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- Vergleiche die drei Koordinaten der beiden Punkte. In welchen Koordinaten unterscheiden sie sich? - Der Abstand zweier Punkte ist die Länge ihres Verbindungsvektors.

1. Der Verbindungsvektor ist \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}\). 2. Seine Länge ist \(|\vec{PQ}| = \sqrt{0^2+0^2+5^2} = 5\).

Der Abstand beträgt \(5\,\text{LE}\).

- Welche geometrische Bedeutung hat die Länge des Verbindungsvektors \(\vec{AB}\)? - Welche Größe wird aus den Komponenten eines Vektors mit dem Satz des Pythagoras bestimmt?

1. Der Abstand ist die Länge des gegebenen Verbindungsvektors. 2. Es gilt \(|\vec{AB}| = \sqrt{0^2+(-4)^2+3^2} = \sqrt{25} = 5\).

Der Abstand beträgt \(5\,\text{LE}\).

- Wie hängen die Koordinaten eines Punktes mit seinem Ortsvektor zusammen? - Wie berechnet man einen Vektor, der von einem Punkt zu einem anderen führt? - Welche Formel nutzt du, um die Länge (den Betrag) eines Vektors im Raum zu bestimmen?

1. Der Ortsvektor \(\vec{OA}\) entspricht den Koordinaten des Punktes \(A\), also \(\vec{OA} = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Der Verbindungsvektor \(\vec{AB}\) wird durch die Differenz der Ortsvektoren berechnet: \(\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \begin{pmatrix} 7-5 \\ 1-(-2) \\ 7-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}\). 3. Die Länge des Vektors ergibt sich aus der Wurzel der Summe der Quadrate seiner Komponenten: \(|\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7\).

\(\vec{OA} = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\), \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}\), \(|\vec{AB}| = 7\)

- Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Punkten im Raum? - Erinnere dich an die Formel für den Betrag eines Verbindungsvektors. - Du kannst die Längen direkt vergleichen, indem du dir die Werte unter der Wurzel ansiehst.

1. Berechnung der Länge der Seite \(c = |\vec{AB}|\): \(\sqrt{(4-1)^2 + (2-2)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{3^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\). 2. Berechnung der Länge der Seite \(b = |\vec{AC}|\): \(\sqrt{(1-1)^2 + (8-2)^2 + (3-3)^2} = \sqrt{0^2 + 6^2 + 0^2} = \sqrt{36} = 6\). 3. Berechnung der Länge der Seite \(a = |\vec{BC}|\): \(\sqrt{(1-4)^2 + (8-2)^2 + (3-7)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 6^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 36 + 16} = \sqrt{61} \approx 7{,}81\). 4. Vergleich der Werte: Da \(5 < 6 < \sqrt{61}\), ergibt sich die Reihenfolge \(|\vec{AB}| < |\vec{AC}| < |\vec{BC}|\).

Die Seitenlängen betragen \(|\vec{AB}| = 5\), \(|\vec{AC}| = 6\) und \(|\vec{BC}| = \sqrt{61} \approx 7{,}81\). Aufsteigend sortiert: \(|\vec{AB}| < |\vec{AC}| < |\vec{BC}|\).

- Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Punkten im Raum? - Erinnere dich an den Satz des Pythagoras in drei Dimensionen. - Berechne zuerst die Differenzen der einzelnen Koordinaten. - Vergleiche am Ende die beiden berechneten Maßzahlen.

1. Berechnung der Länge der Strecke \(\overline{AB}\): \(\lvert \vec{AB} \rvert = \sqrt{(5 - 2)^2 + (1 - (-3))^2 + (5 - 5)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16 + 0} = \sqrt{25} = 5\). 2. Berechnung der Länge der Strecke \(\overline{BC}\): \(\lvert \vec{BC} \rvert = \sqrt{(9 - 5)^2 + (4 - 1)^2 + (-7 - 5)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2 + (-12)^2} = \sqrt{16 + 9 + 144} = \sqrt{169} = 13\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Da \(13 > 5\), ist die Strecke \(\overline{BC}\) länger als die Strecke \(\overline{AB}\).

Die Länge der Strecke \(\overline{AB}\) beträgt \(5\) Längeneinheiten, die Länge der Strecke \(\overline{BC}\) beträgt \(13\) Längeneinheiten. Somit ist die Strecke \(\overline{BC}\) länger.

- Wie berechnet man den Vektor zwischen zwei Punkten im Raum? - Welche Formel hilft dir, die Länge eines Vektors (seinen Betrag) zu bestimmen? - Der Abstand zum Ursprung ist ein Spezialfall des Abstands zweier Punkte, bei dem einer der Punkte \((0|0|0)\) ist. - Um Wurzeln zu vergleichen, kannst du dir auch einfach die Werte unter der Wurzel (Radikanden) ansehen.

1. Berechnung des Verbindungsvektors \(\vec{P_1P_2} = \vec{P_2} - \vec{P_1} = \begin{pmatrix} 14-10 \\ 17-20 \\ 5-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Abstands der Drohnen über den Betrag des Vektors: \(d(P_1, P_2) = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 9 + 0} = \sqrt{25} = 5\). Die Entfernung beträgt \(5\,\text{m}\). 3. Berechnung der Abstände zum Ursprung \(O(0|0|0)\): \(d(P_1, O) = \sqrt{10^2 + 20^2 + 5^2} = \sqrt{100 + 400 + 25} = \sqrt{525} \approx 22{,}91\,\text{m}\). 4. \(d(P_2, O) = \sqrt{14^2 + 17^2 + 5^2} = \sqrt{196 + 289 + 25} = \sqrt{510} \approx 22{,}58\,\text{m}\). 5. Vergleich der Werte: Wegen \(\sqrt{525} > \sqrt{510}\) ist die Drohne \(P_1\) weiter vom Ursprung entfernt.

a) Der Abstand zwischen den Drohnen beträgt \(5\,\text{m}\). b) Der Abstand von \(P_1\) zum Ursprung ist \(\sqrt{525} \approx 22{,}91\,\text{m}\), der von \(P_2\) beträgt \(\sqrt{510} \approx 22{,}58\,\text{m}\). Somit ist Drohne \(P_1\) weiter entfernt.

- Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Punkten im Raum? - Welche Rolle spielen die Differenzen der einzelnen Koordinaten bei der Längenberechnung? - Aus wie vielen Teilstrecken setzt sich der Umfang zusammen? - Erinnere dich an den Satz des Pythagoras im dreidimensionalen Raum.

1. Berechnung der Länge der Seite \(c = |\vec{AB}|\): \(\sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2 + (12-0)^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13\). 2. Berechnung der Länge der Seite \(a = |\vec{BC}|\): \(\sqrt{(-4-3)^2 + (3-4)^2 + (0-12)^2} = \sqrt{(-7)^2 + (-1)^2 + (-12)^2} = \sqrt{49 + 1 + 144} = \sqrt{194} \approx 13{,}93\). 3. Berechnung der Länge der Seite \(b = |\vec{CA}|\): \(\sqrt{(0-(-4))^2 + (0-3)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + 0} = \sqrt{16 + 9} = 5\). 4. Addition der Seitenlängen zum Umfang \(U\): \(13 + \sqrt{194} + 5 = 18 + \sqrt{194} \approx 31{,}93\).

Der Umfang des Dreiecks beträgt \(18 + \sqrt{194} \approx 31{,}93\) Längeneinheiten.

- Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Punkten im dreidimensionalen Raum? - Welche Eigenschaft müssen die Seitenlängen eines Dreiecks erfüllen, damit es gleichschenklig ist? - Wann nennt man ein gleichschenkliges Dreieck zusätzlich gleichseitig? - Berechne zuerst die Differenzen der einzelnen Koordinaten der Punkte.

1. Berechnung der Seitenlängen mithilfe der Abstandsformel für Punkte im Raum: \(|\vec{AB}| = \sqrt{(1-5)^2 + (5-2)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{16+9} = 5\,\text{LE}\) \(|\vec{BC}| = \sqrt{(1-1)^2 + (2-5)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{0^2 + (-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = 5\,\text{LE}\) \(|\vec{AC}| = \sqrt{(1-5)^2 + (2-2)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} \approx 5{,}66\,\text{LE}\) 2. Vergleich der Längen: Da zwei Seiten gleich lang sind (\(|\vec{AB}| = |\vec{BC}| = 5\,\text{LE}\)), aber die dritte Seite eine andere Länge besitzt (\(\sqrt{32} \approx 5{,}66\,\text{LE}\)), ist das Dreieck gleichschenklig, aber nicht gleichseitig.

a) Die Seitenlängen betragen \(5\,\text{LE}\), \(5\,\text{LE}\) und \(\sqrt{32} \approx 5{,}66\,\text{LE}\). b) Das Dreieck ist gleichschenklig, da zwei Seiten (\(AB\) und \(BC\)) gleich lang sind. Es ist nicht gleichseitig, da die dritte Seite (\(AC\)) eine andere Länge hat.

- Welche besondere Eigenschaft haben die Koordinaten eines Punktes, der auf der \(x_2\)-Achse liegt? - Nutze die allgemeine Formel für den Abstand zweier Punkte und setze den gegebenen Wert ein. - Denk daran, dass beim Lösen einer reinquadratischen Gleichung oft zwei Lösungen möglich sind.

1. Ansatz für den Punkt \(P\) auf der \(x_2\)-Achse: \(P(0|y|0)\). 2. Aufstellen der Abstandsformel zwischen \(P\) und \(Q\): \(d(P, Q) = \sqrt{(4-0)^2 + (3-y)^2 + (-2-0)^2} = 6\). 3. Quadrieren der Gleichung: \(4^2 + (3-y)^2 + (-2)^2 = 36 \implies 16 + (3-y)^2 + 4 = 36\). 4. Vereinfachen: \(20 + (3-y)^2 = 36 \implies (3-y)^2 = 16\). 5. Lösen der quadratischen Gleichung: \(3-y = 4\) oder \(3-y = -4\). 6. Ergebnisse für \(y\): \(y_1 = -1\) und \(y_2 = 7\). 7. Koordinaten der Punkte: \(P_1(0|-1|0)\) und \(P_2(0|7|0)\).

Es gibt zwei solcher Punkte: \(P_1(0|-1|0)\) und \(P_2(0|7|0)\).

- Stelle zuerst einen Vektor auf, der die Abhängigkeit von \(t\) enthält. - Nutze die allgemeine Formel für den Abstand zweier Punkte im dreidimensionalen Raum. - Wenn du eine Gleichung mit einer Wurzel hast, wie kannst du diese vereinfachen? - Denk daran, dass eine quadratische Gleichung der Form \(x^2 = a\) zwei Lösungen haben kann.

1. Aufstellen des Differenzvektors \(\vec{AB_t} = \begin{pmatrix} 2-2 \\ t-(-1) \\ 1-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ t+1 \\ -4 \end{pmatrix}\). 2. Anwendung der Abstandsformel für den Betrag des Vektors: \(d(A, B_t) = \sqrt{0^2 + (t+1)^2 + (-4)^2}\). 3. Gleichsetzen mit dem Zielwert: \(\sqrt{(t+1)^2 + 16} = \sqrt{17}\). 4. Quadrieren der Gleichung führt zu \((t+1)^2 + 16 = 17\). 5. Umstellen ergibt \((t+1)^2 = 1\). 6. Ziehen der Wurzel liefert zwei Fälle: \(t+1 = 1\) oder \(t+1 = -1\). 7. Die Lösungen sind \(t_1 = 0\) und \(t_2 = -2\).

Der Abstand beträgt genau \(\sqrt{17}\) für \(t = 0\) und \(t = -2\).

- Berechne zunächst alle drei Abstände zwischen den gegebenen Punkten. - Wie ist ein gleichschenkliges Dreieck definiert? - Kannst du die Längen ohne Rundung vergleichen, um die Gleichschenkligkeit sicher zu prüfen? - Achte bei den Dezimalzahlen auf die korrekte Subtraktion, bevor du quadrierst.

1. Berechnung der Seitenlängen: \(|\vec{PQ}| = \sqrt{(4{,}2-1{,}2)^2 + (4-0)^2 + (3{,}5-3{,}5)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5\). \(|\vec{QR}| = \sqrt{(1{,}2-4{,}2)^2 + (4-4)^2 + (7{,}5-3{,}5)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\). \(|\vec{RP}| = \sqrt{(1{,}2-1{,}2)^2 + (0-4)^2 + (3{,}5-7{,}5)^2} = \sqrt{0^2 + (-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \approx 5{,}66\). 2. Umfangsberechnung: \(U = 5 + 5 + 4\sqrt{2} = 10 + 4\sqrt{2} \approx 15{,}66\). 3. Prüfung auf Gleichschenkligkeit: Da die Seiten \(PQ\) und \(QR\) beide die Länge \(5\) besitzen, sind zwei Seiten gleich lang. Das Dreieck ist somit gleichschenklig.

a) Der Umfang beträgt \(10 + 4\sqrt{2} \approx 15{,}66\) Längeneinheiten. b) Das Dreieck ist gleichschenklig, da die Seitenlängen \(|\vec{PQ}| = 5\) und \(|\vec{QR}| = 5\) identisch sind.

- Überlege dir, welche Punkte im Viereck die Seiten bilden und welche die Diagonalen. - Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Punkten im dreidimensionalen Raum? - Der Umfang ist die Summe der Längen aller vier Außenkanten.

1. Berechnung der Seitenlängen mit der Abstandsformel \(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}\): \(|\vec{AB}| = \sqrt{(6-2)^2 + (3-1)^2 + (-2 - (-3))^2} = \sqrt{4^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{21} \approx 4{,}58\) \(|\vec{BC}| = \sqrt{(5-6)^2 + (7-3)^2 + (0 - (-2))^2} = \sqrt{(-1)^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{21} \approx 4{,}58\) \(|\vec{CD}| = \sqrt{(1-5)^2 + (5-7)^2 + (-1-0)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{21} \approx 4{,}58\) \(|\vec{DA}| = \sqrt{(2-1)^2 + (1-5)^2 + (-3 - (-1))^2} = \sqrt{1^2 + (-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{21} \approx 4{,}58\) 2. Berechnung der Diagonallängen: \(|\vec{AC}| = \sqrt{(5-2)^2 + (7-1)^2 + (0 - (-3))^2} = \sqrt{3^2 + 6^2 + 3^2} = \sqrt{54} \approx 7{,}35\) \(|\vec{BD}| = \sqrt{(1-6)^2 + (5-3)^2 + (-1 - (-2))^2} = \sqrt{(-5)^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{30} \approx 5{,}48\) 3. Berechnung des Umfangs: \(U = 4 \cdot \sqrt{21} \approx 18{,}33\)

Seitenlängen: \(|\vec{AB}| = |\vec{BC}| = |\vec{CD}| = |\vec{DA}| = \sqrt{21} \approx 4{,}58\) Diagonalen: \(|\vec{AC}| = \sqrt{54} \approx 7{,}35\); \(|\vec{BD}| = \sqrt{30} \approx 5{,}48\) Umfang: \(U = 4 \cdot \sqrt{21} \approx 18{,}33\)

- Welche Koordinaten haben Punkte, die auf der \(x_1\)-Achse liegen? - Erinnere dich an die Formel für den Abstand zweier Punkte im Raum. - Wie lässt sich eine Wurzelgleichung am besten nach der Unbekannten auflösen? - Gibt es nur eine Lösung für die quadratische Gleichung am Ende?

1. Berechnung des Abstands zum Ursprung: \(d(O, A) = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13\). 2. Ansatz für Punkte auf der \(x_1\)-Achse: \(P(x|0|0)\). 3. Aufstellen der Abstandsgleichung: \(\sqrt{(x-3)^2 + (0-4)^2 + (0-12)^2} = 13\). 4. Quadrieren und Vereinfachen: \((x-3)^2 + 16 + 144 = 169 \Rightarrow (x-3)^2 + 160 = 169\). 5. Isolieren des Quadrats: \((x-3)^2 = 9\). 6. Lösen der Gleichung: \(x-3 = 3\) oder \(x-3 = -3\), woraus \(x_1 = 6\) und \(x_2 = 0\) folgen. 7. Angabe der Punkte: \(P_1(6|0|0)\) und \(P_2(0|0|0)\).

a) Der Abstand zum Ursprung beträgt \(13\). b) Die gesuchten Punkte sind \(P_1(6|0|0)\) und \(P_2(0|0|0)\).

- Stelle dir ein rechtwinkliges Dreieck am Boden eines Quaders und ein zweites Dreieck vor, das die Raumdiagonale enthält. - Was bedeutet es für die Koordinaten zweier Punkte, wenn sie in derselben zur \(x_1x_2\)-Ebene parallelen Ebene liegen? - Wie verändert sich der Term \((q_3 - p_3)^2\), wenn beide Werte gleich sind?

1. Herleitungsschritte: Zuerst wird die Diagonale \(d_{12}\) in der \(x_1x_2\)-Ebene (oder einer dazu parallelen Ebene) als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten \(\Delta x_1 = |q_1 - p_1|\) und \(\Delta x_2 = |q_2 - p_2|\) berechnet: \(d_{12}^2 = (q_1-p_1)^2 + (q_2-p_2)^2\). 2. Danach bildet diese Diagonale zusammen mit der Höhendifferenz \(\Delta x_3 = |q_3 - p_3|\) als Katheten ein zweites rechtwinkliges Dreieck im Raum. Die Hypotenuse ist der gesuchte Abstand \(d\): \(d^2 = d_{12}^2 + (q_3-p_3)^2\). 3. Einsetzen von \(d_{12}^2\) ergibt \(d^2 = (q_1-p_1)^2 + (q_2-p_2)^2 + (q_3-p_3)^2\), woraus durch Wurzelziehen die Formel folgt. 4. Spezialfall: In einer Ebene parallel zur \(x_1x_2\)-Ebene haben alle Punkte die gleiche \(x_3\)-Koordinate, also gilt \(p_3 = q_3\). 5. Einsetzen in die Formel: \(d = \sqrt{(q_1-p_1)^2 + (q_2-p_2)^2 + (q_3-q_3)^2} = \sqrt{(q_1-p_1)^2 + (q_2-p_2)^2 + 0^2}\). 6. Ergebnis: \(d = \sqrt{(q_1-p_1)^2 + (q_2-p_2)^2}\). Dies entspricht der Abstandsformel in der Ebene.

a) Durch Anwendung des Satzes des Pythagoras in der Ebene erhält man die Diagonale \(d_{12}^2 = (q_1-p_1)^2 + (q_2-p_2)^2\). Eine zweite Anwendung mit der Höhendifferenz liefert \(d^2 = d_{12}^2 + (q_3-p_3)^2\), was zur Raumformel führt. b) Bei konstanter \(x_3\)-Koordinate ist \(q_3 - p_3 = 0\). Die Formel vereinfacht sich zu \(d = \sqrt{(q_1-p_1)^2 + (q_2-p_2)^2}\).

- Bestimme nacheinander die Längen der Seiten \(PQ\), \(QR\) und \(PR\). - Was sagt das Ergebnis über die Form des Dreiecks aus, wenn alle Seiten unterschiedliche Längen haben? - Achte beim Einsetzen in die Abstandsformel besonders auf die Vorzeichen der Koordinatendifferenzen.

1. Berechnung der Abstände zwischen den Eckpunkten: \(|\vec{PQ}| = \sqrt{(3-1)^2 + (4-0)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{4+16+16} = \sqrt{36} = 6\,\text{LE}\) \(|\vec{QR}| = \sqrt{(2-3)^2 + (3-4)^2 + (6-6)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2} \approx 1{,}41\,\text{LE}\) \(|\vec{PR}| = \sqrt{(2-1)^2 + (3-0)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{1^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{1+9+16} = \sqrt{26} \approx 5{,}10\,\text{LE}\) 2. Überprüfung der Gleichschenkligkeit: Da alle drei Seitenlängen (\(6\), \(\sqrt{2}\) und \(\sqrt{26}\)) verschieden sind, liegen keine zwei gleichen Schenkel vor. Das Dreieck ist somit nicht gleichschenklig.

Das Dreieck ist nicht gleichschenklig, da die Seitenlängen \(6\,\text{LE}\), \(\sqrt{2} \approx 1{,}41\,\text{LE}\) und \(\sqrt{26} \approx 5{,}10\,\text{LE}\) alle unterschiedlich sind.