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- Vergleiche zunächst die Richtungen der beiden dargestellten Geraden. - Gibt es im sichtbaren Koordinatensystem einen Punkt, der auf beiden Geraden liegt? - Lies die Koordinaten dieses gemeinsamen Punkts an den Achsen ab.

1. Die beiden Geraden haben verschiedene Richtungen und treffen sich in der Abbildung. 2. Ihr gemeinsamer Punkt liegt bei \(S(1|2)\). 3. Daher sind \(g\) und \(h\) schneidende Geraden.

Die Geraden schneiden sich in \(S(1|2)\).

- Was sagt die Beziehung zwischen den Richtungsvektoren über den Verlauf der Geraden aus? - Wenn zwei Geraden in dieselbe Richtung zeigen, welche zwei Möglichkeiten der Lagebeziehung gibt es dann? - Wie kannst du herausfinden, ob ein Punkt der einen Geraden auch auf der anderen Geraden liegt? - Was bedeutet es für die gesamte Gerade, wenn bereits ein einziger Punkt gemeinsam ist und die Richtungen übereinstimmen?

1. Vergleich der Richtungsvektoren: Es wird geprüft, ob ein Skalar \(k\) existiert, sodass \(\begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ -15 \end{pmatrix} = k\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 10 \end{pmatrix}\). Die komponentenweise Division ergibt \(-3 : 2 = -1{,}5\), \(6 : (-4) = -1{,}5\) und \(-15 : 10 = -1{,}5\). Da \(k = -1{,}5\) für alle Komponenten gilt, sind die Richtungsvektoren kollinear. Die Geraden sind somit parallel oder identisch. 2. Punktprobe: Es wird geprüft, ob der Stützpunkt von \(h\), \(P(2|6|-17)\), auf der Geraden \(g\) liegt. Dazu wird das Gleichungssystem \(\begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ -17 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 10 \end{pmatrix}\) gelöst. Aus der ersten Zeile folgt \(2 = 5 + 2\lambda \Rightarrow \lambda = -1{,}5\). Einsetzen in die zweite Zeile: \(0 - 4 \cdot (-1{,}5) = 6\) (wahre Aussage). Einsetzen in die dritte Zeile: \(-2 + 10 \cdot (-1{,}5) = -17\) (wahre Aussage). Da der Punkt \(P\) auf \(g\) liegt, sind die Geraden identisch.

Die Geraden \(g\) und \(h\) sind identisch.

- Wie bestimmst du aus zwei gegebenen Punkten eine Geradengleichung in Parameterform? - Was verraten dir die Richtungsvektoren über die mögliche Lagebeziehung der Geraden? - Wenn Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind, welche zwei Fälle der Lagebeziehung bleiben dann noch übrig? - Wie kannst du rechnerisch prüfen, ob zwei parallele Geraden tatsächlich verschiedene Geraden im Raum beschreiben?

1. Aufstellen der Parameterform für \(g\): Der Richtungsvektor ist \(\vec{v}_g = \vec{B} - \vec{A} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\). Damit gilt \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\). 2. Vergleich der Richtungsvektoren: Es ist \(\vec{v}_g = 2 \cdot \vec{v}_h\), da \(\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -0{,}5 \end{pmatrix}\). Die Richtungsvektoren sind kollinear, die Geraden also parallel oder identisch. 3. Punktprobe zur Unterscheidung: Prüfen, ob der Stützpunkt \(A(2 | -1 | 4)\) von \(g\) auf \(h\) liegt. Einsetzen ergibt das System \(1 + t = 2 \Rightarrow t = 1\); \(0 + t = -1 \Rightarrow t = -1\). Da die Gleichungen widersprüchliche Werte \(t=1\) und \(t=-1\) liefern, liegt der Punkt nicht auf \(h\). 4. Ergebnis: Die Geraden sind echt parallel.

Die Geraden \(g\) und \(h\) sind echt parallel.

- Welche Beziehung besteht zwischen den beiden Richtungsvektoren? - Welche beiden Lagefälle bleiben übrig, wenn die Richtungsvektoren proportional sind? - Wie kannst du mit einem Stützpunkt prüfen, ob die beiden Geraden tatsächlich identisch sind?

1. Die Richtungsvektoren \(\vec{u}=\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}\) und \(\vec{v}=\begin{pmatrix}-4\\0\\2\end{pmatrix}\) erfüllen \(\vec{v}=-2\vec{u}\). Daher sind die Geraden parallel oder identisch. 2. Jeder Punkt von \(h\) hat die zweite Koordinate \(5\), weil die zweite Komponente des Richtungsvektors von \(h\) null ist. Der Stützpunkt \(P(1|2|1)\) von \(g\) liegt deshalb nicht auf \(h\). 3. Somit sind \(g\) und \(h\) echt parallel.

Die Geraden \(g\) und \(h\) sind echt parallel.

- Was muss für die Ortsvektoren gelten, wenn sich zwei Geraden in einem Punkt treffen? - Versuche, ein Gleichungssystem für die Parameter der Geraden aufzustellen. - Welche Gleichungen enthalten die wenigsten Unbekannten? Beginne mit diesen. - Wie kannst du überprüfen, ob dein berechneter Parameter \(b\) tatsächlich zu einem Schnittpunkt führt?

1. Gleichsetzen der Geradengleichungen \(g\) und \(h_b\), um den Schnittpunkt zu finden: \(\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ b \\ 3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) 2. Aufstellen des linearen Gleichungssystems: I: \(2 + r = 4\) II: \(3 = b + s\) III: \(1 + 2r = 3 + s\) 3. Aus Gleichung I folgt direkt \(r = 2\). 4. Einsetzen von \(r = 2\) in Gleichung III: \(1 + 2 \cdot 2 = 3 + s \implies 5 = 3 + s \implies s = 2\). 5. Einsetzen von \(s = 2\) in Gleichung II zur Bestimmung von \(b\): \(3 = b + 2 \implies b = 1\). 6. Berechnung des Schnittpunktes durch Einsetzen von \(r = 2\) in \(g\): \(\vec{x}_S = \begin{pmatrix} 2 + 2 \\ 3 + 0 \\ 1 + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}\).

Für \(b = 1\) schneiden sich die Geraden im Punkt \(S(4 \mid 3 \mid 5)\).

- Wann sind zwei Vektoren Vielfache voneinander? - Was sagt das Skalarprodukt zweier Richtungsvektoren über deren Winkel aus? - Unterscheide zwischen den Bedingungen für die Richtung der Geraden und ihrer Lage im Raum.

1. Zwei Geraden sind parallel, wenn ihre Richtungsvektoren linear abhängig sind. Es muss also gelten: \(\begin{pmatrix} a \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} = k \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \\ 6 \end{pmatrix}\). Aus der zweiten Komponente folgt \(2 = -4k\), also \(k = -0{,}5\). Einsetzen in die erste Komponente ergibt \(a = -0{,}5 \cdot 6 = -3\). Die Überprüfung der dritten Komponente (\(-3 = -0{,}5 \cdot 6\)) bestätigt die lineare Abhängigkeit für \(a = -3\). 2. Die Richtungsvektoren sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt null ist. Es muss gelten: \(\begin{pmatrix} a \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} = 0\). Dies führt zur Gleichung \(a \cdot 1 + 2 \cdot 4 + (-3) \cdot 2 = 0\). Vereinfacht ergibt sich \(a + 8 - 6 = 0\), woraus \(a = -2\) folgt.

1. \(a = -3\) 2. \(a = -2\)

- Wie prüft man, ob zwei Richtungsvektoren in die gleiche (oder entgegengesetzte) Richtung zeigen? - Wenn zwei Geraden parallel sind, wie findet man heraus, ob sie eigentlich dieselbe Gerade beschreiben? - Welche Rolle spielt das Skalarprodukt bei der Untersuchung der Orthogonalität? - Haben die Geraden einen gemeinsamen Punkt?

1. Untersuchung von \(g\) und \(h\): Die Richtungsvektoren \(\vec{u}_g = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{u}_h = \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}\) sind linear abhängig, da \(\vec{u}_h = -2 \cdot \vec{u}_g\). Somit sind die Geraden parallel oder identisch. Die Punktprobe mit dem Stützvektor von \(h\) in \(g\) ergibt: \(\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\). Dies führt in allen drei Zeilen auf \(r = 1\). Da der Punkt auf \(g\) liegt, sind die Geraden \(g\) und \(h\) identisch. 2. Untersuchung von \(g\) und \(k\): Die Richtungsvektoren \(\vec{u}_g = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{u}_k = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}\) sind linear unabhängig. Das Skalarprodukt ist \(\vec{u}_g \cdot \vec{u}_k = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 4 + 2 \cdot 1 = 0\), woraus folgt, dass die Geraden orthogonal sind. Da beide Geraden den gleichen Stützvektor \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) besitzen, schneiden sie sich in diesem Punkt.

\(g\) und \(h\) sind identisch. \(g\) und \(k\) sind zueinander orthogonal und schneiden sich im Punkt \((1|2|0)\).

- Schau dir zuerst die Richtungsvektoren an: Sind sie Vielfache voneinander? - Was bedeutet es für die Lage der Geraden, wenn die Richtungsvektoren nicht parallel sind? - Wie kannst du ein System aus drei Gleichungen mit zwei Unbekannten lösen? - Vergiss nicht, deine berechneten Werte in der dritten Gleichung zu überprüfen. - Wie kommst du vom Parameterwert zum Punkt auf der Geraden?

1. Prüfung der Richtungsvektoren auf Kollinearität: Da \(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} = k \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}\) keine Lösung für \(k\) besitzt, sind die Richtungsvektoren nicht parallel. 2. Gleichsetzen der Geradengleichungen führt zum linearen Gleichungssystem (LGS): (I) \(1 + 2r = 4 - s \Rightarrow 2r + s = 3\) (II) \(1 + r = 2s \Rightarrow r - 2s = -1\) (III) \(4 - 3r = 5 - 4s \Rightarrow -3r + 4s = 1\) 3. Lösen des Teilsystems aus (I) und (II): Multiplikation von (II) mit \(2\) und Subtraktion von (I) ergibt \(5s = 5\), also \(s = 1\). Einsetzen in (I) ergibt \(2r + 1 = 3\), also \(r = 1\). 4. Überprüfung mit (III): \(-3 \cdot 1 + 4 \cdot 1 = 1\). Die Gleichung ist erfüllt, das LGS ist konsistent. 5. Berechnung des Schnittpunktes \(S\) durch Einsetzen von \(r = 1\) in \(g\): \(\vec{x}_S = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\). Die Geraden schneiden sich im Punkt \(S(3 | 2 | 1)\).

Die Geraden schneiden sich im Punkt \(S(3 | 2 | 1)\).

- Erinnere dich daran, dass drei linear unabhängige Vektoren ein Volumen aufspannen. Was bedeutet das für die Lage von zwei Geraden? - Was ist der Unterschied zwischen der Abhängigkeit von nur zwei Vektoren im Vergleich zu drei Vektoren? - Überlege dir, wie man prüft, ob ein Punkt einer Geraden auf einer anderen Geraden liegt, und wie sich das in Vektoren ausdrückt.

1. Wenn drei Vektoren im \(\mathbb{R}^3\) linear unabhängig sind, sind sie nicht komplanar. Da die Richtungsvektoren somit auch nicht linear abhängig sein können, sind die Geraden weder parallel noch schneiden sie sich. Es bleibt nur die Lagebeziehung windschief. 2. Da \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) linear unabhängig sind, sind die Geraden nicht parallel. Die lineare Abhängigkeit des Tripels \(\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}\) bedeutet, dass die Geraden in einer Ebene liegen. Nicht-parallele Geraden in einer Ebene müssen sich schneiden. 3. Die Abhängigkeit von \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) zeigt an, dass die Geraden parallel oder identisch sind. Die Abhängigkeit von \(\vec{u}\) und \(\vec{w}\) bedeutet, dass der Vektor zwischen den Stützpunkten in Richtung der Geraden zeigt, der Stützpunkt von \(h\) also auf \(g\) liegt. Somit sind die Geraden identisch.

1. windschief 2. schneidend 3. identisch

- Überlege zuerst, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind oder nicht. - Wie gehst du vor, wenn du prüfen willst, ob zwei Geraden einen gemeinsamen Punkt haben? - Wie verändert sich die Länge eines Vektors, wenn du ihn mit einer Zahl multiplizierst? - Welche Koordinaten haben Punkte, die auf einer Koordinatenachse liegen? - Erinnere dich daran, dass zwei Geraden genau dann einen Schnittpunkt haben, wenn das zugehörige Gleichungssystem eine eindeutige Lösung besitzt.

1. Prüfung auf Parallelität: Die Richtungsvektoren \(\vec{u}_g = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix}\) und \(\vec{u}_h = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) sind keine Vielfachen voneinander, also sind die Geraden nicht parallel. 2. Prüfung auf Schnittpunkt: Gleichsetzen der Geradengleichungen führt auf das System \(4 + 2t = 1 + s\), \(-1 + 4t = 3 + s\) und \(2 - 4t = s\). Aus den ersten beiden Gleichungen folgt \(t = 3{,}5\) und \(s = 10\). Einsetzen in die dritte Gleichung ergibt \(-12 = 10\) (falsch). Die Geraden sind windschief. 3. Richtungsvektor für \(m\): Da \(m \parallel g\), ist der Richtungsvektor ein Vielfaches von \(\vec{u}_g\). Es gilt \(|\vec{u}_g| = \sqrt{2^2 + 4^2 + (-4)^2} = 6\). Für den Betrag 3 muss der Vektor mit \(\frac{3}{6} = 0{,}5\) (oder \(-0{,}5\)) multipliziert werden. Ein möglicher Vektor ist \(\vec{v}_m = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\). 4. Schnitt von \(g\) und \(n\): Ansatz für \(n: \vec{x} = \begin{pmatrix} x_P \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). Gleichsetzen mit \(g\) ergibt das System \(x_P + \lambda = 4 + 2t\), \(\lambda = -1 + 4t\) und \(\lambda = 2 - 4t\). Aus den letzten beiden folgt \(8t = 3 \Rightarrow t = 0{,}375\) und \(\lambda = 0{,}5\). Einsetzen in die erste Gleichung: \(x_P + 0{,}5 = 4 + 0{,}75 \Rightarrow x_P = 4{,}25\). Der Punkt ist \(P(4{,}25|0|0)\).

a) Die Geraden \(g\) und \(h\) sind windschief. b) Ein möglicher Richtungsvektor ist \(\vec{v}_m = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\) (oder \(\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\)). c) Der Punkt auf der \(x_1\)-Achse ist \(P(4{,}25|0|0)\).

- Zwei Geraden legen nur dann eine Ebene fest, wenn sie entweder parallel (aber nicht identisch) sind oder sich in einem Punkt schneiden. - Untersuche zuerst die Richtungsvektoren. Sind sie kollinear? - Wenn sie nicht parallel sind, musst du prüfen, ob sie einen gemeinsamen Punkt haben. Setze dazu die Geradengleichungen gleich. - Was bedeutet es für die Existenz einer Ebene, wenn das Gleichungssystem keine Lösung hat?

1. Vergleich der Richtungsvektoren: \(\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\) sind linear unabhängig (keine Vielfachen), daher sind die Geraden nicht parallel. 2. Prüfung auf Schnittpunkt durch ein lineares Gleichungssystem: I: \(2\lambda = 2 + \mu\) II: \(5 - \lambda = 1 \implies \lambda = 4\) III: \(2 + \lambda = 4 + 3\mu\) 3. Einsetzen von \(\lambda = 4\) in I: \(8 = 2 + \mu \implies \mu = 6\). 4. Überprüfung in III: Linke Seite \(2 + 4 = 6\), rechte Seite \(4 + 3 \cdot 6 = 22\). Da \(6 \neq 22\), existiert kein Schnittpunkt. 5. Die Geraden sind windschief und legen somit keine gemeinsame Ebene fest.

Nein, die Geraden legen keine Ebene fest, da sie windschief sind.

- Prüfe zuerst, ob die Geraden parallel, identisch, sich schneidend oder windschief sind. - Welche dieser Lagebeziehungen führen zu einer eindeutigen Ebene und welche nicht? - Wenn zwei Geraden identisch sind, verhalten sie sich wie eine einzige Gerade im Raum. - Um eine Ebene zu finden, die eine Gerade enthält, muss der Normalenvektor der Ebene senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden stehen.

1. Vergleich der Richtungsvektoren: \(\vec{v}_h = \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} = -2\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = -2\vec{v}_g\). Die Richtungsvektoren sind kollinear, die Geraden also parallel oder identisch. 2. Punktprobe: Prüfen, ob der Stützpunkt \(P_h(3|1|1)\) auf \(g\) liegt: \(3 = 1 + 2r \Rightarrow r=1\); \(1 = 2 - 1 \cdot 1 = 1\); \(1 = 0 + 1 \cdot 1 = 1\). Da \(r=1\) alle Gleichungen erfüllt, sind die Geraden identisch. 3. Da identische Geraden nur eine einzige Punktmenge im Raum beschreiben, gibt es unendlich viele Ebenen (ein Ebenenbüschel), die diese Gerade enthalten. 4. Für eine mögliche Ebene wird ein Normalenvektor \(\vec{n}\) benötigt, der orthogonal zum Richtungsvektor \(\vec{v}_g = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\) ist. Wähle z. B. \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\), da \(1 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) + 0 \cdot 1 = 0\). 5. Ansatz \(x + 2y = d\). Einsetzen des Stützpunktes \((1|2|0)\) liefert \(1 + 2 \cdot 2 = 5\). Eine mögliche Gleichung ist \(x + 2y = 5\).

a) Die Geraden \(g\) und \(h\) sind identisch, da ihre Richtungsvektoren kollinear sind und der Stützpunkt von \(h\) auf \(g\) liegt. Eine einzelne Gerade definiert keine eindeutige Ebene. b) Eine mögliche Ebene ist \(E: x + 2y = 5\) (individuelle Lösungen möglich).

- Wie prüft man, ob alle Punkte einer Geraden eine Ebenengleichung erfüllen? - Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit zwei Geraden windschief sind? - Überlege dir, wie du zeigst, dass Richtungsvektoren nicht parallel zueinander verlaufen können. - Was bedeutet es für das Gleichungssystem der Geraden, wenn kein Schnittpunkt existiert?

1. Einsetzen der Geradengleichung \(g\) in die Ebenengleichung \(E\): \((0 + \lambda) + (2 + 0) - (0 + \lambda) = 2\). Vereinfachung ergibt \(2 = 2\). Da die Gleichung für alle \(\lambda \in \mathbb{R}\) erfüllt ist, liegt \(g\) vollständig in \(E\). 2. Untersuchung auf Parallelität von \(g\) und \(h_k\): Die Richtungsvektoren \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 0 \\ k \\ 1 \end{pmatrix}\) sind für kein \(k\) kollinear, da die erste Komponente von \(h_k\) immer \(0\) ist, während sie bei \(g\) den Wert \(1\) hat. Somit sind die Geraden nie parallel. 3. Untersuchung auf Schnittpunkte: Gleichsetzen der Geraden führt auf das lineare Gleichungssystem: (I) \(\lambda = 1\) (II) \(2 = k\mu\) (III) \(\lambda = 1 + \mu\) Aus (I) und (III) folgt \(1 = 1 + \mu\), also \(\mu = 0\). Einsetzen von \(\mu = 0\) in (II) ergibt \(2 = 0\), was ein Widerspruch ist. Das System ist für kein \(k\) lösbar. 4. Da die Geraden weder parallel sind noch einen Schnittpunkt besitzen, sind sie für alle \(k \in \mathbb{R}\) windschief.

a) Durch Einsetzen von \(x_1 = \lambda\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = \lambda\) in \(x_1 + x_2 - x_3 = 2\) erhält man \(\lambda + 2 - \lambda = 2\), also \(2 = 2\). Somit liegt \(g\) in \(E\). b) Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig, da \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ k \\ 1 \end{pmatrix}\) keine Lösung für \(r\) besitzt (\(1 = r \cdot 0\) ist unmöglich). Das Gleichungssystem für den Schnittpunkt führt auf den Widerspruch \(2 = 0\). Folglich sind die Geraden für alle \(k\) windschief.

- Erinnere dich an die Definition von windschiefen Geraden. Müssen sie in derselben Ebene liegen? - Stell dir die Spiegelung wie bei einem echten Spiegel vor. Was passiert mit dem Abstand eines Objekts zum Spiegel? - Wann bleibt eine Gerade bei einer Spiegelung als gesamte Punktmenge unverändert? Denke an die Fixpunkte der Spiegelung. - Welche besonderen Lagen kann eine Gerade zu einer Ebene einnehmen?

1. Nein, \(g\) und \(g'\) können nicht windschief sein. Wenn \(g\) die Ebene \(E\) schneidet, schneiden sich \(g\) und \(g'\) im Spurpunkt \(S\). Wenn \(g \parallel E\), dann ist auch \(g' \parallel E\) und zudem \(g \parallel g'\). In beiden Fällen liegen die Geraden in einer gemeinsamen Ebene (die durch \(g\) und das Lot auf \(E\) aufgespannt wird) und sind daher nicht windschief. 2. Wenn \(g \parallel E\), dann verläuft auch die Bildgerade \(g'\) parallel zu \(E\) auf der gegenüberliegenden Seite. Damit sind \(g\) und \(g'\) parallel zueinander. Der Abstand zur Ebene verdoppelt sich: \(2 \cdot 4{,}5\,\text{cm} = 9\,\text{cm}\). 3. Die Punktmengen sind identisch, wenn jeder Punkt von \(g\) auf sich selbst abgebildet wird oder wenn die Gerade als Ganzes in sich gespiegelt wird. Dies ist der Fall, wenn \(g\) in der Ebene \(E\) liegt (\(g \subset E\), jeder Punkt ist Fixpunkt) oder wenn \(g\) senkrecht auf der Ebene \(E\) steht (\(g \perp E\), die Gerade verläuft entlang des Normalenvektors und wird in sich selbst reflektiert).

a) Nein, \(g\) und \(g'\) sind entweder parallel oder schneiden sich in \(E\). Sie sind immer koplanar. b) \(g\) und \(g'\) sind parallel zueinander; ihr Abstand beträgt \(9\,\text{cm}\). c) \(g = g'\) gilt, wenn \(g\) in \(E\) liegt oder wenn \(g\) orthogonal zu \(E\) ist.

- Was sagt das Verhältnis der Richtungsvektoren über die Lage der Geraden aus? - Wie kannst du mathematisch prüfen, ob es einen gemeinsamen Punkt gibt? - Wenn du ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten und drei Gleichungen hast, wie gehst du mit der überzähligen Gleichung um? - Was bedeutet es für die Lage der Geraden, wenn das Gleichungssystem keine Lösung besitzt?

1. Überprüfung der Richtungsvektoren auf Parallelität: Die Vektoren \(\vec{v}_g = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v}_h = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}\) sind keine Vielfachen voneinander (\(1 \cdot k = 2 \Rightarrow k=2\), aber \(-1 \cdot 2 \neq 1\)), daher sind die Geraden weder parallel noch identisch. 2. Gleichsetzen der Parameterformen zur Untersuchung auf einen Schnittpunkt: \(5 + r = 5 + 2s \Rightarrow r = 2s\) (I) \(2 - r = -1 + s \Rightarrow 3 - r = s\) (II) \(-1 + 2r = 6 - 3s\) (III) 3. Lösen des Systems aus (I) und (II): Einsetzen von \(r = 2s\) in (II) ergibt \(3 - 2s = s \Rightarrow 3 = 3s \Rightarrow s = 1\). Daraus folgt \(r = 2 \cdot 1 = 2\). 4. Überprüfung mit Gleichung (III): \(-1 + 2(2) = 3\) und \(6 - 3(1) = 3\). Da \(3 = 3\) eine wahre Aussage ist, schneiden sich die Geraden. 5. Berechnung des Schnittpunktes \(S\): Einsetzen von \(r=2\) in \(g\) ergibt \(\vec{s} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\).

Die Geraden \(g\) und \(h\) schneiden sich im Punkt \(S(7 | 0 | 3)\).

- Untersuche, in welcher Beziehung die Richtungsvektoren der beiden Gleichungen zueinander stehen. - Was muss für die Richtungsvektoren und die Stützpunkte gelten, damit zwei Gleichungen dieselbe Gerade darstellen? - Setze die Koordinaten des Punktes \(Q\) in die Geradengleichungen ein und löse die entstehenden Zeilengleichungen nach dem Parameter auf. - Vergleiche die Ergebnisse für \(r\) und \(s\) aus Aufgabenteil b) – fällt dir ein Faktor auf, der auch bei den Richtungsvektoren vorkommt?

1. Vergleich der Richtungsvektoren: Der Richtungsvektor von \(h\), \(\vec{v}_h = \begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ -4 \end{pmatrix}\), ist das \((-2)\)-Fache des Richtungsvektors von \(g\), \(\vec{v}_g = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\). Da beide Gleichungen denselben Stützpunkt \(A(3|1|-2)\) verwenden und die Richtungsvektoren kollinear sind, beschreiben sie dieselbe Gerade. 2. Punktprobe für \(Q(5|5|2)\) in \(g\): Aus \(3 + 1 \cdot r = 5\) folgt \(r = 2\). Überprüfung der anderen Komponenten: \(1 + 2 \cdot 2 = 5\) und \(-2 + 2 \cdot 2 = 2\) bestätigt \(r = 2\). 3. Punktprobe für \(Q(5|5|2)\) in \(h\): Aus \(3 - 2 \cdot s = 5\) folgt \(-2s = 2\), also \(s = -1\). Überprüfung: \(1 - 4 \cdot (-1) = 5\) und \(-2 - 4 \cdot (-1) = 2\) bestätigt \(s = -1\). 4. Zusammenhang der Parameter: Da \(\vec{v}_h = -2\vec{v}_g\), muss für denselben Vektor \(\vec{x} - \vec{p}\) gelten: \(r\vec{v}_g = s(-2\vec{v}_g)\). Daraus ergibt sich die Beziehung \(r = -2s\) bzw. \(s = -\frac{1}{2}r\). Das negative Vorzeichen bewirkt eine Orientierungsumkehr auf der Geraden, und der Faktor \(2\) führt zu einer Skalierung der Parameterwerte.

a) Die Richtungsvektoren sind kollinear (\(\vec{v}_h = -2\vec{v}_g\)) und der Stützpunkt ist identisch. b) \(r = 2\) und \(s = -1\). c) Es gilt \(s = -\frac{1}{2}r\). Das negative Vorzeichen kehrt die Durchlaufrichtung um, und der Betrag des Richtungsvektors beeinflusst die „Schrittweite“ des Parameters.

- Welche zwei Bedingungen müssen erfüllt sein, damit zwei Parametergleichungen dieselbe Gerade beschreiben? - Wie kannst du feststellen, ob ein Punkt (der Stützvektor) auf einer gegebenen Geraden liegt? - Was bedeutet Kollinearität im Zusammenhang mit den Richtungsvektoren? - Berechne zuerst einen Richtungsvektor für die Gerade durch die Punkte \(A\) und \(B\).

1. Berechnung des Richtungsvektors von \(g\): \(\vec{u} = \vec{AB} = \begin{pmatrix} 5-2 \\ 2-(-1) \\ 0-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}\). Ein kollinearer Richtungsvektor muss ein Vielfaches von \(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\) sein. 2. Prüfung von \(h\): Der Stützvektor \(\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) entspricht dem Punkt \(B\) und liegt somit auf \(g\). Der Richtungsvektor \(\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\) ist kollinear zu \(\vec{u}\) (mit dem Faktor \(-\frac{1}{3}\)). Somit beschreibt \(h\) dieselbe Gerade. 3. Prüfung von \(k\): Der Stützvektor \(\begin{pmatrix} 8 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}\) liegt auf \(g\), da \(\begin{pmatrix} 8 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}\). Der Richtungsvektor \(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) ist jedoch nicht kollinear zu \(\vec{u}\) (die Vorzeichenstruktur passt nicht). Somit beschreibt \(k\) eine andere Gerade. 4. Prüfung von \(m\): Der Stützvektor \(\begin{pmatrix} 11 \\ 8 \\ -6 \end{pmatrix}\) liegt auf \(g\) (\(t = 3\)). Der Richtungsvektor \(\begin{pmatrix} 1{,}5 \\ 1{,}5 \\ -1{,}5 \end{pmatrix}\) ist kollinear zu \(\vec{u}\) (mit dem Faktor \(0{,}5\)). Somit beschreibt \(m\) dieselbe Gerade.

Die Darstellungen \(h\) und \(m\) beschreiben dieselbe Gerade \(g\). Die Darstellung \(k\) beschreibt eine andere Gerade, da ihr Richtungsvektor nicht kollinear zum Richtungsvektor von \(g\) ist.

- Wann beschreiben zwei verschiedene Gleichungen dieselbe Gerade? - Was muss für den Stützpunkt gelten, damit er auf der Geraden liegt? - In welcher Beziehung müssen die Richtungsvektoren zueinander stehen? - Kannst du den Vektor \(\vec{AB}\) berechnen und mit den Richtungsvektoren in den Gleichungen vergleichen? - Prüfe, ob der Punkt \((2| 2| 0)\) in einer besonderen Beziehung zu \(A\) und \(B\) steht.

1. Berechnung des Richtungsvektors der Geraden durch \(A\) und \(B\): \(\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \begin{pmatrix} 1-3 \\ 4-0 \\ 2-(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}\). 2. Überprüfung von Mias Gleichung: Der Stützvektor \(\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\) entspricht dem Ortsvektor von Punkt \(A\), der auf der Geraden liegt. Der Richtungsvektor \(\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) ist kollinear zu \(\vec{AB}\), da \(\vec{AB} = 2 \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\). Somit ist Mias Darstellung korrekt. 3. Überprüfung von Toms Gleichung: Der Stützvektor \(\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) ist der Mittelpunkt der Strecke \(AB\), da \(\frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB}) = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\). Der Mittelpunkt liegt auf der Geraden. Der Richtungsvektor \(\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}\) ist kollinear zu \(\vec{AB}\), da \(\vec{AB} = -2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}\). Somit ist auch Toms Darstellung korrekt.

Beide Darstellungen sind korrekt. Mia verwendet den Punkt \(A\) als Stützpunkt und einen Richtungsvektor, der halb so lang wie \(\vec{AB}\) ist. Tom verwendet den Mittelpunkt der Strecke \(AB\) als Stützpunkt und einen Richtungsvektor, der in die entgegengesetzte Richtung von \(\vec{AB}\) zeigt und halb so lang ist.

- Wann sind zwei Vektoren Vielfache voneinander? Betrachte die Komponenten, die keine Variablen enthalten. - Wenn du den Parameter \(k\) gefunden hast, wie unterscheidest du dann zwischen „parallel“ und „identisch“? - Reicht es aus, nur eine Komponente bei der Punktprobe zu prüfen?

1. Bedingung für Parallelität: Die Richtungsvektoren \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ k \\ -2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -9 \\ 12 \\ 6 \end{pmatrix}\) müssen kollinear sein. Es muss gelten \(\vec{v} = m\vec{u}\). Vergleich der \(x\)-Komponenten: \(-9 = m \cdot 3 \Rightarrow m = -3\). Vergleich der \(z\)-Komponenten zur Kontrolle: \(6 = -3 \cdot (-2) = 6\) (erfüllt). Berechnung von \(k\): \(12 = -3k \Rightarrow k = -4\). Für \(k = -4\) sind die Geraden parallel oder identisch. 2. Punktprobe für Identität: Prüfe, ob der Stützpunkt \(A(1|2|0)\) von \(g_{-4}\) auf \(h\) liegt: \(1 = 4 - 9s \Rightarrow -3 = -9s \Rightarrow s = \frac{1}{3}\). Einsetzen in die \(y\)-Komponente: \(-1 + 12 \cdot \frac{1}{3} = -1 + 4 = 3\). Da die \(y\)-Koordinate des Stützpunkts \(A\) jedoch \(2\) ist (\(3 \neq 2\)), liegt der Punkt nicht auf \(h\). Somit sind die Geraden für \(k = -4\) echt parallel.

a) \(k = -4\) b) Für \(k = -4\) sind die Geraden echt parallel.

- Überprüfe zuerst, ob die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind. - Wenn die Richtungsvektoren parallel sind, musst du durch eine Punktprobe klären, ob die Geraden identisch oder echt parallel sind. - Wenn die Richtungsvektoren nicht parallel sind, setze die Geradengleichungen gleich, um nach einem Schnittpunkt zu suchen. - Denke daran, dass ein Schnittpunkt nur existiert, wenn die gefundenen Parameterwerte alle drei Koordinatengleichungen erfüllen. - Was bedeutet es für die Lagebeziehung, wenn kein Schnittpunkt existiert, obwohl die Richtungsvektoren nicht parallel sind?

1. Paar \(g_1, g_3\): Untersuchung der Richtungsvektoren \(\vec{v}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v}_3 = \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\) zeigt Kollinearität (\(\vec{v}_3 = -2 \cdot \vec{v}_1\)). Punktprobe mit \(A_3(-3|0|0)\) in \(g_1\) liefert \(1+2r=-3 \Rightarrow r=-2\), \(2+r=0 \Rightarrow r=-2\) und \(3-r=0 \Rightarrow r=3\). Da die Komponentengleichungen widersprüchliche Werte für \(r\) liefern, liegt der Punkt nicht auf der Geraden. Ergebnis: \(g_1\) und \(g_3\) sind echt parallel. 2. Paar \(g_1, g_2\): Richtungsvektoren sind nicht kollinear. Gleichsetzen der Parameterformen führt zum LGS: \(1+2r = 5-s\), \(2+r = 4+2s\), \(3-r = 1+2s\). Aus den ersten beiden Gleichungen folgt \(r=2\) und \(s=0\). Einsetzen in die dritte Gleichung: \(3-2 = 1\) und \(1+2(0) = 1\) (wahr). Ergebnis: Schnittpunkt \(S(5|4|1)\). 3. Paar \(g_2, g_3\): Richtungsvektoren sind nicht kollinear. Gleichsetzen führt zum LGS: \(5-s = -3-4t\), \(4+2s = -2t\), \(1+2s = 2t\). Aus den letzten beiden Gleichungen folgt durch Addition \(5+4s = 0 \Rightarrow s = -1{,}25\) und daraus \(t = -0{,}75\). Prüfung in der ersten Gleichung: \(5 - (-1{,}25) = 6{,}25\) und \(-3 - 4(-0{,}75) = 0\). Da \(6{,}25 \neq 0\), gibt es keinen Schnittpunkt. Ergebnis: \(g_2\) und \(g_3\) sind windschief.

\(g_1\) und \(g_2\) schneiden sich im Punkt \(S(5|4|1)\). \(g_1\) und \(g_3\) sind echt parallel. \(g_2\) und \(g_3\) sind windschief.

- Überprüfe zuerst, ob die Richtungsvektoren der Geraden Vielfache voneinander sind. - Wenn die Richtungsvektoren parallel sind, musst du mit einer Punktprobe klären, ob die Geraden identisch oder echt parallel sind. - Sind die Richtungsvektoren nicht parallel, setze die Geradengleichungen gleich, um nach einem Schnittpunkt zu suchen. - Erhältst du beim Gleichsetzen ein unlösbares System mit einem Widerspruch, obwohl die Richtungen verschieden sind, liegen die Geraden windschief.

1. Untersuchung von \(g\) und \(h\): Die Richtungsvektoren \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) sind nicht kollinear. Das Gleichsetzen der Parameterformen führt auf das System: \(1+r=3\), \(2=2+s\) und \(3+r=5+s\). Daraus folgt \(s=0\) und \(r=2\). Die Prüfung in der dritten Gleichung ergibt \(3+2=5+0\), also \(5=5\). Die Geraden schneiden sich im Punkt \(S(3 | 2 | 5)\). 2. Untersuchung von \(g\) und \(k\): Die Richtungsvektoren \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\) sind kollinear, da \(-2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\). Eine Punktprobe mit dem Stützpunkt \((2 | 0 | 1)\) von \(k\) in \(g\) ergibt: \(1+r=2 \Rightarrow r=1\), aber \(2=0\) ist ein Widerspruch. Somit sind \(g\) und \(k\) echt parallel. 3. Untersuchung von \(h\) und \(k\): Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear. Das Gleichsetzen ergibt: \(3=2-2t \Rightarrow t=-0{,}5\); \(2+s=0 \Rightarrow s=-2\). Die Prüfung in der dritten Koordinate: \(5+s = 5-2 = 3\) und \(1-2t = 1-2(-0{,}5) = 2\). Da \(3 \neq 2\), sind die Geraden \(h\) und \(k\) windschief.

\(g\) und \(h\) schneiden sich im Punkt \(S(3 | 2 | 5)\). \(g\) und \(k\) sind echt parallel. \(h\) und \(k\) sind windschief.

- Wann haben zwei Geradengleichungen unendlich viele gemeinsame Punkte? - Was bedeutet es für die Lagebeziehung, wenn ein Gleichungssystem beim Gleichsetzen keinen einzigen Schnittpunkt liefert, obwohl die Richtungsvektoren in die gleiche Richtung zeigen? - Überprüfe zuerst, ob die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind. - Wie viele Zeilen eines Gleichungssystems müssen erfüllt sein, damit ein Punkt auf einer Geraden liegt?

1. Vergleich der Richtungsvektoren: \(\vec{v}_g = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}\), \(\vec{v}_h = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} = -0{,}5 \cdot \vec{v}_g\) und \(\vec{v}_k = \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 9 \end{pmatrix} = 1{,}5 \cdot \vec{v}_g\). Da die Richtungsvektoren kollinear sind, sind alle drei Geraden zueinander parallel oder identisch. 2. Schnittpunktansatz \(g \cap h\): Gleichsetzen der Parameterdarstellungen führt auf das System: \(5 + 4r = 1 - 2s \Leftrightarrow 4r + 2s = -4\) \(-2r = 2 + s \Leftrightarrow -2r - s = 2\) \(-2 + 6r = -8 - 3s \Leftrightarrow 6r + 3s = -6\) Alle drei Gleichungen sind äquivalent zu \(2r + s = -2\). Das System hat unendlich viele Lösungen, woraus folgt, dass \(g\) und \(h\) identisch sind (\(g = h\)). 3. Schnittpunktansatz \(g \cap k\): Gleichsetzen führt auf: \(5 + 4r = 3 + 6t \Leftrightarrow 2r - 3t = -1\) \(-2r = 1 - 3t \Leftrightarrow 2r - 3t = -1\) \(-2 + 6r = -1 + 9t \Leftrightarrow 6r - 9t = 1 \Leftrightarrow 2r - 3t = \frac{1}{3}\) Die Gleichungen widersprechen sich (\(-1 \neq \frac{1}{3}\)), das System ist unlösbar. Daraus folgt, dass \(g\) und \(k\) echt parallel sind. 4. Ergebnis: \(g\) und \(h\) beschreiben dieselbe Gerade, \(k\) ist eine dazu echt parallele Gerade.

Die Geraden \(g\) und \(h\) sind identisch. Die Gerade \(k\) ist zu beiden echt parallel.

- Erinnerst du dich, wie man prüft, ob ein Vektor ein Vielfaches eines anderen ist? - Wenn du zwei Geraden gleichsetzt und eine wahre Aussage wie \(0=0\) oder zwei identische Gleichungen erhältst, was sagt das über die Anzahl der Schnittpunkte aus? - Reicht es aus, nur zwei der Geraden zu vergleichen, um eine Aussage über alle drei zu treffen? - Achte darauf, dass die Geraden hier in der Ebene (\(\mathbb{R}^2\)) liegen, das Prinzip aber das gleiche wie im Raum ist.

1. Analyse der Richtungsvektoren: \(\vec{v}_g = \begin{pmatrix} -4 \\ 6 \end{pmatrix}\), \(\vec{v}_h = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v}_k = \begin{pmatrix} 6 \\ -9 \end{pmatrix}\). Es gilt \(\vec{v}_g = -2 \cdot \vec{v}_h\) und \(\vec{v}_k = 3 \cdot \vec{v}_h\). Alle Geraden verlaufen in dieselbe Richtung. 2. Schnittpunktansatz \(g \cap h\): \(2 - 4\lambda = 2\mu \Rightarrow 2\lambda + \mu = 1\) \(1 + 6\lambda = 4 - 3\mu \Rightarrow 6\lambda + 3\mu = 3 \Rightarrow 2\lambda + \mu = 1\) Beide Gleichungen sind identisch. Das System besitzt unendlich viele Lösungen, was bedeutet, dass \(g\) und \(h\) identisch sind. 3. Schnittpunktansatz \(h \cap k\): \(2\mu = 4 + 6\sigma \Rightarrow \mu - 3\sigma = 2\) \(4 - 3\mu = -2 - 9\sigma \Rightarrow -3\mu + 9\sigma = -6 \Rightarrow \mu - 3\sigma = 2\) Auch hier ergeben sich unendlich viele Lösungen, somit ist \(h = k\). 4. Schlussfolgerung: Da \(g = h\) und \(h = k\), beschreiben alle drei Parameterdarstellungen dieselbe Gerade.

Alle drei Parameterdarstellungen (\(g\), \(h\) und \(k\)) bestimmen dieselbe Gerade.

- Wann sind zwei Geraden identisch und was bedeutet das für ihre Richtungs- und Stützvektoren? - Kannst du einen Zusammenhang zwischen den beiden Richtungsvektoren erkennen? - Was passiert, wenn du versuchst, den Stützpunkt der einen Geraden in die Gleichung der anderen Geraden einzusetzen? - Überlege dir, welche Lagebeziehungen zwischen Geraden im Raum möglich sind, wenn die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind.

1. Damit die Geraden identisch sind, müssen ihre Richtungsvektoren kollinear sein und der Stützpunkt von \(h_{a,b}\) muss auf \(g\) liegen. Die Richtungsvektoren \(\begin{pmatrix} -2 \\ -6 \\ 4 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}\) sind kollinear, da \((-2) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -6 \\ 4 \end{pmatrix}\). Für die Punktprobe des Stützpunkts gilt: \(\begin{pmatrix} a \\ 10 \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}\). Aus der zweiten Zeile folgt \(10 = 1 + 3\lambda \Rightarrow \lambda = 3\). Einsetzen in die erste Zeile ergibt \(a = 2 + 3 = 5\). Einsetzen in die dritte Zeile ergibt \(b = -3 - 2 \cdot 3 = -9\). 2. Ein einzelner Schnittpunkt ist nur möglich, wenn die Richtungsvektoren linear unabhängig sind. Da hier die Richtungsvektoren für alle \(a, b\) linear abhängig (kollinear) sind, können die Geraden nur identisch oder echt parallel sein. In keinem dieser Fälle existiert genau ein Schnittpunkt.

1. \(a = 5\) und \(b = -9\) 2. Da die Richtungsvektoren kollinear sind (\(\vec{v}_h = -2 \cdot \vec{v}_g\)), sind die Geraden für alle \(a, b\) entweder parallel oder identisch. Ein einzelner Schnittpunkt setzt jedoch linear unabhängige Richtungsvektoren voraus.

- Was muss für die Ortsvektoren gelten, wenn sich zwei Geraden schneiden? - Du hast drei Koordinatengleichungen, aber zunächst nur zwei Unbekannte in den Parametern der Geraden. Welche Gleichungen eignen sich am besten zum Starten? - Wie kannst du überprüfen, ob dein berechneter Parameter \(a\) tatsächlich zu einem Schnittpunkt führt? - Denke daran, dass der Schnittpunkt auf beiden Geraden liegen muss.

1. Gleichsetzen der Geradengleichungen führt auf das lineare Gleichungssystem: I: \(3 + r = 1 + 3s\) II: \(1 - 2r = 7 + as\) III: \(4 + 2r = -2 - 2s\) 2. Aus I folgt \(r = 3s - 2\). Einsetzen in III ergibt \(4 + 2(3s - 2) = -2 - 2s\), woraus \(4 + 6s - 4 = -2 - 2s\) folgt. Dies vereinfacht sich zu \(8s = -2\), also \(s = -0{,}25\). 3. Einsetzen von \(s = -0{,}25\) in I ergibt \(r = 3 \cdot (-0{,}25) - 2 = -2{,}75\). 4. Einsetzen von \(r\) und \(s\) in II: \(1 - 2(-2{,}75) = 7 + a(-0{,}25) \Rightarrow 6{,}5 = 7 - 0{,}25a \Rightarrow -0{,}5 = -0{,}25a \Rightarrow a = 2\). 5. Berechnung des Schnittpunkts mit \(r = -2{,}75\) in \(g\): \(\vec{x}_S = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} - 2{,}75\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}25 \\ 6{,}5 \\ -1{,}5 \end{pmatrix}\).

a) \(a = 2\) b) \(S(0{,}25 \mid 6{,}5 \mid -1{,}5)\)

- Schau dir zuerst die Stützvektoren an – gibt es dort eine Gemeinsamkeit? - Untersuche die Richtungsvektoren auf Kollinearität (sind sie Vielfache voneinander?). - Gibt es Koordinaten, die bei einer Geraden immer denselben Wert haben? - Was bedeutet es für die Lagebeziehung, wenn ein Punkt der einen Geraden offensichtlich auf der anderen liegt?

1. Teilaufgabe a): Die Geraden besitzen denselben Stützvektor \(\vec{p} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\). Da die Richtungsvektoren \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) keine Vielfachen voneinander (also linear unabhängig) sind, schneiden sich die Geraden genau in diesem Punkt. Der Schnittpunkt ist \(S(5|2|-1)\). 2. Teilaufgabe b): Für alle Punkte auf \(g\) gilt \(x = 1\) und \(y = 2\), da der Richtungsvektor nur eine \(z\)-Komponente hat. Für alle Punkte auf \(h\) gilt \(x = 2\) und \(z = 5\). Da die \(x\)-Koordinaten der Geraden stets verschieden sind (\(1 \neq 2\)), kann es keinen gemeinsamen Punkt geben. Da die Richtungsvektoren \(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) nicht kollinear sind, sind die Geraden windschief.

a) Die Geraden schneiden sich im Punkt \(S(5|2|-1)\). b) Die Geraden sind windschief.

- Vergleiche die Richtungsvektoren. Sind sie parallel? - Prüfe, ob der Stützpunkt der einen Geraden die Form des Richtungsvektors der anderen (Ursprungs-)Geraden hat. - Wenn Geraden dieselbe Richtung haben, reicht ein einziger gemeinsamer Punkt für Identität. - Überlege dir, wo die Stützpunkte im Koordinatensystem liegen und in welche Richtung sich die Geraden von dort aus wegbewegen.

1. Teilaufgabe a): Der Richtungsvektor von \(g\) ist das Doppelte des Richtungsvektors von \(h\) (\(\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)), somit sind sie parallel. Da der Stützpunkt von \(g\) (\(\vec{p} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)) gleichzeitig der Richtungsvektor von \(h\) ist, liegt dieser Punkt auf \(h\) (für \(\mu = 1\)). Die Geraden sind somit identisch. 2. Teilaufgabe b): Beide Geraden haben denselben Richtungsvektor \(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\), sind also parallel. Die Stützpunkte \((0|0|4)\) und \((0|0|5)\) liegen beide auf der \(z\)-Achse. Damit die Geraden identisch wären, müsste ihr gemeinsamer Richtungsvektor in Richtung der Differenz der Stützpunkte \(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) zeigen. Da dies nicht der Fall ist, haben sie keinen gemeinsamen Punkt und sind echt parallel.

a) Die Geraden sind identisch. b) Die Geraden sind echt parallel.

- Was muss für drei Geraden gelten, damit sie ein Dreieck begrenzen? - Wie prüfst du die Lagebeziehung von zwei Geraden im Raum? - Erinnerst du dich, wie man ein lineares Gleichungssystem löst, um Schnittpunkte zu finden? - Wenn du zwei Eckpunkte auf einer Geraden gefunden hast, welche Werte nimmt der Parameter zwischen diesen Punkten an?

1. Schnittpunkt \(g \cap h\): Gleichsetzen der Parameterformen führt auf das Gleichungssystem \(2\lambda + \mu = 4\) und \(-\lambda - 2\mu = -2\). Die Lösung ergibt \(\mu = 0\) und \(\lambda = 2\). Der Schnittpunkt ist \(P_1(5|0|1)\). 2. Schnittpunkt \(h \cap k\): Gleichsetzen führt auf \(\mu + \nu = 2\) und \(2\mu - \nu = 4\). Die Lösung ergibt \(\mu = 2\) und \(\nu = 0\). Der Schnittpunkt ist \(P_2(3|4|5)\). 3. Schnittpunkt \(k \cap g\): Gleichsetzen führt auf \(\nu - 2\lambda = -2\) und \(\nu + \lambda = -2\). Die Lösung ergibt \(\lambda = 0\) und \(\nu = -2\). Der Schnittpunkt ist \(P_3(1|2|3)\). 4. Da drei paarweise verschiedene Schnittpunkte existieren, bilden die Geraden ein Dreieck mit den Eckpunkten \(P_1, P_2, P_3\). 5. Parameterintervalle für die Seiten: Seite \(P_3 P_1\) auf \(g\): \(\lambda \in [0; 2]\) Seite \(P_1 P_2\) auf \(h\): \(\mu \in [0; 2]\) Seite \(P_2 P_3\) auf \(k\): \(\nu \in [-2; 0]\)

Die Geraden bilden ein Dreieck. Eckpunkte: \(A(5|0|1)\), \(B(3|4|5)\) und \(C(1|2|3)\). Seitenintervalle: \(g: \lambda \in [0; 2]\); \(h: \mu \in [0; 2]\); \(k: \nu \in [-2; 0]\).

- Ein Dreieck entsteht nur, wenn sich alle drei Geradenpaare in jeweils genau einem Punkt schneiden. - Untersuche nacheinander die Lagebeziehungen der Paare \((g, h)\), \((g, k)\) und \((h, k)\). - Was bedeutet es für die Figur, wenn zwei Geraden windschief zueinander liegen?

1. Untersuchung \(g \cap h\): Gleichsetzen ergibt \(2 + \lambda = 3\), \(1 = 1 + \mu\) und \(1 + \lambda = 2 + \mu\). Daraus folgt \(\lambda = 1\) und \(\mu = 0\). Die dritte Gleichung \(1 + 1 = 2 + 0\) ist erfüllt. Schnittpunkt \(S_1(3|1|2)\). 2. Untersuchung \(g \cap k\): Gleichsetzen ergibt \(2 + \lambda = 1 + \nu\), \(1 = 1 + \nu\) und \(1 + \lambda = 1\). Aus der zweiten Gleichung folgt \(\nu = 0\), aus der dritten \(\lambda = 0\). Einsetzen in die erste Gleichung ergibt \(2 + 0 = 1 + 0\), was ein Widerspruch (\(2 = 1\)) ist. Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear, daher sind \(g\) und \(k\) windschief. 3. Da ein Paar der Geraden keinen Schnittpunkt besitzt, können die drei Geraden kein Dreieck bilden.

Die Geraden bilden kein Dreieck, da die Geraden \(g\) und \(k\) windschief zueinander sind (es existiert kein Schnittpunkt).

- Wie berechnet man den Bildpunkt eines Punktes bei einer Spiegelung an einem Zentrum? - Überlege dir, wie sich die Richtung einer Geraden ändert, wenn jeder ihrer Punkte am selben Zentrum gespiegelt wird. - Erinnere dich an die Definition von Parallelität im Zusammenhang mit Richtungsvektoren. - Für die allgemeine Begründung hilft es, die Spiegelformel auf die gesamte Geradengleichung anzuwenden.

1. Zur Bestimmung von \(g'\) wird der Stützvektor \(\vec{a} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}\) von \(g\) an \(Q\) gespiegelt: \(\vec{a'} = \vec{q} + (\vec{q} - \vec{a}) = 2\vec{q} - \vec{a} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\). 2. Da die Punktspiegelung die Richtung einer Geraden nicht ändert (bzw. den Richtungsvektor invertiert), bleibt der Richtungsvektor kollinear. Eine mögliche Gleichung ist \(g': \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\). 3. Die Geraden \(g\) und \(g'\) besitzen denselben Richtungsvektor und unterschiedliche Punktmengen, sie sind also echt parallel. 4. Allgemeine Begründung: Ein beliebiger Punkt \(X\) auf \(g\) mit \(\vec{x} = \vec{a} + s \cdot \vec{v}\) wird auf \(X'\) mit \(\vec{x'} = 2\vec{q} - \vec{x} = (2\vec{q} - \vec{a}) - s \cdot \vec{v}\) abgebildet. Dies ist die Parameterform einer Geraden mit dem Richtungsvektor \(-\vec{v}\), welcher parallel zu \(\vec{v}\) ist. Da \(Q \notin g\), kann \(g\) nicht mit \(g'\) identisch sein.

a) \(g': \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\) (oder eine dazu äquivalente Form) b) Die Geraden \(g\) und \(g'\) sind echt parallel. c) Die Spiegelung transformiert die Geradengleichung \(\vec{x} = \vec{a} + s \cdot \vec{v}\) in \(\vec{x'} = (2\vec{q} - \vec{a}) - s \cdot \vec{v}\). Der neue Richtungsvektor \(-\vec{v}\) ist kollinear zu \(\vec{v}\), was Parallelität impliziert.

- Was muss für die Richtungsvektoren gelten, damit ein Schnittpunkt überhaupt möglich ist? - Wie kannst du die Parameter der Geraden berechnen, wenn du zunächst die Gleichung ignorierst, in der der unbekannte Parameter \(a\) vorkommt? - Was passiert mit dem Parameter \(a\), wenn du die gefundenen Werte für die Geradenparameter in die verbliebene Gleichung einsetzt? - Wie erhältst du aus den berechneten Parametern die Punktkoordinaten?

1. Aufstellen eines linearen Gleichungssystems durch Gleichsetzen der Geradengleichungen: \(4 + 2r = a + s\), \(2 - r = 1 + 2s\) und \(1 + 3r = 5 - s\). 2. Verwendung der zweiten und dritten Gleichung zur Bestimmung der Parameter \(r\) und \(s\): Aus \(r = 1 - 2s\) und Einsetzen in die dritte Gleichung folgt \(1 + 3(1 - 2s) = 5 - s\), woraus sich \(s = -0{,}2\) und \(r = 1{,}4\) ergeben. 3. Einsetzen von \(r = 1{,}4\) und \(s = -0{,}2\) in die erste Gleichung, um \(a\) zu berechnen: \(4 + 2 \cdot 1{,}4 = a - 0{,}2 \Rightarrow 6{,}8 = a - 0{,}2 \Rightarrow a = 7\). 4. Berechnung des Schnittpunkts \(S\) durch Einsetzen von \(r = 1{,}4\) in die Gleichung von \(g\): \(\vec{x}_S = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + 1{,}4 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6{,}8 \\ 0{,}6 \\ 5{,}2 \end{pmatrix}\).

Für \(a = 7\) schneiden sich die Geraden im Punkt \(S(6{,}8 | 0{,}6 | 5{,}2)\).

- Prüfe zuerst, ob die Richtungsvektoren der Geraden Vielfache voneinander sind. - Wenn die Richtungsvektoren parallel sind, musst du mit einer Punktprobe klären, ob die Geraden identisch oder echt parallel sind. - Wenn die Richtungsvektoren nicht parallel sind, setze die Geradengleichungen gleich, um nach gemeinsamen Punkten zu suchen. - Vergiss nicht, bei einem Schnittpunkt die gefundenen Parameterwerte in der dritten Gleichung zu überprüfen.

1. Untersuchung von \(g\) und \(k\): Die Richtungsvektoren \(\vec{u}_g = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{u}_k = \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\) sind kollinear, da \(-2 \cdot \vec{u}_g = \vec{u}_k\). Punktprobe mit dem Stützpunkt von \(k\) in \(g\): \(\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\) führt auf \(r=2\) in allen drei Komponenten. Somit sind \(g\) und \(k\) identisch. 2. Untersuchung von \(g\) und \(h\): Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear. Gleichsetzen der Geradengleichungen führt zum linearen Gleichungssystem: (I) \(-1 + 2r = 4 - 3s\) (II) \(r = 2 - s\) (III) \(3 - 2r = -2 + 3s\) Einsetzen von (II) in (I): \(-1 + 2(2 - s) = 4 - 3s \implies 3 - 2s = 4 - 3s \implies s = 1\). Daraus folgt \(r = 1\). Überprüfung in (III): \(3 - 2(1) = -2 + 3(1) \implies 1 = 1\) (wahre Aussage). Die Geraden \(g\) und \(h\) schneiden sich im Punkt \(S(1|1|1)\). Da \(g=k\), schneiden sich auch \(h\) und \(k\) in \(S\).

Die Geraden \(g\) und \(k\) sind identisch. Die Gerade \(h\) schneidet sowohl \(g\) als auch \(k\) im Punkt \(S(1|1|1)\).

- Betrachte zuerst die Richtungsvektoren der Geraden. Sind sie Vielfache voneinander? - Wenn die Richtungsvektoren parallel sind, musst du prüfen, ob ein Punkt der einen Geraden auch auf der anderen liegt. - Wenn die Richtungsvektoren nicht parallel sind, setze die Geradengleichungen gleich, um nach einem Schnittpunkt zu suchen. - Was bedeutet es für die Lage der Geraden, wenn das resultierende Gleichungssystem keine Lösung hat?

1. Untersuchung von \(g\) und \(h\): Die Richtungsvektoren \(\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ -6 \end{pmatrix}\) sind kollinear, da \(\vec{v}_h = -1{,}5\vec{v}_g\). Die Punktprobe mit dem Stützpunkt von \(h\) in \(g\) ergibt \(0 = 4 + 2r \Rightarrow r = -2\). Einsetzen in die \(y\)-Komponente: \(-2 - 2 \cdot (-2) = 2 \neq 1\). Somit sind \(g\) und \(h\) echt parallel. 2. Untersuchung von \(g\) und \(k\): Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear. Gleichsetzen der Geradengleichungen führt auf das System: \(4 + 2r = 3 + t\), \(-2 - 2r = 1\) und \(1 + 4r = -3 + t\). Aus der zweiten Gleichung folgt \(r = -1{,}5\). Einsetzen in die erste Gleichung ergibt \(t = 4 + 2 \cdot (-1{,}5) - 3 = -2\). Die Prüfung in der dritten Gleichung ergibt \(1 + 4 \cdot (-1{,}5) = -5\) und \(-3 + (-2) = -5\). Somit schneiden sich \(g\) und \(k\) im Punkt \(S(1|1|-5)\). 3. Untersuchung von \(h\) und \(k\): Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear. Gleichsetzen ergibt in der \(y\)-Komponente \(1 + 3s = 1 \Rightarrow s = 0\). In der \(x\)-Komponente folgt \(0 - 3 \cdot 0 = 3 + t \Rightarrow t = -3\). Die Prüfung in der \(z\)-Komponente ergibt \(-5 - 6 \cdot 0 = -5\) und \(-3 + (-3) = -6\). Da \(-5 \neq -6\), sind \(h\) und \(k\) windschief.

\(g\) und \(h\) sind echt parallel; \(g\) und \(k\) schneiden sich im Punkt \(S(1|1|-5)\); \(h\) und \(k\) sind windschief zueinander.

- Beginne damit, für beide Punktpaare eine Parameterform der Geraden aufzustellen. - Untersuche zuerst, ob die Richtungsvektoren der beiden Geraden in die gleiche Richtung zeigen. - Wenn die Geraden nicht parallel sind, musst du prüfen, ob sie einen gemeinsamen Punkt haben. - Welche Lagebeziehung zwischen zwei Geraden verhindert, dass beide Geraden in einer gemeinsamen Ebene liegen?

1. Aufstellen der Geradengleichungen: \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Prüfung auf Parallelität: Die Richtungsvektoren \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) sind keine Vielfachen voneinander, also sind die Geraden weder parallel noch identisch. 3. Prüfung auf Schnittpunkt: Gleichsetzen der Geraden führt zum System: I: \(1 + 2r = 2 + 2s\) II: \(2 + 2r = s\) III: \(1 + 2r = 4 + s\) Aus II folgt \(2r = s - 2\). Eingesetzt in I: \(1 + s - 2 = 2 + 2s \Rightarrow s - 1 = 2 + 2s \Rightarrow s = -3\). Daraus ergibt sich \(2r = -5 \Rightarrow r = -2{,}5\). Prüfung in III: \(1 + 2 \cdot (-2{,}5) = -4\), aber \(4 + (-3) = 1\). Da \(-4 \neq 1\), existiert kein Schnittpunkt. 4. Schlussfolgerung: Da die Geraden weder parallel sind noch einen Schnittpunkt besitzen, sind sie windschief. Windschiefe Geraden liegen nicht in einer gemeinsamen Ebene, weshalb auch die vier Punkte nicht in einer Ebene liegen.

Die Geraden \(g\) und \(h\) sind windschief. Daher liegen die vier Punkte \(P_1, P_2, P_3\) und \(P_4\) nicht in einer gemeinsamen Ebene.

- Behandle den Parameter \(k\) zunächst wie eine Unbekannte in einer der Gleichungen. - Nutze die Gleichungen, in denen \(k\) nicht vorkommt, um die Werte für \(r\) und \(s\) zu berechnen. - Wie muss \(k\) gewählt werden, damit die verbleibende Gleichung keine Widersprüche erzeugt?

1. Aufstellen des Gleichungssystems durch Gleichsetzen \(\vec{g}(r) = \vec{h}_k(s)\): (I) \(2 + r = 4 + 2s \Rightarrow r - 2s = 2\) (II) \(1 + r = 3 + s \Rightarrow r - s = 2\) (III) \(2r = k\) 2. Subtraktion von (I) von (II) liefert: \((r - s) - (r - 2s) = 2 - 2 \Rightarrow s = 0\). 3. Einsetzen von \(s = 0\) in (II) ergibt \(r = 2\). 4. Bestimmung von \(k\) mithilfe von Gleichung (III): \(k = 2 \cdot r = 2 \cdot 2 = 4\). 5. Berechnung des Schnittpunkts \(S\) mit \(r = 2\): \(\vec{x}_S = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\).

Für \(k = 4\) schneiden sich die Geraden im Punkt \(S(4|3|4)\).

- Überprüfe zuerst, ob die Richtungsvektoren parallel zueinander verlaufen. - Wenn sie nicht parallel sind, gibt es zwei Möglichkeiten für die Lagebeziehung. Welche sind das? - Setze die Geradengleichungen gleich, um ein Gleichungssystem aufzustellen. - Was sagt es über die Lage aus, wenn die ersten zwei Gleichungen eine Lösung liefern, die dritte aber nicht?

1. Richtungsvektoren \(\vec{v}_g = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v}_h = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\) sind keine Vielfachen voneinander (\(1 : 3 \neq 2 : (-1)\)), daher sind die Geraden weder parallel noch identisch. 2. Gleichsetzen der Geradengleichungen zur Prüfung auf einen Schnittpunkt: (I) \(\lambda - 3\mu = 2\) (II) \(2\lambda + \mu = -3\) (III) \(2\lambda - \mu = 4\) 3. Lösen von (I) und (II): Aus (II) folgt \(\mu = -3 - 2\lambda\). Einsetzen in (I): \(\lambda - 3(-3 - 2\lambda) = 2 \Rightarrow \lambda + 9 + 6\lambda = 2 \Rightarrow 7\lambda = -7 \Rightarrow \lambda = -1\). Daraus folgt \(\mu = -3 - 2(-1) = -1\). 4. Überprüfung in (III): \(2(-1) - (-1) = -2 + 1 = -1\). Da \(-1 \neq 4\), ist das LGS unlösbar. 5. Schlussfolgerung: Da die Richtungsvektoren nicht kollinear sind und kein Schnittpunkt existiert, sind die Geraden windschief.

Die Geraden \(g\) und \(h\) sind windschief.

- Was folgt aus linear abhängigen Richtungsvektoren für die möglichen Lagebeziehungen der beiden Geraden? - Welche Rolle spielt der Verbindungsvektor der Stützpunkte dabei, zwischen identischen und echt parallelen Geraden zu unterscheiden? - Überlege bei b), welche zusätzliche Information über die beiden Richtungsvektoren einen eindeutigen Schnitt erst möglich macht. - Vergleiche den Fall zweier nicht paralleler Geraden mit dem Fall, in dem die Richtungsvektoren bereits voneinander abhängig sind.

1. Sind \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) linear abhängig, so sind die Geraden parallel oder identisch. Da \(\vec{w}\) nicht linear abhängig von \(\vec{u}\) ist, liegt der Stützpunkt von \(h\) nicht auf \(g\). Daher sind die Geraden echt parallel. 2. Haben die Geraden einen eindeutigen Schnittpunkt, so sind sie koplanar. Deshalb sind \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) und \(\vec{w}\) linear abhängig. 3. Die Umkehrung gilt ohne Zusatzbedingung nicht: Sind bereits \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) linear abhängig, dann ist auch die Dreiermenge \(\{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\}\) linear abhängig, unabhängig davon, ob die Geraden identisch oder echt parallel sind. 4. Sind dagegen \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) linear unabhängig, so bedeutet die lineare Abhängigkeit der drei Vektoren, dass \(\vec{w}\) im Spann von \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) liegt; dann schneiden sich die Geraden in genau einem Punkt.

a) Die Geraden sind echt parallel. b) Ein eindeutiger Schnittpunkt setzt die lineare Abhängigkeit von \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) und \(\vec{w}\) voraus. Allein reicht diese Bedingung nicht, weil sie bei linear abhängigen Richtungsvektoren auch für identische oder echt parallele Geraden erfüllt sein kann. Zusammen mit der linearen Unabhängigkeit von \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) ist sie hinreichend.

- Stelle zuerst die Gleichung der Geraden durch zwei Punkte auf. - Wann sind zwei Vektoren parallel? Wie prüfst du das rechnerisch? - Wie berechnet man die Länge eines Vektors und wie skaliert man ihn auf eine bestimmte Länge? - Was zeichnet die Koordinaten eines Punktes auf der \(x_3\)-Achse aus? - Ein Punkt auf einer Geraden lässt sich durch die Geradengleichung in Abhängigkeit von einem Parameter ausdrücken.

1. Gerade \(g\): Richtungsvektor \(\vec{u}_g = \vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\). Gleichung \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) (vereinfachter Richtungsvektor). 2. Lagebeziehung: Die Richtungsvektoren \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\) sind nicht kollinear. Gleichsetzen: \(1+t = \mu\), \(2 = 1-\mu\), \(-1+t = 4\). Aus der zweiten Gleichung folgt \(\mu = -1\). Dann ergibt die erste Gleichung \(t = -2\). Die dritte Gleichung liefert \(-3 = 4\) (Widerspruch). Also windschief. 3. Richtungsvektor für \(k\): Parallelität zu \(h\) bedeutet \(\vec{v}_k = c \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\). Der Betrag ist \(|c| \cdot \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2} = |c| \cdot \sqrt{2}\). Da \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\), muss \(|c| = 3\) gelten. Ein möglicher Vektor ist \(\vec{v}_k = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}\). 4. Punkt \(C\) auf \(h\): \(C(\mu | 1-\mu | 4)\). Gerade \(j: \vec{x} = \begin{pmatrix} \mu \\ 1-\mu \\ 4 \end{pmatrix} + \tau \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). Schnitt mit \(x_3\)-Achse bedeutet \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 0\). Aus \(1-\mu + 0 = 0\) folgt \(\mu = 1\). Damit ergibt \(\mu + \tau = 0\) den Wert \(\tau = -1\). Für \(\mu = 1\) ist der Punkt \(C(1|0|4)\).

a) Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear und das Gleichungssystem hat keine Lösung; daher sind die Geraden windschief. b) Ein möglicher Richtungsvektor ist \(\vec{v}_k = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}\) (oder \(\begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\)). c) Der gesuchte Stützpunkt ist \(C(1|0|4)\).

- Untersuche zuerst, ob die Geraden jemals parallel sein können. - Bestimme die Parameter der Geraden mithilfe der Zeilen, die keinen Parameter \(a\) enthalten. - Welche Bedingung muss für \(a\) gelten, damit die verbleibende Gleichung ebenfalls erfüllt ist? - Was passiert geometrisch, wenn das System für ein bestimmtes \(a\) keine Lösung hat?

Die Richtungsvektoren \(\begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 \end{pmatrix}^\top\) und \(\begin{pmatrix} 3 & 2 & 0 \end{pmatrix}^\top\) sind nicht kollinear, da die \(z\)-Komponente des zweiten Vektors null ist, die des ersten jedoch nicht. Die Geraden sind also für alle \(a\) entweder schneidend oder windschief. Das Gleichungssystem aus dem Gleichsetzen lautet: 1) \(1 + \lambda = a + 3\mu\) 2) \(4 - 2\lambda = 2 + 2\mu\) 3) \(3 + 2\lambda = 1\) Aus 3) folgt \(2\lambda = -2\), also \(\lambda = -1\). Einsetzen in 2) ergibt \(4 - 2(-1) = 2 + 2\mu\), woraus \(6 = 2 + 2\mu\) und somit \(\mu = 2\) folgt. Damit sich die Geraden schneiden, muss 1) erfüllt sein: \(1 + (-1) = a + 3(2)\), was zu \(0 = a + 6\), also \(a = -6\) führt. Für \(a = -6\) liegt ein Schnittpunkt vor, der durch Einsetzen von \(\lambda = -1\) in \(g\) berechnet wird: \(S(0|6|1)\). Für alle \(a \neq -6\) ist das System unlösbar, die Geraden sind dann windschief.

Für \(a = -6\) schneiden sich die Geraden im Punkt \(S(0|6|1)\). Für \(a \neq -6\) sind die Geraden windschief.

- Beginne damit, die Geradengleichungen komponentenweise gleichzusetzen. - Welche der drei Gleichungen enthalten zunächst nur die Parameter \(r\) und \(s\)? - Nutze die Gleichungen, die unabhängig von \(a\) sind, um die Werte für die Parameter zu finden. - Setze die gefundenen Parameter in die verbleibende Gleichung ein, um die Bedingung für \(a\) zu erfüllen.

1. Aufstellen des linearen Gleichungssystems durch Gleichsetzen der Geradengleichungen: \(4 + r = 1 + 2s\) (I) \(a + 2r = 1 + s\) (II) \(3 + r = 2\) (III) 2. Bestimmung von \(r\) aus (III): \(r = 2 - 3 = -1\). 3. Bestimmung von \(s\) durch Einsetzen von \(r = -1\) in (I): \(4 - 1 = 1 + 2s \Rightarrow 3 = 1 + 2s \Rightarrow 2 = 2s \Rightarrow s = 1\). 4. Bestimmung von \(a\) durch Einsetzen von \(r = -1\) und \(s = 1\) in (II): \(a + 2(-1) = 1 + 1 \Rightarrow a - 2 = 2 \Rightarrow a = 4\). 5. Berechnung des Schnittpunktes für \(a = 4\): Einsetzen von \(s = 1\) in \(h\) ergibt \(\vec{s} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\).

Die Geraden schneiden sich für \(a = 4\). Der Schnittpunkt lautet \(S(3 | 2 | 2)\).

- Nutze die Gleichungen der \(x\)- und \(z\)-Koordinaten, um die Parameter der Geraden zu bestimmen, da diese unabhängig von \(a\) sind. - Überprüfe dein Ergebnis für \(a\), indem du die berechneten Parameter in die Gleichung für die \(y\)-Koordinate einsetzt. - Wie hängen die Richtungsvektoren mit der Eigenschaft „parallel“ zusammen? Hängt diese Eigenschaft vom Stützvektor (und damit von \(a\)) ab? - Erinnere dich an die vier möglichen Lagebeziehungen von Geraden im Raum und schließe nacheinander aus.

1. Teilaufgabe a): Gleichsetzen der Geradengleichungen liefert das LGS: (I) \(4+\lambda = 2+3\mu\), (II) \(2\lambda = a+2\mu\), (III) \(3-\lambda = 1+\mu\). Aus (I) \(\lambda-3\mu = -2\) und (III) \(\lambda+\mu = 2\) folgt durch Subtraktion \(-4\mu = -4 \Rightarrow \mu = 1\). Einsetzen in (III) ergibt \(\lambda = 1\). Einsetzen von \(\lambda, \mu\) in (II) ergibt \(2(1) = a + 2(1) \Rightarrow a = 0\). Der Schnittpunkt für \(a=0\) ergibt sich durch Einsetzen von \(\lambda=1\) in \(g\): \(S(5|2|2)\). 2. Teilaufgabe b): Die Richtungsvektoren \(\vec{v}_g = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v}_h = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\) sind nicht kollinear, da kein Faktor \(k\) existiert mit \(k \cdot 1 = 3\) und \(k \cdot 2 = 2\) (wäre \(k=3\) und \(k=1\)). Die Parallelität ist somit für alle \(a\) ausgeschlossen. 3. Teilaufgabe c): Da die Richtungsvektoren nie parallel sind und ein Schnittpunkt nur für \(a=0\) existiert, müssen die Geraden für alle anderen Werte von \(a\) windschief sein.

a) Für \(a = 0\) schneiden sich die Geraden im Punkt \(S(5|2|2)\). b) Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear (keine Vielfachen voneinander). c) Für \(a \neq 0\) sind die Geraden windschief, da sie weder parallel sind noch einen Schnittpunkt besitzen.

- Beginne damit, die Richtungsvektoren auf Kollinearität zu prüfen. Von welchem Wert für \(k\) hängt das ab? - Wenn die Richtungsvektoren parallel sind, musst du prüfen, ob die Geraden identisch oder echt parallel sind. - Wenn die Richtungsvektoren nicht parallel sind, gibt es zwei Möglichkeiten: Schnittpunkt oder windschief. - Was sagt die \(z\)-Koordinate der Gleichungssysteme über mögliche Schnittpunkte aus?

1. Prüfung auf Parallelität der Richtungsvektoren: \(\begin{pmatrix} k+1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = c \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). Aus der zweiten Komponente folgt \(c = 1\). Damit muss \(k+1 = 2\) gelten, also \(k = 1\). 2. Fall \(k = 1\): Die Richtungsvektoren sind identisch. Prüfung auf Identität durch Punktprobe: Ist der Stützvektor \((3|1|1)^T\) von \(f_1\) auf \(g\)? \(\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). Aus der zweiten Zeile folgt \(r = 1\). Dies erfüllt auch die erste (\(1 + 2 \cdot 1 = 3\)) und dritte Zeile (\(1 = 1\)). Also sind die Geraden für \(k = 1\) identisch. 3. Fall \(k \neq 1\): Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig. Gleichsetzen der Geraden: \(1 + 2r = 3 + s(k+1)\), \(r = 1 + s\) und \(1 = k\). Da \(k \neq 1\) vorausgesetzt ist, widerspricht die dritte Zeile dem Gleichungssystem. Es gibt keinen Schnittpunkt. Da die Richtungsvektoren nicht parallel sind und kein Schnittpunkt existiert, sind die Geraden windschief.

Für \(k = 1\) sind die Geraden identisch. Für \(k \neq 1\) sind die Geraden windschief.

- Was bedeutet es rechnerisch für das Gleichungssystem, wenn sich zwei Geraden schneiden? - Beginne mit den Gleichungen, die den Parameter \(a\) nicht enthalten, um die Werte für \(\lambda\) und \(\mu\) zu finden. - Welche Möglichkeiten der Lagebeziehung gibt es, wenn zwei Geraden nicht parallel sind?

1. Überprüfung auf Parallelität: Die Richtungsvektoren \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) sind keine Vielfachen voneinander. Die Geraden sind also für kein \(a\) parallel oder identisch. 2. Schnittbedingung aufstellen: Gleichsetzen der Komponenten liefert: (I) \(2 + \lambda = 2\mu\) (II) \(-1 + 2\lambda = a + \mu\) (III) \(3 = 1 + 2\mu\) 3. Parameter berechnen: Aus (III) folgt \(2\mu = 2\), also \(\mu = 1\). Einsetzen in (I) ergibt \(2 + \lambda = 2\), also \(\lambda = 0\). 4. Parameter \(a\) bestimmen: Einsetzen von \(\lambda = 0\) und \(\mu = 1\) in (II) ergibt \(-1 + 2(0) = a + 1 \implies -1 = a + 1 \implies a = -2\). 5. Schlussfolgerung für \(a \neq -2\): Da die Richtungsvektoren nicht parallel sind und für \(a \neq -2\) kein Schnittpunkt existiert, müssen die Geraden windschief sein.

Für \(a = -2\) schneiden sich die Geraden im Punkt \(S(2|-1|3)\). Für \(a \neq -2\) sind die Geraden windschief.

- Welche Koordinate liefert beim Gleichsetzen der beiden Geraden sofort einen der Geradenparameter? - Für Windschiefe musst du sowohl Parallelität ausschließen als auch zeigen, dass kein Schnittpunkt existiert. - Welche Gemeinsamkeit besitzen alle Geraden \(h_k\), unabhängig von \(k\)? - Kannst du den Richtungsvektor von \(h_k\) aus zwei festen Vektoren zusammensetzen?

1. Aus der dritten Koordinate beim Gleichsetzen von \(g\) und \(h_k\) folgt \(4 = 2 + 2s\), also \(s=1\). 2. Die erste Koordinate liefert dann \(-1+r=1+2\), also \(r=4\). Aus der zweiten Koordinate folgt \(5-4=k\), also \(k=1\). Damit ist \(S(3|1|4)\). 3. Für \(k=0\) sind die Richtungsvektoren \((1,-1,0)^T\) und \((2,0,2)^T\) nicht kollinear. Beim Gleichsetzen ergibt die zweite Koordinate \(r=5\); dann folgt aus der ersten Koordinate \(s=1{,}5\), während die dritte Koordinate \(4=5\) verlangen würde. Die Geraden sind daher windschief. 4. Alle \(h_k\) besitzen den Stützpunkt \(A(1|0|2)\), und \(\begin{pmatrix}2\\k\\2\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\). Somit liegen alle Geraden in der Ebene durch \(A\) mit den Spannvektoren \((1,0,1)^T\) und \((0,1,0)^T\). 5. Ein Normalenvektor ist \((-1,0,1)^T\). Mit \(A\) ergibt sich \(-x_1+x_3=1\), also äquivalent \(E: x_1-x_3+1=0\).

a) \(k=1\), \(S(3|1|4)\) b) \(g\) und \(h_0\) sind windschief. c) \(E: x_1-x_3+1=0\)