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- Welche der beiden Integrationsgrenzen ist bereits als Zahl gegeben? - An welcher Grenze steht noch ein Buchstabe?

1. Die untere Integrationsgrenze \(1\) ist bereits fest vorgegeben. 2. Die obere Grenze enthält die unbekannte Größe \(b\). Gesucht ist daher \(b\).

Gesucht ist die obere Integrationsgrenze \(b\).

- Welche Höhe hat das Rechteck unter dem konstanten Graphen? - Welche Breite muss ein Rechteck dieser Höhe besitzen, damit sein Flächeninhalt \(6\) beträgt?

1. Der konstante Funktionswert \(2\) ist die Höhe des Rechtecks, \(b\) seine Breite. 2. Aus \(2b=6\) folgt \(b=3\).

\(b=3\)

- Kannst du eine Formel für den Flächeninhalt aufstellen, in der die unbekannte Grenze vorkommt? - Wie berechnet man allgemein das Integral einer Funktion vom Typ \(x^n\)? - Wenn du einen Ausdruck für die Fläche hast, kannst du ihn mit dem Zielwert gleichsetzen. - Welche Zahl ergibt dreimal mit sich selbst multipliziert den Wert \(216\)?

1. Aufstellen des Integrals für den Flächeninhalt in Abhängigkeit von \(k\): \(A(k) = \int_{0}^{k} x^2 \, dx\). 2. Berechnung des unbestimmten Integrals bzw. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{1}{3}x^3\). 3. Auswerten des bestimmten Integrals: \(A(k) = [\frac{1}{3}x^3]_{0}^{k} = \frac{1}{3}k^3 - \frac{1}{3} \cdot 0^3 = \frac{1}{3}k^3\). 4. Gleichsetzen mit dem gegebenen Flächeninhalt: \(\frac{1}{3}k^3 = 72\). 5. Lösen der Gleichung nach \(k\): \(k^3 = 216 \Rightarrow k = \sqrt[3]{216} = 6\).

Der gesuchte Wert ist \(k = 6\).

- Wie lautet die Regel für das Integrieren von Potenzfunktionen? - Nutze den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: „Obere Grenze minus untere Grenze“. - Achte beim Einsetzen der Grenzen in die Stammfunktion auf die korrekte Verwendung von Klammern. - In der allgemeinen Formel bleiben die Variablen \(a\) und \(b\) einfach als Platzhalter stehen.

1. Zunächst wird eine Stammfunktion von \(g(x) = 3x^2 + 2x\) bestimmt: \(G(x) = x^3 + x^2\). Das Integral über \([1; 2]\) ergibt: \(\int_{1}^{2} (3x^2 + 2x) \, dx = [x^3 + x^2]_{1}^{2} = (2^3 + 2^2) - (1^3 + 1^2) = (8 + 4) - (1 + 1) = 12 - 2 = 10\). Der Flächeninhalt beträgt somit \(10\,\text{FE}\). 2. Für das allgemeine Intervall \([a; b]\) wird die Stammfunktion an den Grenzen \(a\) und \(b\) ausgewertet: \(A = \int_{a}^{b} (3x^2 + 2x) \, dx = [x^3 + x^2]_{a}^{b} = (b^3 + b^2) - (a^3 + a^2)\).

1. \(A = 10\,\text{FE}\) 2. \(A = b^3 + b^2 - a^3 - a^2\)

- Kannst du das Problem zuerst als Gleichung mit einem Integralzeichen aufschreiben? - Wie berechnet man allgemein ein Integral, wenn eine Grenze eine Variable ist? - Welche mathematische Methode hilft dir, eine Gleichung der Form \( x^2 + px + q = 0 \) zu lösen? - Hast du alle Bedingungen aus dem Text berücksichtigt, insbesondere das Vorzeichen der gesuchten Zahl?

1. Aufstellen der Integralgleichung basierend auf der Aufgabenstellung: \( \int_{0}^{b} (2x + 1) \, dx = 12 \). 2. Finden einer Stammfunktion für \( f(x) = 2x + 1 \), welche \( F(x) = x^2 + x \) lautet. 3. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \( [x^2 + x]_0^b = (b^2 + b) - (0^2 + 0) = b^2 + b \). 4. Gleichsetzen des Terms mit dem vorgegebenen Integralwert: \( b^2 + b = 12 \). 5. Umformen in eine quadratische Gleichung in Normalform: \( b^2 + b - 12 = 0 \). 6. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel): Die Lösungen sind \( b_1 = 3 \) und \( b_2 = -4 \). 7. Da laut Aufgabenstellung eine positive Grenze gesucht ist, entfällt \( b_2 \). Somit ist \( b = 3 \).

\( b = 3 \)

- Stelle zuerst den mathematischen Ausdruck für den beschriebenen Sachverhalt als Integralgleichung auf. - Berechne das Integral in Abhängigkeit von der Variable \(k\). - Welchen Wert hat der natürliche Logarithmus von \(1\)? - Wie kannst du eine Gleichung der Form \(\ln(x) = c\) nach \(x\) auflösen?

1. Aufstellen des Integrals: \(\int_{1}^{k} \frac{3}{x} \, dx = 6\). 2. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = 3 \ln|x|\). 3. Anwendung des Hauptsatzes: \([3 \ln|x|]_{1}^{k} = 3 \ln(k) - 3 \ln(1)\). Da \(\ln(1) = 0\), vereinfacht sich der Ausdruck zu \(3 \ln(k)\). 4. Lösen der Gleichung: \(3 \ln(k) = 6 \implies \ln(k) = 2\). 5. Anwendung der Exponentialfunktion: \(k = e^2\). Da \(e^2 > 1\), ist die Bedingung erfüllt.

\(k = e^2\)

- Beide möglichen Integrationsgrenzen sind in der Abbildung markiert; vergleiche die Flächen bis zu diesen Grenzen. - Unter einer Geraden entsteht hier jeweils ein Trapez. - Welche der beiden Flächen hat den vorgegebenen Inhalt \(4\)?

1. Für \(b=1\) ist die Fläche unter dem Graphen ein Trapez mit den parallelen Seitenlängen \(3\) und \(2\) und der Breite \(1\). Sein Inhalt ist \(\frac{3+2}{2}\cdot1=\frac{5}{2}\). 2. Für \(b=2\) hat das Trapez die parallelen Seitenlängen \(3\) und \(1\) und die Breite \(2\). Sein Inhalt ist \(\frac{3+1}{2}\cdot2=4\). 3. Daher erfüllt \(b=2\) die vorgegebene Integralgleichung.

\(b=2\)

- Achte auf den Unterschied zwischen dem Integralwert (Flächenbilanz) und dem geometrischen Flächeninhalt, besonders bei Funktionen mit negativen Werten. - Nutze die Symmetrie des Graphen aus, um das Problem zu vereinfachen. - Wenn das Intervall über eine Nullstelle hinweggeht, musst du den Betrag des Funktionswertes im Integral berücksichtigen. - Formuliere aus dem gewünschten Flächeninhalt eine Gleichung für die noch unbekannte Intervallgrenze.

1. Berücksichtigung der Punktsymmetrie von \(f(x) = x^3\): Der Flächeninhalt setzt sich aus Flächenstücken oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse zusammen. 2. Ansatz für ein symmetrisches Intervall \([-b; b]\): Da der Graph punktsymmetrisch ist, gilt für den Flächeninhalt \(A = 2 \cdot \int_0^b x^3 \, dx = 8\). 3. Berechnung des Teilintegrals: \(\int_0^b x^3 \, dx = [\frac{1}{4}x^4]_0^b = \frac{1}{4}b^4\). 4. Gleichung lösen: \(2 \cdot \frac{1}{4}b^4 = 8 \iff \frac{1}{2}b^4 = 8 \iff b^4 = 16 \iff b = 2\). 5. Ein mögliches Intervall ist \([-2; 2]\). Alternativ führt der Ansatz \(\int_0^b x^3 \, dx = 8\) zu \(b = \sqrt[4]{32} = 2\sqrt[4]{2}\). 6. Darstellung als Integral für das Intervall \([-2; 2]\): \(\int_{-2}^2 |x^3| \, dx\).

Ein mögliches Intervall ist \([-2; 2]\). Der Flächeninhalt als Integral: \(\int_{-2}^2 |x^3| \, dx\).

- Überlege, wie die Graphen der beiden Funktionen zueinander liegen. Sind sie vielleicht nur verschoben? - Untersuche die Symmetrie der Integranden. Wo liegen die Scheitelpunkte der Potenzfunktionen? - Was passiert mit dem Wert eines Integrals, wenn man sowohl die Funktion als auch die Grenzen um denselben Wert verschiebt? - Du kannst auch beide Seiten explizit mit der Stammfunktion berechnen und die resultierende Gleichung nach \(b\) auflösen.

1. Berechnung des linken Integrals: Die Funktion \(f(x) = (x-2)^4\) ist achsensymmetrisch zu \(x=2\). Das Integral über das Intervall \([1; 3]\) entspricht \(\int_{-1}^{1} u^4 \, du = [\frac{1}{5}u^5]_{-1}^{1} = \frac{1}{5} - (-\frac{1}{5}) = \frac{2}{5} = 0{,}4\). 2. Analyse des rechten Integrals: Die Funktion \(g(x) = (x-4)^4\) ist eine um 2 Einheiten nach rechts verschobene Version von \(f(x)\). Es gilt \(g(x) = f(x-2)\). 3. Anwendung der Intervallverschiebung: Das Integral einer verschobenen Funktion über ein verschobenes Intervall bleibt gleich: \(\int_{x_1}^{x_2} f(x) \, dx = \int_{x_1+c}^{x_2+c} f(x-c) \, dx\). Mit \(c=2\) folgt \(\int_{1}^{3} (x-2)^4 \, dx = \int_{1+2}^{3+2} (x-2-2)^4 \, dx = \int_{3}^{5} (x-4)^4 \, dx\). 4. Vergleich der Grenzen: Durch direkten Vergleich mit der Aufgabenstellung \(\int_{3}^{b} (x-4)^4 \, dx\) ergibt sich \(b = 5\). Da der Integrand \((x-4)^4\) für alle \(x \neq 4\) positiv ist, ist die Integralfunktion streng monoton wachsend, womit \(b=5\) die einzige Lösung ist.

\(b = 5\)

- Welchen Wert hat das Integral der Sinusfunktion über eine vollständige Periode von \(2\pi\)? - Wie wirkt sich der Summand \(+2\) auf den Flächeninhalt unter dem Graphen aus? - Wenn man ein Integral über eine Periode verdoppeln möchte, was bietet sich für die Länge des neuen Intervalls an? - Erinnere dich an die Linearität des Integrals: Du kannst den Sinus-Teil und den konstanten Teil getrennt betrachten.

1. Auswertung des rechten Integrals: Das Integral \(\int_{0}^{2\pi} \sin(x) \, dx\) über eine volle Periode ist \(0\). Somit reduziert sich das Integral auf den konstanten Teil: \(\int_{0}^{2\pi} 2 \, dx = [2x]_0^{2\pi} = 4\pi\). Der Gesamtwert der rechten Seite ist also \(2 \cdot 4\pi = 8\pi\). 2. Aufstellen der Bedingung für die linke Seite: Wir suchen \(a\) und \(b\), sodass \(\int_{a}^{b} (\sin(x) + 2) \, dx = 8\pi\). 3. Nutzung der Periodizität: Da \(f(x) = \sin(x) + 2\) die Periode \(2\pi\) besitzt, liefert jedes Intervall der Länge \(4\pi\) zwei vollständige Perioden. Der Sinusanteil integriert sich dabei zu \(0\), während der konstante Anteil den Wert \(2 \cdot 4\pi = 8\pi\) liefert. 4. Daher gilt allgemein \(b = a + 4\pi\). Eine mögliche Wahl ist \(a = 0\) und \(b = 4\pi\).

Zum Beispiel \(a = 0\) und \(b = 4\pi\). Allgemein ist jede Wahl mit \(b = a + 4\pi\) geeignet.

- Was bedeutet es für die Flächenbilanz, wenn ein Integral den Wert Null hat? - Erinnere dich an die Eigenschaften von geraden und ungeraden Funktionen im Zusammenhang mit dem Ursprung. - Wie hängen die Flächeninhalte oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse zusammen, wenn das Integral Null ist? - Du kannst eine Grenze festlegen (z. B. \(a=0\)) und die andere durch Lösen einer Gleichung mit der Stammfunktion bestimmen.

1. Symmetrie-Ansatz: Die Funktion \(f(x) = x^3 - 4x\) ist eine ungerade Funktion, da nur ungerade Exponenten auftreten (\(f(-x) = -f(x)\)). Bei ungeraden Funktionen ist das Integral über jedem zum Ursprung symmetrischen Intervall \([-c; c]\) gleich Null. Ein mögliches Paar ist daher \(a = -2\) und \(b = 2\). 2. Rechnerischer Ansatz: Es wird ein Intervall \([0; b]\) gesucht. Die Stammfunktion ist \(F(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2\). Die Bedingung \(\int_0^b f(x) \, dx = F(b) - F(0) = 0\) führt auf die Gleichung \(\frac{1}{4}b^4 - 2b^2 = 0\). 3. Lösen der Gleichung: Ausklammern ergibt \(b^2 \cdot (\frac{1}{4}b^2 - 2) = 0\). Da \(b > 0\) sein soll, folgt \(\frac{1}{4}b^2 = 2\), also \(b^2 = 8\) und somit \(b = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\). Ein zweites Paar ist somit \(a = 0\) und \(b = \sqrt{8}\).

Zwei mögliche Paare sind: 1. \(a = -2\) und \(b = 2\) (Begründung über Punktsymmetrie zum Ursprung). 2. \(a = 0\) und \(b = \sqrt{8}\) (oder \(b \approx 2{,}83\)).

- Wo liegen bei einer Kosinusfunktion positive und negative Beiträge zur Flächenbilanz? - Welche Stammfunktion erhältst du mit der Regel für eine lineare innere Funktion? - Du kannst eine Grenze festlegen und die andere so wählen, dass die Stammfunktion an beiden Grenzen denselben Wert hat. - Welche Nullstellen besitzt die Sinusfunktion?

1. Mit der Integrationsregel für Funktionen mit linearer innerer Funktion ist \(G(x)=\sin(2x)\) eine Stammfunktion von \(g(x)=2\cos(2x)\). 2. Es muss \(G(b)-G(a)=\sin(2b)-\sin(2a)=0\) gelten. 3. Wähle zum Beispiel \(a=0\). Dann genügt \(\sin(2b)=0\). 4. Mit \(2b=\pi\) erhält man \(b=\frac{\pi}{2}\). 5. Überprüfung: \(\int_0^{\frac{\pi}{2}}2\cos(2x)\,dx=[\sin(2x)]_0^{\frac{\pi}{2}}=\sin(\pi)-\sin(0)=0\).

Ein mögliches Intervall ist \([0; \frac{\pi}{2}]\) (oder auch \([0; \pi]\), da dies einer vollen Periode entspricht). Rechnung: \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} 2\cos(2x) \, dx = [\sin(2x)]_0^{\frac{\pi}{2}} = \sin(\pi) - \sin(0) = 0\).

- Bestimme zuerst eine Stammfunktion des Integranden. - Setze die Grenzen in die Stammfunktion ein, um einen Term in Abhängigkeit von \(b\) zu erhalten. - Überlege dir, wie du die resultierende Gleichung nach \(b\) auflösen kannst. - Achte auf die Bedingung \(b > 0\). - Was bedeutet es für die Flächenanteile oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse, wenn das Integral null ergibt?

1. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x\). 2. Aufstellen der Gleichung mithilfe des Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung: \(\left[ \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x \right]_{0}^{b} = \frac{1}{3}b^3 - 2b^2 + 3b = 0\). 3. Ausklammern von \(b\): \(b \cdot (\frac{1}{3}b^2 - 2b + 3) = 0\). 4. Da \(b > 0\) gefordert ist, muss der Klammerausdruck null sein: \(\frac{1}{3}b^2 - 2b + 3 = 0\). 5. Multiplikation mit 3 führt zu der quadratischen Gleichung \(b^2 - 6b + 9 = 0\). 6. Anwendung der binomischen Formel oder der \(p\)-\(q\)-Formel ergibt \((b-3)^2 = 0\), woraus \(b = 3\) folgt.

\(b = 3\)

- Erinnere dich daran, wie man Potenzen mit negativen Exponenten integriert. - Nachdem du die Grenzen eingesetzt hast, erhältst du eine Gleichung, in der \(b\) auch im Nenner vorkommen kann. - Wie kannst du eine Gleichung mit \(b\) im Nenner so umformen, dass eine bekannte Gleichungsform entsteht? - Prüfe am Ende, welche deiner berechneten Lösungen die Bedingung \(b > 1\) erfüllt.

1. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = x + \frac{1}{x}\). 2. Anwendung des Hauptsatzes: \(\left[ x + \frac{1}{x} \right]_{1}^{b} = (b + \frac{1}{b}) - (1 + \frac{1}{1}) = b + \frac{1}{b} - 2\). 3. Gleichsetzen mit dem Zielwert: \(b + \frac{1}{b} - 2 = 0{,}5\), also \(b + \frac{1}{b} = 2{,}5\). 4. Umformung in eine quadratische Gleichung durch Multiplikation mit \(b\): \(b^2 - 2{,}5b + 1 = 0\). 5. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel): \(b_{1,2} = \frac{2{,}5 \pm \sqrt{6{,}25 - 4}}{2} = \frac{2{,}5 \pm 1{,}5}{2}\). 6. Dies ergibt die Lösungen \(b_1 = 2\) und \(b_2 = 0{,}5\). Da \(b > 1\) vorausgesetzt ist, ist die gesuchte Grenze \(b = 2\).

\(b = 2\)

- Bestimme jeweils zuerst eine Stammfunktion und setze die variable obere Grenze ein. - In a) erhältst du eine kubische Gleichung. Prüfe einen naheliegenden positiven ganzzahligen Kandidaten und faktorisiere anschließend vollständig. - In b) entsteht eine quadratische Gleichung. - Begründe am Ende, warum unter der Bedingung \(z>0\) keine weitere Lösung zulässig ist.

1. Teilaufgabe a): Eine Stammfunktion von \(3x^2+6x\) ist \(F(x)=x^3+3x^2\). Damit gilt \(z^3+3z^2=54\), also \(z^3+3z^2-54=0\). 2. Die kubische Gleichung faktorisiert zu \((z-3)(z^2+6z+18)=0\). Da die Diskriminante des quadratischen Faktors \(36-72=-36<0\) ist, besitzt er keine reelle Nullstelle. Somit ist \(z=3\) die einzige reelle und insbesondere die einzige positive Lösung. 3. Teilaufgabe b): Eine Stammfunktion von \(4x+1\) ist \(G(x)=2x^2+x\). Daraus folgt \(2z^2+z=10\), also \(2z^2+z-10=0\). 4. Die Lösungen sind \(z=\frac{-1\pm9}{4}\), also \(z=2\) oder \(z=-\frac52\). Wegen \(z>0\) bleibt \(z=2\).

a) \(z = 3\) b) \(z = 2\)

- Überlege dir, wie man den Wert eines bestimmten Integrals berechnet, wenn eine Grenze eine Variable ist. - Vergiss beim Einsetzen der unteren Grenze nicht, das Vorzeichen der gesamten Klammer zu berücksichtigen. - Bei Teilaufgabe a) hilft das Ausklammern von \(z\), um die Nullstellen zu finden. - Bei Teilaufgabe b) ist es hilfreich, sich an die Potenzgesetze und die Definition der \(e\)-Funktion zu erinnern.

1. Für Teilaufgabe a): Die Stammfunktion ist \(F(x) = \frac{1}{3}x^3 - x\). Einsetzen der Grenzen ergibt \(\left[\frac{1}{3}x^3 - x\right]_1^z = (\frac{1}{3}z^3 - z) - (\frac{1}{3} - 1) = \frac{1}{3}z^3 - z + \frac{2}{3}\). Gleichsetzen mit dem Wert \(\frac{2}{3}\) führt zu \(\frac{1}{3}z^3 - z = 0\). Ausklammern ergibt \(z(\frac{1}{3}z^2 - 1) = 0\). Da \(z > 0\) sein muss, folgt \(\frac{1}{3}z^2 = 1\), also \(z^2 = 3\) und somit \(z = \sqrt{3}\). 2. Für Teilaufgabe b): Die Stammfunktion von \(e^x\) ist \(e^x\). Das Integral berechnet sich zu \([e^x]_0^z = e^z - e^0 = e^z - 1\). Die Gleichung lautet \(e^z - 1 = e^3 - 1\). Durch Vergleich oder Logarithmieren folgt direkt \(e^z = e^3\), woraus sich \(z = 3\) ergibt.

a) \(z = \sqrt{3}\) b) \(z = 3\)

- Kannst du eine Stammfunktion für den Term im Integral finden? - Was passiert, wenn du die Integrationsgrenzen in die Stammfunktion einsetzt? - Entsteht eine Gleichung, die du vielleicht durch eine Ersetzung (Substitution) einfacher lösen kannst? - Hast du alle Bedingungen aus der Aufgabenstellung, wie zum Beispiel das Vorzeichen von \(k\), am Ende berücksichtigt?

1. Bestimmung einer Stammfunktion der Funktion \(f(x) = 4x^3 - 6x\): \(F(x) = x^4 - 3x^2\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \([x^4 - 3x^2]_0^k = (k^4 - 3k^2) - (0^4 - 3 \cdot 0^2) = k^4 - 3k^2\). 3. Aufstellen der Gleichung \(k^4 - 3k^2 = 4\). 4. Lösen der biquadratischen Gleichung durch Substitution \(u = k^2\): \(u^2 - 3u - 4 = 0\). 5. Die Lösungen für \(u\) sind \(u_1 = 4\) und \(u_2 = -1\). 6. Da \(k^2 = u\) und \(k\) eine reelle Zahl sein muss, entfällt \(u_2\). Aus \(k^2 = 4\) und der Bedingung \(k > 0\) folgt \(k = 2\).

\(k = 2\)

- Welche Stammfunktion erhältst du mit der Regel für eine lineare innere Funktion? - Setze die variable obere Grenze erst nach dem Bestimmen der Stammfunktion ein. - Welche Werte kann \(2a\) wegen \(a\in[0;\pi]\) annehmen? - Wo nimmt der Kosinus in diesem Bereich den Wert \(-1\) an?

1. Mit der Integrationsregel für Funktionen mit linearer innerer Funktion ist \(F(x)=-\frac12\cos(2x)\) eine Stammfunktion von \(\sin(2x)\). 2. Einsetzen der Grenzen ergibt \(-\frac12\cos(2a)+\frac12=1\). 3. Daraus folgt \(\cos(2a)=-1\). 4. Für \(a\in[0;\pi]\) liegt \(2a\in[0;2\pi]\). In diesem Intervall gilt \(\cos(2a)=-1\) genau für \(2a=\pi\). 5. Somit ist \(a=\frac{\pi}{2}\).

\(a = \frac{\pi}{2}\)

- Erinnere dich an die Stammfunktion der Exponentialfunktion mit einem Faktor im Exponenten. - Was ist das Ergebnis von \(e^0\)? - Nutze Logarithmengesetze, um den Ausdruck am Ende so weit wie möglich zu vereinfachen. - Überprüfe, ob dein Ergebnis die Bedingung \(k > 0\) erfüllt.

1. Aufstellen des Integrals gemäß der Aufgabenstellung: \(\int_{0}^{k} e^{2x} \, dx = 4\). 2. Bestimmung der Stammfunktion von \(e^{2x}\): \(F(x) = \frac{1}{2}e^{2x}\). 3. Einsetzen der Grenzen \(0\) und \(k\): \(\left[ \frac{1}{2}e^{2x} \right]_{0}^{k} = \frac{1}{2}e^{2k} - \frac{1}{2}e^{0} = \frac{1}{2}e^{2k} - \frac{1}{2}\). 4. Gleichsetzen mit dem Zielwert: \(\frac{1}{2}e^{2k} - \frac{1}{2} = 4\). 5. Auflösen nach \(e^{2k}\): \(\frac{1}{2}e^{2k} = 4{,}5 \Rightarrow e^{2k} = 9\). 6. Anwendung des natürlichen Logarithmus: \(2k = \ln(9)\). 7. Isolieren von \(k\) und Vereinfachung unter Nutzung von Logarithmengesetzen: \(k = \frac{1}{2}\ln(9) = \ln(9^{\frac{1}{2}}) = \ln(3)\).

\(k = \ln(3)\)

- Überlege zuerst, welche der beiden Funktionen im betrachteten Intervall größere Werte annimmt. - Wie berechnet man den Flächeninhalt zwischen zwei Funktionsgraphen über einem bestimmten Intervall? - Erinnere dich an die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks. - Stelle eine Gleichung auf, die den berechneten Integralwert mit der geometrischen Flächenformel verknüpft.

1. Bestimmung der Differenzfunktion: \(h(x) = f(x) - g(x) = (x^2 + 4) - \frac{1}{2}x^2 = \frac{1}{2}x^2 + 4\). Da \(f(x) > g(x)\) für alle \(x\) gilt, ist der Flächeninhalt durch das Integral der Differenzfunktion gegeben. 2. Berechnung des Integrals: \(A(k) = \int_{0}^{k} (\frac{1}{2}x^2 + 4) \, dx = \left[ \frac{1}{6}x^3 + 4x \right]_{0}^{k} = \frac{1}{6}k^3 + 4k\). 3. Aufstellen der Bedingung: Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt \(A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot k \cdot 10 = 5k\). 4. Lösen der Gleichung: \(\frac{1}{6}k^3 + 4k = 5k \implies \frac{1}{6}k^3 = k\). Da \(k > 0\), folgt \(k^2 = 6\) und somit \(k = \sqrt{6}\).

a) \(A(k) = \frac{1}{6}k^3 + 4k\) b) \(k = \sqrt{6}\)

- Nutze die Symmetrie der Funktionen zur \(y\)-Achse, um die Integration zu vereinfachen. - Wie lautet die allgemeine Regel für die Integration von Potenzfunktionen? - Welche geometrische Formel beschreibt den Inhalt eines Rechtecks? - Überlege, wie du die resultierende Gleichung nach \(t\) auflösen kannst, wenn \(t\) als Faktor in jedem Term vorkommt.

1. Bestimmung der Differenzfunktion: \(h(x) = f(x) - g(x) = (2x^2 + 1) - (x^2 - 2) = x^2 + 3\). Da \(f(x) > g(x)\) für alle \(x\), liegt kein Vorzeichenwechsel vor. 2. Berechnung des Flächeninhalts über Symmetrie: \(A(t) = \int_{-t}^{t} (x^2 + 3) \, dx = 2\int_{0}^{t} (x^2 + 3) \, dx = 2\left[ \frac{1}{3}x^3 + 3x \right]_{0}^{t} = \frac{2}{3}t^3 + 6t\). 3. Gleichsetzung mit dem Rechteckinhalt: Die Bedingung lautet \(A(t) = t \cdot 8 = 8t\). 4. Lösen der Gleichung: \(\frac{2}{3}t^3 + 6t = 8t \implies \frac{2}{3}t^3 = 2t\). Division durch \(t\) (da \(t > 0\)) ergibt \(\frac{2}{3}t^2 = 2\), woraus \(t^2 = 3\) und somit \(t = \sqrt{3}\) folgt.

a) \(A(t) = \frac{2}{3}t^3 + 6t\) b) \(t = \sqrt{3}\)

- Überlege dir, welchen Wert das Integral über das gesamte Intervall annehmen muss, wenn die Flächen oberhalb und unterhalb der Achse denselben Inhalt haben. - Wie berechnet man den Wert eines bestimmten Integrals mithilfe einer Stammfunktion? - Wandle die Bedingung in eine Gleichung um, in der \(k\) die Unbekannte ist. - Kannst du die resultierende Gleichung durch Ausklammern vereinfachen?

1. Für gleich große Flächeninhalte oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse muss das bestimmte Integral der Funktion über das Intervall \([0; k]\) den Wert Null ergeben: \(\int_0^k (9 - x^2) \, dx = 0\). 2. Eine Stammfunktion von \(f\) ist durch \(F(x) = 9x - \frac{1}{3}x^3\) gegeben. 3. Das Einsetzen der Integrationsgrenzen führt zu der Gleichung \(F(k) - F(0) = 9k - \frac{1}{3}k^3 = 0\). 4. Ausklammern von \(k\) ergibt \(k \cdot (9 - \frac{1}{3}k^2) = 0\). Da \(k > 0\) gesucht ist, muss der Ausdruck in der Klammer Null sein: \(9 - \frac{1}{3}k^2 = 0\). 5. Umstellen nach \(k^2\) liefert \(k^2 = 27\), woraus sich der Wert \(k = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\) ergibt. 6. Da die Funktion \(f\) bei \(x = 3\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel besitzt und \(3\sqrt{3} \approx 5{,}20 > 3\) gilt, sind im Intervall \([0; 3\sqrt{3}]\) tatsächlich Flächenanteile auf beiden Seiten der \(x\)-Achse vorhanden.

\(k = 3\sqrt{3}\) (bzw. \(k \approx 5{,}20\))

- Wie lautet die allgemeine Regel für das Integrieren von Potenzfunktionen der Form \(x^n\)? - Was bedeutet die Bedingung \(F(1) = 0\) für die Integrationskonstante? - Erinnere dich daran, dass der Flächeninhalt unter einem Graphen über einem Intervall durch das bestimmte Integral berechnet wird. - Überlege dir, wie du eine Gleichung der Form \(\frac{a}{x^n} = b\) nach \(x\) auflösen kannst.

1. Bestimmung der allgemeinen Stammfunktion durch Integration von \(f(x) = 6x^{-4}\): \(F(x) = \frac{6}{-3}x^{-3} + C = -\frac{2}{x^3} + C\). 2. Einsetzen der Bedingung \(F(1) = 0\): \(-\frac{2}{1^3} + C = 0 \implies -2 + C = 0 \implies C = 2\). Die gesuchte Stammfunktion ist \(F(x) = 2 - \frac{2}{x^3}\). 3. Ansatz für den Flächeninhalt als bestimmtes Integral von \(1\) bis \(k\): \(\int_{1}^{k} \frac{6}{x^4} \, dx = \left[ -\frac{2}{x^3} \right]_{1}^{k} = -\frac{2}{k^3} - \left( -\frac{2}{1^3} \right) = 2 - \frac{2}{k^3}\). 4. Gleichsetzen mit dem gegebenen Flächeninhalt: \(2 - \frac{2}{k^3} = 1{,}75\). 5. Auflösen nach \(k\): \(\frac{2}{k^3} = 0{,}25 = \frac{1}{4} \implies k^3 = 8 \implies k = 2\).

a) \(F(x) = 2 - \frac{2}{x^3}\) b) \(k = 2\)

- Wie hängen Ableitung und Stammfunktion zusammen? - Kannst du die Wurzelausdrücke in Potenzschreibweise mit rationalen Exponenten umschreiben? - Nutze den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung, um die Fläche zu berechnen. - Wie kehrt man die Operationen „Quadrieren“ und „Ziehen der dritten Wurzel“ um?

1. Nachweis der Stammfunktion durch Ableiten: \(G(x) = 2x^{\frac{2}{3}} \implies G'(x) = 2 \cdot \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1} = \frac{4}{3}x^{-\frac{1}{3}} = \frac{4}{3\sqrt[3]{x}}\). Da \(G'(x) = g(x)\), ist \(G\) eine Stammfunktion. 2. Berechnung des Flächeninhalts über das Integral: \(\int_{1}^{a} g(x) \, dx = [G(x)]_{1}^{a} = G(a) - G(1) = 2\sqrt[3]{a^2} - 2\sqrt[3]{1^2} = 2\sqrt[3]{a^2} - 2\). 3. Gleichsetzen mit dem Flächeninhalt \(6\): \(2\sqrt[3]{a^2} - 2 = 6\). 4. Auflösen der Gleichung: \(2\sqrt[3]{a^2} = 8 \implies \sqrt[3]{a^2} = 4\). 5. Bestimmung von \(a\): \(a^2 = 4^3 = 64 \implies a = \sqrt{64} = 8\) (da \(a > 1\)).

a) Der Nachweis erfolgt durch \(G'(x) = g(x)\). b) \(a = 8\)

- Beginne damit, eine Stammfunktion für den Term in den Klammern zu finden. - Setze die Integrationsgrenzen in die Stammfunktion ein und achte beim Subtrahieren auf die Vorzeichen. - Fasse den entstandenen Ausdruck so weit wie möglich zusammen. - Welche Art von Gleichung musst du lösen, nachdem du das Integral ausgewertet hast? - Überprüfe am Ende, ob es mehr als eine Lösung für die Variable geben kann.

1. Bestimmung einer Stammfunktion von \(f(x) = 2x - 6\): \(F(x) = x^2 - 6x\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(\int_k^{2k} (2x - 6) \, dx = [x^2 - 6x]_k^{2k} = ((2k)^2 - 6 \cdot (2k)) - (k^2 - 6k) = (4k^2 - 12k) - (k^2 - 6k) = 3k^2 - 6k\). 3. Aufstellen der Gleichung \(3k^2 - 6k = 9\) und Umformung in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(k^2 - 2k - 3 = 0\). 4. Lösung der quadratischen Gleichung (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel): \(k_{1{,}2} = 1 \pm \sqrt{1 + 3} = 1 \pm 2\). Die gesuchten Werte sind \(k_1 = 3\) und \(k_2 = -1\).

\(k_1 = 3\), \(k_2 = -1\)

- Welche Regel gilt für das Integrieren einer Exponentialfunktion mit linearer innerer Funktion? - Beachte beim Einsetzen der unteren Grenze, dass \(e^0=1\) gilt. - Prüfe, welche Terme nach dem Gleichsetzen auf beiden Seiten wegfallen. - Welche Umkehroperation löst eine Gleichung, in der die Unbekannte im Exponenten steht?

1. Mit der Regel für Funktionen mit linearer innerer Funktion ist \(F(x)=2e^{0{,}5x}-x\) eine Stammfunktion von \(e^{0{,}5x}-1\). 2. Nach dem Hauptsatz gilt \([2e^{0{,}5x}-x]_0^k=2e^{0{,}5k}-k-2\). 3. Gleichsetzen mit der rechten Seite ergibt \(2e^{0{,}5k}-k-2=4-k\). Die Terme \(-k\) heben sich auf. 4. Damit gilt \(2e^{0{,}5k}=6\), also \(e^{0{,}5k}=3\). 5. Logarithmieren liefert \(0{,}5k=\ln(3)\) und damit \(k=2\ln(3)\).

\(k = 2\ln(3)\) (oder \(k = \ln(9)\))

- Welche mathematische Operation hilft dir dabei, die Fläche unter einer Kurve zu berechnen? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Ableitung und Integral. - Setze die berechnete Formel für den Flächeninhalt mit dem gegebenen Wert gleich. - Überlege, wie du eine Potenzgleichung der Form \(x^4 = c\) lösen kannst.

1. Zur Berechnung des Flächeninhalts über dem Intervall \([0; k]\) wird das bestimmte Integral von \(f(x)\) gebildet. Eine Stammfunktion von \(f(x) = \frac{1}{4}x^3\) ist \(F(x) = \frac{1}{16}x^4\). Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt: \(A(k) = \int_{0}^{k} \frac{1}{4}x^3 \, dx = \left[ \frac{1}{16}x^4 \right]_{0}^{k} = \frac{1}{16}k^4 - 0 = \frac{1}{16}k^4\). 2. Setze den Flächeninhalt gleich \(16\) und löse nach \(k\) auf: \(\frac{1}{16}k^4 = 16\). Multiplikation mit \(16\) ergibt \(k^4 = 256\). Das Ziehen der vierten Wurzel liefert \(k = 4\) (da \(k > 0\) vorausgesetzt ist).

1. \(A = \frac{1}{16}k^4\) 2. \(k = 4\)

- Wie hängen der Flächeninhalt unter einer Kurve und das bestimmte Integral zusammen? - Kannst du eine Stammfunktion für \(x^{-2}\) finden? - Was besagt der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung über das Einsetzen von Grenzen? - Stelle eine Gleichung auf, in der die obere Grenze \(b\) die einzige Unbekannte ist.

1. Aufstellen des Integrals für den Flächeninhalt: \(\int_{1}^{b} x^{-2} \, dx = 0{,}8\). 2. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = -x^{-1} = -\frac{1}{x}\). 3. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(\left[ -\frac{1}{x} \right]_{1}^{b} = \left( -\frac{1}{b} \right) - \left( -\frac{1}{1} \right) = 1 - \frac{1}{b}\). 4. Gleichsetzen des Terms mit dem Zielwert: \(1 - \frac{1}{b} = 0{,}8\). 5. Auflösen der Gleichung nach \(b\): \(\frac{1}{b} = 0{,}2\), woraus \(b = 5\) folgt.

\(b = 5\)

- Prüfe zuerst das Vorzeichen von \(g\) für \(x>1\), damit Integral und Flächeninhalt übereinstimmen. - Drücke den Flächeninhalt mithilfe einer Stammfunktion als Term in \(b\) aus. - Prüfe einen naheliegenden ganzzahligen Kandidaten für die kubische Gleichung und faktorisiere anschließend vollständig. - Begründe, warum keine weitere reelle Lösung existiert.

1. Für \(x>1\) gilt \(g(x)=3x^2+2x>0\). Daher ist der Flächeninhalt \(A(b)=\int_1^b(3x^2+2x)\,dx\). 2. Eine Stammfunktion ist \(G(x)=x^3+x^2\). Somit gilt \(A(b)=b^3+b^2-2\). 3. Die Bedingung \(A(b)=78\) führt auf \(b^3+b^2-80=0\). 4. Da \(b=4\) eine Nullstelle ist, faktorisiert die Gleichung zu \((b-4)(b^2+5b+20)=0\). 5. Der quadratische Faktor besitzt wegen \(25-80=-55<0\) keine reelle Nullstelle. Daher ist \(b=4\) die einzige reelle und damit die einzige zulässige Lösung.

\(b = 4\)

- Wie lautet die allgemeine Regel für die Stammfunktion einer Potenzfunktion? - Erinnere dich an den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung zur Berechnung bestimmter Integrale. - Kannst du in den Ausdrücken für \(A\) und \(B\) einen gemeinsamen Faktor ausklammern, um das Verhältnis leichter zu berechnen?

1. Bestimmung der Stammfunktion \(F(x) = \frac{1}{4}x^4\) für den Integranden \(x^3\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung für das erste Integral: \(A = \left[\frac{1}{4}x^4\right]_1^k = \frac{1}{4}k^4 - \frac{1}{4}\). 3. Bestimmung der Stammfunktion \(G(x) = \frac{1}{8}x^4\) für den Integranden \(\frac{1}{2}x^3\). 4. Anwendung des Hauptsatzes für das zweite Integral: \(B = \left[\frac{1}{8}x^4\right]_1^k = \frac{1}{8}k^4 - \frac{1}{8}\). 5. Berechnung des Verhältnisses durch Ausklammern: \(\frac{B}{A} = \frac{\frac{1}{8}(k^4 - 1)}{\frac{1}{4}(k^4 - 1)} = \frac{1}{2}\).

\(A = \frac{1}{4}k^4 - \frac{1}{4}\); \(B = \frac{1}{8}k^4 - \frac{1}{8}\); das Verhältnis ist \(\frac{B}{A} = \frac{1}{2}\).

- Schreibe den Bruch in eine Potenz mit negativem Exponenten um, um die Integration zu erleichtern. - Nachdem du die Grenzen eingesetzt hast, erhältst du eine Gleichung, in der die Unbekannte \(k\) im Nenner steht. - Berücksichtige am Ende die Bedingung \(k > 1\), falls du mehrere mathematische Lösungen für die Gleichung erhältst.

1. Umschreiben der Funktion zur leichteren Integration: \(f(x) = 4x^{-3}\). 2. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{4}{-2}x^{-2} = -2x^{-2} = -\frac{2}{x^2}\). 3. Auswerten des Integrals an den Grenzen \(1\) und \(k\): \(\left[-\frac{2}{x^2}\right]_1^k = -\frac{2}{k^2} - \left(-\frac{2}{1^2}\right) = 2 - \frac{2}{k^2}\). 4. Aufstellen der Gleichung mit dem gegebenen Wert: \(2 - \frac{2}{k^2} = 1{,}5\). 5. Umformen der Gleichung: \(0{,}5 = \frac{2}{k^2} \Rightarrow k^2 = 4\). 6. Da laut Aufgabenstellung \(k > 1\) sein muss, folgt \(k = 2\).

\(k = 2\)

- Wie findest du eine Stammfunktion für einen linearen Term? - Erinnere dich an den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Wie berechnet man ein bestimmtes Integral mit einer unbekannten Grenze? - Welche Art von Gleichung entsteht, wenn du die Grenzen in die Stammfunktion einsetzt? - Was bedeutet der Wert eines Integrals anschaulich für die Fläche zwischen Graph und Achse?

1. Bestimmung der Stammfunktion von \(f(x) = x - 3\): \(F(x) = \frac{1}{2}x^2 - 3x\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(\left[\frac{1}{2}x^2 - 3x\right]_2^k = 7{,}5\). 3. Einsetzen der Grenzen: \((\frac{1}{2}k^2 - 3k) - (\frac{1}{2} \cdot 2^2 - 3 \cdot 2) = 7{,}5 \implies \frac{1}{2}k^2 - 3k - (2 - 6) = 7{,}5 \implies \frac{1}{2}k^2 - 3k + 4 = 7{,}5\). 4. Umformen in eine quadratische Gleichung: \(\frac{1}{2}k^2 - 3k - 3{,}5 = 0 \implies k^2 - 6k - 7 = 0\). 5. Lösen der quadratischen Gleichung: \((k - 7)(k + 1) = 0\), woraus \(k_1 = 7\) und \(k_2 = -1\) folgen. 6. Da die Bedingung \(k > 2\) gegeben ist, ist die Lösung \(k = 7\). 7. Geometrische Interpretation: Der Wert \(7{,}5\) entspricht dem orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen von \(f\) und der \(x\)-Achse im Intervall \([2; 7]\).

Der gesuchte Wert ist \(k = 7\). Geometrisch bedeutet dies, dass die orientierte Fläche zwischen dem Graphen von \(f(x) = x - 3\) und der \(x\)-Achse über dem Intervall \([2; 7]\) genau \(7{,}5\) Flächeneinheiten beträgt.

- Bestimme zuerst eine Stammfunktion des Terms in der Klammer. - Wende den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung an, indem du die Grenzen \(x\) und \(1\) einsetzt. - Du erhältst eine Gleichung mit der Unbekannten \(x\). Versuche, diese durch systematisches Probieren oder Umformen zu lösen. - Überlege dir, ob es für die resultierende Gleichung eventuell mehr als eine Lösung im reellen Bereich geben kann.

1. Bestimmung einer Stammfunktion von \(f(t) = 3t^2 - 1\): \(F(t) = t^3 - t\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(\int_1^x (3t^2 - 1) \, dt = [t^3 - t]_1^x = (x^3 - x) - (1^3 - 1) = x^3 - x\). 3. Aufstellen der Gleichung: \(x^3 - x = 6\). 4. Umformen zur Normalform: \(x^3 - x - 6 = 0\). 5. Bestimmung der Nullstellen: Durch Probieren findet man die Lösung \(x = 2\), da \(2^3 - 2 - 6 = 8 - 2 - 6 = 0\). 6. Überprüfung weiterer Lösungen: Division des Polynoms durch \((x - 2)\) ergibt \(x^2 + 2x + 3\). Da die Diskriminante \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = -8\) negativ ist, gibt es keine weiteren reellen Lösungen.

\(x = 2\)

- Wie integriert man eine Exponentialfunktion mit einem Faktor im Exponenten? - Setze die obere und untere Grenze in die Stammfunktion ein und bilde die Differenz. - Versuche, die Gleichung so zu vereinfachen, dass der Ausdruck mit der Unbekannten \(k\) isoliert auf einer Seite steht. - Welche Umkehroperation hilft dir dabei, eine Variable aus dem Exponenten einer \(e\)-Funktion zu lösen?

1. Bestimmung einer Stammfunktion von \(f(t) = e^{2t}\): \(F(t) = \frac{1}{2}e^{2t}\). 2. Anwendung des Hauptsatzes: \(\int_k^1 e^{2t} \, dt = [\frac{1}{2}e^{2t}]_k^1 = \frac{1}{2}e^{2 \cdot 1} - \frac{1}{2}e^{2k} = \frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{2}e^{2k}\). 3. Gleichsetzen mit dem gegebenen Wert: \(\frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{2}e^{2k} = \frac{1}{2}(e^2 - e)\). 4. Auflösen der Gleichung: \(\frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{2}e^{2k} = \frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{2}e \implies -\frac{1}{2}e^{2k} = -\frac{1}{2}e \implies e^{2k} = e^1\). 5. Logarithmieren beider Seiten: \(2k = 1 \implies k = 0{,}5\).

\(k = 0{,}5\)

- Überlege dir zuerst, wie groß die gesamte Fläche unter der Kurve im gegebenen Intervall ist. - Wie viel Prozent der Gesamtfläche entfallen auf das linke Teilstück, wenn das Verhältnis \(1 : 3\) ist? - Stelle ein Integral mit einer unbekannten oberen Grenze auf, das diesen Teilflächeninhalt repräsentiert. - Erinnere dich an die Stammfunktion der natürlichen Exponentialfunktion.

1. Berechnung des gesamten Flächeninhalts \(A\) im Intervall \([0; \ln(9)]\): \(A = \int_{0}^{\ln(9)} e^x \, dx = [e^x]_{0}^{\ln(9)} = e^{\ln(9)} - e^0 = 9 - 1 = 8\). 2. Bestimmung des Inhalts der linken Teilfläche \(A_1\) basierend auf dem Teilungsverhältnis \(1 : 3\): \(A_1 = \frac{1}{1+3} \cdot A = \frac{1}{4} \cdot 8 = 2\). 3. Ansatz für die gesuchte Stelle \(k\): \(\int_{0}^{k} e^x \, dx = 2\). 4. Integration und Auflösen nach \(k\): \([e^x]_{0}^{k} = e^k - 1 = 2 \implies e^k = 3 \implies k = \ln(3)\). 5. Die Gleichung der gesuchten Geraden lautet \(x = \ln(3)\).

\(x = \ln(3)\)

- Bestimme zunächst den Flächeninhalt der gesamten Fläche durch Integration über das gesamte Intervall. - Ein Verhältnis von \(2 : 1\) bedeutet, dass der linke Teil zwei Drittel der Gesamtfläche ausmacht. - Verwende die Potenzregel für die Integration, um die Fläche in Abhängigkeit von \(k\) auszudrücken. - Löse die resultierende Gleichung nach der gesuchten Grenze \(k\) auf.

1. Berechnung des Gesamtflächeninhalts \(A\) im Intervall \([1; 4]\): \(A = \int_{1}^{4} x^{-2} \, dx = [-\frac{1}{x}]_{1}^{4} = -\frac{1}{4} - (-1) = \frac{3}{4}\). 2. Bestimmung des Inhalts der linken Teilfläche \(A_1\) durch das Verhältnis \(2 : 1\): \(A_1 = \frac{2}{3} \cdot A = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{2}\). 3. Aufstellen der Integralgleichung für die Grenze \(k\): \(\int_{1}^{k} x^{-2} \, dx = \frac{1}{2}\). 4. Berechnung des Integrals: \([-\frac{1}{x}]_{1}^{k} = -\frac{1}{k} - (-1) = 1 - \frac{1}{k}\). 5. Gleichsetzen und Lösen nach \(k\): \(1 - \frac{1}{k} = \frac{1}{2} \implies \frac{1}{k} = \frac{1}{2} \implies k = 2\).

\(k = 2\)

- Wie ist eine Integralfunktion allgemein definiert? - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Graph durch einen bestimmten Punkt verläuft? - Erinnere dich daran, wie man das bestimmte Integral mit einer variablen unteren Grenze berechnet. - Wenn du eine Gleichung dritten Grades lösen musst, hilft oft das Finden einer ersten Lösung durch Probieren von ganzzahligen Werten.

1. Aufstellen des Funktionsterms der Integralfunktion: \(I_a(x) = \int_a^x (3t^2 - 6t) \, dt = [t^3 - 3t^2]_a^x = (x^3 - 3x^2) - (a^3 - 3a^2)\). 2. Einsetzen des Punktes \(P(3 \mid 4)\) in die Funktionsgleichung: \(I_a(3) = (3^3 - 3 \cdot 3^2) - (a^3 - 3a^2) = 4\). 3. Vereinfachen des Ausdrucks: \(0 - (a^3 - 3a^2) = 4\), woraus \(-a^3 + 3a^2 = 4\) bzw. \(a^3 - 3a^2 + 4 = 0\) folgt. 4. Lösen der kubischen Gleichung: Durch systematisches Probieren findet man die Nullstelle \(a_1 = -1\). Eine Polynomdivision oder das Horner-Schema liefert \((a+1)(a^2 - 4a + 4) = 0\). 5. Bestimmen der weiteren Nullstellen: Der quadratische Term \((a-2)^2 = 0\) ergibt die doppelte Lösung \(a_2 = 2\). Die gesuchten Werte sind \(a = -1\) und \(a = 2\).

\(a_1 = -1\) und \(a_2 = 2\)

- Welche Funktion ergibt abgeleitet \(\frac{1}{t}\)? - Nutze die Rechenregeln für Logarithmen, um den Ausdruck zu vereinfachen. - Überlege, welchen Wert \(\ln(e^k)\) für eine Zahl \(k\) hat. - Setze die Koordinaten des Punktes für \(x\) und \(I_a(x)\) ein.

1. Bestimmung der Stammfunktion von \(f(t) = \frac{1}{t}\): Eine Stammfunktion ist \(F(t) = \ln(t)\) für \(t > 0\). 2. Aufstellen der Integralfunktion \(I_a(x)\): \(I_a(x) = [\ln(t)]_a^x = \ln(x) - \ln(a)\). 3. Nutzen der Punktkoordinaten \(P(e^2 \mid 1)\): Es muss gelten \(I_a(e^2) = 1\), also \(\ln(e^2) - \ln(a) = 1\). 4. Anwendung der Logarithmengesetze: Da \(\ln(e^2) = 2\), vereinfacht sich die Gleichung zu \(2 - \ln(a) = 1\). 5. Auflösen nach \(a\): \(\ln(a) = 1 \implies a = e^1 = e\).

\(a = e\)

- Stelle zuerst einen Term für das Integral in Abhängigkeit von \(k\) auf. - Welchen Wert muss dieses Integral laut Aufgabenstellung annehmen? - Wie kannst du die Gleichung nach \(k\) auflösen, wenn \(k\) eine Potenz ist? - Erinnere dich an die Rechenregeln für Potenzen und Wurzeln.

1. Aufstellen der Integralgleichung für den Flächeninhalt: \(\int_0^k \sqrt[4]{x} \, dx = 25{,}6\). 2. Bestimmung der Stammfunktion von \(f(x) = x^{\frac{1}{4}}\): \(F(x) = \frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}\). 3. Auswertung des bestimmten Integrals: \([\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}]_0^k = \frac{4}{5} k^{\frac{5}{4}} = 25{,}6\). 4. Isolieren der Potenz: \(k^{\frac{5}{4}} = 25{,}6 \cdot \frac{5}{4} = 32\). 5. Lösen der Gleichung nach \(k\): \(k = 32^{\frac{4}{5}} = (2^5)^{\frac{4}{5}} = 2^4 = 16\).

\(k = 16\)

- Welche Stammfunktion gehört zu \(\frac{1}{t}\)? - Beim rechten Integral liegt eine lineare innere Funktion vor; welchen Korrekturfaktor brauchst du? - Vereinfache beide Seiten vollständig, bevor du die Gleichung löst. - Welche Eigenschaft der Logarithmusfunktion erlaubt den Vergleich der Argumente?

1. Für die rechte Seite gilt mit der Regel für eine lineare innere Funktion \(\int\frac{1}{2t+1}\,dt=\frac12\ln(2t+1)\). Daher ist \(2\int_0^1\frac{1}{2t+1}\,dt=\ln(3)\). 2. Für die linke Seite gilt \(\int_1^x\frac{1}{t}\,dt=\ln(x)-\ln(1)=\ln(x)\). 3. Somit folgt \(\ln(x)=\ln(3)\). 4. Da der natürliche Logarithmus streng monoton und damit injektiv ist, ist \(x=3\) die eindeutige Lösung.

\( x = 3 \)

- Bestimme zuerst die Stammfunktion für den gesamten Ausdruck in der Klammer. - Vergiss beim Einsetzen der unteren Grenze \(0\) nicht, dass \(e^0\) einen bestimmten Wert hat. - Manchmal lässt sich eine Gleichung durch genaues Hinsehen lösen, wenn beide Seiten den gleichen Aufbau haben.

1. Bestimmung einer Stammfunktion von \(f(x) = e^x + 1\): Es gilt \(F(x) = e^x + x\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(\int_0^k (e^x + 1) \, dx = [e^x + x]_0^k = (e^k + k) - (e^0 + 0) = e^k + k - 1\). 3. Aufstellen der Gleichung mit dem gegebenen Integralwert: \(e^k + k - 1 = e^3 + 2\). 4. Vereinfachen der Gleichung durch Addition von \(1\) auf beiden Seiten: \(e^k + k = e^3 + 3\). 5. Durch Einsetzen erkennt man \(k = 3\) als Lösung. Da die Funktion \(k \mapsto e^k + k\) streng monoton steigend ist, ist diese Lösung eindeutig.

\(k = 3\)

- Überlege dir, wie sich die Flächen oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse im bestimmten Integral widerspiegeln. - Welchen Wert muss das Integral über das gesamte Intervall \([1; k]\) annehmen, wenn die beiden Flächeninhalte genau gleich groß sein sollen? - Bestimme zuerst eine Stammfunktion \(F(x)\) der Funktion \(f(x)\). - Setze die Grenzen in das Integral ein und stelle eine Gleichung für \(k\) auf. - Nutze die Tatsache, dass \(k = 1\) eine offensichtliche Lösung der Gleichung ist, um die Gleichung durch Polynomdivision oder Faktorisieren zu vereinfachen.

1. Gleich große Flächen oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse bedeuten eine Flächenbilanz von null: \(\int_1^k(3x^2-12x+9)\,\mathrm{d}x=0\). 2. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=x^3-6x^2+9x\). 3. Einsetzen der Grenzen ergibt \((k^3-6k^2+9k)-4=0\), also \(k^3-6k^2+9k-4=0\). 4. Faktorisieren liefert \((k-1)(k^2-5k+4)=(k-1)^2(k-4)=0\). 5. Wegen \(k>1\) ist \(k=4\).

\(k = 4\)

- Überlege dir, was die Bedingung „Flächeninhalte oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse sind gleich groß“ für den Wert des Integrals bedeutet. - Denke an die Bilanzierung von Flächen beim Integrieren. - Bestimme zuerst eine Stammfunktion für den Funktionsterm. - Setze die Grenzen in die Stammfunktion ein und löse die entstandene Gleichung nach \(k\) auf.

Damit die Flächeninhalte oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse gleich groß sind, muss das bestimmte Integral der Funktion über dem Intervall \([0; k]\) den Wert Null ergeben: \(\int_{0}^{k} f(x) \, dx = 0\). a) Für \(f(x) = x^2 - 1\): 1. Stammfunktion bilden: \(F(x) = \frac{1}{3}x^3 - x\). 2. Integral berechnen: \(\left[ \frac{1}{3}x^3 - x \right]_{0}^{k} = \frac{1}{3}k^3 - k = 0\). 3. Gleichung lösen: \(k \cdot (\frac{1}{3}k^2 - 1) = 0\). Da \(k > 0\), folgt \(\frac{1}{3}k^2 = 1\), also \(k^2 = 3\) und somit \(k = \sqrt{3} \approx 1{,}732\). b) Für \(f(x) = 0{,}1x^3 - 0{,}8\): 1. Stammfunktion bilden: \(F(x) = 0{,}025x^4 - 0{,}8x\). 2. Integral berechnen: \(\left[ 0{,}025x^4 - 0{,}8x \right]_{0}^{k} = 0{,}025k^4 - 0{,}8k = 0\). 3. Gleichung lösen: \(k \cdot (0{,}025k^3 - 0{,}8) = 0\). Da \(k > 0\), folgt \(0{,}025k^3 = 0{,}8\), also \(k^3 = \frac{0{,}8}{0{,}025} = 32\). Somit ist \(k = \sqrt[3]{32} = 2\sqrt[3]{4} \approx 3{,}175\).

a) \(k = \sqrt{3} \approx 1{,}732\) b) \(k = \sqrt[3]{32} \approx 3{,}175\)

- Berechne zunächst die Inhalte der drei Dreiecksflächen aus der Abbildung. - Verfolge die Flächenbilanz von links nach rechts: positive Flächen erhöhen sie, negative Flächen verringern sie. - Frage dich, an welchen Stellen die laufende Bilanz genau den Wert \(2\) erreicht.

1. Auf \([0;2]\) liegt ein Dreieck oberhalb der \(x\)-Achse mit Grundseite \(2\) und Höhe \(2\). Sein Flächeninhalt ist \(2\). Daher ist \(b=2\) eine Lösung. 2. Auf \([2;4]\) liegt ein gleich großes Dreieck unterhalb der \(x\)-Achse. Die Flächenbilanz fällt deshalb von \(2\) wieder auf \(0\). 3. Auf \([4;6]\) wächst die Flächenbilanz durch das dritte Dreieck wieder von \(0\) auf \(2\). Daher ist auch \(b=6\) eine Lösung. 4. Innerhalb des ersten Dreiecks wächst die Bilanz streng von \(0\) auf \(2\), innerhalb des zweiten fällt sie streng von \(2\) auf \(0\), und innerhalb des dritten wächst sie streng von \(0\) auf \(2\). Somit gibt es keine weiteren Stellen mit Bilanz \(2\).

\(b=2\) und \(b=6\)

- Verwende den Hauptsatz mit der festen Grenze \(-2\) und der variablen Grenze \(k\). - Substituiere bei der biquadratischen Gleichung \(u=k^2\). - Eine variable Integrationsgrenze kann auch links von der festen Grenze liegen. - Beachte dann die umgekehrte Integrationsrichtung.

1. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=\frac14x^4-\frac32x^2\), und \(F(-2)=-2\). 2. Nach dem Hauptsatz gilt \(F(k)-F(-2)=0{,}75\). Damit folgt \(\frac14k^4-\frac32k^2+2=0{,}75\), also \(k^4-6k^2+5=0\). 3. Mit \(u=k^2\) ergibt sich \(u^2-6u+5=0\), also \(u=1\) oder \(u=5\). 4. Daher ist \(k\in\{-\sqrt5,-1,1,\sqrt5\}\). 5. Das Integral beschreibt den orientierten Flächeninhalt von der festen Grenze \(-2\) zur variablen Grenze \(k\). Für \(k<-2\) ist die Integrationsrichtung umgekehrt; dies ist durch das Vorzeichen des bestimmten Integrals bereits berücksichtigt.

\(k\in\{-\sqrt5,-1,1,\sqrt5\}\). Das Integral ist der orientierte Flächeninhalt von \(-2\) bis zur variablen Grenze \(k\); für \(k<-2\) verläuft die Integration nach links.

- Bestimme zunächst den Flächeninhalt zwischen den beiden Graphen im vorgegebenen Intervall. - Stelle den Flächeninhalt von \(0\) bis \(k\) als Funktion von \(k\) dar. - Nach der Integration erhältst du eine Gleichung, die Terme mit \(e^k\) und \(e^{-k}\) enthält. - Eine geschickte Substitution kann helfen, diese Gleichung in eine bekannte Form (z. B. eine quadratische Gleichung) zu bringen. - Achte am Ende darauf, ob dein berechneter Wert für \(k\) im Intervall \([0; \ln(3)]\) liegt.

1. Berechnung des gesamten Flächeninhalts zwischen den Kurven: \(A_{\text{ges}} = \int_0^{\ln(3)} (e^x - e^{-x}) \, dx = \left[ e^x + e^{-x} \right]_0^{\ln(3)} = (3 + \frac{1}{3}) - (1 + 1) = \frac{10}{3} - 2 = \frac{4}{3}\). 2. Bestimmung des Inhalts einer Teilfläche: \(A_{\text{Teil}} = \frac{2}{3}\). 3. Aufstellen der Integralgleichung für die linke Teilfläche von \(0\) bis \(k\): \(\int_0^k (e^x - e^{-x}) \, dx = \left[ e^x + e^{-x} \right]_0^k = e^k + e^{-k} - 2\). 4. Gleichsetzen mit dem Zielwert: \(e^k + e^{-k} - 2 = \frac{2}{3} \implies e^k + e^{-k} = \frac{8}{3}\). 5. Substitution \(u = e^k\) führt auf die quadratische Gleichung \(u + \frac{1}{u} = \frac{8}{3} \implies 3u^2 - 8u + 3 = 0\). 6. Lösung der quadratischen Gleichung: \(u_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{6} = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}\). 7. Da \(k \in (0; \ln(3))\) liegen muss, muss \(e^k \in (1; 3)\) gelten. Nur \(u_1 = \frac{4 + \sqrt{7}}{3} \approx 2{,}215\) erfüllt diese Bedingung. 8. Rücksubstitution: \(k = \ln\left(\frac{4 + \sqrt{7}}{3}\right)\).

\(k = \ln\left(\frac{4 + \sqrt{7}}{3}\right)\)

- Stelle dir vor, wie die Fläche unter der Wurzelfunktion und die Fläche unter der Potenzfunktion zusammen ein Rechteck ausfüllen. - Welche Seitenlängen hat dieses Rechteck, wenn die obere Grenze für \(x\) bei der Wurzelfunktion \(b\) ist? - Berechne das Integral der Potenzfunktion \(x^4\) an der entsprechenden Stelle und subtrahiere es von der Gesamtfläche des Rechtecks. - Nutze die Potenzgesetze, um Terme wie \((\sqrt[4]{b})^5\) zu vereinfachen.

1. Die Funktion \(g(x) = \sqrt[4]{x}\) ist für \(x \geq 0\) die Umkehrfunktion von \(f(x) = x^4\). Das Integral \(\int_0^b \sqrt[4]{x} \, dx\) beschreibt die Fläche unter dem Graphen von \(g\) im Intervall \([0; b]\). 2. Der Endpunkt des Graphen in diesem Intervall ist \((b \mid \sqrt[4]{b})\). Das umschließende Rechteck hat den Flächeninhalt \(A_{\text{R}} = b \cdot \sqrt[4]{b}\). 3. Aufgrund der Symmetrie zur Geraden \(y = x\) entspricht die Fläche zwischen dem Graphen von \(g\) und der \(y\)-Achse der Fläche unter dem Graphen von \(f\) im Intervall \([0; \sqrt[4]{b}]\). 4. Das gesuchte Integral ist die Differenz aus dem Rechteckinhalt und dem Integral von \(f\): \(\int_0^b \sqrt[4]{x} \, dx = b \cdot \sqrt[4]{b} - \int_0^{\sqrt[4]{b}} x^4 \, dx\). 5. Auswertung des Integrals von \(f\): \(\int_0^{\sqrt[4]{b}} x^4 \, dx = \left[ \frac{1}{5}x^5 \right]_0^{\sqrt[4]{b}} = \frac{1}{5} (\sqrt[4]{b})^5 = \frac{1}{5} b \cdot \sqrt[4]{b}\). 6. Zusammenführung: \(b \sqrt[4]{b} - \frac{1}{5} b \sqrt[4]{b} = \frac{4}{5} b \sqrt[4]{b}\).

Durch Subtraktion des Integrals der ursprünglichen Funktion \(\int_0^{\sqrt[4]{b}} x^4 \, dx = \frac{1}{5} b \sqrt[4]{b}\) vom Flächeninhalt des umschließenden Rechtecks \(b \sqrt[4]{b}\) erhält man \(\frac{4}{5} b \sqrt[4]{b}\).

- Schreibe das Integral von \(b\) bis \(5\) als Differenz zweier Werte derselben Integralfunktion. - Welchen Wert hat \(J(5)\) laut Abbildung? - Welchen Funktionswert muss \(J(b)\) dann besitzen, und an welchen Stellen wird dieser Wert angenommen?

1. Wegen \(J(x)=\int_2^x f(t)\,\mathrm{d}t\) gilt \(\int_b^5 f(t)\,\mathrm{d}t=J(5)-J(b)\). 2. Aus der Abbildung liest man \(J(5)=9\) ab. Daher muss \(9-J(b)=8\) gelten, also \(J(b)=1\). 3. Der Graph von \(J\) hat den Funktionswert \(1\) bei \(b=1\) und bei \(b=3\). 4. Somit erfüllen genau diese beiden Integrationsgrenzen die Bedingung.

\(b=1\) und \(b=3\)