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- Welche Variable steht im Differential am Ende des Integrals? - Welche andere Größe wird beim Integrieren als fest betrachtet?

1. Die Variable hinter dem Differential \(\mathrm{d}x\) ist die Integrationsvariable, also \(x\). 2. Die Größe \(a\) bleibt beim Integrieren nach \(x\) fest und ist der Parameter.

Parameter: \(a\) Integrationsvariable: \(x\)

- Wie wirkt sich ein konstanter Faktor vor einer Funktion auf ein bestimmtes Integral aus? - Vergleiche nur den Faktor \(k\) mit \(2k\); eine Stammfunktion brauchst du nicht.

1. Der Parameter ist ein konstanter Faktor im Integranden und kann vor das Integral gezogen werden. 2. Wird \(k\) verdoppelt, verdoppelt sich daher auch der Integralwert: \(J(2k)=2J(k)\).

\(J(2k)=2J(k)\)

- Welcher Buchstabe gibt an, nach welcher Variable integriert werden soll? - Wie behandelst du Symbole in der Funktion, die nicht der Integrationsvariable entsprechen? - Erinnere dich an die Potenzregel für das Bilden von Stammfunktionen. - Was musst du beim Einsetzen der unteren Grenze beachten, wenn diese Null ist?

1. Für Teilaufgabe a): Bestimmung der Stammfunktion \(F(x) = \frac{1}{4}ax^4 - ax\). Einsetzen der Grenzen liefert \((\frac{1}{4}a \cdot 2^4 - a \cdot 2) - (\frac{1}{4}a \cdot 1^4 - a \cdot 1) = (4a - 2a) - (\frac{1}{4}a - a) = 2a - (-\frac{3}{4}a) = \frac{11}{4}a\). 2. Für Teilaufgabe b): Bestimmung der Stammfunktion \(F(x) = \frac{a+1}{3}x^3\). Einsetzen der Grenzen liefert \((\frac{a+1}{3} \cdot 1^3) - (\frac{a+1}{3} \cdot 0^3) = \frac{a+1}{3}\).

a) \(\frac{11}{4}a\) b) \(\frac{a+1}{3}\)

- Wie lautet die allgemeine Regel für das Bilden von Stammfunktionen bei Potenzfunktionen? - Was besagt der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung über den Zusammenhang von Integral und Stammfunktion? - Achte beim Einsetzen der negativen unteren Grenze besonders auf die Vorzeichenregeln bei den Potenzen. - Behandle den Parameter wie eine gewöhnliche Zahl während der gesamten Rechnung.

1. Bestimmung einer Stammfunktion der Integrandenfunktion \(f(x) = x^3 - kx\): \(F(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}kx^2\). 2. Einsetzen der oberen Grenze \(x = 2\): \(F(2) = \frac{1}{4} \cdot 2^4 - \frac{1}{2}k \cdot 2^2 = 4 - 2k\). 3. Einsetzen der unteren Grenze \(x = -1\): \(F(-1) = \frac{1}{4} \cdot (-1)^4 - \frac{1}{2}k \cdot (-1)^2 = 0{,}25 - 0{,}5k\). 4. Differenzbildung gemäß Hauptsatz: \(I = F(2) - F(-1) = (4 - 2k) - (0{,}25 - 0{,}5k) = 3{,}75 - 1{,}5k\).

\(3{,}75 - 1{,}5k\)

- Kannst du den Bruchterm als Potenz mit negativem Exponenten umschreiben, um die Stammfunktion leichter zu finden? - Überlege dir zuerst, welche Funktion abgeleitet den Integranden ergibt. - Vergiss nicht, beim Abziehen der unteren Grenze die gesamte Klammer zu berücksichtigen, um Vorzeichenfehler zu vermeiden.

1. Bestimmung einer Stammfunktion von \(f(x) = ax^2 + x^{-2}\): \(F(x) = \frac{1}{3}ax^3 - \frac{1}{x}\). 2. Berechnung des Wertes an der oberen Grenze \(x = 3\): \(F(3) = \frac{1}{3}a \cdot 3^3 - \frac{1}{3} = 9a - \frac{1}{3}\). 3. Berechnung des Wertes an der unteren Grenze \(x = 1\): \(F(1) = \frac{1}{3}a \cdot 1^3 - \frac{1}{1} = \frac{1}{3}a - 1\). 4. Anwendung des Hauptsatzes: \(I = (9a - \frac{1}{3}) - (\frac{1}{3}a - 1) = \frac{26}{3}a + \frac{2}{3}\).

\(\frac{26}{3}a + \frac{2}{3}\)

- Überlege zuerst, wie die Stammfunktion einer Sinusfunktion mit einem linearen Argument aussieht. - Achte beim Integrieren auf die innere Ableitung (lineare Substitution). - Erinnere dich an die Werte der Kosinusfunktion bei \(0\) und \(\frac{\pi}{2}\). - Stelle eine einfache lineare Gleichung für den gesuchten Parameter auf.

1. Bestimmung der Stammfunktion von \(f_a(x) = a \cdot \sin(0{,}5x)\): Die Stammfunktion lautet \(F_a(x) = -2a \cdot \cos(0{,}5x)\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(\int_{0}^{\pi} a \cdot \sin(0{,}5x) \, dx = [-2a \cdot \cos(0{,}5x)]_{0}^{\pi}\). 3. Einsetzen der Grenzen: \(-2a \cdot \cos(0{,}5\pi) - (-2a \cdot \cos(0)) = -2a \cdot 0 + 2a \cdot 1 = 2a\). 4. Lösen der Gleichung nach \(a\): \(2a = 10 \implies a = 5\).

\(a = 5\)

- Wie lautet die Regel für das Integrieren von Potenzfunktionen? - Nutze den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: „Obere Grenze minus untere Grenze“. - Achte beim Einsetzen der Grenzen in die Stammfunktion auf die korrekte Verwendung von Klammern. - In der allgemeinen Formel bleiben die Variablen \(a\) und \(b\) einfach als Platzhalter stehen.

1. Zunächst wird eine Stammfunktion von \(g(x) = 3x^2 + 2x\) bestimmt: \(G(x) = x^3 + x^2\). Das Integral über \([1; 2]\) ergibt: \(\int_{1}^{2} (3x^2 + 2x) \, dx = [x^3 + x^2]_{1}^{2} = (2^3 + 2^2) - (1^3 + 1^2) = (8 + 4) - (1 + 1) = 12 - 2 = 10\). Der Flächeninhalt beträgt somit \(10\,\text{FE}\). 2. Für das allgemeine Intervall \([a; b]\) wird die Stammfunktion an den Grenzen \(a\) und \(b\) ausgewertet: \(A = \int_{a}^{b} (3x^2 + 2x) \, dx = [x^3 + x^2]_{a}^{b} = (b^3 + b^2) - (a^3 + a^2)\).

1. \(A = 10\,\text{FE}\) 2. \(A = b^3 + b^2 - a^3 - a^2\)

- Nutze die Linearität des Integrals, um den Term links vom Gleichheitszeichen zu vereinfachen. - Wie lässt sich das Integral einer konstanten Zahl \(c\) über ein Intervall allgemein ausdrücken? - Versuche, eine einfache Gleichung aufzustellen, in der nur noch \(A\) und \(c\) vorkommen. - Was musst du tun, um die Gleichung nach der gesuchten Größe \(c\) aufzulösen?

1. Anwendung der Linearitätseigenschaften (Summen- und Faktorregel): \(2 \cdot \int_{1}^{3} h(x) \, dx - \int_{1}^{3} c \, dx = 0\) 2. Substitution des gegebenen Integrals durch \(A\): \(2A - \int_{1}^{3} c \, dx = 0\) 3. Integration der Konstante \(c\) über das Intervall \([1; 3]\): \(\int_{1}^{3} c \, dx = [cx]_{1}^{3} = 3c - c = 2c\) 4. Aufstellen der linearen Gleichung: \(2A - 2c = 0\) 5. Isolieren von \(c\): \(2c = 2A \Rightarrow c = A\)

\(c = A\)

- Welche Funktion musst du ableiten, um die Kosinusfunktion zu erhalten? - Wie wirkt sich ein konstanter Faktor \(a\) beim Integrieren auf die Stammfunktion aus? - Überlege, was die Faktorregel für Integrale über den Zusammenhang der beiden Ergebnisse aussagt.

1. Identifikation der Stammfunktion \(\sin(x)\) für die Funktion \(\cos(x)\). 2. Berechnung des ersten Integrals über den Hauptsatz: \(I_1 = [\sin(x)]_0^{\frac{\pi}{2}} = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin(0) = 1 - 0 = 1\). 3. Identifikation der Stammfunktion \(a \cdot \sin(x)\) für die Funktion \(a \cdot \cos(x)\). 4. Berechnung des zweiten Integrals: \(I_2 = [a \cdot \sin(x)]_0^{\frac{\pi}{2}} = a \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - a \cdot \sin(0) = a \cdot 1 - a \cdot 0 = a\). 5. Vergleich der Resultate: Das Integral \(I_2\) ist das \(a\)-Fache von \(I_1\), was die Faktorregel der Integralrechnung (\(I_2 = a \cdot I_1\)) bestätigt.

\(I_1 = 1\); \(I_2 = a\); der Wert des Integrals \(I_2\) entspricht dem \(a\)-Fachen des Wertes von \(I_1\).

- Überlege dir zuerst, in welchem Bereich (von wo bis wo auf der \(x\)-Achse) die Fläche liegt. - Stelle die Stammfunktion für \(x^3\) auf. Was passiert mit dem Parameter \(a\) beim Integrieren? - Du erhältst eine einfache lineare Gleichung für \(a\).

1. Integral aufstellen: Die Fläche wird im Intervall \([0; 2]\) durch die Funktion \(g_a\) und die \(x\)-Achse begrenzt. 2. Flächeninhalt in Abhängigkeit von \(a\) berechnen: \(A(a) = \int_{0}^{2} ax^3 \,\text{d}x = [a\frac{1}{4}x^4]_{0}^{2}\) \(A(a) = \frac{a}{4} \cdot 2^4 - 0 = \frac{a}{4} \cdot 16 = 4a\). 3. Parameter bestimmen: Setze den Term gleich dem gewünschten Flächeninhalt: \(4a = 10 \implies a = 2{,}5\). Für \(a = 2{,}5\) beträgt der Flächeninhalt \(10\) Flächeneinheiten.

Der Parameter muss den Wert \(a = 2{,}5\) haben.

- Vergleiche die beiden Funktionswerte bei demselben \(x\), ohne zu integrieren. - Wie verändert eine Streckung in \(y\)-Richtung die Fläche über einem festen Intervall? - Beide Graphen liegen im betrachteten Intervall auf derselben Seite der \(x\)-Achse.

1. Für jedes \(x\in[0;2]\) gilt \(f_2(x)=2f_1(x)\). 2. Der Graph von \(f_2\) entsteht damit durch eine Streckung des Graphen von \(f_1\) in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2\). Die zugehörige Fläche über demselben Intervall verdoppelt sich. 3. Deshalb gilt \(\int_0^2 f_2(x)\,\mathrm{d}x=2\int_0^2 f_1(x)\,\mathrm{d}x\). Das Verhältnis ist \(2:1\).

\(\int_0^2 f_2(x)\,\mathrm{d}x\) ist größer; das Verhältnis beträgt \(2:1\).

- Behandle den Parameter beim Integrieren wie eine ganz normale Zahl. - Kannst du zuerst die Stammfunktion des Terms in der Klammer finden? - Setze die Grenzen ein und stelle eine Gleichung für die Unbekannte auf. - Wie löst man eine Gleichung, in der nach der Integration noch eine Variable steht?

1. Bestimmung der Stammfunktion in Abhängigkeit von \(k\): \(F(x) = \frac{1}{2}kx^2 + x\). 2. Einsetzen der Integrationsgrenzen in die Stammfunktion: \(F(3) = \frac{1}{2}k \cdot 9 + 3 = 4{,}5k + 3\) und \(F(1) = \frac{1}{2}k \cdot 1 + 1 = 0{,}5k + 1\). 3. Aufstellen der Differenz gemäß dem Hauptsatz: \((4{,}5k + 3) - (0{,}5k + 1) = 4k + 2\). 4. Gleichsetzen mit dem Zielwert \(10\): \(4k + 2 = 10\). 5. Lösen der linearen Gleichung: \(4k = 8 \Rightarrow k = 2\).

\(k = 2\)

- Kannst du den Term im zweiten Integral als Potenz mit rationalem Exponenten schreiben? - Achte bei der ersten Aufgabe besonders auf die Vorzeichen beim Einsetzen der negativen Grenze. - Wie verändert sich eine Konstante oder ein Parameter ohne Integrationsvariable beim Bilden einer Stammfunktion? - Gibt es Symmetrien, die du beim ersten Integral ausnutzen könntest?

1. Für Teilaufgabe a): Bildung der Stammfunktion \(F(x) = \frac{1}{3}ax^3 + a^3x\). Auswertung an den Grenzen ergibt \((\frac{1}{3}a \cdot 2^3 + a^3 \cdot 2) - (\frac{1}{3}a \cdot (-2)^3 + a^3 \cdot (-2)) = (\frac{8}{3}a + 2a^3) - (-\frac{8}{3}a - 2a^3) = \frac{16}{3}a + 4a^3\). 2. Für Teilaufgabe b): Umschreiben des Integranden zu \(ax^{-\frac{1}{2}}\). Bestimmung der Stammfunktion \(F(x) = 2ax^{\frac{1}{2}} = 2a\sqrt{x}\). Auswertung an den Grenzen liefert \(2a\sqrt{4} - 2a\sqrt{1} = 4a - 2a = 2a\).

a) \(\frac{16}{3}a + 4a^3\) b) \(2a\)

- Welche Grundfunktion hat eine Ableitung der Form \(\frac{1}{x}\)? - Nutze die Logarithmengesetze, um den Ausdruck nach dem Einsetzen der Grenzen zu vereinfachen. - Denke daran, dass man Faktoren vor dem Logarithmus als Exponenten in das Argument ziehen kann oder umgekehrt. - Wie lässt sich die Zahl 16 als Potenz der Basis 2 ausdrücken?

1. Bestimmung der Stammfunktion: Eine Stammfunktion von \(f_k(x) = \frac{k}{x+2}\) ist \(F_k(x) = k\ln(x + 2)\). 2. Berechnung des Integrals in Abhängigkeit von \(k\): \(\int_{0}^{2} \frac{k}{x+2} \, dx = [k\ln(x + 2)]_{0}^{2} = k\ln(4) - k\ln(2)\). 3. Vereinfachung mithilfe von Logarithmengesetzen: \(k \cdot (\ln(4) - \ln(2)) = k\ln\left(\frac{4}{2}\right) = k\ln(2)\). 4. Gleichsetzen mit dem Zielwert: \(k\ln(2) = \ln(16)\). 5. Anwendung der Logarithmengesetze zur Lösung: Da \(\ln(16) = \ln(2^4) = 4\ln(2)\), folgt durch Vergleich \(k = 4\).

\(k = 4\)

- Wie lautet die allgemeine Regel für die Integration von Ausdrücken der Form \(\frac{1}{(x+c)^2}\)? - Setze die Integrationsgrenzen in die Stammfunktion ein und bilde die Differenz. - Versuche, die resultierende Gleichung so umzuformen, dass kein Bruch mehr vorkommt. - Achte auf die Bedingung, dass die gesuchte Zahl positiv und ganzzahlig sein muss.

1. Bestimmung der Stammfunktion des Integranden: \(\int \frac{8}{(x+a)^2} \, dx = -\frac{8}{x+a}\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung unter Einbezug der Grenzen \(0\) und \(4\): \(\left[ -\frac{8}{x+a} \right]_{0}^{4} = -\frac{8}{4+a} - \left( -\frac{8}{a} \right) = \frac{8}{a} - \frac{8}{4+a}\). 3. Gleichsetzen des Terms mit dem Wert \(1\) und Bildung eines Hauptnenners: \(\frac{8(4+a) - 8a}{a(4+a)} = 1\). 4. Vereinfachung des Zählers: \(\frac{32}{a^2 + 4a} = 1\). 5. Umformung in eine quadratische Gleichung: \(a^2 + 4a - 32 = 0\). 6. Lösung der quadratischen Gleichung (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel): \(a_{1,2} = -2 \pm \sqrt{4 + 32} = -2 \pm 6\). 7. Da \(a\) eine positive ganze Zahl sein muss, entfällt \(a = -8\). Die Lösung ist \(a = 4\).

\(a = 4\)

- Welche Rechenregel für Integrale hilft dir bei Wurzelfunktionen weiter? - Wie lautet der Zusammenhang zwischen dem Integral und dem gesuchten Flächeninhalt? - Kannst du die Integrationsvariable und den Parameter beim Integrieren klar voneinander trennen? - Was musst du tun, wenn der berechnete Ausdruck einem festen Wert entsprechen soll?

1. Zur Berechnung des Flächeninhalts \(A(k)\) wird das bestimmte Integral der Funktion \(f_k\) über dem Intervall \([0; 4]\) gebildet: \(A(k) = \int_{0}^{4} k\sqrt{x} \, dx\). Unter Verwendung der Potenzregel für Integrale ergibt sich als Stammfunktion \(F_k(x) = k \cdot \frac{2}{3} \cdot x^{\frac{3}{2}}\). Die Auswertung an den Grenzen liefert \(A(k) = \left[ \frac{2}{3} kx\sqrt{x} \right]_{0}^{4} = \frac{2}{3} k \cdot 4\sqrt{4} - 0 = \frac{16}{3} k\). 2. Zur Bestimmung von \(k\) wird die Gleichung \(A(k) = 32\) aufgestellt: \(\frac{16}{3} k = 32\). Durch Multiplikation mit \(\frac{3}{16}\) erhält man \(k = 32 \cdot \frac{3}{16} = 6\).

1. \(A(k) = \frac{16}{3} k\) 2. \(k = 6\)

- Erinnere dich an die Stammfunktion der Exponentialfunktion mit einem linearen Faktor im Exponenten. - Was sind hier die unteren und oberen Grenzen für deine Integration? - Wie gehst du vor, um einen Parameter in einer Gleichung zu isolieren? - Gibt es im Ergebnis Terme, die du ausklammern oder durch die du teilen kannst, um die Rechnung zu vereinfachen?

1. Der Flächeninhalt wird durch das Integral \(A(a) = \int_{0}^{2} ae^{0{,}5x} \, dx\) berechnet. Eine Stammfunktion von \(g_a\) ist \(G_a(x) = \frac{a}{0{,}5}e^{0{,}5x} = 2ae^{0{,}5x}\). Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung ergibt \(A(a) = \left[ 2ae^{0{,}5x} \right]_{0}^{2} = 2ae^{0{,}5 \cdot 2} - 2ae^{0} = 2ae - 2a = 2a(e - 1)\). 2. Um \(a\) zu finden, setzt man \(A(a) = 4e - 4\). Dies führt zur Gleichung \(2a(e - 1) = 4(e - 1)\). Da \(e - 1 \neq 0\), kann man durch \(2(e - 1)\) dividieren und erhält \(a = 2\).

1. \(A(a) = 2a(e - 1)\) 2. \(a = 2\)

- Wie findet man die Stellen, an denen der Graph die \(x\)-Achse schneidet? - Welches mathematische Werkzeug hilft dabei, den Inhalt einer Fläche unter einer Kurve zu berechnen? - Überlege dir, wie du die berechnete Formel für den Flächeninhalt nutzen kannst, um einen bestimmten Wert für den Parameter zu finden. - Achte darauf, ob die Fläche oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse liegt.

1. Zur Bestimmung der Integrationsgrenzen werden die Nullstellen von \(f_k\) berechnet: \(kx - x^2 = 0 \iff x(k - x) = 0\), woraus sich \(x_1 = 0\) und \(x_2 = k\) ergeben. Da der Graph eine nach unten geöffnete Parabel mit Nullstellen bei \(0\) und \(k\) ist, liegt die Fläche oberhalb der \(x\)-Achse. Das Integral berechnet sich zu \(\int_{0}^{k} (kx - x^2) \, dx = \left[ \frac{k}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{k} = \frac{k^3}{2} - \frac{k^3}{3} = \frac{k^3}{6}\). Somit gilt \(A(k) = \frac{k^3}{6}\). 2. Die Bedingung \(A(k) = 36\) führt auf die Gleichung \(\frac{k^3}{6} = 36\). Multiplikation mit \(6\) ergibt \(k^3 = 216\). Das Ziehen der Kubikwurzel liefert \(k = 6\).

1. \(A(k) = \frac{k^3}{6}\) 2. \(k = 6\)

- Welche Symmetrie weist der Funktionsterm auf und wie vereinfacht das die Rechnung? - Bestimme zuerst alle Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse, um die Integrationsgrenzen festzulegen. - Wenn zwei Flächenstücke berechnet werden sollen, denke daran, die Beträge der Teilintegrale zu addieren oder Symmetrieeigenschaften zu nutzen. - Wie gehst du vor, wenn das Ergebnis der Flächenberechnung bereits vorgegeben ist und eine Variable gesucht wird?

1. Die Nullstellen von \(g_a\) liegen bei \(a^3 x - a x^3 = 0 \iff ax(a^2 - x^2) = 0\), also bei \(x_1 = -a\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = a\). Aufgrund der Punktsymmetrie der Graphen zum Ursprung sind die beiden Flächenstücke inhaltsgleich. Der Inhalt eines Teilstücks im Intervall \([0; a]\) wird berechnet durch \(\int_{0}^{a} (a^3 x - a x^3) \, dx = \left[ \frac{a^3}{2}x^2 - \frac{a}{4}x^4 \right]_{0}^{a} = \frac{a^5}{2} - \frac{a^5}{4} = \frac{a^5}{4}\). Der Gesamteinhalt ist somit \(A(a) = 2 \cdot \frac{a^5}{4} = \frac{a^5}{2}\). 2. Aus der Forderung \(A(a) = 16\) ergibt sich \(\frac{a^5}{2} = 16\), also \(a^5 = 32\). Durch Ziehen der 5. Wurzel erhält man \(a = 2\).

1. \(A(a) = \frac{a^5}{2}\) 2. \(a = 2\)

- Wie lautet die allgemeine Regel für die Stammfunktion einer Potenzfunktion? - Erinnere dich an den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung zur Berechnung bestimmter Integrale. - Kannst du in den Ausdrücken für \(A\) und \(B\) einen gemeinsamen Faktor ausklammern, um das Verhältnis leichter zu berechnen?

1. Bestimmung der Stammfunktion \(F(x) = \frac{1}{4}x^4\) für den Integranden \(x^3\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung für das erste Integral: \(A = \left[\frac{1}{4}x^4\right]_1^k = \frac{1}{4}k^4 - \frac{1}{4}\). 3. Bestimmung der Stammfunktion \(G(x) = \frac{1}{8}x^4\) für den Integranden \(\frac{1}{2}x^3\). 4. Anwendung des Hauptsatzes für das zweite Integral: \(B = \left[\frac{1}{8}x^4\right]_1^k = \frac{1}{8}k^4 - \frac{1}{8}\). 5. Berechnung des Verhältnisses durch Ausklammern: \(\frac{B}{A} = \frac{\frac{1}{8}(k^4 - 1)}{\frac{1}{4}(k^4 - 1)} = \frac{1}{2}\).

\(A = \frac{1}{4}k^4 - \frac{1}{4}\); \(B = \frac{1}{8}k^4 - \frac{1}{8}\); das Verhältnis ist \(\frac{B}{A} = \frac{1}{2}\).

- Bestimme zuerst eine Stammfunktion des Integranden, wobei du \(k\) wie eine gewöhnliche Zahl behandelst. - Verwende den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, um das Integral in Abhängigkeit von \(k\) zu berechnen. - Setze das Ergebnis deines Integrals mit dem gegebenen Wert gleich. - Achte beim Einsetzen der Grenzen besonders auf die Vorzeichen und die Werte der trigonometrischen Funktionen an den Stellen \(0\) und \(\pi\).

1. Bestimmung der Stammfunktion von \(f(x) = k \cdot \sin(x) + x\): \(F(x) = -k \cdot \cos(x) + \frac{1}{2}x^2\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(\int_{0}^{\pi} (k \cdot \sin(x) + x) \, dx = \left[-k \cdot \cos(x) + \frac{1}{2}x^2\right]_0^\pi\). 3. Einsetzen der Grenzen: \((-k \cdot \cos(\pi) + \frac{1}{2}\pi^2) - (-k \cdot \cos(0) + \frac{1}{2} \cdot 0^2) = (k + \frac{1}{2}\pi^2) - (-k) = 2k + \frac{1}{2}\pi^2\). 4. Gleichsetzen mit dem Zielwert: \(2k + \frac{1}{2}\pi^2 = \frac{1}{2}\pi^2 + 4\). 5. Lösen nach \(k\): \(2k = 4 \Rightarrow k = 2\).

\(k = 2\)

- Beginne damit, das Integral mit dem Parameter \(k\) allgemein zu berechnen. - Welche Funktion ergibt abgeleitet \(\sin x\)? Achte dabei auf das Vorzeichen. - Setze die Grenzen \(\pi\) und \(0\) in deine Stammfunktion ein und beachte die Werte der Kosinusfunktion an diesen Stellen. - Stelle eine Gleichung auf, in der das Ergebnis deines Integrals gleich Null gesetzt wird.

1. Aufstellen der Integralgleichung: \(\int_{0}^{\pi} (k \cdot \sin x - 1) \, dx = 0\). 2. Ermittlung einer Stammfunktion für den Integranden: \(F(x) = -k \cdot \cos x - x\). 3. Einsetzen der Integrationsgrenzen gemäß dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: \([-k \cdot \cos x - x]_{0}^{\pi} = (-k \cdot \cos \pi - \pi) - (-k \cdot \cos 0 - 0)\). 4. Vereinfachung des Ausdrucks unter Verwendung von \(\cos \pi = -1\) und \(\cos 0 = 1\): \((k - \pi) - (-k) = 2k - \pi\). 5. Lösen der Gleichung \(2k - \pi = 0\) nach \(k\): \(k = \frac{\pi}{2}\).

\(k = \frac{\pi}{2}\)

- Welche Variable steht hinter dem \(d\) im Integral? Das ist deine Integrationsvariable. - Stell dir alle anderen Buchstaben wie feste Zahlen vor, während du die Stammfunktion bildest. - Erinnere dich an die Potenzregel für die Integration: Was passiert mit dem Exponenten und dem Vorfaktor? - Was passiert, wenn du eine Konstante nach einer Variablen integrierst, die gar nicht im Term vorkommt?

1. Für Teilaufgabe a) ist \(x\) die Integrationsvariable. Die Stammfunktion bezüglich \(x\) lautet \(F(x) = x^4 y - 2xy^2\). Einsetzen der Grenzen ergibt \((3^4 y - 2 \cdot 3 \cdot y^2) - (1^4 y - 2 \cdot 1 \cdot y^2) = 81y - 6y^2 - y + 2y^2 = 80y - 4y^2\). 2. Für Teilaufgabe b) ist \(y\) die Integrationsvariable. Die Stammfunktion bezüglich \(y\) lautet \(F(y) = 2x^3 y^2 - \frac{2}{3}y^3\). Einsetzen der Grenzen ergibt \((2x^3 \cdot 9 - \frac{2}{3} \cdot 27) - (2x^3 \cdot 1 - \frac{2}{3} \cdot 1) = 18x^3 - 18 - 2x^3 + \frac{2}{3} = 16x^3 - \frac{52}{3}\). 3. Für Teilaufgabe c) ist \(x\) die Integrationsvariable, während \(a^2\) eine Konstante ist. Die Stammfunktion ist \(F(x) = a^2 x\). Einsetzen der Grenzen liefert \(a^2 \cdot 1 - a^2 \cdot 0 = a^2\).

a) \(80y - 4y^2\) b) \(16x^3 - \frac{52}{3}\) c) \(a^2\)

- Achte genau auf den Unterschied zwischen der Variablen in der Integrationsgrenze und der Integrationsvariablen selbst. - Wie integriert man eine Exponentialfunktion wie \(e^z\)? - Wenn ein Produkt aus zwei Variablen vorliegt, von denen nur eine die Integrationsvariable ist, wie behandelst du den anderen Teil? - Überlege dir bei c) und d), ob das Ergebnis noch von der Integrationsvariablen abhängen darf, nachdem du die Grenzen eingesetzt hast.

1. In a) wird \(t^3\) nach \(t\) integriert. Die Stammfunktion ist \(\frac{1}{4}t^4\). Mit den Grenzen \(0\) und \(k\) folgt \(\frac{1}{4}k^4 - 0 = \frac{1}{4}k^4\). 2. In b) wird \(k^3\) nach \(k\) integriert. Die Stammfunktion ist \(\frac{1}{4}k^4\). Mit den Grenzen \(0\) und \(t\) folgt \(\frac{1}{4}t^4 - 0 = \frac{1}{4}t^4\). 3. In c) ist \(z\) die Integrationsvariable. \(w\) ist konstant. Die Stammfunktion von \(e^zw\) ist \(e^zw\). Einsetzen der Grenzen liefert \(e^1w - e^0w = ew - 1w = w(e - 1)\). 4. In d) ist \(w\) die Integrationsvariable. \(e^z\) ist konstant. Die Stammfunktion ist \(\frac{1}{2}w^2 \cdot e^z\). Mit den Grenzen \(0\) und \(1\) ergibt sich \(\frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot e^z - 0 = \frac{1}{2}e^z\).

a) \(\frac{1}{4}k^4\) b) \(\frac{1}{4}t^4\) c) \(w(e - 1)\) d) \(\frac{1}{2}e^z\)

- Welche Nullstellen hat die Funktion und in welchem Bereich liegt der Graph unterhalb der \(x\)-Achse? - Denke daran, dass ein Flächeninhalt immer positiv ist, auch wenn das Integral negativ sein kann. - Stelle eine Gleichung auf, in der die Fläche nur noch von \(k\) abhängt. - Welche positive Zahl ergibt hoch vier genommen genau \(16\)?

1. Nullstellenbestimmung von \(g_k(x) = x(x^2 - k^2)\): Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 0\), \(x_2 = k\) und \(x_3 = -k\). Für den vierten Quadranten (\(x > 0\), \(y < 0\)) ist das Intervall \([0; k]\) relevant. 2. Ansatz für den Flächeninhalt: Da die Funktion im Intervall \([0; k]\) unterhalb der \(x\)-Achse verläuft, gilt \(A = \left| \int_{0}^{k} (x^3 - k^2x) \, dx \right|\). 3. Integration: \(\int_{0}^{k} (x^3 - k^2x) \, dx = \left[ \frac{1}{4}x^4 - \frac{k^2}{2}x^2 \right]_{0}^{k} = \frac{k^4}{4} - \frac{k^4}{2} = -\frac{k^4}{4}\). 4. Bestimmung des Betrags und Gleichsetzen: \(A = \frac{k^4}{4} = 4\). 5. Auflösen nach \(k\): \(k^4 = 16 \implies k = 2\) (da \(k > 0\)).

\(k = 2\)

- An welchen Stellen schneidet oder berührt der Graph die \(x\)-Achse? - In welchem Bereich liegt die eingeschlossene Fläche? - Wie berechnet man den Inhalt einer Fläche zwischen einem Graphen und der \(x\)-Achse? - Stelle eine Gleichung für den Flächeninhalt in Abhängigkeit von \(k\) auf.

1. Bestimmung der Nullstellen von \(f_k\): \(x \cdot (x - k)^2 = 0\) liefert \(x_1 = 0\) und \(x_2 = k\) (doppelte Nullstelle). 2. Da \(k > 0\) und der Faktor \((x - k)^2\) stets nicht-negativ ist, ist \(f_k(x) \geq 0\) für alle \(x \in [0; k]\). 3. Berechnung des Flächeninhalts über das Integral: \(A = \int_{0}^{k} (x^3 - 2kx^2 + k^2x) \, dx = [\frac{1}{4}x^4 - \frac{2}{3}kx^3 + \frac{1}{2}k^2x^2]_0^k\). 4. Einsetzen der Grenzen ergibt \(A = \frac{1}{4}k^4 - \frac{2}{3}k^4 + \frac{1}{2}k^4 = \frac{3-8+6}{12}k^4 = \frac{1}{12}k^4\). 5. Gleichsetzen mit dem gegebenen Flächeninhalt: \(\frac{1}{12}k^4 = 6{,}75\). 6. Auflösen nach \(k\): \(k^4 = 81\), woraus wegen \(k > 0\) folgt: \(k = 3\).

\(k = 3\)

- Untersuche die Symmetrie der Funktion, um die Rechnung zu vereinfachen. - Bestimme zuerst alle Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse. - Wie viele Teilflächen entstehen und wie hängen diese zusammen? - Verwende die Integralrechnung, um eine allgemeine Formel für den Flächeninhalt zu finden.

1. Symmetrie untersuchen: Da \(g_a(-x) = -g_a(x)\), ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. Die beiden Teilflächen sind also inhaltsgleich. 2. Nullstellen berechnen: \(x(a^2 - x^2) = 0\) ergibt \(x_1 = 0\), \(x_2 = a\) und \(x_3 = -a\). 3. Integral für eine Teilfläche (z. B. von \(0\) bis \(a\)): \(\int_{0}^{a} (a^2x - x^3) \, dx = [\frac{1}{2}a^2x^2 - \frac{1}{4}x^4]_0^a = \frac{1}{2}a^4 - \frac{1}{4}a^4 = \frac{1}{4}a^4\). 4. Gesamtfläche bestimmen: \(A = 2 \cdot \frac{1}{4}a^4 = \frac{1}{2}a^4\). 5. Parameter berechnen: \(\frac{1}{2}a^4 = 40{,}5 \Rightarrow a^4 = 81\). 6. Da \(a > 0\) gefordert ist, ergibt sich \(a = 3\).

\(a = 3\)

- Überlege zuerst, an welchen Stellen der Graph die \(x\)-Achse schneidet. - Nutze die Symmetrie der Funktion aus, um die Rechnung zu vereinfachen. - Stelle einen allgemeinen Term für den Flächeninhalt in Abhängigkeit von \(a\) auf. - Wie kannst du eine Potenzgleichung der Form \(a^n = c\) lösen?

1. Nullstellen bestimmen: \(f_a(x) = a x^2 (a^2 - x^2) = 0\) liefert die Schnittstellen mit der \(x\)-Achse bei \(x_1 = 0\) sowie \(x_{2,3} = \pm a\). 2. Symmetrie und Integral aufstellen: Aufgrund der Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse und der Lage des Graphen oberhalb der \(x\)-Achse im Intervall \([-a; a]\) berechnet sich der Flächeninhalt durch \(A = 2 \cdot \int_{0}^{a} (a^3 x^2 - a x^4) \, dx\). 3. Integration: \(2 \cdot [\frac{1}{3}a^3 x^3 - \frac{1}{5}a x^5]_{0}^{a} = 2 \cdot (\frac{1}{3}a^6 - \frac{1}{5}a^6) = \frac{4}{15}a^6\). 4. Gleichung lösen: Den Term für den Flächeninhalt mit dem Zielwert gleichsetzen: \(\frac{4}{15}a^6 = \frac{256}{15}\). Daraus folgt \(a^6 = 64\). 5. Ergebnis: Da \(a > 0\) gefordert ist, ergibt sich \(a = \sqrt[6]{64} = 2\).

\(a = 2\)

- Beginne damit, die Schnittpunkte des Graphen mit der \(x\)-Achse zu finden. Diese hängen von \(k\) ab. - Erinnere dich daran, wie man das bestimmte Integral einer Potenzfunktion bildet. - Achte beim Einsetzen der Grenzen besonders auf die Potenzgesetze, wenn du Terme wie \((k^{\frac{3}{2}})^3\) vereinfachst. - Setze dein Ergebnis für das Integral mit dem gegebenen Flächeninhalt gleich und löse nach \(k\) auf.

1. Nullstellen berechnen: Die Gleichung \(k - \frac{1}{k^2} x^2 = 0\) führt zu \(x^2 = k^3\), also \(x_{1,2} = \pm \sqrt{k^3} = \pm k^{\frac{3}{2}}\). 2. Integral für den Flächeninhalt aufstellen: \(A = \int_{-k^{\frac{3}{2}}}^{k^{\frac{3}{2}}} (k - \frac{1}{k^2} x^2) \, dx\). Unter Ausnutzung der Symmetrie gilt \(A = 2 \cdot \int_{0}^{k^{\frac{3}{2}}} (k - \frac{1}{k^2} x^2) \, dx\). 3. Stammfunktion und Auswertung: \(2 \cdot [kx - \frac{1}{3k^2}x^3]_{0}^{k^{\frac{3}{2}}} = 2 \cdot (k \cdot k^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3k^2} (k^{\frac{3}{2}})^3) = 2 \cdot (k^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{3}k^{\frac{5}{2}}) = \frac{4}{3}k^{\frac{5}{2}}\). 4. Parameter bestimmen: Die Bedingung \(\frac{4}{3}k^{\frac{5}{2}} = \frac{128}{3}\) führt auf \(k^{\frac{5}{2}} = 32\). 5. Ergebnis: Durch Umstellen der Potenz ergibt sich \(k = 32^{\frac{2}{5}} = 4\).

\(k = 4\)

- Wo schneidet der Graph die \(x\)-Achse? Bestimme zuerst die Integrationsgrenzen. - Überlege dir, wie man den Flächeninhalt zwischen einer Funktion und der Achse mithilfe eines Integrals berechnet. - Nach der Integration erhältst du einen Ausdruck, der noch vom Parameter abhängt. - Setze diesen Ausdruck mit dem gegebenen Flächeninhalt gleich, um nach dem Parameter aufzulösen.

1. Bestimmung der Nullstellen von \(f_k\): \(x^2 - \frac{1}{k}x^3 = 0 \iff x^2(1 - \frac{x}{k}) = 0\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 0\) und \(x_2 = k\). 2. Aufstellen des Integrals für den Flächeninhalt im Intervall \([0; k]\): \(A = \int_{0}^{k} (x^2 - \frac{1}{k}x^3) \, dx\). 3. Berechnung des Integrals unter Verwendung einer Stammfunktion: \([\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{4k}x^4]_0^k = \frac{k^3}{3} - \frac{k^4}{4k} = \frac{k^3}{3} - \frac{k^3}{4} = \frac{k^3}{12}\). 4. Lösen der Gleichung für \(k\): \(\frac{k^3}{12} = 18 \iff k^3 = 216 \iff k = 6\).

\(k = 6\)

- Welche Symmetrie weist der Funktionsterm auf? Das kann die Rechnung vereinfachen. - Bestimme die Stellen, an denen der Graph die Achse berührt oder schneidet. - Achte beim Integrieren darauf, ob die Fläche oberhalb oder unterhalb der Achse liegt. - Der gesamte Flächeninhalt ist die Summe der Inhalte der einzelnen Teilstücke.

1. Berechnung der Nullstellen von \(f_a\): \(\frac{1}{a^2}x^4 - x^2 = 0 \iff x^2(\frac{x^2}{a^2} - 1) = 0\). Die Nullstellen sind \(x_1 = 0\), \(x_2 = a\) und \(x_3 = -a\). 2. Nutzung der Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse: Der Gesamtflächeninhalt ist \(A = 2 \cdot \left| \int_{0}^{a} (\frac{1}{a^2}x^4 - x^2) \, dx \right|\). Da der Graph im Intervall \([0; a]\) unterhalb der \(x\)-Achse verläuft, gilt \(A = 2 \cdot \int_{0}^{a} (x^2 - \frac{1}{a^2}x^4) \, dx\). 3. Integration und Auswertung: \(2 \cdot [\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{5a^2}x^5]_0^a = 2 \cdot (\frac{a^3}{3} - \frac{a^5}{5a^2}) = 2 \cdot (\frac{a^3}{3} - \frac{a^3}{5}) = 2 \cdot \frac{2a^3}{15} = \frac{4}{15}a^3\). 4. Bestimmung von \(a\): \(\frac{4}{15}a^3 = 7{,}2 \iff 4a^3 = 108 \iff a^3 = 27 \iff a = 3\).

\(a = 3\)

- Bestimme zuerst alle Stellen, an denen der Graph die \(x\)-Achse trifft. - Beachte, dass die gesuchte Fläche aus zwei symmetrischen Teilen bestehen könnte. - Beim Integrieren wird \(k\) als Konstante behandelt. - Stelle eine Gleichung auf, die den berechneten Flächeninhalt mit dem Wert \(64{,}8\) verknüpft.

1. Bestimmung der Nullstellen von \(g_k\): Aus \(x^2 \cdot (k^2 - x^2) = 0\) ergeben sich die Schnittstellen mit der \(x\)-Achse bei \(x = 0\) sowie \(x = \pm k\). 2. Da der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist und für \(x \in [-k; k]\) nicht unterhalb der \(x\)-Achse verläuft, lässt sich der gesamte Flächeninhalt \(A\) als \(2 \cdot \int_{0}^{k} (k^2x^2 - x^4) \, dx\) berechnen. 3. Berechnung des bestimmten Integrals: \(2 \cdot \left[ \frac{1}{3}k^2x^3 - \frac{1}{5}x^5 \right]_{0}^{k} = 2 \cdot (\frac{1}{3}k^5 - \frac{1}{5}k^5) = \frac{4}{15}k^5\). 4. Aufstellen der Gleichung für den Flächeninhalt: \(\frac{4}{15}k^5 = 64{,}8\). 5. Auflösen nach \(k\): Durch Multiplikation mit \(\frac{15}{4}\) erhält man \(k^5 = 243\). Die fünfte Wurzel liefert \(k = 3\).

Der gesuchte Wert ist \(k = 3\).

- Überlege dir zuerst, wie man allgemein ein bestimmtes Integral mithilfe einer Stammfunktion berechnet. - Kannst du eine allgemeine Stammfunktion für den gegebenen Funktionsterm angeben, auch wenn ein Parameter enthalten ist? - Setze die Integrationsgrenzen in deine Stammfunktion ein und bilde die Differenz. - Stelle eine Gleichung auf, in der nur noch der gesuchte Parameter als Unbekannte vorkommt.

1. Bestimmung einer Stammfunktion von \(f(x) = x^2 - a\): \(F(x) = \frac{1}{3}x^3 - ax\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(\int_1^3 f(x) \, dx = F(3) - F(1)\). 3. Berechnung der Funktionswerte der Stammfunktion an den Grenzen: \(F(3) = \frac{1}{3} \cdot 3^3 - a \cdot 3 = 9 - 3a\) und \(F(1) = \frac{1}{3} \cdot 1^3 - a \cdot 1 = \frac{1}{3} - a\). 4. Aufstellen der Gleichung für das Integral: \((9 - 3a) - (\frac{1}{3} - a) = \frac{26}{3} - 2a\). 5. Gleichsetzen mit dem Zielwert \(\frac{2}{3}\): \(\frac{26}{3} - 2a = \frac{2}{3} \implies 2a = \frac{24}{3} = 8 \implies a = 4\).

\(a = 4\)

- Erinnere dich an die Regel für das Integrieren von verketteten Exponentialfunktionen der Form \(e^{ax}\). - Welche Konstante muss beim Ableiten von \(e^{\frac{1}{2}x}\) berücksichtigt werden, damit die ursprüngliche Funktion entsteht? - Versuche, nach der Integration auf beiden Seiten der Gleichung Faktoren auszuklammern, um die Struktur zu vereinfachen.

1. Bestimmung einer Stammfunktion von \(f(x) = ke^{\frac{1}{2}x}\): Durch Anwendung der Substitutionsregel (oder linearen Verkettung) ergibt sich \(F(x) = 2ke^{\frac{1}{2}x}\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(\int_0^2 ke^{\frac{1}{2}x} \, dx = [2ke^{\frac{1}{2}x}]_0^2 = 2ke^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2ke^{\frac{1}{2} \cdot 0} = 2ke - 2k\). 3. Gleichsetzen mit dem Zielwert: \(2ke - 2k = 4e - 4\). 4. Ausklammern von \(2k\) auf der linken Seite und \(4\) auf der rechten Seite: \(2k(e - 1) = 4(e - 1)\). 5. Da \(e - 1 \neq 0\), kann durch \((e - 1)\) dividiert werden: \(2k = 4\), woraus \(k = 2\) folgt.

\(k = 2\)

- Wie findest du die Stellen, an denen der Graph die horizontale Achse schneidet? - Kannst du den Funktionsterm so umschreiben, dass er aus einzelnen Summanden besteht, die leicht zu integrieren sind? - Welche Rechenregeln für Logarithmen könnten dir helfen, den Ausdruck am Ende zu vereinfachen? - Überlege dir, ob das Integral in diesem Intervall einen positiven oder negativen Wert liefert.

1. Bestimmung der Nullstellen von \(f_a\): Der Zähler \((x-a)(4a-x)\) wird Null für \(x_1 = a\) und \(x_2 = 4a\). Da \(a > 0\), liegen beide Nullstellen im Definitionsbereich. 2. Umformung des Funktionsterms für die Integration: Durch Ausmultiplizieren und Division durch \(x^2\) ergibt sich \(f_a(x) = \frac{-x^2 + 5ax - 4a^2}{x^2} = -1 + \frac{5a}{x} - 4a^2 x^{-2}\). 3. Bestimmung einer Stammfunktion: \(F_a(x) = -x + 5a \ln(x) + \frac{4a^2}{x}\). 4. Berechnung des Integrals über dem Intervall \([a; 4a]\): \(F_a(4a) = -4a + 5a \ln(4a) + \frac{4a^2}{4a} = -3a + 5a \ln(4a)\). \(F_a(a) = -a + 5a \ln(a) + \frac{4a^2}{a} = 3a + 5a \ln(a)\). 5. Differenzbildung: \(\int_a^{4a} f_a(x) \,\text{d}x = (-3a + 5a \ln(4a)) - (3a + 5a \ln(a)) = -6a + 5a(\ln(4a) - \ln(a)) = 5a \ln(4) - 6a\). 6. Da \(5 \ln(4) \approx 6{,}93 > 6\), ist das Integral positiv und entspricht dem Flächeninhalt \(A = a(10 \ln(2) - 6)\).

Der Flächeninhalt beträgt \(A = a(10 \ln(2) - 6)\) Flächeneinheiten.

- Wo schneidet der Graph die Koordinatenachsen? - In welchem Bereich verläuft der Graph unterhalb der \(x\)-Achse? - Für \(e^{x/k}\) kannst du die Stammfunktionsregel für eine lineare innere Funktion verwenden. - Was musst du beachten, wenn das Integral ein negatives Vorzeichen liefert, du aber einen Flächeninhalt suchst?

1. Bestimmung der Schnittpunkte mit den Achsen: Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \(f_k(0) = e^0 - e = 1 - e\). Die Nullstelle ergibt sich aus \(e^{x/k} - e = 0 \Rightarrow e^{x/k} = e^1 \Rightarrow \frac{x}{k} = 1 \Rightarrow x = k\). 2. Die Fläche liegt im Intervall \([0; k]\). Da \(f_k(x) \leq 0\) für \(x \in [0; k]\), berechnet sich der Flächeninhalt über \(A = -\int_0^k (e^{x/k} - e) \, dx = \int_0^k (e - e^{x/k}) \, dx\). 3. Bestimmung der Stammfunktion von \(g(x) = e - e^{x/k}\): \(G(x) = ex - k e^{x/k}\). 4. Einsetzen der Grenzen: \(G(k) = e \cdot k - k \cdot e^{k/k} = ek - ek = 0\). Außerdem ist \(G(0) = e \cdot 0 - k \cdot e^0 = -k\). 5. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = G(k) - G(0) = 0 - (-k) = k\).

Der Flächeninhalt beträgt \(A = k\) Flächeneinheiten.

- Wie lautet die allgemeine Formel für die Berechnung eines Flächeninhalts zwischen Graph und \(x\)-Achse? - Welche Stammfunktionen haben Sinus und Kosinus? - Achte beim Einsetzen der Werte in die Stammfunktion auf die Vorzeichen im Einheitskreis. - Wie kannst du eine Gleichung nach dem gesuchten Parameter auflösen?

1. Eine Stammfunktion von \(g_t(x) = t \cdot (\sin x + \cos x)\) ist \(G_t(x) = t \cdot (-\cos x + \sin x)\). 2. Der Flächeninhalt wird über das bestimmte Integral berechnet: \(A_t = \left| \int_{\frac{3\pi}{4}}^{\frac{7\pi}{4}} g_t(x) \, dx \right| = |G_t(\frac{7}{4}\pi) - G_t(\frac{3}{4}\pi)|\). 3. Einsetzen der Grenzen: \(G_t(\frac{7}{4}\pi) = t \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) = -t\sqrt{2}\) und \(G_t(\frac{3}{4}\pi) = t \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) = t\sqrt{2}\). 4. Die Differenz ergibt \(A_t = |-t\sqrt{2} - t\sqrt{2}| = 2\sqrt{2}t\). 5. Für Teilaufgabe b) wird die Gleichung \(2\sqrt{2}t = 4\sqrt{2}\) gelöst, woraus \(t = 2\) folgt.

a) \(A_t = 2\sqrt{2}t\) b) \(t = 2\)

- Nutze die notwendige Bedingung für Extrema, indem du die erste Ableitung der Funktion bildest und null setzt. - Achte beim Lösen der trigonometrischen Gleichung auf das vorgegebene Intervall für \(x\). - Überlege dir vor der Flächenberechnung, ob der Graph die \(x\)-Achse im Intervall schneidet oder oberhalb verläuft. - Für \(\sin(2x)\) kannst du die Stammfunktionsregel für eine lineare innere Funktion verwenden.

1. Zur Bestimmung der Extremstellen wird die erste Ableitung \(f_k'(x) = 2k \cos(2x)\) gleich null gesetzt. Im Intervall \([0; \pi]\) liefert \(\cos(2x) = 0\) die Stellen \(x_1 = \frac{\pi}{4}\) und \(x_2 = \frac{3\pi}{4}\). Mit \(f_k''(x) = -4k \sin(2x)\) folgt \(f_k''(\frac{\pi}{4})=-4k<0\) und \(f_k''(\frac{3\pi}{4})=4k>0\). Damit sind die Extrempunkte \(H(\frac{\pi}{4}\mid 3k)\) und \(T(\frac{3\pi}{4}\mid k)\). 2. Da \(k > 0\) und \(\sin(2x) \geq -1\), ist \(f_k(x) = k(\sin(2x)+2)>0\). Daher gilt \(A=\int_0^{\pi}(k\sin(2x)+2k)\,dx\). 3. Eine Stammfunktion ist \(F_k(x)=-\frac{k}{2}\cos(2x)+2kx\). Damit ist \(A=[-\frac{k}{2}\cos(2x)+2kx]_0^{\pi}=2\pi k\).

1. Die Extrempunkte sind der Hochpunkt \(H\left(\frac{\pi}{4} \mid 3k\right)\) und der Tiefpunkt \(T\left(\frac{3\pi}{4} \mid k\right)\). 2. Der Flächeninhalt beträgt \(A = 2\pi k\).

- Bestimme zuerst die Ableitung und untersuche ihren Vorzeichenwechsel am kritischen Punkt. - Welche Integrationsgrenzen ergeben sich aus der \(x\)-Koordinate des Hochpunkts? - Nutze die im Aufgabentext angegebene Stammfunktion für die Flächenberechnung. - Woran erkennst du am Endergebnis, ob der Flächeninhalt vom Parameter abhängt?

1. Es ist \(f_a'(x)=a^2(1-ax)e^{-ax}\). Wegen \(e^{-ax}>0\) folgt aus \(f_a'(x)=0\) die Stelle \(x_H=\frac1a\). Vor dieser Stelle ist \(f_a'(x)>0\), danach \(f_a'(x)<0\). Damit liegt der lokale Hochpunkt bei \(H(\frac1a\mid \frac{a}{e})\). 2. Der Flächeninhalt ist \(A=\int_0^{1/a}a^2xe^{-ax}\,dx\). Die angegebene Stammfunktion erfüllt \(F_a'(x)=a^2xe^{-ax}\). 3. Einsetzen der Grenzen liefert \(A=F_a(\frac1a)-F_a(0)=-2e^{-1}-(-1)=1-\frac2e\). 4. Das Ergebnis enthält den Parameter \(a\) nicht; der Flächeninhalt ist daher für alle \(a>0\) gleich.

1. Hochpunkt \(H\left(\frac{1}{a} \mid \frac{a}{e}\right)\) 2. Der Flächeninhalt beträgt \(A = 1 - \frac{2}{e} \approx 0{,}264\). Da das Ergebnis keinen Parameter \(a\) mehr enthält, ist die Fläche unabhängig von \(a\).

- Nutze den Satz vom Nullprodukt für die Nullstellen. - Erinnere dich an die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für Extrema (erste und zweite Ableitung). - Für die Fläche musst du die Funktion über dem Intervall zwischen den Nullstellen integrieren. - Achte beim Auflösen der Gleichung nach \(k\) auf die Potenzgesetze.

1. Nullstellen: \(x^3(k - x) = 0\) ergibt die dreifache Nullstelle \(x_1 = 0\) und die einfache Nullstelle \(x_2 = k\). 2. Ableitungen: \(f_k(x) = kx^3 - x^4\), \(f_k'(x) = 3kx^2 - 4x^3\), \(f_k''(x) = 6kx - 12x^2\). 3. Extrempunkt: \(f_k'(x) = x^2(3k - 4x) = 0\) liefert \(x = 0\) (Sattelpunkt, da \(f_k''(0) = 0\) und \(f_k'''(0) \neq 0\)) und \(x_E = \frac{3}{4}k\). 4. Art und \(y\)-Wert: \(f_k''(\frac{3}{4}k) = 6k(\frac{3}{4}k) - 12(\frac{9}{16}k^2) = \frac{18}{4}k^2 - \frac{27}{4}k^2 = -2{,}25k^2 < 0\), also ein lokales Maximum. \(y_E = f_k(\frac{3}{4}k) = (\frac{3}{4}k)^3(k - \frac{3}{4}k) = \frac{27k^3}{64} \cdot \frac{k}{4} = \frac{27}{256}k^4\). Der Hochpunkt liegt bei \(H(\frac{3}{4}k \mid \frac{27}{256}k^4)\). 5. Flächeninhalt: \(A(k) = \int_{0}^{k} (kx^3 - x^4) \, dx = [\frac{k}{4}x^4 - \frac{1}{5}x^5]_0^k = \frac{k^5}{4} - \frac{k^5}{5} = \frac{k^5}{20}\). 6. Bestimmung von \(k\): \(\frac{k^5}{20} = 51{,}2 \implies k^5 = 1024 \implies k = \sqrt[5]{1024} = 4\).

a) Nullstellen bei \(x = 0\) und \(x = k\); Hochpunkt bei \(H(\frac{3}{4}k \mid \frac{27}{256}k^4)\). b) \(A(k) = \frac{1}{20}k^5\). c) \(k = 4\).

- Bestimme zuerst die Nullstellen der Funktion \(f_a\) in Abhängigkeit von \(a\). Sie geben dir die Integrationsgrenzen für die Fläche unter der Parabel. - Berechne das bestimmte Integral der Funktion \(f_a\) über diesem Intervall, um den Flächeninhalt \(A_1\) zu bestimmen. Verwende dabei eine geeignete Stammfunktion. - Überlege, wie hoch das Rechteck sein muss. Der höchste Punkt der Parabel (ihr Scheitelpunkt) liegt genau in der Mitte zwischen den Nullstellen. Berechne seinen Funktionswert. - Drücke den Flächeninhalt des Rechtecks \(A_2\) mithilfe der gegebenen Breite \(4\) und der berechneten Höhe aus. - Setze die beiden Flächeninhalte \(A_1\) und \(A_2\) gleich und löse die Gleichung nach \(a\) auf. Da \(a > 0\) ist, darfst du durch Potenzen von \(a\) teilen.

1. Bestimmung der Nullstellen von \(f_a\): Aus \(ax - x^2 = 0\) folgen die Nullstellen bei \(x = 0\) und \(x = a\). 2. Berechnung der eingeschlossenen Fläche \(A_1\): Das Integral \(\int_{0}^{a} (ax - x^2) \,\mathrm{d}x\) liefert mit der Stammfunktion \(F_a(x) = \frac{a}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3\) den Wert \(A_1 = \frac{1}{6}a^3\). 3. Bestimmung des Hochpunkts: Der Scheitelpunkt liegt bei \(x_s = \frac{a}{2}\) mit dem Funktionswert \(y_s = f_a\left(\frac{a}{2}\right) = \frac{a^2}{4}\). 4. Bestimmung des Rechtecksflächeninhalts \(A_2\): Bei einer Breite von \(4\) und einer Höhe von \(\frac{a^2}{4}\) gilt \(A_2 = 4 \cdot \frac{a^2}{4} = a^2\). 5. Gleichsetzen und Lösen: Aus \(A_1 = A_2\) folgt \(\frac{1}{6}a^3 = a^2\). Da \(a > 0\), ergibt sich nach Division durch \(a^2\) die Lösung \(a = 6\).

a) Der Nachweis erfolgt durch Integration von \(f_a(x)\) in den Grenzen von \(0\) bis \(a\): \(A_1 = \int_{0}^{a} (ax - x^2) \,\mathrm{d}x = \left[\frac{a}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{a} = \frac{1}{6}a^3\). b) Der gesuchte Wert des Parameters ist \(a = 6\).

- Setze für den ersten Teil der Aufgabe die beiden Funktionsterme für \(f_a(x)\) und \(f_{a-1}(x)\) gleich und löse nach \(x\) auf. - Überlege dir, warum das Verschwinden des Parameters \(a\) aus der Gleichung zeigt, dass die Schnittstellen unabhängig von \(a\) sind. - Nutze die bestimmten Schnittstellen als Integrationsgrenzen für die Berechnung des Flächeninhalts. - Bestimme die Differenzfunktion der beiden Kurven im Intervall und berechne deren bestimmtes Integral.

1. Aus \(f_a(x)=f_{a-1}(x)\) folgt \(0=x^2-x=x(x-1)\). Die Schnittpunkte liegen unabhängig von \(a\) bei \(P_1(0 \mid 0)\) und \(P_2(1 \mid 1)\). 2. Es gilt \(f_a(x)-f_{a-1}(x)=x-x^2=x(1-x)\ge0\) für \(x\in[0;1]\). Somit liegt \(f_a\) dort oberhalb von \(f_{a-1}\). 3. Der Flächeninhalt ist \(A=\int_0^1\bigl(f_a(x)-f_{a-1}(x)\bigr)\,\text{d}x=\int_0^1(x-x^2)\,\text{d}x=\left[\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3\right]_0^1=\frac{1}{6}\). 4. Integrand und Grenzen sind unabhängig von \(a\); daher ist auch der Flächeninhalt unabhängig von \(a\).

a) Durch Gleichsetzen von \(f_a(x) = f_{a-1}(x)\) ergibt sich die parameterfreie Gleichung \(x^2 - x = 0\). Die Schnittpunkte sind somit unabhängig von \(a\) und lauten \(P_1(0 \mid 0)\) und \(P_2(1 \mid 1)\). b) Der Flächeninhalt der eingeschlossenen Fläche ist unabhängig von \(a\) und beträgt \(\frac{1}{6}\).

- Wo schneidet der Graph die \(x\)-Achse? Diese Stellen sind deine Integrationsgrenzen. - Nutze die Symmetrie des Graphen zur \(y\)-Achse aus, um die Rechnung zu vereinfachen. - Denke daran, dass \(\sqrt{k} \cdot \sqrt{k} \cdot \sqrt{k} = k \cdot \sqrt{k}\) ist. - Um eine Gleichung wie \(x^{3/2} = c\) zu lösen, kannst du beide Seiten mit \(\frac{2}{3}\) potenzieren.

1. Nullstellen bestimmen: \(f_k(x) = 0 \iff k - x^2 = 0 \iff x = \pm \sqrt{k}\). 2. Flächeninhalt \(A(k)\) berechnen: Da der Graph symmetrisch zur \(y\)-Achse ist und nach unten geöffnet ist, gilt: \(A(k) = 2 \cdot \int_{0}^{\sqrt{k}} (k - x^2) \,\text{d}x = 2 \cdot [kx - \frac{1}{3}x^3]_{0}^{\sqrt{k}}\) \(A(k) = 2 \cdot (k\sqrt{k} - \frac{1}{3}(\sqrt{k})^3) = 2 \cdot (k\sqrt{k} - \frac{1}{3}k\sqrt{k}) = 2 \cdot \frac{2}{3}k\sqrt{k} = \frac{4}{3}k^{\frac{3}{2}}\). 3. Gleichung lösen für \(A(k) = 36\): \(\frac{4}{3}k^{\frac{3}{2}} = 36 \iff k^{\frac{3}{2}} = 27 \iff k = 27^{\frac{2}{3}} = (3^3)^{\frac{2}{3}} = 3^2 = 9\). Für \(k = 9\) beträgt der Flächeninhalt \(36\).

a) \(A(k) = \frac{4}{3}k\sqrt{k}\) (oder \(A(k) = \frac{4}{3}k^{1{,}5}\)). b) Der gesuchte Wert ist \(k = 9\).

- Bestimme zunächst die Breite des Rechtecks, indem du den Abstand zwischen den beiden Nullstellen berechnest. - Die Höhe des Rechtecks entspricht dem \(y\)-Wert des Scheitelpunkts der Parabel. - Nutze die Symmetrie der Parabel zur \(y\)-Achse, um das Integral einfacher zu berechnen. - Formuliere eine Gleichung für den Unterschied zwischen dem Rechtecksinhalt und dem Integralwert. - Löse die resultierende Potenzgleichung nach dem gesuchten Parameter auf.

1. Die Nullstellen von \(f_a(x) = a^2 - x^2\) liegen bei \(x = a\) und \(x = -a\). 2. Berechnung des Flächeninhalts der Parabel: \(A(a) = \int_{-a}^{a} (a^2 - x^2) \, dx = \left[ a^2x - \frac{1}{3}x^3 \right]_{-a}^{a} = (a^3 - \frac{1}{3}a^3) - (-a^3 + \frac{1}{3}a^3) = \frac{2}{3}a^3 + \frac{2}{3}a^3 = \frac{4}{3}a^3\). Damit ist Teil a) gezeigt. 3. Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei \(S(0 \mid a^2)\). Das beschriebene Rechteck hat somit die Breite \(b = 2a\) und die Höhe \(h = a^2\). 4. Der Flächeninhalt des Rechtecks ist \(A_{\text{Rechteck}}=2a^3\). 5. Die Bedingung lautet: \(A_{\text{Rechteck}} - A(a) = 18\). 6. Einsetzen der Terme: \(2a^3 - \frac{4}{3}a^3 = 18 \Rightarrow \frac{6}{3}a^3 - \frac{4}{3}a^3 = 18 \Rightarrow \frac{2}{3}a^3 = 18\). 7. Auflösen nach \(a\): \(a^3 = 18 \cdot \frac{3}{2} = 27 \Rightarrow a = \sqrt[3]{27} = 3\).

a) Nachweis durch \(\int_{-a}^{a} (a^2 - x^2) \, dx = \frac{4}{3}a^3\). b) Der gesuchte Wert ist \(a = 3\).

- Welche Symmetrie besitzt der Term \(x\) auf einem zum Ursprung symmetrischen Intervall? - Der Parameter wird beim Integrieren nach \(x\) wie eine Konstante behandelt. - Betrachte die drei Summanden getrennt, bevor du sie wieder zusammenfasst.

1. Der Summand \(ax\) ist für jedes feste \(a\) eine ungerade Funktion von \(x\). Sein Integral über das symmetrische Intervall \([-1;1]\) ist daher \(0\). 2. Der konstante Summand \(a\) trägt über die Intervalllänge \(2\) den Wert \(2a\) bei. Außerdem ist \(\int_{-1}^{1}x^2\,\mathrm{d}x=\frac{2}{3}\). 3. Somit ist \(I(a)=\frac{2}{3}+2a\). 4. Aus \(\frac{2}{3}+2a=0\) folgt \(a=-\frac{1}{3}\).

a) \(ax\) trägt wegen der Ungeradheit nichts bei; der konstante Summand \(a\) beeinflusst den Integralwert. b) \(I(a)=\frac{2}{3}+2a\) c) \(a=-\frac{1}{3}\)

- Wie weist man nach, dass ein Graph durch den Koordinatenursprung verläuft? - Nutze die Stammfunktion, um das Integral in Abhängigkeit von \(k\) zu berechnen und setze das Ergebnis gleich null. - Achte bei der Symmetrieuntersuchung auf die Exponenten der ganzrationalen Funktion. - Ein Gegenbeispiel muss alle Voraussetzungen einer Behauptung erfüllen, aber die Schlussfolgerung verletzen.

1. Einsetzen von \(x = 0\) ergibt \(f_k(0) = 0^4 + k \cdot 0^2 = 0\). Somit verlaufen alle Graphen durch den Ursprung. 2. Berechnung des Integrals: \(\int_{-2}^{2} (x^4 + kx^2) \, dx = [\frac{1}{5}x^5 + \frac{k}{3}x^3]_{-2}^{2} = (\frac{32}{5} + \frac{8k}{3}) - (-\frac{32}{5} - \frac{8k}{3}) = \frac{64}{5} + \frac{16}{3}k\). 3. Bestimmung von \(k\): \(\frac{64}{5} + \frac{16}{3}k = 0 \implies \frac{16}{3}k = -12{,}8 \implies k = -12{,}8 \cdot \frac{3}{16} = -2{,}4\). 4. Symmetrie für \(k = -2{,}4\): \(f_{-2{,}4}(x) = x^4 - 2{,}4x^2\). Da nur gerade Exponenten auftreten, gilt \(f_{-2{,}4}(-x) = f_{-2{,}4}(x)\). Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Da die Funktion nicht die Nullfunktion ist, kann sie nicht gleichzeitig punktsymmetrisch zum Ursprung sein. 5. Schlussfolgerung: Das Beispiel zeigt eine Funktion, die beide Bedingungen erfüllt (\(f(0)=0\) und Integral über \([-2; 2]\) ist null), aber dennoch achsensymmetrisch statt punktsymmetrisch ist. Die Behauptung ist somit falsch.

1. \(f_k(0) = 0^4 + k \cdot 0^2 = 0\). 2. \(k = -2{,}4\). 3. Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, da \(f(-x) = f(x)\) gilt. 4. Die Funktion \(f(x) = x^4 - 2{,}4x^2\) dient als Gegenbeispiel, da sie trotz \(f(0)=0\) und einem Integralwert von null über \([-2; 2]\) achsensymmetrisch und nicht punktsymmetrisch ist.

- Stelle dir vor, wie die Fläche unter der Wurzelfunktion und die Fläche unter der Potenzfunktion zusammen ein Rechteck ausfüllen. - Welche Seitenlängen hat dieses Rechteck, wenn die obere Grenze für \(x\) bei der Wurzelfunktion \(b\) ist? - Berechne das Integral der Potenzfunktion \(x^4\) an der entsprechenden Stelle und subtrahiere es von der Gesamtfläche des Rechtecks. - Nutze die Potenzgesetze, um Terme wie \((\sqrt[4]{b})^5\) zu vereinfachen.

1. Die Funktion \(g(x) = \sqrt[4]{x}\) ist für \(x \geq 0\) die Umkehrfunktion von \(f(x) = x^4\). Das Integral \(\int_0^b \sqrt[4]{x} \, dx\) beschreibt die Fläche unter dem Graphen von \(g\) im Intervall \([0; b]\). 2. Der Endpunkt des Graphen in diesem Intervall ist \((b \mid \sqrt[4]{b})\). Das umschließende Rechteck hat den Flächeninhalt \(A_{\text{R}} = b \cdot \sqrt[4]{b}\). 3. Aufgrund der Symmetrie zur Geraden \(y = x\) entspricht die Fläche zwischen dem Graphen von \(g\) und der \(y\)-Achse der Fläche unter dem Graphen von \(f\) im Intervall \([0; \sqrt[4]{b}]\). 4. Das gesuchte Integral ist die Differenz aus dem Rechteckinhalt und dem Integral von \(f\): \(\int_0^b \sqrt[4]{x} \, dx = b \cdot \sqrt[4]{b} - \int_0^{\sqrt[4]{b}} x^4 \, dx\). 5. Auswertung des Integrals von \(f\): \(\int_0^{\sqrt[4]{b}} x^4 \, dx = \left[ \frac{1}{5}x^5 \right]_0^{\sqrt[4]{b}} = \frac{1}{5} (\sqrt[4]{b})^5 = \frac{1}{5} b \cdot \sqrt[4]{b}\). 6. Zusammenführung: \(b \sqrt[4]{b} - \frac{1}{5} b \sqrt[4]{b} = \frac{4}{5} b \sqrt[4]{b}\).

Durch Subtraktion des Integrals der ursprünglichen Funktion \(\int_0^{\sqrt[4]{b}} x^4 \, dx = \frac{1}{5} b \sqrt[4]{b}\) vom Flächeninhalt des umschließenden Rechtecks \(b \sqrt[4]{b}\) erhält man \(\frac{4}{5} b \sqrt[4]{b}\).

- Bestimme zuerst die Schnittstellen der beiden Funktionen in Abhängigkeit von \(k\). - Untersuche die Symmetrie der Differenzfunktion. Was bedeutet Punktsymmetrie für die Flächeninhalte links und rechts vom Symmetriepunkt? - Stelle eine Formel für den Gesamtflächeninhalt in Abhängigkeit von \(k\) auf. - Löse die entstandene Gleichung nach \(k\) auf.

1. Schnittstellen bestimmen: \(x^3 - k^2x = 0 \Rightarrow x(x-k)(x+k) = 0\). Die Schnittstellen liegen bei \(x_1 = -k\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = k\). 2. Da die Differenzfunktion \(h(x) = x^3 - k^2x\) ungerade ist (\(h(-x) = -h(x)\)), ist ihr Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. Daraus folgt direkt, dass die Flächeninhalte über \([-k; 0]\) und \([0; k]\) gleich groß sein müssen. 3. Berechnung eines Teilflächeninhalts: \(A_1 = |\int_{0}^{k} (x^3 - k^2x) \, dx| = |[\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}k^2x^2]_{0}^{k}| = |\frac{1}{4}k^4 - \frac{1}{2}k^4| = |-\frac{1}{4}k^4| = \frac{1}{4}k^4\). Wegen der Symmetrie ist der Inhalt der anderen Fläche ebenfalls \(A_2 = \frac{1}{4}k^4\). 4. Gesamtfläche berechnen: \(A_{\text{ges}} = A_1 + A_2 = \frac{1}{2}k^4\). 5. Parameter \(k\) bestimmen: \(\frac{1}{2}k^4 = 8 \Rightarrow k^4 = 16\). Da \(k > 0\) gefordert ist, folgt \(k = 2\).

a) Die Flächeninhalte sind aufgrund der Punktsymmetrie der Differenzfunktion \(h(x) = x^3 - k^2x\) stets gleich \(A = \frac{1}{4}k^4\). b) Der gesuchte Wert ist \(k = 2\).

- Welche mathematischen Bedingungen leiten sich aus der Existenz eines Extrempunktes im Ursprung ab? - Wie hilft dir die Nullstelle bei \(x = 4\), eine Beziehung zwischen den verbleibenden Koeffizienten herzustellen? - In welchem Quadranten liegt die Fläche? Was sagt das über das Vorzeichen der Funktionswerte in diesem Bereich aus? - Vergiss nicht, am Ende zu prüfen, ob die Bedingung für einen Tiefpunkt (zweite Ableitung) tatsächlich erfüllt ist.

1. Ein Extrempunkt im Ursprung bedeutet \(f(0) = 0\) und \(f'(0) = 0\). Für eine Funktion dritten Grades \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) folgt daraus direkt \(d = 0\) und \(c = 0\). Der Ansatz lautet \(f(x) = ax^3 + bx^2\). 2. Die Bedingung für die Nullstelle \(f(4) = 0\) liefert \(64a + 16b = 0\), also \(b = -4a\). Damit ist \(f(x) = ax^3 - 4ax^2\). 3. Die Fläche im ersten Quadranten bedeutet, dass \(f(x) \ge 0\) für \(0 \le x \le 4\) gilt. Das Integral wird aufgestellt: \(\int_{0}^{4} (ax^3 - 4ax^2) \, dx = 32\). 4. Die Berechnung des Integrals ergibt \([\frac{a}{4}x^4 - \frac{4a}{3}x^3]_0^4 = 64a - \frac{256}{3}a = -\frac{64}{3}a\). 5. Gleichsetzen mit dem Flächeninhalt: \(-\frac{64}{3}a = 32 \implies a = -1{,}5\). 6. Daraus folgt \(b = -4 \cdot (-1{,}5) = 6\). Die Bedingung für den Tiefpunkt \(f''(0) > 0\) ist mit \(f''(x) = -9x + 12\) und \(f''(0) = 12\) erfüllt. 7. Der Funktionsterm lautet \(f(x) = -1{,}5x^3 + 6x^2\).

\(f(x) = -1{,}5x^3 + 6x^2\)

- Welche Potenzen von \(x\) kommen in der Funktionsgleichung vor, wenn der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist? - Nutze den Punkt auf der \(y\)-Achse, um das Absolutglied direkt zu bestimmen. - Stelle eine Gleichung für die Fläche auf. Beachte dabei, ob der Graph im gegebenen Intervall oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse verläuft. - Nutze die Symmetrie des Graphen, um die Berechnung des Integrals zu vereinfachen.

1. Ansatz aufgrund der Symmetrie zur \(y\)-Achse: \(f(x) = ax^4 + cx^2 + e\). 2. Hochpunkt bei \((0\mid 4{,}5)\): \(f(0) = 4{,}5 \implies e = 4{,}5\). Die Bedingung \(f'(0)=0\) ist durch die Symmetrie bereits erfüllt. Für einen Hochpunkt muss zusätzlich \(f''(0)=2c<0\) gelten; dies wird nach der Bestimmung von \(c\) geprüft. 3. Punkt \(P(3\mid 0)\) einsetzen: \(f(3) = 81a + 9c + 4{,}5 = 0\). Umstellen nach \(c\) ergibt \(9c = -81a - 4{,}5\), also \(c = -9a - 0{,}5\). 4. Flächeninhalt über das Integral im Intervall \([-3; 3]\): Aufgrund der Symmetrie gilt \(2 \cdot \int_0^3 (ax^4 - (9a+0{,}5)x^2 + 4{,}5) \, dx = 16{,}2\), also \(\int_0^3 (ax^4 - (9a+0{,}5)x^2 + 4{,}5) \, dx = 8{,}1\). 5. Integration: \(\left[ \frac{a}{5}x^5 - \frac{9a+0{,}5}{3}x^3 + 4{,}5x \right]_0^3 = 48{,}6a - 9(9a+0{,}5) + 13{,}5 = 48{,}6a - 81a - 4{,}5 + 13{,}5 = -32{,}4a + 9\). 6. Gleichung lösen: \(-32{,}4a + 9 = 8{,}1 \implies -32{,}4a = -0{,}9 \implies a = \frac{1}{36}\). 7. Koeffizient \(c\) berechnen: \(c = -9 \cdot \frac{1}{36} - 0{,}5 = -0{,}25 - 0{,}5 = -0{,}75\). Da \(f''(0)=2c=-1{,}5<0\), ist \(H(0\mid 4{,}5)\) tatsächlich ein Hochpunkt. Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = \frac{1}{36}x^4 - \frac{3}{4}x^2 + 4{,}5\).

\(f(x) = \frac{1}{36}x^4 - \frac{3}{4}x^2 + 4{,}5\)

- Welche Bedingungen müssen für einen Sattelpunkt an einer bestimmten Stelle erfüllt sein? - Wie lautet die Gleichung einer Tangente in einem Punkt mit waagerechter Steigung? - Wie berechnet man die Schnittstellen zwischen einer Funktion und ihrer Tangente? - Wie ist die Formel für den Flächeninhalt zwischen zwei Graphen definiert? - Überlege dir, wie du die Koeffizienten der Funktion Schritt für Schritt aus den gegebenen Informationen bestimmen kannst.

1. Aus der Bedingung für den Sattelpunkt bei \(P(0\mid 2)\) folgen \(f(0) = 2\), \(f'(0) = 0\) und \(f''(0) = 0\). 2. Einsetzen in \(f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d\) ergibt direkt \(d = 2\), \(c = 0\) und \(2b = 0\), also \(b = 0\). Die Funktion lautet somit \(f(x) = x^4 + ax^3 + 2\). 3. Die Tangente \(t\) im Sattelpunkt \(P(0\mid 2)\) ist eine waagerechte Gerade mit der Gleichung \(t(x) = 2\). 4. Zur Flächenberechnung werden die Schnittpunkte von \(f\) und \(t\) bestimmt: \(x^4 + ax^3 + 2 = 2 \implies x^3(x + a) = 0\). Die Schnittstellen liegen bei \(x_1 = 0\) und \(x_2 = -a\). 5. Der Flächeninhalt berechnet sich durch \(A = \left| \int_{0}^{-a} (f(x) - t(x)) \, dx \right| = \left| \int_{0}^{-a} (x^4 + ax^3) \, dx \right| = \left| \left[ \frac{1}{5}x^5 + \frac{a}{4}x^4 \right]_{0}^{-a} \right|\). 6. Auswerten des Integrals liefert \(A = \left| -\frac{1}{5}a^5 + \frac{1}{4}a^5 \right| = \left| \frac{1}{20}a^5 \right|\). 7. Gleichsetzen mit dem gegebenen Flächeninhalt: \(\frac{1}{20}|a|^5 = 51{,}2 \implies |a|^5 = 1024\). Da \(4^5 = 1024\), folgt \(|a| = 4\). 8. Ein Sattelpunkt erfordert zusätzlich \(f'''(0) \neq 0\). Mit \(f'''(x) = 24x + 6a\) ist \(f'''(0) = 6a\). Für \(a = 4\) oder \(a = -4\) ist dies erfüllt. Beide Werte für \(a\) führen zu einer gültigen Funktion.

Die möglichen Funktionsterme sind \(f(x) = x^4 + 4x^3 + 2\) und \(f(x) = x^4 - 4x^3 + 2\).

- Wie kannst du eine Wurzel als Potenz mit rationalem Exponenten schreiben? - Welche Regel für das Integrieren von Potenzfunktionen kennst du? - Was passiert mit der Zahl 1, wenn man sie mit einem beliebigen Exponenten potenziert? - Wie wendest du den Hauptsatz an, wenn die untere Grenze nicht 0 ist?

1. Umschreiben des Integranden in Potenzschreibweise: \(\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}\). 2. Bestimmung der Stammfunktion mittels der Potenzregel: \(F(x) = \frac{1}{\frac{1}{n} + 1} x^{\frac{1}{n} + 1} = \frac{n}{n+1} x^{\frac{n+1}{n}}\). 3. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(\int_1^k x^{\frac{1}{n}} \, dx = [F(x)]_1^k = F(k) - F(1)\). 4. Einsetzen der Integrationsgrenzen: \(\frac{n}{n+1} k^{\frac{n+1}{n}} - \frac{n}{n+1} \cdot 1^{\frac{n+1}{n}}\). 5. Zusammenfassen zum Endergebnis: \(\frac{n}{n+1} \left( \sqrt[n]{k^{n+1}} - 1 \right)\).

\(\int_1^k \sqrt[n]{x} \, dx = \frac{n}{n+1} \left( \sqrt[n]{k^{n+1}} - 1 \right)\)

- Untersuche zuerst das Monotonieverhalten oder die Nullstellen der ersten Ableitung, um das Maximum zu finden. - Fällt dir eine Besonderheit im Aufbau des Bruchs auf, wenn du Zähler und Nenner vergleichst? - Erinnere dich an die Regel für Integrale der Form \(\int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx\). - Nutze Logarithmengesetze, um den finalen Ausdruck zu vereinfachen.

1. Bestimmung der Extremstelle \(x_M\): Die Ableitung von \(g_k(x)\) nach der Quotientenregel lautet \(g_k'(x) = \frac{2x(x^3+k^3) - x^2(3x^2)}{(x^3+k^3)^2} = \frac{2x^4 + 2xk^3 - 3x^4}{(x^3+k^3)^2} = \frac{x(2k^3 - x^3)}{(x^3+k^3)^2}\). Die Nullstelle der Ableitung im Bereich \(x > 0\) liegt bei \(2k^3 - x^3 = 0\), woraus \(x^3 = 2k^3\) und somit \(x_M = \sqrt[3]{2} \cdot k\) folgt. 2. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = \int_{0}^{\sqrt[3]{2}k} \frac{x^2}{x^3 + k^3} \, dx\). Da der Zähler bis auf einen konstanten Faktor die Ableitung des Nenners ist (\(\frac{d}{dx}(x^3+k^3) = 3x^2\)), kann eine Stammfunktion direkt als \(\frac{1}{3} \ln|x^3 + k^3|\) angegeben werden. 3. Auswertung des Integrals: \(A = \left[ \frac{1}{3} \ln(x^3 + k^3) \right]_{0}^{\sqrt[3]{2}k} = \frac{1}{3} \left( \ln((\sqrt[3]{2}k)^3 + k^3) - \ln(0^3 + k^3) \right) = \frac{1}{3} (\ln(2k^3 + k^3) - \ln(k^3)) = \frac{1}{3} (\ln(3k^3) - \ln(k^3))\). 4. Vereinfachung mithilfe der Logarithmengesetze: \(A = \frac{1}{3} \ln\left(\frac{3k^3}{k^3}\right) = \frac{1}{3} \ln(3)\). Dieser Wert ist konstant und somit unabhängig von \(k\).

Die Maximalstelle liegt bei \(x_M = k \cdot \sqrt[3]{2}\). Der Flächeninhalt berechnet sich zu \(A = \frac{1}{3} \ln(3) \approx 0{,}366\). Da dieser Wert für alle \(k > 0\) identisch ist, ist die Fläche unabhängig von \(k\).

- Welche Bedingung muss für die erste Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Nutze die drei gegebenen Punkte, um ein lineares Gleichungssystem für die Koeffizienten der Parabel aufzustellen. - Überlege dir, welche der beiden Funktionen im gegebenen Intervall größere Werte annimmt, um den Integranden für die Fläche korrekt aufzustellen. - Stelle eine Gleichung auf, in der der berechnete Flächenterm dem Wert 1 entspricht.

1. Die Ableitung ist \(f_a'(x) = a \cos(x)\). Die Nullstelle im Intervall \([0; \pi]\) liegt bei \(x = \frac{\pi}{2}\). Mit \(f_a(\frac{\pi}{2}) = a \cdot 1 + 1 = a + 1\) ergibt sich der Hochpunkt \(H(\frac{\pi}{2} \mid a + 1)\). 2. Der Ansatz \(q_a(x) = rx^2 + sx + c\) führt mit \(q_a(0) = 1\) zu \(c = 1\). Aus \(q_a(\pi) = 1\) folgt \(r\pi^2 + s\pi = 0\), also \(s = -r\pi\). Einsetzen des Hochpunkts \(q_a(\frac{\pi}{2}) = a + 1\) ergibt \(r(\frac{\pi}{2})^2 - r\pi(\frac{\pi}{2}) + 1 = a + 1\), woraus \(-\frac{\pi^2}{4}r = a\) und somit \(r = -\frac{4a}{\pi^2}\) folgt. Es ergibt sich \(s = \frac{4a}{\pi}\). Der Funktionsterm lautet \(q_a(x) = -\frac{4a}{\pi^2}x^2 + \frac{4a}{\pi}x + 1\). 3. Da \(q_a(x) \geq f_a(x)\) auf dem Intervall \([0; \pi]\) gilt, berechnet sich die Fläche über \(A(a) = \int_0^\pi (q_a(x) - f_a(x)) \, dx = \int_0^\pi (-\frac{4a}{\pi^2}x^2 + \frac{4a}{\pi}x - a \sin(x)) \, dx\). Die Stammfunktion ist \(F_a(x) = -\frac{4a}{3\pi^2}x^3 + \frac{2a}{\pi}x^2 + a \cos(x)\). Auswertung an den Grenzen liefert \(A(a) = (-\frac{4a\pi}{3} + 2a\pi - a) - (a) = \frac{2\pi}{3}a - 2a = a(\frac{2\pi}{3} - 2)\). 4. Durch Gleichsetzen \(a(\frac{2\pi}{3} - 2) = 1\) erhält man \(a = \frac{1}{\frac{2\pi}{3} - 2} = \frac{3}{2\pi - 6} \approx 10{,}594\).

1. \(H(\frac{\pi}{2} \mid a + 1)\) 2. \(q_a(x) = -\frac{4a}{\pi^2}x^2 + \frac{4a}{\pi}x + 1\) 3. \(A(a) = a \cdot (\frac{2\pi}{3} - 2)\) 4. \(a = \frac{3}{2\pi - 6} \approx 10{,}594\)

- Wie setzt man zwei Funktionen gleich, um ihre Schnittstellen zu bestimmen? - Was muss für das Integral der Differenzfunktion über das gesamte Intervall gelten, wenn die beiden Teilflächen gleich groß sind? - Nutze für \(x\sin(x)\) die im Aufgabentext angegebene Stammfunktion. - Prüfe für die Teilfläche, welche Funktion im jeweiligen Intervall oberhalb der anderen liegt.

1. Aus \(x\sin(x)=k\sin(x)\) folgt \((x-k)\sin(x)=0\). Wegen \(k\in(0;\pi)\) liegen im Intervall \([0;\pi]\) die drei Schnittstellen \(x=0\), \(x=k\) und \(x=\pi\). 2. Sind die beiden eingeschlossenen Flächenstücke gleich groß, heben sich die vorzeichenbehafteten Differenzflächen über dem Gesamtintervall auf. Daher gilt \(\int_0^\pi(f(x)-g_k(x))\,dx=0\). 3. Mit der angegebenen Stammfunktion ist \(\int_0^\pi x\sin(x)\,dx=\pi\). Außerdem gilt \(\int_0^\pi\sin(x)\,dx=2\). Somit folgt \(\pi-2k=0\) und daher \(k=\frac\pi2\). 4. Für diesen Wert liegt \(g_k\) auf \([0;\frac\pi2]\) oberhalb von \(f\). Eine Teilfläche ist daher \(A=\int_0^{\pi/2}(\frac\pi2\sin(x)-x\sin(x))\,dx\). 5. Eine Stammfunktion des Integranden ist \((x-\frac\pi2)\cos(x)-\sin(x)\). Damit ist \(A=[(x-\frac\pi2)\cos(x)-\sin(x)]_0^{\pi/2}=\frac\pi2-1\).

a) Nachweis über \((x-k) \sin(x) = 0\). b) \(k = \frac{\pi}{2}\). c) Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{\pi}{2} - 1 \approx 0{,}571\).

- Zerlege \(f_a\) in einen parameterfreien und einen parameterabhängigen Summanden. - Welche Symmetrie besitzt der parameterabhängige Summand als Funktion von \(x\)? - Über einem symmetrischen Intervall können sich orientierte Flächenbeiträge gegenseitig aufheben. - Unterscheide sorgfältig zwischen Integrationsvariable und Parameter.

1. Die Abbildung legt nahe, dass die durch den Parameter verursachte Verschiebung der Flächenbilanz links und rechts vom Ursprung einander ausgleicht. 2. Es gilt \(J(a)=\int_{-1}^{1}x^2\,\mathrm{d}x+a\int_{-1}^{1}x\,\mathrm{d}x\). 3. Der zweite Integrand ist ungerade, daher ist \(\int_{-1}^{1}x\,\mathrm{d}x=0\). Der erste Integralwert ist \(\frac{2}{3}\). 4. Somit gilt für jedes \(a\in\mathbb{R}\): \(J(a)=\frac{2}{3}\). Dabei ist \(x\) die Integrationsvariable; \(a\) bleibt während der Integration ein fester Parameter.

a) \(J(a)\) ist unabhängig von \(a\). b) \(J(a)=\frac{2}{3}\) für alle \(a\in\mathbb{R}\). c) \(x\) ist die Integrationsvariable, \(a\) ein während der Integration festgehaltener Parameter.