- Welche beiden kumulierten Flächen begrenzen das gesuchte Intervall? - Eine Intervallwahrscheinlichkeit erhältst du aus der Differenz der Verteilungsfunktionswerte an der rechten und linken Grenze.

Für eine stetige Zufallsgröße ist die Intervallwahrscheinlichkeit die Differenz der kumulierten Wahrscheinlichkeiten an den Grenzen: \(P(42\le X\le58)=F(58)-F(42)=0{,}75-0{,}25=0{,}50\).

\(P(42\le X\le58)=0{,}50=50\,\%\)

- Welche Wahrscheinlichkeit beschreibt \(F(72)\) direkt? - Ergänze diese Wahrscheinlichkeit zur Gesamtwahrscheinlichkeit \(1\).

1. Das Ereignis \(X>72\) ist das Gegenereignis zu \(X\le72\). Daher gilt \(P(X>72)=1-F(72)=1-0{,}84=0{,}16\).

\(P(X>72)=0{,}16\)

- Wo liegt der Erwartungswert auf der symmetrischen Glockenkurve? - Welche Gesamtwahrscheinlichkeit liegt auf jeder Seite des Symmetriezentrums?

1. Die Normalverteilung ist symmetrisch um ihren Erwartungswert. Deshalb liegt die Hälfte der Gesamtwahrscheinlichkeit rechts von \(\mu=30\), also gilt \(P(X\ge30)=0{,}5\).

\(P(X\ge30)=0{,}5\)

- Überlege dir, welche besondere Eigenschaft die Normalverteilung hinsichtlich ihrer Symmetrie um den Erwartungswert hat. - Wie hängen Wahrscheinlichkeiten für Intervalle mit der Verteilungsfunktion \(\Phi\) zusammen? - Erinnere dich an die Bedeutung der Standardabweichung \(\sigma\) für die Wahrscheinlichkeiten in der Nähe von \(\mu\). - Was gilt allgemein für die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Punktes bei stetigen Verteilungen?

1. Berechnung von \(P(X \le 100)\): Da die Normalverteilung symmetrisch um \(\mu\) ist, gilt \(P(X \le \mu) = 0{,}5\). 2. Berechnung von \(P(X \le 110)\): Transformation in die Standardnormalverteilung mit \(z = \frac{110 - 100}{10} = 1\). Es folgt \(\Phi(1) \approx 0{,}8413\). 3. Berechnung von \(P(90 \le X \le 110)\): Dies entspricht dem \(1\sigma\)-Intervall um den Erwartungswert. Es gilt \(P(\mu - \sigma \le X \le \mu + \sigma) = \Phi(1) - \Phi(-1) = 2 \cdot \Phi(1) - 1 \approx 0{,}6827\). 4. Berechnung von \(P(X > 120)\): Transformation ergibt \(z = \frac{120 - 100}{10} = 2\). Die Gegenwahrscheinlichkeit ist \(1 - \Phi(2) \approx 1 - 0{,}9772 = 0{,}0228\). 5. Berechnung von \(P(X = 105)\): Bei stetigen Zufallsgrößen ist die Wahrscheinlichkeit für einen exakten Einzelwert stets \(0\).

a) \(P(X \le 100) = 0{,}5\) b) \(P(X \le 110) \approx 0{,}8413\) c) \(P(90 \le X \le 110) \approx 0{,}6827\) d) \(P(X > 120) \approx 0{,}0228\) e) \(P(X = 105) = 0\)

- Welche Transformation hilft dir dabei, eine beliebige Normalverteilung auf die Standardnormalverteilung zurückzuführen? - Wie hängen die Grenzen des gesuchten Intervalls mit dem Erwartungswert und der Standardabweichung zusammen? - Erinnere dich an die Symmetrieeigenschaften der Glockenkurve, wenn du mit negativen Werten arbeitest. - Welches Hilfsmittel (Tabelle oder Taschenrechner) steht dir zur Verfügung, um die Werte der Verteilungsfunktion zu bestimmen?

1. Transformation der Intervallgrenzen in \(z\)-Werte (Standardisierung): \(z_1 = \frac{85 - 100}{15} = -1\) und \(z_2 = \frac{120 - 100}{15} = \frac{4}{3} \approx 1{,}3333\). 2. Ansatz über die Verteilungsfunktion \(\Phi\) der Standardnormalverteilung: \(P(85 \le X \le 120) = \Phi\left(\frac{4}{3}\right) - \Phi(-1)\). 3. Anwendung der Symmetrieeigenschaft: \(\Phi(-1) = 1 - \Phi(1)\). 4. Mit einer Tabelle oder einem Taschenrechner erhält man \(\Phi\left(\frac{4}{3}\right) \approx 0{,}9088\) und \(\Phi(-1) \approx 0{,}1587\). 5. Damit gilt \(P(85 \le X \le 120) \approx 0{,}9088 - 0{,}1587 = 0{,}7501\).

\(P(85 \le X \le 120) \approx 0{,}7501\)

- Erinnere dich an die Standardisierung von Normalverteilungen, um die \(\Phi\)-Tabelle nutzen zu können. - Nutze die Symmetrie der Glockenkurve aus, um Wahrscheinlichkeiten für negative z-Werte oder Ausläufer zu berechnen. - Was sagen dir die \(\sigma\)-Regeln über die Wahrscheinlichkeiten in der Nähe des Erwartungswerts?

Die Zufallsgröße \(X\) ist \(N(100; 15^2)\)-verteilt. Die Transformation erfolgt über \(z = \frac{x - \mu}{\sigma}\). 1. \(P(85 \le X \le 115) = \Phi(1) - \Phi(-1) = 2\Phi(1) - 1 \approx 0{,}6827\). 2. \(P(X \le 70) = \Phi(-2) \approx 0{,}0228\). 3. \(P(X > 130) = 1 - \Phi(2) \approx 0{,}0228\). 4. Für die Grenzen gilt \(z_1 = \frac{110-100}{15} = \frac{2}{3}\) und \(z_2 = \frac{120-100}{15} = \frac{4}{3}\). Daher ist \(P(110 \le X \le 120) = \Phi\left(\frac{4}{3}\right) - \Phi\left(\frac{2}{3}\right) \approx 0{,}9088 - 0{,}7475 = 0{,}1613\).

1. \(P(85 \le X \le 115) \approx 68{,}27\,\%\) 2. \(P(X \le 70) \approx 2{,}28\,\%\) 3. \(P(X > 130) \approx 2{,}28\,\%\) 4. \(P(110 \le X \le 120) \approx 16{,}13\,\%\)

- Erinnere dich an die Formel für die Standardisierung. - Wie gehst du vor, wenn ein \(z\)-Wert negativ ist? Gibt es eine Symmetrieeigenschaft der Funktion \(\Phi\)? - Überlege dir bei Aufgabenteil c), ob die gesuchte Fläche links oder rechts vom transformierten Wert liegt. - Skizziere dir gedanklich die Position der Werte im Verhältnis zum Mittelwert \(\mu = 200\).

1. Transformation der Werte in \(z\)-Werte mittels \(z = \frac{x - 200}{50}\). 2. Für a): \(z = \frac{275 - 200}{50} = 1{,}5\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(\Phi(1{,}5) \approx 0{,}9332\). 3. Für b): Untere Grenze \(z_1 = \frac{100 - 200}{50} = -2\), obere Grenze \(z_2 = \frac{250 - 200}{50} = 1\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(\Phi(1) - \Phi(-2) = \Phi(1) - (1 - \Phi(2)) \approx 0{,}8413 - (1 - 0{,}9772) = 0{,}8413 - 0{,}0228 = 0{,}8185\). 4. Für c): \(z = \frac{150 - 200}{50} = -1\). Die Wahrscheinlichkeit für \(X \geq 150\) entspricht \(1 - \Phi(-1) = 1 - (1 - \Phi(1)) = \Phi(1) \approx 0{,}8413\).

a) \(P(X \leq 275) \approx 0{,}9332\) b) \(P(100 < X < 250) \approx 0{,}8185\) c) \(P(X \geq 150) \approx 0{,}8413\)

- Standardisiere die jeweiligen Intervallgrenzen beziehungsweise Schwellenwerte. - Für eine obere Restwahrscheinlichkeit brauchst du die Gegenwahrscheinlichkeit zu einem Wert der Verteilungsfunktion. - Nutze bei Teil d) die Symmetrie am Erwartungswert.

1. Für a) entsprechen die Grenzen den standardisierten Werten \(-1\) und \(1\). Daher ist \(P(480<X<520)=\Phi(1)-\Phi(-1)\approx0{,}6827\). 2. Für b) ist \(z=\frac{550-500}{20}=2{,}5\). Somit gilt \(P(X>550)=1-\Phi(2{,}5)\approx0{,}0062\). 3. Für c) ergeben sich \(z_1=-2{,}5\) und \(z_2=-0{,}5\). Damit ist \(P(450\le X\le490)=\Phi(-0{,}5)-\Phi(-2{,}5)\approx0{,}3023\). 4. Wegen der Symmetrie der Normalverteilung um \(\mu\) gilt \(P(X\le500)=0{,}5\).

a) \(0{,}6827\) b) \(0{,}0062\) c) \(0{,}3023\) d) \(0{,}5\)

- Standardisiere für jedes Intervall beide Grenzen. - Eine Intervallwahrscheinlichkeit ist die Differenz der kumulierten Wahrscheinlichkeiten an den beiden Grenzen. - Achte am Ende auf die geforderte Darstellung in Prozent.

1. Für \([60;70]\) sind die standardisierten Grenzen \(-2\) und \(-1\). Daher gilt \(P(60\le X\le70)=\Phi(-1)-\Phi(-2)\approx0{,}1359=13{,}59\,\%\). 2. Für \([70;80]\) sind die Grenzen \(-1\) und \(0\). Somit ist \(P(70\le X\le80)=\Phi(0)-\Phi(-1)\approx0{,}3413=34{,}13\,\%\). 3. Für \([80;95]\) sind die Grenzen \(0\) und \(1{,}5\). Damit ist \(P(80\le X\le95)=\Phi(1{,}5)-\Phi(0)\approx0{,}4332=43{,}32\,\%\).

1. \(13{,}59\,\%\) 2. \(34{,}13\,\%\) 3. \(43{,}32\,\%\)

- Übersetze jede Längenangabe zuerst in einen standardisierten \(z\)-Wert. - Für ein Intervall brauchst du zwei Werte der Verteilungsfunktion; für Teil c) nur einen. - Wandle die Dezimalwahrscheinlichkeit erst am Ende in Prozent um.

1. Für a) sind die standardisierten Grenzen \(-1{,}5\) und \(1{,}5\). Damit ist \(P(97\le X\le103)=\Phi(1{,}5)-\Phi(-1{,}5)\approx0{,}8664=86{,}64\,\%\). 2. Für b) sind die standardisierten Grenzen \(1{,}5\) und \(2{,}5\). Daher ist \(P(103\le X\le105)=\Phi(2{,}5)-\Phi(1{,}5)\approx0{,}0606=6{,}06\,\%\). 3. Für c) ist \(z=\frac{96-100}{2}=-2\). Somit gilt \(P(X<96)=\Phi(-2)\approx0{,}0228=2{,}28\,\%\).

a) \(86{,}64\,\%\) b) \(6{,}06\,\%\) c) \(2{,}28\,\%\)

- Übersetze „mindestens“ zuerst in eine Ungleichung. - Standardisiere die Grenze \(75\). - Für den Bereich rechts von der Grenze brauchst du die Gegenwahrscheinlichkeit zur Verteilungsfunktion.

1. Der standardisierte Wert zur Grenze \(75\) ist \(z=\frac{75-60}{12}=1{,}25\). 2. Wegen der Stetigkeit ist \(P(X\ge75)=P(X>75)=1-\Phi(1{,}25)\). 3. Mit \(\Phi(1{,}25)\approx0{,}8944\) ergibt sich \(P(X\ge75)\approx0{,}1056=10{,}56\,\%\).

\(P(X\ge75)\approx10{,}56\,\%\)

- Standardisiere beide Intervallgrenzen. - Eine Intervallwahrscheinlichkeit erhältst du als Differenz zweier Werte der Verteilungsfunktion. - Runde erst das Endergebnis, nicht die beiden kumulierten Wahrscheinlichkeiten vor der Subtraktion.

1. Die standardisierten Intervallgrenzen sind \(z_1=\frac{10-12}{2{,}5}=-0{,}8\) und \(z_2=\frac{15-12}{2{,}5}=1{,}2\). 2. Daher gilt \(P(10\le X\le15)=\Phi(1{,}2)-\Phi(-0{,}8)\). 3. Mit \(\Phi(1{,}2)\approx0{,}8849\) und \(\Phi(-0{,}8)\approx0{,}2119\) ergibt sich mit ungerundeten Rechnerwerten \(P(10\le X\le15)\approx0{,}6731\).

\(P(10\le X\le15)\approx0{,}6731\)

- Was bedeutet die Fläche unter der Dichte für eine Intervallwahrscheinlichkeit? - Vergleiche die Breite der beiden Intervalle. - Wie verändert sich die Glockenkurve rechts vom Erwartungswert?

1. Eine Intervallwahrscheinlichkeit entspricht der Fläche unter der Dichte in diesem Intervall. 2. Beide Intervalle sind \(5\) Einheiten breit. 3. Bei \(x=\mu=10\) liegt der Hochpunkt. Rechts davon fällt die Normaldichte streng. 4. Deshalb ist die Fläche über \([10;15]\) größer als die Fläche über \([15;20]\). Somit gilt \(P(10\le X\le15)>P(15\le X\le20)\).

\(P(10\le X\le15)>P(15\le X\le20)\), weil das gleich breite Intervall näher am Hochpunkt liegt.

- Lies die beiden senkrechten Grenzen des markierten Bereichs auf der \(x\)-Achse ab. - Standardisiere anschließend beide Grenzen mit \(\mu\) und \(\sigma\). - Eine Intervallwahrscheinlichkeit erhältst du als Differenz zweier Werte von \(\Phi\).

1. Der markierte Bereich reicht von \(42\) bis \(49\), also ist das Ereignis \(42\le X\le49\). 2. Die standardisierten Grenzen sind \(z_1=\frac{42-45}{3}=-1\) und \(z_2=\frac{49-45}{3}=\frac{4}{3}\). 3. Daher gilt \(P(42\le X\le49)=\Phi\left(\frac{4}{3}\right)-\Phi(-1)\approx0{,}7501\).

a) \([42;49]\) b) \(P(42\le X\le49)\approx0{,}7501\)

- Beschreibe zuerst, welche Werte von \(X\) zur grauen Fläche gehören. - Vergleiche die Grenze mit \(\mu\) und \(\sigma\), bevor du die Verteilungsfunktion verwendest. - Welche zusätzliche Menge kommt hinzu, wenn du an der Grenze \(\ge\) statt \(>\) schreibst?

1. Der markierte Bereich beginnt bei \(x=68\) und liegt rechts davon. Das Ereignis ist daher \(X\ge68\). 2. Die Grenze standardisiert sich zu \(z=\frac{68-60}{4}=2\). Damit gilt \(P(X\ge68)=1-\Phi(2)\approx1-0{,}97725=0{,}02275\approx0{,}0228\). 3. \(X\) ist stetig. Deshalb gilt \(P(X=68)=0\), also ist \(P(X\ge68)=P(X>68)\).

a) \(X\ge68\) b) \(z=2\); \(P(X\ge68)\approx0{,}0228\) c) Weil \(P(X=68)=0\) gilt, sind \(P(X\ge68)\) und \(P(X>68)\) gleich.

- Kannst du die gegebenen Füllmengen als Vielfache der Standardabweichung vom Mittelwert ausdrücken? - Nutze die Symmetrie der Glockenkurve, um Rechnungen zu vereinfachen. - Was bedeutet es für die Wahrscheinlichkeit, wenn ein Wert mehr als \(2\sigma\) oder \(2{,}5\sigma\) vom Mittelwert entfernt ist? - Überlege dir, wie man die Wahrscheinlichkeit für „Abweichung um mehr als...“ mit der Gegenwahrscheinlichkeit oder Symmetrie bestimmen kann.

1. Zu a): Da \(505\) dem Erwartungswert entspricht, ist \(P(X \le 505) = 0{,}5\). 2. Zu b): Das Intervall \([501; 509]\) entspricht \([\mu - 2\sigma; \mu + 2\sigma]\). Die Wahrscheinlichkeit im \(2\sigma\)-Intervall beträgt \(P(-2 \le Z \le 2) = \Phi(2) - \Phi(-2) \approx 0{,}9545\). 3. Zu c): Transformation für \(x = 500\) ergibt \(z = \frac{500 - 505}{2} = -2{,}5\). Es gilt \(P(X < 500) = \Phi(-2{,}5) = 1 - \Phi(2{,}5) \approx 1 - 0{,}9938 = 0{,}0062\). 4. Zu d): Da \(X\) eine stetige Zufallsgröße ist, gilt \(P(X = 505) = 0\). 5. Zu e): Gesucht ist \(P(|X - 505| > 5) = P(X < 500 \text{ oder } X > 510)\). Wegen Symmetrie ist dies \(2 \cdot P(X < 500) \approx 2 \cdot 0{,}0062 = 0{,}0124\).

a) \(P(X \le 505) = 0{,}5\) b) \(P(501 \le X \le 509) \approx 0{,}9545\) c) \(P(X < 500) \approx 0{,}0062\) d) \(P(X = 505) = 0\) e) \(P(|X - 505| > 5) \approx 0{,}0124\)

- Überlege dir, wie man die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall \([a;b]\) mithilfe der Verteilungsfunktion berechnet. - Vergleiche die Grenzen des gesuchten Intervalls mit den Werten in Lucas Vorschlag. - Denke an die Standardisierung \(z=\frac{x-\mu}{\sigma}\), um Werte der Standardnormalverteilung nutzen zu können.

1. Luca subtrahiert die Wahrscheinlichkeit bis zum Erwartungswert \(40\). Damit erfasst der vorgeschlagene Term nur das Teilintervall \([40;56]\) statt des geforderten Intervalls \([32;56]\). 2. Korrekt ist \(P(32\le X\le56)=P(X\le56)-P(X\le32)\). 3. Nach der Standardisierung ergibt sich \(\Phi\left(\frac{56-40}{8}\right)-\Phi\left(\frac{32-40}{8}\right)=\Phi(2)-\Phi(-1)\). 4. Mit ausreichend genauen Werten gilt \(\Phi(2)\approx0{,}97725\) und \(\Phi(-1)\approx0{,}15866\). 5. Somit ist \(P(32\le X\le56)\approx0{,}97725-0{,}15866=0{,}81859\approx0{,}8186\).

a) Luca subtrahiert die Wahrscheinlichkeit bis \(40\) statt bis zur unteren Intervallgrenze \(32\) und berechnet damit nur \(P(40\le X\le56)\). b) \(P(32\le X\le56)\approx0{,}8186\)

- Welche Bedeutung muss die Größe haben, die als Argument der Standardnormalverteilungsfunktion \(\Phi\) verwendet wird? - Vergleiche die Abstände von \(7\) und \(13\) zum Erwartungswert mit der gegebenen Streuung. - Nutze die Symmetrie der Glockenkurve um den Erwartungswert, wenn sie die Rechnung vereinfacht.

1. Hannah hat bei der Standardisierung vergessen, die Differenzen \(x-\mu\) durch die Standardabweichung \(\sigma=2\) zu dividieren. Ihr Ansatz behandelt die Abweichungen daher nicht in Einheiten der Standardabweichung. 2. Korrekt ist \(P(7\le X\le13)=\Phi\left(\frac{13-10}{2}\right)-\Phi\left(\frac{7-10}{2}\right)=\Phi(1{,}5)-\Phi(-1{,}5)\). 3. Wegen der Symmetrie gilt \(\Phi(-1{,}5)=1-\Phi(1{,}5)\), also \(P=2\Phi(1{,}5)-1\). 4. Mit \(\Phi(1{,}5)\approx0{,}93319\) folgt \(P\approx2\cdot0{,}93319-1=0{,}86638\approx0{,}8664\).

a) Der Ansatz ist falsch, weil bei der Standardisierung die Division durch \(\sigma=2\) fehlt. Korrekt ist \(\Phi\left(\frac{13-10}{2}\right)-\Phi\left(\frac{7-10}{2}\right)\). b) \(P(7\le X\le13)\approx0{,}8664\)

- Vergleiche die beiden Grenzen zunächst mit \(\mu\pm\sigma\). - Wo liegt die höchste Dichte einer Normalverteilung? - Vergleiche die Lage der Intervallmitte mit dem alten und dem neuen Erwartungswert.

1. Die Grenzen liegen jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert \(45\) entfernt. Daher ist \(P(37\le X\le53)=\Phi(1)-\Phi(-1)\approx0{,}6827\). 2. Das Intervall \([37;53]\) hat die Mitte \(45\). Bei unverändertem \(\sigma\) ist die Fläche über einem Intervall fester Breite am größten, wenn das Intervall um den Erwartungswert zentriert ist. Nach der Verschiebung auf \(\mu=40\) liegt das Intervall nicht mehr symmetrisch um den Hochpunkt der Dichte; die eingeschlossene Wahrscheinlichkeit wird kleiner.

a) \(P(37\le X\le53)\approx0{,}6827\) b) Die Wahrscheinlichkeit wird kleiner.

- Standardisiere dieselben Intervallgrenzen für beide Verteilungen getrennt. - Wie wirkt sich ein größeres \(\sigma\) auf Breite und Höhe der Glockenkurve aus? - Beide Intervalle sind um denselben Erwartungswert zentriert; vergleiche deshalb die Konzentration der beiden Verteilungen in dieser Umgebung.

1. Für \(X\) entsprechen die Grenzen den standardisierten Werten \(-0{,}5\) und \(0{,}5\). Daher gilt \(P(8\le X\le12)=\Phi(0{,}5)-\Phi(-0{,}5)\approx0{,}3829\). 2. Für \(Y\) sind die standardisierten Grenzen \(-0{,}25\) und \(0{,}25\). Damit ist \(P(8\le Y\le12)=\Phi(0{,}25)-\Phi(-0{,}25)\approx0{,}1974\). 3. Die größere Standardabweichung macht die Dichte von \(Y\) breiter und flacher. Deshalb liegt in demselben um den gemeinsamen Mittelwert zentrierten Intervall weniger Wahrscheinlichkeit.

a) \(P(8\le X\le12)\approx0{,}3829\) b) \(P(8\le Y\le12)\approx0{,}1974\); die Wahrscheinlichkeit ist wegen der größeren Streuung kleiner.

- Drücke jede Grenze zunächst als Abstand vom Erwartungswert in Vielfachen von \(\sigma\) aus. - Bei Intervallen erhältst du die Wahrscheinlichkeit aus der Differenz zweier Werte der Verteilungsfunktion. - Nutze bei Teil d) die Symmetrie der Normalverteilung.

1. Für a) ist \(z=\frac{125-150}{25}=-1\). Daher gilt \(P(X\le125)=\Phi(-1)\approx0{,}1587\). 2. Für b) ist die obere Grenze \(\mu+2\sigma\). Somit ist \(P(150\le X\le200)=\Phi(2)-0{,}5\approx0{,}4772\). 3. Das Intervall in c) ist \([\mu-2\sigma;\mu+2\sigma]\). Daher gilt \(P(100\le X\le200)=\Phi(2)-\Phi(-2)\approx0{,}9545\). 4. Wegen der Symmetrie um den Erwartungswert gilt \(P(X>150)=0{,}5\).

a) \(0{,}1587\) b) \(0{,}4772\) c) \(0{,}9545\) d) \(0{,}5\)

- Standardisiere in a) beide Grenzen relativ zu \(\mu=80\). - Wie verändert ein größeres \(\sigma\) die Konzentration der Fläche um den Mittelwert? - Vergleiche in c) die Intervallmitte mit dem neuen Erwartungswert.

1. Für a) sind die standardisierten Grenzen \(-1{,}6\) und \(1{,}6\). Daher gilt \(P(72\le X\le88)=\Phi(1{,}6)-\Phi(-1{,}6)\approx0{,}8904\). 2. Bei größerem \(\sigma\) wird die Glockenkurve breiter und flacher. Das feste, weiterhin um \(80\) zentrierte Intervall enthält deshalb weniger Wahrscheinlichkeit; die Wahrscheinlichkeit nimmt ab. 3. Die Mitte von \([72;88]\) ist \(80\). Wird der Erwartungswert auf \(85\) verschoben, liegt der Bereich nicht mehr um den Hochpunkt der Dichte zentriert. Bei gleicher Intervallbreite und gleichem \(\sigma\) nimmt die eingeschlossene Wahrscheinlichkeit daher ab.

a) \(P(72\le X\le88)\approx0{,}8904\) b) Die Wahrscheinlichkeit nimmt ab. c) Die Wahrscheinlichkeit nimmt ab.