- Welche Koordinate der Geraden musst du mit der Ebenenbedingung vergleichen? - Bestimme zuerst den Geradenparameter und setze ihn anschließend in die Geradengleichung ein.

1. Auf der Geraden gilt \(x_3=t\). 2. Für einen Punkt der Ebene muss \(x_3=3\) sein. Daher ist \(t=3\). 3. Einsetzen in die Geradengleichung ergibt \(S(1|0|3)\).

\(S(1|0|3)\)

- Welche zwei Zugehörigkeiten muss ein Schnittpunkt gleichzeitig erfüllen? - Gibt es einen Parameterwert, mit dem die Gerade den vorgeschlagenen Punkt liefert? - Woran erkennst du, dass nicht die ganze Gerade in der Ebene liegt?

1. Für \(t=2\) ergibt die Gerade \(\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\). Damit liegt \(S\) auf \(g\). 2. Der Punkt \(S\) hat \(x_3=2\) und liegt deshalb auch in \(E\). 3. Der Richtungsvektor von \(g\) hat eine von null verschiedene dritte Komponente. Die Gerade liegt daher nicht vollständig in \(E\), sodass der gemeinsame Punkt der eindeutige Schnittpunkt ist.

Die Behauptung stimmt: \(S(1|2|2)\) ist der Schnittpunkt von \(g\) und \(E\).

- Welche Form kann die Schnittmenge zweier verschiedener, nicht paralleler Ebenen haben? - Suche im Bild nach dem gemeinsamen Verlauf der beiden Ebenen, nicht nach einer einzelnen Farbe oder Fläche.

1. In der Zeichnung liegen \(A\) und \(B\) auf dem gemeinsamen Teil der beiden Ebenen. \(C\) liegt nur in \(E\), \(D\) nur in \(F\). 2. Zwei verschiedene Ebenen, die gemeinsame Punkte auf einer Geraden besitzen, schneiden sich in dieser Geraden. 3. Die Schnittgerade ist daher die Gerade durch \(A\) und \(B\).

Die Schnittgerade ist die Gerade durch \(A\) und \(B\).

- Welche Geradengleichung erhältst du aus den beiden gegebenen Punkten? - Welche Koordinate ist für jeden Punkt der \(x_1x_2\)-Ebene gleich Null? - Bestimme zuerst den Geradenparameter aus dieser Koordinate und setze ihn anschließend in die übrigen Koordinaten ein.

1. Ein Richtungsvektor der Geraden ist \(\vec{AB}=(3,3,-6)^T\). Damit gilt \(g: \vec{x}=\begin{pmatrix}2\\-3\\4\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}3\\3\\-6\end{pmatrix}\). 2. Für einen Punkt der \(x_1x_2\)-Ebene muss \(x_3=0\) gelten. Aus \(4-6t=0\) folgt \(t=\frac23\). 3. Einsetzen liefert \(x_1=4\) und \(x_2=-1\). Somit ist \(S(4|-1|0)\).

\(S(4|-1|0)\)

- Wie lautet die Parameterform der Geraden aus Stützpunkt und Richtungsvektor? - Welche Bedingung müssen die Koordinaten eines Geradenpunkts erfüllen, damit der Punkt in \(E\) liegt? - Was erhältst du, wenn du die drei koordinatenabhängigen Ausdrücke in die Koordinatenform einsetzt? - Wie bestimmst du nach dem Parameterwert die Koordinaten des Schnittpunkts?

1. Die Gerade hat die Parameterform \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}5\\-2\\1\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}\). 2. Einsetzen von \(x_1=5+2r\), \(x_2=-2+r\) und \(x_3=1-r\) in die Koordinatenform von \(E\) ergibt \(3(5+2r)-(-2+r)+2(1-r)=10\). 3. Daraus folgt \(19+3r=10\) und somit \(r=-3\). 4. Einsetzen in \(g\) ergibt \(S(-1|-5|4)\).

\(S(-1|-5|4)\)

- Welcher Vektor zeigt von \(L\) in Richtung von \(M\)? - Welcher Parameterbereich gehört zu einem Strahl, der in \(L\) beginnt? - Welche Bedingung müssen die Koordinaten eines Strahlpunkts erfüllen, damit er auf der Wand liegt? - Prüfe nach dem Lösen auch das Vorzeichen des Strahlparameters.

1. Der Richtungsvektor vom Startpunkt zum Orientierungspunkt ist \(\overrightarrow{LM}=\begin{pmatrix}2\\3\\2\end{pmatrix}\). Der Laserstrahl wird daher durch \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}4\\-2\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\3\\2\end{pmatrix}\) mit \(t\ge0\) beschrieben. 2. Einsetzen in die Koordinatenform der Wand ergibt \(3(4+2t)-(-2+3t)+2(1+2t)=30\). 3. Daraus folgt \(16+7t=30\) und damit \(t=2\). Wegen \(t\ge0\) liegt der gemeinsame Punkt auf dem Laserstrahl. 4. Einsetzen von \(t=2\) ergibt \(S(8|4|5)\).

\(S(8|4|5)\)

- Was sagt die Beziehung zwischen Geradenrichtung und Ebenennormale über die Lage von Gerade und Ebene aus? - Wie kannst du den Schnittpunkt aus Geraden- und Ebenengleichung bestimmen? - Wie prüfst du anschließend, dass dein Punkt wirklich auf beiden Objekten liegt?

1. Ein Normalenvektor von \(F\) ist \(\vec{n}=\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}\). Dieser ist zugleich der Richtungsvektor von \(g\). Die Gerade steht daher senkrecht auf \(F\) und kann die Ebene nur in einem Punkt schneiden. 2. Einsetzen der Geradenkoordinaten in die Ebenengleichung ergibt \(2(2\lambda)+2(1+2\lambda)+\lambda=11\). 3. Daraus folgt \(9\lambda+2=11\), also \(\lambda=1\). 4. Damit ist \(S(2|3|1)\). 5. Für \(\lambda=1\) liefert die Geradengleichung den Punkt \((2|3|1)\). In der Ebenengleichung gilt \(2\cdot2+2\cdot3+1=11\). Also liegt \(S\) auf beiden Objekten.

a) Der Richtungsvektor von \(g\) ist ein Normalenvektor von \(F\); daher gibt es genau einen Schnittpunkt. b) \(S(2|3|1)\) c) In der Geradengleichung ergibt \(\lambda=1\) den Punkt \(S(2|3|1)\). In der Ebenengleichung gilt \(2\cdot2+2\cdot3+1=11\).

- Welche besondere Lage zum Koordinatensystem beschreibt die Bedingung \(x_3=2\)? - Welche besondere Lage beschreibt entsprechend \(x_1=-1\)? - Welche Koordinate bleibt für Punkte frei, die beide Ebenenbedingungen erfüllen? - Welche Richtung hat daher die Schnittgerade?

1. Die Ebene \(E:x_3=2\) ist parallel zur \(x_1x_2\)-Koordinatenebene; \(F:x_1=-1\) ist parallel zur \(x_2x_3\)-Koordinatenebene. 2. Ihre Normalenvektoren stehen orthogonal aufeinander. Daher schneiden sich die Ebenen rechtwinklig. 3. Für gemeinsame Punkte gelten gleichzeitig \(x_1=-1\) und \(x_3=2\); \(x_2\) ist frei. 4. Mit \(x_2=t\) ergibt sich \(s:\vec{x}=\begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\), \(t\in\mathbb{R}\). Die Schnittgerade ist parallel zur \(x_2\)-Achse.

a) Die Ebenen schneiden sich rechtwinklig; ihre Schnittgerade ist parallel zur \(x_2\)-Achse. b) \(s:\vec{x}=\begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\), \(t\in\mathbb{R}\)

- Welche einfache Beziehung zwischen den Koordinaten folgt, wenn du beide Ebenengleichungen zusammen betrachtest? - Auf einer Schnittgeraden bleibt eine Koordinate frei. Welche eignet sich hier als Parameter? - Prüfe einen Punkt deiner Geraden durch Einsetzen in beide Ebenengleichungen.

1. Subtrahiert man die Gleichung von \(F\) von der Gleichung von \(E\), erhält man \(2x_2=2\). Also gilt auf der Schnittgeraden \(x_2=1\). 2. Einsetzen in \(E\) ergibt \(x_1+x_3=3\). 3. Setze \(x_3=t\). Dann ist \(x_1=3-t\). 4. Damit ist \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}\) eine Parameterform der Schnittgeraden. 5. Für \(t=0\) erhält man \(P(3|1|0)\). In \(E\) gilt \(3+1+0=4\), in \(F\) gilt \(3-1+0=2\). Der Punkt liegt in beiden Ebenen.

\(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}\) Für \(P(3|1|0)\) gilt in \(E\): \(3+1+0=4\), und in \(F\): \(3-1+0=2\).

- Welche Richtung besitzt jede Gerade, die senkrecht auf der Ebene \(E\) steht? - Wie erhältst du den gemeinsamen Punkt von \(g\) und \(E\)? - Welche Gleichung verbindet die Ortsvektoren zweier Endpunkte mit dem Ortsvektor ihres Mittelpunkts?

1. Ein Normalenvektor von \(E\) ist \(\vec{n}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\). Daher kann \(g\) mit diesem Vektor als Richtungsvektor geschrieben werden: \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\). 2. Für den Schnitt mit \(E\) gilt \((1+t)+(2+t)+(3+t)=12\). Daraus folgt \(t=2\), also \(S(3|4|5)\). 3. Aus der Mittelpunktbedingung \(S=\frac{1}{2}(A+B)\) folgt \(B=2S-A\). 4. Damit ist \(B=(5|6|7)\).

a) \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\), \(S(3|4|5)\) b) \(B(5|6|7)\)

- Überlege dir, welche Koordinate in der jeweiligen Ebene (z. B. der \(x_1x_2\)-Ebene) immer den Wert Null haben muss. - Wie kannst du den Parameter \(t\) berechnen, wenn du weißt, dass eine Koordinate Null sein soll? - Wenn zwei Spurpunkte zusammenfallen, was bedeutet das für die Lage des Punktes im Koordinatensystem? - Schau dir den Richtungsvektor an: Gibt es dort Nullen, die auf eine Parallelität hindeuten könnten?

1. Schnittpunkt mit der \(x_1x_2\)-Ebene (\(x_3 = 0\)): Aus der dritten Zeile der Geradengleichung folgt \(-6 + 3t = 0\), woraus sich \(t = 2\) ergibt. Einsetzen in die Geradengleichung liefert den Spurpunkt \(S_{12}(8|4|0)\). 2. Schnittpunkt mit der \(x_1x_3\)-Ebene (\(x_2 = 0\)): Aus der zweiten Zeile folgt \(2 + t = 0\), also \(t = -2\). Einsetzen liefert den Punkt \(S_{13}(0|0|-12)\). 3. Schnittpunkt mit der \(x_2x_3\)-Ebene (\(x_1 = 0\)): Aus der ersten Zeile folgt \(4 + 2t = 0\), also \(t = -2\). Einsetzen liefert den Punkt \(S_{23}(0|0|-12)\). 4. Besondere Lage: Da die Spurpunkte \(S_{13}\) und \(S_{23}\) identisch sind, schneidet die Gerade zwei Koordinatenebenen im selben Punkt. Dieser Punkt \((0|0|-12)\) liegt auf der \(x_3\)-Achse. Die Gerade schneidet somit die \(x_3\)-Achse.

Spurpunkte: \(S_{12}(8|4|0)\), \(S_{13}(0|0|-12)\) und \(S_{23}(0|0|-12)\). Besondere Lage: Die Gerade schneidet die \(x_3\)-Achse im Punkt \((0|0|-12)\).

- Was bedeutet es für die Lage einer Geraden, wenn eine Komponente des Richtungsvektors Null ist? - Wenn eine Gleichung wie \(4 = 0\) entsteht, wie interpretierst du das in Bezug auf Schnittpunkte? - Kannst du aus der Parallelität zu einer Ebene schließen, welche Spurpunkte existieren müssen und welche nicht?

1. Schnittpunkt mit der \(x_1x_2\)-Ebene (\(x_3 = 0\)): Die Bedingung \(4 + 0 \cdot s = 0\) führt auf den Widerspruch \(4 = 0\). Es existiert kein Schnittpunkt mit der \(x_1x_2\)-Ebene. 2. Schnittpunkt mit der \(x_1x_3\)-Ebene (\(x_2 = 0\)): Die Bedingung \(3 - 2s = 0\) liefert \(s = 1{,}5\). Einsetzen in die Geradengleichung ergibt \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + 1{,}5\begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7{,}5 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\). Der Spurpunkt ist \(S_{13}(7{,}5|0|4)\). 3. Schnittpunkt mit der \(x_2x_3\)-Ebene (\(x_1 = 0\)): Die Bedingung \(0 + 5s = 0\) liefert \(s = 0\). Einsetzen ergibt den Stützpunkt als Spurpunkt: \(S_{23}(0|3|4)\). 4. Besondere Lage: Da die \(x_3\)-Komponente des Richtungsvektors Null ist, verläuft die Gerade parallel zur \(x_1x_2\)-Ebene. Da zudem der Stützpunkt die \(x_1\)-Koordinate \(0\) besitzt, liegt der Stützpunkt in der \(x_2x_3\)-Ebene, die Gerade ist jedoch nicht parallel zu einer der Achsen, da die anderen Komponenten des Richtungsvektors ungleich Null sind.

Spurpunkte: \(S_{13}(7{,}5|0|4)\) und \(S_{23}(0|3|4)\). Es gibt keinen Schnittpunkt mit der \(x_1x_2\)-Ebene. Besondere Lage: Die Gerade verläuft parallel zur \(x_1x_2\)-Ebene in der Ebene \(x_3 = 4\), also im Abstand \(4\).

- Welche Koordinaten hat die Mastspitze, wenn der Mast vom Befestigungspunkt aus in positiver \(x_3\)-Richtung verläuft? - Beschreibe den Sonnenstrahl durch die Mastspitze als gerichtete Gerade mit einem nichtnegativen Parameter. - Der Schattenpunkt der Spitze ist der Schnittpunkt dieses Strahls mit der Ebene. - Welche Strecke auf der Ebene bildet anschließend den Schatten des Mastes?

1. Die Mastspitze ist \(Q(2|4|9)\). 2. Der Sonnenstrahl durch \(Q\) wird durch \(g: \vec{x}=\begin{pmatrix}2\\4\\9\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}\) mit \(r\ge0\) beschrieben. 3. Einsetzen in die Ebenengleichung ergibt \((2+r)+2(4+2r)+2(9-3r)=20\). Damit ist \(28-r=20\) und folglich \(r=8\). 4. Der Schattenpunkt der Mastspitze ist \(S(10|20|-15)\). 5. Der Schattenvektor ist \(\vec{PS}=(8,16,-20)^T\). Seine Länge beträgt \(|\vec{PS}|=\sqrt{8^2+16^2+(-20)^2}=\sqrt{720}=12\sqrt5\,\text{m}\approx26{,}83\,\text{m}\).

\(12\sqrt5\,\text{m}\approx26{,}83\,\text{m}\)

- Wie hängen die Koordinaten eines gemeinsamen Punktes mit den einzelnen Ebenengleichungen zusammen? - Welches mathematische Verfahren hilft dir dabei, ein System mit drei Unbekannten effizient zu lösen? - Was muss gelten, damit ein Punkt Teil einer Geraden ist? - Kannst du die Punktprobe für jede Koordinate einzeln durchführen?

1. Zur Bestimmung von \(S\) wird das lineare Gleichungssystem aus den drei Ebenengleichungen gelöst. 2. Durch Addition von \(E\) und \(F\) wird \(x_2\) eliminiert: \(3x_1 + 2x_3 = 9\). 3. Durch Addition von \(E\) und \(G\) wird \(x_3\) eliminiert: \(2x_1 + 3x_2 = 8\). 4. Die systematische Lösung (z. B. mit dem Gauß-Verfahren) ergibt die Werte \(x_3 = 3\), \(x_2 = 2\) und \(x_1 = 1\). Der Schnittpunkt lautet \(S(1|2|3)\). 5. Für die Punktprobe wird \(S\) in die Geradengleichung \(h\) eingesetzt: \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\). 6. Dies führt auf das System \(1 = t\), \(2 = 1 + t\) und \(3 = 4 - t\). Da alle drei Gleichungen den Wert \(t = 1\) liefern, liegt der Punkt \(S\) auf der Geraden \(h\).

a) \(S(1|2|3)\) b) Ja, der Punkt \(S\) liegt auf der Geraden \(h\) (für \(t = 1\)).

- Welche drei Gleichungen müssen die Koordinaten eines gemeinsamen Punktes gleichzeitig erfüllen? - Wie kannst du das lineare Gleichungssystem so umformen, dass du die Variablen nacheinander eindeutig bestimmst? - Welchen Normalenvektor hat die \(x_1x_2\)-Koordinatenebene? - Welche Koordinate ist deshalb in einer dazu parallelen Ebene konstant?

1. Für den gemeinsamen Schnittpunkt wird das lineare Gleichungssystem der drei Ebenen gelöst. 2. Addition der Gleichungen von \(E\) und \(F\) ergibt \(3x_1+3x_3=3\), also \(x_1+x_3=1\). 3. Addition von zweimal \(F\) und \(G\) ergibt \(3x_1+4x_3=5\). 4. Aus den beiden Gleichungen folgt \(x_3=2\), anschließend \(x_1=-1\) und schließlich \(x_2=0\). Da alle drei Variablen eindeutig bestimmt sind, ist \(S(-1|0|2)\) der einzige gemeinsame Punkt. 5. Eine Ebene parallel zur \(x_1x_2\)-Koordinatenebene hat einen Normalenvektor parallel zu \(\vec{e}_3\) und damit eine Koordinatenform \(x_3=d\). 6. Wegen \(S\in H\) gilt \(d=2\). Somit ist \(H:x_3=2\).

a) \(S(-1|0|2)\) b) \(H:x_3=2\)

- Mit welchen beiden Kantenvektoren kannst du die Ebene der Werbetafel parametrisieren? - Welche zusätzlichen Parametergrenzen beschreiben nicht die ganze Ebene, sondern genau das Rechteck? - Welche Gleichungen entstehen, wenn ein Punkt zugleich auf dem Lichtstrahl und in der Ebene liegt? - Welche Bedingungen müssen der Strahlparameter und die beiden Flächenparameter nach dem Lösen erfüllen?

1. Die Tafel liegt in der Ebene mit der Parameterform \(E:\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix}\). Für Punkte des Rechtecks gilt zusätzlich \(0\le r\le1\) und \(0\le s\le1\). 2. Gleichsetzen von Strahl und Ebene liefert \(2+4r=8-2t\), \(1+3s=7-2t\) und \(3+s=2+t\). 3. Das System hat die Lösung \(t=1{,}8\), \(r=0{,}6\) und \(s=0{,}8\). Wegen \(t\ge0\) liegt der gemeinsame Punkt auf dem Lichtstrahl. 4. Einsetzen in \(g\) ergibt den Schnittpunkt \(S(4{,}4|3{,}4|3{,}8)\). 5. Da \(r\) und \(s\) beide im Intervall \([0;1]\) liegen, befindet sich \(S\) innerhalb des Rechtecks. Der Lichtstrahl trifft die Werbetafel.

Ja. Der Lichtstrahl trifft die Werbetafel im Punkt \(S(4{,}4|3{,}4|3{,}8)\).

- Welche Schnittmengen können zunächst bei zwei Ebenen entstehen? - Was kann passieren, wenn du diese Schnittmenge zusätzlich mit einer dritten Ebene schneidest? - Kann eine lineare Schnittmenge aus genau zwei voneinander getrennten Punkten bestehen? - Suche für Teil c) eine Anordnung, in der jedes Ebenenpaar eine Gerade gemeinsam hat, diese Geraden aber keinen gemeinsamen Punkt erzwingen.

1. Der Schnitt zweier Ebenen ist leer, eine Gerade oder bei identischen Ebenen eine Ebene. Schneidet man dieses Ergebnis mit der dritten Ebene, kann als gemeinsame Lösungsmenge nur die leere Menge, ein einzelner Punkt, eine Gerade oder eine Ebene entstehen. Zwei isolierte Punkte sind daher nicht möglich. 2. Als Lösungsmenge kommen somit die leere Menge, genau ein Punkt, eine Gerade oder eine Ebene infrage. 3. Eine mögliche Anordnung ohne gemeinsamen Punkt besteht aus drei Ebenen, die sich paarweise schneiden, wobei die drei paarweisen Schnittgeraden echt parallel zueinander sind. Dann schneidet zwar jedes Ebenenpaar einander, aber kein Punkt liegt in allen drei Ebenen zugleich.

a) Zwei isolierte Lösungen sind unmöglich, weil der gemeinsame Schnitt dreier Ebenen nur leer, ein Punkt, eine Gerade oder eine Ebene sein kann. b) Leere Menge, ein Punkt, eine Gerade oder eine Ebene. c) Zum Beispiel drei paarweise schneidende Ebenen, deren drei paarweise Schnittgeraden echt parallel zueinander sind; dann gibt es keinen gemeinsamen Punkt aller drei Ebenen.

- Prüfe, ob sich eine der drei Gleichungen aus den beiden anderen gewinnen lässt. - Wie viele freie Variablen bleiben, wenn nur zwei unabhängige Bedingungen vorliegen? - Wie kannst du die Lösungsmenge mit einem freien Parameter beschreiben? - Woran erkennst du über die Normalenvektoren, dass keine zwei Ebenen identisch sind?

1. Addition von (I) und (II) ergibt \(2x_1+3x_3=4\). Das ist genau Gleichung (III), also liefert (III) keine zusätzliche Bedingung. 2. Das System hat daher einen freien Parameter und unendlich viele Lösungen. Setze \(x_3=t\). 3. Aus (III) folgt \(x_1=2-1{,}5t\). Einsetzen in (I) ergibt \(x_2=1+0{,}5t\). 4. Die Lösungsmenge ist die Gerade \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-1{,}5\\0{,}5\\1\end{pmatrix}\). 5. Die Normalenvektoren \(\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\), \(\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix}2\\0\\3\end{pmatrix}\) sind paarweise keine skalaren Vielfachen. Daher sind die Ebenen nicht identisch; alle drei schneiden sich in derselben Geraden \(g\).

Die Lösungsmenge ist \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-1{,}5\\0{,}5\\1\end{pmatrix}\), \(t\in\mathbb{R}\). Geometrisch schneiden sich die drei verschiedenen Ebenen in dieser gemeinsamen Geraden.

- Welche Beziehung besteht zwischen dem Richtungsvektor einer Geraden und dem Normalenvektor einer dazu orthogonalen Ebene? - Wie erhältst du mit einem Normalenvektor und dem Punkt \(R\) die Koordinatenform? - Welche Bedingung muss ein Punkt der Geraden zusätzlich erfüllen, um in \(F\) zu liegen? - Welcher Parameterbereich beschreibt in der Geradenparameterform genau die Strecke von \(P\) nach \(Q\)?

1. Ein Richtungsvektor von \(h\) ist \(\vec{u}=\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}\). 2. Da \(F\) orthogonal zu \(h\) ist, kann \(\vec{u}\) als Normalenvektor von \(F\) verwendet werden. 3. Mit \(R(7|3|3)\) ergibt sich \(2x_1+2x_2+x_3=23\). Also lautet die Koordinatenform \(F:2x_1+2x_2+x_3=23\). 4. Die Gerade hat die Parameterform \(h:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}\). 5. Einsetzen in \(F\) ergibt \(2(1+2t)+2(1+2t)+(1+t)=23\), also \(9t+5=23\) und damit \(t=2\). 6. Somit ist \(S(5|5|3)\). 7. Die Strecke \(\overline{PQ}\) entspricht in dieser Parameterform \(0\le t\le1\). Da \(t=2\) gilt, liegt \(S\) nicht auf der Strecke.

a) \(F:2x_1+2x_2+x_3=23\) b) \(S(5|5|3)\); der Punkt liegt nicht auf \(\overline{PQ}\), weil \(t=2\notin[0;1]\).

- Welche drei Gleichungen erhältst du beim komponentenweisen Gleichsetzen der beiden Parameterformen? - Welche Beziehung zwischen \(r\) und \(s\) folgt besonders direkt aus der zweiten Koordinate? - Wie kannst du diese Beziehung in eine der Ebenen einsetzen, sodass nur noch ein freier Parameter bleibt? - Prüfe anschließend, ob die so erhaltenen Punkte tatsächlich auch die zweite Ebenenform erfüllen.

1. Gleichsetzen der beiden Parameterformen liefert komponentenweise \(1+r=2+t\), \(1+r+s=0\) und \(1+s=1+u\). 2. Aus der zweiten Gleichung folgt \(s=-1-r\). 3. Setzt man diese Beziehung in \(E_1\) ein, erhält man \(\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+(-1-r)\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\). 4. Zusammenfassen ergibt \(\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\). Diese Punkte liegen auch in \(E_2\), da dort die zweite Koordinate freiheitsunabhängig gleich \(0\) ist und \(x_1,x_3\) frei gewählt werden können.

\(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\), \(r\in\mathbb{R}\)

- Welche zwei Verbindungsvektoren in der Dachebene kannst du aus \(A,B,C\) bilden? - Wie erhältst du daraus einen Normalenvektor und anschließend die Koordinatenform? - Welche Parameterform beschreibt den Balken durch \(P\) und \(Q\)? - Welche Gleichung entsteht, wenn ein Balkenpunkt zugleich in der Dachebene liegt?

1. Für die Ebene liefern \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}-8\\8\\0\end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}-8\\0\\8\end{pmatrix}\) zwei Richtungsvektoren. Ein dazu orthogonaler Normalenvektor ist \(\vec{n}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\). 2. Mit \(C(0|0|12)\) ergibt sich die Koordinatenform \(E:x_1+x_2+x_3=12\). 3. Der Balken hat die Parameterform \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}\). 4. Einsetzen in \(E\) ergibt \((1+t)+(1+t)+3t=12\), also \(5t+2=12\) und \(t=2\). 5. Damit ist der Schnittpunkt \(D(3|3|6)\). Einsetzen in \(E\) bestätigt \(3+3+6=12\).

\(D(3|3|6)\)

- Welche vier Ungleichungen beschreiben das Innere dieses achsenorientierten Tetraeders? - Bei welchen Parameterwerten trifft \(g\) die vier Begrenzungsebenen? - Warum ist nicht jeder Schnitt mit einer Trägerebene automatisch ein Punkt auf der Tetraederoberfläche? - Welche beiden gültigen Randtreffer begrenzen schließlich den inneren Parameterbereich?

1. Der Tetraeder wird durch \(x_1\ge0\), \(x_2\ge0\), \(x_3\ge0\) und \(x_1+x_2+x_3\le6\) beschrieben. Seine Begrenzungsebenen sind entsprechend \(x_1=0\), \(x_2=0\), \(x_3=0\) und \(x_1+x_2+x_3=6\). 2. Der Schnitt mit \(x_3=0\) ergibt \(-1+2t=0\), also \(t=0{,}5\) und \(P_1(1{,}5|1{,}5|0)\). Dieser Punkt erfüllt alle übrigen Tetraederbedingungen. 3. Die Schnitte mit \(x_1=0\) und \(x_2=0\) entstehen beide bei \(t=-1\) im Punkt \((0|0|-3)\). Wegen \(x_3<0\) liegt dieser Punkt außerhalb des Tetraeders. 4. Aus \((1+t)+(1+t)+(-1+2t)=6\) folgt \(t=1{,}25\). Damit ist \(P_2(2{,}25|2{,}25|1{,}5)\), der ebenfalls alle übrigen Bedingungen erfüllt. 5. Die Gerade liegt daher genau für \(0{,}5\le t\le1{,}25\) innerhalb des Tetraeders.

Eintritt/Austritt: \(P_1(1{,}5|1{,}5|0)\) und \(P_2(2{,}25|2{,}25|1{,}5)\). Innerer Geradenabschnitt: \(t\in[0{,}5;1{,}25]\).

- Welche Gleichung erhältst du, wenn du eine Variable aus den beiden Koordinatenformen eliminierst? - Warum bleibt bei zwei unabhängigen Gleichungen mit drei Koordinaten eine Variable frei? - Wie kannst du die freie Variable so parametrisieren, dass ganzzahlige Richtungskoordinaten entstehen? - Wie liest du aus den drei koordinatenabhängigen Ausdrücken Stütz- und Richtungsvektor der Schnittgeraden ab?

1. Die beiden Koordinatenformen liefern das Gleichungssystem \(x_1+x_2+x_3=6\) und \(2x_1-x_2+3x_3=9\). 2. Addition der Gleichungen ergibt \(3x_1+4x_3=15\). 3. Wähle \(x_3=3t\). Dann folgt \(x_1=5-4t\). 4. Einsetzen in die erste Gleichung ergibt \(x_2=1+t\). 5. Damit lautet eine Parameterform der Schnittgeraden \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}5\\1\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-4\\1\\3\end{pmatrix}\).

\(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}5\\1\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-4\\1\\3\end{pmatrix}\), \(t\in\mathbb{R}\)

- Welche Ausdrücke für \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\) liefert die Parameterform von \(E_2\)? - Was erhältst du, wenn du diese drei Ausdrücke in die Koordinatenform von \(E_1\) einsetzt? - Was bedeutet es geometrisch, wenn nach dem Einsetzen eine Beziehung zwischen zwei Parametern mit einem freien Parameter übrig bleibt? - Wie kannst du die verbleibende Beziehung in die Parameterform einer Geraden überführen?

1. Aus der Parameterform von \(E_2\) folgt \(x_1=1+2r+s\), \(x_2=1+s\) und \(x_3=2+r\). 2. Einsetzen in die Koordinatenform von \(E_1\) ergibt \(3(1+2r+s)-(1+s)+2(2+r)=10\). 3. Vereinfachen liefert \(8r+2s=4\), also \(s=2-4r\). 4. Es bleibt ein freier Parameter. Daher schneiden sich die Ebenen in einer Geraden. 5. Einsetzen von \(s=2-4r\) in \(E_2\) ergibt \(\vec{x}=\begin{pmatrix}3\\3\\2\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-2\\-4\\1\end{pmatrix}\).

Die Ebenen schneiden sich in der Geraden \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}3\\3\\2\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-2\\-4\\1\end{pmatrix}\), \(r\in\mathbb{R}\).

- Welche Normalenvektoren kannst du direkt aus den beiden Koordinatenformen ablesen? - Welche Eigenschaft muss ein Richtungsvektor der Schnittgeraden bezüglich beider Normalenvektoren besitzen? - Wie kannst du einen gemeinsamen Punkt beider Ebenen finden, wenn du eine Koordinate frei festlegst? - Welche zwei Angaben brauchst du für die Parameterform einer Geraden?

1. Aus den Koordinatenformen liest man die Normalenvektoren \(\vec{n}_1=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_2=\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}\) ab. 2. Ein Vektor, der zu beiden Normalenvektoren orthogonal ist, ist ihr Kreuzprodukt: \(\vec{v}=\vec{n}_1\times\vec{n}_2=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}\). 3. Für einen Stützpunkt setze \(x_3=0\). Dann gilt \(x_1+x_2=6\) und \(2x_1-x_2=3\). 4. Addieren ergibt \(3x_1=9\), also \(x_1=3\) und damit \(x_2=3\). Somit ist \(P(3|3|0)\) ein Punkt beider Ebenen. 5. Daher ist \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}3\\3\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}\), \(t\in\mathbb{R}\), eine Parameterform der Schnittgeraden.

\(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}3\\3\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}\), \(t\in\mathbb{R}\)

- Welche zwei Verbindungsvektoren der drei Punkte eignen sich als Richtungsvektoren der Ebene? - Wie erhältst du aus zwei unabhängigen Richtungsvektoren einen Normalenvektor? - Wie kannst du aus einem Normalenvektor und einem bekannten Ebenenpunkt die Koordinatenform aufstellen? - Welche Gleichung entsteht, wenn du die Gerade in die Koordinatenform der Ebene einsetzt?

1. Es gilt \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}3\\8\\-5\end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}9\\-2\\-2\end{pmatrix}\). Daher ist \(E:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\1\\5\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}3\\8\\-5\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}9\\-2\\-2\end{pmatrix}\) eine Parameterform. 2. Ein Normalenvektor ist \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}-26\\-39\\-78\end{pmatrix}\), also beispielsweise \(\vec{n}=\begin{pmatrix}2\\3\\6\end{pmatrix}\). 3. Mit Punkt \(A\) ergibt sich die Koordinatenform \(2x_1+3x_2+6x_3=35\). 4. Einsetzen von \(g\) liefert \(2(1+\sigma)+3(2-2\sigma)+6(3+4\sigma)=35\). Daraus folgt \(20\sigma+26=35\), also \(\sigma=\frac{9}{20}=0{,}45\). 5. Einsetzen in \(g\) ergibt \(S(1{,}45|1{,}1|4{,}8)\).

a) \(E:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\1\\5\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}3\\8\\-5\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}9\\-2\\-2\end{pmatrix}\) und \(E:2x_1+3x_2+6x_3=35\) b) \(S(1{,}45|1{,}1|4{,}8)\)

- Welche Bedingung an die Normalenvektoren zeigt, dass zwei Ebenen orthogonal sind? - Welche Koordinate kannst du beim Lösen der beiden Ebenengleichungen als freien Parameter wählen? - Welche Richtung muss ein Normalenvektor von \(E_3\) bezüglich der beiden gegebenen Normalenvektoren haben? - Wie bestimmst du anschließend den gemeinsamen Punkt von \(s\) und \(E_3\)?

1. Die Normalenvektoren sind \(\vec{n}_1=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_2=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}\). Wegen \(\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2=1-1=0\) sind die Ebenen orthogonal. 2. Aus \(E_2\) folgt \(x_1=x_2\). Mit \(x_1=r\) ergibt \(E_1\) die Koordinate \(x_3=3-2r\). Damit ist \(s:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}\). 3. Ein Normalenvektor von \(E_3\) muss zu \(\vec{n}_1\) und \(\vec{n}_2\) orthogonal sein. Das Kreuzprodukt liefert beispielsweise \(\vec{n}_3=\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}\). 4. Mit \(P(1|1|1)\) folgt \(E_3:x_1+x_2-2x_3=0\). 5. Einsetzen von \(s\) in \(E_3\) ergibt \(r+r-2(3-2r)=0\), also \(r=1\). Daher ist \(S(1|1|1)\).

a) \(\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2=0\); \(s:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}\) b) \(E_3:x_1+x_2-2x_3=0\) c) \(S(1|1|1)\)

- Welche Koordinaten haben die beiden Kantenmittelpunkte und der Punkt im angegebenen Teilverhältnis? - Welche zwei Verbindungsvektoren innerhalb der Ebene kannst du daraus bilden? - Wie erhältst du mit einem Normalenvektor die Koordinatenform? - Welcher Parameterbereich gehört zur Kante \(\overline{DS}\), nicht nur zu ihrer Trägergeraden?

1. Es gilt \(K(1|1|4)\), \(L(3|1|4)\) und \(M=S+\frac{1}{4}(C-S)=(2{,}5|2{,}5|6)\). 2. Zwei Richtungsvektoren von \(E\) sind \(\overrightarrow{KL}=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{KM}=\begin{pmatrix}1{,}5\\1{,}5\\2\end{pmatrix}\). Ein Normalenvektor ist \(\vec{n}=\begin{pmatrix}0\\-4\\3\end{pmatrix}\). 3. Mit \(K\) folgt die Koordinatenform \(E:-4x_2+3x_3=8\). 4. Die Kante \(\overline{DS}\) hat die Parameterform \(\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}2\\-2\\8\end{pmatrix}\) mit \(0\le r\le1\). 5. Einsetzen in \(E\) ergibt \(-4(4-2r)+3(8r)=8\), also \(32r=24\) und \(r=0{,}75\). Dieser Wert liegt im Streckenintervall. 6. Damit ist \(N(1{,}5|2{,}5|6)\).

a) \(E:-4x_2+3x_3=8\) b) \(N(1{,}5|2{,}5|6)\)

- Welche zwei Richtungsvektoren beschreiben die Ebene durch die drei Segelpunkte? - Welche Gleichungen entstehen, wenn ein Punkt gleichzeitig auf der Flugbahn und in dieser Ebene liegt? - Welche Bedingungen an \(r\) und \(s\) beschreiben genau das Dreieck und nicht die ganze Ebene? - Welche dieser Bedingungen entscheidet hier darüber, ob der Schnittpunkt zur Segelfläche gehört?

1. Das Segel liegt in der Ebene mit der Parameterform \(E:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\4\\4\end{pmatrix}\). 2. Gleichsetzen von \(h\) und \(E\) liefert \(1+4r=5-k\), \(4s=3-k\) und \(2+4s=1+2k\). 3. Aus den letzten beiden Gleichungen folgt \(k=\frac{4}{3}\). Damit sind \(s=\frac{5}{12}\) und \(r=\frac{2}{3}\). 4. Der Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene ist \(S\left(\frac{11}{3}\middle|\frac{5}{3}\middle|\frac{11}{3}\right)\). 5. Für das Dreieck gelten die Parameterbedingungen \(r\ge0\), \(s\ge0\) und \(r+s\le1\). Hier ist \(r+s=\frac{13}{12}>1\). 6. Somit liegt \(S\) außerhalb der dreieckigen Segelfläche. Das Projektil durchfliegt das Sonnensegel nicht.

Nein. Der Schnittpunkt \(S\left(\frac{11}{3}\middle|\frac{5}{3}\middle|\frac{11}{3}\right)\) liegt außerhalb des Dreiecks, weil \(r+s=\frac{13}{12}>1\).

- Welche Seitenflächen können eine Gerade mit konstantem \(x_2=4\) seitlich begrenzen? - Bestimme für jede dieser beiden Seitenflächen eine Koordinatenform und setze die Parameterform von \(h\) ein. - Prüfe, dass der zwischen den beiden Schnittparametern liegende Geradenabschnitt nicht vorher eine andere Begrenzungsfläche verlässt. - Wie wird aus der Parameterdifferenz und der Länge des Richtungsvektors die tatsächliche Abschnittslänge?

1. Da auf \(h\) stets \(x_2=4\) gilt, wird der innere Abschnitt durch die beiden gegenüberliegenden Seitenflächen \(ADS\) und \(BCS\) begrenzt. 2. Für \(ADS\) kann die Koordinatenform \(-4x_1+x_3=-8\) verwendet werden. Einsetzen von \(h\) ergibt \(-4(4+4t)+(2+2t)=-8\). Daraus folgt \(t=-\frac{3}{7}\). 3. Der erste Randpunkt ist damit \(P_1=\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}-\frac{3}{7}\begin{pmatrix}4\\0\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{16}{7}\\4\\\frac{8}{7}\end{pmatrix}\). 4. Für \(BCS\) lautet eine Koordinatenform \(4x_1+x_3=24\). Einsetzen von \(h\) ergibt \(4(4+4t)+(2+2t)=24\). Daraus folgt \(t=\frac{1}{3}\). 5. Der zweite Randpunkt ist \(P_2=\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}+\frac{1}{3}\begin{pmatrix}4\\0\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{16}{3}\\4\\\frac{8}{3}\end{pmatrix}\). 6. Zwischen diesen beiden Parametern bleiben die Punkte auch bezüglich der beiden übrigen Seitenflächen und der Grundfläche innerhalb der Pyramide. Die Parameterdifferenz beträgt \(\frac{1}{3}-\left(-\frac{3}{7}\right)=\frac{16}{21}\). 7. Der Richtungsvektor hat die Länge \(\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}\). Daher beträgt die gesuchte Abschnittslänge \(\frac{16}{21}\cdot2\sqrt{5}=\frac{32\sqrt{5}}{21}\).

\(P_1\left(\frac{16}{7}\middle|4\middle|\frac{8}{7}\right)\), \(P_2\left(\frac{16}{3}\middle|4\middle|\frac{8}{3}\right)\) Abschnittslänge: \(\frac{32\sqrt{5}}{21}\) Längeneinheiten

- Welchen Wert nimmt \(2L_1(\vec{x})-L_2(\vec{x})\) für einen Punkt an, der gleichzeitig in \(E_1\) und \(E_2\) liegt? - Vergleiche diesen Wert mit der rechten Seite der Bedingung von \(E_3\). - Welche geometrische Konsequenz folgt, wenn dieselbe linke Seite einer Ebenenbedingung nur um eine von null verschiedene Konstante verschoben wird?

1. Für jeden Punkt \(\vec{x}\) auf \(s\) gelten gleichzeitig \(L_1(\vec{x})=d_1\) und \(L_2(\vec{x})=d_2\). Daher hat dort die linke Seite von \(E_3\) stets den Wert \(2d_1-d_2\). 2. Die Ebenenbedingung von \(E_3\) verlangt jedoch den um \(5\) größeren Wert \(2d_1-d_2+5\). Somit liegt kein Punkt von \(s\) in \(E_3\). 3. Die Ebene mit \(2L_1(\vec{x})-L_2(\vec{x})=2d_1-d_2\) würde \(s\) enthalten und besitzt denselben Normalenvektor wie \(E_3\). Deshalb ist \(s\) parallel zu \(E_3\), aber nicht in \(E_3\) enthalten. 4. Alle gemeinsamen Punkte von \(E_1\) und \(E_2\) liegen auf \(s\). Da kein Punkt von \(s\) in \(E_3\) liegt, besitzt das Dreiebenensystem keine gemeinsame Lösung.

Die Schnittgerade \(s\) ist echt parallel zu \(E_3\). Das Dreiebenensystem besitzt keine gemeinsame Lösung, also \(L=\emptyset\).

- Welche Gleichungen kannst du zunächst addieren, um einen der drei Parameter direkt zu bestimmen? - Welche Vektorgleichung entsteht allgemein, wenn du einen Punkt der Geraden mit einem Punkt der Ebene gleichsetzt? - Wie hängen die Koeffizienten des LGS mit den Richtungsvektoren von Gerade und Ebene zusammen? - Welcher Stützvektor der Geraden führt bei dem in a) gefundenen Wert von \(r\) zum vorgegebenen Punkt \(S\)?

1. Addition von I und II ergibt \(3r=6\), also \(r=2\). 2. Einsetzen in I liefert \(2-s+t=4\), also \(t=s+2\). 3. Einsetzen in III ergibt \(2s+3(s+2)=11\), also \(s=1\) und damit \(t=3\). 4. Somit ist \((r,s,t)=(2,1,3)\). 5. Beim Gleichsetzen einer Geraden \(\vec{p}+r\vec{u}\) mit einer Ebene \(\vec{a}+s\vec{v}+t\vec{w}\) entsteht \(r\vec{u}-s\vec{v}-t\vec{w}=\vec{a}-\vec{p}\). 6. Zu den Koeffizienten des gegebenen Systems passen etwa \(\vec{u}=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}\), \(\vec{v}=\begin{pmatrix}1\\-1\\-2\end{pmatrix}\), \(\vec{w}=\begin{pmatrix}-1\\1\\-3\end{pmatrix}\) und \(\vec{a}-\vec{p}=\begin{pmatrix}4\\2\\11\end{pmatrix}\). 7. Da bei \(r=2\) der Punkt \(S\) erreicht wird, ist \(\vec{p}=\begin{pmatrix}5\\1\\2\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\-3\\2\end{pmatrix}\). 8. Damit kann \(\vec{a}=\vec{p}+\begin{pmatrix}4\\2\\11\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\-1\\13\end{pmatrix}\) gewählt werden.

a) \((r,s,t)=(2,1,3)\) b) Eine mögliche Wahl ist \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}3\\-3\\2\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}\) und \(E:\vec{x}=\begin{pmatrix}7\\-1\\13\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\-1\\-2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-1\\1\\-3\end{pmatrix}\).

- Welche zwei Prüfungen unterscheiden bei \(\vec{u}\cdot\vec{n}_E=0\) zwischen Enthaltensein und echter Parallelität? - Welche Richtung muss der Normalenvektor einer Ebene besitzen, die sowohl die Gerade enthält als auch orthogonal zu \(E\) ist? - Wie findest du einen Normalenvektor, der zu zwei gegebenen Normalenvektoren orthogonal ist? - Welches lineare Gleichungssystem beschreibt den gemeinsamen Punkt dreier Ebenen?

1. Der Richtungsvektor von \(g\) ist \(\vec{u}=\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\), der Normalenvektor von \(E\) ist \(\vec{n}_E=\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix}\). Es gilt \(\vec{u}\cdot\vec{n}_E=3-1-2=0\). 2. Der Stützpunkt \(P(2|2|2)\) erfüllt die Koordinatenform von \(E\) nicht, denn \(6-2+4=8\neq10\). Daher ist \(g\) echt parallel zu \(E\). 3. Für \(F\) muss ein Normalenvektor sowohl zu \(\vec{u}\) als auch zu \(\vec{n}_E\) orthogonal sein. Ein Kreuzprodukt liefert \(\vec{n}_F=\begin{pmatrix}1\\-5\\-4\end{pmatrix}\). Mit \(P\) folgt \(F:x_1-5x_2-4x_3=-16\). 4. Ein Normalenvektor von \(H\) muss zu \(\vec{n}_E\) und \(\vec{n}_F\) orthogonal sein. Ein Kreuzprodukt ist ein Vielfaches von \(\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\). Mit \(A\) folgt \(H:x_1+x_2-x_3=1\). 5. Das LGS aus \(E\), \(F\) und \(H\) hat die Lösung \(x_1=\frac{44}{21}\), \(x_2=\frac{32}{21}\), \(x_3=\frac{55}{21}\).

a) \(g\) ist echt parallel zu \(E\). b) \(F:x_1-5x_2-4x_3=-16\) c) \(H:x_1+x_2-x_3=1\) d) \(S\left(\frac{44}{21}\middle|\frac{32}{21}\middle|\frac{55}{21}\right)\)

- Welche Verträglichkeitsbedingung müssen zwei nicht parallele Geraden erfüllen, wenn sie beide in derselben Ebene liegen sollen? - Auf welcher Geraden liegt jeder gemeinsame Punkt von \(g_a\) und \(k_b\), falls die beiden vorgeschriebenen Schnittbedingungen erfüllt sind? - Erst nachdem die Parameterbeziehung geklärt ist: Welche zwei Richtungsvektoren und welcher gemeinsame Punkt bestimmen \(F\)? - Für den vollständigen Nachweis reicht es nicht, nur die beiden Geraden in \(F\) einzusetzen; charakterisiere jeweils die gesamte Schnittmenge.

1. Soll eine Ebene \(F\) beide vorgeschriebenen Schnittgeraden enthalten, müssen \(g_a\) und \(k_b\) in derselben Ebene liegen. Da ihre Richtungsvektoren nicht parallel sind, müssen sie sich dafür schneiden. 2. Ein gemeinsamer Punkt muss wegen \(g_a\subset E\) und \(k_b\subset H\) zugleich auf \(E\cap H\) liegen. Für \(g_a\) liegt ein Punkt auf \(E\cap H\), wenn seine zweite Koordinate null ist: \(a+t=0\), also \(t=-a\). Der Punkt ist \((-a|0|0)\). 3. Für \(k_b\) muss zusätzlich \(x_3=0\) gelten: \(1-s=0\), also \(s=1\). Der entsprechende Punkt ist \((b+1|0|0)\). 4. Die beiden Geraden schneiden sich genau dann, wenn \(-a=b+1\), also \(a+b=-1\). Dies ist die notwendige und hinreichende Bedingung. 5. Für \(a+b=-1\) ist \(P=(-a|0|0)\) ihr gemeinsamer Punkt. Mit den Richtungsvektoren \(\vec{u}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{v}=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\) erhält man zum Beispiel den Normalenvektor \(\vec{n}=\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}\). 6. Durch \(P\) ergibt sich \(F:x_1-x_2+x_3=-a\). 7. Für \(E\cap F\) gilt \(x_3=0\), also \(x_1-x_2=-a\). Mit \(x_1=t\) folgt \((x_1|x_2|x_3)=(t|a+t|0)\), genau die Gerade \(g_a\). 8. Für \(H\cap F\) gilt \(x_2=0\), also \(x_1+x_3=-a\). Wegen \(b=-a-1\) hat \(k_b\) die Form \((b+s|0|1-s)\), und dort ist \(x_1+x_3=b+1=-a\). Umgekehrt lässt sich jeder Punkt mit \(x_2=0\) und \(x_1+x_3=-a\) durch einen passenden Wert von \(s\) darstellen. Daher gilt genau \(H\cap F=k_b\).

a) Genau für \(a+b=-1\). b) Für jedes solche Paar kann man \(F:x_1-x_2+x_3=-a\) wählen. Dann gilt vollständig \(E\cap F=g_a\) und \(H\cap F=k_b\).