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- Welche Bedeutung haben die beiden bereits als nächstgelegen angegebenen Punkte? - Welche Länge liefert unmittelbar den Abstand der beiden Geraden?

1. Der Abstand windschiefer Geraden ist die Länge der Strecke zwischen ihren nächstgelegenen Punkten. 2. Es gilt \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\) und damit \(d(g,h) = |\vec{AB}| = 4\).

Der Abstand der Geraden beträgt \(4\,\text{LE}\).

- Welche Eigenschaft muss die Richtung einer gemeinsamen Senkrechten gegenüber beiden Geradenrichtungen haben? - Wie lässt sich Orthogonalität zweier Vektoren rechnerisch prüfen?

1. Für \(\vec{n}_1\) gilt \(\vec{n}_1 \cdot \vec{u} = 0\) und \(\vec{n}_1 \cdot \vec{v} = 0\). 2. Dagegen gilt \(\vec{n}_2 \cdot \vec{u} = 1\) und \(\vec{n}_2 \cdot \vec{v} = 1\). Daher ist nur \(\vec{n}_1\) zu beiden Geradenrichtungen orthogonal.

\(\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) kann die Richtung einer gemeinsamen Senkrechten angeben.

- Wähle zunächst je einen leicht ablesbaren Punkt auf \(g\) und \(h\) und bilde einen Verbindungsvektor. - Welche geometrische Bedeutung hat es, dass der gegebene Vektor zu beiden Geradenrichtungen senkrecht ist? - Wie erhältst du aus einem Vektor seine Längenkomponente in einer vorgegebenen Richtung?

1. Als Punkte auf den Geraden können \(A(0|0|0)\) auf \(g\) und \(B(1|1|0)\) auf \(h\) verwendet werden. Dann ist \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Der gegebene Vektor ist zu beiden Richtungsvektoren orthogonal: \(\vec{n} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = 0\) und \(\vec{n} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 0\). 3. Daher ist die Länge der Projektion von \(\vec{AB}\) auf die gemeinsame Normalenrichtung der Geradenabstand: \(d(g,h) = \frac{|\vec{AB} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}\). 4. Verschiebungen entlang einer der beiden Geraden verändern nur Komponenten parallel zu ihren Richtungen. Die Komponente in der gemeinsamen Normalenrichtung bleibt als kürzeste Trennung erhalten.

\(d(g,h)=\frac{2\sqrt{3}}{3}\,\text{LE}\). Entscheidend ist die Projektion auf die gemeinsame Normalenrichtung, weil diese senkrecht zu beiden Geraden verläuft und damit ihre kürzeste Trennung erfasst.

- Wie stehen die Richtungsvektoren zueinander? Sind sie parallel? - Was passiert, wenn du versuchst, einen Schnittpunkt zu berechnen? - Für den kürzesten Abstand brauchst du eine Richtung, die zu beiden Geraden senkrecht ist. Wie lässt sich eine solche Richtung aus den beiden Richtungsvektoren gewinnen? - Welche Komponente eines Verbindungsvektors zwischen den Geraden trägt zum Abstand in dieser gemeinsamen Normalenrichtung bei?

1. Richtungsvektoren prüfen: \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\). Da kein Skalar \(k\) existiert mit \(k \cdot \vec{u} = \vec{v}\), sind die Geraden nicht parallel. 2. Schnittpunktprüfung: Gleichsetzen liefert \(2+t=1+2s\), \(2t=4+s\) und \(-1+2t=-2s\). Aus der zweiten Gleichung folgt \(s=2t-4\). Einsetzen in die erste: \(2+t=1+2(2t-4) \Rightarrow 2+t=4t-7 \Rightarrow 3t=9 \Rightarrow t=3\). Damit wäre \(s=2\). Prüfung in der dritten Gleichung: \(-1+2(3)=5\) und \(-2(2)=-4\). Da \(5 \neq -4\), sind die Geraden windschief. 3. Normalenvektor berechnen: \(\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} -6 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix}\). Zur Vereinfachung kann \(\vec{n}^* = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\) verwendet werden. Der Betrag ist \(|\vec{n}^*| = \sqrt{4+4+1} = 3\). 4. Abstand berechnen: Verbindungsvektor der Aufpunkte \(\vec{w} = \begin{pmatrix} 1-2 \\ 4-0 \\ 0-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}\). Der Abstand ist \(d = \frac{|\vec{w} \cdot \vec{n}^*|}{|\vec{n}^*|} = \frac{|(-1) \cdot (-2) + 4 \cdot 2 + 1 \cdot (-1)|}{3} = \frac{|2+8-1|}{3} = \frac{9}{3} = 3\).

Die Geraden sind windschief. Ihr Abstand beträgt \(d = 3\).

- Wie lassen sich die Koordinatenachsen als Geradengleichungen in Parameterform darstellen? - Welche Richtungsvektoren haben die \(x_1\)-, \(x_2\)- und \(x_3\)-Achse? - Kennst du eine Formel, mit der man den Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden berechnen kann? - Überlege, wie du einen Vektor findest, der senkrecht auf zwei gegebenen Richtungsvektoren steht.

1. Die Koordinatenachsen werden als Geraden mit dem Ursprung als Stützpunkt und den Einheitsvektoren als Richtungsvektoren aufgefasst: \(x_1\)-Achse: \(\vec{x} = \mu \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(x_2\)-Achse: \(\vec{x} = \mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(x_3\)-Achse: \(\vec{x} = \mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Für den Abstand zur \(x_1\)-Achse: Das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren \(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) ergibt den Normalenvektor \(\vec{n}_x = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\) mit dem Betrag \(|\vec{n}_x| = \sqrt{2}\). Die Anwendung der Abstandsformel mit dem Stützvektor \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\) liefert \(d_x = \frac{|\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}|}{\sqrt{2}} = \frac{|-4|}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83\). 3. Für den Abstand zur \(x_2\)-Achse: Der Normalenvektor ist \(\vec{n}_y = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) mit \(|\vec{n}_y| = 1\). Der Abstand beträgt \(d_y = \frac{|\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}|}{1} = 3\). 4. Für den Abstand zur \(x_3\)-Achse: Der Normalenvektor ist \(\vec{n}_z = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) mit \(|\vec{n}_z| = 1\). Der Abstand beträgt \(d_z = \frac{|\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}|}{1} = 3\).

Abstand zur \(x_1\)-Achse: \(2\sqrt{2} \approx 2{,}83\,\text{LE}\) Abstand zur \(x_2\)-Achse: \(3\,\text{LE}\) Abstand zur \(x_3\)-Achse: \(3\,\text{LE}\)

- Überprüfe zuerst, ob die Geraden parallel sind oder sich schneiden könnten. - Ein gemeinsames Lot steht senkrecht auf beiden Richtungsvektoren. Wie berechnet man einen solchen Vektor? - Die Projektion des Verbindungsvektors zweier beliebiger Punkte der Geraden auf den Normalenvektor ergibt den gesuchten Abstand. - Welche Rolle spielt das Skalarprodukt bei der Berechnung des Abstands?

1. Bestimmung des Normalenvektors \(\vec{n}\) durch das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\): \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 - 0 \cdot 1 \\ 0 \cdot 0 - 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 1 - 1 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Betrags des Normalenvektors: \(|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}\). 3. Berechnung des Differenzvektors der Stützpunkte: \(\vec{w} = \vec{a}_g - \vec{a}_h = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\). 4. Anwendung der Abstandsformel für windschiefe Geraden: \(d = \frac{|\vec{w} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} = \frac{|\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}|}{\sqrt{3}} = \frac{|1 + 2 + 1|}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}\). 5. Numerisches Ergebnis: \(d \approx 2{,}31\).

Der Abstand beträgt \(\frac{4}{\sqrt{3}} \approx 2{,}31\,\text{LE}\).

- Wann nennt man zwei Geraden im dreidimensionalen Raum windschief? - Wie kann man prüfen, ob zwei Vektoren parallel sind? - Welche Lagebeziehungen gibt es, wenn kein Schnittpunkt existiert? - Wie hilft dir ein Vektor, der senkrecht auf beiden Richtungsvektoren steht, bei der Abstandsberechnung? - Kennst du eine Formel, die die Projektion des Verbindungsvektors der Stützpunkte auf die Normalenrichtung nutzt?

1. Überprüfung der Richtungsvektoren: \(\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) sind keine Vielfachen voneinander, also nicht parallel. Gleichsetzen der Geradengleichungen führt auf das Gleichungssystem: I: \(4 + 2r = 2 + s \Rightarrow s - 2r = 2\) II: \(1 = 5 + 2s \Rightarrow 2s = -4 \Rightarrow s = -2\) III: \(2 + r = 1 \Rightarrow r = -1\) Einsetzen in I: \(-2 - 2(-1) = 0 \neq 2\). Das System hat keine Lösung, die Geraden haben keinen Schnittpunkt. Da sie nicht parallel sind, sind sie windschief. 2. Bestimmung des Normalenvektors \(\vec{n}\) durch das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren: \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}\). Betrag des Normalenvektors: \(|\vec{n}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 4^2} = \sqrt{21}\). Differenzvektor der Stützpunkte: \(\vec{p}_h - \vec{p}_g = \begin{pmatrix} 2-4 \\ 5-1 \\ 1-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}\). Abstandsberechnung mit der Formel \(d = \frac{|(\vec{p}_h - \vec{p}_g) \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}\): \(d = \frac{|\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}|}{\sqrt{21}} = \frac{|4 + 4 - 4|}{\sqrt{21}} = \frac{4}{\sqrt{21}} \approx 0{,}873\).

1. Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig und das Gleichsetzen der Geraden führt zu einem Widerspruch, daher sind sie windschief. 2. Der Abstand beträgt \(d = \frac{4}{\sqrt{21}} \approx 0{,}873\,\text{LE}\).

- Überlege zuerst, welche Bedingungen für die gegenseitige Lage von Geraden im Raum gelten müssen. - Wie kann man einen Vektor finden, der auf zwei gegebenen Vektoren gleichzeitig senkrecht steht? - Der Abstand zweier windschiefer Geraden ist die Länge der kürzesten Verbindung — was weißt du über die Winkel an den Endpunkten dieser Verbindung? - Wenn eine Kugel eine Gerade berührt, in welcher Beziehung stehen dann der Radius und der Abstand des Mittelpunkts zur Geraden?

1. Überprüfung auf Parallelität: Die Richtungsvektoren \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) sind wegen \(k \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) linear unabhängig. 2. Überprüfung auf Schnittpunkt: Das Gleichungssystem aus den Geradengleichungen führt zu einem Widerspruch (\(r-2s=3\), \(2r+2s=4\), \(2r-s=6\)), da die ersten beiden Gleichungen \(s = -\frac{1}{3}\) und \(r = \frac{7}{3}\) liefern, was die dritte Gleichung (\(\frac{14}{3} + \frac{1}{3} = 5 \neq 6\)) nicht erfüllt. Somit sind die Geraden windschief. 3. Abstandsberechnung: Der Normalenvektor ist \(\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ -6 \end{pmatrix}\), skaliert zu \(\vec{n}_0 = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\). Der Abstand ergibt sich mit dem Differenzvektor der Stützpunkte \(\vec{w} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}\) zu \(d = |\vec{w} \cdot \vec{n}_0| = \frac{|6 + 4 - 12|}{3} = \frac{2}{3}\). 4. Fußpunkte: Der Differenzvektor \(\vec{F_g F_h} = \begin{pmatrix} 3+2s-r \\ 4-2s-2r \\ 6+s-2r \end{pmatrix}\) muss parallel zu \(\vec{n}\) sein. Dies führt auf das System \(6s+3r=5\) und \(3s+6r=14\) mit den Lösungen \(r = \frac{23}{9}\) und \(s = -\frac{4}{9}\). Die Fußpunkte sind \(F_g\left(\frac{41}{9} \big| \frac{46}{9} \big| \frac{55}{9}\right)\) und \(F_h\left(\frac{37}{9} \big| \frac{44}{9} \big| \frac{59}{9}\right)\). 5. Kugelradius: Der Radius entspricht dem Abstand des Punktes \(M\) zur Geraden \(g\). Mit dem Lotfußpunktverfahren oder der Abstandsformel für Punkte und Geraden ergibt sich der Abstand \(d(M, g) = \sqrt{2}\). Somit ist der Radius \(R = \sqrt{2} \approx 1{,}41\).

a) Die Geraden sind nicht parallel und haben keinen Schnittpunkt. b) \(d(g, h) = \frac{2}{3}\) c) \(F_g\left(\frac{41}{9} \big| \frac{46}{9} \big| \frac{55}{9}\right)\) und \(F_h\left(\frac{37}{9} \big| \frac{44}{9} \big| \frac{59}{9}\right)\) d) \(R = \sqrt{2}\)

- Ein Punkt auf einer Geraden lässt sich allgemein durch den Stützvektor und den Parameter ausdrücken. - Was weißt du über den Winkel zwischen der gemeinsamen Lotgeraden und den beiden gegebenen Geraden? - Wenn ein Vektor senkrecht auf einem anderen steht, welchen Wert hat dann ihr Skalarprodukt? - Du erhältst ein Gleichungssystem für die beiden unbekannten Parameter.

1. Aufstellen eines allgemeinen Verbindungsvektors \(\vec{PQ}\): \(\vec{PQ} = \vec{x}_h - \vec{x}_g = \begin{pmatrix} 0-1-r \\ 1+s-r \\ 4+s-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1-r \\ 1+s-r \\ 3+s \end{pmatrix}\). 2. Bedingung für den kürzesten Abstand: Der Vektor \(\vec{PQ}\) muss senkrecht auf beiden Richtungsvektoren \(\vec{u} = (1, 1, 0)^T\) und \(\vec{v} = (0, 1, 1)^T\) stehen. 3. Gleichungssystem aufstellen: I: \(\vec{PQ} \cdot \vec{u} = 0 \Rightarrow (-1-r) \cdot 1 + (1+s-r) \cdot 1 + (3+s) \cdot 0 = 0 \Rightarrow -2r + s = 0\). II: \(\vec{PQ} \cdot \vec{v} = 0 \Rightarrow (-1-r) \cdot 0 + (1+s-r) \cdot 1 + (3+s) \cdot 1 = 0 \Rightarrow -r + 2s = -4\). 4. System lösen: Aus I folgt \(s = 2r\). Einsetzen in II ergibt \(-r + 4r = -4 \Rightarrow 3r = -4 \Rightarrow r = -\frac{4}{3}\). Damit ist \(s = -\frac{8}{3}\). 5. Lotfußpunkte berechnen: \(P = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - \frac{4}{3} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \left(-\frac{1}{3} \mid -\frac{4}{3} \mid 1\right)\). \(Q = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} - \frac{8}{3} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \left(0 \mid -\frac{5}{3} \mid \frac{4}{3}\right)\). 6. Abstand berechnen: \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} 0 - (-1/3) \\ -5/3 - (-4/3) \\ 4/3 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/3 \\ -1/3 \\ 1/3 \end{pmatrix}\). \(d = |\vec{PQ}| = \sqrt{(1/3)^2 + (-1/3)^2 + (1/3)^2} = \sqrt{3/9} = \sqrt{1/3} = \frac{1}{3}\sqrt{3} \approx 0{,}577\).

Die Punkte mit dem minimalen Abstand sind \(P\left(-\frac{1}{3} \mid -\frac{4}{3} \mid 1\right)\) und \(Q\left(0 \mid -\frac{5}{3} \mid \frac{4}{3}\right)\). Der minimale Abstand beträgt \(d = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3}\sqrt{3} \approx 0{,}577\,\text{LE}\).

- Wie stehen die Richtungsvektoren der Geraden zueinander? Sind sie parallel? - Ein gemeinsames Lot steht senkrecht auf beiden Richtungsvektoren. Wie kannst du einen solchen Vektor berechnen? - Überlege dir, wie man den Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen kann, die eine der Geraden enthält und parallel zur anderen ist. - Für die Punkte mit dem geringsten Abstand kannst du einen allgemeinen Verbindungsvektor zwischen zwei Punkten der Geraden aufstellen.

1. Zur Bestimmung des Abstands windschiefer Geraden wird der Normalenvektor \(\vec{n}\) über das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren berechnet: \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Der Betrag des Normalenvektors ist \(|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}\). 3. Mit der Abstandsformel für windschiefe Geraden ergibt sich für den Stützvektorunterschied \(\vec{b}-\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\): \(d = \frac{|\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}|}{\sqrt{3}} = \frac{|2 + 0 + 2|}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} \approx 2{,}31\,\text{m}\). 4. Zur Bestimmung der Lotfußpunkte \(P\) und \(Q\) wird der Verbindungsvektor \(\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = \begin{pmatrix} 2-r \\ s-r \\ 2+s \end{pmatrix}\) auf Orthogonalität zu beiden Richtungsvektoren geprüft: I: \((2-r) \cdot 1 + (s-r) \cdot 1 = 0 \implies -2r + s = -2\) II: \((s-r) \cdot 1 + (2+s) \cdot 1 = 0 \implies -r + 2s = -2\) 5. Das Gleichungssystem liefert \(r = \frac{2}{3}\) und \(s = -\frac{2}{3}\). 6. Einsetzen in die Geradengleichungen ergibt \(P\left(\frac{2}{3}\middle|\frac{2}{3}\middle|0\right)\) und \(Q\left(2\middle|-\frac{2}{3}\middle|\frac{4}{3}\right)\).

a) Der Abstand beträgt \(d = \frac{4}{\sqrt{3}} \approx 2{,}31\,\text{m}\). b) Die Punkte sind \(P(\frac{2}{3} | \frac{2}{3} | 0)\) und \(Q(2 | -\frac{2}{3} | \frac{4}{3})\).

- Was zeichnet die Verbindungslinie aus, die den kürzesten Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden darstellt? - Wie kannst du einen beliebigen Punkt auf einer Geraden mithilfe seines Parameters ausdrücken? - Welche Bedingung müssen die Skalarprodukte erfüllen, wenn eine Strecke senkrecht auf zwei Richtungen steht? - Kannst du ein Gleichungssystem für die unbekannten Parameter der Geraden aufstellen?

1. Ein allgemeiner Verbindungsvektor zwischen einem Punkt \(G\) auf \(g\) und \(H\) auf \(h\) ist \(\vec{GH} = \vec{x}_h - \vec{x}_g = \begin{pmatrix} -1 - t \\ 1 + k \\ 3 + k - t \end{pmatrix}\). 2. Der Vektor \(\vec{GH}\) muss senkrecht auf beiden Richtungsvektoren \(\vec{v}_g = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v}_h = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) stehen. I: \(\vec{GH} \cdot \vec{v}_g = 0 \Rightarrow (-1 - t) \cdot 1 + (1 + k) \cdot 0 + (3 + k - t) \cdot 1 = 0 \Rightarrow 2 - 2t + k = 0\) II: \(\vec{GH} \cdot \vec{v}_h = 0 \Rightarrow (-1 - t) \cdot 0 + (1 + k) \cdot 1 + (3 + k - t) \cdot 1 = 0 \Rightarrow 4 + 2k - t = 0\) 3. Aus II folgt \(t = 4 + 2k\). Einsetzen in I: \(2 - 2(4 + 2k) + k = 0 \Rightarrow 2 - 8 - 4k + k = 0 \Rightarrow -6 - 3k = 0 \Rightarrow k = -2\). 4. Einsetzen von \(k\) in die Gleichung für \(t\): \(t = 4 + 2(-2) = 0\). 5. Berechnung der Punkte: \(L_g = \vec{x}_g(0) = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) \(L_h = \vec{x}_h(-2) = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 + (-2) \\ 3 + (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\).

Die Lotfußpunkte sind \(L_g(1|1|0)\) und \(L_h(0|0|1)\).

- Wie stellst du eine Gerade auf, wenn zwei Punkte gegeben sind? - Woran erkennst du rechnerisch, ob zwei Vektoren im rechten Winkel zueinander stehen? - Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit zwei Geraden weder parallel sind noch sich schneiden? - Erinnere dich an die Formel für den Abstand windschiefer Geraden mithilfe des Kreuzprodukts. - Wie lässt sich der Flächeninhalt eines Dreiecks im Raum mit Vektoren bestimmen?

1. Gerade \(g\): Der Richtungsvektor ist \(\vec{u} = \vec{B} - \vec{A} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\). Die Geradengleichung lautet \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\). 2. Orthogonalität: Das Skalarprodukt der Richtungsvektoren \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + (-2) \cdot 1 = 2 + 4 - 2 = 4 \neq 0\). Die Richtungsvektoren sind nicht orthogonal. 3. Windschiefe: Die Richtungsvektoren sind keine Vielfachen voneinander (nicht parallel). Das Gleichsetzen der Geraden führt auf ein widersprüchliches Gleichungssystem (\(2+r=2s\), \(1+2r=4+2s\), \(3-2r=1+s\)), woraus folgt, dass kein Schnittpunkt existiert. Somit sind sie windschief. 4. Abstand: Ein Normalenvektor ist \(\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} 6 \\ -5 \\ -2 \end{pmatrix}\). Mit dem Verbindungsvektor der Stützpunkte \(\vec{w} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}\) ergibt sich der Abstand \(d = \frac{|\vec{w} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} = \frac{|12+15-4|}{\sqrt{36+25+4}} = \frac{23}{\sqrt{65}} \approx 2{,}85\). 5. Flächeninhalt Dreieck: Mit \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix}\) berechnet man das Kreuzprodukt \(\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{pmatrix} 8 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}\). Der Flächeninhalt ist \(A = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} \sqrt{64+1+25} = \frac{1}{2} \sqrt{90} = 1{,}5 \sqrt{10} \approx 4{,}74\).

a) \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\) b) Nein, da das Skalarprodukt \(4 \neq 0\) ist. c) Die Geraden sind windschief; der Abstand beträgt \(d = \frac{23}{\sqrt{65}} \approx 2{,}85\,\text{LE}\). d) Der Flächeninhalt beträgt \(A = 1{,}5 \sqrt{10} \approx 4{,}74\,\text{FE}\).

- Wie findest du einen Richtungsvektor aus zwei gegebenen Punkten? - Welche Rechenoperation hilft dir, die Senkrechtstellung zweier Vektoren zu prüfen? - Was musst du beim Gleichsetzen der Geradengleichungen beachten, um auf Windschiefe zu schließen? - Gibt es eine spezielle Formel oder ein Verfahren mit einem Normalenvektor, um den Abstand zu berechnen?

1. Gerade \(h\): Der Richtungsvektor ist \(\vec{v} = \vec{P_2} - \vec{P_1} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\). Die Gleichung ist \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\). 2. Orthogonalität: Das Skalarprodukt der Richtungsvektoren \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\) ist \(2 \cdot 2 + (-2) \cdot 1 + 1 \cdot (-2) = 4 - 2 - 2 = 0\). Sie sind orthogonal. 3. Windschiefe: Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear. Gleichsetzen: \(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\). Aus I: \(2k - 2s = 1\), aus II: \(-2k - s = 2\). Addition ergibt \(-3s = 3 \implies s = -1\), daraus \(k = -0{,}5\). Einsetzen in III: \(5 + (-0{,}5) \cdot 1 = 4{,}5\); rechte Seite: \(2 + (-1) \cdot (-2) = 4\). Da \(4{,}5 \neq 4\), gibt es keinen Schnittpunkt. Die Geraden sind windschief. 4. Abstand: Da die Richtungsvektoren orthogonal sind, ist ihr Kreuzprodukt der Normalenvektor \(\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 6 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\). Der Vektor zwischen den Stützpunkten ist \(\vec{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}\). Der Abstand ist \(d = \frac{|\vec{w} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} = \frac{|1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 - 3 \cdot 2|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} = \frac{|1+4-6|}{3} = \frac{1}{3}\).

a) \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\) b) Das Skalarprodukt der Richtungsvektoren ist \(0\), daher sind sie orthogonal. c) Die Geraden sind nicht parallel und das Gleichungssystem für den Schnittpunkt hat keine Lösung. d) Der Abstand beträgt \(d = \frac{1}{3} \approx 0{,}33\,\text{LE}\).