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- Welche Information über die Normalenrichtung steckt direkt in den Koeffizienten einer Koordinatengleichung? - Welche beiden Bestandteile brauchst du neben \(\vec{x}\) für die Form \((\vec{x}-\vec{p})\cdot\vec{n}=0\)?

1. Die Koeffizienten der Koordinatengleichung liefern einen Normalenvektor \(\vec{n}=\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\). 2. Mit dem Ortsvektor \(\vec{p}=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}\) des gegebenen Punktes ergibt sich die Normalenform \((\vec{x}-\vec{p})\cdot\vec{n}=0\). 3. Damit gilt \(E: \left(\vec{x}-\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}=0\).

Zum Beispiel \(\vec{n}=\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\); \(E: \left(\vec{x}-\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}=0\)

- Überlege dir, welche Koordinaten fest vorgegeben sind und welche Koordinaten jeden beliebigen Wert annehmen können. - Was bedeutet es geometrisch, wenn eine Koordinate immer Null ist? - Wenn zwei Koordinaten aneinander gekoppelt sind (z. B. \(x_1 = x_3\)), wie verändert sich die Position im Raum, wenn du dich entlang der Achsen bewegst? - Wie viele Einschränkungen gibt es? Eine Gleichung im Raum beschreibt meist eine Fläche, zwei Gleichungen meist eine Linie.

1. Für \(x_1 = -4\) bleibt die \(x_1\)-Koordinate konstant, während \(x_2\) und \(x_3\) beliebig sind; dies beschreibt eine Ebene parallel zur \(x_2x_3\)-Ebene im Abstand 4 in negativer \(x_1\)-Richtung. 2. Die Bedingungen \(x_2 = 3\) und \(x_3 = 0\) definieren den Schnitt zweier Ebenen. Die resultierende Punktmenge ist eine Gerade, die parallel zur \(x_1\)-Achse verläuft und in der \(x_1x_2\)-Ebene liegt. 3. Die Gleichung \(x_1 = x_3\) beschreibt eine Ebene, welche die \(x_2\)-Achse enthält. Ihre Schnittgerade mit der \(x_1x_3\)-Ebene ist die Winkelhalbierende \(x_1=x_3\); zugleich ist sie eine der beiden Winkelhalbierendenebenen zwischen der \(x_1x_2\)- und der \(x_2x_3\)-Ebene.

a) Ebene parallel zur \(x_2x_3\)-Ebene durch den Punkt \((-4|0|0)\). b) Gerade parallel zur \(x_1\)-Achse, die durch den Punkt \((0|3|0)\) verläuft. c) Ebene, welche die \(x_2\)-Achse enthält; sie ist eine der beiden Winkelhalbierendenebenen zwischen der \(x_1x_2\)- und der \(x_2x_3\)-Ebene.

- Welche Koordinaten müssen bei einer Parallelen zu einer Koordinatenebene konstant bleiben? - Welche Werte nehmen die Koordinaten an, die nicht in der Bezeichnung der Achse vorkommen (z. B. bei der \(x_1\)-Achse)? - Wie lässt sich die Bedingung „alle Werte sind gleich“ mathematisch als Gleichung zwischen den Variablen \(x_1, x_2\) und \(x_3\) schreiben?

1. Eine Ebene parallel zur \(x_1x_2\)-Ebene besitzt eine konstante \(x_3\)-Koordinate. Da der Punkt \(P(0|0|-5)\) enthalten ist, muss \(x_3 = -5\) gelten. 2. Auf der \(x_1\)-Achse können die \(x_1\)-Werte beliebig sein, während die \(x_2\)- und die \(x_3\)-Koordinate null sein müssen; dies führt zu den Bedingungen \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 0\). 3. Wenn alle drei Koordinatenwerte \(x_1, x_2\) und \(x_3\) für jeden Punkt der Geraden identisch sein sollen, lässt sich dies durch die Gleichungskette \(x_1 = x_2 = x_3\) ausdrücken.

a) \(x_3 = -5\) b) \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 0\) c) \(x_1 = x_2 = x_3\)

- Überlege, wie die Normalenform einer Ebene allgemein mit einem Punkt und einem Normalenvektor aufgebaut ist. - Wie hängen die Koeffizienten der Koordinatenform mit den Einträgen des Normalenvektors zusammen? - Um den konstanten Wert auf der rechten Seite der Koordinatengleichung zu finden, kannst du die Koordinaten des gegebenen Punktes einsetzen.

1. Aufstellen der Normalenform unter Verwendung des Stützvektors \(\vec{p} = \vec{OP}\) und des Normalenvektors \(\vec{n}\): \(E: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 7 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix} = 0\). 2. Bestimmung der Koordinatenform durch Ausmultiplizieren des Skalarprodukts: \(3x_1 + 5x_2 - x_3 = d\). 3. Berechnung des Skalarwerts \(d\) durch Einsetzen des Punktes \(P\): \(d = 3 \cdot 7 + 5 \cdot (-2) - 1 \cdot 4 = 21 - 10 - 4 = 7\). 4. Ergebnis der Koordinatenform: \(E: 3x_1 + 5x_2 - x_3 = 7\).

Normalenform: \(E: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 7 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix} = 0\) Koordinatenform: \(E: 3x_1 + 5x_2 - x_3 = 7\)

- Wie berechnet man einen Vektor zwischen zwei gegebenen Punkten? - Welche Rolle spielt ein Normalenvektor in der Koordinatengleichung einer Ebene? - Wie nutzt man einen bekannten Punkt der Ebene, um das Absolutglied \(d\) der Gleichung zu berechnen?

1. Bestimmung des Normalenvektors \(\vec{n}\) durch den Verbindungsvektor der Punkte \(A\) und \(B\): \(\vec{n} = \vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \begin{pmatrix} 1-3 \\ 2-(-1) \\ 5-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}\). 2. Aufstellen des Ansatzes für die Koordinatenform: \(-2x_1 + 3x_2 + 3x_3 = d\). 3. Einsetzen des Punktes \(P(4|0|1)\) in die Gleichung zur Bestimmung von \(d\): \(-2 \cdot 4 + 3 \cdot 0 + 3 \cdot 1 = -8 + 3 = -5\). 4. Aufstellen der fertigen Ebenengleichung: \(-2x_1 + 3x_2 + 3x_3 = -5\) (oder äquivalent \(2x_1 - 3x_2 - 3x_3 = 5\)).

\(E: -2x_1 + 3x_2 + 3x_3 = -5\)

- Was bedeutet es für die Orientierung einer Ebene, wenn eine Komponente ihres Normalenvektors null ist? - Überlege, welche Punkte die Gleichung erfüllen, wenn eine Variable gar nicht vorkommt. - Prüfe, ob der Koordinatenursprung in den Ebenen liegt. - Wie stehen Vektoren zueinander, deren Skalarprodukt null ergibt?

1. Bestimmung der Normalenvektoren: Für \(E_1\) ist \(\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\), für \(E_2\) ist \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Analyse von \(E_1\): Da die \(x_2\)-Komponente des Normalenvektors null ist (\(n_2 = 0\)), steht der Normalenvektor senkrecht auf der \(x_2\)-Achse. Da die Ebene zudem durch den Ursprung verläuft (homogene Gleichung), enthält \(E_1\) die gesamte \(x_2\)-Achse. 3. Analyse von \(E_2\): Da zwei Komponenten des Normalenvektors null sind (\(n_1 = 0\) und \(n_3 = 0\)), ist der Normalenvektor parallel zur \(x_2\)-Achse. Damit verläuft die Ebene parallel zur \(x_1x_3\)-Koordinatenebene. Da sie den Ursprung enthält, ist \(E_2\) identisch mit der \(x_1x_3\)-Ebene.

Die Ebene \(E_1\) enthält die \(x_2\)-Achse, da ihr Normalenvektor \(\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\) keine \(x_2\)-Komponente besitzt und die Ebene durch den Ursprung geht. Die Ebene \(E_2\) ist identisch mit der \(x_1x_3\)-Koordinatenebene, da ihr Normalenvektor \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}\) nur eine Komponente ungleich null besitzt und die Ebene den Ursprung enthält.

- Welche besondere Eigenschaft hat der Normalenvektor einer Ebene, die parallel zu einer Koordinatenebene liegt? - Wie hängen der Abstand zum Ursprung und der Achsenabschnitt bei solchen speziellen Ebenen zusammen? - Erinnere dich an den Aufbau der Normalenform: Du benötigst einen Stützvektor und einen Normalenvektor.

1. Da die Ebene parallel zur \(x_1x_2\)-Ebene verläuft, ist der Normalenvektor parallel zur \(x_3\)-Achse, z. B. \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Der Abstand zum Ursprung beträgt \(4\) Längeneinheiten. Da die Ebene die \(x_3\)-Achse im positiven Bereich schneidet, ist der Achsenabschnitt \(x_3 = 4\). Dies ist bereits die Koordinatenform. 3. Ein möglicher Stützpunkt auf der Ebene ist der Achsenschnittpunkt \(P(0|0|4)\). Damit ergibt sich die Normalenform \(\left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = 0\).

Normalenform: \(\left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = 0\) Koordinatenform: \(x_3 = 4\)

- Welche Koordinate bleibt auf jeder Ebene konstant, die parallel zur \(x_2x_3\)-Ebene verläuft? - Welcher Normalenvektor steht senkrecht auf der \(x_2x_3\)-Ebene? - Wie setzt du einen bekannten Ebenenpunkt und einen Normalenvektor in die Punkt-Normalenform ein?

1. Eine Ebene parallel zur \(x_2x_3\)-Ebene hat zum Beispiel den Normalenvektor \(\vec{n}=(1,0,0)^T\). 2. Da \(Q(-2|5|1)\) auf \(G\) liegt, besitzen alle Punkte der Ebene die erste Koordinate \(-2\). Daher lautet die Koordinatengleichung \(G: x_1=-2\). 3. Mit dem Stützpunkt \(Q\) und dem Normalenvektor \(\vec{n}\) erhält man die Normalenform \(\left(\vec{x}-\begin{pmatrix}-2\\5\\1\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=0\).

a) \(G: x_1=-2\) b) \(\left(\vec{x}-\begin{pmatrix}-2\\5\\1\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=0\)

- Wie hängen die Komponenten eines Normalenvektors mit der Koordinatengleichung einer Ebene zusammen? - Was bedeutet es rechnerisch, wenn ein Punkt in einer Ebene liegt? - Setze die Koordinaten des Ursprungs in die allgemeine Ebenengleichung ein.

1. Aufstellen der Koordinatengleichung durch Einsetzen der Komponenten des Normalenvektors als Koeffizienten \(a=4\), \(b=7\), \(c=-1\): \(4x_1 + 7x_2 - x_3 = d\). 2. Da die Ebene durch den Ursprung verläuft, ergibt die Punktprobe mit \(O(0|0|0)\) die Gleichung \(4 \cdot 0 + 7 \cdot 0 - 1 \cdot 0 = d\), woraus \(d = 0\) folgt. Die Gleichung lautet \(4x_1 + 7x_2 - x_3 = 0\). 3. Für eine beliebige Ebene \(ax_1 + bx_2 + cx_3 = d\) führt die Punktprobe mit dem Ursprung stets auf \(a \cdot 0 + b \cdot 0 + c \cdot 0 = d\). Damit der Ursprung in der Ebene liegt, muss also die Bedingung \(d = 0\) erfüllt sein.

a) \(4x_1 + 7x_2 - x_3 = 0\) b) Es muss \(d = 0\) gelten, da beim Einsetzen des Ursprungs \((0|0|0)\) die linke Seite der Gleichung \(ax_1 + bx_2 + cx_3\) immer Null ergibt.

- Was weißt du über die Normalenvektoren von parallelen Ebenen? - Wie ist eine Koordinatengleichung aufgebaut und welche Rolle spielen dabei die Koeffizienten vor den Variablen? - Welche Information liefert dir ein Punkt, der auf einer Ebene liegt, für die Ebenengleichung?

1. Da die Ebene \( F \) parallel zu \( E \) verlaufen soll, besitzt sie denselben Normalenvektor. Die Koeffizienten der Koordinatengleichung bleiben somit identisch: \( 5x_1 - x_2 + 3x_3 = d \). 2. Um den Wert von \( d \) zu bestimmen, werden die Koordinaten des Punktes \( P(2 | 6 | -1) \) in diese Gleichung eingesetzt: \( 5 \cdot 2 - 1 \cdot 6 + 3 \cdot (-1) = 10 - 6 - 3 = 1 \). 3. Daraus ergibt sich die fertige Koordinatengleichung der Ebene \( F \): \( 5x_1 - x_2 + 3x_3 = 1 \).

\( F: 5x_1 - x_2 + 3x_3 = 1 \)

- Was bedeutet es geometrisch, wenn ein Strahl senkrecht auf eine Fläche trifft? - Wie hängen der Normalenvektor einer Ebene und das Skalarprodukt mit der Ebenengleichung zusammen? - Welche Formel nutzt man, um aus einem Punkt und einem Normalenvektor direkt die Koordinatenform zu erhalten?

1. Da der Laserstrahl senkrecht auf die Fläche trifft, entspricht sein Richtungsvektor dem Normalenvektor der Ebene: \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\). 2. Die Bedingung für einen Punkt \(X\) in der Ebene lautet in Normalenform: \((\vec{x} - \vec{p}) \cdot \vec{n} = 0\). Eingesetzt ergibt sich \(\left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = 0\). 3. Zur Bestimmung der Koordinatengleichung wird das Skalarprodukt ausgewertet: \(2x_1 + 2x_2 - x_3 = d\). 4. Einsetzen des Punktes \(P\) zur Berechnung von \(d\): \(2 \cdot 5 + 2 \cdot (-1) - 1 \cdot 4 = 10 - 2 - 4 = 4\). 5. Die Koordinatengleichung lautet somit \(2x_1 + 2x_2 - x_3 = 4\).

a) \(\left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = 0\) b) \(2x_1 + 2x_2 - x_3 = 4\)

- Wie berechnet man die Schnittpunkte einer Ebene mit den Achsen des Koordinatensystems? - Was bedeutet es für die Lage einer Ebene, wenn eine Variable in der Koordinatengleichung fehlt? - Überlege, welche Koordinate für alle Punkte in einer Ebene parallel zur \(x_1x_2\)-Ebene denselben Wert haben muss.

1. Zur Berechnung der Spurpunkte setzt man jeweils zwei Koordinaten gleich Null: - \(x_2=0, x_3=0 \implies 5x_1 = 20 \implies x_1 = 4\). Spurpunkt \(S_1(4|0|0)\). - \(x_1=0, x_3=0 \implies 2x_2 = 20 \implies x_2 = 10\). Spurpunkt \(S_2(0|10|0)\). - Für den Schnittpunkt mit der \(x_3\)-Achse (\(x_1=0, x_2=0\)) ergibt sich die falsche Aussage \(0 = 20\), es existiert also kein Spurpunkt \(S_3\). 2. Da die Variable \(x_3\) in der Gleichung nicht vorkommt (Koeffizient ist \(0\)), ist der Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) orthogonal zur \(x_3\)-Achse (Richtungsvektor \(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)). Folglich verläuft die Ebene \(E\) parallel zur \(x_3\)-Achse. Da \(d=20 \neq 0\), verläuft sie nicht durch den Ursprung, sondern echt parallel zur \(x_3\)-Achse. 3. Eine Ebene parallel zur \(x_1x_2\)-Ebene hat die Form \(x_3 = d\). Da der Punkt \(P(1|2|3)\) auf der Ebene liegt, muss die \(x_3\)-Koordinate des Punktes die Gleichung erfüllen. Daraus folgt \(x_3 = 3\).

1. \(S_1(4|0|0)\), \(S_2(0|10|0)\), kein \(S_3\). 2. \(E\) ist parallel zur \(x_3\)-Achse, da der Koeffizient von \(x_3\) Null ist und die Gleichung für \(x_1=x_2=0\) unlösbar ist. 3. \(F: x_3 = 3\).

- Welche beiden Vektoren werden für \(d=\vec{n}\cdot\vec{p}\) miteinander skalar multipliziert? - In der Skalarproduktform werden die Komponenten des Normalenvektors mit den Koordinaten eines allgemeinen Ebenenpunkts verknüpft. - Wie entsteht aus einem Skalarprodukt mit \(\vec{x}=(x_1,x_2,x_3)^T\) eine Koordinatengleichung?

1. Es gilt \(d=\vec{n}\cdot\vec{p}=1\cdot5+3(-2)+(-2)\cdot4=-9\). 2. Die Skalarproduktform lautet daher \(\begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}\cdot\vec{x}=-9\). 3. Mit \(\vec{x}=(x_1,x_2,x_3)^T\) folgt durch Ausmultiplizieren die Koordinatengleichung \(x_1+3x_2-2x_3=-9\).

a) \(d=-9\), also \(\begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}\cdot\vec{x}=-9\) b) \(E: x_1+3x_2-2x_3=-9\)

- Was bedeutet es geometrisch für den Normalenvektor einer Ebene, wenn diese senkrecht zu einer Geraden stehen soll? - Wie hängen der Normalenvektor und die Koeffizienten in der Koordinatengleichung einer Ebene zusammen? - Wie nutzt du einen gegebenen Punkt, um das Absolutglied (die Konstante) einer Ebenengleichung zu bestimmen?

1. Der Richtungsvektor der Geraden \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\) dient als Normalenvektor \(\vec{n}\) für beide Ebenen. 2. Für \(E_1\) wird der Stützpunkt \(A(3 \mid -2 \mid 5)\) in den Ansatz \(4x_1 + x_2 - 2x_3 = d_1\) eingesetzt: \(4 \cdot 3 + 1 \cdot (-2) - 2 \cdot 5 = 12 - 2 - 10 = 0\). Daraus folgt \(E_1: 4x_1 + x_2 - 2x_3 = 0\). 3. Für \(E_2\) wird der Punkt \(P(0 \mid 6 \mid 1)\) in den Ansatz \(4x_1 + x_2 - 2x_3 = d_2\) eingesetzt: \(4 \cdot 0 + 1 \cdot 6 - 2 \cdot 1 = 4\). Daraus folgt \(E_2: 4x_1 + x_2 - 2x_3 = 4\).

a) \(E_1: 4x_1 + x_2 - 2x_3 = 0\) b) \(E_2: 4x_1 + x_2 - 2x_3 = 4\)

- Was sagt das Skalarprodukt zwischen dem Ortsvektor eines Punktes und dem Normalenvektor über die Lage des Punktes zur Ebene aus? - Wie kannst du aus einem Normalenvektor und einem Punkt direkt die Koordinatenform \(ax_1 + bx_2 + cx_3 = d\) aufstellen? - Welche Bedingung muss die Summe der Koordinaten von \(C\) erfüllen, damit der Punkt in der Ebene liegt?

1. Berechnung der Skalarprodukte: \(\vec{OA} \cdot \vec{n} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 6\). \(\vec{OB} \cdot \vec{n} = 5 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 6\). Beide Werte sind identisch (\(6 = 6\)). 2. Die Koordinatengleichung ergibt sich aus dem Normalenvektor und dem berechneten Skalarprodukt \(d = 6\): \(x_1 + x_2 + x_3 = 6\). 3. Punktprobe für \(C(k | 3 | 0)\) in der Ebenengleichung: \(k + 3 + 0 = 6\). Auflösen nach \(k\) ergibt \(k = 3\).

1. \(\vec{OA} \cdot \vec{n} = 6\) und \(\vec{OB} \cdot \vec{n} = 6\). 2. \(x_1 + x_2 + x_3 = 6\) 3. \(k = 3\)

- Wie setzt man die Koordinaten eines Punktes in das Skalarprodukt einer Ebenengleichung ein? - Was bedeutet es für die Zugehörigkeit eines Punktes zur Ebene, wenn die Gleichung nach dem Einsetzen erfüllt ist? - Kannst du die Ebenengleichung als eine lineare Gleichung mit den Unbekannten \(x_1, x_2, x_3\) schreiben? - Wenn eine Koordinate gesucht ist, kannst du die anderen Werte einsetzen und die Gleichung nach der gesuchten Variable umstellen.

1. Punktprobe für \(P(1|0|3)\): Einsetzen der Koordinaten in die Ebenengleichung ergibt \(5 \cdot 1 - 2 \cdot 0 + 1 \cdot 3 = 5 + 3 = 8\). Da \(8 = 8\) eine wahre Aussage ist, liegt \(P\) in der Ebene \(E\). 2. Bestimmung der Koordinate für \(Q(x_1|4|1)\): Einsetzen der bekannten Koordinaten führt zur Gleichung \(5x_1 - 2 \cdot 4 + 1 \cdot 1 = 8\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(5x_1 - 8 + 1 = 8 \implies 5x_1 - 7 = 8\). 4. Lösen nach \(x_1\): \(5x_1 = 15 \implies x_1 = 3\).

a) Der Punkt \(P\) liegt in der Ebene \(E\). b) Die \(x_1\)-Koordinate ist \(3\).

- Was kennzeichnet die Koordinaten eines Punktes, der auf einer der Koordinatenachsen liegt? - Wie kannst du die Bedingung „alle Koordinaten sind gleich“ mathematisch ausdrücken? - Was musst du tun, um zu prüfen, ob ein Punkt in einer Ebene liegt oder um eine fehlende Koordinate zu finden?

1. Zur Bestimmung der Spurpunkte werden jeweils zwei Koordinaten null gesetzt: Für \(S_1\): \(4x_1 = 8 \implies x_1 = 2\), also \(S_1(2 \mid 0 \mid 0)\). Für \(S_2\): \(-2x_2 = 8 \implies x_2 = -4\), also \(S_2(0 \mid -4 \mid 0)\). Für \(S_3\): \(x_3 = 8\), also \(S_3(0 \mid 0 \mid 8)\). 2. Für den Punkt \(P(a \mid a \mid a)\) wird der Ansatz in die Ebenengleichung eingesetzt: \(4a - 2a + a = 8\). Dies vereinfacht sich zu \(3a = 8\), woraus \(a = \frac{8}{3}\) folgt. Der Punkt ist \(P\left(\frac{8}{3} \mid \frac{8}{3} \mid \frac{8}{3}\right)\). 3. Einsetzen der bekannten Koordinaten von \(Q\) in die Gleichung: \(4 \cdot 3 - 2y + 2 = 8\). Zusammengefasst ergibt sich \(14 - 2y = 8\), also \(-2y = -6\). Daraus folgt \(y = 3\).

a) \(S_1(2 \mid 0 \mid 0)\), \(S_2(0 \mid -4 \mid 0)\), \(S_3(0 \mid 0 \mid 8)\) b) \(P\left(\frac{8}{3} \mid \frac{8}{3} \mid \frac{8}{3}\right)\) c) \(y = 3\)

- Was weißt du über die Koordinaten eines Punktes, der auf einer der Koordinatenachsen liegt? - Wie viele Punkte benötigst du, um die Gleichung einer Geraden aufzustellen? - Eine Spurgerade liegt immer in einer der drei Koordinatenebenen (z. B. \(x_3 = 0\)). - Überlege dir, wie du die Richtung der Geraden aus den gefundenen Achsenschnittpunkten bestimmen kannst.

1. Berechnung der Spurpunkte durch Nullsetzen von jeweils zwei Koordinaten: - \(x_2=0, x_3=0 \Rightarrow x_1=8 \Rightarrow S_1(8|0|0)\) - \(x_1=0, x_3=0 \Rightarrow 2x_2=8 \Rightarrow x_2=4 \Rightarrow S_2(0|4|0)\) - \(x_1=0, x_2=0 \Rightarrow 4x_3=8 \Rightarrow x_3=2 \Rightarrow S_3(0|0|2)\) 2. Aufstellen der Spurgeraden \(g_{12}, g_{13}, g_{23}\) als Verbindungsgeraden der Spurpunkte: - \(g_{12}\) (in der \(x_1x_2\)-Ebene): \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) - \(g_{13}\) (in der \(x_1x_3\)-Ebene): \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) - \(g_{23}\) (in der \(x_2x_3\)-Ebene): \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\)

Spurpunkte: \(S_1(8|0|0)\), \(S_2(0|4|0)\), \(S_3(0|0|2)\). Spurgeraden: \(g_{12}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) \(g_{13}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) \(g_{23}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\)

- Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Punkt in einer Ebene liegt? - Wie gehst du vor, wenn eine Koordinate eines Punktes unbekannt ist, der Punkt aber in der Ebene liegen soll? - Vergleiche den Wert der linken Seite mit \(8\): Ein kleinerer Wert kennzeichnet die dem gewählten Normalenvektor gegenüberliegende Seite.

1. Für Punkt \(A(1|-1|2)\) werden die Koordinaten in die Gleichung eingesetzt: \(4 \cdot 1 - 2 \cdot (-1) + 2 = 4 + 2 + 2 = 8\). Da die Gleichung \(8 = 8\) erfüllt ist, liegt \(A\) in der Ebene \(E\). 2. Für Punkt \(B(2|k|4)\) führt das Einsetzen zur Gleichung \(4 \cdot 2 - 2k + 4 = 8\). Vereinfacht ergibt sich \(12 - 2k = 8\). Durch Umformen nach \(k\) erhält man \(2k = 4\), also \(k = 2\). 3. Für Punkt \(C(3|5|1)\) ergibt die Berechnung \(4 \cdot 3 - 2 \cdot 5 + 1 = 12 - 10 + 1 = 3\). Da \(3 < 8\), liegt der Punkt auf der Seite der Ebene, die der Richtung des Normalenvektors \(\vec{n}\) gegenüberliegt.

a) Ja, der Punkt \(A\) liegt in der Ebene \(E\), da \(4 \cdot 1 - 2 \cdot (-1) + 2 = 8\) eine wahre Aussage ergibt. b) Der Punkt \(B\) liegt für \(k = 2\) in der Ebene \(E\). c) Der Punkt \(C\) liegt auf der dem Normalenvektor \(\vec{n}\) gegenüberliegenden Seite der Ebene, da \(4 \cdot 3 - 2 \cdot 5 + 1 = 3 < 8\).

- Welche besondere Lage hat die Spiegelebene im Verhältnis zur Strecke zwischen Punkt und Bildpunkt? - Wie findet man den Punkt, der genau in der Mitte zwischen zwei gegebenen Punkten liegt? - Welcher Vektor kann als Normalenvektor für die Ebene dienen? - Wenn du einen Punkt auf der Ebene und einen Normalenvektor kennst, wie stellst du daraus die Gleichung auf?

1. Berechnung des Mittelpunktes \(M\) der Strecke \(PP'\), da dieser auf der Spiegelebene liegen muss: \(M = \frac{1}{2} \cdot \left( \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Bestimmung eines Normalenvektors \(\vec{n}\) der Ebene durch den Verbindungsvektor \(\vec{PP'}\): \(\vec{PP'} = \begin{pmatrix} 2-6 \\ 4-2 \\ 3-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}\). Ein vereinfachter Normalenvektor ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\). 3. Aufstellen der Koordinatengleichung \(-2x_1 + x_2 + 2x_3 = d\) und Bestimmung von \(d\) durch Einsetzen von \(M\): \(-2 \cdot 4 + 1 \cdot 3 + 2 \cdot 1 = -3\). 4. Die Ebenengleichung lautet \(-2x_1 + x_2 + 2x_3 = -3\) oder äquivalent \(2x_1 - x_2 - 2x_3 = 3\).

\(F: 2x_1 - x_2 - 2x_3 = 3\) (oder eine dazu äquivalente Gleichung)

- Wie findet man Punkte auf den Koordinatenachsen, wenn die Ebenengleichung bekannt ist? - Überlege dir, welche Koordinate auf einer bestimmten Achse oder in einer bestimmten Koordinatenebene den Wert Null haben muss. - Eine Spurgerade verbindet immer zwei Spurpunkte. Wie stellt man eine Gerade durch zwei Punkte auf? - Um zu prüfen, ob ein Punkt in einer Ebene liegt, kannst du seine Koordinaten direkt in die Gleichung einsetzen.

1. Berechnung der Spurpunkte durch Nullsetzen von jeweils zwei Koordinaten: - \(x_2=x_3=0 \implies 4x_1 = 12 \implies S_1(3|0|0)\) - \(x_1=x_3=0 \implies 3x_2 = 12 \implies S_2(0|4|0)\) - \(x_1=x_2=0 \implies 6x_3 = 12 \implies S_3(0|0|2)\) 2. Aufstellen der Spurgeraden als Geraden durch die jeweiligen Spurpunkte: - \(g_{12}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\) - \(g_{23}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}\) - \(g_{13}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\) 3. Punktprobe für \(P(1|2|0{,}5)\) durch Einsetzen in die Koordinatengleichung: \(4 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 6 \cdot 0{,}5 = 4 + 6 + 3 = 13\). Da \(13 \neq 12\), liegt der Punkt \(P\) nicht in der Ebene \(E\).

a) \(S_1(3|0|0), S_2(0|4|0), S_3(0|0|2)\) b) \(g_{12}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\); \(g_{23}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}\); \(g_{13}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\) (oder äquivalente Formen) c) Nein, der Punkt \(P\) liegt nicht in der Ebene \(E\), da die Punktprobe \(13 \neq 12\) ergibt.

- Wenn eine Gerade senkrecht auf einer Ebene steht, welche Beziehung besteht dann zwischen dem Richtungsvektor der Geraden und dem Normalenvektor der Ebene? - Erinnere dich daran, welche Koordinaten ein Punkt auf der \(x_3\)-Achse hat. - Wie sieht die Koordinatenform aus, wenn eine Komponente des Normalenvektors Null ist?

1. Der Richtungsvektor der Geraden \(s\) entspricht dem Normalenvektor \(\vec{n}\) der Ebene \(F\): \(\vec{n} = \vec{LM} = \begin{pmatrix} 5-2 \\ 2-2 \\ -1-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}\). 2. Vereinfachung des Normalenvektors (optional): \(\vec{n}^* = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\). 3. Ansatz für die Koordinatengleichung mit dem Punkt \(S(0|0|4)\): \(1 \cdot x_1 + 0 \cdot x_2 - 1 \cdot x_3 = d\). 4. Einsetzen der Koordinaten von \(S\): \(0 - 4 = -4\), also \(d = -4\). 5. Daraus ergibt sich die Gleichung: \(x_1 - x_3 = -4\).

\(F: x_1 - x_3 = -4\)

- Welche Punkte liegen alle auf der \(x_3\)-Achse? Setze einen allgemeinen Punkt der Achse in eine Ebenengleichung ein. - Wenn eine Gerade in einer Ebene liegt, wie muss der Normalenvektor der Ebene zum Richtungsvektor der Geraden stehen? - Was muss für das absolute Glied (die Konstante ohne Variable) in der Koordinatengleichung gelten, wenn die Ebene eine Achse (und damit den Ursprung) enthält?

1. Da die Ebene die \(x_3\)-Achse enthält, muss sie insbesondere den Ursprung \(O(0|0|0)\) enthalten. Die allgemeine Form lautet \(n_1x_1 + n_2x_2 + n_3x_3 = 0\). 2. Jeder Punkt auf der \(x_3\)-Achse hat die Form \((0|0|k)\). Einsetzen in die Ebenengleichung ergibt \(n_3 \cdot k = 0\) für alle \(k\), woraus \(n_3 = 0\) folgt. 3. Die Gleichung reduziert sich auf \(n_1x_1 + n_2x_2 = 0\). Einsetzen des Punktes \(P(2|4|1)\) liefert \(2n_1 + 4n_2 = 0\). 4. Eine mögliche Lösung ist \(n_1 = 2\) und \(n_2 = -1\) (oder jedes Vielfache davon). Die Gleichung der Ebene ist somit \(2x_1 - x_2 = 0\). 5. Allgemeine Eigenschaft: Wenn eine Ebene eine Koordinatenachse enthält, ist die entsprechende Koordinate des Normalenvektors null (z. B. \(n_3 = 0\) für die \(x_3\)-Achse), da der Normalenvektor orthogonal zum Richtungsvektor der Achse stehen muss.

a) Eine mögliche Koordinatengleichung für \(E\) ist \(2x_1 - x_2 = 0\). b) Wenn eine Ebene eine Koordinatenachse enthält, muss die entsprechende Komponente des Normalenvektors null sein (z. B. \(n_1 = 0\), wenn die \(x_1\)-Achse enthalten ist). Zudem muss das absolute Glied der Koordinatengleichung null sein, da die Ebene durch den Ursprung verläuft.

- Was bedeutet es für die Lage einer Ebene, wenn eine Koordinate in der Gleichung fehlt? - Welche Rolle spielt der Wert auf der rechten Seite der Gleichung für die Lage zum Ursprung? - Gibt es eine Achse, deren Punkte alle die Bedingung \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 0\) erfüllen?

1. Da die Variable \(x_3\) in der Gleichung nicht vorkommt (Koeffizient \(c=0\)), ist der Normalenvektor \(\vec{n}_k = \begin{pmatrix} k \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\) orthogonal zur \(x_3\)-Achse. Somit liegen alle Ebenen parallel zur \(x_3\)-Achse oder enthalten diese. 2. Wegen \(d=0\) verläuft jede Ebene \(E_k\) durch den Ursprung \(O(0|0|0)\). 3. Da jede Ebene parallel zur \(x_3\)-Achse ist und den Ursprung enthält, muss die gesamte \(x_3\)-Achse in jeder Ebene der Schar liegen. 4. Die \(x_3\)-Achse kann durch die Gerade \(g: \vec{x} = r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) mit \(r \in \mathbb{R}\) beschrieben werden. Die Punktprobe in \(E_k\) ergibt \(k \cdot 0 + 3 \cdot 0 = 0\), was für alle \(r\) und \(k\) eine wahre Aussage ist.

a) Alle Ebenen der Schar enthalten die \(x_3\)-Achse (sie verlaufen durch den Ursprung und sind parallel zur \(x_3\)-Achse). b) Eine mögliche Gerade ist die \(x_3\)-Achse: \(g: \vec{x} = r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). Da für alle Punkte dieser Geraden \(x_1=0\) und \(x_2=0\) gilt, erfüllen sie die Gleichung \(k \cdot 0 + 3 \cdot 0 = 0\) für jedes \(k\).

- Welche geometrische Eigenschaft hat die Ebene, an der ein Punkt auf seinen Bildpunkt gespiegelt wird, in Bezug auf die Verbindungsstrecke? - Wie hängen der Normalenvektor der Ebene und der Verbindungsvektor der beiden symmetrischen Punkte zusammen? - Was lässt sich über den Mittelpunkt der beiden Punkte aussagen? - Wenn zwei Punktepaare dieselbe Symmetrieebene haben und auf derselben Normalen liegen, was haben sie dann gemeinsam? - Wie kannst du das gegebene Abstandsverhältnis nutzen, um die Lage eines Punktes ausgehend vom Symmetriezentrum zu beschreiben?

1. Bestimmung des Mittelpunkts \(M\) der Strecke \([AB]\) als Punkt der Ebene: \(M = \left( \frac{2+6}{2} \middle| \frac{-1+3}{2} \middle| \frac{4+0}{2} \right) = (4|1|2)\). 2. Bestimmung des Normalenvektors \(\vec{n}\) der Ebene aus dem Verbindungsvektor \(\vec{AB}\): \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix}\), woraus sich der vereinfachte Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\) ergibt. 3. Aufstellen der Koordinatengleichung durch Einsetzen von \(M\): \(1 \cdot 4 + 1 \cdot 1 - 1 \cdot 2 = 3\), also \(E: x + y - z = 3\). 4. Da \(C\) und \(D\) symmetrisch zu \(E\) auf der Geraden \(AB\) liegen, ist \(M\) auch ihr Mittelpunkt. Aus dem Abstandsverhältnis \(d(C, D) = 1{,}5 \cdot d(A, B)\) folgt für die Abstände zum Mittelpunkt: \(d(M, C) = 1{,}5 \cdot d(M, A)\). 5. Da \(C\) auf der gleichen Seite wie \(A\) liegt, gilt für die Ortsvektoren: \(\vec{MC} = 1{,}5\vec{MA}\). Mit \(\vec{MA} = \begin{pmatrix} 2-4 \\ -1-1 \\ 4-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\) folgt \(\vec{MC} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix}\). 6. Berechnung der Koordinaten von \(C\): \(\vec{OC} = \vec{OM} + \vec{MC} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix}\), also \(C(1|-2|5)\).

a) \(E: x + y - z = 3\) b) \(C(1|-2|5)\)

- Wie nennt man die Menge aller Punkte, die von zwei festen Punkten denselben Abstand haben? - Welchen Vektor kannst du als Normalenvektor für diese spezielle Ebene nutzen? - Wie berechnet man den Mittelpunkt einer Strecke im Raum? - Wie findet man die Schnittpunkte einer Ebene mit den Achsen, wenn die Koordinatenform bekannt ist?

1. Berechnung des Normalenvektors: \(\vec{n} = \vec{RS} = \begin{pmatrix} 2-6 \\ 4-(-2) \\ 0-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 6 \\ -4 \end{pmatrix}\). Alternativ gekürzt: \(\vec{n} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}\). 2. Bestimmung des Mittelpunktes \(M\) von \(RS\): \(M = \left( \frac{6+2}{2} \middle| \frac{-2+4}{2} \middle| \frac{4+0}{2} \right) = (4|1|2)\). 3. Normalenform: \(\left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} = 0\). 4. Umwandlung in Koordinatenform: \(-2x + 3y - 2z = -2(4) + 3(1) - 2(2) = -9\), also \(2x - 3y + 2z = 9\). 5. Berechnung der Spurpunkte: - \(x\)-Achse (\(y=0, z=0\)): \(2x = 9 \Rightarrow S_x(4{,}5|0|0)\) - \(y\)-Achse (\(x=0, z=0\)): \(-3y = 9 \Rightarrow S_y(0|-3|0)\) - \(z\)-Achse (\(x=0, y=0\)): \(2z = 9 \Rightarrow S_z(0|0|4{,}5)\)

a) \(E: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} = 0\) b) Koordinatenform: \(2x - 3y + 2z = 9\); Spurpunkte: \(S_x(4{,}5|0|0)\), \(S_y(0|-3|0)\), \(S_z(0|0|4{,}5)\)

- Welche Beziehung besteht zwischen dem Richtungsvektor einer Geraden und dem Normalenvektor einer dazu orthogonalen Ebene? - Wie nutzt man einen Punkt und einen Normalenvektor, um die Koordinatenform einer Ebene zu finden? - Wie berechnet man den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene? - Überlege dir, welcher Parameterwert in der Geradengleichung genau den Mittelpunkt zwischen den beiden Stützpunkten markiert.

1. Richtungsvektor der Geraden \(g\) bestimmen: \(\vec{v} = \vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\). 2. Normalenvektor der Ebene \(E\) festlegen: Da \(E \perp g\), kann \(\vec{n} = \frac{1}{2} \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\) gewählt werden. 3. Koordinatengleichung mit \(C(5|3|3)\) aufstellen: \(1 \cdot x - 1 \cdot y + 1 \cdot z = 1 \cdot 5 - 1 \cdot 3 + 1 \cdot 3 = 5\). Die Gleichung lautet \(E: x - y + z = 5\). 4. Geradengleichung \(g\) aufstellen: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\). 5. Schnittpunkt \(S\) durch Einsetzen von \(g\) in \(E\) berechnen: \((1 + 2t) - (2 - 2t) + (3 + 2t) = 5 \implies 6t + 2 = 5 \implies t = 0{,}5\). 6. Koordinaten von \(S\) berechnen: \(\vec{s} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + 0{,}5\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}\), also \(S(2|1|4)\). 7. Mittelpunkt \(M\) von \(\overline{AB}\) berechnen: \(M = \left( \frac{1+3}{2} \mid \frac{2+0}{2} \mid \frac{3+5}{2} \right) = (2|1|4)\). Da \(S = M\), ist die Behauptung bewiesen.

a) \(E: x - y + z = 5\) b) Der Schnittpunkt ist \(S(2|1|4)\). Da der Mittelpunkt der Strecke \(\overline{AB}\) ebenfalls bei \((2|1|4)\) liegt, ist \(S\) der Mittelpunkt.

- Welche besondere Lage hat eine Ebene, zu der zwei Punkte symmetrisch liegen, im Verhältnis zur Strecke zwischen diesen Punkten? - Welche Eigenschaften muss der Normalenvektor der Ebene im Vergleich zum Verbindungsvektor der Punkte haben? - Bei einer Drehung um \(180^\circ\) um eine Achse gilt: Wo muss sie verlaufen und wie muss sie zum Verbindungsvektor orientiert sein? - Wie prüft man allgemein, ob ein Punkt die Bedingungen einer Ebenengleichung erfüllt?

1. Berechnung des Mittelpunkts \(M\) der Strecke \(AB\): \(\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2} \cdot (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}) = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\), also \(M(2|1|3)\). 2. Der Verbindungsvektor \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} -4 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}\) dient als Normalenvektor \(\vec{n}\) der Ebene \(E\). Vereinfachter Normalenvektor: \(\vec{n}_E = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}\). 3. Aufstellen der Ebenengleichung in Koordinatenform: \(-2x_1 + 3x_2 + 2x_3 = d\). Einsetzen von \(M\): \(-2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 + 2 \cdot 3 = 5\). Ergebnis: \(E: -2x_1 + 3x_2 + 2x_3 = 5\). 4. Eine Achse einer Drehung um \(180^\circ\), die \(A\) auf \(B\) abbildet, muss durch den Mittelpunkt \(M(2| 1| 3)\) verlaufen und orthogonal zum Vektor \(\vec{AB}\) sein. 5. Suche eines Richtungsvektors \(\vec{v}\) mit \(\vec{v} \cdot \vec{n}_E = 0\): Beispielsweise \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\), da \(-2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 0 = 0\). 6. Eine mögliche Drehachse ist: \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\). 7. Punktprobe für \(C(1| 1| 3)\) in \(E\): \(-2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 2 \cdot 3 = -2 + 3 + 6 = 7\). Da \(7 \neq 5\), liegt \(C\) nicht in \(E\).

a) \(E: -2x_1 + 3x_2 + 2x_3 = 5\) (oder ein Vielfaches davon) b) Eine mögliche Achse der \(180^\circ\)-Drehung ist \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) (andere Richtungsvektoren orthogonal zu \(\vec{AB}\) sind möglich) c) Der Punkt \(C\) liegt nicht in der Ebene \(E\).

- Überlege dir, welche Gleichungen die \(x_1x_2\)-Ebene und die \(x_1x_3\)-Ebene haben. - Welche Lage muss eine Ebene haben, die den Raum so teilt, dass eine Koordinatenebene genau auf die andere geklappt wird? - Betrachte die Situation in der \(x_2x_3\)-Ebene (Querschnitt), um die Winkelhalbierenden zu finden. - Bei der Spiegelung an einer Ebene wie \(x_2 = x_3\) werden bestimmte Koordinaten einfach vertauscht. Kannst du erkennen, welche?

1. Die \(x_1x_2\)-Ebene hat die Gleichung \(x_3 = 0\), die \(x_1x_3\)-Ebene hat die Gleichung \(x_2 = 0\). 2. Die gesuchten Spiegelebenen müssen die Winkelhalbierendenebenen zwischen diesen beiden Koordinatenebenen sein. Sie enthalten die Schnittgerade (die \(x_1\)-Achse). 3. Die Gleichungen der Winkelhalbierenden ergeben sich aus \(|x_2| = |x_3|\), also \(x_2 = x_3\) und \(x_2 = -x_3\). Koordinatenform: \(H_1: x_2 - x_3 = 0\) und \(H_2: x_2 + x_3 = 0\). 4. Spiegelung von \(P(5| 4| 2)\) an \(H_1\): Der Normalenvektor ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\). 5. Die Lotgerade durch \(P\) ist \(L: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\). 6. Schnitt mit \(H_1\): \((4+t) - (2-t) = 0 \Rightarrow 2 + 2t = 0 \Rightarrow t = -1\). 7. Der Bildpunkt \(P'\) liegt bei \(2t = -2\): \(\overrightarrow{OP'} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} - 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}\).

a) \(H_1: x_2 - x_3 = 0\) und \(H_2: x_2 + x_3 = 0\) b) \(P'(5| 2| 4)\)

- Setze für zwei Koordinaten des Vektors \(\vec{x}\) beliebige Werte (z. B. 0) ein und berechne die dritte Koordinate. - Erinnerst du dich an die verschiedenen Formen von Ebenengleichungen? - Was müsste gelten, damit eine mathematische Operation als „Umkehrung“ einer anderen sinnvoll ist? Denke an die Eindeutigkeit.

1. Suche für a) Vektoren \(\vec{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}\), die \(2x_1 + x_2 - 2x_3 = 12\) erfüllen. Mögliche Lösungen sind \(\vec{x}_1 = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) (da \(2 \cdot 6 + 0 - 0 = 12\)) und \(\vec{x}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 12 \\ 0 \end{pmatrix}\) (da \(0 + 12 - 0 = 12\)). 2. Zu b): Die Gleichung hat die Form der Koordinatengleichung einer Ebene (\(ax_1 + bx_2 + cx_3 = d\)). Die Lösungsmenge ist daher eine Ebene im \(\mathbb{R}^3\) mit dem Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\). 3. Zu c): Eine Umkehroperation müsste ein eindeutiges Ergebnis liefern. Da es unendlich viele verschiedene Vektoren \(\vec{x}\) gibt (alle Punkte auf der Ebene), die das Skalarprodukt \(12\) mit dem gegebenen Vektor ergeben, lässt sich kein eindeutiger „Quotient“ bestimmen. Die Operation ist nicht umkehrbar.

a) Mögliche Lösungen: \(\vec{x}_1 = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{x}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 12 \\ 0 \end{pmatrix}\). b) Die Lösungsmenge beschreibt eine Ebene im Raum. c) Die Division ist nicht sinnvoll, da sie nicht eindeutig wäre: Es gibt unendlich viele Vektoren, die die Gleichung lösen, sodass man kein eindeutiges Ergebnis für \(\vec{x} = 12 : \vec{n}\) festlegen könnte.

- Welche Eigenschaft der Geraden kannst du als Normalenvektor für deine Ebene verwenden? - Wie berechnet man einen Vektor zwischen zwei gegebenen Punkten? - Wenn du den Normalenvektor hast, wie sieht dann die linke Seite der Koordinatengleichung aus? - Wie findest du die Konstante auf der rechten Seite der Gleichung heraus?

1. Der Richtungsvektor der Geraden \(g\) dient als Normalenvektor \(\vec{n}\) der Ebene \(E\). Berechnung durch \(\vec{n} = \vec{AB} = \begin{pmatrix} 2-0 \\ 1-4 \\ 0-(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}\). 2. Der Ansatz für die Koordinatengleichung mit diesem Normalenvektor ist \(2x_1 - 3x_2 + 2x_3 = d\). 3. Zur Bestimmung von \(d\) wird der Punkt \(Q(3 | 3 | 3)\) in die Gleichung eingesetzt: \(2 \cdot 3 - 3 \cdot 3 + 2 \cdot 3 = 6 - 9 + 6 = 3\). 4. Die fertige Koordinatengleichung ist \(2x_1 - 3x_2 + 2x_3 = 3\).

\(2x_1 - 3x_2 + 2x_3 = 3\)

- Welche Variable fehlt in der Gleichung und was bedeutet das für die Ausrichtung des Normalenvektors? - Setze die gegebenen Achsenabschnitte (Punkte auf den Achsen) in die allgemeine Ebenengleichung ein. - Welche Bedingung muss für den Parameter \(d\) gelten, damit eine Ebene durch den Koordinatenursprung verläuft? - Wenn eine Ebene parallel zu einer Achse verläuft und den Ursprung enthält, was bedeutet das für die Lage der Achse zur Ebene?

1. Da der Koeffizient \(b\) vor \(x_2\) Null ist, ist der Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} a \\ 0 \\ c \end{pmatrix}\) orthogonal zum Richtungsvektor der \(x_2\)-Achse \(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). Da \(d \neq 0\), verläuft die Ebene \(ax_1 + cx_3 = d\) echt parallel zur \(x_2\)-Achse. 2. Die Spurpunkte sind \(S_1(4|0|0)\) und \(S_3(0|0|6)\). Einsetzen in die Gleichung \(ax_1 + cx_3 = d\): - \(a \cdot 4 + c \cdot 0 = d \implies a = \frac{d}{4}\) - \(a \cdot 0 + c \cdot 6 = d \implies c = \frac{d}{6}\) Wählt man beispielsweise \(d = 12\), ergibt sich \(a = 3\) und \(c = 2\). Die Gleichung lautet \(3x_1 + 2x_3 = 12\). (Jedes Vielfache dieser Koeffizienten ist ebenfalls korrekt). 3. Wird die Einschränkung \(d \neq 0\) aufgehoben, muss die Ebene durch den Ursprung \((0|0|0)\) verlaufen, damit sie eine Koordinatenachse enthält. Einsetzen des Ursprungs in die Gleichung \(ax_1 + cx_3 = d\) liefert \(a \cdot 0 + c \cdot 0 = d\), also \(d = 0\). Da \(b=0\) bereits gegeben ist, liegen dann alle Punkte der Form \((0|x_2|0)\) in der Ebene, womit sie die gesamte \(x_2\)-Achse enthält.

1. Die Ebenen sind parallel zur \(x_2\)-Achse, da der Koeffizient von \(x_2\) Null ist. 2. Mögliche Lösung: \(a=3, c=2, d=12\) (bzw. \(3x_1 + 2x_3 = 12\)). 3. Nach Aufhebung der Einschränkung \(d \neq 0\) muss \(d = 0\) gewählt werden.

- Wie hängen die Komponenten des Normalenvektors mit der Koordinatengleichung zusammen? - Was muss erfüllt sein, damit ein Punkt in einer Ebene liegt? - Erinnere dich daran, dass das Skalarprodukt aus der Summe der Produkte der jeweiligen Komponenten besteht.

1. Berechnung von \(d\): \(d = \vec{n} \cdot \vec{q} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = 4 \cdot 3 + (-2) \cdot 0 + 5 \cdot (-1) = 12 + 0 - 5 = 7\). Die Gleichung lautet: \(\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = 7\). 2. Koordinatengleichung: Die Koeffizienten entsprechen den Komponenten von \(\vec{n}\): \(4x_1 - 2x_2 + 5x_3 = 7\). 3. Punktprobe für \(S(1|2|0)\): Setze die Koordinaten von \(S\) in die Koordinatengleichung ein: \(4 \cdot 1 - 2 \cdot 2 + 5 \cdot 0 = 4 - 4 + 0 = 0\). Da \(0 \neq 7\) ist, liegt der Punkt \(S\) nicht in der Ebene \(F\).

a) \(\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = 7\) b) \(4x_1 - 2x_2 + 5x_3 = 7\) c) \(S\) liegt nicht in der Ebene \(F\), da die Punktprobe \(0 = 7\) einen Widerspruch ergibt.

- Welcher Vektor bietet sich als Normalenvektor an, wenn die Ebene senkrecht auf der Verbindungslinie zweier Punkte stehen soll? - Wie berechnet man den Mittelpunkt zwischen zwei gegebenen Punkten im Raum? - Erinnere dich an die Struktur der Normalenform: Ein Vektor steht senkrecht auf der Differenz aus dem Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Ebene und einem festen Stützpunkt.

1. Berechnung des Richtungsvektors \(\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 5-1 \\ 0-2 \\ -1-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix}\). Als Normalenvektor kann ein Vielfaches, z. B. \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}\), gewählt werden. 2. Berechnung des Mittelpunkts \(M = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). 3. Aufstellen der Normalenform: \(\left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} = 0\). 4. Umwandeln in Koordinatenform: \(2x_1 - x_2 - 2x_3 = 2 \cdot 3 - 1 \cdot 1 - 2 \cdot 1 = 3\). Ergebnis: \(E: 2x_1 - x_2 - 2x_3 = 3\).

Normalenform: \(E: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} = 0\) (oder ein Vielfaches des Normalenvektors) Koordinatenform: \(E: 2x_1 - x_2 - 2x_3 = 3\)

- Wo findest du in der Koordinatengleichung die Komponenten eines Normalenvektors? - Was passiert mit der Richtung eines Vektors, wenn du ihn mit einer Zahl multiplizierst? Bleibt er senkrecht zur Ebene? - Wie findest du einen Punkt, der eine Gleichung erfüllt? Versuche, zwei Koordinaten auf null zu setzen. - Überlege, ob du dieselbe Ebene auch mit einem doppelt so langen Normalenvektor beschreiben könntest.

1. Aus der Koordinatenform \(2x_1 - x_2 + 2x_3 = 12\) lässt sich der Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) ablesen. Die Form \(\vec{n} \cdot \vec{x} = d\) lautet somit \(\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} = 12\). 2. Die Menge aller Normalenvektoren besteht aus allen Vielfachen von \(\vec{n}\) ungleich dem Nullvektor: \(L = \{ k \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \mid k \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \}\). 3. Ein möglicher Punkt \(P\) ist ein Spurpunkt, z. B. \(P(6|0|0)\) durch Setzen von \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 0\). Die Gleichung lautet dann \(\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right] = 0\). 4. Die Darstellung ist nicht eindeutig. Sowohl der Normalenvektor \(\vec{n}\) kann durch ein beliebiges skalares Vielfaches \(k \neq 0\) ersetzt werden (wobei sich \(d\) entsprechend ändert), als auch der Stützvektor \(\vec{p}\) kann jeder beliebige Ortsvektor eines Punktes auf der Ebene sein.

a) \(\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} = 12\) b) \(L = \{ k \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \mid k \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \}\) c) Z. B. mit \(P(6|0|0)\): \(\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right] = 0\) d) Nein, da der Normalenvektor skaliert werden kann und jeder Punkt der Ebene als Stützpunkt dienen kann.

- Achte darauf, welche Koordinate in der Gleichung fehlt. Was bedeutet das für den Normalenvektor? - Wie berechnet man die Länge eines Vektors? - Wenn ein Vektor die Länge 5 hat, wie kommst du dann auf einen Vektor mit der Länge 10 in derselben oder entgegengesetzten Richtung? - Was bedeutet es für die Lage einer Ebene, wenn der Ursprung \(O(0|0|0)\) die Gleichung erfüllt?

1. Der Normalenvektor wird aus den Koeffizienten der Variablen gelesen: \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}\). Die Skalarproduktform ist \(\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} = 0\). 2. Die Länge von \(\vec{n}\) ist \(|\vec{n}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + (-4)^2} = \sqrt{25} = 5\). Um die Länge \(10\) zu erhalten, muss \(\vec{n}\) mit \(k = \pm 2\) multipliziert werden. Die gesuchten Vektoren sind \(\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix}\). 3. Da die Koordinate \(x_2\) in der Gleichung fehlt (bzw. der Koeffizient \(0\) ist), verläuft die Ebene parallel zur \(x_2\)-Achse. Da die rechte Seite der Gleichung \(0\) ist, verläuft sie zudem durch den Ursprung. Somit enthält die Ebene die \(x_2\)-Achse.

a) \(\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} = 0\) b) \(\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix}\) c) Die Ebene verläuft durch den Ursprung und enthält die \(x_2\)-Achse (bzw. ist parallel zur \(x_2\)-Achse), da der Koeffizient von \(x_2\) null ist und das Absolutglied null ist.

- Was bedeutet es geometrisch, wenn ein Vektor senkrecht auf einer Ebene steht? - Wie hängen die Koordinatenform einer Ebene und das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor zusammen? - Erinnere dich an die Rechenregeln für das Skalarprodukt, insbesondere das Distributivgesetz. - Wie ist der Verbindungsvektor zwischen zwei Punkten definiert?

1. Berechnung des Skalarprodukts von \(\vec{OA}\) und \(\vec{n}\): \(d = 2 \cdot 3 + (-1) \cdot 2 + 4 \cdot (-2) = 6 - 2 - 8 = -4\). Die Ebenengleichung lautet somit \(3x_1 + 2x_2 - 2x_3 = -4\). 2. Einsetzen der Koordinaten von \(B\) in die linke Seite der Gleichung: \(3 \cdot 4 + 2 \cdot (-3) - 2 \cdot 1 = 12 - 6 - 2 = 4\). Da \(4 \neq -4\) gilt, liegt der Punkt \(B\) nicht in der Ebene \(E\). 3. Da \(P\) und \(Q\) in \(E\) liegen, gilt \(\vec{OP} \cdot \vec{n} = d\) und \(\vec{OQ} \cdot \vec{n} = d\). Für den Differenzvektor \(\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP}\) folgt durch Anwendung des Distributivgesetzes für Skalarprodukte: \(\vec{PQ} \cdot \vec{n} = (\vec{OQ} - \vec{OP}) \cdot \vec{n} = \vec{OQ} \cdot \vec{n} - \vec{OP} \cdot \vec{n} = d - d = 0\). Geometrisch bedeutet dies, dass jeder Verbindungsvektor zweier Punkte der Ebene orthogonal zum Normalenvektor steht.

1. \(d = -4\) 2. \(B\) liegt nicht in \(E\), da das Skalarprodukt \(4\) ergibt. 3. \(\vec{PQ} \cdot \vec{n} = \vec{OQ} \cdot \vec{n} - \vec{OP} \cdot \vec{n} = d - d = 0\).

- Erinnere dich an die Rechenregeln für das Skalarprodukt, insbesondere das Distributivgesetz. - Was passiert mit dem Skalarprodukt, wenn du weißt, dass zwei der beteiligten Produkte bereits null sind? - Überlege dir geometrisch, was passiert, wenn zwei Richtungsvektoren in die gleiche (oder entgegengesetzte) Richtung zeigen. Spannen sie dann noch eine Fläche auf?

1. Ansatz für das Skalarprodukt eines beliebigen Vektors \(\vec{x}\) des Richtungsraums mit \(\vec{n}\): \(\vec{n} \cdot \vec{x} = \vec{n} \cdot (r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v})\). Anwendung des Distributivgesetzes für Skalarprodukte: \(\vec{n} \cdot \vec{x} = r \cdot (\vec{n} \cdot \vec{u}) + s \cdot (\vec{n} \cdot \vec{v})\). Da nach Voraussetzung \(\vec{n} \cdot \vec{u} = 0\) und \(\vec{n} \cdot \vec{v} = 0\) gilt, folgt \(\vec{n} \cdot \vec{x} = r \cdot 0 + s \cdot 0 = 0\). Somit steht \(\vec{n}\) senkrecht auf jedem Vektor des Richtungsraums und damit auf der Ebene. 2. Wären \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) parallel, würden sie lediglich eine Gerade (eine Dimension) statt einer Ebene (zwei Dimensionen) aufspannen. Die Orthogonalität zu dieser einen Richtung legt keine Normalenrichtung einer bestimmten Ebene fest.

1. Durch Einsetzen der Linearkombination in das Skalarprodukt ergibt sich \(\vec{n} \cdot (r\vec{u} + s\vec{v}) = r(\vec{n} \cdot \vec{u}) + s(\vec{n} \cdot \vec{v})\). Da \(\vec{n} \cdot \vec{u} = 0\) und \(\vec{n} \cdot \vec{v} = 0\), ist das Gesamtergebnis \(0\), was die Orthogonalität zu jedem Vektor des Richtungsraums beweist. 2. Die Nichtkollinearität stellt sicher, dass ein zweidimensionaler Richtungsraum aufgespannt wird. Bei kollinearen Spannvektoren wird nur eine Gerade aufgespannt; Orthogonalität zu dieser einen Richtung bestimmt keine Normalenrichtung einer Ebene.

- Wie berechnet man den Wert \(d\), wenn ein Normalenvektor und ein Stützpunkt der Ebene bekannt sind? - Erinnere dich an die Definition des Skalarprodukts zweier Vektoren. - Wie gehst du vor, um zu prüfen, ob ein Punkt eine bestimmte geometrische Bedingung erfüllt? - Was muss gelten, damit ein Punkt Teil der Punktmenge einer Ebene ist?

1. Aufstellen der Ebenengleichung: Das Skalarprodukt \(\vec{n} \cdot \vec{A}\) berechnen, um \(d\) zu bestimmen. \(\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + (-4) \cdot 1 = 2 + 6 - 4 = 4\). Somit lautet die Gleichung \(E: \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} = 4\). 2. Punktprobe für \(B(4|0|1)\): \(2 \cdot 4 + 3 \cdot 0 - 4 \cdot 1 = 8 - 4 = 4\). Da \(4 = 4\), gehört \(B\) zur Ebene. 3. Punktprobe für \(C(2|1|1)\): \(2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 - 4 \cdot 1 = 4 + 3 - 4 = 3\). Da \(3 \neq 4\), gehört \(C\) nicht zur Ebene.

a) \(E: \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} = 4\) b) Der Punkt \(B\) gehört zur Ebene \(E\), der Punkt \(C\) hingegen nicht.

- Was bedeutet es für die Lage einer Ebene im Koordinatensystem, wenn eine Variable in der Gleichung fehlt? - Wenn es keinen Spurpunkt auf einer Achse gibt, wie verläuft die Ebene dann zu dieser Achse? - Erinnere dich daran, dass Spurgeraden die Schnittmengen der Ebene mit den Ebenen \(x_1=0\), \(x_2=0\) oder \(x_3=0\) sind. - Wie sieht eine Gerade aus, die parallel zu einer der Koordinatenachsen verläuft?

1. Spurpunkte berechnen: - \(x_2=0, x_3=0 \Rightarrow 2x_1=10 \Rightarrow x_1=5 \Rightarrow S_1(5|0|0)\) - \(x_1=0, x_2=0 \Rightarrow -5x_3=10 \Rightarrow x_3=-2 \Rightarrow S_3(0|0|-2)\) 2. Da die Variable \(x_2\) in der Ebenengleichung nicht vorkommt (Koeffizient ist 0), ist der Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix}\) orthogonal zur \(x_2\)-Achse. Somit verläuft die Ebene parallel zur \(x_2\)-Achse und besitzt keinen Schnittpunkt mit ihr. 3. Spurgeraden bestimmen: - \(g_{13}\) (in der \(x_1x_3\)-Ebene, \(x_2=0\)): Verbindungsgerade von \(S_1\) und \(S_3\), also \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\). - \(g_{12}\) (in der \(x_1x_2\)-Ebene, \(x_3=0\)): \(2x_1=10 \Rightarrow x_1=5\). Dies ist eine Gerade parallel zur \(x_2\)-Achse: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). - \(g_{23}\) (in der \(x_2x_3\)-Ebene, \(x_1=0\)): \(-5x_3=10 \Rightarrow x_3=-2\). Dies ist eine Gerade parallel zur \(x_2\)-Achse: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\).

a) Spurpunkte: \(S_1(5|0|0)\) und \(S_3(0|0|-2)\). b) Da der Koeffizient von \(x_2\) null ist, liegt eine Parallelität zur \(x_2\)-Achse vor. c) Spurgeraden: \(g_{13}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\) \(g_{12}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) \(g_{23}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)

- Welche Bedingung muss die \( x_3 \)-Koordinate eines Punktes erfüllen, damit er in der \( x_1x_2 \)-Ebene liegt? - Wenn eine Gerade senkrecht auf einer Ebene steht, welche besondere Bedeutung hat dann ihr Richtungsvektor für die Ebene? - Wie kannst du eine Koordinatengleichung aufstellen, wenn du einen Normalenvektor und einen Punkt der Ebene kennst? - Überlege dir zuerst, wo genau die Ebene die Gerade trifft, bevor du die Ebenengleichung aufstellst.

1. Den Schnittpunkt \( S \) (Spurpunkt) der Geraden \( g \) mit der \( x_1x_2 \)-Ebene berechnen, indem die \( x_3 \)-Koordinate gleich null gesetzt wird: \( -1 + 5t = 0 \Rightarrow t = 0{,}2 \). 2. Einsetzen von \( t = 0{,}2 \) in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt \( S(4{,}4 | -0{,}2 | 0) \). 3. Da die Gerade \( g \) die Ebene \( E \) orthogonal schneidet, entspricht der Richtungsvektor der Geraden dem Normalenvektor der Ebene: \( \vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} \). 4. Den Ansatz für die Koordinatengleichung \( 2x_1 - x_2 + 5x_3 = d \) mit dem Punkt \( S \) füllen, um \( d \) zu bestimmen: \( 2 \cdot 4{,}4 - (-0{,}2) + 5 \cdot 0 = 8{,}8 + 0{,}2 = 9 \). 5. Die fertige Koordinatengleichung aufstellen: \( 2x_1 - x_2 + 5x_3 = 9 \).

\( E: 2x_1 - x_2 + 5x_3 = 9 \)

- Was bedeutet „gleicher Abstand vom Ursprung“ für die Koordinaten der Schnittpunkte? Berücksichtige dabei alle Richtungen der Achsen. - Nutze die Achsenabschnittsform oder eine allgemeine Koordinatenform als Startpunkt. - Wie viele verschiedene Vorzeichenkombinationen sind theoretisch für die Koeffizienten der Ebene denkbar? - Prüfe nach dem Einsetzen des Punktes, welche Werte für den Abstand \(d\) tatsächlich positiv sind.

1. Aufstellen des allgemeinen Ansatzes: Die Achsenabschnitte der Ebene liegen bei \((\pm d|0|0)\), \((0|\pm d|0)\) und \((0|0|\pm d)\). Dies führt zur allgemeinen Koordinatengleichung \(\pm x \pm y \pm z = d\) mit \(d > 0\). 2. Einsetzen des Punktes \(P(2|2|2)\) zur Bestimmung von \(d\): Es muss gelten \(\pm 2 \pm 2 \pm 2 = d\). Da \(d\) positiv sein muss, werden alle Kombinationen der Vorzeichen geprüft, die eine positive Summe ergeben. 3. Fallunterscheidung der Vorzeichenkombinationen: - Drei positive Vorzeichen: \(2+2+2 = 6 \Rightarrow d=6\). Gleichung: \(x+y+z=6\). - Zwei positive, ein negatives Vorzeichen: \(2+2-2 = 2 \Rightarrow d=2\). Dies ergibt drei mögliche Gleichungen durch Permutation der Vorzeichen: \(x+y-z=2\), \(x-y+z=2\) und \(-x+y+z=2\). - Andere Kombinationen (z. B. \(2-2-2 = -2\)) führen auf ein negatives \(d\), was im Widerspruch zur Voraussetzung \(d > 0\) steht. 4. Zusammenfassung: Es ergeben sich insgesamt vier mögliche Ebenengleichungen.

Die möglichen Koordinatengleichungen sind: \(E_1: x+y+z=6\) \(E_2: x+y-z=2\) \(E_3: x-y+z=2\) \(E_4: -x+y+z=2\)

- Wie verhalten sich die Koordinaten eines Punktes, wenn er auf einer der Koordinatenachsen liegt? - Eine Gerade in einer Koordinatenebene (z. B. der \(xy\)-Ebene) hat immer eine Koordinate, die fest auf null gesetzt ist. - Für den Flächeninhalt eines Dreiecks im Raum eignet sich der Betrag des Kreuzprodukts zweier Seitenvektoren. - Denke bei der Winkelberechnung daran, dass die Vektoren beide vom selben Eckpunkt ausgehen müssen.

1. Spurpunkte durch Nullsetzen der anderen Koordinaten: \(S_x(4|0|0)\), \(S_y(0|3|0)\), \(S_z(0|0|2)\). 2. Spurgeraden liegen in den Koordinatenebenen: \(s_{xy}\) (\(z=0\)): \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\) \(s_{yz}\) (\(x=0\)): \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}\) \(s_{xz}\) (\(y=0\)): \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \nu \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\) 3. Flächeninhalt des Dreiecks \(S_x S_y S_z\): Vektoren \(\vec{S_x S_y} = \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{S_x S_z} = \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\). Das Kreuzprodukt der beiden Seitenvektoren ist \(\begin{pmatrix} 6 \\ 8 \\ 12 \end{pmatrix}\). Fläche \(A = \frac{1}{2} \cdot \left|\begin{pmatrix} 6 \\ 8 \\ 12 \end{pmatrix}\right| = \frac{1}{2} \sqrt{6^2 + 8^2 + 12^2} = \frac{1}{2} \sqrt{244} = \sqrt{61} \approx 7{,}81\,\text{FE}\). 4. Winkelberechnung über das Skalarprodukt der Verbindungsvektoren: Winkel \(\alpha\) bei \(S_x\): \(\cos \alpha = \frac{\begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}}{|\vec{S_x S_y}| \cdot |\vec{S_x S_z}|} = \frac{16}{5 \cdot \sqrt{20}} = \frac{16}{10\sqrt{5}} \Rightarrow \alpha \approx 44{,}31^\circ\). Winkel \(\beta\) bei \(S_y\): \(\vec{S_y S_x} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{S_y S_z} = \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}\). \(\cos \beta = \frac{9}{5 \cdot \sqrt{13}} \Rightarrow \beta \approx 60{,}05^\circ\). Winkel \(\gamma\) bei \(S_z\): \(\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta \approx 75{,}64^\circ\).

1. \(S_x(4|0|0), S_y(0|3|0), S_z(0|0|2)\). 2. \(s_{xy}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\); \(s_{yz}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}\); \(s_{xz}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \nu \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). 3. \(A = \sqrt{61} \approx 7{,}81\,\text{FE}\). 4. \(\alpha \approx 44{,}3^\circ, \beta \approx 60{,}1^\circ, \gamma \approx 75{,}6^\circ\).

- Nutze die Achsenabschnitte der Ebene, um die Koordinatengleichung schnell aufzustellen. - Ein Punkt liegt in einer Ebene, wenn seine Koordinaten die Ebenengleichung erfüllen. - Für die Lage innerhalb eines Dreiecks kannst du die Parameterform der Ebene nutzen. Welche Bedingungen müssen für die Parameter \(r\) und \(s\) gelten? - Erinnere dich: \(r > 0\), \(s > 0\) und \(r + s < 1\).

1. Aufstellen der Koordinatenform (Achsenabschnittsform): \(\frac{x_1}{8} + \frac{x_2}{8} + \frac{x_3}{4} = 1\). Multiplikation mit 8 ergibt \(x_1 + x_2 + 2x_3 = 8\). 2. Punktprobe für \(S(2|2|2)\): \(2 + 2 + 2 \cdot 2 = 4 + 4 = 8\). Die Bedingung \(8 = 8\) ist erfüllt, \(S\) liegt in der Ebene \(E\). 3. Lage im Dreieck mittels Parameterform: \(\overrightarrow{OS} = \overrightarrow{OP} + r \cdot \vec{PQ} + s \cdot \vec{PR}\). \(\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -8 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -8 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\). Aus der dritten Zeile: \(4s = 2 \Rightarrow s = 0{,}5\). Aus der zweiten Zeile: \(8r = 2 \Rightarrow r = 0{,}25\). Überprüfung der ersten Zeile: \(8 - 8 \cdot 0{,}25 - 8 \cdot 0{,}5 = 8 - 2 - 4 = 2\). Die Werte sind konsistent. 4. Da \(r > 0\), \(s > 0\) und \(r + s = 0{,}75 < 1\), liegt der Punkt \(S\) im Inneren des Dreiecks \(PQR\).

a) \(E: x_1 + x_2 + 2x_3 = 8\) b) Ja, \(S\) liegt in \(E\), da \(2 + 2 + 2 \cdot 2 = 8\). c) Ja, der Punkt \(S\) liegt im Inneren des Dreiecks, da die Parameter \(r = 0{,}25\) und \(s = 0{,}5\) die Bedingungen \(r, s > 0\) und \(r + s < 1\) erfüllen.