|3 \cdot 1 + 4 \cdot 1 - 12|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|-5|}{5} = 1\).

Die Gerade \(g\) ist parallel zur Ebene \(E\). Der Abstand zwischen der Geraden und der Ebene beträgt \(d(g, E) = 1\).

- Wie berechnest du allgemein den Abstand eines Punktes von einer Ebene? - Welche geometrische Form hat die Menge aller Punkte, die einen festen Abstand zu einer gegebenen Ebene haben? - Wie kannst du sicherstellen, dass die gesuchten Punkte gleichzeitig in der Ebene \(E\) liegen? - Überlege dir, wie viele Teillösungen (z. B. Geraden oder Punkte) du erwartest, wenn zwei Ebenen nicht parallel sind.

1. Aufstellen der Hesseschen Normalform von \(F\): \(\frac{2x_1 + x_2 - 2x_3 - 6}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2}} = 0 \Rightarrow \frac{2x_1 + x_2 - 2x_3 - 6}{3} = 0\). 2. Bestimmung der Gleichungen für den Abstand \(d=2\): \(\frac{2x_1 + x_2 - 2x_3 - 6}{3} = \pm 2\). 3. Vereinfachung zu zwei parallelen Ebenen: \(F_1: 2x_1 + x_2 - 2x_3 = 12\) und \(F_2: 2x_1 + x_2 - 2x_3 = 0\). 4. Schnitt von \(E\) mit \(F_1\): Aus \(x_1 + x_2 + x_3 = 3\) und \(2x_1 + x_2 - 2x_3 = 12\) folgt durch Subtraktion \(x_1 - 3x_3 = 9\). Mit \(x_3 = t\) ergibt sich die Gerade \(g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 9 \\ -6 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}\). 5. Schnitt von \(E\) mit \(F_2\): Aus \(x_1 + x_2 + x_3 = 3\) und \(2x_1 + x_2 - 2x_3 = 0\) folgt \(x_1 - 3x_3 = -3\). Mit \(x_3 = s\) ergibt sich die Gerade \(g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}\).

Die gesuchten Punkte liegen auf den beiden Geraden: \(g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 9 \\ -6 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}\) mit \(s, t \in \mathbb{R}\).

- Nutze die Hessesche Normalform, um eine Bedingung für den Abstand zu formulieren. - Denke daran, dass der Betrag in der Abstandsformel zu zwei verschiedenen Fällen führt. - Du kannst die Punktkoordinaten aus der Parameterform direkt in die Koordinatengleichung einsetzen, um eine Beziehung zwischen den Parametern zu finden. - Was bedeutet es für die Lage der Punkte, wenn eine lineare Abhängigkeit zwischen den Parametern \(\lambda\) und \(\mu\) besteht?

1. Berechnung der Hesseschen Normalform von \(F\): \(\frac{2x_1 - x_2 + 2x_3 - 9}{3} = 0\). 2. Ansatz für den Abstand \(d=4\): \(\frac{|2x_1 - x_2 + 2x_3 - 9|}{3} = 4\), woraus die Hilfsebenen \(F_1: 2x_1 - x_2 + 2x_3 = 21\) und \(F_2: 2x_1 - x_2 + 2x_3 = -3\) resultieren. 3. Einsetzen der Koordinaten der Parameterform von \(E\) (\(x_1 = 2+\lambda\), \(x_2 = 1+\mu\), \(x_3 = \lambda-\mu\)) in \(F_1\): \(2(2+\lambda) - (1+\mu) + 2(\lambda-\mu) = 21 \Rightarrow 4\lambda - 3\mu = 18\). Auflösen nach \(\lambda = 4{,}5 + 0{,}75\mu\) liefert die Gerade \(h_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 6{,}5 \\ 1 \\ 4{,}5 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 0{,}75 \\ 1 \\ -0{,}25 \end{pmatrix}\). 4. Einsetzen in \(F_2\): \(4\lambda - 3\mu + 3 = -3 \Rightarrow 4\lambda - 3\mu = -6\). Auflösen nach \(\lambda = 0{,}75\mu - 1{,}5\) liefert die Gerade \(h_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0{,}5 \\ 1 \\ -1{,}5 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 0{,}75 \\ 1 \\ -0{,}25 \end{pmatrix}\).

Die Menge aller Punkte bildet zwei Geraden: \(h_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 6{,}5 \\ 1 \\ 4{,}5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}\) und \(h_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0{,}5 \\ 1 \\ -1{,}5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}\) mit \(s, t \in \mathbb{R}\).

- Schau dir die Koordinaten der Punkte A, B und C genau an. Liegen sie in einer besonderen Ebene? - Wenn du das Volumen bereits kennst, kannst du die Formel für das Volumen umstellen, um eine unbekannte Höhe (Abstand) zu berechnen. - Für den Flächeninhalt im Raum eignet sich das Kreuzprodukt der aufspannenden Vektoren.

1. Die Vektoren \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}\) sind orthogonal. Der Flächeninhalt des Dreiecks \(ABC\) beträgt \(A_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 = 12\). Da alle Punkte von \(ABC\) die \(z\)-Koordinate \(2\) haben, liegt das Dreieck in der Ebene \(z = 2\). Der Abstand von \(D(3|3|6)\) zu dieser Ebene ist \(h = |6 - 2| = 4\). 2. Das Volumen des Tetraeders berechnet sich zu \(V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot 4 = 16\). 3. Für die Fläche \(ABD\) nutzen wir \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{AD} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}\). Das Kreuzprodukt ist \(\vec{n}_{ABD} = \begin{pmatrix} 0 \\ -16 \\ 8 \end{pmatrix}\). Der Flächeninhalt ist \(A_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{0^2 + (-16)^2 + 8^2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{320} = 4\sqrt{5} \approx 8{,}94\). 4. Der Abstand \(d(C, E_{ABD})\) entspricht der Höhe des Tetraeders bezüglich der Grundfläche \(ABD\). Aus \(V = \frac{1}{3} \cdot A_{ABD} \cdot d\) folgt \(d = \frac{3V}{A_{ABD}} = \frac{3 \cdot 16}{4\sqrt{5}} = \frac{12}{\sqrt{5}} = 2{,}4\sqrt{5} \approx 5{,}37\).

a) \(A_{ABC} = 12\); \(d(D, E_{ABC}) = 4\) b) \(V = 16\) c) \(A_{ABD} = 4\sqrt{5} \approx 8{,}94\) d) \(d(C, E_{ABD}) = \frac{12}{\sqrt{5}} = 2{,}4\sqrt{5} \approx 5{,}37\)