- Welche der beiden Integrationsgrenzen ist bereits als Zahl gegeben? - An welcher Grenze steht noch ein Buchstabe?

1. Die untere Integrationsgrenze \(1\) ist bereits fest vorgegeben. 2. Die obere Grenze enthält die unbekannte Größe \(b\). Gesucht ist daher \(b\).

Gesucht ist die obere Integrationsgrenze \(b\).

- Welche Höhe hat das Rechteck unter dem konstanten Graphen? - Welche Breite muss ein Rechteck dieser Höhe besitzen, damit sein Flächeninhalt \(6\) beträgt?

1. Der konstante Funktionswert \(2\) ist die Höhe des Rechtecks, \(b\) seine Breite. 2. Aus \(2b=6\) folgt \(b=3\).

\(b=3\)

- Was passiert mit der angesammelten Fläche, wenn die obere Grenze größer wird? - Kann eine streng wachsende Größe denselben Zielwert zweimal erreichen?

1. Wird \(b\) nach rechts verschoben, kommt ein weiteres Flächenstück unter einem überall positiven Graphen hinzu. 2. Daher wächst \(A(b)\) streng mit \(b\). 3. Eine streng wachsende Funktion kann denselben Wert \(3\) höchstens einmal annehmen.

Es gibt höchstens eine Lösung, weil \(A(b)\) wegen \(f(x)>0\) streng wächst.

- Welche Grundstammfunktion ist hier relevant? - Welche Bedingung an die Werte einer Stammfunktion folgt aus einem Integralwert von \(0\)? - Welche Grenzen könnten diese Bedingung erfüllen?

1. Eine Stammfunktion von \(g(x)=2\cos x\) ist \(G(x)=2\sin x\). 2. Wähle zum Beispiel \(a=0\) und \(b=\pi\). 3. Dann gilt \(\int_0^{\pi}2\cos x\,\mathrm{d}x=[2\sin x]_0^{\pi}=0\). 4. Die positiven und negativen Flächenbeiträge auf \([0;\pi]\) gleichen sich aus.

Zum Beispiel \([0;\pi]\), denn \(\int_0^{\pi}2\cos(x)\,\mathrm{d}x=[2\sin(x)]_0^{\pi}=2\sin(\pi)-2\sin(0)=0\).

- Welche Grundstammfunktion ist hier relevant? - Wie hängt der Integralwert von der variablen oberen Grenze ab? - Welche Werte im vorgegebenen Bereich erfüllen anschließend die Integralbedingung?

1. Eine Stammfunktion von \(\sin x\) ist \(-\cos x\). 2. Daher gilt \(\int_0^a\sin x\,\mathrm{d}x=[-\cos x]_0^a=1-\cos a\). 3. Aus \(1-\cos a=1\) folgt \(\cos a=0\). 4. Im Intervall \([0;\pi]\) gilt das genau für \(a=\frac{\pi}{2}\).

\(a=\frac{\pi}{2}\)

- Welche Grundstammfunktion ist hier relevant? - Wie hängt der Integralwert von der variablen oberen Grenze ab? - Welche Eigenschaft der Exponentialfunktion hilft beim Lösen der entstehenden Gleichung?

1. Eine Stammfunktion von \(e^x\) ist \(e^x\). 2. Damit gilt \(\int_0^k e^x\,\mathrm{d}x=e^k-1\). 3. Aus \(e^k-1=e^2-1\) folgt \(e^k=e^2\) und damit \(k=2\).

\(k=2\)

- Kannst du eine Formel für den Flächeninhalt aufstellen, in der die unbekannte Grenze vorkommt? - Wie berechnet man allgemein das Integral einer Funktion vom Typ \(x^n\)? - Wenn du einen Ausdruck für die Fläche hast, kannst du ihn mit dem Zielwert gleichsetzen. - Welche Zahl ergibt dreimal mit sich selbst multipliziert den Wert \(216\)?

1. Aufstellen des Integrals für den Flächeninhalt in Abhängigkeit von \(k\): \(A(k) = \int_{0}^{k} x^2 \, dx\). 2. Berechnung des unbestimmten Integrals bzw. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{1}{3}x^3\). 3. Auswerten des bestimmten Integrals: \(A(k) = [\frac{1}{3}x^3]_{0}^{k} = \frac{1}{3}k^3 - \frac{1}{3} \cdot 0^3 = \frac{1}{3}k^3\). 4. Gleichsetzen mit dem gegebenen Flächeninhalt: \(\frac{1}{3}k^3 = 72\). 5. Lösen der Gleichung nach \(k\): \(k^3 = 216 \Rightarrow k = \sqrt[3]{216} = 6\).

Der gesuchte Wert ist \(k = 6\).

- Welche mathematische Operation hilft dir dabei, die Fläche unter einer Kurve zu berechnen? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Ableitung und Integral. - Setze die berechnete Formel für den Flächeninhalt mit dem gegebenen Wert gleich. - Überlege, wie du eine Potenzgleichung der Form \(x^4 = c\) lösen kannst.

1. Zur Berechnung des Flächeninhalts über dem Intervall \([0; k]\) wird das bestimmte Integral von \(f(x)\) gebildet. Eine Stammfunktion von \(f(x) = \frac{1}{4}x^3\) ist \(F(x) = \frac{1}{16}x^4\). Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt: \(A(k) = \int_{0}^{k} \frac{1}{4}x^3 \, dx = \left[ \frac{1}{16}x^4 \right]_{0}^{k} = \frac{1}{16}k^4 - 0 = \frac{1}{16}k^4\). 2. Setze den Flächeninhalt gleich \(16\) und löse nach \(k\) auf: \(\frac{1}{16}k^4 = 16\). Multiplikation mit \(16\) ergibt \(k^4 = 256\). Das Ziehen der vierten Wurzel liefert \(k = 4\) (da \(k > 0\) vorausgesetzt ist).

1. \(A = \frac{1}{16}k^4\) 2. \(k = 4\)

- Wie hängen der Flächeninhalt unter einer Kurve und das bestimmte Integral zusammen? - Kannst du eine Stammfunktion für \(x^{-2}\) finden? - Was besagt der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung über das Einsetzen von Grenzen? - Stelle eine Gleichung auf, in der die obere Grenze \(b\) die einzige Unbekannte ist.

1. Aufstellen des Integrals für den Flächeninhalt: \(\int_{1}^{b} x^{-2} \, dx = 0{,}8\). 2. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = -x^{-1} = -\frac{1}{x}\). 3. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(\left[ -\frac{1}{x} \right]_{1}^{b} = \left( -\frac{1}{b} \right) - \left( -\frac{1}{1} \right) = 1 - \frac{1}{b}\). 4. Gleichsetzen des Terms mit dem Zielwert: \(1 - \frac{1}{b} = 0{,}8\). 5. Auflösen der Gleichung nach \(b\): \(\frac{1}{b} = 0{,}2\), woraus \(b = 5\) folgt.

\(b = 5\)

- Welche Grundstammfunktion ist hier relevant? - Wie hängt der Integralwert von der unbekannten unteren Grenze ab? - Welche Darstellung der auftretenden Exponentialterme hilft beim Lösen der Gleichung?

1. Eine Stammfunktion von \(e^t\) ist \(e^t\). 2. Damit gilt \(\int_k^1e^t\,\mathrm{d}t=e-e^k\). 3. Aus \(e-e^k=e-\sqrt{e}\) folgt \(e^k=\sqrt{e}=e^{\frac{1}{2}}\). 4. Daher ist \(k=\frac{1}{2}\).

\(k=\frac{1}{2}\)

- Welche Funktion ergibt abgeleitet \(\frac{1}{t}\)? - Nutze die Rechenregeln für Logarithmen, um den Ausdruck zu vereinfachen. - Überlege, welchen Wert \(\ln(e^k)\) für eine Zahl \(k\) hat. - Setze die Koordinaten des Punktes für \(x\) und \(I_a(x)\) ein.

1. Bestimmung der Stammfunktion von \(f(t) = \frac{1}{t}\): Eine Stammfunktion ist \(F(t) = \ln(t)\) für \(t > 0\). 2. Aufstellen der Integralfunktion \(I_a(x)\): \(I_a(x) = [\ln(t)]_a^x = \ln(x) - \ln(a)\). 3. Nutzen der Punktkoordinaten \(P(e^2 \mid 1)\): Es muss gelten \(I_a(e^2) = 1\), also \(\ln(e^2) - \ln(a) = 1\). 4. Anwendung der Logarithmengesetze: Da \(\ln(e^2) = 2\), vereinfacht sich die Gleichung zu \(2 - \ln(a) = 1\). 5. Auflösen nach \(a\): \(\ln(a) = 1 \implies a = e^1 = e\).

\(a = e\)

- Stelle zuerst einen Term für das Integral in Abhängigkeit von \(k\) auf. - Welchen Wert muss dieses Integral laut Aufgabenstellung annehmen? - Wie kannst du die Gleichung nach \(k\) auflösen, wenn \(k\) eine Potenz ist? - Erinnere dich an die Rechenregeln für Potenzen und Wurzeln.

1. Aufstellen der Integralgleichung für den Flächeninhalt: \(\int_0^k \sqrt[4]{x} \, dx = 25{,}6\). 2. Bestimmung der Stammfunktion von \(f(x) = x^{\frac{1}{4}}\): \(F(x) = \frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}\). 3. Auswertung des bestimmten Integrals: \([\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}]_0^k = \frac{4}{5} k^{\frac{5}{4}} = 25{,}6\). 4. Isolieren der Potenz: \(k^{\frac{5}{4}} = 25{,}6 \cdot \frac{5}{4} = 32\). 5. Lösen der Gleichung nach \(k\): \(k = 32^{\frac{4}{5}} = (2^5)^{\frac{4}{5}} = 2^4 = 16\).

\(k = 16\)

- Kannst du das Problem zuerst als Gleichung mit einem Integralzeichen aufschreiben? - Wie berechnet man allgemein ein Integral, wenn eine Grenze eine Variable ist? - Welche mathematische Methode hilft dir, eine Gleichung der Form \( x^2 + px + q = 0 \) zu lösen? - Hast du alle Bedingungen aus dem Text berücksichtigt, insbesondere das Vorzeichen der gesuchten Zahl?

1. Aufstellen der Integralgleichung basierend auf der Aufgabenstellung: \( \int_{0}^{b} (2x + 1) \, dx = 12 \). 2. Finden einer Stammfunktion für \( f(x) = 2x + 1 \), welche \( F(x) = x^2 + x \) lautet. 3. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \( [x^2 + x]_0^b = (b^2 + b) - (0^2 + 0) = b^2 + b \). 4. Gleichsetzen des Terms mit dem vorgegebenen Integralwert: \( b^2 + b = 12 \). 5. Umformen in eine quadratische Gleichung in Normalform: \( b^2 + b - 12 = 0 \). 6. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel): Die Lösungen sind \( b_1 = 3 \) und \( b_2 = -4 \). 7. Da laut Aufgabenstellung eine positive Grenze gesucht ist, entfällt \( b_2 \). Somit ist \( b = 3 \).

\( b = 3 \)

- Welche Grundstammfunktion ist hier relevant? - Wie kannst du beide Seiten in eine vergleichbare Logarithmusform bringen? - Welche Eigenschaft des Logarithmus hilft anschließend beim Vergleich der Argumente?

1. Links gilt \(\int_1^x\frac{1}{t}\,\mathrm{d}t=\ln x\). 2. Rechts gilt \(2\int_1^{\sqrt{3}}\frac{1}{t}\,\mathrm{d}t=2\ln(\sqrt{3})=2\cdot\frac{1}{2}\ln3=\ln3\). 3. Damit ist \(\ln x=\ln3\). Wegen der strengen Monotonie des natürlichen Logarithmus folgt \(x=3\).

\(x=3\)

- Stelle zuerst den mathematischen Ausdruck für den beschriebenen Sachverhalt als Integralgleichung auf. - Berechne das Integral in Abhängigkeit von der Variable \(k\). - Welchen Wert hat der natürliche Logarithmus von \(1\)? - Wie kannst du eine Gleichung der Form \(\ln(x) = c\) nach \(x\) auflösen?

1. Aufstellen des Integrals: \(\int_{1}^{k} \frac{3}{x} \, dx = 6\). 2. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = 3 \ln|x|\). 3. Anwendung des Hauptsatzes: \([3 \ln|x|]_{1}^{k} = 3 \ln(k) - 3 \ln(1)\). Da \(\ln(1) = 0\), vereinfacht sich der Ausdruck zu \(3 \ln(k)\). 4. Lösen der Gleichung: \(3 \ln(k) = 6 \implies \ln(k) = 2\). 5. Anwendung der Exponentialfunktion: \(k = e^2\). Da \(e^2 > 1\), ist die Bedingung erfüllt.

\(k = e^2\)

- Beide möglichen Integrationsgrenzen sind in der Abbildung markiert; vergleiche die Flächen bis zu diesen Grenzen. - Unter einer Geraden entsteht hier jeweils ein Trapez. - Welche der beiden Flächen hat den vorgegebenen Inhalt \(4\)?

1. Für \(b=1\) ist die Fläche unter dem Graphen ein Trapez mit den parallelen Seitenlängen \(3\) und \(2\) und der Breite \(1\). Sein Inhalt ist \(\frac{3+2}{2}\cdot1=\frac{5}{2}\). 2. Für \(b=2\) hat das Trapez die parallelen Seitenlängen \(3\) und \(1\) und die Breite \(2\). Sein Inhalt ist \(\frac{3+1}{2}\cdot2=4\). 3. Daher erfüllt \(b=2\) die vorgegebene Integralgleichung.

\(b=2\)

- Was passiert mit dem angesammelten Flächeninhalt, wenn die obere Grenze nach rechts verschoben wird und der Graph überall oberhalb der Achse liegt? - Welche geometrische Figur liegt zwischen \(0\) und einer gewählten oberen Grenze unter einer Geraden? - Lies die benötigten Höhen an den exakten Tickmarken der Abbildung ab.

1. Der Graph liegt auf \([0;3]\) vollständig oberhalb der \(x\)-Achse. Wenn \(b\) vergrößert wird, kommt daher stets positiver Flächeninhalt hinzu. Die Funktion \(A(b)=\int_0^b f(x)\,dx\) ist streng wachsend; eine Zielgröße kann deshalb höchstens einmal erreicht werden. 2. Aus der Abbildung liest man für \(b=2\) die parallelen Seitenlängen \(f(0)=1\) und \(f(2)=3\) ab. Die Fläche ist ein Trapez mit Breite \(2\). 3. Sein Inhalt ist \(\frac{1+3}{2}\cdot2=4\). Daher ist \(b=2\).

a) Es gibt höchstens eine Lösung, weil \(f(x)>0\) und damit der angesammelte Flächeninhalt streng wächst. b) \(b=2\)

- Was zeigt die Abbildung über das Vorzeichen von \(f\) auf \([0;2]\)? - Wie hängt \(\int_0^b f(x)\,\mathrm{d}x\) mit der markierten Gesamtfläche auf \([0;2]\) zusammen?

1. Der Graph liegt auf \([0;2]\) nicht unter der \(x\)-Achse. Deshalb wächst der angesammelte Flächeninhalt, wenn \(b\) größer wird. 2. Selbst für \(b=2\) beträgt der Integralwert nur \(2\), denn das ist die angegebene gesamte markierte Fläche. 3. Der Wert \(3\) kann daher für kein \(b\in[0;2]\) erreicht werden.

Nein. Der Graph liegt auf \([0;2]\) nicht unter der \(x\)-Achse, und die gesamte markierte Fläche hat nur den Flächeninhalt \(2\). Daher gilt für jedes \(b\in[0;2]\): \(\int_0^b f(x)\,\mathrm{d}x\le2\). Der Wert \(3\) ist nicht erreichbar.

- Wie groß ist die gesamte Fläche unter dem Graphen von \(0\) bis \(2\)? - Kann eine kleinere obere Grenze mehr Fläche liefern als \(b=2\)?

1. Der Graph liegt auf \([0;2]\) oberhalb der \(x\)-Achse. Die angesammelte Fläche wächst daher mit \(b\). 2. Selbst für die größtmögliche Grenze \(b=2\) entsteht nur das Dreieck mit Grundseite \(2\) und Höhe \(2\). 3. Sein Inhalt ist \(\frac{1}{2}\cdot2\cdot2=2\). Der Zielwert \(3\) ist nicht erreichbar.

Nein. Die gesamte Fläche von \(0\) bis \(2\) ist ein Dreieck mit dem Flächeninhalt \(2\). Daher kann der Integralwert \(3\) nicht erreicht werden.

- Wie schreibst du das bestimmte Integral mit einer Stammfunktion in Abhängigkeit von \(a\)? - Welche Gleichung entsteht aus der vorgegebenen Integralbedingung? - Prüfe am Ende, welche Lösung im Intervall \([0;4]\) liegt.

1. Eine Stammfunktion von \(x\) ist \(F(x)=\frac{1}{2}x^2\). 2. Damit gilt \(\int_a^4x\,\mathrm{d}x=8-\frac{1}{2}a^2\). 3. Aus \(8-\frac{1}{2}a^2=6\) folgt \(a^2=4\). 4. Wegen \(a\in[0;4]\) ist \(a=2\).

\(a=2\)

- Achte auf den Unterschied zwischen dem Integralwert (Flächenbilanz) und dem geometrischen Flächeninhalt, besonders bei Funktionen mit negativen Werten. - Nutze die Symmetrie des Graphen aus, um das Problem zu vereinfachen. - Wenn das Intervall über eine Nullstelle hinweggeht, musst du den Betrag des Funktionswertes im Integral berücksichtigen. - Formuliere aus dem gewünschten Flächeninhalt eine Gleichung für die noch unbekannte Intervallgrenze.

1. Berücksichtigung der Punktsymmetrie von \(f(x) = x^3\): Der Flächeninhalt setzt sich aus Flächenstücken oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse zusammen. 2. Ansatz für ein symmetrisches Intervall \([-b; b]\): Da der Graph punktsymmetrisch ist, gilt für den Flächeninhalt \(A = 2 \cdot \int_0^b x^3 \, dx = 8\). 3. Berechnung des Teilintegrals: \(\int_0^b x^3 \, dx = [\frac{1}{4}x^4]_0^b = \frac{1}{4}b^4\). 4. Gleichung lösen: \(2 \cdot \frac{1}{4}b^4 = 8 \iff \frac{1}{2}b^4 = 8 \iff b^4 = 16 \iff b = 2\). 5. Ein mögliches Intervall ist \([-2; 2]\). Alternativ führt der Ansatz \(\int_0^b x^3 \, dx = 8\) zu \(b = \sqrt[4]{32} = 2\sqrt[4]{2}\). 6. Darstellung als Integral für das Intervall \([-2; 2]\): \(\int_{-2}^2 |x^3| \, dx\).

Ein mögliches Intervall ist \([-2; 2]\). Der Flächeninhalt als Integral: \(\int_{-2}^2 |x^3| \, dx\).

- Überlege, wie die Graphen der beiden Funktionen zueinander liegen. Sind sie vielleicht nur verschoben? - Untersuche die Symmetrie der Integranden. Wo liegen die Scheitelpunkte der Potenzfunktionen? - Was passiert mit dem Wert eines Integrals, wenn man sowohl die Funktion als auch die Grenzen um denselben Wert verschiebt? - Du kannst auch beide Seiten explizit mit der Stammfunktion berechnen und die resultierende Gleichung nach \(b\) auflösen.

1. Berechnung des linken Integrals: Die Funktion \(f(x) = (x-2)^4\) ist achsensymmetrisch zu \(x=2\). Das Integral über das Intervall \([1; 3]\) entspricht \(\int_{-1}^{1} u^4 \, du = [\frac{1}{5}u^5]_{-1}^{1} = \frac{1}{5} - (-\frac{1}{5}) = \frac{2}{5} = 0{,}4\). 2. Analyse des rechten Integrals: Die Funktion \(g(x) = (x-4)^4\) ist eine um 2 Einheiten nach rechts verschobene Version von \(f(x)\). Es gilt \(g(x) = f(x-2)\). 3. Anwendung der Intervallverschiebung: Das Integral einer verschobenen Funktion über ein verschobenes Intervall bleibt gleich: \(\int_{x_1}^{x_2} f(x) \, dx = \int_{x_1+c}^{x_2+c} f(x-c) \, dx\). Mit \(c=2\) folgt \(\int_{1}^{3} (x-2)^4 \, dx = \int_{1+2}^{3+2} (x-2-2)^4 \, dx = \int_{3}^{5} (x-4)^4 \, dx\). 4. Vergleich der Grenzen: Durch direkten Vergleich mit der Aufgabenstellung \(\int_{3}^{b} (x-4)^4 \, dx\) ergibt sich \(b = 5\). Da der Integrand \((x-4)^4\) für alle \(x \neq 4\) positiv ist, ist die Integralfunktion streng monoton wachsend, womit \(b=5\) die einzige Lösung ist.

\(b = 5\)

- Welchen Wert hat das Integral der Sinusfunktion über eine vollständige Periode von \(2\pi\)? - Wie wirkt sich der Summand \(+2\) auf den Flächeninhalt unter dem Graphen aus? - Wenn man ein Integral über eine Periode verdoppeln möchte, was bietet sich für die Länge des neuen Intervalls an? - Erinnere dich an die Linearität des Integrals: Du kannst den Sinus-Teil und den konstanten Teil getrennt betrachten.

1. Auswertung des rechten Integrals: Das Integral \(\int_{0}^{2\pi} \sin(x) \, dx\) über eine volle Periode ist \(0\). Somit reduziert sich das Integral auf den konstanten Teil: \(\int_{0}^{2\pi} 2 \, dx = [2x]_0^{2\pi} = 4\pi\). Der Gesamtwert der rechten Seite ist also \(2 \cdot 4\pi = 8\pi\). 2. Aufstellen der Bedingung für die linke Seite: Wir suchen \(a\) und \(b\), sodass \(\int_{a}^{b} (\sin(x) + 2) \, dx = 8\pi\). 3. Nutzung der Periodizität: Da \(f(x) = \sin(x) + 2\) die Periode \(2\pi\) besitzt, liefert jedes Intervall der Länge \(4\pi\) zwei vollständige Perioden. Der Sinusanteil integriert sich dabei zu \(0\), während der konstante Anteil den Wert \(2 \cdot 4\pi = 8\pi\) liefert. 4. Daher gilt allgemein \(b = a + 4\pi\). Eine mögliche Wahl ist \(a = 0\) und \(b = 4\pi\).

Zum Beispiel \(a = 0\) und \(b = 4\pi\). Allgemein ist jede Wahl mit \(b = a + 4\pi\) geeignet.

- Was bedeutet es für die Flächenbilanz, wenn ein Integral den Wert Null hat? - Erinnere dich an die Eigenschaften von geraden und ungeraden Funktionen im Zusammenhang mit dem Ursprung. - Wie hängen die Flächeninhalte oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse zusammen, wenn das Integral Null ist? - Du kannst eine Grenze festlegen (z. B. \(a=0\)) und die andere durch Lösen einer Gleichung mit der Stammfunktion bestimmen.

1. Symmetrie-Ansatz: Die Funktion \(f(x) = x^3 - 4x\) ist eine ungerade Funktion, da nur ungerade Exponenten auftreten (\(f(-x) = -f(x)\)). Bei ungeraden Funktionen ist das Integral über jedem zum Ursprung symmetrischen Intervall \([-c; c]\) gleich Null. Ein mögliches Paar ist daher \(a = -2\) und \(b = 2\). 2. Rechnerischer Ansatz: Es wird ein Intervall \([0; b]\) gesucht. Die Stammfunktion ist \(F(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2\). Die Bedingung \(\int_0^b f(x) \, dx = F(b) - F(0) = 0\) führt auf die Gleichung \(\frac{1}{4}b^4 - 2b^2 = 0\). 3. Lösen der Gleichung: Ausklammern ergibt \(b^2 \cdot (\frac{1}{4}b^2 - 2) = 0\). Da \(b > 0\) sein soll, folgt \(\frac{1}{4}b^2 = 2\), also \(b^2 = 8\) und somit \(b = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\). Ein zweites Paar ist somit \(a = 0\) und \(b = \sqrt{8}\).

Zwei mögliche Paare sind: 1. \(a = -2\) und \(b = 2\) (Begründung über Punktsymmetrie zum Ursprung). 2. \(a = 0\) und \(b = \sqrt{8}\) (oder \(b \approx 2{,}83\)).

- Welche Stammfunktion gehört zum Integranden? - Wie übersetzt der Hauptsatz die Integralgleichung in eine Gleichung für \(b\)? - Welche gemeinsame Variable kannst du nach dem Einsetzen der Grenzen ausklammern? - Welche der entstehenden Lösungen erfüllt die Bedingung \(b>0\)?

1. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=\frac13x^3-2x^2+3x\). 2. Mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ergibt sich \(\frac13b^3-2b^2+3b=0\). 3. Ausklammern liefert \(b(\frac13b^2-2b+3)=0\). Wegen \(b>0\) muss \(\frac13b^2-2b+3=0\) gelten. 4. Nach Multiplikation mit \(3\) entsteht \(b^2-6b+9=(b-3)^2=0\). Daher ist \(b=3\).

\(b=3\)

- Erinnere dich daran, wie man Potenzen mit negativen Exponenten integriert. - Nachdem du die Grenzen eingesetzt hast, erhältst du eine Gleichung, in der \(b\) auch im Nenner vorkommen kann. - Wie kannst du eine Gleichung mit \(b\) im Nenner so umformen, dass eine bekannte Gleichungsform entsteht? - Prüfe am Ende, welche deiner berechneten Lösungen die Bedingung \(b > 1\) erfüllt.

1. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = x + \frac{1}{x}\). 2. Anwendung des Hauptsatzes: \(\left[ x + \frac{1}{x} \right]_{1}^{b} = (b + \frac{1}{b}) - (1 + \frac{1}{1}) = b + \frac{1}{b} - 2\). 3. Gleichsetzen mit dem Zielwert: \(b + \frac{1}{b} - 2 = 0{,}5\), also \(b + \frac{1}{b} = 2{,}5\). 4. Umformung in eine quadratische Gleichung durch Multiplikation mit \(b\): \(b^2 - 2{,}5b + 1 = 0\). 5. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel): \(b_{1,2} = \frac{2{,}5 \pm \sqrt{6{,}25 - 4}}{2} = \frac{2{,}5 \pm 1{,}5}{2}\). 6. Dies ergibt die Lösungen \(b_1 = 2\) und \(b_2 = 0{,}5\). Da \(b > 1\) vorausgesetzt ist, ist die gesuchte Grenze \(b = 2\).

\(b = 2\)

- Bestimme jeweils zuerst eine Stammfunktion und setze die variable obere Grenze ein. - In a) erhältst du eine kubische Gleichung. Prüfe einen naheliegenden positiven ganzzahligen Kandidaten und faktorisiere anschließend vollständig. - In b) entsteht eine quadratische Gleichung. - Begründe am Ende, warum unter der Bedingung \(z>0\) keine weitere Lösung zulässig ist.

1. Teilaufgabe a): Eine Stammfunktion von \(3x^2+6x\) ist \(F(x)=x^3+3x^2\). Damit gilt \(z^3+3z^2=54\), also \(z^3+3z^2-54=0\). 2. Die kubische Gleichung faktorisiert zu \((z-3)(z^2+6z+18)=0\). Da die Diskriminante des quadratischen Faktors \(36-72=-36<0\) ist, besitzt er keine reelle Nullstelle. Somit ist \(z=3\) die einzige reelle und insbesondere die einzige positive Lösung. 3. Teilaufgabe b): Eine Stammfunktion von \(4x+1\) ist \(G(x)=2x^2+x\). Daraus folgt \(2z^2+z=10\), also \(2z^2+z-10=0\). 4. Die Lösungen sind \(z=\frac{-1\pm9}{4}\), also \(z=2\) oder \(z=-\frac52\). Wegen \(z>0\) bleibt \(z=2\).

a) \(z = 3\) b) \(z = 2\)

- Überlege dir, wie man den Wert eines bestimmten Integrals berechnet, wenn eine Grenze eine Variable ist. - Vergiss beim Einsetzen der unteren Grenze nicht, das Vorzeichen der gesamten Klammer zu berücksichtigen. - Bei Teilaufgabe a) hilft das Ausklammern von \(z\), um die Nullstellen zu finden. - Bei Teilaufgabe b) ist es hilfreich, sich an die Potenzgesetze und die Definition der \(e\)-Funktion zu erinnern.

1. Für Teilaufgabe a): Die Stammfunktion ist \(F(x) = \frac{1}{3}x^3 - x\). Einsetzen der Grenzen ergibt \(\left[\frac{1}{3}x^3 - x\right]_1^z = (\frac{1}{3}z^3 - z) - (\frac{1}{3} - 1) = \frac{1}{3}z^3 - z + \frac{2}{3}\). Gleichsetzen mit dem Wert \(\frac{2}{3}\) führt zu \(\frac{1}{3}z^3 - z = 0\). Ausklammern ergibt \(z(\frac{1}{3}z^2 - 1) = 0\). Da \(z > 0\) sein muss, folgt \(\frac{1}{3}z^2 = 1\), also \(z^2 = 3\) und somit \(z = \sqrt{3}\). 2. Für Teilaufgabe b): Die Stammfunktion von \(e^x\) ist \(e^x\). Das Integral berechnet sich zu \([e^x]_0^z = e^z - e^0 = e^z - 1\). Die Gleichung lautet \(e^z - 1 = e^3 - 1\). Durch Vergleich oder Logarithmieren folgt direkt \(e^z = e^3\), woraus sich \(z = 3\) ergibt.

a) \(z = \sqrt{3}\) b) \(z = 3\)

- Kannst du eine Stammfunktion für den Term im Integral finden? - Was passiert, wenn du die Integrationsgrenzen in die Stammfunktion einsetzt? - Entsteht eine Gleichung, die du vielleicht durch eine Ersetzung (Substitution) einfacher lösen kannst? - Hast du alle Bedingungen aus der Aufgabenstellung, wie zum Beispiel das Vorzeichen von \(k\), am Ende berücksichtigt?

1. Bestimmung einer Stammfunktion der Funktion \(f(x) = 4x^3 - 6x\): \(F(x) = x^4 - 3x^2\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \([x^4 - 3x^2]_0^k = (k^4 - 3k^2) - (0^4 - 3 \cdot 0^2) = k^4 - 3k^2\). 3. Aufstellen der Gleichung \(k^4 - 3k^2 = 4\). 4. Lösen der biquadratischen Gleichung durch Substitution \(u = k^2\): \(u^2 - 3u - 4 = 0\). 5. Die Lösungen für \(u\) sind \(u_1 = 4\) und \(u_2 = -1\). 6. Da \(k^2 = u\) und \(k\) eine reelle Zahl sein muss, entfällt \(u_2\). Aus \(k^2 = 4\) und der Bedingung \(k > 0\) folgt \(k = 2\).

\(k = 2\)

- Überlege zuerst, welche der beiden Funktionen im betrachteten Intervall größere Werte annimmt. - Wie berechnet man den Flächeninhalt zwischen zwei Funktionsgraphen über einem bestimmten Intervall? - Erinnere dich an die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks. - Stelle eine Gleichung auf, die den berechneten Integralwert mit der geometrischen Flächenformel verknüpft.

1. Bestimmung der Differenzfunktion: \(h(x) = f(x) - g(x) = (x^2 + 4) - \frac{1}{2}x^2 = \frac{1}{2}x^2 + 4\). Da \(f(x) > g(x)\) für alle \(x\) gilt, ist der Flächeninhalt durch das Integral der Differenzfunktion gegeben. 2. Berechnung des Integrals: \(A(k) = \int_{0}^{k} (\frac{1}{2}x^2 + 4) \, dx = \left[ \frac{1}{6}x^3 + 4x \right]_{0}^{k} = \frac{1}{6}k^3 + 4k\). 3. Aufstellen der Bedingung: Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt \(A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot k \cdot 10 = 5k\). 4. Lösen der Gleichung: \(\frac{1}{6}k^3 + 4k = 5k \implies \frac{1}{6}k^3 = k\). Da \(k > 0\), folgt \(k^2 = 6\) und somit \(k = \sqrt{6}\).

a) \(A(k) = \frac{1}{6}k^3 + 4k\) b) \(k = \sqrt{6}\)

- Nutze die Symmetrie der Funktionen zur \(y\)-Achse, um die Integration zu vereinfachen. - Wie lautet die allgemeine Regel für die Integration von Potenzfunktionen? - Welche geometrische Formel beschreibt den Inhalt eines Rechtecks? - Überlege, wie du die resultierende Gleichung nach \(t\) auflösen kannst, wenn \(t\) als Faktor in jedem Term vorkommt.

1. Bestimmung der Differenzfunktion: \(h(x) = f(x) - g(x) = (2x^2 + 1) - (x^2 - 2) = x^2 + 3\). Da \(f(x) > g(x)\) für alle \(x\), liegt kein Vorzeichenwechsel vor. 2. Berechnung des Flächeninhalts über Symmetrie: \(A(t) = \int_{-t}^{t} (x^2 + 3) \, dx = 2\int_{0}^{t} (x^2 + 3) \, dx = 2\left[ \frac{1}{3}x^3 + 3x \right]_{0}^{t} = \frac{2}{3}t^3 + 6t\). 3. Gleichsetzung mit dem Rechteckinhalt: Die Bedingung lautet \(A(t) = t \cdot 8 = 8t\). 4. Lösen der Gleichung: \(\frac{2}{3}t^3 + 6t = 8t \implies \frac{2}{3}t^3 = 2t\). Division durch \(t\) (da \(t > 0\)) ergibt \(\frac{2}{3}t^2 = 2\), woraus \(t^2 = 3\) und somit \(t = \sqrt{3}\) folgt.

a) \(A(t) = \frac{2}{3}t^3 + 6t\) b) \(t = \sqrt{3}\)

- Überlege dir, welchen Wert das Integral über das gesamte Intervall annehmen muss, wenn die Flächen oberhalb und unterhalb der Achse denselben Inhalt haben. - Wie berechnet man den Wert eines bestimmten Integrals mithilfe einer Stammfunktion? - Wandle die Bedingung in eine Gleichung um, in der \(k\) die Unbekannte ist. - Kannst du die resultierende Gleichung durch Ausklammern vereinfachen?

1. Für gleich große Flächeninhalte oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse muss das bestimmte Integral der Funktion über das Intervall \([0; k]\) den Wert Null ergeben: \(\int_0^k (9 - x^2) \, dx = 0\). 2. Eine Stammfunktion von \(f\) ist durch \(F(x) = 9x - \frac{1}{3}x^3\) gegeben. 3. Das Einsetzen der Integrationsgrenzen führt zu der Gleichung \(F(k) - F(0) = 9k - \frac{1}{3}k^3 = 0\). 4. Ausklammern von \(k\) ergibt \(k \cdot (9 - \frac{1}{3}k^2) = 0\). Da \(k > 0\) gesucht ist, muss der Ausdruck in der Klammer Null sein: \(9 - \frac{1}{3}k^2 = 0\). 5. Umstellen nach \(k^2\) liefert \(k^2 = 27\), woraus sich der Wert \(k = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\) ergibt. 6. Da die Funktion \(f\) bei \(x = 3\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel besitzt und \(3\sqrt{3} \approx 5{,}20 > 3\) gilt, sind im Intervall \([0; 3\sqrt{3}]\) tatsächlich Flächenanteile auf beiden Seiten der \(x\)-Achse vorhanden.

\(k = 3\sqrt{3}\) (bzw. \(k \approx 5{,}20\))

- Wie lautet die allgemeine Regel für das Integrieren von Potenzfunktionen der Form \(x^n\)? - Was bedeutet die Bedingung \(F(1) = 0\) für die Integrationskonstante? - Erinnere dich daran, dass der Flächeninhalt unter einem Graphen über einem Intervall durch das bestimmte Integral berechnet wird. - Überlege dir, wie du eine Gleichung der Form \(\frac{a}{x^n} = b\) nach \(x\) auflösen kannst.

1. Bestimmung der allgemeinen Stammfunktion durch Integration von \(f(x) = 6x^{-4}\): \(F(x) = \frac{6}{-3}x^{-3} + C = -\frac{2}{x^3} + C\). 2. Einsetzen der Bedingung \(F(1) = 0\): \(-\frac{2}{1^3} + C = 0 \implies -2 + C = 0 \implies C = 2\). Die gesuchte Stammfunktion ist \(F(x) = 2 - \frac{2}{x^3}\). 3. Ansatz für den Flächeninhalt als bestimmtes Integral von \(1\) bis \(k\): \(\int_{1}^{k} \frac{6}{x^4} \, dx = \left[ -\frac{2}{x^3} \right]_{1}^{k} = -\frac{2}{k^3} - \left( -\frac{2}{1^3} \right) = 2 - \frac{2}{k^3}\). 4. Gleichsetzen mit dem gegebenen Flächeninhalt: \(2 - \frac{2}{k^3} = 1{,}75\). 5. Auflösen nach \(k\): \(\frac{2}{k^3} = 0{,}25 = \frac{1}{4} \implies k^3 = 8 \implies k = 2\).

a) \(F(x) = 2 - \frac{2}{x^3}\) b) \(k = 2\)

- Wie hängen Ableitung und Stammfunktion zusammen? - Kannst du die Wurzelausdrücke in Potenzschreibweise mit rationalen Exponenten umschreiben? - Nutze den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, um die Fläche zu berechnen. - Wie kehrt man die Operationen „Quadrieren“ und „Ziehen der dritten Wurzel“ um?

1. Nachweis der Stammfunktion durch Ableiten: \(G(x) = 2x^{\frac{2}{3}} \implies G'(x) = 2 \cdot \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1} = \frac{4}{3}x^{-\frac{1}{3}} = \frac{4}{3\sqrt[3]{x}}\). Da \(G'(x) = g(x)\), ist \(G\) eine Stammfunktion. 2. Berechnung des Flächeninhalts über das Integral: \(\int_{1}^{a} g(x) \, dx = [G(x)]_{1}^{a} = G(a) - G(1) = 2\sqrt[3]{a^2} - 2\sqrt[3]{1^2} = 2\sqrt[3]{a^2} - 2\). 3. Gleichsetzen mit dem Flächeninhalt \(6\): \(2\sqrt[3]{a^2} - 2 = 6\). 4. Auflösen der Gleichung: \(2\sqrt[3]{a^2} = 8 \implies \sqrt[3]{a^2} = 4\). 5. Bestimmung von \(a\): \(a^2 = 4^3 = 64 \implies a = \sqrt{64} = 8\) (da \(a > 1\)).

a) Der Nachweis erfolgt durch \(G'(x) = g(x)\). b) \(a = 8\)

- Beginne damit, eine Stammfunktion für den Term in den Klammern zu finden. - Setze die Integrationsgrenzen in die Stammfunktion ein und achte beim Subtrahieren auf die Vorzeichen. - Fasse den entstandenen Ausdruck so weit wie möglich zusammen. - Welche Art von Gleichung musst du lösen, nachdem du das Integral ausgewertet hast? - Überprüfe am Ende, ob es mehr als eine Lösung für die Variable geben kann.

1. Bestimmung einer Stammfunktion von \(f(x) = 2x - 6\): \(F(x) = x^2 - 6x\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(\int_k^{2k} (2x - 6) \, dx = [x^2 - 6x]_k^{2k} = ((2k)^2 - 6 \cdot (2k)) - (k^2 - 6k) = (4k^2 - 12k) - (k^2 - 6k) = 3k^2 - 6k\). 3. Aufstellen der Gleichung \(3k^2 - 6k = 9\) und Umformung in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(k^2 - 2k - 3 = 0\). 4. Lösung der quadratischen Gleichung (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel): \(k_{1{,}2} = 1 \pm \sqrt{1 + 3} = 1 \pm 2\). Die gesuchten Werte sind \(k_1 = 3\) und \(k_2 = -1\).

\(k_1 = 3\), \(k_2 = -1\)

- Welche Grundstammfunktion ist für den Integranden relevant? - Wie lässt sich die Gleichung nach dem Auswerten des Integrals vereinfachen? - Welche Eigenschaft der Exponentialfunktion hilft danach beim Bestimmen von \(k\)?

1. Eine Stammfunktion von \(e^x-1\) ist \(F(x)=e^x-x\). 2. Damit gilt \(\int_0^k(e^x-1)\,\mathrm{d}x=e^k-k-1\). 3. Gleichsetzen liefert \(e^k-k-1=e^2-k-1\), also \(e^k=e^2\). 4. Daher ist \(k=2\).

\(k=2\)

- Prüfe zuerst das Vorzeichen von \(g\) für \(x>1\), damit Integral und Flächeninhalt übereinstimmen. - Drücke den Flächeninhalt mithilfe einer Stammfunktion als Term in \(b\) aus. - Prüfe einen naheliegenden ganzzahligen Kandidaten für die kubische Gleichung und faktorisiere anschließend vollständig. - Begründe, warum keine weitere reelle Lösung existiert.

1. Für \(x>1\) gilt \(g(x)=3x^2+2x>0\). Daher ist der Flächeninhalt \(A(b)=\int_1^b(3x^2+2x)\,dx\). 2. Eine Stammfunktion ist \(G(x)=x^3+x^2\). Somit gilt \(A(b)=b^3+b^2-2\). 3. Die Bedingung \(A(b)=78\) führt auf \(b^3+b^2-80=0\). 4. Da \(b=4\) eine Nullstelle ist, faktorisiert die Gleichung zu \((b-4)(b^2+5b+20)=0\). 5. Der quadratische Faktor besitzt wegen \(25-80=-55<0\) keine reelle Nullstelle. Daher ist \(b=4\) die einzige reelle und damit die einzige zulässige Lösung.

\(b = 4\)

- Stelle den Integralwert zunächst als Funktion von \(k\) dar. - Welchen Wertebereich kann der Ausdruck \(2-\frac2{k^2}\) für \(k>1\) annehmen? - Prüfe vor dem Lösen einer Gleichung, ob der verlangte Zielwert überhaupt erreichbar ist.

1. Für \(k>1\) ist \(\int_1^k\frac4{x^3}\,\text{d}x=\left[-\frac2{x^2}\right]_1^k=2-\frac2{k^2}\). 2. Da \(\frac2{k^2}>0\) gilt, ist \(2-\frac2{k^2}<2\) für jedes endliche \(k>1\). 3. Der Zielwert \(2{,}1\) ist daher nicht erreichbar. Es gibt keine solche obere Integrationsgrenze.

Es gibt kein \(k>1\) mit \(\int_1^k\frac4{x^3}\,\text{d}x=2{,}1\), denn der Integralwert ist für jedes endliche \(k\) kleiner als \(2\).

- Welche Stammfunktion gehört zum linearen Integranden? - Welche Gleichung für \(k\) erhältst du nach dem Einsetzen der Grenzen? - Welche der algebraischen Lösungen erfüllt \(k>2\)? - Wie unterscheiden sich Flächenbeitrag und geometrischer Flächeninhalt bei einem Vorzeichenwechsel?

1. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=\frac12x^2-3x\). 2. Mit dem Hauptsatz gilt \((\frac12k^2-3k)-(2-6)=7{,}5\). Daraus folgt \(k^2-6k-7=0\). 3. Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind \(k=7\) und \(k=-1\). Wegen \(k>2\) bleibt \(k=7\). 4. Der Integralwert \(7{,}5\) ist die Flächenbilanz auf \([2;7]\): Der negative Flächenbeitrag auf \([2;3]\) und der positive Flächenbeitrag auf \([3;7]\) werden mit ihren Vorzeichen verrechnet.

\(k=7\). Die Flächenbilanz auf \([2;7]\) beträgt \(7{,}5\).

- Bestimme zuerst eine Stammfunktion des Terms in der Klammer. - Wende den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung an, indem du die Grenzen \(x\) und \(1\) einsetzt. - Du erhältst eine Gleichung mit der Unbekannten \(x\). Versuche, diese durch systematisches Probieren oder Umformen zu lösen. - Überlege dir, ob es für die resultierende Gleichung eventuell mehr als eine Lösung im reellen Bereich geben kann.

1. Bestimmung einer Stammfunktion von \(f(t) = 3t^2 - 1\): \(F(t) = t^3 - t\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(\int_1^x (3t^2 - 1) \, dt = [t^3 - t]_1^x = (x^3 - x) - (1^3 - 1) = x^3 - x\). 3. Aufstellen der Gleichung: \(x^3 - x = 6\). 4. Umformen zur Normalform: \(x^3 - x - 6 = 0\). 5. Bestimmung der Nullstellen: Durch Probieren findet man die Lösung \(x = 2\), da \(2^3 - 2 - 6 = 8 - 2 - 6 = 0\). 6. Überprüfung weiterer Lösungen: Division des Polynoms durch \((x - 2)\) ergibt \(x^2 + 2x + 3\). Da die Diskriminante \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = -8\) negativ ist, gibt es keine weiteren reellen Lösungen.

\(x = 2\)

- Überlege dir zuerst, wie groß die gesamte Fläche unter der Kurve im gegebenen Intervall ist. - Wie viel Prozent der Gesamtfläche entfallen auf das linke Teilstück, wenn das Verhältnis \(1 : 3\) ist? - Stelle ein Integral mit einer unbekannten oberen Grenze auf, das diesen Teilflächeninhalt repräsentiert. - Erinnere dich an die Stammfunktion der natürlichen Exponentialfunktion.

1. Berechnung des gesamten Flächeninhalts \(A\) im Intervall \([0; \ln(9)]\): \(A = \int_{0}^{\ln(9)} e^x \, dx = [e^x]_{0}^{\ln(9)} = e^{\ln(9)} - e^0 = 9 - 1 = 8\). 2. Bestimmung des Inhalts der linken Teilfläche \(A_1\) basierend auf dem Teilungsverhältnis \(1 : 3\): \(A_1 = \frac{1}{1+3} \cdot A = \frac{1}{4} \cdot 8 = 2\). 3. Ansatz für die gesuchte Stelle \(k\): \(\int_{0}^{k} e^x \, dx = 2\). 4. Integration und Auflösen nach \(k\): \([e^x]_{0}^{k} = e^k - 1 = 2 \implies e^k = 3 \implies k = \ln(3)\). 5. Die Gleichung der gesuchten Geraden lautet \(x = \ln(3)\).

\(x = \ln(3)\)

- Bestimme zunächst den Flächeninhalt der gesamten Fläche durch Integration über das gesamte Intervall. - Ein Verhältnis von \(2 : 1\) bedeutet, dass der linke Teil zwei Drittel der Gesamtfläche ausmacht. - Verwende die Potenzregel für die Integration, um die Fläche in Abhängigkeit von \(k\) auszudrücken. - Löse die resultierende Gleichung nach der gesuchten Grenze \(k\) auf.

1. Berechnung des Gesamtflächeninhalts \(A\) im Intervall \([1; 4]\): \(A = \int_{1}^{4} x^{-2} \, dx = [-\frac{1}{x}]_{1}^{4} = -\frac{1}{4} - (-1) = \frac{3}{4}\). 2. Bestimmung des Inhalts der linken Teilfläche \(A_1\) durch das Verhältnis \(2 : 1\): \(A_1 = \frac{2}{3} \cdot A = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{2}\). 3. Aufstellen der Integralgleichung für die Grenze \(k\): \(\int_{1}^{k} x^{-2} \, dx = \frac{1}{2}\). 4. Berechnung des Integrals: \([-\frac{1}{x}]_{1}^{k} = -\frac{1}{k} - (-1) = 1 - \frac{1}{k}\). 5. Gleichsetzen und Lösen nach \(k\): \(1 - \frac{1}{k} = \frac{1}{2} \implies \frac{1}{k} = \frac{1}{2} \implies k = 2\).

\(k = 2\)

- Bestimme zuerst die Differenz der beiden Funktionsterme. - Wie groß ist die gesamte Fläche zwischen den Graphen auf \([0;2]\)? - Wie kannst du den Flächeninhalt links von \(x=k\) in Abhängigkeit von \(k\) ausdrücken?

1. Zwischen den Graphen gilt \(f(x)-g(x)=x^2\). Der gesamte Flächeninhalt ist \(A=\int_0^2x^2\,\mathrm{d}x=\frac{8}{3}\). 2. Jede Teilfläche hat daher den Inhalt \(\frac{4}{3}\). 3. Für die linke Teilfläche gilt \(\int_0^k x^2\,\mathrm{d}x=\frac{1}{3}k^3\). 4. Aus \(\frac{1}{3}k^3=\frac{4}{3}\) folgt \(k^3=4\) und damit \(k=\sqrt[3]{4}\).

\(k=\sqrt[3]{4}\)

- Wie ist eine Integralfunktion allgemein definiert? - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Graph durch einen bestimmten Punkt verläuft? - Erinnere dich daran, wie man das bestimmte Integral mit einer variablen unteren Grenze berechnet. - Wenn du eine Gleichung dritten Grades lösen musst, hilft oft das Finden einer ersten Lösung durch Probieren von ganzzahligen Werten.

1. Aufstellen des Funktionsterms der Integralfunktion: \(I_a(x) = \int_a^x (3t^2 - 6t) \, dt = [t^3 - 3t^2]_a^x = (x^3 - 3x^2) - (a^3 - 3a^2)\). 2. Einsetzen des Punktes \(P(3 \mid 4)\) in die Funktionsgleichung: \(I_a(3) = (3^3 - 3 \cdot 3^2) - (a^3 - 3a^2) = 4\). 3. Vereinfachen des Ausdrucks: \(0 - (a^3 - 3a^2) = 4\), woraus \(-a^3 + 3a^2 = 4\) bzw. \(a^3 - 3a^2 + 4 = 0\) folgt. 4. Lösen der kubischen Gleichung: Durch systematisches Probieren findet man die Nullstelle \(a_1 = -1\). Eine Polynomdivision oder das Horner-Schema liefert \((a+1)(a^2 - 4a + 4) = 0\). 5. Bestimmen der weiteren Nullstellen: Der quadratische Term \((a-2)^2 = 0\) ergibt die doppelte Lösung \(a_2 = 2\). Die gesuchten Werte sind \(a = -1\) und \(a = 2\).

\(a_1 = -1\) und \(a_2 = 2\)

- Bestimme zuerst die Stammfunktion für den gesamten Ausdruck in der Klammer. - Vergiss beim Einsetzen der unteren Grenze \(0\) nicht, dass \(e^0\) einen bestimmten Wert hat. - Manchmal lässt sich eine Gleichung durch genaues Hinsehen lösen, wenn beide Seiten den gleichen Aufbau haben.

1. Bestimmung einer Stammfunktion von \(f(x) = e^x + 1\): Es gilt \(F(x) = e^x + x\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(\int_0^k (e^x + 1) \, dx = [e^x + x]_0^k = (e^k + k) - (e^0 + 0) = e^k + k - 1\). 3. Aufstellen der Gleichung mit dem gegebenen Integralwert: \(e^k + k - 1 = e^3 + 2\). 4. Vereinfachen der Gleichung durch Addition von \(1\) auf beiden Seiten: \(e^k + k = e^3 + 3\). 5. Durch Einsetzen erkennt man \(k = 3\) als Lösung. Da die Funktion \(k \mapsto e^k + k\) streng monoton steigend ist, ist diese Lösung eindeutig.

\(k = 3\)

- Überlege dir, wie sich die Flächen oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse im bestimmten Integral widerspiegeln. - Welchen Wert muss das Integral über das gesamte Intervall \([1; k]\) annehmen, wenn die beiden Flächeninhalte genau gleich groß sein sollen? - Bestimme zuerst eine Stammfunktion \(F(x)\) der Funktion \(f(x)\). - Setze die Grenzen in das Integral ein und stelle eine Gleichung für \(k\) auf. - Nutze die Tatsache, dass \(k = 1\) eine offensichtliche Lösung der Gleichung ist, um die Gleichung durch Polynomdivision oder Faktorisieren zu vereinfachen.

1. Gleich große Flächen oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse bedeuten eine Flächenbilanz von null: \(\int_1^k(3x^2-12x+9)\,\mathrm{d}x=0\). 2. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=x^3-6x^2+9x\). 3. Einsetzen der Grenzen ergibt \((k^3-6k^2+9k)-4=0\), also \(k^3-6k^2+9k-4=0\). 4. Faktorisieren liefert \((k-1)(k^2-5k+4)=(k-1)^2(k-4)=0\). 5. Wegen \(k>1\) ist \(k=4\).

\(k = 4\)

- Überlege dir, was die Bedingung „Flächeninhalte oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse sind gleich groß“ für den Wert des Integrals bedeutet. - Denke an die Bilanzierung von Flächen beim Integrieren. - Bestimme zuerst eine Stammfunktion für den Funktionsterm. - Setze die Grenzen in die Stammfunktion ein und löse die entstandene Gleichung nach \(k\) auf.

Damit die Flächeninhalte oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse gleich groß sind, muss das bestimmte Integral der Funktion über dem Intervall \([0; k]\) den Wert Null ergeben: \(\int_{0}^{k} f(x) \, dx = 0\). a) Für \(f(x) = x^2 - 1\): 1. Stammfunktion bilden: \(F(x) = \frac{1}{3}x^3 - x\). 2. Integral berechnen: \(\left[ \frac{1}{3}x^3 - x \right]_{0}^{k} = \frac{1}{3}k^3 - k = 0\). 3. Gleichung lösen: \(k \cdot (\frac{1}{3}k^2 - 1) = 0\). Da \(k > 0\), folgt \(\frac{1}{3}k^2 = 1\), also \(k^2 = 3\) und somit \(k = \sqrt{3} \approx 1{,}732\). b) Für \(f(x) = 0{,}1x^3 - 0{,}8\): 1. Stammfunktion bilden: \(F(x) = 0{,}025x^4 - 0{,}8x\). 2. Integral berechnen: \(\left[ 0{,}025x^4 - 0{,}8x \right]_{0}^{k} = 0{,}025k^4 - 0{,}8k = 0\). 3. Gleichung lösen: \(k \cdot (0{,}025k^3 - 0{,}8) = 0\). Da \(k > 0\), folgt \(0{,}025k^3 = 0{,}8\), also \(k^3 = \frac{0{,}8}{0{,}025} = 32\). Somit ist \(k = \sqrt[3]{32} = 2\sqrt[3]{4} \approx 3{,}175\).

a) \(k = \sqrt{3} \approx 1{,}732\) b) \(k = \sqrt[3]{32} \approx 3{,}175\)

- Berechne zunächst die Inhalte der drei Dreiecksflächen aus der Abbildung. - Verfolge die Flächenbilanz von links nach rechts: positive Flächen erhöhen sie, negative Flächen verringern sie. - Frage dich, an welchen Stellen die laufende Bilanz genau den Wert \(2\) erreicht.

1. Auf \([0;2]\) liegt ein Dreieck oberhalb der \(x\)-Achse mit Grundseite \(2\) und Höhe \(2\). Sein Flächeninhalt ist \(2\). Daher ist \(b=2\) eine Lösung. 2. Auf \([2;4]\) liegt ein gleich großes Dreieck unterhalb der \(x\)-Achse. Die Flächenbilanz fällt deshalb von \(2\) wieder auf \(0\). 3. Auf \([4;6]\) wächst die Flächenbilanz durch das dritte Dreieck wieder von \(0\) auf \(2\). Daher ist auch \(b=6\) eine Lösung. 4. Innerhalb des ersten Dreiecks wächst die Bilanz streng von \(0\) auf \(2\), innerhalb des zweiten fällt sie streng von \(2\) auf \(0\), und innerhalb des dritten wächst sie streng von \(0\) auf \(2\). Somit gibt es keine weiteren Stellen mit Bilanz \(2\).

\(b=2\) und \(b=6\)

- Welche Beziehung besteht zwischen Integralen mit demselben Integranden, wenn du sie an einer festen Zwischenstelle zerlegst? - Welche zwei Funktionswerte von \(J\) müssen in deiner Umformung vorkommen? - Welche Information kannst du anschließend direkt aus dem Graphen ablesen?

1. Es gilt \(\int_b^5 f(t)\,dt=J(5)-J(b)\). 2. Aus der Abbildung liest man \(J(5)=9\). Daher folgt \(J(b)=1\). 3. Den Funktionswert \(1\) nimmt der dargestellte Graph bei \(b=1\) und \(b=3\) an. 4. Somit sind genau \(b=1\) und \(b=3\) Lösungen.

\(b=1\) oder \(b=3\)

- Welche Gleichung für den Wert einer Stammfunktion an \(k\) ergibt sich aus dem bestimmten Integral? - Welche besondere Struktur hat die entstehende Gleichung in den Potenzen von \(k\)? - Welche Bedingungen müssen mögliche algebraische Lösungen zusätzlich erfüllen? - Wie verändert sich ein bestimmtes Integral, wenn die obere Grenze links von der unteren Grenze liegt?

1. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=\frac14x^4-\frac32x^2\), und \(F(-2)=-2\). 2. Aus \(F(k)-F(-2)=0{,}75\) folgt \(k^4-6k^2+5=0\). 3. Mit \(u=k^2\) erhält man \(u^2-6u+5=0\), also \(u=1\) oder \(u=5\). 4. Damit ist \(k\in\{-\sqrt5,-1,1,\sqrt5\}\). 5. Das Integral beschreibt die Flächenbilanz von der festen Grenze \(-2\) zur variablen Grenze \(k\). Liegt \(k<-2\), ist die Integrationsrichtung umgekehrt; dieses Vorzeichen ist bereits im bestimmten Integral enthalten.

\(k\in\{-\sqrt5,-1,1,\sqrt5\}\). Für \(k<-2\) wird die Flächenbilanz wegen der umgekehrten Integrationsrichtung von \(-2\) nach \(k\) mit entsprechendem Vorzeichen erfasst.