- Welche Kennzahl bestimmt bei einer Normalverteilung die horizontale Lage der Glockenkurve? - Welche Kennzahl beschreibt, wie breit oder schmal die Glockenkurve ist?

1. Der Erwartungswert \(\mu=72\) ist das Zentrum der Normalverteilung; dort liegt auch der Hochpunkt der Dichte. 2. Die Standardabweichung \(\sigma=5\) beschreibt die Streuung um dieses Zentrum; die Wendestellen der Dichte liegen bei \(72-5=67\) und \(72+5=77\).

\(\mu=72\): Zentrum bzw. Erwartungswert der Verteilung. \(\sigma=5\): Maß für die Streuung; die Wendestellen liegen jeweils \(5\) Einheiten vom Zentrum entfernt.

- Vergleiche die Lage der beiden Kurvenmitten. - Vergleiche anschließend Breite und Höhe der beiden Kurven.

1. Beide Kurven haben ihren Hochpunkt bei \(x=50\). Daher ist für beide \(\mu=50\). 2. Die Kurve \(f_2\) ist breiter und flacher als \(f_1\). Eine größere Standardabweichung erzeugt bei gleichem Erwartungswert genau diese Form. 3. Daher hat \(f_2\) die größere Standardabweichung.

a) \(\mu=50\) b) \(f_2\) hat die größere Standardabweichung, weil die Kurve breiter und flacher ist.

- Welche Formel hat der Hochpunkt einer Normaldichte in Abhängigkeit von \(\sigma\)? - Vergleiche die beiden Hochpunkthöhen, bevor du die Form der Kurven beschreibst. - Was muss mit der Höhe passieren, wenn dieselbe Gesamtfläche auf einen breiteren Bereich verteilt wird?

1. Für eine Normaldichte gilt am Hochpunkt \(f(\mu)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\). 2. Für \(\sigma_1=1\) ist \(f_1(0)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\approx0{,}399\). 3. Für \(\sigma_2=2\) ist \(f_2(0)=\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}\approx0{,}199\). 4. Die Verteilung mit \(\sigma_1=1\) ist daher höher und schmaler. Die Verteilung mit \(\sigma_2=2\) ist flacher und breiter. 5. Eine größere Standardabweichung verteilt dieselbe Gesamtwahrscheinlichkeit auf einen breiteren Wertebereich. Weil die Gesamtfläche \(1\) bleiben muss, sinkt dabei die Höhe der Kurve.

a) \(f_1(0)\approx0{,}399\); \(f_2(0)\approx0{,}199\) b) \(\sigma_1=1\): höher und schmaler; \(\sigma_2=2\): flacher und breiter c) Bei größerer Streuung verteilt sich die Gesamtfläche \(1\) auf einen breiteren Bereich; deshalb sinkt die Kurvenhöhe.

- An welcher Stelle erreicht eine Gaußsche Glockenkurve ihr Maximum? - Wie hängen der maximale Funktionswert und die Standardabweichung bei einer Normalverteilung zusammen? - Welche Information liefert die Symmetrieachse für die Lage der Verteilung?

1. Der Erwartungswert \(\mu\) entspricht der \(x\)-Koordinate des Maximums bzw. der Symmetrieachse: \(\mu = 120\). 2. Der maximale Wert der Dichtefunktion einer Normalverteilung ist gegeben durch \(f(\mu) = \frac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2\pi}}\). 3. Einsetzen des gegebenen Funktionswertes: \(0{,}08 = \frac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2\pi}}\). 4. Auflösen nach \(\sigma\): \(\sigma = \frac{1}{0{,}08 \cdot \sqrt{2\pi}} \approx 4{,}99\).

\(\mu = 120\) und \(\sigma \approx 4{,}99\)

- Was gibt der Erwartungswert über die Lage der Glockenkurve an? - Erinnere dich an die Sigma-Regeln für bestimmte Wahrscheinlichkeitsbereiche. - An welchen markanten Stellen im Abstand zur Mitte ändert die Glockenkurve ihre Krümmung?

1. Der Parameter \(\mu = 250\) stellt den Erwartungswert der Verteilung dar. Er gibt den durchschnittlichen Wirkstoffgehalt der Tabletten an und markiert das Zentrum der symmetrischen Verteilung. 2. Nach der \(2\sigma\)-Regel liegen bei einer Normalverteilung ca. \(95{,}4\,\%\) der Werte im Intervall \([\mu - 2\sigma; \mu + 2\sigma]\). Mit \(\mu = 250\) und \(\sigma = 3\) ergibt sich: \(250 - 2 \cdot 3 = 244\) und \(250 + 2 \cdot 3 = 256\). Das Intervall lautet somit \([244; 256]\) in \(\text{mg}\). 3. Die Wendepunkte einer Normalverteilung befinden sich an den Stellen \(x_1 = \mu - \sigma\) und \(x_2 = \mu + \sigma\). Hier gilt: \(x_1 = 250 - 3 = 247\) und \(x_2 = 250 + 3 = 253\).

1. Der Wert \(\mu = 250\,\text{mg}\) ist der Erwartungswert (Mittelwert) der Produktion. 2. Der Gehalt liegt für ca. \(95{,}4\,\%\) der Tabletten im Bereich zwischen \(244\,\text{mg}\) und \(256\,\text{mg}\). 3. Die Wendepunkte liegen bei \(x = 247\) und \(x = 253\).

- Was ist der Unterschied zwischen diskreten und stetigen Zufallsgrößen bei der Berechnung von Punktwahrscheinlichkeiten? - Nutze die Symmetrieeigenschaften der Normalverteilung bezüglich ihres Mittelwerts. - Überlege, wie die Standardabweichung die „Breite“ der Verteilung beeinflusst und was das für die Höhe der Kurve bedeutet.

1. Die Normalverteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Bei stetigen Zufallsgrößen ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines exakten Punktwertes \(P(X = k)\) immer gleich \(0\), da die Fläche unter der Dichtefunktion über einem einzelnen Punkt null ist. 2. Da \(3\,\text{Stunden} = 180\,\text{Minuten}\) genau dem Erwartungswert \(\mu\) entsprechen und die Normalverteilung symmetrisch zu \(\mu\) ist, liegen genau \(50\,\%\) der Werte oberhalb dieses Wertes. 3. Eine Verringerung der Standardabweichung \(\sigma\) führt dazu, dass die Werte enger um den Erwartungswert konzentriert sind. Die Glockenkurve wird schmaler (geringere Streuung) und gleichzeitig steiler bzw. höher im Maximum, da die Gesamtfläche unter der Kurve stets \(1\) betragen muss.

1. Bei stetigen Verteilungen ist die Wahrscheinlichkeit für Einzelwerte immer \(0\). 2. Genau \(50\,\%\) der Nutzer nutzen das Smartphone länger als \(3\) Stunden. 3. Die Glockenkurve wird schmaler und das Maximum wird höher.

- Erinnere dich an die allgemeine Funktionsgleichung der Dichtefunktion einer Normalverteilung. - Versuche, den Ausdruck im Exponenten so umzuformen, dass er der Form \(-\frac{1}{2} \left(\dots\right)^2\) entspricht. - Welche Rolle spielt der Vorfaktor vor der e-Funktion im Vergleich zur Standardabweichung? - Vergleiche die Position des Maximums und die Breite der Kurve mit den Parametern \(\mu\) und \(\sigma\).

1. Vergleich mit der allgemeinen Form der Dichtefunktion \(\varphi_{\mu; \sigma}(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2} \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\). 2. Umformung des Exponenten: \(-0{,}02(x-12)^2 = -\frac{1}{50}(x-12)^2 = -\frac{1}{2} \cdot \frac{(x-12)^2}{25} = -\frac{1}{2} \left(\frac{x-12}{5}\right)^2\). 3. Identifikation der Parameter aus dem Exponenten: \(\mu = 12\) und \(\sigma = 5\). 4. Überprüfung des Vorfaktors: \(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} = \frac{1}{5\sqrt{2\pi}}\). Dies stimmt mit dem gegebenen Koeffizienten überein. 5. Da die Funktion die Struktur der allgemeinen Dichtefunktion besitzt und der Normierungsfaktor korrekt ist, handelt es sich um eine Dichtefunktion einer Normalverteilung.

Die Funktion \(f\) ist eine Dichtefunktion einer Normalverteilung mit dem Erwartungswert \(\mu = 12\) und der Standardabweichung \(\sigma = 5\).

- Vergleiche die drei Graphen zunächst nach der Lage ihrer Mittelpunkte. - Vergleiche danach nur Graphen mit demselben Mittelpunkt hinsichtlich Breite und Höhe. - Welche Parameteränderung verschiebt eine Normaldichte, und welche verändert ihre Form?

1. Die Graphen \(a\) und \(b\) sind symmetrisch zur Geraden \(x=0\). Daher kommen für sie nur die Verteilungen (I) und (II) infrage. Graph \(c\) ist symmetrisch zu \(x=3\), also gehört er zu (III). 2. Ein größeres \(\sigma\) führt bei gleichem \(\mu\) zu einer flacheren und breiteren Kurve. Graph \(a\) ist schmaler und höher als \(b\), daher gehört \(a\) zu (I) und \(b\) zu (II). 3. Graph \(c\) hat dieselbe Form wie \(a\), ist aber um \(3\) Einheiten nach rechts verschoben. Das bestätigt die Zuordnung zu (III).

(I) \(\rightarrow a\): Mittelpunkt \(0\), schmale hohe Kurve. (II) \(\rightarrow b\): gleicher Mittelpunkt \(0\), aber größere Streuung und daher breitere, flachere Kurve. (III) \(\rightarrow c\): Mittelpunkt bei \(3\) und dieselbe schmale Form wie bei (I).

- Wo liegt der höchste Punkt, und wie verläuft die Kurve links und rechts davon? - Vergleiche die Lage dieses Punkts mit dem gegebenen Parameter \(\mu\). - Setze für b) die gegebenen Parameter in die Dichtefunktion an der passenden Stelle ein.

1. Die Dichte steigt bis zum Hochpunkt bei \(x=4\) und fällt danach. Bei einer Normaldichte liegt der Hochpunkt bei \(x=\mu\). Daher ist die Dichte für \(x<4\) streng monoton steigend und für \(x>4\) streng monoton fallend. 2. Der maximale Funktionswert ist \(y_{\max}=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}=\frac{1}{1{,}5\sqrt{2\pi}}\approx0{,}266\).

a) Streng monoton steigend für \(x<4\) und streng monoton fallend für \(x>4\), weil die Normaldichte bei ihrem Erwartungswert \(\mu=4\) ihren Hochpunkt besitzt. b) \(y_{\max}\approx0{,}266\)

- Welche Angaben im Text bestimmen die x-Koordinaten der beiden Wendepunkte? - Welche Symmetrieeigenschaft der Normaldichte verbindet die beiden y-Koordinaten? - Wie kannst du die exakte Höhe mit der angegebenen Dichtefunktion überprüfen? - Vergleiche zuletzt die Lage der Wendepunkte mit der Lage des Hochpunkts.

1. Die Wendestellen sind \(x_1=\mu-\sigma=-3\) und \(x_2=\mu+\sigma=-1\). 2. Wegen der Symmetrie haben beide Wendepunkte dieselbe Höhe. Für \(x=\mu+\sigma\) gilt \(\varphi_{-2;1}(-1)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{2\pi e}}\approx0{,}242\). 3. Damit sind \(W_1\left(-3\mid\frac{1}{\sqrt{2\pi e}}\right)\) und \(W_2\left(-1\mid\frac{1}{\sqrt{2\pi e}}\right)\). Beide liegen symmetrisch im Abstand \(\sigma=1\) links und rechts des Hochpunkts bei \(x=-2\).

\(W_1\left(-3\mid\frac{1}{\sqrt{2\pi e}}\right)\) und \(W_2\left(-1\mid\frac{1}{\sqrt{2\pi e}}\right)\), mit gemeinsamer \(y\)-Koordinate \(\approx0{,}242\). Die Wendepunkte liegen symmetrisch jeweils eine Standardabweichung links und rechts vom Hochpunkt bei \(x=\mu=-2\).

- Vergleiche für a) jeweils Lage und Breite der Glockenkurven. - Nutze für die Schätzung von \(\sigma\) ein charakteristisches Merkmal der Normaldichte, das du am Graphen erkennen kannst. - Welchen Wert nimmt der Exponentialterm der Normaldichte bei \(x=\mu\) an?

1. Die Hochpunkte liegen bei \(x=0\) beziehungsweise \(x=3\). Daher sind \(\mu_f=0\) und \(\mu_g=3\). 2. Die sichtbaren Wendestellen liegen bei \(f\) ungefähr eine Einheit und bei \(g\) ungefähr zwei Einheiten vom jeweiligen Hochpunkt entfernt. Daher erhält man \(\sigma_f\approx1\) und \(\sigma_g\approx2\). 3. Für eine Normaldichte gilt am Hochpunkt \(f(\mu)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\). Damit ergibt sich für \(f\) ungefähr \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\approx0{,}40\) und für \(g\) ungefähr \(\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}\approx0{,}20\). Diese Höhen stimmen mit dem Graphen überein.

a) \(f\): \(\mu_f=0\), \(\sigma_f\approx1\); \(g\): \(\mu_g=3\), \(\sigma_g\approx2\) b) Hochpunkthöhen ungefähr \(0{,}40\) für \(f\) und \(0{,}20\) für \(g\); beide Werte stimmen mit den im Graphen sichtbaren Hochpunkten überein.

- Suche zuerst die Symmetrieachse der Glockenkurve. - Wo ändert der Graph sichtbar seine Krümmung, und wie groß ist der ungefähre Abstand dieser Stellen vom Zentrum? - Berechne zunächst die Hochpunkthöhe aus deiner Schätzung für \(\sigma\) und verwende danach den angegebenen Faktor.

1. Der Hochpunkt liegt bei \(x=-1\), daher ist \(\mu=-1\). 2. Der Krümmungswechsel ist ungefähr bei \(x=-2{,}5\) und \(x=0{,}5\) zu erkennen. Der Abstand zum Hochpunkt beträgt jeweils etwa \(1{,}5\), also \(\sigma\approx1{,}5\). 3. Mit \(\sigma\approx1{,}5\) ist \(h(\mu)\approx\frac{1}{1{,}5\sqrt{2\pi}}\approx0{,}266\). Damit folgt \(y_W\approx0{,}266e^{-0{,}5}\approx0{,}16\). 4. Im Graphen liegt die Höhe an den geschätzten Wendestellen etwas über \(0{,}15\); das passt zum berechneten Wert.

a) \(\mu=-1\), \(\sigma\approx1{,}5\) b) \(y_W\approx0{,}16\); der Wert ist mit dem Graphen vereinbar.

- Forme den quadratischen Ausdruck im Exponenten zu einem vollständigen Quadrat um. - Vergleiche anschließend Exponent und Vorfaktor mit der allgemeinen Normaldichte. - Welche Werte von \(\mu\) und \(\sigma\) ergeben dieselben Terme?

1. Im Exponenten gilt \(-0{,}5x^2+4x-8=-0{,}5(x^2-8x+16)=-0{,}5(x-4)^2\). 2. Damit ist \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-4)^2}{2}}\). Der Vergleich mit \(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\) liefert \(\mu=4\) und \(\sigma=1\). 3. Auch der Vorfaktor \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\) stimmt für \(\sigma=1\) mit der Normaldichte überein.

\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-4)^2}{2}}\). Daher gilt \(\mu=4\) und \(\sigma=1\).

- Untersuche für a) die Lage der Mitte des Graphen. - Nutze für b) die sichtbaren Krümmungswechsel der Normaldichte. - Welche Fläche unter einer Dichte gehört zu einem einzelnen Punkt?

1. Der Hochpunkt und die Symmetrieachse liegen bei \(x=4\). Daher ist \(\mu=4\). 2. Der Krümmungswechsel ist ungefähr bei \(x=2{,}5\) und \(x=5{,}5\) zu erkennen. Der Abstand zum Erwartungswert beträgt jeweils etwa \(1{,}5\), also \(\sigma\approx1{,}5\). 3. Bei einer stetigen Zufallsgröße hat ein einzelner Punkt keine Fläche unter der Dichte. Deshalb gilt \(P(X=7)=0\).

a) \(\mu=4\) b) \(\sigma\approx1{,}5\) c) \(P(X=7)=0\), weil bei einer stetigen Zufallsgröße ein einzelner Punkt keine Fläche unter der Dichte besitzt.

- Vergleiche Lage, Breite und Höhe der beiden Kurven. - Welche dieser Merkmale beschreiben Mittelpunkt und Streuung? - Vergleiche für c) die Flächen unter \(f_1\) und \(f_2\) im selben Intervall.

1. Der Erwartungswert ist die \(x\)-Koordinate des Maximums. Für \(f_1\) ist \(\mu_1=2\), für \(f_2\) ist \(\mu_2=4\). Somit ist \(\mu_2>\mu_1\). 2. Da \(f_2\) flacher und breiter ist als \(f_1\), gilt \(\sigma_2>\sigma_1\). Die Verteilung von \(X_2\) ist stärker gestreut. 3. Im Intervall \([1{,}5;2{,}5]\) liegt unter \(f_1\) deutlich mehr Fläche als unter \(f_2\). Daher gilt \(P(1{,}5\le X_1\le2{,}5)>P(1{,}5\le X_2\le2{,}5)\).

a) \(\mu_2>\mu_1\), weil der Mittelpunkt von \(f_2\) weiter rechts liegt. b) \(\sigma_2>\sigma_1\); \(X_2\) streut stärker, weil \(f_2\) breiter und flacher ist. c) Für \(X_1\) ist die Wahrscheinlichkeit größer, weil im Intervall \([1{,}5;2{,}5]\) unter \(f_1\) mehr Fläche liegt als unter \(f_2\).

- Vergleiche zuerst Lage und Form der beiden Kurven. - Welche Änderung erkennst du am Mittelpunkt, welche an der Streuung? - Nutze für c) die Dichteformel am Mittelpunkt, um deine graphische Beobachtung zu begründen.

1. Der Hochpunkt von \(g\) liegt bei \(x=30\), also ist \(\mu_Y=30\). Der Hochpunkt von \(g\) ist ungefähr halb so hoch wie der von \(f\), und \(g\) ist ungefähr doppelt so breit. Daher ist \(\sigma_Y=10\). 2. Eine Erhöhung von \(\mu\) verschiebt die Normaldichte entlang der \(x\)-Achse nach rechts, ohne ihre Form zu ändern. 3. Die Hochpunkthöhe ist \(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\). Eine größere Standardabweichung führt deshalb zu einer niedrigeren und breiteren Glockenkurve.

a) \(\mu_Y=30\), \(\sigma_Y=10\) b) Eine Änderung von \(\mu\) verschiebt den Graphen horizontal. c) Je größer \(\sigma\), desto niedriger ist der Hochpunkt.

- Welche markierten Merkmale des Graphen helfen dir, Mittelpunkt und Streuung zu bestimmen? - Spiegle zunächst das rechte Intervall an der Symmetrieachse. - Welcher zusätzliche Bereich bleibt dann auf der linken Seite übrig? - Was muss mit der Höhe der Glockenkurve geschehen, wenn sie bei gleicher Gesamtfläche breiter wird?

1. Der Hochpunkt liegt bei \(x=165\,\text{cm}\). Daher ist \(\mu=165\,\text{cm}\). Die markierten Wendestellen liegen bei \(159\,\text{cm}\) und \(171\,\text{cm}\), also ist \(\sigma=6\,\text{cm}\). 2. Durch Spiegelung an \(x=165\) gilt \(P(159\le X\le\mu)=P(\mu\le X\le171)\). Das Intervall \([156;\mu]\) enthält zusätzlich die positive Fläche von \(156\) bis \(159\). Daher ist \(P(156\le X\le\mu)>P(\mu\le X\le171)\). 3. Bei größerem \(\sigma\) und gleichem \(\mu\) wird die Glockenkurve breiter und ihr Hochpunkt niedriger; die Symmetrieachse bleibt unverändert.

a) \(\mu=165\,\text{cm}\), \(\sigma=6\,\text{cm}\) b) \(P(156\le X\le\mu)>P(\mu\le X\le171)\). Das rechte Intervall spiegelt sich auf \([159;165]\); links kommt zusätzlich der Bereich \([156;159]\) hinzu. c) Der Graph wird breiter und flacher; der Mittelpunkt bleibt unverändert.

- Vergleiche zuerst die Lage der beiden Kurven. - Vergleiche Breite und Höhe der beiden Kurven. - Welche Eigenschaft der Form bleibt bei einer reinen horizontalen Verschiebung unverändert?

1. Die Hochpunkte liegen bei \(x=3\) und \(x=7\). Daher ist \(\mu_1=3\) und \(\mu_2=7\). 2. Der Graph von \(f_2\) ist gegenüber \(f_1\) um \(4\) Einheiten nach rechts verschoben. Form und Höhe sind gleich. 3. Weil Breite und Höhe unverändert bleiben, gilt \(\sigma_1=\sigma_2\).

a) \(\mu_1=3\), \(\mu_2=7\) b) Verschiebung um \(4\) Einheiten nach rechts; \(\sigma_1=\sigma_2\)

- Welche Kurve ist stärker um den gemeinsamen Mittelpunkt ausgebreitet? - Was beschreibt die Standardabweichung bei einer Normalverteilung? - Welche Gesamtfläche muss unter jeder Dichte liegen?

1. Der Graph von \(h_2\) ist breiter und flacher als der von \(h_1\). Daher streuen die Werte bei \(X_2\) stärker und es gilt \(\sigma_2>\sigma_1\). 2. Die gesamte Fläche unter jeder Dichte ist \(1\). Wird eine Normaldichte bei größerem \(\sigma\) breiter, muss ihr Hochpunkt niedriger werden, damit die Gesamtfläche gleich bleibt.

a) \(\sigma_2>\sigma_1\), weil \(h_2\) um den gemeinsamen Mittelpunkt breiter und flacher verläuft. b) Die Gesamtfläche bleibt \(1\); deshalb muss eine breitere Glockenkurve niedriger sein.

- Kannst du den Ausdruck im Exponenten so umformen, dass eine binomische Formel sichtbar wird? - Wie sieht die allgemeine Funktionsgleichung der Dichtefunktion einer Normalverteilung aus? - Welche Teile des Exponenten entsprechen dem Erwartungswert und welche der Standardabweichung? - Vergiss nicht, am Ende zu prüfen, ob dein \(\sigma\) auch zum Vorfaktor der Funktion passt.

1. Den Exponenten durch Ausklammern und Anwendung der zweiten binomischen Formel umformen: \(-\frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} = -\frac{1}{8}(x^2 - 4x + 4) = -\frac{1}{8}(x-2)^2\). 2. Den umgeformten Exponenten mit der Standardform \(-\frac{1}{2} \cdot \frac{(x-\mu)^2}{\sigma^2}\) vergleichen: \(-\frac{1}{2} \cdot \frac{(x-2)^2}{4}\). 3. Daraus die Parameter ablesen: \(\mu = 2\) und \(\sigma^2 = 4\), woraus \(\sigma = 2\) folgt. 4. Den Vorfaktor zur Kontrolle prüfen: \(\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} = \frac{1}{2 \sqrt{2\pi}} = \frac{1}{\sqrt{4 \cdot 2\pi}} = \frac{1}{\sqrt{8\pi}}\). Dies stimmt mit der Aufgabe überein.

\(\mu = 2\); \(\sigma = 2\)

- Vergleiche den Funktionsterm mit der allgemeinen Dichtefunktion der Normalverteilung, um die Werte für das Zentrum und die Streuung zu finden. - Überlege, welcher Parameter die Breite und welcher die Lage der Glockenkurve beeinflusst. - Beachte, dass eine Streckung der Breite bei einer Wahrscheinlichkeitsdichte immer eine Anpassung der Höhe nach sich zieht, damit die Fläche unter dem Graphen konstant bleibt. - Wo befindet sich das Maximum der Standardnormalverteilung und wie verändert es sich durch die Transformationen?

1. Vergleich der Funktionsgleichung mit der allgemeinen Form \(\varphi_{\mu; \sigma}(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\) liefert die Parameter \(\sigma = 2{,}5\) und \(\mu = -4\). Der Graph von \(\varphi_{0; 1}\) wird zunächst in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\sigma = 2{,}5\) gestreckt. Anschließend erfolgt eine Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{\sigma} = \frac{1}{2{,}5} = 0{,}4\). Zuletzt wird der Graph um \(4\) Einheiten nach links (Verschiebung um \(\mu = -4\)) in \(x\)-Richtung verschoben. 2. Der Hochpunkt der Standardnormalverteilung liegt bei \(H_0(0 \mid \frac{1}{\sqrt{2\pi}})\). Durch die Verschiebung liegt die \(x\)-Koordinate bei \(x = -4\). Durch die vertikale Stauchung ergibt sich die \(y\)-Koordinate zu \(y = \frac{1}{2{,}5 \cdot \sqrt{2\pi}}\). Der Hochpunkt ist somit \(H(-4 \mid \frac{1}{2{,}5 \cdot \sqrt{2\pi}})\).

1. Streckung in \(x\)-Richtung mit Faktor \(2{,}5\), Stauchung in \(y\)-Richtung mit Faktor \(0{,}4\) und Verschiebung um \(4\) Einheiten nach links. 2. \(H\left(-4 \mid \frac{1}{2{,}5 \cdot \sqrt{2\pi}}\right)\)

- Welche Auswirkungen haben Streckungen auf den Flächeninhalt unter einem Graphen? - Wie hängen der Streckfaktor in \(x\)-Richtung und die Standardabweichung zusammen? - Welche Koordinate des Hochpunkts wird durch die Verschiebung beeinflusst? - Nutze die Information über den Funktionswert des Hochpunkts, um auf die Form der Glockenkurve rückzuschließen.

1. Die Verschiebung in \(x\)-Richtung um \(5\) Einheiten nach rechts bestimmt den Erwartungswert, also gilt \(\mu = 5\). 2. Der Funktionswert des Hochpunkts einer Normalverteilung ist allgemein gegeben durch \(\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\). Durch den Vergleich mit \(y_H = \frac{1}{4 \cdot \sqrt{2\pi}}\) folgt direkt \(\sigma = 4\). 3. Die Streckung in \(x\)-Richtung entspricht dem Parameter \(\sigma\), also ist der Streckfaktor \(k = \sigma = 4\). 4. Damit die Fläche unter der Kurve \(1\) bleibt, muss bei einer Streckung in \(x\)-Richtung um den Faktor \(\sigma\) eine Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{\sigma}\) erfolgen. Der gesuchte Skalierungsfaktor in \(y\)-Richtung ist somit \(\frac{1}{4} = 0{,}25\).

\(\mu = 5\), \(\sigma = 4\), Skalierungsfaktor in \(y\)-Richtung: \(0{,}25\).

- Vergleiche den Funktionsterm mit der allgemeinen Formel für die Dichtefunktion der Normalverteilung. - Welcher Wert in der Formel steht an der Stelle, die das Zentrum der Glockenkurve angibt? - Achte beim Exponenten darauf, wie der Nenner mit der Standardabweichung zusammenhängt. - Wie rechnet man einen konkreten Wert in einen z-Wert um, um die Standardnormalverteilung zu nutzen?

1. Vergleich der gegebenen Funktion mit der allgemeinen Dichtefunktion der Normalverteilung \(\varphi_{\mu, \sigma}(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\). Da \(f(x)\) diese Struktur besitzt, liegt eine Normalverteilung vor. 2. Bestimmung von \(\mu\) aus dem Zähler des Exponenten: \(x - \mu = x - 1{,}02 \implies \mu = 1{,}02\). 3. Bestimmung von \(\sigma\) aus dem Nenner des Exponenten: \(2\sigma^2 = 0{,}0008 \implies \sigma^2 = 0{,}0004 \implies \sigma = 0{,}02\). Der Vorfaktor \(\frac{1}{\sqrt{0{,}0008\pi}}\) bestätigt dies, da \(\sigma\sqrt{2\pi} = \sqrt{\sigma^2 \cdot 2\pi} = \sqrt{0{,}0004 \cdot 2\pi} = \sqrt{0{,}0008\pi}\). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit \(P(X < 1{,}00)\) durch Standardisierung: \(z = \frac{1{,}00 - 1{,}02}{0{,}02} = -1\). 5. Ablesen oder Berechnen des Wertes: \(P(X < 1{,}00) = \Phi(-1) = 1 - \Phi(1) \approx 1 - 0{,}8413 = 0{,}1587\).

a) Die Funktion entspricht der Form der gaußschen Glockenkurve. Der Erwartungswert beträgt \(\mu = 1{,}02\,\text{kg}\) und die Standardabweichung \(\sigma = 0{,}02\,\text{kg}\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(15{,}87\,\%\).

- Wie lässt sich der Erwartungswert direkt aus den Koordinaten des Hochpunkts ablesen? - Nutze die Formel für den Maximalwert der Dichtefunktion, um die Standardabweichungen zu berechnen. - Was bedeutet eine größere Standardabweichung für die Form der Glockenkurve im Vergleich zu einer kleineren? - Denk daran, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit (Fläche unter der Kurve) immer \(1\) sein muss. Was passiert mit der Höhe, wenn die Kurve breiter wird?

1. Bestimmung der Parameter für \(X\): \(\mu_X = 10\). Berechnung von \(\sigma_X\) über \(0{,}2 = \frac{1}{\sigma_X \cdot \sqrt{2\pi}} \Rightarrow \sigma_X = \frac{1}{0{,}2 \cdot \sqrt{2\pi}} \approx 1{,}99\). 2. Bestimmung der Parameter für \(Y\): \(\mu_Y = 20\). Berechnung von \(\sigma_Y\) über \(0{,}05 = \frac{1}{\sigma_Y \cdot \sqrt{2\pi}} \Rightarrow \sigma_Y = \frac{1}{0{,}05 \cdot \sqrt{2\pi}} \approx 7{,}98\). 3. Vergleich der Kurvenform: Eine größere Standardabweichung führt zu einer breiteren und damit flacheren Kurve (da die Fläche unter dem Graph konstant \(1\) sein muss). 4. Da \(\sigma_Y > \sigma_X\) (\(7{,}98 > 1{,}99\)), verläuft die Kurve der Zufallsgröße \(Y\) flacher.

a) \(X\): \(\mu_X = 10\), \(\sigma_X \approx 1{,}99\); \(Y\): \(\mu_Y = 20\), \(\sigma_Y \approx 7{,}98\) b) Die Kurve von \(Y\) ist flacher, da ihre Standardabweichung \(\sigma_Y\) deutlich größer ist als \(\sigma_X\).

- Welche Rolle spielen die Parameter \(\mu\) und \(\sigma\) für die Position und die Breite der Glockenkurve? - Wie ändert sich die Höhe des Gipfels, wenn die Kurve schmaler wird, damit die Fläche unter dem Graphen gleich bleibt? - An welchen Stellen relativ zum Erwartungswert treten bei einer Normalverteilung typischerweise die Wendepunkte auf? - Erinnere dich an die allgemeine Formel für den maximalen Wert der Dichtefunktion an der Stelle \(x = \mu\).

1. Vergleich der Lage und Form: Der Graph von \(f\) ist im Vergleich zu \(\varphi_{0; 1}\) um \(4\) Einheiten nach rechts in positive \(x\)-Richtung verschoben (\(\mu = 4\)). Da \(\sigma = 0{,}5 < 1\) ist, verläuft der Graph schmaler und steiler; er ist in \(x\)-Richtung gestaucht und in \(y\)-Richtung gestreckt. 2. Maximum: Das Maximum liegt bei \(x = \mu = 4\). Der Funktionswert ist \(f(4) = \frac{1}{0{,}5 \cdot \sqrt{2\pi}} = \frac{2}{\sqrt{2\pi}} \approx 0{,}7979\). Im Vergleich dazu liegt das Maximum von \(\varphi_{0; 1}\) bei \(x = 0\) mit dem Wert \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \approx 0{,}3989\). Der maximale Wert von \(f\) ist also genau doppelt so groß. 3. Wendepunkte: Die Wendepunkte der Dichtefunktion liegen bei \(x = \mu \pm \sigma\). Hier ergibt sich \(x_1 = 4 - 0{,}5 = 3{,}5\) und \(x_2 = 4 + 0{,}5 = 4{,}5\).

a) Der Graph ist um \(4\) Einheiten nach rechts verschoben und aufgrund von \(\sigma = 0{,}5\) schmaler und höher als der Standardgraph. b) Hochpunkt \(H(4 \mid \frac{2}{\sqrt{2\pi}}) \approx H(4 \mid 0{,}7979)\). Der \(y\)-Wert ist doppelt so hoch wie bei der Standardnormalverteilung (\(\approx 0{,}3989\)). c) Die Wendepunkte liegen bei \(x_1 = 3{,}5\) und \(x_2 = 4{,}5\).

- Woran erkennst du im Funktionsterm, ob ein Graph symmetrisch zur \(y\)-Achse ist? - Überlege, wie sich Änderungen im Argument der Funktion (also direkt am \(x\)) auf den Graphen auswirken. - Was passiert mit einer Symmetrieachse, wenn man das gesamte Objekt verschiebt?

a) Nachweis der Achsensymmetrie für \(\varphi_{0; 1}\): Durch Einsetzen von \(-x\) in die Funktionsgleichung ergibt sich \(\varphi_{0; 1}(-x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2}(-x)^2} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2} = \varphi_{0; 1}(x)\). Da \(\varphi_{0; 1}(-x) = \varphi_{0; 1}(x)\) gilt, ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse (\(x=0\)). b) Beschreibung der Transformationen: Zuerst erfolgt eine Skalierung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\sigma\), was zu \(\varphi_{0; 1}(\frac{x}{\sigma})\) führt. Anschließend wird der Graph um \(\mu\) Einheiten in \(x\)-Richtung verschoben (nach rechts für \(\mu > 0\)), was den Term \(\varphi_{0; 1}(\frac{x-\mu}{\sigma})\) ergibt. Zuletzt erfolgt eine Skalierung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{\sigma}\), um die Normierungsbedingung (Flächeninhalt 1) zu erhalten. c) Begründung der Symmetrieachse: Die ursprüngliche Symmetrieachse liegt bei \(x = 0\). Eine Skalierung in \(x\)-Richtung verändert die Lage dieser vertikalen Achse nicht. Die Verschiebung in \(x\)-Richtung um den Wert \(\mu\) verschiebt jedoch die gesamte Kurve und damit auch die Symmetrieachse an die Stelle \(x = \mu\). Die abschließende Skalierung in \(y\)-Richtung ändert die horizontale Lage der Symmetrieachse nicht mehr.

a) Nachweis über \(\varphi_{0; 1}(-x) = \varphi_{0; 1}(x)\). b) Skalierung in \(x\)-Richtung mit Faktor \(\sigma\), Verschiebung in \(x\)-Richtung um \(\mu\), Skalierung in \(y\)-Richtung mit Faktor \(\frac{1}{\sigma}\). c) Die Symmetrieachse \(x=0\) wird durch die Verschiebung um \(\mu\) auf \(x=\mu\) abgebildet; Skalierungen verändern die Lage einer vertikalen Symmetrieachse nicht.

- Kannst du den Bruch innerhalb der Klammer im Exponenten vereinfachen? - Nutze Potenzgesetze, um den Vorfaktor unter eine Wurzel zu ziehen oder umgekehrt. - Überlege, wie du den Term im Exponenten so umschreiben kannst, dass nur noch \((x - \text{etwas})\) im Zähler steht. - Was muss für den Vorfaktor gelten, damit die Fläche unter der Kurve genau \(1\) ergibt?

1. Umformung des Ausdrucks in der Klammer des Exponenten: \(\frac{2x - 10}{8} = \frac{2(x-5)}{8} = \frac{x-5}{4}\). 2. Einsetzen in die Funktionsgleichung ergibt \(g(x) = \frac{1}{\sqrt{32\pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2} \left(\frac{x-5}{4}\right)^2}\). 3. Vergleich mit der Standardform \(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2} \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\) liefert \(\mu = 5\) und \(\sigma = 4\). 4. Prüfung des Koeffizienten: \(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} = \frac{1}{4\sqrt{2\pi}} = \frac{1}{\sqrt{4^2 \cdot 2\pi}} = \frac{1}{\sqrt{16 \cdot 2\pi}} = \frac{1}{\sqrt{32\pi}}\). 5. Der Koeffizient passt exakt zur Standardabweichung \(\sigma = 4\), womit die Funktion eine Dichtefunktion der Normalverteilung darstellt.

Durch Umformung der Klammer zu \(\frac{x-5}{4}\) erkennt man die Parameter \(\mu = 5\) und \(\sigma = 4\). Wegen \(\frac{1}{4\sqrt{2\pi}} = \frac{1}{\sqrt{32\pi}}\) ist die Bedingung für eine Dichtefunktion einer Normalverteilung erfüllt.

- Wo liegt bei der gaußschen Glockenkurve immer der höchste Punkt? - Wie hängen der maximale Funktionswert und die Parameter der Normalverteilung zusammen? - Betrachte den Abstand der Intervallgrenzen zum Erwartungswert im Vergleich zur Standardabweichung.

1. Der Hochpunkt der Dichtefunktion \(\varphi_{\mu; \sigma}(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\) liegt stets bei \((\mu \mid \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}})\). Aus der Aufgabenstellung folgt direkt \(\mu = 4\). Für die Standardabweichung gilt \(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} = \frac{1}{\sqrt{18\pi}}\). Durch Quadrieren beider Seiten ergibt sich \(\frac{1}{2\pi\sigma^2} = \frac{1}{18\pi}\), woraus \(2\sigma^2 = 18\) und somit \(\sigma^2 = 9\) bzw. \(\sigma = 3\) folgt. 2. Gesucht ist \(P(1 \le X \le 7)\). Da \(\mu = 4\) und \(\sigma = 3\), lässt sich das Intervall als \([\mu - \sigma; \mu + \sigma]\) schreiben: \([4 - 3; 4 + 3] = [1; 7]\). Nach der bekannten \(\sigma\)-Regel für die Normalverteilung beträgt die Wahrscheinlichkeit für dieses Intervall etwa \(68{,}3\,\%\). Mit der Standardnormalverteilung berechnet man \(\Phi(1) - \Phi(-1) = 2 \cdot \Phi(1) - 1 \approx 2 \cdot 0{,}8413 - 1 = 0{,}6826\).

1. \(\mu = 4\), \(\sigma = 3\) 2. \(P(1 \le X \le 7) \approx 0{,}683\) (bzw. \(68{,}3\,\%\))

- Nutze zuerst die Symmetrie um \(\mu=120\), um die beiden Seiten der Ungleichung vergleichbar zu machen. - Welche Grenze auf der linken Seite gehört dabei zur Grenze \(150\) auf der rechten Seite? - Danach genügt eine Ordnungseigenschaft der kumulierten Wahrscheinlichkeit.

1. Wegen der Symmetrie um \(\mu=120\) gilt \(P(X\ge150)=P(X\le90)\), denn \(150=120+30\) und \(90=120-30\). 2. Damit lautet die Ungleichung \(P(X\le120+k)\le P(X\le90)\). 3. Die Verteilungsfunktion einer Normalverteilung ist streng monoton steigend. Daher gilt genau dann \(120+k\le90\). 4. Somit ist \(k\le-30\).

\(k\le-30\). Wegen der Symmetrie um \(120\) gilt \(P(X\ge150)=P(X\le90)\). Da die Verteilungsfunktion monoton wächst, ist \(P(X\le120+k)\le P(X\le90)\) genau dann erfüllt, wenn \(120+k\le90\), also \(k\le-30\).

- Vergleiche zuerst Lage und Form der beiden Glockenkurven. - Überlege, welche Stelle einer Normaldichte ihre Mitte festlegt. - Für die Streuung kannst du entweder die Hochpunkthöhe oder die sichtbaren Krümmungswechsel nutzen.

1. Die Symmetrieachse und der Hochpunkt von \(f\) liegen bei \(x=-1\). Daher ist \(\mu_1=-1\). Der Hochpunkt hat ungefähr die Höhe \(0{,}8\). Mit \(f(\mu)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\) ergibt sich \(\sigma_1\approx\frac{1}{0{,}8\sqrt{2\pi}}\approx0{,}5\). 2. Die Symmetrieachse und der Hochpunkt von \(g\) liegen bei \(x=2\). Daher ist \(\mu_2=2\). Der Hochpunkt hat ungefähr die Höhe \(0{,}4\). Damit folgt \(\sigma_2\approx\frac{1}{0{,}4\sqrt{2\pi}}\approx1{,}0\). 3. Alternativ lässt sich \(\sigma\) näherungsweise über den Abstand der Wendestellen von der jeweiligen Symmetrieachse abschätzen.

Graph \(f\): \(\mu_1=-1\), weil dort die Symmetrieachse liegt; \(\sigma_1\approx0{,}5\), passend zur schmalen Kurve und den nahen Krümmungswechseln. Graph \(g\): \(\mu_2=2\), weil dort die Symmetrieachse liegt; \(\sigma_2\approx1{,}0\), passend zur breiteren Kurve und den weiter entfernten Krümmungswechseln.

- Vergleiche zuerst die Lage der drei Symmetrieachsen. - Vergleiche anschließend, wie hoch und wie breit die drei Kurven sind. - Für b) untersuche die Dichteformel genau an der Stelle \(x=\mu\).

1. Die Erwartungswerte ergeben sich aus den Symmetrieachsen beziehungsweise Hochpunkten: \(\mu_1=-2\), \(\mu_2=3\) und \(\mu_3=0\). 2. Die Hochpunkte liegen ungefähr bei \(0{,}4\), \(0{,}2\) und \(0{,}1\). Wegen \(f(\mu)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\) erhält man daraus näherungsweise \(\sigma_1\approx1\), \(\sigma_2\approx2\) und \(\sigma_3\approx4\). Die sichtbaren Abstände der Wendestellen von den Hochpunkten bestätigen diese Schätzungen. 3. Bei \(x=\mu\) ist der Exponentialterm der Normaldichte gleich \(1\). Deshalb gilt \(f(\mu)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\). Die Hochpunkthöhe ist somit umgekehrt proportional zu \(\sigma\): Größeres \(\sigma\) bedeutet einen niedrigeren und breiteren Graphen.

a) \(\mu_1=-2\), \(\sigma_1\approx1\); \(\mu_2=3\), \(\sigma_2\approx2\); \(\mu_3=0\), \(\sigma_3\approx4\). Die Erwartungswerte liegen an den Symmetrieachsen; die Standardabweichungen erkennt man an der unterschiedlichen Breite der Kurven bzw. am Abstand der Krümmungswechsel von der Mitte. b) \(f(\mu)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\). Daher ist die Hochpunkthöhe umgekehrt proportional zu \(\sigma\): Eine größere Standardabweichung führt zu einem niedrigeren Hochpunkt.

- Welche Symmetrieeigenschaft besitzt jede Normaldichte? - Vergleiche beim grünen Graphen den Exponenten mit der allgemeinen Form einer Normaldichte und prüfe anschließend den notwendigen Vorfaktor. - Beim blauen Graphen liefern Symmetrieachse und ungefähre Wendepunktabstände Hinweise auf \(\mu\) und \(\sigma\).

1. Beim grünen Graphen zeigt der Exponent die Form einer Normaldichte mit \(\mu=2\) und \(\sigma=1\). Dann müsste der Vorfaktor jedoch \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\approx0{,}399\) sein. Der tatsächliche Vorfaktor \(0{,}6\) ist damit unvereinbar; \(g\) ist keine normierte Normaldichte. 2. Der rote Graph \(h\) ist sichtbar nicht symmetrisch zu einer vertikalen Achse durch sein Maximum. Eine Normaldichte ist dagegen stets symmetrisch zu \(x=\mu\). Daher scheidet \(h\) aus. 3. Beim blauen Graphen \(f\) liegt die Symmetrieachse ungefähr bei \(x=2\), also \(\mu\approx2\). Die Wendebereiche liegen ungefähr bei \(x=1\) und \(x=3\). Ihr Abstand vom Zentrum beträgt etwa \(1\), daher \(\sigma\approx1\).

a) \(g\) ist wegen des zum Exponenten unpassenden Vorfaktors nicht normiert; \(h\) ist nicht symmetrisch und kann daher keine Normaldichte sein. b) \(\mu\approx2\), \(\sigma\approx1\)

- Welche sichtbaren Merkmale der Kurve helfen dir, ihre Lage und ihre Streuung zu beschreiben? - Für die geforderte Untergrenze genügt eine einfache Fläche, die sicher vollständig unter dem Graphen liegt. - Welche wenigen Werte musst du dafür ungefähr aus dem Graphen ablesen?

1. Der Hochpunkt und die Symmetrieachse liegen bei \(x=5\), also ist \(\mu=5\). Die Krümmung wechselt sichtbar ungefähr bei \(x=3\) und \(x=7\). Der Abstand zum Mittelwert ist jeweils etwa \(2\), daher \(\sigma\approx2\). 2. Auf \([5;7]\) ist der Graph konkav, daher liegt die Verbindungsstrecke der beiden Randpunkte unter der Kurve. Aus dem Graphen liest man ungefähr \(f(5)\approx0{,}20\) und \(f(7)\approx0{,}12\) ab. Das darunterliegende Trapez hat die Fläche \(A\approx\frac{0{,}20+0{,}12}{2}\cdot2=0{,}32\). Somit ist \(P(5\le X\le7)>0{,}32>0{,}3\).

1. \(\mu=5\), weil die Symmetrieachse und der Hochpunkt bei \(x=5\) liegen; \(\sigma\approx2\), weil die Krümmungswechsel ungefähr \(2\) Einheiten links und rechts davon liegen. 2. Ein unter dem Graphen liegendes Trapez hat ungefähr die Fläche \(0{,}32\); daher gilt \(P(5\le X\le7)>0{,}3\).

- Vergleiche bei beiden Kurven Lage, Breite und sichtbare Krümmungswechsel. - Welche dieser Merkmale helfen dir, \(\mu\) und \(\sigma\) zu schätzen? - Nutze für die Wahrscheinlichkeitsfrage die Symmetrie der Normalverteilung. - Begründe den Vergleich in c) mit der unterschiedlichen Streuung der beiden Modelle.

1. Die Hochpunkte liegen bei \(x=2\) und \(x=5\), daher sind \(\mu_1=2\) und \(\mu_2=5\). Die sichtbaren Wendestellen liegen ungefähr eine beziehungsweise zwei Einheiten von den Hochpunkten entfernt. Somit gilt \(\sigma_1\approx1\) und \(\sigma_2\approx2\). 2. Wegen der Symmetrie einer Normalverteilung liegen jeweils \(50\,\%\) der Wahrscheinlichkeit links und rechts vom Erwartungswert. Daher gilt \(P(X_1\le\mu_1)=0{,}5\) und \(P(X_2\le\mu_2)=0{,}5\). 3. Der Graph von \(X_1\) ist schmaler und stärker um seinen Erwartungswert konzentriert als der Graph von \(X_2\). Deshalb liegt bei \(X_1\) mehr Wahrscheinlichkeit im gleich breiten, zentrierten Intervall.

a) \(\mu_1=2\), \(\sigma_1\approx1\); \(\mu_2=5\), \(\sigma_2\approx2\). Die Erwartungswerte liegen an den Symmetrieachsen; die unterschiedliche Breite bzw. die Krümmungswechsel liefern die Schätzung für \(\sigma\). b) \(P(X_1\le\mu_1)=0{,}5\), \(P(X_2\le\mu_2)=0{,}5\), weil beide Normalverteilungen symmetrisch um ihren Erwartungswert sind. c) Bei \(X_1\) liegt mehr Wahrscheinlichkeit im angegebenen Intervall: \([1;3]\) reicht bis \(\mu_1\pm\sigma_1\), während \([4;6]\) bei \(X_2\) nur bis etwa \(\mu_2\pm0{,}5\sigma_2\) reicht.

- Welche sichtbaren Merkmale der Normaldichte helfen dir, ihre Lage und Streuung zu bestimmen? - Vergleiche deine graphische Schätzung mit der angegebenen Hochpunktformel. - Überlege für c), welcher Parameter unverändert bleibt und welcher verändert wird. - Wie wirkt sich diese Änderung auf die Form und die Höhe der Dichte aus?

1. Der Hochpunkt liegt bei \(x=10\), daher ist \(\mu=10\). Der Krümmungswechsel ist ungefähr bei \(x=8\) und \(x=12\) zu erkennen; deshalb ist \(\sigma\approx2\). 2. Mit \(\sigma\approx2\) gilt \(f(10)=\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}\approx0{,}20\). Der Hochpunkt liegt also ungefähr bei \((10\mid0{,}20)\). 3. Durch Verdoppeln ergibt sich \(\sigma_{\text{neu}}\approx4\). Die Kurve wird breiter und flacher. Das Maximum bleibt bei \(x=10\) und hat mit diesem Schätzwert ungefähr die Höhe \(f(10)=\frac{1}{4\sqrt{2\pi}}\approx0{,}10\). Der neue Hochpunkt ist damit ungefähr \((10\mid0{,}10)\). Die neuen Wendestellen liegen näherungsweise bei \(x=6\) und \(x=14\).

a) \(\mu=10\), weil dort Symmetrieachse und Hochpunkt liegen; \(\sigma\approx2\), weil die Krümmungswechsel etwa bei \(8\) und \(12\) liegen. b) Hochpunkt ungefähr \((10\mid0{,}20)\) c) \(\sigma_{\text{neu}}\approx4\); die Kurve wird breiter und flacher, weil sich die Streuung verdoppelt. Hochpunkt ungefähr \((10\mid0{,}10)\), Wendestellen näherungsweise bei \(x=6\) und \(x=14\).

- Welche graphischen Merkmale der beiden Verteilungsfunktionen geben Auskunft über Lage und Streuung? - Vergleiche die Kurven in der Umgebung ihres stärksten Anstiegs. - Wie lässt sich eine Steigung aus einem Graphen näherungsweise bestimmen? - Nutze die im Text angegebene Beziehung erst mit deiner eigenen Steigungsschätzung.

1. Beide Verteilungsfunktionen nehmen den Wert \(0{,}5\) bei \(x=2\) an. Daher gilt \(\mu_1=\mu_2=2\). 2. \(F_1\) steigt steiler an als \(F_2\). Deshalb gehört zu \(F_1\) die kleinere und zu \(F_2\) die größere Standardabweichung. 3. Die maximale Steigung von \(F_2\) lässt sich in der Umgebung von \(x=2\) mit einer Sekante schätzen. Aus dem Graphen liest man etwa \(F_2(1{,}5)\approx0{,}369\) und \(F_2(2{,}5)\approx0{,}631\). Daher ist \(m\approx\frac{0{,}631-0{,}369}{2{,}5-1{,}5}=0{,}262\). 4. Mit \(0{,}262\approx\frac{0{,}4}{\sigma_2}\) folgt \(\sigma_2\approx\frac{0{,}4}{0{,}262}\approx1{,}53\), also etwa \(1{,}5\).

a) \(\mu_1=\mu_2=2\), weil beide Verteilungsfunktionen ihren stärksten Anstieg um \(x=2\) haben. b) \(\sigma_2>\sigma_1\), weil \(F_2\) um den gemeinsamen Mittelpunkt flacher ansteigt und sich über einen größeren \(x\)-Bereich verändert. c) maximale Steigung von \(F_2\) etwa \(0{,}26\); daraus \(\sigma_2\approx1{,}5\)

- Welches sichtbare Merkmal des Graphen bestimmt seine Mitte? - Nutze den in a) bestimmten Mittelpunkt, um das Intervall aus b) im Graphen zu lokalisieren. - Zähle für b) nur die ganzen und anteiligen Kästchen im so entstehenden Intervall. - Nutze für c) die Symmetrie der Normalverteilung zusammen mit deiner Flächenschätzung.

1. Der Hochpunkt und die Symmetrieachse liegen bei \(x=500\). Daher ist \(\mu=500\,\text{g}\). 2. Das Intervall ist \([500;505]\). Die Fläche unter der Kurve umfasst dort ungefähr \(7{,}7\) Kästchen. Bei \(0{,}025\) Flächeninhalt je Kästchen ergibt sich \(P(\mu\le X\le\mu+5\,\text{g})\approx0{,}19\). 3. Wegen der Symmetrie gilt \(F(\mu)=0{,}5\). Daher ist \(F(\mu+5\,\text{g})\approx0{,}5+0{,}19=0{,}69\). 4. Bei kleinerer Standardabweichung wird die Dichtekurve bei gleichem Erwartungswert schmaler und höher; die Symmetrieachse bleibt unverändert.

a) \(\mu=500\,\text{g}\) b) etwa \(0{,}19\) c) \(F(\mu+5\,\text{g})\approx0{,}69\) d) Der Graph wird schmaler und höher; sein Mittelpunkt bleibt unverändert.

- Vergleiche die beiden Kurven zuerst an ihrer jeweiligen Mitte. - Welche Kurve ändert sich dort auf einer kürzeren \(x\)-Strecke stärker? - Vergleiche für c) die \(x\)-Koordinate am Mittelpunkt von Kurve \(a\) mit der \(x\)-Koordinate bei \(F(x)\approx0{,}841\).

1. Der Erwartungswert liegt dort, wo die Verteilungsfunktion den Wert \(0{,}5\) annimmt. Für Atlas liegt dieser Wert bei etwa \(10{,}0\,\text{mm}\), für Nova bei etwa \(10{,}5\,\text{mm}\). Daher hat Nova den größeren mittleren Durchmesser. 2. Kurve \(b\) steigt um ihren Mittelpunkt deutlich steiler an als Kurve \(a\). Deshalb ist die Standardabweichung von Nova kleiner. 3. Für Atlas ist \(\mu_A\approx10{,}0\,\text{mm}\). Bei \(F(x)\approx0{,}841\) liest man \(x\approx10{,}4\,\text{mm}\) ab. Daher ist \(\sigma_A\approx10{,}4-10{,}0=0{,}4\,\text{mm}\).

a) Nova, weil der Mittelpunkt von Kurve \(b\) weiter rechts liegt und damit der mittlere Durchmesser größer ist. b) Nova, weil Kurve \(b\) im Bereich ihres Mittelpunkts steiler ansteigt; eine steilere Verteilungsfunktion entspricht einer kleineren Standardabweichung. c) \(\sigma_A\approx0{,}4\,\text{mm}\)

- Welche Ableitungsregel brauchst du bei einer zusammengesetzten Exponentialfunktion? - Wie wird ein uneigentliches Integral mit zwei unendlichen Grenzen definiert? - Welches Grenzverhalten hat der Exponentialterm für große positive und negative Beträge? - Welche Bedeutung hat \(\int zf(z)\,\mathrm{d}z\) für eine stetige Zufallsgröße? - Wie hängt der Vorfaktor einer Normaldichte von \(\sigma\) ab?

1. Mit der Kettenregel gilt \(g'(z)=-e^{-\frac{1}{2}z^2}(-z)=ze^{-\frac{1}{2}z^2}=h(z)\). Damit ist \(g\) eine Stammfunktion von \(h\). 2. Das uneigentliche Integral wird bei \(0\) getrennt. Für die linke Seite gilt \(\lim_{a\to-\infty}\int_a^0 h(z)\,\mathrm{d}z=\lim_{a\to-\infty}(g(0)-g(a))=-1\). Für die rechte Seite gilt \(\lim_{b\to+\infty}\int_0^b h(z)\,\mathrm{d}z=\lim_{b\to+\infty}(g(b)-g(0))=1\). Daher ist \(\int_{-\infty}^{+\infty}z\phi(z)\,\mathrm{d}z=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}(-1+1)=0\). Damit ist der Erwartungswert \(\mu=0\). 3. Es ist \(\phi(0)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\approx0{,}3989\). Bei größerer Standardabweichung ist der Vorfaktor \(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\) kleiner; die Dichtekurve wird flacher und ihr Maximum sinkt.

a) \(g'(z)=ze^{-\frac{1}{2}z^2}=h(z)\) b) \(0\); berechnet wurde der Erwartungswert \(\mu=0\). c) \(\phi(0)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\approx0{,}3989\); bei größerem \(\sigma\) sinkt die maximale Höhe.

- Welche Struktur muss der Exponent einer Gaußfunktion haben? Eine quadratische Ergänzung oder Ausklammern könnte helfen. - Welche Rolle spielt die Standardabweichung \(\sigma\) für den Vorfaktor der Funktion? - Gibt es eine bekannte Eigenschaft der Normalverteilung, die die Position der Wendestellen direkt mit den Parametern \(\mu\) und \(\sigma\) verknüpft? - Überlege, welche Bedingungen erfüllt sein müssen, damit die Fläche unter der Kurve genau \(1\) ergibt.

1. Faktorisierung des Exponenten: \(-0{,}125(x^2 - 4x + 4) = -0{,}125(x-2)^2\). 2. Bestimmung von \(\mu\) und \(\sigma\): Der Vergleich mit \(-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2\) ergibt \(\mu = 2\) und \(\frac{1}{2\sigma^2} = 0{,}125 = \frac{1}{8}\). Daraus folgt \(\sigma^2 = 4\), also \(\sigma = 2\). 3. Berechnung der Konstanten \(c\): In der Standardform gilt \(c = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\). Einsetzen von \(\sigma = 2\) ergibt \(c = \frac{1}{2\sqrt{2\pi}}\). 4. Bestimmung der Wendestellen: Bei einer gaußschen Glockenfunktion liegen die Wendestellen exakt bei \(x_W = \mu \pm \sigma\). 5. Einsetzen der Werte: \(x_1 = 2 - 2 = 0\) und \(x_2 = 2 + 2 = 4\).

Der Wert der Konstanten ist \(c = \frac{1}{2\sqrt{2\pi}}\). Die Wendestellen des Graphen von \(f\) liegen bei \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 4\).

- Wie weist man rechnerisch nach, dass ein Graph symmetrisch zu einer senkrechten Achse \(x = a\) ist? - An welcher Stelle nimmt die Glockenkurve ihren höchsten Wert an und wie lautet der Term für diesen Wert? - Betrachte den Vorfaktor der Exponentialfunktion. Was passiert mit dem Gesamtwert des Bruchs, wenn der Nenner vergrößert wird?

1. Nachweis der Symmetrie: Zu zeigen ist \(\varphi_{\mu; \sigma}(\mu - h) = \varphi_{\mu; \sigma}(\mu + h)\) für ein beliebiges \(h \in \mathbb{R}\). Einsetzen in die Funktionsgleichung ergibt für die linke Seite \(\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} (\frac{(\mu-h)-\mu}{\sigma})^2} = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} (\frac{-h}{\sigma})^2}\) und für die rechte Seite \(\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} (\frac{(\mu+h)-\mu}{\sigma})^2} = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} (\frac{h}{\sigma})^2}\). Da \((-h)^2 = h^2\), sind beide Ausdrücke identisch. 2. Bestimmung von \(\sigma\): Das Maximum liegt bei \(x = \mu = 0\) mit dem Wert \(\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\). Die Gleichung \(\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \approx 0{,}133\) führt zu \(\sigma \approx \frac{1}{0{,}133 \cdot \sqrt{2\pi}} \approx 3{,}00\). 3. Veränderung des Maximums: Der maximale Funktionswert ist umgekehrt proportional zu \(\sigma\), da \(\varphi_{\mu; \sigma}(\mu) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\). Bei einer Vervierfachung von \(\sigma\) (neue Standardabweichung \(4\sigma\)) wird der Vorfaktor zu \(\frac{1}{4\sigma \sqrt{2\pi}}\), was genau einem Viertel des ursprünglichen Maximalwerts entspricht.

a) Durch Einsetzen von \(\mu-h\) und \(\mu+h\) in den Funktionsterm erhält man aufgrund des Quadrats im Exponenten identische Werte: \(\varphi_{\mu; \sigma}(\mu-h) = \dots e^{-\frac{1}{2}(\frac{-h}{\sigma})^2} = \dots e^{-\frac{1}{2}(\frac{h}{\sigma})^2} = \varphi_{\mu; \sigma}(\mu+h)\). b) \(\sigma \approx 3\). c) Der maximale Funktionswert wird geteilt durch \(4\) (bzw. auf ein Viertel reduziert), da \(\sigma\) im Nenner des Vorfaktors steht.