- Vergleiche die Richtungen der beiden Geraden. - Gibt es einen Punkt, der auf beiden Geraden liegt? - Lies die Koordinaten des gemeinsamen Punkts an den Achsen ab.

1. Die beiden Geraden haben verschiedene Richtungen und besitzen einen gemeinsamen Punkt. 2. Der gemeinsame Punkt ist \(S(1|2)\). 3. Daher schneiden sich \(g\) und \(h\) in \(S\).

Die Geraden schneiden sich in \(S(1|2)\).

- Welche Lagefälle kannst du schon anhand der Richtungen ausschließen? - Kannst du eine Fläche des Quaders nutzen, um einen möglichen gemeinsamen Punkt einzugrenzen? - Welche der drei möglichen Lagebeziehungen passt zu deinen Ergebnissen?

1. Die Kanten \(AB\) und \(CG\) verlaufen in verschiedenen Richtungen. Daher sind \(g\) und \(h\) nicht parallel. 2. Die Gerade \(g\) liegt in der oberen Rechtecksfläche des Quaders. Die Gerade \(h\) trifft diese Fläche im Punkt \(C\). Der Punkt \(C\) liegt nicht auf \(g\). Also schneiden sich \(g\) und \(h\) nicht. 3. Zwei Geraden im Raum, die weder parallel sind noch einen gemeinsamen Punkt haben, sind windschief.

Die Geraden \(g\) und \(h\) sind windschief. Die Kanten \(AB\) und \(CG\) verlaufen in verschiedenen Richtungen, also sind die Geraden nicht parallel. Die Gerade \(g\) liegt in der oberen Rechtecksfläche des Quaders; \(h\) trifft diese Fläche in \(C\), und \(C\) liegt nicht auf \(g\). Daher haben die Geraden keinen gemeinsamen Punkt.

- Sind die beiden Richtungsvektoren kollinear? - Liegt der Stützpunkt von \(h\) auf \(g\)? - Welche zwei Fälle bleiben bei kollinearen Richtungen?

1. Die Richtungsvektoren sind kollinear, denn \(\begin{pmatrix}2\\4\\0\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}\). 2. Jeder Punkt von \(g\) hat \(x_3=0\), der Stützpunkt von \(h\) hat \(x_3=1\). Daher liegt dieser Stützpunkt nicht auf \(g\). 3. Die Geraden sind somit echt parallel.

echt parallel

- Was sagt die Beziehung zwischen den Richtungsvektoren über den Verlauf der Geraden aus? - Wenn zwei Geraden in dieselbe Richtung zeigen, welche zwei Möglichkeiten der Lagebeziehung gibt es dann? - Wie kannst du herausfinden, ob ein Punkt der einen Geraden auch auf der anderen Geraden liegt? - Was bedeutet es für die gesamte Gerade, wenn bereits ein einziger Punkt gemeinsam ist und die Richtungen übereinstimmen?

1. Vergleich der Richtungsvektoren: Es wird geprüft, ob ein Skalar \(k\) existiert, sodass \(\begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ -15 \end{pmatrix} = k\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 10 \end{pmatrix}\). Die komponentenweise Division ergibt \(-3 : 2 = -1{,}5\), \(6 : (-4) = -1{,}5\) und \(-15 : 10 = -1{,}5\). Da \(k = -1{,}5\) für alle Komponenten gilt, sind die Richtungsvektoren kollinear. Die Geraden sind somit parallel oder identisch. 2. Punktprobe: Es wird geprüft, ob der Stützpunkt von \(h\), \(P(2|6|-17)\), auf der Geraden \(g\) liegt. Dazu wird das Gleichungssystem \(\begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ -17 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 10 \end{pmatrix}\) gelöst. Aus der ersten Zeile folgt \(2 = 5 + 2\lambda \Rightarrow \lambda = -1{,}5\). Einsetzen in die zweite Zeile: \(0 - 4 \cdot (-1{,}5) = 6\) (wahre Aussage). Einsetzen in die dritte Zeile: \(-2 + 10 \cdot (-1{,}5) = -17\) (wahre Aussage). Da der Punkt \(P\) auf \(g\) liegt, sind die Geraden identisch.

Die Geraden \(g\) und \(h\) sind identisch.

- Gibt es in a) bereits einen offensichtlich gemeinsamen Punkt? - Welche Koordinaten bleiben in b) auf jeder der beiden Geraden konstant? - Was folgt aus „kein gemeinsamer Punkt“ zusammen mit nicht proportionalen Richtungsvektoren?

1. In a) besitzen beide Geraden denselben Stützpunkt. Ihre Richtungsvektoren sind nicht proportional. Daher schneiden sie sich genau in \(S(5|2|-1)\). 2. In b) gilt für alle Punkte auf \(g\) stets \(x_1=1\) und \(x_2=2\), für alle Punkte auf \(h\) stets \(x_1=2\) und \(x_3=5\). Wegen \(x_1=1\neq2\) gibt es keinen gemeinsamen Punkt. Die Richtungsvektoren sind nicht proportional; daher sind die Geraden windschief.

a) Die Geraden schneiden sich im Punkt \(S(5|2|-1)\). b) Die Geraden sind windschief.

- Welche Beziehung haben die Richtungsvektoren jeweils? - Welcher Punkt von \(g\) liegt in a) sofort erkennbar auf \(h\)? - Welche Aussage liefert in b) der Verbindungsvektor der beiden Stützpunkte im Vergleich zum gemeinsamen Richtungsvektor?

1. In a) sind die Richtungsvektoren proportional. Der Stützpunkt \((1|1|0)\) von \(g\) liegt außerdem für \(\mu=1\) auf \(h\). Daher sind die Geraden identisch. 2. In b) besitzen die Geraden denselben Richtungsvektor. Die Differenz der Stützpunkte ist \(\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\) und nicht proportional zu \(\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\). Somit liegt kein Stützpunkt auf der jeweils anderen Geraden; die Geraden sind echt parallel.

a) identisch b) echt parallel

- Wie bestimmst du aus zwei gegebenen Punkten eine Geradengleichung in Parameterform? - Was verraten dir die Richtungsvektoren über die mögliche Lagebeziehung der Geraden? - Wenn Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind, welche zwei Fälle der Lagebeziehung bleiben dann noch übrig? - Wie kannst du rechnerisch prüfen, ob zwei parallele Geraden tatsächlich verschiedene Geraden im Raum beschreiben?

1. Aufstellen der Parameterform für \(g\): Der Richtungsvektor ist \(\vec{v}_g = \vec{B} - \vec{A} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\). Damit gilt \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\). 2. Vergleich der Richtungsvektoren: Es ist \(\vec{v}_g = 2 \cdot \vec{v}_h\), da \(\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -0{,}5 \end{pmatrix}\). Die Richtungsvektoren sind kollinear, die Geraden also parallel oder identisch. 3. Punktprobe zur Unterscheidung: Prüfen, ob der Stützpunkt \(A(2 | -1 | 4)\) von \(g\) auf \(h\) liegt. Einsetzen ergibt das System \(1 + t = 2 \Rightarrow t = 1\); \(0 + t = -1 \Rightarrow t = -1\). Da die Gleichungen widersprüchliche Werte \(t=1\) und \(t=-1\) liefern, liegt der Punkt nicht auf \(h\). 4. Ergebnis: Die Geraden sind echt parallel.

Die Geraden \(g\) und \(h\) sind echt parallel.

- Welche Beziehung besteht zwischen den beiden Richtungsvektoren? - Welche beiden Lagefälle bleiben übrig, wenn die Richtungsvektoren proportional sind? - Wie kannst du mit einem Stützpunkt prüfen, ob die beiden Geraden tatsächlich identisch sind?

1. Die Richtungsvektoren \(\vec{u}=\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}\) und \(\vec{v}=\begin{pmatrix}-4\\0\\2\end{pmatrix}\) erfüllen \(\vec{v}=-2\vec{u}\). Daher sind die Geraden parallel oder identisch. 2. Jeder Punkt von \(h\) hat die zweite Koordinate \(5\), weil die zweite Komponente des Richtungsvektors von \(h\) null ist. Der Stützpunkt \(P(1|2|1)\) von \(g\) liegt deshalb nicht auf \(h\). 3. Somit sind \(g\) und \(h\) echt parallel.

Die Geraden \(g\) und \(h\) sind echt parallel.

- Vergleiche zuerst die Richtungsvektoren. - Welche Gleichungen entstehen beim komponentenweisen Gleichsetzen? - Sind die aus verschiedenen Koordinaten erhaltenen Parameterwerte miteinander vereinbar? - Welche räumliche Lage bleibt nach Ausschluss von Parallelität und Schnitt übrig?

1. Die Richtungsvektoren \(\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}\) sind nicht kollinear. Parallelität und Identität sind ausgeschlossen. 2. Für einen Schnittpunkt müssten \(1+r=s\), \(r=1-s\) und \(0=1+s\) gelten. 3. Aus der dritten Gleichung folgt \(s=-1\). Die erste ergibt dann \(r=-2\), während die zweite \(r=2\) verlangt. 4. Das Gleichungssystem ist widersprüchlich. Die Geraden schneiden sich nicht. 5. Da sie weder parallel sind noch einen Schnittpunkt besitzen, sind sie windschief.

Die Geraden sind windschief.

- Erstelle zuerst eine Parameterform für die Gerade, die durch die Punkte \(A\) und \(B\) verläuft. - Wie berechnet man den gemeinsamen Punkt zweier Geraden im Raum? - Wenn du einen Schnittpunkt der beiden Geraden gefunden hast, wie entscheidest du, ob dieser auch wirklich auf dem Teilstück zwischen \(A\) und \(B\) liegt? - Achte auf die Bedeutung des Parameters in deiner Geradengleichung für die Strecke \(AB\).

1. Aufstellen der Geradengleichung \(g\) durch \(A\) und \(B\): \(\vec{x} = \vec{OA} + r \cdot \vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 8 \end{pmatrix}\). 2. Gleichsetzen von \(g\) und \(h\) zur Bestimmung des Schnittpunktes: I: \(2 + 4r = 1 + t\) II: \(4r = 3 - t\) III: \(1 + 8r = 1 + t\) 3. Lösen des Systems: Aus I folgt \(t = 4r + 1\). Einsetzen in II: \(4r = 3 - (4r + 1) \implies 8r = 2 \implies r = 0{,}25\). 4. Berechnung von \(t\): \(t = 4 \cdot 0{,}25 + 1 = 2\). 5. Überprüfung in III: \(1 + 8 \cdot 0{,}25 = 3\) und \(1 + 2 = 3\). Die Geraden schneiden sich im Punkt \(S\). 6. Prüfung der Streckenbedingung: Da der Parameter \(r = 0{,}25\) im Intervall \([0; 1]\) liegt, befindet sich der Schnittpunkt auf der Strecke \(AB\). 7. Koordinaten des Schnittpunktes: \(\vec{s} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + 0{,}25 \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\).

Ja, die Gerade \(h\) schneidet die Strecke \(AB\) im Punkt \(S(3 \mid 1 \mid 3)\).

- Welche Beziehung zwischen den Richtungsvektoren weist auf Parallelität hin? - Wie unterscheidest du bei parallelen Richtungsvektoren zwischen identischen und echt parallelen Geraden? - Welche Information liefert das Skalarprodukt zweier Richtungsvektoren über ihren Winkel? - Welcher gemeinsame Punkt ist bei \(g\) und \(k\) unmittelbar erkennbar?

1. Für \(g\) und \(h\) gilt \(\begin{pmatrix}-4\\2\\-4\end{pmatrix}=-2\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}\). Die Geraden sind daher parallel oder identisch. Der Stützpunkt von \(h\) liegt für \(r=1\) auf \(g\). Somit sind \(g\) und \(h\) identisch. 2. Für \(g\) und \(k\) ist das Skalarprodukt der Richtungsvektoren \(2\cdot1+(-1)\cdot4+2\cdot1=0\). Beide Geraden besitzen außerdem denselben Stützpunkt \((1|2|0)\). Sie schneiden sich dort orthogonal.

\(g\) und \(h\) sind identisch. \(g\) und \(k\) schneiden sich orthogonal im Punkt \((1|2|0)\).

- Schau dir zuerst die Richtungsvektoren an: Sind sie Vielfache voneinander? - Was bedeutet es für die Lage der Geraden, wenn die Richtungsvektoren nicht parallel sind? - Wie kannst du ein System aus drei Gleichungen mit zwei Unbekannten lösen? - Vergiss nicht, deine berechneten Werte in der dritten Gleichung zu überprüfen. - Wie kommst du vom Parameterwert zum Punkt auf der Geraden?

1. Prüfung der Richtungsvektoren auf Kollinearität: Da \(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} = k \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}\) keine Lösung für \(k\) besitzt, sind die Richtungsvektoren nicht parallel. 2. Gleichsetzen der Geradengleichungen führt zum linearen Gleichungssystem (LGS): (I) \(1 + 2r = 4 - s \Rightarrow 2r + s = 3\) (II) \(1 + r = 2s \Rightarrow r - 2s = -1\) (III) \(4 - 3r = 5 - 4s \Rightarrow -3r + 4s = 1\) 3. Lösen des Teilsystems aus (I) und (II): Multiplikation von (II) mit \(2\) und Subtraktion von (I) ergibt \(5s = 5\), also \(s = 1\). Einsetzen in (I) ergibt \(2r + 1 = 3\), also \(r = 1\). 4. Überprüfung mit (III): \(-3 \cdot 1 + 4 \cdot 1 = 1\). Die Gleichung ist erfüllt, das LGS ist konsistent. 5. Berechnung des Schnittpunktes \(S\) durch Einsetzen von \(r = 1\) in \(g\): \(\vec{x}_S = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\). Die Geraden schneiden sich im Punkt \(S(3 | 2 | 1)\).

Die Geraden schneiden sich im Punkt \(S(3 | 2 | 1)\).

- Überprüfe zuerst, ob die Richtungsvektoren parallel zueinander verlaufen. - Wenn sie nicht parallel sind, gibt es zwei Möglichkeiten für die Lagebeziehung. Welche sind das? - Setze die Geradengleichungen gleich, um ein Gleichungssystem aufzustellen. - Was sagt es über die Lage aus, wenn die ersten zwei Gleichungen eine Lösung liefern, die dritte aber nicht?

1. Richtungsvektoren \(\vec{v}_g = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v}_h = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\) sind keine Vielfachen voneinander (\(1 : 3 \neq 2 : (-1)\)), daher sind die Geraden weder parallel noch identisch. 2. Gleichsetzen der Geradengleichungen zur Prüfung auf einen Schnittpunkt: (I) \(\lambda - 3\mu = 2\) (II) \(2\lambda + \mu = -3\) (III) \(2\lambda - \mu = 4\) 3. Lösen von (I) und (II): Aus (II) folgt \(\mu = -3 - 2\lambda\). Einsetzen in (I): \(\lambda - 3(-3 - 2\lambda) = 2 \Rightarrow \lambda + 9 + 6\lambda = 2 \Rightarrow 7\lambda = -7 \Rightarrow \lambda = -1\). Daraus folgt \(\mu = -3 - 2(-1) = -1\). 4. Überprüfung in (III): \(2(-1) - (-1) = -2 + 1 = -1\). Da \(-1 \neq 4\), ist das LGS unlösbar. 5. Schlussfolgerung: Da die Richtungsvektoren nicht kollinear sind und kein Schnittpunkt existiert, sind die Geraden windschief.

Die Geraden \(g\) und \(h\) sind windschief.

- Was bedeutet lineare Unabhängigkeit der drei Vektoren für ihre Koplanarität? - Welche Lage bleibt bei zwei nicht parallelen Geraden übrig, wenn sie dennoch koplanar sind? - Wie erkennst du mithilfe von \(\vec{w}\), ob bei parallelen Richtungen beide Stützpunkte auf derselben Geraden liegen?

1. Sind \(\vec{u},\vec{v},\vec{w}\) linear unabhängig, liegen die beiden nicht parallelen Geraden nicht in einer gemeinsamen Ebene. Sie sind windschief. 2. Sind \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) linear unabhängig, sind die Geraden nicht parallel. Die lineare Abhängigkeit von \(\vec{u},\vec{v},\vec{w}\) bedeutet, dass die Geraden koplanar sind. Damit schneiden sie sich in genau einem Punkt. 3. Die lineare Abhängigkeit von \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) zeigt parallele Richtungen. Ist zusätzlich \(\vec{w}\) ein skalares Vielfaches von \(\vec{u}\), liegt der Stützpunkt von \(h\) auf \(g\). Die Geraden sind identisch.

1. windschief 2. sich schneidend 3. identisch

- Überlege zuerst, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind oder nicht. - Wie gehst du vor, wenn du prüfen willst, ob zwei Geraden einen gemeinsamen Punkt haben? - Wie verändert sich die Länge eines Vektors, wenn du ihn mit einer Zahl multiplizierst? - Welche Koordinaten haben Punkte, die auf einer Koordinatenachse liegen? - Erinnere dich daran, dass zwei Geraden genau dann einen Schnittpunkt haben, wenn das zugehörige Gleichungssystem eine eindeutige Lösung besitzt.

1. Prüfung auf Parallelität: Die Richtungsvektoren \(\vec{u}_g = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix}\) und \(\vec{u}_h = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) sind keine Vielfachen voneinander, also sind die Geraden nicht parallel. 2. Prüfung auf Schnittpunkt: Gleichsetzen der Geradengleichungen führt auf das System \(4 + 2t = 1 + s\), \(-1 + 4t = 3 + s\) und \(2 - 4t = s\). Aus den ersten beiden Gleichungen folgt \(t = 3{,}5\) und \(s = 10\). Einsetzen in die dritte Gleichung ergibt \(-12 = 10\) (falsch). Die Geraden sind windschief. 3. Richtungsvektor für \(m\): Da \(m \parallel g\), ist der Richtungsvektor ein Vielfaches von \(\vec{u}_g\). Es gilt \(|\vec{u}_g| = \sqrt{2^2 + 4^2 + (-4)^2} = 6\). Für den Betrag 3 muss der Vektor mit \(\frac{3}{6} = 0{,}5\) (oder \(-0{,}5\)) multipliziert werden. Ein möglicher Vektor ist \(\vec{v}_m = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\). 4. Schnitt von \(g\) und \(n\): Ansatz für \(n: \vec{x} = \begin{pmatrix} x_P \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). Gleichsetzen mit \(g\) ergibt das System \(x_P + \lambda = 4 + 2t\), \(\lambda = -1 + 4t\) und \(\lambda = 2 - 4t\). Aus den letzten beiden folgt \(8t = 3 \Rightarrow t = 0{,}375\) und \(\lambda = 0{,}5\). Einsetzen in die erste Gleichung: \(x_P + 0{,}5 = 4 + 0{,}75 \Rightarrow x_P = 4{,}25\). Der Punkt ist \(P(4{,}25|0|0)\).

a) Die Geraden \(g\) und \(h\) sind windschief. b) Ein möglicher Richtungsvektor ist \(\vec{v}_m = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\) (oder \(\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\)). c) Der Punkt auf der \(x_1\)-Achse ist \(P(4{,}25|0|0)\).

- Welche Lagebeziehungen zweier Geraden ermöglichen überhaupt eine gemeinsame Ebene? - Sind die beiden Richtungsvektoren proportional? - Wenn die Geraden nicht parallel sind: Wie prüfst du, ob sie sich schneiden? - Was folgt für eine gemeinsame Ebene, wenn das Schnittgleichungssystem widersprüchlich ist?

1. Die Richtungsvektoren sind nicht proportional. Die Geraden sind daher nicht parallel. 2. Für einen Schnittpunkt müsste \(2\lambda=2+\mu\), \(5-\lambda=1\) und \(2+\lambda=4+3\mu\) gelten. 3. Aus der zweiten Gleichung folgt \(\lambda=4\). Die erste liefert dann \(\mu=6\). 4. In der dritten Gleichung ergibt sich links \(6\), rechts aber \(22\). Es gibt keinen Schnittpunkt. 5. Die Geraden sind damit windschief und liegen nicht in einer gemeinsamen Ebene. Eine eindeutig durch beide Geraden bestimmte Ebene existiert nicht.

Nein. Die Geraden sind windschief und bestimmen daher keine gemeinsame Ebene.

- Welche Beziehung besteht zwischen den beiden Richtungsvektoren? - Wie entscheidest du anschließend zwischen „identisch“ und „echt parallel“? - Warum reicht eine einzige Gerade nicht aus, um genau eine Ebene festzulegen? - Welche Orthogonalitätsbedingung muss der Normalenvektor einer Ebene erfüllen, die diese Gerade enthält?

1. Die Richtungsvektoren sind proportional, denn \(\begin{pmatrix}-4\\2\\-2\end{pmatrix}=-2\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}\). Die Geraden sind daher parallel oder identisch. 2. Der Stützpunkt \((3|1|1)\) von \(h\) liegt für \(r=1\) auf \(g\). Also sind \(g\) und \(h\) identisch. 3. Eine einzelne Gerade liegt in unendlich vielen Ebenen und bestimmt daher keine eindeutige Ebene. 4. Für eine mögliche Ebene wählen wir einen Normalenvektor, der zum Richtungsvektor \(\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}\) orthogonal ist, zum Beispiel \(\vec{n}=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}\). 5. Mit dem Punkt \((1|2|0)\) folgt \(1\cdot x_1+2x_2=5\). Eine mögliche Koordinatenform ist somit \(E:x_1+2x_2=5\).

a) Die Geraden sind identisch. Daher legen sie keine eindeutige Ebene fest. b) Eine mögliche Ebene ist \(E:x_1+2x_2=5\).

- Was sagt das Verhältnis der Richtungsvektoren über die Lage der Geraden aus? - Wie kannst du mathematisch prüfen, ob es einen gemeinsamen Punkt gibt? - Wenn du ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten und drei Gleichungen hast, wie gehst du mit der überzähligen Gleichung um? - Was bedeutet es für die Lage der Geraden, wenn das Gleichungssystem keine Lösung besitzt?

1. Überprüfung der Richtungsvektoren auf Parallelität: Die Vektoren \(\vec{v}_g = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v}_h = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}\) sind keine Vielfachen voneinander (\(1 \cdot k = 2 \Rightarrow k=2\), aber \(-1 \cdot 2 \neq 1\)), daher sind die Geraden weder parallel noch identisch. 2. Gleichsetzen der Parameterformen zur Untersuchung auf einen Schnittpunkt: \(5 + r = 5 + 2s \Rightarrow r = 2s\) (I) \(2 - r = -1 + s \Rightarrow 3 - r = s\) (II) \(-1 + 2r = 6 - 3s\) (III) 3. Lösen des Systems aus (I) und (II): Einsetzen von \(r = 2s\) in (II) ergibt \(3 - 2s = s \Rightarrow 3 = 3s \Rightarrow s = 1\). Daraus folgt \(r = 2 \cdot 1 = 2\). 4. Überprüfung mit Gleichung (III): \(-1 + 2(2) = 3\) und \(6 - 3(1) = 3\). Da \(3 = 3\) eine wahre Aussage ist, schneiden sich die Geraden. 5. Berechnung des Schnittpunktes \(S\): Einsetzen von \(r=2\) in \(g\) ergibt \(\vec{s} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\).

Die Geraden \(g\) und \(h\) schneiden sich im Punkt \(S(7 | 0 | 3)\).

- Prüfe bei jedem Paar zuerst, ob die Richtungsvektoren proportional sind. - Wie unterscheidest du bei proportionalen Richtungen zwischen identischen und echt parallelen Geraden? - Wie prüfst du bei nicht parallelen Richtungen, ob ein gemeinsamer Punkt existiert? - Warum muss ein gefundener Parameterwert alle drei Koordinatengleichungen erfüllen?

1. Für \(g_1\) und \(g_3\) sind die Richtungsvektoren proportional, denn \(\begin{pmatrix}-4\\-2\\2\end{pmatrix}=-2\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}\). Der Stützpunkt von \(g_3\) liegt nicht auf \(g_1\), weil die Punktprobe widersprüchliche Parameterwerte liefert. Daher sind \(g_1\) und \(g_3\) echt parallel. 2. Für \(g_1\) und \(g_2\) sind die Richtungsvektoren nicht proportional. Aus dem Gleichsetzen der Parameterformen erhält man \(r=2\) und \(s=0\); auch die dritte Koordinate ist damit erfüllt. Der Schnittpunkt ist \(S(5|4|1)\). 3. Für \(g_2\) und \(g_3\) sind die Richtungsvektoren nicht proportional. Zwei Koordinatengleichungen liefern \(s=-1{,}25\) und \(t=-0{,}75\), die erste Koordinate wird damit jedoch nicht erfüllt. Es gibt keinen Schnittpunkt. Daher sind \(g_2\) und \(g_3\) windschief.

\(g_1\) und \(g_2\) schneiden sich im Punkt \(S(5|4|1)\). \(g_1\) und \(g_3\) sind echt parallel. \(g_2\) und \(g_3\) sind windschief.

- Welche erste Information liefern die drei Richtungsvektoren? - Was bedeutet ein Gleichungssystem mit unendlich vielen Lösungen für zwei parallel gerichtete Geraden? - Was bedeutet ein widersprüchliches Gleichungssystem bei bereits festgestellter Parallelität der Richtungen?

1. Die drei Richtungsvektoren sind proportional. Daher sind die Geraden paarweise identisch oder echt parallel. 2. Für \(g\) und \(h\) führen alle drei Koordinatengleichungen auf dieselbe Bedingung \(2r+s=-2\). Es gibt unendlich viele gemeinsame Punkte; \(g\) und \(h\) sind identisch. 3. Für \(g\) und \(k\) liefern zwei Koordinaten die Bedingung \(2r-3t=-1\), die dritte aber \(2r-3t=\frac{1}{3}\). Das System ist widersprüchlich. Damit sind \(g\) und \(k\) echt parallel. 4. Folglich sind \(g\) und \(h\) identisch; \(k\) ist zu beiden echt parallel.

\(g\) und \(h\) sind identisch. \(k\) ist zu beiden echt parallel.

- Vergleiche zunächst die Richtungsvektoren der Geraden. - Was bedeutet es für zwei parallele Geraden, wenn das Gleichsetzen nicht nur einen einzelnen Parameterwert, sondern unendlich viele gemeinsame Lösungen liefert? - Wenn \(g=h\) und \(h=k\) gilt, welche Schlussfolgerung folgt für alle drei Geraden?

1. Die Richtungsvektoren sind alle linear abhängig, denn \(\begin{pmatrix}-4\\6\end{pmatrix}=-2\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix}6\\-9\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}\). 2. Beim Gleichsetzen von \(g\) und \(h\) erhält man aus beiden Koordinaten dieselbe Gleichung \(2\lambda+\mu=1\). Das System besitzt unendlich viele Lösungen. Daher sind \(g\) und \(h\) identisch. 3. Beim Gleichsetzen von \(h\) und \(k\) liefern beide Koordinaten dieselbe Gleichung \(\mu-3\sigma=2\). Auch dieses System besitzt unendlich viele Lösungen. Daher sind \(h\) und \(k\) identisch. 4. Somit beschreiben alle drei Parameterformen dieselbe Gerade.

\(g\), \(h\) und \(k\) sind identisch.

- Welche drei paarweisen Schnittpunkte müssten für ein Dreieck existieren? - Welche Parameterwerte gehören jeweils zu den beiden Eckpunkten auf derselben Geraden? - Wie wird aus zwei solchen Parameterwerten das Intervall der Dreiecksseite?

1. Aus \(g\cap h\) erhält man \(\lambda=2\), \(\mu=0\) und damit \(A(5|0|1)\). 2. Aus \(h\cap k\) erhält man \(\mu=2\), \(\nu=0\) und damit \(B(3|4|5)\). 3. Aus \(k\cap g\) erhält man \(\nu=-2\), \(\lambda=0\) und damit \(C(1|2|3)\). 4. Die drei Schnittpunkte sind verschieden; die Geraden bilden ein Dreieck. 5. Auf \(g\) verläuft die Seite \(CA\) für \(\lambda\in[0;2]\), auf \(h\) die Seite \(AB\) für \(\mu\in[0;2]\) und auf \(k\) die Seite \(BC\) für \(\nu\in[-2;0]\).

Die Geraden bilden ein Dreieck. \(A(5|0|1)\), \(B(3|4|5)\), \(C(1|2|3)\) \(g:\lambda\in[0;2]\), \(h:\mu\in[0;2]\), \(k:\nu\in[-2;0]\)

- Ein Dreieck entsteht nur, wenn sich alle drei Geradenpaare in jeweils genau einem Punkt schneiden. - Untersuche nacheinander die Lagebeziehungen der Paare \((g, h)\), \((g, k)\) und \((h, k)\). - Was bedeutet es für die Figur, wenn zwei Geraden windschief zueinander liegen?

1. Untersuchung \(g \cap h\): Gleichsetzen ergibt \(2 + \lambda = 3\), \(1 = 1 + \mu\) und \(1 + \lambda = 2 + \mu\). Daraus folgt \(\lambda = 1\) und \(\mu = 0\). Die dritte Gleichung \(1 + 1 = 2 + 0\) ist erfüllt. Schnittpunkt \(S_1(3|1|2)\). 2. Untersuchung \(g \cap k\): Gleichsetzen ergibt \(2 + \lambda = 1 + \nu\), \(1 = 1 + \nu\) und \(1 + \lambda = 1\). Aus der zweiten Gleichung folgt \(\nu = 0\), aus der dritten \(\lambda = 0\). Einsetzen in die erste Gleichung ergibt \(2 + 0 = 1 + 0\), was ein Widerspruch (\(2 = 1\)) ist. Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear, daher sind \(g\) und \(k\) windschief. 3. Da ein Paar der Geraden keinen Schnittpunkt besitzt, können die drei Geraden kein Dreieck bilden.

Die Geraden bilden kein Dreieck, da die Geraden \(g\) und \(k\) windschief zueinander sind (es existiert kein Schnittpunkt).

- Prüfe zuerst, ob die Richtungsvektoren der Geraden Vielfache voneinander sind. - Wenn die Richtungsvektoren parallel sind, musst du mit einer Punktprobe klären, ob die Geraden identisch oder echt parallel sind. - Wenn die Richtungsvektoren nicht parallel sind, setze die Geradengleichungen gleich, um nach gemeinsamen Punkten zu suchen. - Vergiss nicht, bei einem Schnittpunkt die gefundenen Parameterwerte in der dritten Gleichung zu überprüfen.

1. Untersuchung von \(g\) und \(k\): Die Richtungsvektoren \(\vec{u}_g = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{u}_k = \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\) sind kollinear, da \(-2 \cdot \vec{u}_g = \vec{u}_k\). Punktprobe mit dem Stützpunkt von \(k\) in \(g\): \(\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\) führt auf \(r=2\) in allen drei Komponenten. Somit sind \(g\) und \(k\) identisch. 2. Untersuchung von \(g\) und \(h\): Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear. Gleichsetzen der Geradengleichungen führt zum linearen Gleichungssystem: (I) \(-1 + 2r = 4 - 3s\) (II) \(r = 2 - s\) (III) \(3 - 2r = -2 + 3s\) Einsetzen von (II) in (I): \(-1 + 2(2 - s) = 4 - 3s \implies 3 - 2s = 4 - 3s \implies s = 1\). Daraus folgt \(r = 1\). Überprüfung in (III): \(3 - 2(1) = -2 + 3(1) \implies 1 = 1\) (wahre Aussage). Die Geraden \(g\) und \(h\) schneiden sich im Punkt \(S(1|1|1)\). Da \(g=k\), schneiden sich auch \(h\) und \(k\) in \(S\).

Die Geraden \(g\) und \(k\) sind identisch. Die Gerade \(h\) schneidet sowohl \(g\) als auch \(k\) im Punkt \(S(1|1|1)\).

- Welche beiden Parameter musst du jeweils bestimmen, wenn du zwei Geraden gleichsetzt? - Führe die Lageprüfung für jedes der drei Geradenpaare getrennt durch. - Warum reicht es nicht, nur zu wissen, dass sich jedes Paar irgendwie schneidet? - Welche Geradenpaare müssen durch die drei verschiedenen Eckpunkte des Dreiecks verlaufen?

1. Aus \(g_1=g_2\) folgt \(r=2\) und \(s=-1\). Der Schnittpunkt ist \(B(4|2|2)\). 2. Aus \(g_2=g_3\) folgt \(s=2\) und \(t=-1\). Der Schnittpunkt ist \(C(1|5|2)\). 3. Aus \(g_3=g_1\) folgt \(t=2\) und \(r=-1\). Der Schnittpunkt ist \(A(1|2|-1)\). 4. Die drei Schnittpunkte sind verschieden. Dabei liegt \(A\) auf \(g_1\) und \(g_3\), \(B\) auf \(g_1\) und \(g_2\), \(C\) auf \(g_2\) und \(g_3\). Somit tragen die drei Geraden die drei Seiten des Dreiecks \(ABC\).

a) Die Geraden schneiden sich paarweise in drei verschiedenen Punkten. b) \(g_1\cap g_3=\{A(1|2|-1)\}\), \(g_1\cap g_2=\{B(4|2|2)\}\), \(g_2\cap g_3=\{C(1|5|2)\}\). Daher tragen \(g_1,g_2,g_3\) die Seiten des Dreiecks \(ABC\).

- Beginne damit, für beide Punktpaare eine Parameterform der Geraden aufzustellen. - Untersuche zuerst, ob die Richtungsvektoren der beiden Geraden in die gleiche Richtung zeigen. - Wenn die Geraden nicht parallel sind, musst du prüfen, ob sie einen gemeinsamen Punkt haben. - Welche Lagebeziehung zwischen zwei Geraden verhindert, dass beide Geraden in einer gemeinsamen Ebene liegen?

1. Aufstellen der Geradengleichungen: \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Prüfung auf Parallelität: Die Richtungsvektoren \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) sind keine Vielfachen voneinander, also sind die Geraden weder parallel noch identisch. 3. Prüfung auf Schnittpunkt: Gleichsetzen der Geraden führt zum System: I: \(1 + 2r = 2 + 2s\) II: \(2 + 2r = s\) III: \(1 + 2r = 4 + s\) Aus II folgt \(2r = s - 2\). Eingesetzt in I: \(1 + s - 2 = 2 + 2s \Rightarrow s - 1 = 2 + 2s \Rightarrow s = -3\). Daraus ergibt sich \(2r = -5 \Rightarrow r = -2{,}5\). Prüfung in III: \(1 + 2 \cdot (-2{,}5) = -4\), aber \(4 + (-3) = 1\). Da \(-4 \neq 1\), existiert kein Schnittpunkt. 4. Schlussfolgerung: Da die Geraden weder parallel sind noch einen Schnittpunkt besitzen, sind sie windschief. Windschiefe Geraden liegen nicht in einer gemeinsamen Ebene, weshalb auch die vier Punkte nicht in einer Ebene liegen.

Die Geraden \(g\) und \(h\) sind windschief. Daher liegen die vier Punkte \(P_1, P_2, P_3\) und \(P_4\) nicht in einer gemeinsamen Ebene.

- Welche Lagebeziehungen sind bei linear abhängigen Richtungsvektoren überhaupt möglich? - Welche Rolle spielt der Verbindungsvektor der Stützpunkte beim Unterscheiden von „identisch“ und „echt parallel“? - Welche zusätzliche Eigenschaft der beiden Richtungsvektoren ist nötig, damit ein eindeutiger Schnitt möglich wird? - Was bedeutet die lineare Abhängigkeit von \(\vec{u},\vec{v},\vec{w}\) geometrisch, wenn \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) unabhängig sind?

1. Sind \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) linear abhängig, so sind die Geraden parallel oder identisch. Da \(\vec{w}\) kein skalares Vielfaches von \(\vec{u}\) ist, liegt der Stützpunkt von \(h\) nicht auf \(g\). Daher sind die Geraden echt parallel. 2. Schneiden sich die Geraden in genau einem Punkt, so liegen beide Geraden in einer gemeinsamen Ebene. Deshalb sind die drei Vektoren \(\vec{u},\vec{v},\vec{w}\) linear abhängig. 3. Die Umkehrung gilt ohne Zusatzbedingung nicht: Sind \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) bereits linear abhängig, dann ist auch \(\vec{u},\vec{v},\vec{w}\) linear abhängig, obwohl die Geraden identisch oder echt parallel sein können. 4. Sind dagegen \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) linear unabhängig und \(\vec{u},\vec{v},\vec{w}\) linear abhängig, dann ist \(\vec{w}\) eine Linearkombination von \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\). Damit liegen die nicht parallelen Geraden in einer gemeinsamen Ebene und schneiden sich in genau einem Punkt.

a) Die Geraden sind echt parallel. b) Ein eindeutiger Schnittpunkt setzt lineare Abhängigkeit von \(\vec{u},\vec{v},\vec{w}\) voraus. Allein reicht sie nicht, weil sie bei linear abhängigen Richtungsvektoren auch für identische oder echt parallele Geraden auftreten kann. Zusammen mit der linearen Unabhängigkeit von \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) ist sie hinreichend.

- Stelle zuerst die Gleichung der Geraden durch zwei Punkte auf. - Wann sind zwei Vektoren parallel? Wie prüfst du das rechnerisch? - Wie berechnet man die Länge eines Vektors und wie skaliert man ihn auf eine bestimmte Länge? - Was zeichnet die Koordinaten eines Punktes auf der \(x_3\)-Achse aus? - Ein Punkt auf einer Geraden lässt sich durch die Geradengleichung in Abhängigkeit von einem Parameter ausdrücken.

1. Gerade \(g\): Richtungsvektor \(\vec{u}_g = \vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\). Gleichung \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) (vereinfachter Richtungsvektor). 2. Lagebeziehung: Die Richtungsvektoren \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\) sind nicht kollinear. Gleichsetzen: \(1+t = \mu\), \(2 = 1-\mu\), \(-1+t = 4\). Aus der zweiten Gleichung folgt \(\mu = -1\). Dann ergibt die erste Gleichung \(t = -2\). Die dritte Gleichung liefert \(-3 = 4\) (Widerspruch). Also windschief. 3. Richtungsvektor für \(k\): Parallelität zu \(h\) bedeutet \(\vec{v}_k = c \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\). Der Betrag ist \(|c| \cdot \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2} = |c| \cdot \sqrt{2}\). Da \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\), muss \(|c| = 3\) gelten. Ein möglicher Vektor ist \(\vec{v}_k = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}\). 4. Punkt \(C\) auf \(h\): \(C(\mu | 1-\mu | 4)\). Gerade \(j: \vec{x} = \begin{pmatrix} \mu \\ 1-\mu \\ 4 \end{pmatrix} + \tau \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). Schnitt mit \(x_3\)-Achse bedeutet \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 0\). Aus \(1-\mu + 0 = 0\) folgt \(\mu = 1\). Damit ergibt \(\mu + \tau = 0\) den Wert \(\tau = -1\). Für \(\mu = 1\) ist der Punkt \(C(1|0|4)\).

a) Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear und das Gleichungssystem hat keine Lösung; daher sind die Geraden windschief. b) Ein möglicher Richtungsvektor ist \(\vec{v}_k = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}\) (oder \(\begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\)). c) Der gesuchte Stützpunkt ist \(C(1|0|4)\).

- Welche Punkte und Richtungen darf eine Gerade besitzen, damit sie vollständig in \(F\) liegt? - Welche Richtung solltest du vermeiden, damit \(h\) nicht parallel zu \(g\) wird? - Können Geraden in zwei verschiedenen echt parallelen Ebenen einen gemeinsamen Punkt besitzen?

1. Wähle einen Punkt von \(F\), zum Beispiel \(P(0|0|2)\). 2. Wähle eine Richtung in \(F\), die nicht kollinear zur Richtung von \(g\) ist, zum Beispiel \(\vec{v}=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}\). 3. Damit ist \(h:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}\) vollständig in \(F\). 4. Die Geraden \(g\) und \(h\) sind nicht parallel, weil ihre Richtungsvektoren nicht kollinear sind. 5. Sie können sich nicht schneiden, weil \(g\subset E\), \(h\subset F\) und die Ebenen \(E\) und \(F\) disjunkt sind. Daher sind \(g\) und \(h\) windschief.

Eine mögliche Lösung ist \(h:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}\). Die Richtungen sind nicht kollinear, und die Geraden liegen in zwei verschiedenen echt parallelen Ebenen; daher sind sie windschief.