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- Prüfe zuerst die beiden Integrationsgrenzen. - Ist das Integrationsintervall vollständig durch zwei endliche Zahlen begrenzt?

1. Die obere Integrationsgrenze ist nicht endlich, sondern \(+\infty\). 2. Deshalb handelt es sich um ein uneigentliches Integral über ein unbeschränktes Intervall.

Das Integral ist uneigentlich, weil die obere Integrationsgrenze \(+\infty\) ist.

- Welche Integrationsgrenze verursacht die Unstetigkeit des Integranden? - Von welcher Seite muss sich eine Ersatzgrenze dieser Stelle nähern?

1. Die problematische Stelle ist \(x=0\), weil der Integrand dort nicht definiert ist. 2. Man nähert sich dieser Stelle von rechts. Daher gilt \(\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x=\lim_{a\to0^+}\int_a^1\frac{1}{\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x\).

\(\lim_{a\to0^+}\int_a^1\frac{1}{\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x\)

- Ersetze die unendliche Grenze zunächst durch eine Variable. - Wie lautet die Potenzregel für die Stammfunktion bei negativen Exponenten? - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner immer größer wird?

1. Aufstellen des Integrals mit einer variablen oberen Grenze \(z\): \(\int_{1}^{z} 3x^{-4} \, dx\). 2. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{3}{-3}x^{-3} = -x^{-3} = -\frac{1}{x^3}\). 3. Anwendung des Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung: \(\left[-\frac{1}{x^3}\right]_{1}^{z} = -\frac{1}{z^3} - \left(-\frac{1}{1^3}\right) = 1 - \frac{1}{z^3}\). 4. Grenzwertbetrachtung für \(z \to +\infty\): Da \(\lim_{z \to +\infty} \frac{1}{z^3} = 0\), konvergiert der Ausdruck gegen \(1 - 0 = 1\). Das uneigentliche Integral existiert und hat den Wert \(1\).

Das Integral existiert und sein Wert beträgt \(1\).

- Was passiert mit dem Funktionswert, wenn \(x\) immer größer wird? - Welche Differenzfunktion beschreibt den Abstand zwischen dem Graphen und seiner Asymptote? - Wie berechnet man den Flächeninhalt einer nach rechts offenen Fläche mithilfe eines Grenzwerts? - Achte beim Integrieren auf das Vorzeichen im Exponenten.

1. Bestimmung des Grenzwerts für \(x \to \infty\): \(\lim_{x \to \infty} (\frac{1}{2}e^{3-x} + 5) = 0 + 5 = 5\), da \(e^{3-x} \to 0\). Die waagerechte Asymptote ist \(y = 5\). 2. Die Differenzfunktion zwischen Graph und Asymptote ist \(d(x) = h(x) - 5 = \frac{1}{2}e^{3-x}\). Da \(d(x) > 0\), liegt der Graph oberhalb der Asymptote. 3. Ansatz für den Flächeninhalt als uneigentliches Integral: \(A = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{2}e^{3-x} \,\text{d}x\). 4. Bestimmung einer Stammfunktion von \(d(x)\): \(D(x) = -\frac{1}{2}e^{3-x}\). 5. Auswertung des Grenzwerts: \(A = \lim_{b \to \infty} [-\frac{1}{2}e^{3-x}]_0^b = \lim_{b \to \infty} (-\frac{1}{2}e^{3-b} - (-\frac{1}{2}e^{3-0})) = 0 + \frac{1}{2}e^3\). 6. Der Flächeninhalt ist somit endlich mit \(A = \frac{1}{2}e^3\).

a) Die Gleichung der waagerechten Asymptote lautet \(y = 5\). b) Der Flächeninhalt ist endlich und beträgt \(A = \frac{1}{2}e^3\).

- Überlege, an welcher Stelle die Funktion nicht definiert ist oder der Integrationsbereich unbeschränkt ist. - Verwende die Definition des uneigentlichen Integrals durch einen Grenzwert. - Bestimme zuerst eine Stammfunktion der Potenzfunktion. - Untersuche das Verhalten der Stammfunktion, wenn die Variable gegen die kritische Grenze strebt.

1. Für Teil a) wird das Integral als Grenzwert an der Stelle \(x=0\) betrachtet: \(\lim_{a \to 0^+} \int_{a}^{4} x^{-0{,}5} \, dx\). Die Stammfunktion lautet \(F(x) = 2\sqrt{x}\). Der Grenzwert ergibt \(\lim_{a \to 0^+} [2\sqrt{x}]_a^4 = 2\sqrt{4} - \lim_{a \to 0^+} 2\sqrt{a} = 4 - 0 = 4\). Das Integral existiert. 2. Für Teil b) wird der Grenzwert für \(x \to +\infty\) untersucht: \(\lim_{b \to +\infty} \int_{4}^{b} x^{-0{,}5} \, dx\). Dies führt zu \(\lim_{b \to +\infty} [2\sqrt{x}]_4^b = \lim_{b \to +\infty} (2\sqrt{b} - 4) = +\infty\). Das Integral existiert nicht (divergiert).

a) Das Integral existiert, der Wert ist \(4\). b) Das Integral existiert nicht (es divergiert gegen \(+\infty\)).

- Was passiert mit dem Funktionswert, wenn \(x\) sehr groß wird oder sich der Null nähert? - Ersetze die kritische Grenze durch einen Parameter und bilde nach der Integration den Limes. - Achte beim Integrieren von \(x^{-n}\) auf die Vorzeichen und die Potenzgesetze. - Ein Integral existiert nur, wenn der Grenzwert eine endliche Zahl ist.

1. In Teil a) betrachtet man den Grenzwert für die obere Grenze: \(\lim_{b \to +\infty} \int_{1}^{b} 2x^{-3} \, dx\). Die Stammfunktion ist \(F(x) = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}\). Einsetzen liefert \(\lim_{b \to +\infty} [-\frac{1}{x^2}]_1^b = \lim_{b \to +\infty} (-\frac{1}{b^2} - (-1)) = 0 + 1 = 1\). Das Integral konvergiert gegen \(1\). 2. In Teil b) liegt eine Unendlichkeitsstelle bei \(x=0\) vor: \(\lim_{a \to 0^+} \int_{a}^{1} 2x^{-3} \, dx\). Die Auswertung ergibt \(\lim_{a \to 0^+} [-\frac{1}{x^2}]_a^1 = -1 - \lim_{a \to 0^+} (-\frac{1}{a^2}) = -1 + \infty = +\infty\). Das Integral divergiert.

a) Das Integral konvergiert, der Wert ist \(1\). b) Das Integral divergiert (existiert nicht).

- Wie lässt sich eine Fläche berechnen, deren Grenze im Unendlichen liegt? - Bestimme zuerst eine Stammfunktion für den Funktionsterm. - Was passiert mit dem Funktionswert und der Stammfunktion, wenn die Variable \(x\) sehr groß wird? - Ersetze die unendliche Grenze durch einen Platzhalter und führe eine Grenzwertbetrachtung durch.

1. Aufstellen des uneigentlichen Integrals für die Fläche: \(A = \int_0^{\infty} \frac{4}{x+2} \, dx\). 2. Einführung einer endlichen oberen Grenze \(k\) und Bestimmung der Stammfunktion: \(\int_0^k \frac{4}{x+2} \, dx = [4\ln|x+2|]_0^k\). 3. Auswertung des Integrals an den Grenzen: \(4\ln(k+2) - 4\ln(2)\). 4. Untersuchung des Grenzwerts für \(k \to \infty\): Da \(\ln(k+2)\) für \(k \to \infty\) gegen \(+\infty\) strebt, besitzt das Integral keinen endlichen Wert.

Die Fläche hat keinen endlichen Inhalt.

- Was bedeutet es mathematisch, wenn eine Fläche „nach rechts unbegrenzt“ ist? Welches mathematische Werkzeug wird hierfür benötigt? - Stelle das Integral mit einer variablen oberen Grenze \(z\) auf. - Bestimme eine Stammfunktion der Funktion \(f(x) = \frac{8}{x^2}\). - Berechne das bestimmte Integral in den Grenzen von \(2\) bis \(z\). - Untersuche den Grenzwert dieses Terms für \(z \to \infty\). Existiert ein endlicher Wert?

1. Formulierung des uneigentlichen Integrals: Das uneigentliche Integral für die nach rechts unbegrenzte Fläche lautet: \(A = \int_{2}^{\infty} f(x) \,\mathrm{d}x = \int_{2}^{\infty} \frac{8}{x^2} \,\mathrm{d}x\) 2. Grenzwertschreibweise einführen: Wir ersetzen die obere Grenze durch eine Variable \(z\) und betrachten den Grenzwert für \(z \to \infty\): \(A = \lim_{z \to \infty} \int_{2}^{z} \frac{8}{x^2} \,\mathrm{d}x\) 3. Bestimmung der Stammfunktion: Eine Stammfunktion von \(f(x) = 8x^{-2}\) ist \(F(x) = -\frac{8}{x}\). 4. Berechnung des bestimmten Integrals: \(\int_{2}^{z} \frac{8}{x^2} \,\mathrm{d}x = \left[ -\frac{8}{x} \right]_{2}^{z} = -\frac{8}{z} - \left( -\frac{8}{2} \right) = -\frac{8}{z} + 4\) 5. Grenzwert berechnen: \(A = \lim_{z \to \infty} \left( -\frac{8}{z} + 4 \right) = 0 + 4 = 4\) Da der Grenzwert existiert und eine reelle Zahl ist, besitzt die Fläche einen endlichen Flächeninhalt von \(A = 4\).

Die Fläche besitzt einen endlichen Flächeninhalt von \(A = 4\).

- Was bedeutet es mathematisch, dass eine Fläche nach oben unbegrenzt ist? - Überlege, wie du den linken Rand der Fläche, der sich der \(y\)-Achse nähert, mit einem Grenzwert beschreiben kannst. - Bestimme zuerst eine Stammfunktion der gegebenen Funktion. - Berechne das Integral über ein Intervall \([a; 4]\) für ein \(a > 0\). - Untersuche anschließend, was mit dem Wert des Integrals passiert, wenn \(a\) immer näher an \(0\) herankommt.

1. Aufstellen des uneigentlichen Integrals an der unteren Grenze \(0\): \(A = \lim_{a \to 0^+} \int_{a}^{4} \frac{3}{\sqrt{x}} \,\mathrm{d}x\) 2. Bestimmung einer Stammfunktion von \(f(x) = 3x^{-\frac{1}{2}}\): \(F(x) = 6\sqrt{x}\) 3. Berechnung des bestimmten Integrals in Abhängigkeit von \(a\): \(\int_{a}^{4} 3x^{-\frac{1}{2}} \,\mathrm{d}x = \left[ 6\sqrt{x} \right]_{a}^{4} = 6\sqrt{4} - 6\sqrt{a} = 12 - 6\sqrt{a}\) 4. Grenzwertbetrachtung für \(a \to 0^+\): \(\lim_{a \to 0^+} (12 - 6\sqrt{a}) = 12\) Da der Grenzwert existiert und endlich ist, besitzt die unbegrenzte Fläche einen endlichen Flächeninhalt von \(A = 12\).

Der Flächeninhalt ist endlich und beträgt \(A = 12\).

- Nutze den Grenzwertbegriff, um das Verhalten des Integrals an der Stelle \(x=0\) zu untersuchen. - Was passiert mit dem Wert des Bruchs \(\frac{1}{x}\), wenn \(x\) immer kleiner wird? - Wenn eine Stammfunktion an einer Grenze über alle Grenzen wächst, existiert kein endlicher Flächeninhalt.

1. Aufstellen des Integrals für die Fläche: \(\int_{0}^{1} x^{-2} \, dx\) 2. Untersuchung an der Polstelle \(x=0\): \(\lim_{a \to 0^+} \int_{a}^{1} x^{-2} \, dx\) 3. Bestimmung der Stammfunktion und Einsetzen der Grenzen: \(\lim_{a \to 0^+} [-\frac{1}{x}]_a^1 = \lim_{a \to 0^+} (-1 - (-\frac{1}{a})) = \lim_{a \to 0^+} (\frac{1}{a} - 1)\) 4. Ergebnis: Da der Grenzwert für \(a \to 0^+\) gegen \(\infty\) strebt, besitzt die Fläche keinen endlichen Inhalt.

Nein, die Fläche hat keinen endlichen Inhalt, da das uneigentliche Integral \(\int_{0}^{1} \frac{1}{x^2} \, dx\) divergiert.

- Was passiert mit dem Integral, wenn eine der Grenzen gegen Unendlich geht oder die Funktion an einer Grenze nicht definiert ist? - Kannst du die problematische Grenze durch eine Variable ersetzen und den Grenzwert betrachten? - Erinnere dich an die Regeln für das Integrieren von Potenzfunktionen der Form \(x^n\). - Wie verhält sich der Ausdruck, wenn die Variable gegen Unendlich oder gegen Null strebt?

1. Für Teilaufgabe a) wird das unendliche Intervall durch einen Grenzwert ersetzt: \(\lim_{z \to \infty} \int_{1}^{z} 4x^{-3} \, dx\). Die Stammfunktion lautet \(F(x) = -2x^{-2}\). Die Auswertung an den Grenzen ergibt \(\lim_{z \to \infty} \left( -\frac{2}{z^2} - (-2) \right) = 0 + 2 = 2\). Das Integral existiert und hat den Wert \(2\). 2. Für Teilaufgabe b) liegt eine Unendlichkeitsstelle bei \(x = 0\) vor. Der Ansatz lautet \(\lim_{a \to 0^+} \int_{a}^{1} x^{-\frac{1}{3}} \, dx\). Die Stammfunktion ist \(F(x) = \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}\). Die Auswertung ergibt \(\lim_{a \to 0^+} \left( \frac{3}{2} \cdot 1^{\frac{2}{3}} - \frac{3}{2} \cdot a^{\frac{2}{3}} \right) = 1{,}5 - 0 = 1{,}5\). Das Integral existiert und hat den Wert \(1{,}5\).

a) Das Integral existiert; der Wert ist \(2\). b) Das Integral existiert; der Wert ist \(1{,}5\).

- Überlege zuerst, an welcher Stelle (Intervallgrenze) das Integral „uneigentlich“ ist. - Nutze die Grenzwertschreibweise, um die Annäherung an diese Stelle mathematisch korrekt auszudrücken. - Welche Stammfunktion gehört zur natürlichen Exponentialfunktion oder zur Kehrwertfunktion? - Überlege, ob der Flächeninhalt unter der Kurve ins Unendliche wächst oder sich einem festen Wert annähert.

1. Teilaufgabe a): Untersuchung des Grenzwerts \(\lim_{z \to \infty} \int_{0}^{z} e^{-0{,}5x} \, dx\). Die Stammfunktion ist \(-2e^{-0{,}5x}\). Einsetzen der Grenzen liefert \(\lim_{z \to \infty} \left( -2e^{-0{,}5z} - (-2e^{0}) \right)\). Da \(e^{-0{,}5z}\) für \(z \to \infty\) gegen \(0\) konvergiert, ergibt sich der Grenzwert \(0 + 2 = 2\). Das Integral besitzt einen endlichen Wert. 2. Teilaufgabe b): Untersuchung an der Polstelle \(x = 1\) mittels \(\lim_{a \to 1^+} \int_{a}^{2} \frac{1}{x-1} \, dx\). Die Stammfunktion ist \(\ln|x-1|\). Einsetzen der Grenzen ergibt \(\lim_{a \to 1^+} \left( \ln|2-1| - \ln|a-1| \right) = \ln(1) - \lim_{a \to 1^+} \ln(a-1)\). Da der Logarithmus für Werte gegen Null gegen \(-\infty\) strebt, gilt \(0 - (-\infty) = \infty\). Das Integral divergiert und besitzt keinen endlichen Wert.

a) Das Integral besitzt den endlichen Wert \(2\). b) Das Integral besitzt keinen endlichen Wert (es divergiert).

- Überlege dir, wie man eine Fläche beschreibt, die an einer Seite kein festes Ende hat. - Erinnere dich an die Definition des uneigentlichen Integrals mithilfe eines Grenzwerts. - Wie verhält sich eine Exponentialfunktion mit negativem Exponenten für sehr große \(x\)-Werte? - Bei \(e^{ax+b}\) musst du in der Stammfunktion den konstanten Faktor der linearen inneren Funktion ausgleichen.

1. Der Flächeninhalt wird als uneigentliches Integral angesetzt: \(A=\int_0^\infty 1{,}5e^{-0{,}25x}\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_0^b1{,}5e^{-0{,}25x}\,dx\). 2. Eine Stammfunktion ist \(G(x)=-6e^{-0{,}25x}\), denn der Faktor \(-6\) gleicht beim Ableiten den inneren Faktor \(-0{,}25\) aus. 3. Für eine endliche obere Grenze \(b\) gilt \(\int_0^b1{,}5e^{-0{,}25x}\,dx=[-6e^{-0{,}25x}]_0^b=-6e^{-0{,}25b}+6\). 4. Wegen \(\lim_{b\to\infty}e^{-0{,}25b}=0\) folgt \(A=6\). Der Grenzwert ist endlich, also existiert das uneigentliche Integral.

Der Flächeninhalt beträgt \(6\).

- Kannst du die Funktion als Potenz mit negativem Exponenten schreiben, um leichter zu integrieren? - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner immer größer wird, während der Zähler gleich bleibt? - Setze erst eine Variable für die obere Grenze ein und betrachte dann den Limes.

1. Ansatz für den Flächeninhalt als uneigentliches Integral: \(A = \int_{2}^{\infty} \frac{8}{x^2} \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_{2}^{b} 8x^{-2} \, dx\). 2. Bestimmung der Stammfunktion: Eine Stammfunktion von \(h(x) = 8x^{-2}\) ist \(H(x) = \frac{8}{-1}x^{-1} = -\frac{8}{x}\). 3. Auswertung des bestimmten Integrals in den Grenzen von \(2\) bis \(b\): \([-\frac{8}{x}]_{2}^{b} = -\frac{8}{b} - (-\frac{8}{2}) = -\frac{8}{b} + 4\). 4. Berechnung des Grenzwerts für \(b \to \infty\): Der Term \(\frac{8}{b}\) strebt gegen \(0\). Somit ergibt sich \(\lim_{b \to \infty} (-\frac{8}{b} + 4) = 4\). 5. Da der Grenzwert eine endliche Zahl ist, besitzt die Fläche den endlichen Inhalt \(4\).

Die Fläche besitzt einen endlichen Inhalt von \(4\).

- Was passiert mit dem Exponentialterm, wenn \(x\) sehr stark negativ wird? - Wie beschreibt die Differenz der beiden Funktionsterme den vertikalen Abstand der Graphen? - Setze für die unbegrenzte Seite ein uneigentliches Integral mit Grenzwert an. - Bei \(e^{ax+b}\) musst du in der Stammfunktion den konstanten Faktor der linearen inneren Funktion ausgleichen.

1. Die Differenz zwischen Funktion und Gerade ist \(d(x)=f(x)-(4-x)=2e^{0{,}5x-1}\). 2. Wegen \(\lim_{x\to-\infty}2e^{0{,}5x-1}=0\) nähert sich der Graph von \(f\) der Geraden \(y=4-x\). Damit ist sie die schräge Asymptote für \(x\to-\infty\). 3. Da \(d(x)>0\), gilt für den Flächeninhalt \(A=\int_{-\infty}^{2}2e^{0{,}5x-1}\,dx\). 4. Eine Stammfunktion ist \(D(x)=4e^{0{,}5x-1}\), weil der Faktor \(4\) den inneren Faktor \(0{,}5\) ausgleicht. 5. Somit ist \(A=\lim_{k\to-\infty}[4e^{0{,}5x-1}]_k^2=4\). Der Grenzwert ist endlich.

a) Da \(\lim_{x \to -\infty} (f(x) - (4-x)) = \lim_{x \to -\infty} (2e^{0{,}5x-1}) = 0\) gilt, ist \(y = 4 - x\) die schräge Asymptote für \(x \to -\infty\). b) Der Flächeninhalt ist endlich und beträgt \(A = 4\).

- Überlege zuerst, welche Funktion im gegebenen Intervall oberhalb der anderen liegt. - Achte darauf, ob sich innerhalb des Integrationsbereichs eine Definitionslücke (Asymptote) befindet. - Wenn eine Polstelle im Inneren des Intervalls liegt, musst du das Integral in zwei separate uneigentliche Integrale aufteilen. - Nutze die Grenzwertbetrachtung für die Stammfunktion an der kritischen Stelle. - Der Flächeninhalt ist nur dann endlich, wenn beide Teilgrenzwerte existieren.

1. Bestimmung der Differenzfunktion: \(h(x) = f(x) - g(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} = x^{-\frac{2}{3}}\). Da \(x^2 > 0\) für alle \(x \neq 0\), gilt \(f(x) > g(x)\). 2. Identifikation der Definitionslücke: Die Funktion \(f\) besitzt an der Stelle \(x = 0\) eine vertikale Asymptote. Da \(0 \in [-1; 8]\), muss das uneigentliche Integral an dieser Stelle aufgeteilt werden. 3. Aufstellung der Teilintegrale: \(A = \int_{-1}^{0} x^{-\frac{2}{3}} \, dx + \int_{0}^{8} x^{-\frac{2}{3}} \, dx\). 4. Berechnung des ersten Teilintegrals: \(\lim_{t \to 0^-} \int_{-1}^{t} x^{-\frac{2}{3}} \, dx = \lim_{t \to 0^-} [3x^{\frac{1}{3}}]_{-1}^{t} = \lim_{t \to 0^-} (3\sqrt[3]{t} - 3\sqrt[3]{-1}) = 0 - (-3) = 3\). 5. Berechnung des zweiten Teilintegrals: \(\lim_{s \to 0^+} \int_{s}^{8} x^{-\frac{2}{3}} \, dx = \lim_{s \to 0^+} [3x^{\frac{1}{3}}]_{s}^{8} = \lim_{s \to 0^+} (3\sqrt[3]{8} - 3\sqrt[3]{s}) = 6 - 0 = 6\). 6. Bestimmung des Gesamtinhalts: Da beide Teilintegrale konvergieren, ist der Flächeninhalt endlich mit \(A = 3 + 6 = 9\).

Die Fläche besitzt einen endlichen Inhalt von \(A = 9\).

- Was passiert mit dem Funktionswert von \(f\), wenn \(x\) sich dem Wert \(1\) nähert? - Erinnere dich daran, wie man Stammfunktionen für Ausdrücke der Form \((x-a)^{-n}\) bildet. - Ein uneigentliches Integral an einer Polstelle ist nur dann endlich, wenn der Exponent im Nenner der Differenzfunktion einen bestimmten Wert unterschreitet. - Es reicht aus zu zeigen, dass einer der beiden Teilbereiche (links oder rechts der Polstelle) einen unendlichen Inhalt hat.

1. Differenzfunktion bilden: \(h(x) = f(x) - g(x) = \frac{2}{(x-1)^2} = 2(x-1)^{-2}\). Da der Zähler positiv und das Quadrat im Nenner für \(x \neq 1\) ebenfalls positiv ist, gilt \(f(x) > g(x)\). 2. Kritische Stelle bestimmen: Die Funktion \(f\) hat bei \(x = 1\) eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel; die Funktionswerte streben von beiden Seiten gegen \(+\infty\). Da \(1\) im Intervall \([0; 2]\) liegt, ist das Integral bei \(x = 1\) zu untersuchen. 3. Untersuchung des uneigentlichen Integrals (linker Teil): \(\int_{0}^{1} 2(x-1)^{-2} \, dx = \lim_{t \to 1^-} [-2(x-1)^{-1}]_{0}^{t} = \lim_{t \to 1^-} \left( \frac{-2}{t-1} - \frac{-2}{0-1} \right)\). 4. Grenzwert auswerten: Da \(\lim_{t \to 1^-} \frac{-2}{t-1} = \infty\) (da \(t-1\) negativ gegen \(0\) geht), divergiert das Teilintegral. 5. Schlussfolgerung: Da bereits ein Teilintegral gegen Unendlich strebt, besitzt die gesamte Fläche keinen endlichen Inhalt.

Die Fläche besitzt keinen endlichen Inhalt (der Flächeninhalt ist unendlich).

- Wie berechnet man ein Integral, bei dem eine Grenze unendlich ist? - Findest du eine Stammfunktion für diesen Funktionstyp? Erinnere dich an die Potenzregel. - Was passiert mit dem Term, wenn die Variable gegen Unendlich läuft? - Stelle eine Gleichung auf, die den Wert des Grenzwerts mit der Vorgabe verknüpft.

1. Berechnung des unbestimmten Integrals bzw. einer Stammfunktion: \(F_k(x) = \int \frac{k}{(x+2)^2} \, dx = -\frac{k}{x+2}\). 2. Aufstellen des uneigentlichen Integrals als Grenzwert: \(\int_0^{\infty} \frac{k}{(x+2)^2} \, dx = \lim_{z \to \infty} \left[ -\frac{k}{x+2} \right]_0^z\). 3. Auswertung der Grenzen: \(\lim_{z \to \infty} \left( -\frac{k}{z+2} - \left( -\frac{k}{0+2} \right) \right) = 0 + \frac{k}{2} = \frac{k}{2}\). 4. Gleichsetzen mit dem Zielwert und Lösen nach \(k\): \(\frac{k}{2} = 4 \implies k = 8\).

\(k = 8\)

- Für \(e^{-2x}\) kannst du die Stammfunktionsregel für eine lineare innere Funktion verwenden. - Was passiert mit \(e^{-2x}\), wenn \(x\) immer größer wird? - Kannst du den konstanten Faktor \(k-1\) beim Integrieren getrennt behandeln? - Setze den Grenzwert des Integrals gleich dem geforderten Wert.

1. Mit der Stammfunktionsregel für eine lineare innere Funktion ist \(G_k(x)=-\frac{k-1}{2}e^{-2x}\) eine Stammfunktion von \(g_k\). 2. Daher gilt \(\int_0^{\infty}g_k(x)\,dx=\lim_{z\to\infty}[-\frac{k-1}{2}e^{-2x}]_0^z\). 3. Wegen \(e^{-2z}\to0\) ergibt der Grenzwert \(\frac{k-1}{2}\). 4. Aus \(\frac{k-1}{2}=1\) folgt \(k=3\).

\(k = 3\)

- Ersetze die unendliche obere Grenze zunächst durch eine Variable. - Kannst du durch Ableiten prüfen, ob ein Ausdruck der Form \(\frac{C}{x^2+1}\) als Stammfunktion geeignet ist? - Was passiert mit \(\frac{1}{x^2+1}\), wenn \(x\) gegen Unendlich geht?

1. Der Flächeninhalt wird durch \(A=\int_0^{\infty}\frac{10x}{(x^2+1)^2}\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_0^b\frac{10x}{(x^2+1)^2}\,dx\) beschrieben. 2. Durch Ableiten erkennt man, dass \(F(x)=-\frac{5}{x^2+1}\) eine Stammfunktion ist, denn \(F'(x)=\frac{10x}{(x^2+1)^2}\). 3. Damit gilt \(A=\lim_{b\to\infty}[-\frac{5}{x^2+1}]_0^b=\lim_{b\to\infty}(-\frac{5}{b^2+1}+5)=5\). 4. Der Grenzwert ist endlich, also besitzt die Fläche den Inhalt \(5\,\text{FE}\).

Die Fläche hat einen endlichen Inhalt von 5.

- Stelle zuerst die Funktion auf, die den vertikalen Abstand zwischen dem Graphen und der Geraden beschreibt. - Nutze die im Aufgabentext angegebene Stammfunktion und überprüfe sie bei Bedarf mit der Produktregel. - Wie verhält sich ein lineares Polynom mal \(e^{-0{,}5x}\) für sehr große \(x\)? - Setze den Grenzwert erst nach der Auswertung mit einer endlichen oberen Grenze an.

1. Der vertikale Abstand zwischen Graph und Gerade ist \(d(x)=f(x)-2=xe^{-0{,}5x}\ge0\). Daher gilt \(A=\int_0^{\infty}xe^{-0{,}5x}\,dx\). 2. Die angegebene Stammfunktion erfüllt mit der Produktregel \(D'(x)=xe^{-0{,}5x}\). 3. Somit ist \(A=\lim_{b\to\infty}[(-2x-4)e^{-0{,}5x}]_0^b\). 4. Wegen \(\lim_{b\to\infty}(-2b-4)e^{-0{,}5b}=0\) folgt \(A=0-(-4)=4\).

Die Fläche besitzt einen endlichen Inhalt von 4.

- Achte darauf, alle Längenangaben in die Basiseinheit Meter umzurechnen, bevor du rechnest. - Erinnere dich an die Regel für das Integrieren von Potenzfunktionen \(x^n\). - Ein uneigentliches Integral mit einer unendlichen Grenze wird berechnet, indem man zunächst eine Variable (z. B. \(b\)) einsetzt und dann den Grenzwert für \(b \to \infty\) betrachtet. - Was bedeutet es physikalisch, wenn der Abstand \(r\) gegen Unendlich geht?

1. Umrechnung der Radien in Meter: \(R = 4 \cdot 10^6\,\text{m}\) und \(r_2 = 12 \cdot 10^6\,\text{m}\). 2. Bestimmung der Stammfunktion von \(F(r) = k \cdot r^{-2}\): \(\Phi(r) = -\frac{k}{r}\). 3. Berechnung des bestimmten Integrals für Aufgabenteil a): \(W = \left[ -\frac{k}{r} \right]_{4 \cdot 10^6}^{12 \cdot 10^6} = k \cdot \left( \frac{1}{4 \cdot 10^6} - \frac{1}{12 \cdot 10^6} \right)\). 4. Einsetzen der Werte: \(W = 2{,}4 \cdot 10^{13} \cdot \left( 0{,}25 \cdot 10^{-6} - 0{,}0833\dots \cdot 10^{-6} \right) = 2{,}4 \cdot 10^{13} \cdot \frac{1}{6} \cdot 10^{-6} = 4 \cdot 10^6\,\text{J}\). In Megajoule: \(4\,\text{MJ}\). 5. Berechnung des uneigentlichen Integrals für Aufgabenteil b): \(\int_{R}^{\infty} F(r) \, dr = \lim_{b \to \infty} \left[ -\frac{k}{r} \right]_{R}^{b} = \lim_{b \to \infty} \left( -\frac{k}{b} + \frac{k}{R} \right) = 0 + \frac{k}{R}\). 6. Einsetzen der Werte: \(\frac{2{,}4 \cdot 10^{13}}{4 \cdot 10^6} = 6 \cdot 10^6\,\text{J} = 6\,\text{MJ}\). 7. Interpretation: Dies ist die theoretisch benötigte Energie, um den Satelliten vollständig aus dem Gravitationsfeld des Planeten zu entfernen (Fluchtenergie).

a) \(W = 4\,\text{MJ}\) b) Das Integral hat den Wert \(6 \cdot 10^6\,\text{J}\) (bzw. \(6\,\text{MJ}\)). Es stellt die Energie dar, die benötigt wird, um den Satelliten unendlich weit vom Planeten zu entfernen (Fluchtenergie).

- Untersuche die Funktion auf Definitionslücken innerhalb oder am Rand des Integrationsintervalls. - Ersetze die kritische obere Grenze zunächst durch eine Variable und bilde anschließend den Grenzwert. - Für eine Potenz einer linearen inneren Funktion kannst du die entsprechende Stammfunktionsregel verwenden. - Was passiert mit dem Ausdruck unter der Wurzel, wenn sich \(x\) dem Wert \(2\) von links nähert?

1. Der Nenner wird für \(x=2\) null, daher ist das Integral an der oberen Grenze uneigentlich. 2. Mit der Stammfunktionsregel für eine lineare innere Funktion ist \(F(x)=-\sqrt{4-2x}\) eine Stammfunktion von \((4-2x)^{-1/2}\). 3. Daher gilt \(\int_0^2\frac{1}{\sqrt{4-2x}}\,dx=\lim_{b\to2^-}[-\sqrt{4-2x}]_0^b\). 4. Der Grenzwert ist \(0-(-2)=2\). Das uneigentliche Integral existiert und hat den Wert \(2\).

Das Integral existiert und hat den Wert 2.

- Wie lautet die allgemeine Formel zur Berechnung eines Flächeninhalts zwischen einem Graphen und der \(x\)-Achse? - Kannst du \(f(x)\) als Potenz mit rationalem Exponenten schreiben, um leichter eine Stammfunktion zu finden? - Was passiert mit dem Term, in dem \(u\) vorkommt, wenn \(u\) immer kleiner wird und gegen Null geht?

1. Aufstellen des Integrals für den Flächeninhalt: \(A(u) = \int_{u}^{4} x^{-\frac{1}{2}} \, dx\). 2. Bestimmung der Stammfunktion: \(\int x^{-\frac{1}{2}} \, dx = 2x^{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{x}\). 3. Anwendung des Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung: \(A(u) = [2\sqrt{x}]_{u}^{4} = 2\sqrt{4} - 2\sqrt{u} = 4 - 2\sqrt{u}\). 4. Untersuchung des Grenzwerts für \(u \to 0^+\): Da \(\lim_{u \to 0^+} \sqrt{u} = 0\), ergibt sich \(\lim_{u \to 0^+} (4 - 2\sqrt{u}) = 4\). Der Flächeninhalt nähert sich für kleiner werdende Werte von \(u\) dem endlichen Wert \(4\) an.

Der integralfreie Funktionsterm lautet \(A(u) = 4 - 2\sqrt{u}\). Für \(u \to 0^+\) nähert sich der Flächeninhalt dem endlichen Wert \(4\) an.

- Erinnere dich an die Regel für die Integration von Exponentialfunktionen der Form \(e^{ax}\). - Achte beim Einsetzen der unteren Grenze Null darauf, dass \(e^0\) nicht Null ist. - Überlege dir, wie sich der Graph einer fallenden Exponentialfunktion im Unendlichen verhält.

1. Ansatz für den Flächeninhalt über das bestimmte Integral: \(I(k) = \int_{0}^{k} 4e^{-0{,}5x} \, dx\). 2. Bestimmung einer Stammfunktion von \(g(x)\): \(G(x) = \frac{4}{-0{,}5}e^{-0{,}5x} = -8e^{-0{,}5x}\). 3. Auswertung des Integrals an den Grenzen: \(I(k) = [-8e^{-0{,}5x}]_{0}^{k} = -8e^{-0{,}5k} - (-8e^{0}) = -8e^{-0{,}5k} + 8\). 4. Umformung zu einem übersichtlicheren Term: \(I(k) = 8 - 8e^{-0{,}5k}\). 5. Berechnung des Grenzwerts für \(k \to \infty\): Da \(e^{-0{,}5k} = \frac{1}{e^{0{,}5k}}\) für \(k \to \infty\) gegen \(0\) strebt, folgt \(\lim_{k \to \infty} (8 - 8e^{-0{,}5k}) = 8 - 0 = 8\).

Der Funktionsterm ist \(I(k) = 8 - 8e^{-0{,}5k}\). Der Grenzwert für \(k \to \infty\) beträgt \(8\).

- Überlege, was mit den Exponentialtermen passiert, wenn die Variable sehr groß wird. - Kannst du beim Bestimmen der Nullstelle einen gemeinsamen Exponentialfaktor ausklammern? - Für Exponentialfunktionen mit linearer innerer Funktion kannst du die entsprechende Stammfunktionsregel verwenden. - Wie verhalten sich die einzelnen Bestandteile der Flächenformel, wenn die obere Grenze gegen Unendlich strebt?

1. Wegen \(e^{-x}\to0\) und \(e^{-2x}\to0\) gilt \(f(x)\to0\) für \(x\to\infty\). 2. Aus \(3e^{-x}-e^{-2x}=e^{-x}(3-e^{-x})=0\) folgt \(e^{-x}=3\) und damit \(x_0=-\ln 3\). 3. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=-3e^{-x}+\frac12e^{-2x}\). Daher ist \(A(k)=F(k)-F(-\ln3)\). 4. Es gilt \(F(-\ln3)=-\frac92\). Somit ist \(A(k)=\frac92-3e^{-k}+\frac12e^{-2k}\). 5. Für \(k\to\infty\) verschwinden beide Exponentialterme. Daher gilt \(\lim_{k\to\infty}A(k)=\frac92=4{,}5\).

a) \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 0\) b) \(x_0 = -\ln(3)\) c) \(A(k) = 4{,}5 - 3e^{-k} + 0{,}5e^{-2k}\); \(\lim_{k \to \infty} A(k) = 4{,}5\)

- Betrachte die Vorzeichen von Zähler und Nenner separat. - Kannst du durch Ableiten prüfen, ob ein Ausdruck der Form \(\frac{C}{x^2+1}\) eine geeignete Stammfunktion ist? - Nutze die Stammfunktion, um das bestimmte Integral von \(0\) bis \(z\) aufzustellen. - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner unbegrenzt wächst und der Zähler konstant bleibt?

1. Für \(x>0\) ist der Zähler \(4x\) positiv und der Nenner \((x^2+1)^2\) ebenfalls positiv. Daher gilt \(g(x)>0\). 2. Durch Ableiten erkennt man, dass \(G(x)=-\frac{2}{x^2+1}\) eine Stammfunktion ist, denn \(G'(x)=\frac{4x}{(x^2+1)^2}\). 3. Damit ist \(A(z)=\int_0^zg(x)\,dx=[G(x)]_0^z=2-\frac{2}{z^2+1}\). 4. Für \(z\to\infty\) gilt \(\frac{2}{z^2+1}\to0\). Somit besitzt die unbegrenzte Fläche den endlichen Inhalt \(2\,\text{FE}\).

a) Nachweis über \(4x > 0\) und \((x^2+1)^2 > 0\) für \(x > 0\). b) \(A(z) = 2 - \frac{2}{z^2+1}\) c) Ja, der Flächeninhalt ist \(2\).

- Was bedeutet „vollständig aus dem Einflussbereich entfernen“ für die obere Integrationsgrenze? - Erinnere dich daran, wie man ein Integral berechnet, bei dem eine Grenze unendlich ist. - Wandle alle Einheiten (Mikrocoulomb in Coulomb, Zentimeter in Meter) vor der Rechnung in das SI-System um. - Welche Stammfunktion benötigst du für einen Term der Form \(\frac{c}{r^2}\)?

1. Modellierung als uneigentliches Integral: Da die Ladung bis ins Unendliche entfernt wird, lautet der Ansatz für die Arbeit \(W = \int_{r_0}^{\infty} k \cdot \frac{Q_1 \cdot Q_2}{r^2} \, dr\). 2. Berechnung des Grenzwerts: \(W = \lim_{b \to \infty} \int_{r_0}^{b} k \cdot Q_1 \cdot Q_2 \cdot r^{-2} \, dr = k \cdot Q_1 \cdot Q_2 \cdot \lim_{b \to \infty} \left[ -\frac{1}{r} \right]_{r_0}^{b}\). 3. Auswertung der Stammfunktion: \(\lim_{b \to \infty} \left( -\frac{1}{b} - (-\frac{1}{r_0}) \right) = 0 + \frac{1}{r_0} = \frac{1}{r_0}\). Somit gilt \(W = \frac{k \cdot Q_1 \cdot Q_2}{r_0}\). 4. Einsetzen der Werte: Mit \(Q_1 = 5 \cdot 10^{-5}\,\text{C}\), \(Q_2 = 2 \cdot 10^{-5}\,\text{C}\) und \(r_0 = 0{,}1\,\text{m}\) ergibt sich \(W = \frac{8{,}99 \cdot 10^9 \cdot 10^{-9}}{0{,}1} = \frac{8{,}99}{0{,}1} = 89{,}9\,\text{J}\).

Das elektrische Feld verrichtet eine Arbeit von \(89{,}9\,\text{J}\).

- Liegt zwischen den beiden Integrationsgrenzen eine Stelle, an der die Funktion nicht definiert ist? - Ein uneigentliches Integral mit einer inneren Polstelle muss an dieser Stelle in zwei Grenzwerte aufgeteilt werden. - Untersuche die Annäherung an \(x=3\) von links und von rechts getrennt. - Nur wenn beide Teilintegrale endlich konvergieren, existiert das uneigentliche Integral über das gesamte Intervall.

1. Eine Stammfunktion von \(h\) ist \(H(x)=\ln|x-3|\). Daher gilt \(\int_4^6h(x)\,dx=[\ln|x-3|]_4^6=\ln3\). 2. Im Intervall \([2;4]\) liegt bei \(x=3\) eine Polstelle. Deshalb muss das Integral dort in zwei uneigentliche Integrale aufgeteilt werden. 3. Links gilt \(\lim_{t\to3^-}\int_2^t\frac{1}{x-3}\,dx=\lim_{t\to3^-}(\ln|t-3|-\ln1)=-\infty\). 4. Rechts gilt \(\lim_{s\to3^+}\int_s^4\frac{1}{x-3}\,dx=\lim_{s\to3^+}(\ln1-\ln(s-3))=+\infty\). 5. Da die beiden Teilintegrale nicht endlich konvergieren, divergiert \(\int_2^4h(x)\,dx\). Die äußeren Stammfunktionswerte dürfen nicht direkt subtrahiert werden, weil die Funktion innerhalb des Intervalls an \(x=3\) nicht definiert ist.

a) \(\ln3 \approx 1{,}099\) b) Das uneigentliche Integral divergiert. Beide Seiten der Polstelle müssen getrennt untersucht werden; die zugehörigen Grenzwerte sind nicht endlich.

- Wie lautet die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung an einer Stelle \(x_0\)? - Skizziere die Situation grob: Welche Funktion begrenzt die Fläche nach oben, welche Linien begrenzen sie nach unten? - Beachte, dass die Tangente die \(x\)-Achse an einer bestimmten Stelle schneidet. Was bedeutet das für das Integral der unteren Begrenzung? - Erinnere dich an die Stammfunktion der natürlichen Exponentialfunktion. - Was passiert mit dem Term \(e^{-0{,}5k}\), wenn \(k\) immer größer wird?

1. Tangentengleichung: \(f(0) = 2\), \(f'(x) = -e^{-0{,}5x}\), Steigung \(m = f'(0) = -1\). Mit \(y = mx + n\) folgt \(2 = -1 \cdot 0 + n \Rightarrow n = 2\). Somit ist \(t(x) = -x + 2\). 2. Nullstelle der Tangente: \(-x + 2 = 0 \Rightarrow x = 2\). Die Tangente verläuft für \(x \in [0; 2]\) oberhalb oder auf der \(x\)-Achse. 3. Flächeninhalt für \(k = 6\): Die Fläche liegt zwischen dem Graphen von \(f\) (oben) und der Begrenzung durch die Tangente (für \(x \in [0; 2]\)) bzw. die \(x\)-Achse (für \(x \in [2; 6]\)). \(A = \int_{0}^{6} 2e^{-0{,}5x} \, dx - \int_{0}^{2} (-x + 2) \, dx\). \(\int_{0}^{6} 2e^{-0{,}5x} \, dx = [-4e^{-0{,}5x}]_{0}^{6} = -4e^{-3} + 4 \approx 3{,}8008\). Fläche des Dreiecks unter der Tangente: \(\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\). \(A = 4 - 4e^{-3} - 2 = 2 - 4e^{-3} \approx 1{,}8008\). 4. Grenzwert für \(k \to \infty\): \(A(k) = \int_{0}^{k} 2e^{-0{,}5x} \, dx - 2 = [-4e^{-0{,}5x}]_{0}^{k} - 2 = -4e^{-0{,}5k} + 4 - 2 = 2 - 4e^{-0{,}5k}\). Für \(k \to \infty\) gilt \(e^{-0{,}5k} \to 0\), also \(A(k) \to 2\).

a) \(t(x) = -x + 2\) b) \(A = 2 - 4e^{-3} \approx 1{,}801\) c) \(A(k) = 2 - 4e^{-0{,}5k}\); für \(k \to \infty\) nähert sich der Flächeninhalt dem Wert \(2\) an.

- Wie lautet die Produktregel für das Ableiten des Ansatzes? - Was bedeutet Koeffizientenvergleich? Vergleiche die Terme mit \(x\) und die Terme ohne \(x\) getrennt. - Denk daran, dass eine Fläche im Unendlichen über den Grenzwert eines Integrals definiert wird. - Wie verhält sich der Term \(e^{-x}\) für sehr große \(x\)? Welcher Teil der Funktion „dominiert“ das Wachstum?

1. Bestimmung der Ableitung des Ansatzes: \(F'(x) = a \cdot e^{-x} + (ax + b) \cdot (-e^{-x}) = (-ax + a - b) \cdot e^{-x}\). 2. Koeffizientenvergleich mit \(f(x) = (2x + 3) \cdot e^{-x}\): Es muss gelten \(-a = 2\) und \(a - b = 3\). 3. Lösung des Gleichungssystems: Aus \(-a = 2\) folgt \(a = -2\). Eingesetzt in die zweite Gleichung ergibt dies \(-2 - b = 3\), also \(b = -5\). Die Stammfunktion lautet \(F(x) = (-2x - 5) \cdot e^{-x}\). 4. Berechnung des Flächeninhalts als uneigentliches Integral: \(A = \int_{0}^{\infty} f(x) \, dx = \lim_{k \to \infty} [F(x)]_0^k\). 5. Einsetzen der Grenzen und Grenzwertbetrachtung: \(\lim_{k \to \infty} ((-2k - 5) \cdot e^{-k} - (-2 \cdot 0 - 5) \cdot e^0)\). Da \(\lim_{k \to \infty} \frac{-2k-5}{e^k} = 0\), folgt \(A = 0 - (-5) = 5\). Der Flächeninhalt beträgt \(5\) Flächeneinheiten.

a) \(F(x) = (-2x - 5) \cdot e^{-x}\) b) Der Flächeninhalt beträgt \(5\).

- Nutze die Kettenregel beim Ableiten des Logarithmus-Terms. - Überlege dir, wie du die Differenz zweier Logarithmen zusammenfassen kannst. - Erinnere dich daran, dass \(4b\) auch als \(\ln(e^{4b})\) geschrieben werden kann. - Was passiert mit dem Quotienten im Logarithmus, wenn \(b\) sehr groß wird?

1. Ableitung von \(F(x)\) bilden: \(F'(x) = 4 - 2 \cdot \frac{1}{e^{2x} + 1} \cdot 2e^{2x} = 4 - \frac{4e^{2x}}{e^{2x} + 1}\). 2. Gleichnamig machen: \(F'(x) = \frac{4(e^{2x} + 1) - 4e^{2x}}{e^{2x} + 1} = \frac{4e^{2x} + 4 - 4e^{2x}}{e^{2x} + 1} = \frac{4}{e^{2x} + 1}\). Somit ist \(F'(x) = f(x)\). 3. Flächeninhalt berechnen: \(A(b) = \int_0^b f(x) \, dx = [F(x)]_0^b = F(b) - F(0)\). 4. Einsetzen: \(F(b) = 4b - 2 \ln(e^{2b} + 1)\) und \(F(0) = 4(0) - 2 \ln(e^0 + 1) = -2 \ln(2)\). 5. \(A(b) = 4b - 2 \ln(e^{2b} + 1) + 2 \ln(2)\). 6. Grenzwert untersuchen: \(A(b) = 2 \ln(e^{2b}) - 2 \ln(e^{2b} + 1) + \ln(4) = 2 \ln\left(\frac{e^{2b}}{e^{2b} + 1}\right) + \ln(4)\). 7. Da \(\lim_{b \to \infty} \frac{e^{2b}}{e^{2b} + 1} = 1\), folgt \(\lim_{b \to \infty} A(b) = 2 \ln(1) + \ln(4) = \ln(4)\).

a) \(F'(x) = \frac{4}{e^{2x} + 1} = f(x)\) b) \(A(b) = 4b - 2 \ln(e^{2b} + 1) + 2 \ln(2)\) c) Der Flächeninhalt konvergiert gegen \(\ln(4)\) (bzw. \(2 \ln 2 \approx 1{,}386\)).

- Überlege dir zuerst, durch welche uneigentlichen Integrale die beiden Flächen \(A_1\) und \(A_2\) mathematisch beschrieben werden. - Bestimme eine Stammfunktion \(F(x)\) der Funktion \(f(x) = \frac{3}{x\sqrt{x}}\). Tipp: Schreibe den Funktionsterm als Potenz mit rationalem Exponenten. - Ersetze die problematische Grenze (entweder \(0\) oder \(\infty\)) durch eine Variable \(z\) und berechne das bestimmte Integral in Abhängigkeit von \(z\). - Untersuche anschließend das Verhalten des Terms, wenn \(z\) gegen die jeweilige Grenze strebt. - Wenn der Grenzwert eine endliche Zahl ist, existiert der Flächeninhalt und entspricht diesem Wert. Wenn der Grenzwert unendlich ist, besitzt die Fläche keinen endlichen Inhalt.

1. Für \(A_1\) gilt \(\lim_{z\to0^+}\int_z^1 3x^{-3/2}\,\mathrm{d}x=\lim_{z\to0^+}\left[-\frac{6}{\sqrt{x}}\right]_z^1=\lim_{z\to0^+}\left(-6+\frac{6}{\sqrt{z}}\right)=\infty\). Daher besitzt \(A_1\) keinen endlichen Flächeninhalt. 2. Für \(A_2\) gilt \(\lim_{z\to\infty}\int_1^z 3x^{-3/2}\,\mathrm{d}x=\lim_{z\to\infty}\left[-\frac{6}{\sqrt{x}}\right]_1^z=6\). Daher besitzt \(A_2\) den endlichen Flächeninhalt \(6\).

\(A_1\): Die Fläche hat keinen endlichen Flächeninhalt. \(A_2\): Die Fläche hat einen endlichen Flächeninhalt von \(6\).

- Wie verhalten sich die Funktionswerte von \(f(x)\), wenn \(x\) immer größer wird? Gegen welchen Wert strebt der Graph? - Erinnere dich an die Definition eines uneigentlichen Integrals: Wie drückt man ein Integral mit einer unendlichen Grenze als Grenzwert (Limes) aus? - Bestimme zuerst eine Stammfunktion \(F(x)\) der Funktion \(f(x)\). - Setze die Integrationsgrenzen \(0\) und \(z\) in die Stammfunktion ein und vereinfache den Term. - Was passiert mit dem Term, in dem \(z\) vorkommt, wenn \(z\) gegen unendlich strebt?

1. Bestimmung der waagerechten Asymptote: Für \(x \to \infty\) wächst der Nenner \((x+1)^2\) unbegrenzt, sodass die Funktionswerte gegen \(0\) streben: \(\lim_{x \to \infty} \frac{6}{(x+1)^2} = 0\) Die waagerechte Asymptote hat somit die Gleichung \(y = 0\). 2. Berechnung des uneigentlichen Integrals: Wir betrachten das uneigentliche Integral mit der Variablen \(z > 0\) als obere Grenze: \(A = \lim_{z \to \infty} \int_0^z \frac{6}{(x+1)^2} \,\mathrm{d}x\) Eine Stammfunktion von \(f(x) = 6(x+1)^{-2}\) ist: \(F(x) = -\frac{6}{x+1}\) Wir berechnen das Integral im Intervall \([0; z]\): \(\int_0^z \frac{6}{(x+1)^2} \,\mathrm{d}x = \left[ -\frac{6}{x+1} \right]_0^z = \left( -\frac{6}{z+1} \right) - \left( -\frac{6}{0+1} \right) = 6 - \frac{6}{z+1}\) 3. Grenzwertbetrachtung für \(z \to \infty\): \(A = \lim_{z \to \infty} \left( 6 - \frac{6}{z+1} \right) = 6 - 0 = 6\) Da der Grenzwert existiert und endlich ist, besitzt die unbegrenzte Fläche einen endlichen Flächeninhalt von \(6\) Flächeneinheiten.

a) Die Gleichung der waagerechten Asymptote lautet \(y = 0\). b) Der Flächeninhalt der unbegrenzten Fläche beträgt \(6\,\text{FE}\).

- Schreibe das Integral bis unendlich zunächst als Grenzwert mit einer endlichen oberen Grenze. - Entscheidend für die Konvergenz ist das Grenzverhalten der Exponentialterme in einer Stammfunktion. - Prüfe die Einheit, indem du die Einheit der Konzentration mit der Zeiteinheit multiplizierst. - Welche zusätzliche physikalische Größe wäre nötig, um aus einer Konzentration eine transportierte Masse zu bestimmen?

1. Man schreibt das uneigentliche Integral als Grenzwert \(B=\lim_{T\to\infty}\int_0^T c(t)\,\text{d}t\). 2. Eine Stammfunktion von \(c\) ist \(C(t)=25(-20e^{-0{,}05t}+4e^{-0{,}25t})\). Für \(t\to\infty\) streben beide Exponentialterme gegen \(0\), also besitzt \(C(t)\) einen endlichen Grenzwert. Damit konvergiert das uneigentliche Integral. 3. Es gilt \(B=\lim_{T\to\infty}(C(T)-C(0))=0-25(-20+4)=400\,\frac{\text{mg}\cdot\text{min}}{\text{L}}\). 4. Der Wert beschreibt die über die Zeit aufsummierte Konzentrationsbelastung an der Messstelle. Die Einheit entsteht aus Konzentration mal Zeit. Für eine Schadstoffmasse müsste zusätzlich ein Volumenstrom berücksichtigt werden.

a) Das Integral konvergiert, weil die verwendete Stammfunktion für \(t\to\infty\) einen endlichen Grenzwert besitzt. b) \(B=400\,\frac{\text{mg}\cdot\text{min}}{\text{L}}\) c) \(B\) ist eine Konzentrations-Zeit-Belastung an der Messstelle, keine Schadstoffmasse; für eine Masse wäre zusätzlich ein Volumenstrom nötig.

- Wie berechnet man den Inhalt einer Fläche, die sich unendlich weit entlang einer Achse erstreckt? - Ersetze die unendliche Grenze zunächst durch eine Variable und berechne das Integral. - Was passiert mit dem Wert des Integrals, wenn diese Variable immer größer wird? - Erinnere dich an die Potenzregeln für das Integrieren von Funktionen der Form \((x+c)^n\).

1. Aufstellen des uneigentlichen Integrals für den Flächeninhalt: \(A = \int_{2}^{\infty} \frac{4}{(x+2)^{1{,}5}} \, dx\). 2. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = 4 \cdot \frac{(x+2)^{-0{,}5}}{-0{,}5} = -\frac{8}{\sqrt{x+2}}\). 3. Berechnung des Grenzwerts für eine obere Grenze \(b \to \infty\): \(\lim_{b \to \infty} \left[ -\frac{8}{\sqrt{x+2}} \right]_{2}^{b} = \lim_{b \to \infty} \left( -\frac{8}{\sqrt{b+2}} - \left( -\frac{8}{\sqrt{2+2}} \right) \right)\). 4. Da \(\lim_{b \to \infty} \frac{8}{\sqrt{b+2}} = 0\), ergibt sich: \(A = 0 + \frac{8}{\sqrt{4}} = \frac{8}{2} = 4\). Die Fläche hat einen endlichen Inhalt von \(4\,\text{FE}\).

Die Fläche hat einen endlichen Inhalt von \(A = 4\).

- Überlege dir, welche Stammfunktion eine Exponentialfunktion mit linearem Exponenten besitzt. - Betrachte das Verhalten der \(e\)-Funktion für sehr große positive \(x\)-Werte. - Nutze eine Variable als Platzhalter für die unendliche Grenze und bilde anschließend den Grenzwert.

1. Ansatz über das uneigentliche Integral: \(A = \int_{0}^{\infty} 2e^{-0{,}4x} \, dx\). 2. Für den linearen Exponenten gilt nach der Integrationsregel für \(f(ax+b)\): \(F(x) = \frac{2}{-0{,}4}e^{-0{,}4x} = -5e^{-0{,}4x}\). 3. Berechnung des Grenzwerts: \(\lim_{b \to \infty} \int_{0}^{b} 2e^{-0{,}4x} \, dx = \lim_{b \to \infty} \left[ -5e^{-0{,}4x} \right]_{0}^{b}\). 4. Einsetzen der Grenzen: \(\lim_{b \to \infty} (-5e^{-0{,}4b} - (-5e^{0})) = \lim_{b \to \infty} (-5e^{-0{,}4b} + 5)\). 5. Da \(e^{-0{,}4b} \to 0\) für \(b \to \infty\), folgt \(A = 5\). Der Flächeninhalt ist endlich und beträgt \(5\,\text{FE}\).

Der Flächeninhalt ist endlich und beträgt \(A = 5\,\text{FE}\).

- Schreibe den Bruch als Potenz mit negativem Exponenten um, um die Stammfunktion leichter zu finden. - Achte beim Integrieren genau auf das Vorzeichen des Exponenten in der Stammfunktion. - Überlege dir: Wenn der Exponent der Variablen in der Stammfunktion positiv ist, was passiert dann, wenn die Variable gegen Unendlich geht?

1. Ansatz für das uneigentliche Integral: \(A = \int_{1}^{\infty} x^{-0{,}8} \, dx\). 2. Bestimmung der Stammfunktion: \(G(x) = \frac{1}{-0{,}8 + 1} x^{-0{,}8 + 1} = \frac{1}{0{,}2} x^{0{,}2} = 5x^{0{,}2}\). 3. Untersuchung des Grenzwerts: \(\lim_{b \to \infty} [5x^{0{,}2}]_{1}^{b} = \lim_{b \to \infty} (5 \cdot b^{0{,}2} - 5 \cdot 1^{0{,}2})\). 4. Da der Exponent \(0{,}2\) positiv ist, gilt \(\lim_{b \to \infty} b^{0{,}2} = \infty\). 5. Das Integral divergiert, somit ist der Flächeninhalt unendlich groß.

Die Fläche hat keinen endlichen Inhalt (der Flächeninhalt ist unendlich groß).

- Stelle zunächst die Differenzfunktion auf, um den Abstand zwischen den Graphen zu beschreiben. - Beschreibe die nach rechts unbegrenzte Fläche durch ein Integral mit variabler oberer Grenze. - Was passiert mit der Stammfunktion, wenn die obere Grenze immer größer wird? - Geht \(1/x\) „schnell genug“ gegen null, damit das Integral einen endlichen Wert liefert?

1. Aufstellen des Integrals für die unbegrenzte Fläche ab \(x=2\): \(A = \int_{2}^{\infty} (f(x) - g(x)) \, dx = \int_{2}^{\infty} \left( \frac{2}{x} + 0{,}5 - 0{,}5 \right) \, dx = \int_{2}^{\infty} \frac{2}{x} \, dx\). 2. Finden der Stammfunktion von \(\frac{2}{x}\): \(F(x) = 2\ln|x|\). 3. Untersuchung des Grenzwerts für \(x \to \infty\): \(\lim_{b \to \infty} \int_{2}^{b} \frac{2}{x} \, dx = \lim_{b \to \infty} [2 \ln|x|]_2^b = \lim_{b \to \infty} (2 \ln(b) - 2 \ln(2))\). 4. Da \(\ln(b)\) für \(b \to \infty\) gegen unendlich strebt, divergiert das Integral. 5. Ergebnis: Die Fläche besitzt keinen endlichen Inhalt.

Die Fläche besitzt keinen endlichen Inhalt; der Flächeninhalt ist unendlich.

- Beachte, dass es sich bei beiden Flächen um uneigentliche Integrale handelt. - Bei \(A_1\) liegt die kritische Stelle an der unteren Grenze \(0\). - Bei \(A_2\) liegt die kritische Stelle im Unendlichen; der dargestellte blaue Bereich ist nur ein Ausschnitt. - Nutze die Stammfunktion \(F(x) = \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}\) für beide Teilaufgaben.

1. Für \(A_1\) gilt \(A_1=\lim_{a\to0^+}\int_a^1 x^{-1/3}\,\text{d}x=\lim_{a\to0^+}\left[\frac{3}{2}x^{2/3}\right]_a^1=\frac{3}{2}\). Die Fläche ist endlich. 2. Für \(A_2\) gilt \(A_2=\lim_{b\to\infty}\int_1^b x^{-1/3}\,\text{d}x=\lim_{b\to\infty}\left[\frac{3}{2}x^{2/3}\right]_1^b=\infty\). Die Fläche besitzt keinen endlichen Inhalt.

\(A_1\): Die Fläche hat den endlichen Inhalt \(1{,}5\). \(A_2\): Die Fläche hat keinen endlichen Inhalt.

- Überlege, welcher Faktor im Produkt für sehr große \(x\)-Werte das Verhalten bestimmt. - Ersetze die unendliche obere Grenze zunächst durch eine Variable \(b\) und bilde erst am Ende den Grenzwert. - Überprüfe die angegebene Stammfunktion durch Ableiten; du musst keine zusätzliche Integrationsmethode herleiten. - Prüfe beim Grenzübergang insbesondere das Verhalten von \(x e^{-0{,}5x}\).

1. Im Funktionsterm \(f(x)=(3x+2)e^{-0{,}5x}\) dominiert für \(x\to\infty\) der exponentielle Zerfall den linearen Faktor. Daher gilt \(\lim_{x\to\infty}f(x)=0\). 2. Für den Flächeninhalt gilt \(A=\lim_{b\to\infty}\int_0^b(3x+2)e^{-0{,}5x}\,\mathrm{d}x\). 3. Durch Ableiten erhält man \(F'(x)=-6e^{-0{,}5x}+\frac{1}{2}(6x+16)e^{-0{,}5x}=(3x+2)e^{-0{,}5x}=f(x)\). 4. Somit ist \(A=\lim_{b\to\infty}[F(x)]_0^b=\lim_{b\to\infty}\left(-(6b+16)e^{-0{,}5b}+16\right)\). Da \((6b+16)e^{-0{,}5b}\to0\), folgt \(A=16\).

a) Der Exponentialfaktor \(e^{-0{,}5x}\) fällt für \(x\to\infty\) stärker, als der lineare Faktor \(3x+2\) wächst; daher gilt \(f(x)\to0\). b) Der Flächeninhalt der unbegrenzten Fläche ist endlich und beträgt \(16\) Flächeneinheiten.

- Nutze die Potenzschreibweise \(x^{-n}\), um die passenden Stammfunktionen zu finden. - Achte auf den Sonderfall bei der Integration von \(\frac{1}{x}\). - Was muss für den Grenzwert des Integrals gelten, damit man von einem endlichen Flächeninhalt sprechen kann? - Vergleiche den Verlauf der beiden Graphen: Welcher nähert sich „schneller“ der \(x\)-Achse an?

1. Berechnung für \(g(x)\): Das uneigentliche Integral lautet \(A_g = \int_1^{\infty} \frac{4}{x^2} \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_1^b 4x^{-2} \, dx\). Die Stammfunktion ist \(G(x) = -4x^{-1} = -\frac{4}{x}\). Einsetzen der Grenzen: \(\lim_{b \to \infty} [-\frac{4}{x}]_1^b = \lim_{b \to \infty} (-\frac{4}{b} - (-\frac{4}{1})) = 0 + 4 = 4\). Der Flächeninhalt unter \(g\) beträgt \(4\). 2. Untersuchung für \(h(x)\): Das Integral lautet \(A_h = \int_1^{\infty} \frac{4}{x} \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_1^b \frac{4}{x} \, dx\). Die Stammfunktion ist \(H(x) = 4 \ln(|x|)\). Einsetzen der Grenzen: \(\lim_{b \to \infty} [4 \ln(x)]_1^b = \lim_{b \to \infty} (4 \ln(b) - 4 \ln(1)) = \lim_{b \to \infty} (4 \ln(b) - 0)\). Da die Logarithmusfunktion \(\ln(b)\) für \(b \to \infty\) gegen unendlich strebt, besitzt die Fläche keinen endlichen Inhalt.

a) Der Flächeninhalt unter \(g\) beträgt \(4\) Flächeneinheiten. b) Die Fläche unter \(h\) hat keinen endlichen Inhalt, da das zugehörige Integral divergiert.

- Nutze die im Aufgabentext angegebenen Stammfunktionen und untersuche jeweils ihren Grenzwert für \(x\to\infty\). - Welche Rolle spielt das Vorzeichen des Exponenten \(1-a\) im Term \((\ln x)^{1-a}\)? - Betrachte den Sonderfall \(a=1\) getrennt. - Ein endlicher Flächeninhalt liegt nur vor, wenn der Grenzwert des uneigentlichen Integrals endlich ist.

1. Der Flächeninhalt wird durch \(A(a)=\int_e^{\infty}\frac{1}{x(\ln x)^a}\,dx\) beschrieben. 2. Für \(a>1\) gilt \(1-a<0\), also \((\ln x)^{1-a}\to0\) für \(x\to\infty\). Damit ist \(A(a)=0-\frac{1^{1-a}}{1-a}=\frac{1}{a-1}\). 3. Für \(a=1\) wächst \(F_1(x)=\ln(\ln x)\) unbegrenzt; das Integral divergiert. 4. Für \(a<1\) ist \(1-a>0\), sodass \((\ln x)^{1-a}\to\infty\). Auch dann divergiert das Integral. 5. Das Integral konvergiert daher genau für \(a>1\). Für \(a=3\) ist \(A(3)=\frac{1}{2}=0{,}5\).

Für \(a > 1\) hat die Fläche einen endlichen Inhalt von \(A(a) = \frac{1}{a-1}\). Für \(a \le 1\) besitzt die Fläche keinen endlichen Inhalt. Für \(a = 3\) beträgt der Flächeninhalt \(0{,}5\).

- Nutze die allgemeine Potenzregel für Integrale. Welchen Sonderfall musst du bei der Wahl des Exponenten beachten? - Untersuche das Verhalten des Terms \(x^{-n+1}\) für sehr große \(x\). Welchen Einfluss hat das Vorzeichen des Exponenten? - Denke an die spezielle Stammfunktion der Funktion \(f(x) = \frac{1}{x}\).

1. Aufgabenteil a): Bestimmung der Stammfunktion von \(150x^{-4}\) als \(\Phi(x) = \frac{150}{-3} x^{-3} = -\frac{50}{x^3}\). Berechnung des Grenzwerts: \(\lim_{b \to \infty} \left[ -\frac{50}{x^3} \right]_1^b = \lim_{b \to \infty} \left( -\frac{50}{b^3} + 50 \right) = 50\). 2. Aufgabenteil b): Allgemeine Stammfunktion für \(n \neq 1\) ist \(\Phi(x) = \frac{C}{-n+1} x^{-n+1}\). Das uneigentliche Integral ist \(\lim_{b \to \infty} \left[ \frac{C}{(1-n)x^{n-1}} \right]_1^b\). Da \(n > 1\), gilt \(n-1 > 0\) und somit \(\lim_{b \to \infty} \frac{1}{b^{n-1}} = 0\). Das Ergebnis ist \(0 - \frac{C}{(1-n) \cdot 1^{n-1}} = \frac{C}{n-1}\). 3. Aufgabenteil c): Für \(n = 1\) ist \(F(x) = \frac{C}{x}\). Die Stammfunktion ist \(\Phi(x) = C\ln(x)\). Der Grenzwert \(\lim_{b \to \infty} [C\ln(x)]_1^b = \lim_{b \to \infty} (C\ln(b) - 0)\) existiert nicht, da die Logarithmusfunktion für \(b \to \infty\) gegen Unendlich strebt. Das Integral divergiert.

a) \(50\) b) \(I = \frac{C}{n-1}\) c) Die Stammfunktion ist \(C\ln(x)\). Da \(\lim_{x \to \infty} \ln(x) = \infty\), besitzt das uneigentliche Integral keinen endlichen Wert.

- Wann wird ein Produkt aus zwei Faktoren Null? - Welcher Teil des Funktionsterms bestimmt das Wachstum, wenn \(x\) sehr kleine Werte annimmt? - Erinnere dich an die Produktregel und die Kettenregel beim Ableiten. - Überlege dir, welche Integrationsgrenzen für die gesuchten Flächen relevant sind. - Bei einer nach links unbegrenzten Fläche nutzt man einen Grenzwert für die untere Integrationsgrenze.

1. Nullstelle bestimmen: \(4 - 2x = 0 \implies x = 2\). Da die Exponentialfunktion \(e^{0{,}5x}\) stets positiv ist, ist dies die einzige Nullstelle. 2. Grenzwert für \(x \to -\infty\): Da die Exponentialfunktion schneller gegen Null strebt als die lineare Funktion \(4 - 2x\) gegen Unendlich, gilt \(\lim_{x \to -\infty} (4 - 2x) \cdot e^{0{,}5x} = 0\). 3. Stammfunktion verifizieren: Ableiten von \(F(x) = (16 - 4x) \cdot e^{0{,}5x}\) mit der Produktregel ergibt \(F'(x) = -4 \cdot e^{0{,}5x} + (16 - 4x) \cdot 0{,}5 \cdot e^{0{,}5x} = (-4 + 8 - 2x) \cdot e^{0{,}5x} = (4 - 2x) \cdot e^{0{,}5x} = f(x)\). 4. Flächeninhalt im ersten Quadranten: \(A_1 = \int_{0}^{2} f(x) \, dx = [F(x)]_0^2 = F(2) - F(0) = (16 - 4 \cdot 2) \cdot e^1 - (16 - 4 \cdot 0) \cdot e^0 = 8e - 16 \approx 5{,}75\). 5. Uneigentliches Integral berechnen: Da \(f(x) \ge 0\) für \(x \le 2\), berechnet man \(\int_{-\infty}^{2} f(x) \, dx = \lim_{k \to -\infty} [F(x)]_k^2 = F(2) - \lim_{k \to -\infty} F(k) = 8e - 0 = 8e \approx 21{,}75\).

a) \(x = 2\) b) \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\) c) Nachweis durch Ableiten: \(F'(x) = f(x)\) d) \(A = 8e - 16 \approx 5{,}75\) e) \(A = 8e \approx 21{,}75\)

- Für die Extremstellen musst du die erste Ableitung gleich Null setzen. - Nutze die zweite Ableitung oder das Vorzeichenwechselkriterium zur Bestimmung der Art der Extrempunkte. - Denke beim Ableiten der vorgeschlagenen Stammfunktion an die Produktregel. - Das Integral berechnest du über die Differenz der Stammfunktionswerte an den Grenzen. - Überlege, wie sich ein Ausdruck der Form \(x^n \cdot e^x\) verhält, wenn \(x\) gegen minus Unendlich geht.

1. Extrempunkte bestimmen: \(g'(x) = (2x + x^2 - 3) \cdot e^x = (x^2 + 2x - 3) \cdot e^x\). Nullstellen der Ableitung bei \(x = 1\) und \(x = -3\). 2. Art der Extrema: \(g''(x) = (2x + 2 + x^2 + 2x - 3) \cdot e^x = (x^2 + 4x - 1) \cdot e^x\). \(g''(-3) = (9 - 12 - 1) \cdot e^{-3} = -4e^{-3} < 0 \implies\) Hochpunkt \(H(-3 \mid 6e^{-3})\). \(g''(1) = (1 + 4 - 1) \cdot e^1 = 4e > 0 \implies\) Tiefpunkt \(T(1 \mid -2e)\). 3. Stammfunktion verifizieren: \(G'(x) = (2x - 2 + x^2 - 2x - 1) \cdot e^x = (x^2 - 3) \cdot e^x = g(x)\). 4. Integral berechnen: \(I(k) = [G(x)]_k^{-1} = G(-1) - G(k) = ((-1)^2 - 2(-1) - 1)e^{-1} - (k^2 - 2k - 1)e^k = 2e^{-1} - (k^2 - 2k - 1)e^k\). 5. Grenzwert für \(k \to -\infty\): Da \(\lim_{k \to -\infty} (k^2 - 2k - 1)e^k = 0\) (Exponentialfunktion dominiert), ergibt sich \(\lim_{k \to -\infty} I(k) = 2e^{-1} = \frac{2}{e} \approx 0{,}74\).

a) Hochpunkt \(H(-3 \mid 6e^{-3})\), Tiefpunkt \(T(1 \mid -2e)\) b) Nachweis durch Ableiten: \(G'(x) = g(x)\) c) \(I(k) = 2e^{-1} - (k^2 - 2k - 1)e^k\) d) Der Grenzwert existiert und beträgt \(\frac{2}{e} \approx 0{,}74\).

- Teile die Fläche an der Stelle auf, an der der Graph die Höhe \(k\) unterschreitet. - Verwende die Potenzregeln für die Integration und achte auf die Brüche im Exponenten. - Was bedeutet der Grenzübergang \(k \to \infty\) für den Flächeninhalt unter einem Graphen mit einer Polstelle bei \(x=0\)?

1. Berechnung des Schnittpunkts von \(g(x)\) und der horizontalen Geraden: \(x^{-2/3} = k \implies x^{2/3} = \frac{1}{k} \implies x = k^{-3/2} = \frac{1}{k\sqrt{k}}\). 2. Berechnung der Teilfläche des Rechtecks über dem Intervall \([0; k^{-3/2}]\) mit Höhe \(k\): \(A_{\text{Rechteck}} = k \cdot k^{-3/2} = k^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{k}}\). 3. Berechnung der Fläche unter dem Graphen im Intervall \([k^{-3/2}; 1]\): \(\int_{k^{-3/2}}^{1} x^{-2/3} \, dx = [3x^{1/3}]_{k^{-3/2}}^{1} = 3(1)^{1/3} - 3(k^{-3/2})^{1/3} = 3 - 3k^{-1/2} = 3 - \frac{3}{\sqrt{k}}\). 4. Addition der Teilflächen: \(A(k) = \frac{1}{\sqrt{k}} + 3 - \frac{3}{\sqrt{k}} = 3 - \frac{2}{\sqrt{k}}\). 5. Bestimmung des Grenzwerts: \(\lim_{k \to \infty} (3 - \frac{2}{\sqrt{k}}) = 3\).

\(A(k) = 3 - \frac{2}{\sqrt{k}}\). Der Grenzwert für \(k \to \infty\) beträgt \(3\).

- Überlege zuerst, wie man eine Tangente an einem Punkt berechnet. - Fertige eine Skizze an, um zu sehen, welche Funktion über welcher liegt und wo die Tangente die \(x\)-Achse schneidet. - Beachte die Bedingung „im ersten Quadranten“ – was bedeutet das für die untere Begrenzung der Fläche, wenn die Tangente negativ wird? - Teile die Fläche an der Stelle auf, an der sich die untere Begrenzung ändert. - Nutze die Regeln für uneigentliche Integrale, um den Grenzwert zu bestimmen.

1. Berechnung der Tangentengleichung: \(f(3) = 2\), \(f'(x) = -36x^{-3}\), \(f'(3) = -\frac{36}{27} = -\frac{4}{3}\). Die Tangente lautet \(t(x) = -\frac{4}{3}(x - 3) + 2 = -\frac{4}{3}x + 6\). 2. Bestimmung der Nullstelle der Tangente: \(-\frac{4}{3}x + 6 = 0 \implies x = 4{,}5\). 3. Da die Fläche im ersten Quadranten liegt, wird sie ab \(x = 4{,}5\) nach unten durch die \(x\)-Achse begrenzt. Der Flächeninhalt \(A_b\) setzt sich aus zwei Teilintegralen zusammen: \(A_b = \int_{3}^{4{,}5} (f(x) - t(x)) \, dx + \int_{4{,}5}^{b} f(x) \, dx\). 4. Erstes Integral: \(\int_{3}^{4{,}5} \left(\frac{18}{x^2} + \frac{4}{3}x - 6\right) \, dx = \left[-\frac{18}{x} + \frac{2}{3}x^2 - 6x\right]_{3}^{4{,}5} = (-4 + 13{,}5 - 27) - (-6 + 6 - 18) = -17{,}5 + 18 = 0{,}5\). 5. Zweites Integral: \(\int_{4{,}5}^{b} \frac{18}{x^2} \, dx = \left[-\frac{18}{x}\right]_{4{,}5}^{b} = -\frac{18}{b} + 4\). 6. Gesamter Flächeninhalt: \(A_b = 0{,}5 + 4 - \frac{18}{b} = 4{,}5 - \frac{18}{b}\). 7. Grenzwert: \(\lim_{b \to \infty} A_b = 4{,}5\). 8. Geometrische Deutung: Die ins Unendliche reichende Fläche besitzt einen endlichen Flächeninhalt.

a) \(t(x) = -\frac{4}{3}x + 6\) b) \(A_b = 4{,}5 - \frac{18}{b}\) c) Der Grenzwert ist \(4{,}5\). Dies bedeutet, dass die nach rechts unbegrenzte Fläche einen endlichen Inhalt hat.

- Bestimme zuerst den Berührpunkt und die Steigung für die Tangente. - Überlege dir genau, in welchem Bereich die Tangente die untere Begrenzung der Fläche darstellt und ab wann die \(x\)-Achse diese Rolle übernimmt. - Nutze die Potenzregel für die Integration von \(f(x)\). - Teile die Fläche unterhalb der Kurve in zwei Teile auf: den Teil über der Tangente und den Teil über der \(x\)-Achse.

1. Tangente an \(x=1\): \(f(1) = \frac{4}{2^2} = 1\). Ableitung \(f'(x) = -8(x+1)^{-3}\). Steigung \(m = f'(1) = -\frac{8}{8} = -1\). Tangente: \(y - 1 = -1(x - 1) \Rightarrow t(x) = -x + 2\). 2. Nullstelle der Tangente: \(t(x) = 0 \Rightarrow x = 2\). 3. Flächeninhalt für \(k=3\): Die Fläche wird oben durch \(f(x)\) begrenzt. Die untere Begrenzung ist für \(x \in [1; 2]\) die Tangente und für \(x \in [2; 3]\) die \(x\)-Achse. \(A = \int_{1}^{3} \frac{4}{(x+1)^2} \, dx - \int_{1}^{2} (-x + 2) \, dx\). Stammfunktion von \(f\): \(F(x) = -\frac{4}{x+1}\). Integral von \(f\): \(F(3) - F(1) = (-\frac{4}{4}) - (-\frac{4}{2}) = -1 + 2 = 1\). Fläche unter der Tangente (Dreieck): \(\int_{1}^{2} (-x + 2) \, dx = [-\frac{1}{2}x^2 + 2x]_1^2 = (-2 + 4) - (-0{,}5 + 2) = 2 - 1{,}5 = 0{,}5\). Gesamtfläche: \(A = 1 - 0{,}5 = 0{,}5\). 4. Grenzwert für \(k \to \infty\): \(A(k) = \int_{1}^{k} \frac{4}{(x+1)^2} \, dx - 0{,}5 = [-\frac{4}{x+1}]_1^k - 0{,}5 = (-\frac{4}{k+1} + 2) - 0{,}5 = 1{,}5 - \frac{4}{k+1}\). Für \(k \to \infty\) geht \(\frac{4}{k+1} \to 0\). Der Grenzwert ist \(1{,}5\).

a) \(t(x) = -x + 2\) b) \(A = 0{,}5\) c) \(\lim_{k \to \infty} A(k) = 1{,}5\)

- Wie findet man die Stelle, an der eine Funktion ihren höchsten Wert erreicht? - Welche besondere Form hat die Tangente in einem Hochpunkt? - Erinnere dich an die Integrationsregel für Funktionen, bei denen die Ableitung des Exponenten (bis auf einen Faktor) als Faktor davor steht. - Was passiert mit einem Ausdruck der Form \(e^{-x^2}\), wenn \(x\) gegen Unendlich strebt?

1. Bestimmung des Hochpunkts: \(f'(x) = (2 - 2x^2) \cdot e^{-0{,}5x^2}\). Setze \(f'(x) = 0 \implies x_H = 1\). Der Funktionswert ist \(y_H = f(1) = 2e^{-0{,}5} = \frac{2}{\sqrt{e}}\). Die Tangente ist eine waagerechte Gerade mit der Gleichung \(t: y = \frac{2}{\sqrt{e}}\). 2. Berechnung des Flächeninhalts zwischen Tangente und Graph: \(A = \int_{0}^{1} (\frac{2}{\sqrt{e}} - 2x \cdot e^{-0{,}5x^2}) \, dx\). 3. Stammfunktion bestimmen: \(\int 2x \cdot e^{-0{,}5x^2} \, dx = -2e^{-0{,}5x^2}\). Das Integral ergibt \([\frac{2}{\sqrt{e}}x + 2e^{-0{,}5x^2}]_{0}^{1}\). 4. Einsetzen der Grenzen: \((\frac{2}{\sqrt{e}} + 2e^{-0{,}5}) - (0 + 2e^0) = \frac{4}{\sqrt{e}} - 2 \approx 0{,}426\). 5. Flächeninhalt \(A(k)\): \(\int_{0}^{k} 2x \cdot e^{-0{,}5x^2} \, dx = [-2e^{-0{,}5x^2}]_{0}^{k} = -2e^{-0{,}5k^2} + 2\). 6. Grenzwertbetrachtung: Da \(\lim_{k \to \infty} e^{-0{,}5k^2} = 0\), gilt \(\lim_{k \to \infty} A(k) = 2\).

a) \(t: y = \frac{2}{\sqrt{e}}\) b) \(A = \frac{4}{\sqrt{e}} - 2 \approx 0{,}426\) c) \(A(k) = 2 - 2e^{-0{,}5k^2}\); für \(k \to \infty\) nähert sich der Flächeninhalt dem Wert \(2\) an.

- Welche Bedingung muss an einem Hochpunkt für die erste Ableitung gelten, und wie weist du die Art des Extremums nach? - Welche besondere Form hat die Tangente in einem Hochpunkt? - Nutze für die Flächen- und Integralberechnung die im Aufgabentext angegebene Stammfunktion. - Wie verhält sich ein Polynom mal \(e^{-x}\), wenn \(x\) gegen Unendlich geht?

1. Es ist \(g'(x)=(x-\frac12x^2)e^{-x}\). Damit gilt \(g'(2)=0\). Außerdem ist \(g''(2)=-e^{-2}<0\), also liegt bei \(x=2\) ein Hochpunkt vor. 2. Es gilt \(g(2)=2e^{-2}\). Die Tangente im Hochpunkt ist daher die waagerechte Gerade \(s:y=2e^{-2}\). 3. Der Flächeninhalt ist \(A=\int_0^2(2e^{-2}-g(x))\,dx=[2e^{-2}x-G(x)]_0^2=9e^{-2}-1\approx0{,}218\). 4. Für das uneigentliche Integral gilt \(\int_0^{\infty}g(x)\,dx=\lim_{k\to\infty}[G(x)]_0^k\). 5. Da \((k^2+2k+2)e^{-k}\to0\), folgt \(\int_0^{\infty}g(x)\,dx=1\).

a) \(s: y = 2e^{-2}\) b) \(A = 9e^{-2} - 1 \approx 0{,}218\) c) \(\int_{0}^{\infty} g(x) \, dx = 1\)

- Welche Funktion wächst oder fällt schneller: eine Potenzfunktion oder eine Exponentialfunktion? - Achte beim Ableiten des Ansatzes besonders auf die Kettenregel beim \(e\)-Term. - Beim Koeffizientenvergleich müssen die Koeffizienten von \(x^2\), \(x^1\) und \(x^0\) auf beiden Seiten der Gleichung übereinstimmen. - Wie ist ein uneigentliches Integral mit unendlicher Grenze definiert?

1. Grenzwertbetrachtung: Für \(x \to \infty\) strebt \(e^{-0{,}5x}\) gegen \(0\). Da die Exponentialfunktion schneller gegen Null geht als jede Potenzfunktion gegen Unendlich, gilt \(\lim_{x \to \infty} x^2 \cdot e^{-0{,}5x} = 0\). 2. Ableitung des Ansatzes bilden: \(F'(x) = (2ax + b) \cdot e^{-0{,}5x} + (ax^2 + bx + c) \cdot (-0{,}5 e^{-0{,}5x}) = (-0{,}5ax^2 + (2a - 0{,}5b)x + (b - 0{,}5c)) \cdot e^{-0{,}5x}\). 3. Koeffizientenvergleich der Polynomfaktoren mit \(x^2 = 1 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 0\): I) \(-0{,}5a = 1 \implies a = -2\) II) \(2a - 0{,}5b = 0 \implies -4 - 0{,}5b = 0 \implies b = -8\) III) \(b - 0{,}5c = 0 \implies -8 - 0{,}5c = 0 \implies c = -16\) Somit ist \(F(x) = (-2x^2 - 8x - 16) \cdot e^{-0{,}5x}\). 4. Berechnung des Integrals: \(\int_0^{\infty} f(x) \, dx = \lim_{k \to \infty} [F(x)]_0^k = \lim_{k \to \infty} (F(k) - F(0))\). 5. Auswertung: Da \(\lim_{k \to \infty} F(k) = 0\) (aufgrund des Faktors \(e^{-0{,}5k}\)), ergibt sich \(0 - F(0) = 0 - (-16) = 16\).

a) \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 0\) b) \(a = -2, b = -8, c = -16\), also \(F(x) = (-2x^2 - 8x - 16) \cdot e^{-0{,}5x}\) c) \(\int_0^{\infty} f(x) \, dx = 16\)

- Wie gehst du vor, um die Extremstellen einer Funktion mit Parameter zu finden? - Um zu zeigen, dass Punkte auf einer bestimmten Kurve liegen, kannst du die x-Koordinate nach dem Parameter auflösen und in die y-Koordinate einsetzen. - Erinnere dich an die Potenzregeln für die Integration von Brüchen wie \(\frac{1}{x^n}\). - Was passiert mit Termen wie \(\frac{1}{u}\), wenn \(u\) immer größer wird?

1. Ableitung bilden: \(f_a'(x) = \frac{1 \cdot x^3 - (x - a) \cdot 3x^2}{x^6} = \frac{3a - 2x}{x^4}\). 2. Notwendige Bedingung \(f_a'(x) = 0\) liefert \(x_H = 1{,}5a\). Da \(f_a'(x) > 0\) für \(x < 1{,}5a\) und \(f_a'(x) < 0\) für \(x > 1{,}5a\), liegt ein Hochpunkt vor. 3. Funktionswert berechnen: \(y_H = f_a(1{,}5a) = \frac{1{,}5a - a}{(1{,}5a)^3} = \frac{0{,}5a}{3{,}375a^3} = \frac{4}{27a^2}\). Somit ist \(H_a(1{,}5a \mid \frac{4}{27a^2})\). 4. Ortskurve bestimmen: Aus \(x = 1{,}5a\) folgt \(a = \frac{2}{3}x\). Einsetzen in \(y_H\): \(y = \frac{4}{27 \cdot (\frac{2}{3}x)^2} = \frac{4}{27 \cdot \frac{4}{9}x^2} = \frac{1}{3x^2}\). Dies entspricht \(h(x)\). 5. Stammfunktion finden: \(F_a(x) = \int (x^{-2} - a x^{-3}) \, dx = -x^{-1} + \frac{a}{2}x^{-2} = -\frac{1}{x} + \frac{a}{2x^2}\). 6. Bestimmtes Integral berechnen: \(A(u) = \int_a^u f_a(x) \, dx = \left[ -\frac{1}{x} + \frac{a}{2x^2} \right]_a^u = (-\frac{1}{u} + \frac{a}{2u^2}) - (-\frac{1}{a} + \frac{a}{2a^2}) = \frac{1}{2a} - \frac{1}{u} + \frac{a}{2u^2}\). 7. Grenzwert bestimmen: \(\lim_{u \to \infty} A(u) = \lim_{u \to \infty} (\frac{1}{2a} - \frac{1}{u} + \frac{a}{2u^2}) = \frac{1}{2a}\).

a) \(H_a(1{,}5a \mid \frac{4}{27a^2})\) b) Durch Einsetzen von \(a = \frac{2}{3}x\) in den \(y\)-Wert des Hochpunkts erhält man \(y = \frac{1}{3x^2}\). c) \(A(u) = \frac{1}{2a} - \frac{1}{u} + \frac{a}{2u^2}\); Grenzwert: \(\frac{1}{2a}\).

- Nutze die Quotientenregel oder schreibe den Funktionsterm in eine Summe von Potenzen um, bevor du ableitest. - Die Konstante \(c\) findest du, indem du den Zusammenhang zwischen der x- und y-Koordinate des Hochpunkts allgemein formulierst. - Ein uneigentliches Integral gegen Unendlich wird als Grenzwert einer endlichen Integration berechnet. - Achte beim Einsetzen der Grenzen genau auf die Vorzeichen und die Potenzen des Parameters.

1. Ableitung berechnen: \(g_k'(x) = \frac{k \cdot x^3 - (kx - k^2) \cdot 3x^2}{x^6} = \frac{kx - 3kx + 3k^2}{x^4} = \frac{3k^2 - 2kx}{x^4}\). 2. Hochpunkt ermitteln: \(g_k'(x) = 0 \implies x_H = 1{,}5k\). Funktionswert: \(y_H = g_k(1{,}5k) = \frac{k(1{,}5k) - k^2}{(1{,}5k)^3} = \frac{0{,}5k^2}{3{,}375k^3} = \frac{4}{27k}\). Also \(H_k(1{,}5k \mid \frac{4}{27k})\). 3. Ortskurve: Mit \(k = \frac{2}{3}x\) folgt \(y = \frac{4}{27 \cdot \frac{2}{3}x} = \frac{2}{9x}\). Damit ist \(c = \frac{2}{9}\). 4. Stammfunktion: \(G_k(x) = \int (kx^{-2} - k^2x^{-3}) \, dx = -kx^{-1} + \frac{k^2}{2}x^{-2} = -\frac{k}{x} + \frac{k^2}{2x^2}\). 5. Uneigentliches Integral: \(\int_k^{\infty} g_k(x) \, dx = \lim_{u \to \infty} [-\frac{k}{x} + \frac{k^2}{2x^2}]_k^u = \lim_{u \to \infty} (-\frac{k}{u} + \frac{k^2}{2u^2} - (-\frac{k}{k} + \frac{k^2}{2k^2})) = 0 - (-1 + 0{,}5) = 0{,}5\). 6. Begründung: Bei der Auswertung der Stammfunktion an der unteren Grenze \(k\) heben sich die Einflüsse von \(k\) im Zähler und Nenner gegenseitig auf, sodass ein konstanter Zahlenwert entsteht. Die Terme mit \(u\) im Nenner verschwinden im Grenzübergang.

a) \(H_k(1{,}5k \mid \frac{4}{27k})\); die Kurvengleichung ist \(y = \frac{2}{9x}\) mit \(c = \frac{2}{9}\). b) \(\int_k^{\infty} g_k(x) \, dx = 0{,}5\). c) Der Parameter \(k\) kürzt sich beim Einsetzen der Integrationsgrenze \(k\) in die Stammfunktion vollständig heraus, und die anderen Terme streben gegen Null.

- Bestimme zuerst die Differenzfunktion \(d(x) = f(x) - g(x)\). Was fällt dir bei den beiden Brüchen auf? - Erinnere dich daran, wie man eine Stammfunktion für eine Potenzfunktion der Form \(x^{-n}\) bildet. - Drücke die nach rechts unbegrenzte Fläche als Grenzwert eines bestimmten Integrals mit einer variablen oberen Grenze \(z\) für \(z \to \infty\) aus. - Welchen Wert nimmt der Term \(\frac{6}{z}\) an, wenn \(z\) unendlich groß wird? - Überlege für den letzten Aufgabenteil, was mit dem Bruch \(\frac{6}{a}\) passiert, wenn der Nenner \(a\) immer kleiner wird und sich der Null nähert.

1. Die Differenzfunktion ist \(d(x)=f(x)-g(x)=\frac{6}{x^2}\), eine Stammfunktion ist \(D(x)=-\frac{6}{x}\). 2. Für a) gilt \(A=\lim_{z\to\infty}\int_1^z\frac{6}{x^2}\,\mathrm{d}x=\lim_{z\to\infty}\left[-\frac{6}{x}\right]_1^z=6\). 3. Für b) gilt \(A(a)=\lim_{z\to\infty}\int_a^z\frac{6}{x^2}\,\mathrm{d}x=\frac{6}{a}\) für \(a>0\). 4. Für c) ist \(\lim_{a\to0^+}A(a)=\infty\). Die gesamte Fläche zwischen den Graphen im Bereich \(x>0\) besitzt daher keinen endlichen Inhalt.

a) Der Flächeninhalt der nach rechts unbegrenzten Fläche für \(x \ge 1\) beträgt \(6\). b) Der Flächeninhalt in Abhängigkeit von \(a\) lautet \(A(a) = \frac{6}{a}\). c) Für \(a \to 0^+\) gilt \(A(a) \to \infty\). Geometrisch bedeutet dies, dass die gesamte Fläche zwischen den beiden Graphen für \(x > 0\) einen unendlich großen Flächeninhalt besitzt.

- Nutze für Teil a) die Produktregel und untersuche anschließend das Vorzeichen der ersten Ableitung. - Vergleiche für große \(x\) das Wachstum des linearen Faktors mit dem der Exponentialfunktion im Nenner. - Überprüfe die angegebene Stammfunktion in Teil c) durch Ableiten, bevor du den Grenzwert des uneigentlichen Integrals bildest. - Vergleiche Lage und Höhe der Hochpunkte, um die beiden dargestellten Kurven zuzuordnen.

1. Die Ableitung ist \(h_k'(x) = k^2e^{-kx} - k^3xe^{-kx}=k^2e^{-kx}(1-kx)\). Wegen \(k^2e^{-kx}>0\) gilt \(h_k'(x)=0\) genau für \(x=\frac{1}{k}\). Die Ableitung wechselt dort von positiv zu negativ, also liegt ein Maximum vor. 2. Es gilt \(h_k(x)=\frac{k^2x}{e^{kx}}\). Für \(x\to\infty\) wächst \(e^{kx}\) stärker als der lineare Zähler, daher gilt \(h_k(x)\to0\). Die \(x\)-Achse ist eine waagerechte Asymptote. 3. Ableiten liefert \(H_k'(x)=-ke^{-kx}+(-kx-1)(-k)e^{-kx}=k^2xe^{-kx}=h_k(x)\). Somit gilt \(\int_0^\infty h_k(x)\,\mathrm{d}x=\lim_{b\to\infty}[H_k(x)]_0^b\). Wegen \((-kb-1)e^{-kb}\to0\) folgt \(\int_0^\infty h_k(x)\,\mathrm{d}x=0-(-1)=1\). Der gesamte Flächeninhalt unter jedem Graphen der Schar ist daher unabhängig von \(k\) gleich \(1\). 4. Für \(k=1\) liegt das Maximum bei \(x=1\) und hat die Höhe \(\frac{1}{e}\). Für \(k=2\) liegt es bei \(x=0{,}5\) und hat die Höhe \(\frac{2}{e}\). Daher gehört Kurve \(a\) zu \(k=1\) und Kurve \(b\) zu \(k=2\).

a) \(h_k'(x) = k^2 e^{-kx}(1 - kx) = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{k}\). b) Wegen des stärkeren Wachstums von \(e^{kx}\) gegenüber \(x\) gilt \(\lim_{x \to \infty} h_k(x) = 0\). c) Der Wert ist \(1\). Das bedeutet, dass alle Funktionen der Schar trotz unterschiedlicher Formen denselben Flächeninhalt mit der \(x\)-Achse einschließen. d) Kurve \(a\) gehört zu \(k=1\), Kurve \(b\) gehört zu \(k=2\).