- Vergleiche die drei Koordinaten der beiden Punkte. In welchen Koordinaten unterscheiden sie sich? - Der Abstand zweier Punkte ist die Länge ihres Verbindungsvektors.

1. Der Verbindungsvektor ist \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}\). 2. Seine Länge ist \(|\vec{PQ}| = \sqrt{0^2+0^2+5^2} = 5\).

Der Abstand beträgt \(5\,\text{LE}\).

- Welche geometrische Bedeutung hat die Länge des Verbindungsvektors \(\vec{AB}\)? - Welche Größe wird aus den Komponenten eines Vektors mit dem Satz des Pythagoras bestimmt?

1. Der Abstand ist die Länge des gegebenen Verbindungsvektors. 2. Es gilt \(|\vec{AB}| = \sqrt{0^2+(-4)^2+3^2} = \sqrt{25} = 5\).

Der Abstand beträgt \(5\,\text{LE}\).

- Wie hängen die Koordinaten eines Punktes mit seinem Ortsvektor zusammen? - Wie berechnet man einen Vektor, der von einem Punkt zu einem anderen führt? - Welche Formel nutzt du, um die Länge (den Betrag) eines Vektors im Raum zu bestimmen?

1. Der Ortsvektor \(\vec{OA}\) entspricht den Koordinaten des Punktes \(A\), also \(\vec{OA} = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Der Verbindungsvektor \(\vec{AB}\) wird durch die Differenz der Ortsvektoren berechnet: \(\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \begin{pmatrix} 7-5 \\ 1-(-2) \\ 7-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}\). 3. Die Länge des Vektors ergibt sich aus der Wurzel der Summe der Quadrate seiner Komponenten: \(|\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7\).

\(\vec{OA} = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\), \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}\), \(|\vec{AB}| = 7\)

- Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Punkten im Raum? - Erinnere dich an die Formel für den Betrag eines Verbindungsvektors. - Du kannst die Längen direkt vergleichen, indem du dir die Werte unter der Wurzel ansiehst.

1. Berechnung der Länge der Seite \(c = |\vec{AB}|\): \(\sqrt{(4-1)^2 + (2-2)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{3^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\). 2. Berechnung der Länge der Seite \(b = |\vec{AC}|\): \(\sqrt{(1-1)^2 + (8-2)^2 + (3-3)^2} = \sqrt{0^2 + 6^2 + 0^2} = \sqrt{36} = 6\). 3. Berechnung der Länge der Seite \(a = |\vec{BC}|\): \(\sqrt{(1-4)^2 + (8-2)^2 + (3-7)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 6^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 36 + 16} = \sqrt{61} \approx 7{,}81\). 4. Vergleich der Werte: Da \(5 < 6 < \sqrt{61}\), ergibt sich die Reihenfolge \(|\vec{AB}| < |\vec{AC}| < |\vec{BC}|\).

Die Seitenlängen betragen \(|\vec{AB}| = 5\), \(|\vec{AC}| = 6\) und \(|\vec{BC}| = \sqrt{61} \approx 7{,}81\). Aufsteigend sortiert: \(|\vec{AB}| < |\vec{AC}| < |\vec{BC}|\).

- Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Punkten im Raum? - Erinnere dich an den Satz des Pythagoras in drei Dimensionen. - Berechne zuerst die Differenzen der einzelnen Koordinaten. - Vergleiche am Ende die beiden berechneten Maßzahlen.

1. Berechnung der Länge der Strecke \(\overline{AB}\): \(\lvert \vec{AB} \rvert = \sqrt{(5 - 2)^2 + (1 - (-3))^2 + (5 - 5)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16 + 0} = \sqrt{25} = 5\). 2. Berechnung der Länge der Strecke \(\overline{BC}\): \(\lvert \vec{BC} \rvert = \sqrt{(9 - 5)^2 + (4 - 1)^2 + (-7 - 5)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2 + (-12)^2} = \sqrt{16 + 9 + 144} = \sqrt{169} = 13\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Da \(13 > 5\), ist die Strecke \(\overline{BC}\) länger als die Strecke \(\overline{AB}\).

Die Länge der Strecke \(\overline{AB}\) beträgt \(5\) Längeneinheiten, die Länge der Strecke \(\overline{BC}\) beträgt \(13\) Längeneinheiten. Somit ist die Strecke \(\overline{BC}\) länger.

- Wie berechnet man den Vektor zwischen zwei Punkten im Raum? - Welche Formel hilft dir, die Länge eines Vektors (seinen Betrag) zu bestimmen? - Der Abstand zum Ursprung ist ein Spezialfall des Abstands zweier Punkte, bei dem einer der Punkte \((0|0|0)\) ist. - Um Wurzeln zu vergleichen, kannst du dir auch einfach die Werte unter der Wurzel (Radikanden) ansehen.

1. Berechnung des Verbindungsvektors \(\vec{P_1P_2} = \vec{P_2} - \vec{P_1} = \begin{pmatrix} 14-10 \\ 17-20 \\ 5-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Abstands der Drohnen über den Betrag des Vektors: \(d(P_1, P_2) = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 9 + 0} = \sqrt{25} = 5\). Die Entfernung beträgt \(5\,\text{m}\). 3. Berechnung der Abstände zum Ursprung \(O(0|0|0)\): \(d(P_1, O) = \sqrt{10^2 + 20^2 + 5^2} = \sqrt{100 + 400 + 25} = \sqrt{525} \approx 22{,}91\,\text{m}\). 4. \(d(P_2, O) = \sqrt{14^2 + 17^2 + 5^2} = \sqrt{196 + 289 + 25} = \sqrt{510} \approx 22{,}58\,\text{m}\). 5. Vergleich der Werte: Wegen \(\sqrt{525} > \sqrt{510}\) ist die Drohne \(P_1\) weiter vom Ursprung entfernt.

a) Der Abstand zwischen den Drohnen beträgt \(5\,\text{m}\). b) Der Abstand von \(P_1\) zum Ursprung ist \(\sqrt{525} \approx 22{,}91\,\text{m}\), der von \(P_2\) beträgt \(\sqrt{510} \approx 22{,}58\,\text{m}\). Somit ist Drohne \(P_1\) weiter entfernt.

- Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Punkten im Raum? - Welche Rolle spielen die Differenzen der einzelnen Koordinaten bei der Längenberechnung? - Aus wie vielen Teilstrecken setzt sich der Umfang zusammen? - Erinnere dich an den Satz des Pythagoras im dreidimensionalen Raum.

1. Berechnung der Länge der Seite \(c = |\vec{AB}|\): \(\sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2 + (12-0)^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13\). 2. Berechnung der Länge der Seite \(a = |\vec{BC}|\): \(\sqrt{(-4-3)^2 + (3-4)^2 + (0-12)^2} = \sqrt{(-7)^2 + (-1)^2 + (-12)^2} = \sqrt{49 + 1 + 144} = \sqrt{194} \approx 13{,}93\). 3. Berechnung der Länge der Seite \(b = |\vec{CA}|\): \(\sqrt{(0-(-4))^2 + (0-3)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + 0} = \sqrt{16 + 9} = 5\). 4. Addition der Seitenlängen zum Umfang \(U\): \(13 + \sqrt{194} + 5 = 18 + \sqrt{194} \approx 31{,}93\).

Der Umfang des Dreiecks beträgt \(18 + \sqrt{194} \approx 31{,}93\) Längeneinheiten.

- Berechne zunächst alle drei Abstände zwischen den gegebenen Punkten. - Wie ist ein gleichschenkliges Dreieck definiert? - Kannst du die Längen ohne Rundung vergleichen, um die Gleichschenkligkeit sicher zu prüfen? - Achte bei den Dezimalzahlen auf die korrekte Subtraktion, bevor du quadrierst.

1. Berechnung der Seitenlängen: \(|\vec{PQ}| = \sqrt{(4{,}2-1{,}2)^2 + (4-0)^2 + (3{,}5-3{,}5)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5\). \(|\vec{QR}| = \sqrt{(1{,}2-4{,}2)^2 + (4-4)^2 + (7{,}5-3{,}5)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\). \(|\vec{RP}| = \sqrt{(1{,}2-1{,}2)^2 + (0-4)^2 + (3{,}5-7{,}5)^2} = \sqrt{0^2 + (-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \approx 5{,}66\). 2. Umfangsberechnung: \(U = 5 + 5 + 4\sqrt{2} = 10 + 4\sqrt{2} \approx 15{,}66\). 3. Prüfung auf Gleichschenkligkeit: Da die Seiten \(PQ\) und \(QR\) beide die Länge \(5\) besitzen, sind zwei Seiten gleich lang. Das Dreieck ist somit gleichschenklig.

a) Der Umfang beträgt \(10 + 4\sqrt{2} \approx 15{,}66\) Längeneinheiten. b) Das Dreieck ist gleichschenklig, da die Seitenlängen \(|\vec{PQ}| = 5\) und \(|\vec{QR}| = 5\) identisch sind.

- Welche Punktpaare bilden die vier Seiten und welche die beiden Diagonalen? - Berechne jede Länge mit den drei Koordinatendifferenzen. - Welche vier Längen musst du für den Umfang addieren?

1. Für zwei Punkte \(P(p_1|p_2|p_3)\) und \(Q(q_1|q_2|q_3)\) gilt \(d(P,Q)=\sqrt{(q_1-p_1)^2+(q_2-p_2)^2+(q_3-p_3)^2}\). 2. Die Seitenlängen sind \(|\vec{AB}|=|\vec{BC}|=|\vec{CD}|=|\vec{DA}|=\sqrt{21}\approx4{,}58\). 3. Für die Diagonalen gilt \(|\vec{AC}|=\sqrt{54}\approx7{,}35\) und \(|\vec{BD}|=\sqrt{30}\approx5{,}48\). 4. Der Umfang ist \(U=4\sqrt{21}\approx18{,}33\).

Seitenlängen: \(|\vec{AB}|=|\vec{BC}|=|\vec{CD}|=|\vec{DA}|=\sqrt{21}\approx4{,}58\) Diagonalen: \(|\vec{AC}|=\sqrt{54}\approx7{,}35\), \(|\vec{BD}|=\sqrt{30}\approx5{,}48\) Umfang: \(U=4\sqrt{21}\approx18{,}33\)

- Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Punkten im dreidimensionalen Raum? - Welche Eigenschaft müssen die Seitenlängen eines Dreiecks erfüllen, damit es gleichschenklig ist? - Wann nennt man ein gleichschenkliges Dreieck zusätzlich gleichseitig? - Berechne zuerst die Differenzen der einzelnen Koordinaten der Punkte.

1. Berechnung der Seitenlängen mithilfe der Abstandsformel für Punkte im Raum: \(|\vec{AB}| = \sqrt{(1-5)^2 + (5-2)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{16+9} = 5\,\text{LE}\) \(|\vec{BC}| = \sqrt{(1-1)^2 + (2-5)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{0^2 + (-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = 5\,\text{LE}\) \(|\vec{AC}| = \sqrt{(1-5)^2 + (2-2)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} \approx 5{,}66\,\text{LE}\) 2. Vergleich der Längen: Da zwei Seiten gleich lang sind (\(|\vec{AB}| = |\vec{BC}| = 5\,\text{LE}\)), aber die dritte Seite eine andere Länge besitzt (\(\sqrt{32} \approx 5{,}66\,\text{LE}\)), ist das Dreieck gleichschenklig, aber nicht gleichseitig.

a) Die Seitenlängen betragen \(5\,\text{LE}\), \(5\,\text{LE}\) und \(\sqrt{32} \approx 5{,}66\,\text{LE}\). b) Das Dreieck ist gleichschenklig, da zwei Seiten (\(AB\) und \(BC\)) gleich lang sind. Es ist nicht gleichseitig, da die dritte Seite (\(AC\)) eine andere Länge hat.

- Bestimme nacheinander die Längen der Seiten \(PQ\), \(QR\) und \(PR\). - Was sagt das Ergebnis über die Form des Dreiecks aus, wenn alle Seiten unterschiedliche Längen haben? - Achte beim Einsetzen in die Abstandsformel besonders auf die Vorzeichen der Koordinatendifferenzen.

1. Berechnung der Abstände zwischen den Eckpunkten: \(|\vec{PQ}| = \sqrt{(3-1)^2 + (4-0)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{4+16+16} = \sqrt{36} = 6\,\text{LE}\) \(|\vec{QR}| = \sqrt{(2-3)^2 + (3-4)^2 + (6-6)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2} \approx 1{,}41\,\text{LE}\) \(|\vec{PR}| = \sqrt{(2-1)^2 + (3-0)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{1^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{1+9+16} = \sqrt{26} \approx 5{,}10\,\text{LE}\) 2. Überprüfung der Gleichschenkligkeit: Da alle drei Seitenlängen (\(6\), \(\sqrt{2}\) und \(\sqrt{26}\)) verschieden sind, liegen keine zwei gleichen Schenkel vor. Das Dreieck ist somit nicht gleichschenklig.

Das Dreieck ist nicht gleichschenklig, da die Seitenlängen \(6\,\text{LE}\), \(\sqrt{2} \approx 1{,}41\,\text{LE}\) und \(\sqrt{26} \approx 5{,}10\,\text{LE}\) alle unterschiedlich sind.

- Welche Koordinatendifferenzen hängen von \(x\) ab und welche sind schon fest? - Formuliere die Abstandsbedingung zunächst als Gleichung mit Quadraten. - Prüfe am Ende, welche Lösung die Zusatzbedingung erfüllt.

1. Mit der Abstandsformel gilt \((x-1)^2+(6-2)^2+(3-3)^2=5^2\). 2. Damit folgt \((x-1)^2+16=25\), also \((x-1)^2=9\). 3. Daraus erhält man \(x=4\) oder \(x=-2\). 4. Wegen \(x>1\) bleibt nur \(x=4\).

\(x=4\)

- Bei gleichen Abständen kannst du die quadrierten Abstände vergleichen; die Wurzeln musst du nicht ausrechnen. - Welche Koordinatendifferenzen enthalten \(t\)? - Was geschieht beim Ausmultiplizieren mit den beiden \(t^2\)-Termen?

1. Für den quadrierten Abstand von \(P\) zu \(A\) gilt \(d(P,A)^2=9+(t-1)^2\). 2. Für den quadrierten Abstand von \(P\) zu \(B\) gilt \(d(P,B)^2=1+(t-5)^2\). 3. Wegen der gleichen Abstände gilt \(9+(t-1)^2=1+(t-5)^2\). 4. Ausmultiplizieren ergibt \(t^2-2t+10=t^2-10t+26\), also \(8t=16\). 5. Damit ist \(t=2\).

\(t=2\)

- Welche Koordinaten sind bei einem Punkt auf der \(x_2\)-Achse immer null? - Wie kannst du den gegebenen Abstand mit der Abstandsformel ausdrücken? - Was musst du beim Lösen einer Gleichung mit einem Quadrat beachten?

1. Ein Punkt auf der \(x_2\)-Achse hat die Form \(P(0|t|0)\). 2. Für den Abstand gilt \(\sqrt{(4-0)^2+(3-t)^2+(-2-0)^2}=6\). 3. Quadrieren liefert \(16+(3-t)^2+4=36\), also \((3-t)^2=16\). 4. Damit gilt \(3-t=4\) oder \(3-t=-4\). 5. Es folgt \(t=-1\) oder \(t=7\). 6. Die gesuchten Punkte sind \(P_1(0|-1|0)\) und \(P_2(0|7|0)\).

\(P_1(0|-1|0)\) und \(P_2(0|7|0)\)

- Wie berechnest du den Abstand eines Punktes vom Ursprung? - Welche Koordinaten sind bei einem Punkt auf der \(x_1\)-Achse immer null? - Wie kannst du den unbekannten Punkt mit einem Parameter beschreiben? - Was musst du beim Lösen einer Gleichung mit einem Quadrat beachten?

1. Es gilt \(d(O,A)=\sqrt{3^2+4^2+12^2}=13\). 2. Ein Punkt auf der \(x_1\)-Achse hat die Form \(P(t|0|0)\). 3. Die Abstandsbedingung lautet \(\sqrt{(t-3)^2+4^2+12^2}=14\). 4. Nach dem Quadrieren folgt \((t-3)^2+160=196\), also \((t-3)^2=36\). 5. Daher gilt \(t-3=6\) oder \(t-3=-6\), also \(t=9\) oder \(t=-3\). 6. Die gesuchten Punkte sind \(P_1(9|0|0)\) und \(P_2(-3|0|0)\).

a) \(d(O,A)=13\) b) \(P_1(9|0|0)\) und \(P_2(-3|0|0)\)

- Welche zwei Koordinatendifferenzen kannst du zuerst in einer Ebene betrachten? - Welche weitere Koordinatendifferenz kommt beim Übergang in den Raum hinzu? - Was gilt für die dritte Koordinate, wenn beide Punkte in derselben Ebene parallel zur \(x_1x_2\)-Ebene liegen?

1. In einer zur \(x_1x_2\)-Ebene parallelen Hilfsebene bilden die Koordinatendifferenzen \(q_1-p_1\) und \(q_2-p_2\) die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks. Daher gilt \(d_{12}^2=(q_1-p_1)^2+(q_2-p_2)^2\). 2. Diese Länge und die dritte Koordinatendifferenz \(q_3-p_3\) bilden die Katheten eines zweiten rechtwinkligen Dreiecks. Somit gilt \(d^2=d_{12}^2+(q_3-p_3)^2\). 3. Einsetzen ergibt \(d=\sqrt{(q_1-p_1)^2+(q_2-p_2)^2+(q_3-p_3)^2}\). 4. Liegen beide Punkte in einer Ebene parallel zur \(x_1x_2\)-Ebene, dann ist \(p_3=q_3\). 5. Damit wird der dritte Summand null und es bleibt \(d=\sqrt{(q_1-p_1)^2+(q_2-p_2)^2}\).

a) Zuerst gilt \(d_{12}^2=(q_1-p_1)^2+(q_2-p_2)^2\). Mit der dritten Koordinatendifferenz folgt \(d^2=d_{12}^2+(q_3-p_3)^2\) und damit \(d=\sqrt{(q_1-p_1)^2+(q_2-p_2)^2+(q_3-p_3)^2}\). b) Wegen \(p_3=q_3\) fällt der dritte Summand weg. Es bleibt \(d=\sqrt{(q_1-p_1)^2+(q_2-p_2)^2}\).