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- Welche Kennzahl bestimmt bei einer Normalverteilung die horizontale Lage der Glockenkurve? - Welche Kennzahl beschreibt, wie breit oder schmal die Glockenkurve ist?

1. Der Erwartungswert \(\mu=72\) ist das Zentrum der Normalverteilung; dort liegt auch der Hochpunkt der Dichte. 2. Die Standardabweichung \(\sigma=5\) beschreibt die Streuung um dieses Zentrum; die Wendestellen der Dichte liegen bei \(72-5=67\) und \(72+5=77\).

\(\mu=72\): Zentrum bzw. Erwartungswert der Verteilung. \(\sigma=5\): Maß für die Streuung; die Wendestellen liegen jeweils \(5\) Einheiten vom Zentrum entfernt.

- Wo liegt der Erwartungswert bei einer Normaldichte im Graphen? - Wie verändert sich die Glockenkurve, wenn die Streuung größer wird?

1. Beide Kurven haben ihren Hochpunkt bei \(x=50\). Daher ist für beide \(\mu=50\). 2. Die Kurve \(f_B\) ist breiter und flacher als \(f_A\). Eine größere Standardabweichung erzeugt bei gleichem Erwartungswert genau diese Form. 3. Daher hat \(f_B\) die größere Standardabweichung.

a) \(\mu=50\) b) \(f_B\) hat die größere Standardabweichung, weil die Kurve breiter und flacher ist.

- Welcher Parameter verschiebt die Kurve entlang der \(x\)-Achse? - Wie wirkt sich eine Verdoppelung der Standardabweichung auf die maximale Höhe der Kurve aus? - Vergleiche die Graphen, die die gleiche Form, aber eine unterschiedliche Lage haben. - Vergleiche die Graphen, die dieselbe Symmetrieachse, aber eine unterschiedliche Streuung haben.

1. Vergleich der Lage (\(\mu\)): Die Graphen \(a\) (rot) und \(b\) (blau) sind symmetrisch zur \(y\)-Achse (\(x = 0\)). Daher kommen für sie nur die Verteilungen (I) und (II) infrage. Graph \(c\) (grün) ist symmetrisch zu \(x = 3\), was der Verteilung (III) entspricht. 2. Vergleich der Form (\(\sigma\)): Die Standardabweichung \(\sigma\) bestimmt die Breite und Höhe. Ein größeres \(\sigma\) führt zu einer flacheren und breiteren Kurve. 3. Zuordnung (I): \(\mu = 0\) und \(\sigma = 1\). Dies passt zu Graph \(a\), da er bei \(x = 0\) zentriert ist und eine höhere Spitze (\(y \approx 0{,}4\)) hat als Graph \(b\). 4. Zuordnung (II): \(\mu = 0\) und \(\sigma = 2\). Dies passt zu Graph \(b\), da er bei \(x = 0\) zentriert, aber flacher (\(y \approx 0{,}2\)) und breiter ist als Graph \(a\). 5. Zuordnung (III): \(\mu = 3\) und \(\sigma = 1\). Dies passt zu Graph \(c\), da das Maximum bei \(x = 3\) liegt und die Form (Höhe \(\approx 0{,}4\)) identisch mit der von Graph \(a\) ist.

Zuordnung: (I) gehört zu Graph \(a\) (rot), da \(\mu = 0\) und die Kurve schmaler ist als bei \(b\). (II) gehört zu Graph \(b\) (blau), da \(\mu = 0\) und die Kurve wegen des größeren \(\sigma\) flacher und breiter ist. (III) gehört zu Graph \(c\) (grün), da die Kurve zu \(x = 3\) symmetrisch ist.

- Setze \(\mu\) und \(\sigma\) zuerst in die beiden Formeln für die Wendestellen ein. - Welche Vereinfachung entsteht im Exponenten, wenn \(x=\mu\pm\sigma\) gilt? - Warum müssen beide Wendepunkte dieselbe Höhe besitzen? - Welchen horizontalen Abstand haben die Wendepunkte im Graphen vom Hochpunkt?

1. Die Wendestellen sind \(x_1=\mu-\sigma=-3\) und \(x_2=\mu+\sigma=-1\). 2. Wegen der Symmetrie haben beide Wendepunkte dieselbe Höhe. Für \(x=\mu+\sigma\) gilt \(\varphi_{-2;1}(-1)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{2\pi e}}\approx0{,}242\). 3. Damit sind \(W_1\left(-3\mid\frac{1}{\sqrt{2\pi e}}\right)\) und \(W_2\left(-1\mid\frac{1}{\sqrt{2\pi e}}\right)\). Im Graphen liegen beide Wendepunkte symmetrisch im Abstand \(\sigma=1\) links und rechts des Hochpunkts bei \(x=-2\).

\(W_1\left(-3\mid\frac{1}{\sqrt{2\pi e}}\right)\) und \(W_2\left(-1\mid\frac{1}{\sqrt{2\pi e}}\right)\), mit gemeinsamer \(y\)-Koordinate \(\approx0{,}242\).

- Wo befindet sich bei einer Glockenkurve immer der Erwartungswert \(\mu\)? - Woran erkennt man im Graphen die Wendepunkte, an denen die Kurve von einer Linkskurve in eine Rechtskurve (oder umgekehrt) übergeht? - Welcher geometrische Abstand im Graphen entspricht genau der Standardabweichung \(\sigma\)? - Was passiert mit dem Term im Exponenten der Formel, wenn du \(x = \mu\) einsetzt?

1. Bestimmung der Parameter \(\mu\): Der Erwartungswert entspricht der \(x\)-Koordinate des Maximums. Für den Graphen \(f\) ergibt sich \(\mu_f = 0\), für den Graphen \(g\) ist \(\mu_g = 3\). 2. Bestimmung der Parameter \(\sigma\): Die Standardabweichung entspricht dem horizontalen Abstand zwischen dem Erwartungswert \(\mu\) und den Wendestellen der Kurve. Bei \(f\) liegen die Wendepunkte bei \(x = \pm 1\), also ist \(\sigma_f = 1\). Bei \(g\) liegen sie bei \(x = 1\) und \(x = 5\), also ist \(\sigma_g = 5 - 3 = 2\). 3. Berechnung der maximalen Höhen: Für \(f\): \(\phi_{0; 1}(0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot e^0 = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \approx 0{,}40\). Für \(g\): \(\phi_{3; 2}(3) = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2\pi}} \cdot e^0 = \frac{1}{2\sqrt{2\pi}} \approx 0{,}20\). 4. Vergleich: Die berechneten Werte \(\approx 0{,}40\) und \(\approx 0{,}20\) stimmen mit den Hochpunkten der Graphen in der Abbildung überein.

a) Funktion \(f\): \(\mu = 0\), \(\sigma = 1\) Funktion \(g\): \(\mu = 3\), \(\sigma = 2\) b) \(f(0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \approx 0{,}40\) \(g(3) = \frac{1}{2\sqrt{2\pi}} \approx 0{,}20\)

- Schau dir die Symmetrieachse des Graphen an, um \(\mu\) zu finden. - Betrachte die Stellen, an denen die Kurve am steilsten nach oben bzw. unten verläuft. Das sind die Wendestellen. - Wie weit sind diese Wendestellen vom Zentrum \(\mu\) entfernt? - Für die Berechnung in Teil b) kannst du den Maximalwert der Funktion direkt aus dem Graphen ablesen oder berechnen.

1. Ermittlung von \(\mu\): Das Maximum des Graphen liegt bei \(x = -1\), daher ist \(\mu = -1\). 2. Ermittlung von \(\sigma\): Die Wendestellen liegen an den Punkten, an denen die Krümmung wechselt, hier bei \(x = -2{,}5\) und \(x = 0{,}5\). Der Abstand zum Erwartungswert beträgt \(\sigma = |-1 - (-2{,}5)| = 1{,}5\). 3. Berechnung der maximalen Höhe: \(\phi_{-1; 1{,}5}(-1) = \frac{1}{1{,}5\sqrt{2\pi}} \approx 0{,}266\). 4. Berechnung der Wendepunkthöhe: \(y_W \approx 0{,}266 \cdot e^{-0{,}5} \approx 0{,}266 \cdot 0{,}6065 \approx 0{,}161\). 5. Plausibilitätsprüfung: In der Zeichnung liegt der Graph bei \(x = 0{,}5\) tatsächlich etwas über der Markierung für \(0{,}15\), was mit dem Ergebnis \(\approx 0{,}16\) übereinstimmt.

a) \(\mu = -1\) und \(\sigma = 1{,}5\). b) Die \(y\)-Koordinate der Wendepunkte ist \(y_W \approx 0{,}16\). Dies passt zur Abbildung, da der Funktionswert bei \(x = 0{,}5\) bzw. \(x = -2{,}5\) knapp über \(0{,}15\) liegt.

- Forme den quadratischen Ausdruck im Exponenten zu einem vollständigen Quadrat um. - Vergleiche anschließend Exponent und Vorfaktor mit der allgemeinen Normaldichte. - Welche Werte von \(\mu\) und \(\sigma\) ergeben dieselben Terme?

1. Im Exponenten gilt \(-0{,}5x^2+4x-8=-0{,}5(x^2-8x+16)=-0{,}5(x-4)^2\). 2. Damit ist \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-4)^2}{2}}\). Der Vergleich mit \(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\) liefert \(\mu=4\) und \(\sigma=1\). 3. Auch der Vorfaktor \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\) stimmt für \(\sigma=1\) mit der Normaldichte überein.

\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-4)^2}{2}}\). Daher gilt \(\mu=4\) und \(\sigma=1\).

- Wo liegt die Symmetrieachse der Glockenkurve? - Erinnere dich daran, an welchen Stellen im Verhältnis zum Mittelwert die Krümmung des Graphen ihr Vorzeichen wechselt. - Überlege dir, wie Wahrscheinlichkeiten bei Dichtefunktionen grafisch dargestellt werden (Flächeninhalt).

1. Der Erwartungswert \(\mu\) entspricht der x-Koordinate des Maximums der Glockenkurve. Aus dem Graphen lässt sich \(\mu = 4\) ablesen. 2. Die Wendestellen einer Normalverteilung liegen bei \(\mu - \sigma\) und \(\mu + \sigma\). Im Graphen sind diese bei \(x = 2{,}5\) und \(x = 5{,}5\) erkennbar. Der Abstand zum Erwartungswert beträgt \(4 - 2{,}5 = 1{,}5\), also ist \(\sigma = 1{,}5\). 3. Da es sich um eine stetige Zufallsgröße handelt, ist die Wahrscheinlichkeit für jeden einzelnen Punktwert gleich null: \(P(X = 4) = 0\). Grafisch entspricht dies einer „Fläche“ mit der Breite null.

a) \(\mu = 4\) b) \(\sigma = 1{,}5\) c) \(P(X = 4) = 0\), da die Fläche unter einem einzelnen Punkt bei einer stetigen Verteilung null ist.

- Vergleiche die x-Koordinaten der Maxima. - Wie verändert sich die Kurve, wenn sie „flacher“ wird? Was muss dann mit der Streuung passieren? - Erinnere dich an die Formel für den Maximalwert der Dichtefunktion oder nutze die Eigenschaft der Flächenkonstanz.

1. Der Hochpunkt des gestrichelten Graphen liegt bei \(x = 30\), also ist \(\mu_Y = 30\). Da der Hochpunkt von \(Y\) halb so hoch ist wie der von \(X\) (ca. \(0{,}04\) statt \(0{,}08\)) und der Graph doppelt so breit erscheint, muss die Standardabweichung doppelt so groß sein: \(\sigma_Y = 2 \cdot 5 = 10\). 2. Eine Erhöhung des Erwartungswerts \(\mu\) verschiebt den Graphen entlang der x-Achse nach rechts, ohne seine Form zu verändern. 3. Die maximale Höhe der Dichtefunktion ist gegeben durch \(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\). Eine größere Standardabweichung \(\sigma\) führt also zu einem niedrigeren (und breiteren) Graphen, da das Produkt aus Höhe und „Breite“ (Fläche) konstant \(1\) bleiben muss.

a) \(\mu_Y = 30\); \(\sigma_Y = 10\) b) Der Graph wird parallel zur x-Achse verschoben. c) Je größer die Standardabweichung, desto niedriger ist das Maximum des Graphen.

- Wo liegt bei einer Normalverteilung das Maximum der Kurve? - Vergleiche die Form der beiden Kurven: Sind sie unterschiedlich breit oder hoch? - Wenn eine Funktion nur verschoben wird, ändern sich dann ihre Streuungsmaße?

1. Bestimmung der Erwartungswerte: Der Erwartungswert \(\mu\) entspricht der x-Koordinate des Maximums (Symmetrieachse). Aus der Abbildung liest man ab: \(\mu_1 = 3\) und \(\mu_2 = 7\). 2. Analyse der Transformation: Der Graph von \(f_2\) ist gegenüber dem Graphen von \(f_1\) lediglich um \(4\) Einheiten nach rechts verschoben. Form und Höhe der Kurven sind identisch. 3. Schlussfolgerung für die Standardabweichung: Da die Form der Glockenkurven (Breite und Höhe) identisch ist, müssen auch die Standardabweichungen gleich groß sein, also \(\sigma_1 = \sigma_2\).

a) \(\mu_1 = 3\) und \(\mu_2 = 7\). b) Der Graph von \(f_2\) entsteht durch eine Verschiebung von \(f_1\) um \(4\) Einheiten in positive x-Richtung. Da die Form unverändert bleibt, gilt \(\sigma_1 = \sigma_2\).

- Überprüfe für den Nachweis der Dichte sowohl die Nichtnegativität als auch das Normierungsintegral. - Was bedeutet „länger als zwei Jahre“ für die Grenzen deines Integrals? - Kannst du den Erwartungswert intuitiv prüfen? Liegt er sinnvoll innerhalb des Intervalls \([0; 3]\)?

1. Nachweis der Dichteeigenschaften: Für \(t \in [0; 3]\) ist \(t^2 \geq 0\) und \((3-t) \geq 0\), somit ist \(g(t) \geq 0\) für \(k = \frac{4}{27} > 0\). Das Integral über den Bereich ist \(\int_{0}^{3} \frac{4}{27}(3t^2 - t^3) \, dt = \frac{4}{27} [t^3 - \frac{1}{4}t^4]_0^3 = \frac{4}{27} (27 - \frac{81}{4}) = \frac{4}{27} \cdot \frac{27}{4} = 1\). Damit sind beide Bedingungen erfüllt. 2. Erwartungswert \(E(T)\): \(E(T) = \int_{0}^{3} t \cdot g(t) \, dt = \frac{4}{27} \int_{0}^{3} (3t^3 - t^4) \, dt = \frac{4}{27} [\frac{3}{4}t^4 - \frac{1}{5}t^5]_0^3 = \frac{4}{27} (\frac{243}{4} - \frac{243}{5}) = \frac{4}{27} \cdot 243 \cdot (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) = 36 \cdot \frac{1}{20} = 1{,}8\). Der Erwartungswert beträgt \(1{,}8\) Jahre. 3. Wahrscheinlichkeit \(P(T > 2)\): Es wird das Integral von \(2\) bis \(3\) berechnet: \(\int_{2}^{3} \frac{4}{27}(3t^2 - t^3) \, dt = \frac{4}{27} [t^3 - \frac{1}{4}t^4]_2^3 = \frac{4}{27} ((27 - 20{,}25) - (8 - 4)) = \frac{4}{27} (6{,}75 - 4) = \frac{4}{27} \cdot 2{,}75 = \frac{4}{27} \cdot \frac{11}{4} = \frac{11}{27} \approx 0{,}4074\).

a) Nachweis durch \(g(t) \geq 0\) und \(\int_{0}^{3} g(t) \, dt = 1\). b) \(E(T) = 1{,}8\,\text{Jahre}\) c) \(P(T > 2) = \frac{11}{27} \approx 40{,}74\,\%\)

- Was gibt der Erwartungswert über die Lage der Glockenkurve an? - Erinnere dich an die Sigma-Regeln für bestimmte Wahrscheinlichkeitsbereiche. - An welchen markanten Stellen im Abstand zur Mitte ändert die Glockenkurve ihre Krümmung?

1. Der Parameter \(\mu = 250\) stellt den Erwartungswert der Verteilung dar. Er gibt den durchschnittlichen Wirkstoffgehalt der Tabletten an und markiert das Zentrum der symmetrischen Verteilung. 2. Nach der \(2\sigma\)-Regel liegen bei einer Normalverteilung ca. \(95{,}4\,\%\) der Werte im Intervall \([\mu - 2\sigma; \mu + 2\sigma]\). Mit \(\mu = 250\) und \(\sigma = 3\) ergibt sich: \(250 - 2 \cdot 3 = 244\) und \(250 + 2 \cdot 3 = 256\). Das Intervall lautet somit \([244; 256]\) in \(\text{mg}\). 3. Die Wendepunkte einer Normalverteilung befinden sich an den Stellen \(x_1 = \mu - \sigma\) und \(x_2 = \mu + \sigma\). Hier gilt: \(x_1 = 250 - 3 = 247\) und \(x_2 = 250 + 3 = 253\).

1. Der Wert \(\mu = 250\,\text{mg}\) ist der Erwartungswert (Mittelwert) der Produktion. 2. Der Gehalt liegt für ca. \(95{,}4\,\%\) der Tabletten im Bereich zwischen \(244\,\text{mg}\) und \(256\,\text{mg}\). 3. Die Wendepunkte liegen bei \(x = 247\) und \(x = 253\).

- Was ist der Unterschied zwischen diskreten und stetigen Zufallsgrößen bei der Berechnung von Punktwahrscheinlichkeiten? - Nutze die Symmetrieeigenschaften der Normalverteilung bezüglich ihres Mittelwerts. - Überlege, wie die Standardabweichung die „Breite“ der Verteilung beeinflusst und was das für die Höhe der Kurve bedeutet.

1. Die Normalverteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Bei stetigen Zufallsgrößen ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines exakten Punktwertes \(P(X = k)\) immer gleich \(0\), da die Fläche unter der Dichtefunktion über einem einzelnen Punkt null ist. 2. Da \(3\,\text{Stunden} = 180\,\text{Minuten}\) genau dem Erwartungswert \(\mu\) entsprechen und die Normalverteilung symmetrisch zu \(\mu\) ist, liegen genau \(50\,\%\) der Werte oberhalb dieses Wertes. 3. Eine Verringerung der Standardabweichung \(\sigma\) führt dazu, dass die Werte enger um den Erwartungswert konzentriert sind. Die Glockenkurve wird schmaler (geringere Streuung) und gleichzeitig steiler bzw. höher im Maximum, da die Gesamtfläche unter der Kurve stets \(1\) betragen muss.

1. Bei stetigen Verteilungen ist die Wahrscheinlichkeit für Einzelwerte immer \(0\). 2. Genau \(50\,\%\) der Nutzer nutzen das Smartphone länger als \(3\) Stunden. 3. Die Glockenkurve wird schmaler und das Maximum wird höher.

- Wo liegt bei der gaußschen Glockenkurve immer der höchste Punkt? - Wie hängen der maximale Funktionswert und die Parameter der Normalverteilung zusammen? - Betrachte den Abstand der Intervallgrenzen zum Erwartungswert im Vergleich zur Standardabweichung.

1. Der Hochpunkt der Dichtefunktion \(\varphi_{\mu; \sigma}(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\) liegt stets bei \((\mu \mid \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}})\). Aus der Aufgabenstellung folgt direkt \(\mu = 4\). Für die Standardabweichung gilt \(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} = \frac{1}{\sqrt{18\pi}}\). Durch Quadrieren beider Seiten ergibt sich \(\frac{1}{2\pi\sigma^2} = \frac{1}{18\pi}\), woraus \(2\sigma^2 = 18\) und somit \(\sigma^2 = 9\) bzw. \(\sigma = 3\) folgt. 2. Gesucht ist \(P(1 \le X \le 7)\). Da \(\mu = 4\) und \(\sigma = 3\), lässt sich das Intervall als \([\mu - \sigma; \mu + \sigma]\) schreiben: \([4 - 3; 4 + 3] = [1; 7]\). Nach der bekannten \(\sigma\)-Regel für die Normalverteilung beträgt die Wahrscheinlichkeit für dieses Intervall etwa \(68{,}3\,\%\). Mit der Standardnormalverteilung berechnet man \(\Phi(1) - \Phi(-1) = 2 \cdot \Phi(1) - 1 \approx 2 \cdot 0{,}8413 - 1 = 0{,}6826\).

1. \(\mu = 4\), \(\sigma = 3\) 2. \(P(1 \le X \le 7) \approx 0{,}683\) (bzw. \(68{,}3\,\%\))

- Denke an den Zusammenhang zwischen der Symmetrieachse der gaußschen Glockenkurve und dem Erwartungswert \(\mu\). Wo liegt jeweils das Maximum? - Wie hängt die Höhe des Maximums mit der Standardabweichung \(\sigma\) zusammen? Die Formel für den maximalen Funktionswert lautet \(f(\mu) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\). - Alternativ kannst du die Wendepunkte der Kurve betrachten. Welchen Abstand haben diese Wendepunkte auf der \(x\)-Achse von der Symmetrieachse?

1. **Graph \(f\) (rot):** - **Erwartungswert \(\mu_1\):** Die Dichtefunktion ist symmetrisch zur Geraden \(x = \mu_1\). Der Hochpunkt liegt bei \(x = -1\). Somit gilt: \(\mu_1 = -1\) - **Standardabweichung \(\sigma_1\):** Der maximale Funktionswert beträgt am Hochpunkt etwa \(0{,}8\). Da das Maximum der Dichtefunktion durch \(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\) gegeben ist, gilt: \(\frac{1}{\sigma_1\sqrt{2\pi}} \approx 0{,}8 \implies \sigma_1 \approx \frac{1}{0{,}8\sqrt{2\pi}} \approx 0{,}5\) *Alternativ über die Wendepunkte:* Die Wendepunkte einer normalverteilten Dichtefunktion liegen im Abstand \(\sigma\) von der Symmetrieachse entfernt, also bei \(x = \mu \pm \sigma\). Im Graphen \(f\) liegen die Wendepunkte bei \(x = -1{,}5\) und \(x = -0{,}5\). Der Abstand zur Symmetrieachse \(x = -1\) beträgt somit \(\sigma_1 = 0{,}5\). 2. **Graph \(g\) (blau):** - **Erwartungswert \(\mu_2\):** Der Hochpunkt liegt bei \(x = 2\). Somit gilt: \(\mu_2 = 2\) - **Standardabweichung \(\sigma_2\):** Der maximale Funktionswert beträgt am Hochpunkt etwa \(0{,}4\). Damit gilt: \(\frac{1}{\sigma_2\sqrt{2\pi}} \approx 0{,}4 \implies \sigma_2 \approx \frac{1}{0{,}4\sqrt{2\pi}} \approx 1{,}0\) *Alternativ über die Wendepunkte:* Die Wendepunkte liegen bei \(x = 1\) und \(x = 3\). Der Abstand zur Symmetrieachse \(x = 2\) beträgt somit \(\sigma_2 = 1{,}0\).

Graph \(f\) (rot): \(\mu_1 = -1\) und \(\sigma_1 = 0{,}5\) Graph \(g\) (blau): \(\mu_2 = 2\) und \(\sigma_2 = 1{,}0\)

- Überlege zuerst, an welcher charakteristischen Stelle einer gaußschen Glockenkurve der Erwartungswert \(\mu\) abgelesen werden kann. - Welche geometrische Bedeutung haben die Wendepunkte einer Glockenkurve im Verhältnis zum Erwartungswert? - Wie lautet die allgemeine Gleichung für die Dichtefunktion der Normalverteilung? Was passiert mit dem Funktionsterm, wenn du \(x = \mu\) einsetzt? - Bedenke, dass die Gesamtfläche unter jeder Dichtefunktion immer \(1\) sein muss. Was bedeutet das für die Höhe, wenn die Kurve breiter wird?

1. Bestimmung der Parameter: - Der Erwartungswert \(\mu\) entspricht der x-Koordinate des Maximums (Symmetrieachse der Glockenkurve). - Für \(g_1\) (blau) liegt das Maximum bei \(x = -2\), also ist \(\mu_1 = -2\). - Für \(g_2\) (grün) liegt das Maximum bei \(x = 3\), also ist \(\mu_2 = 3\). - Für \(g_3\) (rot) liegt das Maximum bei \(x = 0\), also ist \(\mu_3 = 0\). - Die Standardabweichung \(\sigma\) entspricht dem horizontalen Abstand der Wendepunkte der Kurve vom Erwartungswert \(\mu\). Alternativ kann die maximale Höhe \(y_{\text{max}} \approx \frac{0{,}4}{\sigma}\) genutzt werden. - Für \(g_1\) liegt das Maximum bei \(y \approx 0{,}4\), was \(\sigma_1 = 1\) entspricht. (Die Wendepunkte liegen bei \(x = -3\) und \(x = -1\)). - Für \(g_2\) liegt das Maximum bei \(y \approx 0{,}2\), was \(\sigma_2 = 2\) entspricht. (Die Wendepunkte liegen bei \(x = 1\) und \(x = 5\)). - Für \(g_3\) liegt das Maximum bei \(y \approx 0{,}1\), was \(\sigma_3 = 4\) entspricht. (Die Wendepunkte liegen bei \(x = -4\) und \(x = 4\)). 2. Zusammenhang zwischen Maximum und \(\sigma\): - Die Dichtefunktion der Normalverteilung lautet \(f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\). - Der maximale Wert wird bei \(x = \mu\) erreicht. An dieser Stelle ist der Exponent \(0\), sodass der Exponentialterm gleich \(e^0 = 1\) wird. - Das Maximum hat somit den Funktionswert \(f(\mu) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\). - Da \(\sqrt{2\pi}\) eine Konstante ist, ist die Höhe des Maximums umgekehrt proportional zur Standardabweichung \(\sigma\). Je größer die Standardabweichung \(\sigma\) ist, desto niedriger ist das Maximum der Glockenkurve.

a) Die abgelesenen Parameter lauten: - Zufallsgröße \(X_1\) (Graph \(g_1\)): \(\mu_1 = -2\), \(\sigma_1 = 1\) - Zufallsgröße \(X_2\) (Graph \(g_2\)): \(\mu_2 = 3\), \(\sigma_2 = 2\) - Zufallsgröße \(X_3\) (Graph \(g_3\)): \(\mu_3 = 0\), \(\sigma_3 = 4\) b) Das Maximum einer Glockenkurve liegt bei \(f(\mu) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\). Die Höhe des Maximums ist somit umgekehrt proportional zur Standardabweichung \(\sigma\). Je größer \(\sigma\) ist, desto flacher verläuft die Kurve (niedrigeres Maximum).

- Überlege, an welcher markanten Stelle der Glockenkurve der Erwartungswert \(\mu\) liegt. - Welche geometrische Bedeutung haben die Wendepunkte einer normalverteilten Dichtefunktion für die Standardabweichung \(\sigma\)? - Wie lässt sich eine Wahrscheinlichkeit wie \(P(5 \le X \le 7)\) geometrisch als Fläche interpretieren? - Wenn eine Funktion in einem Intervall konkav (nach unten geöffnet) ist, wie liegt dann die Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten auf dem Graphen im Vergleich zur Kurve selbst? - Kannst du mit den abgelesenen Funktionswerten an den Intervallgrenzen ein Trapez berechnen, das komplett unter der Kurve liegt?

1. Der Erwartungswert \(\mu\) entspricht der Stelle des Maximums (Symmetrieachse) der Glockenkurve. Aus dem Graphen liest man direkt \(\mu = 5\) ab. Die Standardabweichung \(\sigma\) ist der horizontale Abstand vom Erwartungswert zu den Wendepunkten des Graphen. Die Wendepunkte (Stellen des Krümmungswechsels) liegen bei \(x = 3\) und \(x = 7\). Der Abstand beträgt somit \(\sigma = 7 - 5 = 2\). 2. Die Wahrscheinlichkeit \(P(5 \le X \le 7)\) entspricht der Fläche unter dem Graphen von \(f\) im Intervall \([5; 7]\). Da die Kurve im Intervall \([5; 7]\) rechtsgekrümmt (konkav) ist, verläuft die Verbindungsstrecke zwischen den Punkten \((5 \mid f(5))\) und \((7 \mid f(7))\) vollständig unterhalb des Graphen. Das Trapez mit den Eckpunkten \((5 \mid 0)\), \((7 \mid 0)\), \((7 \mid f(7))\) und \((5 \mid f(5))\) liegt somit vollständig unter der Kurve. Aus der Abbildung liest man die ungefähren Funktionswerte ab: \(f(5) \approx 0{,}20\) und \(f(7) \approx 0{,}12\). Der Flächeninhalt dieses Trapezes ist: \(A = \frac{f(5) + f(7)}{2} \cdot (7 - 5) = f(5) + f(7) \approx 0{,}20 + 0{,}12 = 0{,}32\). Da das Trapez vollständig unter dem Graphen liegt, gilt: \(P(5 \le X \le 7) > A \approx 0{,}32 > 0{,}3\).

1. Erwartungswert \(\mu = 5\) (Stelle des Maximums) und Standardabweichung \(\sigma = 2\) (Abstand der Wendepunkte bei \(x = 3\) und \(x = 7\) zum Maximum). 2. Da der Graph auf \([5; 7]\) konkav ist, liegt das Trapez unter den Punkten \((5 \mid f(5))\) und \((7 \mid f(7))\) vollständig unter der Kurve. Seine Fläche beträgt \(A = f(5) + f(7) \approx 0{,}20 + 0{,}12 = 0{,}32\). Da diese Fläche eine untere Schranke für die Wahrscheinlichkeit darstellt, gilt \(P(5 \le X \le 7) > 0{,}32 > 0{,}3\).

- Woran erkennst du den Erwartungswert \(\mu\) im Graphen einer Dichtefunktion? Denke an die Symmetrie und den Hochpunkt der Kurve. - Welche besondere geometrische Eigenschaft der Glockenkurve liegt genau im Abstand \(\sigma\) links und rechts vom Erwartungswert? - Wie groß ist die Gesamtfläche unter der Dichtefunktion, und was bedeutet das für die Fläche links bzw. rechts von der Symmetrieachse? - Drücke das Intervall \([3\,\text{min};7\,\text{min}]\) mithilfe von \(\mu_2\) und \(\sigma_2\) aus. Welche feste Wahrscheinlichkeit gehört laut der \(\sigma\)-Regel zu diesem Bereich?

1. **Erwartungswerte bestimmen:** Der Erwartungswert \(\mu\) einer normalverteilten Zufallsgröße entspricht der Symmetrieachse der Dichtefunktion, also der x-Koordinate des Hochpunkts. - Für die blaue Kurve \(f\) liegt das Maximum bei \(x = 2\), somit gilt: \(\mu_1 = 2\). - Für die orangefarbene Kurve \(g\) liegt das Maximum bei \(x = 5\), somit gilt: \(\mu_2 = 5\). 2. **Standardabweichungen bestimmen:** Die Standardabweichung \(\sigma\) entspricht dem horizontalen Abstand zwischen der Symmetrieachse \(\mu\) und den Wendepunkten der Kurve. - Bei der Kurve \(f\) befinden sich die Wendepunkte bei \(x = 1\) und \(x = 3\). Der Abstand zu \(\mu_1 = 2\) beträgt \(1\), also ist \(\sigma_1 = 1\). - Bei der Kurve \(g\) befinden sich die Wendepunkte bei \(x = 3\) und \(x = 7\). Der Abstand zu \(\mu_2 = 5\) beträgt \(2\), also ist \(\sigma_2 = 2\). 3. **Wahrscheinlichkeiten bestimmen (Teilaufgabe b):** Aufgrund der Symmetrie der Dichtefunktion um ihren Erwartungswert \(\mu\) liegt jeweils genau die Hälfte der Gesamtfläche (die insgesamt \(1\) beträgt) links bzw. rechts von \(\mu\). - Da \(\mu_1 = 2\), gilt: \(P(X_1 \le 2) = 0{,}5\) (oder \(50\,\%\)). - Da \(\mu_2 = 5\), gilt: \(P(X_2 \ge 5) = 0{,}5\) (oder \(50\,\%\)). 4. **Wahrscheinlichkeit für das Intervall berechnen (Teilaufgabe c):** Das Intervall \([3\,\text{min};7\,\text{min}]\) entspricht genau dem Bereich \([\mu_2 - \sigma_2; \mu_2 + \sigma_2]\), da \(5 - 2 = 3\) und \(5 + 2 = 7\). Nach der bekannten \(\sigma\)-Regel (1-Sigma-Umgebung) liegt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Wert innerhalb einer Standardabweichung vom Erwartungswert liegt, bei jeder Normalverteilung bei ca. \(68{,}3\,\%\) (bzw. \(68\,\%\) oder präziser \(68{,}27\,\%\)).

a) Zufallsgröße \(X_1\) (Kurve \(f\)): \(\mu_1 = 2\), \(\sigma_1 = 1\) Zufallsgröße \(X_2\) (Kurve \(g\)): \(\mu_2 = 5\), \(\sigma_2 = 2\) b) (1) \(P(X_1 \le 2) = 0{,}5\) (2) \(P(X_2 \ge 5) = 0{,}5\) c) \(P(3\,\text{min} \le X_2 \le 7\,\text{min}) \approx 68{,}3\,\%\)

- Wo liegt das Maximum (der Hochpunkt) einer symmetrischen Glockenkurve und welcher Parameter wird dadurch bestimmt? - Welche besondere geometrische Bedeutung haben die Wendepunkte einer normalverteilten Dichtefunktion im Verhältnis zum Erwartungswert? - Wie hängen die Grenzen des Intervalls mit den Werten von \(\mu\) und \(\sigma\) zusammen? Erinnere dich an die Sigma-Regeln. - Wenn die Standardabweichung größer wird, wie beeinflusst das die Breite und die Höhe der Glockenkurve? Beachte, dass die Gesamtfläche unter der Kurve immer gleich bleiben muss.

1. **Teilaufgabe a)**: - **Erwartungswert \(\mu\)**: Der Graph einer normalverteilten Dichtefunktion ist symmetrisch zum Erwartungswert \(\mu\), und der Hochpunkt (Maximum) liegt genau bei \(x = \mu\). Aus dem Graphen lässt sich der Hochpunkt näherungsweise bei \(H(10 \mid 0{,}20)\) ablesen. Daraus folgt \(\mu = 10\). - **Standardabweichung \(\sigma\)**: Die Wendepunkte des Graphen liegen genau bei \(x = \mu - \sigma\) und \(x = \mu + \sigma\). Im Graphen lässt sich erkennen, dass der Krümmungswechsel (von einer Rechtskurve im Bereich des Maximums zu Linkskurven in den äußeren Bereichen) bei \(x = 8\) und \(x = 12\) stattfindet. Der Abstand zum Erwartungswert beträgt somit \(\sigma = 10 - 8 = 2\) (bzw. \(12 - 10 = 2\)). - *Alternativ:* Die y-Koordinate des Hochpunkts beträgt \(y_{\max} = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \approx 0{,}20\). Durch Umformen erhält man \(\sigma \approx \frac{1}{0{,}20 \cdot \sqrt{2\pi}} \approx 1{,}99 \approx 2\). 2. **Teilaufgabe b)**: - Mit \(\mu = 10\) und \(\sigma = 2\) entspricht das Intervall \([6; 14]\) genau dem \(2\sigma\)-Intervall \([\mu - 2\sigma; \mu + 2\sigma]\), da \(10 - 2 \cdot 2 = 6\) und \(10 + 2 \cdot 2 = 14\). - Nach den bekannten Sigma-Regeln der Normalverteilung beträgt die Wahrscheinlichkeit für das \(2\sigma\)-Intervall: \(P(6 \le X \le 14) = P(\mu - 2\sigma \le X \le \mu + 2\sigma) \approx 95{,}4\,\%\) (oder genauer \(95{,}45\,\%\)). 3. **Teilaufgabe c)**: - Bleibt \(\mu = 10\) gleich und wird die Standardabweichung auf \(\sigma_{\text{neu}} = 4\) verdoppelt, verändert sich der Graph wie folgt: - Der Graph wird in x-Richtung gestreckt und in y-Richtung gestaucht; er wird flacher und breiter. - Das neue Maximum liegt weiterhin bei \(x = 10\), seine y-Koordinate halbiert sich jedoch auf \(\varphi_{10; 4}(10) = \frac{1}{4\sqrt{2\pi}} \approx 0{,}10\). Die neuen Koordinaten des Hochpunkts liegen somit näherungsweise bei \(H_{\text{neu}}(10 \mid 0{,}10)\). - Die neuen Wendepunkte verschieben sich weiter nach außen auf \(x = \mu \pm \sigma_{\text{neu}} = 10 \pm 4\), also liegen sie bei \(x = 6\) und \(x = 14\).

a) \(\mu = 10\) und \(\sigma = 2\). Der Erwartungswert \(\mu = 10\) entspricht dem x-Wert des Maximums. Die Standardabweichung \(\sigma = 2\) entspricht dem Abstand der Wendepunkte (\(x = 8\) und \(x = 12\)) von \(\mu\). b) \(P(6 \le X \le 14) \approx 95{,}4\,\%\) (bzw. \(95{,}45\,\%\)). Es handelt sich um das \(2\sigma\)-Intervall \([\mu - 2\sigma; \mu + 2\sigma]\). c) Der Graph wird flacher und breiter. Das neue Maximum liegt näherungsweise bei \(H_{\text{neu}}(10 \mid 0{,}10)\). Die neuen Wendepunkte liegen bei \(x = 6\) und \(x = 14\).

- Wo liegt im Graphen der höchste Punkt, und wie verhält sich die Kurve links und rechts davon? - An welcher Stelle liegt das Maximum einer Normaldichte in Abhängigkeit von \(\mu\)? - Wie verhält sich eine Glockenkurve links und rechts von ihrem Maximum? - Setze für die Hochpunkthöhe \(x=\mu\) in die allgemeine Dichteformel ein.

a) Im Graphen steigt die Dichte bis zum Hochpunkt bei \(x=4\) und fällt danach. Das stimmt mit der allgemeinen Eigenschaft einer Normaldichte überein: Der Hochpunkt liegt bei \(x=\mu\). Hier ist \(\mu=4\). Die Dichte ist daher für \(x<4\) streng monoton steigend und für \(x>4\) streng monoton fallend. b) Der maximale Funktionswert ist \(y_{\max}=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}=\frac{1}{1{,}5\sqrt{2\pi}}\approx0{,}266\).

a) Streng monoton steigend für \(x<4\), streng monoton fallend für \(x>4\). b) \(y_{\max}\approx0{,}266\).

- Wo liegt der Wendepunkt bei der Verteilungsfunktion einer Normalverteilung? - Wie verändert sich die Steigung der Verteilungsfunktion, wenn die Werte der Zufallsgröße stärker um den Mittelwert streuen? - Schätze die Steigung mithilfe zweier gut ablesbarer Punkte in der Nähe des Wendepunkts.

1. Beide Verteilungsfunktionen nehmen den Wert \(0{,}5\) bei \(x=2\) an. Daher gilt für beide Verteilungen \(\mu=2\). 2. \(F_1\) steigt steiler an als \(F_2\). Somit besitzt die zu \(F_1\) gehörende Normalverteilung die kleinere Standardabweichung. 3. Für \(F_2\) lässt sich die maximale Steigung in der Umgebung von \(x=2\) durch eine Sekante abschätzen. Aus dem Graphen liest man etwa \(F_2(1{,}5)\approx 0{,}369\) und \(F_2(2{,}5)\approx 0{,}631\) ab. Daher ist \(m\approx\frac{0{,}631-0{,}369}{2{,}5-1{,}5}=0{,}262\). 4. Für die Verteilungsfunktion einer Normalverteilung gilt am Wendepunkt \(F'(\mu)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\approx\frac{0{,}4}{\sigma}\). Daraus folgt \(\sigma\approx\frac{0{,}4}{0{,}262}\approx 1{,}53\), also näherungsweise \(\sigma\approx 1{,}5\).

a) Für beide Verteilungen gilt \(\mu=2\). b) \(F_1\) gehört zur kleineren Standardabweichung, weil der Graph steiler ist. c) Die maximale Steigung von \(F_2\) beträgt näherungsweise \(0{,}26\); daraus folgt \(\sigma\approx 1{,}5\).

- Schreibe den Exponenten in der Form \(-c(x-x_0)^2\). - Vergleiche den Koeffizienten vor dem Quadrat mit \(\frac{1}{2\sigma^2}\). - Prüfe anschließend, ob der Vorfaktor zur gefundenen Standardabweichung passt.

1. Der Exponent lässt sich umformen zu \(-4{,}5x^2+9x-4{,}5=-4{,}5(x-1)^2\). 2. Aus dem Vergleich mit \(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\) folgt \(\mu=1\) und \(\frac{1}{2\sigma^2}=4{,}5\). Damit ist \(\sigma^2=\frac{1}{9}\) und \(\sigma=\frac{1}{3}\). 3. Der zugehörige Vorfaktor ist \(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}=\frac{3}{\sqrt{2\pi}}\), also stimmt auch die Normierung. 4. Das Maximum einer Normaldichte liegt bei \(x=\mu\), hier also bei \(x=1\).

\(g\) ist eine Normaldichte mit \(\mu=1\) und \(\sigma=\frac{1}{3}\). Das Maximum liegt bei \(x=1\).

- Welcher Punkt auf der x-Achse markiert das Zentrum der jeweiligen Verteilung? - Wie hängen die Höhe des Gipfels und die Breite der Kurve mit der Standardabweichung zusammen? - Wie lässt sich eine Wahrscheinlichkeit grafisch als Fläche interpretieren?

1. Der Erwartungswert ist die x-Koordinate des Maximums. Für \(f_1\) ist \(\mu_1 = 2\), für \(f_2\) ist \(\mu_2 = 4\). Somit ist \(\mu_2 > \mu_1\). 2. Die Standardabweichung bestimmt die Breite und Höhe der Kurve. Da \(f_2\) flacher und breiter ist als \(f_1\), gilt \(\sigma_2 > \sigma_1\). Die Verteilung von \(X_2\) ist also stärker gestreut. 3. Die Wahrscheinlichkeit entspricht der Fläche unter dem Graphen im Intervall \([1{,}5; 2{,}5]\). Da die blaue Kurve \(f_1\) in diesem Bereich (um ihren Mittelwert \(2\)) deutlich höhere Funktionswerte annimmt als die orangefarbene Kurve \(f_2\), ist der Flächeninhalt bei \(f_1\) größer. Es gilt \(P(1{,}5 \leq X_1 \leq 2{,}5) > P(1{,}5 \leq X_2 \leq 2{,}5)\).

a) \(\mu_2 > \mu_1\) (denn \(4 > 2\)) b) \(\sigma_2 > \sigma_1\), die Verteilung \(X_2\) streut stärker. c) Für \(X_1\) ist die Wahrscheinlichkeit größer, da die Fläche unter dem blauen Graphen im Intervall \([1{,}5; 2{,}5]\) größer ist.

- Wo auf der y-Achse findest du den Punkt, der genau in der Mitte der Verteilung (beim Erwartungswert) liegt? - Was sagt die Steilheit des Graphen über die Streuung der Werte aus? Je steiler der Graph, desto enger liegen die Werte beieinander. - Wie hängen der Erwartungswert, die Standardabweichung und der Wert, bei dem \(84{,}1\,\%\) erreicht sind, zusammen?

1. Der Erwartungswert (Durchschnitt) liegt bei dem x-Wert, an dem der Graph den y-Wert \(0{,}5\) erreicht. Für Maschine 1 (blau) liegt dieser bei \(x = 10{,}0\), für Maschine 2 (rot) bei \(x = 10{,}5\). Somit hat Maschine 2 den größeren durchschnittlichen Durchmesser. 2. Eine kleinere Standardabweichung führt zu einem steileren Anstieg der Verteilungsfunktion im Bereich um den Erwartungswert. Da der rote Graph (\(F_2\)) deutlich steiler verläuft als der blaue (\(F_1\)), arbeitet Maschine 2 präziser. 3. Für Maschine 1 ist \(\mu_1 = 10{,}0\). Gesucht ist der x-Wert für \(F_1(x) \approx 0{,}84\). Aus dem Graphen liest man hierfür \(x \approx 10{,}4\) ab. Da \(x = \mu_1 + \sigma_1\) gilt, folgt \(10{,}4 = 10{,}0 + \sigma_1\), also \(\sigma_1 \approx 0{,}4\,\text{mm}\).

a) Maschine 2, da der Punkt bei \(y = 0{,}5\) weiter rechts liegt (\(10{,}5 > 10{,}0\)). b) Maschine 2, da ihr Graph steiler verläuft, was auf eine geringere Streuung hinweist. c) \(\sigma_1 \approx 0{,}4\,\text{mm}\)

- Nutze die Kettenregel, um die Ableitung der gegebenen Funktion zu bilden. - Was passiert mit dem Term \(e^{-kz^2}\), wenn \(z\) betragsmäßig sehr groß wird? - Welche Bedeutung hat das Integral über \(x \cdot f(x)\) in der Stochastik? - Überlege dir, wie der Vorfaktor in der allgemeinen Formel der Normalverteilung von \(\sigma\) abhängt.

a) Nachweis der Stammfunktion durch Ableiten von \(g(z) = -e^{-\frac{1}{2}z^2}\) unter Verwendung der Kettenregel: \(g'(z) = -e^{-\frac{1}{2}z^2} \cdot (-\frac{1}{2} \cdot 2z) = z \cdot e^{-\frac{1}{2}z^2} = h(z)\). b) Berechnung des Erwartungswerts: \(\int_{-\infty}^{+\infty} z \cdot \phi(z) \, dz = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} z \cdot e^{-\frac{1}{2}z^2} \, dz = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left[ -e^{-\frac{1}{2}z^2} \right]_{-\infty}^{+\infty}\). Da \(\lim_{z \to \pm\infty} e^{-\frac{1}{2}z^2} = 0\), ergibt das Integral den Wert \(0\). Dies entspricht dem Erwartungswert \(\mu = 0\) der Standardnormalverteilung. c) Maximalwert bei \(z=0\): \(\phi(0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot e^0 = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \approx 0{,}3989\). Bei größerem \(\sigma\) wird der Vorfaktor \(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\) kleiner, die Kurve wird also flacher und das Maximum sinkt.

a) Die Ableitung von \(g(z) = -e^{-\frac{1}{2}z^2}\) ergibt \(g'(z) = z \cdot e^{-\frac{1}{2}z^2}\), womit die Stammfunktionseigenschaft gezeigt ist. b) Das Integral hat den Wert \(0\); dies entspricht dem Erwartungswert \(\mu\). c) Der maximale Wert beträgt \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \approx 0{,}3989\). Bei einer größeren Standardabweichung \(\sigma\) verringert sich die maximale Höhe der Glockenkurve.

- Welche Eigenschaft muss das Integral einer Dichtefunktion über ihren gesamten Definitionsbereich immer erfüllen? - Wie hängen die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall und das Integral der Dichtefunktion zusammen? - Erinnere dich an die Formeln für den Erwartungswert und die Varianz bei stetigen Zufallsgrößen. - Achte darauf, dass die Dichtefunktion außerhalb des Intervalls \([0; 2]\) den Wert Null annimmt.

1. Berechnung von \(c\): Das Integral der Dichtefunktion über den Definitionsbereich muss 1 ergeben. Es gilt \(\int_{0}^{2} c \cdot (4 - x^2) \, dx = c \cdot [4x - \frac{1}{3}x^3]_0^2 = c \cdot (8 - \frac{8}{3}) = c \cdot \frac{16}{3}\). Aus \(c \cdot \frac{16}{3} = 1\) folgt \(c = \frac{3}{16}\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit \(P(X \leq 1{,}5)\): Es wird das Integral \(\int_{0}^{1{,}5} \frac{3}{16}(4 - x^2) \, dx\) berechnet. Dies ergibt \(\frac{3}{16} \cdot [4x - \frac{1}{3}x^3]_0^{1{,}5} = \frac{3}{16} \cdot (4 \cdot 1{,}5 - \frac{1}{3} \cdot 1{,}5^3) = \frac{3}{16} \cdot (6 - 1{,}125) = \frac{3}{16} \cdot 4{,}875 = \frac{117}{128} \approx 0{,}9141\). 3. Erwartungswert \(E(X)\): \(E(X) = \int_{0}^{2} x \cdot f(x) \, dx = \frac{3}{16} \int_{0}^{2} (4x - x^3) \, dx = \frac{3}{16} \cdot [2x^2 - \frac{1}{4}x^4]_0^2 = \frac{3}{16} \cdot (8 - 4) = 0{,}75\,\text{mm}\). 4. Varianz und Standardabweichung: Zuerst wird \(E(X^2) = \int_{0}^{2} x^2 \cdot f(x) \, dx = \frac{3}{16} \int_{0}^{2} (4x^2 - x^4) \, dx = \frac{3}{16} \cdot [\frac{4}{3}x^3 - \frac{1}{5}x^5]_0^2 = \frac{3}{16} \cdot (\frac{32}{3} - \frac{32}{5}) = \frac{3}{16} \cdot \frac{64}{15} = 0{,}8\) berechnet. Die Varianz ist \(V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 0{,}8 - 0{,}75^2 = 0{,}2375\). Die Standardabweichung ist \(\sigma(X) = \sqrt{0{,}2375} \approx 0{,}4873\,\text{mm}\).

a) \(c = \frac{3}{16} = 0{,}1875\) b) \(P(X \leq 1{,}5) = \frac{117}{128} \approx 91{,}41\,\%\) c) \(E(X) = 0{,}75\,\text{mm}\); \(\sigma(X) \approx 0{,}4873\,\text{mm}\)