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- Welche beiden kumulierten Flächen begrenzen das gesuchte Intervall? - Eine Intervallwahrscheinlichkeit erhältst du aus der Differenz der Verteilungsfunktionswerte an der rechten und linken Grenze.

Für eine stetige Zufallsgröße ist die Intervallwahrscheinlichkeit die Differenz der kumulierten Wahrscheinlichkeiten an den Grenzen: \(P(42\le X\le58)=F(58)-F(42)=0{,}75-0{,}25=0{,}50\).

\(P(42\le X\le58)=0{,}50=50\,\%\)

- Welche Wahrscheinlichkeit beschreibt \(F(72)\) direkt? - Ergänze diese Wahrscheinlichkeit zur Gesamtwahrscheinlichkeit \(1\).

1. Das Ereignis \(X>72\) ist das Gegenereignis zu \(X\le72\). Daher gilt \(P(X>72)=1-F(72)=1-0{,}84=0{,}16\).

\(P(X>72)=0{,}16\)

- Wo liegt der Erwartungswert auf der symmetrischen Glockenkurve? - Welche Gesamtwahrscheinlichkeit liegt auf jeder Seite des Symmetriezentrums?

1. Die Normalverteilung ist symmetrisch um ihren Erwartungswert. Deshalb liegt die Hälfte der Gesamtwahrscheinlichkeit rechts von \(\mu=30\), also gilt \(P(X\ge30)=0{,}5\).

\(P(X\ge30)=0{,}5\)

- Überlege dir, welche besondere Eigenschaft die Normalverteilung hinsichtlich ihrer Symmetrie um den Erwartungswert hat. - Wie hängen Wahrscheinlichkeiten für Intervalle mit der Verteilungsfunktion \(\Phi\) zusammen? - Erinnere dich an die Bedeutung der Standardabweichung \(\sigma\) für die Wahrscheinlichkeiten in der Nähe von \(\mu\). - Was gilt allgemein für die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Punktes bei stetigen Verteilungen?

1. Berechnung von \(P(X \le 100)\): Da die Normalverteilung symmetrisch um \(\mu\) ist, gilt \(P(X \le \mu) = 0{,}5\). 2. Berechnung von \(P(X \le 110)\): Transformation in die Standardnormalverteilung mit \(z = \frac{110 - 100}{10} = 1\). Es folgt \(\Phi(1) \approx 0{,}8413\). 3. Berechnung von \(P(90 \le X \le 110)\): Dies entspricht dem \(1\sigma\)-Intervall um den Erwartungswert. Es gilt \(P(\mu - \sigma \le X \le \mu + \sigma) = \Phi(1) - \Phi(-1) = 2 \cdot \Phi(1) - 1 \approx 0{,}6827\). 4. Berechnung von \(P(X > 120)\): Transformation ergibt \(z = \frac{120 - 100}{10} = 2\). Die Gegenwahrscheinlichkeit ist \(1 - \Phi(2) \approx 1 - 0{,}9772 = 0{,}0228\). 5. Berechnung von \(P(X = 105)\): Bei stetigen Zufallsgrößen ist die Wahrscheinlichkeit für einen exakten Einzelwert stets \(0\).

a) \(P(X \le 100) = 0{,}5\) b) \(P(X \le 110) \approx 0{,}8413\) c) \(P(90 \le X \le 110) \approx 0{,}6827\) d) \(P(X > 120) \approx 0{,}0228\) e) \(P(X = 105) = 0\)

- Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall bei einer normalverteilten Zufallsgröße? - Überlege dir, wie du die gegebenen Werte in die Standardnormalverteilung transformieren kannst. - Welche Rolle spielt die Verteilungsfunktion \(\Phi\) dabei? - Denke an die Symmetrie der Normalverteilung um den Erwartungswert.

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für das Intervall \([60; 70]\): Die Grenzen werden transformiert zu \(z_1 = \frac{60-80}{10} = -2\) und \(z_2 = \frac{70-80}{10} = -1\). Die Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus \(\Phi(-1) - \Phi(-2) \approx 0{,}1587 - 0{,}0228 = 0{,}1359\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für das Intervall \([70; 80]\): Die Grenzen werden transformiert zu \(z_1 = -1\) und \(z_2 = \frac{80-80}{10} = 0\). Die Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus \(\Phi(0) - \Phi(-1) \approx 0{,}5000 - 0{,}1587 = 0{,}3413\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für das Intervall \([80; 95]\): Die Grenzen werden transformiert zu \(z_1 = 0\) und \(z_2 = \frac{95-80}{10} = 1{,}5\). Die Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus \(\Phi(1{,}5) - \Phi(0) \approx 0{,}9332 - 0{,}5000 = 0{,}4332\).

1. \(P(60 \le X \le 70) \approx 13{,}59\,\%\) 2. \(P(70 \le X \le 80) \approx 34{,}13\,\%\) 3. \(P(80 \le X \le 95) \approx 43{,}32\,\%\)

- Was bedeutet „mindestens“ mathematisch als Ungleichung? - Wie kannst du eine beliebig normalverteilte Größe in eine standardnormalverteilte Größe umwandeln? - Welche Rolle spielt die Symmetrie oder die Gegenwahrscheinlichkeit bei der Arbeit mit Verteilungstabellen?

1. Bestimmung des \(z\)-Wertes für die obere Grenze durch Standardisierung: \(z = \frac{x - \mu}{\sigma} = \frac{75 - 60}{12} = \frac{15}{12} = 1{,}25\). 2. Anwendung der Gegenwahrscheinlichkeit für den Bereich „mindestens“: \(P(X \ge 75) = 1 - P(X < 75) = 1 - \Phi(1{,}25)\). 3. Nachschlagen des Wertes in der Tabelle der Standardnormalverteilung: \(\Phi(1{,}25) \approx 0{,}8944\). 4. Berechnung der finalen Wahrscheinlichkeit: \(1 - 0{,}8944 = 0{,}1056\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(10{,}56\,\%\) (bzw. \(0{,}1056\)).

- Wo befindet sich bei einer normalverteilten Glockenkurve der Erwartungswert? Achte auf den höchsten Punkt der Kurve. - Wie hängen die Wendepunkte einer normalverteilten Dichtefunktion mit der Standardabweichung zusammen? - Nutze die Symmetrieeigenschaften der Glockenkurve und überlege, wie groß die gesamte Fläche unter der Kurve ist. - Welche Wahrscheinlichkeit beschreibt der Bereich innerhalb von einer Standardabweichung um den Erwartungswert herum? Erinnere dich an die Sigma-Regeln.

1. **Bestimmung von \(\mu\) und \(\sigma\)**: - Der Erwartungswert \(\mu\) entspricht der x-Koordinate des Hochpunkts (Symmetrieachse) der Glockenkurve. Aus der Abbildung liest man direkt ab: \(\mu = 3\). - Die Standardabweichung \(\sigma\) ist der Abstand zwischen dem Erwartungswert \(\mu\) und den Wendepunkten (Stellen der maximalen Steigung bzw. des maximalen Gefälles) des Graphen. Diese Wendepunkte liegen bei \(x = 2\) und \(x = 4\). Somit gilt: \(\sigma = 3 - 2 = 1\). 2. **Wahrscheinlichkeit \(P(X \le 3)\)**: - Da die Dichtefunktion einer Normalverteilung symmetrisch bezüglich ihres Erwartungswerts \(\mu = 3\) ist, liegt genau die Hälfte der Gesamtfläche links von \(x = 3\). - Da die Gesamtfläche unter jeder Dichtefunktion gleich \(1\) (bzw. \(100\,\%\)) ist, gilt: \(P(X \le 3) = 0{,}5\) (oder \(50\,\%\)). 3. **Wahrscheinlichkeit \(P(2 \le X \le 4)\)**: - Das Intervall \([2; 4]\) entspricht genau dem Intervall \([\mu - \sigma; \mu + \sigma]\), da \(\mu = 3\) und \(\sigma = 1\) ist. - Nach der bekannten \(1\sigma\)-Regel der Normalverteilung liegt die Wahrscheinlichkeit für dieses Intervall bei ca. \(68\,\%\) (genauer: ca. \(68{,}3\,\%\)). Somit ist \(P(2 \le X \le 4) \approx 0{,}68\) (oder \(68\,\%\)).

a) \(\mu = 3\), \(\sigma = 1\) b) \(P(X \le 3) = 0{,}5\) (bzw. \(50\,\%\)), da der Graph symmetrisch bezüglich der Symmetrieachse \(x = 3\) ist und die Gesamtfläche unter dem Graphen \(1\) beträgt. c) \(P(2 \le X \le 4) \approx 0{,}68\) (bzw. \(68\,\%\) oder \(68{,}3\,\%\)) nach der \(1\sigma\)-Regel.

- Was bedeutet die Fläche unter der Kurve für die Wahrscheinlichkeit? - Vergleiche die Lage der beiden Intervalle relativ zum Gipfel der Kurve. - Haben die Intervalle die gleiche Breite? - Wie verändern sich die Funktionswerte, wenn man sich vom Erwartungswert entfernt?

1. Interpretation der Wahrscheinlichkeit als Fläche: Die Wahrscheinlichkeit \(P(a \le X \le b)\) entspricht dem Flächeninhalt unter der Dichtefunktion im Intervall \([a; b]\). 2. Vergleich der Intervalle: Beide Intervalle \([10; 15]\) und \([15; 20]\) haben die gleiche Breite von \(5\) Einheiten. 3. Monotonie der Dichtefunktion: Da der Erwartungswert \(\mu = 10\) ist, liegt dort das Maximum der Glockenkurve. Für \(x > \mu\) ist die Dichtefunktion streng monoton fallend. 4. Schlussfolgerung: Da die Funktionswerte im Intervall \([10; 15]\) überall größer oder gleich den Funktionswerten im Intervall \([15; 20]\) sind, muss der Flächeninhalt über \([10; 15]\) größer sein. Somit gilt \(P(10 \le X \le 15) > P(15 \le X \le 20)\).

Die Wahrscheinlichkeit \(P(10 \le X \le 15)\) ist größer. Da beide Intervalle die gleiche Breite haben, aber das Intervall \([10; 15]\) näher am Erwartungswert (dem Maximum der Kurve) liegt, ist die Fläche unter dem Graphen in diesem Bereich größer als im weiter entfernten Intervall \([15; 20]\).

- Lies zuerst die beiden senkrechten Grenzen des markierten Bereichs auf der x-Achse ab. - Standardisiere anschließend beide Intervallgrenzen mit den gegebenen Parametern. - Eine Intervallwahrscheinlichkeit erhältst du als Differenz zweier Werte der Standardnormalverteilungsfunktion.

1. Aus der Abbildung liest man das Intervall \([42;49]\) ab. 2. Die standardisierten Grenzen sind \(z_1=\frac{42-45}{3}=-1\) und \(z_2=\frac{49-45}{3}=\frac{4}{3}\). 3. Daher ist \(P(42\le X\le49)=\Phi\left(\frac{4}{3}\right)-\Phi(-1)\approx0{,}7501\).

a) \([42;49]\) b) \(P(42\le X\le49)\approx0{,}7501\)

- Kannst du die gegebenen Füllmengen als Vielfache der Standardabweichung vom Mittelwert ausdrücken? - Nutze die Symmetrie der Glockenkurve, um Rechnungen zu vereinfachen. - Was bedeutet es für die Wahrscheinlichkeit, wenn ein Wert mehr als \(2\sigma\) oder \(2{,}5\sigma\) vom Mittelwert entfernt ist? - Überlege dir, wie man die Wahrscheinlichkeit für „Abweichung um mehr als...“ mit der Gegenwahrscheinlichkeit oder Symmetrie bestimmen kann.

1. Zu a): Da \(505\) dem Erwartungswert entspricht, ist \(P(X \le 505) = 0{,}5\). 2. Zu b): Das Intervall \([501; 509]\) entspricht \([\mu - 2\sigma; \mu + 2\sigma]\). Die Wahrscheinlichkeit im \(2\sigma\)-Intervall beträgt \(P(-2 \le Z \le 2) = \Phi(2) - \Phi(-2) \approx 0{,}9545\). 3. Zu c): Transformation für \(x = 500\) ergibt \(z = \frac{500 - 505}{2} = -2{,}5\). Es gilt \(P(X < 500) = \Phi(-2{,}5) = 1 - \Phi(2{,}5) \approx 1 - 0{,}9938 = 0{,}0062\). 4. Zu d): Da \(X\) eine stetige Zufallsgröße ist, gilt \(P(X = 505) = 0\). 5. Zu e): Gesucht ist \(P(|X - 505| > 5) = P(X < 500 \text{ oder } X > 510)\). Wegen Symmetrie ist dies \(2 \cdot P(X < 500) \approx 2 \cdot 0{,}0062 = 0{,}0124\).

a) \(P(X \le 505) = 0{,}5\) b) \(P(501 \le X \le 509) \approx 0{,}9545\) c) \(P(X < 500) \approx 0{,}0062\) d) \(P(X = 505) = 0\) e) \(P(|X - 505| > 5) \approx 0{,}0124\)

- Überlege, wie die Wahrscheinlichkeit bei einer stetigen Zufallsgröße mit Hilfe von Integralen berechnet wird. - Beachte, dass die Funktion in verschiedenen Abschnitten unterschiedlich definiert ist. Wie wirkt sich das auf das Integral aus? - Kannst du das gesuchte Intervall in Teilintervalle zerlegen, die zu den Funktionsabschnitten passen?

1. Aufteilung des gesuchten Intervalls \([1; 3]\) gemäß der abschnittsweise definierten Funktion in die Teilintervalle \([1; 2]\) und \([2; 3]\). 2. Berechnung des Integrals für den ersten Abschnitt: \(\int_{1}^{2} 0{,}2x \, dx = [0{,}1x^2]_{1}^{2} = 0{,}1 \cdot 2^2 - 0{,}1 \cdot 1^2 = 0{,}4 - 0{,}1 = 0{,}3\). 3. Berechnung des Integrals für den zweiten Abschnitt: \(\int_{2}^{3} 0{,}4 \, dx = [0{,}4x]_{2}^{3} = 0{,}4 \cdot 3 - 0{,}4 \cdot 2 = 1{,}2 - 0{,}8 = 0{,}4\). 4. Addition der Teilwahrscheinlichkeiten: \(P(1 \le X \le 3) = 0{,}3 + 0{,}4 = 0{,}7\).

\(P(1 \le X \le 3) = 0{,}7\)

- Welche Transformation hilft dir dabei, eine beliebige Normalverteilung auf die Standardnormalverteilung zurückzuführen? - Wie hängen die Grenzen des gesuchten Intervalls mit dem Erwartungswert und der Standardabweichung zusammen? - Erinnere dich an die Symmetrieeigenschaften der Glockenkurve, wenn du mit negativen Werten arbeitest. - Welches Hilfsmittel (Tabelle oder Taschenrechner) steht dir zur Verfügung, um die Werte der Verteilungsfunktion zu bestimmen?

1. Transformation der Intervallgrenzen in \(z\)-Werte (Standardisierung): \(z_1 = \frac{85 - 100}{15} = -1\) und \(z_2 = \frac{120 - 100}{15} = \frac{4}{3} \approx 1{,}3333\). 2. Ansatz über die Verteilungsfunktion \(\Phi\) der Standardnormalverteilung: \(P(85 \le X \le 120) = \Phi\left(\frac{4}{3}\right) - \Phi(-1)\). 3. Anwendung der Symmetrieeigenschaft: \(\Phi(-1) = 1 - \Phi(1)\). 4. Mit einer Tabelle oder einem Taschenrechner erhält man \(\Phi\left(\frac{4}{3}\right) \approx 0{,}9088\) und \(\Phi(-1) \approx 0{,}1587\). 5. Damit gilt \(P(85 \le X \le 120) \approx 0{,}9088 - 0{,}1587 = 0{,}7501\).

\(P(85 \le X \le 120) \approx 0{,}7501\)

- Wie hängen die Fläche unter der Dichtefunktion und die Wahrscheinlichkeit zusammen? - Achte bei abschnittsweise definierten Funktionen darauf, das Integral an den entsprechenden Stellen aufzuteilen. - Was bedeutet es für die Wahrscheinlichkeit eines exakten Wertes, wenn die Verteilung stetig ist? - Du kannst die Flächen in diesem Fall auch geometrisch als Dreiecke oder Trapeze berechnen.

1. Die Wahrscheinlichkeit \(P(X \le 1)\) entspricht dem Integral der Dichtefunktion von \(0\) bis \(1\). Die Berechnung liefert \(\int_0^1 0{,}4x \, dx = [0{,}2x^2]_0^1 = 0{,}2\). 2. Für \(P(X \le 3)\) wird das Integral von \(0\) bis \(3\) berechnet, aufgeteilt an der Nahtstelle \(x=1\). Dies ergibt \(P(X \le 1) + \int_1^3 (-0{,}1x + 0{,}5) \, dx = 0{,}2 + [-0{,}05x^2 + 0{,}5x]_1^3 = 0{,}2 + (1{,}05 - 0{,}45) = 0{,}8\). 3. Für \(P(0{,}5 \le X \le 2)\) summiert man die Teilintegrale: \(\int_{0{,}5}^1 0{,}4x \, dx + \int_1^2 (-0{,}1x + 0{,}5) \, dx = (0{,}2 - 0{,}05) + (0{,}8 - 0{,}45) = 0{,}15 + 0{,}35 = 0{,}5\). 4. Die Wahrscheinlichkeit \(P(X > 4)\) ergibt sich aus \(\int_4^5 (-0{,}1x + 0{,}5) \, dx = [-0{,}05x^2 + 0{,}5x]_4^5 = 1{,}25 - 1{,}2 = 0{,}05\). 5. Da \(X\) eine stetige Zufallsgröße ist, gilt für jeden Einzelwert \(P(X = k) = 0\), also \(P(X = 2) = 0\).

1. \(P(X \le 1) = 0{,}2\) 2. \(P(X \le 3) = 0{,}8\) 3. \(P(0{,}5 \le X \le 2) = 0{,}5\) 4. \(P(X > 4) = 0{,}05\) 5. \(P(X = 2) = 0\)

- Erinnere dich an die Standardisierung von Normalverteilungen, um die \(\Phi\)-Tabelle nutzen zu können. - Nutze die Symmetrie der Glockenkurve aus, um Wahrscheinlichkeiten für negative z-Werte oder Ausläufer zu berechnen. - Was sagen dir die \(\sigma\)-Regeln über die Wahrscheinlichkeiten in der Nähe des Erwartungswerts?

Die Zufallsgröße \(X\) ist \(N(100; 15^2)\)-verteilt. Die Transformation erfolgt über \(z = \frac{x - \mu}{\sigma}\). 1. \(P(85 \le X \le 115) = \Phi(1) - \Phi(-1) = 2\Phi(1) - 1 \approx 0{,}6827\). 2. \(P(X \le 70) = \Phi(-2) \approx 0{,}0228\). 3. \(P(X > 130) = 1 - \Phi(2) \approx 0{,}0228\). 4. Für die Grenzen gilt \(z_1 = \frac{110-100}{15} = \frac{2}{3}\) und \(z_2 = \frac{120-100}{15} = \frac{4}{3}\). Daher ist \(P(110 \le X \le 120) = \Phi\left(\frac{4}{3}\right) - \Phi\left(\frac{2}{3}\right) \approx 0{,}9088 - 0{,}7475 = 0{,}1613\).

1. \(P(85 \le X \le 115) \approx 68{,}27\,\%\) 2. \(P(X \le 70) \approx 2{,}28\,\%\) 3. \(P(X > 130) \approx 2{,}28\,\%\) 4. \(P(110 \le X \le 120) \approx 16{,}13\,\%\)

- Überlege dir, wie groß die gesamte Fläche unter der Glockenkurve ist. - Nutze die Achsensymmetrie der Glockenkurve an der Stelle \(x = 0\). - Wie hängen die Flächeninhalte am linken und rechten Rand der Kurve zusammen? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Verteilungsfunktion \(\Phi\) und dem Integral der Dichtefunktion.

1. Aus der Symmetrie \(\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)\) folgt für Teilaufgabe a): \(\int_{-\infty}^{-2} \varphi(x) \, dx = \Phi(-2) = 1 - \Phi(2) \approx 1 - 0{,}9772 = 0{,}0228\). 2. Für den Bereich zwischen den symmetrischen Grenzen in b) gilt: \(\int_{-2}^{2} \varphi(x) \, dx = \Phi(2) - \Phi(-2) \approx 0{,}9772 - 0{,}0228 = 0{,}9544\). 3. Da die Gesamtwahrscheinlichkeit \(1\) beträgt, ergibt sich für den rechten Rand in c): \(\int_{2}^{\infty} \varphi(x) \, dx = 1 - \Phi(2) \approx 1 - 0{,}9772 = 0{,}0228\).

a) \(\approx 0{,}0228\) b) \(\approx 0{,}9544\) c) \(\approx 0{,}0228\)

- Erinnere dich an die Formel für die Standardisierung. - Wie gehst du vor, wenn ein \(z\)-Wert negativ ist? Gibt es eine Symmetrieeigenschaft der Funktion \(\Phi\)? - Überlege dir bei Aufgabenteil c), ob die gesuchte Fläche links oder rechts vom transformierten Wert liegt. - Skizziere dir gedanklich die Position der Werte im Verhältnis zum Mittelwert \(\mu = 200\).

1. Transformation der Werte in \(z\)-Werte mittels \(z = \frac{x - 200}{50}\). 2. Für a): \(z = \frac{275 - 200}{50} = 1{,}5\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(\Phi(1{,}5) \approx 0{,}9332\). 3. Für b): Untere Grenze \(z_1 = \frac{100 - 200}{50} = -2\), obere Grenze \(z_2 = \frac{250 - 200}{50} = 1\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(\Phi(1) - \Phi(-2) = \Phi(1) - (1 - \Phi(2)) \approx 0{,}8413 - (1 - 0{,}9772) = 0{,}8413 - 0{,}0228 = 0{,}8185\). 4. Für c): \(z = \frac{150 - 200}{50} = -1\). Die Wahrscheinlichkeit für \(X \geq 150\) entspricht \(1 - \Phi(-1) = 1 - (1 - \Phi(1)) = \Phi(1) \approx 0{,}8413\).

a) \(P(X \leq 275) \approx 0{,}9332\) b) \(P(100 < X < 250) \approx 0{,}8185\) c) \(P(X \geq 150) \approx 0{,}8413\)

- Nutze die Symmetrie der Normalverteilung um den Mittelwert aus. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall mithilfe der Verteilungsfunktion? - Was bedeutet es für die Rechnung, wenn ein Wert mehr als zwei Standardabweichungen vom Mittelwert entfernt ist? - Kannst du die Wahrscheinlichkeit für die Hälfte der Glockenkurve direkt angeben?

1. Anwendung der Standardisierung \(Z = \frac{X - 500}{20}\). 2. Für a): Intervall um den Erwartungswert \([\mu - \sigma; \mu + \sigma]\). \(P(480 < X < 520) = \Phi(1) - \Phi(-1) = 2 \cdot \Phi(1) - 1 \approx 2 \cdot 0{,}8413 - 1 = 0{,}6826\). 3. Für b): \(P(X > 550) = 1 - \Phi\left(\frac{550 - 500}{20}\right) = 1 - \Phi(2{,}5) \approx 1 - 0{,}9938 = 0{,}0062\). 4. Für c): \(P(450 \le X \le 490) = \Phi\left(\frac{490 - 500}{20}\right) - \Phi\left(\frac{450 - 500}{20}\right) = \Phi(-0{,}5) - \Phi(-2{,}5) = (1 - \Phi(0{,}5)) - (1 - \Phi(2{,}5)) \approx (1 - 0{,}6915) - (1 - 0{,}9938) = 0{,}3085 - 0{,}0062 = 0{,}3023\). 5. Für d): Aufgrund der Symmetrie der Normalverteilung um \(\mu\) gilt \(P(X \le \mu) = 0{,}5\). Also \(P(X \le 500) = 0{,}5\).

a) \(P(480 < X < 520) \approx 0{,}6826\) b) \(P(X > 550) \approx 0{,}0062\) c) \(P(450 \le X \le 490) \approx 0{,}3023\) d) \(P(X \le 500) = 0{,}5\)

- Überlege dir, wie man die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall \([a;b]\) mithilfe der Verteilungsfunktion berechnet. - Vergleiche die Grenzen des gesuchten Intervalls mit den Werten in Lucas Vorschlag. - Denke an die Standardisierung \(z=\frac{x-\mu}{\sigma}\), um Werte der Standardnormalverteilung nutzen zu können.

1. Luca subtrahiert die Wahrscheinlichkeit bis zum Erwartungswert \(40\). Damit erfasst der vorgeschlagene Term nur das Teilintervall \([40;56]\) statt des geforderten Intervalls \([32;56]\). 2. Korrekt ist \(P(32\le X\le56)=P(X\le56)-P(X\le32)\). 3. Nach der Standardisierung ergibt sich \(\Phi\left(\frac{56-40}{8}\right)-\Phi\left(\frac{32-40}{8}\right)=\Phi(2)-\Phi(-1)\). 4. Mit ausreichend genauen Werten gilt \(\Phi(2)\approx0{,}97725\) und \(\Phi(-1)\approx0{,}15866\). 5. Somit ist \(P(32\le X\le56)\approx0{,}97725-0{,}15866=0{,}81859\approx0{,}8186\).

a) Luca subtrahiert die Wahrscheinlichkeit bis \(40\) statt bis zur unteren Intervallgrenze \(32\) und berechnet damit nur \(P(40\le X\le56)\). b) \(P(32\le X\le56)\approx0{,}8186\)

- Welche Bedeutung muss die Größe haben, die als Argument der Standardnormalverteilungsfunktion \(\Phi\) verwendet wird? - Vergleiche die Abstände von \(7\) und \(13\) zum Erwartungswert mit der gegebenen Streuung. - Nutze die Symmetrie der Glockenkurve um den Erwartungswert, wenn sie die Rechnung vereinfacht.

1. Hannah hat bei der Standardisierung vergessen, die Differenzen \(x-\mu\) durch die Standardabweichung \(\sigma=2\) zu dividieren. Ihr Ansatz behandelt die Abweichungen daher nicht in Einheiten der Standardabweichung. 2. Korrekt ist \(P(7\le X\le13)=\Phi\left(\frac{13-10}{2}\right)-\Phi\left(\frac{7-10}{2}\right)=\Phi(1{,}5)-\Phi(-1{,}5)\). 3. Wegen der Symmetrie gilt \(\Phi(-1{,}5)=1-\Phi(1{,}5)\), also \(P=2\Phi(1{,}5)-1\). 4. Mit \(\Phi(1{,}5)\approx0{,}93319\) folgt \(P\approx2\cdot0{,}93319-1=0{,}86638\approx0{,}8664\).

a) Der Ansatz ist falsch, weil bei der Standardisierung die Division durch \(\sigma=2\) fehlt. Korrekt ist \(\Phi\left(\frac{13-10}{2}\right)-\Phi\left(\frac{7-10}{2}\right)\). b) \(P(7\le X\le13)\approx0{,}8664\)

- Wie viele Standardabweichungen liegen die Grenzen vom Mittelwert entfernt? - Erinnere dich an die Bedeutung der Sigma-Regeln oder nutze die Verteilungsfunktion. - Skizziere die Glockenkurve und das Intervall für beide Fälle. - Wo ist die Dichte der Normalverteilung am höchsten? - Überlege dir, wie sich die Fläche unter der Kurve verschiebt, wenn die Kurve nach links oder rechts wandert.

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für \(X \sim N(45; 8^2)\): Die Grenzen \(37\) und \(53\) liegen jeweils genau eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt (\(z_1 = \frac{37-45}{8} = -1\); \(z_2 = \frac{53-45}{8} = 1\)). Es gilt \(P(37 \le X \le 53) = \Phi(1) - \Phi(-1) \approx 0{,}6827\). 2. Beurteilung der Änderung bei \(\mu = 40\): Da die Dichtefunktion der Normalverteilung ihr Maximum an der Stelle \(\mu\) besitzt und achsensymmetrisch dazu verläuft, ist die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall fester Breite genau dann am größten, wenn der Erwartungswert in der Mitte des Intervalls liegt. Die Mitte des Intervalls \([37; 53]\) ist \(45\). Durch die Verschiebung des Erwartungswerts auf \(40\) liegt dieser weiter vom Zentrum des Intervalls entfernt, wodurch die Fläche unter der Glockenkurve über diesem Bereich abnimmt. Die Wahrscheinlichkeit wird somit kleiner.

a) \(P(37 \le X \le 53) \approx 0{,}6827\) (bzw. \(68{,}27\,\%\)) b) Die Wahrscheinlichkeit wird kleiner, da der Erwartungswert nicht mehr in der Mitte des Intervalls liegt und somit weniger Fläche im Bereich hoher Dichte eingeschlossen wird.

- Nutze die Standardisierung, um die Wahrscheinlichkeiten zu vergleichen. - Was passiert mit der Form der Glockenkurve, wenn die Standardabweichung größer wird? - Bleibt die Fläche unter der gesamten Kurve gleich, wenn sie breiter wird? - Überlege, ob die Werte bei einer größeren Streuung eher nah am Mittelwert oder weiter weg zu finden sind.

1. Berechnung für \(X\) mit \(\mu_X = 10\) und \(\sigma_X = 4\): Die \(z\)-Werte der Grenzen sind \(z_1 = \frac{8-10}{4} = -0{,}5\) und \(z_2 = \frac{12-10}{4} = 0{,}5\). Damit ergibt sich \(P(8 \le X \le 12) = \Phi(0{,}5) - \Phi(-0{,}5) \approx 0{,}6915 - 0{,}3085 = 0{,}3830\). 2. Berechnung für \(Y\) mit \(\mu_Y = 10\) und \(\sigma_Y = 8\): Die \(z\)-Werte sind \(z_1 = \frac{8-10}{8} = -0{,}25\) und \(z_2 = \frac{12-10}{8} = 0{,}25\). Damit ergibt sich \(P(8 \le Y \le 12) = \Phi(0{,}25) - \Phi(-0{,}25) \approx 0{,}5987 - 0{,}4013 = 0{,}1974\). 3. Vergleich und Erklärung: Die Wahrscheinlichkeit \(P(8 \le Y \le 12)\) ist deutlich kleiner als \(P(8 \le X \le 12)\). Da die Standardabweichung bei \(Y\) größer ist, ist die Glockenkurve flacher und breiter gestreut. Da die Gesamtfläche unter der Kurve immer \(1\) betragen muss, sinkt bei einer größeren Streuung die Wahrscheinlichkeitsdichte in der Nähe des Erwartungswerts, wodurch Intervalle um \(\mu\) eine geringere Wahrscheinlichkeit erhalten.

a) \(P(8 \le X \le 12) \approx 0{,}3830\) b) \(P(8 \le Y \le 12) \approx 0{,}1974\). Die Wahrscheinlichkeit ist bei \(Y\) kleiner, da eine größere Standardabweichung zu einer flacheren Glockenkurve führt, wodurch die Fläche in der Umgebung des Erwartungswerts abnimmt.

- Prüfe, ob die Intervallgrenzen einfache Abstände zum Erwartungswert (wie \(\sigma\) oder \(2\sigma\)) darstellen. - Nutze die Symmetrieeigenschaften der \(\Phi\)-Funktion für negative Werte. - Welchen Anteil der Fläche deckt die gesamte Glockenkurve ab?

1. Für \(P(X \le 125)\) wird der \(z\)-Wert bestimmt: \(z = \frac{125 - 150}{25} = -1\). Es gilt \(\Phi(-1) = 1 - \Phi(1) \approx 1 - 0{,}8413 = 0{,}1587\). 2. Das Intervall \([150; 200]\) entspricht \([\mu; \mu + 2\sigma]\). Mit der Verteilungsfunktion gilt \(P(\mu \le X \le \mu + 2\sigma) = \Phi(2) - 0{,}5 \approx 0{,}4772\). 3. Das Intervall \([100; 200]\) entspricht \([\mu - 2\sigma; \mu + 2\sigma]\). Nach der \(2\sigma\)-Regel beträgt die Wahrscheinlichkeit ca. \(0{,}9545\). 4. Aufgrund der Symmetrie der Normalverteilung um \(\mu = 150\) ist die Wahrscheinlichkeit oberhalb des Erwartungswerts genau \(P(X > 150) = 0{,}5\).

a) \(P(X \le 125) \approx 0{,}1587\) b) \(P(150 \le X \le 200) \approx 0{,}4772\) c) \(P(100 \le X \le 200) \approx 0{,}9545\) d) \(P(X > 150) = 0{,}5\)

- Kannst du die Problemstellung grafisch skizzieren, um ein Gefühl für die Flächenanteile zu bekommen? - Erinnere dich an die Formel zur Standardisierung. - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Wert „kleiner als“ eine bestimmte Grenze ist, bezogen auf die Verteilungsfunktion? - Wie nutzt man Tabellen oder den Taschenrechner für die \(\Phi\)-Werte?

1. Für das Intervall \([97; 103]\) berechnet man die z-Werte: \(z_1 = \frac{97-100}{2} = -1{,}5\) und \(z_2 = \frac{103-100}{2} = 1{,}5\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(97 \le X \le 103) = \Phi(1{,}5) - \Phi(-1{,}5) \approx 0{,}93319 - 0{,}06681 = 0{,}86638\). 2. Für das Intervall \([103; 105]\) berechnet man die z-Werte: \(z_1 = 1{,}5\) und \(z_2 = \frac{105-100}{2} = 2{,}5\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(103 \le X \le 105) = \Phi(2{,}5) - \Phi(1{,}5) \approx 0{,}99379 - 0{,}93319 = 0{,}0606\). 3. Für das Ereignis \(X < 96\) berechnet man den z-Wert: \(z = \frac{96-100}{2} = -2\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(X < 96) = \Phi(-2) \approx 0{,}02275\).

a) \(P(97 \le X \le 103) \approx 86{,}64\,\%\) b) \(P(103 \le X \le 105) \approx 6{,}06\,\%\) c) \(P(X < 96) \approx 2{,}28\,\%\)

- Überlege zuerst, ob der gesuchte Erwartungswert größer oder kleiner als \(500\) sein muss, damit \(95\,\%\) der Werte darüber liegen. - Wie kannst du eine beliebige Normalverteilung in die Standardnormalverteilung überführen? - Welcher \(z\)-Wert gehört zu einer Fläche von \(5\,\%\) am linken Rand?

1. Bestimmung der kumulierten Wahrscheinlichkeit: Die Bedingung \(P(X > 500) \approx 0{,}95\) ist äquivalent zu \(P(X \le 500) \approx 0{,}05\). 2. Ermittlung des zugehörigen \(z\)-Werts: Für eine Wahrscheinlichkeit von \(0{,}05\) am linken Rand ergibt sich aus der Standardnormalverteilungstabelle (oder per GTR) ein \(z\)-Wert von \(z \approx -1{,}645\). 3. Standardisierung: Mithilfe der Formel \(z = \frac{x - \mu}{\sigma}\) ergibt sich näherungsweise \(-1{,}645 \approx \frac{500 - \mu}{80}\). 4. Berechnung von \(\mu\): Umstellen nach \(\mu\) liefert \(500 - \mu \approx -131{,}6\), woraus \(\mu \approx 631{,}6\) folgt.

\(\mu \approx 631{,}6\)

- Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für ein geschlossenes Intervall bei einer stetigen Verteilung? - Erinnerst du dich an die Formel zur Standardisierung? - Wie geht man vor, wenn ein \(z\)-Wert negativ ist und die Tabelle nur positive Werte enthält?

1. Standardisierung der Intervallgrenzen: \(z_1 = \frac{10 - 12}{2{,}5} = -0{,}8\) und \(z_2 = \frac{15 - 12}{2{,}5} = 1{,}2\). 2. Ansatz über die Differenz der Verteilungsfunktionen: \(P(10 \le X \le 15) = \Phi(1{,}2) - \Phi(-0{,}8)\). 3. Umformung des negativen \(z\)-Wertes mittels Symmetrie: \(\Phi(-0{,}8) = 1 - \Phi(0{,}8)\). 4. Einsetzen der Tabellenwerte: \(\Phi(1{,}2) \approx 0{,}8849\) und \(\Phi(0{,}8) \approx 0{,}7881\). 5. Berechnung: \(0{,}8849 - (1 - 0{,}7881) = 0{,}8849 - 0{,}2119 = 0{,}6730\).

Die Wahrscheinlichkeit \(P(10 \le X \le 15)\) beträgt etwa \(0{,}6730\) (bzw. \(67{,}30\,\%\)).

- Wie hängen die Grenzen des Intervalls mit dem Erwartungswert und der Standardabweichung zusammen? - Erinnere dich an die Transformation auf die Standardnormalverteilung. - Überlege dir, wie sich die Form der Glockenkurve verändert, wenn die Streuung der Werte zunimmt. - Wo erreicht die Dichtefunktion der Normalverteilung ihren höchsten Wert? - Was passiert mit der Fläche unter der Kurve über einem festen Intervall, wenn man die Kurve nach links oder rechts verschiebt?

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für \(P(72 \le X \le 88)\): Standardisierung der Grenzen ergibt \(z_1 = \frac{72-80}{5} = -1{,}6\) und \(z_2 = \frac{88-80}{5} = 1{,}6\). Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich zu \(\Phi(1{,}6) - \Phi(-1{,}6) = 2 \cdot \Phi(1{,}6) - 1 \approx 2 \cdot 0{,}9452 - 1 = 0{,}8904\). 2. Auswirkung der Erhöhung von \(\sigma\): Eine größere Standardabweichung führt zu einer flacheren und breiteren Glockenkurve. Da das Intervall fest bleibt und symmetrisch um den Erwartungswert liegt, sinkt die Wahrscheinlichkeit, da sich die Fläche stärker auf die Randbereiche (Tails) verteilt. 3. Auswirkung der Verschiebung von \(\mu\): Das Intervall \([72; 88]\) liegt bei \(\mu = 85\) nicht mehr symmetrisch zum Erwartungswert; sein Mittelpunkt liegt bei \(80\). Da die Dichtefunktion ihr Maximum bei \(\mu\) besitzt und zu den Seiten hin abfällt, verringert sich die eingeschlossene Fläche, wenn das Intervall vom Zentrum weg verschoben wird. Die Wahrscheinlichkeit nimmt ab.

a) \(P(72 \le X \le 88) \approx 0{,}8904\) b) Die Wahrscheinlichkeit nimmt ab, da die Verteilung flacher wird und mehr Werte außerhalb des festen Intervalls liegen. c) Die Wahrscheinlichkeit nimmt ab, da das Intervall nicht mehr symmetrisch um das Maximum der Dichtefunktion liegt.

- Wie viel Fläche repräsentiert ein einzelnes Kästchen im Koordinatensystem? - Kannst du Symmetrien im Graphen entdecken, die dir beim Vergleichen von Flächen helfen? - Erinnere dich daran, dass die Wahrscheinlichkeit bei einer stetigen Zufallsgröße dem bestimmten Integral der Dichtefunktion entspricht. - Überlege dir, wie du die Funktion \(f(x) = 0{,}75x(2 - x)\) erst ausmultiplizieren kannst, um leichter eine Stammfunktion zu finden.

1. Abschätzung von \(P(0 \leq X \leq 0{,}5)\): Ein Kästchen im Gitter hat den Flächeninhalt \(0{,}1 \cdot 0{,}1 = 0{,}01\). Durch Auszählen oder näherungsweise Berechnung der Fläche unter der Kurve im Bereich \([0; 0{,}5]\) ergibt sich ein Wert von ca. \(0{,}16\). (Exakt: \(0{,}15625\)). 2. Vergleich der Wahrscheinlichkeiten: Der Graph ist symmetrisch zur Geraden \(x = 1\). Daher gilt \(P(0{,}5 \leq X \leq 1) = P(1 \leq X \leq 1{,}5)\). Da die Funktionswerte im Intervall \([1; 1{,}5]\) überall größer sind als im Intervall \([1{,}5; 2]\) (der Graph fällt streng monoton), ist die Fläche über \([1; 1{,}5]\) größer als die über \([1{,}5; 2]\). Somit folgt \(P(0{,}5 \leq X \leq 1) > P(1{,}5 \leq X \leq 2)\). 3. Exakte Berechnung: Es gilt \(P(0{,}8 \leq X \leq 1{,}2) = \int_{0{,}8}^{1{,}2} (1{,}5x - 0{,}75x^2) \,\mathrm{d}x\). Eine Stammfunktion ist \(F(x) = 0{,}75x^2 - 0{,}25x^3\). Berechnung der Werte: \(F(1{,}2) = 0{,}75 \cdot 1{,}44 - 0{,}25 \cdot 1{,}728 = 1{,}08 - 0{,}432 = 0{,}648\). \(F(0{,}8) = 0{,}75 \cdot 0{,}64 - 0{,}25 \cdot 0{,}512 = 0{,}48 - 0{,}128 = 0{,}352\). Differenz: \(P = 0{,}648 - 0{,}352 = 0{,}296\).

a) Die Wahrscheinlichkeit \(P(0 \leq X \leq 0{,}5)\) beträgt etwa \(0{,}16\). b) Es gilt \(P(0{,}5 \leq X \leq 1) > P(1{,}5 \leq X \leq 2)\), da die Fläche unter dem Graphen im Bereich näher an der Mitte (Maximum bei \(x = 1\)) deutlich größer ist als im Randbereich. c) \(P(0{,}8 \leq X \leq 1{,}2) = 0{,}296\).

- Suche die Stellen 7 und 13 auf der x-Achse und bestimme die zugehörigen y-Werte. - Überlege, wie man die Wahrscheinlichkeit für einen Bereich zwischen zwei Werten aus der kumulativen Verteilungsfunktion berechnet. - Erinnere dich, dass die Dichtefunktion die Steigung der Verteilungsfunktion angibt. - Überlege, was es für die kumulierte Wahrscheinlichkeit bedeutet, wenn die Verteilung der Werte links und rechts von \(\mu\) identisch ist.

1. Aus dem Graphen lassen sich die Werte \(\Phi(7) \approx 0{,}16\) und \(\Phi(13) \approx 0{,}84\) ablesen. Die Intervallwahrscheinlichkeit berechnet sich als \(P(7 \le X \le 13) = \Phi(13) - \Phi(7) \approx 0{,}84 - 0{,}16 = 0{,}68\). 2. Die Dichtefunktion ist achsensymmetrisch zur Geraden \(x = \mu\). Das bedeutet, dass die Fläche unter der Kurve links von \(\mu - a\) genauso groß ist wie die Fläche rechts von \(\mu + a\). Da die Verteilungsfunktion die Fläche von \(-\infty\) bis \(x\) darstellt, gilt \(P(X \le \mu - a) = P(X \ge \mu + a) = 1 - P(X \le \mu + a)\). Dies führt zur Gleichung \(\Phi(\mu - a) = 1 - \Phi(\mu + a)\), was der Bedingung für die Punktsymmetrie zum Punkt \((\mu \mid 0{,}5)\) entspricht.

a) \(\Phi(7) \approx 0{,}16\) \(\Phi(13) \approx 0{,}84\) \(P(7 \le X \le 13) \approx 0{,}68\) b) Die Achsensymmetrie der Dichtefunktion bewirkt, dass \(P(X \le \mu - a) = P(X \ge \mu + a)\). Mit \(P(X \ge \mu + a) = 1 - \Phi(\mu + a)\) folgt die Punktsymmetrie \(\Phi(\mu - a) = 1 - \Phi(\mu + a)\) bezüglich des Punktes \((\mu \mid 0{,}5)\).

- Prüfe, wie die beiden linken Intervallgrenzen relativ zum Erwartungswert liegen. - Welche Punkte erhältst du, wenn du \(42\) und \(46\) an \(\mu=50\) spiegelst? - Überlege für die Eindeutigkeit, wie sich eine Intervallwahrscheinlichkeit verändert, wenn nur die rechte Grenze nach rechts wandert.

1. Die Normalverteilung ist symmetrisch um \(\mu=50\). 2. Das Spiegelbild des Intervalls \([42;46]\) an \(50\) ist \([54;58]\), denn \(42\) wird auf \(58\) und \(46\) auf \(54\) gespiegelt. 3. Wegen der Symmetrie haben beide Intervalle dieselbe Wahrscheinlichkeit. Daher ist \(c=58\). 4. Für \(c>54\) wächst \(P(54\le X\le c)\) streng mit \(c\), weil die Normaldichte dort positiv ist. Deshalb ist die Lösung eindeutig.

\(c=58\)